1

Kapittel 19, november 2015

Solow-modellen I kapittel 18 så vi at økt realkapital er en viktig årsak til økonomisk vekst. Men hvor stor er denne effekten? Vil et land som sparer mer, og dermed også kan investere mer, alltid få høyere vekst enn land som sparer og investerer mindre? Dette var en aktuell problemstilling under den var «den kalde krigen» på 1950-tallet, da det var hard prestisjekamp mellom de to supermaktene USA og Sovjetunionen. Sovjetunionen rapporterte om høy spare- og investeringsrate, og høy vekst, og blant vestlige politikere, økonomer og andre samfunnsvitere var det bekymring for å bli utkonkurrert, ut fra en tanke om at et kommunistisk diktatur kunne spare og investere mer enn et vestlig demokrati. I dette kapitlet skal vi se på Solow-modellen, basert på den amerikanske økonomen Robert Solow banebrytende arbeid i 1956. Solow mottok senere nobels minnepris i økonomi for dette bidraget. Solow forsøkte å analysere spørsmålet over, om økt sparing og investering alltid vil gi høyere vekst. Vi skal

studere virkningen av sparing og investering på realkapital og BNP i en økonomi uten produktivitetsvekst

vise at ved konstant investeringsrate vil økonomien gå mot en stasjonærtilstand, der realkapital og BNP ligger på konstante nivåer

vise at en økning i investeringsraten vil føre til en periode med økonomisk vekst der realkapitalen vokser mot et nytt og høyere likevektsnivå, men at økonomien deretter vil komme i en ny stasjonærtilstand med konstant realkapital og BNP

studere virkningen av befolkningsvekst i Solow-modellen

gi et svar på hva som kan forklare inntektsforskjellene mellom land – er det forskjeller i produktivitet, realkapital eller humankapital?

2

Solow-modellen Hovedformålet med Solow-modellen er å studere betydningen av sparing og investering for økonomisk vekst. Vi er interessert i å finne ut om et land som investerer mer, også vil ha høyere BNP per innbygger, og om høyere investeringsrate fører til større vekst i BNP per innbygger. Solow tok utgangspunkt i en vanlig produktfunksjon der produksjonen, Y, avhenger av bruken av realkapital, K, og arbeidskraft, N. (19.1) (K,N)Y F

Vi har ikke med noen egen parameter for produktivitetsnivået, noe som skyldes at vi vil fokusere på betydningen av realkapitalen. Derfor holder vi produktivitetsnivået konstant i analysen, og lar det bli fanget opp i formen på produktfunksjonen. Foreløpig vil vi også anta at sysselsettingen, N, er konstant, og vi ser ikke på endringer i arbeidstakernes kvalifikasjoner (humankapitalen). Hvis produksjonen skal øke, må vi dermed ha en økning i realkapitalen. Figur 19.1 viser sammenhengen mellom realkapital og produksjon. Vi antar at det er avtakende utbytte i realkapitalen, dvs. at økningen i produksjonen ved å bruke mer realkapital blir mindre, jo mer realkapital man har i utgangspunktet. Dette er en rimelig antakelse. Hvis man skal grave en grøft, har man meget stor nytte av bare litt realkapital i form av en spade. Mer realkapital er bedre, men gevinsten avtar etter hvert. Figur 19.1 Produktfunksjon med avtakende utbytte i realkapitalen

Y (BNP)

K1 K2 K (realkapital)

Y = F(K,N)

Økningen i produksjonen når realkapitalen øker med 1 enhet, dvs marginalproduktiviteten til kapital, MPK, er mye større dersom realkapitalen er liten, som K1, enn hvis realkapitalen er stor, som K2.

1

1

MPK

MPK

3

Endringen i realkapitalen, ΔK, er lik tilgangen på ny realkapital, dvs. bruttoinvesteringene, som vi også bare kaller investeringene, I, minus kapitalslitet (depresieringen), dvs. reduksjonen i den eksisterende kapitalbeholdningen som skyldes slitasje og foreldelse. Vi antar at depresieringen er proporsjonal med kapitalbeholdningen, lik δK, der δ er depresieringsraten. Vi har at 0 < δ < 1, dvs. at det er en viss andel av kapitalbeholdningen som hvert år forsvinner gjennom depresiering. Endringen i realkapitalen, ΔK, blir dermed lik investeringene, I, minus kapitalslitet, δK: (19.2) K I K Vi ser på en lukket økonomi, som innebærer at landet ikke kan låne fra eller spare i utlandet. Videre ser vi på landet som helhet, uten å skille mellom offentlig sektor og privat sektor. Det følger da av nasjonalregnskapsdefinisjonene at investeringene i landet er lik samlet sparing, S, dvs. at (19.3) I S Vi antar videre at landet bruker en konstant andel, s, av inntekten til sparing, dvs. at (19.4) , 0 1S sY s

