skripta iz mat b razina

8/11/2019 skripta iz mat B razina

1/70

@ Milivoj Smoljak, prof. mat. rujan 2010. studeni 2011. godine

MATEMAT!A "S#"$#A %AASKRIPTA ZA DRAVNU MATURU

! A ! " ' " ( S ) * E + A Radom i samo radom tako da: 1) Napravite pla rada! koliko sati mislite da "e vam #iti potre#o$a ispit i$ matematike! e ma%e od &' sati( Redovito *ite to %e mo+o sp%e,i%e odkampa%sko+ *e%a *i%i %e *iak vrlo sla# i tre#a +a i$#%e+avati( -il%e.ite devo koliko ste+radiva pro,li( Prim%ere ispiti/ pita%a! pok,a%te ri%e,iti! dodato poradite a oom ,to vam %o,0$api%e0 pita%te t%( l%#a$o potra.ite pomo" od mee ili kole+a od+ovore a pita%a ko%a vas$aima% $a ,to "e vam mo+e kole+e #iti $a/vale ako sa$ate e,to ,to i %i/ $aima( Aktivosd%el%te ovim pripremama:Do#ro pro*ite KNII2U 34RMU5Ako% Vam da%em odma/ posli%e voda opisom o#lik

tako da % a*ite *itati ri%e*ima:NAU6ITI PRIM7NITI 34RMU57! a%lak,e %e apraviti tako da $mete svo%e #il%e.i8e ilik%i+e i do#ro a*ite po*etak svako+ po+lavl%a! odoso astave %edii8e! pa si ispi,etekori,tee 9ormle i pro#ate i/ i$re"i ri%e*ima( KARAT7 KID 1 i + ; di M'k) P4KA7M IM ?A

Ne,to sli*o ali po ma%e od ta#li8a %e i mo%e 00Do#ro %e $ati00 $ A - # "Dr.ava matra i%e psto r%e,ava%e $adataka ve" sp%e,a prim%ea ste*ei/ tra%i/ $a%a i$

matmatike( Sto+a emo%te pripreme s/vatiti kao dostate! %er kad #i se matematika mo+laa*iti ovi/ ekoliko sati ,to "e am oda +ima$i%a(3ormle $a osov ra$i s %ako ,tre 00ikakve00( Sto+a ste %o, vi,e ve$ai $a svo%e $a%eko%e stvaro mora #iti tra%o S%etite se tra%o+ mli%eka)4#ratite pa.% a to*ost r%e,ava%a! oo ,to se $a e smi%e se 9lati! redo pi,ite i to*o

preosite podatke( 6itav rad se mora poka$ati! ski8a! ra*! ako se e,to ri%e,ilo apamet morase pismeo o#ra$lo.iti! o#%asiti $ato e radite apamet ve" pi,ite pa e morate o#%a,%avati)(-od%e se postavl%a%e $adatka! postpak i od+ovor( Va.o %e i$a#rati redosl%ed r%e,ava%a$adataka! pro*ita%te pte! $adatke! pa odl*ite od ko%e+ "ete po*eti( Do#ar start $a*i po(1) Skiite s itereta sa.etke dosada,%i/ a8( ispita mm skripte)! provedee dr.ave matre

@'1'( +odie l%eto! %ese i $ima)( -ilo osova #ilo vi,a ra$ia! pa i/ r%e,ava%te( Tako=erimate i strai8e M4A MATURA a ko%ima ima $aiml%ivi/ sadr.a%a( )okaem i/.4o ,tovam $ada%e +lavo#ol% markira%te pa "emo ovd%e $a%edi*ki ri%e,iti $ sva potre#a ptstva(K tome ri%e,iti "emo i sve mo+"e ia*i8e to+ $adatka ko%e " %a tom tretk pok,atismisliti)(

@) Nemate li #r$i iteret %avite se mei! avedeo imam spreml%eo pose#om direktori%! pa"emo do+ovoriti a*i pri%eosa(

&) 004SN4VAI00 R%e,ava%em prvi/ lak,i/) $adataka VI7 RAZIN7 do#ivate epro8%e%ivkorist! %er itko e +aratira da se takav tip $adatka e"e po%aviti i 4SN4VN4 RAZINI(

B) 4 7DN4M P4NAV5AM DA S7 MAT7MATIKA N7 U6I ZA DVA V7C ZAP7T! PA T4 -UD7(

1


2/70

Matematika; 9ormle ; osova ra$ia mo%e o#ra$lo.e%a 9ormla)

am a amE: Pote8i%e %edaki/ #a$a mo.imo tako da #a$ prepi,emo a ekspoete

$#ro%imo( 4v 9orml *esto tre#a prim%eiti i i$ desa li%evo amE am am

am: a am ; ! a ': Pote8i%e %edaki/ #a$a di%elimo tako da #a$ prepi,emo a

ekspoete od$memo( 4v 9orml *esto tre#a prim%eiti i$ desa

li%evo tako da e di%elimo pote8i%e ve" mo.imo am; am a;

a;m ma1

! a ':Ne+ativi ekspoet am +ovori da %e to 1kropote8i%a s po$itivim

ekspoetom(

a #)@ a@ @a# E #@: Kvadrira%e #ioma I II)@ I@ @ I II E II@

a@; #@ a ; #)a E #) : Ra$lika kvadrata I@; II@ I ; II) I E II)

Kvadrata %edad.#a aF@E #F E 8 '! a ': a! i s koe9i8i%eti kv( %edad.#e(

a%e vode"i koe9i8i%et! 3lieari koe9(i3slo#odi koe9i8i%et(

a

acbbx

@

B@@!1

= : 3ormla $a r%e,ava%e kvadrate %edad.#e(

T%eme para#ole:

=

a

bac

a

bT

B

B!

@

@

( Foa

b

@= i


3/70

- ; povr,ia osovke #a$e)

P ; povr,ia po#o*%a

/ ; dl%ia visie

r ; polm%er k+le

4#%am volme) pri$me i val%ka: V - /( Volme svi/ pri$mi i svi/ val%aka

ra*a se po 9ormli V #a$a visia

4plo,%e pri$me: 4 @- E P( 4plo,%e svi/ pri$mi i svi/ val%aka ra*a se po 9ormli

4 dvi%e #a$a E po#o*%e

4#%am volme) piramide i sto,8a: V &

1- /( Volme svi/ piramida i svi/ sto.a8a

ra*a se po 9ormli V &1#a$a visia

4plo,%e piramide: 4 - E P( 4plo,%e svi/ piramida i svi/ sto.a8a ra*a se po 9ormli

" 4 aa 3 poo5je

4#%am volme) k+le: V &

Br&(

Udal%eost to*aka T1! T@: dT1! T@) @1@@

1@ )) yyxx + ( 4vo %e 9ormla $a dal%eost

dvi% ra$li*iti/ to*aka T1F1!


4/70

. 6rojevi i algera1.1. Skupovi rojeva N, Z, Q, l i RU*ei8i mo+ a*iti

H ra$likovati skpove #ro%eva N, Z, Q, l i RH termie: priroda )! 8i%eli )! para @)! epara @ 1)! ra8ioala! ira8io( i reala #r(H koa*a i #ro% [de9iirati ;i E]: ; %e $ami,l%e #r( ko%i %e od #ili ko%e+ real( #r(H ra$likovati avedee #ro%eve ! spore=ivati avedee #ro%eveH #ro%evi prava8 i prika$ podskpova prirodi/ i 8i%eli/ #ro%eva a #ro%evom prav8H prepo$ati i koristiti o$ake ! ! J! ! ! i itervala ;!a ! [#!8]! p!]! [r! E H prika$ivati podskpove reali/ #ro%eva a #ro%evom prav8 i $apisivati i/ itervalimaH N= {1!@!&! . . .} N %e skp prirodi/ #ro%evaH Z= {. . . ! ;@! ;1! '! 1! @! . . .} Z %e skp 8i%eli/ #ro%eva

H Q= {b

a: # '! a! # Z} L %e skp ra8ioali/ #ro%eva( Ra8ioale #ro%eve do#ivamo

di%el%e%em #ilo ko%e+ 8i%elo+ #ro%a as 8i%elim #ro%em osim '( Skp L pripada% svi8i%eli #ro%evi! svi koa*i i #eskoa*i periodski de8imali #ro%evi(H %e skp ira8ioali/ #ro%eva( Ira8ioali #ro%evi s svi #eskoa*i eperiodi*i de8imali

#ro%evi t%( svi oi ko%i se e da% apisati o#lik ra$lomka(H % 7 R %e skp reali/ #ro%eva( Reali #ro%evi s svi ra8ioali i svi ira8ioali

#ro%evi $a%edo( Tako=er vri%edi 7 4 H 73%e skp svi/ po$itivi/ ra8ioali/ #ro%evaH %3%e skp svi/ po$itivi/ reali/ #ro%eva

)itanje8Kako prepo$ati ira8ioali #ro%

I( kvadratanepotpunog : @ ! & ! ! 1O ((( & kubanepotpunog : & @ ! & B ! & O ! & @@ i #ro%evi i$ra$i s %ima

II( Tras8edeti #ro%evi ! e i al+e#arski i$ra$i s %ima

III( -eskoa*i de8imali #ro%evi ko%i se e mo+ pretvoriti ra$lomak:@('@''@'''@((( G &(11'111'1111((( G '(1@&@&B&BB>(((

IV( lo+a# $ v%et a # t%( a i # is pote8i%e iste #a$e: lo+@&! lo+&@! lo+@! lo+&! l1'

&adai8U sve$i sa skpovima #ro%eva(1.Zaokr.ite eto* tvrd%: Koli*ik dva% %alika dvajuA( Na%ve"i priroda -( Nla %e 2( 8i%eli/ #r( i%e | '.|ijeli/ r. nije

#ro% e posto%i 8i%eli #r( vi%ek 8i%eli #r( uvijek ijeli r.2.Zaokr.ite eto* tvrd%: A ( # 7G -( 7 & G 2( %G | '.|7

9.-ro% & n #it "e ra8ioala $a A( &G -( G 2( 1OG | '.|n 4 2:

;.Ako %e $#ro% tri $astopa 8i%ela #ro%a %edak &&&! a%ma%i od %i/ %e | 110 | G 111G 11@G 11&

R%( ; 1) E E E 1) &&& & &&& 111

@G

&

@(((G&&&&('G

&G

@

1G

&1('

1&(' e: A( 1G -( @G | =.|9G D( B

B


5/70

>.Svaki ira8ioali #ro% mo.emo $apisati kao: -eskoa*a 6eskona5anA( Kvo8i%et dva% -( Kori%e eko+ 2( periodski | '.|neperiodski

ra8ioal( #ro%eva 8i%elo+ #ro%a de8( #r( de. r.:.Ko%i %e #ro% ma%i: ; & ili ;1(O& 4d+ovor & 9.1:92...

?.Ko%i %e #ro% ve"i: ; ili ; &(1B 4d+ovor 9.1; ! %er %e ; ; &(1B1

.Za Q B ko%i %e od sl%ede"i/ #ro%eva a%ve"i: | A.| GB1

+n

-( GBn

2( nB

G D( 1B

n

10.Ko%i se od avedei/ #ro%eva ala$i i$me=O

& i

1'

O A (

1O

G -(

1B

1&G | =.|

@'

1&G D(

1&

1

11.Ko%a %e tvrd%a istiita ako $amo da %e 8i%eli #ro% A ( # Q ' ; # Q ' G -( # ' 1# Q 'G | =.| 0 B 0G D( # ' # '

12.Ko%i od sl%ede"i/ i$ra$a e da%e ra8ioala #ro% A ( GB

&& | 6.| G

NN

1

2(

@

BG D(

&

1@('

19.Za ko%i %e prirodi #ro% kra$lomak@

@

+

k

k8i%eli #ro%( Uvr,tava%)A( 1G | 6.|2G 2( &G D( B

1;.Ko%i od sl%ede"i/ skpova sadr.i samo ra8ioale #ro%eve

A (

B&

1>

'!

