skripta iz digitalne tehnike[digitalni sustavi i strukture] (fesb)

Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje

Digitalni sustavi i strukture Teorija

Raunarstvo 750/3 2005./2006.

Izradili:

Aneli Ines Beara Marina Matijevi Marko Sommer Andrija Tomai Berislav Zari Tanja Zrno Josipa

Split, veljaa 2006.

2

Sadraj SADRAJ .............................................................................................................................................................. 2 I. TREINA GRADIVA....................................................................................................................................... 5

1. PRIKAZ INFORMACIJA U DIGITALNIM SUSTAVIMA.......................................................................... 5 1.1. Analogni i digitalni sustavi..................................................................................................................... 5 1.2. Informacijski volumen i digitalni sustav................................................................................................. 5 1.3. Kodovi i kodiranje .................................................................................................................................. 6

2. BROJEVNI SUSTAVI ................................................................................................................................... 6 2.1. Poliadski brojevni sustavi....................................................................................................................... 6 2.2. Izbor brojevnog sustava za digitalne sustave ......................................................................................... 7 2.3. Prikaz brojeva binarnim kodovima ........................................................................................................ 8 2.4. Primjene binarnih kodova ...................................................................................................................... 8

3. ARITMETIKA PO MODULU ....................................................................................................................... 9 3.1. Definicija sume po modulu kao grupe .................................................................................................... 9 3.2. Neutralni element i inverz za sumu po modulu....................................................................................... 9 3.3. Binarni brojevni sustav i suma po modulu ........................................................................................... 10 3.4. Primjena drugog komplementa............................................................................................................. 11

4. NORMALNI ALGEBARSKI OBLICI......................................................................................................... 12 4.1. Koncept elementarnih logikih sklopova.............................................................................................. 12 4.2. Klasifikacija digitalnih tehnologija ...................................................................................................... 13 4.3. Diodna i diodnotranzistorska logika .................................................................................................. 13 4.4. Tranzistorskitranzistorska logika ....................................................................................................... 14 4.5. Komplementarna MOS tehnologija ...................................................................................................... 15 4.6. Primjena elementarnih logikih sklopova ............................................................................................ 15

5. BOOLEOVA ALGEBRA ............................................................................................................................ 16 5.1. Booleova algebra i algebra logike ....................................................................................................... 16 5.2. Postulati algebre logike........................................................................................................................ 16 5.3. Teoremi algebre logike s jednom varijablom ....................................................................................... 18 5.4. Teoremi algebre logike s dvije varijable .............................................................................................. 18

6. BOOLEOVE FUNKCIJE............................................................................................................................. 19 6.1. Booleova funkcija kao preslikavanje .................................................................................................... 19 6.2. Osnovno zapisivanje i vrste Booleovih funkcija ................................................................................... 19 6.3. Grafiki zapis Booleovih funkcija......................................................................................................... 20 6.4. Ostali naini zapisa Booleove funkcije................................................................................................. 21

7. NORMALNI ALGEBARSKI OBLICI......................................................................................................... 22 7.1. Algebarski zapis potpunim normalnim oblicima .................................................................................. 22 7.2. Svojstva negirane funkcije .................................................................................................................... 22 7.3. Minimalni normalni oblici.................................................................................................................... 23 7.4. Razbijanje PDNO na preostale funkcije............................................................................................... 23

8. POTPUNI SKUPOVI FUNKCIJA ............................................................................................................... 24 8.1. Elementarne funkcije ............................................................................................................................ 24 8.2. Potpuni skup funkcija ........................................................................................................................... 25 8.3. Dokazati potpunost za (I, NE) i (NI)..................................................................................................... 26 8.4. Dokazati potpunost za(ILI, NE) i (NILI)............................................................................................... 26

9. MINIMIZACIJA NORMALNIH OBLIKA ................................................................................................. 27 9.1. Kriteriji minimizacije............................................................................................................................ 27 9.2. Osnovni algebarski postupak minimizacije normalnih oblika .............................................................. 27 9.3. Pomoni algebarski postupci (proirenja) ........................................................................................... 28 9.4. Postupak minimizacije PKNO .............................................................................................................. 29

10. POSTUPCI MINIMIZACIJE I REALIZACIJE NI I NILI VRATIMA ...................................................... 30 10.1. Postupak minimizacije Veitchevim dijagramom................................................................................. 30 10.2. QuinnMcClusky postupak minimizacije............................................................................................ 31 10.3. Harvardski postupak minimizacije ..................................................................................................... 32 10.4. Minimizacija i realizacija NI vratima................................................................................................. 32 10.5. Minimizacija i realizacija NILI vratima ............................................................................................. 33 10.6. Sinteza sklopova za zbrajanje............................................................................................................. 33

3

II. TREINA GRADIVA ................................................................................................................................... 35 11. KOMBINACIJSKI SKLOPOVI SREDNJEG STUPNJA INTEGRACIJE ................................................ 35

11.1. Selektor/multiplekser .......................................................................................................................... 35 11.2. Dekoder/demultiplekser...................................................................................................................... 36 11.3. Enkoder s prioritetom......................................................................................................................... 37

12. REALIZACIJA BF MULTIPLEKSEROM................................................................................................ 37 12.1. Pristup realizaciji Booleove funkcije multiplekserom ........................................................................ 37 12.2. Realizacija BF multiplekserom za n=m.............................................................................................. 38 12.3. Realizacija BF multiplekserom za n>m.............................................................................................. 38 12.4. Minimizacija multiplekserskog stabla ................................................................................................ 39

13. REALIZACIJA BF DEMULTIPLEKSEROM........................................................................................... 40 13.1. Pristup realizaciji Boolove funkcije demultiplekserom ...................................................................... 40 13.2. Realizacija BF demultiplekserom za n=m......................................................................................... 40 13.3. Realizacija BF demultiplekserom za n>m......................................................................................... 41 13.4. Minimizacija demultiplekserskog stabla............................................................................................. 42

14. MULTIPLEKSERSKODEMULTIPLEKSERSKA (MD) STRUKTURA............................................... 42 14.1. Multiplekserskodemultiplekserska struktura .................................................................................... 42 14.2. Optimalna veliina MD strukture....................................................................................................... 43 14.3. Memorije sa samom oitanjem ........................................................................................................... 43

15. PROGRAMABILNE LOGICKE STRUKTURE ....................................................................................... 44 15.1. Definicija programibilne logike strukture ........................................................................................ 44 15.2. FPLA (Field Programmable Logic Array) ......................................................................................... 44 15.3. GAL (Generic Array Logic)................................................................................................................ 45 15.4. CPLD (Complex Programmable Logic Device) ................................................................................. 45

16. SEKVENCIJALNI SKLOPOVI................................................................................................................. 46 16.1. Kombinacijski sklopovi....................................................................................................................... 46 16.2. Sekvencijalni sklopovi......................................................................................................................... 46 16.3. Kanjenje i pamenje.......................................................................................................................... 46

17. RAD SKLOPA U DISKRETNOM VREMENU ........................................................................................ 47 17.1. Diskretno vrijeme ............................................................................................................................... 47 17.2. Rad sklopa u diskretnom vremenu...................................................................................................... 47 17.3. Sinkroni sklopovi ................................................................................................................................ 48

18. BISTABIL KAO SKLOP ........................................................................................................................... 48 18.1. Osnovni sklop za pamenje elementarni RS bistabil ....................................................................... 48 18.2. Sinkronizacija bistabila s diskretnim vremenom ................................................................................ 49 18.3. Bistabil kao funkcionalni blok ............................................................................................................ 49 18.4. Standardni bistabili ............................................................................................................................ 50

19. SINTEZA OPIH BISTABILA ................................................................................................................. 51 19.1. Model realizacije opih bistabila ....................................................................................................... 51 19.2. Metoda rekonstrukcije ........................................................................................................................ 52 19.3. Metoda izjednaavanja....................................................................................................................... 52 19.4. Metoda za D bistabil........................................................................................................................... 53

20. SLOENI SKLOPOVI S BISTABILIMA.................................................................................................. 53 20.1. Registar .............................................................................................................................................. 53 20.2. Pomani registar ................................................................................................................................ 53 20.3. Brojilo................................................................................................................................................. 54

4

III. TREINA GRADIVA.................................................................................................................................. 55 21. DIGITALNI AUTOMAT........................................................................................................................... 55

21.1. Sustav s upravljanjem......................................................................................................................... 55 21.2. Svojstva automata 1. dio..................................................................................................................... 55 21.3. Svojstva automata 2. dio..................................................................................................................... 55

22. APSTRAKTNI MODEL DIGITALNOG AUTOMATA ........................................................................... 56 22.1. Automat 1. dio .................................................................................................................................... 56 22.2. Automat 2. dio .................................................................................................................................... 56 22.3. Sinteza automata................................................................................................................................. 57

23. ZADAVANJE AUTOMATA..................................................................................................................... 58 23.1. Pristupi zadavanju automata.............................................................................................................. 58 23.2. Vrste ulazne sekvence ......................................................................................................................... 58 23.3. Postupak zadavanja korak po korak................................................................................................... 59 23.4. Primjena postupka korak po korak..................................................................................................... 59

24. EKVIVALENTNOST AUTOMATA......................................................................................................... 60 24.1. Odnosi jednakosti medu automatima.................................................................................................. 60 24.2. Definicija ekvivalentnosti automata ................................................................................................... 60 24.3. Definicija ekvivalentnosti stanja......................................................................................................... 60 24.4. Nuan i dovoljan uvjet ........................................................................................................................ 61 24.5. Minimizacija primitivne tablice.......................................................................................................... 61

25. NAPREDNI POSTUPCI MINIMIZACIJE AUTOMATA......................................................................... 61 25.1. HM algoritam ..................................................................................................................................... 61 25.2. PU algoritam ...................................................................................................................................... 62

26. STRUKTURNA SINTEZA AUTOMATA ................................................................................................ 63 26.1. Model realizacije automata ................................................................................................................ 63 26.2. Kodiranje automata............................................................................................................................ 63 26.3. Tablica automata s kodovima............................................................................................................. 64 26.4. Sinteza konkretnog automata.............................................................................................................. 65

27. AUTOMATI I ALGORITMI...................................................................................................................... 65 27.1. Programabilni automat ...................................................................................................................... 65 27.2. Algoritam............................................................................................................................................ 66 27.3. Turingov stroj ..................................................................................................................................... 66

28. AUTOMATI I JEZICI ................................................................................................................................ 67 28.1. Znaaj analize jezika .......................................................................................................................... 67 28.2. Kompleksnost algoritama ................................................................................................................... 67 28.3. Izraunljivost ...................................................................................................................................... 68 28.4. Taksonomija automata i jezika ........................................................................................................... 69

