sklopitev molekulske dinamike in kontinuumske...
TRANSCRIPT
Seminar – 4. letnik
Sklopitev molekulske dinamike in
kontinuumske hidrodinamike
Avtor: Jurij Sablić
Mentor: doc. dr. Matej Praprotnik
Ljubljana, Marec 2012
Povzetek:
Tekočine na makroskopski skali opišemo s kontinuumsko hidrodinamiko, ki gibanje tekočine
opiše z Navier-Stokesovo enačbo. Včasih na posameznih domenah kontinuuma potrebujemo
mikroskopski opis, ki ga izvedemo s simulacijo molekulske dinamike. Mikroskopski in
makroskopski opis je potrebno primerno sklopiti, da je celotna tekočina opisana konsistentno.
V tem seminarju bomo predstavili, kako to storimo pri večskalnih simulacijah molekularnih
tekočin.
2 SABLIĆ, Jurij. Sklopitev molekulske dinamike in kontinuumske hidrodinamike. Seminar. Ljubljana, FMF, 29. 3. 2012
Kazalo:
1. UVOD ............................................................................................................................................... 3
2. SIMULACIJA MOLEKULSKE DINAMIKE ............................................................................................. 4
3. KONTINUUMSKA HIDRODINAMIKA IN METODA KONČNEGA VOLUMNA ....................................... 7
4. SKLOPITEV MOLEKULSKE DINAMIKE IN KONTINUUMSKE HIDRODINAMIKE ................................. 9
5. ZAKLJUČEK ..................................................................................................................................... 14
6. LITERATURA ................................................................................................................................... 15
3 SABLIĆ, Jurij. Sklopitev molekulske dinamike in kontinuumske hidrodinamike. Seminar. Ljubljana, FMF, 29. 3. 2012
1. UVOD
Fizikalne pojave opišemo z enačbami. Ti pojavi so velikokrat komplicirani in
zahtevajo opis s kompleksnim sistemom enačb. Te enačbe so lahko algebraične, velikokrat pa
imamo opravka z diferencialnimi in parcialnimi diferencialnimi enačbami. Sistemi
diferencialnih in parcialnih diferencialnih enačb ponavadi niso analitično rešljivi. Njihove
rešitve poiščemo numerično in jih potem na razne načine karseda pregledno predstavimo.
Kadar imamo opravka z enačbami, ki opisujejo dinamiko nekega sistema, njihovo rešitev
najbolj nazorno predstavimo kar s simulacijo časovnega poteka pojava, ki ga opisujemo.
Simulacije so zlasti primerne za ponazarjanje dinamike velikega števila delcev ali pa za
ponazarjanje stacionarnih in nestacionarnih hidrodinamskih pojavov.
Hidrodinamske pojave opišemo z Navier-Stokesovo enačbo, ki nam poda dober opis
dinamike kontinuuma na makroskopski skali. Vendar tak opis ne zadošča vedno. Kadar
želimo opisati npr. tok okoli raznih nanodelcev, rast kristalov v fluidu, nihanje proteinov v
tekočini ali pa transport nanodelcev v tekočini, kontinuumski opis tekočine ne zadošča [1, 2].
Želimo namreč vedeti, kaj se dogaja tik ob nanodelcu, kristalu ali proteinu, in za to
potrebujemo mikroskopski opis v bližini omenjenih struktur. V teh primerih bi bilo najbolje,
da kar celotno tekočino opišemo mikroskopsko. V tak delčni opis najlažje vklopimo omenjene
strukture, saj so interakcije med njimi ponavadi znane. Vendar pa je celoten opis kontinuuma
z delci računsko zelo potraten, in zato neprimeren za simulacijo kakršnegakoli realnega
kontinuuma, saj ta vsebuje preveliko število delcev. Zato v zadnjem času razvijajo razne
hibridne metode, pri katerih uporabijo delčni opis le v bližini zgoraj omenjenih struktur,
kontinuumskega pa povsod drugje. Oba opisa morata biti na medsebojni meji primerno
sklopljena, tako da je zagotovljena zveznost gostote in hitrosti oz. gostote gibalne količine.
