sistemas lineares: proposta de uma entrada...

Anais do XI Encontro Nacional de Educação Matemática – ISSN 2178-034X Página 1

SISTEMAS LINEARES: PROPOSTA DE UMA ENTRADA EXPERIMENTAL

DESENVOLVIDA EM AMBIENTE COMPUTACIONAL

Jeferson da Silva Gonçalves

Universidade Bandeirante Anhanguera

[email protected]

Monica Karrer

Universidade Bandeirante Anhanguera

[email protected]

Resumo

Neste artigo são apresentados os resultados de um estudo sobre sistemas lineares, que

objetivou investigar as trajetórias de estudantes do nono ano do ensino fundamental de

uma escola pública de São Paulo, diante de um experimento de ensino que explorou

relações entre representações dos registros algébrico, gráfico e da língua natural,

integrando o Winplot. A abordagem consistiu em uma entrada experimental no ambiente

computacional, para favorecer a investigação das classificações dos sistemas e das

consequências gráficas da existência ou não da proporcionalidade entre os coeficientes de

sua representação algébrica. A pesquisa foi fundamentada na teoria dos registros de

representações semióticas e conduzida segundo a metodologia de Design Experiment. O

estudo englobou situações de sistemas possíveis, determinados ou indeterminados, e de

sistemas impossíveis. Neste artigo, optamos por apresentar os resultados do caso

impossível. A análise das produções dos sujeitos revelou avanços nas investigações das

relações entre representações algébricas e gráficas.

Palavras chave: Sistemas Lineares; Representações Semióticas; Winplot.

1. Introdução

Este artigo apresenta os resultados de um estudo relativo ao conteúdo de sistemas

lineares de duas equações e duas incógnitas, tópico desenvolvido no ensino fundamental e

retomado no ensino médio. O estudo global tratou de todas as classificações de sistemas,

ou seja, os casos possível e determinado, possível e indeterminado e impossível, sendo que

no presente artigo será apresentada, de forma mais minuciosa, a análise das trajetórias dos

estudantes nas atividades relativas aos sistemas impossíveis. O estudo consistiu em uma

entrada experimental desenvolvida com o auxílio da ferramenta computacional Winplot,

aliada ao ambiente papel e lápis, visando a exploração das relações entre representações

dos registros gráfico, algébrico e da língua natural. Em linhas gerais, o experimento foi

XI Encontro Nacional de Educação Matemática Curitiba – Paraná, 18 a 21 de julho de 2013


elaborado de forma a proporcionar ao estudante um ambiente favorável para a investigação

da existência ou não da proporcionalidade entre os coeficientes da representação algébrica

e suas consequências na classificação e na representação gráfica de um sistema linear de

duas equações e duas incógnitas. Na figura seguinte, apresenta-se um exemplo da forma

como isso foi explorado no ambiente computacional.

Figura 1 – Apresentação da construção realizada no Winplot.

Pode-se observar que, ao manipular o valor do coeficiente na representação

algébrica, há uma adaptação simultânea na representação gráfica. Por exemplo, alterando o

valor de "a", notamos a condição algébrica para que duas retas coincidentes se

"transformem" em paralelas. Foram propostas atividades no ambiente papel e lápis para

que o estudante pudesse concluir ao final do experimento, por meio de investigações no

ambiente computacional, que em um sistema do tipo

feydx

cbyax (com a, b, c, d, e e f não



nulos), se f

c

e

b

d

a o sistema será possível e indeterminado, se

f

c

e

b

d

a , o sistema

será impossível e se e

b

d

a , o sistema será possível e determinado.

