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11. 보와 축의 설계

굽힘 및 전단하중을 지탱하는 보의

설계 방법

굽힘 및 비틀림 모멘트를 모두 지탱할

수 있는 축의 설계 방법


11.1 보 설계의 기초

보의 설계 기준

· 강도 기준

· 좌굴 기준

· 보의 처짐 기준

보(beam): 길이방향에 수직하게 작용하는 횡 하중을 지탱

하도록 설계된 구조부재

beams normally support a large shear load at their supports


11.2 균일 단면 보 전체에 걸친 응력 변화


외팔보의 응력궤적(stress trajectory)

· 응력궤적 곡선들은 같은 크기를 갖는 주응력의 방향을 나타낸다.· 실선은 인장응력을, 점선은 압축응력을 나타낸다.· 이 곡선들의 방향을 알면 보가 갈라지거나 불안정해지지 않도록

보강해야 하는 위치를 결정하는데 도움이 된다.

Stress trajectories for cantilevered beam


국부 응력

· 하중 작용점에서는 하중으로 인한 국부적인 응력이 추가로 발생

Þ 굽힘응력 sx 이 외에도 하중 작용점에 압축응력 sy가

전단응력 txy 추가적으로 작용

· sx >> sy


w=120kN/m의 분포하중을 받는 플랜지보에서 점 1~5의 주응력은?단, 웨브와 플랜지의 접합부분에서는 필렛의 영향과 응력집중을 무시.

단면의 성질: 보의 중립축에 대한 관성모멘트

]).)(.)(.().)(.([]).)(.([ 233 107500150175001501750121220010

121I ++=

평형방정식: 그림(b)의 절단부에 평형조건

자유물체도: 점 B의 지점 반력

예제 11-1

mkNMkNV ×== 6.30,84

kNRB 84=24

135

46 m10467I )(. -=

]).)(.().)(.[( 33 2000165023001750121I -=


모멘트 M에의한 응력

MPa445I

My00

MPa252I

Mc

42

354321

51

.

,

.

==s=s

=s=t=t=t=t=t

==s=s

).)((.)]..)(.()..)(.)][(([

].)][(.[)]..)(.)][(([

01001046701001000050001501750107501084

ItVQ

01001046701501750107501084

ItVQ

6

3

3

6

3

2

-

-

´+´==t

´==t

전단력 V에 의한 응력

MPA441It

VQ00

MPa235It

VQ

3

5154321

42

.

,

.

==t

=t=t=s=s=s=s=s

==t=t

)(.].)][(.[

)(.].)][(.[

6

3

2

6

3

1

10467100010630

IMy

10467115010630

IMc

-

-

==s

==s


주응력 방향 성분

요소 3

qp2 = 45°

s1 = 41.4 Mpa s2 = - 41.4 MPa

요소 2

s1 = 19.2 MPas2 = 64.6 MPa

C= 22.7 R=41.9

qp2 = 28.6°

s1, s2 = C+/-R


11.3 균일단면 보의 설계

강도(좌굴, 처짐)기준에서 보 단면의 형상과 치수선택

allowdreq

MSs

='IMc

=s

S = 단면계수(section modulus): 자중을 고려, 계산 보다 약간 큰 S 선택

· 보의 단면이 직사각형 Þ 폭, 높이 결정

· 넓은 플렌지 보 Þ 핸드북에서 S>Sreq’d 만족하는 것을 선택

· 중립축에 대하여 대칭(symmetric)인 단면

Þ 재료의 허용 굽힘응력이 인장과 압축에서 동일

· tallow ³ VQ/It 만족 여부 검토 Þ 불만족 시에 전단응력 기준 설계

(11-1)


제작보

• 원하는 형상이 될 때까지 강 괴(ingot)를 열간 가공

• 미국 강 구조 연구소(AISC)의 매뉴얼(부록 B의 표 참조)

• 제작 및 취급이 용이한 사각형 단면이 대부분

• 미국 임산품 협회(AFPA)의 매뉴얼

• 원목재의 크기

- 공칭(normal)치수 : 2 in * 4 in - 실제(actual)치수 : 1.5 in * 3.5 in

강재 제작보

목재 제작보

W18*46

weight=46 lb/ft

(ex) wide flange W18*46

height=18 ft


조립보

S = I/c Þ I를 증가시키기 위해서는 재료를 중립축에서 먼 곳에 위치

높이가 높은 플랜지 보를 사용하면 모멘트를 효율적으로 지탱

높이가 높은 I형 단면 조립보를 평판거더(plate girder)라고 함

목재 상지보 적층 접착보(glulam beam)

보의 길이가 긴 경우에 사용

평판 거더(plate girder)


해석과정

allowdreq

MSs

max' =

ItQV

allowmax=t

체결제의 적절성

전단응력

굽힘응력

전단력 및 모멘트 선도

체결재가 지탱할 수 있는 전단응력에 의해 결정

허용 전단응력을 초과하지 않는지 검토

단면계수 결정 , 보 설계

SFD & BMD 보의 최대 전단력과 모멘트 구함


sallow= 24 ksi, tallow=14.5 ksi 일 때 적합한 W형 보를 선택.

