skripta iz fizike

PRIPR

EME

Zagreb, 2006.

1

PRIPREMIO

FIZIKA

DARIO MIČIĆ

provided by www.perpetuum-lab.com.hr

Nakladnik

PRIPREME , Zagreb, 1. Ferenščica 45

tel.: (01) 24 50 904, 24 52 809, 091 51 36 794

Skripta služi isključivo za internu uporabu na tečajevima koji se, u okviru PRIPREMA , održavaju kao pripreme za polaganje razredbenog ispita na svim fakultetima na kojima se piše razredbeni test iz fizike. Zabranjeno je kopiranje i prodavanje ovog materijala ili njegovih dijelova.


1 Pripreme za razredbene ispite

O x

y

1 2 3 4 51

123

4

1

P(4, 3)

Ishodište izaberemo proizvoljnoO

I. MEHANIKA

Pod pojmom mehanika razumjevamo skup znanosti koje proučavaju međudjelovanje tijela te njihovo gibanje u prostoru tijekom vremena. Fizikalno utemeljenje pojma prostora i vremena te međudjelovanja tijela prvi je dao Isaac Newton 1687. u svom djelu Philosophica Naturalis Principia Matematica. Prostor je, prema Newtonu, velika šuplja kutija u kojoj su razmještena tijela (zvijezde, planeti, ljudi, cvijetovi, kamenje, mobiteli ...). Valja uočiti da je prostor nezavisan od tijela koja su u njemu razmještena. Dakle, postoji trodimenzijski prostor kao neovisna kategorija. Vrijeme, prema Newtonu, također postoji neovisno o prostoru i tijelima u prostoru. Ono teče uvijek jednako, neovisno o promatraču i njegovom položaju u prostoru. Fiziku u kojoj se prostor i vrijeme razumjevaju u navedenom smislu uobičajeno je zvati Newtonovska ili klasična fizika. I. 1. KINEMATIKA U kinematici opisujemo gibanje proizvoljnog tijela zabacujući uzrok gibanja toga tijela. Dakle, zanemarujemo međudjelovanje toga tijela i svih ostalih tijela. Utemeljimo pojam gibanja nekog, proizvoljno odabranog, tijela. Tijelo se giba kad mijenja svoj položaj u odnosu na neka okolna (referentna) tijela tijekom vremena. Na primjer, vrh krede (tijelo) se giba u odnosu na ploču (referentno tijelo) kod pisanja kredom po ploči. Položaj određujemo pomoću koordinatnog sustava kojeg možemo proizvoljno odabrati.

O x

y

1 2 3 4 51

123

4

1

P(4, 3)

Ishodište izaberemo proizvoljnoO Da bismo dobili jedinične duljine na koordinatnim osima moramo se dogovoriti za osnovnu jedinicu za mjerenje duljine (a također i vremena odnosno intervala vremena). DULJINA (L, l, d, x∆ ...) je odabrana za osnovnu fizikalnu veličinu u SI sustavu, pa se njena jedinica mora definirati. 1 METAR (1 m) je duljina prametra (štapa) koji se čuva u Parizu Godine 1983. usvojena je sljedeća definicija: Jedan metar jednak je duljini puta koji prevali val svjetlosti u vakuumu tijekom vremenskog intrvala (1/299 792 458) sekundi. Izvedene jedinice za metar (ili bilo koju drugu fizikalnu veličinu) su: VREMENSKE TRENUTKE (i intervale) određujemo pomoću sata (tj. ure ili dobnjaka). VRIJEME (t, T ...) je odabrano za osnovnu fizikalnu veličinu u SI sustavu, pa se jedinica mora definirati. Godine 1976. definiran je standard za vrijeme: Jedna sekunda je vremenski interval potreban za 9 192 631 770 vibracija atoma cezija.

Npr. pri gibanju u ravnini rabimo dvodimenzionalni koordinatni sustav Oxy koji ima dvije koordinatne osi x (apscisa) i y (ordinata) koje najčešće uzimamo međusobno okomitima. Položaj točke P u ravnini u odnosu na ishodište O(0, 0) određen je uređenim parom (x, y) – njenim koordina-tama, npr. P(4, 3) (crtež). Točka P je od ishodišta udaljena 5 jedinica (Pitagorin teorem).

Slično, pri gibanju po pravcu rabimo jednodimenzionalni koordinatni sustav npr. Ox. Na crtežu je prikazana točka Q(3) koja je od ishodišta O(0) udaljena 3 jedinice.

O x1 2 3 4 51 0

Q(3)

1 dm = 110− m 1 dam = 110 m 1 cm = 210− m 1 hm = 210 m

1 mm = 310− m 1 km = 310 m 1 µm = 610− m 1 Mm = 610 m



U klasičnoj fizici je potreban samo jedan sat, jer se pretpostavlja da se informacija između dviju točaka u prostoru može prenositi beskonačnom brzinom (pogledati komentar na stranici 26.). Koordinatni sustav sa satom nazivamo sustavom referencije. Bitno je uočiti da referentni sustav čine: referentno tijelo smješteno u ishodištu, sat i koordinatni sustav. Dimenzije tijela su često nebitne za danu fizikalnu pojavu, pa se pri opisu pojave one mogu zanemariti. Tada tijelo nadomještamo materijalnom točkom. Materijalna točka je matematički objekt koji nema dimenzije i u njoj je smještena ukupna masa tijela. Zamjena realnog tijela s materijalnom točkom je uvijek valjano kod translacijskog gibanja krutog tijela. Npr. kod opisa gibanja automobila po autoputu automobil zamišljamo kao materijalnu točku. Jednako tako postupamo kod gibanja automobila u zavoju zato jer za kratke intervale vremena (odgovarajući) kružni luk možemo zamijeniti odsječkom tangente na kružni luk. Putanja gibanja je stvarni ili zamišljeni trag kojeg tijelo ostavlja pri svom gibanju. Npr. vrh krede po ploči. Ako je putanja pravac onda je to pravocrtno gibanje. Ako je pak putanja zakrivljena krivulja,onda govorimo o krivocrtnom gibanju. (pravocrtno gibanje udesno ili ulijevo) (krivocrtno gibanje) Prevaljeni put je duljina putanje od početne točke (P) do krajnje točke (K). Prevaljeni put najčešće označavamo sa s, ili x ili L … Uočimo:

Tu veličinu mjerimo na brojčaniku automobila. Odrediti prevaljeni put u općem slučaju krivocrtnog gibanja tijela je vrlo netrivijalno! Razmislite, kako odrediti duljinu puta od

točke P do točke K na crtežu!

Pomak, r , je usmjerena dužina (vektor) koja spaja početnu(P) i krajnju točku (K). Pomak je (kao i svaki vektor) određen duljinom (ili iznosom ili modulom), smjerom (pravac na kojem leži) i orjentacijom (početna i konačna točka). Oznaka za pomak je npr. PK , ili r ...

a) pravocrtno gibanje To je gibanje kod kojeg je putanja tijela pravac. Dakle, za opis pravocrtnog gibanja rabiti ćemo jednodimenzionalni koordinatni sustav. Potanko ćemo o tom gibanju govoriti kasnije.

Primjeri: Sprinteri u utrci na 100 m, vlak na ravnom dijelu pruge, muha pri letu u sobi (kraćevrijeme), puž na listu kupusa (kraće vrijeme).

Sada ćemo uvesti pojam brzine i ubrzanja za translacijsko gibanje tijela.

P

Kr

P

K



kt kt

Promotrimo gospođicu Micu pri subotnjoj šetnji Ilicom. pt =10h 30min kt =10h 45min

px =50m kx =200m

U trenutku pt počinje razgledati izlog “Benettona”, u 1t =10h 35min stiže pred izlog “Mladosti”

na položaju 1x =100m, baci pogled na nova izdanja, prisjeti se neke stvarčice iz izloga “Benettona”, vrati se do “Benettona” da bi pomnije razgledala … te se u trenutku kt nađe na uglu Ilice i Frankopanske (na položaju kx ).

→ u vremenskom intervalu k pt t t∆ = − =15min

gospođica Mica se pomakla za k pt x x∆ = − = 200m – 50m = 150m pritom je prevalila put 1 1( ) ( ) ( )p p k px x x x x x∆ = − + − + − = 50 + 50 + 150 = 250m Za opisivanje translacijskog gibanja valja nam definirati sljedeće veličine: brzina 1˚ Srednja brzina tijela po pomaku kao omjer pomaka i pripadnog vremenskog intervala.

k p

k p

x xxvt t t

−∆= =

∆ − To je vektorska veličina.

Razumno je zapitati se kako to da je srednja brzina tijela po pomaku vektor kad je nismo zapisali kao vektor? Razlog leži u činjenici da napisani izraz vrijedi samo za gibanje po pravcu na kojem svaki vektor (pa tako i uvedena veličina) može imati samo dva smjera! Znači, x∆ je algebarska veličina koja može biti pozitivna, jednaka nuli ili negativna. U prvom slučaju se tijelo giba stalno u istom smjeru, u drugom miruje i u trećem slučaju brzina tijela je mijenjala smjer tijekom gibanja! Nazivnik je, dakako, uvijek pozitivan. 2˚ Srednju brzinu tijela po prevaljenom putu kao omjer ukupnog prevaljenog puta i pripadnog vremenskog intervala.

svt

=∆

To je skalarna veličina. Jedinica za mjerenje se izvodi iz definicije:

[ ] [ ][ ]

1 11

x m mvt s s

∆= = =

∆

Trenutnu brzinu v definiramo kao graničnu vrijednost omjera xt

∆∆

kada 0t∆ → .

v = xt

∆∆

kada 0t∆ → ili 0

limt

xvt∆ →

∆=

∆

Veličina (modul) ovog vektora jednak je graničnoj vrijednosti srednje brzine po putu.

0

limt

svt∆ →

=∆



Ubrzanje (akceleracija) Ukoliko se trenutna brzina tijela v mijenja (po modulu i/ili po smjeru) tijekom vremena, definiramo novu fizikalnu veličinu koja opisuje tu promjenu. Za vremenski interval

k pt t t∆ = − brzina se promjeni za k pv v v∆ = −

→ Srednje ubrzanje

a - omjer promjene brzine i pripadnog vremenskog intervala

vat

∆=

∆ tj. to je brzina promjene brzine.

Ovako napisani izraz za srednje ubrzanje vrijedi za svako gibanje i to pri jednodimenzijskom (pravocrtnom), dvodimenzijskom (ravninskom) ili trodimenzijskom (prostornom) gibanju

tijela. Inače, za pravocrtno gibanje dovoljno je napisati vat

∆=

∆pri čemu se podrazumjeva da

je promjena brzine v∆ algebarska veličina koja može biti pozitivna, jednaka nuli ili negativna. → Trenutno ubrzanje

a - granična vrijednost omjera vt

∆∆

kada 0t∆ → tj. 0

limt

vat∆ →

∆=

∆

Jedinicu za mjerenje ubrzanja dobivamo iz definicije:

[ ] [ ][ ] 2

11

1

mv msat s s

∆= = =

∆

1a Jednoliko gibanje po pravcu

Putanja je pravac, a brzina konstantna, tj. konstv =

( ) ( )k pk p k p k p

k p

x xxv t t x x v t tt t t

−∆= = ⋅ − → = + −

∆ −

Obično odaberemo

0p

k

t t

t t

=

=

( )p o

k

x x

x x t

=

=

→ Položaj tijela u ovisnosti o vremenu ima oblik ( ) 0 0( )x t x v t t= + − .

Ako uzmemo za početni trenutak t0 = 0 onda imamo ( ) 0x t x vt= + .

→ Položaj točke kod jednolikog pravocrtnog gibanja je afina funkcija vremena.



Grafički prikaz ovisnosti položaja o vremenu: x - t dijagram: To je pravac koji siječe os položaja u točki 0x ! Nagib pravca ovisi o brzini: tg vα = , α je kut između grafa i osi t. Navedimo dva primjera:

1) 01 15 ; 5 mx m vs

= = → 1( ) 5 5x t t= +

2) 02 20 ; 9 mx m vs

= = → 2 ( ) 9x t t=

Jedna od mogućih fizikalnih interpretacija grafova na crtežu: Biciklist Tonči prošao je kroz ishodište konstantnom brzinom 9 m/s u smjeru osi x i nastavio tako voziti u istom smjeru. U istom trenutku i u istom smjeru ali na 5 m od ishodišta prošla je biciklistica Ruža konstantnom brzinom 5 m/s i nastavila tako voziti u istom smjeru. → Prevaljeni put s(t) u ovisnosti o vremenu je ( ) ( ) 0s t x x t x vt= ∆ = − = . Dakle

( )s t vt= . Uočimo da je put linearna funkcija vremena.

Grafički prikaz ovisnosti puta o vremenu: s - t dijagram: Uzmimo dva prethodna primjera: 1) 1( ) 5 5s t t= + 2) 2 ( ) 9s t t= Vidimo da nema razlike između s-t grafa i x-t grafa! To je zbog toga što brzina tijela nije mijenjala smjer tijekom gibanja!

Grafički prikaz ovisnosti brzine o vremenu: v - t dijagram Uzimamo prethodna dva primjera:

1) 1 5 mvs

=

2) 2 9 mvs

=

Oba pravca su paralelna s vremenskoj osi!

0.5 1 1.5 2t,s

2.5

5

7.5

10

12.5

15

17.5

20x,m

x2

x1

0.5 1 1.5 2t,s

2.5

5

7.5

10

12.5

15

17.5

20s,m

s2

s1

0.5 1 1.5 2t,s

2

4

6

8

10

12v,ms−1

v1

v2



Površina ispod tog dijagrama odgovara brojčano prevaljenom putu u tom vremenskom intervalu.

Kako je kod ovog gibanja konst.v = → 20v mat s

∆= =

∆

Grafički prikaz ovisnosti ubrzanja o vremenu: a - t dijagram a = 0 m/s2

To je pravac koji se poklapa s vremenskom osi.

2a Jednoliko ubrzano gibanje po pravcu Putanja je pravac a ubrzanje je konstantno (i po modulu i po smjeru), tj. konst.a = Kako ovisi brzina o vremenu?

( )k pk p

k p

v vva t tt t t

−∆= = ⋅ −

∆ −

→ ( )k p k pv v a t t= + −

obično odaberemo

0p

k

t s

t t

=

=

( )0p

k

v v

v v t

=

=

brzina tijela u ovisnosti o vremenu ( ) 0v t v at= +

→ Linearna funkcija vremena Grafički prikaz: v - t dijagram Pravac koji siječe os ordinata u točki 0v . Nagib pravca ovisi o ubrzanju: tg aα = , α je kut između grafa i osi t. Navedimo primjer:

1) 01 1 22 ; 2m mv as s

= = → 1( ) 2 2v t t= +

2) 01 2 20 ; 6m mv as s

= = → 2 ( ) 6v t t=

Jedna od mogućih fizikalnih interpretacija grafova na crtežu: OpelVectra2.2 krenula je u početnom trenutku t = 0 s iz ishodišta ubrzanjem a2 = 6 m/s2 i nastavila se gibati po pravcu tim ubrzanjem. OpelCorsa1.4 gibala se u početnom trenutku brzinom v1 = 2 m/s i nalazila se ispred OpelVectre2.2 na udaljenosti v01 = 2 m. OpelCorsa1.4 se nastavila gibati po istom pravcu konstantnim ubrzanjem a1 = 2 m/s2. Automobili su se sudarili nakon 1s.

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4t,s

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5a,ms−2

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4t,s

2

4

6

8

v,ms−1

v1

v2



Površina ispod dijagrama odgovara prevaljenom putu.

( )( )

( )( )

1 2

1 0 0

22 0

0 01 1 102 2 2

s s ss v t v t

s v v t at t at

= +

= − − =

= − − = ⋅ =

→ ( ) 20

12

s t v t at= +

Izraz za prevaljeni put s(t) je kvadratna funkcija vremena. Grafički prikaz: s - t dijagram Graf je parabola koja polazi iz ishodišta! Taj graf nikad ne pada! Znači, kako vrijeme teče put se uvijek povećava! Navedimo primjer:

1) 01 1 22 ; 2m mv as s

= = → 21( ) 2s t t= +

2) 01 2 20 ; 6m mv as s

= = → 22 ( ) 3s t t=

Kako je kod ovog gibanja ( ) ( ) 0s t x x t x= ∆ = − slijedi ( ) ( )0x t x s t= + pa uvrštavanjem

izraza za s(t) dobivamo ( ) 20 0

12

x t x v t at= + + . Polučeni izraz je ponovo kvadratna

funkcija vremena. Grafički prikaz: x-t dijagram Graf je parabola koja siječe os ordinata u 0x ! Navedimo primjer:

1) 01 01 1 22 ; 2 ; 2m mx m v as s

= − = = → 21( ) 2 2x t t t= − + +

2) 02 02 2 22 ; 0 ; 6m mx m v as s

= − = = → 22 ( ) 2 3x t t= − +

Grafički prikaz ovisnosti ubrzanja o vremenu: a-t dijagram a = konst. Graf je pravac paralelan s vremenskom osi. Navedimo primjer:

1) 1 22 mas

=

2) 22 6sma =

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4t,s

2

4

6

8

s,m

s1

s2

0.5 1 1.5 2t,s

-2

2

4

6

8

x,m

x1

x2

0.5 1 1.5 2t,s

1

2

3

4

5

6

7

8a,ms−2

a1

a2



Površina ispod tog dijagrama odgovara brojčano promjeni brzine u danom vremenskom intervalu. Vrlo često odabiremo da je na početku tijelo mirovalo u ishodištu, tj. sljedeće početne uvjete: 0 0 00 ; 0 ; 0t s x m v m= = = → ( ) ( ) ( )2 21 1; ;

2 2v t at s t at x t at= = =

3a Jednoliko usporeno gibanje po pravcu

Putanja je pravac, a ubrzanje je konstantno ali negativno, tj. brzina se jednoliko smanjuje. 0a < Uzmemo li u obzir da je ubrzanje negativno, možemo izraze za ovisnost brzine o vremenu, prevaljenog puta o vremenu i koordinate (položaja) o vremenu prepisati u obliku: ( ) 0v t v at= − ( ) 2

012

s t v t at= − ( ) 20 0

12

x t x v t at= + −

Ubrzanje a uzimamo u ovim izrazima kao pozitivnu veličinu! Navedimo primjer:

0 0 22 ; 4 ; 3m mx m v as s

= = =

1) v = 4 – 3 t, t ≥ 0 2) s = 4 t – 1.5 t2, t ≥ 0 3) x = 2 + 4 t – 1.5 t2, t ≥ 0 Jedna od mogućih fizikalnih interpretacija grafova na crtežima (tj. podataka iz primjera): Tijelo (Ana na dasci za jedrenje) se u početnom trenutku vremena t = 0 s nalazi na udaljenosti 2 m od referentnog tijela (bova), ima brzinu 4 m/s i giba se po pravcu (jedri po pravcu). Vjetar puše u suprotnom smjeru od smjera gibanja tako da tijelu (Ani s daskom) daje deceleraciju 3m/s2. Iz v-t grafa vidimo da će se tijelo zaustaviti nakon (4/3) s te će nakon toga započeti jednoliko ubrzano gibanje u suprotnom smjeru. Iz s-t grafa vidimo da je od početka gibanja do trenutka zaustavljanja tijelo (Ana s daskom) prevalila put (8/3) m. Obzirom da se put ne može smanjivati iz s-t vidimo da prikazani graf ima smisla (prikazuje put) od početka gibanja do trenutka (4/3) s! Ostali dio grafa u s-t dijagramu nema smisao puta! Iz x-t grafa vidimo položaj tijela u proizvoljnom trenutku od početka gibanja. Tako npr. Ana će biti kod bove nakon 3.1 s.

0.5 1 1.5 2t,s

-1

1

2

3

4

5v,ms−1

v

0.5 1 1.5 2 2.5t,s

0.5

1

1.5

2

2.5

3s,m

s

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5t,s

-1

1

2

3

4

5x,m

x



0

Slobodan pad U homogenom gravitacionom polju Zemlje (mala promjena visine i uz zanemarivanje otpora zraka) sva tijela dobivaju jednako ubrzanje

a ≡ g = 9.81 2

ms

≈ 10 2

ms

Vrijednost ubrzanja ovisi o geografskoj širini. → Relacije koje opisuju to jednoliko ubrzano gibanje po pravcu, zapisuju se u obliku: v(t) = gt

s(t) = 12

g t2

x(t) = 0x + 12

g t2

Vrijeme padanja dobijemo iz uvjeta

s( pt ) = H = 12

g 2pt → pt = 2H

g

Brzina kojom tijelo udari o pod iznosi

kv ≡ v( pt ) = g pt = g 2Hg

→ kv = 2gH

Vertikalni hitac prema dolje Tijelo na nekoj visini bacimo početnom brzinom 0v vertikalno prema dolje. →to je jednoliko ubrzano gibanje s početnom brzinom v(t) = 0v + gt

s(t) = 0v t + 12

g t²

x(t) = 0x + 0v t + 12

g t²

6a Vertikalni hitac prema gore

Tijelo izbacimo početnom brzinom 0v vertikalno uvis. Vektori brzine v (t) i ubrzanja g su suprotnog smjera. → to je jednoliko usporeno gibanje s početnom brzinom v(t) = 0v – g t

s(t) = 0v t – 12

g t²

x(t) = 0x + 0v t – 12

g t²

→ vrijeme uspinjanja do najviše visine dobijemo iz uvjeta

kv = v( uspt ) = 0 → 0usp

vtg

=

x

O(0)x0

H

v0 = 0

x

O(0)x0

H

v0 = 0

x

v0

O(0)x0

H



→ visina do koje se tijelo popne dobije se iz

H = s( uspt ) = 2 2

0 0 00 2

12 2

v v vv g

g gg⋅ − = →

20

2v

Hg

=

b Kružno gibanje

Gibanje kod kojeg je putanja – kružnica. Položaj na kružnici možemo odrediti u pravokutnom koordinatnom sustavu s dvije coordinate: P( ,T Tx y )

→ 2 2 2T Tx y R+ =

Češće položaj određujemo radijusom R i kutom ϕ kojega taj radijus zatvara s odabranom (najčešće horizontalnom) osi. Kut ϕ najčešće mjerimo u radijanima. 1 rad = kut kojeg zatvaraju dva radijusa date kružnice koji na pripadnoj kružnici odsjecaju luk duljine radijusa. Općenito je duljina luka l dana s l = R⋅ ϕ ϕ - iskazan u radijanima Ukoliko tijelo napravi puni okret → l = 2 R π Radijus prebriše kut od 360° → R ⋅ ϕ = 2Rπ ϕ = 2π rad = 360° π rad = 180°

2π rad = 90°

3π rad = 60°

O x

y

xT

Ty xTT( , )Ty

R

O x

y

R

T( , )φR

φ

O x

y

R

R

R

1 radφ =

R

R

lφ

R



Pri gibanju tijela po kružnici, tijelo za vremenski interval ∆t = kt – pt prevali

put l odnosno pomakne se za PK . Istovremeno radijus “privezan” za tijelo “prebriše” kut ∆ϕ. → Srednja kutna brzina

k p

k pt t tϕ ϕϕω ω

−∆≡ = =

∆ − - omjer prebrisanog kuta i proteklog vremenskog

intervala. → Trenutna kutna brzina

0

limt t

ϕω∆ →

∆=

∆ - granična vrijednost omjera

tϕ∆

∆ kad 0t∆ →

jedinica za mjerenje

[ ] [ ][ ]

1 radt sϕ

ω = =

Ukoliko se kutna brzina mijenja uvodimo fizikalnu veličinu koja opisuje tu promjenu k p k pt t t ω ω ω∆ = − → ∆ = −

→ Srednje kutno ubrzanje

k p

k pt t tω ωωα

−∆= =

∆ − - omjer promjene kutne brzine i pripadnog vremenskog intervala

→ Trenutno kutno ubrzanje

0

limt t

ωα∆ →

∆=

∆ - granična vrijednost omjera

tω∆

∆ kad ∆t → 0.

