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07 -2UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011
Distribuição constituída de todos os
valores de , considerando todas as
possíveis amostras de tamanho “n”
Distribuição da Média Amostral x
x
)( n
ixxx
nn
xx
21
1
)(1
)]()()([1
)( XEnn
XEXEXEn
xE
Sendo: x1, x2, ..., xn Variáveis Aleatórias Independentes:
)(1
)]()()([1
)(22
XVarnn
XVarXVarXVarn
XVar
Parâmetros da Distribuição da Média Amostral
)]()()([1
)(21 n
XEXEXEn
XE
)]()()([1
)(21
2
nXVarXVarXVar
nXVar
Onde X1, X2, ..., Xn são V.A. com mesma Distr. da V.A. X
x
nn
XVarXVar
2)()(
)()( XExE
07 -3UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011
Exemplo: População = {2,3,6,8,11}
Amostra de 2 (dois) elementos com reposição.
N = 5 n = 2
Amostras possíveis: 52 = 25 amostras
(2,2) 2,0 (2,3) 2,5 (2,6) 4,0 (2,8) 5,0 (2,11) 6,5
(3,2) 2,5 (3,3) 3,0 (3,6) 4,5 (3,8) 5,5 (3,11) 7,0
(6,2) 4,0 (6,3) 4,5 (6,6) 6,0 (6,8) 7,0 (6,11) 8,5
(8,2) 5,0 (8,3) 5,5 (8,6) 7,0 (8,8) 8,0 (8,11) 9,5
(11,2) 6,5 (11,3) 7,0 (11,6) 8,5 (11,8) 9,5 (11,11) 11,0
nXVar
x
N
XExXVar
N
xXE
i
n
i
Xn
i
2
22
2
2
8,1040,5)(
25
)0,6())(()(
0,625
150
5
0,11...5,20,2)(
População:
Amostra:
810
611686663625
1
065
118632
2
222222
22
,
)()()()()(
)(
,
N
x
N
x
i
i
Distribuição da Média Amostral x
07 -4UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011
Onde: N tamanho da população
n tamanho da amostra
• Amostragem sem reposição
• População finita: N < 20 •n
• Xi: V.A. não Independentes
nn
XVarxVar
XExE
X
X
2)(
)(
)()(
1
)()(
)()(2
N
nN
nn
XVarxVar
XExE
X
X
• Amostragem com reposição
• População infinita: N > 20.n
• Xi: V.A. Independentes
Então:
Então:
Distribuição da Média Amostral x
07 -5UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011
Amostras x
(2,3) 2,5
(2,6) 4,0
(2,8) 5,0
(2,11) 6,5
(3,6) 4,5
(3,8) 5,5
(3,11) 7,0
(6,8) 7,0
(6,11) 8,5
(8,11) 9,5
0,610
5,90,45,2)Pr()(
ii xXXE
05,415
25
2
8,10
1)(
2
N
nN
nxVar
X
102
45
23
5
2
5
!!
!
Exemplo: População = {2,3,6,8,11}
Amostra de 2 (dois) elementos sem reposição.
N = 5 n = 2
Amostras possíveis:
05,4)65,9(...)60,4()65,2(10
1)( 222 xVar
iixtodoparaX
10
1)Pr(
)Pr()()( 2
ixixxxVar
Distribuição da Média Amostral x
07 -6UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011
Exemplo: Admite-se que a altura de 300 alunos do
sexo masculino de uma dada Escola tem Distribuição
Normal, com = 172,72 cm e = 7,62 cm.
Se forem obtidas 80 amostras de 25 alunos cada,
quais serão a média e o desvio-padrão da
Distribuição Amostral de ?
524,125
62,7)(
nXDP X
461,11300
25300
25
62,7
1)(
N
nN
nXDP X
72,172)( X
XE
x
• Com reposição:
Número de possíveis amostras:
• Sem reposição: 72,172)( X
XE
Número de possíveis amostras:361091
25275
300
25
300
,
!!