Na revisão da literatura científica, foram observadas pesquisas que avaliaram o

ensino e a aprendizagem de sistemas lineares, tais como as de Freitas (1999) e Battaglioli

(2008), apontando tanto problemas dos estudantes no estabelecimento de conversões entre

representações dos registros algébrico e gráfico como a ênfase dada pelos livros didáticos

ao registro algébrico. Tal fato motivou a elaboração da presente pesquisa, uma vez que

revelou a necessidade de um trabalho de exploração de relações entre representações do

registro algébrico com representações de outros registros, tais como o gráfico e da língua

natural, para uma construção mais sólida do conceito. Dado que o software Winplot

favorece a análise simultânea entre representações dos registros gráfico e algébrico,

optamos por integrá-lo ao experimento de ensino.

Desta forma, teve-se por objetivo investigar em que aspectos este tipo de

abordagem influenciaria os estudantes na compreensão de sistemas lineares e em que

medida o software adotado poderia contribuir para essa compreensão. Partiu-se da hipótese

de que o experimento proposto permitiria ao sujeito avaliar as unidades significativas das

representações dos registros gráfico e algébrico de sistemas lineares, bem como suas

relações. Isto porque, investigando a existência ou não da proporcionalidade dos

coeficientes presentes na representação algébrica, seria possível observar as consequências

no registro gráfico. A seguir, apresenta-se a descrição da fundamentação teórica e de

pesquisas que embasaram a construção deste estudo.

2. Fundamentação Teórica e Revisão de Literatura

Os pressupostos teóricos de Duval (1995, 2000, 2006), referentes aos registros de

representações semióticas, fundamentaram este estudo, dada a preocupação de se construir

um experimento explorando relações entre os registros algébrico, gráfico e da língua

natural. Para Duval (2006), um registro de representação semiótica é um sistema semiótico

que permite três atividades cognitivas, a formação, o tratamento e a conversão. A formação

de representações em determinado registro exprime uma representação mental ou evoca

um objeto real. Quando se faz uma transformação entre duas representações, tem-se um



tratamento ou uma conversão. Se a transformação ocorrer no interior de um mesmo

registro, tem-se um tratamento. Por exemplo, ao escalonar um sistema linear no registro

algébrico, são realizados tratamentos no interior desse registro. Quando a transformação

parte de uma representação de um registro resultando em uma representação em outro

registro, tem-se uma conversão. É o caso, por exemplo, de representar graficamente um

sistema linear, partindo de sua representação algébrica.

Duval (1995) alerta para o fato da existência do fenômeno da não congruência na

atividade de conversão. A existência de congruência entre duas representações de registros

distintos ocorre quando há correspondência semântica entre as unidades significantes que

as constituem, uma mesma ordem de apreensão das unidades das duas representações e

conversão de uma unidade significante de representação de partida para uma unidade

significante correspondente no registro de chegada. Se pelo menos uma dessas condições

não for verificada, a conversão é não congruente.

Os registros de representações semióticas podem ser classificados quanto a sua

funcionalidade e discursividade. Um registro é monofuncional quando suas representações

são tratadas de forma algoritmizável. Caso contrário, ele é denominado multifuncional. Se

permitir o discurso, ele é classificado como discursivo. No presente trabalho, utilizamos os

registros algébrico, gráfico e da língua natural, classificados, respectivamente, em

monofuncional discursivo, monofuncional não discursivo e multifuncional discursivo.

Duval (1995) relata que é frequente o ensino de Matemática privilegiar os registros

monofuncionais discursivos, o que pode trazer ao aluno prejuízos na compreensão de um

conteúdo, dado que uma abordagem com foco em um único tipo de registro pode gerar

dificuldades em diferenciar um objeto matemático de sua representação e em estabelecer

conversões e, por este motivo, procuramos integrar representações de registros de

diferentes funcionalidades.

Na revisão de literatura foram encontrados diversos estudos voltados à análise do

ensino e da aprendizagem de sistemas lineares embasados na teoria dos registros de

representações semióticas. Por exemplo, Freitas (1999) identificou, em seus sujeitos de

pesquisa, dificuldades na atividade de conversão entre representações dos registros

algébrico e gráfico e no reconhecimento do tipo de sistema a partir de leitura gráfica.

