solucionario anaya 2008 2º bachillerato matematicas ccnn

Ecuaciones y sistemas de ecuaciones con dos incógnitas

1. ¿Podemos decir que las dos ecuaciones siguientes son dos “datos distintos”? ¿Noes cierto que la segunda dice lo mismo que la primera?

� Represéntalas gráficamente yobserva que se trata de la mismarecta.

Se trata de la misma recta.

� Pon otro sistema de dos ecuacionescon dos incógnitas en el que lasegunda ecuación sea, en esencia,igual que la primera. Interprétalográficamente.

Gráficamente son la misma recta.

x + y = 13x + 3y = 3

2x + y = 54x + 2y = 10

Unidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss 1

x + y = 1

3x + 3y = 3

1

1

4x + 2y = 10

2x + y = 5

1

1

SISTEMASDE ECUACIONES.MÉTODO DE GAUSS

1

2. Observa las ecuaciones siguientes:

� Represéntalas y observa que las dosprimeras rectas determinan un pun-to (con esos dos datos se responde alas dos preguntas: x = 2, y = 1) y quela tercera recta también pasa por esepunto.

� Da otra ecuación que también sea“consecuencia” de las dos primeras(por ejemplo: 2 · 1-ª + 3 · 2-ª),represéntala y observa que tambiénpasa por x = 2, y = 1.

2 · 1-ª + 3 · 2-ª → 7x – y = 13

3. Observa que lo que dice la segunda ecuación es contradictorio con lo que dicela primera:

� Represéntalas y observa que se tratade dos rectas paralelas, es decir, notienen solución común, pues lasrectas no se cortan en ningúnpunto.

2x + y = 52x + y = 7

2x + y = 5x – y = 1x + 2y = 4


x + 2y = 4x – y = 1

2x + y = 5

1 2

(2, 1)1

7x – y = 13

x + 2y = 4x – y = 1

2x + y = 5

1 2

(2, 1)1

2x + y = 7

2x + y = 5

1 2

1

� Modifica el término independiente de la segunda ecuación del sistema queinventaste en el ejercicio 1 y representa de nuevo las dos rectas.

Observa que lo que dicen ambasecuaciones es ahora contradictorio yque se representan mediante rectasparalelas.

Rectas paralelas:

Página 31

1. Sin resolverlos, ¿son equivalentes estos sistemas?

a) b) c) d)

a) Hemos sustituido la segunda ecuación por el resultado de sumar las dos que tenía-mos.

b) Hemos sustituido la primera ecuación por el resultado de restarle a la segundaecuación la primera.

c) En el primer sistema, la tercera ecuación se obtiene sumando las dos primeras. Elresto es igual que en b).

d) Hemos sustituido la segunda ecuación por el resultado de restarle a la segundaecuación la primera.

Página 33

1. Resuelve e interpreta geométricamente los siguientes sistemas:

a) b) c) d) x + y + z = 6

y – z = 1z = 1

x + y + z = 6x + y + z = 0x – z = 0

x + y + z = 6y – z = 1

x + 2y = 7

2x + y = 13x + 2y = 4x + y = 3

x + y – z = 11y = –4

z = 2x + y = 7

z = 2x + y = 7

x + y = 53x = 12

x + y – z = 11x + 2y – z = 7

x + y – z = 5x + y = 7

2x + 2y – z = 12

x + y – z = 5x + y = 7

x + y = 52x – y = 7

x + y = 13x + 3y = 0


x + y = 1

3x + 3y = 0

1

1

a)1 – 2x = 3 – x → x = –2, y = 3 – (–2) = 5

Veamos si cumple la 2-ª ecuación: 3 · (–2) + 2 · 5 = –6 + 10 = 4

Solución: x = –2, y = 5. Son tres rectas que se cortan en el punto (–2, 5).

b)

Solución: x = 5 – 2λ, y = 1 + λ, z = λ. Son tres planos que se cortan en una recta.

c)

d)

Solución: x = 3, y = 2, z = 1. Son tres planos que se cortan en el punto (3, 2, 1).

2. a) Resuelve el sistema:

b) Añade una tercera ecuación de modo que siga siendo compatible.

c) Añade una tercera ecuación de modo que sea incompatible.

d) Interpreta geométricamente lo que has hecho en cada caso.

a)

Solución: x = , y =

b) Por ejemplo: 2x + y = 7 (suma de las dos anteriores).

c) Por ejemplo: 2x + y = 9

d) En a) → Son dos rectas que se cortan en ( , ).

En b) → La nueva recta también pasa por ( , ).En c) → La nueva recta no pasa por ( , ). No existe ningún punto común a

las tres rectas. Se cortan dos a dos.

