slide sode 45

Ensamblaje de navesOsciladores no lineales

Modelos de propagacion del SIDA

Captulo 1: Ecuaciones diferenciales ordinarias

Metodos Numericos Avanzados

3 de noviembre de 2005

Metodos Numericos Avanzados Captulo 1: Ecuaciones diferenciales ordinarias



Utilizacion de la rutina ode45 de MatlabEjercicios

Contenidos

Ensamblaje de navesUtilizacion de la rutina ode45 de MatlabEjercicios

Osciladores no linealesEl plano de fases

Modelos de propagacion del SIDALa ecuacion logsticaModelo mas complejo: 4 tipos de poblacion





Metodo de Euler

Ejemplo mas simple de los llamados Metodos Taylor

y = f (x , y) y(x + h) = y(x) + y (x)h + O(h2)

Se reemplaza y por f (x , y):

yk+1 = yk + hf (xk , yk)

Si continuamos calculando terminos con el polinomio de Taylorpodemos obtener metodos mas precisos con el coste de tener quecalcular las derivadas parciales de f .





Metodo de Runge-Kutta

Se evita calcular las derivadas de f mediante mas evaluaciones dela funcion:

y (x) = f (x , y)y (x) = fx + fyy = fx + fy f

y = hf +h2

2(fx + fy f ) + O(h

3)

=h

2f +

h

2(f + hfx + hfy f ) + O(h

3)

f + h(fx + fy f ) = f (x + h, y + hf ) + O(h2)

F1 = f (x , y) F2 = f (x + h, y + hF1)

yk+1 = yk +h

2(F1 + F2)





Ecuacion para la trayectoria de la nave

x (t) = s(t)(X (t) x(t)),y (t) = s(t)(Y (t) y(t)),z (t) = s(t)(Z (t) z(t)).

s(t) = k

X (t)2 + Y (t)2 + Z (t)2

(X (t) x(t))2 + (Y (t) y(t))2 + (Z (t) z(t))2





Pasos de la resolucion numerica

I Definir una funcion para la trayectoria circular de la nave.

I Utilizar el comando ode45(funcion,tspan,y0).I Visualizacion: estatica o dinamica.






I Definir una funcion para la trayectoria circular de la nave.I Utilizar el comando ode45(funcion,tspan,y0).

I Visualizacion: estatica o dinamica.






I Definir una funcion para la trayectoria circular de la nave.I Utilizar el comando ode45(funcion,tspan,y0).I Visualizacion: estatica o dinamica.





Trayectoria de la nave

function c=circulo(t)global w teta fi %fi es el angulo del eje de rotacion

%respecto de e3

%teta es el angulo sobre el plano xy del corte del

%plano de rotacion con el xyt=t; w=1; fi=pi/3; teta=pi/4;x=cos(w*t).*cos(teta)-sin(w*t).*cos(fi)*sin(teta);y=cos(w*t).*sin(teta)+sin(w*t).*cos(fi)*cos(teta);z=sin(w*t).*sin(fi); c=[x; y ;z];





Metodo de Runge-Kutta-Fehlberg

I Utiliza dos metodos R-K para adaptar el paso

I Es eficiente en el numero de evaluaciones.





Metodo de Runge-Kutta-Fehlberg

I Utiliza dos metodos R-K para adaptar el pasoI Es eficiente en el numero de evaluaciones.





Visualizacion: Ejemplo de animacion en 3D

clear all...p=plot3(estacion(1,1),estacion(2,1),estacion(3,1),...+g,EraseMode,none,MarkerSize,5);hold on;

% poner EraseMode none para que se vea la estelaq=plot3(y(1,1),y(2,1),y(3,1),*r,...EraseMode,xor,MarkerSize,10);legend(nave,estacion)y=y; axis([-1.5 1.5 -1.5 1.5 -1.5 1.5])for i=2:length(t);set(p,XData,estacion(1,i),YData,estacion(2,i),...ZData,estacion(3,i))set(q,XData,y(1,i),YData,y(2,i),ZData,y(3,i))

drawnow, end, hold off





Ejercicio 1: Modelo de competencia

I Definir una funcion competicion.m.

I animar la solucion para visualizar los puntos de equilibrio.





Ejercicio 1: Modelo de competencia

I Definir una funcion competicion.m.I animar la solucion para visualizar los puntos de equilibrio.





Ejercicio 2: Modelo de Robertson

I Utilizar el comando subplot para comparar la evolucion delas distintas especies.

I Comparar el numero de nodos de cada solucion.I Comparar el tiempo de resolucion de ambos metodos

utilizando los comandos tic,toc o etime







I Comparar el numero de nodos de cada solucion.

I Comparar el tiempo de resolucion de ambos metodosutilizando los comandos tic,toc o etime







I Comparar el numero de nodos de cada solucion.I Comparar el tiempo de resolucion de ambos metodos

utilizando los comandos tic,toc o etime




El plano de fasesEl pendulo no linealEjercicio 1Ejercicio 2

Contenidos








Sistema autonomo de dos ODEs

x (t) = f (x(t), y(t))y (t) = g(x(t), y(t))

dy

dx=

g(x , y)

f (x , y)





Ecuacion de segundo orden

y = f (y , y ) y2 = y (t) y1 = y(t)

y 1 = y2y 2 = f (y1, y2)





Ecuacion de pendulo

y + sen(y) = 0 y 1 = y2, y 2 = sen(y1)

I Definir la funcion del segundo miembro pend.mI Definir el intervalo temporal para las soluciones y fijar los

datos iniciales.

I Programa pendulo.m (script).





