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Chapitre XLes écoulements à surface libre
1 Introduction Les écoulements à surface libre sont des écoulements qui s’écoulent sous l’effet de la gravité en
étant en contact partiellement avec un contenant (canal, rivière, conduite) et avec l’air dont la
pression est généralement à surface libre. Contrairement aux écoulements en charge, la section
d’écoulement devient une caractéristique de l’écoulement et non plus seulement de la géométrie du
contenant.
1.1 Classification des écoulements
Un écoulement qui ne varie pas dans le temps est un écoulement permanent autrement, il est non
permanent. À l’échelle de quelques heures, un écoulement en rivière peut être considéré comme
permanent, par contre l’écoulement dans un estuaire est continuellement en changement sous l’effet
des marées.
On dit qu’un écoulement est uniforme si l’aire de sa section d’écoulement est constante tout le long
de son parcours, autrement il est non uniforme. Si la non-uniformité est faible, on qualifiera
l’écoulement de graduellement varié. Si le changement de section s’effectue sur une courte
distance, alors l’écoulement sera brusquement varié. Un écoulement permanent, le long d’une
rivière, est une succession d’écoulements uniformes, graduellement et brusquement variés.
GCI 21429 - Systèmes hydrauliques Écoulements à surface libre
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De plus, en fonction du rapport de la vitesse du fluide sur la célérité d’une onde de surface (nombre
de Froude1, Fr), l’écoulement peut avoir un comportement torrentiel (Fr>1), critique (Fr=1), ou
fluvial (Fr<1).
2 L’écoulement permanent uniforme Cet écoulement, le plus simple mais pas nécessairement le plus fréquent, apparaît dans un canal,
lorsque la profondeur d’écoulement est constante sur la longueur du canal et que la pente de la
surface libre est égale à la pente du fond.
2.1 Considérations théoriques
Considérons un volume d’eau dans un canal incliné tel que montré à la figure 1 :
Fig. 1 – Équilibre des forces sur une portion d’écoulement permanent uniforme.
L’équation de conservation de quantité de mouvement peut s’écrire :
F1 − F2 − τ wPL +W sinθ = ρQ V2 −V1( ) 1
1 William Froude (1810 – 1879) : Ingénieur anglais qui a contribué à l’avancement de l’hydraulique et de la mécanique des fluides. Ses travaux ont surtout porté sur les vagues et les écoulements à surface libre. Le nombre de Froude a été nommé ainsi, en 1919, par le professeur allemand Moritz Weber (1871 – 1951) en l’honneur de Froude qui, en réalité, ne l’a jamais utilisé.
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3
Où, F1 et F2 sont les forces de pression hydrostatique, τw est la contrainte de frottement entre l’eau et
le périmètre mouillé P le long de la distance L, W est le poids du volume d’eau considéré et θ est
l’angle du canal par rapport à l’horizontale.
Si l’écoulement est uniforme y1 et y2 sont égaux, par conséquent F1 et F2 et Q1 et Q2 sont aussi
égaux. L’équation 1 se simplifie alors en :
τ w =
W PL
sinθ = γRsinθ
où A est la section d’écoulement et R est le rayon hydraulique ( R = A P ). Lorsque l’angle θ est
petit, sin θ = tg θ est égal à la pente du canal S.
La relation précédente s’écrit finalement :
τ w = γRS 2
La contrainte de frottement est estimée pour un écoulement turbulent par :
τ w = fρ V 2
8 3
f est un coefficient de frottement qui dépend de la rugosité du canal et du nombre de Reynolds de
l’écoulement (d’une façon similaire au diagramme de Moody).
2.2 L’équation de Chézy
En portant l’équation. 3 dans l’équation, 2, on obtient :
V = C RS 4
Ce qui est l’équation de Chézy2 où C est le coefficient de Chézy égal à 8g f [L-1/2/T].