@

!1> G | 6.|

B1(1!@

!@

&

G 2(

1>

'!!&> G D(

>

&!

&

&!

&

@O&

1. Ko%i %e od avedei/ #ro%eva a%#li.i #ro% > KA5KU5()A(@-( 1(& 2(B

O G | '.| &

1:.Me= avedeim #ro%evima %eda %e l%e$( Ko%i

A( 1(O&G -( &(1BG | =.| & & G D( >B('1?.Poreda% po veli*ii:

&

@!

>

!

&'

@&!

1'

O!

&

@!

>

!

1

1B!

B KA5KU5AT4R

1

1B!

>

!

B!

&'

@&!

1'

O!

&

@!

&

@!

>

1. Zaokr.i eto* tvrd%: A ( B

&7G -(' # | =.| & %G D(

20. Pres%ek itervala ;! ;& i ;! ; & %e: Upta: Pres%ek itervala %e $a%edi*ki dio ti/itervala) A(;! ; & G | 6.| , 9 G 2( ;&! ; & G D( 21. Koliko prirodi/ #ro%eva ima skp ;! [;1! A( @G -( &G | =.| ;G D(| @@( Ui%a itervala ;@!&]i ['!O %e( Upta: Ui%a itervala %e sve tar o#a itervala)

A(;@! ']G -( [&! O G | =.|2, : G D(['!&]29. Koliko se 8i%eli/ #ro%eva ala$i iterval ;B!&]'!B] | A.|?G -( OG 2( >G D( @B( I$ A {H1!'!1!@!&!B}G - {@!&!B!!>!O}( 4dredi A-! A-! AJ- t%(A;-) i -JA(Upta: Ra$lika skpova %e skp elemeata i$ prvo+ ko%i is dr+om)

2 ( 4dredi 2D! 2D! 2JD i DJ22>. I$ 2 ;! ' G D @! B ( 4dredi 2D! 2D! 2JD i DJ22:.Koliko se 8i%eli/ #ro%eva ala$i iterval ko%i odre=%e e%edakost ; F ' R% O! | >|! !B

2?.Koliko %e prirodi/ #ro%eva iterval

&

1>

!& A( 1G | 6.|9G 2( G D( O2.Skp svi/ 8i%eli/ #ro%eva ko%i se ala$e i$me= #ro%eva ; @ i E @ %e 8i%eli #ro%) %est: | A.|{n1, 0, n31}G -({;@!;1! ! E1!E@}G 2({;1!!E1}G D({;1! '! 1}


6/70


7/70


8/70

>1

+=+

y

x

y

x 1@ =

y

x:@

@

1=

y

x Tra.ei om%er %e 1 : @(

1.2.1. )"ST"T# %AI(# a '%-. MAT(%(

Skpi 1''X ;ti i$os kpa vri%edost)G

)postoti i$osG ppostotak pr( OX O1'' '('O)

Vri%edi ra$m%er ) 8 S 4 p 8 100( I$ $adae dvi%e veli*ie i$ra*avamo tre"

Npr(1''

pSP

= ili

p

PS

=

1'' ili

S

Pp

=

1''

1. Teisa* M( 6ili") %e @''( +od( odi+rao 1@' me*eva i po#%edio %i/ O'X

a) Koliki postotak me*eva %e i$+#io 4d+ovor: guio je 90J me5eva#) Koliki %e #ro% me*eva ko%ima %e po#i%edio S 1@'! p O'X! P

P Sp1'' ?; me5a u kojima je pojedio. Kra"e O'X od 1@' '(O 1@' 4 ?;8) U @''( +od( %e tako=er odi+rao 1@' me*eva( Po#%edio %e X vi,e me*eva e+o @''( Koliko

%e pta po#%edio @''( +odie R%( S 1@'! p0 OX ! P0 P0 S O1'' 1@' '(O 4 0 puta je pojedio 200. god.Kra"e: '(O 1@' 4 0

1.U*eik %e a test od mo+"i/ O' #odova do#io > #odova( Koliko %e to i$ra.eo posto8imaR%( S O'! P >! p p 1''PS 1'' >O' 4 ?0J( Kra"e: > : O' 1'' 4 ?0J

1. U*eik %e a test od mo+"i/ ' #odova do#io 'X #odova( Koliko %e #odova do#ioR%( S '! p '! P P Sp1'' ' '1'' >; oda( Kra"e: '( ' >;.

1.Masa pitera pri#li.o %e %edaka @ 1'@Ok+! a masa Zeml%e > 1'@Bk+( Koliki %e X mase Zeml%e P) odos a mas pitera S)

p 1''MZM 1'' & 1';& 0.9 J

1; .aF OX od 1@' i$osi R%( O1'') 1@' '(O 1@' 4 0

F4d ko%e+ #ro%a X i$osi)&@

O>@

&:>1

O:O1'

++

P )&@

O>@

&:>1

O:O1'

++

@@

O1@

@1

11'

++

B

1O

B

&

=+ i p

S 1''Pp 1'' B(@ ? B( "dgovor8 Ante je osvojio ' M- pop%e %e 1@X( Na 2D %e siml%eo %o, @>'M- ovi/ podataka( Koliki %e X 2D;a sada pop%e

P >' '(1@ O

P1 O E @>' && p1 && : >') 1'' *laova( Nitko i%e #io s$dr.a( a) Koliko %e X od kpo+ #ro%a *laova skp,tie


9/70

+lasovalo $a pri%edlo+ #) Pri%edlo+ se smatra i$+lasaim ako %e $a %e+a +lasovalo vi,e od >>Xa$o*i/ *laova( Koliko a%ma%e a$o*i/ *laova mora +lasovati $a pri%edlo+ da #i pro,aoR%( a) 4dredimo #ro% svi/ *laova skp,tie 1'' &@ E 1>)O >BG &@ : >B) 1'' >) 1'' &1(> 92 5lana1> . 4#itel%ska prima%a m%ese8 .%k i$osila s 1' ''' k( Za re.i%e tre#a i$dvo%iti @X

prima%a! a $a podmire%e ostali/ potre#a istom m%ese8 o#itel%i %e potre#o O ''' k( Koliko %e

ka preostalo o#itel%iR%( 1' ''' '(@ @ ''G @ '' E O ''' ''G 1' ''' ; '' 'X od B ''' E t)! t%( t '(> B ''' E t)R%e,e%e ove %edad.#e %e t > ''' k+( Prema tome kpa masa i$osi 10 000 kg@) @ tereta i$osi @ > ''' 2 ;00 kg

&) Nako istovara tra.ei X do#ivamo i$ 1''@B''1''''

@B''>'''

1''O>''

&>'' ;:.9:J

t%( @1 S 1(' S @1 : 1(' 20 m9

9.Ako se polm%er kr+a pove"a $a @X $a koliko se X pove"a opse+! a povr,iaI$ o @r i P r@r1 1(@r o1 @r1 @ 1(@r 1(@ @r 1(@ o p 4 2@ r@ 1(>@ P p 4 .2 '(Ba@ '(B 4 p 4 X41 1 E 1(>) 4

> @1a @(> >a@:> @1a @(> a

@ a1 1(>a p 4 >0J;.Za koliko X tre#a sma%iti #rid ko8ke da #i se %eo oplo,%e sma%ilo $a >'(&OX

41 1 ; '(>'&O) 4 > @1a '(&'>@ >a@:> @1a '(&'>@a

@ a1 '(>@a p 1 ; '(>@) 1'' 9:.


10/70

J

H postotni ra5un viNe ili nie 100.Ako %e $adaa ve"aa ili ma%ea po*eta vri%edostt%( ako %e $adao S3)ili S)tada imamo ra$m%er S )F8S4100 pF 8 100 Tako=er vri%edi:

S E P

+

1''1

p S +d%e %e

+

1''1

p9aktor pove"a%a( Npr( $a @BX o i$osi 1(@B

S ; P

1''1

p S +d%e %e

1''1

p9aktor sma%e%a( Npr( $a @BX o i$osi '(O>

2.a) Mari%a %e visoka m8m! a Nives n8m( I$ra$om n mE '(1m%e opisao Po=ea s B od+ovora( R%( n m 1(1( To*a %e od+ovor( #ives je viNa od Marije a 1


11/70

S ;P @B' i p @ mo.emo koriste"i 9aktor ma%e%a pisati kao S '(O @B' S 4 920 kn#) Kolika %e stara 8i%ea ako %e ako poskpl%e%a od 1'X oa @@'k S 1(1 @@' S 4200 kn

2.U posdi8i ko%o% se smr$ava voda asta%e led o#lika kvadra dime$i%a &( 8m & 8m @ 8m( Pri smr$ava% o#%am vode se pove"a $a X(1) Koliko %e vode potre#o $a %eda takav led I$ S E P V &( & @ @1 8m&

t%( @1 S 1(' S @1 : 1(' 20 m9@) Koliko se takvi/ o#lika leda mo.e apraviti od 1 litre vode Napomea 1 litra 1 dm&)( Mo%e i$me= redova 1 litra 1 '''8m&( 1 000 8 20 4 ' k a O@ k( I$ra.eo posto8ima! to %e poskpl%e%e $a:I$ S 1Ep1'') S E P

t%( >' 1Ep1'') O@:>' 1Ep1'' 1(@ p1'' '(@ p 4 20J;.U Rep#li8i Yrvatsko% @''B( +od( ro=eo %e @' O d%e*aka( ?od( @''( ro=eo %e B(1X

vi,e d%e*aka odos a @''B( Koliko i/ %e ro=eo @''( +od(

R%( SEP S 1('B1 @' O 1('B1 21 :


12/70

;.Po%edostavi:&@B

&1B

+ A( @ @ ;1G | 6. 9 2 @ | C 2( @ ; @ G D( 1 E @

@

.4dredite vri%edost i$ra$a | & ; '(OF| ;| '(OF ; @| ! $a F B A( ; @ G | 6. 1| G 2( 1G D(@

:.Za F ;@! 1 odredite vri%edost i$ra$a | F ; 1| E | @ E F(| ( A( @F E1G -( F E @G | =. 9| G D(;&

1.2.9. %astavljanje na faktoreDi%elimo a ekoliko di%elova1. Svi 5lanovi imaju ajedni5ki faktor

a) >a@; a# E 1a >a@a ; E ) #) Ba@# E @) E Ba# E @) E # E @) # E @)Ba@E Ba E 1) # E @)@a E 1)@

8) a E 1)&E a E 1) a E 1)[a E 1)@E 1] a E 1)a@E @a E @)

d) FE1; B F;1 F;1@; B) F;1 @1 @1 F;1

9) &@F;&; F;@ &@F;&;&@F;B &@F;B& ; 1) &@F;B @ @ &@F;B

2( Svi *laovi ema% $a%edi*ki 9aktor! ali se +rpira%em *laova mo.e svesti a 1(

a) a@# ; @a@; &a# E >a E # ; 1' a@# ; @) ; &a# ; @) E # ; @) # ; @)a @; &a E )

#) F&; 1F@; F E @ F@F ; @) ; F ; @) F ; @)F@; 1) F ; @)&F ; 1)&F E 1)

