sólidos de revolução -...

www.nsaulasparticulares.com.br Página 1 de 17

Sólidos de Revolução

1. (Cefet MG 2015) Na figura a seguir, ABCD é um retângulo inscrito em um setor circular de

raio R com 2

AB R .3

O volume do sólido de revolução gerado pela rotação desse retângulo em torno de um eixo que

contenha o segmento AD, em função de R, é igual a

a) R35

.3

π

b) R38

.9

π

c) R34 5

.27

π

d) R310

.49

π

e) R35 5

.54

π

2. (Ifsc 2015) A respeito de um cone com geratriz de 1,5m e raio da base de 0,9m, um aluno

fez as seguintes afirmações: I. É um sólido de revolução proveniente de um triângulo retângulo cujo eixo de revolução é um

cateto de 0,9m.

II. O cone em questão pode ser inscrito num cilindro de raio da base com 0,9m e seção

meridiana com 21,08m .

III. O volume do cone é 30,324 m .π


Assim, dentre as alternativas abaixo, assinale a soma da(s) afirmações CORRETA(S). 01) A afirmação III é verdadeira. 02) A afirmação II é verdadeira. 04) Todas afirmações são verdadeiras. 08) Somente as afirmações I e II são verdadeiras. 16) Somente as afirmações II e III são verdadeiras. 32) Somente as afirmações I e III são verdadeiras. 3. (Espcex (Aman) 2015) Um cone de revolução tem altura 4 cm e está circunscrito a uma

esfera de raio 1cm. O volume desse cone (em 3cm ) é igual a

a) 1

.3π

b) 2

.3π

c) 4

.3π

d) 8

.3π

e) 3 .π

4. (Uemg 2014) Uma empresa deseja fabricar uma peça maciça cujo formato é um sólido de

revolução obtido pela rotação de um trapézio isósceles em torno da base menor, como mostra a figura a seguir. As dimensões do trapézio são: base maior igual a 15 cm, base menor igual a 7 cm e altura do trapézio igual a 3 cm.

Considerando-se 3,π o volume, em litros, da peça fabricada corresponde a a) 0,212. b) 0,333. c) 0,478. d) 0,536. 5. (Ita 2014) Três circunferências C1, C2 e C3 são tangentes entre si, duas a duas,

externamente. Os raios r1, r2 e r3 destas circunferências constituem, nesta ordem, uma

progressão geométrica de razão 1

.3

A soma dos comprimentos de C1, C2 e C3 é igual a

26 cm.π Determine:

a) a área do triângulo cujos vértices são os centros de C1, C2 e C3. b) o volume do sólido de revolução obtido pela rotação do triângulo em torno da reta que

contém o maior lado.


6. (Ita 2014) Considere o sólido de revolução obtido pela rotação de um triângulo isósceles

ABC em torno de uma reta paralela à base BC que dista 0, 25 cm do vértice A e 0, 75 cm da

base BC. Se o lado AB mede 2 1

cm,2

π

π

o volume desse sólido, em cm

3, é igual a

a) 9

.16

b) 13

.96

c) 7

.24

d) 9

.24

e) 11

.96

7. (Esc. Naval 2014) A área da superfície de revolução gerada pela rotação do triângulo

equilátero ABC em torno do eixo XY na figura abaixo, em unidade de área é

a) 29 aπ

b) 29 2 aπ

c) 29 3 aπ

d) 26 3 aπ

e) 26 2 aπ

8. (Fgv 2012) Um losango ABCD de lado 12 cm e medida do ângulo BAD igual a α é

rotacionado por um eixo sobre AB, gerando um sólido de revolução denotado por S.


a) Calcule o volume de S, em 3cm , quando 30 .α

b) Considere .2

πα π Seccionando S por um plano que contém ED e é perpendicular a

AB, dividimos S em dois sólidos, 1S e 2S . Sendo R a razão entre o maior volume dentre os

dois sólidos e o menor, determine R em função de cos .α

9. (Ita 2012) Em um plano estão situados uma circunferência ω de raio 2 cm e um ponto P que

dista 2 2 cm do centro de ω . Considere os segmentos PA e PB tangentes a ω nos pontos

A e B, respectivamente. Ao girar a região fechada delimitada pelos segmentos PA e PB e pelo arco menor AB em torno de um eixo passando pelo centro de ω e perpendicular ao segmento

PA , obtém-se um sólido de revolução. Determine: a) A área total da superfície do sólido. b) O volume do sólido. 10. (Enem 2011) A figura seguinte mostra um modelo de sombrinha muito usado em países orientais.

