soal dan kunci jawaban
DESCRIPTION
Soal Dan Kunci JawabanMonggo di waosTRANSCRIPT
SOAL DAN KUNCI JAWABAN KEMAMPUAN PENALARAN MATEMATIKA
MATERI BARISAN DAN DERET KELAS 12
No. Butir Soal Jawaban
1. Jika π0 = 1, ππ =ππβ1
1+ππβ1 untuk π = 1, 2, 3, β¦.
Berapakah nilai π2006 ?
π1 =π1β1
1 + π1β1=
π0
1 + π0=
1
1 + 1=
1
2
π2 =π2β1
1 + π2β1=
π1
1 + π1=
(12)
1 + (12)
=1
3
π3 =π3β1
1 + π3β1=
π2
1 + π2=
(13)
1 + (13)
=1
4
.
.
.
ππ =1
π + 1
Jadi, nilai π2006 =1
2006+1=
1
2007
2. Suku ke-n suatu deret adalah π’π = π2. Buktikan
bahwa deret (π’2 β π’1) + (π’3 β π’2) + (π’4 β π’3) + . .
. adalah sebuah deret aritmetika !
π’2 β π’1 = 22 β 12 = 3
π’3 β π’2 = 32 β 22 = 5
π’4 β π’3 = 42 β 32 = 7
.
.
.
π’π β π’πβ1 = π2 β (π β 1)2 = π2 β π2 + 2π β 1 = 2π β 1
Sehingga, (π’2
β π’1) + (π’3 β π’2) + (π’4 β π’3) + . . . +(π’π β π’πβ1)
(3 + 5 + 7 + . . . +(2π β 1) , dengan π β₯ 2.
Perhatikan bahwa deret (π’2 β π’1) + (π’3 β π’2) + (π’4 β π’3) + . . .
menyatakan deret aritmetika dengan suku pertama 3 dan beda 2.
3. Tentukan jumlah semua bilangan asli antara 1 dan
150 yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 7.
Deret aritmetika dari bilangan asli antara 1 dan 150 yang habis dibagi 4
adalah :
4 + 8 + 12 + . . . +148
π = 4, π = 8 β 4 = 4, π’π = 148
ππ =π’π
2π(π + π’π)
ππ =148
2(4)(4 + 148) = 2.812
Deret aritmetika dari bilangan asli antara 1 dan 150 yang habis dibagi 7 dan
4 (habis dibagi 28) adalah :
28 + 56 + . . . +140 ; π = 28, π’π = 140, π = 56 β 28 = 28
ππ =π’π
2π(π + π’π)
ππ =140
56(28 + 140) = 420
Jadi, jumlah semua bilangan asli antara 1 dan 150 yang habis dibagi 4
tetapi tidak habis dibagi 7 adalah = 2.812 β 420 = 2.391.
4. Diberikan π₯ +1
π₯= 3. Berapakah nilai dari π₯7 +
1
π₯7 ?
π₯ +1
π₯= 3
(π₯ +1
π₯)
2= 9
π₯2 + 2 +1
π₯2 = 9
π₯2 +1
π₯2 = 7
Misal ππ = π₯π +1
π₯π , maka
π1 = π₯ +1
π₯ , π2 = π₯2 +
1
π₯2 dan
(π₯ +1
π₯) (π₯π +
1
π₯π) = π₯π+1 +1
π₯π+1+ π₯πβ1 +
1
π₯πβ1
3ππ = ππ+1 + ππβ1
ππ+1 = 3ππ β ππβ1 (Rumus rekursi)
Dengan demikian :
π3 = 3π2 β π1 = 3 Γ 7 β 3 = 18
π4 = 3π3 β π2 = 3 Γ 18 β 7 = 47
π5 = 3π4 β π3 = 3 Γ 47 β 18 = 123
π6 = 3π5 β π4 = 3 Γ 123 β 47 = 322
π7 = 3π6 β π5 = 3 Γ 322 β 123 = 843
Jadi, nilai dari π₯7 +1
π₯7 adalah 843
5. Diberikan persamaan kuadrat π₯2 β 7π₯ + (π + 2) = 0 Dari persamaan kuadrat π₯2 β 7π₯ + (π + 2) = 0, diperoleh
yang mempunyai akar-akar πΌ dan π½, dengan π β π .
