skripta iz modela

Download Skripta iz modela

Post on 14-Apr-2018

256 views

Category:

Documents

4 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • 7/30/2019 Skripta iz modela

    1/64

    Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662

    1

    Ispitna pitanja

    1. Definisati opti oblik funkcije tranje i funkcije tranje u uem smislu;2. Definisati i objasniti uslov normalnosti funkcije tranje;3. Formulisati normalne jednaine za odreivanje parametara linearne funkcije

    tranje;4. Definisati koeficijent lune elastinosti i koeficijent elastinosti u taki;5. Osnovne karakteristike elastinosti;6. Dokazati da je koeficijent elastinosti stepene funkcije tranje konstantan;7. Formulisati i objasniti koeficijente parcijalne elastinosti tranje;8. Definisati funkciju ponude i objasniti uslov normalnosti funkcije ponude;9. Analitiki i grafiki predstaviti parcijalni pristup analizi trine ravnotee:10.Analitiki definisati funkciju ukupnog prihoda;11.Definisati marginalni (granini) prihod i uspostaviti zavisnost ukupnog i

    graninog prihoda;12.Dokazati i objasniti Amoroso-Robinsonovu relaciju;13.Analitiki i grafiki definisati funkciju ukupnih trokova;14.Definisati funkciju prosenih trokova i odrediti interval opadajuih prosenih

    trokova;15.Definisati funkciju graninih (marginalnih) trokova i grafiki i analitiki

    predstaviti odnos prosenih i graninih trokova;16.Definisati i objasniti elastinost ukupnih i prosenih trokova;17.Analitiki i grafiki definisati i objasniti interval rentabiliteta i optimalan nivo

    proizvodnje;

    18.Osnovna struktura redova ekanja;19.Klasifikacija redova ekanja;20.Tokovi dogaaja;21.Poasonov tok dogaaja;22.Raspodela verovatnoa izmeu dva dolaska;23.Raspodela verovatnoa vremena usluivanja;24.Procesi raanja i umiranja;25.Otvoreni jednokanalni model redova ekanja;26.Analiza trokova za jednokanalni otvoreni model redova ekanja;27.Trokovi zaliha;28.Model zaliha sa konstantnom tranjom i fiksnim vremenskim periodom;29.Osnovne pretpostavke modela sa konstantnom tranjom i fiksnim vremenskim

    periodom;

    30.Odreivanje funkcije ukupnih trokova za model zaliha sa konstantnomtranjom i fiksnim vremenskim periodom;

    31.Optimizacija trokova za model zaliha sa konstantnom tranjom i fiksnimvremenskim periodomanalitika interpretacija;

    32.Optimizacija trokova za model zaliha sa deterministikom tranjom i fiksnimvremenskim periodomgrafika interpretacija;

    33.Proirenje osnovnog modela zaliha sa konstantnom tranjom analitikainterpretacija;

    34.Proirenje osnovnog modela zaliha sa deterministikom tranjom grafikainterpretacija;

    35.Model zaliha sa konstantnom tranjom i hitnim nabavkama;36.Osnovne pretpostavke modela zaliha sa hitnim nabavkama;37.Odreivanje funkcije ukupnih trokova za model sa hitnim nabavkama;

  • 7/30/2019 Skripta iz modela

    2/64

  • 7/30/2019 Skripta iz modela

    3/64

    Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662

    3

    71.Odnos donje i gornje granice vrednosti matrine igre dokazati i objasniti;72.Metodi reavanjamatrinih igara analitiki i grafiki;73.Redukcija matrice plaanja dominantna i dominirana strategija;74.Matrine igre i linearno programiranje;75.Analiza strukture u mrenom planiranju;76.Mreni dijagram i njegovi osnovni elementi;77.Osnovna pravila konstrukcije mrenog dijagrama;78.Meusobni odnosi aktivnosti;79.Postupak konstrukcije mrenog dijagrama (objasniti na proizvoljno izabranom

    primeru);

    80.Numerisanje mrenog dijagrama Fulkersonov algoritam;81.Primena Fulkersonovog algoritma na proizvoljno odabranom primeru;82.Odreivanje najranije mogueg i najkasnije dozvoljenog vremena realizacije

    dogaaja primenom metoda CPM;83.Vremenske rezerve u deterministikom mrenom modelu;84.Vremenski parametri stohastikog mrenog modela;85.Kritine aktivnosti i kritian put u stohastikom mrenom modelu;86.Odreivanje verovatnoa u stohastikom mrenom modelu;87.Analiza trokova aktivnosti;88.PERT/TROKOVI (PERT/COST) metoda89.Objasniti primenu PERT/COSTmetoda na proizvoljno odabranom primeru;90.Analiza trokova projekta i formiranje matematikog modela;91.Osnovne karakteristike metoda dinamikog programiranja i Belmanov princip

    optimalnosti;

    92.Odreivanje najkraeg puta u neorijentisanoj mrei primenom metodadinamikog programiranja;

    93.Odreivanje najkraeg i najdueg puta u orijentisanoj mrei izmeu dvazadata vora;

    94.Raspodela ogranienih resursa primenom metoda dinamikog programiranja;95.Definisati i objasniti vektor S i matricu P u modelu za prognoziranje

    opredeljenja potroaa;96.Markovljev modelosnovne pretpostavke i formulacije modela;97.Definisati i objasniti stabilno-ravnoteno stanje Markovljevog modela;98.Markovljev model za prognoziranje opredeljenja potroaa;99.Markovljev model za odreivanje konanog stanja potraivanja u preduzeu;100.Definisati i objasniti fundametalnu matricu F i matricu K u modelu za

    odreivanje konanog stanja potraivanja u preduzeu;

  • 7/30/2019 Skripta iz modela

    4/64

    Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662

    4

    O D G O V O R I

    1. Definisati opti oblik funkcije tranje i funkcije tranje u uem smislu;Tranja koliina robe koju su kupci spremni da kupe u odreenom vremenu.

    Opti oblik funkcije tranje moe se izraziti u vidu ),,,,( mnDppgq jii iq tranja za i-tim proizvodom

    ip cena i-tog proizvoda

    jp cena ostalih proizvoda

    D dohodak potroaan ukus potroaam broj potroaa

    Funkciju tranje u uem smislu moemo predstaviti u obliku )(pfq -

    Maralova funkcija tranje.

    Ovakav oblik funkcije tranje izraava funkcionalnu zavisnost kretanja tranjeza nekom robom samo od cene te robe. Ispitivanje kretanja ovakvog oblika

    funkcije tranje podrazumeva zadovoljenje sledeih pretpostavki:

    - nepromenjenost ostalih determinanti tranje

    -postojanje savrene konkurencije na tritu

    -puna informisanostpotroaa o ceni i kvalitetu robe

    -homogenost posmatrane robe

    2. Definisati i objasniti uslov normalnosti funkcije tranje;Funkcija tranje mora ispunjavati uslov normalnosti. Prema uslovu

    normalnosti tranje kretanje tranje i cene je divergentno, odnosno poveanjecene posmatrane robe izaziva smanjenje tranje i obrnuto. Ovaj zahtev se

    izraava zahtevom za negativnom vrednou prvog izvoda funkcije tranje, to

    znai da funkcija tranje mora ispuniti uslov prema kome je 0

    p

    q

    Osim uslova normalnosti, odabrani matematiki oblik funkcije tranje mora

    zadovoljiti i ekonomske uslove 0,0 qp tj. zavisna i nezavisna

    promenljiva moraju biti nenegativne.

    3. Formulisati normalne jednaine za odreivanje parametara linearne funkcijetranje;

    Da bi odredili eksplicitan oblik funkcije tranje koja najbolje aproksimira

    zavisnost tranje od cene potrebno je na osnovu empirijskih podataka odrediti

    parametre odabrane funkcije. Parametre (a,b,c,...) najee odreujemo

    korienjem metoda najmanjih kvadrata. Prema ovom metodu odabrana

    funkcija mora zadovoljiti uslov da zbir kvadrata vertikalnih odstupanja

    empirijskih vrednosti tranjeod odgovarajuih vrednosti na krivoj mora biti

    minimalan

    n

    i

    ii qq1

    2min)( ,

    gde je iq i ta vrednost iz tabele od n parova, a

    iq

    odgovarajua vrednostna krivoj funkcije.

  • 7/30/2019 Skripta iz modela

    5/64

    Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662

    5

    Za linearni oblik tranje

    0,0 babapq

    uslov najmanjih kvadrata moemo predstaviti u obliku

    min)(),(1

    2

    n

    i

    ii bapqbaF .

    Minimizacija vrednosti ),( baF zavisi od parametara a i b, to se izraava

    kroz uslov da funkcija ),( baF ima prve parcijalne izvode jednake nuli:

    0,0

    b

    F

    a

    F,

    na osnovu ega dobijamo

    n

    i

    ii

    n

    i

    iii

    bapqb

    F

    pbapqa

    F

    1

    1

    0)1)((2

    0))((2

    ,

    odakle dobijamo tzv. normalne jednaine za odreivanje parametara:

    n

    i

    i

    n

    i

    i

    n

    i

    ii

    n

    i

    i

    n

    i

    i

    pbpaqp

    nbpaq

    11

    2

    1

    11,

    odakle su reenje po a i b:

    n

    paq

    b

    ppn

    qpqpn

    a

    n

    i

    i

    n

    i

    i

    n

    ii

    n

    ii

    n

    i

    i

    n

    i

    i

    n

    i

    ii

    112

    11

    2

    111 ,

    )(

    4. Definisati koeficijent lune elastinosti i koeficijent elastinosti u taki;Elastinost tranje koja pokazuje odnos relativne promene tranje i relativne

    promene cene, izraava se preko koeficijenta elastinosti tranje. Ovaj

    koeficijent se moe odrediti na dva naina:1. Koeficijent lune elastinosti

    2. Koeficijent elastinosti u taki1. Koeficijent lune elastinosti izraunava se za unapred poznate intervale

    kretanja cene i odgovarajuih iznosa tranje. Ukoliko raspolaemo sa tabelompodataka o kretanju cene nekog proizvoda i odgovarajuih iznosa tranje,

    tada elastinost tranje u intervalu (i-1,i) utvrujemo na sledei nain:Relativni prirataj tranje odreujemo iz kolinika apsolutnog prirataja

    tranje i njene poetne vrednosti:

    ,1

    i

    ig

    q

    qr gde je

    1 iii qqq ,

    a relativna promena cene je

    ,1

    i

    ip

    p

    pr gde je

    1 iii ppp .

    Koeficijent elastinosti tranje za ovako utvreni interval kretanja cene itranje odreujemo u vidu negativne vrednosti kolinika njihovih relativnih

  • 7/30/2019 Skripta iz modela

    6/64

    Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662

    6

    promena. tj.:

    )(

    )(

    11

    11

    1

    1

    iii

    iii

    i

    i

    i

    i

    p

    q

    ppq

    qqp

    p

    p

    q

    q

    r

    r

    U izrazu za koeficijent elastinosti negativni predznak je uzet zbog

    divergentnog kretanja cene i tranje. Na taj nain obezbeuje se da je

    koeficijent elastinosti tranje uvek pozitivna vrednost. pokazuje za koliko e

    se procenata promeniti tranja za posmatranim proizvodom ukoliko se cena

    promeni za 1%.

    2. Koeficijent elastinosti u taki pokazuje odnos relativne promene tranje i

    relativne promene cene za infinitezimalno malu promenu tih veliina. On se

    odreuje u vidu granine vrednosti kolinika relativne promene tranje i

    relativne promene cene kada 0p tj.

    ,limlim00 p

    q

    q

    p

    p

    p

    q

    q

    pp

    odnosno .lim0 p

    q

    q

    p

    p

    Kako je ,lim0 dp

    dq

    q

    p

    dp

    dq

    p

    q

    p

    gde je znak minus uzet zbog inverznog

    kretanja cene i tranje.

    5. Osnovne karakteristike elastinostiU zavisnosti od vrednosti koeficijenta elastinosti tranje za nekim

    proizvodom za odreenu cenu moemo imati razliite karakteristike

    elastinosti, odnosno:

    a) 1 tranja je neelastina, tj. promeni cene za 1% odgovara promena

    tranje za manje od 1%;

    b) 1 tranja je jedinino elastina, tj. promeni cene za 1% odgovara

    promena tranje za 1%;

    c) 1 tranja je elastina, tj. promena cene od 1% dovodi do promene

    tranje za vie od 1%;

    d) 0 tranja je savreno neelastina.

