sisteme logice si a 1 - sinteza

1

I. PRECIZĂRI ŞI RECOMANDĂRI PRIVIND DESFĂŞURAREA

ACTIVITĂŢILOR ÎN ANUL UNIVERSITAR 2009-2010

CODUL CURSULUI: ZFIL-FIL2008037

DENUMIREA CURSULUI: Sisteme logice I

TIP CURS: OBLIGATORIU

DURATA CURSULUI/NR. DE CREDITE: 2 ore curs/săptămână, semestrul I.

PERIOADA DE ACCESARE A CURSULUI: semestrul I, prelegeri, 2

ore/săptămână.

1. MANUALUL RECOMANDAT: Cornel Popa, Sisteme logice şi metalogică, vol. I,

Editura Fundaţiei România de Mâine, 2000.

MODUL DE STABILIRE A NOTEI FINALE: examen, sfârşitul semestrului I,

sesiunea din iarnă.

OBIECTIVUL PRINCIPAL AL CURSULUI:

Cursul îşi propune să îi familiarizeze pe studenţi cu gândirea filosofică asupra

sistemelor logicii, să îi ajute să înţeleagă limbaje aplicabile la contexte ac�ionale.

ADRESE E-MAIL RESPONSABIL PENTRU CONTACTUL CU

STUDENŢII: [email protected]

TITULARUL CURSULUI: prof. univ. dr. Cornel Popa II. CONŢINUTUL TEMATIC AL CURSULUI: 1. Existenţă, limbi naturale, logică;

2. Limbile naturale, discursul şi operatorii logici. Conective propoziţionale şi cuantificatori;

3. Limbile naturale, discursul şi operatorii logici. Operatori modali; 4. Agenţii, modelele

comunicării şi sistemele logice; 5. Sisteme axiomatice; 6. Axiomatica logicii propoziţiilor.

Sistemul Hilbert-Ackermann; 7. Proprietăţi metateoretice ale sistemelor axiomatice; 8.

Teorema deducţiei şi rolul ei în demonstraţie; 9. Metoda rezoluţiei; 10. Metoda arborilor de

decizie; 11. Logica predicatelor şi teoria definiţiei; 12. Definirea predicatelor în limbajul

natural.

III BIBLIOGRAFIE

A. Bibliografie obligatorie

2

1. Cornel Popa, Sisteme logice şi metalogică, vol. I, Editura Fundaţiei România de

Mâine, 2000.

2. Cornel Popa, Sisteme logice şi metalogică, vol. II, Editura Fundaţiei România de

Mâine, 2002.

B. Bibliografie facultativă: reiese din bibliografia dela sfârşitul volumului I

IV. PREZENTAREA CURSURILOR

1. Existenţă, limbi naturale, logică

A. Sinteză

Existenţă Obiecte individuale Domenii de obiecte Stări,

evenimente

Limba Nume proprii

Aristotel

Frege

Descripţii vagi

un, o, ceva

Nume comune

adjective,

verbe

Logică Constante individuale

a,b,c, a1,a2

Variabile individuale

x,y,z

Atomi predicative:

P(a),P(x),R(x,y),

x=y, z=f(x)

Operaţii logice care privesc relaţia dintre limbajul natural şi logică

Formalizarea

Def. Operaţie logică interlingvistică prin care enunţurile unei limbi naturale sau ale unui

limbaj ştiinţific sunt transpuse într-un limbaj logic sau de programare logică.

Proprietăţi:

1. conservă semnificaţia esenţială şi valorile de adevăr

2. conservă structurile logice

3. dezambiguizează

4. facilitează calculul

5. abstractizează

Decodificare

3

Def. Este operaţia inversă formalizării care permite trecerea de la un limbaj logic

simbolic la o limbă naturală sau la un limbaj ştiinţific standard.

Proprietăţi

-O decodificare corectă păstrează valoarea de adevăr a formulelor din limbajul

simbolic;

-Extinde accesibilitatea mesajului la un număr mai mare de adresanţi;

-Conservă structura logică a formulelor din limbajul logic;

-Coboară de la abstract la concret.

Descrierea

Definiţie

Descrierea este o operaţie discursiv cognitivă prin care un agent transpune într-o limbă

naturală o experienţă perceptivă şi observaţională dobândită din scrutarea unui domeniu

oarecare. Descrierea este o codificare lingvistică a unei experienţe personale.

Proprietăţi

- Are la bază interacţiunea dintre agent şi mediu actele perceptive şi actele de observaţie

- Este utilizarea idiolectului sau limbajului personal al agentului pentru socializarea prin

discurs a rezultatelor obţinute.

-Întemeindu-se pe analizatorii vizuali, auditivi, etc, descrierile sunt codificări

intersubiective ale experienţei subiective recente. Aceasta este cenzurată de discernământul

şi spiritul critic dobândit de agent în experienţa sa practică şi discursivă anterioară.

B. Întrebări de autocontrol:

1. Care este rolul formalizării?

2. Pentru care dintre cele trei operaţii prezentate este necesară interacţiunea cu mediul

exterior?

3. Care este corespondentul numelor proprii în limbajul logic?

2. Limba naturală şi operatorii logici. Conective propoziţionale şi cuantificatori.

A. Sinteză

4

Logicienii n-au inventat operatorii logici. Aceştia există în limbile naturale şi în

deprinderile oamenilor de a folosi şi înţelege limbile naturale. Logicienii i-au descoperit, i-

au analizat şi i-au extras din limbile naturale, i-au redat concis prin simboluri speciale. În

plus, logicienii au convenit să noteze propoziţiile declarative prin variabile propoziţionale

de forma p, q, r, p1, p2, ..pn..

De exemplu, „Pomii înfloresc” şi „Păsărelele cântă” sunt două propoziţii elementare

ce pot fi redate prin variabilele p şi q: p = „Pomii înfloresc” şi q = „Păsărelele cântă”.

Propoziţia compusă „Pomii înfloresc şi păsărelele cântă” va fi redată folosind un simbol

pentru operaţia „şi” numit conjuncţie logică. De regulă, conjuncţia este notată prin simbolul

„&”. Propoziţia compusă va fi redată în limbajul logicii propoziţiilor ca: p&q. Valoarea de

adevăr a unei propoziţii compuse depinde de valorile de adevăr a „argumentelor” sale,

respectiv a lui p şi q care sunt argumente ale operatorului &. Conjuncţia ca şi celelalte

conective logic propoziţionale ( disjuncţia, implicaţia etc) este funcţie de adevărul

propoziţiilor componente.