Esta figura é uma representação de uma superfície de revolução chamada de a) pirâmide. b) semiesfera. c) cilindro. d) tronco de cone. e) cone.


TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES: Os sólidos de revolução são gerados pela rotação completa de uma figura plana em torno de um eixo. Por exemplo, rotacionando um quadrado em torno de um eixo que passa por um de seus lados obtemos um cilindro circular reto, como mostra a figura.

11. (Insper 2011) Um quadrado de lados medindo 1cm sofre uma rotação completa em torno

de um eixo paralelo a um de seus lados. A distância desse eixo a um dos vértices do quadrado é xcm, como mostra a figura.

O gráfico que melhor representa a área total S do sólido gerado por essa rotação, em 2cm ,

em função de x, para x 0, é

a) b) c)

d) e)


12. (Insper 2011) Considere o sólido gerado pela rotação completa do triângulo acutângulo

ABC, de área S, em torno de um eixo que passa pelo lado BC, que tem comprimento .

O volume desse sólido é igual a

a) 24 S

.3

π

b) 22 S

.3

π

c) 4 S

.3

π

d) 2 S

.3

π

e) S

.3

π

13. (Enem 2ª aplicação 2010) Numa feira de artesanato, uma pessoa constrói formas geométricas de aviões, bicicletas, carros e outros engenhos com arame inextensível. Em certo momento, ele construiu uma forma tendo como eixo de apoio outro arame retilíneo e rígido, cuja aparência é mostrada na

Ao girar tal forma em torno do eixo, formou-se a imagem de um foguete, que pode ser pensado como composição, por justaposição, de diversos sólidos básicos de revolução. Sabendo que, a figura, os pontos B, C, E e F são colineares, AB = 4FG, BC = 3FG, EF = 2FG, e utilizando-se daquela forma de pensar o foguete, a decomposição deste, no sentido da ponta para a cauda, é formada pela seguinte sequência de sólidos: a) pirâmide, cilindro reto, cone reto, cilindro reto. b) cilindro reto, tronco de cone, cilindro reto, cone equilátero. c) cone reto, cilindro reto, tronco de cone e cilindro equilátero. d) cone equilátero, cilindro reto, pirâmide, cilindro. e) cone, cilindro equilátero, tronco de pirâmide, cilindro. 14. (Ita 2008) Seja C uma circunferência de raio r e centro O e AB um diâmetro de C.

Considere o triângulo equilátero BDE inscrito em C. Traça-se a reta s passando pelos pontos O

e E até interceptar em F a reta t tangente à circunferência C no ponto A. Determine o volume

do sólido de revolução gerado pela rotação da região limitada pelo arco AE e pelos segmentos

AF e EF em torno do diâmetro AB.


15. (Ufpr 2007) Um sólido de revolução é um objeto obtido a partir da rotação de uma figura

plana em torno de um dos eixos coordenados. Por exemplo, rotacionando-se um retângulo em

torno do eixo y, pode-se obter um cilindro, como na figura 1.

Considere agora a região R do primeiro quadrante do plano xy delimitada pelas retas r1: y = x,

r2: x = 0, r3: x = 1 pela circunferência ã: x2 + (y - 4)

2 = 1.

a) Utilize os eixos cartesianos da figura 2 para fazer um esboço da região R e do sólido de

revolução obtido pela rotação dessa região em torno do eixo y.

b) Encontre o volume do sólido de revolução obtido no item anterior.