Dette innebærer at konsumet også er proporsjonalt med inntekten, dvs. at C = cY, der c=1-s, siden vi jo per definisjon har at Y = C + S i en lukket økonomi uten offentlig sektor. Vi setter inn for (19.3) og (19.4) i (19.2) og får

(19.5)

( , )

K I K

sY K

sF K N K

Vi ser at realkapitalen øker, dvs. ΔK > 0, hvis investeringene er større enn kapitalslitet, dvs. hvis sF(K,N) > δK. Realkapitalen synker hvis det motsatte er tilfelle, dvs. hvis sF(K,N) < δK. Vi definerer K* som det nivå for realkapitalen som innebærer at realkapitalen er konstant, dvs. at K* er gitt ved ∆K = sF(K*,N) - δK* = 0.

Figur 19.2 illustrerer situasjonen. Den rette stigende linjen viser depresieringen, δK, som er proporsjonal med kapitalbeholdningen, og derfor en lineær funksjon av K. Den nederste krumme linjen er investeringene, som er en andel s av produksjonen, I = sF(K,N). Til venstre i figuren er kurven for investeringene over linjen for depresieringen, dvs. at tilgangen på ny realkapital gjennom investeringer er større enn reduksjonen i realkapitalen på grunn av depresiering, slik at realkapitalen vil vokse over tid. Til høyre i figuren er det motsatt: da er depresieringen større enn investeringene, slik at realkapitalen vil synke over tid. De to kurvene krysser hverandre for K*, dvs. at for dette kapitalnivået er investeringene akkurat lik depresieringen, slik at realkapitalen er konstant.

4

Matematisk har vi at for lav realkapitalbeholdning, K < K*, er sF(K,N) > δK slik at ΔK > 0, slik at K øker, dvs. at K nærmer seg K*. Tilsvarende har vi for høy realkapitalbeholdning, K > K*, er sF(K,N) < δK slik at ΔK < 0, dvs. at K reduseres. Også da vil K nærmer seg K*. Figur 19.2 Likevekt

Vi ser at med konstant spare- og investeringsrate s, og konstant depresieringsrate δ, vil K* være et likevektsnivå i den forstand at hvis realkapitalen lik dette nivået, vil det forbli der. En slik likevekt blir gjerne kalt en stasjonærtilstand eller steady state for økonomien, fordi når økonomien er i en stasjonærtilstand, er det ingen tendens til at økonomien beveger seg fra denne tilstanden. Hvis K = K*, er jo ∆K = 0, slik at K forblir lik K*.

Vi ser også at hvis realkapitalen starter på et annet nivå på realkapitalen enn K*, så vil den bevege seg mot K*. Hvis K er større enn K*, er investeringene mindre enn reduksjonen i kapital ved depresiering slik at K reduseres.

Hvilke implikasjoner har dette for sammenhengen mellom sparing, investering og økonomisk vekst? Vi har tre sentrale resultater.

1) For gitte investerings- og depresieringsrater vil det være et likevektsnivå for realkapitalen, K*. Dersom realkapitalen er lik dette nivået, med tilhørende produksjon Y* = F(K*,N), vil realkapitalen og dermed produksjonen forbli konstante lik likevektsnivåene K* og Y*. Økonomien er i en stasjonærtilstand, og det vil ikke lenger være noe økonomisk vekst.

Y, I, δK Y*

K* K (realkapital)

Y = F(K,N)

Den rette linjen δK viser depresieringen som en funksjon av realkapitalen, mens den nederste krumme kurven, I= sF(K,N) viser investeringene. Realkapitalen øker over tid når investeringene er større enn depresieringen. Når K = K* er investeringene lik depresieringen og realkapitalen vil være konstant. K* er gitt ved skjæringspunktet mellom kurven for investeringene og linjen for depresieringen, det vil si punkt A.

δK

I = sF(K,N) A

5

2) Hvis et land starter på et realkapitalnivå som ligger under likevektsnivået, vil det være vekst i realkapitalen i periode inntil realkapitalen når likevektsnivået. I denne perioden vil også produksjonen øke, dvs. at det er økonomisk vekst.

