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MEMORIAS DEL XXV CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 18 al 20 DE SEPTIEMBRE DE 2019 MAZATLÁN, SINALOA, MÉXICO
Tema A4 Termofluidos: Electrocinética
Solución semi-analítica del flujo electroosmótico transitorio de dos fluidos de Maxwell inmiscibles en nano- y microcanales transicionales
Escandón Colin Juan Pablo*, Torres Cano David Alejandro
Instituto Politécnico Nacional, SEPI-ESIME Azcapotzalco, Av. De las Granjas No. 682, Col. Santa Catarina, Alcaldía de Azcapotzalco, Ciudad de México,
C.P. 02250, México
*Autor de contacto: [email protected]
R E S U M E N
En este trabajo, se estudia el flujo electroosmótico transitorio de dos fluidos viscoelásticos inmiscibles en nano- y
microcanales transicionales de placas planas paralelas. Con una apropiada combinación de la ecuación de conservación
de la cantidad de movimiento y la ecuación constitutiva del modelo reológico de Maxwell, se obtiene una ecuación
diferencial parcial hiperbólica que describe el campo de velocidad, misma que se resuelve de manera semi-analítica
utilizando el método de la transformada de Laplace. Adoptando un modelo matemático adimensional de las ecuaciones
gobernantes y constitutivas, se reporta la influencia de los parámetros adimensionales sobre el flujo electroosmótico
transitorio, siendo éstos, una diferencia de potencial y una densidad de carga superficial en la interfase líquido-líquido,
los tiempos de relajación, la razón de viscosidades y la razón de densidades entre los fluidos.
Palabras Clave: Flujo electroosmótico, fluidos de Maxwell, fluidos inmiscibles, nanocanales, microcanales.
A B S T R A C T
In this work, the transient electroosmotic flow of two immiscible viscoelastic fluids in transitional nano- and microchannels
of parallel flat plates is studied. With a proper combination of the momentum conservation equation and the constitutive
equation of Maxwell's rheological model, we obtain a partial hyperbolic differential equation that describes the velocity
field, which is solved semi-analytically using the method of the Laplace transform. Adopting a dimensionless mathematical
model of the governing and constitutive equations, the influence of the dimensionless parameters on the transient
electroosmotic flow is reported, being these, a potential difference and a surface charge density on the liquid-liquid
interface, the relaxation times, the viscosities ratio and the densities ratio between fluids.
Keywords: Electroosmotic flow, Maxwell fluids, immiscible fluids, nanochannels, microchannels.
Nomenclatura
Ex campo eléctrico en la coordenada x, Vm-1
e carga del electrón, C
H mitad de altura del microcanal, m
kB constante de Boltzmann, JK-1
n0 densidad de iones, m-3
t tiempo, s
T temperatura, K
u velocidad del fluido, ms-1
uc velocidad característica, ms-1
u velocidad adimensional, ms-1
x, y coordenadas cartesianas
y1 posición de interfase, m
1y posición adimensional de la interfase
z valencia del electrolito
Símbolos griegos
constante dieléctrica, CV-1 m-1
razón de constantes dieléctricas
potencial zeta en las paredes, V
potencial zeta adimensional en las paredes
viscosidad dinámica, Nm-2s razón de viscosidades
-1 longitud de Debye, m
parámetro electrocinético
densidad del fluido, kgm-3
e densidad de carga eléctrica, Cm-3
razón de densidades
yx esfuerzo cortante, kgm-1s-2
potencial eléctrico, V
potencial eléctrico adimensional
Subíndices
1,2 capa de fluido
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1. Introducción
En el campo de la miniaturización de sistemas, se obtienen
ventajas como el manejo de pequeños volúmenes de
muestras, escalabilidad, integración de múltiples funciones
y campos, bajos costos de operación, bajo consumo de
energía, entre otros. El resultado es un microsistema
conocido como laboratorio en un chip, con un tamaño de
milímetros a centímetros que facilita la implementación de
muchas tareas de laboratorio, en donde se incluye la
preparación de muestras, mezclado, separación, diagnostico,
manipulación, control, detección y análisis [1]. La
aplicación de estos microsistemas abarca las áreas de
mecánica, biología, química y medicina, buscando mejorar
las tecnologías para preservar la salud del ser humano y
mejorar la calidad de vida [2].
Un problema inherente en los pequeños dispositivos
antes mencionados, es la fabricación de partes móviles para
la manipulación de fluidos o muestras. Es por eso, que
surgen las técnicas basadas en efectos electrocinéticos que
no necesitan partes móviles [3]. La electroósmosis es uno de
los fenómenos estudiados por la electrocinética y que se
utiliza para el transporte de una solución electrolítica en
contacto con una superficie estacionaria eléctricamente
cargada. El movimiento sucede cuando se aplica un campo
eléctrico externo sobre una región de alta concentración de
iones llamada doble capa eléctrica (por sus siglas el idioma
inglés EDL, electrical double layer, y cuya magnitud se
define por la longitud de Debye) en las cercanías de las
paredes polarizadas del conducto; esta acción arrastra los
iones dentro de la EDL y fuera de ella el movimiento se
transmite al resto del fluido por arrastre viscoso [4].
