rboles y esquemas algortmicos

Tema III

Esquemas Algortmicos

(Lecciones 21 y 22 )

Esquemas Algortmicos

Tcnicas de carcter general que pueden utilizarse para resolver grandes clases o familias de problemas Clasificacin habitual:

Divide y vencers (Divide and Conquer) Vuelta atrs o retroceso (Backtracking ) Mtodos voraces (Greedy techniques) Programacin dinmica (Dynamic Programming) Ramificacin y poda (Branch and Bound) .

Bibliografa

Tema III (lecciones 21 y 22) del libro Campos Laclaustra, J.: Estructuras de Datos y Algoritmos, Prensas Universitarias de Zaragoza, Coleccin Textos Docentes, 1995

N. Mart, Y. Ortega y J.A. Verdejo; Estructuras de Datos y Mtodos Algortmicos. Ejercicios Resueltos. Pearson Prentice Hall, 2003. Captulos 11, 14, 12, 15 y 13 .

Joyanes, L., Zahonero, I., Fernndez, M. y Snchez, L.: Estructuras de datos. Libro de problemas, McGraw Hill, 1999., captulo 3 (recursin)

Libro Algoritmos y estructuras de datos de N. Wirth ( algunas pginas disponibles en la Web de EDA).

G. Brassard, P. Bratley; Algortmica. Concepcin y Anlisis. Editorial. Editorial Masson, 1 Edicin 1990

Y muchos otros....

Esquema Divide y Vencers

Esquema (o tcnica) de diseo de algoritmos divide y vencers (Divide and Conquer): Tcnica basada en:

Descomponer el problema a resolver en un cierto nmero de subproblemas, ms pequeos pero del mismo tipo que el problema original;

resolver independientemente cada subproblema; combinar los resultados obtenidos para construir la

solucin del problema original. aplicar estos pasos recursivamente

Este esquema se expresa de forma natural mediante recursin

Esquema Divide y Vencers Esquema genrico:

funcin divide_y_vencers (x:tx) devuelve tyvariables x1, ,xk: tx; y1,,yk: ty

principiosi x es suficientemente simple entonces

{se puede resolver sin dividir ms}devuelve solucin_simple(x)

sinodescomponer x en x1, ,xk;para i:=1 hasta k hacer

yi:=divide_y_vencers(xi)fpara;devuelve combinar(y1,,yk)

fsiFin

Si k=1, el esquema anterior se llama tcnica de reduccin.

Esquema Divide y Vencers

Para que merezca la pena aplicar este mtodo, se debe cumplir que: Las operaciones de combinar y descomponer deben ser lo

suficientemente eficientes El nmero de subproblemas generados sea pequeo Los subproblemas deben ser aproximadamente del mismo

tamao y no solaparse entre si La profundidad de llamadas recursivas debe estar acotada

en un lmite razonable

Backtracking Existen problemas para los que no parece haber una

forma, teora o regla fija de clculo, que nos lleve a obtener la solucin buscada, y lo nico que se puede hacer es recurrir a una bsqueda exhaustiva para identifica la o las soluciones vlidas entre el conjunto de todas las posibles (prueba y error, o tanteo sistemtico) fuerza bruta: realizar una bsqueda exhaustiva por el espacio

de posibles soluciones, hasta encontrar la/las soluciones que satisfagan las condiciones exigidas, o comprobar que no existe tal solucin Impracticable, si el cardinal del conjunto de soluciones

posibles crece de forma exponencial o es de tamao muy grande (situacin habitual)

Es necesario estructurar el espacio de soluciones a explorar, intentando descartar cuanto antes grandes bloques de soluciones no vlidas

Backtracking

Ejemplo : El problema de las 8 reinas Colocar 8 reinas en un tablero de ajedrez sin

que se den jaque Dos reinas se dan jaque, o amenazan, si comparten

fila, columna o diagonal Fuerza bruta:

Tamao del espacio de soluciones 64 = 4.426.165.3688

Backtracking Un esquema muy til de prueba y error es el

denominado backtracking (bsqueda con retroceso, o vuelta atrs) Mtodo de resolucin de problemas basado en el tanteo

sistemtico y exhaustivo, en el cual la solucin del problema se divide en pasos

Las posibles soluciones se forman de manera progresiva (solucin parcial), comprobando en cada paso o etapa si la solucin que se est construyendo puede llevar o no a una solucin satisfactoria