În logica propoziţiilor există numai două valori de adevăr 1 şi 0 ( 1 stă pentru

„adevărat” şi 0 stă pentru „fals”). În logica propoziţiilor există şi o operaţie unară, negaţia

unei formule notată de regulă prin „ ~”. Astfel putem nega pe q şi obţine ~ q care se citeşte

„non p” sau „Propoziţia p nu este adevărată”.

Aceleaşi propoziţii elementare p şi q pot fi asamblate în propoziţii compuse diferite,

după natura conectivului logic propoziţional prin care le legăm. Conectivele logice descriu

asamblarea propoziţiilor elementare în fraze sau propoziţii compuse. Ele descriu, totodată,

dependenţa valorii de adevăr a propoziţiilor compuse de valoarea de adevăr a propoziţiilor

elementare componente.

Ilustrăm în tabelul nr. 1 alte trei conective logic propoziţionale prin care putem forma

din propoziţiile elementare p şi q alte propoziţii compuse diferite de conjuncţie.

Propoziţii

asertorice

Conjuncţie( şi) Disjuncţie(sau)

Implicaţie

(Dacă...atunci)

Echivalenţă

(Dacă şi numai

dacă)

Pomii înfloresc = p p & q p v q p ⊃ q p ≡ q

5

Păsărelele cântă= q

Tabel nr. 1 Conective logice

Conectivele logice sunt prima specie de operatori logici: operatorii logic-

propoziţionali. Aceştia sunt funcţii de adevăr. O a doua specie de operatori logici

propoziţionali sunt cuantificatorii. Cuantificatorii sunt redaţi în limba naturală prin expresii

ca „toţi”, „ fiecare”, „unii”. În logica predicatelor aceştia sunt redaţi prin simbolurile ∀, ∃ şi

presupun simboluri predicative de unul sau mai multe argumente: P(x), R(x, y), S(x, y, z)

∃xP(x) = Există cineva care proprietatea P. Predicatului monadic nu i-am dat încă o

interpretare Dacă P(x) = x este preot şi x este definit pe mulţimea oamenilor dintr-o

încăpere, atunci propoziţia obţinută este „Cineva din această încăpere este preot”. Din

aceste scheme predicative putem forma propoziţii prin cuantificare completă sau prin

substituirea variabilelor individuale prin constante individuale. În acest ultim caz obţinem

propoziţii descriptive factuale.

Cuantificarea completă poate fi uniformă, utilizând un singur fel de cuantificator, de

exemplu, numai existenţial sau numai universal sau cuantificare mixtă şi existenţială şi

universală. Cuantificatorii sunt operatori logici pentru că pot duce la formarea unor

propoziţii. Toate limbile naturale conţin părţi de vorbire variate ce pot duce la formarea

unor propoziţii adevărate. Ilustrăm aceasta lista L1.

L1 = nimeni, unul singur, doi-trei, câţiva (puţini la număr, îi numeri pe degetele de la o

mână), un sfert, o treime, jumătate, puţin peste jumătate, majoritatea, două treimi, trei

sferturi, aproape toţi, toţi

Am definit alte două specii de operatori pe „deci” ca operator de derivare şi pe

„deoarece” ca invers al acestuia ca operator de argumentare (vezi Bibliografia minimală [2.

p 296] şi [4, 137-138] ). Aceşti doi operatori sunt de nivel metateoretic. Primul este definit

pe un set de ipoteze sau o bază de cunoştinţe şi o consecinţă logică derivabilă din aceasta.

Cel de al doilea este inversul primului operator şi priveşte drumul invers de la o teză de

argumentat la identificarea bazei factuale minimale printr-o metodă originală de construire

a arborilor de derivare şi respectiv de întemeiere.

6


1. Prin ce părţi de vorbire sunt exprimate conectivele logice în limbile naturale şi prin

ce simboluri sunt redate în logica propoziţiilor.

2. Formalizaţi în limbajul logicii propoziţiilor următoarele propoziţii:

a. Ana şi Maria sunt eleve.

b. Ana şi Ion sunt rude.

c. Dacă vii, să îmi spui.

3. Câte propoziţii se pot construi cuantificând toate variabilele unui predicat cu trei

argumente?

3. Limbile naturale, discursul şi operatorii logici. Operatori modali.

A. Sinteză

O altă specie de operatori logici o reprezintă operatorii modali Dacă p este o propoziţie

asertorică şi L este un operator modal ( necesar), atunci Lp este o formulă logic modală

care se citeşte: „p este o propoziţie logic necesară”. Toate legile logice sunt formule logic

necesare. Ele nu descriu lumea fizică în stările sale concrete, ci explorează toate

alternativele posibile. Aplicarea legilor logice în procesul rezolvării unei probleme transferă

adevărul din datele problemei în adevărul soluţiei. Pornind de la necesar, de la L, putem

defini posibilul, imposibilul sau absurdul, contigentul sau situaţiile când sunt accesibile

deopotrivă şi starea p şi starea opusă acesteia, starea –p şi negaţia contigentului când este

adevărat Lp sau L~p, respectiv ~ Mp.

Partea cea mai incitantă din teoria operatorilor logici o constituie operatorii modali de

ramură cu agenţi: de realizabilitate sau posibil acţional, deontici, temporali, dinamici,

asertorici, teleologici, epistemici, apreciativi sau de logica acceptării, doxastici, erotetici,

performativi. Aceştia apar în limbile naturale, în limbajelor teoriilor din ştiinţele naturii, din

ştiinţele tehnice, din cele economice, sociologice, juridice sau politice

Prezentăm într-un tabel speciile de operatori modali, formulele operatorilor primitivi şi

citirea acestora în lima română. Propoziţia „Trebuie să respectăm legile ţării” este tot o

propoziţie modală de logică deontică. „Trebuie” descrie o obligaţie sau o îndatorire.

7

Obligaţiile, ca şi interdicţiile, permisiunile şi actele de conduită liberă pot fi descrise în

termenii logicii deontice.