    6. Dokazati da je koeficijent elastinosti stepene funkcije tranje konstantanU sluaju stepenog oblika funkcije tranje vrednost koeficijenta elastinosti

    tranje ne zavisi od vrednosti cene, tj. konstantno je jer:

    .'1

    bbapap

    pq

    q

    p

    apq

    b

    b

    b

    Dakle koeficijent elastinosti tranje stepene funkcije tranje bapq je

    konstantan i jednak negativnoj vrednosti parametra izloioca b.

  • 7/30/2019 Skripta iz modela

    7/64

    Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662

    7

    7. Formulisati i objasniti koeficijente parcijalne elastinosti tranjeParcijalna elastinost tranje se koristi kada je odnose tranje i trine

    zavisnosti dva ili vie proizvoda mogue izraziti preko odgovarajueg sistema

    funkcija tranje. Parcijalnu elastinost tranje pokazaemo za sluaj u kome

    postoji meusobna zavisnost kretanja tranje i cene dva proizvoda. Ovajodnos predstaviemo sistemom funkcija tranje oblika:

    ),(

    ),(

    2122

    2111

    ppfq

    ppfq

    gde su 21

    , qq tranje posmatranih proizvoda, a 21

    , pp njihove cene.

    Koeficijent parcijalne elastinosti tranje je:

    j

    i

    i

    j

    ijp

    q

    q

    p

    .

    Ukoliko je ji imamo takozvani koeficijent direktne parcijalne elastinosti

    koji se uzima sa negativnim predznakom.Za ji imamo tzv. koeficijent ukrtene parcijalne elastinosti ija vrednost

    moe biti pozitivna i negativna. Pozitivna vrednost pokazuje da su proizvodi

    supstituti, a negativna da su proizvodi komplementarni.

    8. Definisati funkciju ponude i objasniti uslov normalnosti funkcije ponudePonuda nekog proizvoda zavisi od cene tog proizvoda, cene drugih proizvoda,

    cene sirovina i poluproizvoda, dohotka potroaa. Kao i kod funkcije tranje i

    kod funkcije ponude cena je odluujua determinanta koliine ponude, pa

    stoga funkcija ponude e biti: ).(pfr

    Uslov normalnosti je 0

    p

    r, a osim uslova normalnosti postoje i ekonomski

    uslovi 0r i 0p .

    Ponuda nekog proizvoda raste kada raste njegova cena, jer funkcija ponude

    ima rastui karakter.

    Tako na primer linearna funkcija bapr moe predstavljati funkciju

    ponude samo ako je bapar ,0,0 .

    Cena za koju se ostvaruje jednakost tranje i ponude predstavlja ravnotenu

    cenu posmatranog proizvoda.

    9. Analitiki i grafiki predstaviti parcijalni pristup analizi trine ravnoteeZbog suprotnog kretanja tranje i ponude, njihove funkcije se moraju sei u

    odreenoj taki, tj. tranja i ponuda se moraju izjednaiti za odreenu cenu.

    Cena za koju se ostvaruje jednakost ponude i tranje predstavlja ravnotenu

    cenu.

  • 7/30/2019 Skripta iz modela

    8/64

    Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662

    8

    10.Analitiki definisati funkciju ukupnog prihodaUkupan prihod se utvruje iz proizvoda prodate koliine robe i cene tog

    proizvoda: pqR odnosno )(pfpR .

    R ukupan prihodp cena

    )(pf funkcija tranje.

    Kako za svaku funkciju tranje moemo odrediti odgovarajuu inverznu

    funkciju oblika )(qgp , ukupan prihod moemo izraziti u obliku funkcije

    oblika tranje, tj. )(qgqR .

    11.Definisati marginalni (granini) prihod i uspostaviti zavisnost ukupnog igraninog prihoda

    Granini (marginalni) prihodi, koji pokazuju iznos prirataja ukupnog

    prihoda do koga dolazi pri poveanju cene posmatranog proizvoda za jednu

    jedinicu, ispituju se i iskazuju perko funkcije graninog prihoda . Funkciju

    graninog prihoda (R) izraavamo u obliku izvoda funkcije ukupnog prihoda:

    dq

    dRRqfqR

    dp

    dRRpfpR

    ')(

    ')(

    Utvrivanjem znaka prvog izvoda moemo da utvrdimo promenu ukupnog

    prihoda koja je izazvana promenom cene. Tako imamo da:

    1) 0dp

    dRukupan prihod raste sa porastom cene

    2) 0dp

    dRispituje se ekstremna vrednost (max) ukupnog prihoda

    3) 0dpdR ukupan prihod opada sa porastom cene.

    Ravnotena cenarP je cena za koju

    je rrr QPrPq )()( . Ovo je stabilna

    cena za koju se ostvaruje stabilnost

    trita. Ukoliko je cena na tritumanja od ravnotee rPP 1 , onda je

    rq za veliinu AB. U tom sluajukupci su spremni da prihvate veucenu da bi doli do proizvoda.Suprotno, ako je ,

    2 rPP onda je

    rq , pa tada proizvoai nee moida prodaju svoj proizvod po toj ceni,

    pa obaraju cenu i to dovodi do cene

    za koju je rq .

  • 7/30/2019 Skripta iz modela

    9/64

    Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662

    9

    12.Dokazati i objasniti Amoroso-Robinsonovu relacijuNa osnovu relacije )(pfpR imamo da je )(')( pfppf

    dp

    dR , odnosno

    )(')(

    1)( pfpfppf

    dpdR . Kako je

    1)()(')(

    pfdp

    dRpf

    pf

    p.

    Dobijena relacija koja slui za uspostavljanje veze izmeu graninog prihoda

    (R) i elastinosti tranje )( , predstavlja tzv. Amoroso-Robinsonovu relaciju,

    na osnovu koje moemo zakljuiti sledee:

    a) ,01 dp

    dR to znai da sa porastom cene raste i ukupan prihod

    b) ,01 dp

    dR

    to znai da se u uslovima jedinine elastinosti ostvaruje

    maksimalan ukupan prihod

    c) ,01 dp

    dR to znai da sa porastom cene ukupan prihod opada.

    13.Analitiki i grafiki definisati funkciju ukupnih trokovaUkupni trokovi prevashodno zavise od obima proizvodnje (q). Ukupne

    trokove moemo izraziti u obliku C=f(q). Funkcija trokova je monotono

    rastua, neprekidna i diferencijabilna.

    Ukupni trokovi se dele na varijabilne i fiksne, pri emu varijabilni trokovipredstavljaju funkciju obima proizvodnje, dok su fiksni trokovi konstantni.

    Funkcija ukupnih trokova je: fqC )( , gde su )(q varijabilni

    trokovi, a f fiksni trokovi.

    14.Definisati funkciju prosenih trokova i odrediti interval opadajuih prosenihtrokova

    Kako prosene trokove odreujemo deljenjem ukupnih trokova sa obimom

    - Fiksni trokovi su prikazanihorizontalnom pravom f

    - Kriva ukupnih trokova polazi iztake preseka prave f sa ordinatom,na osnovu ega je oigledno da je

    ,)0( fC tj. da fiksni trokovipostoje i kad je .0q

  • 7/30/2019 Skripta iz modela

    10/64

    Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662

    10

    proizvodnje, tako na osnovu funkcije ukupnih trokova moemo odrediti

    funkciju prosenih trokova. Funkcija prosenih trokova je:

    q

    qF

    q

    CC

    )(

    Zbog podele ukupnih trokova na varijabilne i fiksne, proseni trokovi do

    odreenog nivoa opadaju, a zatim rastu. Zbog toga je za proizvoaa veoma

    interesantno utvrditi te intervale u kretanju prosenih trokova, odnosno

    utvrditi nivo proizvodnje za koji se ostvaruju minimalni proseni trokovi.

    Obim proizvodnje za koji se ostvaruju minimalni proseni trokoviodreujemo iz uslova za ostvarivanje minimuma funkcije, tj. na osnovu

    q

    qFC

    )( , imamo da je 0

    )()(''

    2

    q

    qFqqFC , dakle proseni trokovi su

    minimalni za)('

    )(

    qF

    qFq .

    Interval opadajuih prosenih trokova odreen je granicama kretanja obima

    proizvodnje)('

    )(0

    qF

    qFq .

    Za ovaj iznos je zadovoljen i dovoljan uslov za minimizaciju funkcije C, jer je

    drugi izvod pozitivan .02

    2

    dq

    Cd

    15.Definisati funkciju graninih (marginalnih) trokova i grafiki i analitikipredstaviti odnos prosenih i graninih trokova

    Funkcija graninih trokova odreuje se kao prvi izvod funkcije ukupnih

    trokova, pod uslovom da je funkcija ukupnih trokova diferencijabilna u

    posmatranom intervalu kretanja obima proizvodnje. Tako za )(qFC

    funkcija graninih trokova je ).('' qFC Ova funkcija pokazuje iznospromene ukupnih trokova do koje dolazi usled jedinine promene obima

    proizvodnje sa datog nivoa.

    Obim proizvodnje za koji se ostvaruju minimalni proseni trokovi moemo

    odrediti na osnovu relacije ,)('

    )(

    qF

    qFq odnosno minimizacija prosenih

    trokova se ostvaruje na nivou proizvodnje koji je jednak koliniku ukupnih i

    graninih trokova. Za takav obim proizvodnje vai ,)(

    )('q

    qFqF to znai

    da se za obim proizvodnje za koji su C minimalni ostvaruje jednakost

    graninih i prosenih trokova. Ovaj obim predstavlja granicu izmeurelativno niskih i relativno visokih graninih trokova. Na osnovu tog odnosa

  • 7/30/2019 Skripta iz modela

    11/64

    Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662

    11

    moemo izvesti sledei vaan zakjuak:

    a) ako je CC' , granini trokovi su relativno niski, tj. poveanje q dovodi

    do smanjenja C

    b) ako je CC' , proseni trokovi su minimalni

    c) ako je CC' , granini trokovi su relativno visoki, tj. poveanje q dovodido poveanja C.

    16.Definisati i objasniti elastinost ukupnih i prosenih trokovaElastinost ukupnih trokova je odnos relativne promene ukupnih trokova i

    relativne promene obima proizvodnje sa datog nivoa u oblikuq

    q

    C

    C

    ,

    odnosnodq

    dC

    C

    q

    q

    C

    C

    q

    .

    Granina vrednost ovog izraza kada 0q predstavlja koeficijent

    elastinosti ukupnih trokova:

    'lim0

    CC

    q

    q

    C

    C

    q

    qC

    .

    Ovaj koeficijent pokazuje za koliko procenata e se poveati C ukoliko se q

    povea za 1%.

    Elastinost prosenih trokova je 'CC

    qC

    , ijim se odreivanjem utvruje

    relativna promena C, do koje dolazi usled promene q za 1%. VrednostC

    moe bitipozitivna, negativna i jednaka nuli.Negativna je kad imamo

    divergentan odnos Ci q, a pozitivna kad sa poveanjem q Crastu.

    Izmeu C i C postoji zavisnost. Iz elastinosti C imamo 'CC

    qC

    ,

    odnosno 11'''

    2

    2

    CC CC

    q

    C

    CqC

    q

    CqC

    C

    q

    q

    C

    q

    C

    q .

    Dakle, 1 CC , pa izraunavanjem bilo kojeg koeficijenta elastinosti

    moemo utvrditi i njemu odgovarajui koeficijent.

    17.Analitiki i grafiki definisati i objasniti interval rentabiliteta i optimalan nivoproizvodnje

    Rentabilna je ona proizvodnja za koju je 0 , odnosno R>C, pri emu su

  • 7/30/2019 Skripta iz modela

    12/64

    Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662

    12

    granice intervala proizvodnje odreene jednakou R=C. Granice intervala

    rentabiliteta odreene su nulama funkcije profita, tj. takama u kojima se seku

    krive R i C. Optimalni nivo proizvodnje se odreuje iz uslova 0' , odakle je'' CR , tj. optimalan nivo proizvodnje je onaj za koji su tangente krivih R i C

    paralelne. Interval rentabiliteta se ostvaruje za21 qqq , pri emu je

    optimalan nivo proizvodnje0q . U intervalu 01 qqq imamo da je '' CR ,

    a u intervalu20

    qqq , da je '' CR . U intervalu1

    0 qq i2

    qq ,

    proizvodnja je nerentabilna, tj. ostvaruje se gubitak.