En este contexto, la microfluídica y nanofluídica son
términos que se utilizan en campos de la ciencia con
sistemas miniaturizados donde los fluidos se usan como
componentes clave de control y de detección; por lo cual, es
de principal interés establecer que teoría de la mecánica
utilizar, ya sea la mecánica del medio continuo o la mecánica
estadística, para la descripción adecuada de los fenómenos
de flujo y transferencia de calor que suceden ahí [5]. Para
esto, Kandlikar y Grande [6], propusieron una uniformidad
en la clasificación de conductos con Dh ≤0.1 m para
nanocanales, 0.1≤Dh ≤1 m para nanocanales transicionales,
1≤Dh ≤10 m para microcanales transicionales, 10≤Dh ≤200
m para microcanales, 200≤Dh ≤3 mm para minicanales;
aquí, Dh es el diámetro hidráulico del conducto o canal. Por
su lado Qiao y Aluru [7] establecieron que la teoría de flujo
continuo deja de ser útil en aplicaciones de flujos
electroosmóticos en canales de hasta 0.95 nm; sin embargo,
esta teoría se puede utilizar en canales de hasta 2.22 nm con
correcciones de la viscosidad de los líquidos dentro de la
EDL. Cuando la teoría del medio continuo no es aplicable,
los flujos electroosmóticos en nanoescala se estudian con
técnicas de dinámica molecular [8] o simulaciones
atomísticas [9].
Los flujos electroosmóticos se han estudiado
extensivamente con fluidos de una sola fase o una sola capa,
tanto en régimen permanente como en estado transitorio, y
usando conductos formados por canales cilíndricos [10],
anulares [11], de placas paralelas [12] y rectangulares [13].
Sin embargo, estas investigaciones se han extendido al
bombeo de fluidos no conductores por arrastre viscoso
debido a efectos electroosmóticos sobre un líquido
conductor, es decir el transporte de dos fluidos paralelos
inmiscibles [14-16]; en estos trabajos, al considerar que uno
de los fluidos en el arreglo es conductor y el otro no, derivan
en un empleo parcial o nulo de los esfuerzos eléctricos de
Maxwell en la interfase líquido-líquido entre los fluidos. Por
lo tanto, y como una extensión a este último aspecto,
también se han realizado investigaciones teóricas sobre el
flujo electroosmótico transitorio de dos fluidos conductores
inmiscibles, como el estudio de Jian et al. [17] con un fluido
de Maxwell y el otro newtoniano, y el estudio de Su et al.
[18] con ambos fluidos newtonianos, en donde se utilizaron
los esfuerzos eléctricos en ambos fluidos.
Por lo anterior y debido a que el estudio del flujo
electroosmótico transitorio de dos fluidos conductores de
Maxwell inmiscibles en un conducto de placas planas
paralelas no ha sido estudiado aun por la comunidad
científica en conjunto con los efectos interfaciales eléctricos
en interfases líquido-líquido, el presente trabajo tiene como
objetivo extender este tipo de conocimiento sobre flujos
electrocinéticos en nano- y microcanales transicionales, en
donde la teoría del medio continuo es todavía aplicable.
2. Formulación del problema
2.1. Descripción del modelo físico
La presente investigación considera un flujo
electroosmótico transitorio de dos fluidos inmiscibles de
Maxwell, los cuales son incompresible y circulan en un
nano-microcanal de placas planas paralelas de altura 2H. El
origen del sistema de coordenadas cartesianas (x, y) está
ubicado en la pared inferior del conducto según se muestra
en la Fig. 1; además, la posición de la interfase líquido-
líquido entre los fluidos se encuentra en una posición y1=H.
Cada fluido del sistema se conforma de una mezcla de un
electrolito simétrico con un soluto que exhibe un
comportamiento viscoelástico. Las paredes del conducto
están polarizadas, adquiriendo los potenciales zeta 1 y 2,
cuando se ponen en contacto con la solución electrolítica,
formando una EDL en las interfases sólido-líquido. Debido
a que ambos fluidos son considerados inmiscibles y
eléctricamente conductores y la interfase entre ellos es
polarizable debido a su impermeabilidad a partículas
cargadas [19], aparece una EDL con una densidad de carga
qs y una diferencia de potencial en la interfase líquido-
líquido [4]. Por lo tanto, el flujo electroosmótico aparece
cuando un campo eléctrico Ex, se aplica en la dirección x-
positiva.
2.2. Ecuaciones gobernantes y constitutiva
El campo de flujo de cada fluido en el presente sistema está
gobernado por la ecuación de continuidad:
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Figura 1 – Esquema del flujo electroosmótico de dos fluidos
inmiscibles en un nano-microcanal de placas planas paralelas.