N

r

Logici

modale

Operat

or primitiv

Se citeşte:

1 aletică Lp p este logic necesar

2 deontică O(x, y,

p)

x obligă pe y la p

3 teleologică S(x, p) x vrea p

4 epistemică K(x, p) x ştie că p

5 doxastică B(x, p) x crede că p

6 temporală Fp În viitor va fi p

7 dinamică [u]p Prin programul u la p

8 asertorică Z (x, p) x spune că p

9 fezabilităţii M(x, p) x poate face p

1

0

performativă Do(x,

p)

x execută p

1

1

erotetică ?(x, y,

p)

X îl întreabă pe y p

Tabel Nr 2. Specii de operatori şi logici nodale

B. Întrebări de autocontrol

1. Enumeraţi principalele feluri de operatori logici.

2. Caracterizaţi relaţia dintre operatorii modali aletici şi operatorii modali de ramură

3. Ce sunt operatorii modali micşti.

4. Agenţii, modelele comunicării şi sistemele logice

A. Sinteză

8

Logica propoziţiilor şi logica predicatelor sunt sisteme logice fără agenţi. Pentru ele

este suficient să le definim limbajul formal şi semantica. Tratarea axiomatică a unei teorii

nu reclamă specificarea agentului care face demonstraţia. La fel, logica modală aletică

creată de C. I. Lewis nu a avut nevoie de agenţi. Scopul ei a fost să descrie implicaţia

logică, relaţia de consecinţă logică, şi să o distingă de implicaţia materială redată prin

“dacă, atunci”.

Peste două mii de ani filosofii au considerat că logica se ocupă în exclusivitate de

enunţurile declarative sau descriptive, căci, argumentau ei, numai acestea pot da seama de

stările de fapt, de ceea ce este la nivel ontic şi de noţiunea de adevăr ca o concordanţă

dintre conţinutul declaraţiilor noastre şi starea de fapt a lucrurilor. Mai departe, noţiunea de

adevăr, definirea operaţiilor logice şi a structurilor sintactice permite înţelegerea

consecinţei logice ca o relaţie ce păstrează adevărul de la premise la concluzii.

Logica actuală se ocupă, dincolo de propoziţiile declarative, de propoziţiile prescriptive,

imperative, apreciative; se mai ocupă de programe şi de conduitele efective prin care se

înfăptuiesc programele. În plus, se ocupă de întrebări. Logica de astăzi se ocupă şi de

obligaţii şi interdicţii, de permisiuni, drepturi şi libertăţi, de fezabilitatea sau nefezabilitatea

unor acţiuni şi de abilităţile agenţilor, de date şi durate. Ea poate descrie şi execuţia unor

programe, strategii sau conduite. În toate aceste ipostaze ale ei, ea are nevoie de agenţi. Dar

nu de nişte simple variabile pentru actanţi, deşi şi aceasta schimbă mult valoarea expresivă

a limbajelor logice, ci de agenţi dotaţi cu baze de cunoştinţe, cu abilităţi sau competenţe

executive, apţi de a reflecta starea de fapt sau situaţia acţională şi de a identifica acţiunile ce

pot fi declanşate în acea situaţie acţională.

Logica este astăzi o bază teoretică şi furnizor de formalisme pentru ştiinţele

computaţionale şi manageriale. Astăzi ne întrebăm cu ce trebuie înzestraţi agenţii unor

sisteme modale mixte menite să descrie mai multe dimensiuni ale acţiunilor umane pe care

le-am reprezentat schematic în mai multe scrieri ale noastre [22, 26]. Ce trebuie să deţină şi

ce trebuie să ştie face agenţii din sistemele modale mixte cu agenţi ?

De ce trebuie să introducem astăzi în ştiinţa logicii actori, personaje, agenţi ? Ce s-a

schimbat în structura, menirea şi utilizarea logicii de este nevoie de situaţii, scene şi actori ?

9

Noi răspundem printr-o singură propoziţie la această întrebare. Logica zilelor noastre se

pragmatizează. Prin pragmatizarea logicii noi înţelegem:

a. introducerea de agenţi;

b. introducerea de situaţii acţionale;

c. introducerea de abilităţi sau conduite posibile ale agenţilor;

d. introducerea de date şi durate ale actelor şi conduitelor şi a situaţiilor rezultate;

e. introducerea de stări obiectiv sau scopuri şi de programe prin care pot fi atinse

acele stări scop;

f. introducerea de obligaţii şi interdicţii, permisiuni şi libertăţi;

g. operarea distincţiei dintre conduitele posibile şi conduitele efectiv urmate;

h. definirea conceptelor de eficacitate şi de eficienţă a agenţilor;

i. definirea conceptelor de conduită legală şi conduită ilegală ;

j. apariţia unor sisteme logice apte să dea seama de stările de opinie, de stările de

cunoaştere, de ceea ce declară şi de ceea cred, ştiu sau acceptă agenţii.

Teoria acţiunii şi teoria cunoaşterii se ocupă de activităţi ale agenţilor. Era nevoie de un

termen mai general pentru a marca faptul că una şi aceiaşi fiinţă poate şi autor al unor acte

comportamentale, ale unor acte deliberate de experimentare, dar şi al unor acte psiho-

cognitive de înţelegere şi asertare a unor enunţuri. Agentul este autor, vorbitor şi subiect

cunoscător. Agentul mai poate fi şi luptător, evaluator sau judecător, cercetător.

Agenţii pot fi: individuali şi colectivi. Organizaţiile sociale şi instituţiile sociale sunt

agenţi colectivi artificiali. La fel, agenţii pot fi : naturali şi artificiali. O clasă de agenţi

artificiali sunt agenţii inteligenţi. Astfel de agenţi sunt roboţi de diferite feluri. Se vorbeşte

în prezent tot mai mult despre agenţii inteligenţi soft (softbot) cum ar fi, de exemplu,

anumite sisteme expert create pentru a consilia sau asista o fiinţă umană în exercitarea

profesiei sale.