8) F B ; @F&E @F ; 1 F@; 1)F@E 1) ; @FF@; 1) F@; 1)F@E 1 ; @F) F;1)FE1)F ; 1)@

2.Kvadrati/ trioma prim%eom 9ormle $a r%e,ava%e kvadrate %edad.#e i ispit%"i

D #@; Ba8 G PRI6A: Ako je ' potpuni kvadrat sli%edi aF@E #F E 8 aD D1FD D2F

Ako ' i%e potpi kvadrat ea rastavl%a%a(

a) F@; F E > [D 1G &@

1G@

@

1

@

1

@ @1 =

+==

=

=

= xx

a

Dbx ]

1F ; @)F ; &) D 2FD 9F ?4T4V4

#) @F@; F ; & [D BG &B

ONG

@

1

B

ON

B

BPN@1 =

+==

=

= xxx ]

@F E 1@)F ; &) [mo.imo samo prv $a+rad] 2D 3 1FD 9F?4T4V4

8) >F@; F ; 1 [D @G@

1

1@

1G

&

1

1@

1

1@

@1@1 =

+==

=

= xxx ]

>F E 1&)F ; 1@) [svak $a+rad %e$iim #ro%em]9D 3 1F2D 1F?4T4V4

d) ;&F@E OF ; @ [D @G @>

O

>

@O@ =

=

= xx i&

1

>

O1 =

+=x ]

1@


13/70

;&F ; 1&)F ; @) [mis ostavl%amo ispred]9D 1FD 2F?4T4V4

9.Prim%eom ve" spometi/ : vani/ formulatre#a i/ $ati o*iti $adatk)

a) Ba@; #@; Ba E 1 Ba@; Ba E 1 ; #@ @a ; 1)@; #@ @a ; 1 ; #)@a ; 1 E #)

#) 1 ; F< ; F@; 1>F&; 1 1>FB; 1) ; 1>F&; BF) BF@; 1)BF@E 1) ; BFBF@; 1) d) 1>FB; F&; @F E 1 F&@F ; 1) ; @F ; 1) @F ; 1)F&; 1) ( ( (

@F ;1)@F ; 1)BF@E @F E 1) [Diskrimiata kvadrato+ trioma D 12, ST")]

e) a&; #&E a@# ; a#@ Prva dva ra$lika k#ova a ; #)a@E a# E #@) E a#a ; #) (((

9) @@F; &@F @F; &F)@FE &F)

i) a;1# ; #;1a a;1#;1 #@; a@) 1a# # ; a)# E a)

1.2.;. Algearski ralomi . Skra"iva%e ra$lomaka: Rastavimo a 9aktore pose#o #ro%ik

pose#o a$ivik pa skratimo( &adai8 1.1

1@@

@

+

a

aa

( ))1)1

1 @

+

aa

a

1

1

+

a

a G $j.

( ) =

@

@@

ba

ba

2.@

1

)1)@

)1)1

)@

)1

@

1@

@

@

@

=++

=

=

++

b

b

bb

bb

bb

b

bb

bG $j.

&@

1@

@

+

aa

aG

&@

@

@

++

xx

x

9.( ) [ ] [ ]

@

1

)O@

)1)O

)O@

)B&)B&

@1B

B @ =

=

+=

c

c

cc

c

cc

c

cG $j.

d

d

&1

)&B @

Gp

p

&>

)&@ @

+

;. =+

++=

=+

)&

)&)&

&

)&

&

> @@@@

xa

xaxa

ax

xa

ax

xxa;a E F ; &) & ; a ; F

.( )( )

( ) @@@@

@@@

@@@@

B@@B

BB

@ yx

yx

yx

yxyx

yyxx

yx

+

=

+=+

?4T4V4 N7MA DA57G

.Ra*a%e s al+e#arskim ra$lom8ima: 1.a

b

a

b

b

a

b

a

b

a B

@

1'

B

1'

@:

B@

@

@

@

==

G $j.@

)1&:

1@

@

@

@

a

a

aa

a

1( =

baa

b

b

a 11:

ab

ab

ba

ba :

@@

)

))

ba

ab

ab

baba

+ ;a E #) ili ; a ; #

2( =

+

aba

b

b

a 11:@

ab

ab

ba

abba +:

@@@

)

) @

ba

ab

ba

ba

;a ; #) # ; a

9.&

1

)&)&

&

)&)&

>&

>

&

1@ +

=+

=

++

=

xxx

x

xx

x

xx

1&


14/70

;. @@ @B

@ yxy

x

xyx

y

)@B

)@ yxy

x

xxx

y

xyyx

yxxy

yxyx

yxxy

xy +=

+

=

@)@

)@)@

)@

B @@

$j.>

@

B>

& @

+

+ bbb

G @@ @&

@&

B

yxy

x

xyx

y

+

+ G @@ @@

B

@

yyy

x

*E'#A!"ST 1.edakost a

@

E ma E B &a ; @)

@

isp%ea %e $a ko%i m | m 4 12 | 2.Poliom F&; aF@E 1@F E %e k# #ioma samo ako %e a ;@G ;BG |>| G ;)

9.Umo.ak @F E&G 1@G &)

;.Ako %e a ; # & te a@E a# E #@ ! koliko %e a&; #& | 9 4 2: |

?.Ako %e F ; < B ! F@; |

.Po%edostavi: a@E #@) ; a@; #@) ((( @#@ 4d kdaI$ F@;1 &

10.Ako %e F E 1)F ; 1) &! koliko %e F@; F)F@E F) F@F ; 1)F E 1) F@ & B & 12

11.Ako %e F ; 1)F E &) O! koliko %e F E 1)@ F@E @F ; & O F@E @F E1 11

Pinearne jednade: Do#ro %e $ati: 4p"i o#lik li( %ed( %e aD 4 G

1) $a a ' i # #it "e F #a %edo r%( pr( @F &:@F &@)

@) $a a ' i # ' ' F #! ema r%( e posto%i #ro% ko%i pomo.e s ' da%e #ro% ')(

&) $a a ' i # ' ' F '! %ed( ima r%( %edakost %e isp%eaF)

&adai81.Za ko%i k %ed( kF ; @k E F E & ' ima: a) %edo r%( #) ema r%(

k E 1)F @k ; & a) $a k E 1 ' t%( $a k ;1 %ed( ima %edo r%( i oo %e F @k ; &)kE1)

#) $a k E 1 ' t%( $a k ;1 %ed( ema r%( %er #i #ilo ' F ;

2.Za ko%i p %ed( @pF ; @p E &F ; & ' ima: a) %edo r%( #) ima r%(@p E &)F @p E & a) $a @p E& '! t%( $a p ;&@ %ed( ima %edo r%( i oo %e F 1

#) $a @p E& '! t%( $a p ;&@ %ed( ima r%( %er #i #ilo ' F '

9.Za ko%i mli( %ed( @ E m)1 E m)F m@; 1 ima %edo r%e,e%e

A( m ;1 i m 1G -( m ;@ | =| m 2 i m 1 D( m @

;. F ;@ r%e,e%e %e %edad.#e:

A( ; F E 1 OG -( @F E 1 G | =.|


15/70

[Zadatak se a%%edost( r%e,ava tako da se m%esto F vrsti ;@ i prov%eri #ro%eva %edakost(]

%e: A( 1G | 6| 2G 2( &G D( B

>.R%e,e%e %ed( F ;@)@; OF E@)1;F) @BF ;&)@E O %e: A( &G -( @G =. 1G D( '

:.Ri%e,e%e %ed(

@

1&

&

@ +=

+ xx%e: A( @G -( @(1G =. 2.2G D( @(&

?.R%e,e%e %ed( F E1) : F E&) FEB) : FE) %e: A( ;G 6. :G 2( ;G D( ;&

S(STA$ '$*( P#EA%#+ *E'#A'-6 S7 M4RA ZNATI( Samo $a $j.

1.Ri%e,i sstav F E @< 1 i ;@F E &<

2.Ri%e,i sstav &F E B< i &F E B< >

9.Ri%e,i sstav F E @< & i @F E B< >

;.Ri%e,i sstav @F ; < i F E &< 1

.Ri%e,i sstav 1B

1

&

1=+ yx i 1(BF ; '(&< 1(

:.Ri%e,i sstav BF E < @' i F ; @< B

?.Ri%e,i sstav BF E < i @F E &< &

.Ri%e,i sstav &F E B< ; i OF ; < ;1>

10.Koliko mora #iti parametar pda sstav @F E B< & i &F E p< ema r%(

@F E B< & & pa $#ro%imo 1@< ; Bp< ;1 odoso 1@ ; Bp)< ;1

&F E p< ;@) ed( ema r%( $a 1@ ; Bp ' t%( $a 1@ Bp! odoso $a p &

11.Koliki %e parametar pako %e re=ei par @!1) r%( sstava: pFE< O i FE< &

Uvrstimo F @ i < 1 dai sstav pa imamo: @p E O i @ E 1 & 1! p &

;. )rolemski adai modeliranjeF UPUT7: Do#ro pro*iti $adatak! Ako %e potre#o! pro*ita% +a i ekoliko pta sve dok ti e

postae kristalo %asa( Nepo$ai8 stadardo o$a*i sa F Napi,i pro#lem o#lik %edad.#e s %edom ili dvi%e epo$ai8e Ri%e,i %edad.#( Pa$i da se e $a#i, ra*skim opera8i%ama Kriti*ki se odosi prema r%e,e%( Ra$misli ima li oo smisla(

Prov%eri $adovol%ava li do#iveo r%e,e%e sve v%ete $adatka(

1.Z#ro% #ro%a i %e+ove polovi8e $a tri %e ma%i od dvostrke vri%edosti to+ #ro%a( Ko%i %e to #ro% R%( F E F@ E & @F A. >G -( 1>G 2( @'G D( @

1.Na test iteli+e8i%e svaki to*a od+ovor vri%edio %e 1 #odova! a $a eto*e od+ovoreod$imalo se #odova( U*eik %e od+ovorio a svi/ B' pita%a i osvo%io @' #odova(1) Koliko %e a%vi,e #odova mo+ao osvo%iti a test R%( B' 1 >''

1


16/70

@) Na koliko %e pita%a *eik to*o od+ovorio R%( F 1 ; B' ; F) @' D 4 2;

1.4dre=e koli*i ,e"era tre#a spremiti pripreml%ee pakete( Stavi li se svaki paket 1 k+,e"era! ostat "e 1' pra$i/ paketa( Ako se svaki paket stavi 1B k+ ,e"era! ostat "e 1' k+ ,e"erako%i i%e spakira( 1) Koliko paketa imamo a raspola+a% F k+ F k+

1P ; 1' 1 1BP E 1' BP &>' P '( 4d+ovor: Na raspola+a% imamo 0 paketa. @) Kolika %e kpa koli*ia ,e"era 1 ' ; 1' 1;;0 kg1.M%ere ktova trokta s om%er 1 : 1' : B( Na%dl%a strai8a ima dl%i 1' 8m( Kolika %e dl%ia a%kra"e strai8e 6isti ra* dio#e! $a i$ra*ava%e ktova)

a) : : 1 : 1' : B kG 1'k i BkE E 1'o 1k 1' k 1@ 1@oG 1@'oi Bo

#) Po*ak o sisima asi #sia # sisi 2.; m

2.U d%e*%o% kasi8i #ile s kpo 1&@ k kovai8ama od k! @ k i ' lipa( Kovai8a od @ k

#ilo %e dvostrko vi,e e+o kova( od k! a kova( od ' lipa #ilo %e tri pta vi,e e+o kovai8a od@ k( Koliko %e to% kasi8i #ilo kovai8a od @ ke F E @< E '($ 1&@ < @F $ &< >F F E BF E &F 1&@ 1@F 1&@ F 11 Q 4 22 komada2.U trima paketima ra$li*iti/ masa sti+lo %e >B(@ k+ ara*i( Masa dr+o+ paketa %edaka %e Bmase prvo+ paketa! a masa tre"e+ paketa %e 1OB' mase dr+o+ paketa(1) Kolika %e masa svako+ po%edio+ paketa A E - E 2 >B(@

- B A

2 B'

1O-

B'

1O

BA A E

BA E

B'

1O

BA >B(@ @''

@''A E 1>'A E >A 1@ B' B@A 1@ B' : B@ A &'k+ - @Bk+ = 4 10.2kg@) Koliki %e postotak ara*i tre"em paket odos a prvi 1'(@ : &' 1'' &BX9.2i%ea c i$a%ml%iva%a #+alova a nt%edaa daa %e 9ormlom c t nE d t %e i$os t%edo+ a%ma! d %e si+rosi depo$it)( Maria %e $a & t%eda platila @ '@ k! a Ma%a $a t%edaa & B1@ k(

Koliki %e si+rosi depo$it c&) &nE d @ '@ \ c) n E d & B1@ od$memo od 1( G @(

; Bn ;1&@'n >>' d @ '@ ; &nd 4 112 kn.

