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Sociedade Brasileira de Educação Matemática – Regional Distrito Federal 23 a 25 de setembro de 2011
OBJETOS DE APRENDIZAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA
Orlando Natal Neto
Centro Estadual de Educação Tecnológica – CETEC
RESUMO
O projeto aqui apresentado é fundamentado na convicção de que o uso dos
objetos de aprendizagem é um meio facilitador no desenvolvimento das capacidades
individuais dos alunos e um auxílio ao professor no desenvolvimento de suas aulas.
Estamos propondo uma investigação sobre o ensino dos conteúdos de
matemática do ensino médio, sobre maneiras de desenvolvê-los, como também a
reflexão sobre a inserção de novos recursos digitais pedagógicos.
Este mini-curso visa apontar possibilidades para o uso de novas tecnologias no
ensino da matemática, o que se entende por objetos virtuais de aprendizagem e de que
forma podemos inseri-los como instrumento facilitador no ensino-aprendizagem da
matemática.
As tecnologias de informação e comunicação (TIC) estão cada vez mais presente
no cotidiano de alunos e professores. Contudo, é preciso discutir suas relações com os
processos de ensino e aprendizagem na Educação [Fernandes 2004].
Esta discussão surge com o anseio de modificar a forma como a Educação
propõe o ensino e como os materiais educacionais são projetados, desenvolvidos e
entregue àqueles que desejam aprender. Atualmente, um dos materiais educacionais que
procuram atender esses objetivos são os Objetos de Aprendizagem (OA).
Durante os últimos anos diversos projetos e pesquisas têm sido realizados em
torno dos OA. Na América Latina, no ano de 2000, foi implantado a Red Interativa
Virtual de Educación (RIVED), um projeto de cooperação que visa aprimorar o ensino
de Ciências e Matemática utilizando-se das potencialidades das tecnologias de
informação e comunicação (Nascimento e Morgado, 2003).
Em geral, os Objetos de Aprendizagem abrangem conteúdos que podem se
beneficiar das potencialidades tecnológicas disponíveis, como por exemplo, noções de
transformações isométricas, semelhança e diferença (Felipe e Faria, 2003).
Diante disso, propomos um mini-curso que objetiva discutir as diversas formas
de se utilizar OA em sala de aula. Nessa oficina, os participantes irão se familiarizar
com OA disponíveis em repositórios nacionais e planejar aulas para utilização de OA
com alunos do Ensino Fundamental e Médio.
Palavras chave: Ensino da Matemática, Objetos de Aprendizagem,
OBJETIVO GERAL
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O objetivo deste minicurso é oferecer aos professores de matemática,
orientações quanto à utilização de Objetos de Aprendizagem no Ensino da Matemática,
apontando possibilidades e formas que auxilie na utilização de objetos de aprendizagem
no ensino da matemática.
OBJETIVO ESPECÍFICO
Verificar o que se entende por Objetos Virtuais de Aprendizagem;
Indicar alternativas na produção de Objetos Virtuais de Aprendizagem;
Demonstrar a aplicação dos conteúdos matemáticos através dos Objetos de
Aprendizagem evidenciando o uso de novas tecnologias;
Fornecer aos professores de matemática os portais educacionais que depositam
Objetos Virtuais de Aprendizagem de maneira gratuita;
Fazer um levantamento de Objetos Virtuais de Aprendizagem em matemática
existentes na Internet, disponíveis para o uso em aula e de fácil acesso para alunos e
professores;
Verificar os efeitos da utilização de Objetos Virtuais de Aprendizagem no ensino da
matemática.
JUSTIFICATIVA
Penso sobre a utilização de Objetos de Aprendizagem e seu futuro no âmbito
educacional como processo de ensino-aprendizagem, nos quais, professores e alunos,
possam interagir com ambientes virtuais de aprendizagem.
A utilização dos Objetos de Aprendizagem são propostas que solicitam a
participação do aluno, fazendo dele, o protagonista de seu próprio processo de
aprendizagem.
Os objetos de aprendizagem são todos os recursos elaborados ou utilizados pelo
professor, para que o aluno, através da interação com os mesmos, compreenda ou
construa de forma autônoma algum conceito.
Na atualidade, com os avanços tecnológicos, grande parte dos alunos, já trazem
consigo alguma experiência na utilização dos meios tecnológicos. A escola, de maneira
geral, assim como os professores, precisam atualizar-se para interagir com esses
recursos educacionais.
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A utilização dos Objetos de Aprendizagem deve tornar interessante, atraindo a
atenção dos alunos e motivando sua interação, e assim, a construção do conhecimento
de forma autônoma.
O professor é peça fundamental no auxílio à transformação de informação em
conhecimento. Para instigar o aluno ao pensamento crítico e a capacidade de
interpretação de situação-problema.
O papel da escola, em geral, torna-se significativo, se direcionado para o
desenvolvimento de habilidades e competências, disponibilizando situações de
aprendizagem que atenda aos novos conceitos de aquisição de conhecimento.
No Brasil, o Ministério da Educação, a Secretaria de Educação a Distancia
(SEED), têm desenvolvido alguns projetos de incentivo a criação de objetos virtuais de
aprendizagem. Os objetos de aprendizagem constituem como um novo paradigma e
pretende, a partir dos objetos de aprendizagem, melhorar a qualidade de ensino.
METODOLOGIA
Para alcançar os objetivos propostos, pretende-se utilizar um mini-curso como
meio para realização do projeto, bem como a realização de atividades que possam somar
na compreensão e utilização dos objetos de aprendizagem no ensino da matemática.
A natureza do trabalho proposto consiste em uma capacitação aplicada e tem
como motivação principal contribuir e ampliar os conceitos gerando novos
conhecimentos para aplicação nas aulas. O eixo central do trabalho se constitui pela
análise do contexto educacional no ensino da matemática.
Será oferecido 40 vagas para professores de matemática, sendo alocados dois
professores por computador ampliando assim o número de participantes sem prejuízo de
aprendizado.
Cada participante do curso irá receber um CD contendo um conjunto de Objetos
de Aprendizagem na área de matemática, além de todo o conteúdo do curso em formato
digital.
Para oferta do curso, é necessário um laboratório de informática com pelo menos
20 Computadores conectados à Internet, um navegador instalado (IE Explorer, Firefox,
etc) e plugins flash e java instalados, além de um projetor multimídia.
O mini-curso está direcionado para professores de matemática do Ensino
Fundamental e Médio. O conteúdo do curso irá constar dos seguintes tópicos:
O que são objetos de aprendizagem;
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Introdução ao Conceito de Objetos de Aprendizagem;
O que é o Banco Internacional de Objetos de Aprendizagem;
Exploração de Objetos de Aprendizagem contidos nos repositórios: Banco
Internacional de Objetos de aprendizagem e Portal do Professor do Mec;
Planejamento de aulas com a utilização de AO;
Oficina: Objetos de Aprendizagem no Ensino da Matemática.
REFERÊNCIAS
Bettio, R. W. de and Martins (2002), A. Objetos de aprendizado: um novo modelo
direcionado ao ensino a distância. In: 9o. Congresso Internacional de Educação a
Distância, São Paulo - SP. Acessado em: 01 Fev, 2007 Disponível em:
http://www.universiabrasil.net/materia/materia.jsp?id=5938.
Castro-Filho, J.A.de; Macêdo, L.N; Freire, R. S. and Leite, M.A (2005). Cartas
Interativas: Desenvolvendo o pensamento algébrico mediado por um software
educativo. XXI Workshop de Informática na Escola. Anais do XXV Congresso da
Sociedade Brasileira de Computação. São Leopoldo, RS.
Fernandes, N.L.R. (2004) Professores e Computadores: navegar é preciso, Porto Alegre:
Mediação, pp. 36-41.
FELIPE C. P e FARIA C. de O. Uma apresentação do RIVED - Rede Internacional de
Educação. XI-CIAEM, Conferência Interamericana de Educação Matemática.
Blumenau, Santa Catarina – Brasil, Maio 2003. Disponível em
http://rived.proinfo.mec.gov.br/artigos.php. Acesso em 24/05/2005.
NASCIMENTO, A. e MORGADO, E. A Cross Country Collaborative Project in Latin
America. ED-MEDIA, World Conference on Educational Multimedia, Hypermedia
& Telecommunications. Disponível em http://rived.proinfo.mec.gov.br/artigos.php.
Acesso em 24/05/2005
LABVIRT. Laboratório Didático Virtual. [On Line]. Acessado em: 11 Mar, 2007.
Disponível em: http://www.labvirt.futuro.usp.br/.
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RIVED. Rede Interativa Virtual de Educação. [On Line]. Acessado em: 11 Mar, 2007.
Disponível em: http://rived.proinfo.mec.gov.br/.
PROATIVA. Grupo de Pesquisa e Produção de Ambientes Interativos e Objetos de
Aprendizagem. [On Line]. Acessado em: 11 Mar, 2007. Disponível em:
http://proativa.vdl.ufc.br/.
Sociedade Brasileira de Educação Matemática – Regional Distrito Federal 23 a 25 de setembro de 2011
JOGOS MATEMÁTICOS: CAMINHO ENTRE A TEORIA E A PRÁTICA
EDUCATIVA
Ilvanete dos Santos de Souza
Universidade do Estado da Bahia-UNEB /Campus IX
Américo Junior Nunes da Silva
Universidade do Estado da Bahia – UNEB/Campus IX
Simone dos Santos Barros
Universidade do Estado da Bahia-UNEB /Campus IX
RESUMO
O uso dos jogos como recurso didático propicia o favorecimento da criatividade,
desenvolvimento da intuição e da critica, do caráter lúdico, além do desenvolvimento de
técnicas intelectuais e a formação de relações sociais no intuito de tornar as aulas de
Matemática mais atrativas e estimulantes. Possibilitando ao professor o papel de
orientador, observador e incentivador da aprendizagem, para que os alunos busquem
soluções para cada jogada. O presente mini-curso tem como público alvo professores do
Ensino Fundamental, graduandos e graduados em Matemática ou áreas afins com limite
de 20 (vinte) vagas. Tem como objetivo principal promover subsídios aos professores
de Matemática do Ensino Fundamental -6º ao 9º ano para trabalhar alguns conteúdos de
forma diferenciada. A metodologia proposta será de natureza teórica e prática, propondo
a manipulação, e registro dos jogos. Visa ainda fundamentar em bases teóricas a
aplicação dos jogos em sala de aula e apresentá-los como recursos didáticos para o
ensino de Matemática, em virtude de desenvolverem a aprendizagem desta ciência.
Palavras-chave: Jogos matemáticos; Recurso didático; Ensino da matemática.
INTRODUÇÃO
Os educadores, sempre buscam alternativas para aumentar a motivação no
processo ensino aprendizagem, esse processo é favorecido pelo uso de jogos. Ensinar
matemática é desenvolver o raciocínio lógico, estimulando o pensamento criativo e a
capacidade de cada um em ações conjuntas para resolução de problemas.
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Por isso, o uso de jogos no ensino da matemática tem esse papel primordial de
fazer com que os alunos gostem das aulas, mudando a rotina na interação entre os
mesmos. Os jogos são considerados recursos ou dispositivos didáticos ao possibilitarem
para as crianças e adolescentes atividades lúdicas que desenvolvam a aprendizagem, em
Matemática podem contribuir para o desenvolvimento do raciocínio dedutivo e
indutivo, como explica Piaget. Jogar não é estudar nem trabalhar, porque jogando, o
aluno aprende, sobretudo, a conhecer e compreender o mundo social que o rodeia
(Moura, 1996).
A construção de conceitos através de jogos matemáticos visa o desenvolvimento
da percepção, atenção, concentração, memória, análise e síntese, raciocínio lógico
matemático, habilidade viso-motora e criatividade, linguagem oral e escrita. A
linguagem aqui utilizada pode ser entendida pelo aluno como um conjunto de códigos,
uma representação do real, permitindo o estabelecimento de relações entre as linguagens
simbólica, algébrica e geométrica.
Os jogos constituem uma forma interessante de propor problemas, pois
permitem que estes sejam apresentados de modo atrativo e favorecem a
criatividade na elaboração de estratégias de resolução e busca de soluções.
Propiciam a simulação de situações-problema que exigem soluções vivas e
imediatas, o que estimula o planejamento das ações; possibilitam a
construção de uma atitude positiva perante os erros , uma vez que as
situações sucedem-se rapidamente e podem ser corrigidas de forma natural,
no decorrer da ação, sem deixar marcar negativas. (PCN, 1998, p.29)
A linguagem matemática utilizada para representar o conceito construído a partir
de um jogo não precisa necessariamente do rigor matemático nem precisa apresentar
uma matemática acadêmica, mas sim, caracterizar um conhecimento matemático. Outro
motivo para a introdução de jogos nas aulas de matemática é a possibilidade de diminuir
bloqueios apresentados por muitos estudantes que temem a matemática e sentem-se
incapacitados para aprendê-la. Dentro da situação de jogo onde é impossível uma
atitude passiva e a motivação é grande notamos que, ao mesmo tempo em que estes
alunos falam Matemática, apresentam também um melhor desempenho e atitude mais
positiva frente a seu processo de aprendizagem. (Borin, 1996).
O uso dos jogos como recurso didático é justificado por propiciar o
favorecimento da criatividade; desenvolvimento da busca de novas estratégias de
solução, aprimoramento da organização do pensamento e desenvolvimento da intuição e
da crítica. Para que os jogos produzam os efeitos desejados é preciso que sejam de certa
forma, dirigidos pelos educadores. Os jogos se convenientemente planejados são um
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recurso pedagógico eficaz para a construção do conhecimento matemático. Há outros
aspectos que por si só justificam a incorporação do jogo nas aulas.
O uso de jogos para o ensino representa uma mudança de postura do professor
em relação ao que é ensinar matemática, ou seja, o papel do professor muda de
comunicador de conhecimento para o de observador, organizador, consultor, mediador,
interventor, controlador e incentivador da aprendizagem, do processo de construção do
saber pelo aluno, e só irá interferir quando isso se faz necessário, através de
questionamentos que levem os alunos a mudanças de hipóteses, apresentando situações
que forcem a reflexão ou para a socialização das descobertas dos grupos.
O USO DE JOGOS NA SALA DE AULA
Os jogos têm por objetivo criar diferentes situações lúdicas, favorecendo o
desenvolvimento cognitivo do aluno. Dessa forma os jogos podem fornecer
oportunidades para explorarem aspectos da vida, uma vez que quando jogam as crianças
terão uma compreensão maior de como o mundo funciona e de como poderão lidar com
ele. Assim os jogos são afirmações do que pode estar acontecendo ou representações do
que as crianças entendem. Para que os alunos possam adquirir de forma significativa e
com compreensão o conhecimento matemático historicamente acumulado, e por meio
dessa aquisição, compreender e atuar de forma crítica na sociedade é necessário que o
encaminhamento metodológico dado a esta área do conhecimento leve em consideração
o envolvimento de outros saberes. Como afirma Moura (1996) No jogo como atividade:
o sério e o lúdico se encontram na matemática. A educação matemática há uma
tendência para o uso do jogo, sendo empregado com bases teóricas que garantam um
ensino com maior embasamento cientifico.
Diante da afirmação, o jogo é visto como puro material instrucional do ensino,
tornando-se mais lúdico e proporcionando o tratamento dos aspectos afetivos que
caracterizam o ensino como a aprendizagem desafiadora. Dessa forma o jogo na
educação matemática passa a ter o caráter de material de ensino quando considerado
promotor de aprendizagem. O aluno colocado diante de situações lúdicas aprende a
estrutura lógica da brincadeira e deste modo aprende também a estrutura matemática
presente.
Se considerarmos que ensinar matemática seja desenvolver o raciocínio
lógico, estimular o pensamento independente, desenvolver a criatividade,
desenvolver a capacidade de manejar situações reais e resolver diferentes
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tipos de problemas, com certeza, teremos que a partir em busca de estratégias
alternativas. Entre tais recursos destaco o uso de jogos. Os jogos,
ultimamente vem ganhado espaço dentro de nossas escolas numa tentativa de
aula. A pretensão da maioria dos/as professores/as com a sua utilização é
tornar as aulas mais agradáveis com intuito de fazer com que aprendizagem
torne-se algo fascinante.
(D´Ambrosio, 1993, p. 13)
As atividades lúdicas podem ser consideradas como uma estratégia que estimula
o raciocínio, levando o aluno a enfrentar situações conflitantes relacionadas com seu
cotidiano. Mediante essas colocações exploradas pelo autor, o jogo ainda é concebido
como um passa tempo para muitos professores que não sabem ainda trabalhar com os
jogos dentro da sala de aula, pois faltam orientações pedagógicas, uma vez que todo
jogo tem suas regras e estratégias e um objetivo a ser alcançado durante a jogada.
Devemos refletir enquanto professores sobre o que queremos alcançar no jogo,
pois quando bem elaborados, eles podem ser vistos como estratégia de ensino que
poderá atingir diferentes instrumentos até a construção de um conhecimento
significativo.
PAPEL DO PROFESSOR NOS JOGOS
O papel do professor muda de comunicador de conhecimento para o de
observador, organizador, consultor, mediador, interventor, controlador e incentivador da
aprendizagem, do processo de construção do saber pelo aluno, e só irá interferir, quando
isso se faz necessário, através de questionamentos, que levem os alunos a mudanças de
hipóteses, apresentando situações que forcem a reflexão ou para a socialização das
descobertas dos grupos.
Dessa forma, segundo Borin (1996), a presença do professor é essencial no uso
dos jogos no ensino de matemática porque é ele que:
Analisa os conteúdos matemáticos que estão por trás do jogo.
Faz hipóteses sobre as possíveis soluções e estratégias que os alunos farão
durante o jogo.
Mapeia previamente os possíveis momentos da construção que darão sentido à
solução.
Está de olho aberto às situações especiais ou inesperadas para intervir.
È importante que o professor, antes de levar os jogos para a sala de aula, estude
previamente cada jogo, o que só é possível jogando. Através da exploração e análise de
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suas próprias jogadas e da reflexão sobre seus erros e acertos é que o professor terá
condições de colocar questões que irão auxiliar seus alunos.
OBJETIVOS
GERAL:
Promover subsídios aos professores de Matemática do Ensino Fundamental -6º
ao 9º ano para trabalhar alguns conteúdos de Matemática de forma diferenciada,
despertando no aluno o interesse e o gosto pelo estudo da Matemática.
ESPECÍFICOS:
Aprofundar a compreensão dos conteúdos abordados em cada um dos jogos;
Desenvolver o gosto pela investigação e pela exploração de conceitos e
idéias;
Reconhecer as vantagens do uso de jogos matemático para o aluno e para o
professor;
Sensibilizar o professor para a utilização de jogos matemáticos;
Reconhecer a importância do jogo no processo de ensino e da aprendizagem da
matemática;
Explorar os jogos matemáticos, com vista à sua aplicabilidade em contexto
de sala de aula.
PROCESSOS METODOLÓGICOS
A metodologia de trabalho desta oficina será de caráter teórico prático, em que
serão criadas situações de trabalho em pequenos grupos de formandos com 3 ou 4
participantes, perfazendo um total de aproximadamente 30 pessoas, a que se seguirão
debates tendo como finalidade a partilha de saberes e de experiências. Terá duração de 1
horas e 30 minutos distribuídos da seguinte maneira:
No Primeiro momento far-se-á exposição de slides em data-show, sobre o uso de
jogos como recurso didático para o ensino da matemática fundamentado em autores que
defendem o uso de jogos na sala de aula. No momento seguinte conversaremos
informalmente sobre o assunto apresentado, analisando o ponto vista dos participantes
sobre o uso de jogos. Os participantes irão manipular alguns jogos. Logo após iremos
concluir a apresentação e manipulação analisando os conteúdos que podem ser
explorados. Com a intenção de auxiliar o trabalho do professor na escolha dos jogos
apresentaremos alguns que serão explorados:
Pescaria de potencias que trabalha conceito de potência, sua notação e o cálculo mental,
em grupos de três a cinco jogadores. Para cada grupo, é necessário um baralho com 60
cartas. Esse jogo é indicado para quando os alunos já conhecem o conceito de potência
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e sua representação. Ele exige atenção de todos os jogadores, porque das perguntas de
um dependem as perguntas que outros farão.
O jogo Estrela possibilita que os alunos descubram os efeitos das operações de
adição, subtração, multiplicação e divisão com números decimais e ainda que façam
estimativas.Trata-se de um jogo de estratégias que pode ser usado de várias maneiras,
de modo a gerar discussões sobre conceitos relacionados a números decimais. Ao final
de algumas jogadas, é esperado que os alunos descubram que a divisão e a
multiplicação por números decimais menores que 1 resultam em valores maiores ou
menores que o número inicial, rompendo com uma crença errônea que muitos deles
possuem em função da familiaridade com as operações entre números naturais.
.
Figura 1. Tabuleiro do jogo Estrela
Já no jogo divisores em linha, os critérios de divisibilidade e o cálculo mental
podem ser amplamente explorados. A descoberta de noções de números primos e a
relação entre números e operações são também alguns dos objetivos nele propostos. A
classe será organizada em grupos de dois ou quatro alunos; no caso de serem quatro, o
jogo será de dupla contra dupla.
RECURSOS
Datashow, papéis diversos, régua, tesoura, cola, pincel, caneta hidrocor, folha de
ofício e lápis.
CONSIDERAÇÕES
Acreditamos, que o uso de jogos como recurso didático utilizado pelo professor
possibilitará a percepção das relações entre o jogo e o conteúdo matemático a ser
trabalhado. E a aplicação deste material na sala de aula pode contribuir para a
aprendizagem matemática. Assim, o professor é fundamental em sala de aula, é ele
quem dá o “tom” do desafio proposto e deve ser o líder da situação, saber gerenciar o
que acontece, tornando o meio o mais favorável possível, desencadeando reflexões e
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descobertas. Outro motivo para a introdução de jogos nas aulas de matemática é a
possibilidade de diminuir bloqueios apresentados pelos alunos que temem a matemática
e sentem-se incapacitados para aprendê-la.
REFERÊNCIAS
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros
Curriculares Nacionais: (5ª a 8ª séries). Brasília: MEC, 1998.
BORIN,J. Jogos e resolução de problemas: uma estratégia para as aulas de
matemática. São Paulo: IME-USP;1996.
D´AMBROSIO, Ubiratan. Da teoria a Prática - coleção perspectiva em educação
matemática-Campinas, SP, Papirus, 1993.
MOURA, M. O. de. A construção do signo numérico em situação de ensino. São
Paulo: USP,1996.
Sociedade Brasileira de Educação Matemática – Regional Distrito Federal 23 a 25 de setembro de 2011
A MÚSICA COMO INSTRUMENTO METODOLÓGICO NO PROCESSO DE
ENSINO E APRENDIZAGEM: UMA LINGUAGEM REVELADORA DA
CRIATIVIDADE NAS AULAS DE MATEMÁTICA
Américo Junior Nunes da Silva
Universidade do Estado da Bahia – UNEB/Campus IX
Ilvanete dos Santos de Souza
Universidade do Estado da Bahia-UNEB /Campus IX
Simone dos Santos Barros
Universidade do Estado da Bahia-UNEB /Campus IX
RESUMO
O presente minicurso tem por objetivo tratar questões inerentes à inclusão da música no
contexto escolar bem como sua relevância, enquanto recurso didático, para o processo
de ensino e aprendizagem da Matemática, dessa forma, o professor tem um importante
papel na mediação e inserção da música em sala de aula, portanto as músicas propostas
serão para trabalhar com alunos do 6º ao 9º ano do Ensino Fundamental, as mesmas
contemplam a contextualização de conteúdos como: Números Primos, Funções
Trigonométricas, Fatoração, Volumes, dentre outros. A música constitui-se como um
importante meio de comunicação e expressão existente em nossa vida, mas infelizmente
essa não é uma prática comum no contexto de sala de aula sendo pouco utilizada,
salientando a falta de material de apoio, bem como formação continuada que contemple
a utilização da música como instrumento metodológico. Acreditamos que a utilização da
música como recurso metodológico será mais um instrumento que o professor irá dispor
para enriquecer as suas aulas e propiciar um melhor processo de ensino-aprendizagem.
Palavras-chave: Recurso didático; Música; Formação continuada.
INTRODUÇÃO
A música é uma linguagem universal, participando da história da humanidade
desde as primeiras civilizações. Na Grécia Clássica o ensino da música era obrigatório e
há indícios de que já haviam orquestras naquela época. Pitágoras, filósofo grego da
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Antiguidade, ensinava como determinados acordes musicais e certas melodias criavam
reações definidas no organismo humano, demonstrando que a sequência correta de sons,
se tocada musicalmente num instrumento, pode mudar padrões de comportamento e
acelerar o processo de cura (BRÉSCIA, P.31,2003).
Adultos cantam melodias curtas, cantigas de ninar, fazem brincadeiras
cantadas, com rimas, parlendas etc., reconhecendo o fascínio que tais
jogos exercem. Encantados com o que ouvem, os bebês tentam imitar
e responder, criando momentos significativos no desenvolvimento
afetivo e cognitivo, responsáveis pela criação de vínculos tanto com
os adultos quanto com a música. (Brasil, 1998, p. 51).
A música é uma prática social, que constitui instância privilegiada de
socialização, onde é possível exercitar as capacidades de ouvir, compreender e respeitar
o outro. Estudos mostram que a aprendizagem musical contribui para o
desenvolvimento cognitivo, psicomotor, emocional e afetivo e, principalmente para a
construção de valores pessoais e sociais de crianças e jovens. Pelo seu potencial para
desenvolver diferentes capacidades mentais, motoras, afetivas, sociais e culturais.
Dada às necessidades específicas dos alunos do Ensino Fundamental, faz-se
necessário propor atividades, capazes de adaptarem-se as suas necessidades, e que
possibilitem sua participação, envolvimento cognitivo, responsabilidade e reflexão nos
afazeres escolares, bem como na vida em sociedade, resultando em uma aprendizagem
significativa.
A escola deve proporcionar aos alunos possibilidades de mudanças e reflexões
durante seu período de formação, sendo que o mesmo é o principal agente desse
processo. O brincar é um exercício livre e espontâneo, responsável pelo
desenvolvimento físico, moral e cognitivo da criança, atualmente especialistas e
docentes vêem a importância do lúdico não só para o desenvolvimento das crianças,
mas também para todas as idades, pois o lúdico é aprender de forma prazerosa.
De acordo com Santos:
Brincar ajuda a criança no seu desenvolvimento físico, afetivo,
intelectual e social, pois, através das atividades lúdicas a criança
forma conceitos, relaciona ideias, estabelece relações lógicas,
desenvolve a expressão oral e corpórea, reforça habilidades sociais,
reduz a agressividade, interage-se na sociedade e constrói seu próprio
conhecimento (1997, p. 20).
A música no âmbito escolar tende a favorecer e resgatar valores, como o respeito
entre os membros do grupo, a oportunidade dos alunos expressarem-se, a prática do
3
desenvolvimento crítico, oportunidade de exercitar as habilidades que estavam
adormecidas além de ser um recurso facilitador da aprendizagem, fatores estes que
elevam a auto-estima, ofertando ao discente um ambiente agradável de aprender a
aprender, e de se tornar um cidadão participativo na sociedade.
O USO DO RESURSO LÚDICO NO ENSINO FUNDAMENTAL
O jogo e a música são instrumentos que podem favorecer a reconstrução de uma
imagem mais estimulante e até mesmo prazerosa da Matemática. Dada às necessidades
específicas do alunado, faz-se necessário um planejamento, capaz de adaptarem-se as
necessidades dos discentes, prevendo as melhores estratégias para prestar uma ajuda
eficaz aos mesmos em seu processo de aprendizagem e construção do conhecimento
matemático. Segundo Turra “a educação é hoje concebida como fator de mudança,
renovação e progresso. Por tais circunstâncias o planejamento se impõe, neste setor,
como recurso de organização. É o fundamento de toda ação educacional” (1988, p. 14).
De acordo com Santos (1997) para que o lúdico seja útil é necessário que ele
contenha elementos desafiadores e interessantes e através da música é possível
contemplar esses aspectos, pois em processo de memorização se estabelece uma relação
entre os conceitos matemáticos apresentados na música e sua aplicação na resolução de
situações problema, além de possibilitar ao aluno fazer a releitura/paródia de conteúdos
apresentados sendo assim mais um instrumento metodológico disponível para utilização
do professor nas aulas de Matemática. É nessa perspectiva, que o ambiente escolar deve
oportunizar ao educando o acesso às várias fontes de informações do conhecimento,
promovendo através das problematizações dos jogos e músicas, chegar a uma
aprendizagem significativa.
De acordo com Nóbrega (1996, p.22), “Cada forma de comunicação tem por
efeito a produção de representações sociais especificas, conforme a dinâmica das
interações realizadas entre os sujeitos e o objeto articulado no âmbito do pensamento
social”.
Partindo da afirmação de Nóbrega a Matemática também é uma forma de
comunicação, que permite diferentes representações. A proposta em se trabalhar com
músicas nas aulas de Matemática vislumbra tanto aspectos teóricos (conceitos) quanto
práticos (aplicação dos conceitos), sendo apenas mais um instrumento que o professor
irá dispor para enriquecer e atender a diversidade e necessidades de aprendizagem em
sala de aula.
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OBJETIVOS
GERAL:
Promover subsídios aos professores de Matemática do Ensino Fundamental - 6º
ao 9º ano, para trabalhar alguns conteúdos de Matemática com o auxilio da
música.
ESPECÍFICOS:
Explorar a letra das músicas matemáticas, com vista à sua aplicabilidade em
contexto de sala de aula.
Aprofundar a compreensão dos conteúdos abordados em cada uma das músicas;
Reconhecer a importância da música no processo de ensino e da aprendizagem
da Matemática;
METODOLOGIA
O mini-curso terá uma carga horária de 1 hora e 30 minutos, sendo divididas em
três momentos, como público alvo acadêmicos do curso de Matemática e professores de
Matemática do 6º ao 9º ano do Ensino Fundamental. A metodologia de trabalho será de
caráter teórico-prático.
1º MOMENTO:
Far-se-á apresentação e discussão da proposta de trabalho com músicas/paródias,
sendo que algumas músicas são parodiadas e outras de melodia original, e sua
aplicabilidade nas aulas de Matemática. As músicas serão apresentadas em áudio e cada
participante receberá as letras impressas para acompanharem a melodia e
posteriormente identificar os conceitos matemáticos presentes nas mesmas.
2º MOMENTO:
Logo após será apresentado um modelo de sequência didática (Números
Primos), sistematizado de forma funcional, partindo dos pré-requisitos necessários para
a compreensão do conceito do mesmo, em seguida será explorada a paródia em que os
participantes identificaram na letra da música os conceitos trabalhados anteriormente.
Será proposto ainda a utilização do Crivo de Eratóstenes como sistematização escrita
para identificação de: Números Primos, Múltiplos e Divisores. Concluindo esse
momento será proposto o jogo Divisores em Linha, finalizando dessa forma o
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desenvolvimento da sequência, oportunizando a visualização da música, sua articulação
com a teoria e sua aplicabilidade nas aulas de Matemática.
3º MOMENTO
A turma será organizada em grupos de 3 a 4 pessoas. Será proposto aos
participantes que produzam parodias: Inicialmente receberão letras de músicas
conhecidas, juntamente com o conteúdo proposto e os conceitos apresentados nos
mesmos. Com apoio do ministrante quando solicitado, os grupos produziram e
apresentaram paródias, demostrando dessa forma que é possível, dispor desse recurso
nas aulas de matemática, pois além de trabalhar os conceitos matemáticos exigidos pela
paródia trabalha-se a produção textual.
QUADRO 1- PROPOSTA DE MÚSICAS MATEMÁTICAS
Música Matemática Tipo de Música
Música
Matemática
Tipo de Música
1 Números Primos Paródia da Música –
Admirável Gado Novo –
Composição: Zé
Ramalho
7 Fatoração Melodia própria
Letra: Erik
Figueiredo Freire /
Música: Johnny
Boy Chaves
2 Regras da
Divisibilidade
Paródia da Música – É
Preciso Saber Viver –
Composição: Erasmo
Carlos / Roberto Carlos
8 Volumes Melodia própria
Letra: Erik
Figueiredo Freire /
Música: Johnny
Boy Chaves
3 Regra de Três e Juros
Simples
Paródia da Música –
Numa Sala de Reboco -
Composição: Luíz
Gonzaga / José
Marcolino
9 Ângulos Melodia própria
Letra: Erik
Figueiredo Freire /
Música: Johnny
Boy Chaves
4 Áreas de Figuras
Planas
Melodia própria Letra:
Erik Figueiredo Freire /
Música: Johnny Boy
Chaves
10 Equações do
2º grau
Paródia da Música
– Esperando na
Janela -
Composição :
Gilberto Gil /
Targinho Gondim
5 Área de Figuras
Geométricas
Melodia própria Letra:
Erik Figueiredo Freire /
Música: Johnny Boy
Chaves
11 Funções Melodia própria
Letra: Erik
Figueiredo Freire /
Música: Johnny
Boy Chaves
6 Produtos Notáveis Paródia da Música –
Sabiá - Composição :
Luiz Gonzaga
12 Teorema de
Pitágoras
Melodia própria
Letra: Erik
Figueiredo Freire /
Música: Johnny
Boy Chaves
REFERÊNCIAS
6
BRASIL, Secretaria da Educação Fundamental. Referenciais Curriculares Nacionais
para a Educação Infantil: Artes- BrasiliaMEC/SEF, 1998.
BRÉSCIA, Vera Lúcia Pessagno. Educação Musical: bases psicológicas e ação
preventiva. São Paulo: Átomo, 2003.
NOBREGA, S.M.O que é representação social. Recife: Universidade Federal de
Pernambuco, 1996.
SANTOS. Santa Marli Pires: O lúdico na formação do Educador. Petrópolis: Vozes,
1997.
TURRA, Clódia Maria Godoy, Délcia Enricone, Flávia Maria Sant’ Anna e Lenir
Cancella André: Planejamento de Ensino e Avaliação. Porto Alegre: Sagra,1988.
Sociedade Brasileira de Educação Matemática – Regional Distrito Federal 23 a 25 de setembro de 2011
AS INTERLIGAÇÕES HISTÓRICAS ENTRE RECREAÇÕES
MATEMÁTICAS, CONHECIMENTO MATEMÁTICO E EDUCAÇÃO
MATEMÁTICA
Josinalva Estacio Menezes – MAT-UnB – [email protected]
RESUMO
Nossa experiência profissional e bibliográfica tem nos mostrado uma série de
evidências de ligações profundas, no contexto da matemática, entre recreações, ensino e
conhecimento, incluindo as noções de rigor e validade de uma teoria: quando um desses
três elementos está em foco, outros dois podem emergir em algum momento. Assim,
acreditamos que apesar das fortes resistências apresentadas ainda hoje no contexto
acadêmico da matemática, principalmente por professores em todos os níveis, o lugar
por excelência das recreações é no contexto da matemática, seja na produção do
conhecimento matemático puro, seja no processo de ensino e aprendizagem. Portanto,
objetivamos nesse minicurso fazer algumas reflexões sobre Recreações Matemáticas,
Conhecimento Matemático e Educação Matemática ao longo da história, intentando,
com isto, estabelecer algumas convergências e relações entre estas três categorias. O
trabalho é voltado para estudantes de licenciatura e professores, tanto do nível básico
quanto do nível superior.
Palavras-chave: Recreações Matemáticas, Conhecimento Matemático, Educação
Matemática, História da Matemática
INTRODUÇÃO
As recreações matemáticas englobam uma categoria ampla de jogos
estruturados, problemas recreativos e outros elementos interdisciplinares, como obras de
arte que são concebidas e realizadas a partir de idéias matemáticas1.
Buscando relacionar jogo e cultura, Huizinga (1980), em sua obra filosófica
intitulada Homo ludens a qual objetivou integrar o conceito de jogo no de cultura,
procurando determinar até que ponto a própria cultura possui caráter lúdico, buscou
mostrar, do ponto de vista filosófico – muito mais que psicológico ou antropológico –
os elementos lúdicos presentes nas principais atividades de uma sociedade, inseridos na
cultura.
1 Citamos aqui Antônio Petikov, um conhecido artista plástico que vive no Brasil e suas obras de arte são concebidas
com base em elementos matemáticos.
2
Os desafios, enigmas, as adivinhações são elementos fortemente presentes nos
mais conhecidos e preciosos livros do conhecimento. O conhecimento nesses casos dá
uma posição de superioridade ritual independente da condição social na cultura em
questão.
Ao longo de toda a história, temos encontrado evidências da interconexão
juntando conhecimento, ensino e recreações matemáticas. Apesar disso, ainda
encontramos forte dissociação por parte de professores e matemáticos das recreações
matemáticas em relação ao contexto matemático.
Desde a Antiguidade, em diversos jogos, a mobilização das diversas habilidades
matemáticas era essencial para o seu desenvolvimento pleno, em atividades as quais
chamamos recreações matemáticas.
Essas recreações eram recomendadas para uso no desenvolvimento humano
desde a infância. Para citar um exemplo, os gregos, como povo que serviu de referência
na matemática antiga, discutiram recreações matemáticas desde a educação infantil. Nas
palavras de Platão: “Foram inventadas para as crianças pequeninas, no que esse refere
ao cálculo, noções aritméticas a serem aprendidas através do jogo e da diversão.”
Revestidas de mistério, lendas, histórias e enigmas, as recreações matemáticas
têm atravessado os tempos, divertido e encantado todos os que com ela têm contato.
Essas recreações estão manifestadas em forma de problemas, quebra-cabeças, jogos
estruturados, enigmas e objetos de arte. Assim, podemos chamar de recreações
matemáticas em geral as que necessitam essencialmente as habilidades matemáticas
(lógica, concentração, memória, raciocínio rápido, percepção de formas e tamanho, etc.)
e/ou cálculos matemáticos.
A partir dessas considerações, objetivamos neste minicurso fazer reflexões e
discussões acerca das interconexões entre conhecimento matemático, educação
matemática e recreações matemáticas.
METODOLOGIA
Pretendemos, neste minicurso, desenvolver a seguinte estratégia:
- Discutir a evolução da matemática a partir dos períodos históricos utilizados na
academia, destacando matemáticos, recreações por eles discutidas e o conhecimento
matemático envolvido, além da metodologia por eles utilizada para explicar a
resolução/solução das referidas recreações.
3
- Selecionar problemas de cada época, apresentando a discussão realizada e as
possibilidades de resolução hoje, nos possíveis níveis de ensino.
- Apresentar alguns encaminhamentos de inserção das recreações matemáticas
como parte do processo ensino-aprendizagem, associadas aos objetivos de ensino
estabelecidos pelo professor.
Público-alvo: Professores de matemática do ensino básico a partir do sexto ano (antiga
quinta série) e do nível superior. Alunos de licenciatura em matemática.
Tempo de duração do mini-curso: 1hora e 30 minutos.
Número de participantes: até 30.
Será necessário um datashow.
TÓPICOS DE APRESENTAÇÃO DO MINICURSO:
Introdução
A Antiguidade
Registros muito antigos
A Antologia Grega
Os primeiros paradoxos da história da matemática de Zeno de Elea e os primeiros
manuscritos
Alcuíno de York
Sobre a Idade Média: a idade das sombras
Os séculos XII e XIII
Século XV: a imprensa e a álgebra
Século XVI: o Melancholia
As competições no século XVI
Século XVII: as primeiras publicações sobre recreações matemáticas
Matemáticos, sociedades matemáticas e recreações matemáticas depois do século XVII:
- a teoria dos conjuntos infinitos de Cantor
- A topologia e a teoria dos grafos
O século XX: os campeonatos mundiais de jogos e publicações a respeito
Sam Loyd-Ernest Dudney, Martin Gardner, Yakov Perelmann e Malba Tahan
Conclusão
4
ATIVIDADES REALIZADAS – DISCUSSÃO DOS PROBLEMAS
- O problema 77 do papiro Rhind
- Um problema da Antologia Grega – a idade de Diofanto
- O problema da travessia
- O sofisma do calote
- O paradoxo do movimento
- Um quadrado mágico
- O problema dos ovos
- A torre de hanói
- O problema do bambu quebrado
- Extrapolando para outras esferas: poesia, arte,...
