solucion fox cap 4
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8/18/2019 Solucion Fox Cap 4
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CAPÍTULO 4
Problema 4.4
Dados: Uma pequena bola de aço, de raio r , colocada em cima de uma esfera muito maior, de raio R, começa a rolar sob ainfluência da gravidade. Desprezar as resistências do ar e de rolamento.
Determine: O ponto em que a bola perde o contato com a esfera.
Solução: Some forças na direção n.
F F mg ma
a V
R r
O contato é perdido quando F o ou
mg m V
R r
ou
V R r g
n n n
n
n
cos
( )
,
cos( )
( ) cos
2
2
2
→
(1)
A energia deve conservar-se, se não existe resistência. Portanto,
E mgz m
Vmg R r m
VE mg R ro
2 2
2 2( ) cos ( )
Dessa forma, das considerações de energia
V g R r
Combinando as Eqs e
V g R r R r g
ou cas
Assim e graus
2
2
1
2 1
1 2
2 1
2 1 2 2
2
3
2
348 2
( ) ( cos )
. ,
( ) ( cos ) ( ) cos
( ) cos cos
, cos cos ,
←
(2)
Problema 4.8
Dados: Uma lata de alumí nio de bebida, ml 20 g, D 65 mm, H 120 mm. O ní vel de conteúdo máximo é hmáx, quandoV b 354 mL de lí quido. SG da bebida é 1,05.
Posição inicial
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Determine:(a) O centro de massa yc como função do ní vel h.(b) O ní vel para a menor tendência de tombamento da lata.(c) O coeficiente mí nimo de atrito estático, µs, para o qual a lata cheia tombaria sem deslizamento.(d ) O gráfico de µs)mí nimo para inclinar (não deslizar) a lata como função do ní vel de lí quido na lata.
Solução:
M SG g
cmmL
cm
mLg máx
hA D
mLcm
cm
mL
mm
cmmm
Em qualquer ní vel m h
hM m g
h mm
mmg h mm
b b
máxb b
b
máx
b b
∀
∀ ∀
1 05 1 0 354 372
4 4354
1
6 510 107
107372 3 47
3
3
2 2 2
3
, , ( )
( , )
, ; ( ) ( )
, ( )
Das considerações de quantidade de movimento,
y M h
m H
m h h h
M m m h
y h
hh em mm y
c b c
b
c c
2 2
1
23 47 120 20
1
23 47 2400
3 47 20
3 47 2400
6 94 40
2
2
( , ) ( ) ( , )
,
,
,( )
[ ]
←
l
A tendência para tombar será menor quando yc for mí nimo. Portanto,
dy
dh
h
h
h
h
h h
h
c
2 3 47
6 94 401 6 9 5
3 47 2400
6 94 40
24 1 278 16 700
6 94 400
2
2
2
2
( , )
,( )( , )
,
( , )
, .
( , )
Usando a f órmula quadrática,
h para y mí n mm
hy mí nc c( )
( ) ( , ) ,
( , ), ( )
278 278 4 24 1 16 700
2 24 121 2
2
←
Traçando o gráfico
Trace um diagrama de corpo livre da lata para tombamento iminente
AlturadoCG,
y c
(mm
)
Ní vel de lí quido, h (mm)
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Para o centro de rotação
Coeficientedeatritom
ínimoparatom
bar,
s
( – –)
Ní vel de lí quido, h (mm)
F F ma
F F mg ma
F mg
Como F F então F ma
x f x
y n y
n
f s n s n x
0
µ , ,
Somando os momentos sobre o ponto D:
M y ma D
F
ou y ma D
F
Mas ma F o
y F D
F
Assim para inclinar
D
y
b c x n
c x n
x s n
c s n n
s
c s
20
2
2
2
µ
µ
µ µ←
, log ,
, ,
Traçando o gráfico
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Solução:
( ) ( ˆ ˆ ) ( ˆ)
( )
a V dA az j b k wdzj awz dz V dA
b V dA awz dz aw z
aw z
V dA
z
A
z
A
r rr r
r r
r r
1
1
01
2
0
12
1
1 1
1 12 2
←
∫ ← ∫ ∫ ←
←
( ) ( ˆ ˆ ) ( ˆ )
( ) ( ) ( ˆ ˆ )( ) ˆ ˆ ( )
c V dA azj bk wdy k bwdy V dA
d V V dA azj bk bwdy abwzdy j b wdy k V V dA
r r
r r
r r r
r r r
2
22
1
2
←
∫ ∫ ∫
∫
( ) ( ) ( ˆ ˆ ) ˆ ,
. ,
( ) ,
ˆ
( ) s
ˆ ˆ
/ ( )
e V V dA abwz dz j b wdy k b wdy k
pois z ao longo de A Dessa forma
V V dA b wy k
m
w m k w k m s e
y
A
y
A x
r r r
r r r
202
2 2
0
1
2
2 2
2 22
2
3 2
1
0
5 1 25
Problema 4.13
Dado: Um campo de escoamento dado porr
V ayi bj ˆ ˆ
onde a 2 s1, b 1 ft/s e as dimensões são em pés.
Determine: (a) Vazão volumétrica.(b) Fluxo de quantidade de movimento através da superf í cie inclinada.
Solução:
A vazão volumétrica é Q V dA r r
∫ Para a superf í cie inclinada
dA dA ı dA j c dyı c dxj
onde c ft
Q ayı bj cdyı cdxj acy dy bcdx
Q ac y bcx ft ft
ft ft
Q ft s Vazão volumétrica
x y
A y o x
r
ˆ ˆ ˆ ˆ
( ˆ ˆ) ( ˆ ˆ)
/
2
25 2 12
2 3
8
1
0
3
22 0
1
0
3 12
3
∫ ∫ ∫
] ]
←
-
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O fluxo de quantidade de movimento é dado por
f m V V dA. . ( ) r r
∫ Então,
f m ayı bj acy dy bc dx
f m ı a cy dy abcy dx j abcy dy b c dx
Ao longo da erf í cie inclinada y x
f m ı a c y abc x
A. . ( ˆ ˆ) ( )
. . ˆ ˆ
sup
. . ˆ
∫
∫ ∫ ∫ ∫
]
0
12 2
0
3
2
0
3
0
1
2 33 0
1
31
311
2 23
2 22
1 2 3
0
3
22 0
1 2
0
3
1 2 3 2
0
3
1 2 2
2
] ]{ }
∫ dx j abc y b cx
ı s ft ft abc xb
x j s fts
ft ft fts
ft ft
ˆ
ˆ ( ) ˆ
{ } ←
ˆ , ˆ
. . , ˆ ˆ
ı ft
ss
ft
sft ft j
ft
s
ft
s
f m ı j ft
s
Fluxo da quantidade de movimento
8
32 2 2 5 2 6
7 67 8
4
2
1 24
2
4
2
4
2
Notas: As unidades de massa especí fica são slug/ft3.O fluxo de quantidade de movimento tem unidades slug.ft/s2 (ou lbf).
Problema 4.19
Dados: Escoamento permanente e incompressí vel através do dispositivo mostrado.
A m A m A m
V ı m s V j m s
12
22
32
1 2
0 05 0 01 0 06
4 8
, , , , ,
ˆ / , ˆ / r r
Determine: A velocidader
V 3 .
Solução: Aplique a conservação de massa usando o VC mostrado.Equação básica:
0 1
0
( )
∂∂
∀∫ ∫ t VC SCd V dAr r
-
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Considerações: (1) Regime permanente.(2) Escoamento incompressí vel, constante.(3) Escoamento uniforme em cada seção.
Então,
SC V dA V A V A V A∫ r r r r r r r r
1 1 2 2 3 3 0
ou
r r r r r r
r r
V A V A V A ı m
sı m j
m
s j m
V A m s
3 3 1 1 2 22 2
3 33
4 0 05 8 0 01
0 28
ˆ , ( ˆ) ( ˆ) , ˆ
, /
Comor r
V A3 3 0 , o escoamento na seção é para fora do volume de controle. Portanto,
r r
V A V A
VA
m
s m
m
sm s
3 3 3 3
3
3
3
2
310 28
1
0 060 28 4 67
,,
, , /
Finalmente, a partir da geometria do desenho
r
r r
V V sen ı V jm
ssen ı
m
s j
V ı j m s V
3 3 3
3
4 67 60 4 67 60
4 04 2 34 3
ˆ cos ˆ , ˆ , cos ˆ
, ˆ ,ˆ
/
° °
←
Problema 4.20
Dados: Óleo escoa para baixo em um plano inclinado.
u
gsenhy
y
µ
2
2
Determine: Uma expressão para a vazão em massa por unidade de largura.
