Univerzitet u PritiniFakultet tehnikih nauka

Praktikum iz Signala i Sistema - MatLabprogrami

Kosovska Mitrovica, oktobar 2014.

Sadraj1 Veba 1 - Crtanje signala u MatLab-u, odreivanje srednje vrednosti,

energije i snage signala 11.1 Uvodni deo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Transformacije signala, konvolucija 6

1 Veba 1 - Crtanje signala u MatLab-u, odreivanjesrednje vrednosti, energije i snage signala

1.1 Uvodni deoOsnovna stvar koju treba razmotriti kada govorimo o signalima i sistemima jeste

potreba modelovanja dva fenomena. Prvi od njih jeste fenomen sistema koji semodeluju matematikim relacijama. Drugi fenomen koji je potrebno modelovati jestesignal. Signali se modeluju matematikim funkcijama. Prilikom analize fizikihsistema, mi zapravo razmatramo modele sistema i signala, a ne fizike signale isistema. Korisnost dobijenih rezultata analize fizikih sistema zavisi od tanostimodela [Phillips: Signals, Systems and Transforms].

Cilj ove vebe jeste matematiki opis signala kao i osnovne osobine signala, dokje opis sistema ostavljen za neredne vebe. Analogni signal se predstavlja funkcijomx (t), definisanom na intervalu (t1, t2) realne ose, gde je t1 t2 . Sa drugestrane, diskretni signal se predstavlja funkcijom x [n], gde je n ceo broj iz intervala(n1, n2) celobrojne ose ( n1 n2 ) [T. Petrovi, A. Raki: Signali i sistemi].

Jedan od naina dobijanja diskretnog signala jeste uzimanjem trenutnih vrednostikontinualnog signala u odreenim vremenskim trenucima, odnosno odmeravanjem. Usluaju uniformnog odmeravanja kontinualnog signala x(t) moemo pisati:

x[n] = x (t) |t=nTs = x (nTs) (1.1)

gde je sa Ts oznaena perioda odmeravanja.Iako su mnogi od signala sa kojima se inenjeri sreu u svakodnevnoj

praksi komplikovanog vremenskog oblika, oni se esto mogu prikazati linearnomkombinacijom elementarnih ili osnovnih vremenskih oblika (signala), iji jematematiki oblik jednostavan. Mnoge operacije nad signalima se mogu pojednostavitijednostavnim transformacijama signala. Generalno gledano, sve transformacije signalase mogu grubo podeliti na: transformacije nezavisne vremenske promenljive (inverzijavremena, skaliranje vremena, pomeranje u vremenu) i transformacije amplitude(pojaanje, dodavanje konstante vrednosti).

1. Za signal prikazan na Slici ?? odrediti:

a) analitiki oblik u intervalu t (5, 5) s;b) srednju vrednost signala u intervalu t (5, 5) sc) energiju signala pod pretpostavkom njegove aperiodinosti;

d) snagu signala pod pretpostavkom da je signal periodian sa periodom T0 =10 s.

Korienjem MatLaba:

e) skicirati signal x (t);

f) skicirati parni i neparni deo signala x (t);

g) izraunati srednju vrednost, energiju i snagu signala, a zatim uporeditidobijene vrednosti sa vrednostima izraunatim pod b), c) i d).

1

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5-1-2-3-4-5 t[s]

x (t)

Reenje: Na osnovu vremenskog oblika signala moemo pisati:

x(t) =

1, 5 t < 3

2t+ 7, 3 t < 1

5, 1 t < 1

53(t 4) , 1 t < 4

0, inae

Prethodna relacija se moe napisati na sledei nain:

x(t) = u (t+ 5) u (t+ 3) + (2t+ 7) [u (t+ 3) u (t+ 1)] + 5 [u (t+ 1) u (t 1)]

53(t 4) [u (t 1) u (t 4)]

(1.2)Sreivanjem prethodnog izraza konano dobijamo:

x(t) = u (t+ 5) + 2 (t+ 3)u (t+ 3) 2 (t+ 1)u (t+ 1)

53(t 1)u (t 1) + 5

3(t 4)u (t 4)

(1.3)

Srednja vrednost signala u datom intervalu jednaka je:

xsr =1

T0

55

x (t) dx

=1

10

[ 35

dx+

13

(2t+ 7) dx+ 5

11

dx 53

41

(t 4) dx]

= 2.55

(1.4)

Energija signala odreena je relacijom:

Ex =

55

x2 (t) dx

=

35

dx+

13

(2t+ 7)2dx+

11

52dx+

41

[5

3(t 4)

]2dx

= 99.67

(1.5)

2

Na osnovu izraunate energije snaga signala, pod pretpostavkom njegoveperiodinosti, iznosi:

Px =ExT0

= 9.967 (1.6)

clear allclose allclc

T_0=10; T_start=-5; T_end=5; dT=(T_end-T_start)/1000;

%generisanje vrednosti signala x(t)x=inline(((t+5)>=0)+2*(t+3).*((t+3)>=0)-2*(t+1).*((t+1)>=0)-5/3*(t-1).*((t-1)>=0)+5/3*(t-4).*((t-4)>=0),t);

t=(T_start:dT:T_end); %vektor vremenskih trenutaka

%parni i neparni deox_p=0.5*(x(t)+x(-t));x_n=0.5*(x(t)-x(-t));

%nalazenje minimalnih i maksimalnih vrednosti funkcija kako bi osegrafika

%bile u istoj razmerigmax=max([max(x(t)), max(x_p), max(x_n)])+1;gmin=max([min(x(t)), min(x_p), min(x_n)])-1;

%d)figure(1); clf(1);subplot(311);plot(t,x(t),k,LineWidth,2), grid onylabel(\it x(t),FontName,Times,FontSize,14);axis([T_start T_end gmin gmax]);%e)subplot(312);plot(t,x_p,k,LineWidth,2), grid onylabel(\it x_p(t),FontName,Times,FontSize,14);axis([T_start T_end gmin gmax]);subplot(313);plot(t,x_n,k,LineWidth,2), grid onxlabel(\it t[ms],FontName,Times,FontSize,14);ylabel(\it x_n(t),FontName,Times,FontSize,14);axis([T_start T_end gmin gmax]);%fx_sr=1/T_0*trapz(t,x(t))E_x=trapz(t,x(t).^2)P_x=E_x/T_0

2. Na Slici ?? prikazan je diskretni signal dobijen odmeravanjem kontinualnogsignala iz Primera 1 sa periodom odmeravanja Ts = 1 s. Odrediti:

a) analitiki oblik signala u intervalu n [5, 5];b) srednju vrednost signala u intervalu n [5, 5];

3

c) energiju signala pod pretpostavkom njegove aperiodinosti;

d) snagu signala pod pretpostavkom da je signal periodian sa periodom N0 =11.

Korienjem MatLab-a:

e) skicirati signal x[n];

f) skicirati parni i neparni deo signala x [n];

g) izraunati srednju vrednost, energiju i snagu signala, a zatim uporeditidobijene vrednosti sa vrednostima izraunatim pod b), c) i d).

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5-1-2-3-4-5 n

x [n]

Reenje: Na osnovu vremenskog oblika signala moemo pisati:

x[n] =

1, 5 n < 3

2n+ 7, 3 n < 1

5, 1 n < 1

53(n 4) , 1 n < 4

0, inae

Prethodna relacija se moe napisati na sledei nain:

x[n] = u [n+ 5] u [n+ 3] + (2n+ 7) {u [n+ 3] u [n+ 1]}+ 5 {u [n+ 1] u [t 1]}

53(n 4) {u [t 1] u [t 4]}

(1.7)

Sreivanjem prethodnog izraza dobijamo:

x(t) = u [n+ 5] + 2 (n+ 3)u [n+ 3] 2 (n+ 1)u [n+ 1]

53(n 1)u [n 1] + 5

3(n 4)u [n 4]

(1.8)

Srednja vrednost diskretnog signala odreena je relacijom:

xsr =1

N0

55

x [n] = 2.364 (1.9)

4

Energija signala odreena je relacijom:

Ex =55

x2 [n]

=45

1 +23

(2n+ 7)2+

01

52 +31

[5

3(n 4)

]2= 100.89

(1.10)

Na osnovu izraunate energije snaga signala, pod pretpostavkom njegoveperiodinosti, iznosi:

Px =ExN0

= 9.17 (1.11)

clear allclose allclc

N_0=11; n_start=-5; n_end=5;

%generisanje vrednosti signala x(t)x=inline(((n+5)>=0)+2*(n+3).*((n+3)>=0)-2*(n+1).*((n+1)>=0)-5/3*(n-1).*((n-1)>=0)+5/3*(n-4).*((n-4)>=0),n);

n=(n_start:n_end); %vektor rednih broja odmeraka

%parni i neparni deox_p=0.5*(x(n)+x(-n));x_n=0.5*(x(n)-x(-n));

