sokszínű matematika megoldás 11

Sokszn matematika 11.

A KITZTT FELADATOKEREDMNYE

sszelltotta:

FRHLICH LAJOSgimnziumi tanr

A Kombinatorika, grfok s a Valsznsgszmts, statisztikac. fejezeteket szakmailag ellenrizte:

DR. HAJNAL PTERegyetemi docens

Tartalom

Kombinatorika, grfok .............................................................................................................................. 4

Hatvny, gyk, logaritmus ...................................................................................................................... 21

A trigonometria alkalmazsai ............................................................................................................... 29

Fggvnyek ........................................................................................................................................................ 43

Koordintageometria .................................................................................................................................. 52

Valsznsgszmts, statisztika ..................................................................................................... 62

SOKSZN MATEMATIKA 11 A KITZTT FELADATOK EREDMNYE

4

Kombinatorika, grfok

1. Fibonacci-szmok

1. Legyen an az n-edik lpcsfokra val feljutsok szma. a3 = 3, a4 = 5, a5 = 8, a6 = 13,a7 = 21. Ha az n-edik lpcsfokra lpnk, akkor az utols lpsnk lehetett egylpcss,illetve ktlpcss. Ez alapjn an = an1 + an2. Ebbl addik, hogy an = fn+1.

2. Legyen bn az n szintes hz kifestseinek szma.a) b3 = 5; b) b4 = 8; c) b5 = 13.Ha n szintes a hz (n > 5), akkor kt egymst kizr lehetsg eltt llunk:1) tetszlegesen kifestjk az als n 2 szintet, majd egy kk szint jn, s legfell fehr

szint lesz;2) tetszlegesen kifestjk az als n 1 szintet, s a legfels szint kk sznt kap.Ez alapjn bn = bn2 + bn1. Ebbl addik, hogy bn = fn+2.

Rejtvny: A hiba a bal oldali kpen van. A kprl gy tnik, hogy a piros hromszg tfogjas a trapz egyik oldala kiadja az sszerakott tglalap egyik tljt. Ez azonban nem igaz.Szmoljuk ki a kt szakasz meredeksgt! A bal oldali kpen lthat 169 sszterlet ngyalakzat az tl krnykn egy kicsinyke rszt tbbszrsen fed.

2. Permutcik, varicik

1. a) 4! = 24;b) 4! 3! 2 = 12, mert arra, hogy Bea s Cili egyms mell ljn, 3! 2 fle lehetsg van.A kerek asztal esetn elszr is rtelmezni kell, hogy mikor tekintnk kt lelstklnbznek. Tbb lehetsg van. Ha a ngy pozcit (szket) megklnbztethetnek gondoljuk, akkor brmely ktltetst is meg tudunk klnbztetni, amikor valaki klnbz szkre kerl. Ekkorteljesen j ltetst kapunk, ha mindenki eggyel balra tl. A msodik lehetsg, hogy mindenki megjegyzi, ki l tle balra s jobbra. Ha ez azinformci kt ltets esetn klnbzik, akkor a kt ltetst klnbzeknek tekintjk.Ekkor ha mindenki eggyel balra tl, akkor az j ltetst nem tekintjk az elztlklnbznek. Ha viszont egy ltetst tkrn keresztl nznk (legalbb hrom rsztvevesetn), akkor ms ltetshez jutunk, mert a jobb s bal szomszdsg felcserldik. A harmadik lehetsg, hogy mindenki csak annyit jegyez meg, hogy kik kztt l. (Tehtpldul Anna annyit jegyez meg, hogy Bea s Cili kztt l, de nem tudjuk meg, hogy kil a baljn s ki a jobbjn.) Ekkor egy ltets tkrkpt nem tekintjk j ltetsnek.A megoldsban mi a kzps megllapodssal lnk, azaz az elforgatott lsrendet nemtekintjk klnbznek, de a tkrkpet igen.c) Megkrjk Annt, hogy sorolja fel, ki lt a jobbjn s annak a jobbjn, illetve ki l a bal-

jn. (A krszer lsrendet felvgjuk Annnl, gy a msik hrom rsztvev kzt egysorrendet kapunk.) Ez pontosan lerja az lsrendet. sszesen 3! = 6 lehetsg van.

d) Benak s Cilinek szemben kell lni. Kt lehetsg van aszerint, hogy Anna Beajobbjra vagy baljra l.

52. Minden jegyre 6 lehetsg van, gy 64 fle ngyjegy szm lehet. Minden helyi rtkenmind a 6 szmjegy 63-szor fordul el, gy az sszeg

63(1 + ... + 6) + 63(10 + ... + 60) + 63(100 + ... + 600) + 63(1000 + ... + 6000) == 63 23 331 = 5 039 496.

3. 20 db.

4. 360 = 23 32 5 pozitv oszti a 2a 3b 5c alak szmok, ahol a {0, 1, 2, 3}, b {0, 1, 2}s c {0, 1}. Ez 24 lehetsg. 4800-nak 42, 5484-nek pedig 12 darab pozitv osztja van.

5. A j elhelyezsnl a bstyk klnbz sorba s klnbz oszlopba esnek, azaz mindensorban egy bstya ll (s minden oszlopban is). Az els sor bstyja nyolc helyen llhat.Ezek utn a msodik sor bstyja mr csak ht pozcit foglalhat el s gy tovbb.sszesen 8 7 6 ... 2 1 = 5040 lehetsg van.

6. 9333.

7. 10 db.

8. Az egyes jegyekre a lehetsgek szma 3; 2; 1; 3; 2; 1. gy a szmra 3 2 1 3 2 1 = 36lehetsg van.

9. a) 25 = 32;b) 23 + 23 = 16;c) 23 + 1 = 9;d) legalbb 6 beteg kell.

10. a) 9 10 10 4 = 3600;b) A tanknyv 13. kiadsban:

Csoportostsuk a megszmlland szmokat utols ngy szmjegyk szerint. Erre a ngyszmjegyre 104 lehetsg van. Ezek kzl 94 nem tartalmazza a 3-as szmjegyet,104 94 darab tartalmazza a 3-as szmjegyet.Ezen utbbi lehetsgek kzl brmelyikhez hrom sszeszmlland szm tartozik,hiszen az {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} szmjegyek kzl kell egy elst kivlasztani, s mrcsak a 3-mal val oszthatsgra kell gyelnnk. A 9 kiterjeszts kzl pontosan hromlesz j. Ez 3 (104 94) lehetsg.A 94 darab 3-ast nem tartalmaz vgzds kztt lesznek 3-mal oszthatk s 3-mal nemoszthatk. A hrommal oszthatk 3-mal, 6-tal vagy 9-cel kezdve maradnak 3-maloszthatk. Ahhoz, hogy a 3-as szmjegyet is tartalmazzk, ahhoz a 3-as szmjegyet kella kezdetnl hasznlnunk. Minden ilyen vgzds egy sszeszmlland szmot ad. A 3-mal nem oszthat vgzdsek nem adnak sszeszmlland szmot (ebben az eset-ben a 3-as szmjegy felhasznlsa s a 3-mal val oszthatsg nem sszeegyeztethet).A megolds befejezseknt beltjuk, hogy a 94 darab vgzds kzl pontosan 1/3 94 == 3 93 darab lesz 3-mal oszthat. Ehhez a 3-ast nem tartalmaz vgzdseket utolshrom szmjegyk szerint csoportostjuk. Ezek mindegyike a {0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9}egy elemvel kezdhet, amely kilenc lehetsg kzl pontosan hrom vezet 3-maloszthat eredmnyhez.gy a vlasz: 3 (104 94) + 3 93.


6

A 4. kiadstl:Inkbb azt szmoljuk ssze, amelyik nem tartalmazza a 3-as szmjegyet.Ezek szma 8 94. sszesen 9 104 darab tjegy pozitv egsz szm van a tzes szm-rendszerben.Teht 9 104 8 94 = 37512 darab tjegy szm tartalmazza a 3-as szmjegyet.

Rejtvny: Igen, megszabadulhatnak.A feladatnak kt vltozata van: tudjk, hogy megrkezskkor milyen llapotban van almpa, illetve nem tudjk.Az els vltozat (amikor feltesszk, hogy leoltott lmphoz rkeznek a rabok) egy kicsitknnyebb. Ezzel kezdjk. A rabok kijellnek maguk kzl egy szmllt, aki informcitgyjt s aki az sszes rab stltatst be fogja jelenteni. Az sszes tbbi (99) rab feladata,hogy elkldje azt az informcit, hogy volt mr stlni. Ehhez mindegyikk a kvetkeztteszi: Az els alkalommal, amikor stlni megy s a lmpa nem g, akkor felgyjtja a lm-pt. A felgyjtott lmpa lesz az zenet, hogy mr volt stlni. A tovbbi stlsoknla leoltott lmpt gy hagyja (csak egyszer kld zenetet). Ha a stltatsnl felgyjtottlmpt lt, akkor gy hagyja. (Tudja ugyanis, hogy ez egy zenet, amelyet nem szabadmegzavarni.) Ha a szmllnak kinevezett rab felgyjtott lmpt lt, akkor leoltja (jelzia tbbieknek, hogy jbl vrja az zeneteket), s megjegyzi, hogy egy rab jelzett neki.Amikor 99-szer leoltotta a lmpt (99 rab egy-egy zenete eljutott hozz), akkor bejelenti,hogy mindenki stlt.Ha a rabok nem ismerik a lmpa kezdeti llapott, akkor a fenti megllapods nem leszj. A szmll a 99-edik lmpaolts utn nem tudja, hogy 99 zenetet kapott-e, vagy pedigegyszer leoltotta a kezdetben g lmpt, s csak 98 zenet jutott el hozz. Ebben az eset-ben abban llpodhatnak meg, hogy a szmlln kvl minden rab ktszer zenjen. Azazaz els kt olyan stjn, amikor leoltott lmpval tallkozott, gyjtsa fel azt. (Elfordulhat,hogy a raboskodsa sorn az 1000-edik s 2020202017-edik stja.) Mskor ne tegyensemmit. A szmll 198 lmpaleolts utn jelezzen. Ekkor sem tudja megklnbztetniazt a kt esetet, amikor 198 zenetet kapott, illetve egy kezdeti lmpaolts utn csak 197zenetet gyjttt ssze. Abban azonban biztos lehet, hogy mind a 99 rabtrstl kapottjelzst a stlsrl.

3. Ismtls nlkli kombincik, Pascal-hromszg

1. a) 328

10 518 300 = .

b) A piros hetes mell vlasztunk mg 7 lapot .

c) Az sszes lehetsgbl kivonjuk azok szmt, amelyekben nincs piros.

2. hromszg van, ezek kzl 3 klnbz.

3.

4. Maximum metszspont lehet.122

66 =

325

201376 = .

83

56 =

328

248

9 782 829

= .

317

2 629 575 =

75. Egyeneseinket egyesvel rakjuk le az res skra. Kezdetben egy rszbl ll a sk, majdminden egyenes j skrszeket alkot a korbbiak sztvgsval. Minden j egyenesnl sz-moljuk ssze, hogy legfeljebb hny j skrszt alakt ki: 1 + (1 +2 +3 +4 +5 +6) = 22. Ennyiskrsz ki is alakul, ha egyeneseink kztt nincsenek prhuzamosak, s nincs hrom olyan,amely kzs ponton halad t.

6. a) -fle t. 8 lpsbl 4 db jobbra

lpst vlasztunk.

b) Minden cscshoz odarjuk, hnyflekppenjuthatunk oda. Ez sszesen 48-fle t.

c) 23-fle t.

7.

84

70 = A 1 1

1

1

1

1

1

1

1 1

2

3 3 3 3

4 7 10

10

13

23

2

3

4

1

3

6 6 6

10 16 22

10 26 48

B

b)A

B

c)

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

3

6

10

15

21

28

36

1

4

10

20

35

56

84

1

5

15

35

70

126

1

6

21

56

126

1

7

28

84

1

8

36

1

91

8. A bal fels M-tl kell indulnunk, s 5 lpst kell megtennnk. Minden lpsben 2lehetsgnk van. Teht a h 25-flekppen olvashat le.

9. A testtlk szmolshoz sszeszmoljuk a cscsok ltal meghatrozott szakaszokat.Ezek tartalmazzk a test leit, a lapok tlit s a testtlkat. A tbbletet levonjuk a cscs-prok szmbl.

a) A dodekadernek cscsa van. Ezeket -flekppen kthetjk ssze.

Ezek kzl l, az tszglapokon pedig 12 5 laptl van. gy sszesen

testtl van.

b) Az ikozadernek cscsa s le van. A hromszglapoknak

nincsenek tli. gy az ikozader testtlja van.122

30 36 =

12 5

230

=20 35

12 =

202

30 60 100 =

20 3

230

=

202

12 5

320

=


8

10. k db csapat szerepel, az sszes meccsek szma, htra van k meccs, s mr

megtartottak 77 meccset, gy

innen k = 14. Teht 14 csapat szerepel.