Diferencia entre la fuerza bruta y la bsqueda con retroceso: Si se comprueba que la solucin parcial que se est

construyendo no puede conducir a ninguna solucin vlida, se evita evaluar las soluciones que se construiran a partir de ella

La tcnica de backtracking se puede emplear con el objetivo de encontrar una solucin, todas las soluciones posibles, o la solucin ptima, al problema planteado

Backtracking

Ejemplo : El problema de las 8 reinas Colocar 8 reinas en un tablero de ajedrez sin

que se den jaque Dos reinas se dan jaque, o amenazan, si comparten

fila, columna o diagonal Fuerza bruta:

Tamao del espacio de soluciones

Replanteamiento: colocar una reina en cada fila del tablero, de forma que no se den jaque Toda solucin del problema se puede representar como

una 8-tupla (x1, ., x8), en la que xi es la columna en la que se coloca la reina que est en la fila i del tablero

64= 4.426.165.368

8

Backtracking Se consideran problemas cuyas soluciones son construibles por

etapas o subtareas, de forma que cada una de ellas admita variassoluciones o decisiones: Una solucin ser expresable en forma de tupla (X1, ., Xn),

donde cada XiSi representa la decisin tomada en la etapa i-sima, de entre un conjunto finito de alternativas (Si).

La solucin buscada deber minimizar, maximizar o satisfacer cierta funcin criterio o funcin objetivo (condiciones a cumplir para ser una solucin satisfactoria o vlida)

Existirn predicador acotadores o funciones objetivo parciales: Pi (x1, ., xi), que indiquen si (x1, ., xi) puede conducir a una solucin

Existirn dos categoras de restricciones: Restricciones explcitas: indican los conjuntos Si , es decir,

el conjunto finito de alternativas entre las cuales puede tomar valor cada una de las componentes de la tupla solucin

Restricciones implcitas: sern las relaciones que se han de establecer entre las componentes de la tupla solucin (decisiones tomadas en cada etapa) para satisfacer la funcin objetivo (llevar a obtener una solucin vlida)

Backtracking

Ejemplo : El problema de las 8 reinas Restricciones explcitas:

Si={1,2,3,4,5,6,7,8}, 1i 8 Por lo tanto el espacio de soluciones consta de 88 8-

tuplas (16.777.216 8-tuplas) Restricciones implcitas:

no puede haber dos reinas en la misma columna ni en la misma diagonal

Se deduce que todas las soluciones son permutaciones de la 8-tupla: (1,2,3,4,5,6,7,8) El espacio de soluciones se reduce a 8! 8-tuplas( 40.320)

Backtracking El espacio de soluciones estar formado por el conjunto de

tuplas que satisfacen las restricciones explcitas, y se puede estructurar como un rbol de exploracin, donde en cada nivel se toma la decisin de la etapa (subtarea) correspondiente Cada nivel se corresponde con resolver una subtarea

tomando una decisin de entre el conjunto de las posibles La construccin de una candidata a solucin completa del

problema inicial, se obtienen siguiendo un camino en el rbol, que empieza en la raz y va descendiendo hasta llegar a una hoja

Si en un momento dado se descubre que una candidata no es solucin, o no puede llevar a ninguna solucin, se retrocede al nivel anterior y se ensaya otra decisin o solucin para la subtarea

Backtracking Ejemplo : rbol de exploracin del espacio de soluciones

para el problema de las 4 reinas (tablero de 4x4) El espacio de soluciones est definido por todos los caminos

desde la raz a cada hoja (4! Hojas)

Backtracking Denominacin:

Se denomina nodo estado a cualquier nodo del rbol de exploracin, correspondiente a una tupla (solucin) parcial o completa, y satisfaciendo las restricciones explcitas

Los nodos solucin sern los correspondientes a tuplas completas que satisfagan las restricciones implcitas

Para que el rbol de exploracin crezca de forma razonable y la tcnica sea aplicable, se emplean Predicados acotadores (funciones de poda o tests de factibilidad) obtenidos a partir de la funcin objetivo, permiten determinar

cuando una tupla parcial no podr conducir a soluciones satisfactorias se evitar seguir buscando a partir de ella (el rbol no crecer por su rama)

Backtracking El rbol no se construye de forma explcita, sino que

est implcito en el algoritmo (en las llamadas recursivas del algoritmo de bsqueda) Durante el proceso, para cada nodo (estado en una

etapa) se irn generando sus sucesores (estados alcanzables tomando la decisin correspondiente a la siguiente etapa) Nodos vivos: aquellos para los cuales no se han generado todos

sus hijos Nodos en expansin: aquellos para los cuales se estn

generando hijos Nodos muertos: aquellos que o bien no han superado el test de

factibilidad (se ha comprobado que no podrn llevar a soluciones vlidas) o bien todos sus hijos ya han sido evaluados