Jika πΌ, π½ dan π membentuk suatu barisan
aritmetika, carilah barisan aritmetika itu !
πΌ + π½ = 7 β πΌ = 7 β π½ dan πΌπ½ = π + 2.
Karena πΌ, π½, π membentuk barisan aritmetika, maka berlaku : π½ =
1
2(πΌ + π).
Subtitusikan πΌ = 7 β π½ ke persamaan π½ =1
2(πΌ + π) diperoleh π½ =
1
2(7 β
π½ + π)
Jadi, π = 3π½ β 7
Subtitusikan πΌ = 7 β π½ dan π = 3π½ β 7 ke persamaan πΌπ½ = π + 2, maka
:
(7 β π½)π½ = 3π½ β 7 + 2
π½2 β 4π½ β 5 = 0
(π½ β 5)(π½ + 1) = 0
π½ = 5 atau π½ = β1
Untuk π½ = 5, maka πΌ = 7 β π½ = 7 β 5 = 2 dan π = 3π½ β 7 = 3(5) β
7 = 8
Untuk π½ = β1, maka πΌ = 7 β (β1) = 8 dan π = 3(β1) β 7 = β10
Jadi, barisan aritmetika yang diminta adalah 2, 5, 8 atau 8, -1, -10
6. Buktikan bahwa 52π β 1 habis dibagi 3 untuk setiap
n bilangan asli.
Misalkan 52π β 1 habis dibagi 3 disebut P(n)
a. Untuk n=1 maka 52 β 1 = 24 habis dibagi 3, berarti P(n) benar untuk n=1
b. Misalkan P(n) benar untuk n=k maka 52π β 1 habis dibagi 3, berarti
52π β 1 = 3π untuk suatu bilangan bulat p. diperoleh n= k+1 sebagai
berikut
52π β 1 = 52πβ2 β 1
= 52. 52π β 1
= 25.52π β 1
= 24.52π + 52π β 1
= 24.52π + 3π
= 3(8.52π + π) bentuk ini habis dibagi 3
Karena kedua langkah pembuktuan dipenuhi jadi terbukti
52π β 1 habis dibagi 3 untuk setiap n bilangan asli
7. Sebuah bola tenis dijatuhkan ke lantai dari suatu
tempat dengan ketinggian 3 meter. Setiap kali
pantulan bola mencapai 2/3 dari ketinggian
sebelumnya. Tentukan jarak yang ditempuh bola
sampai berhenti.
Jarak yang ditempuh bola sampai berhenti adalah jarak yang ditempuh bola
untuk turun dan jarak yang ditempuh bola untuk memantul (bola naik),
berarti jumlah pantulan yang terjadi tidak dapat ditentukan, maka akan
terbentuk deret geometri tak hingga.
Untuk bola turun, diperoleh deret : 3 + 2 + 4
3 , . . . ., berarti a = 3 dan
r = 2
3.
Maka jarak yang ditempuh bola untuk turun adalah :
S turun = π
πβπ=
π
πβπ
π
= π
ππβ
= π π
Untuk bola naik, diperoleh deret : 2 + 4
3+
8
9 + . . . ., berarti a = 2 dan
r = 2
3
Maka jarak yang ditempuh bola untuk naik adalah :
S naik = π
πβπ=
π
πβπ
π
= π
ππβ
= π π
Maka jarak yang ditempuh bola sampai berhenti adalah :
S = jarak tempuh bola turun + jarak tempuh bola naik
S = 9 m + 6 m
S = 15 meter.
8. Perhatikan gambar di bawah ini, jika panjang sisi
pada persegi terbesar adalah 1 satuan panjang dan
persegi berikutnya diperoleh dengan cara
menghubungkan semua titik tengah pada ke empat
sisinya. Tentukan luas daerah yang diarsir.
Diketahui persegi terbesar mempunyai panjang sisi 1 satuan panjang, berarti
luasnya = 1 satuan luas. Daerah L1 yang diarsir = 1
8 satuan luas.
