skkn-mot pp tim cong thuc shtq cua day so

5/8/2018 SKKN-Mot Pp Tim Cong Thuc SHTQ Cua Day So - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/skkn-mot-pp-tim-cong-thuc-shtq-cua-day-so 1/21

Nguyn Kim Cng

04/2008

Moät soá phöông phaùptìm coâng thöùc SHTQcuûa daõy soáTrng THPT Chuyên Hà Giang



Nguyn Kim Cng Moät soá phöông phaùp tìm coâng thöùc SHTQ cuûa daõy soá

2

Email: [email protected]

Phn I M u

1. Lý do chn tài:

Dãy s và các bài toán v dãy s là mt c s quan trng hc sinh nmc kin thc ca chng trình gii tích THPT. Dãy s có nhiu cách cho khác

nhau, các bài toán v dãy s cng rt a dng. Nhng có l khi bit công thc shng tng quát ca dãy s, chúng ta có c ³chic chìa khóa´ quan trng nhtgiúp ta hình dung tt nht v dãy s ó cng nh làm c s gii quyt tt các

bài toán liên quan ti nó. áng tic iu này không d và không phi bao gi cnglàm c.

Trong chng trình SGK vic tìm SHTQ ca dãy s cng c cp ti,song ch dng li dng n gin nht thng trc tip là CSC hay CSN hay dng yêu cu chng minh quy np (kt qu SHTQ ã rõ). Vi hai mc ích quantrng ca mô hình trng chuyên: ngoài o to kin thc cho hc sinh áp ng

nhu cu thi i hc, còn phi trang b cho hc sinh các kin thc chuyên sâu camôn chuyên làm tin cho các em có th phát trin tt hn sau này, chúng taã xây dng h thng các chuyên b tr kin thc cho hc sinh cng nh cónhng chuyên c bit bi dng HSG. Trong ó chuyên v tìm côngthc SHTQ ca dãy s có l áp ng c hai yêu cu ó, ngoài là dng toán c bnv dãy s, tìm SHTQ ca dãy s cng hay xut hin trong các bài thi HSG các cp(mt ý riêng r cng có th là mt bc quan trng trong mt vn ).

Tuy nhiên các tài liu vit v chuyên này thng không y , ri rchoc gây cho hc sinh có cm giác ³rt khó´.Trên c s chuyên ã ging dy

trong nm qua, tôi mnh dn tp hp các dng toán v tìm công thc SHTQ cadãy s trong tài liu này, có mt phn giúp khc phc nhng khó khn ã nêu trên.

Mong c chia s ý kin vi các em hc sinh tôi dy và các quý ngnghip.




3


2. Nhim v ca tài: Vi nhng lý do và mc ích ã nêu trên thì nhim v ca tài là:

+ Cng c kin thc v dãy s, CSC, CSN, phng pháp chng minh

quy np trong chng trình lp 11.+ Xây dng phng pháp gii cho mt lp các bài tp v tìm công

thc SHTQ ca dãy s t dng c bn cho n các dng khó hn ch xut hintrong các kì thi HSG.

3. i tng nghiên cu:

Các dãy s c cp trong chng trình ph thông và các dãy s c bitkhác.

4. Phm vi nghiên cu:

Ni dung, kin thc v dãy s dành cho i tng là hc sinh bc THPT làrt phong phú và a dng. Bài vit nh này ch cp n mt vn rt nh ólà: mt s phng pháp gii các bài toán v tìm công thc SHTQ ca dãy s.

5. Phng pháp nghiên cu:

tài c nghiên cu trên c s phân tích tính cht các dãy s, liên quann quá trình tìm công thc SHTQ ca nó, da trên vic nghiên cu sách giáo khoanâng cao lp 11 hin hành, các sách tham kho ôn luyn thi i hc, sách bidng HSG và qua vic trc tip ging dy.




4


Phn II Ni dung

Chng I: C s lý lun ca tài

I. C s thc tin:

Dãy s và các bài toán v dãy s là mt c s quan trng hc sinh nmc kin thc ca chng trình gii tích THPT vì nó là mt c s xây dngnên khái nim gii hn, t ó n các khái nim khác ca gii tích. Vic tìm ccông thc SHTQ là vn hay t ra khi nghiên cu dãy s.

Vì vy tài này cung cp mt s phng pháp tìm công thc SHTQ ca

dãy s, nhm trang b cho các em hc sinh kin thc, phng pháp và k nng cnthit chun b tt cho các kì thi i hc và HSG các cp.

