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SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit T E X Jahrgangsstufe 7 (Gymnasium) herausgegeben vom Zentrum zur F¨ orderung des mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts der Universit¨ at Bayreuth 5. Juni 2012 Die Aufgaben stehen f¨ ur private und unterrichtliche Zwecke zur Verf¨ ugung. Eine kommerzielle Nutzung bedarf der vorherigen Genehmigung.

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SMART

Sammlung mathematischer Aufgabenals Hypertext mit TEX

Jahrgangsstufe 7 (Gymnasium)

herausgegeben vom

Zentrum zur Forderung des

mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts

der Universitat Bayreuth∗

5. Juni 2012

∗Die Aufgaben stehen fur private und unterrichtliche Zwecke zur Verfugung. Eine kommerzielleNutzung bedarf der vorherigen Genehmigung.

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Inhaltsverzeichnis

I. Neuer Lehrplan G8 3

1. Symmetrie und Winkel 41.1. Achsensymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1. Eigenschaften, Konstruktion von Bildpunkt und Achse . . . . . . . 41.1.2. Mittelsenkrechte, Lot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.3. Winkel, Winkelubertragung, Winkelhalbierende . . . . . . . . . . . 61.1.4. Transversalen im Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2. Punktsymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.1. Eigenschaften, Konstruktion von Bildpunkt und Zentrum . . . . . . 131.2.2. Ubersicht uber symmetrische Vierecke . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3. Winkelbetrachtungen an Figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.1. Geraden- und Doppelkreuzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.2. Innenwinkel beim Dreieck und Viereck . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2. Terme und Variable 222.1. Terme und ihre Werte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2. Aufstellen und Interpretieren von Termen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3. Veranschaulichung von Termen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3. Umformen von Termen 493.1. Rechengesetze fur rationale Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2. Terme mit Produkten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.3. Terme mit Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.4. Summen, Klammerregeln, Zusammenfassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.5. Multiplizieren von Summen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.6. Binomische Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4. Gleichungen 694.1. Aufstellen linearer Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.2. Losen linearer Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.3. Anwendungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5. Daten, Diagramme und Prozentrechnung 845.1. Auswerten von Daten, Mittelwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

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Inhaltsverzeichnis

5.2. Prozentrechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6. Dreiecke 1016.1. Kongruenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.1.1. Begriff der Kongruenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.1.2. Kongruenzsatze fur Dreiecke, grundlegende Konstruktionen . . . . . 101

6.2. Besondere Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.2.1. gleichschenkliges und gleichseitiges Dreieck . . . . . . . . . . . . . . 1076.2.2. rechtwinkliges Dreieck, Satz von Thales . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.2.3. Konstruktion von Kreistangenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6.3. Konstruktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.3.1. Besondere Linien im Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.3.2. Dreieckskonstruktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1206.3.3. Viereckskonstruktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

7. Vertiefen der Algebra und Geometrie 1297.1. Terme und Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1297.2. Anwendungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1317.3. Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

II. Alter Lehrplan G9 - Algebra 140

8. Erweiterung des Zahlenbereichs: die rationalen Zahlen 1418.1. Negative Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1418.2. Grundrechenarten mit rationalen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

9. Ungleichungen 1469.1. Losen linearer Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

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Teil I.

Neuer Lehrplan G8

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1. Symmetrie und Winkel

1.1. Achsensymmetrie

1.1.1. Eigenschaften, Konstruktion von Bildpunkt und Achse

1. Auf einem Blatt Papier sind eine Gerade g und zwei Punkte P und Q gezeichnet,die nicht auf g liegen. Beschreibe, wie man feststellen kann, ob die Punkte P und Qbezuglich g im Rahmen der Zeichengenauigkeit zueinander symmetrisch sind.

Bayerischer Mathematik-Test fur die Jahrgangsstufe 10 der Gymnasien 2005

Losung: Z. B. symmetrisch, wenn [PQ] von g senkrecht halbiert wird.

2. (a) Welche Vierecke besitzen mindestens zwei Symmetrieachsen?

(b) Welche der folgenden Figuren hat die meisten Symmetrieachsen: Rechteck, gleich-seitiges Dreieck, Kreis

Quelle: Jufo go (Spiel zum Wettbewerb Jugend forscht)

Losung: (a) Rechteck, Quadrat, Raute

(b) Kreis (unendlich viele Symmetrieachsen)

1.1.2. Mittelsenkrechte, Lot

1. (a) Gegeben sind zwei verschiedene Punkte P und Q. Gesucht sind alle Geraden,von denen P und Q gleichen Abstand haben.

(b) Gegeben sind drei verschiedene Punkte P,Q und R. Gesucht sind alle Geraden,von denen P, Q und R gleichen Abstand haben.

(c) Gegeben sind zwei verschiedene Punkte P und Q. Gesucht sind alle Kreise, vondenen P und Q gleichen Abstand haben.

Losung: (a) Gerade PQ, Parallelen zu PQ, Mittelsenkrechte der STrecke [PQ] und Geraden durchden Mittelpunkt M der Strecke [PQ]

(b) 1. Fall: P,Q,R liegen auf einer Geraden ⇒ Gerade PQ und Parallelen zu PQ2. Fall: P, Q und R nicht auf einer Geraden ⇒ Mittelparallelen des Dreiecks △PQR

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1.1 Achsensymmetrie

(c) Der Abstand eines Punktes von einem Kreis ist das Minimum aller Entfernungen zwi-schen diesem Punkt und einem Punkt des Kreises.Kreise um Mittelpunkt der Strecke [PQ] liegt mit beliebigem Radius und Kreise umbeliebigem Punkt M mit Radius r = 1

2(PM +QM)

2. Nenne 2 Eigenschaften eines Dreiecks, bei dem eine Hohe gleichzeitig Mittelsenkrechteist.

Quelle: Jufo go (Spiel zum Wettbewerb Jugend forscht)

Losung: 2 gleichlange Seiten, zwei gleichgroße Winkel, achsensymmetrisch; es handelt sich um eingleichschenkliges Dreieck.

3. Die gehfaulen Ameisen

Die gemutliche Anatevka and die dicke Berta stehen 50mm voneinander entfernt. Siewollen sich zwar treffen, aber keine will weiter als 28mm laufen.

(a) Kennzeichne das Gebiet ihrer moglichen Treffpunkte!

(b) Wie weit mussten sie voneinander entfernt sein, damit es nur einen einzigenTreffpunkt gibt?

Losung: (a) Kreise um Anatevka und Berta mit Radius 28mm schneiden sich in zwei Punkte P1

und P2 der Mittelsenkrechten von Anatevka und Berta. Die Punkte der Strecke [P1P2]sind die moglichen Treffpunkte.

(b) 56 mm

4. Die gehfaulen Ameisen

Anatevka und Berta sind fur Gehgerechtigkeit und achten deshalb genau darauf, dasskeine weiter als die andere krabbeln muss, egal wie weit, Hauptsache beide gleich weit.Zeichne ihre moglichen Treffpunkte ein!

Losung: Mittelsenkrechte auf AB, Pfutze berucksichtigen!

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1.1 Achsensymmetrie

1.1.3. Winkel, Winkelubertragung, Winkelhalbierende

1. Zeichne den Weg exakt nach

(a) 8cm gerade aus, Drehung um 105◦ nach links, 12cm gerade aus, Drehung um135◦ nach links. Wieder hole diesen Vorgang, so oft es geht!

(b) 10cm gerade aus, Drehung um 115◦ nach links, 14cm gerade aus, Drehung um155◦ nach links. Wieder hole diesen Vorgang, so oft es geht!

(c) 10cm gerade aus, Drehung um 95◦ nach links, 14cm gerade aus, Drehung um121◦ nach links. Wieder hole diesen Vorgang, so oft es geht!

Quelle: Andrea Herzog, Bernd Wiegand, Unterrichtsgestaltung an Modellversuchs-schulen, Ein Beispiel: Geometrie in der Jahrgangsstufe 7, mathematiklehrer, August2000, S. 19

Losung:

2. Die nebenstehend abgebildeteSchatzkarte ist nicht maßstabs-getreu. Konstruiere die Lagedes Schatzes nach den Angabender Karte, wenn die Lage derdrei Baume durch A(0|3), B(1|0)und C(4|2) gegeben ist. WelcheKoordinaten hat S? Wie weit istder Schatz vom Baum A entfernt,wenn unsere konstruierte Karteim Maßstab 1 : 1500 gezeichnetist?

B

C

S

c

2b

α

α

γ

γ

c a

b

Schatz

A

7

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1.1 Achsensymmetrie

Losung: S(8|1)

AS = 8,2 cm

8,2 cm · 1500 = 123m

A

B

D

S

8

1

C

E

3. Zeichne die Punkte A (−2 0,5), B (−1 − 1), C (4 1) und D (1 3) in ein Koordinaten-system (Einheit 1 cm).

(a) Konstruiere die Differenz BC− AB.

(b) Miss die Winkel α =<) BAD, β =<) CBA, γ =<) DCB und δ =<) ADC und be-rechne α + β + γ + δ.

(c) Berechne die Summe <) ABC+ <) BCD+ <) CDA+ <) DAB.

Losung: (a) k(B; r = BA) ∩ [BC] = {E}

BC −AB = EC = 3,6 cm

(b) α = 96◦, β = 102◦

γ = 55,5◦, δ = 106,5◦

α+ β + γ + δ = 360◦

(c) (360◦ −β)+ (360◦ − γ)+ (360◦ − δ)+(360◦ − α) = 3 · 360◦ = 1080◦

γ

β

α

δ

A

B

C

D3

4E

4. (a) Berechne im Gradmaß folgende Bruchteile des Vollwinkels:

1

3, 40%,

5

12,

11

16,

13

25.

(b) Berechne im Gradmaß folgende Bruchteile des rechten Winkels:

1

6, 25%,

5

18,

3

8,

3

7.

Losung: (a) 120◦, 144◦, 150◦, 247,5◦, 187,2◦

(b) 15◦, 22,5◦, 37,5◦, 33,75◦,(384

7

)◦

8

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1.1 Achsensymmetrie

5. (a) Rechne in die Grad-Minuten-Sekunden-Schreibweise um:

30,7◦; 55,66◦; 240,085◦; 0,37◦; 0,001◦; 0,0025◦; 4,0502◦; 0,083◦

(b) Rechne in die dezimale Schreibweise um:

35◦18′; 200◦24′;

(11

25

)′

; 1′′; 18◦18′18′′; 1′12′′; 12◦54′′; 1◦1′1′′

Losung: (a) 30◦42′′; 55◦39′36′′; 240◦5′6′′; 22′12′′; 3,6′′; 9′′; 4◦3′0,72′′; 5′

(b) 35,3◦; 200,4◦; 0,0073◦; 0,00027

◦; 18,305◦; 0,02◦; 12,015◦; 1,01694

6. (a) Berechne <) BSA, wenn <) ASB = 57◦ (265◦39′, 157◦47′′, 13◦38′14,3′′) ist.

(b) 47◦49′39′′ + 98◦54′53′′, 174◦47′35′′ − 93◦18′40′′, 218◦ − 23◦14′37′′

Losung: (a) 303◦, 94,35◦ = 94◦21′, 202◦59′13′′ = 202,98694◦

346◦21′45,7′′ = 346,362694◦

(b) 146◦44′32′′, 81◦28′55′′, 194◦45′23′′

7. (a) Rechne um auf die dezimale Schreibweise: 17◦23′15′′

(b) Rechne um auf die Grad-Minuten-Sekunden-Schreibweise: 50,101◦

Losung: (a) 17◦23′15′′ =

(17 +

23

60+

15

3600

)◦

=

(17

31

80

)◦

= 17,3875◦

(b) 50,101◦ = 50◦ + 0,101 · 60′ = 50◦ + 6,06′ = 50◦6′ + 0,06 · 60′′ = 50◦6′3,6′′

8. Das Hubble-Weltraumteleskop hat zwei Sterne fotografiert, deren Winkelabstand nurα = 0,0072′′ betragt. Welcher Bruchteil eines Grades ist das?

Losung: 0,0072′′ =0,0072◦

3600=

1◦

500 000= 0,000 002◦

9. Rechne folgende Winkel in Dezimalschreibweise bzw. in Grad, Winkelminuten undWinkelsekunden um: (a) 12◦21′ (b) 35,27◦

Losung: (a) 12,35◦ (b) 35◦16′12′′

9

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1.1 Achsensymmetrie

10. Rechne folgende Winkel in Dezimalschreibweise bzw. in Grad, Winkelminuten undWinkelsekunden um:

(a) 27◦54′ (b) 14,35◦

Losung: (a) 27,9◦ (b) 14◦21′

11. (a) Stelle in einer Tabelle die Winkel zusammen, die der große bzw. der kleine Zeigereiner Uhr in 1 h, in 1min bzw. in 1 s uberstreicht.

(b) Berechne den kleineren der beiden Winkel, den der große und der kleine Uhr-zeiger zu folgenden Zeiten einschließen:

13:00, 04:00, 16:15, 08:45, 01:42, 00:00:09, 07:42:51, 03:47:05

Losung: (a) 1 h 1min 1 s

großer Zeiger 360◦ 6◦ 0,1◦ = 6′

kleier Zeiger 30◦ 0,5◦ = 30′ 0,5′ = 30′′

(b) 13:00 : 30◦, 04:00 : 120◦

16:15 : 120◦ + 15 · 0,5◦ − 90◦ = 37,5◦

08:45 : 270◦ − (8 · 30◦ + 45 · 0,5◦) = 7,5◦

01:42 : 42 · 6◦︸ ︷︷ ︸252◦

− (30◦ + 42 · 0,5◦)︸ ︷︷ ︸51◦

= 201◦, 360◦ − 201◦ = 159◦

00:00:09 : 9 · 6′ − 9 · 0,5′ = 49,5′ = 0,825◦

07:42:51 : 42 · 6◦ + 51 · 0,1◦︸ ︷︷ ︸257,1◦

− (7 · 30◦ + 42 · 0,5◦ + 51 · 0,5′)︸ ︷︷ ︸231,425◦

= 25◦40′30′′︸ ︷︷ ︸25,675◦

03:47:05 : 47 · 6◦ + 5 · 0,1◦︸ ︷︷ ︸282◦30′

− (3 · 30◦ + 47 · 0,5◦ + 5 · 0,5′)︸ ︷︷ ︸113◦32′30′′

= 168◦57′30′′︸ ︷︷ ︸168,9583

12. Berechne den Winkel, den der Stunden- und der Minutenzeiger um

(a) 17.10 Uhr (b) 8.20 Uhr bildet.

Losung: (a) 95◦ (b) 130◦

13. Gegeben sind die Punkte R(0|3,5), A(4|3), D(7,5|0), L(6|8,5) und E(4,5|5,5).

(a) Trage den Streckenzug RADLER in ein Koordinatensystem ein.

(b) Vergleiche die Winkel α =<) ARE, β =<) LDA und γ =<) ELD durch Konstruk-tion!

(c) Konstruiere δ − γ, wenn δ =<) RAD.

Losung: α = 31,1◦, β = 39,4◦, γ = 36,6◦, δ = 146,5◦, δ − γ = 110,0◦

14. (a) Zeichne den Winkel α = 130◦. Konstruieren daraus den Winkel α′ = 65◦.

10

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1.1 Achsensymmetrie

(b) Zeichne den Winkel α = 110◦. Konstruieren daraus den Winkel α′ = 55◦.

Losung: (a) Halbierung des Winkels α = 130◦ liefert α′ = 65◦.

(b) Halbierung des Winkels α = 110◦ liefert α′ = 55◦.

15. (a) Zeichne die beiden Winkel β = 40◦ und γ = 75◦.Konstruiere aus ihnen den Winkel δ = 95◦.

(b) Zeichne die beiden Winkel β = 60◦ und γ = 85◦.Konstruiere aus ihnen den Winkel δ = 115◦.

Losung: (a) Den Winkel β = 40◦ halbieren und an γ = 75◦ antragen.

(b) Den Winkel β = 60◦ halbieren und an γ = 85◦ antragen.

16. Gegeben sind die Winkel <) DEF = 27◦ und <) GHL = 130◦.

(a) Konstruiere daraus den Winkel α = 157◦.

(b) Konstruiere aus den gegebenen Winkeln <) DEF und <) GHL den Winkel β = 76◦.

Losung: (a) α =<) DEF+ <) GHL (b) β =<) GHL− 2 <) DEF

17. Gegeben sind die Winkel <) FGH = 37◦ und <) ABC = 120◦.

(a) Konstruiere daraus den Winkel α = 157◦.

(b) Konstruiere aus den gegebenen Winkeln <) FGH und <) ABC denWinkel β = 46◦.

Losung: (a) α =<) FGH+ <) ABC (b) β =<) ABC− 2 <) FGH

18. Aus welchen konstruierbaren Winkeln laßt sich

(a) der Winkel 75◦ konstruieren.

(b) der Winkel 52,5◦ konstruieren.

Losung: (a) 75◦ = 90◦ − 60◦ : 4

(b) 52,5◦ = 90◦ : 4 + 60◦ : 2

19. Konstruiere den Winkel α mit α = 82,5◦ (ohne Winkelmesser!).

Losung: 60◦ + 12 · 45◦

20. Konstruiere folgende Winkel: α = 112,5◦, β = 225◦, γ = 78,75◦ und δ = 292,5◦.

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1.1 Achsensymmetrie

Losung: α = 112,5◦ = 90◦ +90◦

4, β = 225◦ = 180◦ +

90◦

2

γ = 78,75◦ = 90◦ −90◦

8, δ = 292,5◦ = 270◦ +

90◦

4

1.1.4. Transversalen im Dreieck

1. In einem gleichschenkligem Dreieck △ABC ist γ der Winkel an der Spitze. Die Wertevon γ liegen im Intervall ]0◦; 180◦[.

(a) Wie groß ist der stumpfe Winkel µ, unter dem sich die beiden Mittelsenkrechtender Schenkel des Dreiecks △ABC fur γ = 40◦ schneiden?

(b) Fur welche Werte von γ liegt der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Schen-kel außerhalb des Dreiecks △ABC.

nach Bayerischer Mathematik-Test fur die Jahrgangsstufe 10 der Gymnasien 2005

Losung: (a) 360◦ − 2 · 90◦ − 40◦ = 140◦

(b) γ > 90◦

2. Beantworte folgende Fragen:

(a) Welche Transversalen in einem Dreieck treffen sich im Inkreismittelpunkt?

(b) In welchen Dreiecken liegt der Hohenschnittpunkt außerhalb des Dreiecks?

(c) Die Ecken eines Dreiecks liegen immer auf einem Kreis. Wie heißt dieser Kreis?

Welche besondere Eigenschaft hat dieser Kreis bei einem rechtwinkligen Drei-eck?

(d) Welche Namen haben die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks △ABC

(rechter Winkel bei B).

Welche besondere Linien sind in diesem Dreieck ha, hc und sb?

Losung: (a) Winkelhalbierenden

(b) In stumpfwinkligen Dreiecken liegt der Hohenschnittpunkt außerhalb des

Dreiecks.

(c) Umkreis; Thaleskreis, die dem rechten Winkel gegenuberliegende Seite ist

Durchmesser des Umkreises.

(d) b: Hypotenuse; a, c: Katheten

ha = c, hc = a, sb: Radius des Thaleskreises/Umkreises.

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1.1 Achsensymmetrie

3. Drei Stadte A, B und C haben auf einer Landkarte die Koordinaten A(1|1), B(7|1)und C(6|6) (Einheit 1 cm).

(a) Konstruiere die Mittelsenkrechten ma, mb und mc auf die Seiten des Stadtedrei-ecks. Was stellst du fest? Uberprufe deine Vermutung noch an anderen Drei-ecken!

(b) Ein Ingenieur behauptet, der Schnittpunkt M von ma und mb ware der gunstig-ste Ort fur einen gemeinsamen Radiosender der drei Stadte. Zeichne zur Uber-prufung dieser Behauptung den Kreis k(M; r = MA).

Losung: (a) Die drei Mittelsenkrechten schneiden sich in einem Punkt M.

(b) Alle drei Stadte liegen auf dem Kreis, d.h. alle drei Stadte sind gleich weit vom Senderentfernt.

4. (a) Zeichne in ein Koordinatensystem (Einheit 1 cm) die Punkte A(1|1), B(7|1) undC(3|6). Konstruiere die drei Hohen des Dreiecks △ABC. Was stellst du fest?Welche Flache hat das Dreieck?

(b) Lose die Teilaufgabe (a) noch einmal fur A(1|1), B(6|1) und C(3|2,5). Kannstdu die gleiche Feststellung machen wie in Teilaufgabe (a)?

Losung: (a) Die drei Hohen schneiden sich in einem Punkt.

A = 12 · AB · hc =

12 · 6 cm · 5 cm = 15 cm2

(b) Die drei Hohen schneiden sich wieder in einem Punkt, allerdings außerhalb des Drei-ecks.

5. Zeichne die Punkte A(1|3), B(7|1) und C(8|8) in ein Koordinatensystem mit derEinheit 1 cm.

(a) Konstruiere die Winkelhalbierenden wα, wβ und wγ im Dreieck △ABC. WelcheEigenschaft haben die drei Winkelhalbierenden?

(b) S sei der Schnittpunkt von wα und wβ. Konstruiere das Lot von S auf BC undnenne den Fußpunkt dieses Lotes F. Zeichne den Kreis k(S; r = SF). WelcheEigenschaft hat k?

(c) Welcher Punkt hat von allen Dreiecksseiten den gleichen Abstand? Uberprufediese Eigenschaft an einem anderen Dreieck.

Losung: (a) Die drei Winkelhalbierenden schneiden sich in einem Punkt S.

(b) k beruhrt alle Dreiecksseiten.

(c) S hat von allen Dreiecksseiten den gleichen Abstand.

13

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1.2 Punktsymmetrie

1.2. Punktsymmetrie

1.2.1. Eigenschaften, Konstruktion von Bildpunkt und Zentrum

1. Spiegle die folgende Figur am Punkt Z.

Z

nach Bayerischer Mathematik-Test fur die Jahrgangsstufe 8 der Gymnasien 2005

Losung:

1.2.2. Ubersicht uber symmetrische Vierecke

1. Was muss gegeben sein, um ein . . . konstruieren zu konnen?

Was muss eigentlich gegeben sein, um ein Quadrat konstruieren zu konnen? Klar, esgenugt die Angabe einer Seitenlange, denn die Seiten sind alle gleich lang und wirwissen, dass alle Winkel im Quadrat 90◦ groß sind.Aber wie ist das beim Rechteck, bei einer Raute, bei einem Drachen . . . ?

Losung: • Parallelogramm: 3 Stucke (z.B.: nach SWS, Rest aufgrund Parallelitat)

• Trapez: 4 Stucke (z.B.: nach SWS, dann noch ein Winkel erforderlich, essei denn Trapez ist gleichschenklig)

14

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1.3 Winkelbetrachtungen an Figuren

• Rechteck: 2 Stucke (Seitenlangen, z.B.: nach SWS, wobei W 90◦ ist, Restaufgrund Parallelitat)

• Quadrat: 1 Stuck (Seitenlange, z.B.: nach SWS, wobei W 90◦ und 2. Seitegleich lang ist, Rest aufgrund Parallelitat)

• Raute: 2 Stucke (Seitenlange und einer der Winkel, z.B. nach SWS, wobei2. Seite gleich lang ist, Rest aufgrund Parallelitat)

• Drachenviereck: 3 Stucke (z.B. nach SWS, wobei 2. Seite gleich lang ist,und dann noch eine davon verschiedene Seite nach SSS)

2. (a) Kreuze alle Moglichkeiten an, bei denen sich wahre Aussagen ergeben.

punktsymmetrisch achsensymmetrischJedes Drachenviereck istJedes Rechteck ist

(b) Im Allgemeinen hat ein Trapez keine Symmetrieeigenschaft. Wodurch ist dieserViereckstyp gekennzeichnet?

Quelle: Bayerischer Mathematik-Test fur die Jahrgangsstufe 10 der Gymnasien, 2004

Losung: (a)punktsymmetrisch achsensymmetrisch

Jedes Drachenviereck ist X

Jedes Rechteck ist X X

(b) Zwei gegenuberliegende Seiten sind parallel.

1.3. Winkelbetrachtungen an Figuren

1.3.1. Geraden- und Doppelkreuzungen

1. (a) Die Geraden g und h verlaufen parallel zueinander.

15

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1.3 Winkelbetrachtungen an Figuren

Wie groß ist α?

(b) Die Geraden g1, g2 und g3 sowie h1 und h2 sind parallel zueinander.

Wie groß ist α?

(c) Begrunde warum die Geraden s und t parallel zueinander sind.

Quelle: Vergleichsarbeit bundesland- und schulartubergreifend in der Jahrgangsstufe

16

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1.3 Winkelbetrachtungen an Figuren

8, Materialien zur Weiterarbeit

Losung: (a) 50◦, (b) 80◦, (c) Innenwinkel im rechten Dreieck sind 90◦ und 48◦, daraus kann derWinkel unten zu 42◦ berechnet werden, woraus die Parallelitat wegen gleicher Z-Winkelfolgt.

2. Bestimme die mit griechischen Buchstaben gekennzeichneten Winkelmaße. Die nichtmaßstabsgetreue Zeichnung brauchst du nicht auf dein Blatt zu ubertragen. Die Ge-raden p1 und p2 sind parallel.Begrunde jeweils durch eine kurze Rechnung oder ein passendes Stichwort.

130°

p1

p2

α β

δε

ϕ

Losung: α = 50◦ β = 40◦ ϕ = 140◦ ε = 50◦ δ = 40◦

3. (a) An einer Doppelkreuzung entstehen die Wechselwinkel α = 65,5◦ und β =50◦45′. Berechne, unter welchen Winkeln sich die Geraden noch schneiden.

(b) In einem Dreieck ist α um 25◦ großer als β und γ ist dreimal so groß wie β.Berechne alle Winkel des Dreiecks.

Losung: (a) 114,5◦, 129◦15′, 14,75◦, 165,25◦

(b) α = 56◦, β = 31◦, γ = 93◦

4. Gegeben sind die Punkte A(−4| − 3), B(5|2), C(−2|2) und D(−6|4).

(a) Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem ein und erganze die Gerade g =AB, die Strecken [AC] und [CD].

Zeichne dann die Parallele h zur Geraden g durch den Punkt D. Trage dieWinkel α =<) BAC, β =<) DCA und γ =<) ([CD], h) ein.

(b) Drucke den Winkel γ durch α und β aus.

(c) Suche andere Losungswege zur Teilaufgabe (b)

17

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1.3 Winkelbetrachtungen an Figuren

Losung: (a)

x

y

1− 1 2− 2 3− 3 4− 4 5− 5 6− 6 7− 7 8− 8 9− 9 10 11 12

1

− 1

2

− 2

3

− 3

4

− 4

5

− 5

6

7

0

0

A

BC

D

α

β

γ

(b) • Losung 1: α =<) DCF, β =<) FCA (Wechselwinkel an parallelen Geraden) =⇒γ =<) DCF+ <) FCA = α+ β

x

y

1− 1 2− 2 3− 3 4− 4 5− 5 6− 6 7− 7 8− 8 9− 9 10 11 12

1

− 1

2

− 2

3

− 3

4

− 4

5

− 5

6

7

0

0

A

BC

D

α

β

γ

F

• Losung 2: δ = β (Wechselwinkel an parallelen Geraden) =⇒ γ = α + β (Außen-winkel im Dreieck)

18

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1.3 Winkelbetrachtungen an Figuren

x

y

1− 1 2− 2 3− 3 4− 4 5− 5 6− 6 7− 7 8− 8 9− 9 10 11

1

− 1

2

− 2

3

− 3

4

− 4

5

6

7

8

0

0

A

BC

D

α

β

γ

F

δ

• Losung 3: δ = 90◦−α, ǫ = 90◦−β (Winkelsumme im Dreieck) =⇒ γ = 180◦−δ−ǫ =α+ β

x

y

1− 1 2− 2 3− 3 4− 4 5− 5 6− 6 7− 7 8− 8 9− 9 10− 10 11

1

− 1

2

− 2

3

− 3

4

− 4

5

− 5

6

− 6

0

0

A

BC

D

α

β

γ

δ

ǫ

(c) vgl. (b)

5. Berechne alle eingezeichneten Winkel.

19

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1.3 Winkelbetrachtungen an Figuren

o

(b)(a) (c)

β γα

40o

α β

60o

γδ 20

φ

σ

α

ε γ

β

δ

Losung: (a) α = β = γ = 90◦

(b) α = 60◦, γ = 40◦, β = δ = 80◦

(c) β = 20◦, ε = α = ϕ = γ = 90◦ − 20◦ = 70◦

σ = δ = 90◦ − ϕ = 20◦

6. Berechne α, β, γ und δ, wenn

(a) β = 2α, γ = 2β und δ = 2γ

(b) β = 3α, γ = 32β und δ = 4

3γ α

β γδ

Losung: (a) α+ 2α+ 4α+ 8α = 15α = 180◦ =⇒ α = 12◦

β = 24◦, γ = 48◦ und δ = 96◦

(b) α+ 3α+9

2α+ 6α =

29

2α = 180◦ =⇒ α =

(360

29

)◦

=

(12

12

29

)◦

β =

(37

7

29

)◦

, γ =

(55

25

29

)◦

und δ =

(74

14

29

)◦

7. Welche Geradenpaare sind parallel?

89,9o

89,9o

70

70

65

115

69

69

76,3

103,7

o

o o

o

o

o

o

o

r

sm

li

kh

ge

f

Losung: e und f, g und h, l und m

20

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1.3 Winkelbetrachtungen an Figuren

8. Ein Winkel in nebenstehender Abbil-dung ist falsch, welcher konnte es sein?Genaue Begrundung deiner Antwort!

67o

57o

123o

67o

67o

57o

e

f

g h k

Losung: Die beiden Winkel an der Geraden g mussen gleich sei.

9. Welche Geradenpaare sind parallel?Genaue Begrundung deiner Antworten!

o88o88

92o

92o

92o o42

46o

γ

k

r

s ih

g

f

e

Losung: α = 180◦ − 92◦ = 88◦

=⇒ h‖k (Stufenwinkel)

β = 180◦ − 92◦ = 88◦

=⇒ e‖f (Wechselwinkel)

γ = 180◦ − 92◦ − 42◦ = 46◦

=⇒ r‖s (Wechselwinkel)

o88o88

92o

92o

92o o42

46o

γ

k

r

s ih

g

e

f β

αδ

1.3.2. Innenwinkel beim Dreieck und Viereck

1. Die Summe der Innenwinkel in einem n-Eck betragt (n− 2) · 180◦.

(a) Wie viele Ecken hat ein n-Eck mit der Innenwinkelsumme 720◦?

21

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1.3 Winkelbetrachtungen an Figuren

(b) Ein n-Eck mit lauter gleich langen Seiten und gleich großen Innenwinkeln heißtregulares n-Eck. Berechne die Große eines Innenwinkels im regularen Zehneck.

Quelle: Bayerischer Mathematik-Test fur die Jahrgangsstufe 8 der Gymnasien 2008

Losung: (a) (n− 2) · 180◦

(b) 144◦

2. Innenwinkel im n-Eck

(a) Stelle einen Term auf, mit dem sich die Summe der Innenwinkel in einem n-Eckberechnen lasst.

(b) Berechnen die Summe der Innenwinkel fur ein 6-Eck.

(c) Fur welches n-Eck betragt die Summe der Innenwinkel 540◦?

(d) In welchem n-Eck ist jeder Innenwinkel 135◦ groß?

nach: Vergleichsarbeit bundesland- und schulartubergreifend in der Jahrgangsstufe8, Materialien zur Weiterarbeit

Losung: (a) (n− 2) · 180◦

(b) 720◦

(c) Funfeck (n = 5)

(d) Achteck (n = 8)

3. Bei einem Vieleck betragt die Summe der Innenwinkel 1620◦. Wie viele Eckpunktehat das Vieleck? (Rechnung!)

Losung: Bedingung fur Eckenzahl n: (n− 2) · 180◦ = 1620◦

⇒ n = 11

4. Gegeben ist das Dreieck △ABC durch A(4; 1), B(9;−1) und C(5; 6).

(a) Konstruiere die Winkelhalbierende wβ des Winkels bei B.