    40.Definisati opti oblik modela matematikog programiranja ta predstavljaskup dopustivih reenja, a ta optimalno reenje zadatka

    Opti oblik modela matematikog programiranja moemo predstaviti u obliku

    zahteva za odreivanjem vrednosti promenljivih nxxx ,...,, 21 koje

    zadovoljavaju m nejednaina i jednaina oblika:

    ini bxxxg ,,),...,,( 21 sistem ogranienjai za koje se ostvaruje max ili min vrednost funkcije:

    ),...,,(21 nxxxfz funkcija cilja.

    Ukoliko sistem ogranienja i funkciju cilja predstavimo u razvijenom obliku,

    model matematikog programiranja je:

    mnmm

    n

    n

    n

    bxxxgxg

    bxxxgxg

    bxxxgxg

    xxxfz

    ),...,,()(

    ),...,,()(

    ),...,,()(

    ),...,,((max)

    21

    22122

    12111

    21

    uz pretpostavku za odreivanje max. vrednosti funkcije cilja z, u uslovimakada su sva ogranienja predstavljena nejednainama sa znakom .Sve vrednosti promenljivih ),...,,(

    21 nxxxx za koje su zadovoljene sve

    nejednaine sistema ogranienja obrazuju tzv. skup dopustivih ili moguih

    reenja. Cilj reavanja zadatka matematikog programiranja jeste

    odreivanje one kombinacije vrednosti promenljivih iz skupa moguih reenja

    za koje funkcija cilja ostvaruje ekstremnu vrednost. Takvo reenje koje

    obeleavamo sa ),,...,,( **2

    *

    1

    *

    nxxxx predstavlja optimalno reenje zadatka

    matematikog programiranja.

  • 7/30/2019 Skripta iz modela

    13/64

    Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662

    13

    41.Definisati i objasniti osnovne pretpostavke modela linearnog programiranjaPretpostavke koje moraju biti zadovoljene da bi odreeni model predstavljao

    model linearnog programiranja su:

    1) Linearnostpodrazumeva postojanje linearnih zavisnosti izmeu

    promenljivih u zadatku linearnog programiranja. Ova pretpostavka jezadovoljena tako to su funkcija cilja i sistemi ogranienja izraeni linearnim

    funkcijama u modelu linearnog programiranja. Kao posledica linearnosti u

    modelu linearnog programiranja zadovoljene su dve pretpostavke:

    a) proporcionalnost- podrazumeva postojanje proporcionalnog odnosa inputa

    i outputa u modelu linearnog programiranja

    b) aditivnost- podrazumeva da se ukupna vrednost funkcije cilja i pojedinih

    ogranienja moe dobiti kao zbir vrednosti pojedinih aktivnosti koje

    predstavljaju sastavne elemente linearnog programiranja.

    2) izvesnostsvi parametri modela su unapred jednoznano odreeni, to

    znai da su koeficijenti funkcije cilja i sistema ogranienja deterministiki

    odreeni i ne menjaju se u toku reavanja3) deljivostpodrazumeva da promenljive u modelu ne moraju biti celibrojevi ve mogu biti izraene i u obliku decimalnih brojeva

    4) nenegativnostuslov nenegativnosti promenljivih predstavlja jednu odosnovnih pretpostavki modela. Ova pretpostavka ima svoj metodoloki i

    ekonomski znaaj. Metodoloki kako je opti algoritam reavanja modela

    (simpleks metod), to je za njegovu primenu neophodno zadovoljenje uslova

    nenegativnosti. Ekonomskikako promenljive u modelu predstavljaju

    ekonomske veliine one ne mogu biti negativne.

    42.Definisati standardni problem maksimuma zadatka linearnog programiranjaglavni elementi i karakteristike standardnog problema

    Standardni problem max je takav oblik modela linearnog programiranja u

    kome se postavlja zahtev za odreivanjem max vrednosti unapred poznate

    funkcije cilja, pod uslovima koji su predstavljeni sistemom nejednaina sa

    znakom . Zadatak standardnog problema max predstavljamo na sledeinain:

    0,...,,

    ...

    ...

    ...

    ...(max)

    21

    2211

    22222121

    11212111

    2211

    p

    mpmpmm

    pp

    pp

    pp

    xxx

    bxaxaxa

    bxaxaxa

    bxaxaxa

    xcxcxcz

    Osnovni elementi modela:

    a) funkcija ciljaizraava osnovni cilj koji se unapred definie i radi koga se

    formulie i reava odgovarajui model linearnog programiranja. Kao cilj se

    moe postaviti maksimizacija ukupnog profita, maksimizacija deviznih efekata

    i maksimalni stepen zaposlenosti i sl.

    b) sistem ogranienja izraava uslove i nain korienja ogranienih

    resursa, iji je iznos izraen slobodnim lanovima sistema ogranienja, tj.

  • 7/30/2019 Skripta iz modela

    14/64

  • 7/30/2019 Skripta iz modela

    15/64

    Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662

    15

    43.Opte osobine reenja linearnog programiranja dokazati i objasnitiSve vrednosti promenljivih za koje su zadovoljene nejednaine (jednaine)

    sistema ogranienja predstavljaju tzv. mogua reenja, odnosno obrazuju skupmoguih reenja. Kako su ograniavajui uslovi standardnog problema max

    dati u obliku nejednaina sa znakom , odnosno u kanoninom obliku u vidujednaina, skup moguih reenja je ogranien i zatvoren skup. Skup moguih

    reenja moe biti prazan skup u sluaju kada su postavljeni uslovi

    kontradiktorni, odnosno kada ne postoji ni jedna taka ),...,,(21 nxxxx za

    koju su zadovoljeni svi uslovi zadatka.

    Teorema 1: Skup moguih reenja zadatka linearnog programiranja je

    konveksan skup.

    Dokaz: Da bi dokazali tvrenje nae teoreme, potrebno je da pokaemo da

    konveksna kombinacija svaka dva mogua reenja predstavlja mogue

    reenje. Zbog toga uzmimo da ),...,,(' ''2'

    1 nxxxx i

    ),...,,("""

    2

    "

    1 nxxxx predstavljaju mogua reenja problema na osnovu ega je

    bAx ' i bAx " "'

    )1( xxx , 10

    bbbb

    AxAxAxAxAxxxAAx

    ""'"'"' )1(])1([

    na osnovu ega vidimo da sve konveksne kombinacije moguih reenja takoe

    predstavljajku mogua reenja. Prema tome, skup moguih reenja je

    konveksan, to je trebalo i dokazati.

    Bazino mogue reenje ),...,,( **2

    *

    1

    *

    nxxxx predstavlja optimalno reenje

    zadatka standardnog problema max ukoliko imamo da je )()('* xzxz za

    bilo kojke mogue reenje 'x .

    Teorema 2: Optimalno reenje zadatka linearnog programiranja nalazi se u

    ekstremnoj taki konveksnog skupa moguih reenja.

    Dokaz:Kako je skup moguih reenja konveksan i ogranien skup postojikonaan broj (k) ekstremnih taaka, koje emo oznaiti sa

    kxxx ,...,,

    21. Neka

    je*

    x taka za koju funkcija cilja ostvaruje max, odnosno za koju imamo da je

    )()(* xzxz za svako mogue reenje x. Ako je *x ekstremna taka

    konveksnog skupa moguih reenja teorema je dokazana.

    Pretpostavimo da*

    x nije ekstremna taka skupa moguih reenja. Tada taku*

    x moemo izraziti kao konveksnu kombinaciju skupa ekstremnih taaka,

    tj. 0...2211* ikkxxxx i 1

    1

    k

    i

    i , i=(1,,k)

    )(...)()()...()( 22112211*

    kkkk xzxzxzxxxzxz

    Ako u poslednjoj jednaini izaberemo taku za koju funkcija z ostvaruje max

    vrednost, npr. kx , tada moemo pisati

    )()(...)()()(...)()(*

    221121 xzxzxzxzxzxzxz kkkkkk

  • 7/30/2019 Skripta iz modela

    16/64

    Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662

    16

    Kako je 0i i 1i )()()...()(...)()( 2121 kkkkkkk xzxzxzxzxz , tj.

    )()(*xzxz k , to je trebalo i dokazati.

    44.Simpleks metodizvesti simpleks kriterijum za ulazak vektora Aj u bazuSimpleks metod predstavlja opti algoritam koji se koristi za reavanje svih

    oblika zadatka linearnog programiranja. On predstavlja algoritam u kome se

    u nizu iteracija dolazi do optimalnog reenja. Simpleks metod obezbeuje

    najkrai put do optimalnogreenja.

    Da bi objasnili sutinu simpleks metoda i nain izraunavanja optimalnog

    reenja, izraziemo model u matrinom obliku:

    Funkcija cilja:

    mp

    mp

    x

    x

    cccz

    1

    21),...,,(

    Sistem ogranienja:

    mmpmpmm

    p

    p

    p

    b

    b

    b

    x

    x

    x

    aaa

    aaa

    aaa

    AAA

    2

    1

    2

    1

    21

    22221

    11211

    21

    100

    010

    001

    0,,, 21 mpxxx

    gde pojedine kolone matrica koeficijenata sistema ogranienja predstavljaju

    tzv. vektore aktivnosti, koje moemo predstaviti u sledeem obliku:

    1

    0

    0

    ,,,,,2

    1

    2

    22

    12

    2

    1

    21

    11

    1

    mp

    mp

    p

    p

    p

    mm

    A

    a

    a

    a

    A

    a

    a

    a

    A

    a

    a

    a

    A , odnosno

    mj

    j

    j

    j

    a

    a

    a

    A

    2

    1

    , kao i

    mb

    b

    b

    b

    2

    1

    mpx

    x

    x

    X

    2

    1

    .

    i ukoliko koeficijente funkcije cilja izrazimo u obliku vektora

    ),,...,( 21 mpcccc problem se moe izraziti u kanonikom obliku:

    0

    (max)

    x

    bAX

    Xcz

  • 7/30/2019 Skripta iz modela

    17/64

    Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662

    17

    odnosno

    ),...,2,1(0

    (max)

    1

    1

    mpjxbxA

    xcz

    j

    mp

    j

    jj

    mp

    j

    jj

    Postupak odreivanja optimalnog reenja problema zapoinjemoodreivanjem tzv. poetnog bazinog reenja. Ono se odreuje tako to se

    pretpostavlja da su sve realne promenljive jednake nuli, a dodatne

    promenljive jednake slobodnim lanovima sistema ogranienja, t.j.

    0jx za pj ,...,1

    iip bx za mi ,...,1 a funkcija cilja .0z

    Znai:vektorsku bazu na osnovu koje se utvruje poetno bazino reenje

    obrazuju vektori koeficijenata uz dodatne promenljive, dok su vektori

    koeficijenata uz realne promenljive nebazini. Vektori koeficijenata uz

    dodatne promenljive obrazuju jedininu matricu,ija inverzna matrica je

    takoe jedinina, to predstavlja osnovni razlog za otpoinjanje simpleksprocedure za reavanje zadataka.

    Vektore koji obrazuju vektorsku bazu moemo pisati u obliku:

    0),...,1(1

    i

    mp

    pi

    ii xmppibxA

    a za nebazine vektore:

    ),...,1(001

    pjxxA j

    p

    j

    jj

    dok je funkcija cilja za poetno bazino reenje jednaka nuli:

    mp

    piii

    xcz1

    .

    Svaki od nebazinih vektora moemo izraziti u obliku linerne kombinacije

    vektora baze: ,1

    mp

    pi

    iijj AxA gde je ijx koeficijent lin kombinacije.

    Za svaki nebazini vektor jA moemo odrediti vrednost funkcije jz u obliku

    mp

    pi

    iijj cxz1

    .