C th tài cp n phng pháp chung gii các bài toán dng:

+ ng dng phép quy np tìm công thc SHTQ ca dãy s.

+ ng dng CSC, CSN tìm công thc SHTQ ca mt s dãy không phi CSC, CSN.

+ Mt s dng dãy s c trng có th tìm c công thc SHTQ(dành cho HSG)

II. C s khoa hc:

1. Phng pháp quy np toán hc. 2. Dãy s và các khái nim liên quan. 3. Cp s cng và cp s nhân. 4. Mt s dãy s c bit khác.




5


Chng II: Ni dung vn

I. Phng pháp chung: * Bài toán tng quát:

Cho dãy s .Tìm công thc s hng tng quát ca dãy s . * Phng pháp:

+ Phng pháp quy np toán hc.

+ t dãy s ph quy v các dãy s ã bit công thc SHTQ.

+ Xét mt phng trình liên quan n tìm công thc SHTQ ca dãy s (mt

s tài liu gi tên là phng trình c trng ca dãy s).

II. Dng toán cho vn nghiên cu:

1. Dng 1: ng dng phép quy np tìm công thc SHTQ ca dãy s.

N u u bài ã cho sn công thc SHTQ thì ta áp dng luôn phng pháp quynp (vì vic ó n gin nên không trình bày ây). Mt s dãy s khác không chocông thc SHTQ nhng ta có th d oán ra công thc ó và chng minh bng quy np: vit mt vài s hng u và tìm cách biu din

theo n.

Bài tp 1: Tìm công thc SHTQ ca dãy s xác nh bi:

Hng dn:

Khai trin dãy ta có: 9; 4; 1; 0; 1; 4; 9; 16; 25 «hay vit là (-3)2; (-2)2, (-1)2; 02;12; 22«, t ó có d oán

, chng minh d dàng bng quy np.


Hng dn:




6


Khai trin ta có: 1; 1; 1«, t ó d oán . Chng minh iunày d dàng bng quy np.

Bài tp 3: Tìm công thc SHTQ ca dãy s dng tha mãn :

Hng dn:

Tính toán ta c , t ó d oán , chng minh nhn xét này bng quy np.

Tng t vy mt s dãy s ch bng khai trin ta có th d oán c công thcSHTQ, t ó chng minh d dàng bng phng pháp quy np toán hc:


áp s: .


áp s:

.


áp s:




7



áp s: Bài tp 8: Tìm công thc SHTQ ca dãy s xác nh bi:

áp s:


áp s: Bài tp 10: Tìm công thc SHTQ ca dãy s dng tha mãn :

áp s:

2. Dng 2: ng dng CSC, CSN tìm công thc SHTQ ca dãy s.




8


V ic dy khái nim CSC, CSN là mt vn lí thú, chúng có nhiu ng dng trong thc t và a s hc sinh u lnh hi tt khái nim này. ây ta s a ramt ng dng thú v ca CSC, CSN: tìm công thc SHTQ ca mt vài dãy s cbit.

Bài tp 1: Cho . Tìm ?

Hng dn: Trong bài toán này ta s b lúng túng ngay vì dây không phi là cp s cng

hay cp s nhân ã bit. Nh vy có cách nào tìm un hay không? Làm sao mt con s 1 bên v phi c mt cp s nhân?

Ta vit li , và thy rng nu thay thì chính là mt cp s nhân công bi q = 2 và .

T ó có .


Hng dn:Ta vit , ng nht h s theo n ta

tìm c .t Bài tp 3: Tìm dãy s có tính cht . Áp dngtính tng

Hng dn: Ta vit

��t các giá tr 0; 1; 2 ta c h phng trình .

Gii h cho ta .T ó .




9


0� . Ta c

Suy ra .

T ó có th tìm c mt lp các dãy s tha mãn yêu cu bài toán.

Áp dng: Vit li Suy ra: , (chn Bài tp 4: Cho . Tìm ?

Hng dn:Ta tìm hng s a sao cho .

Tìm c:

.

T ó

t thì Suy ra Vy Bài tp 5: Cho . Tìm ?

Hng dn :Vit li .

t ta c .

T ó

Suy ra


Hng dn :Vit li .

t ta c .Suy ra .

T ó, = = .





1


Hng dn :

T gi thit suy ra:

. t

ta c

Suy ra, .Bài tp 8: Cho . Tìm ?

Hng dn :Vit li .

t ta c .

T ó

t ta có

Suy ra .Ta cng có th tìm bng cách sau ây:

=

.

