sl dispersos

8/17/2019 SL Dispersos

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ALN – Sistemas

LinealesdispersosIn. Co.Facultad de IngenieríaUniversidad de la República


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Versión 1.0 2

Factorización de matrices dispersas

La clave al trabajar con matrices dispersases el ahorro en:

Espacio de memoria Cantidad de cálculos

Si factorizamos una matriz dispersa A enLU , nada nos garantiza que las matrices Ly U sean dispersas !!!!


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Versión 1.0 3


Si A es dispersa y las matrices L y U no,estaríamos cometiendo varios errores:Utilizando estructuras dispersas para matrices

completas.

Engañándonos con respecto al número de

operaciones realizadas. Nos encontramos frente al problema de

“llenado” (fill-in en la literatura anglosajona)


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Versión 1.0 4


La resolución de sistemas completosconsta de 2 etapas: Factorización (escalerización).

Sustituciones.

En el caso de las matrices dispersascuales son las etapas ??!


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Versión 1.0 5


Además de las tareas de la resolución desistemas completos, necesitamos:

Minimizar, o por lo menos controlar, el fill-in. Prever la estructura de las matrices L y U.

La mayoría de los trabajos comenzaronresolviendo matrices simétricas y definidaspositivas.

Factorización de Cholesky.


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Versión 1.0 6

Motivación Si tenemos la siguiente matriz:

¿cuanto cuesta factorizarla?

x x

x

x

x x

00

000

000

00

x

x

x x

x x

000

000

00

00

Y la siguiente?!


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Versión 1.0 7

Conocimientos Previos

Antes de comprender las distintas etapasde la factorización sobre matrices

dispersas es necesario introducir algunasherramientas.

Para estudiar las estrategias de

ordenamiento y factorización simbólica seutilizan grafos.


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Versión 1.0 8

Definiciones

La envolvente de una matriz A se definecomo:

0:max0:min

iji

iji

a jl

a j f

}1,:),{()( nil j f ji A Env ii


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Versión 1.0 9

Sistemas dispersos y grafos

Definiciones básicas de grafos: Un grafo G(V,E) es un conjunto de vértices (o

nodos) V = v1 , v2 , ..., vn y un conjunto de aristas E =

(vi , v j ). Si el conjunto de aristas es ordenado el grafo de

define como dirigido, en caso contrario sedenomina grafo no dirigido.

Si el conjunto de aristas cumple que existe unaarista (u, v) perteneciente a E para todo u, vpertenecientes a V .


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Versión 1.0 10

Sistemas dispersos y grafos Un camino en un grafo del nodo vi al nodo vk se define

como una secuencia de aristas (vi , v j ), (v j ,vl ),...., (v p , vk ). Si vi = vk el camino se denomina ciclo. Se dice que un grafo es conexo si existe por lo menos un camino

entre todo par de nodos. Una cuerda en un camino es una arista que une dos vértices no

consecutivos.

Un grafo Cordal es aquel que no posee ciclos sin cuerdas.Un ciclo sin cuerdas es un ciclo de largo mayor o igual a 4

sin cuerdas.

Un árbol es un grafo acíclico.


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Versión 1.0 11


H(U, F) es un subgrafo de G(V,E) si H es ungrafo y el conjunto de vértices U está incluidoen V y F está incluido E.Clique es un sub-grafo completo.

Se define el conjunto de vértices adyacentesal vértice v, ( AdjG(v)) a aquellos vértices queposeen aristas incidentes desde el vértice v.

El grado de un vértice v del grafo G se definecomo la cardinalidad del conjunto de vérticesadyacentes: gradoG(v) = |AdjG(v)|.


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Versión 1.0 12

Una matriz dispersa A cuadrada de dimensión n sepuede representar mediante un grafo etiquetado dirigidoG = (V,E) donde el conjunto de vértices es V = {1..n} y el

conjunto de aristas se compone de (i, j) si aij ≠ 0.



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Versión 1.0 13

Para representar una matriz con estructura simétrica sepuede utilizar un grafo etiquetado no dirigido G = (V,E)donde V = {1..n} y (i, j) pertenece a E si aij ≠ 0 (a ji ≠ 0).