%nalazenje minimalnih i maksimalnih vrednosti funkcija kako bi osegrafika

%bile u istoj razmerigmax=max([max(x(n)), max(x_p), max(x_n)])+1;gmin=max([min(x(n)), min(x_p), min(x_n)])-1;

%dfigure(1); clf(1);subplot(311);stem(n,x(n),k,LineWidth,2), grid onylabel(\it x[n],FontName,Times,FontSize,14);axis([n_start n_end gmin gmax]);

subplot(312);stem(n,x_p,k,LineWidth,2), grid onylabel(\it x_p[n],FontName,Times,FontSize,14);axis([n_start n_end gmin gmax]);%esubplot(313);stem(n,x_n,k,LineWidth,2), grid onxlabel(\it n,FontName,Times,FontSize,14);ylabel(\it x_n[n],FontName,Times,FontSize,14);axis([n_start n_end gmin gmax]);

5

%fx_sr=1/N_0*sum(x(n))E_x=sum(x(n).^2)P_x=E_x/N_0

1.2 Zadaci1. Korienjem MatLaba skicirati sledee kontinualne signale:

(a) x (t) = sinc t u intervalu t (4, 4);(b) x (t) = sinc (t 1)u (t+ 1) u intervalu t (10, 1);(c) x (t) = cos (2t)u (t 1.5) u intervalu t (0, 10);(d) x (t) = et cos (2t)u(t) u intervalu t (1, 5);(e) x (t) = e1.5t cos (2t)u(t) u intervalu t (1, 5);(f) x (t) = cos t+ cos(2t) u intervalu t (2, 2).

2. Korienjem MatLaba skicirati sledee diskretne signale:

(a) x [n] = 2 0.9n;(b) x [n] = [n+ 2] 2[n 2];(c) x [n] = (1)n 0.8n;(d) x [n] = (0.9)n sin (n/8);(e) x [n] = (1.1)n sin (n/8);

2 Transformacije signala, konvolucija1. Skicirati sledee funkcije:

a) x1 (t) = u (t) u (t 2)b) x1 (t) = u (t+ 2) u (t 2)c) x1 (t) = 2u (t+ 1) 2u (t 1)

2. Signal x (t) prikazan na Slici ima vrednost razliitu od nule u intervalu t [2, 2].

1

-1

1 2 3 4-1-2-3-4 t

x (t)

6

1

-1

1 2 3 4-1-2-3-4 t

y1 (t)

a) Na sledeoj Slici prikazan je signal y1 (t), dobijen modifikacijom nezavisnevremenske promenljive signala x (t). Odrediti izraz za y1 (t) u funkciji x ().

b) Na sledeoj Slici prikazan je signal y2 (t), dobijen modifikacijom vremenskepromenljive signala x (t). Odrediti izraz za y2 (t) u funkciji signala x (t).

1

-1

1 2 3 4-1-2-3-4 t

y2 (t)

c) Neka je y3 (t) = x (2t+ 3). U kojim vremenskim trenucima t vai da jey3 (t) = 1?

d) Za koje vrednosti vremena t parni deo signala x (t) ima vrednost jednakunuli?

3. Signali x (t) i v (t) zadati su analitiki:

x (t) = 3 [u (t+ 3) u (t 7)]

v (t) = et [u (t+ 2) u (t 6)] , = 0.1831

Odrediti signal y (t):y (t) = x (t) v (t)

Reenje:

y (t) =

x () v (t ) d

=

3 [u ( + 4) u ( 7)] e(t) [u (t + 2) u (t 6)] d

7

Prethodni izraz se svodi na zbir etiri integrala:

I1 = 3

u ( + 4) e(t)u (t + 2) d

I2 = 3

u ( + 4) e(t)u (t 6) d

I3 = 3

u ( 7) e(t)u (t + 2) d

I4 = 3

u ( 7) e(t)u (t 6) d

koji se svode na:

I1 = 3

4

e(t)u (t + 2) d = 3

(e4et e2

)u (t+ 6)

I2 = 3 4

e(t)u (t 6) d = 3

(e4et e6

)u (t 2)

I3 = 3 7

e(t)u (t + 2) d = 3

(e7et e2

)u (t 5)

I4 = 3

7

e(t)u (t 6) d = 3

(e7et e6

)u (t 13)

Konano je:y (t) = I1 + I2 + I3 + I4

8