skripta iz elektromagnetike.pdf
TRANSCRIPT
-
ELEKTRODINAMIKA
Voja Radovanovic
Beograd, 2012.
Contents
1 Naelektrisanje i elektromagnetno polje 51.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Naelektrisanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Dirakova delta funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Tackasto, linijsko, povrsinsko naelektrisanje jezikom zapreminskog . . . . . . . . 81.5 Jednacina kontinuiteta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6 Elektromagnetno polje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Maksvelove jednacine 102.1 Elektrostatika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Magnetostatika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Razlaganje skalarnog potencijala po multipolima . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4 Razlaganje vektorskog potencijala po multipolima . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.5 Faradejev zakon elektromagnetne indukcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.6 Maksvelove jednacine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.7 Samousaglaseno odredjivanje EMP u vakuumu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.8 Potencijali EMP u vakuumu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Elektromagnetno polje u sredini 253.1 Maksvel{Lorencove jednacine za elektromagnetno polje u supstancijalnoj sredini 253.2 Supstancijalne jednacine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3 Granicni uslovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4 Teoreme elektromagnetnog polja-energija, impuls i moment impulsa 394.1 Pointingova teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2 Teorema impulsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.3 Teorema momenta impulsa* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1
-
5 Relativisticka elektrodinamika 465.1 Lorencove transformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.2 Cetvorovektor gustine struje i potencijala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.3 Zakon transformacije jacina polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.4 Elektromagnetno polje naelektrisanja u uniformnom kretanju . . . . . . . . . . . 535.5 Naelektrisana cestica u elektromagnetnom polju . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.6 Manifestno kovarijantno izvodjenje jednacina kretanja . . . . . . . . . . . . . . . 565.7 Kovarijantnost Maksvelovih jednacina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.8 Invarijantnost Maksvelovih jednacina na prostornu i vremensku inverziju . . . . 635.9 Kovarijantnost Maksvel-Lorencovih jednacina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.10 Integralne teoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6 Elektrostaticko polje u vakuumu 716.1 Diskontinuiteti potencijala; Dipolni list . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.2 Jednoznacnost resenja Poasonove jednacine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.3 Poason-Grinova formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.4 Resavanje Laplasove jednacine u sfernim koordinatama metodom razdvajanja
promenljivih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.5 Elektrostaticko polje provodnika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.6 Jednoznacnost Laplasove jednacine za sistem provodnika . . . . . . . . . . . . . 806.7 Metod likova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.8 Grinove funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.9 Energijski odnosi u elektrostatickom polju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7 Dielektrici u konstantnom elektricnom polju 887.1 Klauzijus-Mosotijeva relacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897.2 Modeli polarizovanja dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907.3 Sila i energija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8 Magnetostataticko polje u vakuumu 928.1 Energetski odnosi u magnetostatickom polju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 928.2 Magnetostaticka energija sistema provodnika sa strujom . . . . . . . . . . . . . . 958.3 Rad na premestanju strujne konture u spoljnjem polju . . . . . . . . . . . . . . 96
9 Magnetici u konstantnom magnetnom polju 979.1 Dijamagnetizam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 979.2 Paramagnetizam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1009.3 Feromagnetizam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
10 Elektromagnetni talasi u vakuumu i neprovodnim sredinama 10310.1 Ravni talasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10510.2 Sferni talas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10710.3 Ravan monohromatski talas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10710.4 Furije integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2
-
10.5 Polarizovanost ravnog monohromatskog elektromagnetnog talasa . . . . . . . . . 10910.6 Doplerov efekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11010.7 Termodinamicki ravnotezno zracenje u supljini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
11 Retardirani potencijali 11711.1 *Alternativno izvodjenje Grinove funkcije za nehomogenu talasnu jednacinu . . . 120
12 Zracenje 12012.1 Talasna zona- dipolna aproksimacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12112.2 Spektralna raspodela emitovane snage zracenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12412.3 Kocenje zracenjem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12512.4 Zracenje viseg reda u talasnoj zoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12612.5 Lijenar-Vihertovi potencijali i polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12712.6 Zracenje relativisticke cestice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13012.7 Relativisticka generalizacija Larmorove formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13212.8 Sinhrotronsko zracenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13412.9 Zracenje antene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
13 Kvazistacionarno elektromagnetno polje 136
14 Sredine sa vremenskom disperzijom 13814.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13814.2 Energetski odnosi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14114.3 Elementarna teorija disperzije dielektricne propustljivosti . . . . . . . . . . . . . 14214.4 Elementarna teorija disperzije provodnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14414.5 Kramers-Kronigove relacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
15 Homogene stacionarne sredine sa vremenskom disperzijom 14815.1 Talasni paket i grupna brzina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
16 Prostiranje ravnog monohromatskog talasa u anizotropnim sredinama 151
17 Rasejavanje elektromagnetnog talasa 15317.1 Rasejanje na slobodnim elektronima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15417.2 Rasejanje na vezanim elektronima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15517.3 Plavo nebo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
18 Dodatak 157
3
-
Literatura:1. J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, John Wiley and Sons, Inc. (1999)
Standardni udzenik elektrodinamike, preporucivan svakom studentu zike.
2. L. Landau, E. Lifsic, Teorija polja; Elektrodinamika neprekidnih sredina, Mir Moskva(1984)Koncizan tekst, pisan na landauvljevski nacin, nekad izgleda nejasan ali je u sustini vrlo pre-cizan. Ovo su druga i osma knjiga desetotomne teorijske zike.
3. B. Milic, Meksvelova Elektrodinamika, Univerzitet u Beogradu, (1996)Knjiga koju je napisao nas profesor.
4. W. Greiner, Classical Electrodynamics, Springer, (1996)Lepo napisana knjiga sa puno primera. Deo visetomne Greiner-ove teorijske zike.
5. L. Eyges, The Classical Electromagnetic Field, Dover Publication, (1972)Manje poznata knjiga sa interesantnim komentarima.
4
-
1 Naelektrisanje i elektromagnetno polje
1.1 Uvod
U prirodi postoji cetiri tipa interakcija: gravitaciona, elektromagnetna, slaba i jaka. Na ovomkursu bavicemo se klasicnim (nekvantnim) osobinama elektromagnetne interakcije tj. interak-cijom izmedju naelektrisanih tela. Dva osnovna entiteta u elektrodinamici su naelektrisanje ielektromagnetno polje. Naelektrisanje je izvor elektromagnetnog polja. Elektron ima naelek-trisanje e = 1; 6 1019 C, sto je prvi izmerio Miliken (1910 g.). Tela se mogu naelektrisatimedjusobnim dodirom i/ili trljanjem. Pri tome elektroni sa jednog tela prelaze na drugo telo.Telo sa viskom (manjkom) elektrona je negativno (pozitivno) naelektrisano. Naelektrisanje nekogtela je celobrojni umozak tzv. elementarnog naelektrisanja1, e tj.
Q = Ne ;N 2 Z :
Naelektrisanje metalne kugle poluprecnika r = 10 cm ciji je potencijal ' = 100V je
Q = 40R = 109 C ;
sto znaci da jeN 1010. U ovom slucajuN je veliki broj te mozemo smatrati da je naelektrisanjekugle neprekidna a ne diskretna funkcija.
Elektromagnetno polje ima impuls, energiju i moment impulsa. Elektromagnetna interakcijase u vakuumu prenosi brzinom svetlosti c = 3 108m
s:
Ukoliko je impuls fotona mnogo manji od impulsa sistema, pf ps onda merni aparat ne vidipojedinacane fotone. Tada primenjujemo klasicnu elektrodinamiku. Navescemo dva primera.Jacina elektricnog polja sijalice snage P = 100W na rastojanju l = 1 m je E = 50 Vm1. Fluksfotona je nf = 10
15 1cm2s
: Elektricno polje antena snage P = 100W, frekvence = 108Hz narastojanju l = 100km je E = 5Vcm1 dok je uks fotona nf = 1012 1cm2s : U oba slucaja brojfotona je veliki pa elektromagnetno polje opisujemo vektorima jacina polja E(r; t) i B(r; t), tj.koristimo klasicnu elektrodinamiku.
Komptonov efekt je rasejanje fotona na elektronu ( + e ! + e). Impuls fotona jepf =
~!cdok je imuls elektrona reda pe mc: U ovom slucaju "vidimo" pojedinacni foton te je
klasicna elektrodinamika neprimenljiva. Da bi analizirali ovaj proces moramo primeniti kvantnuelektrodinamiku. Klasicna elektrodinamika je limes kvantne elektrodinamike.
1.2 Naelektrisanje
Prvo cemo uvesti pojam tackastog naelektrisanja. To moze biti aproksimacija naelektrisanog telacije dimenzije mozemo zanemariti u datoj situaciji ili stvarno tackasto naelektrisanje, kao sto suelementarne cestice (leptoni i kvarkovi). Smatra se da su to cestice bez unutrasnje strukture.
Vec smo rekli da u mnogim situacijama mozemo smatrati da je naelektrisanje neprekidno ras-poredjeno unutar neke oblasti. Tada govorimo o kontinuumu naelektrisanja. Fizicki beskonacno
1Naelektrisanje kvarkova nije celobrojan umnozak elementarnog naelektrisanja, npr. up (gornji) kvark jenaelektrisan sa (2=3)e.
5
-
Figure 1: This is a gure.
mala zapremina V0 je mnogo manja od zapremine sistema ali mnogo veca od l3 gde je l srednje
medjumolekulsko rastojanjel3 V0 L3 :
Ona sadrzi veliki broj cestica ali ipak mnogo manje nego sto je njihov ukupan broj. Osnovnaideja modela kontinuuma je da "ne vidimo" tacke u prostoru vec su nam one razmazane uzapremini V0. Potpuno analogno se uvodi i zicki beskonacno mali interval vremena t0 kojizadovoljava
l
v t0 T ;
gde je v srednja brzina molekula, a T karakteristicno vreme sistema.Gustina naelektrisanja je denisana sa
(r; t) = limV!V0;t!t0
hqV (t)iV
; (1.1)
gde je hqV (t)i srednje naelektrisanje u oblasti V oko tacke r usrednjeno po vremenskomintervalu t. Jedinica za zapreminsku gustinu naelektrisanja je Cm3.
1.3 Dirakova delta funkcija
Denisimo funkciju "(x a) na sledeci nacin
"(x a) = 1"pe
(xa)2"2 : (1.2)
Normalizacioni faktor 1=("p) je izabran tako da vaziZ 1
1"(x a)dx = 1 :
Maksimum ove funkcije je u tacki x = a.
6
-
Delta funkcija je limes funkcije "(x a) kad ! 0 tj.
(x a) = lim"!0
"(x a) =(0; x 6= a1; x = a ; (1.3)
pri cemu je zadovoljeno Z 11
(x a)dx = 1 : (1.4)
Na osnovu prethodnog je Z 11
(x a)f(x)dx = f(a) ; (1.5)
sto se cesto uzima za deniciju delta funkcije. Obicno se kaze da delta funkcija izbacuje vrednostpodintegralne funkcije f(x) u tacki x = a. Delta funkcija je zapravo funkcional
a : f(x)! f(a) :
U izrazu (1.5) mozemo integraliti u intevalu (c; d) pri cemu je
c < a < d :
Navescemo neke osobine delta funkcije2:
(ax) =1
jaj(x) (1.6)(x) = (x) (1.7)
f(x)0(x a) = f 0(x)(x a) (1.8)
(f(x)) =nXi=1
(x xi)jf 0(xi)j (1.9)
(x2 a2) = 12jaj((x a) + (x+ a)) : (1.10)
U formuli (1.9) xi su proste nule funkcije f(x). Dokazimo (1.6):Z 11
f(x)(ax)dx =
Z a1a1
f(t=a)(t)dt
a
= sgn(a)
Z 11
f(t=a)(t)dt
a
=1
jajZ 11
f(t=a)(t)dt =f(0)
jaj=
1
jajZ 11
f(x)(x)dx :
2Ove osobine vaze pod integralom.
