sistemas prof. marcelo de oliveira rosa. sistemas definição manipula entidade que manipula um ou...
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SISTEMAS
Prof. Marcelo de Oliveira Rosa
Sistemas
Definição Entidade que manipula um ou vários
sinais (entrada), produzindo um ou vários sinais (saída)
Composição: Sinais de entrada Sistema (propriamente dito) Sinais de saída
Sistema
Sin
ais
de
en
trad
a
Sin
ais
de
saíd
a
Sistemas
Definição Terminologias adicionais
Entradas Excitação x(t) Saídas Resposta y(t)
Matematicamente h{} é uma operação realizada sobre uma
função x(t) para produzir uma função y(t)
h{}x(t) y(t)
Sistemas
Diagrama de Blocos Somador
w(t) = x(t) – y(t) + z(t)
+
-
+
x(t)
y(t)
z(t)
w(t)
++
-
+
x(t)
y(t)
z(t)
w(t) Σ+
-
+
x(t)
y(t)
z(t)
w(t)
Sistemas
Diagrama de Blocos Amplificador
y(t) = K x(t)
K y(t)x(t)
y(t)x(t) K
y(t)x(t)K
Sistemas
Diagramas de Blocos Integrador/diferenciador
y(t) = ∫ x(τ) dτ (de – ∞ até t)
y(t) = dx(t)/dt
∫ y(t)x(t)
d/dt y(t)x(t)
Sistemas
Exemplos Navegação de barcos
Entradas Empuxo da hélice Posição do leme Direção e velocidade da correnteza
Saída Direção do barco Velocidade do barco
Sistema Dinâmica dos fluidos Equações do movimento de corpos
Sistemas
Exemplos Suspensão automotiva
Entradas Distância entre roda e solo
Saídas Distância entre chassi e chão
Sistema Equações dinâmicas de movimento
fator de amortecimento energia elástica.
Sistemas
Exemplos Ponte
Entrada Direção do vento Velocidade do vento
Saída Deslocamento da ponte
Sistema Dinâmica dos fluidos Interação entre fluido e estrutura
exemplo: Ponte Tacoma
Sistemas
Exemplos Corpo humano
Entradas Dose de medicamento
Saídas Concentração da dose no corpo
Sistema Equação farmacocinética do medicamento Equação de infusão e eliminação do medicamento
Sistemas
Modelagem de sistemas Definir equações que “ligam” as entradas
às saídas Geralmente equações integro-diferenciais
Equações diferenciais ordinárias (por exemplo) Há sistemas complexos demais para
modelagem detalhada Uso de aproximações e simplificações Tratamento estocástico
Exemplos
Sistemas
Propriedades Resposta com entrada nula
Saída do sistema para entrada x(t) = zero Condições de contorno não-nulas
Caracteriza efeito da energia inicial do sistema na saída
Resposta com condições iniciais nulas Saída do sistema para entrada x(t) ≠ zero Condições de contorno nulas
Geralmente energia inicial do sistema é nula
Sistemas
Propriedades Resposta total ≠
Respostas com entrada nula + Respostas com condições inicias nulas Existe situações de igualdade EDOs lineares a coeficientes constantes
Solução homogênea Solução particular
Sistemas
Propriedades Homogeneidade
Um sistema é homogêneo quando sua saída é sempre proporcional à sua entrada
Condições iniciais nulas
)t(ay)t(ax)t(y)t(x {}h{}h
Sistemas
Propriedades Aditividade
Duas entradas (x1(t) e x2(t)) produzem respostas y1(t) e y2(t), respectivamente, para um sistema H.
Condições iniciais nulas O sistema é aditivo se x3(t) [= x1(t) + x2(t)]
produzir resposta y3(t) [= y1(t) + y2(t)]
)t(y)t(y)t(x)t(x
)t(y)t(x
)t(y)t(x
21{}h
21
2{}h
2
1{}h
1
Sistemas
Propriedades Linearidade
Combinação de homogeneidade e aditividade. Princípio da superposição.
“Dividir para conquistar” Método comum a classe de sistemas (lineares)
)t(by)t(ay)t(bx)t(ax
)t(y)t(x
)t(y)t(x
21{}h
21
2{}h
2
1{}h
1
Sistemas
Propriedades Linearidade
Como aplicar o método a sistemas não-lineares?