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Solução: Na seção transversal sombreada,
˙
, arg
˙
˙
˙ /
m udA
dA wdy onde w l ura
m g sen
hy y
w dy gsen
hy y
wdy
m gsen
w hy y gsen
w h gsen wh
Dessa forma
m w gsen
o
h
o
h
o
h
∫
µ
µ
µ
µ µ
∫ ∫
2 2 2
2 2 3 2 3 2 3
2
2 2
2 6 3 3
hm u
3
3µ ← ˙ /
Problema 4.23
Dados: Água escoa em um tubo conforme mostrado. R 3 in, umáx 10 ft/s.
Determine: A velocidade uniforme na entrada, U .
Solução: Aplique a equação da continuidade usando o VC mostrado.Equação básica:
0 1
0
( )
∂∂
∀∫ ∫ t d V dAVC SCr r
Considerações: (1) Escoamento permanente.(2) Escoamento incompressí vel.(3) Escoamento uniforme na seção de entrada.
Então,
0 2
0 1 2
11 2 2 1
1 1 2 2 2 2
22
2
2
2
2
2
0
1
r r r r r r
V A V dA V uı dA rdr ı
U R u r
Rrdr
ou
UR
u r
Rrdr u
r
R
máxo
R
máxo
R
máx
∫ ∫
∫ ∫
; ˆ, ˆ
rr
Rd
r
R
U r
R
r
Rft s U
← 20
1
2
1
45 00
2 4
0
1
, /
{A velocidade do escoamento uniforme na entrada é a metade da velocidade máxima na seção de saí da.}
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Problema 4.24
Dados: Curva redutora bidimensional conforme mostrada.
Determine: A magnitude e o sentido da velocidade uniforme na seção.
Solução: Aplique a conservação de massa usando o VC mostrado.Equação básica:
0 1
0
( )
∂∂
∀∫ ∫ t VC SCd V dA r r
Considerações: (1) Escoamento permanente.(2) Escoamento incompressí vel.(3) Escoamento uniforme nas seções e.
Então,
0
2
1 1 2 2 3 3
3 3 1 1 2 2 1
1
2 2
3 3 1
2
1
2
1
1
1
1
r r r r r r r r
r r r r r r
r r
V dA V dA V A V A
ou
V A V dA V A V y
hwdy V wh
V A V w y
hV wh
ASC
Amáx
o
h
máx
o
h
∫ ∫
∫ ∫
,
, 22
1 1
2 2
3 3 2
3 3
3 3 3 3 3 33 3
2
1
2 10 2 15 1 5
0
5
V whV wh
o V A
w
ft
s ft ft
s ft ft s
Como V A o escoamento em é do VC Sentido
Dessa forma V A
w
V A
w
V wh
wV h
máx,
log /
,
,
r r
r r
r r
para dentro ←
ftft s
Vh
ft
s ft
ft
sft s do VC V
2
3
3
2 215
1
1 55 3 33 3
/
,, / ( ) para dentro ←
-
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Problema 4.27
Dados: Um acumulador hidráulico, projetado para reduzir as pulsações de pressão no sistema hidráulico de uma máquinaoperatriz, está operando sob as condições mostradas, em um dado instante.
Determine: A taxa na qual o acumulador ganha ou perde óleo hidráulico.
Solução: Use o volume de controle mostrado.
Equação básica:
0 ∂∂
∀∫ ∫ t d V dAVC SC
r r
Considerações: (1) Escoamento uniforme na seção.(2) Massa especí fica constante.
Então,
0 1 1 2 2
1 1 1
21
1
∂∂
∫ ∫
∫
tM V dA V dA
MasV dA Q
vcAA
A
( )
onde Q vazão volumétrica e SG H O2
Portanto,
0
40 88 2
0 88 1 94 5 757 48 60
4 354
1 25
1 2 2
1 2 2
1 222
3
32 2
2
∂∂
∂
∂
tM Q V A
ou M
tQ V A
SG Q V D
onde SG Tabela A
slug
ft
gal
mim
ft
gal s
ft
sin
ft
vc
vc
H O
( )
, ( . )
, , ,,
min, ( , )
22
2
2
144
4 14 10 1 33
in
M
t
slug
sou lbm s
Mt
A massa está inuindo no VC
vcvc
∂∂
∂∂←
, , /
( dim .)
-
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Como
M
M
t t tSG
t
t SG
M
t
ft
slugs
slug
s
t
ft
sou gal s t
VC óleo óleo
VCóleo óleo óleo
óleoóleo H O
óleo
óleo
óleo H O
VC
óleo óleo
∀
∂∂
∂∂
∀ ∂∀
∂∂∀
∂
∂∀∂
∂∂
∂∀∂
∂∀∂←
( )
, ,( , )
, , /
2
2
1 1
0 88
1
1 944 14 10
2 43 10 0 181
32
23
Problema 4.28
Dados: Um tanque retangular, com dimensões H 230 mm, W 150 mm e L 230 mm, fornece água para um tubo desaí da com diâmetro D 6,35 mm. Quando o tanque está metade cheio, o escoamento no tubo tem um número de ReynoldsRe 2000. Neste instante, não existe escoamento de água para dentro do tanque.
Determine: A taxa de variação do ní vel de água no tanque nesse instante.
Solução: Aplique a equação de conservação da massa para o VC que inclui o tanque e o tubo.Equação básica:
ot
d V dAVC SC
∂∂
∀∫ ∫ r r
Definição: R DV DV
ve µ
Considerações: (1) Escoamento uniforme na saí da do tubo.
(2) Escoamento incompressí vel.(3) Despreze o ar entrando no volume de controle.
Então,
ot
WLh D
L V D
o WL dh
dtV
Dnote que L cons te
dh
dt
V D
WL
o
o
o
∂∂
∴
2
1
2
2
1
2
4 4
4
4
( tan )
-
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Então,
o V dA V dA m V dA V dA
ou o U w m U y y wdy wL
Assim
m U w U w
abSCbc
cd da
bco
o
bco
r r r r r r r r
∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫
˙
˙
,
˙
,
3 2
3
1 5
1 yy yd
ywL
w U U y y
L
w U U
o
o
o
2
3
2
2
2 5
32
22 5
1 5
2 2 5
0
1
,
,
,
,
υ
υ
υ LL w U L
kg
mm
m
sm
m
sm
m kg s m o do VC m
o
bc bc
←
( , )
, , , ,
˙ , / ( ˙ , log , ) ˙
0 3
999 1 5 0 3 3 0 0015 0 0002 2
1 42 0
3
υ
para fora
Problema 4.40
Dados: Funil de lí quido sendo drenado através de um pequeno orif í cio de diâmetro d 5 mm (área, A), conforme mostrado;
y0 é a profundidade inicial.
Determine: (a) Uma expressão para o tempo requerido para esvaziar o funil.(b) Expressões para o resultado em termos
. do volume inicial, V 0 e
. da vazão volumétrica inicial
Q AV A gyo o o 2 .
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Plote: Gráfico de t em função de y0 (0,1 y0 1 m) com o ângulo como um parâmetro para 15° 45°.
Solução:Aplique a conservação de massa, usando o VC mostrado.
Equação básica:
ot
d V dAVC SC
∂∂
∀∫ ∫ r r
Considerações: (1) Escoamento incompressí vel.(2) Escoamento uniforme em cada seção.(3) Despreze ar comparada com H O2 .
Então,
o o
ot
dt
d V A V Aar H Oar
ar H OH O
( ) ( )3 3
22
21 1
∂∂
∀ ∂
∂ ∀ { } { }
∀∀ ∫ ∫
Para o VC,
d A dy r dy y dy y
Dessa forma
o
t
yA gy
o y dy
dtA g y
s
H O H O
∀ ∀
∂
∂
2 2 23
23
2 2 1 2
3
3
2
2
2 2
( tan ) ; tan
,
tan
tan /
Separando variáveis,
y dyg A
dt3 22
2 /
tan
Integrando de y0 em t 0 até y 0 em t
y dy yg H
t
ou
t y
g A t
y
3 20
05 2
2
20
5 2
2
5
2
2
5 2
0
/ /
/
( )
tan
tan
∫
←
Masy
e Q AV gy então
ty
g A
y
y Q t
o∀
∀
←
02
3
0 0 0
205 2
01 2
01 2
0
0
32
2
5 2
3
3
6
5
tan ,
tan / /
/
-
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Como A d 2 /4, podemos escrever
t y
g d
y
y
d g
2
5 2
8
5 2
20
5 2
2
20
5 2
2
tan tan / /
t é traçado em função de y0 com como um parâmetro.Drenagem de um tanque cônico de lí quidoDados de entrada:
Diâmetro do orif í cio: d 3 mm.Resultados dos cálculos:
Tempo de Drenagem t (s)Altura Inicial, Ângulo de Meio
y0 (mm) Cone, (graus) 60 45 30 15
300 5935 1978 659 142
275 4775 1592 531 114250 3763 1254 418 90,0
225 2891 964 321 69,2
200 2154 718 329 51,5
175 1543 514 171 36,9
150 1049 350 117 25,1
125 665 222 74 15,9
100 381 127 42 9,11
75 185 62 21 4,44
50 67 22 7 1,61
25 12 4 1 0,285
0 0 0 0 0
Tempo versus Profundidade Inicial
Te
mpo,
t (s)
Profundidade inicial, y 0 (mm)
-
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Problema 4.41
Dados: Tanque contendo salmoura com corrente de entrada de água em regime permanente. A massa específica inicial é
i H O2 .