- As recreações no currículo a partir do século XIX
- Malba Tahan
- Conclusão.
Observação: Não será necessário nenhum material especial para os participantes.
CONCLUSÃO
As recreações matemáticas, os jogos matemáticos foram feitos por matemáticos –
ou estudiosos da matemática – discutidos por matemáticos e para matemáticos ou não
matemáticos. Ao mesmo tempo, sempre houve uma preocupação por parte de alguns
matemáticos em tornar a matemática acessível ao maior número possível de pessoas. O
rigor da solução apresentada e os princípios de resolução seguem os princípios vigentes
no contexto matemático, no que concerne à demonstração matemática. Assim, é no
âmbito da matemática que têm lugar as recreações, e defendidas por tantos, matemáticos
ou não, sempre positivamente, tudo leva a um avanço de que é legítima, oportuna e
concernente o uso de jogos e recreações no ensino de matemática. Mais ainda, com os
trabalhos já existentes a respeito, o professor de matemática já dispõe de elementos para
começar a desfrutar das diversas vantagens da utilização do jogo no seu dia a dia.
BIBLIOGRAFIA
BOYER, Carl. História da Matemática. São Paulo: Edgar Klucher, 1968.
CHAVIGNAUD, L. Nouvelle Arithmétique appliquée au commerce et a la marine
mis en vers. Lyon: Chez la veuve et les fils de l’auteur, 1848, 7ª ed. 1ª ed. Em 1484.
5
HUIZINGA, J. Homo Ludens: o jogo como elemento de cultura. São Paulo:
Perspectiva, 1980.
KRAITCHIK, Maurice. Le Mathematique des Jeux et récréations mathématiques.
Bruxelles: Imprimerie Stevenns Fréres, 1930.
LACROIX, S. E. Essais sur l’enseignement em général, et sur celui des
mathématiques em particular. Paris: Chez Mme. Vê. Courcier, 1816.
LUCAS, Edouard. Récréations mathématiques. Paris: Gauthier-Vilars, 1882 vol I.
MELLO, Lydio Machado Bandeira de. Quadrados mágicos. Belo Horizonte: UFMG,
1957.
MENEZES, Josinalva Estacio. Travessias difíceis, divisões divertidas e quadrados
mágicos: evolução histórica de três recreações matemáticas. Série Contexto
Matemático, Vol II. Recife: UFRPE, 2004.
MÉZIRIAC, G. Bachet de. Problémes plaisant et délictables qui si font par les
nombres. Paris: 1612.
OZANAM, Jacques. Récréations Mathématiques et Phisiques. Pariz: Chez Cl. Ant.
Jombert, 1778, 8ª edição. Aumentada e revisada por Jean-Etienne Montucla.
PERELLMAN, Iakov. Aprenda matemática brincando. Rio de Janeiro: Hemus, 1970.
Tradução de Marina de Camargo.
RICHARD. T. Nouveau manuel complet des jeux enseigant la science. Paris: A la
Librairie Encyclopèdique de Roret, 1837, Tome I.
TAHAN, Malba.. Didática da matemática. São Paulo: Saraiva, 1962, vol. I.
____________. Didática da matemática. São Paulo: Saraiva, 1962, vol. II.
____________. O problema das definições em matemática: erros, dúvidas e
curiosidades. São Paulo: Saraiva, 1965.
_____________. O homem que calculava. Rio de Janeiro: Record, 1995.
TORANZAS, Fausto. ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA Biblioteca de Ciencias
de la Educación, Vo.l 7. Buenos Aires: Editorial Kapelwzsmoreno 372 –, 1959.
Sociedade Brasileira de Educação Matemática – Regional Distrito Federal 23 a 25 de setembro de 2011
MANCALA: JOGO E RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Mônica Menezes de Souza – SEDF – [email protected]
RESUMO
A utilização de determinados jogos em sala de aula permite ao aluno mobilizar seus
conhecimentos, envolvido por uma atmosfera lúdica. O mesmo também acontece com a
resolução de problemas que exige uma coordenação complexa e simultânea de vários
níveis da atividade matemática. Os mancalas são jogos de origem africana que refletem
aspectos culturais relativos à solidariedade humana e harmonia com o ambiente.
Existem muitas maneiras de jogá-los, mas usaremos as regras do Awalé. Esse jogo
possibilita que o aluno trabalhe com conceitos matemáticos sem percebê-los
(lateralidade, noções de quantidade e sequência, antecessor e sucessor), ou outros, que
podem ser conduzidos pelo docente como no caso da coleta de dados, combinações,
matrizes, probabilidade, etc. Este minicurso é indicado ao público em geral e as
atividades serão realizadas de maneira dinâmica e interdisciplinar.
Palavras-chave: Mancala. Resolução de problemas. Jogo.
1. INTRODUÇÃO
1.1 O JOGO E A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
O jogo está relacionado com a diversão, dessa forma, acredita-se que numa
situação de jogo o jogador possa interagir com o conhecimento estruturando seu
pensamento sozinho ou com seus pares de uma maneira mais significativa, ou seja,
tirando suas próprias conclusões, errando e acertando, num ambiente descontraído. As
palavras de Bruner (apud BROUGÈRE, 1998, p. 192) explicam bem essa colocação, ele
diz que "o jogo fornece a ocasião de experimentar combinações de condutas que, sob
pressões funcionais, não seriam testadas".
A utilização de determinados jogos em sala de aula permite ao aluno mobilizar
seus conhecimentos, envolvido por uma atmosfera lúdica. O mesmo também acontece
com a resolução de problemas que exige uma coordenação complexa e simultânea de
vários níveis da atividade matemática.
Para estimular os alunos a resolverem problemas é preciso incentivar sua análise
por meio da verbalização das ações, da discussão com os colegas, do estabelecimento e
2
do teste de hipóteses (sem medo de errar) e da verificação de diferentes estratégias. E
tudo isso também pode acontecer durante um jogo.
A investigação da resolução de problemas como uma área de pesquisa em
Educação Matemática, teve início nos anos 60, sob a influência do pesquisador George
Polya, cujo livro A arte de resolver problemas, publicado em 1945, ainda é referência
para os estudiosos do tema.
Segundo Polya (2006, p. XIX), o processo para resolver um problema segue os
seguintes passos: 1º é preciso compreender o problema; 2º é preciso criar um plano para
a resolução do problema; 3º deve-se executar o plano e 4º deve-se examinar a solução
obtida.
Esses passos sugeridos por Polya também podem ser seguidos durante um jogo,
isto é, deve-se: 1º compreender o jogo; 2º é preciso criar um plano para realizar as
jogadas; 3º executa-se o plano e por fim examina-se a solução obtida ou seja, a
estratégia escolhida permitiu ganhar ou perder o jogo.
1.2 OS MANKALA
Segundo Zaslavsky (2000, p. 32) mankala é uma palavra árabe que significa
transferir. Esses jogos foram mundialmente difundidos pelos negros africanos
escravisados e existem mais de 300 maneiras de se jogar conforme a região onde são
jogados.
Dependendo da região, o jogo também muda de nome, por isso a palavra
mancala é usada para indicar os jogos da família que têm características comuns:
joga-se numa série de buracos em linha; cada jogador possui uma
série de buracos; o número de sementes é igual para ambos os
jogadores; não se diz mover a peça e sim semear; para semear, todas
as sementes de um buraco são apanhadas e vão se deixando cair uma a
uma nos próximos buracos (RIPOLL; CURTO, s/d).
Encontrou-se indicação para utilização desse jogo desde a educação infantil até o
ensino superior. Ele possibilita o planejamento de ações, sequenciamento, manipulação
de quantidades, ação exploratória, desenvolve o raciocínio lógico e também possibilita
trabalhar com as operações de adição e subtração (RÊGO; RÊGO, 2000, p. 150).
1.3 REGRAS DO JOGO
3
Nessa oficina usaremos as regras do Awalé escritas por Georges Gneka em um
encarte do livro A semente que veio da África (2005).
O objetivo do jogo é realizar uma grande colheita, logo o jogador que colher
mais sementes até o final da partida, ganha.
O jogador planta e colhe sementes. Ele deve calcular, pela quantidade de
sementes de onde parte, onde vai cair e o quanto poderá colher do adversário, além de
calcular para que suas covas não fiquem com poucas sementes.
O campo ou tabuleiro é dividido em dois territórios, com seis buracos (covas)
cada um. Cada cova receberá quatro sementes, dessa forma cada jogador possui um
total de vinte e quatro sementes.
Os dois participantes combinam quem iniciará a partida. Quem começa escolhe
uma das covas de seu terriório e retira as quatro sementes para redistribuí-las nas covas
a sua direita, assim a cova ficará vazia e as quatro seguintes receberão uma semente a
mais. O próximo jogador é o adversário que fará a mesma jogada, escolherá uma cova
de seu território, distribuirá as sementes nas covas à sua direita e sem pular nenhuma
cova.
As sementes se deslocam nos dois territórios e cada cova vai acumulando
sementes que se somam às sementes iniciais. As covas com uma, duas ou três sementes
correm o risco. Se um jogador calcular bem, de forma que a última semente distribuída
caia numa cova do adversário que tenha essas quantidades de sementes, ele tem o
direito de esvaziar a cova, recolhendo as sementes para si e tirando-as do jogo, isto se
chama fazer a colheita.
Se a cova escolhida pelo jogador tiver mais de 11 sementes, ele depositará as
sementes em sequência, uma em cada cova, o que fará com que ele dê uma volta
completa no tabuleiro, passando pelos dois campos. Nesse caso, o jogador deverá pular
a cova de partida que ficará vazia.
Neste jogo não se deve deixar o adversário com fome, por isso o jogador deve
distribuir suas sementes de maneira que o adversário receba sementes para continuar o
jogo.
O jogo termina quando o número de sementes for tão pequeno que nenhum
jogador consiga capturar a semente do outro. Ganha quem tiver retirado o maior número
de sementes.
2. JUSTIFICATIVA
4
Este minicurso surgiu a partir da necessidade de se buscar alternativas
pedagógicas que promovam a relação atividade lúdica/resolução de problemas. Nesse
jogo, essa relação, possibilita que o aluno trabalhe com conceitos matemáticos sem
percebê-los (lateralidade, noções de quantidade e sequência, antecessor e sucessor), ou
outros, que podem ser conduzidos pelo docente como no caso da coleta de dados,
combinações, matrizes, probabilidade etc. Além disso, constitui-se num jogo de origem
africana e pode ser trabalhado de maneira interdisciplinar buscando-se a valorização de
seus aspectos sócioculturais.
3. OBJETIVOS
Divulgar uma das regras do jogo africano mancala.
Evidenciar a importância da utilização de atividades lúdicas na construção
do conhecimento.
Favorecer o desenvolvimento de estratégias pedagógicas, que auxiliem o
educador no trato da temática das relações étnicoraciais em sala de aula,
especificamente a cultura afro-brasileira.
4. PÚBLICO ALVO
Este minicurso será oferecido ao público em geral.
5. CARGA HORÁRIA
A carga horária uma hora e meia.
6. METODOLOGIA
O minicurso acontecerá de forma prática, isto é, cada participante irá
confeccionar, jogar o mancala e produzir um texto a partir das ideias suscitadas pelo
jogo.
A oficina tem a capacidade de atender até 25 participantes.
Cronograma da oficina
ATIVIDADE TEMPO
Dinâmica de apresentação 5 min
Leitura compartilhada do texto: Plantar e colher como AWALÉ 5 min
5
Confeccionar o Mankala 25 min
Jogar o Mankala 20 min
Produção de texto: escrever sobre os aspectos/valores do jogo que
podem ser encontrados na vida de cada um.
20 min
Leitura de alguns textos e comentários. 10 min
Avaliação 5 min
7. RECURSOS
Sala ventilada e ampla.
Mesas e cadeiras individuais para confecção do jogo.
8. MATERIAL
Tabuleiro do jogo.
Sementes para o jogo.
Cola brascoplast.
Folha branca.
Lápis ou caneta.
9. AVALIAÇÃO
Será utilizado um formulário próprio para a avaliação que distribuído pela
coordenadora da oficina.
10. REFERÊNCIAS
BROUGÈRE, Gilles. Jogo e educação. Porto Alegre: Artes Médicas, 1998.
LIMA, Heloisa Pires; GNEKA, Georges; LEMOS, Mário. A semente que veio da
África. São Paulo: Salamandra, 2005.
POLYA, George. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 2006.
RIPOLL, Oriol; CURTO, Rosa Maria. Jogos de todo o mundo. São Paulo: Ciranda
cultural, s/d.
6
RÊGO, Rogéria Gaudêncio; RÊGO, Rômulo Marinho. Matematicativa. João Pessoa:
Universitária, 2000.
ZASLAVSKY, Claudia. Jogos e atividades matemáticas do mundo inteiro: diversão
multicultural para idades de 8 a 12 anos. Porto Alegre: Artmed, 2000.
Sociedade Brasileira de Educação Matemática – Regional Distrito Federal 23 a 25 de setembro de 2011
INTRODUÇÃO À GEOMETRIA DO MOTORISTA DE TÁXI
WESCLEY WELL VICENTE BEZERRA FUP– UnB – DF
JOSÉ EDUARDO CASTILHO FUP– UnB – DF
ROGÉRIO CÉSAR DOS SANTOS FUP– UnB – DF
RESUMO
A Geometria do Motorista de Táxi foi proposta inicialmente por Herman
Minkowski (1864-1909) no início do século 20 como um exemplo de uma Geometria
Não-Euclidiana. É uma geometria com aplicações diretas em nosso cotidiano e cujo
estudo pode despertar a curiosidade para o entendimento de outras Geometrias além da
Euclidiana. Neste contexto, são apresentadas três atividades que visam introduzir os
conceitos iniciais dessa geometria e apresentar situações-problema que envolvem os
conceitos de distância e circunferência nessa geometria.
PALAVRAS-CHAVE: Geometria; Não-Euclidiana; Táxi.
PÚBLICO ALVO: Anos Finais do Ensino Fundamental e Ensino Médio.
OBJETIVOS
O objetivo deste minicurso é apresentar algumas atividades pedagógicas que
possibilitem a construção de situações de aprendizagem introdutórias ao ensino das
Geometrias Não-Euclidianas, em especial a Geometria do Motorista de Táxi.
Além disso, as atividades aqui apresentadas têm como objetivos gerais: calcular
a distância entre dois pontos, apresentar a circunferência e resolver situações problemas
que envolvam esses conceitos da Geometria do Táxi.
JUSTIFICATIVA
Nos últimos anos, professores e educadores têm discutido formas para a inclusão
de conteúdos advindos das diversas geometrias, Euclidiana e Não-Euclidianas, aos
2
conhecimentos geométricos escolares considerados como adequados à formação de
alunos (Kaleff, 2004). Como resultado destes debates, surgiram documentos
norteadores da prática educacional para a Geometria Escolar. No Brasil, o documento
referente ao Ensino Fundamental, os PCN de Matemática – 5.ª a 8.ª séries (MEC, 1998,
p.24), apresenta a Matemática a ser ensinada aos jovens adolescentes:
[...] fruto da criação e invenção humanas, a Matemática não evolui de
forma linear e logicamente organizada. Desenvolve-se com
movimentos de idas e vindas, com rupturas de paradigmas.
Frequentemente um conhecimento é amplamente utilizado na ciência
ou na tecnologia antes de ser incorporado a um dos sistemas lógicos
formais do corpo da Matemática. Exemplos desse fato podem ser
encontrados no surgimento dos números negativos, irracionais e
imaginários. Uma instância importante de mudança de paradigma
ocorreu quando se superou a visão de uma única geometria do real, a
Geometria Euclidiana, para aceitação de uma pluralidade de modelos
geométricos, logicamente consistentes, que podem modelar a
realidade do espaço físico.
Os motivos que levam os educadores matemáticos a proporem o ensino da
Geometria do Táxi nas escolas é que esta pode ser apresentada, com a intenção de se
integrar a Matemática ao cotidiano do aluno. Baseada na métrica do valor absoluto
(Krause, 1975), pode-se confrontar os conceitos dessa nova geometria com a
Euclidiana, despertando no aluno a curiosidade para novos ambientes matemáticos.
METODOLOGIA
O conteúdo será desenvolvido por meio de atividades em grupo, com discussão e
resolução dos problemas envolvidos.
ATIVIDADES DO MINICURSO
Atividade 1- Introdutória
Tipo: Atividade em grupo de 5 participantes
Objetivo: Marcar pontos na Geometria do Táxi, calcular distância entre dois pontos e
comparar distâncias de diferentes caminhos.
Material: Papel quadriculado, lápis e borracha.
Atividade 2- Conhecendo a Circunferência da Geometria Táxi.
3
Tipo: Atividade em grupo de 5 participantes
Objetivo: Descrever a circunferência na Geometria do Táxi e calcular a constante
correspondente ao Pi.
Material: Papel quadriculado, lápis e borracha.
Atividade 3- A escolha de uma nova moradia. Situação problema que envolve o
conhecimento de distância e circunferências.
Tipo: Atividade em grupo de 5 participantes
Objetivo: Resolver problema de escolher uma nova moradia que minimize os trajetos
casa-trabalho e casa-escola.
Material: Papel quadriculado, lápis e borracha.
REFERENCIAL TEÓRICO
KALEFF, A. M.; NASCIMENTO, R. S. Atividades Introdutórias às Geometrias
Não-Euclidianas: o exemplo da Geometria do Táxi. Boletim Gepem. Rio de Janeiro,
n. 44, p.11-42, dezembro 2004.
KRAUSE, E. F. Taxicab Geometry: An adventure in non-Euclidean Geometry.
New York: Dover Publications Inc., 1975.
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais –
PCN-E. F. Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998.
Sociedade Brasileira de Educação Matemática – Regional Distrito Federal 23 a 25 de setembro de 2011
TANGRAN: UM RECURSO LÚDICO PARA O ENSINO DE CONTEÚDOS EM
MATEMÁTICA
Valéria Gomes da SILVA
Mestranda em Educação – FACED/UFU
Guilherme Saramago de OLIVEIRA
Professor da Faculdade de Educação – FACED/UFU
Programa de Pós-Graduação em Educação
Universidade Federal de Uberlândia
RESUMO
Esta proposta de minicurso tem a pretensão de apresentar um recurso didático o
Tangram que muitas vezes não é utilizado por professores dos anos iniciais do Ensino
Fundamental para desenvolverem suas práticas pedagógicas nos processos de ensino e
aprendizagem. Este recurso pode ser utilizado nas disciplinas de Matemática, História,
Ciências dentre outras. O uso do Tangram na disciplina de Matemática possibilita ao
aluno desenvolver algumas habilidades como identificação de formas geométricas,
comparação, descrição, classificação, criatividade, raciocínio lógico-matemático dentre
outras. Além disso, este jogo permite habilidades como a visualização, percepção
espacial e desenho. Dependendo do ano de ensino que o aluno está matriculado como,
por exemplo, no 4º e 5º ano do Ensino Fundamental a utilização do Tangram poderá
envolver noções de área e frações. Sabe-se que alunos que se encontram nos primeiros
anos de escolarização ainda não conseguem desenvolver o pensamento abstrato, então é
essencial que o professor possa se apropriar de materiais manipuláveis para facilitar a
aprendizagem do aluno. Em muitas instituições de ensino é bastante comum professores
desenvolverem conteúdos de Matemática utilizando o método expositivo sem haver
uma relação com um material concreto. Com o uso do Tangram a criança tem a
oportunidade de manipular e criar algo, se detendo algumas vezes no todo de cada
figura, ou então nas partes de cada uma. No entanto de maneira geral, este minicurso
tem a pretensão de mostrar como pode ser trabalhada a Matemática de maneira
interessante e envolvente como forma de possibilitar que o aluno possa tomar gosto
pelos conteúdos de Matemática.
PALAVRAS-CHAVE: Tangram. Ensino e aprendizagem da Matemática. Anos iniciais
do ensino fundamental.
2
Público alvo: Anos iniciais do Ensino Fundamental
JUSTIFICATIVA
Atualmente na educação básica, de maneira específica nos primeiros anos do
Ensino Fundamental no cotidiano da sala de aula existem vários problemas relacionados
ao modo de como o professor desenvolve os conteúdos da disciplina de Matemática.
Sabe-se que o ensino de Matemática vem sendo abordado como uma mera
transmissão de conteúdos em que o professor expõe o assunto e o aluno recebe as
informações fazendo uma reprodução dos exercícios passados pelo docente. A maneira
como o professor desenvolve os conteúdos de Matemática é fundamental porque a
técnica de ensino utilizada influencia na aprendizagem do aluno.
No entanto, de maneira geral os conteúdos de Matemática são poucos alunos que
gostam e se interessam por acharem os conceitos e procedimentos da disciplina difíceis,
então muitos deles acreditam que não podem aprender os conteúdos matemáticos. E
uma das contribuições que pode favorecer o interesse e o gosto pela Matemática está
relacionada às metodologias, as técnicas e estratégias de ensino adotado pelo docente.
A proposta desse trabalho é apresentar uma maneira lúdica de desenvolver
conteúdos de Matemática. O recurso didático utilizado para mostrar como trabalhar o
ensino da Matemática será um jogo denominado Tangran. Este quebra-cabeça é de
origem chinesa, composto por sete peças derivadas de um quadrado que forma cinco
triângulos (dois grandes, dois pequenos e um médio) um quadrado e um paralelogramo.
Existem várias lendas sobre a origem do Tangram. Uma delas é conta que um
chinês deixou cair no chão um pedaço de espelho de forma quadrada que se quebro em
sete pedaços. A partir disso, viu-se que com esses pedaços poderia criar diversas
figuras, animais, plantas, objetos, nomear formas geométricas etc.
A montagem do Tangram exige reflexão e imaginação. Além disso, esse jogo
auxilia o professor a introduzir conceitos geométricos de maneira interessante e
envolvente como também desafiadora, mas também é um excelente recurso mediador
no que diz respeito a questões que desenvolvam a visualização espacial. Nesse sentido,
é fundamental que o professor estimule o aluno na busca de soluções e criação, que
nesse caso não é padronizada. O Tangram pode também contribuir como um recurso
para desenvolver conteúdos de áreas, ângulos, perímetros entre outros.
Portanto a utilização do Tangram nas aulas de Matemática possibilita ao aluno o
desenvolvimento do raciocínio lógico-matemático; possibilita também trabalhar o
3
raciocínio espacial; permite mostrar que a Matemática pode ser desenvolvida de forma
prazerosa e também possibilita ao aluno desenvolver sua criatividade criando mais de
1500 figuras com as sete peças do jogo.
Assim os objetivos desse minicurso são os seguintes:
OBJETIVOS
Desvelar a importância e as contribuições do Tangram para o ensino da
Matemática;
Apresentar o jogo Tangram como um elemento interdisciplinar e
Produzir o Tangram juntamente com os participantes;
PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
O minicurso será desenvolvido em três momentos. No primeiro momento será a
apresentação oral sobre a origem do Tangram, a sua importância e contribuições para o
ensino da Matemática no desenvolvimento das práticas pedagógicas em sala de aula.
Além disso, será apresentado as variações desse jogo que surgiram com o tempo e que
foram criados a partir de diferentes figuras geométricas.
No segundo momento, será contada por meio de uma caixa de contação de
histórias uma das lendas do Tangram, quebra-cabeça de sete peças. Logo após os
participantes terão de produzir o jogo, e em seguida cada um irá montar com as sete
peças o quadrado que deu origem ao Tangram.
No terceiro momento será distribuído alguns exercícios para os participantes
montarem as figuras solicitadas. No quarto e quinto momento será uma atividade extra
em que os participantes irão escrever uma história e construir figuras com todas as peças
do Tangram, em seguida será a socialização das histórias.
ATIVIDADES E RECURSOS QUE SERÃO UTILIZADOS
1º Momento (Exposição oral sobre a origem e tipos de Tangram (imagens) e sua
importância para o ensino da Matemática).
- Notebook
- Slides
- Data-show
4
2º Momento (Contar a história de como se chegou ao jogo Tangram e construir as peças
do quebra-cabeça).
A história será contada utilizando uma pequena caixa (madeira ou papelão) de
contação de histórias. Em seguida individualmente cada participante irá confeccionar o
quebra-cabeça de sete peças com a ajuda do ministrante do minicurso. Logo após a
produção do jogo cada participante terá de montar com as peças do Tangram o quadrado
inicial da história que foi contada em sala.
MATERIAIS PARA A PRODUÇÃO DO JOGO
- Tesoura
- Papel cartão ou cartolina
- Régua
- Lápis
- Borracha.
3º Momento (Formando figuras geométricas)
Pedir aos participantes que formem algumas figuras geométricas obedecendo as
seguintes afirmações:
1 – Montar um quadrado com:
a) Duas peças
b) Três peças
c) Quatro peças
d) Cinco peças
Verificar se é possível formar um quadrado com seis peças
2 – Montar um retângulo com:
a) Três peças
b) Quatro peças
c) Cinco peças
3 – Entregar uma figura para os participantes montarem.
ATIVIDADE COMPLEMENTAR
4º Momento (Criar e escrever uma história com o uso do jogo)
Os alunos reunirão em grupo de três pessoas e com as peças do Tangram irão escrever
uma pequena e história e construirão figuras com todas as peças do jogo.
5
MATERIAIS
- Cartolina ou papel sulfite
- Lápis
- Tangram
- Cola
5º Momento (Socialização das histórias)
Cada grupo irá socializar suas histórias.
REFERÊNCIAS
MOTTA, I A. R. (2006). Tangram. Projeto Teia do Saber. Programa de Formação
Continuada de Professores. Guaratinguetá- SP. Disponível em:
<http://www.feg.unesp..br/extensao/teia/trab_finais /TrabalhoIvany.pdf>. Acesso em:
17 jun. 2011
LEE, Roger. Tangram. São Paulo: Isis, 2003.
<http://www.klickeducacao.com.br/conteudo/pagina/0,6313,POR-1929-16168>. Acesso
em: 20 jun. 2011
<http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=237>. Acesso em: 20
jun. 2011
<http://www.planetaeducacao.com.br/portal/artigo.asp?artigo=1148>. Acesso em 21
jun. 2011
Sociedade Brasileira de Educação Matemática – Regional Distrito Federal 23 a 25 de setembro de 2011
PARADOXOS E PROBLEMAS MATEMÁTICOS
Gabriel Silva Carvalho –
Universidade de Brasília (UnB) – bolsista do Programa PET –
Augusto Cesar Ribeiro Nunes –
Universidade de Brasília (UnB) – [email protected]
RESUMO
Na nossa linguagem usual é frequente afirmarmos que algo é lógico ou ilógico. O termo
lógico está, de certa forma, vinculado ao bom senso. Mas, raciocinar logicamente,
muitas vezes não é uma tarefa muito fácil. O fato é que em nosso cotidiano, às vezes,
nos deparamos com situações que nos deixam "logicamente" embaraçados. Algumas
dessas situações ocorrem pelo fato de existirem coisas que à primeira impressão
parecem ser falsas, mas que, na realidade, são verdadeiras; ou que parecem ser
verdadeiras, mas são falsas; ou que simplesmente são contraditórias em si mesmas. O
paradoxo é uma declaração aparentemente verdadeira que leva a uma contradição
lógica, ou a uma situação que contradiz a intuição comum. Em termos simples, um
paradoxo é "o oposto do que alguém pensa ser a verdade". Neste minicurso será
trabalhado o conceito lógico e filosófico dos paradoxos com o intuito de trabalhar o
raciocínio e a capacidade de resolução de problemas dos alunos, áreas muito
importantes da matemática. Os paradoxos são muitas vezes problemas que não podem
ser resolvidos e é fundamental trabalhar com o aluno a idéia de que nem todos os
problemas possuem solução, um falso paradigma criado no decorrer do processo de
ensino. Para isso, serão explorados clássicos paradoxos, como o de Zenão e o do
Barbeiro, e também será feito uso de outros problemas matemáticos para aguçar a
criatividade na capacidade de encontrar meios para encontrar a solução. Não será feito
uso de conhecimentos matemáticos avançados, mas somente de aritmética e da
exploração máxima do raciocínio e da criatividade dos alunos.
Palavras-chave: Paradoxos, criatividade e resolução de problemas.
Público alvo: Professores da educação básica, estudantes do ensino médio e da
educação de jovens e adultos.
OBJETIVOS
2
Trabalhar o raciocínio lógico e a criatividade do aluno na resolução de situações
problemas, além de quebrar o falso paradigma de que todos os problemas possuem uma
resolução, fazendo uso de paradoxos e de problemas matemáticos criativos.
JUSTIFICATIVA
Apresentar uma proposta de discussão em sala de aula de problemas que exigem
criatividade para a solução ou para mostrar que se tratam de paradoxos, explorando o
trabalho em grupo, o desenvolvimento das habilidades de construção de argumentos
consistentes e de raciocínio lógico, que são fundamentais no processo ensino-
aprendizagem de matemática.
METODOLOGIA DO MINICURSO
Inicialmente serão apresentados os conceitos e dados históricos sobre paradoxos
por meio de uma exposição oral, com o uso de um retroprojetor. Será fornecido um
texto como material de apoio para todos os participantes. Depois serão apresentados os
problemas, um de cada vez, sem que os participantes saibam se é um paradoxo ou um
problema matemático. A discussão/resolução será feita em conjunto, disponibilizando
um tempo para discutirem em grupos de cinco pessoas e, em seguida, a discussão será
estendida para todos. O trabalho será concluído com uma proposta de transposição
didática do tema e sugestões de material para uso em sala de aula pelos professores.
ATIVIDADE QUE SERÃO REALIZADAS
Primeiramente trabalharemos o conceito e dados históricos dos paradoxos,
fazendo as distinções entre alguns tipos de paradoxos – paradoxos verídicos, falsídicos e
antinomia. Será apresentado um panorama da evolução do raciocínio, iniciando-se nos
gregos e chegando até Russel e Poincaré. Após esta abordagem, o assunto será
exemplificado com o Paradoxo do Mentiroso – uma simplificação do paradoxo de
Zenão – atribuído a Epimênides de Creta. O problema consiste na seguinte afirmação:
Epimênides, o Cretense, afirmou que “Todo Cretense é mentiroso.” Serão então
avaliadas as suas implicações lógicas, dando ao aluno uma possível linha de resolução
para os problemas que se sucederão.
O primeiro problema que será dado para os alunos resolverem será o problema
do barbeiro, enunciado da seguinte maneira:
3
“Em determinada aldeia, o barbeiro corta as barbas de todos os homens que não cortam
as próprias barbas e ele corta as barbas apenas dos homens que não cortam as próprias
barbas. Quem corta a barba do barbeiro?”
É evidente que este é o famoso Paradoxo do Barbeiro.
O segundo problema dado será um paradoxo bastante emblemático, o problema
do teste surpresa, enunciado da seguinte forma:
“Um professor anuncia que vai aplicar um teste surpresa durante a semana vindoura. Os
estudantes sabem que o teste não pode ser aplicado na sexta-feira, o último dia da
semana, porque então não seria uma surpresa. Que dia o professor aplicará o teste?”
A terceira atividade não será um paradoxo, mas, sim, um problema matemático
que tem resolução. Serão exploradas a criatividade dos alunos e a capacidade de
distinção entre algo que possui solução e o que não possui. O problema deverá ser
resolvido em grupos de cinco participantes, que deverão apresentar uma solução de
consenso do grupo. O problema escolhido é o das notas falsas, que tem o seguinte
enunciado:
“Uma distinta senhora foi a uma loja onde pretendia comprar uma bolsa anunciada por
R$ 35,00. Lá chegando, efetuou a compra, entregando à lojista uma nota de R$ 50,00.
Não tendo troco, a lojista foi à banca de jornais da esquina mais próxima para trocar a
nota com o jornaleiro, amigo pessoal seu. Ao voltar da banca com seis notas de R$ 5,00
e duas notas de R$ 10,00, a lojista entregou, equivocadamente, à sua nova cliente duas
notas de R$ 5,00 e uma nota de R$ 10,00. Não satisfeita, a senhora solicitou que a
lojista trocasse uma outra nota de R$ 10,00 por duas de R$ 5,00, o que foi feito. Algum
tempo depois de a senhora ter ido embora, o jornaleiro procurou a lojista, informando
que a nota de R$ 50,00 trocada era falsa e que queria desfazer a troca, no que foi
prontamente atendido, pois recebeu cinco notas de R$ 10,00 verdadeiras. Logo em
seguida, a lojista descobriu que a nota de R$ 10,00 que trocara para a senhora era
também falsa. Sabendo que não há outras notas falsas além das citadas, quanto a lojista
perdeu?”
Para a resolução deste problema, será necessária apenas aritmética básica, porém
será explorada a capacidade de extrair e interpretar informações, as diversas escolhas de
estratégia de resolução, o desenvolvimento do raciocínio lógico, a capacidade de
argumentação, entre outras.
4
A quarta atividade, também desenvolvida em grupos e com proposta de
apresentação de solução consensual, é a resolução do famoso problema do Hotel de
Hilbert, enunciado da seguinte forma:
“Considere um hotel hipotético com infinitos quartos, todos ocupados – isto é, cada
quarto contém um hóspede. Suponha que um novo hóspede chega e gostaria de se
acomodar no hotel. Sabendo que não pode haver mais de um hóspede no mesmo quarto,
o novo hospede poderá se hospedar no hotel?”
Nesta atividade, será explorada a ideia de infinito e as diversas facetas acerca
desse conceito.
A quinta atividade será o tão interessante problema da idade das filhas:
“Duas amigas, Carla e Camila, encontram-se após muitos anos. Então, depois de algum
tempo de conversa, elas travam o seguinte diálogo
― Carla, você já teve algum filho ou filha?
― Sim, Camila. Já tive três filhas.
― Que bom amiga. Qual a idade delas?
― Se me lembro bem você gostava muito de problemas de matemática. Logo, não vou
entregar de graça essa informação. Sabe, o produto da idade delas é 72 e a soma é o
número da minha casa.
Camila sai e fica um tempo pensando. Quando volta diz a Carla:
― As informações que você me deu são insuficientes para resolver o problema.
Carla replica:
― Desculpe-me amiga. Me esqueci de lhe falar uma coisa. Olha, a minha filha mais
velha adora sorvete de chocolate.
Pergunta: Qual a idade das filhas de Camila?”
Este problema explora a criatividade do aluno para a sua resolução e sempre
aguça muita curiosidade na maioria dos que tentam resolvê-lo. Para concluir o
minicurso, será dado o problema do pagamento de hotel:
“Um viajante precisava pagar sua estadia de uma semana (7 dias) em um hotel, sendo
que só possuía uma barra de ouro para pagar. O dono do hotel fez um desafio ao
viajante para que ele aceitasse o pagamento em ouro. A proposta foi a seguinte:
"Aceito o pagamento em ouro. Porém, você terá que pagar uma diária de cada vez, e só
poderá cortar a barra duas vezes".
Como o viajante deverá cortar a barra para fazer o pagamento?”.
A observação formativa será uma estratégia de avaliação utilizada ao longo do
minicurso. Todos os problemas serão trabalhados até serem encontradas suas
resoluções, quando houver. Para concluir o minicurso, serão discutidas as possíveis
5
aplicações dos problemas em sala de aula e as suas formas de abordagem, incluindo
propostas de material a ser utilizado.
Sociedade Brasileira de Educação Matemática – Regional Distrito Federal 23 a 25 de setembro de 2011
ENSINO E APRENDIZAGEM DE NÚMEROS INTEIROS COM O AUXÍLIO
DO ÁBACO
Autores: Márcia Gisele Nunes Tavares - [email protected]
Mirian Rangel Pereira Rodrigues - [email protected]
Neiva de Lurdes dos Santos Pereira - [email protected]
Quézia Silva de Souza - [email protected]
Orientadora: Profª. Mestre Carla Antunes Fontes
Instituto Federal Fluminense – IFF
RESUMO
Este trabalho foi motivado pela insatisfação sentida, por professores e alunos, em torno
da explicação abstracta da Regra dos Sinais para a Multiplicação, principalmente, do
caso “menos vezes menos dá mais”. Normalmente, este assunto é abordado, nos
manuais e pelos próprios professores, de uma forma abstracta e que não permite ao
aluno estender aos números negativos o sentido operatório concreto que atribui à
multiplicação. Assim, este trabalho consistiu na apresentação de uma Proposta de
ensino, para o 7.º ano, da Multiplicação de números inteiros relativos, usando materiais
manipuláveis – o “Ábaco dos Inteiros” -, com o objetivo de saber se a mesma seria
facilitadora do ensino e aprendizagem desta matéria.
Palavras chaves: Multiplicação, ábaco e aprendizagem.
Público alvo: Público em geral
Este trabalho tem por objetivo abordar noções elementares sobre a teoria
dos números inteiros, para que os alunos possam compreender sem que precise decorar
as regras dos sinais, por meio de material concreto como o ábaco.
A preocupação com a aprendizagem e, particularmente, com as razões que
justificam o fato da maioria dos alunos não compreenderem essa relação abstrata com as
operações envolvendo os números inteiros, levou-nos à escolha do tema.
“A aprendizagem operatória dos números inteiros necessita de
operações e linguagens para a assimilação, pois não possuem modelos
2
que se associem ao mundo físico assim como os naturais, gerando um
obstáculo na compreensão, que pode levar o aluno ao erro.”
(TEIXEIRA,1993)
Atualmente ainda encontramos muitos professores e alunos insatisfeitos,
com explicações do tipo: “menos vezes menos dá mais” ou “mais vezes menos dá
menos”. Mesmo já tendo sido demonstrado por muitos Matemáticos, ainda existem
muitas dúvidas em relação a Regra dos Sinais. Esse é um conteúdo geralmente
abordado no 7º ano do ensino fundamental, período no qual os alunos ainda formam seu
conceitos baseados em situações concretas. Por isso achamos interessante a idéia do
“ábaco dos inteiros” para trabalhar esse conteúdo, pois percebemos que o material
concreto é importante em qualquer aprendizagem, principalmente quando se trata de
aprendizagem que envolva números e operações.
“Para explorar a adição e subtração, outro recurso interessante é o
ábaco dos inteiros, que consiste em duas varetas verticais fixadas num
bloco, nas quais se indica a que vai receber as quantidades positivas e
a que vai receber as quantidades negativas, utilizando argolas de cores
diferentes para marcar pontos. Esse material permite a visualização de
quantidades positivas e negativas e das situações associadas ao zero:
varetas com a mesma quantidade de argolas. Ao manipular as argolas
nas varetas, os alunos poderão construir regras para o cálculo com os
números inteiros.”
(BRASIL, 1998. p.99)
Segundo Ribeiro (2005), o material concreto é um bom aliado nas aulas de
matemática, ela aborda vários exemplos de materiais que permitem aos alunos
visualizarem o que esta sendo mostrado nos conteúdo das disciplinas, permitindo que
eles obtenham um melhor aproveitamento. Para isso é necessário que os professores
utilizem carretéis, palitos de sorvetes, tampinhas de garrafa, ou materiais elaborados,
como o geoplano e o tangran a fim de ajudar os alunos a entenderem os conteúdos. Esse
método pode ser utilizado em diversas turmas de diferentes idades. A curiosidade que
os objetos despertam permite que os alunos obtenham maior conhecimento, fazendo
descobertas que não seriam possíveis sem o uso de materiais concreto, pois esses
permitem um entendimento de maneira divertida e interessante e faz com que os alunos
tenham um raciocínio lógico e geométrico.