–13

113

–13

113

–13

113

–13

113

–13 – 2y = 4 + y → –1 = 3y → y = —

31 11

x = 4 + y = 4 – — = —3 3

x = 3 – 2yx = 4 + y

x + 2y = 3x – y = 4

x + 2y = 3x – y = 4

z = 1y = 1 + z = 2x = 6 – y – z = 6 – 2 – 1 = 3

x + y + z = 6y – z = 1

z = 1

Las dos primeras ecuaciones son contradictorias.El sistema es incompatible.Los dos primeros planos son paralelos y el tercero los corta.

x + y + z = 6x + y + z = 0x – z = 0

x = 6 – z – y = 6 – z – 1 – z = 5 – 2zy = 1 + z

x + y = 6 – zy = 1 + z

La 3-ª ecuación se obtiene sumando las dos primeras;podemos prescindir de ella.

x + y + z = 6y – z = 1

x + 2y = 7

→ y = 1 – 2x

→ y = 3 – x

2x + y = 13x + 2y = 4x + y = 3


1. Reconoce como escalonados los siguientes sistemas y resuélvelos:

a) b)

c) d)

a) Solución: x = , y =

b)

Solución: x = 3, y = –29, z = 11

c)

Soluciones: x = 3 + λ, y = –29 – 19λ, z = 11 + 6λ, t = λ

d)

Solución: x = 1, y = , z =

2. ¿Son escalonados estos sistemas? Resuélvelos:

a) b)

c) d) 2y + z = 12y = 1

x + 2y + 2z = 1

x + y + z + t = 3x – y = 2

x + y + z = 72x – z = 4

z + t = 3y + 3z – 2t = 4

2z = 2x – z + 2t = 5

–23

169

x = 1–2x –2

z = —— = —3 3

7 – x + z 16y = ———— = —

3 9

4x = 42x + 3z = 0

x + 3y – z = 7

2x + 3z = 0x +3y – z = 7

4x = 4

x = 3 + tz = 5x – 4 + t = 11 + 6ty = 7 – x – 3z = –29 – 19t

2x = 6 + 2t5x – z = 4 – tx + y + 3z = 7

2x – 2t = 6x + y + 3z = 7

5x – z + t = 4

x = 3z = 5x – 4 = 11y = 7 – x – 3z = 7 – 3 – 33 = –29

2x = 65x – z = 4x + y + 3z = 7

2x = 6x + y + 3z = 7

5x – z = 4

–43

73

7x = —

3x – 5 –4

y = ——— = —2 3

3x = 7x – 2y = 5

2x + 3z = 0x + 3y – z = 7

4x = 4

2x – 2t = 6x + y + 3z = 7

5x – z + t = 4

2x = 6x + y + 3z = 7

5x – z = 4

3x = 7x – 2y = 5


a)

Solución: x = 2, y = 5, z = 1, t = 2

b)

Soluciones: x = 2 + λ, y = 5 – 3λ, z = 2λ

c)

Soluciones: x = 2 + λ, y = λ, z = 1 – 2λ – µ, t = µ

d)

Solución: x = 0, y = , z = 0

Página 35

3. Transforma en escalonados y resuelve:

a) b)

a)

Solución: x = 1, y = 2, z = –1

b)

(Podemos prescindir de la 3-ª, pues es igual que la 2-ª).

x + y + z = 6y + z = 5

1-ª

2-ª : (–2)

x + y + z = 6–2y – 2z = –10–2y – 2z = –10

1-ª

2-ª – 1-ª

3-ª – 3 · 1--ª

x + y + z = 6x – y – z = –4

3x + y + z = 8

z = –1y = 3 + z = 2x = –4 + y – 3z = 1

x – y + 3z = –4y – z = 3

–z = 1

1-ª

2-ª

3-ª – 3 · 2--ª

x – y + 3z = –4y – z = 3

3y – 4z = 10

1-ª

2-ª : 2

3-ª

x – y + 3z = –42y – 2z = 63y – 4z = 10

1-ª

2-ª – 1-ª

3-ª – 1--ª

x – y + 3z = –4x + y + z = 2x + 2y – z = 6

x + y + z = 6x – y – z = –4

3x + y + z = 8

x – y + 3z = –4x + y + z = 2x + 2y – z = 6

12

1y = —

2

z = 1 – 2y = 0

x = 1 – 2y – z = 0

2y = 12y + z = 1

x + 2y + z = 1

2y + z = 12y = 1

x + 2y + 2z = 1

x = 2 + yz = 3 – y – t – 2 – y = 1 – 2y – t

x = 2 + yx + z = 3 – y – t

x + y + z + t = 3x – y = 2

zx = 2 + —

23z

y = 7 – z – x = 5 – —2

2x = 4 + zx + y = 7 – z

x + y + z = 72x – z = 4

z = 1t = 3 – z = 2y = 4 – 3z + 2t = 5x = 5 + z – 2t = 2

2z = 2z + t = 3

y + 3z – 2t = 4x – z + 2t = 5

z + t = 3y + 3z – 2t = 4

2z = 2x – z + 2t = 5


Soluciones: x = 1, y = 5 – λ, z = λ

4. Transforma en escalonado y resuelve:

Solución: x = 1, y = 10, z = 3, w = 0

Página 38

1. Resuelve estos sistemas de ecuaciones mediante el método de Gauss:

a) b) c)

a) ( ) → ( ) →

→ ( ) →

Solución: x = 1, y = –2, z = 3

z = 32 – 4z

y = ——— = –25

x = 2 – y – z = 1

x + y + z = 25y + 4z = 2

2z = 24

1 1 1 20 5 4 20 0 8 24

1-ª

2-ª · (–1)