9. Ml%e*i proi$vod dola$i pakira% od &&'+ ili ''+( Tr+ova8 %e do#io koli*i od '+ to+ ml%e*o+ proi$voda kpo 1B' pakira%a(Koliko %e do#io ma%i/ pakira%a F E < 1B' i &&'F E ''< '

< 1B' ; F &&F E O''' ; 'F ;1OF ;1BB D 4 ?


17/70

< 1 ; F @F E >B ; B&F O'F >& F O 4d+ovor: S


18/70

!vadratna jedn. aD2 3 D 3 40a

acbbx

@

B@ = osova 9ormla i$ ko%e

a

acbbx

@

B@1

= ma%e r%( i

a

acbbx

@

B@@

+= ve"e r%( Zada8i s samo $a v%e.#:

1.Ri%e,ite %edad.#: a) F@

; F E B 'G #) @F@

; F E @ 'G 8) F@

; >F E 1& '2.Ri%e,ite %edad.# : a) F@; F E 1 'G #) F@; @ & F E @ ' 8) a@; @a E B '

'iskriminanta kvadratne jednade aD2 3 D 3 4 0 je roj ' 4 2 ;a

Diskrimiata i priroda r%e,e%a kvadrate %edad.#e:

1) Ako %e D Q '! %edad.#a ima dva rala i ra$li*ita r%e,e%a

@) Ako %e D '! %edad.#a ima dvostrko ralo r%e,e%e

@0) Ako %e D '! %edad.#a ima dva rala r%e,e%a

&) Ako %e D '! %edad.#a ima ko%+irao kompleksa r%e,e%a ili %ed( ema rali/ r%e,e%a

&adai8 1.Za ko%i reali m %ed( F@E BF E m ' ima %edaka r%e,e%a

edaka r%e,e%a s $a D ' t%( #@; Ba8 ' 1> ; Bm ' Bm 1> m B

2.Za ko%i reali n %ed( @F@; F E ' ima ra$li*ita reala r%e,e%a

Ra$li*ita reala r%e,e%a s $a D Q ' t%( #@; Ba8 Q ' 1 ; Q ' 1 1

2.Za ko%i reali p %ed( p ; @)F@; @pF E p ; @ ' ima reala r%e,e%a

Reala r%e,e%a s $a D ' t%( #@; Ba8 ' Bp@; Bp ; @)@ ' p@; p@E Bp ; B p 1

9.Za ko%i reali R %ed( F@; @F E ;1 ' ema reala r%e,e%a

R%e,e%a is reala $a D ' t%( #@; Ba8 ' B ; B ; 1) ' 1 ; E 1 ' Q @


19/70

2F @@@1 xx + F1E F@)

@; @F1F@@

a

b

a

c@

@

&

O@

@

>1

1B

@

=

2F @@@

1 +xx @

@@1

11

xx+ @

@@1

@1

@@

xx

xx + @

@1

@1@

1@

)

@)

xx

xxxx +

B

>1

@B

@>1

)O

1B)&@

@

=

=

@00( 4dredi m %ed( mF@

E F E Bm'! ako %e $#ro% kori%ea r%e,e%a kv( %ed()%edak dvostrkommo,k ti/ kori%ea( F1E F@ @F1F@ (((( m ;1

9.Z#ro% aritmeti*ke i +eometri%ske sredie kori%ea %ed( @F@; @'F E &@ ' i$osi

@1@1

@ xx

xx+

+ 1>

B

@'+ E B

!vadratna jednada sa adanim rjeNenjima8 Zamo li r%e,e%a kvadrate %ed( oda t %ed(

mo.emo a"i a dva a*ia: I. aD D1FD D2F 4 0 $a 05I7PA0 r%e,e%a

II. D2 D13 D2FD 3 D1D24 0 $a 0RUNA0 r%e,e%a1. Napi,i kvadrat %edad.# ako s $adaa %e$ia r%e,e%a(

1F F1 ;& i F@ @ [es li 0li%epa0] es! oda aF ; F1)F ; F@) '

aF E&)F ; @) ' [Kako a mo.e #iti #ilo ko%i reali #ro% a%#ol%e %e da %e 1]

F E&)F ; @) ' F@E F ; > '

2F F1 ;@& i F@ 1 [es li 0li%epa0] aF ; F1)F ; F@) '

aF E @&)F ; 1) ' [Kako a mo.e #iti #ilo ko%i reali #ro% eka #de &] &F E @&)F ; 1) ' &F E @)F ; 1) &F@; F ; @ '

9F F1 1 ; i F1 1 E [es li 0li%epa0] Nis oda F@; F1E F@)F E F1F@ '

F@; 1 ; E 1 E )F E 1 ; )1 E ) ' F@; @F E 1 ; ' F@; @F ; B '

;FF1 @ ; &i i F@ @ E &i [es li 0li%epa0] Nis oda F@; F1E F@)F E F1F@ '

F@; BF E 1 E ' F@; BF E 1& '


20/70

9.Koliko r%e,e%a skp Z ima e%edad.#a ;O @F A( G | 6.| ?G 2( OG D(

>

;.4dredite skp a ko%em s sve vri%edosti 9%e 9F) &@ ; F) ve"e od 1(

+

xx %e iterval \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

1. R%e,e%e e%edad.#e F E&)F ; @) ' %e iterval kriti*e to*ke F1 ;& i F@ @ G ma%a do#iva ideks 1ve"a @(Sastavimo ta#li8( Prva $a+rada %e vi%ek oa ko%a da%e ma% kriti* to*k( ; ;& @ E

F E & ; E E F ; @ ; ; EFE&)F;@) E E

D [9 , 2]

Koriste"i se +or%om ta#li8om odredi r%e,e%a sl%ede"i/ e%ed(

1:. R%e,e%e e%ed( F EB)F ; 1) ' %e iterval \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

1?.R%e,e%e e%ed( '@

1

+

x

x %e iterval \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

20.Za ko%i reali m %ed( F ; m)@ & ; mF ima ra$li*ita reala r%e,e%a

1) Sredimo kv( %ed( F@; @mF E m@ E mF ; & ' F@; mF E m@; & '

@) Ra$li*ita reala r%e,e%a s $a DQ' t%(#@

; Ba8 Q ' m@

; Bm@

; &) Q ' ;&m@

E 1@ Q ':;&)m@; B ' [Pa$iW Z#o+ m@e pre#a8% ve" rastav a 9aktore]m E @)m ; @) '(

4pet ta#li8a i$ ko%e *itamo m 2 , 2

#apomena: Navede ta#li8 koristimo i $a r%e,ava%e a%edad.#i o#lika & E F)@ ; F) '!

'&

&F E & Q 'G F@; 1BF ; & '

#apomena8 Navede ta#li8 koristimo i $a r%e,ava%e a%edad.#i o#lika ; BF ; F@ '! takoda i/ mo.e%em sa ;1 prevedemo o#lik F@E BF ; Q '

!vadratna nejednada aD2 3 D 3 B 0 s | | 1.Ri%e,i e%edad.#: a) | F@E F| > ;> F@E F > F@E F Q ;> i F@E F > F@E F E > Q ' i F@E F ; > ' F E @)F E &) Q ' i F E >)F ; 1) '

Iako #i am ta#li8a tre#ala #iti +lavi! a8rta%mo %ed pa % koristimo $a o#%e; ;& ;@ E

F E & ; E E F E @ ; ; EFE&)FE@) E ; E

Za I( F ;! ;& ;@! E i $a II( F;>! 1

!ona5no rj. je presjek i . tj. D >, 9 2, 1

$j. #) | F@; F| >G 8) | F@; | 1G d) | F@;&| @

2.Ri%e,i e%edad.#: a) | F@; F| Q > F@; F ;> ili F@; F Q >

F@; F E> ' ili F@; F ; > Q ' F ; @)F ; &) ' ili F E 1)F ; >) Q ' F @! & ili F ;! ;1 >! E

$j. #) | F@E F| Q >G 8) | F@; | Q @G d) | F@; | Q 1

!orijeni .Kvadrati dr+i) kori%e po$itivo+ #ro%a a%e a $a ko%i vri%edi ( ) aa =@ !

dok $a #ilo ko%i reali #ro% r vri%edirr

=

@

G ( ) &&

@

= ; ;&) 9

( ) ( ) 1@@1@1@1@1 @ =+=== (

@@

Zadovol%ava as tre"i red i$ko%e+ *itamo r%e,e%e iprve i dr+e e%edad.#e

&adovoljava nas treLi red ikojeg 5itamo rjeNenjeD

12, 2


23/70

Tako=er %e 1' =a ! ''= ! ( ) kk aa = 4sova ra*a%e s ;ima morate $ati! %er ova

skripta i%e predvi=ea $a osova ra*a%a! ali ipak "e se e,to od to+a %o% i a"i(

1@' = ! @ [$a a%*e," potre#] @ @1

@ 1.;1G 1&' = ! @

1

&&& == 1.:9

!orijeni . Pisa%e kori%ea o#lik pote8i%e s ra$loml%eim ekspoetom

@

1

aa= !@

1(1

=aa

G &1

& aa= !&

1(

&

1 =a

aG nn aa

1

= !n

na

a

1(1

= G

n

m

n m aa = Gn

m

n ma

a

=

1G pn np aa = G

p

pn npa

aa

==11

'jelomi5no korjenovanje baba =@ $a po$itiva reali #ro% a( Za vi,e vidi I( ra$red)

aa =@ ! @&

&

aaaa ==! @B aa = ! @

@

aaaa ==! &> aa = ! ( ( ( ! 1' aa =

4va ra$matra%a morate $ati prim%eiti i $a '@ do 1'@ kao i '& do 1'&

&&

11&

B& B aaaaaa === G & @&

N

& N aaaa == G BB

B aaaa == G B &BO

B O aaaa ==

!orjenovanje korijena mnmnmn aaa1

== ! >1

@

1@

1

&

1

@

1& bababa =

=

qpnpnnn p q

cbacba

111111

=ili n p q

cba npq qpq

cba

a%e /vatio 0virs0 pi 0virs0 R. . .

