1.- Definicin de:Modelo: Unmodeloes una abstraccin terica del mundo real que tiene dos utilidades fundamentales: Reducir la complejidad, permitindonos ver las caractersticas importantes que estn detrs de un proceso, ignorando detalles de menor importancia que haran el anlisis innecesariamente laborioso; es decir, permitindonos ver el bosque a pesar del detalle de los rboles. Hacer predicciones concretas, que se puedan falsar mediante experimentos u observaciones. De esta forma, los modelos dirigen los estudios empricos en una u otra direccin, al sugerir qu informacin es ms importante conseguir.Modelo Matemtico: Un modelo matemtico describe tericamente un objeto que existe fuera del campo de las Matemticas. Su xito o fracaso depende de la precisin con la que se construya esta representacin numrica, la fidelidad con la que se concreticen hechos y situaciones naturales en forma devariablesrelacionadas entre s.

Ejemplos: Las previsiones del tiempo y los pronsticos econmicos, por ejemplo, estn basados en modelos matemticos. El tamao de una poblacin. La demanda por un producto. La rapidez de la cada de un objeto. La concentracin de un producto en una reaccin qumica. La expectativa de una persona cuando nace. La variacin del rea de un terreno de acuerdo a sus dimensiones.

2.- Definir los siguientes temas:a) Ecuaciones Lineales: Sabemos que unaecuacin lineal o de primer gradoes aquella que involucra solamente sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia (elevadas a uno, que no se escribe). Son llamadas lineales por que se pueden representar como rectas en el sistema cartesiano.Ejemplos Matemticos: 3x -5 = 7 3x - 5+ 5= 7+ 5 3x + 0 = 12 (1/3) 3x =(1/3) 12 x = 12/3 = 4Ejemplos de Aplicacin en la Ingeniera: El lgebra lineal es la rama de las matemticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque ms formal, espacios vectoriales, y transformaciones lineales.Es un rea activa que tiene conexiones con muchas reas dentro y fuera de las matemticas como anlisis funcional, ecuaciones diferenciales, investigacin de operaciones, grficas por computadora, ingeniera, etc.Formas de Solucin: Mtodo de Reduccin. Mtodo de Igualacin. Mtodo de Sustitucin. Mtodo de Gauss. Mtodo de la Matriz Inversa. Regla de Cramer.b) Ecuaciones No Lineales: Es cualquier ecuacin que tenga alguna variable elevada al cuadrado, cubo, etc., las ecuaciones no lineales, forman otras figuras, por ejemplo una parbola o una hiprbola, pero nunca una lnea. Un ejemplo de una no lineal es: 2x2 + 4y3 = 14.Ejemplos Matemticos: Formas de Solucin: Los mtodos numricos deresolucin de ecuacionesno lineales suelen ser mtodositerativosque producen unasucesinde valores aproximados de la solucin, que se espera, que converja a la raz de la ecuacin. Estos mtodos van calculando las sucesivas aproximaciones en base a los anteriores, a partir de una o varias aproximaciones iniciales.c)Sistemas de Ecuaciones Lineales: Enmatemticasylgebra lineal, unsistema de ecuaciones lineales, tambin conocido comosistema lineal de ecuacioneso simplementesistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales(es decir, unsistema de ecuacionesen donde cadaecuacines de primer grado), definidas sobre uncuerpoo unanillo conmutativo.Ejemplos Matemticos: Ejemplos de Aplicacin en la Ingeniera: La solucin de los sistemas de ecuaciones lineales encuentra una amplia aplicacin en la ciencia y la tecnologa. En particular, se puede afirmar, que en cualquier rama de la Ingeniera existe al menos una aplicacin que requiera del planteamiento y solucin de tales sistemas. Es por eso, que dentro de los planes de estudio de las carreras de ingeniera se incluya el tema solucin de sistemas de ecuaciones lineales mediante el mtodo de Gauss-Jordn, por las ventajas que ste ofrece.