7
-
Ostale osobine se pokazuju slicno.Trodimenzionalna delta funkcija je denisana saZ
V
d3r(3)(rR)f(r) = f(R) ; (1.11)
gde tacka R pripada oblasti integracije V . U Dekartovim koordinatama trodimenziona deltafunkcija je proizvod tri jednodimenzione delta funkcije
(3)(rR) = (xX)(y Y )(z Z) ; (1.12)
gde su (x; y; z) Dekartove koordinate vektora r, a (X; Y; Z) koordinate vektora R. Ako umestodekartovih koristimo neke druge ortogonalne krivolinijske koordinate 1; 2; 3, tj. r = (1; 2; 3),R = (1;2;3) tada je
(3)(rR) = 1jJ j(1 1)(2 2)(3 3) ; (1.13)
gde je
J = @(x; y; z)@(1; 2; 3)
(1.14)Jakobijan. Jakobijan u prethodnoj formuli se krati sa jakobijanom u meri inegracije da bi vaziloZ
V
d3r(3)(rR) =ZV
d1d2d3jJ j 1jJ j(1 1)(2 2)(3 3) = 1 : (1.15)
Iz denicije delta funkcije (1.5) sledi da je dimenzija delta funkcije [(x a)] = m1. Dimenzijatrodimenzione delta funkcije je m3:
1.4 Tackasto, linijsko, povrsinsko naelektrisanje jezikom zapreminskog
Neka se naelektrisanje q nalazi u trenutku t u tacki sa radijus vektorom r(t). Gustina naelek-trisanja je 0 za r 6= r a beskonacna za r = r. Jasno je da je
(r; t) = q(3)(r r(t)) (1.16)
kao i Zd3r(r; t) = q : (1.17)
Zapreminska gustina naelektrisanja sistema od N tackastih naelektrisanja je
(r; t) =NX=1
q(3)(r r(t)): (1.18)
Primer: Dugacka nit, ravnomerno je naelektrisana sa naelektrisanjem po jedinici duzine. Nacizapreminsku gustinu naelektrisanja (r).
8
-
Primenom (1.16) imamo
(r) =X
z(x)(y)(z z)
= (x)(y)
Z 11
dz0(z z0)= (x)(y) :
Naelektrisanje dq koje za vreme dt prodje kroz povrsinu dS je
dq = (r; t)dS vdt = j(r; t) dSdt :
U prethodnom izrazu j(r; t) = (r; t)v(r; t) je vektor gustine struje. Njegov intenzitet je jednakpozitivnom naelektrisanju koje u jedinici vremena prodje kroz jedinicnu povrsinu postavljenunormalno na pravac prenosenja naelektrisanja. Jacina struje je ocigledno
I =
ZS
j dS ;
tj. ona je uks vektora gustine struje. Polazeci od izraza za zapreminsku gustinu struje j =v i zapreminske gustine sistema tackastih naelektrisanja dobijamo zapreminska gustina strujesistema tackastih naelektrisanja:
j(r; t) =NX=1
qv(3)(r r(t)) : (1.19)
1.5 Jednacina kontinuiteta
Neka je V nepokretna zapremina unutar neprekidne sredine. Promena naelektrisanja u tojzapremini u jedinici vremena je
dQ
dt=
d
dt
ZV
d3r(r; t) =
ZV
d3r@
@t=
= IS
j dS = ZV
d3r divj
(1.20)
odakle sledi@
@t+ divj = 0 : (1.21)
Poslednja jednacina je jednacina kontinuuiteta i ona je zakon odrzanja naelektrisanja u diferen-cijalnom obliku.Zadatak: Pokazati da (1.18) i (1.19) zadovoljavaju jednacinu kontinuuiteta.
9
-
1.6 Elektromagnetno polje
Kao sto smo rekli u uvodu elektromagnetno polje se u klasicnoj elektrodinamici opisuje dvemavektorskim funkcijama: jacinom elektricnog polja E(r; t) i magnetnom indukcijom B(r; t): Onese mere pomocu sile
F = q(E+ v B) : (1.22)kojom elektromagnetno polje deluje na probno naelektrisanje q. Naravno predpostavljamo da jeprobno naelektrisanje ne perturbuje raspodelu naelektrisanja i struja koje kreiraju elektromag-netno polje. U slucaju neperekidne raspodele naelektrisanja Lorencova sila je
F =
Zd3r(E+ v B) :
=
Z(E+ jB)d3r :
Izraz f = E+ jB je zapreminska gustina Lorencove sile.Kao i svako drugo vektorsko polje i za elektromagnetno se denisu linije polja. Linije elek-
tricnog polja su denisane kao linije cije tangente u datom trenutku vremena su jacine polja udatim tackama u tom trenutku vremena. Dakle,
dx
Ex(x; y; z; t)=
dy
Ey(x; y; z; t)=
dz
Ez(x; y; z; t): (1.23)
Linije elektricnog polja se dobijaju resavanjem gornjeg sistema diferencijalnih jednacina. Linijemagnetnog polja se denisu analogno, tj.
dx
Bx(x; y; z; t)=
dy
By(x; y; z; t)=
dz
Bz(x; y; z; t): (1.24)
U prethodnim jednacinama vreme t igra ulogu parametra.
2 Maksvelove jednacine
2.1 Elektrostatika
Elektrostaticko polje stvaraju naelektrisanja koja miruju. Osnovni zakon u elektrostatici jeKulonov zakon (kraj 18. veka). Sila interakcije kojom naelektrisanje q1 deluje na naelektrisanjeq2 u sistemu reference gde oba naelektrisanja miruju je
F12 =1
4"0
q1q2jr2 r1j3 (r2 r1) : (2.1)
Konstanta "0 = 8; 85 1012 Fm je dielektricna propustljivost vakuuma dok je 140 = 9 109mF :Kako je rot2F12 = 0 to je Kulonova interakcija potencijalna, tj. sila je negativan gradijentpotencijalne energije
F12 = r2W : (2.2)
10
-
Figure 2: This is a gure.
Potencijalna energija interakcije 3 ova dva tackasta naelektrisanja je
W =1
40
q1q2jr2 r1j : (2.4)
Jacina polja u tacki r tackastog naelektrisanja q postavljenog u tacku r 0 je
E(r) =F
qp=
1
40
q(r r 0)jr r 0j3 : (2.5)
Polje sistema naelektrisanja je vektorski zbir polja koja poticu od svakog naelektrisanja ponaosob.Ovo je princip superpozicije. U slucaju neprekidne raspodele naelektrisanja = (r) jacina poljaje
E(r) =1
40
Z(r 0)d3r0
jr r 0j3 (r r0) : (2.6)
Lako se pokazuje da je rotE(r) = 0 pa mozemo uvesti potencijal elektrostatickog polja
E(r) = r'(r) :Potencijal u tacki r je
'(r) =1
40
Z(r 0)d3r0
jr r 0j : (2.7)Rad elektrostatickog polja pri premestanju naelektrisanja q iz tacke A u tacku B je
A =
Z BA
F dr = qZ BA
r' dr = q('A 'B) = (WB WA) = W : (2.8)3
F21 = F12 = r1W (2.3)
11
-
Jasno je da je IE dl = 0 :
Sada cemo pokazati Dirak-Grinov identitet:
4 1jr r 0j = 4(3)(r r 0) : (2.9)
Dokaz: Uzmimor0 = 0 :
Za r 6= 0 imamo41r
=
1
r
d2
dr2(r1
r) = 0 : (2.10)
Iz
41r
= lim
a!04 1p
r2 + a2
= lim
a!03a2
(r2 + a2)5=2(2.11)
sledi Z 10
4 1p
r2 + a2
r24dr = 12a2
Z 10
r2dr
(r2 + a2)5=2= 4 (2.12)
Rezultat ne zavisi od a. Kako je rezultat integracije konstanta to je podintegralna funkcijaproporcionalna delta funkciji. Normiranje nam daje prethodni racun. Dakle
41r
= 4(3)(r) : (2.13)
Potrazimo divergenviju elektrostatickog polja:
divE = divr' = r2' = 140
Zd3r0(r 0)4r
1jr r 0j
=
1
"0
Zd3r0(r 0)(3)(r r 0) = (r)
"0: (2.14)
Koristili smo Dirak Grinov identitet. Dakle,
divE(r) =1
"0(r) (2.15)
Poslednja relacija je Gausova teorema u lokalnom (diferencijalnom) obliku. Njen integralni oblikse dobija integracijom jednacine (2.15) po zapreminiZ
V
d3rdivE(r) =1
"0
ZV
d3r(r) (2.16)
odnosno I@V
E dS = 1"0
ZV
d3r(r) : (2.17)
12
-
Fluks elektrostatickog polja kroz ma koju zatvorenu povrs jednak je ukupnom naelektrisanjukoje se nalazi u zapremini cija je granica ta povrs podeljenom sa "0. To je Gausova teorema uintegralnom obliku. Iz (2.14) dobijamo Poasonovu jednacinu
4' = (r)"0
: (2.18)
2.2 Magnetostatika
Istorija magnetizma je dosta duga i u pocetku su se magnetizam i elektrostatika potpuno neza-visno razvijali. Pocetkom devetnestog veka Ersted je otkrio da provodnik sa strujom utice namagnetnu iglu. To je znacilo da naelektrisanja u kretanju kao i magnetna igla stvaraju magnetnopolje.
Magnetostaticko polje generisu naelektrisanja u stacionarnom kretanju tj. @j@t= 0.
Osnovni zakon magnetostatike je Bio{Savar{Laplasov zakon. Magnetna indukcija linijskogprovodnika sa strujom I data je sa
B(r) =04
ZIdr 0 (r r 0)
jr r 0j3 ; (2.19)
gde je
0 = 4 107Hm
magnetna propustljivost vakuuma. U slucaju voluminoznog provodnika imamo
Idr 0 ! IS?
dr 0S? = j dV ; (2.20)
gde je S? povrsina provodnika ortogonalna na pravac prenosenja naelektrisanja, pa je
B(r) =04
Zj(r 0)d3r0 (r r 0)
jr r 0j3 : (2.21)
Magnetnu indukciju mozemo napisati u obliku B = rotA gde je A vektorski potencijal dat sa
A(r) =04
Zj(r 0)jr r 0jd
3r0 : (2.22)
Ovo se neposredno proverava4:
rotA(r) =04
Zroth j(r 0)jr r 0j
id3r0
=04
Zd3r0
h 1jr r 0jrotj(r
0) j(r 0)5r 1jr r 0ji
=04
Zj(r 0)d3r0 (r r 0)
jr r 0j3= B(r) ;
4rot( a) = rota a5
13
-
jer je rotj(r 0) = 0 i
5r 1jr r 0j = r r 0jr r 0j3 :
Iz B = rotA sledi divB = 0. Poslednji izraz znaci da je magnetno polje bezizvorno tj. ne postojemagnetni monopoli. Drugim recima magnetne linije nemaju ni pocetak ni kraj; ili su zatvoreneili pocinju i zavrsavaju se u beskonacnosti.Potrazimo rotor magnetne indukcije5:
rotB(r) = rotrotA = graddivA4A=
04
grad
Zdivr
j(r 0)jr r 0jd
3r0 04
Zj(r 0)4r 1jr r 0jd
3r0
= 04
hgrad
Zj(r 0)grad0
1
jr r 0jd3r0 4
Zj(r 0)(3)(r r 0)d3r0
i= 0
4
hgrad
Z div0
j(r 0)jr r 0j
1jr r 0jdiv
0j(r 0)d3r0 4j(r)
i= 0
4grad
Ij(r 0)dS0
jr r 0j + 0j(r)= 0j(r) : (2.23)
U prethodnom izvodjenju primenili smo Dirak{Grinov identitet kao i (18.154). Posto je struja j
lokalizovana unutar oblasti V to je j dS@V
= 0. Ako ovaj uslov ne bi vazio onda bi na granici
postojala normalna komponenta struje pa bi naelektrisanja prolazila kroz granicu oblasti V .Onda to ne bi bila granica oblasti V .
DaklerotB(r) = 0j(r) : (2.24)
Ovo je lokalni oblik Amperove teoreme. Integracijom po nepokretnoj konturi dobijamo integralnioblik Amperove teoreme I
L
B dl = 0IS ; (2.25)
gde je IS jacina struje koja prolazi kroz povrs nategnutu na konturu L.
2.3 Razlaganje skalarnog potencijala po multipolima
Potencijal elektrostatickog polja je
'(r) =1
40
Z(r 0)d3r0
jr r 0j : (2.26)
5div( a) = diva+ a 5
14
-
Neka su linearne dimenzije sistema naelektrisanja d. Na velikim rastojanjima od ovog sistema(d r) potencijal se moze razviti u red po stepenima od d=r. Podjimo od
1
jr r 0j =1p
r2 2r r 0 + r02 =1
r1 + r
022rr 0r2
1=2 (2.27)=
1
r
1 1
2
r02
r2+r r 0r2
+3
2
(r r 0)2r4
+ : : :
(2.28)
=1
r+r r 0r3
+3(r r 0)2 r2r02
2r5+ : : : (2.29)
Poslednji clan u prethodnom izrazu prepisacemo u obliku
3(r r 0)2 r2r02 = xixj(3x0ix0j r02ij) ; (2.30)
gde su xi, x0i dekartove koordinate vektora r odnosno r
0. Zamenom (2.29) u (2.26) imamo
'(r) =1
40
1r
Z(r 0)d3r0 +
r
r3
Zr 0(r 0)d3r0 +
1
2r5xixjDij + : : :
; (2.31)
gde je
Dij =
Z(r 0)(3x0ix
0j r02ij)d3r0 (2.32)
tenzor kvadrupolnog momenta. Integral u prvom sabirku u (2.31) je ukupno naelektrisanje, dokje
p =
Zr 0(r 0)d3r0 (2.33)
elektricni dipolni moment sistema. Elektricni dipolni moment sistema naelektrisanih cestica selako nalazi
p =
Zd3r r(r)
=X
q
Zd3r r(3)(r r)
=X
qr : (2.34)
Razvoj (2.31) postaje
'(r) =1
40
Qr+r pr3
+xixjDij2r5
+ : : :: (2.35)
U najnizoj aproksimaciji potencijal na velikim rastojanjima od sistema je potencijal tackastognaelektrisanja Q smestenog u koordinatni pocetak. To je tzv. monopolni clan i on je oblika1=r. Sledeca clan u razvoju potencijala je oblika 1=r2 i to je diplni clan. Naredna korekcijapotencijala je kvadrolni clan. Za sistem tri naelektrisanja: q u tacki (0; 0; a), q u tacki (0; 0;a)
15
-
i 2q u koordinatnom pocetku prva nenulta korekcija potencijala je kvadrupolna, jer je Q = 0 ip = 0. Ovaj sistem naelektrisanja je tzv. linerani kvadrupol.