V tem seminarju bomo najprej predstavili delčni opis sistema s simulacijo molekulske
dinamike in kontinuumski opis sistema s kontinuumsko hidrodinamiko. Nato pa bomo opisali
sklopitev obeh opisov.
4 SABLIĆ, Jurij. Sklopitev molekulske dinamike in kontinuumske hidrodinamike. Seminar. Ljubljana, FMF, 29. 3. 2012
2. SIMULACIJA MOLEKULSKE DINAMIKE
Simulacija molekulske dinamike (MD) je način, kako numerično simuliramo
dinamiko sistema z mnogo delci [3]. Od tod lahko izračunamo neke makroskopsko merljive
količine in jih primerjamo z eksperimentalno izmerjenimi. Tako lažje razumemo, kaj se
dogaja v ozadju oz. na mikroskopski skali mnogih makroskopskih procesov. Dinamiko
mikroskopskih delcev opišemo z drugim Newtonovim zakonom [3]:
, (1)
kjer so sila na i-ti delec, masa i-tega delca in krajevni vektor i-tega delca. Z uvedbo
gibalne količine lahko zgornjo enačbo zapišemo kot [3]:
in . (2)
Vsak algoritem, ki naj kvalitetno opiše tak sistema, mora enako dobro veljati tako za kratke
časovne intervale kot tudi za dolge. Poleg tega mora biti algoritem ekonomičen. V enačbah
(2) sila zaradi zakona o vzajemnem učinku nastopa v parih. To pomeni, da moramo pri
njenem izračunu upoštevati še dinamiko vseh ostalih delcev, ki interagirajo z i-tim delcem. To
je z vidika numerične simulacije izredno neekonomično, zato mora algoritem vsebovati
karseda majhno število izračunov sile.
Numerična rešitev sistema enačb št. (2) se izračuna s pomočjo Verletovega hitrostnega
algoritma [3]:
(
) ( )
( )
( ) ( )
(
)
( ) (
)
( )
(3)
Enačbe opisujejo časovno propagacijo krajevnega vektorja in gibalne količine i-tega delca v
časovnem intervalu , oz. čez en algoritemski korak. Prva enačba opisuje izračun vrednosti
gibalne količine na polovici časovnega intervala in za to uporabi silo, ki je bila izračunana že
vektorja ob koncu tega časovnega intervala in tretja vrednost gibalne količine ob koncu istega
5 SABLIĆ, Jurij. Sklopitev molekulske dinamike in kontinuumske hidrodinamike. Seminar. Ljubljana, FMF, 29. 3. 2012
intervala. Za propagacijo gibalne količine potrebujemo vrednost sile ob koncu intervala, ki jo
izračunamo med drugim in tretjim delom. Ta izračun je računsko najbolj potraten del koraka.
Sila deluje ponavadi med dvema delcema, tako da sistem z delci zahteva ⁄ izračunov
sile. Tako definiran hitrostni Verletov algoritem je časovno reverzibilen in drugega reda v
času. Zaradi tega je primeren za dolge in kratke časovne intervale. Poleg tega je maksimalno
ekonomičen, saj v vsakem koraku vsebuje zgolj en računsko potraten izračun.
Ponavadi simuliramo dinamiko omejenega števila delcev, ki se zato nahajajo v
omejenem prostoru, npr. plin v škatli [3]. Potek simulacije za delce opisujejo enačbe (3),
vendar pa bi zaradi omejenosti prostora, kjer se naši delci nahajajo, načeloma dobili robne
efekte ob stenah našega omejenega sistema. Temu se izognemo tako, da vpeljemo periodične
robne pogoje (Slika1). To lahko storimo za sile dolgega in kratkega dosega. Pri tem pa ne
zajamemo fluktuacij, ki imajo daljšo valovno dolžino od roba naše simulacijske škatle. Na ta
način delec, ki bi sicer v nekem trenutku interagiral z robom in se npr. od njega odbil, preide v
naslednjo celico. Istočasno pa v prvotno celico vstopi delec z enako gibalno količino iz neke
druge sosednje celice. Tako zagotovimo, da je število delcev v prvotni celici ves čas
konstantno in da se skupni gibalna količina in energija prvotnega sistema ohranjata.