Battaglioli (2008), em sua análise de livros didáticos, observou um enfoque mecanizado,

com predomínio do registro algébrico e Pantoja (2008) notou dificuldades dos estudantes

em efetuar conexões entre os métodos do escalonamento e de substituição.



Pesquisas voltadas à utilização de ferramentas computacionais no ensino de

Matemática, tais como as de Borba e Penteado (2010) e Noss e Hoyles (1996), defendem o

uso de tais recursos de forma a permitir avanços na compreensão de um objeto

matemático, explorando aspectos que não seriam possíveis em outros tipos ambientes de

ensino. Em coerência com essa visão e com a teoria dos registros de representações

semióticas, selecionamos o software Winplot, dado que ele permitiu explorar, de forma

dinâmica, relações entre representações dos registros gráfico e algébrico. Na seção

seguinte, apresentamos a metodologia adotada e as descrições dos sujeitos, do material e

do ambiente no qual o experimento foi desenvolvido.

3. Metodologia e Desenvolvimento

O estudo foi elaborado de acordo com a metodologia de Design Experiment de

Cobb et al. (2003). Neste tipo de metodologia, elaboram-se experimentos de domínios

matemáticos específicos, com vistas a criar inovações no ensino. Para isso, um estudo

minucioso das trajetórias dos sujeitos, de suas dificuldades e de seus avanços é necessário.

As características cíclica, iterativa e de flexibilidade são inerentes a essa metodologia, uma

vez que, apesar de um desenho inicial ser elaborado, este pode sofrer reformulações e

adaptações durante a condução do processo, caso as produções apresentadas pelos sujeitos

revelem tal necessidade.

Optamos pelo modelo aplicado em pequena escala, previsto nesta metodologia,

para favorecer uma análise mais detalhada das trajetórias dos estudantes. Neste caso,

quatro estudantes voluntários com faixa etária entre treze e quatorze anos participaram do

experimento. Na ocasião da aplicação, eles cursavam o nono ano do ensino fundamental de

uma escola da rede pública do estado de São Paulo. Naquele momento, esses sujeitos já

haviam estudado sistemas lineares de duas equações e duas incógnitas por uma abordagem

que privilegiou o registro algébrico, porém, sem qualquer exploração de análises de

relações entre a proporcionalidade dos coeficientes e suas consequências no registro

gráfico.

Para avaliar seus conhecimentos prévios, foi aplicada, de forma individual, uma

atividade diagnóstica preliminar, contendo questões sobre o significado de um sistema

linear, sobre resoluções de sistemas lineares de duas equações e duas incógnitas por algum

método já estudado (adição, substituição ou comparação), sobre a representação gráfica de



um sistema, sobre suas três classificações, e, por fim, sobre a análise das relações entre a

proporcionalidade dos coeficientes e a representação gráfica de um sistema linear. Dada a

caracterização dos nossos sujeitos, era esperado que eles não conseguissem resolver apenas

o último tipo de questão, uma vez que a questão de proporcionalidade não havia sido

explorada no ensino deste conteúdo.

Com o intuito de favorecer a interação entre os sujeitos na construção do

conhecimento, na aplicação das demais atividades do experimento os estudantes foram

organizados em duplas, identificadas nesse artigo por D1 e D2. A aplicação ocorreu em

horário extraclasse, em um laboratório de informática. Cada dupla trabalhou em um

computador que já possuía o software Winplot. O pesquisador contou com o auxílio de um

aluno monitor do Acessa Escola, programa desenvolvido pela Secretaria da Educação do

Estado de São Paulo e coordenado pela Fundação para o Desenvolvimento da Educação. A

atuação do pesquisador se deu de forma a orientar o processo, realizando intervenções

somente em momentos de bloqueio. Coube a ele, também, a identificação das adaptações

necessárias no experimento diante das produções fornecidas pelos estudantes.