    Kriterijum za ulazak vektora u bazu:

    mp

    pi

    iij

    mp

    pi

    iij

    mp

    pi

    iijj

    mp

    pi

    ii

    cxxczz

    cxzxcz

    11

    11

    j

    mp

    pi

    iijijj ccxxczz

    1

    )()(

    Ako desnu stranu obeleimo sa 'z , tj: jmp

    pi

    iiji ccxxz

    1

    )(' , dobijamo:

    '.)(' zzzczz jj 'z poveanje vrednosti funkcije cilja do koje je dolo ukljuivanjem u bazu

  • 7/30/2019 Skripta iz modela

    18/64

    Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662

    18

    vektora jA . Ukoliko je vrednost jj zcz ' vea, poveanje vrednosti

    funkcije cilja e biti vee uz pretpostavke da je 0'z . Na osnovu togakriterijum za ukljuivanje jednog od prethodno nebazinih vektora u bazusastoji se u tome da treba odabrati onaj vektor kod koga je zadovoljen uslov:

    0)(

    max

    jjJ

    iizczc i to je I simpleks kriterijum za izmenu vektorske

    baze. Ukoliko je za svako j, 0 jj zc takvo reenje je optimalno.

    45.Simpleks metodizvesti simpleks kriterijum za izlazak vektora Ai iz bazebAAxAbxA jj

    mp

    pi

    ii

    mp

    pi

    ii

    11

    Kako je: bAAxxAAxA j

    mp

    pi

    iij

    mp

    pi

    ii

    mp

    pi

    iijj

    111

    Dakle: 0)(1

    bbAAxx j

    mp

    pi

    iiji i mora biti >0.

    ,0)( iji xx odakle imamo ,ij

    i

    x

    x za .0ijx

    Iz baze treba iskljuiti onaj k-ti vektor kA za koga bude zadovoljen uslov:

    ,minij

    i

    ki

    k

    x

    x

    x

    x za 0ijx i ovo predstavlja II Dantzigov simpleks

    kriterijum.

    46.Meoviti problem maksimuma modela linearnog programiranja analitiki igrafiki formulisati i objasniti

    Ukoliko su u sistemu ogranienja problema max., osim nejednaina sa znakom

    , neki od uslova zadatka predstavljeni jednainama ili nejednainama saznakom , takav oblik problema nazivamo meoviti problem maksimuma.Da bismo objasnili sutinsku i metodoloku razliku ovakvog oblika zadatka u

    odnosu na standardni problem maksimuma, posmatrajmo sledei oblik

    problema:

    ppxcxcxcz ...(max) 2211

    mpmpmm

    kpkpkk

    pp

    pp

    bxaxaxa

    bxaxaxa

    bxaxaxa

    bxaxaxa

    ...

    ...

    ...

    ...

    2211

    2211

    22222121

    11212111

    0,...,, 21 pxxx

    Prilikom transformisanja ograniavajuih uslova meovitih problema

    maksimuma, osim dodatnih, u sistem se uvode i tzv. vetake promenljive.Vetake promenljive uvode se u jednaine, dok se u nejednaine sa znakom

  • 7/30/2019 Skripta iz modela

    19/64

  • 7/30/2019 Skripta iz modela

    20/64

    Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662

    20

    mpmpmm

    pp

    pp

    pp

    bxaxaxa

    bxaxaxa

    bxaxaxa

    xcxcxcz

    ...

    ...

    ...

    ...(min)

    2211

    22222121

    11212111

    2211

    0,...,,21

    pxxx

    Uvoenjem dodatnih promenljivih, sistem nejednaina transformiemo u

    sistem jednaina:

    mmppmpmm

    ppp

    ppp

    mppppp

    bxxaxaxa

    bxxaxaxa

    bxxaxaxa

    xxxxcxcxcz

    .. .

    .. .

    .. .

    0.. .00.. .(min)

    2211

    222222121

    111212111

    212211

    0,...,,21

    mpxxx

    Na osnovu ovog modela nismo u mogunosti da direktno odredimo poetno

    bazino reenje problema minimuma. Ako bismo poli od toga da su realne

    promenljive jednake nuli, vrednosti bazinih promenljivih bi bile negativne,

    zbog ega ne bi mogli odrediti optimalno reenje korienjem simpleks

    postupka. Zbog toga se i uvode vetake promenljive, iji vektori obrazuju

    jedininu matricu.Osim u sistem ogranienja vetake promenljive uvodimo iu svojstvu cilja pri emu su njihovi koeficijenti pozitivni +M.

    Nakon uvoenja vetakih promenljivih problem je:

    mMmpmppmpmm

    Mpppp

    Mpppp

    MmpMpmppppp

    bxxxaxaxa

    bxxxaxaxa

    bxxxaxaxa

    xxMxxxxcxcxcz

    ,2211

    2,222222121

    1,111212111

    ,,1212211

    ...

    ...

    ...

    ),...,(0...00...(min)

    0,...,, ,21 Mmpxxx Poetno bazino reenje odreuje se na osnovu pretpostavke da su realne

    dodatne promenljive jednake nuli, dok su vetake promneljive jednake

    slobodnim lanovima sistema ogranienja. Postupak odreivanja optimalnog

    reenja je slian kao kod problema max. uz suprotan I simpleks kriterijum

    .0)( jj zcMIN Reenje je optimalno kada su sve razlike 0 jj zc .

  • 7/30/2019 Skripta iz modela

    21/64

    Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662

    21

    48.Formulisati dualni model zadatka linearnog programiranja i definisati osnovnekarakteristike

    Dualni problem odreenog zadatka linearnog programiranja formira se:

    1. ukoliko primarni problem predstavlja problem maksimuma, funkcija cilja

    duala e biti funkcija minimuma i obrnuto.

    2. menja se smer znakova nejednakosti u sistemu nejednaina i to tako da

    ukoliko su nejednaine primara sa znakom , nejednaine duala e biti saznakom i obrnuto.3. Vri se transponovanje matrice koeficijenata ogranienja primara, na

    osnovu ega ukoliko u primaru m nejednaina sa p promenljivih u dualu e

    biti p nejednaina sa m promenljivih.

    4. Koeficijenti uz promenljive u funkciji cilja duala jednaki su sa slobodnim

    lanovima sistema ogranienja primara.

    5. Slobodni lanovi sistema nejednaina duala jednaki su koeficijentima koji

    se uz promenljive nalaze u funkciji cilja primara.

    6. Sve promenljive duala moraju biti nenegativne )0( .

    Posmatrajmo osnovni oblik standardnog problema maksimuma:

    0,...,.,

    ...

    ...

    ...

    ...(max)

    21

    2211

    22222121

    11212111

    2211

    p

    mpmpmm

    pp

    pp

    pp

    xxx

    bxaxaxa

    bxaxaxa

    bxaxaxa

    xcxcxct

    Dualni problem koji odgovara standardnom problemu max:

    0,...,,

    ...

    ...

    ...

    ...(min)

    21

    2211

    22222112

    11221111

    2211

    m

    pmmppp

    mm

    mm

    mm

    yyy

    cyayaya

    cyayaya

    cyayaya

    ybybybv

  • 7/30/2019 Skripta iz modela

    22/64

    Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662

    22

    ),...,1(00

    ),...,1(

    (min)(max)

    11

    11

    miyx

    pjcyabxa

    ybvxcz

    ij

    j

    m

    i

    iij

    p

    j

    ijij

    m

    i

    ii

    p

    j

    jj

    Osnovne karakteristike: Svakom problemu linearnog programiranja odgovara

    dualni problem. Izmeu primara i duala postoji inverzni odnos u pogledu

    zahteva za odreivanjem ekstremne vrednosti funkcije cilja. Osim toga

    nejednaine ogranienja duala izvode sena osnovu nejednaina ogranienja.

    Primarne i dualne promenljive omoguavaju dobijanje znaajnih informacija

    o karakteru optimalnog reenja.

    S obzirom da odreivanje optimalnog reenja bilo kog zadatka linearnog

    programiranja, istovremeno znai odreivanje optimalnog reenja njegovog

    duala, mogue je njihovo alternativno korienje za postupak reavanjazadatka. Ovakva mogunost dolazi do izraaja u situaciji kada je neki problem

    linearnog programiranja jednostavnije reavati korienjem njemu

    odgovarajueg duala.

    49.Definisati vezu promenljivih primarnog i dualnog modela zadatka linearnogprogramiranjanain odreivanja optimalnog reenja dualnog problema

    Izmeu promenljivih primarnog i dualnog problema postoji povezanost i

    meusobna uslovljenost reenja. Da bi to pokazali uvedimo primarni problem

    problem maksimuma dodatne promenljive mpp xx ,...,1 i njemu

    odgovarajui dualni problem pmmm yyy ,...,, 21 i izrazimo ih u kanoninom

    obliku:

    0,00,0

    (min)(max)

    11

    11

    jmiipj

    jjm

    m

    i

    iij

    p

    j

    iipjij

    m

    i

    ii

    p

    j

    jj

    yyxx

    cyyabxxa

    ybvxcz

    Broj promenljivih u primarnom i dualnom problemu sada je jednak i iznosi

    p+m. Veza izmeu promenljivih primara i duala moe se izraziti na sledei

    nain: Svakoj dodatnoj promenljivoj primara odgovara realna promenljiva

    duala u obliku:

    mmp

    p

    p

    yx

    yx

    yx

    22

    11

  • 7/30/2019 Skripta iz modela

    23/64

    Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662

    23

    dok svakoj realnoj promenljivi primara odgovara jedna dodatna duala:

    pmp

    m

    m

    yx

    yx

    yx

    22

    11

    Na osnovu iskazane relacije moemo konstatovati da reavajui jedan iz

    navedenog para zadatka, odreivanjem optimalnog reenja jednog od njih,

    dobijamo i optimalno reenje njemu odgovarajueg duala. Optimalno reenje

    duala na osnovu ve izraunatog optimalnog reenja primara, moemo

    odrediti na dva naina:

    1. Optimalne vrednosti realnih promenljivih duala ),...,1( miyi

    odreujemo kao negativnu vrednost razlike I simpleks kriterijuma za dodatne

    promenljive poslednjeg reenja primarnog problema, tj.),...,1()( mizcy ipipi

    2. Na osnovu optimalnog reenja primara, optimalne vrednosti realnih

    promenljivih duala ),...,1( miyi , odreujemo iz relacije:1 optBCy ,

    gde je ),...,(1 myyy , vektor vrsta koeficijenata koji se u funkciji cilja

    primara nalaze uz promenljive iz optimalne baze .op t

    50.Odnos izmeu vrednosti funkcije cilja primarnog i dualnog modela zadatkalinearnog programiranjadokazati i objasniti

    Teorema 3: Za bilo koje mogue reenje ),...,,(21 pxxxx primarnog

    problema i bilo koje mogue reenje dualnog problema ),...,,( 21 myyyy ,

    vrednost funkcije cilja primarnog problema manja je ili jednaka vrednosti

    funkcije cilja dualnog problema, tj. )()( yvxz ili

    m

    i

    ii

    p

    j

    jj ybxc11

    .

    Dokaz: Posmatrajmo sistem ogranienja primara i

    p

    j

    jij bxa 1

    i duala

    j

    m

    i

    iij cya 1

    i pomnoimo sada desnu i levu stranu i-te nejednaine sistema

    ogranienja primara sa iy i sumirajmo po indeksu i=1,,m, na osnovu ega

    dobijamo:

    m

    i

    ii

    m

    i

    ipipi ybyxaxa11

    11)...( .

    Izraz na levoj strani prethodne nejednaine moemo predstaviti u obliku

    dvostruke sume po i=1,...,m i po j=1,...,p i dobiemo:

    m

    i

    ii

    m

    i

    p

    j

    jiij ybxya11 1

    Ako j-tu nejednainu sistema ogranienja duala pomnoimo sa jx i sumiramo

    poj=1,,p dobijamo:

  • 7/30/2019 Skripta iz modela

    24/64

    Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662

    24

    p

    j

    jj

    p

    j

    m

    i

    jiij xcxya11 1

    .

    Kako su leve strane poslednje dve nejednaine jednake konstatujemo da je:

    m

    i

    ii

    p

    j

    jj ybxc11

    ,to je i trebalo dokazati.

    51.Odnos izmeu optimalnih vrednosti funkcije cilja primarnog i dualnog modelazadatka linearnog programiranjadokazati i objasniti

    Teorema 4: Ukoliko su ),...,,(**

    2

    *

    1

    *

    pxxxx i ),...,,(**

    2

    *

    1

    *

    myyyy mogua

    reenja primarnog i dualnog problema, za koje su vrednosti funkcija cilja

    primara i duala jednake )()(**

    yvxz , tada su *x i *y optimalna reenja

    primara i duala respektivno.