0,v (1)
por la ecuación de Cauchy de conservación de la cantidad de
movimiento:
,v
FD
pDt
(2)
y por la ecuación de Poisson-Boltzmann, que describe la
distribución del potencial eléctrico en la doble capa
eléctrica:
2 02sinh ,e
B
n ze ze
k T
(3)
donde v es el vector de velocidad, es la densidad del fluido,
t es el tiempo, p es la presión, es el tensor de esfuerzos y
F es el vector de fuerza de cuerpo. Adicionalmente, es el
potencial eléctrico, e es la densidad de carga eléctrica
libre, es la constante dieléctrica, n0 es la densidad de iones,
z es la valencia del electrolito, kB es la constante de
Boltzmann y T es la temperatura absoluta del fluido. El
modelo reológico que describe el comportamiento
viscoelástico del fluido es el modelo de Maxwell, dado por
la siguiente ecuación:
,TD
Dt
v v
(4)
donde es el tiempo de relajación, es la viscosidad
dinámica, y es el tensor de la rapidez de deformación
dado por ( ) ( ) .T v v
2.3. Simplificación de las ecuaciones gobernantes
Las ecuaciones gobernantes de la sección anterior
representan el modelo matemático general para resolver el
flujo electroosmótico de los fluidos inmiscibles planteado;
sin embargo, este modelo puede ser simplificado tomando
en cuenta las siguientes consideraciones:
El nano-microcanal es lo suficientemente largo, por lo
tanto, el análisis se centra en una región donde se
desprecian los efectos de entrada y salida al conducto,
asumiendo un flujo completamente desarrollado y
unidireccional [4, 20].
Las propiedades físicas de los fluidos son independientes
del campo eléctrico y la temperatura [16].
La interfase líquido-líquido entre los fluidos se
representa como una frontera con espesor cero [19].
La interfase líquido-líquido está bien definida con una
posición fija y plana a lo largo del conducto [21]. Esto se
asume debido a que el flujo es laminar con números de
Reynolds bajos Re(=Huc/)≤1 [4, 5], donde uc es la
velocidad característica del flujo; y números capilares
pequeños Ca(=uc/)≤1 [22], donde es la tensión
superficial entre los electrolitos en un rango de valores
de =0.01-3 mNm-1 [23].
Los potenciales zeta en las paredes son bajos con un
valor de ≤25 mV, para considerar la aproximación de
Debye-Hückel en donde siendo , se tiene que
sinh(ze/kBT) ze/kBT [4].
No existe ningún gradiente de presión externo.
La columna hidrostática por el espesor de cada capa de
fluido es tan pequeña, que los efectos gravitacionales se
pueden despreciar [4].
De esta manera, las ecuaciones gobernantes y
constitutivas (1)-(4), pueden ser reescritas en coordenadas
cartesianas de la siguiente manera, para el fluido 1:
,1 21
1 1 1 1 1, 0, 2 ,yx
x
uE t y y H
t y
(5)
21
1 1 1, 0, 2 ,d
t y y Hdy
(6)
,1 1
,1 1 1 10, 2 ,yx
yx
ut y y H
t y
(7)
para el fluido 2, se tiene que:
,2 22
2 2 2 2 1, 0,0 ,yx
x
uE t y y
t y
(8)
22
2 2 1, 0,0 ,d
t y ydy
(9)
,2 2
,2 2 2 10,0 ,yx
yx
ut y y
t y
(10)
donde u1 y u2 son las velocidades de cada fluido en la
dirección x; yx,1 y yx,2 son esfuerzos cortantes; 2 2 2
1,2 0;1,2 1,2 1,2 1,22 / Bn z e k T son los parámetros de Debye
Hückel, relacionados a la longitud de Debye de cada fluido 1 2 2 1/2
1,2 1,2 1,2 0;1,2 1,2( / 2 )Bk T n z e .
Para obtener un modelo matemático del campo de
velocidad del flujo electroosmótico de los fluidos
inmiscibles, se derivan las ecs. (7) y (10) con respecto a la
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coordenada transversal y, quedando las siguientes
expresiones:
2 2,1 ,1 1
1 1 2,
yx yx u
y t y y
(11)
2 2,2 ,2 2
2 2 2.
yx yx u
y t y y
(12)
Ahora, sustituyendo la ec. (11) en la ec. (5) y la ec. (12)
en la ec. (8), se obtiene:
2 2,1 21 1
1 1 1 1 1 12,
yx
x
u uE
t t y y
(13)
2 2,2 22 2
2 2 2 2 2 22.
yx
x
u uE
t t y y
(14)
Para reemplazar las derivadas cruzadas de las ecuaciones
anteriores, las ecs. (5) y (8) se derivan con respecto al tiempo
obteniéndose lo siguiente:
2 22 2,1 ,21 2
1 22 2, .