3) Vekstraten er større, jo lavere den faktiske realkapitalen er sammenlignet med likevektsnivået. Dels skyldes dette at vekstraten i realkapitalen er større jo lavere realkapitalbeholdningen er i utgangspunktet – vi ser i figur 19.2 at den vertikale differansen mellom kurven for investeringene og kurven for depresieringsraten er større når K er mye lavere enn K*.1 I tillegg er det jo avtakende utbytte i realkapitalen, slik at økningen i Y når K øker er størst for lave verdier av K.

Økt spare- og investeringsrate

Hva blir nå konsekvensene hvis spare- og investeringsraten i økonomien øker? Økt sparerate fra s1 til s2 fører til at landet bruker en større andel av produksjonen til investeringer, slik at investeringskurven skifter opp, som vist i figur 19.3.

Figur 19.3 Økt investeringsrate fører til økte likevektsnivåer K* og Y*

1 For svært lave nivåer på K er avstanden mellom kurvene igjen mindre, slik at K øker saktere målt i absolutt verdi, dvs ΔK er mindre. Men siden K da er mindre, er vekstraten i K, ΔK/K likevel større. Dette vises formelt i vedlegg til kapitlet.

Y, I, δK

K*1 K*2 K (realkapital)

Y = F(K,N)

Økt sparerate gir til et positivt skifte i investeringskurven. Likevekten i økonomien går fra punkt A til punkt B, slik at likevektsnivået for realkapitalen øker fra K*1 til K*2. Likevektsnivået for produksjonen øker til Y*2.

δK

s1F(K,N)

s2F(K,N)

Y*2

Y*1

B

A

6

Vi ser at høyere sparerate fører til at likevektsnivået for realkapitalen øker fra K*1 til K*2, noe som igjen innebærer at likevektsnivået for produksjonen øker til Y*2. Økt sparerate vil dermed føre til en periode med økonomisk vekst, der realkapitalen øker og produksjonen øker fra Y*1 til Y*2. Deretter vil produksjonen igjen ligge konstant, men på et høyere nivå. Økt sparing fører dermed ikke til varig høyere økonomisk vekst, men bare et høyere produksjonsnivå. Merk at når vi ser på virkningen av økt sparerate, antar vi at investeringsraten øker tilsvarende. Vi ser dermed bort i fra spareparadokset vi studerte i kapittel 5 og 6, der vi så på virkningene av økt sparevilje hos husholdningene uten en tilsvarende økning i investeringene. Vi kan tolke dette som at endringen skjer ved at investeringsraten øker, og at dette innebærer en tilsvarende økning i spareraten. Alternativt kan dette tolkes som at sentralbanken senker renten for å motvirke en nedgang i BNP når spareraten øker. Lavere rente vil føre til at investeringene øker i takt med den økte sparingen, slik at det ikke blir noen reduksjon i samlet etterspørsel som fører til ledig produksjonskapasitet. Et av hovedresultatene i Solow-modellen er at høyere sparing med tilhørende økt realkapitalbeholdning, ikke kan gi varig økonomisk vekst. Uansett hvor høy spareraten er, vil økonomien før eller senere ende i en stasjonærtilstand der realkapitalen og produksjonen er konstant. For å få varig økonomisk vekst, er det nødvendig at produktiviteten øker, som i Solow-modellen må skje ved et positivt skifte i produktfunksjonen, slik at produksjonen øker uten at det skjer noen økning i realkapitalnivået. Som diskutert i kapittel 18 vil slik produktivitetsøkning skje som en følge av teknologisk og organisatorisk fremgang.

Golden rule

Så langt har vi betraktet spare- og investeringsraten som eksogene størrelser. Men hvor stor bør sparingen være? Er det best å spare mest mulig, for å få et høyest mulig produksjonsnivå? Nei, åpenbart ikke. Det er lettest å forstå ved å tenke seg det ekstreme, der hele inntekten brukes til sparing og investering. Da er det ingen ting igjen til konsum, som dermed blir lik null, noe som åpenbart ikke kan være bra. I figur 19.4 sammenligner vi to ulike nivåer på spareraten, s1 og s2. Vi ser at selv om høyere sparerate gir høyere produksjon i likevekt, Y*2 > Y*1, er konsumet likevel større ved den lavere spareraten. Konsumet er differansen mellom produksjon og investering, og vi ser at C*1 > C*2. Et naturlig mål kan være å få høyest mulig konsum på varig basis, dvs. å finne det likevektsnivået som innebærer høyest mulig konsum. Høyest mulig konsum i en likevekt, stasjonærtilstand, innebærer dermed at den vertikale avstanden mellom produktfunksjonen og investeringskurven er størst mulig. Det nivå på realkapitalen som gir størst mulig konsum i en stasjonærtilstand, blir gjerne kalt «golden rule»-nivået på realkapitalen.