+eronova formula$a povr,i trokta P ))) csbsass s )@1

cba ++

1.I$ra*a% Psa strai8ama a 8m! # 1' 8m i 8 1O 8m(s 1 8m

P ))) csbsass )1O1)1'1)11 11 BB &@ @@ &@ 9>m2

2.4dredi a%ma% i a%ve" visi sa strai8ama a @! # @ i 8 &> s B(

I$ P ))) csbsass ((( &>' i P@

ava a

Pva

=@

((( 2?.?

ili P@

cvc c

Pvc

=@

((( 20

9.4dredi polm%ere r i sa strai8ama a @! # @ i 8 >& s O'(

I$ P ))) csbsass >&' i Pr

abc

B

=P

abcr

B ((( &@( ili Ps

s

P= (((

%aionaliaija naivnika vidi #il%e.i8! ta#li8e i *i se) !lasi5ni adai8

@&


24/70

1. @@

@@

@

@

@

@== G 1.

B

B

B &

1

BG 1.

O @

O @

O O @

@

@

@

&@

@= O

O

B@

B@=

2.&

&

&

&

&&

&

&

&&

== 2. & &@B

& @

B =

&&

& @ @

@

@@

B =

@@

@B & & @

9. 1O 1O1O> ++ ( )1O 1O> + ( )> 1O> + 1O+ G 9. &@ 1@& 1@& O + . . .

>

>

1

>

&1+

((( >G 9.

>O

1

O

1

&

1

+

@1

>

1

+

... @&&BB&1>B& &&& ===+=+ G 10( @@>B > >

& ==

2. @1

@

1('

@('

'1('

''('&=== G 9.

B

&

@

&

@

&

1@

>1@

>

> &B

=== G 9. &&@O

1 @ 1>

===

9. @'1>

B

@'B @'1>

1' B'

B

B

B

B

=

@' @'1' B B @ 10

9. N &@ xxx N & > xxx N & O xx 1N 1B xx &' 1x x

9; . > &@ abba : a;@1@); B& a>#1a11@#11@: a#@& a> E 11@ ; #1 E 11@ ; @& (((

;. &&& &&& >&@&@1'' === G . = B& @O& ( ( ( :. = 1@B& 1@@ ( ( (

?. ( ) O@>& @ + ((( ?. ( )@1'@'' + ((( 1B B B @

11. ON('&&@

\

S1BNB ( ) ( ) B&

B&

@

&

@\& &@&@ &@&@ &

@

@&

@\

&;1 19

%A="#AP#E *E'#A'-6E s %edad.#e ko%ima se epo$ai8a ala$i pod kori%eom(

R%e,avamo i/ tako da i/ svodimo a al+a#arske! r%e,ava%"i se kori%ea(

@B


25/70

1. @@1 =+x 2. @@ 1@ += xx

F E 1 B F@; @ F@E @F E 1

F & Prov%era o#ave$a) @F ;&:@ F ;&@

@B1& ==+

istia 1@

&@

B

+=

na5i D 4 9 je rj.@

1

B

1=

@

1

@

1= i%e istia pa D 4 92 nije rj.

9. &O1@ =+ x @ i tako & pta B( @B@& += xx Pro%era

F B Prov%era ka.e %e r%( F ; & @F E B B1B&O +=

9. @11& =+ x F ;O 1'1' = Na

9. @1&& & =+ x prvi po+led ovo %e istia! ali pod

mora #iti ee+ativa #ro%( To $a*i

da D 4 :i%e r%e,e%e

( &@1 =++ xx Ra$dvo%i kori%ee pa kvadrira% dva pta) ((( r%( D 4 9

SPI#"ST8 Za sli*e likove vri%edi: 4d+ovara%"i ktovi s %edaki i ove tri %edakosti:

1) 4m%er dl%ia d.ia %edak %e kkoe9( sli*osti( T%( aa0 k vv0 oo0 a;#)a0;#0) (((

@) 4m%er povr,ia %edak %e k2( T%( PP0 k2 a@a0@ v@v0@ o@o0@ (((

&) 4m%er o#%mova volmea) %edak %e k9( T%( VV0 k9 a&a0& v&v0& o&o0& (((

&adai8 1. Dl%ie strai8a trokta i$ose 1( 8m! 11 8m i ( 8m( Dl%ia a%kra"e strai8e

%em sli*o+ trokta i$osi 1> 8m( Koliki %e om%er: a) opse+a! #) povr,ia $adao+ i sli*o+

aF %j. o18 o24 .< 8 1> 4 0.


26/70

I$o @r @@r 118m P r@ 121 m2

2.Ako %e povr,ia kr+a %edaka >(@8m@( Koliki %e %e+ov opse+

I$ P r@ >(@8m@r O( 8m o @r 1'&>'

@' rlrPPi ===

oi @r E l

&( Kr.i ods%e*ak: Pko Pi; P Na8rta% si slik i %o% ove d%elove(

&adai81.5k dl%ie &(8m pripada sredi,%i kt od @@o( Kolika %e dl%ia 8i%ele kr.i8e

I$&>'

ol=

>(

@@

(&&>'&>'=

=

=

lo 8m

2. Ako lk kr.i8e pridr.e sredi,%em kt Boi$osi @B 8m! koliki lk iste kr.i8e

pripada sredi,%em kt Oo I$ l: @B O : B l4 ;0 m

9.4dredite povr,i kr.o+ is%e*ka! ako %e r i l @ rad( @

@@

===rl

Pi

;.Kr.i is%e*ak ima povr,i B i dl%i pripado+ lka ( 4dredite polm%er kr.i8e(

1'P

BN@@BN

@=

====

l

Pr

rlP ii

"odni i srediNnji kut krunie U$mi #il%e.i8 i$ I( ra$( i pro*i #it "e dovol%o)

Tetivni i tangenijalni 5etverokuti U$mi #il%e.i8 i$ I( ra$( i pro*i #it "e dovol%o)

@>


27/70

)ravilni mnogokuti U$mi #il%e.i8 i$ I( ra$( i pro*i slik i osove 9orle dae $ %)

n

&>'G

n

n 1')@ 1';

n

&>'1';G 0 1' ; ! K ; @) 1'! D @

)& nn

&adai8 1.Utar%i kt pravilo+ mo+okta i$osi 1Oo

&'0( Koliki %e #ro% strai8a R%( I$ 1'o; &>'o &>'o 1'o; &'0 '(o O@' Moe se traiti roj

dijagonala i sl.

2. 4dredi oa% pravili mo+okt *i%i %e %eda tar%i kt tri pta ve"i od va%sko+(

I$ &0 i 0 n

&>'

nn

&>'&

&>'1' = 1'

n

&>'B n 4 ?

2.Va%ski kt pravilo+ mo+okta %edak %e @1& tar%e+( Na=ite #ro% strai8a(

R%( 0 @1&) t%( @1&)

n

n

nn

)@1'

1&

@&>'1'

1&

@&>' =

=

@1'

1&

n

1& ; @ n 4 1 pta vi,e di%a+oala e+o strai8a( Ako %e strai8a to+ mo+okta

B 8m! opse+ R%( o a i D > ; &) @ > @; 1 ' 1

o 1 B >0 m.

;. Z#ro% tar%i/ ktova kovekso+ mo+okta $amisli da %e pravili) %edak %e @&B'o( Koliko

di%a+oala ima ta% mo+okt R%( I$ K @&B' ; @) 1'o @&B'o ; @ &

1 pa %e D ; &)@ 1 1@@ 0

)ravilo trojno )roporion alnostF

A. )roporionalnost8 Zada8i: 1.Ato a 1'' km tro,i >( litara #e$ia( Koliko "e litara potro,iti

a pt od B@ km( R%( 1'' km >( l

| B@ km | F l Prva streli8a ide od F

F : >( B@ : 1'' F >( B@) 1'' &1( 92 l

2. U 1'' ml sirpa sadr.ao %e @(B + para8etamola( Koliko mili+rama para8etamola ima 1'

@O

%j. 1F *ednakost oodni/ kutova

nad istim lukom daje

4 ?o. 2F Tetivni 5etverokut

&roj nasuprotni/ kutova

341?0odaje 4 ?2o.

9F

4 1>o


28/70

ml sirpa R%( 1'' ml @(B + | 1' ml | F + Prva streli8a ide od F

F : @(B 1' : 1'' F @(B 1') 1'' '(@B + 2;0 mg [Napomea: 1 + 1''' m+]

9.Za koliko se vremea pri rota8i%i oko svo%e osi Zeml%a okree $a >'o

R%( &>'o

@B sata | >'o | F sati Streli8a vi%ek ide od F

F : @B >' : &>' F @B >') &>' @B> ; sata

;.Kolika %e #r$ia >' km/ ms R%( >' '''m &>'' s

| F m | 1 s Prva streli8a ide od F

F : >' ''' 1 : &>'' F >' ''' &>'' 1''> 1>(>O m >' km/ 1>.>: ms

;.Kolika %e #r$ia @' ms km/ R%( @' m 1 s | F m | &>'' s Prva streli8a ide od F

F : @' &>'' : 1 F &>'' @' O@ ''' m @' ms O@ km/

8m(

Kolika %e stvara dal%eost Za+re#a i Splita

R%( 1 : 1 ''' ''' @> : F F @> 1 ''' ''' @> ''' ''' 8m @>'km

>.Ako 1'' mlkave sadr.i >> m+ kali%a! koliko "emo +rama kali%a i%eti or+ai$am oko

popi%emo '( dl kave R%( 1'' ml 1 dl 1'' ml >> m+

| ' ml | F m+ Prva streli8a ide od F

F : >> ' : 1'' F >> ') 1'' && m+ 0.099 g 1 + 1''' m+)

O( Matrali: Sl%ede"a ta#li8a pove$%e ov*ae i$ose i$ra.ee ra$li*itim valtama(

Popite vri%edosti ko%e edosta%(

7UR4 ) 1 F

VI2ARSKI 3RANAK 2Y3) 1(B>@ '-RITANSKA 3UNTA ?-P) < @@(@&1O6. "rnuta proporionalnost Zada8i:

1. radika mo.e o#aviti eki posao $a 1' daa( Za koliko "e daa isti posao o#aviti radika

R%( | radika 1' daa

radika | F daa Prva streli8a ide od F

F : 1' : F 1') 1> dana

1. Zali/e /rae $a 1> $e*eva dostate s $a 1@ daa( Koliko "e daa $ali/e /rae dosta%ati $a1@ $e*eva R%( | 1> $e*eva 1@ daa

@

F

B>@(1

'1 &@(&&O&

< '

@&1O(@@B>@(1 '(>


29/70

1@ $e*eva | F daa Prva streli8a ide od F

F : 1@ 1> : 1@ F 1@ 1>) 1@ 1> dana

2.Atomo#il %e $a pt od Z? do ST potre#o sati ako vo$i pros%e*om #r$iom @ km/(

a) Ko%om pros%e*om #r$iom mora vo$iti ako ov dal%eost .eli pri%e"i $a B sata

R%( | sati @ km/

B sata | F km/ Prva streli8a ide od F

F : @ : B F @ ) B 11< km/

#) Za koliko sati "e sti"i ako vo$i pros%e*om #r$iom 1&' km/

R%( sati | @ km/

| F sati 1&' km/ Prva streli8a ide od F F : @ : 1&' F @ ) 1&' &(B / 9 sata i 92 min