(b) Konstruiere das Lot hc durch C auf AB.

(c) Kennzeichne den Punkt S = wβ ∩ hc und zeichne den Winkel ε =<) BSC ein.Drucke den Winkel ε durch β aus (Rechnung!).

Losung: (c) ε = 90◦ + 12β

22

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2. Terme und Variable

2.1. Terme und ihre Werte

1. Gegeben ist der Term T (a; b) = a+ba−b

.

(a) Berechne den Wert des Terms fur (a; b) = (−2; 3).

(b) Gib ein Zahlenpaar (a; b) an, das nicht in den Term eingesetzt werden darf.

(c) Gib ein Zahlenpaar (a; b) an, das den Termwert 0 liefert.

Bayerischer Mathematik Test fur die 10. Klasse, 2007

Losung: (a) −15 , (b) z. B. (0; 0), (c) z. B. (1;−1)

2. (a) Berechne den Wert des Terms (35· 57− 1

3) : 0, 5

(b) Durch welche Zahl muss man die zahl 0, 5 ersetzen, damit man den doppeltenTermwert erhalt?

Bayerischer Mathematik Test fur die 8. Klasse, 2007

Losung: (a) 421

(b) 0, 25

3. Anwendungen der quadratischen Funktionen und Gleichungen

Beim senkrechten Fall einer Kugel von einem hohen Gebaude gilt fur die FunktionFallzeit (in s) → Fallweg (in m) angenahert t → 5t2.Wie lange wurde ein Stein fallen, wenn man ihn jeweils von der Spitze der Gebaudenach unten fallen lassen wurde?

23

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2.1 Terme und ihre Werte

Losung: 5, 7s; 7, 7s; 10, 5s; 7, 6s; 9, 1s; 9, 4s

4. Berechne zu den angegebenen Termen die zugehorigen Termwerte.

(a) T (x) = 2 · x3 − 52; T (8)

(b) T (x) = 102 + x2; T (24)

(c) T (x) = 2x2 − 535; T (23)

(d) T (x) = (x+ 1)2 − 34; T (5)

(e) T (x) = x(x− 1); T (31)

(f) T (x) = 36(x2+x)x−1

; T (2)

(g) T (x) = x(6x− 1)− x(x− 1); T (5)

Quelle: Kreuzzahlratsel, Ulrike Schatz

Losung:(a) 972 (b) 676 (c) 523 (d) 2(e) 930 (f) 216 (g) 125

5. Gegeben ist der Term T (n) = (−12)n. Fur n werden der Reihe nach die naturlichen

Zahlen eingesetzt.

(a) Berechne fur n = 1, 2, 3 und 4 den Wert des Terms.

(b) Trage die Termwerte fur n = 1, 2, und 3 auf der Zahlengerade mit 1 = 4 cm ein.

(c) Fur eine beliebige naturlich Zahl n sei der Termwert auf der Zahlengerade mar-kiert. Beschreibe, wo dann der Punkt zum Termwert fur die darauf folgendenaturlich Zahl n + 1 liegt.

nach Bayerischer Mathematik-Test fur die Jahrgangsstufe 8 der Gymnasien 2005

Losung: (a) T (1) = −12 = −0, 5, T (2) = 1

4 = 0, 25, T (3) = −18 = −0, 125, T (4) = − 1

16 = 0, 0625

(b)

24

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2.1 Terme und ihre Werte

(c) Der Punkt liegt halb so weit vom Nullpunkt entfernt und zwar so, dass der Nullpunktzwischen den beiden Punkten liegt.

6. Berechne folgende Terme:

(a) (−12)2 + (−94) + (−4)3 (b) (−11)2 + (−84) + (−3)3

(c) [(−18) : (+3)]2 : (−12) (d) [(−8) : (+4)]2 : (−1

2)

(e)−1

2− 2

2− 32

(f)(−2x)2 − (−3y)3 + 3 · x2 − 7y3

Losung: (a) −14 (b) 10 (c) −72(d) −8 (e) −5 (f) 7x2 + 20y3

7. Setze in dem Term T (x; y) = −x− y ein:

(a) x = −2; y = +3;

(b) x = −5; y = −7;

(c) x = +4; y = −2;

(d) x = −9; y = −2;

Losung: (a) T (−2; 3) = −1

(b) T (−5;−7) = 12

(c) T (3;−2) = −1

(d) T (−9;−2) = 11

8. Gegeben ist der TermT (x; y; z) = (x− y)2 + 2xz

Berechne T (2; 15; 14).

Losung: 4 625

9. Gegeben ist der Term

T (y) = |y − 2|+1

2

Berechne T (0), T (−4) und T (12).

Losung: 212 , 6

12 , 2

10. Ubertrage die Tabelle auf das Blatt und berechne folgende Terme fur

25

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2.1 Terme und ihre Werte

a −1 −3 +1 +3b +5 −5 +5 −5

a− ba+ b

|a| − |b|

Losung:a −1 −3 +1 +3

b +5 −5 +5 −5

a− b −6 +2 −4 +8

a+ b +4 −8 +6 −2

|a| − |b| −4 −2 −4 −2

11. Ubertrage die Tabelle auf das Blatt und berechne folgende Terme fur

a −2 −4 +1 +6b +5 −5 −5 −5

a− ba + b

|a| − |b|

Losung:a −2 −4 +1 +6

b +5 −5 −5 −5

a− b −7 +1 +6 +11

a+ b +3 −9 −4 +1

|a| − |b| −3 −1 −4 +1

12. Gib jeweils zwei Zahlen a und b ( 6= 0) an, fur die folgende Gleichung gilt und zwei,fur die sie nicht gilt:

|a|+ |b| = |a+ b|

Losung: Gleichung gilt u. a. fur a = −2, b = −5; a = 2, b = 5Gleichung gilt u. a. nicht fur a = −2, b = 5; a = 2, b = −5

13. Berechne die Werte folgender Terme fur alle Elemente der jeweiligen Grundmenge:

(a) T (x) = x− x2, GT ={−3 ; −1 ; −1

2; 0 ; 2

3; 1 ; 1,5

}

(b) p(x) =x+ |x|

2, Gp =

{−5 ; −2 ; −1

3; 0 ; 2

7; 1 ; 2,5 ; 7

}

Losung: (a) x −3 −1 −12 0 2

3 1 1,5

T (x) −12 −2 −34 0 2

9 0 −0,75

26

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2.1 Terme und ihre Werte

(b) x −5 −2 −13 0 2

7 1 2,5 7

p(x) 0 0 0 0 27 1 2,5 7

p(x) =

{0 fur x < 0

x fur x ≧ 0

14. Berechne die Definitionsmengen folgender Terme:

(a) T1(x) =x2

3− x+

2x− 7

3x− 5, G1 = N

(b) T2(x) =x2

3− x+

2x− 7

3x− 5, G2 = Q

(c) T3(x) =2x− 7

(2x+ 3)(5x− 5)(8x+ 2), G3 = Q

Losung: (a) D1 = N\{3}

(b) D2 = Q\{3, 53

}

(c) D3 = Q\{−3

2 ,−14 , 1

}

15. Berechne die Definitionsmengen folgender Terme:

(a) T1(x) =7

x+ |x|, G1 = Q (b) T2(x) =

x

x+ |x|, G2 = Z

(c) T3(x) =−2

x− |x|, G3 = Q (d) T4(x) =

−x2

x− |x|, G4 = N

Losung: (a) x+ |x| =

{2x fur x > 0

0 fur x ≦ 0D1 = Q+ = {x|x > 0}

(b) D2 = N

(c) x− |x| =

{0 fur x ≧ 0

2x fur x < 0D3 = Q− = {x|x < 0}

(d) D4 = { }

16. Berechne die Definitionsmenge D des Terms T (x) =3x+ 4

2x− 7und die Termwerte T (0),

T (−1) und T(113

).

Losung: D = Q\{72

}, T (0) = −

4

7, T (−1) = −

1

9, T

(11

3

)=

11 + 4223 − 21

3

= 3 · 15 = 45

17. Berechne die Definitionsmenge D des Terms T (x) =5− x

|x| − 2und die Termwerte T (0),

T (−1) und T(−1

3

).

Losung: D = Q\ {−2; 2}, T (0) = −5

2, T (−1) = −6, T

(−1

3

)=

5 + 13

13 − 2

= −16

5= −3,2

27

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2.2 Aufstellen und Interpretieren von Termen

2.2. Aufstellen und Interpretieren von Termen

1. StreichholzketteMit Streichholzern kann man Ketten mit Quadraten legen.

(a) Wie viele Streichholzer benotigt man fur 1, 2, 3, 4 bzw. 12 Quadrate?

(b) Gib eine Gleichung an, die den Zusammenhang zwischen der Anzahl k der Qua-drate und der Anzahl s der benotigten Streichholzer allgemein beschreibt.

Quelle: VERA C 2008

Losung: (a) 4, 7, 10, 13 bzw. 37 Streichholzer

(b) s(k) = 4 + 3 · (k − 1)

2. (a) Kann man jeden Stammbruch als Summe zweier Stammbruche darstellen?

(b) Kann man jeden Stammbruch als Summe von zwei verschiedenen Stammbruchendarstellen?

(c) Kann man jeden Stammbruch als Summe von drei, vier oder noch mehr ver-schiedenen Stammbruche darstellen?

(d) Ist die Summe zweier Stammbruche stets wieder (ggf. nach Kurzen) ein Stamm-bruch?

(e) Ist das Produkt zweier Stammbruche stets wieder ein Stammbruch?

(f) Ist jeder Stammbruch als Produkt zweier Stammbruche darstellbar?

(g) Ist jede Bruchzahl als Summe zweier Stammbruche darstellbar?

(h) Ist jede Bruchzahl < 1 als Summe zweier Stammbruche darstellbar?

(i) Ist jede Bruchzahl < 1 als Stammbruchsumme darstellbar?

(j) Ist jede Bruchzahl < 1 als Summe von verschiedenen Stammbruchen darstellbar?Ist eine solche Darstellung (bis auf Reihenfolge) eindeutig?

(k) Ist jede Bruchzahl als Differenz zweier Stammbruche darstellbar?

Quelle: H. Schupp, Aufgabenvariation im Mathematikunterricht, sinus-transfer.uni-bayreuth.de/fileadmin/MaterialienBT/Themivarkurz.doc

Losung: (a) Ja, 1n= 1

2n + 12n , z. B.

17 = 1

14 + 114

28

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2.2 Aufstellen und Interpretieren von Termen

(b) Ja, 1n= 1

n+1 +1

n·(n+1) , z. B.14 = 1

5 + 120

(c) Ja, denn der zweite Stammbruch aus (b) lasst siche wieder als Summer zweier ver-schiedener Stammbruche darstellen; analog bei vier oder mehr Stammbruchen

(d) Nein, 12 + 1

3 = 56

(e) Ja, 1n· 1m

= 1n·m

(f) Ja, 1n= 1

n· 11

(g) Nein, denn die Summer ist immer < 2.

(h) 1a+ 1

b= a+b

ab, fur 4

5 folgt aus dem Nenner a = 1 oder a = 5, woraus fur b ein Widerspruchfolgt

(i) abist Summe von a Summanden 1

b

(j) Ja, z.B. indem man sie sukzessive durch den jeweils großten Stammbruch ausschopft.Beispiel: 4

5 = 12 +

310 = 1

2 +14 +

120

(k) Wegen 1n− 1

n+i= i

n·(n+i) konnen nur Bruche dieser Form als Differenz von Stamm-bruchen dargestellt werden.

3. Max mochte sich einen Computer fur 1050 EUR kaufen. Von seiner Oma bekommter dafur 350 EUR. Er selbst kann monatlich 140 EUR sparen.Mit welcher Gleichung kann Max berechnen, wie viele Monate er sparen muss?

A: 1050 EUR = 140 EUR · xB: x + 350 EUR = 1050 EURC: 1050 EUR − 350 EUR = 140 EUR ·xD: 140 EUR · x − 350 EUR = 1050 EURE: 350 EUR · x+ 140 EUR = 1050 EUR

Quelle: Vergleichsarbeit bundesland- und schulartubergreifend in der Jahrgangsstufe8, Materialien zur Weiterarbeit

Losung: C

4. Die Tabelle zeigt fur die Jahre 1992 bis 2004 die durchschnittliche tagliche Fernseh-dauer fur einen Zuschauer in Deutschland.

Jahr 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002Minuten 158 166 167 175 183 183 188 185 190 192 201

(a) Um wie viel Prozent ist die tagliche Fernsehdauer im Jahr 2002 großer als imJahr 1992?

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2.2 Aufstellen und Interpretieren von Termen

(b) Welche der folgenden Geradengleichungen beschreiben die Entwicklung der tagli-chen Fernsehdauer am besten?Dabei ist y die Maßzahl der taglichen durchschnittlichen Fernsehdauer in Minu-ten und x+1992 die jeweilige Jahreszahl, d. h. beispielsweise fur das Jahr 2002ist x = 10.

y = 4x+ 158 y = −4x+ 158 y = 4x− 158y = 158x+ 4 y = 2x+ 158 y = 2x− 158

(c) Die durchschnittliche tagliche Fernsehdauer fur die Zuschauer in den alten Bun-deslandern 203 Minuten, fur die Zuschauer in den neuen Budneslandern 238Minuten.Berechnen Sie den Mittelwert der Zahlen 203 und 238 und begrunde, warumman mit dieser Information keine Aussage uber die durchschnittliche taglicheFernsehdauer fur einen Zuschauer in Deutschland machen kann.

nach: Bayerischer Mathematik-Test fur die Jahrgangsstufe 8 der Gymnasien, 2006

Losung: (a) 27%, (b) y = 4x+ 158(c) z. B. in den alten Bundeslandern gibt es mehr Zuschauer als in den neuen Bundeslandern

5. Skispringen

Bei Skispringern erfolgt die Bewertung durch Haltungsnoten und die Weite desSprungs.

5 Sprungrichter geben Haltungsnoten von 0 bis 20, dabei konnen auch halbe Punktegegeben werden. Die hochste und die niedrigste Punktzahl werden gestrichen. DieSumme der drei verbleibenden Wertungen ergibt die Haltungsnote.

Die Punktzahl fur die Weite wird fur jede Schanze mithilfe des Schanzenfaktors undder Normweite der Schanze unterschiedlich errechnet. Trifft man die Normweite ge-nau, erhalt man 60 Punkte. Jeder mehr gesprungene Meter wir mit dem Schanzen-faktor multipliziert und addiert, fur jeden weniger gesprungenen Meter erhalt maneinen entsprechenden Abzug.

Die Summe von Haltungsnote und Weitenpunkten bestimmt die Rangfolge.

Name Weite W-Pkt K1 K2 K3 K4 K5 H-Pkt Pkt RangMuller 113m 17,5 17,0 18,0 17,5 18,5Meier 127m 18,0 17,5 18,0 18,0 18,0Schluze 131m 19,0 17,5 19,5 20,0 18,5Huber 118m 17,5 18,5 18,5 19,0 19,0

(a) Berechne fur diese vier Springer fur das oben angegebene Beispiel die Haltungs-noten, die Weitenpunkte, die Punktzahl und die Rangfolge. Der Schanzenfaktorbetragt 1,2 und die Normweite 120m.

(b) Entwickle und uberprufe durch Einsetzten eine Formel zur Berechnung der Wei-tenpunkte.

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2.2 Aufstellen und Interpretieren von Termen

(c) Automatisiere die Berechnung mit einem Tabellenkalkulationsprogramm.

Quelle: Ubungsheft zu den Bildungsstandards Mahtematik Klasse 9-10, Froum VerlagHerkert GmbH, Merching, 2006

Losung: (a)

Name Weite W-Pkt K1 K2 K3 K4 K5 H-Pkt Pkt Rang

Muller 113m 51,6 17,5 17,0 18,0 17,5 18,5 53 104,6 4

Meier 127m 68,4 18,0 17,5 18,0 18,0 18,0 54 122,4 2

Schluze 131m 73,2 19,0 17,5 19,5 20,0 18,5 57 130,2 1

Huber 118m 57,6 17,5 18,5 18,5 19,0 19,0 56 113,6 3

(b) W: Weitenpunkte; w: gesprungene Weite; n: Normweite; s: Schanzenfaktor

⇒ W (w) = 60 + s · (w − n)

6. Die Wintersaison im Skigebiet hat begonnen. Auf der Piste gibt es Schneeproble-me. Schon lange liegen die Temperautren standig unter dem Gefrierpunkt, der furden Wintersport dringend benotigte Schnee lasst auf sich warten. Endlich setzte derSchneefall ein. Es schneit zwei Tage und Nachte nahezu mit der gleichen Intensitat.Die Hohe des Schnees wachst stundlich um 1,25cm. Fur den Liftbetrieb muss eineMindesthohe von 20cm Schnee vorliegen.

(a) Welche Schneehohe ist nach vier Stunden erreicht, welche nach zehn Stunden?

(b) Gib eine Gleichung fur die Zurodnung Zeit → Schneehohe an und zeichen denGraphen.

(c) Nach welcher Zeitspanne ist die fur den Liftbetrieb erforderliche Schneehoheerreicht?

Quelle: Ubungsheft zu den Bildungsstandards Mahtematik Klasse 9-10, Froum VerlagHerkert GmbH, Merching, 2006

Losung: (a) nach vier Stunden: 5cm, nach zehn Stunden: 12,5cm

(b) t→ t · 1, 25cm

(c) 16 Stunden

7. Wie viele Diagonalen hat ein 16-Eck?

Losung: Anzahl der Diagonalen in Abhangigkeit der Eckenzahl:

Ecken 3 4 5 6

Diagonalen 0 2 5 9

Anzahl der zusatzlichen Diagonalen bei der n-ten Ecke: n− 2 fur n ≥ 4

Anzahl Diagonalten bei 16-Eck: 14 + 13 + 12 + · · · 3 + 2 = 104

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2.2 Aufstellen und Interpretieren von Termen

8. Die Skizze zeigt die erste Windung einer ,,Quadrat-Spirale”, die innen am Punkt,,Start” mit einer Strecke der Lange 1 beginnt.

(a) Zeichne eine weitere Windung ein und gib an, um wie viele Langeneinheitendiese dritte Windung langer ist als die zweite Windung.

(b) Ermittle eine Term T(n), der die Lange der n-ten Windung in Abhangigkeit vonn angibt.

Quelle: Neue Schwerpunktsetzung in der Aufgabenkultur, ISB 2001

Losung: (a) Dir dritte Windung ist um acht Langeneinheiten langer als die zweite Windung.

(b) T (n) = 6 + (n− 1) · 8 = 8n− 2

9. Wortform von Termen

(a) Gib einen Term mit einer Variablen an, der zu jeder Zahl, die man fur dieVariable einsetzt,

i. das Doppelte der Zahl;

ii. die Halfte der Zahl, vermindert um 3;

iii. die Halfte der um drei verminderten Zahl;

iv. das Quadrat der Zahl;

v. den Kehrwert der Zahl;

vi. den Vorganger der Zahl;

vii. das Dreifache des Kehrwerts;

viii. den Kehrwert des Dreifachen der Zahl liefert.

(b) Der Term 2 ·n fur n ∈ N beschreibt eine beliebige gerade Zahl. Beschreibe durcheinen Term

i. eine beliebige durch 3 teilbare Zahl;

ii. eine beliebige ungerade Zahl;

iii. eine beliebige Quadratzahl.

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2.2 Aufstellen und Interpretieren von Termen

iv. Finde weitere Beschreibungen und den dazugehorigen Term.

(c) Ein Paket hat die Masse a kg, ein anderes b kg. Was bedeuten die folgendenAussagen?

i. a+ b = 10

ii. a = b+ 10

iii. b = 12· a

(d) Es seien a, b und c naturliche Zahlen, wobei a > b+ c ist.

i. Beschreibe die Aussage a− (b+ c) = (a− b)− c.

ii. Stelle die Aussage mit Hilfe von Strecken dar.

iii. Erfinde eine Geschichte zu dieser Aussage, z.B.:”In einem Reisebus befinden

sich a Personen...“.

Losung: (a) i. 2x ii. x : 2− 3 iii. (x− 3) : 2 iv. x2

v. 1x

vi. x− 1 vii. 3 · 1x

viii. 13x

(b) i. 3 · n ii. 2 · n− 1 iii. n2

(c) i. Beide Pakete haben zusammen die Masse 10 kg.

ii. Paket a hat um 10kg mehr Masse als Paket b.

iii. Paket b hat die halbe Masse von Paket a.

(d) (i) Z. B.: Subtrahiert man die Summe zweier Zahlen b und c von einer Zahl erhalt manden gleichen Wert, wie wenn die beiden Zahlen nacheinander subtrahiert werden.

10. In den folgenden Quadraten ist jeweils die Summe der Zahlen in den Zeilen und inden Spalten gleich groß. Vervollstandige die folgenden Quadrate:

(a) 110

2,6 − 710

40%

(b) −78

0,475 15% 238

(c) 54

0,75-7 30%

Losung: x ist eine beliebige Zahl:

(a) 0,1 2,6 −0,7

x 0,4 1,6− x

1,9− x −1 1,1 + x

z.B. 110 2,6 − 7

10

−0,4 40% 2

2,3 −1 0,7

(b) x 3,875− x −0,875

0,475 0,15 2,375

2,525− x x− 1,025 1,5

z.B. −1,2 5,075 −78

0,475 15% 238

3,725 −2,225 1,5

(c) −0,2 x 1,25

8,25 + x 0,75 −7,95

−7 0,3 7,75 + x

z.B. −0,2 −6,05 54

2,2 0,75 −7,95

−7 30% 1,7

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2.2 Aufstellen und Interpretieren von Termen

11. Viele fugen beim Puzzeln zuerst die Randteile zusammen. Bei einem quadratischen3× 3-Puzzle ist man damit bereits mit dem gesamten Puzzle fast fertig, da nur nochdas mittlere Teil fehlt.

(a) Stelle eine Tabelle auf, in der du die Anzahl der Randteile und die entsprechendeAnzahl der Innenteile quadratischer n× n-Puzzles gegenuberstellst.

(b) Stelle einen Term zur Berechnung der Anzahl der Randteile eines n×n-Puzzlesauf. Stelle den Term graphisch dar.

(c) Stelle einen Term zur Berechnung der Anzahl der Innenteile eines n×n-Puzzlesauf. Stelle den Term graphisch dar.

(d) Fur welche Zahl n bei einem n× n-Puzzle hat man genauso viele Randteile wieInnenteile

Quelle: Standard Mathematik von der Basis bis zur Spitze, GrundbildungsorientierteAufgaben fur den Mathematikunterricht, Christina Druke-Noe, Dominik Leiß, Insti-tut fur Qualitatsentwicklung, Wiesbaden, 2005

Losung: (a)n 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Randteile R(n) 1 4 8 12 16 20 24 28 32

Innenteile I(n) 0 0 1 4 9 16 25 36 49

(b) R(n) = (n− 1) · 4

(c) I(n) = (n− 2)2

(d) R(6) > I(6), R(7) < I(7) aus Tabelle oder Graphen

12. (a) Berechne den Umfang des RechtecksABCD fur x = 2,5.

(b) Berechne den Flacheninhalt des RechtecksABCD fur x = 3,5.

(c) Wie andert sich die Form des Rechtecks,wenn x ∈ Q+ immer kleiner wird?

(d) Gib zwei verschiedene Belegungen von xan, so dass es jeweils dafur kein Rechteckgibt. Begrunde deine Wahl.

B

CD

A

(3 + 2x) cm

(6 - x) cm

Losung: (a) u = 23 cm

(b) A = 25 cm2

(c) Das Rechteck wird breiter und niedriger.

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2.2 Aufstellen und Interpretieren von Termen

(d) Z.B. x = 6: Das Rechteck entartet zur Strecke.Oder x = 7, dann hatte die Strecke [AB] eine negative Lange.Hinweis: Manche Schuler/innen sind der Ansicht, dass der Fall x = 1 eine richtigeAntwort sei, denn ein Quadrat ist eben nach ihrer Ansicht kein Rechteck.

13. Die Summe zweier naturlicher Zahlen ist 195. Um welche Zahlen handelt es sich,

(a) wenn die eine viermal so groß ist wie die andere?

(b) wenn die eine 12-mal so groß ist wie die andere?

(c) wenn die eine n-mal, n ∈ N, so groß ist wie die andere? Fur welche n ist dieAufgabe uberhaupt losbar?

(d) Welches Problem konnte in der Realitat die Beschrankung der Grundmenge aufdie Menge der naturlichen Zahlen notwendig machen?

(e) Anstelle der Zahl 195 wahlt man eine andere dreistellige Zahl als Summe, umzu erreichen, dass die Aufgabe fur mehr Werte von n losbar ist. Nenne einigegeeignete Zahlen. Erklare, wie man solche Zahlen findet.

(f) Suche eine dreistellige Zahl, die an der Stelle von 195 fur moglichst wenige Wertevon n zu Losungen fuhrt und gib die Anzahl der moglichen n an.

Quelle: Neue Schwerpunktsetzung in der Aufgabenkultur, ISB 2001

Losung: (a) 39 und 156

(b) 15 und 180

(c) x+ y = 195 und x = ny ⇒ y = 195n+1 ⇒ losbar fur n = 2, 4, 12, 14, 38, 64, 194

n = 2 ⇒ 65 und 130, n = 4 ⇒ 39 und 156, n = 12 ⇒ 15 und 180,n = 14 ⇒ 13 und 182, n = 38 ⇒ 5 und 190, n = 64 ⇒ 3 und 192,n = 194 ⇒ 194 und 1

(d) Problemstellungen, die sich um die Verteilung bestimmter unteilbarer Guter drehen,konnen eine Beschrankung der Grundmenge notwendig machen.

(e) ,,Besser” als 195 waren beispielsweise die Zahlen 360 und 720 geeignet, da ihre Prim-zahlzerlegung deutlich mehr Losungskombinationen zulasst.

(f) Primzahlen lassen nur eine Losungskombination zu.

14. Full-Graphen

Gegeben sind folgende Gefaße. Finde jeweils den zugehorigen Graphen, der die Was-serhohe beim Befullen des Gefaßes angibt.

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2.2 Aufstellen und Interpretieren von Termen

Umkehraufgabe: Gegeben ist ein Graph, wie konnte ein zugehoriges Gefaß aussehen?

Begrundungen: Warum/wann tritt ein Knick auf usw.

Losung: offen

15. Wortform von Termen

(a) Gib einen Term mit einer Variablen an, der zu jeder Zahl, die man fur dieVariable einsetzt,

i. das Doppelte der Zahl;

ii. die Halfte der Zahl, vermindert um 3;

iii. die Halfte der um drei verminderten Zahl;

iv. das Quadrat der Zahl;

v. den Kehrwert der Zahl;

vi. den Vorganger der Zahl;

vii. das Dreifache des Kehrwerts;

viii. den Kehrwert des Dreifachen der Zahl liefert.

(b) Der Term 2 ·n fur n ∈ N beschreibt eine beliebige gerade Zahl. Beschreibe durcheinen Term

i. eine beliebige durch 3 teilbare Zahl;

ii. eine beliebige ungerade Zahl;

iii. eine beliebige Quadratzahl.

iv. Finde weitere Beschreibungen und den dazugehorigen Term.

(c) Ein Paket hat die Masse a kg, ein anderes b kg. Was bedeuten die folgendenAussagen?

i. a+ b = 10

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2.2 Aufstellen und Interpretieren von Termen

ii. a = b+ 10

iii. b = 12· a

(d) Es seien a, b und c naturliche Zahlen, wobei a > b+ c ist.

i. Beschreibe die Aussage a− (b+ c) = (a− b)− c.

ii. Stelle die Aussage mit Hilfe von Strecken dar.

iii. Erfinde eine Geschichte zu dieser Aussage, z.B.:”In einem Reisebus befinden

sich a Personen...“.

Losung: (a) i. 2x ii. x : 2− 3 iii. (x− 3) : 2 iv. x2

v. 1x

vi. x− 1 vii. 3 · 1x

viii. 13x

(b) i. 3 · n ii. 2 · n− 1 iii. n2

(c) i. Beide Pakete haben zusammen die Masse 10 kg.

ii. Paket a hat um 10kg mehr Masse als Paket b.

iii. Paket b hat die halbe Masse von Paket a.

(d) (i) Z. B.: Subtrahiert man die Summe zweier Zahlen b und c von einer Zahl erhalt manden gleichen Wert, wie wenn die beiden Zahlen nacheinander subtrahiert werden.

16. Plattchenmuster

(a) Schau dir die folgende Reihe aus regelmaßig wachsenden Plattchenmustern ge-nau an und versuche, sie fortzusetzen. Wie viele Plattchen sind in einer Grund-seite, wenn die gesamte Figur aus 28 (68) Plattchen besteht?

(b) Gegeben sind die Terme 2 · n, 3 · n− 3, n · n, wobei n fur irgendeine naturlicheZahl steht. Lege Figuren, bei denen sich die Gesamtzahl der Plattchen durchden vorgegebenen Term bestimmen lasst.

(c) Denkt euch andere Muster aus, bei denen ihr die Gesamtzahl der Plattchen gutmit einem Rechenausdruck bestimmen konnt. Notiert den Rechenausdruck undlasst die Nachbargruppe das Muster dazu raten.

Quelle: Sinus-Transfer

Losung: (a) n: Anzahl der Plattchen auf der Grundseite. N : Anzahl der Gesamtplattchen. Danngilt: N = 4n − 4 = 4(n − 1). Fur N = 28 gilt: n = 8. Fur N = 68 gilt: n = 18.

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2.2 Aufstellen und Interpretieren von Termen

(b) jeweils fortgesetzt...(Dreieck innen leer)

(c) Z. B.

2n+ 3(n − 2) = 5n− 6 2n+ 3(n − 2) + n− 3 = 6n− 9

17. Immer wieder gleiche Seiten und Flachen

(a) Ein Paket hat die Lange l = 35 cm, die Breite b = 25 cm und die Hohe h = 12 cm.Je nach Gewicht des Inhaltes soll es unterschiedlich verschnurt werden. Schatzt,fur welches Paket ihr am meisten Schnur benotigt. Gebt noch 20 cm (insgesamt)fur die Knoten hinzu und berechnet die jeweils benotigte Schnurlange. Versucht,einen Schuhkarton wie in der Grafik dargestellt zu schnuren, die Kordel sollnirgends doppelt verlaufen.

(b) Gebt die Schnurlangen auch allgemein fur solche Pakete mit der Lange l, derBreite b und der Hohe h an.

(c) Wie sieht eine Paket-Schnurung aus zu 4l+ 6b+ 10h+ 15 cm bzw. zu 3l+ 2b+4h + 10 cm?

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2.2 Aufstellen und Interpretieren von Termen

(d) Uberlege dir weitere Terme und lass deinen Nachbarn die Pakete aufzeichnen.

Quelle: Sinus-Transfer

Losung: (a) A: 2l + 4b+ 6h+ 20 cm = 2(l + 2b+ 3h) + 20 cm = 262 cmB: 4l + 2b+ 6h+ 20 cm = 2(2l + b+ 3h) + 20 cm = 282 cmC: 4l + 4b+ 8h+ 20 cm = 2(2l + 2b+ 4h) + 20 cm = 356 cmD: 2l + 2b+ 4h+ 20 cm = 2(l + b+ 2h) + 20 cm = 188 cm

(b) vgl. (a)

(c) 4l+6b+10h+15 cm: zwei parallele Schnurungen entlang l, drei parallele Schnurungenentlang b, Schleife 15 cm3l + 2b+ 4h+ 10 cm: nicht moglich

18. Aufstellen von Formeln fur Umfang und Flacheninhalt

Stelle eine Formel fur den Umfang und eine Formel fur den Flacheninhalt der folgen-den Figur auf:

Quelle: Sinus-Transfer

Losung: U = a+b+c+d+(a+c)+(d+b) = 2a+2b+2c+2d = 2(a+b+c+d) A = a ·(b+d)+c ·d =(a+ c) · d+ a · b = (a+ c) · (b+ d)− b · c = ab+ ad+ cd

19. Die Fußballmannschaft Champions trainiert an drei Werktagen in der Woche jeweilsvon 18 bis 20 Uhr. Jeden Sonntag findet ein Spiel statt, das genau 2 Stunden dau-ert. Die Mannschaftsmitglieder, die gerade nicht auf dem Spielfeld sind, trainieren

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2.2 Aufstellen und Interpretieren von Termen

unterdessen. Jeder Spieler tragt ein Paar Socken, die nach vier Stunden Spiel oderTraining durchgelaufen sind.