Processo de linearização Linearização
Equações diferenciais não-lineares exatas transformadas em equações diferenciais lineares aproximadas
Adição de restrições para aproximação Exemplo clássico:
Pêndulo para pequenos ângulos
Sistemas
Propriedades Invariância no tempo
Um sistema é invariante no tempo se uma entrada x(t) atrasada/adiantada t0 instantes de tempo produz uma saída atrasada/ adiantada t0 instantes de tempo
Condições iniciais nulas )tt(y)tt(x)t(y)t(x 0{}h
0{}h
Sistemas
Propriedades Linearidade e Invariância no tempo
LTI “Linear and time-invariant system”
Combinação de linearidade e invariância no tempo
Classe específica de sistemas Análise será baseada em relações em excitações
específicas Uso de convolução
Sistemas
Propriedades Estabilidade
O sistema não “explode” Critério BIBO
Para qualquer excitação limitada, o sistema produzirá sempre respostas limitadas
Condições iniciais nulas
B)}t(x{h)t(yA)t(x
Sistemas
Propriedades Estabilidade
Para um sistema descrito por uma EDO linear com coeficientes constantes, a solução homogênea (sem excitação)
Descrita por combinação linear de exponenciais complexas
Exponenciais complexas = autofunções Se Re{autovalores} ≥ zero sistema instável Se Re{autovalores} < zero sistema estável
Caso particular importante
Sistemas
Propriedades Causalidade
Um sistema é causal se ele apresenta resposta somente durante ou após a aplicação de alguma excitação.
Sistema não-antecipatório
Condições iniciais nulas
00 tt,0)t(ytt,0)t(x
Sistemas
Propriedades Causalidade
Causal Processamento tempo-real Não-causal processamento off-line
Impossibilidade de aplicações em tempo real, pois análise depende do “futuro”.
Sistemas
Propriedades Causalidade
Exemplo: Mercado de ações e filtro média-móvel.
Sistemas
Propriedades Memória
Um sistema com memória depende das excitações em instantes anteriores ou posteriores, além da excitação no instante atual.
Também chamado sistema dinâmico Um sistema sem memória depende apenas da
excitação no instante atual Também chamado sistema estático
Sistemas
Propriedades Reversibilidade/Inversibilidade
Um sistema é inversível se excitações singulares produzem respostas singulares
Condições iniciais nulas
Sistema inverso “anula” completamente os efeitos do sistema direto.
Idéia de função bijetora
)}t(y{h)t(x)}t(x{h)t(y 1
Sistemas
Convolução Estado atual:
Sistemas descritos por EDOs Solução completa soluções particular +
homogênea Solução homogênea combinação linear de
autofunções
Questão: Podemos analisar o sistema sem considerar
excitações e respostas?
Sistemas
Convolução Princípio básico
Excitação Combinação linear de sinais “elementares”
Sistema específico Sistemas lineares e invariantes no tempo (LTI) Uso do princípio de sobreposição
Resposta Combinação linear dos efeitos produzidos pelos
sinais “elementares”
Sinal elementar sinal impulso δ(t)
Sistemas
Convolução Sistema original
F(y, y’, y’’, ..., y(n-1), y(n)) = G(x, x’, x’’, ..., x(m-1), x(m))
y = y(t) e x = x(t)
Resposta ao impulso h(t) A(h, h’, h’’, ..., h(n-1), h(n)) = B(δ, δ’, δ’’, ..., δ(m-1),
δ(m)) h = h(t) e δ = δ(t)
Sistemas
Convolução Obtenção da resposta ao impulso h(t)
Encontre solução homogênea de h(t) hh(t) Características da solução particular
Derive h(t) até a n-ésima derivada e aplique no lado esquerdo da EDO: deve haver correspondência com todas as derivadas de δ(t) até m-ésima derivada
Para t = zero Combinação linear de h(t) e suas derivadas =
zero Para t ≠ zero Garantia de solução homogênea “vingar”
Sistemas
Convolução Obtenção da resposta ao impulso h(t)
n>m hh(t) u(t)
n=m hh(t) u(t) + Kδ δ(t)
n<m hh(t) u(t) + [K(m-n)u(m-n)(t) + K(m-n-1)u(m-n-1)(t) + ... +
K1u1(t) + K0u0(t)] u0(t) = δ(t), u1(t) = δ’(t), ...
Sistemas
Convolução Resposta ao impulso
Descrição do sistema para qualquer excitação Apenas para sistemas lineares e invariantes no
tempo! Como obter resposta dado h(t) e excitação?