11. a) A legkevesebb fordul esetn hromszor kell 4 szemllyel felmennie a liftnek. Az elskt lift utasait kell kivlasztanunk (a harmadik liftben a kimaradtak utaznak).

Ez lehetsg.

b) A legkevesebb fordulhoz ngyszer megy fel a lift. Egyszer hrom, a tbbi esetbenpedig ngy emberrel. Ngy lehetsget klnbztetnk meg aszerint, hogy melyikfordulban lesz a hrmas utazs. Mindegyik esetet az elz rsz alapjn szmolhatjukki. A vlasz:

12. Szorozzuk ssze az egyes embereknek val osztsok lehetsgeinek szmt:

13. Minden keresztezd kzfogsban ngy ember vesz rszt, s az emberek kzl brmelyngy esetn pontosan egy keresztezd kzfogs lesz. gy a keresztezd kzfogsok sz-

ma azonos a 10 emberbl kivlaszthat ngyesek szmval, azaz

4. Binomilis egytthatk, ismtlses kombinci

1. a)

b)

c)

d)

2. a) (x 1)4; b) (a + 2)5.

3. A feladat nem szl arrl, hogy ki az a Pter. Ezt a megolds eltt tisztzni kell.A legegyszerbb megllapods, hogy a csapatnak egyetlen tagjt hvjk Pternek.Ms megllapods lehet az is, hogy egyik tagot sem hvjk Pternek (pl. ni csapatrl van sz).Az is elkpzelhet, hogy olyan frfi csapatrl van sz, amelyben mindegyik jtkosnakPter a keresztneve. Ezek a megllapodsok termszetesen mind ms-ms feladathozvezetnek. Mi a legegyszerbb megllapodssal lnk.a) 26 = 64; b) 25 = 32; c) 25 = 32.

n a n a b n a b nn

bn n n n0 1 2

11 2 2

+

+

... ( ) nn

100

101

102

1010

10 9 8 0

+

+

y y y y...

50

3 51

3 2 52

3 2 53

35 5 4 4 3 3 2 2 +

+

+

n n n nn n

2 3 4 52 54

3 2 55

2 + +

50

51

2 52

4 53

8 54

5 4 3 2

+

+

x x x x xx

16

55

32

104

210 = -zel.

324

284

244

204

164

69 1018

153

124

84

154

113

84

+

+

1154

114

73

154

114

74

+

..

124

84

34 650 =

k k+ = 77 2 ,

2

2

kk2

94.

Analg feladat: 18 golyt helyeznk el 8 rekeszben. A 18 golyt s a 7 rekeszfalatpermutljuk gy, hogy sem a golykat, sem a falakat nem tudjuk megklnbztetniegymstl. Lsd a 4. plda megoldst.

5. a) Minden megoldshoz rakjunk le x darab + jelet, majd egy | elvlasztjelet, azutn y da-rab + jelet, ismt egy | elvlasztjelet, s vgl z darab + jelet. gy 11 jellel lertunk egymegoldst (ahogy lertunk egy nvnyrendelst a 4. pldban). A megoldsok szma

b) Az x + y + z = 9 egyenlet ekvivalens az (x 1) + (y 1) + (z 1) = 6 egyenlettel.Az x + y + z = 9 egyenlet megoldsa a pozitv egszek krben ekvivalens az x' + y' + z' = 6 egyenlet megoldsval a termszetes szmok krben. Ebbl addik akt egyenlet megoldsszmnak azonossga. A msodik egyenletnek az a) pont

megoldsi mdszervel megoldsa van.

c) Vgtelen sok, minden (x; y; 9 x y) x, y Z alak szmhrmas.

5. Vegyes sszeszmllsi feladatok (kiegszt anyag)

1. x lny s y fi, gy+ 56y = 8x, + 4y6y + 5 = 3x + 4y.

Teht 15 lny s 20 fi tanul volt.

2. A msodik, harmadik s negyedik tulajdonsgoknak minden (6m)2 (m Z+; m 1) alakszm megfelel, s ezek nem ktjegyek s nem prmek. Vgtelen sok ilyen szm van.

3. 53 = 125-flekppen.

4. Elszr se a tigrisek, se az oroszlnok kztt ne tegynk klnbsget. Legyen n dboroszln s k db tigris. lltsuk sorba a tigriseket, s tegynk kzjk 1-1 oroszlnt. gyn (k 1) db oroszln marad, melyeket ezek utn a tigrisekhez kpest prblunkelhelyezni. Ezt

-flekppen

tehetjk meg.Mivel az llatok klnbzek, szorzunk k!-sal, ill. n!-sal.A sorballtsok szma teht

5 oroszln s 4 tigris esetn lehetsg van.6 5

243 200

! !

!

=

( )!

!( )!! !

( )! !

( )!,

k n k

k n kn k

n n

n k

+ + + =

+ +

1

1

1

1

( ( ))!

!( ( ))!

k n k

k n k

+

1

1

82

28 =

112

55 = .

( )!

! !.

18 7

18 7480 700

+ =


10

Ms megolds:Kpzeljk el, hogy az idomr elszr az oroszlnokat helyezi el, majd a tigriseket illesztiaz oroszlnok kz. gy elszr az t oroszlnt lltja sorba (5! = 120 lehetsg). Ezekmeghatroznak hat (oroszlnokhoz viszonytott) pozcit: legels hely, ngy darab kzs legutols hely. Kt tigris az oroszlnokhoz kpest nem kerlhet ugyanoda, mert akkor

egyms mellett llnnak. A hat pozcibl ki kell vlasztanunk azt a ngyet (

lehetsg), ahov tigris kerl, majd a kivlasztott helyekre el kell helyeznnk a tigriseket(4! = 24 lehetsg). sszesen 120 15 24 = 43200 lehetsg van.A megolds menetbl (is) kvetkezik, hogy nincs megolds, ha a tigrisek szma nagyobb,

mint az oroszlnok szma. Ha k n + 1, akkor az ltalnosts egyszer:

5. Elszr ne legyen klnbsg a piros s a kk golyk kztt. Tegyk le a 3 fehr golyt,majd rakjunk kzjk 1-1 golyt. A megmaradt 5 golyt kell elhelyeznnk a 4 lehetsgeshelyen, majd ki kell vlasztanunk, hogy melyik kett legyen kk. Teht

Ms megolds:

Elszr rakjuk le a piros s kk golykat. ( lehetsg, hiszen a ht goly sorban

a kt kk goly helyt kell kivlasztanunk.) A lerakott ht golyhoz viszonytva kialakulnyolc pozci egyikbe sem eshet tbb fehr goly. gy a fehrek elhelyezshez a nyolc

pozcibl ki kell vlasztanunk azt a hrmat, ahov a fehr golyk kerlnek (

lehetsg). Ez sszesen 21 56 = 1176 lehetsg.

6. a) 403. (Minden almnl 3 lehetsg.) b) c)

d) Ha n gyerek s k klnbz alma van, akkor nk lehetsg van a sztosztsra. Ha

n gyerek s k megklnbztethetetlen alma van, akkor pedig lehetsg van

a sztosztsra. Ha radsul mindegyik gyereknek akarunk almt adni (tegyk fel,hogy k n), akkor osszunk ki n almt, majd a maradk k n almt osszuk szt tetsz-

legesen. gy lehetsg van.

7. Legyen a maximlis tartomnyszm an, ahny tartomnyra n darab kr felvgja a skot.A kis paramterek vizsglata egyszer: a1 = 2, a2 = 4, a3 = 8, a4 = 14, a5 = 22. Ha n darabkr mell rakunk egy j (n + 1-edik) krt, akkor ezt a korbbi krk mindegyike legfeljebbkt pontban metszi. Ez a legfeljebb 2n metszspont legfeljebb 2n vet alakt ki az j krn.Ezek az vek korbbi tartomnyokat vgnak kett. A sztvgott tartomnyok szma lesza tbblet a korbbi tartomnyszmhoz viszonytva.Ez alapjn an+1 an + 2n, st egyenlsg ll fenn: an+1 = an + 2n.gy an = 2 + 4 + 6 + ... + 2(n 1) = n

2 n + 2.Vessk ssze a 3.5. feladattal s annak megoldsval.

kn

11

n kn+

11

( )!

! !.

37 2

37 2741

+ =

( )!

! !.

40 2

40 2861

+ =

83

56 =

72

21 =

( )!

! !.

3 5

3 572

1176+

=

n nk

k! !. +

1

64

15 =

11

8. a) Minden cscs azonos szn 2 db sznezs;b) 1 pont ms szn 2 db;c) 26 pont 6 db;d) 35 pont 6 db;e) 44 pont 7 db.sszesen 23 eset van.

9. a) A tzszg cscsai szakaszt hatroznak meg. Ezek kzl 10 a sokszg oldala,

a maradk 45 10 = 35 darab pedig a tzszg tlja.

b) Minden tlmetszshez tartozik ngy cscs (a metsz tlk vgpontjai), s mindencscsngyeshez tartozik pontosan egy tlmetszs (a ngy kzl a kerleti sorrendbenszemkztes elemek ltal meghatrozott tlk metszse). Ha minden cscsngyes k-

lnbz tlmetszst hatroz meg (ez lehetsges), akkor tlmetszs alakul ki.

Ennl tbb nem lehetsges. Vessk ssze ezt a feladatot a 3.13. feladattal s annakmegoldsval!

c) A legtbb tartomny akkor alakul ki, ha nincs hrom egy ponton tmen tl.Sokszgnket helyezzk a koordintaskra gy, hogy egyik oldal s egyik tl selegyen vzszintes.A kialakul tartomnyokat kt csoportba osztjuk: az egyikbe azok tartoznak, amelyeklegals cscsa a sokszgnek nem cscsai, a msikba azok, amelyek legals cscsa asokszg egyik cscsa. Az els tpus tartomnyok legals cscsa kt tl metszspontja.Megfordtva: minden tlk ltal kialaktott metszsponthoz tartozik egy els tpustartomny, amelynek ez a metszspont a legals pontja. gy az els tpus tartomnybl

ugyanannyi van, mint ahny metszspont az tlk kztt: esetnkben

A msodik tpus tartomnyok sszeszmolshoz csoportostsuk ket a legalscscsuk szerint. Fussunk vgig a legfels cscson kvli kilenc cscson. Mindegyikcscsnl a hozz fentrl befut tlk s oldalak szmbl 1-et levonva kapjuk megaz oda tartoz msodik tpus tartomnyokat. Ezeknek a szmoknak az sszege az

sszes tl s oldal szmbl levonva 9, azaz Ez a msodik tpus

tartomnyok szma. sszesen 210 + 36 = 246 tartomny van.

d) n-szg esetn sszesen tl van, az tlk kztti metszspontok szma legfel-n n2

102

9 36 = .

104

210 = .

104

102

45 =

jebb a kialakul tartomnyok szma legfeljebb

Rejtvny: A zsinrokat nevezzk el balrl jobbra haladva 1, 2 s 3-nak. Egy lvsi sorrendhezelg tudnunk, hogy melyik zsinrrl lvnk, hiszen mindig az aktulisan legals lggmba cl. gy egy lelvsi sorrend lehet pldul: 113212. ltalban egy lelvsi sorrend egyolyan hat hossz sorozat, amelyben hrom darab 1-es, kt 2-es s egy 3-as szerepel.

Ilyenbl van.63

32

20 3 60 = =

n n n4 2

1 +

( ) .

n4 ,


12

6. GRFOK pontok, lek, fokszm

2. Nincs, mert egy grf pratlan fokszm pontjainak szma pros.

3. a) Szablyos tetrader.

b) lek szma: nem lehetsges.

d) nem lehetsges.

c) Kt azonos lhosszsg tetrader sszeillesztve egy lapja mentn.e) Szablyos oktader.

4. Legyenek egy grf pontjai az tszglapok s a hatszglapok, az lei pedig jelentsk aszomszdsgot.Az tszglapok fokszma 5, a hatszglapok 6. Az tszglaphoz illeszked lek szma12 5 = 60. Minden ilyen l egy tszglaphoz s egy hatszglaphoz illeszkedik, s egyhatszglaphoz 3 ilyen l illeszkedik.

gy a hatszglapok szma:

5. Legyenek a vrosok egy grf pontjai, a jratok pedig az lek.a) II. Ha a londoni jrat Budapestre megy, akkor a msik kt jratot Budapestrl hrom-

flekppen vlaszthatjuk.

60

320= .

e = 7 32

Z

e = 5 32

Z

L L L

Bp Bp BpM M M

A A A

P P P

L L L

Bp Bp BpM M M

A A A

P P P

II. Ha a londoni jrat nem Budapestre megy, akkor ez hromflekppen valsulhat meg.

b) Ez nem lehetsges, mert a pratlan fokszm pontok szma nem lehet pratlan.c) Ha egy 5 pont egyszer grfban 3 db 4 fokszm pont van, akkor a tbbi 2 pontnak

legalbb 3 a fokszma, gy ez az eset sem lehetsges.