Slika 1: Periodični robni pogoj [4]. Delci, katerih dinamiko simuliramo so v kocki z odebeljenimi
stranicami. Ostale kocke so posledica periodičnih robnih pogojev in so zrcalna slika prvotne.
6 SABLIĆ, Jurij. Sklopitev molekulske dinamike in kontinuumske hidrodinamike. Seminar. Ljubljana, FMF, 29. 3. 2012
Kadar v sistemu, katerega dinamiko opisujemo, ni zunanjih sil, vse notranje sile
delujejo v parih [3]. Te sile so običajno konservativne, zato lahko interakcijo med delci
opišemo tudi s potencialom. Zaradi velikega števila delcev pride do senčitev potencialov
različnih delcev. Zato ima interakcija med dvema delcema pogosto kratek doseg in jo
opišemo s potencialom [3]:
( ) { ( )
. (4)
Tu je razdalja med i-tim in j-tim delcem in razdalja na kateri dva delca še čutita
medsebojno interakcijo. Ta razdalja je seveda od primera do primera različna, v povprečju pa
za tekočino znaša okoli . Programski izračun takega potenciala lahko naredimo s pomočjo
dveh algoritmov. Po prvem algoritmu, oz. algoritmu »Seznami sosedov«, izračunamo
potencial tako, da okoli i-tega delca narišemo dve sferi, eno z radijem in drugo, večjo, z
radijem (Slika 2). V prvem koraku MD simulacije popišemo vse delce, ki so znotraj večje
sfere. K interakciji seveda prispevajo zgolj tisti, ki so tudi znotraj manjše. V naslednjem
koraku pa, ko računamo interakcijo, pregledamo zgolj tiste delce, ki so bili v prejšnjem
koraku znotraj večje sfere. Za te delce namreč predpostavimo, da so edini, ki lahko v času
enega simulacijskega koraka pridejo v območje interakcijske sfere okoli i-tega delca. Seveda
so nekateri delci, ki so že v prejšnjem koraku interagirali z i-tim delcem, lahko tudi v novem
koraku znotraj manjše sfere, vendar pa lahko vanjo vstopijo tudi novi delci, a zgolj tisti, ki so
se v prejšnjem koraku nahajali med obema sferama. Pomembna predpostavka je, da noben
delec, ki je bil v prejšnjem koraku zunaj sfere z radijem , ne more priti v tem koraku v
sfero z radijem . Tak delec lahko v novem koraku pride zgolj v prostor med obema
sferama, zato moramo seznam delcev znotraj zunanje sfere z radijem pogosto obnavljati.
Pogostost obnavljanja seznama je odvisna od izbrane velikosti zunanje sfere. Večja kot je
sfera manj pogosto je treba obnavljati seznam, saj bodo zunanji delci potrebovali več časa, da
pridejo v bližino interakcijske krogle. Glavna prednost algoritma »Seznami sosedov« je torej
v tem, da pri računu interakcije i-tega delca, ne rabimo preveriti vseh delcev v sistemu, ampak
zgolj tiste, ki se nahajajo znotraj sfere z radijem .
Drugi algoritem, oz. »Algoritem sosednjih celic«, je zlasti primeren za opis interakcije
v velikem sistemu z velikim številom delcev [3]. Našo kubično simulacijsko celico razdelimo
na kubičnih celic. Vsaka taka kocka ima stranice dolžine ⁄ ,
7 SABLIĆ, Jurij. Sklopitev molekulske dinamike in kontinuumske hidrodinamike. Seminar. Ljubljana, FMF, 29. 3. 2012
kjer je dolžina stranice kubične simulacijske celice. Dolžina stranice vsake take kocke mora
biti večja kot maksimalni doseg potenciala, t.j. . Pri iskanju delcev, ki interagirajo z i-tim,
je tako potrebno pogledati le v kocko, kjer se i-ti delec nahaja, in v vse sosednje kocke. To je
seveda veliko bolj ekonomično kot iskanje vseh delcev v sistemu.
