sáng kiẾn kinh nghiỆm · pdf filegiải bài toán về tính...

Giải bài toán về tính đơn điệu, cực trị khi không sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bậc hai www.vnmath.com

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- GV : Lê Quốc Hoàng – Trường THPT TX Phước Long

1

SỞ GIÁO DỤC – DÀO TẠO TỈNH BÌNH PHƯỚC

TRƯỜNG THPT TX PHƯỚC LONG ----*O*----

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

GIẢI BÀI CÁC TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU,CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ KHI KHÔNG SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ ĐẢO DẤU TAM THỨC BẬC HAI

GIÁO VIÊN : LÊ QUỐC HOÀNG ĐƠN VỊ : TRƯỜNG THPT TX PHƯỚC LONG

NĂM HỌC : 2010 – 2011



2

MỞ ĐẦU 1/Lý do chọn đề tài Như chúng ta đều biết các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số là một trong những bài toán không thể thiếu trong các kì thi Tốt nghiệp THPT và tuyển sinh đại học. Trong đó thường gặp nhiều bài toán “ Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu hoặc có cực trị trong khoảng K ”. Khi giải bài toán này sẽ đưa đến vấn đề “tìm điều kiện để y’<0 (y’>0) trên K hoặc phương trình y’= 0 có nghiệm trên K” .Đây thực chất là vấn đề so sánh nghiệm của một phương trình bậc hai với số thực . Nếu theo chương trình sách giáo khoa cũ lớp 10 thì học sinh có thể vận dụng định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai và các hệ quả của nó để giải bài toán. Tuy nhiên có nhiều bài toán đưa đến việc phải xét nhiều trường hợp do đó lời giải khá dài dòng và phức tạp. Hơn nữa , theo chương trình sách giáo khoa mới của Bộ giáo dục đang phát hành thì phần kiến thức liên quan đến định lí đảo và các hệ quả của nó đã được giảm tải. Do đó chúng ta gặp phải vấn đề “Làm thế nào để giải bài toán trên một cách hiệu quả mà chỉ cần vận dụng các kiến thức được học trình sách giáo khoa hiện hành”. Với suy nghĩ nhằm giúp các em tìm tòi, sáng tạo và hứng thú hơn trong việc học tập môn toán đồng thời nâng cao chất lượng giảng dạy nên tôi viết đề tài sang kiến kinh nghiệm “ Giải các bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai” 2/Nội dung sáng kiến A.Mở đầu B.Nội dung đề tài I.Cơ sở lý thuyết – Ví dụ minh họa II.Bài tập thực hành C. Kết quả và bài học kinh nghiệm Phước Long, ngày 08 tháng 01 năm 2011. Người viết Lê Quốc Hoàng



3

NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

I.CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.Kiến thức cần nhớ i) Phương trình bậc hai

a) Định nghĩa. Phương trình bậc hai đối với ẩn x ( x R ) là phương trình có dạng: 2ax 0 1 0bx c a

b)Cách giải. Tính 2 4b ac

Nếu 0 thì phương trình (1) vô nghiệm.

Nếu 0 thì phương trình (1) có nghiệm kép 1 2 2

bx x

a .

Nếu 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

1 2,2 2

b bx x

a a

c)Định lý Vi-et – Dấu các nghiệm. Định lý: Nếu phương trình bậc hai ẩn x R :

2ax 0 1 0bx c a có hai nghiệm 1 2,x x thì

1 2 1 2, .b c

S x x P x xa a

.

Dấu các nghiệm: Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu 0P .

Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu 0

0P

.

Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dương 0

0

0

P

S

.



4

Phương trình (1) có hai nghiệm cùng âm 0

0

0

P

S

.

ii)Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) đồng biến trên K là '( ) 0,f x x K

đồng thời '( ) 0f x chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc K. Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) nghịch biến trên K là '( ) 0,f x x K

đồng thời '( ) 0f x chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc K. iii) Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị

Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x0 , khi đó nếu f có đạo hàm tại x0 thì 0'( ) 0f x

Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa x0 và có đạo hàm trên các khoảng (a;x0) và (x0;b) klhi đó : Nếu 0'( ) 0, ( ; )f x x a x và 0'( ) 0, ( ; )f x x x b thì hàm số đạt cực tiểu

tại x0. Nếu 0'( ) 0, ( ; )f x x a x và 0'( ) 0, ( ; )f x x x b thì hàm số đạt cực đại tại x0.



5

2. Phương pháp giải toán *Bài toán 1: Cho hàm số : y = ax3 + bx2 + cx + d (1) (a 0) Tìm điều kiện để hàm số (1) : a) Đồng biến trên ( ; ) . b) Đồng biến trên ( ; ) . c) Đồng biến trên ( ; ) .

Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị Txđ: D = R

2' ( ) 3 2y f x ax bx c a)Hàm số (1) đồng biến trong khoảng ( ; ) ( ) 0, ( ; )f x x

0

0

0

0

( ) 0

2 0

a

a

f

S

Txđ: D = R 2' ( ) 3 2y f x ax bx c

TH1: Nếu bpt: ( ) 0 ( ) ( ) ( )f x h m g x i a)Hàm số(1) đồng biến trong khoảng ( ; ) ( ) ( ) , ( ; )h m g x x

( ; ]( ) ( )h m Max g x

b)Hàm số (1) đồng biến trong khoảng ( ; ) ( ) ( ) , ( ; )h m g x x

[ ; )( ) ( )h m Max g x

c) Hàm số (1) đồng biến trong khoảng ( ; ) ( ) ( ) , ( ; )h m g x x

[ ; ]( ) ( )h m Max g x



6

b) Hàm số (1) đồng biến trong khoảng ( ; )