Formas de Solucin: Mtodo de Reduccin. Mtodo de Igualacin. Mtodo de Sustitucin. Mtodo de Gauss. Mtodo de la Matriz Inversa. Regla de Cramer.d) Sistema de Ecuaciones No Lineales: Enmatemticas, lossistemas no linealesrepresentan sistemas cuyo comportamiento no es expresable como la suma de los comportamientos de sus descriptores. Ms formalmente, un sistema fsico, matemtico o de otro tipo es no lineal cuando lasecuaciones de movimiento, evolucin o comportamiento que regulan su comportamiento son no lineales.Ejemplos Matemticos: Despejamos la variable x en la primera ecuacin:x + y = 10x = 10 - ySustituimos en la segunda ecuacin:x2+ y2= 68(10 - y)2+ y2= 68100 - 20y + y2+ y2= 682y2- 20y + 32 = 0Simplificamos la ecuacin dividiendo entre 2 :y2- 10y + 16 = 0y=-(10)(10)2-411621=10362=1062={y=8y=2

Si y = 8x = 10 - y = 10 - 8 = 2Si y = 2x = 10 - y = 10 - 2 = 8

El sistema tiene dos soluciones:x1= 2 , y1= 8 ; x2= 8 ,y2= 2Formas de Solucin: La resolucin de estos sistemas se suele hacer por el mtodo de sustitucin, para ello seguiremos los siguientes pasos: 1.- Se despeja una incgnitaen una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer grado. 2.- Se sustituye el valor de la incgnita despejada en la otra ecuacin. 3.- Se resuelve la ecuacinresultante. 4.- Cada uno de los valore obtenidos se sustituyen en la otra ecuacin, se obtienen as los valores correspondientes de la otra incgnita.e) Ajuste de Curvas e Interpolacin: Elajuste de curvasconsiste en encontrar una curva que contenga una serie de puntos y que posiblemente cumpla una serie de restricciones adicionales. Esta seccin es una introduccin tanto a lainterpolacin(cuando se espera un ajuste exacto a determinadas restricciones) y al ajuste de curvas/anlisis de regresin(cuando se permite unaaproximacin).La interpolacin consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que conocemos los valores en los extremos. La forma ms simple de interpolacin consiste en unir dos puntos con una lnea recta. La interpolacin se dir lineal cuando solo se tomen dos puntos y cuadrtica cuando se tomen tres.Ejemplos Matemticos: Enestadsticalaregresin linealoajuste lineales unmtodomatemticoquemodelala relacin entre una variable dependienteY, lasvariables independientesXiy un trminoaleatorio. Este modelo puede ser expresado como:

: Variable dependiente, explicada o regresando.: Variables explicativas, independientes o regresores.: Parmetros, miden la influencia que las variables explicativas tienen sobre el regresando.Dondees la interseccin o trmino "constante", lasson los parmetros respectivos a cada variable independiente, yes el nmero de parmetros independientes a tener en cuenta en la regresin. La regresin lineal puede ser contrastada con laregresin no lineal.

Un problema clsico de la matemtica, se plantea al querer calcular el valor de una funcin en un punto cuando no se conoce la funcin o incluso cuando la funcin no existe, conocindose nicamente una serie de puntos. La resolucin aproximada del problema consiste en encontrar una funcin fcil de construir y de evaluar, que coincide con la funcin objeto del problema con los datos de que se dispone. Se dice que la funcin as construidainterpolaa la funcin dada con respecto a los datos.Se trata de determinar fundamentalmente dos cosas:1.Los datos que se desea que sean comunes a la funcin desconocida y a lafuncin interpoladora.2.Que tipo de funcin se va a utilizar comofuncin interpoladoraofuncin de interpolacin.Formas de Solucin: Interpolacin Polinomica de Lagrange. Mtodo Matricial. Polinomio de Interpolacin de Newton.f) Integracin numrica: La integracin numrica constituye una amplia gamma para calcular el valor numrico de una integral definida y, por extensin, el trmino se usa a veces para resolver ecuaciones diferenciales. Cuando se aplican integrales de una dimensin o el caso de integrales mltiples tambin se le puede llamar cuadratura numrica.Ejemplos Matemticos: El problema bsico considerado por la integracin numrica es calcular una solucin aproximada a la integral definida:

Formas de Solucin: Regla del Rectngulo. Regla del Punto Medio. Regla de Simpson. Reglas Compuestas.f) Derivacin numrica: Es una tcnica de anlisis numrico para calcular una aproximacin a la derivada de una funcin en un punto utilizando los valores y propiedades de la misma.Ejemplos Matemticos: Estimar la derivada en x=0.5 usando diferencias divididas finitas y un tamao de paso: h=0.25

La diferencia hacia adelante de exactitud O(h2)se calcula como sigue:

La diferencia hacia atrs de exactitud O(h2)se calcula como sigue:

La diferencia centrada de exactitud O(h4)se calcula como sigue:

g) Ecuaciones Diferenciales Ordinarias: Una ecuacin diferencial ordinaria es la que contiene una funcin de una variable independiente y sus derivadas:Una sola variable independiente (a diferencia de las ecuaciones diferenciales parciales de varias variables), y una o ms de sus derivadas respecto de tal variable.Ejemplos Matemticos:Separando las variables obtenemos:

E integrando con respecto a x llegamos a:

Ejemplos de Aplicacin en la Ingeniera: Se utilizan en la fsica, la ingeniera, la economa, la meteorologa y en aplicaciones como las de modelado de ciencias, entre otras.Matemticamente es de mucho inters el conjunto de ecuaciones que satisface la ecuacin y establecen sus soluciones. Solo las ecuaciones diferenciales ms sencillas admiten soluciones dadas por formulas explicitas.Formas de Solucin: Ecuacin de variables separables. Ecuacin exacta. Ecuacin de Bernoulli. Ecuacin de Riccati. Ecuacin de Lagrange. Ecuacin de Clairaut. Ecuacin de Jacobi. Ecuaciones de Bessel. Ecuaciones de Legendre.

h) Ecuaciones Diferenciales Parciales: Las ecuaciones diferenciales parciales son una relacin entre una funcin matemtica de varias variables independientes y las derivadas parciales de una variable dependiente con respecto de estas.Ejemplos Matemticos: Una ecuacin en derivadas parciales para la funcin tiene la siguiente forma:

Ejemplos de Aplicacin en la Ingeniera: Las ecuaciones diferenciales parciales se emplean en la formulacin matemtica de procesos de la fsica y otras ciencias que suelen estar distribuidos en el espacio y el tiempo. Algunos problemas tpicos son la propagacin del sonido, la transferencia de calor, dinmica de fluidos, mecnica cuanta, entre muchos otros.Formas de Solucin: Separacin de Variables.3.- Tabla de Metodos Numericos.TemaMtodo Numrico de Solucin.Ejemplo de Aplicacin en la Ingeniera Qumica.

Ecuaciones Lineales.Se agrega en sistemas de ecuaciones lineales.Un ejemplo de ecuacin lineal en ingeniera qumica, sera la ecuacin de un balance de materia en donde no se conoce alguno de los flujo del proceso:Cantidad de materia que entra al sistema = cantidad de materia que sale del sistemaF= W+S+O

Ecuaciones no Lineales.1.- Mtodo de la secante.2.- Mtodo de las aproximaciones sucesivas.3.- Mtodo regula falsi.En la ingeniera las ecuaciones que definen distintas geometras, son ecuaciones no lineales, as como las ecuaciones que describen el comportamiento de un gas que no es ideal en ingeniera qumica.

Sistemas de Ecuaciones Lineales.1.- Mtodo de Gauss: Consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente. Para ello tomamos lamatriz ampliadadel sistema y mediante lasoperaciones elementalescon sus filas la transformamos en unamatriz triangular superior( oinferior). De esta forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy fcil de resolver.2.- Mtodo de Gauss Jordn: En este mtodo se emplea la matriz ampliada del sistema de ecuaciones y esta se transforma en una matriz diagonal para as obtener la solucin al conjunto de ecuaciones.3.- Mtodo de la Matriz Inversa: Un sistema de ecuaciones lineales se puede escribir enforma matricial:

En cualquiera de la ingeniera, se hace uso de sistemas de ecuaciones lineales.En ingeniera qumica, un ejemplo comn es generar un sistema de ecuaciones lineales por medio de balances de materia y energa en un evaporador de triple efecto para conocer el valor de los flujos involucrados y las cantidades de calor prdidas o ganadas durante el proceso:1.- Balance de energa en el efecto I.

2.- Balance de energa en el efecto II.

3.- Balance de energa en el efecto III.

En este caso en particular se tienen que calcular 4 incgnitas teniendo 4 ecuaciones.

Sistemas de Ecuaciones No Lineales.1.- Mtodo Grafico.2.- Mtodo de la Biparticin.

En algunas ocasiones al calcular el grado de conversin de una reaccin qumica, se forma un sistema de ecuaciones que tienen que ser resueltas simultneamente para conocer el valor de la conversin.