Cuando se llega a un nodo muerto, hay que deshacer la ltima decisin tomada (retroceso o vuelta atrs), y optar por otra alternativa La forma ms sencilla de expresar ese retroceso es mediante un

algoritmo recursivo (la vuelta atrs se consigue automticamente resolviendo la llamada recursiva y volviendo a aquella que la invoc)

Backtracking Esquema general:algoritmo ensayaPrincipio

inicializar seleccin de candidatos;repetir

seleccionar siguiente;si aceptable entonces {evaluar predicados acotadores}

registrarlo;si solucin incompleta entonces

ensaya; {devolver booleano indicando xito o no}si no exitoso entonces

cancelar registrofsi

fsiFsi {salir si se ha encontrado solucin o agotado la bsqueda}

hastaQue exitosa or no ms candidatos fin

Backtracking Esquema con parmetro explcito de nivel (i), n de niveles

conocido (n) y n fijo de candidatos por investigar (m):algoritmo ensaya(ent i:entero)

variable k:enteroprincipio

k:=0;repetir

k:=k+1;seleccionar k-simo candidato;si aceptable entonces

registrarlo;si i

Backtracking

Una vez definido el rbol de exploracin del espacio de soluciones, el algoritmo para resolver el problema se basa en realizar un recorrido por el rbol en cierto orden, sin entrar en zonas podadas, hasta: Encontrar la primera solucin, o Encontrar y devolver todas las soluciones vlidas, o Evaluar todas las soluciones vlidas y devolver la ptima

Backtracking Lo mismo que el anterior, para el clculo de TODAS las soluciones:algoritmo ensaya(ent i:entero)

variable k:enteroprincipio

para k:=1 hasta m hacerseleccionar k-simo candidato;si aceptable entonces

registrarlo;si i

Backtracking

Una vez definido el rbol de exploracin del espacio de soluciones, el algoritmo para resolver el problema se basa en realizar un recorrido por el rbol en cierto orden, sin entrar en zonas podadas, hasta: Encontrar la primera solucin, o Encontrar y devolver todas las soluciones vlidas, o Evaluar todas las soluciones vlidas y devolver la ptima

Requiere recordar la mejor solucin de todas las encontradas hasta el momento

Se puede mejorar la eficiencia de la bsqueda si los predicados acotadores permiten eliminar nodos de los que se sepa que no pueden llevar a una solucin mejor que la actualmente disponible (poda; mtodos de ramificacin y poda)

Backtracking En el esquema de backtracking, el rbol de exploracin se

recorre en profundidad y con predicados acotadores: Dada una etapa, se toma una decisin y se genera su nodo, y

se continua expandindolo y explorando todas las posibilidades generables a partir de el, antes de considerar otra de las decisiones alternativas para dicha etapa

El algoritmo no hace llamadas recursivas cuando se han tomado decisiones para todas las etapas de proceso de solucin, o bien cuando ningn nodo generado satisface los predicados acotadores

En el esquema de Ramificacin y Poda, en cada etapa se selecciona, para expandir y explorar, el nodo vivo ms prometedor

Para la aplicabilidad de estas tcnicas es crucial que las funciones de poda (predicados acotadores) permitan identificar y descartar grandes porciones del espacio de soluciones, pero sin llegar a ser demasiado sofisticadas y costosas

Backtracking Problema: colocar n reinas en un tablero de dimensiones nxn,

sin que se den jaque Representacin de la informacin: Debe permitir interpretar

fcilmente la solucinx: vector[1..n]de entero;{x[i]=columna de la reina en i-sima fila}

Evaluacin del predicado acotador: Utilizaremos una funcin buenSitio que devuelva el

valor verdad si la k-sima reina se puede colocar en el valor x[k], es decir, si est en distinta columna y diagonal que las k-1 reinas anteriores.

Dos reinas estn en la misma diagonal si tienen el mismo valor de fila+columna, mientras que estn en la misma diagonal si tienen el mismo valor de fila-columna.