yx yxu u
t y t yt t
(15)
Así, sustituyendo la ec. (15) en las ecs. (13) y (14) de
forma correspondiente, se obtienen las ecuaciones
hiperbólicas de conservación de la cantidad de movimiento
para los dos fluidos en términos de la velocidad como sigue:
2 2
21 1 1
1 1 1 1 1 1 12 2,x
u u uE
tt y
(16)
2 2
22 2 2
2 2 2 2 2 2 22 2.x
u u uE
tt y
(17)
2.4. Condiciones de frontera e iniciales
Las condiciones de frontera para las ecs. (6), (9), (16) y (17),
son las condiciones de no deslizamiento de velocidad y de
potencial especificado en las interfases sólido-líquido de las
paredes del conducto con:
2 1( 0) ( 2 ) 0, 0.u y u y H t (18)
2 2 1 1( 0) , ( 2 ) , 0.y y H t (19)
Complementariamente, en la interfase líquido-líquido
entre los fluidos, las condiciones de frontera para el campo
de velocidad son las condiciones de continuidad de
velocidad y de balance de esfuerzos siguientes:
1 1 2 1( ) ( ), 0,u y y u y y t (20)
1 1,1 ,1 ,2 ,2 , 0,yx e yx ey y y y
t
(21)
donde, el esfuerzo eléctrico para cada fluido es:
1 2
,1 1 ,2 1, , 0.e x e x
d dE E t
dy dy
(22)
Para el potencial eléctrico en la interfase líquido-líquido,
se tiene una diferencia de potencial y la ley de Gauss
siguientes:
2 1 1 1( ) ( ) , 0,y y y y t (23)
1 1
1 2
1 2 , 0,s
y y y y
d dq t
dy dy
(24)
donde es una diferencia de potencial eléctrico en la
interfase líquido-líquido, y qs es la densidad de carga
eléctrica. Por otro lado, las condiciones iniciales son:
1 2 ,1 ,2
1 2
0 0
( 0) ( 0) 0, ( 0) ( 0) 0,
0,0 2 .
yx yx
t t
u t u t t t
u uy H
t t
(25)
2.5. Modelo matemático adimensional
Para normalizar el modelo matemático dado en las secciones
2.3 y 2.4, se introducen las siguientes variables
adimensionales:
;1,21,2 1,2 11
1,2 ;1,2 1,22
1 11
, , , , ,yx
yx
c c B
Hu z etyy t u
H u u k TH
(26)
donde 1 1 1 1/c B xu k T E z e es la velocidad característica
de un flujo electroosmótico. Por lo tanto, las ecs. (6), (7),
(9), (10), (16) y (17), quedan en forma adimensional para
cada fluido de la siguiente manera; en primer lugar para el
fluido 1 como:
2 2
21 1 1
1 1 1 12 2, 0, 2,
u u ut y y
tt y
(27)
21
1 1 1, 0, 2,d
t y ydy
(28)
,1 1
,1 1 1, 0, 2,yx
yx
ut y y
t y
(29)
y en segundo lugar para el fluido 2 como:
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2 2
22 2 2
2 2 22 2,
u u u
tt y
(30)
22
2 2 1, 0,0 ,d
t y ydy
(31)
,2 2
,2 2 1, 0,0 ,yx
yx
ut y y
t y
(32)
con sus correspondientes condiciones de frontera, en las
interfases sólido-líquido a partir de las ecs. (18) y (19), se
tiene para la velocidad y para el potencial eléctrico como:
2 1( 0) ( 2) 0, 0,u y u y t (33)
2 2 1 1( 0) , ( 2) , 0.y y t (34)
En el caso de la interfase líquido-líquido a partir de las
ecs. (20), (21), (23) y (24), se tiene para la velocidad:
1 1 2 1( ) ( ), 0,u y y u y y t (35)
1 1
1 2
,1 ,2 , 0.yx yx
y y y y
d dt
dy dy
(36)
y para el potencial eléctrico, respectivamente:
2 1 1 1( ) ( ) , 0.y y y y t (37)
1 1
1 2 , 0.s
y y y y
d dQ t
dy dy
(38)
Ahora, sustituyendo la ec. (26) en la ec. (25), se tiene la
versión adimensional de las condiciones iniciales como:
1 2 ,1 ,2
1 2
0 0
( 0) ( 0) 0, ( 0) ( 0) 0,
0,0 2.
yx yx
t t
u t u t t t
u uy
t t
(39)
Los parámetros adimensionales que surgen en el modelo
matemático adimensional planteado en esta sección son:
1,2
1,2 1,21
1,2
2
1 1,22 1 2 2
1 1,2
1 1 1 1
, , , ,
, , , , ,
s
s
B B B
ze q zeHH zeQ
k T k T k T
Hyy
H
(40)
donde 1,2 son los parámetros electrocinéticos, 1,2 son los
potenciales zeta en las paredes del conducto, es la
diferencia de potencial, sQ es la densidad de carga
superficial, es la razón de constantes dieléctricas, 1y es la
posición de la interfase líquido-líquido, 1,2 son los
tiempos de relajación de cada fluido, es la razón de
densidades y es la razón de viscosidades.