Astăzi credem că termenul de agent desemnează un sistem sau o entitate complexă care

este producătorul mai multor clase de evenimente, acte sau fapte:

a. autor al unei acţiuni;

b. vorbitor sau rostitor al unor propoziţii descriptive;

10

c. emitent al unor ordine, directive;

d. emitent al unei declaraţii sau aserţiuni;autor al unor calcule sau inferenţe;

e. judecător al unor fapte sau enunţuri;.

f. decident asupra unor conduite sau atitudini;

g. emitent al unor scopuri, programe sau planuri;

Termenul de agent este, evident, un concept central al praxiologiei fundamentate de

către T. Kotarbinski. Ne-am referit pe larg la semnificaţia acestui termen în lucrările

noastre de praxiologie şi de logica acţiunii.[18, 22, 25]. Ce virtuţi pot avea agenţii de care

facem vorbire în teoriile logice modale mixte pe care le vom prezenta mai departe ?.

Aceştia pot fi “iubitori de adevăr” sau agenţi veridici, agenţi sinceri care asertează numai

ceea ce acceptă, ştiu sau cred, agenţi eficace, care îşi asumă numai scopuri pentru care deţin

abilităţi sau competenţe executive pentru a le realiza autonom. Agenţii mai pot fi proiectaţi

să execute numai conduite sau programe compatibile cu prescripţiile normative emise

pentru a le reglementa conduitele. Astfel de agenţi îi vom numi agenţi legali sau

conformişti, care execută numai conduite ce duc la stări permise sau legale. Astfel de

concepte sunt esenţiale pentru descrierea agenţilor fiinţe umane sau persoane juridice, dar şi

pentru agenţi soft construiţi să rezolve diferite clase de probleme.

În sens praxiologic, general prin agent desemnăm o entitate oarecare ce provoacă

autonom un eveniment sau o faptă, ce poate iniţia sau opri un curs de evenimente. Agentul

are o putere de decizie proprie sau încredinţată de către altcineva, poate alege, după

anumite criterii un drum sau altul de conduite. Termenul de agent se utilizează însă astăzi în

mai multe discipline cu accepţii diferite: în biologie şi medicină, în ştiinţele economice şi în

management, în praxiologie şi în filozofia acţiunii, în inteligenţa artificială, în teoriile de

logică epistemică şi de logica acţiunii, în programare.


1. Cum trebuie tratată logica modală pentru a realiza pragmatizarea logicii?

2. Ce este un agent sincer. Care sunt ramurile logicii modale care pot ajuta la

formalizarea acestui concept?

11

3. Ce este un agent eficace. Care sunt ramurile logicii modale care pot ajuta la

formalizarea acestui concept?

4. Cum ajută logica temporală la pragmatizarea logicii?

5. Sisteme axiomatice.

A. Sinteză

Prezentarea unei teorii sub o formă axiomatică este utilizată deopotrivă în logică,

matematică, în ramuri ale matematicii (geometria euclidiană) precum şi în unele ştiinţe ale

naturii, caracterizate de precizie, precum anumite ramuri ale fizicii. Următorii paşi descriu

operaţia generală de axiomatizare, în fiecare dintre aceste domenii.

Principalele momente ale introducerii unui sistem axiomatic:

1. Definirea alfabetului sau a vocabularului limbajului.

Vocabularul unui sistem axiomatic este format din termeni primitivi, care nu se

definesc în limitele respectivului sistem, şi termeni definiţi cu ajutorul acestora.

2. Prezentarea regulilor de formare pentru respectivul limbaj.

Aceste reguli de formare determină care dintre secvenţele de semne (formule, cuvinte,

propoziţii) sunt bine formate, cu sens. În acest pas, nu se determină propoziţiile care sunt

adevărate.

3. Introducerea regulilor de definiţie.

Definiţia este o operaţie prin care un termen este explicat prin apel la o combinaţie

echivalentă de termeni. Prin operaţii succesive de definire, toţi termenii se vor reduce la cei

primitivi. La rândul lor, axiomele şi teoremele se pot scrie folosind doar termenii primitivi.

4. Enunţarea axiomelor sau a formulelor admise iniţial.

Axiomele sunt propoziţii care sunt considerate adevărate. Ele nu se demonstrează la

nivelul sistemului, însă se pot demonstra în afara acestuia. Spre exemplu, în logica,

axiomele se pot demonstra prin metode semantice. Enunţurile considerate axiome sunt o

subclasă a celor bine formate.

5. Prezentarea regulilor de inferenţă.

12

Regulile de inferenţă ne ajută la trecerea de la axiome sau teoreme la alte teoreme. Într-

un sistem axiomatic, regulile de inferenţă valide ne ajută să trecem de la propoziţii

adevărate (axiome sau teoreme) la altele adevărate (teoreme).

6. Demonstrarea teoremelor

Pasul cel mai important este pasul în care, pe baza axiomelor şi a altor teoreme

demonstrate anterior, se demonstrează teoreme noi. O demonstraţie este o înşiruire de paşi,

în care fiecare pas se obţine pe baza celor anteriori, prin reguli de inferenţă corecte. La

fiecare pas vom avea o propoziţie (formulă) adevărată. Propoziţia care trebuie demonstrată

se va afla la ultimul pas.


1. Este posibilă existenţa unui sistem axiomatic fără reguli de inferenţă?

2. Ce este o demonstraţie în cadrul unui sistem axiomatic?

3. Este posibil ca teoremele să nu fie formule bine formate?

6. Sistemul axiomatic propoziţional Hilbert-Ackermann

A. Sinteză

1. Vocabularul este format din variabile (notate prin p, q, r), conective logice şi

paranteze (semne de grupare)

2. Reguli de formare:

Dacă α este o variabilă, atunci α este o formulă

Dacă α este o formulă atunci şi ~ α este formulă

Dacă α şi sunt formule atunci şi αVβ este formulă

În mod analog cu ultima regulă, se introduc reguli de bună formare pentru fiecare

conectiv. În locul formulelor α şi β pot sta orice fel de formule bine formate, simple sau

complexe

2. Definiţii

p & q =df ~(~p v ~q) (definiţia conjuncţiei)

p ⊃ q =df ~p v q (definiţi implicaţiei)

Negaţia şi disjuncţia sunt singurele conective nedefinite.

13

3. Axiome

A1 (p v p) ⊃ p

A2 p ⊃ (p v q)

A3 (p v q) ⊃ (q v p)

A4 (p ⊃ q) ⊃ ((r v p) ⊃ (r v q))

Prima axiomă reprezintă proprietatea idempotenţei disjuncţiei, a doua extinderea, a treia

comutativitatea, iar a patra o lege de expandare a disjuncţiei. Totodată a patra axiomă poate

fi folosită uşor pentru a demonstra tranzitivitatea implicaţiei.