Stelle einen Term T (M) fur die Anzahl der durchgelaufenen Sockenpaare pro Wocheauf, wenn die Mannschaft Champions aus M Mannschaftsmitgliedern besteht!

Losung: T (M) = (3 · 2 + 2) ·M/4 = 2M

20. Bilde den Term zu folgenden Gliederungen:

(a) T ist ein Bruch; der Zahler ist die Summe aus c und dem Produkt aus a und b,der Nenner ist die dreifache Differenz aus a und b.

(b) T ist eine Differenz; der Minuend ist das Quadrat der Summe aus x und y, derSubtrahend ist der Quotient aus x und z.

Losung: (a)c+ ab

3(a− b)(b) (x+ y)2 −

x

z

21. Zerlegung eines Rechtecks in Dreiecke

Im Inneren eines Rechtecks sind Punkte gegeben. Sie heißen”verstreut“, wenn je

drei Punkte, einschließlich der Eckpunkte des Rechtecks, nicht auf einer Geradenliegen. Das Rechteck wird in Dreiecke zerlegt, deren Eckpunkte nur die gegebenen

”verstreuten“ Punkte oder Eckpunkte des Rechtecks sind.

(a) Zeichne ein Rechteck mit vier”verstreuten“ Punkten. Trage zwei verschiedene

Zerlegungen des Rechtecks in Dreiecke ein. Bestimme jeweils die Anzahl derentstandenen Dreiecke.Wahle in einer neuen Zeichnung andere Positionen fur die vier ,,verstreuten”Punkte und bestimme erneut die Anzahl der Dreiecke bei zwei verschiedenenZerlegungen.

(b) Wie viele Dreiecke entstehen bei einer Zerlegung, wenn im Inneren kein, ein,zwei oder drei

”verstreute“ Punkte liegen?

(c) Wie viele Dreiecke entstehen bei einer Zerlegung, wenn im Inneren 20”verstreu-

te“ Punkte liegen?

(d) Gib einen Term an, mit dem du die Anzahl der Dreiecke bestimmen kannst,wenn k die Anzahl der

”verstreuten“ Punkte angibt.

(e) Die Anzahl der Dreiecke bei einer Zerlegung kann auch mit einer anderen Uber-legung gewonnen werden: Jeder Punkt im Inneren ist Eckpunkt mehrerer Drei-ecke und jeder Eckpunkt des Rechtecks ist Eckpunkt von mindestens einemDreieck. Addiere die Innenwinkel aller Dreiecke, indem du die Winkel an deninneren Punkten und an den Eckpunkten addierst. Berechne dann die Anzahlder Dreiecke.

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2.2 Aufstellen und Interpretieren von Termen

Quelle: Neue Schwerpunktsetzung in der Aufgabenkultur, ISB 2001

Losung: (a) Es entstehen jeweils 10 Dreiecke.

(b) Es entstehen 2, 4, 6 und 8 Dreiecke.

(c) Es entstehen jeweils 42 Dreiecke.

(d) 2k + 2

(e) (k · 360◦ + 4 · 90◦) : 180◦ = 2k + 2

22. (a) Die monatlichen Telefongeburen berechnen sich beim Anbieter FONO aus derGrundgebuhr und der Anzahl der Gesprache, wobei 12 Gesprache frei sind:

Grundgebuhr: 13,60€

1 Gesprach kostet: 0,11€

i. Stelle einen Term fur die Berechnung der monatlichen Telefongebuhren auf.

ii. Bestimme die Definitionsmenge und berechne einige Werte des Terms.

(b) Die monatlichen Telefongeburen berechnen sich beim Konkurrenten von FONOaus der Grundgebuhr und der Anzahl der Nah- und Ferngesprache, wobei 8Nahgesprache frei sind:

Grundgebuhr: 13,60€

1 Nahgesprach kostet: 0,05€

1 Ferngesprach kostet: 0,15€

i. Stelle einen Term fur die Berechnung der monatlichen Telefongeburen auf.Berechne einige Werte des Terms.

ii. Wann ist es besser beim Anbieter Fono bzw. dem Konkurrenten zu telefo-nieren?

(c) i. Finde die Telefongebuhren verschiedener Anbieter heraus und stelle jeweilseinen Term zur Berechnung der monatlichen Gebuhren auf.

ii. Untersuche wie man am gunstigsten telefoniert.

Losung: (a) i. T (x) = 13,60 + (x− 12) · 0,11

ii. Fur die sinnvolle Grundmenge G = N0 ist D = {12; 13; 14; · · · }Z. B. T (15) = 13,93, T (62) = 19,10, . . .

(b) i. T (x; y) = 13,60 + (x− 8) · 0,05 + y · 0,15Z. B. T (0; 50) = 21,10, T (50; 0) = 15,70, T (25,25) = 18,20

ii. Z. B.: Es ist besser beim Anbieter FONO zu telefonieren, wenn fur mindestens12 Nahgesprache die Anzahl der Ferngesprache mehr als 6x−92

15 (x: Anzahl derOrtsgesprache) ist.

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2.2 Aufstellen und Interpretieren von Termen

23. (a) Was versteht man in Zusammenhang mit Flachenbestimmungen unter dem Prin-zip der Zerlegungsgleichheit? Erlautere dies anhand eines skizzierten Beispiels.

(b) Ein Trapez der Hohe h = 5 cm besitzt eine Flache von 45 cm2. Berechne diebeiden Grundlinien, wenn eine von ihnen doppelt so lange wie die andere ist.

Losung: (b) 6 cm und 3 cm

24. Welche Mengen werden durch folgende Terme mit den jeweiligen Grundmengen be-schrieben?

(a) T (x) = x2, GT = N

(b) g(n) = 2n, Gg = N

(c) u(n) = 2n− 1, Gu = N

(d) B(a, b) =a

b, a ∈ Ga = Z, b ∈ Gb = Z \ {0}

(e) n(y) =x2 − 1

x+ 1, Gn = N

Losung: (a) Quadratzahlen (b) gerade Zahlen (c) ungerade Zahlen (d) Q

(e) N0

25. Stelle einen Term zur Berechnung der getonten Flache A auf, der die aus der Zeich-nung ersichtlichen Variablen enthalt. Setze dann die angegebenen Werte fur die Va-riablen ein.

(a)

x

Az

y

z = x, y = 2x

(b)

a

a

a = 3 cm

(c)

a

a a

2a

3a

6a

a = 2,5 cm

Losung: (a) A = xz +1

2(y − x)z =

x+ y

2· z, A =

3

2x2

(b) A = 4 ·1

2

(a2

)2=

1

2a2, A = 4,5 cm2

(c) A = a2 + (2a)2 + (3a)2 = 14a2, A = 87,5 cm2

42

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2.2 Aufstellen und Interpretieren von Termen

26. (a) Stelle einen Term zur Berechnung dergetonten Flache A auf, der die aus derZeichnung ersichtlichen Variablen enthalt.

(b) Berechne A dann fur a = 5 cm, b = 4 cm,c = 2 cm, d = 3 cm und e = 7 cm.

a b

c

d

e

A

(c) Welche Bedingungen mussen zwischen den Variablen a, b, c, d und e bestehen,damit die Figur ein Parallelogramm, ein Rechteck oder gar ein Quadrat ist?

(d) Suche mindestens zwei verschiedene Ersetzungen fur die Variablen a, b, c, d unde, fur die A = 100 cm2 ist und zeichne die Figuren im Maßstab 1 : 2.

(e) Suche mindestens zwei verschiedene Ersetzungen fur die Variablen a, b, c undd, fur die A = e2 ist und skizziere die entsprechenden Figuren.

Losung: (a) A = (a+ b)(c+ d)−1

2bc−

1

2(a+ b− e)(c + d) =

(a+ e)(c+ d) + bd

2

(b) A = 36 cm2

(c) Parallelogramm: a = e, d = 0 oder wie beim RechteckRechteck: a = e, b = 0 oder a+ b = e, c = 0Quadrat: a = e, b = 0, c+ d = e oder a+ b = e, c = 0, d = e

(d) Zwei Beispiele, alle Maße in cm: a = d = e = 10, b = c = 0 oder

a = 7, b = 5, c = 4, d = 6 und e = 10

(e) Zwei Beispiele: a = e, b = 0, c = 0 und d = e oder a = e, b = e, c = e und d = 0

27. Die Berechnung der Jahresendnote in Mathematik konnte durch folgenden Termgeschehen, wobei S1 bis S4 die Schulaufgabennoten, E1 bis E4 die Exnoten und m1

und m2 die reinen mundlichen Noten sind:

N(S1, S2, ..., m2) =1

3

2 ·

S1 + S2 + S3 + S4

4︸ ︷︷ ︸Sgesamt

+2E1 + 2E2 + 2E3 + 2E4 +m1 +m2

10︸ ︷︷ ︸Mgesamt

(a) Welche Grundmenge ist fur die Variablen S1 bis m1 sinnvoll?

(b) Folgende Tabelle zeigt einen Ausschnitt aus dem Notenbuch des Lehrers. Be-rechne jeweils die gesamte schriftliche Note Sges, die gesamte mundliche NoteMges und die Endnote N , alle Werte auf zwei Dezimalen gerundet.

Name S1 S2 S3 S4 E1 E2 E3 E4 m1 m2 Sges Mges NHuber 3 4 3 5 6 3 4 4 3 4Maier 5 5 4 5 6 6 5 4 4 4Muller 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1

(c) Maier hat vor der vierten Ex und der zweiten rein mundlichen Note noch Nach-hilfe genommen. Hatte er seine Endnote noch verbessern konnen?

43

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2.2 Aufstellen und Interpretieren von Termen

Losung: (a) G = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

(b) Name Sges Mges NHuber 3,75 4,10 3,87Maier 4,75 5,00 4,83Muller 1,50 1,40 1,47

(c) Nein, mit E4 = 1 und m2 = 1 ware M = 4, 10 und N = 4, 53.

28. Die Flachen der folgenden Figuren sind

A(1) = 1, A(2) = 1 + 2 = 3, A(3) = 1 + 2 + 3 = 6 usw.

12

5

34

n

(a) Suche mit Hilfe geometrischer Uberlegungen einen Term zur Berechnung vonA(n).

(b) Berechne A(10), A(100) und A(5000).

(c) Berechne die Sume 1 + 2 + 3 + 4 + ...+ 9999.

Losung: (a) Ein halbes Quadrat mit der Seitenlange n plus n halbe Quadrate mit der Seitenlange1:

A(n) =n2

2+n

2=n2 + n

2=n(n+ 1)

2

(b) A(10) = 55, A(100) = 5050, A(5000) = 12 502 500

(c) A(9999) =9999 · 10000

2= 49 995 000

29. Nebenstehende Abbildung zeigt die zuuntersuchende Figur fur n = 6. Stel-le einen Term A(n) fur die Flacheder Figur auf. Erlautere in einem Satzund durch eine ausfuhrlich beschrifte-te Zeichnung, wie dieser Term zustandekommt.Berechne A(7), A(20) und A(99).

n n

n

A

1 1

44

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2.2 Aufstellen und Interpretieren von Termen

Losung:”Rechteck mit den Seitenlangen n+1 und n+2 minus zwei kleine Quadrate mit der Flache1“

oder

”Rechteck mit den Seitenlangen n und n+2 plus Rechteck mit den Seitenlangen n und 1“

oder

”Rechteck mit den Seitenlangen n und n + 1 plus zwei Rechtecke mit den Seitenlangen nund 1“

oder

”Quadrat mit der Seitenlange n plus drei Rechtecke mit den Seitenlangen n und 1“

n+1n+1

n+2 n+2

2

n

n

nn

n

nnn nn

1 1

1 1 1 1

11

A(n) = (n + 1)(n + 2)− 2 = n(n+ 2) + n = n(n+ 1) + 2n = n2 + 3n

A(7) = 70, A(20) = 460, A(99) = 100 · 101 − 2 = 10098

30. Nebenstehende Abbildung zeigt die zuuntersuchende Figur fur n = 7. Stel-le einen Term A(n) fur die Flacheder Figur auf. Erlautere in einem Satzund durch eine ausfuhrlich beschrifte-te Zeichnung, wie dieser Term zustandekommt.Berechne A(7), A(30) und A(101).

n

n

A

1

1

45

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2.2 Aufstellen und Interpretieren von Termen

Losung:”Quadrat mit der Seitenlange nminus hal-bes Quadrat mit der Seitenlange n− 1.“

A(n) = n2 −1

2· (n − 1)2

A(7) = 49 −36

2= 31

A(30) = 900−841

2= 479,5

A(101) = 10201 −10000

2= 5201

2

n

n

A

n−1

n−1

(n−1)

1

1

31. Stelle den Term A(x) fur die schraf-fierte Flache in nebenstehender Figurauf und vereinfache ihn so weit wiemoglich.Berechne A(12) und A(16).Zeichne die Figur einmal fur x = 12und einmal fur x = 16 (Einheit: einKastchen). Fur welche x ∈ Q kanndie Figur in der angegebenen Weise ge-zeichnet werden? Begrunde deine Ant-wort.

34 x

x−4

x−3A

x

Losung: A(x) = x(x− 3)−3

4x(x− 4) = x2 − 3x−

3

4x2 + 3x =

1

4x2

A(12) =122

4=

144

4= 36, A(16) =

162

4=

256

4= 64

12

12 4

16

13

12

9

48

9

Die Figur ist nur fur x ≧ 12 zeichenbar, da sonst 34x > x− 3 ware.

46

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2.3 Veranschaulichung von Termen

2.3. Veranschaulichung von Termen

1. Von einem quadratischen Stuck Pappe mit der Sei-tenlange 30 cm werden an den Ecken vier Quadra-te mit der Seitenlange x abgeschnitten. Die entste-henden Rechtecke werden entlang der gestricheltenLinien gefaltet, so dass eine quaderformige Schach-tel entsteht.

(a) Stelle einen Term V (x) fur das Volumen derSchachtel auf.

(b) Welche Definitionsmenge DV ist fur diesenTerm sinnvoll? Begrunde deine Wahl!

30cm

x

x

(c) Berechne den Wert des Terms V (x) fur x = 0, x = 3 cm, x = 6 cm, x = 9 cm, x =12 cm und x = 15 cm. Veranschauliche diese Werte in einem Koordinatensystemmit einer waagrechten x-Achse (x = 1 cm entspricht einem Kastchen und V =100 cm3 entspricht einem Kaschen).

(d) Suche den x-Wert, fur den V (x) maximal wird. Wie groß ist das maximaleVolumen der Schachtel? Erganze das gezeichnete Diagramm mit diesem Wert.

Losung:

(a) V (x) = (30 cm − x)2 · x

(b) DV = {x | 0 ≦ x ≦ 15 cm}

(c)x

cm0 3 6 9 12 15

V (x)

cm30 1728 1944 1296 432 0

(d) maximaler Wert: V (5 cm) = 2000 cm3

3

x in cm 0 2 6 8 10 12 14

500

1000

1500

4

V in cm

0

47

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2.3 Veranschaulichung von Termen

2. Mutter und Sohn haben heute Geburts-tag. Die Mutter sagt zu ihrem Sprossling:

”Ich bin heute genau dreimal so alt, wiedu es vor zwei Jahren warst.“

(a) Stelle einen Term M(s) auf, derdas jetzige Alter der Mutter inAbhangigkeit vom jetzigen Alter sdes Sohnes angibt. Berechne denWert des Terms dann fur s = 10,s = 15 und s = 20 (alle Angaben inJahren). Zeichne die Werte in neben-stehendes Diagramm und uberprufe,ob die drei Punkte auf einer Geradenliegen.

20

30

40

50

5 10 15 20 s

M

(b) Die Mutter verrat, dass sie heute 36 Jahre alt ist. Ermittle in nachvollziehbarerWeise (zusatzliche Beschriftung, farbige Linien, aber nicht rot!) mit Hilfe desDiagramms das Alter des Sohnes und uberprufe diesen Wert durch Rechnung.

Losung:(a) M(s) = 3(s − 2) = 3s − 6

M(10) = 24, M(15) = 39, M(20) = 54

(b) M(14) = 36

20

30

5 10 15 20 s

M

40

36

50

14

48

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2.3 Veranschaulichung von Termen

3. Mutter und Sohn haben heute Geburts-tag. Die Mutter sagt zu ihrem Sprossling:

”Ich war heute vor drei Jahren genau funf-mal so alt, wie du es vor drei Jahrenwarst.“

(a) Stelle einen Term M(s) auf, derdas jetzige Alter der Mutter inAbhangigkeit vom jetzigen Alter sdes Sohnes angibt. Berechne denWert des Terms dann fur s = 5, s = 7und s = 10 (alle Angaben in Jahren).Zeichne die Werte in nebenstehendesDiagramm und uberprufe, ob die dreiPunkte auf einer Geraden liegen. s

M

1050

40

30

20

10

(b) Die Mutter verrat, dass sie heute 28 Jahre alt ist. Ermittle in nachvollziehbarerWeise (zusatzliche Beschriftung, farbige Linien, aber nicht rot!) mit Hilfe desDiagramms das Alter des Sohnes und uberprufe diesen Wert durch Rechnung.

Losung:(a) M(s) = 5(s − 3) + 3 = 5s− 12

M(5) = 13, M(7) = 23, M(10) = 38

(b) M(8) = 5 · 8− 12 = 28

s

M

1050

40

30

20

10

28

8

49

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3. Umformen von Termen

3.1. Rechengesetze fur rationale Zahlen

1. Welche Zahl kann man fur △ einsetzen?

(a) 111

+ 23= 75

(b) 1112

+ 110

= △

60

(c) 387516

= △

100

(d) 13+ 1

7= 20

(e) 137

+ 23= 154

(f) 710

+ 14= △

20

(g) 12+ 3

19= 50

Quelle: Kreuzzahlratsel, Ulrike Schatz

Losung:(a) 99 (b) 61 (c) 75 (d) 42(e) 222 (f) 19 (g) 76

3.2. Terme mit Produkten

1. Fritz Zweistein sagt: Ich habe da was rausgefunden:

32 = 22 + 2 + 342 = 32 + 3 + 452 = 42 + 4 + 5

(a) Schreibe die nachste Zeile hin.

(b) Schreibe auf, welchen Zusammenhang du entdeckt hast.

(c) Finde einem Term, der fur jede Gleichung passt.

Bearbeite die obigen Auftrage auch fur folgende Gleichungen:

32 = 2 · 4 + 142 = 3 · 5 + 152 = 4 · 6 + 1

50

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3.2 Terme mit Produkten

Losung: (a) - -

(b) - -

(c) a2 = (a− 1)2 + (a− 1) + a

(a) - -

(b) - -

(c) a2 = (a− 1) · (a+ 1) + 1

2. Das ist ein Bild der Nationalflagge von England.

x

b

x

a

(a) Zeichne die Figur fur b = 10 cm, a = 5 cm und x = 1 cm.

(b) Berechne den Flacheninhalt A des Kreuzes in der Figur in Abhangigkeit von a,b und x.

(c) Die folgenden Terme sollen den Flacheninhalt des weißen Anteils der Flaggedarstellen. Kreuze die Terme an, deren Darstellung korrekt ist:[ ] ab− ax− bx+ x2 [ ] ab− ax+ bx− x2

[ ] 4[(0,5a− 0,5x)(0,5b− 0,5x)] [ ] 34ab

[ ] (a− x)(b− x) [ ] ab− (ax+ bx− x2)

(d) Gib fur a = 8 cm und b = 12 cm die Menge aller sinnvollen Belegungen von xan.

Losung:

(a) –

(b) A = ax+ bx− x2

(c) [X] [ ][X] [ ][X] [X]

(d) x ∈ ]0 cm; 8 cm[Q

51

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3.3 Terme mit Potenzen

3. Vereinfache den Term x2 − (3− x)2 so weit wie moglich.

Bayerischer Mathematik-Test fur die Jahrgangsstufe 8 der Gymnasien 2005

Losung: x2 − (3− x)2 = x2 − (9− 6x+ x2) = 6x− 9 = 3(2x − 3)

4. Schreibe jeweils als einen (gegebenenfalls vereinfachten)Bruch.

(a) 2x : 4x

(b) 2x+ 4x

Quelle: Bayerischer Mathematik-Test fur die Jahrgangsstufe 10 der Gymnasien 2004

Losung: (a) x2

2 (b) 2x2+4x

3.3. Terme mit Potenzen

1. Gegeben ist die Gleichung

2

5(x− 7)−

3

5(2− 3x) = x+ 2

1

5, G = Q

(a) Bestimme die Losungsmenge der Gleichung.

(b) Bestimme die Losungsmenge der Gleichung fur die Grundmengen G1 = Q+,G2 = Z, G3 = N und G4 = {5; 51

2; 51

3; 51

4; 51

5; 51

6}.

(c) Verandere die rechte Seite der Gleichung so, dass L1 = {11}, L2 = {0}, L3 = {}und L4 = G.

(d) Lasst sich die Gleichung so abandern, dass L5 = {1; 2}?

(e) Betrachte nun die Gleichung

2

5(x− 7)−

3

5(2− 3x) = ax+ 2

1

5, G = Q, a ∈ Q.

Fur welche a gibt es genau eine Losung? Wie lautet dann die Losungsmenge?Wie sieht die Losungsmenge in den ubrigen Fallen aus?

(f) Betrachte nun die Gleichung

2

5(x− 7)−

3

5(2− 3x) = x+ b · 2

1

5, G = Q, b ∈ Q.

Welche Einfluss auf die Anzahl der Losungen hat b?

Losung: (a) L = {516}

52

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3.3 Terme mit Potenzen

(b) L1 = {516}, L2 = {}, L3 = {}, L4 = {51

6}.

(c) z. B. 25(x− 7)− 3

5(2− 3x) = x+ 915

25(x− 7)− 3

5(2− 3x) = x− 425(x− 7)− 3

5(2− 3x) = 215x

25(x− 7)− 3

5(2− 3x) = 215x− 4

(d) Nein

(e) Genau eine Losung fur a 6= 115 =⇒ L =

{31

11−5a

}

Fur a = 115 folgt L = {}

(f) b hat keinen Einfluss auf die Anzahl der Losungen.

2. (a) Die monatlichen Telefongeburen berechnen sich beim Anbieter FONO aus derGrundgebuhr und der Anzahl der Gesprache, wobei 12 Gesprache frei sind:

Grundgebuhr: 13,60€

1 Gesprach kostet: 0,11€

i. Stelle einen Term fur die Berechnung der monatlichen Telefongebuhren auf.

ii. Bestimme die Definitionsmenge und berechne einige Werte des Terms.

(b) Die monatlichen Telefongeburen berechnen sich beim Konkurrenten von FONOaus der Grundgebuhr und der Anzahl der Nah- und Ferngesprache, wobei 8Nahgesprache frei sind:

Grundgebuhr: 13,60€

1 Nahgesprach kostet: 0,05€

1 Ferngesprach kostet: 0,15€

i. Stelle einen Term fur die Berechnung der monatlichen Telefongeburen auf.Berechne einige Werte des Terms.

ii. Wann ist es besser beim Anbieter Fono bzw. dem Konkurrenten zu telefo-nieren?

(c) i. Finde die Telefongebuhren verschiedener Anbieter heraus und stelle jeweilseinen Term zur Berechnung der monatlichen Gebuhren auf.

ii. Untersuche wie man am gunstigsten telefoniert.

Losung: (a) i. T (x) = 13,60 + (x− 12) · 0,11

ii. Fur die sinnvolle Grundmenge G = N0 ist D = {12; 13; 14; · · · }Z. B. T (15) = 13,93, T (62) = 19,10, . . .

(b) i. T (x; y) = 13,60 + (x− 8) · 0,05 + y · 0,15Z. B. T (0; 50) = 21,10, T (50; 0) = 15,70, T (25,25) = 18,20

53

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3.3 Terme mit Potenzen

ii. Z. B.: Es ist besser beim Anbieter FONO zu telefonieren, wenn fur mindestens12 Nahgesprache die Anzahl der Ferngesprache mehr als 6x−92

15 (x: Anzahl derOrtsgesprache) ist.

3. Vor langer Zeit lebten einmal drei Kobolde mit Namen Asam, Bela und Calvin in denWaldern um den Feuerbach. Die Hohlen der drei Kobolde waren durch gerade Wegemiteinander verbunden. Eines Tages fanden die Kobolde die verschlusselte Botschafteines Druiden, die sie zu einer verhexten Feuerstelle am Feuerbach fuhren sollte. Siewaren sich uber den genauen Verlauf des Flusses nicht einig, deshalb nahmen sie einFell daher, das ihnen als Karte dienen sollte. Auf diesem Fell wollten sie die Wegenach der Botschaft des Druiden einzeichnen.

Sofort machten sich die drei Kobolde an die Arbeit die Botschaft zu entschlusseln.

• Ein jeder gehe von seiner Hohle senkrecht auf den gegenuberliegenden Weg. Der

gemeinsame Treffpunkt am Fluss werde durch Holzer mit einem H gekennzeich-

net.

• Nun gehe jeder Kobold von H zu seiner Hohle zuruck und markiere dabei die

Halfte des Weges ebenfalls mit einem Stockchen.

• Weiter finde jeder die Senkrechte auf die Mitte des Weges, der zu seinem Nach-

bar fuhrt. Auch hier werde der gemeinsame Treffpunkt, wieder am Fluss, durch

Holzer markiert, diesmal durch ein M.

• Sucht die Mitte von M und H. Dort findet Ihr die verhexte Feuerstelle.

Sofort machten Asam, Bela und Calvin sich auf und waren schließlich uberglucklich,die verschlusselte Botschaft des Druiden entratselt zu haben, denn von dieser Feuer-stellt am Fluss ging wahrhaftig ein Zauber aus.

Spur auch du dem Zauber nach, dem Asam, Bela und Calvin erlegen sind, indem Dudie Fellzeichnung der Kobolde nachzeichnest.

Literatur: PM 4/43, Jg. 2001

Losung: Die Feuerstelle ist Mittelpunkt des Feuerbachschen Neunpunktekreises und liegt zusammenmit M und H auf der Eulerschen Geraden.

4. Vereinfache: (a) (−1)7 (b) (−1)1234 (c) (−x)2 (d) (−x)9

(e) (−2b)5 (f) (−3z)4 (g) −(−5c)3 (h) −(−5e)4

Losung: (a) −1 (b) 1 (c) x2 (d) −x9

(e) −32b5 (f) 81z4 (g) 125c3 (h) −625e4

54

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3.4 Summen, Klammerregeln, Zusammenfassen

5. Das Universum hat ein Volumen wie ein Wurfel mit einer Kantenlange a von zwanzigMilliarden Lichtjahren (Lichtgeschwindigkeit: c = 3 · 108 m

s). Ein Proton beansprucht

ein Volumen wie ein Wurfel mit der Kantenlange b = 10−15m. Wie viele Protonenpassen in das Universum?

Losung: a = 1,89 · 1026 m; VUniversum = 6,77 · 1078 m3

VProton = 10−45 m3; N =VUniversum

VProton= 6,77 · 10123

6. Gegeben ist der Term:

(0,000 000 106 5)4 · 0,000 190 0

3 560 000.

(a) Stelle den Term mit Zehnerpotenzen dar (jeweils eine Stelle vor dem Komma)!

(b) Berechne den Term mit dem Taschenrechner (Ergebnis mit zwei Stellen vor demKomma und vier gultigen Ziffern)!

Losung: (a):1,0654 · 1,9

3,56· 10−26

(b): 68,66 · 10−28

3.4. Summen, Klammerregeln, Zusammenfassen

1. Bilde zum Text den zugehorigen Term und vereinfache ihn soweit wie moglich:

(a) Vermindere 3x− 4y um die Differenz der Terme 2x+ 5y und x− 10y.

(b) Vermindere die Differenz der Terme 2b− 23y und −3b + a um die Differenz der

Terme 2b− y und a− 16y.

Losung: (a) (3x− 4y)− [(2x+ 5y)− (x− 10y)] = 2x− 19y

(b) [(2b − 23y)− (−3b+ a)]− [(2b − y)− (a− 1

6y)] = 3b+ 16y

2. Gib den Term an und berechne:Von der Differenz der Terme a− 5b und 7a− 5b ist die Differenz der Terme 4a− 3bund 5b+ 4a zu subtrahieren.

Losung: [(a− 5b)− (7a− 5b)]− [(4a− 3b)− (5b+ 4a)] = −6a+ 8b

3. Fritz hat bei den folgenden Termumformungen Fehler gemacht. Berichtige sie farbig(nicht mit roter Farbe):

55

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3.4 Summen, Klammerregeln, Zusammenfassen

(a) 4x− 6y + 1,6z = 2 · (x+ 3y + 3,2z)

(b) x2 · x5 + 3 : 12= 6 + x10

(c) −(3x− 2x2 + 7a) = −3x− 2x2 − 7x

Losung: (a) 4x− 6y + 1,6z = 2 · (2x− 3y + 0,8z)

(b) x2 · x5 + 3 : 12 = 6 + x7

(c) −(3x− 2x2 + 7a) = −3x+ 2x2 − 7a

4. Termdomino

5z − 1 + 14x− 2 r + s− 1r + 1s 9x2 − 5x2 3xz + 4xz − xz

1 2a− 4a −2a 4x2

− 916

3 · (a− 2b) 6xz 14x+ 5z − 3

4 · (x+ y) 2 · (a+ 2b) a− b+ c 5y2 · x

−6x c− b− 3a+ 4a 2a+ 4b (x+ y) + y

5xy2 4x+ 4y 3a− 6b ARechteck

−11 −7 · (−12) x+ 2y (r + s)− (r + s)

a · b 196 : 142 a3 x · y · y · x

x2y2 −15 − 17 + 21 0 a · a · a3510

−(54)2 + 1 2s −4x+ 3y − 2x− 3y

Schneidet die Dominosteine entlang der Doppellinien auseinander. Teilt die Domino-steine in eurer Gruppe auf und bestimmt, wer anfangt. Jetzt versucht jeder Spielernacheinander, einen seiner Steine anzulegen. Dazu mussen die Terme allerdings wert-gleich sein. Wer nicht anlegen kann, muss eine Runde aussetzen.

Quelle: Sinus-Transfer

Losung: Zur Kontrolle:

2a− 4a = −2a (r + s)− (r + s) = 0196 : 142 = 1 a3 = a · a · ax · y · y · x = x2y2 −15− 17 + 21 = −11r + s− 1r + 1s = 2s −7 · (−1

2) =3510

(x+ y) + y = x+ 2y −4x+ 3y − 2x− 3y = −6x9x2 − 5x2 = 4x2 3xz + 4xz − xz = 6xz4 · (x+ y) = 4x+ 4y 5z − 1 + 14x− 2 = 14x+ 5z − 33 · (a− 2b) = 3a− 6b 2 · (a+ 2b) = 2a+ 4ba− b+ c = c− b− 3a+ 4a 5y2 · x = 5xy2

ARechteck = a · b − 916 = −(54 )

2 + 1

56

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3.4 Summen, Klammerregeln, Zusammenfassen

5. Term-Mobile

Das Term-Mobile ist im Gleichgewicht, wenn an beiden Enden eines Balkens insge-samt wertgleiche Terme vorhanden sind. Bringe die Mobiles mit den jeweils vorhan-denen Elementen ins Gleichgewicht. Farbe dazu die entsprechenden Felder in gleicherFarbe.