3. Metodología de solución
3.1. Solución del potencial eléctrico
Las ecuaciones de Poisson-Boltzmann (28) y (31) se
integran dos veces respecto a la coordenada transversal
adimensional y , quedando:
1 1
1 1 2 ,y y
C e C e
(41)
2 2
2 3 4 ,y y
C e C e
(42)
donde 21 3, ,C C C y
4C son constantes de integración, las
cuales se determinan al sustituir las condiciones de frontera
dadas por las ecs. (34), (37) y (38) en las anteriores ecs. (41)
|y (42), resultando en las siguientes expresiones:
1 12
1 2
2
1,C e C e (43)
2 1 2 1 1 1 1 1
3 24 1 ,y y y y
C e C e C e C e
(44)
1 1 1 1 2 1 2 1
31 1 1 2 2 2 4 ,y y y y
sC e C e C e C e Q (45)
3 4 2 .C C (46)
El sistema de ecuaciones dado por las ecs. (43)-(46), se
arregla de forma matricial como sigue a continuación:
1 1
1 1 1 1 2 1 2 1
1 1 1 1 2 1 2 1
2
1
1 1 2 2
2
21
2
3
4
0 0
0
,
0 1 1
y y y y
y y y y
s
Ce e
Ce e e e
Ce e e e Q
C
(47)
el cual, se resuelve para las constantes 21 3, ,C C C y 4C por
el método de la matriz inversa [24].
3.2. Solución del perfil de velocidades
Para resolver el campo de velocidad de los dos fluidos
inmiscibles, se utiliza el método de la transformada de
Laplace para la velocidad, teniendo en cuenta la siguiente
ec. (48):
1,2 1,2 1,20
( , ) [ ( , )] ( , ) ,stU y s L u y t u y t e dt
(48)
y para el esfuerzo cortante se emplea la siguiente ec. (49):
;1,2 1,2 1,20
( , ) [ ( , )] ( , ) .st
yx y s L y t y t e dt
(49)
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Por lo tanto, las ecuaciones de conservación de la
cantidad de movimiento, ecs. (27) y (30), se reescriben de la
siguiente forma:
2 1
1 1 1
0
2 2
1 1 1
1 1 2
( , ) ( , 0)
( , ) ( )( , ) ( , 0) ,
t
us U y s su y t
t
U y s ysU y s su y t
sy
(50)
2 2
2 2 2
0
2 2
2 2 2
2 2 2
( , ) ( , 0)
( , ) ( )( , ) ( , 0) .
t
us U y s su y t
t
U y s ysU y s su y t
sy
(51)
Aplicando las condiciones iniciales correspondientes
para la velocidad de la ec. (39), en las ecs. (50) y (51), resulta
lo siguiente:
2 2
1 1 1
1 12
( , ) ( )1 ( , ) ,
U y s ys s U y s
sy
(52)
2 2
2 2 2
2 22
( , ) ( )( 1) ( , ) .
U y s ys s U y s
sy
(53)
También, al aplicar la transformada de Laplace
establecida por la ec. (48) a las condiciones de frontera dadas
en las ecs. (33) y (35), éstas se reescriben, respectivamente
como:
2 1( 0, ) ( 2, ) 0,U y s U y s (54)
1 1 2 1( , ) ( , ).U y y s U y y s (55)
Por otro lado, al aplicar la transformada de Laplace de la
ec. (49) a la condición de frontera de la ec. (36), esta queda
como:
1 1
1 2
,1 ,2
( ) ( )1( , ) ( , ) .yx yx
y y y y
d y d yy s y s
s dy s dy
(56)
Sin embargo, aplicando la transformada de Laplace de las
ecs. (48) y (49) a las ecs. (29) y (32), se obtiene la versión
transformada de los modelos reológicos como sigue:
1
,1 1 ,1 ,1
( , )( , ) ( , ) ( , 0) ,yx yx yx
U y sy s s y s y t
y
(57)
2
,2 2 ,2 ,2
( , )( , ) ( , ) ( , 0) .yx yx yx
U y sy s s y s y t
y
(58)
Aplicando las condiciones iniciales para el esfuerzo
cortante de la ec. (39), en las ecs. (57) y (58), resulta en:
1
,1
1
( , )1( , ) ,
1yx
U y sy s
ys
(59)
2
,2
2
( , )( , ) .
1yx
U y sy s
ys
(60)
Ahora, sustituyendo las ecs. (59) y (60) en la ec. (56),
deja la siguiente ecuación del balance de esfuerzos en la
interfase líquido-líquido en términos de la velocidad como:
1
1
1 1
1
2 2
2
( , ) ( )1 1
1
( , ) ( ).
