skripta_prvi_deo.pdf 1710kb feb 09 2007 08:48:02 am
TRANSCRIPT
Univerzitet u NisuGradevinsko - arhitektonski fakultet
Gradevinski odsek
Fizika
J. Karamarkovic
Nis, 2005.
Predgovor
Ovaj skripta nastala je na osnovu istoimenog udzbenika koji se pojavio ove godine.
Kao skracena verzija udzbenika, ona je namenjena studentima Gradevinskog odseka
Gradevinsko-arhitektonskog fakulteta u Nisu, i u potpunosti odgovara novom nastavnom
programu.
Za veliku pomoc u tehnickoj pripremi skripte dugujem zahvalnost svom kolegi dr
Cedomiru Maluckovu, docentu Tehnickog fakulteta u Boru. Zahvaljujem se recenzentima
udzbenika, prof. dr Momcilu Pejovicu i prof. dr Miodragu Radovicu na korisnim sugesti-
jama koje su podigle kvalitet udzbenika i skripte, kao i bivsem saradniku Gradevinsko-
arhitektonskog fakulteta Zoranu Stojiljkovicu, za izradu velikog broja pocetnih verzija
slika.
U Nisu 1.10.2005.g. J. Karamarkovic
1
2
Sadrzaj
Uvod 7
Fizicke velicine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Priroda fizickih velicina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Osnovni modeli u fizickim teorijama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1 Oscilacije i talasi 9
1.1 Harmonijske oscilacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Linearni harmonijski oscilator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2 Realni oscilatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.3 Energija linearnog harmonijskog oscilatora . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.4 Slaganje harmonijskih oscilacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.5 Razlaganje oscilacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2 Prigusene oscilacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3 Prinudne oscilacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4 Talasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.1 Vrste talasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4.2 Brzina prostiranja mehanickih talasa . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.3 Jednacina sinusnog progresivnog talasa . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.4 Energija i intenzitet talasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4.5 Interferencija talasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.4.6 Stojeci talasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.5 Talasi u Zemljinom omotacu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5.1 Grada Zemlje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5.2 Seizmicki talasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2 Akustika 37
2.1 Osnovne karakteristike zvuka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Zvucni izvori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Intenzitet i nivo zvuka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.4 Subjektivna jacina zvuka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5 Akustika prostorija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.5.1 Apsorpcija zvuka. Vreme reverberacije . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5.2 Apsorberi zvuka - materijali i konstrukcije . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6 Prolaz zvuka kroz pregradne zidove. Zastita od buke . . . . . . . . . . . . 46
2.6.1 Buka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3
4 Sadrzaj
2.6.2 Karakteristike buke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.6.3 Prihvatljivi nivoi buke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.6.4 Izolaciona mocmaterijala i veza sa akustickom izolovanoscu prostorije 49
2.7 Ultrazvuk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3 Elektromagnetni talasi i optika 55
3.1 Elektromagnetni talasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.1.1 Dualisticka priroda elektromagnetnog zracenja . . . . . . . . . . . . 56
3.1.2 Spektar elektromagnetnih talasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.1.3 Energija elektromagnetnih talasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2 Svetlost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2.1 Spektar vidljive svetlosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2.2 Odbijanje svetlosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.2.3 Prelamanje svetlosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2.4 Razlaganje (disperzija) svetlosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2.5 Boja tela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3 Infracrvena i ultraljubicasta svetlost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.4 Oko i videnje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.4.1 Grada oka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.4.2 Proces videnja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4.3 Spektralna osetljivost oka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.5 Svetlosni izvori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.6 Fotometrija i osvetljenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.6.1 Fotometrijske velicine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.6.2 Fotometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.7 Fizicka (talasna) optika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.7.1 Interferencija svetlosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.7.2 Difrakcija svetlosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.7.3 Polarizacija svetlosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4 Toplota 91
4.1 Temperatura i toplota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.2 Merenje temperature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.2.1 Temperaturske skale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.2.2 Termometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.3 Zakoni sirenja cvrstih i tecnih tela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.3.1 Zakon linearnog sirenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.3.2 Povrsinsko sirenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.3.3 Zapreminsko sirenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.3.4 Termicko naprezanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.4 Gasni zakoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.4.1 Jednacina stanja idealnog gasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.4.2 Bojl-Mariotov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.4.3 Gej-Lisakov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.4.4 Sarlov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Sadrzaj 5
4.4.5 Avogadrov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.4.6 Daltonov zakon parcijalnih pritisaka . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.5 Kalorimetrijska jednacina. Specificne toplote . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.6 Promene agregatnih stanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.7 Dijagram stanja. Trojna tacka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.8 Van der Valsova jednacina stanja za realne gasove. Kondenzacija realnih
gasova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5 Jednosmerne i naizmenicne struje 107
5.1 Intenzitet i gustina struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.2 Omov zakon. Elektricna provodnost
i otpornost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.3 Dzulov zakon. Snaga elektricne struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.4 Elementi elektricnih kola stalne jednosmerne struje . . . . . . . . . . . . . 110
5.4.1 Generatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.4.2 Otpornici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.4.3 Ampermetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.4.4 Voltmetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.5 Resavanje prostih i slozenih kola. Kirhofovi zakoni . . . . . . . . . . . . . . 115
5.6 Vitstonov most . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.7 Naizmenicne struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.7.1 Elementi kola naizmenicne struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.7.2 Redno RLC kolo. Impedansa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.8 Snaga naizmenicne struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.9 Elektricni transformatori. Prenos elektricne energije . . . . . . . . . . . . . 124
5.9.1 Generatori elektricne struje. Trofazne struje . . . . . . . . . . . . . 126
5.10 Nacini dobijanja elektricne energije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6 Transportni procesi 131
6.1 Prenosenje toplote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.2 Provodenje toplote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.2.1 Osnovne postavke provodenja toplote . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.2.2 Provodenje toplote kroz jednoslojni zid . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.2.3 Provodenje toplote kroz viseslojni zid . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.2.4 Prenosenje toplote kroz zid okruzen fluidima . . . . . . . . . . . . 137
6.3 Prenosenje toplote strujanjem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.4 Prenosenje toplote zracenjem. Zakoni zracenja . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.5 Atmosfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.6 Vlaznost vazduha. Kondenzovanje vodene pare u atmosferi . . . . . . . . . 146
6.7 Difuzija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.8 Difuzija i kondenzacija vodene pare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.8.1 Difuzija vodene pare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.8.2 Kondenzacija vodene pare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6 Sadrzaj
7 Nuklearna fizika 155
7.1 Sastav i osobine jezgra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.2 Defekt mase i energija veze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
7.3 Prirodna radioaktivnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.3.1 Zakon radioaktivnog raspada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
7.3.2 Aktivnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.3.3 Radioaktivni nizovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
7.3.4 Radijum i radon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
7.4 Jonizujuca zracenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.4.1 Alfa zracenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
7.4.2 Beta zracenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
7.4.3 Gama zracenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7.4.4 Rendgensko zracenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
7.4.5 Neutronsko zracenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
7.4.6 Kosmicko zracenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
7.5 Dozimetrija jonizujuceg zracenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
7.6 Uticaj zracenja na organizam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.7 Detekcija jonizujuceg zracenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Uvod
Fizicke velicine
Fizicka velicina je parametar koji kvantitativno opisuje neki fizicki proces. Postoje
osnovne i izvedene velicine. Izvedene su one velicine koje se mogu izvesti iz osnovnih,
dok se osnovne ne mogu izvoditi. Tako na primer u geometriji postoji samo jedna os-
novna fizicka velicina - duzina, dok se sve ostale, povrsina, zapremina, ugao, prostorni
ugao, mogu izvesti iz nje. U kinematici, osnovne velicine su duzina i vreme, dok su izve-
dene brzina, ubrzanje, ugaona brzina, ugaono ubrzanje. U dinamici postoje tri osnovne
velicine, duzina, vreme i masa, dok su izvedene impuls, sila, moment impulsa, moment
sile, energija, rad, snaga, itd.
Osnovnih fizickih velicina ima sedam, i one su, zajedno sa svojim jedinicama, prikazane
u tabeli 1.
Tabela 1. Osnovne fizicke velicine Intenacionalnog sistema jedinica (SI).
naziv osnovne velicine oznaka jedinica oznaka
duzina L metar m
masa m kilogram kg
vreme t sekunda s
jacina elektricne struje I amper A
termodinamicka temperatura T kelvin K
svetlosna jacina Iv kandela cd
kolicina supstancije N mol mol
Svaka fizicka velicina ima svoju dimenziju, po kojoj se razlikuje od drugih. Osnovne
fizicke velicine definisu osnovne dimenzije, dok se dimenzije izvedenih fizickih velicina
izvode na osnovu njih. Npr. dimenzija brzine je dimenzija duzine kroz dimenziju vremena:
[v] =[L]
[t],
a dimenzija sile ima dimenziju mase umnozenu dimenzijom duzine a sve to podeljeno
dimenzijom vremena na kvadrat:
[F ] =[m] · [L]
[t]2,
7
8 Osnovni modeli u fizickim teorijama
i tako dalje. Izuzetno, mogu postojati i razlicite izvedene fizicke velicine sa istom dimen-
zijom. Npr. postoje razlicite bezdimenzione velicine: ugao, prostorni ugao, indeks prela-
manja, itd. Takode, npr. i pritisak i normalni napon imaju dimenziju sila kroz povrsinu,
a rad, energija i moment sile imaju dimenziju sile pomnozenu dimenzijom duzine.
Priroda fizickih velicina
Za opisivanje nekih fizickih velicina dovoljno je poznavati jedan broj. Primer za to je
temperatura koja se meri na nekom mestu. Ovakve fizicke velicine nazivaju se skalarne
velicine ili prostije skalari. Ukoliko je za poznavanje neke fizicke velicine potrebno poz-
navati njen intenzitet, pravac i smer, ili, ekvivalentno, vrednosti tri koordinate, onda se
takve velicine nazivaju vektorske velicine ili vektori. Osim skalara i vektora, postoje i
slozenije fizicke velicine, koje se nazivaju tenzorske velicine ili tenzori. Tenzor je velicina
koja svakom vektoru pridruzuje drugi vektor koji nije kolinearan sa datim vektorom, i za
njegovo poznavanje potrebno je poznavati devet skalarnih odnosno tri vektorske velicine.
Osnovni modeli u fizickim teorijama
Jedan od osnovnih pojmova mehanike je materijalna tacka. To je telo koje nema
dimenzija, ali ima masu, i u svakom trenutku se poklapa sa nekom tackom prostora.
Materijalna tacka predstavlja idealizaciju koja u realnosti ne postoji.
Tela cije su dimenzije zanemarljivo male u poredenju sa dimenzijama trajektorije po
kojoj se telo krece zovemo cestice (ili materijalne tacke u fizickom smislu).
Skup fizickih objekata od kojih se svaki moze tretirati kao cestica zove se sistem cestica.
Ukoliko se medusobna rastojanja cestica u sistemu ne mogu menjati, onda se takav sistem
naziva kruto telo.
Ukoliko je broj cestica u sistemu vrlo veliki, onda se pristupa jos jednoj idealizaciji
koja se naziva neprekidna (kontinualna) sredina ili kontinuum. To je materijalna sredina
u kojoj je materija rasporedena kontinualno, tj. svakoj tacki prostora koji se posmatra
mogu se pridruziti neke fizicke velicine (gustina, brzina, pritisak...).
Glava 1
Oscilacije i talasi
Periodicno kretanje je kretanje cestice pri kome ona posle konacno dugog vremena
iznova prolazi kroz svaku tacku svoje putanje. Vreme potrebno da se kretanje ponovi
naziva se period i obelezava sa T . Najjednostavniji primer periodicnog kretanja je rotacija
planeta oko Sunca.
Ukoliko je putanja po kojoj se cestica krece otvorena, onda se cestica naizmenicno
nalazi sa jedne i druge strane ravnoteznog polozaja, a ovakvo kretanje se naziva oscilatorno
kretanje, ili krace oscilacije.
1.1 Harmonijske oscilacije
Najjednostavniji slucaj oscilatornog kretanja je kada se koordinata kojom se opisuje
polozaj cestice koja se krece izrazava pomocu prostih harmonijskih funkcija, sinusa i
kosinusa. Ovakvo oscilovanje naziva se prosto haronijsko oscilovanje, a cestica koja vrsi
ovakvo kretanje naziva se linearni harmonijski oscilator (LHO).
1.1.1 Linearni harmonijski oscilator
Posmatrajmo cesticu mase m koja moze da
xO
mF
a)
xO
m F
b)
Slika 1.1. Restituciona sila koja delujena cesticu mase m: a) kada je cestica napozitivnom delu x-ose, b) kada je cesticana negativnom delu x-ose.
se krece samo po pravoj liniji. Postavimo x
osu duz ove prave tako da se ravnotezni polozaj
nalazi u koordinatnom pocetku. Neka, kao na
slici 1.1, na cesticu deluje sila koja je usmerena
prema ravnoteznom polozaju i proporcionalna
je elongaciji. Takva sila naziva se restituciona
sila, i matematicki se izrazava kao
F = − k x. (1.1)
Tada drugi Njutnov zakon glasi:
ma = mx = −k x. (1.2)
Ako konstantu k izrazimo preko nove konstante ω kao:
k = m · ω2, (1.3)
9
10 Glava 1. Oscilacije i talasi
onda se (1.2) pretvara u diferencijalnu jednacinu:
x+ ω2 x = 0 (1.4)
cije je resenje oblika:
x(t) = x0 sin(ω t+ ϕ), (1.5)
gde su:
x(t) - trenutno udaljenje cestice od ravnoteznog polozaja (elongacija),
x0 - maksimalno udaljenje cestice od ravnoteznog polozaja (amplituda),
ω - ugaona ucestanost (ugaona frekvencija),
t - nezavisna promenljiva - vreme,
ϕ - pocetna faza.
Jednacina (1.5) naziva se jednacina linearnog harmonijskog oscilatora i predstavlja
jednacinu koja opisuje oscilovanje, tj. daje zavisnost elongacije od vremena. Dakle,
mozemo reci da ako na neku cesticu deluje restituciona sila oblika (1.1), onda cestica vrsi
osilatorno kretanje. Grafik funkcije (1.5) za ϕ = 0 prikazan je na slici 1.2.
T
x
x0
-x0
t
Slika 1.2. Zavisnost elongacije linearnog harmonijskog oscilatora od vremena.
Ugaona velicina1
Φ = ω t+ ϕ (1.6)
odreduje trenutni polozaj cestice i naziva se faza oscilovanja. Ugaona ucestanost ω
povezana je sa periodom oscilovanja T relacijom:
ω =2π
T, (1.7)
gde je period T vreme potrebno da se izvrsi jedna puna oscilacija, kao sto se vidi sa slike
1.2. Koristeci vezu perioda i obicne (tzv. linijske) ucestanosti ν, koja predstavlja broj
oscilacija u jedinici vremena, moze se uspostaviti veza izmedu dveju ucestanosti:
T =1
ν⇒ ω = 2πν. (1.8)
Ugaona velicina ϕ naziva se pocetna faza jer odreduje polozaj cestice u pocetnom
trenutku
ϕ = Φ(t = 0) ⇒ x(t = 0) = x0 sinϕ,
i nalazi se u opsegu [0, 2π] ili u opsegu [−π, π].
1Bezdimenziona velicina koja predstavlja argument trigonometrijske funkcije i izrazava se u jedinicama
za ugao, tj. radijanima ili stepenima.
1.1. Harmonijske oscilacije 11
0T 0.5T 1T 1.5T 2T
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
t
xt
vt
at
(),
(),
()
ubrzanje ( )a t
brzina ( )v telongacija ( )x t
Slika 1.3. Uporedne zavisnosti elongacije, brzine i ubrzanja linearnog harmonijskog oscilatora
od vremena.
Brzina cestice koja osciluje moze se odrediti diferenciranjem izraza (1.5) po vremenu:
v =dx
dt= x = ω x0 cos(ω t+ ϕ), (1.9)
a ubrzanje jos jednim diferenciranjem:
a =dv
dt= v = x = −ω2x0 sin(ω t+ ϕ) = −ω2 x(t) (1.10)
Grafici elongacije, brzine i ubrzanja LHO prikazani su na slici 1.3.
1.1.2 Realni oscilatori
Kao primer oscilatornog sistema razmotricemo slucaj tega mase m okacenog o oprugu
konstante (koeficijenta krutosti) k. Konstanta opruge izrazava elasticna svojstva opruge2
i predstavlja faktor proporcionalnosti izmedu elasticne sile u opruzi i njenog izduzenja.