29. ALGEBRA DOGAAJA........................................................................................................................... 70 29.1. Elementarni i sloeni dogaaji ........................................................................................................... 70 29.2. Operatori algebre dogaaja ............................................................................................................... 70

30. ZADAVANJE AUTOMATA REGULARNIM IZRAZOM....................................................................... 71 30.1. Zadavanje automata s pomou RI ...................................................................................................... 71 30.2. Indeksiranje RI ................................................................................................................................... 72 30.3. Dobivanje strukture automata iz RI.................................................................................................... 73

I. DIO - DIGITALNI SUSTAVI I STRUKTURE

5

I. TREINA GRADIVA 1. PRIKAZ INFORMACIJA U DIGITALNIM SUSTAVIMA 1.1. Analogni i digitalni sustavi

injenica, informacija, elektrini signal, modulacija definicija analognog sustava definicija digitalnog sustava

INJENICA neka pojava postoji bez obzira da li je osjeamo. INFORMACIJA je saznanje ovjeka o biti neke stvari, dogaaja ili postupka. ELEKTRINI SIGNAL prijenos informacija elektrinom energijom. MODULACIJA Postupak mijenjanja neke od fizikalnih veliina elektrinog signala(napon, struja, frekvencija, faza, valni oblik) u skladu s promjenom informacije. Postupke modulacije dijelimo na digitalne i analogne. Kod ANALOGNIH sustava informaciji se pridruuje neka veliina elektrinog signala prema izabranoj funkciji. To znai da e sva informacija biti sadrana u npr. naponu elektrinog signala. Kod DIGITALNIH sustava informacija se najprije predstavi brojem, a onda taj broj elektrinim signalom. Za svaku znamenku broja koristi se po jedan elektrini signal. 1.2. Informacijski volumen i digitalni sustav

sustav s niskim propustom, broj razina, kapacitet digitalni i analogni sustav paralelni i serijski prijenos

SUSTAV S NISKIM PROPUSTOM

Kod sustava s niskim propustom irina pojasa B = fgfd = fg0 = fg u jednom periodu signala fg prenesemo dva signalna elementa. Odatle 2B signalnih elemenata u sekundi.

Broj razina R = U/u. Raspon signala ogranien dogovorom, a minimalni signal je ogranien smetnjama.

dogovor: D = log2(R) = ld(R) bita/sign. elementu KAPACITET SUSTAVA izraava brzinu obrade, brzinu prijenosa, brzinu pristupa podacima, Kapacitet C = 2BD [se/sek bit/se = bit/sek] Kod ANALOGNIH sustava informaciji se pridruuje neka veliina elektrinog signala prema izabranoj funkciji. To znai da e sva informacija biti sadrana u npr. naponu elektrinog signala. Kod DIGITALNIH sustava informacija se najprije predstavi brojem, a onda taj broj elektrinim signalom. Za svaku znamenku broja koristi se po jedan elektrini signal. Digitalni sustavi imaju niz prednosti i sve vie u primjeni zamjenjuju analogne sustave. Meutim, analogna tehnologija zadrava svoju ulogu u podruju povezivanja digitalnih sustava s okolinom, koja je uglavnom analogna. Serijski i paralelni prijenos: Paralelni prijenos je prijenos informacije pomou vie kanala, dok je serijski prijenos, prijenos informacija pomou jednog kanala. Istu koliinu podataka moemo prenijeti serijski 1 kanalom k puta veom brzinom od paralelno: k kanala jedininom brzinom.


6

1.3. Kodovi i kodiranje definicija, jednoznanost, razluivost, kodiranje, dekodiranje podjela kodova, kodna rije analogni i digitalni sustavi u odnosu na kodove

Kod je dogovoreno uspostavljen sustav simbola kojima oznaavamo pojmove(informacije) iz nekog skupa pojmova. Kodiranje ima dva znaenja: postupak konstrukcije nekog koda, primjena nekog koda kroz zamjenu pojma simbolom. Jednoznanost jednom pojmu najmanje jedan simbol Razluivost treba dovoljan broj simbola Dekodiranje postupak izdvajanja polazne informacije iz simbola. Podjela kodova: posredni i neposredni. Neposrednih kodovi za svaki se pojam bira zasebni simbol. Posredni kodovi pojmu se najprije dodijeli kodna rije ili kompleksija, a onda se kodna rije prikae pomou konanog skupa simbola koje zovemo slovima. Kodna rije ili kompleksija: kodnu rije formiramo iz skupa elementarnih simbola, kompleksija: cjelina sastavljena od vie dijelova Analogni i digitalni sustavi u odnosu na kodove: analogni sustavi su sustavi neposrednog kodiranja. Kod njih vrijednost analognog signala ima znaenje simbola. Digitalni sustavi su sustavi posrednog kodiranja. Kod njih vrijednost digitalnog signala ima znaenje slova, a skup vrijednosti vie signala znaenje kodne rijei. 2. BROJEVNI SUSTAVI 2.1. Poliadski brojevni sustavi

definicija poliadskog brojevnog sustava, svojstva zapis realnih brojeva odnos i pretvorba binarnog i heksadecimalnog analogni i digitalni sustavi prema brojevnom sustavu

Poliadski brojevni sustav: broj zapisujemo kompleksijom od n elemenata ak, pomnoenih s

potencijom baze s: =

++++==

1

001

22

11 ...

n

k

nn

nn

kk asasasasaa

Svojstva: Znamenke ak se samo napiu jedna iza druge, tako da je krajnja desna znamenka a0. Svaka pozicija znamenke na lijevo od a0 podrazumijeva mnoenje s potencijom baze s. Svaka pozicija ima svoju teinu, te je kod teinski. Realni brojevi se zapisuju koritenjem zareza ili toke, kojima se oznaava pozicija znamenke a0, iza koje se moe dopisati potreban broj znamenki:

=

++++++++==

12

21

1012

21

1 ......dn

dk

dd

dndn

dndn

kk sasasaasasasasaa

Odnos binarnog i heksadecimalnog: s16=(s2)4 znai da se svaka znamenka heksadecimalnog broja moe bez ostatka prikazati s etiri znamenke binarnog broja.

Pretvorba: D

11011

0001 1D16=2910


7

Analogni i digitalni sustavi prema brojevnom sustavu Analogni sustavi su sustavi neposrednog kodiranja gdje se za svaki pojam bira zasebni simbol. Dakle, poveanjem baze brojevnog sustava se sve vei skup brojeva moe izraziti jednom znamenkom. Za dovoljno veliki s, bit e dovoljna jedna znamenka, a to nije nita drugo nego analogni sustav s jednim elektrinim signalom. Digitalni sustavi su sustavi posrednog kodiranja. Kod njih vrijednost digitalnog signala ima znaenje slova, a skup vrijednosti vie signala znaenje kode rijei. Kodnom rijei predstavljamo informaciju. 2.2. Izbor brojevnog sustava za digitalne sustave

elektrini signal i doputena pogrjeka pozitivna i negativna logika rad tranzistora kao sklopke kodne rijeci binarnog sustava

Elektrini signal prijenos informacija elektrinom energijom. Doputena pogrjeka: elektrinom signalu podijelimo itavo podruje vrijednosti napona koje moe poprimiti na s jednakih pojasa tako da je za svaku vrijednost napona vjerojatnost djelovanja smetnje jednaka. Razliiti poremeaji utjeu tako da signal koji je izvorno poslan unutar jednog pojasa prebace u neki od susjednih pojasa. Zbog toga nastojimo napon signala zadrati sredini pojasa. Na taj nain je doputeni poremeaj najvei.

Pozitivna logika je kada niom naponskom razinom prikazujemo logiku 0, a viom naponskom razinom logiku 1. Negativna logika je kada niom naponskom razinom prikazujemo logiku 1, a viom naponskom razinom logiku 0.

Ako je struja baze zanemariva kaemo da je tranzistor zakoen, pa e izlaz biti spojen na izvor. Dakle, na izlazu sklopa e biti logika 1. Ako je struja baze dovoljno velika s obzirom na kaemo da je tranzistor u zasienju, pa e izlaz biti spojen preko tranzistora na uzemljenje. Dakle, na izlazu sklopa e biti logika 0.

Kodne rijei binarnog sustava: u binarnom brojevnom sustavu ukupni broj moguih kodnih rijei je N=2n, a najvei broj koji se moe zapisati pomou n znamenki je amax=2n1.


8

2.3. Prikaz brojeva binarnim kodovima prirodni binarni kod pretvorbe binarnog u dekadski i obrnuto BCD kodovi

Prirodni binarni kod: kodne rijei binarnih brojeva koristimo za kodiranje 0. Dakle, svaka kodna rije predstavlja broj napisan u binarnom poliadskom brojevnom sustavu. Pretvorba: Pretvorba dekadskog u binarni br. sustav se vri algoritmom sukcesivnog

dijeljenja. Pretvorba binarnog u dekadski br. sustav se vri: =

=1

010 2

n

k

kkaa ili algoritmom

sukcesivnog mnoenja. Binarno kodirani dekadski brojevi (BCD) svaka znamenka dekadskog broja zasebno je kodirana binarnom kodnom rijei. Za prikaz jedne dekadske znamenke potrebna je kodna rije duljine 4 bita. BCD kodovi mogu biti komplementarni, teinski ili oboje. 8421BCD kod je teinski, a 2421BCD kod je komplementarnoteinski. 2.4. Primjene binarnih kodova

kodna udaljenost, kodovi za otkrivanje i ispravljanje pogrjeki osnovne aritmetike operacije nad binarnim brojevima

Kodna udaljenost ili distanca je broj bita u kojima se razlikuju dvije kodne rijei istih varijabli i iste duljine. Kodovi za otkrivanje pogreki: POGREKA: prevodi 10, 01. Novo nastala kodna rije razlikuje se u onoliko bita, koliko

ih je promijenjeno djelovanjem smetnje. Pogreku je mogue otkriti, ako smetnja prevodi koritenu (ispravnu) kodnu rije u neku neiskoritenu (neispravnu). Viestruke pogrjeke su manje vjerojatne. Kod konstruiramo tako da izmeu bilo koje dvije ispravne kodne rijei distanca bude najmanje d. Tada moemo otkriti d1 struku

pogreku ispraviti (d/2) struku pogreku. Aritmetike operacije nad binarnim brojevima: zbrajanje (obavlja se po znamenku vodei rauna o preteku), mnoenje (takoer se obavlja kao kod dekadskih brojeva), zbrajanje po modulu, inverz, oduzimanje po modulu, pomak u lijevo i pomaku desno.