3-ª · 5 + 2-ª · 3

1 1 1 20 –5 –4 –20 3 4 6

1-ª

2-ª – 3 · 1-ª

3-ª + 2 · 1--ª

1 1 1 23 –2 –1 4–2 1 2 2

x + y + z = 23x – 2y – z = 4

–2x + y + 2z = 2

x – 2y = –3–2x + 3y + z = 42x + y – 5z = 4

3x – 4y + 2z = 1–2x – 3y + z = 25x – y + z = 5

x + y + z = 23x – 2y – z = 4

–2x + y + 2z = 2

w = 057 + 9w

z = ———— = 319

y = –32 + 14z – 7w = 10x = y – 3z = 1

x – y + 3z = 0y – 14z + 7w = –32

19z – 9w = 5734w = 0

1-ª

2-ª

3-ª : 2

15 · 3-ª + 19 · 4-ª

x – y + 3z = 0y – 14z + 7w = –32

38z – 18w = 114–30z + 16w = –90

1-ª

2-ª

3-ª – 3 · 2-ª

4-ª + 2 · 2-ª

x – y + 3z = 0y – 14z + 7w = –32

3y – 4z + 3w = 18–2y – 2z + 2w = –26

1-ª

2-ª – 3 · 1-ª

3-ª – 1-ª

4-ª – 1-ª

x – y + 3z = 03x – 2y – 5z + 7w = –32x + 2y – z + 3w = 18x – 3y + z + 2w = –26

x – y + 3z = 03x – 2y – 5z + 7w = –32x + 2y – z + 3w = 18x – 3y + z + 2w = –26

x = 6 – z – y = 6 – z – 5 + z = 1y = 5 – z

x + y = 6 – zy = 5 – z


b) ( ) → ( )Las dos primeras ecuaciones son contradictorias. El sistema es incompatible.

c) ( ) → ( ) →

→ ( ) →

Soluciones: x = –3 + 2λ, y = λ, z = –2 + λ

2. Resuelve mediante el método de Gauss:

a) b) c)

a) ( ) → ( ) →

→

x = 2 – 2z + – = –

Soluciones: x = –7λ, y = – 3λ, z = 2λ

b) ( ) →

( ) → ( ) →

2 –1 0 1 01 –2 1 0 04 0 0 0 01 0 –1 0 0

1-ª

2-ª

3-ª + 4ª

4-ª

2 –1 0 1 01 –2 1 0 03 0 1 0 01 0 –1 0 0

1-ª

2-ª

3-ª – 1-ª

4-ª – 2 · 1-ª

2 –1 0 1 01 –2 1 0 05 –1 1 1 05 –2 –1 2 0

2x – y + w = 0x – 2y + z = 0

5x – y + z + w = 05x – 2y – z + 2w = 0

52

92

7z2

92

3z2

52

x = 2 – 2z + y5 – 3z 5 3z

y = ——— = — – 1 = —2 2 2

x – y = 2 – 2z2y = 5 – 3z

x – y + 2z = 22y + 3z = 5

1 –1 2 20 2 3 50 2 3 5

1-ª

2-ª + 1-ª

3-ª – 1--ª

1 –1 2 2–1 3 1 31 1 5 7

x – y + 2z = 2–x + 3y + z = 3x + y + 5z = 7

2x – y + w = 9x – 2y + z = 11

5x – y + z + w = 245x – 2y – z + 2w = 0

2x – y + w = 0x – 2y + z = 0

5x – y + z + w = 05x – 2y – z + 2w = 0

x – y + 2z = 2–x + 3y + z = 3x + y + 5z = 7

x = –3 + 2yz = –2 + y

x – 2y = –3–y + z = –2

1 –2 0 –30 –1 1 –20 0 0 0

1-ª

2-ª

3-ª + 5 · 2-ª

1 –2 0 –30 –1 1 –20 5 –5 10

1-ª

2-ª + 2 · 1-ª

3-ª – 2 · 1--ª

1 –2 0 –3–2 3 1 42 1 –5 4

x – 2y = –3–2x + 3y + z = 42x + y – 5z = 4

–7 –2 0 –9–7 –2 0 –35 –1 1 5

1-ª – 2 · 3-ª

2-ª – 3-ª

3-ª

3 –4 2 1–2 –3 1 25 –1 1 5

3x – 4y + 2z = 1–2x – 3y + z = 25x – y + z = 5


→

Solución: x = 0, y = 0, z = 0, w = 0

c) ( ) →

( ) → ( ) →

→

x = z = x + 18 = y = = w = 9 – 2x + y =

Solución: x = , y = , z = , w =

Página 39

1. Discute, en función del parámetro k, estos sistemas de ecuaciones:

a) b)

a) ( ) → ( ) →

→ ( )4 2 0 k1 1 –1 2

k – 3 0 0 3 – k

1-ª

2-ª

3-ª – 1-ª

4 2 0 k1 1 –1 2

k + 1 2 0 3

1-ª

2-ª

3-ª + 2--ª

4 2 0 k1 1 –1 2k 1 1 1

4x + 2y = kx + y – z = 2

kx + y + z = 1

4x + 2y = kx + y – z = 2

kx + y + z = 0

4x + 2y = kx + y – z = 2

kx + y + z = 1

534

694

114

–34

534

114

x + z – 112

694

–34

2x – y + w = 9x – 2y + z = 11

4x = –3x – z = –18

2 –1 0 1 91 –2 1 0 114 0 0 0 –31 0 –1 0 –18

1-ª

2-ª

3-ª + 4ª

4-ª

2 –1 0 1 91 –2 1 0 113 0 1 0 151 0 –1 0 –18

1-ª

2-ª

3-ª – 1-ª

4-ª – 2 · 1-ª

2 –1 0 1 91 –2 1 0 115 –1 1 1 245 –2 –1 2 0

2x – y + w = 9x – 2y + z = 11

5x – y + z + w = 245x – 2y – z + 2w = 0

x = 0z = 0y = 0w = 0

2x – y + w = 0x – 2y + z = 0

4x = 0x – z = 0


• Si k = 3, queda:

( ) → →

→ x = = –

z = x – 2 + y = – 2 + y = = +

Sistema compatible indeterminado.