    Dokaz: Neka je 'x neko mogue reenje primara. Tada e biti )()'( *yvxz .

    Meutim, kako je na osnovu uslova teoreme )()( ** yvxz , to je

    )()'(*xzxz . Kako je 'x bilo koje mogue reenje primara, to je

    ),((max))(* xzxz odnosno *x predstavlja optimalno reenje primarnog

    problema.

    Analogno se dokazuje da*

    y predstavlja optimalno reenje dualnog problema.

    Teorema 5: Ukoliko jedan od problema linearnog programiranja primarni ili

    dualni problemimaju makar jedno mogue reenje, tada i primarni i dualni

    problem imaju optimalna reenja.

    Dokaz:Neka primarni i dualni problem imaju optimalna reenja oblika

    ),...,(**

    1

    *

    pxxx i ),...,(**

    1

    *

    myyy to znai da je )((max))(*

    xzxz za svako

    x iz konveksnog skupa moguih reenja K )( Kx , kao i )((min))( * yvyv za

    svako y iz konveksnog skupa moguih reenja dualnog problema L )( Ly .

    Znai skupovi K i L nisu prazni.

    Da bi dokazali teoremu neophodno je dokazati da ovi problemi imaju

    optimalna reenja. Da bi to pokazali posmatrajmo reenje duala *y i

    proizvoljno mogue reenje x primara. Na osnovu teoreme 3 imamo da je

    )()(*yvxz . Ukoliko x predstavlja proizvoljno reenje primara tada

    korienjem simpleks metoda u nizu iteracija moemo odrediti niz reenja

    rxxx ,...,, 21 takvih da je )(...)()( 21 rxzxzxz pri emu postoji gornja

    granica poveanja vrednosti funkcije cilja primara. Moemo utvrditi da takvo

    reenje *x primara za koje je )()( * xzxz za svako Kx , to znai da

    primar ima optimalno reenje.Slian postupak se primenjuje i u dokazivanju da dualni problem ima

    optimalno reenje *y za koje je .)()( * Lyyvyv

    Teorema 6: Mogue reenje *x primara je optimalno ako i samo ako postoji

    mogue reenje duala *y za koje je )()( ** yvxz . Tada reenje*y

    predstavlja optimalno reenje duala.

  • 7/30/2019 Skripta iz modela

    25/64

    Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662

    25

    Dokaz: Pretpostavimo da ),...,( **1

    *

    pxxx i ),...,(**

    1

    *

    myyy predstavljaju

    optimalna reenja primara i duala. Tada na osnovu teoreme 3 imamo za bilo

    koje mogue reenje ),...,(1 p

    xxx primara da je:

    p

    j

    jj

    m

    i

    ii

    p

    j

    jj xcybxc1

    *

    1

    *

    1

    , na osnovu ega konstatujemo da

    ),...,(**

    1

    *

    pxxx predstavlja optimalno reenje primara. Slino za bilo koje

    mogue reenje ),...,(1 m

    yyy duala imamo da vai

    .1

    *

    1

    *

    1

    p

    j

    jj

    m

    j

    ii

    p

    i

    yi xcybyb Dakle, vidimo da ),...,(**

    1

    *

    myyy predstavlja

    optimalno reenje duala.

    Na osnovu prethodnih konstatacija moemo zakljuiti da ),...,( **1

    *

    pxxx i

    ),...,(

    **

    1

    *

    myyy

    predstavljaju optimalna reenja primara i duala za koje je).()(

    **yvxz

    52.Odnos izmeu optimalnih vrednosti promenljivih primarnog i dualnogproblema u modelu linearnog programiranjadokazati i objasniti

    Teorema 7: Ukoliko su *x i*

    y mogua reenja primara i duala, tada su to i

    optimalna reenja akko imamo zadovoljene uslove:

    1) 0* iy ukoliko je i

    p

    j

    jijbxa

    1

    *

    2) 0* jx ukoliko je j

    m

    i

    iij cya 1

    * ,

    odnosno dualna promenljiva je jednaka nuli 0* y kada je njoj

    odgovarajua dodatna promenljiva pozitivna u optimalnom reenju primara,

    odnosno realna promenljiva je jednaka nuli 0* x kada je njoj odgovarajuadodatna promenljiva u optimalnom reenju duala pozitivna.

    Dokaz: Pretpostavimo da*

    x i*

    y predstavljaju optimalna reenja primara i

    duala. Za optimalna reenja vae nejednakosti:

    primar i

    p

    j

    jij bxa 1

    * dual j

    m

    i

    iijcya

    1

    *

    0jx 0iy

    Pomnoimo levu i desnu stranu primaru nenegativnom vrednou *iy :

    ii

    p

    j

    jijibyxay *

    1

    **

    . Sumirajui levu i desnu stranu dobijamo

    m

    i

    ii

    p

    j

    jij

    m

    i

    i byxay1

    *

    1

    *

    1

    * , odnosno .1

    *

    1 1

    **

    m

    i

    ii

    m

    i

    p

    j

    jiij byxya

    Pomnoimo sada levu i desnu stranu duala sa *jx , 0* jx :

  • 7/30/2019 Skripta iz modela

    26/64

    Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662

    26

    .1

    *

    1 1

    **

    p

    j

    jj

    m

    i

    p

    j

    jiij xcxya

    Na osnovu teoreme 4 u kojoj smo dokazali

    m

    i

    ii

    p

    j

    jj ybxc1

    *

    1

    * , imamo:

    m

    i

    p

    j

    jiij

    p

    j

    jj

    m

    i

    ii

    m

    i

    p

    j

    jiij xyaxcbyxya1 1

    **

    1

    *

    1

    *

    1 1

    ** .

    S obzirom da su krajnje sume jednake, moemo pisati

    m

    i

    ii

    m

    i

    p

    j

    jiij byxya1

    *

    1 1

    ** i .1 1

    **

    1

    *

    m

    i

    p

    j

    jiij

    p

    j

    jj xyaxc

    Dobijene jednakosti moemo predtaviti u obliku

    01

    *

    1

    *

    p

    j

    jiji

    m

    i

    i xaby

    01

    *

    1

    *

    j

    m

    i

    iij

    p

    j

    j cyax

    Imajui u vidu nenegativnost primarnih i dualnih promenljivih imamo

    01

    **

    p

    j

    jijii xaby

    01

    **

    j

    m

    i

    iijj cyax

    Iz njih vidimo da ukoliko je 01

    *

    p

    j

    jijixab odnosno i

    p

    j

    jijbxa

    1

    *, onda je

    jednakost zadovoljena samo za 0* iy , a iz 01

    *

    j

    m

    i

    iij cya , odnosno

    j

    m

    i

    iij cya 1

    * , jednakost je zadovoljena samo za .0* jx

    Na taj nain smo dokazali nau teoremu.

    53.Ekonomsko znaenje dualnih promenljivih dokazati i objasnitiDualne promenljive pruaju mogunost za dobijanje veoma znaajnih

    informacija o karakteru problema linearnog programiranja, kao i ispitivanje

    uticaja promene nivoa korienja raspoloivih resursa na vrednost funkcije

    cilja. Posmatrajmo problem standardnog max:

    0

    (max)

    x

    bAx

    cxz

    i njegov dual

    0

    ''

    '(min)

    y

    cyA

    ybv

    .

    Neka*

    x predstavlja optimalno reenje primara za koje je

    Kxxzxz )((max))( * i neka je *y optimalno reenje duala za koje je

    Lyyvyv )(min)( * . Pretpostavimo da se elementi vektora b primara

    poveaju za iznos b , koji ne izaziva promenu strukture optimalne baze.Promena vrednosti elemenata vektora b dovee do poveanja vrednosti

  • 7/30/2019 Skripta iz modela

    27/64

    Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662

    27

    funkcije cilja primara za iznos od byxz **)( , odnosno poveanje i-tog

    resursa za b uticae na promenu vrednosti funkcije cilja primara za iznos od

    iibyxz **)( . Dokaz: Neka *x i **x predstavljaju optimalne vrednosti

    promenljivih primara u sluajevima vektora b i bb respektivno. Kako je

    struktura optimalne baze u oba sluaja ista, to optimalno reenje duala*

    y takoe je isto, tako da moemo pisati:

    bycx

    bbycx

    **

    ***)(

    Ako poslednja dva izraza oduzmemo, dobijamo: byxz **)( , gde je****

    )( cxcxxz poveanje vrednosti funkcije cilja, izazvano poveanjem

    vrednosti vektora b, na osnovu ega smo dokazali da je to tvrenje tano.

    Na osnovu ovog rezultata moemo konstatovati da je ,)(

    *

    *

    i

    ib

    xzy

    na osnovu

    ega vidimo da vrednost dualne promenljive iy pokazuje za koliko jedinica

    e se poveati (smanjtii)funkcija cilja primara, ukoliko se korienje resursa

    ib povea (smanji) za jednujedinicu. Zbog toga, dualne promenljive

    predstavljaju tzv. obraunske cene korienih resursa, odnosno tzy. cene u

    senci (shadow price).

    54.Osnovne karakteristike i znaaj primene Simpleks tabele postupakodreivanja elemenata simpleks tabele

    Simpleks tabela predstavlja tabelaran nain prikazivanja problema linearnog

    programiranja, koji je prilagoen za potrebe reavanja ovih problemakorienjem simpleks metoda. Ovaj tabelarni postupak primene simpleks

    metoda omoguava da se u nizu iteracija doe do optimalnog reenja.

    Poetno bazino reenje koje kod standardnog problema max odgovara

    poetku prostora predstavlja se prvom simpleks tabelom, koja predstavlja

    polaznu osnovu za odreivanje optimalnog reenja. Na osnovu prve simpleks

    tabele primenom simpleks kriterijuma za promenu vektorske baze preko niza

    simpleks tabela, dolazimo do optimalnog reenja.

    Opti oblik simpleks tabele predstaviemo na primeru reavanja zadatka

    standardnog problema maksimuma:

    0,...,

    ...

    ...

    ...

    ...(max)

    1

    2211

    22222121

    11212111

    2211

    p

    mpmpmm

    pp

    pp

    pp

    xx

    bxaxaxa

    bxaxaxa

    bxaxaxa

    xcxcxcz

    Uvoenjem dodatnih promenljivihsistem nejednaina se transformie u sistem

    jednaina:

  • 7/30/2019 Skripta iz modela

    28/64

    Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662

    28

    0,...,

    ...

    ...

    ...

    0...0...(max)

    1

    2211

    222222121

    111212111

    12211

    mp

    mmppmpmm

    ppp

    ppp

    mpppp

    xx

    bxxaxaxa

    bxxaxaxa

    bxxaxaxa

    xxxcxcxcz

    Poetno bazino reenje odreuje se tako to pretpostavimo da su realne

    promenljive jednake nuli, a dodatneslobodnim lanovima sistema

    ogranienja. Prvu simpleks tabelu moemo predstaviti:

    jB CC \ 0 Bx 1c 2c ... pc 1pc 2pc ... mpc

    1x 2x ... px 1px 2px ... mpx

    01px 1b 11a 12a ... pa1 1 0 ... 0

    02px 2b 21a 22a ... pa2 0 1 ... 0

    ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

    0mpx mb 1ma 2ma ... mpa 0 0 ... 1

    jz z 1z 2z ... pz 0 0 ... 0

    jj zc 11 zc 22 zc ... pp zc 0 0 ... 0

    Simpleks tabela I koja predstavlja poetno bazino reenje obrazovana je:

    1. U prvu kolonu tabele unosimo koeficijente koji se u funkciji cilja nalaze uz

    bazine promenljive. To su nule, jer su koeficijenti uz dodatne promenljive 0.

    2. U drugu kolonu unosimo bazine promenljive, tj. dodatne promenljive.

    3. Kolona Bx pokazuje vrednosti bazinih promenljivih

    4. U kolone pxxx ,...,, 21 unosimo koeficijente koji se nalaze uz ove promenljive u

    sistemu ogranienja

    5. U kolone mpp xx ,...,1 koeficijenti obrazuju jedininu matricu

    6. U zaglavlje unosimo vrednosti koeficijenata koji se u funkciji cilja nalaze uz

    promenljive iz odgovarajue kolone simpleks tabele7. Elemente vrste jz odreujemo kao zbir proizvoda koeficijenata iz prve kolone i

    odgovarajuih koeficijenata iz pojedinanih kolona

    8. Poslednja vrsta je I simpleks kriterijum za promenu baze u cilju optimizacije

    programa.