3. Reguli de inferenţă

R1 Dacă într-o teoremă se substituie toate apariţiile unei variabile propoziţionale cu o

formulă bine formată, rezultatul va fi de asemenea o teoremă. (regula substituţiei uniforme)

R2 Dacă A ⊃ B şi A sunt teoreme, atunci şi B este teoremă (modus ponens)

R3 Dacă într-o teoremă se substituie o subformulă (parte) a acesteia cu o altă formulă,

echivalentă cu aceasta, rezultatul va fi de asemenea o teoremă. (regula substituţiei

echivalenţilor)

4. Teoreme

Vom numi teoreme formulele bine formate care sunt axiome în sistem sau sunt

obţinute din axiome cu ajutorul regulilor de inferenţă. Voi da mai jos un exemplu de

demonstraţie a unei teoreme.

T1 (p⊃q) ⊃ ((r ⊃ p) ⊃ (r ⊃ q))

1. (p ⊃ q) ⊃ ((~ r ∨ p) ⊃ (~ r ∨ q)) (RS, 2.4.4., r/ - r)

2. (p⊃ q) ⊃ (( r ⊃ p) ⊃ ( r ⊃ p)) (RE, 1), 2.3.2)


1. Care este diferenţa dintre regula substituţiei uniforme şi regula substituţiei

echivalenţilor?

2. Cum se poate defini echivalenţa prin apel la negaţie şi disjuncţie?

3. Putem realiza un sistem de logică propoziţională în care operatorii nedefiniţi să fie

conjuncţia şi negaţia?

14

4. Încercaţi să reexprimaţi axiomele sitemului Hilbert-Ackermann fără să folosiţi

conectivul implicaţiei?

7. Proprietăţi metateoretice ale sistemelor axiomatice.

A. Sinteză

Am văzut cum se construieşte un sistem axiomatic. Dintr-un punct de vedere pur formal

toate sistemele axiomatice sunt la fel de justificate. Există însă un număr de condiţii

minimale care se pot impune acestor sisteme. Cele mai importante sunt: completitudine,

noncontradicţia şi independenţa axiomelor. Voi încerca să arăt de ce un sistem axiomatic

trebuie să îndeplinească aceste condiţii.

Un sistem complet poate demonstra toate formulele valide. Deşi nu este o condiţie

absolut necesară, este evident că acesta este un avantaj. Într-un sistem contradictoriu se pot

demonstra o teză şi negaţia ei. Acest lucru este de neacceptat, deoarece, în înţelesul obişnuit

al negaţiei, o propoziţie şi negaţia ei nu pot fi concomitent adevărate. Îndeplinirea condiţiei

de necontradicţie este deci necesară în orice sistem axiomatic. Într-un sistem independent,

măcar o axiomă poate fi demonstrată pe baza celorlalte. Acest lucru înseamnă că această

axiomă poate fi demonstrată, nefiind deci să o considerăm axiomă.

Vom ilustra aceste proprietăţi pe cazul sistemului Hilbert-Ackermann.

I. Necontradicţia sistemului Hilbert Ackermann

Un sistem axiomatic este contradictoriu, daca şi numai dacă, putem demonstra în cadrul

lui doua teze de forma A şi ~A.

Un sistem axiomatic este necontradictoriu, dacă şi numai dacă, prin nici o secvenţă de

aplicaţii a regulilor de inferenţă nu se pot produce doua teze de forma A si –A.

Pentru a demonstra că un sistem axiomatic este necontradictoriu este suficient să arătăm

că:

1) toate axiomele sale sunt formule valide;

2) că această proprietate se conservă prin regulile de inferenţă admise. Propunem ca

exerciţii banale testarea prin procedeele de decizie cunoscute axiomele A1-A4.

Un sistem axiomatic este necontradictoriu dacă şi numai dacă, toate axiomele sale

testate prin metode de decizie se dovedesc a fi tautologii sau legi logice şi apoi putem face

15

proba că prin toate regulile de inferenţă admise în sistem se conservă de la axiome la

teoreme caracterul tautologic al formulelor derivate.

II. Completitudinea sistemului Hilbert Ackermann

Teoremă. Orice formula validă în logica propoziţiilor este teoremă în sistemul

axiomatic Hilbert–Ackermann, altfel spus, sistemul este complet.

Demonstraţie. Fie A o formulă validă în logica propoziţiilor. Atunci A poate fi adusă

printr-o serie de transformări echivalente la o formă normală conjunctivă A’ = A1

∧…&An, unde un termen al conjuncţiei Ai, cu 1 ≤ i ≤ n conţine o pereche complementară

de literali l ∨-l, ~l ∨ l, l fiind o variabila propoziţională. Un termen al conjuncţiei Ai are

in mod necesar una dintre formule, l ∨-l ~l ∨l, l ∨-l ∨ k, , k ∨ l ∨~l , k ∨ l ∨~l ∨ m.

Este uşor de observat că l ∨~l sau ~l ∨ l sunt derivabile din T4 sau T3.

Pe de alta parte, l ∨~l ∨ k, poate fi obţinută ca teorema din T4 şi axioma 2.4.2 prin

substituţie şi modus ponens. Forma k ∨ l ∨~l poate fi obţinută din l ∨~l ∨k prin axioma

2.4.3. Forma k ∨ ~l ∨ l ∨ m poate fi adusă prin axioma 2.4.3 la ~l ∨ l ∨ m ∨ k, iar aceasta

poate fi obţinută printr-o substituţie in axioma 2.4.2 şi aplicarea regulii MP.

Pe acesta cale orice termen al formei normale conjunctive A’ poate fi demonstrat ca

teorema in sistemul Hilbert – Ackermann. În sfârşit, prin substituţii in T14 sau prin regula

derivată a introducerii conjuncţiei, I&, putem obţine ca teoremă forma normală

conjunctivă A’. Întrucât A’ este echivalentă cu expresia iniţială A, prin regula

extensionalităţii sau a substituirii echivalentelor putem obţine direct pe A.

Concluzii

1. Orice tautologie este demonstrabilă ca teoremă. Sistemul HA este complet, lui nu-i

scapă nici o formulă validă pe care să nu o poată capta, cu arcanul, în sistem !