Soluciones: x = – λ, y = 2λ, z = + λ

• Si k ≠ 3, es compatible determinado. Lo resolvemos:

x = = –1

y = = = 2 +

z = x + y – 2 = –1 + 2 + – 2 = –1 +

Solución: x = –1, y = 2 + , z = –1 +

b) ( ) → ( ) →

→ ( )• Si k = 3, queda:

( ) El sistema es incompatible.

• Si k ≠ 3, es compatible determinado. Lo resolvemos:

x + y – z = 24x + 2y = k

(k – 3)x = (2 – k)

4 2 0 31 1 –1 20 0 0 –1

4 2 0 k1 1 –1 2

k – 3 0 0 2 – k

1-ª

2-ª

3-ª – 1-ª

4 2 0 k1 1 –1 2

k + 1 2 0 2

1-ª

2-ª

3-ª + 2--ª

4 2 0 k1 1 –1 2k 1 1 0

4x + 2y = kx + y – z = 2

kx + y + z = 0

k2

k2

k2

k2

k2

k + 42

k – 4x2

3 – kk – 3

x + y – z = 24x + 2y = k

(k – 3)x = (3 – k)

–54

34

y

2–54

–5 + 2y4

3 – 2y4

y2

34

3 – 2y4

x – z = 2 – y4x = 3 – 2y

x + y – z = 24x + 2y = 3

4 2 0 k1 1 –1 20 0 0 0


x =

y = =

z = x + y – 2 = + – 2 =

Solución: x = , y = , z =

2. Discute estos sistemas de ecuaciones en función del parámetro k:

a) b)

a) ( ) → ( ) →

→ ( )• Si k = –3, queda:

( ) Sistema incompatible.

• Si k ≠ –3, es compatible determinado. Lo resolvemos:

x =

z = k – 2x =

y = –x – z =

Solución: x = , y = , z = k2 – k – 16k + 3

–k2 – k + 8(k + 3)

8 + 2kk + 3

–k2 – k + 8(k + 3)

k2 – k – 16k + 3

8 + 2kk + 3

(k + 3)x = 8 + 2kx + y + z = 0

2x + z = k

0 0 0 21 1 1 02 0 1 –3

k + 3 0 0 8 + 2k1 1 1 02 0 1 k

1-ª + 2 · 3-ª

2-ª

3-ª

k – 1 0 –2 81 1 1 02 0 1 k

1-ª – 2--ª

2-ª

3-ª

k 1 –1 81 1 1 02 0 1 k

kx + y – z = 8x + y + z = 0

2x + z = k

x + y + z = 1y + kz = 1

x + 2y = k

kx + y – z = 8x + y + z = 0

2x + z = k

k2 – 5k + 82k – 6

k2 + k – 82k – 6

2 – kk – 3

k2 – 5k + 82k – 6

k2 + k – 82(k – 3)

2 – kk – 3

k2 + k – 82k – 6

k – 4x2

2 – kk – 3


b) ( ) → ( ) →

→ ( )• Si k = –1, queda:

( ) Sistema incompatible.

• Si k ≠ –1, es compatible determinado. Lo resolvemos:

z = =

y + k ( ) = 1 → y = 1 – = =

x = 1 – y – z = 1 – – = =

=


Página 44

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS

PARA PRACTICAR

1 Halla, si existe, la solución de los siguientes sistemas e interprétalos gráfica-mente:

a) b) x + 2y = 1

2x – y = 35x + y = 8

3x + y = 2x – y = 1

5x – y = 42x + 2y = 1

2 – k1 + k

1 – k + k2

1 + k–2 + 3k – k2

1 + k

–2 + 3k – k2

1 + k

1 + k – 1 + k – k2 – 2 + k1 + k

2 – k1 + k

1 – k + k2

1 + k

1 – k + k2

1 + k1 + k – 2k + k2

1 + k2k – k2

1 + k2 – k1 + k

2 – k1 + k

k – 2–1 – k

x + y + z = 1y + kz = 1

(–1 – k)z = k – 2

1 1 1 10 1 –1 10 0 0 –3

1 1 1 10 1 k 10 0 –1 – k k – 2

1-ª

2-ª

3-ª – 2-ª

1 1 1 10 1 k 10 1 –1 k – 1

1-ª

2-ª

3-ª – 1--ª

1 1 1 10 1 k 11 2 0 k

x + y + z = 1y + kz = 1

x + 2y = k


Los resolvemos por el método de Gauss:

a) ( ) → ( )Podemos prescindir de las dos últimas filas, pues coinciden con la primera. Que-daría:

4y = –1 → y =

x – y = 1 → x = 1 + y = 1 – =

Solución: ( , )El sistema representa cuatro rectas que se cortan en el punto ( , ).

b) ( ) → ( )De la 2-ª ecuación, obtenemos y = ; de la 3-ª ecuación, obtenemos y = .