1
y y
y y
U y s d y
y s dys
U y s d y
y s dys
(61)
Por lo tanto, el modelo matemático del flujo
electroosmótico de los dos fluidos de Maxwell inmiscibles
en el espacio de la transformada de Laplace se conforma de
las ecs. (52)-(55) y (61). Respecto a los fluidos 1 y 2, las ecs.
(52) y (53) se puede tratar como unas ecuaciones
diferenciales ordinarias de segundo orden para la
coordenada transversal; además, su solución general, se trata
por el método de coeficientes indeterminados mediante la
suma de una solución a la ecuación homogénea y una
solución particular a la ecuación no homogénea como sigue:
1 ,1 ,1( , ) ( , ) ( , ).H PU y s U y s U y s (62)
2 ,2 ,2( , ) ( , ) ( , ).H PU y s U y s U y s (63)
La solución homogénea de las ecs. (62) y (63), está dadas
respectivamente por las siguientes ecuaciones:
,1 1 2( , ) ,y y
HU y s Ae A e (64)
,2 3 4( , ) ,y y
HU y s A e A e (65)
donde 1 2 3, ,A A A y 4A son constantes a ser determinadas;
mientras que 1/2
1[ ( 1)]s s y 1/2
2[ ( 1) / ]s s .
Por otro lado, la solución particular de las ecs. (62) y (63)
está dada respectivamente para cada fluido como:
1 1
,1 1 2( , ) ,y y
PU y s B e B e
(66)
2 2
,2 3 4( , ) ,y y
PU y s B e B e
(67)
donde 1 2 3, ,B B B y 4B son constantes a ser determinadas.
Las constantes 1B y 2B se obtienen de sustituir las ecs. (41)
y (66) en la ec. (52), dejando:
MEMORIAS DEL XXV CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 18 al 20 DE SEPTIEMBRE DE 2019 MAZATLÁN, SINALOA, MÉXICO
2 2
1 1 2 1
1 22 2
1 1 1 1
, .C C
B Bs s s s
(68)
De manera similar, las constantes 3B y
4B se obtienen
de sustituir las ecs. (42) y (67) en la ec. (53), quedando:
2 2
3 2 4 2
3 4
2 22 22 2
, ,C C
B Bs s
s s
(69)
donde 1 1( 1)s y 2 2( 1)s . Con lo anterior, el
perfil de velocidad de cada uno de los fluidos inmiscibles en
el flujo electroosmótico se obtiene al substituir las ecs. (64)-
(67), de manera correspondiente en las ecs. (62) y (63),
obteniendo las siguientes expresiones:
1 1
1 1 2 1 2( , ) ,y yy yU y s A e A e B e B e
(70)
2 2
2 3 4 3 4( , ) .y yy yU y s A e A e B e B e
(71)
Para encontrar las constantes 1 2 3, ,A A A y
4A , en primer
lugar, se aplican las condiciones de frontera dadas por la ec.
(54) a las ecs. (70) y (71), las cuales se reescriben como:
1 12 22 2
1 2 1 2 0,A e A e B e B e (72)
3 4 3 4 0.A A B B (73)
En segundo lugar, se aplica la condición de frontera de la
ec. (55) a las ecs. (70) y (71) quedando la siguiente
expresión:
1 1 1 1
1 1 1 1 2 1 2 1
1 2 3 4
1 2 3 4 0,
y y y y
y y y y
A e A e A e A e
B e B e B e B e
(74)
En tercer lugar, se aplica la condición de frontera de la
ec. (61) a las ecs. (70) y (71), y con las expresiones para el
potencial eléctrico dadas por las ecs. (41) y (42), quedando
la siguiente expresión:
1 1 1 1 1 1
1 1 2 1 2 1
1 1 1 1
2 1 2 1
1 2 1 1 1 2
1
3 4 2 3 2 4
2
2
1
3
1 1
2
2
4
1
0.
y y y y
y y y y
y y
y yC e
A e A e B e B e
A e A e B e
C
B
C ee
s sC e
e
(75)
El sistema de ecuaciones dado por las ecs. (72)-(75),
puede arreglarse de forma matricial como sigue:
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
1 1 1 1 2 1 2 1
2
1 1 2 2
2 2
1 2
3 4
1
2
2
1
2
3
2 3 4
1
4
0 0
0 0 1
,
1y y y y
y y y y
y y y y
e e
e e e eA
e e e e
D
A
A
B e B e
B B
B e B
A
e B e B e
E F G
s s
(76)
donde
1 1 1 1 2 1 2 1
1 1 1 1 2 1 2 1
1 1 1 2 2 3 2
3
4
1 1 2 21 2 4
, ,
, .