16. (Pucsp 2004) O retângulo ABCD seguinte, representado num sistema de coordenadas

cartesianas ortogonais, é tal que A = (2; 8), B = (4; 8), C = (4; 0) e D = (2; 0).

Girando-se esse retângulo em torno do eixo das ordenadas, obtém-se um sólido de revolução

cujo volume é

a) 24ð b) 32π

c) 36ð d) 48ð e) 96ð 17. (Ufsm 2002) Um retângulo de lados x e y, com x > y, gira, primeiro, ao redor de um eixo

que contém o lado x e, depois, ao redor de um eixo que contém o lado y. No primeiro caso, é

gerado um sólido de revolução com área lateral S1 e volume V1. No segundo caso, o sólido

gerado tem área lateral S2 e volume V2. Ambos os sólidos assim gerados são ________ de

revolução, a área lateral S1 é __________ área lateral S2, e o volume V1 é _________ volume

V2.

Selecione a alternativa que completa corretamente as lacunas.

a) cilindros - igual à - menor que o b) cones - menor que a - menor que o c) cilindros - menor que a - maior que o d) cones - igual à - maior que o e) cilindros - menor que a - igual ao 18. (Ufpr 1999) Considerando o cilindro de revolução obtido pela rotação do retângulo ABCD

em torno do lado AB e sabendo que os lados AB e BC do retângulo medem 4 cm e 2 cm,

respectivamente, é correto afirmar:

01) A seção do cilindro por um plano que contém AB é um quadrado. 02) A seção do cilindro por um plano perpendicular a AB é um círculo. 04) Os planos que contêm as bases do cilindro são paralelos entre si. 08) A área total do cilindro é menor do que a área da superfície esférica de raio 2 cm. 16) O volume do cilindro é o dobro do volume do cone de revolução obtido pela rotação do

triângulo ABD em torno de AB.


19. (Unirio 1999) Seja um cilindro de revolução obtido da rotação de um quadrado, cujo lado

está apoiado no eixo de rotação. Determine a medida deste lado (sem unidade), de modo que

a área total do cilindro seja igual ao seu volume.

20. (Enem 1999) Assim como na relação entre o perfil de um corte de um torno e a peça

torneada, sólidos de revolução resultam da rotação de figuras planas em torno de um eixo.

Girando-se as figuras a seguir em torno da haste indicada obtém-se os sólidos de revolução

que estão na coluna da direita.

A correspondência correta entre as figuras planas e os sólidos de revolução obtidos é:

a) 1A, 2B, 3C, 4D, 5E. b) 1B, 2C, 3D, 4E, 5A. c) 1B, 2D, 3E, 4A, 5C. d) 1D, 2E, 3A, 4B, 5C. e) 1D, 2E, 3B, 4C, 5A. 21. (Pucrj 1999) Ache o volume do sólido de revolução obtido rodando um triângulo retângulo

de lados 1,1 e 2 cm em torno da hipotenusa.

22. (Fatec 1997) Sabe-se que um cilindro de revolução de raio igual a 10 cm, quando cortado

por um plano paralelo ao eixo, a uma distância de 6 cm desse eixo, apresenta uma secção

retangular equivalente à base. O volume desse cilindro, em centímetros cúbicos, é

a) 1250 π

b) 1250 π

2

c) 6,25 π2

d) 625 π2

e) 625 π2


23. (Unb 1997) Um cálice tem a forma de um cone reto de revolução, de altura igual a 100 mm

e volume V1. Esse cálice contém um líquido que ocupa um volume V2, atingindo a altura de 25

mm, conforme mostra a figura adiante. Calcule o valor do quociente 1

2

V

V

24. (Ita 1997) A altura e o raio da base de um cone de revolução medem 1 cm e 5 cm

respectivamente. Por um ponto do eixo do cone situado a d cm de distância do vértice,

traçamos um plano paralelo à base, obtendo um tronco de cone. O volume deste tronco é a

média geométrica entre os volumes do cone dado e do cone menor formado. Então d é igual a

a)

3 2 3

3

b)

3 3 5

2

c)

3 3 5

2

d) 3 2

2

e) 2 3

3


25. (Ufmt 1996) A região sombreada na figura a seguir sofre uma rotação completa em torno

do eixo y. Os pontos

O = (0,0); A = (1,1); B = (0,2); C = (1,3); D = (0,3) e E = (0,1). OAB é uma semicircunferência

com centro em E, conforme mostra a figura a seguir.