Ako oprugu opteretimo silom F , ona ce se izduziti za rastojanje x, tako da elasticna sila
u oprugi k · x uravnotezi spoljnu silu F . Dakle:
F = k x ⇒ k =F
x, (1.11)
tj. konstanta opruge brojno je jednaka sili koja izvrsi jedinicno izduzivanje opruge. Zbog
toga se ova konstanta naziva i direkciona sila, iako to nije fizicka velicina koja predstavlja
silu, vec ima dimenzije N/m tj. kg/s2. U slucaju okacenog tega mase m, spoljasnja sila
je tezina tega mg i ona je uravnotezena elasticnom silom u opruzi kxs, gde je xs tzv.
staticko izduzenje opruge (slika 1.4):
mg = kxs ⇒ xs =mg
k. (1.12)
Ako se na teg u miru deluje nekom dodatnom silom i on izvede iz ravnoteznog polozaja,
pojavice se nekompenzovana elasticna sila opruge koja ima oblik restitucione sile i koja
2Krutost i elasticnost su dva suprotna pojma, sto je vece k opruga je manje elasticna.
12 Glava 1. Oscilacije i talasi
xs
x0
x0m
m
m
0
x
d)a) b) c)
Slika 1.4. Sistem opruga-teg: a) neistegnuta opruga; b) staticko izduzenje opruge; c) i d)amplitudni polozaji harmonijskog oscilovanja.
izaziva oscilovanje oko ravnoteznog polozaja (polozaja staticke ravnoteze), pa se sistem
opruga-teg u oscilovanju naziva i harmonijsko klatno. Dinamicka jednacina sada glasi:
mx = mg − kx = −k(x− xs) (1.13)
gde je x rastojanje koje se meri od polozaja neistegnute opruge. Resenje ove diferencijalne
jednacine je
x = xs + x0 sin(ω t+ ϕ), (1.14)
dakle, dobijaju se oscilacije oko polozaja staticke ravnoteze. Ovaj ravnotezni polozaj
harmonijskog klatna, meren od polozaja neistegnute opruge, zavisi od mase tega, i utoliko
je veci ukoliko je masa tega veca, a konstanta opruge manja, sto se vidi iz jednacine (1.12).
Drugi primer linearnog harmonijskog
qmax q
q
m m
Q
QnQ
t
a) b)
x0
Slika 1.5. Matematicko klatno: a) amplitudni iravnotezni polozaj; b) analiza sila.
oscilatora je matematicko klatno. Ma-
tematicko klatno cini cestica mase m
okacena o neistegljiv konac duzine l zane-
marljive mase, slika 1.5.a. Ako se cestica
izvede iz ravnoteznog polozaja, otpocece
njeno oscilovanje po delu kruzne putanje
pod uticajem tezine cestice. Ukoliko pret-
postavimo da je ugao maksimalnog otk-
lona θmax mali, tada se kretanje po delu
kruzne putanje moze aproksimirati kretan-
jem po pravoj liniji, tj. tangenti kruzne putanje, tj. vazi (slika 1.5.b):
sin θ ≈ θ ≈ tan θ =x
l. (1.15)
Sada se za tangencijalnu komponentu tezine moze napisati:
Qt = −Q sin θ ≈ mgx
l= −kx (1.16)
Vidi se da Qt ima oblik restitucione sile3, tj. izazivace oscilacije cestice. Uocava se takode
da je konstanta matematickog klatna, tj. koeficijent proporcionalnosti izmedu restitucione
3Za razliku od harmonijskog klatna (tj. sistema opruga-teg) kod koga je ulogu restitucione sile igrala
elasticna sila u opruzi, jasno je da kod matematickog klatna ulogu restitucione sile preuzima gravitaciona
sila, tj. njena tangencijalna komponenta.
1.1. Harmonijske oscilacije 13
sile i elongacije:
k =mg
l, (1.17)
odakle mozemo odrediti period oscilovanja matematickog klatna kao:
k = mω2 =mg
l⇒ ω =
√
g
l=
2π
T⇒ T = 2π
√
l
g. (1.18)
1.1.3 Energija linearnog harmonijskog oscilatora
Cestica koja vrsi harmonijsko oscilatorno kretanje poseduje kineticku i potencijalnu
energiju. Posto se kineticka energija definise kao polovina proizvoda mase tela i kvadrata
njegove brzine, koristeci (1.9) dobijamo:
Ek =mv2
2=
1
2mx2
0 ω2 cos2(ω t+ ϕ) =
k x20
2cos2(ω t+ ϕ). (1.19)
Posto je restituciona sila koja izaziva oscilatorno kretanje potencijalna, njena poten-
cijalna energija se moze izraziti kao:
Ep =k x2
2=
1
2mω2 x2
0 sin2(ω t+ ϕ) =k x2
0
2sin2(ω t+ ϕ) (1.20)
Lako je uociti da je ukupna energija cestice, koja se odreduje sabiranjem kineticke
i potencijalne energije, konstantna, tj. ne zavisi od vremena, te da je proporcionalna
kvadratu amplitude oscilovanja:
E = Ek + Ep =1
2mω2 x2
0 =k x2
0
2= const = E0 (1.21)
E E E, ,k p
Ek
Ep t
E
Slika 1.6. Zavisnost energija od vremenaza LHO.
Ep
Ek
E
Ep
x-x0 x
0
Slika 1.7. Zavisnost potencijalne energijeod elongacije za LHO.
Na slici 1.6 prikazane su vremenske zavisnosti kineticke, potencijalne i ukupne energije
LHO, dok je na slici 1.7 prikazana zavisnost potencijalne energije od elongacije cestice.
Zakljucujemo da se kretanje linearnog harmonijskog oscilatora (tj. prosto harmonijsko
oscilovanje) desava tako da se vrsi stalna promena kineticke energije u potencijalnu i
14 Glava 1. Oscilacije i talasi
obrnuto, pri cemu njihov zbir, tj. ukupna energija ostaje konstantna. U trenucima pro-
laska kroz ravnotezni polozaj, brzina tela je maksimalna pa samim tim i njegova kineticka
energija, tj. u ravnoteznom polozaju ukupna energija jednaka je kinetickoj. Nasuprot
tome, u trenucima prolaska kroz amplitudne polozaje, brzina tela jednaka je nuli (jer u
tim polozajima brzina menja smer), pa je kineticka energija takode jednaka nuli, dok je
potencijalna energija maksimalna i jednaka ukupnoj energiji. Jednakost kineticke i po-
tencijalne energije ostvaruje se cetiri puta u toku jednog perioda, tj. u svakoj cetvrtini
perioda po jednom, onda kada faza oscilovanja zadovoljava uslov
Φ = ωt+ ϕ =π
4+ n
π
2, n ∈ Z. (1.22)
1.1.4 Slaganje harmonijskih oscilacija
Pretpostavimo sada da na neko telo u jednom trenutku vremena deluje vise restitu-
cionih sila. Zbog jednostavnosti, proucicemo slucaj dve, a analogni tretman je i za slucaj
vise sila. Zbog linearnosti diferencijalne jednacine (1.2) koja opisuje dinamiku oscilujuce
materijalne tacke, vazice princip superpozicije, tj. rezultujuce kretanje bice zbir dva kre-
tanja nastala pod dejstvom pojedinacnih restitucionih sila. U zavisnosti od pravaca datih
sila mozemo razlikovati dva slucaja, kada se pravci delovanja sila poklapaju i kada se
ne poklapaju (tada ovi pravci odreduju jednu ravan). Prvi slucaj dovodi do slaganja
oscilacija istog pravca, a u drugom slucaju, posto je rec o komplanarnim silama, uvek
je moguce izvrsiti njihovo projektovanje na dve unapred zadate medusobno upravne ose,
cime dolazimo do slaganja oscilacija upravnih pravaca.
Slaganje oscilacija istog pravca
Pretpostavimo da na telo u istom trenutku deluju dve restitucione sile duz istog pravca
x. Oznacimo sa x1 i x2 oscilacije koje nastaju kao posledica pojedinacnog dejstva ovih
restitucionih sila, i, za pocetak, pretpostavimo da ove oscilacije imaju jednake ugaone
frekvencije i amplitude, a da se razlikuju samo po pocetnoj fazi:
x1 = A sin(ω t+ ϕ1), x2 = A sin(ω t+ ϕ2). (1.23)
Rezultujucu oscilaciju je vrlo jednostavno odrediti prostim algebarskim sabiranjem ova
dva izraza
x = x1 + x2 = A[sin(ω t+ ϕ1) + sin(ω t+ ϕ2)] =
= 2A cosϕ1 − ϕ2
2sin(ω t+
ϕ1 + ϕ2
2) = Ar sin(ω t+ ϕr), (1.24)
te uocavamo da rezultujuca oscilacija ima istu ugaonu frekvenciju kao i pojedinacne os-
cilacije, da se njena pocetna faza nalazi izmedu vrednosti pocetnih faza ovih oscilacija, a
njena amplituda bitno zavisi od razlika povcetnih faza oscilacija koje se sabiraju.
Pretpostavimo sada da ponovo slazemo oscilacije iste ugaone frekvencije (sto zapravo
znaci da su iste konstante k restitucionih sila koje deluju na materijalnu tacku), ali da su
sada osim pocetnih faza, razlicite i amplitude:
x1 = A1 sin(ω t+ ϕ1), x2 = A2 sin(ω t+ ϕ2). (1.25)
1.1. Harmonijske oscilacije 15
Do resenja se sada moze doci na dva nacina, algebarski i geometrijski. Potrazimo najpre
algebarsko resenje. Transformisimo izraz za zbir oscilacija x = x1 + x2 do oblika:
x = A1[sinωt cosϕ1 + cosωt sinϕ1] + A2[sinωt cosϕ2 + cosωt sinϕ2] =
= sinωt[A1 cosϕ1 + A2 cosϕ2] + cosωt[A1 sinϕ1 + A2 sinϕ2]. (1.26)
Ako sada uvedemo dve nove konstante, A i ϕ, tako da vazi:
A1 cosϕ1 + A2 cosϕ2 = A cosϕ, A1 sinϕ1 + A2 sinϕ2 = A sinϕ, (1.27)
onda ocigledno za rezultujucu oscilaciju dobijamo:
x = A sin(ω t+ ϕ). (1.28)
Valjanost uvodenja A i ϕ pomocu jednacina (1.27) odreduje se na osnovu toga da li
ih je iz datih jednacina moguce jednoznacno odrediti. Ako se ove jednacine medusobno
podele, ili kvadriraju pa saberu, dobijaju se trazeni izrazi za rezultujucu amplitudu i
pocetnu fazu:
tanϕ =A1 sinϕ1 + A2 sinϕ2
A1 cosϕ1 + A2 cosϕ2
, (1.29)
A =√
A21 + A2
2 + 2A1A2 cos(ϕ2 − ϕ1) (1.30)
Do istog rezultata moze se doci i na ge-
f1
f2
f
A1
A2
A b
Slika 1.8. Fazorski dijagram slaganja os-cilacija istog pravca.
ometrijski nacin. Naime, svakoj oscilaciji moze
se pridruziti jedan rotirajuci vektor u ravni (tzv.
fazor) koji ima osobinu da se obrce u smeru
suprotnom od kretanja kazaljke na satu uga-
onom brzinom ω koja se poklapa sa ugaonom
ucestanoscu oscilovanja, ima intenzitet jednak
amplitudi oscilovanja A, a ugao koji u pocet-
nom trenutku zaklapa sa pozitivnim delom x ose
ima vrednost pocetne faze oscilovanja ϕ. Tada,
ako nacrtamo dva fazora koji odgovaraju pojedi-
nacnim oscilacijama, fazor rezultujuce oscilacije
odredujemo njihovim vektorskim sabiranjem, slika 1.8.
Rezultujucu amplitudu odredujemo na osnovu kosinusne teoreme:
A2 = A21 + A2
2 − 2A1A2 cos β, β = π − (ϕ2 − ϕ1), ⇒
A =√
A21 + A2
2 + 2A1A2 cos(ϕ2 − ϕ1), (1.31)
a pocetnu fazu na projekcija rezultujuceg fazora:
tanϕ =Ay
Ax
=A1 sinϕ1 + A2 sinϕ2
A1 cosϕ1 + A2 cosϕ2
. (1.32)
U zavisnosti od faznog stava polaznih oscilacija razlikujemo dva karakteristicna
slucaja. Ako je razlika pocetnih faza jednaka nuli (ili 2π), tj. ako su one jednake,
ϕ2 − ϕ1 = 0 ⇒ A = A1 + A2, (1.33)
16 Glava 1. Oscilacije i talasi
onda je rezultujuca amplituda maksimalna i jednaka zbiru amplituda pojedinacnih os-
cilacija. Ako je pak razlika pocetnih faza jednaka π:
ϕ2 − ϕ1 = π ⇒ A = |A1 − A2| (1.34)
onda je rezultujuca amplituda minimalna i jednaka modulu razlike amplituda pojed-
inacnih oscilacija.
Potrazimo sada rezultujucu oscilaciju u specificnom slucaju slaganja oscilacija ra-
zlicitih ugaonih ucestanosti, kada su te ucestanosti vrlo bliske. Radi jednostavnosti pret-
postavimo da oscilacije koje slazemo imaju iste amplitude i pocetne faze jednake nuli:
x1 = A0 sinω1 t, x2 = A0 sinω2 t, ω1 ≈ ω2. (1.35)
Tada se za rezultujucu oscilaciju dobija
x = x1 + x2 = 2A0 cosω1 − ω2
2t sin
ω1 + ω2
2t ≈ A(t) sinω t, (1.36)
tj. slozeno oscilovanje koje se moze okarakterisati kao oscilacija sa sporo promenljivom
amplitudom A(t) ((ω1 − ω2)/2 ¿ ω) i ugaonom ucestanoccu ω koja je priblizno jednaka
ucestanostima pojedinacnih oscilacija ω ≈ ω1 ≈ ω2. Ovakva slozena oscilacija, ciji je
grafik skiciran na slici 1.9, naziva se izbijanje (ili kolebanja, udari), zbog toga sto postoje
vremenski trenuci kada se oscilovanje gubi. Ucestanost i period udara mogu se odrediti
t
xA t( )
Tu
Slika 1.9. Graficki prikaz slaganja oscilacija bliskih ucestanosti-izbijanje (1.36).
kao:|ω1 − ω2|
2=ωu
2⇒ |ν1 − ν2| = νu ⇒ Tu =
1
|ν1 − ν2|. (1.37)
Slaganje oscilacija sa medusobno upravnim pravcima
Posmatrajmo sada slucaj postojanja dve restitucione sile upravnih pravaca koje deluju
na oscilator. Postavimo koordinatni sistem tako da se pravci sila poklapaju sa x, odnosno
y osom. Neka su pojedinacne oscilacije koje se javljaju kao posledica dejstva ovih dveju
sila date izrazima
x = A1 sinω t, y = A2 sin(ω t+ ϕ), (1.38)
sto znaci da imaju istu ugaonu ucestanost. Problem slaganja oscilacija upravnih pravaca
svodi se na odredivanje trajektorije po kojoj se u stvari krece cestica pod istovremenim
1.1. Harmonijske oscilacije 17
dejstvom dve restitucione sile. Da bi se odredila ova trajektorija neophodno je iz jednacina
(1.38) eliminisati vreme. U konkretno zadatom slucaju to se moze uraditi tako sto se iz
prve jednacine odrede sinωt i cosωt a zatim zamene u drugu jednacinu, koja se pre toga
napise u razvijenom obliku:
sinω t =x
A1
, cosω t =
√
1−x2
A21
,
y
A2
= sinω t cosϕ+ cosω t sinϕ.
odakle se dobije trazena jednacina trajektorije:
x2
A21
−2xy
A1A2
cosϕ+y2
A22
= sin2 ϕ (1.39)
x
y
y A=2
y A= -2
x A= -1
x A=1
Slika 1.10. Opsti oblik eliptickog polarizovanog rezultujuceg oscilovanja za slucaj jednakihucestanosti upravnih oscilacija, jednacina (1.39).
Jednacina (1.39) predstavlja jednacinu elipse cije poluose zaklapaju izvesni ugao sa
koordinatnim osama (slika 1.10), a rezultujuce oscilovanje se naziva elipticki polarizovano.