6. Legyenek egy grf pontjai a vrosok, az lek pedig a vrosokat sszekt tvonalak. Haa grf sszefgg, akkor brmely vrosbl el lehet jutni a fvrosba. Ha nem sszefgg,akkor tekintsk a fvrost tartalmaz komponenst. Ebben a komponensben kell mg egypratlan fokszm pont, mivel egy komponens pratlan fokszm pontjainak szma csakpros lehet. Teht Messzit is ehhez a komponenshez tartozik, hiszen a tbbi vros prosfokszm. Ekkor is el lehet jutni a fvrosba Messzitbl.

13

7. a) A b) pont specilis esete.b) Ha van 0 fok cscs, akkor a fokszmok a {0, 1, 2, ..., n 3, n 2} halmaz elemei (azaz

ilyenkor nem lehet n 1 fok cscs). Ha nincs 0 fok cscs, akkor a fokszmok a{1, 2, ..., n 2, n 1} halmaz elemei. Mindkt esetben az n fokszmra n 1 lehetsgvan, gy lesz egybeess kztk.

8. Legyenek a rsztvevk egy grf pontjai, az osztlytrsi kapcsolatok pedig az lei. Az osz-tlytrsak egy teljes grfot alkot komponens tagjai.Akik 6-ot mondtak, azok egy 7 pont teljes grfhoz tartoznak. Mivel 8 ilyen vlasz volt,legalbb kt ilyen komponens van, teht legalbb hat 6-os vlasz hinyzik.Akik 4-et mondtak, azok egy 5 pont teljes grf tagjai. Mivel 7 ilyen vlasz volt, legalbbkt ilyen komponens van, teht legalbb hrom 4-es vlasz hinyzik.Akik 3-at mondtak, azok egy 4 pont teljes grf tagjai. Mivel 5 ilyen vlasz volt, legalbbkt ilyen komponens van, teht 3 ilyen vlasz hinyzik.Akik 2-t mondtak, azok egy 3 pont teljes grf tagjai. Mivel 2 ilyen vlasz volt, legalbb1 ilyen vlasz hinyzik.gy megkaptuk a 13 hinyz vlaszt.

9. (5) (3) a nagyvadak szimpatikusak (6) a nagyvadaknak nincs agyaruk (1) a nagyvadak nem

kellen felfegyverzettek (2) a nagyvadak nem elefntok (4) bemehetnek a porcelnboltba.

Igen, kvetkezik.

10. Legyenek a blon rszt vev dikok egy grf pontjai, s az l jelezze, hogy ki kiveltncolt. Ha minden l egy fi s egy lny kztt hzhat meg, akkor a fik fokszmnaksszege s a lnyok fokszmnak sszege egyenl kell, hogy legyen. Ha vfolyamonknta fik s a lnyok szma egyenl, akkor a fikra s a lnyokra vonatkoz iskolai tlagnakegyenlnek kell lennie, de ez a diagram alapjn nem teljesl. gy vagy az adatfelvtelkornem emlkeztek jl, hogy hny emberrel tncoltak, vagy a fik nem csak (az iskolabeli)lnyokkal tncoltak, vagy a fik nem csak lnyokkal tncoltak.

11. Jelljk a 6 pontot rendre u, v, w, x, y, z-vel Elszr azt ltjuk be, hogy van egy egysznhromszg. Tekintsk a v cscsot s az ebbl indul t lt. A sznek szimmetrija miattfeltehet, hogy szneik kzt a piros van tbbsgben. A legalbb hrom piros l elvezet vhrom piros szomszdjhoz. Ha ezek kztt van piros l, akkor ennek kt vgpontjhozv-t hozzvve egy olyan hrmast kapunk, amelyeket sszekt mindegyik l piros. Ha ahrom pontot sszekt lek kztt nincs piros l, akkor olyan hromszghz jutottunk,amelynek minden le kk.A msodik egyszn hromszg keressnl induljunk ki egy xyz egyszn (feltehetjk,hogy kk) hromszgbl. Legyen v egy negyedik cscs. Ha a v-bl az x-hez, y-hoz s z-hez vezet hrom l nem mind piros, akkor az elz bekezds gondolatmenete egy olyanegyszn hromszghz vezet, amely a kiindulsi hromszghz kpest j, s mr kszenis vagyunk. Ha mindhrom l piros, s ugyancsak ez teljesl a maradk u s w ktcscsra, akkor az u, v s w kzti leket nzzk meg. Ha mindhrom l kk, kszenvagyunk. Ha valamelyik l piros, akkor is megtalljuk az j egyszn hromszget, ha apiros l kt vgpontjhoz x-et (vagy y-t vagy z-t) hozzadjuk.


14

12. a) Az elz feladat alapjn, ha egy cscsbl 3 azonos sznl futna ki, akkor ott egyszn hromszg keletkezne.

b) Ha a grfbl trljk a piros leket, akkor a grf sszefg-g, s minden pontjnak 2 a fokszma. Teht van a grfbanzrt Euler-vonal.

13. Legyenek a tudsok egy grf pontjai, s az lek jelezzk, ha leveleznek. Az lek sznejelentse a tmt. A skatulyaelv szerint egy tudstl legalbb 6 azonos szn (piros) l indul.Ha ezt a 6 pontot sszekt lek mindegyike a msik kt sznbl val, akkor az elzfeladat alapjn van egyszn hromszg. Ha legalbb az egyik l piros, akkor is vanegyszn hromszg.

14. Ha a csnakbl val kiszlls utn valamelyik ponton tbb a misszionrius, akkor a tl-parton tbb a kannibl, s baj van. Ha egy kiegyenltett helyzet eltt a csnakban tbba kannibl, akkor az indulsi oldalon volt baj, ha pedig kevesebb, akkor az rkezsioldalon volt baj. Teht a csnakban egy kannibl s egy misszionrius lehet csak, gy pedignem lehet tjutni.Ms megolds:Vegyk azt a felttelezett legels pillanatot, amikor a csnaknak a jobb partra valvisszatrse utn a bal parton legalbb kt misszionrius van.Mivel a msik parton is kell misszionriusnak lenni, ezrt biztos, hogy ekkor mindkt par-ton ugyanannyi a kanniblok s a misszionriusok szma (3-3 s 1-1, vagy 2-2, s 2-2).A 3-3, 1-1 eset nem lehet, mert akkor (mivel a legels olyan esetet nztk, amikorlegalbb 2 misszionrius van itt) ezt megelzen a bal partra kt misszionriusnak kellettvolna rkeznie. Akkor viszont eltte az ott lv misszionrius kisebbsgben lett volna.A 2-2, 2-2 eset azrt nem lehet, mert akkor ezt megelzen a jobb partra (az egyenslyiproblma miatt) csak olyan csnak trhetett volna vissza (illetve ettl kezdve a kt partkztt csak olyan csnak kzlekedhet), amelyben se misszionriusbl, se kanniblbl nemlhet tbb. gy azonban nem lehet tkelni a folyn.Ellentmondsra jutottunk, a feladatnak nincs megoldsa.

15. A 4 kannibl tevez, majd 1 visszahozza a csnakot. A 4 misszionrius tevez, majd 1kannibl visszamegy a trsrt.

16. Legyenek a dikok egy grf pontjai, s irnytott l mutasson arra, akibe szerelmesek.Fik: A, B, C, D. Lnyok: E, F, G, H.A feladat felttelei szerint minden pontbl egy l fut ki, s minden pontba egy l fut be.gy minden pont 2 fok, s gy van olyan kr a grfban, melyen a fik s a lnyok felvltvakvetik egymst. Mivel a szerelem nem lehet klcsns, nincs kt pont kr. Teht vagykt 4 pont van, vagy egy 8 pont. (*)A felttelek:(1) A X1 Y1 E X1 {F, G, H}; Y1 {B, C, D}(2) B X2 Y2 F X2 {E, G, H}; Y2 {A, C, D}

X1 X2 Y1 Y2(3) C X3 D(4) X2 G X2 = E vagy X2 = H(5) H Y3 X4 X4 G Y3 A

A

E

D

C

B

15

I. Ha X2 = H Y2 = Y3 s X4 = F s Y1 BA X1 Y1 E X1 {F, G}B H Y2 F Y2 {C, D}C X2 D

Ha Y2 = D X2 = H

Ha Y2 = C F = X2 X1 = GY1 C Y1 = D

B H C F DII. Ha X2 = E Y1 = B 8 pont kr van.

A X1 B E

X3

X4 D F C (3)

(3) (2) (5) X4 H

X4 = G X1 = H

Aladr Hannba szerelmes.Ms megolds:(*)-ig ugyanaz, majd a felttelekbl kvetkezen A s E, B s F, tovbb C s D egy-egykrben van.Elszr kizrjuk azt, hogy kt ngy hossz krnk van (amelyekben kt cscs lnynak,kt cscs finak felel meg). Tegyk fel, hogy mgis kialakul ez a helyzet. Ekkor C s Degy kr fii, gy a msik krben szerepl fik A s B, ahol a kt lny E s F. Azaz H sG egy ngy hossz krre esik. De ekkor az a fi, akit Hanna szeret, az Grtt szeretn,ami pedig kizrt.A nyolc hossz kr esetben haladjunk vgig a krn, s nzzk a fik sorrendjt.Feltteleink szerint C utn D jn, majd A s B kvetkezik valamilyen sorrendben. A kteset egyszeren analizlhat, s azt kapjuk, hogy csak az egyik eset lehetsges, gy asorrend AHBECFDG, azaz Aladr Hannba szerelmes.

17. a) b) c)

1

2

34

5

6 7 1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

5

6

7


16

7. GRFOK t, vonal, sta, kr, Euler-vonal (kiegszt anyag)

1. a) Minden pont fokszma 4, s a grf sszefgg, gy van (zrt) Euler-vonala.b) 4 pont fokszma pratlan, teht nem jrhat be.c) 2 pont fokszma pratlan, a tbbi pros. gy van nyitott Euler-vonala, teht bejrhat.

2. 8 pont fokszma pratlan, gy nem lehetsges.

3. Legyenek egy grf pontjai a bank helyisgei, s az lek jelezzk az ajtkat (csak a B sa H helyisg fokszma pratlan). Az Euler-vonalnak nyitottnak kell lennie a B s Hcscsok kzt. Mivel B-bl indult, H-ban van a szf.

4. a) Mivel 2-nl tbb pratlan fokszm pont van, nem rajzol-hat meg.

b) Mivel 8 pont fokszma pratlan, a grfot 4 vonalra lehetfelbontani, gy 3-szor kell felemelni a ceruzt.

c) A tartomnyok alkossk egy grf cscsait. Minden szakaszfeleljen meg egy lnek a kt oldaln lv tartomnyokkztt. A kvnt grbt kvetve grfunkban egy Euler-vonalat jrnnk be, amely viszont nincs, hiszen ngy cscs/tartomny foka is pratlan. Teht nincs ilyen grbe.

5. A hrom legrvidebb l mell ugyanolyan hosszal rakjunk be egy-egy prhuzamos lt.A kapott grfban minden fok pros, gy van benne zrt Euler-vonal, amely megfelel azeredeti grf egy bejrsnak, ahol a hrom legrvidebb lt dupln jrjuk be. Ennl jobbtvonalunk nem lehet, mert grfunkban hat pratlan fok pont van. gy legalbb hromlt tbbszrsen be kell jrnunk.A lehetsges tvonal:

AGHBCHDCHIDEIFEIGFABGA.

6. Az lvzon biztos lesz pratlan fok pont, gy nem lehet zrtEuler-vonala. Ha csak 2 pratlan fok pont van, akkor a drtotelg 1 helyen elvgni s kt helyen forrasztani. Pl.

7. a) Egy 14 pont grfban legalbb 13 lnek kell lenni, hogya grf sszefgg lehessen. Legfeljebb 7 lt lehet trlni,hisz 20 l van.

b) 7 lt elhagyva mg sszefgg lehet a grf, s a krk ismegsznnek.

8. a) igaz; b) hamis, pl.: ; c) igaz;d) hamis, pl.: ; e) igaz.

A

D

F H

E

B C

G

I

17

8. Fagrfok (kiegszt anyag)

1. Legalbb 5 t kell, hogy sszefgg legyen.

2. A fa teljes grfja nem rajzolhat meg, hiszen vgtelen. Az els3 v az brn lthat.

f0 = 1, f1 = 2, fn = 2 fn1 fn = 2n f6 = 64.