Jedinica za mjerenje kutnog ubrzanja se dobije iz definicije: [ ] [ ][ ] 21 rad

t sω

α∆

= =∆

b1) jednoliko gibanje po kružnici putanja kružnica, a kutna brzina konstantna, tj ω = konst. → prebrisani kut u ovisnosti o vremenu

( ) 0

0

tt t

ϕ ϕω

−=

− → ( ) 0t tϕ ϕ ω= + uz 0t = 0 s

Period vrtnje T – vrijeme jednog ophoda

Frekvencija vrtnje f – broj okretaja u 1s → 1fT

=

Jedinica za mjerenje [ ] [ ]11 1f s

T s−= = = ≡ Hz herc

Obodna brzina v tog tijela jednaka je 2l Rv

t Tπ

= =∆

Kako je pritom kutna brzina 2 12 2 f

t T Tϕ πω π π∆

= = = =∆

→ v = R ω ili v = 2 π R f



Kako je ω = konst. → α = 0 → b2) jednoliko ubrzano gibanje po kružnici Putanja je kružnica, a kutno ubrzanje konstantno, tj α = konst. → Kutna brzina ovisi linearno o vremenu

( ) 0

0

tt t

ω ωα

−=

− → ( ) 0t tω ω α= + uz 0t = 0 s

→ Kut ϕ ovisi kvadratično o vremenu (crtež, 0ϕ = 0)

( ) 20

12

t t tϕ ω α= +

Naputak: Postoji puna matematička analogija između jednolikog pravocrtnog gibanja (jedno-like translacije) i jednolikog gibanja po kružnici. Doista, jednolika translacija je opisana izra-zom ( ) 0x t x vt= + , v = konst, a = 0. U drugu ruku, jednolika rotacija je opisana izrazom

( ) 0t tϕ ϕ ω= + , ω = konst, α = konst. Dakle, u izrazima za translacijsko gibanje valja učiniti zamjenu

x → ϕ, v → ω, a → α . Navedena analogija vrijedi i za jednoliko ubrzano (usporeno) translacijsko gibanje i jednoliko ubrzano (usporeno) rotacijsko gibanje. Dakle, možemo pisati: Translacijsko gibanje, a = konst Rotacijsko gibanje, α = konst

( ) 20 0

12

x t x v t at= + + ( ) 20 0

12

t t tϕ ϕ ω α= + +

( ) 0v t v at= + ( ) 0t tω ω α= +



I. 2. DINAMIKA a) vektori

pomak, brzina, ubrzanje … određeni su iznosom (modulom), smjerom i orjentacijom. To su, dakle, vektorske veličine.

Vrijeme, prevaljeni put … određeni su samo iznosom → skalarne veličine

Vektore predočujemo usmjerenim dužinama - znamo početnu točku P, znamo konačnu točku K. Na konačnoj točki stavljamo strelicu koja definira smjer vektora.

Vektore ćemo označavati simbolima ,a b …

Duljinu vektora (ili iznos ili modul ili veličinu vektora) ćemo označavati simbolima bez strijelice a, b ...

Jednakost vektora a b= je ispunjena ukoliko vektori imaju jednaku veličinu (iznos) i gledaju u istom smjeru.

Jedinični vektor (ort)

0aaa

= → 0a a a= Na crtežu je prikazan vektor 03a a=

Zbrajanje vektora - pravilo paralelograma c a b= + Početak prvog dovedemo na početak drugog. Konstruiramo paralelogram → zajednička dijagonala je zbroj. - pravilo trokuta c a b= + Početak jednog dovedemo na na kraj drugog. Zbroj je vektor koji ide od početka prvog do kraja drugog. Množenje vektora skalarom → vektor a množimo skalarom Rλ ∈ i dobivamo novi vektor | λ | a čija je veličina (iznos): |λ |a, a orijentacija: - ista kao i a za λ > 0 - suprotna od a za λ < 0 Za λ = 0 dobijemo nul-vektor 0 koji nema smjera. Za λ = –1 dobijemo (suprotni) vektor koji ima jednaki

modul ali suprotnu orijentaciju.



Oduzimanje vektora → Zbrajanje sa suprotnim vektorom ( )c a b a b= − = + − Rastavljanje vektora na komponente Rastavljanje vektora na komponente vršimo uvijek u zadanom koordinatnom sustavu → najčešće se odabire pravokutni koordinatni sustav npr. dvodimenzionalni xa je x - komponenta

ya je y - komponeneta

Tada je x ya a a= + . → definiramo jedinične vektore (ortove)

u smjeru x - osi x

x

ai

a= ; u smjeru y - osi y

y

aj

a= ; u smjeru z - osi z

z

ak

a=

→ Tada se svaki vektor u koordinatnom sustavu Oxy (tj. u ravnini) može zapisati u obliku x ya a i a j= + → zbrajanje i oduzimanje vektora se lako obavlja: Neka su zadani vektori x ya a i a j= + i x yb b i b j= + . Tada je

( ) ( )x x y ya b a b i a b j± = ± + ± Množenje vektora - skalarno množenje cosa b ab ϕ⋅ = Rezultat množenja je broj (skalar). On je jednak umnošku iznosa vektora i kosinusa kuta kojeg zatvaraju. Budući da je 1i i j j⋅ = ⋅ = , 0i j⋅ = onda je skalarni

produkt

x x y ya b a b a b⋅ = + Vektorsko množenje a b c× = kod čega je modul vektora c jednak c = a b sin ϕ

b a c× = − Dobije se kao rezultat vektor okomit i na a i na b . Duljina vektora jednaka je površini paralelograma kojeg razapinju a i b , tj umnošku iznosa vektora a i b i sinusa kuta između njih. Orijentacija vektora c je određena pravilom desne ruke:

prstima preklapamo prvi vektor a na drugi b , a onda palac pokazuje orijentaciju vektora c .



Vrijede relacije (tablica množenja jediničnih vektora) 0i i j j k k× = × = × = , a također i i j k× = , j k i× = , k i j× = . Ako vektore a i b zapišemo u koordinatnom prikazu x ya a i a j= + , x yb b i b j= + tada je njihov vektorski produkt ( )x y y xa b a b a b k× = − . b) Međudjelovanje tijela. Sila Da neko tijelo međudjeluje s nekim drugim tijelom zapažamo po nekim učincima:

- povećanju ili smanjenju brzine - deformaciji tijela - promjeni oblika tijela - promjeni obujma tijela - promjeni stanja površine tijela - promjeni agregatnog stanja tijela ...

Sila je fizikalna veličina kojom opisujemo koliko je međudjelovanje jednog tijela na drugo. Određena je iznosom, smjerom i orijentacijom → vektor! Tijela mogu međudjelovati kad su u dodiru (npr. ruka i spužva) → Sile dodira - elastična sila pri deformaciji tijela - sila trenja pri klizanju jedog tijela na površini drugog.

Tijela mogu međudjelovati kad su međusobno razmaknuta (npr. Zemlja i Sunce, Zemlja i magnetska kazaljka, natrljani balon i ruka).

→ Sile na udaljenost (ili sile polja) - gravitaciona sila - magnetska sila - električna sila

→ Sile dodira i sile na udaljenost potječu od djelovanja (najmanje) dvaju tijela. Kažemo da su to sile u Newtonovom smislu ili da su to Newtonove sile. Međutim postoje inercijalne sile (npr. centrifugalna inercijalna sila) koje se pojavljuju u neinercijalnim referentnim sustavima koje ne potječu od međudjelovanja dvaju tijela. Inercijalne sile nisu Newtonove sile! b1) Masa. Gustoća Lakše je pokrenuti “fićeka” nego kamion. Kažemo da je kamion tromiji ili inertniji od “fićeka”. Masa – fizikalana veličina kojom mjerimo inertnost tijela ili veličinu gravitacionog međudjelovanja tijela sa Zemljom. → odabrana za osnovnu fizikalnu jedinicu → jedinica se definira [m] ≡ 1 kilogram → 1kg - masa prakilograma – utega koji se čuva u Parizu

Gustoću ρ homogenog tijela definiramo kao omjer mase i obujma tijela: mV

ρ =

Jedinicu za gustoću dobivamo iz [ ] [ ][ ] 31m kgV m

ρ = =

b2) Newtonovi zakoni Svakodnevno iskustvo nas upućuje na to da postoji određena veza između:

- ubrzanja a tijela - mase m tijela - sile F koja djeluje na tijelo

F konst= Pretpostavimo da guramo (iz mirovanja) fićeka i kamion jednakom silom. Obzirom da je

F Km m slijedi da ćemo fićeka lakše pokrenuti, a također da ćemo lakše povećavati brzinu fićeku nego kamionu. Dakle je F Ka a> .



Eksperiment → 1~am

Ubrzanje tijela je, uz djelovanje iste sile obrnuto proporcionalno s masom tijela na koje sila djeluje. Ako je m = konst (npr. djelujemo različitim silama na fićeka) tada

1 2F F< povlači 1 2a a< . Eksperiment → a ~ F Ubrzanje tijela je proporcionalno veličini (modulu) sile koja djeluje na tijelo i ima smjer sile. Ako na tijelo istovremeno djeluje veći broj sila

1 2,F F … tada prethodni zaključak vrijedi za njihovu

rezultantnu RF . Dakle, 1 2RF F F= + + … pa je ubrzanje tijela

jednako RFa

m= . Izraz Rma F= predstavlja II Newtonov zakon ili

temeljnu jednadžbu gibanja. Jedinicu za mjerenje sile dobivamo iz

[ ] [ ][ ] 21 1mF m a kg Ns

= = ≡ i zovemo je Newton.

Umnožak mase tijela i njegove akceleracije jednak je rezultanti svih sila koje djeluju na tijelo. Zakon smo formulirali u referentnom sustavu “Zemlja” (tj. Zemlja je referentno tijelo). Ukoliko je 0RF = (ili sile ne djeluju) onda imamo

0mavat

=∆

=∆

⇒ 0

K P

vv v v

∆ =∆ = −

⇒ K Pv v=

a to znači brzina tijela se ne mijenja (niti po modulu niti po orijentaciji). Drugim riječima, ako je zbroj sila koje djeluju na tijelo jednak nuli ili nikakve sile ne djeluju, tada se tijelo giba jednoliko po pravcu ili miruje tj. 0RF = ⇒ K Pv v= . To je prvi Newtonov zakon (I N. Z.). Promjenu brzine, (tj. ubrzanje) uzrokuje međudjelovanje tog tijela i drugih tijela (tj. sila). I N. Z. se često naziva zakonom inercije. Referentni sustavi u kojima vrijedi ovako formuliran zakon inercije nazivaju se inercijalnim referentnim sustavima (IRS) (npr. “površina Zemlje” je približno IRS). Svi inercijalni referentni sustavi se, jedan prema drugom, gibaju jednolikom brzinom po pravcu. Djelovanje je uzajamno! Naziv sila i protusila se pridjeljuje postojećim silama proizvoljno!

21F - sila s kojom na tijelo 2 djeluje tjelo 1 (npr. sila)

12F - sila s kojom na tijelo 1 djeluje tijelo 2 (protusila) III Newtonov zakon glasi 12 21F F= − Protusila i sila su jednake po veličini ali su supotnog smjera. One djeluju na dva različita tijela! (npr. sila 12F djeluje na tijelo 1 tj. hvatište tog vektora je u tijelu 1 i ona opisuje međudjelovanje tijela 2 i tijela 1 (crtež)). III N. Z. vrijedi samo za dva tijela koja međudjeluju ali ne za tri ili više tijela u (istodobnom) međudjelovanju! b3) Neke vrste sila 1° Sila teža gF - sila s kojom Zemlja djeluje na tijelo u svojoj blizini. Naime, Zemlja djeluje na sva tijela gravitacijskom silom. Pritom je gravitacijska sila tim manja što je tijelo udaljenije. Uobičajeno je gravitacijsku silu Zemlje blizu površine Zemlje zvati sila teža.

1

2

21FF12



Sila teža je jednaka umnošku mase m tijela i ubrzanja sile teže g. gF mg= Sila teža je okomita na površinu Zemlje (u smjeru prema središtu Zemlje). Ubrzanje sile teže (na Zemlji) jednako je g = 9.81 ms–2 . Dakako, i druge planete imaju svoju silu težu kojoj je ubrzanje različito od navedenog na Zemlji. 2° sila pritiska, pF - sila s kojom tijelo djeluje na podlogu na kojoj se nalazi 3° sila reakcije podloge, rF - sila kojom podloga djeluje na tijelo koje se nalazi na podlozi. III N. Z. ⇒ r pF F= 4° težina tijela, G - sila s kojom tijelo djeluje na podlogu na kojoj se nalazi ili na ovjes ako je obješeno. Valja se zapitati kolika je težina tijela? Ako tijelo miruje na horizontalnoj podlozi ili se zajedno s podlogom giba jednoliko po pravcu onda imamo rG F= iz III. N. Z. i g rF F= iz I N. Z. otkuda slijedi da je težina u tom

slučaju jednaka gG F mg= = . 5° sila trenja trF - sila koja se javlja kad su dva tijela u dodiru - sila trenja mirovanja – djeluje horizontalna vučna sila vF , a tijelo miruje. Na njega u suprotnom smjeru djeluje sila trenja mirovanja Ftrm (koju uzrokuje podloga) - sila trenja klizanja – ukoliko vučna sila vF dovoljno poraste, i poprimi vrijednost Fvk tijelo će započeti kliziti po podlozi. Ako se giba konstantnom brzinom tada iz I N. Z. ⇒ tr vkF F= . pokus ⇒ sila trenja klizanja ovisi o:

- pritisnoj sili pF , s kojom tijelo djeluje na podlogu - kvaliteti dodirnih ploha - vrsti dodirnih ploha

tr pF Fµ= ⋅ µ - faktor (koeficjent) trenja. Opisuje ovisnost sile trenja o kvaliteti podloga i o vrsti podloga. Uočiti da sila pritiska Fp ne djeluje na tijelo nego na podlogu. Protusila te sile djeluje na tijelo i jednaka je Fr.



- sila trenja kotrljanja – javlja se pri kotrljanju tijela po podlozi. Stotinjak puta je manja od sile trenja klizanja.

6° Elastična sila, eF - sila koja se javlja u deformiranom tijelu U slučaju elastične opruge ona je proporcionalna veličini deformacije opruge x. 0l - duljina nerastegnute opruge l - duljina rastegnute opruge x = l – 0l je produljenje (ili skraćenje) opruge

~eF x ⇒ eF k x= ⋅ gdje je eFkx

= koeficijent elastičnosti

opruge. On ovisi o materijalu od kojeg je opruga napravljena.

Jedinica za k je [ ] [ ][ ]

1eF Nkx m

= = .

c) Primjena Newtonovih zakona c1) horizontalni hitac U homogenom gravitacionom polju zemlje g na

visini H, tijelu damo početnu brzinu 0v u horizontalnom smjeru i omogučimo mu da pada. Na tijelo djeluje samo sila teža gF (otpor zraka zanemarujemo) gma F mg a g= = → = Uz koordinatni sustav kao na slici imamo: 0xa = , ya g= Početni uvjeti: 0 0t s= x(0) = 0 m 0(0)xv v=

y(0) = 0 m (0) 0ymvs

=

x – komponenta gibanja je jednoliko gibanje po pravcu 0 :xa = ( ) 0xv t v= = konst., ( ) 0x t v t= , y – komponenta gibanja je jednoliko ubrzano gibanje po pravcu

:ya g= ( )yv t gt= , ( ) 212

y t gt=

Vrijeme padanja tijela odredimo iz uvjeta:

( ) 21 22p p p

HH y t gt tg

= = ⇒ =

Domet D je pomak u x – smjeru

( ) 0 02

p pHD x t v t vg

= = =

Vektor brzine ( )v t je u svakom trenutku tangencijalan na putanju – parabolu.



2

20 0

( ) 1 ( )( )2

x t x tt y t gv v

= ⇒ =

220

( ) ( )2gy t x tv

=

Iz Pitagorinog poučka slijedi da je veličina (modul) brzine u bilo kojem trenutku data izrazom

2 20( ) ( )v t v gt= +

Horizontalni hitac možemo gledati kao kombinaciju jednolikog gibanja po pravcu u horizontalnom smjeru i jednoliko ubrzanog gibanja (slobodnog pada) u vertikalnom smjeru prema dolje. c2) kosi hitac Gibanje tijela izbačenog početnom brzinom 0v , pod kutem α, u odnosu na horizontalu u homogenom gravitacionom polju Zemlje. Na tijelo tijekom gibanja djeluje samo sila teža gF (zanemarujemo otpor zraka)

pa slijedi gma F mg a g= = ⇒ = U odabranom koordinatnom sustavu je

20xmas

= , ya g= −

Početni uvjeti: 0 0t s= x(0) = 0 m 0 0(0) cosx xv v vα= ≡ y(0) = 0 m 0 0(0) siny yv v vα= ≡ U x – smjeru - jednoliko gibanje po pravcu 0 0( ) cosx xv t v v α= = 0 0( ) cosxx t v t v tα= ⋅ = ⋅ U y – smjeru - jednoliko usporeno gibanje po pravcu s početnom brzinom 0 0( ) siny yv t v gt v gtα= − = −

20 2

1)sin()( tgtvty −= α

Vrijeme uspinjanja Ht do najviše visine H određujemo iz uvjeta da je u tom trenutku y-

komponenta brzine jednaka nuli. Slijedi g

vtHαsin0= . Dakle, najviša visina H koju dosegne

tijelo jednaka je

2 2 2 20 0

2

sin sin1( )2H

v vH y t gg g

α α= = − otkuda dobivamo

2 20 sin

2vH

gα

= .

Ukupno vrijeme trajanja hica:

02 sin2p Hvt t

gα

= =

Domet kosog hica:

2

0 00

2 sin 2sin cos( ) cospv vD x t v

g gα α αα= = ⋅ =

20 sin 2vD

gα

=



Jednadžba putanje kosog hica:

Iz izraza x(t) za jednoliko gibanje po osi x dobivamo 0

( )cosx tt

v α= . Uvrštavanjem u izraz za

y(t) dobivamo 22 20

1( ) ( ) tg ( )2 cos

gy t x t x tv

αα

= − a to je jednadžba putanje (parabola).

I. 3. Količina gibanja Drugi Newtonov zakon ma F=

možemo zapisati i u malo drugačijem obliku. Rabeći k pv vvat t

−∆= =

∆ ∆ imamo

k pmv mvma F

t−

= =∆

Veličina mv p= tj. umnožak mase tijela i njegove brzine ima važna svojstva. Naziva se količina gibanja (ili katkada impuls) tijela. Jedinicu količine gibanja dobivamo iz definicije:

[ ] [ ][ ] mp m v kg Nss

= = ≡

II Newtonov zakon sada ima oblik k pp pF

t−

=∆

ili F t p⋅∆ = ∆ .

Izraz I F t= ⋅ ∆ se zove impuls sile i jednak je umnošku sile i vremena djelovanja sile. [ ] [ ] [ ]I F t Ns= ⋅ ∆ =

Impuls sile jednak je promjeni količine gibanja p∆ . a) Zakon očuvanja količine gibanja Neka imamo zatvoreni sistem tijela, vanjske sile neka ne djeluju, ili je njihov zbroj nula za svako tijelo sustava. Neka između tijela sustava djeluju sile međudjelovanja, koje zadovoljavaju treći Newtonov zakon 21 12F F= − (radi jednostavnosti dvije biljarske kuglice): 1 1 1p m v=

2 2 2p m v=

1 1 1p m v′ ′=

2 2 2p m v′ ′= Promjene količina gibanja kuglica su 11 1p p p′∆ = −

22 2p p p′∆ = − Ako su čestice za vrijeme sudara međudjelovale vremenski interval ∆t, tada iz III N. Z. ⇒

21 12F t F t⋅ ∆ = − ⋅ ∆ odnosno 2 1p p∆ = −∆ . To znači da vrijedi 2 2 1 1( )p p p p′ ′− = − −

odnosno ' '1 1 2 2 1 1 2 2m v m v m v m v+ = + . To je zakon očuvanja količine gibanja (ZOKG)

ZOKG: Ukupna količina gibanja zatvorenog sustava je konstanta u vremenu.

→ 1 2up p p= +

→ 1 2up p p′ ′ ′= +



Ako se nakon sudara tijela gibaju zajedno → apsolutno neelastični sudar. ZOKG: 1 1 2 2 1 2 12( )m v m v m m v+ = +

1 1 2 212

1 2

m v m vvm m

+=

+

Dio mehaničke energije (kinetičke) se pretvori u unutrašnju energiju. Ukoliko je mehanička energija očuvana → apsolutno elastični sudar 1 1 2 2 1 1 2 2m v m v m v m v′ ′+ = + Nakon sudara tijela se ne gibaju zajedno. I. 4. Rad. Snaga. Energija a) rad sile Kažemo da sila F vrši rad ako se pod njenim djelovanjem tijelo pomakne za s . Izvršeni rad sile definiramo kao umnožak komponentne sile u smjeru pomaka i veličine tog pomaka. W F s= ⋅ ili W = F ⋅ s ⋅ cosα ili kao skalarni produkt W F s= ⋅ Pretpostavljamo da je sila konstantna i po veličini i po smjeru na čitavom pomaku. Jedinica za mjerenje [ ] [ ] [ ]W F s Nm J= ⋅ = ≡ džul

Rad je pozitivan kad je F istog smjera kao i s , tj. W > 0 kad je α < 90° Rad je negativan kad je F suprotnog smjera od s , tj W < 0 kad je 90° < α < 270° Rad je jednak nuli, W = 0 za 1° s = 0 – nema pomaka 2° F = 0 – tj. sila okomita na pomak. Sila F⊥ nikada ne vrši rad. Grafičko računanje rada: Površina ispod F-s dijagrama brojčano odgovara izvršenom radu. Ako je sila konstantna tijekom gibanja onda je situacija prikazana na crtežu: Za elastičnu silu eF k x= ⋅ (uočiti da sila nije konstantna tijekom gibanja) rad je brojčano jednak površini trokuta (crtež):

1 12 2eW F x kx x= ⋅ = ⋅

212

W k x= ⋅



Općenito: Ako se sila mijenja (crtež) tada uzimamo male pomake 1s∆ na kojima možemo silu

1sF∆ smatrati konstantom. Računamo mali

doprinos rada 11 1sW F s∆∆ = ⋅∆ a ukupan rad dobijemo zbrajanjem

ovih malih doprinosa rada 1 2 ...W W W= ∆ + ∆ + Korisnost uređaja, η

UW - uloženi rad

KW - korisni (dobiveni) rad

Tada je K K

U U

W PW P

η = = . Uvijek je 0 ≤ < η < 1.

b) snaga Ako sila F djelujući na tijelo tijekom intervala vremena ∆t, izvrši nad njim rad ∆W, tada definiramo srednju snagu te sile

WP P F vt

∆= = = ⋅

∆

Snaga je omjer izvršenog rada ∆W i vremenskog intervala ∆t za koji je dani rad izvršen.

[ ] [ ][ ]

1 1W JP Wt s

∆= = ≡

∆

Ako ∆t→0 tada dobivamo trenutnu snagu P tj. to je granična vrijednost omjera Wt

∆∆

kada

∆t→0! Dobivamo P F v= ⋅ gdje je v trenutna brzina. c) mehanički oblici energije ˝Zaliha˝ rada kojeg tijelo može izvršiti mijenjajući svoje stanje naziva se energijom. c1) energija gibanja (kinetička energija) Posjeduje ju tijelo koje se giba. Ovisi o: - masi ~kE m

- brzini 2~kE v Pogledajmo tijelo mase m, koje leži na horizontalnoj podlozi i miruje. Neka na njega počne djelovati konstantna sila F u horizontalnom smjeru ( trF - zanemarujemo). Nakon što tijelo prevali put s ono ima brzinu v (jednoliko ubr. gib.). Sila F je

izvršila rad 212 2vW F s ma mva

= ⋅ = ⋅ =

Ako tijelo koje se giba brzinom v ima kinetičku energiju 21

2kE W mv= =

Naputak: Kada se kaže “zaliha” rada onda se ne misli da je rad pohranjen u tijelu tj. ne misli se da tijelo ima rad. Rad nije funkcija stanja tijela (vidjeti poglavlje o toplini). To znači da tijelo ne sadrži rad u sebi. Također, količina topline i toplinski kapacitet tijela nisu funkcije stanja tijela. U drugu ruku, obujam, broj čestica, unutarnja energija su funkcije stanja tijela (dakle, te veličine tijelo sadrži u sebi). Rad se pojavljuje pri međudjelovanju dvaju ili više tijela. U tom procesu se mijenjaju energije tih tijela. Analogna tvrdnja vrijedi za količinu topline i toplinski kapacitet tijela.