Para a análise das trajetórias dos estudantes, foram coletados os seguintes

instrumentos: registros escritos presentes nas fichas das atividades de cada dupla, a áudio-

gravação das falas dos sujeitos e as telas dos computadores capturadas por meio do

software Camtasia. Na próxima seção, apresentamos a descrição e a análise da atividade

selecionada para esse artigo.

4. Descrição da Atividade e Apresentação dos Resultados

Na análise da atividade diagnóstica preliminar, constatamos que as dificuldades dos

estudantes não residiam apenas em questões que envolviam a análise das relações entre a

proporcionalidade dos coeficientes e a representação gráfica de um sistema linear. Apesar

de os sujeitos já terem estudado sistemas lineares antes da aplicação de nosso experimento

e de as questões propostas nesta atividade diagnóstica serem próximas das presentes nos

livros didáticos e no Caderno do Aluno do Estado de São Paulo, suas produções revelaram

que eles não compreendiam o significado de um sistema linear e suas classificações e que

não sabiam resolver um sistema linear por qualquer método, conforme ilustrado na figura

seguinte.



Figura 2 – Amostra de respostas dos alunos no Questionário Preliminar.

Tal constatação nos levou a realizar uma reformulação da proposta inicial,

incluindo uma revisão de conteúdo antes da aplicação das atividades do experimento. Com

isso, o pesquisador retomou com os estudantes o conceito de sistema linear, suas possíveis

classificações, a resolução pelo método da substituição e a representação gráfica de uma

reta, a fim de garantir os pré-requisitos necessários para a condução do experimento

inicialmente elaborado. Após essa revisão, foram aplicadas cinco atividades sobre sistemas

lineares. Inicialmente os estudantes realizavam experimentações no software, observando

as relações entre os registros algébrico e gráfico. No ambiente papel e lápis, na maioria das

tarefas, também foram requisitadas justificativas na língua natural escrita.

Na aplicação da primeira atividade, referente ao caso possível e indeterminado,

notamos que inicialmente os estudantes só tinham sucesso quando operavam no ambiente

computacional. Quando solicitados a operar fora desse ambiente, eles não conseguiam

observar que, para um sistema do tipo

feydx

cbyax (com a, b, c, d, e e f não nulos) ser

possível e indeterminado, seria necessário que f

c

e

b

d

a , gerando assim duas retas

coincidentes. Dada essa constatação e coerente com a metodologia adotada, o pesquisador

providenciou atividades complementares com e sem o auxílio do software. Inicialmente as

duplas avaliaram corretamente cada caso particular, notando a existência de

proporcionalidade, porém, a relação genérica da situação só ocorreu quando o pesquisador

solicitou aos estudantes que comparassem todas as atividades propostas, analisando o que

havia em comum entre elas. Após essa intervenção, apesar dos equívocos apresentados na

produção da língua natural, os estudantes demonstraram sucesso neste tipo de análise,

conforme ilustrado a seguir.



Figura 3 – Produções das duplas 1 e 2 (respectivamente) na Atividade Adicional.

Neste artigo, optamos por descrever com maior detalhamento o caso impossível. A

atividade proposta sobre este caso é apresentada a seguir.

Quadro 1 . Apresentação da atividade do caso impossível. ATIVIDADE 3 – ANÁLISE DO CASO SI

Tarefa 1. É dado um sistema linear com duas equações e duas incógnitas:

433

66

yx

ayx.

Cada equação representa uma reta no plano. Abra o arquivo 7 do Winplot. Na tela são dadas duas retas coincidentes e suas respectivas equações. Vá em “animação” e selecione “parâmetros A-W”. Altere o valor de “a” de modo que as retas fiquem paralelas distintas. Que valores de “a” satisfazem essa situação? ........................................................