Determine: (a) A taxa de variação da massa específica do líquido no tanque.(b) O tempo requerido para atingir a massa específica, f , onde i f H O2 .
Solução: Aplique a conservação de massa, usando o VC mostrado.
Equação básica:
0 ∂∂
∀∫ ∫ t d V dVC SC r
r
Considerações: (1) tanque constante.(2) Massa específica uniforme no tanque.(3) Escoamento uniforme nas seções de entrada e de saída.
Então, V 1 A1 V 2 A2, posto que o volume do tanque é constante e
0
2 2 2
∂∂
∫ ∀ ∂
∂ ∀ ∀
td VA VA
tVA
d
dtVAvc H O H O H O ( ) ( )
E daí
d
dt
VA ddtH O
( ) 2 ←
Separando variáveis,
d VAdt
H O
2
∀
Integrando de i em t 0 até f em t ,
d VA dt VA t
H O
H Of H O
i H O
t
i
f
i
f
2
22
2 0∫ ∫ ]
∀ ∀ln ( ) ln
Finalmente,
tVA t
f H O
i H O
∀
← ln
2
2
{Note que f → H O2 assintoticamente quando t → .}
entra
constantesai
-
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Problema 4.42
Dados: A vazão mássica instantânea de vazamento de ar, ˙ ,m de um pneu de bicicleta é proporcional à massa específica, , eà pressão manométrica, pg, no pneu. O ar no pneu é aproximadamente isotérmico (porque o vazamento é pequeno).
A pressão inicial do ar é p0 0,60 MPa (manométrica) e a taxa inicial de perda de pressão é de 1 psi por dia.
Determine: (a) A pressão no pneu após 30 dias.(b) Incerteza da regra corrente segundo a qual perde-se “1 libra por dia” no período total de 30 dias.
Plote: A pressão no pneu como uma função do tempo para o período de 30 dias; compare os resultados obtidos com aquelesda regra corrente de “1 libra por dia”.
Solução:
Aplique a conservação de massa ao pneu conforme o VC.
Equação básica:
0 ∂∂ ∫ ∫ t d V dAVC SC
r r
Considerações: (1) Propriedades uniformes no pneu.(2) O ar no interior do VC comporta-se como gás ideal.(3) A temperatura, T , e o volume, , do ar no pneu são constantes.
(4) ˙ ( ) .m p p c atm
Então, podemos escrever
0
1
0
0
0
0 0
0
0 0
0 0
∀ ∂∂
∀ ∂∂
∂
∀
)
∀
∀
tm
tp p c
Mas p RT edt RT
dp
dto
RT
dp
dt
cp
RTp
para t p p e dp dt dp dt Assim
dp
dt
cp p p e c
p p p
dp
dt
atm
atm
atm
atm
˙ ( )
/ , log ,
( )
, / / . ,
( )
( )
p
0
(1)
Substituindo na Eq. 1, obtemos
0
0 0 0
dp
dt
p p p
p p p
dp
dt
atm
atm
( )
( )
-
8/18/2019 Solucion Fox Cap 4
18/83
Separando variáveis e integrando,
dp
p p p
dp dt
p p pdt
p
p p p
p p p
dp dt
p p pt
p p
p p
dp dt
p p pt
atm atm
t
p
p
atm
atm
atm atm
atm
atm atm
( )
/
( )
ln ( )
( )
/
( )
ln /
/
/
( / )
)
)
)
∫ ∫ 00 0 0
0
0
0
0 0
0
0
0 0
0
1
1
1 1
Tomando os antilogaritmos,
1 1 1
11
6 895 1
701
1
701 101 1
0 00166
1
0
1
0
0
0 0
1
0
0 0
p
p
p
pe
p
pe
onde
k dp dt
p p ppsi
kPa
psi kPa
k dia
e
p
p
atm atm
dp dt
p p p atm kt
atm
atm
atm
)
)
/
( / )
/
( / )
,
( / )
,
p p
pe
Assim
p p
p p
pe
atm kt
atm
o atm kt
0
0
0
1
,
(2)
Avaliando para t 30 dias,
pkPa
l
kPa
diap diast
101
1
600
701
544 3030 0 00166( , ) ←
A regra corrente “uma libra por dia” dá
p p kPa
diat
Para t dias p kPa kPa kPa pregra
0 6 895
30 600 207 493
,
←
(3)
A regra corrente “uma libra por dia” prediz uma maior queda de pressão.Resultados para ambos os modelos são apresentados na figura a seguir.
-
8/18/2019 Solucion Fox Cap 4
19/83
Problema 4.49
Dados: Carrinho com pá defletora, movido por jato de água.
V m s A m j j 15 0 05
2 / ,
Determine: (a) A massa necessária para manter o carrinho estacionário para 50°.
Plote: A massa necessária para manter o carrinho estacionário para 0 180 graus.
Solução:Aplique a componente x da equação da quantidade de movimento para o VC inercial mostrado.
Equação básica:
0 2 0 3( ) ( )
F Ft
upd u V dAs x BxSCVC
∂∂ ∫ ∫
r r
Pressão
do
pneu,p(kPa)(manométrica)
Pressão do Pneu versus Tempo
Tempo, t (dias)
Modelo exato
Regra corrente
-
8/18/2019 Solucion Fox Cap 4
20/83
Considerações:
(1) Pressão atmosférica em torno do VC.(2) F B x 0.
(3) Escoamento permanente.(4) A velocidade do jato (e área) permanece constante na pá.
(5) Escoamento uniforme em cada seção.(6) Escoamento incompressível.
Então,
Mg u V A u V A u V u V
V V V A A A
Mg V VA V VA V A
M V A
g
1 1 1 2 2 21 2
1 2 1 2
2
2
1
1
( ) ( ) ; cos
;
( ) cos ( ) (cos )
( cos )
{ } { }
(1)
Avaliando para 50°
M
kg
m
m
sm
s
mkg M 999 15 0 05
9 811 50 409
3
22
2
22
( ) ( , ),
( cos )° ←
M é traçada como uma função de
Problema 4.52
Dados: Um fazendeiro compra 675 kg de grãos a granel. Os grãos são despejados em sua caminhonete por um carregadorafunilado conforme mostrado. O fluxo de grãos é interrompido quando a leitura da balança atinge o valor bruto desejado.
Determine: A verdadeira carga paga.
Massaparareterocarrinho,M(kg)
Ângulo da pá defletora, (graus)
-
8/18/2019 Solucion Fox Cap 4
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Solução: Aplique a componente y da equação da quantidade de movimento usando o VC mostrado.
Equação básica:
0 2( )
F Ft
d V dAS BVC SC
y y
∂∂
∀∫ ∫ v vr r
Considerações:
(1) Não existe força de pressão líquida, F RS y y .
(2) Despreze dentro do VC.(3) O escoamento dos grãos é uniforme na seção de entrada.
Então,
R M M g m
V m
A
y t l
( ) ˙
˙
v
v
1
1 1
{ }
ou
R M M g
m
Aindicado durante o escoamento de grãosy t l ( )
˙( )
2
O carregamento é terminado quando
R
gM M
m
pgAkg
Assim
M kg m
gA
kg kg
s
m
kg
s
m m
M kg M
y
t l
l
l l
˙
˙
( ), ( , )
2
2
22
2
3 2
2 2
675
675
675 40600 9 81
4 1
0 3
671
←
Balança
-
8/18/2019 Solucion Fox Cap 4
22/83
-
8/18/2019 Solucion Fox Cap 4
23/83
Como R x 0, a força deve ser aplicada para a esquerda. Rx é traçada como uma função de para diferentes valores de d/D.
Problema 4.60
Dados: Escoamento através de bocal semicircular, conforme mostrado.
Determine: (a) A vazão volumétrica.(b) A componente y da força necessária para manter o bocal no lugar.
Solução: Escolha o VC e as coordenadas mostradas. Aplique as equações da continuidade e da quantidade de movimento nadireção y.
