sistemas y señales (richard baraniuk)

7/9/2019 Sistemas Y Señales (Richard Baraniuk)

http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-y-senales-richard-baraniuk 1/343

Señales y Sistemas

Collection Editor:

Richard Baraniuk



Señales y Sistemas

Collection Editor:

Richard Baraniuk

Authors:

Thanos Antoulas

Richard Baraniuk

Steven Cox

Benjamin Fite

Roy Ha

Michael Haag

Don Johnson

Ricardo Radaelli-Sanchez

Justin Romberg

Phil Schniter

Melissa Selik

JP Slavinsky

Ricardo von Borries

Translated By:

Fara Meza

Erika Jackson

Online:

<http://cnx.org/content/col10373/1.2/ >

C O N N E X I O N S

Rice University, Houston, Texas



© 2 0 0 8 R i c h a r d B a r a n i u k

T h i s s e l e c t i o n a n d a r r a n g e m e n t o f c o n t e n t i s l i c e n s e d u n d e r t h e C r e a t i v e C o m m o n s A t t r i b u t i o n L i c e n s e :

h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /



T a b l e o f C o n t e n t s

1 S e ñ a l e s

1 . 1 C l a s i c a c i ó n y P r o p i e d a d e s d e l a s S e ñ a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1 . 2 O p e r a c i o n e s p a r a S e ñ a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1 . 3 S e ñ a l e s Ú t i l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2

1 . 4 F u n c i ó n d e I m p u l s o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6

1 . 5 E l E x p o n e n c i a l C o m p l e j o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9

1 . 6 S e ñ a l e s e n T i e m p o - D i s c r e t o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2

1 . 7 E x p o n e n c i a l C o m p l e j o D i s c r e t o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5

S o l u t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6

2 S i s t e m a s

2 . 1 C l a s i c a c i ó n y P r o p i e d a d e s d e l o s S i s t e m a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7

2 . 2 P r o p i e d a d e s d e l o s S i s t e m a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1

3 A n á l i s i s d e S i s t e m a s d e T i e m p o C o n t i n u o e n e l D o m i n i o d e l T i e m p o

3 . 1 S i s t e m a s L i n e a l e s C T y E c u a c i o n e s D i f e r e n c i a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7

3 . 2 C o n v o l u c i ó n d e T i e m p o - C o n t i n u o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0

3 . 3 P r o p i e d a d e s d e l a C o n v o l u c i ó n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6

3 . 4 E s t a b i l i d a d B I B O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3

4 A n á l i s i s d e S i s t e m a s D i s c r e t o s e n e l D o m i n i o d e l T i e m p o

4 . 1 A n á l i s i s e n e l D o m i n i o d e l T i e m p o p a r a S i s t e m a s D i s c r e t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7

4 . 2 C o n v o l u c i ó n D i s c r e t a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1

4 . 3 C o n v o l u c i ó n C i r c u l a r y e l D F T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6

4 . 4 E c u a c i o n e s d e D i f e r e n c i a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 0

S o l u t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1

5 R e p a s o d e A l g e b r a L i n e a l

5 . 1 A l g e b r a L i n e a l : C o n c e p t o s B á s i c o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3

5 . 2 C o n c e p t o s B á s i c o s d e V e c t o r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7

5 . 3 E i g e n v e c t o r e s y E i g e n v a l o r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7

5 . 4 D i a g o n a l i z a c i ó n d e M a t r i c e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3

5 . 5 G e n e r a l i d a d e s d e E i g e n v e c t o r e s y E i g e n v a l o r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 6

5 . 6 E i g e n f u n c i o n e s d e l o s S i s t e m a s L T I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 7

5 . 7 P r o p i e d a d e s d e l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 0

S o l u t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1

6 S e r i e s F o u r i e r d e l T i e m p o C o n t i n u o

6 . 1 S e ñ a l e s P e r i ó d i c a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3

6 . 2 S e r i e s d e F o u r i e r : E l M é t o d o d e E i g e n f u n c i o n e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4

6 . 3 D e r i v a c i ó n d e l a E c u a c i ó n d e C o e c i e n t e s d e F o u r i e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 7

6 . 4 G e n e r a l i d a d e s d e l a s S e r i e s d e F o u r i e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 8

6 . 5 P r o p i e d a d e s d e l a S e r i e d e F o u r i e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 1

6 . 6 P r o p i e d a d e s d e S i m e t r í a d e l a s S e r i e s d e F o u r i e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 4

6 . 7 P r o p i e d a d d e C o n v o l u c i ó n C i r c u l a r d e l a s S e r i e s d e F o u r i e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 8

6 . 8 S e r i e s d e F o u r i e r y l o s S i s t e m a s L T I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 9

6 . 9 C o n v e r g e n c i a d e l a s S e r i e s d e F o u r i e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2

6 . 1 0 C o n d i c i o n e s d e D i r i c h l e t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 4

6 . 1 1 E l F e n ó m e n o d e G i b b s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 6

6 . 1 2 R e s u m e n d e l a s S e r i e s d e F o u r i e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 9



i v

S o l u t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 1

7 E s p a c i o s d e H i l b e r t y E x p a n s i o n e s O r t o g o n a l e s

7 . 1 E s p a c i o s V e c t o r i a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 3

7 . 2 N o r m a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 5

7 . 3 P r o d u c t o I n t e r n o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 7

7 . 4 E s p a c i o s d e H i l b e r t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 9

7 . 5 D e s i g u a l d a d d e C a u c h y - S c h w a r z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 0

7 . 6 E s p a c i o s d e H i l b e r t c o m u n e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 7

7 . 7 T i p o s d e B a s e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 0

7 . 8 E x p a n s i ó n d e B a s e s O r t o n o r m a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 4

7 . 9 E s p a c i o d e F u n c i o n e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 8

7 . 1 0 B a s e d e l a O n d o l e t a d e H a a r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 9

7 . 1 1 B a s e s O r t o n o r m a l e s e n E s p a c i o s R e a l e s y C o m p l e j o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 6

7 . 1 2 T e o r e m a s d e P l a n c h a r e l y P a r s e v a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 8

7 . 1 3 A p p r o x i m a c i ó n y P r o y e c c i ó n e n e l E s p a c i o d e H i l b e r t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 9

S o l u t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 2

8 T r a n s f o r m a d a D i s c r e t a d e F o u r i e r

8 . 1 A n á l i s i s d e F o u r i e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 3

8 . 2 A n á l i s i s d e F o u r i e r e n E s p a c i o s C o m p l e j o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 4

8 . 3 E c u a c i ó n d e M a t r i z p a r a l a D T F S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 1

8 . 4 E x t e n s i ó n P e r i ó d i c a d e l a s D T F S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 2

8 . 5 D e s p l a z a m i e n t o s C i r c u l a r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 1

S o l u t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 6

9 T r a n s f o r m a d a R á p i d a d e F o u r i e r ( F F T )

9 . 1 D F T : T r a n s f o r m a d a R á p i d a d e F o u r i e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 7

9 . 2 L a T r a n s f o r m a d a R á p i d a d e F o u r i e r ( F F T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 8

9 . 3 D e r i v a n d o l a T r a n s f o r m a d a R á p i d a d e F o u r i e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 9

S o l u t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 3

1 0 C o n v e r g e n c i a

1 0 . 1 C o n v e r g e n c i a d e S e c u e n c i a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 5

1 0 . 2 C o n v e r g e n c i a d e V e c t o r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 7

1 0 . 3 C o n v e r g e n c i a U n i f o r m e d e S e c u e n c i a s d e F u n c i o n e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 0

1 1 T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r D i s c r e t a e n e l T i e m p o ( D T F T )

1 1 . 1 T a b l a d e T r a n s f o r m a d a s d e F o u r i e r C o m u n e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 4

1 1 . 2 T r a n s f o r m a c i ó n D i s c r e t a d e F o u r i e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 5

1 1 . 3 T r a n s f o r m a d a D i s c r e t a d e F o u r i e r ( D F T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 6

1 1 . 4 T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r D i s c r e t a e n e l T i e m p o ( D T F T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 9

1 1 . 5 P r o p i e d a d e s d e l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r D i s c r e t a e n e l T i e m p o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 0

1 1 . 6 P a r d e l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r D i s c r e t a e n e l T i e m p o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 0

1 1 . 7 E j e m p l o s d e D T F T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 1

S o l u t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 5

1 2 T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r d e T i e m p o C o n t i n u o ( C T F T )

1 2 . 1 T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r d e T i e m p o C o n t i n u o ( C T F T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 7

1 2 . 2 P r o p i e d a d e s d e l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r d e T i e m p o - C o n t i n u o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 9

S o l u t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2

1 3 T e o r e m a d e M u e s t r e o

1 3 . 1 M u e s t r e o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 3



v

1 3 . 2 R e c o n s t r u c c i ó n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 7

1 3 . 3 M á s s o b r e R e c o n s t r u c c i ó n P e r f e c t a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 2

1 3 . 4 T e o r e m a d e N y q u i s t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 4

1 3 . 5 A l i a s i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 6

1 3 . 6 F i l t r o s A n t i - A l i a s i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 9

1 3 . 7 P r o c e s a m i e n t o d e T i e m p o D i s c r e t o d e S e ñ a l e s d e T i e m p o C o n t i n u o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 1

S o l u t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 4

1 4 T r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e y D i s e ñ o d e S i s t e m a s

1 4 . 1 L a T r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 7

1 4 . 2 P r o p i e d a d e s d e l a T r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 0

1 4 . 3 T a b l a d e T r a n s f o r m a d a s d e L a p l a c e C o m u n e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 1

1 4 . 4 R e g i ó n d e C o n v e r g e n c i a p a r a l a T r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 1

1 4 . 5 L a T r a n s f o r m a d a I n v e r s a d e L a p l a c e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 3

1 4 . 6 P o l o s y C e r o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 5

1 5 L a T r a n s f o r m a d a Z y F i l t r o s D i g i t a l e s

1 5 . 1 L a T r a n s f o r m a d a Z : D e n i c i ó n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 9

1 5 . 2 T a b l a d e T r a n s f o r m a d a s - Z C o m u n e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 4

1 5 . 3 R e g i ó n d e C o n v e r g e n c i a p a r a l a T r a n s f o r m a d a - Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 5

1 5 . 4 L a T r a n s f o r m a d a I n v e r s a d e Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 4

1 5 . 5 F u n c i o n e s R a c i o n a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 7

1 5 . 6 L a E c u a c i ó n d e D i f e r e n c i a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 9

1 5 . 7 E n t e n d i e n d o l a s G r a c a s d e P o l o s y C e r o s e n e l P l a n o - Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 2

1 5 . 8 D i s e ñ o d e F i l t r o s u s a n d o l a G r a c a d e P o l o s y C e r o s d e l a T r a n s f o r m a d a - Z . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 7

1 6 T a r e a s

1 6 . 1 H o m e w o r k 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 1

1 6 . 2 H o m e w o r k 1 S o l u t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 5

G l o s s a r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 7

I n d e x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 1

A t t r i b u t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 7



v i



C h a p t e r 1

S e ñ a l e s

1 . 1 C l a s i c a c i ó n y P r o p i e d a d e s d e l a s S e ñ a l e s

1

1 . 1 . 1 I n t r o d u c c i ó n

E s t e m ó d u l o e x p l i c a r á a l g u n o s f u n d a m e n t o s p a r a l a c l a s i c a c i ó n d e s e ñ a l e s . E s b á s i c a m e n t e u n a l i s t a d e

d e n i c i o n e s y p r o p i e d a d e s q u e s o n f u n d a m e n t a l e s p a r a l a d i s c u s i ó n d e s e ñ a l e s y s i s t e m a s . D e b e r á n o t a r q u e

e n a l g u n a s d i s c u s i o n e s c o m o l a d e s e ñ a l e s d e e n e r g í a v s . s e ñ a l e s d e p o t e n c i a

2

h a n s i d o a s i g n a d a s c o n s u

p r o p i o m ó d u l o p a r a u n a d i s c u s i ó n m a s c o m p l e t a , y n o v a n a s e r i n c l u i d a s .

1 . 1 . 2 C l a s i c a c i ó n d e S e ñ a l e s

J u n t o c o n l a s c l a s i c a c i o n e s d e s e ñ a l e s m o s t r a d a s a c o n t i n u a c i ó n , e s i m p o r t a n t e e n t e n d e r l a C l a s i c a c i ó n d e

S i s t e m a s ( S e c t i o n 2 . 1 ) .

1 . 1 . 2 . 1 T i e m p o C o n t i n u o v s . T i e m p o D i s c r e t o

C o m o e l n o m b r e l o s u g i e r e , e s t a c l a s i c a c i ó n s e p u e d e e s t a b l e c e r , d e s p u é s d e s a b e r s i e l e j e d e l t i e m p o ( e j e

d e l a s a b s c i s a s ) e s d i s c r e t o o c o n t i n u o ( F i g u r e 1 . 1 ) . U n a s e ñ a l c o n t i n u a e n e l t i e m p o t e n d r á u n v a l o r

p a r a t o d o s l o s n ú m e r o s r e a l e s q u e e x i s t e n e n e l e j e d e l t i e m p o . E n c o n t r a s t e a e s t o , u n a s e ñ a l d i s c r e t a

( S e c t i o n 1 . 6 ) e n e l t i e m p o e s c o m ú n m e n t e c r e a d a u t i l i z a n d o e l T e o r e m a d e M u e s t r e o

3

p a r a d i s c r e t i z a r u n a

s e ñ a l c o n t i n u a , d e e s t a m a n e r a l a s e ñ a l n a d a m a s t e n d r á v a l o r e s e n l o s e s p a c i o s q u e t i e n e n u n a s e p a r a c i ó n

i g u a l y s o n c r e a d o s e n e l e j e d e l t i e m p o .

1

T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 1 8 / 1 . 8 / > .

2

" S i g n a l E n e r g y v s . S i g n a l P o w e r " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 0 5 5 / l a t e s t / >

3

" T h e S a m p l i n g T h e o r e m " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 0 5 0 / l a t e s t / >

1



2

C H A P T E R 1 . S E Ñ A L E S

F i g u r e 1 . 1

1 . 1 . 2 . 2 A n á l o g o v s . D i g i t a l

L a d i f e r e n c i a e n t r e l o a n á l o g o y l o d i g i t a l e s m u y s i m i l a r a l a d i f e r e n c i a e n t r e e l t i e m p o c o n t i n u o y e l t i e m p o

d i s c r e t o . S i n e m b a r g o , e n e s t e c a s o , l a d i f e r e n c i a e s c o n r e s p e c t o a l v a l o r d e l a f u n c i ó n ( e j e d e l a s o r d e n a d a s )

( F i g u r e 1 . 2 ) . A n á l o g o c o r r e s p o n d e a l e j e y c o n t i n u o , m i e n t r a s l o d i g i t a l c o r r e s p o n d e a l e j e y d i s c r e t o . U n

e j e m p l o d e u n a s e ñ a l d i g i t a l e s u n a s e c u e n c i a b i n a r i a , d o n d e l a f u n c i ó n s o l o t i e n e v a l o r e s d e c e r o o u n o .

F i g u r e 1 . 2

1 . 1 . 2 . 3 P e r i ó d i c o v s . A p e r i ó d i c o

S e ñ a l e s p e r i ó d i c a s ( S e c t i o n 6 . 1 ) s e r e p i t e n c o n u n p e r i o d o T , m i e n t r a s l a s s e ñ a l e s a p e r i ó d i c a s o n o p e r i ó d i c a s

n o s e r e p i t e n ( F i g u r e 1 . 3 ) . P o d e m o s d e n i r u n a f u n c i ó n p e r i ó d i c a m e d i a n t e l a s i g u i e n t e e x p r e s i ó n m a t e m á t i c a ,

d o n d e t p u e d e s e r c u a l q u i e r n ú m e r o y T e s u n a c o n s t a n t e p o s i t i v a :

f (t) = f (T + t) ( 1 . 1 )

E l p e r i o d o f u n d a m e n t a l d e e s t a f u n c i ó n , f (t), e s e l v a l o r m á s p e q u e ñ o d e T q u e p e r m i t a l a v a l i d a c i ó n

d e l a ( 1 . 1 ) .



3

( a )

( b )

F i g u r e 1 . 3 : ( a ) U n a s e ñ a l p e r i ó d i c a c o n p e r i o d o

T 0 ( b ) U n a s e ñ a l A p e r i ó d i c a

1 . 1 . 2 . 4 C a u s a l v s . A n t i c a u s a l v s . N o c a u s a l

L a s s e ñ a l e s c a u s a l e s s o n s e ñ a l e s q u e t i e n e n v a l o r d e c e r o e n e l t i e m p o n e g a t i v o , y l a s s e ñ a l e s a n t i c a u s a l e s

t i e n e n v a l o r c e r o e n e l t i e m p o p o s i t i v o . L a s s e ñ a l e s n o c a u s a l e s s o n s e ñ a l e s c o n v a l o r d e c e r o e n e l t i e m p o

p o s i t i v o y n e g a t i v o ( F i g u r e 1 . 4 ) .



4


( a )

( b )

( c )

F i g u r e 1 . 4 : ( a ) U n a s e ñ a l c a u s a l ( b ) U n a s e ñ a l a n t i c a u s a l ( c ) U n a s e ñ a l n o c a u s a l

1 . 1 . 2 . 5 P a r v s . I m p a r

U n a s e ñ a l p a r e s c u a l q u i e r s e ñ a l f (t) q u e s a t i s f a c e f (t) = f (−t). l a s s e ñ a l e s p a r e s s e p u e d e n d e t e c t a r

f á c i l m e n t e p o r q u e s o n s i m é t r i c a s e n e l e j e v e r t i c a l . U n a s e ñ a l i m p a r , e s u n a s e ñ a l

f q u e s a t i s f a c e

f (t) =− (f (−t)) ( F i g u r e 1 . 5 ) .



5

( a )

( b )

F i g u r e 1 . 5 : ( a ) U n a s e ñ a l p a r ( b ) U n a s e ñ a l i m p a r

U s a n d o l a s d e n i c i o n e s d e p a r e i m p a r , p o d e m o s d e m o s t r a r q u e c u a l q u i e r s e ñ a l s e p u e d e e s c r i b i r c o m o

u n a c o m b i n a c i ó n d e u n a s e ñ a l p a r e i m p a r . C a d a s e ñ a l t i e n e u n a d e s c o m p o s i c i ó n p a r - i m p a r . P a r a d e m o s t r a r

e s t o , n o t e n e m o s m á s q u e e x a m i n a r u n a e c u a c i ó n .

f (t) =1

2(f (t) + f (−t)) +

1

2(f (t) − f (−t)) ( 1 . 2 )

A l m u l t i p l i c a r y s u m a r e s t a e x p r e s i ó n , d e m o s t r a m o s q u e l o e x p l i c a d o a n t e r i o r m e n t e e s c i e r t o . T a m b i é n s e

p u e d e o b s e r v a r q u e f (t) + f (−t) s a t i s f a c e a u n a f u n c i ó n p a r , y q u e f (t) − f (−t) s a t i s f a c e a u n a f u n c i ó n

i m p a r ( F i g u r e 1 . 6 ) .

E x a m p l e 1 . 1



6


( a )

( b )

( c )

( d )

F i g u r e 1 . 6 : ( a ) E s t a s e ñ a l s e r á d e s c o m p u e s t a u s a n d o l a d e s c o m p o s i c i ó n P a r - I m p a r ( b ) P a r t e P a r :

e (t) = 12

(f (t) + f (−t))( c ) P a r t e I m p a r :

o (t) = 12

(f (t)− f (−t))( d ) R e v i s a :

e (t) + o (t) = f (t)



7

1 . 1 . 2 . 6 D e t e r m i n í s t i c o v s . A l e a t o r i o

U n a s e ñ a l d e t e r m i n í s t i c a e s u n a s e ñ a l e n l a c u a l c a d a v a l o r e s t á j o y p u e d e s e r d e t e r m i n a d o p o r u n a

e x p r e s i ó n m a t e m á t i c a , r e g l a , o t a b l a . L o s v a l o r e s f u t u r o s d e e s t a s e ñ a l p u e d e n s e r c a l c u l a d o s u s a n d o s u s

v a l o r e s a n t e r i o r e s t e n i e n d o u n a c o n a n z a c o m p l e t a e n l o s r e s u l t a d o s . U n a s e ñ a l a l e a t o r i a

4

, t i e n e m u c h a

u c t u a c i ó n r e s p e c t o a s u c o m p o r t a m i e n t o . L o s v a l o r e s f u t u r o s d e u n a s e ñ a l a l e a t o r i a n o s e p u e d e n p r e d e c i r

c o n e x a c t i t u d , s o l o s e p u e d e n b a s a r e n l o s p r o m e d i o s

5

d e c o n j u n t o s d e s e ñ a l e s c o n c a r a c t e r í s t i c a s s i m i l a r e s

( F i g u r e 1 . 7 ) .

( a )

( b )

F i g u r e 1 . 7 : ( a ) S e ñ a l D e t e r m i n í s t i c a ( b ) S e ñ a l A l e a t o r i a

1 . 1 . 2 . 7 H e m i s f e r i o D e r e c h o v s . H e m i s f e r i o I z q u i e r d o

E s t e t i p o d e s e ñ a l e s s o n a q u e l l a s c u y o v a l o r e s c e r o e n t r e u n a v a r i a b l e d e n i d a y l a i n n i d a d p o s i t i v a o

n e g a t i v a . M a t e m á t i c a m e n t e h a b l a n d o , u n a s e ñ a l d e h e m i s f e r i o - d e r e c h o e s d e n i d a c o m o c u a l q u i e r s e ñ a l

d o n d e f (t) = 0 p a r a t < t1 < ∞, y u n a s e ñ a l d e h e m i s f e r i o - i z q u i e r d o e s d e n i d a c o m o c u a l q u i e r s e ñ a l d o n d e

f (t) = 0 p a r a t > t1 > −∞ . L a s s i g u i e n t e s g u r a s s o n u n e j e m p l o d e e s t o ( F i g u r e 1 . 8 ) . L a s d o s g u r a s

e m p i e z a n e n t1 y l u e g o s e e x t i e n d e n a i n n i d a d p o s i t i v a o n e g a t i v a c o n c a s i t o d o s l o s v a l o r e s s i e n d o c e r o .

4

" I n t r o d u c t i o n t o R a n d o m S i g n a l s a n d P r o c e s s e s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 6 4 9 / l a t e s t / >

5

" R a n d o m P r o c e s s e s : M e a n a n d V a r i a n c e " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 6 5 6 / l a t e s t / >



8


( a )

( b )

F i g u r e 1 . 8 : ( a ) S e ñ a l d e H e m i s f e r i o - D e r e c h o ( b ) S e ñ a l d e H e m i s f e r i o - I z q u i e r d o

1 . 1 . 2 . 8 T a m a ñ o n i t o v s . T a m a ñ o i n n i t o

C o m o e l n o m b r e l o i m p l i c a , l a s s e ñ a l e s s e p u e d e n c a r a c t e r i z a r d e p e n d i e n d o d e s u t a m a ñ o e l c u a l p u e d e s e r

i n n i t o o n i t o . C a s i t o d a s l a s s e ñ a l e s n i t a s s e u t i l i z a n c u a n d o s e t i e n e u n a s e ñ a l d i s c r e t a o s e t i e n e u n a

s e c u e n c i a d e v a l o r e s . E n t é r m i n o s m a t e m á t i c o s , f (t) e s u n a s e ñ a l d e t a m a ñ o n i t o s i t i e n e u n v a l o r q u e

n o s e a c e r o e n u n i n t e r v a l o n i t o

t1 < f (t) < t2

d o n d e t1 > −∞ y t2 < ∞ . S e p u e d e v e r u n e j e m p l o e n F i g u r e 1 . 9 . D e i g u a l m a n e r a , u n a s e ñ a l d e t a m a ñ o

i n n i t o f (t) , e s d e n i d a c o n v a l o r e s n o - c e r o p a r a t o d o s l o s n ú m e r o s r e a l e s :

∞ ≤ f (t) ≤ −∞

.



9

F i g u r e 1 . 9 : S e ñ a l d e t a m a ñ o n i t o . N o t e q u e s o l o t i e n e v a l o r e s q u e n o s o n c e r o e n u n c o n j u n t o , i n t e r v a l o

n i t o .

1 . 2 O p e r a c i o n e s p a r a S e ñ a l e s

6

E s t e m ó d u l o m u e s t r a d o s o p e r a c i o n e s p a r a s e ñ a l e s , c a m b i o e n e l t i e m p o y e s c a l a e n e l t i e m p o . O p e r a c i ó n d e

s e ñ a l e s s o n o p e r a c i o n e s r e a l i z a d a s s o b r e l a v a r i a b l e t i e m p o d e l a s e ñ a l . E s t a s o p e r a c i o n e s s o n c o m p o n e n t e s

c o m u n e s e n e l m u n d o r e a l y c o m o t a l e s l a s d e b e m o s e n t e n d e r a f o n d o c u a n d o s e e s t é a p r e n d i e n d o s o b r e

s i s t e m a s y s e ñ a l e s .

1 . 2 . 1 D e s p l a z a m i e n t o e n e l e j e d e l T i e m p o

E l d e s p l a z a m i e n t o e n e l t i e m p o , c o m o s u n o m b r e l o s u g i e r e , e s t r a s l a d a r l a s e ñ a l e n e l e j e d e l t i e m p o . E s t o

s e h a c e s u m a n d o o r e s t a n d o l a c a n t i d a d d e l d e s p l a z a m i e n t o d e t i e m p o a l a f u n c i ó n . R e s t a n d o u n a c a n t i d a d

j a e n l a v a r i a b l e d e e l t i e m p o t e n d r á u n c a m b i o e n l a s e ñ a l h a c i a l a d e r e c h a ( r e t r a s a ) p o r e s a c a n t i d a d ,

p o r e l c o n t r a r i o a l s u m a r u n a c a n t i d a d a l a v a r i a b l e d e e l t i e m p o l a s e ñ a l s e d e s p l a z a r á h a c i a l a i z q u i e r d a

( a v a n z a ) .

6




1 0


F i g u r e 1 . 1 0 :

f (t− T )m u e v e ( r e t r a s a )

f a l a d e r e c h a

T .

1 . 2 . 2 E s c a l a e n e l e j e d e l T i e m p o

E s c a l a r e l t i e m p o e s c o m p r i m i r y / o e x p a n d i r u n a s e ñ a l a l m u l t i p l i c a r l a s v a r i a b l e s d e l t i e m p o p o r a l g u n a

c a n t i d a d . S i e s a c a n t i d a d e s m a y o r q u e u n o , l a s e ñ a l s e v u e l v e a n g o s t a , e s t o e s c o n o c i d o c o m o c o m p r e s i ó n ,

c u a n d o l a c a n t i d a d e s m e n o r q u e u n o , l a s e ñ a l s e v u e l v e a n c h a y a e s t o l o c o n o c e r e m o s c o m o e x p a n s i ó n .

N o r m a l m e n t e , e s t a s o p e r a c i o n e s l e s t o m a n a l a s p e r s o n a s u n t i e m p o e n c o m p r e n d e r , d e b i d o a q u e l a i n t u i c i ó n

d e l a s p e r s o n a s e s q u e a l m u l t i p l i c a r p o r u n a c a n t i d a d m á s g r a n d e q u e u n o l a s e ñ a l s e r á e x p a n d i d a y m e n o r

q u e u n o s e r á c o m p r i m i d a .

F i g u r e 1 . 1 1 : f (at) c o m p r i m e f p o r a.

E x a m p l e 1 . 2

L a s s e ñ a l e s c a m b i a d a s y e s c a l a d a s e n e l t i e m p o p u e d e n s e r c o n t r a r i a s u n a s d e l a s o t r a s . E s t e

e j e m p l o m u e s t r a u n a m a n e r a d e p r a c t i c a r e s t a s o p e r a c i o n e s h a s t a q u e d e s a r r o l l e u n s e n t i d o d e

c o m o s e d e b e r í a v e r l a s e ñ a l d e s p u é s d e c i e r t a s o p e r a c i o n e s .



1 1

D a d o f (t) , g r a q u e f (− (at)).

( a ) ( b )

( c )

F i g u r e 1 . 1 2 : ( a ) E m p i e z e c o n

f (t)( b ) L u e g o r e m p l a c e

tc o n

atp a r a o b t e n e r

f (at)( c ) F i n a l m e n t e ,

r e m p l a c e

tc o n

t − ba

p a r a o b t e n e r

f `

a`

t− ba

´´= f (at − b)

1 . 2 . 3 R e e x i ó n e n e l e j e d e l T i e m p o

U n a p r e g u n t a m u y n a t u r a l q u e s e c o n s i d e r a c u a n d o s e e s t á a p r e n d i e n d o a e s c a l a r e l t i e m p o e s : ¾ q u é p a s a r í a

s i l a v a r i a b l e d e l t i e m p o e s m u l t i p l i c a d a p o r u n n ú m e r o n e g a t i v o ? L a r e s p u e s t a p a r a e s t o e s l a i n v e r s i ó n e n

e l t i e m p o . E s t a o p e r a c i ó n i n v i e r t e e l e j e d e l t i e m p o , e n o t r a s p a l a b r a s , c a m b i a l a s e ñ a l r e s p e c t o a l e j e d e l a s

o r d e n a d a s .



1 2


F i g u r e 1 . 1 3 : R e e x i ó n e n e l e j e d e l T i e m p o

1 . 3 S e ñ a l e s Ú t i l e s

7

A n t e s d e v e r e s t e m ó d u l o , u s t e d t e n d r á q u e t e n e r u n a i d e a b á s i c a s o b r e l o q u e e s u n a s e ñ a l , s u s c l a s i c a c i o n e s

y o p e r a c i o n e s ( S e c t i o n 1 . 1 ) . C o m o u n r e p a s o , u n a s e ñ a l e s u n a f u n c i ó n d e n i d a c o n r e s p e c t o a u n a v a r i a b l e

i n d e p e n d i e n t e . R e g u l a r m e n t e , e s t a v a r i a b l e e s e l t i e m p o p e r o p o d r í a r e p r e s e n t a r u n í n d i c e p a r a u n a s e c u e n c i a ,

o u n í n d i c e p a r a c u a l q u i e r n ú m e r o d e c o s a s , o c u a l q u i e r n ú m e r o d e d i m e n s i o n e s . L a m a y o r p a r t e , s i e s q u e

n o t o d a s , l a s s e ñ a l e s q u e u s t e d v e r á e n s u s e s t u d i o s y e n e l m u n d o r e a l p o d r á n s e r c r e a d a s d e l a s s e ñ a l e s

b á s i c a s q u e a q u í v a a e s t u d i a r . P o r e s t a r a z ó n , e s t a s s e ñ a l e s e l e m e n t a l e s s o n c o m ú n m e n t e c o n o c i d a s c o m o

l o s f u n d a m e n t o s p a r a c u a l q u i e r o t r a s e ñ a l .

1 . 3 . 1 S e n o s o i d a l e s

P r o b a b l e m e n t e l a s e ñ a l e l e m e n t a l m á s i m p o r t a n t e q u e u s t e d u s a r á e s e l s e n o s o i d a l e v a l u a d o e n s u p a r t e r e a l .

E n s u f o r m a d e t i e m p o - c o n t i n u o , l a f o r m a g e n e r a l d e l a f u n c i ó n s e e x p r e s a a s í

x (t) = Acos (ωt + φ) ( 1 . 3 )

d o n d e A e s l a a m p l i t u d , ω e s l a f r e c u e n c i a , y φ r e p r e s e n t a e l d e s p l a z a m i e n t o . N o t e q u e e s c o m ú n v e r q u e

ωt e s r e m p l a z a d o c o n 2πf t. L a s s e ñ a l e s s e n o s o i d a l e s s o n p e r i ó d i c a s , e s t o h a c e q u e s u p e r i o d o , o c u a l q u i e r

s e ñ a l p e r i ó d i c a p u e d a n s e r e x p r e s a d a d e l a s i g u i e n t e m a n e r a

T =2π

ω( 1 . 4 )

7

T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 1 9 / 1 . 1 0 / > .



1 3

F i g u r e 1 . 1 4 : S e n o s o i d a l c o n A = 2 , w = 2 , y φ = 0 .

1 . 3 . 2 F u n c i o n e s d e E x p o n e n c i a l e s C o m p l e j o s

T a l v e z e s t a s e ñ a l e s t a n i m p o r t a n t e c o m o l a s e n o s o i d a l , l a f u n c i ó n d e e x p o n e n c i a l c o m p l e j o s e c o n v e r t i r á

e n u n a p a r t e c r í t i c a p a r a e l e s t u d i o d e s e ñ a l e s y s i s t e m a s . L a e x p r e s i ó n g e n e r a l s e e s c r i b e d e l a s i g u i e n t e

m a n e r a

f (t) = Best( 1 . 5 )

d o n d e s, m o s t r a d o a b a j o , e s u n n ú m e r o c o m p l e j o e n t é r m i n o s d e σ , c o n u n a f a s e c o n s t a n t e , y c o n ω s i e n d o

l a f r e c u e n c i a :

s = σ + jω

P o r f a v o r v e a e l m ó d u l o d e E x p o n e n c i a l C o m p l e j o ( S e c t i o n 1 . 5 ) o l o s m ó d u l o s d e l a s o t r a s s e ñ a l e s e l e m e n -

t a l e s

8

.

1 . 3 . 3 E x p o n e n c i a l e s r e a l e s

C o m o e l n o m b r e l o i m p l i c a , l o s e x p o n e n c i a l e s r e a l e s c o n t i e n e n n ú m e r o s n o i m a g i n a r i o s y s o n s i m p l e m e n t e

e x p r e s a d o s d e l a s i g u i e n t e m a n e r a

f (t) = Beαt( 1 . 6 )

d o n d e B y α s o n p a r á m e t r o s r e a l e s . L a s f u n c i o n e s d e e x p o n e n c i a l c o m p l e j o o s c i l a n , s i n e m b a r g o , e s t a s e ñ a l

n a d a m a s c r e c e o d e c a e d e p e n d i e n d o d e l v a l o r d e α .

• E x p o n e n c i a l q u e d e c a e , c u a n d o α < 0

• E x p o n e n c i a l q u e C r e c e , c u a n d o

α > 08

" E l e m e n t a l S i g n a l s " : S e c t i o n C o m p l e x E x p o n e n t i a l s < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 0 0 4 / l a t e s t / # s e c 2 >



1 4


( a ) ( b )

F i g u r e 1 . 1 5 : E j e m p l o s d e E x p o n e n c i a l e s R e a l e s ( a ) E x p o n e n c i a l q u e d e c a e ( b ) E x p o n e n c i a l q u e C r e c e

1 . 3 . 4 F u n c i ó n d e i m p u l s o u n i t a r i o

L a f u n c i ó n d e i m p u l s o u n i t a r i o ( S e c t i o n 1 . 4 ) ( o l a f u n c i ó n d e l t a d e D i r a c ) e s u n a s e ñ a l q u e t i e n e

u n a a l t u r a i n n i t a y u n a n c h o c a s i i n e x i s t e n t e . S i n e m b a r g o , p o r l a m a n e r a q u e e s d e n i d a , a l s e r i n t e g r a d a

d a u n v a l o r d e u n o . M i e n t r a s e n e l m u n d o d e i n g e n i e r í a e s t a s e ñ a l e s ú t i l y a y u d a a e n t e n d e r m u c h o s

c o n c e p t o s , a l g u n o s m a t e m á t i c o s t i e n e n p r o b l e m a s c o n e s t a a l s e r l l a m a d a f u n c i ó n , p o r q u e n o e s t á d e n i d a

e n

t = 0. L o s i n g e n i e r o s s e e v i t a n e s t e p r o b l e m a a l m a n t e n e r l a d e n i d a c o n u n a i n t e g r a l . E l i m p u l s o u n i t a r i o

e s c o m ú n m e n t e c o n o c i d o c o m o

δ (t)

L a p r o p i e d a d m á s i m p o r t a n t e d e e s t a f u n c i ó n e s d e m o s t r a d a c o n l a s i g u i e n t e i n t e g r a l :

∞−∞

δ (t) dt = 1 ( 1 . 7 )

1 . 3 . 5 F u n c i ó n d e E s c a l ó n u n i t a r i o

O t r a f u n c i ó n b á s i c a p a r a e s t e c u r s o e s l a f u n c i ó n d e E s c a l ó n u n i t a r i o q u e s e d e n e c o m o

u (t) =

0 i f

t < 0

1 i f t ≥ 0( 1 . 8 )



1 5

t

1

( a )

t

1

( b )

F i g u r e 1 . 1 6 : F u n c i o n e s B á s i c a s d e l E s c a l ó n ( a ) E s c a l ó n u n i t a r i o d e T i e m p o - C o n t i n u o ( b ) E s c a l ó n

u n i t a r i o d e T i e m p o - D i s c r e t o

N o t e q u e e s t a f u n c i ó n e s d i s c o n t i n u a e n e l o r i g e n ; s i n e m b a r g o n o s e n e c e s i t a d e n i r l a e n e s t e p u n t o y a

q u e n o e s n e c e s a r i o e n l a t e o r í a d e l a s e ñ a l . L a f u n c i ó n d e E s c a l ó n u n i t a r i o e s u n a s e ñ a l m u y ú t i l p a r a p r o b a r

y d e n i r o t r a s s e ñ a l e s . P o r e j e m p l o , u s a n d o v a r i a s d e e s t a s s e ñ a l e s m o v i d a s e n e l t i e m p o y m u l t i p l i c a d a s p o r

o t r a s s e ñ a l e s , s e p u e d e o b t e n e r a l g u n a p o r c i ó n d e l a s e ñ a l p o r l a q u e f u e m u l t i p l i c a d a y e l i m i n a r e l r e s t o .

1 . 3 . 6 F u n c i ó n R a m p a

E s t a f u n c i ó n e s t á r e l a c i o n a d a c o n l a f u n c i ó n d e s c r i t a a n t e r i o r m e n t e . L a f u n c i ó n E s c a l ó n u n i t a r i o v a d e s d e

c e r o a u n o i n s t a n t á n e a m e n t e , p e r o e s t a f u n c i ó n e s l a q u e m e j o r s e p a r e c e a u n a f u n c i ó n e n l a v i d a r e a l , d o n d e

s e n e c e s i t a u n t i e m p o p a r a q u e l a s e ñ a l v a y a i n c r e m e n t a n d o s e d e s d e c e r o a s u v a l o r a j u s t a d o , e n e s t e c a s o

u n o . L a f u n c i ó n r a m p a e s t á d e n i d a a s í :

r (t) =

0 i f t < 0

t

t0i f 0

≤t≤

t0

1 i f t > t0

( 1 . 9 )

t

1

t0

F i g u r e 1 . 1 7 : F u n c i ó n R a m p a



1 6


1 . 4 F u n c i ó n d e I m p u l s o

9

E n i n g e n i e r í a u s u a l m e n t e s e m a n e j a l a i d e a d e u n a a c c i ó n o c u r r i e n d o a u n d e t e r m i n a d o p u n t o . P u e d e s e r

u n a f u e r z a e n e s e p u n t o o u n a s e ñ a l e n u n p u n t o d e l t i e m p o , s e c o n v i e r t e n e c e s a r i o d e s a r r o l l a r a l g u n a m a n e r a

c u a n t i t a t i v a d e d e n i r e s t e h e c h o . E s t o n o s l l e v a a l a i d e a d e u n p u l s o u n i t a r i o . E s p r o b a b l e m e n t e l a s e g u n d a

s e ñ a l m á s i m p o r t a n t e e n e l e s t u d i o d e s e ñ a l e s y s i s t e m a s d e s p u é s d e l E x p o n e n c i a l C o m p l e j o ( S e c t i o n 1 . 5 ) .

1 . 4 . 1 F u n c i ó n D e l t a d e D i r a c

L a F u n c i ó n D e l t a d e D i r a c , c o n o c i d a t a m b i é n c o m o e l i m p u l s o u n i t a r i o o f u n c i ó n d e l t a e s u n a f u n c i ó n

i n n í t a m e n t e a n g o s t a , i n n í t a m e n t e a l t a , c u y a i n t e g r a l t i e n e u n v a l o r u n i t a r i o ( V e r ( 1 . 1 0 ) a b a j o ) . T a l v e z

l a m a n e r a m a s s i m p l e d e v i s u a l i z a r e s t o e s u s a r u n p u l s o r e c t a n g u l a r q u e v a d e a − 2

a a + 2

c o n u n a a l t u r a

d e

1

. A l m o m e n t o d e t o m a r s u l í m i t e ,

lim→0

0 , p o d e m o s o b s e r v a r q u e s u a n c h o t i e n d e a s e r c e r o y s u a l t u r a

t i e n d e a i n n i t o c o n f o r m e s u á r e a t o t a l p e r m a n e c e c o n s t a n t e c o n u n v a l o r d e u n o . L a f u n c i ó n d e l i m p u l s o

u s u a l m e n t e s e e s c r i b e c o m o δ (t) .

∞−∞ δ (t) dt = 1

( 1 . 1 0 )

F i g u r e 1 . 1 8 : E s t a e s u n a m a n e r a d e v i s u a l i z a r l a F u n c i ó n D e l t a d e D i r a c .

9




1 7

F i g u r e 1 . 1 9 : P o r q u e e s d i f í c i l d i b u j a r a l g o q u e e s i n n i t a m e n t e a l t o , n o s o t r o s r e p r e s e n t a m o s l a D e l t a

d e D i r a c c o n u n a e c h a c e n t r a d a e n e l p u n t o d o n d e e s a p l i c a d a . S i q u e r e m o s e s c a l a r l a , p o d e m o s e s c r i b i r

e l v a l o r d e e s c a l a m i e n t o a u n l a d o d e l a e c h a . E s t e e s u n m u e s t r e o u n i t a r i o ( n o t i e n e e s c a l a ) .

1 . 4 . 1 . 1 L a p r o p i e d a d d e d e s p l a z a m i e n t o d e l i m p u l s o

E l p r i m e r p a s o p a r a c o m p r e n d e r l o s r e s u l t a d o s q u e e s t a f u n c i ó n n o s b r i n d a , e s e x a m i n a r l o q u e s u c e d e c u a n d o

e s t a f u n c i ó n e s m u l t i p l i c a d a p o r a l g u n a o t r a f u n c i ó n .

f (t) δ (t) = f (0) δ (t) ( 1 . 1 1 )

E s t a f u n c i ó n e s c e r o e n t o d a s p a r t e s e x c e p t o e n e l o r i g e n , a s í q u e b á s i c a m e n t e e s t a m o s e l i m i n a n d o e l v a l o r

d e l a f u n c i ó n d e m u l t i p l i c a c i ó n a l e v a l u a r l a e n c e r o .

A p r i m e r a v i s t a e s t o n o p a r e c e t e n e r m a y o r i m p o r t a n c i a , p o r q u e y a s a b e m o s q u e e l i m p u l s o e v a l u a d o e n

c e r o e s i n n i t o , y t o d o l o m u l t i p l i c a d o p o r i n n i t o d a u n r e s u l t a d o i n n i t o . P e r o , ¾ q u é p a s a s i i n t e g r a m o s e l

r e s u l t a d o d e l a m u l t i p l i c a c i ó n ?

P r o p i e d a d d e D e s p l a z a m i e n t o

∞−∞ f (t) δ (t) dt =

∞−∞ f (0) δ (t) dt

= f (0) ∞−∞ δ (t) dt

= f (0)

( 1 . 1 2 )

F i n a l m e n t e l o q u e o b t u v i m o s e s u n a s i m p l e f u n c i ó n e v a l u a d a e n c e r o . S i h u b i é r a m o s u s a d o

δ (t − T ) e n v e z

d e

δ (t), p o d r í a m o s h a b e r d e s p l a z a d o

f (T ) . A e s t o e s l o q u e l l a m a r e m o s l a p r o p i e d a d d e d e s p l a z a m i e n t o

d e l a f u n c i ó n d e D i r a c , e l c u a l s e u s a f r e c u e n t e m e n t e p a r a d e n i r e l i m p u l s o u n i t a r i o .

E s t a p r o p i e d a d e s m u y ú t i l a l m o m e n t o d e d e s a r r o l l a r l a i d e a d e c o n v o l u c i ó n ( S e c t i o n 3 . 2 ) l a c u a l e s

u n a d e l o s f u n d a m e n t o s p r i n c i p a l e s p a r a e l p r o c e s a m i e n t o d e s e ñ a l e s . A l u s a r c o n v o l u c i ó n y e s t a p r o p i e d a d

p o d e m o s r e p r e s e n t a r u n a a p r o x i m a c i ó n a c u a l q u i e r r e s u l t a d o d e u n s i s t e m a s i s e c o n o c e l a r e s p u e s t a a l

i m p u l s o d e l s i s t e m a y s u s e ñ a l d e e n t r a d a . D e c l i c e n e l l i n k d e c o n v o l u c i ó n q u e a p a r e c e a r r i b a p a r a m a s

i n f o r m a c i ó n s o b r e e s t e t e m a .

1 . 4 . 1 . 2 O t r a s P r o p i e d a d e s d e l I m p u l s o

E n e s t a s e c c i ó n s e m u e s t r a n a l g u n a s o t r a s p r o p i e d a d e s d e e l i m p u l s o s i n e n t r a r e n l o s d e t a l l e s d e p r o b a r

l a s p r o p i e d a d e s - e s t a p a r t e l a d e j a r e m o s p a r a q u e u s t e d v e r i q u e l a s p r o p i e d a d e s y a q u e s o n s e n c i l l a s d e

c o m p r o b a r . N o t e q u e e s t a s p r o p i e d a d e s f u n c i o n a n p a r a e l t i e m p o c o n t i n u o y d i s c r e t o .



1 8


P r o p i e d a d e s d e I m p u l s o U n i t a r i o

• δ (αt) = 1|α|δ (t)

•δ (t) = δ (

−t)

• δ (t) = ddtu (t) , d o n d e u (t) e s e l e s c a l ó n u n i t a r i o .

1 . 4 . 2 I m p u l s o d e t i e m p o - d i s c r e t o ( m u e s t r e o u n i t a r i o )

L a e x t e n s i ó n d e l a f u n c i ó n i m p u l s o u n i t a r i o a l t i e m p o - d i s c r e t o s e c o n v i e r t e e n u n a t r i v i a l i d a d . T o d o l o q u e

r e a l m e n t e n e c e s i t a m o s e s d a r n o s c u e n t a q u e l a i n t e g r a c i ó n e n t i e m p o - c o n t i n u o e q u i v a l e a u n a s u m a t o r i a e n

t i e m p o - d i s c r e t o . P o r l o t a n t o b u s c a r e m o s u n a s e ñ a l q u e a l s u m a r l a s e a c e r o y a l m i s m o t i e m p o s e a c e r o e n

t o d a s p a r t e s e x c e p t o e n e l o r i g e n .

I m p u l s o d e T i e m p o - D i s c r e t o

δ [n] =

1 i f n = 0

0 o t h e r w i s e

( 1 . 1 3 )

F i g u r e 1 . 2 0 : R e p r e s e n t a c i ó n g r á c a d e l i m p u l s o d i s c r e t o

A l a n a l i z a r u n a g r á c a d e t i e m p o - d i s c r e t o d e c u a l q u i e r s e ñ a l d i s c r e t a , u n o p u e d e n o t a r q u e t o d a s l a s

s e ñ a l e s d i s c r e t a s e s t á n c o m p u e s t a s d e u n c o n j u n t o d e m u e s t r a s u n i t a r i a s q u e e s t á n e s c a l a d o s y d e s p l a z a d o s

e n e l t i e m p o . S i d e j a m o s q u e e l v a l o r d e u n a s e c u e n c i a e n c a d a e n t e r o k s e a d e s c r i t a p o r s [k] y l a m u e s t r a

u n i t a r i a r e t r a s a d o q u e o c u r r e e n k s e a e s c r i t o c o m o δ [n − k] , n o s o t r o s p o d r í a m o s e s c r i b i r c u a l q u i e r s e ñ a l

c o m o l a s u m a d e i m p u l s o s u n i t a r i o s r e t r a s a d o s q u e s o n e s c a l a d o s p o r u n v a l o r d e l a s e ñ a l , o p o r c o e c i e n t e s

d e e s c a l a m i e n t o .

s [n] =

∞k=−∞

(s [k] δ [n − k]) ( 1 . 1 4 )

E s t a d e s c o m p o s i c i ó n e s u n a p r o p i e d a d q u e s o l o s e a p l i c a a s e ñ a l e s d e t i e m p o - d i s c r e t o y r e s u l t a s e r u n a

p r o p i e d a d m u y ú t i l p a r a e s t a s s e ñ a l e s .

n o t e : U s a n d o e l r a z o n a m i e n t o a n t e r i o r , n o s o t r o s h e m o s d e s a r r o l l a d o l a e c u a c i ó n ( 1 . 1 4 ) , l a c u a l e s

u n c o n c e p t o f u n d a m e n t a l u s a d o e n l a c o n v o l u c i ó n d e t i e m p o - d i s c r e t o ( S e c t i o n 4 . 2 ) .

1 . 4 . 3 L a R e s p u e s t a d e I m p u l s o

L a r e s p u e s t a d e i m p u l s o e s e x a c t a m e n t e l o q u e s u n o m b r e i m p l i c a - l a r e s p u e s t a d e u n s i s t e m a L T I , c o m o

p o r e j e m p l o u n l t r o , c u a n d o l a s e ñ a l d e e n t r a d a d e l s i s t e m a e s u n i m p u l s o u n i t a r i o ( o m u e s t r a u n i t a r i a ) . U n



1 9

s i s t e m a p u e d e s e r c o m p l e t a m e n t e d e s c r i t o p o r s u r e s p u e s t a a l i m p u l s o p o r l a s r a z o n e s e x p l i c a d a s p r e v i a m e n t e ,

y a q u e t o d a s l a s s e ñ a l e s p u e d e n s e r r e p r e s e n t a d a s p o r u n a s u p e r p o s i c i ó n d e s e ñ a l e s . U n a r e s p u e s t a a l i m p u l s o

d a u n a d e s c r i p c i ó n e q u i v a l e n t e a l a d a d a p o r u n a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a

1 0

, y a q u e e x i s t e n T r a n s f o r m a d a s

d e L a p l a c e ( S e c t i o n 1 4 . 1 ) p a r a c a d a u n a .

n o t a t i o n : C a s i t o d a l a l i t e r a t u r a u s a

δ (t) y

δ [n] p a r a d i f e r e n c i a r e n t r e u n i m p u l s o d e t i e m p o -

c o n t i n u o y u n i m p u l s o d e t i e m p o - d i s c r e t o .

1 . 5 E l E x p o n e n c i a l C o m p l e j o

1 1

1 . 5 . 1 B a s e s p a r a e l E x p o n e n c i a l

E l e x p o n e n c i a l c o m p l e j o e s u n a d e l a s s e ñ a l e s m a s i m p o r t a n t e s y f u n d a m e n t a l e s e n e l a n á l i s i s d e s e ñ a l e s

y s i s t e m a s . S u i m p o r t a n c i a p r o v i e n e d e q u e s u s f u n c i o n e s s i r v e n c o m o u n a b a s e p a r a l a s s e ñ a l e s p e r i ó d i c a s ,

c o m o t a m b i é n s i r v e n p a r a p o d e r c a r a c t e r i z a r s e ñ a l e s l i n e a l e s d e t i e m p o i n v a r i a n t e ( S e c t i o n 2 . 1 ) . A n t e s d e

c o n t i n u a r , u s t e d d e b e r í a f a m i l i a r i z a r s e c o n l o s n ú m e r o s c o m p l e j o s

1 2

.

1 . 5 . 1 . 1 E x p o n e n t i a l B á s i c o

P a r a t o d o s l o s n ú m e r o s x, n o s o t r o s p o d e m o s d e r i v a r y d e n i r f á c i l m e n t e u n a f u n c i ó n e x p o n e n c i a l d e u n a

s e r i e d e T a y l o r m o s t r a d a a q u í :

ex = 1 +x1

1!+

x2

2!+

x3

3!+ . . . ( 1 . 1 5 )

ex =∞k=0

1

k!xk

( 1 . 1 6 )

P o d e m o s p r o b a r , u s a n d o u n e x a m e n r a c i o n a l , q u e e s t a s e r i e c o n v e r g e . D e e s t a m a n e r a , p o d e m o s d e c i r q u e

l a f u n c i ó n e x p o n e n c i a l m o s t r a d a a r r i b a e s c o n t i n u a y s e p u e d e d e n i r f á c i l m e n t e .

D e e s t a d e n i c i ó n , p o d e m o s p r o b a r l a s i g u i e n t e p r o p i e d a d d e l a s e x p o n e n c i a l e s q u e r e s u l t a s e r m u y ú t i l ,

e s p e c i a l m e n t e p a r a l o s e x p o n e n c i a l e s q u e s e d i s c u t i r á n e n l a s i g u i e n t e s e c c i ó n .

ex1+x2 = (ex1) (ex2) ( 1 . 1 7 )

1 . 5 . 1 . 2 E x p o n e n c i a l C o m p l e j o d e T i e m p o - C o n t i n u o

P a r a t o d o s l o s n ú m e r o s c o m p l e j o s s , p o d e m o s d e n i r u n a s e ñ a l e x p o n e n c i a l c o m p l e j a d e t i e m p o -

c o n t i n u o c o m o :

f (t) = Aest

= Aejωt( 1 . 1 8 )

d o n d e A e s u n a c o n s t a n t e , t e s l a v a r i a b l e i n d e p e n d i e n t e t i e m p o , y p a r a s i m a g i n a r i a , s = jω . D e e s t a

e c u a c i ó n p o d e m o s r e v e l a r u n a i m p o r t a n t e i d e n t i d a d , l a i d e n t i d a d d e E u l e r ( p a r a m á s i n f o r m a c i ó n s o b r e

E u l e r l e a s u b i o g r a f í a s h o r t b i o g r a p h y

1 3

) :

Aejωt = Acos (ωt) + j (Asin (ωt)) ( 1 . 1 9 )

1 0

" T r a n s f e r F u n c t i o n s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 0 2 8 / l a t e s t / >

1 1


1 2

" C o m p l e x N u m b e r s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 0 8 1 / l a t e s t / >

1 3

h t t p : / / w w w - g r o u p s . d c s . s t - a n d . a c . u k /

∼h i s t o r y / M a t h e m a t i c i a n s / E u l e r . h t m l



2 0


D e l a i d e n t i d a d d e E u l e r p o d e m o s s e p a r a r l a s e ñ a l e n s u p a r t e i m a g i n a r i a y e n s u p a r t e r e a l . T a m b i é n

p o d e m o s o b s e r v a r e l u s o d e e x p o n e n c i a l e s p a r a r e p r e s e n t a r c u a l q u i e r s e ñ a l r e a l . S i m o d i c a m o s l a f r e c u e n c i a

y e l á n g u l o , p o d r i a m o s r e p r e s e n t a r c u a l q u i e r s e ñ a l p o r m e d i o d e u n a s u p e r p o s i c i ó n d e m u c h a s s e ñ a l e s t o d a s

d e b e n s e r r e p r e s e n t a d a s p o r u n e x p o n e n c i a l .

L a e x p r e s i ó n a n t e r i o r n o i n c l u y e n i n g u n a i n f o r m a c i ó n d e l á n g u l o . D e b e m o s g e n e r a l i z a r l a e x p r e s i ó n d e

e x p o n e n c i a l e s p a r a g e n e r a l i z a r f u n c i o n e s s e n o s o i d a l e s c o n c u a l q u i e r v a l o r e n e l á n g u l o , e s t o s e l o g r a a l h a c e r

u n a s u s t i t u c i ó n d e s, s = σ + jω , q u e a l n a l n o s l l e v a a

f (t) = Aest

= Ae(σ+jω)t

= Aeσtejωt

( 1 . 2 0 )

d o n d e S s e d e n e c o m o l a a m p l i t u d c o m p l e j a , o f a s o r , d e l o s p r i m e r o s d o s t é r m i n o s d e l a e c u a c i ó n d e

a r r i b a

S = Aeσt ( 1 . 2 1 )

T o m a n d o e n c u e n t a l a i d e n t i d a d d e E u l e r , p o d e m o s e s c r i b i r e l e x p o n e n c i a l c o m o u n s e n o s o i d a l , d o n d e e l

t é r m i n o d e l á n g u l o e s m a s n o t a b l e .

f (t) = Aeσt (cos (ωt) + jsin (ωt)) ( 1 . 2 2 )

E s t a f ó r m u l a s e p u e d e d e s c o m p o n e r e n s u p a r t e r e a l e i m a g i n a r i a :

Re (f (t)) = Aeσtcos (ωt) ( 1 . 2 3 )

Im (f (t)) = Aeσtsin (ωt) ( 1 . 2 4 )

1 . 5 . 1 . 3 E x p o n e n c i a l C o m p l e j o e n T i e m p o - D i s c r e t o

F i n a l m e n t e , h e m o s l l e g a d o a l a ú l t i m a f o r m a d e s e ñ a l e s e x p o n e n c i a l e s q u e n o s i n t e r e s a n e s t u d i a r , l a s e ñ a l

e x p o n e n c i a l c o m p l e j a e n t i e m p o - d i s c r e t o , d e l a c u a l n o d a r e m o s t a n t o s d e t a l l e s c o m o l o h i c i m o s p a r a s u

c o n t r a p a r t e , y a q u e l a s d o s s i g u e n l a s m i s m a s p r o p i e d a d e s y u s a n l a m i s m a l ó g i c a y a e x p l i c a d a p r e v i a m e n t e .

P o r s e r d i s c r e t a , t i e n e u n a d i f e r e n c i a e n l a n o t a c i ó n u s a d a p a r a r e p r e s e n t a r s u n a t u r a l e z a d i s c r e t a

f [n] = BesnT

= BejωnT ( 1 . 2 5 )

d o n d e nT r e p r e s e n t a l o s i n s t a n t e s d e t i e m p o - d i s c r e t o d e l a s e ñ a l .

1 . 5 . 2 L a R e l a c i ó n d e E u l e r

J u n t o a l a i d e n t i d a d d e E u l e r , E u l e r t a m b i é n d e s c r i b e u n a m a n e r a d e r e p r e s e n t a r u n a s e ñ a l e x p o n e n c i a l

c o m p l e j a e n t é r m i n o s d e s u p a r t e r e a l e i m a g i n a r i a u s a n d o l a s i g u i e n t e r e l a c i ó n :

cos (ωt) =ejwt + e−(jwt)

2( 1 . 2 6 )

sin (ωt) =ejwt − e−(jwt)

2 j( 1 . 2 7 )

ejwt = cos (ωt) + jsin (ωt) ( 1 . 2 8 )



2 1

1 . 5 . 3 D i b u j a n d o e l E x p o n e n c i a l C o m p l e j o

H a s t a e s t e m o m e n t o , n o s o t r o s h e m o s d e m o s t r a d o c o m o u n e x p o n e n c i a l c o m p l e j o s e p u e d e s e p a r a r e n s u

p a r t e r e a l e i m a g i n a r i a . A h o r a t e n e m o s q u e v e r c o m o s e g r a c a n t o d a s e s t a s p a r t e s . P o d e m o s o b s e r v a r

q u e l a p a r t e r e a l y l a p a r t e i m a g i n a r i a e s t á n c o m p u e s t a s p o r u n s e n o s o i d a l m u l t i p l i c a d o p o r u n a f u n c i ó n d e

e x p o n e n c i a l r e a l . T a m b i é n s a b e m o s q u e l o s s e n o s o i d a l e s o s c i l a n e n t r e e l v a l o r u n o y n e g a t i v o u n o . E n t o n c e s

s e p u e d e v e r q u e l a s p a r t e s r e a l e s e i m a g i n a r i a s d e l e x p o n e n c i a l c o m p l e j o o s c i l a r á n d e n t r o d e u n a v e n t a n a

d e n i d a p o r l a p a r t e r e a l d e l e x p o n e n c i a l .

( a ) ( b )

( c )

F i g u r e 1 . 2 1 : L a s f o r m a s p o s i b l e s p a r a l a p a r t e r e a l d e u n e x p o n e n c i a l c o m p l e j o . N o t e q u e l a o s c i l a c i ó n

e s e l r e s u l t a d o d e u n c o s e n o c o n u n m á x i m o l o c a l e n

t = 0 . ( a ) S i

σe s n e g a t i v a , t e n e m o s e l c a s o d e u n a

v e n t a n a d e u n e x p o n e n c i a l q u e d e s c i e n d e . ( b ) S i

σe s p o s i t i v o , t e n e m o s e l c a s o d e u n a v e n t a n a d e u n

e x p o n e n c i a l q u e c r e c e . ( c ) S i

σe s c e r o , t e n e m o s u n a v e n t a n a c o n s t a n t e .

M i e n t r a s e l σ d e t e r m i n a e l í n d i c e d e d e c r e c i m i e n t o / c r e c i m i e n t o , ω d e t e r m i n a e l í n d i c e d e l a s o s c i l a c i o n e s .

E s t o s e p u e d e n o t a r a l o b s e r v a r q u e ω e s p a r t e d e l a r g u m e n t o u s a d o e n l a p a r t e q u e c o r r e s p o n d e a l s e n o s o i d a l .

E x e r c i s e 1 . 1 ( S o l u t i o n o n p . 2 6 . )

¾ C ó m o s e v e n l a s p a r t e s i m a g i n a r i a s d e l e x p o n e n c i a l c o m p l e j o e n e l d i b u j o p r e v i o ?

E x a m p l e 1 . 3

L a s i g u i e n t e d e m o s t r a c i ó n l e p e r m i t e v e r c o m o e l a r g u m e n t o c a m b i a l a f o r m a d e l e x p o n e n c i a l

c o m p l e j o . P o r f a v o r o p r i m a a q u í

1 4

p a r a v e r l a s i n s t r u c c i o n e s d e c o m o s e u s a e s t e d e m o .

T h i s i s a n u n s u p p o r t e d m e d i a t y p e . T o v i e w , p l e a s e s e e

h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 2 5 / l a t e s t / C o m p l e x _ E x p o n e n t i a l . v i

1 4

" H o w t o u s e t h e L a b V I E W d e m o s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 1 5 5 0 / l a t e s t / >



2 2


1 . 5 . 4 E l P l a n o C o m p l e j o

S e c o n v i e r t e d e e x t r e m a i m p o r t a n c i a e l v e r l a v a r i a b l e c o m p l e j a s c o m o u n p u n t o e n e l p l a n o c o m p l e j o

1 5

( e l

p l a n o - s ) .

F i g u r e 1 . 2 2 : E s t e e s e l p l a n o - s . N o t e q u e e n c u a l q u i e r m o m e n t o e n q u e s s e e n c u e n t r e e n e l l a d o

d e r e c h o d e l p l a n o , e l e x p o n e n c i a l c o m p l e j o c r e c e r á c o n e l t i e m p o , m i e n t r a s q u e s i p o r e l c o n t r a r i o

ss e

e n c u e n t r a e n e l l a d o i z q u i e r d o , e l e x p o n e n c i a l c o m p l e j o d i s m i n u i r á .

1 . 6 S e ñ a l e s e n T i e m p o - D i s c r e t o

1 6

H a s t a e s t e p u n t o , h e m o s t r a t a d o s o l o c o n s e ñ a l e s y s i s t e m a s a n á l o g o s . E n t é r m i n o s m a t e m á t i c o s , s e ñ a l e s

a n á l o g a s s o n f u n c i o n e s q u e c o n s t a n d e c a n t i d a d e s c o n t i n u a s c o m o s u s v a r i a b l e s i n d e p e n d i e n t e s , p o r e j e m p l o ,

e s p a c i o y t i e m p o . S e ñ a l e s d e t i e m p o - d i s c r e t o

1 7

s o n f u n c i o n e s d e n i d a s e n n ú m e r o s e n t e r o s ; s o n s e c u e n c i a s .

U n o d e l o s r e s u l t a d o s f u n d a m e n t a l e s e n l a t e o r í a d e s e ñ a l e s

1 8

d e t a l l a l a s c o n d i c i o n e s e n l a s c u a l e s l a s s e ñ a l e s

a n á l o g a s p u e d e n s e r t r a s f o r m a d a s e n u n a s e ñ a l d e t i e m p o - d i s c r e t o y s e r r e c u p e r a d a s i n n i n g ú n t i p o d e e r r o r .

E s t e r e s u l t a d o e s i m p o r t a n t e p o r q u e l a s s e ñ a l e s d e t i e m p o - d i s c r e t o p u e d e n s e r m a n i p u l a d a s p o r s i s t e m a s

d e r e s p u e s t a i n s t a n t á n e a c o m o l o s s o n l o s p r o g r a m a s d e c o m p u t a d o r a s . E n l o s m ó d u l o s s u b s e c u e n t e s s e

d e s c r i b e n c o m o t o d o s l o s s i s t e m a s a n á l o g o s s e p u e d e n i m p l e m e n t a r v i r t u a l m e n t e c o n e l u s o d e s o f t w a r e .

S i n d a r l e i m p o r t a n c i a a e s t o s r e s u l t a d o s , l a s s e ñ a l e s d e t i e m p o - d i s c r e t o t i e n e n u n a f o r m a m á s g e n e r a l ,

a b a r c a n d o s e ñ a l e s d e r i v a d a s d e s e ñ a l e s a n á l o g a s y d e o t r o t i p o d e s e ñ a l e s . P o r e j e m p l o , l o s c a r a c t e r e s q u e

f o r m a n u n a r c h i v o d e e s c r i t u r a p r o v e n i e n t e d e u n a s e c u e n c i a , q u e t a m b i é n s o n u n a s e ñ a l d e t i e m p o - d i s c r e t o .

T a m b i é n t e n e m o s q u e t r a t a r c o n s e ñ a l e s y s i s t e m a s d e v a l o r s i m b ó l i c o

1 9

.

1 5

" T h e C o m p l e x P l a n e " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 5 9 6 / l a t e s t / >

1 6


1 7

" D i s c r e t e - T i m e S i g n a l s a n d S y s t e m s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 3 4 2 / l a t e s t / >

1 8

" T h e S a m p l i n g T h e o r e m " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 0 5 0 / l a t e s t / >

1 9

" D i s c r e t e - T i m e S i g n a l s a n d S y s t e m s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 3 4 2 / l a t e s t / # p a r a 1 1 >



2 3

C o m o e n s e ñ a l e s a n á l o g a s , b u s c a m o s d i s t i n t a s m a n e r a s d e d e s c o m p o n e r s e ñ a l e s d i s c r e t a s c o n v a l o r r e a l

e n s u s c o m p o n e n t e s m á s s i m p l e s . C o n e s t e m é t o d o q u e n o s l l e v a a u n m a y o r e n t e n d i m i e n t o d e e s t r u c t u r a d e

s e ñ a l e s , p o d e m o s u s a r e s t a e s t r u c t u r a p a r a r e p r e s e n t a r i n f o r m a c i ó n ( c r e a r m a n e r a s d e r e p r e s e n t a r i n f o r m a -

c i ó n c o n s e ñ a l e s ) y d e e x t r a e r i n f o r m a c i ó n ( e x t r a e r l a i n f o r m a c i ó n q u e e s r e p r e s e n t a d a ) . P a r a s e ñ a l e s d e v a l o r

s i m b ó l i c o e s t e m é t o d o e s d i f e r e n t e : d e s a r r o l l a m o s u n a r e p r e s e n t a c i ó n c o m ú n p a r a t o d a s l a s s e ñ a l e s d e v a l o r

s i m b ó l i c o p a r a a s í r e p r e s e n t a r l a i n f o r m a c i ó n q u e e l l a s c o n t i e n e n d e u n a m a n e r a u n i c a d a . D e s d e e l p u n t o

d e v i s t a d e l a r e p r e s e n t a c i ó n d e i n f o r m a c i ó n , l a c u e s t i ó n m á s i m p o r t a n t e e s l a e c i e n c i a p a r a l a s s e ñ a l e s d e

v a l o r s i m b ó l i c o y r e a l e s ; l a e c i e n c i a e s l a m a n e r a m á s c o m p a c t a y r á p i d a d e r e p r e s e n t a r i n f o r m a c i ó n p a r a

q u e p u e d a s e r d e s p u é s e x t r a í d a .

1 . 6 . 1 S e ñ a l e s d e V a l o r e s R e a l e s y C o m p l e j o s

U n a s e ñ a l d i s c r e t a e s r e p r e s e n t a d a s i m b ó l i c a m e n t e c o m o s (n) , d o n d e n = . . . , −1, 0, 1, . . . . U s u a l m e n t e

d i b u j a m o s s e ñ a l e s d i s c r e t a s p o r m e d i o d e d i a g r a m a s d e l í n e a ( S t e m P l o t s ) p a r a e n f a t i z a r e l h e c h o q u e s o n

f u n c i o n e s d e n i d a s e n n ú m e r o s e n t e r o s . P o d e m o s r e t r a s a r l a s e ñ a l d i s c r e t a p o r u n n ú m e r o , t a l c o m o s e h a c e

e n l a s s e ñ a l e s a n á l o g a s . E l r e t r a s o d e u n m u e s t r e o u n i t a r i o e s e x p r e s a d o p o r δ (n − m), y e s i g u a l a u n o

c u a n d o

n = m.

S e ñ a l d e l C o s e n o e n T i e m p o - D i s c r e t o

n

sn

1

…

…

F i g u r e 1 . 2 3 : S e ñ a l d e l C o s e n o e n T i e m p o - D i s c r e t o e s g r a c a d a c o n u n a " s t e m p l o t " . ¾ P u e d e u s t e d

e n c o n t r a r l a f ó r m u l a p a r a e s t a s e ñ a l ?

1 . 6 . 2 E x p o n e n c i a l e s C o m p l e j o s

L a s e ñ a l m á s i m p o r t a n t e e s l a s e c u e n c i a d e l e x p o n e n c i a l c o m p l e j o .

s (n) = ej2πfn ( 1 . 2 9 )

1 . 6 . 3 S e n o s o i d a l e s

L o s s e n o s o i d a l e s d i s c r e t o s t i e n e n l a f o r m a d e s (n) = Acos (2πf n + φ). A l c o n t r a r i o d e e x p o n e n c i a l e s c o m -

p l e j o s y s e n o s o i d a l e s a n á l o g o s q u e p u e d e n t e n e r f r e c u e n c i a s c o n c u a l q u i e r v a l o r r e a l , f r e c u e n c i a s p a r a s e ñ a l e s

d i s c r e t a s d a n f o r m a s ú n i c a s s o l o c u a n d o f e s t á e n e l i n t e r v a l o

− 12 , 12

. E s t a p r o p i e d a d s e p u e d e t e n e r a l

n o t a r q u e c u a n d o s e s u m a u n v a l o r a l a f r e c u e n c i a d e l e x p o n e n c i a l c o m p l e j o d i s c r e t o n o a f e c t a e n n i n g u n a

m a n e r a a l o s v a l o r e s d e l a s e ñ a l .

ej2π(f +m)n = ej2πfnej2πmn

= ej2πfn( 1 . 3 0 )

L a d e r i v a c i ó n e s p o r q u e e l e x p o n e n c i a l c o m p l e j o e v a l u a d o e n u n m ú l t i p l o d e 2πe s i g u a l a u n o .



2 4


1 . 6 . 4 M u e s t r e o U n i t a r i o

L a s e g u n d a s e ñ a l i m p o r t a n t e e n e l t i e m p o d i s c r e t o , e s t á d e n i d a p o r :

δ (n) = 1

i f

n = 00 o t h e r w i s e

( 1 . 3 1 )

M u e s t r e o U n i t a r i o

1

n

δn

F i g u r e 1 . 2 4 : M u e s t r e o U n i t a r i o .

A l e x a m i n a r l a g r á c a d e s e ñ a l e s d i s c r e t a s , c o m o e l c o s e n o m o s t r a d o e n l a g u r a F i g u r e 1 . 2 3 ( S e ñ a l d e l

C o s e n o e n T i e m p o - D i s c r e t o ) , s e p u e d e o b s e r v a r q u e t o d a s l a s e ñ a l e s c o n s i s t e n e n m u e s t r e o s u n i t a r i o s q u e

s o n d e s p l a z a d o s y e s c a l a d o s p o r u n v a l o r r e a l . E l v a l o r d e u n a s e c u e n c i a a c u a l q u i e r n ú m e r o m e s e s c r i t o p o r

s (m) y e l d e s p l a z a m i e n t o q u e o c u r r e e n m e s e s c r i t o p o r δ (n − m) , p o r e s t a r a z ó n p o d e m o s d e s c o m p o n e r

c u a l q u i e r s e ñ a l e n u n a s u m a d e m u e s t r a s u n i t a r i a s d e s p l a z a d a s a u n a l o c a l i z a c i ó n a p r o p i a d a y e s c a l a d a p o r

e l v a l o r d e u n a s e ñ a l .

s (n) =

∞m=−∞

(s (m) δ (n − m)) ( 1 . 3 2 )

E s t e t i p o d e d e s c o m p o s i c i ó n e s ú n i c a p a r a s e ñ a l e s d i s c r e t a .

S i s t e m a s d i s c r e t o s p u e d e n a c t u a r s o b r e s e ñ a l e s e n t i e m p o d i s c r e t o e n f o r m a s i m i l a r a l a s v i s t a s e n s e ñ a l e s y

s i s t e m a s a n á l o g o s . D e b i d o a l r o l q u e j u e g a e l s o f t w a r e s o b r e s i s t e m a s d i s c r e t o s , u n a g r a n v a r i e d a d d e s i s t e m a s

p u e d e n s e r d e s a r r o l l a d a s y c o n s t r u i d a s a d i f e r e n c i a d e l a s q u e s e p u e d e n l o g r a r u s a n d o s e ñ a l e s a n á l o g a s . D e

h e c h o , u n a c l a s e e s p e c i a l d e s e ñ a l e s a n á l o g a s p u e d e n s e r c o n v e r t i d a s e n s e ñ a l e s d i s c r e t a s , p r o c e s a d a s p o r

s o f t w a r e , y c o n v e r t i d a s d e s p u é s e n s e ñ a l e s a n á l o g a s , t o d o e s t o s i n e r r o r e s . P a r a e s t a s s e ñ a l e s , v a r i o s s i s t e m a s

p u e d e n s e r p r o d u c i d o s e n s o f t w a r e , c o n r e a l i z a c i o n e s a n á l o g a s e q u i v a l e n t e s s i e n d o d i f í c i l e s d e f o r m a r , s i n o

e s q u e i m p o s i b l e s d e d i s e ñ a r .

1 . 6 . 5 S e ñ a l e s d e V a l o r e s S i m b ó l i c o s

O t r o a s p e c t o i n t e r e s a n t e d e s e ñ a l e s d i s c r e t a s e s q u e s u s v a l o r e s n o t i e n e n q u e s e r n ú m e r o s r e a l e s . N o s o t r o s

s i t e n e m o s s e ñ a l e s d i s c r e t a s c o n v a l o r e s r e a l e s c o m o e l s i n u s o i d a l , p e r o t a m b i é n t e n e m o s s e ñ a l e s q u e i n d i c a n

u n a s e c u e n c i a d e n ú m e r o s u s a d o s e n e l t e c l a d o d e c o m p u t a d o r a s . E s o s c a r a c t e r e s n o s o n n ú m e r o s r e a l e s ,

y c o m o p o s i b l e c o l e c c i ó n d e v a l o r e s , t i e n e n m u y p o c a e s t r u c t u r a m a t e m á t i c a y n a d a m á s c o n s t a n t e c o n

e l h e c h o q u e s o n m i e m b r o s d e u n c o n j u n t o . C a d a e l e m e n t o d e u n a s e ñ a l d e v a l o r e s s i m b ó l i c o s s (n) t o m a

v a l o r e s a1, . . . , aK q u e f o r m a n p a r t e d e u n a l f a b e t o A . E s t a t e r m i n o l o g í a t é c n i c a n o r e s t r i n g e l o s s í m b o l o s

a s e r m i e m b r o s d e u n a l f a b e t o d e l i d i o m a i n g l e s o g r i e g o . E l l o s p u e d e n r e p r e s e n t a r c a r a c t e r e s e n u n t e c l a d o ,

b y t e ( s e c u e n c i a s d e 8 - b i t s ) , n ú m e r o s q u e p u d i e r a n s i g n i c a r u n a t e m p e r a t u r a . L o s s i s t e m a s d i g i t a l e s s o n

c o n s t r u i d o s d e c i r c u i t o s d i g i t a l e s , q u e c o n s i s t e n c o m p l e t a m e n t e d e c i r c u i t o s c o n e l e m e n t o s a n á l o g o s . L a

r e t r a n s m i s i ó n y r e c e p c i ó n d e s e ñ a l e s d i s c r e t a s , c o m o e l c o r r e o e l e c t r ó n i c o , s o n p o s i b l e s g r a c i a s a l u s o d e

s i s t e m a s y s e ñ a l e s a n á l o g a s . E n t e n d e r c o m o l a s s e ñ a l e s d i s c r e t a s y a n á l o g a s s e i n t e r e l a c i o n a n u n a c o n o t r a

e s e l o b j e t i v o p r i n c i p a l d e e s t e c u r s o .



2 5

1 . 7 E x p o n e n c i a l C o m p l e j o D i s c r e t o

2 0

2 0




2 6


S o l u t i o n s t o E x e r c i s e s i n C h a p t e r 1

S o l u t i o n t o E x e r c i s e 1 . 1 ( p . 2 1 )

S e v e i g u a l e x c e p t o q u e l a o s c i l a c i ó n e s s e n o s o i d a l y n o c o s e n o i d a l ( p a s a p o r e l o r i g e n y n o t i e n e n i n g ú n

m á x i m o l o c a l e n t = 0 ) .



C h a p t e r 2

S i s t e m a s

2 . 1 C l a s i c a c i ó n y P r o p i e d a d e s d e l o s S i s t e m a s

1

2 . 1 . 1 I n t r o d u c c i ó n

E n e s t e m ó d u l o a l g u n a s d e l a s c l a s i c a c i o n e s b á s i c a s d e s i s t e m a s s e r á n t e m p o r a l m e n t e i n t r o d u c i d a s m i e n t r a s

q u e l a s p r o p i e d a d e s m á s i m p o r t a n t e s d e s i s t e m a s s e r á n e x p l i c a d a s . C o m o p u e d e s e r v i s t o , l a s p r o p i e d a d e s d e

l o s s i s t e m a s p r o v e e n u n a m a n e r a s e n c i l l a d e s e p a r a r u n s i s t e m a d e o t r o . E n t e n d e r l a d i f e r e n c i a b á s i c a e n t r e

s i s t e m a s , y s u s p r o p i e d a d e s , s e r á u n c o n c e p t o f u n d a m e n t a l u t i l i z a d o e n t o d o s l o s c u r s o s d e s e ñ a l e s y s i s t e m a s ,

a s í c o m o d e p r o c e s a m i e n t o d i g i t a l d e s e ñ a l e s ( D i g i t a l S i g n a l P r o c e s s i n g ) D S P . U n a v e z q u e e l c o n j u n t o d e

s e ñ a l e s p u e d e s e r i d e n t i c a d o p o r c o m p a r t i r p r o p i e d a d e s p a r t i c u l a r e s , u n o y a n o t i e n e q u e p r o v e e r c i e r t a s

c a r a c t e r í s t i c a s d e l s i s t e m a c a d a v e z , p e r o p u e d e n s e r a c e p t a d a s d e b i d o a l a c l a s i c a c i ó n d e l o s s i s t e m a s .

T a m b i é n c a b e r e c o r d a r q u e l a s c l a s i c a c i o n e s p r e s e n t a d a s a q u í p u e d e n n o s e r e x c l u s i v a s ( l o s s i s t e m a s p u e d e n

p e r t e n e c e r a d i f e r e n t e s c l a s i c a c i o n e s ) n i ú n i c a s ( h a y o t r o s m é t o d o s d e c l a s i c a c i ó n

2

) . A l g u n o s e j e m p l o s d e

s i s t e m a s s i m p l e s s e p o d r á n e n c o n t r a r a q u i

3

.

2 . 1 . 2 C l a s s i c a c i ó n d e l o s S i s t e m a s

A t r a v é s d e l a s i g u i e n t e c l a s i c a c i ó n , t a m b i é n e s i m p o r t a n t e e n t e n d e r o t r a s C l a s i c a c i o n e s d e S e ñ a l e s

4

.

2 . 1 . 2 . 1 C o n t i n ú o v s . D i s c r e t o

E s t a t a l v e z s e a l a c l a s i c a c i ó n m á s s e n c i l l a d e e n t e n d e r c o m o l a i d e a d e t i e m p o - d i s c r e t o y t i e m p o c o n t i n u o

q u e e s u n a d e l a s p r o p i e d a d e s m á s f u n d a m e n t a l e s d e t o d a s l a s s e ñ a l e s y s i s t e m a s . U n s i s t e m a e n d o n d e l a s

s e ñ a l e s d e e n t r a d a y d e s a l i d a s o n c o n t i n u a s e s u n s i s t e m a c o n t i n u o , y u n o e n d o n d e l a s s e ñ a l e s d e e n t r a d a

y d e s a l i d a s o n d i s c r e t a s e s u n s i s t e m a d i s c r e t o .

2 . 1 . 2 . 2 L i n e a l v s . N o - l i n e a l

U n s i s t e m a l i n e a l e s u n s i s t e m a q u e o b e d e c e l a s p r o p i e d a d e s d e e s c a l a d o ( h o m o g e n e i d a d ) y d e s u p e r p o s i c i ó n

( a d i t i v a ) , m i e n t r a s q u e u n s i s t e m a n o - l i n e a l e s c u a l q u i e r s i s t e m a q u e n o o b e d e c e a l m e n o s u n a d e e s t a s

p r o p i e d a d e s .

P a r a d e m o s t r a r q u e u n s i s t e m a H o b e d e c e l a p r o p i e d a d d e e s c a l a d o s e d e b e m o s t r a r q u e :

H (kf (t)) = kH (f (t)) ( 2 . 1 )

1


2

" I n t r o d u c t i o n t o S y s t e m s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 0 0 5 / l a t e s t / >

3

" S i m p l e S y s t e m s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 0 0 6 / l a t e s t / >

4

" S i g n a l C l a s s i c a t i o n s a n d P r o p e r t i e s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 0 5 7 / l a t e s t / >

2 7



2 8

C H A P T E R 2 . S I S T E M A S

F i g u r e 2 . 1 : U n d i a g r a m a d e b l o q u e d e m o s t r a n d o l a p r o p i e d a d d e e s c a l a d o d e l i n e a l i d a d

P a r a d e m o s t r a r q u e u n s i s t e m a

H o b e d e c e l a p r o p i e d a d d e s u p e r p o s i c i ó n d e l i n e a l i d a d s e d e b e m o s t r a r

q u e :

H (f 1 (t) + f 2 (t)) = H (f 1 (t)) + H (f 2 (t)) ( 2 . 2 )

F i g u r e 2 . 2 : U n d i a g r a m a d e b l o q u e d e m o s t r a n d o l a p r o p i e d a d d e s u p e r p o s i c i ó n d e l i n e a l i d a d

E s p o s i b l e v e r i c a r l a l i n e a l i d a d d e u n s i s t e m a e n u n p a s o s e n c i l l o . P a r a h a c e e s t o , s i m p l e m e n t e c o m b i -

n a m o s l o s d o s p r i m e r o p a s o s p a r a o b t e n e r

H (k1f 1 (t) + k2f 2 (t)) = k2H (f 1 (t)) + k2H (f 2 (t)) ( 2 . 3 )

2 . 1 . 2 . 3 I n v a r i a n t e e n e l T i e m p o v s . V a r i a n t e e n e l T i e m p o

U n s i s t e m a i n v a r i a n t e e n e l t i e m p o e s a q u e l q u e n o d e p e n d e d e c u a n d o o c u r r e : l a f o r m a d e l a s a l i d a n o

c a m b i a c o n e l r e t r a s o d e l a e n t r a d a . E s d e c i r q u e p a r a u n s i s t e m a H d o n d e H (f (t)) = y (t) , H e s i n v a r i a n t e

e n e l t i e m p o s i p a r a t o d a T H (f (t − T )) = y (t − T ) ( 2 . 4 )



2 9

F i g u r e 2 . 3 : E s t e d i a g r a m a d e b l o q u e m u e s t r a l a c o n d i c i ó n d e l a i n v a r i a n t e e n e l t i e m p o . L a S a l i d a e s

l a m i s m a s i e l r e t r a s o e s c o l o c a d o e n l a e n t r a d a o e n l a s a l i d a .

C u a n d o e s t a p r o p i e d a d n o a p l i c a p a r a u n s i s t e m a , e n t o n c e s d e c i m o s q u e e l s i s t e m a e s v a r i a n t e e n e l

t i e m p o o q u e v a r í a e n e l t i e m p o .

2 . 1 . 2 . 4 C a u s a l v s . N o - C a u s a l

U n s i s t e m a c a u s a l e s a q u e l q u e e s n o - a n t i c i p a t i v o ; e s t o e s , q u e l a s s a l i d a s d e p e n d e n d e e n t r a d a s p r e s e n t e s

y p a s a d a s , p e r o n o d e e n t r a d a s f u t u r a s . T o d o s l o s s i s t e m a s e n t i e m p o r e a l d e b e n s e r c a u s a l e s , y a q u e n o

p u e d e n t e n e r s a l i d a s f u t u r a s d i s p o n i b l e s p a r a e l l o s .

U n o p u e d e p e n s a r q u e l a i d e a d e s a l i d a s f u t u r a s n o t i e n e m u c h o s e n t i d o f í s i c o ; s i n e m b a r g o , h a s t a a h o r a

n o s h e m o s e s t a d o o c u p a n d o s o l a m e n t e d e l t i e m p o c o m o n u e s t r a v a r i a b l e d e p e n d i e n t e , e l c u a l n o s i e m p r e e s

e l c a s o . I m a g i n é m o n o s q u e q u i s i é r a m o s h a c e r p r o c e s a m i e n t o d e s e ñ a l e s ; E n t o n c e s l a v a r i a b l e d e p e n d i e n t e

r e p r e s e n t a d a p o r l o s p í x e l e s d e l a d e r e c h a y d e l a i z q u i e r d a ( e l f u t u r o ) d e l a p o s i c i ó n a c t u a l d e l a i m a g e n .

E n t o n c e s t e n d r í a m o s u n s i s t e m a n o - c a u s a l .



3 0


( a )

( b )

F i g u r e 2 . 4 : ( a ) P a r a q u e u n s i s t e m a t í p i c o s e a c a u s a l . . . ( b ) . . . l a s a l i d a e n t i e m p o

t0 ,

y (t0), p u e d e

s o l a m e n t e d e p e n d e r d e l a p o r c i ó n d e l a s e ñ a l d e e n t r a d a a n t e s

t0 .

2 . 1 . 2 . 5 E s t a b l e v s . I n e s t a b l e

U n s i s t e m a e s t a b l e e s u n o d o n d e l a s s a l i d a s n o d i v e r g e n a s í c o m o l a s e n t r a d a s t a m p o c o d i v e r g e n . H a y

m u c h a s m a n e r a s d e d e c i r q u e u n a s e ñ a l d i v e r g e ; p o r e j e m p l o p u e d e t e n e r e n e r g í a i n n i t a . U n a d e n i c i ó n

p a r t i c u l a r m e n t e ú t i l d e d i v e r g e n c i a e s r e l a c i o n a r s i l a s e ñ a l e s t a a c o t a d a o n o . E n t o n c e s s e r e e r e a l s i s t e m a

c o m o e n t r a d a a c o t a d a - s a l i d a a c o t a d a ( B I B O ) ( B o u n d e d i n p u t - b o u n d e d o u t p u t ) e s t a b l e c e q u e t o d a

p o s i b l e e n t r a d a a c o t a d a p r o d u c e u n a s a l i d a a c o t a d a .



3 1

R e p r e s e n t a d o e s t o d e u n a m a n e r a m a t e m á t i c a , u n s i s t e m a e s t a b l e d e b e t e n e r l a s s i g u i e n t e s

p r o p i e d a d e s , d o n d e

x (t) e s l a e n t r a d a y

y (t) e s l a s a l i d a ; l a c u a l d e b e s a t i s f a c e r l a c o n d i c i ó n

|y (t)

| ≤M y <

∞( 2 . 5 )

c u a n d o t e n e m o s u n a e n t r a d a d e l s i s t e m a e s t a p u e d e s e r d e s c r i t a c o m o

|x (t) | ≤ M x < ∞ ( 2 . 6 )

M x y

M y a m b a s r e p r e s e n t a n u n c o n j u n t o d e n ú m e r o s e n t e r o s p o s i t i v o s y e s t a r e l a c i ó n s e m a n t i e n e p a r a

t o d a

t.

S i e s t a s c o n d i c i o n e s n o s o n s a t i s f e c h a s , e s d e c i r , l a s s a l i d a s d e l s i s t e m a c o n e n t r a d a a c o t a d a c r e c e n s i n

l i m i t e ( d i v e r g e n ) , e n t o n c e s e l s i s t e m a e s i n e s t a b l e . N o t e m o s q u e l a e s t a b i l i d a d B I B O d e u n s i s t e m a l i n e a l

i n v a r i a n t e e n e l t i e m p o ( L T I ) e s d e s c r i t o c u i d a d o s a m e n t e e n t é r m i n o s d e s i e s o n o c o m p l e t a m e n t e i n t e g r a b l e

5

l a r e s p u e s t a a l i m p u l s o .

2 . 2 P r o p i e d a d e s d e l o s S i s t e m a s

6

2 . 2 . 1 S i s t e m a s L i n e a l e s

S i u n s i s t e m a e s l i n e a l , q u i e r e d e c i r q u e c u a n d o l a e n t r a d a d e u n s i s t e m a d a d o e s e s c a l d a d o p o r u n v a l o r , l a

s a l i d a d e l s i s t e m a e s e s c a l a d o p o r l a m i s m a c a n t i d a d .

E s c a l a d o L i n e a l

( a ) ( b )

F i g u r e 2 . 5

E n l a F i g u r e 2 . 5 ( a ) d e a r r i b a , l a e n t r a d a x d e l s i s t e m a l i n e a l L d a l a s a l i d a y . S i x e s e s c a l a d a p o r u n

v a l o r α y e s p a s a d a a t r a v é s d e l m i s m o s i s t e m a , c o m o e n l a F i g u r e 2 . 5 ( b ) , l a s a l i d a t a m b i é n s e r á e s c a l a d a

p o r

α.

U n s i s t e m a l i n e a l t a m b i é n o b e d e c e e l p r i n c i p i o d e s u p e r p o s i c i ó n . E s t o s i g n i c a q u e s i d o s e n t r a d a s s o n

s u m a d a s j u n t a s y p a s a d a s a t r a v é s d e l s i s t e m a l i n e a l , l a s a l i d a s e r á e q u i v a l e n t e a l a s u m a d e l a s d o s e n t r a d a s

e v a l u a d a s i n d i v i d u a l m e n t e .

5

" B I B O S t a b i l i t y " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 1 1 3 / l a t e s t / >

6




3 2


( a ) ( b )

F i g u r e 2 . 6

P r i n c i p i o d e S u p e r p o s i c i ó n

F i g u r e 2 . 7 : S i F i g u r e 2 . 6 e s c i e r t o , e n t o n c e s e l p r i n c i p i o d e s u p e r p o s i c c i ó n d i c e q u e F i g u r e 2 . 7 ( P r i n c i p i o

d e S u p e r p o s i c i ó n ) t a m b i é n e s c i e r t o . E s t o e s v á l i d o p a r a u n s i s t e m a l i n e a l .

E s t o e s , s i F i g u r e 2 . 6 e s c i e r t a , e n t o n c e s F i g u r e 2 . 7 ( P r i n c i p i o d e S u p e r p o s i c i ó n ) t a m b i é n e s c i e r t a p a r a

u n s i s t e m a l i n e a l . L a p r o p i e d a d d e e s c a l a d o m e n c i o n a d a a n t e r i o r m e n t e t a m b i é n e s v á l i d a p a r a e l p r i n c i p i o d e

s u p e r p o s i c i ó n . P o r l o t a n t o , s i l a s e n t r a d a s x y y s o n e s c a l a d a s p o r f a c t o r e s α y β , r e s p e c t i v a m e n t e , e n t o n c e s

l a s u m a d e e s t a s e n t r a d a s e s c a l a d a s d a r á l a s u m a d e l a s s a l i d a s e s c a l a d a s i n d i v i d u a l m e n t e .

( a ) ( b )

F i g u r e 2 . 8



3 3

P r i n c i p i o d e S u p e r p o s i c i ó n c o n E s c a l d o L i n e a l

F i g u r e 2 . 9 : D a d o F i g u r e 2 . 8 p a r a u n s i s t e m a l i n e a l , F i g u r e 2 . 9 ( P r i n c i p i o d e S u p e r p o s i c i ó n c o n E s c a l d o

L i n e a l ) t a m b i é n e s v á l i d o .

2 . 2 . 2 T i m e - I n v a r i a n t S y s t e m s

U n s i s t e m a i n v a r i a n t e e n e l t i e m p o T I ( T i m e - I n v a r i a n t ) t i e n e l a p r o p i e d a d d e q u e c i e r t a e n t r a d a s i e m p r e

d a r á l a m i s m a s a l i d a , s i n c o n s i d e r a c i ó n a l g u n a a c u a n d o l a e n t r a d a f u e a p l i c a d a a l s i s t e m a .

S i s t e m a I n v a r i a n t e e n e l T i e m p o

( a ) ( b )

F i g u r e 2 . 1 0 : F i g u r e 2 . 1 0 ( a ) m u e s t r a u n a e n t r a d a e n t i e m p o t m i e n t r a s q u e F i g u r e 2 . 1 0 ( b ) m u e s t r a l a

m i s m a e n t r a d a

t0 s e g u n d o s d e s p u é s . E n u n s i t e m a i n v a r i a n t e e n e l t i e m p o a m b a s s a l i d a s s e r á n i d e n t i c a s

e x c e p t o l a d e l a F i g u r e 2 . 1 0 ( b ) e s t a r á r e t r a s a d a p o r

t0 .

E n e s t a g u r a ,

x (t) y

x (t − t0) s o n p a s a d a s a t r a v é s d e l s i s t e m a T I . Y a q u e e l s i s t e m a T I e s i n v a r i a n t e

e n e l t i e m p o , l a s e n t r a d a s

x (t) y

x (t − t0) p r o d u c e n l a m i s m a s a l i d a . L a ú n i c a d i f e r e n c i a e s q u e l a s a l i d a

d e b i d a a x (t − t0) e s c a m b i a d a p o r e l t i e m p o t0 .

S i u n s i s t e m a e s i n v a r i a n t e e n e l t i e m p o o d e t i e m p o v a r i a d o p u e d e s e r v i s t o e n l a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l

( o e c u a c i ó n e n d i f e r e n c i a ) d e s c r i t a . L o s s i s t e m a s i n v a r i a n t e s e n e l t i e m p o s o n m o d e l a d o s c o n e c u a c i o n e s d e

c o e c i e n t e s c o n s t a n t e s . U n a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l ( o e n d i f e r e n c i a ) d e c o e c i e n t e s c o n s t a n t e s s i g n i c a q u e l o s

p a r á m e t r o s d e l s i s t e m a n o v a n c a m b i a n d o a t r a v é s d e l t i e m p o y q u e l a e n t r a d a n o s d a r á e l m i s m o r e s u l t a d o

a h o r a , a s í c o m o d e s p u é s .

2 . 2 . 3 3 S i s t e m a s L i n e a l e s I n v a r i a n t e s e n e l T i e m p o ( L T I )

A l o s s i s t e m a s q u e s o n l i n e a l e s y a l m i s m o t i e m p o i n v a r i a n t e s e n e l t i e m p o n o s r e f e r i r e m o s a e l l o s c o m o

s i s t e m a s L T I ( L i n e a r T i m e - I n v a r i a n t ) .



3 4


S i s t e m a s L i n e a l e s I n v a r i a n t e s e n e l T i e m p o

( a ) ( b )

F i g u r e 2 . 1 1 : E s t o e s u n a c o m b i n a c i ó n d e l o s d o s c a s o s d e a r r i b a . D a d o q u e l a e n t r a d a F i g u r e 2 . 1 1 ( b )

e s u n a v e r s i ó n e s c a l a d a y d e s p l a z a d a e n e l t i e m p o d e l a e n t r a d a d e F i g u r e 2 . 1 1 ( a ) , t a m b i é n e s l a s a l i d a .

C o m o l o s s i s t e m a s L T I s o n s u b c o n j u n t o s d e l o s s i s t e m a s l i n e a l e s , e s t o s o b e d e c e n a l p r i n c i p i o d e s u p e r -

p o s i c i ó n . E n l a g u r a d e a b a j o , p o d e m o s v e r e l e f e c t o d e a p l i c a r e l t i e m p o i n v a r i a n t e a l a d e n i c i ó n d e

s i s t e m a l i n e a l d e l a s e c c i ó n a n t e r i o r .

( a ) ( b )

F i g u r e 2 . 1 2

S u p e r p o s i c i ó n e n S i s t e m a s L i n e a l e s I n v a r i a n t e s e n e l T i e m p o

F i g u r e 2 . 1 3 : E l p r i n c i p i o d e s u p e r p o s i c i ó n a p l i c a d a d o a u n s i s t e m a L T I

2 . 2 . 3 . 1 S i s t e m a s L T I e n S e r i e s

S i d o s o m a s s i s t e m a s e s t á n e n s e r i e u n o c o n o t r o , e l o r d e n p u e d e s e r i n t e r c a m b i a d o s i n q u e s e v e a a f e c t a d a

l a s a l i d a d e l s i s t e m a . L o s s i s t e m a s e n s e r i e s t a m b i é n s o n l l a m a d o s c o m o s i s t e m a s e n c a s c a d a .



3 5

S i s t e m a L T I e n C a s c a d a

( a )

( b )

F i g u r e 2 . 1 4 : E l o r d e n d e l o s s i s t e m a s L T I e n c a s c a d a p u e d e n s e r i n t e r c a m b i a d o s i n v e r s e a f e c t a d o e l

r e s u l t a d o .

2 . 2 . 3 . 2 S i s t e m a s L T I e n P a r a l e l o

S i d o s o m a s s i s t e m a s L T I e s t á n e n p a r a l e l o c o n o t r o , u n s i s t e m a e q u i v a l e n t e e s a q u e l q u e e s t a d e n i d o c o m o

l a s u m a d e e s t o s s i s t e m a s i n d i v i d u a l e s .

S i s t e m a s L T I e n P a r a l e l o

( a ) ( b )

F i g u r e 2 . 1 5 : L o s s i s t e m a s d e p a r a l e l o p u e d e n s e r r e s u m i d o s e n l a s u m a d e l o s s i s t e m a s .



3 6


2 . 2 . 4 C a u s a l i d a d

U n s i s t e m a e s c a u s a l s i e s t e n o d e p e n d e d e v a l o r e s f u t u r o s d e l a s e n t r a d a s p a r a d e t e r m i n a r l a s a l i d a . L o q u e

s i g n i c a q u e s i l a p r i m e r e n t r a d a e s r e c i b i d a e n t i e m p o t0 , e l s i s t e m a n o d e b e r á d a r n i n g u n a s a l i d a h a s t a e s e

t i e m p o . U n e j e m p l o d e u n s i s t e m a n o - c a u s a l p u e d e s e r a q u e l q u e a l d e t e c t a r q u e v i e n e u n e n t r a d a d a l a

s a l i d a a n t e s d e q u e l a e n t r a d a l l e g u e .