Postoje neki karakteristicni slucajevi kada se jednacina trajektorije (1.39) moze po-
jednostaviti. Na primer, ako je fazna razlika upravnih oscilacija jednaka ±π/2,
ϕ = ϕy − ϕx = ±π
2⇒
x2
A21
+y2
A22
= 1, (1.40)
onda je dobijena trajektorija elipsa cije se poluose poklapaju sa koordinatnim osama. Ako
su jos i amplitude upravnih oscilacije jednake
A1 = A2 = R ⇒ x2 + y2 = R2, (1.41)
onda se elipsa degenerise u krug, a za takvo rezultujuce oscilovanje kaze da poseduje
kruznu polarizaciju. Ove dve trajektorije prikazane su na slici 1.11.
Karakteristicni slucajevi su i kada je fazna razlika upravnih oscilacija jednaka nuli ili
±π:
ϕ = ϕy − ϕx = nπ ⇒x2
A21
+y2
A22
±2xy
A1A2
= 0 ⇒ y = ±A2
A1
x. (1.42)
gde je n = −1, 0, 1, i tada se kao jednacina trajektorije pojavljuje prava prikazana na slici
1.12, a rezultujuce oscilovanje naziva linearno polarizovano.
18 Glava 1. Oscilacije i talasi
y y
x x
x A= -1 x A=
1x R=
y A=2
y R=
y A= -2
y R= -
x R= -
Slika 1.11. Polarizovano rezultujuce oscilovanje za slucaj fazne razlike jednake ±π/2 za slucajrazlicitih (1.40) i jednakih amplituda (1.41).
y
x
x A= -1 x A=
1
y A=2
y A= -2
y
x
x A= -1
x A=1
y A=2
y A= -2
y x=A
A2
1
y x=A
A2
1
Slika 1.12. Linearno polarizovano oscilovanje kao posledica fazne razlike koja iznosi celobrojniumnozak π, jednacina (1.42).
Pri slaganju oscilacija sa medusobno upravnim pravcima kod kojih ucestanosti nisu
iste, vec stoje u odnosu celih brojeva, dobijaju se otvorene ili zatvorene linije, sa ili bez
tacaka u kojima kriva sece samu sebe4. Ove krive se nazivaju Lisazuove figure i prikazane
su na slici 1.13.
1.1.5 Razlaganje oscilacija
Oscilacije mogu biti proste i slozene. Prosta oscilovanja opisana su prostom harmoni-
jskom funkcijom (sinusnom ili kosinusnom), tj. jednacinom (1.5). Za razliku od prostih
oscilacija, postoje i slozene oscilacije koje se opisuju tzv. slozeno periodicnim funkcijama.
U matematici se pokazuje da se svaka slozeno-periodicna velicina f(t) moze razloziti na
prebrojivo beskonacan (ili u nekom posebnom slucaju konacan) broj prostih harmonijskih
oscilovanja. Ovo razlaganje se naziva harmonijska analiza, a dobijeni red Furijeov red:
f(t) =1
2a0 +
∞∑
k=1
(ak cos kω t+ bk sin kω t) =1
2a0 +
∞∑
k=1
ck sin(kω t+ ϕk). (1.43)
Koeficijenti Furijeovog reda ak, bk (k = 0, 1, 2, ...) ili a0, ck, ϕk (k = 1, 2, ...) odreduju se
integracijom polazeci od funkcije f(t). Vise detalja o Furijeovim redovima moze se dobiti
u okviru matematickih kurseva.4sto zavisi od razlike pocetnih faza ϕ1 − ϕ2
1.2. Prigusene oscilacije 19
.
.
.
...
y
x
x A= -1
x A=1
y A=2
y A= -2
y
x
x A= -1
x A=1
y A=2
y A= -2
w
wx
y=
1
2j - j = 01 2
w
wx
y=
1
2j - j =1 2
p
2
Slika 1.13. Lisazuove figure.
1.2 Prigusene oscilacije
Prilikom izvodenja jednacine kretanja LHO (1.5) ucinili smo pretpostavku da na telo
deluje samo restituciona sila, sto znaci da smo zanemarili svaki uticaj sredine u kojoj se
odvija kretanje. Posto se oscilacije najcesce ne odvijaju u vakuumu, vec u vazduhu ili
nekoj drugoj sredini, potrebno je uzeti u obzir dejstvo okoline na kretanje. Sila kojom
okolina deluje na telo u kretanju zavisi od svojstava sredine (gustine, viskoznosti, itd.,),
od oblika tela koje se krece, i od njegove brzine. Na primer, ljudski organizam je naviknut
na kretanje kroz vazduh, i otpor vazduha kretanju, koji je mali, uopste ne oseca, ukoliko
nema kretanja vazduha, tj. vetra. Za razliku od vazduha, prilikom kretanja kroz vodu
jasno se oseca otpor kretanju. Iskusniji plivaci osetice cak i razliku prilikom plivanja u
slatkovodnoj i morskoj vodi. Voznja na motociklu, ili u otvorenim kolima, pokazace da
se otpor sredine povecava sa porastom brzine. Oblik tela koje se krece narocito je bitan
kod konstrukcije automobila (a posebno kod sportskih bolida), brzih vozova, automobila,
projektila, i sl., kako bi se smanjio otpor sredine kretanju i time smanjila potrosnja goriva.
Na osnovu prethodne analize jasno je da ce se realnije opisivanje oscilovanja ostvariti
ako se osim restitucione sile uzme u obzir i sila otpora sredine. Iz iskustva je poznato da
ce se oscilovanje tega okacenog o oprugu (i izvedenog iz ravnoteznog polozaja da zapocne
oscilovanje) zavrsiti posle odredenog vremena, tj. da nece trajati beskonacno dugo kako to
sledi iz analize LHO. Radi jednostavnosti analize, a i zbog cinjenice da su brzine kretanja
oscilatornih tela male, pretpostavicemo da je sila otpora sredine linearno proporcionalna
brzini
Fotp = − b v = − b x, (1.44)
gde je b faktor proporcionalnosti sile i brzine. Zavisnost sile otpora od brzine je jako
komplikovana i zavisi od niza faktora, ali se za male brzine ova zavisnost moze razviti u
red i uzeti samo linearni clan. Znak minus u izrazu (1.44) oznacava da sila otpora sredine
uvek ima smer suprotan brzini, tj. tezi da ukoci telo. Prema tome, osnovna dinamicka
jednacina sada osim restitucione sile sadrzi i silu otpora sredine, i ima oblik:
mx = −k x− b x (1.45)
20 Glava 1. Oscilacije i talasi
Ovodeci nove velicine ω05 i β pomocu:
k = mω20, b = 2mβ, (1.46)
iz (1.45) dobija se diferencijalna jednacina u obliku:
x+ 2β x+ ω20 x = 0 (1.47)
Kada je ispunjen uslov β < ω0 (tj. prigusenje je malo)6 kao resenje diferencijalne
jednacine (1.47) dobija se kvazi-periodicno kretanje7 opisano jednacinom:
x(t) = A0 exp{−β t} sin(ω t+ ϕ). (1.48)
Ova zavisnost prikazana je na slici 1.14, za razlicite vrednosti prigusenja.
Amplituda kod ovakvog kretanja je eksponencijalno opadajuca funkcija vremena:
A(t) = A0 exp{−β t}. (1.49)
Ugaona ucestanost, odnosno period, prigusenih oscilacija dati su izrazima:
ω2 = ω20 − β
2, T =2π
ω=
2π√
ω20 − β
2(1.50)
Dakle, uporedujuci prosto harmonijsko oscilovanje dato jednacinom (1.5) i prikazano
na slici 1.2 sa prigusenim kvazi-periodicnim oscilovanjem datim jednacinom (1.48) i
prikazanim na slici 1.14, mogu se odmah uociti dve bitne razlike koje se pojavljuju usled
postojanja otpora sredine:
• amplituda oscilacija eksponencijalno opada sa vremenom, i
• ugaona ucestanost se smanjuje (a period povecava) u odnosu na situaciju kada nema
prigusenja; ove zavisnosti prikazane su na slici 1.15 i ono sto se lako uocava je da se
za slucaj malog prigusenja ove promene mogu zanemariti.
Osim ovih, postoje jos nekoliko razlika, koje se ne uocavaju na prvi pogled, i o kojima ce
biti reci kasnije.
5ω0 predstavlja ugaonu ucestanost oscilovanja kada ne bi bilo prigusenja.6U zavisnosti od vrednosti faktora prigusenja β jednacina (1.47) moze imati kvalitativno razlicita
resenja:
1. β > ω0 kretanje je aperiodicno;
2. β = ω0 kretanje je kriticno aperiodicno;
3. β < ω0 kretanje je kvazi-periodicno;
U slucaju velikih prigusenja (β > ω0) telo izvedeno iz ravnoteznog polozaja nece uopste ni zapoceti
oscilacije i pored dejstva restitucione sile, vec ce se nakon otpocinjanja kretanja zaustaviti. U slucaju
kriticno aperiodicnog kretanja proces gubljenja energije tela tece najbrze.7Kretanje kod prigusenih oscilacija se naziva kvazi-periodicno jer nije ispunjen strogi uslov peri-
odicnosti elongacije x(t + T ) = x(t), gde je T period oscilovanja. Medutim, kod kvazi-periodicnog
kretanja postoji periodicnost faze oscilovanja Φ = ωt + ϕ, tj. vazi Φ(t + T ) = Φ(t), pa se ipak moze
definisati period T , te se stoga i govori o kvazi-periodicnom kretanju. Tacnije, kvazi-periodicno kretanje
se moze razloziti na proizvod jedne periodicne (sin(ω t+ϕ)) i jedne neperiodicne (A0 exp{−β t}) funkcije
vremena.
1.2. Prigusene oscilacije 21
x
x
x0
-x0
A t( )x t( )
t
t
x
A0
A0
-A0
-A0
t
A t( )
x t( )
b w= 0.051 0
T0
T1
T2
d = 0.315
Q = 2.14
b = 0
d = 0
Q r ¥
b w= 0.12 0
d = 0.631
Q = 1.39
2
2
1
1
Slika 1.14. Zavisnost elongacije od vremena kod prigusenih oscilacija.
U dosadasnjoj analizi kao meru prigusenja koristili smo faktor b koji se pojavljuje
u izrazu za silu otpora sredine (1.44), sa dimenzijom b[=]N· s/m=kg/s, i faktor β koji
se javlja u diferencijalnoj jednacini prigusenih oscilacija (1.47), koji ima dimenzije uces-
tanosti β[=]s−1. Medutim, uobicajeno je da se stepen prigusenja opisuje nekim drugim
faktorima:
• vreme relaksacije τ definise se kao vreme potrebno da se amplituda prigusenih os-
cilacija smanji e puta, gde je e osnova prirodnih logaritama. Iz A(t + τ) = A(t)/e
dobija se
τ =1
β; (1.51)
• dekrement prigusenja k definise se kao odnos za koji se smanji amplituda u toku
jednog perioda:
k =A(t)
A(t+ T )= exp{βT}; (1.52)
• logaritamski dekrement prigusenja δ predstavlja prirodni logaritam dekrementa
prigusenja:
δ = ln k = lnA(t)
A(t+ T )= βT =
T
τ; (1.53)
22 Glava 1. Oscilacije i talasi
0.0 0.5 1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
T
0T
w
0w
b
0w
Slika 1.15. Promena perioda i ugaone ucestanosti u zavisnosti od prigusenja.
0.001 0.01 0.1 1
0.01
0.1
1
10
100 d
b/w0
Slika 1.16. Zavisnost logaritamskog dekre-
menta δ od stepena prigusenja β/ω0.
0.001 0.01 0.1 11
10
100
Q
d
Slika 1.17. Zavisnost Q-faktora od log-
aritamskog dekrementa δ (puna linija).
Aproksimativni izraz (1.54) dat je ispreki-
danom linijom.
Zavisnost logaritamskog dekrementa od odnosa β/ω0 prikazana je na slici 1.16.
• Q faktor (faktor dobrote) definise se kao reciprocna vrednost relativnog gubitka
energije oscilatora u toku jednog perioda Q = E(t)/[E(t)−E(t+ T )]. Na slici 1.17
prikazana je zavisnost Q-faktora od vrednosti logaritamskog dekrementa. Moze se
pokazati (a sto je vidljivo i sa slike) da za mala prigusenja vazi
Q ≈1
2δ. (1.54)
Dekrement i logaritamski dekrement utoliko su veci ukoliko je vece prigusenje, dok su
vreme relaksacije i Q faktor utoliko veci ukoliko je prigusenje manje. Na slici 1.14 su osim
odnosa β i ω0 kao parametri prigusenja prikazane i odgovarajuce vrednosti logaritamskog
dekrementa i Q-faktora.
1.3. Prinudne oscilacije 23
1.3 Prinudne oscilacije
Do sada smo proucavali oscilacije sa i bez prigusenja. U teoriji i praksi moze se
pojaviti jos jedan vazan slucaj oscilacija - prinudne oscilacije, koje nastaju pod dejstvom
spoljasnje periodicne sile, koja konstantno predaje odredenu energiju oscilatoru. Dakle,
ako na materijalnu tacku osim restitucione i sile otpora sredine deluje i neka spoljasnja
prosto-periodicna sila F = F0 sinωp t, gde su F0 i ωp amplituda i ucestanost prinudne sile,
respektivno, tada ce diferencijalna jednacina koja opisuje kretanje te materijalne tacke
imati oblik:
mx = −k x− b x+ F0 sinωp t (1.55)
Ako uvedemo sledece oznake:
k = mω20, β =
b
2m, f0 =
F0
m, (1.56)
dolazimo do jednacine:
x+ 2β x+ ω20 x = f0 sinωp t. (1.57)
Jednacina (1.57) predstavlja nehomogenu diferencijalnu jednacinu (jer na desnoj strani
nije nula vec neka funkcija), cije se resenje moze predstaviti u obliku zbira dva resenja:
resenja homogenog dela i jednog partikularnog integrala koji odgovara nehomogenom
delu. Posto homogeni deo jednacine (1.57) (tj. jednacina sa nulom na desnoj strani) u
stvari predstavlja jednacinu prigusenog oscilovanja (1.45), onda za odgovarajuce resenje
vazi diskusija iz prethodne sekcije, pa ako je prigusenje malo (β < ω0), resenje jednacine
(1.57) mozemo napisati u obliku:
x = A0 exp{−β t} sin(ω t+ ϕ) + xp, (1.58)
gde je xp partikularni integral nehomogenog dela, koga treba traziti u obliku:
xp = x0 sin(ωpt− ψ). (1.59)
Gornja matematicka diskusija ima i svoju fizicku pozadinu. Kretanje oscilatora na
koga deluje prinudna sila sastoji se iz dva kretanja: sopstvenih oscilacija koje su karak-
teristika samog oscilatora i prinudnih oscilacija koje se desavaju pod dejstvom spoljasnje
prinudne sile. Sopstvene oscilacije u stvari definisu prelazni rezim koji posle dovoljno
dugog vremena iscezava, te preostaje samo partikularno resenje xp(t) koje predstavlja
prinudne oscilacije. Primecujemo da je ucestanost prinudnih oscilacija identicna sa uces-
tanoscu prinudne sile.
Tangens faze kasnjenja ψ, i amplituda prinudnih oscilacija mogu se odrediti zamenom
(1.59) u (1.57):
tanψ =2β ωp
ω20 − ω
2p
= f1(β, ω0, ωp),
x0 =f0
√
(ω20 − ω
2p)
2 + 4β2ω2p
= f2(β, ω0, ωp). (1.60)
Zavisnosti x0(ωp) i tanψ(ωp), za razlicite vrednosti faktora prigusenja β, prikazane su
na slici 1.18.
24 Glava 1. Oscilacije i talasi
x0
wpwr1
wr2w
0
w0
w0
b = 0b = 0
b1
b2
wp
y
= 0.1
w0
b1
= 0.1
= 0.5
w0
b2
= 0.5
w0
Slika 1.18. Frekventna zavisnost amplitude i faze prinudnih oscilacija.