!
6125 1048300 ,)(
)()( 500252020300 nNComo:
então:
Distribuição da Média Amostral x
07 -7UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011
• Se a população não for Normal, mas a amostra for
suficientemente grande então a Distribuição Amostral de
pode ser aproximada pela Normal, devido ao Teorema do
Limite Central (no caso de população infinita) ou devido à
consideração de amostragem com reposição.
Distribuição Amostral de x
Distr. Probab. da População
x, x
x, x
Distr. Probab. da População
Distribuição Amostral de x
x
x
Resultados importantes:
• Se a população for Normal então a Distribuição Amostral de
é Normal para qualquer tamanho da amostra, devido ao
Teorema das Combinações Lineares de Variáveis Normais
Independentes.
Distribuição da Média Amostral x
07 -8UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011
)461,1)(;72,172)(( 2 XVarXENormalx
Exemplo: Admite-se que a altura de 300 alunos do
sexo masculino de uma dada Escola tem Distribuição
Normal, com = 172,72 cm e = 7,62 cm. Considere
que foram obtidas 80 amostras de 25 alunos cada.
Em quantas amostras pode-se esperar que a média
se encontre entre 169,67 e 173,48 cm?
Resp.: espera-se que em 80 x 0,6802 = 54 amostras, a
média se encontre entre 169,67 e 173,48 cm
Do slide 6, tem-se (sem reposição):
?)48,17367,169Pr(: XLogo
)461,1
72,17248,173
461,1
72,17267,169Pr()48,17367,169Pr( ZX
)52,009,2Pr( Z
)52,00Pr()09,20Pr( ZZ
680201985048170 ,,,
Distribuição da Média Amostral x
07 -9UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011
4)642(3
1
3
16
3
14
3
12)( XE
Exemplo: Uma urna contém muitas fichas
numeradas: um terço com o número 2,
um terço com 4 e um terço com 6.
X: número de uma ficha retirada ao acaso
22 )()()( XEXEXVar
66,23
84)
3
16
3
14
3
12()(
2222 XVar
Pr(X=x)
X642
1/3
Distribuição da Média Amostral x
07 -10UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011
XXE 4
9
36
9
16
9
25
9
34
9
23
9
12)(
Continuação do exemplo da urna com fichas: 2, 4, 6
Extrair amostra de tamanho 2:
33,12
66,2)(
2
n
XVar X
642
3/9
(2,2) (2,4) (2,6) (4,2) (4,4) (4,6) (6,2) (6,4) (6,6)
x 2 3 4 3 4 5 4 5 6
)Pr( xX
x3 5
2/9
1/9
Número de diferentes amostras = 32 = 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Distribuição da Média Amostral x
07 -11UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011
4)( X
XE
Continuação do exemplo da urna com fichas: 2, 4, 6
Extrair amostra de tamanho 5:
53,05
66,2
5)(
2
XXVar
642
Xi: número de vezes que a ficha “i” saiu na
amostra de tamanho 5
)Pr( xX
x
Número de diferentes amostras = 35 = 243
Xi: Multinomial (Polinomial)
642
642
6644223
1
3
1
3
1
!!!
!5);;Pr(
xxx
xxxxXxXxX
24330
24310
24350
5
642 642 XXXX
Cálculos no
próximo slide
Distribuição da Média Amostral x
07 -12UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011
Continuação do exemplo da urna com fichas: 2, 4, 6
Distribuição da Média Amostral (n=5)642
642
6644223
1
3
1
3
1
!!!
