Mdulo E Condensadores - Capacitores

La equivalente de los condensadores de 1 uF:

1/ C = 1 / 1 + 1 / 1 = 2 / 1 C = 0,5 uF La equivalente de estos dos es : Cequiv = 1 + 0,5 = 1,5 uF La capacitancia equivalente del conjunto es: 1 / C = 1 / 1,5 + 1 / 3 = 1 / 1 C = 1 uF La carga total en el conjunto se obtiene : Qtotal = Cequiv Vtotal Qtotal = 1 10-6 2 102 Qtotal = 2 10-4 C La energa total del conjunto se obtiene: Etotal = ( Qtotal )2 / 2 Cequiv Etotal = ( 2 10-4 )2 / 2 1 10-6 Etota = 2 10-2 J 1.-En un condensador plano de capacitancia C = 4 uF, la distancia entre las armaduras es d = 1,5 mm = 0,0015 m, y el campo elctrico entre ellas vale E = 2 105 N/C. Calcule: a)La diferencia de potencial entre las armaduras b)La carga almacenada en el capacitor SOLUCION La capacitancia de un condensador es una caracterstica propia de l que depende de su geometra. Se define como C = Q / V , donde Q es la carga en una de las armaduras ( Q > 0 ) , y V la diferencia de potencial entre las armaduras ( V > 0 ). V = E d = 2 105 0,0015 V = 3 102 V De la expresin C = Q / V resulta: Q = C V = 4 10-6 3 102 = 12 10-4 C

2.-En la figura de este problema, una diferencia de potencial de 200 V se aplic entre A y B. Determine: a)La capacitancia equivalente b)La carga total almacenada en el conjunto c)La energa total almacenada en el conjunto SOLUCION Calcule la capacitancia equivalente entre los condensadores de 2 uF que estn en serie, Lomismo para los condensadores de 1 uF que tambin estn en serie. La equivalente de estas queda ahora en paralelo, se determine su equivalente nuevamente y luego esta se suma en serie con la de 3 uF. La equivalente de los condensadores de 2 uF: 1 / C = 1/ 2 + 1/ 2 = 2 / 2 C = 1 uF 1

3.-Un condensador plano est cargado y sus placas se encuentran desconectadas de la batera. Suponga que reducimos luego la distancia entre las armaduras. En estas condiciones seale cul de las afirmaciones siguientes est equivocada: a)El voltaje entre las armaduras disminuye Al reducir la distancia ( d ) entre las armaduras, la capacitancia ( C ) aumenta, (recuerde la expresin C = o A / d ). Al estar desconectado de la batera la carga ( Q ) del condensador se mantiene constante, luego de : Q = C V , para que Q se mantenga constante, si C aumenta , V disminuye. b)La capacitancia del condensador aumenta. (Por lo anterior esto es correcto.) c)La carga en las placas no vara Por lo anterior esto es correcto, cuando un condensador se desconecta de la batera , la carga no vara. d)La energa almacenada en el condensador aumenta Usando cualquiera de las expresiones de la energa, por ejemplo: E = Q2 / 2 C , al no variar Q , se observa en la expresin que si C aumenta, entonces la energa disminuye. Luego esta es la alternativa equivocada.

4.-Un capacitor plano con aire entre sus armaduras esta desconectado de la batera. Suponiendo que el condensador sea totalmente sumergido en agua, seale cul de las afirmaciones siguientes son correctas: a)La carga en las armaduras no cambia Esto es correcto, si el condensador est desconectado de la batera la carga no cambia. b)El campo elctrico entre las armaduras disminuye Esto es correcto, porque al introducir el condensador en agua ( esta tiene una

constante dielctrica) , el campo elctrico se reduce, se vuelve K veces menor, donde K es la constante dielctrica del agua. c)El voltaje entre las armaduras disminuye Esto tambin es correcto, pues al introducir el condensador en agua, la capacitancia aumenta, entonces en la expresin Q = C V , si C aumenta, entonces V disminuye porque no olvide que Q permanece constante. d)La capacitancia del condensador aumenta Esto es correcto, ya que al colocar un condensador en un dielctrico, su capacitancia aumenta. e)La energa en el condensador disminuye De la expresin E = Q2 / 2 C , se observa que , al ser Q constante, si aumenta C , entonces la energa disminuye. 2

la misma carga. c)Es falso porque los condensadores de 5 uF y 15 uF estn en paralelo y para ellos el voltaje

a.