Navescemo neke osobine tenzora kvadrupolnog momenta.1. Trag tenzora kvadrupolnog momenta je nula, jer je
3x0ix0i r02ii = 0 : (2.36)
2. Ako je raspodela naelektrisanja sferno-simetricna, = (r) onda je tenzor kvadrupolnogmomenta nula. Ovo se lako pokazuje, npr.
D11 =
Z 10
drr4(r)
Z 0
d sin
Z 20
d(3 sin2 cos2 1) = 0 : (2.37)
Nenulti matricni elementi tenzora kvadrupolnog momenta opisuju odstupanje sistema od sfernesimetrije.3. Ako sistem poseduje aksijalnu simetriju, tj. invarijantnost na rotacije oko z ose, tenzorkvadrupolnog momenta je dijagonalnog oblika
D =
0@D11 0 00 D11 00 0 2D11
1A : (2.38)Pokazimo sada da je tenzor kvadrupolnom momenta tenzor. Pri rotaciji koordinatnog sistema
(pasivna interpretacija) Dekartov bazis e1; e2; e3 prelazi u e01; e
02; e
03 : Novi bazis mozemo razviti
po starome0i = Rijej ; (2.39)
gde se sumira po ponovljenom indeksu. Matrica rotacije R je ortogonalna, RTR = RRT =I i zadovoljava detR = 1. To su tzv. specijalne ortogonalne matrice, SO(3): Pri rotacijikoordinatnog sistema koordinate vektora se transformisu, dok se sam vektor ne menja. Iz
r = xiei = x0ie0i (2.40)
imamoxjej = x
0iRijej (2.41)
odnosnoxj = Rijx
0i = (R
T )jix0i (2.42)
odakle dobijamo zakon tranformacije
x0i = (RT1)ijxj = Rijxj ; (2.43)
gde smo u poslednjem koraku iskoristili ortogonalnost matrice rotacije.
16
-
Veza izmedju komponenti tenzora kvadrupolnog momenta u dva sistema dobija se lako:
D0ij =Z(r 0)(3x0ix
0j r02ij)d3r0
=
Z(r)(3RikRjlxkxl r2ij)d3r
=
Z(r)RikRjl(3xkxl r2kl)d3r
= RikRjlDkl
= (RDRT )ij (2.44)
Time smo pokazali da su Dij stvarno komponente tenzora drugog reda. Zasto je d3r0 = d3r i
ij = RikRjlkl?Iz (2.35) lako mozemo dobiti izraz za elektricno polje na velikim rastojanjima od sistema:
E = r' = 140
Qr3r+
3(p r)r r2pr5
+ : : :: (2.45)
Prvi clan je monopolni dok je drugi dipolni. Jacina elektricnog polja tackastog dipola koji senalazi u koordinatnom pocetku je
E =1
40
3(p r)r r2p)r5
43p(3)(r)
: (2.46)
Prvi clan u (2.46) je isti kao dipolna korekcija u razvoju (2.45). To je tacan izraz za poljedipola ukoliko je r 6= 0. Clan sa delta funkcijom je neophodan jer zapreminski integral po sferi,poluprecnika R ciji je centar u koordinatnom pocetku jeZ
r
-
sledi ZV
[(rf)gj+ (rg)f j ]d3r = 0 ; (2.51)
jer je divj = 0 i j dS@V
= 0. Ako u (2.51) uzmemo f = xi i g = 1 onda dobijamoZV
jid3r = 0 ; (2.52)
a ako za funkcije f i g izaberemo f = xi; g = xk onda dobijamoZV
xijkd3r =
ZV
xkjid3r : (2.53)
Prvi clan u razvoju (2.49) jednak je nuli zbog (2.52). Monopolni clan u razvoju vektorskogpotencijala je odsutan. Drugi clan u (2.49) transformisacemo uz pomoc (2.53):
A(2)(r) =04
1
r3
Z(r r 0)j(r 0)d3r0
=04
1
2r3
Z(r r 0)j(r 0)d3r0 +
Z(r r 0)j(r 0)d3r0
=
04
1
2r3
Z(r r 0)j(r 0)d3r0 +
Zxix
0ijk(r
0)ekd3r0
=04
1
2r3
Z(r r 0)j(r 0)d3r0
Zxix
0kji(r
0)ekd3r0
=04
1
2r3
Zd3r0
(r r 0)j(r 0) (r j) r 0)
=
04
1
2r3
Zd3r0(r 0 j(r 0)) r
(2.54)
Ako uvedemo magnetni dipolni moment sistema
m =1
2
Zd3r r j (2.55)
onda drugi clan u razvoju vektorskog potencijala je
A(2) =04
m rr3
: (2.56)
Najnizi nenulti clan u razvoju vektorskog potencijala stacionarne lokalizovane struje je dipolniclan. Magnetna indukcija na velikim rastojanjima se lako nalazi iz B = rotA. Rezultat je
B =04
3(m r)r r2mr5
: (2.57)
18
-
To je magnetno polje na velikim rastojanjima od dipola koji se nalazi u koordinatnom pocetku.Izraz (2.56) je vektorski potencijal magnetnog dipola, momentam koji se nalazi u koordinatnompocetku, dok izraz
(2.57) zahteva korektivni clan za r = 0. Naime, lako se vidi da je6Zr
-
promenljivo elektricno polje. Druga jednacina govori o bezizvornosti magnetnog polja. Trecaje Faradejev zakon elektromagnetne indukcije; promenljivo magnetno polje stvara vrtlozno elek-tricno polje. Cetvrta jednacina je analogna Amperovom zakonu ali sadrzi jedan dodatni clan,
"0@E
@t(2.67)
tzv. struju pomeranja. Vrtlozno magnetno polje stvaraju naelektrisanja u kretanju (strujaprovodjenja) ali i promenljivo elektricno polje (struja pomeranja).
Uzmimo da vazirotB(r; t) = 0j(r; t) : (2.68)
Primenjujuci integralni oblik prethodne formule gde je kontura C u blizini provodnika a dalekood kondenzatora imamo I
C
Bdl =
( RSrotBdS = 0
RSjdS = 0IR
S0 rotBdS = 0RS0 jdS = 0
(2.69)
Dakle, dolazimo do protivurecnosti. Cirkulacija magnetne indukcije nije ista za povrsi S i S 0
nategnute na konturu C. Nesto nedostaje u izrazu (2.68). To je upravo struja pomeranja.Kada se neka supstancijalna sredina nalazi u promenljivom elektricnom polju dolazi do njenog
polarizovanja; naelektrisanja sredine po dejstvom spoljnjeg polja pocinju da se krecu, nastajetzv. polarizacionu struju. Maksvel je iskoristio tu ideju tako sto je smatrao da promenljivoelektricno polje uzrokuje kretanje naelektrisanih cestica u etru i zato je uveo struju pomeranja.Naravno, mi danas znamo da etar ne postoji, ali je clan (2.67) korektan.
Maksvelove jednacine su saglasne sa jednacinom kontinuuiteta. Uzmimo divergenciju cetvrteMaksvelove jednacine (2.66):
0 = divrotB = 0divj+ "0
@E
@t
: (2.70)
Primenom prve Maksvelove jednacine imamo
divj+ "0@(divE)
@t= 0
divj+@
@t= 0
Ovde se josi vidi i da je polje j+ "0@E@t
bezizvorno tj. da su njegove linije zatvorene.Maksvelove jednacine su linearne tj. vazi princip superpozicije. Ako izvori 1; j1 generisu polje
E1;B1 a izvori 2; j2 generisu poljeE2;B2 onda izvori 1+2; j1+j2 generisu poljeE1+E2;B1+B2.Neka je = 0 i j = 0 i uzmimo rotor cetvrte Maksvelove jednacine:
rotrotB = 0"0@(rotE)
@t
graddivB4B = 0"0@2B
@t2
4B 1c2@2B
@t2= 0 :
20
-
Slicno uzimanjem rotora trece Maksvelove jednacine dobijamo
4E 1c2@2E
@t2= 0 : (2.71)
Dobili smo talasne jednacine. Dakle, u oblasti prostora gde su odsutni izvori u vakuumu postojielektromagnetni talas. Fazna brzna elektromagnetnog talasa je
c =1p00
:
Herz je dokazao postojanje elektromagnetnih talasa.
2.7 Samousaglaseno odredjivanje EMP u vakuumu
Izvori odredjuju polja ali polja uticu na kretanje naelektrisanih cestica tako da izvore i polja trebaodredjivati samousaglaseno. Razmotracemo sistem od N naelektrisanih cestica. Zapreminskagustina naelektrisanja je
(r; t) =NX=1
q(3)(r r(t)) ; (2.72)
zapreminska gustina struje je
j(r; t) =NX=1
qv(3)(r r(t)) : (2.73)
Oni automatski zadovoljavaju jednacinu kontinuiteta. Maksvelove jednacine imaju sledeci oblik
divE(r; t) =1
"0
NX=1
q(3)(r r(t))
divB(r; t) = 0
rotE(r; t) = @B@t
rotB(r; t) = 0
NX=1
qv(3)(r r(t)) + "0@E
@t
Ovaj skup jednacina treba dopuniti jednacinama kretanja cestica
dpdt
= q(E + v B); = 1; : : : ; N (2.74)
Ukupno imamo 3N + 8 jednacina dok su nepoznate E(r; t);B(r; t); r = r(t) pa je broj nepoz-natih 3N + 6; manji nego broj jednacina. Postavlja se pitanje da li je sistem predenisan jer
21
-
postoje dve jednacine viska. Pokazacemo da su te dve jednacine zapravo pocetni uslovi pa jebroj jednacina isti kao i broj nepoznatih. Uzmimo divergenciju cetvrte Maksvelove jednacine:
0 = 0div(j+ "0@E
@t)
= 0(@@t
+ "0@(divE)
@t)
= 0@
@t("0divE )
Iz poslednjeg izraza vidimo da je
"0divE(r; t) (r; t) = F (x; y; z) = "0divE(r; t0) (r; t0) ;gde je t0 pocetni trenutak. Prva Maksvelova jednacina onda ksira F (x; y; z) = 0. Slicnouzimajuci divergenciju trece Maksvelove jednacine dobijamo da je
divB(r; t) = G(x; y; z) = divB(r; t0)
Druga Maksvelova jednacina ksira G(r) = 0.U praksi se cesto primenjuju sledece dve aproksimacije: aproksimacija zadatih gustina (nalazenje
polja ako su poznati izvori, (r; t); j(r; t)) i aproksimacija zadatih polja (odredjivanje izvora izpoznatih polja).
2.8 Potencijali EMP u vakuumu
Iz divB = 0 sledi B(r; t) = rotA(r; t) jer je divrot 0: Zamenom B = rotA u (2.65 ) imamo
rotE = @B@t
) rotE+
@A
@t
= 0) E = @A
@tr'
jer je rotgrad 0. Dakle, jacinu elektricnog polja i magnetnu indukciju mozemo izraziti prekopotencijala ' i A:
B = rotA (2.1)
E = @A@t
r' : (2.2)Sest funkcija Ex; : : : ; Bz zamenili smo sa cetiri ';Ax; Ay; Az: Imamo ih dve manje jer smo resilibezizvorne Maksvelove jednacine, tj. polja (2.1), (2.2) zadovoljavaju drugu i trecu Maksvelovujednacinu. Jednacine za potencijaleZamenem izraza (2.2) u prvu Maksvelovu jednacinu imamo
div(grad'+@A
@t) = ="0 ; (2.3)
odnosno
4'+ @@tdivA = ="0 : (2.4)
22
-
Zamenom (2.1) i (2.2) u cetvrtu Maksvelovu jednacinu imamo
rotrotA = 0j 0"0 @@t
5 '+ @A
@t
(2.5)
odnosno
4A 1c2@2A
@t2 grad(divA+ 1
c2@'
@t) = 0j : (2.6)
Kalibraciona (gauge; gradijentna) simetrijaPotencijali nisu jednoznacno denisani. Pokazimo da i potencijali
'0 = '+@
@tA0 = Ar ; (2.7)
gde je = (r; t) proizvoljna funkcija daju ista polja kao i potencijali ' i A:
E0 = @A0
@tr'0 = E+ @
@trA @
@trA = E
B0 = rot(Ar) = rotA = B : (2.8)
Transformacije potencijala (2.7) nazivaju se kalibracionim (gradijentnim ili gauge) transforma-cijama. Jacina elektricnog polja i magnetna indukcija su invarijantne na ove transformacije akako su oni opservabilne velicine to zakljucujemo da je teorija gauge invarijantna7. Kalibracionasimetrija je osnova za razumevanje sve cetiri interakcije u prirodi.