Rezonanca
Sa slike 1.18 uocavamo da postoji vrednost ucastanosti prinudne sile ωp za koju se
postize maksimalna amplituda. Ostvarivanje maksimalne amplitude prinudnih oscilacija
naziva se rezonanca, a ucestanost na kojoj se ona ostvaruje rezonantna ucestanost i
oznacava sa ωr. Ona se moze odrediti trazeci ekstremum funkcije x0(ωp):
∂x0
∂ωp
∣
∣
∣
∣
ωp=ωr
= 0 ⇒ ωr =√
ω20 − 2β2 =
√
ω2 − β2 (1.61)
Za rezonantne vrednosti amplitude i tangensa faznog kasnjenja dobijaju se vrednosti:
x0(ωr) =f0
2β√
ω20 − β
2=
f0
2β ω, tanψ(ωr) =
√
(
ω0
β
)2
− 2. (1.62)
Za slucaj neprigusenih prinudnih oscilacija (β → 0) imacemo da je fazno kasnjenje
nula, a rezonatna ucestanost ωr jednaka sopstvenoj ucestanosti ω0:
β → 0 ⇒ ψ = 0, x0 =f0
ω20 − ω
2p
, ωr = ω0. (1.63)
Za slucaj ostvarene rezonance, amplituda neprigusenih prinudnih oscilacija tezi
beskonacnosti, bas kao sto se vidi na slici 1.18:
x0(ωp = ω0)→∞. (1.64)
1.4 Talasi
Do sada smo proucavali oscilatorno kretanje jedne materijalne tacke. Medutim, cesta
je situacija da oscilacija jedne materijalne tacke, koja je npr. izazvana elasticnom silom,
izaziva oscilaciju susedne tacke, ova naredne, te se tako progresivno uspostavlja oscila-
torno kretanje citavog niza tacaka koje se naziva talas. Takode se govori i o prosti-
ranju poremecaja, jer se svaka elongacija materijalne tacke moze shvatiti kao poremecaj
u odnosu na ravnotezni polozaj.
Dva osnovna elementa svakog talasa su talasni izvor i talasni front:
1.4. Talasi 25
• Talasni izvor predstavlja tacku
iz koje zapocinje prostiranje os-
cilacija.
• Talasni front predstavlja povrsi-
nu koju cine tacke do koje je u
jednom trenutku stigao talas. Slika 1.19. Superpozicija sekundarnih ta-
lasa - prostiranje talasa po Hajgensovom
principu.
Prostiranje talasa moze se opisati i pomocu Hajgensovog principa. Hajgensov princip
izrazava cinjenicu da se svaka tacka pogodena talasom moze smatrati izvorom novog
sekundarnog talasa. Sekundarni talasi nastali na talasnom frontu u jednom trenutku
vremena medusobno se ponistavaju u svim pravcima, osim u pravcu sirenja talasa, tj.
novi talasni front se formira na spoljasnjoj obvojnici sekundarnih talasa (slika 1.19).
1.4.1 Vrste talasa
Podela talasa moze se izvrsiti na vise nacina:
• Prema nacinu prostiranja talasi se dele na:
– linijske (jednodimenzione) - koji se prostiru duz jednog pravca;
– povrsinske (dvodimenzione) - koji se prostiru po nekoj povrsini;
– prostorne (trodimenzione) - koji se prostiru u prostoru.
• Prema obliku talasnog fronta razlikujemo:
– sferne talase - kod kojih je talasni front sfera;
– ravanske talase - kod kojih je talasni front ravan; ravanski talasi se mogu sh-
vatiti i kao sferni talasi velikog poluprecnika krivine, tj. sferni talasi na velikim
rastojanjima izgledaju kao ravanski.
• Prema prirodi oscilacija talasi mogu biti:
– mehanicki - kod kojih osciluju cestice materijalne sredine;
– elektromagnetni - kod kojih osciluju vektori elektricnog i magnetnog polja;
– de Broljevi - ili ”talasi materije”; prema kvantno-mehanickim tumacenjima
svakoj cestici moze se pridruziti talas i obrnuto.
• Prema odnosu pravaca oscilovanja i prostiranja postoje:
– transverzalni talasi - kod kojih je pravac prostiranja talasa upravan na pravac
oscilovanja talasa; za njihovo postojanje neophodan je napon smicanja koji
postoji samo kod cvrstih tela, te se ovi talasi prostiru samo u cvrstim sredi-
nama;
26 Glava 1. Oscilacije i talasi
– longitudinalni talasi - kod kojih se pravci prostiranja talasa i oscilovanja tacaka
talasa poklapaju; ovi talasi prostiru se kroz cvrste, tecne i gasovite sredine.
• Konacno, prema slozenosti talase delimo na:
– proste (sinusni ili kosinusni talas) - kada se kao talas uspostavlja samo jedna
prosta harmonijska oscilacija;
– slozene talase - kada tacke talasa vrse slozeno oscilovanje.
1.4.2 Brzina prostiranja mehanickih talasa
Brzina prostiranja talasa zavisi od vrste talasa i karakteristika sredine kroz koju se
obavlja prostiranje:
• Brzina prostiranja transverzalnih talasa u cvrstom telu data je izrazom
c =
√
F
µ, (1.65)
gde je F - sila zatezanja, a µ - masa po jedinici duzine (poduzna masa).
• Brzina prostiranja longitudinalnih talasa u cvrstom telu:
c =
√
Ey
ρ, (1.66)
gde je Ey - Jungov modul elasticnosti, a ρ - gustina sredine.
• Brzina prostiranja longitudinalnih talasa u tecnoj sredini:
c =
√
EV
ρ(1.67)
gde je EV - zapreminski modul elasticnosti, a ρ - gustina sredine.
• Brzina prostiranja longitudinalnih talasa u gasovitoj sredini:
c =
√
pκ
ρt
(1.68)
gde su p - pritisak gasa, κ = cp/cV - adijabatska konstanta (odnos specificnih toplota
pri konstantnom pritisku i konstantnoj zapremini), a ρt - gustina gasa na tempera-
turi t.
Posto i pritisak i gustina gasa zavise od njegove temperature, izraz (1.68) se moze
transformisati koriscenjem jednacine stanja idealnih gasova na oblik:
c = c0
√
T
T0
= c0
√
1 +t
273(1.69)
gde su sada, c0 - brzina talasa na 0◦C, T - apsolutna temperatura gasa, T0 =
273 K - Kelvinova temperatura na nuli Celzijusove skale, i t - temperatura gasa u
Celzijusovim stepenima.
1.4. Talasi 27
1.4.3 Jednacina sinusnog progresivnog talasa
Za razliku od jednacine oscilovanja koja daje zavisnost elongacije od vremena za jednu
tacku koja osciluje, jednacina talasa mora dati ovu zavisnost za sve tacke do kojih je talas
propagirao. Zbog toga je sada elongacija x funkcija dve promenljive t i y:
x(t, y) = x0 sin(ω t− k y) (1.70)
gde su:
x(t, y) - elongacija tacke na mestu y u trenutku vremena t;
x0 - amplituda oscilovanja tacaka talasa;
ω - ugaona ucestanost oscilovanja tacaka talasa;
k - talasni broj (talasni vektor);
Φ(t, y) = ω t− k y - faza oscilovanja tacke na mestu y u trenutku vremena t;
Veze izmedu ugaone ucestanosti ω i perioda T , kao i talasnog broja k i talasne duzine
λ, date su izrazima:
ω =2π
T, k =
2π
λ. (1.71)
Koristeci (1.71), jednacina talasa moze se napisati i u alternativnom obliku8 :
x(y, t) = x0 sin 2π
(
t
T−y
λ
)
. (1.72)
Graficki nacin predstavljanja talasa je moguc na tri razlicita nacina:
1. x(t, y) predstavlja povrsinu u x, t, y dijagramu;
2. x(t, y = y1) predstavlja jednacinu oscilovanja neke fiksirane tacke (y = y1 = const);
3. x(t = t1, y) predstavlja snimak oscilovanja svih tacaka talasa u jednom trenutku
vremena t = t1 = const (slika 1.20).
8Treba napomenuti da je pri pisanju jednacina (1.70) tj. (1.72) ucinjeno nekoliko implicitnih pret-
postavki:
• pretpostavljen je ravanski talas ciji je talasni front zadat jednacinom y = const;
• pretpostavljen je transverzalni talas kod koga se oscilacije desavaju duz x, a talas prostire duz y
pravca; medutim, vazenje ove jednacine se moze jednim misaonim eksperimentom prosiriti i na
slucaj longitudinalnih talasa: zamislimo da se longitudinalni talas prostire duz y ose, i da umesto
jedne x ose koja postoji kod transverzalnih talasa, i koja ima jednacinu y = 0, sada svaka tacka
(npr. yi) na y osi ima svoju x osu, koja se po pravcu poklapa sa y osom, ali tako da se koordinatni
pocetak x ose nalazi upravo u tacki yi (tj. za svaku tacku yi postoji x osa xi sa jednacinom
xi = y − yi); tada, fiksirajuci jedno y = y1 u jednacini (1.70), ponovo dobijamo elongaciju date
tacke u vremenskom trenutku t;
• usvojeno je da nema slabljenja amplitude ni u prostoru ni u vremenu, tj. sve tacke talasa imaju
istu, nepromenljivu amplitudu;
• pretpostavljeno je da se talas prostire kroz beskonacnu sredinu bez diskontinuiteta (prepreka), koje
bi mogle da izazovu refleksiju i stvaranje slozenog talasa.
28 Glava 1. Oscilacije i talasi
l
x
y
vp
Slika 1.20. Oblik sinusnog talasa za t = t1.
Smisao talasne duzine vidi se iz sledeceg razmatranja. Posmatrajmo dve tacke talasa,
koje se nalaze na rastojanjima y1 i y2 od izvora talasa, u istom vremenskom trenutku t:
x1 = x0 sin(ω t− k y1), x2 = x0 sin(ω t− k y2), (1.73)
te odredimo njihovu faznu razliku
∆Φ = ω t− k y2 − ω t+ k y1 = k (y1 − y2) =2π
λ(y1 − y2). (1.74)
Ukoliko je
y1 − y2 = nλ ⇒ ∆Φ = 2π n, (1.75)
odakle zakljucujemo da talasna duzina predstavlja minimalno rastojanje izmedu tacaka
koje se nalaze u istoj fazi oscilovanja talasa (slika 1.20).
Brzina prostiranja talasa vp definise se kao:
vp = c =ω
k=λ
T= ν λ. (1.76)
1.4.4 Energija i intenzitet talasa
Pretpostavimo da u nekoj sredini postoji talasni izvor od koga se u svim pravcima
siri jedan sferni talas. Uocimo sada jednu tacku u toj sredini. Pre nego sto talas do-
pre do nje ona miruje (ako zanemarimo njeno termicko kretanje), pa prema tome nema
mehanicku energiju. Kada bude pogodena talasom ona zapocinje oscilovanje, sto znaci da
je primila odredenu kolicinu energije, koju, ako zanemarimo prigusenje, zadrzava trajno.
Proces prenosenja energije nastavlja se dalje sa drugim, udaljenijim, tackama. Prema
tome, talas mozemo da shvatimo i kao jedan transportni proces u kome se vrsi transport
mehanicke energije. Posto cemo se u ovom kursu sretati sa razlicitim transportnim proces-
ima na ovom mestu cemo pokusati da razvijemo odgovarajucu matematicku metodologiju
i definisati nekoliko karakteristicnih velicina kojima se opisuje transport. Ove velicine date
su u tabeli 1.1.
Posmatrajmo ravanski talas ciji deo talasnog fronta u trenutku t predstavlja zadnju
stranu kvadra prikazanog na slici 1.21. Nakon vremenskog intervala δt talasni front ce
se pomeriti za rastojanje δx = c · δt, gde je c brzina prostiranja talasa. Energetski fluks
(protok) Φ predstavlja energiju koju talas kroz definisanu povrsinu S prenese u jedinici
vremena9
Φ =wS δx
δt= wS c [=] W, (1.77)
9uz pretpostavku da je vrednost intenziteta talasa ista u svim tackama povrsine S
1.4. Talasi 29
Tabela 1.1. Karakteristicne transportne velicine za mehanicki talas.
Transportni proces Mehanicki talas Jedinica
Skalarna velicina
koja se transportuje Mehanicka energija J
Fluks Fluks (protok) energije
(snaga mehanickih talasa) Φ W
Vektor gustine fluksa Intenzitet talasa ~I W/m2
gde je w - gustina energije talasa, tj. energija oscilovanja cestica sredine u jedinici za-
premine.
Intenzitet (jacina) talasa predstavlja energiju koju
S
dx
Slika 1.21. Prostiranje dela fronta
ravanskih talasa.
u jedinici vremena talas prenese kroz jedinicnu
povrsinu:
I =Φ
S= w c [=]
W
m2(1.78)
Ako se gustina energije talasa izrazi preko energije
oscilatora ciji je broj u jedinici zapremine N ,
w = nmω2A2
2=ρ v2
0
2, (1.79)
dobija se:
I =1
2ρω2A2 c, (1.80)
gde je ρ = nm gustina sredine, A amplituda oscilovanja, a ω kruzna ucestanost osilovanja
cestica, dok je v0 maksimalna vrednost brzine oscilujuce cestice. Tacnije, intenzitet talasa
je vektor koji je u svakoj tacki kolinearan sa brzinom prostiranja talasa, tj. upravan na
talasni front:~I = w~c =
1
2ρω2A2 ~c, (1.81)
U slucaju sfernog talasnog fronta, ukupna povrsina talasnog fronta bice S = 4πr2 gde
je r rastojanje od talasnog izvora do talasnog fronta u trenutku t. Sada je veza izmedu
energetskog fluksa i intenziteta talasa data izrazima:
I =Φ
4π r2, Φ = I 4π r2, (1.82)
sto dovodi do zakljucka da ako izvor talasa emituje konstantnu kolicinu energije u jedinici
vremena, onda intenzitet sfernog talasa opada sa kvadratom rastojanja od izvora.
1.4.5 Interferencija talasa
Ako se u nekoj tacki prostora pojave dve oscilacije, onda ce nastati rezultujuca os-
cilacija prema pravilima za slaganje oscilacija. Ako su uzroci nastanka ove dve os-
cilacije prostiranje dva talasa, onda govorimo o interferenciji talasa u datoj tacki. Da
30 Glava 1. Oscilacije i talasi
bi matematicki tretirali ovaj slucaj, posmatracemo dva talasa koja od razlicitih izvora u
istom vremenskom trenutku stignu u istu tacku A, kao na slici 1.22, a radi jednostavnosti,
izabracemo najprostiji slucaj kod koga se oscilacije tacke A poklapaju po pravcu. Da bi
uprostili algebarsku analizu pretpostavicemo i da je amplituda oba talasa ista.
Ove oscilacije date su izrazima:
A
O
O’
Slika 1.22. Interferencija
talasa u tacki A.
x1 = A sin(ω t− k y1),
x2 = A sin(ω t− k y2), (1.83)
tako da se za rezultujucu oscilaciju dobija:
x = x1 + x2 =
= 2A cos ky2 − y1
2sin
(
ω t− ky1 + y2
2
)
= B sin(ω t− ϕ). (1.84)
Uocavamo da je rezultujuca oscilacija prosta harmonijska oscilacija cija amplituda
zavisi od putne razlike dva superponirajuca talasa. Posmatrajmo dva karakteristicna
slucaja: ako je putna razlika dva talasa koji se susticu u tacki A jednaka celobrojnom
umnosku talasnih duzina,
y2 − y1 = nλ ⇒ B = 2A cosnπ = ±2A, (1.85)
amplituda rezultujuce oscilacije je maksimalna i jednaka dvostrukoj vrednosti amplitude
talasa koji interferiraju (jer smo pretpostavili A1 = A2 = A), dok ako je putna razlika
jednaka neparnom umnosku polovina talasnih duzina,
y2 − y1 = (2n+ 1)λ
2⇒ B = 2A cos(2n+ 1)
π
2= 0 (1.86)
amplituda rezultujuce oscilacije je minimalna, tj. jednaka nuli (zbog A1 = A2 = A).
Uslovi putne razlike u jednacinama (1.85) i (1.86) nazivaju se putni uslovi maksimalnog
pojacavanja (1.85) i maksimalnog slabljenja (1.86) pri interferenciji talasa.
1.4.6 Stojeci talasi
Posmatrajmo sada specijalan slucaj interferencije dva ravanska talasa koji imaju iste
amplitude, ucestanosti i talasne duzine, prostiru se duz istog pravca (y-ose), nalaze se u
fazi za y = 0, a jedino se razlikuju po smeru svog prostiranja. Jednacine ovih talasa ce
biti
x1(t, y) = A sin(ω t− k y), x2(t, y) = A sin(ω t+ k y), (1.87)
pri cemu x1 predstavlja talas koji se prostire u pozitivnom a x2 u negativnom smeru y
ose. Posto ove jednacine definisu talase duz citave y ose, njihovim sabiranjem dobijamo
takode talas10 koji ima oblik
x(t, y) = x1 + x2 = 2A cos k y sinω t = B(y) sinω t, (1.88)
sto predstavlja vrlo specifican niz oscilujucih tacaka koji se naziva stojeci talas.