S i s t e m a n o - C a u s a l

F i g u r e 2 . 1 6 : E n e s t e s i s t e m a n o - c a u s a l , l a s a l i d a e s p r o d u c i d a d a d o a u n a e n t r a d a d q u e o c u r r i ó d e s p u é s

e n e l t i e m p o .

U n s i s t e m a c a u s a l t a m b i é n s e c a r a c t e r i z a p o r u n a r e s p u e s t a a l i m p u l s o h (t) q u e e s c e r o p a r a t < 0 .



C h a p t e r 3

A n á l i s i s d e S i s t e m a s d e T i e m p o

C o n t i n u o e n e l D o m i n i o d e l T i e m p o

3 . 1 S i s t e m a s L i n e a l e s C T y E c u a c i o n e s D i f e r e n c i a l e s

1

3 . 1 . 1 S i s t e m a s L i n e a l e s d e T i e m p o - C o n t i n u o

F í s i c a m e n t e r e a l i z a b l e , l o s s i s t e m a s l i n e a l e s i n v a r i a n t e s e n e l t i e m p o p u e d e n s e r d e s c r i t o s p o r u n c o n j u t o d e

e c u a c i o n e s l i n e a l e s d i f e r e n c i a l e s :

F i g u r e 3 . 1 : D e s c r i b c i ó n g r á c a d e u n s i s t e m a b á s i c o l i n e a l i n v a r i a n t e e n e l t i e m p o c o n u n a e n t r a d a ,

f (t) y u n a s a l i d a , y (t) .

dn

dtny (t) + an−1

dn−1

dtn−1y (t) + · · · + a1

d

dty (t) + a0y (t) = bm

dm

dtmf (t) + · · · + b1

d

dtf (t) + b0f (t)

E q u i v a l e n t e m e n t e ,

ni=0

ai

di

dtiy (t)

=

mi=0

bi

di

dtif (t)

( 3 . 1 )

c o n an = 1.

E s f á c i l m o s t r a q u e e s t a s e c u a c i o n e s d e n e n u n s i s t e m a q u e e s l i n e a l e i n v a r i a n t e e n e l t i e m p o . E n t o n c e s

u n a p r e g u n t a n a t u r a l e s ¾ c ó m o e n c o n t r a r l a r e s p u e s t a a l i m p u l s o d e l s i s t e m a y (t) p a r a u n a e n t r a d a f (t) ? .

R e c o r d a n d o q u e t a l s o l u c i ó n s e p u e d e e s c r i b i r c o m o :

y (t) = yi (t) + ys (t)

N o s r e f e r i m o s a

yi (t) c o m o l a r e s p u e s t a d e s a l i d a - c e r o l a s o l u c i ó n h o m o g e n e a d e b i d o a l a s c o n d i c i o n e s

i n i c i a l e s d e l s i s t e m a . N o s r e f e r i m o s a

ys (t) c o m o l a r e s p u e s t a d e e s t a d o - c e r o l a s o l u c i ó n p a r t i c u l a r e n

1


3 7



3 8

C H A P T E R 3 . A N Á L I S I S D E S I S T E M A S D E T I E M P O C O N T I N U O E N E L

D O M I N I O D E L T I E M P O

r e s p u e s t a a l a e n t r a d a f (t). A h o r a v e r e m o s c o m o r e s o l v e r c a d a u n a d e e s t o s c o m p o n e n t e s d e l a r e s p u e s t a

d e l s i s t e m a .

3 . 1 . 1 . 1 E n c o n t r a n d o l a R e s p u e s t a d e E n t r a d a - C e r o

L a r e s p u e s t a d e l a e n t r a d a - c e r o , yi (t) , e s l a r e s p u e s t a d e l s i s t e m a d e b i d o s o l o a l a s c o n d i c i o n e s i n i c i a l e s .

E x a m p l e 3 . 1 : R e s p u e s t a d e l a E n t r a d a - C e r o

P o n e r u n v o l t a j e a t r a v é s d e u n a c a p a c i t o r e n u n c i r c u i t o d i b u j a d o a c o n t i n u a c i ó n y d e j e t o d o l o

d e m á s s o l o .

F i g u r e 3 . 2

E x a m p l e 3 . 2 : R e s p u e s t a d e l a E n t r a d a - C e r o

I m a g i n e u n a m a s a u n i d i a a u n r e s o r t e c o m o s e m u e s t r a a c o n t i n u a c i ó n . C u a n d o j a l a l a m a s a h a c i a

a b a j o y l a s u e l t e , u s t e d t i e n e u n e j e m p l o d e l a r e s p u e s t a d e l a e n t r a d a - c e r o .

F i g u r e 3 . 3

N o h a y e n t r a d a , a s í q u e r e s o l v e m o s p a r a : y0 (t) t a l q u e

ni=0

ai

di

dtiy0 (t)

= 0 , an = 1 ( 3 . 2 )

S i D e s e l o p e r a d o r d e r i v a d o , p o d e m o s e s c r i b i r l a e c u a c i ó n a n t e r i o r c o m o : Dn + an−1Dn−1 + · · · + a0

y0 (t) = 0 ( 3 . 3 )

P u e s t o q u e n e c e s i t a m o s u n a s u m a d e v a r i o s y0 (t) ' s d e r v a d o s p a r a s e r 0 p a r a t o d o t , e n t o n c e s y0 (t) , d

dty0 (t) , d2

dt2y0 (t) , . . .

d e b e n d e s e r t o d o s d e l a m i s m a f o r m a .

S o l o e l e x p o n e n c i a l , est d o n d e s ∈ C, t i e n e e s t a p r o p i e d a d ( v é a s e u n l i b r o d e t e x t o d e E c u a c i o n e s

D i f e r e n c i a l e s p a r a m á s d e t a l l e s ) . A s í q u e a s u m i m o s q u e ,

y0 (t) = cest , c = 0 ( 3 . 4 )

p a r a a l g u n c y s .

S i n c e

ddt

y0 (t) = csest ,

d2

dt2y0 (t) = cs2est , . . . t e n e m o s

Dn + an−1Dn−1 + · · · + a0

y0 (t) = 0

c

sn + an−1sn−1 + · · · + a1s + a0

est = 0 ( 3 . 5 )



3 9

( 3 . 5 ) s e m a n t i e n e p a r a t o d o t s o l o c u a n d o

sn + an−1sn−1 + · · · + a1s + a0 = 0 ( 3 . 6 )

D o n d e e s t a e c u a c i ó n e s c o n o c i d a c o m o l a e c u a c i ó n c a r a c t e r í s t i c a d e l s i s t e m a . L o s p o s i b l e s v a l o r e s d e

ss o n l a s r a i c e s o c e r o s d e e s t e p o l i n o m i o s1, s2, . . . , sn

(s − s1) (s − s2) (s − s3) . . . (s − sn) = 0

e s d e c i r l a s p o s i b l e s s o l u c i o n e s s o n : c1es1t , c2es2t , . . ., cnesnt . Y a q u e e l s i s t e m a e s l i n e a l , l a s o l u c i ó n g e n e r a l

e s d e l a f o r m a :

y0 (t) = c1es1t + c2es2t + · · · + cnesnt ( 3 . 7 )

E n t o n c e s , r e s o l v e r p a r a c1, . . . , cn u s a n d o l a s c o n d i c i o n e s i n i c i a l e s .

E x a m p l e 3 . 3

V é a s e L a t h i p . 1 0 8 p a r a u n b u e n e j e m p l o .

G e n e r a l m e n t e a s u m i m o s q u e l a s I C ' s d e u n s i s t e m a s o n c e r o , l o q u e i m p l i c a q u e yi (t) = 0 . S i n e m b a r g o ,

e l m é t o d o d e r e s o l v e r p a r a

yi (t)s e p r o b a r á m á s a d e l a n t e .

3 . 1 . 1 . 2 E n c o n t r a n d o l a R e s p u e s t a d e l E s t a d o - C e r o

R e s o l v i e n d o u n a e c u a c i ó n l i e n a l d i f e r e n c i a l

ni=0

ai

di

dtiy (t)

=

mi=0

bi

di

dtif (t)

( 3 . 8 )

d a d a u n a e n t r a d a e s p e c í c a f (t) e s u n a t a r e a d i f í c i l e n g e n e r a l . M á s i m p o r t a n t e m e n t e , e l m é t o d o d e p e n d e

c o m p l e t a m e n t e e n l a n a t u r a l e z a d e f (t); s i c a m b i a m o s l a s e ñ a l d e e n t r a d a , d e b e m o s d e r e - r e s o l v e r e l s i s t e m a

d e e c u a c i o n e s p a r a e n c o n t r a r l a r e s p u e s t a d e l s i s t e m a .

L a C o n v o l u c i ó n ( S e c t i o n 3 . 2 ) n o s a y u d a a p a s a r e s t a s d i c u l t a d e s . E n l a s e c c i ó n e x p l i c a m o s c o m o l a

c o n v o l u c i ó n n o s a y u d a a d e t e r m i n a r l a s a l i d a d e l s i s t e m a , d a d a s o l o l a e n t r a d a

f (t) y l a r e s p u e s t a a l i m p u l s o

d e l s i s t e m a ,

h (t) .

A n t e s d e d e r i v a r e l p r o c e d i m i e n t o d e c o n v o l u c i ó n , m o s t r a m o s q u e l a r e s p u e s t a a l i m p u l s o e s d e r i v a d a

f a c i l m e n t e d e s u e c u a c i ó n l i n e a l d i f e r e n c i a l ( L D E ) . M o s t r a r e m o s l a d e r i v a c i ó n d e l s i g u i e n t e L D E , d o n d e

m < n :

dn

dtny (t) + an−1

dn−1

dtn−1y (t) + · · · + a1

d

dty (t) + a0y (t) = bm

dm

dtmf (t) + · · · + b1

d

dtf (t) + b0f (t) ( 3 . 9 )

P o d e m o s r e e s c r i b i r ( 3 . 9 ) c o m o

QD [y (t)] = P D [f (t)] ( 3 . 1 0 )

d o n d e QD [·] e s u n a o p e r a d o r q u e m a p e a y (t) a l l a d o i z q u i e r d o d e l a ( 3 . 9 )

QD

[y (t)] =dn

dtny (t) + a

n−1dn−1

dtn−1y (t) +

· · ·+ a

1

d

dty (t) + a

0y (t) ( 3 . 1 1 )

y

P D [·] m a p e a

f (t) a l l a d o d e r e c h o d e l a ( 3 . 9 ) . L a t h i m u e s t r a ( e n e l A p e n d i c e 2 . 1 ) q u e l a r e s p u e s t a a l

i m p u l s o d e l s i s t e m a d e s c r i t o p o r ( 3 . 9 ) e s d a d o p o r :

h (t) = bnδ (t) + P D [yn (t)] µ (t) ( 3 . 1 2 )

d o n d e p a r a m < n w e h a v e bn = 0 . T a m b i é n , yn i g u a l a l a r e s p u e s t a s a l i d a - c e r o c o n l a s c o n d i c i o n e s

i n i c i a l e s . yn−1 (0) = 1, yn−2 (0) = 1, . . . , y (0) = 0



4 0



3 . 2 C o n v o l u c i ó n d e T i e m p o - C o n t i n u o

2

3 . 2 . 1 M o t i v a c i ó n

L a c o n v o l u c i ó n n o s a y u d a a d e t e r m i n a r e l e f e c t o q u e t i e n e e l s i s t e m a e n l a s e ñ a l d e e n t r a d a . P u e d e s e r v i s t o

q u e e l s i s t e m a l i n e a l d e t i e m p o i n v a r i a n t e ( S e c t i o n 2 . 1 ) e s c o m p l e t a m e n t e c a r a c t e r i z a d o p o r s u r e s p u e s t a

a l i m p u l s o . A p r i m e r a v i s t a , e s t o p u e d e p a r e c e r d e p e q u e ñ o u s o , y a q u e l a s f u n c i o n e s d e i m p u l s o n o e s t á n

b i e n d e n i d a s e n a p l i c a c i o n e s r e a l e s . S i n e m b a r g o l a p r o p i e d a d d e d e s p l a z a m i e n t o d e l i m p u l s o n o s d i c e

q u e u n a s e ñ a l p u e d e s e r d e s c o m p u e s t a e n u n a s u m a i n n i t a ( i n t e g r a l ) d e i m p u l s o s e s c a l a d o s y d e s p l a z a d o s .

C o n o c i e n d o c o m o u n s i s t e m a a f e c t a u n i m p u l s o s i m p l e , y e n t e n d i e n d o l a m a n e r a e n q u e u n a s e ñ a l e s a b a r c a d a

p o r i m p u l s o s e s c a l d o s y s u m a d o s , s u e n a r a z o n a b l e q u e s e a p o s i b l e e s c a l a r y s u m a r l a r e s p u e s t a a l i m p u l s o

a u n s i s t e m a e n p a r a p o d e r d e t e r m i n a r q u e s e ñ a l d e s a l i d a r e s u l t a r a d e u n a e n t r a d a e n p a r t i c u l a r . E s t o

e s p r e c i s a m e n t e l o q u e l a c o n v o l u c i ó n h a c e - l a c o n v o l u c i ó n d e t e r m i n a l a s a l i d a d e l s i s t e m a p o r m e d i o

c o n o c i m i e n t o d e l a e n t r a d a y l a r e s p u e s t a a l i m p u l s o d e l s i s t e m a .

E n e l r e s t o d e e s t e m o d u l o , v a m o s a e x a m i n a r e x a c t a m e n t e c o m o l a c o n v o l u c i ó n e s d e n i d a a p a r t i r

d e l r a z o n a m i e n t o a n t e r i o r . E s t o r e s u l t a r a e n l a i n t e g r a l d e c o n v o l u c i ó n ( v é a s e l a s i g u i e n t e s e c c i ó n ) y s u s

p r o p i e d a d e s ( S e c t i o n 3 . 3 ) . E s t o s c o n c e p t o s s o n m u y i m p o r t a n t e s e n l a I n g e n i e r í a E l é c t r i c a y h a r á n l a v i d a

d e l o s i n g e n i e r o s m a s s e n c i l l a s i s e i n v i e r t e e l t i e m p o e n e n t e n d e r q u e e s l o q u e e s t a p a s a n d o .

P a r a p o d e r e n t e n d e r c o m p l e t a m e n t e l a c o n v o l u c i ó n , s e r á d e u t i l i d a d t a m b i é n v e r l a c o n v o l u c i ó n d e t i e m p o

d i s c r e t o

3

) . T a m b i é n s e r á d e g r a n a y u d a e x p e r i m e n t a r c o n l o s a p p l e t s

4

d i s p o n i b l e s e n i n t e r n e t . E s t e r e c u r s o

n o s o f r e c e r á u n a a p r o x i m a c i ó n m a s c r u c i a l d e l c o n c e p t o .

3 . 2 . 2 I n t e g r a l d e C o n v o l u c i ó n

C o m o m e n c i o n a m o s a n t e r i o r m e n t e , l a i n t e g r a l d e c o n v o l u c i ó n n o s d a u n a m a n e r a m a t e m á t i c a f á c i l d e e x p r e s a r

l a s a l i d a d e u n s i s t e m a L T I b a s a d o e n u n a s e ñ a l a r b i t r a r i a , x (t) , y l a r e s p u e s t a a l i m p u l s o , h (t) . L a i n t e g r a l

d e c o n v o l u c i ó n e s e x p r e s a d a c o m o

y (t) =

∞

−∞

x (τ ) h (t − τ ) dτ ( 3 . 1 3 )

L a c o n v o l u c i ó n e s u n a h e r r a m i e n t a m u y i m p o r t a n t e q u e e s r e p r e s e n t a d a p o r e l s í m b o l o ∗ , y p u e d e s e r e s c r i t a

c o m o

y (t) = x (t) ∗ h (t) ( 3 . 1 4 )

H a c i e n d o u n o s c a m b i o s s i m p l e s e n l a s v a r i a b l e s d e l a i n t e g r a l d e c o n v o l u c i ó n ,

τ = t − τ , p o d e m o s v e r q u e

l a c o n v o l u c i ó n e s c o n m u t a t i v a :

x (t) ∗ h (t) = h (t) ∗ x (t) ( 3 . 1 5 )

P a r a m á s i n f o r m a c i ó n d e l a s c a r a c t e r í s t i c a s d e l a i n t e g r a l d e c o n v o l u c i ó n , l é a s e s o b r e l a P r o p i e d a d e s d e l a

C o n v o l u c i ó n ( S e c t i o n 3 . 3 ) .

A h o r a p r e s e n t a r e m o s d o s a p r o x i m a c i o n e s d i s t i n t a s q u e s e d e r i v a n d e l a i n t e g r a l d e c o n v o l u c i ó n . E s t o s

p r o c e s o s , j u n t o c o n u n e j e m p l o b á s i c o , n o s a y u d a r a n p a r a c o n s t r u i r u n a i n t u i c i ó n s o b r e l a c o n v o l u c i ó n .

3 . 2 . 3 P r o c e s o I : E l m é t o d o c o r t o

E s t e p r o c e s o s i g u e d e c e r c a e l m e n c i o n a d o e n l a s e c c i ó n a n t e r i o r e n l a M o t i v a c i ó n ( S e c t i o n 3 . 2 . 1 : M o t i v a c i ó n ) .

P a r a i n i c i a r e s t o , e s n e c e s a r i o e s t a b l e c e r l a s a s u n c i o n e s q u e h a r e m o s . E n e s t e m o m e n t o , l a ú n i c a o b l i g a d a

e n n u e s t r o s i s t e m a e s q u e e s t e s e a l i n e a l e i n v a r i a n t e e n e l t i e m p o .

B r e v e d e s c r i p c i ó n d e l o s p a s o s d e e s t e P r o c e s o :

2


3

" D i s c r e t e - T i m e C o n v o l u t i o n " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 0 8 7 / l a t e s t / >

4

h t t p : / / w w w . j h u . e d u /

∼s i g n a l s



4 1

1 . U n i m p u l s o d e e n t r a d a , n o s d a c o m o s a l i d a u n a r e s p u e s t a a l i m p u l s o .

2 . U n i m p u l s o d e s p l a z a d o n o s d a c o m o s a l i d a u n a r e s p u e s t a a l i m p u l s o d e s p l a z a d a . E s t o e s d e b i d o a l a

i n v a r i a n t e e n e l t i e m p o d e l s i s t e m a

3 . P o d e m o s e s c a l a r e l i m p u l s o d e e n t r a d a p a r a o b t e n e r c o m o s a l i d a u n i m p u l s o e s c a l d o . E s t o e s u s a n d o

l a p r o p i e d a d d e l i n e a l i d a d d e l a m u l t i p l i c a c i ó n e s c a l a r .

4 . P o d e m o s s u m a r u n n ú m e r o i n n i t o d e e s t o s i m p u l s o s e s c a l a d o s p a r a o b t e n e r u n n ú m e r o i n n i t o d e

s u m a s d e r e s p u e s t a s a l i m p u l s o e s c a l a d a s . E s t o e s u s a n d o l a c u a l i d a d d e l a a d i t i v i d a d d e l i n e a l i d a d .

5 . A h o r a v e m o s q u e e s t a s u m a i n n i t a n o e s m a s q u e u n a i n t e g r a l , a s í q u e p o d e m o s c o n v e r t i r a m b o s l a d o s

e n i n t e g r a l e s .

6 . R e c o n o c i e n d o q u e l a e n t r a d a e s l a f u n c i ó n f (t) , t a m b i é n r e c o n o c e m o s q u e l a s a l i d a e s e x a c t a m e n t e l a

i n t e g r a l d e c o n v o l u c i ó n .

F i g u r e 3 . 4 : E m p e z a m o s c o n u n s i s t e m a d e n i d o p o r s u r e s p u e s t a a l i m p u l s o ,

h (t).

F i g u r e 3 . 5 : D e s p u é s c o n s i d e r a m o s u n a v e r s i ó n d e s p l a z a d a d e l i m p u l s o d e e n t r a d a . D e b i d o a l t i e m p o

i n v a r i a n t e d e l s i s t e m a , o b t e n e m o s u n a v e r s i ó n d e u n a s a l i d a d e s p l a z a d a d e l a r e s p u e s t a a l i m p u l s o .



4 2



Ê

½

½

µ Æ Ø µ

Ê

½

½

µ Ø µ

F i g u r e 3 . 6 : A h o r a u s a m o s l a p a r t e d e e s c a l a d o d e l i n e a l i d a d , e s c a l a n d o e l s i s t e m a s p o r u n v a l o r , f (τ ) ,

q u e e s c o n s t a n t e c o n r e s p e c t o a l s i s t e m a v a r i a b l e ,

t.

F i g u r e 3 . 7 : A h o r a p o d e m o s u s a r e l a s p e c t o d e a d i t i v i d a d d e l i n e a l i d a d p a r a s u m a r u n n ú m e r o i n n i t o

d e e s t o s , p a r a c a d a p o s i b l e τ . C o m o u n a s u m a i n n i t a e s e x a c t a m e n t e u n a i n t e g r a l , t e r m i n a m o s c o n

l a i n t e g r a l c o n o c i d a c o m o i n t e g r a l d e c o n v o l u c i ó n . U s a n d o l a p r o p i e d a d d e d e s p l a z a m i e n t o , p o d e m o s

r e c o n o c e r e l l a d o i z q u i e r d o c o m o l a e n t r a d a

f (t).

3 . 2 . 4 P r o c e s o I I : E l m é t o d o l a r g o

E s t e m é t o d o r e a l m e n t e n o e s m u y d i f e r e n t e d e l a n t e r i o r , s i n e m b a r g o e s u n p o c o m a s r i g u r o s o y m a s l a r g o .

E s p e r a n z a d a m e n t e s i n o s e c o m p r e n d i ó b i e n e l m é t o d o d e a r r i b a , e s t o t e a y u d a r a p a r a t e r m i n a r d e e n t e n d e r

l a c o n v o l u c i ó n .

E l p r i m e r p a s o e n e s t e m é t o d o e s d e n i r u n a r e a l i z a c i ó n p a r t i c u l a r d e l a f u n c i ó n d e i m p u l s o u n i t a r i o .

P a r a e s t o u s a r e m o s δ∆ (t) =

1∆ i f − ∆2 < t < ∆

2

0 o t h e r w i s e



4 3

F i g u r e 3 . 8 : L a r e a l i z a c i ó n d e l a f u n c i ó n d e i m p u l s o u n i t a r i o q u e u s a r e m o s p a r a e s t a d e r i v a c i ó n .

D e s p u é s d e d e n i r l a r e a l i z a c i ó n d e l a u n i d a d d e r e s p u e s t a a l i m p u l s o , p o d e m o s o b t e n e r n u e s t r a i n t e g r a l

d e c o n v o l u c i ó n d e l o s s i g u i e n t e s p a s o s q u e s e e n c u e n t r a n e n l a s i g u i e n t e t a b l a . N o t e m o s q u e l a c o l u m n a d e

l a i z q u i e r d a r e p r e s e n t a l a e n t r a d a y l a c o l u m n a d e l a d e r e c h a e s l a s a l i d a d e l s i s t e m a d a d a e s a e n t r a d a .

P r o c e s o I I d e l a I n t e g r a l d e C o n v o l u c i ó n

E n t r a d a S a l i d a

lim∆→0

δ∆ (t)

→h

→lim∆→0

h (t)

lim∆→0

δ∆ (t − n∆) → h → lim∆→0

h (t − n∆)

lim∆→0

f (n∆) δ∆ (t − n∆) ∆ → h → lim∆→0

f (n∆) h (t − n∆) ∆

lim∆→0

n (f (n∆) δ∆ (t − n∆)∆) → h → lim

∆→0

n (f (n∆) h (t − n∆)∆) ∞

−∞ f (τ ) δ (t − τ ) dτ → h → ∞−∞ f (τ ) h (t − τ ) dτ

f (t) → h → y (t) = ∞−∞ f (τ ) h (t − τ ) dτ

3 . 2 . 5 I m p l e m e n t a c i ó n d e l a C o n v o l u c i ó n

T o m a n d o u n a v i s i ó n m a s c e r c a n a d e l a i n t e g r a l d e c o n v o l u c i ó n , e n c o n t r a m o s q u e e s t a m o s m u l t i p l i c a n d o l a

s e ñ a l d e e n t r a d a p o r u n a r e s p u e s t a a l i m p u l s o i n v e r t i d a e n t i e m p o e i n t e g r á n d o l a . E s t o n o s d a r á e l v a l o r d e l a

s a l i d a d e u n v a l o r d a d o d e t . S i d e s p u é s n o s o t r o s c a m b i a m o s l a r e s p u e s t a a l i m p u l s o i n v e r t i d a e n t i e m p o p o r

u n a p e q u e ñ a c a n t i d a d , o b t e n e m o s l a s a l i d a p a r a o t r o v a l o r d e t . R e p i t i e n d o e s t o p a r a c a d a p o s i b l e v a l o r d e t ,

n o s d a l a f u n c i ó n t o t a l d e s a l i d a . N o s o t r o s n u n c a h a r e m o s e s t e m é t o d o a m a n o , n o s p r o p o r c i o n a i n f o r m a c i ó n

c o n a l g u n a s e n t r a d a s d e q u e e s l o q u e e s t a p a s a n d o . E n c o n t r a m o s q u e e s e n c i a l m e n t e e s t a m o s r e v i r t i e n d o

l a f u n c i ó n d e l a r e s p u e s t a a l i m p u l s o y d e s p l a z á n d o l a a t r a v é s d e l a f u n c i ó n d e e n t r a d a , i n t e g r á n d o l a c o m o

v a m o s . E s t e m é t o d o , d e s c r i t o c o m o e l m e t o d o g r á c o , n o s p r o p o r c i o n a u n a m a n e r a s e n c i l l a d e r e s o l v e r

l a s s a l i d a s p a r a s e ñ a l e s s e n c i l l a s , m i e n t r a s t a n t o m e j o r a r e m o s n u e s t r a i n t u i c i ó n p a r a l o s c a s o s m a s c o m p l e j o s



4 4



d o n d e c o n a r e m o s e n l a s c o m p u t a d o r a s . D e h e c h o l a s T e x a s I n s t r u m e n t s

5

s e c o n v i e r t e n e n P r o c e s a m i e n t o

D i g i t a l d e S e ñ a l e s

6

l a s c u a l e s t i e n e n u n c o n j u n t o e s p e c i a l p a r a c ó m p u t o s a s í c o m o p a r a l a c o n v o l u c i ó n .

E x a m p l e 3 . 4

E s t a d e m o s t r a c i ó n i l u s t r a r a e l m é t o d o g r á c o p a r a l a c o n v o l u c i ó n . V é a s e a q u í

7

p a r a l a s i n s t r u c -

c i o n e s d e c ó m o s e u s a e s t e d e m o .


h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 2 8 / l a t e s t / C T _ C o n v o l u t i o n . l l b

3 . 2 . 6 E j e m p l o s B á s i c o s

V e a m o s e j e m p l o s d e l a c o n v o l u c i ó n b á s i c a d e t i e m p o - c o n t i n u o p a r a p o d e r e x p r e s a r a l g u n a s i d e a s m e n c i o n a d a s

a n t e r i o r m e n t e e n e l e j e m p l o c o r t o . V a m o s a c o n v o l v e r d o s p u l s o s u n i t a r i o s ,

x (t)y

h (t).

( a ) ( b )

F i g u r e 3 . 9 : A q u i h a y d o s s e ñ a l e s b á s i c a s q u e u s a r e m o s p a r a c o n v o l u c i o n a r j u n t a s .

3 . 2 . 6 . 1 R e e j a d a y D e s p l a z a d a

A h o r a t o m a r e m o s u n a d e l a s f u n c i o n e s y l a r e e j a r e m o s a t r a v é s d e l e j e d e l a s y . D e s p u é s d e b e m o s d e s p l a z a r

l a f u n c i ó n , a s í c o m o e l o r i g e n , e l p u n t o d e l a f u n c i ó n q u e o r i g i n a l m e n t e e s t a b a e n e l o r i g e n , e s t a m a r c a d a c o m o

e l p u n t o τ . E s t e p a s o s e m u e s t r a e n l a s i g u i e n t e g u r a , h (t

−τ ) . C o m o l a c o n v o l u c i ó n e s c o n m u t a t i v a n o

i m p o r t a q u e f u n c i ó n e s r e e j a d a y d e s p l a z a d a , s i n e m b a r g o c o n f o r m e l a s f u n c i o n e s s e v u e l v e n m a s c o m p l i c a d a s

r e e j a r y d e s p l a z a r l a c o r r e c t a n o s h a r á e l p r o b l e m a m a s s e n c i l l o .

5

h t t p : / / w w w . t i . c o m

6

h t t p : / / d s p v i l l a g e . t i . c o m / d o c s / t o o l s s o f t w a r e h o m e . j h t m l

7




4 5

F i g u r e 3 . 1 0 : E l p u l s o u n i t a r i o r e e j a d o y d e s p l a z a d o .

3 . 2 . 6 . 2 R e g i o n e s d e I n t e g r a c i ó n

A h o r a v e r e m o s l a f u n c i ó n y d i v i d i r e m o s s u d o m i n i o e n d o s l í m i t e s d i f e r e n t e s d e i n t e g r a c i ó n . E s t a s d o s

r e g i o n e s d i f e r e n t e s p u e d e n s e r e n t e n d i d a s p e n s a n d o e n c o m o n o s d e s p l a z a m o s h (t − τ ) s o b r e l a o t r a f u n c i ó n .

S i l a f u n c i ó n f u e r a m a s c o m p l i c a d a n e c e s i t a r e m o s t e n e r m a s l i m i t e s p a r a q u e l a s p a r t e s s o b r e p u e s t a s d e

l a s d o s f u n c i o n e s p u e d a n s e r e x p r e s a d a s e n u n a i n t e g r a l l i n e a l s e n c i l l a . P a r a e s t e p r o b l e m a t e n d r e m o s l a s

s i g u i e n t e s c u a t r o r e g i o n e s . C o m p á r e n s e e s t o s l i m i t e s d e i n t e g r a c i ó n c o n l o s d e l o s b o s q u e j o s d e h (t − τ )y x (t) p a r a v e r s i s e p u e d e e n t e n d e r e l p o r q u e t e n e m o s c u a t r o r e g i o n e s . N ó t e s e q u e t e n l o s l i m i t e s d e

i n t e g r a c i ó n s e r e e r e a l l a d o d e r e c h o d e l a f u n c i ó n h (t − τ ), m a r c a d a c o m o t e n t r e c e r o y u n o e n l a g r á c a .

L o s c u a t r o l i m i t e s d e i n t e g r a c i ó n

1 .

t < 02 . 0 ≤ t < 13 . 1 ≤ t < 24 . t ≥ 2

3 . 2 . 6 . 3 U s a n d o l a I n t e g r a l d e C o n v o l u c i ó n

F i n a l m e n t e e s t a m o s l i s t o s p a r a u n a s p e q u e ñ a s m a t e m á t i c a s . U s a n d o l a i n t e g r a l d e c o n v o l u c i ó n , i n t e g r e m o s

e l p r o d u c t o d e x (t) h (t − τ ). P a r a l a p r i m e r y c u a r t a r e g i ó n e s t r i v i a l p u e s s i e m p r e s e r á , 0 . L a s e g u n d a

r e g i ó n , 0≤

t < 1 , r e q u i e r e l a s s i g u i e n t e s m a t e m á t i c a s :

y (t) = t0

1dτ

= t( 3 . 1 6 )

L a t e r c e r r e g i ó n , 1 ≤ t < 2 , T o m e m o s n o t a d e l o s c a m b i o s e n n u e s t r a i n t e g r a c i ó n . C o n f o r m e m o v e m o s

h (t − τ ) a t r a v é s d e l a o t r a f u n c i ó n , l a p a r t e i z q u i e r d a d e l a f u n c i ó n , t − 1 , s e c o n v i e r t e e s n u e s t r o l i m i t e



4 6



i n f e r i o r p a r a l a i n t e g r a l . E s t o s e m u e s t r a a t r a v é s d e l a i n t e g r a l d e c o n v o l u c i ó n c o m o

y (t) =

1

t−1 1dτ

= 1 − (t − 1)= 2 − t

( 3 . 1 7 )

L a s f o r m u l a s a n t e r i o r e s m u e s t r a n e l m é t o d o p a r a c a l c u l a r l a c o n v o l u c i ó n ; s i n e m b a r g o n o d e j e q u e l a

s i m p l i c i d a d d e e s t e e j e m p l o l o c o n f u n d a c u a n d o t r a b a j e c o n o t r o s p r o b l e m a s . E l m é t o d o s e r á e l m i s m o , s o l o

s e t e n d r á q u e t r a t a r c o n m a s m a t e m á t i c a s e n i n t e g r a l e s m a s c o m p l i c a d a s .

3 . 2 . 6 . 4 R e s u l t a d o s d e l a C o n v o l u c i ó n

A s í , o b t e n e m o s l o s s i g u i e n t e s r e s u l t a d o s p a r a n u e s t r a s c u a t r o r e g i o n e s :

y (t) =

0 i f t < 0

t i f 0

≤t < 1

2 − ti f 1 ≤ t < 2

0 i f t ≥ 2

( 3 . 1 8 )

A h o r a q u e e n c o n t r a m o s e l r e s u l t a d o p a r a c a d a u n a d e l a s c u a t r o r e g i o n e s , p o d e m o s c o m b i n a r l a s y g r a c a r

l a c o n v o l u c i ó n d e x (t) ∗ h (t).

F i g u r e 3 . 1 1 : M u e s t r a l a r e s p u e s t a a l i m p u l s o d e l a e n t r a d a , x (t).

3 . 3 P r o p i e d a d e s d e l a C o n v o l u c i ó n

8

E n e s t e m o d u l o v e r e m o s v a r i a s d e l a s p r o p i e d a d e s d e c o n v o l u c i ó n q u e m a s p r e v a l e c e n . N ó t e s e q u e e s t a s

p r o p i e d a d e s s e a p l i c a n a a m b a s c o n v o l u c i o n e s d e t i e m p o c o n t i n u o ( S e c t i o n 3 . 2 ) y d e t i e m p o d i s c r e t o ( S e c -

t i o n 4 . 2 ) . ( V é a s e l o s d o s m ó d u l o s a n t e r i o r e s s i n e c e s i t a u n r e p a s o d e c o n v o l u c i ó n ) . T a m b i é n p a r a a l g u n a s

8




4 7

d e m o s t r a c i o n e s d e l a s p r o p i e d a d e s , u s a r e m o s l a s i n t e g r a l e s d e t i e m p o - c o n t i n u o , p e r o p o d e m o s p r o b a r l a s d e

l a m i s m a m a n e r a u s a n d o l a s s u m a t o r i a s d e t i e m p o - d i s c r e t o .

3 . 3 . 1 A s o c i a t i v i d a d

T h e o r e m 3 . 1 : L e y A s o c i a t i v a

f 1 (t) ∗ (f 2 (t) ∗ f 3 (t)) = (f 1 (t) ∗ f 2 (t)) ∗ f 3 (t) ( 3 . 1 9 )

F i g u r e 3 . 1 2 : I m p l i c a c i ó n g r á c a d e l a p r o p i e d a d d e a s o c i a t i v i d a d d e l a c o n v o l u c i ó n .

3 . 3 . 2 C o n m u t a t i v i d a d

T h e o r e m 3 . 2 : : L e y C o n m u t a t i v a

y (t) = f (t) ∗ h (t)

= h (t) ∗ f (t)( 3 . 2 0 )

P r o o f : P a r a p r o b a r l a ( 3 . 2 0 ) , l o ú n i c o q u e t e n e m o s q u e h a c e r e s u n p e q u e ñ o c a m b i o d e v a r i a b l e

e n n u e s t r a i n t e g r a l d e c o n v o l u c i ó n ( o s u m a ) ,

y (t) = ∞−∞ f (τ ) h (t − τ ) dτ ( 3 . 2 1 )

D e j a n d o τ = t − τ , p o d e m o s m o s t r a r f á c i l m e n t e q u e l a c o n v o l u c i ó n e s c o n m u t a t i v a :

y (t) = ∞−∞ f (t − τ ) h (τ ) dτ

= ∞−∞ h (τ ) f (t − τ ) dτ

( 3 . 2 2 )

f (t) ∗ h (t) = h (t) ∗ f (t) ( 3 . 2 3 )



4 8



F i g u r e 3 . 1 3 : L a g u r a m u e s t r a q u e a m b a s f u n c i o n e s p u e d e n s e r v i s t a s c o m o e n t r a d a s d e l s i s t e m a

m i e n t r a s l o o t r o e s l a r e s p u e s t a a l i m p u l s o .

3 . 3 . 3 D i s t r i b u c i ó n

T h e o r e m 3 . 3 : L e y D i s t r i b u t i v a

f 1 (t)

∗(f 2 (t) + f 3 (t)) = f 1 (t)

∗f 2 (t) + f 1 (t)

∗f 3 (t) ( 3 . 2 4 )

P r o o f : L a d e m o s t r a c i ó n d e e s t e t e o r e m a p u e d e s e r t o m a d a d i r e c t a m e n t e d e l a d e n i c i ó n d e

c o n v o l u c i ó n y u s a n d o l a l i n e a l i d a d d e l a i n t e g r a l .



4 9

F i g u r e 3 . 1 4

3 . 3 . 4 D e s p l a z a m i e n t o e n e l T i e m p o

T h e o r e m 3 . 4 : P r o p i e d a d d e D e s p l a z a m i e n t o

P a r a c (t) = f (t) ∗ h (t) , e n t o n c e s

c (t − T ) = f (t − T ) ∗ h (t) ( 3 . 2 5 )

y

c (t − T ) = f (t) ∗ h (t − T ) ( 3 . 2 6 )



5 0



( a )

( b )

( c )

F i g u r e 3 . 1 5 : D e m o s t r a c i ó n G r á c a d e l a p r o p i e d a d d e d e s p l a z a m i e n t o .

3 . 3 . 5 C o n v o l u c i ó n c o n u n I m p u l s o

T h e o r e m 3 . 5 : C o n v o l u c i ó n c o n I m p u l s o U n i t a r i o

f (t) ∗ δ (t) = f (t) ( 3 . 2 7 )

P r o o f : P a r a e s t e d e m o s t r a c i ó n , d e j a r e m o s q u e

δ (t) s e a e l i m p u l s o u n i t a r i o l o c a l i z a d o e n e l o r i g e n .

U s a n d o l a d e n i c i ó n d e c o n v o l u c i ó n e m p e z a m o s c o n l a i n t e g r a l d e c o n v o l u c i ó n

f (t) ∗ δ (t) =

∞−∞

δ (τ ) f (t − τ ) dτ ( 3 . 2 8 )

D e l a d e n i c i ó n d e l i m p u l s o u n i t a r i o , c o n o c e m o s q u e δ (τ ) = 0 s i e m p r e q u e τ = 0. U s a m o s e s t e

h e c h o p a r a r e d u c i r l a e c u a c i ó n a n t e r i o r y o b t e n e r l o s i g u i e n t e :

f (t) ∗ δ (t) = ∞−∞ δ (τ ) f (t) dτ

= f (t) ∞−∞ (δ (τ )) dτ

( 3 . 2 9 )

L a i n t e g r a l d e δ (τ ) s o l o t e n d r á u n v a l o r c u a n d o τ = 0 ( d e l a d e n i c i ó n d e l i m p u l s o u n i t a r i o ) , p o r

l o t a n t o e s a i n t e g r a l s e r á i g u a l a u n o . D o n d e p o d e m o s s i m p l i c a r l a e c u a c i ó n d e n u e s t r o t e o r e m a :

f (t) ∗ δ (t) = f (t) ( 3 . 3 0 )



5 1

( a )

( b )

F i g u r e 3 . 1 6 : L a s g u r a s y e c u a c i o n e s a n t e r i o r e s , r e v e l a n l a f u n c i ó n i d e n t i d a d d e l i m p u l s o u n i t a r i o .

3 . 3 . 6 A n c h o

E n t i e m p o c o n t i n u o , s i l a Duracin (f 1) = T 1 y l a D u r a c i ó n (f 2) = T 2 , e n t o n c e s

Duracin (f 1

∗f 2) = T 1 + T 2 ( 3 . 3 1 )



5 2



( a )

( b )

( c )

F i g u r e 3 . 1 7 : E n t i e m p o c o n t i n u o , l a d u r a c i ó n d e l a c o n v o l u c i ó n r e s u l t a i g u a l a l a s u m a d e l a s l o n g i t u d e s

d e c a d a u n a d e l a s d o s s e ñ a l e s c o n v o l u c i o n a d a s .

E n t i e m p o d i s c r e t o s i l a D u r a c i ó n (f 1) = N 1 y l a D u r a c i ó n (f 2) = N 2 , e n t o n c e s

Duracin (f 1 ∗ f 2) = N 1 + N 2 − 1 ( 3 . 3 2 )



5 3

3 . 3 . 7 C a u s a l i d a d

S i f y h s o n a m b a s c a u s a l e s , e n t o n c e s f ∗ h t a m b i é n e s c a u s a l .

3 . 4 E s t a b i l i d a d B I B O

9

B I B O e s p a r a e n t r a d a a c o t a d a , s a l i d a a c o t a d a ( b o u n d e d i n p u t , b o u n d e d o u t p u t ) . B I B O e s t a b l e e s u n a

c o n d i c i ó n , t a l q u e c u a l q u i e r e n t r a d a a c o t a d a n o s d a u n a s a l i d a a c o t a d a . E s t o e s q u e c o n f o r m e n o s o t r o s

p o n g a m o s u n a e n t r a d a e s t a b l e , n o s g a r a n t i z a o b t e n e r u n a s a l i d a e s t a b l e .

P a r a e n t e n d e r e s t e c o n c e p t o , p r i m e r o d e b e m o s v e r q u e s i g n i c a e x a c t a m e n t e a c o t a d o . U n a s e ñ a l a c o t a d a

e s c u a l q u i e r s e ñ a l t a l q u e e x i s t e u n v a l o r d o n d e e l v a l o r a b s o l u t o d e l a s e ñ a l n u n c a e s m a y o r p a r a a l g ú n v a l o r .

Y a q u e e l v a l o r e s a r b i t r a r i o , l o q u e q u e r e m o s d e c i r e s q u e e n n i n g ú n p u n t o l a s e ñ a l p u e d e t e n d e r a i n n i t o .

F i g u r e 3 . 1 8 : U n a s e ñ a l a c o t a d a e s u n a s e ñ a l p a r a l a c u a l e x i s t e u n c o n s t a n t e

At a l q u e

|f (t) | < A ,

U n a v e z q u e y a t e n e m o s i d e n t i c a d o l o q u e s i g n i c a u n a s e ñ a l a c o t a d a , d e b e m o s m o v e r n u e s t r a a t e n c i ó n

a l a c o n d i c i ó n q u e u n s i s t e m a d e b e p o s e e r p a r a g a r a n t i z a r q u e s i u n a s e ñ a l p a s a a t r a v é s d e l s i s t e m a , u n a

s e ñ a l a c o t a d a s e p r e s e n t a r a e n l a s a l i d a . R e s u l t a q u e u n s i s t e m a L T I ( S e c t i o n 2 . 1 ) c o n t i n u o e n e l t i e m p o c o n

u n a r e s p u e s t a a l i m p u l s o

h (t) e s e s t a b i l i d a d B I B O s i y s o l o s i

C o n d i c i ó n d e T i e m p o - C o n t i n u o p a r a E s t a b i l i d a d B I B O

∞

−∞ |h (t)

|dt <

∞( 3 . 3 3 )

E s t o e s d e c i r q u e l a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a e s a b s o l u t a m e n t e i n t e g r a b l e .

E x t e n d i e n d o e s t e c o n c e p t o a t i e m p o - d i s c r e t o t o m a m o s l a t r a n s i c i ó n e s t á n d a r d e i n t e g r a c i ó n a s u m a t o r i a

y o b t e n e m o s l a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a

h (n) , q u e d e b e s e r a b s o l u t a m e n t e s u m a b l e . E s t o e s

C o n d i c i ó n d e T i e m p o - D i s c r e t o p a r a E s t a b i l i d a d B I B O

∞n=−∞

(|h (n) |) < ∞ ( 3 . 3 4 )

9




5 4



3 . 4 . 1 E s t a b i l i d a d y L a p l a c e

L a e s t a b i l i d a d e s m u y f á c i l d e d e d u c i r d e s d e l a g r á c a d e p o l o s y c e r o s ( S e c t i o n 1 4 . 6 ) d e u n a f u n c i ó n d e

t r a n s f e r e n c i a . L a ú n i c a c o n d i c i ó n n e c e s a r i a p a r a d e m o s t r a r l a e s t a b i l i d a d e s d e m o s t r a r q u e e l e j e -

jωe s e n

l a r e g i ó n d e c o n v e r g e n c i a

( a ) ( b )

F i g u r e 3 . 1 9 : ( a ) E j e m p l o d e u n a g r á c a d e p o l o s y c e r o s p a r a u n s i s t e m a e s t a b l e d e t i e m p o - c o n t i n u o .

( b ) E j e m p l o d e u n a g r á c a d e p o l o s y c e r o s p a r a u n s i s t e m a i n e s t a b l e d e t i e m p o c o n t i n u o .

3 . 4 . 2 E s t a b i l i d a d y l a T r a n s f o r m a d a Z

L a e s t a b i l i d a d p a r a l a s s e ñ a l e s d e t i e m p o - d i s c r e t o ( S e c t i o n 1 . 1 ) e n e l d o m i n i o - z ( S e c t i o n 1 5 . 1 ) e s t a n f á c i l

d e d e m o s t r a r c o m o l o e s p a r a l a s s e ñ a l e s d e t i e m p o - c o n t i n u o e n e l d o m i n o L a p l a c e . S i n e m b a r g o e n l u g a r

d e l a r e g i ó n d e c o n v e r g e n c i a R O C ( r e g i o n o f c o n v e r g e n c e ) n e c e s a r i a p a r a c o n t e n e r e l e j e - jω , l a R O C d e b e

c o n t e n e r e l c í r c u l o u n i t a r i o .



5 5

( a ) ( b )

F i g u r e 3 . 2 0 : ( a ) U n s i s t e m a e s t a b l e d e t i e m p o - d i s c r e t o . ( b ) U n s i s t e m a i n e s t a b l e d e t i e m p o - d i s c r e t o .



5 6





C h a p t e r 4

A n á l i s i s d e S i s t e m a s D i s c r e t o s e n e l

D o m i n i o d e l T i e m p o

4 . 1 A n á l i s i s e n e l D o m i n i o d e l T i e m p o p a r a S i s t e m a s D i s c r e t o s

1

U n a s e ñ a l d i s c r e t a s (n) e s r e t r a s a d a p o r n0 m u e s t r a s , c u a n d o s e e s c r i b e s (n − n0), c o n n0 > 0. O p t a m o s

p o r q u e n0 t e n g a a v a n c e s n e g a t i v o s s o b r e l o s n ú m e r o s e n t e r o s . O p u e s t o a l o s r e t r a s o s a n á l o g o s

2

, l o s r e t r a s o s

d i s c r e t o s e n e l t i e m p o s o l o p u e d e n t e n e r e l v a l o r d e n ú m e r o s e n t e r o s . E n e l d o m i n i o d e l a f r e c u e n c i a , e l

r e t r a s o d e l a s e ñ a l c o r r e s p o n d e a u n d e s p l a z a m i e n t o l i n e a r e n e l á n g u l o d e l a s e ñ a l d i s c r e t a d e l a T r a n s f o r m a d a

d e F o u r i e r

s (n − n0) ↔ e−(j2πfn0)S

ej2πf

.

U n s i s t e m a l i n e a l d i s c r e t o t i e n e p r o p i e d a d e s d e s u p e r p o s i c i ó n :

S (a1x1 (n) + a2x2 (n)) = a1S (x1 (n)) + a2S (x2 (n)) ( 4 . 1 )

U n s i s t e m a d i s c r e t o e s l l a m a d o i n v a r i a n t e a l d e s p l a z a m i e n t o ( a n á l o g o a l o s s i s t e m a s d e t i e m p o i n v a r i a n t e

3

) s i e l r e t r a s o e n l a e n t r a d a o c u r r e e n l a s a l i d a .

S i S (x (n)) = y (n) , e n t o n c e s

S (x (n − n0)) = y (n − n0) ( 4 . 2 )

N o s o t r o s u s a m o s e l t é r m i n o i n v a r i a n t e a l d e s p l a z a m i e n t o p a r a e n f a t i z a r q u e e l r e t r a s o p u e d e o c u r r i r s o l o

e n l o s n ú m e r o s e n t e r o s d e l s i s t e m a d i s c r e t o , m i e n t r a s t a n t o e n l a s s e ñ a l e s a n á l o g a s , l o s r e t r a s o s p u e d e n s e r

v a l o r e s a r b i t r a r i o s .

N o s o t r o s q u e r e m o s c o n c e n t r a r n o s e n s i s t e m a s q u e s o n l i n e a l e s e i n v a r i a n t e s a l d e s p l a z a m i e n t o . E s t o s e r á

l o q u e n o s p e r m i t i r á t e n e r t o d o e l c o n t r o l e n e l a n á l i s i s d e l d o m i n i o d e l a f r e c u e n c i a y e l c o n t r o l d e s u

i m p l e m e n t a c i ó n . P o r q u e n o t e n e m o s u n a c o n e x i ó n f í s i c a e n l a c o n s t r u c c i ó n d e l s i s t e m a , n e c e s i t a m o s s o l a -

m e n t e t e n e r e s p e c i c a c i o n e s m a t e m á t i c a s . E n l o s s i s t e m a s a n á l o g o s , l a s e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s e s p e c i c a n

l a e n t r a d a y l a s a l i d a d e l d o m i n i o d e l t i e m p o . L a c o r r e s p o n d i e n t e e s p e c i c a c i ó n d i s c r e t a e s t a d a d a e n u n a

e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l :

y (n) = a1y (n − 1) + · · · + a py (n − p) + b0x (n) + b1x (n − 1) + · · · + bqx (n − q) ( 4 . 3 )

L a s a l i d a d e l a s e ñ a l y (n) e s r e l a c i o n a d a a s u s v a l o r e s p a s a d o s p o r m e d i o d e y (n − l), l = 1, . . . , p , a l o s

v a l o r e s a c t u a l e s y a l o s v a l o r e s p a s a d o s d e l a e n t r a d a d e l a s e ñ a l s e r e p r e s e n t a n p o r m e d i o d e x (n) . L a s

c a r a c t e r í s t i c a s d e l s i s t e m a s o n d e t e r m i n a d a s p o r l a e l e c c i ó n d e c u a n t o s n ú m e r o s t e n d r a n l o s c o e c i e n t e s p y

q e l v a l o r d e l o s c o e c i e n t e s a1, . . . , a p y b0, b1, . . . , bq .

1


2

" S i m p l e S y s t e m s " : S e c t i o n D e l a y < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 0 0 6 / l a t e s t / # d e l a y >

3

" S i m p l e S y s t e m s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 0 0 6 / l a t e s t / # p a r a 4 w r a >

5 7



5 8

C H A P T E R 4 . A N Á L I S I S D E S I S T E M A S D I S C R E T O S E N E L D O M I N I O D E L

T I E M P O

a d e m a s : H a y u n a a s i m e t r í a e n l o s c o e c i e n t e s : ¾ C u á n d o e s a0 ? E s t o s c o e c i e n t e s m u l t i p l i c a r a n

e l t é r m i n o

y (n) e n ( 4 . 3 ) . N o s o t r o s d i v i d i r e m o s l a e c u a c i ó n p o r e l l a , l o c u a l n o c a m b i a r a l a r e l a c i ó n

d e s a l i d a - e n t r a d a . H e m o s c r e a d o l a s i g u i e n t e c o n v e n c i ó n :

a0 e s s i e m p r e u n o .

A l c o n t r a r i o d e u n a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l q u e s o l o p r o v e e u n a d e s c r i p c i ó n i m p l í c i t a d e u n s i s t e m a ( n o s o t r o s

d e b e m o s r e s o l v e r l a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l ) , l a s e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s p r o v e e n u n a m a n e r a e x p l i c i t a d e

r e s o l v e r l a s ; c a l c u l a n d o l a s s a l i d a s p a r a c a d a e n t r a d a . N o s o t r o s s i m p l e m e n t e e x p r e s a r e m o s l a s e c u a c i o n e s

d i f e r e n c i a l e s c o n u n p r o g r a m a q u e c a l c u l a c a d a s a l i d a u s a n d o v a l o r e s p r e v i o s , l a s c o r r i e n t e s d e l s i s t e m a y l a s

e n t r a d a s p r e v i a s .

L a s e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s s o n u s u a l m e n t e e x p r e s a d a s e n e l s o f t w a r e c o n i t e r a c i o n e s d e " f o r " . E l

p r o g r a m a d e M A T L A B d a i n f o r m a c i ó n d e l o s p r i m e r o s 1 0 0 0 v a l o r e s f o r m a d o s p o r m e d i o d e l a s s a l i d a s .

o r n a I X I H H H

@ n A a u m @ F B @ n E I X E I X n E A A C u m @ F B @ n X E I X n E q A A Y

n d

U n d e t a l l e i m p o r t a n t e e m e r g e c u a n d o n o s o t r o s c o n s i d e r a m o s h a c e r q u e e s t e p r o g r a m a f u n c i o n e ; d e h e c h o ,

c o m o e s t a e s c r i t o t i e n e ( p o r l o m e n o s ) d o s e r r o r e s . ¾ Q u é v a l o r e s d e e n t r a d a y s a l i d a s e p u e d e n u s a r p a r a

c a l c u l a r

y (1)? N o s o t r o s n e c e s i t a m o s v a l o r e s p a r a

y (0),

y (−1), . . . , v a l o r e s q u e n o t e n e m o s a u n . P a r a

c a l c u l a r e s t o s v a l o r e s n e c e s i t a r e m o s v a l o r e s p r e v i o s . L a m a n e r a d e s a l i r d e e s t e p r o b l e m a e s e s p e c i c a r l a s

c o n d i c i o n e s i n i c i a l e s : d e b e m o s p r o v e e r p l o s v a l o r e s d e l a s a l i d a q u e o c u r r e n a n t e s q u e l a s e n t r a d a s

i n i c i a l e s . E s t o s v a l o r e s p u e d e n s e r a r b i t r a r i o s , l a d e c i s i ó n i m p a c t a e l c o m o r e s p o n d e e l s i s t e m a c o n l a s

e n t r a d a s . U n a d e c i s i ó n o c a s i o n a u n s i s t e m a l i n e a l : H a c e r l a c o n d i c i ó n i n i c i a l c e r o . L a r a z ó n s e e n c u e n t r a

e n l a d e n i c i ó n d e u n s i s t e m a l i n e a l

4

: L a ú n i c a m a n e r a q u e l a s s a l i d a s d e l a s s u m a p u e d a s e r l a s u m a d e l a

s a l i d a i n d i v i d u a l o c u r r e c u a n d o l a c o n d i c i ó n i n i c i a l e n c a d a c a s o e s c e r o .

E x e r c i s e 4 . 1

( S o l u t i o n o n p . 7 1 . )

L a c u e s t i ó n d e l a c o n d i c i ó n i n i c i a l s e r e s u e l v e a l e n t e n d e r l a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l p a r a c a d a e n t r a d a

q u e e m p i e z a e n a l g ú n í n d i c e . N o o b s t a n t e , e l p r o g r a m a n o t r a b a j a p o r c a u s a d e l a p r o g r a m a c i ó n ,

n o e s c o n c e p t u a l y c o n t i e n e e r r o r e s . ¾ Q u é e s e s t o ? , ¾ C o m ó s e p u e d e " a r r e g l a r " ?

E x a m p l e 4 . 1

V a m o s a c o n s i d e r a r u n s i s t e m a s i m p l e c o n : p = 1 y q = 0 .

y (n) = ay (n − 1) + bx (n) ( 4 . 4 )

P a r a c a l c u l a r l a s a l i d a d e a l g ú n í n d i c e , e s t a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l i n d i c a q u e n o s o t r o s n e c e s i t a m o s

l a s a l i d a p r e v i a y (n − 1) y q u e l a s e ñ a l d e l a e n t r a d a o c c u r a e n e s e m o m e n t o d e l t i e m p o . S i n

e n t r a r a d e t a l l e , v a m o s a c a l c u l a r l a s a l i d a d e l s i s t e m a p a r a u n m u e s t r e o u n i t a r i o c o m o e n t r a d a :

x (n) = δ (n). Y a q u e l a e n t r a d a e s c e r o p a r a u n í n d i c e n e g a t i v o , n o s o t r o s d e b e m o s e m p e z a r p o r

t r a t a r d e c a l c u l a r l a s a l i d a e n

n = 0 .

y (0) = ay (−1) + b ( 4 . 5 )

¾ C u á l e s e l v a l o r d e

y (−1)? Y a q u e h e m o s u s a d o l a e n t r a d a d e v a l o r c e r o p a r a t o d o s l o s í n d i c e s

n e g a t i v o s , e s r a z o n a b l e a s u m i r q u e l a s a l i d a t a m b i é n t i e n e u n v a l o r d e c e r o . S e g u r a m e n t e , l a

e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l n o d e s c r i b i r á e l s i s t e m a l i n e a l

5

s i l a e n t r a d a , l a c u a l e s c e r o t o d o e l t i e m p o

n o p r o d u j o c e r o e n l a s a l i d a . C o n e s t o p o d e m o s a s u m i r : y (−1) = 0 , d e j a n d o y (0) = b . P a r a

n > 0 , l a e n t r a d a d e u n m u e s t r a r i o u n i t a r i o e s c e r o , l o c u a l n o s d e j a c o n l a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l

4

" S i m p l e S y s t e m s " : S e c t i o n L i n e a r S y s t e m s < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 0 0 6 / l a t e s t / # l i n e a r s y s >

5

" S i m p l e S y s t e m s " : S e c t i o n L i n e a r S y s t e m s < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 0 0 6 / l a t e s t / # l i n e a r s y s >



5 9

y (n) = ay (n − 1) , n > 0 . C o n e s t o n o s o t r o s p o d e m o s p r e v e e r c o m o e l l t r o r e s p o n d e a e s t a

e n t r a d a p a r a h a c e r u n a t a b l a :

y (n) = ay (n − 1) + bδ (n) ( 4 . 6 )

n x (n) y (n)

−1 0 0

0 1 b

1 0 ba

2 0 ba2

: 0 :

n 0 ban

F i g u r e 4 . 1

L o s v a l o r e s d e l c o e c i e n t e d e t e r m i n a n e l c o m p o r t a m i e n t o d e l a s a l i d a . E l p a r á m e t r o b p u e d e s e r

c u a l q u i e r v a l o r , y s i r v e c o m o g a n a n c i a . E l e f e c t o d e l p a r á m e t r o a e s m á s c o m p l i c a d o ( F i g u r e 4 . 1 ) .

S i e s i g u a l a c e r o , l a s a l i d a s i m p l e m e n t e e s i g u a l a l a e n t r a d a p o r l a g a n a n c i a b . P a r a t o d o s l o s

v a l o r e s q u e n o s o n c e r o d e a, l a s a l i d a p e r d u r a p o r s i e m p r e ; t a l e s s i s t e m a s s o n c o n o c i d o s c o m o I R R

( R e s p u e s t a a l I m p u l s o I n n i t o ) . L a r a z ó n p a r a e s t a t e r m i n o l o g í a e s q u e e l m u e s t r a r i o u n i t a r i o

t a m b i é n c o n o c i d o c o m o u n i m p u l s o ( e s p e c i a l m e n t e e n u n a s i t u a c i ó n a n a l o g a ) y e l s i s t e m a r e s p o n d e n

a u n i m p u l s o q u e p e r d u r a p o r s i e m p r e . S i a e s p o s i t i v o y m e n o r q u e u n o , l a s a l i d a e s u n a

d e s c o m p o s i c i ó n e x p o n e n c i a l . C u a n d o

a = 1 , l a s a l i d a e s u n e s c a l ó n u n i t a r i o . S i

ae s n e g a t i v a y m á s

g r a n d e q u e

−1 , l a s a l i d a o s c i l a m i e n t r a s o c c u r r e u n a d e s c o m p o s i c i ó n e x p o n e n c i a l . C u a n d o

a =

−1 ,

l a s a l i d a c a m b i a s u s i g n o p a r a s i e m p r e , a l t e r n a n d o e n t r e b y −b . H a y e f e c t o s m á s d r a m á t i c o s

c u a n d o |a| > 1 ; s i e s p o s i t i v o o n e g a t i v o , l a s a l i d a d e l a s e ñ a l s e h a c e m á s y m á s g r a n d e c r e c i e n d o

e x p o n e n c i a l m e n t e .

1

n

y(n)a = 0.5, b = 1

n

-1

1

y(n)a = –0.5, b = 1

n0

2

4

y(n)a = 1.1, b = 1

x(n)

n

n

F i g u r e 4 . 2 : L a e n t r a d a p a r a e l e j e m p l o d e s i s t e m a s i m p l e , u n m u e s t r e o u n i t a r i o e s m o s t r a d a a r r i b a ,

c o n l a s s a l i d a s p a r a v a r i o s v a l o r e s d e p a r a m e t r o s d e s i s t e m a s m o s t r a d a s a b a j o .



6 0


T I E M P O

V a l o r e s p o s i t i v o s d e a s o n u s a d o s e n m o d e l o s d e p o b l a c i ó n p a r a d e s c r i b i r c o m o e l t a m a ñ o d e

u n a p o b l a c i ó n c r e c e a t r a v é s d e l t i e m p o . A q u í ,

np u e d e c o r r e s p o n d e r a g e n e r a c i ó n . L a e c u a c i ó n

d i f e r e n c i a l i n d i c a q u e e l n ú m e r o e n l a s i g u i e n t e g e n e r a c i ó n e s a l g ú n m ú l t i p l o d e u n v a l o r p r e v i o .

S i e s t e m ú l t i p l o e s m e n o r q u e u n o , l a p o b l a c i ó n s e e x t i n g u e ; s i e s m a y o r q u e u n o , l a p o b l a c i ó n s e

i n c r e m e n t a . L a m i s m a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l t a m b i é n d e s c r i b e e l e f e c t o s d e l l o s i n t e r e s c o m p u e s t o .

A q u í n m a r c a e l t i e m p o e n e l c u a l e l i n t e r e s c o m p u e s t o o c u r r e ( d i a r i o , m e n s u a l , e t c . ) , a e s i g u a l

a l a t a z a d e i n t e r é s c o m p u e s t o , y b = 1 ( e l b a n c o n o d a n i n g u n a g a n a n c i a ) . E n l a a p l i c a c i ó n p a r a

p r o c e s a r s e ñ a l e s , n o s o t r o s t í p i c a m e n t e r e q u e r i m o s q u e l a s a l i d a c o n t i n u é a c o t a d a p a r a c u a l q u i e r

e n t r a d a . P a r a n u e s t r o e j e m p l o , e s o s i g n i c a q u e p o d e m o s r e s t r i g i r |a| = 1 y e s c o g e r v a l o r e s p a r a

e s t o y l a g a n a n c i a s e g ú n s u a p l i c a c i ó n .

E x e r c i s e 4 . 2

( S o l u t i o n o n p . 7 1 . )

N o t e q u e e n l a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l ( 4 . 3 ) ,

y (n) = a1y (n − 1) + · · · + a py (n − p) + b0x (n) + b1x (n − 1) + · · · + bqx (n − q)

n o t i e n e t é r m i n o s c o m o

y (n + 1) o

x (n + 1) e n e l l a d o d e r e c h o d e l a e c u a c i ó n . ¾ P u e d e n e s t o s

t é r m i n o s s e r i n c l u i d o s ? ¾ P o r q u é o p o r q u é n o ?

y(n)

n

15

F i g u r e 4 . 3 : L a g r a c a m u e s t r a l a r e s p u e s t a d e u n m u e s t r e o u n i t a r i o c o n u n l t r o b o x c a r d e l o n g i t u d 5 .

E x a m p l e 4 . 2

U n s i s t e m a u n p o c o d i f e r e n t e q u e n o c o n t i e n e l o s c o e c i e n t e s " a" . C o n s i d e r e l a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l :

y (n) =1

q(x (n) + · · · + x (n − q + 1)) ( 4 . 7 )

Y a q u e l a s a l i d a d e l s i s t e m a n a d a m a s d e p e n d e d e l o s v a l o r e s a c t u a l e s y p r e v i o s d e l o s v a l o r e s d e

e n t r a d a , n o s o t r o s n o n e c e s i t a m o s p r e o c u p a r n o s p o r l a s c o n d i c i o n e s i n i c i a l e s . C u a n d o l a e n t r a d a e s

u n m u e s t r e o u n i t a r i o , e l r e s u l t a d o e s i g u a l a

1q

p a r a n = 0, . . . , q − 1, e n t o n c e s e s i g u a l a c e r o

d e s p u é s d e e s o . E s t o s s i s t e m a s s o n c o n o c i d o s c o m o F I R ( R e s p u e s t a d e I m p u l s o F i n i t o o e n i n g l e s

F i n i t e I m p u l s e R e s p o n s e ) p o r q u e s u r e s p u e s t a d e m u e s t r e o u n i t a r i o t i e n e u n a d u r a c i ó n n i t a . A l

g r a c a r e s t a r e s p u e s t a s e v e c o m o ( F i g u r e 4 . 3 ) l a r e s p u e s t a d e m u e s t r e o u n i t a r i o e s u n p u l s o d e

a n c h o q y a l t u r a

1q

. E s t a s e ñ a l e s t a m b i é n c o n o c i d a c o m o b o x c a r , p o r e s o a e s t e s i s t e m a s e l e l e d a

e l n o m b r e d e l t r o d e b o x c a r . ( E n l a p r o x i m a s e c c i ó n d e r i v a r e m o s s u r e s p u e s t a e n f r e c u e n c i a y

d e s a r r o l l a r e m o s s u i n t e r p r e t a c i ó n a l l t r a r . ) P o r a h o r a , o b s e r v e q u e l a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l d i c e q u e

c a d a v a l o r e n l a s a l i d a e s i g u a l a l p r o m e d i o d e l a c o r r i e n t e d e l a s e n t r a d a s d e l o s v a l o r e s a n t e r i o r e s .

A s í , e l v a l o r d e l a s a l i d a e s i g u a l a l p r o m e d i o a c t u a l d e l o s v a l o r e s d e l a s e n t r a d a s p r e c i a s q . P o r l o

t a n t o e s t e s i s t e m a s e p u e d e u s a r p a r a p r o d u c i r e l p r o m e d i o d e l a s t e m p e r a t u r a s s e m a n a l e s ( q = 7 )

q u e s e p u e d e n a c t u a l i z a r d i a r i a m e n t e .



6 1

4 . 2 C o n v o l u c i ó n D i s c r e t a

6

4 . 2 . 1 I d e a s G e n e r a l e s

C o n v o l u c i ó n e s u n v a l o r q u e s e e x t i e n d e a t o d o s l o s s i s t e m a s q u e s o n i n v a r i a n t e s l i n e a r d e l t i e m p o

( S e c t i o n 2 . 1 ) ( L T I - L i n e a r T i m e I n v a r i a n t ) . L a i d e a d e c o n v o l u c i ó n d i s c r e t a e s l a m i s m a q u e l a d e

c o n v o l u c i ó n c o n t i n u a ( S e c t i o n 3 . 2 ) . P o r e s t a r a z ó n , p u e d e s e r d e g r a n a y u d a e l v e r l a s d o s v e r s i o n e s p a r a

q u e u s t e d e n t i e n d a l a e x t r e m a i m p o r t a n c i a d e l c o n c e p t o . R e c u e r d e q u e l a c o n v o l u c i ó n e s u n i n s t r u m e n t o

p o d e r o s o a l d e t e r m i n a r e l r e s u l t a d o d e u n s i s t e m a d e s p u é s d e s a b e r l a u n a e n t r a d a a r b i t r a r i a y l a r e s p u e s t a

a l i m p u l s o d e l s i s t e m a . P u e d e s e r t a m b i é n ú t i l a l v e r l a c o n v o l u c i ó n g r á c a m e n t e c o n s u s p r o p i o s o j o s y j u g a r

c o n e s t e c o n c e p t o u n p o c o , a s í q u e e x p e r i m e n t e c o n l a s a p l i c a c i o n e s

7

q u e e s t á n d i s p o n i b l e s e n l a I n t e r n e t .

E s t o s r e c u r s o s o f r e c e r á n m é t o d o s d i f e r e n t e s p a r a a p r e n d e r e s t e c o n c e p t o c r u c i a l .

4 . 2 . 2 S u m a d e C o n v o l u c i ó n

C o m o y a h a s i d o m e n c i o n a d o , l a s u m a d e c o n v o l u c i ó n p r o v e e u n a m a n e r a m a t e m á t i c a m a n t e c o n c i s a p a r a

e x p r e s a r e l r e s u l t a d o d e u n s i s t e m a L T I , b a s a d o e n u n a e n t r a d a a r b i t r a r i a p a r a u n a s e ñ a l d i s c r e t a y t a m b i é n

e l s a b e r l a r e s p u e s t a d e l s i s t e m a . L a s u m a d e c o n v o l u c i ó n e s e x p r e s a d a c o m o

y [n] =

∞k=−∞

(x [k] h [n − k]) ( 4 . 8 )

A s í c o m o e n t i e m p o c o n t i n u o l a c o n v o l u c i ó n e s r e p r e s e n t a d o p o r e l s í m b o l o * , y p u e d e s e r e s c r i t a c o m o

y [n] = x [n] ∗ h [n] ( 4 . 9 )

A l h a c e r u n s i m p l e c a m b i o d e v a r i a b l e s e n l a s u m a d e c o n v o l u c i ó n , k = n−k , p o d e m o s d e m o s t r a r f á c i l m e n t e

q u e l a c o n v o l u c i ó n e s c o n m u t a t i v a :

x [n] ∗ h [n] = h [n] ∗ x [n] ( 4 . 1 0 )

P a r a m a s i n f o r m a c i ó n s o b r e l a s c a r a c t e r í s t i c a s d e c o n v o l u c i ó n , l e a l a s p r o p i e d a d e s d e c o n v o l u c i ó n ( S e c -

t i o n 3 . 3 ) .

4 . 2 . 3 D e r i v a c i ó n

S a b e m o s q u e l a s s e ñ a l e s d i s c r e t a s p u e d e n s e r r e p r e s e n t a d a s p o r l a s u m a d e i m p u l s e s d i s c r e t o s q u e e s t á n

d e s p l a z a d o s y e s c a l a d o s . Y a q u e e s t a m o s a s u m i e n d o q u e e l s i s t e m a e s l i n e a r e i n v a r i a n t e c o n e l t i e m p o ,

s e v e r a z o n a b l e d e c i r q u e l a e n t r a d a d e l a s e ñ a l e s t a f o r m a d a p o r i m p u l s e s q u e t a m b i é n e s t á n e s c a l a d o s y

d e s p l a z a d o s , e s t o e n t u r n o d a r í a c o m o r e s u l t a d o d e l s i s t e m a u n a s u m a d e r e s p u e s t a d e i m p u l s e q u e t a m b i é n

e s t á n e s c a l a d a s y d e s p l a z a d a s . E s t o e s e x a c t a m e n t e l o q u e o c u r r e e n c o n v o l u c i ó n . A b a j o p r e s e n t a m o s u n a

m a n e r a m a t e m á t i c a r i g u r o s a d e v e r e s t a d e r i v a c i ó n :

A l d e j a r H s e r u n s i s t e m a D T L T I , e m p e z a r e m o s c o n l a s i g u i e n t e e c u a c i ó n y t r a b a j a r e m o s h a s t a l l e g a r a

l a s u m a d e c o n v o l u c i o n !

y [n] = H [x [n]]= H ∞

k=−∞ (x [k] δ [n − k])

=∞

k=−∞ (H [x [k] δ [n − k]])

=∞

k=−∞ (x [k] H [δ [n − k]])

=∞

k=−∞ (x [k] h [n − k])

( 4 . 1 1 )

6


7

h t t p : / / w w w . j h u . e d u /

∼s i g n a l s



6 2


T I E M P O

D e m o s u n v i s t a z o r á p i d o a l o s p a s o s t o m a d o s e n l a d e r i v a c i ó n a n t e r i o r . D e s p u é s d e n u e s t r a e c u a c i ó n

i n i c i a l , n o s o t r o s u s a m o s l a p r o p i e d a d d e d e s p l a z a m i e n t o ( S e c t i o n 1 . 4 . 1 . 1 : L a p r o p i e d a d d e d e s p l a z a m i e n t o

d e l i m p u l s o ) d e l D T p a r a r e - e s c r i b i r l a f u n c i ó n ,

x [n], c o m o u n a s u m a d e f u n c i o n e s m u l t i p l i c a d a p o r u n a

s u m a u n i t a r i a . D e s p u é s , m o v e m o s e l o p e r a d o r

Hy l a s u m a t o r i a

H[

·] e s l i n e a r , e n e l s i s t e m a D T . P o r e s t a

l i n e a l i d a d y p o r e l h e c h o q u e , x [k] e s c o n s t a n t e p o d e m o s e x t r a e r l a c o n s t a n t e s y a m e n c i o n a d a s y n a d a m a s

m u l t i p l i c a r l a e c u a c i ó n p o r H [·] . F i n a l m e n t e , u s a m o s e l d a t o q u e H [·] e s i n v a r i a n t e c o n e l t i e m p o p a r a

l l e g a r a n u e s t r a e c u a c i ó n d e s e a d a - l a s u m a d e c o n v o l u c i o n !

U n e j e m p l o g r a c o p u e d e a y u d a r e n d e m o s t r a r p o r q u e l a c o n v o l u c i ó n f u n c i o n a

F i g u r e 4 . 4 : U n a s i m p l e e n t r a d a c o n i m p u l s o d a c o m o r e s u l t a d o l a r e s p u e s t a d e i m p u l s o d e l s i s t e m a .

F i g u r e 4 . 5 : U n i m p u l s o e s c a l a d o c o m o e n t r a d a d a c o m o r e s u l t a d o u n a r e s p u e s t a e s c a l a d a , y a q u e t i e n e

l a p r o p i e d a d d e e s c a l m i e n t o p a r a u n s i s t e m a l i n e a l .



6 3

F i g u r e 4 . 6 : A h o r a u s a r e m o s l a p r o p i e d a d d e t i e m p o i n v a r i a n t e d e l s i s t e m a p a r a d e m o s t r a r q u e u n a

e n t r a d a q u e e s t a d a s p l a z a d a d a c o m o r e s u l t a d o u n a s a l i d a c o n l a m i s m a f o r m a , s o l o q u e e s t a d e s p l a z a d a

p o r l a m i s m a c a n t i d a d q u e l a e n t r a d a .

F i g u r e 4 . 7 : A h o r a u s a r e m o s l a p r o p i e d a d d e a d i c i o n d e l s i s t e m a l i n e a l p a r a c o m p l e t a r l a g u r a . y a q u e

c u a l q u i e r s e ñ a l d i s c r e t a e s n a d a m a s l a s u m a d e i m p u l s o s d i s c r e t o s q u e e s t a n d e s p l a z a d o s y e s c a l a d o s ,

p o d e m o s e n c o n t r a r l a s a l i d a c o n t a n s o l o s a b e r l a s e ñ a l d e e n t r a d a y s u r e s p u e s t a a l i m p u l s o .

4 . 2 . 4 C o n v o l u c i o n a t r a v é s d e l E j e d e l T i e m p o ( U n m é t o d o g r a c o )

E n e s t a s e c c i ó n d e s a r r o l l a r e m o s u n a i n t e r p r e t a c i ó n g r a c a d e l a c o n v o l u c i ó n d i s c r e t a . E m p e z a r e m o s p o r

e s c r i b i r l a s u m a d e c o n v o l u c i ó n d e j a n d o

xs e r c a u s a l , d e t a m a ñ o -

my

hs e r c a u s a l , d e l t a m a ñ o -

k, e n u n



6 4


T I E M P O

s i s t e m a L T I . E s t o n o s d a u n a s u m a t o r i a n i t a ,

y [n] =m−1

l=0

(x [l] h [n − l]) ( 4 . 1 2 )

N o t e q u e p a r a c u a l q u i e r n t e n e m o s l a s u m a d e p r o d u c t o s d e xl d e s p l a z a d o s e n e l t i e m p o p o r h−l . E s t o e s

u n a m a n e r a d e d e c i r q u e m u l t i p l i c a m o s l o s t é r m i n o s d e x p o r l o s t é r m i n o s r e e x i o n a d o s e n e l t i e m p o d e hy l o s s u m a m o s d e s p u é s .

R e g r e s a m o s a l o s e j e m p l o s a n t e r i o r e s :

F i g u r e 4 . 8 : E s t o e s l o q u e e s p e r a m o s e n c o n t r a r .

F i g u r e 4 . 9 : E s t o e s e l r e e j o d e l a r e s p u e s t a d e l i m p u l s o , h , y s e e m p i e z a a m o v e r a t r a v e z d e l t i e m p o

0.



6 5

F i g u r e 4 . 1 0 : C o n t i n u a m o s c o n e l m o v i i m i e n t o . V e a q u e a l t i e m p o

1, e s t a m o s m u l t i p l i c a n d o d o s

e l e m e n t o s d e l a s e ñ a l d e e n t r a d a y d o s e l e m e n t o s d e l a r e s p u e s t a d e l i m p u l s o .

F i g u r e 4 . 1 1



6 6


T I E M P O

F i g u r e 4 . 1 2 : S i s e g u i m o s e s t o u n p a s o m a s ,

n = 4, p o r d i a m o s v e r q u e p r o d u c i m o s l a m i s m a s a l i d a q u e

v i m o s e n e l e j e m p l o i n i c i a l .

L o s q u e e s t a m o s h a c i e n d o e n l a d e m o s t r a c i ó n d e a r r i b a e s r e e j a r l a r e s p u e s t a d e l i m p u l s o e n e l t i e m p o

y h a c e r l o c a m i n a r a t r a v é s d e l a e n t r a d a e n l a s e ñ a l . C l a r a m e n t e , e s t o d a e l m i s m o r e s u l t a d o q u e e s c a l a r ,

d e s p l a z a r , y s u m a r r e s p u e s t a s d e i m p u l s o s .

E s t e m é t o d o d e r e e x i ó n e n e l t i e m p o , y d e m o v e r a t r a v é s d e l a s e ñ a l e s u n a m a n e r a c o m ú n d e p r e s e n t a r

l a c o n v o l u c i ó n , y a q u e d e m u e s t r a c o m o l a c o n v o l u c i ó n c o n s t r u y e e l r e s u l t a d o a t r a v é s d e l e j e d e l t i e m p o .

4 . 3 C o n v o l u c i ó n C i r c u l a r y e l D F T

8

4 . 3 . 1 I n t r o d u c c i ó n

U s t e d d e b e r í a f a m i l i a r i z a r s e c o n l a c o n v o l u c i ó n d i s c r e t a ( S e c t i o n 4 . 2 ) , q u e n o s e x p l i c a c o m o d o s s e ñ a l e s

d i s c r e t a s

x [n], l a e n t r a d a d e l s i s t e m a , y

h [n] , l a r e s p u e s t a d e l s i s t e m a , s e p u e d e d e n i r e l r e s u l t a d o d e l

s i s t e m a c o m o

y [n] = x [n] ∗ h [n]

=

∞k=−∞ (x [k] h [n − k])

( 4 . 1 3 )

C u a n d o d o s D F T s o n d a d a s ( s e c u e n c i a s d e t a m a ñ o n i t o u s u a l m e n t e d e l t a m a ñ o N ) , n o s o t r o s n o p o d e m o s

m u l t i p l i c a r e s a s d o s s e ñ a l e s a s í c o m o a s í , c o m o l o s u g i e r e l a f o r m u l a d e a r r i b a u s u a l m e n t e c o n o c i d a c o m o

c o n v o l u c i ó n l i n e a r . Y a q u e l a s D F T s o n p e r i ó d i c a s , t i e n e n v a l o r e s n o c e r o p a r a n ≥ N a s í l a m u l t i p l i c a c i ó n

d e e s t a s d o s s e ñ a l e s s e r á n o c e r o p a r a

n ≥ N . N e c e s i t a m o s d e n i r o t r o t i p o d e c o n v o l u c i o n q u e d a r á c o m o

r e s u l t a d o n u e s t r a s e ñ a l c o n v u e l t a t e n i e n d o e l v a l o r d e c e r o f u e r a d e l r a n g o

n = 0, 1, . . . , N − 1 . E s t o n o s

a y u d a a d e s a r r o l l a r l a i d e a d e c o n v o l u c i ó n c i r c u l a r , t a m b i é n c o n o c i d a c o m o c o n v o l u c i ó n c í c l i c a o p e r i ó d i c a .

8




6 7

4 . 3 . 2 F o r m u l a d e l a C o n v o l u c i ó n C i r c u l a r

¾ Q u é p a s a c u a n d o m u l t i p l i c a m o s d o s D F T u n a c o n l a o t r a , d o n d e Y [k] e s l a D F T d e y [n]?

Y [k] = F [k] H [k]( 4 . 1 4 )

c u a n d o 0 ≤ k ≤ N − 1U s a n d o l a f o r m u l a s i n t e t i z a d a d e D F T p a r a y [n]

y [n] =1

N

N −1k=0

F [k] H [k] ej

2πN

kn

( 4 . 1 5 )

Y a p l i c a n d o a n á l i s i s a l a f o r m u l a F [k] =N −1

m=0

f [m] e(−j) 2π

Nkn

y [n] = 1N

N −1k=0

N −1m=0

f [m] e(−j) 2π

Nkn

H [k] ej2πN

kn

= N −1m=0 f [m] 1

N N −1k=0 H [k] ej

2πN

k(n−m)( 4 . 1 6 )

d o n d e p o d e m o s r e d u c i r l a s e g u n d a s u m a t o r i a d e l a e c u a c i ó n d e a r r i b a e n h [((n − m))N ] =1N

N −1k=0

H [k] ej

2πN

k(n−m)

y [n] =N −1m=0

(f [m] h [((n − m))N ])

I g u a l a l a c o n v o l u c i ó n c i r c u l a r ! c u a n d o t e n e m o s 0 ≤ n ≤ N − 1 a r r i b a , p a r a o b t e n e r d o s :

y [n] ≡ (f [n] h [n]) ( 4 . 1 7 )

n o t e : Q u e l a n o t a c i ó n r e p r e s e n t a l a c o n v o l u c i o n c i r c u l a r " m o d N " .

4 . 3 . 2 . 1 P a s o s p a r a l a C o n v o l u c i ó n C i r c u l a r

L o s p a s o s a s e g u i r p a r a l a c o n v o l u c i o n c í c l i c a s o n l o s m i s m o s q u e s e u s a n e n l a c o n v o l u c i ó n l i n e a r , e x c e p t o

q u e t o d o s l o s c á l c u l o s p a r a t o d o s l o s í n d i c e s e s t á n h e c h o " m o d N " = " e n l a r u e d a "

P a s o s p a r a l a C o n v o l u c i ó n C í c l i c a

• P a s o 1 : " G r a q u e " f [m] y h [((−m))N ]

( a ) ( b )

F i g u r e 4 . 1 3 : S t e p 1



6 8


T I E M P O

• P a s o 2 : " R o t e " h [((−m))N ] n e n l a d i r e c c i ó n A C W ( d i r e c c i ó n o p u e s t a a l r e l o j ) p a r a o b t e n e r

h [((n − m))N ] ( p o r e j e m p l o r o t e l a s e c u e n c i a ,

h [n], e n d i r e c c i ó n d e l r e l o j p o r

np a s o s ) .

F i g u r e 4 . 1 4 : S t e p 2

• P a s o 3 : M u l t i p l i q u e p u n t o p o r p u n t o l a r u e d a f [m] y l a r u e d a h [((n − m))N ] w h e e l .

sum = y [n]

• P a s o 4 : R e p i t e p a r a 0 ≤ n ≤ N − 1

E x a m p l e 4 . 3 : C o n v o l v e ( n = 4 )

( a ) ( b )

F i g u r e 4 . 1 5 : D o s s e ñ a l e s d i s c r e t a s q u e s e r a n c o n v o l u c i o n a d a s .

• h [((−m))N ]

F i g u r e 4 . 1 6

M u l t i p l i q u e

f [m] y

sumep a r a d a r :

y [0] = 3



6 9

• h [((1 − m))N ]

F i g u r e 4 . 1 7

M u l t i p l i q u e

f [m] y

sumep a r a d a r :

y [1] = 5

•h [((2

−m))

N

]

F i g u r e 4 . 1 8

M u l t i p l i q u e f [m] y sume p a r a d a r : y [2] = 3

• h [((3 − m))N ]

F i g u r e 4 . 1 9

M u l t i p l i q u e f [m] y sume p a r a d a r : y [3] = 1

E x a m p l e 4 . 4

L a S i g u i e n t e D e m o s t r a c i ó n l e p e r m i t e e s t e a l g o r i t m o . V e a a q u í

9

p a r a i n s t r u c c i o n e s d e c o m o s e u s a

e s t e d e m o .

9




7 0


T I E M P O


h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 3 1 / l a t e s t / D T _ C i r c u l a r _ C o n v o l u t i o n . l l b

4 . 3 . 2 . 2 A l g o r i t m o A l t e r n o

A l g o r i t m o d e C o n v o l u c i ó n C i r c u l a r A l t e r n o

• P a s o 1 : C a l c u l e e l D F T d e f [n] q u e d a F [k] y c a l c u l e e l D F T d e h [n] q u e d a H [k] .

• P a s o 2 : M u l t i p l i q u e p u n t o p o r p u n t o

Y [k] = F [k] H [k]• P a s o 3 : I n v i e r t a e l D F T

Y [k] q u e d a

y [n]

P a r e c e u n a m a n e r a r e p e t i t i v a d e h a c e r l a s c o s a s , p e r o e x i s t e n m a n e r a s r á p i d a s d e c a l c u l a r u n a s e c u e n c i a

D F T .

P a r a c o n v o l u c i o n a r c i r c u l a r m e n t e d o s s e c u e n c i a s d e

2 N - p u n t o s :

y [n] =

N −1m=0

(f [m] h [((n − m))N ])

P a r a c u a l q u i e r n : N m ú l t i p l o s , N − 1 s u m a s

N p u n t o s i m p l i c a N 2 m u l t i p l i c a c i o n e s , N (N − 1) s u m a s i m p l i c a u n a c o m p l e j i d a d d e O

N 2

.

4 . 4 E c u a c i o n e s d e D i f e r e n c i a

1 0

1 0




7 1



L o s í n d i c e s p u e d e n s e r n e g a t i v o s , y e s t a c o n d i c i ó n n o e s p e r m i t i d a e n M A T L A B . P a r a a r r e g l a r e s t o , d e b e m o s

e m p e z a r l a s e ñ a l d e s p u é s d e e s t a c o n d i c i ó n .


E s t o s t é r m i n o s r e q u i e r e n q u e e l s i s t e m a c o n o z c a e l v a l o r f u t u r o d e l a s e n t r a d a s o d e l a s s a l i d a s a n t e s d e q u e

e l v a l o r a c t u a l h a y a s i d o c a l c u l a d o . A s í q u e e s t o s t é r m i n o s p u e d e n c a u s a r p r o b l e m a s .



7 2


T I E M P O



C h a p t e r 5

R e p a s o d e A l g e b r a L i n e a l

5 . 1 A l g e b r a L i n e a l : C o n c e p t o s B á s i c o s

1

E s t e p e q u e ñ o t u t o r i a l d a a l g u n o s t é r m i n o s c l a v e d e á l g e b r a l i n e a l , n o p r e t e n d e r e m p l a z a r o s e r m u y p r o v e c h o s o

c o m o e n a q u e l l o s q u e u s t e d p r e t e n d e g a n a r u n a p r o f u n d i d a d e n á l g e b r a l i n e a l . E n c a m b i o e s t o e s u n a p e q u e ñ a

i n t r o d u c c i ó n a a l g u n o s t é r m i n o s e i d e a s d e á l g e b r a l i n e a l p a r a d a r n o s u n p e q u e ñ o r e p a s o p a r a a q u e l l o s q u e

t r a t a n d e t e n e r u n m e j o r e n t e n d i m i e n t o o d e a p r e n d e r s o b r e e i g e n v e c t o r e s ( v e c t o r e s p r o p i o s ) y e i g e n f u n c i o n e s

( f u n c i o n e s p r o p i a s ) , q u e j u e g a n u n p a p e l m u y i m p o r t a n t e e n l a o b t e n c i ó n d e i d e a s i m p o r t a n t e s e n S e ñ a l e s

y S i s t e m a s . L a m e t a d e e s t o s c o n c e p t o s e s d e p r o v e e r u n r e s p a l d o p a r a l a d e s c o m p o s i c i ó n d e s e ñ a l e s y p a r a

c o n d u c i r n o s a l a d e r i v a c i ó n d e l a s S e r i e s d e F o u r i e r ( S e c t i o n 6 . 2 ) .

5 . 1 . 1 I n d e p e n d e n c i a L i n e a l

U n c o n j u n t o d e v e c t o r e s x1, x2, . . . , xk , xi ∈ Cn

e s l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s i n i n g u n o d e l o s

v e c t o r e s p u e d e e s c r i b i r s e c o m o u n a c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e l o s o t r o s .

D e n i t i o n 1 : 1 L i n e a l m e n t e I n d e p e n d i e n t e

U n c o n j u n t o d a d o d e v e c t o r e s x1, x2, . . . , xn , e s l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s i

c1x1 + c2x2 + · · · + cnxn = 0

s o l o c u a n d o c1 = c2 = · · · = cn = 0E x a m p l e

D a d o s l o s s i g u i e n t e s d o s v e c t o r e s :

x1 =

3

2

x2 =

−6

−4

E s t o s s o n n o l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s p o r e l s i g u i e n t e a r g u m e n t o , e l c u a l p o r i n s p e c c i ó n , s e p u e d e

v e r q u e n o s e a p e g a a l a d e n i c i ó n a n t e r i o r d e i n d e p e n d e n c i a l i n e a l :

x2 = −2x1 ⇒ 2x1 + x2 = 0

. O t r o m é t o d o p a r a v e r l a i n d e p e n d e n c i a d e l o s v e c t o r e s e s g r a c a n d o l o s v e c t o r e s . O b s e r v a n d o

e s t o s d o s v e c t o r e s g e o m é t r i c a m e n t e ( c o m o e n l a s i g u i e n t e F i g u r e 5 . 1 ) , u n o p u e d e o t r a v e z p r o b a r

q u e e s t o s v e c t o r e s s o n n o l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s .

1


7 3



7 4

C H A P T E R 5 . R E P A S O D E A L G E B R A L I N E A L

3-6

2

4

F i g u r e 5 . 1 : R e p r e s e n t a c i ó n g r á c a d e d o s v e c t o r e s q u e n o s o n l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s .

E x a m p l e 5 . 1

D a d o s l o s s i g u i e n t e s d o s v e c t o r e s :

x1 =

3

2

x2 =

1

2

E s t o s s o n l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s y a q u e

c1x1 = − (c2x2)

s o l o s i

c1 = c2 = 0 . B a s a d o s e n l a d e n i c i ó n , e s t a d e m o s t r a c i ó n m u e s t r a q u e e s t o s v e c t o r e s s o n

l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s . T a m b i é n p o d e m o s g r a c a r e s t o s d o s v e c t o r e s ( v é a s e F i g u r e 5 . 2 ) p a r a

c h e c a r l a i n d e p e n d e n c i a l i n e a l .

3

2

1

F i g u r e 5 . 2 : R e p r e s e n t a c i ó n g r á c a d e d o s v e c t o r e s q u e s o n l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s .

E x e r c i s e 5 . 1

( S o l u t i o n o n p . 9 1 . )

¾ S o n x1, x2, x3 l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s ?

x1 =

3

2



7 5

x2 =

1

2

x3 =

−1

0

C o m o p o d e m o s v e r e n l o s d o s e j e m p l o s a n t e r i o r e s , a v e c e s l a i n d e p e n d e n c i a d e v e c t o r e s p u e d e s e r v i s t a

f á c i l m e n t e a t r a v é s d e u n a g r á c a . S i n e m b a r g o e s t o n o e s t a n s e n c i l l o , c u a n d o s e n o s d a n t r e s o m á s

v e c t o r e s . P u e d e d e c i r f á c i l m e n t e c u a n d o o n o e s t o s v e c t o r e s s o n i n d e p e n d i e n t e s F i g u r e 5 . 3 . P r o b a b l e m e n t e

n o , e s t o e s , p o r l o c u a l e l m é t o d o u s a d o e n l a s o l u c i ó n a n t e r i o r s e v u e l v e i m p o r t a n t e .

3

2

1-1

F i g u r e 5 . 3 : G r á c a d e t r e s v e c t o r e s . P u e d e s e r m o s t r a d o q u e l a c o m b i n a c i ó n l i n e a l e x i s t e e n t r e l o s

t r e s , y p o r l o t a n t o e s t o s s o n

n o

l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s .

o b s e r v a c i ó n : U n c o n j u n t o d e m v e c t o r e s e n Cn

n o p u e d e s e r l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s i m > n.

5 . 1 . 2 S u b e s p a c i o G e n e r a d o

D e n i t i o n 2 : S u b e s p a c i o G e n e r a d o

E l s u b e s p a c i o g e n e r a d o o s p a n

2

d e l c o n j u t o d e v e c t o r e s x1, x2, . . . , xk e s e l c o n j u n t o d e v e c t o r e s

q u e p u e d e n s e r e s c r i t o s c o m o u n a c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e x1, x2, . . . , xk

subespaciogenerado (x1, . . . , xk) = α1x1 + α2x2 + · · · + αkxk , αi ∈ Cn

E x a m p l e

D a d o e l v e c t o r

x1 =

3

2

e l s u b e s p a c i o g e n e r a d o d e x1 e s u n a l i n e a .

E x a m p l e

D a d o l o s v e c t o r e s

x1 =

3

2

2

" S u b s p a c e s " , D e n i t i o n 2 : " S p a n " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 2 9 7 / l a t e s t / # d e f n 2 >



7 6


x2 =

1

2

E l s u b e s p a c i o g e n e r a d o p o r e s t o s v e c t o r e s e s C

2.

5 . 1 . 3 B a s e s

D e n i t i o n 3 : B a s e

U n a b a s e p a r a Cn

e s u n c o n j u n t o d e v e c t o r e s q u e : ( 1 ) g e n e r a n Cn

y ( 2 ) e s l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i -

e n t e .

C l a r a m e n t e , u n c o n j u n t o d e

nv e c t o r e s l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s e s u n a b a s e p a r a C

n.

E x a m p l e 5 . 2

D a d o e l s i g u i e n t e v e c t o r

ei =

0.

.

.

0

1

0.

.

.

0

d o n d e e l 1 e s t a s i e m p r e e n l a i- e s i m a p o s i c i ó n y l o s v a l o r e s r e s t a n t e s s o n c e r o s . E n t o n c e s l a b a s e

p a r a Cne s

ei , i = [1, 2, . . . , n] n o t e : ei , i = [1, 2, . . . , n] e s l l a m a d a l a b a s e c a n ó n i c a .

E x a m p l e 5 . 3

h1 =

1

1

h2 =

1

−1

h1, h2 e s u n a b a s e p a r a

C

2.



7 7

F i g u r e 5 . 4 : G r á c a d e b a s e s p a r a C2

S i

b1, . . . , b2

e s u n a b a s e p a r a C

n, e n t o n c e s p o d e m o s e x p r e s a r c u a l q u i e r

x

∈C

nc o m o u n a c o m b i n a c i ó n

l i n e a l d e bi ' s :

x = α1b1 + α2b2 + · · · + αnbn , αi ∈ C

E x a m p l e 5 . 4

D a d o e l s i g u i e n t e v e c t o r ,

x =

1

2

e s c r i b i e n d o x e n t é r m i n o s d e e1, e2 n o s d a

x = e1 + 2e2

E x e r c i s e 5 . 2

( S o l u t i o n o n p . 9 1 . )

T r a t e d e e s c r i b i r

xe n t é r m i n o s d e h1, h2 ( d e n i d o s e n e l e j e m p l o a n t e r i o r ) .

E n l o s d o s e j e m p l o s d e b a s e s a n t e r i o r e s ,

xe s e l m i s m o v e c t o r e n a m b o s c a s o s , p e r o p o d e m o s e x p r e s a r l o d e

v a r i a s d i f e r e n t e s m a n e r a s ( d i m o s s o l o d o s d e l a s m u c h a s p o s i b i l i d a d e s ) . S e p u e d e e x t e n d e r a u n m á s l a i d e a

d e b a s e s p a r a e s p a c i o d e f u n c i o n e s .

n o t a : : C o m o s e m e n c i o n o e n l a i n t r o d u c c i ó n , e s t o s c o n c e p t o s d e á l g e b r a l i n e a l n o s a y u d a r a n p a r a

e n t e n d e r l a s S e r i e s d e F o u r i e r ( S e c t i o n 6 . 2 ) , l a s q u e n o s d i c e n q u e p o d e m o s e x p r e s a r l a s f u n c i o n e s

p e r i ó d i c a s f (t) , e n t é r m i n o s d e s u s f u n c i o n e s d e b a s e s ejω0nt.

5 . 2 C o n c e p t o s B á s i c o s d e V e c t o r e s

3

5 . 3 E i g e n v e c t o r e s y E i g e n v a l o r e s

4

E n e s t a s e c c i ó n , n u e s t r o s i s t e m a l i n e a l s e r á u n a m a t r i z d e n ×n d e n ú m e r o s c o m p l e j o s . A l g u n o s c o n c e p t o s

d e e s t e m o d u l o e s t á n b a s a d o e n l o s c o n c e p t o s b á s i c o s d e á l g e b r a l i n e a l ( S e c t i o n 5 . 1 ) .

3


4




7 8


5 . 3 . 1 E i g e n v e c t o r e s y E i g e n v a l o r e s

S e a A u n a m a t r i z d e n ×n d o n d e A e s u n o p e r a d o r l i n e a l e n l o s v e c t o r e s d e Cn

.

Ax = b( 5 . 1 )

d o n d e x y b s o n v e c t o r e s d e n ×1 ( F i g u r e 5 . 5 ) .

( a )

( b )

F i g u r e 5 . 5 : I l u s t r a c i ó n d e u n s i s t e m a l i n e a l y v e c t o r e s .

D e n i t i o n 4 : E i g e n v e c t o r

U n e i g e n v e c t o r d e A e s u n v e c t o r v ∈ Cnt a l q u e

Av = λv ( 5 . 2 )

d o n d e λ e s l l a m a d o e l e i g e n v a l o r c o r r e s p o n d i e n t e . A s o l o c a m b i a l a l o n g i t u d d e v , n o s u d i r e c c i ó n .

5 . 3 . 1 . 1 M o d e l o G r á c o

A t r a v é s d e l a s s i g u i e n t e s F i g u r e 5 . 6 y F i g u r e 5 . 7 , v e a m o s l a s d i f e r e n c i a s d e l a ( 5 . 1 ) y d e l a ( 5 . 2 ) .