3. a) A sznhidrogneknek megfelel grfok olyan grfok,amelyekben egy (H) s ngy (C) fok cscsok szerepelnek,nincs bennk hurokl, de prhuzamos lek lehetnekbennk. etn: fagrf, 6 db 1 fok s 2 db 4 fok pont; ciklobutn: van benne kr, nincs tbbszrs l, 8 db 1 fok s 4 db 4 fok pont; etiln: nincs benne kr, van tbbszrs l, 4 db 1 fok s 2 db 4 fok pont; acetiln: nincs benne kr, van tbbszrs l, 2 db 1 fok s 2 db 4 fok pont; benzol: van benne kr, van tbbszrs l, 6 db 1 fok s 6 db 4 fok pont.

b) fokszmok sszege: 33 4 + 93 = pratlan, nincs ilyen vegylet;

lek szma: fagrf alkn;

lek szma:

lek szma:

c) Ha h darab hidrognatom szerepel, akkor a sznhidrognnek megfelel grfban h + 6cscs van, a fokok sszege pedig h + 24. A fokok sszege a ktszeres lszm, amelymost a cscsszmnl eggyel kisebb szm ktszerese (grfunk fagrf), azaz 2(h + 5).A fokok sszegnek ktfle felrsbl h = 14.A lehetsgek:

10 4 8

224

+ =

l

18 pontvan benne kr

tbb C, mint H

van tbbszrs le, teht arn

5 4 10

215

+ = l

15 pontvan benne kr

ktszer annyi H, minnt C (nem lehet kett kttt l)

cikloalkn;

4 10 22

231

+ =

l

32 pont

1. v

2. v

3. v

.

.

.

H H H

H H H

H

H

H

H

H

H

H

H HH H H

C C CC CC C

H HH H

H H

H HH H

C CC C H

H H H H H H

H

H H H H HH

C C C C C C

C

C

C

H

H

H

H

HH

C

HH

C

HH C

HH C

HH


18

4.

10 586 = 2 67 79 56 235 = 3 5 23 163

5. a)

n = 32 Az 1. fordulban kiesik 16, marad 16;a 2. fordulban kiesik 08, marad 08;a 3. fordulban kiesik 04, marad 04;a 4. fordulban kiesik 02, marad 02;

az 5. fordulban kiesik 01, marad 01.5 fordul s 31 mrkzs kell.

b)

n = 48 1. fordul: kiesik 24, marad 24;2. fordul: kiesik 12, marad 12;3. fordul: kiesik 06, marad 06;4. fordul: kiesik 03, marad 03;5. fordul: kiesik 01, marad 02;6. fordul: kiesik 01, marad 01.

6 fordul s 47 mrkzs kell.c) n = 1024 = 210 10 fordul, 1023 mrkzs;

n = 2 765 289, 221 < n < 222 22 fordul, 2 765 288 mrkzs kell.Ms megolds:Minden mrkzs egy versenyzrl megmutatja, hogy nem a legjobb. n versenyznln 1-rl kell bebizonytani, hogy nem a legjobb. Ehhez n 1 mrkzs kell. Mskppen:n 2 mrkzs nem elg, mert akkor csak n 2 vesztes lenne, azaz legalbb kt versenyzlenne veresg nlkl. Kzlk egyik sem zrhat ki mint legjobb. n 1 mrkzsselazonban meg is oldhat a problma. Ha nem jtszatunk tovbb vesztes versenyzt, akkorel sem ronthatjuk a torna megszervezst.a) n = 32, teht 31 mrkzsre van szksg.b) n = 48, teht 47 mrkzsre van szksg.c) n = 1024, teht 1023 mrkzsre van szksg.

n = 2 765 289, teht 2 765 288 mrkzsre van szksg.A msodik legjobb kivlasztsa nehezebb problma. Feltesszk, hogy jtkosainknak vanegy ersorrendje, s mindig az ersebb nyer. (Ez a valdi sportban nincs mindig gy.)

56 235

15 3749

23 1633 5

10 586

2 5293

67 79

19

A msodik legersebb versenyz kivlasztst a valdi sportesemnyek rendezi nemvllaljk, hanem az utols mrkzst dntnek nevezik s a vesztest tekintik a msodiklegjobbnak. Azt, hogy a kt legersebb versenyz az els mrkzsen tallkozzon, aztelzetes ersorrendek alapjn megtervezett tornkkal kszblik ki.A msodik legersebb versenyz azok kzl kerlhet ki, akik csak a legersebbtl kaptakki. gy kell egy tornt rendezni a legersebb kivlasztsra, majd egy kln tornt azokszmra, akiket a legersebb gyztt le.

6. a) Igaz, ha legalbb 2 pont van.b) Hamis .c) Hamis, ha legalbb 2 pont van.d) Hamis, mert akkor lenne benne kr.

7. I. Egy cscsbl 4 l indul ki 5-flekppen.

II. Egy cscsbl 3 l indul ki hogy mely 3-ba, majd a negyediket 3-flekppen

kthetjk ssze velk, mind az 5 cscs esetn -flekppen.

III. Ha egy cscsbl legfeljebb 2 l indul ki, akkor a falvak egy tvonalra vannak felfzve.

Sorbarendezsk -flekppen trtnhet (osztunk 2-vel, hiszen ha egy sorbarendezst

tkrznk, az ugyanazt az thlzatot hatrozza meg).sszesen 125-fle thlzat lehetsges.

8. Ktjegy boldog szmbl indulva az utols eltti szm 10 vagy 100. Gondolkozzunkvisszafel haladva!

Az sszes ktjegy boldog szm teht: 10; 13; 19; 23; 28; 31; 32; 44; 68; 82; 86; 91.

1. Rejtvny: Feltehetjk, hogy a felmenim kztt nem trtnt rokonhzassg. Ebben azesetben a ddapim nagyapjai (sszesen 8 szemly) kzl 4 a nagyanyimnak a ddapja.k nyilvnvalan klnbz szemlyek, mint a nagyapim ddapjai. (A nagyapkddapjai is 8-an vannak, kzttk viszont szerepel a ddanyim 4 nagyapja. A kthalmaznak teht vannak kzs elemei, de 4-4 elemben klnbznek.)

2. Rejtvny: Toljuk be az A ponthoz a Q kocsit, kapcsoljuk ott le, s B fell toljuk hozz a Pkocsit. Mindent egybekapcsolva hzzuk ki a kocsikat az egyenes szakaszra, ahol C-n tllekapcsoljuk Q-t. A P kocsit visszavisszk az eredeti helyre, st betoljuk A-hoz, ahollekapcsoljuk. C fell megkzeltve A-t P-t behzhatjuk a clhelyre, majd a keleten lvQ-t is egyszeren a clhelyre vezethetjk.

1 100 64 3686

68 64 482 81 1

91

1928

+ + +

1 10 9 131

13 4 923

32 16 16 44

+ + +

5

2

!

51

43

31

60 =

43


20

9. A kombinatorika gyakorlati alkalmazsai

1. szoba: 2 24 000 + 24 000 0,5 + 24 000 0,75 = 24 000 3,25 Ft flpanzi: 2 6 2000 + 6 2000 0,5 + 6 2000 0,75 = 12 000 3,25 Ft biztosts: 6 1000 = 6000 Ft parkols: 6 1500 = 9000 Ft benzin: 12 6,8 248 = 20 236,8 FtSbrlet nlkl a kltsg 152 236,8 Ft. Sbrlet: 2 117,2 + 66,8 = 301,2 4 napra: 2 84,7 + 48,3 = 217,7 83,5 -t kockztatnak.

2. A vzgyjt terlet: 120 10002 102 dm2 = 12 109 dm2.A h vastagsga: 3 dm.A h trfogata: 36 109 dm3.A vz trfogata: 10,8 109 dm3.A tba kerl: 4,86 109 dm3.A t felszne: 1,5 10002 102 dm2 =150 106 dm2.A vzszint emelkedse: 32,4 dm.

21

Hatvny, gyk, logaritmus

1. Hatvnyozs s gykvons (emlkeztet)

1. a) a5; b) b11; c) a48; d) a15b10; e) a8b10; f) a46b39c26.

2. a) b) c)

d) e) f)

3. a) b) 25 55 < 25 54 105 < 321 6251

c)

4. a) 1; b) 2; c) 6; d) 7; e) 9; f) 3.

Rejtvny:

2. Hatvnyfggvnyek s gykfggvnyek

1. a) b) f (x) = (x + 3)4 x R; c) f x x x( ) ;= + 4 44f x x x( ) ;= 53 R

28 16 3 28 16 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 82 2+ + = +( ) + ( ) = + + =

120 18003 5>2 3 5 2 3 515 5 515 9 6 615 >

3 34 174b

aa b

19

6124 0; , ;>a

ba b

116 0; , ;>

a a ; ;34 0>b b53 0; ;1 0a

a; ;>

x

1

2

3

4

5

1 2 3 4

y

1

2

12345x

1

2

3

4

5

1 2 3

y

1

2

123456x

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5 6 7 8

y

1

2

1

x

1

2

3

4

5

6

1

y

112345678

x

1

2

3

4

1 2 3 4 5 6 7 8

y

1

2

1

3

x

1

1 2 3 4 5 6 7

y

1

2

3

4

5

6

12

d) f (x) = (x 3)3 4 x R; e) f) f x x x( ) ;= + + 2 43 Rf x x x( ) ;= 3 2 34


22

g) f (x) = (x 4)4 + 2 x R; h) i) f x x x( ) .= 3 3 33 Rf x x x( ) ;= + 3 4 34

Rejtvny: a) f: x0 = 3 + b) g: x0 = 79

3. Trtkitevj hatvny

1. a) b) c)

d) e) f) nem rtelmezhet.

2. a) b) c) d)

e) f) g)

3. a) b) c) d)

4. a) b)

Rejtvny:

4. Irracionlis kitevj hatvny, exponencilis fggvny

1. a) Df = RRf = (1; )szig. mon. nvmax.: nincsmin.: nincslegnagyobb als korlt: 1fellrl nem korltoszrushely nincsnem pros, nem pratlan

3 3 19683 5 5 625 3 532

96 6

23

46 6

32

23= = = = >, , .teht

4 4 2 4 2 1632

12 1 7

27 5

< = < = < .3 3 3 3 3 332

23 5

15

23 34

< < = < < ;

d9

10 .c1112 ;b

94 ;a

56 ;

22720.2

56

;2

1712 ;

27

12 ;237

;2

35;2

13;

3

2

37 ;

9

255 ;

1

453;84 ;35 ;

43

x

2

4

2 4 6 8

y

2

4

6

8

10

246810

x

1

2

3

4

5

1 2 3 4

y

1

2

12345

x

1

2

1 2 3 4 5 6 7

y

1

2

3

4

5

12

x

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2 3 4

y

112345

f x( )=2x +1

23

b) Dg = RRg = (0; )szig. mon. nvmax.: nincsmin.: nincslegnagyobb als korlt: 0fellrl nem korltoszrushely nincsnem pros, nem pratlan

c) Dh = RRh = (2; )szig. mon. nvmax.: nincsmin.: nincslegnagyobb als korlt: 2fellrl nem korltoszrushely: x0 = 3nem pros, nem pratlan

d) Di = RRi = (3; )szig. mon. cskkenmax.: nincsmin.: nincslegnagyobb als korlt: 3fellrl nem korltoszrushely: x0 = 3nem pros, nem pratlan

e) Dj = RRj = (0; )szig. mon. nvmax.: nincsmin.: nincslegnagyobb als korlt: 0fellrl nem korltoszrushely nincsnem pros, nem pratlan

f) Dk = RRk = (6; )szig. mon. nvmax.: nincsmin.: nincslegnagyobb als korlt: 6fellrl nem korltoszrushely: x0 = 4nem pros, nem pratlan

x

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2

y

11234567

g x( )=2x+2

x

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4

y

1

2

3

12345

h x( )=2x2 2

x

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6 7 8

y

1

2

3

1

1

= 33

x 4

i x( )

x

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2 3 4

y

112345

5

=2

x

j x( )

x

1

2

3

1 2 3 4 5 6 7

y

1

2

3

4

5

6

12

k x( )=2 3 x3 6


24

2. a)

b)

3. Rejtvny: g(x) = 5(x + 1)2 2x x2 = 5

N N

Ne0

0

4 279 10 1620100 1 100 504 = ( ) = % % %.,

N N

Ne e0

0

4 279 10 100 0 042791 1 0 04194 = = = , , , ;

x

10

20

30

40

50

60

70

80

1 2 3 4

y

1

12

x2 4

f x( )=3x2=3x+2

( x2 )

5. Exponencilis egyenletek, egyenletrendszerek, egyenltlensgek

1. a) x = 2; b) c) x1 = 1; x2 = 3 d) x2 = 5

e) x = 3; f) x = 2; g) x = 3; h) x = 0;

i) x1 = 0; x2 = 1; j) x = 1; k) x = 2; l)

m) n) o) x1 = 2; x3 = 1.

2. a) x = 1; y = 3; b) x = 0; y = 4;

c) x = 2; y = 1; d) x1 = 1; y1 = 2;

e) x1 = 0; y1 = 1; x2 = 2; y2 = 1; x3 = 1; y3 = 2; x4 = 3; y4 = 2;

f)

g)

h)

i) x y x y1 1 2 21

2

1

2

1

2

1

2= = = = ; ; ; .

x y x y x y1 1 2 2 3 31 29

25

3

27= = = = = =; ; ; ; ; ;

x y x y1 1 2 211

20

3

2= = = =; ; ; ;

x y x y1 1 2 21

4

5

8

5

8

1

4= = =; ; ; ;=

x y2 22

33= =; ;

x23

2= ;x k k= + p p

4 2Z;x = 1

2;

x = 43

;

x13

2= ;x = 13

4;

x

1

2

3

4

5

1 2 3 4

y

1

2

12345

25

3. a) b) x 1; c)

d) e) x 3 vagy 4 x; f) x < 2 vagy 5 < x;

g) x 3; h) x < 0 vagy 1 < x; i) x > 2 vagy 0 < x < 1.