Luego, el sistema es incompatible.

El sistema representa tres rectas que se cortan dos a dos, pero no hay ningúnpunto común a las tres.

2 Comprueba que este sistema es incompatible y razona cuál es la posición re-lativa de las tres rectas que representa:

Si dividimos la 3-ª ecuación entre 2, obtenemos: x + 2y = 0. La 1-ª ecuación esx + 2y = 5. Son contradictorias, luego el sistema es incompatible.

La 1-ª y la 3-ª ecuación representan dos rectas paralelas; la 2-ª las corta.

3 Resuelve e interpreta geométricamente el sistema:

( ) → ( ) → ( )–1 2 00 5 –10 0 0

1-ª

2-ª

3-ª + 1-ª

–1 2 00 5 –11 –2 0

1-ª

2-ª + 2 · 1-ª

(2/3) · 3-ª

–1 2 02 1 –1

3/2 –3 0

–x + 2y = 02x + y = –1

(3/2)x – 3y = 0

x + 2y = 53x – y = 12x + 4y = 0

–13

–15

1 2 10 –5 10 –9 3

1-ª

2-ª – 2 · 1-ª

3-ª – 5 · 1--ª

1 2 12 –1 35 1 8

–14

34

–14

34

34

14

–14

0 4 –11 –1 10 4 –10 4 –1

1-ª – 3 · 2-ª

2-ª

3-ª – 5 · 2-ª

4-ª – 2 · 2-ª

3 1 21 –1 15 –1 42 2 1


Solución: ( , )Geométricamente, son tres rectas que se cortan en el punto ( , ).

4 Resuelve los siguientes sistemas reconociendo previamente que son escalo-nados:

a) b)

c) d)

a)

Solución: ( , )b)

z = y = z – 1 = x = =

Solución: ( , , )c)

Soluciones: (–5 + 3λ, 4 – λ, λ, –3 + 2λ)

d)y = x = = z = –2x + 3y =

Solución: ( , , )76

12

16

76

16

y

312

2x – 3y + z = 03x – y = 0

2y = 1

z = λy = 4 – zt = 1 – y + z = 1 – (4 – z) + z = –3 + 2z

x = 2 – y + t = 2 – (4 – z) – 3 + 2z = –5 + 3z

x + y – t = 2y + z = 4y + t – z = 1

29

–79

23

23

3 + y – z3

–79

29

– y + z = 19z = 2

3x – y + z = 3

–6911

411

–69y = —

117 + y 4

x = — = —2 11

2x – y = 711y = –69

2x – 3y + z = 03x – y = 0

2y = 1

x + y – t = 2y + z = 4y + t – z = 1

– y + z = 19z = 2

3x – y + z = 3

2x – y = 711y = –69

–15

–25

–15

–25

–2x = 2y = —

5–1

y = —5

–x + 2y = 05y = –1


5 Resuelve estos sistemas de ecuaciones lineales:

a) b)

a) ( ) → ( ) →→ ( ) → ( ) →

→

Solución: (–2, 4, 6)

b) ( ) → ( ) →

→ ( ) → ( ) →

→ z = y = = –2 x = –y – z =

Solución: ( , –2, )6 Transforma en escalonados y resuelve los siguientes sistemas:

a) b)

a) ( ) → ( ) →

x = y = 2x – 7 =

Solución: ( , )–6911

411

–6911

411

2x – y = 711x = 4

2 –1 711 0 4

1-ª

2-ª + 3 · 1-ª

2 –1 75 3 –17

2x – y = 75x + 3y = –17

– y + z = 1x – 2y – z = 2

3x – y + z = 3

2x – y = 75x + 3y = –17

12

32

32

3 + 2z–2

12

x + y + z = 0–2y – 2z = 3

2z = 1

1 1 1 00 –2 –2 30 0 2 1

1-ª

2-ª

–2 · 3-ª + 2-ª

1 1 1 00 –2 –2 30 –1 –2 1

1-ª

2-ª – 5 · 1-ª

3-ª – 3 · 1-ª

1 1 1 05 3 3 33 2 1 1

3-ª

2-ª

1-ª

3 2 1 15 3 3 31 1 1 0

3x + 2y + z = 15x + 3y + 3z = 3x + y + z = 0

x = –2y = 2 – x = 4z = 4 – x = 6

–3x = 6x + y = 2x + z = 4

–3 0 0 61 1 0 21 0 1 4

1-ª – 5 · 2-ª

2-ª

3-ª

2 5 0 161 1 0 21 0 1 4

1-ª

2-ª : 3

3-ª

2 5 0 163 3 0 61 0 1 4

1-ª

2-ª + 2 · 3-ª

3-ª

2 5 0 161 3 –2 –21 0 1 4

2x + 5y = 16x + 3y – 2z = –2x + z = 4

3x + 2y + z = 15x + 3y + 3z = 3x + y + z = 0

2x + 5y = 16x + 3y – 2z = –2x + z = 4


S

S

b) ( ) → ( ) →→ ( ) → ( ) →

→ z = y = z – 1 = x = 2 + 2y + z =

Solución: ( , , )

7 Resuelve:

a) b)

a) ( ) → ( ) →→ ( ) →

Soluciones: (–1 – 3λ, 2 + 4λ, λ)

b) ( ) → ( ) →

→ ( ) → ( ) →1 –1 2 –60 0 1 –20 1 –1 3

1-ª

2-ª : (–5)