es el mismo. d)Se puede comparar la energa en el condensador de 5 uF y el de 15 uF con la expresin: E = V2 C / 2 , entonces como el voltaje es el mismo para los dos, tendr mayor energa el de mayor capacitancia en este caso el de 15 uF. Luego es fals e)La energa en el condensador de 10 uF con el de 20 uF se puede comparar con la expresin: E = Q2 / 2C , porque al tener la misma carga , el que tiene menor capcitancia tiene mayor energa almacenada. Luego es correcta. 5.-En el problema 4 suponga que las armaduras del capacitor permanecieron conectadas a labatera, cuando fue introducido en el agua. En estas condiciones, cules de las afirmaciones presentadas en este problema son correctas? En este caso la nica correcta es la alternativa ( d ) . Porque al estar conectadas las armaduras a la batera, el voltaje no cambia. Al introducir el condensador en el agua la capcitancia C aumenta, luego de la expresin Q = C V , se observa que Q aumenta. El campo elctrico E no se altera, recuerde que E = V / d , en este caso no cambia V y tampoco d. La energa E del condensador aumenta.

6.-Analice el circuito presentado en la figura y seale de entre las afirmaciones las que son correctas: a)El voltaje entre A y C es menor que entre C y B b)La carga del condensador de 10 uF es menor que la de del de 20 uF c)El voltaje en el condensador de 5 uF es menor que en el de 15 uF d)La energa almacenada en el capacitor de 5 uF es mayor que en el de 15 uF e)La energa en el condensador de 10 uF es mayor que en el de 20 uF SOLUCION a) La capacitancia equivalente entre A y C es : 1/ C = 1 / 10 + 1 / 20 1/ C = 3 / 20 CAC = 20/3 (uF) La capacitancia equivalente entre C y B es: CCB = 5 + 15 CCB = 20 uF El voltaje VAC = QAC / CAC y el voltaje VCB = QCB / CCB , como el conjunto queda en serie, ellos tienen la misma carga QAC = QCB . Al ser CAC < CCB ,se tiene que VAC > VCB Luego la alternativa ( a ) es incorrecta. b)Es falsa porque el condensador de 10 uF y el de 20 uF estn en serie, luego ellos poseen

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7.-El voltaje entre las placas de un condensador de 6 uF es de 200 V. Cada armadura de este condensador se conecta a la de otro de 3 uF, inicialmente descargado. Calcule: a)La energa almacenada inicialmente en el primer condensador b)La energa almacenada en el agrupamiento de los dos elementos capacitivos c)La energa disipada en virtud de la conexin SOLUCION a) La energa almacenada en el primer condensador es: E1 = C V2 / 2 E1 = (6 10-6 ) ( 2 102 )2 / 2 E1 = 0,12 J b)es fcil percibir que en estas condiciones tenemos los dos condensadores conectados en paralelo, pues sus placas positivas estn conectadas entre s, ocurriendo lo mismo con las placas negativas. La capacitancia de la conexin es : C = 6 + 3 = 9 uF La carga total Q en esta conexin es igual a la carga que se encontraba almacenada inicialmente con el capacitor de 6 uF. As: Q = C1 VAB = 6 10-6 2 102 Q = 1,2 10-3 C

Por lo tanto podemos calcular la energa E2 almacenada en la conexin : E2 = Q2 / 2C E2 = (1,2 10-3 )2 / 2 9 10-6 E2 = 0,08 J c)Como se tiene que E2 < E1 , hay disipacin de la energa cuando conectamos los dos capacitores. El valor de esta energa disipada es: Edisip = E1 - E2 Edisip = 0,12 - 0,08 = 0,04 J 4