( ) 0, ( ; )f x x

0

0

0

0

( ) 0

2 0

a

a

f

S

c) Hàm số(1) đồng biến trong khoảng ( ; )

( ) 0, ( ; )f x x

0

0

0

( ) 0

2 0

( ) 0

2 0

0

0

( ) 0

( ) 0

a

a

f

S

f

S

a

f

f

TH2: Nếu bpt: ( ) 0f x không đưa được về dạng (i) thì ta đặt : t = x - Khi đó ta có:

2 2' ( ) 3 2(3 ) 3 2y g t at a b t a b c . a)Hàm số (1) đồng biến trong khoảng ( ; ) ( ) 0, 0.g t t

0

0

0

0

0

0

a

a

S

P

b)Hàm số (1) đồng biến trong khoảng ( ; ) ( ) 0, 0g t t

0

0

0

0

0

0

a

a

S

P

Nhận xét: Khi nhìn vào bài toán nhiều người sẽ nghĩ ngay đến việc sử dụng định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai và các hệ quả của nó. Nhưng với cách làm như trên ta đã hướng dẫn học sinh giải quyết bài toán một cách dễ dàng bằng cách ứng dụng đạo hàm hoặc sử dụng định lý Viet, tránh sử dụng các kiến thức đã được giảm tải trong sách giáo khoa.

*Ví dụ 1: Cho hàm số : y = 3 211 2 1 3 2 1 1

3m x m x m x (1) ( 1)m



7

Tìm các giá trị của m để hàm số: a) Đồng biến trên khoảng ( ; 1) . b) Đồng biến trên khoảng (1; ) . c) Đồng biến trên khoảng ( 1;1) .


2

' ( )

( 1) 2(2 1) 3(2 1)

y f x

m x m x m

a)Hàm số (1) đồng biến trong khoảng ( ; 1)

( ) 0, ( ; 1)f x x

0

' 0

0

' 0

( 1) 0

2( 1) 0

a

a

f

S

2

2

1 0

2 7 4 0

1 0

2 7 4 0

11 4 0

01

m

m m

m

m m

m

m

m

1

24 1

11 2

m

m

4

11m

Kết luận : 4

11m thì hàm số (1) đồng

biến trong khoảng ( ; 1)

Txđ: D = R

2

' ( )

( 1) 2(2 1) 3(2 1)

y f x

m x m x m

Ta có: ' 0 ( ) 0.y f x 2( 1) 2(2 1) 3(2 1) 0.m x m x m

2

2

2 3.

4 6

x xm

x x

Đặt : 2

2

2 3( ) .

4 6

x xg x

x x

2

2 2

6 18'( ) .

( 4 6)

xg x

x x

a)Hàm số(1) đồng biến trong khoảng ( ; 1) ' 0, (1; )y x

( ), ( ; 1)m g x x

( ; 1]( )m Max g x

Xét : ( ) , ( ; 1]y g x x Ta có bảng biến thiên: x -1 g’(x) + g(x)

4

11

-1

Từ bảng biến thiên ta được : 4

11m

Kết luận : 4




8

biến trong khoảng ( ; 1) b)Hàm số đồng biến trong khoảng (1; )

( ) 0, (1; ).f x x

0

' 0

0

' 0

(1) 0

2.1 0

a

a

f

S

2

2

1 0

2 7 4 0

1 0

2 7 4 0

3 0

20

1

m

m m

m

m m

m

m

m

1

21

02

m

m

0m

Kết luận : 0m thì hàm số (1) đồng biến trong khoảng (1; )

b)Hàm số đồng biến trong khoảng (1; ) ' 0, (1; )y x

( ), (1; )m g x x

[1; )( )m Max g x

Xét : ( ) , [1; )y g x x Ta có bảng biến thiên: x 1 3 g’(x) - 0 + g(x) 0 -1

-4 Từ bảng biến thiên ta được : 0m Kết luận : 0m thì hàm số (1) đồng biến trong khoảng (1; )

c)Hàm số đồng biến trong khoảng ( 1;1) ( ) 0, ( 1;1)f x x

c)Hàm số đồng biến trong khoảng ( 1;1) ' 0, ( 1;1)y x

( ), ( 1;1)m g x x

[ 1;1]( )m Max g x

Xét : ( ) , [ 1;1].y g x x Ta có bảng biến thiên: x -1 0 1



9

0

' 0

0

( 1) 0

2( 1) 0

(1) 0

2.1 0

' 0

0

( 1) 0

(1) 0

a

a

f

S

f

S

a

f

f

2

2

1 0

2 7 4 0

2 7 4 0

3 0

20

1

11 4 0

01

1 0

1 0

3 0

11 4 0

m

m m

m m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

1

2m

Kết luận : 1


biến trong khoảng ( 1;1)

g’(x) + 0 - g(x)

1

2

4

11 0

Từ bảng biến thiên ta được : 1

2m

Kết luận : 1


biến trong khoảng ( 1;1)



10

Nhận xét: Với bài toán này nếu sử dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai thì ta đã phải sử dụng kiến thức đã được giảm tải hơn nữa lời giải khá phức tạp, với cách giải quyết như trên ta có được lời giải khá ngắn gọn và dễ hiểu sẽ tạo được nhiều hứng thú cho học sinh. *Bài toán 2: Cho hàm số : y = ax3 + bx2 + cx + d (1) (a 0) a)Tìm điều kiện để hàm số (1) nghịch biến trên ( ; ) . b)Tìm điều kiện để hàm số (1) nghịch biến trên ( ; ) . c)Tìm điều kiện để hàm số (1) nghịch biến trên ( ; ) .