Potencijali su dakle odredjeni do na kalibracione transformacije. Stoga je moguce nametnutiuslov na potencijale tj. ksirati gauge. Najcesce se koriste Lorencov i Kulonov gauge.
Lorencov kalibracioni uslov je
divA+1
c2@'
@t= 0 : (2.9)
Kasnije cemo pokazati da je ovaj uslov Lorenz invarijantan. Jednacine za potencijale su u ovojkalibraciji dekuplovane:
4' 1c2@2'
@t2= ="0
4A 1c2@2A
@t2= 0j :
(2.10)
Pokazimo da je moguce na potencijale (';A) nametnuti ovaj uslov. Neka polazni potencijali nezadovoljavaju Lorencov gauge tj. neka je
divA+1
c2@'
@t= (t; r) 6= 0 :
7Potencijali nisu opservabilni u klasicnoj elektrodinamici.
23
-
Kalibracionom transformacijom potencijali (';A) prelaze u nove potencijale ('0;A0) za kojezahtevamo da zadovoljavaju Lorencov kalibracioni uslov:
0 = divA0 +1
c2@'0@t
= div(Ar) + 1c2@
@t
'+
@
@t
= divA+
1
c2@'
@t4 1
c2@2
@t2
:
Gornja jednacina postaje
4 1c2@2
@t2=
Ovo je nehomegena Dalamberova jednacina za koju znamo da ima resenja. Primetimo da kadaksiramo Lorencov gauge mozemo i dalje vrsiti gauge transformacije sa funkcijama koja zado-voljavaju
4 1c2@2
@t2= 0 :
Ova dopunska simetrija preostala nakon ksiranja gauga naziva se rezidualnom simetrijom.U Kulonovoj kalibraciji na potencijle se namece sledeci uslov
divA = 0 :
Jednacine za potencijale postaju
4'(r; t) = (r; t)="04A 1
c2@2A
@t2= 0j+ 1
c2r@'@t
: (2.11)
Ove jednacine su kuplovane; u obe se pojavljuje skalarni potencijal. Resenje prve jednacine je
'(r; t) =1
40
Z(r 0; t)d3r0
jr r 0j ; (2.12)
tzv. trenutni Kulonov potencijal. Druga jednacina je
4A 1c2@2A
@2t= 0j+ 1
4"0c2r @@t
Z(r 0; t)d3r0
jr r 0j= 0j 1
4"0c2rZ
div0j(r 0; t)d3r0
jr r 0j= 0
4rotrot
Zj(r 0; t)d3r0
jr r 0j= 0jT : (2.13)
jT je transverzalna (solenoindna) komponenta vektorskog polja. U vektorskoj analizi je poznatoda se svako vektorsko polje moze razloziti na sledeci nacin (Helmholcova teorema):
A = AT +AL ;
24
-
gde je AT transverzalna (divAT = 0) a AL longitudinalna (rotAL = 0) komponenta. Pokazimopropustene korake u (2.13):
rotrot
Zj(r 0; t)d3r0
jr r 0j = graddivZ
j(r 0; t)d3r0
jr r 0j 4Z
j(r 0; t)d3r0
jr r 0j= r
Zj(r 0; t)r 1jr r 0jd
3r0 + 4j
= rZj(r 0; t)r0 1jr r 0jd
3r0 + 4j
= rZ
div0 j(r 0; t)jr r 0j
d3r0
+ rZ
1
jr r 0jdiv0j(r 0; t)d3r0 + 4j
= rI
@V
j(r 0; t) dS0 1jr r 0j
Zdiv0j(r 0; t)jr r 0j d
3r0+ 4j
= rZ
div0j(r 0; t)jr r 0j d
3r0 + 4j(r; t) : (2.14)
U drugom redu primenili smo Dirak-Grinov identitet, u trecem
r 1jr r 0j = r0 1jr r 0j ; (2.15)
u narednom (18.154). Time smo pokazali Helmholcovu teoremu.
3 Elektromagnetno polje u sredini
3.1 Maksvel{Lorencove jednacine za elektromagnetno polje u sup-stancijalnoj sredini
Elektromagnetno polje u supstancijalnoj sredini generisu naelektrisanja te sredine kao i naelek-trisanja uneta u tu sredinu. Mikroskopske gustina naelektrisanja (r; t) i struje k(r; t) sredine subrzo uktuirajuce funkcije kako u prostoru tako i u vremenu. Sva naelektrisanja, dakle spoljasnjai unutrasnja, generisu mikropolja: mikroskopsko elektricno polje e(r; t) i mikroskopsku magnetnuindukciju b(r; t). Mikropolja su takodje brzo uktuirajuce funkcije. Vremenske uktuacije su saperiodom reda T 1017s a prostorne d 1010m. Tretirajuci da se sva naeektrisanja nalaze
25
-
u vakuumu mozemo napisati Maksvelove jednacine za mikropolja:
div("0e) = + ext
divb = 0
rote = @b@t
rot(b
0) = k+ jext + "0
@e
@t: (3.1)
Da bi imali kompletan sistem jednacina moramo dodati jednacine kretanja naelektrisanih cestica:
dpdt
= q(e + v b); = 1; : : : ; N : (3.2)
N je reda velicine 1023 tako da je gornji sistem jednacina poprilicno beskoristan. Cak i kadbi znali da ga resimo, ne znamo pocetne uslove. Zato vrsimo usrednjavanje ovih jednacina.Mikroskopska polja kao i mikroskoske gustine naelektrisanja i struje su neopservabilne velicine.Zato cemo ih usrednjiti po prostornom i vremenskom intervalu, koji su odredjeni samim procesommerenja makroskopskih velicina. Mi ne merimo polje u tacki r vec merimo srednje polje unutaroblasti V oko tacke r, gde je V zapremina sonde kojom merimo polje. Slicno, usrenjavamoi po vremenu. Makroskopsko elektricno polje, E(r; t) je srednja vrednost mikroskopskog polja,e(r; t):
E(r; t) = he(r; t)i = 1tV
ZV
d3r 0Z t0
dt0e(r+ r 0; t+ t0) : (3.3)
Slicno se denisu srednje vrednosto ostalih mikroskopskih velicina. Ako su velicine posle usredn-javanja i dalje brzo uktuirajuce onda ih usrednjavamo statisticki8. Jasno je da parcijalni izvodikomutiraju sa usrednjavanjem:
@
@xihe(r; t)i =
@
@xie(r; t)
(3.4)
i slicno@
@the(r; t)i =
@
@te(r; t)
: (3.5)
Posle usrednjavanja mikroskopskih jednacina (3.1) dobijamo
div("0E) = hi+ extdivB = 0
rotE = @B@t
rot(B
0) = hki+ jext + "0@E
@t:
8Srednja vrednost opservable A(pi; qi; t) po ansamblu je
A =
RA(pi; qi; t)f(pi; qi)dR
f(pi; qi)d
gde je f funkcija raspodele a d = d3pid
3qih3NN !
element faznog prostora.
26
-
E i B su makroskopska jacina elektricnog polja odnosno makroskopska magnetna indukcija; hkii hi su makroskopske gustine struje i naelektrisanja i oni su funkcije makroskopskih polja.
Unutrasnja naelektrisanja podelicemo na slobodna i vezana. Slobodna naelektrisanja sekrecu po celom telu a vezana su lokalizovana u atomu, molekulu ili jonu.9 U metalu postojeslobodni elektroni; joni i elektroni su slobodna naelektrisanja u plazmi, joni su takodje slobodnanaelektrisanja u elektrolitu. Da bi sl bilo razlicito od nule nije dovoljno da se naelektrisanjamogu slobodno kretati u telu vec moraju biti u visku ili manjku. Dakle
h(r; t)i = hsl:(r; t)i+ hvez:(r; t)i = sl + vezhk(r; t)i = hksl:(r; t)i+ hkvez:(r; t)i = jsl + jvez :
Elektricni dipolni moment
p =
Zd3r r(r; t) (3.6)
u slucaju sistema tackastih naelektrisanja postaje
p =X
qr : (3.7)
Magnetni dipolni moment
m =1
2
Zd3r r j(r; t) (3.8)
za sistem tackastih naelektrisanja je
m =1
2
X
qr v : (3.9)
Varijanta IMikroskopska gustina naelektrisanja je
= sl + vez (3.10)
gde je
sl =Xj;sl
qj(3)(r rj(t)) (3.11)
ivez =
Xn
n(r; t) ; (3.12)
gde je
n(r; t) =Xj2n
qj(3)(r rj(t))
=Xj2n
qj(3)(r rn(t) rnj(t))
9Ova podela je uslovna, npr. u brzo promenljivom polju sva naelektrisanja se ponasaju kao vezana.
27
-
gustina naelektrisanje na ntom molekulu (ili 'celiji' tela; atomu, jonu,.. ). rn je radijus vek-tor centra mase ntog molekula, rnj je radijus vektor naelektrisanja qj koje pripada ntommolekulu, u odnosu na njegov centar mase.
Polarizacija, P(r; t) je denisana kao dipolni moment jedinicne zapremine
P(r; t) =
Pn2V pnV
: (3.13)
U prethodnoj formuli sumira se po dipolnim momentima koji su u okolini tacke r u trenutku t.Polarizacija sistema tackastih dipola je
P(r; t) =X
p(3)(r r(t)) : (3.14)
U slucaju supstancijalne sredine prethodmu sumu cemo obeleziti sa (r; t):
(r; t) =Xn
pn(3)(r rn(t)) ; (3.15)
gde je pn elektricni dipolni moment ntog molekula. To je mikroskopska polarizacija. Makroskop-ska polarizacija je njena srednja vrednost
P(r; t) = h(r; t)i =*X
n
pn(3)(r rn(t))
+: (3.16)
Gustina vezanih naelektrisanja je
vez =
*Xn
n
+
=
*Xn
Xj2n
qj(3)(r rn rnj)
+
=
*Xn
Xj2n
qj(3)(r rn)
Xj2n
qjrnj 5(3)(r rn(t)) + : : :+
=
*Xn
qn(3)(r rn)
+*X
n
pn 5(3)(r rn(t))++ : : :
=
*Xn
qn(3)(r rn)
+ div
*Xn
pn (3)(r rn(t))++ : : :
=
*Xn
qn(3)(r rn)
+ divP ; (3.17)
gde smo vise clanove koji bi bili doprinosi visih multipola zanemarili. Molekul (odnosno atom,jon,..) smo predstavili kao skup multipola. U trecem redu delta funkciju smo razvili u red. Sa
28
-
qn obelezili smo naelektrisanje ntog molekula. Ako je molekul elektroneutralan onda je prviclan jednak nuli.
Ukupna gustina naelektrisanja posle usrednjavanja je
hi = sl +*X
n
qn(3)(r rn)
+ divP
= divP; (3.18)
gde je
=
*Xj;sl
qj(3)(r rj(t)
++
*Xn
qn(3)(r rn)
+(3.19)
makroskoska gustina naelektrisanja. Ona se sastoji od dva sabirka; prvi je srednja vrednostmikroskopskog slobodnog naelektrisanja, a drugi se dobija usrednjavanjem naelektrisanja molekula(celija) tretiracu ih kao tackasta.
U provodnoj sredini zbir prvog i drugog clana je nula ukoliko je sredina sredinama nemaslobodnih naelektrisanja pa su prvi i drugi sabirak ponaosob jednaki nuli. Neutralnost sredinese narusava dodavanjem spoljnih naelektrisanja. U literaturi se cesto identikuje sa sl sto jeu vecini slucajeva tacno.
