skripta – inženjerska matematika 1 · pdf fileskripta – inženjerska matematika 1...

ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET SARAJEVO

Skripta – Inženjerska matematika 1

Odgovori na pitanja za usmeni ispit 05/06 i 06/07

Agić Haris

Odgovori na pitanja su pronađeni u predavanjima prof. Huseta Fatkića, skripti Amara i Nejre koju možete naći na http://prva.etf.ba, knjizi Analiza 1 prof. Jukić, koja se nalazi na http://prva.etf.ba

Skripta – Inženjerska matematika 1 (pitanja za usmeni 05/06 i 06/07) Strana 2


1. Pojmovi (logičkog) iskaza i predikata.

Dio matematičke logike koji proučava iskaze (izjave, logičke sudove) naziva se logika

iskaza (Booleova algebra iskaza, iskazni račun, račun izjava) i moguće ju je zasnovati

aksiomatski. Menutim, za potrebe i ciljeve ovog kursa dovoljno je to učiniti intiuitivno,

opisno (na zadovoljavajući, popularan način). U tom smislu, u logici iskaza polazimo od

jednog skupa – označimo ga sa I – čije elemente nazivamo iskazima i pretpostavljamo da

svaki iskaz ima jednu i samo jednu od osobina :

(i) istinit je (tačan je),

(ii) lažan je (netačan je , neistinit je).

Iskazi se obično označavaju malim slovima latinice : p, q, r, ... (sa ili bez indeksa).

Iskazna logika može imati razne interpretacije (realizacije). Jedna od njih je da iskaze

interpretiramo kao smislene rečenice nekog govornog jezika (npr. engleskog jezika) koje

mogu biti samo istinite ili samo lažne. U matematici se istinit iskaz naziva stav (tvrdnja,

teorema).

Iz pojedinih iskaza (tj. od elemenata skupa I ) tvorimo nove složene iskaze

povezujući polazne iskaze veznicima, odnosno negirajući ih.

Za iskaznu formulu F (složeni iskaz) kažemo da je

tautologija (identički istinita) akko je F =T za sve vrijednosti svih njenih iskaznih slova

(iskaza).

Predikat je odnos između promjenljivih veličina, kojeg izriče iskazna funkcija. Opštije, predikat može biti i n – dimenzionalni

(predikat dužine n) za n No, No = { 0, 1, 2, ... } pri čemu se pod predikatima dužine 0

smatraju prosti iskazi (tj. elementi skupa I).

2. Pojmovi binarne relacije i preslikavanja (funkcije).

Definicija 1.2.3. Svaki podskup R Dekartovog proizvoda AxB zove se binarna relacija

iz A u B (ili relacija od A prema B, ili binarna relacija izmenu elemenata skupa A i elemenata

skupa B). Pritom A je polazni skup (ili skup polaženja) binarne relacije R, a B je dolazni

skup (ili skup dolaženja) binarne relacije R. Za element a A kaže se da je u relaciji R sa

b B i pišemo R(a, b), ili aRb (čita se: a je u relaciji R sa b) akko je (a, b) R. Umjesto

simbola R, često se koristi i oznaka .)

Općenito, ako su A1, A2, ... , An skupovi, onda svaki podskup R od A1x A2x ... x An

zovemo n-arnom relacijom menu elementima tih skupova. Ako je A1 = A2 = ... = An = A, onda

govorimo o n-arnoj relaciji na A (ili relaciji dužine n u A).

Osobito važan slučaj binarne relacije iz A u A je onaj kada je A : = R. Pri grafičkom

predstavljanju bilo koje binarne relacije R R x R važno je znati da je skup R x R (tzv.

Dekartova ravan) moguće poistovjetiti sa skupom svih tačaka u ravni u kojoj je uveden

Dekartov koordinatni sistem.