Stelle selbst ein Term-Mobile her. Verwende dabei u.a. die folgenden Terme:

57

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3.4 Summen, Klammerregeln, Zusammenfassen

(a) 3(x+ 4) + x

(b) 2x+ 6

(c) 8(x+ 1) + 4(1− x)

Quelle: Sinus-Transfer

Losung: (a) Z. B.: 2 · 2x+ 8, x · 4 + 4 · 2, x+ x · 2 + 8 + x, 2x+ 4, x+ 2 + x+ 2

(b) Z. B.: −7+2x−x+2+7x− 7, 12x+3− 4x− 15, 4+4x− 6+4x− 10, 7x− 7− 3x+1,−2 + 4x− 4

6. (a) Es werden n Wurfel ubereinander gestellt. Die nun sichtbaren Augenzahlen wer-den addiert.Wie kann man die Wurfel so anordnen, dass die Augensumme maximal wird?Stelle einen Term A(n) auf, der die maximale Augensumme in Anhangigkeit derAnzahl n der Wurfel angibt.

(b) Es werden n Wurfel ubereinander gestellt. Die nun sichtbaren Augenzahlen wer-den addiert.Wie kann man die Wurfel so anordnen, dass die Augensumme minimal wird?Stelle einen Term a(n) auf, der die minimale Augensumme in Anhangigkeit derAnzahl n der Wurfel angibt.

(c) Es werden n Wurfel nebeneinander in eine Reihe gelegt. Die nun sichtbarenAugenzahlen werden addiert.Wie erhalt man die maximale bzw. minimale Augensumme?Stelle die Terme A(n) und a(n) fur die maximale und minimale Augensummein Anhangigkeit der Anzahl n der Wurfel auf.

(d) Es werden Wurfel in Form eines quadratischen Rahmens gelegt. n Wurfel bildeneine Seite. Die nun sichtbaren Augenzahlen werden addiert.Wie erhalt man die maximale bzw. minimale Augensumme?Stelle die Terme A(n) und a(n) fur die maximale und minimale Augensummein Anhangigkeit von n auf.

(e) Obiger Rahmen wird mit Wurfeln gefullt zu einem Quadrat. Die nun sichtbarenAugenzahlen werden addiert.Wie erhalt man die maximale bzw. minimale Augensumme?Stelle die Terme A(n) und a(n) fur die maximale und minimale Augensummein Anhangigkeit von n auf.

(f) Es werden Wurfel in mehreren Reihen aufeinander in Dreiecksform gelegt, undzwar in der obersten Reihe ein Wurfel, in der zweiten Reihe drei Wurfel, inder dritten Reihe funf u. s. w. n ist die Anzahl der Reihen. Die nun sichtbarenAugenzahlen werden addiert.Wie erhalt man die maximale bzw. minimale Augensumme?

58

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3.4 Summen, Klammerregeln, Zusammenfassen

Stelle die Terme A(n) und a(n) fur die maximale und minimale Augensummein Anhangigkeit von n auf.

Literatur: H. Schupp, Thema mit Variationen, in: mathematiklehren 100, Juni 2000

Losung: (a) A(n) = (n− 1) · 14 + 20 = 14n+ 6

(b) a(n) = (n− 1) · 14 + 15 = 14n + 1

(c) A(n) = (7 + 6) · (n− 2) + 2 · (7 + 11) = 13n+ 10a(n) = (7 + 1) · (n− 2) + 2 · (7 + 3) = 8n+ 4

(d) A(n) = 4 · (n− 2) · 13 + 4 · 15 = 52n− 44a(n) = 4 · (n− 2) · 8 + 4 · 6 = 32n− 40

(e) A(n) = 4 · (n− 2) · 11 + 4 · 15 + (n− 2)2 · 6 = 6n2 + 20n − 4a(n) = 4 · (n− 2) · 3 + 4 · 6 + (n− 2)2 = n2 + 8n + 4

(f) A(n) = (n− 1)2 · 7 + 2 · (n− 1) · 18 + 20 = 7n2 + 22n− 9a(n) = (n− 1)2 · 7 + 2 · (n − 1) · 10 + 15 = 7n2 + 6n+ 2

7. Vereinfache soweit wie moglich:

(a) −2,5a− [−(5a+ 2b)− (−2a + 3b)]− (−2a+ 5b)

(b) −2,5c− [−(−2c + 3b)− (5c+ 2b)]− (−2c+ 5b)

(c) a− {b− [c− (d+ e)− f ]− g}

(d) x− {y − [z − (m+ n)− k]− g}

Losung: (a) 2,5a

(b) 2,5c

(c) a− b+ c− d− e− f + g

(d) x− y + z −m− n− k + g

8. Vereinfache soweit wie moglich:

0,5b+ 4b2 + 5,74ab− b− 21

5b2 +

3

2b

Losung: b+ 145b

2 + 5,74ab

9. Vereinfache soweit wie moglich!

(a) −(5 − 18)

(b) 0,8b+ (−2,4a)− | − 3,2| − (+1,6b) + a + (−2)

Losung: (a) 13 (b) −0,8b− 1,4a− 5,2

59

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3.4 Summen, Klammerregeln, Zusammenfassen

10. Berechne folgende Terme:

(a) −8,1− (4,8− 8,3)

(b) 4− |3− 4− 7|+ | − 14 + 7|

(c) −25b− 12a− 13b+ 97a+ 18a2 − 2a+ 6a2 − 4b2 − 24a2

Losung: (a) −4,6 (b) 3 (c) 83a− 38b− 4b2

11. Berechne folgende Terme:

(a) −7,1 + (4,8− 7,3)

(b) 4− | − 4 + 3− 7|+ | − 12 + 5|

(c) −12a− 13b+ 97a− 25b+ 18a2 − 2a+ 6a2 − 4b2 − 24a2

Losung: (a) −9,6 (b) 3 (c) 83a− 38b− 4b2

12. Lose die Klammern auf und fasse soweit wie moglich zusammen:

(a) 1− [−(a)− (b− c)]

(b) 3− [−(b)− (e− f)]

(c)

(3

4ab−

5

3a2b+ 1

)−

(−1

4ab+

2

3a2b

)+

(− ab+

7

3a2b

)

(d)

(−1

2x+

2

3y − 2

)−

(−

3

10x+

4

5y −

5

2

)−

23

6x

(e) −[(−1,9a+ 2,1b− 0,2x)− (15x− 6a− 4,8b)]− (−4,3a+ 2,9b+ 14x)

Losung: (a) 1 + a+ b− c (b) 3 + b+ e− f (c) 1(d) −4 1

30x− 215y +

12 (e) 0,2a− 9,8b+ 1,2x

13. Klammere aus: 42a2bc2 − 28abcd+ 14abcd2

Losung: 14abc(3ac − 2d+ d2)

14. Klammere aus: 78abx− 273ax+ 117a2bx2

Losung: 39ax(2b − 7 + 3abx)

15. Vereinfache soweit wie moglich:

60

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3.4 Summen, Klammerregeln, Zusammenfassen

(a) −{−[(6m − 9n)− (−p− q)]− (1 + 5m+ 10n)} − (1 + p+ q)

(b) 2ax− {−2a2 + [−b2 + 2ax+ 2a2 − (2ax− b2)] + 2ax} + b2

Losung: (a) 11m+ n (b) b2

16. Lose die Klammern auf und fasse soweit wie moglich zusammen:

(a) −

{−2 −

[−

(−1

3+

2

5x

)]+ 2

7

15− 17

8

15x

}− 4x

(b) −2,6a− [−6,3b− (7,2c− 4,8a) + (−7,6a+ 5,3c)− 5,3] + 6,1b− 5,3

(c) (−2)3x · (ab)2(−y) + 2ax2 − 7(−ax)2 + (−2x) · y · (−7a2b2)

Losung: (a) 13 215x− 2

15 (b) 0,2a+ 12,4b+ 1,9c (c) −7a2x2 + 2ax2 + 22a2b2xy

17. Vereinfache soweit wie moglich:

(a) (6b− 2,25a) +{2b−

[34a−

(−1

5b+ 3a

)]+ 5ab

}=

(b) (8y − 1,75x) +{3y −

[14x−

(−3

5y + 2x

)]+ 4xy

}=

Losung: (a) 5ab+ 715b (b) 4xy + 102

5y

18. Forme in moglichst einfache Terme um:

(a) 2x · (−6x) + 12x− 5x2 − (−2) · (−7x)

(b) (2a)3 + (−2a)2 · 3a+ (−3a)3

(c)(z4

)2

−z2

4+

z2

−8+ 3z :

(−16

z

)

Losung: (a) −12x2 − 5x2 + 12x− 14x = −17x2 − 2x

(b) 8a3 + 12a3 − 27a3 = −7a3

(c)z2

16−z2

4−z2

8−

3z2

16=z2 − 4z2 − 2z2 − 3z2

16=

−8z2

16= −

z2

2

19. (a) 3x ·(−6x2

)+ 18x2 − 7x3 − (−2x2)2 :

−x

3

(b)(a6

)2

−a2

9+

a2

−12+ 9a :

(−27

a

)

Losung: (a) −18x3 + 18x2 − 7x3 + 12x3 = 18x2 − 13x3

(b)a2

36−a2

9−a2

12−

3a2

9=a2 − 4a2 − 3a2 − 12a2

36= −

18a2

36= −

a2

2

61

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3.4 Summen, Klammerregeln, Zusammenfassen

20. Fasse zusammen:

(a) 5am2 − 5am− 5a2m− 2m · 3a+ (−5a) · (−3am)− 2a · 2m · 2m

(b)1

2x2 −

x

2−

3

2−

x2

3+

1

3x−

2

3

(c)1

5x · 3y −

x

3· 0,3x−

y

7· 1,1y − 0,6xy + x2 : 10− y2 : 7

Losung: (a) 5am2 − 5am− 5a2m− 6am+ 15a2m− 8am2 = −3am2 − 11am+ 10a2m

(b)

(1

2−

1

3

)x2 +

(1

3−

1

2

)x−

3

2−

2

3=

1

6x2 −

1

6x−

13

6

(c) 0,6xy − 0,1x2 −1,1y2

7− 0,6xy + 0,1x2 −

y2

7= −

2,1y2

7= −0,3y2

21. Vereinfache: (a) (−a)3 − a3 − (−a)2 − a2 (b) (−a)3 · a3 · (−a)2 · (−a2)(c) x2(−x)2 · 2(−x)4x(−x)3 (d) x2(−x)2 − 2(−x)4 − x(−x)3

(e) a(−a)n(−a)n−1, n ∈ N (f) a(−a)n + (−a)n+1, n ∈ N

Losung: (a) −a3 − a3 − a2 − a2 = −2a3 − 2a2

(b)(−a3

)· a3 · a2 · (−a2) = a10

(c) x2x2 · 2x4x(−x3

)= −2x12

(d) x4 − 2x4 − x(−x3

)= x4 − 2x4 + x4 = 0

(e) Wenn n gerade ist, ist n− 1 ungerade, wenn n ungerade ist, ist n− 1 gerade, d.h. eineder beiden Potenzen (−1)n oder (−1)n−1 ist −1, die andere ist 1:

a(−a)n(−a)n−1 = a(−1)nan(−1)n−1an−1 = −a2n

(f) a(−a)n + (−a)n+1 = a(−1)nan + (−1)n+1an+1 = (−1)nan+1 − (−1)nan+1 = 0

22. Klammere den in eckigen Klammern stehenden Term aus:

(a) 12x3 − 9x2y + 18xy2, [3x] (b) u5 − u4 + u3, [u3](c) 12x3 − 9x2y + 18xy2, [12x3] (d) u5 − u4 + u3, [u5]

(e)x2

8−

xy

12−

x

4,

[x4

](f) 8z3 − 4z2 + 2z, [2z]

(g)x2

8−

xy

12−

x

4,

[−

x

24

](h) 8z3 − 4z2 + 2z, [8z3]

62

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3.4 Summen, Klammerregeln, Zusammenfassen

Losung: (a) 3x(4x2 − 3xy + 6y2) (b) u3(u2 − u+ 1)

(c) 12x3(1−

3y

4x+

3y2

2x2

)(d) u5

(1−

1

u+

1

u2

)

(e)x

4

(x2−y

3− 1

)(f) 2z(4z2 − 2z + 1)

(g) −x

24(−3x+ 2y + 6) (h) 8z3

(1−

1

2z+

1

4z2

)

23. Klammere so viel wie moglich aus, ohne dass ein Bruch entsteht:

(a) 36x3y2 − 54x4y + 72x3y3 (b) 32u5 − 64u6 − 16u3

(c) −a2b2c4 + a3b2c5 − a3b3c3 (d) 84axy − 126ayz + 210bay

Losung: (a) 18x3y(2y − 3x+ 4y2) (b) 16u3(2u2 − 4u3 − 1)(c) a2b2c3(−c+ ac2 − ab) (d) 42ay(2x− 3z + 5b)

24. Klammere so aus, dass in der Klammer kein Bruch mehr steht:

(a)x

4−

y

2−

z

8(b)

ab2

3+

a2b

2−

ab

6

(c)rs

7+

rt

3+

st

11(d)

3a3

70−

4a2

63+

3a4

35

Losung: (a)1

8(2x− 4y − z) (b)

ab

6(2b+ 3a− 1)

(c)1

231(33rs+ 77rt+ 21st) (d)

a2

630(27a − 40 + 54a2)

25. Klammere soviel wie moglich aus und zwar so, dass in der Klammer kein Bruch mehrsteht:

1

3u3w4 −

1

8u3w3 + u2w3

Losung:u2w3

24(8uw − 3u+ 24)

26. Klammere soviel wie moglich aus und zwar so, dass in der Klammer kein Bruch mehrsteht:

1

4a4b5 −

1

14a4b3 − a3b4

Losung:a3b3

28(7ab2 − 2a− 28b)

63

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3.5 Multiplizieren von Summen

3.5. Multiplizieren von Summen

1. Multipliziere aus und vereinfache soweit wie moglich:

(a) (2− x)(y + x)

(b) (a− b+ 3)(2− a− b)

Losung: (a) 2y + 2x− xy − x2

(b) −a− 5b− a2 + b2 + 6

2. Multipliziere aus und fasse zusammen:

−6x2(2x− 7y)− 2x[xy − (−7y + 2x)3x]

Losung: −2x2y

3. Multipliziere die Klammern aus und fasse die Terme zusammen:

(a) (12− x)(−1 + x2 − 4x)

(b) (12− a)(−3 + a2 − 4a)

(c) (4x− 1)(2x+ 2)(3x− 3)

(d) (2a− 1)(3a+ 2)(4a− 3)

(e) (0,04u2 − 0,1ux+ 0,25x2)(0,2u+ 0,5x)

Losung: (a) −x3 + 412x

2 − x− 12

(b) −a3 + 412a

2 + a− 112

(c) 24x3 − 6x2 − 24x+ 6

(d) 24a3 − 14a2 − 11a+ 6

(e) 18x

3 + 1125u

3

4. Berechne:[(−2x)3 · (−3y)2 − (2xy)2 · (−9x)] : 22 + (3yx)2 · x

Losung: 0

5. Multipliziere aus und fasse zusammen:

(a) (1− x) (x+ x2) (2x− 1)

(b) (x2 + ax+ 2a2) (2a− x)− (x2 − 2ax+ a2) (x− 2a)− 2(3a3 − x3)

Losung: (a) −x+ 2x2 + x3 − 2x4 (b) 5ax2 − 5a2x

64

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3.5 Multiplizieren von Summen

6. Multipliziere aus und vereinfache soweit wie moglich:

(a) (3− a)(a+ b)

(b) (4 + x− 2y)(3− y − 2x)

Losung: (a) 3a+ 3b− a2 − ab

(b) 12− 5x− 10y + 3xy − 2x2 + 2y2

7. Vereinfache soweit wie moglich:

(a) 7a− {2z − [5x2 + (7a− 4x2)− x2 + 2x]}

(b) −5x (2a + 3b)− (8b− 5a) · 2x− 4x (7a− 5b)

Losung: (a) 14a + 2x− 2z (b) −11bx− 28ax

8. Vereinfache soweit wie moglich:

(a) −1223− {−(71

3− 17)− [−12− (−3 + 91

6)] + 7}

(b) −1,2 · (7a− 3b+ 8c)− (3b+ 2c− a) · 2 + (0,3a− 0,1b+ c) · (−0,3)

(c) −3 · [2ab− 3a · (2b− 6a)− (a− 3b) · 6b− 3a]− 3a2

Losung: (a) −4712 (b) −6,49a− 2,37b− 13,9c+ 2 (c) −57a2 + 30ab + 9a− 54b2

9. Lose die Klammern auf und fasse zusammen:

(5a3b2 − 4a2b3) : a2b+ (13ba− 1

2b) (2b− 3a)− 2a (0,5a− 3b+ 7c)

Losung: −a2b− a2 + 23ab

2 + 1212ab− 14ac− 5b2

10. Vereinfache soweit wie moglich:

(a) 7a− {2z − [5x2 + (7a− 4x2)− x2 + 2x]}

(b) −5x (2a + 3b)− (8b− 5a) · 2x− 4x (7a− 5b)

Losung: (a) 14a + 2x− 2z (b) −28ax− 11bx

11. Vereinfache soweit wie moglich:

(a) 5a[6− 4(3− a)]− [5a(6a− 11)− 4(3a2 − 6a+ 6)]− 24− (4a2 − 108a) : 2

(b) (2a− 2b+ 4c)(c− 7b)− (c− 2b+ a)(a− 2b)− (2c− 3b)(c− 7b+ 2a)

65

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3.5 Multiplizieren von Summen

Losung: (a) 55a (b) −a2 − 4ab− 3ac− 11b2 − 11bc+ 2c2

12. Multipliziere aus und fasse zusammen:

(7xz − 3y)(a− 4b) + (4b− a)(yz − 21x)

Losung: 7axz − 28bxz − 3ay + 12by + 4byz − 84bx− ayz + 21ax

13. Vereinfache so weit wie moglich:

(a) x(x− 1)− x(x+ 1)

(b) x2(a−

x

2

)− x

(ax−

x2

3

)

Losung: (a) x2 − x− x2 − x = −2x

(b) ax2 −x3

2− ax2 +

x3

3=

−3x3 + 2x3

6=

−x3

6= −

x3

6

14. Multipliziere aus und fasse zusammen:

(a) x(x− 1)− x(x+ 1)− x(−x− 1)

(b) (−2u)(u− 2y)− 2y(u+ y)

(c)e

4

(−2e−

5

2f

)−

f

4

(3

2e− 8

)−

(−1

2

)(e2

2− 4f

)

Losung: (a) x2 − x− x2 − x+ x2 + x = x2 − x

(b) −2u2 + 4uy − 2uy − 2y2 = −2u2 + 2uy − 2y2

(c) −e2

2−

5ef

8−

3ef

8+ 2f +

e2

4− 2f = −

e2

4− ef

15. Multipliziere aus:

(a) (2a− 3b)(3a− 2b) (b) (1− a)(1− b)(1− c)(c) (x− ay)(ax− y) (d) (1− x)2(1 + x)(e) (u− w)2(u+ w)2 (f) (1− x)(2 − x)(3− x)

(g)(x2−

y

3

)(2x− 3y) (h)

(1−

x

2

)(1 +

x

2+

x2

4+

x3

8

)

Losung: (a) 6a2 − 13ab+ 6b2 (b) 1− a− b− c+ ab+ ac+ bc− abc(c) ax2 − a2xy − xy + ay2 (d) 1− x− x2 + x3

(e) u4 − 2u2w2 + w4 (f) 6− 11x+ 6x2 − x3

(g) x2 −13

6xy + y2 (h) 1−

x4

16

66

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3.6 Binomische Formeln

16. Multipliziere aus und fasse zusammen:(a2− 1

)(a2+ 1

)+

(a+

1

2

)(1

4−

a

2

)

Losung:a2

4− 1 +

1

8−a2

2= −

a2

4−

7

8

17. Multipliziere aus und fasse zusammen:

(1

2− b

)(1

2+ b

)+

(1 +

b

2

)(b

4−

1

2

)

Losung:1

4− b2 +

b2

8−

1

2= −

1

4−

7

8b2

3.6. Binomische Formeln

1. Ein ,,Rechentrick” zum quadrieren einer zweistelligen Zahl mit der Einerziffer 5 lau-tet so:Nimm die Zehnerziffer der Zahl und vergroßere sie um 1, multipliziere das Ergeb-nis mit der Zehnerziffer selbst. Hangt man an die Zahl, die sich dabei ergibt, dieZiffernfolge 25 an, hat man schon die gesuchte Quadratzahl.

(a) Berechne nachvollziehbar mit dieser Methode das Quadrat der Zahl 35.

(b) Eine zweistellige Zahl mit der Zehnerziffer x und der Einerziffer 5 lasst sichschreiben als 10x+ 5.Berechne (10x + 5)2, forme das Ergebnis geeignet um und begrunde dadurchden obigen ,,Rechentrick”.

Quelle: Bayerischer Mathematik-Test fur die Jahrgangsstufe 8 der Gymnasien, 2006

Losung: (a) 2 · 3 = 6, also 625

(b) (10x + 5)2 = 100x2 + 100x+ 25 = 100 · x(x+ 1) + 25

2. Maria hat Fehler beim Auflosen von Klammern in binomischen Formeln gemacht:

(a) (3a + 10b)2 = 9a2 − 60ab+ 10b2

(b) (x+ 2)(2− x) = 4− x2

(c) (0,5x− 6)2 = 2,5x2 − 3x+ 36

Streiche mit einem Farbstift (nicht Rot) alle Fehler einzeln an und verbessere MariasLosungen auf diesem Blatt. (Nicht jede Losung muss falsch sein.)

Losung: (a) Es muss 100b2 heißen.(b) richtig(c) Es muss 0,25x2 − 6x+ 36 heißen.

67

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3.6 Binomische Formeln

3. Multipliziere mit Hilfe der binomischen Formeln und vereinfache:

(a) (x+ 12)(1

2− x)

(b) 4 · (5x− 2y)2

(c) (3− x)2 · (3 + x)2

(d) 18 · 12

Losung: (a) 14 − x2

(b) 100x2 − 80xy + 16y2

(c) 81− 18x2 + x4

(d) (15 + 3)(15 − 3) = 216

4. Multipliziere aus und fasse zusammen:

2(2x+ 1,2y2)2 − 3(2x− 1,2y2)(1,2y2 + 2x)− (0,3y2 − 4x)2 · 4

Losung: −68x2 + 6,84y4 + 19,2xy2

5. Faktorisiere soweit wie moglich:

(a) 9a2x− 9a2y − 12abx+ 12aby + 4b2y − 4b2x

(b) 19a2x2 − 1

6a2xy + 1

4a2y2 − 1

9b2x2 + 1

6b2xy − 1

4b2y2

Losung: (a) (9a2 − 12ab− 4b2)(x− y) (b) (a− b)(a+ b)(19x2 − 1

6xy +14y

2)

6. Faktorisiere soweit wie moglich:

(a) 4(3m− 3n)− 2a(m− n) + 7a(n−m)

(b) 3(x4 − 1) + 4a(x4 − 1)

Losung: (a) 3 · (m− n)(4− 3a) (b) (3 + 4a)(x− 1)(x+ 1)(x2 + 1)

7. Multipliziere aus und fasse zusammen:

(a) 3a(2b− 5a)(3b+ 4a)− 4b(7a2 − 12ab)− (5b+ 4a)(3a− 6b) · 4a

(b) −4ax(7a− 2x)(5x− 4a) + (3a2 − 16ax)− 6a2(2x− 3a)(2x+ 3a)

(c) (0,7x3 + 1,1y4)2 − (0,7x3 − 1,1y4)(0,7x3 + 1,1y4)− 1,1y4(2,2y4 + 1,4x3)

Losung: (a) −108a3 − 13a2b+ 186ab2

68

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3.6 Binomische Formeln

(b) 40ax3 − 196a2x2 + 112a3x− 16ax+ 54a4 + 3a2

(c) 0

8. Faktorisiere soweit wie moglich:

(a) 81x4 − y4

(b) 0,49a2 − 0,14ab+ 0,01b2

(c) 36p2x2 + 4q2y2 − 9p2y2 − 16q2x2

Losung: (a) (3x− y)(3x+ y)(9x2 + y2)

(b) (0,7a− 0,1b)2

(c) (3p − 2q)(3p + 2q)(2x + y)(2x− y)

9. Multipliziere aus und fasse zusammen:

3x(0,1x+ 11

3y)2

− 2y(x− 1

3y) (

y

3+ x

)− (x+ y)(x− 7y)2

Losung: −0,97x3 + 1145x

2y − 2923xy

2 − 4879y

3

69

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4. Gleichungen

4.1. Aufstellen linearer Gleichungen

1. In einem Trapez ist eine Grundlinie 1,5mal, die andere 2,5mal so lang wie die Hohe.Verkurzt man beide Grundlinien um 3 cm und verlangert die Hohe um 3 cm, sonimmt der Flacheninhalt um 15 cm2 zu. Berechne die Langen von Grundlinien undHohe!

Losung: h = 8 cm, g1 = 12 cm, g2 = 20 cm

2. In einem Trapez ist eine Grundlinie 3,5mal, die andere 2,5mal so lang wie die Hohe.Verkurzt man beide Grundlinien um 2 cm und verlangert die Hohe um 2 cm, sonimmt der Flacheninhalt um 18 cm2 zu. Berechne die Langen von Grundlinien undHohe!

Losung: h = 5,5 cm, g1 = 19,25 cm und g2 = 13,75 cm

4.2. Losen linearer Gleichungen

1. Bestimme die Losung der Gleichung

(a) x− 22 = 6 · (0, 5x− 2)

(b) 22− x = 8 · (0, 5x+ 2)

(c) x− 34= −6 · (0, 5x− 2)

(d) x− 2, 2 = −6 · (23x− 2)

Quelle: Bayerischer Mathematik-Test fur die Jahrgangsstufe 8 der Gymnasien, 2006

Losung: (a) x = −5 (b) x = 115 (c) x = 3 3

16 (d) x = 2, 84

2. (a) P (p|8) ∈ g : y = 4x− 40; p = . . .

(b) 2 · 170 = . . .

(c) Flacheninhalt des Rechtecks RON mit R(0|16), O(0|0) und N(14|0).

(d) 6 · x = 302; x = . . .

70

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4.2 Losen linearer Gleichungen

(e) 120 : x = 600; x = . . .

Quelle: Kreuzzahlratsel von Ulrike Schatz

Losung: (a) 12 (b) 2 (c) 112 (d) 150 (e) 15

3. Aquamaxx

Frau S. aus K. ist es leid, jede Woche ein- oder zweimal zum Getrankemarkt zufahren, um den entsprechenden Vorrat an Mineralwasser fur ihre funfkopfige Familiezu besorgen. Sie denkt uber die Anschaffung eines Wasseraufbereitungsgerates nach.

Die Firma Aquamaxx bietet ein solches Gerat zum Preis von 120€ an. Die entspre-chenden CO2-Patronen kosten 16€ und reichen fur 40l. 1m3 Leitungswasser kostet8,50€ (einschließlich Abwassergebuhren).Die Hersteller des Aquamaxx behaupten: Bei Verwendung des Gerates Aquamaxxsind die Kosten fur ihr Mineralwasser bereits vor Ablauf eines Jahres geringer, alswenn Sie das Wasser im Getrankemarkt kaufen.

(a) Wie viel kostet ein Kasten Mineralwasser?

(b) Schatze den Tages- bzw. den Wochenbedarf der Familie S.

(c) Stelle die Kosten in einer Tabelle gegenuber (100l, 200l, 300l)

(d) Stelle fur beide Moglichkeiten einen Term auf.

(e) Setze die beiden Gleichungen gleich und interpretiere das Ergebnis

Quelle: Sinus-Transfer

Losung: (a) angenommen, 12 Flaschen a 0,7 l kosten 7,60€ (ohne Pfand)

(b) Jedes Kind eine Flasche, Eltern zusammen 3 bis 4 am Tag: ca. 6 Flaschen. 3−4 Kistenpro Woche, fast 30 l

(c)

100 l 200 l 300 l

Aquamaxx 160,85€ 201,70€ 242,55€

Kasten 90,48€ 180,96€ 271,44€

(d) 90,48 · x = 40,85x+ 120Nach 240 l (bzw. 8 Monaten) sind die Kosten fur Kasten und Aquamaxx gleich. Danachist Aquamaxx billiger, also stimmt die Aussage von Aquamaxx.

4. Lose die folgende Gleichung (D = Q):

3 · (x+ 4) = 14−2

3x

Losung: L = { 611}

71

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4.2 Losen linearer Gleichungen

5. Gegeben ist die Gleichung

13− 2x = x+ 10, G = Z .

(a) Zeige, dass x = 2 keine Losung dieser Gleichung ist.

(b) Andere die Gleichung an einer Stelle so ab, dass x = 2 die Losung der ab-geanderten Gleichung ist, und fuhre den Nachweis.

Losung: (a) Einsetzen (b) z.B.: 13 − 2x = x+ 7

6. Gegeben ist die Gleichung

7− x = 3x+ 11, G = Z

(a) Zeige, dass x = −1 die Losung dieser Gleichung ist.

(b) Andere die Gleichung an einer Stelle so ab, dass die Losungsmenge der ab-geanderten Gleichung leer ist, und fuhre den Nachweis.

Losung: (a) Entweder x = −1 einsetzen oder die Gleichung nach x auflosen.(b) z.B. G = N wahlen oder 7− x = 3x+ 12 usw.

7. Begrunde: Die Losungsmenge der Gleichung 4− 6x = 3(11− 2x) ist fur G = Q leer.

Losung: Es ergibt sich 4− 0 · x = 33. Das ist fur keine Belegung von x erfullbar.

8. Begrunde: Die Losungsmenge der Gleichung x2 + 8 = 6 ist fur G = Q leer.

Losung: Es ergibt sich x2 = −2. Es gibt keine Zahl, die mit sich selbst multipliziert einen negativenProduktwert ergibt.

9. Maria hat bei den folgenden Termumformungen Fehler gemacht. Berichtige sie farbig(nicht mit roter Farbe):

(a) (a− 0,5)2 = a2 + a + 2,5

(b) (2x+ 3)2 = 2x2 + 12x+ 6

(c) (4− x)(x+ 4) = x2 − 16

Losung: (a) (a− 0,5)2 = a2 − a+ 0,25

(b) (2x+ 3)2 = 4x2 + 12x+ 9

(c) (4− x)(x+ 4) = 16− x2

72

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4.2 Losen linearer Gleichungen

10. Lose fur G = Q die folgende Gleichung nach x auf:(x+ 3)2 − (2x− 1)2 = (3 + x)(x− 3)− 4x2 − 13

Losung: x = −3

11.

D C

F

BAE

G

H

Benin ist ein Land in Afrika. Seine Flagge ist oben abgebildet.Die drei Rechtecke im Inneren sind kongruent. Ihre Seitenlangen stehen jeweils imVerhaltnis 2:3. Weiter gilt: HF = 3x cm mit x ∈ Q+.

(a) Zeichne die Figur fur x = 2.

(b) Welchen Flacheninhalt besitzt eines der inneren Rechtecke, wenn der Saum derFahne 1m8 cm lang ist?