2. Demonstraţia de completitudine ne furnizează şi o tehnică de a căuta textul

demonstrativ pentru o teoremă nedemonstrată de noi, dar demonstrabilă. Aceasta constă

din următorii paşi: a) Aducem formula pe care vrem să o demonstrăm la F.N.C; b) Dacă

aceasta este o tautologie, atunci demonstrăm, pe rând, fiecare termen al FNC, exact după

procedura descrisă în teorema de completitudine, făcând uz de T3, T4, Ax3, Ax2 şi Ax4; c)

Pentru “asamblarea” termenilor FNC în în FNC, facem uz de T14 p ⊃ (q ⊃ (p∧q)); d)

16

Pentru demonstrarea că TFNC este echivalentă cu T iniţial, folosim regula substituirii

echivalentelor, RE.


1. De ce este proprietatea completitudinii un avantaj pentru un sistem axiomatic?

2. Există un alt sistem în afara sistemului Hilbert-Ackermann care să fie complet şi

noncontradictoriu?

3. Care sunt consecinţele negative ale faptului că un sistem este contradictoriu?

8. Teorema deducţiei

A. Sinteză

Teorema deducţiei a fost dată de J. Herbrand ân 1930.

Teorema deducţiei. Fie Г un set de ipoteze şi A o ipoteză distinctă de Г.

Dacă din Г, A ⇒ B, atunci Г ⇒ A ⊃B.

Dacă din setul de ipoteze sau premise Г şi din ipoteza A se deduce consecinţa B, atunci

din setul de ipoteze Г, luat fără A, se deduce faptul că dacă este adevărată ipoteza A, atunci

este adevărată consecinţa B.

Sub formă de regulă de inferenţă, putem scrie regula astfel:

Г, A⇒ B

------------

Г ⇒ A ⊃ B

D1. Un text demonstrativ pentru demonstrarea consecinţei B este un şir de formule

obţinute din axiome sau ipoteze prin aplicarea regulilor de inferenţă, fiecare aplicare a unei

reguli constituind un pas, notat de regulă, prin numere naturale, de forma 1. sau 1), 2),

ultimul pas, să zicem n, fiind chiar teza de demonstrat: n. B sau n) B.

D2. Fie B o consecinţă dintr-un set de ipoteze Γ şi C o ipoteză din Γ. Spunem că

derivarea consecinţei B depinde de ipoteza C, dacă formula C intră în textul demonstrativ

prin care se obţine din axiome şi ipoteze consecinţa B.

17

D3. Spunem că derivarea consecinţei B este independentă de ipoteza sau formula C,

dacă demonstrarea lui B nu depinde de C, respectiv ipoteza sau formula C nu intră în textul

demonstrativ al lui B.

Demonstraţie

Dacă Γ = {H1,...,Hn} şi din { Γ, A} ⇒ B, atunci este lege logică:

├ H1⊃(…(Hn-1 ⊃ (Hn ⊃ (A⊃ B)))…). ( unde: ⇒ = “se deduce”)

1. Γ = {H1,...,Hn} ip.

2. Γ, A ⇒B ip.

3. Dacă din H1,...,Hn ⇒ B ≡ (H1&H2&...&Hn) ⊃ B = Τaut. MT ( vol. 1 p68-70)

4. {H1,...,Hn, A} ⇒ B (1, 2)

5. H1…&Hn & A ⇒ B ( I∧ )

6. H1∧H2&...&Hn& A) ⊃ B = Τ (MP, MT3, 5)

7. H1&H2&..&Hn& A) ⊃ B ( luată ca formulă )

8. H1⊃ (H2⊃…⊃( Hn⊃(A ⊃ B)))…)) (MP, ≡IE, 7 )

Utilizarea teoremei deducţiei. Exemplu

Exemplul 1. (p ⊃ (q ⊃ r)) ⊃ (( p ⊃ q) ⊃ (p ⊃ r))

1. (p ⊃ (q ⊃ r)) ip

2. ( p ⊃ q) ip

3. p ip

4. q ⊃ r (MP, 1, 3)

5. q (MP, 2,3)

6. ⎨(p ⊃ (q ⊃ r)) , ( p ⊃ q), p⎬ ⇒ r

7. ⎨(p ⊃ (q ⊃ r)) , ( p ⊃ q) ⎬ ⇒ (p ⊃ r) ( TD, 6)

8. ⎨(p ⊃ (q ⊃ r)) ⎬ ⇒ (( p ⊃ q) ⊃(p ⊃ r)) (TD, 7)

9. ∅ ⇒(p ⊃ (q ⊃ r)) ⊃ (( p ⊃ q) ⊃ (p ⊃ r)) ( TD,8)


18

Utilizaţi metoda deducţiei în demonstraţia următoarei formule:

1. (p ⊃ (q & r)) ⊃ ( p ⊃ q)

2. (p ⊃ q) ⊃ ( p ⊃ (qⅤr))

3. (p ⊃ (q ⊃ r) ⊃ ((p & q) ⊃ r)

9. Metoda rezoluţiei

A. Sinteză

Metoda rezoluţiei este, o metodă care are la bază principiul reducerii la absurd. În prima

etapă, se presupune că propoziţia este falsă, pornindu-se, deci, de la negaţia formulei. Dacă

negaţia formulei iniţiale va fi contradictorie, propoziţia iniţială va fi tautologie. Dacă

negaţia formulei iniţiale nu va fi contradictorie, propoziţia iniţială nu va fi tautologie. În

situaţia în care aplicăm metoda unor raţionamente se testează dacă premisele şi negaţia

concluziei formează un set incompatibil de formule. Dacă aşa este, raţionamentul este

valid.