    Postupak odreivanja elemenata naredne simpleks tabele podrazumeva

    realizaciju narednih operacija:

    a) odreivanje koju od prethodno nebazinih promenljivih treba ukljuiti u bazu

    b) odreivanje koja od prethodno bazinih promenljivih treba da napusti bazu

    c) utvrivanje vrednosti promenljivih u novom reenjud) utvrivanje vrednosti koeficijenata nove simpleks tabele

  • 7/30/2019 Skripta iz modela

    29/64

    Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662

    29

    e) utvrivanje vrednosti funkcije cilja, koja odgovara reenju koje je predstavljeno

    novom simpleks tabelom, kao i izraunavanje vrednosti funkcijajz za sve

    promenljive

    a) u naredno bazino mogue reenje treba ukljuiti onu prethodno nebazinu

    promenljivu za koju je razlikajj

    zc najvea pozitivna. Reenje je optimalno

    kada u poslednjem redu simpleks tabele )( jj zc ne postoji ni jedna pozitivna

    vrednost.

    b) iz baze treba eliminisati onu prethodno bazinu promenljivuix za koju

    odredimo minimalnu vrednost: 0,min ijij

    i xx

    x .

    c) Vrednosti promenljivih u novoj simpleks tabeli odreujemo:

    novouvedena promenljiva: kx

    vrednosti ostalih promenljivih: rkik

    i

    rr a

    a

    bbx

    to znai da vrednost novouvedene promenljive je jednaka minimalnoj vrednosti

    kolinika iz prethodnog reenja )( dok vrednosti ostalih promenljivih

    izraunavamo tako to od njihovih vrednosti iz prethodne iteracije oduzmemo

    proizvod vrednosti novouvedene promenljive i odgovarajueg koeficijenta koji se

    nalazi u karakteristinoj koloni simpleks tabele.

    d) vrednosti koeficijenata nove simpleks tabele odreujemo:

    koeficijenti u karakteristinoj vrsti simpleks tabele:lk

    lj

    lja

    aa '

    koeficijenti u ostalim vrstama: rklk

    lj

    rjrj aa

    a

    aa '

    e) koeficijente koji se nalaze u karakteristinoj vrsti dobijamo tako to njihovu

    prethodnu vrednost podelimo karakteristinim elementom. Ostale koeficijente r-

    tog reda j-te kolone odreujemo tako to se od njegove prethodne vrednosti

    oduzme proizvod izmeu koeficijenata r-tog reda karakteristine kolone i

    kolinika koeficijenata j-te kolone karakteristinog reda sa karakteristinim

    elementom.

    f) vrednost funkcije cilja odreuje se mnoenjem koeficijenata prve kolone

    odgovarajuim vrednostima promenljivih, ili na osnovu karakteristinih

    elemenata: klk

    l

    ca

    b

    zz'

    .

    55.Problem degeneracije zadatka linearnog programiranjauzroci i poslediceProblem degeneracije linearnog programiranja predstavlja takav sluaj kod

    koga jedna ili vie bazinih promenljivih imaju vrednost 0. Ovakav problem sejavlja kada u zadatku imamo suvinih ogranienja.Prilikom reavanja

    zadatka linearnog programiranja postojanje problema degeneracije e se

    manifestovati prilikom odreivanja vrednosti kolinika , koji nam slui za

    iskljuivanje neke od prethodno bazinih promenljivih. Ukoliko u zadatku

    postoji problem degeneracije, onda e u nekoj od iteracija, prilikomodreivanja vrednosti kolinika II simpleks kriterijuma, dobiti dve ili vie

  • 7/30/2019 Skripta iz modela

    30/64

    Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662

    30

    jednakih minimalnih vrednosti. U tom sluaju ne moemo odrediti koju od

    prethodno bazinih promenljivih treba iskljuiti iz baze. U narednoj iteraciji

    neka od prethodno bazinih promenljivih e biti jednaka 0,odnosno vrednost

    kolinika e biti jednaka 0, zbog ega e se dogoditi da dva ili vie

    uzastopnih reenja imaju jednaku vrednost funkcije cilja. U sluaju

    degeneracije moe se pojaviti problem ciklusa sluaj da u toku reavanjazadatka ponovo dobijemo isto reenje sa nekim od prethodnih. Postupak ijom

    primenom se eliminie mogunost postojanja ciklusa je da izae iz baze onaj

    vektor kod koga je imenilac vei.

    56.Jedinstveno i viestruko optimalno reenje u modelu linearnog programiranjagrafika i analitika interpretacija

    Kod problema maksimuma optimalno reenje predstavljali smo simpleks

    tabelom u kojoj su sve razlike za nebazine promenljive u poslednjoj vrsti

    )(jj

    zc negativni. Geometrijski posmatrano takvo optimalno reenje

    problema maksimuma nalazi se u jednoj ekstremnoj taki (najudaljenija od

    koordinatnog poetka) konveksnog ogranienog i zatvorenog skupamoguih

    reenja. To je jedinstveno reenje. Meutim u nekim sluajevima moe se

    dogoditi da izraunato optimalno reenje nije jedinstveno, odnosno postoji

    viestruko optimalno reenje.

    Ukoliko u okviru neke simpleks tabele postoji makar jedna razlika prvog

    simpleks kriterijuma 0)( jj zc , za prethodno nebazinu promenljivu jx ,

    dok su vrednosti ovih razlika za ostale nebazine promenljive negativne,

    izraunato optimalno reenje nije jedinstveno. Posle I i II simpleks kriterijumadobili smo takoe optimalno reenje za koje funkcija cilja ima istu vrednost

    kao i u sluaju prethodnog reenja. Postojanje dva optimalna reenja ima za

    posledicu da sve konveksne kombinacije ova dva reenja, takoe predstavljaju

    optimalna reenja, zbog ega kaemo da takav zadatak ima viestruko

    optimalno reenje. Geometrijski, sluaj postojanja viestrukog optimalnog

    reenja se javlja kada su koeficijenti pravca prave koja reprezentuje neko od

    ogranienja i koeficijent pravca prave funkcije cilja, jednaki.

    Na slici se vidi da prava koja reprezentuje funkciju cilja se podudara sa

    pravom koja predstavlja gornju granicu vrednosti promenljivih 1x i 2x za

    koje je zadovoljena nejednaina ogranienja, na kojoj se nalazi du AB. Na

    osnovu toga konstatujemo da se optimalno reenje naeg zadatka nalazi u

    takama A i B, odnosno u svim takama dui AB.

  • 7/30/2019 Skripta iz modela

    31/64

    Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662

    31

    57.Nepostojanje moguih reenja i neograniena vrednost funkcije cilja zadatkalinearnog programiranjagrafika i analitika interpretacija

    Prilikom formulisanja modela linearnog programiranja moe se dogoditi da

    model bude tako postavljen da ne postoje mogua reenja. Takav sluaj se

    deava ukoliko ne postoje vrednosti promenljivih za koje su zadovoljeni sviograniavajui uslovi. Geometrijski, takav zadatak ima prazan skup moguih

    reenja. Nepostojanje moguih reenja moemo konstatovati u poslednjoj

    simpleks tabeli. Naime, u poslednjoj simpleks tabeli svi elementi vrste

    )( jj zc pokazae postojanje optimalnog reenja, ali e se u optimalnom

    reenju nai vetaka promenljiva, to je glavni indikator postojanja

    meusobno kontradiktornih ograniavajuih uslova u zadatku.

    Sve take koje se nalaze na dui AB i ispod nje zadovoljavaju prvu

    nejednainu ogranienja, dok drugu nejednainu i uslov nenegativnosti

    zadovoljavaju sve take na dui CD i iznad nje. Kako ova dva skupa taaka

    nemaju presek, ne postoje take za koje su istovremeno zadovoljene obenejednaine ogranienja. Znai skup moguih reenja je prazan skup,

    odnosno zadatak nema reenja.

    Problem nemogunosti odreivanja konanih vrednosti promenljivih funkcije

    cilja u problemu maksimuma javlja se ukoliko je:

    1. model formulisan tako da se jedna ili vie promenljivih mogu poveavati

    neogranieno, a dane bude naruen ni jedan od ograniavajuih uslova

    zadatka.

    2. funkcija cilja na skupu moguih reenja nema konanu vrednost

    Reavajui problem maksimuma korienjem simpleks metoda, ovaj problem

    moemo identifikovati pre dobijanja vrednosti elemenata finalne simpleks

    tabele. Problem mogunosti postojanja neograniene vrednosti promenljivih i

    funkcije cilja, konstatovaemo u nekoj iteraciji u postupku odreivanja

    promenljive koja treba da izae iz baze. Da bi neka promenljiva izala iz baze

    potrebno je da u odnosu na ostale vrednosti ima najmanji pozitivan kolinik IIsimpleks kriterijuma. Meutim, ukoliko su svi ovakvi kolinici negativni ili

    nedefinisani, moemo konstatovati da problem nema konano reenje.

  • 7/30/2019 Skripta iz modela

    32/64

    Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662

    32

    58.Postoptimalna analiza u linearnom programiranjupromena koeficijenatafunkcije kriterijuma

    Postupak postoptimalne analize je postupak koji se koristi za ispitivanje da li

    e promena nekog od parametara modela linearnog programiranja uticati na

    promenu ve izraunatog optimalnog reenja. Primenom postoptimalneanalize moe se doi do jednog od sledea dva zakljuka:a) nastale promene u vrednosti parametara modela nee dovesti do promene

    vektorske baze na osnovu kojeg je odreeno optimalno reenje.b) prethodno izraunato optimalno reenje u uslovima novih vrednosti

    parametra modela ne moe ostati optimalno.

    1 Promena vektora cNakon odreivanja optimalnog reenja moe doi do promene koeficijenata

    koji se nalaze uz promenljive koje se ne nalaze u optimalnom reenju, kao i

    promene koeficijenata koji se nalaze uz bazine promenljive.

    1.1. Promena koeficijenata nebazinih promenljivih.U poslednjoj iteraciji reavanja zadatka konstatovano je da je za sve

    nebazine vektore jA zadovoljen uslov 0)( jj zc . Pretpostavimo sada da

    se jc menja, pri emu nastalu promenu moemo predstaviti u obliku

    jjjccc .

    Da bi utvrdili da u novim uslovima reenje izraunato na osnovu baze op t i

    dalje ostaje optimalno, neophodno je daproverimo da li e poveanje

    vrednosti koeficijenta jc dovesti do potrebe za uvoenjem prethodno

    nebazinih vektora jA u bazu. U tom cilju, primenjuje se I simpleks kriterijum

    sa novom vrednou koeficijentajc , odnosno:

    jjjjjjjj czczcczc

    )()( .

    Da bi reenje ostalo optimalno neophodno je da vektor jA i dalje ostane

    nebazian. To e se dogoditi ukoliko je 0 jj zc , odnosno ukoliko je

    0)( czc jj . Na osnovu poslednje relacije vidimo:

    a) jjj

    zcc reenje ostaje optimalno

    b) jjj zcc reenje nije optimalno. U bazu ukljuujemo jA .

    1.2. Promena koeficijenata bazinih promenljivih

    I ovde treba utvrditi vrednost razlika )( jj zc za nebazine vektore. S

    obzirom da vrednosti jc ostaju nepromenjeni, u ovom sluaju neophodno je

    izraunati vrednost jz za sve nebazine promenljive.

    Oznaimo sa Bc vektor koeficijenata koji se u funkciji cilja nalaze uz bazine

    promenljive. Pretpostavimo da je dolo do poveanja za iznos Bc , tako da je

    novi vektor ovih koeficijenata BBB ccc

    . Vrednosti jz za nebazine

    vektore odreene su iz relacije jBj xcz , gde jejx vektor koeficijenata

    linearne kombinacije bazinih vektora i nebazinog vektora jA izraunat u

  • 7/30/2019 Skripta iz modela

    33/64

    Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662

    33

    obliku joptj Ax 1 ostao nepromenjen.