3-ª : 7

1 –1 2 –60 0 –5 100 7 –7 21

1-ª

2-ª – 3 · 1-ª

3-ª – 3 · 1-ª

1 –1 2 –63 –3 1 –83 4 –1 3

3-ª

2-ª : 2

1-ª

3 4 –1 36 –6 2 –161 –1 2 –6

3x + 4y – z = 36x – 6y + 2z = –16x – y + 2z = –6

y = 4z + 2x = 1 – y + z = 1 – (4z + 2) + z = –1 – 3zz = λ

x + y – z = 1–y + 4z = –2

1 1 –1 10 –1 4 –20 0 0 0

1-ª

2-ª

3-ª – 2 · 2-ª

1 1 –1 10 –1 4 –20 –2 8 –4

1-ª

2-ª – 3 · 1-ª

3-ª – 5 · 1-ª

1 1 –1 13 2 1 15 3 3 1

x + y – z = 13x + 2y + z = 15x + 3y + 3z = 1

3x + 4y – z = 36x – 6y + 2z = –16x – y + 2z = –6

x + y – z = 13x + 2y + z = 15x + 3y + 3z = 1

29

–79

23

23

–79

29

x – 2y – z = 2–y + z = 1

9z = 2

1 –2 –1 20 –1 1 10 0 9 2

1-ª

2-ª

3-ª + 5 · 2-ª

1 –2 –1 20 –1 1 10 5 4 –3

1-ª

2-ª

3-ª – 3 · 1-ª

1 –2 –1 20 –1 1 13 –1 1 3

2-ª

1-ª

3-ª

0 –1 1 11 –2 –1 23 –1 1 3

–y + z = 1x – 2y – z = 2

3x – y + z = 3


S

→

Solución: (–1, 1, –2)

8 Razona si estos sistemas tienen solución e interprétalos geométricamente:

a) b)

a) Si dividimos la 2-ª ecuación entre 2, obtenemos :

x + 2y – z = , que contradice la 1-ª.

El sistema es incompatible. Son dos planos paralelos.

b) Si multiplicamos por – la 1-ª ecuación, obtenemos:

x – 2y – 4z = –2, que contradice la 2-ª ecuación.

El sistema es incompatible. Son dos planos paralelos.

9 Resuelve, si es posible, los siguientes sistemas:

a) b)

c) d)

a) ( ) → ( ) →

→ ( ) →

y = 1 z = = 8 x = 9 – 2y – z = –1


19 – 3y2

x + 2y + z = 93y + 2z = 19

–7y = –7

1 2 1 90 3 2 190 –7 0 –7

1-ª

2-ª

2-ª + 2 · 3-ª

1 2 1 90 3 2 190 –5 –1 –13

1-ª

–2-ª + 1-ª

3-ª – 2 · 1-ª

1 2 1 91 –1 –1 –102 –1 1 5

x + 2y + z = 9x – y – z = –10

2x – y + z = 5

2x – 3y + z = 03x – y = 04x + y – z = 0

–x + 2y – z = 12x – 4y + 2z = 3x + y + z = 2

x + 2y + z = 32x – y + z = –1

x+ 2y + z = 9x – y – z = –10

2x – y + z = 5

23

23

–x + 3y + 6z = 3(2/3)x – 2y – 4z = 2

12

x + 2y – z = 32x + 4y – 2z = 1

–x+ 3y + 6z = 3(2/3)x – 2y – 4z = 2

x + 2y – z = 32x + 4y – 2z = 1

y = 3 + z = 3 – 2 = 1x = –6 + y – 2z = –6 + 1 + 4 = –1

x – y + 2z = –6z = –2

y – z = 3


S

b) ( ) → ( ) →

→

Si hacemos z = 5λ, las soluciones son: ( – 3λ, – λ, 5λ)c) ( ) → ( ) →

→ ( ) → ( )La segunda ecuación es imposible: 0x + 0y + 0z = 5

El sistema es incompatible.

d) ( ) → ( ) →

→ ( ) →

Soluciones: (λ, 3λ, 7λ)

10 Resuelve por el método de Gauss:

a) b)

x + y + z + t = 1x – y + z – t = 0x + y – z – t = –1x + y + z – t = 2

x + 2z = 11x + y = 3

y + z = 13x + y + z = 10

y = 3xz = –2x + 3y = –2x + 9x = 7xx = λ

2x – 3y + z = 03x – y = 0

2 –3 1 03 –1 0 00 0 0 0

1-ª

2-ª

3-ª – 2 · 2-ª

2 –3 1 03 –1 0 06 –2 0 0

1-ª

2-ª

3-ª + 1-ª

2 –3 1 03 –1 0 04 1 –1 0

2x – 3y + z = 03x – y = 04x + y – z = 0

1 1 1 20 0 0 50 3 0 3

1-ª

2-ª + 2 · 3-ª

3-ª

1 1 1 20 –6 0 –10 3 0 3

1-ª

2-ª – 2 · 1-ª

3-ª + 1-ª

1 1 1 22 –4 2 3–1 2 –1 1

3-ª

2-ª

1-ª

–1 2 –1 12 –4 2 31 1 1 2

–x + 2y – z = 12x – 4y + 2z = 3x + y + z = 2

75

15

7 zy = — – —

5 514 2z 1 3z

x = 3 – z – 2y = 3 – z – — + — = — – —5 5 5 5

x + 2y = 3 – z5y = 7 – z

1 2 1 30 5 1 7

1-ª

–2-ª + 2 · 1-ª

1 2 1 32 –1 1 –1

x + 2y + z = 32x – y + z = –1


c) d)

