7/27/2019 Skripta OPM 2. kolokvij

1/1

Grupoidje uredeni par(G, o) koji se sastoji od nepraznog skupa G i

binarne operacije definirane na tom skupu.

Polugrupa - Grupoid(G,o) kod kojeg je binarna operacija o asocijativna, tj.

Vrijedi (aob)oc=ao(boc) za svaki a,b,c, iz G zove se polugrupa.

(oduzimanje nije polugrupa jer nije asocijativna operacija)

Monoid - Grupoid (G,o) kod kojeg je binarna operacija o asocijativna i

posjeduje jedinicu (neutralni element), tj. postoji eG takav a je

eoa = aoe = a, za svaki aG

Grupa(G,o) ako je : -operacija o je asocijativna

-postoji neutralni element

-svaki element iz G ima inverzni. aoa-1

=a-1

oa=e

-ukoliko je operacija o i komutativna (Abelova grupa) aob=boaPrstenje ureena trojka (S,+,*) koji se sastoji o nepraznog skupa S i viju

binarnih operacija + i *koja zadovoljavaju svojstva:

-(S,+) komutativna grupa -(S,*) je monoid

-vrijede svojstva distributivnosti a(b+c)=ab + ac

Poljeje ureena trojka (S,+,*) neprazni skup, +, * koje zaovoljavaju

svojstva: -(S,+) je komutativna grupa -(S\{0},*) je komutativna grupa

-svojstvo distributivnosti

Tijelo ureena trojka (S,+,*) - neprazni skup S, + i *zadovoljavaju svojstva:

-(S,+) komutativna grupa -(S\{0},*) je grupa -svojstva distributivnosti

Vektorski prostor na poljem F je ureena etvorka (V,F,+,*)

Pritom moraju vrijediti: -(V, +) je Abelova grupa -operacija * - svojstva:

neutr.element, kvaziasocijativnost, istrib. u onosu na zbr i mnoenje

Nulvektor u vektorskom prostoru V nad poljem F je neutralni element O u

abelovoj grupi (V,+)

Linearna nezavisnost konanog skupa vektora Kaemo a je S

lin.nez.skupako se nulvektor moe na jeinstveni nain prikazati kao lin.

komb. vektora. Kaemo a je skup lin.nez. ako je svaki njegov kon.

podskup lin. nez.

Linearno zavisan kon. skup vektora ako se nul.vek. moe pokazati na

barem 2 razl. naina kao lin. komb iz S. Kaemo a je skup S lin zavisan

ako je barem jedannjegov konaan poskup lin zav

Svaki podskuplinearno nezavisnog skupa je lin. nezavisan skup, anadskuplin zav skupa zavisan skup.

Linearni omotaS-poskup o V. Lin.omota efiniran: ako je S=0 tada je

L(S)={O} i ako je S!=0 tada je L(S) skup svih linearnih komb. vektora iz

skupa S.

Skup izvodnica Ypodskup V. Ako je mogude svakivektor iz V prikazati kao

lin komb. vektora iz skupa Y.

Baza Bje skup izvodnica za V i linearno nezavisni skup u V.

Karakterizacija baze 1.Y je baza za V. 2.Y je minimalni skup izvodnica za V.

3.Y je maksimalni skup lin nez vektora u V

Steintzov teorem svake dvije baze danog v.p. V su ekvipotente - imaju isti

kardinalni broj (dim v.p.)

Dimenzija Vje kardinalni broj baze.

Konanodimenzionalni v.p.je ako ima bar jean konani skup izvonica

(konanedim)

Teorem o nadopuni do bazeNeka je SV lin nez skup vektora. Tada je S

poskup neke baze prostora V. Svaki se lin nez skup moe naopuniti o

baze (nije jedinstvena)

Potprostor Y je vekt potprostor prostora V ako je Y i sam prostor nad

poljem F s obzirom na iste operacije + i * u V. Y < V.

Karakterizacija potprostora- skup YV je potprostor od V akko za svaki

izbor a,b Y i F je takoer a+bY.

Neprazni skup Y je potprostor za V akko je zatvoren za uzimanje lin kombsvojih el.

Rang matricejednak je maksimalnom broju lin. nez. stupaca/redaka

matrice A koje promatramo kao vektore iz Fm\n

.

U retanoj ealon formi rang = br nenul reaka.

Dimenzija skupajednaka je max broju lin. nez. vektora iz skupa S. Jednaka

je imenziji njegovog lin. omotaa.

Koordinatni sustav u ravninije ureeni par (O,B) koji se sastoji o jene

toke O iz te ravnine i jene baze B= {->

e1,->

e2} za R2

,a u prostoruisto

samo baza B = B= {->

e1,->

e2,,->

e3} za R3.

Linearni operatorpreslikavanje - ako zadovoljava 1.aditivnost

f(a+b)=f(a) + f(b) 2.homogenost f(a)=f(a).

Preslikavanje f : U V je linearni operatorakko za svaki izbor , F i

svaki izbor a,b U vrijei f(a + b) = f(a) + f(b).

Zadavanje lin operatoraNeka je (a1, ..., ak) lin nez skup vektora iz

prostora U, a skup (b1,...,bk) bilo koji skup vektora iz prostora B. Tada

postoji bar jedan lin oper. f:U->V takav da je f(a i)=bi.2 lin operatora U->V su jednaka ako imaju isto djelovanje na bilo kojoj

bazi prostora U.

Teorem o rangu i defektu - Neka je f : U V linoperator. Tada je suma

ranga i defekta od f jednaka dimenziji prostora U, tj. r(f) + d(f) = dimU.

Izomorfizam- Neka su U i V vektorski prostori na istim poljem F. Kaemo

da je preslikavanje f : U V izomorfizam vektorskih prostora ako vrijei:

1. f je linearni operator, 2. f je bijekcija.

(Hamilton-Cayley).Svaka kvadratna matrica A ponitava svoj

karakteristini polinom, tj. kA(A) = O.

Karakteristini ili svojstveni polinommatrice A je

kA() = et(AI). To je polinom n-tog stupnja u varijabli s koef iz polja F.

Sline matrice imaju isti karakt. polinom.

Karakteristini polinommatrice je djeljiv s njezinim minimalnim

polinomom.

Nulpolinomje polinom kojemu su svi koeficijenti jenaki 0.

Minimalni polinommatrice A je polinom mA() != 0 najnieg stupnja

kojeg matrica A ponitava, tj. mA(A) = O.

Teorem odnos mat.zapisa u razlicitim parovima baza

Neka su F i F0 matrice operatora f u paru baza (A,B), odnosno (A0,B0).

Tada je F0 = T^1FS,gje je S matrica prijelaza A S A0, a T matrica

prijelaza B T B0.

Slika od f je skup Im f=S(f)=f(U)={f(x)|xU}

Jezgraod f je skup Ker f=N(f)=f-1

(0v)={xU|f(x)=0v}

Rang lin operatora f R=r(f)=dim(Imf)

Defekt lin operatora f D=d(f)= dim (Ker f)

Trivijalni v.p. - {nulvektor}

Prikaz vektora u bazi jejedinstven!

Provjera potprostoraa i b, je li suma u skupu, -neutr.el. s obzirom na + u

skupu?suprotni vektor u skupu?