Slika 2: Slikovni prikaz algoritma »Seznami sosedov« (prilagojeno po sliki iz reference [5]). Z rdečim
delcem interagirajo le zeleni delci znotraj sive krogle. Tisti delci, ki so v modrem območju, so
potencialni kandidati za vstop v sivo kroglo in za interakcijo z rdečim delcem.
3. KONTINUUMSKA HIDRODINAMIKA IN METODA KONČNEGA
VOLUMNA
Kontinuumska hidrodinamika (KH) je teorija, s katero opišemo hidrodinamske
lastnosti snovi. Teorijo opišemo s stohastičnimi parcialnimi diferencialnimi enčbami, ki se v
limiti velikih volumnov reducirajo v Navier-Stokesovo enačbo [6]. Osnova KH so ohranitveni
zakoni, ki se z enačbo zapišejo tako [6]:
. (5)
Tu sta količina, ki se ohranja, in vektor toka količine, ki se ohranja. KH je zelo koristna
pri simulacijah tokov. Te ponavadi naredimo z metodo končnega volumna, pri kateri celoten
volumen razdelimo na več majhnih podvolumnov (npr. kock) [7]. Nato izvrednotimo enačbo
(5) na vsakem od teh podvolumnov. To storimo tako, da najprej enačbo (5) integriramo po
enem takem podvolumnu in nadalje na integralu na desni uporabimo izrek Ostrogradskega in
Gaussa. Tako dobimo naslednjo enačbo [6]:
8 SABLIĆ, Jurij. Sklopitev molekulske dinamike in kontinuumske hidrodinamike. Seminar. Ljubljana, FMF, 29. 3. 2012
∫
∮
, (6)
kjer je podvolumen, po katerem integriramo integral na levi, in njegov rob. Če je
podvolumen omejen z večimi ploskvami, lahko desni integral zapišemo kot vsoto integralov
po vsaki mejni ploskvi. Ker so mejne ploskve majhne in je podintegralska funkcija na njih
pohlevna, lahko vsak integral po mejni ploskvi aproksimiramo s produktom vrednosti
integranda nekje na mejni ploskvi in površine mejne ploskve. Tako se enačba (6) zapiše kot
[6]:
∫
∑ , (7)
kjer je indeks podvolumna, indeks sosednjega podvolumna, normala mejne ploskve
med obema podvolumnoma, njena površina in
vrednost vektorja toka ohranjene
količine na omenjeni mejni ploskvi. Velikokrat za slednjo vzamemo kar sredinsko vrednost,
včasih pa tudi povprečno vrednost. To je odvisno od natančnosti, ki jo želimo doseči. Integral
na levi strani enačbe (7) naprej aproksimiramo s produktom neke vrednosti ohranjene količine
v -tem podvolumnu in prostornine -tega podvolumna [7].
V nadaljevanju bosta pomembni ohranjeni količini masa in gibalna količina. Zato se
bomo sedaj osredotočili na njiju. Ohranitvena zakona za ti dve količini se po enačbi (5)
zapišeta kot [8]:
in
.
(8)
Tu je gostota in gostota gibalne količine podana z enačbo . Tokova sta definirana
kot [8]:
in
.
(9)
je Navier-Stokesov napetostni tenzor, ki je podan z enačbo ( ) . Prvi del
napetostnega tenzorja je diagonalen, drugi pa brezsleden in simetričen. V prvem delu je
termodinamski tlak, in matrika identiteta. Tlak dobimo preko enačbe stanja
( ), ki je bodisi podana ali pa jo izračunamo preko simulacije MD. Simetrični del
9 SABLIĆ, Jurij. Sklopitev molekulske dinamike in kontinuumske hidrodinamike. Seminar. Ljubljana, FMF, 29. 3. 2012
napetostnega tenzorja je v kartezičnih koordinatah definiramo kot (
). Pri tem sta in poljubni kartezični koordinati. Upoštevamo tudi Einsteinovo
konvencijo o sumaciji, tako da izraz dejanjsko predstavlja divergenco vektorja hitrosti.