Sendo V a medida do volume do sólido de revolução gerado, calcule o valor de 36

5π.V.

26. (Ita 1995) O raio de um cilindro de revolução mede 1,5 m. Sabe-se que a área da base do

cilindro coincide com a área da secção determinada por um plano que contém o eixo do

cilindro. Então, a área total do cilindro, em m2, vale:

a) 3π2/4

b) 9 π (2 + π)/4 c) π (2 + π) d) π

2/2

e) 3 π (π + 1)/2 27. (Cesgranrio 1991) Uma ampulheta é formada por dois cones de revolução iguais, com

eixos verticais e justapostos pelo vértice, o qual tem um pequeno orifício que permite a

passagem de areia da parte de cima para a parte de baixo. Ao ser colocada para marcar um

intervalo de tempo, toda a areia está na parte de cima e, 35 minutos após, a altura da areia na

parte de cima reduziu-se à metade, como mostra a figura. Supondo que em cada minuto a

quantidade de areia que passa do cone de cima para o de baixo é constante, em quanto tempo

mais toda a areia terá passado para a parte de baixo?

a) 5 minutos. b) 10 minutos. c) 15 minutos. d) 20 minutos. e) 30 minutos.


Gabarito: Resposta da questão 1: [C]

Desde que AC R, segue do triângulo retângulo ABC, pelo Teorema de Pitágoras, que

2

2 2 2 22 2AC AB BC R R BC

3

5BC R.

3

Portanto, o volume do cilindro gerado é dado por

2 32 5 4 5 RR R .

3 3 27

ππ

Resposta da questão 2:

01. [I] Falsa, pois o cone é obtido pela rotação de um triângulo retângulo em torno do cateto de

1,2m.

[II] Falsa. A área da secção meridiana do cilindro é dada por 1,2 1,8 2,16.

[III] Verdadeira. 21V .(0,9) 1,2 0,324 .

3π π

Portanto, apenas a afirmação [01] está correta. Resposta da questão 3: [D]

Considerando O o centro da esfera, temos:

No triângulo AOD, temos: 2 2 2AD 1 3 AD 8cm


8 1 4ADO ABC r cm

4 r 8Δ Δ

Portanto, o volume V do cone será dado por:

22 31 1 4 8

V R h 4 cm3 3 38

ππ π

Resposta da questão 4: [B]

Volume da embalagem em cm3: cilindro coneV V 2V

2 2 31V 3 15 2 3 4 135 24 111 333cm 0,333L

3π π π π π


a) De acordo com os dados do problema, temos:

1 2 3

2 9r 2 3r 2 r 26 r 1

r 9r, r 3r e r e

c

r

mπ π π π

Temos então um triângulo de lados 4cm, 10cm e 12cm com vértices nos centros das circunferências.

Portanto, sua área será dada por:

2

4 10 12p 13

2

A 13 (13 4) (13 10) (13 12)

A 3 39cm

b) O sólido de revolução é a união entre dois cones.

Calculando a medida do raio da base dos cones, que também é a altura do triângulo considerado.