9

3. ARITMETIKA PO MODULU 3.1. Definicija sume po modulu kao grupe

motivacija definicija grupe "suma po modulu" svojstva (postulati)

Motivacija: Sklopovi za zbrajanje u nekim sluajevima ne mogu prikazati rezultat s istim brojem bita kojim raspolau pribrojnici zbog konanosti stvarnih sklopova. Definicija grupe "suma po modulu": grupa koja se sastoji od skupa F i operacije :

{ }0, 2,..., 1 ; 2;F m m m= ;

+==m

bazcba Re

gdje je m modul, a operacija zbrajanje po modulu m, definirana kao ostatak (Rez) cjelobrojnog dijeljenja zbroja a+b s modulom m. Svojstva:

zatvorenost: a, b F a b = c : c F asocijativnost: a, b, c F a b c = (a b) c = a (b c) komutativnost: a, b F a b = b a neutralni element: a F e F: a e = e a = a inverz: a F a F: a a = a a = e

3.2. Neutralni element i inverz za sumu po modulu

definirati neutralni element, pokazati problem neodreenosti izraunati neutralni element definirati i izraunati inverz

Neutralni element: a F e F: a e = e a = a Problem neodreenosti: Iz obinog zbroja jednoznano dobijemo ostatak, ali iz ostatka ne moemo znati koliki je bio obini zbroj, pa trebamo uvrstiti faktore nesigurnosti k' i k'': a + e + km = a + km e =(k k)m e = km Faktore nesigurnosti k' i k'' moemo zamijeniti jednim faktorom k=k'k', kojeg biramo kako bi e zadovoljio svojstvo zatvorenosti. k = 0 e = 0 F Izraun neutralnog elementa: 0RezRez ==+

=

+= eaea

ma

meaaea

Inverz : a F a F: a a = a a = e Inverz ili dvojni komplement ili drugi komplement ili komplement po modulu dva, jednak je obinom komplementu uveanom za jedan: ' 1a a= + Izraun inverza: ' 0 ' 'a a a a k m a km a = + = = Imamo dva sluaja: 0 0 ' 0

0 1 'a k aa k a m a

= = => = =

Pa moemo pisati: 0; 0

'; 0

aa

m a a= = >


10

3.3. Binarni brojevni sustav i suma po modulu pokazati posljedice konanosti sklopa izraunati inverz za binarni sustav definirati prvi i drugi komplement

Konani sklop za obino zbrajanje:

1001 9 1100 12

1 0101 5

+

mod 16215 21 516

rez = = = jer je ogranien na 4 bita: s=2; n=4; amax=2n1=15; N=2n=16 Sklop se ponaa kao da imamo sumu po modulu:

{ } { } { }0,..., 1 0,..., 2 1 0,...,n maxF m a= = = Povezali smo binarni brojevni sustav i sumu po modulu! Izracun inverza za binarni sustav: a'=ma m=2n amax=2n1 2n=m=amax + 1 a'= amax + 1 a = amax a + 1

1

0' 2 1

nk

kk

a a

== + 0; ' 0 ' 10; ' 1

a aa a

a a a

= = = = > = +

Prvi komplement ili obini komplement broja a: ( )1 10 0

1n n

k kk k

k ka s a s a s

= == =

Inverz ili dvojni komplement ili drugi komplement ili komplement po modulu dva, jednak je obinom komplementu uveanom za jedan: 1' += aa


11

3.4. Primjena drugog komplementa prikazati oduzimanje po modulu komentirati kodiranje pozitivnih cijelih brojeva zbrajanje i oduzimanje pozitivnih cijelih brojeva komentirati kodiranje pozitivnih i negativnih brojeva zbrajanje i oduzimanje pozitivnih i negativnih brojeva

Oduzimanje po modulu: 1 'Rez Rez Rez Rez '

ka b a b km a m b a ba b a bm m m m

= + + + = = = = = odnosno, oduzimanje jednostavno ostvarimo pribrajanjem inverza.

Brojeve grafiki prikazujemo na brojevnom pravcu, koji se prostire u beskonanost. Zbog konanosti sklopova i zbroja po modulu radije ih prikazujemo na krunici. Smjer kazaljke na satu smatramo kretanjem rastuih pozitivnih brojeva. Dva broja, a i b, moemo zbrojiti, i zbroj c dobiti grafikim zbrajanjem lukova. Rezultat e biti toan dok je zbroj manji od 2n 1 za n bitova. Ako je zbroj vei dolazi do preteka s najznaajnijeg bita. Razliku d=ba moemo dobiti oduzimanjem lukova. U praksi, razliku

d raunamo koritenjem inverza a i zbrajanjem s b: d=b+a'. Brojevi s desne strane krunice, koji slijede niz prirodnih binarnih brojeva 0, 1, ..., 2n11 smatraju se pozitivnima. Njihovi inverzi s lijeve strane, koji idu smjerom obrnutim od kretanja kazaljke na satu, smatraju se negativnim brojevima, koji slijede niz 1, 2, ..., 2n1. Svim brojevima najznaajniji bit je bit predznaka(npr. 1 za negative). Pri zbrajanju i oduzimanju sada vrijede ista pravila kao kad se brojevi koriste kao samo pozitivni. Jedino se kod zbrajanja ne smije prijei donja

toka, dok se kod oduzimanja mora prijei.


12

4. NORMALNI ALGEBARSKI OBLICI 4.1. Koncept elementarnih logikih sklopova

motivacija, operatori algebre logike algebarski izraz, logiki dijagram, shema sklopa elementarni logiki sklopovi (logika vrata) elektromehaniki logiki krugovi

Motivacija: digitalni se sklopovi izrauju koritenjem gotovih modula proizvedenih elektronikom tehnologijom. To su elementarni logiki sklopovi.

U algebri logike koriste se operatori konjunkcije (&), disjunkcije (V) i negacije ().

Algebarski izrazi predstavljaju funkcijsku ovisnost o nezavisnim varijablama izraza. Na osnovi algebarskog izraza crtamo logiki dijagram, te shemu sklopa.

Operatore konjunkcije i disjunkcije moemo realizirati i elektromehanikim relejima. Relej je ureaj kod kojeg prolaskom struje kroz svitak nastaje magnetsko polje, a ono privue kotvu na koju je privren kontakt. Mirni kontakt je trajno zatvoren, pa se aktiviranjem releja strujni krug prekida, dok je radni kontakt trajno otvoren, pa se aktiviranjem releja strujni krug zatvara. Konjunkcija se ostvaruje serijskim, a disjunkcija paralelnim spojem radnih kontakata. Negacija se ostvaruje mirnim kontaktom.


13

4.2. Klasifikacija digitalnih tehnologija diskretne i integrirane tehnologije stupnjevi integracije vrste izlaza logikih vrata

Diskretna izvedba odnosi se na izradu sklopova od pojedinanih tranzistora i otpornika. U diskretnu izvedbu spadaju: diodna, otporno tranzistorska i diodno tranzistorska tehnologija. Integrirana izvedba odnosi se na izradu sklopa kao integriranog kruga, gdje su sve komponente integrirane na jednoj ploici silicija. U integriranu izvedbu spadaju: tranzistorsko tranzistorska tehnologija, emiterski spregnuta, PMOS, NMOS i komplementarna unipolarna tehnologija. Stupnjevi integracije:

SSI (Small Scale Integration): niski stupanj integracije, do 100 tranzistora, do 10 logikih vrata. MSI (Medium Scale Integration): srednji stupanj integracije, do 1000 tranzistora, do 100 logikih vrata. LSI (Large Scale integration): visoki stupanj integracije, do 10000 tranzistora, do 1000 logikih vrata. VLSI (Very Large Scale Integration): vrlo visoki stupanj integracije preko 10000 tranzistora, vie od 1000 logikih vrata.

Vrste izlaza logikih vrata: Bipolarni izlazi(TP = totempole) generiraju vrijednosti 0 i 1. U logikoj 1 slue kao izvorita, a u logikoj 0 kao potroai struje. Unipolarni izlazi(OC = opencollector) generiraju samo logiku 0, i mogu biti samo potroai struje. Kod logike 1 tranzistor se iskljuuje. Unipolarni izlazi se koriste kad je potrebno spojiti vie izlaza na zajedniku toku. Tristate izlazi (TS, bipolarni sa treim stanjem visoke impedancije) imaju karakteristike bipolarnih, a sposobnost iskljuenja omoguava spajanje na sabirnicu. 4.3. Diodna i diodnotranzistorska logika

karakteristike i osnovni sklopovi DL karakteristike i osnovni sklopovi DTL

Karakteristike i osnovni sklopovi DL: Diodama se sprjeava kratki spoj ulaznih varijabli. Mana diodne tehnike je u problemu generiranja nule i jedinice kod spajanja vie IILI sklopova u seriju.


14

Karakteristike i osnovni sklopovi DTL Promjenom vrijednosti otpornika manipulira se strujama baze, pa je mogue postii da sklop obavlja negaciju konjunkcije(NI) ili disjunkcije(NILI).

4.4. Tranzistorskitranzistorska logika

osnovni sklop TTL odreivanje razina 0 i 1 karakteristike familija TTL krugova

Osnovni sklop TTL: Tranzistorsko tranzistorska tehnika nastala je integriranjem ulaznih dioda u vieemiterski tranzistor. Ako su svi ulazi u 1, PN spoj bazakolektor vieemiterskog tranzistora vodi, te vodi srednji tranzistor koji se zove obrta faze. Zbog toga tee struja baze donjeg izlaznog tranzistora, pa on vodi i na izlazu daje nulu. Gornji izlazni tranzistor ne vodi. Ako je makar jedan ulaz u nuli, ulazni tranzistor vodi, te je

obrta faze zakoen. Stoga je i donji izlazni tranzistor zakoen. Gornji tranzistor dobiva sada struju baze s kolektorskog otpornika obrtaa faze, te na izlazu generira jedinicu. Razine: TTL tehnologija je postavila niz standarada u digitalnoj elektronici, od kojih su najvaniji napon napajanja 5 V i standardne razine za 0 i 1: 0V0,8V za 0; 2,4V5V za 1. Karakteristike familija TTL krugova: 74xx = normalni, 74Lxx = niska potronja i brzina, 74Hxx = velika brzina i potronja, 74Sxx = normalni shottky, 74LSxx = shottky sa malom potronjom, 74ALSxx = novija familija sa manjom dimenzijom tranzistora 74Fxx = novija familija brzih TTL integriranih krugova


15

4.5. Komplementarna MOS tehnologija osnovni sklop CMOS karakteristike CMOS logikih vrata potronja CMOS vrata primjena CMOS u VLSI krugovima

U CMOS tehnologiji koriste se tranzistori s osiromaenjem. Ako su oba ulaza u 1, oba serijski spojena donja tranzistora su otvorena, a oba gornja paralelno spojena tranzistora su zatvorena, pa je izlaz u 0. Ako je makar jedan ulaz u 0, jedan od gornjih tranzistora je otvoren, a jedan od donjih je zatvore, te je izlaz u 1.