7 9

F i g u r e 5 . 6 : R e p r e s e n t a l a ( 5 . 1 ) ,

Ax = b.

S i

ve s u n e i g e n v e c t o r d e A , e n t o n c e s s o l o s u l o n g i t u d c a m b i a . V é a s e F i g u r e 5 . 7 y n o t e q u e l a l o n g i t u d

d e n u e s t r o v e c t o r e s t a s i m p l e m e n t e e s c a l a d a p o r u n a v a r i a b l e λ, l l a m a d a e i g e n v a l o r :

F i g u r e 5 . 7 : R e p r e s e n t a l a ( 5 . 2 ) , Av = λv .

n o t a : C u a n d o t r a t a m o s c o n u n a m a t r i z A, l o s e i g e n v e c t o r e s s o n l o s v e c t o r e s p o s i b l e s m á s s i m p l e s

p a r a t r a b a j a r .

5 . 3 . 1 . 2 E j e m p l o s

E x e r c i s e 5 . 3

( S o l u t i o n o n p . 9 1 . )

P o r i n s p e c c i ó n y e n t e n d i m i e n t o d e e i g e n v e c t o r e s , e n c u e n t r e l o s d o s e i g e n v e c t o r e s v1 y v2 , d e

A =

3 0

0 −1

T a m b i é n ¾ c u á l e s s o n l o s e i g e n v a l o r e s c o r r e s p o n d i e n t e s , λ1 y λ2 ? N o s e p r e o c u p e s i t i e n e p r o b l e m a s

v i e n d o e s t o s v a l o r e s d e l a i n f o r m a c i ó n d a d a h a s t a a h o r a , v e r e m o s o t r a s m a n e r a s m a s r i g u r o s a s d e

e n c o n t r a r e s t o s v a l o r e s .



8 0


E x e r c i s e 5 . 4

( S o l u t i o n o n p . 9 1 . )

M u e s t r e q u e e s t o s d o s v e c t o r e s ,

v1 = 1

1

v2 =

1

−1

s o n e i g e n v e c t o r e s d e A, d o n d e A =

3 −1

−1 3

. T a m b i é n e n c u e n t r e l o s e i g e n v a l o r e s c o r r e s p o n -

d i e n t e s .

5 . 3 . 2 C a l c u l a n d o E i g e n v a l o r e s y E i g e n v e c t o r e s

E n l o s e j e m p l o s a n t e r i o r e s , c o n a m o s e n s u e n t e n d i m i e n t o d e l a d e n i c i ó n y d e a l g u n a s o b s e r v a c i o n e s p a r a

e n c o n t r a r y p r o b a r l o s v a l o r e s d e l o s e i g e n v e c t o r e s y e i g e n v a l o r e s . S i n e m b r a g o c o m o s e p u e d e d a r c u e n t a ,

e n c o n t r a r e s t o s v a l o r e s n o s i e m p r e e s f á c i l . A c o n t i n u a c i ó n v e r e m o s u n m é t o d o m a t e m á t i c o p a r a c a l c u l a r

e i g e n v a l o r e s y e i g e n v e c t o r e s d e u n a m a t r i z .

5 . 3 . 2 . 1 E n c o n t r a n d o E i g e n v a l o r e s

E n c o n t r a r λ ∈ C t a l q u e

v = 0, d o n d e

0e s e l v e c t o r c e r o . E m p e z a r e m o s c o n l a ( 5 . 2 ) , t r a b a j e m o s d e l a

s i g u i e n t e m a n e r a m i e n t r a s e n c o n t r a m o s u n a m a n e r a e x p l i c i t a d e c a l c u l a r λ.

Av = λv

Av − λv = 0

(A − λI )v = 0

E n e l p a s o p r e v i o , u s a m o s e l h e c h o d e q u e

λv = λI v

d o n d e

I e s l a m a t r i z i d e n t i d a d .

I =

1 0 . . . 0

0 1 . . . 0

0 0.

.

.

.

.

.

0 . . . . . . 1

P o r l o t a n t o , A − λI e s j u s t o u n a m a t r i z n u e v a .

E x a m p l e 5 . 5

D a d a l a s i g u i e n t e m a t r i z , A, e n t o n c e s p o d e m o s e n c o n t r a r n u e s t r a n u e v a m a t r i z , A − λI .

A =

a11 a12

a21 a22



8 1

A − λI =

a11 − λ a12

a21 a22 − λ

S i (A − λI )v = 0 p a r a a l g ú n

v = 0 , e n t o n c e s

A − λI e s n o i n v e r t i b l e . E s t o q u i e r e d e c i r :

det (A − λI ) = 0

e s t e d e t e r m i n a n t e ( e l m o s t r a d o a r r i b a ) s e v u e l v e u n a e x p r e s i ó n p o l i n o m i a l ( d e g r a d o

n) . V é a s e e l s i g u i e n t e

e j e m p l o p a r a e n t e n d e r m e j o r .

E x a m p l e 5 . 6

E m p e z a n d o c o n l a m a t r i z

A( m o s t r a d a a c o n t i n u a c i ó n ) , e n c o n t r e m o s l a e x p r e s i ó n p o l i n o m i a l , d o n d e

n u e s t r o s e i g e n v a l o r e s s e r á n v a r i a b l e s d e p e n d i e n t e s .

A =

3 −1

−1 3

A − λI =

3 − λ −1

−1 3 − λ

det (A − λI ) = (3 − λ)2 − (−1)

2= λ2 − 6λ + 8

λ = 2, 4

E x a m p l e 5 . 7

E m p e z a n d o c o n l a m a t r i z A ( m o s t r a d a a c o n t i n u a c i ó n ) , e n c o n t r e m o s l a e x p r e s i ó n p o l i n o m i a l , d o n d e

n u e s t r o s e i g e n v a l o r e s s e r á n v a r i a b l e s d e p e n d i e n t e s .

A =

a11 a12

a21 a22

A − λI =

a11 − λ a12

a21 a22 − λ

det (A − λI ) = λ2 − (a11 + a22) λ − a21a12 + a11a22

S i n o l o h a n n o t a d o , c a l c u l a r l o s e i g e n v a l o r e s e s e q u i v a l e n t e a c a l c u l a r l a s r a í c e s d e

det (A − λI ) = cnλn

+ cn−1λn−1

+ · · · + c1λ + c0 = 0

c o n c l u s i ó n : P o r l o t a n t o u s a n d o u n o s p e q u e ñ o s c á l c u l o s p a r a r e s o l v e r l a s r a í c e s d e n u e s t r o

p o l i n o m i o , p o d e m o s e n c o n t r a r l o s e i g e n v a l o r e s d e l a m a t r i z .



8 2


5 . 3 . 2 . 2 E n c o n t r a n d o E i g e n v e c t o r e s

D a d o u n e i g e n v a l o r , λi , e l e i g e n v e c t o r a s o c i a d o e s t a d a d o p o r

Av

= λiv

A

v1.

.

.

vn

=

λ1v1.

.

.

λnvn

c o n j u n t o d e n e c u a c i o n e s c o n n i n c o g n i t a s . S i m p l e m e n t e s e r e s u e l v e n l a s s o l v e t h e n e c u a c i o n e s p a r a

e n c o n t r a r l o s e i g e n v e c t o r e s .

5 . 3 . 3 P u n t o P r i n c i p a l

E l d e c i r q u e l o s e i g e n v e c t o r e s d e

A,

v1, v2, . . . , vn

, g e n e r a n e l s u b e s p a c i o

5 Cn

, s i g n i c a q u e

v1, v2, . . . , vn

s o n l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s

6

y q u e p o d e m o s e s c r i b i r c u a l q u i e r

x ∈ Cn c o m o

x = α1v1 + α2v2 + · · · + αnvn ( 5 . 3 )

d o n d e α1, α2, . . . , αn ∈ C T o d o l o q u e e s t a m o s h a c i e n d o e s r e e s c r i b i r

xe n t é r m i n o s d e l o s e i g e n v e c t o r e s

d e A. E n t o n c e s ,

Ax = A (α1v1 + α2v2 + · · · + αnvn)

Ax = α1Av1 + α2Av2 + · · · + αnAvn

Ax = α1λ1v1 + α2λ2v2 + · · · + αnλnvn = b

p o r l o t a n t o p o d e m o s e s c r i b i r ,

x =i

(αivi)

Y e s t o n o s l l e v a a l a s i g u i e n t e r e p r e s e n t a c i ó n d e l s i s t e m a :

F i g u r e 5 . 8 : I l u s t r a c i ó n d e l s i s t e m a d o n d e d e s c o m p o n e m o s n u e s t r o v e c t o r , x, e n l a s u m a d e s u s

e i g e n v e c t o r e s .

d o n d e e n l a F i g u r e 5 . 8 t e n e m o s ,

b =i

(αiλivi)

P u n t o P r i n c i p a l : D e s c o m p o n i e n d o n u e s t r o v e c t o r , x , e n u n a c o m b i n a c i ó n d e e i g e n v e c t o r e s , l a

s o l u c i ó n d e Ax e s t a d a d a e n p i e z a s f á c i l e s d e d i g e r i r " .

5

" L i n e a r A l g e b r a : T h e B a s i c s " : S e c t i o n S p a n < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 7 3 4 / l a t e s t / # s p a n _ s e c >

6

" L i n e a r A l g e b r a : T h e B a s i c s " : S e c t i o n L i n e a r I n d e p e n d e n c e < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 7 3 4 / l a t e s t / # l i n _ i n d >



8 3

5 . 3 . 4 P r o b l e m a d e P r á c t i c a

E x e r c i s e 5 . 5

( S o l u t i o n o n p . 9 2 . )

P a r a l a s i g u i e n t e m a t r i z , A y v e c t o r x , r e s u é l v a s e p o r s u s p r o d u c t o s . T r a t e d e r e s o l v e r l o s p o r l o s

d o s d i f e r e n t e s m é t o d o s : d i r e c t a m e n t e y u s a n d o e i g e n v e c t o r e s .

A =

3 −1

−1 3

x =

5

3

5 . 4 D i a g o n a l i z a c i ó n d e M a t r i c e s

7

D e n u e s t r o e n t e n d i m i e n t o d e e i g e n v a l o r e s y e i g e n v e c t o r e s ( S e c t i o n 5 . 3 ) h e m o s d e s c u b i e r t o c i e r t a s c o s a s s o b r e

n u e s t r o o p e r a d o r , l a m a t r i z A. S a b e m o s q u e l o s e i g e n v e c t o r e s d e A g e n e r a n e l e s p a c i o Cn

y s a b e m o s c o m o

e x p r e s a r c u a l q u i e r v e c t o r x e n t é r m i n o s d e v1, v2, . . . , vn , e n t o n c e s t e n e m o s e l o p e r a d o r A c a l c u l a d o . S i

t e n e m o s A a c t u a n d o e n x , d e s p u é s e s t o e s i g u a l a A a c t u a n d o e n l a c o m b i n a c i ó n d e l o s e i g e n v e c t o r e s .

T o d a v í a t e n e m o s d o s p r e g u n t a s p e n d i e n t e s :

1 . ¾ C u á n d o l o s e i g e n v e c t o r e s v1, v2, . . . , vn d e A g e n e r a n e l e s p a c i o Cn

( a s u m i e n d o q u e v1, v2, . . . , vnl i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s ) ?

2 . ¾ C ó m o e x p r e s a m o s u n v e c t o r d a d o x e n t é r m i n o s d e v1, v2, . . . , vn ?

5 . 4 . 1 1 R e s p u e s t a a l a P r e g u n t a # 1

Q u e s t i o n 1 : ¾ C u á n d o l o s e i g e n v e c t o r e s v1, v2, . . . , vn d e A g e n e r a n e l e s p a c i o

Cn ?

S i

At i e n e

nd i f e r e n t e s e i g e n v a l o r e s

λi = λj , i = j

d o n d e i y j s o n e n t e r o s , e n t o n c e s A t i e n e n e i g e n v e c t o r e s l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s . v1, v2, . . . , vn q u e

g e n e r a n e l e s p a c i o Cn

.

n o t a : L a d e m o s t r a c i ó n d e e s t a p r o p o s i c i ó n n o e s m u y d i f í c i l , p e r o n o e s i n t e r e s a n t e p a r a i n c l u i r l a

a q u í . S i d e s e a i n v e s t i g a r e s t a i d e a , l é a s e S t r a n g G . , A l g e b r a L i n e a l y s u s a p l i c a c i o n e s p a r a l a

d e m o s t r a c i ó n .

A d e m á s , n d i f e r e n t e s e i g e n v a l o r e s s i g n i c a q u e

det (A − λI ) = cnλn

+ cn−1λn

−1

+ · · · + c1λ + c0 = 0

t i e n e n r a í c e s d i f e r e n t e s .

7




8 4


5 . 4 . 2 R e s p u e s t a a l a P r e g u n t a # 2

Q u e s t i o n 2 : ¾ C ó m o e x p r e s a m o s u n v e c t o r d a d o x e n t é r m i n o s d e v1, v2, . . . , vn?

Q u e r e m o s e n c o n t r a r

α1, α2, . . . , αn

∈C t a l q u e

x = α1v1 + α2v2 + · · · + αnvn ( 5 . 4 )

P a r a p o d e r e n c o n t r a r e l c o n j u n t o d e v a r i a b l e s , e m p e z a r e m o s p o n i e n d o l o s v e c t o r e s v1, v2, . . . , vn c o m o

c u l u m n a s e n u n a m a t r i z

V d e n ×n .

V =

.

.

.

.

.

.

.

.

.

v1 v2 . . . vn.

.

.

.

.

.

.

.

.

A h o r a l a ( 5 . 4 ) s e c o n v i e r t e e n

x =

.

.

.

.

.

.

.

.

.

v1 v2 . . . vn.

.

.

.

.

.

.

.

.

α1

.

.

.

αn

ó

x = V α

L o q u e n o s d a u n a f o r m a s e n c i l l a d e r e s o l v e r p a r a l a v a r i a b l e d e n u e s t r a p r e g u n t a

α:

α = V −1x

N o t e s e q u e V e s i n v e r t i b l e y a q u e t i e n e n c o l u m n a s l i n e a l m n e t e i n d e p e n d i e n t e s .

5 . 4 . 2 . 1 C o m e n t a r i o s A d i c i o n a l e s

R e c o r d e m o s e l c o n o c i m i e n t o d e f u n c i o n e s y s u s b a s e s y e x a m i n e m o s e l p a p e l d e

V .

x = V α

x1

.

.

.

xn

= V

α1

.

.

.

αn

d o n d e

αe s s o l o

xe x p r e s a d a e n u n a b a s e ( S e c t i o n 5 . 1 . 3 : B a s e s ) d i f e r e n t e :

x = x1

1

0.

.

.

0

+ x2

0

1.

.

.

0

+ · · · + xn

0

0.

.

.

1

x = α1

.

.

.

v1.

.

.

+ α2

.

.

.

v2.

.

.

+ · · · + αn

.

.

.

vn.

.

.

V t r a n s f o r m a

xd e l a b a s e c a n ó n i c a a l a b a s e v1, v2, . . . , vn



8 5

5 . 4 . 3 D i a g o n a l i z a c i ó n d e M a t r i c e s y S a l i d a s

T a m b i é n p o d e m o s u s a r l o s v e c t o r e s v1, v2, . . . , vn p a r a r e p r e s e n t a r l a s a l i d a b , d e l s i s t e m a :

b = Ax = A (α1v1 + α2v2 + · · · + αnvn)

Ax = α1λ1v1 + α2λ2v2 + · · · + αnλnvn = b

Ax =

.

.

.

.

.

.

.

.

.

v1 v2 . . . vn.

.

.

.

.

.

.

.

.

λ1α1

.

.

.

λ1αn

Ax = V Λα

Ax = V ΛV −1x

d o n d e Λ e s l a m a t r i z c o n e i g e n v a l o r e s e n l a d i a g o n a l :

Λ =

λ1 0 . . . 0

0 λ2 . . . 0.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 0 . . . λn

F i n a l m e n t e , p o d e m o s c a n c e l a r l a s

xy q u e d a r n o s c o n u n a e c u a c i ó n n a l p a r a A:

A = V ΛV −1

5 . 4 . 3 . 1 1 I n t e r p r e t a c i ó n

P a r a n u e s t r a i n t e r p r e t a c i ó n , r e c o r d e m o s n u e s t r a f o r m u l a s :

α = V −1x

b =i

(αiλivi)

p o d e m o s i n t e r p r e t a r e l f u n c i o n a m i e n t o d e x c o n A c o m o :

x1

.

.

.

xn

→

α1.

.

.

αn

→

λ1α1.

.

.

λ1αn

→

b1.

.

.

bn

D o n d e l o s t r e s p a s o s ( l a s e c h a s ) e n l a i l u s t r a c i ó n a n t e r i o r r e p r e s e n t a n l a s s i g u i e n t e s t r e s o p e r a c i o n e s :

1 . T r a n s f o r m a r x u s a n d o V −1 , n o s d a α2 . M u l t i p l i c a r p o r Λ3 . T r a n s f o r m a d a I n v e r s a u s a n d o V , l o q u e n o s d a b



8 6


½ E s t e e s e l p a r a d i g m a q u e u s a r e m o s p a r a l o s s i s t e m a s L T I !

F i g u r e 5 . 9 : I l u s t r a c i ó n s i m p l e d e l s i s t e m a L T I .

5 . 5 G e n e r a l i d a d e s d e E i g e n v e c t o r e s y E i g e n v a l o r e s

8

5 . 5 . 1 L a M a t r i z y s u s E i g e n v e c t o r e s

L a r a z ó n p o r l a c u a l e s t a m o s r e c a l c a n d o l a i m p o r t a n c i a d e l o s e i g e n v e c t o r e s ( S e c t i o n 5 . 3 ) e s p o r q u e l a a c c i ó n

d e u n a m a t r i z A e n u n o d e s u s e i g e n v e c t o r e s v e s

1 . E x t r e m a d a m e n t e f á c i l ( y r á p i d o ) d e c a l c u l a r

Av = λv( 5 . 5 )

s o l o m u l t i p l i c a r v p o r λ.

2 . f á c i l d e i n t e r p r e t a r : A s o l o e s c a l a v , m a n t e n i e n d o s u d i r e c c i ó n c o n s t a n t e y s o l o a l t e r a l a l o n g i t u d d e l

v e c t o r .

S i s o l o c a d a v e c t o r f u e r a u n e i g e n v e c t o r d e A. . . .

5 . 5 . 2 U s a n d o e l E s p a c i o G e n e r a d o p o r l o s E i g e n v e c t o r e s

C l a r o q u e n o t o d o s l o s v e c t o r e s p e r o p a r a c i e r t a s m a t r i c e s ( i n c l u i d a s a q u e l l a s c o n e i g e n v a l o r e s λ' s ) , c u y o s

e i g e n v e c t o r e s g e n e r a n e l s u b e s p a c i o ( S e c t i o n 5 . 1 . 2 : S u b e s p a c i o G e n e r a d o ) Cn

, l o q u e s i g n i c a q u e p a r a c a d a

x ∈ Cn, p o d e m o s e n c o n t r a r α1, α2, αn ∈ C t a l q u e :

x = α1v1 + α2v2 + · · · + αnvn ( 5 . 6 )

D a d a l a ( 5 . 6 ) , p o d e m o s r e e s c r i b i r Ax = b. E s t a e c u a c i ó n e s t a m o d e l a d a e n n u e s t r o s i s t e m a L T I i l u s t r a d o

p o s t e r i o r m e n t e :

F i g u r e 5 . 1 0 : S i s t e m a L T I .

8




8 7

x =i

(αivi)

b =i

(αiλivi)

E l s i s t e m a L T I r e p r e s e n t a d o a n t e r i o r m e n t e r e p r e s e n t a n u e s t r a ( 5 . 5 ) . L a s i g u i e n t e e s u n a i l u s t r a c i ó n d e l o s

p a s o p a r a i r d e

xa

b.

x → α = V −1x

→ ΛV −1x

→ V ΛV −1x = b

D o n d e l o s t r e s p a s o s ( l a s e c h a s ) d e l a i l u s t r a c i ó n a n t e r i o r r e p r e s e n t a n l a s s i g u i e n t e s t r e s o p e r a c i o n e s :

1 . T r a n s f o r m a r

xu s a n d o

V −1- n o s d a

α2 . A c c i ó n d e

Ae n u n a n u e v a b a s e - u n a m u l t i p l i c a c i ó n p o r Λ

3 . R e g r e s a r a l a a n t i g u a b a s e - t r a n s f o r m a d a i n v e r s a u s a n d o l a m u l t i p l i c a c i ó n p o r V , l o q u e n o s d a

b

5 . 6 E i g e n f u n c i o n e s d e l o s S i s t e m a s L T I

9

5 . 6 . 1 I n t r o d u c c i ó n

A h o r a q u e y a e s t a f a m i l i a r i z a d o c o n l a n o c i ó n d e e i g e n v e c t o r d e u n a m a t r i z d e s i s t e m a , s i n o l o e s t a d e u n

p e q u e ñ o r e p a s o a l a s g e n e r a l i d a d e s d e e i g e n v e c t o r e s y e i g e n v a l o r e s ( S e c t i o n 5 . 5 ) . T a m b i é n p o d e m o s c o n v e r t i r

l a s m i s m a s i d e a s p a r a s i s t e m a s L T I a c t u a n d o e n s e ñ a l e s . U n s i s t e m a l i n e a l i n v a r i a n t e e n e l t i e m p o ( L T I )

1 0

H o p e r a n d o e n u n a s a l i d a c o n t i n u a

f (t) p a r a p r o d u c i r u n a s a l i d a c o n t i n u a e n e l t i e m p o

y (t)

H [f (t)] = y (t) ( 5 . 7 )

F i g u r e 5 . 1 1 : H [f (t)] = y (t) . f y t s o n s e ñ a l e s d e t i e m p o c o n t i n u o ( C T ) y H e s u n o p e r a d o r L T I .

L a m a t e m á t i c a e s a n á l o g a a u n a m a t r i z A d e N x N o p e r a n d o e n u n v e c t o r

x

∈C

N p a r a p r o d u c i r o t r o

v e c t o r b ∈ CN ( v é a s e m a t r i c e s y s i s t e m a s L T I p a r a u n a d e s c r i p c i ó n ) .

Ax = b( 5 . 8 )

9


1 0

" I n t r o d u c t i o n t o S y s t e m s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 0 0 5 / l a t e s t / >



8 8


F i g u r e 5 . 1 2 : Ax = b d o n d e x y b e s t a n e n

CN

y A e s u n a m a t r i z d e

N x

N .

S o l o c o m o u n e i g e n v e c t o r ( S e c t i o n 5 . 3 ) d e A e s v ∈ CN t a l q u e Av = λv , λ ∈ C,

F i g u r e 5 . 1 3 : Av = λv d o n d e v ∈ CN e s u n e i g e n v e c t o r d e A.

p o d e m o s d e n i r u n a e i g e n f u n c i ó n ( o e i g e n s e ñ a l ) d e u n s i s t e m a L T I H p a r a s e r u n a s e ñ a l f (t) t a l q u e

H [f (t)] = λf (t) , λ ∈ C ( 5 . 9 )

F i g u r e 5 . 1 4 :

H [f (t)] = λf (t)d o n d e

f e s u n a e i g e n f u n c i ó n d e

H.

L a s E i e g e n f u n c i o n e s s o n l a s s e ñ a l e s m a s s i m p l e s p o s s i b l e s p a r a H π p a r a o p e r a r e n e l l a s : p a r a c a l c u l a r

l a s a l i d a , s i m p l e m e n t e m u l t i p l i c a m o s l a e n t r a d a p o r u n n ú m e r o c o m p l e j o λ.



8 9

5 . 6 . 2 E i g e n f u n c i o n e s p a r a c u a l q u i e r s i s t e m a L T I

L a c l a s e d e s i s t e m a s L T I t i e n e u n c o n j u n t o d e e i g e n f u n c i o n e s e n c o m ú n : e l e x p o n e n c i a l c o m p l e j o ( S e c t i o n 1 . 5 )

est , s ∈ C s o n e i g e n f u n c i o n e s p a r a t o d o s i s t e m a L T I .

H est = λsest ( 5 . 1 0 )

F i g u r e 5 . 1 5 :

Hˆ

est˜

= λsest

d o n d e

He s u n s i s t e m a L T I .

N o t e : M i e n t r a s q u e est , s ∈ C s i e m p r e s o n e i g e n f u n c i o n e s p a r a t o d o s i s t e m a L T I , e s t a s n o

s o n n e c e s a r i a m e n t e l a s ú n i c a s e i g e n f u n c i o n e s .

P o d e m o s p r o b a r l a ( 5 . 1 0 ) e x p r e s a n d o l a s a l i d a c o m o u n a c o n v o l u c i ó n ( S e c t i o n 3 . 2 ) d e l a e n t r a d a est y d e

l a r e s p u e s t a a l i m p u l s o ( S e c t i o n 1 . 4 ) h (t) d e H:

H [est] = ∞−∞ h (τ ) es(t−τ )dτ

= ∞−∞ h (τ ) este−(sτ )dτ

= est ∞−∞ h (τ ) e−(sτ )dτ

( 5 . 1 1 )

Y a q u e l a e x p r e s i ó n d e l a d e r e c h a n o d e p e n d e d e t, e s u n a c o n s t a n t e λs ; P o r l o t a n t o

H est = λsest ( 5 . 1 2 )

E l e i g e n v a l o r λs e s u n n ú m e r o c o m p l e j o q u e d e p e n d e d e l e x p o n e n t e s y p o r s u p u e s t o , e l s i s t e m a H . P a r a

h a c e r e s t a d e p e n d e n c i a e x p l i c i t a , v a m o s a u s a r l a n o t a c i ó n H (s) ≡ λs .

F i g u r e 5 . 1 6 :

este s l a e i g e n f u n c i ó n y

H (s) s o n e i g e n v a l o r e s .



9 0


Y a q u e l a a c c i ó n d e l o p e r a d o r L T I e n e s t a e i g e n f u n c i ó n est e s f á c i l d e c a l c u l a r y d e i n t e r p r e t a r , e s

c o n v e n i e n t e r e p r e s e n t a r u n a s e ñ a l a r b i t r a r i a

f (t) c o m o u n a c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e e x p o n e n t e s c o m p l e j o s .

L a s S e r i e s d e F o u r i e r ( S e c t i o n 6 . 2 ) n o s d a n l a r e p r e s e n t a c i ó n p a r a u n a s e ñ a l p e r i ó d i c a c o n t i n u a e n e l t i e m p o ,

m i e n t r a s q u e ( p o c o m á s c o m p l i c a d a ) t r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r

1 1

n o s d e j a e x p a n d i r s e ñ a l e s a r b i t r a r i a s d e

t i e m p o c o n t i n u o .

5 . 7 P r o p i e d a d e s d e l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r

1 2

P e q u e ñ a T a b l a d e l o s P a r e s d e l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r

s ( t ) S ( f )

e−(at)u (t) 1j2πf +a

e(−a)|t| 2a4π2f 2+a2

p (t) = 1 i f |t| < ∆2

0 i f |t| > ∆2

sin(πf ∆)

πf

sin(2πWt)πt

S (f ) =

1 i f |f | < W

0 i f |f | > W

P r o p i e d a d e s d e l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r

D o m i n i o d e l T i e m p o D o m i n i o d e l a F r e c u e n c i a

L i n e a l i d a d a1s1 (t) + a2s2 (t) a1S 1 (f ) + a2S 2 (f )

S i m e t r i a C o n j u g a d a s (t) ∈ R S (f ) = S (−f )∗

S i m e t r i a P a r s (t) = s (

−t) S (f ) = S (

−f )

S i m e t r i a I m p a r s (t) = − (s (−t)) S (f ) = − (S (−f ))

C a m b i o d e E s c a l a s (at) 1|a|S

f a

R e t r a s o e n e l T i e m p o s (t − τ ) e−(j2πfτ )S (f )

M o d u l a c i ó n C o m p l e j a ej2πf 0ts (t) S (f − f 0)

A m p l i t u d M o d u l a d a p o r C o s e n o

s (t) cos (2πf 0t) S(f −f 0)+S(f +f 0)2

A m p l i t u d M o d u l a d a p o r S e n o s (t) sin (2πf 0t)S(f −f 0)−S(f +f 0)

2j

D e r i v a c i ó n

ddt

s (t) j2πf S (f )

I n t e g r a c i ó n

t−∞ s (α) dα 1

j2πf S (f ) i f

S (0) = 0

M u l t i p l i c a c i ó n p o r t ts (t) 1

−(j2π)

ddf

S (f )

Á r e a

∞−∞ s (t) dt S (0)

V a l o r e n e l O r i g e n

s (0) ∞−∞ S (f ) df

T e o r e m a d e P a r s e v a l

∞−∞ (|s (t) |)2dt

∞−∞ (|S (f ) |)2df

1 1

" D e r i v a t i o n o f t h e F o u r i e r T r a n s f o r m " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 0 4 6 / l a t e s t / >

1 2




9 1



J u g a n d o u n p o c o c o n l o s v e c t o r e s y h a c i e n d o i n t e n t o s d e p r u e b a y e r r o r , d e s c u b r i m o s l a s i g u i e n t e r e l a c i ó n :

x1 − x2 + 2x3 = 0

d o n d e e n c o n t r a m o s u n a c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e e s t o s t r e s v e c t o r e s i g u a l a c e r o s i n u t i l i z a r l o s c o e c i e n t e s i g u a l

a c e r o . P o r l o t a n t o , e s t o s v e c t o r e s s o n ½ n o l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s !


x =3

2h1 +

−1

2h2


L o s e i g e n v e c t o r e s q u e d e b i ó e n c o n t r a r s o n :

v1 = 1

0

v2 =

0

1

Y l o s e i g e n v a l o r e s c o r r e s p o n d i e n t e s s o n :

λ1 = 3

λ2 = −1


P a r a p o d e r p r o b a r q u e e s t o s d o s v e c t o r e s s o n e i g e n v e c t o r e s , m o s t r a r e m o s q u e e s t a s a r m a c i o n e s c u m p l e n

c o n l o s r e q u i s i t o s q u e i n d i c a l a d e n i c i ó n ( D e n i t i o n : " E i g e n v e c t o r " , p . 7 8 ) .

Av1 =

3 −1

−1 3

1

1

=

2

2

Av2 =

3 −1

−1 3

1

−1

=

4

−4

E s t e r e s u l t a d o n o s m u e s t r a q u e

As o l o e s c a l a l o s d o s v e c t o r e s ( e s d e c i r c a m b i a s u s l o n g i t u d e s ) y e s t o p r u e b a

q u e l a ( 5 . 2 ) e s c i e r t a p a r a l o s s i g u i e n t e s d o s e i g e n v a l o r e s q u e s e l e p i d i ó q u e e n c o n t r a r a :

λ1 = 2

λ2 = 4

. S i q u i e r e c o n v e n c e r s e m á s , e n t o n c e s t a m b i é n s e p u e d e n g r a c a r l o s v e c t o r e s y s u p r o d u c t o c o r r e s p o n d i e n t e

c o n A p a r a v e r l o s r e s u l t a d o s c o m o u n a v e r s i ó n e s c a l a d a d e l o s v e c t o r e s o r i g i n a l e s v1 y v2 .



9 2



M é t o d o D i r e c t o ( u s e s e l a m u l t i p l i c a c i ó n b á s i c a d e m a t r i c e s )

Ax = 3

−1

−1 3

5

3

= 12

4

E i g e n v e c t o r e s ( u s e l o s e i g e n v e c t o r e s y e i g e n v a l o r e s q u e s e e n c o t r a r o n a n t e r i o r m e n t e p a r a e s t a m i s m a m a t r i z )

v1 =

1

1

v2 =

1

−1

λ1 = 2

λ2 = 4

C o m o s e m u e s t r a e n l a ( 5 . 3 ) , q u e r e m o s r e p r e s e n t a r x c o m o l a s u m a d e s u s e i g e n v e c t o r e s e s c a l a d o s . P a r a e s t e

c a s o t e n e m o s :

x = 4v1 + v2

x =

5

3

= 4

1

1

+

1

−1

Ax = A (4v1 + v2) = λi (4v1 + v2)

P o r l o t a n t o , t e n e m o s

Ax = 4 × 2

1

1

+ 4

1

−1

=

12

4

N ó t e s e q u e e l m é t o d o u s a n d o e i g e n v e c t o r e s n o r e q u i e r e m u l t i p l i c a c i ó n d e m a t r i c e s . . E s t o p u e d e p a r e c e r

m a s c o m p l i c a d o h a s t a a h o r a , p e r o , i m a g i n e q u e A e s d e d i m e n s i o n e s m u y g r a n d e s .



C h a p t e r 6

S e r i e s F o u r i e r d e l T i e m p o C o n t i n u o

6 . 1 S e ñ a l e s P e r i ó d i c a s

1

R e c o r d e m o s q u e l a s f u n c i o n e s p e r i ó d i c a s s o n f u n c i o n e s e n l a s c u a l e s s u f o r m a s e r e p i t e e x a c t a m e n t e d e s p u é s

d e u n p e r i o d o o c i c l o . N o s o t r o s r e p r e s e n t a r e m o s l a d e n i c i ó n d e u n a f u n c i ó n p e r i ó d i c a m a t e m á t i c a m e n t e

c o m o :

f (t) = f (t + mT ) m ∈ Z , ( 6 . 1 )

d o n d e T > 0 r e p r e s e n t a e l p e r i o d o . P o r e s t a r a z ó n , u s t e d p o d r á v e r e s t a s e ñ a l s e r l l a m a d a l a s e ñ a l

p e r i ó d i c a - T . C u a l q u i e r f u n c i ó n q u e s a t i s f a g a e s t a e c u a c i ó n e s p e r i ó d i c a .

P o d e m o s p e n s a r e n f u n c i o n e s p e r i ó d i c a s ( c o n p e r i o d o - T ) d e d o s d i f e r e n t e s m a n e r a s :

# 1 ) C o m o u n a f u n c i ó n e n t o d o s R

F i g u r e 6 . 1 : F u n c i ó n e n t o d o s

Rd o n d e

f (t0) = f (t0 + T )

# 2 ) O , p o d e m o s p o d e m o s r e c o r t a r t o d a s l a s r e d u n d a n c i a s , y p e n s a r e n e l l a s c o m o f u n c i o n e s e n u n

i n t e r v a l o [0, T ] ( O , e n t é r m i n o s g e n e r a l e s , [a, a + T ] ) . S i s a b e m o s q u e l a s e ñ a l e s p e r i ó d i c a - t e n t o n c e s t o d a

l a i n f o r m a c i ó n d e l a s e ñ a l s e e n c u e n t r a e n e s t e i n t e r v a l o .

1


9 3



9 4

C H A P T E R 6 . S E R I E S F O U R I E R D E L T I E M P O C O N T I N U O

F i g u r e 6 . 2 : R e m u e v a l a r e d u n d a n c i a d e l a f u n c i o n p e r i o d i c a p a r a q u e

f (t)n o e s t a d e n i d o a f u e r a

[0, T ].

U n a f u n c i o n a p e r i o d i c a C T f (t) n o s e r e p i t e p a r a c u a l q u i e r T ∈ R; i . e . n o e x i s t e n i n g u n a T s . t . e s t a

e c u a c i o n ( 6 . 1 ) e s v e r d a d e r a .

P r e g u n t a : ¾ L a d e n i c i ó n d e D T ?

6 . 1 . 1 T i e m p o C o n t i n u o

6 . 1 . 2 T i e m p o D i s c r e t o

N o t a : C i r c u l a r v s . L i n e a r

6 . 2 S e r i e s d e F o u r i e r : E l M é t o d o d e E i g e n f u n c i o n e s

2

6 . 2 . 1 I n t r o d u c c i ó n

Y a q u e l o s e x p o n e n c i a l e s c o m p l e j o s ( S e c t i o n 1 . 5 ) s o n e i g e n f u n c i o n e s p a r a l o s s i s t e m a s l i n e a r e s i n v a r i a n t e s

e n e l t i e m p o ( S e c t i o n 5 . 6 ) ( L T I ) , c a l c u l a r l o s r e s u l t a d o s d e u n s i s t e m a L T I

Hd a d o est c o m o u n a e n t r a d a

n o s l l e v a a u n a s i m p l e m u l t i p l i c a c i ó n , d o n d e H (s) ∈ C e s u n a c o n s t a n t e ( q u e d e p e n d e d e S ) . E n l a g u r a

( F i g u r e 6 . 3 ) m o s t r a d a a b a j o t e n e m o s u n s i m p l e e x p o n e n c i a l c o m o e n t r a d a q u e d a e l s i g u i e n t e r e s u l t a d o :

y (t) = H (s) est ( 6 . 2 )

F i g u r e 6 . 3 : U n s i m p l e s i s t e m a L T I .

U s a n d o e s t o y e l h e c h o q u e H e s l i n e a r , c a l c u l a r y (t) p a r a l a s c o m b i n a c i o n e s d e e x p o n e n t e s c o m p l e j o s

s e v u e l v e f á c i l d e h a c e r . E s t a p r o p i e d a d d e l i n e a l i d a d e s d e s c r i t a p o r l a s d o s e c u a c i o n e s m o s t r a d a s a b a j o

2




9 5

d o n d e s e m u e s t r a l a e n t r a d a d e l s i s t e m a l i n e a r H e n e l l a d o i z q u i e r d o y l a s a l i d a ( r e s u l t a d o ) , y (t) , e n e l l a d o

d e r e c h o :

1 .

c1es1t + c2es2t → c1H (s1) es1t + c2H (s2) es2t

2 . n

cnesnt

→n

cnH (sn) esnt

L a a c c i ó n q u e H e j e r c e e n e n t r a d a s c o m o l a s q u e s e m u e s t r a n e n e s t a s d o s e c u a c i o n e s s o n f á c i l e s d e

e x p l i c a r : H e s c a l a i n d e p e n d i e n t e m e n t e d e l e x p o n e n c i a l esnt c o n u n n u m e r o c o m p l e j o d i f e r e n t e H (sn) ∈ C.

D e e s t a m a n e r a , s i p o d e m o s d e s c r i b i r l a f u n c i ó n f (t) c o m o l a c o m b i n a c i ó n d e e x p o n e n t e s c o m p l e j o s e s t o n o s

p e r m i t i r í a :

• C a l c u l a r e l r e s u l t a d o d e H f á c i l m e n t e d a d o f (t) c o m o u n a e n t r a d a ( t o m a n d o e n c u e n t a q u e c o n o c e m o s

l o s E i g e n v a l o r e s H (s) )

• I n t e r p r e t a c o m o H m a n i p u l a f (t)

6 . 2 . 2 S e r i e s d e F o u r i e r

J o s e p h F o u r i e r

3

d e m o s t r ó q u e p a r a u n a f u n c i ó n p e r i ó d i c a - T ( S e c t i o n 6 . 1 ) f (t) p u e d e s e r e s c r i t a c o m o u n a

c o m b i n a c i ó n l i n e a r d e s e n o s o i d a l e s c o m p l e j o s a r m ó n i c o s .

f (t) =∞

n=−∞

cnejω0nt

( 6 . 3 )

D o n d e ω0 = 2πT

e s l a f r e c u e n c i a f u n d a m e n t a l . P a r a c a s i t o d a s f (t) d e i n t e r é s p r a c t i c o , e x i s t e cn q u e h a c e l a

( 6 . 3 ) v e r d a d e r a . S i f (t) e s d e e n e r g í a n i t a ( f (t) ∈ L2 [0, T ]) , e n t o n c e s l a i g u a l d a d d e ( 6 . 3 ) s o s t i e n e n l a i d e a

d e c o n v e r g e n c i a d e e n e r g í a ; s i f (t) e s c o n t i n u a , e n t o n c e s ( 6 . 3 ) s o s t i e n e l a i d e a p u n t o p o r p u n t o . T a m b i é n

s i

f (t)t i e n e a l g u n a s c o n d i c i o n e s i n t e r m e d i a s ( l a s c o n d i c i o n e s d e D I R I C H L E T ) , l a e c u a c i ó n ( 6 . 3 ) s e s o s t i e n e

p u n t o p o r p u n t o e n t o d a s p a r t e s e x c e p t o e n l o s p u n t o s d e d e s c o n t i n u i d a d .

L o s cn - s o n c o n o c i d o s c o m o l o s c o e c i e n t e s d e F o u r i e r - q u e n o s d i c e n q u e t a n t o d e l s i n u s o i d a l ejω0nt

e s t a p r e s e n t e e n f (t). ( 6 . 3 ) e s e n c i a l m e n t e d e s c o m p o n e f (t) e n p e d a z o s , l o s c u a l e s s o n p r o c e s a d o s f á c i l m e n t e

p o r u n a s i s t e m a L T I ( y a q u e e x i s t e u n a E i g e n f u n c i o n p a r a c a d a s i s t e m a L T I ) . E n t é r m i n o s m a t e m á t i c o s ,

( 6 . 3 ) n o s d i c e d e u n c o n j u n t o d e e x p o n e n c i a l e s c o m p l e j o s a r m ó n i c o s

ejω0nt , n ∈ Z

f o r m a n u n a b a s e

p a r a e l e s p a c i o d e f u n c i o n e s T - p e r i ó d i c a s c o n t i n u a s . A q u í s e m u e s t r a n a l g u n o s e j e m p l o s q u e l e s a y u d a r a n a

p e n s a r e n u n a s e ñ a l o f u n c i ó n , f (t) , e n t é r m i n o s d e s u s f u n c i o n e s e x p o n e n c i a l e s b a s e s .

6 . 2 . 2 . 1 E j e m p l o s

P a r a c a d a u n a d e l a s f u n c i o n e s d e a b a j o , d e s c o m p o n l a s e n s u s p a r t e s m á s s i m p l e s y e n c u e n t r a s u s c o e -

c i e n t e s d e F o u r i e r . O p r i m a p a r a v e r l a s o l u c i ó n .

E x e r c i s e 6 . 1

( S o l u t i o n o n p . 1 2 1 . )

f (t) = cos (ω0t)

E x e r c i s e 6 . 2

( S o l u t i o n o n p . 1 2 1 . )

f (t) = sin (2ω0t)

3


∼h i s t o r y / M a t h e m a t i c i a n s / F o u r i e r . h t m l



9 6


E x e r c i s e 6 . 3

( S o l u t i o n o n p . 1 2 1 . )

f (t) = 3 + 4cos (ω0t) + 2cos (2ω0t)

6 . 2 . 3 C o e c i e n t e s d e F o u r i e r

E n g e n e r a l f (t) , l o s c o e c i e n t e s s e p u e d e n c a l c u l a r p o r m e d i o d e ( 6 . 3 ) a l d e s p e j a r p o r cn , l o c u a l r e q u i e r e

u n a p e q u e ñ a m a n i p u l a c i ó n a l g e b r a i c a ( p a r a u n a d e r i v a c i ó n c o m p l e t a d e e s t o s c o e c i e n t e p o r f a v o r v e a l a

s e c c i ó n t i t u l a d a d e r i v a c i ó n p a r a l o s c o e c i e n t e d e F o u r i e r ( S e c t i o n 6 . 3 ) . E l r e s u l t a d o n a l d a l a s i g u i e n t e

e c u a c i ó n g e n e r a l p a r a e s t o s c o e c i e n t e s :

cn =1

T

T 0

f (t) e−(jω0nt)dt ( 6 . 4 )

L a s e c u e n c i a d e n ú m e r o s c o m p l e j o s cn , n ∈ Z e s u n a r e p r e s e n t a c i ó n c o m p l e j a a l t e r n a d e l a f u n c i ó n

f (t). C o n o c e r l o s c o e c i e n t e s F o u r i e r

cne s l o m i s m o q u e c o n o c e r

f (t)y v i c e v e r s a . D a d a a u n a f u n c i ó n

p e r i ó d i c a , l a p o d e m o s t r a s f o r m a r e n s u r e p r e s e n t a c i ó n d e s e r i e s d e F o u r i e r u s a n d o ( 6 . 4 ) . A s í m i s m o ,

p o d e m o s s a c a r l a t r a n s f o r m a d a i n v e r s a a u n a s e c u e n c i a d e n ú m e r o s c o m p l e j o s , cn , u s a n d o ( 6 . 3 ) p a r a

r e c o n s t r u i r l a f u n c i ó n f (t).

A s í c o m o e s u n a m a n e r a n a t u r a l p a r a r e p r e s e n t a r l a s s e ñ a l e s q u e s o n m a n i p u l a d a s p o r l o s s i s t e m a s L T I ,

l a s s e r i e s d e F o u r i e r p r o v e e n u n a d e s c r i p c i ó n p a r a l a s s e ñ a l e s p e r i ó d i c a s q u e s o n c o n v e n i e n t e s d e m u c h a s

m a n e r a s . A l v e r l a s s e r i e s d e F o u r i e r f (t), p o d e m o s i n f e r i r l a s p r o p i e d a d e s m a t e m á t i c a s d e f (t) c o m o l a

p r o p i e d a d d e s u a v i d a d , l a e x i s t e n c i a d e u n a s i m e t r í a , a s í c o m o e l s i g n i c a d o f í s i c o d e l a s f r e c u e n c i a s .

6 . 2 . 3 . 1 E j e m p l o : U s a n d o l a E c u a c i ó n d e l C o e c i e n t e d e F o u r i e r

A q u í v e r e m o s u n s i m p l e e j e m p l o q u e a l o m a s r e q u i e r e e l u s o d e ( 6 . 4 ) p a r a r e s o l v e r l o s c o e c i e n t e s d e F o u r i e r .

U n a v e z q u e u s t e d e n t i e n d a l a f o r m u l a , l a s o l u c i ó n s e c o n v i e r t e e n u n p r o b l e m a c o m ú n d e c a l c u l o . E n c o n t r é

l o s c o e c i e n t e s d e F o u r i e r d e l a s i g u i e n t e e c u a c i ó n :

E x e r c i s e 6 . 4

( S o l u t i o n o n p . 1 2 1 . )

f (t) =

1 i f |t| ≤ T

0 o t h e r w i s e

6 . 2 . 4 R e s u m e n : E c u a c i o n e s d e l a s S e r i e s d e F o u r i e r

N u e s t r a p r i m e r a e c u a c i ó n ( 6 . 3 ) e s l a e c u a c i ó n d e s í n t e s i s , l a c u a l c o n s t r u y e n u e s t r a f u n c i ó n ,

f (t) , a l c o m b i n a r

s e n o s o l d a l e s .

S y n t h e s i s

f (t) =∞

n=−∞

cnejω0nt

( 6 . 5 )

N u e s t r a s e g u n d a e c u a c i ó n ( 6 . 4 ) , l l a m a d a l a e c u a c i ó n d e a n á l i s i s , r e v e l a q u e t a n t o d e c a d a s i n u s o i d a l e x i s t e

e n f (t) .

A n a l i s i s

cn =1

T

T 0

f (t) e−(jω0nt)dt ( 6 . 6 )

D o n d e h e m o s d i c h o q u e

ω0 = 2πT

.



9 7

n o t e : E n t i e n d a q u e n u e s t r o i n t e r v a l o d e i n t e g r a c i ó n n o t i e n e q u e s e r [0, T ] n u e s t r a e c u a c i ó n d e

a n á l i s i s . P o d e m o s u s a r c u a l q u i e r i n t e r v a l o [a, a + T ] d e t a m a ñ o

T .

E x a m p l e 6 . 1

E s t a d e m o s t r a c i ó n l e a y u d a a s i n t e t i z a r u n a s e ñ a l a l c o m b i n a r l o s s e n o s o i d a l e s , m u y s i m i l a r a l a

e c u a c i ó n d e s í n t e s i s p a r a l a s s e r i e s d e F o u r i e r . V e a a q u í

4

p a r a i n s t r u c c i o n e s d e c o m o u s a r e s t e d e m o .


h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 9 3 / l a t e s t / F o u r i e r _ C o m p o n e n t _ M a n i p u l a t i o n . v i

6 . 3 D e r i v a c i ó n d e l a E c u a c i ó n d e C o e c i e n t e s d e F o u r i e r

5

6 . 3 . 1 I n t r o d u c c i ó n

U s t e d d e b e r í a e s t a r f a m i l i a r i z a d o c o n l a e x i s t e n c i a d e l a e c u a c i ó n g e n e r a l d e l a s s e r i e s d e F o u r i e r

6

q u e e s l a

s i g u i e n t e :

f (t) =∞

n=−∞

cnejω0nt

( 6 . 7 )

D e l o q u e e s t a m o s i n t e r e s a d o s a q u í e s e l c o m o c o m b i n a r l o s c o e c i e n t e s d e F o u r i e r , cn , d a d o a u n a f u n c i ó n

f (t) . E n l a s i g u i e n t e e x p l i c a c i ó n l o l l e v a r e m o s p a s o p o r p a s o p o r l a d e r i v a c i ó n d e l a e c u a c i ó n g e n e r a r p a r a

l o s c o e c i e n t e s d e F o u r i e r d a d o a u n a f u n c i ó n .

6 . 3 . 2 D e r i v a c i ó n

P a r a r e s o l v e r l a e c u a c i ó n ( 6 . 7 ) p a r a cn , t e n e m o s q u e h a c e r u n a p e q u e ñ a m a n i p u l a c i ó n a l g e b r a i c a . P r i m e r o

q u e t o d o , t e n e m o s q u e m u l t i p l i c a r l o s d o s l a d o s d e ( 6 . 7 ) p o r

e−(jω0kt)

, d o n d e

k ∈ Z.

f (t) e−(jω0kt) =∞

n=−∞

cnejω0nte−(jω0kt)

( 6 . 8 )

A h o r a i n t e g r a r e m o s l o s d o s l a d o s s o b r e e l p e r i o d o ,

T : T

0

f (t) e−(jω0kt)dt =

T 0

∞n=−∞

cnejω0nte−(jω0kt)

dt

( 6 . 9 )

E n e l l a d o d e r e c h o p o d e m o s i n t e r c a m b i a r l a s u m a t o r i a y e l i n t e g r a l y s a c a r l a c o n s t a n t e f u e r a d e l i n t e g r a l .

T

0

f (t) e−(jω0kt)dt =∞

n=−∞

cn T

0

ejω0(n−k)tdt ( 6 . 1 0 )

A h o r a q u e h e m o s h e c h o e s t o l o q u e a l p a r e c e r e s m a s c o m p l i c a d o , n o s e n f o c a r e m o s e n t a n s o l o e l i n t e g r a l , T 0

ejω0(n−k)tdt , q u e s e e n c u e n t r a e n e l l a d o d e r e c h o d e l a e c u a c i ó n . P a r a e s t e i n t e g r a l d e b e m o s c o n s i d e r a r

s o l o d o s c a s o s : n = k y n = k . P a r a n = k t e n e m o s : T 0

ejω0(n−k)tdt = T , n = k( 6 . 1 1 )

4


5


6

" F o u r i e r S e r i e s : E i g e n f u n c t i o n A p p r o a c h " : S e c t i o n F o u r i e r S e r i e s < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 4 9 6 / l a t e s t / # f s >



9 8


P a r a n = k , t e n e m o s : T 0

ejω0(n−k)tdt =

T 0

cos (ω0 (n − k) t) dt + j

T 0

sin (ω0 (n − k) t) dt , n = k ( 6 . 1 2 )

P e r o cos (ω0 (n − k) t) t i e n e p e r i o d o s c o n n ú m e r o s e n t e r o s p a r a , n − k , e n t r e 0 y T . I m a g i n e l a g r a c a d e

u n c o s e n o ; p o r q u e t i e n e p e r i o d o s c o n n ú m e r o s e n t e r o s , h a y á r e a s d e i g u a l v a l o r d e b a j o y a r r i b a d e l e j e d e

l a s o r d e n a d a s e n l a g r a c a . E s t e h e c h o e s v e r d a d e r o p a r a sin (ω0 (n − k) t) t a m b i é n . L o q u e s i g n i c a T 0

cos (ω0 (n − k) t) dt = 0 ( 6 . 1 3 )

T a m b i é n p a r a e l i n t e g r a l d e u n a f u n c i ó n d e s e n o . P o r e s o , p o d e m o s c o n c l u i r l o s i g u i e n t e s o b r e n u e s t r o

i n t e g r a l : T 0

ejω0(n−k)tdt =

T i f n = k

0 o t h e r w i s e

( 6 . 1 4 )

R e g r e s e m o s a n u e s t r a c o m p l i c a d a e c u a c i ó n , ( 6 . 1 0 ) , p a r a v e r s i p o d e m o s e n c o n t r a r u n a e c u a c i ó n p a r a n u e s t r o s

c o e c i e n t e s d e F o u r i e r . U s a n d o l o s h e c h o s q u e y a h e m o s p r o b a d o , p o d e m o s v e r q u e ú n i c a v e z q u e l a e c u a c i ó n

( 6 . 1 0 ) t i e n e v a l o r e s d e n o c e r o c o m o r e s u l t a d o e s c u a n d o k y n s o n i g u a l e s : T 0

f (t) e−(jω0nt)dt = T cn , n = k ( 6 . 1 5 )

F i n a l m e n t e n u e s t r a e c u a c i ó n g e n e r a l p a r a l o s c o e c i e n t e s d e F o u r i e r e s :

cn =1

T

T 0

f (t) e−(jω0nt)dt( 6 . 1 6 )

6 . 3 . 2 . 1 P a s o s p a r a E n c o n t r a r l o s C o e c i e n t e s d e F o u r i e r

P a r a e n c o n t r a r l o s c o e c i e n t e s d e F o u r i e r d e u n a f (t) p e r i ó d i c a :

1 . P o r a l g u n a k , m u l t i p l i q u e f (t) p o r e−(jω0kt), s a q u e e l á r e a p o r d e b a j o d e l a c u r v a ( d i v i d i e n d o p o r T ) .

2 . R e p i t a e l p a s o ( 1 ) p a r a t o d o k ∈ Z .

6 . 4 G e n e r a l i d a d e s d e l a s S e r i e s d e F o u r i e r

7

6 . 4 . 1 I n t r o d u c c i ó n

E l i n t e g r a l d e c o n v o l u c i o n ( S e c t i o n 3 . 2 ) e s u n a e x p r e s i ó n f u n d a m e n t a l q u e r e l a c i ó n l a e n t r a d a y l a s a l i d a d e

u n s i s t e m a L T I . S i n e m b a r g o , t i e n e t r e s p r o b l e m a s :

1 . P u e d e s e r t e d i o s a p a r a c a l c u l a r .

2 . O f r e c e u n a i n t e r p r e t a c i ó n f í s i c a l i m i t a d a d e l o q u e e l s i s t e m a e s t a r e a l m e n t e h a c i e n d a .

3 . D a m u y p o c a i n f o r m a c i ó n d e c o m o d i s e ñ a r s i s t e m a s p a r a l o g r a r c i e r t a s f u n c i o n e s .

L a s s e r i e s d e F o u r i e r ( S e c t i o n 6 . 2 ) , j u n t o l a t r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r y l a t r a n s f o r m a d a d e L a P l a c e , p r o v e e

u n a m a n e r a d e r e s o l v e r e s t o s t r e s p u n t o s . E l c o n c e p t o d e e i g e n f u n c i o n

8

( o e i g e n v e c t o r

9

) e s e s e n c i a l p a r a t o d o s

e s t o s m é t o d o s . A h o r a v e r e m o s c o m o p o d e m o s r e - e s c r i b i r c u a l q u i e r s e ñ a l f (t) , e n t é r m i n o s d e e x p o n e n c i a l e s

c o m p l e j o s ( S e c t i o n 1 . 5 ) .

D e h e c h o , a l h a c e r n u e s t r a s a n o t a c i o n e s d e s e ñ a l e s y s i s t e m a s l i n e a r e s m e n o s m a t e m á t i c a s , p o d e m o s

e x t r a e r p a r a l e l o s e n t r e s e ñ a l e s y s i s t e m a s c o n y a l g e b r a l i n e a r ( S e c t i o n 5 . 1 ) .

7


8

" E i g e n f u n c t i o n s o f L T I S y s t e m s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 5 0 0 / l a t e s t / >

9

" M a t r i x D i a g o n a l i z a t i o n " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 7 3 8 / l a t e s t / >



9 9

6 . 4 . 2 E i g e n f u n c i o n e s e n S i s t e m a s L T I

L a a c c i ó n q u e e j e r c e u n s i s t e m a L T I H [. . . ] e n u n a d e s u s e i g e n f u n c i o n e s est e s

1 . E x t r e m a d a m e n t e f á c i l ( y r á p i d a ) d e c a l c u l a r

H [st] = H [s] est( 6 . 1 7 )

2 . F á c i l d e i n t e r p r e t a r : H [. . . ] n a d a m a s e s c a l a est , m a n t e n i e n d o u n a f r e c u e n c i a c o n s t a n t e .

S i t a n s o l o t o d a s l a s f u n c i o n e s f u e r a n f u n c i o n e s d e H [. . . ] . . .

6 . 4 . 2 . 1 S i s t e m a s L T I

. . . c l a r o , n o t o d a s l a s f u n c i o n e s p u e d e n s e r e s t o p e r o p a r a s i s t e m a s L T I , s u s e i g e n f u n c i o n e s e x p a n d e n

( S e c t i o n 5 . 1 . 2 : S u b e s p a c i o G e n e r a d o ) e l e s p a c i o d e f u n c i o n e s p e r i ó d i c a s ( S e c t i o n 6 . 1 ) , l o q u e s i g n i c a q u e

p a r a , ( c a s i ) t o d a s l a s f u n c i o n e s p e r i ó d i c a s p o d e m o s e n c o n t r a r f (t) w e c a n n d cn w h e r e n ∈ Z a n d ci ∈ Cs u c h t h a t :

f (t) =

∞

n=−∞

cnejω0nt ( 6 . 1 8 )

D a d a ( 6 . 1 8 ) , p o d e m o s r e - e s c r i b i r H [t] = y (t) c o m o e l s i g u i e n t e s i s t e m a

F i g u r e 6 . 4 : F u n c i o n e s d e T r a n s f e r e n c i a m o d e l a d a s c o m o u n s i s t e m a L T I .

D o n d e t e n e m o s :

f (t) =n

cnejω0nt

y (t) =

n

cnH ( jω0n) ejω0nt

E s t a t r a n s f o r m a c i ó n d e f (t) e n y (t) t a m b i é n s e p u e d e i l u s t r a r a t r a v é s d e l p r o c e s o m o s t r a d o a b a j o .

f (t) → cn → cnH ( jω0n) → y (t) ( 6 . 1 9 )

D o n d e l o s t r e s p a s o s ( e c h a ) e n n u e s t r a i l u s t r a c i ó n d e a r r i b a y r e p r e s e n t a a l a s s i g u i e n t e s t r e s o p e r a c i o n e s :

1 . T r a n s f o r m a c i ó n c o n a n á l i s i s ( e c u a c i ó n d e c o e c i e n t e s d e F o u r i e r ( S e c t i o n 6 . 3 ) ) :

cn = 1T

T

0

f (t) e−(jω0nt)dt

2 . L a a c c i ó n d e H e n l a s s e r i e s d e F o u r i e r

1 0

i g u a l a a u n a m u l t i p l i c a c i ó n p o r H ( jω0n)3 . R e g r e s e a l a s a n t i g u a s b a s e s - t r a n s f o r m e i n v e r s a m e n t e u s a n d o n u e s t r a e c u a c i ó n d e s í n t e s i s q u e v i e n e

d e l a s s e r i e s d e F o u r i e r :

y (t) =

∞n=−∞

cnejω0nt

1 0

" F o u r i e r S e r i e s : E i g e n f u n c t i o n A p p r o a c h " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 4 9 6 / l a t e s t / >



1 0 0


6 . 4 . 3 I n t e r p r e t a c i ó n F í s i c a d e l a s S e r i e s d e F o u r i e r

L a s s e r i e s d e F o u r i e r cn d e u n a s e ñ a l f (t), d e n i d a e n ( 6 . 1 8 ) , t i e n e u n a i n t e r p r e t a c i ó n f í s i c a m u y i m p o r -

t a n t e . E l c o e c i e n t e cn n o s d i c e q u e t a n t o d e l a f r e c u e n c i a ω0n e x i s t e e n l a s e ñ a l .

S e ñ a l e s q u e c a m b i e n l e n t a m e n t e e n e l t i e m p o - s e ñ a l e s s u a v e s - t i e n e n u n g r a n

cnp a r a p e q u e ñ a s

n.

( a ) ( b )

F i g u r e 6 . 5 : E m p e z a r e m o s c o n n u e s t r a s e ñ a l s u a v e f (t) e n l a i z q u i e r d a , y d e s p u e s u s a r e m o s l a s s e r i e s

d e F o u r i e r p a r a e n c o n t r a r l o s c o e c i e n t e s d e F o u r i e r - l o c u a l s e m u e s t r a e n l a g u r a d e l a d e r e c h a .

S e ñ a l e s q u e c a m b i a n r á p i d a m e n t e c o n e l t i e m p o - s e ñ a l e s r u i d o s a s - t i e n e n u n a g r a n

cn p a r a g r a n d e s

n.

( a ) ( b )

F i g u r e 6 . 6 : E m p e z a r e m o s c o n n u e s t r a s e ñ a l r u i d o s a

f (t)e n e l l a d o i z q u i e r d o , y u s a r e m o s l a s s e r i e s

d e F o u r i e r p a d a e n c o n t r a r l o s c o e c i e n t e s d e F o u r i e r - l o c u a l s e m u e s t r a e n l a g u r a d e l a d e r e c h a .

E x a m p l e 6 . 2 : P u l s o P e r i ó d i c o

T e n e m o s l a s i g u i e n t e f u n c i ó n d e p u l s o , f (t), e n e l i n t e r v a l o

− T 2

, T 2

:

F i g u r e 6 . 7 : S e ñ a l P e r i o d i c a f (t)



1 0 1

U s a n d o n u e s t r a f o r m u l a p a r a l o s c o e c i e n t e s d e F o u r i e r ,

cn =1

T T

0

f (t) e−(jω0nt)dt ( 6 . 2 0 )

P o d e m o s c a l c u l a r f á c i l m e n t e n u e s t r a

cn . ½ D e j a r e m o s e s t e c á l c u l o c o m o e j e r c i c i o p a r a u s t e d ! D e s p u é s

d e r e s o l v e r l a e c u a c i ó n p a r a n u e s t r a

f (t) , o b t e n e m o s e l s i g u i e n t e r e s u l t a d o :

cn =

2T 1T

i f n = 02sin(ω0nT 1)

nπi f n = 0

( 6 . 2 1 )

P a r a T 1 = T 8 , v e a l a s i g u i e n t e g u r a p a r a o b s e r v a r l o s s i g u i e n t e s r e s u l t a d o s :

F i g u r e 6 . 8 : N u e s t r o s c o e c i e n t e s d e F o u r i e r c u a n d o

T 1 = T 8

N u e s t r a s e ñ a l f (t) e s p l a n a e x c e p t o p o r d o s o r i l l a ( d i s c o n t i n u i d a d e s ) . P o r e s t a r a z ó n , cna l r e d e d o r d e n = 0 s o n g r a n d e s y cn s e v u e l v e p e q u e ñ a c u a n d o n s e a c e r c a a l i n n i t o .

q u e s t i o n : ¾ P o r q u é cn = 0 p a r a n = . . . , −4, 4, 8, 16, . . . ? ( ¾ q u é p a r t e d e e−(jω0nt)s e

e n c u e n t r a s o b r e e l p u l s o d e e s t o s v a l o r e s d e

n? )

6 . 5 P r o p i e d a d e s d e l a S e r i e d e F o u r i e r

1 1

E m p e z a r e m o s p o r r e f r e s c a r s u m e m o r i a s o b r e l a s e c u a c i o n e s b á s i c a s d e l a s s e r i e s d e F o u r i e r ( S e c t i o n 6 . 2 ) :

f (t) =∞

n=−∞

cnejω0nt

( 6 . 2 2 )

cn

=1

T T 0

f (t) e−(jω0nt)dt( 6 . 2 3 )

D e j e F· d e s c r i b e n l a t r a n s f o r m a c i ó n d e f (t) a l o s c o e c i e n t e s d e F o u r i e r

F f (t) = cn , n ∈ Z

F· g r a c a f u n c i o n e s c o n v a l o r e s c o m p l e j o s a s e c u e n c i a s d e n ú m e r o s c o m p l e j o s

1 2

.

1 1


1 2




1 0 2


6 . 5 . 1 L i n e a l i d a d

F· e s u n a t r a n s f o r m a c i ó n l i n e a r .

T h e o r e m 6 . 1 :

S i F f (t) = cn y F g (t) = dn . E n t o n c e s

F αf (t) = αcn , α ∈ C

y

F f (t) + g (t) = cn + dn

P r o o f : M u y f á c i l , n a d a m a s e s l a l i n e a l i d a d d e l i n t e g r a l .

F f (t) + g (t) = T 0 (f (t) + g (t)) e−(jω0nt)dt , n ∈ Z

= 1T

T 0

f (t) e−(jω0nt)dt + 1T

T 0

g (t) e−(jω0nt)dt , n ∈ Z= cn + dn , n ∈ Z

= cn + dn

( 6 . 2 4 )

6 . 5 . 2 D e s p l a z a m i e n t o

D e s p l a z a m i e n t o e n e l t i e m p o e s i g u a l a u n d e s p l a z a m i e n t o a n g u l a r d e l o s c o e c i e n t e s d e F o u r i e r ( S e c t i o n 6 . 3 )

T h e o r e m 6 . 2 :

F f (t − t0) = e−(jω0nt0)cn s i cn = |cn|ej∠cn , e n t o n c e s

|e−(jω0nt0)cn| = |e−(jω0nt0)||cn| = |cn|

∠e−(jω0t0n) = ∠cn − ω0t0n

P r o o f :

F f (t − t0) = 1T

T 0

f (t − t0) e−(jω0nt)dt , n ∈ Z= 1

T

T −t0

−t0f (t − t0) e−(jω0n(t−t0))e−(jω0nt0)dt , n ∈ Z

= 1T

T −t0

−t0f ∼

t

e−“jω0n

∼

t”

e−(jω0nt0)dt , n ∈ Z= e

−“jω0n

∼

t”

cn , n ∈ Z

( 6 . 2 5 )

6 . 5 . 3 L a R e l a c i ó n d e P a r s e v a l

T 0

(|f (t) |)2dt = T ∞

n=−∞

(|cn|)2

( 6 . 2 6 )

L a r e l a c i ó n d e P a r s e v a l n o s p e r m i t e c a l c u l a r l a e n g r í a d e l a s e ñ a l d e s u s s e r i e s d e F o u r i e r .

n o t e : P a r s e v a l n o s d i c e q u e l a s s e r i e s d e F o u r i e r g r a c a n m a p s L2 ([0, T ]) a l2 (Z).



1 0 3

F i g u r e 6 . 9

E x e r c i s e 6 . 5

( S o l u t i o n o n p . 1 2 2 . )

¾ P a r á f (t) p o d e r t e n e r e n e r g í a n i t a , q u e e s l o q u e cn h a c e c u a n d o n → ∞?

E x e r c i s e 6 . 6

( S o l u t i o n o n p . 1 2 2 . )

¾ S í cn = 1n

, |n| > 0 , e s f ∈ L2 ([0, T ]) ?

E x e r c i s e 6 . 7 ( S o l u t i o n o n p . 1 2 2 . )

A h o r a , ¾ s í

cn = 1√n

, |n| > 0 , e s

f ∈ L2 ([0, T ]) ?

E l r a d i o d e d e s c o m p o s i c i ó n d e u n a s e r i e d e f o u r i e r d e t e r m i n a s i f (t) t i e n e e n e r g í a n i t a .

6 . 5 . 4 D i f e r e n c i a c i ó n e n e l D o m i n i o d e F o u r i e r

F f (t) = cn ⇒ F d

dtf (t) = jnω0cn ( 6 . 2 7 )

Y a q u e

f (t) =

∞n=−∞

cnejω0nt

( 6 . 2 8 )

e n t o n c e s

ddt

f (t) =∞

n=−∞

cnddt

ejω0nt

=

∞n=−∞

cn jω0nejω0nt

( 6 . 2 9 )

U n d i f e r e n c i a d o r a t e n ú a l a s f r e c u e n c i a s b a j a s f (t) y a c e n t ú a l a s f r e c u e n c i a s a l t a s . R e m u e v e r a s g o s g e n e r a l e s

y a c e n t ú a á r e a s c o n v a r i a c i o n e s b á s i c a s .

n o t e : U n a m a n e r a c o m ú n p a r a m e d i r m a t e m á t i c a m e n t e q u e l a s u a v i d a d d e l a f u n c i ó n f (t) e s e l

v e r c u a n t a s d e r i v a d a s t i e n e n e n e r g í a n i t a .

E s t o s e h a c e a l o b s e r v a r l o s c o e c i e n t e s d e f o u r i e r d e u n a s e ñ a l , e s p e c í c a m e n t e e l q u e t a n r á p i d o s e d e s c o m -

p o n e n c u a n d o n → ∞ . S i F f (t) = cn y |cn| t i e n e l a f o r m a

1nk

, e n t o n c e s F dm

dtmf (t)

= ( jnω0)

mcn t i e n e

l a f o r m a

nm

nk. E n t o n c e s p a r a q u e l a mth

d e r i v a d a t e n g a e n e r g í a n i t a , n e c e s i t a m o s

|nm

nk|2

< ∞



1 0 4


p o r l o t a n t o

nm

nks e d e s c o m p o n e m a s r á p i d o q u e

1n

l o c u a l i m p l i c a q u e

2k − 2m > 1

o

k >2m + 1

2

E l r a d i o d e d e s c o m p o s i c i ó n d e l a s s e r i e s d e f o u r i e r d e t e r m i n a l a s u a v i d a d .

6 . 5 . 5 I n t e g r a c i ó n e n e l D o m i n i o d e F o u r i e r

S i

F f (t) = cn ( 6 . 3 0 )

e n t o n c e s

F t

−∞f (τ ) dτ

=

1

jω0ncn ( 6 . 3 1 )

n o t e : S i c0 = 0, e s t a e x p r e s i ó n n o t i e n e n i n g ú n s e n t i d o .

I n t e g r a c i ó n a c e n t ú a f r e c u e n c i a s b a j a s y a t e n ú a f r e c u e n c i a s a l t a s . I n t e g r a d o r e s m u e s t r a n l a s c o s a s g e n -

e r a l e s d e l a s s e ñ a l e s y s u p r i m e n v a r i a c i o n e s d e c o r t o p l a z o ( l o c u a l e s r u i d o e n m u c h o s c a s o s ) . I n t e g r a d o r e s

s o n m e j o r e s q u e d i f e r e n c i a d o r e s .

6 . 5 . 6 M u l t i p l i c a c i ó n d e S e ñ a l e s

D a d o a u n a s e ñ a l f (t) c o n c o e c i e n t e s d e F o u r i e r cn y u n a s e ñ a l g (t) c o n c o e c i e n t e s dn , p o d e m o s d e n i r

u n a n u e v a s e ñ a l c o m o , y (t), d o n d e y (t) = f (t) g (t) . D e s c u b r i m o s q u e l a r e p r e s e n t a c i ó n d e s e r i e s d e F o u r i e r

d e y (t) , en , e s t a l q u e en =∞

k=−∞ (ckdn−k) . E s t o e s p a r a d e c i r q u e l a m u l t i p l i c a c i ó n d e s e ñ a l e s e n e l

d o m i n i o d e l t i e m p o e s e q u i v a l e n t e a l a c o n v o l u c i ó n d i s c r e t a ( S e c t i o n 4 . 2 ) e n e l d o m i n i o d e l a f r e c u e n c i a . L a

p r u e b a e s l a s i g u i e n t e

en = 1T T 0 f (t) g (t) e−(jω0nt)dt

= 1T

T 0

∞k=−∞

ckejω0kt

g (t) e−(jω0nt)dt

=∞

k=−∞

ck

1T

T 0

g (t) e−(jω0(n−k)t)dt

=∞

k=−∞ (ckdn−k)

( 6 . 3 2 )

6 . 6 P r o p i e d a d e s d e S i m e t r í a d e l a s S e r i e s d e F o u r i e r

1 3

6 . 6 . 1 P r o p i e d a d e s d e S i m e t r í a

6 . 6 . 1 . 1 S e ñ a l e s R e a l e s

S e ñ a l e s r e a l e s t i e n e n u n a s e r i e d e f o u r i e r c o n u n c o n j u g a d o s i m é t r i c o .

T h e o r e m 6 . 3 :

S i f (t) e s r e a l e s o i m p l i c a q u e f (t) = f (t)∗

( f (t)∗

e s e l c o m p l e j o c o n j u g a d o d e f (t) ) , e n t o n c e s

cn = c−n∗

l o c u a l i m p l i c a q u e Re (cn) = Re (c−n) , P o r e j e m p l o , l a p a r t e r e a l d e cn e s p a r , y

Im (cn) = − (Im (c−n)), P o r e j e m p l o , t l a p a r t e i m a g i n a r i a d e cn e s i m p a r . V e a F i g u r e 6 . 1 0 . L o q u e

t a m b i e n i m p l i c a q u e |cn| = |c−n|, P o r e j e m p l o , q u e l a m a g n i t u d e s p a r , y q u e l a ∠cn = (∠− c−n) ,

P o r e j e m p l o , e l á n g u l o e s i m p a r .

1 3




1 0 5

P r o o f :

c−n = 1T

T 0

f (t) ejω0ntdt

= 1T

T

0f (t)

∗e−(jω0nt)dt

∗, f (t) = f (t)

∗

= 1T

T 0 f (t) e−(jω0nt)dt∗

= cn∗

( 6 . 3 3 )

( a )

( b )

F i g u r e 6 . 1 0 :

Re (cn) = Re (c−n) , y

Im (cn) = − (Im (c−n)).



1 0 6


( a )

( b )

F i g u r e 6 . 1 1 :

|cn| = |c−n|, y

∠cn = (∠− c−n).

6 . 6 . 1 . 2 S e ñ a l e s R e a l e s y P a r e s

L a s s e ñ a l e s r e a l e s y p a r e s t i e n e n s e r i e s d e f o u r i e r q u e s o n p a r e s y r e a l e s .

T h e o r e m 6 . 4 :

I f f (t) = f (t)∗

y f (t) = (f (−t)), P o r e j e m p l o , l a s s e ñ a l e s r e a l y p a r , e n t o n c e s e n t o n c e s cn = c−n

y

cn = cn∗.

P r o o f :

cn = 1T

T 2

−(T 2 )f (t) e−(jω0nt)dt

= 1T

0−(T 2 ) f (t) e−(jω0nt)dt + 1

T

T 2

0f (t) e−(jω0nt)dt

= 1T

T 2

0f (−t) ejω0ntdt + 1

T

T 2

0f (t) e−(jω0nt)dt

= 2T

T 2

0f (t) cos (ω0nt) dt

( 6 . 3 4 )

f (t) y cos (ω0nt) s o n r e a l e s l o c u a l i m p l i c a q u e cn e s r e a l . T a m b i é n cos (ω0nt) = cos (− (ω0nt))e n t o n c e s

cn = c−n . E s t á n f á c i l d e m o s t r a r q u e

f (t) = 2∞

n=0 (cncos (ω0nt)) y a q u e

f (t),

cn , y



1 0 7

cos (ω0nt) s o n r e a l e s y p a r e s .

6 . 6 . 1 . 3 S e ñ a l e s R e a l e s e I m p a r e s

S e ñ a l e s r e a l e s e i m p a r e s t i e n e n s e r i e s d e f o u r i e r q u e s o n i m p a r e s y c o m p l e t a m e n t e i m a g i n a r i a s .

T h e o r e m 6 . 5 :

S i f (t) = − (f (−t)) y f (t) = f (t)∗

, P o r e j e m p l o , l a s e ñ a l e s r e a l y i m p a r , e n t o n c e s cn = −c−n y

cn = − (cn∗), P o r e j e m p l o , cn e s i m p a r y c o m p l e t a m e n t e i m a g i n a r i a .

P r o o f : H á g a l o u s t e d e n c a s a .

S i

f (t) e s i m p a r , p o d e m o s e x p e n d e r l o s e n t é r m i n o s d e

sin (ω0nt) :

f (t) =

∞n=1

(2cnsin (ω0nt))

6 . 6 . 2 R e s u m e n

P o d e m o s e n c o n t r a r

f e (t), u n a f u n c i ó n p a r , y

f o (t) , u n a f u n c i ó n i m p a r , p o r q u e

f (t) = f e (t) + f o (t) ( 6 . 3 5 )

l o c u a l i m p l i c a , q u e p a r a c u a l q u i e r f (t), p o d e m o s e n c o n t r a r an y bn q u e d a

f (t) =∞

n=0

(ancos (ω0nt)) +∞

n=1

(bnsin (ω0nt)) ( 6 . 3 6 )

E x a m p l e 6 . 3 : L a F u n c i ó n T r i a n g u l a r

F i g u r e 6 . 1 2 : T = 1 y ω0 = 2π .



1 0 8


f (t) e s r e a l e i m p a r .

cn =

4Ajπ2n2

i f n = . . . , −11, −7, −3, 1, 5, 9, . . .

− 4Ajπ2n2

i f

n = . . . , −9, −5, −1, 3, 7, 11, . . . 0 i f n = . . . , −4, −2, 0, 2, 4, . . .

¾ E s

cn = −c−n ?

F i g u r e 6 . 1 3 : S e r i e s d e F o u r i e r p a r a u n a f u n c i o n t r i a n g u l a r .

N o t e : U s u a l m e n t e p o d e m o s j u n t a r i n f o r m a c i ó n s o b r e l a s u a v i d a d d e u n a s e ñ a l a l e x a m i n a r l o s

c o e c i e n t e s d e F o u r i e r .

H e c h a u n v i s t a z o a l o s e j e m p l o s a n t e r i o r e s . L a s f u n c i o n e s d e l p u l s o y s a w t o o t h n o s o n c o n t i n u a s y s u s s e r i e s

d e F o u r i e r d i s m i n u y e n c o m o

1n

. L a f u n c i ó n t r i a n g u l a r e s c o n t i n u a , p e r o n o e s d i f e r e n c i a b l e , y s u s s e r i e s d e

F o u r i e r d i s m i n u y e n c o m o

1n2

.

L a s s i g u i e n t e s 3 p r o p i e d a d e s n o s d a r á n u n a m e j o r i d e a d e e s t o .

6 . 7 P r o p i e d a d d e C o n v o l u c i ó n C i r c u l a r d e l a s S e r i e s d e F o u r i e r

1 4

6 . 7 . 1 C o n v o l u c i ó n S i n g u l a r d e u n a S e ñ a l

D a d a a u n a s e ñ a l

f (t) c o n c o e c i e n t e s d e F o u r i e r

cn y u n a s e ñ a l

g (t) c o n c o e c i e n t e s d e F o u r i e r

dn ,

p o d e m o s d e n i r u n a s e ñ a l , v (t), d o n d e v (t) = (f (t) g (t)) E n c o n t r a m o s q u e l a r e p r e s e n t a c i ó n d e l a s s e r i e s

d e F o u r i e r

1 5

p a r a y (t), an , e s t a q u e an = cndn . (f (t) g (t)) e s u n a c o n v o l u c i ó n c i r c u l a r

1 6

d e d o s s e ñ a l e s

p e r i ó d i c a y e s e q u i v a l e n t e a u n a c o n v o l u c i ó n e n e l i n t e r v a l o , (f (t) g (t)) = T 0

T 0

f (τ ) g (t − τ ) dτdt.

n o t e : C o n v u l u c i ó n c i r c u l a r e n e l d o m i n i o d e l t i e m p o e s e q u i v a l e n t e a l a m u l t i p l i c a c i ó n d e c o e -

c i e n t e s d e f o u r i e r .

1 4


1 5


1 6

" C i r c u l a r C o n v o l u t i o n a n d t h e D F T " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 7 8 6 / l a t e s t / >



1 0 9

L a p r u e b a e s l a s i g u i e n t e

an = 1T

T

0v (t) e−(jω0nt)dt

=1T 2 T 0 T 0 f (τ ) g (t − τ ) dτ e−

(jω0nt)

dt= 1

T

T 0

f (τ )1T

T 0

g (t − τ ) e−(jω0nt)dt

dτ

= 1T

T 0

f (τ )1T

T −τ

−τ g (ν ) e−(jω0(ν+τ ))dν

dτ , ν = t − τ

= 1T

T 0

f (τ )1T

T −τ

−τ g (ν ) e−(jω0nν)dν

e−(jω0nτ )dτ

= 1T

T 0

f (τ ) dne−(jω0nτ )dτ

= dn

1T

T 0

f (τ ) e−(jω0nτ )dτ

= cndn

( 6 . 3 7 )

E x a m p l e 6 . 4

V e a e l p u l s o c u a d r a d o c o n p e r i o d o , T 1 = T 4 :

F i g u r e 6 . 1 4

P a r a e s t a s e ñ a l

cn =

1T

i f

n = 0

12

sin(π2 n)π2 n

o t h e r w i s e

E x e r c i s e 6 . 8

( S o l u t i o n o n p . 1 2 2 . )

¾ Q u e s e ñ a l t i e n e l o s c o e c i e n t e s d e F o u r i e r an = cn2 = 1

4

sin2(π2 n)(π2 n)

2 ?

6 . 8 S e r i e s d e F o u r i e r y l o s S i s t e m a s L T I

1 7

6 . 8 . 1 I n t r o d u c i e n d o l a s S e r i e s d e F o u r i e r a l o s S i s t e m a s L T I

A n t e s d e v e r e s t e m o d u l o , u s t e d d e b e r í a f a m i l i a r i z a r s e c o n l o s c o n c e p t o s d e E i g e n f u n c i o n e s d e l o s s i s t e m a s

L T I ( S e c t i o n 5 . 6 ) . R e c u e r d e , p a r a H s i s t e m a L T I t e n e m o s l a s i g u i e n t e r e l a c i ó n

1 7




1 1 0


F i g u r e 6 . 1 5 : S e ñ a l e s d e e n t r a d a y s a l i d a p a r a n u e s t r o s i t e m a L T I .

d o n d e est e s u n a e i g e n f u n c i ó n d e H . S u e i g e n v a l o r ( S e c t i o n 5 . 3 ) c o r r e s p o n d i e n t e H (s) p u e d e n s e r c a l c u -

l a d o u s a n d o l a r e s p u e s t a d e i m p u l s o

1 8 h (t)

H (s) =

∞−∞

h (τ ) e−(sτ )dτ

A s í , u s a n d o l a e x p a n s i ó n d e l a s s e r i e s d e F o u r i e r ( S e c t i o n 6 . 2 ) p a r a f (t) p e r i ó d i c a ( S e c t i o n 6 . 1 ) d o n d e

u s a m o s l a e n t r a d a

f (t) =n

cnejω0nt

e n e l s i s t e m a ,

F i g u r e 6 . 1 6 : S i s t e m a L T I

n u e s t r a s a l i d a

y (t) s e r á

y (t) =n

H ( jω0n) cnejω0nt

P o d e m o s v e r q u e a l a p l i c a r l a s e c u a c i o n e s d e e x p a n s i ó n d e s e r i e s d e f o u r i e r , p o d e m o s i r d e f (t) a cn y

v i c e v e r s a , y e s l o m i s m o p a r a l a s a l i d a , y (t)

6 . 8 . 2 E f e c t o s d e l a s S e r i e s d e F o u r i e r

P o d e m o s p e n s a r d e u n s i s t e m a L T I c o m o e l i r m o l d e a n d o e l c o n t e n i d o d e l a f r e c u e n c i a d e l a e n t r a d a .

M a n t e n g a e n m e n t e e l s i s t e m a b á s i c o L T I q u e p r e s e n t a m o s e n F i g u r e 6 . 1 6 . E l s i s t e m a L T I , H , m u l t i p l i c a

t o d o s l o s c o e c i e n t e s d e F o u r i e r y l o s e s c a l a .

D a d o l o s c o e c i e n t e s d e F o u r i e r d e l a e n t r a d a cn y l o s e i g e n v a l o r e s d e l s i s t e m a H ( jw0n) , l a s s e r i e s

d e F o u r i e r d e l a s a l i d a , e s H ( jw0n) cn ( u n a s i m p l e m u l t i p l i c a c i ó n d e t e r m i n o p o r t e r m i n o ) .

n o t e : l o s e i g e n v a l o r e s , H ( jw0n) d e s c r i b e n c o m p l e t a m e n t e l o q u e u n s i s t e m a L T I l e h a c e a u n a

s e ñ a l p e r i ó d i c a c o n p e r i o d o T = 2πw0

1 8

" T h e I m p u l s e F u n c t i o n " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 0 5 9 / l a t e s t / >



1 1 1

E x a m p l e 6 . 5

¾ Q u é h a c e e s t e s i s t e m a ?

F i g u r e 6 . 1 7

E x a m p l e 6 . 6

Y , ¾ e s t é s i s t e m a ?

( a ) ( b )

F i g u r e 6 . 1 8

6 . 8 . 3 E x a m p l e s

E x a m p l e 6 . 7 : E l c i r c u i t o R C

h (t) =1

RC e−tRC u (t)

¾ Q u é e s l o q u e e s t e s i s t e m a h a c e a l a s s e r i e s d e f o u r i e r d e l a

f (t)?

C a l c u l a l o s e i g e n v a l o r e s d e e s t e s i s t e m a

H (s) = ∞−∞ h (τ ) e−

(sτ )

dτ =

∞0

1RC

e−τRC e−(sτ )dτ

= 1RC

∞0

e(−τ )( 1RC

+s)dτ

= 1RC

11RC

+se(−τ )( 1

RC+s)|∞τ =0

= 11+RCs

( 6 . 3 8 )

A h o r a , d e c i m o s q u e a e s t e c i r c u i t o R C l o a l i m e n t a m o s c o n u n a e n t r a d a f (t) p e r i ó d i c a ( c o n

p e r i o d o T = 2πw0 ) .



1 1 2


V e a l o s e i g e n v a l o r e s p a r a s = jw0n

|H ( jw0n) | =1

|1 + RCjw0n

|

=1√

1 + R2C 2w02n2

E l c i r c u i t o R C e s u n s i s t e m a p a s a b a j a s : p a s a f r e c u e n c i a s b a j a s n a l r e d e d o r d e 0 ) a t e n ú a

f r e c u e n c i a s a l t a s ( n g r a n d e s ) .

E x a m p l e 6 . 8 : P u l s ó c u a d r a d o a t r a v é s d e l C i r c u i t o R C

• S e ñ a l d e e n t r a d a : t o m a n d o l a s s e r i e s d e F o u r i e r

f (t)

cn =1

2

sinπ2

n

π2 n

1t

e n n = 0• S i s t e m a : E i g e n v a l o r e s

H ( jw0n) =1

1 + jRCw0n• S e ñ a l d e s a l i d a : t o m a n d o l a s s e r i e s d e F o u r i e r d e y (t)

dn = H ( jw0n) cn =1

1 + jRCw0n

1

2

sinπ2

n

π2 n

dn =1

1 + jRCw0n

1

2

sinπ2

n

π2 n

y (t) =

dnejw0nt

¾ Q u é p o d e m o s d e c i r s o b r e y (t) d e dn ?

1 . ¾ E s y (t)r e a l ?

2 . ¾ E s y (t) s i m é t r i c o p a r ? ¾ s i m é t r i c o i m p a r ?

3 . ¾ C o m ó s e y (t) ¾ e s m a s s u a v e q u e f (t) ? ( e l r a d i o d e d e s c o m p o s i c i ó n d e dn v s . cn )

dn =1

1 + jRCw0n

1

2

sinπ2

n

π2

n

|dn| =1

1 + (RCw0)2n2

1

2

sinπ2 n

π2

n

6 . 9 C o n v e r g e n c i a d e l a s S e r i e s d e F o u r i e r

1 9

6 . 9 . 1 I n t r o d u c c i ó n

A n t e s d e v e r e s t e m ó d u l o , e s p e r a m o s q u e u s t e d e s t e c o m p l e t a m e n t e c o n v e n c i d o q u e c u a l q u i e r f u n c i ó n p e r -

i ó d i c a f (t), s e p u e d e r e p r e s e n t a r c o m o u n a s u m a d e s e n o s o i d a l e s c o m p l e j o s ( S e c t i o n 1 . 3 ) . S i u s t e d n o l o e s t a ,

i n t e n t e v e r l a s e c c i ó n d e g e n e r a l i d a d e s d e e i g e n f u n c i o n e s ( S e c t i o n 5 . 5 ) o d e e i g e n f u n c i o n e s d e l o s s i s t e m a s

1 9




1 1 3

L T I ( S e c t i o n 5 . 6 ) . H e m o s d e m o s t r a d o q u e p o d e m o s r e p r e s e n t a r l a s e ñ a l c o m o u n a s u m a d e e x p o n e n c i a l e s

u s a n d o l a s e c u a c i o n e s d e l a s s e r i e s d e F o u r i e r ( S e c t i o n 6 . 2 ) m o s t r a d a s a q u í :

f (t) = ncnejω0nt ( 6 . 3 9 )

cn =1

T

T 0

f (t) e−(jω0nt)dt ( 6 . 4 0 )

J o s e p h F o u r i e r

2 0

i n s i s t i ó q u e e s t a s e c u a c i o n e s e r a n v e r d a d e r a s , p e r o n u n c a l a s p u d o p r o b a r . L a g r a n g e

r i d i c u l i z ó p ú b l i c a m e n t e a F o u r i e r y d i j o q u e s o l o f u n c i o n e s c o n t i n u a s p o d r í a n s e r r e p r e s e n t a d a s c o m o ( 6 . 3 9 )

( a s í q u e p r o b o q u e l a ( 6 . 3 9 ) f u n c i o n a p a r a f u n c i o n e s c o n t i n u a s e n e l t i e m p o ) . S i n e m b a r g o , n o s o t r o s s a b e m o s

q u e l a v e r d a d s e e n c u e n t r a e n t r e l a s p o s i c i o n e s q u e F o u r i e r y L a g r a n g e t o m a r o n .

6 . 9 . 2 C o m p r e n d i e n d o l a V e r d a d

F o r m u l a n d o n u e s t r a p r e g u n t a m a t e m á t i c a m e n t e , d e j e

f N (t) =

N n=−N

cnejω0nt

d o n d e cn e s i g u a l a l o s c o e c i e n t e s d e F o u r i e r , f (t). ( v e a ( 6 . 4 0 ) ) .

f N (t) e s l a r e c o n s t r u c c i ó n p a r c i a l d e

f (t) u s a n d o l o s p r i m e r o s 2N + 1 c o e c i e n t e s d e F o u r i e r .

f N (t)

s e a p r o x i m a a

f (t), c o n l a a p r o x i m a c i ó n m e j o r a n d o c u a n d o

N s e v u e l v e g r a n d e . A s í q u e , p o d e m o s p e n s a r

q u e e l c o n j u n t o

f N

(t) , N = 0, 1, . . . e s u n a s e c u e n c i a d e f u n c i o n e s , c a d a u n a a p r o x i m a n d o f (t)

m e j o r q u e l a a n t e r i o r .

L a p r e g u n t a s e c o n v i e r t e e n , ¾ s í e s t a s e c u e n c i a c o n v e r g e a f (t)? ¾ f N (t) → f (t) a s i c o m o a N → ∞?

T r a t a r e m o s d e r e s p o n d e r e s t a s p r e g u n t a s a l v e r l a c o n v e r g e n c i a d e d o s m a n e r a s d i f e r e n t e s :

1 . V i e n d o l a e n e r g í a d e l a s e ñ a l d e e r r o r :

eN (t) = f (t) − f N (t)2 . V i e n d o e l lim

N →∞f N

(t) e n c a d a p u n t o y c o m p a r á n d o l o c o n f (t).

6 . 9 . 2 . 1 P r i m e r M é t o d o

S e a eN (t) l a d i f e r e n c i a ( i . e . e r r o r ) e n t r e l a s e ñ a l f (t) y s u r e c o n s t r u c c i ó n p a r c i a l f N (t)

eN (t) = f (t) − f N (t) ( 6 . 4 1 )

S i

f (t) ∈ L2 ([0, T ]) ( e n e r g í a n i t a ) , e n t o n c e s l a e n e r g í a d e

eN (t) → 0 c u a n d o

N → ∞ e s

T

0

(|eN (t) |)2dt =

T

0 f (t) − f N

(t)

2

dt → 0 ( 6 . 4 2 )

P o d e m o s c o m p r o b a r e s t a e c u a c i ó n u s a n d o l a r e l a c i ó n d e P e r s e v a l a l :

limN →∞

T 0

|f (t) − f N (t) |2dt = lim

N →∞

∞N =−∞

|F nf (t) − F nf N (t) |2 = lim

N →∞

|n|>N

(|cn|)2

= 0

D o n d e l a e c u a c i ó n a n t e s d e l c e r o e s l a s u m a d e l a ú l t i m a p a r t e d e l a s s e r i e s d e F o u r i e r . L a c u a l s e a p r o x i m a a

c e r o p o r q u e

f (t) ∈ L2 ([0, T ]) . Y a q u e e l s i s t e m a f í s i c o s r e s p o n d e n a l a e n e r g í a , l a s s e r i e s d e F o u r i e r p r o v e e n

u n a r e p r e s e n t a c i ó n a d e c u a d a p a r a t o d o

f (t) ∈ L2 ([0, T ]) i g u a l a n d o l a e n e r g í a n i t a s o b r e u n p u n t o .

2 0





1 1 4


6 . 9 . 2 . 2 S e g u n d o M é t o d o

E l h e c h o d e q u e eN → 0 n o n o s d i c e n a d a s o b r e q u e f (t) y limN →∞

f N (t) s e a n i g u a l e s e n c i e r t o p u n t o .

T o m e m o s l a s s i g u i e n t e s f u n c i o n e s c o m o u n e j e m p l o :

( a ) ( b )

F i g u r e 6 . 1 9

D a d a s e s t a s d o s f u n c i o n e s

f (t) y

g (t), p o d e m o s o b s e r v a r q u e p a r a t o d o

t,

f (t) = g (t) , p e r o

T 0

(|f (t) − g (t) |)2dt = 0

D e e s t o p o d e m o s d e r i v a r l a s s i g u i e n t e s r e l a c i o n e s :

Convergenciadeenerga = convergenciadepuntoporpunto

Convergenciadepuntoporpunto⇒

convergenciaenL2 ([0, T ])

S i n e m b a r g o , l o c o n t r a r i o d e l a p r o p o s i c i ó n o e s c i e r t o .

R e s u l t a q u e s i f (t) t i e n e u n a d i s c o n t i n u i d a d ( c o m o s e p u e d e o b s e r v a r e n l a g u r a d e g (t) ) e n t0 ,

e n t o n c e s

f (t0) = limN →∞

f N (t0)

M i e n t r a s

f (t) t e n g a a l g u n a s d e l a s c o n d i c i o n e s , e n t o n c e s

f (t) = limN →∞

f N (t)

s i

f (t) e s c o n t i n u a e n

t = t.

6 . 1 0 C o n d i c i o n e s d e D i r i c h l e t

2 1

N o m b r a d o e n h o n o r d e l m a t e m á t i c o A l e m á n P e t e r D i r i c h l e t , l a s c o n d i c i o n e s D i r i c h l e t s o n l a s c o n d i c i o n e s

q u e g a r a n t i z a n l a e x i s t e n c i a y c o n v e r g e n c i a d e l a s s e r i e s d e F o u r i e r

2 2

o d e l a s t r a s f o r m a d a s d e F o u r i e r

2 3

.

2 1


2 2


2 3




1 1 5

6 . 1 0 . 1 L a s C o n d i c i o n e s D é b i l e s p a r a l a s S e r i e s d e F o u r i e r

C o n d i c i ó n 6 . 1 : L a C o n d i c i ó n D é b i l d e D i r i c h l e t

P a r a q u e l a s s e r i e s d e f o u r i e r e x i s t a n , l o s c o e c i e n t e s d e f o u r i e r d e b e n s e r n i t o s , e s t a c o n d i c i ó n

g a r a n t i z a s u e x i s t e n c i a . E s e n c i a l m e n t e d i c e q u e e l i n t e g r a l d e l v a l o r a b s o l u t o d e l a s e ñ a l d e b e s e r

n i t o . L o s l í m i t e s d e i n t e g r a c i ó n s o n d i f e r e n t e s p a r a e l c a s o d e l a s s e r i e s d e f o u r i e r y d e l o s d e l c a s o

d e l a s t r a s f o r m a d a d e F o u r i e r . E s t e e s e l r e s u l t a d o q u e p r o v i e n e d i r e c t a m e n t e d e l a s d i f e r e n c i a s e n

l a s d e n i c i o n e s d e l a s d o s .

P r o o f : L a s s e r i e s d e f o u r i e r e x i s t e n ( l o s c o e c i e n t e s s o n n i t a s ) s i

L a s C o n d i c i o n e s D é b i l e s p a r a l a s S e r i e s d e F o u r i e r

T 0

|f (t) |dt < ∞ ( 6 . 4 3 )

E s t o s e p u e d e p r o b a r u s a n d o l a c o n d i c i ó n i n i c i a l d e l o s c o e c i e n t e s i n i c i a l e s d e l a s s e r i e s d e f o u r i e r

q u e p u e d e n s e r n i t a s .

|cn| = | 1T

T 0

f (t) e−(jω0nt)dt| ≤ 1T

T 0

|f (t) ||e−(jω0nt)|dt ( 6 . 4 4 )

R e c o r d a n d o l o s e x p o n e n c i a l e s c o m p l e j o s

2 4

, s a b e m o s q u e l a e c u a c i ó n a n t e r i o r |e−(jω0nt)| = 1 , n o s

d a

1

T

T 0

|f (t) |dt =1

T

T 0

|f (t) |dt ( 6 . 4 5 )

< ∞ ( 6 . 4 6 )

n o t a : S i t e n e m o s l a f u n c i ó n :

f (t) = 1t

, 0 < t ≤ T

E n t o n c e s u s t e d d e b e r í a o b s e r v a r q u e e s t a f u n c i ó n n o t i e n e l a c o n d i c i ó n n e c e s a r i a .

6 . 1 0 . 1 . 1 L a s C o n d i c i o n e s D é b i l e s p a r a l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r

C o n d i c i ó n 6 . 2 :

L a t r a n s f o r m a d a d e f o u r i e r e x i s t e s i

l a s c o n d i c i o n e s d é b i l e s p a r a l a t r a s f o r m a d a d e F o u r i e r

∞

−∞

|f (t) |dt < ∞ ( 6 . 4 7 )

E s t o s e p u e d e d e r i v a r d e l a m i s m a m a n e r a e n l a q u e s e d e r i v o l a s c o n d i c i o n e s d é b i l e s d e D i r i c h l e t

p a r a l a s s e r i e s d e f o u r i e r , s e e m p i e z a c o n l a d e n i c i ó n y s e d e m u e s t r a q u e l a t r a n s f o r m a d a d e f o u r i e r

d e b e d e s e r m e n o r q u e i n n i t o e n t o d a s p a r t e s .