À partir de données expérimentales, Manning3 a développé une expression pour le coefficient de
Chézy où le coefficient de frottement intervient sans dimension :
2 Antoine de Chézy : Mathématicien et ingénieur français (Châlons-sur-Marne, 1718 — Paris, 1798).Il est l'auteur d'une formule, qui porte son nom, utilisée pour calculer la vitesse d'écoulement des fluides. Il fut collaborateur de l'ingénieur Perronet et dirigea la construction de nombreux ouvrages d'art, dont les ponts de Neuilly et du Tréport.
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4
C =
αR1 6
n 5
où n est le coefficient de frottement de Manning et α est un coefficient d’unité qui vaut 1 en système
international et 1,486 en système anglo-saxon.
2.3 L’équation de Manning
En remplaçant C dans la formule de Chézy, on obtient la formule de Manning :
V =
Q =
AR2 3S1 2 7
On trouvera des valeurs typiques du coefficient de Manning au tableau 1.
2.4 Autres formules d’écoulements
2.4.1 Formule de Manning-Strickler
Ks = 26 1 d65
1 6
où d65 est le diamètre en mètre correspondant à 65 % passant en poids.
2.4.2 Formule de Darcy-Weisbach
Parfois, pour les conduites d’égout, on utilise cette forme de l’équation de Darcy-Weisbach :
V =
RS
3 Robert Manning : Ingénieur irlandais (1816 – 1897), a passé la majeure partie de sa carrière à développer une formule simple, homogène sur le plan des unités, pour évaluer les écoulements à surface libre.
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5
Description n
Parois très lisses : Mortier de ciment et sable très lisse, planches rabotées, tôles métalliques sans soudures saillantes. Mortier lissé
0,010 à 0,0111 0,0119
Parois lisses : Planches avec des joints mal soignés, enduits ordinaires, grès Béton lisse, canaux en béton avec des joints nombreux Maçonnerie ordinaire, terre exceptionnellement régulière
0,0125
0,0134
0,0142
Parois rugueuses : Terre irrégulière, béton rugueux ou vieux, maçonnerie vieille ou mal soignée
0,0167
Parois très rugueuses : Terre très irrégulière avec des herbes, rivières régulières en lit rocheux Terre en mauvais état, rivière en lit de cailloux Terre complètement à l’abandon, torrents transportant de gros blocs
0,020
0,025
2.5 Section d’écoulement et périmètre mouillé
L’équation de Manning (ou de Chézy) sert à calculer le débit ou la vitesse moyenne dans des canaux
de sections variées qui sont entièrement définies par l’aire de la section d’écoulement A et le
périmètre mouillé P. Ces deux variables sont fonction de la hauteur normale d’écoulement yn. Si
cette dernière est connue, l’évaluation du débit (où de la vitesse) est directe. Cependant, ce qui
intéresse plus le concepteur est de prédire la hauteur d’écoulement pour un débit donné dans une
section de géométrie connue. Cet aspect sera discuté dans la section suivante.
2.5.1 Périmètre mouillé
Le périmètre mouillé P est défini comme la partie du contour de la section d’écoulement qui est en
contact avec l’eau. C’est fondamentalement l’endroit où s’exerce l’effet de la rugosité de paroi sur
4 A. Lencastre, Hydrauliquegénérale, Erolles – Safege, Paris, 1996
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l’écoulement. La partie du contour de la section d’écoulement qui est en contact avec l’air est la
largeur au miroir T.
2.5.2 Section d’écoulement
L’aire de la section d’écoulement A se calcule comme l’aire de la surface comprise à l’intérieur du
contour total de la section d’écoulement (périmètre mouillé et largeur au miroir). Cela se calcule
facilement pour les sections de forme simple. Pour les sections plus compliquées, comme pour les
rivières, on procèdera à une intégration numérique.