Magnetizacija se denise slicno kao polarizacija
M(r; t) =
Pn2V mnV
: (3.20)
Ona je suma magnetnih dipolnih momenata po jedinici zapremine. Za sistem tackastih magnet-nih dipola izrazena je preko delta funkcije
M(r; t) =X
m(3)(r ra(t)) : (3.21)
Mikroskopska magnetizacija sredine je
(r; t) =Xn
mn(3)(r rn(t)) : (3.22)
U prethodnoj formulimn je magnetni dipolni moment ntog molekula. Usrednjavanjem mikroskoskemagnetizacije dobijamo makroskopsku magnetizaciju
M(r; t) = h(r; t)i : (3.23)
Neka je vn brzina ntog molekula a vni = drnidt brzina i-tog naelektrisanja koje pripadantom molekulu u odnosu na centar mase molekula. Srednja vrednost mikroskopske gustine
29
-
struje vezanih naelektrisanja je
jvez(r; t) = hkvez(r; t)i =Xn
hkn(r; t)i
=
*Xn
Xi2n
qi(vn + vni)(3)(r rn(t) rni(t))
+=
Xn
Xi2n
qi(vn + vni)(
(3)(r rn(t)) rni r(3)(r rn(t)))
+ : : :
=Xn
Xi2n
qivn
(3)(r rn(t))+
qivni
(3)(r rn(t))
*X
n
Xi2n
qivn(rni 5(3)(r rn(t)))+
*X
n
Xi2n
qivni(rni 5(3)(r rn(t)))+
:
Analiziracemo svaki od cetiri sabirka posebno. Prvi jeXi2n
qivn(3)(r rn(t)) = qnvn(3)(r rn(t)) : (3.24)
Za molekule koji su elektroneutralni on je jednak nuli. Drugi sabirak jeXn
Xi2n
qivni(3)(r rn(t)) =
Xn
_pn(3)(r rn(t))
=@
@t
Xn
pn(3)(r rn(t))
Xn
pn(vn 5(3)(r rn(t))) :
Poslednji clan je reda brzine molekula i mozemo ga zanemariti jer je jvnij jvnj: Treci sabirakse takodje moze zanemariti iz istog razloga. Lako se vidi da jeX
i2nqivni(rni 5(3)(r rn(t)))
=d
dt
Xi2n
qirni(rni 5(3)(r rn(t)))
Xi2n
qirni(vni 5(3)(r rn(t)))
Xi2n
qirni(rni @@t
5 (3)(r rn(t))
Xi2n
qirni(vni 5(3)(r rn(t))) ; (3.25)
30
-
gde smo clanove kvadraticne po dimenzijama molekula zanemarili. Ovu aproksimaciju primen-jujemo od samog pocetka. Prilikom razvijanje delta funkcije u red zadrzali smo linearne clanovepo rni. Koristeci (3.25) cetvrti clan se transformise
Xn
Xi2n
qivni(rni 5(3)(r rn(t)))
= 12
Xn
Xi2n
qivni(rni 5(3)(r rn(t))) + 12
Xn
Xi2n
qirni(vni 5(3)(r rn(t)))
=1
2
Xn
Xi2n
qi5 (3)(r rn(t)) (rni vni)
=Xn
5(3)(r rn(t))mn
=Xn
rot(mn(3)(r rn(t))) : (3.26)
U pretposlednjem koraku primenili smo
rot(v) = 5 v + rotv : (3.27)
Sabirajuci sve clanove dobijamo mikroskopsku gustinu vezanih naelektrisanja
kvez = qnvn(3)(r rn(t))
+@
@t
Xn
pn(3)(r rn(t))
+ rot
Xn
mn(3)(r rn(t))
: (3.28)
Usrednjavanjem mikroskoske gustine struje dobijamo
hki = hksl + kvezi
=
*Xi;sl
qivi(3)(r ri(t))
++Xn
qnvn
(3)(r rn(t))
+@
@t
*Xn
pn(3)(r rn(t))
++ rot
*Xn
mn(3)(r rn(t))
+= j+
@P
@t+ rotM ; (3.29)
gde je
j =
*Xi;sl
qivi(3)(r ri(t))
++Xn
qnvn
(3)(r rn(t))
(3.30)
makroskopska gustina struje. Za elektroneutralne molekule ona se svodi na gustinu struje slo-bodnih naelektrisanja. Kod provodnih sredina drugi clan je obicno zanemarljiv u odnosu na
31
-
prvi. Zamenjujuci izraze (3.17) i (3.29) u (3.6) dobijamo
div("0E) = + ext divPdivB = 0
rotE = @B@t
rot(B
0) = j+ jext + rotM+
@P
@t+ 0
@E
@t: (3.31)
Uvodeci D-vektor (elektricna indukcija) i jacinu magnetnog polja, H sa
D = "0E+P
H =1
0BM (3.32)
prethodne jednacine postaju
divD = + ext (3.33)
divB = 0 (3.34)
rotE = @B@t
(3.35)
rotH = j+ jext +@D
@t: (3.36)
Ovo su Maksvel{Lorencove jednacine za elektromagnetno polje u supstancijalnoj sredini. Nepoz-natih velicina ima 16 i to E;B;D;H; j; dok je broj jednacina sest (dve su dopunski uslovi).Maksvel{Lorencove jednacine se moraju dopuniti sa jos deset tzv. supstancijalnih jednacina.
Varijanta II Dipolni moment sistema naelektrisanja zavisi od izbora pola. Pri promeni pola
r(1) = r0 + r(2) (3.37)
diplni moment se transformise na sledeci nacin
p(1) =NX=1
qr(1) =
NX=1
q(r0 + r(2) )
= r0
NX=1
q + p(2) ; (3.38)
odakle vidimo da dipolni moment ne zavisi od izbora pola ukoliko je sistem elektroneutralan.Polarizacija je denisana sa
P(r; t) =
Pi2V piV
: (3.39)
32
-
Ako pretpostavimo da je sredina sastavljena od elektroneutralnih molekula ili atoma onda jeXi2V
p(0)i =
Xi2V
p(i)i
vezrV = PV
odnosno ZV
vezrdV =
ZV
PdV (3.40)
Mnozenjem sa ei dobijamoZV
xivezdV =
ZV
PidV
=
ZV
(P r)xidV
=
ZV
div(xiP) xidivP
dV
=
I@V
xi(P dS)ZV
xidivPdV : (3.41)
Povrsinski integral je jednak nuli pa je
vez = divP : (3.42)
Magnetni dipolni moment sistema naelektrisanih cestica zavisi od izbora pola. Pri promenipola (3.37) on se menja na sledeci nacin
m(1) =1
2
NX=1
q(r(1) v(1) ) =
1
2
NX=1
q(r0 + r(2) ) v(2)
= m(2) +1
2r0 dp
(2)
dt: (3.43)
Magnetizacija je denisana analogno polarizaciji
M(r; t) =
Pi2V miV
: (3.44)
Veza imedju magnetnog dipolnog momenta i-tog molekula u odnosu na lab. sistem, m(0)i i u
odnosu na sopstveni pol mi je
m(0)i =mi +
1
2ri @pi
@t: (3.45)
Sumiranjem po molekulima unutar zapremine V imamoXi2V
m(0)i =
Xi2V
mi +1
2
Xi2V
ri dpidt
; (3.46)
33
-
odnosno1
2(r jvez)V =MV + 1
2r @P
@tV : (3.47)
Iz poslednje jednakosti slediZV
1
2(r jvez)dV =
ZV
MdV +1
2
ZV
r @P@t
dV : (3.48)
Primenom formule IS
r (dS A) =ZV
(r rotA)dV 2ZV
AdV
iz vektorske analize imamoZV
(r jvez)d3r
= IS
r (dSM) +ZV
(r rotM)d3r+Z(r @P
@t)d3r :
Povrsinski integral je jednak nuli pa kako predhodni izraz vazi za svaku zapreminu V to je
jvez = rotM+@P
@t: (3.49)
3.2 Supstancijalne jednacine
Kao sto smo rekli Maksvel{Lorencove jednacine moramo dopuniti sa jednacinama sredine, tzvsustancijalnim jednacinama. To su veze oblika
D = D[E;B]
H = H[E;B]
j = j[E;B] : (3.1)
Ove veze karakterisu sredinu i tesko ih je generalizovati na sve sredine. Mogu biti i nelinearne.U statickom (elektricnom odnosno magnetnom) polju supstancijalne jednacine neprovodne
sredine su
= 0
j = 0
D = "0"E
B = 0H ; (3.2)
gde je " relativna dielektricna propustljivost sredine, relativna magnetna propustljivost. Molekuliovakvih sredina su najcesce elektroneutralni, pa su i j gustine naelektrisanja i struje slobodnihnaelektrisanja, ali i one su jednake nuli.
34
-
Sredina kod koje prethodne formule vaze i u promenljivom polju
= 0
j = 0
D(r; t) = "0"E(r; t)
B(r; t) = 0H(r; t) ; (3.3)
zvacemo Maksvelov dielektrik. Jasno je da ove jednacine mogu vaziti samo za sporo promenljivapolja.
Ukoliko se provodna sredina nalazi u statickom polju onda je
= 0
j = E
D = "0"E
B = 0H (3.4)
gde je provodnost. Prva jednacina je posledica elektroneutralnosti sredine. Maksvelov provod-nik je sredina kod koje prethodne relacije vaze i za promenljiva polja. Provodna sredina nedozvoljava postojanje zapreminske gustine naelektrisanja. Polazeci od jednacine kontinuiteta
@
@t+ div(E) = 0
@
@t+
"0" = 0
dobijamo
(t) = (0)e t"0" : (3.5)
Kod dobrih provodnika "0"= je veliko pa je = 0.Ako je sredina anizotropna onda ; ; su tenzori dielektricne propustljivosti, magnetne
propustljivosti odnosno provodnosti. Jednacine (3.4) postaju
ji(r; t) = ijEj(r; t)
Di(r; t) = "0"ijEj(r; t)
Bi(r; t) = 0ijHj(r; t) (3.6)
Prethodne supstancijalne relacije su lokalne i simultane, tj. sredina je bez disperzije, sto je zickineprihvatljivo. Elektrodinamicka reakcija sredine u trenutku t treba da zavisi od polja u ranijimtrenucima vremena. Ovo se naziva vremenskom disperzijom:
Di(r; t) =
Z t1
dt0Fij(r; t; t0)Ej(t0; r)
Bi(r; t) =
Z t1
dt0Gij(r; t; t0)Hj(t0; r)
ji(r; t) =
Z t1
dt0Kij(r; t; t0)Ej(t0; r) :
35
-
Tenzori Fij(r; t; t0); Gij(r; t; t0); Kij(r; t; t0) karakterisu sredinu. Ako je sredina stacionarna, tj
njene osobine se ne menjaju sa vremenom onda jezgra linearnih operatora Fij; Gij i Kij zaviseod razlike t t0 a ne od t i t0 ponaosob. Ukoliko npr. D vektor u tacki r zavisi od jacinepolja u okolnim tackama onda to nazivamo prostornom disperzijom. Vremenska disperzija, zbogkonacnosti prostiranja elektromagnetne interakcije uvek prati prostornu disperziju. Dakle zasredine sa prostorno vremenskom disperzijom supstancijalne jednacine su
Di(r; t) =
Z t1
dt0Z
d3r 0Fij(r; r 0; t; t0)Ej(t0; r 0)
Bi(r; t) =
Z t1
dt0Z
d3r 0Gij(r; r 0; t; t0)Hj(t0; r 0)
ji(r; t) =
Z t1
dt0Z
d3r 0Kij(r; r 0; t; t0)Ej(t0; r 0) :
Sredine kod kojih je "ij = "ij; : : : su izotropne. Ako jezgra integralnih operatora u prethodnimjednacinama zavise od razlike r r 0, tj, ukoliko je npr.
Di(r; t) =
Z t1
dt0Z
d3r 0Fij(r r 0; t; t0)Ej(t0; r 0) (3.7)
onda takve sredine nazivamo homogenim. One su invarijantne na translaciju
Fij(r; r0) = Fij(r+ a; r 0 + a) (3.8)
gde je a proizvoljan vektor. Specijalno za a = r 0 slediFij = Fij(r r 0) :
3.3 Granicni uslovi
Vektori jacine elektricnog polja i magnetnog polja kao i elektricna i magnetna indukcija nisuneprekidne funkcije. Ukoliko na nekoj povrsi se nalaze naelektrisanja i/ili teku struje onda nekeod komponenti polja trpe skokove. Ovo sledi iz samih Maksvel{Lorencovih jednacina.