2 4

" T h e C o m p l e x E x p o n e n t i a l " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 0 6 0 / l a t e s t / >



1 1 6


6 . 1 0 . 2 L a s C o n d i c i o n e s F u e r t e s d e D i r i c h l e t

L a t r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r e x i s t e s i l a s e ñ a l t i e n e u n n ú m e r o n i t o d e d i s c o n t i n u i d a d e s y u n n ú m e r o n i t o

d e m á x i m o s y m í n i m o s . P a r a q u e l a s s e r i e s d e f o u r i e r e x i s t a n l a s s i g u i e n t e s d o s c o n d i c i o n e s s e d e b e n d e

s a t i s f a c e r ( j u n t o c o n l a c o n d i c i ó n d é b i l d e D i r i c h l e t ) :

1 . E n u n p e r i o d o , f (t) t i e n e s o l o u n n ú m e r o n i t o d e m í n i m o s y m á x i m o s .

2 . E n u n p e r i o d o ,

f (t) t i e n e u n n u m e r o n i t o d e d i s c o n t i n u i d a d e s y c a d a u n a e s n i t a .

E s t o e s a l o q u e n o s r e f e r i m o s c o m o l a s c o n d i c i o n e s f u e r t e s d e D i r i c h l e t . E n t e o r í a p o d e m o s p e n s a r e n

s e ñ a l e s q u e v i o l a n e s t a s c o n d i c i o n e s p o r e j e m p l o sin (logt), s i n e m b a r g o , n o e s p o s i b l e c r e a r e s t a s e ñ a l e n u n

l a b o r a t o r i o . P o r e s o , c u a l q u i e r s e ñ a l e n e l m u n d o r e a l t e n d r á u n a r e p r e s e n t a c i ó n d e F o u r i e r .

6 . 1 0 . 2 . 1 E j e m p l o

A s u m a m o s q u e t e n e m o s l a s i g u i e n t e f u n c i ó n e i g u a l d a d :

f (t) = limN

→∞

f N (t) ( 6 . 4 8 )

S i f (t) t i e n e l a s t r e s c o n d i c i o n e s F u e r t e s d e D i r i c h l e t , e n t o n c e s

f (τ ) = f (τ )

e n c u a l q u i e r τ d o n d e f (t) e s c o n t i n u o y d o n d e f (t) e s d i s c o n t i n u o , f (t) e s e l v a l o r p r o m e d i o d e l l a d o d e r e c h o

e i z q u i e r d o . V e a l a s s i g u i e n t e s F i g u r e 6 . 2 0 c o m o u n e j e m p l o :

( a ) ( b )

F i g u r e 6 . 2 0 : F u n c i o n e s D i s c o n t i n u a s , f (t).

n o t a : L a s f u n c i o n e s q u e n o c u m p l e n c o n l a s c o n d i c i o n e s d e D i r i c h l e t s o n p a t o l ó g i c a s c o m o

i n g e n i e r o s , n o e s t a m o s i n t e r e s a d o s e n e l l o s .

6 . 1 1 E l F e n ó m e n o d e G i b b s

2 5

6 . 1 1 . 1 I n t r o d u c c i ó n

L a s s e r i e s d e F o u r i e r ( S e c t i o n 6 . 2 ) s o n l a r e p r e s e n t a c i ó n d e l a s s e ñ a l e s p e r i ó d i c a s c o n t i n u a s e n e l t i e m p o

d a d o e n t é r m i n o s d e e x p o n e n c i a l e s c o m p l e j o s . L a s c o n d i c i o n e s d e D i r i c h l e t ( S e c t i o n 6 . 1 0 ) s u g i e r e n q u e l a s

s e ñ a l e s d i s c o n t i n u a s p u e d e n t e n e r r e p r e s e n t a c i ó n d e s e r i e d e f o u r i e r s i e m p r e y c u a n d o t e n g a n u n n ú m e r o

2 5




1 1 7

n i t o d e d i s c o n t i n u i d a d e s . E s t o p a r e c e d e c i r l o c o n t r a r i o d e l o q u e h e m o s e x p l i c a d o , y a q u e l o s e x p o n e n c i a l e s

c o m p l e j o s ( S e c t i o n 1 . 5 ) s o n f u n c i o n e s c o n t i n u a s . N o p a r e c e q u e s e a p o s i b l e e l p o d e r r e c o n s t r u i r e x a c t a m e n t e

u n a f u n c i ó n d i s c o n t i n u a d e u n c o n j u n t o d e f u n c i o n e s c o n t i n u a s . D e h e c h o , n o s e p u e d e . S i n e m b a r g o ,

p o d e m o s r e l a j a r l a c o n d i c i ó n d e ` e x a c t a m e n t e ' y r e m p l a z a r l a c o n l a i d e a d e c a s i e n t o d o s l a d o s . E s t o e s

p a r a d e c i r q u e l a r e c o n s t r u c c i ó n e s e x a c t a m e n t e l a m i s m a d e l a s e ñ a l o r i g i n a e x c e p t o e n u n n u m e r o d e p u n t o s

n i t a s . E s t o s p u n t o s o c u r r e n e n l a s d i s c o n t i n u i d a d e s .

6 . 1 1 . 1 . 1 H i s t o r i a

E n l o s 1 8 0 0 s , m u c h a s m a q u i n a s f u e r o n c o n s t r u i d a s p a r a c a l c u l a r l o s c o e c i e n t e s d e F o u r i e r y r e - s i n t e t i z a r :

f N (t) =

N n=−N

cnejω0nt

( 6 . 4 9 )

A l b e r t M i c h e l s o n ( u n f í s i c o e x p e r i m e n t a l e x t r a o r d i n a r i o ) c o n s t r u y o u n a m a q u i n a e n 1 8 9 8 q u e p o d í a c a l c u l a r

cn h a s t a n = ±79, y r e - s i n t e t i z o

f 79 (t) =

79n=−79

cnejω0nt

( 6 . 5 0 )

L a m a q u i n a f u n c i o n o m u y b i e n e n t o d o s l o s e x á m e n e s e x c e p t o e n e s o s q u e t e n í a n f u n c i o n e s d e s c o n t i n ú a s .

C u a n d o u n a f u n c i ó n c u a d r a d a c o m o l a m o s t r a d a e n F i g u r e 6 . 2 1 ( F o u r i e r s e r i e s a p p r o x i m a t i o n o f a s q u a r e

w a v e ) , f u e d a d a a l a m a q u i n a a p a r e c i e r o n g a r a b a t o s a l r e d e d o r d e l a s d i s c o n t i n u i d a d e s , a u n q u e e l n u m e r o

d e l o s c o e c i e n t e s d e f o u r i e r l l e g a r o n a s e r c a s i i n n i t o s , l o s g a r a b a t o s n u n c a d e s a p a r e c i e r o n - e s t o s e p u e d e

o b s e r v a r e n l a s F i g u r e 6 . 2 1 ( F o u r i e r s e r i e s a p p r o x i m a t i o n o f a s q u a r e w a v e ) . J . W i l l a r d G i b b s f u e e l p r i m e r o

e n e x p l i c a r e s t e f e n ó m e n o e n 1 8 9 9 , p o r e s o e s t o s p u n t o s s o n c o n o c i d o s c o m o e l F e n ó m e n o d e G i b b s .

6 . 1 1 . 2 E x p l i c a c i ó n

E m p e z a r e m o s e s t a d i s c u s i ó n t o m a n d o u n a s e ñ a l c o n u n n ú m e r o n i t o d e d i s c o n t i n u i d a d e s ( c o m o e l p u l s o

c u a d r a d o ) y e n c o n t r a n d o s u r e p r e s e n t a c i ó n d e s e r i e s d e f o u r i e r . E n t o n c e s t r a t a r e m o s d e r e c o n s t r u i r e s t a

s e ñ a l u s a n d o s u s c o e c i e n t e s d e f o u r i e r . V e m o s q u e e n t r e m a s c o e c i e n t e s u s e m o s , l a s e ñ a l r e c o n s t r u i d a s e

p a r e c e m á s y m á s a l a s e ñ a l o r i g i n a l . S i n e m b a r g o , a l r e d e d o r d e l a s d i s c o n t i n u i d a d e s , o b s e r v a m o s o n d u l a c i o n e s

q u e n o d e s a p a r e c e n . A l c o n s i d e r a r e l u s o d e m á s c o e c i e n t e s , l a s o n d u l a c i o n e s s e v u e l v e n e s t r e c h a s , p e r o

n o d e s a p a r e c e n . C u a n d o l l e g a m o s a u n n ú m e r o c a s i i n n i t o d e c o e c i e n t e s , e s t a s o n d u l a c i o n e s c o n t i n ú a n

a h í . E s t o e s c u a n d o a p l i c a m o s l a i d e a d e c a s i e n t o d o s l a d o s . M i e n t r a s e s t a s o n d u l a c i o n e s s i g u e n p r e s e n t e s

( e s t a n d o s i e m p r e a r r i b a d e l 9 % d e l a a l t u r a d e l p u l s o ) , e l á r e a d e n t r o d e e l l a s t i e n d e a s e r c e r o , l o q u e

s i g n i c a q u e l a e n e r g í a d e l a s o n d u l a c i o n e s l l e g a a s e r c e r o . L o q u e d e m u e s t r a q u e s u a n c h u r a t i e n d e a

s e r c e r o y p o d e m o s s a b e r q u e l a r e c o n s t r u c c i ó n d e l a s e ñ a l e s e x a c t a m e n t e i g u a l a l a s e ñ a l o r i g i n a l e x c e p t o

e n l a s d i s c o n t i n u i d a d e s . Y a q u e l a s c o n d i c i o n e s d e D i r i c h l e t d i c e n q u e p u e d e n h a b e r u n n u m e r o n i t o d e

d i s c o n t i n u i d a d e s , p o d e m o s c o n c l u i r q u e e l p r i n c i p i o d e c a s i e n t o d o s l a d o s e s c u m p l i d o . E s t e f e n ó m e n o e s

u n c a s o e s p e c í c o d e u n a c o n v e r g e n c i a n o - u n i f o r m e .

U s a r e m o s u n a f u n c i ó n c u a d r a d a , j u n t o c o n s u s s e r i e s d e F o u r i e r , p a r a v e r g u r e s d o n d e s e m u e s t r a e s t e

f e n ó m e n o c o n d e t a l l e s u n p o c o m a s m a t e m á t i c o s .

6 . 1 1 . 2 . 1 F u n c i ó n c u a d r a d a

L a s s e r i e s d e F o u r i e r d e e s t a s e ñ a l n o s d i c e n q u e s u s l a d o s d e r e c h o s e i z q u i e r d o s s o n i g u a l e s . P a r a e n t e n d e r

e l f e n ó m e n o d e G i b b s , n e c e s i t a r e m o s r e d e n i r l a m a n e r a e n l a q u e v e m o s l a i g u a l d a d .

s (t) = a0 +∞k=1

akcos

2πkt

T

+

∞k=1

bksin

2πkt

T

( 6 . 5 1 )



1 1 8


6 . 1 1 . 2 . 2 E j e m p l o

L a s i g u i e n t e F i g u r e 6 . 2 1 ( F o u r i e r s e r i e s a p p r o x i m a t i o n o f a s q u a r e w a v e ) n o s m u e s t r a v a r i a s a p r o x i m a c i o n e s

p a r a l a s s e r i e s d e f o u r i e r d e l a f u n c i ó n c u a d r a d a

2 6

, u s a n d o u n n ú m e r o v a r i a d o d e t é r m i n o s e s c r i t o p o r K :

F o u r i e r s e r i e s a p p r o x i m a t i o n o f a s q u a r e w a v e

F i g u r e 6 . 2 1 : A p r o x i m a c i o n d e l a s s e r i e s d e F o u r i e r p a r a sq (t) . E l n u m e r o d e t e r m i n o s e n l a s u m a

d e F o u r i e r e s t a i n d i c a d a e n c a d a g r a c a , l a f u n c i o n c u a d r a d a e s m o s t r a d a e n d o s p e r i o d o s c o n u n a l i n e a

q u e b r a d i z a .

C u a n d o c o m p a r a m o s l a f u n c i ó n c u a d r a d a c o n s u r e p r e s e n t a c i ó n d e l a s e r i e s d e F o u r i e r F i g u r e 6 . 2 1 ( F o u r i e r

s e r i e s a p p r o x i m a t i o n o f a s q u a r e w a v e ) , n o s e p u e d e v e r c l a r a m e n t e q u e l a s d o s s o n i g u a l e s . E l h e c h o d e

q u e l a s s e r i e s d e f o u r i e r r e q u i e r e n m á s t é r m i n o s p a r a u n a r e p r e s e n t a c i ó n m á s e x a c t a n o e s i m p o r t a n t e . S i n

e m b a r g o , u n a i n s p e c c i ó n m a s d e t a l l a d a F i g u r e 6 . 2 1 ( F o u r i e r s e r i e s a p p r o x i m a t i o n o f a s q u a r e w a v e ) r e v e l a

u n p o s i b l e p r o b l e m a : ¾ l a s e r i e s d e F o u r i e r p u e d e n i g u a l a r l a f u n c i ó n c u a d r a d a e n t o d o s l o s v a l o r e s d e t ? ?

E n p a r t i c u l a r , e n c u a l q u i e r c a m b i o d e p a s o e n l a f u n c i ó n , l a s s e r i e s d e f o u r i e r m u e s t r a n u n p i c o s e g u i d o p o r

o s c i l a c i o n e s r á p i d a s . C u a n d o s e a d h i e r e n m á s t é r m i n o s a l a s s e r i e s , l a s o s c i l a c i o n e s s e v u e l v e n m á s r á p i d a s

2 6

" F o u r i e r S e r i e s A p p r o x i m a t i o n o f a S q u a r e W a v e " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 0 4 1 / l a t e s t / >



1 1 9

y m á s p e q u e ñ a s , p e r o l o s p i c o s n o d i s m i n u y e n . C o n s i d e r e m o s i n t u i t i v a m e n t e e s t a p r e g u n t a m a t e m á t i c a :

¾ p u e d e u n a f u n c i ó n d i s c o n t i n u a , c o m o l a f u n c i ó n c u a d r a d a , s e r e x p r e s a d a c o m o u n a s u m a , a u n s i e s i n n i t a ,

d e f u n c i o n e s c o n t i n u a s ? U n o t i e n e q u e s o s p e c h a r q u e d e h e c h o n o s e p u e d e e x p r e s a r . E s t a p r e g u n t a l e

p r o d u j o a F o u r i e r

2 7

c r i t i c a s d e l a a c a d e m i a d e c i e n c i a F r a n c e s a ( L a p a c e , L e g e n d r e , y L a g r a n d e f o r m a b a n

p a r t e d e l c o m i t é d e r e v i s i ó n ) p o r m u c h o s a n o s d e s u p r e s e n t a c i ó n e n 1 9 0 7 . E s t o n o f u e r e s u e l t o p o r m a s s e

c i e n a n o s , y l a s o l u c i ó n e s a l g o i m p o r t a n t e e i n t e r e s a n t e d e e n t e n d e r p a r a u n p u n t o d e v i s t a p r a c t i c o .

E s t o s p i c o s e n l a s e r i e s d e f o u r i e r d e l a f u n c i ó n c u a d r a d a n u n c a d e s a p a r e c e n ; s o n l l a m a d o s e l f e n ó m e n o d e

G i b b n o m b r a d o p o r e l f í s i c o A m e r i c a n o J o s i a h W i l l a r d G i b b . O c u r r a n c a d a v e z q u e l a s s e ñ a l e s d i s c o n t i n u a s ,

y s i e m p r e e s t a r á n p r e s e n t e s c u a n d o l a s e ñ a l t i e n e b r i n c o s .

6 . 1 1 . 2 . 3 R e d e n i e n d o I g u a l d a d

R e g r e s e m o s a l a p r e g u n t a d e i g u a l d a d ; c o m o s e p u e d e j u s t i c a r l a s e ñ a l d e i g u a l d a d e n l a d e n i c i ó n d e

l a s e r i e s d e F o u r i e r

2 8

? L a r e s p u e s t a p a r c i a l e s q u e c a d a p u n t o t o d o s l o s v a l o r e s d e

t l a i g u a l d a d n o e s

g a r a n t i z a d a . L o q u e l o s m a t e m á t i c o s d e l s i g l o 1 9 f u e q u e e l e r r o r R M S d e l a s s e r i e s d e F o u r i e r e r a n c e r o .

limK→∞

rms (K) = 0 ( 6 . 5 2 )

L o q u e s i g n i c a e s q u e l a d i f e r e n c i a e n t r e l a s e ñ a l a c t u a l y s u r e p r e s e n t a c i ó n e n f o u r i e r p u e d e n o s e r c e r o ,

p e r o e l c u a d r a d o d e e s t a c a n t i d a d t i e n e u n a i n t e g r a l i g u a l a ½ c e r o ! E s a t r a v é s d e l v a l o r d e R M S q u e d e n i m o s

i g u a l d a d : d o s s e ñ a l e s

s1 (t) ,

s2 (t) s e d i c e n s e r i g u a l e s e n e l p r o m e d i o c u a d r a d o s i

rms (s1 − s2) = 0 . E s t a s

s e ñ a l e s s e d i c e n s e r i g u a l e s p u n t o a p u n t o s i

s1 (t) = s2 (t) p a r a t o d o s l o s v a l o r e s d e

t. P a r a l a s s e r i e s

d e f o u r i e r , l o s p i c o s d e l f e n ó m e n o d e G i b b s t i e n e n a l t u r a n i t a y a n c h u r a d e c e r o : e l e r r o r d i e r e d e c e r o

s o l o e n p u n t o a i s l a d o - c u a n d o l a s e ñ a l p e r i ó d i c a c o n t i e n e d i s c o n t i n u i d a d e s - i g u a l a 9 % d e l t a m a ñ o d e l a

d i s c o n t i n u i d a d . E l v a l o r d e l a f u n c i ó n e n c o n j u n t o d e p u n t o s n i t o s a f e c t a e l i n t e g r a l . E s t e e f e c t o n o e x p l i c a

l a r a z ó n d e l p o r q u e d e n i m o s e l v a l o r d e u n a f u n c i ó n d e s c o n t i n ú a e n s u d i s c o n t i n u i d a d . E l v a l o r q u e s e

e s c o j a p a r a e s t a d i s c o n t i n u i d a d n o t i e n e u n a r e l e v a n c i a p r á c t i c a p a r a e l e s p e c t r o d e l a s e ñ a l o e l c o m o e l

s i s t e m a r e s p o n d e a e s t a s e ñ a l . L a s s e r i e s d e f o u r i e r v a l o r a d a s e n e n l a d i s c o n t i n u i d a d e s e l p r o m e d i o d e

l o s v a l o r e s e n c u a l q u i e r l a d o d e l s a l t o .

6 . 1 2 R e s u m e n d e l a s S e r i e s d e F o u r i e r

2 9

A b a j o v e r e m o s a l g u n o s d e l o s c o n c e p t o s m á s i m p o r t a n t e s d e l a s s e r i e s d e F o u r i e r ( S e c t i o n 6 . 2 ) y n u e s t r o

e n t e n d i m i e n t o u s a n d o e i g e n f u n c i o n e s y e i g e n v a l o r e s . O j a l a e s t e f a m i l i a r i z a d o c o n e s t e m a t e r i a l p a r a q u e e s t e

d o c u m e n t o s i r v a c o m o u n r e p a s o , p e r o s i n o , u s e t o d o s l o s l i n k s d e i n f o r m a c i ó n d a d o s e n l o s t e m a s .

1 . P o d e m o s r e p r e s e n t a r u n a f u n c i ó n p e r i ó d i c a ( S e c t i o n 6 . 1 ) o u n a f u n c i ó n e n u n i n t e r v a l o f (t) c o m o l a

c o m b i n a c i ó n d e e x p o n e n c i a l e s c o m p l e j o s ( S e c t i o n 1 . 5 ) :

f (t) =

∞n=−∞

cnejω0nt

( 6 . 5 3 )

cn =1T

T

0

f (t) e−(jω0nt)dt ( 6 . 5 4 )

D o n d e l o s c o e c i e n t e s d e F o u r i e r , cn , i g u a l a n c u a n t o d e l a f r e c u e n c i a ω0n e x i s t e n e n l a s e ñ a l .

2 7



2 8

" F o u r i e r S e r i e s " , ( 1 ) < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 0 3 9 / l a t e s t / # s i n e >

2 9




1 2 0


2 . Y a q u e ejω0nts o n e i g e n f u n c i o n e s d e s i s t e m a L T I ( S e c t i o n 6 . 8 ) p o d e m o s i n t e r p r e t a r l a a c c i ó n d e u n

s i s t e m a e n u n a s e ñ a l e e n t e r m i n o d e s u s e i g e n v a l o r e s

3 0

:

H ( jω0n) = ∞−∞ h (t) e−

(jω0nt)

dt( 6 . 5 5 )

• |H ( jω0n) | e s g r a n d e ⇒ e l s i s t e m a a c e n t ú a l a f r e c u e n c i a ω0n• |H ( jω0n) | e s p e q u e ñ o ⇒ e l s i s t e m a a t e n ú a e l

ω0n

3 . E n a d i c i ó n e l cn d e u n a f u n c i ó n p e r i ó d i c a f (t) n o s p u e d e d e c i r s o b r e :

•s i m e t r í a s e n

f (t)• s u a v i d a d e n

f (t), w h e r e d o n d e l a s u a v i d a d s e p u e d e i n t e r p r e t a r c o m o e l r a d i o d e d e c a d e n c i a |cn| .

4 . P o d e m o s a p r o x i m a r u n a f u n c i ó n a d e - s i n t e t i z a r u s a n d o a l g u n o s v a l o r e s e n e l c o e c i e n t e d e f o u r i e r (

t r u n c a n d o l a S . F . )

f N (t) =

n≤|N | cnejω0nt

( 6 . 5 6 )

E s t a a p r o x i m a c i ó n f u n c i o n a b i e n d o n d e f (t) e s c o n t i n u o p e r o n o f u n c i ó n t a m b i é n c u a n d o f (t) i s

d i s c o n t i n u o u s . e s d e s c o n t i n u ó e s t o e s e x p l i c a d o p o r e l f e n ó m e n o d e G i b b ( S e c t i o n 6 . 1 1 ) .

3 0

" E i g e n v e c t o r s a n d E i g e n v a l u e s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 7 3 6 / l a t e s t / >



1 2 1



L a p a r t e m a s c o n f u s a d e e s t a p r o b l e m a e s d e e n c o n t r a r l a m a n e r a d e r e p r e s e n t a r e s t a f u n c i ó n e n t é r m i n o s

d e s u s b a s e , ejω0nt . P a r a h a c e r e s t o , n o s o t r o s u s a r e m o s n u e s t r o c o n o c i m i e n t o d e l a r e l a c i ó n d e E u l e r ( S e c -

t i o n 1 . 5 . 2 : L a R e l a c i ó n d e E u l e r ) p a r a r e p r e s e n t a r n u e s t r a f u n c i ó n d e c o s e n o e n t é r m i n o s d e s u e x p o n e n c i a l .

f (t) =1

2

ejω0t + e−(jω0t)

C o n e s t a f o r m a y c o n ( 6 . 3 ) , a l i n s p e c c i o n a r l a p o d e m o s v e r q u e n u e s t r o s c o e c i e n t e s s o n :

cn =

12

i f |n| = 1

0 o t h e r w i s e


C o m o l o h i c i m o s e n n u e s t r o o t r o e j e m p l o u s a r e m o s u n a v e z m á s l a r e l a c i ó n d e E u l e r ( S e c t i o n 1 . 5 . 2 : L a

R e l a c i ó n d e E u l e r ) p a r a r e p r e s e n t a r n u e s t r a f u n c i ó n d e s e n o e n t é r m i n o s d e f u n c i o n e s e x p o n e n c i a l e s .

f (t) =1

2 j

ejω0t − e−(jω0t)

A s i q u e n u e s t r o s c o e c i e n t e s s o n

cn =

−j2

i f n = −1j2 i f n = 1

0 o t h e r w i s e


U n a v e z m á s u t i l i z a m o s l a m i s m a t é c n i c a . Y a l n a l n u e s t r a f u n c i ó n e s

f (t) = 3 + 4

1

2

ejω0t + e−(jω0t)

+ 2

1

2

ej2ω0t + e−(j2ω0t)

D e e s t o p o d e m o s e n c o n t r a r n u e s t r o s c o e c i e n t e s :

cn =

3 i f n = 0

2 i f |n| = 1

1 i f |n| = 2

0 o t h e r w i s e


N o s o t r o s c o m e n z a r e m o s a l r e e m p l a z a r n u e s t r a f u n c i ó n ,

f (t), e n ( 6 . 4 ) . N u e s t r o i n t e r v a l o d e i n t e g r a c i ó n

c a m b i a r a p a r a i g u a l a r e l i n t e r v a l o e s p e c i c a d o p o r l a f u n c i ó n

cn =1

T

T 1−T 1

(1) e−(jω0nt)dt

N o t e q u e d e b e m o s c o n s i d e r a r d o s c a s o s : n = 0 y n = 0. P a r a n = 0 p o d e m o s v e r q u e d e s p u é s d e i n s p e c c i o n a r

e l i n t e g r a l o b t e n e m o s .

cn =2T 1

T , n = 0



1 2 2


P a r a n = 0 , t e n e m o s q u e t o m a r m a s p a s o s p a r a r e s o l v e r l o . E m p e z a r e m o s a l o b s e r v a r e l i n t e g r a l b á s i c o d e l

i n t e g r a l q u e t e n e m o s . R e c o r d a n d o n u e s t r o c á l c u l o e s t a m o s l i s t o s p a r a i n t e g r a r :

cn =

1

T 1

jω0n

e−(jω0nt)

|T 1

t=−T 1

A h o r a e v a l u a r e m o s l a s f u n c i o n e s e x p o n e n c i a l e s p a r a l o s l í m i t e s d a d o s y e x p a n d i r e m o s n u e s t r a e c u a c i ó n a :

cn =1

T

1

− ( jω0n)

e−(jω0nT 1) − ejω0nT 1

A h o r a m u l t i p l i c a r e m o s e l l a d o d e r e c h o d e n u e s t r a e c u a c i ó n p o r

2j2j y d i s t r i b u i r e m o s n u e s t r o s i g n o n e g a t i v o

d e n t r o d e n u e s t r o p a r é n t e s i s , p o d e m o s u t i l i z a r l a r e l a c i ó n d e E u l e r

3 1

p a r a s i m p l i c a r n u e s t r a e x p r e s i ó n a :

cn =1

T

2 j

jω0n

sin (ω0nT 1)

A h o r a , r e c u e r d e q u e a n t e r i o r m e n t e d e n i m o s

ω0 =

2π

T . P o d e m o s r e s o l v e r e s t a e c u a c i ó n p a r a

T y s u s t i t u i r

e n .

cn =2 jω0

jω0n2πsin (ω0nT 1)

F i n a l m e n t e , s i c a n c e l a m o s a l g u n o s t é r m i n o s l l e g a r e m o s a n u e s t r a r e s p u e s t a n a l p a r a l o s c o e c i e n t e s d e

F o u r i e r : f (t) :

cn =sin (ω0nT 1)

nπ, n = 0

S o l u t i o n t o E x e r c i s e 6 . 5 ( p . 1 0 3 )

(|cn|)2 < ∞ p a r a f (t) t e n e r e n e r g í a n i t a .


S i , p o r q u e (

|cn

|)2

= 1n2

, l a c u a l s e p u e d e s u m a r .


N o , p o r q u e (|cn|)2 = 1n

, l a c u a l n o s e p u e d e s u m a r .


F i g u r e 6 . 2 2 : U n p u l s o t r i a n g u l a r c o n p e r i o d o d e

T 4 .

3 1

" T h e C o m p l e x E x p o n e n t i a l " : S e c t i o n E u l e r ' s R e l a t i o n < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 0 6 0 / l a t e s t / # e u l _ r e l >



C h a p t e r 7

E s p a c i o s d e H i l b e r t y E x p a n s i o n e s

O r t o g o n a l e s

7 . 1 E s p a c i o s V e c t o r i a l e s

1

I n t r o d u c c i ó n

D e n i t i o n 5 : E s p a c i o V e c t o r i a l

U n e s p a c i o v e c t o r i a l S e s u n a c o l e c c i ó n d e v e c t o r e s t a l q u e ( 1 ) s i f 1 ∈ S ⇒ αf 1 ∈ S p a r a t o d o

e s c a l a r α ( d o n d e α ∈ R ó α ∈ C) y ( 2 ) s i f 1 ∈ S , f 2 ∈ S , e n t o n c e s f 1 + f 2 ∈ S

P a r a d e n i r u n e s p a c i o v e c t o r i a l l i n e a l a b s t r a c t o , n e c e s i t a m o s :

• U n c o n j u n t o d e c o s a s l l a m a d a s " v e c t o r e s " ( X )

• U n c o n j u n t o d e c o s a s l l a m a d a s " e s c a l a r e s " ( A)

•U n o p e r a d o r d e a d i c i ó n d e v e c t o r e s ( +)

• U n o p e r a d o r d e m u l t i p l i c a c i ó n e s c a l a r ( ∗ )

E s t o s o p e r a d o r e s n e c e s i t a n t e n e r t o d a s l a s s i g u i e n t e p r o p i e d a d e s . L a c e r r a d u r a u s u a l m e n t e e s l a m a s i m p o r -

t a n t e p a r a m o s t r a r .

7 . 1 . 2 E s p a c i o V e c t o r i a l

S i l o s e s c a l a r e s α s o n r e a l e s , S e s l l a m a d o u n e s p a c i o v e c t o r i a l r e a l .

S i l o s e s c a l a r e s α s o n c o m p l e j o s , S e s l l a m a d o u n e s p a c i o v e c t o r i a l c o m p l e j o .

S i l o s " v e c t o r e s " e n S s o n f u n c i o n e s o v a r i a b l e s c o n t i n u a s , m u c h a s v e c e s S e s l l a m a d o u n e s p a c i o l i n e a l

d e f u n c i o n e s .

7 . 1 . 2 . 1 P r o p i e d a d e s

D e n i m o s u n c o n j u n t o

V p a r a s e r u n e s p a c i o v e c t o r i a l s i

1 . x + y = y + x p a r a c a d a x y y e n V 2 . x + (y + z) = (x + y) + z p a r a c a d a x , y , y z e n V 3 . H a y u n ú n i c o " v e c t o r c e r o " t a l q u e x + 0 = x p a r a c a d a x e n V 4 . P a r a c a d a

xe n

V H a y u n v e c t o r ú n i c o

−xt a l q u e

x + (−x) = 0.

5 . 1x = x

6 . (c1c2)x = c1 (c2x) p a r a c a d a

xe n

V a n d

c1 y

c2 e n C.

1


1 2 3



1 2 4

C H A P T E R 7 . E S P A C I O S D E H I L B E R T Y E X P A N S I O N E S O R T O G O N A L E S

7 . c (x + y) = cx + cy p a r a c a d a x y y e n V y c e n C.

8 . (c1 + c2)x = c1x + c2x p a r a c a d a

xe n

V y

c1 y

c2 e n C.

7 . 1 . 2 . 2 E x a m p l e s

• Rn = espaciovectorialreal

• Cn = espaciovectorialcomplejo

• L1 (R) =

f (t) | ∞−∞ |f (t) |dt < ∞

e s u n e s p a c i o v e c t o r i a l

• L∞ (R) = f (t) |f (t) es acotado e s u n e s p a c i o v e c t o r i a l

• L2 (R) =

f (t) | ∞−∞ (|f (t) |)2dt < ∞

= sealesdeenergiafinitas e s u n e s p a c i o v e c t o r i a l

• L2 ([0, T ]) = funcionesdeenergiafinitaenunintervalo[0, T ]• 1 (Z), 2 (Z), ∞ (Z) s o n e s p a c i o s v e c t o r i a l e s

• L a c o l e c c i ó n d e f u n c i o n e s p o r p e d a z o s c o n s t a n t e s e n t r e l o s e n t e r o s y e l e s p a c i o v e c t o r i a l

F i g u r e 7 . 1

• R+2 =

x0

x1

|x0 > 0 and x1 > 0

e s n o u n e s p a c i o v e c t o r i a l .

1

1

∈ R+

2, p e r o α

1

1

/∈

R+2 , α < 0

• D = z ∈ C , |z| ≤ 1 e s n o u n e s p a c i o v e c t o r i a l .

z1 = 1 ∈ D,

z2 = j ∈ D, p e r o

z1 + z2 /∈ D,

|z1 + z2| =√

2 > 1

n o t e : E l e s p a c i o v e c t o r i a l e s u n a c o l e c c i ó n d e f u n c i o n e s , c o l e c c i ó n d e s e c u e n c i a s , a s i c o m o u n a

c o l e c c i ó n d e v e c t o r e s t r a d i c i o n a l e s ( e s d e c i r u n a l i s t a n i t a d e n ú m e r o s )



1 2 5

7 . 2 N o r m a s

2

7 . 2 . 1 I n t r o d u c c i ó n

M u c h o d e l l e n g u a j e u t i l i z a d o e n e s t a s e c c i ó n s e r á f a m i l i a r p a r a u s t e d - d e b e d e h a b e r e s t a d o e x p u e s t o a l o s

c o n c e p t o s d e

• p r o d u c t o i n t e r n o

3

• o r t o g o n a l i d a d

• e x p a n s i ó n d e b a s e

4

e n e l c o n t e x t o d e Rn

. V a m o s a t o m a r l o q u e c o n o c e m o s s o b r e v e c t o r e s y a p l i c a r l o a f u n c i o n e s ( s e ñ a l e s d e

t i e m p o c o n t i n u o ) .

7 . 2 . 2 N o r m a s

L a n o r m a d e u n v e c t o r e s u n n ú m e r o r e a l q u e r e p r e s e n t a e l " t a m a ñ o " d e e l v e c t o r .

E x a m p l e 7 . 1

E n R2

, p o d e m o s d e n i r l a n o r m a q u e s e a l a l o n g i t u d g e o m é t r i c a d e l o s v e c t o r e s .

F i g u r e 7 . 2

x = (x0, x1)T

, n o r m a x =√

x02 + x1

2

M a t e m á t i c a m e n t e , u n a n o r m a · e s s o l o u n a f u n c i ó n ( t o m a n d o u n v e c t o r y r e g r e s a n d o u n

n ú m e r o r e a l ) q u e s a t i s f a c e t r e s r e g l a s

P a r a s e r u n a n o r m a , · d e b e s a t i s f a c e r :

1 . l a n o r m a d e t o d o v e c t o r e s p o s i t i v a x > 0 , x ∈ S 2 . e s c a l a n d o e l v e c t o r , s e e s c a l a l a n o r m a p o r l a m i s m a c a n t i d a d αx = |α| x p a r a t o d o s l o s v e c t o r e s

xy e s c a l a r e s α

3 . P r o p i e d a d d e l T r i á n g u l o : x + y ≤ x + y p a r a t o d o s l o s v e c t o r e s

x,

y. E l t a m a ñ o d e l a

s u m a d e d o s v e c t o r e s e s m e n o r o i g u a l a l a s u m a d e s u s t a m a ñ o s

U n e s p a c i o v e c t o r i a l

5

c o n u n a n o r m a b i e n d e n i d a e s l l a m a d o u n e s p a c i o v e c t o r i a l n o r m a d o o e s p a c i o

l i n e a l n o r m a d o .

2


3

" I n n e r P r o d u c t s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 7 5 5 / l a t e s t / >

4

" O r t h o n o r m a l B a s i s E x p a n s i o n s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 7 6 0 / l a t e s t / >

5

" V e c t o r S p a c e s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 7 6 7 / l a t e s t / >



1 2 6


7 . 2 . 2 . 1 E j e m p l o s

E x a m p l e 7 . 2

Rn

( ó Cn

) ,

x =

x0

x1

. . .

xn−1

, x 1 =n−1

i=0 (|xi|), Rn

c o n e s t a n o r m a e s l l a m a d o

1 ([0, n − 1]) .

F i g u r e 7 . 3 : C o l e c c i ó n d e t o d a s l a s x ∈ R2 c o n x 1 = 1

E x a m p l e 7 . 3

Rn( ó Cn

) , c o n n o r m a x 2 =

n−1i=0

(|xi|)2 1

2, Rn

e s l l a m a d o 2 ([0, n − 1]) ( l a u s u a l " n o r m a

E u c l i d e a n a " ) .

F i g u r e 7 . 4 : C o l e c c i ó n d e t o d a s l a s

x ∈ R2w i t h

x 2 = 1



1 2 7

E x a m p l e 7 . 4

Rn

( o r Cn

, w i t h n o r m x ∞ = maxi |xi| i s c a l l e d

∞ ([0, n − 1])

F i g u r e 7 . 5 : x ∈ R2 c o n

x ∞ = 1

7 . 2 . 2 . 2 E s p a c i o s d e S e c u e n c i a s y F u n c i o n e s

P o d e m o s d e n i r n o r m a s s i m i l a r e s p a r a e s p a c i o s d e s e c u e n c i a s y f u n c i o n e s .

S e ñ a l e s d e t i e m p o d i s c r e t o = s e c u e n c i a d e n ú m e r o s

x [n] = . . . , x−2, x−1, x0, x1, x2, . . .

• x (n) 1 =∞

i=−∞ (|x [i] |), x [n] ∈ 1 (Z) ⇒ x 1 < ∞• x (n) 2 =

∞i=−∞

(|x [i] |)2

12

, x [n] ∈ 2 (Z) ⇒ x 2 < ∞• x (n) p =

∞i=−∞ ((|x [i] |) p)

1p

, x [n] ∈ p (Z) ⇒ x p < ∞• x (n) ∞ = sup

i

|x [i] |, x [n] ∈ ∞ (Z) ⇒ x ∞ < ∞

P a r a f u n c i o n e s c o n t i n u a s e n e l t i e m p o :

• f (t) p = ∞

−∞ (|f (t) |) pdt 1p

, f (t) ∈ L p (R) ⇒ f (t) p < ∞

• ( E n e l i n t e r v a l o ) f (t) p = T

0 (|f (t) |) pdt1p

, f (t) ∈ L p ([0, T ]) ⇒ f (t) p < ∞

7 . 3 P r o d u c t o I n t e r n o

6

7 . 3 . 1 D e n i c i ó n : P r o d u c t o I n t e r n o

D e s e g u r o y a t i e n e u n a i d e a d e l p r o d u c t o i n t e r n o , t a m b i é n c o n o c i d o c o m o p r o d u c t o p u n t o , e n Rn

d e

a l g u n o d e s u s c u r s o s d e m a t e m á t i c a s o d e c ó m p u t o . S i n o , d e n i r e m o s e l p r o d u c t o i n t e r n o d e l a s i g u i e n t e

m a n e r a , t e n e m o s d a d o s a l g u n a s x ∈ Rny y ∈ Rn

6




1 2 8


D e n i t i o n 6 : P r o d u c t o I n t e r n o

E l p r o d u c t o i n t e r n o e s t a d e n i d o m a t e m á t i c a m e n t e d e l a s i g u i e n t e m a n e r a :

< x,y > = yT x

=

y0 y1 . . . yn−1

x0

x1

.

.

.

xn−1

=n−1

i=0 (xiyi)

( 7 . 1 )

7 . 3 . 1 . 1 P r o d u c t o I n t e r n o e n 2 - D

S i t e n e m o s

x ∈ R2y

y ∈ R2, e n t o n c e s p o d e m o s e s c r i b i r e l p r o d u c t o i n t e r n o c o m o :

< x,y >= x y cos (θ) ( 7 . 2 )

d o n d e θ e s e l á n g u l o e n t r e x y y .

F i g u r e 7 . 6 : G r á c a g e n e r a l d e v e c t o r e s y á n g u l o s m e n c i o n a d o s e n l a s e c u a c i o n e s a n t e r i o r e s .

G e o m é t r i c a m e n t e , e l p r o d u c t o i n t e r n o n o s d i c e s o b r e l a f u e r z a d e x e n l a d i r e c c i ó n d e y .

E x a m p l e 7 . 5

P o r e j e m p l o , s i x = 1 , e n t o n c e s

< x,y >= y cos (θ)

F i g u r e 7 . 7 : G r á c a d e l o s d o s v e c t o r e s d e l e j e m p l o a n t e r i o r .



1 2 9

L a s s i g u i e n t e s c a r a c t e r í s t i c a s s o n d a d a s p o r e l p r o d u c t o i n t e r n o :

• < x,y > m i d e l a l o n g i t u d d e l a p r o y e c c i ó n d e y s o b r e x.

•< x,y > e s e l m á x i m o ( d a d a s

x

,

y

) d o n d e x y y e s t a n e n l a m i s m a d i r e c c i ó n ( θ = 0

⇒cos (θ) = 1 ) .

• < x,y >e s c e r o c u a n d o

cos (θ) = 0 ⇒ θ = 90 , e s d e c i r x

y

ys o n o r t o g o n a l e s .

7 . 3 . 1 . 2 R e g l a s d e l P r o d u c t o I n t e r n o

E n g e n e r a l e l p r o d u c t o i n t e r n o e n u n e s p a c i o v e c t o r i a l c o m p l e j o e s s o l o u n a f u n c i ó n ( t o m a n d o d o s v e c t o r e s

y r e g r e s a n d o u n n ú m e r o c o m p l e j o ) q u e s a t i s f a c e c i e r t a s c o n d i c i o n e s :

• S i m e t r i a C o n j u g a d a :

< x,y >= < x,y >∗

• E s c a l a d o :

< αx,y >= α < x,y >

• A d i t i v i d a d :

< x + y, z >=< x, z > + < y, z >

• " P o s i t i v i d a d " :

< x,x >> 0 , x = 0

D e n i t i o n 7 : O r t o g o n a l

D e c i m o s q u e x y y s o n o r t o g o n a l e s s i :

< x,y >= 0

7 . 4 E s p a c i o s d e H i l b e r t

7

7 . 4 . 1 E s p a c i o s d e H i l b e r t

U n e s p a c i o v e c t o r i a l S c o n u n p r o d u c t o i n t e r n o ( S e c t i o n 7 . 3 ) v á l i d o d e n i d o e n é l e s l l a m a d o e s p a c i o d e

p r o d u c t o i n t e r n o , q u e t m a b i é n e s e s p a c i o l i n e a l n o r m a d o . U n e s p a c i o d e H i l b e r t e s u n e s p a c i o d e

p r o d u c t o i n t e r n o q u e e s c o m p l e t o c o n r e s p e c t o a l a n o r m a d e n i d a u s a n d o e l p r o d u c t o i n t e r n o . L o s e s p a c i o s

d e H i l b e r t f u e r o n n o m b r a d o s d e s p u é s d e q u e D a v i d H i l b e r t

8

, c o n v i r t i e r a e s t a i d e a a t r a v é s d e s u s e s t u d i o s

d e e c u a c i o n e s i n t e g r a l e s . D e n i m o s n u e s t r a n o r m a u t i l i z a n d o e l p r o d u c t o i n t e r n o c o m o :

x =√

< x,x > ( 7 . 3 )

L o s E s p a c i o s d e H i l b e r t s e r á n d e a y u d a p a r a e s t u d i a r y g e n e r a l i z a r l o s c o n c e p t o s d e l a e x p a n s i ó n d e F o u r i e r ,

t r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r , y a d e m á s s o n m u y i m p o r t a n t e s p a r a e l e s t u d i o d e m e c á n i c a q u á n t i c a . L o s e s p a c i o s

d e H i l b e r t s o n e s t u d i a d o s e n a n á l i s i s f u n c i o n a l u n a r a m a d e l a s m a t e m á t i c a s .

7


8

h t t p : / / w w w - h i s t o r y . m c s . s t - a n d r e w s . a c . u k / h i s t o r y / M a t h e m a t i c i a n s / H i l b e r t . h t m l



1 3 0


7 . 4 . 1 . 1 E j e m p l o s d e E s p a c i o s d e H i l b e r t

A c o n t i n u a c i ó n m o s t r a r e m o s u n a l i s t a d e a l g u n o s e j e m p l o s d e e s p a c i o s d e H i l b e r t

9

. U s t e d p u e d e v e r i c a r

q u e s o n v a l i d o s p a r a e s t u d i o s d e p r o d u c t o i n t e r n o .

• P a r a Cn

,

< x,y >= yT x =

y0∗ y1

∗ . . . yn−1∗

x0

x1

.

.

.

xn−1

=

n−1i=0

(xiyi∗)

• E s p a c i o d e f u n c i o n e s d e e n e r g í a n i t a c o m p l e j a : L2 (R)

< f ,g >=

∞−∞

f (t) g (t)∗dt

• E s p a c i o d e s e c u e n c i a s s u m a b l e s c u a d r a d a s :

2

(Z)

< x,y >=

∞i=−∞

x [i] y [i]

∗

7 . 5 D e s i g u a l d a d d e C a u c h y - S c h w a r z

1 0

7 . 5 . 1 I n t r o d u c c i ó n

R e c o r d a n d o q u e e n R2

,

< x,y >= x y cos (θ)

|< x,y >

| ≤x

y

( 7 . 4 )

L a m i s m a r e l a c i ó n s e m a n t i e n e p a r a e s p a c i o s d e p r o d u c t o i n t e r n o ( S e c t i o n 7 . 3 ) .

7 . 5 . 1 . 1 D e s i g u a l d a d d e C a u c h y - S c h w a r z

D e n i t i o n 8 : D e s i g u a l d a d d e C a u c h y - S c h w a r z

P a r a x, y e n u n e s p a c i o d e p r o d u c t o i n t e r n o

| < x,y > | ≤ x y

q u e m a n t i e n e l a i g u a l d a d s i y s o l o s i x y y s o n l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s ( S e c t i o n 5 . 1 . 1 : I n d e p e n -

d e n c i a L i n e a l ) , e s d e c i r x = αy p a r a u n e s c a l a r α.

7 . 5 . 2 D e t e c t o r d e F i l t r o A c o p l a d o

T a m b i é n c o n o c i d o c o m o u n a d e l a s a p l i c a c i o n e s d e C a u c h y - S c h w a r z .

9

" H i l b e r t S p a c e s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 4 3 4 / l a t e s t / >

1 0




1 3 1

7 . 5 . 2 . 1 C o n c e p t o s d e t r á s d e l o s F i l t r o s A c o p l a d o s

D a d o s d o s v e c t o r e s , f y g , e n t o n c e s l a d e s i g u a l d a d d e C a u c h y - S c h w a r z C S I ( C a u c h y - S c h w a r z I n e q u a l i t y ) e s

m a x i m i z a d a c u a n d o f = αg . E s t o n o s d i c e q u e :

• f e s e n l a m i s m a " d i r e c c i ó n " c o m o

g.

• S i f y g s o n f u n c i o n e s , f = αg s i g n i c a q u e f y g t i e n e n l a m i s m a f o r m a .

P o r e j e m p l o , s u p o n i e n d o q u e t e n e m o s u n c o n j u n t o d e s e ñ a l e s , d e n i d a s c o m o g1 (t) , g2 (t) , . . . , gk (t), y

q u e q u e r e m o s s e r c a p a c e s d e d e c i r c u a l , y s i a l g u n a d e e s t a s s e ñ a l e s s e a s e m e j a a o t r a s e ñ a l d a d a f (t) .

E s t r a t e g i a : P a r a p o d e r e n c o n t r a r l a s s e ñ a l ( e s ) q u e s e a s e m e j a a f (t) t o m a m o s e l p r o d u c t o

i n t e r n o . S i gi (t) s e a s e m e j a a f (t) , e n t o n c e s e l v a l o r a b s o l u t o d e l p r o d u c t o i n t e r n o , | < f (t) , gi (t) >|, s e r á l a r g o .

E s t a i d e a d e s e r c a p a z d e m e d i r e l r a n g o d e d o s s e ñ a l e s s e m e j a n t e s n o s d a u n D e t e c t o r d e F i l t r o

A c o p l a d o .

7 . 5 . 2 . 2 C o m p a r a n d o S e ñ a l e s

E l s i m p l e u s o d e F i l t r o A c o p l a d o s e r á t o m a r u n c o n j u n t o d e c a n d i d a t o s d e s e ñ a l e s , d i g a m o s q u e n u e s t r o

c o n j u n t o d e g1 (t) , g2 (t) , . . . , gk (t) , y t r a t a r d e a c o p l a r l a a n u e s t r a p l a n t i l l a d e s e ñ a l , f (t) . P o r e j e m p l o

d i g a m o s q u e t e n e m o s l a s s i g u i e n t e s p l a n t i l l a s ( F i g u r e 7 . 8 ( S e ñ a l P l a t i l l a ) ) y s e ñ a l e s d e c a n d i d a t o s ( F i g u r e 7 . 9

( S e ñ a l e s C a n d i d a t a s ) ) :

S e ñ a l P l a t i l l a

f(t)

t

F i g u r e 7 . 8 : N u e s t r a s e ñ a l d e l a q u e r e m o s e n c o n t r a r u n a s e m e j a n t e a e s t a .



1 3 2


S e ñ a l e s C a n d i d a t a s

g (t)

t

1

( a )

g (t)

t

2

( b )

F i g u r e 7 . 9 : C l a r a m e n t e p o d e m o s v e r c u a l d e l a s s e ñ a l e s n o s d a r á u n a m e j o r s e m e j a n z a a n u e s t r a s e ñ a l

d e p l a t i l l a .

A h o r a s i n u e s t r a ú n i c a p r e g u n t a f u e r a c u a l d e e s t a s f u n c i o n e s s e a c e r c a m a s f (t) e n t o n c e s f á c i l m e n t e

t e n e m o s l a r e s p u e s t a b a s a d a e n l a i n s p e c c i ó n g2 (t). S i n e m b a r g o , e s t e n o s i e m p r e s e r á e l c a s o . T a m b i é n

q u e r r e m o s o b t e n e r u n m é t o d o o a l g o r i t m o q u e p u e d a a u t o m a t i z a r e s t a s c o m p a r a c i o n e s . O t a l v e z q u e r a m o s

t e n e r u n v a l o r c u a n t i t a t i v o e x p r e s a n d o q u e t a n s i m i l a r e s s o n l a s s e ñ a l e s . P a r a t r a t a r e s t a s e s p e c i c a c i o n e s ,

p r e s e n t a r e m o s u n m é t o d o m a s f o r m a l p a r a c o m p a r a r s e ñ a l e s , e l c u a l , t a l c o m o s e m e n c i o n o a n t e r i o r m e n t e ,

e s t a b a s a d o e n e l p r o d u c t o i n t e r n o .

P a r a p o d e r v e r c u a l e s d e l a s s e ñ a l e s c a n d i d a t a s ,

g1 (t) ó

g2 (t) , m e j o r s e a s e m e j a a

f (t) % n e c e s i t a m o s

r e a l i z a r l o s s i g u i e n t e s p a s o s :

• N o r m a l i c e

gi (t)• T o m e e l p r o d u c t o i n t e r n o c o n

f (t)• E n c u e n t r e e l m á s g r a n d e

O p o n e r l o m a t e m á t i c a m e n t e

Mejorcandidato = argmaxi

| < f , gi > | gi ( 7 . 5 )

7 . 5 . 2 . 3 E n c o n t r a n d o u n P a t r ó n

E x t e n d i e n d o e s t o s p e n s a m i e n t o s d e l F i l t r o A c o p l a d o p a r a e n c o n t r a r s e m e j a n z a s e n t r e s e ñ a l e s , p o d e m o s u s a r

l a i d e a d e b u s c a r u n p a t r ó n e n u n a s e ñ a l l a r g a . L a i d e a e s s i m p l e m e n t e r e a l i z a r e n v a r i a s o c a s i o n e s e l

m i s m o c á l c u l o c o m o l o h i c i m o s a n t e r i o r m e n t e ; s i n e m b a r g o , a h o r a e n l u g a r d e c a l c u l a r e n d i f e r e n t e s s e ñ a l e s ,

s i m p l e m e n t e r e a l i z a m o s e l p r o d u c t o i n t e r n o c o n u n a v e r s i ó n d i f e r e n t e c a m b i a d a p o r n u e s t r a s e ñ a l p a t r ó n .

P o r e j e m p l o , d i g a m o s q u e t e n e m o s l a s s i g u i e n t e s d o s s e ñ a l e s : u n a s e ñ a l p a t r ó n ( F i g u r e 7 . 1 0 ( S e ñ a l P a t r ó n ) )

y u n a s e ñ a l l a r g a ( F i g u r e 7 . 1 1 ( S e ñ a l L a r g a ) ) .



1 3 3

S e ñ a l P a t r ó n

f(t)

t

F i g u r e 7 . 1 0 : E l p a t r ó n q u e e s t a m o s b u s c a n d o e n u n a n u e s t r a s e ñ a l l a r g a t e n i e n d o u n a l o n g i t u d

T .

S e ñ a l L a r g a

F i g u r e 7 . 1 1 : E s t e e s u n a s e ñ a l l a r g a q u e c o n t i e n e u n p i e z a q u e e n s a m b l a e n n u e s t r a s e ñ a l p a t r ó n .

A q u í v e m o s d o s s e ñ a l e s c a m b i a d a s p o r n u e s t r a s e ñ a l p a t r ó n , c a m b i a n d o l a s s e ñ a l e s p o r

s1 a n d

s2 . E s t a s

d o s p o s i b i l i d a d e s n o s d a n l o s s i g u i e n t e s c á l c u l o s y r e s u l t a d o s :

• C a m b i o d e s1 : s1+T

s1g (t) f (t − s1) dt s1+T

s1(|g (t) |)2dt

= ”largo” ( 7 . 6 )

• C a m b i o d e s2 : s2+T

s2g (t) f (t − s2) dt s2+T

s2(|g (t) |)2dt

= ” pequeo” ( 7 . 7 )

P o r l o t a n t o p o d e m o s d e n i r u n a e c u a c i ó n g e n e r a l i z a d a p a r a n u e s t r o l t r o a c o p l a d o :

m (s) = filtroacoplado ( 7 . 8 )

m (s) =

s+T

sg (t) f (t − s) dt g (t) |L2([s,s+T ])

( 7 . 9 )

d o n d e e l n u m e r a d o d e l a ( 7 . 9 ) e s l a c o n v o l u c i ó n d e g (t)∗f (−t). A h o r a p a r a p o d e r d e c i d i r s i o n o e l r e s u l t a d o

d e n u e s t r o d e t e c t o r d e l t r o a c o p l a d o e s b a s t a n t e g r a n d e p a r a i n d i c a r u n a a c e p t a c i ó n c o r r e c t a e n t r e l a s d o s

s e ñ a l e s , d e n i m o s n i v e l d e r e f e r e n c i a . S i

m (s0) ≥ niveldereferencia



1 3 4


d e s p u é s p o d e m o s t e n e r u n a s e m e j a n z a e n l a l o c a c i ó n s0 .

7 . 5 . 2 . 4 E j e m p l o s P r á c t i c o s

7 . 5 . 2 . 4 . 1 D e t e c c i ó n d e I m a g e n

E n 2 - D , e s t e c o n c e p t o e s u s a d o p a r a a c o p l a r i m á g e n e s j u n t a s , t a l c o m o v e r i c a r l a s h u e l l a s d i g i t a l e s p a r a

s e g u r i d a d o p a r a a c o p l a r f o t o s d e a l g u i e n . P o r e j e m p l o e s t a i d e a p u e d e s e r u s a d a p a r a l o s l i b r o s d e l t a n

c o n o c i d o ¾ d ó n d e e s t a W a l d o ? s i s e n o s d a l a s i g u i e n t e p l a t i l l a ( F i g u r e 7 . 1 2 ( a ) ) y u n a p i e z a d e l l i b r o ¾ d ó n d e

e s t a W a l d o ? , ( F i g u r e 7 . 1 2 ( b ) ) ,

( a ) ( b )

F i g u r e 7 . 1 2 : E j e m p l o d e l a i m a g e n d e ¾ D ó n d e e s t a W a l d o ? " . N u e s t r o d e t e c t o r d e F i l t r o A c o p l a d o

p u e d e s e r i m p l e m e n t a d o p a r a d e t e c t a r u n a s e m e j a n z a p o s i b l e p a r a W a l d o .

E n t o n c e s f á c i l m e n t e p o d e m o s c r e a r u n p r o g r a m a p a r a e n c o n t r a r l a i m a g e n q u e m á s s e a s e m e j e a l a i m a g e n

d e l a c a b e z a d e W a l d o e n l a g u r a l a r g a . S i m p l e m e n t e p o d e m o s i m p l e m e n t a r n u e s t r o a l g o r i t m o d e l t r o

a c o p l a d o : t o m a r e l p r o d u c t o i n t e r n o d e c a d a c a m b i o y v é a s e q u e t a n l a r g a e s n u e s t r a r e s p u e s t a r e s u l t a n t e .

E s t a i d e a f u e i m p l e m e n t a d a e n e s t a m i s m a i m a g e n p a r a u n P r o y e c t o d e S e ñ a l e s y S i s t e m a s

1 1

( v é a s e e s t a

l i g a p a r a s a b e r m a s ) e n l a U n i v e r s i d a d d e R i c e .

7 . 5 . 2 . 4 . 2 S i s t e m a s d e C o m u n i c a c i o n e s

L o s d e t e c t o r e s d e F i l t r o A c o p l a d o s o n u s u a l m e n t e u s a d o s e n S i s t e m a s d e C o m u n i c a c i ó n

1 2

. D e e c h o , e s t o s l o s

d e t e c t o r e s m a s ó p t i m o s p a r a e l r u i d o G a u s s a n i a n o . L a s s e ñ a l e s e n l a v i d a r e a l t a m b i é n s o n d i s t o r s i o n a d a s

p o r e l m e d i o a m b i e n t e q u e l a s r o d e a , a s í q u e e s u n a l u c h a c o n s t a n t e p a r a d e s c u b r i r m a n e r a s c a p a c e s d e

r e c i b i r s e ñ a l e s t o r c i d a s y d e s p u é s s e r c a p a c e s d e l t r a r l a s d e a l g u n a m a n e r a p a r a d e t e r m i n a r c u a l e r a l a s e ñ a l

o r i g i n a l . L o s l t r o s a c o p l a d o s n o s p r o v e e n u n a m a n e r a d e c o m p a r a r l a s e ñ a l r e c i b i d a c o n d o s p o s i b l e s s e ñ a l e s

( p l a n t i l l a ) y d e t e r m i n a r c u a l e s l a q u e m á s s e a s e m e j a a l a s e ñ a l r e c i b i d a .

1 1

h t t p : / / w w w . o w l n e t . r i c e . e d u /

∼e l e c 3 0 1 / P r o j e c t s 9 9 / w a l d o / p r o c e s s . h t m l

1 2

" S t r u c t u r e o f C o m m u n i c a t i o n S y s t e m s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 0 0 2 / l a t e s t / >



1 3 5

P o r e j e m p l o a c o n t i n u a c i ó n t e n e m o s u n e j e m p l o s i m p l i c a d o d e l a F r e c u e n c i a D e s p l a z a d a d e K e y i n g

1 3

( F r e q u e n c y S h i f t K e y i n g F S K ) d o n d e t e n e m o s l a s s i g u i e n t e s c o n d i c i o n e s p a r a ' 1 ' y ' 0 ' :

F i g u r e 7 . 1 3 : F r e c u e n c i a D e s p l a z a d a d e K e y i n g p a r a ' 1 ' y ' 0 ' .

B a s a d o s e n l a c o d i c a c i ó n a n t e r i o r , p o d e m o s c r e a r u n a s e ñ a l d i g i t a l b a s a d a e n 0 ' s y 1 ' s p o n i e n d o j u n t o s

l o s d o s c ó d i g o s a n t e r i o r e s e n n ú m e r o i n n i t o d e m a n e r a s . P a r a e s t e e j e m p l o t r a n s m i t i r e m o s t r e s n ú m e r o s

b á s i c o s d e 3 - b i t s : 1 0 1 , d e s p l e g a d o e n l a s i g u i e n t e F i g u r e 7 . 1 4 :

1 10

asdfasd

asdfasd

F i g u r e 7 . 1 4 : L a c o r r i e n t e d e l b i t " 1 0 1 " c o d i c a d o c o n e l F S K a n t e r i o r .

1 3

" F r e q u e n c y S h i f t K e y i n g " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 5 4 5 / l a t e s t / >



1 3 6


A h o r a l a i m a g e n a n t e r i o r r e p r e s e n t a n u e s t r a s e ñ a l o r i g i n a l q u e s e r á t r a n s m i t i d a p o r a l g ú n s i s t e m a d e

c o m u n i c a c i ó n , e l c u a l i n e v i t a b l e m e n t e p a s a a t r a v é s d e l c a n a l d e c o m u n i c a c i ó n , l a p a r t e d e l s i s t e m a q u e

d i s t o r s i o n a r a y a l t e r a r a n u e s t r a s e ñ a l . M i e n t r a s q u e n u e s t r o r u i d o n o s e a m u y g r a n d e , n u e s t r o l t r o a c o p l a d o

n o s m a n t e n d r á d e s p r e o c u p a d o s d e e s t o s c a m b i o s d e n u e s t r a s e ñ a l t r a n s m i t i d a . U n a v e z q u e l a s e ñ a l h a s i d o

r e c i b i d a , p a s a m o s l a s e ñ a l d e l r u i d o a t r a v é s d e u n s i s t e m a s i m p l e , s i m i l a r a l a v e r s i ó n s i m p l i c a d a m o s t r a d a

a c o n t i n u a c i ó n e n l a F i g u r e 7 . 1 5 :

F i g u r e 7 . 1 5 : D i a g r a m a d e b l o q u e d e l d e t e c t o r d e l t r o a c o p l a d o .

F i g u r e 7 . 1 5 E l d i a g r a m a a n t e r i o r b á s i c a m e n t e m u e s t r a q u e n u e s t r a s e ñ a l c o n r u i d o s e r á p a s a d a ( a s u m i r e -

m o s q u e p a s a r a u n b i t a l a v e z ) y q u e e s t a s e ñ a l s e r á s e p a r a d a y p a s a d a a t r a v é s d e d o s d e t e c t o r e s d e l t r o s

a c o p l a d o s d i f e r e n t e s . C a d a u n o c o m p a r a r a l a s e ñ a l c o n r u i d o p a r a c a d a u n o d e l o s c ó d i g o s q u e d e n i m o s

p a r a ` 1 ' y ` 0 ' . D e s p u é s e s t e v a l o r s e r á p a s a d o y c u a l q u i e r v a l o r q u e s e a g r a n d e ( e s d e c i r c u a l q u i e r s e ñ a l d e

c ó d i g o F S K a l a s e ñ a l r u i d o s a q u e m e j o r s e a s e m e j e ) s e r á e l v a l o r q u e e l r e c i b i d o r t o m e . P o r e j e m p l o , e l

p r i m e r b i t q u e s e r á e n v i a d o a t r a v é s , s e r á u n ` 1 ' a s í q u e e l n i v e l d e a r r i b a d e l d i a g r a m a d e b l o q u e s e r á e l

v a l o r m á s a l t o , d o n d e d e n o t a n d o q u e e l ` 1 ' f u e e n v i a d o p o r l a s e ñ a l , a u n q u e l a s e ñ a l a p a r e z c a m u y r u i d o s a

y d i s t o r s i o n a d a .

7 . 5 . 3 D e m o s t r a c i ó n d e l a D e s i g u a l d a d d e C a u c h y - S c h w a r z

V e r e m o s l a d e m o s t r a c i ó n d e l a d e s i g u a l d a d d e C a u c h y - S c h w a r z ( C a u c h y - S c h w a r z I n e q u a l i t y ( C S I ) ) p a r a u n

e s p a c i o v e c t o r i a l r e a l .

T e o r e m a 7 . 1 : D e s i g u a l d a d d e C a u c h y - S c h w a r z p a r a u n e s p a c i o v e c t o r i a l r e a l

P a r a f ∈ EspaciodeHilbertS y g ∈ EspaciodeHilbertS , m o s t r a r q u e :

| < f,g > | ≤ f g ( 7 . 1 0 )

c o n l a i g u a l d a d s i y s o l o s i g = αf .

P r o o f :

• S i g = αf , m o s t r a r | < f,g > | = f g | < f,g > | = | < f, αf > | = |α|| < f,f > | = |α|( f )

2

| < f,g > | = f (|α| f ) = f g E s t o v e r i c a n u e s t r o a r g u m e n t o a n t e r i o r d e l a d e s i g u a l d a d d e C S



1 3 7

• S i g = αf , m o s t r a r | < f,g > | < f g d o n d e t e n e m o s βf + g = 0 , β ∈ R

0 < ( βf + g )2

=< β f + g,βf + g >= β 2 < f,f > +2β < f, g > + < g, g >

= β 2( f )2

+ 2β < f, g > +( g )2

Y o b t e n e m o s u n a c u a d r á t i c a e n β . V i s u a l m e n t e e l p o l i n o m i o c u a d r á t i c o e n β > 0 p a r a t o d o

β . T a m b i é n n ó t e s e q u e e l p o l i n o m i o n o t i e n e r a í c e s r e a l e s y q u e e l d i s c r i m i n a n t e e s m e n o r

q u e 0

. . .aβ 2 + bβ + c

t i e n e d i s c r i m i n a n t e β 2 − 4ac d o n d e t e n e m o s :

a = ( f )2

b = 2 < f, g >

c = ( g )2

P o r l o t a n t o p o d e m o s c o l o c a r e s t o s v a l o r e s e n e l d i s c r i m i n a n t e d e l p o l i n o m i o d e a r r i b a p a r a

o b t e n e r :

4(| < f, g > |)2 − 4( f )2

( g )2 < 0 ( 7 . 1 1 )

| < f, g > | < f g ( 7 . 1 2 )

Y n a l m e n t e h e m o s p r o b a d o l a f o r m u l a d e l a d e s i g u a l d a d d e d e s i g u a l d a d d e C a u c h y - S c h w a r z

p a r a u n e s p a c i o v e c t o r i a l r e a l .

p r e g u n t a : ¾ Q u é c a m b i o s t e n e m o s q u e h a c e r p a r a h a c e r l a d e m o s t r a c i ó n p a r a u n e s p a c i o

v e c t o r i a l c o m p l e j o ? ( l a r e s p u e s t a s e l a d e j a m o s a l l e c t o r )

7 . 6 E s p a c i o s d e H i l b e r t c o m u n e s

1 4

7 . 6 . 1 E s p a c i o s d e H i l b e r t c o m u n e s

A c o n t i n u a c i ó n v e r e m o s l o s c u a t r o E s p a c i o s d e H i l b e r t ( S e c t i o n 7 . 3 ) m a s c o m u n e s c o n l o s q u e u s t e d t e n d r á

q u e t r a t a r p a r a l a d i s c u s i ó n y m a n i p u l a c i ó n d e s e ñ a l e s y s i s t e m a s :

7 . 6 . 1 . 1

Rn

( e s c a l a r e s r e a l e s ) y Cn

( e s c a l a r e s c o m p l e j o s ) , t a m b i é n l l a m a d o

2 ([0, n − 1])

x =

x0

x1

. . .

xn−1

E s u n a l i s t a d e n ú m e r o s ( s e c u e n c i a n i t a ) . E l p r o d u c t o i n t e r n o ( S e c t i o n 7 . 3 ) p a r a

n u e s t r o s d o s e s p a c i o s s o n l a s s i g u i e n t e s :

1 4




1 3 8


• P r o d u c t o i n t e r n o Rn

:

< x,y > = yT x

= n−1i=0 (xiyi)

( 7 . 1 3 )

• P r o d u c t o i n t e r n o Cn:

< x,y > = yT ∗x

=n−1

i=0 (xiyi∗)

( 7 . 1 4 )

M o d e l o p a r a : S e ñ a l d e t i e m p o d i s c r e t o e n e l i n t e r v a l o [0, n − 1] o S e ñ a l P e r i ó d i c a ( c o n p e r i o d o n) d e

t i e m p o d i s c r e t o .

x0

x1

. . .

xn−1

F i g u r e 7 . 1 6

7 . 6 . 1 . 2

f ∈ L2 ([a, b]) e s u n a f u n c i ó n d e e n e r g í a n i t a e n [a, b]

I n n e r P r o d u c t

< f, g >=

ba

f (t) g (t)∗dt ( 7 . 1 5 )

M o d e l o p a r a : S e ñ a l d e t i e m p o c o n t i n u o e n e l i n t e r v a l o [a, b] o S e ñ a l P e r i ó d i c a ( c o n p e r i o d o

T = b

−a

) d e

t i e m p o c o n t i n u o

7 . 6 . 1 . 3

x ∈ 2 (Z) e s u n a s e c u e n c i a i n n i t a d e n ú m e r o s q u e s o n c u a d r a d o s s u m a b l e s

P r o d u c t o i n t e r n o

< x,y >=∞

i=−∞

x [i] y [i]

∗( 7 . 1 6 )

M o d e l o p a r a : S e ñ a l n o - p e r i ó d i c a d e t i e m p o d i s c r e t o



1 3 9

7 . 6 . 1 . 4

f ∈ L2 (R) e s u n a u n a f u n c i ó n d e e n e r g í a n i t a e n t o d o R.

P r o d u c t o i n t e r n o

< f, g >= ∞−∞

f (t) g (t)∗dt ( 7 . 1 7 )

M o d e l o p a r a : S e ñ a l n o - p e r i ó d i c a d e t i e m p o c o n t i n u o

7 . 6 . 2 A n á l i s i s d e F o u r i e r A s o c i a d o

C a d a u n o d e e s t o s c u a t r o e s p a c i o s d e H i l b e r t t i e n e u n a n á l i s i s d e F o u r i e r a s o c i a d o c o n e l .

• L2 ([a, b]) → S e r i e s d e F o u r i e r

• 2 ([0, n − 1]) → T r a n s f o r m a d a D i s c r e t a d e F o u r i e r

• L2 (R) → T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r

• 2 (Z) → T r a n s f o r m a d a D i s c r e t a d e F o u r i e r e n T i e m p o

P e r o l o s c u a t r o s e s t á n b a s a d o s e n e l m i s m o p r i n c i p i o ( E s p a c i o d e H i l b e r t ) .

N o t a I m p o r t a n t e : n o t o d o s l o s e s p a c i o s n o r m a l i z a d o s s o n e s p a c i o s d e H i l b e r t

P o r e j e m p l o : L1 (R) , f 1 = |f (t) |dt . t r a t e c o m o u s t e d p u e d a , d e e n c o n t r a r e l p r o d u c t o i n t e r n o q u e

i n d u c e e s t a n o r m a , e s d e c i r . . . t a l q u e : < ·, · > s u c h t h a t

< f,f > =

(|f (t) |)2dt2

= ( f 1)2

( 7 . 1 8 )

D e e c h o , p a r a t o d o e l e s p a c i o L p (R) , L2 (R) e s e l ú n i c o q u e e s u n e s p a c i o d e H i l b e r t .



1 4 0


F i g u r e 7 . 1 7

L o s e s p a c i o s d e H i l b e r t s o n e n g r a n m e d i d a l o s m á s a g r a d a b l e s , s i s e u s a o e s t u d i a l a e x p a n s i ó n d e b a s e s

o r t o n o r m a l e s ( S e c t i o n 7 . 8 ) e n t o n c e s u s t e d e m p e z a r a a v e r p o r q u e e s t o e s c i e r t o .

7 . 7 T i p o s d e B a s e s

1 5

7 . 7 . 1 B a s e N o r m a d a

D e n i t i o n 9 : B a s e N o r m a d a

u n a b a s e ( S e c t i o n 5 . 1 . 3 : B a s e s ) bi d o n d e c a d a bi t i e n e u n a n o r m a u n i t a r i a

bi = 1 , i ∈ Z ( 7 . 1 9 )

1 5




1 4 1

n o t a : E l c o n c e p t o d e b a s e s s e a p l i c a a t o d o s l o s e s p a c i o s v e c t o r i a l e s ( S e c t i o n 7 . 1 ) . E l c o n c e p t o

d e b a s e n o r m a d a s e a p l i c a s o l o a e s p a c i o s n o r m a d o s ( S e c t i o n 7 . 2 ) .

T a m b i é n u s t e d p u e d e n o r m a l i z a r u n a b a s e : s o l o m u l t i p l i q u e c a d a v e c t o r d e l a b a s e p o r u n a c o n s t a n t e , t a l

q u e 1biE x a m p l e 7 . 6

D a d a l a s i g u i e n t e b a s e :

b0, b1 =

1

1

,

1

−1

N o r m a l i z a d o c o n l a n o r m a 2 :

∼b0 =

1√2

1

1

∼

b1 =

1

√2 1

−1

N o r m a l i z a d o c o n l a n o r m a

1:

∼b0 =

1

2

1

1

∼b1 =

1

2

1

−1

7 . 7 . 2 B a s e O r t o g o n a l

D e n i t i o n 1 0 : B a s e O r t o g o n a l

u n a b a s e bi e n d o n d e l o s e l e m e n t o s s o n m u t u a m e n t e o r t o g o n a l e s

< bi, bj >= 0 , i = j

n o t a : E l c o n c e p t o d e b a s e o r t o g o n a l s e a p l i c a s o l o a l o s E s p a c i o s d e H i l b e r t ( S e c t i o n 7 . 4 . 1 :

E s p a c i o s d e H i l b e r t ) .

E x a m p l e 7 . 7

B a s e c a n ó n i c a p a r a R2

, t a m b i é n r e f e r i d a c o m o 2 ([0, 1]):

b0 =

1

0

b1 =

0

1

< b0, b1 >=1

i=0

(b0 [i] b1 [i]) = 1 × 0 + 0 × 1 = 0



1 4 2


E x a m p l e 7 . 8

A h o r a t e n e m o s l a s i g u i e n t e b a s e y r e l a c i ó n :

1

1

, 1

−1

= h0, h1

< h0, h1 >= 1 × 1 + 1 × (−1) = 0

7 . 7 . 3 B a s e O r t o n o r m a l

C o l o c a n d o l a s d o s s e c c i o n e s ( d e n i c i o n e s ) a n t e r i o r e s j u n t a s , l l e g a m o s a l t i p o d e b a s e m á s i m p o r t a n t e y ú t i l :

D e n i t i o n 1 1 : B a s e O r t o n o r m a l

U n a b a s e q u e e s n o r m a l i z a d a y o r t o g o n a l

bi = 1 , i ∈ Z

< bi, bj > , i = j

n o t a c i ó n : p o d e m o s a c o r t a r l o s d o s a r g u m e n t o s e n u n o s o l o :

< bi, bj >= δij

d o n d e

δij = 1 i f

i = j

0 i f i = j

D o n d e δij r e r e e r e a l a f u n c i ó n d e l t a K r o n e c k e r q u e t a m b i é n e s e s c r i t a c o m o δ [i − j].

E x a m p l e 7 . 9 : E j e m p l o d e B a s e O r t o n o r m a l # 1

b0, b2 =

1

0

,

0

1

E x a m p l e 7 . 1 0 : E j e m p l o d e B a s e O r t o n o r m a l # 2

b0, b2 = 1

1

, 1

−1

E x a m p l e 7 . 1 1 : E j e m p l o d e B a s e O r t o n o r m a l # 3

b0, b2 =

1√

2

1

1

,

1√2

1

−1



1 4 3

7 . 7 . 3 . 1 L a b e l l e z a d e l a s B a s e s O r t o n o r m a l e s

T r a b a j a r c o n l a s b a s e s O r t o n o r m a l e s e s s e n c i l l o . S i bi e s u n a b a s e o r t o n o r m a l , p o d e m o s e s c r i b i r p a r a

c u a l q u i e r x

x =i

(αibi) ( 7 . 2 0 )

E s f á c i l e n c o n t r a r l o s

αi :

< x, bi > = <

k (αkbk) , bi >

=

k (αk < bk, bi >)( 7 . 2 1 )

E n d o n d e e n l a e c u a c i ó n a n t e r i o r p o d e m o s u s a r e l c o n o c i m i e n t o d e l a f u n c i ó n d e l t a p a r a r e d u c i r l a e c u a c i ó n :

< bk, bi >= δik =

1 i f i = k

0 i f i = k

< x,bi >= αi( 7 . 2 2 )

P o r l o t a n t o p o d e m o s c o n c l u i r c o n l a s i g u i e n t e e c u a c i ó n i m p o r t a n t e p a r a x:

x =i

(< x, bi > bi) ( 7 . 2 3 )

L o s αi ' s s o n f á c i l e s d e c a l c u l a r ( s i n i n t e r a c c i ó n e n t r e s l o s bi ' s )

E x a m p l e 7 . 1 2

D a d a l a s i g u i e n t e b a s e :

b0, b1 =

1√

2

1

1

,

1√2

1

−1

r e p r e s e n t a

x = 3

2

E x a m p l e 7 . 1 3 : S e r i e d e F o u r i e r L e v e m e n t e M o d i c a d a

D a d a l a b a s e 1√T

ejω0nt

|∞n=−∞

e n L2 ([0, T ]) d o n d e T = 2πω0

.

f (t) =

∞n=−∞

< f, ejω0nt > ejω0nt

1√T

D o n d e p o d e m o s c a l c u l a r e l p r o d u c t o i n t e r i o r d e a r r i b a e n L2 c o m o

< f, ejω0nt >=1√T

T 0

f (t) ejω0nt∗

dt =1√T

T 0




1 4 4


7 . 7 . 3 . 2 7 . 7 . 3 . 2 E x p a n s i ó n d e u n a B a s e O r t o n o r m a l e n u n E s p a c i o H i l b e r t

S e a bi u n a b a s e o r t o n o r m a l p a r a u n e s p a c i o d e H i l b e r t H . E n t o n c e s , p a r a c u a l q u i e r x ∈ H p o d e m o s

e s c r i b i r

x =i

(αibi)( 7 . 2 4 )

d o n d e αi =< x, bi >.

• A n á l i s i s : d e s c o m p o n e r x e n t é r m i n o s d e bi

αi =< x, bi > ( 7 . 2 5 )

• " S í n t e s i s " : c o n s t r u i r

xd e u n a c o m b i n a c i ó n d e l a s

bi

x =i

(αibi) ( 7 . 2 6 )

7 . 8 E x p a n s i ó n d e B a s e s O r t o n o r m a l e s

1 6

7 . 8 . 1 I d e a P r i n c i p a l

C u a n d o t r a b a j a m o s c o n s e ñ a l e s m u c h a s v e c e s e s ú t i l r o m p e r l a s e ñ a l e n p e q u e ñ a s , p a r t e s m a s m a n e j a b l e s .

P o r s u e r t e e n e s t e m o m e n t o u s t e d y a h a s i d o e x p u e s t o a l c o n c e p t o d e e i g e n v e c t o r e s ( S e c t i o n 5 . 3 ) y s u u s o e n

l a d e s c o m p o s i c i ó n d e u n a s e ñ a l e n u n a d e s u s p o s i b l e s b a s e s . H a c i e n d o e s t o , s o m o s c a p a c e s d e s i m p l i c a r e l

n u e s t r o c á l c u l o d e s e ñ a l e s y s i s t e m a s a t r a v é s d e l a s e i g e n f u n c i o n e s d e l o s s i s t e m a s L T I ( S e c t i o n 5 . 6 ) .

A h o r a v e r e m o s u n a f o r m a a l t e r n a t i v a d e r e p r e s e n t a r l a s s e ñ a l e s , a t r a v é s d e l u s o d e u n a b a s e o r t o n o r m a l .

P o d e m o s p e n s a r e n u n a b a s e o r t o n o r m a l c o m o u n c o n j u n t o d e b l o q u e s c o n s t r u i d o s q u e u t i l i z a m o s p a r a

c o n s t r u i r f u n c i o n e s . C o n s t r u i r e m o s l a s e ñ a l / v e c t o r c o m o u n a s u m a c a r g a d a d e e l e m e n t o s b a s e .

E x a m p l e 7 . 1 4

L a f u n c i ó n s e n o i d a l c o m p l e j a

1√T

ejω0ntp a r a t o d o −∞ < n < ∞ f o r m a u n a b a s e o r t o n o r m a l

p a r a L2 ([0, T ]) .

E n n u e s t r a s s e r i e s d e F o u r i e r s e r i e s ( S e c t i o n 6 . 2 ) l a e c u a c i ó n , f (t) =∞

n=−∞

cnejω0nt

, e l cne s s o l o o t r a r e p r e s e n t a c i ó n d e

f (t) .

n o t a : P a r a l a s e ñ a l / v e c t o r e n u n E s p a c i o d e H i l b e r t ( S e c t i o n 7 . 4 . 1 : E s p a c i o s d e H i l b e r t ) , l a

e x p a n s i ó n d e c o e c i e n t e s e s f á c i l d e e n c o n t r a r .

7 . 8 . 2 R e p r e s e n t a c i ó n A l t e r n a t i v a

R e c o r d a n d o n u e s t r a d e n i c i ó n d e b a s e : U n c o n j u n t o d e v e c t o r e s

bi

e n u n e s p a c i o v e c t o r i a l

S e s u n a b a s e

s i

1 . L a s

bi s o n l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s .

2 . L o s bi q u e g e n e r a n ( S e c t i o n 5 . 1 . 2 : S u b e s p a c i o G e n e r a d o ) S . E s t o e s , p o d e m o s e n c o n t r a r αi , d o n d e

αi ∈ C ( e s c a l a r e s ) t a l q u e

x =i

(αibi) , x ∈ S ( 7 . 2 7 )

d o n d e

xe s u n v e c t o r e n

S ,

αe s u n e s c a l a r e n C, y

be s u n v e c t o r e n

S .

1 6




1 4 5

L a c o n d i c i ó n 2 e n l a d e n i c i ó n a n t e r i o r d i c e q u e p o d e m o s d e s c o m p o n e r c u a l q u i e r v e c t o r e n t é r m i n o s

d e l a bi . C o n d i c i ó n 1 a s e g u r a q u e l a d e s c o m p o s i c i ó n e s ú n i c a .

n o t a : αi p r o v e e u n a r e p r e s e n t a c i ó n a l t e r n a t i v a d e x.

E x a m p l e 7 . 1 5

V e a m o s u n s i m p l e e j e m p l o e n R2

, d o n d e t e n e m o s e l s i g u i e n t e v e c t o r :

x =

1

2

B a s e C a n ó n i c a : e0, e1 =

(1, 0)T , (0, 1)

T x = e0 + 2e1

B a s e A l t e r n a t i v a : h0, h1 =

(1, 1)T , (1, −1)

T

x = 32

h0 + −12

h1

E n g e n e r a l , d a d a u n a b a s e b0, b1 y u n v e c t o r

x ∈ R2, c o m o e n c o n t r a m o s α0 y α1 t a l q u e

x = α0b0 + α1b1 ( 7 . 2 8 )

7 . 8 . 3 E n c o n t r a n d o l o s A l f a s

A h o r a t r a t e m o s c o n l a p r e g u n t a q u e s e p r e s e n t ó a r r i b a s o b r e e n c o n t r a r l o s αi ' s e n g e n r a l p a r a R2

. E m p e z a m o s

r e e s c r i b i e n d o l a ( 7 . 2 8 ) a s í q u e p o d e m o s a p i l a r n u e s t r a s bi ' s c o m o c o l u m n a s e n u n a m a t r i z d e 2 ×2 .

x

= α0

b0

+ α1

b1

( 7 . 2 9 )

x

=

.

.

.

.

.

.

b0 b1.

.

.

.

.

.

α0

α1

( 7 . 3 0 )

E x a m p l e 7 . 1 6

E s t e e s u n e j e m p l o s e n c i l l o , q u e m u e s t r a p e q u e ñ o s d e t a l l e s d e l a e c u a c i ó n a n t e r i o r .

x [0]

x [1]

= α0

b0 [0]

b0 [1]

+ α1

b1 [0]

b1 [1]

=

α0b0 [0] + α1b1 [0]

α0b0 [1] + α1b1 [1]

( 7 . 3 1 )

x [0]

x [1]

=

b0 [0] b1 [0]

b0 [1] b1 [1]

α0

α1

( 7 . 3 2 )



1 4 6


7 . 8 . 3 . 1 S i m p l i c a n d o n u e s t r a E c u a c i ó n

P a r a h a c e r u n a n o t a c i ó n s i m p l e , d e n i m o s l o s s i g u i e n t e s d o s c o n c e p t o s d e l a e c u a c i ó n a n t e r i o r :

•M a t r i z d e l a B a s e :

B =

.

.

.

.

.

.

b0 b1.

.

.

.

.

.

• V e c t o r d e C o e c i e n t e s :

α =

α0

α1

L o q u e n o s d a l a s i g u i e n t e e c u a c i ó n :

x = Bα ( 7 . 3 3 )

q u e e s m a s e q u i v a l e n t e a

x =1

i=0 (αibi).

E x a m p l e 7 . 1 7

D a d a l a b a s e c a n ó n i c a ,

1

0

,

0

1

, e n t o n c e s t e n e m o s l a s i g u i e n t e m a t r i z d e l a b a s e :

B =

0 1

1 0

P a r a o b t e n e r l a s αi ' s , r e s o l v e m o s p a r a e l v e c t o r d e c o e c i e n t e s e n l a ( 7 . 3 3 )

α = B−1x ( 7 . 3 4 )

D o n d e B−1e s l a m a t r i z i n v e r s a m a t r i x

1 7

d e B .

7 . 8 . 3 . 2 E j e m p l o s

E x a m p l e 7 . 1 8

V e a m o s p r i m e r o l a b a s e c a n ó n i c a y t r a t e m o s d e c a l c u l a r c a l c u l a t e α d e a h i .

B =

1 0

0 1

= I

D o n d e

I e s l a m a t r i z i d e n t i d a d . P a r a p o d e r r e s o l v e r p a r a

αe n o c o n t r e m o s p r i m e r o l a i n v e r s a d e

B( l a c u a l e s r e a l m e n t e t r i v i a l e n e s t e c a s o ) :

B−1 =

1 0

0 1

P o r l o t a n t o o b t e n e m o s ,

α = B−1x = x

1 7

" M a t r i x I n v e r s i o n " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 2 1 1 3 / l a t e s t / >



1 4 7

E x a m p l e 7 . 1 9

A h o r a v e a m o s u n a b a s e u n p o c o m a s c o m p l i c a d a d e

1

1

,

1

−1

= h0, h1 E n o t n c e s

n u e s t r a b a s e y n u e s t r a i n v e r s a d e l a m a t r i z d e l a b a s e s e c o n v i e r t e e n :

B =

1 1

1 −1

B−1 =

1

212

12

−12

y p a r a e s t e e j e m p l o e s t o n o s d a q u e

x =

3

2

A h o r a r e s o l v e m o s p a r a α

α = B−1x =

1

212

12

−12

3

2

=

2.5

0.5

y o b t e n e m o s

x = 2.5h0 + 0.5h1

E x e r c i s e 7 . 1

( S o l u t i o n o n p . 1 6 2 . )

A h o r a d a d a l a s i g u i e n t e m a t r i z d e l a b a s e y x:

b0, b1 = 1

2

, 3

0

x =

3

2

P a r a e s t e p r o b e l m a h a g a u n b o s q u e j o d e l a s b a s e s y d e s p u é s r e p r e s e n t e x e n t é r m i n o s d e b0 y b1 .

n o t a : U n c a m b i o d e b a s e s i m p l e m e n t e s e v e c o m o

xd e s d e u n a " p e r s p e c t i v a d i f e r e n t e . " B−1

t r a n s f o r m s

xd e l a b a s e c a n ó n i c a a n u e s t r a n u e v a b a s e , b0, b1 . N ó t e s e q u e e s u n p r o c e s o t o t a l -

m e n t e m e c á n i c o .

7 . 8 . 4 E x t e n d i e n d o l a D i m e n s i ó n y e l E s p a c i o

P o d e m o s e x t e n d e r e s t a s i d e a s m á s a l l a d e R2

y v e r l a s e n Rn

y Cn

. E s t e p r o c e d i m i e n t o s e e x t e n d i e n d e

n a t u r a l m e n t e a d i m e n s i o n e s m a s g r a n d e s ( > 2 ) . D a d a l a b a s e b0, b1, . . . , bn−1 p a r a Rn

, q u e r e m o s e n c o n t r a r

α0, α1, . . . , αn−1 t a l q u e

x = α0b0 + α1b1 + · · · + αn−1bn−1 ( 7 . 3 5 )

O t r a v e z , c o l o q u e l a m a t r i z d e l a b a s e

B =

b0 b1 b2 . . . bn−1



1 4 8


d o n d e l a s c o l u m n a s i g u a l e s a l o s v e c t o r e s d e l a b a s e y q u e s i e m p r e s e r á u n a m a t r i z d e n ×n ( m i e n t r a s q u e l a

m a t r i z a n t e r i o r n o a p a r e z c a a l c u a d r a d o y a q u e d e j a m o s t é r m i n o s e n n o t a c i ó n v e c t o r i a l ) . P o d e m o s p r o c e d e r

a r e e s c r i b i r l a ( 7 . 3 3 )

x =

b0 b1 . . . bn−1

α0.

.

.

αn−1

= Bα

y

α = B−1x

7 . 9 E s p a c i o d e F u n c i o n e s

1 8

T a m b i é n p o d e m o s e n c o n t r a r b a s i s v e c t o r e s b a s e

1 9

p a r a e s p a c i o s v e c t o r i a l e s ( S e c t i o n 7 . 1 ) c o n e x e p c i ó n d e

Rn

.

S e a P n u n e s p a c i o v e c t o r i a l d e o r d e n p o l i n o m i a l n - e s i m o e n ( - 1 , 1 ) c o n c o e c i e n t e s r e a l e s ( v e r i c a r q u e

P 2 e s u n e s p a c i o v e c t o r i a l e n c a s a ) .

E x a m p l e 7 . 2 0

P 2 = t o d o s l o s p o l i n o m i o s c u a d r á t i c o s . S e a b0 (t) = 1 , b1 (t) = t , b2 (t) = t2 .

b0 (t) , b1 (t) , b2 (t) g e n e r a P 2 , e s d e c i r p u e d e e s c r i b i r c u a l q u i e r f (t) ∈ P 2 c o m o

f (t) = α0b0 (t) + α1b1 (t) + α2b2 (t)

p a r a a l g ú n

αi ∈ R.

N o t a : P 2 e s d e d i m e n s i ó n 3 .

f (t) = t2 − 3t − 4

B a s e A l t e r n a t i v a

b0 (t) , b1 (t) , b2 (t) =

1, t, 12

3t2 − 1

e s c r i b i r f (t) e n t é r m i n o s d e l a n u e v a b a s e d0 (t) = b0 (t), d1 (t) = b1 (t), d2 (t) = 3

2b2 (t) − 1

2b0 (t) .

f (t) = t2 − 3t − 4 = 4b0 (t) − 3b1 (t) + b2 (t)

f (t) = β 0d0 (t) + β 1d1 (t) + β 2d2 (t) = β 0b0 (t) + β 1b1 (t) + β 2

3

2b2 (t) − 1

2b0 (t)

f (t) =

β 0 − 1

2

b0 (t) + β 1b1 (t) +

3

2β 2b2 (t)

p o r l o t a n t o

β 0 − 1

2= 4

β 1 = −3

3

2β 2 = 1

1 8


1 9




1 4 9

e n o t n c e s o b t e n e m o s

f (t) = 4.5d0 (t) − 3d1 (t) +2

3d2 (t)

E x a m p l e 7 . 2 1

ejω0nt|∞n=−∞ e s u n a b a s e p a r a L2 ([0, T ]) , T = 2πω0

, f (t) =

n

C nejω0nt

.

C a l c u l a m o s l a e x p a n s i ó n d e c o e c i e n t e s c o n

l a f o r m u l a d e " c a m b i o d e b a s e "

C n =1

T

T 0

f (t) e−(jω0nt)dt ( 7 . 3 6 )

n o t a : H a y u n n ú m e r o i n n i t o d e e l e m e n t o s e n u n c o n j u t o d e b a s e , q u e s i g n i c a n q u e L2 ([0, T ])e s d e d i m e n s i ó n i n n i t a .

E s p a c i o s d e d i m e n s i ó n - i n n i t a I n n i t e - d i m e n s i o n a l s o n d i f í c i l e s d e v i s u a l i z a r . P o d e m o s t o m a r m a n o

d e l a i n t u i c i ó n p a r a r e c o n o c e r q u e c o m p a r t e n v a r i a s d e l a s p r o p i e d a d e s c o n l o s e s p a c i o s d e d i m e n s i ó n

n i t a . M u c h o s c o n c e p t o s a p l i c a d o s a a m b o s ( c o m o " e x p a n s i ó n d e b a s e " ) . O t r o s n o ( c a m b i o d e b a s e

n o e s u n a b o n i t a f o r m u l a d e m a t r i z ) .

7 . 1 0 B a s e d e l a O n d o l e t a d e H a a r

2 0

7 . 1 0 . 1 I n t r o d u c c i ó n

L a s s e r i e s d e F o u r i e r ( S e c t i o n 6 . 2 ) e s u n a ú t i l r e p r e s e n t a c i ó n o r t o n o r m a l

2 1

e n L2 ([0, T ]) e s p e c i a l m e n t e p a r a

e n t r a d a s e n s i s t e m a s L T I . S i n e m b a r g o e s ú t i l p a r a a l g u n a s a p l i c a c i o n e s , e s d e c i r , p r o c e s a m i e n t o d e i m a g e n e s

( r e c o r d a n d o e l f e n o m e n o d e G i b b

2 2

) .

L a s o n d o l e t a s , d e s c u b i e r t a s e n l o s p a s a d o s 1 5 a ñ o s , s o n o t r o t i p o s d e b a s e p a r a

L2 ([0, T ]) y t i e n e v a r i a s

p r o p i e d a d e s .

7 . 1 0 . 2 C o m p a r a c i ó n d e B a s e

L a s s e r i e s d e F o u r i e r - cn d a n i n f o r m a c i ó n f r e c u e n t e . L a s f u n c i o n e s d e l a b a s e d u r a n t o d o e l i n t e r v a l o e n t e r o .

2 0


2 1


2 2

" G i b b s ' s P h e n o m e n a " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 0 9 2 / l a t e s t / >



1 5 0


F i g u r e 7 . 1 8 : F u n c i o n e s d e l a b a s e d e F o u r i e r

O n d o l e t a s - l a s f u n c i o n e s d e l a b a s e c o n f r e c u e n c i a n o s d a n i n f o r m a c i ó n p e r o e s l o c a l e n e l t i e m p o .



1 5 1

F i g u r e 7 . 1 9 : F u n c i o n e s d e l a B a s e d e l a O n d o l e t a

E n l a b a s e d e F o u r i e r , l a s f u n c i o n e s d e l a b a s e s o n a r m ó n i c a s m u l t i p l e s d e

ejω0t

F i g u r e 7 . 2 0 : base =n

1√ T e

jω0nto

E n l a b a s e d e l a o n d o l e t a d e H a a r

2 3

, l a s f u n c i o n e s d e l a b a s e s o n e s c a l a d a s y t r a s l a d a d a s d e l a v e r s i o n

d e l a " o n d o l e t a m a d r e "

ψ (t).

2 3

" T h e H a a r S y s t e m a s a n E x a m p l e o f D W T " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 4 3 7 / l a t e s t / >



1 5 2


F i g u r e 7 . 2 1

F u n c i o n e s b a s e ψj,k (t) s e l e s p o n e u n í n d i c e p o r u n e s c a l a r j y u n d e s p l a z a m i e n t o k .

S e a φ (t) = 1 , 0 ≤ t < T E n t o n c e s

φ (t) , 2

j2 ψ

2jt − k | j ∈ Z and k = 0, 1, 2, . . . , 2j − 1



1 5 3

F i g u r e 7 . 2 2

ψ (t) =

1 i f 0 ≤ t < T

2

−1 i f 0 ≤ T 2

< T ( 7 . 3 7 )



1 5 4


F i g u r e 7 . 2 3

S e a ψj,k (t) = 2j2 ψ

2jt − k

F i g u r e 7 . 2 4

M á s g r a n d e

j

→" d e l g a d o " l a f u n c i ó n d e l a b a s e ,

j =

0, 1, 2, . . .

, 2j

c a m b i a a c a d a e s c a l a :

k =0, 1, . . . , 2j − 1

C h e c a r : c a d a ψj,k (t) t i e n e e n e r g i a u n i t a r i a



1 5 5

F i g u r e 7 . 2 5

ψj,k

2 (t) dt = 1 ⇒ ψj,k (t) 2 = 1 ( 7 . 3 8 )

C u a l e s q u i e r a d o s f u n c i o n e s d e l a b a s e s o n o r t o g o n a l e s .

( a ) ( b )

F i g u r e 7 . 2 6 : I n t e g r a l d e l p r o d u c t o = 0 ( a ) M i s m a e s c a l a ( b ) D i f e r e n t e e s c a l a



1 5 6


T a m b i é n , ψj,k, φ g e n e r a n L2 ([0, T ])

7 . 1 0 . 3 T r a n s f o r m a d a d e l a O n d o l e t a d e H a a r

U s a n d o l o q u e c o n o c e m o s s o b r e e s p a c i o s d e H i l b e r t

2 4

: P a r a c u a l q u i e r f (t) ∈ L2 ([0, T ]) , p o d e m o s e s c r i b i r

S i n t e s i s

f (t) =j

k

(wj,kψj,k (t))

+ c0φ (t) ( 7 . 3 9 )

A n á l i s i s

wj,k =

T 0

f (t) ψj,k (t) dt ( 7 . 4 0 )

c0 =

T 0

f (t) φ (t) dt ( 7 . 4 1 )

n o t a : l o s

wj,ks o n r e a l e s

L a t r a n s f o r m a c i ó n d e H a a r e s m u y ú t i l e s p e c i a l e m t e e n c o m p r e s i ó n d e i m a g e n e s .

E x a m p l e 7 . 2 2

E s t a d e m o s t r a c i ó n n o s p e r m i t e c r e a r u n a s e ñ a l p o r c o m b i n a c i ó n d e s u s f u n c i o n e s d e l a b a s e d e

H a a r , i l u s t r a n d o l a e c u a c i ó n d e s i s t e s i s d e l a e c u a c i ó n d e l a T r a n s f o r m a d a d e l a O n d o l e t a d e H a a r .

V e á m o s a q u í

2 5

p a r a l a s i n s t r u c c i o n e s d e c o m o u s a r e l d e m o .


h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 1 9 / l a t e s t / H a a r S y n t h . l l b

7 . 1 1 B a s e s O r t o n o r m a l e s e n E s p a c i o s R e a l e s y C o m p l e j o s

2 6

7 . 1 1 . 1 N o t a c i ó n

E l o p e r a d o r d e l a T r a n s p u e s t a AT v o l t e a l a m a t r i z a t r a v é s d e s u d i a g o n a l .

A =

a11 a12

a21 a22

AT = a

11a21

a12 a22

L a c o l u m n a i d e A e s u n a l a i d e AT

2 4

" I n n e r P r o d u c t s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 7 5 5 / l a t e s t / >

2 5


2 6




1 5 7

R e c o r d a n d o q u e e l , p r o d u c t o i n t e r n o ( S e c t i o n 7 . 3 )

x =

x0

x1.

.

.

xn−1

y =

y0

y1.

.

.

yn−1

xT y =

x0 x1 . . . xn−1

y0

y1.

.

.

yn−1

=

(xiyi) =< y,x >

e n Rn

T r a n s p u e s t a H e r m i t i a n a

AH , t r a n s p u e s t a y c o n j u g a d a

AH = AT ∗

< y,x >= xH y =

(xiyi∗)

e n Cn

S e a b0, b1, . . . , bn−1 u n a b a s e o r t o n o r m a l ( S e c t i o n 7 . 7 . 3 : B a s e O r t o n o r m a l ) p a r a

Cn

i = 0, 1, . . . , n − 1 < bi, bi >= 1 ,

i = j < bi, bj >= bjH bi = 0

M a t r i z d e l a b a s e :

B =

.