Karakteristrike: upotreba komplementarnih (P i N kanalnih) MOS tranzistora koji rade u protufazi, velika brzina rada, te niska potronja energije. Potronja energije CMOS integriranog kruga je niska, jer uvijek jedna od grana sklopa ne vodi. Potronja ovisi o broju preklapanja u jedinici vremena. Na visokim frekvencijama se pribliava potronji TTL i NMOS krugova. Zbog svojih prednosti CMOS tehnologija je danas primarna tehnologija za proizvodnju svih vrsta digitalnih integriranih krugova, od pojedinanih logikih vrata niskog stupnja integracije do VLSI mikroprocesora i memorija s vie desetaka milijuna tranzistora na jednoj ploici silicija. 4.6. Primjena elementarnih logikih sklopova

kanjenje i brzina porasta standardne naponske razine 0 i 1 ulazne i izlazne struje definicija faktora izlaznog grananja definicija faktora izlaznog grananja

Kanjenje se definira kao vrijeme koje protekne izmeu promjene na ulazu u sklop do promjene na izlazu sklopa. Kanjenje mjerimo od sredine do sredine promjene. Posebno mjerimo vrijeme potrebno da sklop postigne jedinicu (tdlh), a posebno vrijeme potrebno da postigne nulu (tdhl).

Vrijeme porasta tr i pada tf je zapravo vrijeme u kojem se obavlja promjena, od 0 u 1 ili obratno. Ta vremena mjerimo od trenutka kad je dostignuto 10% poetne do trenutka kad je dostignuto 90% konane vrijednosti signala.

Standardne naponske razine 0 i 1: su drugi bitan imbenik kompatibilnosti. Karakteristike ulaznog i izlaznog sklopa TTL logikih vrata zahtijevaju nesimetrino postavljanje za 0 i 1, pa je odreeno da su te granice za TTL i NMOS tehnologiju 00,8V max za logiku 0 i 2,45V min za logiku 1. Ulazne i izlazne struje su struje koje se nalaze na ulazu i izlazu sklopa, a to su: Iil i Iih, Iol i Ioh. Vane su zbog toga jer utjeu na faktore ulaznog i izlaznog grananja.


16

Faktora izlaznog grananja: nam kae koliko standardnih ulaza moemo spojiti na jedan izlaz, a da pri tom naponi signala ostanu u propisanim granicama. Za TTL i NMOS tehnologiju te su granice 0,8V max za logiku 0 i 2,4V min za logiku 1.

FGizl = min ( Iohm / Iih0 ; Iolm / Iil0) Faktora ulaznog grananja: nam kae koliko stvarni ulaz optereuje izlaz na koji je spojen u odnosu na standardni ulaz za promatranu tehnologiju i varijantu izrade. Ovaj faktor je najee 1.

FGul = max ( Iih / Iih0 ; Iil / Iil0) 5. BOOLEOVA ALGEBRA 5.1. Booleova algebra i algebra logike

definirati Booleovu algebru definirati logike operatore definirati algebru logike definirati redoslijed operacija

Booleova algebra je matematika struktura definirana kao: B.A. ={G, x, =, S}

Gdje je: G skup operatora algebre; = operator jednakosti; S ={0,1} skup Booleovih konstanti 0 i 1; x e S Booleova varijabla koja uzima vrijednost iz S. Logiki operatori: Konjunkcija dvaju sudova je istinita ako su oba suda istinita. Disjunkcija dvaju sudova je istinita ako je istinit makar jedan od njih. Negacija nekog suda je istinita ako je ulazni sud neistinit. Algebra logike je Booleova algebra kod koje je skup G: G = {&, V , } A.L. = {&, V, , =, x, S={0,1}}. Redoslijed operacija: kod raunana algebarskih izraza prednost se daje negaciji, pa konjunkciji, i na kraju disjunkciji. 5.2. Postulati algebre logike

navesti poimence sve postulate i njihove formule pokazati distributivnost tablicom istine i Vennovim dijagramom

1. Zatvorenost

a) 1 2 1 2,x x S x x S (disjunkcija je zatvorena u S) b) 1, 2 1 2&x x S x x S (konjunkcija je zatvorena u S) c) 1 1x S x S (negacija je zatvorena u S)

2. Neutralni element a) 1 1 1,0 0x S x x = (0 je neutralni element za disjunkciju) b) 1 1 1,1 &1x S x x = (1 je neutralni element za konjunkciju)


17

3. Komutativnost a) 1 2 1 2 2 1,x x S x x x x S = (disjunkcija je komutativna) b) 1 2 1 2 2 1, & &x x S x x x x S = (konjunkcija je komutativna)

4. Distributivnost a) 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3, , ( & ) ( ) & ( )x x x S x x x x x x x = (disjunkcija je distributivna s obzirom na konjunkciju) b) 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3, , & ( ) ( & ) ( & )x x x S x x x x x x x = (konjunkcija je distributivna s obzirom na disjunkciju)

5. Komplementiranje a) 1 1 1 1x S x x = (disjunkcija nenegirane i negirane varijable jednaka je jedinici) b) 1 1 1& 0x S x x = (konjunkcija nenegirane varijable jednaka je nuli)

6. Asocijativnost a) 1 2 3 1 2 3 1 2 3, , ( ) ( )x x x S x x x x x x = (disjunkcija je asocijativna) b) 1 2 3 1 2 3 1 2 3, , & ( & ) ( & ) &x x x S x x x x x x = (konjunkcija je asocijativna)

Pokazati distributivnost tablicom istine i Vennovim dijagramom: REDOSLIJED:

1. negacija (i sve ispod) 2. konjunkcija 3. disjunkcija

1x 2x 3x 32 x&x ( )321 x&xx 21 xx 31 xx ( ) ( )3121 xx&xx 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1


18

5.3. Teoremi algebre logike s jednom varijablom navesti poimence sve teoreme s jednom varijablom i njihove formule s dokazima

T1. Apsorpcija za disjunkciju 1 1 1x = Jedinica disjunktivno vezana s nekim izrazom apsorbira taj izraz. Dokaz:

1 1 1 1 1 1 1 1( 1) 1 ( 1) ( ) (1 ) 1x x x x x x x x = = = = T2. Idepotentnost za disjunkciju 1 1 1x x x = Disjunkcija nekog izraza sa samim sobom jednaka je tom izrazu. Koristi se za saimanje ili proirenje algebarskog izraza postojeim lanom. Dokaz:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) 1 ( ) ( ) ( ) 0x x x x x x x x x x x = = = = T3. Idepotentnost za konjunkciju 1 1 1x x x = Konjunkcija nekog izraza sa samim sobom jednaka je tom izrazu .Koristi se za saimanje ili proirenje algebarskog izraza postojeim lanom. Dokaz:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 ( ) 1x x x x x x x x x x x = = = = T4. Dvostruka negacija 1 1x x= Dokazuje se tablicom:

1x 1x ( ) 11 xx = 0 1 0 1 0 1

T5. Apsorpcija za konjunkciju x10=0 Nula konjunktivno vezana s nekim izrazom apsorbira taj izraz. Dokaz: ( )1 1 1 1 1 1 10 0 0 1 0 0x x x x x x x x = = = = 5.4. Teoremi algebre logike s dvije varijable

navesti poimence sve teoreme s dvije varijable i njihove formule s dokazima T1. DeMorganov teorem za disjunkciju 2121 xxxx = Dokazuje se indukcijom: ako je lijeva strana jednaka desnoj (A=A), mora vrijediti postulat o komplementiranju u oba oblika. Piemo:

21 xxA = ; 2121 xxxxA == ; 1 2A x x= 1A A = ( ) 1xxxx 2121 = ( ) ( ) ( ) 111xxxxxxxxxx 2211212121 === 0AA = ( )1 2 1 2 0x x x x = ( ) ( ) ( ) 000xxxxxxxxxx 2211212121 ===

T2.DeMorganov teorem za konjunkciju 1 2 1 2x x x x = Negacija konjunkcije dviju varijabli jednaka je disjunkciji negiranih varijabli.

1 2 1 2x x x x = 1 2 1 2x x x x =

1 2 1 2 1 2x x x x x x = =


19

6. BOOLEOVE FUNKCIJE 6.1. Booleova funkcija kao preslikavanje

definirati skup kodnih rijeci nad skupom varijabli definirati Booleovu funkciju kao preslikavanje definirati jednostavni sklop i vezu sa Booleovom funkcijom

Definirati skup kodnih rijei nad skupom varijabli: Ako je skup X svih n varijabli x: { }n21 x,,x,xX = tada je Pn(X) skup svih kodnih rijei varijabli x Definirati Booleovu funkciju kao preslikavanje: Booleova funkcija y=f(x , x ,...,x ) je preslikavanje nadskupa P (x) u skup S = {0,1} Definirati jednostavni sklop i vezu sa Booleovom funkcijom: Jednostavni sklop je digitalni sklop sa jednim izlazom, koji na osnovu ulaznih varijabli (Koje imaju konkretnu vrijednost 0 ili 1) daje izlaznu funkciju ulaznih varijabli y. Odnosno vidimo da jednostavni sklop obavlja preslikavanje Booleova funkcije. 6.2. Osnovno zapisivanje i vrste Booleovih funkcija

zapis tablicom istine standardni oblik tablice istine, broj redaka i njihove oznake potpuno i nepotpuno specificirane funkcije univerzalna funkcija

Zapis tablicom istine: S lijeve strane zapiemo sve kodne rijei prirodnim binarnim nizom. S desne strane napiemo vrijednosti funkcije (vrijednosti y 0, 1 i R). Takvu strukturu zovemo tablicom isitne. Standardni oblik tablice istine, broj redaka i njihove oznake: S lijeve strane tablice se nalaze ulazne varijable (x1,x2...xn), a s desne strane funkcije(f1,f2,...fk). Svaki redak oznaavamo rednim brojem i od 0 do 2n1, koji odgovara vrijednosti pripadne kompleksije varijabli promatrane kao prirodni binarni broj. Potpuno specifirana funkcija je funkcija, kod koje je preslikavanje definirano za sve kodne rijei ulaznih varijabli. Nepotpuno specifirana funkcija je funkcija, kod koje je preslikavanje definirano samo za neke kodne rijei ulaznih varijabli.

( ) { }111,011,,100,000XPn ""=


20

6.3. Grafiki zapis Booleovih funkcija Vennovi dijagrami Veitchevi dijagrami standardni oblik do n=6 varijabli

Vennovi dijagrami

Kod Vennovih dijagrama definiramo podruja u okviru univerzalnog skupa nad kojima se pojedina varijabla definira kao logika jedinica. Svako presjecite definirano je jednom kombinacijom vrijednosti varijabli koja ima znaenje kompleksije varijabli, pa nad njim moemo definirati vrijednost funkcije, odnosno preslikavanje u skupu S={0,1}.