Neka je granicna povrs izmedju dve supstancijalne sredine. Velicine koje se odnose na prvusredinu obelezicemo indeksom 1 a one koje se odnose na drugu sredinu sa indeksom 2. Uzecemoda je S mala povrsina na granici ove dve sredine i konstruisacemo zatvorenu cilindricnu povrs,visine h i bazisa S1 i S2 i zapremine V , kao na slici. Integracijom prve Maksvel-Lorencovejednacine, (3.33) po zapremini V imamoZ
V
divDd3r =
ZV
sl+extd3r (3.1)
Primenom Gausove teoreme imamoZV
sl+extd3r =
I@V
D dS
=
ZS1
D dS+ZS2
D dS+ZM
D dS : (3.2)
36
-
Element zapremine napisacemo kao d3r = hdS za malo h pa je u limesu h! 0ZV
limh!0
sl+exth
dS =
ZS
(D2 D1) ndS ; (3.3)
gde smo uveli ort normale n usmeren od sredine 1 ka sredini 2. Kada h tezi nuli povrsiS1; S2 se poklapaju sa S. Izraz
limh!0
sl+exth
u (3.3) je nenulti ako gustina naelektrisanja divergira na granicnoj povrsini. Ocigledno je da jeon jednak povrsinskoj gustini slobodnog i spolja unetog naelektrisanja. Dakle,Z
S
(D2 D1) ndS =Z(sl + ext)dS : (3.4)
Kako je predhodni izraz tacan za proizvoljno malu povrs S to je
D2n D1n = sl+ext ; (3.5)gde je Dn = D n normalna projekcija vektora elektricne indukcije. Projekcija vektora elektricneindukcije na pravac normale u datoj tacki granicne ravni i u datom trenutku vremena trpi skokkoji je jednak povrsinskoj gustini slobodnih i eksternih naelektrisanja u toj tacki granicne povrsii u tom trenutku vremena.
Analogno iz (3.34) slediB2n B1n = 0 ; (3.6)
kao sto izdivP = vez (3.7)
slediP2n P1n = vez : (3.8)
Pogledajmo sada rotorske jednacine. Integraciom (3.36) po povrsini S imamoZS
jex+sl dS +ZS
@D
@t dS =
ZS
rotH dS
=
Z A2A1
H dl+Z B2A2
H dl
+
Z B1B2
H dl+Z A2B1
H dl ; (3.9)
gde smo primenili Stoksovu teoremu. Dalje cemo zameniti
dS = dS = hdl (3.10)
i uzeti limes h! 0: Z BA
limh!0
jsl+exth
dl =
Z BA
(H2 H1) dl ; (3.11)
37
-
odakle slediisl+ext = (H2 H1) ; (3.12)
gde je i gustina povrsinske struje. Ona je jednaka kolicini naelektrisanja koje u jedinici vremenaprodje kroz jedinicnu duzinu koja je normalna na pravac prenosenja naelektrisanja. Gustinapovrsinske struje paralelna je granicnoj povrsi. Primenom = n imamo
isl+ext = (H2 H1) ( n)isl+ext = (n (H2 H1)) ; (3.13)
odnosnon (H2 H1) = isl+ext : (3.14)
Mnozenjem poslednje relacije vektorski sa n dobijamo
H2t H1t = isl+ext n (3.15)
gde su H2t odnosno H1t tangencijalne komponente vektora jacine magnetnog polja u sredini 2odnosno 110. Slicno iz
rotE = @B@t
slediE2t E1t = 0 (3.16)
kao i iz
jvez = rotM+@P
@t(3.17)
sto slediM2t M1t = ivez n : (3.18)
10Proizvoljan vektor A mozemo razloziti na normalnu i tangencijalnu komponentu u odnosu na ort n na sledecinacin
A = An +At
gde jeAn = (A n)n
iAt = (nA) n :
38
-
4 Teoreme elektromagnetnog polja-energija, impuls i mo-
ment impulsa
4.1 Pointingova teorema
Promena kineticke energije sistema naelektrisanih cestica u jedinici vremena po teoremi energijeje
d
dt(X
") =X
q(E + v B) v =X
qv E
=
Zd3r(
X
qv(3)(r r)) E(r; t)
=
Zd3rj E (4.1)
Pretpostavili smo da cestice ne napustaju zapreminu V . IzrazRd3rjE je rad polja u jedinici vre-
mena (snaga) na premestanju slobodnih i spolja unetih naelektrisanja. On govori o pretvaranjeelektromagnetne energije u mehanicku. Dalje cemo uvesti sledece pretpostavke: makroskopskasredina je nepokretna, linearna i bez disperzije. Primenom cetvrte Maksvel{Lorencove jednacinei vektorskog identiteta
div(EH) = H rotE E rotHimamo
j E = E rotH E @D@t
= div(EH) +H rotE E @D@t
= div(EH)H @B@t
E @D@t
: (4.2)
U drugom redu iskoristili smo trecu Maksvel{Lorencovu jednacinu. Na osnovu prethodnogimamo Z
V
d3rj E = ZV
div(EH)d3r ZV
H @B
@t+ E @D
@t
d3r : (4.3)
Izraz E dD +H dB u opstem slucaju nije totalni diferencijal. Ako supstancijalne jednacineimaju oblik
Di = 0ijEj; Bi = 0ijHj; (4.4)
39
-
tj. sredina je kao sto smo rekli u uvodu linearna i bez disperzije tada je
E dD = EidDi = 0ijEidEj=
1
20(ijEidEj + ijEidEj)
=1
20(ijEidEj + jiEjdEi)
=1
20(ijEidEj + ijEjdEi)
=1
2(EidDi +DidEi) =
1
2d(E D) ; (4.5)
gde smo u trecem redu neme indekse i i j zamenili u drugom clanu; a zatim u narednom reduiskoristili da je tenzor dielektricne propustljivosti simetrican. Slicno je
H dB = 12d(H B) : (4.6)
Primenom (4.5) i (4.6) iz (4.3) dobijamoZV
d3rj E+ ddt
ZV
d3rD E
2+H B2
=
IS=@V
Sp dS ; (4.7)
gde je Sp = EH Pointingov vektor. Izraz
Wem =
ZV
d3rD E
2+H B2
je elektromagnetna energija, dok je podintegralni izraz
! =1
2(E D+B H) ;
gustina elektromagnetne energije. Energija elektromagnetnog polja se u opstem slucaju ne mozedenisati. Primer su sredine sa disperzijom. Tu postoje gubici; izrazZ
V
d3rH @B
@t+ E @D
@t
nije vremenski izvod neke velicine.
Pointingovu teoremu (4.7) mozemo iskazati recima: Promena elektromagnetne energije uoblasti V u jedinici vremena plus energija koja u jedinici vremena iscuri kroz granicnu porsinuoblasti V jednaka je negativnom radu u jedinici vremena na premestanju slobodnih i spoljaunetih naelektrisanja. Ovo je ocigledno zakon odrzanja energije. Koristeci (4.1) imamo
d
dt
X
+Wem
=
I@V
Sp dS ; (4.8)
40
-
odakle vidimo da promene mehanicke i energije elektromagnetnog polja u jedinici vremena jejednaka negativnom uksu Pointingovog vektora kroz granicnu povrsinu. U slucaju odsustvasupstancijalne sredine, tj. u vakuum izraz (4.7) ima oblikZ
V
d3r j E+ ddt
ZV
d3r0E2
2+B2
20
=
IS=@V
Sp dS ; (4.9)
odnosnod
dt
Wmeh +Wem
=
IS=@V
Sp dS : (4.10)
Za polje se kaze da je potpuno ako je jednako nuli na granici konacne oblasti ili ako je granicau beskionacnosti onda opada bar kao 1=r2 na velikim rastojanjima. Za potpuno polje uksPointingovog vektora kroz granicnu povrs je nula pa je ukupna energija sistema, tj. zbir energijepolja i mehanicke energije konstanta. Potpuno polje je analogon izolovanog sistema u mehanici.Pointingovu teoremu mozemo napisati i u diferencijalnom obliku. Iz (4.7) sledi
j E+ @!em@t
+ divSp = 0 (4.11)
odnosno@
@t(!meh + !em) + divSp = 0 : (4.12)
Prethodni izraz ima istu formu kao i jednacina kontinuuiteta; to je standardni oblik zakonaodrzanja.
Fluks Pointingovog vektora IS
Sp dS
je energija u jedinici vremena koja prostruji kroz zatvorenu porsinu S. Pointingov vektor je ondagustina ovog uksa. Dimenzije Pointingovog vektora su J=sm2. Da li mozemo interperiratiPointingov vektor kao gustinu uksa snage tj. kao energiju koja u jedinici vremena prodjekroz povrsinu normalnu na pravac prenosenja energije? Odgovor na ovo pitanje je negativan.Pointingov vektor nije jednoznacan. Naime izraz
Sp + rot;
gde je proizvoljno vektorsko polje, je podjednako dobar kao i sam Sp, jer je divrot = 0. Ijedan i drugi daju isti uks kroz zatvorenu povrsinu i istu divergenciju. Iz tog razloga Pointingovvektor nije opservabilna velicina. Fizicki smisao ima uks Pointingovog vektora kroz zatvorenupovrsinu, on je jednak negativnoj promeni energije (mehanicke i elektromagnetne) u oblastiobuhvacenoj tom povrsinom.
Neka je elektrostaticko polje plocasog kondenzatora postavljeno ortogonalno na magneto-staticko polje permanentnog magneta. Pointingov vektor Sp =
10EB je razlicit od nule iako
nema nikakvog strujanja energije; polja su staticka. Medjutim, uks Pointingovog vektora krozma koju zatvorenu povrsinu u ovoj oblasti je jednak nuli.
41
-
Primenimo Pointingovu teoremu za dugacak provodnik pouprecnika a koji je vezan na izvorEMS. Uzmimo za povrsinu S povrsinu provodnika. Tada je
E = Eez =U
lez; B =
02
I
re'
pa je Pointingov vektor na cilindru r = a
Sp =1
0EB = EI
2ae :
Fluks Pointingovog vektora jeIS
Sp dS = ElI = UI = RI2
Pointingova teorema ima oblik Zd3r j E = RI2 = UI :
Poslednji izraz je Dzulov zakon. Pointigov vektor je usmeren ka osi simetrije provodnika. Da lienergija od izvora u provodnik dolazi ne kroz zice vec iz okolnog prostora? U mnogim knjigamacete naci pozitivan odgovor na ovo pitanje. Nije lako dati pravi odgovor jer je situacija krajnjezbunjujuca. Ono sto sigurno mozemo reci je kolika je energija koja prodje kroz cilindaricnu povrsjedinicne duzine oko provodnika. Pitanje je da li mozemo izmeriti Pointingov vektor.
Ako bi granicna povrsina obuhvatala i izvor EMS tada bi Pointingova teorema bila
dWemdt
+
Zd3rj E =
IS
Sp dSdWemdt
+
Zd3r
j2
Z
d3rj E0 = IS
Sp dS : (4.13)
Koristili smoj = (E+ E0) ;
gde je E0 neelektromagnetno polje. Takodje smo uzeli da je provodnik izotropan. IzrazZd3rj E0
je snaga izvora EMS. Iz izraza (4.13) slediZd3r
j2
=
Zd3rj E0 ;
tj. Dzulova snaga je jednaka snazi izvora (zanemarili smo unutrasnji otpor).Bez obzira na probleme interpretacije Pointingovog vektora Pointingova teorema radi savrseno.
U svim merenjima mi merimo promenu energije u jedinici vremena u oblasti prostora koju za-uzima detektor, dakle uks Pointingovog vektora.
42
-
4.2 Teorema impulsa
Razmatrajmo sistem naelektrisanih cestica u vakuumu. Promena mehanickog impulsa cesticajednaka je ukupnoj sili koja deluje na cestice:
d
dt
X
p) =
ZV
d3r(E+ jB): (4.1)
Iz (2.63) i (2.66) mozemo izraziti zapreminsku gustinu naelektrisanja odnosno struje i dobijeneizraze zameniti u (4.1)
d
dt
X
p) =
Zd3rh0EdivE+
10
rotB 0@E@t
B
i=
ZV
d3rh0EdivE+
1
0rotBB 0 @
@t(EB) + 0E @B
@t
i=
ZV
d3rh0EdivE 0E rotE
+1
0BdivB 1
0B rotB 0 @
@t(EB)
i:
Lako se vidi da je (i; j su dekartovi indeksi)
(EdivE E rotE)i = Ei@jEj ijkklmEj@lEm= Ei@jEj (iljm imjl)Ej@lEm= Ei@jEj Ej@iEj + Ej@jEi= @j(EiEj) 1
2@i(EjEj)
= @j(EiEj) 12@i(E
2)
= @j(EiEj 12E2ij) : (4.2)
Analogan identitet vazi za treci i cetvrti clan pa je
d
dt
X
p
i
=
ZV
d3r@j
0EiEj +
1
0BiBj 1
2(0E
2 +1
0B2)ij
0 d
dt
ZV
d3r(EB)i
=
ZV
d3r@jTij 0 ddt
ZV
d3r(EB)i ;
gde smo uveli Maksvelov tenzor napona
Tij = 0EiEj +1
0BiBj 1
2(0E
2 +1
0B2)ij (4.3)
43
-
koji se moze prepisati u obliku11
T^ = 0jE >< Ej+ 10jB >< Bj wI : (4.4)
w je zapreminska gustina energije elektromagnetnog polja u vakuumu. Primenom Gausoveteoreme za tenzore Z
d3r@jTij =
IS=@V
TijdSj
zapreminski integral (4.3) se moze transformisati u povrsinski pa teorema impulsa za sistempolje i naelektrisanih cestica postaje
d
dt
hX
p + 0
Zd3r(EB)
i=
IS
T^dS : (4.5)
Iz nje vidimo da se ukupan impuls sistema koji je zbir mehanickog impulsa P =P
p i impulsaelektromagnetnog polja
G =
ZV
gd3r = 0
ZV
d3r(EB) = 1c2
Zd3rSp
menja zato sto impuls "curi" kroz granicnu povrs. U slucaju potpunog polja povrsinski integral jenula pa je ukupan impuls sistema ocuvan. Prethodno razmatranje je bilo za sistem naelektrisanihcestica u vakuumu. U slucaju nepokretne linearne i izotropne sredine
D = 0r(r)E; B = 0r(r)H
kod koje relativna dielektricna i magnetna propustljivost ne zavise od temperature slicnomanalizom se moze dobiti
d
dt
hX
p +
Zd3r(DB)
i 1
2
Zd3r(0E
2rr + H2rr) =IS
T^dS ; (4.6)
gde je sada Maksvelov tenzor napona dat sa
T^ = jE >< Dj+ jB >< Hj 12(E D+H B)I : (4.7)
U (4.6) sumaP
p je mehanicki impuls slobodnih i externih naelektrisanja; drugi clan poticeod sile koja deluje na vezana naelektrisanja. Izraz
G =
Zd3r(DB)
11Dijada jA >< Bj na vektore deluje prema(jA >< Bj)jC >= jA >< BjC >< Cj(jA >< Bj) =< CjA >< Bj
44
-
je impuls polja mada ne ulazeci u analizu prihvatljiviji izraz za impuls polja je
G =1
c2
ZV
(EH)d3r :
PRIMER1 Odrediti silu po jedinici povrsine koja deluje na provodnik na kome je zadata raspodelapovrsinskog naelektrisanja.