212kE mv⇒ =



c2) Energija položaja u homogenom gravitacionom polju - Gravitaciona potencijalna energija, pgE Posjeduje ju tijelo koje se nalazi u gravitacionom polju. Ovisi o: - masi ~pgE m

- visini ~pgE h

- jakosti gravitacionog polja ~pgE g

pgE mgh= Razina (referentno tijelo) od koje se mjeri visina može se proizvoljno odabrati, jer je u svim fizikalnim pojavama važna ne sama potencijalna energija pgE , već njena promjena

pgE∆ kojom se određuje izvršeni rad. Dakle, pgE ovisi otkuda mjerimo visinu a pgE∆ ne ovisi o tome. Neka tijelo mase m podižemo s površine Zemlje jednoliko malom brzinom (pa kE možemo zanemariti). Znači tijelo podižemo silom gF F= . Rad te sile na putu h jednak je W = F ⋅ h = m g h. Ako tijelo ispustimo s te visine tako da ono padne na površinu Zemlje, ono može izvršiti upravo toliki rad, tj. u stanju na visini h ima ˝zalihu˝ rada mgh tj. pgE mgh=

c3) potencijalna elastična energija, peE To je energija pohranjena u deformiranom tijelu. U slučaju elastične opruge ovisi o: - deformaciji 2~peE x

- konstanti elastičnosti ~peE k

Da bismo oprugu rastegli (ili stisnuli) za x, moramo izvršiti rad nad njom jednak 212

W kx=

Kad se opruga vraća u nerastegnuto stanje, može upravo toliki rad izvršiti, tj u stanju protegnuća x ima ˝zalihu˝ rada, tj. elastičnu potencijalnu energiju

212peE kx=

d) Zakon očuvanja mehaničke energije (Emeh = Ek + Epg + Epe) Gledamo tijelo mase m koje slobodno pada s visine H (otpor zraka zanemarujemo). U stanju 1 tijelo ima ukupnu mehaničku energiju 1 1 1 0u k pgE E E mgH mgH= + = + = ; u stanju 2

22

2 1 12 ( )2 2u

mv mE mgh h g mgh mg h h mgH= + = + = + = ;

u stanju 3

23

3 0 22 2u

mv mE gH mgH= + = = .

Dakle, tijelo ima jednaku energiju u stanjima 1, 2 i 3 a također i u svim ostalim međustanjima koja nismo naveli. Kažemo da je mehanička energija očuvana

1 2 3 konst.u u uE E E mgH= = = =



Općenito, u zatvorenom sustavu (u kojem nema sila trenja i sila otpora (disipativnih sila)) je zbroj svih oblika mehaničke energije konstantan tijekom vremena, tj. 1 1 1 2 2 2k pg pe k pg peE E E E E E+ + = + + ili konst.k pg peE E E+ + = ZOME! Energija može mijenjati oblik, ali se ne može niti stvoriti, niti uništiti! Ukoliko u sustavu postoje sile trenja tada mehanička energija nije očuvana. Tada je 2 1k kE E< tj. sila trenja je potrošila dio mehaničke

energije 1 2tr k k mehW E E E= − = ∆ . Mehanička energija prelazi u unutrašnju energiju tijela. Opći zakon očuvanja energije: ukupna količina energije svih oblika, uključujuči i mehaničku i sve oblike unutarnje energije, ostaje čitavo vrijeme konstantnom. (E1 = E2 + W) I. 5. Dinamika kružnog gibanja Pri jednolikom gibanju po kružnici (konstantnom) kutnom brzinom

vR

ω = vektor obodne

brzine v mijenja smjer. Dakle, modul obodne brzine je konstantan 1 2v v v= = ali je 1 2v v≠ . Znači, zbog promjene smjera obodne brzine 2 1v v v∆ = − tijekom odgovarajućeg intervala

vremena 2 1t t t∆ = − postoji akceleracija vat

∆=

∆. Akceleracija a ima smjer jednak smjeru

promjene obodne brzine v∆ . Kad ∆t → 0, tada ϕ → 0, tj. 1ϕ →90° i v v∆ ⊥ (crtež). Dakle, vektor v∆

je okomit na vektor 1v i u smjeru je prema središtu rotacije. Znači ubrzanje a također je u smjeru prema središtu rotacije i zove se centripetalno ubrzanje. Pitanje je koliki je modul centripetalnog

ubrzanja. Može se pokazati da je 2

cpvaR

= .

Izraz za centripetalno ubrzanje se može zapisati na više međusobno ekvivalentnih načina: Rabeći izraz za obodnu brzinu v = ω R imamo

2cpa Rω= .

Slično, rabeći izraz za obodnu brzinu 2RvT

π= gdje je T period rotacije imamo

2

2

4cpa R

Tπ

= .

Centripetalno ubrzanje se pojavljuje kod svih gibanja kojima putanja (trajektorija) nije pravac. To je istina zato jer zakrivljene dijelove putanje možemo shvatiti kao kružne lukove na kojima (kao i kod gibanja po kružnici) imamo centripetalno ubrzanje. U vezi sa centripetalnim ubrzanjem uvodi se pojam centripetalne sile Fcp = m acp kojega valja ispravno razumjeti. Centripetalna sila nije neka posebna sila nego je to način djelovanja jednog ili više tijela na uočeno tijelo mase m pri čemu to međudjelovanje dovodi do gibanja uočenog tijela po kružnom luku (ili kružnici). Znači, različite sile mogu igrati ulogu centripetalne sile (gravitacijska sila, sila trenja klizanja, Coulombova sila, magnetski dio Lorentzove sile ...) Navedimo sada različite međusobno ekvivalentne izraze za centripetalnu silu.

2

cp cpmvF maR

= = tj. 2

cpmvFR

= ili 2cpF m Rω= ili

2

24

cpmF R

Tπ

= .



Ulogu centripetalne sile može igrati npr. gravitaciona sila (gibanje

Zemlje oko Sunca). Znači imamo 2

2Z SZ m Mm v

R Rγ

= .

Slično, u Bohrovom modelu atoma vodika ulogu

centripetalne sile igra Coulombova sila. Dakle, vrijedi 2

2e pe kq qm v

R R= .

Sila trenja (automobil mase m u zavoju polumjera R). Vrijedi 2mv m g

Rµ=

ako je podloga horizontalna. Ulogu centripetalne sile može igrati i rezultanta FR dvije ili više sila. Npr. tijelo obješeno o nit koje se vrti u horizontalnoj ravnini.

NF - sila napetosti niti i gF - sila teža na tijelo

Rezultanta tih sila je 2 2 2 cosR g N g NF F F F F ε= + + i vrijedi

R cpF F= . Ali nema straha od zaguljenih formula! Neka je β kut između sila NF i FR. Vrijedi Fg ctg β = Fcp. Ako se tijelo giba ubrzano po kružnici tada vektor ubrzanja a ne gleda prema središtu. Rastavljamo ga tada na:

- radijalnu komponentu 2

rvaR

=

- tangencijalnu komponentu uzrokovanu promjenom iznosa

obodne brzine tva R Rt t

ω α∆ ∆= = =

∆ ∆ tj.

ta Rα= gdje je α kutno ubrzanje tijela. I. 6. Inercijalni i neinercijalni sistemi referencije a) inercijalni sustav referencije – sustav referencije u kojem vrijedi zakon inercije (I N. Z.) Newtonovi zakoni vrijede samo u inercijalnim referentnim sustavima. Prvi Newtonov zakon upravo postulira postojanje takavog sustava. Svi ostali referentni sustavi koji se jednoliko gibaju po pravcu u odnosu na taj sustav su također inercijalni referentni sustavi. Npr. uzmemo da je površina Zemlje približno inercijalni sustav. Tada je tramvaj koji se jednoliko giba na ravnoj pruzi također inercijalan sustav. Slično, avion pri pravocrtnom jednolikom gibanju, automobil pri jednolikom pravoctnom gibanju po Klaićevoj ulici, muha pri jednolikom pravocrtnom letu su inercijalni sustavi. Međutim, gumeni čep koji se jednoliko giba po kružnici nije inercijalan sustav! → Istu fizikalnu pojavu mogu opisivati dva različita promatrača iz dvaju različitih inercijalnih sustava koji se međusobno gibaju relativnom brzinom V . Npr. – promatrač u sistemu “zemlja” - miruje – promatrač u sistemu “tramvaj” - giba se u odnosu na “zemlju” po pravcu brzinom V pojava - gibanje putnika u tramvaju iz položaja 1 u položaj 2.



R - pomak sistema “tramvaj” u odnosu na sistem “zemlja” za ∆t

Tr - pomak putnika u sistemu “tramvaj” za ∆t

Zr - pomak putnika u sistemu “zemlja” za ∆t

Rabeći crtež nalazimo vezu između pomaka: Z Tr R r= + - relativne veličine Uzmimo radi jednostavnosti da je putnik materijalna točka te da se giba u smjeru relativne brzine V . Uzmimo također os x tako da se ona podudara sa smjerom vektora V . Slijedi

; ; ;Z T Z T Z T Z Tx X x y y z z t t= + = = = .

Obzirom da je TX Vt= slijedi

Z T T

Z T

Z T

Z T

x x Vty yz zt t

= +===

Dobiveni izrazi zovu se Galilejeve transformacije.

Prema pretpostavci vrijeme je u klasičnoj fizici apsolutno tj. neovisno o promatraču. Znači, vrijeme jednako teče za promatrača u inercijalnom sustavu «Zemlja» kao i u inercijalnom referentnom sustavu «tramvaj». Ako vrijeme jednako teče u svim inercijalnim sustavima onda su i vremenski intervali jedne te iste pojave međusobno jednaki u tim sustavima

Z Tt t t∆ = ∆ ≡ ∆ . U klasičnoj (Newtonovoj) fizici se uzima da je brzina prenošenja međudjelo-vanja između dvaju tijela neizmjerno velika. Što to znači? Pogledajmo dva tijela koja miruju na nekoj udaljenosti. Neka tijela međudjeluju gravitacijskom (ili električnom) silom. Pretpostavimo da se jedno od tih tijela približi (ili udalji) od drugog tijela. Koliko treba vremena da drugo tijelo «osjeti» pomicanje prvog tijela? Ako se gravitacijsko (ili električno) međudjelovanje prenosi konačnom brzinom onda je za to potrebno neko konačno vrijeme. U klasičnoj fizici uzimamo da drugo tijelo «osjeti» promjenu međudjelovanja istodobno s pomicanjem prvog tijela! Dakle, brzina prenošenja međudjelovanja između tijela je neizmjerno velika. Kako su povezane brzine putnika izmjerene u različitim sistemima?

TT

T

rvt

=∆

- brzina putnika izmjerena u sistemu “tramvaj”

Zz

Z

rvt

=∆

- brzina putnika izmjerena u sistemu “zemlja”

Z

RVt

=∆

- brzina “tramvaja” u sistemu “zemlja”

→ Z T

Z Z T

r rRt t t

= +∆ ∆ ∆

tj. z Tv V v= + - relativne veličine

Ako se putnik giba jednoliko ubrzano

zZ

z

vat

∆=

∆ - ubrzanje u sistemu zemlja

TT

T

vat

∆=

∆ - ubrzanje izmjereno u tramvaju



iz slijedi z T z Tv V v v V v= + ∆ = ∆ + ∆ .

No, tramvaj se giba jednoliko po pravcu → 0V∆ =

Rabeći Z Tv v∆ = ∆ dobivamo Z T

Z T

v vt t

∆ ∆=

∆ ∆ a to povlači Z Ta a= . - apsolutne veličine

Valja uočiti da su relativne veličine one koje su međusobno povezane Galilejevim transformacijama (vektori položaja, brzine). Apsolutne veličine ne ovise o izboru inercijalnog sustava (ubrzanje, vrijeme). Jednadžbe gibanja, tj. II N.Z. imat će isti oblik u svim inercijalnim sistemima referencije Z Z Zm a F=

T T Tm a F= Sile međudjelovanja u oba inercijalna sustava su iste. b) neinercijalni sistem referencije - sistem referencije koji se giba ubrzano u odnosu na referentno tijelo. Npr. “tramvaj” pri polasku sa stanice ili dolasku na stanicu, “automobil” u zavoju, “Zemlja” pri gibanju oko Sunca. Radi jednostavnosti promatrat ćemo pravocrtno gibanje sustava. Sistem “tramvaj” i “sistem zemlja”. Promatramo uteg obješen o nit u “tramvaju”. Inercijalni sustavi

ZP - uteg se za njega giba jednoliko po pravcu

brzinom V . Kako to objašnjava? Djeluju sile gF - sila teža i NF - napetost niti. Sile leže na istoj vertikali i njihov zbroj jednak je nuli. 0g NF F V+ = ⇒ = konst.

TP - uteg za njega miruje. Djeluju sile gF i NF , njihov zbroj je jednak nuli – uteg miruje. Inercijalni i neinercijalni sustavi

ZP - (inercijalni promatrač) - za njega se uteg giba

jednoliko ubrzano po pravcu. Djeluju sile gF i NF koje više ne leže na istom pravcu. Rezultanta tih sila je različita od nule a to znači da se uteg giba jednoliko ubrzano:

0R RF ma F≠ → = .

TP - (neinercijalni promatrač) – za njega uteg miruje.

On zapaža sile međudjelovanja gF i NF čija je rezultanta 0RF ≠ , tj. ne vrijedi I Newtonov zakon. Dakle, uteg mase m miruje a ukupna sila na njega je različita od nule?! To se protivi II N. Z. Da li odbaciti Newtonove zakone ili modificirati pojam sile? Rješenje: promatrač u neinercijalnom sustavu uvodi novi tip sile – virtualnu silu tj. inercijalnu silu iF ma= − . Inercijalna sila je po veličini (modulu) jednaka umnošku mase tijela i ubrzanja sustava iF ma= , a po smjeru suprotna od smjera ubrzanja sustava.

Zbroj inercijalne sile iF i rezultante RF je jednak nuli 0i RF F+ = . Sada smo ponovo

uspostavili valjanost I N. Z., a također i II N. Z. Valja uočiti da sila gF opisuje međudje-

lovanje utega i Zemlje. Slično, sila NF opisuje međudjelovanje utega i niti. Koje tijelo djeluje

na uteg inercijalnom silom iF ? Nema takvog tijela. To znači da inercijalna sila nema protusilu. Time je narušen III N. Z. On ne vrijedi u neinercijalnom referentnom sustavu.



2222222

Ako se promatrač nalazi u rotirajućem sustavu (jednoliko kruženje) tada će on osim sile eF (elastične sile rastegnute opruge) morati uvesti

inercijalnu silu iF koju često nazivamo

centrifugalnom silom cfF , a trebalo bi preciznije

centrifugalna inercijalna sila cfiF . Vrijedi

2

cfimvFR

= i usmjerena je od središta vrtnje.

Uvodi ju samo promatrač koji rotira zajedno s tijelom RP (neinercijalan sustav). Za promatrača na Zemlji ZP (koji je u inercijalnom sustavu) centrifugalna inercijalna

sila cfiF ne postoji! I. 7. Opći zakon gravitacije a) Keplerovi zakoni 1° Planeti se oko Sunca gibaju po elipsama. U jednom od žarišta je Sunce. 2° U jednakim vremenskim intervalima spojnica Sunca i planeta prebriše jednake površine. 3° Za svaki planet je omjer kvadrata ophodnog vremena T i kuba njegove srednje udaljenosti od Sunca R jednak konstanti:

2

3 .T konstR

= Vrijednost konstante se može izračunati: 2 2

193

4 2.97 10S

skonstM mπ

γ−= = ⋅ .

Za sve planete je ovisnost njihova ubrzanja ap o udaljenosti od Sunca r sljedećeg oblika:

2S

pMar

γ=

Na planet djeluje gravitaciona sila

2p S

p p

m MF ma

rγ= = , γ - gravitacijska konstanta

Newton uz pretpostavku postojanja sile ovakve vrste između Zemlje i Mjeseca uspjeva objasniti gibanje Mjeseca oko Zemlje. Newton generalizira: Bilo koja dva tijela masa 1m , odnosno 2m na razmaku r (dimenzije tjela su zanemarive u odnosu na taj razmak tj. smatramo ih materijalnim točkama ili kuglama) se međusobno privlače gravitacionom silom

1 22

m mFr

γ= - opći zakon gravitacije

γ je gravitacijska konstanta i dobivena je mjerenjem. Držimo da je svagdje u svemiru vrijednost gravitacijske konstante jedna te ista:

2

1126.67 10 Nm

kgγ −= ⋅

Gravitaciona sila je proporcionalna umnošku masa tijela i obrnuto proporcionalna kvadratu udaljenosti između tih tijela.



točki

b) gravitaciono polje To je prostor oko masivnog tijela M, u kome se osjeća gravitaciono djelovanje tog tijela. Za opisivanje polja uvodimo nekoliko veličina: b1) jakost gravitacionog polja, g m - probna masa F - sila s kojom u datoj točki na probnu masu m djeluje tijelo mase M

Fgm

= - jakost gravitacionog polja u datoj točki (u kojoj se

nalazi probna masa). Ovisi samo o položaju točke i o tijelu koje stvara polje M. Karakteristika točke polja

[ ] [ ][ ] 2

F N mgm kg s

= = = - to je ubrzanje (dakle, jakost gravitacijskog polja u nekoj točki prostora

valja shvatiti kao ubrzanje koje će materijalna točka doživjeti u toj točki polja!)

Ukoliko je tijelo M – sferno (dakle kugla) ili točkasto onda je grav. sila jednaka 2

mMFr

γ= , a

jakost grav. polja jednaka je 2

Mgr

γ= .

b2) gravitacioni potencijal ϕ Dovodimo iz ∞ probnu masu m u točku 1 u gravitacijskom polju tijela M. Pritom gravitaciona sila izvrši rad 1W∞ (naime tijelo M privlači probnu masu m), tj. u točki 1 probna masa m raspolaže potencijalnom gravitacionom energijom koja je tim veća što je veća masa m. Vrijedi ~pgE m . Relacijom

11

pgEm

ϕ = se definira gravitacijski potencijal tijela M u točki u kojoj se nalazi probna masa m.

Jedinica gravitacijskog potencijala jednaka je Jkg–1: [ ] [ ][ ]E Jm kg

ϕ = = . Potencijalna

gravitacijska energija proizvoljnog tijela mase m u gravitacijskom potencijalu ϕ (koji potječe od drugih tijela) jednaka je pgE mϕ= ⋅ .

Gravitacijski potencijal sfernog (ili točkastog) tijela mase M jednak je ( ) Mrr

ϕ γ= − .

Potencijalna gravitacijska energija jednaka je ( )pgmME r

rγ= − gdje smo uzeli da je

( ) 0pgE ∞ = (time smo odredili proizvoljnu konstantu u potencijalnoj energiji). Ovaj izraz prelazi u poznati oblik pgE mgh= pgE mgh= koji vrijedi za proizvoljno tijelo mase m na udaljenosti h od površine planete koja ima ubrzanje sile teže jednako g. b3) kozmičke brzine prva: Iv To je brzina s kojom treba izbaciti u horizontalnom smjeru tijelo da ono postane satelit datog objekta:

2I

g cpmvF F mgR

= → = što povlači Iv gR=



druga: IIv To je brzina kojom treba vertikalno izbaciti neko tijelo (s površine planete) pa da ono ode u ∞ , tj. oslobodi se gravitacijskog polja. Izraz za drugu kozmičku brzinu dobijemo iz zakona očuvanja energije (ZOE): 1 1 0k pg k pgE E E E∞ ∞+ = + =

2II 0

2mv mM

Rγ− =

II I2 2 2Mv gR vR

γ= = =

I. 8. Hidrostatika i hidrodinamika Fluidi: - tekućine i plinovi Tekućine: - malo stlačive, mogu teći tj. lako mijenjaju oblik Plinovi: - lako mijenjaju obujam i oblik. To su nakupine molekula (atoma) na

slučajan način raspoređenih koje se drže na okupu slabim silama. a) pritisak i tlak Silu F koja djeluje na neku površinu veličine A nazivamo silom pritiska ili kratko pritiskom.

Tlak definiramo kao skalarnu veličinu FpA

⊥∆=

∆. Ako je okomita komponenta sile konstantna

na cijeloj površini onda možemo pisati FpA

⊥=

Tlak je omjer normalne komponente F⊥ sile koja djeluje na površinu kojoj je ploština A. Jedinica za mjerenje jednaka je 1 Pa:

[ ] [ ][ ] 21 1F Np PaA m

= = ≡ , Paskal

Atmosferski tlak 1 atm = 51.013 10 Pa⋅ a1) Pascalov zakon Vanjska sila djeluje na fluid (tekućinu) (površinska sila F) ploština klipa A. Tlak kojeg površinska sila F uzrokuje u točki 1 iznosi

1FpA

=

Mjerimo li tlakove u preostalim označenim točkama dobivamo

1 2 3 4 5 6p p p p p p= = = = = - Pascalov zakon Kad djeluju samo površinske sile tlak u svim točkama unutar tekućine je jednak. Drugim riječima, tlak kojeg stvaraju površinske sile prenosi se bez izmjena u svaku točku tekućine. primjena → hidraulični tijesak Da bi sile bile u ravnoteži tlakovi u svim točkama tekućine moraju biti jednaki tj. 1 2p p= što povlači

1 2

1 2

F FA A

= .



a2) tekućina pod djelovanjem sile teže – hidrostatski tlak U cilindričnoj posudi baze A imamo mirnu tekućinu gustoće ρ i visine h i konstantne temperature. Tekućina se nalazi u gravitacionom polju jakosti g. Na dno posude će djelovati sila – težina tekućine jednaka sili teži gF . Tlak na dno posude uzrokovan težinom tekućine iznosi

gh

F mg A h gpA A A

ρ ⋅ ⋅ ⋅= = = i zove se hidrostatski tlak.

hidrostatski tlak: hp ghρ= ovisi o: - gustoći fluida - jakosti gravitacijskog polja - dubini ispod površine fluida Uzme li se u obzir da na površinu fluida djeluje npr. atmosferski tlak ap , tada je na dubini h ukupan tlak jednak

a h ap p p p ghρ= + = + b) Sila uzgona uF . Arhimedov zakon Kad se čvrsto tijelo uroni u tekućinu sa svih strana tekućina tlači njegovu površinu. Kako je tlak na većoj dubini veći, pojavljuje se rezultantna sila koja djeluje na tijelo suprotno od smjera sile teže tj. uvis. Tu silu nazivamo silom uzgona uF .

Radi jednostavnosti pogledajmo silu na vertikalno uronjeni kvadar visine h i baze A. Sile 3F i

4F jednake su po iznosu, ali su suprotne orijentacije tj. 3 4 0F F+ = . Isto tako 5 6 0F F+ = . Rezultantna sila (sila uzgona) je

2 1 2 1

2 1

2 1( )

uF F F p A p Agh A gh AgA h h gAh

ρ ρρ ρ

= − = − == − == − =

uF gVρ= - sila uzgona ρ - gustoća fluida g - jakost gravitacionog polja V - volumen istisnutog fluida (ili uronjenog dijela tijela V = A h) Uočimo da je: ρV = m – masa istisnutog fluida

uF mg= - težina istisnutog fluida Arhimedov zakon: Tijelo uronjeno u tekućinu prividno gubi na svojoj težini onoliko koliko teži istisnuta tekućina. plivanje tijela u fluidu:

u gF F> - tijelo ispliva na površinu

fρ - gustoća fluida

tρ - gustoća tijela f tgV gVρ ρ>

f tρ ρ> - uvjet plivanja



lebdjenje tijela u fluidu: u gF F= - tijelo ostaje na datoj dubini

f tρ ρ= - uvjet lebdjenja tonjenje tijela u fluidu:

u gF F< - tijelo tone

f tρ ρ< - uvjet tonjenja c) dinamika fluida Promatramo tok idealnog fluida: - pretpostavljamo da nema viskoznosti (unutarnjeg trenja) - tok je stacionaran (laminaran) tj. putanje djelića fluida se ne sijeku - zamišljamo da je fluid konstantne gustoće, tj. ne može se stlačiti c1) jednadžba kontinuiteta (neprekidnosti) Tekućina prolazi laminarno kroz cijev promjenjivog presjeka. Definiramo maseni protok kroz neki presjek kao masa tekućine ∆m koja za vrijeme ∆t prođe kroz poprečni presjek A cijevi na crtežu:

mmqt

∆=

∆

[ ] 1mkgqs

=

Slično, uvodi se volumni protok kao obujam fluida V∆ koji za vrijeme ∆t prođe kroz poprečni presjek A cjevi na crtežu:

VVqt

∆=

∆

[ ]3

1Vmqs

=

Veza između tih veličina je oblika m Vq qρ= . Izvod jednadžbe kontinuiteta: Pri stacionarnom toku nestlačivog fluida, za vrijeme ∆t kroz presjek 1A proteče masa 1 1 1m A v tρ∆ = ⋅ ∆ Ista takva masa mora proći i kroz presjek 2A zbog nestlačivosti 2 2 2m A v tρ∆ = ⋅ ∆ Mora biti 1 2m m∆ = ∆ (tekućina ne istječe iz cijevi osim na početku i na kraju cijevi). Slijedi 1 1 2 2A v t A v tρ ρ⋅ ∆ = ⋅ ∆ Jednadžba kontinuiteta je oblika 1 1 2 2A v A v= ili općenito A ⋅ v = konst.