Veitchevi dijagrami Veitchev dijagram je standardizirani oblik grafikog prikaza svih kodnih rijei nekih varijabli, nastao stiliziranim crtanjem Vennovih dijagrama. Kod Veitchevog dijagrama podruja su formirana u obliku kvadrata koji je podijeljen na polovine u vertikalnom i horizontalnom smjeru. S vanjske strane piemo oznaku podruja kao svojevrsnu koordinatu, a u svaki kvadrat se upisuje kodna rije.

Standardni oblik do n=6 varijabli


21

6.4. Ostali naini zapisa Booleove funkcije Grayev kod i Ktablice logiki dijagram shema sklopa na osnovi PDNO i PKNO

Grayev kod je kod kod kojeg su susjedni bitovi kodirani tako da se razlikuju u samo jednom bitu. Koristi se kod optikih senzora poloaja ili kuta. Karnaughove (K) tablice su dvodimenzionalni tablini zapis funkcije koji rezultira oblikom slinim kao Veitchev dijagram. Mana K tablica je u oteanom oitavanju pripadne kodne rijei, pa se koriste rjee od Veitchevih dijagrama. Logiki dijagram: je grafiki oblik zapisa, koji predstavlja blok shemu funkcije, i to na nain

da su varijable i meurezultati prikazani linijama, a operatori blokovima. S obzirom da raspolaemo elementarnim sklopovima koji obavljaju konjunkciju, disjunkciju i negaciju, a varijable funkcije predstavljamo elektrinim signalima, moemo konstruirati sklop po strukturi slian logikom dijagramu, koji u stvarnosti realizira zadanu funkciju.

Shema sklopa na osnovi: PDNO:

( )1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3f x x x x x x x x x x x x x x x x=

PKNO: ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 3 1 2 3 1 2 3f x x x x x x x x x x=


22

7. NORMALNI ALGEBARSKI OBLICI 7.1. Algebarski zapis potpunim normalnim oblicima

motivacija definicija PDNO i minterma definicija PKNO i maksterma

Motivacija: Normalni algebarski oblici omoguavaju:

mogue ih je napisati neposredno iz tablice istine omoguavaju izradu sklopa s najmanjim kanjenjem sklop ima jednoliko kanjenje mogue ih je minimizirati egzaktnim postupcima garantiran je prijelaz na NI i NILI operatore

PDNO je disjunkcija svih onih MINTERMA mi za koje je vrijednost funkcije itog retka Ti

jednaka jedinici: ( ) ii12 0in21 Tmx,,x,xfn

= = MINTERM mi itog retka tablice istine je konjunkcija SVIH varijabli tako da su one koje u pripadnoj kodnoj rijei imaju vrijednost nula negirane, a one u jedinici nenegirane: ( ) 3210113213 xxxx,x,xm = PKNO je konjunkcija svih onih MAKSTERMA Mi za koje je vrijednost funkcije itog retka

Ti jednaka nuli: ( ) ( )ii12 0in21 TM&x,,x,xfn

= =

MAKSTERM Mi itog retka tablice istine je disjunkcija SVIH varijabli tako da su one koje u pripadnoj kodnoj rijei imaju vrijednost jedan negirane, a one u nuli nenegirane: ( ) 3210113213 xxxx,x,xM = 7.2. Svojstva negirane funkcije

svojstva potpunih normalnih oblika definicija negirane funkcije dokaz viestrukih DeMorganovih teorema

Svojstva potpunih normalnih oblika: Disjunkcija svih minterma jednaka je jedinici, a konjunkcija svih maksterma jednaka je nuli: 2 1 2 1

0 01 & 0

n n

i ii im M

= = = =

Negirani minterm jednak je makstermu istog retka: iiii mMMm == Disjunkcija minterma i maksterma istog retka je uvijek jednaka jedinici , a njihova je konjukcija jednaka nuli: 0Mm1Mm iiii == Konjunkcija razliitih minterma je uvijek jednaka nuli, a disjunkcija razliitih maksterma jedinici: 0 1i j i ji j i jm m M M = = Negirana funkcija je funkcija koja ima vrijednost 1 tamo gdje izvorna funkcija ima vrijednost 0, a 0 tamo gdje izvorna funkcija ima vrijednost 1. Ako je izvorna funkcija nepotpuno specifirana, negirana je nepotpuno specifirana za iste retke tablice istine.


23

Dokaz negirane funkcije pomou DeMorganovih teorema:

( ) = = ii12

0iTmxf

n

( ) ( ) ( )ii12 0iii12 0iii12 0iii12 0i TM&Tm&Tm&Tmxfnnnn

==== =

=

=

=

( ) ( ) ii12 0iii12

0iii

12

0iii

12

0iTmTMTMTM&xf

nnnn

==== =

=

=

=

Dokaz dobijemo neposredno preko 0f&fi1ff == 7.3. Minimalni normalni oblici

definicija MDNO definicija MKNO

Minimalni disjunktivni normalni oblik (MDNO) je disjunkcija nunih elementarnih lanova tipa minterma. lan tipa minterma je konjunkcija nekih ili svih varijabli, negiranih prema pravilu pisanja minterma. Elementarni lan je onaj koji nema susjeda. Nuni elementarni lan je onaj, bez kojeg bi vrijednost funkcije bila poremeena. Minimalni konjuktivni normalni oblik (MKNO) je konjunkcija nunih elementarnih lanova tipa maksterma. lan tipa maksterma je disjunkcija nekih ili svih varijabli, negiranih prema pravilu pisanja minterma. Elementarni lan je onaj koji nema susjeda. Nuni elementarni lan je onaj, bez kojeg bi vrijednost funkcije bila poremeena. 7.4. Razbijanje PDNO na preostale funkcije

algebarski postupak postupak Veitchevog dijagrama primjena preostalih funkcija

Algebarski postupak: Mintermi u raspisanom opem obliku PDNO funkcije:

( ){ }1 2 3

2 1

1 2 3 0 1 2 3 1 1 2 3 2 1 2 3 30, ,

1 2 3 4 1 2 3 5 1 2 3 6 1 2 3 7

n

i iix x xf x m T x x x T x x x T x x x T x x x T

x x x T x x x T x x x T x x x T

== =

imaju zajednike lanove, npr. za x1, x2 to su 1 2 1 2 1 2 1 2, , , ,x x x x x x x x koje moemo izluiti na osnovi svojstva distributivnosti. U zagradama su ostali neki izrazi koji su oito PDNO funkcija varijable x3, a koje su preuzele vrijednosti izvorne funkcije T1 do T7. Moemo pisati: ( ) ( ) ( ) ( )1 2 0 3 1 2 1 3 1 2 2 3 1 2 3 3( )f x x x f x x x f x x x f x x x f x= , gdje su funkcije f0 do f3 parcijalne ili preostale funkcije, a varijabla x3 (u ovom primjeru) preostala varijabla: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )0 1 2 0 3 1 1 2 1 3 2 1 2 2 3 3 1 2 3 3

2 1 2 1

1 1 1 1 20 0;

m n m

n mj m j m n j m n k m n j kj k

f x m x x f x m x x f x m x x f x m x x f x

m x x f x x f x x m x x T

+ + + += =

= == = " " " "


24

Postupak Veitchevog dijagrama: Pogodan postupak izjednaavanja preostalih funkcija je postupak Veitchevog dijagrama. Veitchev dijagram se raspada na dijelove izdvajanjem m varijabli. Meutim, zbog svojevrsne simetrinosti dijagrama, ti dijelovi su viemanje suvisli, bez obzira kojih m varijabli izdvojili.

Rastavljanje na parcijalne funkcije Veitchevim dijagramom, n=3, m=1

Rastavljanje na parcijalne funkcije Veitchevim dijagramom, n=3, m=2

Rastavljanje na parcijalne funkcije za primjer y1 po x1 i x2

Preostale funkcije se koriste kod realizacije multiplekserskog stabla. 8. POTPUNI SKUPOVI FUNKCIJA 8.1. Elementarne funkcije

definirati broj moguih Booleovih funkcija za n varijabli analizirati funkcije jedne varijable analizirati funkcije dvije varijable

Broj moguih Booleovih funkcija za n varijabli: Tablica istine za n varijabli ima 2n redaka. Funkciju definiramo stupcem koji moemo smatrati kodnom rijei od N=2n bita. Takvih kodnih rijei ima

nN 222 = to znai da imamo upravo toliko razliitih Booleovih funkcija za n varijabli. Funkcije jedne varijable: Za n=1 varijabli imamo 22=4 funkcija, a to su prema tablici

1x 0f 1f 2f 3f 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1

f0(x1)=0 konstanta 0, f1(x1)= x 1 negacija, f2(x1)=x1 identitet i f3(x1)=1 konstanta 1.


25

Funkcije dviju varijabli: Za n=2 varijabli imamo 24=16 funkcija. To su:

1x 2x 0f 1f 2f 3f 4f 5f 6f 7f 8f 9f 10f 11f 12f 13f 14f 15f 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

Meu ovim funkcijama prepoznajemo funkcije jedne varijable, a u drugu skupinu funkcija moemo svrstati konjunkciju, disjunkciju i njihove negacije:

f1= 1 2x x NILI (NOR, Pierce), f7=_____

21xx NI(NAND, Shaeffer), f8= x1 x2 I (AND, konjunkcija) i f14= x1 v x2 ILI (OR, disjunkcija). U treu skupinu svrstat emo sumu po modulu i njenu negaciju:

f6= 21 xx ekskluzivno ILI(zbroj po modulu) i f9=_________

2121 xxxx = ekvivalencija (negacija sume po modulu). Preostalih est funkcija spada u kategoriju implikacija i u praksi nemaju znaenja. 8.2. Potpuni skup funkcija

cilj razmatranja definicija potpunog skupa funkcija algebre logike dokazivanje potpunosti

Cilj razmatranja: Osnovni kriterij uspjenosti neke Booleove algebre je mogunost zapisivanja proizvoljne Booleove funkcije konanim algebarskim izrazom. Stoga trebamo izabrati skup operatora koji omoguava zapisivanje proizvoljne funkcije i takav se skup zove potpuni skup funkcija algebre logike. Potpuni skup funkcija algebre logike je takav skup operatora s pomou kojega se konanim algebarskim izrazom moe zapisati proizvoljna Booleova funkcija. Skup konjunkcije, disjunkcije i negacije je potpuni skup funkcija algebre logike. Potpunost bilo kojeg drugog skupa dokazujemo tako, da pokuamo izraziti konjunkciju, disjunkciju i negaciju. Za skup operatora kojim uspijemo izraziti konjunkciju, disjunkciju i negaciju zakljuujemo da je potpun.