Elektricno polje je E = En = 0n gde je n ort spoljasnje normale prodnika. Kako je polje
staticka to iz (4.5) sledi
F =
IS
(0E2n 1
20E
2n)dS =1
2
IS
0E2ndS
pa je sila po jedinici povrsine
f =dF
dS=
1
20E
2n = !en :
Ako su ploce ravnog kondenzatora naelektrisane sa povrsinskim naelektrisanjem odnosno sila koja deluje na pozitivnu plocu, prema prethodnoj formuli je
F = (S)
20:
Izraz za silu je napisan u obliku proizvoda naelektrisanja ploce S i elektricnog polja =(20).Zar polje kondenzatora nije =0. Odakle faktor 1=2?
PRIMER2 Naci silu po jedinici povrsine koja deluje na granicnoj povrsini izmedju dva dielek-trika propustljivosti 1 i 2.
Sila koja deluje na tanak sloj sa slike je
dF = (T (1) + T (2))dS
gde je
T (1)dS = (D1nE1 1201E
21n)dS ;
T (2)dS = (D2nE2 1202E
22n)dS ;
pa je
dF = (D2nE2 D1nE1 12(E2 D2 E1 D1)n)dS :
Ako bi ova dva dielektrika bila izmedju obloga kondenzatora koji je na stalnom napanu V i kodkoga je rastojanje izmedju ploca d sila bi bila
dF =1
2
Vd
20(1 2)ndS :
45
-
4.3 Teorema momenta impulsa*
Teoreme momenta impulsa za sistem naelektrisanih cestica u zapremini V ima oblik
d
dt
X
L) =
ZV
d3r r (E+ jB) ; (4.1)
gde je L moment imulsa cestice . Postupajuci kao u prethodnoj lekciji dobijamo
dLidt
=
ZV
d3rijkxj@lTkl ddt
ZV
d3rijkxjgk: (4.2)
Maksvelov tenzor napona je simetrican pa je
ijkxj@lTkl = ijk@l(xjTkl) : (4.3)
Onda dobijamodLidt
=
ZV
d3rijk@l(xjTkl) ddt
ZV
d3rijkxjgk (4.4)
odnosnodLidt
=
I@V
ijkxjTkldSl ddt
ZV
d3rijkxjgk (4.5)
odnosno
dL
dt=
I@V
(r T^dS) ddt
ZV
d3r(r g): (4.6)
Izraz
Lf = 0
ZV
d3r(r (EB)) (4.7)
je moment impusa elektromagnetnog polja.
5 Relativisticka elektrodinamika
5.1 Lorencove transformacije
Kvadrat intervala izmedju dva innitezimalno bliska dogadjaja (tacke) (ct; r) i (c(t+dt); r+dr)u prostoru Minkovskog je
ds2 = c2dt2 dr2 :Brzina svetlosti c = 3 108m
sje ista za sve inercijane posmatrace. Iz ovoga sledi da je kvadrat
intervala invarijanta, tj.c2dt02 dr 02 = c2dt2 dr2 :
46
-
Primovane velicine oznacavaju koordinate u primovanom sisstemu.Vektori u prostoru Minkovskog su
x = xe =
0BB@x0
x1
x2
x3
1CCA =0BB@ctxyz
1CCA ;gde su x kontravarijantne komponente vektora x u bazi
e0 =
0BB@1000
1CCA ; e1 =0BB@0100
1CCA ; e2 =0BB@0010
1CCA ; e3 =0BB@0001
1CCA :Metrika prostora Minkovskog je
g =
0BB@1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
1CCA :Ona sluzi za odredjivanje duzine vektora. Kvadrat duzine cetvorovektora x je
x2 = xTgx = gxx = c2t2 x2 ;
tj. s2. Lorencove transformacije su one linearne transformacije koordinata x0 = x, gde je realna 4 4 matrica, koje ne menjaju kvadrat duzine cetvorovektora, tj. za koje vazi x02 = x2 :Prethodni uslov daje
x0Tgx0 = xTgx
xTTgx = xTgx ;
odakle slediTg = g : (5.1)
Prethodna matricna jednacina sadrzi deset uslova na matricu pa su Lorencove transformacijeodredjene sa 16 10 = 6 nezavisnih parametara. Lorencova grupa je sestoparametarska. Bustduz xose (prelazak iz sistema S u sistem S 0 koji se krece konstantnom brzinom v duz xose)dat je sa
t0 =t v
c2xq
1 v2c2
; x0 =x vtq1 v2
c2
; y0 = y; z0 = z (5.2)
ili u matricnom obliku 0BB@x00
x01
x02
x03
1CCA =0BB@
0 0 0 00 0 1 00 0 0 1
1CCA0BB@x0
x1
x2
x3
1CCA ;47
-
gde su uvedene sledece oznake
=v
c; =
1p1 2 :
Uvodeci tanh' = matrica busta duz xose ima oblik12
=
0BB@ch' sh' 0 0sh' sh' 0 00 0 1 00 0 0 1
1CCA :Lako se vidi da matrica busta duz x ose zadovoljava uslov (5.1) tj. ona je Lorencova transfor-macija. Rotacija za ugao oko zose
=
0BB@1 0 0 00 cos sin 00 sin cos 00 0 0 1
1CCAje takodje Lorencova transformacija. Sest nezavisnih Lorencovih transformacija su tri busta i trirotacije.
Lorencove transformacije13 cine grupu:1. Ako su 1 i 2 Lorencove transformacije onda je i 12 Lorencova transformacija jer
(12)Tg(12) =
T2 (
T1 g1)2 =
T2 g2 = g :
2. Jedinicni element je jedinicna matrica.3. Mnozenje matrica je asocijativno.4. Iz (5.1) sledi da je inverzni element 1 = g1Tg. U komponentnoj notaciji prethodni
rezultat je(1) = (g
1Tg) = gg =
:
Iz prethodnog ne sledi T = 1, to bi bilo u kontradikciji sa (5.1). Transponovana matrica je
T = g1g1 ;
odnosno(T ) = (g
1g1) = g(1)g
= (1) :
Indeksi matrice su , inverzne matrice (1) a transponovane (
T ) : Kovarijantne kom-ponente vektora su denisane sa
x = gx =
0BB@x0x1x2x3
1CCA =0BB@x0
x1x2x3
1CCA :12 je indeks vrste a kolone.13Mnogi detalji o Lorencovoj grupi dati su u prvoj glavi knjige V. Radovanovic, Problem book in Quantum
Field Theory, Springer, Berlin,2006, second edition 2008.
48
-
Ispitajmo kako se x transformise pri Lorencovim transformacijama:
x0 = gx0 = gx
= gg
x = (gg1) x
= (T1) x = (1)x
= x : (5.3)
Zakljucak:
x0 = x
x0 = (1)x =
x :
Parcijalni izvodi po x su@
@x=1c
@
@t;r: (5.4)
Ispitajmo njegov zakon transformacije:
@
@x=@x0
@x@
@x0=
@
@x0: (5.5)
Mnozeci prethodni izraz sa (1) dobijamo
@
@x0= (1)
@
@x:
Dakle, izvod po kontravarijantnoj komponenti vektora transformise se kao kovarijantna kompo-nenta cetvorovektora pa cemo koristiti notaciju
@ =@
@x:
Slicno
@ =@
@x=1c
@
@t;r
su komponente kontravarijantnog vektora.
Dalamberov operator (Dalamberijan) je denisan sa
= g@@ =1
c2@2
@t24 :
Ovaj operator je skalar tj.0 = :
Tenzor tipa (m;n) se pri Lorencovim transformacijama transformise prema
T 01:::m1:::n(x0) = 11 : : :
mm(
1)11 : : : (1)nnT
1:::m1:::n(x) :
Kontravarijantni vektor je tenzor tipa (1; 0), a kovarijantni tipa (0; 1):
49
-
5.2 Cetvorovektor gustine struje i potencijala
Eksperimentalna je cinjenica da svi inercijalni posmatraci mere isto naelektrisanje:
dq = dq0
dV = 0dV 0 :
Pokazimo da je element zapremine prostora Minkovskog invarijanta:
d4x0 =@x0@x
d4x = j detjd4x = d4x ;jer je det = 1. Takodje koristili smo
@x0
@x=@(x
)
@x=
@x
@x= : (5.6)
Denisimo velicinu
j(t;x) = (t;x)dx
dt: (5.7)
Ispitajmo kako se ona transformise u odnosu na Lorencove transformacije:
j0(t0;x0) = 0(t0;x0)dx0
dt0
=(t;x)d3x
d3x0
dx
dt0
= (t;x)d3x
d3x0dt0dx
= (t;x)dx
dt= j
: (5.8)
Dakle j su komponente jednog cetvorovektora. To je tzv. cetvorovektor gustine struje. Njegovekomponente su
j = (c; j = v) :
Gustina naelektrisanja i struje za posmatraca iz inercijalnog sistema S su odnosno j, a zaposmatraca iz inercijalnog sistema S 0 su 0 odnosno j0. Ako se sistem S 0 krece duz x ose brzinomv onda je 0BB@
c0
j0xj0yj0z
1CCA =0BB@
0 0 0 00 0 1 00 0 0 1
1CCA0BB@cjxjyjz
1CCA :Primer: Naelektrisanje q se krece ravnomerno sa brzinom v = vex. U sistemu reference vezanomza ovo naelektrisanje vektor gustine struje je
j0 = (cq(3)(r 0); j0 = 0)
50
-
Primenom Lorencovih transformacija pokazati da je u laboratorijskom sistemu
j = (cq(3)(r vt); j = qv(3)(r vt)) :
Jednacine za elektromagnetne potencijale u Lorencovoj kalibraciji su
4'c
1c2@2
@t2
'c
= 0c) '
c= 0c
4A 1c2@2A
@t2= 0j) A = 0j :
UvodeciA = (
'
c;A)
prethodne jednacine se mogu zapisati u formi
A = j :
Kako je Dalamberov operator skalar, a j cetvorovektor onda je A takodje cetvorovektor, tzv.cetvorovektor potencijala. Lorencov kalibracioni uslov
1
c2@'
@t+ divA = 0
zapisan u kovarijantnoj formi je @A = 0. On ima isti oblik u svim inercijalnim sistemima, dakle
ako u jednom inercijalnom sistemu potencijali zadovoljavaju Lorencovu kalibraciju, @A = 0
onda i u svakom drugom sistemu vazi @0A0 = 0.