!5);;Pr(
xxx
xxxxXxXxX
X2 X4 X6
5 0 0 10 2 1/243
4 1 0 12 2,4 5/243
4 0 1 14 2,8 5/243
3 2 0 14 2,8 10/243
3 1 1 16 3,2 20/243
3 0 2 18 3,6 10/243
2 3 0 16 3,2 10/243
2 2 1 18 3,6 30/243
2 1 2 20 4 30/244
2 0 3 22 4,4 10/243
1 4 0 18 3,6 5/243
1 3 1 20 4 20/243
1 2 2 22 4,4 30/244
1 1 3 24 4,8 20/243
1 0 4 26 5,2 5/243
0 5 0 20 4 1/243
0 4 1 22 4,4 5/243
0 3 2 24 4,8 10/243
0 2 3 26 5,2 10/243
0 1 4 28 5,6 5/243
0 0 5 30 6 1/243
iXi x Prob.
2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8 5,2 5,6 6
1/243 5/243 15/243 30/243 45/243 51/243 45/243 30/243 15/243 5/243 1/243
xProb.
Distribuição da Média Amostral x
07 -13UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011
4)( X
XE
Continuação do exemplo da urna com fichas: 2, 4, 6Extrair amostra de tamanho 10:
266,010
66,2
10)(
2
XXVar
542
Xi: número de vezes que a ficha “i” saiu na amostra de tamanho 10
)Pr( xX
x
No. de amostras = 310 = 59.049
Xi: Multinomial (Polinomial)
10
642 642 XXXX
0,100
0,025
0,150
3 6
0,050
0,075
0,125
2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8
0,00002 0,00017 0,00093 0,00356 0,01042 0,02459 0,04827 0,08027 0,11457 0,14141
4,0 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0 5,2 5,4 5,6 5,8 6,0
0,15162 0,14141 0,11457 0,08027 0,04827 0,02459 0,01042 0,00356 0,00093 0,00017 0,00002
Distribuição de Probabilidade de x
Distribuição da Média Amostral x
642
642
6644223
1
3
1
3
1
!!!
!10);;Pr(
xxx
xxxxXxXxX
Evidente
aproximação à
Distribuição
NORMAL
07 -14UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011
Distribuição da Freqüência Amostral f
f : freqüência absoluta com que foi observada
alguma característica em cada elemento de uma
amostra de tamanho “n”
SUCESSO: quando a característica foi observada
FRACASSO: caso contrário
Seja: p = Prob. de Sucesso em cada elemento da amostra
q = Prob. de Fracasso
Amostragem com reposição:
f tem Distribuição Binomial
npfE )(
npqfVar )(
1)(
N
nNnpqfVar
Amostragem sem reposição:
f tem Distribuição Hipergeométrica
npfE )(
07 -15UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011
))(;)(( npqfVarnpfENormalNormalNormal
Amostras suficientemente grandes,
garantem que a Distribuição de f
(Binomial ou Hipergeométrica) pode ser
aproximada pela Distribuição Normal
Em termos práticos:
n.p 5 n.q 5 N > 20 x n
garantem uma boa aproximação pela
n.p 5 n.q 5 N < 20 x n
garantem uma boa aproximação pela
)1
)(;)((
N
nNnpqfVarnpfENormal
NormalNormal
Distribuição da Freqüência Amostral f
07 -16UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011
Exemplo: Verificou-se que 2% das peças
produzidas por certa máquina são defeituosas.
Qual a Prob. de existirem no máximo 3% de
peças defeituosas num lote com 400 peças?
NormalpelaAproxBinomialf .)(
8,284,798,002,0400)( npqfDP
802,0400)( npfE
p = 2% n = 400 n.p = 8 > 5 n.q = 392 > 5
?)12Pr(%)3400Pr( ff
)5,12Pr()12Pr( Normalff
)60,1Pr()8,2
85,12Pr()5,12Pr( ZZf
Normal
9452,04452,05,0)60,10Pr()0Pr( ZZ
Distribuição da Freqüência Amostral f
07 -17UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011
Exemplo: Uma Pesquisa Eleitoral mostrou que
certo candidato receberá 46% dos votos.
Qual a Prob. de 200 votantes, escolhidos ao
acaso, apresentar a maioria dos votos em favor
deste candidato?
