Sollecitazione di Trazione

La sollecitazione di trazione (carico applicato in direzione dell’asse rettilineo

dell’elemento monodimensionale) la si ripartisce nelle sezioni interne in modo

uniforme, qualunque sia la forma dell’area

A

N dA N

MPaA

costante

Questa approssimazione è tanto più

veritiera quanto più le dimensioni

trasversali sono piccole rispetto allo

sviluppo longitudinale

Pertanto, nel riferimento longitudinale,

l’unica tensione non nulla è σx mentre il

riferimento è principale in quanto le

sono nulle

Ruotando il sistema di riferimento di un angolo , sappiamo già dallo studio delle

circonferenze di Mohr, che le tensioni varieranno secondo le

1 1

cos 22 2

x y x y

1

en 22

x y s

Non è corretto dire quindi che non ci sia sollecitazione di taglio

nello sforzo normale, a 45° infatti il taglio è massimo e

numericamente uguale a metà della tensione normale

F F Quello di deformazione è tridimensionale

Lo stato di tensione è monodimensionale

x

F

A x

xE

y z x Allungamento totale

EA

FLL

Energia elastica immagazzinata EA

LF

2

1 LF

2

1 W

2

Sezione variabile per ricerca uniforme resistenza (utilizzo ottimo del materiale)

dxA

dA

x

Con una certa cautela si può ancora considerare che sia AF

Essendo A variabile, occorrerà integrare l’area lungo l’ascissa

0AdxAdAA xx

Si impone, come condizione al contorno, che per x = 0 sia A = A0

dx

x

P Costantex

0

xxA A e

Ipotesi

Equilibrio di un elementino compreso tra due sezioni distanti dx

= peso specifico

x

xA C e

Esempio 1: calcolo deformazione

Lo sforzo è di compressione in tutte le sezioni

100 000 N F N

Le due aree valgono

2 2

1 706.9 A d mma

2

2 1200 A a b mm

tensioni

1 2

100000141.5

706.9

N

mm

2 2

10000083.3

1200

N

mm

deformazioni

311

1

141.52.021 10

70000E

422

2

83.33.97 10

210000E

allungamento

1 1 1 1.41 h h mm

2 2 2 0.39 h h mm

Energia elastica immagazzinata

3

1 2

1 1000001.41 0.39 10 90.57

2 2W F h h J

Esempio 2: perno rotante

La sollecitazione nasce dalla rotazione

della massa concentrata M e di quella

distribuita sul braccio

Massa concentrata

2

2 2 75300 2.2 40712

60MF M R N

Massa distribuita 2 2 ddF dm r ab x dx

2 2 2

0

1 776

2

L

dF ab x dx ab L N

Chiaramente la sollecitazione risulta massima all’attaccatura dell’asse (x=0) e vale

40712 776 41488 M dF F F N

Nella sezione più sollecitata risulterà una tensione pari a

251.9

F N

ab mm

Sollecitazione di Flessione

Per il momento ci si limita al caso di flessione che si sviluppa nel

piano xy di travi prismatiche e simmetriche rispetto al piano xy

Il piano di inflessione è quello che contiene la deformata di tutti i

punti nel piano xy (piano xy stesso)

Per effetto della sollecitazione la trave si incurva in modo da

opporsi al momento di sollecitazione (trave a sbalzo – massima

curvatura all’incastro)

La curvatura della linea d’asse (congiungente di tutti i baricentri) varia lungo l’asse stesso,

per un elementino di lunghezza dx:

d ds

(x) = freccia

1 =

d d

ds dx

x e s si confondono nell’ambito

di spostamenti al I ordine

L’ipotesi base è che sezioni piane, ortogonali

alla linea d’asse, anche dopo deformazione

rimangano piane e ortogonali

Angolo θ rispettato da tutte le

fibre longitudinali

Le fibre superiori si allungano, quelle inferiori si accorciano

– Esisterà una posizione ( y=0 ) alla quali la lunghezza non

varia: asse neutro

1cost

x

x

n n n

dx dx yd

y

La sollecitazione è quindi assiale, in quanto alcune fibre (estradosso) si allungheranno, le

altre (intradosso) si accorceranno.

Dato che la sollecitazione è monodimensionale (σx) si

osserverà anche una deformazione nelle altre due direzioni

y x

n

z x

n

y

y

Curvatura secondaria

y z

Per il calcolo delle sollecitazioni che si creano per effetto del momento applicato, si hanno a

disposizione le due equazioni di equilibrio, trasversale e dei momenti

0 ;x xA A

dA y dA M

Dalla I: 0A

n

Ey dA

L’inversione delle equazioni

di Navier consente di

determinare la

sollecitazione che risulta

monodimensionale

xz

yz

xy

zz

yy

xx

xz

yz

xy

zz

yy

xx

2

2

2

2

2100000

02

210000

002

21000

000-1

000-1

000-1

21 1

E

; ; x y x z x = ; 0 ; 0x x y z

n

yE E

0A

y dA

Il momento statico della sezione rispetto al piano

neutro è nullo – l’asse neutro (traccia piano

neutro su piano di simmetria) è baricentrico

Per la simmetria su y il piano neutro è

piano principale d’inerzia

Se l’asse di sollecitazione è quello di simmetria (y) l’asse baricentrico Ξ asse neutro