3
Para o desenvolvimento das atividades foram feitas várias pesquisas, de
diferentes níveis. Realizamos pesquisas em livros, sites e trabalhos monográficos, para
que assim tivéssemos embasamento teórico para construção das atividades.
Para iniciarmos a aplicação apresentaremos algumas representações de
números positivos e negativos no ábaco. Em seguida será feito operações de adição e
subtração no ábaco dos inteiros, para que por meio destas possamos introduzir a
operação de multiplicação. Logo após será distribuído uma ficha de atividades,
composta por operações de adição, subtração e multiplicação, com intuito de validar o
ensino das mesmas com essa ferramenta.
Sociedade Brasileira de Educação Matemática – Regional Distrito Federal 23 a 25 de setembro de 2011
MATEMÁTICA PARA SURDOS
Daniel dos Santos Costa
Universidade de Brasília
RESUMO
Estudos indicam que a aprendizagem do estudante surdo pode ser ampliada a partir da
utilização da Língua brasileira de sinais - Libras e de recursos visuais, ou seja,
explorando seus sentidos remanescentes. Neste minicurso além das abordagens teóricas,
desenvolveremos uma atividade usando a língua de sinais, explorando recursos visuais
que possibilitem ao estudante surdo uma identificação com a situação proposta,
podendo assim despertar aprendizagens já adquiridas.
Palavras chave: Aprendizagem, Libras, recursos visuais.
Público Alvo: Estudantes e professores que atuam com alunos surdos em sala de aula
nos anos finais do ensino fundamental, ensino médio e educação de jovens e adultos -
EJA.
OBJETIVOS
GERAL
Perceber a importância da Libras e de recursos visuais na compreensão de
conceitos matemáticos nos anos finais do ensino fundamental, ensino médio e na
educação de jovens e adultos - EJA.
ESPECÍFICOS
1) Utilizar a Libras na apresentação de problemas envolvendo conceitos
matemáticos.
2) Relacionar figuras e/ou imagens ao texto dos problemas envolvendo conceitos
matemáticos.
JUSTIFICATIVA
2
Pensando no desenvolvimento social e cognitivo do estudante surdo, destacamos
como elementos fundamentais a utilização de Libras juntamente com figuras e imagens,
ou seja, explorando seus sentidos remanescentes.
Assim sendo precisamos desenvolver instrumentos que promovam a
aprendizagem a partir das diferenças. Em relação à língua de sinais, Skliar (1997) diz:
Se não se organiza adequadamente o acesso destas crianças à língua
de sinais, seu contato será tardio e seu uso restringido a práticas
comunicativas parciais, com as consequências negativas que isto
implica para o desenvolvimento cognitivo, e, sobretudo, para o acesso
à informação e ao mundo de trabalho. (p. 95)
Vemos que a utilização da Libras no processo de ensino e aprendizagem do
estudante surdo é um fator imprescindível, bem como a exploração de recursos visuais.
Segundo Lucena e Carneiro (2009) faz-se necessário o desenvolvimento de
metodologias baseadas na percepção visual e exploração de material concreto,
favorecendo assim a aprendizagem surda.
A exploração de recursos visuais vinculados a textos pode favorecer a
aprendizagem do estudante surdo, pois poderá contar com seus sentidos não
comprometidos pela surdez, no entendimento de problemas relacionados a conceitos
matemáticos. Bastos e Pereira (2009) afirmam:
Ao utilizarmos recursos visuais (fotos e gravuras, por exemplo), como
promotores do ensino-aprendizagem de matemática, os alunos surdos
admiraram o objeto a ser estudado de modo ativo, deixando fluir o que
já era conhecido por eles. (p. 46)
Portanto este minicurso traz como proposta desenvolver atividades que utilizem a
metodologia apresentada abaixo.
METODOLOGIA DO MINICURSO
O minicurso será desenvolvido em Libras. Haverá um intérprete de Libras que
fará a tradução inversa (de Libras para a língua portuguesa) para os participantes
ouvintes do minicurso.
Faremos a apresentação da justificativa do minicurso para que os participantes
possam perceber as particularidades na aprendizagem e desenvolvimento do estudante
surdo.
3
Em seguida os participantes serão divididos em grupos para que possam
desenvolver a atividade proposta. Cada grupo terá a sua disposição: papel, régua,
esquadro, lápis e calculadora.
Na conclusão, os participantes terão oportunidade de socializar suas percepções
relacionadas ao minicurso.
ATIVIDADE PROPOSTA
Problema:
O GDF criou um programa para distribuição de lotes para pessoas portadoras de
deficiência. O programa é previsto pela lei complementar 796/2008, que assegura 10%
dos lotes concedidos por programas habitacionais para portadores de necessidades.
João é surdo e recebeu um dos lotes. Ele quer construir uma casa em seu lote. A
fundação da casa já está pronta.
De início ele levantará as paredes externas da casa.
4
As paredes serão construídas com tijolos furados de barro. Para assentar os tijolos será
utilizada massa pronta (10 kg por m²).
Depois fará o telhado da casa. A estrutura será de madeira no formato de tesoura
simples. O comprimento da viga central é 32% do comprimento da viga que é a base da
estrutura no formato de tesoura simples.
O espaço entre as ripas é de aproximadamente 35 cm, entre os caibros de
aproximadamente 50 cm e entre as terças de aproximadamente 150 cm.
As telhas serão de amianto com 220 cm por 90 cm.
Fará também o piso da casa utilizando cerâmica com 50 cm por 50 cm.
5
Quanto João gastará para comprar os materiais de construção, de acordo com a tabela de
preços abaixo:
Material Preço
Tijolos R$ 380,00 (milheiro)
Massa pronta R$ 25,00 (saco de 20 kg)
Telhas de amianto R$ 10,00 a unidade
Cerâmica (50 x 50) R$ 20,00 o metro quadrado
Ripas R$ 1,00 o metro linear
Caibros R$ 8,00 o metro linear
Terças (vigas) R$ 15,00 o metro linear
REFERÊNCIAS
SKLIAR, C. Uma perspectiva sócio-histórica sobre a psicologia e a educação dos
surdos. In: SKLIAR, Carlos (Org). Educação e exclusão: abordagens sócio-
antropológicas em educação especial. Porto Alegre: Mediação, 1997.
LUCENA, Isabel Cristina Rodrigues; CARNEIRO, Kátia Tatiana Alves.
Etnomatemática: A cultura através da diferença na aprendizagem do aluno com
surdez. Espaço – nº 31 (32) Janeiro-junho de 2009.
BASTOS, Fábio da Purificação; PEREIRA, Vera Lúcia Biscaglia. Investigação-ação
escolar: situação-problema na aprendizagem de conceitos matemáticos por alunos
surdos. Espaço – nº 31 (44) Janeiro-junho de 2009.
Sociedade Brasileira de Educação Matemática – Regional Distrito Federal 23 a 25 de setembro de 2011
O JOGO JIPTO
Raquel Passos Chaves Morbach – UnB e SEE/DF– [email protected]
RESUMO
A atividade lúdica envolvendo o jogo como uma alternativa metodológica na educação
vem sendo bastante pesquisada, principalmente no campo da Educação Matemática. A
Educação Matemática como uma grande área de pesquisa referente ao ensino e
aprendizagem da Matemática defende a ludicidade através dos jogos como instrumento
facilitador da aprendizagem, motivando o pensamento crítico e a criatividade do sujeito
envolvido com o jogo, deste modo, propiciando a redescorberta e a assimilação de
conceitos matemáticos. Sendo assim, o mini-curso tem como objetivo propiciar a
socialização do jogo JIPTO entre os professores de Matemática dos anos finais do
ensino fundamental. Este jogo vem justamente regatar todas as possíveis qualidades que
um jogo pode ter para contribuir com o processo de aprendizagem-ensino da
Matemática nos anos finais do ensino fundamental. No mini-curso falaremos de todo o
processo de criação do JIPTO, suas regras, como ele pode tornar-se um meta-jogo e na
criação da Federação Internacional do Sistema JIPTO (FIJIP), promovido pela
UNESCO.
Palavras-chave: Criatividade, JIPTO, Jogo.
Público Alvo: Anos finais do ensino fundamental.
Duração: 1 hora e 30 minutos
Número de Participantes: 30
OBJETIVOS
O objetivo deste mini-curso é socializar o jogo JIPTO entre os professores de
Matemática dos anos finais do ensino fundamental. Além disso, propiciar uma reflexão
a cerca do valor do jogo com professores que atuam nas escolas que oferecem os anos
finais do ensino fundamental.
JUSTIFICATIVA
No Brasil, a Matemática como disciplina fundamental da educação básica ainda
é considerada freqüentemente como a maior vilã, dentre todas as disciplinas escolares,
2
isso porque existe na maioria das escolas brasileiras um ensino da Matemática preso ao
dogmatismo, marcado pela fragmentação, descontextualização e atividades mecânicas
como exercícios, que exigem a mera repetição de operações sem que uma real
compreensão esteja em jogo, refletindo no não entendimento dos conteúdos socializados
no ato de ensinar-aprender.
A importância da aprendizagem Matemática no processo cognitivo tais como no
desenvolvimento do raciocínio lógico e/ou na resolução de problemas, ainda não é
prioridade dos projetos políticos pedagógicos de uma comunidade escolar, prevalecendo
assim, a conclusão de conteúdos ao final de um ano letivo. Deste modo, o ensino da
Matemática, assim como a educação, deve ter diretrizes que amplie o conhecimento
para além da escola.
A Educação Matemática como uma grande área de pesquisa referente ao ensino
e aprendizagem da Matemática defende a ludicidade através dos jogos como mais uma
tendência e como mais um instrumento facilitador da aprendizagem, motivando a
pensamento crítico, propiciando a redescoberta e a assimilação de conceitos
matemáticos. Assim, para propiciar uma aprendizagem prazerosa, desafiadora e criativa,
o jogo nos anos finais do ensino fundamental pode lançar e desenvolver no estudante a
busca por teorias matemáticas, transformando a Matemática em um grande jogo.
Para resgatar esta aprendizagem, o mini-curso traz o jogo JIPTO que é muito
utilizado com sucesso na Sibéria para estimular a criatividade através dos jogos. O
JIPTO foi criado por um professor de Matemática, Grigori Tomski, e já tem muitos
adeptos na Europa e nos Estados Unidos.
O JIPTO é um jogo de tabuleiro que parece ter todas as qualidades para se tornar
um clássico, como o xadrez, a dama, o gamão, etc. Para Tomski, “é fascinante criar um
jogo, para lançar e para assistir a sua teoria se desenvolve” (2007). Assim, durante o
Fórum Internacional sobre a Alfabetização Científica e Tecnológica para todos,
realizada em julho de 1993 na sede da UNESCO, especialistas e estudiosos do sistema
JIPTO decidiram criar a Federação Internacional do Sistema JIPTO (FIJIP). Este
sistema abrange todos os diferentes métodos de estimular a criatividade das crianças e
dos adolescentes através do jogo JIPTO, podendo desta forma, trabalhar através deste
jogo a Matemática, tornando assim, o JIPTO em um grande meta-jogo.
3
Neste mini-curso vamos tratar do local de nascimento de JIPTOs, de suas regras,
dos movimentos de suas peças, explorar a Matemática, comentar como funciona o
sistema JIPTO e principalmente jogar, despertando a criatividade existente em cada
sujeito.
METODOLOGIA
É importante ressaltar, que esta metodologia tem uma dinâmica que pode gerar a
todo o momento discussões a cerca do valor do jogo para a educação, podendo surgir
possíveis definições e debates sobre o jogo e a Matemática como: a função do jogo para
a Matemática e para a educação, o papel do professor no jogo, etc.
DINÂMICA DO MINI-CURSO
- Primeiramente, será feito uma breve apresentação em slides sobre o histórico
do nascimento do jogo JIPTO e comentar como funciona a Federação Internacional do
Sistema JIPTO (FIJIP).
- Socializar com os participantes jogadores, as regras básicas do jogo JIPTO.
- Pedir para cada participante perceber e anotar possíveis considerações
relacionadas ao jogo JIPTO com a Matemática, durante as jogadas.
- Depois, organizar a turma em duplas para iniciar uma seqüência e três rodadas
do jogo JIPTO para ver quem será o vencedor de cada dupla.
- Distribuir o tabuleiro do jogo JIPTO para cada dupla formada.
- Dar início a seqüência das três jogadas.
- Após esse momento, cada dupla vai socializar em conjunto com as outras
duplas, as possíveis considerações de conteúdos matemáticos encontrados no jogo
JIPTO que podem ser trabalhados nos anos finais do ensino fundamental.
- Fazendo desta forma, uma tabela de possíveis conteúdos Matemáticos que
podemos explorar e estimular nos estudantes através do jogo JIPTO.
- Fazer uma análise geral e em conjunto do jogo JIPTO.
4
- Terminar o mini-curso com a fala dos participantes sobre a experiência
vivenciada.
LISTA DE MATERIAIS E RECURSOS TECNOLÓGICOS UTILIZADOS NO
MINI-CURSO:
Uma sala ampla com mesas e cadeiras;
Um data show com projetor;
15 tabuleiros com peças do jogo JIPTO confeccionado pela ministrante
do mini-curso;
Folhas brancas e canetas.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
FIORENTINI, Dario; LORENZATO, Sérgio. Investigação em educação matemática:
percursos teóricos e metodológicos. Campinas, SP: Autores Associados, 2007.
MUNIZ, Cristiano Alberto. Brincar e jogar: enlaces teóricos e metodológicos no
campo da educação matemática – Belo Horizonte: Autêntica Editora, 2010. -
(Tendências em Educação Matemática).
TOMSKY, Grigori. Jipto: de La Martelle a L’Universite . Editora: Jipto, 2007.
Sociedade Brasileira de Educação Matemática – Regional Distrito Federal 23 a 25 de setembro de 2011
DISCUTINDO PROBABILIDADE, CRIATIVIDADE E CIDADANIA POR
MEIO DO FILME “O ESPANTA TUBARÃO”
Daniela Souza- UnB - [email protected]
Yesmin Correia Dias – UnB – [email protected]
Raquel Souza Lima de Moura – SEEDF – [email protected]
RESUMO
Este trabalho tem como proposta a realização de um mini-curso voltado para
professores das séries iniciais do ensino fundamental com objetivo discutir conceitos e
idéias da estocástica1 presentes na corrida de cavalos tradicional e no jogo apresentado.
Essas idéias são importantes para o desenvolvimento da criatividade e da consciência
crítica quanto aos jogos de azar. O trabalho escolar com estes temas, já nas séries
iniciais, justifica-se devido ao fato de as crianças estarem envolvidas em situações onde
a análise de informações é indispensável para a tomada de decisões e para a resolução
de problemas. Além disso, essas situações podem envolver processos e produtos
criativos. A metodologia aplicada utilizará cenas do filme da DreamWorks “O Espanta
Tubarão”. Por meio dele serão levantadas discussões sobre as práticas de jogos de azar e
situações que estimulem diferentes estratégias de resolução de problemas que envolvam
probabilidade e estatística, além de construção de conceitos relacionados ao tema.
Palavras-chave: probabilidade, jogos de azar e criatividade.
Público Alvo: Professores das séries iniciais do ensino fundamental
OBJETIVO
Discutir conceitos e idéias da estocástica presentes na corrida de cavalos tradicional e
em um jogo proposto com vista à construção de conceitos que proporcionem o
desenvolvimento da criatividade e da consciência crítica quanto aos jogos de azar.
JUSTIFICATIVA
O trabalho com a estocástica já nas séries iniciais justifica-se porque as crianças já estão
envolvidas em situações onde a análise de informações é indispensável para a tomada
de decisões na resolução de problemas. Essas situações podem envolver processos e
1 Estocástica é o termo utilizado para tratar a probabilidade integrada à estatística.
2
produtos criativos, fato essencial segundo D’Ambrosio (2003) para (re)elaboração de
conhecimentos fundamentais para o desenvolvimento e sobrevivência de nossa
civilização. A tendência é que as situações de análises de informações sejam mais
frequentes na vida adulta, onde coletar, organizar e interpretar dados para tirar
conclusões são habilidades indispensáveis ao exercício da cidadania. A escolha de
trabalhar a partir de uma cena do filme “O Espanta tubarão” deve-se ao fato deste ser
objeto de interesse das crianças e por ser prática comum em algumas escolas do Distrito
Federal assistir filmes durante algumas aulas. Portanto, consideramos interessante
discutir alternativas didáticas para que essas práticas não sejam esvaziadas de objetivos.
Além disso, pode-se oferecer muitas possibilidades de se criar um ambiente que
estimule a criatividade oferecendo situações que proporcionem diversidade de formas
de resolução que suscitem originalidade (GUILFORD, 1960; LEE et al, 2003).
METODOLOGIA
A oficina proporcionará momentos de discussão a partir da cena do filme, onde o
peixinho Oscar, aposta todo o dinheiro que possui em um cavalo, na expectativa de se
tornar milionário. Serão feitas perguntas norteadoras para reflexão e análise de praticas
de jogos de azar, tão comuns na nossa sociedade nos dias atuais. Em um segundo
momento, faremos o jogo “Corrida de Cavalos” onde discutiremos conceitos presentes
em eventos aleatórios entre eles, chance, possibilidade e probabilidade. Antes da
realização do jogo faremos levantamentos e buscaremos estratégias variadas para saber
se alguns cavalos têm maior probabilidade de vencer que outros e, caso afirmativo,
quais são esses cavalos. Chegaremos, então, à conclusão que, mesmo o cavalo que tem
maior probabilidade de vencer em relação aos outros, no jogo tem maior probabilidade
de perder do que de ganhar. Por fim discutiremos o equívoco de algumas crianças e até
adultos em confundir um evento mais provável com evento certo, além de estimular o
pensamento criativo ao socializar as diferentes estratégias nas situações que envolvem
probabilidade.
Atividades a serem desenvolvidas:
Apresentação da agenda, dos objetivos e da justificativa da oficina;
Contextualização do filme infantil de animação da DreamWorks “O Espanta
Tubarão”: O personagem principal da história é o Oscar, um peixinho pobre que
trabalha em um lava-rápido de baleias e sonha em se tornar rico e poderoso. Ao
3
ser intimado por seu patrão a pagar uma dívida de 5 mil pratas, um alto valor
para o fundo do oceano em questão, Oscar recebe a ajuda de uma amiga que lhe
dá uma valiosa pérola rosa para que ele venda e leve o dinheiro no jóquei no dia
seguinte, conforme combinado. Porém, quando chega neste local, Oscar escuta
dois peixes cochichando que a corrida era armada e que o campeão seria o
cavalo-marinho de nome Sortudo. Enxerga, então, uma grande oportunidade de
ficar rico e resolve apostar todo o dinheiro que tinha em mãos naquele cavalo.
Após a contextualização assisti-se o trecho do filme referente a essas cenas.
Antes de mostrar o que aconteceu na corrida, se Oscar foi bem sucedido ou não,
discutiremos com os participantes as seguintes questões:
Vocês acham que Oscar fez bem em apostar todas as fichas no
cavalo-marinho Sortudo? Por quê?
O Sortudo tinha chance de ganhar? E de perder?
Vocês saberiam dizer qual a probabilidade dele ganhar?
Vocês apostariam em uma corrida de cavalos? Caso apostassem,
adotariam alguma estratégia? Qual? Que outros jogos de azar vocês
conhecem? Que visão vocês acreditam que a população brasileira em
geral tem sobre os jogos de azar?
No decorrer dessa discussão, trabalharemos os conceitos que surgirem.
Podemos discutir, por exemplo, que o cavalo-marinho sortudo tinha chance
de ganhar, já que ele estava participando da corrida, mas também tinha
chances de perder já que a vitória de qualquer outro dos seis participantes
implicaria sua derrota.
Passar o resto da cena.
Fazer uma corrida de cavalos de brinquedo. Serão sete cavalos. Todos deverão
apostar em um dos cavalos. Jogam-se dois dados. A soma dos números que
saírem nos dados indicará qual cavalo deverá andar. Todos deverão expor qual
estratégia foi usada na escolha do cavalo. Discutir qual cavalo tem maior
probabilidade de ganhar. Anotar todas as possibilidades de combinação nos
dados para cada cavalo. Neste momento, os participantes perceberão que o
cavalo 1 não tem chance de ganhar, já que a soma mínima nos dados é 2.
Discutir se o cavalo que tem maior probabilidade será necessariamente o
campeão. Fazer a corrida para contrapor as discussões aos resultados práticos.
4
Figura 2 – Possibilidades de resultados para a soma de dois dados
Pelo quadro vemos que são 36 possibilidades, das quais:
Para o cavalo 1, são 0 de 36 ou 0/36;
Para o cavalo 2 são 1 de 36 ou 1/36;
(...)
Para o cavalo 12 são 1 de 36 ou 1/36.
A intenção objetiva que eles criem os próprios “modelos” já que este aqui
apresentado serve para orientação quanto aos nossos objetivos e não será explicitado no
momento da atividade.
Concluir com a discussão sobre os jogos de azar. Comentar que a corrida de
cavalos como é feita em geral é um evento aleatório, pois, por mais que as pessoas
entendam de cavalos e saibam quais são os mais bem preparados, o fato de ter que
acertar a sequência da ordem de chegada torna a vitória do apostador em um evento a
cargo do acaso. Além disso, muitos jogos de azar são praticados pelos brasileiros, entre
eles podemos citar as loterias, os bingos, jogo do bicho e etc. Os jogadores/apostadores
motivados pelo desejo de ascensão social não consideram ou não tem consciência de
fato de que a sua possibilidade de ganhar é extremamente menor do que a possibilidade
de perder, enquanto que o inverso vale para o “dono” do jogo que sempre leva
vantagem, sempre tem lucro e ainda tem, em geral, boa aceitação social.
REFERÊNCIAS
PARANÁ. Futebol de domingo: séries mundo a matemática. Secretaria do Estado de
Educação do Paraná, s.d.
5
D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Criatividade, para quê? Conferência de abertura no
Congresso Internacional de Criatividade, UNESP/UNIFESP/USP, 16 a 18 de novembro
de 1998, São Paulo.
GUILFORD,L. P. The structure of the intellect model: its use and implications. New
York: Mack Graw Hill, 1960.
LEE, K. S.; HWANG, D.; SEO, J. J. A development of the test for mathematical
creative problem solving ability. Journal of The Korea Society of Mathematical
Education, 7, 2003.
Sociedade Brasileira de Educação Matemática – Regional Distrito Federal 23 a 25 de setembro de 2011
GEOMETRIA NO ESPAÇO, CRIATIVIDADE E NATUREZA
Eduardo Garcia – UnB – [email protected]
Kelly Nunes– UnB – [email protected]
Leonardo Barbosa– UnB – [email protected]
RESUMO
O minicurso Geometria no Espaço, Criatividade e Natureza submetido ao V EBREM,
tem por finalidade apresentar o estudo das figuras espaciais, suas características e
propriedades como ferramentas para a exploração de conceitos geométricos.
Abordaremos a relação entre as construções dos sólidos geométricos, a visualização
espacial e o desenvolvimento do processo criativo. As classificações e relações entre as
figuras assim como suas apresentações na natureza e suas aplicações serão tratadas de
forma dinâmica mediante atividades e utilizando materiais manipuláveis. Todos os
materiais e as soluções das atividades serão colocados à disposição dos professores
participantes. Com este minicurso procura-se promover o uso de modelos pedagógicos
nas aulas e avivar o interesse pela geometria espacial, tanto pelo seu valor cultural como
recurso complementar para o estudo das ciências na Educação Básica.
Palavras chaves - Figuras Espaciais, dualidade, criatividade.
Público alvo - Ensino Fundamental e Ensino Médio.
INTRODUÇÃO
A Geometria constitui uma via magnífica para os descobrimentos matemáticos, plena de
atividades de modelagem e de representações visuais, de ações exploratórias, de
conjeturas e verificações, de resolução de problemas e de aplicações no mundo real. No
estudo geométrico das figuras poliédricas definimos distintos tipos de poliedros, os
classificamos segundo suas propriedades, suas relações de dualidade e estabelecemos as
bases para a construção de preenchimentos do espaço e de sua identificação na natureza
orgânica é inorgânica.
OBJETIVOS
2
Estudar as principais características das figuras espaciais, da dualidade dos
poliedros e do preenchimento do espaço, bem como aplicações que podem ser
exploradas no processo de ensino-aprendizagem para o desenvolvimento do
processo criativo.
Apresentar atividades e experiências geométricas para aplicar na sala de aula;
Contextualizar o conhecimento nas aplicações da natureza;
Relacionar o processo de construção geométrica, conceitos e definições com o
desenvolvimento da criatividade.
Estimular e ampliar o trabalho interdisciplinar.
JUSTIFICATIVA
Este tema é de grande relevância na Matemática Escolar e visa ampliar as possibilidades
didáticas e motivacionais do ensino de Geometria por parte dos professores de
matemática. Tem a característica de explorar a imaginação e abstração dos
participantes, condição fundamental para o desenvolvimento do processo criativo.
Sendo assim, este trabalho além de apresentar uma proposta moderna justifica-se tanto
nas suas múltiplas possibilidades de aplicação, quanto na sua relevância no contexto do
processo de ensino-aprendizagem de Geometria e no desenvolvimento da criatividade
na área de Matemática e na interdisciplinaridade.
METODOLOGIA
Será utilizada metodologia experimental que conduz do concreto ao formal, passando
por etapas de explicação e de representação gráfica. O trabalho será realizado mediante
atividades de construção e de experimentação, organizado em grupos de dois a quatro
participantes. A apresentação expositiva é acompanhada de recursos audiovisuais para o
tratamento histórico dos assuntos, exemplificação de recobrimentos do espaço e das
aplicações interdisciplinares.
VISUALIZAÇÃO ESPACIAL
Entre as dificuldades achadas na abordagem do estudo da Geometria Espacial surge
inicialmente a de visualização, isto motiva à procura a diversidade de recursos, de
instrumentos e de estratégias para as diferentes representações dos elementos
3
geométricos a fim de superar os obstáculos e de criar novas condições para o ensino-
aprendizagem do tema.
POLIEDROS
Um poliedro é uma reunião de um número finito de polígonos, tais que:
- a intersecção de dois polígonos é um lado ou é um vértice ou é vazia;
- cada lado de um destes polígonos é também lado de um, e apenas um outro polígono;
- dois polígonos com um lado comum não são coplanares.
Cada um desses polígonos chama-se face do poliedro, cada lado comum a duas faces é
uma aresta do poliedro e cada vértice de uma face é também chamado vértice do
poliedro, (FANTI; KODAMA; NECCHI. 2008, apud LIMA et al, 2006).
Ângulo diedro é a figura formada por dois semiplanos com a mesma origem, não
contidos num mesmo plano. A origem comum dos semiplanos é a aresta do diedro e os
dois semiplanos são suas faces.
As classificações dos poliedros dependem dos critérios adotados como base. Assim:
- Pelo número de faces: tetraedro(4), pentaedro(5), hexaedro(6), ..., icosaedro(20),...
- Poliedro convexo: é o poliedro totalmente contido no semiespaço em relação ao
plano por cada uma de suas faces, caso contrário é poliedro não convexo.
- Poliedros regulares são poliedros tais que todas suas faces são polígonos regulares
congruentes e em cada um de seus vértices concorre o mesmo número de faces.
Todos os ângulos diedros de um poliedro regular convexo são iguais.
Atividade 1 - Construção de todos os poliedros regulares convexos.
- Prismas e pirâmides.
Um antiprisma é o poliedro obtido de um prisma regular pela rotação de uma das bases
segundo um ângulo que mede a metade do ângulo central do polígono regular da base.
As faces laterais triangulares do antiprisma são obtidas unindo os vértices
correspondentes de ambas às bases, (HOLDEN, 1991, tradução nossa).
- Poliedros semirregulares são poliedros convexos tais que suas faces são polígonos
regulares congruentes de dois ou mais tipos diferentes e com a mesma configuração
de faces concorrendo em cada vértice.
4
Os poliedros semirregulares incluem: os poliedros arquimedianos, o sólido de
Sommerville, os prismas de faces regulares e os antiprismas de faces regulares.
Atividade 2 - Construir um polígono arquimediano com os elementos indicados.
Atividade 3 - Construir um prisma e um antiprisma con bases
congruentes.
DUALIDADE DE POLIEDROS
Dois poliedros convexos P e D são duais um do outro se existe uma bijeção f da família
de vértices e faces de P na família de vértices e faces de D, que satisfaz às seguintes
propriedades:
i) se V é um vértice de P, então f(V) é uma face de D;
ii) se F é uma face de P, então f(F) é um vértice de D;
iii) V é vértice da face F de P se e somente se f(F) é vértice da face f(V)
de D. (GRÜNBUAM; SHEPHARD, 1988 , tradução nossa).
Para o caso particular dos sólidos platônicos, existe uma maneira muito natural de se
construir uma bijeção entre um sólido platônico com o
seu poliedro dual: dado um sólido platônico P, considere
o poliedro convexo D cujos vértices são os centros das
faces de P e cujas faces são polígonos convexos com
vértices nos centros das faces de P, faces estas que
concorrem em um mesmo vértice de P. Esta relação
geométrica particular já foi percebida por Johannes
Kepler (1571-1630) que a explicitou em seu livro “A
Harmonia dos Mundos” de 1619.
Atividade 4 - Construir o poliedro dual de um poliedro platônico indicado.
5
“Os poliedros duais dos poliedros arquimedianos são os poliedros de Catalán”.
(SOLER; GUILLÉN, 1997).
Para obtermos o dual de um poliedro convexo qualquer, existe um algoritmo que obtém
um dual de qualquer poliedro convexo. O ponto de partida é o conceito
de inversão com relação a uma esfera: escolhida uma esfera de centro em O e raio r, o
inverso de um ponto V com relação a esta esfera é o ponto V' sobre a semirreta de
origem O e passando pelo ponto V, tal que
d(O, V) · d(O, V') = r².
Atividade 5 - Construir o poliedro dual de um prisma pentagonal dado.
Atividade 6 - Determinar o poliedro dual de um antiprisma pentagonal dado.
O que está por traz da ideia de dados redondos? - Depois de ter despertado a
curiosidade dos estudantes e disponibilizarem tempo para refletirem, podemos então
utilizar a construção feita, que permite ser aberta, e mostrar a solução.
É possível usar o conceito de dualidade para se construir um dado redondo e honesto
(isto é, com probabilidade 1/6 para cada um dos seis valores que ele pode sortear). As
marcações do dado redondo são pintadas sobre a superfície de uma esfera usando-se
uma disposição análoga à do cubo convencional. Dentro da esfera encontra-se uma
cavidade na forma do dual do cubo, um octaedro. Dentro da cavidade, coloca-se uma
pequena esfera metálica pesada que fica solta. Quando o dado redondo é lançado, toda a
estrutura tende a se equilibrar com a pequena esfera ocupando a posição de um dos seis
vértices do octaedro, fazendo com que o topo da superfície esférica apresente uma das
seis marcações.
PREENCHIMENTO DO ESPAÇO
Uma condição necessária para o preenchimento do espaço usando poliedros é que a
soma dos ângulos diedros que concorrem em uma aresta seja igual a 360.
Exemplo simples de preenchimento do espaço é o empilhamento de cubos iguais.
Atividade 7 - Dar um exemplo de pavimentação do plano formada por um único tipo de
polígono regular.
Atividade 8 - Dar um exemplo de preenchimento do espaço formado por poliedros
diferentes de cubos.
6
O plano pode ser coberto por mosaicos semirregulares que são formados por mais de
um tipo de polígonos regulares iguais. Da mesma forma podemos preencher o espaço
usando mais de um tipo de poliedros regulares congruentes, sempre que verifiquem a
condição enunciada. Agora, a tarefa é descobrir as possíveis combinações de poliedros
que podem formar uma retícula.
Fedorov, cristalógrafo russo fez importantes contribuições ao estudo dos poliedros
convexos que formam preenchimentos do espaço, relacionados com seus estudos
fundamentais sobre formação dos cristais. Seguem alguns exemplos.
Alguns exemplos de preenchimentos de espaço encontrados na natureza.
REFERÊNCIAS
FANTI, E. L. C.; KODAMA, H. M.; NECCHI, Y. M. A. “Explorando poliedros
convexos no ensino médio com o software Poly”. In: Livro Eletrônico dos Núcleos de
Ensino da UNESP. São Paulo: Cultura Acadêmica, 2007.
GRÜNBUAM, B.; SHEPHARD, G. C. Shaping Space: A Polyhedral Approach.
Birkhauser, Boston, 1988.
HOLDEN, A. Shapes, Space, and Symmetry. Toronto: General Publishing Company,
1991.
KALEFF, A.M.M.R.; REI, D. M. Varetas, canudos, arestas e sólidos geométricos. In:
HELLMEISTER, A. C.; DRUCK, S. (Org.) Explorando o Ensino da Matemática-
Atividades. Brasília: MEC- Secretaria da Educação Básica, 2004, v.2, p.122-126.
7
SOLER-GUILLÉN, G. El Mundo de los Poliedros. Madrid: Editorial Sintesis, 1991.
Sociedade Brasileira de Educação Matemática – Regional Distrito Federal 23 a 25 de setembro de 2011
CRIANDO COM POLIMINÓS
Agda Jéssica de Freitas Galletti - UnB - DF - [email protected]
Alexia Castro da Silva - UnB - DF - [email protected]
Elisson dos Santos Morales – UnB – DF – [email protected]
Karine Martins Cirqueira - UnB – DF – [email protected]
RESUMO
Criando com poliminós é uma proposta de minicurso para o V EBREM, destinado a professores de Matemática na Educação Básica. O principal objetivo consiste em apresentar as agrupações de quadrados, conhecidas por poliminós, como ferramentas para a exploração de conceitos geométricos e de suas propriedades, entre eles polígonos, classificações, perímetro, área, simetrias, semelhanças e suas comparações e relações. Na abordagem dinâmica dos temas mediante atividades são usados esses recursos didáticos motivadores, que fomentam a criatividade e imprimem um caráter lúdico às ações. Todos os materiais e soluções das atividades serão colocados à disposição dos professores participantes. Com este minicurso, procura-se despertar o interesse por atividades que facilitam a compreensão da matemática, promover o uso de modelos pedagógicos nas aulas e contribuir para a melhoria da qualidade do ensino. Palavras-chave: Poliminós, criatividade, geometria plana Público alvo: Anos Finais do Ensino Fundamenta e Ensino Médio.
INTRODUÇÃO
Neste minicurso, visamos usar conhecimentos geométricos e materiais didáticos
manipuláveis como ferramentas para desenvolver o raciocínio lógico, estimular o
pensamento independente, a criatividade e a capacidade de resolver problemas.
Abordaremos temas da Geometria Plana tais como polígonos, suas classificações e
propriedades, simetria, semelhança, recobrimento do plano, área e perímetro, mediante
a realização de atividades, desafios, experiências e jogos matemáticos, usando como
ferramentas os poliminós.
OBJETIVOS
Estudar as principais propriedades das figuras planas, relações e comparações
entre elas, pavimentações do plano, mediante o uso dos poliminós como ferramentas
2
para o desenvolvimento do raciocínio lógico e da criatividade. Também contamos como
objetivos:
Apresentar atividades de geometria para aplicar em sala de aula;
Incentivar a aplicação de metodologia de trabalho experimental nas atividades
de ensino-aprendizagem de Matemática;
Promover o uso de materiais didáticos simples na construção do saber
geométrico e no desenvolvimento da criatividade.
JUSTIFICATIVA
O tema, pela riqueza de conceitos e abordagens que abrange, constitui uma
excelente ferramenta para o estudo da Geometria Plana, podendo ser usado no ensino de
conceitos básicos dos Anos Finais do Ensino Fundamental e até conceitos mais
avançados vistos no Ensino Médio. Também é um referencial como elemento
motivador e incentivador de desenvolvimento do raciocínio lógico, do processo criativo,
da percepção espacial, da generalização e do sentido estético. As inúmeras e
interessantes aplicações desse recurso que apresentamos justificam a inserção desta
proposta e a colocam em lugar de destaque no desenvolvimento de competências e
habilidades na área da Matemática.
METODOLOGIA
O trabalho será dinâmico e interativo, envolvendo conteúdos da Matemática
escolar. A metodologia adotada é desenvolvida por meio de atividades, jogos
matemáticos e resolução de problemas e desafios, que poderão ser utilizadas pelos
professores em sala de aula. Os alunos participantes trabalharão em duplas. A
apresentação expositiva é acompanhada de recursos audiovisuais para o tratamento dos
assuntos teóricos e das variações e extensões dos diferentes tipos de poliminós.
POLIMINÓS
Os poliminós são figuras planas formadas pela justaposição de um número n de
quadrados iguais de maneira que a aresta de um quadrado fique em contato com toda a
aresta de outro quadrado.
Eles são classificados pelo número de quadrados que o formam da seguinte forma:
Monominó – um; Dominó – dois; Triminó – três; Tetraminó – quatro; Pentaminó –
3
cinco; Hexaminó – seis; Heptaminó – sete; e N-minó para os com n quadrados
seguintes.
Os poliminós são mencionados na literatura desde o início do século XX, mas foi
Solomon W. Golomb que, em seu artigo Checker boards and polyominoes publicado no
American Mathematical Monthy de 1954, propôs uma série de problemas envolvendo
recobrimento de tabuleiros de xadrez com peças que denominou poliminós.
Atividade 1: Utilizando os monominós, construir todas as variações possíveis de
poliminós com duas, três, quatro e cinco peças, descartando as obtidas por rotação e
reflexão de outras peças.
POLÍGONOS
Atividade 2: Mostrar que todo poliminó é um polígono e classificar os tetraminós em
polígonos convexos ou côncavos.
Atividade 3: Para os tetraminós convexos da atividade anterior, determinar a relação
entre o número de vértices e o número de lados de cada um deles que é uma
propriedade do polígono convexo.
Atividade 4: Construir todos os polígonos convexos possíveis, usando todos os
tetraminós, classificando-os quanto ao número de lados.
SIMETRIA
Atividade 5: Determinar quais triminós, tetraminós e pentaminós são simétricos.
ÁREA E PERÍMETRO
Atividade 6: Construir polígonos distintos usando o mesmo número de tetraminós e
calcular o perímetro de cada um deles. Essas figuras são equivalentes?
Atividade 7: Construir uma “cerca” utilizando todos os pentaminós e encontrar a área
do maior retângulo que pode ser “cercado” por essas doze peças.
Atividade 8: Utilizando os pentaminós, construir um retângulo com área medindo 50
unidades quadradas.
4
SEMELHANÇA
Atividade 9: Considere os triminós:
Determinar o menor número de peças (B) que são necessárias para formar uma peça
semelhante a (A). Achar a razão de semelhança r entre a peça construída e (A).
Atividade 10: Construir todos os tetraminós utilizando o tetraminó quadrado e perceber
a razão de semelhança atribuída a essas figuras em relação aos tetraminós originais.
Atividade 11: Verificar a possibilidade de se triplicar cada tetraminó usando todos os
seus cinco tipos e, caso seja possível, triplicá-los da forma indicada.
RECOBRIMENTO DO PLANO
Disposição das figuras lado a lado de forma que
uma não se sobreponha a outra e que não sobrem
espaços vazios. É o conceito de congruência que vem a ser trabalhada, a peça recoberta
é, na verdade, congruente à construção obtida com as peças menores, pois recobriu
totalmente a figura.
Atividade 12: Quais são os retângulos que podem ser recobertos por (A)? (Sugestão:
Pense em alguns casos particulares e depois tente generalizar para todos os casos)
Atividade 13: Recobrir os retângulos de dimensões 4x5 e 5x5 com os pentaminós e
definir o número de peças utilizadas e quais foram elas.
Atividade 14: Verificar a impossibilidade de se recobrir um retângulo 2X20 usando
todos os pentaminós.