Equações básicas:
Q V dA
F Ft
d V dA
A
S BVC SC
x y
∫
∫ ∫ ∂∂
∀
r r
r r
0 2 0 3( ) ( )
v v
Considerações:
(1) Escoamento uniforme através da seção de saí da.(2) F B y 0.
(3) Escoamento permanente.
Forçaparareteroprato,
R
x(N)
Razão de diâmetros, d/D 0
Ângulo de deflexão, (graus)
-
8/18/2019 Solucion Fox Cap 4
24/83
Na seção,r r
V.dA VRtd , visto que o fluxo é para fora do VC. Então,
Q VRtd VRt VRt
Q m
sm m m s Qs
[ ]
←
∫ / / / /
, , , /
2
2
2
2
15 0 3 0 03 0 424
Da quantidade de movimento
R V dA V dA V dA
com V
R V VRtd V Rt sen V Rt
R kg
m
m
sm
ySC A A
y
y
∫ ∫ ∫
∫
{ } { }
[ ]
v v v
v
r r
1 21 1 1 2 2 2
1 2
2
22
2
2 2
3
22
2
0
2
2 999 15 0 3 0
cos
cos
( ) ,
/
/
/
/
,, ,03 4 052
m N s
kg mKN Ry
←
Problema 4.61
Dados: Motor a jato em banco de ensaio. O combustí vel entra verticalmente a uma vazão ˙ ˙ , ˙ .m m f mcombustí vel ar0 02
Determine: (a) A vazão mássica de ar.(b) Estime o empuxo do motor.
Solução: Aplique a componente x da equação da quantidade de movimento ao VC mostrado.
Equações básicas:
0 1 0 2
1 1 1
( ) ( )
˙ , /
F Ft
u d u V dA
m V A p RT
S BSCVC
ar
x x
∂∂
∀ ∫ ∫
r r
Considerações:
(1) F B x 0.
(2) Escoamento permanente.
(3) Escoamento uniforme nas seções de entrada e de saí da.(4) O ar comporta-se como gás ideal, T 70°F.(5) O combustí vel entra verticalmente (dado).
-
8/18/2019 Solucion Fox Cap 4
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11
12
2
2 2 3
1 1 1 3
2
14 7 144 29853 3
1
5300 0644
0 0644 500 64 2060
p
RT
lbf
in
in
ft
lbf
ft
lbm R
ft lbf R
lbm
ft
m V A lbm
ft
ft
s
ft lbm s mar
,,
,
˙ , / ˙
°°
←
Da equação da quantidade de movimento segundo x ,
0 0 5
1 1 1 2 2 1 1 2 2
1 1 2 2 2 1
( )
˙ ˙ ˙
, , ˙ ˙ ˙
R p A p A u m u m u m
u V u V m m mx g f f
f
{ } { } { }
Também o empuxo T K x (força do motor sobre o meio ambiente) R x .
Então,
T p A m V m V m V m V
T m V V p A
T lbm
s
ft
s
ft
s
slug
lbm
lbf s
ft slug
lbf
ftft
T lbf T
ig
ig
1 1 1 2 2 1 1 1 2
1 2 1 1
2
2
2
1 02
1 02
2060 1 02 1200 50032 2
298 64
65 400
˙ ˙ ˙ ( , ˙ )
˙ ( , )
,,
.
←
Problema 4.63
Dados: Escoamento incompressí vel, sem atrito, através de uma expansão súbita conforme mostrado.
Mostrar: Que o aumento de pressão, p p2 p1, é dado por
p
V
d
D
d
D12 21
2 2
2 1
Plote: O aumento de pressão adimensional como uma função de d/D para determinar o valor ótimo de d/D e o aumento depressão adimensional correspondente.
Solução:
Aplique a componente x da equação da quantidade de movimento usando o VC mostrado.
Equação básica:
0 2 0 3( ) ( )
( )F Ft
u d u V dAS BSCVC
x x
∂∂
∀ ∫ ∫ r r
-
8/18/2019 Solucion Fox Cap 4
26/83
Considerações:
(1) Não há atrito, as forças superficiais são devidas somente à pressão.
(2) F B x 0.
(3) Regime permanente.
(4) Escoamento incompressí vel (dado).(5) Escoamento uniforme nas seções e.(6) Pressão uniforme p1 sobre a superf í cie vertical da expansão.
Então,
p A p A u V A u V A u V u V1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ,{ } { }
Da continuidade para escoamento uniforme,
˙ ;
, ( )
m A V A V V V A
A
Assim p p V A
AV V
A
AV V
A
AV V
p p V A
A
V
VV
A
A
A
A
e p
1 1 2 2 2 11
2
2 1 1
1
21 1
1
22 1
1
21 2
2 1 12 1
2
2
1
12 1
2
1
2
2
1 1r
p
V
A
A
A
A
d
D
d
D C Q D
1
12 1
2
1
2
1
2
2 2
2 1 2 1
← . .
A partir do gráfico mostrado adiante, vemos que p
1
2
12 V
tem um valor ótimo em torno de 0,5 para d/D 0,70.
Nota: Como esperado,
• Para d D, p 0 para tubo reto.• Para d / D → 0, p 0 para jato livre.
Note também que a localização da seção deve ser escolhida com cuidado para fazer com que a consideração (5) sejarazoável.
Aumentodapress
ã o,
p
/ p V
2/2( –
–)
Razão de diâmetros, d / D (––)
-
8/18/2019 Solucion Fox Cap 4
27/83
Problema 4.68
Dados: Bomba a jato d’água conforme mostrado no desenho esquemático.O jato e a corrente secundária são bem misturados na seção, e as pressões de entrada são as mesmas.
Determine: (a) A velocidade na saí da da bomba.(b) O aumento de pressão, p2 p1.
Solução:
Aplique a equação da continuidade e a componente x da equação da quantidade de movimento ao VC inercial mostrado.
Equações básicas:
0 1
0
0 5 0 1
( )
( ) ( )
∂∂
∀
∂∂
∀
∫ ∫
∫ ∫
td V dA
F Ft
u d u V dA
SCVC
S BSCCV
x x
r r
r r
Considerações:
(1) Escoamento permanente.
(2) Escoamento incompressí vel.(3) Escoamento uniforme em cada seção.(4) Nenhuma força viscosa age no volume de controle.
(5) F B x 0.
Então, da continuidade,
0
10 075 0 01 0 065
1
0 0753 0 065 30 0 01
2 2 2 2
2
2
22 2
2 2
2 2
V A V A V A V A V A V A
VA
V A V A A A A m m
Vm
m
sm
m
sm
s s j j s s j j
s s j j s j
{ } { } { }
( ); ( , , ) ,
,, ,
←
{ } { } { }
6 60
1
2
1 2 2 2 2 2 2
2 2
2 1
2
2 222
2
1
,
( ) (
m
s
e
p A p A u VsA u V A u V A
u V u V u V
p p pA
V A V A V AA
V
V
s s j j j
s s j j
s s j j s22 2
22
2A V A V As j j )
-
8/18/2019 Solucion Fox Cap 4
28/83
999 1
0 0753 0 0 065 30 0 01 6 6 0 075
84 2
3 2
2 2 22
2
22
2 1 2 1
kg
m m
m
sm
N s
kg m
p p kPa p p
,( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( , )
,
[ ]
← Problema 4.69
Dados: Cotovelo redutor conforme mostrado. O fluido é água.
Determine: As componentes da força necessária para manter o cotovelo no lugar.
Solução: Aplique as componentes x e y da equação da quantidade de movimento usando a SC e o CV mostrados.
Equações básicas:
0 4 0 1
0 1
( ) ( )
( )
F Ft
u d u V dA
F F
t
d V dA
S BSCVC
S BSCVC
x x
y y
∂∂
∀
∂
∂
∀
∫ ∫
∫ ∫
r r
r r
v v
Considerações:
(1) Escoamento permanente.
(2) Escoamento uniforme em cada seção.(3) Use pressões manométricas.(4) Eixo x horizontal.