Rejtvny: Mivel s 3x + 3x 2, megolds akkor lehet, ha

s 3x + 3x = 2. A msodikbl x = 0, gy

A megolds (0; 2kp), k Z.

6. A logaritmus fogalma

1. a) log3 9 = 2; b) c) log2 1024 = 10;

d) log5 625 = 4; e) lg 100000 = 5; f)

g) h)

2. a) 11; b) 3; c) 5; d)

e) 4; f) 5; g) 625; h)

3. a) a = 5; b) b = 49; c) c = 1; d) d = e3;

e) f) g) h)

4. a) a = 3; b) b = 10; c) c = 25; d)

e) f) g) h) (nincs megolds)nincs rtelmezve.

g = 23

;f = 543 ;e = 1

4;

d = 19

;

h = 73

.g = 94

;f = 14

;e = 125

;

1

3.

1

3;

log .8 164

3=log ;1

3

27 3=

log ;34

16

92=

log ;9 31

2=

cos ,

cos ,

, .

2

21

21

2

y

y

y k k

== = p Z

cos22 3

61

x y+ =

23

622

2 + cos x y

3

2

3

4 x xvagy ;

x 94

;x < 45

;


26

5. a) b)

c) x > 4; d) s x 1;

e) x > 2 vagy f) 5 < x < 4 vagy 4 < x < 5.

6.

7. A logaritmusfggvny

1. a)

b)

c) Az adatok nem olvashatk le pontosan.Leginkbb f(x) = 15 log2 (10x 28) 15 = 15 log2 (5x 14).

2. a) (x > 0); b) g(x) = log3 x + 1 (x > 0);

c) (x > 4); d) i(x) = log5 (1 x) (x < 1);

x

1

2

1 2 3

y

1

2

3

4

5

1235 46

x

1

2

3

4

1 2 3 4 5

y

1

2

3

1234

h x x( ) log ( )= +13

4

x

1

2

3

1 2 3 4 5 6 7

y

1

2

3

4

12

x

1

2

1 2 3 4 5 6 7

y

1

2

3

4

5

12

f x x( ) log= 13

3

80 55

55100 45 45

% , %.

t = ln 2 1620l

v mlva.

x < 25

;

05

2<

27

e) (x > 0); f) (x > 5);

g) (x > 5).

3. f (x) = log2 (x 1); g (x) = log2 (3 x);

8. A logaritmus azonossgai

1. a) b) c) d)

2. a) a = 99; b) c) d) d = 18.

3. a) b) 14; c) 10; d) 243; e) 12; f) 1.

Rejtvny: Mivel logab logbc = logac (a; b; c > 0 s a; b 1),

log23 log34 log45 log56 log67 log78 = log28 = 3.

9. Logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenltlensgek

1. a) x = 8; b) x = 1; c) x = 5; d) x = 5;e) x = 7; f) nincs megolds; g) x = 3; h) x1 = 1; x2 = 2;i) x = 10; j) x1 = 8; x2 = 2; x3 = 8; x4 = 2.

7

2;

c = 1003

;b = 227

;

xa

bcd= lg .x

ab c d= 1

2 3;x

a c

b d

= 23

23

;xab

cd= ;

i x x x aa( ) log ( ) log ( ) ( ).= + + <


28

2. a) x = 2; y = 50; b) x = 8; y = 9;

c) d)

e) f)

3. a) b)

c) d)

e) x > 8; f)

g) h)

i)17 1

22

<

29

d)

2 3 36 144 6 5G Ga b+ = + = ;

A trigonometria alkalmazsai

1. Vektormveletek rendszerezse, alkalmazsok (emlkeztet)

1. dG

= aG

+ bG; e

G= aG

+ bG

+ cG; f

G= bG

+ cG.

2. a) b)

c) d)

3. a) b)

c)

G Ga b = 5; G Ga b+ = + =9 16 5;

a

b

a b

a

b

a +b

AB CD BC b a cJ GJJ J GJJ J GJJ G G G+ = 2 .AB CD b a cJ GJJ J GJJ G G G = + ;AC CD DB b aJ GJJ J GJJ J GJJ G G+ + = ;AB CD b a cJ GJJ J GJJ G G G+ = ;

2a

3b

2a + b

3

2a

5b

2a b

5

4. a) b)

2 5 36 400 2 109G Ga b = + = .

a

2a

a

2

3a

c)a

a

1 1

1

1 1

1 1

1

1

1

34

a

34

a

d)

a

1

12

5

5a

5. a) 5aG

bG; b) 6b

G 2a

G; c) d) 4b

G 2a

G.

6.

A D a BC oldalt a mellette lev oldalak arnyban, azaz 8 : 7 arnyban osztja.

7.

8. ABCD paralelogramma

9. Legyen A a vonatkoztatsi pont, gy

teht

G GG G G G G G G G G G G G

sa b c c b c b b c a b c

s11 1 1

3

2 2

3 3 3= + + = + + = + = + + = .

GG GG GG G G

aa c

b b

c c b

== ==

0

22

1

1

1 ,

AB DCb a c db d a c

J GJJ J GJJG G G GG G G G

= = + = + .

G G Gc

b a= +3 47

.

G G Gd

b c= +7 815

.

7

6

1

6

G Ga b ;


30

31

2. A skalris szorzat

1. a) b) c) 0; d) 5.

2. a) 60; b) 45; c) 90; d) 150.

3. Ha nem az (ltalunk kifejtett) er irnyba esik az elmozduls.

4.

5. a) b) c) d)

6. a) 0 < a < 180; b) a = 180; c) a = 90; d) aG = bG, a = 0.

7.

8. Legyen eG

= bG

aG

s fG

= aG

+ bG

a kt tlvektor, gy

9. Tkrzzk az a oldal felezpontjra a hromszget. Ekkor olyan paralelogrammt kapunk,melynek egyik tlja sa ktszerese. Az elz feladat alapjn

a2 + (2sa)2 = 2b2 + 2c2.

A tbbi oldalra hasonlan kapjuk:(2sa)

2 + a2 = 2b2 + 2c2

(2sb)2 + b2 = 2a2 + 2c2

(2sc)2 + c2 = 2a2 + 2b2

____________________________________

4sa2 + 4sb

2 + 4sc2 = 3a2 + 3b2 + 3c2.

Ezzel az lltst bebizonytottuk.

Ms megolds:

Teht

s s sb c bc b c b c a

a b ca b c2 2 2

2 2 2 2 2 2 22 26 6 6

4

6 6 3 3 3

4

3

4+ + = + = + + = + +

GG( 22 ).

a a b c b c bc

bc b c a

2 2 2 2 2

2 2 2

2

2

= = = +

= +

G G G GG

GG( )

s sb c b c bc

s sc

b

a a

b b

2 2

22 2

2 2

2

2

4

2

= = +

=

+ +

= =

G G G GG

G G G 22 2 2

2 2

22 2

4 4

4

2

4 4

4

= +

= =

=

+

c b bc

s sb

cb c bc

c c

GG

G G G GG.

e f e f b a a b b a ba a b a2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2+ = + = + + = + + + +G G G G G G G G GG G G G G( ) ( ) bb a b= +2 22 2.

( ) .G G G Ga b b b = 1

2

1

2

Gb.

1

4; 1

2

Gc; 1

2;

G Gb c .

2

2;3 3;

A

B

C

c

b

sa sb

sc


32

10. Legyen eG

a az aG-val azonos irny

Az bra alapjneG

a(cG

+ bG) = e

Ga c

G+ eG

a bG.

Szorozzuk mindkt oldalt aG-val,aG

(cG

+ bG) = a

G cG

+ aG

bG.

Teht a skalrszorzat disztributv az sszeads-ra nzve.

3. Skalris szorzat a koordinta-rendszerben

1. a) 5; b) 15; c) 10; d) 5.

2. a) a = 90; b) a = 180; c) a = 45; d) a 172.

3. a) x = 3; b) c)

d) Az a j vektor, de ennek megfelel vals x nincs.

4.

5. A sszefggs alkalmazsval g = 60,3; a = 70,3; b = 49,4.

6. W = FG

sG

= 87 J.

7. a) Legyen uG

(4; 3) s vG

(a; b), ekkor

Ha a = 0 3a = 4b 4a + 3b = ;

0 < a 180 3a 4b 4a + 3b < .

b) Legyen uG

(a; 3) s vG

(4; b), ekkor

Ha a = 0 ab = 12 4a + 3b = ;

0 < a 180 ab 12 4a + 3b < .a b2 29 16+ +a b2 29 16+ +

G G G Gu v u v

a b a b

= + = + +

cos ,

cos .

a

a4 3 9 162 2

5 2 2a b+5 2 2a b+

G G G Gu v u v

a b a b

= + = +

cos ,

cos .

a

a4 3 5 2 2

cosg = G GG Ga b

a b

Gea

3

5

4

5; .

Ga

1

21;

x = 113

;x = 76

;

G GGe aaa

=

.

c

ea

e c a

e c + b a ( )

e b a

b

33

4. A szinuszttel

1. A kplet alapjn gy g1 = 32,23

vagy g2 = 147,77.a) Ha g = 32,23, akkor a1 a b oldal a-ra es merleges

vetlete. gy a12 = b2 ma

2 = 161. Mivel a1 > a, a hrom-szgben b > 90. Legyen a2 = a1 a. A Pitagorasz-ttelalapjn

gy b = 108,6; a = 39,17.

b) Ha g = 147,77, akkor az elzhz hasonlan

c2 = (a + a1)2 + ma

2;2c 24,4 cm.

gy b = 19,6; a = 12,63.

2. A kplet alapjn Mivel j hegyesszg, j = 41,8.

3. A kplet alapjn t = 28,26 cm2.

4. Az tlk ltal meghatrozott hromszgek terlete

A Heron-kplet alapjn

Innen a = 6,43 cm s b = 16,47 cm.

5. A szinuszttel alapjn

Innen x = 10,4 cm s y = a 2x = 9,2 cm.

x

a= sin

sin.

20

100

te f a e a f e f a f a e

t a a

= + + + + +

=

2

4

2

4

2

4

2

416 35 4 4 52 2 2 2 2 2

,

( )( )..

te f= sin .j

8

ta= 2

2

sin sin

sin

b ga

sin .j = 23

te f= sinj

2

tgb = +m

a aa

1

,

a1 161= .

tgb = ma

a

2

,

c a mc

a2

22 2 325 20 161

8 43= + =

;, cm.

sin ,g = 815

ta b

= sing2ma

a1

b

a

g

c

ma

a1

b

a

g

c

x

y

x

a

2020

a


34

6. Legyen a b = 10 cm. A szinuszttel alapjn

azaz

Innen b = 76,6 cm, a = b + 10 = 86,6 cm,

7. Mivel a krv hossza egyenesen arnyos a hozz tartoz kzpponti szg nagysgval,a kzpponti szgek 80, 120 s 160. gy

Mivel a = 2r sina, s a kerleti szg (a) fele a hozz tartoz kzpponti szgnek,a = 1,3 m; b = 2 m; c = 1,7 m; k = 5 m.

8. A terletet az 5 hromszg s a ngyzetterleteinek szegeknt hatrozzuk meg.

5. A koszinuszttel

1. A c s az a oldalra felrt koszinuszttel alapjn s a = 40,9.gy b = 79,1.

2. Legyen a kt oldal a = 5x, illetve 4x = b. A koszinuszttel alapjn

gy

3. Legyen DE CB. AED-ben a koszinusztteltalkalmazva a = 45, b = 60.A trapz szgei 45; 60; 120; 135.

a b= =10061

8

61 cm s cm.

x = 2061

.

c = 5 7 13 2, [cm]

t = + 18 7 316

1 88, .

tr= + + 22

80 120 160 1 1(sin sin sin ) , . m2

c b= =sinsin

.70

5094

cm

b

b

+ =10 6050

sin

sin.

a

b= sin

sin,

60

50

1

1

60

60

150 150

12

3

2

1

1A

a b

B

CD

E

2 +3

3

2 3

32

35

4. A koszinuszttelt alkalmazzuk:e2 = 122 + 142 2 12 14 cos41,9 = 90,

b = b1 + b2 = 116,1,

d = 360 b g a = 134,5.

5. A gpek ltal megtett utak 600x; az utak ltal kzbezrt szg pedig 135.

A koszinuszttel alapjn x = 0,172 (x > 0). 10,32 perc.

6. A Heron-kplet alapjn t = 84. A terlet a kr sugara segtsgvel:

gy egysg.