Qual a classificação deste tipo de sistema? Justifique ........................................................... Tarefa 1a. Selecione no Winplot, um caso que gerou duas retas paralelas distintas. Complete a tabela:

Que relação existe entre os valores dos coeficientes da primeira equação com os coeficientes da segunda equação?......................................................................................... Selecione no Winplot outro caso que gerou duas retas paralelas distintas.

Complete a tabela:

Que relação existe entre os valores dos coeficientes da primeira equação com os coeficientes da segunda equação? .......................................................................................



Tarefa 1b. Sem usar o Winplot, qual deve ser o valor de “b” no sistema

byx

yx 1244 para

que se obtenham duas retas paralelas distintas? ................................................................... Agora faça o exercício no Winplot e compare o resultado com sua resposta..........................

Tarefa 2. É dado um sistema linear com duas equações e duas incógnitas:

16128

32

yx

ayx.

Cada equação representa uma reta no plano. Abra o arquivo 7 do Winplot. Na tela são dadas duas retas coincidentes e suas respectivas equações. Vá em “animação” e selecione “parâmetros”. Altere o valor de “a” de modo que as retas fiquem paralelas distintas. Que valores de “a” satisfazem essa situação? Tarefa 2a. Selecione no Winplot, um caso que gerou duas retas paralelas distintas. Complete a tabela:

Que relação existe entre os valores dos coeficientes da primeira equação com os coeficientes da segunda equação?..........................................................................................

Tarefa 3. Agora construa no papel a representação gráfica do sistema linear

888

622

yx

yx.

Faça o mesmo no Winplot e compare as duas construções. O que observou? ..................... Tarefa 4. Complete as tabelas com valores de x e y que satisfazem cada equação.

Equação 1: 622 yx

Equação 2: 888 yx

Tarefa 5. Resolva o sistema da tarefa anterior. O que você observou? Qual é a solução desse sistema? Como ele é classificado?................................................................................ Desta forma, podemos afirmar que a representação gráfica de um sistema linear com duas equações e duas incógnitas, classificado como sistema impossível, será .................................................................................................................................................. A quantidade de soluções de um sistema impossível é .............................................. Isto porque retas paralelas não possuem ponto comum. Tarefa 6. Para cada sistema linear, sem utilizar o Winplot, determine para que valores de “a” ele será um sistema impossível.

a)

633 yx

ayx b)

ayx

yx

104

852 c)

ayx

yx

126

1042

Qual seria a representação gráfica desses sistemas?............................................................ Tarefa 7. Após a realização das tarefas anteriores, determine a condição para que o

gráfico da solução do sistema linear

feydx

cbyax (com a, b,c,d,e e f não nulos) seja

representado por duas retas paralelas distintas, ou seja, para que o sistema seja

impossível.

Fonte: GONÇALVES, 2012, p. 255-258



Essa atividade teve como objetivo geral proporcionar um ambiente favorável para

que os alunos realizassem uma análise qualitativa de sistemas lineares de duas equações e

duas incógnitas, por meio da investigação das relações entre suas representações algébrica

e gráfica, esta última dada por duas retas paralelas distintas. Pretendia-se que o aluno, com

o auxílio do software Winplot, investigasse as relações de proporcionalidade entre

coeficientes e termos independentes, verificando que, um sistema do tipo

feydx

cbyax

(com a, b, c, d, e e f não nulos) seria impossível quando f

c

e

b

d

a .

Nas tarefas 1 e 2 esperava-se que os alunos, alterando o valor de “a” no Winplot,

verificassem que duas retas paralelas coincidentes se “transformariam” em duas retas

paralelas distintas, se existisse uma proporção apenas entre os coeficientes de x e y, e não

entre os termos independentes. Na tarefa 1, no ambiente computacional, os alunos

puderam constatar a obtenção de duas retas paralelas distintas para qualquer valor de "a"

diferente de 8. Ainda, classificaram o sistema como impossível. Em seguida, eles

preencheram as tabelas com outros casos de sistemas impossíveis. Pretendíamos que, com

o preenchimento das tabelas, eles conjecturassem sobre a relação entre os coeficientes e

termos independentes de sistema cuja representação gráfica era dada por duas retas

paralelas. Na tarefa 1b, os estudantes observaram, sem usar o software, que as retas seriam

paralelas distintas para qualquer valor de "b" diferente de 3, conforme ilustrado a seguir.