2. Sv%e.e +l%ive ima% @'X s/e tvari( Kolliko sv%e.i/

+l%iva tre#a s,iti da #i se do#ilo 1k+ s/i/ ko%ima ima >X s/e tvari

R%( | F k+ @' X

1 k+ | > X Prva streli8a ide od F

F : 1 > : @' F > 1) @' ;.9 kg

9. Sv%e.e +l%ive sadr.e ' X vode! a s,ee 1@X( Koliko se s,ei/ +l%iva do#i%e s,e%em

@@ k+ sv%e.i/ (Probleme ovog tipa rjeavamo promatranjem onog to je nepromjenjivo,

a ovdje je to sve osim vode! R%( | F k+ s/i/ +l%( X s/e tvari

@@ k+ sv%e.i/ +l%( | 1' X s/e tvari

F : @@ 1' : F @@ 1') 2.< kg

M * E % # E * E ' # = E1( Metarske m%ere ; $a d.ie @( Mjere a povrNine 1 km 1 ''' m 1' ''' dm 1 km@ 1'' /a 1' ''' a 1 ''' ''' m@

1 m 1' dm 1'' 8m 1 ''' mm 1 /a 1'' a 1' ''' m@

1 dm 1' 8m 1'' mm 1 a 1'' m@1 8m 1' mm 1 */v &(> m@stara m%era)

1 m@ 1'' dm@ 1' ''' 8m@ 1 ''' ''' mm@

1 dm@

1'' 8m@

1' ''' mm@

1 8m@ 1'' mm@&( M%ere $a o#%me volmee) 1 km& 1 ''' ''' ''' m&

@


30/70

1 m& 1' "l 1 ''' ldm&) 1 "l 1'' l 1 ''' dl 1 l 1' dl 1'' cl 1 ''' ml8m&) 1 ''' ''' mm&

1 dl 1' cl 1'' ml8m&) 1 cl 1' ml8m&)

1 ml 1 ''' mm&

B( Mjere a masu1 t 1' metri*ki/ 8eti ) 1'' k+

1 1'' k+ 1 k+ 1'' dk+ 1''' + 1 + 1' de8i+rama d8+) 1'' 8eti+rama 8+) 1 ''' mili+rama m+) 1 d8+ 1' 8+ 1'' m+ 1 8+ 1' m+ 1 metarskiF karat 4 200 mg( Mjere a vrijeme >( )redmei a tvoru deimalni/ jedinia8 1+odia &> daa peta P) 1'1 de8i d) 1';1

1 da @B sata tera T) 1'1@ 8eti 8) 1';@

1 sat >' mita +i+a ?) 1' mili m) 1';&

1 mita >' sekdi me+a M) 1'> mikro ) 1';> kilo k) 1'& ao ) 1';

/ekto /) 1'@ piko p) 1';1@

deka da) 1' 9emto 9) 1';1*E'#"STA$# !AMAT# %AI(#

K ; kpe kamateG 2 ; +lavi8a G p ; postotak i ; #ro% +odia

1''

np#$

= G

np

$#

=

1''G

n#

$p

=

1''G

p#

$n

=

1''

Kamati ra* vi,e ili i.e 1''! 2 E K ili 2 ; K2EK21Ep1'') kamati 9akt( pove"a%a! 2;K21;p1'') kam( 9ak( sma%(1.Ulo.imo li daas 1' ''' k! koliko "emo imati ako dvi%e +odie $ dekr$iv

kamat stop od >(X 1''

np#$

=

1''

@(>1'''' 1&'' 2 E K 11 900kn

2.Za koliko +odia eka +lavi8a doese %edostvei/ kamata i$os od &>X te

+lavi8e ako %e +odi,%i dekr$ivi kamat%ak K '(&>2 #n#

&>('1''

=

&> n 4 ; godine9.D.ik %e ako dvi%e +odie vratio d+ $a%edo s %edostavim kamatama i$os od 111&>k( Kolika %e #ila +lavi8a ako %e +odi,%i dekr$ivi kamat%ak

I$ 21 E 1>1'') 11 1&> k 2 11 1&> : 1(1> >00kn;.U$ ko%i se +odi,%i dekr$ivi kamat%ak eka +lavi8a $ %edostavi kamatira*! $a +odia pove"a 1''X

I$ 21 E p1'') @2 1 E p1'' @ p1'' 1 p 4 12.

I$ 2 E K B& 'O' $$

+1

1'' B& 'O' K1''1 E 1) B& 'O' ! 4 >


31/70

Zada8i: 1( Poka.ite da $adaa 9%a $adovol%ava apisa %edakost:

9F) F&; F@E F ; B G 9@) 91)

@( Ako %e 9F) F@E F E 1! koliko %e a E 1)9a) ; a ; 1)9;a)

&( Koliko %e 9 1@ )! ako %e 9F) F@E @F E 1 Uo*i kvadrat $#ro%a)

B( Koliko %e 9 1@& + )! ako %e 9F) F&; &F@E &F ; 1 Uo*i k# ra$like)

%AU"$ U(#!=*A8 0. Elementarne fje, ko%e smo do sada po$ali

a) 5i( 9%a 9: R R! 9F) F #) Kvadrata 9%a 9: R R! 9F) F @

8) K#a 9%a 9: R R!9F) F& d) 3%a apsolte vri%edosti 9: RR! 9F)| F|

e) Ra8ioala 9%a 9: R\{'}R! 9F) x

1 9) 3%e kor%eova%a 9:

+'% R! 9F) x

3%a %e de9iiraa $a sve reale #r( osim ' 3%a %e de9( $a sve po$itive reale #r( i '

+) 7kspoe8i%ale 9%e 9: RR! 9F) eF /) 5o+ 9%a 9: RER! 9F) lF

Asimptota %e e+ativi dio F osi 3%a %e de9( $a sve po$itive reale #r(

&1


32/70

i) 3%a si 9: R R! 9F) siF %) 9%e kosis 9: R R! 9F) 8osF

A( Pinearna funkija89F) aF E #( De9iiraa %e $a sve reale #ro%eve. ?ra9 %e prava8

< aF E #( ed( prav8a Q 4 aD 3 daa %e ekspli8itom o#lik( I$ to+ o#lika prava8 8rtamo tako

da a osi < a=emo #ro% ! t%( o$a*imo to*k 0,F! pa od %e kreemo oaveno deso $a

vri%edost a$ivika od #ro%a a $atim +ore $a %e+ov #ro%ik! ako %e apo$itiva #ro%! odoso dol%e!

ako %e ae+ativa #ro%(

Ako am %e pak %ed( prav8a daa ekspli8itom o#lik AD 3 6Q 3 = 4 0( Da #ismo +a a8rtali

prevedimo %ed( prav8a ekspli8iti o#lik Q 4 A6 D =6pa +a a8rta%mo a opisai a*i(Prika.i +ra9i*ki: 1( < @F ; 1G @( @F E &< ; > '

< 11

@x < @

&

@+ x

Ako am %e pak %edad.#a prav8a daa se+metom o#lik Dm 3 Qn 4 1( 2rtamo +a tako da

a=emo a osi F #ro% mi a osi < #ro% npa kro$ to*ke m,0Fi 0,nFpov*emo prava8(

&( 1@& =+yx

G B( 1&@ =+

yx

&@


33/70

( 4dre=iva%e li( 9%e 9F) aF E # i$ po$ato+ +ra9a( 4da#eremo a +ra9 dvi%e to*ke sa li%epim

koordiatama pr( T1F1!


34/70

&B


35/70

!vadratna fja 9F) aF@E #F E 8 ( De9iiraa %e $a sve reale #ro%eve. ?ra9 %e para#ola

Q 4 aD23 D 3 . Ko%o% %e t%eme to*ki TFo!


36/70

)rimjer 1. 4dredi lto*ke! ekstrem vri%edost! itervale pada i rasta i a8rta%te +ra9 9%e

9F) ; &F@E >F E

1) Vode"i koe9i8i%et a ; & ' $a*i otvor para#ole %e prema dol%e

@) Nlto*ke ; &F@E >F E ' : ; &)

F@; @F ; & ' F1 ;1! F@ &

&) T%eme Fo@

@1 xx + 1 i E 1@ T1! 1@)

B) 3%a raste a iterval ; ! Fo ; ! 1 ! pada a iterval Fo! E 1! E

)rimjer 2.4dredi kvadrat 9% 9F) aF@E#FE8 $a ko% vri%edi: 9;1) @! 9') @ i 9@) ; B

9;1) @ a ; # E 8 @

9') @ 8 @

9@) ; B Ba E@# E 8 ; B Uvrstimo 8 @ 1( i @( %edskost pa ako sre=iva%a

do#ivamo sstav a ; # '

@a E # ;& *i%a s r%e,e%a a ;1 i # ;1 9F) ; F@; F E @$j. 2. 3%a fDF 4 aD23 D 3 ima $a F 1 a%ve" vri%edost &! a $a F ;1 ima vri%edost '(

I$ra*a% 9)( Upta: Po$ati s poda8i: Fo 1! ! odredi t 9%(

1) Kad $amo koordiate t%emea! oda fDF 4 aD DoF23 Qo! ko%a ako vr,tava%a koordiata

t%emea do#iva o#lik 9F) aF E1)@E B

@) 9') > a' E 1)@E B > a @ vrstimo 1)

&) 9F) @F E1)@E B @F@E @F E 1) E B @F@E BF E >

)rimjer ;.Ako s ; 1 i & lto*ke kv( 9%e *i%a a%ve"a vri%edost i$osi ( 4dredi t 9%(

1) Kad $amo 0li%epe0 lto*ke oda fDF 4 aD D1FD D2F i Fo@

@1 xx +

9F) aF E 1)F ; &) i Fo 1@) 9Fo) a1 E 1)1 ; &) a ; @ vrstimo 1)

&) 9F) ; @F E1)F ; &) ; @F@; @F ; &) ; @F@E BF E >

&>

) Na8rta%mo +ra9 9%e


37/70

)rimjer F E ) &F@; 1F E @O)rimjer >.4dredi kv( 9% *i%a %e %eda lto*ka 1 ; ! a +ra9 prola$i to*kom T1! 1)(

1) Neka %e F1 1 ; oda %e F@ 1 E 0r.e0 s pa %e fDF 4 a[D2 D13 D2FD 3D1D2]

@) Uvrstimo lto*ke 9F) a[F@; @F E 1 ; ] aF@; @F ; B)

&) T1! 1) $a*i 91) 1 a1 ; @ ; B) 1 a ;& vrstimo @)

B) 9F) ; &F@; @F ; B) ; &F@E >F E 1@

$j. >.4dredi kv( 9% *i%a %e %eda lto*ka 1 ; i! a +ra9 prola$i to*kom T1! @)(>. 4dredi kv( 9% *i%a %e %eda lto*ka & ;1! a a%ve"a vri%edost 9%e %e &@(

-( !vadratna fja 9F) aF@E #F E 8 ( De9iiraa %e $a sve reale #ro%eve.

?ra9 %e para#ola Q 4 aD23 D 3 .

. !oju rtamo pomoLu tjemena i jedne istaknute to5ke!ako %e o#lika:

< aF@! T'!')G < aF@E 8! T'!8)G < aF ; Fo)@! TFo!')G < aF ; Fo)@E


38/70


39/70

!vadratna fja 9F) aF@E #F E 8 +ra9 %e para#ola Q 4 aD23 D 3 .