7. Ha a2 + b2 < c2, akkor a koszinuszttel alapjn

Ez nem lehet igaz mindhrom szgre, gy ilyen hromszg nem ltezik.

8. Ha a2 + b2 2c2, b2 + c2 2a2, c2 + a2 2b2, akkor ezek sszege2a2 + 2b2 + 2c2 2a2 + 2b2 + 2c2.

Teht mindhrom esetben csak egyenlsg lehet. Az egyenletrendszert megoldva kapjuk,hogy a = b = c.

9. Tegyk fel, hogy teljesl a szinuszttel, azaz a : b : c = sina : sinb : sing. Legyena = xsina; b = xsinb; c = xsing. Ezeket a koszinuszttelbe behelyettestve kapjuk,hogy az egyenlsg teljesl. Mivel az talaktsok ekvivalensek, a ttelt belttuk.

a b a b abab

2 2 2 2 2090

+ < +

cos ,cos

ggg

r = 569

tr r= + 14

2

13

2.

6001

60x +

,

cos ,g g= + =10 6 90

2 10 667 5

2 2,

cos ,

cos

b b

b b

1

2 2

1

2

2 2

2

12 90 14

2 12 9080 4

10 90 6

2 10 90

= + =

= +

,

== 35 7, ,14

41,9

12

10

6

e

b1

d1

b2

d2

g


36

6. Trigonometrikus sszefggsek alkalmazsai

1. A koszinuszttel alapjn

Innen

Hasonlan

2. 422,5 km.

3. Az arnyok alapjn a szgek 20, 70 s 90. Az ismert oldal helyzete alapjn hrom esetvan.a) a = 70: c = 53,2 cm, b = 18,2 cm.b) a = 20: c = 137,4 cm, b = 146,2 cm.c) a = 90: c = 17 cm, b = 47 cm.

4. Ha az adott szg a, akkor a kvetkez koszinusztteleket rjuk fel:

Ezekbl b = 6,2 cm s c = 4,4 cm.

5. Tudjuk, hogy a szgfelez az tfogt a befogk arnyban osztja, a kt rsz ill.

rjuk fel ezekre a koszinuszttelt, s rjuk fel a Pitagorasz-ttelt

Ezek alapjn a = 9,12 cm s b = 4,1 cm.

10016 8 45

10016 8 45

2

22

2

22

2

b

a bb b

a

a ba a

a b

( )cos

( )cos

+ = +

+ = + +

;

;

22 100= .

10a

a b+ .

10b

a b+ ,

b sa

sa

c sa

sa

a a

a a

2 22

2 22

22

2

22

2180

= +

= +

cos ;

cos(

j

jj

a

);

cos .a b c bc2 2 2 2= +

s sb c= =79246

2 cm s cm.

sa = 1062 cm.

a c b

ac

ac s

ac

a2 2 2

22 2

24

22

+ =+

.

37

Msik megolds:A szinuszttelt alkalmazzuk

Innen

Pitagorasz ttele alapjn a2 + b2 = 100.Teht

Innen, mivel ab > 0

Teht

Innen

Teht a befogk 9,12 cm s 4,1 cm.

6. Legyen a villm kiindulpontja az A pont, a vgpontja B.A feladat szvege szerint A-bl 10 s, B-bl 12 s alatt s a dr-gs hangja a C megfigyelhz, s C-bl az AB szakasz 45alatt ltszik. Az AB szakaszra a koszinuszttelt felrva s a sz-mtst elvgezve: AB = 2844 m.

ba

ba

12

12

22

22

56 16 644 16 6

44 16 656 16 6

= = +

= +=

vagy

8 12 6100

100 192 6 928 0

2

2

4 2

+

+ =

+ + =b

b

b b

ab

ab

= += +

8 12 6

8 12 6

,

.

a b

a bab

aba b

a b ab

2 2

2 2

2 2

100

2 2

100 28

16 800 0

+ =+ =

+ = =

1 1 1

2a b+ = .

4

454

10 45

4 2

10 2

4

10

2

10

x

x

x

b

x

a

=

=

=

=

sin

sinsin

sin

b

a

a

b

x

10 x

45

45 a

b

A

B

C3960 m

3300 m

45


38

7. Mivel CQA = CRA = 90, R s Q illeszkedik AC Thaleszkrre. Mivel az adott vhez tartoz kerleti szgek egyen-lek, RQC = RAC = 90 g. Hasonlan belthat, hogyCQP = CBP = 90 g. gy RQP = 180 2g.CAQ-ben QA = b cosa, BPA-ben PA = c cosa.PAQ-ben koszinuszttel

PQ2 = b2 cos2a+ c2 cos2a 2bc cos2a cosa = cos2a a.Hasonlan belthat, hogy

RQ2 = cos2b b, RP2 = cos2g c.gy

8. Legyen a = 120, gy a a leghosszabb oldal. Legyen 2c = a + b. Ebbl s az a oldalra felrt

koszinuszttelbl addik, hogy s Ezeket behelyettestve a megfelel

koszinuszttelbe kapjuk, hogy g = 38,21 s b = 21,79.

7. sszegzsi kpletek

1. a)

b)

c)

2. a)

= (cosa sina)(cosa sina) = cos2a + sin2a 2sinacosa = 1 2sinacosa.

b)

3. a) sin(x + y) + sin(x y) = sinx cosy + cosx siny + sinx cosy cosx siny = 2sinx cosy.b) sin(x + y) sin(x y) = sinx cosy + cosx siny sinx cosy + cosx siny = 2cosx siny.

4. a) Tudjuk: sin(x + y) + sin(x y) = 2sinx cosy.

Legyen: s x + y = a s x y = b.y = a b2

x = +a b2

+ + = + =sin cos cos sin sin sin cos sin cos .a p a p a a a a a43

4

3

1

2

3

2

1

2

3

20

sin sin sin sin sin cos cos sina a p a p a a p a+ + + +

= + +

2

3

4

3

2

3

22

3

p +

24 4

24 4

sin cos sin cos cos sin cosp a p a p a p a p

+

=

44 4cos sin sina

p a =

sin ; cos .1056 2

4105

2 6

4 = + =

sin( ; cos( . = = +15 2 64

156 2

4) )

sin ; cos .752 6

475

6 2

4 = + =

a c= 75

.b c= 35

k a b c= + +cos cos cos .a b g

BA

P

Q

R

C

39

Teht:

b) Tudjuk: sin(x + y) sin(x y) = 2cosx siny.

Legyen: s x + y = a s x y = b.

Teht:

5. a) sing = sin(180 (a + b)) = sin((a + b) 180) = sin(a + b).b) sina sing cosa cosg = cos(a+ g) = cos((a+ g) 180) = cos(180 (a+ g)) = cosb.

6. a) sin(a + b + g) = sina cosb cosg + cosa sinb cosg + cosa cosb sing + sina sinb sing.b) sin(a + b g) = sina cosb cosg + cosa sinb cosg cosa cosb sing + sina sinb sing.c) cos(a b + g) = cosa cosb cosg + sina sinb cosg sina cosb sing + cosa sinb sing.

7. CPB-ben a szinuszttelbl:

CAP-ben a szinuszttelbl:

PAB-ben koszinuszttelbl tgj = 1,0796, gy j = 47,2.Teht x = 3,39 m s y = 2,35 m.

8. Az sszegzsi kpletek alkalmazsai

1. a) b) c)

2. a)

b)

=+

=

cos cossin sin

sin cossin sin

cos sinsin sin

a ba b

a ba b

a ba b

a1

ctg cttg

ctg ctg

bb a

+

1.

ctg( )cos( )

sin( )

cos cos sin sin

sin cos cos sia b a b

a ba b a ba b a

= =+ nnb =

=

+=

cos cossin sin

sin cossin sin

cos sinsin sin

a ba b

a ba b

a ba b

a1

ctg cttg

ctg ctg

bb a

+

1.

ctg( )cos( )

sin( )

cos cos sin sin

sin cos cos sia b a b

a ba b a ba b a

+ = ++ =+ nnb =

tg 105 2 3= .tg )( ; = 75 2 3tg 15 2 3= ;

x = 83

sin ;j

y = 2 3 cos ;j

sin sin cos sin .a b a b a b = + 22 2

y = a b2

x = +a b2

sin sin sin cos .a b a b a b+ = + 22 2

B

A

P120

120

C

x

y

j

3

4

5


40

3. Tudjuk:

gy:

4. a) A egyenletrendszer alapjn:

b) A egyenletrendszer alapjn:

c) A egyenletrendszer alapjn:

sin ; cos ;

sin ; cos .

a a

a a

1 1

2 2

1

17

4

171

17

4

17

= =

= =

sin

cossin cos

aa

a a

=+ =

1

412 2

sin ; cos ; ;

sin ; cos ; ;

sin

a a a

a a a

a

1 1 1

2 2 2

1

3

2

3

1

2

1

3

2

3

1

2

= = =

= = =

tg

tg

33 3 3

4 4 1

1

3

2

3

1

2

1

3

2

3

1

2

= = =

= = =

; cos ; ;

sin ; cos ; .

a a

a a a

tg

tg

cos sin

sin cos

2 2

2 2

1

31

a a

a a

=+ =

sin ; cos ;

sin ; cos ;

sin

a a

a a

a

1 1

2 2

3

4 15

8

4 15

8

4 15

8

4 15

8

4

= + =

= + =

= 1158

4 15

8

4 15

8

4 15

8

3

4 4

; cos ;

sin ; cos .

a

a a

= +

= = +

21

412 2

sin cos

sin cos

a a

a a

=+ =

ctg ctgctg ctg

ctg ctg

ctg

2ctg

22

1 1a a a a aa a

aa

= + = + =

( ) .

ctgctg ctg

ctg ctg( ) .a b a b

b a+ = +

1

41

d) A egyenletrendszer alapjn:

5. cos3a = 4cos3a 3cosa.

6. a)

b)

c) 2(cos(45 +a))2 = 2(cos45cosa sin45sina)2 = (cosa sina)2 == sin2a + cos2a 2sinacosa = 1 sin2a.

7. Legyen a = x; b = 2x, gy g = 180 3x.

A szinuszttel alapjn teht x = 54,3.

Koszinuszttellel a hinyz oldal is meghatrozhat.

c = 3,14 cm; a = 54,3; b = 108,6; g = 17,1

8. A szgfelezttel s koszinuszttelek alkalmazsval gy nincs ilyen

hromszg.

9. Trigonometrikus egyenletek, egyenltlensgek

1. a) b)

c) d)

2. a) b)

c)

3. a) x m m x n n= + = + p p p p2

27

62, , ;Z Z vagy

x n n= p p2

, .Z

x m m= p p12

, ;Zx k k= + 38

p p , ;Z

x n n= + p p6

, .Zx m m= + p p4

, ;Z

x l l= + p p3

, ;Zx k k= + p p3

, ;Z

cos ,g2

121

120=

cos ,x = 712

sin

sin

sin cos

sin

2 22

2 2

aa

a aa

a= = ctg .

2

2

2 2

2

2 2

sin

sin cos

sin cosaa aa a

a a= + = +tg ctg .

sin ; cos ;

sin ; cos .

a a

a a

1 1

2 2

1

5

2

51

5

2

5

= == =

cos

sinsin cos

aa

a a

=+ =

2

12 2


42

b)

c)

4.

5. a)

b)

c)

6. a) b)

c)

7. a)

b)

c) x n m x m m n= + + + 32

26

25

62

p p p p p p vagy ; ; .Z

p p p p2

23

22+ + n x n n; ;Z

p p p p p p p p2

27

62

22

62+ + + + m x m l x l m l vagy ; ; ;Z

+ + 23 6

p p p pl x l l; .Z

p p p p6

5

6+ < < + k x k k; ;Zp p p p

32

2

32+ + k x k k; ;Z

x k k= + p p8 2

; .Z

x k k= + p p4 2

; ;Z

x k x m x n k m n= + = + = + p p p p p p2

26

25

62 vagy vagy ; ; ; ;Z

x k k { }R Z\ .p2x m m x n n= + = + p p p p

22 2, , .Z Z vagy

x k k= + p p4

2 , ;Z

43

Fggvnyek

1. Az exponencilis- s logaritmusfggvny

1. a) x 22x = 4x; b) x log2 x2, x 0.

2. a) x |log2 x|, x > 0; b) x 2log2 x, x > 0; c) x log2 2x.

3. a) x log2 x2, x 0; x 2 log2 x, x > 0;

b) x x 0; x log2 x, x > 0.

x

1

2

3

4

1 2 3 4

y

1

2

3

4

5

12345x

1

2

3

4

1 2 3 4

y

1

2

3

4

5

12345

log ,22x

x

1

2

3

4

1 2 3 4

y

1

2

3

4

5

12345x

1

2

3

4

1 2 3 4

y

1

2

3

4

5

12345

x

1

2

3

1 2 3 4 5

y

1

2

3

4

1234x

1

2

3

1 2 3 4 5

y

1

2

3

4

1234x

1

2

3

1 2 3 4 5 6 7

y

1

2

3

4

12

x

1

2

3

4

1 2 3 4

y

1

2

3

4

5

12345

x

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2 3 4

y

112345


44

4. a) x log2 (x 2), x > 2; b) x x > 1;

(2; ) szig. mon. nv (1; 0] szig. mon. cskkenmax.: nincs [0; ) szig. mon. nvmin.: nincs max.: nincs

min.: helye x = 0rtke y = 0

c) x d) x 2|x 1|.