NormalpelaAproxBinomialf .)(
04,768,4954,046,0200)( npqfDP
9246,0200)( npfE
p = 46% ; n = 200 ; n.p = 92 > 5 n.q = 108 > 5
?)100Pr(%)50200Pr( ff
)5,100Pr()100Pr( Normalff
)21,1()04,7
925,100Pr()5,100Pr( ZPZf
Normal
1131,03869,05,0)21,10Pr()0Pr( ZZ
Distribuição da Freqüência Amostral f
07 -18UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011
Exemplo: Uma Pesquisa Eleitoral mostrou que certo
candidato receberá 46% dos votos.
Qual deveria ser o tamanho da amostra de votantes para
garantir, com uma Prob. de 95% que tal candidato tenha
no mínimo 120 votos?
npqnpNormalpelaAproxf ;.
2484,054,046,0)( nnnpqfDP
46,0)( nnpfE
p = 46% n = ?
%95)120Pr( f
95,0)5,119Pr()120Pr( Normalff
95,0)2484,0
46,05,119Pr()5,119Pr(
n
nZf
Normal
Determinar “n” tal que:
Portanto, da
Tabela Normal:651
24840
4605119,
,
,,
n
n
Resolvendo esta equação, tem-se:
n=232 p/ Z=1,65 n=290 p/ Z=-1,65
Distribuição da Freqüência Amostral f
Logo:
Considere: np>5 nq>5 N>20n
07 -19UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011
Distribuição da Freqüência Amostral Relativa p’
p’ : freqüência relativa com que foi
observada alguma característica numa
amostra de tamanho “n”
Amostragem com reposição:
pnpn
fEnn
fEpE
1)(
1)'(
n
pqnpq
nfVar
nn
fVarpVar
22
1)(
1)'(
Amostragem sem reposição:
n
fp '
pnpn
fEnn
fEpE
1)(
1)'(
11
1)(
1)'(
22 N
nN
n
pq
N
nNnpq
nfVar
nn
fVarpVar
07 -20UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011
1
1
2
2
n
xxs
n
i i
X
)(
Distribuição da Variância Amostral s2
A Distribuição de
está relacionada com a
importante Distribuição
(QUI-QUADRADO):
2
Xs
1
2
2
1
2
i
i
i X
Xi zx
2
07 -21UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011
Distribuição 2: Qui-Quadrado
2
1
22
1
x
zi
i ii
2
Sejam xi:
• valores aleatórios independentes
• retirados de uma população Normal ( , 2)
Então:
tem Distribuição Qui-Quadrada com Graus
de Liberdade.
: soma dos quadrados de valores
independentes de variável Normal Reduzida
2
07 -22UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011
Distribuição 2: Qui-Quadrado
Tabela distribuição Qui-Quadrado
07 -23UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011
Normal quando (Teorema do Limite Central)
2E
2)( 2Var
2
222
2121
Propriedades da Distribuição 2
)()( Moda22 Μο
:, 22
21 independentes
Distr. tabelada: 2
Exemplo: P = 10% = 3
Tabela: linha ( = 3 ) coluna (P = 10% )
tem-se:
Significa: Probabilidade de um valor
aleatório da variável ser maior do que
6,251 é 10%
PP )Pr( 2
,
2
25162 ,, P
2
07 -24UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011
2
2
1
2
22
1
2
2
1
1
1
1x
n
i
i
n
i
i
n sn
n
xxn
xx
)()(
2
2
2
1
2
2 11
)(1
)(
nn
En
sEnx
Mostra-se que:
tem Distribuição2
Logo:
2
xxi
Portanto:2
1
22
1
nxn
s
1
212
1)(
1)(
42
2
2
1
22
2
n
nn
Varn
sVarnx
Distribuição da Variância Amostral s2
07 -25UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011
Exemplo: Retirada uma amostra de 11
elementos, ao acaso, obteve-se s2 (x) = 7,08.
Determinar um intervalo que contenha a
variância da população 2 com 90% de
probabilidade.