To možemo iskazati i preko volumnog protoka

VA v tq A v

t⋅ ∆

= = ⋅∆

tj. konst.Vq = Jednadžba kontinuiteta nam kaže da je volumni protok duž cijevi konstantan. c2) Bernoullijeva jednadžba Povezuje tlak unutar fluida s njegovom brzinom i položajem u gravitacionom polju.

1p - statički tlak s kojim fluid s lijeve strane djeluje na presjek 1A

2p - statički tlak s kojim fluid s desne strane djeluje na presjek 2A Za vrijeme ∆t volumen 1 1 1V A v t∆ = ⋅ ∆ se premjesti s položaja 1h i brzine 1v na mjesto volumena 2 2 2 1V A v t V V∆ = ⋅ ∆ = ∆ ≡ ∆ na položaju 2h i brzine 2v . Taj premještaj su izvršile sile pritiska, koje su pritom izvršile rad 1 1 1 2 2 2W p A v t p A v t∆ = ⋅ ∆ − ⋅ ∆ = 1 2( )p p V= − ⋅∆ Izvršeni rad je rezultirao promjenom kinetičke energije

2 22 1

1 12 2kE mv mv∆ = −

m = ρ ⋅∆V i promjenom gravitacijske potencijalne energije 2 1pgE mgh mgh∆ = −



Kako je rad sila pritiska jednak promjeni mehaničke energije k pgW E E∆ = ∆ + ∆

2 21 2 2 1 2 1

1 1( )2 2

p p V v v gh gh Vρ ρ ρ ρ⎛ ⎞− ⋅∆ = − + − ∆⎜ ⎟⎝ ⎠

2 21 1 1 2 2 2

1 1 1 12 2 2 2

p v gh p v ghρ ρ ρ ρ+ + = + +

ili

21 konst.2

p v ghρ ρ+ + = - Bernoullijeva jednadžba

Dakle, Bernoullijva jednadžba opisuje činjenicu da je ukupni tlak unutar tekućine koja se giba konstantan duž cijevi. U tehničkoj hidrodinamici se često primjenjuju sljedeći termini: - p – statički tlak

- 212dp vρ= - dinamički tlak

- hp ghρ= - hidrostatski tlak

- 212dp p p vρ+ = + - hidrodinamički tlak

Ozbiljni fizičari se obično “mršte” na te termine! Torricellijeva formula istjecanja tekućine U posudi, poprečnog presjeka 1A , imamo idealnu tekućinu do visine h. Kojom brzinom će tekućina istjecati kroz mali otvor 2A na dnu posude? Kako je

2

1

1AA

iz jednadžbe kontinuiteta slijedi

1 21 2

2 1

v A v v vv A

= ⇒ ≡

tj. uzimamo da je brzina spuštanja nivoa tekućine u posudi zanemariva. Bernoullijeva jednadžba ⇒

2 21 10 02 2a ap gh p v gρ ρ ρ ρ+ ⋅ + = + + ⋅

2v gh= - Torricellijeva formula istjecanja 9. Rotacija krutog tijela a) rotacija krutog tijela oko fiksne osi Kruto tijelo – ne može se deformirati. Udaljenosti između bilo koje dvije čestice tog tijela se ne mijenjaju tokom vremena. Pri rotaciji oko fiksne osi 0 sve čestice imaju jednaku kutnu brzinu ω. i-ta čestica ima pritom kinetičku energiju

2

2i i

kim vE =

i iv rω=



2 212ki i iE m r ω=

Ukupna kinetička energija krutog tijela (energija rotacije):

2 2 2 2 2 21 1 2 2

1 1 1... ...2 2 2kr i iE m r m r m rω ω ω= + + + +

2 212 i i

i

m r ω⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠∑

Definiramo moment tromosti (inercije): 2

i ii

I m r= ∑

To je mjera tromosti tijela u odnosu na rotaciju: [ ] [ ] 2 2I m v kgm⎡ ⎤= =⎣ ⎦

Kinetička energija rotacije:

212krE Iω=

Momenti tromosti za neka tijela: prsten (cilindrična ljuska) 2

CMI MR= valjak (cilindar) i disk

212CMI MR=

štap (oko CM)

2112CMI ML=

štap (oko jednog kraja)

213CMI ML=

kugla

225CMI MR=

sfera

2

32 MRICM =



a1) Steinerov poučak (teorem o paralelnim osima) Usporedimo li momente tromosti tijela za dvije međusobno paralelne osi vrtnje (neka jedna od njih prolazi kroz centar mase CM tijela) koje su na razmaku d, tada vrijedi Steinerov poučak 2

0 CMI I Md= + a2) Moment sile, M moment sile M definiramo kao M = k ⋅ F gdje je k krak sile (najkraća udaljenost od osi vrtnje do pravca djelovanja sile) F – veličina (modul) sile [ ] [ ][ ]M k F m N= = ⋅ Općenita definicija – preko vektorskog produkta rM = × F

r - radijus vektor spaja os vrtnje s hvatištem sile Modul tog vektora je

sin površina paralelograma

sin sin

M rFM kFk r k

r

ϕ

ϕ ϕ

= = ⎫⎪ ⇒ =⎬

= → = ⎪⎭

Smjer momenta se određuje pravilom desne ruke: Prstima pokazujemo smjer preklapanja prvog faktora ( r ) na drugi ( F ). Tada palac pokazuje smjer momenta sile M . Uvjet ravnoteže obzirom na rotaciju (vrtnju) tijela: 1 2 3 0M M M+ + = tj. 1 2 3M M M= + ili 1 1 2 2 3 3k F k F k F= + Zbroj svih momenata sila u odnosu na datu os mora biti jednak nuli! Uočimo da je to nužno ali ne i dovoljno da bi tijelo bilo u statičkoj ravnoteži. Tijelo je u statičkoj ravnoteži ako je zasebno zbroj svih sila i zbroj svih momenata tih sila oko neke osi jednak nuli. a3) veza između momenta sile i kutne akceleracije

im - masa i-tog djelića

itF - tangencijalna komponenta sile koja djeluje na i-ti djelić tijela Ta komponenta dovodi do tangencijalne akceleracije it i itF m a= Moment te sile u odnosu na centar vrtnje 0 je

2i i i

i i

M M m r α⎛ ⎞= = ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑

tj. M = I α .



a4) Rad, snaga i energija rotacionog gibanja ( sin )W F s F sϕ∆ = ⋅∆ = ⋅ ⋅∆ = ( sin )F r Mϕ θ θ= ⋅ ⋅ ∆ = ∆

Rad pri malom pomaku s∆ , tj. malom zakretu ∆θ jednak je ∆W = M ⋅ ∆θ Trenutna snaga jednaka je

WP Mt t

θ∆ ∆= =

∆ ∆ otkuda slijedi P = M ω.

Ukupan rad vanjskih sila jednak je promjeni kinetičke rotacione energije:

2 21 2 1 2

1 12 2tr KR KRW E E I Iω ω= − = −

b) kotrljanje i moment količine gibanja Kod kotrljanja tijela, os rotacije više nije fiksirana u prostoru.

CMs Rv Rt t

θ ω∆= = =

∆ ∆ - uvjet čistog kotrljanja

Kotrljanje se može shvatiti kao kombinacija čiste translacije i čiste rotacije. Pogledajmo: Ukupna kinetička energija valjka, mase M i radijusa R, koji se kotrlja može se zapisati u obliku

212K PE I ω=

PI - moment tromosti valjka s obzirom na trenutnu os vrtnje (oko točke P)

2P CMI I MR= +

2 21 1 ( )2 2K CME I M Rω ω= +

2 21 12 2K CM CME I Mvω= +

To je zbroj rotacione kinetičke energije oko centra mase

212 CMI ω

i translacione kinetičke energije centra mase

212 CMMv


PRIPR

EME

Zagreb, 2006.

2

PRIPREMIO

FIZIKA

DARIO MIČIĆ


Nakladnik


tel.: (01) 24 50 904, 24 52 809, 091 51 36 794




II. TOPLINA Temperatura – mjera za stupanj zagrijanosti nekog tijela. Jedinica za temperaturu je kelvin, K. Unutrašnja energija (U) – zbroj kinetičkih i potencijalnih energija svih čestica koje tvore dano tijelo (mjerene u odnosu na sustav referencije u odnosu na koji tijelo miruje).

( )1

N

ki pii

U E E=

= +∑

Količina topline (Q) – Dio unutrašnje energije koji prelazi s jednog tijela na drugo tijelo.

1. TERMIČKO RASTEZANJE Promjene dimenzija tijela uzrokovane promjenom temperature tijela. a) Linearno rastezanje Štap (metalni) duljine 0l na temperaturi 0t . Produljenje zbog promjene temperature je 0tl l l∆ = − . Iz pokusa je zaključeno da je: 0~l t t t∆ ∆ = − 0~l l∆ l∆ ovisi o vrsti tvari To je obuhvaćeno relacijom

0l l tβ∆ = ⋅ ⋅ ∆ gdje je β termički koeficijent linernog rastezanja. Jedinicu za β dobivamo iz relacije

0

1ll t

β ∆= ⋅

∆

Slijedi [ ] 11 1m Km K K

β −= ⋅ = ≡ = 0C –1 .

Linearno rastezanje računamo iz ( )0 1tl l tβ= + ∆

Za metale je 5 1~10 K− −β . Često se uzima 0t = 0°C → ∆t = t – 0 = t pa je gornja relacija oblika

b) Volumno rastezanje Zamislimo metalni kvadar stranica 0 0 0, ,a b c Na temperaturi t > t0 kvadar je oblika

na temperaturi 0t . Njegov obujam je 0 0 0 0V a b c= . Njegov obujam je t t t tV a b c= .

( )0 1tl l t= + ⋅β

a0

b0

c0c0

at

bt

ctct

grijanje kvadra



Pretpostavljamo da se kod grijanja (hlađenja) kvadar jednako rasteže (steže) u svim smjerovima. Tada imamo

t t t tV a b c= = ( )30 0 0 1a b c tβ+ ∆ =

( ) ( )( )2 30 1 3 3V t t tβ β β= + ⋅ ∆ + ∆ + ∆

Zanemarujemo članove s 2β i 3β u odnosu na član s β . Dobivamo

( )0 1 3tV V t= + ∆β Uvodi se oznaka za termički koeficijent volumnog rastezanja α = 3β pa imamo

( )0 1tV V t= + ∆α

ili za 0t = 0°C

( )0 1tV V t= + α .

2. IZMJENA TOPLINE. AGREGATNA STANJA a) Izmjena topline Dva tijela na različitim temperaturama izmjenjuju toplinu:

- vođenjem (žlica u čaju) - konvekcijom (zagrijavanje zraka u sobi radijatorima) - zračenjem (sunčanje)

Toplina s tijela više temperature 1t prelazi na tijelo niže temperature 2t dok ne nastupi termodinamička ravnoteža. U termodinamičkoj ravnoteži tijela imaju međusobno jednaku temperaturu τ.

Pogledajmo gornji crtež:

1 1 1 1Q m c t= ∆ je količina topline koju predaje prvo tijelo

2 2 2 2Q m c t= ∆ je količina topline koju primi drugo tijelo U zatvorenom sustavu (idealnom kalorimetru) je energija očuvana:

1 2Q Q= to jest (Richmanovo pravilo smjese)

1 1 1 2 2 2( ) ( )m c t m c tτ τ− = − .

Jedinicu za specifični toplinski kapacitet dobivamo iz Qcm t

=⋅ ∆

.

Slijedi [ ] 1 JckgK

= .

Količina topline (Q) koju neko tijelo može predati (ili primiti) ovisi o masi tijela (m), razlici početne i konačne temperature (∆t) i vrsti tijela. Vrstu tijela opisujemo specifičnim toplinskim kapacitetom (c). To se može zapisati u obliku

Q ∼ m ∼ ∆t = t – τ ∼ c odnosno Q = m c ∆t.



b) Promjena agregatnih stanja Čvrsto stanje: - amorfno – neuređen raspored atoma - kristalno – uređen raspored atoma Za kristale je karakteristično da prelaze u tekuće stanje pri određenoj temperaturi – temperatura tališta. Npr. komad leda početne temperature –50C se zagrijava: Kad se led zagrije do 0°C, primio je količinu topline

( )0°L L L LQ m c C t= − Ako se toplina i dalje dovodi led se počne taliti → temperatura ostaje ista 0°C – istodobno postoje i led i voda. Da bi se sav led pretvorio u vodu treba dovesti količinu topline

,L talj LQ m λ= ⋅ (latentna toplina taljenja) Ta energija se trošila na kidanje veza između molekula leda

,L talj

L

Qm

λ = (specifična toplina taljenja),

Jedinica za specifičnu toplinu taljenja je [ ] 1 Jkg

λ = .

Ako se toplina i dalje dovodi, nastala voda se zagrijava do 100°C. Primljena toplina je ( )100° 0°V V VQ m c C C= − .

Uz daljnje dovođenje topline, voda počinje isparavati → temperatura se ne mijenja (1000C) – istodobno postoji i voda i para. Da bi se sva voda pretvorila u vodenu paru treba dovesti količinu topline ,V isp VQ m r= ⋅ (latentna toplina isparavanja) r – specifična toplina isparavanja vode. Ako se toplina dovodi i nakon što je sva voda isparila, vodena para se počinje zagrijavati ( )100°P P P PQ m c t C= − .



Ukupna količina topline dovedena tijekom ovog procesa je , ,i f L L talj V V isp PQ Q Q Q Q Q→ = + + + +

gdje i f→ označava proces prijelaza iz početnog stanja (i, led) u konačno stanje (f, para). 3. PONAŠANJE IDEALNIH PLINOVA. PLINSKI ZAKONI Na makroskopskoj skali plinovi: - lako mijenjaju obujam

- ispunjavaju čitavu posudu Na mikroskopskoj skali: - čestice plina su slabo međusobno vezane - gibaju se kaotično Stanje plina određujemo makroskopskim parametrima:

- masom, m (ili brojem čestica, N) - tlakom, p - temperaturom, t (T) - obujmom, V

Za datu količinu plina (m = konst.) ostali parametri su međusobno povezani relacijom

f (p, V, t) = 0 (jednadžba stanja plina) a) Izobarni (Gay-Lussacov) zakon: p = konst. što se može obuhvatiti relacijom

∆V = α 1V ∆t

gdje je temperaturni koeficijent širenja plina 1273.15°

αC

= . Valja uočiti da je α konstantan za

sve idealne plinove. Obzirom da je 2 1V V V∆ = − i 2 1t t t∆ = − , možemo pisati ( )2 1 1 αV V t= + ∆ .

Često se uzima 1t = 0°C → ∆t = t2 – 0 = t2 pa je gornja relacija oblika ( )2 1 21 αV V t= +

ili za proizvoljnu temperaturu t ( )1 1 αtV V t= +

Vidimo da je V linearna funkcija temperature. Grafički prikaz te ovisnosti dat je na crtežu: –273,15°C se uzima za ishodište apsolutne skale temperature (Kelvinova skala). Dakle, veza između Kelvinove i Celzijusove skale temperature je oblika

T(K) = t(°C) + 273,15.

Pokusom je utvrđeno: Zagrijavamo li plin, da bi tlak ostao nepromijenjen moramo povećati volumen. Nadalje, iz pokusa slijedi ∆V ∼ ∆t ∆V ∼ 1V

t,C0

V

V1

,V1

-273.15 0

Na t = – 273,15°C volumen idealnog plinaiščezava: V-273.15 = 0.



Pri prijelazu na Kelvinovu skalu izraz ( )2 1 21 αV V t= + poprima oblik

2 1

2

konst273,15

V VT

= = → 1 2

1 2

V VT T

= .

Navedenu ovisnost nazivamo izobarnim zakonom (Gay – Lussacov zakon) a možemo ga zapisati u obliku

konstVT

= , p = konst.

Grafički prikazi u (V, T), (V, p) i (T, p) ravnini su dati na crtežima:

b) Izohorni (Charlesov) zakon: V = konst. (izovolumni) c) Izotermni (Boyle-Mariotteov) zakon: T = konst. d) Jednadžba stanja idealnog plina imamo jednadžbu stanja plina:

Pokusom je utvrđeno: ∆p ∼ ∆t ∆p ∼ 1p To se može obuhvatiti relacijom ( )2 1 1 αp p t= + ∆ , (Charlesov zakon) odnosno ako je 1t = 0°C ta relacija poprima oblik ( )2 1 21 αp p t= + . U skali apsolutne temperature taj zakon poprima oblik (Charlesov zakon)

1 2

1 2

p pT T

= ili

konst.pT

= ili

p = konst⋅T

Pokusom je utvrđeno:

p ∼ 1V

tj. obrnuta proporcionalnost tlaka i volumena što se može zapisati u obliku

1 1 2 2p V p V= odnosno p V = konst.

Ukoliko se sve tri veličine stanja plina p, V, T mijenjaju istodobno (uz konstantnu masu plina, m), kombinacijom gornjih zakona može se pokazati da su početne i konačne vrijednosti tih veličina međusobno povezane

relacijom: 1 1 2 2

1 2

p V p VT T

= , m = konst

0izohora

T

p p T dijagram, p V dijagram,

0izohora

V

p

0

izobaraV

T V dijagram,T

0izohora

T

p

T,p dijagramV,p dijagram

0

izobara

V

p0

izobaraV V,T dijagram

T



Ta relacija se može zapisati kraće (jednadžba stanja plina)

konst.pVT

=

Konstanta na desnoj strani ovisi o broju čestica plina N pa je možemo napisati u obliku: konst = Bk ⋅ N

gdje je 231,38 10BJkK

−= ⋅ Boltzmannova konstanta. Dakle, jednadžbu stanja plina možemo

zapisati i u obliku = BpV N k T

Definira se količina tvari (množina tvari) relacijom

A M

N m VnN M V

= = =

gdje je 23 16,023 10AN mol−= ⋅ Avogadrov broj, M molarna masa i MV molarni volumen. Jedinica količine tvari je [n] = 1 mol (osnovna jedinica SI sustava jedinica). Rabeći tu definiciju jednadžba stanja plina se može napisati u obliku:

pV = n Bk AN T.

Uvodi se univerzalna plinska konstanta 8,314B AJR k N

Kmol= = pa se jednadžba stanja

zapisuje u obliku pV = n R T

ili mpV RTM

= .

Gustoću plina

ρ mV

=

možemo (rabeći jednadžbu stanja plina) zapisati u obliku

ρ pMRT

= .

e) Daltonov zakon parcijalnih tlakova Ako u nekoj posudi imamo smjesu idealnih plinova (koji kemijski ne reagiraju) tada je ukupni tlak smjese jednak zbroju parcijalnih tlakova komponenata:

1 2 3 ...up p p p= + + + gdje je ip tlak i – te komponente u posudi kad nema ostalih komponenata (parcijalni tlak i–te komponente). Jednadžba stanja smjese ima oblik

pu V = n R T pri čemu je n pokrata za ukupan broj molova (množine) smjese n = n1 + n2 + n3 + ...



f) Molekularno-kinetički model idealnog plina 1827. Brown je promatrao gibanje zrnaca peluda u kapljici vode. Ustanovio je da je putanja zrnaca peluda (približno) oblika kao na crtežu. Na sličan način se i pojava difuzije plina kroz neki medij (npr. kroz drugi plin, tekućinu ili krutinu) objašanjava kaotičnim gibanjem molekula plina kroz taj medij.

Izvod temeljne jednadžbe molekulsko-kinetičke teorije idealnog plina, 21

13 s

Np m vV

=

Neka se čestice plina nalaze u kocki stranice a (i obujma V = a3) te neka se gibaju međusobno jednakom prosječnom brzinom kojoj je veličina vs. Zanemarujemo međudjelovanje plina s okolnim tijelima tj. gledamo plin u ravnotežnom stanju kao zatvoreni sustav. Zbog toga je

valjano očekivati da se 13

N molekula giba lijevo-desno, 13

N molekula giba gore-dolje i 13

N

molekula giba naprijed-natrag (zbog ravnopravnosti smjerova u 3D prostoru). Sila s kojom na stjenku djeluje jedna molekula pri sudaru je

21 1

12

2s s

s

m v m vpf at av

∆= = =

∆.

Ukupna sila na stjenku kad djeluje 13

N molekula je

21

11 13 3

su

m vF Nf Na

= = .

Tlak na stjenku kojeg uzrokuju molekule jednak je

2

1

212 3

11 133

s

us

m vNF ap N m vS a a

= = =

Obzirom da je obujam kocke 3V a= slijedi

Vidimo da je putanja gibanja zrnca peluda nasumičnog oblika. Kaže se da je gibanje zrnca kaotično. Pitanje je zašto je to tako? Odgovor su dali Einstein i Smoluhovski 1905. Neobičan oblik putanje zrnca peluda uzrokovan je kaotičnim gibanjem molekula vode.

Pretpostavke: 1° Čestice plina su materijalne točke mase 1m koje se gibaju kaotično. 2° Međudjelovanje između čestica zanemarujemo. 3° Sudari između čestica (za koje držimo da su rijetki) te sudari čestica sa stijenkama posude su elastični. 4° Broj čestica, N, je ogroman (∼ 2310 ) i čestice se gibaju u skladu s Newtonovim zakonima.

Promatramo desnu (iscrtkanu) stjenku (koja ima beskonačnu masu u odnosu na jednu molekulu). Pri sudaru sa stjenkom molekula promjeni količinu gibanja za ( )1 1 12s s sp m v m v m v∆ = − − = . To se dogodi za vrijeme ∆t koje možemo nadomjestiti vremenom između dva

uzastopna sudara molekule s istom stjenkom 2

s

atv

∆ = .

aa

avs

vsm1

vsm1



21

13 s

Np m vV

= .

Dakle, dobili smo da je tlak razmjeran koncentraciji molekula (ukupan broj molekula po

obujmu posude) ~ NpV

. S druge strane, prosječna kinetička energija jedne molekule je

21

12k sE m v= pa se izraz za tlak može napisati kao

23 k

Np EV

= .

To se uobičajeno zapisuje u obliku

23 kpV NE=

što prepoznajemo kao jednadžbu stanja plina. Dakle, time smo izveli jednadžbu stanja idealnog plina. Unutarnja energija idealnog plina kojega čine N molekula koje se translacijski gibaju u posudi volumena V (a koje međusobno ne međudjeluju) jednaka je zbroju svih kinetičkih energija translacije tih molekula kU NE= . Rabeći izraz za unutarnju energiju jednadžba stanja se može zapisati u obliku

23

pV U=

Usporedimo li eksperimentalno polučenu relaciju BpV k NT= i teorijski izvedenu jednadžbu

stanja plina 23 kpV NE= zaključujemo da vrijedi

32k BE k T= .

U koordinatama (T, kE ) graf ovisnosti srednje kinetičke energije molekule o apsolutnoj temperaturi idealnog plina je pravac koji prolazi kroz ishodište sustava: Srednja kinetička energija molekula idealnog plina ovisi samo o temperaturi (a ne o vrsti čestica). Ova relacija omogućuje definiciju temperature. Temperatura je mjera srednje kinetičke energije molekula. Primjetimo da se unutarnja energija idealnog plina može zapisati na sljedeće načine:

3 32 2k BU NE k NT nRT= = = .

Obzirom da je masa plina jednaka zbroju masa pojednih molekula 1m N m= ⋅ , relacija za tlak

21

13 s

Np m vV

= se može zapisati preko gustoće plina

2 21 13 3s s

mp v vV

ρ= = .



4. TERMODINAMIKA

Mnoštvo je termodinamičkih sustava: ljudsko tijelo, nogometna lopta, zvijezda, njiva, čaša u kojoj se nalazi voda ili čaša u kojoj se nalazi zrak (za koju pogrešno kažemo da je prazna), ... Radi jednostavnosti ograničavamo se na plinove male gustoće. Stanje takvog plina u (p, V) koordinatama prikazujemo jednom točkom. To znači da je plin opisan datom vrijednošću tlaka kada se nalazi u posudi datog obujma u termodinamičkoj ravnoteži. Kažemo da su tlak i obujam veličine stanja plina. Slično su temperatura i količina plina veličine stanja plina. Promjenu vrijednosti veličina stanja plina možemo ostvariti međudjelovanjem plina i okoliša. Prijelaz iz početnog stanja plina P u konačno stanje K može se ostvariti na neizmjerno različitih načina (vidi crtež).