2' ( ) 3 2y f x ax bx c a)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng ( ; )

( ) 0, ( ; )f x x

0

0

0

0

( ) 0

2 0

a

a

f

S

Txđ: D = R 2' ( ) 3 2y f x ax bx c

TH1: Nếu bpt: ( ) 0 ( ) ( ) ( )f x g x h m i a)Hàm số(1) nghịch biến trong khoảng ( ; ) ( ) ( ) , ( ; )h m g x x

( ; ]( ) ( )h m Max g x

b)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng ( ; ) ( ) ( ) , ( ; )h m g x x

[ ; )( ) ( )h m Max g x

c) Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng ( ; )



11

b) Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng ( ; )

( ) 0, ( ; )f x x

0

0

0

0

( ) 0

2 0

a

a

f

S

c) Hàm số(1) nghịch biến trong khoảng ( ; )

( ) 0, ( ; )f x x

0

0

0

( ) 0

2 0

( ) 0

2 0

0

0

( ) 0

( ) 0

a

a

f

S

f

S

a

f

f

( ) ( ) , ( ; )h m g x x

[ ; ]( ) ( )h m Max g x

TH2: Nếu bpt: ( ) 0f x không đưa được về dạng (i) thì ta đặt : t = x - Khi đó ta có:

2 2' ( ) 3 2(3 ) 3 2y g t at a b t a b c . a)Hàm số(1) nghịch biến trong khoảng ( ; )

( ) 0, 0g t t

0

0

0

0

0

0

a

a

S

P

b)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng ( ; )

( ) 0, 0g t t

0

0

0

0

0

0

a

a

S

P

*Ví dụ 2: Cho hàm số : y = 2 3 211 1 2 1

3m x m x x (1) ( 1)m

Tìm các giá trị của m để hàm số (1): a) Nghịch biến trên khoảng ( ;2) . b) Nghịch biến trên khoảng (2; ) .

Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị



12

Txđ : D = R y’ = f(x) = 2 2( 1) 2( 1) 2m x m x a)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng ( ;2)

( ) 0, ( ;2)f x x

0

' 0

0

' 0

(2) 0

2.2 0

a

a

f

S

2

2

2

2

2

1 0

3 2 1 0

1 0

3 2 1 0

4 4 10 0

4 60

1

m

m m

m

m m

m m

m

m

11

3m

Kết luận: Với 1

13

m

thì hàm số

(1) nghịch biến trong khoảng ( ;2)

Txđ : D = R y’ = f(x) = 2 2( 1) 2( 1) 2m x m x Đặt t = x – 2 ta được : y’ = g(t) =

2 2 2 2( 1) (4 2 6) 4 4 10m t m m x m m a)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng ( ;2)

( ) 0, 0g t t

0

0

0

0

0

0

a

a

S

P

2

2

2

2

2

1 0

3 2 1 0

1 0

3 2 1 0

4 4 10 0

2 30

1

m

m m

m

m m

m m

m

m

11

3m

Kết luận: Với 1

13

m

thì hàm số (1)

nghịch biến trong khoảng ( ;2)

b)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (2; ) ( ) 0, (2; )f x x

b)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (2; )



13

0

' 0

0

' 0

(2) 0

2.2 0

a

a

f

S

2

2

2

2

2

1 0

3 2 1 0

1 0

3 2 1 0

4 4 10 0

4 60

1

m

m m

m

m m

m m

m

m

1 1m Kết luận: Với 1 1m thì hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (2; )

( ) 0, 0g t t

0

0

0

0

0

0

a

a

S

P

2

2

2

2

2

1 0

3 2 1 0

1 0

3 2 1 0

4 4 10 0

2 30

1

m

m m

m

m m

m m

m

m

1 1m Kết luận: Với 1 1m thì hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (2; )

*Nhận xét : Trong bài toán này ta đã dùng phương pháp đổi biến số để chuyển từ bài toán phải sử dụng kiến thức đã được giảm tải về bài toán quen thuộc chỉ sử dụng kiến thức về định lý Viet đã được học trong chương trình lớp 10.Với cách làm này sẽ tạo sự hứng thú đối với học sinh.

*Bài toán 3: Cho hàm số : 2

(2), ( , 0)ax bx c

y a ddx e

.

a)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên ( ; ) .



14

b)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên ( ; ) . c)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên ( ; ) .


Txđ: \e

D Rd

2

2 2

2 ( )'

adx aex be dc f xy

dx e dx e

TH1: Nếu: ( ) 0 ( ) ( ) ( )f x g x h m i a)Hàm số(2) đồng biến trong khoảng ( ; )

( ; ]

( ) ( ),

( ) ( )

e

dg x h m x

e

dh m Min g x

b)Hàm số(2) đồng biến trong khoảng ( ; )

[ ; )

( ) ( ),

( ) ( )

e

dg x h m x

e

dh m Min g x

Txđ: \e

D Rd

2

2 2

2 ( )'

adx aex be dc f xy

dx e dx e

a)Hàm số (2) đồng biến trong khoảng ( ; )

' 0, ( ; )

( ) 0, ( )

y x

e

df x x I

0

0

0( )

0

( ) 0

2 0

ad

adI

f

S

c) Hàm số (2) đồng biến trong khoảng ( ; )

[ ; ]

;

( ) ( ), ( ; )

;

( ) ( )

e

dg x h m x

e

dh m Min g x



15

b)Hàm số (2) đồng biến trong khoảng ( ; )

' 0, ( ; )

( ) 0, ( )

y x

e

df x x I

0

0

0( )

0

( ) 0

2 0

ad

adII

f

S

TH2: Nếu bpt: ( ) 0f x không đưa được về dạng (i) thì ta đặt : t = x - Khi đó bpt: ( ) 0f x trở thành : ( ) 0g t , với:

2 2( ) 2 ( ) 2g t adt a d e t ad ae be dc a)Hàm số(2) đồng biến trong khoảng ( ; )

( ) 0, 0 ( )

e

dg t t ii

0

0

0( )

0

0

0

a

aii

S

P

c) Hàm số (2) đồng biến trong khoảng ( ; )

' 0, ( ; )

( ; )

( ) 0, ( ; ) ( )

y x

e

df x x III

b)Hàm số(2) đồng biến trong khoảng ( ; )

( ) 0, 0 ( )

e

dg t t iii

0

0

0( )

0

0

0

a

aiii

S

P



16

(III)

0

0

0

( ) 0

2 0

( ) 0

2 0

0

0

( ) 0

( ) 0

ad

ad

f

S

f

S

ad

f

f

*Nhận xét: Đây là bài toán thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh đại học với cách làm như trên có thể giúp các em giải quyết hầu hết các bài toán dạng này mà không cần sử dụng kiến thức lien quan đến đinh lý dảo về dấu của tam thức bậc hai đã được giảm tải

*Ví dụ 3: Cho hàm số: 22 3

(2).1

x x my

x

a)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên ( ; 1) . b)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên (2; ) . c)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên (1;2) .




17

Txđ : D = R 2

2 2

2 4 3 ( )' .

( 1) ( 1)

x x m f xy

x x

a)Hàm số (2) đồng biến trên ( ; 1) ' 0, ( ; 1)

( ) 0, 1

y x

f x x

0

' 0

0

' 0

( 1) 0

2( 1) 0

a

a

f

S

1

1

9 0

m

m

m

9m

Kết luận: Vậy 9m thì hàm số (2) đồng biến trên ( ; 1)

b)Hàm số (2) đồng biến trên (2; ) ' 0, (2; )

( ) 0, 2

y x

f x x

0

' 0

0

' 0

(2) 0

2.2 0

a

a

f

S

1

1

3 0

m

m

m

3m

Kết luận: Vậy 3m thì hàm số (2) đồng biến trên (2; )

Txđ : D = R 2

2 2

2 4 3 ( )' .

( 1) ( 1)

x x m f xy

x x

Ta có: 2( ) 0 2 4 3f x m x x Đặt : 2( ) 2 4 3g x x x '( ) 4 4g x x a)Hàm số (2) đồng biến trên ( ; 1)

( ; 1]

' 0, ( ; 1)

( )

y x

m Min g x

Ta có bảng biến thiên của hàm số: ( ), ( ; 1]g x x

x -1 g’(x) g(x)

9

Kết luận: Vậy 9m thì hàm số (2) đồng biến trên ( ; 1) b)Hàm số (2) đồng biến trên (2; )

[2; )

' 0, (2; )

( )

y x

m Min g x

Ta có bảng biến thiên của hàm số: ( ), [2; )g x x

x 2 g’(x) + g(x)

3

Kết luận: Vậy 3m thì hàm số (2) đồng biến trên (2; ) c)Hàm số (2) đồng biến trên (1;2)



18

c)Hàm số (2) đồng biến trên (1;2) ' 0, (1;2)

( ) 0, (1;2)

y x

f x x

' 0

' 0

(1) 0

2.1 0

(2) 0

2.2 0

f

S

f

S

1

1

1 0

0 0

3 0

2 0

m

m

m

m

1m Kết luận: Vậy 1m thì hàm số (2) đồng biến trên (1;2)

[1;2]

' 0, (1;2)

( )

y x

m Min g x

Ta có bảng biến thiên của hàm số: ( ), [1;2].g x x

x 1 2 g’(x) + g(x) 3

1

Kết luận: Vậy 1m thì hàm số (2) đồng biến trên (1;2)

*Nhận xét: Qua bài toán này thêm một lần nữa giúp chúng ta thấy rõ đối với các bài toán có thể ứng dụng đạo hàm để giải thì lời giải của bài toán sẽ ngắn gọn và dễ dàng hơn rất nhiều.


(2), ( , 0)ax bx c

y a ddx e

.

a)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên ( ; ) . b)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên ( ; ) . c)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên ( ; ) .




19

Txđ: \e

D Rd

2

2 2

2 ( )'

adx aex be dc f xy

dx e dx e

TH1: Nếu: ( ) 0 ( ) ( ) ( )f x g x h m i a)Hàm số(2) nghịch biến trong khoảng ( ; )

( ; ]

( ) ( ),

( ) ( )

e

dg x h m x

e

dh m Min g x

b)Hàm số(2) nghịch biến trong khoảng ( ; )

[ ; )

( ) ( ),

( ) ( )

e

dg x h m x

e

dh m Min g x

Txđ: \e

D Rd

2

2 2

2 ( )'

adx aex be dc f xy

dx e dx e

a)Hàm số (2) nghịch biến trong khoảng ( ; )

' 0, ( ; )

( ) 0, ( )

y x

e

df x x I

0

0

0( )

0

( ) 0

2 0

ad

adI

f

S


[ ; ]

;

( ) ( ), ( ; )

;

( ) ( )

e

dg x h m x

e

dh m Min g x



20

b)Hàm số (2) nghịch biến trong khoảng ( ; )

' 0, ( ; )

( ) 0, ( )

y x

e

df x x I

0

0

0( )

0

( ) 0

2 0

ad

adII

f

S

TH2: Nếu bpt: ( ) 0f x không đưa được về dạng (i) thì ta đặt : t = x - Khi đó bpt: ( ) 0f x trở thành : ( ) 0g t , với:

2 2( ) 2 ( ) 2g t adt a d e t ad ae be dc a)Hàm số(2) nghịch biến trong khoảng ( ; )

( ) 0, 0 ( )

e

dg t t ii

0

0

0( )

0

0

0

a

aii

S

P


' 0, ( ; )

( ; )

( ) 0, ( ; ) ( )

y x

e

df x x III

b)Hàm số(2) nghịch biến trong khoảng ( ; )

( ) 0, 0 ( )

e

dg t t iii



21

(III)

0

0

0

( ) 0

2 0

( ) 0

2 0

0

0

( ) 0

( ) 0

ad

ad

f

S

f

S

ad

f

f

0

0

0( )

0

0

0

a

aiii

S

P

*Ví dụ 4: Cho hàm số: 2 22 3

(2).2

x mx my

m x

a)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên ( ;1) . b)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên (1; ) .

Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị Txđ : D = R\{2m}

2 2

2 2

4 ( )' .

( 2 ) ( 2 )

x mx m f xy

x m x m

a)Hàm số (2) nghịch biến trên ( ;1) ' 0, ( ;1)

2 1

( ) 0, 1 ( )

y x

m

f x x I

' 0

' 0( )

(1) 0

2.1 0

If

S

Txđ : D = R\{2m} 2 2

2 2

4 ( )' .

( 2 ) ( 2 )

x mx m f xy

x m x m

Đặt : t = x-1 Khi đó bpt: ( ) 0f x trở thành :

2 2( ) 2(1 2 ) 4 1 0g t t m t m m a)Hàm số (2) nghịch biến trên ( ;1)

' 0, ( ;1)

2 1

( ) 0, 0 ( )

y x

m

g t t i



22

2

0

0

4 1 0

4 2 0

m

m

m m

m

0

2 3

m

m

Kết luận: Với 2 3m thì hàm số (2) nghịch biến trên ( ;1)

' 0

' 0( )

0

0

iS

P

2

0

0

4 2 0

4 1 0

m

m

m

m m

0

2 3

m

m

Kết luận: Với 2 3m thì hàm số (2) nghịch biến trên ( ;1)

b)Hàm số (2) nghịch biến trên (1; ) ' 0, (1; )

2 1

( ) 0, 1 ( )

y x

m

f x x II

' 0

' 0( )

(1) 0

2.1 0

IIf

S

2

0

0

4 1 0

4 2 0

m

m

m m

m

2 3m

Kết luận: Với 2 3m thì hàm số (2) nghịch biến trên (1; )

b)Hàm số (2) nghịch biến trên (1; ) ' 0, (1; )

2 1

( ) 0, 0 ( )

y x

m

g t t ii

' 0

' 0( )

0

0

iiS

P

2

0

0

4 2 0

4 1 0

m

m

m

m m

2 3m

Kết luận: Với 2 3m thì hàm số (2) nghịch biến trên (1; )

*Bài toán 5: Cho hàm số : y = ax3 + bx2 + cx + d (1) (a 0). Tìm điều kiện để hàm số (1) : a) Có cực trị trong ( ; ) . b) Có cực trị trong ( ; ) . c) Có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : 1 2x x .

d) Có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : 1 2x x .



23

e) Có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : 1 2x x .


2' ( ) 3 2y f x ax bx c a)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng ( ; )

( ) 0f x có nghiệm trong

khoảng ( ; ) .

( ) 0

' 0

( ) 0

2 0

af

af

S

Txđ: D = R 2' ( ) 3 2y f x ax bx c

dạng (i) thì ta đặt : t = x - khi đó : 2 2' ( ) 3 2(3 ) 3 2y g t at a b t a b c .

a)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng ( ; ) ( ) 0f x có nghiệm trong khoảng ( ; ) . ( ) 0g t có nghiệm: t < 0

0

' 0

0

0

P

S

P

b)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng ( ; )


khoảng ( ; ) .

( ) 0

' 0

( ) 0

2 0

af

af

S

b)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng ( ; ) ( ) 0f x có nghiệm trong khoảng ( ; ) . ( ) 0g t có nghiệm: t > 0

0

' 0

0

0

P

S

P

c)Hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : 1 2x x .

( ) 0f x có hai nghiệm x1, x2

thõa mãn : 1 2x x

( ) 0af

c) Hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn :

1 2x x .

( ) 0g t có hai nghiệm t1,t2

thõa mãn : 1 20t t 0P



24

d) Hàm số (1) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : 1 2x x


thõa mãn : 1 2x x

' 0

( ) 0

2 0

af

S

d) Hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn :

1 2x x .


thõa mãn : 1 2 0t t

' 0

0

0

S

P

e) Hàm số (1) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : 1 2x x


thõa mãn : 1 2x x

' 0

( ) 0

2 0

af

S

e) Hàm số (1) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn :

1 2x x


thõa mãn : 1 20 t t

' 0

0

0

S

P

Nhận xét: Thoạt nhìn bài toán này thể hiện rõ phải dùng kiến thức về so sánh các nghiệm của một tam thức bậc hai với một số thực . Nhưng với cách làm trên ta đã đưa về bài toán quen thuộc so sánh các nghiệm với số 0. Đây là bài toán tổng quát học sinh có thể dùng cách này để giải quyết được rất nhiều bài toán tương tự mà không cần sử dụng các kiến thức liên quan đến định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai.

*Ví dụ 5: Cho hàm số : y = 3 2 21( 1) 1

3x mx m m x (1).

Tìm điều kiện để hàm số (1): a) Có cực trị trong ( ;1) . b) Có cực trị trong (1; ) . c) Có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : 1 21x x .

d) Có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : 1 2 1x x .

e) Có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : 1 21 x x .



25

Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị Txđ: D = R y’ = f(x) = 2 22 1x mx m m a)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng ( ;1)


khoảng ( ;1) .