8.-Calcule la capacitancia equivalente de los siguientes diagramas. SOLUCION Lo primero es ubicar en el circuito, los puntos que son iguales a A y a B, incorporando el punto C (figura de la izquierda arriba). Suponemos que en todos los puntos de un mismo conductor el potencial es el mismo. Podemos dibujar el circuito de la siguiente forma: Ahora es fcil ir calculando la capacitancia equivalente: 1/C = 1/4 + 1 / 4 1/C = 2 / 4 C = 2 uF El diagrama resulta: Luego, se determina la capacitancia equivalente de los elementos en paralelo: C = 2 + 2 = 4 uF El circuito queda ahora: Calculando la capacitancia equivalente de Los elementos en serie: 1/C = 1/4 + 1/4 1/C = 2/4 C = 2 uF La capacitancia final es de C = 2 + 3 = 5 uF

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Igual que en el ejercicio anterior ubicamos los puntos que tienen el mismo potencial en el circuito (figura de la derecha arriba). Cambiando la forma del circuito, se tiene: Luego, la capacitancia equivalente es: C = 2 + 2 + 2 C = 6 uF

9.-Tres condensadores con capacitancia C1 = 1 uF , C2 = 1,5 uF, C3 = 3 uF se fabricaron para soportar un voltaje de hasta 200 V sin "permitir fugas"; es decir sin que el dielctrico se vuelva conductor ( se ionice) y permita que el capacitor se descargue a travs de dicho material. Estos condensadores fueron conectados entre s y el conjunto se conecta a una batera de 300 V. Diga que condensadores "permitirn fugas suponiendo que hayan sido conectados en : a)paralelo b)serie SOLUCION a)Si los condensadores se conectan en paralelo entonces estn sometidos al mismo voltaje ( 300 V de la batera). Por lo tanto en este caso los tres permitirn fugas porque el voltaje mximo que pueden soportar es 200 V. b)Si se conectan en serie, calculamos la capacitancia equivalente del conjunto, luego con este valor se determina la carga total del conjunto, que al estar en serie es la misma para ellos. Luego conociendo la carga en cada condensador y su capacitancia con la expresin V = Q / C calculamos el voltaje que cada uno tiene. 1/C = 1/ 1 + 1/1,5 + 1/ 3 1/C = 6 / 3 C = 0,5 uF La carga total en el conjunto es: Q = 0,5 10-6 3 102 Q = 1,5 10-4 C Entonces Q1 = Q2 = Q3 = Q = 1,5 10-4 C V1 = Q1 / C1 V1 = 1,5 10-4 / 1 10-6 V1 = 150 V V2 = Q2 / C2 V2 = 1,5 10-4 / 1,5 10-6 V2 = 100 V V3 = Q3 / C3 V3 = 1,5 10-4 / 3 10-6 V3 = 50 V Luego en serie ninguno "permite fuga" es decir ninguno puede descargarse.

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10.-Un capacitor plano de placas paralelas separadas una distancia "d", tiene una capacitancia Co en ausencia de un dielctrico (con aire entre sus armaduras). Una

placa de material dielctrico de constante dielctrica k y espesor d/3 se inserta dentro de la placa como muestra la figura. Cul es la nueva capacitancia? SOLUCION La capacitancia de un condensador plano con aire entre sus armaduras est dado por la expresin C = o A / d . Si el condensador plano est lleno por un dielctrico de constante k, su capacitancia est dada por: C = k o A / d. En este ejemplo , el dielctrico ocupa un espacio d/3 , luego su capacitancia es : C1 = k o A C1 = 3 k o A / d d/3 El espacio que queda de espesor 2d/3 est lleno de aire, luego la capacitancia es: C2 = o A C2 = 3 k o A / 2 d 2d/3 Al insertar el dielctrico se produce una polarizacin de forma que el conjunto es como si fueran dos condensadores en serie: 1/Cequiv = 1/C1 + 1/C2 1/Cequiv = d / 3 k o A + 2 d / 3 k o A 1/Cequiv = ( d + 2 d k) / 3 k o A Cequiv = 3 k o A / ( d + 2 d k) 7