Atividade 15: É possível recobrir algum quadrado com os doze pentaminós? Verifique
essa mesma possibilidade para os 12 pentaminós e um tetraminó quadrangular.
Explique e, caso seja possível, construa-os.
JOGO DOS PENTAMINÓS
É um jogo para dois jogadores onde, em
um tabuleiro 8x8, deve-se, cada um na sua vez,
colocar um dos pentaminós de forma que pelo
menos um dos seus vértices fique em contato com
o de algum pentaminó já colocado e seus cinco
5
quadrados fiquem em “casas livres” do tabuleiro. Perde o jogador que não puder mais
colocar nenhum pentaminó no tabuleiro
Atividade 16: Jogar e discutir qual o número mínimo de pentaminós que podem ser
colocados para que o jogo acabe.
DESAFIO
Atividade 17: Preencher as figuras com os doze pentaminós.
O que foi desenvolvido aqui são apenas sugestões de atividades para serem
aplicadas em sala de aula. Elas podem ser reformuladas, simplificadas ou complicadas
de acordo com o nível de conhecimento dos alunos.
Procuramos, com a utilização desse tipo de recurso, a concretização dos
conceitos geométricos que devem ser ensinados em sala e o desenvolvimento do
raciocínio lógico e da criatividade dos alunos, despertando neles o interesse pela aula
por causa do apelo recreativo da atividade.
Caso nem todas as atividades sejam realizadas por completo ou ainda restem
dúvidas, nos colocaremos à disposição para discussão das atividades, de suas soluções e
da forma com que podemos abordá-las em sala no nosso e-mail.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Almeida, V.L.M.; Guimarães, D.D.M.; Beserra, V.S. Pentaminós como uma ferramenta
didática. Acedido em: 25/06/2011, em:
http://www.unesp.br/prograd/PDFNE2005/artigos/capitulo%2010/pentaminos.pdf.
6
Barbosa, J.L.M.(1995). Geometria Euclidiana Plana. Coleção Professor de Matemática,
SBM. Rio de Janeiro – RJ.
George, E.M. (1996). Polyominoes: A Guide to Puzzles and Problems in Tiling. The
Mathematical Association of America. USA.
Golomb, S.W. (1994). Polyominoes: Puzzles, Patterns, Problems, and Packings. 2ed,
Princeton University Press. Princeton – New Jersey.
Jogos de Puzzle. (2008). Acedido em: 26/06/2011, em:
http://www.jogosdepuzzle.com/jogos/pentamino/.
Silva, A.F.; Kodama, H.M.Y. Poliminós. Acedido em: 26/06/2011, em:
http://www.ccet.ufrn.br/matematica/lemufrn/Artigos/POLIMINOS.pdf
Sociedade Brasileira de Educação Matemática – Regional Distrito Federal 23 a 25 de setembro de 2011
UM PROBLEMA DE COPOS
Igor André Ramos Almeida([email protected])
Universidade de Brasília
Guy Grebot([email protected])
Universidade de Brasília
Michelle Barcelos de Paiva([email protected])
Universidade de Brasília
RESUMO
O minicurso apresenta a resolução de um problema de distribuição de água através
da metodologia de resolução de problemas. As atividades propostas levam o aluno a
construir uma estratégia de resolução que poderia ser demonstrada pela aplicação do
princípio de indução. O exercício proposto de redação de condições necessárias e
suficientes para a não existência de soluções permite ao aluno uma visão mais ampla a
respeito das possibilidades de resolução de problemas.
PALAVRAS CHAVE: lógica; resolução de problemas; indução matemática.
PÚBLICO-ALVO: Alunos e professores do ensino básico.
OBJETIVOS E JUSTIFICATIVA
O ensino de matemática pressupõe o desenvolvimento da capacidade de
argumentação e a estruturação do raciocínio lógico dos alunos (BRASIL, MEC, 1998). No
entanto, a formalização não é trabalhada em sala de aula e, assim, os alunos não
desenvolvem a capacidade de argumentação teórica. O minicurso apresentado neste artigo
foi elaborado no âmbito do programa institucional de bolsas de iniciação à docência –
PIBID-MAT/CAPES e tem como objetivo a introdução do princípio de indução em turmas
do nível básico. Ao longo das atividades, os alunos são questionados quanto à existência de
solução e quanto ao estabelecimento de condições de existência de soluções do problema,
o que favorece a argumentação e permite desenvolver a capacidade de expressão oral e
escrita. Este minicurso foi baseado num artigo de Caruso (2009).
METODOLOGIA DO MINICURSO
2
A metodologia de resolução de problemas em matemática (Allevato e Onuchic:
2006) certamente não resolve todas as questões angulosas do ensino da matemática. No
entanto, além de ser sugerida como metodologia de sala de aula pelos PCNs, ela se adequa
perfeitamente aos objetivos propostos pelo grupo. Por isso, as atividades a seguir foram
desenvolvidas de acordo com esta metodologia e permitem levar o aluno a pensar de forma
organizada e com autonomia. A quantidade máxima de participantes do minicurso é de 25
pessoas.
MINICURSO
Como equilibrar a quantidade de água em um condomínio de forma a atender as
necessidades de cada família? Este é um problema um tanto complexo pois teríamos que
levar em consideração, entre outros aspectos, a quantidade de pessoas de cada família e o
tipo de atividade que cada família desenvolve. Podemos então tentar dar a cada casa a
mesma quantidade de água. Uma formulação simplificada do problema acima pode ser
expressa como segue:
Problema: Considerando-se uma distribuição de reservatórios de água em uma malha
quadriculada tal que a água só pode passar de um reservatório para o reservatório à sua
direita ou abaixo dele, devemos equilibrar a quantidade de água nos reservatórios.
Nosso objetivo é analisar a resolução deste problema matemático no caso
bidimensional utilizando o conceito de diagrama de Young.
Diagrama de Young: Um diagrama de Young é um conjunto D de casas do tabuleiro
com a seguinte propriedade: se pegarmos uma casa no diagrama, todas as casas à direita e
todas aquelas situadas abaixo dela, também fazem parte de D.
Canto no diagrama de Young: Um canto de um diagrama de Young é uma casa que
não tem vizinhos à sua esquerda, e nem acima dela.
3
Atividade 1: Sobre o Diagrama de Young
1. Se retirarmos um canto de um diagrama de Young, a figura resultante é um
diagrama de Young?
2. Considere a figura abaixo em que D1 e D2 são diagramas de Young inseridos no
mesmo diagrama de Young. Pinte D1∩D2 com uma cor diferente e argumente
se D1∩D2 é um diagrama de Young.
3. Considere a figura abaixo em que D1 e D2 são diagramas de Young inseridos no
mesmo diagrama de Young. Pinte D1∪D2 com uma cor diferente e argumente se
D1∪D2 é um diagrama de Young.
Região D1 Região D2
4. Reescreva as respostas dos itens 2 e 3 em forma de lema.
5. Seja D a região pintada da figura abaixo. D é um diagrama de Young? A nova
região D', que é região obtida se adicionarmos a casa C à região D, é um diagrama
de Young?
4
6. Redija um teorema que traduza a observação do item anterior.
7. Prove este teorema.
Atividade 2 Indícios para que o problema não admita solução;
Diagrama e
subdiagramas
área Volume 1 Volume 2
1. Considere o diagrama de Young dado abaixo. Determine todos os seus
subdiagramas e a área de cada um. Preencha as duas primeiras colunas da tabela
acima.
5
2. Considere as configurações iniciais dos seguintes diagramas de Young. Complete
as duas últimas colunas da tabela acima, inserindo os volumes totais de cada
subdiagrama para cada um dos diagramas dados abaixo.
Configuração 1 Configuração 2
Atividade 3 Considere as configurações 1 e 2 dadas na atividade anterior.
1. Como comparar as áreas e os volumes de cada subdiagrama do diagrama da
configuração 1?
2. Qual deve ser o volume de água em cada casa da configuração 1, após ter resolvido
o problema de equilibrar a quantidade de água? Chamaremos esta quantidade de
“dose”.
3. O que pode ser dito a respeito do volume de água em cada canto dos subdiagramas
da configuração 1 em relação à dose?
4. Tente equilibrar a quantidade de água na configuração 1.
5. Repita os itens 1,2,3 e 4 para a configuração 2.
Atividade 4 : Condição para que o problema não admita solução.
6
1. O que podemos dizer a respeito da solução do problema com base nas situações
verificadas anteriormente?
2. Escreva um lema que traduza uma condição necessária para que o problema não
tenha solução.
Atividade 5 Uma estratégia de resolução.
1. Explique a estratégia utilizada anteriormente para a solução do problema do item 4
da atividade 3.
2. Se retirarmos um canto já equilibrado (com volume igual a uma dose) é possível
continuar aplicando esta estratégia?
3. Redija uma estratégia geral para a solução do problema.
4. Quando retiramos uma casa já 'equilibrada' obtemos um novo diagrama de Young.
O que podemos dizer à respeito da nova dose nesse novo diagrama?
Atividade 6: O que deveríamos provar para garantir que a estratégia sempre funciona?
REFERÊNCIAS
Xavier Caruso (2009). Un problème de remplissage de verres; Un exemple de
démonstration mathématique. <http://images.math.cnrs.fr/Un-probleme-de-remplissage-
de.html> Acesso em 29/03/2011.
BRASIL. MEC. Parâmetros Curriculares Nacionais: terceiro e quarto ciclo do ensino
fundamental. Brasília: MEC/SEF, 1998.
BRASIL. MEC. Parâmetros Curriculares Nacionais: ensino médio. Brasília: MEC/SEF,
1999.
N.S. G. Allevato e L.R. Onuchic. Ensino-aprendizagem-avaliação de matemática através
da resolução de problemas: uma nova possibilidade para o trabalho em sala de aula.
Actas da VII Reunião de Didática da Matemática do Cone Sul. Águas de Lindóia-SP,
2006.
Sociedade Brasileira de Educação Matemática – Regional Distrito Federal 23 a 25 de setembro de 2011
CRIATIVIDADE MATEMÁTICA – PRINCÍPIOS E PRÁTICA
Deire Lucia de Oliveira
SEDF e mestranda da FE - UnB –[email protected]
Leila Cunha de Albuquerque
SEDF e mestranda da FE – UnB – leila-lca@ hotmail.com
RESUMO
Este minicurso propõe a aplicação de uma atividade, com professores de Matemática da
educação básica e/ou graduandos, com o intuito de promover o interesse e discussões
acerca de criatividade, criatividade Matemática e do papel do professor neste contexto.
Durante a execução da tarefa serão abordadas sinteticamente algumas teorias acerca do
tema e pretende-se criar um ambiente favorável ao debate dos aspectos matemáticos da
atividade proposta, do papel do erro, dos estilos de ensino, da avaliação das produções e
dos aspectos relevantes para o reconhecimento de traços de criatividade.
Palavras-chave: Criatividade. Criatividade Matemática. Polígonos. Perímetro.
Público Alvo: Professores da Educação Básica e estudantes de graduação do curso de
Matemática.
UMA BREVE ABORDAGEM TEÓRICA
Devido à crescente produção científica em torno do tema criatividade e as
recentes teorias desenvolvidas nas últimas décadas, não é possível atribuir uma única
definição ao termo, sendo possível apenas evidenciar os aspectos que a caracterizam.
Alguns autores destacam a originalidade como fator indispensável à criatividade
(STEIN, 1974; ANDERSON, 1965; SUCHMAN, 1981; AMABILE, 1996 apud
FLEITH, 2003), ou seja, para que uma idéia, descoberta ou invenção, seja considerada
criativa, esta deve ser nova, inusitada. A relevância, destacada por Suchman (1981) e
Amabile (1996), seria outro fator associado à criatividade, ou seja, a importância ou o
significado que certa idéia traz a um determinado contexto e momento.
É tão complexo entender como a criatividade se desenvolve e se apresenta na
atividade humana quanto defini-la. Identificar e analisar fatores que influenciam a
2
produção criativa tornou-se foco de diversas pesquisas nos anos 70 e 80 trazendo um
novo olhar para o tema em discussão. A criatividade deixou de ser vista como algo
apenas intrínseco e individual e passou a ser concebida como uma atividade que se
desenvolve influenciada por elementos internos e externos ao indivíduo. “Para
compreender por que, quando e como novas ideias são produzidas, é necessário
considerar tanto variáveis internas quanto variáveis externas ao indivíduo” (ALENCAR;
FLEITH, 2003, p. 63). Para Csikszentmihalyi (1999, apud ALENCAR; FLEITH, 2003)
buscar entender como e onde a criatividade se manifesta é mais importante do que
simplesmente defini-la.
Também é foco das pesquisas reconhecer indivíduos criativos, pois sua
identificação pode levar a um olhar diferenciado e possibilitar a busca por
procedimentos que venham a contribuir para que a criatividade se desenvolva de
maneira significativa. Dentre as vantagens apresentadas por Treffinger (2003, apud
ALENCAR; BRUNO-FARIA; FLEITH, 2010) em desenvolver instrumentos para
identificar e medir a criatividade podemos citar:
Ajudar a reconhecer os pontos fortes e talentos dos indivíduos, contribuindo para
que as pessoas conheçam e compreendam a si mesmas;
Oferecer dados para avaliação de indivíduos ou grupos, orientando professores
no planejamento e na implementação de instrução apropriada;
Auxiliar professores, psicólogos ou indivíduos a descobrir talentos não
reconhecidos ou ignorados;
Testes e métodos foram elaborados com o intuito de identificar indivíduos criativos
a partir dos resultados advindos de pesquisas que se dedicam a entender como que o
processo criativo acontece. Guilford (1967, apud ALENCAR; FLEITH, 2003), Torrance
e Csikszentmihalyi (apud ALENCAR; FLEITH, 2003) mencionam flexibilidade,
fluência e originalidade como contribuintes do pensamento criativo.
Essas pesquisas são de grande relevância no campo da educação, pois leva a refletir
e buscar meios que possibilitem que alunos desenvolvam habilidades as quais podem
incidir na sua produção criativa. Guilford (1979, apud ALENCAR; FLEITH, 2003)
destaca como papel da escola não apenas transmitir o conhecimento, mas fazer com que
o aluno perceba as diversas possibilidades de utilizá-lo, pois “não basta encher a cabeça
dos alunos de conhecimento, embora este seja um passo necessário; é necessário
também instruir os alunos e exercitá-los no uso desse conhecimento” (GUILFORD,
1979, apud ALENCAR; FLEITH, 2003).
3
Preocupar-se com o desenvolvimento do pensamento criativo dos estudantes
mostra-se como um aspecto importante a ser considerado, tendo em vista que é um
elemento constituinte do fator campo (sistema social), de acordo com a perspectiva de
sistemas apresentada por Csikszentmihalyi.
O estudo da criatividade no Brasil vem crescendo gradativamente. Segundo Nakano
e Wechsler (2007) ao realizarem uma pesquisa acerca do estado da arte em criatividade,
constataram que a maioria das pesquisas teóricas tem sido realizada com o foco voltado
para a educação. Segundo estas autoras isso se deve ao fato de que “quando se trata do
tema da criatividade, reflete na verdade uma preocupação com a influência que o
ambiente exerce sobre o desenvolvimento desta característica, de forma que a escola
tem sido muito estudada como facilitadora da expressão criativa” (NAKANO e
WECHSLER, 2007, p.8).
Nesta perspectiva a escola se mostra como um espaço capaz de revelar indivíduos
com habilidades criativas e de promover o desenvolvimento do pensamento criativo.
Segundo Gontijo (2007) o conceito de criatividade Matemática pode ser dado pela
capacidade de apresentar inúmeras possibilidades de soluções apropriadas para uma
situação-problema, de modo que estas focalizem aspectos distintos do problema e/ou
formas diferenciadas de solucioná-lo, especialmente formas incomuns (originalidade)
tanto em situações que requeiram a resolução e elaboração de problemas como em
situações que solicitem a classificação ou organização de objetos e/ou elementos
matemáticos em função de suas propriedades e atributos, seja textualmente,
numericamente, graficamente ou na forma de sequência de ações (GONTIJO, 2007, p.
37).
De maneira sintética, pode-se considerar como elementos constituintes do processo
criativo os aspectos cognitivos (conhecimento, aprendizagem e percepção), os aspectos
intrapessoais (personalidade e motivação) e os aspectos de ordem social e cultural.
Segundo Gontijo (2007, p. 37) a fluência, flexibilidade e a originalidade são variáveis
também presentes na produção criativa em Matemática.
Balka (1974, apud. Mann, 2006) apresentou critérios para medir capacidade criativa
em Matemática, onde foi abordado tanto o pensamento convergente, caracterizado por
padrões de pensamentos, quanto o pensamento divergente, que rompe com a
mentalidade pré-estabelecida. Além dos critérios, Balka (1974) também indicou que
deveriam ser avaliadas habilidades para:
4
formular hipóteses matemáticas avaliando relações de causa e efeitos em
situações matemáticas.
considerar e avaliar ideias matemáticas não usuais, refletindo sobre suas
conseqüências em situações matemáticas.
perceber problemas a partir de uma situação matemática e formular questões que
possam resolver a esses problemas.
elaborar subproblemas a partir de um problema matemático geral.
buscar soluções para problemas matemáticos, rompendo com um quadro mental
“estático”.
elaborar modelos para solucionar situações matemáticas. (BALKA, apud.
GONTIJO, 2007, p. 75)
Carlton (1959 apud GONTIJO, 2007, p.45) também apontou algumas características
que contribuem para identificar o sujeito criativo em Matemática. Para ele é possível
perceber 21 características típicas do pensamento criativo em Matemática dentre elas
apresentamos as seguintes:
(a)Busca de conseqüência ou conexões entre um problema,
proposição, ou conceito e o que pode ser feito a partir disto; (b)
Desejo por trabalhar independentemente do professor e dos
outros alunos; (c) Prazer de comunicar aspectos matemáticos
com outras pessoas que têm igual habilidade e interesse; (d)
Especulação sobre o que aconteceria se fossem mudadas uma
ou mais hipóteses de um problema; (e) Habilidade para
compreender uma solução inteira de uma vez ou visualizar uma
demonstração como um todo; (f) Intuição para perceber os
resultados a partir das proposições; (g) Convicção que todo
problema tem solução; (h) Persistência em trabalhar com
problemas particularmente difíceis ou demonstrações
(CARLTON, apud Gontijo, 2007, p.47).
Ao analisar as características acima apresentas por Balka (1974) e Carlton
(1959) é possível perceber que para que estas se manifestem no cotidiano escolar,
especialmente nas aulas de Matemática, faz-se necessário que as experiências
vivenciadas nas aulas pelos alunos propiciem, de alguma forma, que eles demonstrem
suas habilidades e que estas se desenvolvam. Especialistas em Educação Matemática
(D’AMBROSIO, 1996; FIORENTINI 1995; ABRANTES, 1995; BURIASCO, 1999)
ao longo das últimas décadas, têm alertado para a necessidade um ensino capaz de
mobilizar os alunos, tornando-os participantes ativos de seu processo de aprendizagem e
fazendo com que estes percebam significado em aprender Matemática. Neste sentido,
“os professores de Matemática devem priorizar o uso de situações problemas para
5
organizar o trabalho pedagógico, oferecendo situações desafiadoras baseadas tanto no
contexto vivenciado pelos alunos como em situações abstratas” (GONTIJO; FLEITH,
2010, p. 108). Para Gontijo e Fleith (2010) estes são elementos que, se presentes no
processo de ensino e aprendizagem, poderão converte-se em um valioso recurso
didático e também poderá ser capaz de favorecer a criatividade nessa área.
Diante da perspectiva apresentada pelas diversas teorias acerca da criatividade,
podemos perceber que a escola, como constituinte do meio que exerce influência no
processo criativo, precisa oferecer condições para que habilidades e características que
exercem influência sob o processo criativo possam ser potencializadas, para isso faz-se
necessário que a sala de aula seja um ambiente propício para o desenvolvimento
criativo.
Vale lembrar que o professor também compõe o meio em interação com o aluno,
exercendo um papel importante, em que poderá contribuir para que o clima, o ambiente
em sala de aula, favoreça o desenvolvimento da criatividade. Fleith (2002, p.33) 5
apresenta algumas sugestões de estratégias a serem assumidas pelo o professor para que
este favoreça o processo criativo:
(a)Dar ao aluno oportunidades de escolha (...) ; (b) ajudar ao
aluno a lidar com o erro (...); (c) valorizar produtos e ideias
criativas; (d) prover oportunidades para que o aluno se
consciencialize do seu potencial criativo (...); (e) cultivar o
senso de humor na sala de aula; (f) apresentar indivíduos
criativos como modelos; (g) ser acessível ao aluno fora de sala
de aula; (h) ressaltar os pontos fortes do aluno; (i) prover
oportunidades para o aluno obter conhecimento pessoal acerca
das suas habilidades, interesses e estilos de aprendizagem; (j)
fornecer ao aluno feedback informativo sobre o seu
desempenho; (l) expor o aluno a diversas áreas do
conhecimento, estilos de ensino e formas de avaliação: (m)
encorajar o aluno a registrar suas ideias; (n) compartilhar
experiências pessoais relacionadas ao conteúdo ministrado; (o)
criar um espaço para a divulgação do trabalho do aluno no
contexto escolar e extra-escolar; e (p) considerar os comentários
e sugestões dos alunos (FLEITH, 2002, p.34)
Refletir acerca do papel do professor no desenvolvimento do processo criativo
também é uma das contribuições de Fleith (2002). Pode-se inferir que para que
experiências criativas sejam vividas no ambiente de sala faz-se necessário que o
docente, neste caso o professor de Matemática, esteja aberto a novas ideias, estimule a
produção de novas soluções, de novos problemas e saiba intervir na produção de seus
alunos, estabelecendo um clima de confiança, de maneira que estes, mesmo diante do
erro, encontrem motivação para continuar a produzir. De modo similar Mann (2006) diz
6
que o professor deve olhar para além do erro, promovendo assim um ambiente escolar
que estimule a criatividade.
Os riscos apontados por Mann (2006), nos tradicionais procedimentos dos
professores baseados em aplicações mecânicas, é que estes podem alimentar uma
sociedade com alunos que só possuem capacidade para aplicar técnicas conhecidas,
formando assim, pessoas despreparadas para resolverem problemas em situações
desconhecidas e inesperadas. Necessita-se que os professores apreciem a beleza e
criatividade da Matemática, fomentando que o mesmo ocorra com os alunos, pois, para
Mann (2006) a Matemática é uma ferramenta poderosa que pode ser usada em
diferentes níveis de complexidade no cotidiano das pessoas, entretanto muitos alunos
deixam a escola por não gostarem de Matemática com a crença de que eles
simplesmente não sabem e não aprendem matemática.
ATIVIDADE
Alguns pontos são dados, de tal modo que a distância entre eles, tanto na
horizontal como na vertical, é igual a 1cm. Ligando estes pontos, construa polígonos
que tenham perímetros iguais a 14 centímetros. Desenhe cada polígono separadamente
dos demais (Vasconcelos, 2002).
JUSTIFICATIVA
Com base nos conceitos e teorias expostos e desejando abordar o tema a partir
de um modo prático, propomos aplicar uma atividade para observar sinais de
criatividade Matemática, promover o reconhecimento desses sinais e despertar os
professores e os futuros docentes, para ações que promovam a criatividade.
Durante a execução da tarefa vamos abordar os conceitos de criatividade
expostos acima, as teorias acerca do tema, a importância do papel do professor na
identificação de possíveis potenciais criativos, estimular atitudes capazes de promover a
criatividade, a influência do meio no processo criativo e a necessidade de conhecimento
específico a priori.
Com o intuito de promover a discussão acerca do pensamento convergente e do
pensamento divergente, à medida que forem aparecendo padrões de respostas com
maior freqüência, esta situação será tomada como referência para que sejam estimuladas
ações que possam romper com as opções pré-estabelecidas e com um quadro mental
estático que inibi, por sua vez, o pensamento divergente
7
Pretende-se criar um ambiente favorável ao debate dos aspectos matemáticos da
atividade proposta, do papel do erro, dos estilos de ensino, da avaliação das produções e
dos aspectos relevantes para o reconhecimento de traços de criatividade.
Além do exposto anteriormente, a justificativa para a escolha de aplicar no
minicurso uma única atividade está no fato de que as autoras deste texto produziram
mais de uma centena de respostas corretas e distintas para a resolução da tarefa
proposta. Consta que Vasconcelos (2002, apud. Gontijo, 2007 p.166) relatou que podem
ser encontradas 137 soluções corretas para a atividade, desta forma este minicurso
poderá com uma única tarefa mobilizar o pensamento convergente e divergente do
participante e, por meio da socialização e discussão da atividade desenvolvida,
promover uma abordagem teórica acerca do tema em questão, o que nos leva a prever a
total utilização do tempo disponível para a realização deste minicurso.
REFERÊNCIAS
ABRANTES, Paulo. Avaliação e Educação Matemática. MEM/USU/GEPEM:1995.
ALENCAR, Eunice M. L. Soriano de; FLEITH, Denise de Souza. Contribuições
Teóricas Recentes ao Estudo da Criatividade. Psicologia: Teoria e Pesquisa.
Brasília, Vol. 19 n. 1, pp. 001-008, Jan-Abr 2003.
ALENCAR, Eunice M. L. Soriano de; FLEITH, Denise de Souza. Criatividade:
Múltiplas perspectivas. Brasília: Editora Universidade de Brasília, 2003.
ALENCAR, Eunice M.L. Soriano; BRUNO-FARIA, Maria de Fátima; FLEITH, Denise
de Souza (orgs). Medidas de Criatividade: teoria e prática. Porto Alegre: Artmed,
2010.
BURIASCO, R.L.C. Avaliação em Matemática: um estudo das respostas dos alunos
e professores. 238 f. Tese (Doutorado em Educação). Universidade Estadual Paulista
(UNESP), Marília, 1999.
D’AMBROSIO, Ubiratan. Educação Matemática: Da teoria à prática. Campinas, SP:
Papirus, 1996 – (Coleção Perspectivas em Educação Matemática).
8
FIORENTINI, Dario. Alguns modos de ver e conceber o ensino da matemática no
Brasil. Zetetíké, Campinas, ano 3, n. 4, p. 1-37, nov. 1995.
FLEITH, Denise de Souza. Ambientes educacionais que promovem a criatividade e
a excelência. Sobredotação, Braga (Portugal), vol. 3, nº 1, p. 27-37, 2002.
GONTIJO, Cleyton Hércules. Criatividade em matemática: identificação e
promoção de talentos criativos. Educação (UFSM), v. 32, p. 481-494, 2007.
GONTIJO, Cleyton Hércules. Relações entre criatividade, criatividade em
Matemática e Motivação em Matemática de alunos do ensino médio. Tese
(Doutorado) - Universidade de Brasília, Brasília. 2007.
GONTIJO, Cleyton Hércules; FLEITH, Denise de Souza. Avaliação da criatividade
em Matemática. In: ALENCAR, Eunice M.L. Soriano; BRUNO-FARIA Maria de
Fátima; FLEITH, Denise de Souza (orgs). Medidas de Criatividade: teoria e prática.
Porto Alegre: Artmed, 2010. 8
9
MANN, Eric. L. Creativity: the essence of Mathematics. Journal for the Education
of the Gifted. Vol. 30, No. 2, 2006.
NAKANO, Tatiana Cássia; WECHSLER, Solange Muglia. Criatividade:
características da produção científica brasileira. In: Avaliação psicológica, 2007 (6),
pp. 261-270.
Sociedade Brasileira de Educação Matemática – Regional Distrito Federal 23 a 25 de setembro de 2011
POR QUE TRABALHAR COM RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO
ENSINO DA MATEMÁTICA?
Rosemeire Roberta de Lima – UFAL – [email protected]
RESUMO
O minicurso pretende discutir a importância da Resolução de Problemas no ensino da
matemática para os anos iniciais do Ensino Fundamental (EF). Tendo em vista que o
público desse nível de escolaridade são crianças, com idade em média de 7 a 11 anos e
que estão em processo de alfabetização, a referida proposta de trabalho torna-se
essencial e ideal no ensino da matemática porque permite ao professor a realização de
atividade de leitura, escrita e interpretação de enunciado de modo a favorecer ao aluno
problematizar situações e questionar a si mesmo acerca do domínio de conhecimento
que possui, permitindo assim um trabalho interdisciplinar e, sobretudo, proporcionando
explicitação do conhecimento espontâneo e prévio do aluno, direcionando para a
construção de novo conhecimento. Além disso, a utilização de Resolução de Problemas
no ensino da matemática, quando aplicada no sentido de vencer obstáculo, buscando
solução para uma situação não evidente, oportuniza ao professor exercer um papel de
mediador e ao aluno, um papel de sujeito ativo, criativo e ao ensino, visa mostrar o seu
caráter dinâmico e operacionalização da função que é fazer com que o aluno aprenda; a
matemática, por sua vez, assume seu principal papel que é desenvolver o raciocínio
lógico dos aprendizes, demonstrando que é uma disciplina viva, contextualizada ,
criativa e necessária para a relação com o cotidiano e que apresenta varias
possibilidades para chegar a uma solução. Eis o caráter dinâmico e belo da matemática,
a sua criatividade! O trabalho com Resolução de Problemas, nesse sentido, dá subsídios
ao professor de (re)organizar o planejamento de seu trabalho, objetivando de fato a
aprendizagem dos alunos além de contribuir na interação entre os pares mediante a
socialização de diferentes estratégias de solução encontradas pelos estudantes,
ampliando assim o repertório de conhecimento dos mesmos. Diante do exposto, a
Resolução de Problemas tem como objetivo eliminar distorções de que a matemática é
difícil, chata e que requer puramente memorização de técnicas e fórmulas. Seu papel é
encorajar o aluno a refletir sobre seus saberes matemáticos, motivando-os a tratar a
disciplina de matemática de cunho argumentativo em que ao aluno é dado o direito de
defender suas ideias, validando ou negando suas estratégias. Os estudos sobre
Resolução de Problemas apresentam conceito de problema, importância de resolver
problemas matemáticos e, ainda, revela a existência de diferentes estratégias de solução
para uma mesma situação. Há a diferença entre exercício e problema, traz tipos de
problemas e diversas ideias para as operações fundamentais da aritmética. No cenário
atual do ensino da matemática percebe-se a necessidade de se buscar caminhos que
direcionem para uma aprendizagem que permita compreensão de conceitos e não a mera
memorização e repetição de fórmulas e técnicas.
Palavras-chave: Resolução de Problemas – Ensino de Matemática – Estratégias de
2
Solução.
PROPOSTA DE MINICURSO
Duração: 1h30
Público alvo: Professores dos anos iniciais do ensino fundamental.
OBJETIVO GERAL
Discutir a importância da Resolução de Problemas no ensino da matemática,
analisando diferentes situações-problema no âmbito dos números naturais, bem como a
diversidade de estratégias de solução para o mesmo problema.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Discutir o que é um problema?
Caracterizar os tipos de problemas matemáticos;
Diferenciar problema de exercício;
Analisar enunciados que tratam de estruturas aditivas e multiplicativas;
Resolver situações-problema por meio de vários procedimentos;
Analisar estratégias de solução de crianças, dando ênfase as ideias de cada
raciocínio das estruturas aditivas e multiplicativas.
JUSTIFICATIVA
A literatura de educação matemática reflete que o trabalho com Resolução de
Problema, concebido aqui como estratégia, propicia ao estudante envolvimento com
situações novas e enfrentamento de desafios na busca de solução que não é evidente,
imediata. Logo, a inserção desta estratégia torna-se essencial e importante para
promover a participação dos alunos nas aulas de matemática e além de permite-lhes o
desenvolvimento de seu pensamento lógico-matemático. Essa proposta de ensino
propõe tratar a matemática não como mera transposição de conteúdo e pura
mecanização de fórmula, mas como uma disciplina dinâmica e viável de criatividade e
explicitação de diferentes estratégias de solução.
Segundo Dante (2000), a Resolução de Problemas é muito utilizada no ensino da
matemática, mas não é específica da referida disciplina. Pozo (1998), por sua vez,
referencia o trabalho por meio de Resolução de Problemas por área de conhecimento,
3
mostrando o potencial que essa estratégia tem de favor a participação ativa do aluno e a
formação de conceitos. Logo, o trabalho com problemas matemáticos no espaço escolar
é pertinente no trabalho do professor polivalente para que ambos, alunos e docentes se
vejam como sujeitos construtores de conhecimento e ainda que tratem a matemática não
como um saber isolado, mecânico, mas como uma área que permite a
interdisciplinaridade, a leitura, a escrita e o raciocínio lógico, característica essencial da
referida área. Desenvolver o raciocínio é participar, é perguntar, é refletir, é comparar,
enfim, é reorganizar o pensamento em nome do conhecimento novo.
Nessa direção, Pozo (1998) registra que a Resolução de Problema é uma
proposta de trabalho que concebe o aluno como sujeito autônomo de sua aprendizagem
à medida que ele busca entender uma situação que não dispõe de um caminho rápido,
mas que tem solução conforme o nível de conceitualização do sujeito interessado na
solução. Resolver um problema não requer somente domínio de habilidade e técnica,
requer compreensão do enunciado, ter senso numérico e habilidade para problematizar a
situação e a si mesmo.
Percebe-se que optar em trabalhar com Resolução de Problemas no ensino de
matemática apresentam inúmeras vantagens: direciona o aluno a pensar produtivamente;
desenvolve o raciocínio do aluno, propõe enfrentamento de desafios; referencia o
sentido as soluções do problema, evoca interesse dos alunos na busca de soluções
aceitáveis; possibilita a exposição de diversos procedimentos para resolver problema e,
sobretudo, contribui para a formação de conceitos matemáticos, enfim, didaticamente
auxilia na aprendizagem do aluno, conforme coloca Dante (2000).
Perez Echeverría et al (1998) sintetizam a proposta com base na Resolução de
Problema, citando que
ensinar a resolver problema não consiste somente em dotar os alunos
de habilidades e estratégias eficazes, mas também em criar neles o
hábito e atitude de enfrentar a aprendizagem como um problema para
o qual deve ser encontrada uma resposta. Não é uma questão de
somente ensinar a resolver problemas, mas também de ensinar a
propor problemas para si mesmo, a transformar a realidade em um
problema que mereça ser questionado e estudado […] O verdadeiro
objetivo final da aprendizagem da solução de problemas é fazer com
que o aluno adquira o hábito de propor-se problemas e de resolvê-los
como forma de aprender (PEREZ ECHEVERRÍA et al, 1998, p.
14/15).
Nessa direção, Starepravo (1997) coloca que trabalhar com Resolução de
4
Problemas no ensino da matemática requer compreensão do que vem a ser um
problema, bem como das técnicas de operação, não como etapa inicial, mas como etapa
atingida progressivamente mediante o entendimento da função do sistema de
numeração, enfim, de conceitos elementares da aritmética.
METODOLOGIA
A temática será apresentada por meio exposição oral dialogada, via data show e
confecção de cartazes coletivos, bem como aplicação de situações-problema para
explicitação de diferentes procedimentos.
1º momento: Apresentação de Slides sobre “O que é problema?”, “Tipos de Problemas”
(problemas numéricos e não numéricos), “Diferença entre problema e exercício”,
“Ideias das estruturas aditiva e multiplicativa”.
2º momento: Reorganização de tiras das ideias das estruturas aditiva e multiplicativa.
ESTRUTURA ADITIVA
(envolve adição e subtração) ESTRUTURA MULTIPLICATIVA
(envole multiplicação e divisão)
Fonte: Será utilizada a classificação abordada por Carvalho (2007)
3º momento: aplicação de atividade para responder situações-problema com diferentes
procedimentos e para elaboração de enunciado, objetivando verificar a diversidade de
solução e enunciado para um único problema.
ATIVIDADE ESCRITA
1) Ana possui em seu guarda-roupa 4 saias e 6 blusas. De quantas maneiras diferentes
ela pode se vestir? Registre dois procedimentos para a solução.
1º Procedimento 2º Procedimento
5
2) Explique qual a ideia utilizada para a solução de cada situação-problema.
a) Em uma turma tem 15 alunos que irão ser distribuídos em grupos de três alunos.
Quantos grupos serão formados?
b) Em turma de 15 alunos a professora formou 5 grupos. Quantos alunos ficou em cada
grupo?
3) Formule uma situação-problema envolvendo os algarismos que seguem: 4 e 12.
4º momento: análise coletiva e oral de estratégias de solução de problemas de divisão,
nas ideias de partição quotição do ponto de vista matemático.
Problema 1 – Maria fez 30 brigadeiros e irá colocar 5 em cada saquinhos. De quantos
saquinhos ela irá precisar? Explique como chegou a resposta.
Solução 1
Fonte: Estudante de 4º ano de escola pública de Maceió.
Solução 2
6
Fonte: Estudante de 4º ano de escola pública de Maceió.
Solução 3
Fonte: Estudante de 4º ano de escola pública de Maceió.
RESURSOS
Data show
Notebook
Papel 40kg
Piloto
Cola
Fita adesiva
Papel A4
Xerox da atividade escrita
REFERÊNCIAS
CARVALHO, Mercedes. Problemas? Mas que problemas?!: estratégias de resolução
de problemas matemáticos em sala de aula. 3ª ed. Petrópolis, RJ: Vozes, 2007.
DANTE, Luiz Roberto. Didática da Resolução de Problemas de Matemática. São
Paulo: Ática, 2000.
PEREZ ECHEVERRÍA, Maria Del Puy; POZO, Juan Ignacio. Aprender a Resolver
Problemas e Resolver Problemas para Aprender. In POZO, Juan Ignacio (org.). A
solução de problemas: aprender a resolver, resolver para aprender. Porto Alegre:
7
ArtMed, 1998, p. 13-42.
POZO, Juan Ignacio (org.). A solução de problemas: aprender a resolver, resolver para
aprender. Porto Alegre: ArtMed, 1998.
SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez (org.). Ler, escrever e resolver problemas:
habilidades básicas para aprender matemática. Porto Alegre; ArtMed, 2001.
STAREPRAVO, Ana Ruth. Matemática em tempo de transformação: construindo o
conhecimento matemático através das aulas operatórias. Curitiba: Renascer, 1997.
WALLE, John A. V. Matemática no ensino fundamental: formação de professores e
aplicação em sala de aula. 6ª ed. Porto Alegre: Artmed, 2009.
Sociedade Brasileira de Educação Matemática – Regional Distrito Federal 23 a 25 de setembro de 2011
TRABALHANDO GEOMETRIA ATRAVÉS DE DOBRADURAS
Daiane de Sousa Rodrigues de Lima - FAJESU–DF – [email protected]
Fernando Rodrigues Almeida - FAJESU–DF - [email protected]
Lorrayne Pablyne Rodrigues Cândida- FAJESU–DF - [email protected]
JUSTIFICATIVA
A matemática sempre esteve e permanece presente nas atividades do ser humano.
Sabe-se que os primeiros conhecimentos matemáticos surgiram a partir da necessidade
de encontrar soluções para problemas do dia-dia. A matemática é cada vez mais
utilizada para modelar e resolver problemas das mais diversas áreas existentes, apesar
de quê ao professor nem sempre se torna uma atividade fácil mostrar ao aluno as
relações e aplicações do tema a ser abordado. Já no que diz respeito a importância da
Geometria, Lorenzato (1995) diz que esta tem função essencial na formação dos
indivíduos, pois possibilita uma interpretação mais completa do mundo, uma
comunicação mais abrangente de ideias e uma visão mais equilibrada da matemática.