Parametra in sta prostorninska in strižna viskoznost.
Sedaj enačbi (8) rešimo z metodo končnega volumna in ju zapišemo v obliki enačbe
(7). Dobimo naslednje enačbe za -ti podvolumen ob času [8]:
∑ in
∑ ( ) .
(10)
Tu je ∫ ( )
masa znotraj -tega podvolumna,
∫ ( ) ( )
gibalna količina znotraj -tega podvolumna, ( )( ) ⁄ aproksimacija za
masni tok na mejni ploskvi -tega in -tega podvolumna, ( ) ⁄ aproksimacija
hitrosti na omenjeni mejni ploskvi in [( ) ] ⁄ povprečen napetostni
tenzor. V povprečnem napetostnem tenzorju je termodinamski tlak v -tem podvolumnu,
in pa sta definirana kot [8]:
∑ [
(
)
] in
∑
.
(11)
Tu vsota teče po vseh sosedih -tega podvolumna, vse količine pa so že definirane.
4. SKLOPITEV MOLEKULSKE DINAMIKE IN KONTINUUMSKE
HIDRODINAMIKE
Sklopitev obeh opisov naredimo takrat, ko na nekem območju tekočine potrebujemo
molekulski opis drugje pa zadostuje kontinuumski. Idealno bi bilo seveda celotno tekočino
opisati molekulsko, vendar je to računsko zelo potratno. Zato tak opis uporabimo zgolj tam,
kjer je to neobhodno.
Tekočino razdelimo na podvolumne oz. celice, tako kot to prikazuje Slika 3 [6]. V
podvolumnih levo od hibridne meje, označene s H, opišemo dinamiko tekočine s
10 SABLIĆ, Jurij. Sklopitev molekulske dinamike in kontinuumske hidrodinamike. Seminar. Ljubljana, FMF, 29. 3. 2012
kontinuumsko hidrodinamiko, desno od nje pa z molekulsko dinamiko. Podvolumni se med
seboj ne prekrivajo. Podvolumna na vsaki strani meje se imenujeta mejna podvolumna in na
njiju poteka izmenjava podatkov med obema opisoma. Tistega na kontinuumski strani meje
označimo s črko C, tistega na delčni strani pa s P. Celica označena z B se imenuje vmesna
celica ali vmesno območje in deluje kot rezervoar pri delčnem opisu. B moramo torej
upoštevati pri opisu MD, vendar pa ni del našega sistema. Deluje zgolj kot računski
pripomoček, ki v MD simulacijo vnaša robne pogoje za gibalno količino. Sklapljanje
molekulskega dela s kontinuumskim preko hibridne meje H lahko poteka na dva načina. Pri
prvem gre za sklapljanje hidrodinamskih spremenljivk, torej gostote in hitrosti [2, 9]. To
pomeni, da morata biti hitrost in gostota na obeh straneh hibridne meje enaki. Drugi način je s
sklapljenjem tokov ohranjenih količin [10, 11]. Masni tok in tok gibalne količine, ki gresta iz
celice C v celico P morata biti nasprotno enaka tokovoma iz celice P v celico C. Ker se pri
taki sklopitvi avtomatsko ohranita tudi masa in gibalna količina, se bomo osredotočili zgolj na
njo. Vrtilne količine pri tem ni potrebno posebej opazovati, razen v primer sklopitve opisov z
različnimi viskoznostmi. Vendar pa se tudi v teh primerih spremljanju vrtilne količine
izognemo z uvedbo termostata [12]. Slednjega ponavadi zaradi nekih drugih razlogov
uvedemo pri slehrni sklopitvi, vendar pa se v podrobnejše razglabljenje o njem v tem
seminarju ne bom spuščal [6].
Slika 3: Simulacijske domene (prilagojeno po sliki iz rererence [6]). Levo od hibridne meje H velja
opis s kontinuumsko hidrodinamiko, desno pa z Molekulsko dinamiko. C in P sta mejni celici, B pa
vmesna celica.