Figura 4 – Produções das duplas 1 e 2 (respectivamente) – Atividade 3 – Tarefa 1b.

É provável que a atividade anterior, relativa ao caso indeterminado de sistemas

lineares, influenciou os estudantes a focar suas atenções na análise das relações entre

coeficientes e termos independentes, ou seja, eles transferiram a estratégia de análise

utilizada anteriormente adaptando-a a esta nova situação. Ressalta-se que, na aplicação da

atividade do caso indeterminado, este tipo de análise não foi imediato, necessitando de

várias intervenções do professor -pesquisador.



Dado que a tarefa 2 era semelhante à anterior, os estudantes não apresentaram

dificuldades em resolvê-la. Ao serem questionados a respeito da relação observada,

apresentaram com sucesso suas conclusões, conforme ilustrado na Figura 5.

Figura 5 – Produção da dupla D1 – Atividade 3 – Tarefa 2a.

Podemos notar que eles buscaram a razão entre os elementos da segunda equação

pelos da primeira. Na tarefa 3, pretendíamos que os alunos construíssem, no ambiente

papel e lápis, a representação gráfica do sistema proposto no registro algébrico, observando

a obtenção de duas retas paralelas distintas. Ainda, esperávamos que justificassem que tal

fato ocorreu pela existência de proporcionalidade entre os coeficientes de x e y mas não

entre os termos independentes. Observamos que as duas duplas iniciaram a tarefa

realizando um tratamento no registro algébrico, ou seja, isolaram y em função de x em uma

das equações. Em seguida, utilizaram a representação tabular com a finalidade de encontrar

pares ordenados para a construção do gráfico. Naquele momento, elas não resolveram o

sistema, apenas constataram que a representação gráfica era dada por duas retas paralelas,

conforme ilustrado pela produção da dupla D2 na figura 6.

Figura 6 – Produção da dupla D2 – Atividade 3 – Tarefa 3.



Na tarefa 4, pretendíamos que os alunos observassem, por meio do preenchimento

da tabela, que para os pares construídos, nenhum se repetia nas duas situações. Na tarefa 5,

tínhamos por objetivo que, na resolução do sistema no ambiente papel e lápis, os

estudantes observassem o aparecimento de uma "contradição". Nesta fase, os alunos

poderiam relacionar que um sistema do tipo

feydx

cbyax (com a, b, c, d, e e f não nulos),

com f

c

e

b

d

a , geraria duas retas paralelas, seria impossível, teria solução vazia e sua

resolução algébrica recairia em uma "contradição". Na tarefa 4 os alunos completaram as

tabelas de forma correta, mas deixaram de observar que, para os valores selecionados, não

existia um par ordenado satisfazendo as duas equações simultaneamente. Na tarefa 5, as

duas duplas iniciaram um tratamento no registro algébrico. Neste caso, isolaram y em

função de x em uma das equações, substituíram o obtido na outra equação, recaindo em

uma "contradição", conforme ilustrado na Figura 7.


Ao serem questionados sobre o conjunto solução do sistema, as duplas relataram

que ele era vazio. Com o intuito de verificar se a análise da relação entre coeficientes e

termos independentes, especificamente no caso de sistemas impossíveis, seria transferida

para situações quaisquer sem o uso do software, foi apresentada a tarefa 6. Notamos que

os estudantes tiveram sucesso nessa análise, conforme exposto a seguir.