A compreensão da matemática pelos alunos não pode se restringir ao conhecimento
formal de definições, fórmulas, resultados e técnicas. É importante que o conhecimento
tenha significado para o aluno, dessa forma ele pode perceber e compreender as
questões que lhe são colocadas. A geometria é uma parcela da matemática que estuda as
formas planas e espaciais com as suas propriedades. Segundo os Parâmetros
Curriculares Nacionais de Matemática (BRASIL,1998, p.39), “as concepções
geométricas estabelecem uma parte importante do currículo de matemática, pois
possibilita ao aluno um desenvolvimento especial de pensamento que lhe permite
compreender, descrever e representar o mundo em que vive”. Alguns autores como
Pavanello (1989) e Lorenzato (1995) têm destacado que os próprios professores
apresentam dificuldade no entendimento da geometria, fazendo com que o ensino da
geometria desvaneça da sala de aula. Sendo assim uma alternativa para o ensino da
geometria é de que parta de atividades que sejam interessantes e compreensíveis para o
aluno, tais como jogos, dobraduras, brincadeiras, observações, leituras, tarefas,
2
Resolução de problemas, enfim, atividades que permitam ressaltar ulteriormente, em
um trabalho coletivo que envolva uma busca de significações sobre o aspecto
geométrico envolvido. Nessa perspectiva, o origami pode ser uma alternativa.
O Origami pode representar para o processo de ensino/aprendizagem
de matemática um importante recurso metodológico, através do qual,
os alunos ampliarão os seus conhecimentos geométricos formais,
adquiridos inicialmente de maneira informal por meio da observação
do mundo, de objetos e formas que o cercam. Com uma atividade
manual que integra, dentre outros campos do conhecimento,
Geometria e Arte. (REGO,GAUDÊNCIO, 2004, p18)
A utilização de dobraduras no ensino de Geometria vem se tornando cada vez mais
conferido como um utensílio pedagógico atrativo e eficiente, tanto pelos seus traços
lúdicos como pela sensação inventiva. O origami traz a possibilidade de reunir
conteúdos escolares com o lúdico dessa forma trabalha-se com conceitos matemáticos e
estimula a socialização, auto-estima, concentração e a criatividade. A proposta deste
trabalho baseia-se na possibilidade da utilização de material concreto para a análise de
formas e conceitos geométricos possibilitando assim o estudo de conceitos ou axiomas
como: ponto, reta, plano, paralelismo, perpendicularismo, polígonos regulares, diagonal
de um polígono, área e ângulos. Existem diversas outras formas que também podem ser
abordadas através da utilização de dobraduras.
A palavra origami é de origem japonesa e significa “a arte de dobrar papel”. Propõe-
se que com o emprego do origami, como ferramenta pedagógica, espera –se que haja, haja uma
baixa obstinação que atualmente se faz muito presente no ensino. Com a utilização do
origami espera-se explorar do aluno a sua aptidão e criatividade, desfazendo algumas
dificuldades matemáticas através da arte, tornando o ensino leve e de fácil compreensão.
Segundo Mattos (2007) o origami tem fundamental importância para a formação da
estrutura cognitiva do aluno. Como recurso metodológico, ele proporciona a exploração
de conceitos geométricos, auxilia o desenvolvimento psicomotor e o senso de
localização espacial, estimula a criatividade, desenvolve a percepção e discriminação de
forma, posição e tamanho, além de promover o refinamento do senso estético das
crianças, jovens e adultos, através das noções de proporção e harmonia, e cultivar a
paciência, a determinação e a perseverança, tão importantes academicamente, e em
nossa vida como um todo. A atuação do professor é de extrema importância, pois o
mesmo não deve se restringir a escolha de problemas e atividades adequadas. De acordo
3
com alguns especialistas (quais?) a aprendizagem não se faz concreta pelo simples fato
de se utilizar algo diferente, mas sim através das relações que se determinam a partir de
sua resolução. Sendo assim cabe ao professor uma devida organização, proporcionando
tempo para que os alunos possam entender, interpretar, verificar, formular justificativas,
argumentar e convencer-se.
É consensual a ideia de que não existe um caminho que possa ser
identificado como único e melhor para o ensino de qualquer
disciplina, em particular, da matemática. No entanto, conhecer
diversas possibilidades de trabalho em sala de aula é fundamental
para que o professor construa sua prática. (BRASIL, 1998, p. 42)
As possibilidades de utilização prática das dobraduras de papel tornam-se cada vez
mais diversificadas. Segundo Britto (ano) a matemática sempre foi ensinada, porém
sempre foi um ensino verbalístico, preso à memorização de símbolos e formas, que
exigia o exercício da memória sem as vantagens da compreensão. Os ensinamentos
tinham base no método dedutivo, não estando ligado com os recursos da curiosidade, da
experimentação ou da concretização. Acredita-se que com as diferentes formas de
ensinar geometria o aluno não sente apenas interesse, mas também se envolve com os
conteúdos propostos pelo professor, dessa forma havendo uma desmistificação da ideia
de que não existe aplicação e utilidade para a matemática.
OBJETIVOS
Geral:
Explorar algumas propriedades geométricas através do origami
Específicos:
Confeccionar alguns origamis.
Discutir formas de exploração de alguns conteúdos matemáticos através
do origami.
METODOLOGIA
O minicurso será oferecido para 30 cursistas que podem ser professores de
matemática do ensino fundamental e médio ou estudantes de licenciatura em
matemática. A oficina terá duração de 1 hora e 30 minutos.
4
O trabalho será desenvolvido em duas etapas na primeira etapa será feito uma breve
introdução sobre a história do origami e a sua utilização no processo de ensino
aprendizagem da geometria, mostrando como trabalhar figuras geométricas planas e
espaciais abordando alguns conceitos como diagonais, ângulos, vértices, perímetro, área
e volume (no caso das construções espaciais). Na etapa seguinte, separaremos os
cursistas em grupos de até 5 integrantes. A partir daí, será feita a construção de alguns
materiais didáticos através das dobraduras Para isso, distribuiremos aos participantes
cartilhas com diagramas e os materiais necessários para a confecção das dobraduras que
formam as figuras geométricas planas e espaciais, incentivando-o a continuar com a
proposta da oficina. Para facilitar a orientação do trabalho e melhor visualização,,
disponibilizaremos alguns origamis aos participantes.
REFERÊNCIAS
BRASIL, Ministério da Educação. Parâmetros Circulares Nacionais para o Ensino
Fundamental. 5ª à 8ª série, Brasília, SEF, 1998.
LORENZATO, S. Por que não ensinar Geometria? In: Educação Matemática em
Revista – SBEM 4, 1995.
PAVANELLO, R.M., O abandono do Ensino da Geometria no Brasil: Causas e
Conseqüências. Unicamp. Campinas: Zetetiké, 1993.
RÊGO, R.G.; RÊGO, R.M; GAUDENCIO Jr, Severino. A geometria do
Origami: atividades de ensino através de dobraduras. João Pessoa: Editora
Universitária/UFPB, 2004.
Sociedade Brasileira de Educação Matemática – Regional Distrito Federal 23 a 25 de setembro de 2011
TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO EM REVISTAS E JORNAIS NA
EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS – 1º SEGMENTO DO ENSINO
FUNDAMENTAL
Patrícia Lima Tôrres - [email protected]
Faculdade de Educação – UnB
RESUMO
Este mini-curso, voltado para a Educação de Jovens e Adultos – 1º segmento do Ensino
Fundamental, se propõe a trabalhar informações (tabelas, esquemas, diagramas,
gráficos) que envolvem quantidades e/ou relações entre quantidades, em revistas e
jornais bem como a leitura e produção de textos relacionados ao tratamento das
referidas informações.
Palavras-Chave: Tratamento da Informação, Educação Matemática, Educação de
Jovens e Adultos
Este mini-curso, voltado para a Educação de Jovens e Adultos – 1º segmento do
Ensino Fundamental, se propõe a trabalhar informações (tabelas, esquemas, diagramas,
gráficos) que envolvem quantidades e/ou relações entre quantidades, em revistas e
jornais bem como a leitura e produção de textos a partir do tratamento das referidas
informações.
Segundo Freire (2009, p. 11), “a leitura do mundo precede a leitura da palavra
...”, assim, o trabalho com textos jornalísticos traz o mundo à sala de aula, relacionando
realidade, linguagem e matemática, entre outras esferas de conhecimento. Mundo esse,
imerso em uma produção veloz de grande quantidade de informações, muitas delas
provisórias, inúteis e superficiais, o que torna difícil a tarefa de compreendê-lo para nele
situar-se, refletir sobre as informações a que somos expostos, para transformá-lo.
Cabe aqui a distinção entre informação e conhecimento,
Informação é o fato intencionalmente selecionado, codificado e submetido a um processo de
refinamento, informatizado ou não, para a apresentação e veiculação de idéias, imagens,
sons, cores e mensagens. Conhecimento é o processo de interpretação e reelaboração das
informações, conferindo-lhes sentidos e significados operados pelos sujeitos na
comunicação (CATAPAN, 1996, citado por CATAPAN; THOMÉ, 1999, p. 103-104).
2
Para ler o mundo, faz-se necessário que “pensemos certo”, ou seja, que
transformemos informação em conhecimento. Para Freire (2009, p. 77), “pensar certo é
significa procurar descobrir e entender o que se acha mais escondido nas coisas e nos
fatos que nós observamos e analisamos”.
Um cuidado especial deve-se ao fato de que muitas pessoas acreditam em tudo o
que está escrito no jornal. Contudo, não há neutralidade no jornalismo, que visa a
formação de opinião. Além da seleção dos fatos devida ao alinhamento ideológico do
jornal, ocorre, também, a exploração de notícias sensacionalistas e a exposição indevida
de assuntos ainda não comprovados.
Para que possamos exercer nossa cidadania, precisamos fazê-lo de forma
consciente, reflexiva, crítica, autônoma e participativa. A utilização, por parte da mídia
de gráficos e tabelas, instrumentos que permitem sintetizar informações, é muito
frequente. O uso de números sugere a imparcialidade nas informações, reforçando o
poder de persuasão do texto jornalístico, que visa a formação de opinião do leitor.
Ainda assim, os resultados do Indicador Nacional de Alfabetismo Funcional
(INAF) 2004 indicam que apenas 23% da população jovem e adulta brasileira
demonstra certa familiaridade com representações gráficas como mapas, tabelas e
gráficos.
Estes resultados apontam uma importante função da escola que, na maioria das
vezes, é o único espaço para uma elaboração de uma compreensão mais crítica por parte
do educando jovem ou adulto das camadas populares, de seu meio cultural, social,
econômico e político.
A alfabetização plena “supõe saber ler e interpretar dados apresentados de
maneira organizada e construir representações, para formular e resolver problemas que
impliquem no recolhimento de dados e na análise de informações (BRASIL, 1997, p.
84)
Sendo assim, a Educação Matemática para o público jovem e adulto deve
instrumentar seus educandos para a vida, propiciando-lhes a elaboração de suas próprias
avaliações, previsões e conclusões sobre os fatos relatados pela mídia, de modo a
possibilitar o exercício pleno de sua cidadania pela via da compreensão, participação e
transformação da sociedade.
METODOLOGIA
3
Envolve a análise e interpretação de reportagens em jornais e revistas mediante a
exploração das relações numéricas e gráficas que aparecem nesses textos bem como a
produção de tabelas e gráfico a partir de uma pesquisa de opinião.
ATIVDADE 1
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Expressar as próprias opiniões e defendê-las
Questionar, analisar e interpretar criticamente o que se lê
Relacionar fatos, estabelecer relações de causa e efeito
Argumentar e contra-argumentar
Respeitar diferentes pontos de vista
Propor soluções para os problemas examinados
A partir da manchete “Lei seca flagra 36 motoristas por dia” e da rubrica “Três
anos após entrar em vigor, legislação que estabelece tolerância zero para a
combinação entre álcool e direção pune uma média de três condutores a cada duas
horas, mas lentidão na análise dos processos gera sensação de impunidade e total de
mortes no trânsito cresce 2,4%” (Correio Braziliente, 18/07/2011), que perguntas
poderiam ser feitas?
Depois de registrados os questionamentos no papel pardo, far-se-á a leitura da
reportagem, analisando se a perguntas foram respondidas e que outras informações o
texto traz. Serão exploradas as relações numéricas que aparecem no texto. Em seguida,
pediremos os participantes do mini-curso que exponham o que compreenderam dos
gráficos abaixo.
4
Os participantes do mini-curso serão estimulados a soluções para o problema do
alcoolismo no trânsito.
5
ATIVIDADE 2
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Coletar e organizar informações
Comparar e comprovar dados
Produzir, representar, resumir, analisar e interpretar e tirar conclusões próprias
sobre um conjunto de dados
Interpretar e elaborar tabelas simples de dupla entrada e gráfico de barra para
comunicar a informação obtida
Produzir textos escritos com a partir da interpretação do gráfico e das tabelas
Criar um título para a reportagem abaixo.
A partir da informação da reportagem “Dos 15 artistas mais ouvidos no país, 9
são de música sertaneja”, calcular a porcentagem.
Propor a questão: Se fizermos essa pesquisa entre participantes do mini-curso,
encontraremos esse mesmo percentual? Por quê? Fazer um levantamento por sexo,
classificação sócio-econômica e faixa etária dos participantes do mini-curso que gostam
de música sertaneja. Construir tabelas de dupla entrada. Fazer um levantamento dos
gêneros musicais preferidos pelos participantes do mini-curso. Construir um gráfico de
barras. Propor aos participantes do mini-curso que elaborem um texto escrito a partir da
interpretação das tabelas e do gráfico.
6
Para a realização das duas atividades propostas utilizaremos cópias xerográficas
de reportagens de jornais e revistas, papel pardo e pincel atômico, fita crepe,
calculadoras, giz de cera, folha impressa com colunas.
REFERÊNCIAS
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais:
matemática. Secretaria de Educação Fundamental. Brasília: MEC/SEF, 1997.
Disponível em: http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro03.pdf. Acesso em: 21
jul. 2011.
CATAPAN, A.H.; THOMÉ, Z.R.C. Trabalho e consumo: para além dos parâmetros
curriculares. Florianópolis: Insular, 1999.
FREIRE, P. A importância do ato de ler: em três artigos que se completam. São Paulo:
Cortez, 2009.
INAF 4º Indicador Nacional de Alfabetismo Funcional: Um diagnóstico pela inclusão
social pela Educação. São Paulo: Instituto Paulo Montenegro/Ação Educativa, 2004.
Disponível em: http://www.ipm.org.br/download/inaf04.pdf. Acesso em: 21 jul. 2011.
Sociedade Brasileira de Educação Matemática – Regional Distrito Federal 23 a 25 de setembro de 2011
AS CONTRIBUIÇÕES DE MALBA TAHAN PARA A EDUCAÇÃO
MATEMÁTICA: ESTIMULANDO A CRIATIVIDADE POR MEIO DA
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Vilmondes Rocha
Universidade Católica de Brasília
RESUMO
Este minicurso tem o propósito de apresentar algumas contribuições de Malba Tahan
(Júlio Cesar de Mello e Souza) ao processo de ensino e aprendizagem em Matemática
no Ensino Fundamental e Médio, por meio da resolução de problemas apresentados na
obra “O homem que Calculava”. Espera-se, com esta atividade, apresentar situações
que possam motivar e estimular os alunos, por meio da curiosidade e criatividade na
resolução dos famosos problemas de Malba Tahan. Baseado em LACAZ & OLIVEIRA
(2007), alguns problemas propostos pelo autor serão discutidos e resolvidos durante a
oficina, além de classificados por assunto e série escolar onde poderão ser trabalhados,
bem como discutidas propostas de trabalho didático que envolvam as situações
apresentadas.
Palavras-chave: Malba Tahan, resolução de problemas, O homem que calculava
Público Alvo: Professores de Matemática do Ensino Fundamental (preferencialmente) e
Ensino Médio
OBJETIVO
Apresentar alguns problemas do livro “O homem que calculava”, de Malba
Tahan, com o propósito de analisar e discutir sua utilização em turmas de Ensino
Fundamental e Médio, como o propósito de estimular a resolução de problemas por
parte dos alunos.
JUSTIFICATIVA
Atualmente, e principalmente após os anos 1980, a resolução de problemas tem-
se apresentado como uma alternativa pedagógica de forte apelo motivador para alunos
2
de todos os níveis de ensino. Iniciar com essa metodologia já nos anos iniciais da
Educação Básica pode contribuir de forma significativa para a compreensão dos alunos
bem como estimular a criatividade, a autonomia e a reflexão. O fascínio que a obra “O
homem que calculava” desperta nos alunos e professores indica que ela pode e deve ser
utilizada em turmas de Ensino Fundamental e Médio, como fonte de problemas
interessantes e curiosos para os alunos.
METODOLOGIA
A primeira parte do minicurso será uma exposição dialogada, com contribuições
por parte dos participantes, da biografia resumida de Malba Tahan e de suas
contribuições para a Educação Matemática. A segunda parte, realizada em forma de
oficina, será formada pela leitura, compreensão e resolução de nove situações retiradas
do livro “O homem que calculava”. Após a leitura, os participantes, em grupos, serão
convidados a elaborar propostas de trabalhos para turmas do Ensino Fundamental ou
Médio para cada uma das situações apresentadas.
SOBRE MALBA TAHAN E A EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Júlio César de Mello e Souza é o verdadeiro nome de Malba Tahan, um dos
pioneiros na Educação Matemática do Brasil. Nasceu em 1895 no Rio de Janeiro, viveu
até os 10 anos em Queluz – São Paulo. Aos 10 anos retornou ao Rio de Janeiro, onde
viveu até a morte, em 1974.
No Rio de Janeiro, estudou no Colégio Militar e no Colégio Pedro II. Desde
cedo demonstrou vocação para o magistério e concluiu o curso de Professor Primário na
Escola Normal do Distrito Federal (à época a capital federal era o Rio de Janeiro). Em
1913 formou-se Engenheiro Civil pela Escola Politécnica.
Como professor, trabalhou no Colégio Pedro II, na Escola Normal do Distrito
Federal, na Escola Normal da Universidade do Brasil e na Faculdade de Educação, onde
recebeu o título de Professor Emérito (LACAZ & OLIVEIRA, 2007).
Publicou mais de 120 livros que vão desde a narrativa de histórias, passam pela
Matemática, Educação Matemática (à época chamada de Didática da Matemática) e
recreações matemática. Malba Tahan é considerado um dos maiores e melhores
contadores de história do Brasil. Foi um grande conferencista e proferiu palestras em
todos os estados brasileiros.
3
Foi contemporâneo de Euclides Roxo, Cecil Thiré, Célia Moraes, Jairo Bezerra
com os quais escreveu mais de quarenta livros em parceria (LACAZ & OLIVEIRA, op.
cit.).
Malba Tahan possui uma biografia extensa e nossa intenção é referenciar suas
contribuições para o Educador Matemático atual, especialmente em relação à utilização
dos problemas propostos no livro o “Homem que Calculava” em atividades de
aprendizagem no Ensino Fundamental e Médio. Vale salientar que esta é apenas uma
pequena parte da enorme contribuição deixada por Malba Tahan.
Ainda como estudante, Malba Tahan criticava o modo como a Matemática era
ensinada, principalmente às crianças. Dizia que os professores usavam o “Método da
Salivação”. Contra isso desenvolveu uma didática própria e foi um grande ator em sala
de aula. Chegou a utilizar o teatro como ferramenta didática.
Oliveira (2004) desenvolveu uma pesquisa com o intuito de responder a questão:
“Como as idéias e concepções presentes nas obras de Malba Tahan - enfocando a
etnomatemática e a transdisciplinaridade - apresentam-se como proposta para a
formação de professores de matemática?” A autora conseguiu demonstrar que nas obras
de Malba Tahan já estão presentes as idéias de etnomatemática e transdisciplinaridade e
essas obras podem servir de referencial e material para utilização tanto para formação
de professores quanto para utilização em atividades com alunos do Ensino
Fundamental.
Outra contribuição de Malba Tahan refere-se à indicação da leitura e resolução
de problemas como ferramenta pedagógica para fugir dos métodos tradicionais de
ensino. A leitura dos escritos de Malba Tahan mostra que ele sempre defendeu um
ensino de Matemática diferenciado, com apelo para a aprendizagem significativa para
que o aluno tenha outra compreensão do mesmo conteúdo (NOGUEIRA, 2009).
De acordo com VILLAMEA (1995, apud NOGUEIRA, op. cit.):
Com sua identidade real, foi um criativo e ousado professor, que
estava muito além do ensino exclusivamente teórico e expositivo da
sua época, do qual foi um feroz crítico. “O professor de Matemática
em geral é um sádico”, acusava. “Ele sente prazer em complicar
tudo”.
Para Malba Tahan, a apresentação de desafios, brincadeiras, charadas, histórias e
problemas interessantes tem forte apelo motivador e instiga a curiosidade e criatividade
do estudante.
4
Como atividade, pretende-se nesse minicurso analisar nove situações retiradas
da obra “O homem que calculava”, todas propostas por LACAZ & OLIVEIRA (op.cit.).
Inicialmente sugere-se a leitura integral da situação e formulação de resposta antes da
leitura da resposta do texto. Depois, deve-se elaborar uma proposta de trabalho com a
utilização da situação, para a série e conteúdos sugeridos.
Como recomendação, sugere-se a leitura integral do texto de LACAZ &
OLIVEIRA (op. cit.) para identificação de outras situações proposta pelos autores. E
por fim, vale a pena reler a obra “O homem que calculava” para identificação de outras
situações que podem ser incorporadas em situações didáticas, desde a resolução de
problemas até a elaboração de propostas inter e transdisciplinares, já que o texto permite
interação com as disciplinas de Língua Portuguesa, Artes, História e Geografia, no
mínimo.
AS SITUAÇÕES
Situação 1: O problema dos 35 camelos
Capítulo: 3
Quando pode ser trabalhado: 6o ao 9o ano do Ensino Fundamental
Conteúdos: conjuntos numéricos, múltiplos e divisores de números naturais,
divisibilidade, fração na forma decimal, mínimo múltiplo comum
Situação 2: O problema dos oito pães
Capítulo: 4
Quando pode ser trabalhado: 6o ao 9
o ano do Ensino Fundamental
Conteúdos: operações fundamentais da álgebra e sistemas lineares
Situação 3: O problema do joalheiro e do hospedeiro
Capítulo: 5
Quando pode ser trabalhado: 8o e 9
o ano do Ensino Fundamental
Conteúdo: operações fundamentais, frações e forma decimal, conjuntos numéricos,
regra de três, divisibilidade, sistemas de medida
Situação 4: Números de camelos de uma Cálifa
Quando pode ser trabalhado: 6o, 7
o e 9
o ano do Ensino Fundamental
5
Conteúdos: Números primos, quadrados perfeitos, sistemas lineares, divisibilidade,
números racionais, representação de frações na forma decimal
Situação 5: O problema dos sete dinares
Capítulo: 7
Quando pode ser trabalhado: 6o ao 9
o ano do Ensino Fundamental
Conteúdos: Interpretação e resolução de problemas, operações com números naturais e
números reais
Situação 6: O problema dos quatro quatros
Capítulo: 7
Quando pode ser trabalhado: 6o ao 9
o ano do Ensino Fundamental
Conteúdos: Operações fundamentais da álgebra e utilização dos sinais de operações
algébricas
Situação 7: O problema dos 21 vasos
Capítulo: 8
Quando pode ser trabalhado: 6o e 7
o ano do Ensino Fundamental
Conteúdos: Operações com números naturais e racionais, forma decimal, utilização de
formas geométricas planas, grandezas e medidas, conjuntos numéricos e sistemas de
medidas.
Situação 8: O problema dos 60 melões
Capítulo: 12
Quando pode ser trabalhado: 6o ao 9
o ano do Ensino Fundamental
Conteúdo: Idéia de conjuntos, frações e moedas
Situação: O problema do jogo de xadrez
Capítulo: 16
Quando pode ser trabalhado: Ensino Médio
Conteúdo: Progressões Geométricas
Situação 9: O problema das noventa maçãs
Capítulo: 17
Quando pode ser trabalhado: 8o e 9
o ano do Ensino Fundamental
6
Conteúdo: Frações, razão e proporção, regra de três simples
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
LACAZ, Tânia M. V. S & OLIVEIRA, Juraci C. de F. Pesquisa e uso de metodologias
propostas por Malba Tahan para a melhoria do ensino. Lorena: UNISAL, 2007.
MALBA TAHAN. O homem que Calculava. Rio de Janeiro: Record, 2001.
NOGUEIRA, José Carlos. A Etnomatemática no Ensino Médio e a práxis do
professor. Dissertação de Mestrado (Mestrado em Educação). Americana: Centro
Universitário Salesiano de São Paulo, 2009.
OLIVEIRA, Cristiane Coppe de Oliveira. Transdisciplinaridade e Etnomatemática:
um estudo didático-pedagógico nas obras e Malba Tahan.
Sociedade Brasileira de Educação Matemática – Regional Distrito Federal 23 a 25 de setembro de 2011
A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA COMO RESURSO DIDÁTICO:
TRABALHANDO COM MEDIDAS
Edilene Simões Costa dos Santos-UnB
1
RESUMO
O ensino aprendizagem utilizando a história da matemática como instrumento didático é
uma proposta com visão historicizada do conteúdo. Trata-se de um trabalho didático
que considera os processos sociais e culturais na construção do conhecimento. Este
minicurso tem como um dos objetivos proporcionar um momento de reflexão aos
docentes sobre a possibilidade de trabalhar partindo do pressuposto de que a história da
matemática pode contribuir no processo da construção de conceitos pelos alunos,
promovendo a apropriação do conhecimento e aprendizagens significativas e também
utilizar o enfoque histórico do conhecimento matemático como instrumento didático no
ensino de medidas. As atividades serão realizadas de maneira dinâmica e prática com a
elaboração e utilização de medidas construídas por civilizações passadas e que deram
origem as nossas medidas atuais. A oficina é indicada para professores que atuam nas
séries iniciais do ensino fundamental.
Palavras-chave: matemática, história da matemática, medidas.
INTRODUÇÃO
A Educação Matemática vem buscando e propondo novos instrumentos
metodológicos que podem ser utilizados pelos professores em suas atividades didáticas.
A História da Matemática é um desses instrumentos que extrapola o campo da
motivação e abarca elementos que interligam o conteúdo e o fazer pedagógico
Miguel e Miorim (2004) destacam algumas potencialidades da História da
Matemática, entre elas a utilização como instrumento de promoção da aprendizagem
significativa e compreensiva da matemática.
Gaspar (2003) analisa a possibilidade da História da Matemática mudar a
percepção e entendimento dos professores sobre a matemática, influenciando na
maneira como ela é ensinada, e finalmente afetando o modo de como os estudantes a
1 Doutoranda em Educação-Unb. Orientador: Profº Dr. Cristiano Alberto Muniz, Coorientadora: Profª Drª
Maria Terezinha de Jesus Gaspar.
2
percebem e a entendem. A História da Matemática instrumentalizaria os estudantes a
construírem significados matemáticos e a apoiarem suas novas concepções sobre a
Matemática mudando suas crenças e atitudes com relação à essa ciência e seu ensino.
Quanto ao ensino e aprendizagem do conceito de medidas considera-se que o
mesmo não pode estar desvinculado do conceito de grandezas que deverão estar
relacionadas à existência de diferentes atributos. A utilização da história das medidas
favorece a compreensão do processo de medição, principalmente quando são criadas
atividades manipulativas nas quais os alunos podem estabelecer limites, utilizar padrões,
quantificar tamanhos, distâncias e tempos. Ao desenvolverem tais atividades os alunos
percebem a existência de diferentes atributos dos objetos que podem ser mensuráveis
por determinados instrumentos e por conseguinte compreender o sistema métrico
decimal.
Segundo Silva (2010), a ação de medir é uma faculdade inerente ao Homem e a
convenção para o uso das medidas é um atributo social. Ao organizar-se em sociedade e
estabelecer regaras de convivência o homem teve necessidade de convencionar peso e
medida tomando a si próprio como padrão de medida. Esse foi o primeiro sistema de
medida.
O cúbito era originalmente o comprimento do cotovelo a ponta do dedo médio.
Uma medida variável de acordo com as diferenças individuais. Dois cúbitos foram
utilizados na antiguidade. O real, cúbito usado para medições realizadas no dia a dia
media 20, 59 polegada que corresponde a 52, 30 cm. O outro era o pequeno cúbito valia
17,72 polegadas o que corresponde a 45 cm. O cúbito grego valia 18,22 polegadas e o
utilizado pelos Romanos era igual a 17, 47 polegadas.
OBJETIVOS
GERAL:
Utilizar o enfoque histórico do conhecimento matemático como instrumento
didático na prática pedagógica do docente para a promoção do ensino e aprendizagem
do conceito de medidas no ensino fundamental.
ESPECÍFICOS:
Estudar o conceito de medidas por meio de atividades com o “cúbito”,
medida egípcia baseada no corpo humano. .
3
Incentivar o uso da história da matemática como ferramenta didática nas
aulas de matemática.
JUSTIFICATIVA
A matemática tem sido apresentada aos educandos de forma organizada, geral,
descontextualizada, com rigor lógico, parecendo bastar-se a si própria, seus conceitos e
teorias parecem atender necessidade interiores e, como diz Imenes (1989), a matemática
é fechada, relacionando-se somente consigo mesma, a matemática só pertence ao
mundo da matemática. Com esta oficina, queremos despertar no docente um novo olhar
para o uso da história da matemática, em sala de aula, que atua como um dos agentes de
mudança da prática pedagógica, que tem fundamentado a representação social da
matemática como um conhecimento de verdades prontas e acabadas com dimensão a-
histórica, a-crítica, a- política, a-temporal para um organismo vivo, resultado da
produção humana e por isso impregnado da sua situação como ser social que tem uma
história aliada a necessidade de resolver problemas do seu cotidiano.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Mendes (2006) considera que o uso da história como recurso pedagógico
possibilita uma ressignificação do conhecimento matemático produzido pela sociedade
ao longo dos tempos. Para o autor por meio dessa prática é possível promover maior
motivação e criatividade cognitiva às atividades de sala de aula durante nossa ação
docente.
A história da matemática torna-se inspiradora para o ensino-aprendizagem do
conceito de medidas ao possibilitar a constituição dos contextos e circunstâncias de
produção de tal conceito, das significações produzidas, circulação, da transformação
desse conhecimento. O uso da história da matemática em sala de aula, segundo Miguel e
Miorim (2004), deve partir de uma história que considera os problemas da cultura
matemática da escola, do modo como as idéias matemáticas se constituíram e se
transformaram no interior das práticas escolares em conexão com as outras práticas
sociais em outros contextos institucionais, e que promova reflexão dos problemas de
natureza ética envolvidos nas diversas práticas sociais da disciplina.
De acordo com Mendes (2006), o uso pedagógico das informações históricas
baseia-se em um ensino de matemática centrado na investigação direcionando o
4
professor e o aluno à compreensão das estruturas cognitivas estabelecidas pelo Homem
no seu contexto sociocultural e histórico, na busca de respostas às questões ligadas ao
campo da matemática como uma das formas de explicar e compreender os fenômenos
da natureza e da cultura. Com base nessas concepções, as informações podem ser
usadas na produção de matemática escolar desde que o professor consiga desenvolver
em suas aulas uma dinâmica experimental investigatória como princípio científico e
educativo por meio de levantamento e verificação de suas hipóteses acerca de atividades
manipulativas extraídas da história da matemática.
Acredita-se que a história da matemática pode se constituir em recurso
motivacional, em uma forma de trabalho livre, mais dinâmico e mais significativo para o
estudante, em oposição ao ensino que se dá por repetição, por simples memorização de
fórmulas. Nessa perspectiva, situações de ensino que utilizam a história da matemática
como metodologia de trabalho podem favorecer o desenvolvimento da criatividade do
aluno. Segundo Alencar e Fleith 2003) é importante ressaltar aspectos como a
originalidade e adequação de respostas, ou seja, a tarefa deve possibilitar vários
caminhos para solução dos problemas.
METODOLOGIA
O minicurso será oferecido aos professores que atuam nas séries iniciais do ensino
fundamental de forma prática, isto é, cada participante irá confeccionar o seu próprio
material e desenvolver em grupos as atividades proposta no período de uma hora e trinta
minutos. A oficina tem capacidade para atender no máximo 30 professores.
Os recursos necessários são uma sala ampla com mesas/carteiras para trabalho em
grupo de quatro a cinco sujeitos. O material utilizado na oficina é o seguinte: tesoura,
barbante, cartolinas, quadro para preenchimento de dados que será confeccionada pela
ministrante.
O tempo do minicurso será distribuído da seguinte maneira:
1. Uma apresentação rápida dos participantes da oficina – 5 minutos.
2. Comentários sobre a história da matemática como instrumento didático – 20
minutos.
3. Discussão com o grupo sobre o que significa medir e as medidas de
comprimento, da área, do volume por meio da confecção e utilização do
cúbito e preenchimento de uma tabela de medidas – 45 minutos.
4. Discussão com o grupo sobre a validade da proposta e avaliação da oficina- 20
5
minutos.
DESCRIÇÃO DAS ATIVIDADES
ATIVIDADE
OBJETIVO:
Estabelecer a relação entre a medida de área, volume e de comprimento, levando
o sujeito a perceber que a medida da área e volume são derivadas do
comprimento em civilizações antigas bem como no sistema métrico decimal.
A partir do cúbito ao quadrado perceber que m2
é a área de um quadrado cujo
lado tem 1 m de comprimento e não m x m.
MATERIAL:
Tiras de cartolina, cartolinas, fita métrica, tabela de medidas.
PROCEDIMENTO
Cada grupo deve construir um cúbito.
Fazer uma estimativa da medida, em cúbitos, de cada grandeza citada na tabela.
Encontrar a medida, em cúbitos, de cada uma das grandezas citadas na tabela.
Cada grupo deve construir o cúbito ao quadrado.
Realizar uma medição utilizando cúbito ao quadrado.
Cada grupo deve construir o cúbito cúbico.
Proceder a medição com o cúbito ao cúbico.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ALENCAR, Eunice M. L. Soriano de; FLEITH, Denise de Souza. Contribuições
Teóricas Recentes ao Estudo da Criatividade. Psicologia: Teoria e Pesquisa,, Brasília,
Vol. 19 n. 1, pp. 001-008, Jan-Abr 2003.
GASPAR, M. T. J. Aspectos do desenvolvimento do pensamento geométrico em
algumas civilizações e povos e a formação de professores. 2003. 307 f. Tese
6
(Doutorado em Educação Matemática) – Instituto de Geociências e Ciências Exatas,
Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2003.
IMENES, Luiz Márcio Pereira. Um Estudo Sobre o Fracasso do Ensino da
Aprendizagem da Matemática. Dissertação de mestrado em Educação Matemática –
UNESP. Rio Claro, 1989.
MENDES, Iran Abreu; FOSSA, John. A e VALDÉS. Juan E. Nápoles. A história como
um agente de cognição na Educação Matemática. Porto Alegre: Sulina, 2006.
MIGUEL, Antônio e MIORIM. História na educação matemática: propostas e desafios.
Belo Horizonte: Autêntica, 2004.
SILVA, Irineu da. História dos pesos e medidas. 2. ed. São Carlos: Edufscar, 2010.
Sociedade Brasileira de Educação Matemática – Regional Distrito Federal 23 a 25 de setembro de 2011
O DESENHO COMO REPRESENTAÇÃO DO PENSAMENTO MATEMÁTICO
DA CRIANÇA NO INÍCIO DO PROCESSO DE ALFABETIZAÇÃO
Autora: Joana Pereira Sandes
Secretaria de Estado de Educação – Distrito Federal
E-mail: [email protected]
RESUMO
Este estudo apresenta os resultados de uma pesquisa, voltada para a investigação do
desenho como meio de representação do pensamento matemático da criança em
processo de alfabetização.
Ao ingressar na Educação Infantil, a criança não recebe atividades para solucionar,
especialmente na área de matemática, como por exemplo, situações-problema, haja vista
que ela ainda não possui o mínimo domínio da escrita da língua materna, nem tampouco
conhecimentos operatórios. Nesse sentido, este estudo comprovou que isso é possível:
solucionar situações-problema estando a criança em processo de alfabetização e sem ter
o conhecimento sistematizado das operações matemáticas. Para evidenciar tais fatos,
estive, durante quatro meses, inserida em uma turma do 1º Ano do Ensino Fundamental,
com um grupo de 16 crianças na faixa etária entre cinco e seis anos de idade, de uma
Escola Classe da Zona Rural do Gama situada no Distrito Federal.
Os protocolos das situações-problema propostas permitiram que eu analisasse como
ocorreram as representações das soluções por meio do desenho, e nesse contexto pude
identificar a capacidade que as crianças demonstravam em produzir soluções muito
criativas, interessantes e, sobretudo, como elas conseguiam expressar suas ideias. Outro
resultado constatado foi com relação ao pouco conhecimento que alguns educadores
possuem acerca do desenho como modo de representação, ou seja, esse instrumento de
amplo valor pedagógico é pouco valorizado no âmbito da sala de aula, mas na verdade é
de grande auxilio para o educador em sua prática diária, de modo que pode apoiá-lo em
sua avaliação acerca do aprendizado infantil.
Palavras-chave: Criança. Desenho. Situações-problema.
Público alvo: Professores da Educação Infantil e 1º e 2º Anos do Ensino Fundamental
OBJETIVO
Apresentar alternativas para que os professores desses segmentos trabalhem a
Matemática de uma maneira lúdica, auxiliando os alunos na compreensão de conceitos e
2
operações matemáticas, utilizando para tanto, o desenho como representação das
resoluções de situações-problema.
JUSTIFICATIVA
Apresento neste trabalho, sugestões de atividades para os educadores,
especialmente da Educação Infantil, do 1º e 2º Anos do Ensino Fundamental, para que
desde os primeiros contatos da criança com a matemática seu aprendizado possa ser
privilegiado e bem construído e quiçá, propiciar a essa criança condições futuras de
obter maior habilidade com esta área do conhecimento.
Acredito que a aprendizagem da matemática vincula-se em muitas ocasiões, aos
estímulos oferecidos à criança, por meio de condições favoráveis em que são criadas
possibilidades de ampliação do seu conhecimento nesta disciplina.
Durante as vivências na Educação Infantil pode haver variadas oportunidades de
aprendizagem para a criança; além deste segmento da educação cito também o 1º e 2º
Anos do Ensino Fundamental, o início da alfabetização, onde ocorre um maior contato
da criança com os conteúdos de linguagem e às vezes, o seu primeiro contato com os
conteúdos de matemática.
Em muitas ocasiões no âmbito escolar existe a crença de que a criança, somente
poderá solucionar problemas após adquirir uma série de pré-requisitos, porém no
decorrer da alfabetização há atividades que podem ser realizadas sem que ela
necessariamente leia a situação-problema e também sem que a criança necessite do
conhecimento das operações fundamentais.
Propor situações-problemas para que essas crianças não leitoras ou que estejam
iniciando o processo de alfabetização obtenham um contato significativo com esse tipo
de atividade e também com a matemática, é algo diferente, mas que merece ser
considerado por nós educadores, pois a criança para desenvolver-se em qualquer
disciplina, necessita de estímulos e condições favoráveis.
A primeira reação que pode surgir neste momento é a estranheza, pois sugiro
situações-problema como uma forma de criar oportunidades significativas de
aprendizado para a criança, ora, como propor situações-problema se a criança ainda não
sabe ler? Esta deve ser a primeira pergunta do leitor. Uma outra questão que também
pode ser levantada é: como propor situações-problema se a criança ainda não domina as
operações matemáticas?
3
Minha sugestão para a realização dessas atividades pelas crianças não leitoras e
que ainda não possuem autonomia com relação às operações matemáticas, é que as
resoluções sejam representadas por meio do desenho, uma atividade recorrente e muitas
vezes divertida para a criança nesse período de sua escolaridade.
METODOLOGIA
A metodologia utilizada será a exposição oral, com o apoio de slides.