a) ( ) → ( ) →

→ ( ) → ( ) →

→


b) ( ) → ( ) →

t = – z = 1 – t = 1 + = y = = 1 x = 1 – y – z – t = –1

Solución: (–1, 1, , – )

c) ( ) → ( ) →

→ Soluciones: (λ, –2λ, 0)

z = 0y = –2xx = λ

2x + y + 3z = 0–7z = 0

2 1 3 00 0 –7 00 0 –7 0

1-ª

2-ª – 2 · 1-ª

3-ª – 3 · 1-ª

2 1 3 04 2 –1 06 3 2 0

2x + y + 3z = 04x + 2y – z = 06x + 3y + 2z = 0

12

32

2t – 1–2

32

12

12

x + y + z + t = 1–2y – 2t = –1

z + t = 1–2t = 1

1 1 1 1 10 –2 0 –2 –10 0 –2 –2 –20 0 0 –2 1

1-ª

2-ª – 1-ª

3-ª – 1-ª

4-ª – 1ª

1 1 1 1 11 –1 1 –1 01 1 –1 –1 –11 1 1 –1 2

x + y + z + t = 1x – y + z – t = 0x + y – z – t = –1x + y + z – t = 2

y = –8 + 2z = –8 + 14 = 6x = 11 – 2z = 11 – 14 = –3

x + 2z = 11y – 2z = –8

z = 7

1 0 2 110 1 –2 –80 0 0 00 0 1 7

1-ª

2-ª

3-ª – 3 · 4ª

4-ª

1 0 2 110 1 –2 –80 0 3 210 0 1 7

1-ª

2-ª

3-ª – 2ª

4-ª – 2ª

1 0 2 110 1 –2 –80 1 1 130 1 –1 –1

1-ª

2-ª – 1-ª

3-ª

4-ª – 1ª

1 0 2 111 1 0 30 1 1 131 1 1 10

x + 2z = 11x + y = 3

y + z = 13x + y + z = 10

x – 3y – z = –1x + 5y + 3z = 3x + y + z = 1

3x + 7y + 5z = 5

2x + y + 3z = 04x + 2y – z = 06x + 3y + 2z = 0


S

d) ( ) → ( ) →

→ ( ) → ( ) →

→

Soluciones: (λ, λ, 1 – 2 λ)

11 Clasifica los siguientes sistemas en compatibles o incompatibles:

a) b)

a)Compatible indeterminado.

b) ( ) → ( ) →

→ Compatible determinado.

PARA RESOLVER

12 Estudia los siguientes sistemas y resuélvelos por el método de Gauss:

a) b)

a) ( ) → ( ) →1 1 1 20 1 3 70 –6 5 27

1-ª

2-ª – 2 · 1-ª

3-ª – 1-ª

1 1 1 22 3 5 111 –5 6 29

x + y + z = 22x + 3y + 5z = 11x – 5y + 6z = 29

2x – 3y + z = 0x + 2y – z = 0

4x + y – z = 0

x + y + z = 22x + 3y + 5z = 11x – 5y + 6z = 29

1 1 1 30 –3 –1 –40 –2 0 –2

1-ª

2-ª – 2 · 1-ª

3-ª – 1-ª

1 1 1 32 –1 1 21 –1 1 1

x + y + z = 32x – y + z = 2x – y + z = 1

x + y = 3x + y = 3

z = 0

x + y + z = 3x + y – z = 3

z = 0

x + y + z = 32x – y + z = 2x – y + z = 1

x + y + z = 3x + y – z = 3

z = 0

z = 1 – 2yx = 1 – y – z = 1 – y – 1 + 2y = yy = λ

x + y + z = 12y + z = 1

1 1 1 10 2 1 10 0 0 00 0 0 0

1-ª

2-ª : 2

3-ª + 2ª

4-ª – 2ª

1 1 1 10 4 2 20 –4 –2 –20 4 2 2

1-ª

2-ª – 1ª

3-ª – 1ª

4-ª – 3 · 1ª

1 1 1 11 5 3 31 –3 –1 –13 7 5 5

3-ª

2-ª

1-ª

4-ª

1 –3 –1 –11 5 3 31 1 1 13 7 5 5

x – 3y – z = –1x + 5y + 3z = 3x + y + z = 1

3x + 7y + 5z = 5


S

→ ( ) →

El sistema es compatible determinado, con solución (1, –2, 3).

b) ( ) → ( ) →

→ ( ) → Sistema compatible indeterminado.

Lo resolvemos:

Soluciones: (λ, 3λ, 7λ)

Página 45

13 Estudia y resuelve estos sistemas por el método de Gauss:

a) b)

c) d)

a) ( ) → ( ) →

→ ( ) → Sistema compatible determinado.