Luas daerah L2 adalah 1
2 dari L1 atau L2 = (
1
2) (
1
8) =
1
16
Luas daerah L3 adalah 1
2 dari L2 atau L3 = (
1
2) (
1
16) =
1
32
Luas daerah L3 adalah 1
2 dari L3 atau L4 = (
1
2) (
1
32) =
1
64
Luas daerah L2 adalah 1
2 dari L4 atau L5 = (
1
2) (
1
64) =
1
128
Maka luas daerah yang diarsir adalah :
L = L1 + L2 + L3 + L4 + L5 = 1
8+
1
16+
1
32+
1
64+
1
128 =
16+8+4+2+1
128=
31
128
Jadi luas daerah yang diarsir adalah 31
128 satuan luas.
9. Pada awal bulan Juni 2008, Yunita menyumbangkan
Rp 10.000,00 ke dalam sebuah kotak dana
kemanusiaan. Sebulan kemudian Yunita mengajak 10
orang temannya untuk menyumbang masing-masing
Rp 10.000,00 kedalam kotak tersebut. Bulan
berikutnya setiap 10 orang yang diajak yunita
mengajak 10 orang lainnya untuk menyumbangkan
masing-masing Rp 10.000,00 kedalam kotak yang
sama, dan seterusnya. Jika setiap orang hanya
menyumbangkan sekali dan Yunita adalah orang
pertama yang menyumbang, tentukan jumlah uang
yang terkumpul hingga akhir bulan Maret 2009 .
Jumlah uang yang terkumpul:
Juni : Rp 10.000,00
Juli : Rp 10.000,00 + 10 (Rp 10.000,00)
Agustus: Rp10.000 + 10 (Rp 10.000,00) +10 (10(Rp 10.000,00))
September : Rp10.000 + 10 (Rp 10.000,00) +10 (10(Rp 10.000,00)) +
10(10 (10(Rp 10.000,00)))
dan seterusnya
Rp10.000 + 10 (Rp 10.000,00) +10 (10(Rp 10.000,00)) + 10(10 (10(Rp
10.000,00))) + β¦β¦.
=10.000 (1+10+100+1.000 +β¦..) jumlah tersebut mengikuti pola deret
geometri suku pertama 1 dan rasio 10
ππ =π(1 β ππ)
1 β π
π10 =1(1010 β 1)
10 β 1= 1.111.111.111
Jadi jumlah uang yang terkumpul hingga bulan Maret adalah
Rp 10.000,00 x π10= 11.111.111.110.000,00
10. Dalam sebuah deret aritmetika, suku ketiga adalah 9,
suku ke-n adalah 87, jumlah suku keenam dan suku
ketujuh adalah 39. Hitunglah jumlah π suku pertama!
π’3 = 9 β π + 2π = 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)
π’6 + π’7 = 39 β π + 5π + π + 6π = 39 β 2π + 11π = 39 . . . . . .(2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
π + 2π = 9 x 2 2π + 4π = 18
2π + 11π = 39 x 1 2π + 11π = 39
β7π = β21 β π = 3
Subtitusikan π = 3 ke persamaan π + 2π = 9, maka didapat :
π + 2(3) = 9 β π = 3
ππ = 87 β π + (π β 1)π = 87 β 3 + (π β 1)3 = 87
3 + 3π β 3 = 87 β π = 29
ππ =π
2(π + π’π)
π29 =29
2(3 + 87) = 1305
Jadi, jumlah π suku pertama sama dengan jumlah 29 suku pertama adalah
1.305
11. Di antara bilangan 3 dan 61 disisipkan beberapa
bilangan hingga membentuk barisan aritmetika. Dari
π = 3, π’π = 61, dan π = 61 β 3 = 58
Barisan aritmetika : 1
π’2,
1
π’4,
1
π’22
barisan aritmetika ini diketahui bahwa kebalikan dari
suku-suku π’2, π’4 dan π’22 merupakan barisan
aritmetika. Carilah banyak suku yang disisipkan!
1
π’4β
1
π’2=
1
π’22β
1
π’4
2
π’4=
1
π’22+
1
π’2
2
π+3πβ²=
1
π+21πβ²+
1
π+πβ²
2
π+3πβ²=
1
3+21πβ²+
1
3+πβ²
2
3+3πβ²=
3+πβ²+3+21πβ²
(3+21πβ²)(3+πβ²)
9 + 66πβ² + 21(πβ²)2 = 9 + 42πβ² + 33(πβ²)2
12(πβ²)2 β 24πβ² = 0
12πβ²(πβ² β 2) = 0
πβ² = 0 (ditolak) atau πβ² = 2 (diterima)
πβ² =π
π+1
2 =58
π+1 β π = 28
Jadi, banyak suku yang disisipkan adalah 58 buah.