Bài tp 9: Tìm công thc tng quát ca dãy Fibonacci:

Hng dn :Gi là 2 s sao cho , iu này có ngha là 2

nghim ca phng trình x2 ± x ± 1 = 0.

T gi thit suy ra .t

ta c

Hay

.Suy ra:




1


Bài tp 10: Cho .Tìm ?

Hng dn :Vit li .

t ta có Vit: . t

ta có

T ó:

Các bài tp t gii

Bài tp 11: Cho . Tìm ? Hng dn :

Vit , ng nht h s tìm ra các h s .


Hng dn :Vit

, ng nht h s tìm ra các h s

.

Bài tp 13: Cho . Tìm?

Hng dn :Vit li: .




1


t ta có Vit , ng nht h s tìm

ra các h s

.

Bài tp 14: Cho .Tìm ?

Hng dn :Vit li: .

t ta có n ây làmhoàn toàn tng t nh Bài tp 3.

Bài tp 15: Cho dãy : . . . . . . . .Tính

Hng dn :t

Li có

3. Dng 3: Mt s dng dãy s c trng có th tìm c công thc SHTQ




1


K t qu 1: Dãy có s hng tng quát là

Chng minh : Ta chng minh bng phng pháp quy np- n = 1 ta thy (1) úng

- Gi s ta cm Thy vy: pcm.

K t qu 2: Vi dãy c xác nh bi: , bit Ta xét phng trình c trng: (*)

- Nu (*) có hai nghim thì: - Nu (*) có nghim kép thì:

K t qu 3: Vi dãy c xác nh bi: bit

Ta xét phng trình c trng: (**)- Nu (**) có ba nghim phân bit thì: - Nu (**) có nghim n , nghim kép thì: - Nu (**) có nghim bi ba thì:

K t qu 4: Vi dãy c xác nh:

Ta có: ta ddàng tìm c công thc SHTQ ca dãy theo kt qu 2.




14


K t qu 5: Vi dãy s: , n 1. i vi dng này ta có

hai cách làm nh sau:Cách 1: Xét hai dãy s

c xác nh nh sau:

Theo kt qu 4 ta xác nh c dãy và khi ó dãy .

Cách 2:Ta a vào các tham s x,y nh sau:

Tip theo ta xác nh x ,y sao cho:

.

Khi ó ta có: .t .

Ta c .Theo kt qu 1 ta xác nh c dãy nên ta tìm c.

Sau ây là mt s bài toán:

Bài tp 1:Cho dãy . Tìm s hng tng quát ca dãy Hng dn:

Bài này chúng ta có th gii theo các cách sau:Cách 1: Xét phng trình c trng: phng trình này có hainghim nên . Vì ta suy ra . Vy .Cách 2: t ta có , nên ta có suy ra

Ly tng hai v ta có .

Bài tp 2: Cho dãy s xác nh bi: a)Tìm công thc tng quát ca dãy b)Chng minh rng nu p là s nguyên t thì chia ht cho p




1


Hng dn : a)Xét phng trình c trng: , phng trình này có ba

nghim

nên

.

Theo gi thit

, ta có h gm ba phng trình sau:

, gii h ba phng trìnhnày ta có nghim .Vy .

b)Ta có 11 (mod p)Vì p là s nguyên t nên theo nh lí nh Fecma ta có: Suy ra , pcm.

Bài tp 3: Cho dãy

a) Tính b) Tìm phn nguyên:

Hng dn:

Ta có: , suy ra

t

. Ta có

Áp dng kt qu 1 ta có: a) Theo trên ta có: .

b) Ta có:

�

Bài tp 4: Cho hai dãy c xác nh nh sau: .Tìm công thc tng quát ca hai dãy .

Hng dn:




1


Trng hp , thì ta có ngay .Trng hp :

(

T ó tìm c , và cng suy ra .

Bài tp 5: Cho dãy vi min2. Cmr: .

Hng dn: chng minh bài toán ta ch cn chng minh:

có

là c.

Dãy s ã cho gn ging vi dng kt qu 2, nhng vì có h s t do 1975 nên tacha áp dng c kt qu 2.

Chúng ta có th chuyn v dng kt qu 1 bng cách t .Khi ó: .n ây ta chn a,b sao cho 22a - 8b = 0, chn a = 4, b = 11.Suy ra,

Phng trình c trng có hai nghim x = -1 và x = 5 nên

da vào

ta xác nh c

Do ó , suy ra

Do 1997 là s nguyên t nên theo nh lí nh Fécma ta có: (vì (4;1997)=1).