Ainda, nesta tarefa eles relataram que o sistema seria impossível e que as retas

ficariam paralelas. A tarefa 7 objetivou avaliar se os alunos conseguiriam generalizar suas

conclusões relativas à análise de sistemas impossíveis para um sistema do tipo

feydx

cbyax (com a, b,c,d,e e f não nulos), ou seja, se apresentariam a condição de

obtenção de duas retas paralelas distintas. Conforme apresentado na Figura 9, notamos que

os estudantes revelaram a compreensão esperada para esta atividade.

Figura 9 – Produções das duplas D1 e D2 (respectivamente)– Atividade 3 – Tarefa 7.

Pudemos observar, em consonância com Duval (1995), que os estudantes

apresentaram avanços na compreensão do conceito e que as habilidades em operar com

representações nos diferentes registros e em efetuar coordenações entre eles favoreceram

uma construção mais sólida do objeto matemático "sistemas lineares".

Após o tratamento desse caso, foram avaliados os sistemas lineares do tipo

feydx

cbyax (com a,b,d e e não nulos e c ou f nulos) e, por fim, o caso de sistemas

possíveis e determinados. A seguir, apresentamos as conclusões deste trabalho.

5. Conclusão



Foi realizado um estudo relativo à análise da qualidade de sistemas lineares de duas

equações e duas incógnitas nas suas três classificações, sendo que este artigo procurou

apresentar, de forma mais minuciosa, a análise de sistemas lineares impossíveis com duas

equações e duas incógnitas. Na análise do caso impossível, esperávamos que os estudantes,

por meio de uma entrada experimental no ambiente computacional integrada a atividades

no ambiente papel e lápis, concluíssem que um sistema do tipo

feydx

cbyax (com a, b, c,

d, e e f não nulos) seria impossível quando f

c

e

b

d

a e, neste caso, teria por representação

gráfica duas retas paralelas. Ainda, pretendia-se que observassem que neste caso a solução

seria vazia e que a resolução algébrica recairia em uma "contradição". Pudemos constatar

que a realização da atividade anterior pelos estudantes, relativa ao caso indeterminado,

demandou, em diversos momentos, reformulações no desenho original e inserção de novos

questionamentos pelo professor-pesquisador, o que estava previsto na metodologia

selecionada. Já na resolução do caso impossível, os alunos demonstraram independência e

sucesso na seleção de estratégias de análise, não necessitando de interferências do

professor-pesquisador. Ressaltamos que o trabalho da atividade anterior permitiu que os

estudantes focassem suas atenções na análise dos coeficientes e tal fato favoreceu uma

construção sólida de sistemas lineares de duas equações e duas incógnitas, dado que os

estudantes demonstraram habilidade tanto no reconhecimento de um sistema impossível

por meio de diversas representações, bem como na atividade de conversão entre

representações dos registros algébrico, gráfico e da língua natural. A construção realizada

no Winplot permitiu um primeiro contato com este tipo de análise, ao favorecer o

tratamento dinâmico das relações entre representações dos registros algébrico e gráfico de

sistemas lineares. Ressalta-se que, na atividade anterior relativa ao caso indeterminado, o

trabalho exclusivo neste ambiente não foi suficiente para que os alunos observassem as

relações entre os coeficientes e os termos independentes, sendo necessário um trabalho

conjunto com atividades no ambiente papel e lápis. Destacamos que a representação

tabular desempenhou um papel primordial para que as duplas iniciassem uma estratégia de

análise dos coeficientes.

Esperamos que este trabalho possa contribuir para a área de Educação Matemática,

em especial para o ensino fundamental, ao propor práticas diferenciadas de abordagem dos

sistemas lineares de duas equações e duas incógnitas.



6. Agradecimentos

Jeferson da Silva Gonçalves agradece ao apoio financeiro dado pela Secretaria

Estadual de Educação de São Paulo, a qual permitiu o desenvolvimento deste trabalho.

7. Referências

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