12 R 393 39 R cm

2 2

Portanto o volume do sólido será dado por:

2 2

239 39V (x y) 12 39 cm

3 2 3 2

π ππ



[C]

No triângulo AMC, temos:

22 2

2 1 1 1 1x x e h

2 2 2

π

π π π

Volume do cilindro:

23

C3 1 9

V cm4 16

ππ

Volume de cada tronco de cone: 2 3

3T

1 1 1 1 3 3 13V cm

3 2 4 4 4 4 96π

π

Portanto, o volume pedido será dado por:

T3

C9 13 14 7

2 cm16 96 48 24

V V – 2 V


[A] A área da superfície de revolução gerada

pela rotação do triângulo equilátero ABC

em torno do eixo XY é formada pela área

lateral de dois troncos de cone (lados BC

e AB) e pela área da base de uma coroa

circular (lado AC). Portanto, sendo r

igual ao raio e g igual a geratriz de cada

superfície, pode-se escrever:

maior menor

2

BC BC

maior menor

2

AB AB

maior menor

2 2 2AC AC

2 22

total total

aLado BC r a ; r a ; g a

2

3a 5 aS a a S

2 2

aLado AB r 2a ; r a ; g a

2

3a 7 aS a 2a S

2 2

Lado AC r 2a ; r a

S 2a a S 3 a

5 a 7 aS 3 a S 9

2 2

ππ

ππ

π π

π ππ

2aπ



a)

R 12 sen30 12 0,5 6cm

O volume pedido é igual ao volume do cilindro da figura: 2 2V 6 12 432 cm .π π

b) Considerando 2

πα π não existe um plano que passa por DE que seja perpendicular ao

segmento AB. Portanto não será possível resolver o item [B]. Resposta da questão 9:

a) A área total será igual à soma das seguintes áreas.

Área da base do cilindro: 2 2

bA .2 4. cmπ π

Área lateral do cilindro: 2

LA 2. .2.2 8. cmπ π

Área da parte da esfera, interna ao cilindro (metade da superfície esférica):

2 2iA 2. .2 8. cmπ π

Logo, a área total será:

2A 4 8 8 20 cmπ π π π

b) O volume será dado pelo volume do cilindro menos o volume do hemisfério.

Volume do cilindro:

2 3V .2 .2 8 cmπ π

Volume do hemisfério:

3 2H

2 16V .2 cm

3 3

ππ

Volume do sólido:

316 8V 8 cm

3 3

π ππ



[E] A expressão superfície de revolução garante que a figura represente a superfície lateral de um cone. Resposta da questão 11:

[E] Através da rotação do quadrado em torno do eixo, obtemos o seguinte sólido.

A área da base do sólido é dada por 2 2 2[(x 1) x ] (2x 1)cm .

A soma das áreas laterais externa e interna é

22 (x 1) 1 2 x 1 2 (2x 1)cm .

Logo, a área total do sólido é 2S(x) 2 (2x 1) 2 (2x 1) 8 x 4 cm .

Observando que a área total é dada por uma função afim, basta calcular

S(0) 8 0 4 4

e

S(1) 8 1 4 12

para deduzir que o gráfico que melhor

representa a área total S do sólido é o da

alternativa (E).


[A]

Uma rotação completa do triângulo ABC em torno da reta suporte do lado BC gera o sólido

abaixo, constituído de dois cones.

Como a área do triângulo do triângulo ABC é

S, segue que

r 2S(ABC) S r .

2

Portanto, o volume pedido é dado por

2 2 2

2

2

2

1 1 1r x r ( x) r (x x)

3 3 3

1r

3

1 2S

3

4 S.

3



[C] Girando a forma em torno do arame rígido, obtemos a figura abaixo.

Portanto, a decomposição do foguete, no sentido da ponta para a cauda, é formada pela

seguinte sequência de sólidos: cone reto (AB 4FG BB' 2FG), cilindro reto

(BC 3FG 2FG), tronco de cone e cilindro equilátero (EF 2FG).


(2πr3)/3


a)

b) 8

3

π u.v.



[E] Resposta da questão 17:

[A] Resposta da questão 18:

01 + 02 + 04 = 07 Resposta da questão 19:

4 Resposta da questão 20:

[D] A alternativa D é a correta. Observe as figuras a seguir:


π/3 2 cm3

Resposta da questão 22: [E] Resposta da questão 23: 64 Resposta da questão 24: [B] Resposta da questão 25:

36

5

π= 22,6


[B] Resposta da questão 27:

[A]

sólidos de revolução -...

Documents