(1) 0

' 0

(1) 0

2.1 0

af

af

S

2

2

3 2 0

1 0

3 2 0

2 2 0

m m

m

m m

m

1 2m

Kết luận: Với 1 2m thì hàm số(1) có cực trị trong khoảng ( ;1)

Txđ: D = R y’ = f(x) = 2 22 1x mx m m Đặt 1 1t x x t ta được :

2 2' ( ) 2 1 3 2y g t t m t m m

a)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng ( ;1) ( ) 0f x có nghiệm trong khoảng ( ;1) . ( ) 0g t có nghiệm: t < 0

0

' 0

0

0

P

S

P

2

2

3 2 0

1 0

2 2 0

3 2 0

m m

m

m

m m

1 2m Kết luận: Với 1 2m thì hàm số(1) có cực trị trong khoảng ( ;1)

b)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng (1; )


khoảng (1; ) .

(1) 0

' 0

(1) 0

2.1 0

af

af

S

2

2

3 2 0

1 0

3 2 0

2 2 0

m m

m

m m

m

1 m

b)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng (1; ) ( ) 0f x có nghiệm trong khoảng (1; ) . ( ) 0g t có nghiệm: t > 0

0

' 0

0

0

P

S

P

2

2

3 2 0

1 0

2 2 0

3 2 0

m m

m

m

m m

1 m Kết luận:Với 1m thì hàm số(1) có cực trị trong khoảng (1; )



26

Kết luận:Với 1m thì hàm số(1) có cực trị trong khoảng (1; )

c)Hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : 1 21x x .


thõa mãn : 1 21x x

(1) 0af 2 3 2 0m m 1 2m Kết luận: Với 1 2m thì hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn :

1 21x x .


1 21x x .


thõa mãn : 1 20t t

0P 2 3 2 0m m 1 2m

Kết luận: Với 1 2m thì hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : 1 21x x .

d) Hàm số (1) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : 1 2 1x x


thõa mãn : 1 2 1x x

' 0

(1) 0

2.1 0

af

S

2

1 0

3 2 0

2 2 0

m

m m m

m


1 2 1x x .


thõa mãn : 1 2 0t t

' 0

0

0

S

P

2

1 0

3 2 0

2 2 0

m

m m m

m



27

Kết luận: Không có giá trị nào của m thõa mãn yêu cầu của bài toán

Kết luận: Không có giá trị nào của m thõa mãn yêu cầu của bài toán

e) Hàm số (1) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : 1 21 x x


thõa mãn : 1 21 x x

' 0

(1) 0

2.1 0

af

S

2

1 0

3 2 0 2

2 2 0

m

m m m

m

Kết luận: Với 2m thì hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn :

1 21 x x .

e) Hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn :

1 21 x x .


thõa mãn : 1 20 t t

' 0

0

0

S

P

2

1 0

3 2 0 2

2 2 0

m

m m m

m

Kết luận: Với 2m thì hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : 1 21 x x .


(2), ( , 0)ax bx c

y a ddx e

.

Tìm điều kiện để hàm số (2): a.Có cực trị trong ( ; ) . b.Có cực trị trong ( ; ) . c.Có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : 1 2x x .

d.Có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : 1 2x x . Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị



28

Txđ: \e

D Rd

2

2 2

2 ( )'

adx aex be dc f xy

dx e dx e

a)Hàm số (2) có cực trị trong khoảng ( ; ) khi và chỉ khi : phương trình ( ) 0f x có nghiệm trong khoảng ( ; ) (I) và

( ) 0e

fd

.

(I)

( ) 0

' 0

( ) 0

2 0

af

af

S

Txđ: \e

D Rd

2

2 2

2 ( )'

adx aex be dc f xy

dx e dx e

ta đặt : t = x -

Khi đó : 2

( )'

g ty

dt d e

, với :

2 2( ) 2 ( ) 2g t adt a d e t ad ae be dc a)Hàm số (2) có cực trị trong khoảng ( ; ) khi và chỉ khi : phương trình ( ) 0g t có nghiệm t < 0 (i)

và ( ) 0e

gd

.

0

' 0( )

0

0

P

iS

P

b)Hàm số(2) có cực trị trong khoảng ( ; ) khi và chỉ khi : phương trình ( ) 0f x có nghiệm trong khoảng ( ; ) (II) và

( ) 0e

fd

.

( ) 0

' 0( )

( ) 0

2 0

af

IIaf

S

b)Hàm số (2) có cực trị trong khoảng ( ; ) khi và chỉ khi : phương trình ( ) 0g t có nghiệm t > 0 (ii)

và ( ) 0e

gd

.

0

' 0( )

0

0

P

iiS

P

c)Hàm số(2) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : 1 2x x khi và chỉ khi : phương trình ( ) 0f x có hai


1 2x x khi và chỉ khi :

phương trình ( ) 0g t có hai nghiệm t1,t2

thõa mãn : 1 20t t (iii)



29

nghiệm x1, x2 thõa mãn :

1 2x x

(III) và ( ) 0e

fd

.

(III) ( ) 0af

và ( ) 0e

gd

.

(iii) 0P

d)Hàm số(2) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : 1 2x x khi và chỉ khi : phương trình ( ) 0f x có hai

nghiệm x1, x2 thõa mãn :

1 2x x (IV) và ( ) 0e

fd

.

(IV)' 0

( ) 0

2 0

af

S


1 2x x khi và chỉ khi :


thõa mãn : 1 2 0t t (iv)

và ( ) 0e

gd

.

(iv)' 0

0

0

S

P

*Ví dụ 6: Cho hàm số: 2 22 3

(2).2

x mx my

x m

Tìm điều kiện để hàm số (2) : a) Có cực trị trong ( ;1) . b) Có cực trị trong (1; ) . c) Có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : 1 21x x .


Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị Txđ : D = R\{2m}

2 2

2 2

4 ( )' .

( 2 ) ( 2 )

x mx m f xy

x m x m

a)Hàm số (2) có cực trị trong khoảng ( ;1) khi và chỉ khi : phương trình ( ) 0f x có nghiệm trong

Txđ : D = R\{2m} 2 2

2

4'

( 2 )

x mx my

x m

Đặt : t = x-1

Khi đó: 2

( )' .

( 1 2 )

g ty

t m

với:



30

khoảng ( ;1) (I) và (2 ) 0f m (I’)

(I)

(1) 0

' 0

(1) 0

2.1 0

af

af

S

2

2

2

4 1 0

3 0

4 1 0

4 2 0

m m

m

m m

m

2 3 2 3

2 32 3

mm

m

(I’) 23 0 0m m

Kết luận: Với 2 3

0

m

m

thì hàm số

(2) có cực trị trong khoảng ( ;1)

2 2( ) 2(1 2 ) 4 1 0g t t m t m m a)Hàm số (2) có cực trị trong khoảng ( ;1) khi và chỉ khi phương trình : ( ) 0g t có nghiệm t < 0 (i) và (2 1) 0g m (i’).

0

' 0( )

0

0

P

iS

P

2

2

2

4 1 0

3 0

4 2 0

4 1 0

m m

m

m

m m

2 3 2 32 3

2 3

mm

m

(i’) 23 0 0m m


0

m

m

thì hàm số (2)

có cực trị trong khoảng ( ;1) b)Hàm số (2) có cực trị trong khoảng (1; ) khi và chỉ khi : phương trình ( ) 0f x có nghiệm trong

khoảng (1; ) (I) và (2 ) 0f m (I’)

(I)

(1) 0

' 0

(1) 0

2.1 0

af

af

S

b)Hàm số (2) có cực trị trong khoảng (1; ) khi và chỉ khi phương trình : ( ) 0g t có nghiệm t > 0 (i) và (2 1) 0g m (i’).

0

' 0( )

0

0

P

iS

P



31

2

2

2

4 1 0

3 0

4 1 0

4 2 0

m m

m

m m

m

2 3 2 3

2 32 3

mm

m

(I’) 23 0 0m m

Kết luận: Với 2 3m thì hàm số (2) có cực trị trong khoảng (1; )

2

2

2

4 1 0

3 0

4 2 0

4 1 0

m m

m

m

m m

2 3 2 32 3

2 3

mm

m

(i’) 23 0 0m m

Kết luận: Với 2 3m thì hàm số (2) có cực trị trong khoảng (1; )

c)Hàm số(2) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : 1 21x x khi và chỉ khi : phương trình ( ) 0f x có hai nghiệm x1,

x2 thõa mãn : 1 21x x

(III) và (2 ) 0f m (I’). (III) (1) 0af

2 3 2 3m (I’) 0m

Kết luận: Với 2 3 2 3m thì hàm số (2) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn :

1 21x x

c) Hàm số(2) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : 1 21x x khi và chỉ khi :


thõa mãn : 1 20t t (iii)

và (2 1) 0g m (i’). (iii) 0P

2 3 2 3m (i’) 0m

Kết luận :Với 2 3 2 3m thì hàm số (2) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn :

1 21x x

d)Hàm số(2) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : 1 2 1x x khi và chỉ khi : phương trình ( ) 0f x có hai nghiệm x1,

x2 thõa mãn : 1 2 1x x

(IV) và (2 ) 0f m (I’).

(IV) ' 0

(1) 0

2.1 0

af

S

d) Hàm số(2) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : 1 2 1x x khi và chỉ khi :


thõa mãn : 1 2 0t t (iv)

và (2 1) 0g m (i’).

(iv)' 0

0

0

S

P



32

2

2

3 0

4 1 0 2 3

4 2 0

m

m m m

m

(I’) 0m


0

m

m

thì hàm số (2)

có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : 1 2 1x x

2

2

3 0

4 2 0 2 3

4 1 0

m

m m

m m

(i’) 0m


0

m

m

thì hàm số (2)

có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : 1 2 1x x

II. BÀI TẬP THỰC HÀNH

Bài 1: Cho hàm số : y = 3 2 212 2 8 1

3m x m x m x m (1) ( 1)m

Tìm các giá trị của m để hàm số: a) Đồng biến trên khoảng ( ;1) . b) Đồng biến trên khoảng (1; ) . c) Đồng biến trên khoảng (1;2) .

Bài 2: Cho hàm số : y = 2 3 211 1 2 1

3m x m x x (1) ( 1)m

Tìm các giá trị của m để hàm số (1): a) Nghịch biến trên khoảng ( ;1) . b) Nghịch biến trên khoảng (1; ) .

Bài 3: Cho hàm số: 2 8

(2).1

x mx my

x

a)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên ( ; 1) . b)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên (2; ) . c)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên (1;2) .

Bài 4: Cho hàm số: 2 2

(2).x mx m

yx m

a)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên ( ;1) . b)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên (1; ) . Bài 5: Cho hàm số : y = 3 22 3( 1) 6( 2) 1x m x m x (1). Tìm điều kiện để hàm số (1):



33

a) Có cực trị trong ( ;1) . b) Có cực trị trong (1; ) . c) Có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : 1 21x x . d) Có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : 1 2 1x x .

e) Có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : 1 21 x x .

Bài 6 : Cho hàm số: 2 22 3 1

(2).x mx m

yx m

Tìm điều kiện để hàm số (2) : a) Có cực trị trong ( ;1) . b) Có cực trị trong (1; ) . c) Có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : 1 21x x .