Chú ý: Theo chng minh trên ta có bài toán tng quát hn là: Cmr: vimi s nguyên t .

Bài tp 6: Cho hai dãy c xác nh nh sau: và . Tìm tt c các s nguyên t p sao cho không chia ht cho p.

Hng dn: Ta có:




1


Rút ra , thay vào h thc xác nh , ta có: Áp dng kt qu 1 ta có c:

. Thay vào (1) ta có:

Suy ra: .

* p = 2: , không tha mãn.* p = 3: không chia ht cho 3, suy ra p = 3 tha mãn.* p = 5: không chia ht cho 5, suy ra p = 5 tha mãn.

* p > 5: khi ó không tha mãn.Vy p = 3, p = 5 là nhng s cn tìm.

Các bài tp t gii

Bài tp 7: Cho dãy c xác nh bi . Xác nh công

thc tng quát ca dãy?

Hng dn :

T gi thit suy ra: . t ta c

Bài tp 8: Cho dãy s .Cmr: là s chính phng.

Hng dn :Vit li .

t ta c .

T ó Suy ra

Bài tp 9: Cho dãy




1


a) Xác nh công thc tng quát ca dãy. b) t

Tìm dãy có gii hn và tìm gii hn ó.

Hng dn :Áp dng kt qu 5.

Bài tp 10: Cho hai dãy c xác nh nh sau: . Cmr:

Hng dn :

Làm tng t bài tp 4. áp s: , t ó suy ra kt qu ca bài toán.

Bài tp 11: Cho dãy a) Tìm s nguyên dng h bé nht :

vi mi n.

b) Cmr tn ti ít nht mt s ca dãy chia ht cho 1996.

Hng dn :Làm tng t bài tp 5.




1


Phn III: Kt lun

Qua nhng gì tôi ã trình bày, hy vng phn nào giúp cho các em hc sinhnm vng hn v các bài toán v tìm công thc SHTQ ca mt dãy s, h thnghóa c các bài toán cùng loi, có các phng pháp a dng tip cn loi bài toánnày, t ó có th giúp các em hc tp tt hn.

Nh chúng ta ã bit, hin nay trên th trng có rt nhiu tài liu thamkho. Tuy nhiên, bn thân các em hc sinh rt khó la chn cho mình mt tài liu

phù hp, mang tính h thng hóa mt vn nào ó. Vì vy qua nhng ý kin nh bé ca cá nhân tôi c úc kt qua quá trình nghiên cu và trong quá trình gingdy thc tin, hy vng phn nào giúp các em hc sinh có thêm mt tài liu thamkho v vn ã c nêu. Qua tài liu này, tôi cng mong có th giúp các emxâu chui các kin thc, thy c nhng ng dng c sc ca nhng kin thcdng nh n gin nht, tip cn t nghiên cu, t sáng to trong hc tp b mônToán.

Các vn c trình bày trong tài liu này ch là ý kin riêng ca cá nhân bn thân tôi, nên không tránh khi nhng sai sót và hn ch. Vì vy tôi rt mong

c s góp ý chân thành và quý báu ca ng nghip,các em hc sinh cng nhnhng ai quan tâm v vn này, bài vit c hoàn thin hn.

Hà giang, ngày 24 tháng 04 nm 2008

Ngi vit

N guyn K im Cng




2


Tài liu tham kho:

1. 10 000 Bài toán s cp ± Dãy s và gii hn ± Phan Huy Khi ± NXB Hàni.

2. Din àn Toán hc ti a ch http://diendantoanhoc.net

3. Tp chí Toán hc và Tui tr.

4. Tài liu bi dng giáo viên THPT - i hc KHTN-HQG Hà ni.




2


Mc lc

Phn I: M u 21. Lý do chn tài 2

2. Nhim v tài 3

3. i tng nghiên cu 3

4. Phm vi nghiên cu 3

5. Phng pháp nghiên cu 3

Phn II: Ni dung 4Chng I: C s lý lun ca tài 4

1. C s thc tin 4

2. C s khoa hc 4

Chng II: Ni dung vn 5

I. Phng pháp chung 5

II. Dng toán cho vn nghiên cu ± Áp dng 5

1. ng dng phép quy np« 52. ng dng CSC, CSN« 8

3. Mt s dng dãy s c trng« 13

Phn III: Kt lun 19

skkn-mot pp tim cong thuc shtq cua day so

Documents