Componente segundo x:
R p A p A u Q u Q
u V u V
R V V Q p A p A V Q
A
m
s m
m
s
m
s
m
s
x g g
x g g
1 1 2 2 1 2
1 1 2 2
1 2 1 1 2 2 1
1
3
20 11
1
0 01826 04
6 04 13 6 30
cos
cos
( cos ) cos ,,
,
( , , cos
{ } { }
°°
°
←
) ,,
,
, ( ) , ( ) , cos
999 0 11 1
0 008213 6
0 11 200 101 10 0 0182 120 101 10 0 0081 30
631 1800 133 1040
2 2
2
3
2
3 23
2
2 3
2
2
kg
mV
Q
A
m
s m
m
s
m
s
N s
kg m
N
mm
N
mm
R N N R
x
x x
Massa do cotovelo, m 10 kg
Volume interno V 0,006 m3
-
8/18/2019 Solucion Fox Cap 4
29/83
-
8/18/2019 Solucion Fox Cap 4
30/83
A partir da continuidade,
Q VA V V Lt m
sm m m s Q
V QA
ms m
m s
1
2
1
27 5 11 3 1 0 015 0 141
0 141 4 10 15
7 98
1 23
3
3
3
2 2
( ) ( , , ) , , /
,( , )
, /
←
Da componente x da quantidade de movimento, posto que o escoamento sai verticalmente do entalhe (u 0),
R p A u Q V Q R p A V Q
RN
mm
m
s
kg
m
m
s
N s
kg m
R kN para a R
x g x g
x
x x
3 3 3 3 3 3 3
3
2
2 2
3
3 2
30 104
0 15 7 98 999 0 141
1 65
{ }
←
;
( , ) , ,
, ( )esquerda
Da componente y da quantidade de movimento, visto que v3 0,
0
22 3
999 0 015 7 5 7 5
3 12 1
2
12
12 1
22 1
2 3
3
22
2
R v Q v Vt dx t V V V
Lx dx
t V x V V V
L
x V V
L
x
kg
mm
m
s
m
yo
L
o
L
o
L
{ }
∫ ∫
, ( , ) ,ss
m
s mm
m
s mm
R kN para Ry y
( , , ) ( )
( , , )( )
( )
, ( )
11 3 7 5 1
11
11 3 7 5 1
1
1
3
1 34
2 2
22
2 2 2
33
← baixo
{Um momento também será requerido no acoplamento.}
Problema 4.75
Dados: Bocal descarregando uma cortina d’água plana e radial, conforme mostrado.
Espessura, t
água
-
8/18/2019 Solucion Fox Cap 4
31/83
-
8/18/2019 Solucion Fox Cap 4
32/83
Problema 4.76
Dados: Pequeno objeto redondo testado em um túnel de vento. Atrito desprezível.
Determine:
a) A vazão mássica.b) V2, máx.
c) O arrasto sobre o objeto.
Solução:
Equações básicas:
0 1
0 4 0 1
999 9 81 0 02 196
98 0
1 1 3 2
2
( )
( ) ( )
, , ( )
, ( )
ot
d V dA
F Ft
u d u V dA p gh kg
m
m
sm Pa manométrica
p Pa manométrica
VC SC
S BSCVC
x x
∂∂
∀
∂∂
∀
∫ ∫
∫ ∫
r r
r r
Considerações:
(1) Escoamento permanente.
(2) Massa especí fica uniforme em cada seção.
(3) Escoamento uniforme na seção, portanto ṁ V A 1
(4) Escoamento horizontal; F B x 0.
Então,
˙ , ( ) , / ˙m V A
kg
m
m
sm kg s m
1 1 3
2 21 23 104
1 9 67 ←
Da equação da continuidade,
˙
˙,
, ( , ),
, , ,
,
m u dA V r
Rrdr V R
r
Rd
r
RV R
V m
R
kg
s
m
kg mV
Amáx
o
R
máx máx
máx
2 2 2 2 2 2 22
2
0
1
2 22
2
22
3
2 2
2
2 2 2
3
3
2
3
29 67
1 23
1
0 515 0
∫ ∫ ∫
m/s 22, m áx←
(manométrica) (manométrica)
-
8/18/2019 Solucion Fox Cap 4
33/83
Da equação da quantidade de movimento,
R p A p A u m u V dA V m V R r
Rd
r
R
u V u V r
R
R p p A V m V R
xA
máx
máx
x máx
1 2 1 2 2 2 1 2 22 2
0
1 3
1 1 2 2
2 1 1 2 22 2
2
2
2 1
4
98
˙ ˙
( ) ˙
( ,
,
,
,
{ }
∫ ∫
00 1964
1 10 9 672
1 23 15 0 5
65 0
2
2 2
3
22
2
2 22
) ( ) , , ( ) ( , )
,
N
mm
m
s
kg
s
kg
m
m
sm
N s
kg m
R Nx
R x é a força para manter o VC no lugar. O VC corta a haste de apoio, portanto R x é a força para reter o objeto. O arrasto do
objeto e da haste de sustentação é
F R N FD x D 65 0, ←
Problema 4.78
Dados: Escoamento incompressí vel na região de entrada de um tubo circular de raio R.
u u r
Rmáx2
2
1
Determine: (a) A velocidade máxima na seção.(b) A queda de pressão, se o atrito viscoso fosse desprezado.
Solução: Aplique as equações da continuidade e da quantidade de movimento na direção x . Use o VC e a SC mostrados.
Equações básicas:
0 1
0
0 3 0 1
( )
( ) ( )
∂
∂ ∀
∂∂
∀
∫ ∫
∫ ∫
t d V dA
F Ft
u d u V dA
VC SC
S BSCVC
x x
r r
r r
Considerações: (1) Escoamento permanente.
(2) Escoamento uniforme na seção.
(3) F B x 0.
(4) Despreze o atrito na parede do tubo.
(5) Escoamento incompressí vel.
-
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34/83
Então,
0 1 2
2 1 2 1
2
1
4
12
0
2
12 2
212
2 4
0
1
U R u r
Rrdr
ou U R u R r
R
r
Rd
r
Ru R
r
R
r
R
máx
R
máxo
máx
{ }
∫
∫
AssimAssim u U ft
ft s umáx máx, / 2 2 303
601 ←
Da equação da quantidade de movimento,
p R p R u U R u u dA U R u R r
R
r
Rd
r
R
u U u u rR
ou
p p U
R
máx
máx
12
22
1 12
2 20
2 12 2 2
2
0
1
1 1 2
2
1 2
2 1
1
{ }
∫ ∫
112 2 2 2
0
1
2
0
12 4 2
0
14 6
0
1
21
212
1 2 12
12
2 1
1 1 2 1
2
1
2
1
6
1
6
2 4
8
6
u d r
R
Mas d d
e u U U
p p U U U
máx
máx
( ) ;
( ) ( )
( ) ,
∫
∫ ∫ ]logo,
112
12
22
2
2
1 22
4
31
1
3
1
30 075 30
32 2
0 699 1 2
µ
←
U
lbm
ft
ft
s
s g
lbm
lbf s
slug ft
p p lbf ft p p
s, ( )
/
,
, /
Problema 4.82
Dados: Escoamento incompressí vel em camada limite, conforme mostrado. O fluido é ar padrão.
Na camada limite:u
U
y y
o
3
2
1
2
3
Fronteira da CL
Largura
-
8/18/2019 Solucion Fox Cap 4
35/83
Determine: A força horizontal por unidade de largura para manter a placa estacionária.
Solução: Aplique a continuidade e a componente x da equação da quantidade de movimento.
Equações básicas:
0 10
0 3 0 1
( )
( ) ( )
∂∂
∀
∂∂
∀
∫ ∫
∫ ∫
td VdA
F Ft
u d u V dA
VC SC
S BSCVC
x x
r r
r r
Considerações: (1) Escoamento permanente.
(2) Não existe força lí quida de pressão;
(3) F B x 0.
(4) Escoamento uniforme na seção ab.
(5) Escoamento incompressí vel.
Então, da equação da continuidade,
0
U m u dy dy m U u dyo bco
bc ooo
{ }
∫ ∫ ∫ ˙ ; ; ˙ ( )
Da equação da quantidade de movimento,
F U U w U m u uwdy U u U U u wdyf o o o bco
o o oo
{ }
[ ]∫ ∫ ˙ ( )2 2
Força de arrasto F u U u wdy U u
U
u
U wdyf o
o oo o
( )∫ ∫
02 1
Na seção cd ,
u
Udy d
F
wU
u
U
u
Ud U d
U
o
f o
o o o
o
o
o
3
2
1
2
1 3
2
1
21
3
2
1
2
3
2
9
4
1
2
3
2
1
4
3
21
2 3 31
2 2 3 4 6
;
∫ ∫
←
∫ d
U U
kg
m
m
sm
N s
kg m
F
wN m para a
Fw
o
o
o
o
f f
1
2 2 3 4 5 7
1
2
3
22
2
2
3
4
3
4
1
8
3
10
1
280 139
0 139 1 23 10 0 0023
0 0393
( , )
, , ( ) ,
, / ( )direita
-
8/18/2019 Solucion Fox Cap 4
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Problema 4.83
Enunciado: Considere o jato de água e a placa vertical do Problema-Exemplo 4.4. Uma consideração implí cita feita para
resolver o problema foi que o jato permanecesse horizontal até atingir a placa. Discuta as implicações de se incluir a gravida-
de na solução. Concentre-se especificamente na trajetória do jato antes de ele atingir a placa e na velocidade do lí quido sobre
a placa acima e abaixo do ponto de impacto do jato. As dimensões da placa vertical são importantes? As propriedades dacorrente de lí quido são importantes?