2
1
2
1
2
1
22 870111087
1
nnn
ns ,)(,
)(
90,0)Pr( 2 ba
90,0)8,70
Pr(2
1
ban
90,0)8,708,70
Pr( 2
1
ab
n
2
1n 90,0)307,18940,3Pr( 2
1
n
9403870
,,
b
30718870
,,
a
90,0)92,1783,3Pr( 2
2
1
22
1
nxn
s
Tabela:
a = 3,83
b = 17,92
Distribuição da Variância Amostral s2
07 -26UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011
n
xz
)(XE
nXDP
)(
1
nt
n
xs
x
)(
Normal
t-Student
t, z0
Distribuição t - StudentA partir de uma amostra aleatória de n valores retirados
de uma população N(, 2), obtêm-se a estatística:
z N(0, 1),
Substituindo-se (desconhecido) por sx :
( t - Student com = n-1)
E(tn-1)=0 n , s(x) t N(0,1)
x
ns
zt
1
1
2
11
n
t nn
2
1
1
1
n
n
nzt
07 -27UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011
Distribuição t - Student
Tabela da distribuição t -Student
07 -28UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011
Exemplo: Retirada uma amostra aleatória de tamanho 4,
de uma população Normal, obteve-se:
),( nNormalx 2
99,0Pr 00
n
eZ
n
e
28,x 40,xs
Determinar um intervalo que tenha a probabilidade de
99% de conter a média da população:Pr(a b) = 0,99
Seja Pr(-e0 + e0 ) = 0,99 (*)
P( - e0 + e0 ) = 0,99x
x
x a = - e0
b = + e0
x
x
De (*):
99,0Pr 00
neZ
ne %,50
0 zne
n
st
n
s
sz
nze x
n
x
x
)()(%,,%,%, 50150500
Tabela: 84155031
,%,,
nt 1681
4
4084150 ,
,, e
a = - e0 = 8,2 – 1,168 = 7,032x
b = + e0 = 8,2 + 1,168 = 9,368x
Pr( 7,032 9,368 ) = 0,99
Distribuição t - Student
07 -29UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011
Distribuição da Razão entre Variâncias Amostrais
Sejam 2 amostras independentes, de tamanhos
n1 e n2, retiradas de populações Normais e
considere suas variâncias amostrais :2
1s2
2s
Deseja-se conhecer a Distribuição de:2
2
2
1
ss
Caso as Populações tenham a mesma variância:
),(. 11 212
2
2
1 nnSnedecordeFDistrs
s
2
2
1
2
2
1
2
2
2
1
1
2
2
2
2
111
2
1
2
1
21
1
1
n
n
nn
n
n
s
sF ;
(valores da Distr. F de Snedecor: TABELADOS)
111 nonde: 122 n
07 -30UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011
Distribuição da Razão entre Variâncias Amostrais
Tabela da distribuição F de Snedecor – (p=0,01)
07 -31UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011
Distribuição da Razão entre Variâncias Amostrais
Tabela da distribuição F de Snedecor – (p=0,05)
07 -32UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011
Distribuição da Razão entre Variâncias Amostrais
Tabela da distribuição F de Snedecor – (p=0,1)
07 -33UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011
Exemplo: Considere 2 populações Normais com
mesma variância, das quais são retiradas
amostras de tamanhos n1=25 e n2=30.
Calcule a prob. da variância da amostra 1 ser
maior do que o dobro da variância da amostra 2.
Pergunta: ?)2Pr(
2
2
2
1 s
s
Da Tabela:
05,0)90,1Pr(29;24
F
025,0)15,2Pr(29;24
F
Logo:
)025,005,0(90,115,2
90.1205,0)2Pr(
2
2
2
1
s
s
Distribuição da Razão entre Variâncias Amostrais
)2Pr()2Pr()2Pr(130;1252;12
2
2
1
FFs
s
04,0)2Pr(2
2
2
1 s
s