( f1 - c1 = f 2 - c2) ( f 1 + c1 = f 2 + c2) (c1 - c2 = f 1 - f 2) (c1 - c2 = f 2 - f 1) c1 - c2 = f 1 - f 2

Backtracking Problema: colocar n reinas en un tablero de dimensiones nxn,

sin que se den jaquefuncion buenSitio(k:entero; x:vector[1..n]de entero) devuelve bool

{devuelve verdad si y slo si se puede colocar una reina en la fila k y columna x[k], habiendo sido colocadas ya las k-1 reinas anteriores}variables i:entero; amenaza:bool

principioi:=1; amenaza:=falso;mq (i

Backtracking Problema: colocar n reinas en un tablero de dimensiones

nxn, sin que se den jaque VERSIN RECURSIVA:algoritmo colocarReinas(ent k:entero; entsal sol: vector[1..n]de entero)

{Pre: sol[1..k-1] estn bien colocadas}variables i:entero

principiopara i:=1 hasta n hacer

sol[k]:=i;si buenSitio(k,sol) entonces

si k=n entonces escribir(sol)

sino colocarReinas(k+1,sol)fsi

fsifpara

fin Llamada inicial: colocarReinas(1,sol);.

Problema: colocar n reinas en un tablero de dimensiones nxn, sin que se den jaque VERSIN ITERATIVA:

algoritmo nReinas(ent n:entero)variables k:entero; x:vector[1..n]de entero

principiox[1]:=0; k:=1;mq k>0 hacer {para frenar el ltimo retroceso}

x[k]:=x[k]+1; {generar siguiente candidata}mq x[k]n and not buenSitio(k,x) hacer

x[k]:=x[k]+1fmq;si x[k] n {se ha encontrado un buen sitio}entonces

si k=n {es una solucin completa?}entonces escribir(x) {si: escribirla}sino

k:=k+1; x[k]:=0 {ir a la siguiente fila}fsi

sino k:=k-1 {retroceso}fsi

fmqfin

Problema de las 8 reinas: otra solucin recursivaalgoritmo reinas

Variables i:entero; q:bool;a:vector[1..8] de bool; {a[i]=ninguna reina en fila i}b:vector[2..16] de bool; {b[i]=ninguna reina en diagonal-/ i}c:vector[-7..7] de bool; {c[i]=ninguna reina en diagonal-\ i}x:vector[1..8] de entero {x[i]=posicin de la reina en la i-sima columna}

algoritmo ensaya(ent i:entero; sal q:booleano)fin

Principiopara i:=1 hasta 8 hacer a[i]:=verdad fpara; {filas que estn libres}para i:=2 hasta 16 hacer b[i]:=verdad fpara;para i:=-7 hasta 7 hacer c[i]:=verdad fpara;ensaya(1,q);para i:=1 hasta 8 hacer escribir(x[i]) fparaFin {Solucin que se obtiene: 1 5 8 6 3 7 2 4}

Problema de las 8 reinas: otra solucin recursiva algoritmo ensaya(ent i:entero; sal q:booleano)

variable j:entero {sern usadas: fila j, columna i}principio

j:=0;Repetir

j:=j+1; q:=falso;si a[j] and b[i+j] and c[i-j] entonces

x[i]:=j; a[j]:=falso; b[i+j]:=falso; c[i-j]:=falso; {Registrar}si i

Algoritmos voraces Un algoritmo voraz (vido) se basa en construir la

solucin del problema dado en sucesivos pasos, de forma que en cada paso la solucin parcialadoptada sea localmente ptima en algn sentido En cada etapa, un algoritmo voraz opta por seleccionar la

opcin que supone un ptimo local de acuerdo a una determinada poltica

Un algoritmo o estrategia voraz No siempre lleva a la solucin globalmente ptima No siempre lleva a obtener solucin (aunque el problema

tenga solucin) Generalmente son rpidos y eficientes

Programacin dinmica Cuando la resolucin de un problema se alcanza

resolviendo una serie de subproblemas y combinando sus soluciones, puede ocurrir que el mismo subproblema deba resolverse varias veces (ejemplo: Fibonacci), es tal caso, para mantener el algoritmo en tiempo polinmico (evitando dejarlo crecer a exponencial), en lugar de volver a resolver el subproblema cada vez que aparece, se recurre a recordar el subproblema y su solucin: Se utiliza una tabla para almacenar las soluciones de los

subproblemas. La tabla se rellena independientemente de que el subproblema

se vaya a necesitar para resolver el problema principal El esquema de generacin y clculo de una tabla de

subproblemas y sus soluciones para obtener la solucin a un problema dado, se ha denominado programacin dinmica (nombre procedente del campo de teora de control)

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