.

.

.

.

.

.

.

.

b0 b1 . . . bn−1.

.

.

.

.

.

.

.

.

A h o r a ,

BH B =

. . . b0H . . .

. . . b1H . . .

.

.

.

. . . bn−1H . . .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

b0 b1 . . . bn−1.

.

.

.

.

.

.

.

.

=

b0H b0 b0

H b1 . . . b0H bn−1

b1H b0 b1

H b1 . . . b1H bn−1

.

.

.

bn−1H b0 bn−1H b1 . . . bn−1H bn−1

P a r a u n a b a s e o r t o n o r m a l c o n u n a m a t r i z d e l a b a s e

B

BH = B−1



1 5 8


( BT = B−1i n R

n) BH

e s f á c i l c a l c u l a r m i e n t r a s q u e B−1e s d i f í c i l d e c a l c u l a r .

A s í q u e , p a r a e n c o n t r a r α0, α1, . . . , αn−1 t a l q u e

x = (αibi)

C a l c u l a r

α = B−1x ⇒ α = BH x

u s a n d o u n a b a s e o r t o n o r m a l n o s l i b r a m o s d e l a o p e r a c i ó n i n v e r s a .

7 . 1 2 T e o r e m a s d e P l a n c h a r e l y P a r s e v a l

2 7

7 . 1 2 . 1 T e o r e m a d e P l a n c h a r e l

T h e o r e m 7 . 1 : T e o r e m a d e P l a n c h a r e l

E l p r o d u c t o i n t e r n o d e d o s v e c t o r e s / s e ñ a l e s e s e l m i s m o q u e e n 2 e l p r o d u c t o i n t e r n o d e s u

e x p a n s i ó n d e c o e c i e n t e s .

S e a bi u n a b a s e o r t o n o r m a l p a r a u n E s p a c i o d e H i l b e r t H . x ∈ H , y ∈ H

x =

(αibi)

y =

(β ibi)

e n t o n c e s

< x, y >H =

(αiβ i∗)

E x a m p l e

A p l i c a n d o l a s S e r i e s d e F o u r i e r , p o d e m o s i r d e f (t) a cn y d e g (t) a dn

T 0 f (t) g (t)∗dt =

∞n=−∞ (cndn∗)

e l p r o d u c t o i n t e r n o e n e l d o m i n i o - t i e m p o = p r o d u c t o i n t e r n o d e l o s c o e e n t e s d e F o u r i e r .

P r o o f :

x =

(αibi)

y =

(β jbj)

< x,y >H =<

(αibi) ,

(β jbj) >=

αi

< bi,

(β jbj) >=

αi

(β j

∗)

< bi, bj >=

(αiβ i∗)

u s a n d o l a s r e g l a s d e l p r o d u c t o i n t e r n o ( p . 1 2 9 ) .

n o t a : < bi, bj >= 0 c u a n d o i = j y < bi, bj >= 1 c u a n d o i = j

S i e l e s p a c i o d e H i l l b e r t H t i e n e u n O N B , l o s p r o d u c t o s i n t e r n o s s o n e q u i v a l e n t e s a l o s p r o d u c t o s

i n t e r n o s e n 2 .

T o d o H c o n O N B s o n d e a l g u n a m a n e r a e q u i v a l e n t e a 2 .

p u n t o d e i n t e r e s : l a s s e c u e n c i a s d e c u a d r a d o s s u m a b l e s s o n i m p o r t a n t e s .

2 7




1 5 9

7 . 1 2 . 2 T e o r e m a d e P a r s e v a l

T h e o r e m 7 . 2 : T e o r e m a d e P a r s e v a l

L a e n e r g í a d e u n a s e ñ a l = s u m a d e l o s c u a d r a d o s d e s u e x p a n s i ó n d e c o e c i e n t e s .

S e a

x ∈ H , bi O N B

x =

(αibi)

E n t o n c e s

( x H )2

=

(|αi|)2

P r o o f : D i r e c t a m e n t e d e P l a n c h a r e l

( x H )2

= < x, x >H =

(αiαi∗) =

(|αi|)2

E x a m p l e

S e r i e s d e F o u r i e r

1√T

ejw0nt

f (t) =1

√T

cn1

√T ejw0nt

T 0

(|f (t) |)2dt =

∞n=−∞

(|cn|)2

7 . 1 3 A p p r o x i m a c i ó n y P r o y e c c i ó n e n e l E s p a c i o d e H i l b e r t

2 8

7 . 1 3 . 1 I n t r o d u c c i ó n

D a d a u n a l i n e a ' l ' y u n p u n t o ' p ' e n e l p l a n o , ¾ C u á l e s e l p u n t o m á s c e r c a n o ' m ' a ' p ' e n ' l ' ?

pl

p

F i g u r e 7 . 2 7 : F i g u r a d e l p u n t o ' p ' y l a l i n e a ' l ' m e n c i o n a d a s .

M i s m o p r o b l e m a : S e a x y v v e c t o r e s e n R2

. D i g a m o s v = 1. ¾ P a r a q u é v a l o r d e α e s x − αv 2

m i n i m i z a d o ? ( ¾ q u é p u n t o e n e l e s p a c i o g e n e r a d o v m e j o r s e a p r o x i m a a x? )

2 8




1 6 0


x

x-av

av

F i g u r e 7 . 2 8

L a c o n d i c i ó n e s q u e x − αv y αv s e a n o r t o g o n a l e s .

7 . 1 3 . 2 C a l c u l a n d o

α¾ C ó m o c a l c u l a r α?

S a b e m o s q u e (

x − αv) e s p e r p e n d i c u l a r p a r a t o d o v e c t o r e n e l e s p a c i o g e n e r a d o v , a s í q u e

< x − αv,βv >= 0 , ∀β

β ∗ < x,v > −αβ ∗ < v, v >= 0

p o r q u e < v, v >= 1 , p o r l o t a n t o

< x, v > −α = 0 ⇒ α =< x, v >

E l v e c t o r m á s c e r c a n o e n e l e s p a c i o g e n e r a d o v = < x,v > v , d o n d e < x, v > v e s l a p r o y e c c i ó n d e

xs o b r e

v .

¾ P u n t o a u n p l a n o ?

F i g u r e 7 . 2 9

P o d e m o s h a c e r l o m i s m o p e r o e n d i m e n s i o n e s m á s g r a n d e s .

E x e r c i s e 7 . 2

( S o l u t i o n o n p . 1 6 2 . )

S e a V ⊂ H u n s u b e s p a c i o d e u n e s p a c i o d e H i l b e r t ( S e c t i o n 7 . 4 ) H . S e a x ∈ H d a d o . E n c o n t r a r

y ∈ V q u e m e j o r s e a p r o x i m e

x. e s d e c i r , x − y e s t a m i n i m i z a d a .



1 6 1

E x a m p l e 7 . 2 5

x ∈ R3, V = espaciogenerado

1

0

0

,

0

1

0

, x =

a

b

c

. P o r l o t a n t o ,

y =

2i=1

(< x, bi > bi) = a

1

0

0

+ b

0

1

0

=

a

b

0

E x a m p l e 7 . 2 6

V = e s p a c i o d e l a s s e ñ a l e s p e r i ó d i c a s c o n f r e c u a n c i a n o m a y o r q u e 3w0 . D a d a f ( t ) p e r i ó d i c a ,

¾ C ú a l e s l a s e ñ a l e n V q u e m e j o r s e a p r o x i m a a f ?

1 .

1√T

ejw0kt, k = - 3 , - 2 , . . . , 2 , 3 e s u n a O N B p a r a V

2 . g (t) = 1T 3

k=−3 < f (t) , ejw0kt > ejw0kt

e s l a s e ñ a l m á s c e r c a n a e n V p a r a f ( t ) ⇒ r e c o n -

s t r u y a f ( t ) u s a n d o s o l a m e n t e 7 t é r m i n o s d e s u s e r i e d e F o u r i e r ( S e c t i o n 6 . 2 ) .

E x a m p l e 7 . 2 7

S e a V = f u n c i o n e s c o n s t a n t e s p o r t r o z o s e n t r e l o s n ú m e r o s e n t e r o s

1 . O N B p a r a V .

bi =

1 i f

i − 1 ≤ t < i

0 o t h e r w i s e

d o n d e bi e s u n a O N B .

¾ L a m e j o r a p r o x i m a c i ó n c o n s t a n t e p o r t r o z o s ?

g (t) =∞

i=−∞(< f, bi > bi)

< f, bi >=

∞−∞

f (t) bi (t) dt =

ii−1

f (t) dt

E x a m p l e 7 . 2 8

E s t a d e m o s t r a c i ó n e x p l o r a l a a p r o x i m a c i ó n u s a n d o u n a b a s e d e F o u r i e r y u n a b a s e d e l a s o n d o l e t a s

d e H a a r . V é a s e a q u i

2 9

p a r a l a s i n s t r u c c i o n e s d e c o m o u s a r e l d e m o .


h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 9 3 5 / l a t e s t / A p p r o x i m a t i o n . l l b

2 9




1 6 2




P a r a p o d e r r e p r e s e n t a r x e n t é r m i n o s d e b0 y b1 s e g u i m o s l o s m i s m o s p a s o s u s a d o s e n l o s e j e m p l o s a n t e r i -

o r e s .

B =

1 2

3 0

B−1 =

0 1

2

13

−16

α = B−1x =

1

23

Y a h o r a p o d e m o s e s c r i b i r

xe n t é r m i n o s d e

b0 y

b1 .

x = b0 +2

3b1

Y f a c i l m e n t e p o d e m o s s u s t i t u i r n u e s t r o s v a l o r e s c o n o c i d o s d e

b0 y

b1 p a r a v e r i c a r n u e s t r o s r e s u l t a d o s .


1 . E n c o n t r a r u n a b a s e o r t o n o r m a l ( S e c t i o n 7 . 7 . 3 : B a s e O r t o n o r m a l ) b1, . . . , bk p a r a V 2 . P r o y e c t a r x s o b r e V u s a n d o

y =

ki=1

(< x, bi > bi)

d e s p u é s y e s e l p u n t o m á s c e r c a n o e n V a x y ( x - y ) ⊥ V ( < x − y,v >= 0 , ∀v ∈ V



C h a p t e r 8

T r a n s f o r m a d a D i s c r e t a d e F o u r i e r

8 . 1 A n á l i s i s d e F o u r i e r

1

E l a n á l i s i s d e F o u r i e r e s e l e m e n t a l p a r a e n t e n d e r e l c o m p o r t a m i e n t o d e l a s s e ñ a l e s d e s i s t e m a s . E s t e e s e l

r e s u l t a d o d e q u e l o s s e n o s o i d a l e s s o n e i g e n f u n c i o n e s ( S e c t i o n 5 . 6 ) d e s i s t e m a s l i n e a l e s v a r i a n t e s e n e l t i e m p o

( L T I ) ( S e c t i o n 2 . 1 ) . S i p a s a m o s c u a l q u i e r s e n o s o i d a l a t r a v é s d e u n s i s t e m a L T I , o b t e n e m o s l a v e r s i ó n

e s c a l a d a d e c u a l q u i e r s i s t e m a s e n o s o i d a l c o m o s a l i d a . E n t o n c e s , y a q u e e l a n á l i s i s d e F o u r i e r n o s p e r m i t e

r e d e n i r l a s s e ñ a l e s e n t e r m i n o s d e s e n o s o i d a l e s , t o d o l o q u e t e n e m o s q u e h a c e r e s d e t e r m i n a r e l e f e c t o q u e

c u a l q u i e r s i s t e m a t i e n e e n t o d o s l o s s e n o s o i d a l e s p o s i b l e s ( s u f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a

2

) a s í t e n d r e m o s u n

e n t e n d i m i e n t o c o m p l e t o d e l s i s t e m a . A s í m i s m o , y a q u e p o d e m o s d e n i r e l p a s o d e l o s s e n o s o i d a l e s e n e l

s i s t e m a c o m o l a m u l t i p l i c a c i ó n d e e s e s e n o s o i d a l p o r l a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a e n l a m i s m a f r e c u e n c i a ,

p u e d e s c o n v e r t i r e l p a s o d e l a s e ñ a l a t r a v é s d e c u a l q u i e r s i s t e m a d e s e r u n a c o n v o l u c i ó n ( S e c t i o n 3 . 3 ) ( e n

t i e m p o ) a u n a m u l t i p l i c a c i ó n ( e n f r e c u e n c i a ) e s t a s i d e a s s o n l o q u e d a n e l p o d e r a l a n á l i s i s d e F o u r i e r .

A h o r a , d e s p u é s d e h a b e r l e v e n d i d o e l v a l o r q u e t i e n e e s t e m é t o d o d e a n á l i s i s , n o s o t r o s d e b e m o s a n a l i z a r

e x a c t a m e n t e l o q u e s i g n i c a e l a n á l i s i s F o u r i e r . L a s c u a t r o t r a n s f o r m a d a s d e F o u r i e r q u e f o r m a n p a r t e

d e e s t e a n á l i s i s s o n : S e r i e s F o u r i e r

3

, T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r c o n t i n u a e n e l t i e m p o

4

, T r a n s f o r m a d a d e

F o u r i e r e n T i e m p o D i s c r e t o ( S e c t i o n 1 1 . 4 ) , y L a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r D i s c r e t a ( S e c t i o n 1 1 . 2 ) . P a r a

e s t e m o d u l o , n o s o t r o s v e r e m o s l a t r a s f o r m a d a d e L a p l a c e ( S e c t i o n 1 4 . 1 ) y l a t r a n s f o r m a d a Z ( S e c t i o n 1 4 . 3 ) .

C o m o e x t e n s i o n e s d e C T F T y D T F T r e s p e c t i v a m e n t e . T o d a s e s t a s t r a n s f o r m a d a s a c t ú a n e s e n c i a l m e n t e d e

l a m i s m a m a n e r a , a l c o n v e r t i r u n a s e ñ a l e n t i e m p o e n s u s e ñ a l e q u i v a l e n t e e n f r e c u e n c i a ( s e n o s o i d a l e s ) . S i n

e m b a r g o , d e p e n d i e n d o e n l a n a t u r a l e z a d e u n a s e ñ a l e s p e c i c a ( p o r e j e m p l o , s i e s d e t a m a ñ o n i t o o i n n i t o ,

o s i s o n d i s c r e t a s o c o n t i n u a s e n e l t i e m p o ) h a y u n a t r a n s f o r m a d a a p r o p i a d a p a r a c o n v e r t i r l a s s e ñ a l e s e n s u

d o m i n i o d e f r e c u e n c i a . L a s i g u i e n t e t a b l a m u e s t r a l a s c u a t r o t r a n s f o r m a d a s d e F o u r i e r y e l u s o d e c a d a u n a .

T a m b i é n i n c l u y e l a c o n v o l u c i o n r e l e v a n t e p a r a e l e s p a c i o e s p e c i c a d o .

1


2


3

" C o n t i n u o u s - T i m e F o u r i e r S e r i e s ( C T F S ) " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 0 9 7 / l a t e s t / >

4

" C o n t i n u o u s - T i m e F o u r i e r T r a n s f o r m ( C T F T ) " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 0 9 8 / l a t e s t / >

1 6 3



1 6 4

C H A P T E R 8 . T R A N S F O R M A D A D I S C R E T A D E F O U R I E R

T a b l a d e R e p r e s e n t a c i o n e s p a r a F o u r i e r

T r a n s f o r m a d a D o m i n i o d e l T i e m p o D o m i n i o d e l a F r e -

c u e n c i a

C o n v o l u c i ó n

S e r i e d e F o u r i e r C o n -

t i n u a e n e l T i e m p o

L2 ([0, T )) l2 (Z) T i e m p o C o n t i n u o C i r -

c u l a r

T r a n s f o r m a d a d e

F o u r i e r e n T i e m p o

C o n t i n u o

L2 (R) L2 (R) T i e m p o C o n t i n u o L i n e a l


F o u r i e r D i s c r e t a e n e l

T i e m p o

l2 (Z) L2 ([0, 2π)) T i e m p o D i s c r e t o L i n e a l


F o u r i e r D i s c r e t a

l2 ([0, N − 1]) l2 ([0, N − 1]) T i e m p o D i s c r e t o C i r c u -

l a r

8 . 2 A n á l i s i s d e F o u r i e r e n E s p a c i o s C o m p l e j o s

5

8 . 2 . 1 I n t r o d u c c i ó n

P a r a e s t e m o m e n t o u s t e d d e b e r í a e s t a r f a m i l i a r i z a d o c o n l a d e r i v a c i ó n d e l a s e r i e s d e F o u r i e r

6

d e t i e m p o

c o n t i n u o , f u n c i o n e s p e r i ó d i c a s

7

. E s t a d e r i v a c i ó n n o s l l e v a a l a s s i g u i e n t e s e c u a c i o n e s l a s c u a l e s u s t e d d e b e r í a

c o n o c e r :

f (t) =n

cnejω0nt

( 8 . 1 )

cn = 1T n


= 1T < f, ejω0nt >

( 8 . 2 )

d o n d e cn n o s d i c e l a c a n t i d a d d e f r e c u e n c i a e n ω0n i n f (t) .

E n e s t e m ó d u l o d e r i v a r e m o s u n a e x p a n s i ó n s i m i l a r p a r a f u n c i o n e s p e r i ó d i c a s y d i s c r e t a s e n e l t i e m p o . A l

h a c e r l o , n o s o t r o s d e r i v a r e m o s l a s s e r i e s d e F o u r i e r d i s c r e t a s e n e l t i e m p o ( D T F S ) , t a m b i é n c o n o c i d a s

c o m o t r a s f o r m a d a s d i s c r e t a s d e F o u r i e r ( S e c t i o n 1 1 . 3 ) ( D F T ) .

8 . 2 . 2 D e r i v a c i ó n d e l D T F S

A s í c o m o e n l a f u n c i ó n p e r i ó d i c a c o n t i n u a e n e l t i e m p o p u e d e s e r v i s t a c o m o u n a f u n c i ó n e n e l i n t e r v a l o

[0, T ]

5


6


7

" P e r i o d i c S i g n a l s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 7 4 4 / l a t e s t / >



1 6 5

T

f(t)

( a )

T

( b )

F i g u r e 8 . 1 : S o l o c o n s i d e r a r e m o s u n i n t e r v a l o p a r a l a f u n c i ó n p e r i ó d i c a e n e s t a s e c c i ó n . ( a ) F u n c i ó n

p e r i ó d i c a ( b ) F u n c i ó n e n e l i n t e r v a l o

[0, T ]

U n a s e ñ a l p e r i ó d i c a d i s c r e t a e n e l t i e m p o ( c o n p e r i o d o N ) s e p u e d e v e r c o m o u n c o n j u n t o d e n ú m e r o s

n i t o s . P o r e j e m p l o , d i g a m o s q u e t e n e m o s e l s i g u i e n t e c o n j u n t o d e n ú m e r o s q u e d e s c r i b e u n a s e ñ a l d i s c r e t a ,

d o n d e N = 4 :

. . . , 3, 2, −2, 1, 3, . . . ; P o d e m o s r e p r e s e n t a r e s t a s e ñ a l c o m o u n a s e ñ a l p e r i ó d i c a o c o m o u n i n t e r v a l o s i m p l e d e l a s i g u i e n t e f o r m a :

f[n]

n

( a )

n

( b )

F i g u r e 8 . 2 : A q u í n a d a m a s o b s e r v a m o s u n p e r i o d o d e l a s e ñ a l q u e t i e n e u n v e c t o r d e t a m a ñ o c u a t r o

y e s t a c o n t e n i d a e n

C4

. ( a ) F u n c i ó n p e r i ó d i c a ( b ) F u n c i o n e n e l i n t e r v a l o

[0, T ]

n o t e : E l c o n j u n t o d e s e ñ a l e s d e t i e m p o d i s c r e t o c o n p e r i o d o N e s i g u a l a CN

.

T a l c o m o e n e l c a s o c o n t i n u o , f o r m a r e m o s u n a b a s e u s a n d o s e n o s o i d a l e s a r m ó n i c o s . A n t e s d e e s t o , e s

n e c e s a r i o v e r l a s s e n o s o i d a l e s c o m p l e j a s d i s c r e t a s c o n m a s d e t a l l e .

8 . 2 . 2 . 1 S e n o s o i d a l e s C o m p l e j o s

S i u s t e d e s t a f a m i l i a r i z a d o c o n l a s e ñ a l s e n o s o i d a l

8

b á s i c a y c o n l o s e x p o n e n c i a l e s c o m p l e j o s ( S e c t i o n 1 . 5 )

e n t o n c e s u s t e d n o t e n d r á n i n g ú n p r o b l e m a p a r a e n t e n d e r e s t a s e c c i ó n . E n t o d o s l o s l i b r o s , u s t e d v e r á q u e

l a s e n o s o i d a l c o m p l e j a d i s c r e t a s e e s c r i b e a s í :

ejωn

8

" E l e m e n t a l S i g n a l s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 0 0 4 / l a t e s t / >



1 6 6


E x a m p l e 8 . 1

F i g u r e 8 . 3 : S e n o s o i d a l c o m p l e j a c o n f r e c u e n c i a

ω = 0

E x a m p l e 8 . 2

F i g u r e 8 . 4 : S e n o s o i d a l c o m p l e j a c o n f r e c u e n c i a

ω = π4

8 . 2 . 2 . 1 . 1 E n e l P l a n o C o m p l e j o

N u e s t r a s e n o s o i d a l c o m p l e j a s e p u e d e g r a c a r e n n u e s t r o p l a n o c o m p l e j o

9

, e l c u a l n o s p e r m i t e v i s u a l i z a r

f á c i l m e n t e l o s c a m b i o s d e l a s e n o s o i d a l c o m p l e j a y e x t r a e r a l g u n a s p r o p i e d a d e s . E l v a l o r a b s o l u t o d e n u e s t r a

s e n o s o i d a l c o m p l e j a t i e n e l a s s i g u i e n t e s c a r a c t e r í s t i c a s :

|ejωn | = 1 , n ∈ R ( 8 . 3 )

E l c u a l n o s d i c e q u e n u e s t r a s e n o s o i d a l c o m p l e j a ú n i c a m e n t e t o m a v a l o r e s q u e s e e n c u e n t r a n e n e l c í r c u l o

u n i t a r i o . C o n r e s p e c t o a l á n g u l o , l a s i g u i e n t e a r m a c i ó n e s v e r d a d e r a :

∠ejωn = wn( 8 . 4 )

9




1 6 7

C u a n d o n i n c r e m e n t a , p o d e m o s v e r ejωn i g u a l a n d o l o s v a l o r e s q u e o b t e n e m o s a l m o v e r n o s e n c o n t r a d e

l a s m a n e c i l l a s d e l r e l o j a l r e d e d o r d e l c í r c u l o u n i t a r i o . O b s e r v e l a s s i g u i e n t e g u r a s F i g u r e 8 . 5 p a r a u n a m e j o r

i l u s t r a c i ó n :

( a ) ( b ) ( c )

F i g u r e 8 . 5 : E s t a s i m á g e n e s m u e s t r a n q u e c u a n d o

ni n c r e m e n t a , e l v a l o r d e

ejωns e m u e v e e n c o n t r a

d e l a s m a n e c i l l a s d e l r e l o j a l r e d e d o r d e l c í r c u l o u n i t a r i o . ( a )

n = 0( b )

n = 1( c )

n = 2

n o t e : P a r a q u e ejωn s e a p e r i ó d i c a ( S e c t i o n 6 . 1 ) , n e c e s i t a m o s q u e ejωN = 1 p a r a a l g ú n N .

E x a m p l e 8 . 3

N u e s t r o p r i m e r e j e m p l o n o s p e r m i t e v e r u n a s e ñ a l p e r i ó d i c a d o n d e

ω = 2π7 y

N = 7 .

( a ) ( b )

F i g u r e 8 . 6 : ( a )

N = 7( b ) A q u í t e n e m o s u n a g r a f í c a d e

Re“

ej2π7n”

.

E x a m p l e 8 . 4

A h o r a o b s e r v e m o s l o s r e s u l t a d o s d e g r a c a r u n a s e ñ a l n o p e r i ó d i c a d o n d e ω = 1 y N = 7 .



1 6 8


( a ) ( b )

F i g u r e 8 . 7 : ( a )

N = 7( b ) A q u í t e n e m o s u n a g r á c a d e

Re`

ejn.

8 . 2 . 2 . 1 . 2 A l i a s i n g

N u e s t r a s e n o s o i d a l c o m p l e j a t i e n e l a s i g u i e n t e p r o p i e d a d :

ejωn = ej(ω+2π)n ( 8 . 5 )

D a d a a e s t a p r o p i e d a d , s i t e n e m o s u n a s e n o s o i d a l c o n f r e c u e n c i a

ω + 2π, o b s e r v a r e m o s q u e e s t a s e ñ a l t e n d r á

u n a l i a s i n g c o n u n a s e n o s o i d a l d e f r e c u e n c i a ω .

n o t e : C a d a

ejωne s ú n i c a p a r a

ω ∈ [0, 2π)

8 . 2 . 2 . 1 . 3 F r e c u e n c i a s N e g a t i v a s

S i n o s d a n u n a f r e c u e n c i a

π < ω < 2π, e n t o n c e s e s t a s e ñ a l s e r á r e p r e s e n t a d a e n n u e s t r o p l a n o c o m p l e j o

c o m o :

( a ) ( b )

F i g u r e 8 . 8 : G r á c a d e n u e s t r a s e n o s o i d a l c o m p l e j a c o n u n a f r e c u e n c i a m a y o r q u e π .

D e n u e s t r a s i m á g e n e s m o s t r a d a s a r r i b a , e l v a l o r d e n u e s t r a s e n o s o i d a l c o m p l e j a e n e l p l a n o c o m p l e j o s e

p u e d e i n t e r p r e t a r c o m o g i r a r h a c i a a t r á s ( e n d i r e c c i ó n d e l a s m a n e c i l l a s d e l r e l o j ) a l r e d e d o r d e l c í r c u l o

u n i t a r i o c o n f r e c u e n c i a 2π − ω . G i r a r e n s e n t i d o c o n t r a r i o d e l a s m a n e c i l l a s d e l r e l o j w e s l o m i s m o q u e g i r a r

e n s e n t i d o d e l a s m a n e c i l l a s d e l r e l o j 2π − ω.



1 6 9

E x a m p l e 8 . 5

G r a c a r e m o s n u e s t r a s e n o s o i d a l c o m p l e j a ,

ejωn, d o n d e t e n e m o s

ω = 5π4 y

n = 1 .

F i g u r e 8 . 9 : L a g r á c a a n t e r i o r d e l a f r e c u e n c i a d a d a e s i d é n t i c a a u n a d o n d e

ω = −`3π4 .

E s t a g r á c a e s l a m i s m a q u e u n a s e n o s o i d a l d e f r e c u e n c i a n e g a t i v a − 3π4 .

p o i n t : T i e n e m á s s e n t i d o e l e g i r u n i n t e r v a l o e n t r e [−

π, π) p a r a ω .

R e c u e r d e q u e ejωn y e−(jωn) s o n c o n j u g a d o s . E s t o n o s d a l a s i g u i e n t e n o t a c i ó n y p r o p i e d a d :

ejωn∗

= e−(jωn)( 8 . 6 )

L a s p a r t e s r e a l e s d e a m b a s e x p o n e n c i a l e s d e l a e c u a c i ó n d e a r r i b a s o n l a s m i s m a s ; l a p a r t e i m a g i n a r i a s o n

l o s n e g a t i v o s d e u n a a l a o t r a . E s t a i d e a e s l a d e n i c i ó n b á s i c a d e u n c o n j u g a d o .

Y a q u e h e m o s v i s t o l o s c o n c e p t o s d e s e n o s o i d a l e s c o m p l e j a s , r e t o m a r e m o s l a i d e a d e e n c o n t r a r u n a b a s e

p a r a l a s s e ñ a l e s p e r i ó d i c a s e n t i e m p o d i s c r e t o . D e s p u é s d e o b s e r v a r l a s s e n o s o i d a l e s c o m p l e j a s , t e n e m o s q u e

r e s p o n d e r l a p r e g u n t a s o b r e c u a l e s s e n o s o i d a l e s e n t i e m p o d i s c r e t o n e c e s i t a m o s p a r a r e p r e s e n t a r s e c u e n c i a s

p e r i ó d i c a s c o n u n p e r i o d o N .

P r e g u n t a E q u i v a l e n t e : E n c u e n t r e u n c o n j u n t o d e v e c t o r e s bk = ejωkn , n = 0, . . . , N − 1t a l q u e

bk

s e a u n a b a s e p a r a Cn

P a r a r e s o l v e r l a p r e g u n t a d e a r r i b a , u s a r e m o s l a s s e n o s o i d a l e s A r m ó n i c o s c o n u n a f r e c u e n c i a f u n d a m e n t a l

d e ω0 = 2πN

:

S e n o s o i d a l e s A r m ó n i c a s

ej2πN

kn( 8 . 7 )

( a ) ( b ) ( c )

F i g u r e 8 . 1 0 : E j e m p l o s d e n u e s t r a s a r m ó n i c o s s e n o s o i d a l e s . ( a ) S e n o s o i d a l a r m ó n i c o c o n

k = 0( b ) P a r t e

i m a g i n a r i a d e l s e n o s o i d a l ,

Im“

ej2πN1n”

, c o n

k = 1( c ) P a r t e i m a g i n a r i a d e l s e n o s o i d a l ,

Im“

ej2πN2n”

, c o n

k = 2



1 7 0


ej2πN

kne s p e r i ó d i c a c o n p e r i o d o N y t i e n e k c i c l o s e n t r e n = 0 y n = N − 1 .

T h e o r e m 8 . 1 :

S i d e j a m o s

bk [n] =1

√N ej 2π

Nkn

, n = 0, . . . , N − 1d o n d e e l t é r m i n o e x p o n e n c i a l e s u n v e c t o r e n C

N , e n t o n c e s bk |k=0,...,N −1 e s u n a b a s e o r t o n o r -

m a l ( S e c t i o n 7 . 7 . 3 : B a s e O r t o n o r m a l ) p a r a CN

.

P r o o f : P r i m e r o q u e t o d o , d e b e m o s d e m o s t r a r q u e bk e s o r t o n o r m a l , p o r e j e m p l o < bk, bl >=δkl

< bk, bl >=N −1n=0

bk [n] bl [n]

∗=

1

N

N −1n=0

ej

2πN

kne−(j 2πN ln)

< bk, bl >=1

N

N −1n=0

ej

2πN(l−k)n

( 8 . 8 )

S i l = k , e n t o n c e s

< bk, bl > = 1N

N −1n=0 (1)

= 1( 8 . 9 )

S i l = k , e n t o n c e s t e n e m o s q u e u s a r l a f ó r m u l a d e s u m a t o r i a p a r c i a l m o s t r a d a a b a j o :

N −1n=0

(αn) =

∞n=0

(αn) −∞

n=N

(αn) =1

1 − α− αN

1 − α=

1 − αN

1 − α

< bk, bl >=1

N

N −1n=0

ej

2πN(l−k)n

e n e s t a e c u a c i ó n p o d e m o s d e c i r q u e α = ej2πN(l−k)

, a s í p o d e m o s v e r c o m o e s t a e x p r e s i ó n s e e n c u e n t r a

e n l a f o r m a q u e n e c e s i t a m o s u t i l i z a r p a r a n u e s t r a f ó r m u l a d e s u m a t o r i a p a r c i a l .

< bk, bl >=1

N

1 − ej

2πN(l−k)N

1 − ej2πN(l−k)

=

1

N

1 − 1

1 − ej2πN(l−k)

= 0

A s í ,

< bk, bl >=

1 i f k = l

0 i f

k = l( 8 . 1 0 )

P o r l o t a n t o : bk e s u n c o n j u n t o o r t o n o r m a l . bk e s t a m b i é n u n b a s e ( S e c t i o n 5 . 1 . 3 : B a s e s ) , y a

q u e e x i s t e n N v e c t o r e s q u e s o n l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s ( S e c t i o n 5 . 1 . 1 : I n d e p e n d e n c i a L i n e a l )

( o r t o g o n a l i d a d i m p l i c a i n d e p e n d e n c i a l i n e a r ) .

F i n a l m e n t e , h e m o s d e m o s t r a d o q u e l o s s e n o s o i d a l e s a r m ó n i c o s

1√N

ej 2πN kn

f o r m a n u n a b a s e

o r t o n o r m a l p a r a Cn



1 7 1

8 . 2 . 2 . 2 S e r i e s d e D i s c r e t a s d e F o u r i e r ( D T F S )

U t i l i z a n d o l o s p a s o s a n t e r i o r e s e n l a d e r i v a c i ó n , u s a n d o n u e s t r o e n t e n d i m i e n t o d e e s p a c i o H i l b e r t ( S e c t i o n 7 . 3 )

, y n a l m e n t e u s a n d o l a e x p a n s i ó n o r t o g o n a l ( S e c t i o n 7 . 8 ) ; e l r e s t o d e l a d e r i v a c i ó n e s a u t o m á t i c a . D a d a

u n a s e ñ a l p e r i ó d i c a d i s c r e t a ( v e c t o r

C

n)

f [n], p o d e m o s e s c r i b i r :

f [n] =1√N

N −1k=0

ckej

2πN

kn

( 8 . 1 1 )

ck =1√N

N −1n=0

f [n] e−(j 2πN kn)

( 8 . 1 2 )

N o t a : C a s i t o d a l a g e n t e j u n t a n l o s t é r m i n o s

1√N

e n l a e x p r e s i ó n p a r a ck .

S e r i e s d e F o u r i e r d e T i e m p o D i s c r e t o : A q u í s e m u e s t r a l a f o r m a c o m ú n d e l a s D T F S

t o m a n d o e n c u e n t a l a n o t a p r e v i a :

f [n] =N −1k=0

ckej

2πN

kn

ck =1

N

N −1n=0


E s t o e s l o q u e e l c o m a n d o d e M A T L A B h a c e .

8 . 3 E c u a c i ó n d e M a t r i z p a r a l a D T F S

1 0

L a D T F S

1 1

e s n a d a m a s u n c a m b i o d e b a s e s

1 2

e n CN

. P a r a c o m e n z a r , t e n e m o s f [n] e n t é r m i n o s d e l a b a s e

e s t á n d a r .

f [n] = f [0] e0 + f [1] e1 + · · · + f [N − 1] eN −1

=n−1

k=0 (f [k] δ [k − n])( 8 . 1 3 )

f [0]

f [1]

f [2].

.

.

f [N − 1]

=

f [0]

0

0.

.

.

0

+

0

f [1]

0.

.

.

0

+

0

0

f [2].

.

.

0

+ · · · +

0

0

0.

.

.

f [N − 1]

( 8 . 1 4 )

T o m a n d o l a D T F S , p o d e m o s e s c r i b i r

f [n]e n t é r m i n o s d e l a b a s e d e F o u r i e r s e n o s o i d a l

f [n] =N −1k=0

ckej

2πN

kn

( 8 . 1 5 )

1 0


1 1

" F o u r i e r A n a l y s i s i n C o m p l e x S p a c e s " : S e c t i o n D i s c r e t e - T i m e F o u r i e r S e r i e s ( D T F S )

< h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 7 8 4 / l a t e s t / # d t f s >

1 2

" L i n e a r A l g e b r a : T h e B a s i c s " : S e c t i o n B a s i s < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 7 3 4 / l a t e s t / # s e c _ b a s >



1 7 2


f [0]

f [1]

f [2].

.

.

f [N − 1]

= c0

1

1

1.

.

.

1

+ c1

1

ej2πN

ej 4πN

.

.

.

ej2πN(N −1)

+ c2

1

ej4πN

ej 8πN

.

.

.

ej4πN(N −1)

+ . . . ( 8 . 1 6 )

P o d e m o s f o r m a r l a m a t r i z b a s e ( l l a m a r e m o s e s t o W e n v é s d e B ) a l a c o m o d a r l o s v e c t o r e s b a s e s e n l a s

c o l u m n a s o b t e n e m o s

W =

b0 [n] b1 [n] . . . bN −1 [n]

=

1 1 1 . . . 1

1 ej2πN ej

4πN . . . ej

2πN(N −1)

1 ej4πN ej

8πN . . . ej

2πN2(N −1)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

1 ej2πN(N −1) ej

2πN2(N −1) . . . ej

2πN(N −1)(N −1)

( 8 . 1 7 )

c o n

bk [n] = ej2πN

kn

n o t e : l a e n t r a d a k - t h l a y n - t h c o l u m n a e s W j,k = ej2πN

kn = W n,k

A s í , a q u í t e n e m o s u n a s i m e t r í a a d i c i o n a l

W = W T ⇒ W T ∗

= W ∗ =1

N W −1

( y a q u e

bk [n]

s o n o r t o n o r m a l e s )

A h o r a p o d e m o s r e s c r i b i r l a e c u a c i ó n D T F S e n f o r m a d e m a t r i z , d o n d e t e n e m o s :

• f = s e ñ a l ( v e c t o r e n CN )

• c = c o e c i e n t e s D T F S ( v e c t o r e n CN

)

" s y n t h e s i s " f = W c f [n] =< c, bn∗ >

" a n a l y s i s "

c = W T ∗f = W ∗f c [k] =< f , bk >

E n c o n t r a r ( e i n v e r t i r ) l a D F T S e s n a d a m a s u n a m u l t i p l i c a c i ó n d e m a t r i c e s .

T o d o l o q u e s e e n c u e n t r a e n CN

e s t a l i m p i o : n o s e u t i l i z a n l í m i t e s , n o s e u s a n p r e g u n t a s d e c o n v e r g e n c i a ,

n a d a m a s s e u t i l i c e a r i t m é t i c a d e m a t r i c e s .

8 . 4 E x t e n s i ó n P e r i ó d i c a d e l a s D T F S

1 3

8 . 4 . 1 I n t r o d u c c i ó n

Y a q u e c o n t a m o s c o n e n t e n d i m i e n t o d e l o q u e s o n l a s s e r i e s d i s c r e t a s d e F o u r i e r ( D T F S ) ( S e c t i o n 8 . 2 . 2 . 2 :

S e r i e s d e D i s c r e t a s d e F o u r i e r ( D T F S ) ) , p o d e m o s c o n s i d e r a r l a e x t e n s i ó n p e r i ó d i c a d e c [k] ( c o e c i e n t e s

1 3




1 7 3

d i s c r e t o s d e F o u r i e r ) . L a s g u r e s b á s i c a s m o s t r a d a s a c o n t i n u a c i ó n m u e s t r a n u n a s i m p l e i l u s t r a c i ó n d e c o m o

n o s o t r o s p o d r í a m o s r e p r e s e n t a r u n a s e c u e n c i a e n f o r m a d e s e ñ a l e s p e r i ó d i c a s g r a c a d a s s o b r e u n n u m e r o

i n n i t o d e i n t e r v a l o s .

( a )

( b )

F i g u r e 8 . 1 1 : ( a ) v e c t o r e s ( b ) s e c u e n c i a s p e r i o d i c a s

E x e r c i s e 8 . 1

( S o l u t i o n o n p . 1 8 6 . )

¾ P o r q u é u n a e x t e n s i ó n p e r i ó d i c a ( S e c t i o n 6 . 1 ) d e l o s c o e c i e n t e s d e l a D F T S c [k] t i e n e s e n t i d o ?

8 . 4 . 2 E j e m p l o s

E x a m p l e 8 . 6 : F u n c i ó n C u a d r a d a D i s c r e t a



1 7 4


F i g u r e 8 . 1 2

C a l c u l e l a D T F S c [k] u s a n d o :

c [k] =1

N

N −1n=0


( 8 . 1 8 )

C o m o e n l a s s e r i e s d e F o u r i e r c o n t i n u a s , p o d e m o s t o m a r l a s u m a t o r i a e n c u a l q u i e r i n t e r v a l o , p a r a

t e n e r

ck =1

N

N 1n=−N 1

e−(j 2πN kn)

( 8 . 1 9 )

D e j e q u e

m = n + N 1, ( a s í t e n e m o s u n a s e r i e g e o m é t r i c a q u e e m p i e z a e n 0 )

ck = 1N

2N 1m=0

e−(j 2πN (m−N 1)k)

= 1

N ej

2πN

k2N 1

m=0

e−(j 2πN mk)

( 8 . 2 0 )

A h o r a , u s a n d o l a f o r m u l a p a r c i a l d e s u m a t o r i a

M n=0

(an) =1 − aM +1

1 − a( 8 . 2 1 )

ck = 1N

ej2πN

N 1k2N 1

m=0

e−(j 2πN k)

m= 1

N ej

2πN

N 1k 1−e−(j 2πN (2N1+1))

1−e

−(jk 2πN )

( 8 . 2 2 )

M a n i p u l á n d o l a p a r a q u e s e v e a c o m o e l s i n c ( d i s t r i b u y a )

ck = 1N

e−(jk 2π

2N )„ejk 2π

N (N1+12 )−e

−(jk 2πN (N1+12 ))

«

e−(jk 2π

2N )„ejk 2π

N12−e

−(jk 2πN 12)«

= 1N

sin

2πk(N1+ 1

2 )N

!

sin( πkN )

= d i g i t a l s i n c

( 8 . 2 3 )



1 7 5

n o t e : ½ e s p e r i ó d i c a ! F i g u r e 8 . 1 3 , F i g u r e 8 . 1 4 , y F i g u r e 8 . 1 5 m u e s t r a n c o m o n u e s t r a f u n c i ó n y

c o e c i e n t e s p a r a d i s t i n t o s v a l o r e s d e

N 1 .

( a ) ( b )

F i g u r e 8 . 1 3 :

N 1 = 1( a ) G r a f í c a d e

f [n]. ( b ) G r a f í c a d e

c [k].

( a ) ( b )

F i g u r e 8 . 1 4 : N 1 = 3 ( a ) G r a f í c a d e f [n]. ( b ) G r a f í c a d e c [k].

( a ) ( b )

F i g u r e 8 . 1 5 :

N 1 = 7( a ) G r a f í c a d e

f [n]. ( b ) G r a f í c a d e

c [k].



1 7 6


E x a m p l e 8 . 7 : S o n i d o d e u n P á j a r o

F i g u r e 8 . 1 6

E x a m p l e 8 . 8 : A n á l i s i s E s p e c t r a l d e l a D F T S



1 7 7

F i g u r e 8 . 1 7

E x a m p l e 8 . 9 : R e c u p e r a n d o l a S e ñ a l



1 7 8


F i g u r e 8 . 1 8

E x a m p l e 8 . 1 0 : C o m p r e s i ó n ( 1 - D )



1 7 9

F i g u r e 8 . 1 9

E x a m p l e 8 . 1 1 : C o m p r e s i ó n d e I m á g e n e s



1 8 0


( a )

( b )

F i g u r e 8 . 2 0 : W e ' v e c u t d o w n o n s t o r a g e s p a c e b y

>9 0 % ( w h i l e i n c u r r i n g s o m e l o s s ) ( a ) I m a g e n d e 2 5 6

p o r 2 5 6 ( 6 5 , 6 3 6 p i x e l e s ) ( b ) I m a g e n r e c o n s t r u i d a u s a n d o 6 0 0 0 c o e f í c i e n t e s



1 8 1

8 . 5 D e s p l a z a m i e n t o s C i r c u l a r e s

1 4

L a s m u c h a s p r o p i e d a d e s d e l a D F T S ( S e c t i o n 8 . 2 . 2 . 2 : S e r i e s d e D i s c r e t a s d e F o u r i e r ( D T F S ) ) s e c o n v i e r t e n

s e n c i l l a s ( m u y s i m i l a r e s a l a s d e l a s S e r i e s d e F o u r i e r

1 5

) c u a n d o e n t e n d e m o s e l c o n c e p t o d e : d e s p l a z a m i e n -

t o s c i r c u l a r e s .

8 . 5 . 1 D e s p l a z a m i e n t o s C i r c u l a r e s

P o d e m o s d e s c r i b i r l a s s e c u e n c i a s p e r i ó d i c a s

1 6

t e n i e n d o p u n t o s d i s c r e t o s e n u n c í r c u l o c o m o s u d o m i n i o .

F i g u r e 8 . 2 1

D e s p l a z a r m , f (n + m), c o r r e s p o n d e a r o t a r e l c i l i n d r o m p u n t o s A C W ( e n c o n t r a d e l r e l o j ) . P a r a

m = −2, o b t e n e m o s u n d e s p l a z a m i e n t o i g u a l a l q u e s e v e e n l a s i g u i e n t e i l u s t r a c i ó n :

F i g u r e 8 . 2 2 : p a r a

m = −2

1 4


1 5


1 6

" P e r i o d i c S i g n a l s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 7 4 4 / l a t e s t / >



1 8 2


F i g u r e 8 . 2 3

P a r a c i c l a r l o s d e s p l a z a m i e n t o s s e g u i r e m o s l o s s i g u i e n t e s p a s o s :

1 ) E s c r i b a

f (n) e n e l c i l i n d r o , A C W

F i g u r e 8 . 2 4 :

N = 8



1 8 3

2 ) P a r a c i c l a r p o r m , g i r e e l c i l i n d r o m l u g a r e s A C W

(f [n] → f [((n + m))N ])

F i g u r e 8 . 2 5 :

m = −3

E x a m p l e 8 . 1 2

S i

f (n) = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7], e n t o n c e s

f (((n − 3))N ) = [3, 4, 5, 6, 7, 0, 1, 2]E s l l a m a d o d e s p l a z a m i e n t o c i r c u l a r , y a q u e n o s e s t a m o s m o v i e n d o a l r e d e d o r d e l c í r c u l o . E l

d e s p l a z a m i e n t o c o m ú n e s c o n o c i d o c o m o d e s p l a z a m i e n t o l i n e a r ( u n m o v i m i e n t o e n u n a l í n e a ) .

8 . 5 . 1 . 1 N o t a s p a r a e l d e s p l a z a m i e n t o c i r c u l a r

f [((n + N ))N ] = f [n]

G i r a r p o r N l u g a r e s e s l o m i s m o q u e g i r a r p o r u n a v u e l t a c o m p l e t a , o n o m o v e r s e d e l m i s m o l u g a r .

f [((n + N ))N ] = f [((n − (N − m)))N ]

D e s p l a z a r A C W m e s e q u i v a l e n t e a d e s p l a z a r C W N − m



1 8 4


F i g u r e 8 . 2 6

f [((−n))N ]

L a e x p r e s i ó n a n t e r i o r , e s c r i b e l o s v a l o r e s d e f [n] p a r a e l l a d o d e l r e l o j .



1 8 5

( a ) ( b )

F i g u r e 8 . 2 7 : ( a )

f [n]( b )

f ˆ

((−n))N ˜

8 . 5 . 2 D e s p l a z a m i e n t o s C i r c u l a r e s y e l D F T

T h e o r e m 8 . 2 : D e s p l a z a m i e n t o C i r c u l a r y e l D F T

S i

f [n]D F T ↔ F [k]

e n t o n c e s

f [((n − m))N ]D F T ↔ e−(j 2πN km)F [k]

( P o r e j e m p l o . D e s p l a z a m i e n t o c i r c u l a r e n e l d o m i n i o d e l t i e m p o = d e s p l a z a m i e n t o d e l á n g u l o e n e l

D F T )

P r o o f :

f [n] = 1N

N −1k=0

F [k] ej

2πN

kn

( 8 . 2 4 )

a s í q u e e l d e s p l a z a r e l á n g u l o e n e l D F T

f [n] = 1N

N −1k=0

F [k] e−(j 2πN kn)ej

2πN

kn

= 1N

N −1k=0

F [k] ej

2πN

k(n−m)

= f [((n − m))N ]

( 8 . 2 5 )



1 8 6




A l i a s i n g : bk = ej2πN

kn

bk+N = ej 2πN (k+N )n

= ej2πN

knej2πn

= ej2πN

n

= bk

( 8 . 2 6 )

→ C o e c i e n t e s D T F S t a m b i é n s o n p e r i ó d i c o s c o n p e r i o d o N .



C h a p t e r 9

T r a n s f o r m a d a R á p i d a d e F o u r i e r ( F F T )

9 . 1 D F T : T r a n s f o r m a d a R á p i d a d e F o u r i e r

1

A h o r a p o d e m o s c a l c u l a r e l e s p e c t r o d e u n a s e ñ a l a r b i t r a r i a : L a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r D i s c r e t a ( D F T )

2

c a l c u l a e l e s p e c t r o e n N f r e c u e n c i a s i g u a l m e n t e e s p a c i a d a s d e u n a l o n g i t u d - N s e c u e n c i a s . U n a e d i c i ó n q u e

n u n c a s e p r e s e n t a e n e l " c á l c u l o " a n á l o g o , c o m o l a r e a l i z a d a p o r u n c i r d u i t o , e s c u a n t o t r a b a j o t o m a r e a l i z a r

l a o p e r a c i ó n d e p r o c e s a m i e n t o d e s e ñ a l c o m o l a l t r a c i ó n . E n c o m p u t a c i ó n , e s t a c o n s i d e r a c i ó n t r a s l a d a d e l

n ú m e r o d e p a s o s b á s i c o s d e c o m p u t a c i ó n r e q u e r i d o s p a r a r e a l i z a r e l p r o c e s o . E l n ú m e r o d e p a s o s , c o n o c i d o s

c o m o , l a c o m p l e j i d a d , s e v u e l v e e q u i v a l e n t e a c u a n t o t i e m p o t o m a e l c á l c u l o ( q u e t a n t o t i e m p o t e n e m o s

q u e e s p e r a r p a r a u n a r e s p u e s t a ) . L a c o m p l e j i d a d n o e s t a a t a d a a c o m p u t a d o r a s e s p e c i c a s o l e n g u a j e s

d e p r o g r a m a c i ó n , p e r o a c u a n t o s p a s o s s o n r e q u e r i d o s e n c u a l q u i e r c á l c u l o . A s í , u n p r o c e d i m i e n t o c o n

c o m p l e j i d a d i n d i c a d a d i c e q u e e l t i e m p o t o m a d o s e r á p r o p o r c i o n a l a a l g u n a c a n t i d a d d e d a t o s u t i l i z a d o s

e n e l c á l c u l o y e n l a c a n t i d a d d e m a n d a d a .

P o r e j e m p l o , c o n s i d e r a r l a f o r m u l a p a r a l a t r a n s f o r m a d a d i s c r e t a d e F o u r i e r . P a r a c a d a f r e c u e n c i a q u e

e l i j a m o s , d e b e m o s m u l t i p l i c a r c a d a v a l o r d e l a s e ñ a l p o r u n n ú m e r o c o m p l e j o y s u m a r l o s r e s u l t a d o s . P a r a

u n a s e ñ a l v a l o r a d a - r e a l , c a d a m u l t i p l i c a c i ó n r e a l - p o r - c o m p l e j o r e q u i e r e d o s m u l t i p l i c a c i o n e s r e a l e s , s i g n i c a

q u e t e n e m o s 2N m u l t i p l i c a c i o n e s p a r a r e a l i z a r s e . P a r a s u m a r l o s r e s u l t a d o s j u n t o s , d e b e m o s m a n t e n e r l a

p a r t e r e a l y l a i m a g i n a r i a s e p a r a d a s . S u m a n d o N n ú m e r o s r e q u i e r e N − 1 s u m a s . C o n s t a n t e m e n t e , c a d a

f r e c u e n c i a r e q u i e r e 2N + 2 (N − 1) = 4N − 2 p a s o s b á s i c o s d e r e a l i z a r . C o m o t e n e m o s N f r e c u e n c i a s , e l

n ú m e r o t o t a l d e o p e r a c i o n e s e s N (4N − 2).

E n c á l c u l o s d e l a c o m p l e j i d a d , s o l o t e n e m o s q u e p r e o c u p a r n o s d e q u e s u c e d e c u a n d o l a l o n g i t u d i n c r e -

m e n t a , y t o m a r e l t é r m i n o d o m i n a n t e a q u í e l t é r m i n o 4N 2 c o m o r e e j o d e c u a n t o t r a b a j o e s t a i n v o l u -

c r a d o h a c i e n d o l a c o m p u t a c i ó n . C o m o u n a c o n s t a n t e m u l t i p l i c a t i v a n o i m p o r t a y a q u e e s t a m o s h a c i e n d o

u n a " p r o p o r c i o n a l " a l a e v a l u a c i ó n , e n c o n t r a m o s q u e l a D F T e s u n O

N 2

p r o c e d i m i e n t o c o m p u t a c i o n a l .

E s t a n o t a c i ó n e s l e í d a " o r d e n N - c u a d r a d o " . D o n d e , s i t e n e m o s d o b l e l o n g i t u d , e s p e r a m o s q u e e l t i e m p o d e

l a r e a l i z a c i ó n s e a a p r o x i m a d a m e n t e e l c u a d r u p l e .

E x e r c i s e 9 . 1

( S o l u t i o n o n p . 1 9 3 . )

H a c i e n d o l a e v a l u a c i ó n d e l a c o m p l e j i d a d p a r a l a D F T , a s u m i m o s q u e l o s d a t o s s o n r e a l e s . S u r g e n

t r e s p r e g u n t a s . P r i m e r o q u e n a d a , e l e s p e c t r o d e l a s s e ñ a l e s t i e n e s i m e t r í a c o n j u g a d a , l o q u e s i g n i c a

q u e l o s c o m p o n e n t e s d e l a s f r e c u e n c i a s n e g a t i v a s ( k =N 2 + 1,...,N + 1

e n l a D F T

3

) p u e d e n s e r

c a l c u l a d a s d e l o s c o m p o n e n t e s d e l a f r e c u e n c i a p o s i t i v a c o r r e s p o n d i e n t e . ¾ E s t a s i m e t r í a c a m b i a l a

c o m p l e j i d a d d e l a T r a s f o r m a d a D i r e c t a d e F o u r i e r D F T ?

E n s e g u n d o l u g a r , s u p o n g a m o s q u e l o s d a t o s s o n d e v a l o r e s c o m p l e j o s ; ¾ C ú a l e s l a c o m p l e j i d a d

d e l a D F T a h o r a ?

1


2

" D i s c r e t e F o u r i e r T r a n s f o r m ( D T F T ) " , ( 1 ) : D i s c r e t e F o u r i e r t r a n s f o r m < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 5 0 2 / l a t e s t / # e q n 1 >

3

" D i s c r e t e F o u r i e r T r a n s f o r m ( D T F T ) " , ( 1 ) : D i s c r e t e F o u r i e r t r a n s f o r m < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 5 0 2 / l a t e s t / # e q n 1 >

1 8 7



1 8 8

C H A P T E R 9 . T R A N S F O R M A D A R Á P I D A D E F O U R I E R ( F F T )

F i n a l m e t e , p r e g u n t a m e n o s i m p o r t a n t e p e r o i n t e r e s a n t e , s u p o n g a m o s q u e q u e r e m o s K v a l o r e s

d e f e c u e n c i a s e n l u g a r d e

N ; ¾ A h o r a c ú a l e s l a c o m p l e j i d a d ?

9 . 2 L a T r a n s f o r m a d a R á p i d a d e F o u r i e r ( F F T )

4

9 . 2 . 1 I n t r o d u c c i ó n

L a T r a n s f o r m a d a R á p i d a d e F o u r i e r ( F a s t F o u r i e r T r a n s f o r m ) ( F F T ) e s u n a l g o r i t m o e c i e n t e O ( N l o g N )

p a r a c a l c u l a r l a D F T

• o r i g n a l m e n t e d e s c u b i e r t a p o r G a u s s a p r i m c i p i o s d e 1 8 0 0

• r e d e s c u b i e r t a p o r C o o l e y y T u k e y e n I B M d u r a n t e 1 9 6 0

• C . S . B u r r u s , d e l a U n i v e r s i d a d d e R i c e U n i v e r s i t y s i e n d o j e f e d e l d e p a r t a m e n t o d e I n g e n i e r i a , l i t e r a l -

m e n t e " e s c r i b i o e l l i b r o " d e l o s a l g o r i t m o s d e l a r á p i d a T r a n s f o r m a d a D i s c r e t a d e F o u r i e r D F T .

L a F F T

5

e x p l o t a l a s s i m e t r i a s e n l a m a t r i z W p a r a a p r o x i m a r s e " d i v i d e y c o n q u i s t a r a s " . N o h a b l a r e m o s

d e l a c t u a l a l g o r i t m o d e l a F F T a q u i , v e a m o s e s t a s n o t a s

6

s i u s t e d e s t a i n t e r e s a d o e n l e e r m a s a c e r c a d e l a

i d e a d e t r a s d e l a F F T .

9 . 2 . 2 C o m p a r a c i ó n D e l a V e l o c i d a d

¾ E n c u á n t o e s m e j o r O ( N l o g N ) q u e O (

N 2) ?

F i g u r e 9 . 1 : E s t a g u r a m u e s t r a q u e t a n l e n t o c r e c e e l t i e m p o d e s o l u c i ó n d e u n p r o c e s o d e O ( N l o g N ) .

4


5

" F a s t F o u r i e r T r a n s f o r m ( F F T ) " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 2 5 0 / l a t e s t / >

6

" F a s t F o u r i e r T r a n s f o r m ( F F T ) " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 2 5 0 / l a t e s t / >



1 8 9

N 10 100 1000 106 109

N 2 1 0 0 104 106 1012 1018

NlogN 1 200 3000 6 × 106 9 × 109

D i g a m o s q u e t i e n e u n a m a q u i n a d e 1 M F L O P ( u n m i l l i ó n d e " p u n t o s o t a n t e s " d e o p e r a c i o n e s p o r

s e g u n d o ) . S e a

N = 1millin = 106 .

U n a l g o r i t m o d e O (

N 2) t o m a 1012 p r o c e s o s → 106 s e g u n d o s 1 1 . 5 d í a s .

U n a l g o r i t m o d e O ( NlogN ) t o m a 6 × 106 p r o c e s o s → 6 s e g u n d o s .

n o t a :

N = 1milline s r a z o n a b l e .

E x a m p l e 9 . 1

U n a c a m a r a d i g i t a l d e 3 m e g a p i x e l e s a r r o j a 3 × 106 n ú m e r o s p o r c a d a f o t o . A s í q u e p a r a d o s

N s e c u e n c i a s d e p u n t o f [n] y h [n]. S i r e s o l v e m o s d i r e c t a m e n t e (f [n] h [n]) : O ( N 2 ) o p e r a c i o n e s .

T o m a n d o l a F F T s O ( N l o g N )

m u l t i p l i c a n d o l a F F T s O ( N )

l a i n v e r s a d e F F T s O ( N l o g N ) .

e l t o t a l d e c o m p l e j i d a d e s O ( N l o g N ) .

n o t a : F F T + c o m p u t a c i ó n d i d i g i t a l f u e c o m p l e t a m e n t e r e s p o n s a b l e d e l a " e x p l o s i ó n " d e l P r o c e -

s a m i e n t o D i g i t a l d e S e ñ a l e s D S P e n l o s a ñ o s 6 0 ' s .

n o t a : L a U n i v e r s i d a d d e R i c e f u e ( y s i g u e s i e n d o ) u n o d e l o s l u g a r e s d e h a c e r i n v e s t i g a c i ó n e n

D S P .

9 . 3 D e r i v a n d o l a T r a n s f o r m a d a R á p i d a d e F o u r i e r

7

P a r a d e r i v a r l a F F T , a s u m i m o s q u e l a d u r a c i ó n d e l a s e ñ a l e s u n a p o t e n c i a d e d o s : N = 2l. C o n s i d e r e q u e

p a s a a l o s e l e m e n t o s p a r e s n u m e r a d o s y a l o s e l e m e n o t s i m p a r e s n u m e r a d o s d e l a s o l u c i ó n d e l a s e c u e n c i a e n

l a D F T .

S (k) = s (0) + s (2) e(− j)2π2kN + · · · + s (N − 2) e(− j)

2π(N −2)kN +

s (1) e(− j)2πkN + s (3) e(− j)

2π(2+1)kN + · · · + s (N − 1) e(− j)

2π(N −2+1)kN =

s (0) + s (2) e(− j) 2πkN

2 + · · · + s (N − 2) e(− j)

2π(N 2 −1)kN 2 +

s (1) + s (3) e

(

− j) 2πkN

2 + · · · + s (N − 1) e

(

− j)

2π(N 2 −1)kN

2

e

−(j2πk)

N

( 9 . 1 )

C a d a t é r m i n o e n p a r é n t e s i s a l c u a d r a d o t i e n e l a f o r m a d e u n a l o n g i t u d

N 2 d e D F T . L a p r i m e r a e s u n a

D F T d e l o s e l e m e n t o s p a r e s n u e m r a d o s , y l a s e g u n d a e s d e l o s e l e m e n t o s i m p a r e s n u m e r a d o s . L a p r i m e r

D F T e s c o m b i n a d a c o n l a s e g u n d a m u l t i p l i c a d n o p o r e l e x p o n e n c i a l c o m p l e j o

e−(j2πk)

N. L a m e d i a - l o n g i t u d

d e l a t r a n s f o r m a d a e s c a d a e v a l u a c i ó n d e l o s í n d i c e s d e f r e c u e n c i a

k ∈ 0, . . . , N − 1 . N o r m a l m e n t e e l

n ú m e r o d e i n d i c e s d e f r e c u e n c i a d e l r a n g o d e u n a c a l c u l a c i ó n d e l a D F T e s t a e n t r e c e r o y l a l o n g i t u d d e

7




1 9 0


l a t r a n s f o r m a c i ó n m e n o s u n o . L a v e n t a j a c o m p u t a c i o n a l d e l a F F T v i e n e d e r e c o n o c e r l a n a t u l a r e z a

d e l p e r i ó d o d e l a t r a n s f o r m a d a d i s c r e t a d e F o u r i e r . L a F F T s i m p l e m e n t e r e u s a l a s s o l u c i o n e s h e c h a s e n l a

m e d i a - l o n g i t u d d e l a t r a n s f o r m a d a y l a s c o m b i n a a t r a v é s d e s u m a s y m u l t i p l i c a c i o n e s p o r e−(j2πk)

N, q u e

n o e s p e r i ó d i c a s o b r e

N

2, p a r a r e s c r i b i r l a l o n g i t u d - N D F T . L a F i g u r e 9 . 2 ( D e s c o m p o s i c i ó n d e l a D F T d e

l o n g i t u d - 8 ) i l u s t r a l a d e s c o m p o s i c i ó n . C o m o s e m a n t i e n e , a h o r a r e s o l v e m o s d o s t r a n s f o r m a d a s d e l o n g i t u d e s -

N 2

( c o m p l e j i d a d 2O

N 2

4

) , m u l t i p l i c a r u n a d e e l l a s p o r e l e x p o n e n c i a l c o m p l e j o ( c o m p l e j i d a d O (N ) ) , y

s u m a r l o s r e s u l t a d o s ( c o m p l e j i d a d

O (N ) ) . E n e s t e p u n t o , e l t o t a l d e c o m p l e j i d a d s i g u e d o m i n a d o p o r l a

m i t a d - l o n g i t u d d e l a c a l c u l a c i ó n d e D F T , p e r o e l c o e c e n t e d e p r o p o r c i o n a l i d a d h a s i d o r e d u c i d o .

A h o r a p a r a l a d i v e r s i ó n . P o r q u e N = 2l, c a d a u n a d e l a s t r a n s f o r m a c i o n e s d e m e d i a - l o n g i t u d p u e d e s e r

r e d u c i d a a u n a d e d o s c u a r t o s - l o n g i t u d , c a d a u n a d e e s t a s e n d o s o c t a v o s - l o n g i t u d , e t c . E s t a d e s c o m p o s i c i ó n

c o n t i n u a h a s t a q u e n o s q u e d a m o s c o n u n a t r a n s f o r m a d a d e l o n g i t u d - 2 . E s t a t r a n s f o r m a d a e s a b s o l u t a m e n t e

s i m p l e , i n v o l u c r a n d o s o l o s u m a s . D o n d e l a p r i m e r e t a p a d e l a F F T t i e n e

N 2 t r a n s f o r m a d a s d e l o n g i t u d - 2

( v e a s e l a p a r t e d e a b a j o d e l a F i g u r e 9 . 2 ( D e s c o m p o s i c i ó n d e l a D F T d e l o n g i t u d - 8 ) ) . P a r e s d e e s t a s

t r a n s f o r m a d a s s o n c o m b i n a d o s s u a m a n d o u n o a o t r o m u l t i p l i c a d o p o r e l e x p o n e n c i a l c o m p l e j o . C a d a p a r

r e q u i e r e 4 s u m a s y 4 m u l t i p l i c a c i o n e s , d a n d o u n n ú m e r o t o t a l d e c o m p u t a c i o n e s i g u a l a 8N 4 = N

2. E s t e

n ú m e r o d e c o m p u t a c i o n e s n o c a m b i a d e e t a p a a e t a p a . Y a q u e e l n ú m e r o d e e t a p a s , e l n ú m e r o d e v e c e s q u e

l a l o n g i t u d p u e d e s e r d i v i d i d a p o r d o s , i g u a l a log2N , l a c o m p l e j i d a d d e l a F F T e s O (NlogN ) .



1 9 1

D e s c o m p o s i c i ó n d e l a D F T d e l o n g i t u d - 8

( a )

( b )

F i g u r e 9 . 2 : L a d e s c o m p o s i c i ó n i n i c i a l d e u n a l o n g i t u d - 8 D F T e n t é r m i n o s u s a n d o í n d i c e s p a r e s e i m -

p a r e s e n t r a d a s m a r c a l a p r i m e r a f a s e d e c o n v e r t i r s e e n e l a l g o r i t m o d e l a F F T . C u a n d o e s t a t r a n s f o r m a d a

d e m e d i a - l o n g i t u d e s t a c o m p l e t a m e n t e d e s c o m p u e s t a , n o s q u e d a m o s c o n e l d i a g r a m a d e l p a n e l i n f e r i o r

q u e r e p r e s e n t a l a s o l u c i ó n d e l a F F T d e l o n g i t u d - 8 .



1 9 2


H a c i e n d o u n e j e m p l o h a r e m o s a h o r r o s d e p r o c e s o s m á s o b v i o s . V e a m o s l o s d e t a l l e s d e l a D F T d e l o n g i t u d -

8 . C o m o s e m u e s t r a e n l a F i g u r e 9 . 2 ( D e s c o m p o s i c i ó n d e l a D F T d e l o n g i t u d - 8 ) , p r i m e r o d e s c o m p o n e m o s

l a D F T e n d o s D F T d e l o n g i t u d - 4 , c o n l a s s a l i d a s s u m a d a s y r e s t a d a s e n p a r e s . C o n s i d e r a n d o l a F i g u r e 9 . 2

( D e s c o m p o s i c i ó n d e l a D F T d e l o n g i t u d - 8 ) c o m o e l í n d i c e d e f r e c u e n c i a q u e v a d e 0 h a s t a 7 , r e c i c l a m o s v a l o r e s

d e l a D F T d e l o n g i t u d - 4 p a r a l o s c a l c u l o s n a l e s p o r l a p e r i ó d i c i d a d d e l a s a l i d a d e l a D F T . E x a m i n a n d o

c o m o l o s p a r e s d e s a l i d a s s e r e c o j e n j u n t a s , c r e a m o s l o s a l e m e n t o s c o m p u t a c i o n a l e s b á s i c o s c o n o c i d o s c o m o

u n a m a r i p o s a ( F i g u r e 9 . 3 ( M a r i p o s a ) ) .

M a r i p o s a

F i g u r e 9 . 3 : L o s e l e m e n t o s c o m p u t a c i o n a l e s b á s i c o s d e l a t r a n s f o r m a d a r á p i d a d e F o u r i e r e s l a m a r i p o s a .

T o m a d o s n ú m e r o s c o m p l e j o s , r e p r e s e n t a d o s p o r

a

y

b

, y f o r m a l a s c a n t i d a d e s m o s t r a d a s . C a d a m a r i p o s a

r e q u i e r e u n a m u l t i p l i c a c i ó n c o m p l e j a y d o s s u m a s c o m p l e j a s .

C o n s i d e r a n d o l o s p r o c e s o s i n v o l u c r a n d o l a s a l i d a d e f r e c u e n c i a s c o m u n e s d e l a D F T d e d o s m e d i a - l o n g i t u d ,

v e m o s q u e l a s d o s m u l t i p l i c a c i o n e s c o m p l e j a s s o n r e l a c i o n a d a s u n a s c o n o t r a s , y p o d e m o s r e d u c i r n u e s t r o

p r o c e s o e n u n f u t u r o . P a r a d e s c o m p o s i c i o n e s p o s t e r i o r e s l a s D F T d e l o n g i t u d - 4 e n l a s D F T d e l o n g i t u d -

2 y c o m b i n a n d o s u s s a l i d a s , l l e g a m o s a l r e s u m e n d e l d i a g r a m a d e l a t r a n s f o r m a d a r á p i d a d e F o u r i e r d e

l o n g i t u d - 8 ( F i g u r e 9 . 2 ( D e s c o m p o s i c i ó n d e l a D F T d e l o n g i t u d - 8 ) ) . A u n q u e l a m u l t i p l i c a c i ó n d e l o s c o m p l e j o s

e s a b s o l u t a m e n t e s i m p l e ( m u l t i p l i c a n d o p o r e−(jπ) s i g n i c a p a r t e s n e g a t i v a s r e a l e s y p a r t e s i m a g i n a r i a s ) ,

c o n t e m o s é s o s p a r a l o s p r o p ó s i t o s d e e v a l u a r l a c o m p l e j i d a d c o m o e l c o m p l e j o s e m u l t i p l i c a p o r c o m p l e t o .

T e n e m o s

N 2 = 4 m u l t i p l i c a c i o n e s c o m p l e j a s y 2N = 16 s u m a s p a r a c a d a e t a p a y log2N = 3 e t a p a s , h a c i e n d o

e l n ú m e r o d e p r o c e s o s b á s i c o s

3N 2 log2N c o m o s e p r e d i j o .

E x e r c i s e 9 . 2

( S o l u t i o n o n p . 1 9 3 . )

N o t e s e q u e e l o r d e n d e l a s e c u e n c i a d e e n t r a d a e n d o s p a r t e s d e F i g u r e 9 . 2 ( D e s c o m p o s i c i ó n d e l a

D F T d e l o n g i t u d - 8 ) n o e s t a n a b s o l u t a m e n t e i g u a l e s . ¾ p o r q u e n o ? , ¾ c ó m o e s t a d e t e r m i n a d o e s t e

o r d e n ?

O t r o s l a g o r i t m o s " r á p i d o s " h a n s i d o d e s c u b i e r t o s , t o d o s d e l o s c u a l e s h a c e n u s o d e c u a n t o s f a c t o r e s t i e n e

l a t r a n s f o r m a d a d e l o n g i t u d N . E n t e o r i a d e n ú m e r o s , e l n ú m e r o d e f a c t o r e s p r i m o s d e u n e n t e r o d a d o

t i e n e m e d i d a s c o m o c o m p u e s t o e s e l . E l n ú m e r o 1 6 y 8 1 s o n a l t a m e n t e c o m p u e s t o s ( i g u a l e s a 24 y 34

r e s p e c t i v a m e n t e ) , e l n ú m e r o 1 8 e s m e n o r a s i q u e ( 2132 ) , y e l 1 7 n o d e l t o d o ( e s p r i m o ) . a t r a v é s d e

t r e i n t a a ñ o s d e d e s a r r o l l o d e l a l g o r i t m o d e l a t r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r , e l a l g o r i t m o o r i g i n a l d e C o o l e y -

T u k e y e s t a a l e j a d o d e l o s u s a d o s c o n m a s f r e c u a n c i a . E s t a n e c i e n t e c o m p u t a c i o n a l m e n t e h a b l a n d o c o m o

l a t r a n s f o r m a d a d e l o n g i t u d d e p o t e n c i a d e d o s e s f r e c u e n t e m e n t e u s a d a s i n i m p o r t a r l a l o n g i t u d a c t u a l d e

l o s d a t o s .



1 9 3



C u a n d o l a s e ñ a l e s d e v a l o r r e a l , s o l o n e c e s i t a m o s l a m i t a d d e l v a l o r d e l e s p e c t r o , p e r o l a c o m p l e j i d a d

p e r m a n e c e s i n c a m b i o s . S i l o s d a t o s s o n d e v a l o r e s c o m p l e j o s , l o c u a l r e q u i e r e d e l a r e t e n c i ó n d e t o d o s l o s

d a t o s , l a c o m p l e j i d a d e s n u e v a m e n t e l a m i s m a . C u a n d o s e r e q u i e r e n s o l a m e n t e

K f r e c u e n c i a s , l a c o m p l e j i d a d

e s

O (KN ).


E l p a n e l d e a r r i b a n o u s a e l a l g o r i t m o d e F F T p a r a p r o c e s a r l a D F T d e l o n g i t u d - 4 m i e n t r a s q u e e l a b a j o

s i . E l o r d e n e s d e t e r m i n a d o p o r e l a l g o r i t m o .



1 9 4




C h a p t e r 1 0

C o n v e r g e n c i a

1 0 . 1 C o n v e r g e n c i a d e S e c u e n c i a s

1

1 0 . 1 . 1 ¾ Q u é e s u n a S e c u e n c i a ?

D e n i t i o n 1 2 : s e c u e n c i a

U n a s e c u e n c i a e s u n a f u n c i ó n gn d e n i d a e n l o s e n t e r o s p o s i t i v o s ' n' . T a m b i é n d e n o t a m o s u n a

s e c u e n c i a p o r : gn |∞n=1E x a m p l e

U n a s e c u e n c i a d e n ú m e r o s r e a l e s :

gn =1

n

E x a m p l e

U n a s e c u e n c i a v e c t o r :

gn = sin nπ2

cosnπ2

E x a m p l e

U n a s e c u e n c i a d e u n a f u n c i ó n :

gn (t) =

1 i f 0 ≤ t < 1

n

0 o t h e r w i s e

n o t a : U n a f u n c i ó n p u e d e s e r p e n s a d a c o m o u n v e c t o r d e d i m e n s i ó n i n n i t o d o n d e p o r c a d a v a l o r

d e ' t ' t e n e m o s u n a d i m e n s i ó n .

1 0 . 1 . 2 C o n v e r g e n c i a d e S e c u e n c i a s R e a l e s

D e n i t i o n 1 3 : l í m i t e

U n a s e c u e n c i a gn |∞n=1 c o n v e r g e a u n l í m i t e g ∈ R s i p a r a t o d o > 0 e x i s t e u n e n t e r o N t a l q u e

|gi − g| < , i ≥ N

1


1 9 5



1 9 6

C H A P T E R 1 0 . C O N V E R G E N C I A

U s u a l m e n t e d e n o t a m o s u n l í m i t e e s c r i b i e n d o

limi→∞

gi = g

ó

gi → g

L a d e n i c i ó n a n t e r i o r s i g n i c a q u e n o i m p o r t a q u e t a n p e q u e ñ o h a g a m o s , e x c e p t o p a r a u n n ú m e r o n i t o

d e gi ' s , t o d o s l o s p u n t o s d e l a s e c u e n c i a e s t a n d e n t r o d e u n a d i s t a n c i a d e g .

E x a m p l e 1 0 . 1

D a d a l a s s i g u i e n t e s e c u e n c i a d e c o n v e r g e n c i a :

gn =1

n( 1 0 . 1 )

I n t u i t i v a m e n t e p o d e m o s a s u m i r e l s i g u i e n t e l í m i t e :

limn→∞gn = 0

. A h o r a p r o v e m o s e s t o r i g u r o s a m e n t e , d i g a m o s q u e d a d o e l n ú m e r o r e a l > 0. E s c o j a m o s N = 1 ,

d o n d e x d e n o t a e l m e n o r e n t e r o m a y o r q u e x. E n t o n c e s p a r a n ≥ N t e n e m o s

|gn − 0| =1

n≤ 1

N <

D o n d e ,

limn→∞gn = 0

E x a m p l e 1 0 . 2

A h o r a v e a m o s l a s i g u i e n t e s e c u e n c i a n o - c o n v e r g e n t e

gn = 1 i f n = par

−1 i f n = impar

E s t a s e c u e n c i a o s c i l a e n t r e 1 y - 1 , a s i q u e n u n c a c o n v e r g e .

1 0 . 1 . 2 . 1 P r o b l e m a s

P a r a p r a c t i c a r , d i g a c u a l e s d e l a s s i g u i e n t e s s e c u e n c i a s c o n v e r g e n y d e e l l i m i t e s i e s t e e x i s t e .

1 . gn = n

2 . gn =

1n

i f n = par

−1

ni f

n = impar

3 . gn =

1n

i f

n = potenciade10

1 o t h e r w i s e

4 .

gn =

n i f n < 105

1n

i f

n ≥ 105

5 . gn = sinπn

6 . gn = jn



1 9 7

1 0 . 2 C o n v e r g e n c i a d e V e c t o r e s

2

1 0 . 2 . 1 C o n v e r g e n c i a d e V e c t o r e s

D i s c u t i r e m o s l a c o n v e r g e n c i a p u n t u a l y d e l a n o r m a d e v e c t o r e s . T a m b i é n e x i s t e n o t r o s t i p o s d e c o n v e r g e n c i a

y u n o e n p a r t i c u l a r , l a c o n v e r g e n c i a u n i f o r m e

3

, t a m b i é n p u e d e s e r e s t u d i a d a . P a r a e s t a d i s c u s i ó n , a s u m i r e m o s

q u e l o s v e c t o r e s p e r t e n e c e n a u n e s p a c i o d e v e c t o r n o r m a d o ( S e c t i o n 7 . 2 ) .

1 0 . 2 . 1 . 1 C O n v e r g e n c i a P u n t u a l

U n a s e c u e n c i a ( S e c t i o n 1 0 . 1 ) gn |∞n=1 c o n v e r g e p u n t u a l m e n t e a l l í m i t e g s i c a d a e l e m e n t o d e gn c o n v e r g e

a l e l e m e n t o c o r r e s p o n d i e n t e e n g . A c o n t i n u a c i ó n h a y u n o s e j e m p l o s p a r a t r a t a r d e i l u s t r a r e s t a i d e a .

E x a m p l e 1 0 . 3

gn =

gn [1]

gn [2]

=

1 + 1

n

2 − 1n

P r i m e r o e n c o n t r a m o s l o s s i g u i e n t e l i m i t e s p a r a n u e s t r a s d o s gn ' s :

limn→∞ (gn [1]) = 1

limn→∞ (gn [2]) = 2

D e s p u é s t e n e m o s e l s i g u i e n t e ,

limn→∞gn = g

p u n t u a l , d o n d e g =

1

2

.

E x a m p l e 1 0 . 4

gn (t) =t

n, t ∈ R

C o m o s e h i z o a n t e r i o r m e n t e , p r i m e r o e x a m i n a m o s e l l í m i t e

limn→∞

gn (t0) = limn→∞

t0n

= 0

d o n d e t0 ∈ R. P o r l o t a n t o limn→∞gn = g p u n t u a l m e n t e d o n d e g (t) = 0 p a r a t o d a t ∈ R.

1 0 . 2 . 1 . 2 N o r m a d e C o n v e r g e n c i a

L a s e c u e n c i a ( S e c t i o n 1 0 . 1 )

gn

|∞n=1 c o n v e r g e a

ge n l a n o r m a s i

limn→∞

gn

−g

= 0 . A q u i

· e s l a n o r m a

( S e c t i o n 7 . 2 ) d e l e s p a c i o v e c t o r i a l c o r r e s p o n d i e n t e d e gn ' s . I n t u i t i v a m e n t e e s t o s i g n i c a q u e l a d i s t a n c i a

e n t r e l o s v e c t o r e s gn y g d e c r e s e a 0 .

E x a m p l e 1 0 . 5

gn =

1 + 1

n

2 − 1n

2


3

" U n i f o r m C o n v e r g e n c e o f F u n c t i o n S e q u e n c e s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 8 9 5 / l a t e s t / >



1 9 8


S e a

g =

1

2

gn − g =

1 +1

n − 12

+ (−1)

2

=

1n2

+ 1n2

=√2

n

( 1 0 . 2 )

A s i

limn→∞ gn − g = 0 , P o r l o t a n t o ,

gn → ge n l a n o r m a .

E x a m p l e 1 0 . 6

gn (t) =

tn

i f 0 ≤ t ≤ 1

0 o t h e r w i s e

S e a g (t) = 0 p a r a t o d o t.

gn (t) − g (t) = 10

t2

n2 dt= t3

3n2|1n=0

= 13n2

( 1 0 . 3 )

A s i limn→∞ gn (t) − g (t) = 0 P o r l o t a n t o , gn (t) → g (t) e n l a n o r m a .

1 0 . 2 . 2 P u n t u a l v s . N o r m a d e C o n v e r g e n c i a

T h e o r e m 1 0 . 1 :

P a r a Rm

, l a c o n v e r g e n c i a p u n t u a l y l a n o r m a d e c o n v e r g e n c i a e s e q u i v a l e n t e .

P r o o f : P u n t u a l ⇒ N o r m a

gn [i]→

g [i]

A s u m i e n d o l o a n t e r i o r , e n t o n c e s

( gn − g )2

=

mi=1

(gn [i] − g [i])

2

A s í ,

limn→∞( gn − g )

2= lim

n→∞m

i=1 2

=m

i=1

limn→∞2

= 0

( 1 0 . 4 )

P r o o f : N o r m a

⇒P u n t u a l

gn − g → 0

limn→∞

mi=1 2 =

mi=1

limn→∞2

= 0

( 1 0 . 5 )

Y a q u e c a d a t é r m i n o e s m a y o r o i g u a l a c e r o , t o d o s l o s t é r m i n o s ' m' d e b e n s e r c e r o . A s í ,

limn→∞2 = 0



1 9 9

p a r a t o d o i. P o r l o t a n t o ,

gn → gp u n t u a l

n o t a : E n u n e s p a c i o d e d i m e n s i ó n n i t a e l t e o r e m a a n t e r i o r y a n o e s c i e r t o . P r o b a r e m o s e s t o c o n

c o n t r a e j e m p l o s m o s t r a d o s a c o n t i n u a c i ó n .

1 0 . 2 . 2 . 1 C o n t r a E j e m p l o s

E x a m p l e 1 0 . 7 : P u n t u a l ⇒ N o r m a

D a d a l a s i g u i e n t e f u n c i ó n :

gn (t) =

n i f 0 < t < 1

n

0 o t h e r w i s e

E n t o n c e s

limn→∞

gn (t) = 0 E s t o s i g n i c a q u e ,

gn (t) → g (t)

d o n d e p a r a t o d o t g (t) = 0 .

A h o r a ,

( gn )2

= ∞−∞ (|gn (t) |)2dt

= 1n

0n2dt

= n → ∞( 1 0 . 6 )

Y a q u e l a n o r m a d e l a f u n c i ó n s e e l e v a , n o p u e d e c o n v e r g e r a c u a l q u i e r f u n c i ó n c o n n o r m a n i t a .

E x a m p l e 1 0 . 8 : N o r m a ⇒ P u n t u a l

D a d a l a s i g u i e n t e f u n c i ó n :

gn (t) =

1 i f 0 < t < 1

n

0 o t h e r w i s e

s i n e s p a r

gn (t) =

−1 i f 0 < t < 1

n

0 o t h e r w i s e

s i n e s i m p a r

E n t o n c e s ,

gn − g =

1n

0

1dt =1

n→ 0

d o n d e

g (t) = 0 p a r a t o d o

t. E n t o n c e s ,

gn → g e n l a n o r m a

S i n e m b a r g o , e n

t = 0 ,

gn (t) o s c i l a e n t r e - 1 y 1 , Y p o r l o t a n t o e s n o c o n v e r g e n t e . A s í ,

gn (t) n o

t i e n e c o n v e r g e n c i a p u n t u a l .



2 0 0


1 0 . 2 . 2 . 2 P r o b l e m a s

P r u e b e s i l a s s i g u i e n t e s s e c u e n c i a s t i e n e n c o n v e r g e n c i a p u n t u a l , n o r m a d e c o n v e r g e n c i a , o a m b a s s e m a n t i e n e n

e n s u s l i m i t e s .

1 . gn (t) =

1nt

i f 0 < t

0 i f t ≤ 0

2 . gn (t) =

e−(nt)

i f

t ≥ 0

0 i f t < 0

1 0 . 3 C o n v e r g e n c i a U n i f o r m e d e S e c u e n c i a s d e F u n c i o n e s .

4

1 0 . 3 . 1 C o n v e r g e n c i a U n i f o r m e d e S e c u e n c i a s d e F u n c i o n e s

p a r a e s t a d i s c u s i ó n , s o l o c o n s i d e r a r e m o s l a s f u n c i o n e s c o n gn d o n d e

R → R

D e n i t i o n 1 4 : C o n v e r g e n c i a U n i f o r m e

L a s e c u e n c i a ( S e c t i o n 1 0 . 1 ) gn |∞n=1 c o n v e r g e u n i f o r m e m e n t e a l a f u n c i ó

gs i p a r a c a d a

> 0e x i s t e u n e n t e r o

N t a l q u e

n ≥ N i m p l i c a q u e

|gn (t) − g (t) | ≤ ( 1 0 . 7 )

p a r a t o d o t ∈ R.

O b v i a m e n t e t o d a s e c u e n c i a u n i f o r m e m e n t e c o n t i n u a e s d e c o n v e r g e n c i a p u n t u a l ( S e c t i o n 1 0 . 2 ) . L a

d i f e r e n c i a e n t r e c o n v e r g e n c i a p u n t u a l y u n i f o r m e m e n t e c o n t i n u a e s e s t a : S i gn c o n v e r g e p u n t u a l m e n t e a g ,

e n t o n c e s p a r a t o d o > 0 y p a r a t o d a t ∈ R h a y u n e n t e r o N q u e d e p e n d e d e y t t a l q u e ( 1 0 . 7 ) s e m a n t i e n e

s i n ≥ N . S i gn c o n v e r g e u n i f o r m e m e n t e a g , e s p o s i b l e q u e p a r a c a d a > 0 e n o c n t r a r u n e n t e r o N q u e

s e r á p a r t o d o

t ∈R.

E x a m p l e 1 0 . 9

gn (t) =1

n, t ∈ R

S e a > 0 d a d o . E n t o n c e s e s c o j a N = 1. O b v i a m e n t e ,

|gn (t) − 0| ≤ , n ≥ N

p a r a t o d a t. A s í , gn (t) c o n v e r g e u n i f o r m e m e n t e a 0 .

E x a m p l e 1 0 . 1 0

gn (t) =t

n, t ∈ R

O b v i a m e n t e p a r a c u a l q u i e r > 0 n o p o d e m o s e n c o n t r a r u n a f u n c i ó n s e n c i l l a gn (t) p a r a l a c u a l l a

( 1 0 . 7 ) s e m a n t i e n e c o n g (t) = 0 p a r a t o d o t . A s í gn n o e s c o n v e r g e n t e u n i f o r m e m e n t e . S i n e m b a r g o

t e n e m o s :

gn (t) → g (t) p u n t u a l

c o n c l u s i ó n : L a c o n v e r g e n c i a u n i f o r m e s i e m p r e i m p l i c a c o n v e r g e n c i a p u n t u a l , p e r o l a c p n v e r g e n -

c i a p u n t u a l n o n e c e s a r i a m e n t e g a r a n t i z a l a c o n v e r g e n c i a u n i f o r m e .

4




2 0 1

1 0 . 3 . 1 . 1 P r o b l e m s

P r u e b e r i g u r o s a m e n t e s i l a s s i g u i e n t e s f u n c i o n e s c o n v e r g e n p u n t u a l m e n t e o u n i f o r m e m e n t e , o a m b a s .

1 .

gn (t) =

sin(t)

n2 . gn (t) = e

tn

3 . gn (t) =

1nt

i f t > 0

0 i f t ≤ 0



2 0 2




2 0 3



2 0 4

C H A P T E R 1 1 . T R A N S F O R M A D A D E F O U R I E R D I S C R E T A E N E L

T I E M P O ( D T F T )

C h a p t e r 1 1

T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r D i s c r e t a e n e l

T i e m p o ( D T F T )

1 1 . 1 T a b l a d e T r a n s f o r m a d a s d e F o u r i e r C o m u n e s

1

T i m e D o m a i n S i g n a l F r e q u e n c y D o m a i n S i g n a l C o n d i t i o n

e−(at)u (t) 1a+jω

a > 0

eatu (−t) 1a−jω

a > 0

e−(a|t|) 2aa2+ω2

a > 0

te−(at)u (t) 1(a+jω)2

a > 0

tne−(at)u (t) n!(a+jω)n+1

a > 0

δ (t) 11 2πδ (ω)

ejω0t 2πδ (ω − ω0)

cos (ω0t) π (δ (ω − ω0) + δ (ω + ω0))

sin (ω0t) jπ (δ (ω + ω0) − δ (ω − ω0))

u (t) πδ (ω) + 1jω

sgn (t) 2jω

cos (ω0t) u (t) π2 (δ (ω − ω0) + δ (ω + ω0)) +

jωω02−ω2

sin (ω0t) u (t) π

2j

(δ (ω−

ω0)−

δ (ω + ω0)) +ω0

ω02−ω2

e−(at)sin (ω0t) u (t) ω0(a+jω)2+ω02

a > 0

e−(at)cos (ω0t) u (t) a+jω

(a+jω)2+ω02a > 0

u (t + τ ) − u (t − τ ) 2τ sin(ωτ )ωτ

= 2τsinc (ωt)

ω0π

sin(ω0t)ω0t

= ω0π

sinc (ω0) u (ω + ω0) − u (ω − ω0)tτ

+ 1

utτ

+ 1− u

tτ

+− t

τ

+ 1

utτ

− utτ

− 1

=

triag

t2τ

τsinc2

ωτ 2

ω02π

sinc2

ω0t2

ωω0

+ 1

u

ωω0

+ 1

− u

ωω0

+

− ωω0

+ 1

u ω

ω0− u

ωω0 − 1

=

triag

ω2ω0



2 0 5

1 1 . 2 T r a n s f o r m a c i ó n D i s c r e t a d e F o u r i e r

2

1 1 . 2 . 1 N - p u i n t o P u n t o T r a n s f o r m a d a D i s c r e t a d e F o u r i e r ( D F T )

X [k] =N −1n=0

x [n] e(−j) 2π

nkn

, k = 0, . . . , N − 1 ( 1 1 . 1 )

x [n] =1

N

N −1k=0

X [k] ej

2πn

kn

, n = 0, . . . , N − 1 ( 1 1 . 2 )

N o t e q u e :

• X [k] e s l a D T F T e v a l u a d o e n

ω = 2πN

k , k = 0, . . . , N − 1• C o m p l e t a r c o n c e r o s x [n] a M m u e s t r a s a n t e s d e s a c a r e l D F T , d a c o m o r e s u l t a d o u n a v e r s i ó n

m u e s t r e a d a d e M - p u n t o s u n i f o r m e s d e l D T F T :

X

ej2πM

k

=N −1n=0

x [n] e(−j) 2π

Mk

( 1 1 . 3 )

X

ej2πM

k

=N −1n=0

xzp [n] e(−j) 2π

Mk

X

ej2πM

k

= X zp [k] , k = 0, . . . , M − 1• L a N - p t D F T e s s u c i e n t e p a r a r e c o n s t r u i r t o d a l a D T F T d e u n a s e c u e n c i a d e N - p t :

X ejω =

N −1

n=0 x [n] e(−j)ωn

( 1 1 . 4 )

X

ejω

=

N −1n=0

1

N

N −1k=0

X [k] ej

2πN

kne(−j)ωn

X

ejω

=

N −1k=0

(X [k])

1

N

N −1k=0

e(−j)(ω− 2π

Nk)n

X

ejω

=

N −1k=0

(X [k])

1

N

sinωN −2πk

2

sinωN −2πk

2N

e(−j)(ω− 2πN

k)N−12

2




2 0 6



1

0 2pi/N 4pi/N 2pi

D.

F i g u r e 1 1 . 1 : S i n c d i r i c h l e t ,

1N

sin(ωN2 )sin(ω2 )

• D F T t i e n e u n a r e p r e s e n t a c i ó n e n f o r m a d e m a t r i z m u y c o n v e n i e n t e . D e n i e n d o W N = e(−j) 2πN

,

X [0]

X [1].

.

.

X [N − 1]

=

W 0N W 0N W 0N W 0N . . .

W 0N W 1N W 2N W 3N . . .

W 0N W 2N W 4N W 6N . . ..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

x [0]

x [1].

.

.

x [N − 1]

( 1 1 . 5 )

d o n d e

X = W (x) r e s p e c t i v a m e n t e .

W t i e n e l a s s i g u i e n t e s p r o p i e d a d e s :

·W e s V a n d e r m o n d e : L a nt h c o l u m n a d e W e s u n p o l i n o m i o e n W n

N · W e s s i m e t r i c o : W = W T

· 1√N

W e s u n i t a r i a :

1√N

W

1√N

W H

=

1√N

W H

1√N

W

= I

· 1N

W ∗ = W −1 , e s l a m a t r i z y D F T .

• • P a r a N u n p o d e r d e 2 , l a F F T s e p u e d e u s a r p a r a c a l c u l a r l a D F T u s a n d o

N 2 log2N e n v e z d e N 2

o p e r a c i o n e s .

N N 2 log2N N 2

1 6 3 2 2 5 6

6 4 1 9 2 4 0 9 6

2 5 6 1 0 2 4 6 5 5 3 6

1 0 2 4 5 1 2 0 1 0 4 8 5 7 6

1 1 . 3 T r a n s f o r m a d a D i s c r e t a d e F o u r i e r ( D F T )

3

L a t r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r D i s c r e t a e n e l t i e m p o ( y t a m b i é n l a t r a n s f o r m a d a c o n t i n u a ) p u e d e n s e r e v a l u a d a s

c u a n d o t e n e m o s u n a e x p r e s i ó n a n a l í t i c a p a r a l a s e ñ a l . S u p o n g a q u e t e n g a m o s u n a s e ñ a l , c o m o e s l a s e ñ a l

3




2 0 7

d e l h a b l a u s a d a e n e l c a p i t u l o a n t e r i o r , p a r a e l l a n o e x i s t e u n a f o r m u l a . E n t o n c e s ¾ c ó m o p o d r í a u s t e d

c a l c u l a r s u e s p e c t r o ? P o r e j e m p l o , ¾ c ó m o c a l c u l a m o s e l e s p e c t r o g r a m a p a r a e l e j e m p l o d e l a s e ñ a l d e h a b l a

4

? L a t r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r d i s c r e t a ( D F T ) n o s p e r m i t e c a l c u l a e l e s p e c t r o d e i n f o r m a c i ó n d i s c r e t a e n

e l t i e m p o . E s t a n d o e n t i e m p o d i s c r e t o p o d e m o s c a l c u l a r e x a c t a m e n t e e l e s p e c t r o , p a r a s e ñ a l e s a n á l o g a s

n o e x i s t e m a n e r a s i m i l a r p a r a c a l c u l a r s u e s p e c t r o s i m i l a r . P a r a e l e s p e c t r o d e s e ñ a l e s a n á l o g a s s e t i e n e n

q u e c o n s t r u i r e q u i p o e s p e c i a l , q u e c o n s i s t e e n c a s i t o d o s l o s c a s o s d e c o n v e r t i d o r e s A / D y c o m p u t a c i o n e s

d i s c r e t a s . A n á l i s i s d e e l e s p e c t r o d i s c r e t a e n e l t i e m p o s o n m a s e x i b l e s q u e l o s a n á l i s i s d e l a s s e ñ a l e s

c o n t i n u a s .

L a f o r m u l a d e l D T F T

5

e s u n a s u m a q u e c o n c e p t u a l m e n t e e s f á c i l d e c a l c u l a r e x c e p t o p o r u n o s p r o b l e m a s .

• D u r a c i ó n d e l a s e ñ a l . L a s u m a s e e x t i e n d e s o b r e l a d u r a c i ó n d e l a s e ñ a l , l a c u a l t i e n e q u e s e r n i t a

p a r a c a l c u l a r e l e s p e c t r o d e l a s e ñ a l . E s e x t r e m a d a m e n t e d i f í c i l g u a r d a r u n a s e ñ a l i n n i t a , a s í q u e

a s u m i m o s q u e l a s e ñ a l s e e x t i e n d e s o b r e [0, N − 1].

• F r e c u e n c i a c o n t i n ú a . I g u a l d e i m p o r t a n t e q u e e l p r o b l e m a d e l a d u r a c i ó n d e l a s e ñ a l e s e l h e c h o q u e

l a f r e c u e n c i a v a r i a b l e e s c o n t i n u a : t a l v e z s o l o s e t e n g a q u e e x t e n d e r u n p e r i o d o , c o m o

− 12

, 12

o

[0, 1], p e r o l a f o r m u l a D T F T r e q u i e r e e v a l u a r e l e s p e c t r o d e t o d a s l a s f r e c u e n c i a s d e n t r o d e l p e r i o d o .

C a l c u l e m o s e l e s p e c t r o d e u n a s c u a n t a s f r e c u e n c i a s ; l a s m a s o b v i a s s o n l a s q u e t i e n e n u n a e s p a c i o

s i m i l a r f = kK

, k ∈ k , . . . , K − 1.

A s í q u e d e n i m o s l a t r a n s f o r m a d a d i s c r e t a d e F o u r i e r ( D F T ) c o m o

S (k) =

N −1n=0

s (n) e−( j2πnkK )

, k ∈ 0, . . . , K − 1 ( 1 1 . 6 )

A q u í , S (k) r e p r e s e n t a S

ej2πkK

.

P o d e m o s c a l c u l a r e l e s p e c t r o e n t o d a s l a s f r e c u e n c i a s c o n e s p a c i o s i m i l a r q u e q u e r e m o s . N o t e q u e u s t e d

p u e d e p e n s a r d e e s t a m o t i v a c i ó n c o m p u t a c i o n a l c o m o m u e s t r e a r e l e s p e c t r o ; s e v e r a m a s s o b r e e s t a i n t e r -

p r e t a c i ó n d e s p u é s . E l p r o b l e m a a h o r a e s e l s a b e r c u a n t a s f r e c u e n c i a s s o n s u c i e n t e s p a r a c a p t u r a r e l c o m o

e l e s p e c t r o c a m b i a c o n l a f r e c u e n c i a . U n a m a n e r a d e r e s p o n d e r e s t a p r e g u n t a e s d e t e r m i n a n d o l a f o r m u l a

d e l a t r a n s f o r m a d a i n v e r s a d i s c r e t a d e F o u r i e r : d a d o

S (k),

k = 0, . . . , K − 1 ¾ c ó m o e n c o n t r a m o s

s (n),

n = 0, . . . , N − 1 ? L a f o r m u l a e s t a r á e n l a s i g u i e n t e m a n e r a s (n) =K−1

k=0

S (k) e

j2πnkK

. S u b s t i t u y e n d o

l a f o r m u l a D F T e n e s t e p r o t o t i p o p a r a l a t r a n s f o r m a d a i n v e r s a d a

s (n) =

K−1k=0

N −1m=0

s (m) e−(j 2πmkK )ej

2πnkK

( 1 1 . 7 )

N o t e q u e l a r e l a c i ó n d e o r t o g o n a l i d a d q u e u s a m o s t i e n e u n c a r á c t e r d i f e r e n t e a h o r a .