26

8.3. Dokazati potpunost za (I, NE) i (NI) dokazati potpunost za I, NE dokazati potpunost za NI komentirati problem i nain zapisa

Potpunost za I, NE:

Skup {&,} je potpun. Dokaz: 212121 xxxxxx == Potpunost za NI:

Shaefferov operator ({}, Shaffer, NI, NAND, 21 xx ) je sam za sebe potpuni skup funkcija algebre logike. Dokaz: 11111 xxxxx == ili 111 11 xxx == ( ) ( ) 2121212211 xxxxxxxxxx === ( ) ( ) 2121212121 xxxxxxxxxx === Problem i nain zapisivanja: Da bi se izbjegla nesigurnost u stvarno znaenje algebarskih izraza, u praksi se ne koristi simbol ve se za zapis NI operatora koristi sustav {&,}. U takvom zapisu prepoznat emo negiranu konjunkciju dviju ili vie varijabli kao NI operator.

8.4. Dokazati potpunost za(ILI, NE) i (NILI)

dokazati potpunost za ILI, NE dokazati potpunost za NILI komentirati problem i nain zapisa

Potpunost za ILI, NE:

Skup { ,} je potpun. Dokaz: 212121 xxxxxx == Potpunost za NILI: Pierce operator ({}, Pierce, NILI, NOR, 21 xx ) je sam za sebe potpuni skup funkcija algebre logike. Dokaz: 1111111 xxxxxxx === ili 111 00 xxx == ( ) ( ) 2121212211 xxxxxxxxxx === ( ) ( ) 2121212121 xxxxxxxxxx === Problem i nain zapisivanja: Da bi se izbjegla nesigurnost u stvarno znaenje algebarskih izraza, u praksi se ne koristi simbol ve se za zapis NILI operatora koristi sustav { ,}. U takvom zapisu prepoznat emo negiranu disjunkciju dviju ili vie varijabli kao NILI operator.


27

9. MINIMIZACIJA NORMALNIH OBLIKA 9.1. Kriteriji minimizacije

definirati zahtjeve na sklop definirati minimalnost sklopa definirati zahtjeve na algebarski oblik navesti i pokazati svojstva normalnih oblika

Zahtjevi na sklop: Cilj minimizacije je da konaan sklop bude ekonomian u proizvodnji i primjeni (dakle minimalan), pouzdan, brz i takav da se njegova konstrukcija moe izvesti egzaktnim postupcima da bi se mogunost pogreke svela na najmanju moguu mjeru. Minimalnost sklopa: Minimalnost moemo definirati kao minimalan broj (diskretnih) komponenti, minimalan broj integriranih krugova, minimalan broj logikih vrata, minimalna povrina tampane ploice, minimalna potronja energije. Zahtjevi na algebarski oblik: Koristit emo kriterij minimalnog broja logikih vrata i NI i NILI operatore. Ukljuimo li ostale zahtjeve, algebarski oblik funkcije mora biti napisan tako da bude minimalan, osigura minimalno kanjenje i jednolikost kanjenje, omogui primjenu postupaka minimizacije, omogui primjenu NI i NILI vrata. Sve ove kriterije zadovoljavaju minimalni normalni oblici. Svojstva normalnih oblika:

0&112

0

12

0==

=

= iiiiMm

nn

iiii mMMm == 0Mm1Mm iiii ==

10jijijiji

MMmm==

9.2. Osnovni algebarski postupak minimizacije normalnih oblika

definirati susjednost lanova definirati osnovni postupak minimizacije primjer s komentarom primjene postulata i teorema komentirati utedu i znaaj postupka

Susjednost lanova: kod osnovnog postupka minimizacije traimo lanove ije su pripadne kodne rijei susjedne(susjedni lanovi). Osnovni postupak minimizacije za PDNO: ( ) .........1........ 21213321321321 === xxxxxxxxxxxxxx Osnovni postupak minimizacije za PKNO: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) === .....0...... 321132321321 xxxxxxxxxxxx ( ) ( )...32 = xx


28

Primjer s komentarom primjene postulata i teorema: Osnovni postupak minimizacije normalnih oblika provodi se kroz korake:

1. traenje lanova ije su pripadne kodne rijei susjedne 2. izdvajanje zajednikog dijela na osnovi svojstava asocijativnosti 3. izluivanje zajednikog dijela na osnovi svojstva distributivnosti 4. u zagradama ostaje oblik x x ili &x x ba zbog udruivanja susjednih lanova 5. zagrada se reducira u konstantu na osnovi svojstva komplementiranja 6. konstanta se reducira na osnovi svojstva neutralnog elementa

Utedu i znaaj postupka: Uteda pojedinog ulaza je znaajna, jer moe rezultirati boljom optimizacijom broja integriranih krugova.

9.3. Pomoni algebarski postupci (proirenja)

definirati potrebu za proirenjem objasniti proirenje postojeim lanom objasniti proirenje redundantnim lanom komentirati utedu i znaaj postupka

Potreba za proirenjem: Pomoni postupci minimizacije normalnih oblika zasnivaju se na mogunosti proirenja algebarskih oblika. Proirenje je mogue dopisivanjem postojeeg lana na osnovi teorema o idepotentnosti (x x = x, x & x = x), te dopisivanjem redundantnog lana za nepotpuno specificirane funkcije. Pomoni postupak se provodi kroz korake: 1. pronalaenje mogunosti i potrebe za proirenjem 2. proirenje postojeim ili redundantnim lanom 3. provoenje osnovnog postupka minimizacije Proirenje postojeim lanom:

Za PDNO kad izlaz proirujemo postojeim lanom, vrijedi:

===

=

3121

321321321321

321321321

2

xxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

T

Proirenje redundantnim lanom: Za PDNO kad izlaz proirujemo redundantnim lanom, vrijedi:

( )

===== =

112212121

1321321321321

x1xxxxxxxxRxxxxxxxxxxxx


29

9.4. Postupak minimizacije PKNO objasniti motivaciju i probleme navesti svojstva negirane funkcije definirati proceduru minimizacije primjer s komentarom primjene postulata i teorema

Motivacija: Cilj minimizacije je da konaan sklop bude ekonomian u proizvodnji i primjeni, pouzdan, brz. Algebarska minimizacija normalnih oblika provodi se transformacija nad algebarskim izrazom. Primjenom postulata i teorema A.L., iz PKNO moe se dobiti minimalni konjuktivni normalni oblik MKNO. U praksi, MKNO se dobije transformacijom negirane funkcije. Navesti svojstva negirane funkcije: Negirana funkcija je funkcija koja ima vrijednost 1 tamo gdje izvorna funkcija ima vrijednost 0, a 0 tamo gdje izvorna funkcija ima vrijednost 1. Ako je izvorna funkcija nepotpuno specifirana, negirana je nepotpuno specifirana za iste retke tablice istine. Definirati proceduru minimizacije: Postupak minimizacije negirane funkcije provodi se kroz korake:

1. traenje lanova ije su pripadne kodne rijei susjedne 2. izdvajanje zajednikog dijela na osnovi svojstava asocijativnosti 3. izluivanje zajednikog dijela na osnovi svojstva distributivnosti 4. u zagradama ostaje oblik x x ili &x x ba zbog udruivanja susjednih lanova 5. zagrada se reducira u konstantu na osnovi svojstva komplementiranja 6. konstanta se reducira na osnovi svojstva neutralnog elementa

Rezultat ovog postupka je MDNO negirane funkcije koju koritenjem DeMorganovih teorema moemo transformirati u MKNO. Primjer s komentarom primjene postulata i teorema: ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

===

====

=

32

P32

P1132

P132132

P321321

xx

0xx

xxxx

xxxxxx

xxxxxx

a2

b5

a4

a3


30

10. POSTUPCI MINIMIZACIJE I REALIZACIJE NI I NILI VRATIMA 10.1. Postupak minimizacije Veitchevim dijagramom

pokazati zapis funkcije s pomou VD pokazati osnovni postupak minimizacije na VD pokazati pomone postupke minimizacije na VD pokazati ispis lanova definirati pravila i postupak minimizacije s pomou VD

Pokazati zapis funkcije s pomou VD: upisujemo funkciju u Veitchev dijagram:

za PDNO upisujemo 1 i R za PKNO upisujemo 0 i R

npr: 21321321 xxxxxxxx = x1

x2

x3

n=36 7 3 2

4 5 1 0

110

100 101 001 000

111 011 0101 1

Susjednim mintermima odgovaraju susjedna podruja! Rezultat minimizacije je ekvivalentan ujedinjavanju podruja! Pokazati osnovni postupak minimizacije na VD: Osnovni postupak minimizacije u postupku VD odgovara objedinjavanju susjednih povrina PRIMJER: PDNO: PKNO:

( ) 321321321 xxxxxxxxxxf =

( ) ( )321 xxxxf =( ) 3121 xxxxxf =


31

Pokazati pomone postupke minimizacije na VD: Pomoni postupak minimizacije dopisivanjem postojeeg lana u postupku VD odgovara viestrukom zaokruivanju pripadnog kvadrata VD. Pomoni postupak minimizacije dopisivanjem redundantnog lana u postupku VD odgovara zaokruivanju kvadrata VD u kojem je upisana oznaka R. Za MDNO time je definirana vrijednost preslikavanja funkcije u 1, a za MKNO definirana je vrijednost preslikavanja funkcije u 0. PRIMJER:

12121321321321321 xxxxxRxxxxxxxxxxxx == PDNO: PKNO: Pravila i postupak minimizacije s pomou VD: MINIMIZACIJA PDNO u MDNO:

u Veitchev dijagram upiemo 1 i R zaokruimo sve jedinice to manjim brojem to veih povrina ispiemo MDNO na osnovu koordinata povrina dvostruko zaokruivanje jedinice znai proirenje postojeim lanom zaokruivanje redundantnog lana znai proirenje izraza tim lanom i time sklop

obavlja preslikavanje u 1 nezaokruivanje redundantnog lana znai izostavljanje tog lana i time sklop

obavlja preslikavanje u 0

10.2. QuinnMcClusky postupak minimizacije pokazati zapis funkcije s pomou QMC postupka pokazati osnovni postupak minimizacije na QMC pokazati pomone postupke minimizacije na QMC pokazati izbor nunih elementarnih lanova definirati pravila i postupak minimizacije s pomou QMC postupka

Postupak: ispitujemo susjednost minterma i formiramo elementarne lanove: odaberemo na kraju nune lanove, moe za MDNO i MKNO

( ) 1xxf =


32

QMC je tablinoalgebarski postupak koji se sastoji od slijedeih koraka: sve minterme PDNO ispiemo jedan ispod drugog provjeravamo susjednost svih parova od vrha prema dnu ako su dva lana susjedna, desno ispisujemo reducirani lan

na isti nain provjeravamo susjednost novih lanova te ispisujemo eventualne reducirane lanove