Aducerea la forma normală conjunctivă se poate face în trei etape:

Etapa 1: Eliminarea implicaţiei şi echivalenţei. Se folosesc legile:

(A≡B) ≡ ((A⊃B)&(B⊃A)) (1)

(A⊃B) ≡ (∼A∨B) (2)

Etapa 2: Coborârea negaţiei pe literali. Se folosesc legile:

∼(A&B) ≡ (∼A∨∼B) (3)

∼(A∨B) ≡ (∼A&∼B) (4)

Din formulele (2) şi (3) rezultă o alta, care este ori necesară: ∼(A⊃B) ≡ A&∼B (5)

Etapa 3: Aplicarea distributivităţii. Se aplică legile:

((A&B)∨(C&D)) ≡ ((A∨B) & (A∨C) & (B∨C) & (B∨D)) (6)

(A∨(B&C)) ≡ ((A∨B) & (A∨C)) (7)

În fiecare etapă sau la final se pot aplica anumite legi simple:

(A&A) ≡ A (8)

(A∨A) ≡ A (9)

∼∼A ≡ A (10)

19

La clauzele disjunctive obţinute se aplică principiul rezoluţiei, a cărui formulare este:

A∨B, ∼A∨C ├ B∨ C

Decideţi prin metoda rezoluţiei dacă următoarele formule sun valide:


Decideţi prin metoda rezoluţiei dacă următoarele raţionamente sunt valide:

1. p⊃(q&r), q ⊃ ∼r├ ∼p

2. p⊃(q∨r) ├ p⊃r

3. (p&q) ⊃ r, ∼r, q├ ∼p

10. Metoda arborilor de decizie

A. Sinteză

În această metodă se porneşte de la presupunerea că propoziţia de demonstrat este falsă

şi se analizează printr-o sumă de reguli dacă aceasta duce la contradicţie. Metoda arborilor

de decizie are următorii paşi pentru deciderea asupra unei formule:

1. Negăm formula care trebuie testată.

2. Dacă avem de testat o formulă, aplicăm negaţiei formulei cele opt reguli de

analiză până ajungem la literali, respectiv la variabile propoziţionale cu sau fără semnul

negaţiei. La fiecare nod se rescriu nemodificate toate formulele de la nodul anterior asupra

cărora nu s-a aplicat nici o regulă.

3. Dacă fiecare drum în arbore va conţine o pereche de literali opuşi (p si ∼p, q si

∼q), atunci formula în cauză va fi validă, căci negaţia sa este irealizabilă. Dacă, dimpotrivă,

cel puţin un drum în arbore nu se închide (adică nu conţine o pereche de literali opuşi),

atunci formula va fi invalidă. Mai mult, literalii inscrişi pe drumul rămas "deschis" vor

desemna contramodelul sau atribuirea de valori dată variabilelor care face formula falsă.

Regulile metodei arborilor de decizie

1. CONJUNCŢIE

A &B ∼ (A & B)

20

A, B

∼A ~B

2. DISJUNCŢIE

A V B ∼ (A V B)

∼A, ∼B

A B

3. IMPLICAŢIE

A ⊃B ∼ (A ⊃ B)

A, ∼B

~A B

4. ECHIVALENŢĂ

A ≡B ∼ (A ≡ B)

A, B ∼A, ∼B A, ~B ~A, B

În aplicarea acestor reguli, rolurile lui „A” şi „B” pot fi jucate de orice formule.

Regulile se aplică numai operatorilor principali. De aceea, la fiecare pas, trebuie să găsim

acest operator principal. În cuvinte, cele opt reguli pot fi formulate astfel:

1. (&) Dacă o conjuncţie este adevărată, atunci sunt adevărate şi propoziţiile din

care este alcatuită.

2. (∼&) Dacă o conjuncţie este falsă va fi falsă cel puţin una dintre propoziţiile sale

componente.

3. (V) Dacă o disjuncţie este adevărată, atunci. va fi adevărată cel puţin una dintre

propoziţiile componente.

4. (∼V) Dacă o disjuncţie este falsă vor fi false toate propoziţiile ei componente.

5. (⊃) Dacă o implicaţie este adevărată, atunci antecedentul ei este fals sau

consecventul ei este adevărat.

21

6. (∼ ⊃) Dacă o implicaţie este falsă, atunci antecedentul ei este adevărat şi

consecventul ei este fals.

7. (≡) Dacă o echivalenţă este adevărată atunci sau ambele componente sunt

adevărate sau ambele componente sunt false.

8. (~ ≡) Dacă o echivalenţă este falsă, atunci sau primul component este adevărat şi

al doilea fals, sau invers: primul este fals, iar al doilea adevărat.

Exemplu: Decideţi prin metoda arborilor de decizie asupra raţionamentului:

p ⊃ (q & r), s ⊃ t, t ⊃ ∼ p, t ├ ∼q

Verificăm validitatea raţionamentului prin arbori de decizie:

p ⊃ (q & r), s ⊃ t, t ⊃ ∼ p, t, q

p ⊃ (q & r), s ⊃ t, t, q , ∼t ∼p, p ⊃ (q& r), t, q, s ⊃ t

(# - t, ∼t)

∼p, p ⊃ (q& r), t, q, ∼s t, ∼p, p ⊃ (q& r), t, q

∼p, ∼p, t, q, ∼s ∼p, q& r, t, q, ∼s t, ∼p, t, q, ∼p t, ∼p, q& r, t, q

∼p, q, r, t, q, ∼s t, ∼p, q, r, t, q

∼p, t, q, ∼s t, ∼p, q ∼p, r, t, q, ∼s t, ∼p, q, r

(0) (0) (0) (0)

Rămân patru drumuri deschise care permit identificarea a patru contramodele. Un

model sau contramodel poate fi redat ca o lista de literali.

I. {∼p, ∼s, q, t}

II. {r, q, ∼s, ∼p, t}

III.{∼p, t, q}

IV. {r, q, t, ∼p}

22


Decideţi prin metoda arborilor de decizie asupra formulelor:

1. (p ⊃ (q&r)) ⊃ ((p⊃q) & (p⊃r))

2. ((p⊃q) & (p⊃r)) ⊃ (p ⊃ (q&r))

3. (p⊃q) ⊃ (p ⊃ (q∨r))

4. (p ⊃ (q&r)) ⊃ (p⊃q)

11. Logica predicatelor şi teoria definiţiei.

A. Sinteză

Definiţia aristotelică şi limitele ei

C1. Orice definiţie are un termen de definit (definiendum), o expresie definitoare

(Definiens şi o relaţie de definire ( =df).

C2.Definiţia trebuie dată prin gen proxim şi diferenţă specifică.

C3. Definiţia trebuie să fie adecvată sau caracteristică. Definitorul (Dfn) trebuie să fie

extensional echivalent cu termenul de definit(Dfd)

L1.Orice definiţie trebuie dată prin gen proxim şi diferenţă specifică.