Stojeci talas pokazuje sledece osobine:
10za razliku od analize u prethodnoj sekciji posvecenoj interferenciji gde smo sabirali dve oscilacije, tj.
dva talasa u jednoj tacki, pa je i rezultat bila jedna oscilacija.
1.4. Talasi 31
t =5T8 ,
7T8
,13T
8,15T
8 ,...
t =3T
4,
7T
4,
11T
4,...
t = 0,T
2,
3T
2,T , 2 ,...T
t =T
8,
3T8
,9T
8,
11T
8,...
t =T
4 ,5T
4 ,9T
4,...
y
x
Slika 1.23. Oscilovanje tacaka stojeceg talasa.
• Amplitude oscilovanja pojedinih tacaka talasa nisu konstantne i zavise od polozaja
tih tacaka. To znaci da cestice u razlicitim tackama talasa imaju razlicite amplitude
oscilovanja. Ako potrazimo cestice sa maksimalnom i minimalnom amplitudom
oscilovanja, imacemo
yt = nλ
2⇒ B = ±2A, (1.89)
yc = (2n+ 1)λ
4⇒ B = 0. (1.90)
Tacke u kojima se nalaze cestice sa maksimalnom amplitudom oscilovanja nazivaju
se trbusi a one u kojima su cestice cija je amplituda oscilovanja jednaka nuli11 cvorovi
stojeceg talasa.
• Faze oscilovanja cestica stojeceg talasa ne zavise od njihovog polozaja vec samo
od vremena. To prakticno znaci da sve cestice stojeceg talasa osciluju u fazi, tj.
u nekom vremenskom trenutku sve cestice nalaze se u ravnoteznom polozaju, a u
nekom drugom trenutku sve ce se naci u amplitudnom polozaju (slika 1.23).
• Posto faze oscilovanja cestica stojecih talasa (tj. jedna, jedinstvena faza, kako smo
videli malocas) ne zavise od polozaja, to prakticno znaci da stojeci talas nema svoj
talasni broj, odnosno talasnu duzinu. To znaci da se ne moze definisati ni brzina
prostiranja stojeceg talasa, sto navodi na cinjenicu da se stojeci talas ne prostire, tj.
nije progresivni, vec stojeci, kako mu samo ime kaze. Posto nema brzine prostiranja
ne postoji ni njegov intenzitet, odnosno stojeci talas ne prenosi energiju12.
11tj. cestice koje se u miru i koje ne vrese oscilovanje;12Prethodna, na prvi pogled cudna, tumacenja treba shvatiti na pravi nacin. Stojeci talas predstavlja
stanje oscilovanja odredene oblasti nastalo superpozicijom dva specificna progresivna talasa. Iako ne
postoji talasna duzina stojeceg talasa, u analizama se koristi postojeca talasna duzina interferirajucih
talasa. Takode, iako stojeci talas ne prenosi energiju, to ne znaci da energija ne postoji u oblasti u kojoj
egzistira stojeci talas. To zapravo samo znaci da je kolicina energije koju u posmatranu oblast unese
jedan od interferirajucih talasa jednaka kolicini energije koju onaj drugi iznese, pa je prakticno kolicina
energije lokalizovane u prostoru u kome je formiran stojeci talas konstantna (i jednaka zbiru energija svih
oscilatora u datoj oblasti)
32 Glava 1. Oscilacije i talasi
Stojeci talasi najjednostavnije nastaju kada se neki progresivni talas odbije od idealno
reflektujuce prepreke tako da se ostvari odgovarajuci fazni uslov za incidentni i reflektujuci
talas. Stojeci talasi igraju veliku ulogu kako u akustici (zvucni stojeci talasi), tako i u
elektromagnetizmu (elektromagnetni stojeci talasi).
1.5 Talasi u Zemljinom omotacu
1.5.1 Grada Zemlje
Unutrasnjost Zemlje sastoji se od vise slojeva, ali u pojednostavljenoj slici mozemo
reci da su njeni delovi (slika 1.24):
Kora
Plašt
Spolja njejezgro
š
Unutrašnjejezgro
Slika 1.24. Pojednostavljenagrada Zemlje.
• untrasnje jezgro poluprecnika 1 200 km, sacin-
jeno od gvozda i nikla, koje se zbog ogromnog pri-
tiska nalazi u cvrstom stanju;
• spoljasnje jezgro, debljine oko 2 300 km, takode
sacinjeno od gvozda i nikla, ali u tecnom stanju;
• plast, debljine oko 2 800 km, sastavljen od cvrstih
silikatnih stena;
• kora, debljine 6 do 40 km, takode sacinjena od
silikatnih stena;
Kada govorimo o Zemlji kao slozenom ekoloskom sistemu, i analiziramo procese na
planeti, onda se takode razlikuju nekoliko interagujucih elemenata:
• litosfera koja odgovara Zemljinoj kori;
• hidrosfera koja predstavlja Zemljin vodeni omotac sacinjen od okeana, mora, jez-
era, reka, itd. ;
• atmsofera koja predstavlja vazdusni omotac;
• magnetosfera koja predstavlja oblast u kojoj se oseca dejstvo Zemljinog magnetnog
polja;
• biosfera sastavljena od zivog sveta koji prozima sve prethodne elemente.
1.5.2 Seizmicki talasi
Vecina od nas ima iskustva sa podrhtavanjem tla - zemljotresima. Seizmicki talasi su
vibracije zemljotresa koje se prenose kroz Zemljinu koru.
Zemljotresi (ili trusovi) se prema nacinu nastanka mogu podeliti na prirodne i vestacke.
Prirodni zemljotresi mogu biti:
• urvinski - nastaju obrusavanjem velike mase zemlje u podzemnim supljinama; de-
jstvo im je lokalno;
1.5. Talasi u Zemljinom omotacu 33
• vulkanski - nastaju kada lava prodre kroz kratere ili usled naglog oslobadanja gasova
i vodene pare pod visokim pritiskom; takode su lokalnog dejstva;
• tektonski - nastaju nabiranjem Zemljine kore sto dovodi do velikih pomeranja i
dislokacija u Zemljinoj kori; pomeranja nailaze na otpor trenja, tako da pomereni
blok moze da se zaustavi; tom prilikom tlo podrhtava, a zatim se smiruje posto dolazi
do privremenog uravnotezavanja bloka; medutim, daljom aktivnoscu Zemljine kore
moze da dode do naglog klizanja, kada naponi nadmase sile trenja, i tada dolazi do
velikog trusa;
Vestacki zemljotresi nastaju dejstvom coveka na prirodnu sredinu. Oni npr. nastaju u
slucajevima nuklearnih proba, a prate i nastanak vestackih akumulacionih jezera.
Pojava zemljotresa registruje se instrumentima
Slika 1.25. Seizmograf.
koji se nazivaju seizmografi a koji se nalaze u seiz-
mografskim stanicama. Seizmograf je u sustini
jedno matematicko klatno (vidi sliku 1.25). Kada
se Zemlja trese, kugla seizmografa usled postojanja
inercije ne prati kretanje rama na kome je klatno
obeseno, a pisaljka na kugli belezi odstupanja od
pravca u obliku drhtave linije koja se naziva seiz-
mogram. Kombinacijom razlicitih pravaca zapisi-
vanja, (npr. sever-jug, zapad-istok i vertikalnog
kretanja), kao i uporedivanjem podataka iz mreze seizmickih stanica, mogu se odrediti
vazne karakteristike zemljotresa.
Kretanja seizmickih talasa kroz pojedine delove Zemljine unutrasnjosti koja se karak-
terisu cestim promenama u brzini i pravcu kretanja, ukazuju na nehomogen sastav kako
Zemljine kore, tako omotaca i jezgra. Razni tipovi talasa prostiru se razlicitim brzinama
koje zavise od njihovog nacina oscilovanja i osobina sredine kroz koju prolaze. Gener-
alno posmatrano postoje dva tipa seizmickih talasa: zapreminski, koji se prostiru kroz
Zemljinu unutrasnjost, i povrsinski, koji se prostiru po slobodnoj Zemljinoj povrsi.
Zapreminski talasi mogu biti:
• ”P” (engl. push, lat. primus), primarni, poduzni, longitudinalni, talasi kompresije
a njihova brzina je c = 7− 8 km/s;
• ”S” (engl. shake, lat. secundus), sekundarni, transverzalni, talasi smicanja; a nji-
hova brzina je c = 4− 4.5 km/s.
Talase koji prolaze kroz unutrasnje delove Zemlje prate povrsinski talasi, koji se pro-
stiru po Zemljinoj povrsini. Postoje dve vrste povrsinskih talasa: Loveovi (Love) i Rejlijevi
(Rayleigh) talasi. Povrsinski talasi nastaju na slobodnoj povrsini cvrstog, elasticnog pros-
tora, slicno gravitacionim talasima na povrsini neke tecnosti pod uticajem vetra. Nazivaju
se jos i ”L” talasi13 (od engl. long), posto je njihov period veci nego kod ”P” i ”S” talasa.
Brzina Rejlijevih talasa je manja, a Laveovih uporediva sa brzinom ”S” talasa.
13U delu literature ”L” je oznaka za Laveove talase dok se Rejlijevi oznacavaju sa ”R”.
34 Glava 1. Oscilacije i talasi
Tri osnovna elementa nekog zemljotresa su hipocentar, epicentar i magnituda. Oni
su jedinstveni parametri za svaki zemljotres, dok se cetvrti parametar, makroseizmicki
intenzitet razlikuje za razlicite tacke na Zemlji, pogodene zemljotresom.
• Hipocentar (ognjiste, fokus) je oblast u unutrasnjosti Zemlje u kojoj se zacinje
inicijalni udar. U zavisnosti od dubine hipocentra zemljotrese delimo na plitke (5-35
km), srednje duboke (35-100 km) i duboke (100-800 km).
• Epicentar je projekcija hipocentra na povrsinu Zemlje. Epicentralna oblast se
najcesce poklapa sa oblascu maksimalnih razaranja.
• Magnituda je mera kolicine energije oslobodene u hipocentru i predstavlja na-
jvazniji parametar ognjista. To je broj koji odreduje ukupnu sopstvenu energiju
zemljotresa, a veza izmedu magnitude (M) i energije zemljotresa (E) data je
relacijom
logE = α + βM, (1.91)
pri cemu se najcesce koriste vrednosti parametara α = 4.4 i β = 1.5. Dakle, obzirom
na svoju definiciju, ako se magnituda zemljotresa poveca za 1 (npr. sa 5 na 6),
ukupna energija zemljotresa se povecava 10 puta. Takode, vazno je uociti da mogu
postojati i zemljotresi sa negativnom magnitudom (to su vrlo slabi zemljotresi cija
je energija mala). Magnituda ne zavisi od dubine hipocentra.
• Makroseizmicki intenzitet je mera ucinka energije oslobodene u hipocentru, u
nekoj tacki na povrsini Zemlje. On oznacava meru povredljivosti gradevinskih ob-
jekata, ostecenja tla i reakcije coveka. Zavisi od magnitude ali i od dubine hipocen-
tra, epicentralne udaljenosti, geoloske grade, mehanizma nastanka zemljotresa u
hipocentru, itd. Za razliku od magnitude koja je karakteristika hipocentra, inten-
zitet zemljotresa je razlicit za razlicite tacke na povrsini Zemlje.
Skale. Za medusobno uporedivanje energije i ucinka zemljotresa koriste se najcesce
dve skale, Rihterova i Merkalijeva.
Rihterova skala je skala u kojoj se zemljotresi razvrstavaju prema vrednosti magni-
tude. U tabeli 1.2 prikazana je podela zemljotresa prema velicini magnitude.
Tabela 1.2. Podela zemljotresa prema velicini magnitude.
Magnituda Efekti zemljotresa
M < 3.5 generalno se ne osecaju ali ih beleze instrumenti
3.5 < M < 5.4 cesto se osecaju ali retko uzrokuju stetu
5.4 < M < 6 najcesce ostecuju dobro projektovane objekte; mogu izazvati znacajna
ostecenja na lose izvedenim objektima u ogranicenom podrucju
6.1 < M < 6.9 mogu biti destruktivni u radijusu od oko 100 km
7.0 < M < 7.9 mogu izazvati ozbiljnu stetu u velikoj oblasti
M > 8 mogu izazvati ozbiljnu stetu u radijusu od vise stotina km
1.5. Talasi u Zemljinom omotacu 35
Najpoznatija skala makroseizmickih intenziteta je modifikovana Merkalijeva skala,
dobijena na osnovu MCS (Mercalli-Cancani-Siebergova) skale, usvojene od strane
Medunarodnog seizmoloskog udruzenja 1917. godine. Postoje i ekvivalentne, ali znatno
detaljnije skale: EMS-98 (Evropska Makroseizmicka Skala iz 1998. godine), odnosno
MSK-64 (Medvedev - Sponhauer - Karnik skala definisana 1964. godine). Skale inten-
ziteta su opisne i tekstualno izrazavaju efekte zemljotresa na Zemljinoj povrsi. U tabeli
1.3 prikazani su osnovni elementi MCS skale.
Tabela 1.3. Tablica MCS skale makroseizmickog intenziteta.
amax (m/s2) Stepen Ucinci zemljotresa
seizm. int.
0-0.0025 I neosetan trus; registruju ga samo seizmografi;
0.0025-0.005 II vrlo lagan trus; osecaju ga samo osetljive osobe, preteznona nizim spratovima;
0.005-0.01 III lagan trus; kao pri prolazu automobila; oseca ga vise ljudiu unutrasnjosti zgrade;
0.01-0.025 IV umeren trus; u kucama ga oseca veci broj ljudi, a na otvorenom prostoru
samo pojedinci; tresu se vrata i pokucstvo, zvece prozori
i posude kao pri prolazu teskih kamiona; pojedince probudi;
0.025-0.05 V prilicno jak trus; primecuju ga mnogi na otvorenom prostoru; obeseni
predmeti se njisu; klatno casovnika se zaustavlja; manji predmeti se
preturaju; vrata i prozori se otvaraju ili zatvaraju; pojedinci beze iz kuca;
0.05-0.1 VI jak trus; primecuju ga sve osobe koje beze iz kuca; slike padaju sa
zidova; mnogi predmeti se ruse; posude se razbija; komadi pokucstva
se pomeraju ili prevrcu; manja crkvena zvona zazvone; na pojedinim
dobro gradenim objektima nastaju lagane stete;
0.1-0.25 VII vrlo jak trus; rusenje i razaranje uz znatne stete na namestaju
u stanovima; zvone i veca crkvena zvona; ostecuje se veci broj
dobro gradenih kuca; crepovi se lome i klizaju sa krovova;
ruse se mnogi dimnjaci; voda se talasa i muti;
0.25-0.5 VIII razoran trus; jako ostecuje oko 1/4 zgrada, pojedine kuce se
ruse, a mnoge postaju neupotrebljive za stanovanje; u mokrom
tlu i na strmim padinama nastaju pukotine;
0.5-1 IX pustosan trus; oko 50% zidanih kuca znatno je osteceno,
mnoge se ruse, a vecina postaje neupotrebljiva za stanovanje;
1-2.5 X unistavajuci trus; tesko ostecuje oko 3/4 zgrada, a vecina njih se rusi;
u tlu nastaju pukotine siroke nekoliko cm; sa brda se odronjava zemlja
i otkidaju se delovi pecina; nabiraju se putevi i krive sine;
2.5-5 XI katastrofalan trus; ruse se sve zidane zgrade; padaju mostovi; guzvaju
se sine; u tlu nastaju siroke pukotine iz kojih prodire voda, noseci
pesak i mulj; zemlja se odronjava; mnoge stene se otkidaju i ruse;
5-10 XII velika katastrofa; nijedna ljudska tvorevina ne moze opstati; tlo
potpuno menja izgled, jezera se zatrpavaju, reke menjaju korita;
36 Glava 1. Oscilacije i talasi
Rezonantna svojstva tla
Seizmicko dejstvo zemljotresa na gradevinske objekte treba posmatrati u vezi sa tri
fenomena:
• sopstvene oscilacije tla,
• sopstvene oscilacije gradevine,
• njihovo zajednicko oscilovanje.