Ajuste de Curvas e Interpolacin.1.- Mtodo de Biseccin.2.- Mtodo de Regula- Falsi.3.- Mtodo de la Secante.4.- Mtodo de Newton Rhapson.En ingeniera es frecuente disponer de cierto nmero de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un experimento y pretender construir una funcin que los ajuste.Otro problema en ingeniera ligado con la interpolacin es la aproximacin de una funcin complicada por una ms simple. Si tenemos una funcin cuyo clculo resulta costoso, podemos partir de cierto nmero de valores e interpolar dichos construyendo una funcin ms simple.

Integracin y Derivacin Numrica.Integracin Numrica:1.- Mtodo del Trapecio.2.- Regla de Simpson 1/3.Derivacin Numrica:1.- Mtodo por Ajuste de Polinomio.2.- Mtodo por Formulas de Alta Exactitud.3.- Diferenciacin por reas Iguales.

Integracin Numrica: La integracin numrica se emplea en problemas de fisicoqumica para poder determinar el coeficiente de fugacidad ya que este se representa como

Tambin es utilizada para conocer la constante de velocidad especfica de una reaccin y su orden, mediante la integracin de la ecuacin de velocidad y el balance molar.

Derivacin Numrica: Mtodo numrico para conocer a partir de datos experimentales en un reactor.Para un tiempo cero (diferenciacin hacia atrs)(Para un tiempo intermedio (diferenciacin centrada)(Para el tiempo final (diferenciacin hacia adelante)(

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.1.- Mtodo de Heun: Es un mtodo para mejorar la estimacin de la pendiente involucra la determinacin y promediado de dos derivadas para el intervalo (una en el punto inicial y otra en el punto final).En el mtodo deHeunla pendiente calculada en la estimacin previa no es para la respuesta final, sino para una prediccin intermedia. Esta ecuacin es llamadapredictor. Mejora una estimacin deyi+1que permite el clculo de una estimacin de la pendiente al final del intervalo.2.- Mtodo del Punto Medio: Este mtodo usa el mtodo de Euler para predecir un valor de y en el punto medio del intervalo:

Despus de este valor predicho se utiliza para calcular una pendiente en el punto medio:

Que se supone representa una aproximacin vlida de la pendiente promedio en todo el intervalo. Dicha pendiente se usa despus para extrapolar linealmente desde xi hasta xi+1:

La frmula ms simple de integracin abierta de Newton-Cotes, la cual se denomina el mtodo del punto medio, se representa como:

Donde xi, es el punto medio del intervalo (a,b). Usando la nomenclatura del caso actual, lo anterior se expresa:

El mtodo del punto medio es mejor que el mtodo de Euler debido a que utiliza una estimacin de la pendiente en el punto medio del intervalo de prediccin.

Uso de las ecuaciones diferenciales de primer orden para analizar la respuesta transitoria de un reactor.La acumulacin representa el cambio de masa en el reactor por un cambio en el tiempo, en un sistema de volumen constante, esto se formula como:

As, una formulacin matemtica para la acumulacin es el volumen por la derivada de c con respecto a t.La ecuacin se emplea para determinar soluciones transitorias, o variables en el tiempo, para el reactor, por ejemplo si c=co en t=0, se utiliza el clculo para obtener en forma analtica la solucin de la ecuacin anterior.

Si cen = 50 mg/m3 , Q= 5 m3 / min, V= 100 m3 y c0 = 10 mg/m3, la solucin es:

Ecuaciones Diferenciales Parciales.1.- Mtodo de Separacin de Variables: Se refiere a un procedimiento para encontrar una solucin completa particular para ciertos problemas que involucranecuaciones en derivadas parcialescomo serie cuyos trminos son el producto de funciones que tienen las "variables separadas". Es uno de los mtodos ms productivos de la fsica matemtica para buscar soluciones a problemas fsicos descritos mediante ecuaciones diferenciales de derivadas parciales.

El mismo nombre se aplica a la forma de buscar soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias de cierto tipo que permite resolverlas por cuadraturas de funciones que contienen las variables separadas.

En ingeniera qumica en especfico, una ecuacin diferencial muy conocida es la que corresponde a la ecuacin de transferencia de calor por conduccin :

Adems tambin son empleadas en fisicoqumica para conocer las propiedades termodinmicas de las soluciones, como por ejemplo la entalpia, a entropa, energa libre de Gibbs y la energa libre de Helmoltz.

4.- Lenguajes de Programacin que he utilizado y su porcentaje:1.- Lenguaje Java---------- 1%2.- Visual Fox---------------- 2%