Unutarnja energija plina može se promijeniti izmjenom energije s okolišem u obliku rada i topline. a) Rad plina pri termodinamičkim procesima Dakle, rad u izobarnom procesu jednak je

W= p∆V. Grafički prikaz izobarnog procesa u (p, V) ima oblik prikazan na crtežu: Rad je brojčano jednak površini ispod pV-dijagrama.

Kod toga uzimamo da su sva međustanja ravnotežna tako da se u (p, V) dijagramu dobiju krivulje kao na crtežu. Ako se stanja plina P i K međusobno podudaraju onda govorimo o kružnom procesu koji je plin izvršio pod utjecajem okoliša.

Neka je p = konst (izobarni proces). Uzmemo posudu s klipom (motri crtež) kojemu je ploština jed-naka A. Neka je tlak plina u posudi, p, jednak vanjskom tlaku. Plin djeluje na klip silom F = p A. Neka okoliš (toplinski spremnik) predaje plinu količinu topline Q tako da je plin u svakom trenutku u stanju ravnoteže s tlakom p. Kod toga plin djeluje na klip i pomakne ga za udaljenost s. Obujam plina se pritom promjenio za

2 1V V V A s∆ = − = ⋅ . Rad kojega je plin izvršio u tom procesu jednak je W = F⋅ s = p A s.

Neka je V = konst (izohorni proces). Neka je plin u zatvorenoj posudi nepromjenjivog obujma. Ako plin preda količinu topline Q okolišu, onda se tlak i temperatura plina smanje. Rad plina kod tog procesa jednak je nuli.

∆V = 0 → W = 0.



b) Prvo načelo termodinamike Kazali smo da se unutarnja energija termodinamičkog sustava može promjeniti u procesu međudjelovanja sustava i okoliša: izmjenom topline i fQ → s okolišom i vršenjem rada, i fW → . Pitanje je koji je oblik zakona o sačuvanju energije plina i okoliša. Ukupna energija plina i okoliša je, naravno, konstantna (očuvana). Energija samog plina može se mijenjati – povećavati ili smanjivati. Promjena unutarnje energije plina opisana je relacijom (prvo načelo termodinamike)

i f i fQ U W∆→ →= + . Sve tri veličine su algebarske i potrebno je uvesti dogovor o njihovom predznaku. Uobičajeni dogovor je:

Q > 0 kada sustav prima toplinu od okoliša! W > 0 kada sustav vrši rad na okolišu! b1) Adijabatski proces Ukoliko sustav pri procesu ne izmjenjuje toplinu s okolinom tj. Q = 0 proces nazivamo adijabatskim (npr. eksplozije su približno adijabatske). Iz prvog načela termodinamike slijedi:

∆U = – W . Ako se idealni plin adijabatski širi tj. ∆V > 0, tada plin vrši pozitivan rad, tj. W > 0, pa gornji izraz povlači

∆U = – W < 0

tj. plinu se smanjuje unutarnja energija. Kako je za idealni plin U ∼ T, plin se pri adijabatskom širenju hladi. Veza između tlaka i volumena u adijabatskom procesu je opisana izrazom

1 1 2 2p V p Vγ γ=

gdje je adijabatski eksponent 1p

V

CC

γ = > .

Molarni specifični toplinski kapacitet pri konstantnom tlaku, Cp, odnosno pri konstantnom volumenu, Cv, definiraju se relacijama

1 i fp

p

QC

n t→⎛ ⎞

= ⎜ ⎟∆⎝ ⎠ odnosno 1 i f

VV

QC

n t→⎛ ⎞

= ⎜ ⎟∆⎝ ⎠.

U (p, V) dijagramu vidi se (motri crtež) da je adijabata ( pV konstγ = ) strmija od izoterme ( pV konst= )! Drugim riječima, adijabatski koeficijent γ je veći od jedinice.

Neka je T = konst (izotermni proces). Neka je plin u kontaktu s toplinskim spremnikom konstantne temperature, T. Ako plin povećava obujam onda se tlak plina smanjuje (crtež). Dakle, plin vrši rad koji je numerički jednak ploštiniispod izoterme. Pomoću integralnog računa dobiva se

2

1

ln VW n RTV

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠.



c) Toplinski strojevi U bitnom, toplinski stroj se sastoji od tri dijela (tri tijela):

(i) topliji spremnik (spremnik više temperature, Tv ; npr. ložište parnog kotla) (ii) radno tijelo (npr. vodena para) (iii) hladniji spremnik (spremnik niže temperature, Tn ; npr. zrak) Maksimalna korisnost, η , svakog toplinskog stroja jednaka je

1v n n

v v v

Q Q QWQ Q Q

η−

= = = − .

Općenito vrijedi 0 1η≤ < . c1) Carnotov proces Između mnoštva različitih kružnih procesa koje može vršiti radno tijelo u toplinskom stroju, opisati ćemo Carnotov kružni proces. U tom procesu je radno tijelo idealni plin, a proces se odvija u sljedećim koracima (motriti crtež): (plin se grije od Tn do Tv). Može se pokazati da je Q ~ T , pa se za korisnost Carnotovog procesa dobiva

v

nC T

T−=1η .

Dakle, iskoristivost Carnotova procesa je tim veća što je omjer temperatura hladnijeg i toplijeg spremnika manji. Obzirom da je uvijek Tn > 0 (što je posljedica trećeg načela termodinamike) to je, kao što smo naveli, 1Cη < . Carnotov kružni proces je idealni proces kojega nije moguće izvesti u realnosti tako da za iskoristivost realnog kružnog procesa, η , vrijedi η < Cη . d) Drugo načelo termodinamike

Načelo rada toplinskog stroja: Topliji spremnik preda radnom tijelu toplinu Qv. Radno tijelo izvrši proces (najčešće kružni proces) tijekom kojega obavi rad, W. Kod toga nije moguć kružni proces za kojeg vrijedi W = Qv (ne postoji perpetum mobile prve vrste). Dakle, iz zakona očuvanja energije slijedi da se količina topline Qn = Qv – W mora predati hladnijem spremniku.

1° izotermno širenje iz početnog stanja 1 u stanje 2 (pri Tv) 2° adijabatsko širenje iz stanja 2 u stanje 3 (plin se hladi od Tv do Tn) 3° izotermno sabijanje iz stanja 3 u stanje 4 (pri Tn) 4° adijabatsko sabijanje iz stanja 4 u početno stanje 1

Zakon očuvanja energije vrijedi za sve procese u svemiru. Ipak, postoje procesi koje bi se, po tom zakonu, mogli odvijati ali ih nitko dosad nije opazio. Pomislimo samo na vlažnu spužvu koju ispustimo s visine H (crtež). Spužva padne na tlo i ostane na njemu mirovati. Prema zakonu očuvanja energije moguć je i spontani proces u kojem bi se vlažna spužva s tla vratila u početni položaj. Međutim takav događaj još nitko nije opazio!

Q

QW

v

n

n

v

T

T

g

H

g

H

zapaža mo

ne za

paža

mo



Mnoštvo je sličnih procesa (razmislite o nekima od njih). Zaključujemo da zakon očuvanja energije ne može objasniti zašto se takvi procesi ne događaju. Dakle, nužno je uvesti novu fizikalnu veličinu kojom ćemo to moći opisati. Doista, uvedena je entropija (Clausius, 1834. godine) slijedećom relacijom:

i fQS

T→∆ =

U tom izrazu S∆ označava promjenu entropije termodinamičkog sustava koji u reverzibilnom (povratnom) procesu iz početnog (i) u konačno stanje (f) izmjenjuje malu količinu topline i fQ → s okolišem (drugim tijelom) pri konstantnoj temperaturi T. Jedinica za mjerenje entropije je [ ] 1 /S J K∆ = . Od ključne važnosti je statističko značenje entropije – kao mjere mikroskopskog nereda u termodinamičkom sustavu. Razmotrimo sljedeći primjer: Primjer: Neka se u zatvorenoj kutiji nalazi N =10 međusobno jednakih čestica. (a) Na koliko međusobno različitih načina možemo tih 10 čestica raspodijeliti tako da ih N1 = 5

bude u jednoj polovici posude, a N2 = 5 u drugoj? (b) Na koliko međusobno različitih načina možemo tih 10 čestica raspodijeliti tako da ih N1 = 9

bude u jednoj polovici posude, a N2 = 1 u drugoj? Odgovori:

(a) Traženi broj načina jednak je 1 2

! 252! !aNw

N N= = .

Svaki od ovih načina razmještaja čestica predstavlja jedno mikrostanje promatranog termodinamičkog sustava.

(b) Traženi broj načina jednak je 1 2

! 10! !bNw

N N= =

U ovom slučaju je broj mikrostanja (kojim ostvarujemo zadano makrostanje N1 = 9, N2 = 1) znatno manji. Kažemo da je stanje (b) manje vjerojatno od stanja (a). Ekvivalentno je kazati da je stanje (b) uređenije od stanja (a). Rabeći izraz (L. Boltzmann, 1877.)

S = kB ln w dobivamo 237.63 10 /aS J K−= ⋅ , 233.17 10 /bS J K−= ⋅ . Dakle, entropija uređenijeg sustava (b) je manja od entropije neuređenijeg sustava (a).

Drugo načelo termodinamike se može iskazati na različite, međusobno ekvivalentne, načine. Evo nekih od njih: 1. S. Carnot (1824.):

Za pretvaranje topline u rad nužno je imati topliji i hladniji spremnik, pri čemu je temperatura hladnijeg spremnika neophodno niža od temperature toplijeg spremnika.

4. W. Thomson (Lord Kelvin) (1854.):

Nemoguć je kružni proces pri kojem bi jedini rezultat bio uzimanje topline Qv od toplijeg spremnika i njeno potpuno pretvaranje u mehanički rad W, tj. da je Qn = 0. Ova formulacija je dobivena razmatranjem izraza za iskoristivost toplinskih strojeva kojeg smo već naveli.

2. R. Clausius (1850.): Toplina ne može spontano prelaziti s hladnijeg tijela na toplije.



5. R. Clausius (1834.): Entropija se u izoliranom sustavu ne smanjuje, tj. ili ostaje nepromijenjena (povratni procesi) ili se povećava (nepovratni procesi). Dakle, 0S∆ ≥ .

6. L. Boltzmann (1877.):

U svim spontanim prirodnim procesima termodinamički sustav prelazi u stanje većeg nereda tj. prelazi iz manje vjerojatnih stanja u stanja veće vjerojatnosti (pogledati primjer!).


PRIPR

EME

Zagreb, 2006.

3

PRIPREMIO

FIZIKA

DARIO MIČIĆ


Nakladnik


tel.: (01) 24 50 904, 24 52 809, 091 51 36 794




III. ELEKTROMAGNETIZAM III. 1. Elektrostatika Plastični štap nakon trljanja o kožu (ili kosu) ima sposobnost privlačenja komadića papira. → Štap je naelektriziran. Naelektritziranost karakteriziramo količinom naboja Q. Jedinica za mjerenje količine naboja: [Q] = 1C kulon Naelektrizirana tijela se ili privlače ili odbijaju. Postoje dvije vrste električnog naboja: pozitivan ∆ i negativan ⊖. Što je negativno nabijeno a što pozitivno odredi se dogovorom. Uzeto je da je naboj protona pozitivan a naboj elektrona negativan! 1909. Milikan – postoji najmanja količina naboja – naboj je kvantiziran

191.6 10e C−= + ⋅ - elementarna količina naboja Bilo koju količinu naboja možemo prikazati kao: Q = N⋅ e N – cijeli broj! U zatvorenom sustavu, bez obzira kakvi se fizikalni procesi unutar njega dešavali vrijedi da je: Q = konst. – zakon očuvanja naboja Količina naboja je nepromjenjiva u vremenu. a) Coulombov zakon Kulon ispituje torzionom vagom o čemu ovisi sila između dvaju točkastih (kuglastih) naboja. 1 2~ Q QF Sila je proporcionalna umnošku naboja

2

1~Fr

Sila je obrnuto proporcionalna kvadratu udaljenosti između naboja. Coulombov zakon:

1 20 2C

Q QF kr

= , 2

29

00 109

41

CNmk ⋅≈=

επ

0ε - dielektričnost (permitivnost) vakuuma ( 221120 1085.8 CmN −−−⋅=ε )

Ukoliko se naboji postave u neko sredstvo (npr. vodu), tada je sila između njih manja nego kad su u vakuumu. Definirajmo relativnu dielektričnost:

1Cr

S

FF

ε = > tj. 0 1 22C

r

k Q QFrε

=

Sila ima smjer radijalno od (istoimeni) ili prema (raznoimeni) naboju koji ju uzrokuje.

štap

komadi i papirać

Q1+

F1

F2F

Q2

F

= +F F1 F2

q

Ako na neki naboj q < 0 (crtež desno) djeluje veći broj drugih naboja (npr. Q1 > 0 i Q2 < 0), ukupna sila na naboj q se dobije vektorskim zbrajanjem pojedinih sila.



b) električno polje Prostor oko nabijenog tijela poprima nova svojstva u odnosu na slučaj kada, u tom dijelu prostora, nema nabijenog tijela. Nazivamo ga električnim poljem. Uočimo formalnu analogiju s gravitacijskim poljem. Za njegovo opisivanje uvodimo nekoliko veličina: b1) Jakost električnog polja, E Svaki naboj +Q (koji općenito nije točkast ili kuglast) stvara polje. Zamislimo točkasti pozitivni probni naboj q proizvoljno malog iznosa. Dovodimo li u zadanu točku T (crtež) različite probne naboje, na njih će naboj Q djelovati različitim silama, ali će vrijediti

qF

qF

qF

=== ...2

2

1

1

to jest, taj omjer karakterizira odabranu točku T u kojoj postoji električno polje E jakosti

qFE = .

To je omjer sile na probni naboj u nekoj točki (koju možemo izmjeriti dinamometrom) i količine naboja probnog naboja. Jedinica za mjerenje električnog polja jednaka je

[ ] [ ][ ]

1F NEq C

= = .

Ukoliko je naboj Q točkast ili kuglast onda je Coulombova sila kojom taj naboj djeluje na naboj q jednaka

0 2

QqF kr

= .

Ukoliko polje stvaraju dva točkasta naboja Q1 i Q2 (ili više naboja) onda vrijedi princip superpozicije: Ukupno polje tih naboja u proizvoljnoj točki T prostora se dobije kao vektorski zbroj pojedinih polja. Uočiti: u točki T se nalazi pozitivni probni naboj na kojega djeluje ukupna sila koju možemo izmjeriti. Kada imamo podatake o sili i probnom naboju onda modul električnog polja izračunamo E = F/q. Električne silnice – linije električnog polja To su linije kojima bi putovao probni naboj q > 0 u polju uočenog pozitivnog (+) ili negativnog naboja (–).

Električno polje točkastog ili kuglastog naboja Q jednako je

0 2

QE kr

= .

Dogovor o smjeru električnog polja prikazan je na crtežima (desno).

+Q1

2E2+

E1+

-Q

E-

1

2

qqT

Q+

F2

F1

QE --

E

E+ Q1

2E

E+

E += +

-

T

izvorponor



Vektor jakosti električnog polja E je tangencijalan na liniju električnog polja u danoj točki. Gustoća linija je proporcionalna jakosti električnog polja na tom područiju. Linije izviru na pozitivnom, a poniru na negativnom naboju. Linije se ne mogu presjecati! b2) električni potencijal, ϕ Kad se probni naboj q dovodi iz beskonačnosti u neku točku polja, električno polje izvrši rad proporcinalan s q. 1 ~W q∞ Naboj q u datoj točki raspolaže električnom potencijalnom energijom p elE . ~p elE q Definiramo veličinu:

p elEq

ϕ = - električni potencijal točke polja.

To je omjer električne potencijalne energije probnog naboja q u nekoj točki polja i količine naboja tog probnog naboja. Ovisi o položaju točke i o naboju Q koji stvara polje. Jedinica za mjerenje:

[ ] [ ]1 1p elE J V

q Cϕ

⎡ ⎤⎣ ⎦= = = volt

Za točkasti naboj Q (ili kuglasti ) je

( ) 0Qr kr

ϕ =

ϕ > 0 za pozitivan naboj ϕ < 0 za negativan naboj Linije (plohe) koje spajaju točke u električnom polju istog potencijala nazivaju se ekvipotencijalnim (plohama) linijama. One su uvijek okomite na silnice električnog polja. Električna potencijalna energija dvaju naboja Q i q je

0p elQqE q kr

ϕ= ⋅ =

Ako polje stvara veći broj naboja vrijedi princip superpozicije: ...)()()()( 321 +++= rrrr ϕϕϕϕ b3) električni napon Gledamo pomicanje probnog naboja q između dviju točaka 1 i 2 električnog polja naboja Q. Pri tom pomicanju elektrostatske sile izvrše rad 12W . Rad je proporcionalan količini naboja q. 12 ~W q Definiramo veličinu – električni napon U.

12WUq

=

To je omjer rada elektrostatskih sila 12W pri pomicanju naboja q iz točke 1 u točku 2 i količine tog naboja.

-+1

2E1

E2

rQ

qW

Ep,el

q

+

AϕBϕ

Q

A Bϕ ϕ=

r

+

ekvipotencijala

silnica

linija

Q

1q W12

2

1ϕ

2ϕ



Jedinica za mjerenje je

[ ] [ ][ ]

12 1 1W JU Vq C

= = ≡

Kako se izvršeni rad može iskazati kao razlika elekričnih potencijalnih energija 12 2 1pel pelW E E= −

slijedi da je električni napon U između dvije točke polja jednak 2 1pel pelE EU

q q= − tj.

električni napon je jednak razlici električnog potencijala između tih točaka polja: 2 1U ϕ ϕ ϕ= − = ∆ .

c) Električni kapacitet. Kondenzatori Kondenzator – uređaj na kojem pohranjujemo električni naboj. Najčešće se sastoji od dva vodiča (metalne ploče) razdvojena izolatorom (zrak, neki dielektrik). c1) Pločasti kondenzator d – razmak između metalnih ploča S – ploština ploča Q – količina naboja U – napon između ploča (za danu količinu naboja) - pokus → U ~ Q Napon između ploča proporcionalan je količini naboja na pločama. Možemo napisati:

1U QC

= , tj.

QCU

=

C – kapacitet kondenzatora. Ovisi o geometriji i o dielektriku između ploča (ne ovisi o Q i U!)

[ ] [ ][ ]

1 1Q CC FU V

= = ≡ farad

Kapacitet pločastog kondenzatora:

0rSCd

ε ε=

rε - relativna permitivnost dielektrika Između ploča se formira homogeno električno polje. Ako se naboj +q s pozitivne ploče prebaci na negativnu ploču, tad električno polje izvrši rad elW F d qE d= ⋅ = ⋅ Taj isti rad možemo iskazati preko napona W = q⋅ U qE⋅ d = q⋅ U

UEd

= - jakost električnog polja unutar kondenzatora

[ ] [ ][ ]

1U VEd m

= =

C

d

Q Q+ -

S

U

dQ Q+ -

U



Energija pločastog kondenzatora Nabijanje kondenzatora do količine naboja Q možemo ostvariti «prenoseći» (u mislima) jedan po jedan elektron (naboja –|qe|) s jedne neutralne ploče na drugu ploču. Ploča s koje «uzimamo» elektrone će postati pozitivno nabijena, a ona na koju prenosimo elektrone negativno nabijena. Valja uočiti da se utijekom «prenošenja» elektrona napon između ploča mijenja jer se mijenja i naboj ploča! Na kraju «prenošenja» elektrona, kada je naboj na pločama +Q odnosno –Q, izvršili smo jednak rad kao da smo odjednom prenijeli količinu naboja Q uz srednji napon između ploča U koji je jednak

02 2

poč konU U UU+ +

= = tj. 2UU =

Izvršeni rad:

12 2UW UQ Q QU= = =

Izvršeni rad je pohranjen u obliku energije električnog polja kondenzatora.

12

W QU=

2

21 1 1 12 2 2 2

Q QQ CU U CUC C

= = = ⋅ =

Spajanje kondenzatora serijski: 1 2SU U U= + Količine naboja na pločama ( )1 2, , SQ Q Q su jednake. 1 2 SQ Q Q= =

SS

S

QUC

=

11

1

QUC

= ⇒ 1 2

1 2

s

s

Q Q QC C C

= + ⇒ 1 2

1 1 1

SC C C= +

22

2

QUC

=

Recipročna vrijednost ekvivalentnog kapaciteta u serijskom spoju jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti pojedinih kapaciteta. To vrijedi za proizvoljan broj kondenzatora. Spajanje kondenzatora paralelno: Naponi na kondenzatorima su jednaki. 1 2pU U U= = 1 2pQ Q Q= + 1 1 2 2p pC U C U C U= +

1 2pC C C= + Kod paralelnog spoja ekvivalentni kapacitet u paralelnom spoju jednak je zbroju pojedinačnih kapaciteta. Tvrdnja vrijedi za proizvoljan broj kondenzatora.

CQ

Q

1

22

1

C

U U1 2U=

Q C

U+

p

pp

CQ Q1

22

1 C

U U1 2

U

nadomještamojednimekvivalentnim

Q C

U

S

S

S



III. 2. Električna struja - električna struja – usmjereno gibanje naboja u metalima – slobodni elektroni u otopinama – ioni, elektroni u plinovima – ioni, elektroni ∆Q – količina električnog naboja koja za vrijeme ∆t prođe kroz poprečni presjek vodiča S. a) jakost električne struje definiramo jakost električne struje:

QIt

∆=

∆

Omjer količine naboja ∆Q i proteklog vremenskog intervala ∆t. Jakost struje I se odabire za osnovnu fizikalnu veličinu. Njena jedinica se definira uz pomoć magnetskih učinaka struje. [ I ] = 1 amper ([ I ] = 1 A) Za konstantne struje pišemo

QIt

=

Q = I ⋅ t → [Q] = [I] ⋅ [t] = 1A s ≡ 1C (kulon) Po dogovoru se za smjer struje uzima smjer usmjerenog pomicanja pozitivnog naboja. Uočiti da električna struja nije vektor nego skalar! a1) mikroskopski model struje Ukoliko vodič nije priključen na izvor, slobodni elektroni se unutar njega gibaju kaotično (poput molekula plina). Kad se na krajeve vodiča priključi napon, unutar njega se formira električno polje koje slobodnim elektronima daje jednu komponentu usmjerenog pomicanja brzinom v - srednja brzina usmjerenog pomicanja (driftna brzina). N – broj slobodnih elektrona u volumenu V

NnV

= - gustoća broja elektrona (brojnost)

Za vrijeme ∆t kroz presjek S će proći samo oni elektroni koji su na udaljenosti v t⋅ ∆ ili manjoj, tj elektroni iz obujma V S v t= ⋅ ⋅ ∆ Ti elektroni prenesu kroz S količinu naboja Q N e n V e n S v t e∆ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅∆ ⋅ Jakost struje je

Q n S v t eIt t

∆ ⋅ ⋅ ⋅∆ ⋅= =

∆ ∆

I S v e n= ⋅ ⋅ ⋅

Uobičajeno je definirati gustoću struje j relacijom Ij v e nS

= = ⋅ ⋅ . Gustoća struje je vektorska

veličina i u metalima ima smjer električnog polja koje je odgovorno za gibanje naboja u vodiču. Jedinicu gustoće struje dobivamo iz definicije:

[ ] [ ][ ] 21I AjS m

= =

Tipične srednje brzine i koncentracije elektrona u vodiču su

22 3~ 1 ; ~ 10mmv n cms

− .

sQ

vodic

t



b) Ohmov zakon. Električni otpor Ohm eksperimentalno utvrđuje da je jakost struje I u danom metalnom vodiču proporcionalna naponu U na krajevima vodiča. I ~ U Možemo napisati jednakost I = G ⋅ U

IGU

= - električna vodljivost

[ ] [ ][ ]

1 1I AG S

U V= = ≡ simens

Češće koristimo recipročnu vrijednost

1RG

= - električni otpor

UIR

= - Ohmov zakon (za vanjski dio strujnog kruga)

[ ] [ ][ ]

1 1U VRI A

= = ≡ Ω om

Električni otpor ovisi o: - duljini vodiča, l - površini poprečnog presjeka, S - vrsti vodiča (opisano pomoću specifične otpornosti ρ, [ρ] = Ω m)

lRS

ρ=

R metalnog vodiča ne ovisi o naponu U izvora ili jakosti struje I koja prolazi kroz vodič. b1) mikroskopski izvod Unutar vodiča se formira električno polje jakosti

UEl

=

Srednja driftna brzina v je proporcionalna s tom jakošću v Eµ= gdje je µ električna pokretljivost.