Seizmicki talasi koji putuju od hipocentra prema povrsini zemlje, usled intrakcije sa
razlicitim slojevima materijala u Zemljinoj kori karakterisu se cestim promenama brzine
i pravca kretanja. Usled toga dolazi i do promene njihovog spektra pa je spektar talasa
koji interaguju sa gradevinskim objektima drugaciji od spektra inicijalnih talasa. Receno
na drugi nacin, tlo predstavlja filter za seizmicke talasa, koji menja relativni odnos en-
ergija talasa u pojedinim oblastima, smanjujuci energiju talasa u nekoj oblasti ucestanosti
vise, a u nekoj drugoj manje. Oblik filterskog dejstva tla zavisi od njegovih mehanickih
karakteristika.
Eksperimentalno je utvrdeno da tlo permanentno osiluje pod dejstvom spoljasnjih isla,
pri cemu su amplitude reda velicine od 0.1 do 1 mikrometra. Takve oscilacije tla nazivaju
se mikroseizmi. Medu mikroseizmima postoje dve grupe koje se medusobno razlikuju po
periodima oscilovanja:
• dugoperiodicni mikroseizmi izazvani globalnim silama u hidrosferi i atmosferi (di-
namika okeana i mora, kretanje vazdusnih masa i sl.), ciji je preovladujuci period
od 5 do 10 s;
• kratkoperiodicni mikroseizmi (mikrotremori) izazvani lokalnim silama (opsta ljudska
aktivnost, transport i sl.), ciji je preovladujuci period od 0.05 do 2.07 s.
Za inzinjersko-seizmoloska razmatranja od veceg znacaja su mikrotremori jer su ispiti-
vanja pokazala da preovladujuci periodi sopstvenih oscilacija tla (mikrotremora) imaju
priblzno iste vrednosti kao preovladu juci periodi oscilovanja tla pri zemljotresu. Tada
se pojacavaju rezonantna svojstva tla, tj. dolazi do interferencijskog efekta primarnog
seizmickog talasa sa sopstvenim oscilacijama tla.
Slicno rezonanciji u samom tlu, rezonantni efekti javljaju se i na samoj gradevini.
Posto ukopani objekti, npr. zgrade osciluju kao stapovi ucvrsceni na jednom kraju, za
koje vazi
νn = (2n+ 1)c
4l, (1.92)
ukoliko se istaknute oblasti u spektru vec filtriranih seizmickih talasa poklope sa sop-
stvenim rezonantnim frekvencijama zgrada, doci ce do izrazite rezonance koja dovodi do
velike amplitude prinudnih oscilacija koja najcesce izaziva velika ostecenja. Najcesce je
spektar seizmickih talasa upravo takav da je najveca kolicina energije skoncentrisana u
oblasti niskih ucestanosti, sto znaci da su sa seizmicke tacke gledista generalno ugrozeniji
objekti vece visine. Ipak, u zavisnosti od filterskih dejstava tla, moze se pojaviti i neka
karakteristicna ucestanost koja ce stvoriti rezonancu i na objektu manje visine.
Glava 2
Akustika
2.1 Osnovne karakteristike zvuka
Akustika je nauka o zvuku. Pod zvukom u uzem smislu, (bioloski termin), podrazu-
mevaju se mehanicki talasi koji mogu biti registrovani culom sluha, tj. cija se ucestanost
nalazi u intervalu od 20 Hz do 20 kHz. Zvuk u sirem smislu, (fizicki termin), predstavlja
sinonim za mehanicke talase uopste, pri cemu se talasi cija je ucestanost ispod 20 Hz
nazivaju infrazvuk, a oni cija je ucestanost iznad 20 kHz ultrazvuk. Opseg cujnih uces-
tanosti je ipak individualna karakteristika, i gornje vrednosti treba shvatiti kao usvojene
statisticke vrednosti. Takode, kod svakog pojedinca, frekventni cujni opseg se sa godinama
smanjuje.
Ukoliko je zvucni talas prost sinusni talas, onda se takav zvuk naziva prost ton.
Medutim, zvucni talasi su najcesce slozeni talasi. Ukoliko se razlaganjem ovih talasa
moze dobiti konacan (ili tacnije prebrojivo beskonacan) broj prostih talasa onda se takav
zvuk naziva slozeni ton. Ako zvucni talas nije periodican, (tj. ne moze se razloziti na
proste talase), takva vrsta zvuka naziva se sum. Dakle, zvuk mozemo podeliti na ton i
sum, pri cemu tonovi mogu biti prosti ili slozeni.
Ako nacrtamo amplitude talasa dobijenih dekompozicijom slozenog talasa u funkciji
ucestanosti dobijamo amplitudski spektar. Spektar tona je linijski, tj. on sadrzi linije na
frekvencama ν0, ν1 = 2ν0, ν2 = 3ν0, itd. Prost ton sadrzi samo liniju na ucestanosti
ν0. To znaci da se slozeni ton moze razloziti na niz prostih tonova cije frekvence stoje u
odnosu celih brojeva prema osnovnom tonu frekvence ν0. Ton frekvence ν1 = 2ν0 naziva
se prvi harmonik, ton frekvence ν2 = 3ν0 drugi harmonik, itd. Zajednickim imenom svi
razlozeni tonovi osim osnovnog, nazivaju se visi harmonici.
Osnovne karakteristike svakog tona su: visina, boja i jacina (intenzitet). Visina
tona odredena je vrednoscu ucestanosti osnovnog tona (ili osnovnog harmonika kako se
jos naziva). Boja tona odredena je relativnim odnosima amplituda osnovnog i visih har-
monika. Prema boji, razlikujemo tonove proizvedene glasovima razlicitih ljudi ili pomocu
razlicitih muzickih instrumenata. Jacina tona je intenzitet slozenog talasa u smislu defini-
cije iz predhodnog poglavlja, tj.:
I = I0 + I1 + I2 + I3 + ... (2.1)
gde je I0 intenzitet osnovnog tona, I1 intenzitet prvog harmonika, I2 intenzitet drugog
37
38 Glava 2. Akustika
harmonika, itd.
Za razliku od tona, sum ima kontinualni spektar. Zbog toga je na ordinati ampli-
tudskog spektra kod suma uzeta vrednost amplitudske gustine gI = dI/dν. U zavisnosti
od oblika spektra, postoje razlicite vrste suma. Spektri tona i suma prikazani su na slici
2.1.
I
n n
dI
dn
n3
n1
n2
n4
n5
n0
Slika 2.1. Spektar tona i suma.
Slika 2.2. Brzina zvuka u razlicitimmaterijalima
vazduh (0◦C) 331.5m/svazduh (20◦C) 343m/svoda (10◦C) 1440 m/smetali 3000− 5000 m/sdrvo 3600− 4600 m/splasticne mase 1000− 2500 m/smeka guma 70 m/s
Jedna od vaznih karakteristika zvuka je i njegova brzina prostiranja. Ona zavisi od
sredine kroz koju se zvuk krece, a neke od vrednosti prikazane su u tabeli 2.2.
2.2 Zvucni izvori
Svaki mehanicki oscilator koji moze da pravilno osciluje stvarajuci tonove naziva se
zvucni izvor. Najcesce korisceni zvucni izvori su zategnute zice, stapovi, vazdusni stubovi,
membrane i ploce.
Zategnute zice
Na slici 2.3 prikazane su oscilacije zice zategnute silom F izmedu dva nepomicna
oslonca. Ako se upravnim pomeranjem zice izazove osilovanje jedne njene tacke stvorice
se transverzalni talas. Da bi stvoreni talas bio stojeci, duzina zice mora biti jednaka
celobrojnom umnosku polovina talasnih duzina, te se otuda mogu odrediti i sopstvene
ucestanosti oscilovanja zice:
l = nλ
2, νn =
n
2lc =
n
2l
√
F
µ. (2.2)
Stapovi
Kod stapova je moguce obrazovati kako transverzalne tako i longitudinalne oscilacije.
Sopstvene oscilacije stapova zavise od toga kako je stap ucvrscen. U svakom slucaju,
cvorovi stojecih talasa obrazuju se na mestima ucvrscenja a trbusi na mestima slobodnih
krajeva stapa (slika 2.4). Ako je stap ucvrscen na jednom kraju onda vazi:
l = (2n+ 1)λ
4, νn = (2n+ 1)
c
4l, (2.3)
2.2. Zvucni izvori 39
n = 2
n = 3
n = 1
l
Slika 2.3. Oscilacije zategnute zice.
n = 1
n = 1
n = 0
l
l
l
Slika 2.4. Oscilacije razlicito ucvrsce-nih stapova.
a ako, na primer, postoje dve tacke ucvrscenja onda vazi:
l = nλ
2νn =
n
2lc. (2.4)
Brzina prostiranja zvuka c zavisi od toga da li su u pitanju transverzalni ili longitudinalni
talasi i data je izrazima (1.65) i (1.66).
Vazdusni stubovi
Oscilovanje vazdusnih stubova zavisi od toga da li su oni otvoreni na jednom ili na oba
kraja. U svakom slucaju na mestu gde je vazdusni stub zatvorenom preprekom formira
se cvor stojeceg talasa na mestu se gde vadusni stub zavrsava bez prepreke formira se
trbuh (slika 2.5). Na taj nacin postoji analogija izmedu oscilovanja stapova i vazdusnih
stubova.
n = 0 n = 3n = 1 n = 1n = 2 n = 2
Slika 2.5. Oscilacije vazdusnih stubova, otvorenih na jednom i na oba kraja.
40 Glava 2. Akustika
20 100 1000 10000-20
0
20
40
60
80
100
120
140
0.00002
0.0002
0.002
0.02
0.2
2
200
20
2000
muzika
granica bola
govor
prag èujnosti
f [Hz]
zvuèn
i pri
tisa
k [P
a]
niv
o z
vuka
[dB
]
Slika 2.6. Cujno podrucje i podrucje govora i muzike.
Za vazdusne stubove otvorene na jednom kraju vazi:
l = (2n+ 1)λ
4, νn = (2n+ 1)
c
4l, (2.5)
a za one otvorene na oba kraja:
l = nλ
2νn =
n
2lc. (2.6)
2.3 Intenzitet i nivo zvuka
Intenzitet zvuka je u stvari intenzitet, najcesce slozenog, zvucnog talasa. Prostiranje
zvuka izaziva zapreminsku deformaciju sredine kroz koju se zvuk prenosi, sto dovodi do
pojave nadpritiska pm u svakoj tacki sredine:
I =ρ v2
0
2c =
p2m
2ρ c=
1
2ρω2A2 c (2.7)
Kao sto postoje donja i gornja granicna ucestanost za opseg u kome uho promene
pritiska oseca kao zvuk, tako postoje i granice za intenzitet zvuka. Minimalna vrednost
jacine zvuka koje ljudsko uho moze da cuje naziva se intenzitet zvuka na pragu cujnosti, ili
krace prag cujnosti. On zavisi od stanja organa sluha (razlicit je kod razlicitih ljudi, takode
se i kod jednog istog coveka sa godinama menja), ali i od frekvence zvucnog signala. Prag
cujnosti za ravne talase u slobodnom prostoru, standardizovan na ucestanosti od 1000 Hz,
odreden je eksperimentalno, statistickim ispitivanjem mladih i zdravih osoba, i iznosi:
I0 = 10−12 W
m2= 1
pW
m2. (2.8)
Gornja granica intenziteta zvuka koga ljudsko uho moze da cuje odredena je pojavom
bola do koga dolazi zbog postojanja velikog pritiska na bubnu opnu, pa se zato naziva
granica bola. Ona takode zavisi od stanja organa sluha i od ucestanosti zvucnog signala,
i za 1000 Hz je nesto vise od 1012 puta veca od praga cujnosti.
2.4. Subjektivna jacina zvuka 41
Veliki opseg intenziteta zvuka u oblasti cujnosti je nepodesan. Takode, ljudsko uho,
kao organ cula sluha ima logaritamsku osetljivost. Zbog toga je pogodno uvesti novu
velicinu, nivo zvuka:
L = 10 logI
I0[=] dB, (2.9)
koja je mera relativnog intenziteta zvuka koji se posmatra u odnosu na prag cujnosti.
Sada je citav cujni opseg smesten u interval od −10 do 130 dB. Tipicno (usrednjeno)
cujno podrucje govora i muzike, kao i celokupno cujno podrucje prikazani su na slici 2.6.
Sa ove slike se uocava da je srednja dinamika muzike1 veca od dinamike govora. Takode,
ove razlike mogu biti i vece. Npr. povremene vrsne vrednosti su kod simfonijskog orkestra
oko 15 dB iznad dugovremenskog proseka, a one najnize oko -35 dB. Ako se uzme u obzir
i promena jacine zvuka u pojedinim stavovima jednog muzickog dela, onda je dinamika
jos veca. Na primer fortissimo orkestra i pianissimo jedne violine daju razliku u nivou vecu
od 70 dB. Sa druge strane, prosecna snaga glasa takode varira od saptanja do vikanja, i
ta promena moze imati vrednost i do 60 dB.
2.4 Subjektivna jacina zvuka
20 100 1000 10000
2 10-4.
2 10
2 10
2 10
2
20
-3
-2
-1
.
.
.
f [Hz]
p [ bar]m
0
20
40
60
80
100
L [dB] 120 fona
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Slika 2.7. Izofonske linije po Fleceru i Mansonu
Iako skala u decibelima dobro odgovara subjektivnom osecaju promene jacine zvuka,
zbog postojanja frekventne zavisnosti praga cujnosti i granice bola, nivo zvuka ne moze
biti prava mera za subjektivni osecaj jacine. Na primer, ako posmatramo dva zvuka
istog nivoa L =20 dB, ucestanosti 100 i 1000 Hz, vidimo da se prvi uopste ne cuje,
dok drugi upada u oblast cujnosti. Zato se uvodi nova fizicka velicina koja se naziva
subjektivna jacina zvuka, i njena jedinica koja se naziva fon. Po definiciji, dva zvuka koja
imaju jednak broj fona, za ljudsko uho izgledaju kao da su jednake jacine, bez obzira na
vrednost njihovih nivoa zvuka, koji mogu biti razliciti. Na ucestanosti od 1000 Hz nivo
1Pod dinamikom se ovde podrazumeva promena jacine tj. niva zvuka koja postoji u zvucnoj slici u
toku vremena.
42 Glava 2. Akustika
zvuka u decibelima i subjektivna jacina zvuka u fonima se poklapaju, dok se za druge
ucestanosti, veza izmedu decibela i fona odreduje eksperimentalno (videti sliku 2.7).
U tabeli 2.1 prikazana je subjektivna jacina zvuka karakteristicnih zvucnih fenomena.
Tabela 2.1. Prosecne subjektivne jacine pojedinih vrsta buke
10 fona Sustanje lisca pri najslabijem vetru
20 fona Vrlo mirna basta izvan grada
30 fona Vrlo mirna okolina; najniza buka u stanovima;
buka gledalaca za vreme pozorisne predstave
40 fona Prigusen razgovor; tiha muzika; buka u gradskom stanu pri zatvorenim prozorima;
50 fona Normalan govor; mirna ulica u gradu; najniza buka radnih prostorija;
60 fona Pisaca masina; usisivac za prasinu; muzika iz radioaparata
(normalna jacina); kancelarijske prostorije;
70 fona Gradski saobracaj; sviranje klavira; bucan restoran;
daktilografksi biro; kupe u vagonu;
80 fona Jaka vika; teretni auto na 5 m rastojanja; ulice sa jakim saobracajem; radionica;
90 fona Automobilska sirena na 5 m rastojanja; avionska kabina;
orkestar koji svira forte; bucna radionica;
100 fona Motocikl bez prigusivaca na 10 m rastojanja; brzi voz u prolasku kroz
stanicu podzemne zeleznice; buka u tkacnici;
110 fona Parni cekic; kompresorska busilica na rastojanju 2 m;
120 fona Avionski klipni motor na rastojanju 3 m; eksplozija na 250 m rastojanja;
2.5 Akustika prostorija
Prilikom odbijanja zvuka od prepreke, javljaju se jek i odjek. Ako pretpostavimo da
izgovaranje sloga traje priblizno 0.1 s, a brzina zvuka je oko 340 m/s, onda se, ukoliko
je rastojanje prepreke manje od oko 17 m, reflektovani zvuk vraca do izvora zvuka u
toku trajanja sloga. Ova pojava zove se jek. Ukoliko je pak reflektujuca povrsina na
rastojanju vecem od oko 17 m javlja se odjek, tj. reflektovani zvuk se vraca do izvora
nakon zavrsenog izgovaranja sloga.