Definicija 1.2.4. Za binarnu relaciju AxA kažemo da je:

(I) refleksivna akko (a A) a a (ekvivalentno: A );

(II) antirefleksivna akko (a A) a non a (ekvivalentno: A = );

(III) simetrična akko (x y y x) (ekvivalentno: = -1);

(IV) antisimetrična akko (x y y x)⇒ x = y (ekvivalentno: -1= A);

(V) tranzitivna akko (x y y z⇒ x z) (ekvivalentno: o );

(VI) jednoznačna akko presjek (lijevi presjek) relacije (lijevi presjek binarne relacije

AxB elementom a A definira se sa (a):={b B|(a,b) }) bilo kojim

elementom a A je ili prazan skup, ili jednočlan skup;

(VII) relacija ekvivalencije (relacija klasifikacije, ekvivalentnost) akko (I) (III) (V);

(VIII) relacija pretporetka (praporetka, kvaziporetka) akko zadovoljava (I) (V);

(IX) relacija parcijalnog poretka*) (relacija parcijalnog urenaja) akko (I) (IV) (V);

(X) relacija totalnog ili linearnog, ili savršenog poretka, ili totalnog urenaja akko

(I) (IV) (V) (d), gdje je (d) uslov dihotomije, tj.

(d) (x,y A) (x y) (y x).

Relacije parcijalnog poretka i relacije totalnog poretka zovu se relacije poretka.

Općenito, pod punom binarnom relacijom iz A u B podrazumijeva binarna relacija : =AxB

(relacija A je

prazna ili pusta binarna relacija).

Ako je tranzitivna i antisimetrična relacija na skupu X, onda se zove relacija

(parcijalnog poretka) na skupu X, a za X se kaže da je tom relacijom (parcijalno) urenen.

Ako je relacija poretka (relacija totalnog poretka, odnosno relacija parcijalnog poretka)

na X, onda joj možemo pridružiti relaciju strogog poretka (strogog totanog poretka, odnosno

strogog parcijalnog poretka, respektivno) na skupu X koja se obično označava sa < (ili p ) i definira ovako:

x < y. def (x y) (x y).

Definicija P.3. Neka su X i Y dva skupa. Preslikavanje (ili funkcija) skupa X u

skup Y je urenena trojka (X, Y, f ), koja se sastoji od skupa X, kojeg zovemo domen, skupa Y,

kojeg zovemo kodomen, te nekog pravila f, pomoću kojeg svakom elementu x X

pridružujemo neki, potpuno odreneni, element y Y (koji ovisi o x). Uobičajena oznaka za

preslikavanje je f: X Y ili kraće f. O elementima x X često se govori kao o nezavisno

promjenljivoj (nezavisnoj varijabli) ili argumentu preslikavanja (funkcije), a o elementu y Y govori se kao o zavisnoj promjenljivoj (zavisnoj varijabli) preslikavanja (funkcije) f.

Graf (grafik, dijagram) preslikavanja (X, Y, f ) je skup F: ={(x, f(x)): x X}( X Y).

Slika skupa A X pri preslikavanju f: X Y je skup f(A) : = {y Y: x A

y = f(x)} Y, ili kraće f(A) : = {f(x): x A} Y.

Skup (svih) vrijednosti funkcije f: X Y je skup R(f) : = {f(x): x X}, tj.

R(f) = f(X). Skup R(f) često se označava i sa Im (f) i zove se slika preslikavanja (slika

funkcije) f.


3. Pojmovi konačnog, prebrojivog, diskretnog i neprebrojivog skupa.

Za skup A kažemo da je konačan akko A = ( n N ) A {1, 2,..., n . Ako je

A = , onda kažemo da je kardinalni broj skupa A jednak 0. Ako je A {1, 2,..., n , onda

kažemo da je kardinalni broj skupa A jednak n i pišemo | A | = n. Za skup A kažemo da je

beskonačan akko A nije konačan skup.

Za skup A kažemo da je prebrojiv (izbrojiv) akko je A ekvipotentan s nekim

podskupom skupa N. Ako skup nije prebrojiv, kažemo da je neprebrojiv.