K−1k=0

e−(j 2πkmK )ej

2πknK

=

K i f

m = n, (n ± K ) , (n ± 2K ) , . . . 0 o t h e r w i s e

( 1 1 . 8 )

N o s o t r o s o b t e n e m o s v a l o r e s d e n o c e r o c a d a v e z q u e l o s d o s í n d i c e s d i e r e n p o r m ú l t i p l e d e K . P o d e m o s

e x p r e s a r e s t o s r e s u l t a d o s c o m o K

l (δ (m − n − lK )). A s í , n u e s t r a f o r m u l a s e c o n v i e r t e

s (n) =N −1m=0

s (m) K

∞l=−∞

(δ (m − n − lK ))

( 1 1 . 9 )

L o s n ú m e r o s n y m e x i s t e n e n e l r a n g o 0, . . . , N − 1 . P a r a o b t e n e r u n a t r a n s f o r m a d a i n v e r s a , n e c e s i t a m o s

s u m a r u n s o l o m u e s t r e o u n i t a r i o p a r a m, n e n e s t e r a n g o . S i n o l o h i c i é r a m o s , s (n) i g u a l a r í a a l a s u m a

4

" M o d e l i n g t h e S p e e c h S i g n a l " , F i g u r e 5 : s p e c t r o g r a m < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 0 4 9 / l a t e s t / # s p e c t r o g r a m >

5

" D i s c r e t e - T i m e F o u r i e r T r a n s f o r m ( D T F T ) " , ( 1 ) < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 2 4 7 / l a t e s t / # e q n 1 >



2 0 8



d e v a l o r e s , y n o t e n d r í a m o s u n a t r a n s f o r m a d a v a l i d a : u n a v e z q u e r e g r e s e m o s a l d o m i n i o d e f r e c u e n c i a , n o

p o d r í a m o s o b t e n e r u n a ½ a m b i g u o s i d a d ! c l a r a m e n t e , e l t e r m i n o

l = 0 s i e m p r e p r o v e e u n m u e s t r e o u n i t a r i o

( n o s h a r e m o s c a r g o d e l f a c t o r d e

K p r o n t o ) . S i e v a l u a m o s e l e s p e c t r o e n m e n o s f r e c u e n c i a s q u e l o q u e d u r a

l a s e ñ a l , e l t e r m i n o c o r r e s p o n d i e n t e a

m = n + K a p a r e c e r á p a r a a l g u n o s v a l o r e s d e

m,

n =

0, . . . , N

−1

.

E s t a s i t u a c i ó n s i g n i c a q u e n u e s t r a t r a n s f o r m a d a p r o t o t i p o i g u a l a s (n) + s (n + K ) p a r a c u a l q u i e r v a l o r d e

n. L a ú n i c a m a n e r a d e e l i m i n a r e s t e p r o b l e m a e s e l r e q u e r i r K ≥ N : t e n e m o s q u e t e n e r m a s m u e s t r e o s d e

f r e c u e n c i a q u e l o q u e d u r a l a s e ñ a l . D e e s t a m a n e r a , p o d e m o s r e g r e s a r d e l d o m i n i o d e f r e c u e n c i a a l c u a l

e n t r a m o s p o r l a D F T .

E x e r c i s e 1 1 . 1

( S o l u t i o n o n p . 2 1 5 . )

C u a n d o t e n e m o s m e n o s m u e s t r e o s d e f r e c u e n c i a q u e l o q u e d u r a l a s e ñ a l , a l g u n o s v a l o r e s d e l a

s e ñ a l d i s c r e t a i g u a l a n l a s u m a d e l o s v a l o r e d e l a s e ñ a l o r i g i n a l . D a d a l a i n t e r p r e t a c i ó n d e l m u e s t r e o

p a r a e l e s p e c t r o , c a r a c t e r i c e e s t e e f e c t o d e u n a m a n e r a d i f e r e n t e .

O t r a m a n e r a p a r a e n t e n d e r e s t e r e q u e r i m i e n t o e s e l u s a r d e t e o r í a d e e c u a c i o n e s l i n e a r e s . S i e s c r i b i m o s l a

e x p r e s i ó n p a r a e l D F T c o m o u n c o n j u n t o d e e c u a c i o n e s l i n e a r e s ,

s (0) + s (1) + · · · + s (N − 1) = S (0) ( 1 1 . 1 0 )

s (0) + s (1) e(−j) 2πK + · · · + s (N − 1) e(−j)

2π(N−1)K = S (1)

.

.

.

s (0) + s (1) e(−j)2π(K−1)

K + · · · + s (N − 1) e(−j)2π(N−1)(K−1)

K = S (K − 1)

t e n e m o s K . O b t e n e m o s e c u a c i o n e s e n N d e s c o n o c i d o s s i q u e r e m o s e n c o n t r a r l a s e ñ a l d e s u e s p e c t r o

m u e s t r e a d o . E s t e r e q u e r i m i e n t o e s i m p o s i b l e d e e n c o n t r a r s i K < N ; t e n e m o s q u e t e n e r K ≥ N . N u e s t r a d e

r e l a c i ó n d e o r t o g o n a l i d a d e s e n c i a l m e n t e d i c e q u e s i t e n e m o s e l s u c i e n t e n u m e r o d e e c u a c i o n e s ( m u e s t r e o s

d e f r e c u e n c i a ) , e l c o n j u n t o d e e c u a c i o n e s q u e r e s u l t a n d e e s t o s e p u e d e n r e s o l v e r .

P o r c o n v e n c i ó n , e l n u m e r o d e v a l o r e s p a r a l a s f r e c u e n c i a s d e l D F T

K e s e l e g i d o p a r a i g u a l a r l a d u r a c i ó n

d e l a s e ñ a l N . E l p a r p a r a l a t r a n s f o r m a d a d i s c r e t a d e F o u r i e r c o n s i s t e d e

P a r d e l a T r a n s f o r m a d a D i s c r e t a d e F o u r i e r

S (k) =

N −1n=0

s (n) e−(j 2πnkN )

( 1 1 . 1 1 )

s (n) =1

N

N −1k=0

S (k) ej

2πnkN

( 1 1 . 1 2 )

E x a m p l e 1 1 . 1

U s e e s t a d e m o s t r a c i ó n p a r a h a c e r u n a n á l i s i s d e l D F T p a r a l a s e ñ a l .


h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 4 4 / l a t e s t / D F T _ A n a l y s i s . l l b

E x a m p l e 1 1 . 2

U s e e s t a d e m o s t r a c i ó n p a r a s i n t e t i z a r u n a s e ñ a l d e u n a s e c u e n c i a D F T



2 0 9


h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 4 4 / l a t e s t / D F T _ C o m p o n e n t _ M a n i p u l a t i o n . l l b

1 1 . 4 T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r D i s c r e t a e n e l T i e m p o ( D T F T )

6

T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r D i s c r e t a e n e l T i e m p o

X (ω) =

∞n=−∞

x (n) e−(jωn)

( 1 1 . 1 3 )

T r a n s f o r m a d a I n v e r s a d e F o u r i e r D i s c r e t a e n e l T i e m p o

x (n) =1

2π

2π0

X (ω) ejωndω ( 1 1 . 1 4 )

1 1 . 4 . 1 E s p a c i o s R e l e v a n t e s

L a t r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r e n t i e m p o d i s c r e t o

7

g r a c a s e ñ a l e s d i s c r e t a s e n e l t i e m p o i n n i t a e n l2 , a s e ñ a l e s

d e f r e c u e n c i a c o n t i n u a c o n t a m a ñ o n i t o ( o p e r i ó d i c a s ) e n L2.

F i g u r e 1 1 . 2 : G r a c a

l2 (Z) e n e l d o m i n i o d e l t i e m p o p a r a

L2 ([0, 2π)) e n e l d o m i n i o d e l a f r e c u e n c i a .

6


7

" D i s c r e t e - T i m e F o u r i e r T r a n s f o r m ( D T F T ) " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 2 4 7 / l a t e s t / >



2 1 0



1 1 . 5 P r o p i e d a d e s d e l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r D i s c r e t a e n e l

T i e m p o

8

P r o p i e d a d e s d e l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r D i s c r e t a e n e l T i e m p o

D o m i n i o d e l a S e c u e n c i a D o m i n i o d e l a F r e c u e n c i a

L i n e a r i d a d

a1s1 (n) + a2s2 (n) a1S 1

ej2πf

+ a2S 2

ej2πf

S i m e t r í a d e l C o n j u g a d o s (n) r e a l S

ej2πf

= S

e−(j2πf )∗

S i m e t r í a P a r s (n) = s (−n) S

ej2πf

= S

e−(j2πf )

S i m e t r í a I m p a r

s (n) = − (s (−n)) S

ej2πf

= − S

e−(j2πf )

R e t r a z o d e l T i e m p o s (n

−n0) e−(j2πfn0)S ej2πf

M o d u l a c i o n C o m p l e j a ej2πf 0ns (n) S

ej2π(f −f 0)

M o d u l a c i ó n d e A m p l i t u d

s (n) cos (2πf 0n)S(ej2π(f−f0))+S(ej2π(f+f0))

2

s (n) sin (2πf 0n)S(ej2π(f−f0))−S(ej2π(f+f0))

2j

M u l t i p l i c a c i ó n p o r n ns (n) 1−(2jπ)

ddf

S

ej2πf

S u m a

∞n=−∞ (s (n)) S

ej2π0

V a l o r e n e l O r i g e n s (0)

12

−( 12 )

S

ej2πf

df

T e o r e m a d e P a r s e v a l

∞n=−∞

(|s (n) |)2

12

−( 12 )

|S

ej2πf |2df

F i g u r e 1 1 . 3 : P r o p i e d a d e s d e l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r D i s c r e t a e n e l T i e m p o y s u s r e l a c i o n e s .

1 1 . 6 P a r d e l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r D i s c r e t a e n e l T i e m p o

9

C u a n d o o b t e n e m o s u n a s e ñ a l d i s c r e t a a m u e s t r e a r u n a s e ñ a l a n á l o g a , l a f r e c u e n c i a N y q u i s t c o r r e s p o n d e a l a

f r e c u e n c i a d i s c r e t a

12 . P a r a d e m o s t r a r e s t o , n o t e q u e u n s e n o s o i d a l e n l a f r e c u e n c i a N y q u i s t

12T s

t i e n e u n a

f o r m a m u e s t r e a d a q u e i g u a l a

S e n o s o i d a l e n l a F r e c u e n c i a N y q u i s t d e 1 / 2 T

cos2π 12T s

nT s = cos (πn)

= (−1)n( 1 1 . 1 5 )

E l e x p o n e n c i a l e n l a D T F T e n l a f r e c u e n c i a

12

i g u a l e−(j2πn)

2 = e−(jπn) = (−1)n

, l o q u e s i g n i c a q u e l a

c o r r e s p o n d e n c i a e n t r e u n a f r e c u e n c i a a n á l o g a y u n a f r e c u e n c i a d i s c r e t a e s e s t a b l e c i d a :

R e l a c i ó n p a r a l a F r e c u e n c i a D i s c r e t a e n e l T i e m p o A n á l o g o

f D = f AT s ( 1 1 . 1 6 )

8


9




2 1 1

o n d e

f D y

f A r e p r e s e n t a n l a s v a r i a b l e s d e f r e c u e n c i a a n á l o g a y f r e c u e n c i a d i s c r e t a , r e s p e c t i v a m e n t e . L a

g u r a d e a l i a s i n g

1 0

p r o v e e o t r a m a n e r a p a r a d e r i v a r e s t e r e s u l t a d o . C o n f o r m e l a d u r a c i ó n d e c a d a p u n t o e n

l a s e ñ a l d e m u e s t r e o p e r i ó d i c a

pT s (t) s e h a c e m a s p e q u e ñ a , l a s a m p l i t u d e s d e l a s r e p e t i c i o n e s d e l e s p e c t r o

d e l a s e ñ a l , q u e s o n g o b e r n a d a s p o r l o s c o e c i e n t e s d e l a s e r i e s d e F o u r i e r d e pT s (t) , s e v u e l v e i g u a l e s .

1 1

A s í , e l e s p e c t r o m u e s t r a r i o d e l a s e ñ a l s e c o n v i e r t e p e r i ó d i c o c o n p e r i o d o

1T s

. A s í l a f r e c u e n c i a N y q u i s t

12T s

c o r r e s p o n d e a l a f r e c u e n c i a

12 .

L a t r a n s f o r m a d a i n v e r s a d e F o u r i e r d i s c r e t a e n e l t i e m p o s e d e r i v a f á c i l m e n t e e n l a s i g u i e n t e r e l a c i ó n :

12

−( 12 )

e−(j2πfm)e+jπfndf =

1 i f m = n

0 i f

m = n( 1 1 . 1 7 )

A s í c o m o e n c o n t r a m o s q u e

12

−( 12 )

S ej2πf

e+j2πfndf = 12

−( 12 )m s (m) e−(j2πfm)e+j2πfn

df

=

m

s (m)

12

−( 12 )

e(−(j2πf ))(m−n)df

= s (n)

( 1 1 . 1 8 )

L o s p a r e s p a r a l a t r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r d i s c r e t o s e n e l t i e m p o s o n

P a r e s d e l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r e n T i e m p o D i s c r e t o

S

ej2πf

=n

s (n) e−(j2πfn)

( 1 1 . 1 9 )

P a r e s d e l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r e n T i e m p o D i s c r e t o

s (n) =

12

−( 12 )

S

ej2πf

e+j2πfndf ( 1 1 . 2 0 )

1 1 . 7 E j e m p l o s d e D T F T

1 2

E x a m p l e 1 1 . 3

C a l c u l e m o s l a t r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r e n t i e m p o d i s c r e t o p a r a l a s e c u e n c i a d e l e x p o n e n c i a l d e c a -

d e n t e

s (n) = anu (n) , d o n d e

u (n) l a s e c u e n c i a d e l E s c a l ó n u n i t a r i o . A l r e m p l a z a r l a e x p r e s i ó n d e

l a s e ñ a l l a f o r m u l a d e l a t r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r .

F o r m u l a d e l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r

S

ej2πf

=∞

n=−∞

anu (n) e−(j2πfn)

=∞

n=0

ae−(j2πf )

n ( 1 1 . 2 1 )

1 0

" T h e S a m p l i n g T h e o r e m " , F i g u r e 2 : a l i a s i n g < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 0 5 0 / l a t e s t / # a l i a s >

1 1

E x a m i n a r l a s e ñ a l d e p u l s o p e r i o d i c a r e v e l a q u e c u a n d o

∆s e h a c e p e q u e ñ a , e l v a l o r d e c0 , e l c o e c i e n t e m a s g r a n d e d e

F o u r i e r , d e c a e a l v a l o r c e r o :

|c0| = A∆T

. A s í , p a r a m a n t e n e r u n t e o r e m a d e m u e s t r e o v i a b l e e n t é r m i n o s m a t e m á t i c o s , l a

a m p l i t u d A d e b e i n c r e m e n t a r a

1∆

, c o n v i r t i é n d o s e i n n i t a m e n t e g r a n d e c o n f o r m e l a d u r a c i ó n d e l p u l s o d i s m i n u y e . S i s t e m a s

p r á c t i c o s u s a n u n v a l o r p e q u e ñ o d e

∆, d i g a m o s

0.1T s y u s a n a m p l i c a d o r e s p a r a r e e s c a l a r l a s e ñ a l .

1 2




2 1 2



L a s u m a e s u n c a s o e s p e c i a l d e s e r i e s g e o m é t r i c a s .

S e r i e s G e o m é t r i c a s ∞

n=0

(αn) =1

1 − α

,

|α

|< 1 ( 1 1 . 2 2 )

A s í , p o r m i e n t r a s q u e |a| < 1 , t e n e m o s n u e s t r a t r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r .

S

ej2πf

=1

1 − ae−(j2πf )( 1 1 . 2 3 )

U s a n d o l a r e l a c i ó n d e E u l e r , p o d e m o s e x p r e s a r l a m a g n i t u d y e l á n g u l o d e e s t e e s p e c t r o .

|S

ej2πf | =

1 (1 − acos (2πf ))

2+ a2sin2 (2πf )

( 1 1 . 2 4 )

∠ S ej2πf =−arctan asin (2πf )

1 − acos (2πf ) ( 1 1 . 2 5 )

N o i m p o r t a q u e v a l o r d e a e s c o j a m o s , l a s f o r m u l a s a n t e r i o r e s d e m u e s t r a n c l a r a m e n t e l a n a t u -

r a l e z a p e r i ó d i c a d e l e s p e c t r o d e s e ñ a l e s d i s c r e t a s e n e l t i e m p o . F i g u r e 1 1 . 4 m u e s t r a c o m o e l e s p e c t r o

e s u n f u n c i ó n p e r i ó d i c a . T a n s o l o t e n e m o s q u e c o n s i d e r a r e l e s p e c t r o e n t r e − 12

y

12

p a r a d e n i r l a

u n a m b i g u o s a m e n t e . C u a n d o

a > 0 , t e n e m o s u n e s p e c t r o d e p a s a b a j a s e l e s p e c t r o d e s a p a r e c e

c u a n d o l a f r e c u e n c i a i n c r e m e n t a d e 0 a

12 c o n u n a

ai n c r e m e n t a n o s l l e v a a u n c o n t e n i d o m a y o r

d e f r e c u e n c i a s b a j a s ; p a r a

a < 0 , t e n e m o s u n e s p e c t r o d e p a s a a l t a s . ( F i g u r e 1 1 . 5 ) .

-2 -1 0 1 2

1

2

f

|S(e j2πf)|

-2 -1 1 2

-45

45

f

∠S(e j2πf)

F i g u r e 1 1 . 4 : E l e s p e c t r o d e l a s e ñ a l e x p o n e n c i a l (

a = 0.5) e s m o s t r a d o s o b r e e l r a n g o d e f r e c u e n c i a s

[−2, 2], c l a r a m e n t e d e m o s t r a n d o l a p e r i o d i c i d a d d e t o d a l a e s p e c t r a d i s c r e t a e n e l t i e m p o . E L á n g u l o

t i e n e l a s u n i d a d e s e n g r a d o s .



2 1 3

f

a = 0.9

a = 0.5

a = –0.5

S p e c t r a l M a g n i t u d e ( d B )

-10

0

10

20

0.5

a = 0.9

a = 0.5

a = –0.5

A n g l e ( d e g r e e s )

f

-90

-45

0

45

90

0.5

F i g u r e 1 1 . 5 : E l e s p e c t r o d e v a r i a s s e ñ a l e s e x p o n e n c i a l e s e s m o s t r a d o a q u í . ¾ C u a l e s l a r e l a c i ó n

a p a r e n t e e n t r e e l e s p e c t r o d e a = 0.5 y a = −0.5 ?

E x a m p l e 1 1 . 4

A n á l o g o a u n a s e ñ a l d e p u l s o a n á l o g o e n c o n t r a m o s e l e s p e c t r o d e l a s e c u e n c i a d e p u l s o d e t a m a ñ o -

N p u l s e s e q u e n c e .

s (n) = 1

i f

0 ≤ n ≤ N − 10 o t h e r w i s e

( 1 1 . 2 6 )

L a t r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r d e e s t a s e c u e n c i a t i e n e l a f o r m a d e u n a s e r i e g e o m é t r i c a t r u n c a d a .

S

ej2πf

=N −1n=0

e−(j2πfn)

( 1 1 . 2 7 )

P a r a l a s l l a m a d a s s e r i e s g e o m é t r i c a s n i t a s , s a b e m o s q u e

S e r i e s G e o m é t r i c a s F i n i t a s

N +n0−1

n=n0

(αn) = αn01 − αN

1

−α

( 1 1 . 2 8 )

p a r a t o d o s l o s v a l o r e s d e

α.

E x e r c i s e 1 1 . 2

( S o l u t i o n o n p . 2 1 5 . )

D e r i v e e s t a f o r m u l a p a r a l a f o r m u l a d e s e r i e s g e o m é t r i c a n i t a s . E l t r u c o e s e l c o n s i d e r a r l a

d i f e r e n c i a e n t r e l a s u m a d e l a s s e r i e s y l a s u m a d e l a s s e r i e s m u l t i p l i c a d a p o r α .

A p l i c a n d o e s t e r e s u l t a d o d a ( F i g u r e 1 1 . 6 . )

S

ej2πf

= 1−e−(j2πfN )

1−e−(j2πf)

= e(−(jπf ))(N −1) sin(πfN )sin(πf )

( 1 1 . 2 9 )



2 1 4



E l r a d i o d e l a s f u n c i o n e s d e s e n o t i e n e l a f o r m a g e n é r i c a d e

sin(Nx)sin(x)

, q u e e s m e j o r c o n o c i d a c o m o l a

f u n c i ó n d e s i n c d i s c r e t a ,

dsinc (x) . P o r l o t a n t o , n u e s t r a t r a n s f o r m a d a p u e d e s e r e x p r e s a d a c o m o

S

ej2πf

= e(−(jπf ))(N −1)dsinc (πf ) . E l e s p e c t r o d e l p u l s o d i s c r e t o c o n t i e n e m u c h a s o n d u l a c i o n e s , l a s

c u a l e s e l n u m e r o i n c r e m e n t a c o n N , l a d u r a c i ó n d e l p u l s o .

f0

5

10

S p e c t r a l M a g n i t u d e

0.5

-180

-90

0

90

180

f0.5

A n g l e ( d e g r e e s )

F i g u r e 1 1 . 6 : E l e s p e c t r o p a r a u n p u l s e d e t a m a ñ o - d i e z e s m o s t r a d o a q u í . ¾ P u e d é u s t e d e x p l i c a r l a

a p a r i e n c i a c o m p l i c a d a q u e e l á n g u l o t i e n e ?



2 1 5

S o l u t i o n s t o E x e r c i s e s i n C h a p t e r 1 1

S o l u t i o n t o E x e r c i s e 1 1 . 1 ( p . 2 0 8 )

E s t a s i t u a c i ó n n o s l l e v a a a l i a s i n g e n e l d o m i n i o d e l t i e m p o .


αN +n0−1n=n0

(αn) −N +n0−1n=n0

(αn) = αN +n0 − αn0( 1 1 . 3 0 )

l a c u a l , d e s p u é s d e a l g u n a s m a n i p u l a c i o n e s , d a l a f o r m u l a d e l a s u m a g e o m é t r i c a .



2 1 6





C h a p t e r 1 2

T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r d e T i e m p o

C o n t i n u o ( C T F T )

1 2 . 1 T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r d e T i e m p o C o n t i n u o ( C T F T )

1

1 2 . 1 . 1 I n t r o d u c c i ó n

D e b i d o a l g r a n n ú m e r o d e s e ñ a l e s d e t i e m p o - c o n t i n u o q u e e s t a n p r e s e n t e s e n l a s s e r i e s d e F o u r i e r

2

n o s d a u n a

p r i m e r a o j e a d a d e c u a n t a s m a n e r a s p o d e m o s r e p r e s e n t a r a l g u n a s d e e s t a s s e ñ a l e s d e m a n e r a g e n e r a l : c o m o

u n a s u p e r p o s i c i ó n d e u n n ó m e r o d e s e ñ a l e s s e n o s o i d a l e s . A h o r a p o d e m o s v e r l a m a n e r a d e r e p r e s e n t a r s e ñ a l e s

n o p e r i o d i c a s d e t i e m p o c o n t i n u o u s a n d o l a m i s m a i d e a d e s u p e r p o s i c i ó n . A c o n t i n u a c i ó n p r e s e n t a r e m o s l a

T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r d e T i e m p o - C o n t i n u o ( C T F T ) , t a m b i é n c o n o c i d a s o l o c o m o T r a n s f o r m a d a

d e F o u r i e r ( F T ) . P o r q u e l a C T F T a h o r a t r a t a r e m o s c o n s e ñ a l e s n o p e r i o d i c a s , e n c o n t r a r e m o s u n a m a n e r a

d e i n c l u i r t o d a s l a s f r e c u e n c i a s e n e c u a c i o n e s e n g e n e r a l .

1 2 . 1 . 1 . 1 E c u a c i o n e s

T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r d e T i e m p o - C o n t i n u o

F (Ω) =

∞−∞

f (t) e−(jΩt)dt ( 1 2 . 1 )

I n v e r s a d e l a C T F T

f (t) =1

2π

∞−∞

F (Ω) ejΩtdΩ ( 1 2 . 2 )

p r e c a u c i ó n : N o s e c o n f u n d a c o n l a n o t a c i ó n - e s c o m ú n v e r l a f o r m u l a a n t e r i o r e s c r i t a u n

p o c o d i f e r e n t e . U n a d e l a s d i f e r e n c i a s m á s c o m u n e s e c h a p o r l o s p r o f e s o r e s e s l a f o r m a d e e s c r i b i r

e l e x p o n e n t e . A r r i b a e s c r i b i m o s l a v a r i a b l e d e l a f r e c u a n c i a r e a d i a l Ω e n e l e x p o n e n c i a l , d o n d e

Ω = 2πf , p e r o t a m b i é n v e m o s q u e l o s p r o f e s o r e s i n c l u y e n l a e x p r e s i ó n m á s e x p l i c i c t a , j2πf t ,

e n e l e x p o n e n c i a l . V é a s e a q u i

3

p a r a u n a d e s c r i p c i ó n d e l a n o t a c i ó n u t i l i z a d a e n l o s m o d u l o s d e

P r o c e s a m i e n t o D i g i t a l d e S e ñ a l e s D S P .

1


2

" F o u r i e r S e r i e s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 0 3 9 / l a t e s t / >

3

" D S P N o t a t i o n " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 1 6 1 / l a t e s t / >

2 1 7



2 1 8

C H A P T E R 1 2 . T R A N S F O R M A D A D E F O U R I E R D E T I E M P O C O N T I N U O

( C T F T )

L a e c u a c u i ó n a n t e r i o r p a r a l a s C F T y s u i n v e r s a v i e n e n d i r e c t a m e n t e d e l a s s e r i e s d e F o u r i e r y d e n u e s r o

e n t e n d i m i e n t o d e s u s c o e c i e n t e s . P a r a l a C T F T s i m p l e m e n t e u t i l i z a m o s l a i n t e r g r a c i ó n e n l u g a r d e l a

s i m u l a c i ó n p a r a s e r c a p a c e s d e e x p r e s a r l a s s e ñ a l e s p e r i ó d i c a s . E s t o d e b e r í a t e n e r s e n t i d o y a q u e s i m l e m e n t e

e s t a m o s e x t e n d i e n d o l a s i d e a s d e l a s s e r i e s d e F o u r i e r p a r a l a s C T F T p a r a i n c l u i r l a s s e ñ a l e s n o - p e r i ó d i c a s , y

a s í t o d o e l e s p e c t r o d e l a f r e c u e n c i a . V é a s e l a D e r i v a c i ó n d e l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r

4

p a r a u n a m i r a d a

m á s p r o f u n d a d e l t e m a .

1 2 . 1 . 2 E s p a c i o s R e l e v a n t e s

E l m a p e o d e l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r d e T i e m p o - C o n t i n u o d e l o n g i t u d - i n n i t a , e n s e ñ a l e s d e t i e m p o -

c o n t i n u o L2a l o n g i t u d - i n n i t a , s e ñ a l e s d e f r e c u a n c i a - c o n t i n u a e n L2

. R e v i s a n d o e l A n á l i s i s d e F o u r i e r ( S e c -

t i o n 8 . 1 ) p a r a u n a d e s c r i p c i ó n d e t o d o s l o s e s p a c i o s u s a d o s e n e l a n á l i s i s d e F o u r i e r .

F i g u r e 1 2 . 1 : M a p e a n d o

L2 (R)e n e l d o m i n i o d e l t i e m p o a

L2 (R)e n e l d o m i n i o d e f r e c u e n c i a .

P a r a m á s i n f o r m a c i ó n d e l a s c a r a c t e r i s t i c a s d e l a C T F T , p o r f a v o r v é a s e e l m o d u l o d e l a s P r o p i e d a d e s

d e l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r

5

.

1 2 . 1 . 3 P r o b l e m a s d e E j e m p l o

E x e r c i s e 1 2 . 1

( S o l u t i o n o n p . 2 2 2 . )

E n c o n t r a r l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r ( C T F T ) d e l a f u n c i ó n

f (t) =

e−(αt)

i f

t ≥ 0

0 o t h e r w i s e

( 1 2 . 3 )

E x e r c i s e 1 2 . 2

( S o l u t i o n o n p . 2 2 2 . )

E n c o n t r a r l a i n v e r s a d e l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r d e l a o n d a c u a d r a d a d e n d a c o m o :

X (Ω) = 1 i f

|Ω

| ≤M

0 o t h e r w i s e

( 1 2 . 4 )

4


5

" P r o p e r t i e s o f t h e F o u r i e r T r a n s f o r m " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 1 0 0 / l a t e s t / >



2 1 9

1 2 . 2 P r o p i e d a d e s d e l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r d e T i e m p o -

C o n t i n u o

6

E n e s t e m o d u l o v e r e m o s a l g u n a s d e l a s p r o p i e d a d e s b á s i c a s d e l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r d e T i e m p o -

C o n t i n u o

7

( C T F T ) . L a p r i m e r a s e c c i ó n c o n t i e n e u n a t a b l a q u e i l u s t r a l a s p r o p i e d a d e s , y l a s i g u i e n t e s e c c i ó n

d i s c u t e u n a s d e l a s p r o p i e d a d e s m a s i n t e r e s a n t e s m á s a f o n d o . E n l a t a b l , o p r i m a e n e l n o m b r e d e l a

o p e r a c i ó n p a r a v e r l a e x p l i c a c i ó n s e s e e n c u e n t r a m á s a d e l a n t e . V é a s e e s t e m o d u l o ( S e c t i o n 5 . 7 ) p a r a u n a

t a b l a e x p a n d i d a d e l a s p r o p i e d a d e s d e F o u r i e r .

n o t a : D i s c u t i r e m o s e s t a s p r o p i e d a d e s p a r a s e ñ a l e s a p e r i o d i c a s d e t i e m p o - c o n t i n u o p e r o e n t e n d e r -

e m o s q u e p r o p i e d a d e s s i m i l a r e s s e m a t i e n e n p a r a s e ñ a l e s d e t i e m p o - c o n t i n u o y s e ñ a l e s p e r i ó d i c a s .

1 2 . 2 . 1 T a b l a d e P r o p i e d a d e s d e C T F T

N o m b r e d e l a O p e r a c i ó n S e ñ a l ( f (t) ) T r a n s f o r m a d a ( F (ω) )

A d i c i ó n ( S e c t i o n 1 2 . 2 . 2 . 1 : L i n e a l -

i d a d )

f 1 (t) + f 2 (t) F 1 (ω) + F 2 (ω)

M u l t i p l i c a c i ó n E s c a l a r ( S e c -

t i o n 1 2 . 2 . 2 . 1 : L i n e a l i d a d )

αf (t) αF (t)

S i m e t r í a ( S e c t i o n 1 2 . 2 . 2 . 2 :

S i m e t r í a )

F (t) 2πf (−ω)

E s c a l a m i e n t o e n e l T i e m p o ( S e c -

t i o n 1 2 . 2 . 2 . 3 : E s c a l a m i e n t o e n e l

T i e m p o )

f (αt) 1|α|F

ωα

D e s p l a z a m i e n t o e n e l T i e m p o

( S e c t i o n 1 2 . 2 . 2 . 4 : D e s p l a z a -

m i e n t o e n e l t i e m p o )

f (t − τ ) F (ω) e−(jωτ )

M o d u l a c i ó n ( D e s p l a z a m i e n t o d e

F r e c u e n c i a s ) ( S e c t i o n 1 2 . 2 . 2 . 5 :

M o d u l a c i ó ( D e s p l a z o d e l a F r e -

c u e n c i a ) )

f (t) ejφt F (ω − φ)

C o n v o l u c i ó n e n e l T i e m p o ( S e c -

t i o n 1 2 . 2 . 2 . 6 : C o n v o l u c i ó n )

(f 1 (t) , f 2 (t)) F 1 (t) F 2 (t)

C o n v o l u c i ó n e n l a F r e c u e n c i a

( S e c t i o n 1 2 . 2 . 2 . 6 : C o n v o l u c i ó n )

f 1 (t) f 2 (t) 12π (F 1 (t) , F 2 (t))

D i f e r e n c i a c i ó n ( S e c t i o n 1 2 . 2 . 2 . 7 :

T i m e D i f e r e n c i a c i ó n )

dn

dtnf (t) ( jω)

nF (ω)

1 2 . 2 . 2 D i s c u s i ó n d e l a s P r o p i e d a d e s d e l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r

D e s p u é s d e h a b e r v i s t o l a t a b l a a n t e r i o r y t e n e r u n s e n t i m i e n t o d e l a s p r o i e d a d e s d e l a C T F T , a h o r a n o s

t o m a r e m o s u n p o c m á s d e t i e m p o p a r a d i s c u t i r d e l a s p r o p i e d a d e s m á s i m p o r t a n t e s y ú t i l e s .

6


7

" C o n t i n u o u s - T i m e F o u r i e r T r a n s f o r m ( C T F T ) " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 0 9 8 / l a t e s t / >



2 2 0


( C T F T )

1 2 . 2 . 2 . 1 L i n e a l i d a d

L a c o m b i n a c i ó n d e l a s p r o p i e d a d e s d e l a a d i c i ó n y d e l a m u l t i p l i c a c i ó n e s c a l a r d e l a t a b l a a n t e r i o r d e m u e s t r a n

l a p r o p i e d a d b á s i c a d e l i n e a l i d a d a . L o q u e d e b e d e v e r e s q u e s i u n o t o m a l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r d e u n a

c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e s e ñ a l e s e n t o n c e s e s t a s e r á l a m i s m a q u e l a c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e l a t r a n s f o r m a d a d e

F o u r i e r d e c a d a s e ñ a l i n d i v i d u a l . E s t o e s c r u c i a l c u a n d o u s a m o s l a t a b l a ( S e c t i o n 1 1 . 1 ) d e l a s t r a n s f o r m a d a s

p a r a e n c o n t r a r l a t r a n s f o r m a d a d e u n a s e ñ a l m á s c o m p l i c a d a .

E x a m p l e 1 2 . 1

E m p e z a r e m o s c o n l a s i g u i e n t e s e ñ a l :

z (t) = αf 1 (t) + αf 2 (t) ( 1 2 . 5 )

A h o r a , d e s p u é s d e t o m a r l a t r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r , m o s t r a d a e n l a s i g u i e n t e e c u a c i ó n , n o t e m o s

q u e l a c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e l o s t é r m i n o s n o e s a f e c t a d a p o r l a t r a n s f o r m a d a .

Z (ω) = αF 1 (ω) + αF 2 (ω) ( 1 2 . 6 )

1 2 . 2 . 2 . 2 S i m e t r í a

L a s i m e t r í a e s u n a p r o p i e d a d q u e n o s p u e d e h a c e r l a v i d a m á s f á c i l r e s o l v i e n d o p r o b l e m a s q u e i n v o l u c r a n

l a t r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r . B a s i c a m e n t e ; p q u e d i c e e s t a p r o p i e d a d e s q u e y a q u e l a f u n c i ó n r e c t a n g u l a r

e n e l t i e m p o e s u n a f u n c i ó n s i n c e n l a f r e c u a n c i a , e n t o n c e s u n a f u n c i ó n s i n c e n e l t i e m p o s e r á u n a f u n c i ó n

r e c t a n g u l a r e n l a f r e c u e n c i a . E s t e e s u n r e s u l t a d o d i r e c t o d e l a s s i m i l a r i d a d e s e n t r e l a C T F T y l a i n v e r s a d e

l a C T F T . L a ú n i c a d i f e r e n c i a e s q u e e s e s c a l d a p o r 2π y u n a r e v o c a c i ó n d e l a f r e c u a n c i a .

1 2 . 2 . 2 . 3 E s c a l a m i e n t o e n e l T i e m p o

E s t a p r o p i e d a d t r a t a c o n e l e f e c t o d e l a r e p r e s e n t a c i ó n d e l d o m i n i o d e f r e c u a n c i a d e u n a s e ñ a l s i l a v a r i a b l e

t i e m p o e s a l t e r a d a . E l c o n c e p t o m á s i m p o r t a n t e p a r e n t e n d e r p a r a l a p r o p i e d a d d e e s c a l a m m i e n t o e s q u e

l a s s e ñ a l e s q u e s o n e s t r e c h a s e n e l t i e m p o s o n a m p l i a s e n l a f r e c u a n c i a y v i c e v e r s a . E l e j e m p l o m á s s e n c i l l o

d e e s t o e s l a f u n c i ó n d e l t a , u n p u l s o u n i t a r i o

8

c o n u n a m u y p e q u e ñ a d u r a c i ó n , e n e l t i e m p o q u e s e c o n v i e r t e

e n f u n c i ó n c o n s t a n t e d e l o n g i t u d - i n n i t a e n f r e c u e n c i a .

L a t a b l a a n t e r i o r m u e s t r a e s t a i d e a p a r a u n a t r a n s f o r m a c i ó n g e n e r a l d e l d o m i n i o - t i e m p o d e l a s e ñ a l .

U s t e d d e b e r í a d e s e r c a p a z d e n o t a r q u e e s t a e c u a c i ó n m u e s t r a l a r e l a c i ó n m e n c i o n a d a a n t e r i o r m e n t e : s i l a

v a r i a b l e t i e m p o i n c r e m e n t a e n t o n c e s e l r a n g o d e l a f r e c u e n c i a s e r a d e c r e c i e n t e .

1 2 . 2 . 2 . 4 D e s p l a z a m i e n t o e n e l t i e m p o

E l d e s p l a z a m i e n t o e n e l t i e m p o m u e s t r a q u e u n d e s p l a z o e n e l t i e m p o e s e q u i v a l e n t e a u n d e s p l a z o d e f a s e

l i n e a l e n l a f r e c u e n c i a . Y a q u e e l c o n t e n i d o d e l a f r e c u e n c i a d e p e n d e s o l a m e n t e d e l a f o r m a d e l a s e ñ a l , e l

c u a l e s i n v a r i a b e e n e l d e s p l a z o e n e l t i e m p o , e n t o n c e s s o l a m e n t e l a f a s e d e l e s p e c t r o s e r á a l t e r a d a . E s t a

p r o p i e d a d s e r á p r o v a d a f a c i l m e n t e u s a n d o l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r , a s i q u e m o s t r a r e m o s l o s p a s o s b á s i c o s

a c o n t i n u a c i ó n :

E x a m p l e 1 2 . 2

P r i m e r o e m p e z a r e m o s d e j a n d o q u e z (t) = f (t − τ ). A h o r a t o m e m o s l a t r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r

c o n l a e x p r e s i ó n a n t e r i o r s u s t i t u i d a p a r a z (t).

Z (ω) =

∞−∞

f (t − τ ) e−(jωt)dt ( 1 2 . 7 )

8

" E l e m e n t a l S i g n a l s " : S e c t i o n P u l s e < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 0 0 0 4 / l a t e s t / # p u l s e d e f >



2 2 1

A h o r a h a g a m o s u n p e q u e ñ o c a m b i o d e v a r i a b l e s , d o n d e σ = t − τ . A t r a v é s d e l a c a l c u l a c i ó n

a n t a r i o r , p o d e m o s v e r q u e s o l a m e n t e l a v a r i a b l e e n e l e x p o n e n c i a l e s a l t e r a d a s o l o c a m b i a n d o l a

f a s e e n e l d o m i n i o d e l a f r e c u e n c i a .

Z (ω) = ∞−∞ f (σ) e−(jω(σ+τ )t)dτ

= e−(jωτ ) ∞−∞ f (σ) e−(jωσ)dσ

= e−(jωτ )F (ω)

( 1 2 . 8 )

1 2 . 2 . 2 . 5 M o d u l a c i ó ( D e s p l a z o d e l a F r e c u e n c i a )

L a m o d u l a c i ó n e s a b s o l u t a m e n t e i m p r e s c i n d i b l e p a r a l a s a p l i c a c i o n e s d e c o m u n i c a i o n e s . S i e n d o c a p a c e s d e

d e s p l a z a r u n a s e ñ a l a d i f e r e n t e s f r e c u e n c i a s , n o s q u e m a s q u e t o m a r v e n t a j a d e d i f e r e n t e s p a r t e s d e l o s

e s p e c t r o s d e l e l e c t r o m a g n e t i s m o e s l o q u e n o s p e r m i t e t r a n s m i t i r l a t e l e v i s i ó n , r a d i o y o t r o a s a p l i c a c i o n e s a

t r a v é s d e l m i s m o e s p a c i o s i n i n t e r f e r e n c i a s i g n i c a t i v a .

L a d e m o s t r a c i ó n d e l a p r o p i e d a d d e l d e s p l z a m i e n t o d e l a f r e c u e n c i a e s m u y s i m i l a r a l a d e d e s p l a z a m i e n t o

e n e l t i e m p o ( S e c t i o n 1 2 . 2 . 2 . 4 : D e s p l a z a m i e n t o e n e l t i e m p o ) ; S i n e m b a r g o , a q u i u s a r e m o s l a t r a n s f o r m a d a

i n v e r s a d e F o u r i e r . Y a q u e v a m o s a t r a v é s d e l o s p a s o s a n t e r i o r e s , l a d e m o s t r a c i ó n d e d e s p l a z a m i e n t o e n e l

t i e m p o , a c o n t i n u a c i ó n s o l o m o s t r a r a l o s p a s o s i n i c i a l e s y n a l e s d e e s t a d e m o s t r a c i ó n :

z (t) =1

2π

∞−∞

F (ω − φ) ejωtdω ( 1 2 . 9 )

A h o r a s i m p l e m e n t e r e d u c i m o s e s t a e c u a c i ó n p o r m e d i o d e u n c a m b i o d e v a r i a b l e y s i m p l i c a n d o l o s t é r m i n o s .

D e s p u é s p r o b a r e m o s l a p r o p i e d a d e x p r e s a d a e n l a t a b l a a n t e r i o r :

z (t) = f (t) ejφt ( 1 2 . 1 0 )

1 2 . 2 . 2 . 6 C o n v o l u c i ó n

C o n v o l u c i ó n e s u n a d e l a s g r a n d e s r a z o n e s p a r a c o n v e r t i r s e ñ a l e s e n d o m i n i o s d e f r e c u a n c i a y a q u e l a

c o n v o l u c i ó n e n e l t i e m p o s e c o n v i e r t e e n m u l t i p l i c a c i ó n e n f r e c u e n c i a . E s t a p r o p i e d a d e s t a m b i é n o t r o

b u e n e j e m p l o d e l a s i m e t r i a e n t r e e l t i e m p o y l a f r e c u e n c i a . T a m b i é n m u e s t r a q u e h a y m u y p o c a g a n a n c i a

c a m b i a n d o e l d o m i n i o d e f r e c u a n c i a c u a n d o l a m u l t i p l i c a c i ó n e n e l t i e m p o e s t a i n v o l u c r a d a .

I n t r o d u c i r e m o s l a i n t e g r a l d e c o n v o l u c i ó n , p e r o s i n o l a h a v i s t o a n t e r i o r m e n t e o n e c e s i t a r e f r e s c a r l a

m e m o r i a v é a s e e l m o d u l o d e c o n v o l u c i ó n d e t i e m p o - c o n t i n u o ( S e c t i o n 3 . 2 ) p a r a u n a e x p l i c a c i ó n m a s p r o f u n d a

y s u d e r i v a c i ó n .

y (t) = (f 1 (t) , f 2 (t))

= ∞−∞ f 1 (τ ) f 2 (t − τ ) dτ

( 1 2 . 1 1 )

1 2 . 2 . 2 . 7 T i m e D i f e r e n c i a c i ó n

Y a q u e l o s s i s t e m a s L T I ( S e c t i o n 2 . 1 ) p u e d e n s e r r e p r e s e n t a d o s e n t é r m i n o s d e e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s , e s

e v i d e n t e q u e c o n e s t a p r o p i e d a d q u e c o n v i e r t i e n d o a l d o m i n i o d e f r e c u e n c i a n o s p e r m i t i r á c o n v e r t i r e s t a

c o m p l i c a d a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l a u n a e c u a c i ó n m á s s e n c i l l a q u e i n v o l u c r e m u l t i p l i c a c i ó n y a d i c i ó n . E s t o

t a m b i é n e s v i s t o c o n m a s d e t a l l e d u r a n t e e l e s t u d i d e l a T r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e

9

.

9

" T h e L a p l a c e T r a n s f o r m s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 1 1 0 / l a t e s t / >



2 2 2


( C T F T )



P a r a p o d e r c a l c u l a r l a t r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r , t o d o l o q u e n e c e s i t a m o s e s u s a r l o s ( 1 2 . 1 ) ( T r a n s f o r m a d a

d e F o u r i e r d e T i e m p o - C o n t i n u o ) , e x p n e n c i a l e s c o m p l e j o s

1 0

, y c á l c u l o s b á s i c o s .

F (Ω) = ∞−∞ f (t) e−(jΩt)dt

= ∞0

e−(αt)e−(jΩt)dt

= ∞0

e(−t)(α+jΩ)dt

= 0 − −1α+jΩ

( 1 2 . 1 2 )

F (Ω) =1

α + jΩ( 1 2 . 1 3 )


A q u i u s a r e m o s l a ( 1 2 . 2 ) ( I n v e r s a d e l a C T F T ) p a r a e n c o n t r a r l a i n v e r s a d e l a F T , d a d o e s o t = 0.

x (t) = 12π

M

−M ejΩtdΩ

= 12π ejΩt|Ω,Ω=ejw

= 1πt

sin (Mt)

( 1 2 . 1 4 )

x (t) =M

π

sinc

Mt

π

( 1 2 . 1 5 )

1 0

" T h e C o m p l e x E x p o n e n t i a l " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 0 6 0 / l a t e s t / >



C h a p t e r 1 3

T e o r e m a d e M u e s t r e o

1 3 . 1 M u e s t r e o

1

1 3 . 1 . 1 I n t r o d u c c i ó n

U n a c o m p u t a d o r a p u e d e p r o c e s a r s e ñ a l e s d e t i e m p o d i s c r e t o u s a n d o u n l a g o r i t m o e x t r e m a n d a m e n t e

e x i b l e y p o d e r o s o . M a s s i n e m b a r g o l a m a y o r i a d e l a s s e ñ a l e s d e i n t e r e s s o n d e t i e m p o c o n t i n u o , q u e e s

c o m o c a s i s i e m p r e a p a r e c e n a l n a t u r a l .

E s t e m o d u l o i n t r o d u c e l a i d e a d e t r a s l a d a r l o s p r o b l e m a s d e t i e m p o c o n t i n u o e n u n o s d e t i e m p o d i s c r e t o ,

y p o d r a l e e r m á s d e l o s d e t a l l e s d e l a i m p o r t a n c i a d e e l m u e s t r e o .

P r e g u n t a s c l a v e

• ¾ C ó m o p a s a m o s d e u n a s e ñ a l d e t i e m p o c o n t i n u o a u n a s e ñ a l d e t i e m p o d i s c r e t o ( m u e s t r e o , A / D ) ?

• ¾ C u á n d o p o d e m o s r e c o n s t r u i r ( S e c t i o n 1 3 . 2 ) u n a s e ñ a l C T e x a c t a d e s u s m u e s t r a s ( r e c o n s t r u c c i ó n ,

D / A ) ?

•¾ M a n i p u l a r l a s e ñ a l D T e s l o q u e r e c o n s t r u i r l a s e ñ a l ?

1 3 . 1 . 2 M u e s t r e o

M u e s t r e o ( y r e c o n s t r u c c i ó n ) s o n l o s m e j o r e s e n t e n d i m i e n t o e n d o m i n i o d e f r e c u e n c i a . E m p e z a r e m o s v i e n d o

a l g u n o s e j e m p l o s :

E x e r c i s e 1 3 . 1 ( S o l u t i o n o n p . 2 4 4 . )

¾ Q u é s e ñ a l C T

f (t) t i e n e l a C T F T ( S e c t i o n 1 2 . 1 ) m o s t r a d a a n t e r i r o r m e n t e ?

f (t) =1

2π

∞−∞

F ( jw) ejwtdw

1


2 2 3



2 2 4

C H A P T E R 1 3 . T E O R E M A D E M U E S T R E O

F i g u r e 1 3 . 1 : L a ( T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r d e T i e m p o C o n t i n u o ) C T F T d e

f (t).

P i s t a :

F ( jw) = F 1 ( jw) ∗ F 2 ( jw) d o n d e l a s d o s p a r t e s d e

F ( jw) s o n :

( a ) ( b )

F i g u r e 1 3 . 2

E x e r c i s e 1 3 . 2

( S o l u t i o n o n p . 2 4 4 . )

¾ Q u é s e ñ a l D T f s [n] t i e n e l a D T F T ( S e c t i o n 1 1 . 4 ) m o s t r a d a a n t e r i o r m e n t e ?

f s [n] = 12π π−π

f s

ejw

ejwndw

F i g u r e 1 3 . 3 : D T F T q u e e s p é r i o d i c a ( c o n

period = 2π) v e r s i ó n d e

F ( jw)e n l a F i g u r e 1 3 . 1 .



2 2 5

F i g u r e 1 3 . 4 :

f (t)e s l a s e ñ a l d e t i e m p o - c o n t i n u o a n t e r i o r y

f s [n]e s l a v e r s i ó n m u e s t r e a d a d e t i e m p o -

d i s c r e t o d e

f (t)

1 3 . 1 . 2 . 1 G e n e r a l i z a c i ó n

P o r s u p u e s t o , q u e l o s r e s u l t a d o s d e l o s e j e m p l o s a n t e r i o r e s p u e d e n s e r g e n e r a l i z a d o s a c u a l q u i e r f (t) c o n

F ( jw) = 0, |w| > π , d o n d e f (t) e s l i m i t a d o e n b a n d a a [−π, π].

( a ) ( b )

F i g u r e 1 3 . 5 :

F ( jw)e s l a C T F T d e

f (t).



2 2 6


( a ) ( b )

F i g u r e 1 3 . 6 :

F s`

ejw´

e s l a D T F T d e

f s [n].

F s

ejw

e s p e r í o d i c o ( S e c t i o n 6 . 2 ) ( c o n p e r í o d o 2π) v e r s i ó n d e

F ( jw) .

F s

ejw

e s l a D T F T d e m u e s t r e o

d e s e ñ a l e n l o s e n t e r o s . F ( jw) e s l a C T F T d e s e ñ a l .

c o n c l u s i o n : S i f (t) e s l i m i t a d o e n b a n d a p a r a [−π, π] e n t o n c e s l a D T F T d e l a v e r s i ó n

m u e s t r e a d a

f s [n] = f (n)

e s s o l o p e r i ó d i c a ( c o n p e r í o d o 2π) v e r s i ó n d e

F ( jw) .

1 3 . 1 . 3 C a m b i a n d o u n a S e ñ a l D i s c r e t a e n u n a S e ñ a l C o n t i n u a

A h o r a v e a m o s c o m o c a m b i a r u n a s e ñ a l D T e n u n a s e ñ a l c o n t i n u a e n e l t i e m p o . S e a f s [n] u n a s e ñ a l D T c o n

D T F T F s

ejw

( a ) ( b )

F i g u r e 1 3 . 7 : F s`

ejw´

e s l a D T F T d e f s [n].

A h o r a , s e a

f imp (t) =

∞n=−∞

(f s [n] δ (t − n))

L a s e ñ a l C T , f imp (t) , e s n o - c e r o s o l o e n l o s e n t e r o s d o n d e h a y i m p l u l s o s d e a l t u r a f s [n] .



2 2 7

F i g u r e 1 3 . 8

E x e r c i s e 1 3 . 3

( S o l u t i o n o n p . 2 4 4 . )

¾ C ú a l e s l a C T F T d e f imp (t) ?

A h o r a , d a d a s l a s m u e s t r a s f s [n] d e u n l i m i t a d o e n b a n d a p a r a l a s e ñ a l [−π, π] , n u e s t r o s i g u i e n t e p a s o e s

v e r c o m o p o d e m o s r e c o n s t r u i r ( S e c t i o n 1 3 . 2 )

f (t).

F i g u r e 1 3 . 9 : D i a g r a m a d e b l o q u e m o s t r a n d o c a d a p a s o b á s i c o u s a d o p a r a r e c o n s t r u i r

f (t). ¾ P o d e m o s

h a c e r n u e s t r o r e s u l t a d o i g u a l a

f (t)e x a c t a m e n t e ?

1 3 . 2 R e c o n s t r u c c i ó n

2

1 3 . 2 . 1 I n t r o d u c t i o n

E l p r o c e s o d e r e c o n s t r u c c i ó n e m p i e z a t o m a n d o u n a s e ñ a l m u e s t r e a d a , q u e e s t a r á e n t i e m p o d i s c r e t o , y

h a c i e n d o u n a s o p e r a c i o n e s p a r a p o d e r c o n v e r t i r l a e n t i e m p o - c o n t i n u o y c o n a l g o d e s u e r t e e n u n a c o p i a d e

l a s e ñ a l o r i g i n a l . U n m é t o d o b á s i c o u s a d o p a r a r e c o n s t r u i r u n a s e ñ a l l i m i t a d a e n b a n d a d e [−π, π] d e s u s

m u e s t r a s e n l o s e n t e r o s e s h a c e r l o s s i g u i e n t e s p a s o s :

• c a m b i a r m u e s t r a d e l a s e c u e n c i a f s [n] e n u n t r e n d e i m p u l s o f imp (t)

• l t r o p a s a b a j a s f imp (t) p a r a o b t e n e r l a r e c o n s t r u c c i ó n

∼f (t) ( f r e q . = π )

2




2 2 8


F i g u r e 1 3 . 1 0 : D i a g r a m a d e b l o q u e d e r e c o n s t r u c c i ó n c o n e l l t r o p a s a b a j a s ( l o w p a s s l t e r ( L P F ) ) .

L a r e s p u e s t a a l i m p u l s o d e l l t r o p a s a b a j a s e s

g (t). L a s i g u i e n t e e c u a c i ó n n o s p e r m i t e r e c o n s t r u i r n u e s t r a

s e ñ a l ( F i g u r e 1 3 . 1 1 ) ,

∼f (t) .

∼f (t) = g (t) f imp (t)

= g (t)∞

n=−∞ (f s [n] δ (t − n))

=∼f (t)

=∞

n=−∞ (f s [n] (g (t) δ (t − n)))

=∞

n=−∞ (f s [n] g (t − n))

( 1 3 . 1 )

F i g u r e 1 3 . 1 1

1 3 . 2 . 1 . 1 E j e m p l o s d e F i l t r o s g

E x a m p l e 1 3 . 1 : F i l t r o s d e O r d e n C e r o

E s t e t i p o d e " l t r o " e s u n o d e l o s m á s b á s i c o s e n l o s l t r o s d e r e c o n s t r u c c i ó n . E s t e s i m p l e m e n t e

m a n t i e n e e l v a l o r q u e e s t a e n e l f s [n] p a r a τ s e g u n d o s . E s t o c r e a u n b l o q u e o p a s o s c o m o f u n c i ó n

d o n d e c a d a v a l o r d e l p u l s o e n f s [n] e s s i m p l e m e n t e a r r a s t r a d o a l s i g u i e n t e p u l s o . L a s i g u i e n t e

e c u a c i ó n y l a i l u s t r a c i ó n ( F i g u r e 1 3 . 1 2 ) r e p r e s e n t a n c o m o e l l t r o d e r e c o n s t r u c c i ó n f u n c i o n a c o n



2 2 9

l a s i g u i e n t e g :

g (t) =

1 i f 0 < t < τ

0 o t h e r w i s e

f s [n] =

∞n=−∞

(f s [n] g (t − n)) ( 1 3 . 2 )

( a ) ( b )

F i g u r e 1 3 . 1 2 : M a n t i e n e e l O r d e n C e r o

p r e g u n t a : ¾ C ó m o e s q u e

∼f (t) r e c o n s t r u i d a c o n o r d e n c e r o s e c o m p a r a c o n l a o r i g i n a l f (t) e n e l

d o m i o n i o d e f r e c u e n c i a ?

E x a m p l e 1 3 . 2 : O r d e n N - e s i m o

A q u í v e r e m o s a l g u n o s e j e m p l o s r á p i d o s d e l a v a r i a n z a d e l l t r o d e o r d e n c e r o v i s t o e n e l e j e m p l o

a n t e r i o r .



2 3 0


( a )

( b )

( c )

F i g u r e 1 3 . 1 3 : E j e m p l o d e N - e s i m o O r d e n ( n - e s i m o o r d e n e s i g u a l a u n B - s p l i n e d e n - e s i m o o r d e n ) ( a )

P r i m e r O r d e n ( b ) S e g u n d o O r d e n ( c ) O r d e n

∞

1 3 . 2 . 2 Ú l t i m o F i l t r o d e R e c o n s t r u c c i ó n

p r e g u n t a : ¾ C ú a l e s e l ú l t i m o l t r o d e r e c o n s t r u c c i ó n ?

R e c o r d a n d o q u e ( F i g u r e 1 3 . 1 4 )



2 3 1

F i g u r e 1 3 . 1 4 : D i a g r a m a d e b l o q u e d e n u e s t r a r e c o n s t r u c c i ó n . N o t e s e q u e c a d a u n a d e e s t a s s e ñ a l e s

t i e n e s u p r o p i a C T F T o D T F T c o r r e s p o n d i e n t e .

S i G ( jω) t i e n e l a s i g u i e n t e f o r m a ( F i g u r e 1 3 . 1 5 ) :

F i g u r e 1 3 . 1 5 : F i l t r o p a s a b a j a i d e a l

e n t o n c e s

∼f (t) = f (t)

P o r l o t a n t o , ½ u n l t r o p a s a b a j a i d e a l n o s d a r a u n a r e c o n s t r u c c i ó n p e r f e c t a !

E n e l d o m i n i o e n e l t i e m p o , l a r e s p u e s t a a l i m p u l s o

g (t) =sin (πt)

πt( 1 3 . 3 )

∼f (t) =

∞n=−∞ (f s [n] g (t − n))

=∞

n=−∞

f s [n] sin(π(t−n))π(t−n)

= f (t)

( 1 3 . 4 )

1 3 . 2 . 3 C o n c l u s i o n e s s o r p r e n d e n t e s

S i f (t) e s l i m i t a d o e n b a n d a a [−π, π], p u e d e s e r r e c o n s t r u i d o p e r f e c t a m e n t e d e s u m u e s t r a e n l o e n t e r o s

f s [n] = f (t) |t=n

f (t) =

∞n=−∞

f s [n]

sin (π (t − n))

π (t − n)

( 1 3 . 5 )



2 3 2


L a e c u a c i ó n a n t e r i o r p a r a u n a r e c o n s t r u c c i ó n p e r f e c t a m e r e c e u n a m i r a d a m á s c e r c a n a ( S e c t i o n 1 3 . 3 ) ,

q u e s e v e r á e n l a s i g u i e n t e s e c c i ó n p a r a u n m e j o r e n t e n d i m i e n t o d e l a r e c o s t r u c c i ó n . A q u í e s t a n a l g u n a s

c o s a s p a r a e m p e z a r a p e n s a r e n e l l a s p o r a h o r i t a :

• ¾ Q u e sin(π(t−n))π(t−n)i g u a l a a l o s e n t e r o s d i f e r e n t e s a n ?

• ¾ C ú a l e s e l s o p o r t e d e

sin(π(t−n))π(t−n) ?

1 3 . 3 M á s s o b r e R e c o n s t r u c c i ó n P e r f e c t a

3

1 3 . 3 . 1 I n t r o d u c c i ó n

E n e l m o d u l o p r e v i o e n r e c o n s t r u c c i ó n ( S e c t i o n 1 3 . 2 ) , d i m o s u n a i n t r o d u c c i ó n d e c o m o t r a b a j a l a r e c o n -

s t r u c c i ó n y t e m p o r a l e m t e d e r i v a m o s u n a e c u a c i ó n u s a d a p a r a r e a l i z a r u n a p e r f e c t a r e c o n s t r u c c i ó n . A h o r a

t o m e m o s u n v i s t a z o m á s c e r c a n o a l a f o r m u l a d e l a r e c o n s t r u c c i ó n p e r f e c t a :

f (t) =

∞n=−∞

f s

sin (π (t−

n))

π (t − n)

( 1 3 . 6 )

E s c r i b i r e m o s f (t) e n t é r m i n o s d e l a s f u n c i o n e s s i n c d e s p l a z a d a s y e s c a l a d a s sin (π (t − n))

π (t − n)

n∈Z

e s u n a b a s e ( S e c t i o n 5 . 1 . 3 : B a s e s ) p a r a e l e s p a c i o d e s e ñ a l e s l i m i t a d a s e n b a d a [−π, π] . P e r o e s p e r e . . . .

1 3 . 3 . 1 . 1 F o r m u l a s d e l a D e r i v a d a d e R e c o n s t r u c c i ó n

¾ Q u e e s

<

sin (π (t

−n))

π (t − n) ,

sin (π (t

−k))

π (t − k) >=?( 1 3 . 7 )

E s t e p r o d u c t o i n t e r n o ( S e c t i o n 7 . 3 ) p u e d e s e r d i f í c i l d e c a l c u l a r e n e l d o m i n i o d e l t i e m p o , a s i q u e u s a r e m o s

e l T e o r e m a d e P l a n c h a r e l ( S e c t i o n 7 . 1 2 )

< ·, · >=1

2π

π−π

e−(jωn)ejωkdω ( 1 3 . 8 )

3




2 3 3

( a )

( b )

F i g u r e 1 3 . 1 6

s i n = k

< sincn,sinck > = 12π

π−π

e−(jωn)ejωkdω

= 1( 1 3 . 9 )

s i n = k

< sincn,sinck > = 12π

π−π

e−(jωn)ejωndω

= 12π

π−π

ejω(k−n)dω

= 12π

sin(π(k−n))j(k−n)

= 0

( 1 3 . 1 0 )

n o t a : E n l a ( 1 3 . 1 0 ) u s a m o s e l e c h o d e q u e l a i n t e g r a l d e l a s e n o s o i d a l e n u n i n t e r v a l o c o m p l e t o

e s 0 p a r a s i m p l i c a r n u e s t r a e c u a c i ó n .

A s í ,

<sin (π (t − n))

π (t − n),

sin (π (t − k))

π (t − k)>=

1 i f n = k

0 i f

n = k( 1 3 . 1 1 )

P o r l o t a n t o sin (π (t − n))

π (t − n)

n∈Z



2 3 4


e s u n a b a s e o r t o n o r m a l ( S e c t i o n 7 . 7 . 3 : B a s e O r t o n o r m a l ) ( O N B ) p a r a e l e s p a c i o d e f u n c i o n e s l i m i t a d a s d e

b a n d a d e [−π, π] .

m u e s t r e o : M u e s t r e o e s l o m i s m o q u e c a l c u l a r l o s c o e c i e n t e s d e O N B , q u e e s e l p r o d u c t o i n t e r n o

c o n s i n c s

1 3 . 3 . 1 . 2 R e s u m e n

U n a ú l t i m a v e z p a r a

f (t) [−π, π] l i m i t a d o e n b a n d a

S í n t e s i s

f (t) =

∞n=−∞

f s [n]

sin (π (t − n))

π (t − n)

( 1 3 . 1 2 )

A n á l i s i s

f s [n] = f (t) |t=n ( 1 3 . 1 3 )

P a r a p o d e r e n t e n d e r u n p o c o m á s s o b r e c o m o p o d e m o s r e c o n s t r u i r u n a s e ñ a l e x a c a t a m e n t e , s e r á ú t i l

e x a m i n a r l a r e l a c i ó n

4

e n t r e l a s t r a n s f o r m a d a s d e F o u r i e r ( C T F T y D T F T ) a m á s p r o f u n d i d a d .

1 3 . 4 T e o r e m a d e N y q u i s t

5

1 3 . 4 . 1 I n t r o d u c c i ó n

A n t e r i o r m e n t e h a b i a e s t a d o e x p u e s t o a l o s c o n c e p t o s d e t r a s d e l m u e s t r e o ( S e c t i o n 1 3 . 1 ) y e l t e o r e m a d e

m u e s t r e o . M i e n t r a s a p r e n d í a e s t a s i d e a s , d e b i o h a b e r e m p e z a d o a n o t a r q u e s i m u e s t r e a m o s a m u y b a j o v a l o r ,

h a y u n a o p o r t u n i d a d q u e n u e s t r a s e ñ a l o r i g i n a l n o s e a ú n i c a m e n t e d e n i d a p o r n u e s t r a s e ñ a l m u e s t r e a d a .

S i e s t o s u c e d e , e n t o n c e s n o e s g a r a n t i a d e q u e r e c o n t r u y a m o s ( S e c t i o n 1 3 . 2 ) c o r r e c t a m e n t e l a s e ñ a l . C o m o

r e s u l t a d o d e e s t o , e l T e o r e m a d e N y q u i s t h a s i d o c r e a d o . A c o n t i n u a c i ó n v e r e m o s e x a c t a m e n t e l o q u e

e s t e t o r e m a n o s d i c e .

1 3 . 4 . 2 T e o r e m a d e N y q u i s t

S e a T i g u a l a n u e s t r o p e r í o d o d e m u e s t r e o ( d i s t a n c i a e n t r e l a s m u e s t r a s ) . D e s p u é s s e a Ωs = 2πT

( f r e c u e n c i a

d e m u e s t r e o r a d i a n e s / s e g ) . H e m o s v i s t o q u e s i f (t) e s l i m i t a d o e n b a n d a e n [−ΩB, ΩB ] y m u e s t r e a m o s c o n

p e r í o d o T < πΩb

⇒ 2πΩs

< πΩB

⇒ Ωs > 2ΩB e n t o n c e s p o d e m o s r e c o n s t r u i r f (t) d e s u s m u e s t r a s .

T h e o r e m 1 3 . 1 : T e o r e m a d e N y q u i s t ( " T e o r e m a F u n d a m e n t a l d e P r o c e s a m i e n t o D i g i t a l d e S e ñ a l e s

D S P " )

S i f (t) e s l i m i t a d o e n b a n d a a [−ΩB, ΩB] , p o d e m o s r e c o n s t r u i r l o p e r f e c t a m e n t e d e s u s m u e s t r a s

f s [n] = f (nT )

p a r a Ωs = 2πT

> 2ΩB

ΩN = 2ΩB e s l l a m a d a l a " f r e c u e n c i a N y q u i s t " p a r a f (t) . P a r a l a r e c o n s t r u c c i ó n p e r f e c t a d e s e r

p o s i b l e

Ωs ≥ 2ΩB

d o n d e Ωs e s l a f r e c u a n c i a d e m u e s t r e o y ΩB e s l a f r e c u e n c i a m á s a l t a e n l a s e ñ a l .

4

" E x a m i n g R e c o n s t r u c t i o n R e l a t i o n s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 7 9 9 / l a t e s t / >

5




2 3 5

F i g u r e 1 3 . 1 7 : I l l u s t r a c i ó n d e l a F r e c u e n c i a N y q u i s t

E x a m p l e 1 3 . 3 : E j e m p l o s :

• E l o í d o h u m a n o o y e f r e c u e n c i a s h a s t a 2 0 k H z → C D e l v a l o r d e l a m u e s t r a e s 4 4 . 1 k H z .

• L a l i n e a t e l e f ó n i c a p a s a f r e c u e n c i a s d e h a s t a 4 k H z → l a m u e s t r a d e l a c o m p a ñ i a d e t e l e f o n o s

e s d e 8 k H z .

1 3 . 4 . 2 . 1 R e c o n s t r u c c i ó n

L a f o r m u l a d e l a r e c o n s t r u c c i ó n e n e l d o m i n i o d e l t i e m p o s e v e c o m o

f (t) =∞

n=−∞

f s [n]

sinπT

(t − nT )

πT

(t − nT )

P o d e m o s c o n c l u i r , d e s d e a n t e s q u e

sinπT

(t − nT )

πT

(t − nT ), n ∈ Z

e s u n a b a s e ( S e c t i o n 5 . 1 ) p a r a e l e s p a c i o d e [−ΩB , ΩB ] f u n c i o n e s l i m i t a d a s e n b a n d a , ΩB = πT

. L o s c o e c i e n t e s

d e e x p a n s i ó n p a r a e s t a b a s e s o n c a l c u l a d o s m u e s t r e a n d o f (t) e n e l v a l o r

2πT

= 2ΩB .

n o t a : L a b a s e t a m b i é n e s o r t o g o n a l . P a r a h a c e r l a o r t o n o r m a l ( S e c t i o n 7 . 8 ) , n e c e s i t a m o s u n f a c t o r

d e n o r m a l i z a c i ó n d e

√T .

1 3 . 4 . 2 . 2 L a g r a n P r e g u n t a

E x e r c i s e 1 3 . 4

( S o l u t i o n o n p . 2 4 4 . )

¾ Q u e p a s a s i Ωs < 2ΩB ? ¾ Q u é s u c e d e c u a n d o m u e s t r e a m o s a b a j o d e l v a l o r d e N y q u i s t ?



2 3 6


1 3 . 5 A l i a s i n g

6

1 3 . 5 . 1 I n t r o d u c c i ó n

C u a n d o c o n s i d e r a m o s l a r e c o n s t r u c c i ó n ( S e c t i o n 1 3 . 2 ) d e u n a s e ñ a l , u s t e d y a d e b e d e e s t a r f a m i l i a r i z a d o c o n

l a i d e a d e e l v a l o r d e N y q u i s t . ( S e c t i o n 1 3 . 4 ) E s t e c o n c e p t o n o s p e r m i t e e n c o n t r a r e l v a l o r d e m u e s t r e o q u e

n o s d a r a u n a r e c o n s t r u c c i ó n p e r f e c t a d e n u e s t r a s e ñ a l . S i n o s o t r o s m u e s t r e a m o s e n u n v a l o r m u y b a j o ( a b a j o

d e l v a l o r d e N y q u i s t ) , e n t o n c e s s u r g i r á n p r o b l e m a s p a r a h a c e r u n a r e c o n s t r u c c i ó n p e r f e c t a i m p o s i b l e - e s t e

p r o b l e m a e s c o o c i d o c o m o a l i a s i n g ( a l g u n o s a u t o r e s t r a d u c e n e s t e t é r m i n o c o m o s o l a p a m i e n t o ) . A l i a s i n g

o c u r r e c u a n d o h a y u n t r a s l a p o e n e l d e s p l a z a m i e n t o , c o p i a s p é r i o d i c a s e n n u e s t r a s e ñ a l F T , e s d e c i r e s p e c t r o .

E n e l d o m i n i o d e f r e c u e n c i a , n o t a r e m o s q u e p a r t e d e l a s e ñ a l s e t r a s l a d a r a c o n l a s e ñ a l s i g u i e n t e a é l . E n

e s t e s o l a p a m i e n t o l o s v a l o r e s d e l a f r e c u e n c i a s e r á n s u m a d o s j u n t o s y l a f o r m a d e l e s p e c t r o d e l a s e ñ a l s e r á

i n d e s e a b l e m e n t e a l t e r a d o . E s t e s o l a p a m i e n t o o a l i a s i n g h a c e p o s i b l e d e t e r m i n a r c o r r e c t a m e n t e l a f u e r z a d e

l a f r e c u e n c i a . L a F i g u r e 1 3 . 1 8 n o s d a u n e j e m p l o v i s u a l d e e s t e f e n ó m e n o :

F i g u r e 1 3 . 1 8 : E l e s p e c t r o d e u n a s e ñ a l l i m i t a d a e n b a n d a ( a W H z ) e s m o s t r a d a a r r i b a e n l a g r á c a .

S i e l i n t e r v a l o m u e s t r e a d o

T s e s e l e g i d a d e m a s i a d o g a n d e r e l a t i v o c o n e l a n c h o d e b a n d a

W , e l a l i a s i n g

o c u r r i r a . E n l a g r á c a d e l a p a r t e d e a b a j o , e l i n t e r v a l o m u e s t r e a d o e s e l e g i d o s u c i e n t e m e n t e p e q u e ñ o

p a r a e v i t a r e l a l i a s i n g . N o t e q u e s i l a s e ñ a l n o f u e r a l i m i t a d a e n b a n d a , e l c o m p o n e n t e d e l e s p e c t r o

s i e m p r e s e r í a t r a s l a p a d o .

1 3 . 5 . 2 A l i a s i n g y M u e s t r e o

S i m u e s t r e a m o s d e m a s i a d o l e n t o , e s d e c i r ,

Ωs < 2ΩB , T >π

ΩB

N o p o d e m o s r e c u p e r a r l a s e ñ a l d e s u m u e s t r a d e b i d o a l a l i a s i n g .

6




2 3 7

E x a m p l e 1 3 . 4

S e a

f 1 (t) t i e n e C T F T .

F i g u r e 1 3 . 1 9 : E n e s t a g u r a , n o t e l a s i g u i e n t e e c u a c i ó n :

ΩB −Ωs2

= a

S e a

f 2 (t) t i e n e C T F T .

F i g u r e 1 3 . 2 0 : L a s p o r c i o n e s o r i g i n a l e s d e l a s e ñ a l r e s u l t a n d e l s o l a p a m i e n t o c o n r e p l i c a s d e s p l a z a d a s -

m o s t r a n d o l a d e m o s t r a c i ó n v i s u a l d e l a l i a s i n g .

T r a t e d e b o s q u e j a r y r e s o l v e r l a s s i g u i e n t e s e c u a c i o n e s p o r s u c u e n t a :

• ¾ Q u é e s l o q u e h a c e l a D T F T d e f 1,s [n] = f 1 (nT ) ?

• ¾ Q u é e s l o q u e h a c e l a D T F T d e f 2,s [n] = f 2 (nT ) ?

• ¾ A l g u n a o t r a s e ñ a l t i e n e l a m i s m a D T F T c o m o f 1,s [n] y f 2,s [n]?

C O N C L U S I Ó N : S i m u e s t r e a m o s d e b a j o d e l a f r e c u e n c i a d e N y q u i s t , h a y m u c h a s s e ñ a l e s q u e p u e d e n p r o d u c i r

l a s e c u e n c i a d a d a d e l a m u e s t r a .



2 3 8


F i g u r e 1 3 . 2 1 : T o d a s s o n i g u a l e s

¾ P o r q u é e l t é r m i n o " a l i a s i n g " ? P o r q u e l a m i s m a m u e s t r a d e s e c u e n c i a p u e d e s e r r e p r e s e n t a d a p o r

d i f e r e n t e s s e ñ a l e s C T ( e n c o m p a r a c i ó n a c u a n d o m u e s t r e a m o s l a f r e c u e n c i a d e N y q u i s t a n t e r i o r , e n t o n c e s l a

s e c u e n c i a m u e s t r a r e p r e s e n t a u n a s e ñ a l C T ú n i c a ) .

F i g u r e 1 3 . 2 2 : E s t a s d o s s e ñ a l e s c o n t i e n e n l a s m i s m a s c u a t r o m u e s t r a s , c o n t o d o s o n s e ñ a l e s m u y

d i f e r e n t e s .

E x a m p l e 1 3 . 5

f (t) = cos (2πt)



2 3 9

F i g u r e 1 3 . 2 3 : L a g u r a m u e s t r a l a f u n c i ó n c o s e n o ,

f (t) = cos (2πt), y s u C T F T .

C a s o 1 : M u e s t r a Ωs = (8π) radseg

⇒ T = 14seg .

n o t e : Ωs > 2ΩB

C a s o 2 : M u e s t r a

wΩs

= 83π radseg

⇒T = 3

4seg .

n o t a : Ωs < 2ΩB

C u a n d o c o r r e m o s l a D T F T d e l C a s o # 2 a t r a v é s d e l o s p a s o s d e r e c o n s t r u c c i ó n , n o s d a m o s

c u e n t a q u e t e r m i n a m o s c o n e l s i g u i e n t e c o s e n o :

∼f (t) = cos

π

2t

E s t a e s u n a v e r s i ó n " e s t r e c h a " d e l a v e r s i ó n o r i g i n a l . C l a r a m e n t e n u e s t r o v a l o r d e m u e s t r a n o f u e

l o s u e n c i t e m e n t e a l t o p a r a a s e g u r a r l a r e c o n s t r u c c i ó n c o r r e c t a d e l a s m u e s t r a s .

P r o b a b l e m e n t a y a h a b r a v i s t o a l g u n o s e f e c t o s d e l a l i a s i n g t a l c o m o : u n a r u e d a d e l c a r r o q u e d a v u e l t a a l

r e v é s e n u n a p e l í c u l a o c c i d e n t a l . A q u í h a y a l g u n a s l i g a s

7

q u e i l u s t r a n d i c h o e f e c t o , d e b a j o m u e s t r e o y

a l i a s i n g . E s t e e s u n e j e m p l o d e u n a i m a g e n q u e t i e n e a r t e f a c t o s d e M o i r e

8

c o m o r e s u l t a d o d e u n a e s c a n e a d a

a u n a f r e c u e n c i a m u y b a j a .

1 3 . 6 F i l t r o s A n t i - A l i a s i n g

9

1 3 . 6 . 1 I n t r o d u c t i o n

L a i d e a d e a l i a s i n g ( S e c t i o n 1 3 . 5 ) f u e d e s c r i t a c o m o e l p r o b l e m a q u e o c u r r e s i u n a s e ñ a l e s n o m u e s t r e a d a

( S e c t i o n 1 3 . 1 ) e n u n v a l o r s u c i e n t e m e n t e g r a n d e ( p o r e j e m p l o , d e b a j o d e l a F r e c u e n c i a d e N y q u i s t ( S e c -

t i o n 1 3 . 4 ) ) . P e r o e x a c t a m e n t e ¾ q u é t i p o d e d i s t o r c i ó n p r o d u c e e l a l i a s i n g ?

7

h t t p : / / o w e r s . o f t h e n i g h t . o r g / w a g o n W h e e l

8

h t t p : / / w w w . d v p . c o . i l / l t e r / m o i r e . h t m l

9




2 4 0


( a )

( b )

F i g u r e 1 3 . 2 4

F r e c u e n c i a s a l t a s e n l a s e ñ a l o r i g i n a l " s e d o b l a " e n f r e c u e n c i a s b a j a s .

F r e c u e n c i a s a l t a s d i s f r a z a d a s c o m o f r e c u e n c i a s b a j a s p r o d u c e n a r t e f a c t o s a l t a m e n t e i n d e s e a b l e s e n l a

s e ñ a l r e c o n s t r u i d a .

C u i d a d o : D e b e m o s d e e v i t a r e l a l i a s i n g d e l a f o r m a q u e p o d a m o s .

1 3 . 6 . 2 E v i t a n d o e l A l i a s i n g

¾ C ó m o s i e s t o e s i m p r a c t i c a m e n t e / i m p o s i b l e p a r a m u e s t r a s c o m o Ωs > 2ΩB ?

F i l t r e h a c i a a f u e r a l a s f r e c u e n c i a s a n t e r i o r e s

Ωs2 a n t e s d e q u e m u e s t r e e , l a m e j o r f o r m a d e v i s u a l i z a r l o e s

i m a g i n a r l o s s i g u i e n t e s p a s o s :

1 . T o m a r l a C T F T ( T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r d e T i e m p o - C o n t i n u o ) d e l a s e ñ a l , f (t) .

2 . P a s a r l a s e ñ a l a t r a v é s d e u n l t r o p a s a b a j a s c o n l a s s i g u i e n t e e s p e c i c a c i ó n ,

ωc = Ωs2 .

3 . A h o r a t e n e m o s u n a g r á c a d e n u e s t r a s e ñ a l e n e l d o m i n i o d e f r e c u e n c i a c o n t o d o s l o s v a l o r e s d e |ω| > Ωs2

i g u a l a c e r o . A h o r a t o m a m o s l a i n v e r s a d e l a C T F T p a r a r e g r e s a r a n u e s t r a s e ñ a l d e t i e m p o c o n t i n u o ,

f a (t) .

4 . Y n a l m e n t e e s t a m o s l i s t o s p a r a m u e s t r e a r n u e s t r a s e ñ a l .

E x a m p l e 1 3 . 6

V a l o r d e m u e s t r a p a r a

CD = 44.1KH z.

M u c h o s i n s t r u m e n t o s m u s i c a l e s , c o n t i e n e n l a s f r e c u e n c i a s a r r i b a d e 22KH z ( a u n c u c a n d o n o

l o s p o d e m o s e s c u c h a r ) .

D e b i d o a e s t o , p o d e m o s l t r a r l a s e ñ a l d e s a l i d a d e l i n s t r u m e n t o a n t e s d e q u e l a m u e s t r e m o s

u s a n d o e l s i g u i e n t e l t r o :



2 4 1

F i g u r e 1 3 . 2 5 : E s t e l t r o c o r t a r a l a f r e c u e n c i a a l t a i n e c e s a r i a , d o n d e |ωc| > 2π22kH z

A h o r a l a s e ñ a l e s t a l i s t a p a r a s e r m u e s t r e a d a .

E x a m p l e 1 3 . 7 : O t r o E j e m p l o

E l d i s c u r s o d e l a n c h o d e b a n d a e s > ± (20kH z), p e r o e s p e r f e c t a m e n t e i n t e l i g i b l e c u a n d o e l l t r a d o

p a s a b a j a a u n r a n g o ± (4kH z) . D e b i d o a e s t o p o d e m o s t o m a r u n a s e ñ a l d e d i s c u r s o n o r m a l y

p a s a r l a a t r a v é s d e l l t r o c o m o l a m o s t r a d a e n l a F i g u r e 1 3 . 2 5 , d o n d e a h o r a p o n e m o s

|ωc| > 2π4kH z.

L a s e ñ a l q u e r e c i b i m o s d e e s t e l t r o s o l a m e n t e c o n t i e n e v a l o r e s d o n d e |ω| > 8πk .

A h o r a p o d e m o s m u e s t r e a r e n 16πk = 8kH z r a n g o d e l a t e l e f o n í a e s t a n d a r d .

1 3 . 7 P r o c e s a m i e n t o d e T i e m p o D i s c r e t o d e S e ñ a l e s d e T i e m p o

C o n t i n u o

1 0

F i g u r e 1 3 . 2 6

¾ C ó m o e s t a r e l a c i o n a d a l a C T F T d e y ( t ) c o n l a C T F T d e F ( t ) ?

S e a G ( jω) = r e s p u e s t a d e l a f r e c u e n c i a d e l l t r o d e r e c o n s t r u c c i ó n

Y ( jω) = G ( jω) Y imp ( jω)

d o n d e

Y imp ( jω) e s s e c u e n c i a d e i m p u l s o c r e a d a d e

ys [n]. A s í q u e ,

Y ( jω) = G ( jω) Y s

ejωT

= G ( jω) H

ejωT

F s

ejωT

Y ( jω) = G ( jω) H

ejωT 1

T

∞r=−∞

F

j

ωF 2πr

T

Y ( jω) =1

T G ( jω) H

ejωT

∞r=−∞

F

j

ωF 2πr

T

1 0




2 4 2


A h o r a a s u m i r e m o s q u e f ( t ) e s l i m i t a d o e n b a n d a a

− πT

, πT

=− Ωs

2

, Ωs

2

y G ( jω) e s u n l t r o p e r f e c t o

d e r e c o n t r u c c i ó n . E n t o n c e s

Y ( jω) = F ( jω) H

ejωT

i f |ω| ≤ π

T

0o t h e r w i s e

n o t a : Y ( jω) t i e n e l e m i s m o " l i m i t e e n b a n d a " c o m o F ( jω) .

E n t o n c e s , p a r a s e ñ a l e s l i m i t a d a s e n b a n d a , y c o n u n v a l o r d e m u e s t r a s u c i e n t e m e n t e a l t o y u n l t r o d e

r e c o n s t r u c c i ó n p e r f e c t o

F i g u r e 1 3 . 2 7

e s e q u i v a l e n t e a u s a r u n l t r o a n á l o g o L T I

F i g u r e 1 3 . 2 8

d o n d e

H a ( jω) =

H

ejωT

i f |ω| ≤ π

T

0 o t h e r w i s e

S i e n d o c u i d a d o s o s p o d e m o s i m p l e m e n t a r e l s i s t e m a L T I p a r a s e ñ a l e s l i m i t a d a s e n b a n d a e n n u e s t r a p r o p i a

c o m p u t a d o r a .

F i g u r e 1 3 . 2 9

N o t a i m p o r t a n t e :

H a ( jω) = l t r o i n d u c i d o p o r n u e s t r o s i s t e m a .



2 4 3

F i g u r e 1 3 . 3 0

H a ( jω) e s L T I s i y s o l o s i

• h, e s s i s t e m a D T e s L T I

• F ( jω), l a e n t r a d a , e s l i m i t a d a e n b a d a y e l v a l o r d e l a m u e s t r a e s s u c i e n t e m e n t e g r a n d e .



2 4 4




f (t) = 12π

∞−∞

F ( jw) ejwtdw


Y a q u e F ( jw) = 0 a f u e r a d e [−2, 2]

f (t) =1

2π

2−2

F ( jw) ejwtdw

T a m b i é n , y a q u e s o l o u t i l i z a m o s u n i n t e r v a l o p a r a r e c o n s t r u i r

f s [n] d e s u D T F T , t e n e m o s

f s [n] =1

2π

2−2

f s

ejw

ejwndw

Y a q u e F ( jw) = F s

ejw

e n [−2, 2]f s [n] = f (t) |t=n

e s d e c i r f s [n] e s u n a v e r s i ó n m u e s t r e a d a d e f (t).


f imp (t) =∞

n=−∞(f s [n] δ (t − n))

∼F imp ( jw) =

∞−∞ f imp (t) e−(jwt)dt

=

∞−∞

∞n=−∞ (f s [n] δ (t − n))

e−(jwt)dt

=∞n=−∞ (f s [n])

∞−∞ δ (t − n) e−(jwt

)dt=

∞n=−∞ (f s [n])

e−(jwn)

= F s

ejw

( 1 3 . 1 4 )

A s í q u e l a C T F T d e f imp (t) e s i g u a l a l a D T F T d e f s [n]

n o t a : U s a m o s l a p r o p i e d a d d e d e s p l a z a m i e n t o p a r a m o s t r a r

∞−∞ δ (t − n) e−(jwt)dt = e−(jwn)


V a y a s e a t r a v é s d e l o s p a s o s : ( v é a s e l a F i g u r e 1 3 . 3 1 )



2 4 5

F i g u r e 1 3 . 3 1

F i n a l m e n t e , ¾ Q u é l e p a s a r a a h o r a a F s

ejω

? P a r a c o n t e s t a r e s t a ú l t i m a p r e g u n t a , n e c e s i t a m o s v e r e l

c o n c e p t o d e a l i a s i n g ( S e c t i o n 1 3 . 5 ) .



2 4 6




C h a p t e r 1 4

T r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e y D i s e ñ o d e

S i s t e m a s

1 4 . 1 L a T r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e

1

L a t r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e e s u n a g e n e r a l i z a c i ó n d e l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r d e T i e m p o - C o n t i n u o

( S e c t i o n 1 2 . 1 ) . S i n e m b a r g o , e n l u g a r d e u s a r f u n c i o n e s s e n o s o i d a l e s c o m p l e j a s ( S e c t i o n 8 . 2 ) d e l a f o r m a

ejωt , c o m o l o h a c e l a C T F T , l a t r a n s f o r m a d a d e l a p l a c e u t i l i z a u n a f o r m a m á s g e n e r a l i z a d a , est , d o n d e

s = σ + jω .

A u n q u e l a s t r a n s f o r m a d a s d e L a p l a c e r a r a v e z s e r e s u e l v e n m e d i a n t e i n t e g r a c i ó n ( s i n o p o r m e d i o d e

t a b l a ( S e c t i o n 1 4 . 3 ) y u s o d e c o m p u t a d o r a s ( p o r e j e m p l o M a t l a b ) e s m á s c o m u n ) , a q u í v e r e m o s l o s p a r e s

b i l a t e r a l e s d e l a t r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e . E s t o d e n e l a t r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e y s u i n v e r s a . N o t e s e

l a s s i m i l i t u d e s e n t r e l a t r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e y s u i n v e r s a . E s t o n o s d a r a c o m o r e s u l t a d o m u c h a s d e l a s

s i m e t r i a s e n c o n t r a d a s e n e l a n á l i s i s d e F o u r i e r . ( S e c t i o n 8 . 1 )

T r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e

F (s) =

∞−∞

f (t) e−(st)dt ( 1 4 . 1 )

T r a n s f o r m a d a I n v e r s a d e L a p l a c e

f (t) =1

2πj

c+j∞

c−j∞F (s) estds

( 1 4 . 2 )

1 4 . 1 . 1 E n c o n t r a n d o l a T r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e y s u I n v e r s a

1 4 . 1 . 1 . 1 R e s o l v i e n d o l a I n t e g r a l

P r o b a b l e m e n t e e l m é t o d o m á s d i f í c i l y m e n o s u s a d o p a r a e n c o n t r a r l a T r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e e s r e s o l v i e n d o

l a i n t e g r a l . A u n q u e e s t é c n i c a m e n t e p o s i b l e e s e x t r e m a d a m e n t e c o n s u m i d o r d e t i e m p o . D a d a l a f a c i l i d a d d e

l o s s i g u i e n t e s d o s m é t o d o s p a r a e n c o n t r a r l a , n o s e v e r a d e o t r a m a n e r a . L a s i n t e g r a l e s e s t a n p r i m o r d i a l m e n t e

p a r a e n t e n d e r d e d o n d e s e o r i g i n a n l o s s i g u i e n t e s m é t o d o s .

1


2 4 7



2 4 8

C H A P T E R 1 4 . T R A N S F O R M A D A D E L A P L A C E Y D I S E Ñ O D E S I S T E M A S

1 4 . 1 . 1 . 2 U s a n d o u n a C o m p u t a d o r a

E l u s o d e u n a c o m p u t a d o r a p a r a e n c o n t r a r l a t r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e e s r e l a t i v a m e n t e s e n c i l l o . M a t l a b

t i e n e d o s f u n c i o n e s , l l e l l , l a s d o s f o r m a n p a r t e d e l a s l i b r e r i a s s i m b o l i c a s , y e n c o n t r a r e m o s l a

t r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e y s u i n v e r s a r e s p e c t i v a m e n t e . E s t e m é t o d o e s p r e f e r i d o g e n e r a l m e n t e p a r a f u n c i o n e s

m á s c o m p l i c a d a s . F u n c i o n e s m á s s e n c i l l a s e i d e a l e s u s u a l m e n t e s e e n c u e t r a n m á s f a c i l m e d i a n t e e l u s o d e

t a b l a s ( S e c t i o n 1 4 . 1 . 1 . 3 : U s a n d o T a b l a s ) .

1 4 . 1 . 1 . 3 U s a n d o T a b l a s

C u a n d o s e a p r e n d e p o r p r i m e r a v e z l a t r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e , l a s t a b l a s e s l a f o r m a m á s c o m u n p a r a

e n c o n t r a r l a . C o n s u c i e n t e p r á c t i c a l a s t a b l a s s e h a c e n i n e c e s a r i a s . P a r a e l p r o p o s i t o d e s t a s e c c i ó n , n o s

e n f o c a r e m o s e n l a t r a n s f o r m a d a i n v e r s a d e L a p l a c e , d a d o q u e l a g r a n p a r t e d e l d i s e ñ o d e a p l i c a c i o n e s e m p i e z a

e n e l d o m i n i o d e L a p l a c e y d a n c o m o r e s u l t a d o u n a s o l u c i ó n e n e l d o m i n i o d e l t i e m p o . E l m é t o d o e s e l

s i g u i e n t e :

1 . S e e s c r i b e l a f u n c i ó n q u e s e d e s e a t r a n s f o r m a r H (s), c o m o l a s u m a d e o t r a s f u n c i o n e s H (s) =

m

i=1(H i (s)) d o n d e c a d a u n a d e l a s H i s e e n c u e n t r a e n l a t a b l a ( S e c t i o n 1 4 . 3 ) .

2 . I n v e r t i r c a d a H i (s) p a r a o b t e n e r s u hi (t).

3 . S e s u m a c a d a hi (t) p a r a o b t e n e r h (t) =m

i=1 (hi (t))

E x a m p l e 1 4 . 1

C a l c u l e h (t) p a r a H (s) = 1s+5

, Re (s) > −5

E s t o p u e d e s e r r e s u e l t o d i r e c t a m e n t e u s a n d o l a t a b l a ( S e c t i o n 1 4 . 3 ) p a r a s e r h (t) = e−(5t)

E x a m p l e 1 4 . 2

E n c o n t r a r l a r e p r e s e n t a c i ó n e n e l d o m i n i o d e l t i e m p o h (t) , d e H (s) = 25s+10 , Re (s) > −10

P a r a r e s o l v e r e s t o , p r i m e r o n o t e m o s q u e H (s) t a m b i é n p u e d e s e r e s c r i t o c o m o 25 1s+10 . E n t o n c e s

p o d e m o s i r a l a t a b l a ( S e c t i o n 1 4 . 3 ) p a r a e n c o n t r a r h (t) = 25e−(10t)

E x a m p l e 1 4 . 3

P o d e m o s e x t e n d e r l o s d o s e j e m p l o s a n t e r i o r e s e n c o n t r a n d o

h (t)p a r a

H (s) =1

s+5+25

s+10 , Re (s) >−5P a r a r e a l i z a r e s t o , t o m a m o s v e n t a j a d e l a p r o p i e d a d d e a d i t i v i d a d y l i n e a l i d a d y e l m é t o d o d e

l o s t r e s p a s o s d e s c r i t o a n t e r i o r m e n t e p a r a o b t n e r c o m o r e s u l t a d o h (t) = e−(5t) + 25e−(10t)

P a r a e j e m p l o s m á s c o m p l i c a d o s , s e r i á m á s d i f í c i l d e s c o m p o n e r l a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a e n p a r t e s q u e s e

e n c u e n t r e n e n l a t a b l a . E n e s t e c a s o , e s n e c e s a r i o e l u s o d e e x p a n s i ó n e n f r a c c i o n e s p a r c i a l e s

2

p a r a o b t e n e r

l a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a e n u n a f o r m a m á s ú t i l .

1 4 . 1 . 2 V i s u a l i z a n d o l a T r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e

C o n l a t r a n s f r o m a d a d e F o u r i e r , t e n e m o s u n a f u n c i ó n d e v a l o r e s c o m p l e j o s d e v a r i a b l e s p u r a m e n t e

i m a g i n a r i a s F ( jω) . E s t o e s a l g o q u e s e p o d r í a v i s u a l i z a r m e d i a n t e g r á c a s e n 2 - d i m e n s i o n e s ( p a r t e r e a l e

i m a g i n a r i a o m a g n i t u d y f a s e ) . S i n e m a b r g o , c o n L a p l a c e t e n e m o s u n a f u n c i ó n d e v a l o r e s c o m p l e j o s d e

u n a v a r i a b l e c o m p l e j a . P a r a e x a m i n a r l a m a g n i t u d y l a f a s e o l a p a r t e r e a l e i m a g i n a r i a d e e s t a f u n c i ó n ,

d e b e m o s e x a m i n a r l a g r á c a d e s u p e r c i e e n 3 - d i m e n s i o n e s d e c a d a c o m p o n e n t e .

2

" P a r t i a l F r a c t i o n E x p a n s i o n " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 2 1 1 1 / l a t e s t / >



2 4 9

E j e m p l o d e g r á c a s r e a l e i m a g i n a r i a

( a ) ( b )

F i g u r e 1 4 . 1 : P a r t e r e a l e i m a g i n a r i a d e H (s) s o n c a d a u n a s u p e r c i e s e n 3 - d i m e n s i o n e s . ( a ) L a p a r t e

r e a l d e

H (s)( b ) L a p a r t e I m a g i n a r i a d e

H (s)

E j e m p l o s d e g r á c a s d e m a g n i t u d y f a s e

( a ) ( b )

F i g u r e 1 4 . 2 : M a g n i t u d y F a s e d e

H (s)s o n t a m b i é n s u p e r c i e s e n 3 - d i m e n s i o n e s . E s t a r e p r e s e n t a c i ó n

e s m á s c o m u n q u e l a s p a r t e s r e a l e i m a g i n a r i a . ( a ) L a m a g n i t u d d e

H (s)( b ) L a f a s e d e

H (s)

M i e n t r a s q u e e s t a s s o n m a n e r a s l e g i t i m a s d e v e r u n a s e ñ a l e n e l d o m i n i o d e L a p l a c e , e s a l g o d i f í c i l

d i b u j a r l a s y a n a l i z a r l a s . P o r e s t a r a z o n , u n m é t o d o m á s s e n c i l l o h a s i d o d e s a r r o l l a d o ; q u e a q u í n o s e r á

d i s c u t i d o a d e t a l l e , e l m é t o d e d e P o l o s y C e r o s ( S e c t i o n 1 4 . 6 ) d o n d e e s m u c h o m á s s e n c i l l o d e e n t e n d e r l a

T r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e y s u c o n t r a p a r t e d i s c r e t a e n e l t i e m p o l a T r a n s f o r m a d a Z ( S e c t i o n 1 5 . 1 ) y s o n

r e p r e s e n t a d a s g r á c a m e n t e .