12. Gambarkan langkah berikutnya dari pola di bawah ini
Jika luas segitiga yang tidak diarsir (pada langkah 1)
adalah 1 satuan luas, berapa luas daerah yang tidak
diarsir pada:
Langkah 2
Langkah 3
Langkah 4
Langkah 5
Langkah 10
Langkah n, dimana n adalah bilangan asli.
Jika luas segitiga yang tidak diarsir (pada langkah 1) adalah 1 satuan luas,
maka luas daerah yang tidak diarsir pada :
1). Langkah 2 adalah 3
4
2). Langkah 3 adalah 3
4 π₯
3
4= (
3
4)
2
3). Langkah 4 adalah 3
4 π₯
3
4 π₯
3
4= (
3
4)
3
4). Langkah 5 adalah 3
4 π₯
3
4 π₯
3
4 π₯
3
4= (
3
4)
4
5). Langkah 10 adalah (3
4)
9
6). Langkah n, dimana n adalah bilangan asli adalah (3
4)
πβ1
13. Pada soal nomor 12, kapan diperoleh luas daerah
yang diarsir terbesar? Berikan alasan yang jelas!
Luas daerah yang tidak diarsir semakin lama semakin kecil dengan
semakin bertambahnya nilai n. Ketika n β β maka limπβ β (3
4)
πβ1
= 0.
Oleh karena itu luas daerah yang diarsir ketika n β β adalah satu dikurangi
nol atau sama dengan satu.
14. Diketahui barisan aritmetika, suku ke-9 adalah 35
dan jumlah suku ke-4 dan suku ke-12 adalah 62.
Carilah suku ke-n dan suku ke-100.
π’9 = 35 , π + 8π = 35 . . . . . . . . . . . . . . . . .(1)
π’4 + π’12 = 62 , π + 3π + π + 11π = 62
π + 7π = 31 . . . . . . . . . . . (2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh :
π + 8π = 35
π + 7π = 62
π = π
Subtitusikan π = 4 ke persamaan (1) diperoleh π + 8(4) = 35 β π = π
π’π = π + (π β 1)π = 3 + (π β 1)4 = 4π β 1
π’100 = π + 99π = 3 + 99(4) = 399
Jadi, Suku ke-n adalah 4π β 1 dan suku ke-100 adalah 399.
15. Akar-akar dari persamaan π₯2 + ππ₯ + 8 = 0 adalah π₯1
dan π₯2, semua akar-akarnya postif dan π₯2 > π₯1. Agar
π₯1, π₯2 dan 3π₯1 berturut-turut suku pertama, suku
kedua dan suku ketiga dari barisan aritmetika, carilah
nilai π!
π₯2 + ππ₯ + 8 = 0
π₯1π₯2 = 8 . . . . . . . . . . . .(1)
Barisan aritmetika : π₯1, π₯2, 3π₯1
π₯2 β π₯1 = 3π₯1 β π₯2
2π₯1 = π₯2 . . . . . . . . . . . .(2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh :
π₯1(2π₯1) = 8 β π₯12 = 4 β π₯1 = Β±β4 = Β±2
Karena π₯1 dan π₯2 adalah positif, maka π₯1 = 2. Subtitusikan π₯1 = 2 ke
persamaan π₯2 + ππ₯ + 8 = 0, diperoleh :
(2)2 + π(2) + 8 = 0 β 4 + 2π + 8 = 0 β 2π = β12 β π = β6
Jadi, nilai π = β6.
16. Diberikan deret aritmetika, suku pertama -1, bedanya
3 dan jumlah π suku pertamanya adalah 2.300.
Carilah banyak suku dan suku terakhir dari deret
aritmetika tersebut!
π = β1, π = 3, ππ = 2.300
ππ =π
2{2π + (π β 1)π}
2.300 =2.300
2{2(β1) + (2.300 β 1)3}
3π2 β 5π β 4.600 = 0
(3π + 115)(π β 40) = 0
π = β115
3 (ditolak) atau π = 40 (diterima).