⇒ U SI SvEn S Een S en en Ul l

µ µ µ= = = =

1I UR

= ⋅ ⇒ 1 lRen Sµ

=

Otpornost je

1en

ρµ

=

lRS

ρ= , UIR

=

Taj zakon može se zapisati i u obliku EneneEnevj µµ === Uvedemo li električnu provodnost

1e nσ µρ

= =

j = σ E – Ohmov zakon Uzrok električnog otpora: - sudari elektrona s titrajućim ionima kristalne rešetke - sudari elektrona s atomima nečistoća i nepravilnostima kristalne rešetke.

I

U

S

U

l



Eksperimenti pokazuju da električni otpor ovisi o temperaturi ( )0 1tR R tα= + ∆

α je temperaturni koeficijent otpora datog vodiča, [α] = 0C–1 = K–1. t∆ je promjena temperature, a R0 je električni otpor vodiča na početnoj temperaturi. c) izvori istosmjerne struje Na izvoru razlikujemo: - pozitivan i negativan pol - područija s viškom pozitivnog, odnosno negativnog naboja Kad se polovi izvora spoje vodičem poteče električna struja koja dulje vremena ima konstantnu vrijednost Da bi to bilo tako, moraju se elektroni koji su putujući kroz vodič stigli s negativnog pola na pozitivni opet prebaciti na negativni pol → to mogu izvršiti “strane” (neelektrične) sile: - mehaničke - kemijske - toplinske - magnetske … Pri prebacivanju naboja q one izvrše rad stW . Definiramo elektromotorni napon izvora

stWq

ε =

Omjer rada stranih sila i količine prebačenog naboja

[ ] [ ][ ]

1J

VC

ε = ≡ volt

Shema strujnog kruga: r – unutarnji otpor izvora struje ε - elektromotorni napon R – vanjski otpor I – jakost struje U = RI = εI – rI pad napona na vanjskom otporu

IR r

ε=

+ - Ohmov zakon za čitavi strujni krug

Ako je R = 0 Ω struja kratkog spoja je:

ksIrε

= - maksimalna struja koju izvor može dati

d) Kirchhoffova pravila U strujnim krugovima razlikujemo: - čvorove – točke u kojima se susreću tri ili više vodiča - petlje – zatvorene konture s elementima strujnog kruga I. pravilo (pravilo čvora) 1 2I I I= + Zbroj jakosti struja koje ulaze u čvor, jednak je zbroju jakosti struja koje izlaze iz čvora. Pravilo se temelji na zakonu očuvanja količine naboja.

R

r

I



II. pravilo (pravilo petlje) 1 2 1 2IR IRε ε− = + Algebarski zbroj elektromotornih napona u petlji jednak je zbroju padova napona u toj petlji. Pravilo se temelji na zakonu očuvanja energije. e) Spajanje otpornika serijsko: Kroz otpornike protiču jednake struje. 1 2 SI I I= = 1 2 SU U U U= + = 1 1 2 2 S SI R I R I R+ = 1 2R R R= + Ekvivalentni otpor jednak je zbroju pojedinih otpora. Tvrdnja vrijedi za proizvoljan broj otpora. paralelno: Na otpornicima su jednaki naponi. Pravilo čvora: 1 2 PI I I I= + =

1 2

1 2

P

P

U U UR R R

+ =

1 2

1 1 1

PR R R+ =

Recipročna vrijednost ekvivalentnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti pojedinačnog otpora. Tvrdnja vrijedi za proizvoljan broj otpora. f) Energija električne struje. Električna snaga Pri protjecanju električne struje kroz otpornik R, pozitivan naboj prelazi iz područija više potencijalne energije u područije niže potencijalne energije (uz nepromjenjenu kinetičku energiju) tako da se ta razlika potencijalnih energija sudarima pretvara u termičku energiju kristalne rešetke (Jouleova toplina). W = U Q Q = I ⋅ t Iz ovih relacija slijedi Snaga je definirana kao rad po jedinici vremena.

2

2W UP UI I Rt R

= = = =

III. 3. Magnetizam magnet – privlači željezne predmete (također kobalt i nikal, kao i njihove legure). Magnetski pol – područije magneta s najjačim djelovanjem

N S

sjevernipol

juznipol

22U

W U I t t I RtR

= = =



Istoimeni polovi se odbijaju. Raznoimeni polovi se privlače. Dijeljenjem magneta se dobiju sitniji magnetići. To je tipično bipolarna (dipolna) pojava. Ne postoje izolirani magnetski polovi. Magnetska influencija – u blizini magneta se komad mekog željeza pretvara u magnet → privlači druge željezne predmete. Tvari građene od elementarnih magnetića kod magneta – raspoređeni uređeno. feromagnet Kod nemagneta - neuređeno. paramagneti – vrlo slab magnetizam dijamagneti – suprotno ponašanje a) magnetsko polje - prostor oko magneta u kojem se osjeća njegovo djelovanje Opisujemo ga: - grafički – linije magnetskog polja (silnice)

Zamišljene linije koje svojim tangentama pokazuju smjer magnetskog polja

- veličinama – tok magnetskog polja Mφ kroz ploštinu A To je broj silnica koji prolazi kroz tu ploštinu

- gustoća magnetskog toka B (ili magnetska indukcija)

MBA

φ=

Preciznije magnetski tok je cosM B A BAφ α⊥= ⋅ = B – ovisi o sredstvu koje se nalazi u magnetskom polju Definira se veličina koja ne ovisi o sredstvu. To je jakost magnetskog polja H :

BHµ

=

µ - permeabilnost sredstva 0 rB H Hµ µ µ= ⋅ =

70 4 10 Tm

Aµ π −= ⋅ - permeabilnost vakuma

rµ - relativna permeabilnost tvari

feromagnet 3~ 10rµ paramagneti 1≥rµ dijamagneti 1≤rµ

N S

BB

nA

α



a1) Oerstedov pokus Kad se iznad magnetske igle pusti da teče struja, magnetska igla se otkloni i otklonjena je sve dok teče struja. Kad se struja isključi, igla se vraća. Ako se smjer struje promjeni, promjeni se i smjer otklona igle. Električna struja (naboj u gibanju) stvara magnetsko polje. b) izvori magnetskog polja b1) ravni (beskonačni) vodič pokus ⇒ H ~ I

1~Hr

1

2IHrπ

=

00 2

IB Hr

µµπ

= =

Smjer polja – pravilo desne ruke Palac u smjeru I, rukom obuhvatimo vodič → prsti smjer B

[ ] [ ][ ]

1I AHr m

= = - jedinica za mjerenje jakosti magnetskog polja

b2) kružna petlja radijusa R U središtu petlje je

RIB r

2µ

=

Petlju možemo smatrati elementarnim magnetićem b3) zavojnica s N zavoja N – broj zavoja L – duljina zavojnice I – jakost struje Unutar zavojnice je polje homogeno. Pokus ⇒ H ~ I H ~ N

H ~ L1

Te je obuhvaćeno relacijom L

NIH = .

Magnetska indukcija:

0NB Il

µ=

ako se unutar zavojnice postavi neki materijal permeabilnosti rµ tad je

0rNB Il

µ µ=

I

+

B

B

B1

2

I

I

1

2



c1) Amperova sila, FA Ako se kroz ravni vodič koji se nalazi u homogenom magnetskom polju indukcije B , pusti struja jakosti I, zapaža se da se vodič izmiče iz magnetskog polja, na njega djeluje magnetska sila → Amperova sila AF Pokus → ~AF I ~AF l - duljina vodiča u magnetskom polju ~AF B

~ sinAF α , α je kut između B i l

sinAF B I l α= ⋅ ⋅ ⋅ Ponekad ovo koristimo za definiranje magnetske indukcije

sinAFB

I l α=

⋅ ⋅

Jedinica za mjerenje magnetske indukcije

[ ] [ ][ ] [ ]

1 1AF NB TI l A m

= = ≡⋅ ⋅

tesla

Smjer sile AF - pravilo ispružene desne ruke palac – smjer I prsti – smjer B sila – iz dlana 0B Hµ=

[ ]0 0 1 1B T TmAH Am

µ µ= ⇒ = =

Sila između dva vodiča

0 112 1 2 22

IF B I l I lr

µπ

= ⋅ ⋅ = ⋅

0 1 212 2

I IF lr

µπ

=

Ovu relaciju koristimo za definiciju jedinice jakosti struje – 1 amper c2) Lorentzova sila, LF Struja – usmjereno gibanje naboja Sila na vodič kojim teće struja rezultat djelovanja magnetskog polja na pojedine naboje. l – duljina vodiča u magnetskom polju B S – površina poprečnog presjeka vodiča N – broj naboja q u volumenu S ⋅ l

ANF BIl B Svqn l Bqv SlV

= = ⋅ ⋅ =

AF N Bqv= ⋅

Na naboj q koji se giba brzinom v u magnetskom polju B djeluje sila:

N

S

+

I

B



AL

FF BqvN

= =

ili općenito sinLF Bqv α=

α - kut između vektora B , v Smjer sile LF → pravilo desne ruke:

palac – smjer v prsti – smjer B sila – iz dlana za q > 0 Gibanje naboja u homogenom magnetskom polju: Ukoliko je v B⊥ naboj se giba po kružnici radijusa R. Sila LF igra ulogu centripetalne sile. L cpF F=

RvmvqB

2

=

mvRBq

=

Rad Lorentzove sile jednak je nuli. 0FLW = ! jer je LF s⊥ ∆ (pomak) Period vrtnje

2 2 2R R mT

v v Bqπ π π= = =

2 mTBq

π=

Primjene: 1 separator brzine Okomito električno i magnetsko polje el LF F qE Bqv= ⇒ =

EvB

= - Čestice ove brzine ne skreću!

2 maseni spektrometar Kombinacija separatora brzine i magnetskog polja 0B

EvB

=

0

0

RBmv mRB q q v

= → =

E

BBRqm 0= - specifični naboj

3 ciklotron – ubrzivač nabijenih čestica

RBqvm

=



III. 4. ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA To je pojava da se uz pomoć magnetskog polja proizvede električna struja. a) elektromagnetska indukcija Faraday 1831. Kazaljka ampermetra se otklanja kad se: - magnet primiče ili odmiče zavojnici, tj kad se mijenja magnetsko polje u kojem se zavojnica nalazi, (tj. mijenja B ) - zavojnica stišće ili rasteže, tako da se mijenja površina

poprečnog presjeka (tj. S) - Zavojnica rotira u homogenom magnetskom polju (tj. mijenja

kut α) α - kut između normale n na površinu zavoja i vektora B

- Jednom riječju, kad se mijenja veličina cosM B S αΦ = ⋅ ⋅ - magnetski tok

[ ] [ ] [ ] 21 1M B S Tm WbΦ = ⋅ = ≡ veber

Pokusi ⇒ kazaljka se više otkloni što se MΦ brže mijenja i što je veći broj zavoja N zavojniceInducirani napon

~ MiU

t∆Φ

∆ - brzina promjene magnetskog toka

~iU N - broj zavoja

t

NU Mi ∆

∆Φ= - Faradayev zakon

a1) Lenzovo pravilo Ako se magnet primiče aluminijskom prstenu, on se odmiče. Ako se magnet odmiče prsten ide za njim. Primicanjem se u prstenu inducira takva struja da njeno magnetsko polje nastoji spriječiti povećanje magnetskog toka kroz prsten, tj. prsten formira s lijeve strane N pol, koji se odbija od N pola magneta koji se primiče. Suprotna je situacija kod odmicanja magneta.

t

NU Mi ∆

∆Φ−= Minus dolazi zbog Lenzovog pravila.

b) ravni vodič u homogenom magnetskom polju Neka se ravni vodič, duljine l giba brzinom v okomito na vektor magnetske indukcije B B - homogeno magnetsko polje, okomito na v v - brzina gibanja vodiča Možemo zamisliti petlju (iscrtkano) čija se površina mijenja. Promjena magnetskog toka kroz tu petlju je M B S B l v t∆Φ = ⋅∆ = ⋅ ⋅ ∆ Kako je N = 1, Faradayev zakon daje za iznos induciranog napona

Mi

Blv tUt t

∆Φ ∆= =

∆ ∆

Između krajeva vodiča se inducira napon iU Blv=

S

N

A

B

v

l

v ⋅∆ t



c) samoindukcija pokus → Tinjalica zasvjetli uz napon ~ 150V. Kad se ona priključi u strujni krug kao na slici pri uključivanju ili isključivanju izvora od samo 2V zapaža se da tinjalica bljesne! Pri uključivanju i isključivanju se na neki način dobivaju naponi reda ~ 150V. Pri uključivanju jakost struje ne postigne odmah maksimalnu vrijednost, nego struja raste neko vrijeme od vrijednosti nula do maksimalne vrijednosti MAXI , tj struja se mijenja. Faradayev zakon EM-indukcije

t

N Mi ∆

∆Φε −=

U zavojnici se, zbog promjene jakosti struje, inducira napon reda ~150V, zbog čega bljeskalica bljesne. Samoindukcija – pojava da se u zavojnici pojavljuje iε zbog promjene toka vlastitog magnetskog polja. Koliki je napon samoindukcije? Magnetski tok kroz zavojnicu je M B SΦ = ⋅ Magnetska indukcija

0rNB Il

µ µ= ⇒ 0rNB Il

µ µ∆ = ∆ (zato što se mijenja samo struja kroz zavojnicu)!

→ M S B∆Φ = ⋅∆ Rabeći Faradayev zakon EM-indukcije dobivamo traženi napon samoindukcije

→ 2

00

ri r

SNN I INSl t l t

µ µε µ µ ∆ ∆= − = −

∆ ∆.

Običaj je uvesti koeficijent samoindukcije (induktivitet zavojnice) 2

0r SNLl

µ µ= . Napon

samoindukcije je sada jednak

iILt

ε ∆= −

∆

Jedinica za mjerenje induktiviteta

[ ] [ ][ ][ ]

1 1i t V sL HI A

ε ∆ ⋅= = ≡

∆ henri

d) energija magnetskog polja Kad je zavojnica priključena na izvor, njome teče struja I i unutar nje postoji magnetsko polje indukcije B. Ako se izvor isključi, struja ne padne odmah na nulu, nego teče još neko vrijeme sve slabija i slabija. U krugu postoji još neka energija – energija magnetskog polja

212MW LI=

Taj izraz može se i malo drukčije zapisati:

tinjalica

izvor(~2 )V

sklopka

zavojnica

zeljezna jezgra

procesukljucivanja

procesiskljucivanja

0

I t( )

MAXI

t

I

lS

B

+



( )

20

2 2 20

2 20

00

12

r

rM

rr

r

SNLSN B ll W

N Bl l NB I Il N

µ µµ µ

µ µµ µµ µ

⎫= ⎪⎪ ⇒ = ⋅⎬

⎪= → =⎪⎭

2

02Mr

BW Slµ µ

=

Obzirom da je volumen zavojnice jednak V = S l pa je gustoća energije magnetskog polja

2

0

12

MM

r

W BwV µ µ

= =

Rabeći vezu između magnetske indukcije i magnetskog polja 0 rB Hµ µ= možemo pisati

20

12M rw Hµ µ=

Gustoća energije magnetskog polja proporcionalna je kvadratu jakosti magnetskog polja H. III. 5. IZMJENIČNE STRUJE Vrtnjom petlje u magnetskom polju indukcije B , u njoj se inducira izmjenični napon prema Faradayevom zakonu EMI.

Mi N

tφε ∆

= −∆

tαω = - kutna brzina vrtnje

( cos ) (cos )

iBS t tN NBS

t tω ωε ∆ ∆

= − = −∆ ∆

kako je

cos sint t

tω ω ω∆

= −∆

slijedi sini NBS tε ω ω= Izmjenični napon

0 -maksimalnavrijednostnapona(amplituda)

( ) sint N B S tε

ε ω ω= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

0( ) sint tε ε ω= Priključi li se taj izvor na omski otpornik, tad kroz otpornik teče izmjenična struja jakosti 0( ) sini t I tω= - trenutna jakost

0I - maksimalna vrijednost

BS

B

S

B

cosBS



Izmjenični napon na krajevima otpornika je 0( ) sinu t U tω= Za opis izmjenične struje definiramo efektivne vrijednosti jakosti i napona. Efektivne vrijednosti definiramo pomoću usporedbe toplinskih učinaka istosmjerne i izmjenične struje. Veza s maksimalnim vrijednostima sljedeća:

0

2efII I= ≡ , 0

2efUU U= ≡

Gradska mreža u Europi ima ν = 50 Hz i 220efU V= a) otpori u krugu izmjenične struje a1) radni (omski), R 0( ) sinu t U tω=

0 sinUui tr R

ω= =

0( ) sini t I tω= Struja i napon su u fazi, tj. u istim trenucima postižu maksimalne vrijednosti. Vrijedi Ohmov zakon:

uir

=

ili

UIR

=

Vektorski dijagram Maksimalnim vrijednostima struje i napona pridružimo vektore koji rotiraju u pozitivnom smjeru stalnom kutnom brzinom ω. Budući da su u fazi, gledaju u istom smjeru. a2) induktivni, LR (zavojnica u strujnom krugu) Izvor izmjeničnog napona 0( ) sinu t U tω= Zbog samoindukcije

siLt

ε ∆= −

∆

Dobijemo da se struja mijenja po zakonu

0 sin2

Ui tL

πωω

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

tj.

0 sin2

i I t πω⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

Struja kasni za 2π

za naponom

00

UILω

= - maksimalna jakost struje

Kad napon ima maksimalnu vrijednost, struja ima vrijednost nula.

t0

u

I0

,

u

i-I0

U0

0U-

R

~izvor izmjenicnestruje



L

uiR

= ⇒ LR Lω= - induktivni otpor

L

UIR

=

~LR ω - kružna frekvencija ~LR L - induktivitet

vektorski dijagram a3) Kapacitivni, CR (kondenzator u strujnom krugu) Za istosmjernu struju kondenzator je beskonačan otpor Za izmjeničnu on je samo konačan otpor 0 sinu U tω= Tad se kondenzator puni i prazni, tj u strujnom krugu teče struja. Količina naboja na pločama u nekom trenutku je dana izrazom 0 sinq u C CU tω= = kako je

qit

∆=

∆ ⇒ ( ) 0

0sin sin1 2 2Ui t t I t

C

π πω ω

ω

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0 00 1

C

U UIR

Cω

= ≡ - Ohmov zakon

1

CRCω

= - kapacitivni otpor

1~CRω

- obrnuto proporcionalan s ω

1~CRC

- obrnuto proporcionalan C

C

uiR

=

0( ) sin2

i t I t πω⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

Struja brza za 2π

ispred napona

Kad struja ima maksimalnu vrijednost, napon ima vrijednost nula. Vektorski dijagram ima oblik:

t

u

i

i u,U0

I0

0-I0

0U-



a4) serijski spoj R, C i L Jakost struje u svim elementima je jedna te ista. R C LI I I= = Vektorski dijagram

2 2 2 2( ) ( )R L C L CU U U U I R R R= + − = + −

2 2( )L CZ R R R= + − - ukupni otpor (impedancija) Ohmov zakon

UIZ

= - ovisi o ω

ϕ - pomak u fazi između jakosti struje i napona na izvoru

tg L CR RR

ϕ −=

Iz Ohmovog zakona

2 2( )L C

U UIZ R R R

= =+ −

slijedi da je Z najmanji odnosno I je najveća za

L CR R= ⇒ 00

1LC

ωω

=

01LC

ω = - rezonantna frekvencija

tada je ϕ = 0, te

UIR

=

period pobude struje je tada

00

2 2T LCπ πω

= = - Thomsonova formula

a5) paralelan spoj R, C i L Napon na elementima je međusobno jednak. UR = UC = UL Vektorski dijagram je prikazan na crtežu:

2 2( )R C LUI I I IZ

= + − =

2

2

1 1 1 1

C LZ R R R⎛ ⎞

= + −⎜ ⎟⎝ ⎠

IU

RC

UL

UUL UC-

UR

R

~

C

L



=

b) snaga izmjenične struje Kako su trenutne vrijednosti napona 0( ) sinu t U tω= i jakosti struje 0( ) sin( )i t I tω ϕ= + pomaknute u fazi za ϕ, trenutna vrijednost snage je ( ) ( ) ( )p t u t i t= ⋅ Snagu izmjenične struje dobivamo usrednjavanjem po nekom vremenskom intervalu ( ) cosP p t UI ϕ≡ = tj. cosP UI ϕ= gdje je faktor cosϕ uobičajeno zvati faktor snage. c) transformator Uređaj koji na principu elektromagnetske indukcije mijenja (transformira) napon, odnosno jakost izmjenične struje. Brzine promjene magnetskog toka

M

t∆Φ

∆

su jednake u obje zavojnice

p P

S S

U NU N

= - omjer transformacije

Kod idealnog transformatora su snage na primaru i sekundaru jednake P P S SI U I U=

SP

S P

IUU I

=

U slučaju da postoje gubici definiramo korisnost:

S S

P P

I UI U

η =

NP NS

IP

UP

IS

US


PRIPR

EME

Zagreb, 2006.

4

PRIPREMIO

FIZIKA

DARIO MIČIĆ


Nakladnik


tel.: (01) 24 50 904, 24 52 809, 091 51 36 794




0

y

svjetloy t( ) y t( ) y0

ravnotežni položaj sjene

zastor

IV. TITRANJE I VALOVI IV. 1. TITRANJE Titranje je periodično gibanje oko ravnotežnog položaja. Npr. harmonijski oscilator (H. O.) Sastoji se od (crtež): - elastične opruge konstante k - tijela pričvršćenog za oprugu mase m Njihalo Sastoji se od niti duljine l, za koju je obješeno neko tijelo mase m i sve se to nalazi u gravitacionom polju. Obično se uzima da je masa niti puno manja od mase tijela. Osnovni pojmovi: - elogancija, y Trenutna udaljenost od ravnotežnog položaja -amplituda, 0Y Maksimalni pomak od ravnotežnog položaja. (maksimalana elongacija) - titraj Proces pri kojem se tijelo koje titra vrati sljedeći put u neki položaj u istom stanju gibanja. - period, T - vrijeme jednog titraja

- frekvencija, ν - broj titraja u 1s → 1T

ν =

[ ] [ ]11 1 1s Hz

T sν −= = ≡ ≡ herc

a) analogija jednolikog gibanja po kružnici i titranja Tijelo se jednoliko vrti po kružnici radijusa R, kutnom brzinom ω, obasjavamo ga paralelnim snopom svjetlosti i gledamo sjenu tijela na okomitom zastoru → sjena titra

tϕω = → ϕ = ω t

0R Y=

mk

ravnotežni položaj

y0

ravnotežni položaj

Y0-Y0

y0

Y0-Y0



0

y

0

v2

v1

v0

v0

v t( )v t( )

a t( )a a t( )cp2

acp1

Iz pravokutnog trokuta slijedi:

( )sin ( ) siny t y t RR

ϕ ϕ= → = otkuda slijedi

da je elongacija titranja 0( ) siny t Y tω= . Ako u početnm trenutku tijelo nije u ravnotežnom položaju onda je početna faza 0ϕ različita od nule pa je elongacija titranja 0 0( ) sin( )y t Y tω ϕ= + Izraz 0tω ϕ+ se zove faza titranja. Brzina, v(t) Projiciramo vektore brzine tijela (crtež)

0

( )cos v tv

ϕ =

0( ) cosv t v tω=

0 0v R Yω ω= = → 0 0v Yω= 1 2 0...v v v= = = Općenito je brzina tijela 0 0( ) cos( )v t v tω ϕ= + Ubrzanje, a(t) Projiciramo vektor ubrzanja tijela (crtež)

0

( )sin a ta

ϕ =

0( ) sina t a tω=

2 20 0cpa a R Yω ω≡ = =

0 1 2 ...cp cp cpa a a a= = = = općenito 0 0( ) sin( )a t a tω ϕ= + ili 2

0 0( ) sin( )a t Y tω ω ϕ= +

2( ) ( )a t y tω= ili ako uzmemo u obzir smjerove otklona y(t) i a(t), koji su suprotni 2( ) ( )a t y tω= −



Povratna sila, ( )pF t se uvijek pojavljuje u sustavima koji titraju i usmjerena je prema ravnotežnom položaju. 2( ) ( ) ( )pF t m a t m y tω= = − Povratna sila je proporcionalna elongaciji: ( ) ( )pF t k y t= − Povratnu silu često zovemo kvazielastična sila. a1) Period titranja H. O. Usporedbom izraza 2 ( )pF m y tω= −

( ) ( )pF t k y t= − → k = m ω²

tj. km

ω = - kružna frekvencija titranja

2T πω

=

2 mTk

π= - period titranja harmonijskog oscilatora

a2) energija H. O. Tijelo se giba → kinetička energija – opruga se rasteže → potencijalna elastična Kinetička

2 220 cos( )( )

2 2kmv tmv tE t

ω= =

Elastična potencijalna

2 2

0 sin( )( )2 2pel

kY tk y tE t ω= =

Ukupna energija u bilo kom trenutku je zbroj tih dviju energija: elpku EtEtE += )()(

2 2 2 2 2 2

0 0cos sin2 2

m Y t m Y tω ω ω ω=+ =

2 22 20 (cos sin )

2m Y t tω ω ω+ .