DESENVOLVIMENTO DAS ATIVIDADES
PRIMEIRO MOMENTO
Durante a exposição oral, por meio de slides apresentarei textos com detalhes
acerca da minha pesquisa, além de desenhos ilustrando os resultados. Enquanto é
realizada essa exposição, poderá haver intervenções dos participantes – perguntas ou
colocações – a fim de que o tema seja bem compreendido.
SEGUNDO MOMENTO
Após a exposição oral dividirei os participantes em grupos – com no máximo
cinco componentes – para que observem os livretos com desenhos das crianças que
participaram do meu estudo; realizada essa etapa cada grupo poderá expor suas
impressões acerca dos trabalhos observados e tecer comentários adicionais referentes à
pesquisa.
TERCEIRO MOMENTO
Solicitarei que cada participante do minicurso faça uma avaliação escrita –
simples – considerando como foi o trabalho desenvolvido.
Sociedade Brasileira de Educação Matemática – Regional Distrito Federal 23 a 25 de setembro de 2011
CRIPTOGRAFIA APLICADA
Wagner Pequeno – SEDF – [email protected]
Suzana Fernandes – SEDF - [email protected]
RESUMO
Apresentar estratégias práticas de ensino de criptografia para o ensino fundamental,
anos iniciais e finais, e ensino médio. Usando o sistema Braille e o uso dos telefones
celulares, apresentar assuntos que gerem planos de aula para a utilização da criptografia
como assunto para estudo da matemática.
Palavras-chave: criptografia, braille, telefonia
INTRODUÇÃO
Diante de uma sociedade calcada na informação, o entendimento das práticas de
troca de mensagens é um grande estímulo no ambiente de sala de aula. A criação do
cenário de criptografia, onde somente o emissor e receptor devem entender a
mensagem, torna estimulante a troca de informações e, no caso do estudo da
matemática, serve de laboratório para a aplicação de conceitos de funções e uso de
ferramentas de tecnologia como apoio as tarefas.
PÚBLICO ALVO
Ensino Fundamental, Médio
OBJETIVO
Apresentar estratégias práticas da contextualização do ensino da matemática
utilizando a criptografia como tema e o Braille como instrumento motivador para a
inclusão de portadores de necessidades especiais e a telefonia como entendimento de
quanto a matemática está próxima ao dia-a-dia das pessoas.
2
JUSTIFICATIVA
Dentro da necessidade de apresentar a matemática de forma contextualizada aos
docentes, apresentar a criptografia, um tema tão presente no nosso dia-a-dia como tema
para estudos matemáticos. Os objetos apresentados têm como base o Braille e a
criptografia utilizada para ligações telefônicas.
METODOLOGIA DO MINICURSO
Atividades práticas que apresentem as tecnologias e os fundamentos
matemáticos para o funcionamento do código Braile e das transmissões telefônicas por
celular.
ATIVIDADES
1. Introdução sobre criptografia
2. Cenário da troca de mensagens
3. Aplicações
4. Braile
a. Apresentar a relação matemática com o Braille
b. Apresentar a composição do alfabeto e os sinais que compõe o código
Braille
c. Apresentar instrumento para escrita em Braille
d. Apresentar vídeos com depoimentos de pessoas que utilizam o sistema
Braille
5. Telefonia celular
a. A matemática na telefonia
b. Como identificar o aparelho em uma chamada
c. Garantindo a unicidade na troca de mensagens
d. Protegendo a fala com encriptação da voz
Sociedade Brasileira de Educação Matemática – Regional Distrito Federal 23 a 25 de setembro de 2011
UM NOVO OLHAR PARA O TEOREMA DE EULER
Inácio Antônio Athayde Oliveira - SEEDF - [email protected]
RESUMO
Um novo olhar para o Teorema de Euler é uma proposta de mini-curso para ser
apresentado no V EBREM, com 1 hora e 30 minutos de duração, destinado a
professores de matemática do nível médio. O principal objetivo consiste em estudar o
famoso teorema de Euler, experimentar suas aplicações e explorar algumas de suas
generalizações. Serão definidos os elementos geométricos básicos dos poliedros
convexos, calculada a característica de Euler dessas figuras e demonstrado
experimentalmente o teorema de Euler, bem como as aplicações desses conceitos.
Visando generalizar esse teorema, o trabalho incluirá a construção de figuras espaciais.
A característica de Euler será calculada em cada uma dessas figuras. A abordagem
dinâmica dos temas mediante atividades, experiências e demonstrações, inclui
construções geométricas e a manipulação de modelos matemáticos. Todos os materiais e
as soluções das atividades serão colocados a disposição dos professores participantes.
Com este curso procura-se incentivar o estudo dos conceitos geométricos, promover o
uso de materiais didáticos em sala de aula e que os professores adquiram experiências
que os tornem multiplicadores perante os colegas na escola em que ensinam.
Palavras Chave: Euler, Poliedros, Característica de poliedros.
Publico Alvo: Ensino Médio.
OBJETIVOS
Estudar propriedades de figuras espaciais e o famoso teorema de Euler, explorando
suas aplicações e algumas de suas generalizações.
Apresentar atividades de geometria para aplicar em sala de aula.
Propor ações pedagógicas com auxílio de material didático (concreto) de baixo
custo.
JUSTIFICATIVA
O tema ocupa lugar de destaque na Matemática Escolar, por sua importância
dentro do estudo de tópicos da Geometria Espacial, pela diversidade de abordagens que
podem ser utilizados no seu estudo e pelas possíveis aplicações e extensões.
2
METODOLOGIA
Neste minicurso será realizada uma abordagem dinâmica dos temas mediante
atividades, experiências e demonstrações, também inclui construções geométricas e a
manipulação de modelos matemáticos. Os participantes trabalharão em duplas.
Apresentação expositiva acompanhada de recursos audiovisuais para o tratamento da
parte histórica dos assuntos, das possíveis extensões e das aplicações. Todos os
materiais e as correspondentes soluções serão colocados a disposição dos professores
participantes.
POLIEDROS
Para unificação da linguagem, em cada tema definiremos os elementos básicos e
investigaremos suas propriedades, segundo o tratamento em (Coxeter, 1961).
Poliedro é a figura formada por uma união de um conjunto finito de polígonos tais
que:
i. A intersecção de dois polígonos do conjunto é um lado ou é um vértice ou é vazia.
ii. Todo lado de um polígono é lado de um e somente mais um polígono do conjunto.
iii. Dois polígonos com um lado comum não pertencem ao mesmo plano.
As faces do poliedro são os polígonos que o definem e os lados e vértices desses
polígonos são, respectivamente, as arestas e os vértices do poliedro. Um poliedro é
convexo se está contido num dos semi-espaços em relação ao plano por cada uma de suas
faces. Caso contrário, o poliedro é não-convexo. Os poliedros podem ser classificados pelo
número de faces: tetraedro (3), hexágono (6), decaedro (10), etc.
Atividade 1 - Construa poliedros utilizando a definição acima. Faça um registro
dos elementos e classifique cada um dos poliedros construídos.
Atividade 2 – Determine a soma dos ângulos internos das faces de um poliedro
convexo que concorrem em cada vértice do poliedro.
Um poliedro é regular se ele é convexo, todas suas faces são polígonos regulares
congruentes e em cada vértice concorre o mesmo número de faces.
Atividade 3 – Construa todos os poliedros regulares possíveis.
Atividade 4 – Faça uma tabela com o número de faces(F), de vértices(V), de arestas (A),
número de lados das faces (p) e o número de arestas por vértice (q) dos poliedros da Atividade 3.
Os poliedros regulares são cinco. “Os pares de valores {p,q} são chamados os
símbolos de Schläfli para os cinco poliedros convexos regulares.” (Kappaff, 1990)
3
O TEOREMA DE EULER PARA POLIEDROS CONVEXOS
Teorema de Euler. Se P é um poliedro convexo com F faces, A arestas e V vértices
então vale a relação 2 FAV . (1)
Demonstração. Consideramos um poliedro convexo P qualquer, com F faces, V vértices,
A arestas e dele é retirada uma face, dando o poliedro nP . Se no poliedro aberto
ficam nF faces, nV vértices, nA arestas, provaremos 1 nnn FAV (2)
Verifique que (2) é válida para 1nF , notando que neste caso temos um polígono
convexo 1P de k lados, logo kVn e kAn . Portanto 11 kkFAV nnn .
Pelo método de indução finita, com respeito ao número de faces da figura, suponhamos
que a relação (2) é válida para um poliedro aberto ´´
P de 'F faces, o qual possui 'V
vértices e 'A arestas, isto é, 1''' FAV (3)
Para provar que (2) também é válida para um poliedro aberto nP com 1' F faces, o qual
possui nFF 1' faces, nV vértices, nA arestas tais que: 1' FFn ;
qpAAn ' ( q arestas coincidiram)
1' qpVVn ( 1q vértices coincidem).
Calcule (2) e (3) aplicando as considerações anteriores, de onde
'''1''1' FAVFqpAqpVFAV nnn
Em conseqüência, (2) é válida para nP . Considere agora o poliedro P com F
faces, V vértices, A arestas, levando em conta que AAVV nn , e 1 FFn ,
então obtemos para P a identidade 2 FAV .
Na Demonstração do Teorema de Euler por A. M. Legendre, mediante materiais
manipuláveis para facilitar a visualização, são usadas projeções de poliedros na esfera e
elementos de trigonometria esférica. Segundo (Lima, 1991).
CARACTERÍSITICA DE EULER PARA POLIEDROS
Fig1 – Poliedros regulares
Fig.2
4
No teorema de Euler, 2 FAV é válida para todos os poliedros
convexos. O membro esquerdo da equação acima é chamado de
característica de Euler. Usando a letra grega , podemos escrever:
PFAV (4)
Onde a característica de Euler para os poliedros convexos tem valor dois.
Assim, a característica de Euler do octaedro é:
28126 Octaedro . Na figura 3 cada face do octaedro foi
divida em 4 partes, mediante o traçado de segmentos de retas
perpendiculares. Nesta figura os pontos (A) ou (B) serão considerados novos
vértices, as linhas como (AB) serão novas arestas e as áreas como (ABCD), novas faces.
Assim teremos 32 faces, 56 arestas e 26 vértices, então
2325662 Octaedro , portanto, o resultado da característica de Euler
permanece inalterado. Desenhando linhas malucas sobre o octaedro, criando uma porção
de novas arestas, vértices e faces, obterá sempre a mesma característica de Euler dois. Isso
nos mostra que mesmo deformando o octaedro a característica de Euler continuará sendo
dois. Como apresentado na Figura 4. A deformação pode ser tal que o octaedro acabe
virando uma esfera.
Atividade 05 - Verificar a relação de Euler V + F = A + 2 para os poliedros
construídos.
Atividade 06 - Abrir os poliedros confeccionados na Atividade 04 para descobrir uma
possível planificação para os mesmos. Desenhar no papel pontilhado as planificações
encontradas. Tente descobrir outras planificações para os mesmos poliedros.
O octaedro e a esfera são topologicamente idênticos, isto é, o octaedro é
homeomorfo a esfera. Um poliedro ser homeomorfo à esfera, intuitivamente, significa que
ele pode ser inflado apresentando um formato esférico, ou seja, um poliedro ser
homeomorfo à esfera significa que todo o conjunto de polígonos que forma o poliedro
pode ser deformado, sem destruir ou criar novas intersecções entre eles, de forma a se
transformar em uma esfera. A seqüência a seguir mostra o processo com um octaedro. Ver
Figura 5.
Fig. 3
Fig. 4
Fig. 5
5
Um poliedro é convexo se toda reta que contém algum ponto do seu interior
intercepta o poliedro em exatamente dois pontos. Os poliedros convexos estão incluídos
entre os poliedros homeomorfos a esfera: basta fixar um ponto do interior, que
chamaremos de ponto base e usar as retas que passam por esse ponto para deformar o
poliedro até que se transforme uma esfera com centro no ponto base.
Um exemplo conhecido é o poliedro convexo com 12 faces pentagonais regulares
congruentes e 20 faces hexagonais regulares congruentes, a popular bola de futebol.
Assim, dizemos que um poliedro é homeomorfo à esfera se o conjunto de polígonos que
formam o poliedro quando inflado for levado ao formato de uma esfera, sem que criem
novas intersecções ou destruam as intersecções já existentes. Isso só é possível com objetos
topologicamente iguais. Porém as coisas mudam se o espaço tiver um furo.
O Teorema de Euler na sua forma básica (1) é válido para a fronteira de poliedros
convexos 3-dimesionais limitados e fechados.
CARACTERÍSTICAS DE EULER DE CONJUNTOS POLIÉDRICOS
Nosso objetivo é definir um número inteiro (P) que chamaremos de característica
de Euler para cada um dos conjuntos poliédricos P e também mostrar a relação entre
(P) e as características geométricas do conjunto poliédrico P.
Com o intuito de obter uma relação análoga a fórmula (4) para conjuntos
poliédricos definiremos subconjuntos de P chamados k-armações (para k = 0, 1, 2, 3) e
usaremos esta definição para calcular os números inteiros FAV ,, e C que, em casos
determinados, correspondem aos números de vértices, de arestas, de faces e de células de
P. Então mostraremos que: CFAV (P)
(5)
Conforme Euler mesmo achava essa fórmula é válida para todos os poliedros,
mas se vê facilmente que há uma falha quando pensamos em generalizar esta
fórmula para todos os poliedros. Provavelmente, Euler não considerou a
figura espacial representado na figura 7 ao lado. A relação 2 FAV
é tratada para poliedros sem “buracos”. Aqui, por exemplo, temos 16V ,
32A e 16F no qual se tem 2 FAV , pois 0163216 . Assim a
relação mencionada não é válida. Dizemos que a relação 2 FAV é utilizada
somente para poliedros sem nenhum “buraco”, e então, reescrevendo a fórmula para
poliedros em geral temos: gFAV 22 (6)
1
Fig.7
Fig.7
6
g é chamado o gênero da superfície, representa o número de buracos do poliedro.
O primeiro membro da equação (6) é chamado de característica de Euler e denotado
por (P), de modo que (6) pode ser representado por FAV (P) (7)
As equações (1), (6) e (7) relacionam os números dos vértices, das arestas e das faces do
poliedro às propriedades topológicas dos próprios poliedros. Os dois poliedros abaixo têm
um furo, isto é, g = 1, assim a relação gFAV 22 é válida para o poliedro da
Figura 9. Conforme em (Grünbaum, Shephard 1994).
Entretanto, esta solução simples não é aplicável em todos os casos. O poliedro
mostrado na Figura 8 igualmente tem g = 1, mas V = 16, A = 24 e F = 10, assim
2 FAV ; logo as relações (6) e (7) não são totalmente verdadeiras. Isto muda se
o objeto tiver um furo. Se fizermos sobre a superfície do toro o mesmo que fizemos com o
octaedro (traçando linhas onde serão construídas faces, arestas e vértices) e depois
contarmos, acharemos um número de Euler igual a zero, isto é, (P) 0 . O toro é uma
figura espacial com um furo, é topologicamente diferente do octaedro e da esfera.
Em particular a característica de Euler: da esfera é 2S , do plano projectivo
é (P) 1 , do disco é 1D , do toro é 0T e da fita de Möbius
é 0M . Para cada conjunto poliédrico P a relação (4.2) constitui uma generalização
para conjuntos poliédricos das equações 2 FAV , gFAV 22 e
FAV (P) dadas para poliedros.
Atividade 07 - Construir quatro conjuntos poliedros possíveis que satisfaz a fórmula
gFAV 22 . Complete a tabela abaixo.
Fig. 8 Fig.9
Fig. 10
Poliedros Número de
faces F
Número de
vértices V
Número de
arestas A
(P)
7
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Coxeter, H.S.M., Introduction to Geometry. New York: Wiley, 1961.
Grünbaum, B., Shephard G. C., A new look at Euler's theorem for polyhedra.
Amherst: American Mathematical Monthly, 1994
Kappaff, J., Connections: the geometric bridge between art and science. New York:
McGraw-Hill, 1990.
Lima, E. L., Meu Professor de Matemática e outras histórias. Rio de Janeiro:
Sociedade Brasileira de Matemática, 1991.
Sociedade Brasileira de Educação Matemática – Regional Distrito Federal 23 a 25 de setembro de 2011
BLOCOS LÓGICOS, PEÇAS RETANGULARES E O INÍCIO DO PENSAR
MATEMÁTICO
Júlio Pereira da Silva
Universidade Federal de Campina Grande – UFCG, PB
RESUMO
Este minicurso tem por finalidade apresentar e explorar os materiais didáticos “Blocos
lógicos – BL” criado na década de 50 pelo matemático Húngaror Zoltan Paul Dienes e
“Peças Retangulares – PR” criado por Pedro Ribeiro Barbosa (2010), enfatizando suas
semelhanças e diferenças. Enquanto o material “blocos lógicos” trabalha os atributos
forma, cor, tamanho e espessura, o material “peças retangulares” explora os atributos da
cor, tamanho e largura, sendo desnecessário destacar a forma porque todas as peças são
retangulares. Para isso, nos basearemos nas orientações dos documentos oficiais
dirigidas a Educação Básica (PCN), (RCNEI) e em alguns autores como Reys (1996)
Nacarato (2005) e Lorenzato (2006), que defendem o uso de materiais manipuláveis em
sala de aula. Desta forma, esperamos que o presente minicurso propocione momentos
de aprendizagem significativa para os cursistas, além de apresentar uma solução
alternativa ao ensino tradicional que ainda tem fortes marcas na educação infantil e nos
anos iniciais do ensino fundamental.
Palavras-chave: Ensino de matemática, peças retangulares, blocos lógicos.
Público-alvo: Professores da Educação Básica e alunos de Licenciatura em Pedagogia e
Matemática.
Número de vagas: São disponibilizadas vinte e cinco vagas para o público-alvo.
Recursos necessários: Data-show, lousa, apagador, kit’s das “Peças Retangulares –
PR” e “Blocos lógicos – BL”.
INTRODUÇÃO
Um dos maiores desafio dos educadores da educação básica é transformar o
ensino em uma aprendizagem significativa e prazerosa, pois se assim acontece os
educando se envolvem no processo ensino-aprendizagem naturalmente. Com o ensino
de matemática, esse desafio se torna cada vez maior, uma vez que os educados já trazem
2
desde as series anteriores ideias que a matemática é uma disciplina difícil, fazendo-os
detestar essa matéria.
É desde a educação infantil em que se constituem o desenvolvimento integral do
aluno, por isso é necessário uma intervenção por parte do educador, nesta fase, para o
individuo sentir prazer ao aprender matemática, já que ela faz parte das inúmeras
atividades que o sujeito exerce em seu dia-a-dia. Neste nível de ensino a matemática por
sua vez contribui nesse processo, pois, ajuda o educando a desenvolver as
potencialidades para sua vida, como também para o raciocínio lógico matemático e a
criatividade, contribuindo de forma significativa para formação do pensamento do
sujeito aprendiz.
Diariamente já pensamos matematicamente, muitas das vezes com algumas
dificuldades, pois não foram desenvolvidas algumas habilidades em nossa vida escolar,
que são necessárias para resolver alguns problemas que aparecem no cotidiano. Ao
juntar, separar, retirar, estabelecer correspondência entre objetos e descobrir suas
propriedades (cor, tamanho, forma, largura, espessura entre outros atributos) é pensar
matematicamente. E fazemos isso sem saber que agir desta forma é pensar
matematicamente.
Então, com o construtivismo em alta na sociedade brasileira surge o uso de
materiais manipuláveis para ajudar o professor em sala de aula a diminuir algumas
dificuldades que o educando apresenta no processo de aprendizagem. Reys (1971) já
definia material manipulável como, objetos ou coisas que o aluno é capaz de sentir,
tocar, manipular e movimentar, ou seja, podem ser objetos reais que tenham aplicações
no dia-a-dia numa situação de aprendizagem ativa. Lorenzato (2006) conceitua
Material Didático (MD) como qualquer instrumento útil ao processo de ensino
aprendizagem. Portanto, MD pode ser um giz, uma calculadora, um filme, um livro, um
quebra-cabeça, um jogo, uma embalagem, uma transparência, entre outros.
Neste contexto, Piaget e Vygotsky ambos clássicos do construtivismo
consideram que o material concreto ou manipulável contribui de forma positiva para o
processo aprendizagem do educando.
Atualmente um dos documentos oficiais que compõe o currículo da educação
básica brasileira, os PCN, afirma que no processo de ensino-aprendizagem, todos os
recursos da tecnologia da informação, da história da matemática e dos jogos constituem-
se como valiosos recursos de aprendizagem no processo de formação.
3
É também explicito nas pesquisas de alguns educadores matemáticos com
(NACARATO, 2005), (LORENZATO, 2006) dentre outros o quanto é aceitável o uso
de materiais manipuláveis em sala de aula e, segundo eles, se convenientemente
planejados, são um recurso pedagógico eficaz para a construção do conhecimento em
especial, àqueles que implicam conhecimentos matemáticos.
De acordo com a definição de Reys (1971), Lorenzato (2006) e a importância de
se trabalhar com materiais manipuláveis em sala de aula, são criados até hoje inúmeros
materiais concretos. Podemos destacar os “Blocos Lógicos – BL”, recurso bem aceito e
trabalhado até hoje nas escolas da educação básica.
Este material foi criado na de década de 50 pelo matemático Húngaror Zoltan
Paul Dienes, esses são eficientes para que os alunos exercitem a lógica e evoluam no
raciocínio abstrato. Desde a sua invenção ele tem sido muito aplicado, além de ser um
recurso de grande aceitação e que vem sendo explorado na educação infantil e nos anos
iniciais do ensino fundamental, pois permitem que o sujeito aprendiz desenvolva as
primeiras ideias de lógica e algumas operações de pensamento; correspondência,
classificação, seriação, comparação, observação dentre outras, imprescindíveis na
formação do pensamento e de alguns conceitos matemáticos.
Em suma, Os blocos lógicos compõem-se de quarenta e oito peças, tendo elas
quatro formas geométricas (quadrado, retângulo, círculo e triângulo), em três cores
(amarelo, azul e vermelho), duas espessuras (fino e grosso) e dois tamanhos (pequeno e
grande).
Barbosa (2010), estudando os blocos lógicos de forma detalhada percebeu que o
mesmo apresenta alguns equívocos quanto os conceitos matemáticos. Um deles é no
que se refere ao dos atributos da espessura (grosso e fino) e dos termos “triângulo”,
“quadrado” e “retângulo”, usados na identificação das peças. Segundo ele,
4
Trata-se de um atributo que explora conceitos (grosso e fino)
específicos para entes associados ao espaço (tridimensional). No
entanto, tais peças eram usadas como representantes de figuras planas
(bidimensional). Como exemplo, podemos citar expressões
comumente empregadas: “triângulo fino”, “quadrado grosso”,
“retângulo fino” e “círculo grosso”. Havia duplo equívoco na relação
estabelecida entre a terminologia e o conceito. Primeiro como já foi
destacado, o atributo espessura diz respeito a entes do espaço.
Segundo, porque os termos “triângulo”, “quadrado” e “retângulo” se
referem aos contornos de figuras e não a superfícies. Nesse sentido, as
peças poderiam ser nomeadas respectivamente como “triangular”,
“quadrangular” e “retangular”. (BARBOSA et al, 2010, p.15-16)
Partindo dessa idéia, Barbosa (2010) criou o material “peças retangulares - PR”
composto por 24 peças: 6 peças de cada cor (6 peças amarelas + 6 peças azuis + 6 peças
verdes + 6 peças vermelhas = 24 peças); 8 peças de cada tamanho (8 peças pequenas + 8
peças médias + 8 peças grandes = 24 peças) e 12 peças de cada largura (12 peças
estreitas + 12 peças largas = 24 peças), que permite um domínio mais rápido dos
atributos envolvidos. Verifique no quadro abaixo:
Em Síntese, tem-se
5
Enquanto o material “blocos lógicos” trabalha os atributos forma, cor, tamanho e
espessura, o material “peças retangulares” explora os atributos da cor, tamanho e
largura, sendo desnecessário destacar a forma porque todas as peças são retangulares.
Fica claro que esse é um material didático através do qual podem ser exploradas
operações que contribuem para formação de pensamento: comparação, observação,
sequenciação, correspondência, seriação, classificação entre outras e conteúdos
específicos da matemática propostos pelos PCN contemplados em mais de um bloco de
conteúdos.
Portanto, como afirma o próprio (BARBOSA, 2010. P. 18), oferecer mais um
material didático á comunidade escolar é de suma importância, pois atende algumas
funções didáticas, proporciona o lúdico e o prazeroso para o aluno, amém de oferecer
mais um material didático, pois “a intenção não é substituir outros, mas de ser mais uma
opção para o professor em sala de aula.”
METODOLOGIA
Para o a realização das atividades, o minicurso acontecerá da seguinte maneira:
Neste contato inicial com os cursistas, iremos distribuir um kit das “peças
retangulares - PR” para cada um dos participantes, além de levarmos para o
desenvolvimento das atividades os blocos lógicos. Inicialmente, iremos fazer uma
apresentação dos materiais didáticos a serem explorados: “Peças Retangulares – PR” e
“Blocos Lógicos – BL”, fazendo uma breve introdução dos inventores e com que
objetivo foi criado cada material. Em seguida, trabalharemos as seguintes atividades e
jogos com os materiais didáticos “PR e BL”
O que a peça é?
O que a peça não é?
Quadro Classificatório
Esconde a peça
Descubra a lógica
Entre mim e você
Cobrinhas lógicas
Ladrilhando ruas
Cubos dos atributos
Batalha das peças retangulares
Cartões dos atributos
Equivalência pelo tato
6
Ambas atividades e jogos podem ser trabalhadas na educação infantil e nos anos
iniciais do ensino fundamental. Vale salientar que as atividades acima citadas estão
proposta no livro de Barbosa (2010) para trabalhar com o material “PR”, porém elas
podem ser adaptadas e trabalhadas também com o material “BL”.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Como estas atividades são dirigidas a um público formado por pedagogos e
matemáticos em exercício ou futuros professores, ou ainda, formadores desses professores,
espera-se que estas atividades contribuam para um ensino com significado e prazeroso,
além de ajudar na formação do pensamento dos nossos educandos e exploração de
conteúdos matemáticos dentro de sala de aula. Enfim, provocar nos cursistas um espírito
investigativo, para a criação de novas atividades e jogos ou outros materiais que venham a
ser somados com os que já existem fortalecendo assim o ensino de matemática na
educação brasileira.
REFERÊNCIAS
BARBOSA, Pedro R. et AL. O material didático “peças retangulares. Campina Grande:
EDUFCG, 2010.
BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental. Ministério da Educação. Parâmetros
Curriculares Nacionais: 5.ª a 8.ª séries do Ensino Fundamental. v. 3. (Matemática).
Brasília: SEF/MEC, 1997.
BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental.
Referencial Curricular Nacional para a Educação Infantil. Brasília: MEC/SEF, 1998.
DIENES, Zoltan Paul. Lógica e Jogos Lógicos. 2.ed. rev. São Paulo, EPU; Brasília, INL,
1974.
LORENZATO, Sérgio Apparecido. Laboratório de ensino de matemática e materiais
didáticos manipuláveis. In: LORENZATO, Sérgio (org.). O Laboratório de ensino de
matemática na formação de professores. Campinas: Autores Associados, 2006.
7
NACARATO, A. M. Eu trabalho primeiro no concreto. Revista de Educação
Matemática Publicação da Sociedade Brasileira de Educação Matemática, São Paulo, v. 9,
n. 9 e 10, p. 1- 6, 2004-2005.
REYS, R. Considerations for teaching using manipulative materials. Arithmetic Teacher.
(1971) In: Matos, J.M., Serrazina. Didática da Matemática. Lisboa: Didáctica da
Matemática. Lisboa: Universidade Aberta, M. (1996).
Sociedade Brasileira de Educação Matemática – Regional Distrito Federal 23 a 25 de setembro de 2011
É O PÉ DO REI DOS CAMELOS OU O PÉ DO REI DOS TECIDOS?
OS DESAFIOS DE APRENDER-ENSINAR NOS ANOS INICIAIS
A GRANDEZA COMPRIMENTO
Cília Cardoso Rodrigues da Silva - SEE/DF- EAPE - [email protected]
RESUMO
O tema grandezas e medidas – comprimento faz parte da vida cotidiana de qualquer um,
desde as ações mais simples como comprar um tecido para fazer uma roupa até a
construção de uma rodovia. No entanto, para os alunos dos anos iniciais ainda é um
conteúdo que necessita de passar por várias construções conceituais, pois eles precisam
compreender que para se medir uma grandeza é necessário identificar a parte dentro de
um todo, uma unidade de medida e quantificar essa medida, parece simples e fácil,
porém para as crianças são ações complexas que necessitam de vivenciar e experenciar
várias estratégias didática-pedagógicas através de situações-problemas para se construir
tais conceitos. Dessa forma, é que pretendo ministrar um mini curso que direciona-se a
professores dos anos iniciais do Ensino Fundamental e estudantes do curso de
Pedagogia, com o objetivo de proporcionar aos participantes uma sequência didática1
que os levem a agir, refletir e pensar, a partir do bloco de conteúdos grandezas e
medidas proposto nos PCN, sobre o processo de aprender-ensinar a grandeza
comprimento nos anos iniciais do Ensino Fundamental.
Palavras chaves: grandezas e medidas, quantidades contínuas e grandeza comprimento.
PÚBLICO ALVO
O mini curso direciona-se a professores dos anos iniciais do Ensino
Fundamental e estudantes do curso de Pedagogia.
OBJETIVOS
1 Sequências didáticas são esquemas experimentais de situações-problema/tarefas, realizadas
com um determinado fim, desenvolvido por sessões de aplicação a partir de um estudo preliminar (análise institucional), em torno do objeto do saber e de uma análise matemática/didática, caracterizando os objetivos específicos de cada problema/tarefa, tendo sua fundamentação na Engenharia didática (HENRIQUES, 2001 apud CAZORLA; SANTANA, 2010, p. 14).
2
O mini curso tem por objetivo proporcionar aos participantes uma sequência
didática que os levem a agir, refletir e pensar, a partir do bloco de conteúdos grandezas
e medidas proposto nos PCN, sobre o processo de aprender-ensinar a grandeza
comprimento nos anos iniciais do Ensino Fundamental.
JUSTIFICATIVA
O tema das grandezas e medidas faz parte do cotidiano das pessoas, sejam elas
força, densidade, aspereza, tempo, capacidade, massa, comprimento, volume etc., são,
de alguma forma, vivenciadas em nossa trajetória de vida.
Assim, ao longo da história da humanidade, o homem, por meio de seus estudos
e pesquisas, encontrou formas de sistematizar o conhecimento das grandezas e medidas.
Uma dessas formas encontradas foi incluir nos currículos esses temas como conteúdos a
serem trabalhados e desenvolvidos nas salas de aula das escolas instituídas socialmente.
Diante do exposto, situando-nos no Brasil e no Distrito Federal (DF), temos
parâmetros que norteiam as orientações curriculares para se trabalhar com esses temas
nas salas de aula das escolas públicas do DF: os Parâmetros Curriculares Nacionais
(PCN) que orientam as propostas curriculares em nível nacional e as Orientações
Curriculares Educação Básica do DF – Ensino Fundamental – Séries e Anos Iniciais
que, baseadas nos PCN, direcionam os conteúdos a serem trabalhados nas escolas
públicas do DF.
Dessa forma, justifica-se propor um mini curso que trate desse bloco de
conteúdos – grandezas e medidas, especificamente a grandeza comprimento, para que
os participantes possam refletir e (re) pensar a prática pedagógica a partir de algumas
sugestões de tarefas que serão apresentadas na sequência didática, uma vez que, apesar
desse tema fazer parte do cotidiano da maioria das pessoas, geralmente, nas escolas ele
somente é abordado no final do ano letivo, centrado na lógica da unidade legal padrão e
nas transformações dos múltiplos e submúltiplos da grandeza referida.
Temos conhecimento que tanto os PCN como as Orientações Curriculares do
Distrito Federal, há muito romperam com esta lógica já citada, por isso, a intenção é
trazer uma discussão de que é possível aprender-ensinar a grandeza comprimento de
maneira diferente e divertida, a partir da própria percepção de mundo da criança, do
jovem e do adulto.
Por isso, a proposta é apresentar uma sequência didática que vá de encontro mais à
lógica do processo de aprender do que à lógica do conteúdo, sem descartar que essas
3
duas lógicas caminham lado a lado para a construção de novos conceitos ao que se
refere à grandeza e medidas de comprimento. Uma sequência didática bem elaborada e
pensada propõe que tanto apredentes como ensinantes participem da construção do
conhecimento de determinado tema, no caso, a grandeza comprimento, pois durante
todo o processo é possível se avaliar os procedimentos e instrumentos utilizados e
modificar as estratégias propostas.
Antes de relatar como será desenvolvida a metodologia do mini curso, é
essencial discutir um pouco sobre a grandeza comprimento.
A GRANDEZA COMPRIMENTO: O CORPO COMO MEDIDA DAS COISAS
A natureza compôs tão bem o corpo
humano que a face, a partir do queixo até
o topo da testa, na altura da raiz dos
cabelos, corresponde a uma décima parte
de sua altura, da mesma forma que a
palma da mão, do pulso até a ponta do
dedo médio.
Irineu da Silva
Não é novidade para ninguém que o homem, desde que passou a ser sedentário, mais
especificamente no período em que iniciou as produções agrícolas, estabeleceu regras
de convivência social e de alguma forma encontrou maneiras de medir as coisas, seja o
tempo, o espaço ou os objetos os quais ele construiu. Segundo Silva (2004, p. 38):
O homem primitivo não necessitava de um sistema de medidas muito
elaborado.
Suasnecessidadesmetrológicascertamenteeramapenasparaalgumasindi
caçõesrústicas de posições, distâncias aproximadas e ralações de
grandezas como “maior do que” e “mais pesado do que” ou “menor do
que” e “mais leve do que”. Entretanto, a partir do momento em que foi
preciso cultivar a terra ou transferir os animais para pastagens mais
férteis, houve também a necessidade de se comunicar mais
convenientemente em termos metrológicos, e pode ter sido nesse
momento que apareceram as primeiras unidades de medida. E por
facilidade, elas foram embasadas em dimensões do corpo humano. O
homem tomou a si próprio como padrão de medida.
Por esse motivo, compreendo que, nasala de aula, ao se propor tarefas que
envolvam a grandeza comprimento, é importante a utilização do corpo como um recurso
para se medir, pois ao longo da história, desde as civilizações mais antigas o homem,
antes de construir as unidades padrão de medidas e os instrumentos, utilizou seu próprio
4
corpo para medir comprimentos e distâncias. Irineu da Silva (2004, p. 40), ao realizar
um estudo histórico sobre os pesos e medidas diz que,
em 1850, encontrou-se em Senkerek, atualmente localizada no Iraque,
um tablete de argila, que foi datado como sendo de 2500 a.C., no qual
estava inscrita uma tabela completa de medidas de comprimento, na
qual, a unidade básica é o palmo, tendo o côvado,2o polegar e a linha
como unidades derivadas.
E também, conforme Muniz, Batista e Silva (2008), culturalmente, o sujeito
apela para partes do corpo para a medição. Eles citam como exemplos o juiz de futebol,
que marca a distância da barreira, em caso de faltas, com passos; as crianças utilizam
palmos, passos e pés em brincadeiras como bolinha de gude, finca, futebol etc.; as
tubulações hidráulicas ainda são vendidas segundo polegadas; a costureira que utiliza os
dedos como medida nos ajustes de roupas, enfim, se pararmos para pensar, teríamos
vários outros exemplos para ilustrar que o homem ainda utiliza o próprio corpo para
medir as coisas, principalmente nas áreas rurais.
Assim, com o tempo, o metro passou a ser definido, em 1799, como “o
comprimento entre dois traços médios extremos gravados na barra de platina guardada
nos arquivos, na França” (MACHADO, 2000). E porque a platina e não outro metal?
Justamente porque a platina é um metal que não se dilata muito com o calor nem se
contrai muito com o frio, ela é capaz de manter a distância entre os traços de forma
razoavelmente estável.
Machado, em seu livro Medindo comprimentos (2000), afirma que a principal
vantagem do sistema métrico é a possibilidade de expressar, de modo simples e por
meio de um único número, o resultado de uma medição feita com o padrão metro, seus
múltiplos e submúltiplos.
Por fim, creio que o essencial no processo aprendizagem-ensino da grandeza
comprimento em sala de aula seja possibilitar aos alunos várias situações que envolvam
o ato de medir, não esquecendo dos fatos históricos da construção desse conhecimento,
2“A unidade de medida côvado é considerada por vários historiadores como a mais antiga e mais utilizada
desde a Antiguidade até o aparecimento do Sistema Métrico. Em alguns casos, ela foi adotada como sendo a
distância entre o cotovelo e o dedo médio da mão estendida, e, em outros, a distância entre o cotovelo e o
extremo do punho fechado. Esta última é considerada como a de maior uso prático, já que permitia usar uma
corda para a medição e, posteriormente, enrolá-la entre o cotovelo e o polegar para saber seu comprimento
em côvados. É provável que a primeira citação do côvado como unidade de medida tenha sido feita por
Heródoto, em seus livros sobre a História da Pérsia. A bíblia também o cita em várias ocasiões, como, por
exemplo, no Primeiro Livro de Samuel, em que ele descreve que Golias possuía uma estatura de seis
côvados e um palmo” (SILVA, 2004, p. 40).
5
que é fundamental. Outro fator primordial seria partir das percepções que os alunos já
têm dessa grandeza.
METODOLOGIA
A sequência didática foi escolhida como metodologia por entender que a partir
dela podemos propor problemas/tarefas que levem os participantes do minicurso a
pensar, refletir, agir e avaliar sobre o tema grandezas e medidas – comprimento, de
maneira que percebam que é fundamental para o processo de aprendizagem uma lógica
que acompanhe a construção de conceitos pelo próprio sujeito que aprende.
Sendo assim, proponho a seguinte sequência didática:
Contação da história “A guerra das medidas” (autor desconhecido) – propor
discussão sobre o uso de medidas arbitrárias na sala de aula;
Medição do tecido presenteado pelo rei dos tecidos ao rei dos camelos – medir
tecido utilizando partes do corpo escolhida pelo grupo de trabalho;
Definição de unidade arbitrária padrão do grupo de participantes – definir e
medir tecido utilizando unidade arbitrária padrão do grupo de participantes,
discutir importância de se definir unidade arbitrária padrão do grupo;
Contação do final da história “A guerra das medidas” (autor desconhecido) –
construção do metro – medir coisas na sala que medem mais que 1 metro de
comprimento, menos de 1 metro de comprimento ou igual a 1 metro de
comprimento utilizando cabos de vassoura com 1 metro de comprimento sem
graduação – objetivo é levar que os participantes sintam necessidade de
quantificar a grandeza medida;
Discussão do aparecimento da unidade padrão, o metro, como unidade legal da
grandeza comprimento – desafiar aos participantes com pedaço de papel pardo,
cortado em tira, com 1 metro de comprimento, a dividí-lo em 10 partes iguais
para se descobrir o decímetro;
Medição de coisas na sala com a tira de papel pardo dividida em 10 partes iguais
– o decímetro – o objetivo é levar aos participantes ao conflito e descobrirem a
necessidade de se dividir o metro também em centímetros;
Por fim, disponibilizar instrumentos legais como fita métricas, trenas, réguas etc.
para se medir coisas na sala;
6
Encerrar o mini curso com discussão sobre a grandeza comprimento avaliando a
sequência didática e o mini curso.
BIBLIOGRAFIA
BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. SEF. Brasília:
MEC/SEF,1997.
CUNHA, M. R. K. Estudo das elaborações dos professores sobre o conceito de
medidas em atividades de ensino. 2008. Tese (Doutorado) – Faculdade de Educação da
Universidade Estadual de Campinas, 2008.