. !oju rtamo pomoLu nulto5ki i tjemena! +d%e s F1 i F@ lto*ke 9%e! ko%e do#ivamo

r%e,ava%em %edad.#e 9F) ' odoso aF@E #F E 8 ' i TFo!F E

a @ Q '! G lto*ke F1 ;&! F@ 1! a ;@ '! G F1 ;1 i F@ &aps8isa t%emea Fo1@F1EF@) ;1 Fo1@;1 E &) 1ordiata t%emea


40/70

1O( Na sli8i %e +ra9 kvadrate 9%e

9F) aF ; F1)F ; F1)

4dredite koe9( a! # i 8

1O( Na sli8i %e +ra9 kvadrate 9%e

9F) aF ; F1)F ; F1)

4dredite koe9( a! # i 8

$j.1( Na sli8i %e +ra9 kvadrate 9%e 4vd%e provedi i$ra*(9F) aF ; Fo)@E


41/70

@'( Na sli8i %e +ra9 kvadrate 9%e 4vd%e provedi i$ra*(9F) aF ; Fo)@;


42/70

B@


43/70


44/70

( Na slikama s +ra9ovi 9%a: fDF 4 92| D| 3 9C gDF 4 2| D 3 1| 3 2C /DF 4 | D 2| C

kDF 4@

1| D| 1. Pridr.i 9% +ra9(

O( Koriste"i se +ra9i*kim postpkom ri%e,i %edad.#: | &F E @| F

BB

Zadatak %e a%lak,e ri%e,iti koriste"i se+ra9ovima dvi% 9%a 9F) | &FE@| +F) F

R%e,e%a s aps8ise to*aka ko%ima se+ra9ovi si%ek(Vidimo da se +ra9ovi e si%ek! $a*i

%edad.#a ema r%e,e%a(


45/70

Eksponenijalnafunkija:

De9( 7kspoe8i%ala 9%a %e 9%a 9F) aF! +d%e %e a po$itiva reali #ro% ra$li*it od 1(

Na$iv 79%a sto+a ,to se vari%a#la po%avl%%e ekspoet

#apomena8Na%va.i%e #a$e 79%e s #ro%evi 1'! @ i e(

10 $#o+ to+a ,to ra*amo dekadskom sstav

2 $#o+ to+a ,to ra*ala ra*a% #iarom sstav

e @(O1@1@ ( ( ( $ato ,to se prirodi sve stvara po eFp( 9%i fDF 4 aeD!

ko% sto+a $ovemo i priroda eFp( 9%a

7Fp( 9%a %e de9iiraa $a svaki reali #ro% F! odoso: Domea podr*%e de9ii8i%e)

eFp( 9%e %e skp reali/ #ro%eva R(Kodomea skp vri%edosti! slika) eFp( 9%e %e skp po$itivi/ reali/ #r(

?RA3 7]P( 9%e 9F) aF

4s aps8isa %e asimptota +ra9a eFp( 9%e 9F) aF[doro upamti ove grafove]

$a a B 19%aje rastuLa( li%eva slika) I$ F1 F@9F1) 9F@)

$a 0 a 19%a %e padajuLa(desa slika) I$ F1 F@9F1) Q 9F@)

?ra9ovi s #a$ama a i 1a simetri*i s s o#$irom a os


46/70

)rikamo grafi5ki neke vanije eksponenijalne fje.

1( 9F) @F @( 9F) 1@)F@;FG

&( 9F) ;@F B( 9F) ;@;F ;1@)F

>(

>0(

>00(

B>

Na sli8i %e prika$a +ra9 9%e 9F) aFE #( Za t 9% %e1) ' a 1 ! # Q '@) a Q 1 ! # Q '&) a ' ! # 'B) a Q 1 ! # ' Sli*i @F; &

Na sli8i %e prika$a +ra9 9%e +F) aFE#( Za t 9% %e1) ' a 1 ! # '@) a Q 1 ! # '&) ' a 1! # Q 'B) a Q 1 ! # ' Sli*i @;F E1 1@)F E1


47/70

Pogaritamska 9%a %e iver$a ekspoe8i%alo% 9%i( Ako %e fDF 4 aDoda %e f1DF 4 logaD

Pog 9%a %e de9iiraa $a svaki reali #ro% F Q '! odoso: Domea podr*%e de9ii8i%e) log9%e %e

skp po$itivi/ reali/ #ro%eva R( KratkoDlo+ RE

Kodomea skp vri%edosti! slika) lo+ 9%e %e skp reali/ #ro%eva(

Ski8ira%te si +ra9ove lo+ 9%e 9F) lo+aF

$a a B 1 i $a 0 a 1

4s ordiata %e asimptota +ra9a lo+ 9%e 9F) lo+aF [doro upamti ove grafove]

4viso o #a$i $a lo+ 9% 9F) lo+aF vri%edi:

1) Za a Q 1 9%a %e rast"a( li%eva slika) I$ F1 F@9F1) 9F@)

Za ' a 1 9%a %e pada%"a( desa slika) I$ F1 F@9F1) Q 9F@)

@) Za%edi*ka lto*ka ovi/ 9%a %e Fo 1( to %e lto*ka 9%e)

Nlto*ka 9%e %e aps8isa to*ke ko%o% +ra9 9%e si%e*e os F(

?ra9ovi s #a$ama ai 1asimetri*i s s o#$irom a os


48/70

)rikamo grafi5kineke vanije logaritamske funkije

1( 9F) lo+ F 10( +F) lF lo+eF 100( /F) lo+@F

Koriste"i se +ore avedeim +ra9ovima prim%etimo da s $a ae B 1,lo+aritmi #ro%eva ve"i/ od

%edii8e po$itivi! a ma%i/ od %edii8e e+ativi( Za #a$e Q 1 lo+ 9%a raste.

&( 9F) ; lo+@F x

@

1lo+ B( 9F) lo+@;F)

Za #a$e i$me= ' i 1 lo+ 9%a pada.

Koriste"i se +ore avedeim li%evim +ra9om prim%etimo da s $a ae imeOu 0 i 1, lo+aritmi

#ro%eva ve"i/ od %edii8e e+ativi! a ma%i/ od %edii8e po$itivi( Za te #a$e lo+ 9%apada.

( 9F) lo+@| F| >( +F) x

@

1lo+

B

( Na sli8i %e +ra9 9%e 9F) lo+aF(

4dredite a(

4da#erimo to*k +ra9a ko%ia i%e a F osi! aima li%epe koordiate( Npr( B!@) pa %evrstimo da 9%(@ lo+aB lo+a@@ @ lo+a@a @


49/70

raf fje kor%eova%a) De9iiraa %e $a sve ee+ative reale #ro%eve.

1( 9F) x @( +F) x

&( /F) ; x &00( /F) ; x

B( 9F) x B0( 9F) ; x

raf raionalne fjefDF 4x

1 De9iiraa %e $a sve reale #ro%eve F '(

Da #ismo %e a8rtali a%#ol%a %e ta#li8a F| ;& | ;@ | ;1 | ;1@ | ;1& | 1& | 1@ | 1 | @ | &9F)|;1& | ;1@ | ;1 | ; @ | ;& | & | @ | 1 | 1@ | 1&

B

Do#ro do#ro pamti ova% +ra9! %er se pomo"%e+a 8rta% svi dal%e avedei(Prim%e"%emo da s o#%e koordiate osi

asimptote +ra9a ove 9%e(

4dredimo #arem trito*ke +ra9a(

'!') 1!1) i B!B)pa a8rtamo +latkkrivl% kao a li%evo%sli8i(


50/70

1. +F) @

1

x 10( /F)

@

1

+x [1F pomakt $a @ deso] [1F pomakt $a @ li%evo]

2. 9F) x

1 @0( +F) ;

@

1

x @00( /F) ;

@

1

+x[1F $r8al%e preko F osi] [1F $r8al%e preko F osi! [1F $r8al%e preko F osi! pa pomakt $a @ deso] pa pomakt $a @ li%evo]

raf fje sinD8De9iiraa %e $a sve reale #ro%eve( Periodi*a %e s periodom @( Zato %e dovol%o

po$avati i ski8irati %e$i +ra9 a iterval ['! @](4me=ea %e t%( sm%e,tea %e tar pr+e ;8 < 8

1F fDF 4 sinDC 2F gDF 4 2 sinDC [2 Q 2] 9F /DF 4 V sinDC [...]

B) 9F) si@FG ) +F) &@si@FGPeriod $a o#%e %e P @@ ( Za*i dovol%o %e a8rtati +ra9ove a iterval ['! ]

'


51/70

>) 9F) &BsiF@)G P @1@) B O) +F) @si>) FG P @>) 1@Do#ro +leda% i o*i ra$like +ra9ovima: I(,iria pr+e! II( lto*ke

Prva ima ,iri ^&B^, a dr+a ^@^( Nlto*ke prve s '! @! B! ((( a dr+e '! >! 1@! (((

) 9F) ; siFG ,to #i +ori sad %e doli ) +F) | siF| sve i$ad osi F

1') 9F) | siF| G 11) +F) ; | siF| sve ispod osi F

?ra9 9%e kosis:'efinirana je a sve realne rojevePeriod @

1) 9F) 8osF @) +F) ; 8osF

$j. &) 9F) | 8osF| ! B( +F) ;| 8osF|

1


52/70

( Koliko ri%e,e%a ima %edad.#a @siF ; 1 ' a iterval [;@! @]R%( Napi,imo %ed( o#lik siF [! pa %e $adatak a%lak,e ri%e,iti koriste"i se +ra9ovima dvi% 9%a9F) siF i +F) [(

>( Koliko ri%e,e%a ima %edad.#a BsiF ; 1 ' a iterval [;@! @]

( Koliko ri%e,e%a ima %edad.#a

|si@F

| 1B)

F@

1'( Koliko ri%e,e%a ima %edad.#a si@F lo+&F

@

Tre#a do#ro +ledatiSa slike *itamo r%(

Zadatak %e a%lak,e ri%e,iti koriste"i se+ra9ovima dvi% 9%a 9F) | si@F| i+F) _)F@

Sa slike *itamo & r%(

Zadatak %e a%lak,e ri%e,iti koriste"i se +ra9ovimadvi% 9%a 9F) si@F i+F) lo+&FSa slike *itamo samo %edo r%(

Zadatak %e a%lak,e ri%e,iti koriste"i se+ra9ovima dvi% 9%a 9F) siF i+F) 1@R%e,e%a s aps8ise to*aka ko%ima se+ra9ovi si%ek( Ne pita% as ko%e s toaps8ise ve" samo koliko i/ ima(Sa slike *itamo B r%e,e%a


53/70

11( Koliko ri%e,e%a ima %edad.#a siF F1'

1@( Koliko ri%e,e%a ima %edad.#a siF @F a iterval [;@! ']

#(PT"I!E U*E:s reali #ro%evi $a ko%e %e vri%edost 9%e %edaka '(Do#ivamo i/ r%e,ava%em %edad.#e 9F) '

1( 4dredi lto*k 9%e 9F) &F ; @ 5ieara %ed( &F;@'! R%( %e F @&

@( 4dredi lto*ke 9%e 9F) F@; 1'F E @1 Kvadrata %ed( F@;1'FE@1'! R%( s [& i O]

&(4dredi lto*ke 9%e 9F) @F@; F E @ Kvadrata %ed( @F@; F E @ ' R%( s [1@ i @]

PR7UZ7T4 IZ M4A MATURA

&

Zadatak %e a%lak,e ri%e,itikoriste"i se +ra9ovima dvi% 9%a9F) si@F i+F) F 1'Sa slike *itamo 1 r%(

Zadatak %e a%lak,e ri%e,iti koriste"ise +ra9ovima dvi% 9%a 9F) siF i+F) @FSa slike *itamo > r%(


54/70

!omplesni rojevi8 $ DE Qi al+e#arski ili op"i prika$ komplekso+ #ro%a

Re$ Im$ Kako %e i=1 to %e aia=

Pote8i%e ima+iare %edii8e: io 1G i1 iG i@ ;1G i& ;iG sve ostale se svode a ove *etiri

di%el%e%em ekspoeta #ro%em B i $apisiva%em pote8i%e s ekspoetom ostatak di%el%e%a(Npr( Koliko %e i@&BO [?leda% dvo$amekasti $avr,etak ekspoeta] iO iB 1B E 1 i1 i