7

Figur 19.4 Høyere sparerate kan føre til redusert konsum i en stasjonærtilstand

Hvilken sparerate er det som gir størst konsum i en stasjonærtilstand? Vi ser av figur 19.4 at i en stasjonærtilstand er konsumet lik den vertikale differansen mellom produktfunksjonen og linjen for depresieringen. Høyest mulig konsum innebærer at denne avstanden må være størst mulig. Det vil være tilfelle for det nivå på realkapitalen der helningen på produktfunksjonen er lik helningen på linjen for depresieringen, det vil si lik depresieringsraten. I et vedlegg til kapitlet vises dette formelt.

Befolkningsvekst i Solow-modellen

I dette avsnittet vil vi se på konsekvensene av befolkningsvekst i Solow-modellen. Vi antar at befolkningen vokser med en konstant rate n > 0, og at sysselsettingen vokser i takt med befolkningsveksten. Når befolkningen og sysselsettingen vokser, blir det mest interessant å se på hva som skjer med produksjonen per sysselsatt, fordi det er det som bestemmer det materielle velstandsnivået i økonomien. For å finne produksjonen per arbeider, deler vi på antall sysselsatte på begge sider av produktfunksjonen. Som kapittel 18 antar vi at produktfunksjonen har konstant utbytte mhp. skalaen, som innebærer at hvis vi får dobbelt så mye realkapital og dobbelt så mye arbeidskraft, da blir også produksjonen dobbelt så stor. Da har vi at (jf. ligning (18.1)-(18.2))

Y, I, δK

K*1 K*2 K (realkapital)

Y = F(K,N)

Høyere sparerate, s2 > s1, fører til høyere realkapital og høyere BNP i likevekt. Økonomien beveger seg fra punkt A til punkt B. Men siden en større del av produksjonen hele tiden må gå til investeringer for å opprettholde det høye realkapitalnivået, kan konsumet likevel bli høyere ved en lavere sparerate, som vist her.

δK

s1F(K,N)

s2F(K,N)

Y*2

Y*1

C*2

C*1 I*2

I*1

B

A

8

(19.6) K N K

( , ) ( ,1)Y

F FN N N N

Vi bruker liten bokstav for vise en variabel per arbeider, dvs. y = Y/N og k = K/N, slik at (19.6) kan omskrives til (19.7) ( ,1)y F k

Vi ser at produksjon per arbeider, y, bare er en funksjon av realkapitalen per arbeider, k, slik vi kan neglisjere den siste delen av produktfunksjonen og skrive den på en enklere form som (19.8) ( )y f k

Hvis realkapitalen er konstant når sysselsettingen vokser, vil det bli stadig mindre realkapital per sysselsatt. For å opprettholde realkapitalen per sysselsatt, må realkapitalen vokse i takt med veksten i sysselsettingen. Dette er helt analogt med virkningen av depresiering. Depresiering innebærer at noe realkapital blir borte, mens sysselsettingsvekst innebærer at tilgang av nye arbeidstakere som også skal bruke en viss mengde realkapital. Behovet for ny realkapital for å kompensere for depresiering og sysselsettingsvekst, slik at realkapitalen per sysselsatt er konstant, vil da være gitt ved δK + nK. Vi antar som tidligere at spareraten, s, er konstant, slik at investeringene per arbeider er blir lik sf(k). Endringen i realkapitalen per arbeider vil bli lik tilgangen på ny realkapital gjennom investeringer, sf(k), minus effekten av depresiering og befolkningsveksten, δK+ nK. (19.9) (k) (k) ( )k sf k nk sf n k

Figur 19.5 viser hva konsekvensene blir i en stasjonærtilstand i økonomien. Det blir en ny linje som viser hvor mye realkapitalbeholdningen må vokse for å kompensere for både depresieringen og befolkningsveksten, slik at realkapitalen per arbeider kan opprettholdes.