(; 2] szig. mon. nv (; 1] szig. mon. cskken[2; ) szig. mon. cskken [1; ) szig. mon. nvmax.: helye x = 2 max.: nincsmax.: rtke y = 1 min.: helye x = 1min.: nincs min.: rtke y = 1

2. Egyenletek s fggvnyek

1. a) 3x = 1 x; b) 2x = 1 + x; c) 3x + 6x = 9x;x = 0; x = 0; 1+ 2x = 3x;

x =1;

x

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2 3 4

y

112345x

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2 3 4 5

y

11234x

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2 3 4

y

112345

x

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5

y

11234x

1

2

3

4

5

6

1 2

y

11234567

1

3

2

+ ( );

x

x

1

2

3

4

1 2 3 4 5 6

y

1

2

3

4

5

123x

1

2

3

4

1 2 3 4 5 6

y

1

2

3

4

5

123

log ( ) ,12

1x +

45

d) 3|x| + 4|x| = 5|x|; e)

x1 = 2 x2 = 2;x = 1.

2. a) x log3 x = 18; b) log2 x = x 1;x1 = 1 x2 = 2;

c) d)

x

1

2

3

4

5

112 2 3 4 5 6 7

y

1

2

3

4x

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2 3 4 5 6 7 8 9

y

1

2 1

1 3

13

1 2

log ;

.

x x

x x

= = =

3 1 7

3

2 13

log ( ) log ;

;

x x

x

+ = +=

x

1

2

11 2 3

y

1

2

x

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5 6 7 8 9

y

1

2

log ;

;

318

9

xx

x

==

x

1

2

1

y

x

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4

y

112345

1 17 12 2 18 12 2+ +( ) = +( )x x ;1

4

3

5

3+

=

x x;

3 2 2 3 2 2 6( ) + +( ) =x x x ;


46

3. Trigonometrikus fggvnyek

1. a) f(x) = cos2x sin2x = cos2xDf = RRf = [1; 1]

zrushelyei:

pros fggvnyperidusa p

szig. mon. cskken; k Z

szig. mon. nv; l Z

korltos

b) g(x) = sinx cosx =

Dg = RRg = nem pros s nem pratlan fggvnyperidusa 2p

szig. mon. nv; k Z

szig. mon. cskken; l Z

zrushelyei:

korltos

c) f(x) =

Df = RRf = [2; 2]nem pros s nem pratlan fggvnyperidusa 2p

szig. mon. nv; n Z

szig. mon. cskken; m Z

zrushelyei:

korltos

x n n0 3= + p p; Z

p p p p6

27

62+ +

m m;

+ +

5

62

62

p p p pn n;

sin cos sinx x x+ = +3 2 3p

x m m0 4= + p p; Z

3

42

7

42

p p p p+ +l l;

+ +

p p p p4

23

42k k;

2 2;

24

sin xp

p p p p2+ +

l l;

k kp p p;2+

x k k0 4 2= + p p ; Z

47

d) h(x) =

Dh = RRh = [1; 1]nem pros s nem pratlan fggvnyperidusa 2p

szig. mon. nv; k Z

szig. mon. cskken; l Z

zrushelyei:

korltos

e) g(x) = sin4x + cos4x = (sin2x + cos2x)2 2sin2xcos2x =Dg = R

Rg =

pros fggvny

peridusa

szig. mon. nv; n Z


zrushelye nincskorltos

f) h(x) = sinx cosx =

Dh = R

Rh =

pratlan fggvnyperidusa 2pzrushelyei:


+ + + +

+ +

p p p p p p p p p p p p2

24

24

22

23

42

5

42k k k k k k; ; ;

x m m0 2= p ; Z

1

2

1

2;

sin, ( )

sin,

2

2 22

22

2

2 22

3

22

xk x k k

xm x m

ha

ha

+ +

+ +

p p p p

p p p p

Z

(( )m

Z

k kp p p2 4 2

; +

+

p p p4 2 2

n n;

p2

1

21;

3

4

4

4+ cos x

x n n0 3= + p p; Z

p p p p6

27

62+ +

l l;

+ +

5

62

62

p p p pk k;

1

2

3

2 3sin cos sinx x x+ = +

p


48

szig. mon. nv; m Zkorltos

2. a)

Rf = (; 4] [0; )zrushelye: x0 = 0minimuma nincsloklis minimum helye: x = 0

rtke: y = 0maximuma nincsloklis maximum helye: tgx = 2 x = 1,11

rtke: y = 4

szig. mon. nv

szig. mon. cskken

b)

Rg = Rzrushelye:

minimuma nincsmaximuma nincsszig. mon. nv

x0 4= p

Dg =

3

4 4

p p;

g xx

xx x( )

sin

cos; ;= + = +

1 2

2 4

3

4 4tg

p p p

1 11 4 4 0, ; ;

p p

p p2

1 11 02

; , ;

Df = { }p p p2 2 4; \

f xx

x xx( ) = + = + +

tg

tg tgtg

2

1

1

11

f xx x

x xx( )

cos sin

cos sin; ;= ++ +

1

1 2 2 2 2

2 2 p p

+ + + +

+ +

p p p p p p p p p p p p4

24

22

23

42

5

42

3

22m m m m m m; ; ;

49

4. Trigonometrikus egyenletek, egyenltlensgek (kiegszt anyag)

1. 3 db megolds.

2. Van vals gyk, ha

3. Rf = (; 2] [2; ).

4. A bal oldal maximuma 4, a jobb oldal minimuma 4.

5. a) y = x + np; n; m Z; b)

5. Vegyes feladatok (kiegszt anyag)

1. a)

b)

c)

2. a) x = 0,399; b) x = 1,49;

x

1

x

y

p

2

1+ sinx12

x

1

10x

x

1

y

p p p p p p p p8 4 4 8+ < < + + < < + k x k n x n k n vagy ( ; ).Z

1

21<


50

c) x = 0,86; d)

6. Inverz fggvnyek (kiegszt anyag)

1.

2. a) b)

3.

4. a)

Legyen a = arctgx s b = arctg ,1x

arctg arctg sgn ; ; \ { }.?

xx

x+ =

1

2 2 20

p a b p p

x

y

p

1

x

y

p

2

p

2

x1

y

1

x1

yp

1

x

1

x

y

p

2

sinx

x

1

x

y

p

2

ctgx

p

x = 1 4982

, .p

51

b)

Legyen a = arcsinx s b = arccosx, ekkor (1) (2) b [0; p].

sin cos .( ), ( )

a b a b p= = + =x x s 1 22

a p p 2 2;

arcsin arccos ( ).?

x x x+ = p2

1 1

tg tg

ctg tg;

a b

b aa b a b

= =

= = > + =

xx

x

s 1

0

8 pp

a b a b p2

02

;

; .< + =


52

Koordintageometria

1. Vektorok a koordinta-rendszerben. Mveletek koordintikkaladott vektorokkal (emlkeztet)

2. a) aG

= iG

+ jG; b) b

G= i

G+ 2j

G; c) c

G= 3i

G 4j

G;

d) dG

= 6jG; e) e

G= 2i

G+ 4j

G; f) f

G= 3i

G 5j

G.

3. a) aG

+ bG(1; 7); b) b

G+ cG

+ dG(5; 1); c) d

G bG(7; 14);

d) aG

+ bG

cG(3; 4); e) 2c

G(4; 6); f) 3d

G(21; 27);

g) h) i) 3aG

+ 2bG(3; 16)

j) 3cG

5dG(41; 54) k) 2(2a

G+ 6d

G)(80; 100) l)

4. a) (3, 1) (3, 1);

b) (5, 5) (5, 5);

c) (9, 5) (9, 5);

d) (12, 12) (12, 12).

5. a) 6; b) 15; c) 73; d) 92.

6.

2. Kt pont tvolsga. Kt vektor hajlsszge

1. a) b) c) d) e) 1; f)

2. a) 3; b) c) 13; d) 5; e) f) 4.

3. a) b) c) d)

4. a) b) c)

5. a) 90; b) 72,5; c) 176.

40 45 97+ + .10 13 29+ + ;34 2 10 26+ + ;12 2.106;5 2;10;

2 41;2 2;

11.65;13;13;2;

x = 207

.

BAJ GJ

ABJ GJJ

BAJ GJ

ABJ GJJ

BAJ GJ

ABJ GJJ

BAJ GJ

ABJ GJJ

+

21

4

15

4

57

4

33

4

G Gc a ; .

34

7 5( )G Gc a

3

5

21

5

27

5

Gd ; ;

1

3

1

2

2

3

Ga ; ;

53

6. a) 14; b) c) 21.

7. a) t = 18; b) D(7; 4).

8.

3. Szakasz osztpontjnak koordinti. A hromszg slypontjnakkoordinti

1. a) b) c) d) F(2; 1)

2. a) C(3; 0) D(6; 3); b) C(9; 4) D(6; 11);c) C(11; 0) D(12; 15); d) C(20; 19) D(16; 17).

3. a) b)

c) d) C(4; 3) D(0; 1).

4. a) C(6; 1) D(9; 4); b) C(14; 9) D(11; 16);c) C(20; 5) D(25; 20); d) C(32; 31) D(28; 29).

5. a) b) c)

d) e) f)

6. a) b) c)

7.

A kt felezpont egybeesik: P 27

4; .

G G GG G G G

G G G Gr

f fb c a d

a b c d= + =+ + +

= + + +2 42

2 22 4

.

G G GG G G G

G G G Gp

f fa b c d

a b c d= + =+ + +

= + + +1 32

2 22 4

;

D F( ; ) ; . 9 1

7

21D F( ; ) ; ;5 3 0

1

2

D F( ; ) ; ;

1 9

3

2

7

2

P

15

19

6

19; .P

13

72; ;P

15

8

3

8; ;

P3

5

6

5; ;

P

13

4

5

4; ;P

7

3

2

3; ;

C D120

34

25

3; ; ;

C D7

3

8

3

2

3

13

3; ; ;

C D1

4

32

5

3; ; ;

F5

2

15

2; ;

F

3

2

7

2; ;

F

3

2

3

2; ;

y = 50 3 9613

0 723, .

k = +6 2 2 26;

11

2;


54

8. a) S(3; 3); b) c)

9. a) C(4; 2); b) C(10; 10); c) C(10; 22).

10. a) A(4; 1) B(0; 5) C(10; 7);

b)

sG(2; 1); s

G(2; 1);

sG

= sG.

11. B(5; 1) C(2; 7)

4. Az egyenest meghatroz adatok a koordinta-rendszerben

1. a) x = 6; b) x = 6; c) x = 9;

d) x = 15; e) x = 4; f)

2. a) b) y = 5 c) y = 3

d) e) f)

3. a) nem; b) igen; c) igen; d) nem; e) nem.

4. a) igen; b) nem; c) nem; d) nem.

5. a) vG(3; 2) n

G(2; 3) a = 33,7;

b) vG(1; 1) n

G(1; 1) tga = 1 a = 45;

c) vG(5; 6) n

G(6; 5) tga = 1,2 a = 50,2.

6. a) nG(0; 2) v

G(1; 0) tga = 0 a = 0;

b) nG(1; 2) v

G(2; 1) a = 26,6;

c) nG(3; 5) v

G(5; 3) tga = 0,6 a = 31;

d) nG(2; 5) v

G(5; 2) tga = 0,4 a = 21,8.

7. a) mf = 1; a = 45; b) c) mf = 2; a = 63,4;

d) e) f) nem rtelmezhet, a = 90.

8. a) y = 18; b) y = 2.

m f = = 15

24; a ;m f = =13 18 4; ,a ;

m f = = 15 11 3; ,a ;

tga = 12

tga = 23

y = +2 2 175

.y = 113

;y = 317

;

y = 175

;

x = ( )3 2 2 .

S5

3

11

3; .

G G G Gs

a b c'= + +

3

G G G Gs

f f f= + +1 2 33

S1

3

8

3; .

S

2

31; ;

55

5. Az egyenes egyenlete I.

1. a) x + y = 0; b) 2x + 3y = 0; c) x + 4y = 0;d) 5x 3y = 0; e) 4x + 8y = 0.

2. a) x + y = 1; b) 3x + y = 6; c) x 4y = 19.

3. a) nG(0; 1) v

G(1; 0) tga = 0;

b) nG(1; 1) v

G(1; 1) tga = 1;

c) nG(1; 3) v

G(3; 1)

d) nG(4; 1) v

G(1; 4) tga = 4;

e) nG(1; 0) v

G(0; 1) nem rtelmezhet.