B


55/70

\\

z F ; < > &

1&F >G F >1& ! < B1& 4 >19 3 ;19Fi

( Podi%elite&B

&@

++i

i

i

i

i

i

B&

B&

B&

&@

++

1>

)1@>

++++ i

@

1 i+ i

@

1

@

1+

>( Podi%elitei

i

@

@&

+

i

i

i

i

@

@

@

&@

++

B@

)1B>1'

+++ i

@

11> i+ i

@

1

@

1>+


56/70

O( 4dredite ima+iari dio komplekso+ #ro%ai+

B(

R%(i

i

i

+

B

1@

B@'

++ i

i1&

@

1&

1'+ ( Dakle

1&

@

BIm =

+

i

( Koliko %e i@ E i E i E i11 E i1B E i1O E i@' E i@& E i@> E i@ Na%#ol%e p%e,ke! svaki

ekspoet ve"i od B di%elimo s B i $apis%emo iostatak di%el%e%a(

i@E i1 E io E i& E i@ E i1 E io E i& E i@E i1

;1 E i E 1 ; i ; 1 E i E 1 ; i ; 1 E i 13i

( Koliko %e i iB iO i1' i1& i1> i1 i@@ i@ i@ Na%#ol%e p%e,ke

i io i& i@ i1 io i& i@ i1 io

i 1 ;i) ;1) i 1 ;i) ;1) i 1 i i1 i

1'(I$ra*(

BBB&&&

@@@111

+

ii

ii

@&

1

+

i

ii

1

1

+

i

i

1

1

1

1

+

i

i

i

i

11

@

+ i

;i) ;i& i

Modul kompleksnog roja| $| | FE


57/70

( I$ra*a% | $@@| ako %e $ ( )iB&

1 G | $@@| | $| @@

@@

)B&

1i ;@@ ( )@@1> + ;@@ @@1

>( I$ra*a% | $BB| ako %e $ ( )i&OB

1 G | $BB| ( ( ( 1

$j. )reueto i Moja matura

O( -ro% 1 E i@'11)@$api,ite o#lik a E #i( R%(1 E i@'11)@ 1 E i&)@ 1; i)@ ;@i 0 2i

( -ro% ( )@@'11&1 i+ $api,ite o#lik a E #i( %j. 4 2 3 2i &

( -ro% ;1 E @i)&$api,ite o#lik a E #i( R%( ;1 E @i)& ;1 E >i ; >i@E i&) < 2i

1'( Kompleksa #ro% i

i

@&

&@

+

%edak %e: A ( ; i G 6. iG 2(i

@

&

&

@

G D(i

@

&

&

@

+

11(i

i

+

1

B>%edako %e: A . 1


58/70

0. 4dredi vri%edost #ro%evo+ i$ra$a lo+ 1(O ; lo+ '(1O lo+1(O : '(1O) lo+ 1' 1

1( lo+@lo+&lo+1@)) %edako %e 1'!&!@!!0)

%j. lo+@lo+&lo+1@)) lo+@lo+&lo+&)) lo+@lo+&&) lo+@1 0

@( Ako %e a lo+! # lo+O! oda lo+@B' i$osi

%j.lo+@B' lo+1' O@) lo+1' E lo+ E @lo+O 1 3 a 3 2 @0( Ako %e a lo+@! # lo+&! oda lo+ & 1@ i$osi

R%( lo+ & 1@ 1&)lo+@@ &) 1&@lo+@ E lo+&) 192a 3 F

@00( Ako %e lo+F ! lo+


59/70

$j.a) ( ) xx @&& B@@ = (((([D 4 ;] #) '@O &>@ =+ xxx xxx &> @O @ =+ (((([D14 2, D24 9]

Eksponenijalne nejednade8 "snovne8 A(S #a$om ve"om od 1(

1( @ &F ; Q B : @ &F ; Q &F ; Q 1 D B >

10( B '(BF ; @

@ :B B@

@@

: &lo+@F ; 1) ;@ lo+@@;@F ; 1 _ F 1(@

100( R%e,e%e e%ed( @lo+@F ;&)>1

@%e : F >1!&G F >1!BG F >1!OG D > 1,

%j. P(( @F ; & Q ' F Q &@G %j. @lo+@F ; &)Q @;1lo+@F ; &) Q ;1 lo+1';1

@F ; & Q '(1 @F Q &(1 F Q 1( to $a%edo s P((da%e D B 1.


60/70


61/70

>1


62/70

T%"#"MET%*A ; Pravokto+ trokta

"ipotenuza

katetarotnana ((spsi = G

"ipotenuza

katetaprileeca((8os = G

katetaprileeca

katetarotnanatg

((

((sp=

Vri%edosti tri+( 9%a $a eke ktove i$ I( kvadrata

'>

B

&

@

si ' @

1

@

@

@

& 1

8os

1

@

&

@

@ @

1 '

t+ '

&

& 1 & E

Sis %e neparna9%a t%( si; ) ; si! kosis %e parna9%a t%( 8os; ) 8os

&adai8 1.U pravoktom trokt %eda kateta %e dva pta dl%a od dr+e( Koliki %e ma%i ,il%asti

kt to+ trokta R%( Neka %e a @#! oda %e@

1

@ ===

b

b

a

btg 4 2>o99 @

Koriste"i se ovom ta#li8om lako %e odrediti

vri%edosti svi/ ktova ko%i s vi,ekrati8i ovi/

kao pr( !(((>

11!

>

O!

>

N Ako e ide apamet

!(((B

O!

B

!

B

& a8rta% si tri+oom

!(((&

!&

B!&

@ kr.i8(


63/70

2.U pravoktom trokt /ipote$a %e tri pta dl%a od %ede katete( Koliki %e ,il%asti asprote

katete to+ trokta R%(Neka %e 8 &a! oda %e&

1

&si ===

a

a

c

a 41o2? 1>

9.U pravoktom trokt /ipote$a %e @( pta dl%a od %ede katete( Koliki %e ,il%asti $ t katet

to+ trokta R%( Neka %e 8 @!#! oda %e(@

1

(@8os ===

b

b

c

b 4 >>o2


64/70

%j.@F ;B

B

E kF

B

E

@

k! k Z F1

B

ili F@

B

& 1>( &( @'11(

&0( Ri%e,i %edad.# & t+

&B

x ; 1 a iterval ['! ]( Sl(

%j. t+B

;

&

x)

&

1

&

&

B

;

&

x

>

E k

&

x

B

;

>

E k & F

B

&;

@

E &k

B

E &k! k Z

PR7UZ7T4 IZ M4A MATURA

>B


65/70

>


66/70

MEY(S"6# )"P"-A* )%A$=A )A%A6"PEodre=%emo a dva a*ia(

1( ?ra9i*ki! tako da istom koordiatom sstav a8rtamo i prava8 i para#ol! pa (((

@( Ra*ski! tako da ri%e,imo sstav lieare %ed( prav8a) i kvadrate %ed( para#ole)( Ta% sstav

r%e,ava se tako da se i$ lieare %edad.#e i$ra$i %eda epo$ai8a pomo" dr+e! pa se vrsti kvadrat( Ko%a tada posta%e kvadrata s %edom epo$ai8om( Ako tako do#ivea kvadrata

%edad.#a ema reali/ r%e,e%a! t%( %e$ia diskrimiata D #@; Ba8 %e '! prava8 i para#ola

ema% $a%edi*ki/ to*aka( Ako pak kvadrata %ed( ima %edo realo r%e,e%e! t%( D #@; Ba8 %e

'! prava8 i para#ola ima% %ed to*k $a%edi*k! t%( prava8 dodir%e para#ol tom sl*a% prava8

%e ta+eta para#ole( Ako pak kvadrata %ed( ima dva ra$li*ita reala r%e,e%a! t%( D #@; Ba8 %e Q

'! prava8 i para#ola ima% dvi%e $a%edi*ke to*ke! t%( prava8 si%e*e para#ol dvi%e to*ke tom

sl*a% prava8 %e sekata para#ole(

&adai8 1( 4dredimo me=so#i polo.a% prav8a F E < ; 'i para#ole < ;F@E @F E 1

I( ?ra9i*ki:Vidi slik( Prava8 i para#ola

ema% $a%edi*ki/ to*aka( Vidi sl(

>>

II( Ra*ski:Ri%e,imo sstavF E < ; ' i < ;F@E @F E 1< ; F ; F ;F@E @F E 1 F@;&F E > '

ispit%emo diskrimiatD #@; Ba8D ; @B ;1 '$a*i prava8 i para#ola

ema% $a%edi*ki/ to*aka


67/70


68/70

&a/tjevniji adai

1.No+ometi +olma isp8ava lopt sa $eml%e( Pta%a lopte opisaa %e 9k8i%om

/F) ; '(''F@E '(BF ! +d%e %e / visia lopte i$ad $eml%e ! a F /ori$otala dal%eos od m%esta

isp8ava%a( Veli*ie / i F i$ra.ee s metrima(

a) Na ko%o% %e visii lopta kada %e %e$ia /ori$otala dal%eost od m%esta isp8ava%a @ m

#) 4dredimo a%ve" visi lopte(8) Na ko%o% "e dal%eosti od +ola lopta pasti a $eml% Na8rta%mo ski8(

>

II( Ra*ski:Ri%e,imo sstav

AF E -< E 2 ' i #@F@E a@1'

@@

=+ yx

II( Ra*ski:Ri%e,imo sstav

AF E -< E 2 ' i #@F@; a@


69/70

2.Sred%i 1( red sportske dvorae mo.e primiti B'' +ledatel%a( Svaki pret/odi red prima 1'

+ledatel%a ma%e! a svaki sl%ed#ei 1' +ledatel%a vi,e(

@(1( Koliko redova ima dvoraa 4vd%e se radi o rast"em aritmeti*kom i$(

Ako %e sred%i red 1 oda svi/ redova ima 2.

@(@( Koliko +ledatel%a mo.e primiti prvi red

Po$ati s am poda8i: 1! a1 B'' i d 1'( Tra.i se a1(

I$ a a1E ; 1)d a1 a1; 1Bd B'' ; 1B' 2>0 sjedala

@(&( Koliko %e +ledatel%a dvorai! ako s sva m%esta pop%ea

I$ S @a1E a) @@a1E ; 1)d) S@ @@@ @>' E @ 1') 11 >00 gladatelja.

@(B( Sve*aa lo.a mo.e primiti O +ledatel%a! a sm%e,tea %e tar podr*%a od

( do 1'( reda( Svaki %e$i red po*ev,i od a%i.e+ ima dva s%edala vi,e od

pret/odo+( Koliko %e s%edala 1( red lo.e

Po$ati s am poda8i >! S> O! d @( Tra.i se a1(

I$ S @@a1E ; 1)d O &@a1E @) >a1E &' >a1 O ; &' a14 ?

9. Trka*i: Prvi trka* prolaskom kro$ 8il% do#iva a+rad od B'' k! a svaki

sl%ede"i @' k ma%e(

&(1( Kolik a+rad %e do#io deseti trka* 4vd%e se radi o pada%"em aritmeti*kom i$(

Po$ati s am poda8i: a1 B '' i d ; @' ( Tra.i se a1'(

I$ a a1E ; 1)d a1' a1; d B '' ; @@' 2 2

R%( a) /@) ;'(''' @@E '(B @ >(Om

#)


70/70

skripta iz mat b razina

Documents