Los vértices adyacentes a cierto vértice x son los índicesde columna/fila de los elementos no nulos en la

fila/columna x



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Versión 1.0 14

Árbol de eliminación Permite describir las dependencias entre las filas y

columnas en la factorización de Cholesky. Los nodos delárbol de eliminación son enteros entre 1 y n, querepresentan las columnas (filas) de la matriz. El padre de la

fila i es el menor j tal que j > i y que el elemento A(i, j) seadistinto de cero.

Los primeros autores enutilizarlo fueron Schreiber, Duffy Reid



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Versión 1.0 15

DAG

Gilbert y Liu extendieron el concepto de árbol de eliminaciónpara matrices no simétricas. La propuesta se basa en lautilización de dos grafos dirigidos acíclicos (directed acyclicgraph - DAG) que llaman DAGs de eliminación. Los DAGs seobtienen mediante reducciones transitivas de los grafos

(dirigidos) asociados a las matrices L y U.


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Versión 1.0 16

Etapas de la resolución de

matrices dispersasOrdenamiento

Factorización simbólica

Factorización numéricaSustitución


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Versión 1.0 17

Ordenamientos

Lo vamos a ver en forma separada en lapróxima clase.

En forma resumida, reordenan lasfilas/columnas de la matriz para facilitar latarea de factorización

El número de posibles de ordenaciones esn!


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Versión 1.0 18


Motivación

Predecir la estructura de las matrices resultado.

Esta etapa permite prever y reservar en formaanticipada la memoria de las distintasestructuras de datos a utilizar.

Acceder en forma “sencilla” a las distintas

estructuras. No es necesario realizar operaciones en punto

flotante!!!!


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Versión 1.0 19


Como se hace:

En forma simbólica, trabajar con la estructura de

la matriz (las posiciones no nulas) y no con loscoeficientes. Se asume que toda operación sobreelementos no nulos resultara no nula (se obtieneuna estimación de la estructura, cota superior).

Schreiber fijo la base de muchos de los trabajossobre factorización simbólica utilizando el árbolde eliminación.


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Versión 1.0 20


Como se hace (grafos):


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Versión 1.0 21



Durante el paso k de la eliminación, se resta la fila k multiplicada por un coeficientea cada una de las filas que tienen elementos no nulos en la columna k (debajo delpivote).

Los elementos no nulos de la fila k “bajan” a estas filas y pasan a ser elementos no

nulos de las mismas.

En el grafo de adyacencia, esto equivale a que los vértices adyacentes a k pasana ser adyacentes a los vértices correspondientes a las filas mencionadas.


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Versión 1.0 22



Por esta razón, al eliminar un vértice se forma un clique entre sus adyacentes


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Versión 1.0 23

Factorización simbólicaComo se hace (con conjuntos):

),( 1ii S x Alc es el conjunto de vértices alcanzables desde xi a través devértices con numeración menor (que serán eliminados antes que i)

Si x j pertenece a Alc(xi , Si-1) hay un camino desde xi a x j a través Si-1, por lo quecuando se eliminen todos los vértices de Si-1 se generará una arista de fill-in entre

xi y x j.Entonces, el grafo de adyacencia que incluye las aristas de fill-in quedacaracterizado por:

ii

x xS ,....,1

Sea

),(|),( 1 ii j ji F S x Alc x x x E


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Versión 1.0 24


Una definición recursiva usandoconjuntos alcanzables:

i

S x Alc x

k k iii S S x Alc x AdjS x Alck k i

),(

11

1

),()(),(


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Versión 1.0 25

Factorización numérica

Existen varias sub-técnicasdependiendo del acceso de memoria:

Super-nodo

Frontal

MultifrontalOtras


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Más info…

Alan George, Joseph Liu, and EsmondNg. "Computer Solution of Sparse Linear

Systems." Academic, Orlando (1994). Disponible en:http://web.engr.illinois.edu/~heath/courses/cs

598mh/george_liu.pdf

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http://web.engr.illinois.edu/~heath/courses/cs598mh/george_liu.pdfhttp://web.engr.illinois.edu/~heath/courses/cs598mh/george_liu.pdfhttp://web.engr.illinois.edu/~heath/courses/cs598mh/george_liu.pdfhttp://web.engr.illinois.edu/~heath/courses/cs598mh/george_liu.pdf

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