Tableau 2 – Quelques sections simples
Géométrie Périmètre mouillé Aire de la section
yn
b
yn
D
A =
7
Pour les sections plus complexes, on les découpe en sections plus simples puis, pour chaque sous-
sections Ai, on calcule, pour l’équation de Manning, un coefficient de débit ki :
ki =
AiRi 2 3 8
Ceci permet d’attribuer à chaque section un coefficient de frottement différent. Le débit total
s’écrit :
2.6 L’écoulement critique
L’écoulement critique apparaît lorsque l’énergie spécifique de l’écoulement est minimale. L’énergie
spécifique E est définie comme la somme de la hauteur d’écoulement et de la hauteur de l’énergie
cinétique, soit :
E = y +
V 2
2g = y +
2gA2 10
En observant la figure 2, on constate que l’énergie spécifique est minimale lorsque la hauteur
d’écoulement est égale à yc la hauteur critique. Cette valeur peut être obtenue par annulation de la
dérivée de l’énergie spécifique par rapport à y.
dE dy
=1− Q2
2g =
12
En définissant la profondeur hydraulique D comme le rapport de l’aire de la section sur la largeur au
miroir ( D = A T ), on obtient :
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=1 = Fr 13
Ce qui signifie bien, qu’un régime critique le nombre de Froude est égal à 1. Au-delà de cette valeur,
l’écoulement est en régime torrentiel et en deçà, il est en régime fluvial.
Fig. 2 – Diagramme d’énergie spécifique.
2.6.1 La hauteur critique
Pour un débit, il existe, indépendamment de la pente du canal une hauteur critique yc que l’on peut
calculer à partir de l’équation 12. La difficulté de calcul dépend de l’expression de A. Pour un canal
à section rectangulaire :
d’où :
9
Q2
g =
1 3
Dans le cas général, il faut résoudre l’équation 12 pour yc par une méthode itérative de type Newton- Raphson.
2.6.2 La pente critique
Une fois la profondeur critique déterminée, on peut aussi calculer la pente d’écoulement pour
laquelle un débit donné coulera à la hauteur critique. Avec yc on calcule Ac et Rc et l’on tire de
l’équation de Manning la pente correspondante :
Sc =
n2Q2
2.7 Calcul de la hauteur normale
Pour un débit donné et une pente de canal fixé, l’écoulement s’effectue avec une certaine hauteur
d’eau. Cette hauteur d’eau est ce que l’on appelle la hauteur normale. En comparant cette hauteur
d’eau avec la hauteur critique, qui n’est pas fonction de la pente du canal, on est en mesure de
déterminer si l’écoulement est fluvial, critique ou torrentiel. Cette information sera très utile lorsque
l’on voudra évaluer les écoulements variés.
Le principe de base du calcul de la hauteur normale consiste à résoudre une équation d’écoulement
en termes de débit (Chézy, Manning ou autre) de telle sorte que seule la profondeur soit inconnue.
Dans la suite de cette section, nous nous limiterons à l’équation de Manning.
L’équation d’écoulement n’étant pas linéaire ni quadratique, il n’est pas pratiquement possible de
trouver une solution analytique. On a alors recours à une méthode itérative.
Plusieurs volumes d’hydraulique proposent une méthode par essais et erreurs. Bien que cette
méthode soit utilisable pour faire une évaluation rapide, il est difficile de l’introduire dans un calcul
systèmatique, surtout si l’on fait effectuer les calculs par un ordinateur. Nous proposons donc ici
deux méthodes soit : la méthode de Newton-Raphson qui recèle les fondements théoriques du
processus itératif et la méthode du solveur d’Excel qui est utile en pratique et qui est basée sur la
méthode précédente.
10
Le problème consiste à résoudre pour yn l’équation suivante :
F = Q2 −
α n
S1 2 = 0
1) On dérive la fonction F par rapport à yn :
2)


3) On choisit une valeur de départ y0 pour la hauteur d’eau.
4) On calcule une correction avec la formule de Newton-Raphson :
5) Δy =
7) y1 = y0 + Δy
8) On calcule une norme y1 − y0 , si elle est inférieure à une précision acceptable on
choisit yn = y1 puis on quitte le processus itératif. Si cette exigence n’est pas
satisfaite, on pose y0 = y1 et l’on retourne à l’étape 3.
2.7.2 Utilisation du solveur d’Excel
Cette opération s’effectue sur deux cellules. Dans la première, appelée cellule variable, on inscrit la
valeur initiale de yn puis dans l’autre cellule, la cellule cible, on tape la formule de la fonction F.