4. a) b) y = 4; c)

d) y = 14; e) f)

5. a) x y = 0; b) x + 7y = 5; c) 12x 10y = 37; d) 20x + 6y = 79.

6. a) 2x 3y = 4; b) c) 2x y = 0.

6. Az egyenes egyenlete II.

1. a) x y = 0; b) 3x 2y = 0; c) 4x + y = 0;

d) 7x + 5y = 0; e) 2x 8y = 0; f)

2. a) x 2y = 2; b) 5x + 2y = 11; c) 2x 7y = 64.

3. a) x 2y = 0; b) x y = 0; c)

d) x = 0; e) x + y = 0; f)

4. a) y = x 1; b) y = 3x + 8; c) y = 2x + 1.

5. a) x 3y = 0; b) 13x + 6y = 4; c) 6x y = 13.

6. 2y = x.

7. a) 2x 3y = 16; b) 3x + 2y = 11.

8. a = 2 vagy a = 2.

9.

10. Igen.

p p= = 2 3 2 3 vagy .

3 0x y+ = .3 0x y = ;

5 0x y = .

3 2 3 4x y = ;

y = 3 5 52

.y = 16

;

y = 72

;y = 32

;

tg ;a = 13


56

11. t = 15.

12. a: 7x 2y = 20; fa: 2x + 7y = 17;b: x 2y = 4; fb: 2x + y = 3;c: x + y = 10; fc: x y = 2.

13. a: 7x 3y = 22; sa: x + 11y = 14;b: 3x 7y = 2; sb: 11x + y = 6;c: x + y = 4; sc: x y = 2.

14. a: 2x + 5y = 2; ma: 5x 2y = 0;b: 3x y = 1; mb: x + 3y = 0;c: 7x + 4y = 34; mc: 4x 7y = 0.

7. Kt egyenes metszspontja, tvolsga, hajlsszge

1. a) M(2; 3); b) M(1; 4); c)

d) M(1; 1); e) nincs, e f.

2.

3.

4. a) b) c) d) e) f) 0.

5.

6. a) 6; b) c) d) 0.

7. t = 27;

8. a) 26,6; b) 45; c) 26,6; d) 45; e) 0.

9. a = 45; b= 59; g = 76.

10. t = 72; a = 76; b= 70,3; g = 33,7.

11. t M = 47

436

11

256

171; ; .

m m ma b c= = =24 55 9 272 53

53; ; ;

5 34

17;

5 2

2;

m m m ta b c= = = = 37837 2

10

37 34

34

1369

8017 1; ; ; , .

16

5;

13

5;5;

12

5;

2

5;

P355

46

11

46; .

A B C3

8

45

8

12

51 5 1; ; ( ; ).

M

1

2

1

2; ;

57

12.

13.

8. A kr egyenlete

1. a) x2 + (y 1)2 = 4; b) (x 3)2 + (y 1)2 = 25;

c) d) (x + 1)2 + (y + 5)2 = 3.

2. a) (x + 2)2 + y2 = 4; b) x2 + (y 4)2 = 5;c) (x 4)2 + (y + 2)2 = 13; d) (x 5)2 + (y + 1)2 = 50.

3. a) K(0; 2) r = 2; b) K(1; 1) r = 1; c)

d) Nem kr. e)

4. p < 25.

a) p = 24; b) p = 16; c) d) p = 20; e) f) nincs ilyen p.

5. K(2; 1) r = 6;

6. a) b)

c) x2 + y2 = 13.

7. (x 3)2 + (y 3)2 = 9.

9. A kr s az egyenes klcsns helyzete; kt kr kzs pontjai

1. a) b)

c) d)

e)

+ +

24 26

10

8 3 26

10

24 26

10

8 3 26

10; ; .

3 2

2

3 2

2; rinti;1

14

21

14

21

14

21

14

2+

+

; ; ;

3 2

2

3 2

2

3 2

2

3 2

2; ; ;

3 2

2

3 2

2

3 2

2

3 2

2; ; ;

x y +

=

23

8

23

8

289

32

2 2

;x y + =

3

22

25

4

22( ) ;

0 4 2 1 0 1 4 2 2 35 0 2 35 0; ; ; ; .( ) ( ) +( ) ( )

p = 914

;p = 914

;

K r3 5 7; .( ) =K r

1

2

3

4

53

4; ;

=

( ) ( ) ;x y+ + =2 4 14

2 2

t = 867 35

.

M153

44

51

1195 8; ; ,

=a .


58

2. a) r = 2; b) r = 3; c)

3. a) (x 1)2 + (y 1)2 = 1(x + 1)2 + (y 1)2 = 1;

b)

c)

d)

e)

f)

4.

5.

6. a)

b)

7.

8. a) b) c) 106 4 106 4 < < +r .r = 106 4;r < 106 4;

M L

+

5 4 91

53

168 14 91

53

4 91 5

53

168 14 91

53; ; .

5 2 5 29 5 2 5 29x y x y+ = + = .2 5 5 29 29 2 5 29 5 29x y x y = = ;

A B4 2 2 0 0 4 2 2+( ) +( ); ; .x y

+

=

10 8 5

5

4 5

516

2 2

.

x y + + +

=

8 2 5

5

4 5

516

2 2

;

x y+ +( ) + ( ) = +( )7 2 5 7 2 5 7 2 52 2 2 .x y+ ( ) + +( ) = ( )7 2 5 7 2 5 7 2 52 2 2x y+ +( ) + + +( ) = +( )7 2 6 7 2 6 7 2 62 2 2 ;x y+ ( ) + + ( ) = ( )7 2 6 7 2 6 7 2 62 2 2x y ( ) + + +( ) = +( )7 2 5 7 2 5 7 2 52 2 2 ;x y +( ) + + ( ) = ( )7 2 5 7 2 5 7 2 52 2 2x y+ +( ) + ( ) = +( )5 2 2 5 2 2 5 2 22 2 2 ;x y+ ( ) + +( ) = ( )5 2 2 5 2 2 5 2 22 2 2x y +( ) + +( ) = ( )5 2 3 5 2 3 5 2 32 2 2 ;x y ( ) + ( ) = +( )5 2 3 5 2 3 5 2 32 2 2

r = 115

.

59

9. a)

b)

c) 7x + 17y = 73 x y = 7;

d)

e) bels pont, gy nincs rint

10. A parabola egyenlete

1. a)

b)

2. a) b)

c) d) F(1; 1); y = 1; T(1; 0).

3. a)

b)

c)

d)

4. a) y = 2; b) 2x + y = 1; c) 10x + y = 7;d) 4x + y = 2; e) 6x y = 23; f) 16x + y = 34.

5. a) b) Bels pont, gy nincs rint.

c) 2x y = 3; d) y = 2;

e) y = 2; y = 3x 162; f)

y x= +( ) 8 4 5 4 5 14.y x= ( ) + 8 4 5 4 5 14;

y x y x= ( ) = +( )6 2 7 2 7 6; ;

2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 ( ) + ( ); ; .7 4 34

9

2 34

3

7 4 34

9

34 2

3

+

; ; ;

+

9 97

8

1 97

4

97 9

8

1 97

4; ; ;

1 17

2

17 1

2

17 1

2

17 1

2

+

; ; ;

F y T = 1

1

2

7

21 2; ; ( ; );;

F y T21

4

1

42 0; ; ( ; );

= ;F y T0

1

4

1

40 0; ; ( ; );

= ;

x y F y x y F y2 26 03

2

3

26 0

3

2

3

2=

= =

=; ; ; ; ; ; . vagy

y x F x y x F x2 263

20

3

26

3

20

3

2=

= =

=; ; ; ; ; ; ; vagy

35 4 33 17 49 8 33 4 33 35 17 49 8 33+( ) = ( ) + = x y x y ;20 2 66 17 28 4 66 2 66 20 17 28 4 66( ) + = + +( ) + = x y x y ;7 5 7 5y x y x= + = ;


60

6. a)

b)

c) (0; 0).

7.

11. A parabola s a msodfok fggvny (kiegszt anyag)

1. a) x = 2; b) c) d) e)

2. a) (1; 2); b) (3; 5); c) (8; 5).

3. a) x x2 b)

p = 2; T(0; 3); F(0; 2); y = 4;

c) x 2(x 3)2 d)

x

1

2 4 6 8

y

2

4

6

8

10

12

246x

1

1 2 3 4 5 6

y

1

2

3

4

5

6

7

8

123

p T F y=

=

1

4

1

2

25

2

1

2

99

8

101

8; ; ; ; ; .p T F y=

=

1

43 0 3

1

8

1

8; ( ; ); ; ; ;

x x x x 2 2 12 2 12

25

22

2

+ = +

x

1

2

3

4

1 2 3 4

y

1

2

3

4

5

12345

x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 2 3 4

y

12345

p T F y= =

1

20 0 0

1

4

1

4; ( ; ); ; ; ;

xx

2

43

x = 116

.x = 5 22

;x = 52

;x = 12

;

C B k t3 3 3 3 6 3 3 3; ; .( ) ( ) = =

+ +

+ +

2 93 6

2

3 93

2

2 93 6

2

3 93

2; ; ;

2 17 2

2

17 1

2

2 17 2

2

17 1

2; ; ;

61

4. a) b) x 2(x 1)2 + 2; c)

5.

12. Kpszeletek s egyenleteik a koordinta-rendszerben (kiegszt anyag)

1. a) 2a = 10; 2b = 6; b) 2a = 30; 2b = 5; c)

2. a)

b)

c)

d)

4. a) b) c) d)

5. F1(2; 2); F2(2; 2); y = x; y = x.

xy

22

91 = .x y2 2

9 721 = ;x y2 2

9 401 = ;x y2 2

9 161 = ;

F ax y

2

2 27 0 2 2 263

263 2561( ) = + =; ; ; .

F ax y

2

2 21 0 2 2 257

257 2561( ; ); ; ;= + =

F ax y

2

2 25 0 2 2 281

281 2561( ; ); ; ; = + =

F ax y

2

2 23 0 2 2 265

265 2561( ; ); ; ;= + =

2 2 5 2 2 3a b= =; .

9

55 1

5

91 52 2( ) ( ) ( ) .y x x x+ =

x x 14

53

22( ) . +x x + +1

61 22( ) ;


62

Valsznsgszmts, statisztika

1. Klasszikus valsznsgi modell

1. b) Azonosak a szerepek.

c) .

3. A komplementer esemny valsznsgt rdemes meghatrozni: azaz, hogy nem hztunkszt. Ekkor a tbbi 28 lapbl vlasztunk 4-et.

4. A komplementer esemny valsznsgt hatrozzuk meg, azaz a legalacsonyabb nemkzvetlenl utna vonul be.

5. Anna nyerszmai: 2; 4; 6. (A = {2; 4; 6});Bla nyerszmai: 3; 5. (B = {3; 5}).Annak a valsznsge, hogy valamelyikk nyer:

gy az 1 dobsnak valsznsge:

6. a) b) c) d)

7. A: prost dobtunk; B: prmet dobtunk;C: sszetett szmot dobtunk; D: 3-mal oszthat szmot dobtunk.

p p D p( ) ( ) ( ) ;3 61

8= =

p p B p C( ) ( ) ( ) ;1 11

10= =

p( ) ;62

5=

p A p B p C p D( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ;= = = =1320

3

8

21

40

21

40

p = 1132

.p = 2132

;p = 132

;p = 2432

;

12

17 + =p A B( ) .

p A B p A p B p A B( ) ( ) ( ) ( ) .+ = + = + =817

7

170

15

17

p A p A( ) ( )!

!.= = =1 1 10

11

10

11

p A p A( ) ( ) .= =

1 1

284

324

1

2

63

8. a)

Kedvez esetek: az els dobsnl 6-fle lehetsg, a msodiknl pedig 5-fle van stb.sszes eset: minden dobsnl 6-fle lehetsg van.

b)

Kedvez esetek: az els dobs 1 lehetsg, a tbbinl 5 lehetsg van.

c)

Kedvez esetek: az els kt dobsnl 1-1 lehetsg, a harmadiknl 5 lehetsg, majdmindig 1-gyel kevesebb van.

d)

Kedvez esetek: a kt 6-os dobson kvli 4 dobsnl 5 lehetsg van, majd megszo-rozzuk azzal, ahnyfle sorrendben a kt 6-ost dobhatjuk (amelyik kt dobs 6-os).

e) A komplementer esemny valsznsgt hatrozzuk meg: azaz hogy nincs hatos. Eztvonjuk ki 1-bl.

9. 1-flekppen nincs fej.

p A B( ) . = + =

4

2

6

2

5

84 4

egyfej

ktfej

p B( ) .= =52

5

164

p B( ) .= + =

1

1

2

4

2

11

164 4

nincsrs

egyrsvan

p A( ) .= =12

1

164

p A( ) ,= =1 12

15

164

p = 1 56

6

6.

p =

5

662

4

6.

p = 566

!.

p = 56

5

6.

p = 666

!.

p p B p p( ) ( ) ( ) ( ) .5 2 31

8= =

p p

sokszínű matematika megoldás 11

Documents