4. Složena funkcija i inverzna funkcija.


5. Skup (i polje) realnih brojeva R i algebarske operacije s realnim brojevima.

Aksioma (R 15) je najvažnija za uvođenje osnovnih pojmova analize i ona se naziva aksiomom

potpunosti ili aksiomom neprekidnosti.


6. Okolina tačke u R i u R , tačke gomilanja skupa A ( R), ograničeni i neograničeni

intervali. Apsolutna vrijednost realnog broja i trougaona nejednakost.


7. Metod indukcije i Newtonova binomna formula.


8. Polje kompleksnih brojeva C. Algebarski oblik, realni i imaginarni dio kompleksnog broja, konjugirano kompleksni brojevi i njihova svojstva.

Na osnovu (1.4.1), (1.4.2) i aksioma za sabiranje i množenje u skupu R, lako se

provjeri da je (C, +, ) polje. Kompleksne brojeve (x, 0) zovemo realnim brojevima. Sve ostale kompleksne brojeve, tj.

elemente (x, y) C \ R, zovemo imaginarnim brojevima.

Kompleksne brojeve kod kojih je prva komponenta jednaka 0, tj. elemente (0, y) C

(y 0) zovemo čisto imaginarnim brojevima. Specijalno, element (0, 1) C zovemo, po

tradiciji, imaginarna jedinica i označavamo sa i (ili j ), tj. po definiciji je (0, 1) = i.

(x, y) = x + iy, predstavlja algebarski oblik (tzv. standardni oblik) kompleksnog broja. Dakle,

kompleksne brojeve u algebarskom obliku prikazujemo kao linearnu kombinaciju realne

jedinice “1” i imaginarne jedinice “i”, odnosno z = x 1 + y i = x + iy.

Kod kompleksnog broja z = (x, y) = x + iy broj x zove se realni dio, a y imaginarni

dio (komponenta) kompleksnog broja z i piše se

x = Re (z) (ili Re z), y = Im(z) (ili Im z).


9. Modul kompleksnog broja i trougaona nejednakost. Argument, trigonometrijski I eksponencijalni oblik kompleksnog broja.


10. Moivreova teorema o proizvodu, količniku i stepenovanju kompleksnih

brojeva. Korjenovanje kompleksnih brojeva.

11. Pojmovi (konačnog i beskonačnog) niza,harmonijskog, aritmetičkog i geometrijskog niza.


12. Pojam i osnovna svojstva granične vrijednosti niza. Tačke gomilanja niza.


13. Bolzano-Weierstrassova teorema za skupove i nizove. Monotoni nizovi i broj e.


14. Pojmovi (beskonačnog) reda (u R i u opštem normiranom vektorskom

prostoru), njegove konvergencije i divergencije.


15. Potreban uslov za konvergenciju reda. Geometrijski, harmonijski i opšti harmonijski

(hiperharmonijski) red.


16. Redovi s nenegativnim članovima (pozitivni redovi). Osnovni kriteriji za ispitivanje

konvergencije pozitivnih redova.


17. Redovi sa članovima s promjenljivim znakom. Leibnizov kriterij i apsolutna konvergencija

Ako red ima beskonačno mnogo pozitivnih i beskonačno mnogo negativnih članova, onda ne

možemo (bar neposredno) primijeniti kriterije za konvergenciju pozitivnih redova, te nam trebaju

novi kriteriji za ispitivanje konvergencije takvih redova.


18. Redovi s kompleksnim članovima.


19. Opšti pojmovi o realnoj funkciji jedne realne promjenljive (definicija pojma realne funkcije jedne realne promjenljive, (prirodni) domen, grafik, zadavanje i opšta svojstva).

No, u matematičkoj analizi se realna funkcija najčešće zadaje nekom formulom ili, kako se to

drugačije kaže,

analitičkim izrazom.


20. Osnovne elementarne funkcije.

Osnovne elementarne funkcije realne promjenljive su (konstante i identička funkcija i)

eksponencijalne i logaritamske funkcije, stepene funkcije, trigonometrijske i inverzne

trigonometrijske funkcije. U narednom poglavlju ćemo vidjeti da se sve tzv. elementarne

funkcije mogu izraziti samo pomoću eksponencijalne i kogaritamske funkcije, koje su, prema tome, osnovne funkcije u matematici.