Dans le menu Outils, on sélectionne : Solveur… puis dans la fenêtre du solveur, on spécifie les
adresses des cellules cible et variable. On appuie ensuite sur le bouton Résoudre pour démarrer le
processus itératif. La précision, le nombre d’itérations et la méthode itérative peuvent être ajusté en
appuyant sur le bouton Option.
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b= 10 S= 0.01 Q= 10 n= 0.015 g= 9.81
F(yn)= Q-(1/n)*b*yn*(b*yn/(b+2*yn))^(2/3)*S^(1/2) Résolution avec le solveur variable yn= 0.32863448 cible Q-F(yn)= 3.1276E-11
3 L’écoulement graduellement varié
3.1 Généralités
L’écoulement graduellement varié reste un écoulement permanent, c’est-à-dire que le débit reste
constant dans le temps. Par contre les changements de sections d’écoulement, généralement causés
par des changements de pentes, rendent l’écoulement non uniforme. Les transitions seront
considérées comme s’opérant sur des distances relativement longues, d’où le terme de graduel.
3.2 Principes de base
Considérons une section courte d’un canal pour lequel de la surface libre n’est plus parallèle au
fond :
Fig. 3 – Diagramme d’énergie pour un écoulement non uniforme.
GCI 21429 - Systèmes hydrauliques Écoulements à surface libre
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On écrit l’équation de Bernoulli entre les sections 1 et 2 :
p1
2g + ΔH 15
On considère que la pression varie de façon hydrostatique du fond jusqu’à la surface libre, si bien
qu’au fond (référencé par z), on a y = p γ ; on écrit donc :
y1 + z1 +
V1 2
V 2
z1 + E1 = z2 + E2 + ΔH 17
On divise par x puis on passe à la limite, sachant que ΔH = H1 − H2 :
z2 − z1
18
En posant la pente de la ligne d’énergie S f = −
dH dx
surface et la pente du fond S0 = −
dz dx
il reste :
dE dx
= S0 − S f 19
Sachant que E est une fonction de y et que y est une fonction de x, donc
dE dx
= ∂E ∂y
dy dx
et en
exprimant l’énergie spécifique en en termes de débit (eq 10 et 11), on peut écrire
dE dx
dy dx
13
Sf sera calculé avec une équation d’écoulement permanent uniforme, pour l’équation de Manning on
aura :
2
La résolution de l’équation 20 est à la base du calcul de la position de la surface libre pour les
écoulements graduellement variés. C’est ce que l’on appelle le calcul des courbes de remous.
Remarquons ici que le numérateur de l’expression 20 s’annule pour
Q2
g =
A3
T ce qui correspond à
l’énergie spécifique minimale et à la hauteur d’écoulement critique.
3.3 Courbes de remous typiques
Les courbes de remous peuvent se classifier selon la pente du canal. On a déjà vu (section 2.6.2)
qu’il existait pour un débit donné une pente de canal pour laquelle l’écoulement se fait à la hauteur
critique. Les pentes de canal inférieures à cette pente critique seront considérées comme faible. Cela
formera le groupe M (pour mild slope en anglais). Les pentes supérieures à la pente critique
formeront le groupe S (pour steep slope en anglais), On notera par C le groupe des courbes pour les
canaux à pente critique puis par H les courbes sur des canaux horizontaux et enfin A (pour adverse
slope en anglais) pour les canaux en contre-pente.
3.3.1 Courbes M
Ces courbes ont en commun S0 < Sc et yn > yc , on a donc un écoulement de type fluvial.
• Courbe M1 :
La hauteur d’écoulement y connue est plus grande que la hauteur normale yn, en amont elle
tend vers la pente de la profondeur normale, en aval, elle tend vers l’horizontale. Le calcul
progresse de l’aval vers l’amont. Elle représente l’entrée d’un écoulement permanent
uniforme dans un réservoir.
• Courbe M2
La hauteur d’écoulement y connue est comprise entre la hauteur critique yc et la hauteur
normale yn, en amont, elle tend vers la pente de la profondeur normale, en aval, elle chute
brusquement vers la hauteur critique. Le calcul progresse de l’aval vers l’amont. Elle
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représente le passage d’un écoulement permanent uniforme vers une section critique comme
une chute ou encore une augmentation forte de la pente d’écoulement.