Dalla II: 2

x zA A

n n

E EM y dA y dA J

1

n z

M

E J

Il segno negativo sta ad indicare che, per la

convenzione dei segni adottata, la curvatura

positiva si ottiene applicando un momento

negativo e viceversa

Ricordando la definizione di freccia prima considerata, risulta anche:

tand x

xdx

2

22

3 22 2

1

1n

dddx

dxd

dx

2

2 z

d x M x

dx E J

Questa ultima equazione è detta Equazione della linea elastica – integrandola si può

determinare l’andamento dell’inflessione noto che sia il momento applicato sulla trave

Combinando le due equazioni si ottiene lo stato di sollecitazione che risulta variabile

linearmente (farfalla)

z

M yy

J

Per una sezione simmetrica e

bilanciata rispetto baricentro

La variazione di inclinazione, per una lunghezza dx è: 1

n n

d d dx

dx dx

Pertanto, il lavoro elastico

di deformazione risulta

1 1

2 2 n

dxdW Md M

Che, integrato su tutta

la lunghezza l da:

2

0 0

1 1 1

2 2 2

l l

n z z

dx M M lW M M dx

E J E J

Esempio 1: sezione circolare piena e cava

Piena:

4

64zJ D

Cava:

Il massimo valore si ha in corrispondenza del raggio massimo

4 4

64zJ D d

, 3

32

2 x D

z

M D M

J D

, 4 4

32

2 x D

z

M D M D

J D d

Esempio 2: sezione rettangolare piena e cava

Piena:

31

12zJ bh

Cava:

Il massimo valore si ha in corrispondenza del raggio massimo

, 2

6

2 x D

z

M h M

J b h

, 33

6

2 2 2x D

z

M h M h

J bh b s h s

331

2 212

zJ bh b s h s

Combinazione di sollecitazione Normale e di

Flessione

Entrambe danno sollecitazione solo assiale, l’una

costante nella sezione, l’altra variabile linearmente

x N M

N M y

A J

Questa combinazione viene ad esempio

utilizzata nei cemento armato precompresso

Se il carico P è applicato in posizione

eccentrica e rispetto al baricentro

x N M

z

P Pe y

A J

Il piano neutro si sposterà e si può ricavare imponendo l’annullarsi delle σ 0

zJy

A e

Nel caso ancor più generale di spostamento del carico secondo due

direzioni, l’asse neutro non è più normale all’asse di sollecitazione né è

parallelo agli assi principali di inerzia

yzx N M

y z

Pe yP Pe z

A J J

L’asse n-n si ricava dall’equazione della retta

che si ottiene annullando la σ:

z z z

y y y

J e Jy z

J e A e

Flessione Deviata

Si realizza tale condizione quando il

momento flettente applicato non

risulta allineato con uno dei piani

principali di inerzia

Il momento flettente si scompone

nelle due componenti rispetto alle

direzioni principali di inerzia coszM P L x sinyM P L x

Lo stress assiale indotto è: sin cos

x

y z

P L x P L xz y

J J

Si cerca asse neutro annullandolo tan z

y

Jy z

J

Pertanto l’asse neutro risulta in generale non ortogonale con il piano di inflessione ma

inclinato rispetto ad esso secondo la legge

tan tanz

y

J

J

Se la sezione è tale da avere Jz = Jy (quadrata,

circolare,…) permane l’ortogonalità tra piano di

inflessione e asse neutro

Esempio 1: Calcolo di sollecitazione P

A

A

b

c

Calcolare la massima sollecitazione

che si ha in corrispondenza della

sezione A-A

Innanzitutto si determina l’andamento dello

sforzo normale e del momento in ogni sezione

-P

sforzo normale

Proprietà della sezione:

21225

2A ah mm

16

3Gy h mm

2423.7

3y h

G

P Pbh MPa

A J

Sez. A-A

Scala (3:1)

G

a

h

x

y

2

0y

A

J y dA

2

0

0

h

y

h yJ y a dy

h

3 3 3

03 4 12

y

ah ah ahJ

32 4 4050

12G G

ahJ A y mm

2000 ; 25 ; 70 ; 18 P N a mm b mm h mm

0

1198.5

3y

G

P Pbh MPa

A J

Sollecitazioni top / bottom

P b

P b

momento

Esempio 2: Posizione asse neutro

Sovrapponendo gli effetti, e tenendo conto dei

versi degli assi, si ha:

Proprietà della sezione:

22 2 =22400 A bh b s h s mm

x

G

F My y

A J

33 41

2 2 444.6 12

GJ bh b s h s mm

G

Uguagliando a 0

0

99

GF Jy mm

M A

Esempio 3: Sezione a C

Calcolare la massima sollecitazione

nell’elemento a C

La posizione del baricentro si può determinare con

una media pesata sulla figura piena meno quella vuota

1 1 2 2

1 2

450 180 90 390 150 75129

450 180 390 150

G GG

A y A yy mm

A A

Anche il momento di inerzia si determina algebricamente e sfruttando il teorema di trasposizione

2 23 3 6 4

1 2

1450 180 390 150 129 90 129 75 61.63 10

12GJ A A mm

36

6

30 10 30= 0.129 473 10

4 4 61.36 10bottom G G

G G

M Ply y Pa

J J

momento

4

Pl

30 P kN 30 L m

3

6

6

30 10 30 0.180 0.129 186 104 61.36 10

top G

G

Mh y Pa

J