11 SABLIĆ, Jurij. Sklopitev molekulske dinamike in kontinuumske hidrodinamike. Seminar. Ljubljana, FMF, 29. 3. 2012
Tok gibalne količine skozi hibridno mejo lahko aproksimiramo z [6]:
. (12)
Tu je normalni vektor hibridne meje, ki po Sliki 3 kaže v smeri MD dela.
je tok gibalne
količine skozi hibridno mejo,
in
pa sta tokova gibalne količine v P in C podvolumnih.
je v kontinuumskem delu tekočine, zato ga izračunamo z enačbo (9). Vendar pa za to po
enačbah (10) in (11) potrebujemo hitrost in gostoto v sosednjih podvolumnih, in desna soseda
celice C je celica P, kjer dinamiko opisujemo z MD. V ta namen maso in gibalno količino v
celici P izračunamo kot vsoto mas in gibalnih količin vseh delcev v celici P, oz. [6]:
∑ in
∑ . (13)
Gostoto in hitrost izračunamo kot ⁄ in ⁄ . Na tak način lahko
izračunamo tudi
, kjer je potrebno aplicirati enako tehniko tudi na celico desno od P, ki je,
tako kot P, del delčnega opisa. Tak način izračuna
, kjer dejansko delčni opis pretvorimo v
kontinuumski, imenujemo mezoskopski izračun.
pa lahko izračunamo tudi po
mikroskopskem izračunu in sicer z uporabo Irving-Kirkwoodove formule [6]. Izkaže se, da je
slednji postopek manj primeren, saj je računsko bolj potraten.
Za ohranitev gibalne količine ob hibridni meji moramo v vsakem časovnem intervalu
sklopitve, ki ga označimo z , v MD del tekočine vnesti gibalno količino [6].
Nasprotno enako gibalno količino pa moramo vnesti v KH del. Vstavitev toka gibalne
količine v kontinuumski opis je dokaj enostavna in opisana z enačbo (13). Njegova vstavitev
v MD opis pa je težja in v ta nemen v naš sistem vpeljemo vmesno območje. Z njim vpeljemo
zunanjo silo na hibridno mejo , s katero zagotovimo vstavljanje želene gibalne količine v
molekulski del. je porazdeljena med vse delce v vmesni celici, in sicer tako, da vsak delec
čuti silo [10]:
( ) ∑ ( ) ⁄ . (14)
je tu porazdelitvena funkcija. Najbolj enostavna porazdelitvena funkcija je kar
Heavisideova funkcija, kar pomeni, da delci v vmesni celici vsi enako prispavajo h končni
sili. Pretok delcev med vmesno celico B in delčnim delom našega sistema je prost, vendar,
12 SABLIĆ, Jurij. Sklopitev molekulske dinamike in kontinuumske hidrodinamike. Seminar. Ljubljana, FMF, 29. 3. 2012
takoj ko delec preide v vmesno območje začne čutiti omenjeno silo . Vsak delec v B
deluje torej kot nosilec gibalne količine v MD. Ker želimo karseda prosto prehajanje delcev iz
B v MD, je dobro, da vsak delec čuti čim manjšo silo. Zato mora biti v B veliko število
delcev. To število ne sme biti preveliko, saj je potem sistem podvržen prevelikim fluktuacijam
in je zaradi tega nestabilen. Fluktuacije je tako potrebno regulirati z naslednjim algoritmom
[1]:
(⟨ ⟩ ) ⁄ . (15)
Tu je trenutno število delcev v B, karakteristični čas za delce v B in ⟨ ⟩
povprečno število delcev v B, ki si ga izberemo tako, da je sorazmerno številu delcev v
kontunuumski celici C. mora biti čim bližje 0. Gostota delcev v bližini hibridne meje je
zvezna, na drugem robu celice B pa delčna gostota pade na nič zaradi zunanjega
kontinuumskega tlaka. Delce, ki med simulacijo zaidejo tja preprosto izbrišemo iz sistema. Če
pa se zgodi, da število delcev v B pade pod povprečno vrednost, potem v celico vstavimo
nove delce s hitrostmi porazdeljenimi po Maxwellovi porazdelitvi. Vstavljanje in brisanje
delcev moramo upoštevati pri celotni bilanci gibalne količine za MD. Recimo, da pri enem
koraku MD simulacije vstavimo v molekulski del gibalno količino . Gibalna
količina delcev, ki so v tem časovnem intervalu vstavljeni v B, je , delcev, ki so izbrisani
pa . Celotna bilanca je torej [6]:
. (16)
Na levi strani je torej gibalna količina, ki jo v enem koraku MD dodamo delčnemu sistemu, s
tem ko na delce v vmesnem območju deluje skupna sila . Enakost med njima ni direktna,
ker delce iz B po potrebi brišemo in jih nazaj vstavljamo. Na tak način v časovnem intervalu
sklopitve pride do izmenjave gibalne količine med kontinuumsko in delčno
domeno.