Ukupna energija ne ovisi o vremenu! Ona je konstantna tijekom vremena.

2 2

0

2um YE ω

= . Ukupna energija je proporcionalna s kvadratom amplitude 0Y ( 20~uE Y ),

kvadratom kružne frekvencije ω2 ( 2~uE ω ) i masom tijela m ( ~uE m ). b) matematičko njihalo Za male kuteve otklona ϕ (crtež na sljedećoj stranici) iz sličnosti pravokutnih trokuta slijedi

( )gp

g

F y tF l

= −

Vidimo da ulogu povratne sile igra komponenta sile teže Fgp. Uvrštavanjem izraza za silu težu

Fg = mg dobivamo ( )gpmgF y tl

= − . Obzirom da je povratna sila kvazielastična sila tj.

( )gpF k y t= − , zaključujemo da je konstanta elastičnosti u ovom slučaju jednaka mgkl

= .

kmFp t( )

0

y t( )

mk

0

v t( )

y t( )



Kvazielastična sila uzrokuje harmonijsko titranje

2 2m mT mgkl

π π= = otkuda slijedi da je

period titranja matematičkog njihala jednak

2 lTg

π= .

Ukoliko je njihalo obješeno u ubrzanom sustavu, tada treba naći ”rezultantno ubrzanje” Rg

2R

lTg

π=

Npr. u vagonu koji se giba ubrzano po horizontali

2 2 2 2R g i RF F F m g a mg= + = + =

2 2Rg g a= +

c) LC – titrajni krug 0(0)q q= - početna količina naboja na kondenzatoru 0( ) cosq t q tω= Napon između ploča će se mijenjati po zakonu

( )( ) q tu tC

=

jakost struje u krugu se mijenja po zakonu

( )( ) q ti tt

∆=

∆

sve te veličine mijenjaju se frekvencijom

01

2 LCν

π= - vlastita frekvencija LC - kruga otkuda slijedi izraz za period titranja

ovog strujnog kruga:

0 2T LCπ= - Thomsonova formula d) prigušeno titranje Ako na sustav koji titra djeluje sila “trenja”, otpora, koja troši energiju unesenu u titrajni sustav → opaža se da se amplituda titranja s vremenom smanjuje.

g

y t( ) FN

mFgp

Fg

FgN

l

C

q t( )L

i t( )

FN

Fg

a konst= g

αF

FR



Pri slabom prigušenju definiramo faktor prigušenja (dekrement):

1

M

M

YY

δ+

= konstantno

“Period” se pritom gotovo ne mijenja. Faktor dobrote:

1

2 2n n

n n n

E EQE E E

π π+

= =− ∆

nE∆ - smanjenje energije u n-tom titraju

nE - energija na početku n-tog titraja e) prinudno titranje Ako na titrajni sustav djeluje vanjska periodična sila 0( ) sinprF t F tω= tada se uspostavi titranje s frekvencijom ω. Što je ω bliži 0ω - vlastitoj frekvenciji titrajnog sustava, to je amplituda titranja veća. Kad ω → 0ω dolazi do rezonancije. Amplituda beskonačno raste, titrajni sustav se “razara”. Tad je maksimalni prijenos energije s uzbudnog sustava na uzbuđivani sustav. U realnim situacijama su uvijek prisutne i sile trenja ili sile otpora tako da se pri rezonanciji dostigne samo najveća amplituda koja je konačne veličine. IV. 2. MEHANIČKI VALOVI Val – predstavlja širenje titranja u nekom elastičnom sredstvu. Npr. val na žici: Zamislimo žicu kao skup točkastih čestica koje su međusobno povezane elastičnim oprugama: Kad se prva čestica 1 (izvor) pomakne gore-dolje (ili lijevo-desno), opruga se rastegne i povuče za sobom česticu , što dovodi do rastezanja sljedeće opruge i pokretanja čestice itd. Sve čestice titraju na isti način s istim periodom T i istom amplitudom 0Y . Međutim, nisu sve čestice u istom stanju titranja tj. nemaju jednaku fazu. Uočimo položaje svih čestica u početni trenutak vremena t = 0, potom nakon četvrtine perioda titranja, … , te nakon punog perioda titranja (crteži):

Y

y

0

Y0

-

YM YM+1

t

4 6 7 8 9 10 111213145321t=0

4 6 7 8 9 10 1112131453

21

t= 14 T

4

67 8 9 10 11121314

532

1t= 12 T



Svaka od čestica titra oko svog ravnotežnog položaja. Tijekom titranja čestice kasne jedna za drugom u fazi. Čestice ne putuju udesno po žici. Mijenja se samo njihov položaj po vertikali. Oblik žice se, u odnosu na početni položaj, mijenja tijekom vremena. Kažemo da se po žici udesno giba val. Val ne možemo nacrtati! Ono što je prikazano na crtežima su položaji pojedinih čestica (dakle oblici žice) u pojedinim trenucima vremena. Obzirom da smo izvršili rad kojim smo čestice doveli u titranje očito je, prema zakonu očuvanja energije, da val nosi energiju! Dakle, jedan način prijenosa energije po žici je pomoću vala! Valja uočiti da svaki val (mehanički, elektromagnetski) prenosi energiju! Transverzalni val – čestice titraju Longitudinalni val – čestice titraju na pravcu širenja okomito na smjer širenja vala. vala (npr. zvučni val) (npr. val na žici) Valna duljina, λ Udaljenost između dva susjedna brijega (ili dva susjedna zgušćaja). To je najmanja udaljenost između dviju najbližih čestica koje titraju u fazi. To je udaljenost koju val prevali dok jedna od čestica načini puni titraj. Ako je medij po kojem putuje val homogen onda se val širi konstantom brzinom:

svt

=

Odaberemo za t period T. Tad je s = λ

1v

T Tλ λ= = . Držeći na umu izraz za frekvenciju titranja čestica

Tf 1

= dobivamo

v = λ ⋅ f. Ova relacija vrijedi za sve valove. Valja uočiti da elektromagnetski val ne treba medij koji bi ga prenosio! Pomislite, koji medij omogućuje prijenos sunčeva svjetla do npr. Zemlje! a) jednadžba progresivnog vala Sve čestice titraju harmonijski. Tako npr. čestica u ishodištu x = 0 ima elongaciju

0( 0; ) siny x t Y tω= = . Jednadžbom vala nazivamo izraz za elongaciju y(x, t) čestice na mjestu x u trenutku t.

46

78

9 10 11 12 13 145

32

1

t= T34

brijeg

dol

smjer širenjavala

smjer titranja

smjer širenjavala

smjer titranja

razrjedaj

zgušcaj



Čestica na mjestu x titra na potpuno isti način kao i izvor, jedino kasni za izvorom u vremenu za

xxtv

=

Toliko vremena treba da se val proširi od izvora do čestice na mjestu x. Možemo pisati

[ ] )2sin()(sin)(sin),0(),( 000 vx

TtY

vxtYttYttxytxy xx ⋅−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −=−=−==

πωωω

Kako je T ⋅ v = λ dobivamo

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= xt

TYtxy

λππ 22sin),( 0 - jednadžba progresivnog vala

Uvedemo li valni broj k

2k πλ

=

može se prethodni izraz zapisati u obliku 0( , ) sin( )y x t Y t kxω= − - jednadžba progresivnog vala Pritom se smjer širenja podudara s pozitivnim smjerom osi x. Ako se val širi u negativnom smjeru x-osi, jednadžba glasi 0( , ) sin( )y x t Y t kxω= + a1) razlika u fazi ∆ϕ Za dvije čestice, koje se nalaze na položajima 1x , odnosno

2x od izvora, je razlika u fazi u zadanom trenutku t jednaka:

)(2221221 xxxtxt −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=∆

λπ

λπω

λπωϕ

2 xπϕλ

∆ = ∆ gdje smo uveli uobičajenu pokratu 12 xxx −=∆ .

a2) brzina vala Uz malo složeniji izvod, može se pokazati da se brzina progresivnog vala može iskazati preko nekih karakteristika materijala u kom se širi val. Tako npr. brzina: transverzalnog vala na žici je jednaka:

Fvµ

= gdje je F – napetost žice i ml

µ = linearna gustoća materijala (žice) (m je

masa žice a l duljina žice) longitudinalnog vala u štapu:

Evρ

= gdje je E Youngov modul elastičnosti i ρ je gustoća materijala (štapa).

y

x

y x,t( )izvor vala

v

x

x

y

x

v

xxt=konst.

1

2



b) odbijanje (refleksija) valova čvrsti (nepomičan) kraj Brijeg se reflektira kao dol. Val se odbija suprotnom fazom, tj doživi skok u fazi za π: ∆ϕ = π slobodni (pomičan) kraj Brijeg se reflektira kao brijeg. Val se odbije s istom fazom, tj.nema skoka u fazi. ∆ϕ = 0 c) Huygensov princip širenja Valove često grafički opisujemo valnim frontama – plohama do kojih se val proširi do nekog momenta. Npr. kod ravnog vala: sferni val Često koristimo i valne zrake – pravci, tj. linije koje pokazuju smjer širenja vala (smjer transporta energije) ravni val sferni val Valne zrake su okomite na valne fronte u svakoj točki sredstva.

upadni puls

reflektirani puls



Huygensov princip – svaka točka medija koju pogodi valna fronta postaje izvor elementarnih (sfernih) valova, čija ovojnica daje novu valnu frontu d) Pojave s valovima d1) odbijanje (refleksija) Upadna zraka, normala i lomljena zraka leže u istoj ravnini i kut odbijanja jednak je kutu upada. α = β d2) lom (refrakcija) Val prelazi iz jednog medija u drugi. Upadna zraka, normala i lomljena zraka leže u istoj ravnini i vrijedi

121

2

sinsin

vnv

αβ

= =

21n - relativni indeks loma Frekvencija vala se ne mijenja pri prelasku iz jednog medija u drugi (to je karakteristika izvora). 1 2ν ν=

1 2

1 2

v vλ λ

=

d3) interferencija Kad istovremeno dva ili više valova stigne u istu točku prostora . Tad je rezultantno titranje vektorski zbroj pojedinih titranja, tj. rezultantna elongacija je 1 2y y y= + - princip superpozicije Gledamo dva vala jednakih frekvencija i stalne razlike u fazi – koherentni valovi

1 2,I I - koherentni izvori

2 1r r r∆ = − - razlika u hodu do točke T Ako su valovi harmonijski tada je razlika u fazi titranja

2 rπϕλ

∆ = ∆

Konstruktivna interferencija (pojačavanje) Kad je ∆r = 0, λ, 2λ … tj.

22

r m λ∆ = , m – cijeli broj

Razlika u hodu mora biti paran broj (2m) valnih polu-duljina Destruktivna interferencija (slabljenje)

Kad je 3 5, , ...

2 2 2r λ λ λ

∆ = tj.



( )2 12

r m λ∆ = +

Razlika u hodu mora biti neparan broj valnih polu-duljina. c1) stojni val Dobije se interferencijom upadnog i odbijenog vala Na žici duljine L učvršćenoj na oba kraja: v – brzina širenja osnovni stojni: Udaljenost između dva susjedna čvora (čestice

stalno miruju) je 2λ

!

11 2

2L Lλ λ= → =

11 2

v vL

νλ

= = - osnovna frekvencija

Tek za tu frekvenciju dobijemo na žici stojni val. prvi pobuđeni:

224 2

4 2v vLL L

λ ν⋅ = → = =

2 2 12Lλ ν ν= → =

Udaljenost između trbuha i susjednog čvora je 2

4λ

! Za više harmonike je 1νν nn = , n = 2, 3, …

Zatvorena svirala, duljina L osnovni:

11 4

4L Lλ λ= → =

1 4vL

ν =

prvi pobuđeni:

22

434 3

L Lλ λ⋅ = → =

2 34vL

ν =

2 13ν ν= . Općenito je 1)12( νν −= nn , n = 2, 3, ... e) valovi zvuka Longitudinalni valovi u mediju. Ljudsko uho reagira na frekventni raspon 16Hz – 20000Hz. e1) razina zvuka, L Intezitet zvučnog vala (snage P na površini S) je

2 20

12

PI Y vS

ω ρ= = .

v – brzina širenja zvuka 0Y - amplituda titranja čestica

cvortrbuh

1

4λ

L

L

134λ

⋅

L

ravnotezni polozaj cestica

cvorcvor

trbuh 1

2λ



ρ - gustoća medija 2Tπω = - kružna frekvencija

Prag čujnosti – najmanji intezitet koji izazove osjet zvuka

120 210 WI

m−=

Najjači zvučni inteziteti koji još ne oštećuju uho su približno 2~ 10 Wm

.

Uvodi se veličina koju je uobičajeno zvati razina zvuka, L

0

10 log ILI

=

[L] = dB decibel Za sferni val je

2

1~Ir

tj.

2

1 2

2 1

I rI r

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

r – udaljenost od izvora zvuka e2) Dopplerov efekt Neka se po pravcu jednolikom brzinom iv giba izvor zvuka (npr. ambulantni automobil s uključenom sirenom po autoputu) kojemu je frekvencija fi. Neka se maturant Tibor giba jednoliko po (paralelnom) pravcu brzinom pv (brzina promatrača) koji opaža da je frekvencija izvora jednaka fp (Dopplerov efekt). Može se pokazati da je frekvencija koju registrira opažač (Tibor) jednaka

p

pip vv

vvff

−+

= gdje je v brzina zvuka. Predznake brzina u ovom izrazu valja uzeti na

sljedeći način: iv , pv > 0 kad se izvor i promatrač međusobno približavaju

iv , pv < 0 kad se izvor i promatrač međusobno udaljavaju

IV. 3. Elektromagnetski valovi Iz Maxwellove teorije je slijedilo da se pomoću LC – kruga (ubrzanog naboja) mogu stvoriti elektromagnetski valovi. Prvi ih registrira 1888 Herz. To je širenje promjenjivih električnih i magnetskih polja (koja se međusobno proizvode) u prostoru. Nije potreban nikakav medij (sredstvo) za njihovo širenje. To su transverzalni valovi.

( ) ( )E t B t⊥

k - valni vektor kojemu je modul 2k πλ

=

( )E t k⊥

( )B t k⊥



( )E t - vremenski ovisan vektor jakosti električnog polja

( )B t - vremenski ovisan vektor magnetske indukcije Brzina širenja tih valova ovisi o sredstvu u kojem se šire. U vakumu je

8

0 0

1 3 10 mcsε µ

= ⋅

Trenutne vrijednosti jakosti električnog E(t) i magnetskog B(t) polja su povezane relacijom

E cB

=

Spektar EM-valova:

radio - valovi

mikro - valovi

infracrveni

vidljiva svjetlost

ultraljubicasti valovi

x - zrake

- zrake

410

110−

310−

410−

77 10−⋅

74 10−⋅810−

106 10−⋅

1210−

1410−

0.3

7~ 7 10−⋅7~ 6 10−⋅

7~ 5.5 10−⋅7~ 4.5 10−⋅

7~ 4 10−⋅

crvenanarancastazelena plavaljubicasta

mλ



V. OPTIKA Svijetlost – elektromagnetski val kojemu je valna duljina od ∼ 77,5 10 m−⋅ do ∼ 74 10−⋅ m. Ljudsko oko je najosjetljivije na valnu duljinu zelene boje 75,5 10 m−⋅ V. 1. Valna optika Uzima u obzir činjenicu da je sjetlost val. Valne pojave: a) interferencija svjetlosti

1 2,I I - koherentni izvori

0S - centralni maksimum d – razmak između koherentnih izvora L – udaljenost zastora od izvora s – razmak između susjednih maksimuma λ - valna duljina upotrebljene svjetlosti koherentni izvori su oni koji imaju: 1. stalna razlika u fazi 2. istu frekvenciju, odnosno valnu duljinu Što će se dobiti u točki T ovisi o razlici u hodu valova 2 1r r∆ = − tj. o razlici u fazi

2πϕλ

∆ = ∆

Uvjet maksimuma (svjetlo)

22

m mλ λ∆ = ⋅ = m = 0, 1, 2 ... cijeli broj

Uvjet minimuma (tama)

( )2 12

m λ∆ = +

Iz trokuta na crtežu slijedi

sinTxtgL

θ θ= =

sind

θ ∆=

ako se u točki T dobije maksimum tada je ∆ = m λ

( )TLx m m

dλ

=

Udaljenost između dva maksimuma je

( ) ( ) ( )1 1T TL LS x m x m m m

d dλ λ

= + − = + − → LS

dλ

= . Dobili smo da razmak

između pruga ne ovisi o m tj. razmak između pruga je konstantan. Kažemo da su pruge ekvidistantne.

TLxd

⇒ = ∆

d

r

r1

2

S0

xT

I1

xT

L

I2

preokrenuti zastor

zastor

max

max

max

max

max

min

min

min

S



a1) optička razlika u hodu Ukoliko se valovi šire u nekom sredstvu indeksa loma n, ili doživljavaju refleksije na granici dvaju sredstava, tada je za pojavu interferencije bitna pojava optička razlika u hodu. n r n rδ = − ±2 2 1 1 (razlika u hodu zbog refleksije)

Refleksija na čvrstom kraju: skok u fazi za π ∆ϕ = π

ili u hodu za 2λ

Refleksija na mekom kraju: nema skoka u fazi ∆ϕ = 0 ili u hodu 0 a2) boja tankih listića optička razlika u hodu

( ) ( )

1 1

opt. put 2 opt. put1

2 22 2

n d n d

δ

λ λ

= − =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Uvjet minimuma reflektirane svjetlosti

( )2 12

m λδ = +

Debljina sredstva indeksa loma 1n za koju će se reflektirani valovi poništiti

( )12 2 12mn d m λ

= +

( )1

2 14

d mnλ

= +

Minimalna debljina se dobije za m = 0:

014

dnλ

=

b) ogib (difrakcija svjetlosti) Činjenica je da svjetlost prodire u područije geometrijske sjene. Npr. to se događa kod prolaza svjetla kroz usku pukotinu. Huygensov princip objašnjava pojavu zraka svijetlosti koje su otklonjene od upadnog smjera (zrake koje su doživjele ogib). Te zrake mogu interferirati i u geometrijskoj sjeni dati svjetlo-maksimum. b1) Difrakciona rešetaka To je niz od N pukotina smještenih na međusobnoj udaljenosti l (crtež na sljedećoj stranici).

n1

n2 n1>

d

1 1

cvrsti

cvrsti

svjetlo

tama

tama



d – konstanta optičke rešetke

ldN

=

uvjet maksimuma: sin md mα λ= m = 0, 1, 2 … cijeli broj

mα - kut između upadnog smjera i smjera m -tog maksimuma Kako je

sin 1mmdλα ≤

dmλ

≤ - najviši red maksimuma kojeg može dati difrakciona rešetka

Ukupni broj maksimuma jednak je 2m + 1. c) polarizacija svjetlosti polarizirani val – postoji istaknuta ravnina titranja Svjetlost je transverzalni val. Svjetlo iz žarulje ili neonske cijevi u sobi nije polarizirano. Dobivanje polariziranog vala: I. prolaskom kroz kristale (dvolomce) Pojavljuju se dvije zrake:

- obična – djelomično polarizirana - neobična – potpuno (linearno) polarizirana

II. refleksijom – Brewstrov zakon Reflektirana zraka je potpuno polarizirana ukoliko je kut između reflektirane i lomljene zrake jednak 90°. ' 90°α β+ = 'α α= Zakon loma:

2

1

sinsin

nn

αβ

=

( )sin sin 90°- cosβ α α= =

2

1

sincos

nn

αα

=

2

1

ntgn

α = . Kut α za kojega vrijedi polučena relacija zove se Brewsterov kut.

Optički aktivne tvari – zakreću ravninu polarizacije (npr. otopina šećera)

linearnopolariziran

oznaka

nn

1

2

'



V. 2. Geometrijska optika Zanemarujemo činjenicu da je svjetlost val. Opisujemo pojave pomoću valnih zraka. a) Zakoni geometrijske optike I. Zakon pravocrtnog širenja U homogenom i izotropnom mediju svjetlost se širi pravocrtno. II. Zakon odbijanja (refleksije) Upadna zraka, normala i odbijena zraka leže u istoj ravnini i kut odbijanja jednak je kutu upada. β = α III. Zakon loma (refrakcije) Upadna zraka, normala i lomljena zraka leže u istoj ravnini i omjer sinusa upadnog kuta i sinusa kuta loma je konstanan tj.

21sinsin

nαβ

= - Snellov zakon

21n - relativni indeks loma Koristeći Huygensov princip može se pokazati da je

121

2

vnv

=

1v - brzina svjetlosti u prvom sredstvu

2v - brzina svjetlosti u drugom sredstvu Ukoliko je upadno sredstvo vakuum indeks loma se naziva apsolutnim indeksom loma.

cnv

=

Tako je

11

cnv

=

22

cnv

=

Snellov zakon loma možemo zapisati u obliku:

2

1

sinsin

nn

αβ

= 21n=

IV. Zakon nezavisnosti svjetlosnih snopova Nakon susreta svjetlosni snopovi se šire dalje bez ikakvih promjena u odnosu na upadne snopove.

sredstvo 1sredstvo 2

nn

v

v

1

1

2

2



b) Zrcala Izglačana površina – ravna ili sferna b1) ravno zrcalo slika: - virtualna (dobije se kao presjecište produžetaka odbijenih

zraka) - uspravna (2′ ispod 1′ kao što je 2 ispod 1) - jednake veličine x = – x′ Slika je jednako udaljena od zrcala kao i predmet. Zrcalo je stigmatično – od točke predmeta stvara točku sliku. Stvara se zrcalno simetrična slika. b2) sferna zrcala udubljeno (konkavno) ispupčeno (konveksno) C – središte zakrivljenosti plohe T – tjeme (najudubljenija ili najispupčenija točka) R – radijus (polumjer) zakrivljenosti plohe zrcala Sferno zrcalo nije strogo stigmatično no za paraaksijalne zrake (blizu su glavne optičke osi i s njom zatvaraju male kuteve) dobivamo dobru aproksimaciju stigmatičnosti – Gaussova aproksimacija. Konstrukcija slike: fokus (F) – točka na glavnoj optičkoj osi kroz koju prolaze (realno ili virtualno) sve reflektirane zrake, koje su upadale paralelno glavnoj optičkoj osi. f TF≡ - žarišna (fokalna) duljina Zraka koja upada kroz fokus nakon refleksije ide paralelno optičkoj osi. Zraka koja upada kroz središte zakrivljenosti C, nakon refleksije ide po istom pravcu u suprotnom smjeru. Zraka koja upada u tjeme odbija je simetrično s obzirom na glavnu optičku os. konkavno: realno žarište, f > 0 Kad je x > f slika je: - realna - obrnuta - uvećana za f < x < 2f - jednaka za x = 2f

umanjena za x > 2f

x x´

1 1´

2 2´

T

f

FT

FT BYA

x

x´

f

A´

B´

y´



kad je x < f slika je: - virtualna - uspravna - uvećana Konveksno: virtualno žarište, f < 0 slika je: - virtualna - uspravna - umanjena za sve x > 0 Jednadžba sfernog zrcala x – udaljenost predmeta od zrcala (tjemena) x´ - udaljenost slike od zrcala (tjemena) f – žarišna duljina Iz trokuta ∆TAB i ∆T´A´B´ se može dobiti relacija – jednadžba sfernog zrcala

1 1 1

´x x f+ = 2

R= , R – radijus zakrivljenosti

linearno povećanje: y – visina predmeta y´ – visina slike

´ ´y xm

y x= = −

Omjer linearnih dimenzija slike i linearnih dimenzija predmeta Dogovor o predznacima: U gornje relacije veličine uvrštavamo s: + predznakom – realne veličine – predznakom – virtualne veličine jedina razlika y´ - kad je obrnut (realan) onda - - kad je uspravan (virtualan) onda + c) lom svjetlosti Ako je 1 2n n> (slika) tad kažemo da je sredstvo 1 optički

gušće od sredstva 2. Tad je α < β , zraka se lomi od okomice. Ako je 1 2n n< , tad je α > β, tj. lomi se k okomici.