2 5 0


1 4 . 2 P r o p i e d a d e s d e l a T r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e

3

P r o p i e d a d S e ñ a l T r a n s f o r m a d a d e

L a p l a c e

R e g i ó n d e

C o n v e r g e n c i a ( R O C )

L i n e a l i d a d

αx1 (t) + βx2 (t) αX 1 (s) + βX 2 (s) A l m e n o s u n a

ROC 1

ROC 2

D e s p l a z a m i e n t o e n e l

T i e m p o

x (t − τ ) e−(sτ )X (s) ROC

D e s p l a z a m i e n t o d e

F r e c u e n c i a

( m o d u l a c i ó n )

eηtx (t) X (s − η) D e s p l a z a d o u n a

ROC (

s − ηd e b e d e e s t a r e n l a

r e g i ó n d e c o n v e r g e n c i a )

E s c a l a m i e n t o e n e l

T i e m p o

x (αt) (1 − |α|) X (s − α) E s c a l a d o u n a ROC (

s − α d e b e d e e s t a r e n

l a r e g i ó n d e

c o n v e r g e n c i a )

C o n j u g a c i ó n x (t)∗ X (s∗)

∗ ROC

C o n v o l u c i ó n x1 (t) ∗ x2 (t) X 1 (t) X 2 (t) A l m e n o s u n a

ROC 1

ROC 2

D i f e r e n c i a c i ó n e n e l

T i e m p o

ddt

x (t) sX (s) A l m e n o s u n a

ROC

D i f e r e n c i a c i ó n d e l a

F r e c u e n c i a

(−t) x (t) dds

X (s) ROC

I n t e g r a c i ó n e n e l

T i e m p o

t−∞ x (τ ) dτ (1 − s) X (s) A l m e n o s u n a

ROC

Re (s) > 0

3




2 5 1

1 4 . 3 T a b l a d e T r a n s f o r m a d a s d e L a p l a c e C o m u n e s

4

S e ñ a l T r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e R e g i ó n d e C o n v e r g e n c i a

δ (t) 1 A l l

s

δ (t − T ) e−(sT ) A l l s

u (t) 1s

Re (s) > 0

− (u (−t)) 1s

Re (s) < 0

tu (t) 1s2

Re (s) > 0

tnu (t) n!sn+1

Re (s) > 0

− (tnu (−t)) n!sn+1

Re (s) < 0

e−(λt)u (t) 1s+λ

Re (s) > −λ

− e−(λt)u (

−t) 1

s+λRe (s) <

−λ

te−(λt)u (t) 1(s−λ)2

Re (s) > −λ

tne−(λt)u (t) n!(s+λ)n+1

Re (s) > −λ

− tne−(λt)u (−t)

n!(s+λ)n+1

Re (s) < −λ

cos (bt) u (t) ss2+b2

Re (s) > 0

sin (bt) u (t) bs2+b2

Re (s) > 0

e−(at)cos (bt) u (t) s+a(s+a)2+b2

Re (s) > −a

e−(at)sin (bt) u (t) b(s+a)2+b2

Re (s) > −a

dn

dtnδ (t) sn A l l s

1 4 . 4 R e g i ó n d e C o n v e r g e n c i a p a r a l a T r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e

5

C o n l a t r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e

6

, e l p l a n o s r e p r e s e n t a u n c o n j u n t o d e s e ñ a l e s ( e x p o n e n c i a l e s c o m p l e j o s

( S e c t i o n 1 . 5 ) ) . P a r a c u a l q u i e r s i s t e m a L T I , a l g u n a d e e s t a s s e ñ a l e s p u e d e c a u s a r q u e l a s a l i d a d e l s i s t e m a

i n v e r s a , m i e n t r a s o t r a s h a c e n q u e l a s a l i d a d e l s i s t e m a d i v e r j a ( e x p l o t e ) . E l c o n j u n t o d e l a s s e ñ a l e s q u e

c a u s a q u e l a s a l i d a d e l o s s i s t e m a s c o n v e r j a s e e n c u e n t r a n e n l a r e g i ó n d e c o n v e r g e n c i a ( R O C ) . e s t e

m o d u l o d i s c u t i r á c o m o e n c o n t r a r l a r e g i ó n d e c o n v e r g e n c i a p a r a c u a l q u i e r s i s t e m a L T I c o n t i n u o .

R e c u e r d e l a d e n i c i ó n d e l a t r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e ,

T r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e

H (s) =

∞−∞

h (t) e−(st)dt( 1 4 . 3 )

S i c o n s i d e r a m o s u n e x p o n e n c i a l c o m p l e j o c a u s a l ( S e c t i o n 2 . 1 ) ,

h (t) = e−(at)

u (t), o b t e n e m o s l a s i g u i e n t e

e c u a c i ó n , ∞0

e−(at)e−(st)dt =

∞0

e−((a+s)t)dt( 1 4 . 4 )

e v a l u a n d o e s t o o b t e n e m o s ,

−1

s + a

limt→∞

e−((s+a)t) − 1

( 1 4 . 5 )

4


5


6




2 5 2


N o t a q u e e s t a e c u a c i ó n i r a i n n i t o c u a n d o limt→∞e−((s+a)t)

v a y a a l i n n i t o . P a r a e n t e n d e r p o r q u e p a s a e s t o ,

t o m a r e m o s u n p a s o m a s a l u s a r

s = σ + jωp a r a r e a l i z a r e c u a c i o n e s c o m o

limt→∞

e−(jωt)e−((σ+a)t)( 1 4 . 6 )

A l r e c o n o c e r q u e

e−(jωt)e s s e n o s o i d a l , s e v u e l v e a p a r e n t e

e−(σ(a)t)v a d e t e r m i n a r s i l a e c u a c i ó n e x p l o t a o

n o . l o q u e e n c o n t r a m o s e s q u e s i

σ + ae s p o s i t i v o , e l e x p o n e n c i a l v a a t e n e r u n a p o t e n c i a n e g a t i v a , l o q u e

v a a c a u s a r q u e e s t o s e v a y a a c e r o c u a n d o t v a y a a i n n i t o . P e r o s i σ + a e s n e g a t i v a o c e r o , e l e x p o n e n c i a l

n o t e n d r á u n a p o t e n c i a n e g a t i v a , l o q u e p r e v e n d r á q u e v a y a a c e r o y e l s i s t e m a n o v a a c o n v e r g e r . L o q u e

t o d o e s t o n o s d i c e e s q u e p a r a u n a s e ñ a l c a u s a r , t e n e m o s c o n v e r g e n c i a c u a n d o

C o n d i c i ó n p a r a C o n v e r g e n c i a

Re (s) > −a ( 1 4 . 7 )

A u n q u e n o p a s a r e m o s p o r e s t e p r o c e s o o t r a v e z p a r a s s e ñ a l e s a n t i c a u s a l e s , p o d r í a m o s h a c e r l o . A l h a c e r l o ,

n o s d a r í a m o s c u e n t a q u e l a c o n d i c i ó n n e c e s a r i a p a r a c o n v e r g e n c i a e s c u a n d o

C o n d i c i ó n N e c e s a r i a p a r a C o n v e r g e n c i a A n t i - c a u s a l

Re (s) < −a ( 1 4 . 8 )

1 4 . 4 . 1 E n t e n d i e n d o e l R O C G r á c a m e n t e

T a l v e z l a m e j o r m a n e r a d e l v e r l a r e g i ó n d e c o n v e r g e n c i a e s e l v e r e l p l a n o S l o q u e o b s e r v a m o s e s q u e p a r a

u n s o l o p o l o , l a r e g i ó n d e c o n v e r g e n c i a s e e n c u e n t r a a l a d e r e c h a d e l a s s e ñ a l e s c a u s a l e s y a l a i z q u i e r d a d e

l a s s e ñ a l e s a n t i c a u s a l e s .

( a ) ( b )

F i g u r e 1 4 . 3 : ( a ) L a R O C p a r a u n a s e ñ a l c a u s a l . ( b ) L a R O C p a r a u n a s e ñ a l a n t i - c a u s a l .

D e s p u é s d e r e c o n o c e r e s t o , l a p r e g u n t a n e c e s a r i a e s e s t a : ¾ Q u e h a c e m o s c u a n d o t e n e m o s p o l o s m ú l t i p l e s ?

L a r e s p u e s t a m á s s i m p l e e s q u e t e n e m o s q u e t o m a r l a i n t e r s e c c i ó n d e t o d a s l a s r e g i o n e s d e c o n v e r g e n c i a s

p a r a c a d a r e s p e c t i v o p o l o .

E x a m p l e 1 4 . 4

E n c u e n t r e H (s) y d i g a l a r e g i ó n d e c o n v e r g e n c i a p a r a h (t) = e−(at)u (t) + e−(bt)u (−t)



2 5 3

A l s e p a r a e s t o e n d o s t é r m i n o s o b t e n e m o s q u e l a s f u n c i o n e s d e t r a n s f e r e n c i a y l a r e s p e c t i v a s

r e g i o n e s d e c o n v e r g e n c i a d e

H 1 (s) =1

s + a, Re (s) > −a ( 1 4 . 9 )

y

H 2 (s) =−1

s + b, Re (s) < −b ( 1 4 . 1 0 )

C o m b i n a n d o e s t o o b t e n e m o s l a r e g i ó n d e c o n v e r g e n c i a d e −b > Re (s) > −a. S i a > b , p o d e m o s

r e p r e s e n t a r e s t o g r á c a m e n t e . S i n o , n o a b r a u n a r e g i ó n d e c o n v e r g e n c i a .

F i g u r e 1 4 . 4 : R e g i ó n d e c o n v e r g e n c i a d e

h (t)s i

a > b.

1 4 . 5 L a T r a n s f o r m a d a I n v e r s a d e L a p l a c e

7

1 4 . 5 . 1 T o C o m e

E n l a F u n c i ó n d e T r a n s f e r e n c i a

8

e s t a b l e c e r e m o s q u e l a f u n c i ó n p a r a l a t r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e e s

he s

L−1 (h)

(t) =1

2π

∞−∞

e(c+yj)th ((c + yj) t) dy ( 1 4 . 1 1 )

d o n d e j ≡ √−1 y e l n u m e r o r e a l c s o n e s c o g i d o s p a r a q u e t o d a s l a s s i n g u l a r i d a d e s d e h s e e n c u e n t r e n e n

e l l a d o i z q u i e r d o d e l i n t e g r a l .

7


8

" E i g e n v a l u e P r o b l e m : T h e T r a n s f e r F u n c t i o n " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 4 9 0 / l a t e s t / >



2 5 4


1 4 . 5 . 2 C o n t i n u a n d o c o n l a T r a n s f o r m a d a I n v e r s a d e L a p l a c e

C o n l a t r a n s f o r m a d a i n v e r s a d e L a p l a c e p o d e m o s e x p r e s a r l a s o l u c i ó n d e x = Bx + g , c o m o

x (t) = L−1

(sI − B)−1

(Lg + x (0))( 1 4 . 1 2 )

P o r e j e m p l o , t o m a r e m o s e l p r i m e r c o m p o n e n t e d e Lx , n o m b r a d o

Lx1 (s) =0.19

s2 + 1.5s + 0.27

s + 16

4(s3 + 1.655s2 + 0.4078s + 0.0039)

.

D e n i m o s :

D e n i t i o n 1 5 : p o l o s

T a m b i é n l l a m a d a s c o m o s i n g u l a r i d a d e s e s t o s s o n l o s p u n t o s e n l o s c u a l e s Lx1 (s) e x p l o t a .

S o n l a s r a í c e s d e l d e n o m i n a d o r ,

−1/100,

−329/400 ± √7316

, a n d − 1/6 . ( 1 4 . 1 3 )

L a s c u a t r o s o n n e g a t i v a s , e s s u c i e n t e t o m a r

c = 0 a s í l a i n t e g r a c i ó n d e ( 1 4 . 1 1 ) c o n t i n u a e n e l e j e i m a g i n a r i o .

N o s u p o n e m o s q u e e l l e c t o r a y a e n c o n t r a d o i n t e g r a c i o n e s e n e l p l a n o c o m p l e j o p e r o e s p e r a m o s q u e e s t e

e j e m p l o p r o v e a l a m o t i v a c i ó n n e c e s a r i a p a r a e x a m i n a r l a . S i n e m b a r g o a n t e s d e e s t o h a y q u e n o t a r q u e

M A T L A B t i e n e e l c á l c u l o n e c e s a r i o p a r a d e s a r r o l l a r e s t e p u n t o . V o l v i e n d o a b 3 . m

9

o b s e r v a m o s q u e e l

c o m a n d o l l p r o d u c e

x1 (t) = 211.35e−t100 − (0.0554t3 + 4.5464t2 + 1.085t + 474.19) e

−t6 +

e−(329t)400

262.842cosh

√73t16

+ 262.836sinh

√73t16

9

h t t p : / / w w w . c a a m . r i c e . e d u / ∼c a a m 3 3 5 / c o x / l e c t u r e s / b 3 . m



2 5 5

F i g u r e 1 4 . 5 : L o s 3 p o t e n c i a l e s a s o c i a d o s c o n e l m o d e l o d e l c i r c u i t o R C

1 0

.

L o s o t r o s p o t e n c i a l e s , v i s t o s e n e s t a g u r a p o s e n u n a e x p r e s i ó n s i m i l a r . P o r f a v o r n o t e q u e c a d a u n o d e

l o s p o l o s d e Lx1 s e m u e s t r a c o m o e x p o n e n c i a l x1 y q u e l o s c o e c i e n t e s d e l e x p o n e n c i a l s o n p o l i n o m i o s

c o n g r a d o s q u e s o n d e t e r m i n a d o s p o r e l o r d e n d e s u r e s p e c t i v a p o l o s .

1 4 . 6 P o l o s y C e r o s

1 1

1 4 . 6 . 1 I n t r o d u c c i ó n

E s m u y d i f í c i l a n a l i z a r c u a l i t a t i v a m e n t e l a t r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e

1 2

y l a t r a n s f o r m a d a Z ( S e c t i o n 1 5 . 1 ) ,

y a q u e a l g r a c a r s u m a g n i t u d y á n g u l o a s u p a r t e r e a l e i m a g i n a r i a d a c o m o r e s u l t a d o v a r i a s g r a c a s d e

s u p e r c i e s d e d o s d i m e n s i o n e s e n e s p a c i o s d e t r e s d i m e n s i o n e s . P o r e s t a r a z ó n , e s c o m ú n e l e x a m i n a r l a

g r a c a d e l a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a

1 3

c o n s u s p o l o s y c e r o s y t r a t a r u n a v e z m a s u n a i d e a c u a l i t a t i v a d e l o

q u e h a c e e l s i s t e m a .

D a d a a u n a f u n c i ó n d e t r a n s f o r m a c i ó n c o n t i n u a , e n e l d o m i n i o d e L a p l a c e , H (s), o e n e l d o m i n i o d i s c r e t o

d e Z ,

H (z) , u n c e r o e s c u a l q u i e r v a l o r d e

so

zp a r a l o s c u a l e s l a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a e s c e r o , u n p o l o e s

c u a l q u i e r v a l o r d e

so

zp a r a l a c u a l l a f u n c i ó n d e t r a s f e r e n c i a e s i n n i t a . L o s i g u i e n t e d a a u n a d e n i c i ó n

p r e c i s a :

D e n i t i o n 1 6 : C e r o s

1 . E l v a l o r ( e s ) p a r a z d o n d e e l n u m e r a d o r d e l a f u n c i ó n d e t r a s f e r e n c i a e s i g u a l a c e r o

2 . L a s f r e c u e n c i a s c o m p l e j a s q u e h a c e n q u e l a g a n a n c i a d e l a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a d e l l t r o s e a

c e r o .

1 0

" N e r v e F i b e r s a n d t h e D y n a m i c S t r a n g Q u a r t e t " , F i g u r e 1 : A n R C m o d e l o f a n e r v e b e r

< h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 1 6 8 / l a t e s t / # R C _ m o d e l _ g >

1 1


1 2


1 3




2 5 6



1 . E l v a l o r ( e s ) p a r a

zd o n d e e l d e n o m i n a d o r d e l a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a e s i g u a l a c e r o

2 . L a s f r e c u e n c i a s c o m p l e j a s q u e h a c e n d e l a g a n a n c i a d e l a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a d e l l t r o s e

i n n i t a .

1 4 . 6 . 2 G r a c a s d e l o s P o l o s y C e r o s

C u a n d o g r a c a m o s e s t o s e n s u p l a n o s o z , r e p r e s e n t a m o s l o s c e r o s c o n o y l o s p o l o s c o n x . V e a e s t e

m o d u l o

1 4

p a r a o b s e r v a d e t a l l a d a m e n t e c o m o g r a c a r l o s c e r o s y p o l o s e n l a t r a n s f o r m a d a - z e n e l p l a n o - z .

E x a m p l e 1 4 . 5

E n c u e n t r e l o s p o l o s y c e r o s d e l a f u n c i ó n d e t r a s f e r e n c i a H (s) = s2+6s+8s2+2 y g r a q u e l o s r e s u l t a d o s

e n e l p l a n o - s .

L o p r i m e r o q u e t e n e m o s q u e r e c o n o c e r q u e l a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a s e r á i g u a l a c e r o c u a n d o

l o d e a r r i b a , s2 + 6s + 8 , s e a i g u a l a c e r o . P a r a e n c a n t a r q u e e s t o i g u a l a a c e r o f a c t o r i z a m o s e s t o

p a r a o b t e n e r , (s + 2) (s + 4) . E s t o d a a c e r o s e n s = −2 y s = −4 . S i e s t a f u n c i ó n h u b i e r a s i d o

m a s c o m p l i c a d a , t a l v e z t e n d r í a m o s q u e u s a r l a f o r m u l a c u a d r á t i c a .

P a r a l o s p o l o s , t e n e m o s q u e r e c o n o c e r q u e l a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a s e r á i n n i t a c u a n d o l a p a r t e

d e a b a j o e s c e r o . E s t o s u c e d e c u a n d o

s2 + 2 e s c e r r o p a r a e n c o n t r a r e s t o , t e n e m o s q u e f a c t o r i z a r l a

f u n c i ó n e s t o n o s d a

s + j

√2

s − j√

2

. L o q u e s i g n i c a q u e t e n e m o s r a í c e s i m a g i n a r i a s d e + j√

2

y − j√2

A l g r a c a r e s t o n o s d a F i g u r e 1 4 . 6 ( G r a c a d e P o l o s y Z e r o s )

G r a c a d e P o l o s y Z e r o s

F i g u r e 1 4 . 6 : M e s t r a d e l a G r a c a

Y a q u e h e m o s e n c o n t r a d o y g r a c a d o l o s p o l o s y c e r o , t e n e m o s q u e p r e g u n t a r n o s q u e e s l o q u e n o s d i c e e s t a

g r a c a . L o q u e p o d e m o s d e d u c i r e s q u e m a g n i t u d d e l a f u n c i ó n d e t r a s f e r e n c i a s e r á m a y o r c u a n d o s e e n c u e n t r e

1 4

" U n d e r s t a n d i n g P o l e / Z e r o P l o t s o n t h e Z - P l a n e " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 5 5 6 / l a t e s t / >



2 5 7

c e r c a d e l o s p o l o s y m e n o s c u a n d o s e e n c u e n t r e c e r c a d e l o s c e r o s . E s t o n o s d a u n e n t e n d i m i e n t o c u a l i t a t i v o

d e l o q u e e l s i s t e m a h a c e e n v a r i a s f r e c u e n c i a s y e s c r u c i a l p a r a l a f u n c i ó n d e e s t a b i l i d a d ( S e c t i o n 3 . 4 ) .

1 4 . 6 . 3 R e p e t i c i o n e s d e P o l o s y C e r o s

E s p o s i b l e o b t e n e r m a s d e u n p o l o l o c e r o e n e l m i s m o p u n t o . P o r e j e m p l o , l a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a

d i s c r e t a

H (z) = z2t e n d r á d o s c e r o s e n e l o r i g e n y l a f u n c i ó n

H (s) = 1s25

t e n d e r 2 5 p o l o s e n e l o r i g e n .

1 4 . 6 . 4 L a C a n c e l a c i ó n d e P o l o s y C e r o s

U n e r r o r c o m ú n e s e l p e n s a r q u e l a f u n c i ó n

(s+3)(s−1)s−1 e s l a m i s m a q u e s + 3 . E n t e o r í a s o n e q u i v a l e n t e s ,

y a q u e e l p o l o y e l c e r o q u e s e e n c u e n t r a e n s = 1 s e c a n c e l a n m u t u a m e n t e l o q u e e s c o n o c i d o c o m o l a

c a n c e l a c i ó n d e p o l o s y c e r o s . S i n e m b a r g o , p i e n s e l o q u e p a s a r í a s i e s t o f u e r a u n a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a

d e u n s i s t e m a q u e f u e c r e a d o f í s i c a m e n t e c o n u n c i r c u i t o . E n e s t e c a s o , n o e s c o m ú n q u e e l p o l o y e l c e r o

p e r m a n e z c a e n u n m i s m o l u g a r . U n c a m b i o d e t e m p e r a t u r a , p o d r í a c a u s a r q u e e l l o s s e m o v i e r a n . S i e s t o

p a s a r a s e c r e a r í a v o l a t i l i d a d e n e s a á r e a , y a q u e o c u r r i ó u n c a m b i o d e i n n i t o e n u n p o l o a c e r o e n e l c e r o e n

u n a r e g i ó n d e s e ñ a l e s . G e n e r a l m e n t e e s u n a m a l a m a n e r a d e e l i m i n a r u n p o l o . U n a m e j o r m a n e r a d e m o v e r

e l p o l o a o t r o l u g a r e s u s a n d o l a t e o r í a d e c o n t r o l .



2 5 8




C h a p t e r 1 5

L a T r a n s f o r m a d a Z y F i l t r o s D i g i t a l e s

1 5 . 1 L a T r a n s f o r m a d a Z : D e n i c i ó n

1

1 5 . 1 . 1 D e n i c i ó n B á s i c a d e l a T r a n s f o r m a d a - Z

L a t r a n s f o r m a d a - z d e u n a s e c u e n c i a e s d e n i d a p o r

X (z) =

∞n=−∞

x [n] z−n

( 1 5 . 1 )

A l g u n a s v e c e s e s t a e c u a c i ó n e s c o n o c i d a c o m o l a t r a n s f o r m a d a - z b i l a t e r a l . E n v e c e s l a t r a n s f o r m a d a - z

e s d e n i d a p o r

X (z) =∞

n=0

x [n] z−n

( 1 5 . 2 )

l a c u a l e s c o n o c i d a c o m o l a t r a n s f o r m a d a - z u n i l a t e r a l .

H a y u n a r e l a c i ó n c e r c a n a e n t r e l a t r a n s f o r m a d a - z y l a t r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r d e u n a s e ñ a l d i s c r e t a ,

l a c u a l e s d e n i d a c o m o

X

ejω

=∞

n=−∞

x [n] e−(jωn)

( 1 5 . 3 )

N o t e q u e c u a n d o z−ne s r e m p l a z a d a c o n e−(jωn) l a t r a n s f o r m a d a - z s e c o n v i e r t e e n l a t r a n s f o r m a d a d e

F o u r i e r . C u a n d o l a t r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r e x i s t e , z = ejω , l a c u a l d e b e d e t e n e r l a m a g n i t u d u n i t a r i a

p a r a z .

1 5 . 1 . 2 E l P l a n o C o m p l e j o

P a r a e n t e n d e r l a r e l a c i ó n e n t r e l a t r a n s f o r m a d a d e f o u r i e r y l a t r a n s f o r m a d a - z u n o t i e n e q u e v e r e l p l a n o

c o m p l e j o o e l p l a n o - z . e c h e m o s u n v i s t a z o a l p l a n o c o m p l e j o :

1


2 5 9



2 6 0

C H A P T E R 1 5 . L A T R A N S F O R M A D A Z Y F I L T R O S D I G I T A L E S

P l a n o - Z

F i g u r e 1 5 . 1

E l p l a n o - Z e s u n p l a n o c o m p l e j o c o n u n e j e i m a g i n a r i o y r e a l q u e s e r e e j e n e s o s e r e e r e a l a v a r i a b l e

c o m p l e j a z . . L a p o s i c i ó n e n e l p l a n o c o m p l e j o e s d a d a p o r rejω, y e l á n g u l o s e t o m a d e l e j e r e a l p o s i t i v e

a l r e d e d o r d e l p l a n o y e s d a d o p o r ω . X (z) e s d e n i d a e n t o d o s l o s l a d o s d e l p l a n o . X

ejω

e s d e n i d a s o l o

d o n d e |z| = 1 , l a c u a l s e r e e r e a l c i r c u l o u n i t a r i o . P o r e j e m p l o , ω = 1 e n z = 1 y ω = π e n z = −1 . E s t o

a y u d a p o r q u e , a l r e p r e s e n t a r l a t r a n s f o r m a d a d e f o u r i e r c o m o u n a t r a n s f o r m a d a - z e n e l c í r c u l o u n i t a r i o , s e

p u e d e v e r m u y f á c i l m e n t e l a p e r i o d i c i d a d d e l a t r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r .

1 5 . 1 . 3 R e g i ó n d e C o n v e r g e n c i a

L a r e g i ó n d e c o n v e r g e n c i a , t a m b i é n c o n o c i d a c o m o R O C , e s i m p o r t a n t e e n t e n d e r p o r q u e d e n e l a r e g i ó n

d o n d e l a t r a n s f o r m a d a - z e x i s t e . L a R O C p a r a u n a x [n] , i s d e n e d a s t h e r a n g e o f z e s d e n i d a c o m o e l

r a n g o d e z p a r a l a c u a l l a t r a n s f o r m a d a - z c o n v e r g e . Y a q u e l a t r a n s f o r m a d a z e s u n a s e r i e d e p o t e n c i a ,

c o n v e r g e c u a n d o

x [n] z−ne s a b s o l u t a m e n t e s u m a b l e . E n o t r a s p a l a b r a s ,

∞n=−∞

|x [n] z−n| < ∞ ( 1 5 . 4 )

S e t i e n e q u e s a t i s f a c e p a r a l a c o n v e r g e n c i a . E s t o s e e x p l i c a m e j o r a l v e r l a s d i f e r e n t e s R O C d e l a s

t r a n s f o r m a d a s - z d e

αnu [n] y

αnu [n − 1].

E x a m p l e 1 5 . 1

P a r a

x [n] = αnu [n] ( 1 5 . 5 )



2 6 1

F i g u r e 1 5 . 2 :

x [n] = αnu [n]d o n d e

α = 0.5.

X (z) =∞

n=−∞ (x [n] z−n)

= ∞n=−∞ (αnu [n] z−n)

=∞n=0 (αnz−n)

=∞

n=0

αz−1

n( 1 5 . 6 )

E s t a s e c u e n c i a e s u n e j e m p l o d e u n a e x p o n e n c i a l d e l l a d o d e r e c h o p o r q u e t i e n e u n v a l o r d e n o

c e r o p a r a n ≥ 0 . S o l o c o n v e r g e c u a n d o |αz−1| < 1 . C u a n d o c o n v e r g e ,

X (z) = 11−αz−1

= zz−α

( 1 5 . 7 )

S i |αz−1| ≥ 1 , e n t o n c e s l a s s e r i e s ,

∞n=0

αz−1

nn o c o n v e r g e n . A s í q u e e l R O C e s e l r a n g o d e

v a l o r e s c u a n d o

|αz−1| < 1 ( 1 5 . 8 )

o , e q u i v a l e n t e m e n t e ,

|z| > |α| ( 1 5 . 9 )



2 6 2


F i g u r e 1 5 . 3 : R O C p a r a

x [n] = αnu [n]d o n d e

α = 0.5

E x a m p l e 1 5 . 2

P a r a

x [n] = (− (αn)) u [−n − 1] ( 1 5 . 1 0 )



2 6 3

F i g u r e 1 5 . 4 :

x [n] = (− (αn)) u [−n− 1]d o n d e

α = 0.5.

X (z) =∞

n=−∞ (x [n] z−n)

=

∞n=−∞ ((− (αn)) u [−n − 1] z−n)

=−

−1n=−∞

(αnz−n)= −

−1n=−∞

α−1z

−n

= − ∞n=1

α−1z

n= 1 −∞

n=0

α−1z

n( 1 5 . 1 1 )

E n e s t e c a s o l a R O C e s e n e l r a n g o d e v a l o r e s d o n d e

|α−1z| < 1 ( 1 5 . 1 2 )

o , e q u i v a l e n t e m e n t e

|z| < |α| ( 1 5 . 1 3 )

S i l a R O C s e s a t i s f a c e , e n t o n c e s

X (z) = 1 − 11−α−1z

= zz−α

( 1 5 . 1 4 )



2 6 4


F i g u r e 1 5 . 5 : R O C p a r a

x [n] = (− (αn)) u [−n− 1]

1 5 . 2 T a b l a d e T r a n s f o r m a d a s - Z C o m u n e s

2

L a s i g u i e n t e t a b l a p r o v e e t r a n s f o r m a d a s d e z u n i l a t e r a l y b i l a t e r a l ( S e c t i o n 1 5 . 1 ) . E s t a t a b l a t a m b i é n

m u e s t r a l a r e g i ó n d e c o n v e r g e n c i a ( S e c t i o n 1 5 . 3 ) .

n o t e : l a n o t a c i ó n u s a d a p a r a z e n e s t a t a b l a p u e d e s e r d i f e r e n t e a l a n o t a c i ó n e n c o n t r a d a e n o t r a s

t a b l a s . P o r e j e m p l o l a t r a n s f o r m a d a b á s i c a d e u [n] s e p u e d e d e s c r i b e n d e d o s m a n e r a s d i f e r e n t e s ,

q u e s o n e q u i v a l e n t e s :

z

z − 1=

1

1 − z−1( 1 5 . 1 5 )

2




2 6 5

S e ñ a l T r a n s f o r m a d a - Z R O C

δ [n − k] z−kA l l z

u [n] zz−1 |z| > 1

− (u [−n − 1]) zz−1 |z| < 1

nu [n] z(z−1)2 |z| > 1

n2u [n] z(z+1)

(z−1)3 |z| > 1

n3u [n]z(z2+4z+1)

(z−1)4 |z| > 1

(− (αn)) u [−n − 1] zz−α

|z| < |α|αnu [n] z

z−α|z| > |α|

nαnu [n] αz(z−α)2

|z| > |α|n2αnu [n]

αz(z+α)

(z

−α)3

|z| > |α|Qmk=1(n−k+1)

αmm! αnu [n] z(z−α)m+1

γ ncos (αn) u [n] z(z−γcos(α))z2−(2γcos(α))z+γ2

|z| > |γ |γ nsin (αn) u [n] zγsin(α)

z2−(2γcos(α))z+γ2|z| > |γ |

1 5 . 3 R e g i ó n d e C o n v e r g e n c i a p a r a l a T r a n s f o r m a d a - Z

3

1 5 . 3 . 1 L a R e g i ó n d e C o n v e r g e n c i a

L a r e g i ó n d e c o n v e r g e n c i a , t a m b i é n c o n o c i d a c o m o R O C , e s i m p o r t a n t e e n t e n d e r p o r q u e d e n e l a r e g i ó n

d o n d e l a t r a n s f o r m a d a - z ( S e c t i o n 1 5 . 1 ) e x i s t e . L a t r a n s f o r m a d a z s e d e n e p o r

X (z) =∞

n=−∞

x [n] z−n

( 1 5 . 1 6 )

L a R O C p a r a u n a x [n] , e s d e n i d a c o m o e l r a n g o d e z p a r a l a c u a l l a t r a n s f o r m a d a - z c o n v e r g e . Y a q u e l a

t r a n s f o r m a d a z e s u n a s e r i e d e p o t e n c i a , c o n v e r g e c u a n d o x [n] z−ne s a b s o l u t a m e n t e s u m a b l e . E n o t r a s

p a l a b r a s ,

∞n=−∞

|x [n] z−n| < ∞ ( 1 5 . 1 7 )

t i e n e q u e s e r s a t i s f e c h a p a r a l a c o n v e r g e n c i a .

1 5 . 3 . 2 P r o p i e d a d e s d e l a R e g i ó n d e C o n v e r g e n c i a

L a r e g i ó n d e c o n v e r g e n c i a t i e n e p r o p i e d a d e s q u e d e p e n d e n d e l a c a r a c t e r í s t i c a s d e l a s e ñ a l ,

x [n].

• L a R O C n o t i e n e q u e c o n t e n e r a l g ú n p o l o . P o r d e n i c i ó n u n p o l o e s d o n d e X (z) e s i n n i t o . Y a q u e

X (z) t i e n e q u e s e r n i t a p a r a t o d a s l a s z p a r a t e n e r c o n v e r g e n c i a , n o p u e d e e x i s t i r n i n g ú n p o l o p a r a

R O C .

• S i x [n] e s u n a s e c u e n c i a d e d u r a c i ó n n i t a , e n t o n c e s l a R O C e s t o d o e l p l a n o - z , e x c e p t o e n

z = 0 o

|z| = ∞ . U n a s e c u e n c i a d e d u r a c i ó n n i t a e s a q u e l l a q u e t i e n e n v a l o r d e n o c e r o e n u n i n t e r v a l o

n i t o n1 ≤ n ≤ n2 . M i e n t r a s q u e c a d a v a l o r d e x [n] e s n i t o e n t o n c e s l a s e c u e n c i a s e r á a b s o l u t a m e n t e

3




2 6 6


s u m a b l e . C u a n d o n2 > 0 e n t o n c e s e x i s t i r á z−1 t é r m i n o s p o r l o t a n t o l a R O C n o i n c l u y e z = 0 . C u a n d o

n1 < 0 l a s u m a s e r á i n n i t a p o r l o t a n t o l a R O C n o i n c l u y e |z| = ∞. P e r o s i ,

n2 ≤ 0 e n t o n c e s l a R O C

i n c l u i r á

z = 0 , y c u a n d o

n1 ≥ 0 l a R O C i n c l u i r á |z| = ∞. C o n e s t a c o n d i c i o n e s , l a ú n i c a s e ñ a l q u e

t i e n e u n a R O C q u e c u b r e t o d o e l p l a n o - z e s

x [n] = cδ [n] .

F i g u r e 1 5 . 6 : E j e m p l o d e u n a s e c u e n c i a d e d u r a c i o n n i t a .

L a s s i g u i e n t e s p r o p i e d a d e s s e a p l i c a n a s e c u e n c i a s c o n d u r a c i ó n i n n i t a . C o m o s e m e n c i o n o a n t e r i o r

m e n t e l a t r a n s f o r m a d a - z c o n v e r g e c u a n d o

|X (z)

|<

∞. A s í q u e p o d e m o s e s c r i b i r

|X (z) | = |∞

n=−∞

x [n] z−n

| ≤∞

n=−∞

|x [n] z−n| =

∞n=−∞

|x [n] |(|z|)−n

( 1 5 . 1 8 )

P o d e m o s s e p a r a r l a s u m a i n n i t a e n s u t i e m p o p o s i t i v e y n e g a t i v a . P o r l o t a n t o

|X (z) | ≤ N (z) + P (z) ( 1 5 . 1 9 )

d o n d e

N (z) =

−1n=−∞

|x [n] |(|z|)−n

( 1 5 . 2 0 )

y

P (z) =

∞n=0

|x [n] |(|z|)−n

( 1 5 . 2 1 )

P a r a q u e |X (z) | s e i n n i t a , |x [n] | t i e n e q u e e s t a r r e s t r i n g i d a e n t o n c e s d e n a m o s

|x (n) | ≤ C 1r1n

( 1 5 . 2 2 )

p a r a

n < 0

y

|x (n) | ≤ C 2r2n

( 1 5 . 2 3 )



2 6 7

p a r a

n ≥ 0

D e e s t o s t a m b i é n s e p u e d e n d e r i v a r m á s p r o p i e d a d e s :

• S i x [n] e s u n a s e c u e n c i a d e l l a d o d e r e c h o e n t o n c e s l a R O C s e e x t i e n d e h a c i a f u e r a e n e l u l t i m o p o l o

d e s d e X (z). U n a s e c u e n c i a d e l l a d o d e r e c h o e s a q u e l l a d o n d e

x [n] = 0 p a r a

n < n1 < ∞. S i

v e m o s l a p o r c i ó n d e l t i e m p o p o s i t i v e d e l a u l t i m a d e r i v a c i ó n , s e p u e d e d e d u c i r q u e

P (z) ≤ C 2

∞n=0

r2

n(|z|)−n

= C 2

∞n=0

r2|z|n

( 1 5 . 2 4 )

P o r l o t a n t o p a r a q u e l a s u m a c o n v e r j a , |z| > r2 , a s í q u e l a R O C d e u n a s e c u e n c i a d e l l a d o d e r e c h o

t i e n e l a f o r m a d e |z| > r2 .

F i g u r e 1 5 . 7 : S e c u e n c i a d e l a d o d e r e c h o



2 6 8


F i g u r e 1 5 . 8 : L A R O C d e u n a s e c u e n c i a d e l a d o d e r e c h o .

• S i x [n] e s u n a s e c u e n c i a d e l l a d o i z q u i e r d o , e n t o n c e s l a R O C s e e x t i e n d e h a c i a d e n t r o d e s d e e l p o l o m a s

c e r c a n o e n X (z). U n a s e c u e n c i a d e l l a d o i z q u i e r d o e s a q u e l l a d o n d e x [n] = 0 p a r a n > n2 > −∞ .

S i v e m o s l a p o r c i ó n d e l l a d o n e g a t i v a d e l a u l t i m a d e r i v a c i ó n s e p u e d e d e d u c i r q u e

N (z) ≤ C 1

−1n=−∞

r1

n(|z|)−n

= C 1

−1n=−∞

r1|z|n

= C 1

∞k=1

|z|r1

k

( 1 5 . 2 5 )

P o r l o t a n t o p a r a q u e l a s u m a c o n v e r j a , |z| < r1 , a s í q u e l a R O C d e l a s e c u e n c i a d e l l a d o i z q u i e r d o

t i e n e l a f o r m a d e |z| < r1 .

F i g u r e 1 5 . 9 : S e c u e n c i a d e l a d o i z q u i e r d o .



2 6 9

F i g u r e 1 5 . 1 0 : L a R O C d e u n a s e c u e n c i a d e l a d o i z q u i e r d o .

• S i x [n] e s u n a s e c u e n c i a c o n d o s l a d o s , l a R O C v a s e r u n a n i l l o e n e l p l a n o - z q u e e s t a r e s t r i n g i d a

e n s u i n t e r i o r y e x t e r i o r p o r u n p o l o . U n a s e c u e n c i a d e d o s l a d o s e s a q u e l l a c o n d u r a c i ó n i n n i t a

e n d i r e c c i o n e s p o s i t i v a s y n e g a t i v a s . D e l a d e r i v a c i ó n d e l a s d o s p r o p i e d a d e s , p o d e m o s d e d u c i r q u e s i

r2 < |z| < r2 c o n v e r g e , e n t o n c e s e l t i e m p o p o s i t i v o y e l t i e m p o n e g a t i v o c o n v e r g e , y X (z) c o n v e r g e

t a m b i é n . P o r e s o l a R O C d e u n a s e c u e n c i a d e d o s l a d o s t i e n e l a f o r m a d e r2 < |z| < r2 .

F i g u r e 1 5 . 1 1 : U n a s e c u e n c i a d e d o s l a d o s .



2 7 0


F i g u r e 1 5 . 1 2 : L a R O C d e u n a s e c u a n c i a d e d o s l a d o s .

1 5 . 3 . 3 E j e m p l o s

P a r a e n t e n d e r e s t o m e j o r v e r e m o s l o s s i g u i e n t e s e j e m p l o s .

E x a m p l e 1 5 . 3

T o m e m o s

x1 [n] =

1

2

n

u [n] +

1

4

n

u [n] ( 1 5 . 2 6 )

L a t r a n s f o r m a d a d e

12

nu [n] e s

zz− 1

2

c o n R O C e n |z| > 12 .

F i g u r e 1 5 . 1 3 : L a R O C d e

12

´nu [n]



2 7 1


−14

nu [n] e s

zz+ 1

4

c o n R O C e n |z| > −14

.

F i g u r e 1 5 . 1 4 : L a R O C d e

−14

´nu [n]

U s a n d o l i n e a l i d a d ,

X 1 [z] = zz− 1

2+ z

z+ 14

=2z(z− 1

8 )

(z− 12)(z+ 14)

( 1 5 . 2 7 )

A l o b s e r v a r e s t o s e v u e l v e c l a r o q u e h a y d o s c e r o , u n o e n 0 y e l o t r o e n

18 , y d o s p o l o s , u n o e n

12 ,

y e n

−14 . U s a n d o l a s p r o p i e d a d e s , l a R O C e s |z| > 1

2 .



2 7 2


F i g u r e 1 5 . 1 5 : L a R O C d e x1 [n] =`12

´nu [n] +

`−14

´nu [n]

E x a m p l e 1 5 . 4

A h o r a t o m e m o s

x2 [n] =

−1

4

n

u [n] −

1

2

n

u [−n − 1] ( 1 5 . 2 8 )

L a t r a n s f o r m a d a y R O C d e −14 nu [n] f u e r o n m o s t r a d a s e n e l e j e m p l o a n t e r i o r ( E x a m p l e 1 5 . 3 ) .


− 12nu [−n − 1] e s

zz− 1

2

c o n u n a R O C e n |z| > 12 .



2 7 3

F i g u r e 1 5 . 1 6 : L a R O C d e −``

12

´n´´u [−n− 1]

U s a n d o l i n e a l i d a d ,

X 2 [z] = zz+ 1

4+ z

z− 12

=z(2z− 1

8 )(z+ 1

4 )(z− 12)

( 1 5 . 2 9 )

P o d e m o s o b s e r v a r q u e h a y d o s c e r o s , e n 0 y

116 , y d o s p o l o s e n

12 , y

−14 . E n e s t e c a s o l a R O C e s

|z| < 12 .



2 7 4


F i g u r e 1 5 . 1 7 : L a R O C d e x2 [n] =`−1

4

´nu [n]−

`12

´nu [−n− 1].

1 5 . 4 L a T r a n s f o r m a d a I n v e r s a d e Z

4

C u a n d o u s a m o s l a t r a n s f o r m a d a - z ( S e c t i o n 1 5 . 1 )

X (z) =

∞n=−∞

x [n] z−n

( 1 5 . 3 0 )

E s d e g r a n a y u d a e l p o d e r e n c o n t r a r

x [n] d a d o

X (z). E x i s t e n a l m e n o s 4 m é t o d o s d i f e r e n t e s p a r a h a c e r

e s t o :

1 . I n s p e c c i ó n ( S e c t i o n 1 5 . 4 . 1 : E l M é t o d o d e I n s p e c c i ó n )

2 . E x p a n s i o n d e f r a c c i o n e s p a r c i a l e s ( S e c t i o n 1 5 . 4 . 2 : M é t o d o d e E x p a n s i ó n d e F r a c c i o n e s P a r c i a l e s )

3 . E x p a n s i ó n d e s e r i e s d e p o t e n c i a ( S e c t i o n 1 5 . 4 . 3 : M é t o d o d e E x p a n s i ó n d e S e r i e s d e P o t e n c i a )

4 . I n t e g r a c i ó n d e l c o n t o r n o ( S e c t i o n 1 5 . 4 . 4 : M é t o d o d e I n t e g r a c i ó n d e l C o n t o r n o )

1 5 . 4 . 1 E l M é t o d o d e I n s p e c c i ó n

E s t e " m é t o d o " e s e l f a m i l i a r i z a r s e c o n l a t a b l a p a r a l o s p a r e s d e l a t r a n s f o r m a d a - z ( S e c t i o n 1 5 . 2 ) y e l u s a r

i n g e n i e r í a i n v e r s a .

E x a m p l e 1 5 . 5

D a d o

X (z) =z

z − α

4




2 7 5

C o n u n R O C ( S e c t i o n 1 5 . 3 ) d e

|z| > α

A l i n s p e c c i o n a r p o d e m o s d e t e r m i n a r q u e

x [n] = αnu [n]

1 5 . 4 . 2 M é t o d o d e E x p a n s i ó n d e F r a c c i o n e s P a r c i a l e s

C u a n d o t r a t a m o s c o n s i s t e m a s l i n e a r e s d e t i e m p o i n v a r i a n t e l a t r a n s f o r m a d a - z t i e n e l a f o r m a

X (z) = B(z)A(z)

=P

Mk=0(bkz−k)PNk=0(akz

−k)

( 1 5 . 3 1 )

Q u e t a m b i é n s e p u e d e e x p r e s a r c o m o

X (z) =a0b0

M k=1

1 − ckz−1

N

k=1 (1 − dkz−1)( 1 5 . 3 2 )

d o n d e ck r e p r e s e n t a l o s c e r o s c o n v a l o r n o c e r o s d e X (z) y dk r e p r e s e n t a l o s p o l o s c o n v a l o r e s n o c e r o

S i M < N e n t o n c e s X (z) s e p u e d e r e p r e s e n t a r p o r

X (z) =N

k=1

Ak

1 − dkz−1

( 1 5 . 3 3 )

E s t a f o r m a a y u d a e l i n v e r t i r c a d a t e r m i n o d e l a s u m a u s a n d o e l m é t o d o d e i n s p e c c i ó n ( S e c t i o n 1 5 . 4 . 1 : E l

M é t o d o d e I n s p e c c i ó n ) y l a t a b l a d e t r a n s f o r m a d a s ( S e c t i o n 1 5 . 2 ) . P o r l o t a n t o e l n u m e r a d o r e s u n p o l i n o m i o

s e v u e l v e n e c e s a r i o u s a r l a e x p a n s i ó n d e f r a c c i o n e s p a r c i a l e s

5

p a r a p o d e r p o n e r X (z) e n l a f o r m a d e s c r i t a

a r r i b a . S i M ≥ N e n t o n c e s X (z) s e p u e d e e x p r e s a r c o m o

X (z) =M −N r=0

Brz−r

+

N −1k=0

b '

kz−k

N k=0 (akz−k)

( 1 5 . 3 4 )

E x a m p l e 1 5 . 6

E n c u e n t r e l a t r a n s f o r m a d a i n v e r s a - z d e

X (z) =1 + 2z−1 + z−2

1 + (−3z−1) + 2z−2

D o n d e e l R O C e s

|z

|> 2 . E n e s t e c a s o M = N = 2 , a s í q u e t e n e m o s q u e l a d i v i s i ó n l a r g a p a r a

o b t e n e r

X (z) =1

2+

12 + 7

2z−1

1 + (−3z−1) + 2z−2

T e n e m o s q u e f a c t o r i z a r e l d e n o m i n a d o r .

X (z) = 2 +(−1) + 5z−1

(1 − 2z−1) (1 − z−1)

5

" P a r t i a l F r a c t i o n E x p a n s i o n " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 2 1 1 1 / l a t e s t / >



2 7 6


A h o r a u t i l i z a m o s l a e x p a n s i ó n d e f r a c c i o n e s p a r c i a l e s .

X (z) =1

2+

A1

1

−2z−1

+A2

1

−z−1

=1

2+

92

1

−2z−1

+−4

1

−z−1

A h o r a c a d a t é r m i n o s e p u e d e i n v e r t i r u s a n d o e l m é t o d o d e i n s p e c c i ó n y l a t a b l a d e t r a n s f o r m a d a - z .

y a q u e l a R O C e s |z| > 2,

x [n] =1

2δ [n] +

9

22nu [n] + (−4u [n])

1 5 . 4 . 3 M é t o d o d e E x p a n s i ó n d e S e r i e s d e P o t e n c i a

C u a n d o l a t r a n s f o r m a d a - z e s d e n i d a c o n u n a s e r i e d e p o t e n c i a e n l a f o r m a d e

X (z) =∞

n=−∞ x [n] z−n

( 1 5 . 3 5 )

e n t o n c e s c a d a t e r m i n o d e l a s e c u e n c i a x [n] s e p u e d e t e r m i n a r a l v e r l o s c o e c i e n t e s d e l r e s p e c t i v o p o d e r

z−n.

E x a m p l e 1 5 . 7

V e l a s i g u i e n t e t r a n s f o r m a d a - z d e l a s e c u e n c i a d e t a m a ñ o n i t o .

X (z) = z2

1 + 2z−1

1 − 12

z−1

1 + z−1

= z2 + 52z + 1

2 +− z−1 ( 1 5 . 3 6 )

E n e s t e c a s o , y a q u e n o h a y p o l o s , m u l t i p l i c a m o s l o s f a c t o r e s d e

X (z) . A l i n s p e c c i ó n a l a , s e v u e l e

c l a r o q u e

x [n] = δ [n + 2] +

5

2 δ [n + 1] +

1

2 δ [n] + (− (δ [n − 1])).

U n a d e l a s v e n t a j a s d e l a s s e r i e s d e p o t e n c i a e s q u e m u c h a s f u n c i o n e s u s a d a s e n f u n c i o n e s d e i n g e n i e r í a

t i e n e n t a b u l a d a s s u s s e r i e s d e p o t e n c i a . P o r l o t a n t o f u n c i o n e s c o m o e l L o g , s e n o , e x p o n e n c i a l , s e n o h , e t c . ,

s e p u e d e n i n v e r t i r f á c i l m e n t e .

E x a m p l e 1 5 . 8

S u p o n g a

X (z) = logn

1 + αz−1

A l n o t a r q u e

logn (1 + x) =

∞

n=1−1n+1xn

n

E n t o n c e s

X (z) =∞

n=1

−1n+1αnz−n

n

P o r l o t a n t o

X (z) =

−1n+1αnn

i f n ≥ 1

0 i f n ≤ 0



2 7 7

1 5 . 4 . 4 M é t o d o d e I n t e g r a c i ó n d e l C o n t o r n o

S i n e n t r a r e n d e t a l l e s

x [n] =1

2πj r

X (z) zn−1dz ( 1 5 . 3 7 )

d o n d e r e s e l c o n t o r n o d e l l a d o c o n t r a r i o d e l r e l o j e n l a R O C d e X (z) c i r c u l a n d o e l o r i g e n d e l p l a n o - z . P a r a

e x p a n d i r e s t e m é t o d o p a r a e n c o n t r a r l a i n v e r s a s e n e c e s i t a c o n o c i m i e n t o d e t e o r í a d e v a r i a b l e s c o m p l e j a s y

e s t o n o s e v e r a e n e s t e m o d u l o .

1 5 . 5 F u n c i o n e s R a c i o n a l e s

6

1 5 . 5 . 1 I n t r o d u c c i ó n

C u a n d o u s a m o s o p e r a c i o n e s c o n p o l i n o m i o s , e l t é r m i n o d e f u n c i o n e s r a c i o n a l e s e s u n a m a n e r a s i m p l e d e

d e s c r i b i r u n a r e l a c i ó n p a r t i c u l a r e n t r e d o s p o l i n o m i o s .

D e n i t i o n 1 8 : F u n c i ó n R a c i o n a l

P a r a d o s p o l i n o m i o s c u a l q u i e r a , A y B , s u f r a c c i ó n e s c o n o c i d a c o n o u n a f u n c i ó n r a c i o n a l .

E x a m p l e

A q u í s e m u e s t r a u n e j e m p l o d e u n a f u n c i ó n r a c i o n a l , f (x) . N o t e q u e e l n u m e r a d o r y d e n o m i -

n a d o r p u e d e n s e r p o l i n o m i o s d e c u a l q u i e r o r d e n , p e r o l a f u n c i ó n r a c i o n a l e s i n d e n i d a c u a n d o e l

d e n o m i n a d o r e s c e r o .

f (x) =x2 − 4

2x2 + x − 3( 1 5 . 3 8 )

S i u s t e d h a e m p e z a d o a u s a r l a t r a n s f o r m a d a - z ( S e c t i o n 1 5 . 1 ) , u s t e d d e b i ó n o t a r q u e t o d a s l a s t r a n s f o r -

m a d a s s o n f u n c i o n e s r a c i o n a l e s . E n s e g u i d a v e r e m o s a l g u n a s d e l a s p r o p i e d a d e s d e l a s f u n c i o n e s r a c i o n a l e s y

c o m o s e p u d e u s a r p a r a r e v e l e r c a r a c t e r í s t i c a s i m p o r t a n t e s d e l a t r a n s f o r m a d a - z , y p o r l o t a n t o r e v e l a r u n a

s e ñ a l o u n s i s t e m a L T I .

1 5 . 5 . 2 P r o p i e d a d e s d e l a s F u n c i o n e s R a c i o n a l e s

P a r a p o d e r e n t e n d e r l o q u e h a c e q u e l a s f u n c i o n e s r a c i o n a l e s s e a n t a n e s p e c i a l e s , t e n e m o s q u e o b s e r v a r

a l g u n a s d e s u s p r o p i e d a d e s y c a r a c t e r í s t i c a s . S i u s t e d e s t a f a m i l i a r i z a d o c o n l a s f u n c i o n e s r a c i o n a l e s y q u e

l a s f u n c i o n e s b á s i c a s d e a l g e b r a , p o d r á i r d i r e c t a m e n t e a l a s i g u i e n t e s e c c i o n ( S e c t i o n 1 5 . 5 . 3 : L a s F u n c i o n e s

R a c i o n a l e s y l a T r a n s f o r m a d a - z ) y v e r c o m o l a s f u n c i o n e s r a c i o n a l e s n o s a y u d a n a e n t e n d e r l a t r a n s f o r m a d a - z .

1 5 . 5 . 2 . 1 R a í c e s

P a r a e n t e n d e r m u c h a s d e l a s c a r a c t e r í s t i c a s d e l a s f u n c i o n e s r a c i o n a l e s , t e n e m o s q u e e m p e z a r p o r e n c o n t r a r

l a s r a í c e s d e l a f u n c i ó n r a c i o n a l . P a r a s e r e s t o , f a c t o r i c e m o s l o s d o s p o l i n o m i o s p a r a p o d e r o b s e r v a r l a s r a í c e s

f á c i l m e n t e . C o m o t o d o s l o s p o l i n o m i o s , l a s r a í c e s n o s d a r á n i n f o r m a c i ó n s o b r e m u c h a s d e s u s p r o p i e d a d e s .

E s t a f u n c i ó n n o s m u e s t r a e l r e s u l t a d o q u e d a e l f a c t o r i z a r l a f u n c i ó n r a c i o n a l a n t e r i o r , ( 1 5 . 3 8 ) .

f (x) =(x + 2) (x − 2)

(2x + 3) (x − 1)( 1 5 . 3 9 )

A s í , l a s r a í c e s p a r a e s t a f u n c i ó n s o n l a s s i g u i e n t e s :

L a s r a í c e s d e l n u m e r a d o r s o n : −2, 2L a s r a í c e s d e l d e n o m i n a d o r s o n : −3, 1

6




2 7 8


n o t e : P a r a e n t e n d e r l a s f u n c i o n e s r a c i o n a l e s , e s e s e n c i a l e l s a b e r y e n t e n d e r l a s r a í c e s q u e f o r m a n

p a r t e d e e s t a f u n c i ó n .

1 5 . 5 . 2 . 2 D i s c o n t i n u i d a d e s

Y a q u e e s t a m o s v i e n d o l a d i v i s i ó n d e d o s p o l i n o m i o s , t e n e m o s q u e v e r l o s v a l o r e s d e l a v a r i a b l e q u e d a r á n q u e

e l d e n o m i n a d o r d e n u e s t r a f r a c c i ó n s e a c e r o . C u a n d o e s t o p a s a , l a f u n c i ó n r a c i o n a l s e v u e l v e i n d e n i d a , p o r l o

t a n t o , t e n e m o s u n a d i s c o n t i n u i d a d e n l a f u n c i ó n . Y a q u e s a b e m o s n u e s t r a s r a í c e s , e s m u y f á c i l s a b e r c u a n d o

o c u r r e e s t o . C u a n d o t e n e m o s u n a v a r i a b l e e n e l d e n o m i n a d o r i g u a l a c u a l q u i e r r a í z e n e l d e n o m i n a d o r , l a

f u n c i ó n s e v u e l v e i n d e n i d a .

E x a m p l e 1 5 . 9

U s a n d o l a f u n c i ó n r a c i o n a l a n t e r i o r , ( 1 5 . 3 8 ) , p o d e m o s o b s e r v a r q u e f u n c i ó n t e n d r á d i s c o n t i n u i d a d e s

e n l o s s i g u i e n t e s p u n t o s :

x = −3, 1C o n r e s p e c t o a l p l a n o c a r t e s i a n o p o d e m o s d e c i r q u e l a s d i s c o n t i n u i d a d e s o c u r r e n c o n r e s p e c t o a l e j e d e l a s

x . E s t a d i s c o n t i n u i d a d e s s e r á n a s i n t o t i c a m e n t e v e r t i c a l e n l a g r a c a y r e p r e s e n t a r a l o s v a l o r e s d o n d e l a

f u n c i ó n e s t a i n d e n i d a .

1 5 . 5 . 2 . 3 D o m i n i o

U s a n d o l a s r a í c e s a n t e r i o r e s , e l d o m i n i o d e l a f u n c i ó n r a c i o n a l s e p u e d e d e n i r .

D e n i t i o n 1 9 : d o m i n i o

E l g r u p o , o c o n j u n t o , d e v a l o r e s q u e s o n d e n i d o s p o r u n a f u n c i ó n .

E x a m p l e

U s a n d o l a f u n c i ó n r a c i o n a l a n t e r i o r , ( 1 5 . 3 8 ) , e l d o m i n i o s e p u e d e d e n i r c o m o c u a l q u i e r n u m e r o r e a l

x d o n d e x n o i g u a l a a 1 o n e g a t i v a 3 . E x p r e s a n d o e s t o m a t e m á t i c a m e n t e , o b t e n e m o s l o s i g u i e n t e :

x ∈ R |x = −3 and x = 1 ( 1 5 . 4 0 )

1 5 . 5 . 2 . 4 I n t e r c e p c i o n e s

L a i n t e r c e s i ó n e n l a x e s d e n i d a c o m o e l p u n t o ( s ) d o n d e

f (x), e n o t r a s p a l a b r a s l a s a l i d a d e l a f u n c i ó n

r a c i o n a l i g u a l a a c e r o . Y a q u e h e m o s e n c o n t r a d o l a s r a í c e s d e l a f u n c i ó n e s t e p r o c e s o e s m u y s i m p l e . U s a n d o

a l g e b r a , s a b e m o s q u e l a s a l i d a s e r á c e r o c u a n d o e l n u m e r a d o r d e l a f u n c i ó n i g u a l a c e r o . P o r l o t a n t o , l a

f u n c i ó n t e n d r á u n a i n t e r c e p c i o n e s e n x c u a n d o s e a i g u a l a u n a d e l a s r a í c e s d e l n u m e r a d o r .

L a i n t e r c e p c i ó n y o c u r r e c u a n d o x e s i g u a l a c e r o . S e p u e d e e n c o n t r a r a l t e n e r t o d o s l o s v a l o r e s d e xi g u a l a c e r o y r e s o l v e r l a f u n c i ó n r a c i o n a l .

1 5 . 5 . 3 L a s F u n c i o n e s R a c i o n a l e s y l a T r a n s f o r m a d a - z

C o m o y a l o h e m o s m e n c i o n a d o t o d a s l a s t r a n s f o r m a d a s - z s e p u e d e n e s c r i b i r c o m o f u n c i ó n r a c i o n a l , l o c u a l e s

l a m a n e r a m a s c o m ú n d e r e p r e s e n t a r l a t r a n s f o r m a d a - z . P o r e s t o , p o d e m o s u s a r l a s t r a n s f o r m a d a s a n t e r i o r e s

e s p e c i a l m e n t e l a s d e l a r a í c e s , p a r a r e v e l e r a l g u n a s d e l a s c a r a c t e r í s t i c a s d e l a s e ñ a l o s i s t e m a L T I d e s c r i t o s

p o r l a t r a n s f o r m a d a - z .

L a s i g u i e n t e e c u a c i ó n m u e s t r a l a f o r m a g e n e r a l d e e s c r i b i r l a t r a n s f o r m a d a - z c o m o u n a f u n c i ó n r a c i o n a l :

X (z) =b0 + b1z−1 + · · · + bM z

−M

a0 + a1z−1 + · · · + aN z−N ( 1 5 . 4 1 )



2 7 9

S i u s t e d y a v i o e l m o d u l o t i t u l a d o e l e n t e n d e r g r a c a s d e p o l o s y c e r o s y l a t r a n s f o r m a d a - z

7

, u s t e d s a b r á

c o m o l a s r a í c e s d e l a s f u n c i o n e s r a c i o n a l e s f o r m a n u n p a p e l i m p o r t a n t e p a r a e n t e n d e r l a t r a n s f o r m a d a - z .

L a e c u a c i ó n a n t e r i o r , ( 1 5 . 4 1 ) , s e p u e d e e x p r e s a r e n u n a f o r m a f a c t o r i z a d a s i m i l a r l a f u n c i ó n r a c i o n a l v i s t a

a n t e r i o r m e n t a , v e a ( 1 5 . 3 9 ) . P o r l o t a n t o p o d e m o s e n c o n t r a r l a s r a í c e s d e l n u m e r a d o r y d e n o m i n a d o r d e l a

t r a n s f o r m a d a - z . L a s s i g u i e n t e s d o s r e l a c i o n e s s e v u e l v e n o b v i a s :

R e l a c i ó n d e R a í c e s e n P o l o s y C e r o s

• L a s r a í c e s d e l n u m e r a d o e n l a f u n c i ó n r a c i o n a l s o n l o c e r o s e n l a t r a n s f o r m a d a - z

• L a s r a í c e s e n e l n o m i n a d o r d e l a f u n c i ó n r a c i o n a l s o n l o s p o l o s d e l a t r a n s f o r m a d a - z

1 5 . 5 . 4 C o n c l u s i ó n

U n a v e z q u e u s e m o s n u e s t r o c o n o c i m i e n t o d e f u n c i o n e s r a z ó n a l e s p a r a e n c o n t r a r s u s r a í c e s , p o d e m o s m a -

n i p u l a r u n a t r a n s f o r m a d a - z e n v a r i a s m a n e r a s ú t i l e s . P o d e m o s u s a r e s t e c o n o c i m i e n t o p a r a r e p r e s e n t a r u n

s i s t e m a L T I g r á c a m e n t e u s a n d o u n a g r a c a d e p o l o s y c e r o s

8

, o p a r a a n a l i z a r o d i s e ñ a r u n l t r o d i g i t a l a

t r a v é s d e l a t r a n s f o r m a d a - z

9

.

1 5 . 6 L a E c u a c i ó n d e D i f e r e n c i a

1 0

1 5 . 6 . 1 I n t r o d u c c i ó n

U n o d e l o s c o n c e p t o s m á s i m p o r t a n t e s p a r a e l D S P e s p o d e r r e p r e s e n t a r l a r e l a c i ó n d e e n t r a d a y s a l i d a

d e c u a l q u i e r s i s t e m a L T I . U n a e c u a c i ó n d e d i f e r e n c i a d e c o e c i e n t e l i n e a r c o n s t a n t e ( L C C D E ) n o s

s i r v e p a r a e x p r e s a r e s t a r e l a c i ó n e n u n s i s t e m a d i s c r e t o . E l e s c r i b i r l a s e c u e n c i a d e e n t r a d a s y s a l i d a s , l a s

c u a l e s r e p r e s e n t a n l a s c a r a c t e r í s t i c a s d e l s i s t e m a L T I , c o m o u n a e c u a c i ó n d e d i f e r e n c i a n o s a y u d a e n t e n d e r

y m a n i p u l a r e l s i s t e m a .

D e n i t i o n 2 0 : L a E c u a c i ó n d e D i f e r e n c i a

E s u n a e c u a c i ó n q u e m u e s t r a l a r e l a c i ó n e n t r a v a l o r e s c o n s e c u t i v o s d e u n a s e c u e n c i a y l a d i f e r e n c i a

e n t r e e l l o s . U s u a l m e n t e s e e s c r i b e e n u n a e c u a c i ó n r e c u r r e n t e p a r a q u e l a s a l i d a d e l s i s t e m a s e

p u e d a c a l c u l a r d e l a s e n t r a d a s d e l a s e ñ a l y s u s v a l o r e s a n t e r i o r e s .

E x a m p l e

y [n] + 7y [n − 1] + 2y [n − 2] = x [n] − 4x [n − 1] ( 1 5 . 4 2 )

1 5 . 6 . 2 F o r m u l a s G e n e r a l e s p a r a l a E c u a c i ó n d e D i f e r e n c i a

L a e c u a c i ó n d e d i f e r e n c i a n o s a y u d a a d e s c r i b i r l a s a l i d a d e l s i s t e m a d e s c r i t o p o r l a f o r m u l a p a r a c u a l q u i e r n .

L a p r o p i e d a d m a s i m p o r t a n t e p a r a e s t a e c u a c i ó n e s l a h a b i l i d a d d e p o d e r e n c o n t r a r l a t r a n s f o r m a d a , H (z) ,

d e l s i s t e m a . L a s s i g u i e n t e s s u b s e c c i o n e s v e r e m o s l a f o r m a g e n e r a d e l a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l e n l a c o n v e r s i ó n

a l a t r a n s f o r m a d a - z d i r e c t a m e n t e d e s u e c u a c i ó n d e d i f e r e n c i a .

7


8


9

" F i l t e r D e s i g n u s i n g t h e P o l e / Z e r o P l o t o f a Z - T r a n s f o r m " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 5 4 8 / l a t e s t / >

1 0




2 8 0


1 5 . 6 . 2 . 1 E c u a c i ó n d e D i f e r e n c i a

L a f o r m a g e n e r a l d e e s t e t i p o d e e c u a c i ó n e s l a s i g u i e n t e :

N k=0

(aky [n − k]) =

M k=0

(bkx [n − k]) ( 1 5 . 4 3 )

T a m b i é n s e p u e d e e x p r e s a r c o m o u n a s a l i d a r e c u r r e n t e , l a c u a l s e v e a s í :

y [n] = −

N k=1

(aky [n − k])

+

M k=0

(bkx [n − k]) ( 1 5 . 4 4 )

D e e s t a e c u a c i ó n , n o t e q u e

y [n − k] r e p r e s e n t a l a s s a l i d a s y

x [n − k] e p r e s e n t a l a s e n t r a d a s . E l v a l o r d e

N r e p r e s e n t a e l o r d e n d e l a e c u a c i ó n d e d i f e r e n c i a q u e c o r r e s p o n d e a l a m e m o r i a d e l s i s t e m a r e p r e s e n t a d o .

Y a q u e l a e c u a c i ó n d e p e n d e d e l o s v a l o r e s p a s a d o s d e l a s a l i d a , p a r a c a l c u l a r u n a s o l u c i ó n n u m é r i c a , a l g u n o s

v a l o r e s p a s a d o s , c o n o c i d o s c o m o c o n d i c i o n e s i n i c i a l e s , s e d e b e n s a b e r .

1 5 . 6 . 2 . 2 C o n v e r s i ó n a l a T r a n s f o r m a d a - z

U s a n d o l a f o r m u l a , ( 1 5 . 4 3 ) , p o d e m o s g e n e r a l i z a r l a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a , H (z) , p a r a c u a l q u i e r f u n c i ó n

d e d i f e r e n c i a . L o s s i g u i e n t e s p a s o s s e d e b e n d e t o m a r p a r a c o n v e r t i r c u a l q u i e r f u n c i ó n d e d i f e r e n c i a e n s u

f u n c i ó n d e d i f e r e n c i a . P r i m e r o s e t i e n e q u e t o m a r l a t r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r

1 1

d e t o d o s l o s t é r m i n o s e n

l a ( 1 5 . 4 3 ) . D e s p u é s u s a n d o l a p r o p i e d a d d e l i n e a l i d a d p a r a s a c a r l a t r a n s f o r m a d a f u e r a d e l a s u m a t o r i a

y u s a m o s l a p r o p i e d a d d e d e s p l a z a m i e n t o e n e l t i e m p o d e l a t r a n s f o r m a d a z p a r a c a m b i a r l o s t é r m i n o s

d e s p l a z a d o s e n e l t i e m p o a e x p o n e n c i a l e s . D e s p u é s d e h a c e r e s t o , l l e g a m o s a l a s i g u i e n t e e c u a c i ó n :

a0 = 1 .

Y (z) = −

N k=1

akY (z) z−k

+

M k=0

bkX (z) z−k

( 1 5 . 4 5 )

H (z) = Y (z)X(z)

=PMk=0(bkz−k)

1+P

Nk=1(akz

−k)

( 1 5 . 4 6 )

1 5 . 6 . 2 . 3 C o n v e r s i ó n a l a R e s p u e s t a d e F r e c u e n c i a

Y a q u e t e n e m o s l a t r a n s f o r m a d a - z , p o d e m o s t o m a r e l s i g u i e n t e p a s o y d e n i r l a r e s p u e s t a a l a f r e c u e n c i a

d e l s i s t e m a , o l t r o , q u e e s t a s i e n d o r e p r e s e n t a d o p o r l a e c u a c i ó n d e d i f e r e n c i a .

n o t e : R e c u e r d e q u e l a r a z ó n p o r l a q u e u s a m o s e s t a s f o r m u l a s e s e l p o d e r d i s e ñ a r u n l t r o . U n

L C C D E e s u n a d e l a s m a n e r a s m á s f á c i l e s d e r e p r e s e n t a r l o s l t r o s F I L . A l e n c o n t r a r l a r e s p u e s t a

d e f r e c u e n c i a , p o d e m o s v e r l a s f u n c i o n e s b á s i c a s d e c u a l q u i e r l t r o r e p r e s e n t a d o p o r u n a s i m p l e

L C C D E . L a f o r m u l a g e n e r a l p a r a l a r e s p u e s t a d e f r e c u e n c i a e n l a t r a n s f o r m a d a - z e s l a s i g u i e n t e .

L a c o n v e r s i ó n e s s i m p l e m e n t e t o m a r l a f o r m u l a d e l a t r a n s f o r m a d a - z , H (z), y r e m p l a z a r l a e n c u a l q u i e r

i n s t a n t e d e

zc o n

ejw

.

H (w) = H (z) |z,z=ejw

=PMk=0(bke−(jwk))PNk=0(ake−(jwk))

( 1 5 . 4 7 )

D e s p u é s d e q u e u s t e d e n t i e n d a l a d e r i v a c i ó n d e e s t a f o r m u l a v e a e l m o d u l o t i t u l a d o e l l t r o y l a t r a n s f o r m a d a -

z

1 2

p a r a q u e v e a l a s i d e a s d e l a t r a n s f o r m a d a - z ( S e c t i o n 1 5 . 1 ) y l a e c u a c i ó n d e d i f e r e n c i a , y l a s g r a c a s d e

p o l o s y c e r o s

1 3

s e u s a n a l d i s e ñ a r u n l t r o .

1 1


1 2


1 3




2 8 1

1 5 . 6 . 3 E j e m p l o

E x a m p l e 1 5 . 1 0 : E n c o n t r a n d o l a F u n c i ó n d e D i f e r e n c i a

A q u í s e m u e s t r a u n e j e m p l o d e t o m a r l o s p a s o s o p u e s t o s a l o s d e s c r i t o s a n t e r i o r m e n t e : d a d a u n a

f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a u n o p u e d e c a l c u l a r f á c i l m e n t e l a e c u a c i ó n d e d i f e r e n c i a d e l s i s t e m a .

H (z) =(z + 1)

2z − 1

2

z + 3

4

( 1 5 . 4 8 )

D a d a u n a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a d e u n l t r o , q u e r e m o s e n c o n t r a r l a f u n c i ó n d e d i f e r e n c i a . P a r a

h a c e r e s t o , e x p a n d a l o s o s p o l i n o m i o s y d i v í d a l o s p o r e l o r d e n m a s a l t o d e z .

H (z) = (z+1)(z+1)

(z− 12 )(z+ 3

4 )

= z2+2z+1z2+2z+1− 3

8

= 1+2z−1+z−2

1+ 14 z−1− 3

8 z−2

( 1 5 . 4 9 )

D e e s t a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a , l o s c o e c i e n t e s d e l o s d o s p o l i n o m i o s s e r á n n u e s t r o s v a l o r e s d e

ak y

bk q u e s e e n c u e n t r a n e l l a f o r m a g e n e r a l d e l a f u n c i ó n d e d i f e r e n c i a s , ( 1 5 . 4 3 ) . U s a n d o e s t o s

c o e c i e n t e s y l a f o r m a a n t e r i o r d e l a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a , p o d e m o s e s c r i b i r l a e c u a c i ó n d e

d i f e r e n c i a a s í :

x [n] + 2x [n − 1] + x [n − 2] = y [n] +1

4y [n − 1] − 3

8y [n − 2] ( 1 5 . 5 0 )

E n e l ú l t i m o p a s o r e - e s c r i b i m o s l a e c u a c i ó n d e d i f e r e n c i a e n u n a f o r m a m á s c o m ú n , m o s t r a n d o s u

n a t u r a l e z a r e c u r r e n t e d e l s i s t e m a .

y [n] = x [n] + 2x [n − 1] + x [n − 2] +−1

4y [n − 1] +

3

8y [n − 2] ( 1 5 . 5 1 )

1 5 . 6 . 4 R e s o l v i e n d o u n L C C D E

P a r a r e s o l v e r e s t e t i p o d e e c u a c i o n e s y p o d e r l a s u s a r e n e l a n á l i s i s d e s i s t e m a s L T I , t e n e m o s q u e e n c o n t r a r

l a s s a l i d a s d e l s i s t e m a q u e e s t á n b a s a d a s e n u n a e n t r a d a d e l s i s t e m a , x (n) y b a s a d a s e n u n c o n j u n t o d e

c o n d i c i o n e s i n i c i a l e s . E x i s t e n d o s m é t o d o s p a r a r e s o l v e r u n L C C D E : e l m é t o d o d i r e c t o , y e l m é t o d o

i n d i r e c t o , e s t e ú l t i m o b a s a d o e n l a t r a n s f o r m a d a - z . E n l a s s i g u i e n t e s s u b s e c c i o n e s s e e x p l i c a b r e v e m e n t e

l a s f o r m u l a s p a r a r e s o l v e r l o s L C C D E a s í c o m o e l u s o d e e s t o s d o s m é t o d o s .

1 5 . 6 . 4 . 1 M é t o d o D i r e c t o

L a s o l u c i ó n n a l d e l a s a l i d a , u t i l i z a n d o e s t e m é t o d o , e s u n a s u m a d i v i d i d a e n d o s p a r t e s e x p r e s a d a s d e l a

s i g u i e n t e m a n e r a :

y (n) = yh (n) + y p (n) ( 1 5 . 5 2 )

L a p r i m e r a p a r t e , yh (n) , s e c o n o c e c o m o l a s o l u c i ó n h o m o g é n e a y l a s e g u n d a p a r t e , yh (n), s e l e l l a m a

l a s s o l u c i ó n p a r t i c u l a r . E l s i g u i e n t e m é t o d o e s s i m i l a r a l u s a d o p a r a r e s o l v e r l a s e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s ,

a s í q u e s i y a t o m o u n c u r s o d e e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s , e s t e m é t o d o l e s e r á f a m i l i a r .



2 8 2


1 5 . 6 . 4 . 1 . 1 S o l u c i ó n H o m o g é n e a

S e e m p i e z a a l a s u m i r q u e l a e n t r a d a e s i g u a l a c e r o , x (n) = 0. D e s p u é s , t e n e m o s q u e s o l u c i o n a r l a e c u a c i ó n

d e d i f e r e n c i a h o m o g é n e a :

N k=0

(aky [n − k]) = 0 ( 1 5 . 5 3 )

P a r a r e s o l v e r e s t o , a s u m i m o s q u e l a s o l u c i ó n t i e n e l a f o r m a d e u n e x p o n e n c i a l . U s a r e m o s l a m b d a , λ, p a r a

r e p r e s e n t a r l o s t é r m i n o s e x p o n e n c i a l e s . A h o r a t e n e m o s q u e r e s o l v e r l a s i g u i e n t e e c u a c i ó n :

N k=0

akλn−k

= 0 ( 1 5 . 5 4 )

E x p a n d i r e m o s l a e c u a c i ó n y f a c t o r i z a r e m o s t o d o s l o s t é r m i n o s d e l a m b d a . E s t o n o s d a r á u n p o l i n o m i o

d e n t r o d e l p a r é n t e s i s , l o c u a l s e c o n o c e c o m o p o l i n o m i o c a r a c t e r í s t i c o . L a s r a í c e s d e e s t e p o l i n o m i o s o n

l a c l a v e p a r a r e s o l v e r e s t o e c u a c i ó n . S i s e t i e n e n r a í c e s d i f e r e n t e s , l a s o l u c i ó n g e n e r a l e s l a s i g u i e n t e :

yh (n) = C 1(λ1)n

+ C 2(λ2)n

+

· · ·+ C N (λN )

n( 1 5 . 5 5 )

S i n e m b a r g o , s i l a e c u a c i ó n c a r a c t e r í s t i c a c o n t i e n e m ú l t i p l e s r a í c e s l a s o l u c i ó n m o s t r a d a a n t e r i o r m e n t e s u f r e

a l g u n o s c a m b i o s . L a v e r s i ó n m o d i c a d a d e l a e c u a c i ó n s e m u e s t r a a b a j o , d o n d e λ1 t i e n e K r a í c e s :

yh (n) = C 1(λ1)n

+ C 1n(λ1)n

+ C 1n2(λ1)n

+ · · · + C 1nK−1(λ1)n

+ C 2(λ2)n

+ · · · + C N (λN )n

( 1 5 . 5 6 )

1 5 . 6 . 4 . 1 . 2 S o l u c i ó n P a r t i c u l a r

E s t a s o l u c i ó n , y p (n), s e r á a q u e l l a q u e r e s u e l v a l a e c u a c i ó n d e d i f e r e n c i a g e n e r a l :

N

k=0(aky p (n − k)) =

M

k=0(bkx (n − k)) ( 1 5 . 5 7 )

P a r a r e s o l v e r l a , n u e s t r a e s t i m a c i ó n d e l a s o l u c i ó n p a r a y p (n) t o m a r a l a f o r m a d e n u e s t r a e n t r a d a , x (n) .

D e s p u é s d e e s t o , u n o n a d a m a s t i e n e q u e s u s t i t u i r l a r e s p u e s t a y r e s o l v e r l a e c u a c i ó n .

1 5 . 6 . 4 . 2 M é t o d o I n d i r e c t o

E s t e m é t o d o u t i l i z a l a r e l a c i ó n e n t r e l a e c u a c i ó n d e d i f e r e n c i a y l a t r a n s f o r m a d a - z , p a r a e n c o n t r a r l a s o l u -

c i ó n . L a i d e a e s c o n v e r t i r l a e c u a c i ó n d e d i f e r e n c i a a s u t r a n s f o r m a d a - z , p a r a o b t e n e r u n a s a l i d a , f u e v i s t a

a n t e r i o r m e n t e ( S e c t i o n 1 5 . 6 . 2 : F o r m u l a s G e n e r a l e s p a r a l a E c u a c i ó n d e D i f e r e n c i a ) , . Y (z) . A l u s a r l a

t r a n s f o r m a d a i n v e r s a ( S e c t i o n 1 5 . 6 . 2 . 2 : C o n v e r s i ó n a l a T r a n s f o r m a d a - z ) y u s a n d o l a e x p a n s i ó n p a r c i a l d e

f r a c c i o n e s , p o d e m o s e n c o n t r a r l a s o l u c i ó n .

1 5 . 7 E n t e n d i e n d o l a s G r a c a s d e P o l o s y C e r o s e n e l P l a n o - Z

1 4

1 5 . 7 . 1 I n t r o d u c c i ó n a l o s P o l o s y C e r o s d e l a T r a s f o r m a d a - z

D e s p u é s d e e n c o n t r a r l a t r a n s f o r m a d a - z d e l s i s t e m a , u n o p u e d e u s a r l a i n f o r m a c i ó n d e l p o l i n o m i o p a r a

r e p r e s e n t a r l a f u n c i ó n g r á c a m e n t e y a s í o b s e r v a r s u s c a r a c t e r í s t i c a s . L a t r a n s f o r m a d a - z t e n d r á l a s i g u i e n t e

e s t r u c t u r a , b a s a d a e n l a s f u n c i o n e s r a c i o n a l e s ( S e c t i o n 1 5 . 5 ) :

X (z) =P (z)

Q (z)( 1 5 . 5 8 )

1 4




2 8 3

L o s d o s p o l i n o m i o s ,

P (z) y

Q (z) , n o s d e j a n e n c o n t r a r l o s p o l o s y c e r o s ( S e c t i o n 1 4 . 6 ) d e l a t r a n s f o r m a d a -

z .

D e n i t i o n 2 1 : c e r o s

1 . v a l o r ( e s ) d e z d o n d e P (z) = 0 .


c e r o .


1 . v a l o r ( e s ) d e z d o n d e Q (z) = 0 .


i n n i t a .

E x a m p l e 1 5 . 1 1

E s t a e s l a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a c o n p o l o s y c e r o s .

H (z) =z + 1

z−

1

2 z + 3

4

L o s c e r o s s o n : −1L o s p o l o s s o n :

12

, − 34

1 5 . 7 . 2 E l P l a n o - z

D e s p u é s d e e n c o n t r a r l o s p o l o s y c e r o s d e u n a t r a s f o r m a d a - z , s e p u e d e n g r a c a r e n e l p l a n o - z . E l p l a n o - z

e s u n p l a n o c o m p l e j o c o n e j e s r e a l e s e i m a g i n a r i o s p a r a l a v a r i a b l e c o m p l e j a d e z . L a p o s i c i ó n d e l p l a n o

c o m p l e j o e s d a d a p o r rejθ y e l á n g u l o s e d a d e l l a d o p o s i t i v e d e l e j e r e a l d e l p l a n o y s e e s c r i b e θ . A l g r a c a r

l o s p o l o s y c e r o s , l o s p o l o s s o n m o s t r a d o s c o n " x " y l o s c e r o s c o n " o " . L a s i g u i e n t e g u r a m u e s t r a e l p l a n o - z ,

a s í c o m o a l g u n o s e j e m p l o s d e c o m o g r a c a r p o l o s y c e r o s e n a l g ú n l u g a r p a r t i c u l a r e n e l p l a n o .



2 8 4


P l a n o - Z

F i g u r e 1 5 . 1 8

1 5 . 7 . 3 E j e m p l o s d e G r a c a s d e P o l o s y C e r o s

E s t a s e c c i ó n c o n t i e n e e j e m p l o s d e c o m o e n c o n t r a r p o l o s y c e r o s d e u n a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a y e l c o m o

g r a c a r l o s e n e l p l a n o - z .

E x a m p l e 1 5 . 1 2 : G r a c a S i m p l e d e P o l o s y C e r o s

H (z) =z

z − 12

z + 3

4

L o s c e r o s s o n : 0L o s p o l o s s o n :

12

, − 34



2 8 5

G r a c a s d e P o l o s y C e r o s

F i g u r e 1 5 . 1 9 : U s a n d o l o s c e r o s y p o l o s d e l a f u n c i o n d e t r a n s f e r e n c i a , u n c e r o e s g r a c a d o a e l v a l o r

c e r o y l o s d o s p o l o s s e c o l o c a n e n

12 y

−`34

´

E x a m p l e 1 5 . 1 3 : G r a c a C o m p l e j a d e P o l o s y C e r o s

H (z) =(z − j) (z + j)

z − 12

− 12 j

z − 12 + 1

2 j

L o s c e r o s s o n : j, − jL o s p o l o s s o n : −1, 1

2 + 12 j, 1

2− 1

2 j

G r a c a s d e P o l o s y C e r o s

F i g u r e 1 5 . 2 0 : U s a n d o l o s c e r o s y p o l o s d e l a f u n c i o n d e t r a n s f e r e n c i a , l o s c e r o s s o n g r a c a d o s e n

± j,

l o s p o l o s s o n c o l o c a d o s e n

−1,

12

+ 12 j

y

12− 1

2 j



2 8 6


M A T L A B - s i s e u s a e s t e p r o g r a m a , e n t o n c e s u s t e d p o d r á u s a r f u n c i o n e s q u e c r e a n e s t e t i p o d e g r a c a s

r á p i d a m e n t e . A b a j o s e m u e s t r a u n p r o g r a m a q u e g r a c a p o l o s y c e r o s d e l e j e m p l o a n t e r i o r .

7 u o r o r z r o

z a j Y E j Y

7 u o r o r o l

a E I Y F S C F S j Y F S E F S j Y

u r @ I A Y

z l n @ z D A Y

l @ 9 o l G r o l o o r g o m l o l G r o l o i m l 9 A Y

1 5 . 7 . 4 G r a c a s d e P o l o s y C e r o s y l a R e g i ó n d e C o n v e r g e n c i a

L a r e g i ó n d e c o n v e r g e n c i a ( R O C ) p a r a

X (z) e n e l p l a n o - z d e p u e d e d e t e r m i n a r d e l a g r a c a d e p o l o s y

c e r o s . A u n q u e v a r i a s R O C p u e d e n e x i s t i r , d o n d e c a d a u n a c o r r e s p o n d e a u n a r e s p u e s t a a l i m p u l s e d i f e r e n t e ,

e x i s t e n o p c i o n e s q u e s o n m a s p r a c t i c a s . U n R O C s e p u e d e e s c o g e r p a r a h a c e r l a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a

c a u s a l y / o e s t a b l e d e p e n d i e n d o d e l a g r a c a d e p o l o s y c e r o s .

P r o p i e d a d e s d e F i l t r o S a c a d a s d e l a R O C

• S i l a R O C s e e x t i e n d e h a c i a a f u e r a d e s d e s u u l t i m o p o l o , e n t o n c e s e l s i s t e m a e s c a u s a l .

• S i l a R O C i n c l u y e e l c í r c u l o u n i t a r i o , e n t o n c e s e l s i s t e m a e s e s t a b l e .

L a s i g u i e n t e g r a c a e s u n p o s i b l e R O C p a r a l a t r a n s f o r m a d a - z d e l e j e m p l o g r a c a s i m p l e d e p o l o s y c e r o s

( E x a m p l e 1 5 . 1 2 : G r a c a S i m p l e d e P o l o s y C e r o s ) l a r e g i ó n m o s t r a d a i n d i c a l a R O C e l e g i d a p a r a e l l t r o .

P o d e m o s i n f e r i o r q u e e l l t r o s e r á c a u s a l y e s t a b l e y a q u e t i e n e l a s p r o p i e d a d e s m e n c i o n a d a s a n t e r i o r m e n t e .

E x a m p l e 1 5 . 1 4

H (z) =z

z − 12

z + 3

4



2 8 7

L a r e g i ó n d e c o n v e r g e n c i a p a r a l a g r a c a d e p o l o s y c e r o s

F i g u r e 1 5 . 2 1 : L a a r e a r e p r e s e n t a l a R O C p a r a l a f u n c i o n d e t r a n s f e r e n c i a .

1 5 . 7 . 5 R e s p u e s t a d e F r e c u e n c i a y e l P l a n o - Z

L a r a z ó n p o r l o c u a l e s i m p o r t a n t e e l e n t e n d e r y c r e a r l a s g r a c a s d e p o l o s y c e r o s e s s u h a b i l i d a d d e a y u d a r

e n e l d i s e ñ o d e l t r o s . B a s a d o e n l a l o c a c i ó n d e l o s p o l o s y c e r o s , l a r e s p u e s t a d e l a m a g n i t u d d e l l t r o s e

p u e d e c o m p r e n d e r . A l e m p e z a r c o n e s t e t i p o d e g r a c a , u n o p u e d e d i s e ñ a r u n l t r o y o b t e n e r s u f u n c i ó n d e

t r a n s f e r e n c i a f á c i l m e n t e . V e a e s t a s e c c i ó n

1 5

p a r a o b t e n e r i n f o r m a c i ó n s o b r e l a r e l a c i ó n d e l a g r a c a d e p o l o s

y c e r o s c o n l a r e s p u e s t a d e f r e c u e n c i a .

1 5 . 8 D i s e ñ o d e F i l t r o s u s a n d o l a G r a c a d e P o l o s y C e r o s d e l a

T r a n s f o r m a d a - Z

1 6

1 5 . 8 . 1 E s t i m a n d o l a R e s p u e s t a d e F r e c u e n c i a d e u n P l a n o - Z

U n f a c t o r d e m o t i v a c i ó n p a r a e l a n á l i s i s d e l a g r a c a d e p o l o s y c e r o s e s l a r e l a c i ó n d e l a r e s p u e s t a d e

f r e c u e n c i a d e l s i s t e m a . B a s a d o e n l a p o s i c i ó n d e l o s p o l o s y c e r o s , u n o p u e d e d e t e r m i n a r l a r e s p u e s t a d e l a

f r e c u e n c i a . E s t e e s u n r e s u l t a d o d e l a c o r r e l a c i ó n e n t r e l a r e p u e s t a d e f r e c u e n c i a y l a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a

e v a l u a d a e n e l c í r c u l o u n i t a r i o d e l a g r a c a d e p o l o s y c e r o s . L a r e s p u e s t a d e f r e c u e n c i a , o D T F T , d e l s i s t e m a

e s d e n i d a p o r :

H (w) = H (z) |z,z=ejw

=PMk=0(bke−(jwk))PNk=0(ake−(jwk))

( 1 5 . 5 9 )

1 5


1 6




2 8 8


A l f a c t o r i z a r l a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a a s u s p o l o s y c e r o s y e l m u l t i p l i c a r e l n u m e r a d o r y d e n o m i n a d o r

p o r

ejws e o b t i e n e l o s i g u i e n t e :

H (w) =

|

b0

a0 |M k=1

|ejw − ck|N

k=1 (|ejw

− dk|)( 1 5 . 6 0 )

D e l a ( 1 5 . 6 0 ) o b t e n e m o s l a r e s p u e s t a d e f r e c u e n c i a e n u n a f o r m a q u e s e p u e d e u s a r p a r a i n t e r p r e t a r l a s

c a r a c t e r í s t i c a s f í s i c a s d e l a s r e s p u e s t a d e f r e c u e n c i a d e l l t r o . E l n u m e r a d o r y d e n o m i n a d o r c o n t i e n e n u n

p r o d u c t o e n t é r m i n o s d e l a f o r m a |ejw − h| , d o n d e h e s c e r o , m a r c a d o p o r ck o u n p o l o , d e s c r i t o p o r dk .

L o s v e c t o r e s s o n u s a d o s p a r a r e p r e s e n t a r e l t é r m i n o y s u s p a r t e s e n e l p l a n o c o m p l e j o . E l p o l o o c e r o , h, e s

u n v e c t o r q u e v i e n e d e l o r i g e n a l a s u l u g a r e n c u a l q u i e r p a r t e d e l p l a n o c o m p l e j o y ejw e s u n v e c t o r q u e

v i e n e d e l o r i g e n h a s t a u n a p o s i c i ó n e n e l c i r c u l o u n i t a r i o . E l v e c t o r q u e c o n e c t a e s t o s d o s p u n t o s , |ejw − h| ,

c o n e c t a e l p o l o o c e r o a u n l u g a r e n e l c i r c u l o u n i t a r i o q u e d e p e n d e d e l v a l o r d e

w. D e e s t o , p o d e m o s e m p e z a r

e n t e n d e r c o m o l a m a g n i t u d d e l a r e s p u e s t a d e f r e c u e n c i a e s u n r a d i o d e d i s t a n c i a s d e p o l o s y c e r o s p r e s e n t e

e n e l p l a n o - z y

wv a d e c e r o a p i . E s t a s c a r a c t e r í s t i c a s n o a y u d a n a e n t e n d e r . |H (w) | d e l a s i g u i e n t e m a n e r a :

|H (w) | = | b0a0

|”distanciasdelosceros”

”distanciasdelospolos”( 1 5 . 6 1 )

E n c o n c l u s i ó n , u s a n d o l a s d i s t a n c i a s d e l c í r c u l o u n i t a r i o a l o s p o l o s y c e r o s , p o d e m o s g r a c a r l a r e s p u e s t a d e

l a f r e c u e n c i a d e l s i s t e m a . C u a n d o

wv a d e 0 a 2π

, l a s s i g u i e n t e s d o s p r o p i e d a d e s , t o m a d a s d e l a s e c u a c i o n e s

a n t e r i o r e s , e s p e c i c a n c o m o s e d e b e g r a c a r |H (w) |.

M i e n t r a s s e m u e v a a l r e d e d o r d e l c í r c u l o u n i t a r i o . . .

1 . s i e s t a c e r c a s d e u n c e r o , l a m a g n i t u d e s c h i c a . S i e l c e r o e s t a s o b r e e l c i r c u l o u n i t a r i o , e n t o n c e s l a

r e s p u e s t a d e f r e c u e n c i a e s c e r o e n e s o p u n t o .

2 . s i e s t a c e r c a s d e u n p o l o , l a m a g n i t u d e s g r a n d e . S i e l p o l o e s t a s o b r e e l c i r c u l o u n i t a r i o , e n t o n c e s l a

r e s p u e s t a d e f r e c u e n c i a e s i n n i t a e n e s e p u n t o .

1 5 . 8 . 2 G r a c a n d o l a R e s p u e s t a d e F r e c u e n c i a d e u n a G r a c a d e P o l o s y C e r o s

V e r e m o s v a r i o s e j e m p l o s d o n d e s e d e t e r m i n a l a m a g n i t u d d e l a r e s p u e s t a d e f r e c u e n c i a d e a u n g r a c a d e

p o l o s y c e r o s d e u n a t r a n s f o r m a d a - z . S i s e l e o l v i d o o n o s a b e q u e e s u n a g r a c a d e p o l o s y c e r o s , v e a e l

m o d u l o d e g r a c a s d e p o l o s y c e r o s

1 7

.

E x a m p l e 1 5 . 1 5

E n e s t e e j e m p l o , t o m a r e m o s u n a t r a n s f o r m a d a - z s e n c i l l a m o s t r a d a a q u í :

H (z) = z + 1 = 1 + z−1

H (w) = 1 + e−(jw)

P a r a e s t e e j e m p l o , a l g u n o s d e l o s v e c t o r e s r e p r e s e n t a d o s p o r |ejw − h|, p a r a v a l o r e s a l e a t o r i o s d e

w , s o n g r a c a d o s e s p e c í c a m e n t e e n e l p l a n o c o m p l e j o , v i s t o e n l a s i g u e n t a g u r a . E s t o s v e c t o r e s

m u e s t r a n c o m o l a a m p l i t u d d e l a r e s p u e s t a d e f r e c u e n c i a c a m b i a c u a n d o w v a d e 0 a 2π , t a m b i é n

m u e s t r a e l s i g n i c a d o f í s i c o e n t é r m i n o s d e ( 1 5 . 6 0 ) . S e p u e d e o b s e r v a r q u e c u a n d o w = 0 , e l v e c t o r

e s m a y o r a s í q u e l a r e s p u e s t a d e f r e c u e n c i a t e n d r á l a m a y o r a m p l i t u d . C u a n d o

ws e a c e r c a a

π, e l

t a m a ñ o d e l v e c t o r d i s m i n u y e j u n t o c o n l a a m p l i t u d d e |H (w) | . Y a q u e l a t r a n s f o r m a d a n o c o n t i e n e

p o l o s , n a d a m a s t e n e m o s u n v e c t o r e n v e z d e u n r a d i o c o m o e n l a ( 1 5 . 6 0 ) .

1 7




2 8 9

( a ) G r a c a d e p o l o s y c e r o s ( b ) R e s p u e s t a d e F r e c u a n c i a : | H ( w ) |

F i g u r e 1 5 . 2 2 : L a p r i m e r a g u r a r e p r e c e n t a l a g r a c a d e p o l o s y c e r o s c o n u n o s c u a n t o s v e c t o r e s , l a

s e g u n d a m u e s t r a l a r e s p u e s t a d e f r e c u a n c i a q u e e s m a x i m a e n + 2 y e s g r a c a d a e n t r e p o s i t i v o y n e g a t i v o

π.

E x a m p l e 1 5 . 1 6

E n e s t e e j e m p l o , u n a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a m á s c o m p l e j a e s a n a l i z a d a p a r a p o d e r r e p r e s e n t a r

l a r e s p u e s t a d e l a f r e c u e n c i a d e l s i s t e m a

H (z) =z

z − 12

=1

1 − 12z−1

H (w) =1

1

−12e−(jw)

P e d e m o s o b s e r v a r d o s g u r e s q u e d e s c r i b e s l a s e c u a c i o n e s a n t e r i o r e s . L a c n x n

t a r g e t = " e g 2 _ g 1 " / > r e p r e s e n t a l a g r a c a s e n c i l l a d e p o l o s y c e r o s d e l a t r a n s f o r m a d a - z , H (w) .

F i g u r e 1 5 . 2 3 ( b ) ( R e s p u e s t a d e F r e c u e n c i a : | H ( w ) | ) L a s e c u n d a g u r a m u e s t r a l a m a g n i t u d d e l a

r e s p u e s t a d e f r e c u e n c i a . U s a n d o l a s f o r m u l a s y l o d i c h o e n l a s e c c i ó n a n t e r i o r , p o d e m o s v e r q u e

c u a n d o w = 0 l a f r e c u e n c i a s e r á m á x i m a y a q u e e n e s t e v a l o r d e , w e l p o l o e s t a m a s c e r c a d e l

c i r c u l o u n i t a r i o . E l r a d i o d e l a ( 1 5 . 6 0 ) n o s a y u d a a v e r l a c o n d u c c i ó n m a t e m á t i c a m e n t e y v e r l a

r e l a c i ó n e n t r e l a s d i s t a n c i a s d e l c i r c u l o u n i t a r i o y l o s p o l o s y l o s c e r o s . C u a n d o

ws e m u e v e d e 0

a π , o b s e r v a m o s c o m o e l c e r o e m p i e z a a c u b r i r l o s e f e c t o s d e l p o l o y a s í h a c e r q u e l a r e s p u e s t a d e

f r e c u e n c i a s e v u e l v e c a s i i g u a l a 0.



2 9 0


( a ) G r a c a d e P o l o s y C e r o s ( b ) R e s p u e s t a d e F r e c u e n c i a : | H ( w ) |

F i g u r e 1 5 . 2 3 : L a p r i m e r a r = g u r a r e p r e s e n t a l a g r a c a d e p o l o s y c e r o s , l a s e g u n d a m u e s t r a l a

r e s p u e s t a d e f r e c u e n c i a q u e e s m a x i m a e n + 2 y e s g r a c a d a e n t r e p o s i t i v o y n e g a t i v o

π.



C h a p t e r 1 6

T a r e a s

1 6 . 1 H o m e w o r k # 1

1

d u e d a t e : N o o n , T h u r s d a y , S e p t e m b e r 5 , 2 0 0 2

1 6 . 1 . 1 A s s i g n m e n t 1

H o m e w o r k , t e s t s , a n d s o l u t i o n s f r o m p r e v i o u s o e r i n g s o f t h i s c o u r s e a r e o l i m i t s , u n d e r t h e h o n o r c o d e .

1 6 . 1 . 1 . 1 P r o b l e m 1

F o r m a s t u d y g r o u p o f 3 - 4 m e m b e r s . W i t h y o u r g r o u p , d i s c u s s a n d s y n t h e s i z e t h e m a j o r t h e m e s o f t h i s w e e k

o f l e c t u r e s . T u r n i n a o n e p a g e s u m m a r y o f y o u r d i s c u s s i o n . Y o u n e e d t u r n i n o n l y o n e s u m m a r y p e r g r o u p ,

b u t i n c l u d e t h e n a m e s o f a l l g r o u p m e m b e r s . P l e a s e d o n o t w r i t e u p j u s t a " t a b l e o f c o n t e n t s . "

1 6 . 1 . 1 . 2 P r o b l e m 2

C o n s t r u c t a W W W p a g e ( w i t h y o u r p i c t u r e ) a n d e m a i l M i k e W a k i n ( w a k i n @ r i c e . e d u ) y o u r n a m e ( a s y o u

w a n t i t t o a p p e a r o n t h e c l a s s w e b p a g e ) a n d t h e U R L . I f y o u n e e d a s s i s t a n c e s e t t i n g u p y o u r p a g e o r

t a k i n g / s c a n n i n g a p i c t u r e ( b o t h a r e e a s y ! ) , a s k y o u r c l a s s m a t e s .

1 6 . 1 . 1 . 3 P r o b l e m 3 : L e a r n i n g S t y l e s

F o l l o w t h i s l e a r n i n g s t y l e s l i n k

2

( a l s o f o u n d o n t h e E l e c 3 0 1 w e b p a g e

3

) a n d l e a r n a b o u t t h e b a s i c s o f

l e a r n i n g s t y l e s . W r i t e a s h o r t s u m m a r y o f w h a t y o u l e a r n e d . A l s o , c o m p l e t e t h e " I n d e x o f l e a r n i n g s t y l e s "

s e l f - s c o r i n g t e s t o n t h e w e b a n d b r i n g y o u r r e s u l t s t o c l a s s .