34

KEÁT QUẢ

Khi aùp duïng chuyeân ñeà naøy vaøo giaûng daïy hoïc sinh boä moân Toaùn ôû tröôøng THPT, toâi nhaän thaáy raèng caùc em hoïc sinh raát höùng thuù vôùi moân hoïc, nhiều em cảm thấy bất ngờ khi mà một số bài toán tưởng chừng như không thể giải quyết nếu không có công cụ là định lý đảo về dấu tam thức bậc 2 và các hệ quả, thì nay lại được giải quyết một cách đơn giản, dễ hiểu bằng cách ứng dụng đạo hàm và một định lý quen thuộc là định lý Vi-et. Chính vì caùc em nhận thaáy với mỗi bài toán nếu ta chịu tìm tòi sang tạo thì sẽ phát hiện được rất nhiều điều bổ ích neân rất hứng thú với môn học do dó moãi naêm hoïc toâi nhaän thaáy chaát löôïng cuûa moân Toaùn noùi rieâng, vaø keát quaû hoïc taäp cuûa caùc em hoïc sinh noùi chung ñöôïc naâng leân roõ reät, coù nhieàu em ñaàu naêm hoïc laø hoïc sinh yeáu, TB nhöng cuoái naêm ñaõ vöôn leân ñeå trôû thaønh hoïc sinh TB, khaù vaø gioûi, trong ca ́c kỳ thi tuyển sinh vào các trường Đại học, Cao đẳng có nhiều em đạt điểm khá cao góp phần nâng cao chất lượng giáo dục của nhà trường. Khi tham gia các kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh đã có em đạt giải điều mà nhiều năm trước đây đã không đạt được, Cuï theå:

1) Kết quả học tập bộ môn:

Ñaàu naêm hoïc (%) Cuoái naêm hoïc (%) Naêm hoïc Yeáu TB Khaù Gioûi Yeáu TB Khaù Gioûi

2007-2008 25 37 21 1 2008-2009 2009-2010

2) Kết quả thi HSG cấp tỉnh:

Kết quả thi HSG cấp tỉnh lớp 12 Naêm hoïc Giải nhất Gia ̉i nhì Giải ba Gia ̉i khuyến

khích 2008 – 2009 0 0 0 0 2009 – 2010 0 0 0 1



35

2010 – 2011 0 0 01 01

BÀI HỌC KINH NGHIỆM

Đất nước ta đang trên bước đường xây dựng, phát triển và giáo dục đã được Đảng, Nhà nước coi là quốc sách hàng đầu, để chấn hưng nền giáo dục của nước nhà thì việc đổi mới phương pháp giảng dạy được Bộ Giáo dục luôn coi là một nhiệm vụ cấp thiết cần phải thực hiện một cách có hiệu quả. Muốn làm tốt công việc đó thì người thầy phải phấn đấu tự học, tự rèn nhằm nâng cao nhận thức, nghiệp vụ chuyên môn, từ đó tìm ra cho mình phương pháp giảng dạy đạt hiệu quả cao nhất, tạo được sự hứng thú và niềm tin ở học trò nhằm góp phần nâng cao chất lượng giáo dục. Một trong những cách để tạo sự chuyển biến tích cực trong công tác giảng dạy đó là giáo viên viết các chuyên đề, sáng kiến kinh nghiệm phục vụ cho việc dạy và học. Từ những nhận thức đó, hàng năm tôi đều chọn một đề tài thiết thực phục vụ cho công tác giảng dạy để viết thành sáng kiến kinh nghiệm nhằm nâng cao năng lực về chuyên môn, góp phần chia sẻ cùng các đồng nghiệp, các em học sinh những ý tưởng phục vụ cho việc dạy và học được tốt hơn. Thực tế qua quá trình giảng dạy tôi nhận thấy đại đa số các em học sinh đều ngại và lúng túng khi gặp các bài toán có chứa tham số, bên cạnh đó việc sách giáo khoa lớp 10 đã giảm tải phần định lý đảo về dấu tam thức bậc 2 và các hệ quả, nên khi gặp các dạng toán trong chuyên đề này đã trình bày các em cảm thấy lúng túng, nhất là các em học sinh lớp 10, ngay cả các em học sinh lớp 12 khi đã được trang bị công cụ là đạo hàm cũng thấy khó khăn. Từ thực tế đó nhằm giúp các em học sinh cảm thấy hứng thú hơn khi học toán, biết cách vận dụng, khai thác một số dạng toán có chứa tham số, quy lạ về quen nên tôi viết sáng kiến kinh nghiệm: “ Ứng dụng định lý Vi-et giải một số dạng toán về phương trình bậc 2 – quy về bậc 2” . Rất mong sự góp ý của quý thầy, cô. Nhận xét và xếp loại của tổ chuyên môn



36

…………………………………………………………….......... …………………………………………………………….......... …………………………………………………………….......... …………………………………………………………….......... …………………………………………………………….......... …………………………………………………………….......... …………………………………………………………….......... Nhận xét và xếp loại của Hội đồng khoa học trường THPT chuyên Quang Trung

……………………………………………………………................................................................................................................ …………………………………………………………….......... …………………………………………………………….......... …………………………………………………………….......... …………………………………………………………….......... …………………………………………………………….......... …………………………………………………………….......... Nhận xét và xếp loại của HĐKH Sở Giáo dục – Đào tạo tỉnh Bình Phước

…………………………………………………………….......... …………………………………………………………….......... …………………………………………………………….......... …………………………………………………………….......... …………………………………………………………….......... ………………………………………………………………….. ………………………………………………………………….. ………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

P. tổ trưởng

Hội đồng xét duyệt SKKN

Hội đồng xét duyệt SKKN



37

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

sáng kiẾn kinh nghiỆm · pdf filegiải bài toán về tính...

Documents