Sistemas Lineares Invariantes no TempoKENNEDY REURISON LOPES

DefinioSistema Linear

Se 1 e 2 so as respectivas respostas aos sinais 1 e 2(), ento para qualquer , temos para um Sistema Linear: Aditividade:

1 + x2 t 1 + y2 t

Homogeneidade:

1 1

Exemplo:

Sistema Linear: () = ()

Sistema no Linear: () = ()^2

Sistema Invariante no TempoSe o comportamento e as caractersticas do sistema so fixos ao longo do tempo.

Exemplo:

= ( ())

Para 1

1 = 1

Para2 = 1 0

2 = (1( 0))

RepresentaesExistem diferentes formas de representar SLIT:

Resposta ao Impulso;

Equao Diferencial Linear(Contnuo) e Equaes a Diferena (Discreto);

Diagrama de Blocos interconectando elementos: Operao de Adio

Operao de Multiplicao

Integrao no tempo (contnuo) Deslocamento no tempo (Discreto)

Descrio atravs de variveis de estado

= =

[ ]

+ = + + = + = +

Representao de sinal de tempo discreto em termos de impulsos: Qualquer sinal SLIT pode ser representado pela a soma

ponderada de impulsos deslocados da seguinte forma:

= =

[ ]

Propriedade seletiva do impulso. Para cada valor de k, o impulso seleciona apenas uma amostra do sinal x[n]

Exemplo: Degrau Unitrio

= =

[ ]

Soma de ConvoluoConsidere o produto de um sinal [] e a sequncia de impulsos . Sabemos que:

= 0 ()

Generalizando:

= ( )

O que nos permite escrever () da seguinte forma:

x = = ()( )

Considerando denote o sistema ao qual () aplicado, a sada calculada a partir de:

y n = H = ()( )

Como o sistema linear:

y n = = ( )

Considerando que o sistema Invariante no tempo, ento:

= =

[ ]

Soma de Convoluo

Soma de ConvoluoExemplo 01:

Suponha que seja do tipo SLIT e tenha a resposta ao impulso:

() = 1, = 12, = 00,

Determine a sada deste sistema em resposta entrada

() =

2, = 03, = 12, = 20

Soma de ConvoluoExemplo 02:

Calcular a soma de convoluo entre o sinal

1 = 1 1 100

e o sinal

2 = 1 1 < < 50

Soma de Convoluo

Sistemas LIT de tempo contnuo

Introduo Sistemas fsicos se comportam de maneira

contnua;

Pode ser caracterizado impulso unitrio;

Existe uma Soma de Convoluo, em sistemas contnuos define-se como Integral de Convoluo;

Princpios da superposio so aplicados da mesma forma que em sistemas discretos;

Dinmica do sistema determinada por equaes diferenciais.

Sistemas LIT de tempo contnuo Analogias

SLIT em Tempo Discreto

SLIT em Tempo Contnuo

Impulso unitrio () Impulso unitrio ()

Degrau unitrio () Degrau unitrio ()

Funo de transferncia ()

Funo de transferncia ()

Soma de Convoluo Integral de Convoluo

Representao atravs de Equaes a Diferenas

Representao atravs de Equaes a Diferenciais

Representao de sinal de tempo contnuo em termos de impulsos:

Definimos uma funo degrau para aproximar o impulso discreto:

=

. Deste modo, () tem amplitude unitria, permitindo construir a expresso:

= =

No limite temos a representao de ()

= lim0

=

Representao de sinal de tempo contnuo em termos de impulsos:No intervalo:

Os componentes correspondem a () j que o produto de

= 1

Para esse intervalo.

Considerando tambm que no limite 0,

= ()

Obtemos a funo que caracteriza a propriedade seletiva do impulso de tempo contnuo.

=

Mostrando que qualquer sinal SLIT pode ser representado como uma integral de impulsos contnuos deslocados.

Integral de ConvoluoUtilizando a representao de sinais em termos de impulsos, podemos definir de forma semelhante a Integral de Convoluo para SLIT contnuos da seguinte forma:

=

Simbolicamente representada:

() = () ()

Integral de ConvoluoExemplo 03:

Seja a entrada

= , > 0

aplicada

() = ()

Determine a resposta do sistema.

Propriedades de Sistemas LIT Comutativa

() () = () ()

Distributiva

() (1() + 2()) = () 1() + () 2()

Associativa

1 2 = (() 1 ) 2()

Sistemas LIT descritos por equaes diferenciais

Bibliografia1. Alan S. Willsky, Alan V. Oppenheim, SyedHamid Nawab, Sinais e Sistemas.Pearson.Education, 2010.

2. S. Haykin e B. Van Veen, Sinais e Sistemas, John Wiley & Sons, 2007. Editora:Bookman.

3. Hsu, Hwei P, Sinais e Sistemas, Bookman, 2a Edico, 2012.

4. John L. Semmlow. Circuits, Signals andSystems for Bioengineers: A Matlab BasedApproach. Elsevier. 2005. ISBN:0120884933.

5. Alan V. Oppenheim, Ronald W. Shafer. Digital Signal Processing. Prentice Hall. 2010.