Discussão: A gravidade poderia ser incluí da na solução com relativa facilidade. A gravidade produziria uma componente
vertical para baixo na velocidade da corrente de água no jato. O jato teria uma trajetória parabólica; a corrente do jato cairia
mais à medida que ela se afastasse do bocal.
Como uma primeira aproximação, o escoamento sobre a placa vertical é suposto ser sem atrito. Portanto, não existe força
de atrito do jato sobre a placa. Uma força de pressão agindo sobre a placa não possui componente vertical. Conseqüentemen-
te, não pode existir força vertical resultante sobre a placa.
O jato lí quido dividir-se-á em duas correntes quando atingir a placa. Cada uma das duas correntes terá a mesma velocida-
de do jato, porque não existe força de atrito ao longo da placa para modificar a velocidade do lí quido. Entretanto, a corrente
inferior irá carregar mais da metade do escoamento; a corrente superior carregará menos da metade do fluxo. Posto que
nenhuma força vertical age sobre o escoamento, este dividir-se-á de modo a dar às duas correntes a mesma quantidade de
movimento do jato tocando a placa.
A placa vertical deve ser larga o bastante para redirecionar todo o escoamento do jato de forma que ele saia paralelo à
superf í cie da placa. Quando a gravidade é incluí da, a placa deve estender-se mais para baixo da linha de centro do jato do que
no caso hipotético sem gravidade.
As propriedades da corrente de lí quido incluem sua massa especí fica, área, velocidade e viscosidade. A força horizontal
exercida sobre a placa vertical é proporcional à massa especí fica, área e ao quadrado da velocidade da corrente lí quida. A
viscosidade do lí quido não é importante, quando ela é pequena o suficiente para fazer com que a aproximação de um escoa-
mento sem atrito seja um modelo razoável.
Problema 4.87
Dados: Modelo de escoamento de gás em um bocal de propulsão como uma fonte esf érica; V e constante.
Determine: (a) Uma expressão para o empuxo axial, T a; compare com a aproximação unidimensional, T mV e ˙ .
(b) O erro percentual para 15°.
Plote: O erro percentual em função de , para 0 22 5 , .°
Solução:
Aplique as definições: ˙ ,m VdA T u VdaaA A
∫ ∫
Use escoamento esf érico, simétrico.
A vazão mássica é
admitindo
m VdA V Rsen Rd V R V R
e e
e e e eoA
o
e e
( )
˙ ( ) cos ( cos )
[ ]
[ ]
∫ ∫ 2 2 2 12 2
-
8/18/2019 Solucion Fox Cap 4
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A aproximação unidimensional para o empuxo é, portanto,
T mV V R Te e e D ˙ ( cos )2 1
2 21 ←
O empuxo axial é dado por
T u VdA V V Rsen Rd V R sen d
T V R sen
V R sen T
a e e eo
e eo
a e e
o
e e a
cos ( ) cos∫ ∫ ∫
←
2 2
22
2 2
2 22
2 2
O erro na aproximação unidimensional é
eT T
T
T
T
V R
V R sen sen
D a
a
D
a
e e
e e
1 1
2 2
2 2 2 21
2 11
2 11
( cos ) ( cos )(1)
O erro percentual é traçado como uma função de .
Para 15°
esen
e ou e
15 2
15
2 1 15
151
0 0173 1 73 15
( cos )
, , %
°
←
Erronoempuxo1-D,
e
(%)
Metade do ângulo de descarga do bocal, (graus)
-
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-
8/18/2019 Solucion Fox Cap 4
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Da quantidade de movimento,
R u VA u VA V A
u V u
R kg
m
m
sm
N s
kg mN para a R
x
x x
1 22
1 2
3
22
2
2 22
0
1 23 504
0 01 0 242
{ } { }
← , ( ) ( , ) , ( )esquerda
Essa é a força necessária para manter a placa estacionária.
A “força” do jato sobre a placa é
K R N para ax x 0 242, ( )direita
Problema *4.91
Dados: Jato escoando para baixo, atingindo um disco horizontal, conforme mostrado.
Determine: (a) A velocidade do jato em h.(b) Uma expressão para a força necessária para manter o disco estacionário.
(c) Avalie para h 1,5 m.
Solução: Aplique as equações de Bernoulli e da quantidade de movimento. Use o VC mostrado.
Equações básicas:
( )
tan
( ) ( )
5
2
0 6 0 1
2p Vgz cons te
F Ft
w d w V dAS BVC SC
z z
∂∂
∀∫ ∫ r r
Considerações: (1) Escoamento permanente.
(2) Escoamento incompressí vel.
(3) Escoamento ao longo de uma linha de corrente.
(4) Escoamento sem atrito.
(5) Pressão atmosf érica agindo ao longo do jato.
(6) Despreze a massa de água sobre o disco, F B z 0.
(7) Escoamento uniforme em cada seção.
-
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A equação de Bernoulli torna-se
Vgh
Vg o ou V V gh V V gh V0
2 22
02
02
2 22 2 ( ) ; ←
Da equação da quantidade de movimento
R VA V A V A
V
z o o
1 22
1 2 0
{ } { }
Mas, da continuidade
˙ . , ,
, ,
, ( , ) ( , ) , ,
m V A VA Assim VA V A e
R V A V V A V gh R
Para h m
R kg
m
m
sm
m
s
m
sm
o o o o
z o o o o o
z
z
2
3
2 2 22
2 2
2
1 5
999 1 54
0 015 1 5 2 9 81 1 5
←
←
1 2 2
1 49
/
, ( )
N s
kg m
R N força Rz z
para cima
Problema *4.93
Dados: Corrente de ar na condição padrão atinge um defletor curvo. Um tubo de estagnação conectado a um manômetro de
água está instalado no plano de saí da do bocal.
Determine: (a) A velocidade do ar deixando o bocal.
(b) A componente horizontal da força exercida pelo jato sobre o defletor.
(c) Comente sobre cada uma das considerações feitas na solução do problema.
Solução: Aplique a definição de pressão de estagnação e a componente x da equação da quantidade de movimento.
Por definição,
p p Var0
21
2
Tubo deestagnação
Defletor fixo
Ar
Aberto
Água
Jato dear livre
-
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-
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Determine: (a) A pressão manométrica mí nima requerida na entrada do bocal.
(b) Magnitude e sentido da força exercida pela corrente d’água sobre a placa inclinada.
(c) Esboce um gráfico da distribuição de pressão ao longo da superf í cie da placa.
Solução: Aplique as equações da continuidade, da quantidade de movimento e de Bernoulli, usando as coordenadas e o VCmostrados.
Equações básicas:
V A V A p V
gz p V
gz
R Ft
v d v V dAy BSCVC
y
1 1 2 21 1
2
12 2
2
22 2
0 6 0 3
( ) ( )
∂∂
∀ ∫ ∫ r r
Considerações: (1) Escoamento sem atrito.
(2) Escoamento incompressí vel.
(3) Escoamento permanente.
(4) Escoamento ao longo de uma linha de corrente.
(5) Escoamento uniforme em cada seção.
Então, da equação da continuidade,
V
A
AV
WV
mm
mm
m
sm s1
2
1
2 2
12 7
51 812 2 2 99
,
,, , /
Bocal
Água
-
8/18/2019 Solucion Fox Cap 4
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Da equação de Bernoulli,
0
2
1
2999 12 2 2 99 999 9 81 0 15 68 4
1 22
12
1 2 2 1 2
1 2
2 22
2 3
1
1
p V V g z z p z z h
pkg
m
m
s
kg
m
m
sm
N s
kg mkPa manométrica p
g g
gg
( ) ( ) ;
( , ) ( , ) , , , ( )[ ]
←
Calcule V 3 na ausência da placa usando Bernoulli ( p2 p3)
V V g H
m
s
m
sm s3 2
2 22
2 22 12 2 2 9 81 4 85 15 6
12
( , ) , , , /
Da quantidade de movimento: R x 0, posto que não existe atrito na superf í cie da placa.
Considerações:(6) Despreze as massas da placa e da água sobre a placa.
(7) Pressão atmosf érica age sobre todo o volume de controle; F RS y y .
Então,
0 0
15 6 30 999 0 0155 209 209
3 3 4 4 5 5 3 3 3
3
3
R v m v m v m V Q visto que v V
R m
s
kg
m
m
s
N s
kg mN K N K
y
y y y
˙ ˙ ˙ cos , cos
, cos , ,
{ } { } { }
° ←
A pressão é máxima no ponto de estagnação e mí nima ( patm) em e. A pressão em a é maior que em b devido à curvatura dalinha de corrente.