y y y y
y y y y
D B e B e E
F C C
B e
e C
e
e e C e
B
G
(77)
La ec. (76) representa un sistema de ecuaciones que
incluye el término “s”, ahora llamado variable simbólica al
aplicar el método de la matriz inversa [30] para resolver las
constantes 1 2 3, ,A A A y
4A . Finalmente, las constantes
1 2 3, ,A A A y 4A se reemplazan en las ecs. (70) y (71), en
donde se aplica la transformada inversa de Laplace para
resolver el perfil de velocidad del flujo. Para ello, las
distribuciones de velocidad a lo largo de la coordenada
transversal para ambos fluidos 1u y
2u , se aproximan
mediante una combinación lineal finita de valores
transformados por el algoritmo Gaver-Stehfest [25] como:
1,2 1,2;
2
1,2
1
( , ) ( , , )
ln(2) ln(2), ,0 ,
g
M
k
k
u y t u y t M
kU y t
t t
(78)
donde la función aproximada 1,2; ( , , )gu y t M depende de la
posición y , del tiempo t , de un valor entero positivo M, del
coeficiente k , y de la evaluación en el tiempo de la función
transformada 1,2 ( , )U y t . Aquí, k es:
1
[( 1)/2]
2( 1) ,
1!
Mk MM k
k
j k
M j jj
j j kM
(79)
donde 1 2k M . Para este trabajo 2 22.M
4. Análisis de resultados
Los parámetros físicos y geométricos para la estimación de
los parámetros adimensionales en este trabajo son:
0.1 10H m , 1
1,21 100 nm, 11 9
1,27 10 10 CV-1m-1, 4 2
1,210 10 Nm-2s,410xE Vm-1,
1,2700 1500 kgm-3, T=300 K,1,2 25 mV y 1,2z ~
010 , 12.5 12.5 mV y 20 20sq mCm-1.
MEMORIAS DEL XXV CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 18 al 20 DE SEPTIEMBRE DE 2019 MAZATLÁN, SINALOA, MÉXICO
Adicionalmente, en esta sección de análisis de resultados, se
considera que1,2 1 y
1,2 20 .
La Fig. 2 muestra la validación de la solución de la
velocidad en estado transitorio de dos fluidos inmiscibles
(líneas) con los resultados obtenidos en la investigación
desarrollada por Escandón et al. [14] (marcas) para un solo
fluido en un conducto de placas planas paralelas, tomando
en cuenta los siguientes parámetros adimensionales
1 . Como se observa en la Fig. 2(a), para el caso
de fluidos newtonianos con un valor de los tiempos de
relajación adimensional 1,2 0 , las soluciones tienen una
excelente convergencia con un promedio para todos los
tiempos de la raíz del error cuadrático medio (PRECM) de
0.048%; este porcentaje se determinó con el siguiente
promedio 1( ... ) / ,n n iPRECM RECM RECM i donde
n=1,…,i, es el número de perfiles de velocidad con i=6 y
con: 1/2
100 1002 2
, , ,
0 0
( ) 100,n a p b p a p
p p
RECM u u u
(80)
donde RECM representa la raíz del error cuadrático medio,
au representa el arreglo de valores de un perfil de velocidad
del presente trabajo y bu el arreglo de los resultados
obtenidos por Escandón et al. [14]; p es el contador nodal
del perfil de velocidad, con p=100 nodos. En el caso de los
fluidos viscoelásticos de Maxwell con 1,2 2.5 en la Fig.
2(b), hay una buena convergencia para los primeros tiempos
de la evolución del perfil de velocidad en 0.2,0.8,1.25t
y para el régimen permanente ;t sin embargo, para los
tiempos 1.9t y 3.2t , hay una ligera desviación de la
Figura 2 – Comparación de perfiles de velocidad de un flujo
electroosmótico del presente trabajo (líneas-dos fluidos) con la
investigación de Escandón et al. [14] (marcas-un fluido);
(a) y (b) .
Figura 3 –Perfiles de velocidad de un flujo electroosmótico con
y diferentes
valores de y ; (a) , (b) , (c)
y (d) .
MEMORIAS DEL XXV CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 18 al 20 DE SEPTIEMBRE DE 2019 MAZATLÁN, SINALOA, MÉXICO
solución semi-analítica presentada aquí con respecto a la
solución exacta del trabajo de Escandón et al. [14] con un
valor calculado del PRECM para esta gráfica del 5.16%. Con
lo anterior se observa que el PRECM se incrementa con el
valor del tiempo de relajación adimensional; sin embargo, la
presente investigación puede describir de manera apropiada
tanto cuantitativamente como cualitativamente el fenómeno
del flujo electroosmótico de dos fluidos inmiscibles de
Maxwell y su comportamiento oscilatorio explicado por
Escandón et al. [14] para un solo fluido.