Postupak je gotov kad vie nema susjednih lanova. Postupak je definiran za PDNO, a MKNO dobijemo preko negirane funkcije 10.3. Harvardski postupak minimizacije

pokazati zapis funkcije s pomou HV postupka pokazati osnovni postupak minimizacije na HV pokazati pomone postupke minimizacije na HV pokazati izbor nunih elementarnih lanova definirati pravila i postupak minimizacije s pomou HV postupka

HV postupak je nastao iz QMC postupka tako da su za odreeni broj varijabli unaprijed izraunati svi reducirani lanovi. To omoguuje formiranje standardnih tablica pomou kojih se lako minimizira funkcija. Postupak je takoer definiran za PDNO, a MKNO dobijemo preko negirane funkcije. Znaaj HV postupka je u mogunosti programiranja na raunalu. Postupak minimizacije:

upisati funkcije(kombinaciju varijabli i vrijednosti funkcije) precrtati retke za koje je funkcija jednaka nuli(redundantne NE precrtati) precrtati (horizontalnim crtama) brojeve po stupcima koji su precrtani u drugom koraku provjeravajui s desna na lijevo, precrtati po recima (kosim crtama) one brojeve, koji s lijeve strane imaju neprecrtan krai lan neprecrtane brojeve proglasiti elementarnim lanovima izabrati nune elementarne lanove tako da u njima budu sadrani svi mintermi za koje je funkcija jednaka 1, a po potrebi i redundantni lanovi

10.4. Minimizacija i realizacija NI vratima

definirati postupak i transformaciju za NI vrata primjer s komentarom primjene postulata i teorema

Postupak i transformaciju za NI vrata: Booleova funkcija realizira se NI vratima u sljedeim koracima: polazimo do PDNO originalne funkcije izraunamo MDNO originalne funkcije dvostruko negiramo MDNO (cijeli izraz) primjenom DeMorganovih teorema transformiramo za NI dobijemo izraz za NI vrata zapisan sustavom {&, } Primjer s komentarom primjene postulata i teorema:

( ) 32211 xxxxxf = ( ) 3221.T.DeM32211 xxxxxxxxxf ==


33

10.5. Minimizacija i realizacija NILI vratima definirati postupak i transformaciju za NILI vrata primjer s komentarom primjene postulata i teorema

Postupak i transformaciju za NILI vrata: Booleova funkcija realizira se NILI vratima u sljedeim koracima: polazimo do PDNO negirane (inverzne) funkcije izraunamo MDNO negirane funkcije negiramo obje strane izraza, to je ve NILI dvostruko negiramo pojedine lanove primjenom DeMorganovih teorema transformiramo za NILI Primjer s komentarom primjene postulata i teorema:

( ) 31422 xxxxxf = ( ) 314231422 xxxxxxxxxf ==

10.6. Sinteza sklopova za zbrajanje

definirati problem zbrajanje na LSB polusumator zbrajanje s pretekom potpuni sumator komentar kanjenja za nbitni sumator

Definirati problem: Problem se javlja kad je minimizacija oteana zbog dijagonalnog poloaja jedinica

0b 0a 0s 0c 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1

0000000 ababbas == 00000 babac ==

b0 b0

a0 a0s0: c0:

1

1

1


34

Zbrajanje na LSB polusumator: Mogua je sljedea transformacija:

( ) ( )000000000000

00000000

00000

baabab

ababab

aabbabab

00ababs

=

=

===

==

Utedjeli smo ulazne invertore, a sklop daje negirani pretek

Zbrajanje s pretekom potpuni sumator:

Pokuajmo minimizirati:

aj aj

bj bj

s :j c :jcj-1 cj-1

1

1

1

1 1 1

1

1

Transformiramo:

1111 = jjjjjjjjjjjjj cbacbacbacbas ( ) ( )jjjjjjjjjjj babacbabacs = 11 ( )jjjjjjj bacbacs = 11 ( )jjjj bacs = 1 Potrebno je generirati pretek: ( )jjjjjjjj babacbac = 1 I konano:

( ) jjjjj1jjjjj1jjjj ccccscbabacbac ====

Komentar kanjenja za nbitni sumator: Mana potpunog sumatora je u kanjenju za 6 td i preteka za 5 td. Sam pretek kasni prema prethodnom za 2 td. Sklop koji bi trebao zbrojiti n znamenki potroio bi prvo 3 td za generiranje svih poluzbrojeva s'j, a nakon toga bi se pretek prostirao s desna na lijevo s kanjenjem od 2 td po bitu. Zbroj na najznaajnijem bitu kasni jo dodatnih 32 td. Dakle, ukupno kanjenje je priblino izrazu: T(n)=(4+2n)td

II. DIO - DIGITALNI SUSTAVI I STRUKTURE

35

II. TREINA GRADIVA 11. KOMBINACIJSKI SKLOPOVI SREDNJEG STUPNJA INTEGRACIJE 11.1. Selektor/multiplekser

definirati funkciju selektora/multipleksera izvesti formulu za selektor/multiplekser opisati uporabu selektora/multipleksera

Multiplekser je logiki sklop koji na informacijski izlaz i proputa vrijednost onog od n=2m informacijskih ulaza u0un1, iji je redni broj prisutan u prirodnom binarnom obliku na m adresnih ulaza a0am1, pod uvjetom da je fja sklopa omoguena aktivnim signalima na kontrolnim ulazima. Algebarski izraz

multipleksera: jjj umim

&12

0

== .

Da bi neki ulaz bio proveden na izlaz, treba prepoznati pripadnu kodnu rije adresnih varijabli, te aktivnim signalom propustiti signal s odabranog ulaza. Kodna rije se algebarski moe prepoznati mintermom, koji jedinicom prepozna pripadnu kodnu rije pa moemo koristiti I vrata za proputanje vrijednosti s izabranog ulaza. Za sve ostale kodne rijei vrijednost minterma je 0, I vrata su zatvorena, a na izlazu imamo 0. To omoguava povezivanje svih meurezultata na jedna ILI vrata. Algebarski moemo pisati:

jjjjjjjjjuamuamuami

mmm

)(&)()(12

0

12

0

12

0

=

=

= === Dvostrukom negacijom dobili smo mogunost koritenja NI vrata. Multiplekser se koristi kao selektor, za paralelnoserijsku konverziju i za realizaciju Booleovih funkcija. Ako su informacijski ulazi slobodno promjenljivi, a adresa stacionarna, izlaz e slijediti vrijednost sa odabranog ulaza. Obavili smo selektiranje ulaza na izlaz. Ako su informacijski ulazi stacionarni, a adrese mijenjamo u prirodnom binarnom nizu nekim ritmom, na izlazu e se pojaviti niz bita ulazne kodne rijei. Obavili smo paralelnuserijsko konverziju.


36

11.2. Dekoder/demultiplekser definirati funkciju dekodera/demultipleksera izvesti formulu za dekoder/demultiplekser opisati uporabu dekodera/demultipleksera

Demultiplekser je logiki sklop koji vrijednost informacijskog ulaza u proputa na onaj od n=2m informacijskih izlaza i0in1, iji je redni broj prisutan u prirodnom binarnom obliku na m adresnih ulaza a0am1, pod uvjetom da je fja sklopa omoguena aktivnim signalima na kontrolnim ulazima. Algebarski izraz demultipleksera: ij=mj&u

Da bi ulaz bio proveden na neki izlaz, treba prepoznati pripadnu kodnu rije adresnih varijabli, te aktivnim signalom propustiti signal na odabrani izlaz. Kodnu rije algebarski prepoznamo mintermom,koji jedinicom prepozna pripadnu kodnu rije pa moemo koristiti I vrata za proputanje vrijednosti s ulaza na izabrani izlaz. Algebarski se moe pisati:

12...0

)(

==

m

jj

j

uami

a negacijom izraza dobije se mogunost koritenja NI vrata:

12...0

)(

==

m

jj

j

uami

Ako je informacijski ulaz slobodno promjenjiv, a adresa stacionarna, odabrani izlaz e slijediti vrijednost sa ulaza. Obavili smo razvoenje ulaza na odabrani izlaz. Ako se informacijski ulaz mijenja istovremeno (sinkrono) sa adresama, a adrese mijenjamo u prirodnom binarnom nizu, na izlazima e se pojaviti niz bita sa ulaza. Obavili smo serijskoparalelnu konverziju. Ako na ulaz trajno dovedemo 1, adresom biramo jedan od izlaza. Demultiplekser preuzima funkciju dekodera.


37

11.3. Enkoder s prioritetom definirati funkciju enkodera definirati funkciju enkodera s prioritetom opisati uporabu enkodera s prioritetom

Enkoder je ureaj koji se koristi za kodiranje signala ili podataka u oblik pogodan za prijenos ili pohranu.

Enkoder prioriteta na adresne izlaze am1,am2,,a1,a0 dovodi redni broj j u prirodnom binarnom obliku (kao kodnu rije) onog informacijskog ulaza uj, na kojem je prisutna jedinica. Budui da nema jamstva da u nekom trenutku nee biti vie informacijskih ulaza aktivirano istovremeno, sklop treba odluiti kojem e od aktiviranih ulaza dati prednost (prioritet). Stoga se zove enkoder prioriteta.

Enkoder prioriteta koristi se uvijek kada je potrebno neki kod tipa 1 od 2m prevesti u koncentrirani kod od m bita. Funkcija mu je suprotna funkciji dekodera. Njime moemo realizirati jednostavnu tastaturu. Masovno se primjenjuje u mikroprocesorima (za razluivanje razliitih prekidnih zahtjeva). 12. REALIZACIJA BF MULTIPLEKSEROM 12.1. Pristup realizaciji Booleove funkcije multiplekserom

osnovni model realizacije osnovna jednadba realizacije komentar veliine problema i moguih rjeenja

Osnovni model realizacije Booleove funkcije multiplekserom je:

Multiplekser ima jedan izlaz, pa samo na tom izlazu moemo dobiti vrijednost funkcije:

),...,( 1 nxxfi = Uvrtavanjem izraza za multiplekser i PDNO funkcije slijedi:

iniijmjjTxxmuaam

nm

= =

= ),...,(),...,( 112

001

12

0

Imamo jednu jednadbu, a m + m2 nepoznanica. Potrebno je spojiti m adresnih i

m2 informacijskih ulaza MUXa za n varijabli funkcija.