-
8/18/2019 Solucion Fox Cap 4
44/83
Problema *4.100
Dados: Escoamento uniforme em espaço estreito entre placas paralelas, conforme mostrado. O fluido preenchendo esseespaço tem movimento horizontal apenas.
Determine: Expressão para p( x ).
Solução: Aplique a continuidade e a componente x da equação da quantidade de movimento.Equações básicas:
0 1
0
0 5 0 1
( )
( ) ( )
∂∂
∀
∂∂
∀
∫ ∫
∫ ∫
td V dA
F Ft
u d u V dA
SCVC
S BVC SC
x x
r r
r r
Considerações: (1) Escoamento permanente.(2) Escoamento incompressível.(3) Escoamento uniforme em cada seção.(4) Atrito desprezível.
(5) F B x 0.
Então,
0
0 0 0
r r
V dA V h QL
dx V dV h hdV QL
dx
V Q
h
x
Lc c pois V V x
Q
h
x
L
VC∫ { } { }( ) ;
; ( ) ; ( )
Da quantidade de movimento,
p h p dp h u V h u Q
hdx u V dV h
u V u u d V dV
x dx x dx
x dx x x
( ) ( ) { }
{ }
0
-
8/18/2019 Solucion Fox Cap 4
45/83
Da continuidade,
( )V dV h V h Q
dx
L
logo
dp h V h V dV V h Q dx
L
V h V h V hdV V Q dx
LQ dV
dx
L
2
2 2
0 ) (
Desprezando produtos de diferenciais (dVdx dx ), e com dV Q
h
dx
L
dp VdV V Q
h
dx
LV
Q
h
dx
L
V Q
h
x
L
Q
h
dx
L
dp Q
hLxdx p x
Q
hLx C
Se p p então p x Q
h
x
L p x
2
0
2 2
2
0 0
2 2
←
( )
( ) , ( )( )
p
Problema 4.107
Dados: Jato de água atingindo uma pá móvel conforme mostrado.
Determine: A força necessária para manter a velocidade da pá constante.
Solução: Aplique a equação da quantidade de movimento usando o VC móvel mostrado.
Equações básicas:
0 2 0 3
0 2 0 3
( ) ( )
( ) ( )
F Ft
u d u V dA
F Ft
v d v V dA
S B xyzVC
xyzSC
xyz
S B xyz xyz xyzSCVC
x x
y y
∂∂
∀
∂∂
∀
∫ ∫
∫ ∫
r r
r r
-
8/18/2019 Solucion Fox Cap 4
46/83
Considerações: (1) Nenhuma força resultante de pressão sobre VC; F R F RS x S yx y ,
(2) F B x 0. ; despreze F B y .
(3) Escoamento permanente relativo à pá.(4) Escoamento uniforme em cada seção.
(5) Área do jato e velocidade relativa à pá constantes.
Todas as velocidades devem ser relativas ao VC. Então,
R u V U A u V U A
u V U u V Ue
R V U A
kg
m
m
s mm m
mm
N s
kg m
R N para a R
x
x
x x
1 2
1 2
2
32
2
22
2
6 2
1
999 30 15 600 10 90 1
135
( ) ( )
( )cos
( ) (cos )
( ) (cos )
( )
{ } { }
°
← esquerda
Também,
R v V U A v V U A
v v V U sen
R V U A sen
kg
m
m
smm
m
mmsen
N s
kg mN
R N a força deve ser para R
y
y
y y
1 2
1 2
2
3
22
2
22
6 2
2
0
999 30 15 60010
90 135
135
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
{ } { }
°
← cima
Problema 4.109
Dados: Prato circular com orif í cio e jato movendo-se conforme mostrado.
Determine: A força requerida para manter o movimento do prato.
-
8/18/2019 Solucion Fox Cap 4
47/83
Solução: Aplique a continuidade e a componente x da equação da quantidade de movimento ao VC movendo-se com o pratocomo mostrado.
Equações básicas:
0 1
0
0 3 0 1
( )
( ) ( )
∂∂
∀
∂∂
∀
∫ ∫
∫ ∫
td V dA
F Ft
u d u V dA
xyzSCVC
B S xyzVC
xyzSC
x x
r r
r r
Considerações: (1) Escoamento permanente relativo ao VC.(2) Nenhuma força resultante de pressão sobre o VC.
(3) Horizontal; F B x 0.
(4) Escoamento uniforme em cada seção.(5) Nenhuma variação na velocidade do jato relativa à pá.(6) Escoamento incompressí vel.
Então,
04 4
4 40 020 0 010 2 36 10
2 2
3 4
3 42 2 2 2 2 4 2
r r
V dA V U D d
A
A D d m m
xyzSC∫
[ ]
( ) ( )
( ) ( , ) ( , ) ,
,
,
Da equação da quantidade de movimento,
R u V U D
u V U d
u V U A
u V U u V U u V U
R V U D
V U d
V U
x
x
1
2
2
2
3 3 4
1 2 3
22
22
2
4 4
40
4 4
( ) ( ) ( )
( ) cos
( ) ( ) ( )
,
{ }
°
440
41 40
999 30 10 2 36 10 1 40
167
2 2
2 2 2
3
22
2
4 22
( ) cos
( ) ( ) ( cos )
( ) , ( cos )
( )
D d
V U D d
kg
m
m
sm
N s
kg m
R N a força deve ser aplicada para a Rx x
°
°
°
← direita
{Nota: R y Mg, pois não há fluxo lí quido de quantidade de movimento na direção y.}
-
8/18/2019 Solucion Fox Cap 4
48/83
Problema 4.114
Dados: Uma série de pás atingidas por jatos contí nuos, conforme mostrado.
Determine: (a) O ângulo do bocal, .
(b) A força para manter a velocidade das pás constante.
Solução: Aplique a equação da quantidade de movimento usando o VC móvel com as pás como mostrado.Equação básica:
0 2 0 3( ) ( )
F Ft
u d u V dAS B xyzVC
xyz xyzSC
x x
∂∂
∀∫ ∫ r r
Considerações: (1) Nenhuma força resultante de pressão sobre o VC.
(2) Horizontal; F B x 0.
(3) Escoamento permanente relativo ao VC.
(4) Escoamento uniforme em cada seção.(5) Nenhuma variação na velocidade relativa sobre a pá.(6) Escoamento entra e sai tangencialmente às pás.
O ângulo do bocal pode ser obtido por trigonometria. O triângulo de velocidades para a entrada é mostrado no esquema:
Da lei de senos,
sen
V
sen
V
sen
U
sen U
Vsen sen sen
Do esquema de velocidades o
Também V
rb
rb
(
( ),
( )
, , log ,
cos
90
90 50
86 6120 30
90 90 90 30 30 30
1
11
1
1
1
)
1
°
°
° ° ° ° ° ° ←
,, ;
cos
,
cos
, / V sen V V sen m
s
senm srb
1
86 6 30
30
50 0°
°
-
8/18/2019 Solucion Fox Cap 4
49/83
Da equação da quantidade de movimento (considere a vazão total ṁ dos escoamentos através das pás)
R u m u m V sen m V sen m V m sen sen
u V sen u V sen R m V
x rb rb rb
rb rb y rb
1 2 1 2 1 2
1 1 2 2 1 2
˙ ˙ ( ˙ ) ( ˙ ) ˙ ( )
, ; ˙
( cos cos )
{ } { }
Dessa forma, como ˙ ,m Q
R V Q sen sen
m
s
kg
m
m
ssen sen
N s
kg m
R kN para a R
x rb
x x
( )
, ( )
, ( )
1 2
3
3 2
50 999 0 170 30 45
10 3
° °
← esquerda
{ Nota: A força resultante sobre o VC na direção y é R y 1,35 kN.}
Problema 4.122
Dados: Catapulta hidráulica do Problema 4.118 deslocando-se sobre trilha horizontal com resistência F kU D 2, velocidadeU , partindo do repouso em t 0.
Determine: (a) Instante de aceleração máxima.(b) Esquema da aceleração versus tempo.(c) Valor de para maximizar aceleração, por quê?(d ) Se U alcançará V em algum momento; explique.
Solução: Aplique a componente x da quantidade de movimento ao VC em aceleração.Equação básica:
0 2 0 3( ) ( )
F F a dt
u d u V dAS B rfxVC
xyz xyz xyzSCVC
x x ∀
∂∂
∀∫ ∫ ∫ r r
Considerações: (1) F F kU S D x 2, onde k 0,92 Ns2 /m2.