11.-Un capacitor de placas paralelas tiene una separacin entre las placas d, y un rea de placa A. Una placa metlica descargada de espesor "a" se inserta en la parte media entre las dos placas, como muestra la figura. Determine la capacitancia del dispositivo. SOLUCION Al colocar la plancha metlica en el espacio entre las armaduras, se produce en ella una induccin igual y opuesta. La carga neta en la plancha metlica sigue siendo cero y el campo elctrico dentro de ella es cero. Nuevamente es como si tuviramos dos condensadores en serie: C1 = o A / ( d - a ) / 2 C2 = o A / ( d - a ) / 2

1/C = 1/C1 + 1/C2 1/C = ( d - a ) / 2 o A + ( d - a ) / 2 o A 1/C = (d - a ) / o A C = o A / (d - a ) 8

12.-Las placas de un capacitor de placas paralelas miden 2,0 cm x 3,0 cm y estn separadas por papel de 1,0 mm de espesor. a)Determine la capacitancia de este dispositivo, considere kpapel = 3,7 b)Cul es la mxima carga que puede brindarse al capacitor? c)Cul es la mxima energa que puede almacenar el capacitor? SOLUCION a) C = k o A / d C = 3,7 8,85 10-12 6 10-4 / 1 10-3 C = 1,96 10-11 F b)La carga mxima que puede adquirir est dada por la expresin: Qmax = C Vmax El voltaje mximo est determinado por la expresin Vmax = Emax d , donde Emax es la rigidez dielctrica del papel 16 106 V / m , es decir el mximo campo elctrico que puede aplicarse sin que se vuelva conductor. Vmax = 16 106 1 10-3 Vmax = 16 103 V Luego, Qmax = 1,96 10-11 16 103 Qmax = 0,31 10-6 C c)La mxima energa est dada por: Emax = ( Qmax )2 / 2 C Emax = ( 0,31 10-6 )2 / 2 1,96 10-11 Emax = 0,024 10-1 J Emax = 2,4 10-3 J

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13.-Dos condensadores idnticos son conectados en paralelo. Inicialmente se cargan a un potencial Vo y cada uno adquiere una carga Qo . despus la batera se desconecta y el espacio entre las placas de un condensador se llena con un dielctrico ( k = 3 ). a)Calcule la carga en cada condensador despus que se introdujo el dielctrico b)Cul es la energa total electrosttica asociada a los dos condensadores antes y despus de ser conectados? SOLUCION Al ser idnticos los condensadores significa que tienen igual capacitancia, supongamos C, luego la capacitancia total del conjunto es Cequiv. = 2 C

Inicialmente la carga en cada uno es Qo , luego la carga total es Qo + Qo = 2 Qo El voltaje en cada uno de ellos es Vo . La energa inicial en el conjunto es: Einic = ( Qconj )2 / 2 Cequiv. = (2 Qo )2 / 2 2C = (Qo )2 / C Cuando se introduce el dielctrico ( K = 3 ) en uno de ellos, su capacitancia es ahora 3C, luego la capacitancia total del conjunto es Cequiv. = 4 C Al introducir el dielctrico cambia la carga y el voltaje en cada uno, esto ocurre hasta que se iguala el voltaje en los dos. Supongamos que el voltaje final en el primer condensador es V1 = Q1 / 3 C y en el segundo condensador es V2 = Q2 / C , con Q1 y Q2 cargas finales. Luego se tiene: Q1 / 3 C = Q2 / C Q1 = 3 Q2 , pero Q1 + Q2 = 2 Qo Resultando: Q1 = 3 Qo / 2 y Q2 = Qo / 2 , luego el voltaje final es Vo / 2 La energa final es: Efinal = ( Qconj )2 / 2 Cequiv. = (2 Qo )2 / 2 4C = (Qo )2 / 2 C Efin. = Einic. / 2 10