    Vrednosti jz u uslovima promenjenih koeficijenata vektora Bc odrediemo na

    sledei nain: .)( jjjBjBjBBjBj zzxcxcxccxcz

    S obzirom da vrednostij

    c ostaju nepromenjene, kriterijum optimalnosti sada

    e biti 0)( jjjjj zzczc . Moemo konstatovati da ako je:

    a) )( jjj zcz reenje ostaje optimalno

    b) )( jjj zcz reenje nije optimalno. U bazu ukljuujemo jA .

    U uslovima promene svih koeficijenata funkcije cilja, kada bi imali

    0)()()( jjjjjj zzcczc , optimalno reenje se ne bi menjalo.

    Ukoliko je bar jedna od razlika pozitivna reenje bi i dalje bilo mogue, ali ne

    i optimalno.

    2. Promena vektora b

    b je vektor slobodnih lanova sistema ogranienja. Promena = b , pa jebbb , vrednosti bazinih promenljivih bx optB 1 , pa e u uslovima

    izmenjenog vektora b biti: )(11

    bbbx optoptB . Ukoliko je

    zadovoljen uslov 0Bx reenje je i dalje optimalno.

    3. Promena matrice A

    3.1Promena nebazinog vektora jA

    Da bi utvrdili da li taj vektor treba ukljuiti u bazu, raunamo novu vrednost

    kolone matrice zvezdice: jop tj Ax

    1 , zatim raunamo jBj xcz , koje u I

    simpleks kriterijumu oduzimamo od nepromenjene funkcije cilja jj zc

    ukoliko je reenje 0 stara baza je i dalje optimalna, u suprotnom prethodnoreenje nee biti optimalno.

    3.2Promena bazinog vektora iA

    Reenja nove baze bie: bxB

    1)( , a ,)( 1 jj Ax

    zatim

    jBj xcz . Ukoliko su nove vrednosti bazinih promenljivih 0Bx

    izraunato reenje je mogue, a da li je optimalno utvrujemo pomou I

    simpleks kriterijuma.

    Ukoliko se desi da u okviru vektoraBx imamo bar jednu negativnu vrednost

    reenje nije mogue.

    60.Definisati opti oblik transportnog problema analitiki i tabelarnoTransportni problem predstavlja model ijim se korienjem odreuje

    optimalan program distribucije odreene vrste robeiz razliitih mesta ponude

    (tzv. ishodita) do razliitih mesta tranje (tzv. odredita) pri emu se

    podrazumeva njihova teritorijalna razdvojenost.

    U cilju formulisanja opteg oblika modela transporta robe, pretpostavimo da

    postoji konaan broj od m ishodita mPPP ,...,, 21 koja raspolae odreenom

    homogenom vrstom robe, za ije korienje je izraena potreba (tranja) u n

    odredita nTTT ,...,, 21 . Ako pretpostavimo da postoji teritorijalna razdvojenostishodita i odredita, tada je jasno da postoji nm potencijalnih puteva, preko

  • 7/30/2019 Skripta iz modela

    34/64

    Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662

    34

    kojih ova roba moe biti dostavljena od mesta ponude do mesta tranje.

    ... ...

    Osnovni cilj reavanja transportnog problema moe se formulisati, kao zahtevza odreivanje optimalnih vrednosti promenljivih ijx ,tj. optimalnih koliina

    prevezene robe na pojedinim putevima, za koje e se ostvariti minimalna

    vrednost ukupnih transportnih trokova, tj. minimalna vrednost funkcije cilja:

    funkcija cilja:

    m

    i

    n

    j

    ijijxcz1 1

    pri emu moraju biti zadovoljena tri

    ogranienja:a) ukupna koliina raspoloive robe svakog ishodita mora biti raspodeljena

    na mesta tranje, tj. i

    n

    j

    ij ax 1

    b) tranja svakog odredita mora biti u potpunosti zadovoljena j

    m

    i

    ij bx 1

    c) koliina prevezene robe na pojedinim putevima, odnosno odgovarajue

    promenljive moraju biti nenegativne veliine, tj. 0ijx .

    Funkcija cilja zajedno sa navedenim uslovima obrazuje opti oblik zadatka

    transportnog problema u kome imamo m nejednaina sa nm promenljivih.Proireni oblik navedenogmodela moemo predstaviti u obliku:

    0

    ...

    ...

    ...

    ...

    ...

    ....

    ............

    21

    222212

    112111

    21

    222221

    111211

    11222121111111

    ij

    nmnnn

    m

    m

    mmnmm

    n

    n

    mnmnmmnnnn

    x

    bxxx

    bxxx

    bxxx

    axxx

    axxx

    axxx

    xcxcxcxcxcxcz

    Ovako formulisan model moemo predstaviti u vidu tabele:

    P1 T1

    P2 T2

    Pm Tn

    ijx koliina robe koja se transportuje

    iz i-tog ishodita u j-to odredite

    ijc transportni trokovi po jediniciprevezene robe iz i-tog ishodita u j-toodredite

    ia raspoloiva koliina robe u i-tom

    ishoditujb iznos tranje za posmatranom

    robom u j-tom mestu tranje(odreditu)

  • 7/30/2019 Skripta iz modela

    35/64

    Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662

    35

    odr.

    ish. 1T 2T ... nT ponuda

    1P

    c11 c12

    ...

    c1n

    1a 11x 12x nx1

    2P c21 c22 ...

    c2n

    2a 21x 22x nx2

    ... ... ... ... ... ...

    mP cm1 cm2 ...

    cmnma

    1mx 2mx mnx

    tranja1b 2b ... nb

    U levi ugao polja nae tabele unose se transportni trokovi po jedinici

    prevezene robe na odgovarajuem putu, poslednja kolona pokazuje ponudu

    robe pojedinih ishodita, dok poslednja vrsta pokazuje tranju pojedinih

    odredita.

    61.Egzistencija mogueg reenja transportnog problema dokazati i objasnitiTeorema 5.1: Transportni problem ima reenje ukoliko je ukupna ponuda

    jednaka ukupnoj tranji, tj. ako je

    n

    j

    j

    m

    i

    i ba11

    .

    Dokaz:

    m

    i

    i

    m

    i

    n

    j

    ij ax11 1

    n

    j

    j

    n

    j

    m

    i

    ij bx11 1

    kako su leve strane jednake, jednake su i desne strane, tj.

    n

    j

    j

    m

    i

    iba

    11

    , ime je dokazan uslov za reavanje transportnog problema.

    Da bi dokazali da izjednaavanje ukupne ponude i ukupne tranje predstavlja i

    dovoljan uslov za reavanje transportnog problema, treba da pokaemo da

    koliina prevezene robe predstavljena izrazom d

    ba

    xji

    ij , gde je

    n

    j

    j

    m

    i

    i bad11

    , predstavlja mogue reenje transportnog problema.

    Kako su sve vrednosti dba ji ,, nenegativne veliine, to je 0ijx . Ukoliko

    izrazd

    bax

    ji

    ij sumiramo po i i po j dobijamo:

  • 7/30/2019 Skripta iz modela

    36/64

    Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662

    36

    miad

    b

    ad

    bax

    njbd

    a

    bd

    bax

    i

    n

    j

    j

    i

    n

    j

    jin

    j

    ij

    j

    m

    i

    i

    j

    m

    i

    jim

    i

    ij

    ,...,1

    ,...,1

    1

    11

    1

    11

    iz ega vidimo daijx zadovoljava sistemjednaina ogranienja i tranje i

    ponude. Znai pokazali smo da jednakost ukupne ponude i ukupne tranje u

    transportnom problemu, predstavlja potreban i dovoljan uslov za egzistenciju

    mogueg reenja.

    62.Pokazati da je rang matrice koeficijenata sistema ogranienja transportnogproblema m + n1

    Teorema 5.3: Matrica koeficijenta sistema ogranienja transportnog problemaima rang 1 nm

    Dokaz: Matricu koeficijenta sistema ogranienja naeg transportnog

    problema moemo predstaviti u obliku:

    1

    0

    0

    1

    0

    0

    ...

    ...

    ...

    ...

    ...

    ...

    ...

    ...

    0

    1

    0

    1

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    0

    0

    ...

    ...

    ...

    ...

    ...

    ...

    ...

    ...

    1

    0

    0

    0

    1

    0

    ...

    ...

    ...

    ...

    ...

    ...

    ...

    ...

    0

    1

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    0

    0

    0

    0

    1

    ...

    ...

    ...

    ...

    ...

    ...

    ...

    ...

    0

    1

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    A

    Matrica A reda xmnnm )( ima za elemente jedinice i nule pri emu u svakoj

    koloni ima samo dve jedinice a ostalo su nule. Ukoliko saberemo prvih m vrsta

    matrice A dobiemo vrstu iji su svi elementi jedinice. Istu takvu vrstu emo

    dobiti sabiranjem preostalih n vrsta matrice A

    tj.: ,...... 2121 nmmmm pppppp gde smo sanm

    ppp ,...,, 21

    obeleili vrste matrice A. Znai da svaku vrstu matrice A moemo izraziti u

    vidu linearne kombinacije ostalih. Ukoliko sada iz matrice A iskljuimo

    poslednju vrstu i uzmemo minor )1( nm og reda dobijamo:

  • 7/30/2019 Skripta iz modela

    37/64

    Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662

    37

    1

    100

    010

    001

    000

    000

    000

    000

    000

    111

    100

    010

    001

    det)1(

    nm

    M

    Rang matrice nije m+n jer je uvek 1 vrsta zavisna od drugih, pa pogodnom

    transformacijom dobijamo da je rang matrice 1 nm , jer je vrednostdobijenog minora razliita od nule. T o je i trebalo dokazati.

    63.Postojanje zavisnosti izmeu jednaina sistema ogranienja transportnogproblemadokazati i objasniti

    Teorema 5.2:Broj linearno nezavisnih jednaina sistema ogranienja

    transportnog problema je 1 nm .Dokaz: Pretpostavimo da imamo kombinaciju vrednosti promenljivih ijx za

    koje znamo da zadovoljavaju sve jednaine sistema ogranienja izuzev na

    primer prvu jednainu. Pokazaemo da takva pretpostavka ne moe biti

    zadovoljena. Oigledno je da levu stranu prve jednaine sistema ogranienja

    moemo pretstaviti u obliku:

    m

    i

    n

    j

    ij

    m

    i

    n

    j

    ij

    n

    j

    j xxx2 11 11

    1

    ako je za svako x ij zadovoljeno svih m+n jednaina sistema ogranienja tj.

    i

    n

    j

    ijax

    1

    i j

    m

    i

    ij bx 1

    to jednakost 1 moemo predstaviti u obliku

    i

    m

    i

    i

    n

    j

    j

    m

    i

    n

    j

    ij

    m

    i

    n

    j

    ij

    n

    j

    j aabxxx 212 11 11

    1

    Na taj nain je1

    1

    axn

    j

    ij

    tj. zadovoljena je i prva jednaina sistema

    ogranienja. Isto bi mogli jednostavno pokazati da je svaka od jednainasistema ogranienja zadovoljena ukoliko su zadovoljene sve preostale m+n-1

    jednaine sistema ogranienja transportnog problema.

    64. Metodi odreivanja poetnog bazinog reenja programa transportaMetodi koji se koriste za odreivanjepoetnog bazinog reenja su:

    a.metod severozapadnog ugla

    b. metod minimalnih trokova

    v. Vogelov aproksmativni metod

  • 7/30/2019 Skripta iz modela

    38/64

    Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662

    38

    a.metod severozapadnog ugla-rasporeivanje koliina robe za prevoz preko razliitih puteva zapoinjemo iz

    levog gornjeg (severozapadnog) ugla tabele odnosno polja (1,1), nakon toga

    u m+n-1 koraka idui dijagonalno rasporeuju se koliine robe u razliita

    polja tabele koja odgovaraju razliitim putevima . Postupak se zavrava

    nakon iscrpljivanja svih ponuenih koliina robe u pojedinim ishoditima,odnosno nakon zadovoljenja ukupne tranje pojedinih odredita .