(2) Horizontal; F B x 0 .
(3) Despreze a massa da água sobre o defletor.(4) Escoamento uniforme no jato.
(5) Nenhuma variação na velocidade relativa sobre o defletor.
-
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Então,
kU a M u V U A u V U A sen V U A
u V U u V U sen
ou
dU
dt
A sen
MV U kU M
rfx vc
vc
vc
21 2
2
1 2
2 2
1
1
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )( ) /
{ } { }
(1)
(a) A aceleração é máxima para t 0, quando U 0. ← (b) A aceleração como função do tempo será
(c) Da Eq. 1, dU / dt é máximo quando /2 e sen 1dudt
máx.←
(d ) Da Eq. 1, dU / dt irá a zero quando U V ; isto corresponderá à velocidade terminal para o veí culo, U t . Da Eq. 1, dU / dt0 quando
ou
A sen V U kU
U
A senk
A sen
k
V V
( ( )
( )
(,
/
/
1
1
1 1
0 472
2 2
1 2
1 2
)
U será assintótico em relação a V .
Problema 4.124
Dados: Veí culo com pá defletora deslocando-se com resistência desprezí vel.
a m s cons te
rf x
2 2 / tan
A área do jato é A(t ), programada.
tendência assintótica a zero
-
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Determine: (a) Expressão para A(t ).(b) Esquematize para t 4s.
(c) Avalie para t 2s.
Solução: Aplique a quantidade de movimento segundo x ao VC com aceleração linear.
Equação básica:
0 1 0 2 0 3( ) ( ) ( )
F F a dt
u d u V dAS B rfxVC
xyzVC
xyzSC
xyzx x ∀
∂∂
∀∫ ∫ ∫ r r
Considerações: (1) Nenhuma resistência ao movimento.
(2) Movimento horizontal, logo F B x 0.
(3) Despreze massa de lí quido no VC.(4) Escoamento uniforme em cada seção.(5) Todas as velocidades medidas em relação ao VC.(6) Nenhuma variação na área da corrente ou na velocidade sobre a pá.
Então (com a arf x ),
a M u V U A u V U A V U A
u V U u V U V U
1 22
1 2
3
2
120 1
2
( ) ( ) ( )
( ) cos ( )
{ } { }
°
Como a constante, U at e
A A t a M
V at A t
Em t A A aM
V
Assim A
A at
( )( ) ( )
, ( ) .
,( )
2
3
0 0 2
3
1
1
2
0 2
02
←
Esquema:
Para t 2s,
Am
skg
m
kg m
s
m
ss
mm
mmm A
2
32 3
999
1
10 2 2
10 111 22
3
2
26
2
2
2
← ( )
-
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-
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Resolvendo para h h MC k
w
h kgm
kg
m
m
kg mm
h mm h
,( cos )
,,
, cos,
,
1
8000 1 37 10
1 00999
1
0 3
1
1 300 0179
17 9
3 3
°( )
←
Problema 4.143
Dados: Foguete trenó com massa inicial de 4000 kg, incluindo 1000 kg de combustí vel. A resistência ao movimento é dadapor kU com k 75 N/m/s.
Determine: A velocidade do trenó 10 s após a partida do repouso.
Plote: A velocidade e a aceleração do trenó como funções do tempo.
Solução: Aplique a componente x da equação da quantidade de movimento ao VC com aceleração linear mostrado.Equação básica:
0 2 0 3( ) ( )( )F F a d
tu d u V dAS B rfx
VCxyz
VCxyz xyz
SCx x
∀ ∂
∂ ∀∫ ∫ ∫
r r
Considerações: (1) pe patm (dado), logo F F S R x .
(2) F B x 0.
(3) Despreze efeitos transientes dentro do VC.
(4) Escoamento uniforme no plano de saí da.Então,
F a M u m V m F kU VR rfx e e R e˙ ˙ ,{ } { }ue
Da continuidade, M M mt 0 ˙ . Substituindo com adU
dtrfx
kU M mt dU
dtV m
dU
dt
V m kU
M mtou
dU
V m kU
dt
M mt
Integrandok
V m kUm
M mt
e
e
e
e
U t
( ˙ ) ˙
˙
˙ ˙ ˙
, ln ( ˙ ) ln ( ˙ )
0
0 0
0 0 0
1 1] ]
-
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e
V m kU
V m
kU
V m
k
m
M mt
M
k
m
mt
M
Então kU
V m
mt
Me
U V m
k
mt
M
e
e e
e
k m
e
k m
ln˙
˙ ln (
˙ ˙ ln
˙
˙ ln (
˙
,˙
(˙
˙ ˙
/ ˙
/ ˙
( )
1 1
1 1
1 1
0
0 0
0
0
←
Para t s
U m
s
kg
s
m
N s
N s
kg m
kg
ss
kg
N s
m
s
kg
kg m
N s
U m s U
10
1500 9075
1 1 90 10 1
400075
90
344
2
2
/
(1)
Problema 4.145
Dados: Motocicleta com foguete de propulsão, para saltos, acelerando-se em pista horizontal. Velocidade necessária, U j 875 km/h. Velocidade de descarga do foguete, V e 2510 m/s. Massa total, M B 375 kg (sem combustí vel).
Determine: A massa mí nima de combustí vel necessária para alcançar U j.
Solução: Aplique a componente x da equação da quantidade de movimento ao VC em aceleração mostrado.
Da continuidade,
M M mtvc 0 ˙
Equação básica:
0 1 0 2 0 3( ) ( ) ( )
F F a dt
u d u V dAS B rfxVC
xyzVC
xyzSC
xyzx x ∀
∂∂
∀∫ ∫ ∫ r r
Considerações: (1) Despreze resistências do ar e de rolamento.
(2) Movimento horizontal, logo F B x 0.
(3) Despreze efeitos transientes dentro do VC.
(4) Escoamento uniforme no plano de saí da do bocal.(5) Pe Patm.
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Então,
a M u m V m ou dU
dt
V m
M
V m
M mt
u V
rfx vc e ee
vc
e
o
e e
˙ ˙ ˙ ˙
˙{ }
Separando variáveis e integrando,
dU Vmdt
M mtou U V M mt V
M
M mt
Mas M M M e M mt por to
U
V
M M
M
M
M
M
M
e
o
j e o ot
eo
o
o B F F
j
e
B F
B
F
B
F
˙
˙ln( ˙ ) ln
˙
˙ , tan ,
ln ln ;
1 1BB
U V F
B
Uj V
F BUj V
F
F
eM
Me
Finalmente M M e
M kgkm
h
s
m
m
km
h
s
M kg M
j e e
e
F
/ /
/
;
, ( )
exp
,
1
1
375 8752510
10003600
1
38 1
←
A massa de combustí vel requerida é cerca de 10% da massa da motocicleta motociclista.
Problema 4.155
Dados: Tanque movimentado por jato ao longo de pista horizontal. Resistência desprezí vel. Aceleração a partir do repouso.Massa inicial, M 0.
Determine: (a) Aplique a continuidade e a componente x da quantidade de movimento para mostrar que
M Mo V/(V U)
(b) Expressão geral para U / V como uma função do tempo.
Solução: Aplique a continuidade e a componente x da equação da quantidade de movimento ao VC com aceleração linearmostrado.
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Equações básicas:
0
0 1 0 2 0 3
∂∂
∀
( )∀
∂∂
∀
∫ ∫
∫ ∫ ∫
td V dA
F F a dt
u d u V dA
VCxyz
SC
S B rfxVC
xyzVC
xyzSC
xyzx x
r r
r r( ) ( ) )
Considerações: (1) F S x 0.
(2) F B x 0.
(3) Despreze u dentro do VC.
(4) Escoamento uniforme no jato.
Da continuidade,
0
∂∂
{ }t
M V U A ou dM
dtV U Avc ( ) ( )
Da quantidade de movimento,
a M dU
dtM u V U A V U V U A u V U
Mas da continuidade V U A dM
dte dU d V U por to
dU
dtM
d V U
dtM V U
dM
dtou M V U cons te M V
Assim M M
rfx
o
o
( ) ( ) ( ) ;
, ( ) , ( ), tan ,
( )( ) ( ) tan
,
{ } [ ]
VV V U M /( ) ←
Substituindo na quantidade de movimento,
dU
dtM
d V U
dt
M V
V UV U Ao
( )
( )( ) 2
ou
d V U
V U
A
VMdt
o
( )
( )
3
Integrando,
d V U
V U V U V
A
VMdt
A
VMt
V
V U
oo
t
o
( )
( ) ( )
3 2 2
1
2
1 1∫ ∫
Resolvendo,
U
V VA
Mt
UV
1 1
1 2
0
1 2
←
/
-
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