9

Figur 19.5 Befolkningsvekst fører til lavere realkapital i en stasjonærtilstand

For gitt spare- og investeringsrate vil befolkningsvekst føre til lavere realkapital per arbeider i en stasjonærtilstand, og dermed også lavere produksjon per arbeider, se figur 19.5. Det er imidlertid ikke opplagt at spare- og investeringsraten forblir konstant. Ved et lavere realkapitalnivå vil marginalproduktiviteten til kapital være høyere. Hvis vi antar at det er et gitt rentenivå i økonomien, istedenfor å anta at spareraten er konstant, vil økt marginalproduktivitet av kapital innebære at nye investeringer er mer lønnsomme. Det kan føre til at spare- og investeringsraten øker, i tråd med argumentasjonen i boks 15.x. I Solow-modellen har vi antatt at økonomien er lukket, men hvis vi istedenfor hadde sett på en åpen økonomi, der det er mulig å låne fra eller spare i andre land, ville det være vel så rimelig å anta at realrentenivået på lang sikt var gitt fra utlandet.

Produktivitetsvekst og endogen vekstteori

Solow-modellen ble som nevnt utviklet for å se på virkningene av sparing og investering på økonomisk vekst, og derfor er det vanlig å se bort i fra eventuell produktivitetsvekst. Rundt 1990 ble det økt interesse for å studere betydningen av produktivitetsvekst. Flere økonomer lanserte vekstmodeller der hensikten var å forklare produktivitetsveksten, dvs. at produktivitetsveksten var endogen. I disse modellene antas det gjerne at produktivitetsnivået i økonomien avhenger av kunnskapsnivået, og at kunnskapsnivået i økonomien vokser ved forskning og utvikling. Økte ressurser til forskning og utvikling gir

y, δk y*1

k*2 k*1 k (realkapital per arbeider)

f(k)

Uten befolkningsvekst er k*1 likevektsnivået for realkapitalen per arbeider. Med befolkningsveksten og med gitt investeringsrate s blir likevektsnivået k*2. Vekst i befolkningen fører til lavere realkapitalbeholdning i steady state, og dermed også lavere produksjon per arbeider, fra y*1 til y*2.

δk

sf(k)

(n+δ)k

y*2

A B

10

større vekst i kunnskapsnivået, og dermed også større produktivitetsvekst. Disse forholdene drøftes i kapittel 18, men uten tilknytning til noen formell vekstmodell. Weil (2013) gir en god fremstilling av økonomisk teori for vekst, også såkalt endogen vekstteori.

Hva skyldes forskjellene i inntektsnivå mellom land? Det er meget store forskjeller i inntektsnivå mellom ulike land. En stor del av dette skyldes forskjeller i tilgang på produksjonsfaktorer. I rike land er det gjennomgående mye mer realkapital per arbeidstaker enn i fattige land. I 2009 var realkapitalen per arbeider i Kenya bare to prosent av nivået i USA. Det er også store forskjeller i utdanningsnivå. I Malawi var gjennomsnittlig skolegang under fire år, mot over tolv år i USA. Men det er også store forskjeller i produktivitet mellom ulike land, både knyttet til ulikt teknologisk nivå, og knyttet til hvordan økonomien som helhet fungerer. Hvor viktig er hver av disse forskjellene? En rekke studier har forsøkt å svare på dette spørsmålet, og i følge Hsieh og Klenow (2010) ligger anslagene på at

forskjeller i humankapital kan forklare 10 – 30 prosent av inntektsforskjellene,

forskjeller i realkapital 20 prosent av inntektsforskjellene, og

forskjeller i produktivitet 50-70 prosent av inntektsforskjellene. Her vil vi vise noen beregninger, basert på Weil (2013), som i noen grad viser hvordan slike lages. Beregningene bygger på en aggregert produktfunksjon som vi har sett ovenfor, men på en spesifikk form, en Cobb-Douglas produktfunksjon:

(19.10) 1/3 2/3( )Y AK hN

Arbeidskraften, hN, har dermed dobbelt så stor vekt som realkapitalen i produksjonen, og dette er en vanlig forutsetning i slike produktfunksjoner. For å sammenligne land med ulik størrelse på befolkningen, deler vi på antall arbeidstakere, slik vi får

(19.11) 1/3

2/3Y KA h

N N

Dvs. at produksjonen per arbeidstaker, Y/N, avhenger tre faktorer

- Produktiviteten A - Realkapital per arbeidstaker, K/N - Humankapital per arbeidstaker, h

Tabell 19.1 viser de sentrale tallene i beregningene. I hver kolonne er verdien for USA satt til én, slik at tallet for hvert land viser nivået sett i forhold til nivået i USA.