A = {a na r | r pripada Q, r < x}

B = {a na r | r pripada Q, r > x}


21. Pojam i osnovna svojstva granične vrijednosti (limesa) realne funkcije jedne realne

promjenljive.


22. Egzistencija limesa za monotone funkcije. Poznati limesi. Tehnike računanja limesa.


23. Primjena asimptotskih razvoja za izračunavanje limesa.


24. Asimptote: horizontalna, vertikalna i kosa.

25. Pojmovi neprekidnosti, tačaka prekida i singulariteta realne funkcije jedne realne promjenljive.

U skladu sa definicijom 4.1.1. tačka u kojoj neka funkcija nije definirana ne može biti njena

tačka prekida (čak i ako je tačka gomilanja njenog domena).

Svaku tačku gomilanja x0 domena D funkcije f : D K (D, K R)

ćemo zvati singularna tačka ili singularitet funkcije f ako x0 D .


Singularne tačke realne funkcije f definirane na skupu D ( R) klasificiraju se analogno kao i prekidi u smislu definicije 4.1.3.

26. Lokalna i globalna svojstva neprekidnih funkcija.


Pravilo o neprekidnosti složene funkcije: Kompozicija dviju neprekidnih funkcija također je neprekidna funkcija.

27. Elementarne funkcije i njihova neprekidnost.


28. Pojam kompleksne funkcije. Osnovne elementarne kompleksne funkcije.

29. Pojmovi izvoda (derivacije) i njegova geometrijska i fizikalna interpretacija. Jednostrani I beskonačni izvodi.


30. Pojmovi diferencijabilnosti i diferencijala realne funkcije jedne realne

promjenljive. Svojstva diferencijabilnih funkcija.

31. Pravila deriviranja (diferenciranja), tehnika diferenciranja.


32. Izvodi i diferencijali višeg reda.

33. Osnovne teoreme diferencijalnog računa.


34. L' Hospitalovo pravilo i Taylorova formula.

35. Primjena izvoda na ispitivanje (toka i crtanje grafika) funkcija.


36. Pojmovi primitivne funkcije i neodređenog integrala.

37. Osnovna svojstva i osnovne metode izračunavanja neodređenog integrala.


38. Pojmovi određenog (Riemannovog) integrala i integrabilnosti realnih funkcija jedne realne promjenljive.

39. Klase integrabilnih funkcija. Osnovna svojstva određenog integrala. (odgovor iz knjige Matematicka analiza 1 – Jukic, skinuta sa prva.etf.ba)


40. Teorema o srednjoj vrijednosti određenog integrala. Fundamentalne teoreme integralnog računa.


41. Metoda smjene (supstitucije) promjenljive i metoda parcijalne integracije za izračunavanje određenog integrala.


42. Pojmovi nesvojstvenih integrala prve i druge vrste i njihove glavne vrijednosti.


43. Osnovni kriterijumi za konvergenciju nesvojstvenih integrala. Apsolutna konvergencija.


44. Definicije pojmova površine lika u ravni, dužine luka krive, površine obrtne

površi i zapremine obrtnog tijela i obrasci za izračunavanje vrijednosti tih veličina.

45. Pojmovi obične, apsolutne i uniformne konvergencije niza i reda funkcija. Cauchyjev I Weierstrassov kriterij uniformne konvergencije. Svojstva uniformno konvergentnih funkcionalnih nizova i redova.


46. Pojam stepenog (potencijalnog) reda. Abelov stav (kriterij konvergencije), radijus i interval konvergencije za stepene redove.


47. Abelova teorema i osnovna svojstva stepenog reda.

48. Taylorov red.


49. Stepeni redovi s kompleksnim članovima.

skripta – inženjerska matematika 1 · pdf fileskripta – inženjerska matematika 1...

Documents