Losung:

(a) –

(b) Es gilt: AD = 2 ·HG = 4x cm und AB = 5x cm.Dann folgt fur den Umfang u: u(x) = 18x cm.18x = 108 ⇒ x = 6 und 2x = 12 sowie 3x = 18.Damit folgt fur den Flacheninhalt A eines dieser Rechtecke im Inneren: A = 12 cm ·18 cm = 216 cm2

12. Lose folgende Gleichungen (G = Q):

(a) 4x− 5 = (x+ 3) · 4

(b) x · (x− 2)− 3x = x2 + 5

(c) 2 · [3− 4 · (x+ 2)− 2] + 12· [2− 4 · (x− 1)] = 0

Losung: (a) L = { } (b) L = {−1} (c) L = {−1,1}

13. Lose:

73

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4.2 Losen linearer Gleichungen

(a) 7(8x+ 3)− (5x− 3) · 8 = 0

(b) 12· (4x+ 1

3)− 1

4(12x+ 1) = (9x− 1

4) · 1

3

(c) 2(x+ a) = 6− 3x+ 2a

Losung: (a) x = −21316 (b) x = 0 (c) x = 11

5

14. Gib zu folgenden Gleichungen jeweils die Losungsmenge L1 zur GrundmengeG1 = N und L2 zu G2 = Q an.

(a) (8x− 1)(x+ 3) = 8(x− 2)2

(b) 16(x− 2) + 2

3x = 1

3(52x− 1)

(c) 6(3x− 1)− 7(2x− 1) = 4(x+ 9)− 42

Losung: (a) L1 = {}, L2 = { 711} (b) L1 = G1, L2 = G2 (c) L1 = L2 = {}

15. Bestimme die Losungsmenge folgender Gleichung (D = Q):

5(3− 5x)− [4(2 + 3x)− 10] + 9x = 3x− 1

Losung: L = {1831}

16. Gleichungsparkett

3,5x+ 7,7 = 7(2,9− x) (z − 5)(z − 6)− z(z − 8) = 0 1b−1

= 3t3− t+8

12= 11

60(2x+ 6)2 = 5x2 − (x− 2)2 ax

1+x= 2

12x

− 13x

= −56

(7− 23)y = 7(y − 2

3) z

z−1= −1−z

z

|b− 27| = 0,5 0 = 2(ab+ ac+ bc) 1

b+ 1

g= 1

f

A = a+b2

· h w+5w−2

= 0 (s− 23) · (2s− 11

4) = 0

(12+ 2x) · (1

2− 2x) + 2x =

(2− x) · x− 1312

Quelle: Neue Schwerpunktsetzung in der Aufgabenkultur, ISB 2001

Losung:x = 1,2 z = 10 b = 11

3

t = 325 x = −2 x = 2

a−2 , a = 2x+ 2

x = −15 y = 7 1

2

b1 =1114 , b2 = − 3

14 a = − bcb+c

b = − aca+c

c = − aba+b

f = bgb+g

b = fgg−f

g = bfb−f

h = 2Aa+b

a = 2Ah

− bb = 2A

h− a

w = −5 s1 =23 , s2 =

58

x1 =23 , x2 = −2

3

74

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4.2 Losen linearer Gleichungen

17. Gegeben ist die Gleichung

2

5(x− 7)−

3

5(2− 3x) = x+ 2

1

5, G = Q

(a) Bestimme die Losungsmenge der Gleichung.

(b) Bestimme die Losungsmenge der Gleichung fur die Grundmengen G1 = Q+,G2 = Z, G3 = N und G4 = {5; 51

2; 51

3; 51

4; 51

5; 51

6}.

(c) Verandere die rechte Seite der Gleichung so, dass L1 = {11}, L2 = {0}, L3 = {}und L4 = G.

(d) Lasst sich die Gleichung so abandern, dass L5 = {1; 2}?

(e) Betrachte nun die Gleichung

2

5(x− 7)−

3

5(2− 3x) = ax+ 2

1

5, G = Q, a ∈ Q.

Fur welche a gibt es genau eine Losung? Wie lautet dann die Losungsmenge?Wie sieht die Losungsmenge in den ubrigen Fallen aus?

(f) Betrachte nun die Gleichung

2

5(x− 7)−

3

5(2− 3x) = x+ b · 2

1

5, G = Q, b ∈ Q.

Welche Einfluss auf die Anzahl der Losungen hat b?

Losung: (a) L = {516}

(b) L1 = {516}, L2 = {}, L3 = {}, L4 = {51

6}.

(c) z. B. 25(x− 7)− 3

5(2− 3x) = x+ 915

25(x− 7)− 3

5(2− 3x) = x− 425(x− 7)− 3

5(2− 3x) = 215x

25(x− 7)− 3

5(2− 3x) = 215x− 4

(d) Nein

(e) Genau eine Losung fur a 6= 115 =⇒ L =

{31

11−5a

}

Fur a = 115 folgt L = {}

(f) b hat keinen Einfluss auf die Anzahl der Losungen.

18. Bestimme die Losungsmengen folgender Gleichungen (G = Q):

a) |x− 3| = 1 b) |x− 2,75| = 1,25c) |x− 3,75| = 1,25 d) | |x− 1| − 2| = 3

Losung: (a) L = {2 ; 4}, (b) L = {4 ; 1,5}, (c) L = {5 ; 2,5}, (d) L = {−4 ; 6}

75

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4.2 Losen linearer Gleichungen

19. Bestimme die Losungsmengen folgender Gleichungen:

a) |x− 7| = 12 b) |x− 5| = 12c) |x− 7,38| = 5,42 d) |x− 7,39| = 3,41

Losung: (a) L = {19;−5} (b) L = {17;−7}(c) L = {12,8; 1,96} (d) L = {10,8; 3,98}

20. Bestimme die Losungsmenge folgender Gleichung (G = Q): |x− 33,7| = 21,9

Losung: L = {55,6; 11,8}

21. Berechne die Losungsmengen folgender Gleichungen (G = Q):

(a) 54− x = 3,5 (b) |3,5− x| = 4

Losung: (a) L = {−214} (b) L = {−0,5;+7,5}

22. Bestimme die Losungsmenge uber der Grundmenge Q:

(a) |z|+ 8 = −6 (b) |z| − 8 = 6 (c) |x− 5| = 7

Losung: (a) L = { } (b) L = {−14; 14} (c) L = {−2; 12}

23. Bestimme die Losungsmenge folgender Gleichung (G=Q):

2 (x+ 3)2 −

(1

3x−

1

2

)2

= 100 (1,2x− 0,6)(1,2x+ 0,6)−1

9x2 − 2x

(71x−

1

6

)

Losung: −42348

24. Bestimme die Losungsmenge folgender Gleichung (G = Q):

(11x− 2)2 − (7− 9x)2 = (6x+ 13)2 + (2x− 5)(2x+ 5)

Losung: L = {−24174}

25. Bestimme die Losungsmenge folgender Gleichungen (G = Q):

(a) (2x− 5)(2x+ 5) + (7− 9x)2 = (11x+ 2)2 − (6x+ 13)2

(b) (1− 5x)2 + 3x(8x+ 3) = (7x− 1)2 + 3(1− x)

76

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4.2 Losen linearer Gleichungen

Losung: (a) L = {1312} (b) L = { 3

16}

26. Bestimme die Losungsmenge folgender Gleichungen (G = Q):

(a) (2x− 5)(2x+ 5) + (7− 9x)2 = (11x+ 2)2 − (6x+ 13)2

(b) (1− 5x)2 + 3x(8x+ 3) = (7x− 1)2 + 3(1− x)

Losung: (a) L = {1312} (b) L = { 3

16}

27. Bestimme fur folgende Gleichung die Losung uber Q:

(2− x)2 + 2 · (4x− 2)− 5 · (2− x) = (x+ 3)2

Losung: x = 613

28. Bestimme fur folgende Gleichung die Losung uber Q:

3 · (4x− 2) +

(11

2− x

)2

=

(x+

1

3

)2

+ 3 · (2− 3x)

Losung: x = 355624

29. Lose folgende Gleichung (D = Q):

(5x+ 4)(5x− 4)− (2− 2x)2 = (4x− 1)2 + (2x− 8)(4x+ 2)− x(3x− 4)

Losung: 18

30. Berechne die Losungsmengen folgender Gleichungen zur jeweils angegebenen Grund-menge:

(a) 17x− 13 = 22x+ 7, G = Q

(b) x−1

4=

x

7+

5

4, G = Q+

(c) 13(x− x) =1

x, G = N

(d) 7(x− x) = 3−21

7, G = Z

(e) (x− 3)(x+ 5) = 0, G = Z

Losung: (a) −5x = 20, x = −4 ∈ G =⇒ L = {−4}

77

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4.3 Anwendungsaufgaben

(b)6

7x =

6

4, x =

6

4:6

7=

7

4= 1,75 ∈ G =⇒ L = {1,75}

(c) 0 =1

x=⇒ L = {}

(d) 0 = 0 =⇒ L = G = Z

(e) x− 3 = 0 oder x+ 5 = 0 =⇒ L = {−5; 3}

31. Berechne die Losungsmengen folgender Gleichungen zur jeweils angegebenen Grund-menge:

(a) 27x− 35 = 34x− 18, G = Z

(b) x−1

7=

8

7−

x

8, G = Q+

(c) 4x− 3− 7x = 11− 3x− 14, G = N

(d) x2 = −9, G = Q

(e) (x+ 4)(x− 1)(x− 2) = 0, G = N

Losung: (a) −7x = 17, x = −17

7/∈ G =⇒ L = { }

(b)9

8x =

9

7, x =

9

7:9

8=

8

7∈ G =⇒ L =

{8

7

}

(c) −3− 3x = −3− 3x =⇒ L = G = N

(d) x2 ≧ 0 fur alle x =⇒ L = { }

(e) x = −4 oder x = 1 oder x = 2 =⇒ L = {1; 2}

4.3. Anwendungsaufgaben

1. Jeder der abgebildeten Behalter wird gleichmaßig mit der gleichen Wassermenge proZeiteinheit gefullt.

Die folgenden grafischen Darstellungen geben die Hohe h des Wasserstandes in Abhangig-keit von der Fullzeit t an.

78

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4.3 Anwendungsaufgaben

Ordne die Behalter die zugehorigen Graphen zu.

Quelle: Vergleichsarbeit bundesland- und schulartubergreifend in der Jahrgangsstufe8, Materialien zur Weiterarbeit

Losung: B1: III, B2: V, B3: IV, B4: VI, B5: VII

2. Bei alkoholischen Getranken ist es ublich, den Anteil reinen Ethanols am Gesamtvo-lumen des Weines in Prozenten anzugeben. Ein Hobbywinzer stellt mit einer Prazi-sionswaage fest, dass 1 Liter seines trockenen Kirschweins eine Masse von 973,125 ghat. Wie viel Prozent Alkohol enthalt dieser Wein?

Man kann davon ausgehen, dass es sich bei Wein um eine Mischung aus Wasser undEthanol handelt. Ein Liter Wasser wiegt 1,0 Kilogramm, ein Liter reines Ethanolwiegt 785 g. Die Anteile an Saure und Restzucker konnen vernachlassigt werden.

Losung: Es sei p% der prozentuale Volumenanteil des Alkohols im Kirschwein.

Volumen des Alkohols: 1l · p100

Masse des Alkohols: 0, 785kgl· 1l · p

100 = 0, 785kg · p100

Volumen des Wassers: 1l · 100−p100

79

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4.3 Anwendungsaufgaben

Masse des Wassers: 1kgl· 1l · 100−p

100 = 1kg · 100−p100

Masse des Kirschweins: 0, 785kg · p100 + 1kg 100−p

100 = 0, 973125kg

Durch Auflosen nach p ergibt sich ein Prozentsatz von 12, 5%.

3. Simmerl und Resi kauften in einem Supermarkt in der Stadt Wein zum gleichenEinkaufspreis pro Flasche. Simmerl kaufte 90 Flaschen und Resi 60 Flaschen. Inihrem Dorf verkauften sie den Wein wieder. Simmerl verdiente dabei 30% und Resi20% des jeweiligen Einkaufspreises. Fur alle Weinflaschen zusammen zahlten dieDorfbewohner 1776,60€.

(a) Was kostete eine Flasche Wein im Einkauf?

(b) Nach Beendigung des Geschaftes legten Simmerl und Resi ihre Einkunfte in einegemeinsame Kasse. Wieviel Prozent des Einkaufspreises verdienten sie zusam-men?

Losung: (a) x · 90 · (1 + 30%) + x · 60 · (1 + 20%) = x · 189 = 1776,6x = 9,4, d.h. 9,40€ pro Flasche im Einkauf

(b) Gesamter Einkaufspreis: 9,4 · (90 + 60) = 1410, 26% Gewinn

4. (a) Denk dir eine Zahl (nenne sie x), addiere 2, multipliziere mit 3, subtrahiere 4,multipliziere wieder mit 3 und addiere das 6-fache der gedachten Zahl. WelcheZahl muss man sich ursprunglich gedacht haben, um am Ende 366 zu erhalten?

(b) Denke dir ahnliche Aufgaben aus.

Quelle: Neue Schwerpunktsetzung in der Aufgabenkultur, ISB 2001

Losung: (a) ((x+ 2) · 3− 4) · 3 + 6x = 366 ⇒ 15x+ 6 = 366 ⇒ x = 24

5. Um wie viel Uhr zwischen 8 und 9 Uhr decken sich großer und kleiner Zeiger einerZeigeruhr?

Quelle: Neue Schwerpunktsetzung in der Aufgabenkultur, ISB 2001

Losung: Verschiedene Losungsmoglichkeiten:

• Aufstellen einer Gleichung:Sei x die gesuchte Minutenzahl. Der Minutenzeiger uberstreicht pro Minute 360◦ :60 = 6◦, d. h. in x Minuten 6◦ · x. Der Stundenzeiger uberstreicht pro Minute (360◦ :12) : 60 = 0,5◦, d. h. in x Minuten 0,5◦ · x. Da der kleine Zeiger um 8 Uhr gegenuberdem großen Zeiger einen Vorsprung von 8 · 30◦ = 240◦ hat, gilt die Gleichung 6◦ · x =0,5◦ · x+ 240◦, deren Losung x = 43 7

11 ist.

80

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4.3 Anwendungsaufgaben

• Aufstellen von Funktionstermen:wgr. Zeiger(x) = 6◦ · x und wkl. Zeiger(x) = 0,5◦ · x + 240◦. Das Gleichsetzen der Termefuhrt zu obiger Gleichung; alternativ bringt eine graphische Losung (mit nichttrivialerAchsenskalierung) eine Naherungslosung.

• Losung ohne Gleichung:Der große Zeiger legt pro Minute 6◦ zuruck, der kleine Zeiger 0,5◦. Der kleine Zeigerhat um 8 Uhr einen Vorsprung von 240◦. Pro Minute verringert sich der Vorsprungdes kleinen Zeigers um 5,5◦. In 240◦ : 5,5◦ = 43 7

11 Minuten hat damnach der große denkleinen Zeiger eingeholt.

6. 56 Vogel sitzen gelangweilt auf drei Baumen herum. Vor Langeweile fliegen 4 Vogelvom ersten auf den zweiten und 9 vom zweiten auf den dritten Baum. Nun sind aufdem zweiten Baum doppelt soviel Vogel wie auf dem ersten und auf dem drittendoppelt soviel wie auf dem zweiten. Wie viele Vogel saßen ursprunglich auf jedemBaum?

Losung: Anzahl der Vogel nach dem Flug auf dem ersten, zweiten, dritten Baum: x, 2x, 4x ⇒7x = 56 ⇒ x = 8;Anzahl der Vogel nach dem Flug auf dem ersten, zweiten, dritten Baum: 8, 16, 32 ⇒Anzahl der Vogel vor dem dem Flug auf dem ersten, zweiten, dritten Baum: 12, 21, 23.

7. Eine Mutter ist viermal so alt wie ihr Sohn, in acht Jahren wird sie nur noch 2,5 malso alt sein. Wie alt sind beide jetzt?

Losung: Alter der Mutter jetzt: 32 JahreAlter des Sohns jetzt: 8 Jahre

8. (a) An seinem 50. Geburtstag stellt ein Vater fest, dass seine drei Kinder zusammenebenso alt sind wie er selbst. Die Tochter ist um 6 Jahre alter als der jungsteSohn, der gerade halb so alt ist wie sein alterer Bruder. Wie alt sind die dreiKinder? Stelle fur die Losung der Aufgabe eine Gleichung auf!

(b) An seinem 60. Geburtstag stellt ein Vater fest, dass seine drei Kinder zusammenebensoalt sind wie er selbst. Die Tochter ist um 5 Jahre alter als der jungsteSohn. Der altere Sohn ist dreimal so alt wie der jungste Sohn. Wie alt sind diedrei Kinder? Stelle fur die Losung der Aufgabe eine Gleichung auf!

Losung: (a) jungster Sohn: x, Tochter x+ 6, alterer Bruder 2x, x+ (x+ 6) + 2x = 50 ⇒ jungsterSohn: 11, Tochter 17, alterer Bruder 22

(b) jungster Sohn: x, Tochter x+ 5, alterer Bruder 3x, x+ (x+ 5) + 3x = 60 ⇒ jungsterSohn: 11, Tochter 16, alterer Bruder 33

81

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4.3 Anwendungsaufgaben

9. Eine Mutter ist jetzt dreimal so alt wie ihre Tochter. In 4 Jahren wird sie achtmal soalt sein, wie ihre Tochter vor 7 Jahren war. Wie alt sind Mutter und Tochter jetzt?

Losung: Alter der Tochter: 12 Jahre, Alter der Mutter: 36 Jahre

10. Ein Vermogen von 14000€ soll an drei Kinder in folgender Weise verteilt werden: DerSohn erhalt als Ausgleich fur die Kosten seiner Ausbildung 3000€ weniger als diejungste Tochter, die altere Tochter als Entschadigung fur ihre Mithilfe im Haushalt2000€ mehr als diese.

Losung: Sohn: x− 3000€, jungste Tochter: x, altere Tochter: x+ 2000€

(x− 3000€) + x+ (x+ 2000€) = 14000€ =⇒

Sohn: 2000€, jungste Tochter: 5000€, altere Tochter: 7000€

11. Der Verdienst einer Halbtageskraft wurde einmal um ein Funfzehntel und dannnoch zweimal um je das 0,2-fache des vorigen Verdienstes erhoht und betragt jetzt852,48€. Wie groß war der Verdienst vor den Erhohungen?

Losung: x ·

(1 +

1

15

)· (1 + 0,2)2 = 852,48€

x ·16 · 122

15 · 102= x ·

16 · 144

15 · 100= x ·

16 · 12

5 · 25= x ·

192

125= 852,48€

x = 852,48€ :192

125=

852,48 · 125

192€ =

106 560

192€ = 555,-€

12. Das Gehalt von Herrn Muller wurde zweimal nacheinander um 10% erhoht und be-tragt jetzt 5154,60€. Wie hoch war es ursprunglich?

Losung: x · 1,12 = 5154,60€ =⇒ x = 4260€

13. Ein Wucherer verlangt jahrlich 20% Zins fur ausgeliehenes Geld. Wieviel hat sichSepp vom Wucherer geliehen, wenn er nach drei Jahren 63 936€ zuruckzahlen muss?

Losung: x · (1 + 20%)3 = x · 1,23 = 63936€ =⇒ x = 37000€

14. Ein Computer kostet mit 15% Mehrwertsteuer 2875€. Was kostet das Gerat mit16% Mehrwertsteuer?

Losung: Ohne MWS: x, x · (1 + 15%) = x · 1,15 = 2875€ =⇒ x = 2500€

Mit 16% MWS: y = 2500€ · 1,16 = 2900€

82

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4.3 Anwendungsaufgaben

15. Als Hausaufgabe mussten die Schuler der Klasse 6 a des Hinterwald-Gymnasiumszu einer ihnen bekannten Zahl x funf Prozent addieren. Franz und Susi fassten dienicht ganz prazise gestellte Aufgabe verschieden auf, und daher war das Ergebnis vonFranz auch um 10 großer als das Ergebnis von Susi. Wie rechneten Franz bzw. Susiund wie lautete x?

Losung: x+ 5% · x︸ ︷︷ ︸Franz

= x+ 5%︸ ︷︷ ︸Susi

+10, 5% · x = 5% + 10 = 10,05, x = 201

16. Holz verliert beim Trocknen 42% seiner Masse. Wie schwer war ein Stapel Holz imfrischen Zustand, wenn er trocken 812 kg wiegt?

Losung: x ·

(1−

42

100

)= 812 kg =⇒ x = 1400 kg

17. Bei einer Physikschulaufgabe gab es 10% Einser, 20% Zweier, 30% Vierer, 15%Funfer und 5% Sechser. Welcher Bruchteil der Schuler hatte einen Dreier? Wie großwar die Durchschnittsnote der Schulaufgabe? Wie viele Schuler haben an der Schul-aufgabe teilgenommen, wenn die Prozentangaben exakt sind (nicht gerundet)?

Losung: 20% Dreier, Durchschnitt =10 · 1 + 20 · 2 + 20 · 3 + 30 · 4 + 15 · 5 + 5 · 6

100= 3,35

Ist x die Zahl der Schuler, dann muss 5% · x ganzzahlig sein, d.h. x ist ein Vielfaches von20. Wegen x ≦ 33 ist x = 20.

18. Fritz eroffnet ein Konto bei der Bank und zahlt einen gewissen Anfangsbetrag ein.Am Ende eines Jahres wird ein Funfundzwanzigstel des momentan vorhandenen Be-trages als Zins dem Konto zugeschlagen. Nach drei Jahren betragt der Kontostand3515,20€. Welchen Betrag hat Fritz bei der Kontoeroffnung einbezahlt?

Losung: x ·

(1 +

1

25

)3

= x ·

(26

25

)3

= x ·17576

15625= 351520Cent =⇒ x = 3125€

19. Eine sehr spendable Bank zahlt am Jahresende ein Siebtel des Betrages vom Jahres-anfang als Zins. Ludwig zahlt Anfang 1996 einen bestimmten Anfangsbetrag bei derBank ein, Ende 1998 ist sein Konto auf 1024€ angewachsen. Welchen Betrag zahlteLudwig Anfang 1996 ein?

Losung: x ·

(1 +

1

7

)3

= 1024€ =⇒ x = 686€

20. Nach funf Jahren in einer Firma wird das Gehalt von Kathrin um ein Zehntel aufge-bessert, nach weiteren zwei Jahren wird das neue Gehalt um ein Zwanzigstel erhohtund drei Jahre spater gibt es eine Gehaltserhohung um ein Vierzehntel. Nach die-ser dritten Erhohung bekommt Kathrin 2475 € monatlich. Wie groß war KathrinsAnfangsgehalt?

83

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4.3 Anwendungsaufgaben

Losung: x ·

(1 +

1

10

(1 +

1

20

(1 +

1

14

)=

99

80· x = 2475€ =⇒ x = 2000€

21. Heinz-Rudiger zahlt einen Lottogewinn bei der Bank ein und laßt ihn drei Jahre dortliegen. Im ersten und im zweiten Jahr zahlt die Bank 1

15des jeweiligen Jahresan-

fangsbetrages als Zins, im dritten Jahr sogar 114. Nach dem dritten Jahr sind 1408€

auf seinem Konto. Welchen Betrag zahlte Heinz-Rudiger bei der Bank ein?

Losung: x ·

(1 +

1

15

)2

·

(1 +

1

14

)= 1408€ =⇒ x = 1155€

22. Erich zahlt eine kleine Erbschaft bei der Bank ein. Im ersten Jahr zahlt die Bank2% Zins, im zweiten Jahr 3%. Nach dem zweiten Jahr hat Erich 8825,04€ auf demKonto. Welchen Betrag hat Erich einbezahlt?

Losung: x · (1 + 2%) · (1 + 3%) = 8825,04€ =⇒ x = 8400€

23. Eine Seite eines Rechtecks hat die funffache Lange der anderen Seite, der Umfang desRechtecks ist 30 cm. Stelle den Sachverhalt in Form einer Gleichung dar und berechnedie Seitenlangen des Rechtecks.

Losung: 1. Seite: x, 2. Seite: 5x

2 · (x+ 5x) = 30 (4.1)

12x = 30

x =30

12=

5

2= 2,5

Die Seitenlangen sind 2,5 cm und 12,5 cm.

24. Die Mutter ist funfmal so alt wie ihre Tochter. Der Opa ist zehnmal so alt wie dieTochter und lebt schon um 28 Jahre mehr als Mutter und Tochter zusammen. Stelleeine Gleichung auf und berechne das Alter der drei Personen.

Losung: x ist das Alter der Tochter.

x+ 5x+ 28 = 10x

28 = 10x− x− 5x

28 = 4x

x = 7

Tochter: 7 a Mutter: 35 a Opa: 70 a

84

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5. Daten, Diagramme undProzentrechnung

5.1. Auswerten von Daten, Mittelwerte

1. Finde jeweils das passende Diagramm. Es veranschaulicht

(a) die Notenubersicht bei der vorletzten Mathematikschulaufgabe; der Notendurch-schnitt war 3,0. Wie viel Prozent der Arbeiten waren mindestens ausreichend?

(b) die Notenubersicht bei der vorletzten Mathematikschulaufgabe; der Notendurch-schnitt war besser als 3,0. Berechne die Durchschnittsnote.

(c) die Anzahl der Diagonalen eines n-Ecks. Stelle die Anzahl in einer Tabelle darund ermittle fur zwei weitere Vielecke die Anzahl der Diagonalen.

(d) Die Anzahl der Teiler naturlicher Zahlen. Gib den Bruchteil der verwendetenPrimzahlen an.

(e) die Anzahl der Ecken, Flachen und Kanten von geometrischen Grundkorpern.Finde heraus, um welche Grundkorper es sich handeln konnte.

(f) die Klassenstarken in vier funften Klassen. Berechne die durchschnittliche Klas-senstarke in der funften Jahrgangsstufe.

85

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5.1 Auswerten von Daten, Mittelwerte

Quelle: Ulrike Schatz

Losung: (a) letzte Reihe, linkes Diagramm;

(5 + 7 + 6 + 4) : (5 + 7 + 6 + 4 + 5 + 1) = 22 : 28 = 78, 6%

(b) zweite Reihe, linkes Diagramm;

(5 + 18 + 30 + 12 + 5) : (5 + 9 + 10 + 3 + 1) = 70 : 28 = 2, 5

(c) erste Reihe, rechtes Diagramm;

n 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Diog. 2 5 9 14 20 27 35 44 54

(d) erste Reihe, linkes Diagramm; 2 : 7 = 27

(e) zweite Reihe, rechtes Diagramm;

86

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5.1 Auswerten von Daten, Mittelwerte

A B C D

Wurfel Kreis Tetraeder vierseitige Pyramide

(f) dritte Reihe, rechtes Diagramm;

2. Eine 20 cm lange Kerze brennt in 12 Stunden gleichmaßig ab.

(a) Zeichne den Abbrenngraphen in ein Koordinatensystem.

(b) Welche Annahme muss man machen, damit der Graph gezeichnet werden darf.

(c) Nachfolgend sind die Abbrenngraphen von vier zylindrischen Kerzen dargestellt.Zeichne 4 Kerzen, die zu den Graphen passen, und beschreibe das Abbrennver-halten in Worten.

A B

C D

h in cm

t in min

h in cm

h in cm

h in cm

t in min t in min

t in min

Quelle: Standard Mathematik von der Basis bis zur Spitze, GrundbildungsorientierteAufgaben fur den Mathematikunterricht, Christina Druke-Noe, Dominik Leiß, Insti-tut fur Qualitatsentwicklung, Wiesbaden, 2005

Losung: (a) Diagramm:

87

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5.1 Auswerten von Daten, Mittelwerte

h in cm

t in h

10

20

6 12

(b) gleichmaßiges Abbrennen, Kerze brennt durchgehend, Kerze erlischt bei Hohe Null

(c) Kerze A und C gleich hoch, Kerze C ist dicker.

Kerze B und D gleich hoch, Kerze B ist dicker.

A

B

C

D

3. Außerirdische unter uns

Die meisten Kinder besitzen einen unerschutterlichen Glauben an außerirdische Le-bewesen. Die Diagramme zeigen das Ergebnis einer Umfrage im Marz 2004:

88

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5.1 Auswerten von Daten, Mittelwerte

(a) Wie viel Prozent er Befragten glauben gemaß obiger Diagramme an Außerirdi-sche?

◦ 20% ◦ 60% ◦ 70% ◦ 80% ◦ 90%

(b) Anna betrachtet das rechte Diagramm und stellt fest: ,,Etwa die Halfte aller Kin-

89

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5.1 Auswerten von Daten, Mittelwerte

der ist sich sicher, dass Außerirdische bereits einmal auf der Erde waren.Erklareanhand der Zahlen des rechten Diagramms, wie Anna zu dieser Aussage kommt,und erlautere, warum sie mit ihrer Aussage nicht Recht hat.

Quelle: Bayerischer Mathematik-Test fur die Jahrgangsstufe 10 der Gymnasien 2004

Losung: (a) 80%

(b) Ca. 600 Kinder antworten auf die Frage ,,Waren die Außerirdischen schon auf derErde?” mit ,,sicher”. 1200 Kinder antworten mit ,,ja” auf die Frage ,,Gibt es Außerir-dische”. Bezogen auf diese waren es in der Tat 50%.

Die Halfte aller befragten Kinder waren aber ca. (1200 + 300) : 2 = 750 Kinder!

4. Bayern hat einen Flacheninhalt von ungefahr 70 000km2.

5% dieser Flache sind so genannte Verkehrsflachen fur

Straßen, Schienenwege usw.

(a) Wie viele Quadratkilometer in Bayern sind Verkehrsflachen?

(b) Das folgenden Diagramm gliedert die Verkehrsflachen naher

auf. Wie viele Prozent der Verkehrsflachen sind uberortliche

Straßen (Autobahnen, Bundes-, Staats- und Kreisstraßen)?

(c) Die Verkehrsflachen nahmen im Jahr 2003 um 16, 47km2 zu.

Wie vielen Sportplatzen zu je 10 000m2 entspricht diese

Flache?

Bayerischer Mathematik-Test fur die Jahrgangsstufe 10 der

Gymnasien 2005

Losung: (a) 3500km2 (b) 17% (c) 1647

90

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5.1 Auswerten von Daten, Mittelwerte

5. Nachfolgende Tabelle zeigt die Durchschnittsnoten der drei Unterstufenjahrgangeeines Gymnasiums im Fach Mathematik. NU ist der Mittelwert der Mathematiknotenaller Unterstufenschuler. Berechne den Durchschnitt N5 der Mathematiknoten in derfunften Jahrgangsstufe. Stelle zuerst eine Gleichung fur N5 auf!

Jahrgangsstufe Zahl der Schuler Durchschnittsnotein Mathematik

5 110 N5 =?6 100 N6 = 3,507 90 N7 = 3,80

Unterstufe NU = 3,59

Losung:N5 · 110 + 3,5 · 100 + 3,8 · 90

110 + 100 + 90= 3,59, 110 ·N5 + 692 = 3,59 · 300

N5 =1077 − 692

110= 3,5

6. Nachfolgende Tabelle zeigt die Durchschnittsgehalter der beiden Abteilungen einerSoftwarefirma. G ist der Mittelwert der Gehalter aller Firmenangestellten.

Abteilung Zahl der Angestellten Durchschnittsgehalt in €

A 50 GA =?B 30 GB = 3200

gesamte Firma G = 2500

(a) Berechne das Durchschnittsgehalt GA in der Abteilung A unter der Annahme,dass alle Zahlen in der Tabelle exakt (nicht gerundet) sind. Stelle zuerst eineGleichung fur GA auf.

(b) Tatsachlich sind die Durchschnittsgehalter in der Tabelle auf ganze hundertEuro gerundet. Zwischen welchen kleinsten und großten Betragen liegen dietatsachlichen Werte von G und GB? Berechne den großten und kleinsten Betrag,der fur GA moglich ist. Welche, auf ganze hunderter gerundete Zahlen konntenalso in der Tabelle fur GA stehen?

Losung: (a)50 ·GA + 30 · 3200

50 + 30= 2500, 50 ·GA + 96000 = 80 · 2500 = 200 000

50 ·GA = 104 000, GA =104 000

50= 2080

(b) 3150 ≦ GB < 3250, 2450 ≦ G < 2550 =⇒

GAmin =80 · 2450 − 30 · 3250

50=

196 000 − 97 500

50=

98 500

50= 1970

91

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5.2 Prozentrechnen

GAmax =80 · 2550 − 30 · 3150

50=

204 000 − 94 500

50=

109 500

50= 2190

Mogliche Werte fur GA: 2000, 2100, 2200

5.2. Prozentrechnen

1. Handler Meier uberlegte zum Jahrewechsel 2006/2007, wie er die Anhebung desMehrwertsteuersatzes von 16% auf 19% bei seinen Preisen berucksichtigen konn-te. Am Beispiel einer Digitalkamera, die im Dezember noch fur 199 EUR angebotenwurde, rechnete er: ,,3% von 199 EUR aus, das sind 5,97 EUR, dann ergabe sich reinrechnerisch ein neuer Preis von 204,97 EUR.”