Ecuacion de pendulo

y + sen(y) = 0 y 1 = y2, y 2 = sen(y1)

I Definir la funcion del segundo miembro pend.m

I Definir el intervalo temporal para las soluciones y fijar losdatos iniciales.






Ecuacion de pendulo

y + sen(y) = 0 y 1 = y2, y 2 = sen(y1)

I Definir la funcion del segundo miembro pend.mI Definir el intervalo temporal para las soluciones y fijar los

datos iniciales.






Efectos de friccion

y + y + sen(y) = 0 y 1 = y2, y 2 = sen(y1) y2

I Definir la funcion del segundo miembro pendf.mI Definir el intervalo temporal para las soluciones y fijar los

datos iniciales.

I Programa pendulof.m (script).





Efectos de friccion

y + y + sen(y) = 0 y 1 = y2, y 2 = sen(y1) y2

I Definir la funcion del segundo miembro pendf.m

I Definir el intervalo temporal para las soluciones y fijar losdatos iniciales.






Efectos de friccion

y + y + sen(y) = 0 y 1 = y2, y 2 = sen(y1) y2

I Definir la funcion del segundo miembro pendf.mI Definir el intervalo temporal para las soluciones y fijar los

datos iniciales.






Modelo depredador-presa

I Utilizar los comandos meshgrid y contour para ver lascurvas de nivel de la solucion exacta.

I Utilizar quiver para visualizar el plano de fases.I Valores de las constantes: a=0.2, b=0.005, c=0.15*b, d=0.3

y realizar la grafica entre los lmites: [0 1000,0 100].







I Utilizar quiver para visualizar el plano de fases.

I Valores de las constantes: a=0.2, b=0.005, c=0.15*b, d=0.3y realizar la grafica entre los lmites: [0 1000,0 100].







I Utilizar quiver para visualizar el plano de fases.I Valores de las constantes: a=0.2, b=0.005, c=0.15*b, d=0.3

y realizar la grafica entre los lmites: [0 1000,0 100].





Modelo depredador-presa con competicion

I Utilizar los comandos meshgrid y quiver para visualizar lospuntos de equilibrio en el plano de fases.

I Valores de c : 2,2.




La ecuacion logsticaModelo mas complejo: 4 tipos de poblacion

Contenidos








Ejemplo

Un modelo simplificado: La tasa de infectados es proporcional alnumero de interacciones entre la poblacion sana y la enferma:

A(t) = c(P A(t))A(t)

P es la poblacion total, A(t) es el numero de afectados por laenfermedad en el instante t.P A(t) representa el numero de individuos sanos dentro de lapoblacion en el instante t.Si P = 50000, A(0) = 100, se puede calcular c a partir de algundato emprico A(10) = 1000. c = 4,6416 106. Para infectar a lamitad de la poblacion haran falta aproximadamente 27 semanas.





Hipotesis

I El flujo de nuevos individuos susceptibles de ser contagiadoses constante.

I Los individuos susceptibles pueden convertirse en infecciosos omorir de muerte natural.

I Los individuos infecciosos pueden morir de muerte natural,desarrollar el SIDA o convertirse en no infecciosos.

I La gente con SIDA puede morir de SIDA o de muerte natural.





Tipos de poblacion

I X representa a los individuos susceptibles de desarrollar elSIDA.

I Y representa a los individuos infecciosos, capaces de contagiarel HIV.

I Z representa al numero de individuos seropositivos noinfecciosos.

I A representa a los individuos que han desarrollado el SIDA.





Parametros

I tasa de reclutamiento de individuos susceptibles.

I tasa de muerte natural.I probabilidad de infectarse a partir de una pareja aleatoria.I c numero de parejas que tiene un individuo por unidad de

tiempo (ano).

I d tasa de muerte por SIDA.I tasa de seropositivos infecciosos que mutan a seropositivos

no-infecciosos.

I p proporcion de individuos que contraen el sida entre losinfecciosos.





Parametros

I tasa de reclutamiento de individuos susceptibles.I tasa de muerte natural.

I probabilidad de infectarse a partir de una pareja aleatoria.I c numero de parejas que tiene un individuo por unidad de

tiempo (ano).


no-infecciosos.






Parametros

I tasa de reclutamiento de individuos susceptibles.I tasa de muerte natural.I probabilidad de infectarse a partir de una pareja aleatoria.

I c numero de parejas que tiene un individuo por unidad detiempo (ano).


no-infecciosos.






Parametros

I tasa de reclutamiento de individuos susceptibles.I tasa de muerte natural.I probabilidad de infectarse a partir de una pareja aleatoria.I c numero de parejas que tiene un individuo por unidad de

tiempo (ano).


no-infecciosos.






Parametros


tiempo (ano).

I d tasa de muerte por SIDA.

I tasa de seropositivos infecciosos que mutan a seropositivosno-infecciosos.






Parametros


tiempo (ano).


no-infecciosos.






X = X cX = A+ YN

Y = cX (+ + p)YA = pY (d + )AZ = Y Z

N(t) = X (t) + Y (t) + Z (t) + A(t)

Valores de las constantes:

X (0) = 90000, Y (0) = 10000, A(0) = 0, Z (0) = 0

= 13333,3, d = 1,33, = 0,237, = 1/32, p = 0,3


Ensamblaje de navesUtilizacin de la rutina ode45 de MatlabEjercicios

Osciladores no linealesEl plano de fasesEl pndulo no linealEjercicio 1Ejercicio 2

Modelos de propagacin del SIDALa ecuacin logsticaModelo ms complejo: 4 tipos de poblacin

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