38

12.2. Realizacija BF multiplekserom za n=m jednadba realizacije za n=m specijalno rjeenje za n=m konstrukcija sklopa za n=m komentar rada na osnovi sheme multipleksera

Kada je broj varijabli jednak broju adresnih ulaza, tj. m=n, iz osnovne jednadbe realizacije

dobijemo: jjjjjj Txmuammm

= =

= )()(12

0

12

0

Lijeva i desna strana dobivene jednadbe su strukturno identine pa obinu jednakost moemo zamijeniti identitetom te izjednaiti po dijelovima. Dobijemo:

12...0; == mjj jTu 12...0);()( == mjj jxmam

Ako na adresne ulaze dovedemo redom varijable funkcije:

mm

mm

xxxxaaaa

121

0121

Odnosno: 0,...,1; == mexa eme

Booleovu funkciju m varijabli realiziramo multiplekserom s m adresnih ulaza tako da na adresne ulaze multipleksera dovedemo redom varijable funkcije (MSB na MSB, LSB na LSB), a na informacijske ulaze multipleksera redom vrijednost funkcije (0 ili1). Redoslijed varijabli je vaan da bi redoslijed ulaza multipleksera odgovarao redoslijedu redaka tablice istine, dakle redoslijedu vrijednosti funkcije. Struktura realizacije Booleove funkcije multiplekserom za m=n:

Komentar rada:Multiplekser neposredno realizira PDNO funkcije 12.3. Realizacija BF multiplekserom za n>m

jednadba realizacije za n>m algebarsko rjeenje za n>m konstrukcija sklopa za n>m definirati potpuno multipleksersko stablo

Za opi sluaj n>m gubi se strukturni identitet:

iiijjj Txmuamnm

)()(12

0

12

0

=

= = Da bismo postigli strukturni identitet, transformiramo desnu stranu. Koristimo razbijanje na parcijalne funkcije.


39

Izraz u zagradi je PDNO preostale funkcije pa piemo:

)()()...()...()(12

011

12

0

12

0xfxmxxfxxmuam jjjnmjmjjjjj

mmm

=+

=

===

Opet je uspostavljen strukturni identitet budui da su sve preostale funkcije funkcije istih varijabli pa vrijedi:

1

1

( ... )

( ) ( ... )

0...2 1

j j m n

j j m

m

u f x xm a m x x

j

+==

=

Booleovu funkciju n varijabli realiziramo multiplekserom s m adresnih ulaza tako da na adresne ulaze multipleksera dovedemo m varijabli funkcije, a na informacijske ulaze multipleksera preostale funkcije preostalih nm varijabli funkcije (to su preostale varijable). Redoslijed adresnih varijabli odreuje redoslijed preostalih funkcija. Preostale funkcije treba realizirati posebnim sklopovljem koji mogu biti logika vrata ali i multiplekseri. Ako smo ih realizirali multiplekserima, dobili smo strukturu koju nazivamo multipleksersko stablo. Potpuno stablo ekvivalentno je jednom multiplekseru.

12.4. Minimizacija multiplekserskog stabla

definirati mogunost minimizacije multiplekserskog stabla kriterij minimizacije multiplekserskog stabla specijalni sluaj optimalnog sklopa s multiplekserom metodologija minimizacije multiplekserskog stabla

Minimizacija multiplekserskog stabla je mogua tako da eliminiramo itavu granu stabla. Pojedinu granu moemo eliminirati ako pripadnu preostalu funkciju moemo realizirati bez sklopovlja, a takve funkcije su funkcije jedne varijable, konstante 0 i 1, jednakost i negacija. Za realizaciju preostalih funkcija multiplekserima adresne se varijable biraju tako da to vei broj preostalih funkcija bude funkcija jedne varijable. Za poseban sluaj kada je n=m+1, na adresne ulaze multipleksera dovodimo m varijabli funkcije, a preostale funkcije su sve sigurno funkcije jedne preostale varijable. Stoga je optimalno multiplekserom s m adresnih ulaza realizirati funkciju s n=m+1 varijabli. Iz algebarskog oblika i sheme multipleksera vidi se da on neposredno realizira PDNO funkcije (ili u osnovnom obliku ili nakon razbijanja na preostale funkcije). U realizaciji Booleovih funkcija multiplekserom za izraunavanje preostalih funkcija koristimo Veitcheve dijagrame.


40

13. REALIZACIJA BF DEMULTIPLEKSEROM 13.1. Pristup realizaciji Boolove funkcije demultiplekserom

osnovni model realizacije osnovna jednadba realizacije komentar veliine problema i moguih rjeenja

Demultiplekser ima 2m (informacijskih) izlaza, od kojih u sklopu dekodera (ako je informacijski ulaz u = 1) svaki (izlaz) ostvaruje po jedan minterm: u = 1 ij = mj (a) u = mj (a) 1 = mj(a) pri emu je j = 0...2m1 Zatim je dovoljno povezati potrebne izlaze (one za koje je vrijednost funkcije jednaka 1) demultipleksera na ILI logika vrata i tako neposredno realizirati PDNO Boolove funkcije. Mana: realizira PDNO, nema minimizacije Prednost: realizira vie funkcija istih varijabli 13.2. Realizacija BF demultiplekserom za n=m

jednadba realizacije za n=m specijalno rjeenje za n=m konstrukcija sklopa za n=m problem konstrukcije ILI vrata komentar rada na osnovi sheme demuxa

Za n=m vrijedi: Koristimo DEMUX kao dekoder (u=1) Pa vrijedi: ij = mj (a) u = mj (a) 1 = mj(a)

( ) ( ) ( )amiTxmxf jjjj12 0jm

== = Da bismo minterme funkcije mogli realizirati mintermima adresnih varijabli, na adresne ulaze demuxa: am1 , am2 , . . . , a1 , a0 dovedemo varijable funkcije: x1 , x2 , . . . , xm1 , xm tono ovim redom pa se dobije:

( ) ( )j j jm a m x i= = ( ) jj12

0jTixf

m

==Na ILI vrata spojimo samo one izlaze, za koje je vrijednost funkcije jednaka jedinici (simboliki prikaz):

Mana: realizira PDNO, nema minimizacije Prednost: realizira vie funkcija istih varijabli


41

Javlja se problem konstrukcije ILI vrata,pa dvostruko negiramo izraz (i primijenimo DeMorgana) :

( ) jj120j

jj

12

0jjj

12

0jTi&TiTixf

mmm

=

=

= === pa sada vidimo da moemo koristiti demux s negiranim izlazima i NI vrata: Umjesto ILI odnosno NI vrata koristimo diodnu logiku:

pa jednostavnim dodavanjem dioda lagano realiziramo ILI vrata s potrebnim brojem ulaza. Za vie funkcija istih varijabli, dobijemo polje dioda ("diodna matrica")

13.3. Realizacija BF demultiplekserom za n>m

jednadba realizacije za n>m algebarsko rjeenje za n>m konstrukcija sklopa za n>m definirati potpuno demultipleksersko stablo

Za n>m pokuamo transformirati PDNO funkcije:

( ) ( ) ( ) ( )n1mjm1j12 0jii12

0ix,,xfx,,xmTxmxf

mn

+

=

= == ( ) ( )2 1

0

m

j jjf x i f x

= =

( ) ( )2 1 2 1 20 0m n m

n mj k j kj kf x i m x T

+= = = Rjeenje rezultira nezgrapnim sklopom. Ako preostalu funkciju realiziramo demultiplekserom moemo koristiti njegov informacijski ulaz koji je konjunktivno vezan sa svim mintermima:

( ) ( )2 1 2 1 20 0m n m

n mj k j kj kf x i u i x T

+= ==

Izlaz glavnog demultipleksera dovedemo na ulaz demultipleksera preostale funkcije,ime ga aktiviramo . Dobili smo DEMULTIPLEKSERSKO STABLO! Kada je POTPUNO, stablo je ekvivalentno jednom veem demuxu. Sklop sada ima strukturu:


42

13.4. Minimizacija demultiplekserskog stabla definirati mogunost minimizacije demux stabla kriterij minimizacije demux stabla metodologija minimizacije demux stabla specijalni sluaj optimalnog demux stabla

Struktura stabla nam omoguava minimizaciju demultiplekserskog stabla eliminacijom pojedine grane stabla. To je mogue potpunom eliminacijom preostale funkcije, tj. kad je preostala funkcija jednaka KONSTANTI 1 ili 0. Veliina preostalih funkcija(pa i cijelog sklopovlja) ovisi o izboru adresnih varijabli demuxa. Metodologija minimizacije demux stabla: Adresne varijable se biraju tako da to vei broj preostalih fja bude konstanta. Specijalan sluaj je za n=m+1 Tada su sve preostale funkcije = funkcije jedne varijable. Na adresne ulaze dvaju demultipleksera dovodimo m varijabli funkcije, a na njihove informacijske ulaze dovodimo izvornu, odnosno negiranu, vrijednost preostale varijable. 14. MULTIPLEKSERSKODEMULTIPLEKSERSKA (MD) STRUKTURA 14.1. Multiplekserskodemultiplekserska struktura

motivacija, koncept principijelna shema MD strukture broj redaka i stupaca matrice

Motivacija za uvoenje MD strukture bila je elja da realiziramo tehnologije visoke i vrlo visoke razine integracije. Koncept: MD struktura slui za realizaciju Boolovih funkcija istih varijabli. Broj adresnih ulaza u strukturu je jednak zbroju adresnih ulaza u multiplekser m i zbroju adresnih ulaza u demultiplekser d. Principijelna shema MD strukture:

Broj redaka i stupaca matrice: Broj redaka R matrice jednak je broju izlaza demultipleksera. Broj stupaca S matrice jednak je broju multipleksera pomnoenom s brojem ulaza u pojedini multiplekser.


43

14.2. Optimalna veliina MD strukture koncept obodnih vrata optimalni broj logikih vrata odreivanje optimalne MD strukture za n varijabli i M funkcija

Obodna vrata: Vrata na rubovima (obodu) MD strukture Zbog potrebe da broj logikih vrata strukture bude minimalan, traimo da broj redaka R i stupaca S diodne matrice bude minimalan, a minimalnost postiemo priblino jednakim brojem stupaca i redaka. Broj logikih vrata L=R+S Za fju od n varijabli broj lanova matrice je uvijek 2n, jer za svaku od 2n kodnih rijei varijabli x upisujemo vrijednost fje 0 ili 1. Broj logikih vrata jednak je zbroju redaka i stupaca matrice i moe se pokazati da je minimalan kada je R=S. 14.3. Memorije sa samom oitanjem

MD struktura kao ROM kompatibilnost s radom raunala tehnoloke osobine ROM komponenti vremenski dijagram itanja podatka

MD struktura kao ROM: Integracijom MD strukture dobivamo memoriju. Rom je MD struktura sa programibilnom ILI i fiksnom I matricom. Mana je nemogunost minimizacije minterma funkcije u PDNO tj. nemogunost koritenja MDNO. Kompatibilnost s radom raunala: ROMovi imaju podatke trajno pohranjene u svoju strukturu, ne gube ih iskljuenjem napona napajanja. Sadraj se upisuje u trenutku izrade. Tehnoloke osobine ROM komponenti: ROM sadraj upisan kod izrade i ne moe se kasnije mijenjati PROM sadraj se mijenja pregaranjem osiguraa EPROM koris

skripta iz digitalne tehnike[digitalni sustavi i strukture] (fesb)

Documents