Sistemas
Convolução Decomposição de x(t) em soma de pulsos
Tp duração dos pulsos
Sistemas
Convolução Decomposição de x(t) em soma de pulsos
Combinação linear de pulsos deslocados no tempo.
unitário retangular pulso
p
p
pnpp
p
p
np
T
nTtrect
T
1)nT(xT
T
nTtrect)nT(x
)t(x
Sistemas
Convolução Pelo princípio da superposição...
Válido para sistemas lineares e invariantes no tempo
Lembre-se do exemplos dos filtros RC, RL, RLC, LC
x(t) = pulso unitário y(t) = hp(t) )nTt(h)nT(xT)t(y ppn
pp
Sistemas
Convolução Exemplo
Excitação senóide amortecida Sistema filtro RC
Sistemas
Convolução Exemplo
Excitação senóide amortecida Sistema filtro RC
Sistemas
Convolução Considerando o limite Tpτ
Excitação
Qualquer sinal = combinação linear de δ(t)
Resposta
Integral de convolução
)tδ()t(x)tδ()x(d)t(x
)t(h)t(x)th()x(d)t(y
Sistemas
Convolução Diagrama de blocos
y(t) = h(t) * x(t)
Reforçando h(t) resposta ao impulso do sistema
h(t)x(t) y(t)
Sistemas
Propriedades da Convolução
Em relação à variável τ x(τ) é mantido é mantida fixa h(t – τ) é revertida e deslocada t instante de
tempo Reflexão h(–τ) Atraso no tempo h(–(τ – t))
d)th()x()t(h)t(x)t(y
Sistemas
Propriedades da Convolução Visualização do processo
Para cada t “fixo”, calculamos a integral (–∞ a +∞)
Sistemas
Propriedades da Convolução Convolução entre dois pulsos unitários
Sistemas
Propriedades da Convolução Amostragem do impulso
Comutativa
Distributiva
)ttx(A)ttδ(A*)t(x 00
)t(x)t(y)t(y)t(x
)t(z)t(x)t(y)t(x)t(z)t(y)t(x
Sistemas
Propriedades da Convolução Associativa
)t(z)t(y)t(x)t(z)t(y*)t(x
y(t)x(t) w(t)z(t)
y(t)x(t) w(t)z(t)
Sistemas
Propriedades da Convolução Distributiva
)t(z)t(x)t(y)t(x)t(z)t(y)t(x
w(t)x(t) ++
+y(t)
z(t)
y(t)+z(t)x(t) w(t)
Sistemas
Propriedades da Convolução Se y(t) = x(t)*h(t)
Diferenciação
Área
Escala
)t('h)t(x)t(h)t('x)t('y
)t(h de Área)t(x de Área)t(y de Área
)at(h)at(xa)at(y
Sistemas
Propriedades da Convolução Estabilidade
Se x(t) é limitado
Então
Um sistema é estável ser sua resposta ao impulso for absolutamente integrável
Existência da convolução
d)(hB)t(h)t(x)t(y
B)t(x
Sistemas
Propriedades da Convolução Causalidade
Um sistema linear e invariante no tempo é causal se
Sistema não-antecipatório Convolução em tempo-real
0t,0)t(h
Sistemas
Propriedades da Convolução Memória
Um sistema linear e invariante no tempo é estático se:
Sistema sem memória
0t,0)t(h
Sistemas
Diagrama de Blocos Genericamente
Sistema linear e invariante no tempo Pode ser representado por convolução
M
0m
)m(m
N
0n
)n(n )t(xb)t(ya
Sistemas
Diagrama de Blocos Usando integradores (forma direta I):
∫
∫
∫
+
+
+
+bn
bn-1
bn-2
b1
b0
x(t)
∫
∫
∫
1/an
an-1
an-2
a1
a0
y(t)
+
+
+
+–
Sistemas
Diagrama de Blocos Pela propriedade de comutação
∫
∫
∫
+
+
+
+bn
bn-1
bn-2
b1
b0
y(t)
∫
∫
∫
1/an
an-1
an-2
a1
a0
x(t)
+
+
+
+–
Sistemas
Diagrama de Blocos Simplificando (forma direta II)
+
+
+
+bn
bn-1
bn-2
b1
b0
y(t)
∫
∫
∫
1/an
an-1
an-2
a1
a0
x(t)
+
+
+
+–