U zatvorenim prostorijama dolazi do stvaranja stojecih talasa, tj. za svaku prostoriju
postoje njene rezonantne ucestanosti. Posmatrajmo paralelopipednu prostoriju sa idealno
krutim zidovima dimenzija lx, ly, lz. Pretpostavicemo da se zvucni talas u prostoriji moze
opisati jednacinom
ψ(x, y, z, t) = A sin(kx x+ φx) sin(ky y + φy) sin(kz z + φz) sinω t, (2.10)
za koju se moze pokazati da predstavlja resenje talasne jednacine, odakle sledi da mora
biti:(
2π
λ
)2
= k2 = k2x + k2
y + k2z . (2.11)
2.5. Akustika prostorija 43
Da bi nastali stojeci talasi, moraju se na zidovima formirati cvorovi, tj. brzine oscilo-
vanja cestica talasa na zidovima moraju biti nula. To ce biti ostvareno ako vazi
lx =nxλx
2=nx 2π
2kx
⇒ kx = nx
π
lx,
ly =nyλy
2=ny 2π
2ky
⇒ ky = ny
π
ly,
lz =nzλz
2=nz 2π
2kz
⇒ kz = nz
π
lz. (2.12)
Koristeci c = λν = 2πν/k i (2.11)-(2.12) za sopstvene rezonantne ucestanosti par-
alelopipedne prostorije dobija se:
νnx,ny ,nz=c
2
√
(
nx
lx
)2
+
(
ny
ly
)2
+
(
nz
lz
)2
. (2.13)
Ako su dva od tri broja nx, ny, nz jednaka nuli, onda se stojeci talas dobija refleksijom
od dve suprotne povrsine (kao u Kundtovoj cevi), tj. formira se paralelno jednoj koordi-
natnoj osi pa se naziva aksijalni ili ivicni talas. Ako je samo jedan od n-ova jednak nuli,
onda se stojeci talas formira refleksijom od cetiri strane paralelepipeda, paralelno jednoj
od povrsina paralelepipeda, i naziva se povrsinski talas. Najslozeniji tip stojeceg talasa
je tzv. prostorni talas koji se dobija kada su sva tri broja n razlicita od nule, tj. kada
nastaje refleksijom od svih sest stranica paralelepipeda.
2.5.1 Apsorpcija zvuka. Vreme reverberacije
Razliciti materijali razlicito apsorbuju zvucne talase. Koeficijent apsorpcije definisan
je kao
α =Pa
Pu
, (2.14)
gde je Pa snaga zvucnog talasa koja se apsorbuje na nekoj povrsini a Pu ukupna snaga
koja pada na tu povrsinu. U tabeli 2.2 prikazane su vrednosti koeficijenta apsorpcije za
pojedine materijale.
Reverberacija je pojava da se zvuk u prostoriji, zbog postojanja visestrukih refleksija,
odrzava i nakon prestanka rada zvucnog izvora. Vreme reverberacije definise se kao vreme
potrebno da nakon prestanka rada zvucnog izvora nivo zvuka opadne za 60 dB, tj. da se
intenzitet zvuka u prostoriji smanji milion puta (videti sliku 2.8).
L [dB]
L0
L - 600
0tu ti t + ti
t
t
Slika 2.8. Promena nivoa zvuka pri ukljucivanju i iskljucivanju izvora.
44 Glava 2. Akustika
Tabela 2.2. Vrednosti koeficijenata apsorpcije α za razlicite materijale pri raznim ucestanostima
zvuka. Vrednost za α izrazena je u procentima.
Materijal 125Hz 250Hz 500Hz 1000Hz 2000Hz 4000Hz
Mermer 1 1 1 2 2 2
Beton 1 1 2 2 2-4 3-4
Gips 2 4 4 5 4 4
Omalterisan zid 1-2 2 2 - 4 4
Parket 20 15 10 10 9 10
Tvrdo drvo 1 - 5 - 4 4
Linoleum 1-2 1-3 2-4 3-5 4-5 3-5
Prozorsko staklo 10-22 4-6 3 2 2 2
Voda 1 - 1 - 2 -
Mineralna vuna (d = 2.5 cm) 6 19 39 54 59 75
Staklena vuna (d = 10 cm) 29 55 64 75 80 85
Pamuk (d = 17 cm) - 62 80 96 97 93
Presovane plocice mineralne
ili staklene vune (d = 2.5 cm) 15 35 35 85 90 90
Cilim od rogozine 4 4 7 15 30 50
Zavesa 10− 20 cm od zida 7-10 15-25 30-40 40-50 50-60 40-60
Malter na metalnoj mrezi sa
vazdusnim meduprostorom 25-30 15-30 10 5 5 4-5
Daske na resetki
od greda i letava 15 20 10 10 10 10
Sper-ploca (d = 6 mm) 78 50 25 13 9 8
Vreme reverberacije se moze odrediti prema Sabinovom obrascu:
τ = 0.16V
A, A =
∑
i
αi Si, (2.15)
gde je τ vreme reverberacije izrazeno u sekundama, V zapremina prostorije izrazena u
kubnim metrima, a A apsorpciona povrsina prostorije (apsorpcija prostorije), izrazena
u kvadratnim metrima, koja se dobija sumiranjem proizvoda koeficijenta apsorpcije i
povrsina svih tela u prostoriji.
Prostorija sa veoma malim vremenom reverberacije naziva se ”gluva soba” i koristi
se za akusticka ispitivanja. Optimalno vreme reverberacije zavisi od spektra zvuka i
zapremine prostorije, tj. raste sa povecavanjem zapremine i prikazano je u tablici 2.3 i na
slici 2.9.
2.5.2 Apsorberi zvuka - materijali i konstrukcije
Mogu se podeliti na tri grupe, u zavisnosti od toga u kom delu spektra vrse dominantnu
apsorpciju:
2.5. Akustika prostorija 45
Tabela 2.3. Optimalno vreme reverberacije za razlicite namene prostorije
namena prostorije τ (s)
crkvena muzika 1.5-2.5
koncert 1.3-2.2
opera 1.1-1.2
muzicki studio 0.7-1.2
govor 0.7-1.2
govorni studio 0.5-0.65
crkvena muzika
koncert
muzi ki studio
ègovor
drama
slu aoniceš
govorni studio
bioskopi
opera
0.5
1
1.5
2
2.5
t [s]opt
2 5 2 5 2102 103 104V [m ]3
Slika 2.9. Optimalno vreme reverberacije na srednjim ucestanostima u zavisnosti od zapremine
prostorije.
• porozni materijali - visoke frekvence
• akusticki rezonatori - srednje frekvence
• mehanicki rezonatori - niske frekvence
Porozni materijali. U ovu grupu spadaju materijali kod kojih je kruta masa prozeta
kanalicima, tj. porama, medusobno povezanim u neprekinutu mrezu. Najcesce korisceni
materijali su sve tekstilne materije, staklena i mineralna vuna, kao i razne akusticke ploce,
npr. heraklit ploce (smesa drvene vune i gipsa), fazer ploce (smesa drvenih otpadaka i
vezivnog sredstva) i sl. Zvuk prodire duboko u pore ovakvih materijala, gde se usled
velikog trenja, akusticka energija pretvara u toplotu.
Akusticki rezonatori su komore krutih zidova sa uskim otvorima. Oni vrse vrlo
selektivnu apsorpciju. Da bi se povecala apsorpciona sposobnost u sirem frekventnom
opsegu, komora se ispunjava apsorpcionim materijalom (staklenom vunom, vatom i sl.),
ili se preko otvora na ulazu u rezonator zalepi tanka tkanina.
Mehanicki rezonatori su tanke ploce (membrane) iza kojih se nalaze vazdusne ko-
more. Ploce vibriraju pod dejstom sile zvucnog pritiska. Akusticka energija pretvara se
najpre u mehanicku, a ova zatim u toplotnu. Po karakteristikama slicni su akustickim
46 Glava 2. Akustika
rezonatorima, ali su rezonatne ucestanosti nize, a apsorpciono-frekventna kriva je mnogo
manje selektivna.
2.6 Prolaz zvuka kroz pregradne zidove. Zastita od
buke
2.6.1 Buka
Akusticka svojstva neke prostorije bitno zavise od buke koja spolja prodire u prostoriju.
Zastita od buke mora biti jedan od faktora koji se uzima u obzir prilikom arhitektonskog
resenja oblika i enterijera prostorija i njihove prakticne realizacije. Sve ono sto zahteva
danasnji nacin gradenja, brz i jeftin, upravo je suprotno onom kako bi trebalo graditi
drzeci se pravila akustike. Velike zajednicke stambene zgrade, cvrsto povezani skeleti od
armiranog betona i celika, laki pregradni zidovi, nazidne instalacije vodovoda i grejanja
ne ide u prilog boljoj zastiti od buke, pa su uvek dobrodosli kompromisi koji poboljsavaju
akusticka svojstva prostorija.
Stetno dejstvo buke je veliko. Svaka buka, pa i ona nizeg nivoa, ugrozava pre svega
san i odmor, ometa koncentraciju, dovodi do povecanja broja gresaka u radu i uopste
otezava svaki posao. Nesto jaca buka ima neposredno fiziolosko dejstvo na ljudski organi-
zam: povecava krvni pritisak, broj otkucaja srca, povecava lucenje nekih zlezda, izaziva
napetost nervnog sistema. U takvim uslovima organizam mora da ulaze dodatni napor da
bi se prilagodio buci. Jos jaca buka, koja na zalost postoji na nekim radnim mestima, di-
rektno ostecuje sam organ sluha i vremenom dovodi do odredenog stepena gluvoce. Zbog
toga se moraju koristiti licna zastitna sredstva, cepovi za usi, kacige, nausnice i sl.
Postoji nekoliko grupa izvora buke. U prvu grupu spadaju masine i aparati svih
vrsta. Npr. sumovi od elektromotora posledica su neidealno izbalaniranog motora i za-
vise od broja obrtaja. Kod masina koje ne rade neprekidno broj obrtaja se menja u toku
ukljucivanja iskljucivanja. U uredajima za grejanje pumpe i gorionici takode stvaraju
sumove. Sumovi od strujanja predstavljaju drugu grupu. Kod uredaja za provetravanje
nivo zvuka u kanalu zavisi od brzine strujanja vazduha. Slicno je i u vodovodnim in-
stalacijama gde sum astaje usled strujanja vode, a moze biti naglaseno pojacan usled
postojanja vazdusnih cepova. Takode, mogu se javiti i tzv. udarni sumovi, koji nas-
taje usled pada vode. Istakanjem vode nastaje i sum klokotanja. Sumovi sa vodovodnih
instalacija se cesto prenose i na samu armaturu. U zgradama za stanovanje ne treba
zanemairiti ni sumove koji nastaju od lupanja, kotrljenja ili klizanja liftova, roletni, kao i
udarne sumove u kanalima za uklanjanje smeca.
Postoje tri nacina borbe protiv buke:
• suzbijanje buke na izvoru
• udaljavanje od izvora buke
• akusticka izolacija prostorija
Najefikasnije resenje je suzbijanja buke na izvoru, tj. treba omoguciti da masine u
fabrikama, aparati u domacinstvu, saobracajna sredstva i drugi izvori stvaraju manje
2.6. Prolaz zvuka kroz pregradne zidove. Zastita od buke 47
buke. To je tehnicki izvodljivo jer u sustini svaka buka pri radu nekog uredaja je dokaz
njegove tehnicke nesavrsenosti. Ovi problemi su najinteresantniji za masinske inzinjere.
Pored tehnickih sredstava, za suzbijanje buke na izvoru treba koristiti i zakonska sredstva
jer je u mnogim slucajevima uzrok velike buke neadekvatni postupak u radu, nepazljivo
rukovanje i uopste neodgovorni odnos prema okolini, a to se moze resavati samo strogom
primenom zakonskih propisa.
Drugi nacin je jednostavan i jeftin. To znaci da za osetljiv objekat treba izabrati
sto mirniju lokaciju tj. izbegavati bucnu okolinu. Npr. bolnicu treba graditi u zelenom
pojasu, daleko od saobracajnica; ucionice u skoli treba okrenuti prema dvoristu; koncertnu
salu treba zastiti foajeima i sporednim prostorijama od ulicne buke.
Akusticka izolacija prostorija je skup ali efikasan metod zastite od buke, i uvek se
primenjuje u kombinaciji sa udaljavanjem od izvora buke. Ovim problemima bavi se tzv.
arhitektonsko-gradevinska akustika. Kao velicina koja kvantifikuje akusticku izolaciju neke
prostorije uvodi se velicina koja se naziva akusticka (zvucna) izolovanost i oznacava sa D.
Naime ako znamo nivo spoljne buke na mestu izvora L1, mozemo ako su nam poznata
izolaciona svojstva pregradnih zidova odrediti i nivo buke u nekom susednom prostoru
L2. Razlika ova dva nivoa, koja u stvari predstavlja slabljenje buke na putu kojim ona
prodire, naziva se akusticka izolovanost:
D = L1 − L2 [=] dB. (2.16)
2.6.2 Karakteristike buke
Najvaznija karakteristika buke je njena jacina. Ona moze biti izrazena nivoom buke u
odredenom prostoru ili na odredenom rastojanju od izvora, ili akustickom snagom izvora.
Kada se radi o pojedinacnim izvorima (razni aparati, sirene i sl.), bolje je dati snagu, pa
za razne slucajeve izracunavati nivo buke. Kada je u pitanju buka nastala od vise izvora
(npr. saobracajna) postoji samo prosecni nivo koji se dobija merenjem ili procenjuje
statistickim metodama.
50
60
70
80
90
100
50 100 400 1600 6400
srednja frekvencija oktave [Hz]
niv
o b
uke
po o
kta
vi
[dB
]
Slika 2.10. Spektar buke u tkacnici.
40
50
60
70
80
90
100
50 100 400 1600 6400
niv
o b
uke
po o
kta
vi
[dB
]
srednja frekvencija oktave [Hz]
Slika 2.11. Spektar buke u prometnoj ulici.
Druga vazna karakteristika je spektar buke. Dve buke jednake jacine, ali razlicitog
spektra, ne deluju na coveka na isti nacin. Buka u kojoj su jace izrazene vise ucestanosti,
neprijatnija je i vise ometa. Npr. automobilom se mozemo voziti vise sati bez nekog
48 Glava 2. Akustika
Tabela 2.4. Podnosljivi nivoi buke izrazeni preko normalizovane i izmerene buke
objekt norm. buka izm. buka (dB)
radio studio N15 - N20 20 - 25
koncertne sale, pozorista, TV studio N20 - N25 25 - 30
ucionice svih vrsta, vece sale za sednice, spavace sobe N25 - N30 30 - 35
manje sale za sednice ili vece sa ozvucenjem
bioskopi, stanovi, hoteli, bolnice N30 - N35 35 - 40
kancelarije, citaonice N35- N40 40 - 45
restorani, radnje, salterska sluzba N45 - N50 50 - 55
daktilo-biroi, sportske hale N55 60
radionice N65 70
narocitog zamora mada nivo buke iznosi ponekad i preko 90 dB. Taj nivo se medutim
javlja u oktavi oko 50 Hz, dok spektar pri visim frekvencama opada za skoro 10 dB po
oktavi. Druge vrste buke ovog nivoa, pa cak i muzika, mogle bi biti vrlo zamorne, a
ponekad i opasne po organ sluha. Poznavanje spektra buke nije vazno samo zbog stepena
ometanja, nego i zbog iznalazenja odgovarajucih zastitnih mera. Na slikama 2.10 i 2.11
su prikazani spektri nekih izvora buke.
Treca znacajna karakteristika buke je njeno trajanje (i eventualno ritam prekida).
Vrlo jaka kratkotrajna buka ne predstavlja opasnost za organ sluha, tj. on ce privre-
meno biti onesposobljen da prima zvuk (zagluhnut), ali ce se brzo povratiti u normalno
stanje. Medutim, ako jaka buka dugo traje, javljaju se trajna ostecenja organa sluha. Sa
stanovista izolacije takode je vazno trajanje buke. Bilo bi vrlo nerentabilno projektovati
akusticku izolaciju prema kratkotrajnoj buci koja se javlja samo u retkim slucajevima
(npr. nisko nadletanje aviona ili udar groma). Zbog toga se u akustici najcesce razma-
tra ekvivalentni nivo buke koji predstavlja buku prosecnog intenziteta u toku vremenskog
intervala (t1, t2):
Leq = 10 logIsrI0, Isr =
1
t2 − t1
∫ t2
t1
I(t) dt. (2.17)
Postoje i drugi subjektivni efekti vezani za vremenske promene buke, npr. promenljiva
buka se teze podnosi nego monotona, a jos teze buka sa ritmickim prekidima.