    -U polje (1,1) unosimo manji od iznosa ponude odnosno tranje koji odgovara

    prvoj vrsti i prvoj koloni tabele, tj. imamo da je ),(1111baMINx . Ukoliko je

    11ba tada je

    111ax tj. tada u prvom koraku iscrpljujemo ukupnu ponudu

    prvog ishodita ,zbog ega koliine koje odgovaraju narednim poljima prve

    vrste moraju biti jednake nuli . Procedura se nastavlja prelaskom na naredno

    polje prve kolone u koje unosimo 111221

    ,min xbax .

    Suprotno ako je11ba ,tada e preostala polja prve kolone ostati prazna , a

    odgovarajue promenljive e biti jednake nuli , dok e se u naredno polje prve

    vrste uneti 211112 ,min bxax .Znai metod severozapadnog ugla obezbeuje naizmenino iscrpljivanje

    ponude ( ishodita ) , odnosno zadovoljavanje tranje odredita .Postupak se

    zavrava u poslednjem polju po dijagonali ( polje m,n ) u koje se uvek unosi

    jednaka koliina preostalog iznosa ponude poslednje vrste i preostalog iznosa

    tranje poslednje kolone.

    Osnovna prednost primene ovog metoda je jednostavnost.

    b. metod minimalnih trokova-Metod minimalnih trokova podrazumeva prevashodno korienje puteva

    ( polja puteva ) kojima odgovaraju najmanji trokovi po jedinici prevezenerobe.

    -Postupak odreivanja poetnog bazinog reenja metodom minimalnih

    trokovazapoinje korienjem puta kojem odgovaraju najmanji trokovi pri

    emu u odgovarajue polje tabele unosimo minimalno moguukoliinu za

    prevoz. Naizmeninim popunjavanjem preostalih praznih polja kojima

    odgovaraju najmanji transportni trokovi , u m+n-1 koraka dolazi se do

    poetnog bazinog reenja.

    -Prednost ovog metoda ogleda se u injenici da njegova primena obezbeuje

    znaajno skraivanje postupka odreivanja optimalnog reenja.

    c. Vogelov aproksimativni metod- Vogelov model, odnosno, metod maksimalnih razlika, sastoji se u

    izraunavanju potencijalnih gubitaka, koji e nastati ukoliko se izmeu dva

    polja sa minimalnim transportnim trokovima, koja se nalaze u nekoj vrsti

    (koloni) tabele koristi ono polje u kome su transportni trokovi vei.

    -Postupak izraunavanja vrednosti promenljivih poetnog bazinog reenja

    primenom Vogelovog metoda, zapoinje izraunavanjem vrednosti razlika

    izmeu dva minimalna troka za svaku vrstu i kolonu tabele. Tako izraunate

    razlike pridruujemo vrstama i kolonama tabele, nakon ega odreujemo

    vrstu, odnosno kolonu kojoj odgovara najvea vrednost ovako pridruenog

    elementa. Poetnu koliinu rasporeujemo u polje sa najniim trokovima,

    koje odgovara vrsti (koloni) sa najveom ovako izraunatom razlikom. Sobzirom da se u jednom koraku eliminie ili vrsta ili kolona, nakon svakog

  • 7/30/2019 Skripta iz modela

    39/64

    Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662

    39

    rasporeivanja vri se izraunavanje promenjenih razlika izmeu dva

    minimalna elementa. Ukoliko je u jednom koraku eliminisana vrsta, to moe

    izazvati promenu pridruenih razlika po kolonama i obrnuto. Izraunavanjem

    samo promenjne razlike, sukcesivnim popunjavanjem polja tabele vrimo u

    skladu sa kriterijumom maksimalne razlike izmeu dva minimalna elementa.

    Postupak se zavrava nakon preraspodeljivanja ukupne ponude na mestatranje, tj. nakon popunjavanja 1 nm polja tabele.

    65.Metodi optimizacije programa transportaMetodi optimizacije programa transportasu:

    a. Stepping stone metod (metod skakanja sa kamena na kamen)

    b. Metod potencijala

    a. Stepping stone metod (metod skakanja sa kamena na kamen)

    - Sutina ovog metoda sastoji se u postupku ispitivanja uticaja potencijalnogkorienja nezauzetih polja tabele na ukupne transportne trokove.

    -Metod skakanja sa kamena na kamen, primenjuje se tako to se skakanjem za

    svako prazno polje tabele koje predstavlja poetno bazino reenje, obrazuje

    poligon ija sesva temena, izuzev poetnog, nalaze u popunjenim poljima. Svi

    uglovi ovako formiranog poligona, koji ima paran broj temena su pravi. Na

    osnovu ovako formiranog poligona, za svako prazno polje tabele

    izraunavamo takozvane relativne koeficijente trokova, koji pokazuju za

    koliko jedinica e se ukupni trokovi transporta poveati (smanjiti) ukoliko u

    odgovarajue polje uvrstimo jednu jedinicu prevezene robe. Relativne

    koeficijente trokova izraunavamo tako to od transportnog troka koji

    odgovara poetnom polju, naizmenino oduzimamo i dodajemo jedinine

    transportne trokove koji se nalaze na temenima poligona. Pozitivna vrednost

    ovako izraunatog relativnog koeficijenta trokova, pokazae da bi

    angaovanje odgovarajueg polja dovelo do poveanja ukupnih transportnih

    trokova, dok je u sluaju njegove negativne vrednosti zakljuak suprotan.

    Prema tome, postojanje makar jednog negativnog relativnog koeficijenta

    trokova pokazuje, da poetno bazino reenje nije optimalno.

    b. Metod potencijala- Postupak primene metoda potencijala podrazumeva odreivanje jednog tzv.

    mnoitelja za svaku od jednaina ponude i tranje sistema ogranienja modelatransporta. Mnoitelji za jednaine ponude iu i mnoitelji za jednaine tranje

    jv , odnosno za odgovarajue vrste i kolone tabele, odreuju se tako da je za

    svaku bazinu promenljivu, tj. popunjeno polje tabele zadovoljen uslov:

    jiijvuc .

    -Jednom od mnoitelja dodeljujemo proizvoljnu vrednost 0, a preostali

    mnoitelji (ima ih nm ) se izraunavaju reavanjem 1 nm jednaina

    jiij vuc , pri emu je polje ),( ji popunjeno. Da bi pokazali postupak

    optimizacije korienjem ovako izraunatih mnoitelja, poimo od osnovnog

    oblika modela transporta, tj. m

    i

    n

    j

    ijijxcz1 1

    ; j

    m

    i

    iji

    n

    j

    ij bxax 11 ; .

  • 7/30/2019 Skripta iz modela

    40/64

    Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662

    40

    Ukoliko sada i-tu jednainu ponude pomnoimo mnoiteljemiu , a jtu

    jednainu tranje mnoiteljemjv i oduzmemo od funkcije cilja, dobija se:

    )()(1 111

    m

    i

    Z

    n

    j

    jj

    m

    i

    ii

    n

    j

    ijjiij

    o

    vbuazxvuc

    . Ako izvrimo smenu:

    0

    11

    ' zvbuavuccn

    j

    jj

    m

    i

    iijiijij

    , moemo pisati:

    0

    1 1

    ' zzxcm

    i

    n

    j

    ijij

    , odnosno zxcm

    i

    n

    j

    ijij 1 1

    ' .

    -Na osnovu poslednje relacije vidimo da izraunata ocena 'ijc za prazno polje

    tabele pokazuje pogodnost njegovog korienja za izraunavanje poboljanog

    reenja. Ukoliko za jedno ili vie praznih polja dobijemo negativnu vrednost

    potencijala ( 0'

    ijc ) konstatujemo da analizirani program transporta nijeoptimalan, ve se korienjem ovih polja moe izraunati povoljnije reenje.

    Za poboljanje programa se koristi polje, kojem odgovara negativni potencijal

    sa najveom apsolutnom vrednou.

    *Znai da bi odredili optimalni program transporta robe metodom

    potencijala, neophodno je:

    1. Odrediti poetni program transporta robe

    2. Odrediti mnoiteljeiu i jv za svaku vrstu i kolonu poetnog reenja

    3. Izraunati potencijale 'ijc za svako prazno polje tabele

    4. Koristei polje sa najmanjom negativnom vrednosti potencijala 'ijc odrediti

    poboljani program transporta odgovarajuim bilansiranjem koliineprevezene robe. Postupak se realizuje u uzastopnim iteracijama sve dok se ne

    odredi takav program transporta robe za ija prazna polja tabele imamo

    nenegativne vrednosti potencijala, tj. 0'ijc .

    66.Degeneracija problema transportaUkoliko u postupku reavanja transportnog problema odredimo reenje u

    kome nema 1 nm bazinih promenljivih, odnosno popunjenih polja tabele,konstatujemo da takvo reenje ne zadovoljava neophodan uslov za primenu

    nekog od metoda optimizacije. Takav sluaj predstavlja degeneracijutransportnog problema. Ovakav sluaj se javlja kad je neka od parcijalnih

    suma ponude jednaka nekoj od parcijalnih suma tranje.Sluaj degeneracije transportnog problema, moe se pojaviti prilikom

    odreivanja poetnog bazinog reenja, kao i u postupku poboljavanja nekog

    programa transporta u proceduri optimizacije.

    -Prilikom odreivanja poetnog reenja degeneracija se javlja u sluaju kada

    popunjavanjem nekog odpolja istovremeno eliminiemo raspoloive koliine

    odgovarajue vrste i kolone, odnosno iscrpimo svu raspoloivu ponudu robe i

    zadovoljimo ukupnu tranju koja odgovara tom odreditu.

    - U postupku optimizacije sluaj degeneracije se javlja kad u jednom koraku iz

    baze iskljuimo dve promenljive, a u bazu ukljuimo samo jednu prethodnonebazinu promenljivu. Tabelarno, ovaj sluaj nastaje kada u jednom koraku

  • 7/30/2019 Skripta iz modela

    41/64

    Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662

    41

    dva (ili vie) prethodno popunjenih polja postaju prazna, dok popunjavamo

    samo jedno prethodno prazno polje.

    - Sluaj degeneracije se prevazilazi tako to se u neko od praznih polja unosi

    koliina od jedinica robe, gde je infinitezimalno mali broj, koji ne

    naruava izraene jednakosti ponude i tranje. Obino se ova veliina unosi u

    prazno polje, kojemu odgovaraju najnii transportni trokovi po jediniciprevezene robe.

    67.Model asignacijeosnovne karakteristike i algoritam za reavanje modela-Osnovni zahtev koji se u okviru ovog modela postavlja jeste optimizacija

    rasporeda odreenog broja izvrilaca za obavljanje odreenog broja

    ekonomskih aktivnosti.

    -Ukoliko pretpostavimo da m izvrilaca treba rasporediti za obavljanje n

    poslova, pri emu se postavlja zahtev za odreivanje takvog rasporeda za koji

    e se ostvaritiminimalni ukupni trokovi rada. Model rasporeivanja moemo

    predstaviti u sledeem obliku:

    ijm

    i

    n

    j

    ijxcz

    1 1

    min

    11

    m

    i

    ijx i=1,, m

    11

    n

    j

    ijx j=1, , n

    0ij

    x ili 1

    ijx -predstavlja promenljivu koja pokazuje angaovanje ili ne

    angaovanje j-tog izvrioca za obavljanje j-tog posla.

    ijc -pokazuje trokove angaovanja j-tog radnika za obavljanje j-posla.

    1ijx -i -ti radnik treba biti angaovan za obavljanje j-te aktivnosti, dok u

    suprotnomsluaju ta promenljiva jednaka je nuli ( 0ijx )

    * Specifinost ovako izraenog problema u odnosu na transportni sastoji se u

    injenici da je ponuda svakog ishodita kao i tranja svakog odredita jednaka

    jedinici. Ovo proizilazi iz injenice da je za obavljanje neke aktivnosti u

    postupku rasporeivanja mogue angaovati samo jednog izvrioca, odnosno

    dajedan izvrioc moe obavljati samo jednu aktivnost.

    -Za odreivanje optimalnog programa rasporeivanja najee se koristi tzv.

    Maarski metodkoji se zasniva na zahtevu za minimizacijom tzv.

    oportunitetnih trokova, do kojih dolazi ukoliko se za obavljanje odreene

    aktivnosti ne angauje najefikasniji izvrilac. Postupak optimizacije

    rasporeivanja primenom ovog metoda zasniva se na korienju matrice C, iji

    su elementi koeficijenti funkcije cilja.

    nnnn