11

Merknad – i den blå linjen skal y erstattes med Y/N, og k med K/N, se nedenfor

Land BNP per

arbeider,

Y/N

Realkapital

per arbeider,

K/N

Human-

kapital, h Produksjonsfaktorer

(K/N)1/3h2/3

Produktivitet,

A

Tabell 19.1 Produksjon, produksjonsfaktorer og produktivitetsnivå i ulike land

Kolonne 1-3 viser BNP, realkapital og humankapital per arbeider i ulike land, målt som andel av nivået i USA. Kolonne 4 viser sammenveide produksjonsfaktorer, der realkapital har vekt 1/3 og humankapital vekt 2/3. Produktiviteten sier hvor mye av forskjellen i BNP per arbeider som ikke kan forklares med forskjellen i produksjonsfaktorer per arbeider. Den beregnes ved å dele tallet i kolonne 1 på tallet i kolonne 4. Kilde: Weil (2013)> • Kolonne 1 viser produksjonen per arbeider, Y/N, målt ved BNP per arbeider. Her brukes kjøpekraftskorrigerte priser, slik at man tar hensyn til at prisnivået er forskjellig i ulike land. Vi ser at BNP per arbeider i Norge lå 12 prosent over nivået i USA, noe som blant annet skyldes våre store oljeinntekter. • Kolonne 2 viser realkapitalen per arbeider, K/N. Vi ser at flere land, som Japan og Norge, faktisk har mer realkapital per arbeider enn i USA, mens særlig afrikanske land har mye mindre realkapital. • Kolonne 3 viser humankapitalen per arbeider, h, basert på forskjeller i gjennomsnittlig lengde på utdanningen i ulike land. I beregningene er økningen i humankapitalen ved et ekstra års skolegang satt lik den økning i lønnen som lengre skolegang vanligvis gir, i følge empiriske studier. Beregningen forutsetter dermed at arbeidstakere med minst skolegang har samme humankapital i alle land, at lønnsøkningen som følge av mer utdanning er den

12

samme i alle land, og at lønnsøkningen er et bra mål på økningen i humankapital som økt utdanning gir. I beregningene er effekten av hvert av de første fire årene satt til en økning på 13,4 prosent, hvert av de neste fire til 10,1 prosent og hvert av de neste fire til 6,8 prosent. For eksempel tilsvarer tallet for humankapital for Kenya en gjennomsnittlig skolegang på 7,6 år, fordi dette gir en humankapital på 1,1344 · 1,1013,6 = 2,34, mens for USA, der gjennomsnittlig skolegang var 12,2 år, får vi 1,1344 · 1,1014 · 1,0684,2 = 3,20. Humankapitalnivået i Kenya er dermed lik 2,34/3,20 ≈ 0,73, dvs. 73 prosent av nivået i USA. • Kolonne 4 viser en sammenveiing av produksjonsfaktorene, basert på et geometrisk gjennomsnitt der realkapital har vekt 1/3, og humankapital har vekt 2/3. For Kenya finner vi at produksjonsfaktorene samlet sett er lik (0,022)1/3(0,73)2/3 = 0,23, det vil si at produksjonsfaktorene samlet sett ligger på 23 prosent av nivået i USA. • Kolonne 5 viser produktivitetsnivået, A, definert som forskjellen i produksjonsnivå som ikke kan forklares med forskjeller i produksjonsfaktorer. For å beregne produktivitetsnivået tar man utgangspunkt i (19.11), og deler på bruken av produksjonsfaktorer, (K/N)1/3h2/3 på begge sider av likhetstegnet, slik at vi får

(19.11) 1/3 2/3( / )

YA

K N h

For Kenya finner vi da

1/3 2/3

0,032 0,0320,14

0,022 0,73 0,23

KenyaA

Produktivitetsnivået i Kenya er dermed 14 prosent av nivået i USA. Vi ser av tabell 19.1 at til tross for meget store forskjeller i realkapital per arbeider, der Kenya og Malawi i 2009 bare hadde 2-3 prosent av realkapitalnivået i USA, er forskjellene i produksjonsfaktorer samlet sett ikke så store. Siden forskjellen i humankapital er mye mindre, der Malawi ligger på snaut 60 prosent av USA og Kenya på drøyt 70, ligger sammenveide produksjonsfaktorer for Kenya og Malawi i følge beregningene på drøyt 20 prosent av nivået i USA. De meget store forskjellene i produksjon per arbeider skyldes derfor først og fremst forskjeller i produktivitetsnivå, der Malawi har et produktivitetsnivå på 9 prosent av nivået i USA, og Kenya som nevnt 14 prosent. Beregningsmetoden i tabell 19.1 er naturligvis meget grov ved at det er en rekke forhold som det ikke blir tatt hensyn til.