Gauge transformacija elektromagnetnog potencijala
' ! '+ @@t
A ! Ar
suA ! A + @ :
Jednacina kontinuiteta je kovarijantna
@j = 0 :
5.3 Zakon transformacije jacina polja
Kao sto smo videli cetvoropotencijal A = ('=c;A) se transformise kao cetvorovektor pri Loren-covim transformacijama
A0(x0 = x) = A(x) ;
51
-
sto u slucaju busta duz x ose postaje0BB@'0=cA0xA0yA0z
1CCA =0BB@
0 0 0 00 0 1 00 0 0 1
1CCA0BB@'=cAxAyAz
1CCA ;odnosno
'0 =' vAxq1 v2
c2
; A0x =Ax vc2'q
1 v2c2
; A0y = Ay; A0z = Az : (5.9)
Ispitajmo sada kako se transformise x komponenta elektricnog polja:
E 0x = @A0x@t0
@'0
@x0
= @t@t0
@
@t+@x
@t0@
@x+@y
@t0@
@y+@z
@t0@
@z
Ax vc2'q1 v2
c2
@t@x0
@
@t+@x
@x0@
@x+@y
@x0@
@y+@z
@x0@
@z
' vAxq1 v2
c2
= :::
= @Ax@t
@'@x
= Ex
Slicno se dobija
E 0y =Ey vBzq
1 v2c2
; E 0z =Ez + vByq
1 v2c2
;
B0x = Bx; B0y =
By +vc2Ezq
1 v2c2
; B0z =Bz vc2Eyq
1 v2c2
: (5.10)
Prethodne formule se mogu generalisati za slucaj proizvoljnog boosta. Neka se sistem S 0 krecebrzinom v u odnosu na S, tada je :
E0k = Ek; E0? =
E? + v Bq1 v2
c2
;
B0k = Bk; B0? =
B? 1c2v Eq1 v2
c2
: (5.11)
Paralelne komponente polja su kolinearne sa brzinom v dok su normalne ortogonalne na brzinu.Za male brzine vazi
E0 = E+ v BB0 = B 1
c2v E :
52
-
5.4 Elektromagnetno polje naelektrisanja u uniformnom kretanju
Neka se naelektrisanje q krece konstantnom brzinom duz x ose. Odredimo polja E i B ulaboratorijskom sistemu S. Sistemu S 0 je vezan za naelektrisanje kao na slici. U tom sistemupostoji samo elektrostaticko polje; Potencijali su
'0 =1
40
q
r0; A0 = 0 : (5.12)
Potencijali u laboratorijskom sistemu su0BB@'=cAxAyAz
1CCA =0BB@
0 0 0 00 0 1 00 0 0 1
1CCA0BB@'0=cA0xA0yA0z
1CCA :Odavde je skalarni potencijal
' ='0 + vA0xq1 v2
c2
=1
40
qq(x vt)2 + (1 v2
c2)(y2 + z2)
=1
40
q
R; (5.13)
gde je
R =
r(x vt)2 + (1 v
2
c2)(y2 + z2) :
Komponente vektorskog potencijala su
Ax =v
c2' =
1
40
v
c2q
R; Ay = Az = 0 : (5.14)
Koristeci izraze za skalarni i vektorski potencijal lako se nalazi jacina elektricnog polja
E = @A@t
r'
=q
40
1 v2c2
(R)3R ; (5.15)
gde je R relativan radijus vektor u sistemu S izmedju tacke u kojoj se nalazi naelektrisanje itacke u kojoj se odredjuje polje, tj. R = (x vt; y; z). Lako se vidi da je
x vt = R cos py2 + z2 = R sin : (5.16)
53
-
Ugao je ugao izmedju vektora r i ex u sistemu S. Lako se vidi da je
E =q
40
1 v2c2
1 v2c2sin2
3=2 RR3 : (5.17)Magnetna indukcija se nalazi analogno
B =1
c2v E : (5.18)
Jacina elektricnog polja ima minimum za = 0; a maksimum za = =2. Lako se vidi daza male brzine, v c (nerelativisticka aproksomacija) jacina elektricnog polja je
E =q
40
R
R3; (5.19)
a magnetna indukcija
B =04
qv RR3
: (5.20)
Ovaj izraz direktno daje izraz za magnetnu indukciju stacionarne struje (2.19). U ultrarele-tivistickoj aproksimaciji (v c)
E =q
40
1 v2c2
cos3
R
R3: (5.21)
Ovo polje je skoncentrisano u transverzalnom pravcu, =2:
5.5 Naelektrisana cestica u elektromagnetnom polju
Dejstvo sistema sa konacnim brojem stepeni slobode je
S[qi] =
Z tfti
L(qi; _qi; t)dt ; (5.22)
gde su q1; : : : ; qn generalisane koordinate a _q1; : : : ; _qn generalisane brzine. Prava trajektorijasistema je ona za koju je dejstvo stacionarno, tj.
S = 0 : (5.23)
Ovo je Hamiltonov princip. Lako se moze pokazati da uslov stacionarnosti dejstva daje La-granzeve jednacine kretanja
d
dt
@L@ _qi
@L@qi
= 0 : (5.24)
Za sisteme sa potencijalnim silama i idealnom holonomnim vezama Lagranzijan je dat sa
L = L(q1; : : : qn; _q1 : : : _qn) = T U ;
54
-
gde je n broj stepeni slobode sistema, dok su T i U kineticka, odnosno potencijalna energijasistema.
Razmatracemo kretanje naelektrisane cestice u zadatom elektromagnetnom polju A =A(x). Cesticu opisujemo trajektorijom x = x() u prostoru Minkovskog. Dejstvo je
S =
Z(mcds qAdx) + Sf : (5.25)
Prvi clan je dejstvo za slobodnu relativisticku cesticu, dok je drugi clan interakcija naelektrisanjasa elektromagnetnim poljem. Kako je polje zadato treci clan, dejstvo slobodnog polja, nas neinteresuje. Dejstvo (5.25) je skalar u odnosu na Lorencove transformacije. Interval izmedjuinnitezimalno bliskih tacaka x i x + dx je
ds = cd = c
r1 v
2
c2dt : (5.26)
Kako jeAdx = ('A v)dt
to imamo
S =
Z tfti
dtmc2
r1 v
2
c2 q'+ qA v
: (5.27)
Izraz u zagradi je ocigledno Lagranzijan
L = mc2r1 v
2
c2 q'+ qA v (5.28)
i on nije skalar. Generalisani impuls je
P =@L
@v=
mvq1 v2
c2
+ qA = p+ qA ; (5.29)
gde je p vektor impulsa slobodne relativisticke cestice. Hamiltonijan je
H = v P L=
mc2q1 v2
c2
+ q'
=pm2c4 + c2(P qA)2 + q' : (5.30)
U poslednjem koraku smo eliminisali brzine preko impulsa jer je Hamiltonijan funkcija koordinatai impulsa. U nerelativistickom limesu Hamiltonijan postaje
H =(P qA)2
2m+ q' (5.31)
55
-
tako da Sredingerova jednacina za cesticu u elektromagnetnom polju je
i@
@t=h(ir qA)2
2m+ q'
i :
Odredimo jednacine kretanja cestice. Iz (5.28) sledi14
@L
@r= rL
v= qr'+ qr(v A)
= qr'+ q(v rotA+ (v r)A)
i@L
@v= p+ qA (5.32)
pa je jednacina kretanja
d
dt
@L@v
@L@r
= 0
(5.33)
jed
dt(p+ qA) = qr'+ qv B+ q(v r)A (5.34)
Kako jedA
dt=@A
@t+ (v r)A (5.35)
to iz (5.34) sledidp
dt= q(E+ v B) : (5.36)
Lako se moze pokazati da je
d
dt
mc2q1 v2
c2
= v F = qv E : (5.37)
5.6 Manifestno kovarijantno izvodjenje jednacina kretanja
Kao sto smo rekli trajektorija relativisticke cestice je x = x(), gde smo uzeli da je sopstvenovreme. Trajektorija je kriva u prostoru Minkovskog parametrizovana sa . Interval ds izmedjutacaka x i x + dx je
ds =pgdxdx
=
rg
dx
d
dx
dd : (5.38)
14r(a b) = (a r)b+ (b r)a+ a rotb+ b rota
56
-
Dejstvo za slobodnu cesticu koja se krece od tacke (dogadjaja) 1 do druge tacke (dogadjaj) 2 je
S = mcZ 21
ds = mcZ 21
rg
dx
d
dx
dd : (5.39)
Ono je proporcinalno duzini rastojanja izmedju tacaka (t1;x1) i (t2;x2). Ovo dejstvo je reparametriza-ciono invarijantno, tj. umesto parametra moze se uzeti bilo koji drugi parametar15 0 = 0()ali uz uslov
0(1) = 1; 0(2) = 2 :
Dejstvo relativisticke cestice u spoljnem polju (5.25) postaje
S = Z 21
hmc
rg
dx
d
dx
d+ qA
dx
d
id
= Z 21
hmcpguu + qAu
id ;
gde smo uveli cetvorobrzinu u. Izraz
~L(x(); u()) = mcpguu qAu (5.40)je Lagranzijan, samo za razliku od (5.28) ovaj je Lorencov skalar jer je za razliku od laboratori-jskog vremena sopstveno vreme skalar. Jednacine kretanja cestice
d
d
@ ~L@u
@
~L
@x= 0 (5.41)
dobijene iz ovog Lagranzijana su manifestno kovarijantne. Zamenom
@ ~L
@u= mcp
guuu qA
= mu qA@ ~L
@x= q@A
@xu
u jednacine kretanja dobijamo
mdud
= q@A@x
@A@x
u (5.42)
sto se moze prepisati u obliku
mdud
= qFu ; (5.43)
15Izborom x0 = c ova simetrija se ksira i mi dobijamo dejstvo
S = mc2Z tfti
dt
r1 v
2
c2:
Dobli smo tzv gauge ksirano dejstvo koje nema reparametrizacionu simetriju.
57
-
gde je
F =@A@x
@A@x
(5.44)
tzv. tenzor jacine polja. Cetvoroimpusla cestice je
p = mu =mc
dt
d;m
dx
d
="c; p
gde je " energija cestice, a p njen impuls. Jednacine kretanja (5.43) postaju
dp
d= qF u : (5.45)
F je dva puta kontravarijantni tenzor jer se pri Lorencovim transformacijama transformisekao
F 0(x0 = x) = F
(x) ; (5.46)
gde je x0 = x: Prethodno transformaciono pravilo moze biti zapisano u matricnom obliku
F 0 = (FT ) : (5.47)
Iz denicije tenzora jacine polja je jasno da je on antisimetrican, F = F : PotrazimoF0i
F0i = @0Ai @iA0= 1
c
@Ai
@t 1c
@'
@xi
=Ei
c: (5.48)
Slicno je i
F12 = @1A2 @2A1=
@A2@x1
@A1@x2
=@Ax@y
@Ay@x
= Bz : (5.49)
Preostale komponente se slicno nalaze pa je
F =
0BB@0 Ex
c
Eyc
EzcEx
c0 Bz By
Eyc
Bz 0 BxEz
cBy Bx 0
1CCA : (5.50)
58
-
Potrazimo sada = 0 jednacinu (5.45):
dp0
d= qF 0iui
= q E
i
c
dx
i
d
(5.51)
odnosnod"
dt= qE v : (5.52)
Za = 1 imamo
dp1
d= q
F 10u0 + F
12u2 + F13u3
= q
Ex
dt
d+Bz
dx2
dBy dx
3
d
= q
Ex + vyBz vzBy
: (5.53)
Lako se zakljucuje da za = i = 1; 2; 3 imamo
dp
dt= q(E+ v B) : (5.54)
Dakle, jednacine kretanja (5.52), (5.54) su kovarijantne, tj. vaze u svim inercijalnim sistemimareference. Njihova kovarijantnost je ocigledna iz oblika (5.45).
Zakone transformacije polja smo vec izveli ranije, ali cemo ih sada dobiti elegantnije iz zakonatransformacije tenzora jacine polja (5.47). Za boost duz x ose imamo0BBB@
0 E0xc
E0yc
E0zc
E0xc
0 B0z B0yE0yc
B0z 0 B0xE0zc
B0y B0x 0
1CCCA
=
0BB@
0 0 0 00 0 1 00 0 0 1
1CCA0BB@
0 Exc
Eyc
Ezc
Exc
0 Bz ByEyc
Bz 0 BxEzc
By Bx 0
1CCA
0BB@
0 0 0 00 0 1 00 0 0 1
1CCA : (5.55)Odavde se ponovo dobija (5.11).
59
-
5.7 Kovarijantnost Maksvelovih jednacina
U prethodnoj lekciji rekli smo da je interakcija naelektrisanja q sa elektromagnetnim poljemopisana interakcionim clanom u dejstvu
Sint = qZA(x)dx
:
Ocigledno je da u slucaju sistema od N naelektrisanih cestica ovaj clan postaje
Sint = NXa=1
ZqaAdx
a : (5.56)
Indeks a prebrojava cestice: qa je naelektrisanje cestice indeksa a, dxa je diferencijal na njenoj
trajektoriji. Interakcioni clan cemo transformisati na sledeci nacin 16
Sint = Xa
qa
Z cA0(xa) + Ai(xa)
dxiadt
dt
= Z
dt
Zd3rX
a
qa(3)(r ra(t))cA0(r; t)
+Xa
qaviaAi(r; t)
(3)(r ra(t))
= 1c
Zd4xc(r; t)A0(r; t) + j
i(r; t)Ai(r; t)
= 1c
Zd4xjA =
1
c
Zd4xLint: (5.57)
Clan koji opisuje interakciju