Universidad Publica de El Alto

Carrera de Ingeniera Civil

La Paz - Bolivia.

Docente: Dr. Mario os Chavez Gordillo PhD.

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30 puntos

Recuperatorio del 1er Examen Miercoles 9 de Julio del 2014

C.I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Paterno . . . . . . . . . . . . . . . .Materno . . . . . . . . . . . . . . . .Nombres . . . . . . . . . . . . . . . .

(6 puntos) Ecuacion Diferencial Homogenea. Resuelva la siguiente ecuacion diferen-cial usando el cambio de variables x = z(

t2x2 1)x + 2tx3 = 0.

(6 puntos) Ecuacion Diferencial Exacta. Resuelva la siguiente ecuacion diferencial

tx cos(tx) + sen(tx) + (t2 cos(tx) + ex)x = 0

SOLUCION.-

Exacta con

M(t, x) = tx cos(tx) + sen(tx), N(t, x) = t2 cos(tx) + ex.

En efecto,M

x= 2t cos(tx) t2x sen(tx) =

N

t

La solucion general viene dada por la siguiente relacion implcita

ex + t2x sen(tx) = C, C R.

(6 puntos) Mediante un factor integrante adecuado resuelva las siguiente ecuaciondiferencial

t cos(yt

)y = y cos

(yt

) t.

SOLUCION.-

[t y cos

(yt

) ]dt+ t cos

(yt

)dy = 0

En este caso M = t y cos(yt

)y N = t cos

(yt

), entonces

M

y

N

t= cos

(yt

)+

y

tsen

(yt

) cos

(yt

) t

y

t2sen

(yt

)= 2 cos

(yt

)

Por tanto

M

y

N

t

N=

2

t=

(t)

(t)

luego

ln((t)) =

(t)

(t)dt =

2

tdt = 2 ln t = ln t2 de aqu (t) =

1

t2.

Multiplicando la ecuacion diferencial por1

t2obtenemos la ecuacion diferencial exacta

[1t

y

t2cos

(yt

) ]dt+

1

tcos

(yt

)dy = 0

Supongamos quef

t=

1

t

y

t2cos

(yt

)

f(t, y) =

(1

t

y

t2cos

(yt

))dx+ C(y) = ln(t) + sen

(yt

)+ C(y)

f

y=

1

tcos

(yt

)+ C (y) =

1

tcos

(yt

)

de aqu C (y) = 0, C(y) = C y la solucion es, por tanto,

f(t, y) = ln(t) + sen(yt

)+ C.

ln(t) + sen(yt

)= C.

(6 puntos) Resuelva la ecuacion diferencial de Ricatti

y = y2 + 4y 5

(6 puntos) Use ecuaciones diferenciales para resolver este problema. Sesupone que desde una cierta altura se deja caer un cuerpo de masa m, sobre el queactua, ademas de la fuerza de gravedad, la resistencia del aire, que es proporcional asu velocidad, calcular la velocidad de cada en funcion del tiempo.

SOLUCION.-

Por lo tantoF = F1 + F2 = mg kv(t)

Sustituyendo en la segunda ley de Newton ma = F se tiene:

mdv

dt= mg kv; v(0) = v0

Separando variables:dv

mg kv=

dt

m

integramos y se tiene:

|mg kv|1

k = Ce1

m , mg kv = Cekt

m

pero v(0) = v0, por lo tanto C = mg kv0, luego:

v(t) =mg

k(mg

k v0

)e

kt

m (1)

Podemos determinar la ecuacion del movimiento integrando en (1), pues v(t) =dx

dt

x(t) =mg

kt

m

k

(mgk

v0

)e

kt

m + C

y como hemos tomado x(0) = 0, resulta:

0 =m

k

(mgk

v0

)+ C, C =

m

k

(v0

mg

k

)

Por lo tanto la ecuacion del movimiento es:

x(t) =mg

kt

m

k

(mgk

v0

)(e

kt

m 1)

Problema Optativo (Reemplaza a cualquiera de los problemas anteriores). Decidede forma razonada si la siguiente afirmacion es verdadera o falsa: La ecuacion de Riccatiy + y + y2 + ex = 0 se transforma en una ecuacion diferencial lineal de orden dos,

z + a(x)z + b(x)z + c(x) = 0,

mediante el cambio de variable y =z

z.

SOLUCION.- Derivando el cambio de variable obtenemos

y =z

z

(z

z

)2,

luego la ecuacion resultante en la nueva funcion incognita z(x) es

z + z + exz = 0,

que es lineal de segundo orden.

Por favor, coloque el inicial del apellido paterno en el cuadro. Que tengas exito.