Forskjeller i humankapital bygger bare på forskjeller i gjennomsnittlig lengde på skolegangen. Man får dermed ikke tatt hensyn til forskjeller i kvaliteten på skolen i ulike land, eller andre forskjeller i kvalitet på arbeidskraft som ikke skyldes forskjeller i utdanning. F. eks. argumenterer Lagakos m. flere (2012) for at økt arbeidserfaring gir mindre økning i humankapitalen for arbeidstakere i fattige land, noe som innebærer at anslag som i tabell 16.1 undervurderer forskjellene i humankapital mellom rike og fattige land.

13

Tallene for realkapitalen er også usikre, og det vil også være forskjeller i kvalitet mellom realkapital i ulike land. Sammenveiingen av realkapital og humankapital kan også diskuteres.

Beregningen tar heller ikke hensyn til andre forskjeller, som tilgang på naturressurser eller antall arbeidede timer. Som kjent har Norge fordel av betydelige petroleumsressurser, men samtidig arbeider norske arbeidstakere i gjennomsnitt 75–80 prosent av det antall timer som amerikanske arbeidstakere jobber. Disse to faktorene trekker i hver sin retning når vi sammenligner produktivitetsnivåene i Norge og USA.

Til tross for disse forenklingene er beregningene likevel nyttige som grove anslag på årsakene til forskjellene i produksjon per arbeider mellom ulike land.

Hva har du lært?

Vi bruker Solow-modellen til å studere virkningen av økt spare- og investeringsrate på BNP per innbygger og veksten i BNP per innbygger. Modellen gir tre sentrale resultater:

1) For gitte investerings- og depresieringsrater vil det være et likevektsnivå for realkapitalen, K*. Dersom realkapitalen er lik dette nivået, med tilhørende produksjon Y* = F(K*,N), vil realkapitalen og dermed produksjonen forbli konstante lik likevektsnivåene K* og Y*. Økonomien er i en stasjonærtilstand, og det vil ikke lenger være noe økonomisk vekst.

2) Hvis et land starter på et realkapitalnivå som ligger under likevektsnivået, vil det være vekst i realkapitalen i en periode inntil realkapitalen når likevektsnivået. I denne perioden vil også produksjonen øke, dvs. at det er økonomisk vekst.

3) Vekstraten er høyere, jo lavere den faktiske realkapitalen er sammenlignet med likevektsnivået.

Jo høyere spare- og investeringsraten er, jo høyere blir realkapitalen og dermed også BNP per innbygger i en stasjonærtilstand. Men siden en større realkapitalbeholdning innebærer at det må investeres mer for å opprettholde realkapitalnivået, vil konsumet blir lavere dersom spareraten er for høy. Det realkapitalnivået som gir høyest mulig konsum per innbygger i en stasjonærtilstand er realkapitalnivået ved Golden rule. Dersom befolkningen vokser er det behov for høyere investeringsrate for å kunne opprettholde realkapitalen per sysselsatt. I en stasjonærtilstand må investeringene kompensere for depresieringen og samtidig som det må være en økning i realkapitalen so tilsvarer veksten i befolkningen. Det er meget store forskjeller i inntektsnivå mellom ulike land. En rekke studier har forsøkt å finne årsakene til disse forskjellene, og i følge Hsieh og Klenow (2010) ligger anslagene på at

forskjeller i humankapital kan forklare 10 – 30 prosent av inntektsforskjellene,

forskjeller i realkapital 20 prosent av inntektsforskjellene, og

forskjeller i produktivitet 50-70 prosent av inntektsforskjellene.

14

Referanser Hsieh og Klenow (2010) Lagakos m. flere (2012)

Oppgaver

Vedlegg I dette vedlegget vil vi illustrere Solow-modellen ved å bruke en Cobb-Douglas produktfunksjon. Vi har da at

(19.12) 1( , ) , der 0 1Y F K N AK N

Her er A produktivitetsnivået og parameteren α viser betydningen av realkapital i produksjonen. Denne produktfunksjonen har konstant utbytte mhp. skalaen, i tråd med det vi har antatt over. Dette ser vi ved å multiplisere produksjonsfaktorene K og N med en konstant q > 0. Da får vi