DISTRITO FEDERAL. Orientações Curriculares: Educação Básica do DF – Ensino
Fundamental – Séries e Anos Iniciais. Brasília: SEE/DF, 2008.
HENRIQUES, A. Dinâmica dos elementos da geometria plana em ambiente
computacional cabri-géomètre II. In: CARZOLA, I e SANTANA, E. (orgs.). Do
tratamento da informação ao letramento estatístico. Itabuna: Via Litterarum, 2010.
MACHADO, N. J. Medindo comprimentos. São Paulo: Scipione, 2000.
MALBA TAHAN. O homem que calculava. 46. ed. Rio de Janeiro: Record, 1998.
MUNIZ, C. A.; BATISTA, C. O.; SILVA, E. B. Matemática e cultura: decimais,
medidas e sistema monetário. Pedagogia Mód. IV do Curso de Pedagogia para
Professores em Início de Escolarização (PIE). Brasília: FE/UnB, 2008.
SILVA, I. História dos pesos e medidas. São Carlos: EdUFCar, 2004. 190p.
Sociedade Brasileira de Educação Matemática – Regional Distrito Federal 23 a 25 de setembro de 2011
LILAVATI: UMA PROPOSTA DE ENSINO-APRENDIZAGEM DA
MATEMÁTICA UTILIZANDO A HISTÓRIA E A RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS COMO RESURSOS PEDAGÓGICOS
Ana Gabriella de Oliveira Sardinha1
Daniel da Silva Alves
Danielle Alves Antunes
Jussara Pereira Fernandes
Raruy Damasceno Rodriguez
Rodolpho Pinheiro D’Azevedo
RESUMO
Esse minicurso tem como público alvo educadores dos anos finais do ensino
fundamental e estudantes dos cursos de Licenciatura em Matemática; e por objetivo
atender 30 participantes. Essa proposta foi elaborada a partir de resultados de leituras e
discussões sobre a metodologia de Resolução de Problemas e a História da Matemática
que propicia recursos para o ensino-aprendizagem dando significado a alguns dos
conceitos matemáticos ensinados na escola. Por meio do Livro Lilavati de
Bhaskaracarya: Um tratado da matemática da tradição védica será discutido alguns
conceitos que fazem parte do currículo do ensino fundamental do 6° ao 9° ano e serão
apresentadas propostas pedagógicas para o ensino-aprendizagem desses conceitos pela
abordagem de questões relativas à história da matemática e a resolução de problemas
como recursos pedagógicos.
Palavras-chave: Lilavati de Bhaskara, História da Matemática e Resolução de
problemas.
INTRODUÇÃO
Entre as principais tendências em educação matemática estão a História da
Matemática e a Resolução de Problemas. Com relação à História da Matemática existe
uma grande variedade de trabalhos que discutem o papel da história no ensino.
1Todos os autores e autoras dessa proposta de minicurso são participantes do projeto de ação
contínua SAMAC- Serviço de Atendimento Matemático à Comunidade do Dex-UnB ou do projeto
Laboratório de Matemática do DAC-UnB.
2
Fauvel, em seu artigo Using History in Mathematics Education, apresenta diversas
razões que justificam o uso da história da matemática no ensino: ajuda na organização
do currículo, mostra aos estudantes como os conceitos foram desenvolvidos ajudando
assim no entendimento dos mesmos; ajuda no entendimento do processo de formação
do pensamento matemático e numa reflexão dos modos de como tais entendimentos
podem ser usados na preparação das atividades em sala de aula; ajuda a retomar as
intuições no ensino-aprendizagem da geometria.
Grabiner considera o conhecimento da história da matemática como essencial no
ensino e na compreensão da matemática.
O modo como a história da matemática pode ser usada em sala de aula, e o
argumento para o seu uso, pode variar de acordo com o nível de escolaridade.
Existem dois tipos mais gerais de uso da história da matemática na educação
matemática: o implícito e o explícito.
Usa-se a história implicitamente para ter idéias e para buscar o entendimento das
atitudes dos estudantes e dos seus processos de aquisição do conhecimento – significa
que o objetivo não é a historia em si, mas um meio de obter sugestões que definam
caminhos para o ensino, tendo em mente objetivos didáticos
Se o professor decide introduzir a história explicitamente em sala de aula ele pode
fazê-la como parte de uma abordagem global em termos de uma estratégia didática, ou
de um modo local no contexto apenas do ensino de um tópico. Ele pode querer dar um
contexto cultural ao conhecimento matemático localizando-o dentro da história da
humanidade e das idéias. Entre as diferentes formas de usos da história da matemática
em sala de aula estão: mencionar curiosidades dos matemáticos do passado; dar uma
introdução histórica aos conceitos que são novos para os estudantes; encorajar os
estudantes a entenderem os problemas históricos para os quais os conceitos que eles
estão aprendendo são as respostas, etc.
Nesse minicurso utilizaremos história da matemática aliada à resolução de problemas
para contextualizar por meio de alguns problemas encontrados na história da
matemática conceitos aprendidos nos anos finais do ensino fundamental e comparar
algoritmos e procedimentos atuais com os encontrados na história.
A resolução de problemas é considerada por vários pesquisadores como uma das
principais tendências em Educação Matemática visto que por meio deste trabalho o
estudante percebe algumas aplicações dos conceitos matemáticos, a necessidade de ler
um problema atenciosamente e concentrar-se nas palavras de modo a obter sucesso na
3
sua interpretação matemática. Além disso, é possível diagnosticar pontos fortes e fracos
dos estudantes com relação à solução do problema e ajudá-los a superarem obstáculos
que venham a ocorrer.
Algumas estratégias devem ser utilizadas no trabalho com resolução de problemas
como mostrar e denominar estratégias para resolvê-lo e também, é necessário, gerenciar
o ambiente por meio de estratégias de ensino de modo a manter os estudantes
envolvidos numa experiência significativa de resolução de problemas até que todos
concluam seu trabalho. O uso de problemas históricos pode ser uma forma eficaz para
que os estudantes envolvidos na experiência de resolver problemas.
Com relação ao Livro Lilavati de Bhaskaracarya: Um tratado da matemática da
tradição védica, que será discutido parcialmente nesse minicurso, conta a lenda que
Bhaskara2 tinha uma filha chamada Lilavati (em árabe significa bela, formosa). Quando
essa menina nasceu Bhaskara consultou as estrelas e verificou, pela disposição dos
astros, que sua filha, estava condenada a permanecer solteira toda a vida. Ela ficaria
esquecida pelo amor dos jovens patrícios.
Não se conformando com essa determinação do destino Bhaskara recorreu aos
ensinamentos dos astrólogos mais famosos da época.
O que fazer para que a graciosa Lilavati pudesse se casar e ser feliz no casamento?
Um astrólogo, consultado por Bhaskara, aconselhou-o a casar Lilavati com o
primeiro pretendente que aparecesse, mas informou que a única hora propícia para a
cerimônia do enlace seria marcada, em certo dia, pelo cilindro do Tempo.
Os hindus mediam, calculavam e determinavam as horas do dia com o auxílio de um
cilindro colocado num vaso cheio d'água. Esse cilindro, aberto apenas em cima,
apresentava um pequeno orifício no centro da superfície da base.
A proporção que a água, entrava pelo orifício da base, invadia lentamente o cilindro,
este afundava no vaso e de tal modo que chegava a desaparecer por completo em hora
previamente determinada.
Lilavati foi, afinal, com agradável surpresa, pedida em casamento por um jovem rico
e de boa casta.
Fixado o dia e a hora, os amigos se reuniram para assistir à cerimônia.
Bhaskara colocou o cilindro do tempo e aguardou que a água chegasse ao nível
marcado.
2 Bhaskara ou Bhaskaracharya [114-1185] matemático indiano e astrônomo.
4
A noiva, levada por irreprimível curiosidade quis observar a subida da água no
cilindro. Aproximou-se para acompanhar a determinação do tempo. Uma das pérolas de
seu vestido desprendeu-se e caiu no interior do vaso.
Por uma fatalidade, a pérola levada pela água foi obstruir o pequeno orifício do
cilindro, impedindo que nele pudesse entrar a água do vaso.
O noivo e os convidados esperaram com paciência um longo período de tempo.
Passou-se a hora propícia sem que o cilindro indicasse o tempo como previra o
sábio astrólogo.
O noivo e os convidados retiraram-se para que fosse fixado, depois de consultados
os astros, outro dia para o casamento.
O jovem brâmane, que pedira Lilavati em casamento, desapareceu semanas depois e
a filha de Bhaskara ficou para sempre solteira.
O sábio geômetra reconhecendo que é inútil ir contra o destino disse à sua filha:
Escreverei um livro que perpetuará o teu nome e ficarás na lembrança dos homens
mais do que viveriam os filhos que viessem a nascer do teu malogrado casamento.
O livro Lilavati de Bhaskaracarya: Um tratado da matemática da tradição védica
foi escrito em 278 versos e trata de vários assuntos: tabelas, o sistema de numeração, as
oito operações, frações, zero, regra de três, regra de três composta, misturas,
porcentagens, progressões, geometria, medidas, problemas geométricos de sombras, etc.
OBJETIVOS
Utilizar história da matemática aliada à resolução de problemas para
contextualizar por meio de alguns problemas encontrados no livro ‘Lilavati de
Bhaskara’ conceitos aprendidos nos anos finais do ensino fundamental e
comparar algoritmos e procedimentos atuais com os encontrados na história.
Compreender a importância da história da matemática e a resolução de
problemas como recursos pedagógicos para o ensino-aprendizagem da
matemática.
METODOLOGIA
O minicurso terá duração de 1 hora e 30 minutos que serão subdividas divididas em
dois momentos: encenação teatral do casamento de Lilavati (filha de Bhaskara) e a
resolução de problemas do livro ‘Lilavati de Bhaskara’. Neste minicurso os temas serão
5
abordados por meio de atividades, jogos e materiais concretos que propiciem a
compreensão de alguns conceitos matemáticos e situações problemas tratados na obra.
Este documento histórico servirá como recurso para abordar os seguintes conceitos
matemáticos que fazem parte do currículo dos anos finais do ensino fundamental:
operações aritméticas, medidas, proporções, progressões aritméticas, combinatória e
resolução de equações. Após a encenação teatral os participantes do evento terão a
oportunidade de conhecer cinco atividades, das quais terão 15 minutos para vivenciar.
REFERÊNCIAS
Bhaskaracarya. Lilavati de Bhaskaracarya: Um tratado da matemática da tradição
védica. Tradução de Krishnaji Shankara Patwardhan, Somashekhara Amrita
Naimpally e Shyam Lal Singh. Delhi: Motilal Bernarsidass Publishers. 2008.
Charles, R. L., Mason, R. P. & Martin, L. Problem-Solving Experiences In
Mathematics. Addison-Wesley. USA. 1995.
Fauvel, J. Using History in Mathematics Education. For the Learing of
Mathematics, v. 11, p. 3-6, Junho 1991.
Grabiner, J. V. Matemático e o Historiador Historia Mathematica, v. 2, p. 439-447,
1975.
O'Connor J. J. & Robertson E. F. Bhaskara. Disponível em http://www-history.mcs.st-
and.ac.uk/Biographies/Bhaskara_II.html. Acesso em: 31/07/2011
Sociedade Brasileira de Educação Matemática – Regional Distrito Federal 23 a 25 de setembro de 2011
MATEMÁTICA E ARTE
Patricia de Souza Carvalho 1
Ana Paula LimaVilarinho
Danielle Nogueira
RESUMO
Esse minicurso tem nos professores do ensino fundamental e estudantes de cursos de
Licenciatura em Matemática seu público alvo e é o resultado do trabalho com diferentes
conteúdos matemáticos desenvolvido com grupos de estudantes do ensino fundamental
e médio por meio de atividades de Resolução de Problemas e da História da
Matemática. Nele serão realizadas atividades matemáticas que relacionam a matemática
e a música, a matemática e os mosaicos e a matemática, a pintura e a escultura.
Palavras-chave: Matemática e música, Matemática e simetria, Razão Áurea, História
da Matemática, Resolução de problemas.
INTRODUÇÃO
Entre as principais tendências em educação matemática estão História da Matemática
e a Resolução de Problemas.
Os parâmetros curriculares para o ensino fundamental II apontam a resolução de
situações-problema como eixo organizador do processo de ensino e aprendizagem de
Matemática e destacam a importância da história da matemática como um importante
recurso a ser utilizado pelo professor para o ensino-aprendizagem da matemática.
Uma situação-problema é vista como ponto de partida da atividade matemática e é
por meio da resolução de situações-problema que o estudante desenvolve processos
importantes como intuição, analogia, indução e dedução. Além disso, essas atividades
estimulam à capacidade de ouvir, discutir, escrever, ler idéias matemáticas, interpretar
significados, pensar de forma criativa, desenvolver o pensamento indutivo/dedutivo e a
capacidade de abstrair elementos comuns.
1As autoras dessa proposta de minicurso são ou foram bolsistas do projeto Pibid-Mat- UnB.
2
Com relação a história da matemática para Sebastiani quando nós tomamos a história
das concepções matemáticas como fundamentação didática para o ensino isto não é uma
questão de metodologia e sim decisão educativa que envolve uma concepção sobre a
matemática e uma concepção sobre educação.
A idéia de associar a resolução de situações problemas com a arte, no Ensino
Fundamental, surgiu durante as discussões de contextos significativos para discutir e
retomar conteúdos matemáticos trabalhado no ensino fundamental.
A relação entre matemática e arte é muito antiga. Aprender Matemática por meio da
arte é uma idéia que pode ser percebida ao longo da história dessa ciência, pois muitos
filósofos, geômetras e arquitetos desenvolveram projetos nos quais a Matemática foi
elemento fundamental e a partir dos quais lhes foi necessário descobrir propriedades,
criar fórmulas, enfim, aprender Matemática [Antoniazzi].
OBJETIVOS
Utilizar a história da matemática e a arte como contextos discutir
algumas situações-problema que propiciem a construção de conceitos
matemáticos como os de simetria, progressão geométrica e razão áurea.
Perceber a relação entre matemática e arte e como aplicar conhecimentos
matemáticos na construção de trabalhos artísticos.
Compreender a importância da história da matemática e a resolução de
problemas como recursos pedagógicos para o ensino-aprendizagem da
matemática.
METODOLOGIA
O minicurso terá uma carga horária de 2 horas divididas em três partes: Matemática e
música, Matemática e mosaicos e Matemática, razão áurea e arte. Neste minicurso os
participantes serão divididos em 3 grupos que irão realizar as atividades relacionadas a
cada parte do minicurso em momentos diferentes e sob a orientação de uma das autoras.
PARTE 1: MATEMÁTICA E SIMETRIA
Por meio da análise e construção dos azulejos de Athos Bulcão encontrados na escola
Classe da 407 Norte os participantes irão discutir o conceito de simetria, descobrir as
3
transformações do plano que são isometrais e aplicá-las na construção de outros
azulejos.
Brasília completará 50 anos de existência no dia 21 de abril de 2010. Um dos
grandes nomes que fez história por aqui é o artista Athos Bulcão, cujas obras estão
espalhadas em vários pontos de Brasília.
É marcante a presença dos azulejos de Athos Bulcão na cidade. Podemos encontrá-
los, por exemplo, na escola classe 407 norte do Plano Piloto, no Memorial JK, no
Palácio do Itamaraty, no Aeroporto de Brasília, no Instituto de Artes da UnB e no
Parque da Cidade.
ciceroart.blogspot.com/2009/07/athus-bucao.html
Como se constroem azulejos desse tipo?
As atividades que serão desenvolvidas nessa parte do minicurso:
Atividade 1 Descobrindo a matemática do azulejo de Athus Bulcão: tipos de
simetrias, formas geométricas que compõem o azulejo.
Atividade 2 Calcular o perímetro e a área da porção do azulejo pintada de preto.
Atividade 3 Identificar as transformações geométricas utilizadas na construção do
mosaico mostrado na figura a seguir.
4
Atividade 4: Construção outros mosaicos utilizando o mesmo azulejo e uma das
seguintes transformações – rotações, translações ou reflexões.
Atividade 5: Criação de uma azulejo e de um mosaico utilizando simetrias, rotações
e reflexões.
PARTE 2: MATEMÁTICA, RAZÃO ÁUREA E ARTE
Tem uma infinidade de maneiras de o fazer de dividir um segmento em duas partes.
Existe uma, no entanto, que parece ser mais agradável à vista, como se traduzisse uma
operação harmoniosa para os nossos sentidos. Relativamente a esta divisão, o
matemático alemão Zeizing formulou, em 1855, o seguinte princípio:
"Para que um todo dividido em duas partes
desiguais pareça belo do ponto de vista da
forma, deve apresentar a parte menor e a maior
a mesma relação que entre esta e o todo."
Ou seja, dado um segmento de reta AB, um ponto C divide este segmento de uma
forma mais harmoniosa se existir a proporção de ouro AB/CB = CB/AC (sendo CB o
segmento maior). O número de ouro é exatamente o valor da razão AB/CB, a chamada
razão de ouro.
A divisão de um segmento feita segundo essa proporção denomina-se divisão áurea,
a que Euclides chamou divisão em média e extrema razão, também conhecida por
secção divina pelo matemático Luca Pacioli ou secção áurea segundo Leonardo da
Vinci.
Atividade 1: Dividir dois segmentos em média e extrema razão.
Atividade 2: Descobrir a razão áurea no quadro Anunciação de Leonardo da Vinci,
1475.
5
Atividade 3: Encontrar a Razão Áurea no quadro ―A Monalisa‖ de Leonardo da
Vinci.
Atividade 4: Analisar o quadro “A Composição‖ de Pieter Cornelis Mondrian.
A razão áurea é um número irracional misterioso e enigmático que nos surge numa
infinidade de elementos da natureza na forma de uma razão, sendo considerada por
muitos como uma oferta de Deus ao mundo. Tem o valor de (√5 + 1)/2 ≈ 1,618 033
989.... Este número é representado pela letra grega Phi.
Um retângulo é áureo quando a razão entre as suas dimensões é o número Phi.
Muitos foram os artistas que deram novas representações ao real, mas Mondrian foi
para além deles! Ele começou a formular as suas próprias teorias estéticas. Ao seu estilo
e princípios artísticos chamou de Neoplasticismo.
Nas suas últimas composições, Mondrian evita qualquer sugestão de reprodução do
mundo material, usando linhas pretas verticais e horizontais que delimitam blocos de
puro branco, vermelho, amarelo ou azul. Mondrian exprimiu uma concepção, que
revelou ser um expoente elevado de harmonia e de beleza.
É esta procura constante da harmonia e da beleza que leva Piet Mondrian a encontrar
a matemática! Mondrian descobriu a famosa razão áurea e com ela chegou ao retângulo
auero. Ele partilhou com Da Vinci a idéia de que a arte deveria ser sinônimo de beleza e
movimento contínuo, por isso, ambos utilizaram o retângulo áureo. A razão áurea
exprime movimento, pois se mantém em espiral até ao infinito, e o retângulo de áuro
exprime a beleza, pois é uma forma geométrica agradável à vista. Assim, o retângulo
áureo passou a ser presença constante nas suas pinturas.
6
Atividade 6: Construção de retângulos áureos e criação de trabalhos artísticos
utilizado esses retângulos.
PARTE 3: MATEMÁTICA E MÚSICA
Johann Sebastian Bach (Eisenach, 21 de março de 1685 — Leipzig, 28 de julho de
1750), foi um organista e compositor alemão do período barroco. Mestre na arte da
fuga, do contraponto e da música coral, ele é um dos mais prolíficos compositores da
história da música ocidental, ainda que pouco reconhecido na altura em que viveu.
Muitas de suas obras refletem uma grande profundidade intelectual, uma expressão
emocional profunda e, sobretudo, um grande domínio técnico em grande parte
responsável pelo fascínio que diversas gerações de músicos demonstraram pelo Pai
Bach, especialmente depois de Felix Mendelssohn que foi um dos responsáveis pela
divulgação da sua obra, até então bastante esquecida.
Posteriormente, Hans von Bülow faz referência de Bach como um dos "três bês da
música" (Bach, Beethoven, Brahms), considerando o seu Cravo Bem Temperado como
o Antigo Testamento da Música.
Alguém já ouviu uma música de Bach?
Vocês já ouviram essa música? ―MINUET IN G MAJOR‖ e ―IMAGINE”
Que tipo de música vocês gostam?
7
Sabiam que todas as músicas do mundo são criadas a partir de um
conjunto de sete sons básicos (notas musicais) que permitam criar outros sons, a
partir deles?
Atividade 1: Verificar quais são as concepções dos estudantes sobre o que é música.
Segundo o Dicionário Eletrônico Houasis de Língua Portuguesa
Música é uma combinação harmoniosa e expressiva de sons. É a arte de se
exprimir por meio de sons, seguindo regras variáveis conforme a época, a
civilização etc.
Para o engenheiro eletrônico Miguel Ratton
Na sua definição mais simples, Música é "ritmo e som". Ou seja, é uma
combinação de sons executados em determinada cadência. A importância
da Matemática na Música está presente desde a concepção mais
fundamental do que é "som musical" e do que é "ritmo".
O primeiro a estabelecer uma escala de sons adequados ao uso musical foi o filósofo
e líder religioso grego Pitágoras de Samos [c. 572 a.C. – c.497 a.C.].
Pitágoras criou no estudo da matemática a idéia de que todas as coisas podem ser
explicadas por meio de números e que o cosmos inteiro é uma escala e um número.
Esta generalização surgiu a partir de suas observações na música, matemática e
astronomia. Pitágoras percebeu que as cordas quando vibram produzem tons
harmoniosos quando as relações entre os comprimentos das cordas são números
inteiros, e que esses índices poderiam ser ampliados para outros instrumentos. Pitágoras
de fato, fez contribuições importantes à teoria matemática da música.
Foi ele que primeiro a estabelecer uma escala de sons adequados ao uso musical. Ele
definiu doze notas musicais, sendo sete "naturais" (Dó, Ré, Mi, Fá, Sol, Lá e Si) e mais
cinco "acidentes": Dó#, Ré#, Fá#, Sol#, e Lá# (o símbolo # é chamado de "sustenido").
A escala com intervalos acusticamente perfeitos definida por Pitágoras foi usada
durante séculos, até pouco depois da Idade Média, quando a Música ainda era restrita a
regras rígidas de composição e execução.
8
Ele era um bom músico, tocava lira e usava a música como um meio de ajudar
aqueles que estavam doentes.
Atividade 2: Observar sons em uníssono
Atividade 3: Identificar que propriedades tem os comprimentos de uma
seqüência de cordas que vibram em uníssono.
Atividade 4: Perceber que se os comprimentos de duas cordas não estão na razão de
2n para 1 os sons produzidos por elas não estão em uníssono.
Atividade 5: Relacionar comprimentos de cordas e freqüências.
Freqüência é uma grandeza que indica o número de ocorrências de um evento
(ciclos, voltas, oscilações, etc) em um determinado intervalo de tempo.
A unidade de medida da frequência é o hertz (Hz), em honra ao físico alemão
Heinrich Rudolf Hertz. 1 Hz corresponde a um evento que que ocorre uma vez por
segundo.
Hoje nós sabemos que a razão entre as freqüências dos sons emitidos por duas cordas
Atividade 6: Freqüências de algumas notas musicais
Da mesma maneira o canto de uma pessoa é agradável quando sua voz é afinada, os
instrumentos para que produzam sons agradáveis ao ouvido humano preciso estar/ser
afinados. As notas musicais têm altura e frequência determinadas pela física estão
afinados quando suas notas estão numa freqüência adequada. Afinar um instrumento
significa colocar suas notas numa freqüência adequada.
O LÁ padrão utilizado para afinar os instrumentos musicais de corda é o LÁ central
do piano e, sua freqüência é de 440Hz.
Quando dizemos que a frequência do LÁ padrão ou Lá fundamental é de 440 hertz
significa que uma corda para emitir essa nota vibra 440 vezes por segundo.
REFERÊNCIAS
Antoniazzi, H. M. Matemática e arte: uma associação possível.
LÁ padrão
9
Barbosa, R. M. (1993). Descobrindo padrões em mosaicos. São Paulo: Atual.
Morgado, A. C. & Wagner, E. & Zani, S. C. Progressões e Matemática
Financeira. Publicação SBM, 2001.
O'Connor, J. J. & Robertson, E. F. Pythagoras of Samos. Disponível em: <
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Mathematicians/Pythagoras.html> Acesso em 28
ago. 2010.
PCN – Parametros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental. Matemática.
Ratton, M. Música e Matemática. A relação harmoniosa entre sons e números.
Disponível em:
http://www.musicaeadoracao.com.br/tecnicos/matematica/musica_matematica.htm>
Acesso em 28 ago. 2010.
Sebastiani, E. O Uso da História no Ensino da Matemática: uma abordagem
transdisciplinar.
Sociedade Brasileira de Educação Matemática – Regional Distrito Federal 23 a 25 de setembro de 2011
A ESTRATÉGIA DO JOGO APLICADA AOS ESTUDANTES COM ALTAS
HABILIDADES / SUPERDOTAÇÃO
Magali de Fátima Evangelista Machado
Universidade Católica de Brasília
Olzeni Leite Costa Ribeiro
Universidade Católica de Brasília
Renato de Oliveira Brito R.
Universidade Católica de Brasília
RESUMO
A literatura tem apontado que os estudantes que apresentam potencial acadêmico acima
da média ou com altas habilidades/superdotação elaboram de forma mais eficiente e
estratégica o raciocínio lógico diante de situações desafiadoras, destacando-se em
agilidade, flexibilidade de pensamento, fluência quanto ao número de possibilidades no
momento de tomar decisões e fazer escolhas, segurança, independência, maturidade,
autoconfiança, capacidade de exploração das alternativas possíveis e válidas, além de
apresentar melhor desempenho. A presente proposta expõe uma visão geral acerca dessa
faceta da superdotação, procurando clarificar algumas questões relacionadas às suas
estratégias próprias de aprendizagem, neste caso, na matemática. Pesquisas têm
comprovado que a superdotação pode manifestar-se de diversas maneiras, em campos
distintos do conhecimento, sendo que, para cada um deles, os estudantes revelam
comportamentos que mobilizam seu potencial de criatividade, de liderança e de
aprendizagem, de modo geral, direcionados àquela área específica. É preciso considerar
que a superdotação depende tanto dos padrões genéticos do indivíduo quanto das
oportunidades que o ambiente lhe proporciona, cabendo ao professor, à escola e à
família propiciar oportunidades que favoreçam o desenvolvimento de um potencial em
fase de latência (SABATELLA, 2005). Nesse contexto, percebemos que uma das
estratégias possíveis de atender a essa necessidade foi a participação em jogos
estratégicos. Observamos que a ação dos estudantes na dimensão intelectual, cognitiva e
emocional, ao longo das partidas, possibilitou uma resposta positiva tanto nos aspectos
de desenvolvimento do potencial acadêmico, quanto nos aspectos emocionais e
psicossociais. Ao aplicarmos essa estratégia, detectamos a desenvoltura, o envolvimento
e a rapidez de raciocínio com os quais realizavam as etapas do jogo, além de buscar
2
meios de superá-las, transcendendo as regras propostas. O princípio básico imbricado
neste caso foi o de que a aprendizagem pode se tornar motivadora e socializadora,
quando o conhecimento e seu respectivo processo de aquisição oportunizam espaço para
a expressão máxima das habilidades de pensamento, e, os métodos pessoais de
investigação são apreendidos ou demonstrados num contexto de problemas reais. No
caso da superdotação, essa oportunidade deve concorrer para que o estudante participe
de forma ainda mais autônoma da delimitação das regras do jogo, da discussão acerca
de sua relevância e das diferentes possibilidades de desenvolvê-lo, além de preferir
aplicar estratégias próprias durante a partida.
PALAVRAS-CHAVE: Jogo didático, Superdotação, Estratégias de pensamento.
PÚBLICO ALVO: Professores dos Anos Finais do Ensino Fundamental
DURAÇÃO: 1h30min
NÚMERO DE PARTICIPANTES: 30
RECURSOS: Sala com capacidade para 30 pessoas, data show com projetor, jogos que
serão levados pelos mediadores do minicurso, folha em branco para possível resolução
de operações, lápis ou caneta.
OBJETIVO
Explorar uma alternativa de utilização do jogo “Estrela Guia”, no intuito de
verificar as diferentes estratégias que os alunos com AH utilizam para ganhar as
partidas.
JUSTIFICATIVA
Na vida cotidiana as pessoas se organizam em suas ações e costumam
reproduzir seus esquemas mentais de organização por diversas vezes, ao longo do
tempo, de maneira instintiva, espontânea. Podemos considerar que este modo de agir, se
constitui um espaço epistêmico construído pelo saber cotidiano, gerando um
conhecimento que emerge do próprio contexto de ocorrência dos fatos e
acontecimentos, ou seja, como resultado do pensamento acoplado à ação. Assim, é
possível vislumbrar que o indivíduo com capacidade intelectual acima da média
também faça uso de um background de conhecimentos cotidianos aplicados às ações
que exigem níveis mais profundos de raciocínio. No entendimento de Lopes (1999), não
é possível traçar uma linha divisória rigorosa entre o comportamento cotidiano e o não
cotidiano, o que não significa que é possível estabelecer uma relação de equivalência
teórico-epistemológica entre essas duas fontes de conhecimento.
3
Em que pese às concepções mais céticas, o conhecimento cotidiano não deve
ser entendido como um conhecimento a ser superado pelo científico. Trata-se de uma
visão que tende a desconsiderar aspectos importantes sobre a aprendizagem da
Matemática, levando os alunos a perderem a oportunidade de vivenciar um momento
enriquecedor de interação entre a matemática acadêmica e a matemática como atividade
humana. Enquanto atividade humana, compartilhamos do pensamento de Carraher e
Schlieman (2006), para os quais a Matemática nos auxilia na aquisição de um estilo
particular de organização pessoal, que alcança uma estrutura lógica, sem, no entanto,
termos de nos restringir ao rigor formal, uma vez que nem sempre o rigor é condição
irrefutável de validade entre processos matemáticos e ações mentais aplicadas às tarefas
do cotidiano.
No que concerne ao campo disciplinar, ainda hoje a Matemática é considerada
por muitos estudantes como a maior das vilãs, dentre todas as disciplinas curriculares.
No entanto, na perspectiva daqueles com altas habilidades/superdotação, o foco da
discussão não consiste em considerar esta ou aquela disciplina detentoras de maior ou
menor nível de dificuldade. Esses alunos evidenciam ou têm potencial para evidenciar
sua capacidade de várias formas. Alguns aprendem em um ritmo mais acelerado e com
níveis de compreensão mais elevados, enquanto outros demonstram ritmo mais lento,
porém, precisamos destacar que isso ocorre nas disciplinas que não se vinculam à sua
área de interesse, e, não em matemática especificamente (RENZULLI, 2004).
Ressalvamos que a ênfase está direcionada a um processo diferenciado de aprendizagem
que pode ocorrer em uma ou duas áreas, subáreas ou disciplinas do conteúdo e, em
alguns casos mais raros, pode ocorrer em todo o currículo. Da mesma forma, alguns
alunos são mais criativos e evidenciam potencial superior para as artes, outros, ainda,
podem demonstrar potencial de excelência na liderança, em habilidades organizacionais
ou nas relações interpessoais. Portanto, não vivenciam expectativas negativas diante de
disciplinas comumente consideradas como as “vilãs” do currículo.
A contradição que percebemos entre visões distorcidas acerca da Matemática
leva ao não entendimento dos conceitos que poderiam ser naturalmente construídos no
processo ensino-aprendizagem. O próprio termo “matemática”, segundo Muniz (2010),
já nos remete “necessariamente em direção ao trabalho escolar” (Ibid., p.11), o que
denota para uma criança, por exemplo, certa ausência de sentido lúdico inclusive em
atividades como o jogo, tão apreciadas em qualquer idade. A visão impregnada de
temor, a qual vem sendo transmitida culturalmente, como uma herança que passa de
4
„pai para filho‟, faz da matemática esse espectro de um “bicho-papão”, cuja feição
enigmática não se permite desvendar senão por aqueles que detêm o poder das fórmulas.
Muniz (2010) nos adverte, ainda, que a trajetória dessa imagem se perpetuou de maneira
tão profunda no imaginário infantil, ao longo da história da matemática, que “o sujeito
não chega a conceber a hipótese da presença de uma atividade matemática no jogo que
está praticando”, ignorando qualquer possibilidade de relação entre esse momento
lúdico e a “atividade possivelmente ligada aos conteúdos matemáticos tratados dentro
da sala de aula de Matemática” (Ibidem).
Compete, portanto, ao professor desta disciplina, o encargo de compreender e
dinamizar suas aulas de forma contextualizada utilizando-se de processos dinâmicos e,
sobretudo, criativos a fim de desconstruir estereótipos consistentes criados acerca da
aprendizagem da Matemática. Nesta abordagem, a disciplina poderá se destituir da
imagem de vilã para se tornar aquela que agrega e propicia o desenvolvimento do
raciocínio lógico, despertando os alunos para a percepção de sua ação interativa entre os
processos de cognição e resolução de problemas cotidianos, ou seja, de vilã passará a
ser a companheira que dá suporte às questões mais complexas em todas as situações.
Muniz (2010), vem nos dizer desse papel funcional da Matemática, inclusive
da sua influência no âmbito das representações sociais sobre as relações possíveis entre
conhecimento matemático e os jogos espontâneos, cerne desta discussão. O autor
esclarece que tais representações se polarizam, geralmente, em torno de dois extremos:
acreditar e aplicar o jogo como real possibilidade de aprendizagem, ou, reconhecimento
deste como recurso incontestável para a aprendizagem matemática, porém, em nível de
discurso, motivado pelo caráter de ludicidade intrínseco que carrega culturalmente.
Destacamos aqui a importância do jogo nas aulas de Matemática. Em face do
ambiente favorável às relações de modo geral, o jogo termina por realizar o papel de
mediação entre um conhecimento que os alunos consideram, por vezes, inacessível, e o
que, de fato, a disciplina pode proporcionar pela sua natureza epistêmica, como
fundamentação de aprendizagens em distintos campos do conhecimento, para além da
matemática. Tudo isso, permeado por um ambiente igualmente estimulador, capaz de
tornar a aula da “vilã”, a mais interessante, senão a preferida entre as demais.
O jogo se torna, portanto, um elemento essencial na promoção da
aprendizagem e do desenvolvimento dos alunos, sejam aqueles com nível de
desempenho dentro do padrão da normalidade, sejam os que apresentam dificuldades de
aprendizagem, sejam os que demonstram características de altas
5
habilidades/superdotação. A diferença está na maneira como cada um transita em um
espaço lúdico complexo e desafiador. Para os alunos com altas
habilidades/superdotação, esse movimento do raciocínio lógico flui de maneira mais
tranquila e, ao mesmo tempo, mais profunda. Quando os deixamos conduzir pela sua
capacidade autônoma de mobilizar esquemas mentais próprios para aplicar nas jogadas,
esses alunos logo percebem o „pulo do gato‟ e começam a usar movimentos estratégicos
que os direcionam à jogada vitoriosa, inclusive, em jogadas múltiplas e/ou simultâneas,
envolvendo qualquer número de adversários.
No que tange o jogo “Estrela Guia”, por exemplo, os alunos com altas
habilidades/superdotação, passam a retirar exatamente as peças positivas e, às negativas,
somente recorrem se puderem zerá-las (+ 2 - 2 = 0). Além disso, demonstram agilidade
nas operações e os cálculos passam a ser feitos mentalmente. Apontamos como
elemento que se destacou nas partidas, a multiplicidade de operações que os alunos
realizam ao longo das jogadas. Em nossa experiência com este jogo, apenas os alunos
com altas habilidades/superdotação ou com potencial superior à média na área
acadêmica, tem percebido, de imediato, a possibilidade de ir efetuando as operações
logo no início da partida. Grande parte dos demais alunos deixa para fazer os cálculos
somente no final do jogo, e, consequentemente, se dão conta de que não refletiram o
suficiente, retirando peças do tabuleiro de forma aleatória.
Em suma, é por intermédio do jogo que tanto as crianças, quanto os jovens e
adultos se envolvem em um mundo no qual sua inteligência criatividade e curiosidade
são exercidas. Brincando, estabelece relações dialéticas: pensa em uma coisa em função
de outra, coordenando diferentes pontos de vistas, ou, ainda, relações dialógicas, na
medida em que pensa em uma jogada, a qual se opõe à jogada do suposto adversário,
num movimento intenso de pensamento que lhe propicia condições, inclusive, para o
desenvolvimento das relações sociais. Autores, entre eles, Piaget (1978) e Vygotsky
(1999), alertam para a importância da ação física e mental das crianças na educação
matemática, a partir de atividades que lhes sejam prazerosas e desafiadoras como os
jogos em grupo.
METODOLOGIA
Em sua estrutura didática, o minicurso será desenvolvido na forma de uma
exposição oral acerca da importância de se trabalhar o jogo em aulas de Matemática,
6
aliando-se, simultaneamente, a uma explanação sobre a relação entre superdotação, jogo
e habilidades matemáticas.
Inicialmente, apresentaremos o objetivo do jogo “Estrela Guia” e suas etapas
de desenvolvimento, destacando, a priori, que se trata de uma importante ferramenta
para a aprendizagem do conjunto dos números inteiros/positivos/negativos. Em seguida,
apresentaremos as regras do jogo, convidando os participantes da oficina a vivenciarem
sua estrutura lúdica e possibilidades de aprendizagem. Para tanto, serão divididos em
grupos de quatro jogadores, os quais serão divididos em duplas. A cada jogada realizada
pela dupla ou pelo jogador, será estimulada a reflexão no âmbito da Educação
Matemática.
Ressaltamos que, durante a partida, observaremos alguns aspectos em relação
ao movimento dos jogadores e seu nível de percepção de estratégia em relação às
jogadas, na perspectiva de propiciar um breve momento de reflexão e debate acerca das
possibilidades de raciocínio imbricado no jogo, especialmente, nos casos em que nos foi
possível observar habilidades superiores entre os participantes.
O JOGO ESTRELA GUIA
Material: 1tabuleiro de damas (tamanho 20 X 20 cm); 63 peças com números positivos
e negativos e 01 peça com uma estrela.
Procedimentos: distribuição das peças no tabuleiro, sendo que a peça com a estrela tem
que ficar próxima ao centro; cada jogador retira uma peça de acordo com a posição em
relação ao tabuleiro, ou seja, um jogador só poderá retirar peças no sentido horizontal e
o outro no sentido vertical, guiando-se pela estrela, que o levará para a casa da peça
retirada; vence o jogo o aluno que fizer maior número de pontos.
REFERÊNCIAS
LOPES, A. R. C. Conhecimento escolar: ciência e cotidiano. Rio de Janeiro: UERJ,
1999.
CARRAHER, Terezinha; CARRAHER, David; SCHLIEMANN, Analúcia. Na vida
dez, na escola zero. 14ª Ed. São Paulo: Cortez, 2006.
7
MUNIZ, Cristiano Alberto. Brincar e jogar: enlaces teóricos e metodológicos no
campo da educação matemática. Belo Horizonte: Autêntica Editora, 2010.
(Tendências em educação matemática)
PIAGET, Jean. A formação do símbolo na criança. Rio de Janeiro: Zahar, 1978.
RENZULLI, Joseph. O que é esta coisa chamada superdotação, e como a
desenvolvemos? Uma retrospectiva de 25 anos. Porto Alegre, RS, ano XXVII, n. 1
(52), p. 75 – 131. 2004.
SABATELLA, Maria Lúcia Prado. Talento e Superdotação: problema ou solução?
Curitiba: IBPEX, 2005.