FB

AA´

B´

FB

A

T

x

x´

A´

B´



c1) totalna refleksija Pojava kad svijetlost: - dolazi iz optički gušćeg sredstva - kut upada veći od gα Svjetlost se reflektira na graničnoj površini natrag u isto sredstvo.

1

2

sinsin 90

g nn

α=

°

1

2

sin gnn

α =

c2) optička prizma 1 2A β β= − - kut prizme n - indeks loma 1 2 Aδ α α= + − - kut otklona (devijacije) – kut između izlaznog i ulaznog pravca. Taj kut je minimalan, kada je zraka unutar prizme paralelna s osnovkom prizme tj. 2 1 1 2α α β β= ⇒ =

1 122

mm

AA δδ α α += − ⇒ =

122AA β β= ⇒ =

1

1

sinsin 2sin sin

2

m A

n A

δαβ

+

= =

Za A maleno je i mδ maleno pa se može dobiti

( 1)m n Aδ = − Disperzija Ako na prizmu upada bijela svijetlost zapaža se da se ona cijepa u spektar boja To je pojava disperzije. Kut loma ovisi o valnoj duljini, tj. indeks loma je ovisan o valnoj duljini – disperzija svjetlosti. Približno vrijedi eksperimentalna relacija

0 2( ) an nλλ

= +

0n , a – konstante budući da je C LJλ λ> ⇒ C LJn n< tad je iz zakona loma

sinsin

nαβ =

zaključujemo da je C LJβ β>

nn 12

n 1

>

´> g

g =90°

´g



c3) leće prozirna sredina omeđena sfernim plohama (jedna može imati i beskonačan radijus zakrivljenosti)

1 2,C C - središta zakrivljenosti ploha pravac 1 2,C C - središta zakrivljenosti ploha 0 – optičko središte leće konvergentna (sabirna) divergentna (rastresna) Promatraju se tanke leće – debljina zanemariva Konstrukcija slike: Fokus (žarište) – točka na glavnoj optičkoj osi kroz koju prolaze sve lomljene zrake, ako su upadne bile, paralelne s glavnom optičkom osi. Zraka koja upada kroz fokus nakon loma ide paralelno glavnoj optičkoj osi. Zraka koja prolazi kroz optičko središte leće se ne lomi. Konvergentna: slika: - realna x > f - obrnuta - uvećana f < x < 2f

jednaka x = 2f umanjena x > 2f

- virtualna x < f - uspravna - uvećana

F

f

0C1C2

R1

R2

0C1C2

R1

R2

FF

FF0

F´F0B

Ay

x

f

A

B´

y´

x ´´



Divergentna: slika: - virtualna - uspravna - umanjena Jednadžba leće Slično kao kod zrcala može se dobiti

1 1 1

´x x f+ = - jednadžba leće

Pritom je jakost leće j definirana s

1jf

= , [ ] 11j m dptm

−= = = (dioptrija)

pritom za žarišnu duljinu vrijedi

1 2

1 1 11Lnf n R R

⎛ ⎞⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Ln - indeks loma n – indeks loma okolnog sredstva R > 0 ako svjetlost putuje od plohe prema središtu zakrivljenosti linearno povećanje:

´ ´y xm

y x≡ = −

Dogovor o predznacima: Isti kao kod sfernih zrcala!

F´F0B

Ax

fAB´x

´

´



VI. MODERNA FIZIKA VI. 1. SPECIJALNA TEORIJA RELATIVNOSTI Krajem 19., početkom 20 stoljeća je opaženo da klasična Newtonova mehanika ne uspjeva objasniti neke od eksperimentalnih činjenica. 1905. A. Einstein čini revolucionarni korak u pristupu. Postulati: A) Sve identične fizikalne pojave u inercijalnim sistemima referencije uz identične

početne uvjete protječu na isti način (postulat opće relativnosti). B) Brzina svjetlosti u vakumu je jednaka u svim smjerovima i u bilo kojem području

datog inercijalnog sistema referencije i jednaka je u svim inercijalnim sistemima referencije (postulat konstantnosti brzine svijetlosti).

Posljedice su mnogobrojne: → Prostor i vrijeme su povezani → Relativnost istovremenosti → Relativnost vremenskih signala

2

2

´

1

ttVc

∆∆ =

−

- (dilatacija vremena)

V - brzina jednog ISR-a u odnosu na drugi ∆t´ - vremenski interval između događaja mjeren u istoj točki prostora jednim satom (vlastito vrijeme) ∆t – vremenski interval između događaja mjeren u dvjema različitim točkama prostora (dva sata) → Relativnost duljina (kontrakcija duljine)

2

0 21 VL Lc

= −

0L - mjereno u sustavu mirovanja štapa L – mjereno u sustavu u odnosu na koji se štap giba brzinom V → Pokazuje se da se neke veličine, poput energije E i količine gibanja p moraju preciznije definirati

2

2

21

mcEVc

=

−

- ukupna energija tijela

2

21

mVpVc

=

−

- količina gibanja

Pritom su one povezane fundamentalnom relacijom 2 2 2 2 4E p c m c= + Odavde za V = 0 slijedi 2

0E mc= - energija mirovanja Slično za m = 0 E = p c – npr. za fotone



VI. 2. ZRAČENJE CRNOG TIJELA Zračenje koje pada na neko tijelo obično se djelomično: - reflektira - apsorbira - transmitira Tijelo koje ima osobinu da ukupno zračenje koje na njega pada apsorbira nazivamo apsolutno crno tijelo. →Apsolutno crno tijelo ima koeficjent apsorpcije α = 1 U termodinamičkoj ravnoteži svako tijelo emitira onoliko energije koliko i apsorbira. a) Stefan-Boltzmannov zakon → Intezitet zračenja (energija koju emitira 1 2m površine crnog tijela u 1s) proporcionalan je s

4T .

I = σ 4T , 82 45.67 10 W

m Kσ −= ⋅ - Stefan-Boltzmannova konstanta

→ Ukupna snaga zračenja površine S je P = σ S 4T b) Wienov zakon Grafički prikaz eksperimentalnih rezultata mjerenja inteziteta zračenja Iλ u ovisnosti o valnoj duljini λ, pri različitim temperaturama T, dat je na crtežu. → Zapaža se da porastom temperature maksimum krivulje odgovara manjoj valnoj duljini. 2 1T T> → 2 1m mλ λ<

mλ - valna duljina na kojoj crno tijelo emitira najviše energije. Wien je došao do zaključka da je produkt apsolutne temperature crnog tijela i valne duljine na kojoj crno tijelo zrači najviše energije jednak konstanti koja ne ovisi o temperaturi: m T Cλ ⋅ = gdje je 32.9 10C Km−= ⋅ - Wienova konstanta koja je određena mjerenjem. b1) Planckova hipoteza Iz klasične teorije zračenja crnog tijela je sljedilo da ono emitira beskonačno energije → besmisleno!! Izlaz nalazi Planck 1900. (14 prosinca). Postavlja hipotezu da crno tijelo emitira ili apsorbira energiju samo u određenim porcijama, kvantima energije (diskontinuirano). → Energija jednog kvanta proporcionalna je frekvenciji emitiranog elektromagnetskog vala (kvant se naziva fotonom) fE h ν= ⋅ gdje je 346.626 10h J s−= ⋅ ⋅ Planckova konstanta koja je određena mjerenjem. → Ukupna energija za datu frekvenciju može se napisati kao E = N Ef = N h ν N = 0, 1, 2 … - cijeli broj → Koristeći tu hipotezu, Planck izvodi svoj zakon zračenja

2

5

2 1

1hckT

hcIe

λλ

πλ

=−

koji izvanredno opisuje eksperimentalne rezultate. Dakako, ovaj izraz uključuje i Wienov rezultat o zračenju crnog tijela.

transmitiranoupadno

apsorbirano

reflektirano



VI. 3. FOTOELEKTRIČNI EFEKT Ako se metalna pločica (npr. cink) postavi na elektroskop i zatim negativno nabije onda se zapaža da svijetlost određene frekvencije ima sposobnost da smanjuje negativan naboj te pločice, tj. da iz nje izbacuje elektrone → fotoelektrični efekt Kad pločicu obasjava obična žarulja, naboj elektroskopa se ne mijenja bez obzira kakav intezitet ima upadna svijetlost obične žarulje. Za razliku od te svjetlosti, svijetlost živine lampe vrlo malog inteziteta ima sposobnost da vrlo brzo neutralizira elektroskop, tj. da izbaci negativni naboj iz cinčane pločice. Prema klasičnoj predodžbi svjetlosti kao vala, očekivali bismo da povečavanjem intezitetaobične svijetlosti će rasti energija koju će primati elektroni, tako da će oni uz dovoljno velik intezitet početi izletati iz materijala → no to se ne opaža! → Svjetlost živine lampe, vrlo malog inteziteta izbacuje elektrone. Rješenje nalazi 1905. A. Einstein primjenjujući Planckovu hipotezu te rabeći zakon sačuvanja energije. Foton nosi energiju hν. Ona se djelomično troši za kidanje veza elektrona s okolnim pozitivno nabijenim ionima ( iW - izlazni rad), a ostatak se pretvara u kinetičku energiju foto-elektrona kE . i kh W Eν = + tj.

2

2imvh Wν = + - Einstenova relacija

Frekvenciju svjetlosti za koju elektroni započnu izlaziti iz metalne pločice nazivamo graničnom frekvencijom. g ih Wν = Eksperimenti pokazuju da najveća kinetička energija foto-elektrona linearno ovisi o frekvenciji: k iE h Wν= − u savršenom slaganju s Einsteinovom relacijom. VI. 4. DUALNOST SVIJETLOSTI Svijetlost pokazuje osobine vala: - pojava interferencije - pojava difrakcije - pojava polarizacije ali i osobine čestice (korpuskule): - pojava fotoefekta - Comptonovo raspršenje (raspršenje svjetlosti na elekronu): Svijetlost ima značajke i jednog i drugog, tj. ona je dualne prirode (dakle dvojne prirode). U specijalnoj teoriji relativnosti su energija E, masa m i količina gibanja p povezane relacijom

2 2 4 2 2E m c p c= + .

ioni

slobodni elektron

površinametala

fotonfE hν=

kE

iW

v

Zn plocicaobicna zaruljazivina lampa



Fotoni nemaju masu mirovanja 0fm = → E = p c S druge strane, prema Planckovoj hipotezi imamo za fotone

cE h hνλ

= = tj. hE cλ

= → hpλ

= .

p - količina gibanja (tipično korpuskularna karakteristika) λ - valna duljna (tipično valna karakteristika)

VI. 5. DE BROGLIEVA HIPOTEZA – DUALNOST TVARI De Broglieva hipoteza: Svakoj čestici mase m i brzine v treba pridružiti valnu duljinu, koja opisuje valne osobine dane čestice, datu relacijom

h hp mv

λ = = gdje su m masa čestice (tijela) i v brzina čestice (tijela).

Dakle, ne samo svjetlo nego sve čestice (uključivo i tijela) imaju dualnu prirodu! 1927. Davisson i Germer, te G. Thomson mjerenjem pokazuju da elektroni doživljavaju difrakciju na kristalnoj rešetki tj. ponašaju se kao val u skladu s De Broglievom hipotezom. VI. 6. BOHROV MODEL ATOMA Krajem 19. stoljeća intezivno se ispituju spektri atoma. Za vodik se dobivaju 4 linije u vidljivom dijelu spektra. Njihove duljine, odnosno pripadne frekvencije Balmer povezuje pomoću jedne relacije

2 2

1 12

cRn

ν ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

, n = 3, 4, 5, 6

R – konstanta Rydberga c – brzina svjetlosti → U atomskom svijetu postoji nekakva harmoničnost. 1909. Rutherford nakon pokusa s bombardiranjem folije zlata α - česticama, dolazi na ideju da predoči atom kao sunčev sustav: pozitivna, teška jezgra → sunce negativni, lagani elektroni → planeti → nedostatak – elektroni koji se gibaju po kružnici morali bi zračiti energiju te bi pali na jezgru za oko

810 s− .To je u suprotnosti s realnošću jer znamo da atomi “žive” puno dulje. Izlaz nalazi Niels Bohr uvodeći neke nove koncepte. Bohrovi postulati: 1) Postulat stacionarnih staza

Elektroni mogu boraviti samo na određenim stazama – stacionarnim na kojima ne emitiraju energiju

2) Postulat emisije Elektroni emitiraju energiju kad prelaze s jedne stacionarne staze na drugu – energija emitiranog kvanta je m nh E Eν = − , m > n gdje su energije elektrona na stacionarnim stazama ,m nE E .



3) Postulat kvantizacije momenta količine gibanja Moment količine gibanja elektrona može imati samo određene vrijednosti dane relacijom:

2n e nhL r m v nπ

= ⋅ ⋅ =

n – prirodan broj h – Planckova konstanta

nr - radijus n-te stacionarne staze

nv - brzina elektrona na n-toj stazi Promotrimo najjednostavniji atom – atom vodika. Coulombova sila igra ulogu centripetalne sile. c cpF F=

2

2e n

n n

m ve ekr r⋅

= → 2

2n

n e

ev kr m

=

Bohrov postulat (3) → 2n

n e

hv nr mπ

= , [2hπ

= ] pa se izraz za kvadrat brzine zapisuje

u obliku 2 2

22 2 24 n e n e

h en kr m r mπ

= otkuda dobivamo polumjere stacionarnih orbita elektrona

oko protona u vodikovom atomu

2

22 24n

e

hr nke mπ

= n = 1, 2, 3, ...

→ Za radijus prve stacionarne staze dobijemo

2

101 2 2 0.5 10

4 e

hrke mπ

−= ≈ ⋅ m - Bohrov radijus atoma

Radijusi ostalih stacionarnih staza su 2

1nr n r= tj. 2 14r r= , 3 19r r= Na svakoj stazi, n, elektron ima energiju vezanja En. ( ) ( )n k pelE E n E n= +

( )2

2e n

km vE n =

( )2

peln

eE n kr

= − - potencijalna električna

2 2 2 21 1

2 2n en e n n n

e e e eE m k k k kr m r r r

= − = −

21

2nn

eE kr

= − tj. 2

21

1 12n

eE kn r

⎡ ⎤= −⎢ ⎥

⎣ ⎦

2

11

1 13.62

eE k eVr

= − = − - energija osnovnog stanja

12n

EEn

= n = 1, 2, 3, ...

Valja uočiti da se stacionarna orbita n = 1 u spektroskopiji obično označava kao K ljuska, stacionarna staza n = 2 kao L ljuska, stacionarna staza n = 3 kao M ljuska itd. Energija osnovnog stanja elektrona u vodikovu atomu je negativna što je odraz činjenice da je elektron vezan – dakle nije slobodan. Ionizacijom vodikova atoma se dobije slobodni elektron i slobodni proton. Energija ionizacije vodikova atoma u osnovnom stanju upravo je jednaka energiji veze elektrona u osnovnom stanju – dakle 13.6 eV.



Elektroni imaju diskretne vrijednosti energije (crtež) E1 = – 13.6 eV, E2 = – 3.4 eV, ... Uz pomoć drugog postulata

m nh E Eν = − → 12 2

1 1Eh m n

ν ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

što je u skladu s Balmerovom relacijom

12 2

1 12

Eh m

ν ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Pomoću gornjih relacija mogu se objasniti serije karakterističnih linija vodikovog atoma. Intezitet tih linija teorija ne objašnjava. Rješenje daje kvantna mehanika razvijena u radovima: Wernera Heisenberga (1901. – 1976.) koji među ostalim formulira princip neodređenosti

2

≥∆∆ xpx

tj. fizikalno je nemoguće istovremeno izmjeriti točan položaj i točnu količinu gibanja čestice (∆x – neodređenost u položaju, xp∆ – neodređenost u količini gibanja) Erwin Schrödinger (1887. – 1961.) koji nerelativističkoj čestici (elektronu) pripisuje valnu funkciju ψ koja zadovoljava Schrödingerovu jednadžbu H Eψ ψ= . Paul Adrien Maurice Dirac (1902. – 1984.) koji relativističkom elektronu pripisuje Diracovu valnu funkciju Dψ koja zadovoljava Diracovu jednadžbu ˆ

D D D DH Eψ ψ= . Rješenja Diracove jednadžbe ,D DE ψ uključuju rješenja Schrödingerove jednadžbe kao specijalni slučaj.

VI. 7. NUKLEARNA FIZIKA 1896. Henri Becquerel (1852. – 1908.) otkriva radioaktivnost uranove rude. Rutherford ispitivanjem pokazuje da postoje tri komponente radioaktivnog zračenja: I) α - zrake – pozitivno nabijene II) β - zrake – negativno nabijene III) γ - zrake – neutralne U Rutherfordovom modelu atoma pojavljuje se ideja o nuklearnoj jezgri koja sadrži gotovo svu masu atoma ali je za oko 510 puta manjih dimenzija od atoma tj. ima dimenzije oko 1510− m. Radioaktivnost atoma uzrokovana je promjenama u jezgri! Daljnja ispitivanja pokazuju sa se jezgra sastoji od dvije vrste čestica: - protona p, pozitivno nabijen (po dogovoru) pq e= + , 271.672 10pm kg−= ⋅ - neutron n, neutralan 0nq = , 271.674 10nm kg−= ⋅ Međusobno djeluju jakim nuklearnim silama koje su stotinjak puta jače od električnih. Ako se zanemari mala razlika u masi i električno međudjelovanje tada se te dvije čestice mogu smatrati ekvivalentnim → naziv nukleoni. Jezgre opisujemo: - masenim brojem A (broj nukleona ) - atomskim rednim brojem Z (broj protona) - brojem neutrona N = A – Z označavamo ih obično simbolom A

Z X ← kemijski simbol elementa a) Radioaktivni raspadi. Zakon radioaktivnog raspada a1) α - raspad - iz jezgre izlaze čestice sastavljene od dva protona ( 2q eα = + ) i dva neutrona → jezgre helija

4 42 2 Heα ≡

E,eV0

-0.85-1.5

-3.4

-13.6 n = 1

n = 2

n = 4n = 3



Općenito se raspad može zapisati kao 4 4

2 2A AZ ZX Y α−

−→ + Energija tih α-čestica je oko 10 MeV a2) β - raspad Iz jezgre izlijeću dvije vrste čestica: β − - elektroni koji nastaju raspadom neutrona

01 1 0

0 1 1 0 en p e ν−−→ + +

β + - pozitroni koji nastaju raspadom protona 1 1 0 0

1 0 1 0 ep n e ν++→ + +

Činjenica da nastale β - čestice mogu imati proizvoljnu energiju sugerirala je W. Pauliju da pretpostavi postojanje čestica neutrina ev koje su dvadesetak godina kasnije i eksperimentalno zapažene. Općenito se β - raspad jezgre može zapisati u obliku: β011 ∓+→ ± YX A

ZZA

a3) γ - raspad To su fotoni vrlo velikih frekvencija odnosno vrlo velikih energija (kvanti elektromagnetskog vala). Emitiraju ih pobuđene jezgre (koje poput atoma imaju svoje energetske nivoe koji su praćeni prijelazima reda MeV-a) koje s višeg energetskog prelaze na niži energetski nivo. Općenito se to zapisuje u obliku: 0

0Z AA ZX X γ∗ → +

gdje je ZAX∗ jezgra u pobuđenom stanju.

a4) zakon radioaktivnog raspada Neka u početnom trenutku imamo 0N jezgara koje se mogu raspadati na jedan od gore opisanih načina. Broj jezgara koje će se za vrijeme ∆t raspasti je očito proporcionalan početnom broju jezgara ∆N ∼ N, vremenskom intervalu ∆N ∼ ∆t i očito ovisi o vrsti jezgre. Tu ovisnost opisujemo konstantom raspada λ koja karakterizira svaki radioaktivni element. ∆N = –λ N ∆t Predznak “–“ je zbog toga što se broj jezgara smanjuje tokom vremena. Uz pomoć integralnog računa dobivamo zakon radioaktivnog raspada: ( ) 0

tN t N e λ−= - broj neraspadnutih jezgara u trenutku t

Često je zgodno uvesti vrijeme poluraspada 1/ 2T - za to vrijeme se pola od prisutnih neraspadnutih jezgara raspadne, odnosno pola se ne raspadne.

( ) 01/ 2 2

NN T = → 1/ 2ln 2 0.693Tλ λ

= =

Tada se zakon radioaktivnog raspada može zapisati i u obliku:

( ) 1/ 20 2

tTN t N

−

= Definiramo i veličinu brzinu raspada, odnosno aktivnost

NA Nt

λ∆= − =

∆

Broj raspada u jedinici vremena: [A] = 1Bq – Bekerel – jedan raspad u sekundi. Kako se broj neraspadnutih jezgara smanjuje tokom vremena, tako se smanjuje i aktivnost.

Iz 0 0A Nλ= i ( ) ( ) 1/ 20 2

tTA t N t Nλ λ

−

= = slijedi ( ) 1/ 20 2

tTA t A

−

= ⋅ .



Analogan izraz vrijedi za masu neraspadnutih jezgara:

( ) 1/ 20 2

tTm t m

−

= ⋅ Broj raspadnutih jezgara do nekog trenutka je ( ) ( )0RN t N N t= − b) energija vezanja jezgre Usporedimo li masu nukleona prije nego formiraju jezgru p nZ m N m⋅ + ⋅ = Z mp + (A – Z) mn

[ 1.007276pm u= 271 1.66054 10u −= ⋅ kg – atomska jedinica mase

1.008662nm u= , koristeći relativistički izraz 20E mc= →1u = 931.494 2

MeVc

]

s masom formirane, stabilne jezgre jm (Z, A) zapažamo da je

( ) ( ), 0p n jm Zm A Z m m Z A∆ = + − − > Uobičajeno je ∆m zvati defekt mase jezgre. Energiju, vE∆ , koja po Einstenovoj relaciji odgovara defektu mase

2vE m c∆ = ∆ ⋅ ( ) ( ) 2,p m jZm A Z m m Z A c⎡ ⎤= + − − ⋅⎣ ⎦

nazivamo energijom vezanja jezgre. →Definiramo srednju energiju vezanja po nuklenu

vs

EEA

∆=

Krivulja ovisnosti sE o masenom broju (crtež) pokazuje maksimum kod izotopa jezgre 56

26 Fe . c) Nuklearne reakcije Promotrimo reakciju u kojoj se jezgra meta X bombardira česticom a i kao rezultat toga nastaje jezgra kćer Y i čestica b a + X → Y + b kraći zapis X(a, b)Y Npr. prva umjetna reakcija 4 14 17 1

2 7 8 1He N O H+ → + Vrijedi zakon očuvanja masenog broja: Zbroj masenih brojeva na lijevoj strani reakcije jednak je zbroju na desnoj strani reakcije. Te zakon očuvanja rednog broja: Zbroj rednih brojeva na lijevoj strani reakcije jednak je zbroju na desnoj strani.



Za sve sudare vrijede zakoni očuvanja energije i količine gibanja. Kod neelastičnih sudara mehanička energija nije očuvana. Definiramo Q – vrijednost reakcije kQ E= (konačno) – kE (početno) tj.

( ) 2a X Y bQ M M M M c= + − −

Q > 0 – egzotermne < 0 – endotermne – potrebna energija praga da bi se ona počela odvijati c1) Fuzija Proces spajanja lakih jezgara u teže, npr: 1 2 3 0

1 1 2 0 6H H He MeVγ+ → + + Taj proces odgovoran za energiju zvijezda. c2) Fisija Proces cijepanja teških jezgara na lakše, npr 1 235 141 92 1

0 92 56 36 03n U Ba Kr n+ → + + Zbog dinamičke nestabilnosti teških jezgara, kad se one pogode sporim neutronom one se raspadnu na dvije srednje teške jezgre, pri čemu se oslobodi i poneki neutron. Postoji mogućnost lančane reakcije. Pritom se oslobađa i energija (nuklearni fisijski reaktor).


skripta iz fizike

Documents