(19.13) 1 1 1(qK,qN) ( ) ( ) ( , )F A qK qN q AK N qF K N

Med Cobb-Douglas produktfunksjon er endringen i realkapitalen (ligning (19.2)) lik

(19.14) 1

( , )K sF K N K

sAK N K

Vi vil studere hvordan realkapitalen endres over tid. Da er det hensiktsmessig å se på vekstraten i realkapitalen, dvs. endringen i realkapital delt på realkapitalbeholdningen, ΔK/K. Fra (19.14 har vi

(19.15)

1 1

1

1

KsAK N

K

KsA

N

sAk

I siste linje omskriver vi til realkapital per sysselsatt, k=K/N. Likevektsnivået for realkapitalen er det nivå der endringen er lik null, ΔK/K = 0, som er gitt ved

15

(19.16)

1

1

1

11

11

1

1

0

*

KsAk

K

sAk

ksA

ksA

ksA

Figur 19.6 viser utviklingen i kapitalbeholdningen over tid, gitt ved ligning (19.16). Vi ser at investeringene er større enn depresieringen for lave nivåer for realkapitalen, slik at realkapitalen da vil vokse over tid. Det motsatte er tilfelle for høye nivåer for realkapitalen. Da er investeringene mindre enn depresieringen slik at realkapitalen reduseres. Realkapitalen vil dermed bevege seg mot likevektsnivået k*. Den relative endringen i realkapitalen er større jo lenger realkapitalen er unna likevektsnivået k*.

16

Figur 19.6 Realkapitalen konvergerer mot stasjonærtilstanden

Vi vil nå se hvilket realkapitalnivå som gir høyest konsum i en stasjonærtilstand, den såkalte

golden rule. I en stasjonærtilstand er investeringene lik depresieringen, slik at det

matematiske problemet er altså å finne det realkapitalnivået som maksimerer C = F(K,N) – I,

gitt at I = δK. Vi bruker Cobb-Douglas produktfunksjon, slik at problemet blir

(19.17) 1

1

maksimerC AK N I

AK N K

Vi deriverer mhp K, og får førsteordensbetingelsen

ΔK/K

k* k (realkapital per sysselsatt)

Investeringer I= sAkα-1

Vekstraten i realkapitalen er gitt ved den vertikale avstanden mellom kurven for investeringene og linjen for depresieringen. For lav realkapitalbeholdning, k < k*, er investeringene større enn depresieringen, slik at realkapitalen vokser. For høy realkapitalbeholdning, k > k*, er det motsatt, da er investeringene mindre enn depresieringen slik at realkapitalen reduseres. Vi ser også at avstanden er større, slik at realkapitalen endres raskere, jo lenger realkapitalen er fra likevektsnivået k*.

δ Depresiering

17

(19.18)

1 1

1

1

1

1

1

0

GR

dCAK N

dK

KA

N

Ak

kA

k kA

Det realkapitalnivå som gir høyest konsum i en stasjonærtilstand er kGR = (δ/αA)(1/(α-1)), der toppskriften GR står for golden rule. Hvis vi sammenligner uttrykket for kGR med uttrykket for realkapitalen i en stasjonærtilstand i ligning (19.6), ser vi at uttrykkene er helt like, hvis spareraten er lik parameteren for kapitalens betydning i produktfunksjonen, dvs. at s = α. En sparerate = α vil med andre ord føre til den stasjonærtilstand der konsumet er høyest.

Befolkningsvekst i Solow-modellen

Vi antar nå at befolkningen vokser med en konstant rate n > 0, dvs. at ΔN/N = n. Vi skal se hvordan dette påvirker utviklingen i økonomien. Endringen i kapitalbeholdningen per sysselsatt, K/N, er lik

(19.19)

2

K K N K N

N N

K K N K

N K N N

K K N K

K N N N

K N K

K N N

Første likhet er direkte bruk av regneregel for tilvekstform av en brøk, som tilsvarer regelen for derivasjon av en brøk. I 2. linje utvides første ledd med K/K.

I (19.15) fant vi at vekstraten i realkapitalen over tid er 1KsAk

K

. Vi setter dette

uttrykket inn i (19.19) og får

(19.20) 1K N KsAk

N N N

18

Som også kan skrives som (bruker at k=K/N og n=ΔN/N)

(19.20) 1k sAk n k ,

som er lik ligning (19.9) i hovedteksten. (19.20) kan også omskrives til en ligning for vekstraten i realkapitalen per sysselsatt ved å dele på k på begge sider:

(19.21) 1ksAk n

k