Ein Kollege erklarte ihm: ,,Nein, dein Ansatz ist falsch. Du musst folgendermaßen vor-gehen: Im Dezember kostete die Kamera einschließlich 16%Mehrwertsteuer 199 EUR,also . . . ”

Setze die Erklarung fort, so dass der Handler Meier genau weiß, welche Rechnungener ausfuhren musste. Die Rechnungen selbst brauchen nicht durchgefuhrt zu werden.

Bayerischer Mathematik Test fur die 10. Klasse, 2007

Losung: Z. B. ohne Mehrwertsteuer kostete die Digitalkamera 199EUR : 1, 16; mit 19% Mehrwert-steuer kostet sie 199EUR : 1, 16 · 1, 19

2. Butter hat einen Fettgehalt von 82%, Creme Fraiche enthalt 30% Fett. Wie vielGramm Butter enthalten die gleiche Menge Fett wie ein Becher mit 125 g CremeFraiche?

Losung: 125 g Creme Fraiche enthalten 37,5 g Fett. 45,73 g Butter enthalten die gleiche Menge Fettwie ein Becher mit 125 g Creme Fraiche.

3. Wenn alle Mitgleider in einer Gruppe einander vertrauen konnen, dann fuhlt mansich wohl und kann auch wirtschaftlich profitieren. Frau Krause bestellt nun furdie Mitglieder ihrer Gymnastikgruppe beim Versandhaus XYZ als Sammelbesteller.Dafur gibt es 5 % Rabatt auf jede Bestellung.

(a) Fur die letzte Lieferung muss Frau Krause 567,48 EUR uberweisen. Wie hochwar die Rechnungssumme vor Abzug des Rabattes?

(b) Wenn Frau Krause dem Versandhaus eine Einzugsermachtigung erteilt, gabe esnoch einmal 3% Rabatt zusatzlich. Welche Summe wurde das Versandhaus dannfur die letzte Lieferung vom Konto abbuchen?

92

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5.2 Prozentrechnen

(c) Die Damen der Gymnastikgruppe sind hoch erfreut uber dieses Schnappchen.Elfriede rechnet aus, dass sie nun mit der Einzugsermachtigung auf insgesamt 8% Rabatt kommen. Entscheiden Sie, ob Elfriede recht hat, und begrunden SieIhre Entscheidung!

Losung: (a) 597,35 EUR

(b) 550,46 EUR

(c) Elfriede hat nicht recht. Ein Rabatt von 8 % auf den in a) berechneten Grundwertergibt 549,56 EUR. Der Rabatt ist also kleiner als 8 %.

4. Anna mischt 0,2 Liter Traubensaft und 0,3 Liter Wasser zu einer Traubenschorle.

(a) Wie viel Prozent der Schorle sind Traubensaft?

(b) Wie viele Liter Traubensaft braucht Anna, wenn sie nach obigem Mischungs-verhaltnis 30 Liter Traubenschorle fur die Unterstufenparty zubereiten will?

(c) Annas Klasse verkauft auf der Party die gesamten 30 Liter Traubenschorle inBechern zu je 0,2 Liter. Ein Becher Traubenschorle wird fur 40 Cent verkauft.Wie viel nimmt die Klasse ein?

Bayerischer Mathematik-Test fur die Jahrgangsstufe 8 der Gymnasien 2005

Losung: (a) 40% (b) 12 Liter (c) 60 EUR

5. Hans verdient um 40% weniger als Eva, Karin verdient um 45% mehr als Hans.

(a) Um wieviel Prozent verdient Karin mehr oder weniger als Eva?

(b) Um wieviel Prozent verdient Eva mehr oder weniger als Karin?

Losung: (a) Karin verdient um 13% weniger als Eva.

(b) Eva verdient um 148287 % mehr als Karin.

6. Bei der Produktion von Gameboys durchlaufen die Gerate nacheinander zwei Qua-litatskontrollen. Bei der ersten Kontrolle werden 2% aussortiert, bei der zweiten Kon-trolle werden 0,5% als schlecht befunden.Wieviele Gameboys werden ausgeliefert, wenn in der Produktion mit 10000 Geratenbegonnen wird?

Losung: 10000 · (1− 0,02) · (1− 0,005) = 9751

93

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5.2 Prozentrechnen

7. Familie Maier zahlt fur eine Wohnung monatlich 620 € Miete. Drei Jahre nach demEinzug wird die Miete um 10% erhoht und nach weiteren zwei Jahren um 15% desvorher erhohten Mietpreises.

(a) Wie hoch war der Mietpreis nach der 2. Erhohung?

(b) Die Familie Maier wohnt heute sechs Jahre in der Wohnung. Wie viel Miete hatsie in diesen sechs Jahren gezahlt?

Losung: (a) 110% von 620€= 620€·1, 1 = 682€

115% von 682€= 682€·1, 15 = 784,30€

Nach der zweiten Mieterhohung zahlt die Familie Maier monatlich 784,30€.

(b) 620€·12 · 3 + 682€·12 · 2 + 784,30€·12 = 48099,60€

In den sechs Jahren zahlt die Familie Maier 48099,60€ Miete.

8. Bei einer Parlamentswahl gaben 75% der insgesamt 18 Millionen Wahlberechtigtenihre Stimme ab. Der Verteilung der abgegebenen Stimmen kann aus dem folgendenDiagramm ermittelt werde:

Partei A

Partei B

Partei C

Im Rahmen der Diskussion des Wahlergebnisses ist daruber auch von Interesse, wieviel Prozent aller Wahlberechtigten eine Partei gewahlt haben. Ermittle diesen Wertfur Partei B.

Quelle: Bayerischer Mathematik-Test 1999

Losung: 25%

9. Eine Strecke wird zunachst um 50% verlangert und anschließend um 50% gekurzt.

Tim behauptet, dass man am Ende wieder die Lange der ursprunglichen Streckeerhalt. Nimm dazu Stellung.

94

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5.2 Prozentrechnen

Quelle: Standard Mathematik von der Basis bis zur Spitze, GrundbildungsorientierteAufgaben fur den Mathematikunterricht, Christina Druke-Noe, Dominik Leiß, Insti-tut fur Qualitatsentwicklung, Wiesbaden, 2005

Losung: Z. B.: Die Behauptung ist falsch. Bei der Verlangerung bildet die ursprungliche Streckenlangeden Grundwert, bei der Verkurzung ist es aber die Lange der verlangerten Strecke.

10. (a) Lose die Formel P = p

100· G zur Berechnung des Prozentwerts nach der Proz-

entzahl bzw. dem Grundwert G auf.

(b) Berechne den Prozentwert fur G = 780€ und p = 13.

(c) Berechne den Prozentsatz fur P = 88,20€ und G = 1470€.

(d) Berechne den Grundwert fur P = 96 kg und p = 7,5

(e) Der Preis fur eine Tute Gummibarchen wurde von 1,40€ auf 1,75€ erhoht. Umwie viele Prozent ist der Preis gestiegen?

(f) Bei einemWaschmittelpaket wurde die Fullmenge um 12% vergroßert. Es enthaltjetzt 0,6 kg mehr als vorher. Wie viel ist in der neuen Packung?

(g) Ein Platinwurfel mit dem Volumen 8,0 cm3 wiegt 172 g. Die Masse eines gleichgroßen Goldwurfels ist um 10% geringer. Welche Masse (auf Gramm genau) hatein Goldwurfel der Kantenlange 1,0 cm?

(h) Herr K. bekommt ein Gehalt von 3200€. Wie viel verdient er nach einer Ge-haltserhohung bzw. Gehaltssenkung von 4%?

(i) Die Aktie der Firma Net kostet zu Jahresbeginn 56€. Ihr Kurs ist seitdem um175% gestiegen. Was kostet die Aktie nun?

(j) Die Einwohnerzahl einer Stadt ist im vergangenen Jahr um 8% auf 48600 ge-stiegen. Wie viele Einwohner hatte die Stadt vor einem Jahr?

(k) Ein Computer kostet laut Preisliste 1700€. Hinzu kommen noch 16% Mehr-wertsteuer. Bei Barzahlung erhalt der Kunde allerdings 3% Rabatt. Wie hochist die Rechnung?

Losung:

a) G = 100p

· P , p = 100 · PG

b) P = 101,4€ c) p = 6

d) G = 1280 kg e) 25% f) 5,6 kgg) 19 g h) 3328€, 3072€ i) 154€

j) 45000 k) 1912,84€

11. Beim Wechseln eines 50-€-Scheins werden 60% des Betrags in 5-€-Scheinen aus-gezahlt. Der Rest in 1-€- und 2-€-Munzen. Insgesamt bekommt man 19 Munzen.Berechne die Anzahl der Munzen und die Betrage.

Losung: 6 5-€-Scheine (30 €) , 18 1-€-Munzen (18 €), 1 2-€-Munze (2€)

95

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5.2 Prozentrechnen

12. Der Preis von Apfeln wird um 20% des bisherigen Preises gesenkt. Da die Apfel zudem abgesenkten Preis reißenden Absatz finden, beschließt der Handler, diese Apfelwieder zu dem hoheren alten Preis zu verkaufen. Wieviel Prozent des abgesenktenPreises betragt die Erhohung auf den alten Preis?

Losung: Der abgesenkte Preis betragt 80% des ursprunglichen Preises.

ursprunglicher Preis

abgesenkter Preis=

100%

80%= 1,25 = 125%

Der abgesenkte Preis muss um 25% erhoht werden, um den alten Preis zu erzielen.

13. Bei einem Sonderangebot erhalt man 20% Preisnachlass gegenuber dem Normalpreis.Bei Barzahlung erhalt man noch einmal 5% Nachlass auf den Sonderangebotspreis.

Wie viel Prozent des Normalpreises spart ein Kaufer, der vom Sonderangebot Ge-brauch macht und bar bezahlt?

Losung: Sonderangebotspreis = 80% des Normalpreises = 0,8 · Normalpreis

Barpreis = 95% des Sonderangebotspreises = 0,95 · Sonderangebotspreis

Barpreis = 0,8 · 0,95 ·Normalpreis = 0,76 ·Normalpreis

Der Kaufer spart bei Barzahlung des Sonderangebotes 24% des Normalpreises.

14. Simmerl und Resi spielen mit dem gleichen Anfangsbetrag Roulette. Nach dem Spielhat Resi 36% ihres Anfangsbetrages gewonnen und Simmerl 15% seines Anfangsbe-trages verloren.Um wieviel Prozent besitzt jetzt Resi mehr als Simmerl?Um wieviel Prozent besitzt jetzt Simmerl weniger als Resi?

Losung: R = 1,36 ·A, S = 0,85 ·AR = 1,6 · S, d.h. Resi hat um 60% mehr als Simmerl.S = 0,625 · R, d.h. Simmerl hat um 37,5% weniger als Resi.

15. Wieviel Prozent Zins verlangt eine Bank pro Jahr, wenn eine anfangliche Schuld von25 000€ in zwei Jahren auf 30 250€ angewachsen ist?

Losung: 25 000 · (1 + x%)2 = 30250 =⇒ x% = 10%

16. (a) 1900 lebten in Europa ungefahr 2,97 · 108 Menschen, das waren 18% der dama-ligen Weltbevolkerung. Wie viele Menschen lebten 1900 auf der Erde?

(b) 1988 lebten 5,115 · 109 Menschen auf der Erde, die Zahl der Europaer betrug92131% davon. Um wieviel Prozent stieg die Weltbevolkerung von 1900 bis 1988?

Um wieviel Prozent stieg im gleichen Zeitraum die europaische Bevolkerung?

96

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5.2 Prozentrechnen

Losung: (a) 1,65 · 109

(b) 1900 1988 Steigerung

Welt 1,65 · 109 5,115 · 109 210%Europa 2,97 · 108 4,95 · 108 662

3 %

17. Harry fliegt auf seinem neuen Feuerblitz in der Hohe H uber dem Quidditch-Feld.Um einem Klatscher auszuweichen, sinkt er plotzlich um 10% seiner Hohe und steigtdann gleich wieder um 10% der neuen Hohe. Nach diesem Flugmanover schwebt er23,76m uber dem Feld.

(a) Berechne Harrys anfangliche Flughohe H .

(b) Um wieviel Prozent ist die Endflughohe Harrys kleiner als seine Anfangsflughohe?

Losung: (a) H · (1− 10%) · (1 + 10%) = H · 0,9 · 1,1 = 23,76m =⇒ H = 24m

(b) 23,76 = 0,99 ·H = (1− 1%) ·H =⇒ um 1% kleiner

18. Eine Partei erhalt bei einer Wahl x Punkte, wenn sie x% der abgegebenen Wahler-stimmen erhalt.Bei der Wahl 1990 erhielt die Partei der

”Farblosen“ 60 Punkte. Bei der Wahl 1994

schrumpfte die Punktzahl der Farblosen um 5% gegenuber der Wahl 1990. WievielLeute wahlten im Jahre 1994, wenn die Farblosen bei dieser Wahl 17 100 000 Stimmenerhielten?

Losung: 1994 hatten die Farblosen 57 Punkte und es gingen 30 000 000 Leute zur Wahl.

19. Wieviel Prozent Zins verlangt eine Bank pro Jahr, wenn eine anfangliche Schuld von36 000€ in zwei Jahren auf 51 840€ angewachsen ist?

Losung: 36 000 · (1 + x)2 = 51840, (1 + x)2 = 1,44, x = 0,2 = 20%

20. Simmerl und Resi kauften in einem Supermarkt in der Stadt Wein zum gleichenEinkaufspreis pro Flasche. Simmerl kaufte 90 Flaschen und Resi 60 Flaschen. Inihrem Dorf verkauften sie den Wein wieder. Simmerl verdiente dabei 30% und Resi20% des jeweiligen Einkaufspreises. Fur alle Weinflaschen zusammen zahlten dieDorfbewohner 1776,60€.

(a) Was kostete eine Flasche Wein im Einkauf?

(b) Nach Beendigung des Geschaftes legten Simmerl und Resi ihre Einkunfte in einegemeinsame Kasse. Wieviel Prozent des Einkaufspreises verdienten sie zusam-men?

Losung: (a) x · 90 · (1 + 30%) + x · 60 · (1 + 20%) = x · 189 = 1776,6x = 9,4, d.h. 9,40€ pro Flasche im Einkauf

97

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5.2 Prozentrechnen

(b) Gesamter Einkaufspreis: 9,4 · (90 + 60) = 1410, 26% Gewinn

21. Nach wie vielen Jahren ist ein Kapital bei einer jahrlichen Verzinsung mit 10% geradeauf etwas mehr als das Doppelte angewachsen? Auf welchen Betrag wachsen 10000€

in zehn Jahren beim gleichen Zinssatz an?

Losung: Jedes Jahr wachst das Kapital um den Faktor 1 + 10% = 1,1.

n 2 3 4 5 6 7 8

1,1n 1,21 1,331 1,4641 1,61051 1,771561 1,9487171 2,14358881

Nach 8 Jahren. 10 000 · 2,14358881 · 1,21 ≈ 25937,42

22. Abgezinster Sparbrief

Du bezahlst fur einen sogenannten abgezinsten Sparbrief 4179,35 Euro, wobei einZinssatz von 7,5% und eine Laufzeit von 5 Jahren vereinbart werden. Welchen Betragerhaltst du nach den 5 Jahren zuruck?

Zeitraum Zinsen Kapitalin Euro in Euro

0 0 4179,351 313,45 4492,802 336,96 4829,763 362,23 5191,994 389,40 5581,395 418,60 6000,00

Versuche, diese Rechnung nachzuvollziehen!

Quelle: Christoph Hammer, Max-Born-Gymnasium, Germering

Losung:

23. Hypothekenkredit

Jemand leiht sich 100000 Euro von der Bank, um zusammen mit seinem Ersparteneine Wohnung zu kaufen. Es werden folgende Bedingungen vereinbart:

Auszahlung 100% (also kein Disagio); Zinssatz: 10%; Anfangstilgung 1%

(a) Berechne die ,,Annuitat”, das ist die feste Jahresrate.

(b) Berechne den Jahreszins, die Tilgung und die Restschuld nach den ersten funfJahre.

(c) In folgender Tabelle ist der Jahreszins, die Tilgung und die Restschuld nach 10,15, 20 und 25 Jahren aufgefuhrt.

98

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5.2 Prozentrechnen

Zeitraum Jahreszins Tilgung Restschuldin Jahren in Euro in Euro in Euro

10 8642,05 2357,95 84062,5815 7202,50 3797,50 68227,5220 4884,09 6115,91 42725,0025 1150,27 9849,73 1652,94

Stelle den Jahreszins, die Tilgung und die Restschuld in einem Diagramm dar.

(d) Erklare, warum der Jahreszins von Jahr zu Jahr abnimmt und die Tilgungzunimmt.

Quelle: Christoph Hammer, Max-Born-Gymnasium, Germering

Losung: (a) 11% · 100000 Euro = 11000 EuroDavon sind 10%, also 10000 Euro Zinsen und 1%, also 1000 Euro Tilgung.

(b)Zeitraum Jahreszins Tilgung Restschuldin Jahren in Euro in Euro in Euro

1 10000 1000 99000

2 9900 1100 97900

3 9790 1210 96690

4 9669 1331 95359

5 9535,90 1464,10 93894,90

24. Susi, Heidi und Eva besitzen zusammen 134,82€, wobei Heidi um 15% mehr alsSusi und Eva um 48% mehr als Heidi besitzt. Berechne die Reichtumer der dreiSchonen!

Losung: Susi: 35€ Heidi: 40,25€ Eva: 59,57€

25. 12 Liter 4%-ige Salzlosung werden mit 18 Liter 6%-ger Salzlosung gemischt. WelchenProzentgehalt an Salz hat die Mischung? Gliedere deine Rechnung ubersichtlich!

Losung: 1. Losungsschritt: Bestimmung der Salzmenge in den beiden Bestandteilen:4% von 12 l = 12 l · 0,04 = 0,48 l

6% von 18 l = 18 l · 0,06 = 1,08 l

0,48 l + 1,08 l = 1,56 l

2. Losungsschritt: Bestimmung des Prozentgehaltes der Mischung

1,56 l

30 l= 0,052

Die Mischung hat einen Salzgehalt von 5,2%.

99

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5.2 Prozentrechnen

26. Aus 6%-iger Salzlosung soll durch Zugießen von destilliertem Wasser 120 Liter 2%-geSalzlosung hergestellt werden. Wie viel Liter 6%-ige Salzlosung und wie viel Literdestilliertes Wasser braucht man?

Losung: Benotigte Salzmenge: 2% von 120 l = 120 l · 0,02 = 2,4 l

Benotigte Menge L an 6%-iger Salzlosung:

L

2,4 l=

100%

6%L = 2,4 l ·

100

6= 40 l

Benotigte Menge an destilliertem Wasser: 120 l − 40 l = 80 l

27. Zum Gurgeln verordnet der Arzt Herrn Heiser eine 2,2%-ge Salzlosung. Diese stellter sich aus 11%-ger Sole (hochkonzentrierte Salzlosung) und reinem Wasser her.

Wie viel 2,2%ige Salzlosung kann sich Herr Heiser aus 25ml Sole herstellen? Wie vielreines Wasser muss er zugießen?

Losung: Salzgehalt von 25ml Sole:

11% von 25ml = 25ml · 0,11 = 2,75ml

Die gesuchte Menge an 2,2%-ger Salzlosung enthalt also 2,75ml reines Salz.

Menge an Losung

2,75ml=

100%

2, 2%

Menge an Losung = 2,75ml ·100

2,2= 125 ml

Aus 25ml Sole stellt er 125ml 2,2%-ger Losung her. Zu diesem Zweck gibt zu den 25mlSole noch 100ml reines Wasser dazu.

28. (a) Die Schneehohe, die am Abend 88 cm betragt, wachst in der Nacht um 12,5%.Wie hoch liegt der Schnee am nachsten Morgen?

(b) Im Laufe des Tages sinkt der Pegel eines Hochwasser fuhrenden Flusses von480 cm auf 408 cm. Um wieviel Prozent ist der Pegelstand gesunken?

(c) Nach einer Erhohung um 10 Prozent betragt das Gehalt von Max 2706€. Wie-viel verdiente Max vor der Gehaltserhohung?

Losung: (a) 88 cm · 1,125 = 99 cm

(b) x% · 480 = 480 − 408 = 72, x% =72

480· 100% = 15%

(c) x · 1,1 = 2706€, x =2706€

1,1= 2460€

100

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5.2 Prozentrechnen

29. Ein MP3-Player kostet mit 16% Mehrwertsteuer 58,00€ (alter Preis). Was kostetdas gleiche Gerat mit 18% Mehrwertsteuer (neuer Preis)? Um wieviel Prozent ist derneue Preis großer als der alte Preis? Runde das Ergebnis auf zehntel Prozent.

Losung: Ohne MWSt.: x · (1 + 16%) = x · 1,16 = 58€ =⇒ x =58€

1,16= 50€

Mit 18% MWSt.: 50€ · (1 + 18%) = 50€ · 1,18 = 59€

58 · (1 + p%) = 59 =⇒ p% =59

58− 1 =

1

58=

100%

58≈ 1,7%

30. Ein Metzger, der schnell reich werden wollte, erhohte den Preis seiner Weißwurste um20%. Da das Geschaft aber drastisch zuruckging, beauftragte er seine Verkauferin, denteuren Wurstpreis wieder um 20% zu senken. Entscheide zunachst ohne Rechnung, obder neue Wurstpreis kleiner oder großer als der ursprungliche Preis vor der Erhohungist und begrunde deine Antwort. Berechne, um wieviel Prozent der neue Wurstpreisvom ursprunglichen Preis abweicht.

Losung: Die 20% bei der Preissenkung beziehen sich auf den hoheren Preis, d.h. die Senkung istgroßer als die Erhohung =⇒ der neue Preis ist kleiner als der ursprungliche Preis.

n = (1 + 20%)(1 − 20%)u = 1,2 · 0,8u = 0,96u = (1− 4%) · u

Der neue Preis ist um 4% kleiner als der ursprungliche Preis.

101

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6. Dreiecke

6.1. Kongruenz

6.1.1. Begriff der Kongruenz

1. Dies ist Platzhalter fur eine SMART-Aufgabe. Wird demnachst eingefugt.

Losung: –

6.1.2. Kongruenzsatze fur Dreiecke, grundlegende Konstruktionen

1. Von einem Viereck kennt man die Langen der Seiten AB = AD = 4 cm und

BC = DC = 6 cm. Warum sind die Dreiecke △ABC und △ADC kongruent?

Losung: Dreiecke △ABC und △ADC sind kongruent nach SSS.

2. Von einem Viereck ABCD kennt man die Langen der Seiten:

AB = AD = 4 cm und BC = DC = 6 cm.

M ist der Schnittpunkt der Strecken [AC] und [BD].

(a) Warum sind die Dreiecke △ABC und △ADC kongruent?

(Gib die gleich großen Stucke und den zugehorigen Kongruenzsatz an!)

(b) Warum sind die Dreiecke △ABM und △ADM kongruent?

(Gib die gleich großen Stucke und den zugehorigen Kongruenzsatz an!)

(c) Warum ist AC die Mittelsenkrechte der Strecke [BD]?

Losung: (a) AB = AD, BC = DC, AC = AC, ⇒ Dreiecke kongruent nach SSS

(b) AB = AD, AM = AM, <) MAD =<) BAM, wegen (a) =⇒ Dreiecke kongruent nachSWS

3. Dreiecke

Konstruiere ein Dreieck △ABC aus den gegebenen Großen. Bestimme durch Messendie ubrigen Großen. Kontrolliere die Winkelgroßen mit Hilfe des Winkelsummensat-zes.

102

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6.1 Kongruenz

(a) a = 5 cm, b = 4cm cm, γ = 67◦

(b) c = 9 cm, a = 6 cm, γ = 53◦

(c) a = 4,5 cm, β = 57◦, γ = 43◦

(d) a = 7 cm, b = 5 cm, c = 4 cm

Aus welchen der vier Kongruenzsatze folgt, dass alle Losungsdreiecke mit den gege-benen Großen kongruent zueinander sind? Miss auch die Hohen im Dreieck.

Anregungen zum Offnen der Aufgabe:

(a) Angaben weglassen (unterbestimmte Aufgabe)

(b) ein vorgegebenes Dreieck auf verschiedene Arten konstruieren (uberbestimmteAufgabe)

(c) In welchen Fallen ist es nicht moglich, ein Dreieck zu konstruieren?

Losung: offen

4. Gegeben sind die kongruenten Dreiecke △HUB und △ERT, genauer gilt

△HUB ∼= △ERT.

(a) Zeichne eine Uberlegungsfigur der beiden Dreiecke, wobei entsprechende Seitenund Winkel in gleichen Farben zu zeichnen sind. Suche zu jeder der folgendenGroßen die entsprechende Große im anderen Dreieck:

HU, UB, ET , <) BUH, <) RET, <) ETR, <) HUB

(b) Welche der folgenden Schreibweisen ist richtig:

△BUH ∼= △RET, △UHB ∼= △RET, △TER ∼= △BUH

Losung: (a) HU = ER, UB = RT

ET = HB

<) BUH =<) TRE

<) RET =<) UHB

<) ETR =<) HBU

<) HUB =<) ERTU

B T

R

E

H

(b) △BUH ∼= △RET(falsch), △UHB ∼= △RET(richtig)

△TER ∼= △BUH(falsch)

103

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6.1 Kongruenz

5. Nebenstehende Figur ist nicht

maßstabsgetreu. Es gilt:

△KAS ∼= △WAS ∼= △SER

sowie KA = 5 cm, ER = 4 cmund SW = 3 cm.Wie lang sind die anderen ge-zeichneten Strecken? Zeichnungmit farblicher Kennzeichnungentsprechender Großen! A

K S

R

E

W

Losung: KA = WA = SE = 5 cm

SK = SW = SR = 3 cm

SA = ER = 4cm

6. Von zwei kongruenten Dreiecken △MPD und △IER kennt man die BeziehungenMP = RE und PD = EI. Fertige eine Skizze der beiden Dreiecke mit farbiger Kenn-zeichnung entsprechender Strecken und erganze:

△MPD ∼= △���

Losung: △MPD ∼= △REI

7. Fur die Dreiecke △CDU und△DSP gilt:

c = s, d = p, und u = d′

Welche Winkel sind gleich?Schreibe die Kongruenz derDreiecke richtig hin (richtigeReihenfolge der Punkte).

DC

US

P

µ

π

γ δ

σ

φ

d c p

d’

su

Losung: γ = σ, δ = π, µ = ϕ, △CDU ∼= △SPD

104

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6.1 Kongruenz

8. Fur die Dreiecke △CDU und△DSP gilt:

c = s, d = p, und u = d′

Welche Winkel sind gleich?Schreibe die Kongruenz derDreiecke richtig hin (richtigeReihenfolge der Punkte).

DC

US

P

µ

π

γ δ

σ

φ

d c p

d’

su

Losung: γ = σ, δ = π, µ = ϕ, △CDU ∼= △SPD

9. Welche Strecken und Winkel sindgleich, wenn die beiden Drei-ecke kongruent sind? Schreibedie Kongruenz der Dreiecke rich-tig hin (richtige Reihenfolge derPunkte).

A

B

S

D

C

Losung: <) BSA =<) CSD (Scheitelwinkel) =⇒ BA = CD, BS = SC, AS = SD

△ASB ∼= △DSC

10. Die beiden Dreiecke sind kongru-ent. Skizziere fur jede Teilaufgabedie beiden Dreiecke und markie-re entsprechende Großen mit glei-cher Farbe. Gib alle einander ent-sprechenden Seiten, Winkel undPunkte an und schreibe die Kon-gruenz der Dreiecke richtig hin(richtige Reihenfolge der Punkte).

C

b

α

βA

c

B

a

γ

D

E

Fd

e

f

ε

φ

δ

(a) a = d und b = f (b) α = δ und γ = ε(c) C =E und b = d (d) A = E und B =F(e) c = e und β = ϕ

Losung: (a) a = d b = f c = e α = δ β = ϕ γ = ε A=D B=F C =E(b) a = d b = f c = e α = δ β = ϕ γ = ε A=D B=F C =E(c) a = f b = d c = e α = ϕ β = δ γ = ε A=F B =D C =E(d) a = e b = f c = d α = ε β = ϕ γ = δ A=E B =F C =D(e) a = d b = f c = e α = δ β = ϕ γ = ε A=D B=F C =E

105

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6.1 Kongruenz

11. Im nebenstehend gezeichneten Dreieck gilt a = bund AD = DB. Die Figur enthalt zwei kongruen-te Dreiecke. Schreibe die Kongruenz dieser Drei-ecke richtig hin und begrunde genau, warum die-se Kongruenz gilt. Welche Beziehung besteht zwi-schen α und β? Wie groß sind die Winkel <) CDAund <) BDC?Fasse die Ergebnisse in einem prazisen mathema-tischen Satz zusammen.

A B

a

D

βα

b

C

Losung:

a = b

CD = CD

AD = DB

=⇒ △ADC ∼= △BDC (sss)

=⇒ α = β, <) CDA︸ ︷︷ ︸ϕ

= <) BDC︸ ︷︷ ︸δ

δ + ϕ = 2ϕ = 180◦ =⇒ ϕ = δ = 90◦

In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich und die Seitenhalbierendeder Basis ist zugleich Hohe.

12. Zeichne fur jede Teilaufgabe ei-ne Uberlegungsfigur mit farbi-ger Kennzeichnung entsprechen-der Großen. Entscheide, ob diebeiden Dreiecke kongruent sindund schreibe gegebenenfalls dieKongruenz richtig hin (richtigeReihenfolge der Punkte). Gib imFall der Kongruenz auch den ver-wendeten Satz an.

A’

B’

C’

b’

a’

c’α

γ

β’

’C

b

α

βA

c

B

a

γ

(a) a = a′; b = b′; γ = γ′ (b) a = a′ = 6 cm; b = b′ = 7 cm; α = α′

(c) a = b′; b = a′; β = β ′ (d) a = b′; b = a′; γ = γ′

(e) b = a′; α = γ′; γ = β ′ (f) a = a′; β = β ′; γ = γ′

(g) b = a′; c = b′; α = γ′ (h) a = c′ = 4 cm; c = a′ = 7 cm; γ = α′

(i) b = b′; α = γ′; γ = α′ (k) c = b′; α = β ′; β = γ′

(l) b = c′; a = b′; γ = α′ (m) c = c′; b = a′; α = β ′

(n) a = a′; β = β ′; γ = α′ (o) a = c′; γ = α′; β = β ′

Losung: (a) △ABC ∼= △A’B’C’ (sws) (b) muss nicht kongruent sein (ssw)(c) nicht kongruent (d) △ABC ∼= △B’A’C’ (sws)(e) △ABC ∼= △C’A’B’ (wsw) (f) △ABC ∼= △A’B’C’ (wsw)(g) △ABC ∼= △C’A’B’ (sws) (h) △ABC ∼= △C’B’A’ (ssW)(i) △ABC ∼= △C’B’A’ (wsw) (k) nicht kongruent(l) △ABC ∼= △B’C’A’ (sws) (m) △ABC ∼= △B’A’C’ (sws)(n) nicht kongruent (o) △ABC ∼= △C’B’A’ (wsw)

106

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6.1 Kongruenz

13. Die nebenstehend gezeichnete Fi-gur ist nicht maßstabsgetreu. DiePunkte C, D und H sowie B,D und G liegen jeweils auf einerGeraden. Welche Dreiecke sindkongruent? Gib eine genaue Be-grundung deiner Antwort unterBerufung auf die Kongruenzsatze. 60o 30o

30o

60o

60o

A B

C

D

E

F

G

H

3

4

42

3

2

4

Losung:

<) HDG =<) CDB (Scheitelw.)