2.6.3 Prihvatljivi nivoi buke
Granicne linije buke (N-linije) (slika 2.12) po Kostenu i Van Osu predstavljaju linije
jednake podnosljivosti zvuka. Ordinata spektra za 1000 Hz uzima se kao nazivna (nom-
inalna) oznaka linije. Stalno opadajuci tok ovih linija ukazuje na cinjenicu da su vise
frekvence buke manje podnosljive.
U tabeli 2.4 prikazani su podnosljivi nivoi buke u razlicitim objektima, a u tabeli 2.5
uticaj razlicitih nivoa buke na neke covekove aktivnosti.
2.6. Prolaz zvuka kroz pregradne zidove. Zastita od buke 49
N65
N60
N55
N50
N45
N40
N35
N30
N25
N20
N15
N10
N5
N0
70
65
60
55
50
45
40
35
30
25
15
10
20
5
0
62.5 125 250 500 1000 2000 4000 8000
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
srednja frekvencija oktave [Hz]
niv
o z
vuka
po o
kta
vi
[dB
]
Slika 2.12. Normirane linije buke, date u vidu spektra po oktavama.
2.6.4 Izolaciona moc materijala i veza sa akustickom izolo-
vanoscu prostorije
Da bi se neki pregradni zid opisao sa stanovista kolicine zvucne energije koja prolazi
kroz njega definisu se odredeni parametri.
Koeficijent transmisije (prenosenja) τ definise se kao kolicnik prenete akusticke
snage kroz zid Pt i ukupne upadne snage Pu:
τ =Pt
Pu
. (2.18)
Izolaciona moc (akusticka izolacija) materijala se definise umesto koeficijenta
transmisije:
R = 10 log1
τ[=] dB. (2.19)
50 Glava 2. Akustika
Tabela 2.5. Uticaj raznih nivoa buke izrazenih kao normalizovana ili izmerena buka na covekove
aktivnosti
norm. buka izm. buka opis i posledice bucnosti
(dB)
N25 - N35 30 - 40 vrlo mirno, sastanci moguci i u skupu do 50 osoba
N35 - N40 40 - 45 mirno, govor se cuje dobro do 10 m daljine
razgovor telefonom normalan, moguce sastanci do 20 osoba
N40 - N45 45 - 50 zadovoljava u pogledu bucnosti, govor se cuje
do 4 m, telefonski razgovor jos uvek normalan
N45 - N55 50 - 60 govor pojacan, dobro razumljiv samo do 2 m, telefonski
razgovor nesto otezan - tipicno za projektne biroe
N55 - N60 60 - 65 moguc razgovor samo 2-3 coveka iz blizine, telefonski
razgovor vrlo otezan - tipicno za sobe sa masinama
N60 - N65 65 - 70 moguc umni rad rutinskog karaktera i rad upravljan
govornim komandama i akustickim signalima
N70 75 Moguc fizicki rad sa dovoljnom preciznoscu i koncentracijom
N80 85 Moguc fizicki rad bez umnog naprezanja
To je osnovni podatak koji karakterise zvucnu izolovanost gradevinskih materijala, ele-
menata i konstrukcija. Za pregradni zid vazi:
R ≈ 20 logωms cos θ
2ρ c, (2.20)
gde su ω ugaona ucestanost buke, ms
logw
w = 10w3 1w = 2w
2 1w1
1R
1R +6
1R +20
R [dB]
Slika 2.13. Teorijska frekventna zavisnost izo-
lacione moci.
masa jedinice povrsine pregradnog zida,
θ ugao incidencije zvucnih talasa na pre-
gradni zid, ρ gustina materijala od koga je
nacinjen zid, a c brzina zvuka u tom ma-
terijalu. Vidimo da izolaciona moc raste
i sa frekvencijom (20 dB po dekadi2 ili
6 dB po oktavi3, videti sliku 2.13) i sa
masom, tj. tezinom pregrade (”zakon ma-
se”). To je jedan od osnovnih zakona koji
se ne moze prenebregnuti, a koji stalno
dovodi u sukob akustiku i gradevinsku
tehniku. Npr. velike zgrade sa mnogo
stanova postaju jos jeftinije ako se izgradi jedinstven skelet, a pregrade izvedu lakim i
tankim materijalima. Sa gledista akusticke izolacije to je katastrofa. Cak i kada se ne
gradi po skeletnom sistemu, cesto se koriste suplje opeke pri zidanju. One su po statickoj
cvrstoci samo nesto malo slabije od punih elemenata, ali su zato lakse, a kao toplotni
izolator cak i bolje. Medutim, zbog smanjene mase one su slabiji akusticki izolatori.
Fleksioni talasi. Izolaciona moc materijala koja bazira na zakonu mase (2.20) u prak-
si se pokazala nedovoljno tacnom za projektovanje izolacionih sistema od kojih se zahteva
2Dekada predstavlja odnos dve vrednosti neke fizicke velicine koji je jednak 10.3Oktava predstavlja odnos dve vrednosti neke fizicke velicine koji je jednak 2.
2.6. Prolaz zvuka kroz pregradne zidove. Zastita od buke 51
velika tacnost akusticke izolacije u sirokom spektru ucestanosti. Uzrok ovog odstupanja
je pojava fleksionih talasa u pregradnim zidovima.
Fleksioni talasi (talasi savijanja, ugibni talasi) nastaju kod
q
l
Slika 2.14. Fleksioni talasi.
stapova i ploca i predstavljaju vrstu transferzalnih talasa kod
kojih se prostiranje talasa desava duz ose stapa, tj. duz prave
koja lezi u ravni ploce, a oscilovanja se vrse u pravcu koji je
normalan na osu stapa tj. ravan ploce, sto za posledicu ima
njihovo savijanje (slika 2.14). Oni nastaju pri kosom udaru
zvucnih talasa na tanki zid (λÀ l). Posto su pregradni zidovi
(pregrade) u stvari oscilujuce ploce, onda oni predstavljaju
slozene mehanicko-akusticke sisteme.
Efekat koincidencije. Pojava fleksionih talasa moze u znatnoj meri smanjiti izola-
cionu moc pregrade kada dode do efekta koincidencije, tj. kada sopstveni fleksioni talasi u
pregradi koincidiraju po mestu i vremenu sa akustickim oscilacijama zvucnog polja, koje
pri kosoj incidenciji takode imaju komponentu brzine prostiranja duz pregrade. Tada nas-
tupa rezonanca, oscilacije pregrade se pojacavaju, pa se akusticka energija prenosi gotovo
bez gubitaka na drugu stranu. U tabeli 2.6 su date vrednosti tzv. granicnih frekvenci
koincidencije (kada je θ = 0) fk u zavisnosti od mase po jedinici povrsine ms i faktora
prigusenja β za debljinu od 1 cm:
Tabela 2.6. Vrednosti granicnih ucestanosti koincidencije
materijal ms (kg/m2) fk (Hz)
cigla 21 2 100
beton 23 2 000
staklo 25 1 600
celik 76 1 300
drvo 6 2 100
gips 10 3 400
Gradevinski elementi, u kojima je granicna ucestanost koincidencije iznad 200 Hz, zovu
se elasticne konstrukcije, a oni sa granicnim ucestanostima ispod 200 Hz predstavljaju
krute konstrukcije. Ove granicne vrednosti su relativno proizvoljne, i variraju u literaturi.
Uzimanjem u obzir efekata koincidencije, izolaciona moc materijala postaje kompliko-
vana funkcija frekvence, sto je prikazano na slici 2.15.
Zakljucujemo da pojava koincidencije dovodi do smanjenja izolacione moci pregrade
u sirem frekventnom opsegu. Najnezgodnije je kada je taj opseg u oblasti vaznih srednjih
audio-ucestanosti. Zato treba nastojati da fk bude ili vrlo nisko (debele pregrade), ili
visoko - iznad 3000 Hz.
Akusticka izolovanost prostorije. U praksi je najcesci sledeci problem: poznat je
nivo (a najcesce i spektar) buke koja u posmatranu prostoriju dolazi iz susedne prostorije
(slika 2.16), kao i nivo (i spektar) buke koja se u njoj moze tolerisati. Razlika ordinata
ova dva spektra daje trazenu frekventnu zavisnost minimalne akusticke izolovanosti.
52 Glava 2. Akustika
Rp6dB
/okt
9dB/o
kt
R2k
zakon
mas
e
0.05 0.1 0.2 0.5 1 2 5 10k/f f
R
10
dB
.
Slika 2.15. Izolaciona moc jednostruke pregrade, data u zavisnosti od ucestanosti.
1 2
S12
Slika 2.16. Putevi prenosenja zvuka iz prostorije 1 u prostoriju 2.
Moze se pokazati da je u ovom slucaju izraz za akusticku izolovanost D:
D = R + 10 logA2
S12
, (2.21)
gde je R izolaciona moc pregradnog zida, A2 ukupna apsorpcija (∑
αi Si) u posmatranoj
prostoriji a S12 povrsina pregradnog zida.
2.7 Ultrazvuk
Pod ultrazvukom se podrazumevaju mehanicki talasa cija ucestanost prelazi 20 kHz
i koji se ne mogu detektovati culom sluha. Gornja granica ucestanosti u praksi iznosi i
do 500 MHz ali se u praksi najcesce koristi ucestanost u opsegu od 1 MHz do 10 MHz.
Neke zivotinje mogu proizvesti i cuti ultrazvuk, te ga koriste za komunikaciju i orijentaciju.
Slepi misevi koriste ultrazvuk uglavnom za pronalazenje plena, dok kitovi mogu proizvesti
ultrazvuk koji se moze cuti cak i na nekoliko kilometara.
Uredaji za proizvodnju ultrazvuka se cesto nazivaju sondama. Izvori ultrazvuka u
sondama mogu biti:
• piezoelektricni,
• magnetostrikcioni.
2.7. Ultrazvuk 53
Piezoelektricni materijali se pod pritiskom elektricno polarizuju (sto predstavlja direktan
piezoelektricni efekat), a obrnuto, pod dejstvom elektricnog polja menjaju svoje dimenzije
(sto predstavlja obrnuti (inverzan) piezoelektricni efekat). Za ultrazvucne pretvarace ko-
riste se kvarc, Senjetova so, amonijum-dihidrogen fosfat, litijum sulfat, a takode i vestacka
polikritalna keramika barijum-titanat. Ucestanost ovako dobijenog ultrazvuka je reda de-
setina ili stotina megaherca.
Magnetostrikcioni materijali se pod dejstvom magnetnog polja deformisu (direktan
magnetostrikcioni efekat) a pod pritiskom menjaju magnetne osobine (inverzni magne-
tostrikcioni efekat). Kao magnetostrikcioni materijali koriste se nikl, razne legure nikla
i gvozda (permaloj, alfer, cekas, permendur) kao i keramike nikl-cink-ferit, nikl-ferit, i
druge. Na ovaj nacin proizveden ultrazvuk ima ucestanost i do 100 MHz ali i veliku
snagu (do 105 W/m2), zbog cega se koristi u industriji.
Iako ga ljudi ne mogu cuti, ultrazvuk ima siroku primenu. Poceo se koristiti krajem
50-tih godina proslog veka, posle obimnih istrazivanja za vreme Drugog svetskog rata.
Ultrazvuk, zbog svoje male talasne duzine pokazuje osobine slicne osobinama svetlosti:
pravolinijsko prostiranje, slabu apsorpciju i malu difrakciju. Pri promeni akusticke sredine
dolazi do parcijalne refleksije, stvara se povratni ultrazvucni talas koji se moze registrovati.
Zbog toga je nasao siroku primenu u tehnici, hemiji, biologiji i drugim oblastima.
Neke od najvaznijih primena su:
• Primene u medicini:
Medicinska dijagnostika (ispitivanje unutrasnjih organa) - posle ozracivanja organa
koji se snima, reflektovani talas se detektujem uredajem koji se naziva transdjuser
i salje na obradu. Posle filtriranja mehanicki talas se pretvara u sliku na monitoru
- sliku unutrasnjeg organa. Proces snimanja ultrazvukom u medicini je poznat pod
imenom sonografija. Ultrazvucni aparat ima dugu istoriju koriscenja u medicini,
dok se u novije vreme sve vice koriste naprednija tehnoloska resenja: dopler i kolor
dopler koji su zasnovana na Doplerovom efektu4 ultrazvuka. Primenljiv je u ra-
zlicitim oblastima medicine: gastroenterologija, opstetricija, ginekologija, urologija,
nefrologija, kardiologija, ortopedija, angiologija, neurologija, endokrinologija, itd.
Osim za dijagnostiku, ultrazvuk se moze koristiti i u terapeutske svrhe. Npr. tre-
tiranje ultrazvukom oblasti oko ostecenih delova tkiva moze stimulisati lucenje his-
tamina koji pospesuje aktivnost leukocita, i stoga skracuje vreme oporavka.
• Primene u geologiji i arheologiji: sluzi za otkrivanje slojeva zemljista, podzemnih
voda, u petrografiji, mikrostruktura stena ili za otkrivanje podzemnih arheoloskih
eksponata i antickih gradevina.
• Primene u okeanografiji - ultrazvucna lokacija pomocu uredaja koji se nazivaju
sonari. Ispituje se oblik morskoga dna, otkrivaju perforacije na morskom dnu, meri
dubina mora, sa bezbedne udaljenosti se mogu pronalaziti olupine potonulih plovila
otkrivati podmornice i jata riba.
4Doplerov efekat je pojava koju karakterise promena ucestanosti talasa koje prima posmtrac u odnosu
na onu koju emituje izvor, usled relativnog kretanja izvora i posmatraca.
54 Glava 2. Akustika
• Ultrazvucna defektoskopija: gotov fabricki proizvod, koji nema nikakvih gresaka
vrlo dobro propusta ultrazvuk, a svaka supljina ispunjena vazduhom gotovo potpuno
reflektuje zvuk (slika 2.17), stoga se ultrazvukom moze ispitivati ispravnost bilo
kakvih vrsti proizvoda, ali i velikih gradevinskih konstrukcija.
izvor
e
k
r
a
n
Slika 2.17. Ultrazvucna defektoskopija.
• Primene u hemiji i metalurgiji:
Sonde mogu emitovati ultrazvuk velike energije, tako da se unutrasnja struktura
tela kroz koja ultrazvuk prolazi moze poremetiti (efekat kavitacije, koagulacije).
Npr. ultrazvuk se koristi i za obradu i zavarivanje metala fokusiranim ultrazvukom.
Koristeci efekat kavitacije, ultrazvuk se moze iskoristiti za homogenizovanje smese
supstanci koje se inace slabo ili nikako mesaju, tj. za dobijanje emulzija i legura.
Ultrazvuk, pri dodiru sa kristalnim supstancama, moze pri povoljnim uslovima rask-
inuti jedan broj veza u kristalima, razbijajuci velike kristale na sasvim male delove.
Ova osobina je iskoriscena u proizvodnji medikamenata i prehrambenoj industriji.
Ukoliko neki hemijski proces postavimo pod ultrazvucni talas, brzina reakcije se
moze povecati i do nekoliko desetina puta, tj. ultrazvuk se moze koristiti kao jeftin
katalizator. Npr. ultrazvukom je moguce izazvati ubrzano starenje vina.
• Primene u biologiji:
Biolozi koriste ultrazvuk za pracenje i pronalazenje jata riba, kolonija algi, vecih
morskih organizama. Ukoliko, se ultrazvukom stvori sitna supljinu u celijskoj mem-
brani kroz nju se u celiju moze ubaciti medikament, ili npr. genetski lanac, sto
vec zalazi u sferu mikrobiologije. Pri ehstrahovanju aroma iz biljaka potrebno je
najcesce mehanicki delovati na biljne celije sa pigmentima radi povecanja efikasnosti
procesa. Kao mehanicka sila koristi se nadpritisak sredine pogodene ultrazvukom.
Ultrazvuk moze paralizovati sitnije organizme (mikroorganizme) jer deluje na nervne
sinapse. U kombinaciji sa UV zracima ultrazvukom se moze vrsiti sterilizacija npr.
mleka ili medicinskih instrumenata. Zbog toga sto je necujan za coveka ali ne i za
sve zivotinje, ultrazvuk se koristi i za zastitu od glodara, insekata i drugih stetocina.
Realne opasnosti po coveka pri primeni ultrazvuka nema - ne vrsi jonizaciju sre-
dine, nema drasticnih promena u molekularnoj strukturi, medutim najupecatljivija mana
primene ultrazvuka je generisanje toplote u tkivima, kao posledica pretvaranja mehanicke
u toplotnu energiju, sto moze dovesti do zamora CNS-a ili usporenog rada neuromisicne
sinapse.