L2.Vizează cu prioritate predicate monadice ce descriu proprietăţi ale unor clase de

obiecte şi neglijează relaţiile, funcţiile şi constantele individuale.

L3.Nu este elaborată in cadrul unui limbaj logic formal apt de a descrie exact limbajul

unei discipline ştiinţifice. Nu este corelată cu teoria ştiinţifică.

L4.Teoria aristotelică nu dă seama de definiţiile recursive, de cele operaţionale,

stipulative, ostensive, etc.

1. Definiţia unei relaţii

D6.1. Definirea unei proprietăţi sau relaţii se face prin introducerea unui simbol

predicativ nou, P(x1,x2,…,xn) pe post de definiendum echivalent cu o formulă bine

formată S, pe post de definiens:

. P(x1,x2,…,xn) =df S, unde formula definiţională S trebuie să satisfacă restricţiile:

1.. Variabilele x1, x2, …,xn trebuie să fie distincte una de alta;

2. In expresia definitoare S, i.e. în Dfn, nu pot apare alte variabile libere decât cele

care apar în definiendum, i. e. variabilele x1, x2, …, xn;

23

3. În expresia definitoare S nu vor apare alte simboluri predicative, semne funcţionale

sau constante individuale decât cele introduse ca primitive în alfabetul teoriei sau introduse

prin definiţiile explicite anterioare.

2.Definiţia unei operaţii

D7.1. O echivalenţă D care introduce un nou simbol funcţional este o definiţie corectă

într-o teorie T, dacă şi numai dacă, este de forma:

D = f (x1, x2, . . . ,xn) = y =df S

şi sunt satisfăcute restricţiile:

1. x1, x2, . . . ,xn sunt variabile distincte;

2. În expresia definitoare S sau în Dfn nu apar alte variabile libere, decât cele din

definiendum, respectiv, x1, x2, . . . ,xn şi y;



prin definiţiile explicite anterioare;

4. Formula ∃!yS este derivabilă din axiome şi din definiţiile anterior introduse în

teorie.

3. Definiţia unei constante

D8.1 O echivalenţă D ce introduce o constantă individuală într-o teorie este o definiţie

corectă, dacă şi numai dacă, este de forma:

c = x =df S


1. Singura variabilă liberă în S este x;



prin definiţiile explicite anterioare;

3. Formula ∃ !xS este derivabilă din axiome şi din definiţiile anterior introduse în teorie.

4. Definiţia condiţională

D9.1 O implicaţie C, ce introduce un nou simbol predicativ P, este o definiţie

condiţională într-o teorie, dacă şi numai dacă, C este de forma:

H ⊃ [ P (x1, x2, . . . , xn)≡ S ]

24


1. Variabilele x1, x2, …,xn trebuie să fie distincte una de alta;

2. In expresia definitoare S, i.e. în Dfn, nu pot apare alte variabile libere decât cele

care apar în definiendum, i. e. variabilele x1,, …, xn;

3. În expresia definitoare S şi in ipoteza H nu vor apare alte simboluri predicative,

semne funcţionale sau constante individuale decât cele introduse ca primitive în alfabetul

teoriei sau introduse prin definiţiile explicite anterioare;

4. Formula H ⊃ [ P (x1, x2, . . . , xn) S ] este derivabilă din axiomele teoriei şi din

definiţiile şi faptele anterior introduse.


1. Care sunt lipsurile teoriei aristotelice a definiţiei?

2. Care concept poate fi considerat gen proxim pentru conceptul de „triunghi”?

a. pătrat

b. poligon

c. triunghi isoscel

Dar pentru cel de pătrat?

3. încercaţi să explicaţi ce se întâmplă în cazul în care nu se respectă prima regulă a

definiţiei unei relaţii? Exemplificaţi pentru predicatul „a ucide”.

12. Definirea predicatelor din limbajul natural

A. Sinteză

În relaţie cu limbajul natural, logica predicatelor poate fi utilizată pentru formalizarea

unor propoziţii şi pentru definirea unor predicate. În continuare ne vom referi la cel de-al

doilea scop. Orice definiţie reprezintă o echivalenţă între două formule deschise. Trebuie

reaminitit că un predicat este o formulă deschisă, care are, deci, un număr de variabile

libere. Formula prin care se va defini respectivul predicat, numită definiendum, va avea

aceleaşi variabile libere, restul fiind închise cu ajutorul cuantorilor.

Exemple

1. fiu(x,y)- x este fiul lui y

25

Cineva este fiul cuiva dacă şi numai dacă cel de-al doilea este părintele lui, iar primul

este bărbat. Acest lucru se simbolizează astfel: fiu(x,y)=dfpărinte(y,x)&bărbat(x). Se

remarcă ordinea argumentelor predicatului „părinte”, care este inversată faţă de cea a

argumentelor predicatului „fiu”. Motivul este că dacă x este fiul lui y, y este părintele lui x

şi, se observă din datele problemei, primul loc printre argumentele predicatului „părinte”

este ocupat de variabila care indică părintele, deci de y.

2. soră(x,y) (ne-vitregă)- x este sora(ne-vitregă a lui y)

Cineva este sora cuiva dacă şi numai dacă cele două persoane au aceiaşi părinţi1 şi

prima este femeie. Faptul că două persoane au aceiaşi părinţi revine la a spune că o

persoană este părintele primului dacă şi numai dacă este părintele celui de-al doilea.

Această definiţie este simbolizabilă astfel:

soră(x,y)=df femeie(x)&∀z(părinte(z,x)≡părinte(z,y)).


Să se definească următoarele predicate, folosindu-se predicatele primitive:

căsătorit(x,y)- x este căsătorit cu y, părinte(x,y)- x este părintele lui y, femeie(x)- x este

femeie, bărbat(x)- x este bărbat.2

1. tată (x,y)-x este tatălui y

2. necăsătorită (x)- x este necăsătorită

3. bunic (x,y) – x este bunicul lui y

1 Fiind vorba despre o soră ne-vitregă trebuie ca ambii părinţi să fie aceiaşi.

2 Predicatele date trebuie să îşi păstreze, pe parcursul exerciţiului, numărul de argumente, dar

variabilele pot fi înlocuite cu altele.

sisteme logice si a 1 - sinteza

Documents