• Courbe M3
La hauteur d’écoulement y connue est inférieure à la hauteur critique yc, en amont, sa pente
commence à remonter rapidement, en aval, elle remonte brusquement vers la hauteur
critique. Le calcul progresse de l’amont vers l’aval. Elle représente le passage d’un
écoulement permanent uniforme torrentiel vers un ressaut hydraulique comme au pied d’un
déversoir ou d’un orifice.
M1
M2
M3
3.3.2 Courbes S
Ces courbes ont en commun S0 > Sc et yn < yc , on a donc un écoulement de type torrentiel.
• Courbe S1 :
La hauteur d’écoulement y connue est plus grande que la hauteur normale yn, en amont elle
coupe perpendiculairement la ligne de hauteur critique (ressaut), en aval, elle tend vers
l’horizontale. Le calcul progresse de l’aval vers l’amont. Elle représente l’entrée d’un
écoulement après ressaut dans un réservoir.
• Courbe S2
15
La hauteur d’écoulement y connue est comprise entre la hauteur critique yc et la hauteur
normale yn, en amont, elle naît brusquement de la hauteur critique x, en aval, elle tend vers la
hauteur normale. Le calcul progresse de l’amont vers l’aval. Elle représente le passage rapide
d’un écoulement permanent uniforme torrentiel lors d’une augmentation de pente.
• Courbe S3
La hauteur d’écoulement y connue est inférieure à la hauteur normale yn, en amont, sa pente
commence à remonter rapidement, en aval, elle remonte brusquement vers la hauteur
critique. Le calcul progresse de l’amont vers l’aval. Elle représente le passage d’un
écoulement du pied d’un déversoir ou d’un orifice vers un canal rapide.
S1
S2
S3
3.3.3 Courbes C
Les courbes C sont intermédiaires entre les courbes M et les courbes S.
• Courbe C1
La courbe C1 représente le passage entre M1 concave et S1 convexe, elle est donc droite et
horizontale
• Courbe C2
La courbe C2 n’existe pas car les hauteur normale et critique sont confondues.
• Courbe C3
16
La courbe C3 représente le passage entre M3 convexe et S3 concave, elle est donc droite et
horizontale
3.3.4 Courbes H et A
Les courbes H et A sont des cas particuliers des courbes M pour lesquelles on ne peut pas définir de
régime uniforme donc la hauteur normale n’existe pas puisqu’elle devient infinie. Seules subsistent
les courbes H2, H3, A2 et A3 qui ressemblent aux courbes M2 et M3.
3.4 Calcul des courbes de remous pour les canaux réguliers (Direct Step Method)
Cette méthode permet de calculer les lignes d’eau dans le cas où la géométrie des sections
d’écoulement ne change pas d’un endroit à l’autre. La méthode de calcul consiste à calculer les
hauteurs à partir d’un endroit où la hauteur d’eau est connue. De cet endroit, on cherche, vers
l’amont où l’aval selon le type de courbes de remous à calculer, à quel endroit la hauteur d’eau
augmentée d’un incrément positif ou négatif est située; autrement dit, on calcule plutôt un x qu’un
y.
L’équation de base est celle des écoulements graduellement variés (éq. 20) :
dy dx
d’où l’on tire dx puisque dy est imposé :
dx =
21
On peut écrire cette équation sous une forme différentielle en utilisant le schéma de la figure 3 :
Δx =
17
Dans laquelle l’énergie spécifique est définie par : Ei = yi +
Q2
2gAi 2 et la pente de frottement est
définie au milieu de l’intervalle x : S f = S f 1 + S f 2( ) 2.
Pour illustrer cette méthode, considérons un canal rectangulaire dont la pente passe de faible à forte,
c’est-à-dire pour laquelle la hauteur normale passe de supérieure à la hauteur critique à inférieure.
Pour un débit de 20 m3/s, et une largeur de 5 m et un coefficient de Manning de 0,015, on calcule la…

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