En la Fig. 3, se muestra el desarrollo en el tiempo de los
perfiles de velocidad adimensional en función de la
coordenada transversal de un flujo electroosmótico de dos
fluidos de Maxwell bajo la influencia de efectos interfaciales
eléctricos con los parámetros y sQ , y para los tiempos
0.1t en la Fig. 3(a), 0.5t en la Fig. 3(b), 4t en la
Fig. 3(c) y hasta que se alcanza el régimen permanente con
t en la Fig. 3(d), respectivamente. Los valores de los
parámetros adimensionales seleccionados se presentan en la
figura. Se observa que, para cualquier tiempo, los valores de
polaridades positivas de las cargas eléctricas en la interfase
líquido-líquido con 0.5 y 1,sQ genera un salto de
la velocidad alrededor de esa zona del perfil de velocidad y
en sentido favorable al flujo; de forma contraria, los valores
negativos de 0.5 y 1,sQ genera un salto de la
velocidad en sentido desfavorable produciendo un flujo
inverso. Para una interacción iónica nula entre las capas de
fluido con 0 y 0,sQ el perfil de velocidad
evolucionará bajo los efectos de memoria de los fluidos
viscoelásticos hasta recuperar el clásico flujo
electroosmótico tapón cuando t .
En la Fig. 4, se presentan la evolución transitoria de los
perfiles de velocidad de dos fluidos inmiscibles como
función de la coordenada transversal del conducto, y para
dos casos de los tiempos de relajación con 1,2 0
(newtonianos) y con 1,2 0.5 (Maxwell). Se observa un
incremento uniforme del perfil de velocidad para los fluidos
newtonianos (líneas sólidas) cuando sigue su evolución del
perfil numerado con “1” ( 0.1t ) y hasta que llega al perfil
de régimen permanente con número “5” ( t ). Mientras
que los fluidos de Maxwell (líneas con marcas) presentan
efectos de retardación en los primeros tiempos de la puesta
en marcha del flujo en los perfiles numerados con “a”, “b” y
“c”; sin embargo, el comportamiento elástico y oscilatorio
de este tipo de fluidos hace que el perfil “d” sobrepase la
magnitud del régimen permanente “e”. Al final, en el
régimen de estado permanente, los fluidos de Maxwell se
comportan como fluidos newtonianos, esto se observa con
el traslape de los perfiles numerados con “5” y “e”.
Figura 5 –Perfiles de velocidad de un flujo electroosmótico con
y diferentes valores de ; (a) , (b) , (c)
y (d) .
Figura 4 – Perfiles de velocidad de un flujo electroosmótico con
.
Líneas sólidas y líneas con marcas
MEMORIAS DEL XXV CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 18 al 20 DE SEPTIEMBRE DE 2019 MAZATLÁN, SINALOA, MÉXICO
En la Fig. 5, se muestra la evolución de los perfiles de
velocidad del flujo electroosmótico de dos fluidos de
Maxwell como función de la razón de viscosidad entre los
fluidos , y para los tiempos 0.1t en la Fig. 5(a), 0.5t en la Fig. 5(b), 1t en la Fig. 5(c) y hasta t
en la Fig. 5(d), respectivamente. Cuando el fluido 2 tiene
una viscosidad menor a la del fluido 1 con 0.5 , el perfil
de velocidad tiene una magnitud mayor; de forma contraria,
cuando 2.5 el conjunto de fluidos presentará el perfil de
velocidad con menor magnitud al ofrecer mayor resistencia
al flujo por efecto de la viscosidad.
En la Fig. 6, se muestra el flujo electroosmótico
transitorio de dos fluidos de Maxwell inmiscibles como
función de la coordenada transversal y tres valores de la
razón de densidades . Se observa que, cuando el fluido 2
es más ligero que el fluido 1 con 0.8 , se tendrá el perfil
de velocidad con mayor magnitud durante el régimen
transitorio con 0.1,0.5,2t ; y cuando del fluido 2 es más
pesado con 1.2 , se tiene el perfil de velocidad con
menor magnitud. La condición de 1 representa la
igualdad de densidades de los fluidos. Por otro lado, en el
régimen permanente con t , el efecto de la razón de
densidades desaparece y todos los perfiles se traslapan para
cualquier valor de .
5. Conclusiones
Esta investigación presenta resultados sobre un flujo
electroosmótico conduciendo dos fluidos viscoelásticos de
Maxwell inmiscibles bajo efectos interfaciales eléctricos en
nano-microcanales transicionales. Se concluye que una
diferencia de potencial eléctrico y la presencia de una carga
eléctrica neta en la interfase líquido-líquido, rompe con la
continuidad de esfuerzos viscosos, produciendo saltos de
velocidad a favor o en contra del flujo. Adicionalmente, al
llegar al régimen permanente, el campo de flujo deja de
experimentar los efectos de los parámetros adimensionales
de los tiempos de relajación 1,2 y de la razón de densidades
. También, cuando el flujo con fluidos de Maxwell llega
al régimen permanente, estos se comportarán como fluidos
newtonianos. Finalmente, la confiabilidad del método
numérico en el presente trabajo, alcanza un PRECM
máximo de 5.16%, describiendo de forma cuantitativa y
cualitativa el fenómeno del flujo electroosmótico estudiado.
Agradecimientos
Este trabajo tuvo el respaldo del proyecto de investigación
SIP-20195892 del Instituto Politécnico Nacional.
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Figura 6 –Perfiles de velocidad de un flujo electroosmótico con
y en los tiempos .