VIGOTSKI, Lev Semenovich. A formação social da mente. São Paulo: Martins
Fontes, 1999.
Sociedade Brasileira de Educação Matemática – Regional Distrito Federal 23 a 25 de setembro de 2011
NÚMEROS IRRACIONAIS E UMA APROXIMAÇÃO PARA π
Victor Barbosa Jatobá
Universidade de Brasília (UnB) – bolsista do Programa PET
Rafael da Costa Aguiar
Universidade de Brasília (UnB) – bolsista do Programa PET
RESUMO
Durante anos, o estudo dos números e seus conjuntos levaram a grandes revoluções na
Matemática. Um tipo particular que causou questionamentos e até revoltas foi a
descoberta dos números irracionais. A complexidade da compreensão de tais números
ocorre porque não é possível obter com precisão todas as casas decimais de tais
números, já que são infinitas e não possuem padrão. Assim, toda grandeza que possui
um número irracional como valor não é precisa, pois todos os instrumentos de medição
possuem naturalmente precisão finita e um erro associado. Entre os números irracionais,
o mais famoso e com diversas aplicações é o π. O trabalho constará de uma breve nota
histórica que inclui fatos curiosos, como, por exemplo, a grande revolta dos Pitagóricos
com a diagonal do quadrado de lado unitário, e o assassinato de um indivíduo por ter
revelado à população tal número “inexistente”. Continuamente, será introduzida a ideia
de um número irracional, e, para concluir a parte teórica, será apresentado o número π.
Finalmente, haverá uma parte prática para calcular uma estimativa de tal número de
uma maneira curiosa, criativa e nada intuitiva: arremessando palitos de fósforo em uma
tábua! A probabilidade dos palitos caírem de uma maneira específica converge para π,
logo, os participantes irão arremessar os palitos e, após uma operação simples, obterão
uma aproximação de π. Tal maneira deverá instigar os alunos a conhecer mais
profundamente os números Irracionais e, consequentemente, os reais, além de criar uma
oportunidade de trabalhar com este número fascinante de maneira inovadora e
inesperada. Palavras-chave: Irracionais, π, aproximações, criatividade, probabilidade.
Público-alvo: Professores da educação básica, estudantes do ensino médio e da
educação de jovens e adultos.
OBJETIVOS
2
Desenvolver o pensamento abstrato subjacente ao conceito de números irracionais de
maneira criativa, utilizando uma abordagem simples e curiosa de um problema de
probabilidade, de modo a despertar o interesse dos participantes no aprofundamento do
tema.
JUSTIFICATIVA
Uma grande dificuldade é apresentada no ensino dos conjuntos numéricos, em
particular, àqueles que dependem de frações para o seu entendimento. Por isso, este
trabalho apresenta uma maneira lúdica e diferente de explicar os números irracionais
para alunos do Ensino Médio e Ensino Fundamental. Além disso, apresenta uma
fundamentação teórica e uma proposta de discussão em sala de aula de um problema
que exige criatividade e raciocínio para a solução, explorando a metodologia do
trabalho em grupo e o desenvolvimento das habilidades de construção de argumentos
consistentes e de raciocínio lógico, que são fundamentais no processo ensino-
aprendizagem de matemática.
METODOLOGIA DO MINICURSO
Inicialmente será apresentada uma breve nota histórica, com fatos curiosos, para
motivar os participantes acerca do tema que será desenvolvido. Em seguida, será feita
uma breve formalização conceitual, utilizando a diagonal do quadrado para exemplificar
um número irracional e sua utilidade. Em seguida, levantaremos a questão da
quantidade de números irracionais entre os números reais, e responderemos tal pergunta
com a afirmação sem prova formal de que entre dois números racionais há sempre pelo
menos um irracional e que para algum irracional, o produto do mesmo - ou a soma - por
outro racional continua sendo irracional, explicando então que os números irracionais
não são exceções na reta. Continuaremos com o mínimo de formalismo para o
desenvolvimento da atividade, para não desviar o foco do minicurso, que é a
apresentação dos números irracionais e de uma maneira inovadora de calcular uma
aproximação do π. Após a apresentação teórica, uma discussão com os alunos é
iniciada, com o objetivo de fomentar a curiosidade e as dificuldades de se trabalhar com
tais números. “Por que seu valor não pode ser precisamente obtido?”, “Como os usamos
no dia a dia?”, “Qual a importância de tais números?”, “Como trabalhamos com eles e
por que deveríamos aprender mais sobre eles?”. Tais perguntas não possuem uma
resposta fechada, e, por isso, serão usadas para criar um debate e, assim, explorar o
3
desenvolvimento do pensamento matemático.
Finalmente, haverá uma divisão da sala em grupos de cinco pessoas e, sem
aprofundar formalmente em conceitos relativos à probabilidade, especificamente no que
diz respeito à aplicação do Método de Monte Carlo, será apresentada uma tábua com
listras paralelas verticais para cada grupo e será proposta uma atividade de arremesso de
palitos para obter uma estimativa do número π. A discussão será feita em conjunto,
começando nos grupos menores, de cinco indivíduos e, em seguida, estendendo-se para
toda a turma. O trabalho será concluído com uma proposta de transposição didática do
tema e sugestões de material para uso em sala de aula pelos professores.
ATIVIDADES QUE SERÃO REALIZADAS
Como explicado anteriormente, o estudo envolverá uma introdução histórica,
seguida de fundamentação teórica e realização de uma atividade prática. Essa atividade
é a de arremesso de palitos de fósforos numa tábua com listras verticais paralelas. É
sabido que ao se arremessarem palitos nessa tábua, a probabilidade dos palitos pararem
nas listras é uma fração π (ou seja, para um número suficientemente grande de eventos,
a fração dos casos favoráveis sobre o total de casos converge para π). Assim, ao
lançarmos 50 palitos e contarmos a quantidade deles que cortam as listras em relação ao
total arremessado, obtemos uma boa aproximação racional do número π com uma certa
margem de erro, o qual, após três arremessos, costuma ser inferior a 0,01, mostrando,
assim, uma maneira de obter tal número apenas com eventos aleatórios. Tal situação,
além de inusitada e criativa, demonstra que o número π não está associado apenas à
circunferência, como tradicionalmente se justifica, mas também a eventos aleatórios.
Isso responde uma das perguntas feitas inicialmente.
Finalmente, haverá uma atividade de discussão sobre a viabilidade de utilização
dessas ideias em sala de aula e qual seria a melhor forma de se fazer a transposição
didática. A proposta apresentada utiliza materiais de fácil acesso e, ao mesmo tempo, de
grande impacto, o que sugere a possibilidade real de aplicação em aulas de matemática.
REFERÊNCIAS
Bortolossi, Humberto, Números (Pseudo) Aleatórios, Probabilidade
Geométrica, Métodos de Monte Carlo e Estereologia, Universidade Federal
Fluminense, Artigo Klein, 2011
Sociedade Brasileira de Educação Matemática – Regional Distrito Federal 23 a 25 de setembro de 2011
O PROBLEMA DE LOCALIZAÇÃO DE FERMAT
Guy Grebot ([email protected])
Departamento de Matemática-UnB
Diego Otávio Rodrigues ([email protected] )
Departamento de Matemática-UnB
Rachel Saffir A. Alves ([email protected])
Departamento de Matemática-UnB
RESUMO
O minicurso apresenta a resolução geométrica do problema de localização de Fermat-
Weber através da metodologia de resolução de problemas. Ao longo das atividades, o
aluno é levado a resolver problemas cada vez mais complexos com técnicas diferentes,
levando-o a consolidar conceitos geométricos e construir novos conhecimentos. A
argumentação e a demonstração são focos do minicurso.
PALAVRAS CHAVE: geometria; resolução de problemas; experiência em matemática
PÚBLICO-ALVO: Alunos e professores do ensino básico.
OBJETIVOS E JUSTIFICATIVA
O problema de localização de Fermat-Weber deve seu nome ao matemático
francês que propôs o seguinte problema: dados três pontos não colineares, determinar
um ponto tal que a soma das distâncias desse ponto aos três vértices do triângulo seja
mínima. Este problema recebeu a atenção de vários matemáticos eminentes como o
próprio Fermat, Torricelli, Cavalieri e vários outros. Hoje em dia, aplica-se este
problema em questões de infraestrutra, abastecimento, segurança e saúde. Por exemplo,
a localização de um hospital ou de um centro de saúde numa determinada localidade,
decorre da solução deste problema. No entanto, na escola ninguém ouve falar do
problema de localização e da sua importância; por que será? Os aspectos geométricos
que o estudo deste problema permite abordar são simples e fazem parte currículo do
ensino básico. Apesar dos PCN (Parâmetros curriculares nacionais - PCN:1998, 1999)
assinalarem a importância do ensino de geometria, raros são os professores que se
2
preocupam com a introdução desta disciplina e, com isso, vemos gerações de alunos
privados dos conhecimentos básicos e do raciocínio geométrico, que foi tão importante
para o desenvolvimento da nossa sociedade. O minicurso apresentado faz parte de uma
sequência didática elaborada no âmbito do programa institucional de bolsas de iniciação
à docência – PIBID-MAT/CAPES e tem como objetivo a introdução de conceitos
simples de geometria euclidiana em turmas do nível básico. Ao longo das atividades, os
alunos são questionados e levados a demonstrar relações métricas. As demonstrações
exigem o desenvolvimento da capacidade de argumentação e de expressão oral e escrita.
METODOLOGIA DO MINICURSO
Segundo os PCN, a metodologia de resolução de problemas em matemática
(Allevato e Onuchic: 2006) deveria ser utilizada nas aulas de matemática porque
permite desenvolver no aluno uma atitude de enfrentamento de problemas e tomada de
decisões, o que ele será levado a fazer ao longo de sua vida. Além disso, ela favorece o
pensamento organizado e com autonomia. As atividades descritas abaixo seguem esta
metodologia já que o nosso objetivo é o desenvolvimento da argumentação lógica e a
articulação de conhecimentos para a solução de um determinado problema.
MINICURSO
Problema: Dada a localização das lâmpadas no teto da casa (laje), precisamos
determinar um ponto tal que a soma dos comprimentos dos cabos seja mínima de forma
a gastar o mínimo com a instalação.
Enunciado matemático do problema: dados n pontos no plano, determinar um
ponto P tal que a soma das distância dos pontos dados a esse ponto seja mínima. Este
ponto é chamado ponto de Torricelli.
Atividade 1:
1. Dados dois pontos A e B qual deve ser a posição de P de forma que AP+BP seja
mínima.
2. Dados os 3 pontos A, B e C colineares qual deve ser a posição de P de forma que
AP+BP+CP seja mínima.
Atividade 2: Trace um triângulo ABC com ângulos internos menores ou iguais a 120o.
1. Escolha e marque um ponto P no interior de ABC. Trace os segmentos AP, BP e
CP.
3
2. Trace a imagem P' de P pela rotação de 60o
no sentido ABC em torno de B. O
que pode ser afirmado a respeito dos segmentos BP', PP' e BP?
3. Trace a imagem A' de A pela rotação de 60o no sentido ABC em torno de B. O
que pode ser afirmado a respeito dos segmentos BC' e BC? O que podemos
dizer a respeito de PC e P'C'?
4. Qual é a relação entre as somas AP+BP+CP e AP+PP'+P'C'?
5. Qual deve ser a condição para que AP+PP'+P'C' seja mínima?
6. Porque consideramos rotações de 60o nos itens 2 e 3?
Atividade 3:
1. Repita a atividade 2 considerando um triângulo ABC com ângulo em B maior ou
igual a 120º.
2. O que você observa a respeito da posição do segmento BC' em relação à reta
AB?
3. Explique porque o ponto P tal que AP+BP+CP seja mínima deve ser o ponto B?
Atividade 4:
1. Considere um retângulo ABCD. Encontre um ponto P tal que AP+PB+PC+PD
seja mínima.
2. Considere um paralelogramo não retângulo ABCD. Encontre um ponto P tal que
AP+PB+PC+PD seja mínima.
3. Considere um trapézio isósceles ABCD. Encontre um ponto P tal que
AP+PB+PC+PD seja mínima.
4. Em todos esses exemplos, qual é a propriedade do ponto P encontrado?
5. Generalize este resultado para um quadrilátero convexo qualquer.
Atividade 5: Considere um quadrilátero PQRS tal que o vértice S esteja no interior de
PQR.
1. Marque um ponto X fora de PQR e trace uma reta L tal que X e PQR estejam de
cada lado dessa reta.
2. Marque o ponto X' que é a projeção ortogonal de X sobre L.
3. O que se conclui a respeito das distâncias de X e X' até os vértices PQR? Como
comparar XP+XQ+XR com X'P+X'Q+X'R?
4. De acordo com o item 3 o que podemos concluir a respeito de um ponto X fora
de PQR em relação a XP+XQ+XR ? Justifique?
4
5. Marque um ponto X no interior de PQR tal que S esteja no interior de PQX. A
semi-reta PS intercepta o segmento XQ? Em caso afirmativo, chamaremos de Y
este ponto de interseção.
6. Verifique que temos PS+QS<=PS+SY+YQ e PY+QX-XY<=PX+QX.
7. Podemos dizer que PS+SY+QY e PY+QX-XY? O que se conclui a respeito de
PX+QX e PS+QS?
8. Por que podemos dizer que vale a desigualdade PS+QS+RS =<
PX+QX+RX+SX?
9. Argumente que para X no interior de PQR temos sempre S contido no interior
de PQX ou RPX ou QRX. Isso mostre que os argumentos dos itens 5, 6, 7 e 8
são gerais?
10. O que se conclui, nesse caso, a respeito do problema da determinação de um
ponto X tal que PX+QX+RX+SX seja mínima.
Atividade 6:
1. Sintetize de forma clara, quais resultados foram obtidos até agora em relação à
resolução do problema proposto.
2. Dados n pontos coplanares, foi mostrado que não é sempre possível construir
com régua e compasso um ponto X tal que a soma das distâncias de X aos n
pontos dados seja mínima (Bajaj: 1988). Isso quer dizer que esse ponto X não
existe?
Atividade 7: Nas atividades abaixo, o ponto P será o ponto de Torricelli do polígono
considerado.
1. Determine o ponto P do triângulo ABC dado.
2. Fixe a folha do item anterior sobre o Referencial de Varignon e movimente o
anel até a posição do ponto P.
3. Meça as distâncias das massas até o referencial. Calcule a soma dessas
distâncias.
4. Mude a posição do anel e meça novamente as distâncias das massas até o
referencial. Calcule a soma dessas distâncias e compare o resultado do item
anterior.
5. Repita o item 4 com outra posição do anel.
5
Atividade 9: O referencial de Varignon.
1. Use o referencial de Varignon para encontrar o ponto P correspondente a um
polígono de cinco lados.
2. Verifique que a posição obtida no item anterior satisfaz as condições desejadas.
3. Como o referencial funciona?
REFERÊNCIAS
BRASIL, Parâmetros Curriculares Nacionais: terceiro e quarto ciclo do ensino
fundamental. Brasília: MEC/SEF, 1998.
BRASIL, Parâmetros Curriculares Nacionais: ensino médio. Brasília: MEC/SEF, 1999.
N.S. G. Allevato e L.R. Onuchic 2006: Ensino-aprendizagem-avaliação de matemática
através da resolução de problemas: uma nova possibilidade para o trabalho em sala de
aula.Actas da VII Reunião de Didática da Matemática do Cone Sul. Águas de Lindóia-
SP.
C. Bajaj 1988: The algebraic degree of geometric optimization problems. Discrete
Comput. Geom. 3: 177-191.
Sociedade Brasileira de Educação Matemática – Regional Distrito Federal 23 a 25 de setembro de 2011
UMA PROPOSTA DE AULA DE GEOMETRIA ESPACIAL COM USO DE
MATERIAIS CONCRETOS
Francisco Ponciano de Melo Filho – FAJESU/DF
Fernando Vieira Barbosa – FAJESU/DF
A geometria é um dos mais antigos domínios da matemática e das
ciências, tanto nas suas dimensões concretas, tratando da aparição das primeiras
produções humanas onde se podem reconhecer elementos da geometria, quanto nas suas
dimensões mais formais em que se tratam as primeiras obras matemáticas. Do ponto de
vista das manifestações formais, “Os Elementos” de Euclides, juntando a maioria dos
resultados geométricos e aritméticos da época num trabalho que seguiu rigorosos
princípios lógico-dedutivos, é reconhecida como a primeira obra matemática.
Do ponto de vista das aparições concretas, sabe-se, por exemplo, que
existem indícios de que tal conhecimento pode ser mais antigo do que a própria escrita.
De acordo com Boyer (1996), podem-se ver esses indícios no período neolítico através
de desenhos e figuras que “sugerem uma preocupação com relações espaciais” (p.5).
Além disso, alguns utensílios utilizados pelo homem desse período também sugerem
“exemplos de congruência e simetria que em essência são partes da geometria
elementar” (ibidem p.5).
No que diz respeito às motivações práticas, o desenvolvimento é
percebido no período neolítico quando o homem deixa a vida nômade e passa a fixar-se
num local. Desse fato decorre que o homem precisou cultivar seu próprio alimento e
desenvolver técnicas de construção para poder abrigar a si mesmo, seus animais e seus
alimentos. Também precisou desenvolver técnicas de tecelagem parra se vestir e
armazenar alimentos. Tais progressos “contribuíram parra o desenvolvimento da
geometria, em especial a tecelagem, visto que as formas dos padrões nela produzidos e
o número de fios necessários para produzi-los são de natureza essencialmente
geométrica” (BERNAL, 1975 citado por PAVANELLO, 1989, p.22).
2
As motivações também poderiam ter sido de ordem lúdica ou
religiosas/exotéricas. De acordo com Boyer (1996), “havia no Egito e na Babilônia
problemas que têm as características de matemática de recreação (...) na prática de
cálculos, que se estendeu por um par de milênios, as escolas de escribas usaram muito
material de exercícios, frequentemente, talvez, como puro divertimento” (p.29). Para os
gregos, as motivações talvez tenham sido mais de ordem formativa, pois “para eles a
matemática se relacionava mais com o amor à sabedoria do que com as exigências da
vida prática” (BOYER, 1996, p.34), e o estudo da geometria conduzia a hábitos de
raciocínio e refinamento da inteligência (PAVANELLO, 1989).
O saber geométrico evoluiu tanto pela criação de objetos e
desenvolvimento de métodos, permitindo a resolução de problemas práticos, quanto
pela reflexão teórica sobre esses objetos e métodos. Portanto, mais que muitos outros
domínios da matemática, as questões de relação entre o sensível e o inteligível
(BKOUCHE, 1990), entre o concreto e o abstrato encontram-se na geometria quase que
de forma permanente, fazendo desse campo um lugar privilegiado para a constituição de
uma racionalidade matemática. Além disso, a geometria, pelas suas múltiplas facetas e
imbricações com outros domínios da matemática, das ciências e das artes, construídos
durante mais de dois mil anos da sua evolução, é, por essência, interdisciplinar. Ela
participa da construção e compreensão de diversos conceitos desses domínios e é um
elemento importante na cultura científica e artística tanto do cidadão comum quanto do
profissional (engenheiro, técnico, etc).
OBJETIVO GERAL
Explorar recursos didáticos para o ensino de geometria espacial.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Produzir, juntamente com os cursistas, recursos didáticos para o
ensino de geometria espacial;
Discutir formas de exploração desses recursos com os cursistas;
Mostrar a importância do ensino de geometria;
Explorar a geometria de forma lúdica e prazerosa;
Mostrar com exemplos práticos, conceitos vistos, em sua maioria,
apenas na teoria.
3
METODOLOGIA
O mini-cursos será oferecido para no máximo 30 cursistas. Os cursistas
serão separados em grupos, de acordo com a quantidade de inscritos no mini-curso. O
desenvolvimento da atividade se dará em 2 momentos:
1º momento:
Apresentação da construção e produção do material utilizado.
2º momento:
Métodos e técnicas para exploração do material produzido.
Todos os recursos didáticos utilizados serão providenciados pelos oficineiros.
PALAVRAS-CHAVE: geometria, lúdico, ensino.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BOYER, C. B. História da Matemática. Prefácio: Isaac Asimov. Tradução: Elza F.
Gomide. 2. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 1996. 496 p.
PAVANELLO, Regina Maria; O abandono do ensino da geometria: uma visão
histórica. 1989. 196 f. Dissertação (Mestrado em Educação – Unicamp), Campinas,
1989.
Sociedade Brasileira de Educação Matemática – Regional Distrito Federal 23 a 25 de setembro de 2011
COMO TRAÇAR UMA RETA SEM RÉGUA?
Thafarel Rodrigues da Costa([email protected])
Departamento de Matemática UnB
Guy Grebot([email protected])
Departamento de Matemática UnB
Andreia Cardoso([email protected] )
Departamento de Matemática UnB
RESUMO
O minicurso apresenta e estuda o mecanismo de Peaucellier através de uma série de
atividades embasadas na metodologia de resolução de problemas. A invenção deste
mecanismo em 1864 pôs um ponto final à procura de mecanismos que permitiam
transmitir um movimento retilíneo. Para o estudo da geometria no nível básico, a
importância deste mecanismo está no fato de permitir a construção de um novo conceito
com base apenas no concito de semelhança de triângulos. As atividades propostas visam
a análise do mecanismo e a determinação dos conceitos matemáticos subjacentes. E são
desenvolvidas seguinte a metodologia de resolução de problemas.
PALAVRAS CHAVE: mecanismos; resolução de problemas; geometria.
PÚBLICO-ALVO: Alunos e professores do ensino básico.
QUANTITADE DE PARTICIPANTES: 30
MATERIAL: papel A3; lápis; borracha; réguas; compassos; mecanismos.
OBJETIVOS E JUSTIFICATIVA
Historicamente, a Matemática se desenvolveu através de experiências e
modelagens suscitadas pelas mais diversas áreas, entre as quais estão as Artes e a Física.
A possibilidade que a Matemática oferece de modelar uma situação e desenvolver a
teoria subjacente independentemente do modelo dado, raramente é explorada em sala
de aula. O objetivo deste minicurso é mostrar como a experimentação em matemática
beneficia o desenvolvimento de conteúdos específicos e como a modelagem pode
facilitar a introdução de conceitos ditos complicados. A experimentação permite dar
2
significado aos conceitos analisados e se enquadra no âmbito da contextualização tão
recomendada nos PCN (Parâmetros curriculares nacionais - PCN: 1998, 1999). No
minicurso, o mecanismo desenvolvido em 1865 pelo engenheiro francês Charles-
Nicolas Peaucellier, é analisado. Este mecanismo, que permite transformar um
movimento circular em movimento retilíneo ou vice versa, chama a atenção pelo uso
engenhoso do conceito de inversão no círculo. Este minicurso foi baseada numa
sequência didática elaborada no âmbito do programa institucional de bolsas de iniciação
à docência – PIBID-MAT/CAPES.
METODOLOGIA DO MINICURSO
O minicurso segue a metodologia de resolução de problemas em matemática
(Allevato e Onuchic: 2006) que, essencialmente, visa o desenvolvimento no aluno da
habilidade de aprender a aprender. Nesta metodologia, o ponto de partida da
aprendizagem está centrado num problema que, no caso do presente minicurso, é o
próprio mecanismo. Por meio de questionamentos, de investigações, de modelagens, os
alunos devem buscar uma solução ao problema. No nosso caso, a solução encontrada
pelos alunos é a construção do conceito de inversão no círculo.
MINICURSO
O uso do vapor para a produção de movimento vem desde a Grécia Antiga, com
Heron de Alexandria, cerca de 100 d.C. Com a “ Revolução Industrial ”, o estudo das
máquinas a vapor foi fortemente estimulado. Mas as máquinas inicialmente
desenvolvidas desperdiçavam muito combustível. Em 1765 James Watt construiu uma
máquina a vapor mais aperfeiçoada que consumia um terço do combustível geralmente
gasto. James Watt então se interessou pelo desenvolvimento de um novo tipo de
máquina, que gerava a rotação de um eixo em lugar de produzir apenas um simples
movimento para cima e para baixo. Para isso observou que era necessário um
dispositivo que transformasse movimento circular em retilíneo. Iniciou-se então o
estudo de tais mecanismos. Os mecanismos que foram desenvolvidos permitiam traçar
aproximadamente uma reta. Em 1876 Peaucellier resolveu essa questão com ajuda da
inversão e idealizou um mecanismo que permite traçar uma reta. Charles-Nicolas
Peaucellier (1832-1913) foi um engenheiro francês que fez carreira no exército. O
3
mecanismo que leva seu nome foi criado em 1864 e foi aplicado com sucesso no
sistema de ventilação do parlamento inglês em Londres.
ATIVIDADE 1
O mecanismo de Peaucellier é constituído por 7 hastes:
a) Quatro delas (AQ, QB, BP e PA) de mesmo comprimento b, formando
um losango, AQBP.
b) Duas (AO e BO) de mesmo comprimento a, com a>b, articuladas no
ponto O (fixo),e estão ligadas a dois vértices opostos do losango,A e B.
c) A ultima (O'Q) é acrescentada para forçar o ponto Q a percorrer a
circunferência que passa por O,tal que QO'=OO' em que O' é um ponto fixo.
1. Trace um esquema que traduza a montagem descrita acima.
2. Monte o mecanismo descrito. Como estamos lidando com um mecanismo, ele
deve ser montado de forma a funcionar da melhor forma possível; assim, ele não
pode ser “capenga”!
3. Utilizando o mecanismo de Peaucellier (montado no item anterior) verifique a
trajetória do ponto P, fixando os pontos O' e O.
ATIVIDADE 2
Considere o losango APBQ e o quadrilátero OAPB.
1. Determine a interseção E das diagonais do losango APBQ.
2. O que se conclui a respeito dos pontos O, Q e P.
3. O que podemos dizer dos triângulos AEQ e OEA?
4. Determine os comprimentos de OA e de QA em função de QE, EA e EO.
5. Como expressar OE em função de OQ e QE e como expressar QP em função
de QE?
6. Expresse OQ.OP em termos de AO e AQ com base nos itens anteriores.
7. Como se relacionam os pontos O, P e Q?
4
ATIVIDADE 3
1. Construa uma circunferência C de centro O e raio r e marque um ponto
qualquer não pertencente a C. Trace a semirreta OQ e chame de T o
ponto de interseção desta semirreta com C. Escolha um ponto R de C não
pertencente à reta OQ e trace a semirreta O R .
2. Trace o segmento QR . Trace uma paralela a QR passando por T. Seja R' é a
interseção desta paralela com o a semirreta OR. O que podemos afirmar a
respeito dos triângulos OQR e OTR'?
3. De acordo com o item anterior, determine o comprimento de OR' em função
de OQ e OR?
4. Em função do que precede, como podemos relacionar OQ com OQ' em
que Q' pertence à semirreta OQ e OQ' = O R' ?
Atividade 4
1. Construa uma circunferência C de centro O e raio r e marque um ponto
qualquer exterior a C. Trace a semirreta OQ.
2. Trace as tangentes a C que passam por Q. Nomeie os pontos de tangência de
L e L'.
3. Trace o segmento LL'. Este segmento intercepta OQ em um ponto P.
4. Como escrever PL em função de OP e ?
5. Como escrever PL em função de OP e r?
6. Como escrever PQ em função de OP e OQ ?
7. A partir dos 3 itens anterior, como podemos relacionar OP , OQ e r?
8. Como você relaciona essa atividade com a anterior?
9. Dado o ponto P, o ponto Q construído nessa a na atividade anterior está bem
determinado? A relação obtida no item 7 determina uma função que leva P em
Q?
ATIVIDADE 5
Use lápis de cor para realizar as construções.
5
1. Construa uma circunferência C de centro O e raio r e uma circunferência C'
de centro O' que passa por O.
2. Marque sobre C' o ponto Q que está diametralmente oposto a O.
3. Construa o inverso P de Q ,com relação a C.
4. Construa uma reta que passa por O. Ela intercepta C' num outro ponto L.
5. Construa o inverso L' de L em relação a C'.
6. O que podemos dizer a respeito dos ângulos e ∢ L'OP ?
7. Qual é a relação entre os triângulos OQL e OL'P?
8. Qual é a medida do ângulo OLQ ? E do ângulo OPL'
9. Repita os itens 4, 5, 6, 7 e 8 para outra reta passando por O e que intercepta C'
em outro ponto .
10. Mostre que P, L' e M' são colineares.
11. Em função do que foi visto, qual propriedade pode ser enunciada a respeita
da função criada no item 9 da atividade anterior?
ATIVIDADE 6
Pesquisa a respeito de inversão no círculo.
REFERÊNCIAS
www.ci.esapl.pt/...questao...Mecanica/quest_mat_mecanica.pdf
BRASIL, Parâmetros Curriculares Nacionais: terceiro e quarto ciclo do ensino
fundamental. Brasília: MEC/SEF, 1998.
BRASIL, Parâmetros Curriculares Nacionais: ensino médio. Brasília: MEC/SEF, 1999.
N.S. G. Allevato e L.R. Onuchic: Ensino-aprendizagem-avaliação de matemática através
da resolução de problemas: uma nova possibilidade para o trabalho em sala de
aula.Actas da VII Reunião de Didática da Matemática do Cone Sul. Águas de Lindóia-
SP, 2006.
Sociedade Brasileira de Educação Matemática – Regional Distrito Federal 23 a 25 de setembro de 2011
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DO CAMPO ADITIVO: ASPECTOS DA
TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS
Juliane do Nascimento
FCT/UNESP – Câmpus de Presidente Prudente
RESUMO
Este minicurso tem por objetivo abordar a resolução de problemas do campo aditivo nos
anos iniciais do ensino fundamental tendo como base a teoria dos campos conceituais de
Vergnaud. De acordo com essa teoria são vários os fatores que interferem e influenciam
no desenvolvimento e na formação dos conceitos, sendo o conhecimento conceitual
originado a partir de situações-problemas. Os conceitos matemáticos, só adquirem
sentido a partir de uma variedade de situações que são vivenciadas pelos sujeitos.
Nessa perspectiva, um campo conceitual pode ser então compreendido como o conjunto
de situações que envolvem o domínio de vários conceitos de naturezas diferentes. A
aprendizagem de um campo conceitual, está assim relacionada a capacidade de resolver
diferentes situações-problemas, o que vai além de simplesmente saber resolver cálculos
numéricos. Isso implica reconhecer que uma mesma operação aritmética pode estar
associada a diferentes ideias em uma situação-problema. A competência para resolver
problemas do campo aditivo requer tempo e precisa ser desenvolvida ao longo de todo
ensino fundamental. Para tanto, desenvolver um trabalho com resolução de problemas
do campo aditivo implica em oferecer ao aluno diferentes tipos de situações que
envolvam diferentes modos de raciocinar. Implica também considerar que adição e
subtração pertencem a um mesmo campo conceitual e, portanto estão intimamente
relacionadas. As atividades que serão desenvolvidas no minicurso visam dessa forma,
apresentar e discutir aspectos da teoria dos campos conceituais para o trabalho com
resolução de problemas do campo aditivo; analisar os diferentes raciocínios envolvidos
nas situações-problemas e apresentar e discutir as classes de problemas identificadas por
Vergnaud.
Palavras-chave: teoria dos campos conceituais; resolução de problemas; campo
aditivo.
INTRODUÇÃO
De acordo com a teoria dos Campos Conceituais são vários os fatores que
interferem e influenciam no desenvolvimento e na formação dos conceitos, sendo o
conhecimento conceitual originado a partir de situações-problemas.
2
Um dos pressupostos dessa teoria “[...] é entender que a compreensão de um
conceito, por mais simples que seja, não emerge apenas de um tipo de situação, assim
como uma simples situação sempre envolve mais que um único conceito” (MAGINA et
al. 2001, p.7). Isso significa que os conceitos matemáticos só adquirem sentido
mediante uma variedade de situações que são vivenciadas pelo sujeito, do mesmo modo
que não podem também ser tomados isoladamente, mas devem estar inter-relacionados
com o conjunto de situações.
Assim, é preciso compreender que cada conceito se desenvolve dentro de um
campo conceitual. O campo conceitual pode ser definido como “[...] um conjunto de
situações cuja apropriação requer o domínio de vários conceitos de naturezas
diferentes” (MAGINA et al. 2001, p. 10). E para o desenvolvimento de um campo
conceitual é preciso que este seja associado à resolução de problemas. A complexidade
de um problema é determinada por sua estrutura, pelo contexto envolvido e pela
característica numérica dos dados apresentados, mas que se encontram também
estreitamente relacionados ao nível cognitivo dos alunos.
Nessa perspectiva o campo aditivo, pode ser compreendido como um campo
conceitual mais amplo que envolve vários conceitos referentes à adição e subtração. Por
serem da mesma natureza, essas operações estão relacionadas. Por exemplo, para
resolver a situação-problema: “Estou na página 64 de um livro de 80 páginas. Quantas
me faltam para terminá-lo?” A criança pode usar tanto a adição quanto a subtração para
encontrar o resultado, assim como também pode usar estratégias e procedimentos que
estejam associados ou a adição ou a subtração. As duas operações são dessa forma,
adequadas para resolver o problema, portanto, pertencem a um mesmo campo
conceitual.
De acordo com Magina et al. (2001), para dominar um campo conceitual, nesse
caso, as estruturas aditivas, os alunos precisam ser capazes de resolver diferentes
situações-problemas, o que vai além de simplesmente saber resolver cálculos
numéricos. Dentro do campo das estruturas aditivas se encontram diferentes conceitos,
entre eles: o conceito de adição; o conceito de subtração; o conceito de transformação
de tempo (ganhou, perdeu, “quanto possuía antes”, “quanto tem agora”...); as relações
de comparação (“quem tem mais”; “quanto a mais”; “quanto a menos”...); composição
de quantidades; conceito de medidas (por exemplo, 11 é maior que 7, que é maior que
4).
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Para que a criança domine conceitos referentes à adição e subtração, é preciso
que haja o desenvolvimento de um trabalho com o campo aditivo desde os anos iniciais
do ensino fundamental. Esse trabalho ainda implica em oferecer a ela diferentes tipos de
situações-problemas que envolvam diferentes modos de raciocinar. Dessa forma, o
minicurso foi organizado levando em consideração a importância da discussão do tema
para os professores que atuam nos anos iniciais. Para tanto, utiliza como referencial
teórico a obra de Magina et al (2001).
OBJETIVO
Este minicurso tem como objetivo abordar o ensino e a aprendizagem de
problemas do campo aditivo nos anos iniciais do ensino fundamental tomando como
base a teoria dos campos conceituais de Vergnaud.
METODOLOGIA E DESENVOLVIMENTO DAS ATIVIDADES
A metodologia a ser utilizada no minicurso é a expositivo-dialogada. Para atingir
o objetivo proposto primeiramente será apresentado alguns aspectos da teoria dos
campos conceituais e as contribuições dessa teoria para o ensino e a aprendizagem da
resolução de problemas do campo aditivo.
Dando continuidade as atividades, a discussão se dará em torno dos primeiros
conhecimentos que as crianças constroem em relação à adição e subtração. Assim, de
modo a levar a compreensão de que a adição e a subtração são operações de mesma
natureza, serão analisadas estratégias utilizadas por crianças na resolução de problemas.
O material a ser utilizado será extraído do caderno “PCN na escola de Matemática –
vol.1” (BRASIL, 1998).
Considerando que ensinar o conceito de adição e subtração requer um trabalho
voltado para o desenvolvimento conceitual, que envolva os diferentes raciocínios, uma
vez que “[...] a experiência é um dos fatores mais importantes do processo de
aprendizagem e a experiência só pode ser adquirida com a familiarização, a prática”
(MAGINA et al. 2001, p.23) serão apresentadas e discutidas quatro das cinco categorias
de problemas do campo aditivo apresentadas por Vergnaud. A análise de cada categoria
de problemas do campo aditivo visa elucidar as diferentes ideias e raciocínios
relacionados à adição e subtração e que precisam ser construídos pela criança para que
ela possa ampliar os conhecimentos referentes a essas operações.
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Os problemas do campo aditivo são classificados em:
Problemas de Combinação;
Problemas de Transformação;
Problemas de Comparação;
Problemas de Composição de Transformações;
Problemas de Estados Relativos.1
Nos problemas de composição, as situações envolvem a relação parte-todo, em
que é preciso juntar uma parte com outra parte para se obter o todo ou subtrair uma
parte do todo para se obter a outra parte. Por exemplo: “Numa caixa há 7 chocolates
amargos e 8 chocolates brancos. Quantos chocolates há nessa caixa?” O raciocínio
envolvido nesse problema pode ser representado pela figura1.
Figura 1. Representação do raciocínio envolvido em problemas de composição.
Nos problemas de transformação, as situações envolvem sempre uma ideia
temporal. No estado inicial tem-se uma quantidade. Essa quantidade se transforma, pois
sofre uma perda ou ganho; acréscimo ou decréscimo, alterando o estado final, que
termina com outra quantidade. Assim, os problemas de transformação podem ser
positivos ou negativos.
Exemplo de problema de transformação positiva: “João tinha 15 bolinhas de
gude. Ganhou 5 de seu primo.Quantas bolinhas de gude ele tem agora?”
1 São cinco as categorias de problemas do campo aditivo identificadas por Vergnaud. Contudo, nesse
minicurso serão discutidas apenas quatro dessas categorias, por uma delas não ser abordada nos anos
iniciais.
5
Figura 2. Representação do raciocínio envolvido em problemas de transformação positiva.
Exemplo de problema de transformação negativa: “João tinha 12 bolinhas de
gude, mas perdeu 5. Quantas bolinhas de gude ele tem agora?”
Figura 3. Representação do raciocínio envolvido em problemas de transformação negativa.
Nos problemas de comparação, as situações envolvem a comparação entre duas
quantidades, sendo uma delas denominada de referente e a outra de referido. O referente
é a quantidade que é tomada como referência no problema, para se obter a quantidade
desejada, que representa o referido através de uma relação que deve ser estabelecida.
Exemplo de problema de comparação: “Marcos tem 25 selos e Maria tem 7 a
mais do que ele. Quantos selos Maria tem?”
Figura 4. Representação do raciocínio envolvido em problemas de comparação.
Nos problemas de composição de transformações, duas transformações são
compostas para formar uma terceira. Esses problemas podem ter diversas variações,
podendo apresentar duas transformações positivas, duas transformações negativas ou
mesmo uma transformação positiva e outra negativa.
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Exemplo de problema de transformação positiva-positiva: “Hoje pela manhã
ganhei 15 figurinhas e à tarde ganhei 9. Quantas figurinhas ganhei hoje?”
Exemplo de problema de transformação negativa-negativa: “Hoje pela manhã
ganhei 16 figurinhas e à tarde dei 7 ao meu irmão. O que aconteceu com minhas
figurinhas hoje?”
Exemplo de problema de transformação positiva-negativa: “Hoje pela manhã
dei 9 figurinhas a meu irmão e à tarde dei 7 a meu primo. O que aconteceu com minhas
figurinhas hoje?”
A partir dos esquemas de raciocínio envolvido em cada classe de problemas do
campo aditivo, serão discutidas e analisadas as variações e extensões que podem ocorrer
em cada classe, uma vez que, os problemas podem apresentar diferentes níveis de
complexidade, dependendo das situações que são elaboradas. Essa complexidade surge
quando há a mudança no lugar da incógnita e a busca por estados iniciais e
intermediários no problema. Dessa forma, busca-se por meio do minicurso propiciar a
reflexão sobre ensino e aprendizagem de problemas do campo aditivo, bem como
oferecer subsídios para a prática do professor.
REFERÊNCIAS
BRASIL. MEC/SED/SEF. Cadernos da TV Escola: PCN na escola. Brasília: 1998.
MAGINA, S. et al. Repensando adição e subtração: contribuições da Teoria dos
Campos Conceituais. São Paulo: PROEM, 2001.