DG = BD = 4<) DGH =<) DBC = 60◦

=⇒ △BDC ∼= △GDH (wsw)

=⇒ BC = GH = 2=⇒ △ABC ∼= △GDF (sss)

Keines der Dreiecke ist zu △BED kongruent.

14. Zeichne die Punkte A(1|2), B(5|1), C(7|3) und D(3|6) in ein Koordinatensystem mitder Einheit 1 cm.

(a) Konstruiere das Dreieck △EFG mit e = BC, f = CD und g = AC.

(b) Konstruiere das Dreieck △RST mit r = AB, t = AC und =<) SRT =<) BDC.

(c) Konstruiere das Dreieck △UVW mit w = AB, α =<) WVU =<) BAD und

β =<) VUW =<) CBD.

Losung:

A

C

D

R

T

T

S

1

2

F

G

δ

α

β

δ

β

U

V

W

B

E AC

BCCD

AC

AB

AB

α

15. Mittenwald (M), Wallgau (W) und Partenkirchen (P) bilden ein Dreieck mit den Sei-tenlangen MP = 13 km und MW = 9km und dem Winkel <) WMP = 75◦. Bestimmedurch eine Konstruktion im Maßstab 1 : 200 000 die Entfernung WP.

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6.2 Besondere Dreiecke

Losung: Konstruktion: MP = 6,5 cm, MW = 4,5 cm =⇒ WP = 6,9 cm

WP = 6,9 cm · 200 000 = 13,8 km

6.2. Besondere Dreiecke

6.2.1. gleichschenkliges und gleichseitiges Dreieck

1. Zeichne die Punkte A(1|1), B(6|1), C(3,5|6) und D(6|5) in ein Koordinatensystem.Welche der Bezeichnungen spitzwinklig, rechtwinklig, stumpfwinklig und gleichschenk-lig trifft jeweils auf eines der vier Dreiecke zu, die durch A, B, C und D gegebensind?

Losung: △ABC : spitzwinklig und gleichschenklig△ABD : rechtwinklig△ADC : stumpfwinklig△BDC : stumpfwinklig

2. Uber dem Quadrat ABCD wird das gleichseitige Dreieck △DCE errichtet. DerPunkt E liegt dabei außerhalb des Dreiecks.

(a) Beschreibe, wie man den Punkt E mit Zirkel und Lineal konstruiert.

(b) Wie groß ist der Winkel δ =<)ADE?

(c) Berechne die Große des Winkels ε =<)AEB.

(d) Nun wird im Quadrat ABCD das gleichseitige Dreieck △DFC errichtet. DerPunkt F liegt dabei innerhalb des Dreiecks. Berechne die Große des Winkelsε′ =<)AFB

nach Bayerischer Mathematik-Test fur die Jahrgangsstufe 8 der Gymnasien 2005

Losung: (a) E liegt auf dem Kreis um D mit Radius AB und auf dem Kreis um C mit Radius ABaußerhalb des Quadrats.

(b) δ = 90◦ + 30◦ = 150◦

(c) ε = 60◦ − 2 · (180◦ − δ) : 2 = 30◦

(d) <)ADF = 30◦, <)DFA = (180 − 30) : 2 = 75◦, ε′ = 360◦ − 60◦ − 2 · 75◦ = 150◦

3. (a) Konstruiere ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis AB = 5cm und derHohe hc = 6cm. Beschreibe die Konstruktion in Worten.

(b) Die Flache des gleichschenkligen Dreiecks lasst sich leicht ermitteln: Man schnei-det es entlang der Hohe hc auseinander und fugt die beiden Teildreiecke zu einemRechteck zusammen, das die gleiche Flache hat wie das ursprungliche Dreieck.

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6.2 Besondere Dreiecke

i. Erganze das 2. Teildreieck rechts in der (nicht maßstabsgetreuen) Skizze,um zu zeigen, was oben gemeint ist.

ii. Berechne die Flache des Rechtecks, die ja gleich der Flache des ursprungli-chen Dreiecks ist.

iii. Begunde, ob auch der Umfang des Rechtecks gleich dem Umfang des ur-sprunglichen Dreiecks ist.

Quelle: Neue Schwerpunktsetzung in der Aufgabenkultur, ISB 2001

Losung: (a) Verschiedene Moglichkeiten, z. B:A und B sind Endpunkte der Strecke [AB], mit AB = 5cm.

C liegt auf der Mittelsenkrechten von [AB] und auf der Parallele zu AB mit demAbstand 6cm.

(b) i.

ii. A = 2,5cm · 6cm = 15cm2

iii. Dreieck: Umfang = AB + 2ACRechteck: Umfang = AB + 2hcDa hc < AC ist, ist der Umfang des Dreiecks großer als der des Rechtecks.

4. Das ist ein Bild der Nationalflagge der Tschechischen Republik.

A

D C

F

B

E

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6.2 Besondere Dreiecke

Es gilt: AD = EF = 4 cm und ∢DEA = 52,8◦.

(a) Berechne auf verschiedenen Weise das Maß des Winkels BAE auf eine Stellenach dem Komma.

[ Ergebnis: ∢BAE = 26,4◦ ]

(b) Zeichne die Figur auch mit dem Ergebnis der Aufgabe (a).

(c) Welche besondere Eigenschaft hatte das Dreieck DAE, wenn ∢AED = 300◦

ware?

Losung: (a)

D

A

F

C

B

G Ε

1. Moglichkeit:Die Strecke GE liegt auf der Halbierenden des Winkels DEA.⇒ ∢GEA = ∢BAE(Wechselwinkel) = 52,8◦ : 2 = 26,4◦.2. Moglichkeit: Das Dreieck AED ist gleichschenklig mit der Basis [AD].⇒ ∢EAD = (180◦ − 52,8◦) : 2 = 63,6◦ und ∢BAE = 90◦ − 63,6◦ = 26,4◦.

(b) –

(c) Es wurde gelten: ∢DEA = 60◦. Weil aber das Dreieck AED schon gleichschenklig ist,muss jetzt es sogar gleichseitig sein.

5. Von einem Dreieck ABC weiß man:

(a) a = 5 cm, α = 65◦ und γ = 50◦

(b) a = b und β = 60◦

Fertige jeweils fur den Fall (a) und fur den Fall (b) eine Planfigur an. Begrunde damitdie besonderen Eigenschaften dieser Dreiecke.

Losung: (a) Es ist ein gleichschenkliges Dreieck.(b) Es ist ein gleichseitiges Dreieck.

6. In einem gleichschenkligen Dreieck △ABC mit Spitze C ist γ = 96◦. Unter welchemWinkel ǫ schneiden sich wα und hc.Fertige eine Skizze und rechne.

Losung: wα und hc schneiden sich unter einem Winkel von 69◦.

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6.2 Besondere Dreiecke

7. Berechne den Flacheninhalt eines Parallelogramms ABCD mit

α =<) BAD = 45◦ und a = AB,

das von seiner kurzeren Diagonalen in zwei gleichschenklige Dreiecke mit der Schen-kellange a zerlegt wird!

Losung: a = AB = BD, <) DBA = 90◦ ⇒ A = a2

8. Welche Dreiecke der nebenstehenden,nicht maßstabsgetreu gezeichneten Fi-gur sind kongruent? Begrunde die Kon-gruenz(en) mit Angabe des verwende-ten Kongruenzsatzes.

3

3

F

I 2

αβ

22

γ

δR

Z

T

E2

3

P

Losung: △RZP ist gleichschenklig =⇒ β = γ =⇒ α = β = γ = δ (Scheitelwinkel).

α = δ

IR = ZE

FR = TZ

=⇒ △FRI ∼= △TZE (sws)

α = β

FR = RZ

IR = RP

=⇒ △TZE ∼= △ZRP (sws)

=⇒

△FRI ∼= △TZE ∼= △ZRP

9. (a) Zeichne die Punkte A (1 1) und B (6 4) in ein Koordinatensystem (Platzbedarfnach oben 8 cm). Konstruiere △ABC mit a = b = AB. Konstruiere auch denMittelpunkt M der Strecke [AB] und zeichne die Seitenhalbierende sc = [CM]ein.

(b) Beweise, dass die so entstandenen Teildreiecke kongruent sind und schreibe dieKongruenz richtig hin.

(c) Benenne alle Winkel in den Teildreiecken und schreibe alle Folgerungen hin, dieman aus der Kongruenz der Teildreiecke ziehen kann. Welche Namen konnteman also der Seitenhalbierenden sc noch geben?

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6.2 Besondere Dreiecke

Losung: (a)

α

β

ε δ

στ

B

A

C

6

1

1 6

M

(b) AM = MB

AC = BC

CM = CM

=⇒ △AMC ∼= △BMC(sss)

(c) α = β, ε = δ, σ = τ

σ + τ = 2σ = 180◦ =⇒ σ = τ = 90◦

ε = δ =⇒ [MC] = wγ mit γ =<) ACB

σ = τ = 90◦ =⇒ [MC] = hc

6.2.2. rechtwinkliges Dreieck, Satz von Thales

1. (a) Konstruiere die Mittelsenkrechte der waagrecht liegenden Strecke [PQ] undzeichnen den Kreis, der [PQ] als Durchmesser hat.

(b) R ist derjenige Schnittpunkt von Mittelsenkrechte und Kreis, der oberhalb derStrecke [PQ] liegt. Das Dreieck △PQR ist dann gleichschenklig, wenn R auf derMittelsenkrechten von [PQ] liegt und deshalb von P und Q gleich weit entferntist. Begrunde, dass das Dreieck △PQR auch rechtwinklig ist.

(c) Es gilt: In jedem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck zerlegt die Mittelsenk-

rechte der Basis das Dreieck in zwei kongruente Teildreiecke.

Welche der folgenden Argumentationen ist richtig?

Die zwei Teildreiecke sind kongurent, . . .

• . . . weil man zeigen kann, dass die Teildreiecke in allen drei Winkeln uber-

einstimmen und Dreiecke, die in allen drei Winkeln ubereinstimmen, immer

kongruent sind.

• . . . weil man zeigen kann, dass die Teildreiecke in allen drei Seiten uber-

einstimmen und Dreiecke, die in allen drei Seiten ubereinstimmen, immer

kongruent sind.

• . . . weil man zeigen kann, dass die Flacheninhalte der Teildreiecke gleich

groß sind und Dreiecke, die den gleichen Flacheninhalt besitzen, immer kon-

gruent sind.

• . . . weil die Mittelsenkrechte Symmetrieachse des gleichschenklig-rechtwinkligen

Dreiecks ist.

Bayerischer Mathematik Test fur die 8. Klasse, 2007

Losung: (a)

(b) △PQR ist rechtwinklig, weil R auf dem Thaleskreis uber [PQ] liegt.

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6.2 Besondere Dreiecke

(c) Die zweite und vierte Aussage sind richtig.

2. Figuren legen

Welche Drei- und Vierecke lassen sich mit zwei gegebenen rechtwinkligen Dreieckenlegen?Schneide die vorgegebenen Dreiecke aus und lege sie so aneinander, dass eine neueFigur entsteht. Benenne jeweils Ihre Eigenschaften.

Mogliche Verallgemeinerung: Welche Drei- und Vierecke lassen sich aus zwei gegebe-nen Dreiecken legen?

Losung: • z. B. kann aus zwei rechtwinkligen (nicht gleichschenkligen) Dreiecken ein Rechteck,Drachen oder (zwei nicht-kongruente) Parallelogramme entstehen, ebenso zwei nicht-kongruente gleichschenklinge Dreiecke:

• aus zwei rechtwinkligen und gleichschenkligen Dreiecken ein Quadrat oder (zwei kon-gruente) Parallelogramme entstehen, ebenso ein rechtwinkliges Dreieck:

• aus zwei rechtwinkligen Dreiecken: nur Raute, Drachen mit einspringender Ecke oder(zwei kongruente) Parallelogramme:

• aus zwei glechseitigen Dreiecken: nur eine Raute:

• aus zwei beliebigen Dreiecken (nicht gleichwinkling, gleichschenkling und gleichseitig):drei nicht-konguente Drachen, ebenso (drei nicht-konguente) Parallelogramme:

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6.2 Besondere Dreiecke

3. Florians Zimmer ist rechteckig und hat 4,60m Lange und 3,00m Breite. Florian leihtsich von seinem Vater dessen Weitwinkelkamera, die eine Brennweite von 18mmbesitzt. Mit dieser Kamera, deren Offnungswinkel 90◦ betragt, mochte er jeweilsgenau eine Wand photographieren.

(a) Konstruiere im Maßstab 1 : 50 die Kamerastandorte, von denen aus er seineAufnahmen machen muss, so dass auf den Bildern jeweils genau eine Wand zusehen ist.

(b) Gilt die gefundene Losung so fur alle Zimmer mit rechteckiger Grundflache?

Literatur: Sinnstiftende Kontexte, Staatsinstitut fur Schulpadagogik und Bildungs-forschung Munchen, 2000

Losung: (a) 4,6m =9,2 cm, 3m =6 cmFlorian muss auf den Thaleskreisen uber den jeweiligen Seiten des Rechtecks stehen.

x

y

1− 1 2− 2 3− 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

1

− 1

2

− 2

3

− 3

− 4

− 5

− 6

− 7

− 8

− 9

0

0

A

B C

D

E

F

G

H

(b) Ja

4. Ermittle alle mit griechischen Buchstaben gekennzeichneten Winkelmaße.

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6.2 Besondere Dreiecke

ME

D

B

C

A

α

δ

ψ

ε ϕ

45

26,57

o

o

Losung: δ = 90◦ α = 45◦ ε = 126,86◦ ϕ = 63,43◦ ψ = 81,86◦

6.2.3. Konstruktion von Kreistangenten

1. Gegeben sind die Punkte A und B mit AB = 5 cm. Konstruiere die Geraden durchB, die von A den Abstand 3 cm haben!

Losung:

2. Eine Ecke einer Rasenflache, an der die geradenRander einen Winkel von 70◦ einschließen, solldurch einen Kreisbogen (Radius r = 4m) so ab-gerundet werden, daß beide Rander ohne Knick inden Kreisbogen ubergehen. (Siehe Skizze rechts!)

(a) Konstruiere den Kreismittelpunkt M , dieBeruhrpunkte T1 und T2 und den Randder Rasenflache an dieser Ecke im Maßstab1 : 100.

(b) Begrunde die wichtigsten Konstruktions-schritte.

r

r

r

T2

M T1

..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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Losung:

3. Gegeben sind die Punkte A, B, C und D (vgl. Abbildung). Die Gerade g = CD stehtauf AB senkrecht.

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6.2 Besondere Dreiecke

(a) Konstruiere die Menge der Mittelpunkte von Kreisen, die durch die Punkte Aund B gehen.

(b) Konstruiere die Kreise, die durch A und B gehen und g als Tangente haben.

(c) h sei eine zu g parallele Gerade. Wie muß h verlaufen, damit es keinen Kreisdurch A und B gibt, der gleichzeitig h als Tangente hat?

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rC

rD

rA

rB

Losung: (a) Die Mittelpunkte aller Kreise durch A und B liegen auf der Mittelsenkrechten zu [AB].

(b) Der Abstand des Mittelpunktes der gesuchten Kreise von A ist so groß wie der Abstanddes Parallelenpaars.

(c) Der Schnittpunkt von h mit AB muß zwischen A und B liegen.

4. Gegeben sei eine Geradenkreuzung (g1, g2) mit <) (g1, g2) = 60◦. S sei der Schnitt-punkt von g1 und g2.

(a) Konstruiere einen Kreis k, welcher g1 und g2 beruhrt und den Radius 3,5 cmbesitzt!

(b) Konstruiere eine Sekante durch den Punkt S, welche aus dem Kreis k eine Sehneder Lange s = 4, 5 cm ausschneidet!

Losung:

116

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6.2 Besondere Dreiecke

5. Zeichne den Kreis k um M(4|6) mit Radius r = 2 cm und den Punkt P (10|4). Kon-struiere zwei Tangenten an k, die sich im Winkel 400 schneiden und von denen einedurch P geht.

Losung: Man konstruiert erst eine Tangente t1 durch P und zeichnet eine beliebige Gerade g, diet1 unter 400 schneidet. Ein Lot auf g durch M schneidet den Kreis im Beruhrpunkt dergesuchten Tangente t2.

6. Gegeben ist der Kreis k(A; r = 2, 5 cm) und der Punkt P mit AP = 6 cm. KonstruiereGeraden g und h mit den folgenden Eigenschaften:

(a) g verlauft durch P und ist Tangente zu k

(b) h hat von A den Abstand 4 cm und schließt mit g einen Winkel von 400 ein (2Losungen).

Losung: Konstruiere eine Tangente g zu k durch P und zeichne eine Gerade h′, die g unter 400

schneidet. Das Lot zu h′ durch A schneidet den Kreis k′(A; r = 4cm) in zwei Punkten Xund Y . Die Tangenten an k′ in X und Y sind die gesuchten Losungen..

7. Zeichne zwei Parallelen g und h im Abstand von 5 cm und einen Punkt P zwischenden Parallelen, der von g 2 cm entfernt ist.

(a) Konstruiere (moglichst einfach) einen Kreis k1, der die Gerade h beruhrt unddurch P geht.

(b) Ein Kreis k2 beruhrt beide Parallelen und den Kreis k1. Konstruiere seinenMittelpunkt und den Beruhrpunkt mit k1 und zeichne k2.

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r

r

r

r

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P

g

h

q

k1

k2

Losung:

8. Der Abstand M1M2 der Mittelpunkte der beiden Kreise k1(M1; r1 = 3 cm) undk2(M2; r2 = 2 cm) betragt 8 cm. Zeichne beide Kreise.

(a) Konstruiere den kleinsten Kreis, der k1 und k2 von außen beruhrt.

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6.2 Besondere Dreiecke

(b) Konstruiere einen Kreis mit Radius r = 2, 5 cm, der k1 und k2 von außen beruhrt.

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Losung:

9. Gegeben sind die Punkte A und B im Abstand von 8 cm. Konstruiere eine Gerade g,die von A den Abstand 4 cm und von B den Abstand 2 cm hat, so daß A und B aufverschiedenen Seiten von g liegen. (Planskizze, zeichne A und B in der Blattmitte,Lotkonstruktionen konnen mit dem Geodreick ausgefuhrt werden.)

Losung: Inneres Tangentenpaar an die Kreise um A und B mit den Radien 4 cm bzw. 2 cm.

10. Zeichne einen Kreis k(M ; r = 2 cm) und eine Gerade g, die vom Kreismittelpunkt Mden Abstand 4 cm hat. Konstruiere die Kreise mit Radius 3 cm, die die Gerade g undden Kreis k beruhren.

Losung: Die Mittelpunkte der Kreise liegen auf einer Parallelen zu g im Abstand 3 cm und zugleichauf dem Kreis um M mit Radius 5 cm.

11. Gegeben ist eine Gerade g und ein Punkt P ∈ g.

(a) Konstruiere einen Kreis k(M ; r = 6 cm), der g in P beruhrt!

Auf dem Kreis k(M ; r) ist ein Punkt B mit BP = 10 cm zu bestimmen. Außerdem istein Punkt A mit AP = 10 cm und AB = 5 cm im Inneren von k(M ; r) einzuzeichnen.

(b) Konstruiere nun einen Kreis k′, der durch A geht und den Kreis k(M ; r) imPunkt B von innen beruhrt.

(c) In die von den Kreisen k(M ; r) und k′ gebildete”Sichel“ sind die Kreise k1 und

k2 zu konstruieren, die k(M ; r) und k′ beruhren und den Radius 2 cm haben.

(d) Auf k(M ; r) ist ein Punkt C mit CP = 6 cm zu bestimmen. Konstruiere denKreis k3, der k(M ; r) von außen im Punkt C und außerdem noch die Gerade gberuhrt.

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6.2 Besondere Dreiecke

Verlangt ist eine ubersichtliche, sehr saubere und genaue Konstruktion!Der Konstruktionsgang muß klar ersichtlich sein!

Losung:

12. Zeichne einen Kreis k um M mit Radius r = 5, 5 cm und eine Gerade g, so daß esgenau sieben Kreise mit Radius 2 cm gibt, die g und k beruhren. Wie groß ist indiesem Fall der Abstand der Geraden g von M? Konstruiere die Mittelpunkte dersieben Kreise!

Losung: d(g;M) = 1, 5 cm

13. Gegeben seien die Punkte A(0/4), B(8/0), M(10/6) und T (7/5).

(a) Zeichne die Gerade g durch die Punkte A und B und den Kreis k1(M ;MT ) inein Koordinatensystem ein! (Platzbedarf nach oben: 15 cm, y-Achse ganz links)

(b) Gesucht sind die Mittelpunkte aller Kreise, die k1 in T beruhren. Zeichne dieLinie ein, auf der diese Mittelpunkte liegen und konstruiere außerdem die Tan-gente an k1 im Punkt T !

(c) Konstruiere einen Kreis, der k1 in T beruhrt und zusatzlich g als Tangente hat!

Losung:

14. Gegeben seien die Punkte A(5/0), B(13/4), M(3/6) und T (6/5).

(a) Zeichne die Gerade g durch die Punkte A und B und den Kreis k1(M ;MT ) inein Koordinatensystem ein! (Platzbedarf nach oben: 15 cm, y-Achse ganz links)

(b) Gesucht sind die Mittelpunkte aller Kreise, die k1 in T beruhren. Zeichne dieLinie ein, auf der diese Mittelpunkte liegen und konstruiere außerdem die Tan-gente an k1 im Punkt T !

(c) Konstruiere einen Kreis, der k1 in T beruhrt und zusatzlich g als Tangente hat!

Losung:

15. Gegeben sei folgender

Satz. Schneiden sich zwei Tangenten an einen Kreis im Punkt P , so sind die Tan-

gentenberuhrpunkte T1 und T2 von P gleichweit entfernt. (Es gilt also T1P = T2P .)

Beweise den Satz mit Hilfe eines Kongruenzbeweises! Zeichne zuerst eine Beweisfi-gur!

Losung:

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6.3 Konstruktionen

16. In einem Koordinatensystem (Langeneinheit 1 cm) ist ein Parallelogramm ABCDdurch die Punkte B(6|1), C(5|8), D(1|8) gegeben.

(a) Verwandle in einer sauberen Konstruktion das Parallelogramm ABCD unterBeibehaltung der Seite [BC] in ein inhaltsgleiches Parallelogramm A′BCD′, inwelchem die Seiten [A′B] und [D′C] einen Abstand von 5,6 cm haben!Erlautere dein Vorgehen stichpunktartig!

(b) Berechne ausfuhrlich die in Teilaufgabe a) entstandene Streckenlange A′B !

Losung: (a) D′ liegt auf der Tangente an den Kreis um B mit Radius 5,6 cm und auf AD.A′ liegt auf der Parallele zu D′C und auf AD.

(b) Flache des Parallelogramms mit verschiedenen Grundseiten berechnen: 5 cm · 7 cm =5,6 cm · A′B ⇒ A′B = 5 cm

6.3. Konstruktionen

6.3.1. Besondere Linien im Dreieck

1. Neues von den gehfaulen Ameisen

Clothilde wird Mitglied im Gehgerechtigkeitsverein. Kannst du einen Treffpunkt kon-struieren, zu den alle drei gleich weit krabbeln mussen?

Losung: Schnittpunkt der Mittelsenkrechten

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6.3 Konstruktionen

6.3.2. Dreieckskonstruktionen

1.

Quelle: VERA C 2008

Losung: ja, nein, ja, ja, nein

2. Wahle aus den vorgegebenen Großen jeweils drei aus und uberlege anhand einerSkizze, ob aus den ausgewahlten Großen ein Dreieck (eindeutig) konstruierbar ist.Begrunde deine Antwort.

a = 6 cm, c = 9 cm, α = 40◦, wβ = 5 cm, sc = 4 cm und ha = 4,5 cm

Quelle: Neue Schwerpunktsetzung in der Aufgabenkultur, ISB 2001

Losung: Eindeutige Konstruktionen fur

121

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6.3 Konstruktionen

(a, c, sc), (a, c, ha), (c, α, ha), (c, α, sc)

Zwei Losungsdreiecke fur (a, c, α)

Keine Losung: (c, α, wβ), da wβ zu kurz

3. Konstruiere ein Dreieck ABC mit a = 6 cm, b = 4 cm und c = 7 cm auf zweifacheWeise:

(a) Lege die Strecke [BC] waagrecht.

(b) Lege die Seite [AC] waagrecht.

(c) Andere die Angaben fur das Dreieck so ab, dass mit der abgeanderten An-gabe die Konstruktion eines Dreiecks nicht mehr moglich ist. Begrunde deineAbanderung ohne neue Konstruktion.

Losung: (c) z.B. c = 10,5 cm oder α = 90,01◦

4. Es gibt zwei Moglichkeiten, ein gleichschenkliges Dreieck zu konstruieren, in dem einInnenwinkel 120◦ betragt und eine Seite 6 cm lang ist.Konstruiere diese beiden Dreiecke.

Losung: - -

5. Es gibt zwei Moglichkeiten, ein gleichschenkliges Dreieck zu konstruieren, wenn dieBasis 5 cm lang ist und das Maß irgendeines Innenwinkels 70◦ betragt.Konstruiere diese beiden Dreiecke.

Losung: 1. Fall: Beide Basiswinkel haben das Maß 70◦. Dann hat der dritte Winkel das Maß 40◦.2. Fall: Der Winkel an der Spitze hat das Maß 70◦. Dann hat jeder Basiswinkel das Maß55◦.

6. (a) Konstruiere ein Dreieck ABC mit c = 6 cm , α = 35◦ und γ = 95◦.

(b) Andere die Angaben fur das Dreieck ABC an einer Stelle so ab, dass mit derabgeanderten Angabe die Konstruktion eines Dreiecks nicht mehr moglich ist.Begrunde deine Wahl.

Losung: (b) z.B. a = 7cm statt α = 35◦

7. (a) Von einem Dreieck ABC weiß man: a = 11,3 cm und γ = 60◦. Außerdem besitztdas Dreieck ABC eine Symmetrieachse.Konstruiere das Dreieck. Was fallt dir auf?

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6.3 Konstruktionen

(b) Von einem weiteren Dreieck ABC weiß man: α = 47◦, a = 4,5 cm undAC = AB.Berechne die restlichen Innenwinkel dieses Dreiecks.

Losung: (a) Das Dreieck ist gleichseitig.(b) Das Dreieck ist gleichschenklig: β = γ = 66,5◦

8. (a) Konstruiere ein Dreieck ABC aus c = 6 cm, α = 92◦ und a = 8 cm.

(b) Andere eine der Angaben fur das Dreieck ABC so ab, dass dann die Konstruk-tion des Dreiecks nicht mehr moglich ist. Begrunde deine Abanderung.

Losung: (b) z.B. statt a = 8cm: β = 90◦

oder c = 9cm statt c = 6cm.

9. Konstruiere ein Dreieck mit b = 6 cm, a = 8 cm und γ = 70◦.

Konstruiere den Umkreismittelpunkt dieses Dreiecks.

Losung: C ist Scheitel des Winkels γ, A liegt auf k(C, b) und dem ersten Schenkel von γ. B liegt aufk(C, a) und dem zweiten Schenkel von γ.

M ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten.

C

D E

F G

A

B

MaMb

M

10. Konstruiere ein Dreieck mit b = 9 cm, α = 35◦ und sb = 3 cm.

Losung: A und C sind Endpunkte der Seite b. M ist Mittelpunkt von b. B liegt an dem erstenSchenkel von α und auf dem Kreis um M mit Radius sb. Zwei Losungsdreiecke △AB1Cund △AB2C.

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6.3 Konstruktionen

A

C

M

B1

B2

11. Konstruiere ein Dreieck aus folgenden Stucken (M ist der Mittelpunkt des Umkreises):b = 7,5 cm, Umkreisradius r = 4 cm und γ =<) MCB = 35◦.

Losung: C liegt auf dem Kreis um M mit Radius r beliebig. A liegt auf dem Kreis um C mit Radiusb und auf dem Kreis um M mit Radius r. B liegt auf dem zweiten Schenkel des Winkels γund auf dem Kreis um M mit Radius r.

M

C

A2A1

B

I

12. Im △ABC ist S der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden von γ und der Seite c.Konstruiere mit Zirkel und Lineal ein Dreieck mit b = 6 cm, CS = 4 cm und γ = 50◦.

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6.3 Konstruktionen

Losung: A und C sind Endpunkte der Seite b. S liegt auf dem Kreis um C mit Radius CS undauf der Winkelhalbierenden von γ. B liegt auf der Halbgeraden [AS und auf dem zweitenSchenkel von γ.

A

C

S

B

13. Konstruiere ein gleichschenkliges Dreieck mit Schenkellange 6 cm und mit einem Win-kel an der Spitze von 45◦ (ohne Winkelmesser!).

Losung:

14. In einem Dreieck ABC sind der Hohenschnittpunkt H(6,5|4) und die EckpunkteA(6|0) und B(12|5) gegeben. Konstruiere das Dreieck ABC.

Losung:

15. (a) Konstruiere ein Dreieck, von dem Folgendes gegeben ist:

b = 5 cm, Umkreisradius r = 3,5 cm, <) AMB = 120◦

M ist der Umkreismittelpunkt des Dreiecks.

(b) Konstruiere ein Dreieck, von dem Folgendes gegeben ist:

a = 5 cm, Umkreisradius r = 4 cm, <) AMB = 120◦

M ist der Umkreismittelpunkt des Dreiecks.

Losung: (a) B liegt auf k(M, r). A liegt auf dem freien Schenkel des Winkels <) AMB = 120◦ undauf k(M, r). C auf k(M, r) und auf k(A, b).

Zwei Losungsdreiecke △ABC1, △ABC2

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6.3 Konstruktionen

M

B

E

A

C1

C2

(b) B liegt auf k(M, r). A liegt auf dem freien Schenkel des Winkels <) AMB = 120◦ undauf k(M, r). C auf k(M, r) und auf k(B, a).

Zwei Losungsdreiecke △ABC1 und △ABC2.

M

B

E

A

C1C2

6.3.3. Viereckskonstruktionen

1. Konstruiere ein Viereck ABCD aus AB = 6 cm, AC = 7 cm, DA = 3 cm, α = 700

und β = 800. Ist die Konstruktion eindeutig?

Losung: ABC ist nach SsW eindeutig bestimmt, ABD nach SWS.

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6.3 Konstruktionen

2. Konstruiere ein Parallelogramm ABCD mit dem Diagonalenschnittpunkt M ausAB = 9 cm, BD = 8 cm und <) BMC = 300.

Losung: Man konstruiert zunachst ABM , die Konstruktion ist nach SsW eindeutig.

3. Konstruiere ein ParallelogrammABCD aus folgenden Angaben: α = 570, d(A;DC) =4 cm, d(D;BC) = 5 cm. (Planfigur, Analysis)

Losung: Man zeichnet den Winkel γ = α = 570, dessen Scheitel ist die Ecke C. Die ubrigen Eckenergeben sich durch Konstruktion von Parallelen mit den gegebenen Abstanden.

4. Konstruiere ein Parallelogramm aus folgenden Angaben:

α = 500, d(A,DC) = 4 cm, d(C,BD) = 5 cm

(Planfigur, Analysis)

Losung: Man zeichnet den Winkel γ = 500 mit Scheitel C und erhalt durch Konstruktion einerParallelen den Punkt B. Mit Hilfe des Thaleskreises uber [BC] bestimmt man die DiagonaleBD als Tangente an den Kreis um C mit Radius 5 cm (zwei Losungen, großer Platzbedarf).Die Seite AD ergibt sich als Parallele zu BC durch D.

5. Von einem Parallelogramm ABCD sind folgende Stucke bekannt:

AC = e = 5, 5 cm ; a− b = 3, 5 cm ; γ = 160o.

Verlangt sind Planfigur, Konstruktionsbeschreibung und eine saubere und genaueKonstruktion!

Hinweis: Gleichschenkliges Dreieck in der Planfigur herstellen!