32' 60

/24)/.12(120 in

inkipftinftkipMS

allowdreq =

×==

s

ksiksiin

kipAV

wavg 5.1432.5

)315.090.17(30

2max <=

´==t

\ W18*40 사용

전단응력

부록 B 에서 , W18*40 S =68.4 in3 선택

(Sreq’d= 60 in3 < 68.4 in3 ), d= 17.90in, tw=0.315 in

굽힘응력

전단 및 모멘트 선도로부터

예제 11-2

ftkipMkipV ×== 120,30 maxmax


높이/폭의 비=1.5, w=12kN/m 일 때, 허용되는 보의 최소 폭은?단, sallow= 9 MPa , tallow= 0.6 Mpa, 보의 자중은 무시.

323' 00119.0

/)10(967.10 m

mkNmkNMS

allowdreq =

×==

s

mama

ma

aa

cIS dreq

147.0003160.0

00119.0)2/5.1(

)5.1)((121

33

3

3

'

=\=

===

굽힘응력

폭 = a 높이=1.5a

전단응력 검토 필요


예제 11-3

폭 = 0.147 m 높이=1.5a

mkNMkNV ×== 7.10,20 maxmax


0.929 > 0.6 MPa이므로 전단 기준에 만족되지 않아, 전단기준 재설계

mm183m1830aa51a

kN2023mkN600

AV

23 2

allow

==\

=Þ=t

.).)((

/max

MPamm

kNA

V 929.0)147.05.1)(147.0(

205.15.1 maxmax =

´×

==t

전단응력



예제 11-4

sallow= 12MPa , tallow= 0.8MPa인 두 판재가 일체로 거동하기 위해필요한 못의 간격은 ? 단, 못 하나가 1.5 kN의 전단력을 지탱.

굽힘응력

kN51V .max =

mkN2M ×=max


전단응력

kPa309m030m1012560

m103720kN51tI

VQkPa800

46

33allow

===t

=t

-

-

).()(.)](.[.

max 만족

maxt³tallow

33 m103720m030m157502

m15750AyQ )(.)].)(.)[(.( -==¢¢=


33)10(345.0 mAyQ -=¢¢=

mkNmmkN

IQVq

mkNm

mkNIQVq

CDCD

BCBC

/74.5)10(125.60

)10(345.0[1

/61.8)10(125.60

)10(345.0[5.1

46

33

46

33

==×

=

==×

=

-

-

-

-

mmkN

kNS

mmkN

kNS

CD

BC

261.0/74.5

50.1

174.0/61.8

50.1

==

== 못의 실제 간격:SBC = 150 mmSCD = 250 mm

못의 간격

못의 역활은 전단력 V의 지탱:

각 구간에서의 전단류

각 구간에서의 못의 간격

구간 BC : V = 1.5kN , 구간 CD : V = 1kN


11.4 완전응력 보

· Mmax가 작용하는 단면과 동일한 단면을 갖는 균일한 보는 비효율적

Þ 비균일 단면 보(nonprismatic beam) 사용

· 비균일 단면 보(nonprismatic beam) 의 해석

- 실험적인 방법, 탄성학 이론을 이용한 해석

- 보의 위, 아래 경계면의 경사가 심하지 않을 경우 Þ 굽힘공식 사용

)()()(,

xcxIxSMS

allow

==s

® I(x), c(x) 결정

비균일 단면 보의 예


완전 응력 상태가 되도록 그 형태를 구하라.

풀이

xLhh

Lxathhb

PLhxb

Ph

cISxP

hbh

cI

xPMxPMS

allowallow

allow

allowallow

)2(

)2

(2

33

)(22/

12/

)2

(2

202

02

02

3

=\

===Þ=

===

===

Q

Q

Q

ss

s

ss

예제 11-5


보에 작용하는 절대 최대 수직응력은?

LxxLxLxLxLx

LxLxxLx

bhPL

dxd

LxbhxPL

bh

hPxIMc

LxLhhx

Lhh

210404844

0)2(

)2)(2)(2()2(1)6(

)2(6

121

)2/(

)2(2

22222

4

2

20

2

220

2

3

00

0

=\=-Þ=--++

=+

+-+=

+===

+=+=

s

s

보의 높이 h=h(x):

예제 11-6


이 결과를 식(1)에 대입하여 정리하면, 절대 최대 수직응력은

20max 4

3bhPL

abs =\s

벽면 B에서의 최대 수직응력은

203

0

0max 3

2

])3(121[

)5.1()(bhPL

hb

hPLIMc

B ===s

%1.11)(,)(89

maxmax

maxmax

aboutBabsBabs ssss f=Ä


11.5 축의 설계

동력을 전달하는 균일단면 축의 설계: 예) 풀리(fully) , 치차 (gear)

하중들을 직교하는 두평면의 성분으로 분해

y-z평면 BMD 선도 x-y평면 BMD 선도

TMD 선도


• M, T 작용 Þ 축의 취약 요소 찾음

• smax , t max : C, D에서 발생

• 전단력에 의한 영향은 무시

IMc

=s

223

2222

equ

TMc2

JTc

I2MC

2

+p

=

+=t+s

=t )()()(

2/,4/ 44 cJcI pp ==31

22 )2( TMcallow

+=pt

축의 반경 c:(11-2)

JTc

=t


최대 전단응력 이론과 tallow= 50MPa을 사용할 때, 축의 최소 직경은?

굽힘모멘트의 취약점은점 C또는 점 BmNM

mNmNmNM

B

C

×=

×=×+×=

5.75.124)5.37()75.118( 22

예제 11-7


최대 전단응력 이론에 의한 설계이므로, 식 (11-2)에 적용

mmmdmTMcallow

3.23)0117.0(20117.0)2( 31

22 ==\=+=pt


질문 및 토의

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