Pri tovrstni sklopitvi kontinuumskega in delčnega opisa ni potrebno posebej zahtevati
sklopitve masnega toka skozi hibridno mejo [6]. Slednji namreč ni neodvisna količina, ampak
je po enačbi (8) povezan s tokom gibalne količine. Zato je dovolj, da sklopitev masnega toka
med simulacijo zgolj kontroliramo z naslednjim algoritmom [6]:
13 SABLIĆ, Jurij. Sklopitev molekulske dinamike in kontinuumske hidrodinamike. Seminar. Ljubljana, FMF, 29. 3. 2012
(
). (17)
Enačba opisuje pritok mase v mejno celico C skozi hibridno mejo v časovnem intervalu
sklopitve. Načeloma bi moral biti pritok mase, zaradi zagotavljanja zveznosti masne gostote,
enak odtoku mase iz celice skozi H, , ki ga izračunamo s KH. Hkrati pa bi moral biti
enak tudi odtoku mase iz celice P v C, ki ga izračunamo z MD in označimo z . Drugi
člen v enačbi (17) torej uravnoteži MD in KH izračun masnega pritoka v C skozi hibridno
mejo. je nek karakteristični čas, ki je sorazmeren s številom izračunov KH v enem
časovnem intervalu sklopitve.
Sklopitev toka gibalne količine implicira zveznost gradienta hitrost na hibridni meji.
Ker želimo, da je tudi hitrost na meji zvezna, to dosežemo tako, da hitrost na kontinuumski
strani meje uravnotežimo z razliko povprečnih hitrosti, izračunanih po MD in KH [6].
Sklopitveni interval je načeloma različen od časa ene MD simulacije ( ) in tudi
od časa ene KH simulacije ( ) [6]. Velja torej , kjer sta in
števili MD in KH korakov v sklopitvenem intervalu. Časovni protokol sklapljanja poteka v
štirih korakih. Začetna pogoja vsakega koraka sta tok gibalne količine ( ) in hitrost ( )
na hibridni meji ob koncu prejšnjega intervala oz. ob začetku novega. Časovno propagacijo
teh dveh količin za sklopitveni interval ( ) izvedemo v naslednjih korakih:
Na MD sistemu izvedemo korakov in ga tako premaknemo iz časa v . Hkrati
vklopimo zunanjo silo na delce v vmesnem območju.
Izračunamo tok gibalne količine in masni tok ter povprečno hitrost ob novem času (t.j.
( ),
( ) in ⟨ ( )⟩) za MD del.
Na KH sistemu izvedemo korakov in ga tako premaknemo iz časa v . Pri tem
mu postavimo začetni robni pogoj toka gibalne količine na hibridni meji ( ( ) ) in
skozi H potisnemo v C maso ( ).
Izračunamo kontinuumski tok gibalne količine ob novem času, ( ), in hitrost na
kontinuumski strani hibridne meje, ki jo povprečimo v ⟨ ( )⟩.
( ) izračunamo po
enačbi (13), ( ) pa dobimo tako, da izračunano kontinuumsko hitrost uravnotežimo z
razliko ⟨ ( )⟩ ⟨
( )⟩. Časovno povprečje lahko izračunamo kar čez sklopitveni
interval.