Losung:

6. Konstruiere ein Trapez ABCD aus folgenden gegebenen Stucken:

AB = a = 7 cm; α = 80◦; Umkreisradius r = 4 cm.

Verlangt sind eine ubersichtliche Planfigur, eine Konstruktionsbeschreibung und einesaubere und genaue Konstruktion!

Losung:

7. Konstruiere ein gleichschenkliges Trapez ABCD aus folgenden gegebenen Stucken:

AM = 9 cm ; δ = 115◦ ; d(AB,DC) = 8 cm.

127

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6.3 Konstruktionen

Hierbei bezeichnet M den Mittelpunkt der Seite [BC] und d(AB,DC) den Abstandder parallelen Trapezgrundlinien.

Verlangt sind Planfigur, Konstruktionsbeschreibung und eine saubere und genaueKonstruktion!

Losung:

8. Konstruiere ein Trapez mit den Seitenlangen a = 7 cm, b = 4 cm, c = 5 cm undd = 5 cm:

(a) Zeichne eine Planfigur, suche nach nutzlichen Hilfslinien.

(b) Beschreibe die Konstruktion in den wesentlichen Schritten.

(c) Saubere Konstruktion.

Losung:

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.

.

.

..

..

..

.

..

..

...............................................................................................................................................................................................................................................

A B

CE DAusgehend vom Dreieck EDA mitden Seitenlangen EA = b, DA = dundDE = a−c konstruiert man dasParallelogramm ABCE. ABCD istdas gesuchte Trapez.

9. Konstruiere ein gleichschenkliges Trapez mit a ‖ c aus den folgenden Stucken (Plan-figur, Analysis, Konstruktion):

c = 6 cm, f = BD = 9, 5 cm und δ = 1100.

Losung: Durch die Angabe ist das Dreieck BCD nach SsW bestimmt.

10. Konstruiere ein Drachenviereck ABCD mit der Symmetrieachse AC aus AC = 7 cm,BC = 4 cm und β = 400.

(Planfigur, Analysis, Konstruktion)

Losung: Zeichne zuerst [BC], trage bei B einen Winkel von 400 an, dann ist das Dreieck ABC nachSsW bestimmt. Spiegelung an AC liefert D.

11. Konstruiere ein Trapez ABCD aus α = 50◦, BD = f = 8, 3 cm, h(=Abstand derbeiden parallelen Grundlinien AB und DC)= 6, 0 cm. Außerdem hat das Trapezeinen Inkreis.Verlangt sind Planfigur, Konstruktionsbeschreibung und eine saubere Konstruktion.

Hinweis: Starte mit dem Inkreis vom Durchmesser h!

Losung:

128

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6.3 Konstruktionen

12. (a) Konstruiere ein Parallelogramm ABCD aus folgenden Angaben: SeitenlangeAB = 6 cm, Flache A = 27 cm2, BD = 10 cm.

(b) Berechne den Abstand des Punktes C von der Diagonalen BD.

Losung: (a) Zwei Losungen (b) Abstand 2, 7 cm

13. (a) Konstruiere ein Parallelogramm aus folgenden Angaben: Seitenlange AB =6 cm, Flache A = 27 cm2, BD = 10 cm. (Eine freie Seite im Querformat verwen-den.)

(b) Berechne den Abstand des Punktes C von der Diagonalen BD.

Losung: Der Abstand der Parallelen AB und CD betragt 4, 5 cm, dies ermoglicht die Konstruktion(2 Losungen). Der Abstand der Ecke C von BD ist 2, 7 cm.

129

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7. Vertiefen der Algebra und Geometrie

7.1. Terme und Gleichungen

1. Berechne die Losungsmenge zur Grundmenge Q:

(a) 2x− 4 = −3 + 6x

(b) (x− 1)(x+ 1) = −1 +x

3· 3x

(c) x+ 2−4

7= (6x+ 2) : 7

Losung: (a) −4x = 1 =⇒ L =

{−1

4

}

(b) x2 − 1 = −1 + x2 =⇒ L = Q

(c) x+10

7=

6

7x+

2

7=⇒

1

7x = −

8

7=⇒ L = {−8}

2. Das Steuermodell von Kirchhoff (2005)

Vom gesamten Jahreseinkommen einer Familie werden pro Person 8000€ Freibetragabgezogen, vom Rest sind 25% Steuern zu zahlen.

Der effektive Steuersatz gibt an, wieviel Prozent des Einkommens die Steuern aus-machen. Gesucht ist ein Term e(x, n), der den effektiven Steuersatz aus dem Monats-einkommen x und der Zahl n der Personen in der Familie berechnet.

Berechne den effektiven Steuersatz fur die Monatseinkommen 1000€, 2000€, 4000€,6000€, 8000€ und 10 000€jeweils fur eine, zwei, drei und vier Personen in derFamilie. Stelle die Ergebnisse ubersichtlich in einer Tabelle dar und veranschaulichesie in einer Grafik.

Losung: Das Jahreseinkommen ist 12x, die zu zahlenden Steuern pro Jahr sind

s = 25% · (12x − n · 8000)

e =s

12x= 25% ·

12x− 8000n

12x= 25% ·

(1−

2000n

3x

)

Diese Formel gilt nur, wenn 12x > 8000n ist, fur 12x ≦ 8000n zahlt man keine Steuern:

e(x, n) =

{25% ·

(1− 2000n

3x

)fur x > 2000n

3

0 fur x ≦ 2000n3

Die folgende Wertetabelle gibt den effektiven Steuersatz in Prozent an:

130

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7.1 Terme und Gleichungen

x 1000 2000 4000 6000 8000 10000

n = 1 8,3 16,7 20,8 22,2 22,9 23,3n = 2 0 8,3 16,7 19,4 20,8 21,7n = 3 0 0 12,5 16,7 18,8 20,0n = 4 0 0 8,3 13,9 16,7 18,3

0 2000 4000 6000 100008000 x0

n=2n=3

5

10

15

20

25

e(x,n)

n=1

n=4

3. (a) Vereinfache den Term so weit wie moglich und klammere im Ergebnis eine Zahlso aus, dass in der Klammer kein Bruch mehr steht:

T (x) =

(x−

1

2

)(x2+ 1

)−

1

2

(x−

1

2

)2

(b) Berechne den Wert des Terms T (x) fur x = 12, x = 0 und fur x = −1

2.

Losung: (a) T (x) =x2

2−x

4+ x−

1

2−x2

2+x

2−

1

8=

5

4x−

5

8=

5

8(2x− 1)

(b) T

(1

2

)= 0, T (0) = −

5

8, T

(−1

2

)= −

5

4

4. Suche die Losungsmenge zur Grundmenge G = Q:

(a) (x− 3)(x+ 3) + 9 = x2 (b)x2

x= 0 (c)

x− 1

x− 1= 1

Losung: (a) L = Q (b) L = {} (c) L = Q \ {1}

131

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7.2 Anwendungsaufgaben

7.2. Anwendungsaufgaben

1. Herr Sparsam wohnt in Altotting, 20 km von der Grenze zu Osterreich entfernt. Erfahrt zum Tanken nach Osterreich. Dort kostet der Liter Benzin nur 1,21EUR, imGegensatz zu 1,30EUR in Altotting. Lohnt sich die Fahrt?

Losung: Z. B.: Annahme: Bezinverbrauch 8l pro 100km

Kosten fur Fahrt zur Tankstelle: 1, 21EURl

· 40km · 0, 08 lkm

= 3, 88EUR

Ersparnis bei ganzer Tankfullung (50l):

50 · (1, 30EUR − 1, 21EUR) = 5, 5EUR

Die Fahrt lohnt sich, wenn die dazu benotigte Zeit und Umweltgesichtspunkte keine Rollespielen.

2. Zocker-Tom besucht ein Spielcasino. Er setzt bei jedem Spiel den gleichen Anteil desGeldes, das er im Moment hat. Gewinnt er, dann erhalt er seinen Einsatz zuruckund zusatzlich den gleichen Betrag noch einmal. Verliert er, so hat er seinen Einsatzverspielt.Als Zocker-Tom wieder aus dem Spielcasino kommt, hat er gleich viele Spiele gewon-nen wie verloren. Uber die Reihenfolge von Gewinn und Verlust ist nichts bekannt.Hat er insgesamt Gewinn oder Verlust gemacht?

Quelle: 9. Landeswettbewerb Mathematik, 2006

Losung: G: Betrag, den er zu Beginn hat,g: Betrag, den er im Moment hat,a Anteil, den er jeweils einsetzt,a · g: Einsatz beim Spiel,Gewinnt er, hat er nach dem Spiel (1+a)g, erliert er hat er (1+a)g. D. g. bei Gewinn wird derBetrag mit (1+a) multipliziert, beim Verlieren mit (1−a). Wegen dem Kommutativgesetzist die Reihenfolge der Faktoren unerheblich ⇒

Betrag nach n-mal Gewinn und n-mal Verlust:

G · (1 + a)n · (1− a)n = G · (1− a2)n

Da (1− a2)n < 1 ist, hat er insgesamt Verlust gemacht!

3. Im Jahre 2006 betragt die Mehrwertsteuer noch 16%, ab 01.01.2007 wird sie auf 19%angehoben. Um wieviel Prozent (auf Zehntel Prozent gerundet) steigt der Endpreiseiner Ware durch diese Steuererhohung?

Losung: Preis ohne MWSt.: p0, alter Preis: pa = 1,16p0

neuer Preis: pn = 1,19p0 =1,19

1,16pa = 1,0258pa =⇒ Erhohung um 2,6%.

132

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7.3 Geometrie

4. Hans geht mit 200€ und Eva mit 50€ in die Spielbank. Nach einer Stunde Spielbesitzen die beiden gleich viel Geld. Dabei hat Eva x% von ihrem Anfangsbetraggewonnen und Hans hat genauso viele Prozent von seinem Startkapital verloren.Wieviel Prozent ihres mitgebrachten Geldes hat Eva gewonnen und welchen Betragbesitzen die beiden nach dem Spiel?

Losung: 50 · (1 + x%) = 200 · (1− x%), x% = 60%

Beide besitzen nach dem Spiel 50€ · 1,6 = 200€ · 0,4 = 80€

5. Eva verdient monatlich 360€, Fritz dagegen 640€. Hans verdient um einen gewis-sen Prozentsatz mehr als Eva und um den gleichen Prozentsatz weniger als Fritz.Berechne diesen Prozentsatz und das monatliche Einkommen von Hans.

Losung: x ist der gesuchte Prozentsatz:

(1 + x) · 360 = (1− x) · 640

360 + 360x = 640 − 640x

1000x = 280

x =28

100= 28%

Hans verdient 1,28 · 360€ = 460,80€ (oder 0,72 · 640€ = 460,80€)

7.3. Geometrie

1. Vor langer Zeit lebten einmal drei Kobolde mit Namen Asam, Bela und Calvin in denWaldern um den Feuerbach. Die Hohlen der drei Kobolde waren durch gerade Wegemiteinander verbunden. Eines Tages fanden die Kobolde die verschlusselte Botschafteines Druiden, die sie zu einer verhexten Feuerstelle am Feuerbach fuhren sollte. Siewaren sich uber den genauen Verlauf des Flusses nicht einig, deshalb nahmen sie einFell daher, das ihnen als Karte dienen sollte. Auf diesem Fell wollten sie die Wegenach der Botschaft des Druiden einzeichnen.

Sofort machten sich die drei Kobolde an die Arbeit die Botschaft zu entschlusseln.

• Ein jeder gehe von seiner Hohle senkrecht auf den gegenuberliegenden Weg. Der

gemeinsame Treffpunkt am Fluss werde durch Holzer mit einem H gekennzeich-

net.

• Nun gehe jeder Kobold von H zu seiner Hohle zuruck und markiere dabei die

Halfte des Weges ebenfalls mit einem Stockchen.

• Weiter finde jeder die Senkrechte auf die Mitte des Weges, der zu seinem Nach-

bar fuhrt. Auch hier werde der gemeinsame Treffpunkt, wieder am Fluss, durch

Holzer markiert, diesmal durch ein M.

133

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7.3 Geometrie

• Sucht die Mitte von M und H. Dort findet Ihr die verhexte Feuerstelle.

Sofort machten Asam, Bela und Calvin sich auf und waren schließlich uberglucklich,die verschlusselte Botschaft des Druiden entratselt zu haben, denn von dieser Feuer-stellt am Fluss ging wahrhaftig ein Zauber aus.

Spur auch du dem Zauber nach, dem Asam, Bela und Calvin erlegen sind, indem Dudie Fellzeichnung der Kobolde nachzeichnest.

Literatur: PM 4/43, Jg. 2001

Losung: Die Feuerstelle ist Mittelpunkt des Feuerbachschen Neunpunktekreises und liegt zusammenmit M und H auf der Eulerschen Geraden.

2. (a) Berechne die Winkel, die der Sekundenzeiger, der große Zeiger (Minutenzeiger)bzw. der kleine Zeiger (Stundenzeiger) einer Uhr in einer Minute bzw. in einerSekunde uberstreichen. Stelle die Ergebnisse in einer Tabelle zusammen. Wennein Ergebnis Bruchteile eines Grades enthalt, ist es auch in der Grad-Minuten-Sekunden-Schreibweise anzugeben.

(b) Auf einer Zeigeruhr ist es t1 = 21:08:00. Zu welcher Zeit t2 bildet der Sekunden-zeiger mit dem großen Zeiger zum ersten Mal nach t1 einen 70◦-Winkel? Wahleals Variable die Zahl x der Sekunden nach t1.

(c) Wenn du die Teilaufgabe (b) nicht losen konntest, verwende t2 = 21 : 08 : 25.

Berechne alle notigen Winkel und zeichne die drei Uhrzeiger zur Zeit t2 so genauwie moglich. Wahle fur das Ziffernblatt einen Kreis mit dem Radius 4 cm undbeschrifte deine Zeichnung mit den berechneten Winkeln.

Losung: (a) 1min 1 s

Sekundenzeiger 360◦ 6◦

großer Zeiger 6◦ 0,1◦ = 6′

kleiner Zeiger 0,5◦ = 30′(

1120

)◦= 0,5′ = 30′′

(b) x · 6◦︸ ︷︷ ︸α

− (8 · 6◦ + x · 0,1◦)︸ ︷︷ ︸β

= 70◦

x · 5,9◦ = 118◦

x =118◦

5,9◦= 20 =⇒ t2 = 21 : 08 : 20

β α

γ

(c) α = 20 · 6◦ = 120◦

β = 8 · 6◦ + 20 · 0,1◦ = 50◦

134

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7.3 Geometrie

γ = 8 · 0,5◦ + 20 · 0,5′ = 4◦ 10′

3. (a) Berechne die Winkel, die der große Zeiger (Minutenzeiger) bzw. der kleine Zeiger(Stundenzeiger) einer Uhr in einer Minute bzw. in einer Sekunde uberstreichen.Stelle die Ergebnisse in einer Tabelle zusammen. Wenn ein Ergebnis Bruchteileeines Grades enthalt, ist es auch in der Grad-Minuten-Sekunden-Schreibweiseanzugeben.

(b) Zu welcher Zeit t0 zwischen 13:00 und 14:00 bilden der große und der kleineZeiger einer Uhr einen gestreckten Winkel? Zeichne eine Uberlegungsfigur undwahle als Variable die Zahl x der Minuten nach 13:00. Welchen Winkel α schließtder kleine Zeiger zu dieser Zeit t0 mit der

”Null-Uhr-Linie“ ein?

Losung: (a) 1 h 1min 1 s

großer Zeiger 360◦ 6◦ 0,1◦ = 6′

kleier Zeiger 30◦ 0,5◦ = 30′ 0,5′ = 30′′

(b) x · 6◦︸ ︷︷ ︸β

− (30◦ + x · 0,5◦)︸ ︷︷ ︸α

= 180◦

x · 5,5◦ = 210◦

x =210◦

5,5◦=

420

11= 38

2

11= 38,18 =⇒

2

11min =

120

11s = 10

10

11s = 10,90 s

t0 = 13 : 38 : 10,90

α = 30◦ + 38 211 · 0,5◦ =

(49 1

11

)◦= 49,09

α

β

4. Zeichne die Zeigerstellungen zu den gefundenen Zeiten:

(a) Zu welcher Zeit zwischen 06:00 und 07:00 stehen die beiden Zeiger einer Uhrgenau ubereinander?

(b) Zu welcher Zeit zwischen 21:00 und 22:00 bilden die beiden Zeiger einer Uhreinen gestreckten Winkel?

(c) Zu welchen Zeiten zwischen 14:00 und 15:00 schließen die beiden Zeiger einerUhr einen 50◦-Winkel ein?

(d) Zu welchen Zeiten zwischen 08:00 und 09:00 schließen die beiden Zeiger einerUhr einen 20◦-Winkel ein?

Losung: t bezeichnet im Folgenden die Zahl der Minuten nach der vollen Stunde.

(a) 180◦ + t · 0,5◦ = t · 6◦, t =180◦

5,5◦= 32,72 =⇒ 6 h 32min 43,63 s

(b) 270◦ + t · 0,5◦ − t · 6◦ = 180◦, t =90◦

5,5◦= 16,36 =⇒ 21 h 16min 21,81 s

135

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7.3 Geometrie

(c) 60◦ + t · 0,5◦ − t · 6◦ = 50◦, t =10◦

5,5◦= 1,81 =⇒ 2 h 1min 49,09 s

t · 6◦ − 60◦ − t · 0,5◦ = 50◦, t =110◦

5,5◦= 20 =⇒ 2 h 20min

(d) 240◦ + t · 0,5◦ − t · 6◦ = 20◦, t =220◦

5,5◦= 40 =⇒ 8 h 40min

t · 6◦ − 240◦ − t · 0,5◦ = 20◦, t =260◦

5,5◦= 47,27 =⇒ 8 h 47min 16,36 s

5. Das Flugzeug F wird von zwei Radar-stationen A und B aus angepeilt. Da-bei werden die Winkel α = 131◦ undβ = 25◦ gemesen. Die Entfernung derbeiden Stationen ist AB = 12,5 km.Das Flugzeug bewegt sich in gleich blei-bender Hohe mit der Geschwindigkeitv = 1700 km

h.

α β

A BC

F

(a) Konstruiere die Lage des Flugzeugs in einem Koordinatensystem (Einheit 1 cm),in dem die Radarstationen durch A(5|0) und B(10|0) gegeben sind. WelcherMaßstab wird verwendet?

(b) In welcher Hohe h fliegt die Maschine?

(c) Wie lange dauert es, bis sich F genau senkrecht uber der Station A befindet?

Losung: (a) Maßstab 1:250 000, d.h. 1 cm = 2,5 km

(b) h = CF = 3,9 cm = 9,8 km

(c) AC = 3,4 cm = 8,5 km =⇒ t =8,5 km

1700 kmh

= 0,005 h = 18 s

6. Ein Seemann sucht nachnebenstehender Karte denSchatz des beruchtigten Pi-raten Adalbert Kaper aufder Totenkopfinsel, doch zuseinem Leidwesen ist vomGalgen keine Spur mehr zufinden. In seiner Verzweif-lung nimmt er einfach denOrt an dem er gerade steht,als Punkt C an und suchtnach den Angaben der Kar-te den Punkt S, an dem derSchatz vergraben ist. Nach-

BA

C

DGS

Schatz

136

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7.3 Geometrie

dem er zwei Stunden gegraben hat, hort man ein Freudengeheul - er hat den Schatzgefunden.

So, jetzt bist du der Seemann, die Heftseite ist die Totenkopfinsel un die Baume wach-sen an den Orten A(5|5) und B(9|8). Nimm drei verschiedene Orte fur die Lage desGalgens an und konstruiere jeweils den Punkt S. Viel Gluck bei der Schatzsuche!

Losung: Fur jeden beliebigen Ort G erhalt man den gleichen Punkt S (8,5 4,5).

S liegt auf der Mittelsenkrechten von [AB] und hat von AB den Abstand 12 ·AB.

7. Die Abbildung zeigt einen Winkelspiegel, bei dem zwei Spiegel senkrecht zueinanderangeordnet sind. Ein Lichtstrahl e fallt unter dem Winkel α = 30◦ auf den Spiegel 1und wird nacheinander an den beiden Spiegeln reflektiert.

(a) Konstruiere den weiteren Verlauf des Lichtstrahls.

(b) Beweise durch eine ausfuhrliche Rechnung und unter Angabe der jeweils verwen-deten Winkelsatze, dass der aus dem Winkelspiegel auslaufende Strahl a zumeinfallenden Strahl e parallel ist.

α

e

Spiegel 2

Spiegel 1

137

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7.3 Geometrie

Losung: (a)

Spiegel 2

Spiegel 1

α

ea

β

ε

γ

δσ

(b) β = α = 30◦ (Reflexion)γ = 180◦ − 90◦ − 30◦ = 60◦ (Winkelsumme im Dreieck)δ = γ = 60◦ (Reflexion)ε = 180◦ − 2 · 30◦ = 120◦ (gestreckter Winkel)σ = 180◦ − 2 · 60◦ = 60◦ (gestreckter Winkel)ε+ σ = 120◦ + 60◦ = 180◦ =⇒ a‖e (Nachbarwinkel)

8. Vom Dreieck △ABC ist bekannt:

• a = b = 8 cm

• Der Mittelpunkt M der Seite [AB] hat von BC den Abstand d = 3 cm

(a) Erstelle eine Uberlegungsfigur! Erklare und begrunde die wesentlichen Schrittezur Konstruktion des Dreiecks △ABC.

(b) Konstruiere das Dreieck △ABC.

(c) Untersuche die Losbarkeit der Aufgabe in Abhangigkeit von d.

Losung: (a) Im gleichschenkligen Dreieck ist die Seitenhal-bierende der Basis zugleich Hohe auf die Basis.M liegt also auf dem Thaleskreis uber [BC] undauf der Parallelen zu BC im Abstand d.

A liegt auf BM und auf k(C; r = a)

C

A MB

b a

d

138

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7.3 Geometrie

(b)

A

B C

M

M

A1 2

2

1

(c) 0 < d < 4 cm : 2 Losungend = 4cm : 1 Losungd > 4 cm : keine Losung

9. In folgender Abbildung gilt AC = BC = BD = DC = a, g‖h, <) CMB =<) DMC = 90◦

und α = 70◦.

C

a

A B

M

D

δβα λσ E

τ

a

a

g

h

γ ρεµν

(a) Berechne in nachvollziehbarer Weise (mit Begrundungen) die Winkel τ und λ.

(b) Warum gilt BM = MD?

Losung: (a) AC = BC =⇒ β = α = 70◦ (Basiswinkel)△BDC gleichseitig =⇒ δ = ρ = ε+ µ = 60◦

gestreckter Winkel =⇒ σ = 180◦ − β − δ = 50◦

Außenwinkel =⇒ λ = 90◦ − σ = 40◦

Z-Winkel =⇒ ε+ µ+ τ = β =⇒ τ = β − 60◦ = 10◦

(b)CM = CMδ = ρ

<) CMB =<) DMC = 90◦

=⇒ △BMC ∼= △DMC(wws)

=⇒ BM = MD

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7.3 Geometrie

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Teil II.

Alter Lehrplan G9 - Algebra

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8. Erweiterung des Zahlenbereichs: dierationalen Zahlen

8.1. Negative Zahlen

1. Ordne folgende Zahlen in einer Ungleichungskette

(a) 0, 3; −0, 3;8

25; −

8

25; −

17

50; 0

(b)

∣∣∣∣−11

10

∣∣∣∣ ; −7

6;

7

6; 0,9; −

16

15

(c) 0 ;7

30;

15

66; −

7

30; −

15

66; −

41

180; −0,2

Losung: (a) −17

50< −0, 3 < −

8

25< 0 <

8

25< 0, 3

(b) −7

6< −

16

15< 0,9 <

∣∣∣∣−11

10

∣∣∣∣ <7

6

(c) −7

30< −

41

180< −

15

66< −0,2 < 0 <

15

66<

7

30

2. Bestimme die Mitte folgender Zahlen am Zahlenstrahl:

(a) −234und 2 (b) −22

3und −2

3

Losung: (a) −38 (b) −12

3

3. Welche Zahl liegt auf dem Zahlenstrahl in der Mitte von

(a) −4 und 312

(b) −5 und 412

(c) −87und − 4

28(d) −4

7und − 2

28?

Losung: (a) −14 (b) −1

4 (c) − 914 (d) − 9

28

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8.2 Grundrechenarten mit rationalen Zahlen

8.2. Grundrechenarten mit rationalen Zahlen

1. Kopfrechenserie”Bunte Mischung“

123· 21

223+ 3

50,62 − 0,32

kgV(12,16) 2116

: 7 3% von 240€ sind?€

Umfang eines Rechtecks mit 112· 11

3· 11

4· 11

52,3456 · 7− 0,3456 · 7

Lange 12m und Breite 2

3m

Lange eines Rechtecks mit (4 · 1319) · 1

40,03:0,2

Flache 1m2 und Breite 8 dm0, 3 · 0, 4 Richtig oder falsch? ?% von 150€ sind 12€

17= 0,1428576

Quelle: Neue Schwerpunktsetzung in der Aufgabenkultur, ISB 2001

Losung:416 1 4

15 0,27

48 316 7,20€

213 m 3 14

12,5 dm 1319 0,15

427 Falsch 8%

2. Kopfrechenserie”Bunte Mischung“

4,8 · 13

(1999 · 1116) · (7− 568) (7,34 + 5

6) + (1,66 + 21

6)

ggT(42,78) 3ms=? km

h5% von ?€ sind 40€

Seitenlange eines Quadrat 0,2 : 0,4− 0,2 · 0,4 0,0025 · 80000der Flache 64

225m2

534· 6 0,085m2 =? cm2 4

5: 215

1, 2 · 6, 7 Richtig oder falsch? 16% von 298€ sind ungefahr54< 11

9

Quelle: Neue Schwerpunktsetzung in der Aufgabenkultur, ISB 2001

Losung:1,6 0 12

6 10,8kmh 800€

815 m 0,42 200

3412 850 cm2 6

82381 Falsch 48€

3. Berechne der Reihe nach:

a) (7− 15) + 55 b) (78− 150) + 55c) (−11) + (85) + (−36) d) (−10) + (85) + (−40)

Losung: (a) 47, (b) −17, (c) 38, (d) 35

143

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8.2 Grundrechenarten mit rationalen Zahlen

4. Berechne:

(a) −115+ (−0,8) + (−2)

(b) (−3,5)− [(7− 8,5) − (+5)]

(c)(+5

8

)−

[(−1

8

)−

(+3

4

)]

(d) (+2,8)− (−1 115)− (+2

3) + (−11

6)− |3− | − 7||

(e) −13−

(56− 1

4

)−(−1

2+ 7

8

)− (−1)

Losung: (a) −4 (b) 3 (c) 112 (d) −129

30 (e) − 724

5. Berechne moglichst geschickt: −7,2− 6, 6 + 3− (−723) + (−34

5)

Losung: −6,6− (−723 ) + (−34

5 )− 7,2 + 3 = −7

6. Multipliziere aus und fasse zusammen:

(−10)2 : (21315

− 615)

(−1)3 − (−2)2

Losung: 6

7. Berechne:a) (−0,3) · (+0,8) b) (−0,4) · (+0,7) c)

(−4

5

)2

d)(−3

7

)2e)

(− 4

21

)·(−7

8

)f)

(− 8

27

)·(− 9

16

)

Losung:a) −0,24 b) −0,28 c) 16

25d) 9

49 e) 16 f) 1

6

8. Berechne:

(a) 36,875 + (−4318)

(b) (−43,7) + (−2615)

(c) 89, 6 + (3423− 76, 3)

Losung: (a) −6,25 (b) −69,9 (c) 48

9. Berechne: (−5) · (−3) · 2− (−23) · 30

Losung: 50

144

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8.2 Grundrechenarten mit rationalen Zahlen

10. Berechne[(−3)2 · 5− 5] : [(−2)5 : (+8)− 8]

Losung: −313

11. Berechne den Wert folgender Terme:

a)(−51) · (+121) · (−144)

(−66) · (−84) · 136b) 3

1

4−

(−4

1

5

(−5

7

)+

(−2

3

)· 18

c)(−84) · (−66) · 136

(−51) · (+121) · (−144)d) (−0,84) : 0,12−

(−1

3

4

):

(−3

3

7

)

Losung: (a) 1 528 (b) −113

4 (c) 2833 (d) −749

96

12. Berechne geschickt!

(a) −0, 3 + 317− 16, 7

(b) 8, 3− 4, 7 + 1, 7− 1, 3

(c) 3, 25− (−160) + (−314)

(d) 49− (0, 44 + 16, 3) + (−3, 7 + 30)

(e) 13− (−813+ 24, 5) + (−1

3)− 251

2

(f) −1547+ (−7, 6 + 34

7) + (−22

5− 88)

(g) −5, 8 + (−1415+ 73, 25)− (31

4− 50)

Losung:

(a) 300 (b) 4 (c) 160(d) 10 (e) −29 (f) −110(g) 100

13. Berechne: (a) | − 9| − |10| (b) |3,5− 8| + |6− 3| − 7

Losung: (a) −1 (b) 0,5

14. Berechne: (a) || − 6| − | − 9|| (b) |6− |2− 14|+ |10− 13||

Losung: (a) 3 (b) 3

15. Berechne: ||210− 712| − 621|

Losung: 119

145

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8.2 Grundrechenarten mit rationalen Zahlen

16. Berechne: (a) −115+ (−0,8) + | − 2| (b) | |7− 8,5| + (−5) + (−3,5) |

Losung: (a) 0 (b) −7

17. Berechne:

(a) −114+ (−0,75) + |3− 5|+ 1

8+ 1,375

(b)∣∣ 2− 3

2−

∣∣12− 3

2

∣∣∣∣

(c) (+34)− (−1

8)− (+5

8)

Losung: (a) 1,5 (b) 12 (c) 1

4

18. Gegeben sind die Bruche −23, −1

3, +1

3und +2

3. Aus ihnen sind alle moglichen Drei-

erkombinationen zu bilden, wobei die einzelnen Bruche auch mehrfach vorkommenkonnen. Wie viele dieser Kombinationen haben ganzzahlige Summen?

Hinweis: Baryonen wie Protonen und Neutronen sind aus drei Quarks zusammenge-setzt. Quarks tragen folgende Bruchteile der Elementarladung:

−2

3, −

1

3, +

1

3, +

2

3

Quarks kommen in der Natur nicht als einzelne Teilchen vor, sondern nur in Kombi-nationen, die ein ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung ergeben.

Literatur: Wiederholen als bewusstes Unterrichtselement, Staatsinstitut fur Schulpa-dagogik und Bildungsforschung Munchen, 2000

Losung: Es gibt zwanzig Kombinationen, davon acht mit ganzzahlige Summen:

−23 −

23 +

13 , +

23 +

23 −

13 , +

23 −

13 −

13 , −

23 +

13 +

13 , −

23 −

23 −

23 , +

23 +

23 +

23 , −

13 −

13 − 1

3 ,+1

3 +13 +

13

146

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9. Ungleichungen

9.1. Losen linearer Ungleichungen

1. Bestimme fur folgende Ungleichungen die Losungsmenge (G = Q):

(a) 2x(3 − x)− 3x2 ≥ 5x(2− x) + 3(x− 27)

(b) (3− x)2x+ (5 + 7x) · 3 ≤ x2 − 3x(x+ 2)

(c)(7x− 1

2

)4x− 3x2 ≤ (5x+ 11)2 + 7(x− 13)

Losung: (a) L =]−∞; 1147 [ (b) L =]−∞;− 5

11 [ (c) L =]− 30119 ;∞[

2. Bestimme die Losungsmenge folgender Ungleichung (G = Q):

2x(3− x) + (5 + 7x) · 3 ≥ x2 − (x+ 2)3x

Losung: L = [− 511 ;∞[

3. Bestimme die Losungsmenge folgender Ungleichung (G = Q):

2x(3− x) + (5 + 7x) · 3 ≥ x2 − (x+ 2)3x

Losung: L = [− 511 ;∞[

147