1 6 . 1 . 1 . 4 P r o b l e m 4

M a k e s u r e y o u k n o w t h e m a t e r i a l i n L a t h i , C h a p t e r B , S e c t i o n s 1 - 4 , 6 . 1 , 6 . 2 , 7 . S p e c i c a l l y , b e s u r e t o r e v i e w

t o p i c s s u c h a s :

• c o m p l e x a r i t h m e t i c ( a d d i n g , m u l t i p l y i n g , p o w e r s )

• n d i n g ( c o m p l e x ) r o o t s o f p o l y n o m i a l s

• c o m p l e x p l a n e

4

a n d p l o t t i n g r o o t s

1


2

h t t p : / / w w w 2 . n c s u . e d u / u n i t y / l o c k e r s / u s e r s / f / f e l d e r / p u b l i c / L e a r n i n g _ S t y l e s . h t m l

3

h t t p : / / w w w - d s p . r i c e . e d u / c o u r s e s / e l e c 3 0 1 /

4


2 9 1



2 9 2

C H A P T E R 1 6 . T A R E A S

• v e c t o r s ( a d d i n g , i n n e r p r o d u c t s )

1 6 . 1 . 1 . 5 P r o b l e m 5 : C o m p l e x N u m b e r A p p l e t

R e a c q u a i n t y o u r s e l f w i t h c o m p l e x n u m b e r s

5

b y g o i n g t o t h e c o u r s e a p p l e t s w e b p a g e

6

a n d c l i c k i n g o n t h e

C o m p l e x N u m b e r s a p p l e t ( m a y t a k e a f e w s e c o n d s t o l o a d ) .

( a ) C h a n g e t h e d e f a u l t a d d f u n c t i o n t o e x p o n e n t i a l ( e x p ) . C l i c k o n t h e c o m p l e x p l a n e t o g e t a b l u e a r r o w ,

w h i c h i s y o u r c o m p l e x n u m b e r z . C l i c k a g a i n a n y w h e r e o n t h e c o m p l e x p l a n e t o g e t a y e l l o w a r r o w , w h i c h

i s e q u a l t o ez . N o w d r a g t h e t i p o f t h e b l u e a r r o w a l o n g t h e u n i t c i r c l e o n w i t h |z| = 1 ( s m a l l e r c i r c l e ) . F o r

w h i c h v a l u e s o f z o n t h e u n i t c i r c l e d o e s ez a l s o l i e o n t h e u n i t c i r c l e ? W h y ?

( b ) E x p e r i m e n t w i t h t h e f u n c t i o n s a b s o l u t e ( a b s ) , r e a l p a r t ( r e ) , a n d i m a g i n a r y p a r t ( i m ) a n d r e p o r t

y o u r n d i n g s .

1 6 . 1 . 1 . 6 P r o b l e m 6 : C o m p l e x A r i t h m e t i c

R e d u c e t h e f o l l o w i n g t o t h e C a r t e s i a n f o r m , a + jb . D o n o t u s e y o u r c a l c u l a t o r !

( a )

−1−j√220

( b )

1+2j3+4j

( c )

1+√3j√

3−j

( d )

√ j

( e ) jj

1 6 . 1 . 1 . 7 P r o b l e m 7 : R o o t s o f P o l y n o m i a l s

F i n d t h e r o o t s o f e a c h o f t h e f o l l o w i n g p o l y n o m i a l s ( s h o w y o u r w o r k ) . U s e M A T L A B t o c h e c k y o u r a n s w e r

w i t h t h e r o o c o m m a n d a n d t o p l o t t h e r o o t s i n t h e c o m p l e x p l a n e . M a r k t h e r o o t l o c a t i o n s w i t h a n ' o ' .

P u t a l l o f t h e r o o t s o n t h e s a m e p l o t a n d i d e n t i f y t h e c o r r e s p o n d i n g p o l y n o m i a l ( a, b, e t c . . . ) .

( a ) z2 − 4z( b )

z2 − 4z + 4( c )

z2 − 4z + 8( d ) z2 + 8( e ) z2 + 4z + 8( f ) 2z2 + 4z + 8

1 6 . 1 . 1 . 8 P r o b l e m 8 : N t h R o o t s o f U n i t y

ej2πN

i s c a l l e d a n N t h R o o t o f U n i t y .

( a ) W h y ?

( b ) L e t z = ej2π7

. D r a w

z, z2, . . . , z7

i n t h e c o m p l e x p l a n e .

( c ) L e t

z = ej4π7

. D r a w

z, z2, . . . , z7

i n t h e c o m p l e x p l a n e .

1 6 . 1 . 1 . 9 P r o b l e m 9 : W r i t i n g V e c t o r s i n T e r m s o f O t h e r V e c t o r s

A p a i r o f v e c t o r s

u ∈ C2a n d

v ∈ C2a r e c a l l e d l i n e a r l y i n d e p e n d e n t i f

αu + βv = 0 i f a n d o n l y i f α = β = 0

I t i s a f a c t t h a t w e c a n w r i t e a n y v e c t o r i n C2

a s a w e i g h t e d s u m ( o r l i n e a r c o m b i n a t i o n ) o f a n y t w o

l i n e a r l y i n d e p e n d e n t v e c t o r s , w h e r e t h e w e i g h t s α a n d β a r e c o m p l e x - v a l u e d .

5


6

h t t p : / / w w w . d s p . r i c e . e d u / c o u r s e s / e l e c 3 0 1 / a p p l e t s . s h t m l



2 9 3

( a ) W r i t e

3 + 4 j

6 + 2 j

a s a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f

1

2

a n d

−5

3

. T h a t i s , n d

αa n d

β s u c h t h a t

3 + 4 j

6 + 2 j

= α

1

2

+ β

−5

3

( b ) M o r e g e n e r a l l y , w r i t e

x =

x1

x2

a s a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f

1

2

a n d

−5

3

. W e w i l l d e n o t e

t h e a n s w e r f o r a g i v e n

xa s α (x) a n d β (x).

( c ) W r i t e t h e a n s w e r t o ( a ) i n m a t r i x f o r m , i . e . n d a 2 × 2 m a t r i x A s u c h t h a t

A

x1

x2

=

α (x)

β (x)

( d ) R e p e a t ( b ) a n d ( c ) f o r a g e n e r a l s e t o f l i n e a r l y i n d e p e n d e n t v e c t o r s u a n d v .

1 6 . 1 . 1 . 1 0 P r o b l e m 1 0 : F u n w i t h F r a c t a l s

A J u l i a s e t

J i s o b t a i n e d b y c h a r a c t e r i z i n g p o i n t s i n t h e c o m p l e x p l a n e . S p e c i c a l l y , l e t

f (x) = x2 + µw i t h

µc o m p l e x , a n d d e n e

g0 (x) = x

g1 (x) = f (g0 (x)) = f (x)

g2 (x) = f (g1 (x)) = f (f (x))

.

.

.

gn (x) = f (gn−1 (x))

T h e n f o r e a c h

xi n t h e c o m p l e x p l a n e , w e s a y

x ∈ J i f t h e s e q u e n c e

|g0 (x) |, |g1 (x) |, |g2 (x) |, . . .

d o e s n o t t e n d t o i n n i t y . N o t i c e t h a t i f

x ∈ J , t h e n e a c h e l e m e n t o f t h e s e q u e n c e g0 (x) , g1 (x) , g2 (x) , . . .

a l s o b e l o n g s t o J .

F o r m o s t v a l u e s o f µ, t h e b o u n d a r y o f a J u l i a s e t i s a f r a c t a l c u r v e - i t c o n t a i n s " j a g g e d " d e t a i l n o

m a t t e r h o w f a r y o u z o o m i n o n i t . T h e w e l l - k n o w n M a n d e l b r o t s e t c o n t a i n s a l l v a l u e s o f

µf o r w h i c h t h e

c o r r e s p o n d i n g J u l i a s e t i s c o n n e c t e d .

( a ) L e t µ = −1 . I s x = 1 i n J ?

( b ) L e t µ = 0 . W h a t c o n d i t i o n s o n x e n s u r e t h a t x b e l o n g s t o J ?

( c ) C r e a t e a n a p p r o x i m a t e p i c t u r e o f a J u l i a s e t i n M A T L A B . T h e e a s i e s t w a y i s t o c r e a t e a m a t r i x o f

c o m p l e x n u m b e r s , d e c i d e f o r e a c h n u m b e r w h e t h e r i t b e l o n g s t o J , a n d p l o t t h e r e s u l t s u s i n g t h e m

c o m m a n d . T o d e t e r m i n e w h e t h e r a n u m b e r b e l o n g s t o

J , i t i s h e l p f u l t o d e n e a l i m i t

N o n t h e n u m b e r o f

i t e r a t i o n s o f

g. F o r a g i v e n

x, i f t h e m a g n i t u d e |gn (x) | r e m a i n s b e l o w s o m e t h r e s h o l d

M f o r a l l 0 ≤ n ≤ N

,

w e s a y t h a t x b e l o n g s t o J . T h e c o d e b e l o w w i l l h e l p y o u g e t s t a r t e d :



2 9 4


x a I H H Y 7 w 5 o r o n

w a P Y 7 w n u d r o l d

m u a E H F U S Y 7 t u l r m r

r l l a E I F T X H F H I X I F T Y

m l a E I F P X H F H I X I F P Y

l a o n @ l n @ m l A D I A B r l l C F F F

j B m l 9 B o n @ I D l n @ r l l A A Y

t m a o n @ z @ l A A Y

a l Y 7 r H

7 s n r o d r o l l n l m n o t m F v 9 I 9

7 n l o o n r l o n o t D n r 9 H 9 n

7 l o o n o r F s n o n r o o r l l I H H

7 r o n o 3

m @ r l l D m l D t m A Y

o l o r m r Y

l l @ 9 @ A 9 A Y

l l @ 9 s m @ A 9 A Y

T h i s c r e a t e s t h e f o l l o w i n g p i c t u r e f o r µ = −0.75, N = 100, a n d M = 2 .



2 9 5

F i g u r e 1 6 . 1 : E x a m p l e i m a g e w h e r e t h e x - a x i s i s Re (x) a n d t h e y - a x i s i s Im (x) .

U s i n g t h e s a m e v a l u e s f o r

N ,

M , a n d

x, c r e a t e a p i c t u r e o f t h e J u l i a s e t f o r

µ = −0.391 − 0.587 j . P r i n t

o u t t h i s p i c t u r e a n d h a n d i t i n w i t h y o u r M A T L A B c o d e .

J u s t f o r F u n : T r y a s s i g n i n g d i e r e n t c o l o r v a l u e s t o J m a p . F o r e x a m p l e , l e t J m a p i n d i c a t e t h e

r s t i t e r a t i o n w h e n t h e m a g n i t u d e e x c e e d s M . T i p : t r y m @ l o @ t m A A a n d o l o r m j

f o r a n e a t p i c t u r e .

1 6 . 2 H o m e w o r k # 1 S o l u t i o n s

7

1 6 . 2 . 1 P r o b l e m # 1

N o s o l u t i o n s p r o v i d e d .

1 6 . 2 . 2 P r o b l e m # 2


1 6 . 2 . 3 P r o b l e m # 3


1 6 . 2 . 4 P r o b l e m # 4


7




2 9 6


1 6 . 2 . 5 P r o b l e m # 5

1 6 . 2 . 5 . 1 P a r t ( a )

ez l i e s o n t h e u n i t c i r c l e f o r z =±

j . W h e n z =±

j ,

ez = e±j = cos (±1) + jsin (±1)

e±j =

cos2 (±1) + sin2 (±1) 12

= 1( 1 6 . 1 )

w h i c h g i v e s u s t h e u n i t c i r c l e !

T h i n k o f i t t h i s w a y : f o r z = σ + jθ , y o u w a n t a σ = 0 s o t h a t eσ+jθr e d u c e s a s

eσ+jθ = eσejθ = e0ejθ = ejθ

W e k n o w b y E u l e r ' s f o r m u l a

8

t h a t

ejθ

= cos (θ) + jsin (θ)T h e m a g n i t u d e o f t h i s i s g i v e n b y sin2 (θ) + cos2 (θ), w h i c h i s 1 ( w h i c h i m p l i e s t h a t ejθ i s o n t h e u n i t c i r c l e ) .

S o , w e k n o w w e w a n t t o p i c k a z = Ajθ t h a t i s o n t h e u n i t c i r c l e ( f r o m t h e p r o b l e m s t a t e m e n t ) , s o w e

h a v e t o c h o o s e A = ±1 t o g e t u n i t m a g n i t u d e .

1 6 . 2 . 5 . 2 P a r t ( b )

• | · | g i v e s m a g n i t u d e o f c o m p l e x n u m b e r

• Re (·) g i v e s r e a l p a r t o f c o m p l e x n u m b e r

• Im (·) g i v e s i m a g i n a r y p a r t o f c o m p l e x n u m b e r

1 6 . 2 . 6 P r o b l e m # 6

1 6 . 2 . 6 . 1 P a r t ( a )

−1 − j√2

20

=

√2e

5π4√

2

20

=

e5π4

20= ej25π = ejπ = −1

1 6 . 2 . 6 . 2 P a r t ( b )

1 + 2 j

3 + 4 j=

1 + 2 j

3 + 4 j

3 − 4 j

3 − 4 j

=

3 + 6 j − (4 j + 8)

9 + 16=

11 + 2 j

25=

11

25+

2

25 j

1 6 . 2 . 6 . 3 P a r t ( c )

1 + √3 j√3 − j

=2ej

π3

2ej−π6

= ejπ2 = j

1 6 . 2 . 6 . 4 P a r t ( d )

j =

ej

π2

12 = ej

π4 = cos

π

4

+ jsin

π

4

=

√2

2+

√2

2j

8

" T h e C o m p l e x E x p o n e n t i a l " : S e c t i o n E u l e r ' s R e l a t i o n < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 0 6 0 / l a t e s t / # e u l _ r e l >



2 9 7

1 6 . 2 . 6 . 5 P a r t ( e )

jj =

ej

π2

j

= ej2 π2 = e

−π2

1 6 . 2 . 7 P r o b l e m # 7

1 6 . 2 . 7 . 1 P a r t ( a )

z2 − 4z = z (z − 4)Roots of z = 0, 4

1 6 . 2 . 7 . 2 P a r t ( b )

z2 − 4z + 4 = (z − 2)2

Roots of z = 2, 2

1 6 . 2 . 7 . 3 P a r t ( c )

z2 − 4z + 8

Roots of z =4 ± √

16 − 32

2= 2 ± 2 j

1 6 . 2 . 7 . 4 P a r t ( d )

z2 + 8

Roots of z =±√−32

2= ±2

√2 j

1 6 . 2 . 7 . 5 P a r t ( e )

z2 + 4z + 8

Roots of z =−4 ± √

16 − 32

2= −2 ± 2 j

1 6 . 2 . 7 . 6 P a r t ( f )

2z2 + 4z + 8

Roots of z =−4 ± √

16 − 64

4= −1 ±

√3 j

1 6 . 2 . 7 . 7 M a t l a b C o d e a n d P l o t

7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7

7 7 7 7 7 y f v i w U

7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7

r o o e a r o o @ I E R H A

r o o f a r o o @ I E R R A

r o o g a r o o @ I E R V A

r o o h a r o o @ I H V A



2 9 8


r o o i a r o o @ I R V A

r o o p a r o o @ P R V A

z l n @ r o o e Y r o o f Y r o o g Y r o o h Y r o o i Y r o o p A Y

@ 9 9 A

@ 9 9 A

@ 9 9 A

@ 9 9 A

@ 9 9 A

@ 9 9 A

@ 9 d 9 A

@ 9 d 9 A

@ 9 9 A

@ 9 9 A

@ 9 9 A

@ 9 9 A

F i g u r e 1 6 . 2 : P l o t o f a l l t h e r o o t s .

1 6 . 2 . 8 P r o b l e m # 8

1 6 . 2 . 8 . 1 P a r t ( a )

R a i s e ej2πN

t o t h e N t h p o w e r . ej2πN

N

= ej2π = 1



2 9 9

n o t e : S i m i l a r l y ,

(1)1N =

ej2π

1N = e

j2πN

1 6 . 2 . 8 . 2 P a r t ( b )

F o r z = ej2π7

,

zk =

ej2π7

k= ej2π

k7

W e w i l l h a v e p o i n t s o n t h e u n i t c i r c l e w i t h a n g l e o f

2π7 , 2π27 , . . . , 2π77

. T h e c o d e u s e d t o p l o t t h e s e i n

M A T L A B c a n b e f o u n d b e l o w , f o l l o w e d b y t h e p l o t .

7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7

7 7 7 7 7 y f v i w V

7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7

7 7 7 r @ A

u r @ I A Y

l Y

o l d o n Y

a H X H F H I X P B Y

u n g r a @ j B A Y

l o @ u n g r D 9 E E 9 A Y

o r k a I X U

z a @ j B P B B k G U A Y

l o @ z D 9 o 9 A Y

@ I F P B r l @ z A D I F P B m @ z A D r @ 9 z ¢ 9 D n u m P r @ k A A A Y

n d

l l @ 9 r l r 9 A Y

l l @ 9 m r 9 A Y

l @ 9 o r o @ j P \ G U A o n u n r l 9 A Y

@ E I F S I F S E I F S I F S A Y

q u r Y



3 0 0


F i g u r e 1 6 . 3 : M A T L A B p l o t o f p a r t ( b ) .

1 6 . 2 . 8 . 3 P a r t ( c )

F o r z = ej4π7

,

zk =

ej4π7

k= ej2π

2k7

W h e r e w e h a v e z, z2, . . . , z7

=

ej2π27 , ej2π

47 , ej2π

67 , ej2π

17 , ej2π

37 , ej2π

57 , 1

T h e c o d e u s e d t o p l o t t h e s e i n M A T L A B c a n b e f o u n d b e l o w , f o l l o w e d b y t h e p l o t .

7 7 7 r @ A

u r @ I A Y

l Y

o l d o n Y

a H X H F H I X P B Y

u n g r a @ j B A Y



3 0 1

l o @ u n g r D 9 E E 9 A Y

o r k a I X U

z a @ j B R B B k G U A Y

l o @ z D 9 o 9 A Y

@ I F P B r l @ z A D I F P B m @ z A D r @ 9 z ¢ 9 D n u m P r @ k A A A Y

n d

l l @ 9 r l r 9 A Y

l l @ 9 m r 9 A Y

l @ 9 o r o @ j R \ G U A o n u n r l 9 A Y

@ E I F S I F S E I F S I F S A Y

q u r Y

F i g u r e 1 6 . 4 : M A T L A B p l o t o f p a r t ( c ) .



3 0 2


1 6 . 2 . 9 P r o b l e m # 9

1 6 . 2 . 9 . 1 P a r t ( a )

3 + 4 j6 + 2 j

= α 1

2

+ β −5

3

T o s o l v e f o r β w e m u s t s o l v e t h e f o l l o w i n g s y s t e m o f e q u a t i o n s :

α − 5β = 3 + 4 j

2α + 3β = 6 + 2 j

I f w e m u l t i p l y t h e t o p e q u a t i o n b y −2 w e w i l l g e t t h e f o l l o w i n g , w h i c h a l l o w s u s t o c a n c e l o u t t h e a l p h a

t e r m s :

−2α + 10β = −6 − 8 j

2α + 3β = 6 + 2 jA n d n o w w e h a v e ,

13β = −6 j

β =−6

13j

A n d t o s o l v e f o r α w e h a v e t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n :

α = 3 + 4 j + 5β

= 3 + 4 j + 5−613 j

= 3 + 2213

j

( 1 6 . 2 )

1 6 . 2 . 9 . 2 P a r t ( b ) x1

x2

= α

1

2

+ β

−5

3

x1 = α − 5β

x2 = 2α + 3β

S o l v i n g f o r

αa n d

β w e g e t :

α (x) =3x1 + 5x2

13

β (x) =−2x1 + x2

13

1 6 . 2 . 9 . 3 P a r t ( c ) α (x)

β (x)

=

3

13513

−213

113

x1

x2



3 0 3

1 6 . 2 . 9 . 4 P a r t ( d )

W r i t e u =

u1

u2

a n d v =

v1

v2

. T h e n s o l v e

x1

x2

= α

u1

u2

+ β

v1

v2

w h i c h c o r r e s p o n d s t o t h e s y s t e m o f e q u a t i o n s

x1 = αu1 + βv1

x2 = αu2 + βv2

S o l v i n g f o r

αa n d

β w e g e t

α (x) = v2x1 − v1x2u1v2 − u2v1

β (x) =u2x1 − u1x2

v1u2 − u1v2

F o r t h e m a t r i x A w e g e t

A =1

u1v2 − u2v1

v2 −v1

−u2 u1

1 6 . 2 . 1 0 P r o b l e m # 1 0

1 6 . 2 . 1 0 . 1 P a r t ( a )

I f u = −1, t h e n f (x) = x2 − 1 . E x a m i n e t h e s e q u e n c e g0 (x) , g1 (x) , . . . :

g0 (x) = 1

g1 (x) = 12 − 1 = 0

g2 (x) = 02 − 1 = −1

g3 (x) = (−1)2 − 1 = 0

g4 (x) = 02 − 1 = −1

.

.

.

T h e m a g n i t u d e s e q u e n c e r e m a i n s b o u n d e d s o x = 1 b e l o n g s t o J .



3 0 4


1 6 . 2 . 1 0 . 2 P a r t ( b )

I f u = 0 , t h e n f (x) = x2. S o w e h a v e

g0 (x) = x

g1 (x) = x2

g2 (x) =

x22

= x4

.

.

.

gn (x) =

x2n

= x2n

W r i t i n g x = rejθ, w e h a v e gn (x) = x2n = r2nejθ2n , a n d s o w e h a v e

|gn (x) | = r2n

T h e m a g n i t u d e s e q u e n c e b l o w s u p i f a n d o n l y i f r > 1 . T h u s x b e l o n g s t o J i f a n d o n l y i f |x| ≤ 1 . S o , J c o r r e s p o n d s t o t h e u n i t d i s k .

1 6 . 2 . 1 0 . 3 P a r t ( c )

7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7

7 7 7 7 7 y f v i w I H

7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7

7 7 7 r @ A E o l u o n o d



m u a E H F Q W I E H F S V U B j Y 7 t u l r m r

r l l a E I F T X H F H I X I F T Y

m l a E I F P X H F H I X I F P Y



t m a o n @ z @ l A A Y

a l Y 7 r H

o r n a I X x

a F ¢ P C m u Y

a @ @ A

>w A Y

t m a t m F B @ I E A Y

n d

m @ r l l D m l D t m A Y o l o r m r Y

l l @ 9 @ A 9 A Y l l @ 9 s m @ A 9 A Y



3 0 5

F i g u r e 1 6 . 5 : M A T L A B p l o t o f p a r t ( c ) .

1 6 . 2 . 1 0 . 4 J u s t f o r F u n S o l u t i o n

7 7 7 t u o r u n o d



m u a E H F Q W I E H F S V U B j Y 7 t u l r m r

r l l a E I F T X H F H H S X I F T Y

m l a E I F P X H F H H S X I F P Y



t m a z r o @ z @ l A A Y

7 x o D u z r o n 9 m d d l 9 D o r

7 o o l F

a l Y 7 r H

o r n a I X x

a F ¢ P C m u Y

a @ @ A > w A Y

n o e l r d f a @ t m a a H A Y

t m a t m C n B @ F B n o e l r d f A Y



3 0 6


n d

m @ r l l D m l D l o @ t m A A Y o l o r m j Y

l l @ 9 @ A 9 A Y l l @ 9 s m @ A 9 A Y

F i g u r e 1 6 . 6 : M A T L A B p l o t .



G L O S S A R Y 3 0 7

G l o s s a r y

1 1 L i n e a l m e n t e I n d e p e n d i e n t e

U n c o n j u n t o d a d o d e v e c t o r e s x1, x2, . . . , xn , e s l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s i

c1x1 + c2x2 + · · · + cnxn = 0

s o l o c u a n d o

c1 = c2 = · · · = cn = 0

E x a m p l e : D a d o s l o s s i g u i e n t e s d o s v e c t o r e s :

x1 = 3

2

x2 =

−6

−4

E s t o s s o n n o l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s p o r e l s i g u i e n t e a r g u m e n t o , e l c u a l p o r i n s p e c c i ó n , s e

p u e d e v e r q u e n o s e a p e g a a l a d e n i c i ó n a n t e r i o r d e i n d e p e n d e n c i a l i n e a l :

x2 = −2x1 ⇒ 2x1 + x2 = 0

. O t r o m é t o d o p a r a v e r l a i n d e p e n d e n c i a d e l o s v e c t o r e s e s g r a c a n d o l o s v e c t o r e s . O b s e r v a n d o

e s t o s d o s v e c t o r e s g e o m é t r i c a m e n t e ( c o m o e n l a s i g u i e n t e F i g u r e 5 . 1 ) , u n o p u e d e o t r a v e z p r o b a r

q u e e s t o s v e c t o r e s s o n n o l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s .

B B a s e N o r m a d a

u n a b a s e ( S e c t i o n 5 . 1 . 3 : B a s e s ) bi d o n d e c a d a bi t i e n e u n a n o r m a u n i t a r i a

bi = 1 , i ∈ Z ( 7 . 1 9 )

B a s e O r t o g o n a l

u n a b a s e bi e n d o n d e l o s e l e m e n t o s s o n m u t u a m e n t e o r t o g o n a l e s

< bi, bj >= 0 , i = j

B a s e O r t o n o r m a l

U n a b a s e q u e e s n o r m a l i z a d a y o r t o g o n a l

bi = 1 , i ∈ Z

< bi, bj > , i = j

B a s e

U n a b a s e p a r a Cn

e s u n c o n j u n t o d e v e c t o r e s q u e : ( 1 ) g e n e r a n Cn

y ( 2 ) e s l i n e a l m e n t e

i n d e p e n d i e n t e .



3 0 8

G L O S S A R Y

C C e r o s

1 . E l v a l o r ( e s ) p a r a z d o n d e e l n u m e r a d o r d e l a f u n c i ó n d e t r a s f e r e n c i a e s i g u a l a c e r o


c e r o .

c e r o s

1 . v a l o r ( e s ) d e z d o n d e P (z) = 0.


c e r o .

C o n v e r g e n c i a U n i f o r m e

L a s e c u e n c i a ( S e c t i o n 1 0 . 1 ) gn |∞n=1 c o n v e r g e u n i f o r m e m e n t e a l a f u n c i ó g s i p a r a c a d a > 0e x i s t e u n e n t e r o N t a l q u e n ≥ N i m p l i c a q u e

|gn (t) − g (t) | ≤ ( 1 0 . 7 )

p a r a t o d o t ∈ R.

D D e s i g u a l d a d d e C a u c h y - S c h w a r z

P a r a x , y e n u n e s p a c i o d e p r o d u c t o i n t e r n o

| < x,y > | ≤ x y q u e m a n t i e n e l a i g u a l d a d s i y s o l o s i

xy

ys o n l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s ( S e c t i o n 5 . 1 . 1 :

I n d e p e n d e n c i a L i n e a l ) , e s d e c i r x = αy p a r a u n e s c a l a r α.

d o m i n i o

E l g r u p o , o c o n j u n t o , d e v a l o r e s q u e s o n d e n i d o s p o r u n a f u n c i ó n .

E x a m p l e : U s a n d o l a f u n c i ó n r a c i o n a l a n t e r i o r , ( 1 5 . 3 8 ) , e l d o m i n i o s e p u e d e d e n i r c o m o

c u a l q u i e r n u m e r o r e a l x d o n d e x n o i g u a l a a 1 o n e g a t i v a 3 . E x p r e s a n d o e s t o m a t e m á t i c a m e n t e ,

o b t e n e m o s l o s i g u i e n t e :

x ∈ R |x = −3 and x = 1 ( )

E E i g e n v e c t o r

U n e i g e n v e c t o r d e

Ae s u n v e c t o r

v ∈ Cnt a l q u e

Av = λv ( 5 . 2 )

d o n d e λ e s l l a m a d o e l e i g e n v a l o r c o r r e s p o n d i e n t e . A s o l o c a m b i a l a l o n g i t u d d e v , n o s u

d i r e c c i ó n .

E s p a c i o V e c t o r i a l

U n e s p a c i o v e c t o r i a l S e s u n a c o l e c c i ó n d e v e c t o r e s t a l q u e ( 1 ) s i f 1 ∈ S ⇒ αf 1 ∈ S p a r a t o d o

e s c a l a r

α( d o n d e

α ∈R ó

α ∈C) y ( 2 ) s i

f 1 ∈ S ,

f 2 ∈ S , e n t o n c e s

f 1 + f 2 ∈ S

F F u n c i ó n R a c i o n a l

P a r a d o s p o l i n o m i o s c u a l q u i e r a , A y B , s u f r a c c i ó n e s c o n o c i d a c o n o u n a f u n c i ó n r a c i o n a l .

E x a m p l e : A q u í s e m u e s t r a u n e j e m p l o d e u n a f u n c i ó n r a c i o n a l , f (x) . N o t e q u e e l n u m e r a d o r y

d e n o m i n a d o r p u e d e n s e r p o l i n o m i o s d e c u a l q u i e r o r d e n , p e r o l a f u n c i ó n r a c i o n a l e s i n d e n i d a

c u a n d o e l d e n o m i n a d o r e s c e r o .

f (x) =x2 − 4

2x2 + x − 3( )



G L O S S A R Y 3 0 9

L L a E c u a c i ó n d e D i f e r e n c i a

E s u n a e c u a c i ó n q u e m u e s t r a l a r e l a c i ó n e n t r a v a l o r e s c o n s e c u t i v o s d e u n a s e c u e n c i a y l a

d i f e r e n c i a e n t r e e l l o s . U s u a l m e n t e s e e s c r i b e e n u n a e c u a c i ó n r e c u r r e n t e p a r a q u e l a s a l i d a d e l

s i s t e m a s e p u e d a c a l c u l a r d e l a s e n t r a d a s d e l a s e ñ a l y s u s v a l o r e s a n t e r i o r e s .

E x a m p l e :

y [n] + 7y [n − 1] + 2y [n − 2] = x [n] − 4x [n − 1] ( )

l í m i t e

U n a s e c u e n c i a gn |∞n=1 c o n v e r g e a u n l í m i t e g ∈ R s i p a r a t o d o > 0 e x i s t e u n e n t e r o N t a l q u e

|gi − g| < , i ≥ N

U s u a l m e n t e d e n o t a m o s u n l í m i t e e s c r i b i e n d o

limi

→∞

gi = g

ó

gi → g

O O r t o g o n a l

D e c i m o s q u e x y y s o n o r t o g o n a l e s s i :

< x,y >= 0

P p o l o s

1 . E l v a l o r ( e s ) p a r a z d o n d e e l d e n o m i n a d o r d e l a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a e s i g u a l a c e r o

2 . L a s f r e c u e n c i a s c o m p l e j a s q u e h a c e n d e l a g a n a n c i a d e l a f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a d e l l t r o s e

i n n i t a .

p o l o s

T a m b i é n l l a m a d a s c o m o s i n g u l a r i d a d e s e s t o s s o n l o s p u n t o

se n l o s c u a l e s Lx1 (s) e x p l o t a .

p o l o s

1 . v a l o r ( e s ) d e z d o n d e Q (z) = 0 .


i n n i t a .

P r o d u c t o I n t e r n o

E l p r o d u c t o i n t e r n o e s t a d e n i d o m a t e m á t i c a m e n t e d e l a s i g u i e n t e m a n e r a :

< x,y > = yT x

=

y0 y1 . . . yn−1

x0

x1

.

.

.

xn−1

=

n−1i=0 (xiyi)

( 7 . 1 )

S s e c u e n c i a



3 1 0

G L O S S A R Y

U n a s e c u e n c i a e s u n a f u n c i ó n gn d e n i d a e n l o s e n t e r o s p o s i t i v o s ' n' . T a m b i é n d e n o t a m o s u n a

s e c u e n c i a p o r : gn |∞n=1E x a m p l e : U n a s e c u e n c i a d e n ú m e r o s r e a l e s :

gn =1n

E x a m p l e : U n a s e c u e n c i a v e c t o r :

gn =

sin

nπ2

cosnπ2

E x a m p l e : U n a s e c u e n c i a d e u n a f u n c i ó n :

gn (t) =

1 i f 0 ≤ t < 1

n

0 o t h e r w i s e

n o t a : U n a f u n c i ó n p u e d e s e r p e n s a d a c o m o u n v e c t o r d e d i m e n s i ó n i n n i t o d o n d e

p o r c a d a v a l o r d e ' t' t e n e m o s u n a d i m e n s i ó n .

S u b e s p a c i o G e n e r a d o

E l s u b e s p a c i o g e n e r a d o o s p a n

9

d e l c o n j u t o d e v e c t o r e s x1, x2, . . . , xk e s e l c o n j u n t o d e

v e c t o r e s q u e p u e d e n s e r e s c r i t o s c o m o u n a c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e x1, x2, . . . , xk

subespaciogenerado (x1, . . . , xk) = α1x1 + α2x2 + · · · + αkxk , αi ∈ Cn

E x a m p l e : D a d o e l v e c t o r

x1 =

3

2

e l s u b e s p a c i o g e n e r a d o d e x1 e s u n a l i n e a .

E x a m p l e : D a d o l o s v e c t o r e s

x1 =

3

2

x2 =

1

2

E l s u b e s p a c i o g e n e r a d o p o r e s t o s v e c t o r e s e s C2

.

9

" S u b s p a c e s " , D e n i t i o n 2 : " S p a n " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 2 9 7 / l a t e s t / # d e f n 2 >



I N D E X 3 1 1

I n d e x o f K e y w o r d s a n d T e r m s

K e y w o r d s a r e l i s t e d b y t h e s e c t i o n w i t h t h a t k e y w o r d ( p a g e n u m b e r s a r e i n p a r e n t h e s e s ) . K e y w o r d s

d o n o t n e c e s s a r i l y a p p e a r i n t h e t e x t o f t h e p a g e . T h e y a r e m e r e l y a s s o c i a t e d w i t h t h a t s e c t i o n . E x .

a p p l e s , 1 . 1 ( 1 ) T e r m s a r e r e f e r e n c e d b y t h e p a g e t h e y a p p e a r o n . E x . a p p l e s , 1

1 1 L i n e a l m e n t e I n d e p e n d i e n t e , 7 3

A a l f a b e t o , 1 . 6 ( 2 2 ) , 2 4

a l i a s , 1 3 . 5 ( 2 3 6 ) , 1 3 . 6 ( 2 3 9 )

A l i a s i n g , 1 . 7 ( 2 5 ) , 8 . 2 ( 1 6 4 ) , 1 3 . 5 ( 2 3 6 ) ,

2 3 6 , 1 3 . 6 ( 2 3 9 )

a m p l i t u d c o m p l e j a , 2 0

A n t i - A l i a s i n g , 1 3 . 6 ( 2 3 9 )

a n t i c a u s a l , 1 . 1 ( 1 )

a n t i c a u s a l e s , 3

a n á l i s i s d e f o u r i e r , 8 . 2 ( 1 6 4 )

a n á l o g o , 1 . 1 ( 1 ) , 2

a n á l o g o s , 2 2

a p e r i o d i c a , 9 4

a p e r i ó d i c o , 1 . 1 ( 1 )

a p p r o x i m a c i ó n , 7 . 1 3 ( 1 5 9 )

a r m ó n i c o , 8 . 2 ( 1 6 4 )

a s i n t o t i c a m e n t e v e r t i c a l , 2 7 8

B b a r a n i u k , 1 6 . 2 ( 2 9 5 )

b a s e , 5 . 1 ( 7 3 ) , 7 6 , 7 6 , 7 6 , 7 . 7 ( 1 4 0 ) ,

7 . 8 ( 1 4 4 ) , 1 4 4 , 7 . 9 ( 1 4 8 ) , 7 . 1 0 ( 1 4 9 ) ,

7 . 1 1 ( 1 5 6 ) , 1 6 9 , 2 3 2

b a s e c a n ó n i c a , 7 6 , 7 . 8 ( 1 4 4 )

b a s e n o r m a d a , 7 . 7 ( 1 4 0 ) , 1 4 0 , 1 4 1

b a s e o r t o g o n a l , 7 . 7 ( 1 4 0 ) , 1 4 1

b a s e o r t o n o r m a l , 7 . 7 ( 1 4 0 ) , 1 4 2 , 7 . 8 ( 1 4 4 ) ,

8 . 2 ( 1 6 4 ) , 1 7 0

b a s e s , 5 . 1 ( 7 3 ) , 8 . 2 ( 1 6 4 ) , 8 . 3 ( 1 7 1 )

b a s e s e s t a n d a r d , 8 . 3 ( 1 7 1 )

B I B O , 3 . 4 ( 5 3 )

b o u n d e d i n p u t b o u n d e d o u t p u t , 3 . 4 ( 5 3 )

b u t t e r y , 9 . 3 ( 1 8 9 )

C c a d a , 9 5

C a r t e s i a n , 2 9 2

c a s c a d e , 2 . 2 ( 3 1 )

c a s i e n t o d a s p a r t e s , 6 . 1 1 ( 1 1 6 )

c a u c h - s c h w a r z , 7 . 5 ( 1 3 0 )

c a u c h y , 7 . 5 ( 1 3 0 )

c a u s a l , 1 . 1 ( 1 ) , 2 . 1 ( 2 7 ) , 2 9 , 2 . 2 ( 3 1 ) , 2 8 6

c a u s a l e s , 3

c e r o , 1 4 . 4 ( 2 5 1 ) , 1 4 . 6 ( 2 5 5 ) , 1 5 . 7 ( 2 8 2 ) ,

1 5 . 8 ( 2 8 7 )

C e r o s , 2 5 5 , 2 7 9 , 2 8 3

c i r c u l a r , 4 . 3 ( 6 6 ) , 6 . 7 ( 1 0 8 )

c o e c i e n t e s , 6 . 2 ( 9 4 )

c o e c i e n t e s d e f o u r i e r , 6 . 2 ( 9 4 ) , 9 5 , 6 . 3 ( 9 7 ) ,

6 . 9 ( 1 1 2 )

c o m p l e j i d a d , 1 8 7 , 9 . 3 ( 1 8 9 )

c o m p l e j o , 1 . 6 ( 2 2 ) , 8 . 2 ( 1 6 4 ) , 1 5 . 7 ( 2 8 2 )

c o m p l e x v e c t o r s p a c e s , 7 . 1 ( 1 2 3 )

c o m p u e s t o , 1 9 2

C o n d i c i o n e s d e D i r i c h l e t , 6 . 1 0 ( 1 1 4 )

C o n d i c i o n e s d e D i r i c h l e t d e b í l e s , 6 . 1 0 ( 1 1 4 )

C o n d i c i o n e s d e D i r i c h l e t f u e r t e s , 6 . 1 0 ( 1 1 4 )

c o n d i c i o n e s i n i c i a l e s , 5 8 , 2 8 0

c o n j u g a d o s , 1 6 9

c o n m u t a t i v a , 4 0 , 4 7 , 6 1

c o n t i n u a , 1 1 4

c o n t i n u o , 1

c o n t i n u o u s t i m e , 3 . 2 ( 4 0 ) , 3 . 4 ( 5 3 ) ,

1 1 . 1 ( 2 0 4 )

c o n v e r g e , 1 0 . 3 ( 2 0 0 )

c o n v e r g e n c i a , 6 . 9 ( 1 1 2 ) , 1 1 4 , 1 0 . 1 ( 1 9 5 ) ,

1 0 . 2 ( 1 9 7 ) , 1 0 . 3 ( 2 0 0 )

c o n v e r g e n c i a d e p u n t o p o r p u n t o , 6 . 9 ( 1 1 2 )

c o n v e r g e n c i a n o - u n i f o r m e , 6 . 1 1 ( 1 1 6 ) , 1 1 7

c o n v e r g e n c i a u n i f o r m e , 1 0 . 3 ( 2 0 0 ) , 2 0 0

c o n v e r g e n t e , 1 0 . 3 ( 2 0 0 )

c o n v o l u c i o n e s , 4 . 3 ( 6 6 )

C o n v o l u c i ó n , 4 . 2 ( 6 1 ) , 6 1 , 4 . 3 ( 6 6 ) ,

6 . 7 ( 1 0 8 ) , 1 2 . 2 ( 2 1 9 )

c o n v o l u c i ó n c i r c u l a r , 4 . 3 ( 6 6 ) , 6 6 , 6 . 7 ( 1 0 8 )

c o n v o l u c i ó n l i n e a r , 6 6

c o n v o l u t i o n , 3 . 2 ( 4 0 ) , 3 . 3 ( 4 6 )

c o n v o l v e r , 4 . 3 ( 6 6 )

C o o l e y - T u k e y , 9 . 1 ( 1 8 7 ) , 9 . 3 ( 1 8 9 )

C o o r d e n a d a s P o l a r e s , 1 . 7 ( 2 5 )

c p n v e r g e n c i a p u n t u a l , 1 0 . 2 ( 1 9 7 )

c s i , 7 . 5 ( 1 3 0 )

C T F T , 1 2 . 1 ( 2 1 7 ) , 1 3 . 1 ( 2 2 3 )

c u a c h y , 7 . 5 ( 1 3 0 )



3 1 2

I N D E X

D d e c o m p o s e , 7 . 8 ( 1 4 4 )

d e l t a d e D i r a c , 1 4

d e s c o m p o n e r , 1 . 6 ( 2 2 ) , 1 4 5

d e s i g u a l d a d d e c a u c h y - s c h w a r z , 7 . 5 ( 1 3 0 ) , 1 3 0

d e s p l a z a m i e n t o c i r c u l a r , 8 . 5 ( 1 8 1 ) , 1 8 3

D e s p l a z a m i e n t o e n e l e j e d e l T i e m p o , 1 . 2 ( 9 )

d e s p l a z a m i e n t o e n e l t i e m p o , 1 2 . 2 ( 2 1 9 )

d e s p l a z a m i e n t o s c i r c u l a r e s , 8 . 5 ( 1 8 1 ) , 1 8 1

D e t e c t o r d e F i l t r o A c o p l a d o , 1 3 1

d e t e r m i n a n t , 5 . 3 ( 7 7 )

d e t e r m i n í s t i c a , 7

d f t , 4 . 3 ( 6 6 ) , 8 . 5 ( 1 8 1 ) , 9 . 2 ( 1 8 8 ) ,

1 1 . 2 ( 2 0 5 ) , 1 1 . 3 ( 2 0 6 )

d i f e r e n c i a c i ó n e n e l t i e m p o , 1 2 . 2 ( 2 1 9 )

d i f e r e n c i a l e s , 3 . 1 ( 3 7 )

d i g i t a l , 1 . 1 ( 1 ) , 2 , 1 1 . 6 ( 2 1 0 ) , 1 1 . 7 ( 2 1 1 )

D i r i c h l e t , 1 1 4

d i s c o n t i n u i d a d , 6 . 9 ( 1 1 2 ) , 1 1 4

d i s c r e t e t i m e , 3 . 4 ( 5 3 )

d i s c r e t o , 1 , 8 . 2 ( 1 6 4 ) , 1 3 . 7 ( 2 4 1 )

d o m i n i o , 2 7 8 , 2 7 8

D o m i n i o d e l a F r e c u e n c i a , 1 1 . 5 ( 2 1 0 )

D o m i n i o d e l a s e c u e n c i a , 1 1 . 5 ( 2 1 0 )

d o m i n i o d e l t i e m p o , 4 . 1 ( 5 7 )

d o t p r o d u c t , 7 . 3 ( 1 2 7 )

D S P , 4 . 1 ( 5 7 ) , 1 1 . 7 ( 2 1 1 ) , 1 3 . 4 ( 2 3 4 ) ,

1 5 . 2 ( 2 6 4 )

D T , 4 . 2 ( 6 1 )

d t f s , 8 . 2 ( 1 6 4 ) , 8 . 3 ( 1 7 1 ) , 8 . 4 ( 1 7 2 )

D T F T , 1 1 . 2 ( 2 0 5 ) , 1 1 . 4 ( 2 0 9 ) , 1 3 . 1 ( 2 2 3 )

d u r a c i ó n n i t a , 2 6 5

E e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s , 3 . 1 ( 3 7 )

e c u a c i ó n c a r a c t e r í s t i c a , 3 9

e c u a c i ó n d e d i f e r e n c i a d e c o e c i e n t e l i n e a r

c o n s t a n t e , 2 7 9

E c u a c i ó n d e m a t r i z , 8 . 3 ( 1 7 1 )

e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l , 4 . 1 ( 5 7 ) , 5 7

e i g e n , 5 . 5 ( 8 6 )

e i g e n f u n c i o n , 6 . 4 ( 9 8 )

e i g e n f u n c i o n e s , 6 . 2 ( 9 4 ) , 6 . 4 ( 9 8 )

e i g e n f u n c i ó n , 5 . 6 ( 8 7 ) , 8 8

e i g e n f u n c t i o n , 5 . 3 ( 7 7 ) , 5 . 5 ( 8 6 )

e i g e n f u n c t i o n s , 5 . 5 ( 8 6 )

e i g e n s e ñ a l , 8 8

e i g e n v a l o r , 3 0 8 , 7 9 , 5 . 6 ( 8 7 )

e i g e n v a l u e , 5 . 3 ( 7 7 ) , 5 . 5 ( 8 6 )

e i g e n v a l u e s , 5 . 3 ( 7 7 ) , 5 . 5 ( 8 6 )

e i g e n v e c t o r , 5 . 3 ( 7 7 ) , 7 8 , 5 . 5 ( 8 6 ) , 5 . 6 ( 8 7 )

e i g e n v e c t o r s , 5 . 5 ( 8 6 )

e j e m p l o , 1 1 . 7 ( 2 1 1 )

e j e m p l o s , 1 1 . 7 ( 2 1 1 )

e l e c 3 0 1 , 1 6 . 1 ( 2 9 1 ) , 1 6 . 2 ( 2 9 5 )

e l e c 3 0 1 , 1 6 . 1 ( 2 9 1 ) , 1 6 . 2 ( 2 9 5 )

e n e r g í a , 1 1 3

e n t r a d a a c o t a d a - s a l i d a a c o t a d a ( B I B O ) , 3 0

E s c a l a e n e l e j e d e l T i e m p o , 1 . 2 ( 9 )

e s c a l a m i e n t o e n e l t i e m p o , 1 2 . 2 ( 2 1 9 )

e s c a l ó n u n i t a r i o , 1 . 3 ( 1 2 ) , 1 4

e s p a c i o d e f u n c i o n e s , 7 7

e s p a c i o d e H i l b e r t , 1 2 9 , 7 . 6 ( 1 3 7 ) , 7 . 8 ( 1 4 4 ) ,

7 . 1 0 ( 1 4 9 ) , 7 . 1 3 ( 1 5 9 )

e s p a c i o d e l a s f u n c i o n e s , 7 . 9 ( 1 4 8 )

e s p a c i o d e p r o d u c t o i n t e r n o , 1 2 9

e s p a c i o l i n e a l d e f u n c i o n e s . , 1 2 3

e s p a c i o l i n e a l n o r m a d o , 1 2 5 , 1 2 9

e s p a c i o n o r m a d o , 7 . 6 ( 1 3 7 )

E s p a c i o V e c t o r i a l , 1 2 3 , 7 . 6 ( 1 3 7 ) , 7 . 7 ( 1 4 0 ) ,

7 . 9 ( 1 4 8 )

e s p a c i o v e c t o r i a l c o m p l e j o , 1 2 3

e s p a c i o v e c t o r i a l n o r m a d o , 1 2 5

e s p a c i o v e c t o r i a l r e a l , 1 2 3 , 1 3 6

e s p a c i o s d e h i l b e r t , 7 . 4 ( 1 2 9 ) , 7 . 6 ( 1 3 7 ) ,

7 . 7 ( 1 4 0 )

e s p a c i o s d e l a s f u n c i o n e s , 7 . 9 ( 1 4 8 )

e s p a c i o s v e c t o r i a l e s , 7 . 6 ( 1 3 7 ) , 7 . 7 ( 1 4 0 )

e s t a b l e , 3 0 , 2 8 6

E u c l i d e a n n o r m , 7 . 2 ( 1 2 5 )

e x i s t e n c i a , 1 1 4

e x p a n s i ó n , 7 . 9 ( 1 4 8 ) , 7 . 1 0 ( 1 4 9 )

e x p o n e n c i a l , 1 . 3 ( 1 2 ) , 1 . 6 ( 2 2 ) , 6 . 3 ( 9 7 )

e x p o n e n c i a l c o m p l e j o , 1 3 , 1 . 5 ( 1 9 ) , 1 9

E x p o n e n c i a l q u e C r e c e , 1 3

E x p o n e n c i a l q u e d e c a e , 1 3

F F , 6 0

f a s o r , 2 0

f e n ó m e n o d e G i b b , 1 1 9

f e n ó m e n o d e G i b b s , 6 . 1 1 ( 1 1 6 ) , 1 1 7

F F T , 9 . 1 ( 1 8 7 ) , 9 . 2 ( 1 8 8 ) , 9 . 3 ( 1 8 9 ) ,

1 1 . 2 ( 2 0 5 )

l t r o , 1 3 . 6 ( 2 3 9 ) , 1 5 . 8 ( 2 8 7 )

l t r o d e b o x c a r , 6 0

F I R , 6 0

f o l t r o a c o p l a d o , 7 . 5 ( 1 3 0 )

f o r m a , 1 8 9

f o u r i e r , 5 . 3 ( 7 7 ) , 6 . 2 ( 9 4 ) , 6 . 3 ( 9 7 ) ,

6 . 4 ( 9 8 ) , 6 . 5 ( 1 0 1 ) , 6 . 6 ( 1 0 4 ) , 6 . 7 ( 1 0 8 ) ,

6 . 8 ( 1 0 9 ) , 6 . 9 ( 1 1 2 ) , 6 . 1 0 ( 1 1 4 ) , 6 . 1 2 ( 1 1 9 ) ,

7 . 1 0 ( 1 4 9 ) , 8 . 2 ( 1 6 4 ) , 8 . 3 ( 1 7 1 ) , 8 . 4 ( 1 7 2 ) ,

8 . 5 ( 1 8 1 ) , 9 . 2 ( 1 8 8 )

f o u r i e r s e r i e s , 5 . 3 ( 7 7 )

f o u r i e r t r a n s f o r m , 1 1 . 1 ( 2 0 4 )

f o u r i e r t r a n s f o r m p a i r s , 5 . 7 ( 9 0 )



I N D E X 3 1 3

f r e c u e n c i a c o n t i n u a , 1 1 . 4 ( 2 0 9 ) , 1 2 . 1 ( 2 1 7 )

f r e c u e n c i a N y q u i s t , 1 1 . 7 ( 2 1 1 ) , 1 3 . 4 ( 2 3 4 ) ,

2 3 4

f r e q u e n c i a , 1 1 . 6 ( 2 1 0 )

f r e q u e n c y s h i f t k e y i n g , 7 . 5 ( 1 3 0 )

f s k , 7 . 5 ( 1 3 0 )

f u e r t e s d e D i r i c h l e t , 1 1 6

f u n c i o n , 1 5 . 5 ( 2 7 7 )

f u n c i o n r a c i o n a l , 1 5 . 5 ( 2 7 7 )

f u n c i o n e s d e s c o n t i n ú a s , 1 1 7

f u n c i o n e s p e r i o d i c a s , 6 . 1 ( 9 3 )

f u n c i o n e s r a c i o n a l e s , 1 5 . 5 ( 2 7 7 ) , 2 7 7

f u n c i ó n d e D e l t a d e D i r a c , 1 . 4 ( 1 6 )

f u n c i ó n d e s i n c d i s c r e t a , 2 1 4

f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a , 2 8 0

f u n c i ó n d e v a l o r e s c o m p l e j o s , 2 4 8 , 2 4 8

f u n c i ó n d e l t a , 7 . 7 ( 1 4 0 )

f u n c i ó n D e l t a d e D i r a c , 1 . 3 ( 1 2 )

f u n c i ó n p e r i ó d i c a , 9 3

F u n c i ó n R a c i o n a l , 2 7 7

G g e n e r a , 1 4 8

H h a a r , 7 . 1 0 ( 1 4 9 )

h e r m i t i a n a , 7 . 1 1 ( 1 5 6 )

h i l b e r t , 7 . 4 ( 1 2 9 ) , 7 . 5 ( 1 3 0 ) , 7 . 6 ( 1 3 7 ) ,

7 . 8 ( 1 4 4 ) , 7 . 1 0 ( 1 4 9 )

h o m e w o r k 1 , 1 6 . 1 ( 2 9 1 )

h o m e w o r k o n e , 1 6 . 1 ( 2 9 1 )

I I , 6 0

i d e n t i d a d d e E u l e r , 1 9

i m a g i n a r y p a r t , 2 9 6

i m p u l s o , 1 . 3 ( 1 2 ) , 1 . 4 ( 1 6 )

i m p u l s o u n i t a r i o , 1 4

i n d e p e n d e n c i a , 5 . 1 ( 7 3 )

i n d e p e n d e n c i a l i n e a l , 5 . 1 ( 7 3 )

i n e s t a b l e , 3 1

i n n e r p r o d u c t , 7 . 3 ( 1 2 7 )

i n n e r p r o d u c t s , 7 . 3 ( 1 2 7 )

i n t e g r a l d e c o n v o l u c i ó n , 4 0

i n t e r c e p c i ó n y , 2 7 8

i n t e r c e s i ó n e n l a x , 2 7 8

i n t e r n o , 7 . 4 ( 1 2 9 )

i n t e r p o l a c i ó n , 1 3 . 2 ( 2 2 7 )

i n v a r i a n t e e n e l t i e m p o , 2 . 1 ( 2 7 ) , 2 8

i n v a r i a n t e s l i n e a r d e l t i e m p o , 6 1

I R R , 5 9

K k r o n e c k e r , 7 . 7 ( 1 4 0 )

L L a E c u a c i ó n d e D i f e r e n c i a , 2 7 9

L a T r a n s f o r m a d a I n v e r s a d e L a p l a c e ,

1 4 . 5 ( 2 5 3 )

l a d o i z q u i e r d o , 2 6 8

l a p l a c e t r a n s f o r m , 3 . 4 ( 5 3 )

l i m i t a d o e n b a n d a , 2 2 5

l i n e a l , 2 . 1 ( 2 7 ) , 2 7

L i n e a l d e t i e m p o i n v a r i a n t e , 5 . 6 ( 8 7 )

l i n e a l i d a d , 1 2 . 2 ( 2 1 9 )

l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e , 7 3

l i n e a r , 2 . 2 ( 3 1 )

l i n e a r c o m b i n a t i o n , 2 9 2

l i n e a r f u n c t i o n s p a c e s , 7 . 1 ( 1 2 3 )

l i n e a r s y s t e m , 5 . 3 ( 7 7 )

l i n e a r t i m e i n v a r i a n t , 3 . 2 ( 4 0 )

l i n e a r e s d e t i e m p o i n v a r i a n t e , 2 7 5

l i n e a r l y i n d e p e n d e n t , 2 9 2

L T I , 3 . 2 ( 4 0 ) , 6 1 , 5 . 5 ( 8 6 ) , 5 . 6 ( 8 7 ) ,

6 . 2 ( 9 4 ) , 6 . 8 ( 1 0 9 )

l í m i t e , 1 9 5

M m a g n i t u d e , 2 9 6

m a r i p o s a , 1 9 2

m a t c h e d l t e r d e t e c t o r , 7 . 5 ( 1 3 0 )

m a t c h e d l t e r s , 7 . 5 ( 1 3 0 )

m a t r i z d e l a b a s e , 7 . 8 ( 1 4 4 ) , 1 4 6

m a t r i z i d e n t i d a d , 1 4 6

m e j o r s e a p r o x i m e , 1 6 0

m e t o d o g r á c o , 4 3

m o d u l a c i ó n , 1 2 . 2 ( 2 1 9 )

m u e s t r a , 1 3 . 5 ( 2 3 6 )

m u e s t r e a n d o , 1 3 . 4 ( 2 3 4 )

m u e s t r e a r , 2 0 7

m u e s t r e o , 2 2 3 , 1 3 . 3 ( 2 3 2 ) , 1 3 . 4 ( 2 3 4 ) ,

1 3 . 5 ( 2 3 6 ) , 1 3 . 6 ( 2 3 9 )

m u e s t r o u n i t a r i o , 1 . 6 ( 2 2 )

m u t u a m e n t e o r t o g o n a l e s , 3 0 7

m á x i m o , 1 2 9

m á x i m o s , 1 1 6

m é t o d o d i r e c t o , 2 8 1

m é t o d o i n d i r e c t o , 2 8 1

m í n i m o s , 1 1 6

N n i v e l d e r e f e r e n c i a , 1 3 3

n o c a u s a l , 1 . 1 ( 1 )

n o - a n t i c i p a t i v o , 2 9

n o - c a u s a l , 2 9

n o - l i n e a l , 2 7

n o c a u s a l , 2 . 1 ( 2 7 )

n o c a u s a l e s , 3

n o l i n e a l , 2 . 1 ( 2 7 )

n o r m , 7 . 2 ( 1 2 5 ) , 7 . 3 ( 1 2 7 )

n o r m a , 1 2 5 , 1 0 . 1 ( 1 9 5 ) , 1 0 . 2 ( 1 9 7 )

n o r m a d e c o n v e r g e n c i a , 1 0 . 1 ( 1 9 5 ) ,



3 1 4

I N D E X

1 0 . 2 ( 1 9 7 )

n o r m a d a , 7 . 7 ( 1 4 0 )

n o r m a l i z a d a , 3 0 7

n o r m a l i z a t i o n , 7 . 2 ( 1 2 5 )

n o r m e d l i n e a r s p a c e , 7 . 2 ( 1 2 5 )

n o r m e d v e c t o r s p a c e , 7 . 2 ( 1 2 5 )

n o r m s , 7 . 2 ( 1 2 5 )

N o t a i m p o r t a n t e : , 2 4 2

N t h R o o t o f U n i t y , 2 9 2

N y q u i s t , 1 1 . 6 ( 2 1 0 ) , 1 3 . 4 ( 2 3 4 )

O o n d o l e t a , 7 . 1 0 ( 1 4 9 )

o n d o l e t a d e h a a r , 7 . 1 0 ( 1 4 9 )

o n d o l e t a s , 7 . 1 0 ( 1 4 9 ) , 1 4 9

o r d e n , 9 . 3 ( 1 8 9 ) , 1 4 . 5 ( 2 5 3 ) , 2 5 5 , 2 8 0

o r t h o g o n a l , 7 . 3 ( 1 2 7 )

O r t o g o n a l , 1 2 9 , 7 . 7 ( 1 4 0 ) , 3 0 7

o r t o g o n a l e s , 1 2 9 , 1 6 0

o r t o n o r m a l , 7 . 7 ( 1 4 0 ) , 7 . 8 ( 1 4 4 ) , 8 . 2 ( 1 6 4 )

P p a r a l l e l , 2 . 2 ( 3 1 )

p a r e s b i l a t e r a l e s d e l a t r a n s f o r m a d a d e

L a p l a c e , 2 4 7

p a r e s d e t r a n s f o r m a c i o n , 1 5 . 2 ( 2 6 4 )

P a r s e v a l , 7 . 1 2 ( 1 5 8 )

p e r f e c t a , 1 3 . 3 ( 2 3 2 )

p e r i o d i c i d a d , 6 . 1 ( 9 3 )

p e r i o d i c o , 6 . 1 ( 9 3 ) , 8 . 4 ( 1 7 2 )

p e r i o d o , 2 , 6 . 1 ( 9 3 ) , 9 3 , 8 . 4 ( 1 7 2 )

p e r i o d o f u n d a m e n t a l , 2

p e r i ó d i c o , 1 . 1 ( 1 )

P l a n c h a r e l , 7 . 1 2 ( 1 5 8 )

p l a n o c o m p l e j o , 1 . 5 ( 1 9 )

p l a n o - s , 2 2

P l a n o - Z , 1 . 7 ( 2 5 ) , 2 5 9 , 1 5 . 7 ( 2 8 2 )

p o l e , 3 . 4 ( 5 3 )

p o l i n o m i o , 1 5 . 5 ( 2 7 7 )

p o l i n o m i o c a r a c t e r í s t i c o , 2 8 2

p o l o , 1 4 . 4 ( 2 5 1 ) , 1 4 . 6 ( 2 5 5 ) , 1 5 . 7 ( 2 8 2 ) ,

1 5 . 8 ( 2 8 7 )

p o l o s , 1 4 . 5 ( 2 5 3 ) , 2 5 4 , 2 5 6 , 2 7 9 , 2 8 3

p r o c e s a m i e n t o d e s e ñ a l e s d i g i t a l e s , 4 . 1 ( 5 7 ) ,

1 1 . 7 ( 2 1 1 )

p r o c e s a m i e n t o d e t i e m p o d i s c r e t o , 1 3 . 7 ( 2 4 1 )

p r o c e s s i n g , 1 3 . 7 ( 2 4 1 )

p r o d u c t o i n t e r n o , 1 2 7 , 1 2 8 , 7 . 4 ( 1 2 9 ) ,

7 . 5 ( 1 3 0 ) , 7 . 1 1 ( 1 5 6 )

p r o d u c t o p u n t o , 1 2 7

p r o d u c t o s i n t e r n o s , 7 . 5 ( 1 3 0 )

p r o j e c t i o n , 7 . 3 ( 1 2 7 )

p r o m e d i o c u a d r a d o , 1 1 9

p r o p e r t y , 3 . 3 ( 4 6 )

p r o p i e d a d d e d e s p l a z a m i e n t o , 1 . 3 ( 1 2 ) ,

1 . 4 ( 1 6 ) , 1 7

p r o p i e d a d d e s i m e t r i a , 6 . 6 ( 1 0 4 )

p r o p i e d a d e s , 6 . 6 ( 1 0 4 )

P r o p i e d a d e s d e l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r

D i s c r e t a e n e l T i e m p o , 1 1 . 5 ( 2 1 0 )

p r o p i e d a d e s s i m e t r i c a s , 6 . 6 ( 1 0 4 )

p r o p o r c i o n a l , 1 8 7

p r o y e c c i ó n , 1 2 9 , 7 . 1 3 ( 1 5 9 )

p u l s o c u a d r a d o , 1 1 7

p u n t o a p u n t o , 1 1 9

p u n t o p o r p u n t o , 6 . 9 ( 1 1 2 )

p u n t u a l , 1 0 . 2 ( 1 9 7 )

p u n t u a l m e n t e , 1 9 7

R R , 6 0

r a c i o n a l , 1 5 . 5 ( 2 7 7 )

r e a l p a r t , 2 9 6

r e a l v e c t o r s p a c e s , 7 . 1 ( 1 2 3 )

r e c o n s t r u c c i ó n , 1 3 . 2 ( 2 2 7 ) , 1 3 . 3 ( 2 3 2 ) ,

1 3 . 4 ( 2 3 4 ) , 1 3 . 5 ( 2 3 6 )

r e c o n s t r u i r , 1 3 . 3 ( 2 3 2 )

R e e x i ó n e n e l e j e d e l T i e m p o , 1 . 2 ( 9 )

r e g i o n d e c o n v e r g e r n c i a , 1 4 . 4 ( 2 5 1 )

r e g i ó n d e c o n v e r g e n c i a ( R O C ) , 2 5 1

r e s p u e s t a a l i m p u l s o , 4 . 2 ( 6 1 )

r e s p u e s t a d e e s t a d o - c e r o , 3 7

r e s p u e s t a d e i m p u l s o , 1 8

r e s p u e s t a d e s a l i d a - c e r o , 3 7

R O C , 1 4 . 4 ( 2 5 1 ) , 1 5 . 1 ( 2 5 9 ) , 2 6 0 , 2 6 5

S s c h w a r z , 7 . 5 ( 1 3 0 )

s e c u e n c i a , 1 9 5

s e c u e n c i a d e d o s l a d o s , 2 6 9

s e c u e n c i a d e f u n c i o n e s , 1 1 3 , 1 0 . 3 ( 2 0 0 )

s e c u e n c i a d e l e x p o n e n c i a l c o m p l e j o , 2 3

s e c u e n c i a d e l l a d o d e r e c h o , 2 6 7

s e c u e n c i a s , 1 . 6 ( 2 2 ) , 1 0 . 1 ( 1 9 5 ) , 1 0 . 3 ( 2 0 0 )

s e n o , 1 . 6 ( 2 2 )

S e n o s o i d a l , 1 . 6 ( 2 2 ) , 6 . 3 ( 9 7 )

s e n o s o i d a l c o m p l e j a , 8 . 2 ( 1 6 4 )

s e n o s o i d a l e s a r m ó n i c o s , 8 . 2 ( 1 6 4 ) , 1 6 5

s e r i e d e p o t e n c i a , 2 6 0 , 2 6 5

s e r i e s d e f o u r i e r , 6 . 2 ( 9 4 ) , 6 . 3 ( 9 7 ) , 6 . 4 ( 9 8 ) ,

6 . 6 ( 1 0 4 ) , 6 . 7 ( 1 0 8 ) , 6 . 9 ( 1 1 2 ) , 6 . 1 0 ( 1 1 4 ) ,

6 . 1 1 ( 1 1 6 ) , 6 . 1 2 ( 1 1 9 ) , 7 . 7 ( 1 4 0 ) ,

7 . 1 0 ( 1 4 9 ) , 8 . 1 ( 1 6 3 ) , 8 . 2 ( 1 6 4 ) , 8 . 3 ( 1 7 1 ) ,

8 . 4 ( 1 7 2 )

s e r i e s d e f o u r i e r d i s c r e t a s e n e l t i e m p o ,

8 . 2 ( 1 6 4 ) , 1 6 4 , 8 . 4 ( 1 7 2 )

s e r i e s g e o m é t r i c a s , 2 1 2

s e ñ a e s y s i s t e m a s , 4 . 2 ( 6 1 )



I N D E X 3 1 5

s e ñ a l , 4 . 2 ( 6 1 ) , 6 . 1 ( 9 3 ) , 6 . 1 2 ( 1 1 9 )

s e ñ a l a l e a t o r i a , 7

s e ñ a l d e t a m a ñ o n i t o , 8

s e ñ a l e x p o n e n c i a l c o m p l e j a d e

t i e m p o - c o n t i n u o , 1 9

s e ñ a l e x p o n e n c i a l c o m p l e j a e n t i e m p o - d i s c r e t o ,

2 0

s e ñ a l i m p a r , 4 , 6 . 6 ( 1 0 4 )

s e ñ a l p a r , 1 . 1 ( 1 ) , 4 , 6 . 6 ( 1 0 4 )

s e ñ a l e s , 1 . 2 ( 9 ) , 1 . 3 ( 1 2 ) , 1 . 4 ( 1 6 ) , 1 . 5 ( 1 9 ) ,

1 . 6 ( 2 2 ) , 2 . 1 ( 2 7 ) , 6 . 2 ( 9 4 ) , 6 . 3 ( 9 7 ) ,

8 . 1 ( 1 6 3 ) , 1 4 . 4 ( 2 5 1 ) , 1 4 . 6 ( 2 5 5 )

s e ñ a l e s d e t i e m p o d i s c r e t o , 2 2 3

S e ñ a l e s d e V a l o r e s S i m b ó l i c o s , 1 . 6 ( 2 2 )

s e ñ a l e s r u i d o s a s , 1 0 0

s e ñ a l e s y s i s t e m a s , 1 . 1 ( 1 )

s i g n a l s , 3 . 2 ( 4 0 ) , 3 . 3 ( 4 6 ) , 3 . 4 ( 5 3 ) ,

1 1 . 1 ( 2 0 4 )

s i m e t r i a , 6 . 5 ( 1 0 1 ) , 6 . 6 ( 1 0 4 ) , 1 2 . 2 ( 2 1 9 )

s i n c , 1 3 . 3 ( 2 3 2 )

S i n c D i r i c h l e t , 1 1 . 2 ( 2 0 5 )

s i n g u l a r i d a d e s , 1 4 . 5 ( 2 5 3 ) , 2 5 3

s i s t e m a , 4 . 3 ( 6 6 ) , 6 . 4 ( 9 8 ) , 6 . 1 2 ( 1 1 9 )

s i s t e m a c o n t i n u o , 2 7

s i s t e m a d i s c r e t o , 2 7

s i s t e m a l i n e a l , 3 . 1 ( 3 7 )

s i s t e m a L T I , 6 . 2 ( 9 4 ) , 6 . 4 ( 9 8 )

s i s t e m a s , 1 . 6 ( 2 2 ) , 8 . 1 ( 1 6 3 ) , 1 4 . 4 ( 2 5 1 ) ,

1 4 . 6 ( 2 5 5 )

s i s t e m a s d e d e s p l a z a m i e n t o i n v a r i a n t e ,

4 . 1 ( 5 7 )

s i s t e m a s d i s c r e t o s , 4 . 1 ( 5 7 )

s o l u c i ó n h o m o g é n e a , 2 8 1

s o l u c i ó n p a r t i c u l a r , 2 8 1

s p a n , 5 . 5 ( 8 6 )

s t a b i l i t y , 3 . 4 ( 5 3 )

s u a v e s , 1 0 0

s u b e s p a c i o g e n e r a d o , 5 . 1 ( 7 3 ) , 7 5

s u m a d e c o n v o l u c i ó n , 6 1

s u p e r p o s i c i ó n , 4 . 1 ( 5 7 )

s u p e r p o s i t i o n , 2 . 2 ( 3 1 )

s y s t e m , 5 . 5 ( 8 6 )

s y s t e m s , 3 . 2 ( 4 0 ) , 3 . 3 ( 4 6 ) , 3 . 4 ( 5 3 ) ,

1 1 . 1 ( 2 0 4 )

s í n t e s i s , 9 6

T t - p e r i o d i c o , 6 . 1 ( 9 3 )

t a m a ñ o n i t o , 2 7 6

T e o r e m a d e N y q u i s t , 1 3 . 4 ( 2 3 4 ) , 2 3 4

T e o r e m a d e P a r s e v a l , 1 1 . 7 ( 2 1 1 )

t e o r í a d e c o n t r o l , 2 5 7

t i e m p o c o n t i n u o , 1 . 1 ( 1 ) , 1 . 3 ( 1 2 ) , 3 . 1 ( 3 7 ) ,

8 . 1 ( 1 6 3 ) , 1 2 . 1 ( 2 1 7 ) , 1 3 . 1 ( 2 2 3 ) , 2 2 3 ,

1 3 . 7 ( 2 4 1 ) , 1 4 . 1 ( 2 4 7 ) , 1 4 . 2 ( 2 5 0 ) ,

1 4 . 3 ( 2 5 1 ) , 1 4 . 4 ( 2 5 1 ) , 1 4 . 6 ( 2 5 5 )

t i e m p o d i s c r e t o , 1 . 1 ( 1 ) , 4 . 2 ( 6 1 ) , 8 . 1 ( 1 6 3 ) ,

8 . 3 ( 1 7 1 ) , 8 . 5 ( 1 8 1 ) , 1 1 . 4 ( 2 0 9 ) , 1 1 . 5 ( 2 1 0 ) ,

1 1 . 6 ( 2 1 0 ) , 1 1 . 7 ( 2 1 1 ) , 1 3 . 1 ( 2 2 3 ) ,

1 4 . 6 ( 2 5 5 ) , 1 5 . 2 ( 2 6 4 )

T i e m p o - c o n t i n u o , 1 2 . 2 ( 2 1 9 )

t i e m p o - d i s c r e t o , 1 . 6 ( 2 2 )

t i m e - i n v a r i a n t , 2 . 2 ( 3 1 )

t r a n s f o r m a , 8 4

t r a n s f o r m a c i o n l i n e a l , 6 . 5 ( 1 0 1 )

t r a n s f o r m a c i ó n l i n e a r , 1 0 2

t r a n s f o r m a d a , 6 . 2 ( 9 4 )

t r a n s f o r m a d a d e f o u r i e r , 4 . 3 ( 6 6 ) , 6 . 1 0 ( 1 1 4 ) ,

8 . 1 ( 1 6 3 ) , 8 . 5 ( 1 8 1 ) , 9 . 2 ( 1 8 8 ) , 1 1 . 3 ( 2 0 6 ) ,

1 1 . 4 ( 2 0 9 ) , 1 1 . 5 ( 2 1 0 ) , 1 1 . 6 ( 2 1 0 ) ,

1 1 . 7 ( 2 1 1 ) , 1 2 . 1 ( 2 1 7 ) , 1 2 . 2 ( 2 1 9 ) ,

1 5 . 1 ( 2 5 9 ) , 2 5 9

T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r d e T i e m p o - C o n t i n u o ,

2 1 7

t r a n s f o r m a d a d e f o u r i e r d i s c r e t a , 4 . 3 ( 6 6 )

T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r D i s c r e t a e n e l

T i e m p o , 1 1 . 7 ( 2 1 1 )

t r a n s f o r m a d a d e l a p l a c e , 8 . 1 ( 1 6 3 ) ,

1 4 . 1 ( 2 4 7 ) , 1 4 . 2 ( 2 5 0 ) , 1 4 . 3 ( 2 5 1 ) ,

1 4 . 4 ( 2 5 1 ) , 1 4 . 6 ( 2 5 5 )

t r a n s f o r m a d a d e z , 8 . 1 ( 1 6 3 )

T r a n s f o r m a d a D i s c r e t a d e F o u r i e r , 1 1 . 3 ( 2 0 6 ) ,

2 0 7

t r a n s f o r m a d a i n v e r s a , 6 . 2 ( 9 4 ) , 9 6

T r a n s f o r m a d a R á p i d a d e F o u r i e r , 9 . 1 ( 1 8 7 ) ,

9 . 2 ( 1 8 8 ) , 9 . 3 ( 1 8 9 )

t r a n s f o r m a d a z , 1 4 . 6 ( 2 5 5 ) , 1 5 . 2 ( 2 6 4 )

t r a n s f o r m a d a - z , 1 5 . 1 ( 2 5 9 ) , 2 5 9 , 1 5 . 2 ( 2 6 4 )

t r a n s f o r m a d a - z b i l a t e r a l , 2 5 9

t r a n s f o r m a d a - z u n i l a t e r a l , 2 5 9

t r a n s f o r m a d a s d e z u n i l a t e r a l y b i l a t e r a l , 2 6 4

t r a n s f o r m a d a z , 2 6 5

t r a n s f o r m s , 1 4 7

t r a n s p u e s t a , 7 . 1 1 ( 1 5 6 )

t r a s f o r m a r , 9 6

U u n a s e ñ a l d e t a m a ñ o i n n i t o , 8

u n i f o r m e , 1 0 . 3 ( 2 0 0 )

u n i l a t e r a l , 1 5 . 2 ( 2 6 4 )

u n i t a r i o , 1 6

V v a l o r c o m p l e j o , 1 . 6 ( 2 2 )

v a l o r r e a l , 1 . 6 ( 2 2 )

v a r i a n t e e n e l t i e m p o , 2 . 1 ( 2 7 ) , 2 9

v e c t o r , 7 . 1 ( 1 2 3 ) , 1 0 . 2 ( 1 9 7 )



3 1 6

I N D E X

v e c t o r d e c o e c i e n t e s , 7 . 8 ( 1 4 4 ) , 1 4 6

v e c t o r s p a c e , 7 . 1 ( 1 2 3 )

v e c t o r s p a c e s , 7 . 1 ( 1 2 3 )

v e c t o r e s , 1 0 . 2 ( 1 9 7 )

v e n t a j a c o m p u t a c i o n a l , 1 9 0

W w e i g h t e d s u m , 2 9 2

Z z t r a n s f o r m , 3 . 4 ( 5 3 )

z - t r a n s f o r m , 1 5 . 5 ( 2 7 7 )

z e r o , 3 . 4 ( 5 3 )

á á l g e b r a l i n e a l , 5 . 1 ( 7 3 )

á n a l o g o , 1 1 . 6 ( 2 1 0 ) , 1 1 . 7 ( 2 1 1 )

ú ú n i c a , 1 4 5



A T T R I B U T I O N S 3 1 7

A t t r i b u t i o n s

C o l l e c t i o n : S e ñ a l e s y S i s t e m a s

E d i t e d b y : R i c h a r d B a r a n i u k

U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / c o l 1 0 3 7 3 / 1 . 2 /

L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /

M o d u l e : " C l a s i c a c i ó n y P r o p i e d a d e s d e l a s S e ñ a l e s "

B y : M e l i s s a S e l i k , R i c h a r d B a r a n i u k , M i c h a e l H a a g , R i c a r d o v o n B o r r i e s

U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 1 8 / 1 . 8 /

P a g e s : 1 - 9

C o p y r i g h t : R i c a r d o v o n B o r r i e s , E r i k a J a c k s o n , F a r a M e z a


B a s e d o n : S i g n a l C l a s s i c a t i o n s a n d P r o p e r t i e s

B y : M e l i s s a S e l i k , R i c h a r d B a r a n i u k , M i c h a e l H a a g

U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 0 5 7 / 2 . 1 6 /

M o d u l e : " O p e r a c i o n e s p a r a S e ñ a l e s "

B y : R i c h a r d B a r a n i u k


P a g e s : 9 - 1 2

C o p y r i g h t : E r i k a J a c k s o n , F a r a M e z a


B a s e d o n : S i g n a l O p e r a t i o n s


U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 1 2 5 / 2 . 5 /

M o d u l e : " S e ñ a l e s Ú t i l e s "

B y : M e l i s s a S e l i k , R i c h a r d B a r a n i u k

U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 8 1 9 / 1 . 1 0 /

P a g e s : 1 2 - 1 5



B a s e d o n : U s e f u l S i g n a l s



M o d u l e : " F u n c i ó n d e I m p u l s o "



P a g e s : 1 6 - 1 9



B a s e d o n : T h e I m p u l s e F u n c t i o n





3 1 8

A T T R I B U T I O N S

M o d u l e : " E l E x p o n e n c i a l C o m p l e j o "



P a g e s : 1 9 - 2 2



B a s e d o n : T h e C o m p l e x E x p o n e n t i a l



M o d u l e : " S e ñ a l e s e n T i e m p o - D i s c r e t o "

B y : D o n J o h n s o n


P a g e s : 2 2 - 2 4



B a s e d o n : D i s c r e t e - T i m e S i g n a l s


U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 0 0 0 9 / 2 . 2 0 /

M o d u l e : " E x p o n e n c i a l C o m p l e j o D i s c r e t o "



P a g e s : 2 5 - 2 5



B a s e d o n : D i s c r e t e - T i m e C o m p l e x E x p o n e n t i a l



M o d u l e : " C l a s i c a c i ó n y P r o p i e d a d e s d e l o s S i s t e m a s "



P a g e s : 2 7 - 3 1

C o p y r i g h t : F a r a M e z a , E r i k a J a c k s o n


B a s e d o n : S y s t e m C l a s s i c a t i o n s a n d P r o p e r t i e s



M o d u l e : " P r o p i e d a d e s d e l o s S i s t e m a s "

B y : T h a n o s A n t o u l a s , J P S l a v i n s k y


P a g e s : 3 1 - 3 6



B a s e d o n : P r o p e r t i e s o f S y s t e m s

B y : T h a n o s A n t o u l a s , J P S l a v i n s k y





M o d u l e : " S i s t e m a s L i n e a l e s C T y E c u a c i o n e s D i f e r e n c i a l e s "

B y : M i c h a e l H a a g


P a g e s : 3 7 - 3 9



B a s e d o n : C T L i n e a r S y s t e m s a n d D i e r e n t i a l E q u a t i o n s



M o d u l e : " C o n v o l u c i ó n d e T i e m p o - C o n t i n u o "



P a g e s : 4 0 - 4 6

C o p y r i g h t : F a r a M e z a


B a s e d o n : C o n t i n u o u s - T i m e C o n v o l u t i o n



M o d u l e : " P r o p i e d a d e s d e l a C o n v o l u c i ó n "



P a g e s : 4 6 - 5 3



B a s e d o n : P r o p e r t i e s o f C o n v o l u t i o n



M o d u l e : " E s t a b i l i d a d B I B O "



P a g e s : 5 3 - 5 5



B a s e d o n : B I B O S t a b i l i t y



M o d u l e : " A n á l i s i s e n e l D o m i n i o d e l T i e m p o p a r a S i s t e m a s D i s c r e t o s "



P a g e s : 5 7 - 6 0



B a s e d o n : D i s c r e t e - T i m e S y s t e m s i n t h e T i m e - D o m a i n





3 2 0


M o d u l e : " C o n v o l u c i ó n D i s c r e t a "

B y : R i c a r d o R a d a e l l i - S a n c h e z , R i c h a r d B a r a n i u k


P a g e s : 6 1 - 6 6



B a s e d o n : D i s c r e t e - T i m e C o n v o l u t i o n



M o d u l e : " C o n v o l u c i ó n C i r c u l a r y e l D F T "

B y : J u s t i n R o m b e r g


P a g e s : 6 6 - 7 0



B a s e d o n : C i r c u l a r C o n v o l u t i o n a n d t h e D F T



M o d u l e : " E c u a c i o n e s d e D i f e r e n c i a "



P a g e s : 7 0 - 7 0



B a s e d o n : D i e r e n c e E q u a t i o n s



M o d u l e : " A l g e b r a L i n e a l : C o n c e p t o s B á s i c o s "

B y : M i c h a e l H a a g , J u s t i n R o m b e r g


P a g e s : 7 3 - 7 7



B a s e d o n : L i n e a r A l g e b r a : T h e B a s i c s



M o d u l e : " C o n c e p t o s B á s i c o s d e V e c t o r e s "



P a g e s : 7 7 - 7 7



B a s e d o n : V e c t o r B a s i c s






M o d u l e : " E i g e n v e c t o r e s y E i g e n v a l o r e s "



P a g e s : 7 7 - 8 3



B a s e d o n : E i g e n v e c t o r s a n d E i g e n v a l u e s



M o d u l e : " D i a g o n a l i z a c i ó n d e M a t r i c e s "



P a g e s : 8 3 - 8 6



B a s e d o n : M a t r i x D i a g o n a l i z a t i o n



M o d u l e : " G e n e r a l i d a d e s d e E i g e n v e c t o r e s y E i g e n v a l o r e s "



P a g e s : 8 6 - 8 7



B a s e d o n : E i g e n - s t u i n a N u t s h e l l



M o d u l e : " E i g e n f u n c i o n e s d e l o s S i s t e m a s L T I "



P a g e s : 8 7 - 9 0



B a s e d o n : E i g e n f u n c t i o n s o f L T I S y s t e m s



M o d u l e : " P r o p i e d a d e s d e l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r "



P a g e s : 9 0 - 9 0



B a s e d o n : F o u r i e r T r a n s f o r m P r o p e r t i e s


U R L : h t t p : / / p l a n t i n g a . c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 0 0 4 5 / 2 . 8 /



3 2 2


M o d u l e : " S e ñ a l e s P e r i ó d i c a s "



P a g e s : 9 3 - 9 4



B a s e d o n : P e r i o d i c S i g n a l s



M o d u l e : " S e r i e s d e F o u r i e r : E l M é t o d o d e E i g e n f u n c i o n e s "



P a g e s : 9 4 - 9 7



B a s e d o n : F o u r i e r S e r i e s : E i g e n f u n c t i o n A p p r o a c h



M o d u l e : " D e r i v a c i ó n d e l a E c u a c i ó n d e C o e c i e n t e s d e F o u r i e r "



P a g e s : 9 7 - 9 8



B a s e d o n : D e r i v a t i o n o f F o u r i e r C o e c i e n t s E q u a t i o n



M o d u l e : " G e n e r a l i d a d e s d e l a s S e r i e s d e F o u r i e r "



P a g e s : 9 8 - 1 0 1



B a s e d o n : F o u r i e r S e r i e s i n a N u t s h e l l



M o d u l e : " P r o p i e d a d e s d e l a S e r i e d e F o u r i e r "

B y : J u s t i n R o m b e r g , B e n j a m i n F i t e


P a g e s : 1 0 1 - 1 0 4



B a s e d o n : F o u r i e r S e r i e s P r o p e r t i e s

B y : J u s t i n R o m b e r g , B e n j a m i n F i t e





M o d u l e : " P r o p i e d a d e s d e S i m e t r í a d e l a s S e r i e s d e F o u r i e r "



P a g e s : 1 0 4 - 1 0 8



B a s e d o n : S y m m e t r y P r o p e r t i e s o f t h e F o u r i e r S e r i e s



M o d u l e : " P r o p i e d a d d e C o n v o l u c i ó n C i r c u l a r d e l a s S e r i e s d e F o u r i e r "



P a g e s : 1 0 8 - 1 0 9



B a s e d o n : C i r c u l a r C o n v o l u t i o n P r o p e r t y o f F o u r i e r S e r i e s



M o d u l e : " S e r i e s d e F o u r i e r y l o s S i s t e m a s L T I "



P a g e s : 1 0 9 - 1 1 2



B a s e d o n : F o u r i e r S e r i e s a n d L T I S y s t e m s



M o d u l e : " C o n v e r g e n c i a d e l a s S e r i e s d e F o u r i e r "



P a g e s : 1 1 2 - 1 1 4



B a s e d o n : C o n v e r g e n c e o f F o u r i e r S e r i e s



M o d u l e : " C o n d i c i o n e s d e D i r i c h l e t "

B y : R i c a r d o R a d a e l l i - S a n c h e z


P a g e s : 1 1 4 - 1 1 6



B a s e d o n : D i r i c h l e t C o n d i t i o n s

B y : R i c a r d o R a d a e l l i - S a n c h e z




3 2 4


M o d u l e : " E l F e n ó m e n o d e G i b b s "



P a g e s : 1 1 6 - 1 1 9



B a s e d o n : G i b b s ' s P h e n o m e n a



M o d u l e : " R e s u m e n d e l a s S e r i e s d e F o u r i e r "



P a g e s : 1 1 9 - 1 2 0



B a s e d o n : F o u r i e r S e r i e s W r a p - U p



M o d u l e : " E s p a c i o s V e c t o r i a l e s "

B y : M i c h a e l H a a g , S t e v e n C o x , J u s t i n R o m b e r g


P a g e s : 1 2 3 - 1 2 4



B a s e d o n : V e c t o r S p a c e s

B y : M i c h a e l H a a g , S t e v e n C o x , J u s t i n R o m b e r g


M o d u l e : " N o r m a s "



P a g e s : 1 2 5 - 1 2 7



B a s e d o n : N o r m s



M o d u l e : " P r o d u c t o I n t e r n o "



P a g e s : 1 2 7 - 1 2 9



B a s e d o n : I n n e r P r o d u c t s






M o d u l e : " E s p a c i o s d e H i l b e r t "



P a g e s : 1 2 9 - 1 3 0



B a s e d o n : H i l b e r t S p a c e s



M o d u l e : " D e s i g u a l d a d d e C a u c h y - S c h w a r z "



P a g e s : 1 3 0 - 1 3 7



B a s e d o n : C a u c h y - S c h w a r z I n e q u a l i t y



M o d u l e : " E s p a c i o s d e H i l b e r t c o m u n e s "

B y : R o y H a , J u s t i n R o m b e r g


P a g e s : 1 3 7 - 1 4 0



B a s e d o n : C o m m o n H i l b e r t S p a c e s



M o d u l e : " T i p o s d e B a s e s "



P a g e s : 1 4 0 - 1 4 4



B a s e d o n : T y p e s o f B a s i s



M o d u l e : " E x p a n s i ó n d e B a s e s O r t o n o r m a l e s "



P a g e s : 1 4 4 - 1 4 8



B a s e d o n : O r t h o n o r m a l B a s i s E x p a n s i o n s





3 2 6


M o d u l e : " E s p a c i o d e F u n c i o n e s "



P a g e s : 1 4 8 - 1 4 9



B a s e d o n : F u n c t i o n S p a c e



M o d u l e : " B a s e d e l a O n d o l e t a d e H a a r "



P a g e s : 1 4 9 - 1 5 6



B a s e d o n : H a a r W a v e l e t B a s i s



M o d u l e : " B a s e s O r t o n o r m a l e s e n E s p a c i o s R e a l e s y C o m p l e j o s "



P a g e s : 1 5 6 - 1 5 8



B a s e d o n : O r t h o n o r m a l B a s e s i n R e a l a n d C o m p l e x S p a c e s



M o d u l e : " T e o r e m a s d e P l a n c h a r e l y P a r s e v a l "



P a g e s : 1 5 8 - 1 5 9



B a s e d o n : P l a n c h a r e l a n d P a r s e v a l ' s T h e o r e m s



M o d u l e : " A p p r o x i m a c i ó n y P r o y e c c i ó n e n e l E s p a c i o d e H i l b e r t "



P a g e s : 1 5 9 - 1 6 1



B a s e d o n : A p p r o x i m a t i o n a n d P r o j e c t i o n s i n H i l b e r t S p a c e






M o d u l e : " A n á l i s i s d e F o u r i e r "



P a g e s : 1 6 3 - 1 6 4



B a s e d o n : F o u r i e r A n a l y s i s



M o d u l e : " A n á l i s i s d e F o u r i e r e n E s p a c i o s C o m p l e j o s "



P a g e s : 1 6 4 - 1 7 1



B a s e d o n : F o u r i e r A n a l y s i s i n C o m p l e x S p a c e s



M o d u l e : " E c u a c i ó n d e M a t r i z p a r a l a D T F S "

B y : R o y H a


P a g e s : 1 7 1 - 1 7 2



B a s e d o n : M a t r i x E q u a t i o n f o r t h e D T F S

B y : R o y H a


M o d u l e : " E x t e n s i ó n P e r i ó d i c a d e l a s D T F S "

B y : R o y H a


P a g e s : 1 7 2 - 1 8 1



B a s e d o n : P e r i o d i c E x t e n s i o n t o D T F S

B y : R o y H a


M o d u l e : " D e s p l a z a m i e n t o s C i r c u l a r e s "



P a g e s : 1 8 1 - 1 8 5



B a s e d o n : C i r c u l a r S h i f t s





3 2 8


M o d u l e : " D F T : T r a n s f o r m a d a R á p i d a d e F o u r i e r "



P a g e s : 1 8 7 - 1 8 8



B a s e d o n : D F T : F a s t F o u r i e r T r a n s f o r m



M o d u l e : " L a T r a n s f o r m a d a R á p i d a d e F o u r i e r ( F F T ) "



P a g e s : 1 8 8 - 1 8 9



B a s e d o n : T h e F a s t F o u r i e r T r a n s f o r m ( F F T )



M o d u l e : " D e r i v a n d o l a T r a n s f o r m a d a R á p i d a d e F o u r i e r "



P a g e s : 1 8 9 - 1 9 2



B a s e d o n : D e r i v i n g t h e F a s t F o u r i e r T r a n s f o r m



M o d u l e : " C o n v e r g e n c i a d e S e c u e n c i a s "



P a g e s : 1 9 5 - 1 9 6



B a s e d o n : C o n v e r g e n c e o f S e q u e n c e s



M o d u l e : " C o n v e r g e n c i a d e V e c t o r e s "



P a g e s : 1 9 7 - 2 0 0



B a s e d o n : C o n v e r g e n c e o f V e c t o r s






M o d u l e : " C o n v e r g e n c i a U n i f o r m e d e S e c u e n c i a s d e F u n c i o n e s . "

B y : M i c h a e l H a a g , R i c h a r d B a r a n i u k


P a g e s : 2 0 0 - 2 0 1



B a s e d o n : U n i f o r m C o n v e r g e n c e o f F u n c t i o n S e q u e n c e s

B y : M i c h a e l H a a g , R i c h a r d B a r a n i u k


M o d u l e : " T a b l e o f C o m m o n F o u r i e r T r a n s f o r m s "

U s e d h e r e a s : " T a b l a d e T r a n s f o r m a d a s d e F o u r i e r C o m u n e s "



P a g e s : 2 0 4 - 2 0 5

C o p y r i g h t : M e l i s s a S e l i k , R i c h a r d B a r a n i u k

L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 1 . 0

M o d u l e : " T r a n s f o r m a c i ó n D i s c r e t a d e F o u r i e r "

B y : P h i l S c h n i t e r


P a g e s : 2 0 5 - 2 0 6



B a s e d o n : D i s c r e t e F o u r i e r T r a n s f o r m a t i o n

B y : P h i l S c h n i t e r


M o d u l e : " T r a n s f o r m a d a D i s c r e t a d e F o u r i e r ( D F T ) "



P a g e s : 2 0 6 - 2 0 9



B a s e d o n : D i s c r e t e F o u r i e r T r a n s f o r m ( D F T )



M o d u l e : " T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r D i s c r e t a e n e l T i e m p o ( D T F T ) "



P a g e s : 2 0 9 - 2 0 9



B a s e d o n : D i s c r e t e - T i m e F o u r i e r T r a n s f o r m ( D T F T )





3 3 0


M o d u l e : " P r o p i e d a d e s d e l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r D i s c r e t a e n e l T i e m p o "



P a g e s : 2 1 0 - 2 1 0



B a s e d o n : D i s c r e t e - T i m e F o u r i e r T r a n s f o r m P r o p e r t i e s



M o d u l e : " P a r d e l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r D i s c r e t a e n e l T i e m p o "



P a g e s : 2 1 0 - 2 1 1



B a s e d o n : D i s c r e t e - T i m e F o u r i e r T r a n s f o r m P a i r



M o d u l e : " E j e m p l o s d e D T F T "



P a g e s : 2 1 1 - 2 1 4



B a s e d o n : D T F T E x a m p l e s



M o d u l e : " T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r d e T i e m p o C o n t i n u o ( C T F T ) "

B y : R i c h a r d B a r a n i u k , M e l i s s a S e l i k


P a g e s : 2 1 7 - 2 1 8



B a s e d o n : C o n t i n u o u s - T i m e F o u r i e r T r a n s f o r m ( C T F T )

B y : R i c h a r d B a r a n i u k , M e l i s s a S e l i k


M o d u l e : " P r o p i e d a d e s d e l a T r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r d e T i e m p o - C o n t i n u o "



P a g e s : 2 1 9 - 2 2 1



B a s e d o n : P r o p e r t i e s o f t h e C o n t i n u o u s - T i m e F o u r i e r T r a n s f o r m






M o d u l e : " M u e s t r e o "



P a g e s : 2 2 3 - 2 2 7



B a s e d o n : S a m p l i n g



M o d u l e : " R e c o n s t r u c c i ó n "



P a g e s : 2 2 7 - 2 3 2



B a s e d o n : R e c o n s t r u c t i o n



M o d u l e : " M á s s o b r e R e c o n s t r u c c i ó n P e r f e c t a "



P a g e s : 2 3 2 - 2 3 4



B a s e d o n : M o r e o n P e r f e c t R e c o n s t r u c t i o n



M o d u l e : " T e o r e m a d e N y q u i s t "



P a g e s : 2 3 4 - 2 3 5



B a s e d o n : N y q u i s t T h e o r e m



M o d u l e : " A l i a s i n g "

B y : J u s t i n R o m b e r g , D o n J o h n s o n


P a g e s : 2 3 6 - 2 3 9



B a s e d o n : A l i a s i n g

B y : J u s t i n R o m b e r g , D o n J o h n s o n




3 3 2


M o d u l e : " F i l t r o s A n t i - A l i a s i n g "



P a g e s : 2 3 9 - 2 4 1



B a s e d o n : A n t i - A l i a s i n g F i l t e r s



M o d u l e : " P r o c e s a m i e n t o d e T i e m p o D i s c r e t o d e S e ñ a l e s d e T i e m p o C o n t i n u o "



P a g e s : 2 4 1 - 2 4 3



B a s e d o n : D i s c r e t e T i m e P r o c e s s i n g o f C o n t i n u o u s T i m e S i g n a l s



M o d u l e : " L a T r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e "



P a g e s : 2 4 7 - 2 4 9



B a s e d o n : T h e L a p l a c e T r a n s f o r m s



M o d u l e : " P r o p i e d a d e s d e l a T r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e "



P a g e s : 2 5 0 - 2 5 0



B a s e d o n : P r o p e r t i e s o f t h e L a p l a c e T r a n s f o r m



M o d u l e : " T a b l a d e T r a n s f o r m a d a s d e L a p l a c e C o m u n e s "



P a g e s : 2 5 1 - 2 5 1



B a s e d o n : T a b l e o f C o m m o n L a p l a c e T r a n s f o r m s






M o d u l e : " R e g i ó n d e C o n v e r g e n c i a p a r a l a T r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e "



P a g e s : 2 5 1 - 2 5 3



B a s e d o n : R e g i o n o f C o n v e r g e n c e f o r t h e L a p l a c e T r a n s f o r m



M o d u l e : " L a T r a n s f o r m a d a I n v e r s a d e L a p l a c e "

B y : S t e v e n C o x


P a g e s : 2 5 3 - 2 5 5



B a s e d o n : T h e I n v e r s e L a p l a c e T r a n s f o r m

B y : S t e v e n C o x


M o d u l e : " P o l o s y C e r o s "



P a g e s : 2 5 5 - 2 5 7



B a s e d o n : P o l e s a n d Z e r o s



M o d u l e : " L a T r a n s f o r m a d a Z : D e n i c i ó n "

B y : B e n j a m i n F i t e


P a g e s : 2 5 9 - 2 6 4



B a s e d o n : T h e Z T r a n s f o r m : D e n i t i o n



M o d u l e : " T a b l a d e T r a n s f o r m a d a s - Z C o m u n e s "



P a g e s : 2 6 4 - 2 6 5



B a s e d o n : T a b l e o f C o m m o n z - T r a n s f o r m s





3 3 4


M o d u l e : " R e g i ó n d e C o n v e r g e n c i a p a r a l a T r a n s f o r m a d a - Z "



P a g e s : 2 6 5 - 2 7 4



B a s e d o n : R e g i o n o f C o n v e r g e n c e f o r t h e Z - t r a n s f o r m



M o d u l e : " L a T r a n s f o r m a d a I n v e r s a d e Z "



P a g e s : 2 7 4 - 2 7 7



B a s e d o n : I n v e r s e Z - T r a n s f o r m



M o d u l e : " F u n c i o n e s R a c i o n a l e s "



P a g e s : 2 7 7 - 2 7 9



B a s e d o n : R a t i o n a l F u n c t i o n s



M o d u l e : " L a E c u a c i ó n d e D i f e r e n c i a "



P a g e s : 2 7 9 - 2 8 2



B a s e d o n : D i e r e n c e E q u a t i o n



M o d u l e : " E n t e n d i e n d o l a s G r a c a s d e P o l o s y C e r o s e n e l P l a n o - Z "



P a g e s : 2 8 2 - 2 8 7



B a s e d o n : U n d e r s t a n d i n g P o l e / Z e r o P l o t s o n t h e Z - P l a n e






M o d u l e : " D i s e ñ o d e F i l t r o s u s a n d o l a G r a c a d e P o l o s y C e r o s d e l a T r a n s f o r m a d a - Z "



P a g e s : 2 8 7 - 2 9 0



B a s e d o n : F i l t e r D e s i g n u s i n g t h e P o l e / Z e r o P l o t o f a Z - T r a n s f o r m



M o d u l e : " H o m e w o r k 1 "

B y : R i c h a r d B a r a n i u k , J u s t i n R o m b e r g


P a g e s : 2 9 1 - 2 9 5

C o p y r i g h t : R i c h a r d B a r a n i u k , J u s t i n R o m b e r g


M o d u l e : " H o m e w o r k 1 S o l u t i o n s "

B y : J u s t i n R o m b e r g , R i c h a r d B a r a n i u k , M i c h a e l H a a g


P a g e s : 2 9 5 - 3 0 6

C o p y r i g h t : J u s t i n R o m b e r g , R i c h a r d B a r a n i u k , M i c h a e l H a a g


sistemas y señales (richard baraniuk)

Documents