π’40 = π + 39π = β1 + 39(3) = 116
Jadi, banyaknya suku deret aritmetika tersebut adalah 40 buah dan suku
terakhirnya = suku ke-40 adalah 116.
17. Diberikan deret geometri suku ke-5 dan suku ke-7
masing-masing adalah 41
2 dan 1
1
8. Hitunglah suku
pertama dan jumlah 8 suku pertama
π’5 = 41
2=
9
2, π’7 = 1
1
8=
9
8
π7β5 =π’7
π’5=
9
89
2
=1
4
π2 =1
4 β π = Β±β
1
4= Β±
1
2
Subtitusikan π = Β±1
2 ke π’5 = 4
1
2 diperoleh :
π’5 = 41
2
ππ4 =9
2
π (Β±1
2)
4=
9
2
1
16π =
9
2 β π = 72
Untuk π = 72 dan π =1
2, maka
ππ =π(ππβ1)
πβ1
π8 =72{(
1
2)
8β1}
1
2β1
= 1437
16
Untuk π = 72 dan π =1
2, maka π8 =
72{(β1
2)
8β1}
β1
2β1
= 4713
16
Jadi, suku pertamanya adalah 72 dan jumlah 8 suku pertama adalah 4713
16
18. Buktikan bahwa untuk semua bilangan bulat positif
π, 32π + 22π+2 habis dibagi 5 !
Misalkan π(π) adalah 32π + 22π+2
π(π) benar untuk π = 1, sebab 32π + 22π+2 menjadi 32.1 + 22.1+2 = 25
yang habis dibagi oleh 5.
Andaikan π(π) benar, maka kita tunjukkan bahwa π(π + 1) juga benar,
sehingga : 32(π+1) + 22(π+1)+2 = 32. 32π + 22. 22π+2
= (10. 32π + 5. 22π+2) β (32π + 22π+2)
= 5(2. 32π + 22π+2) β (32π + 22π+2)
Ternyata suku-suku ruas kanan habis dibagi oleh 5, sehingga ruas kanan dan
juga ruas kiri habis dibagi 5.
Jadi, terbukti bahwa π(π + 1) juga benar. Dengan demikian, pertanyaan
bahwa untuk semua bilangan bulat positif π, 32π + 22π+2.
19. Buktikan bahwa untuk setiap deret geometri
π2π: ππ = ππ + 1 !
ππ =π(ππβ1)
πβ1 dan π2π =
π(π2πβ1)
πβ1
π2π βΆ ππ =π(π2π β 1)
π β 1βΆ
π(ππ β 1)
π β 1
= (π2π β 1) βΆ (ππ β 1)
= (ππ + 1)(ππ β 1) βΆ (ππ β 1)
= ππ + 1 (terbukti)
20. Dini dan Anjar bekerja pada suatu perusahaan dengan
kontrak selama 12 tahun. Gajinya dihitung setiap
tahun. Mereka masing-masing digaji Rp
60.000.000,00 setahun. Dini mendapat kenaikan
secara berkala sebesar Rp 500.000,00 setiap tahun
sedangkan Anjar mendapat kenaikan gaji secara
berkala sebesar Rp 250.000,00 setiap setengah tahun.
Skala gaji siapakah yang menguntungkan dari kedua
karyawan itu ?
Jumlah gaji Dini selama 12 tahun membentuk deret aritmerika yang
dihitung dengan periode satu tahun.
π12 = 60.000.000 + 60.500.000 + 61.000.000 + . . .
π = 60.000.000, π = 500.000, π = 12
ππ =π
2{2π + (π β 1)π}
π12 =12
2{2(60.000.000) + (12 β 1)500.000} = 753.000.000
Jumlah gaji Anjar selama 12 tahun membentuk deret aritmetika yang
dihitung dengan periode setengah tahun.
π24 = 30.000.000 + 30.250.000 + 30.500.000 + . . .
π = 30.000.000, π = 250.000, π = 24
π24 =24
2{2(30.000.000) + (24 β 1)250.000} = 789.000.000
Berdasarkan perhitungan di atas, kita dapat menarik kesimpulan bahwa
skala gaji yang lebih menguntungkan adalah skala gaji Anjar yang
memberikan tambahan sebesar
π π 789.000.000,00 β π π 753.000.000,00 = π π 36.000.000,00.