14 SABLIĆ, Jurij. Sklopitev molekulske dinamike in kontinuumske hidrodinamike. Seminar. Ljubljana, FMF, 29. 3. 2012
Opisana sklopitev hidrodinamskega in delčnega opisa je bila že velikokrat
uporabljena. Slika 4 prikazuje hitrostni in gostotni profil, ki so ju dobili s tovrstno večskalno
simulacijo ravnovesnega Couettejevega toka vode [11]. Couettejev tok je drugo ime za
laminarni tok viskozne tekočine med dvema valjema ali dvema vzporednima ploščama, ki se
premikata ena glede na drugo [13]. Simulacijo so naredili za delce s premerom
[11]. MD domena je bila skupaj z vmesnim območjem velika , sam
MD del pa je vseboval 865 molekul vode in je bil velik .
Slika 4: Ravnovesni Couettejev tok skozi MD domeno, ujeto med dvema kontinuumskima domenama
[11]. Črna neprekinjena črta predstavlja gostotni profil čez celotno območje, rdeči kvadratki pa
ponazarjajo hitrostno porazdelitev po celotnem območju. Črtkana črta je pričakovani linearni hitrostni
profil v MD domeni.
5. ZAKLJUČEK
V seminarju smo predstavili idejno zasnovo simulacij molekulske dinamike,
kontinuumske hidrodinamike in njuno sklapljanje pri kombiniranem opisu. Kombiniran opis
uvedemo zaradi časovne ekonomičnosti, saj bi v nasprotnem primeru morali celoten
kontinuum opisati delčno. Prihranek pri tem je odvisen od tega, kolikšen del kontinuuma
opišemo delčno, njegova vrednost pa je v povrprečju reda 10. Metode kombiniranega opisa in
sklopitve so v zadnjih letih doživele velik razcvet in tudi veliko sprememb. Način, ki smo ga
predstavili je eden izmed načinov sklapljanja, ki je aktualen v tem trenutku. Verjetno pa bo
15 SABLIĆ, Jurij. Sklopitev molekulske dinamike in kontinuumske hidrodinamike. Seminar. Ljubljana, FMF, 29. 3. 2012
opisani način doživel še veliko popravkov in sprememb, dokler ne bo maksimalno optimiziran
in primeren za opis najrazličnejših realnih tokov, npr. krvi v žilah.
6. LITERATURA
[1] G. De Fabritiis, R. Delgado-Buscalioni in P. V. Coveney, Phys. Rev. Lett. 97, 134501
(2006)
[2] J. H. Walther, M. Praprotnik, E. M. Kotsalis in P. Koumoutsakos, J. Comput. Phys. 231,
2677 (2012)
[3] M. P. Allen, Comp. Soft Matter: From Synth. Polym. to Prot. 23, 1 (2004)
[4] http://isaacs.sourceforge.net/phys/pbc.html (5. 3. 2012)
[5] http://www.eng.buffalo.edu/~kofke/ce530/Lectures/Lecture25/sld005.htm (5. 3. 2012)
[6] R. Delgado-Buscalioni in G. De Fabritiis, Phys. Rev. Lett. 76, 036709 (2007)
[7] J. H. Ferziger in M. Perić, Computational Methods for Fluid Dynamics (Springer-Verlag,
Berlin, 1996)
[8] G. De Fabritiis, M. Serrano, R. Delgado-Buscalioni in P. V. Coveney, Phys. Rev. E 75,
026307 (2007)
[9] K. M. Mohamed in A. A. Mohamed, Microfluid Nanofluid 8, 283 (2010)
[10] R. Delgado-Buscalioni, K. Kremer in M. Praprotnik, J. Chem. Phys. 128, 114110 (2008)
[11] R. Delgado-Buscalioni, K. Kremer in M. Praprotnik, J. Chem. Phys. 131, 244107 (2009)
[12] C. Junghans, M. Praprotnik in K. Kremer, Soft Matter 4, 156 (2008)
[13] L. D. Landau in E. M. Lifshitz, Fluid Mechanics (Pergamon Press Ltd, Oxford, 1987)