Lo resolvemos: y = – x = y + 3z + 2 =

Solución: ( , – , 0)12

32

32

12

–x + y + 3z = –26y + 11z = –3

z = 0

–1 1 3 –20 6 11 –30 0 –12 0

1-ª

2-ª

3-ª – 2-ª

–1 1 3 –20 6 11 –30 6 –1 –3

1-ª

2-ª + 4 · 1-ª

3-ª + 2 · 1-ª

–1 1 3 –24 2 –1 52 4 –7 1

–x + y + 3z = –24x + 2y – z = 52x + 4y – 7z = 1

x – y + 3z– 14t= 02x– 2y+ 3z+ t= 03x– 3y + 5z+ 6t= 0

5x + 2y + 3z = 42x + 2y + z = 3x – 2y + 2z = –3

y + z = –1x – y = 1x + 2y + 3z = –2

–x + y + 3z = –24x + 2y – z = 52x + 4y – 7z = 1

y = 3xz = –2x + 3y = –2x + 9x = 7xx = λ

2x – 3y + z = 03x – y = 0

2 –3 1 03 –1 0 00 0 0 0

1-ª

2-ª

3-ª – 2 · 2-ª

2 –3 1 03 –1 0 06 –2 0 0

1-ª

2-ª + 1-ª

3-ª + 1-ª

2 –3 1 01 2 –1 04 1 –1 0

2x – 3y + z = 0x + 2y – z = 0

4x + y – z = 0

z = 3y = 7 – 3z = –2x = 2 – y – z = 1

x + y + z = 2y + 3z = 7

23z = 69

1 1 1 20 1 3 70 0 23 69

1-ª

2-ª

3-ª + 6 · 2-ª


b) ( ) → ( ) →

→ ( ) → ( )Sistema compatible indeterminado. Lo resolvemos:

Soluciones: (1 + λ, λ, –1 – λ)

c) ( ) → ( ) →

→ ( ) → ( )Sistema compatible determinado. Lo resolvemos:

Solución: (1, 1, –1)

d) ( ) → ( ) →

→ ( )Sistema compatible indeterminado. Lo resolvemos:

Soluciones: (λ, λ, 0, 0)

t = 0z = 0x = yy = λ

x – y + 3z – 14t = 0–3z + 29t = 0

28t = 0

1 –1 3 –14 00 0 –3 29 00 0 0 28 0

1-ª

2-ª

–4 · 2-ª + 3 · 3-ª

1 –1 3 –14 00 0 –3 29 00 0 –4 48 0

1-ª

2-ª – 2 · 1-ª

3-ª – 3 · 1-ª

1 –1 3 –14 02 –2 3 1 03 –3 5 6 0

x – y + 3z – 14t = 02x – 2y + 3z + t = 03x – 3y + 5z + 6t = 0

z = –1y = 1x = –3 + 2y – 2z = 1

x – 2y + 2z = –32y – z = 3

–z = 1

1 –2 2 –30 2 –1 30 0 –1 1

1-ª

2-ª : 3

3-ª – 2 · 2-ª

1 –2 2 –30 6 –3 90 12 –7 19

1-ª

2-ª – 2 · 1-ª

3-ª – 5 · 1-ª

1 –2 2 –32 2 1 35 2 3 4

3-ª

2-ª

1-ª

5 2 3 42 2 1 31 –2 2 –3

5x + 2y + 3z = 42x + 2y + z = 3x – 2y + 2z = –3

x = 1 + yz = –1 – yy = λ

x – y = 1y + z = –1

1 –1 0 10 1 1 –10 0 0 0

1-ª

2-ª

3-ª – 3 · 2-ª

1 –1 0 10 1 1 –10 3 3 –3

1-ª

2-ª

3-ª – 1-ª

1 –1 0 10 1 1 –11 2 3 –2

2-ª

1-ª

3-ª

0 1 1 –11 –1 0 11 2 3 –2

y + z = –1x – y = 1x + 2y + 3z = –2


S14 Discute los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) b)

c) d)

a) ( ) → ( )Sistema compatible determinado para todo k.

b) ( ) → ( ) →

→ ( ) → ( )• Si a = 10 → Sistema compatible indeterminado

• Si a ≠ 10 → Sistema compatible determinado

c) ( ) → ( ) →

→ ( )Compatible determinado para todo m.

d) ( ) → ( ) →

→ ( ) → ( )2 – 2a = 0 → a = 1

• Si a = 1 → Sistema incompatible

• Si a ≠ 1 → Sistema compatible determinado

1 1 –1 10 –2 8 –30 0 2 – 2a 1

1-ª

2-ª

–2 · 3-ª + 2-ª

1 1 –1 10 –2 8 –30 –1 a + 3 –2

1-ª

2-ª – 5 · 1-ª

3-ª – 3 · 1-ª

1 1 –1 15 3 3 23 2 a 1

3ª

2-ª

1-ª

3 2 a 15 3 3 21 1 –1 1

3x + 2y + az = 15x + 3y + 3z = 2x + y – z = 1

1 –2 1 15 0 0 –1

m + 1 –1 0 2

1-ª

2-ª + 2 · 1-ª

3-ª + 1-ª

1 –2 1 13 4 –2 –3m 1 –1 1

1-ª

3-ª

2-ª

1 –2 1 1m 1 –1 13 4 –2 –3

x – 2y + z = 1mx + y – z = 13x + 4y – 2z = –3

1 1 –1 00 1 1 00 a – 10 0 0

1-ª

2-ª

3-ª – 7 · 2-ª

1 1 –1 00 1 1 00 a – 3 7 0

1-ª

2-ª : 2

3-ª

1 1 –1 00 2 2 00 a – 3 7 0

1-ª

2-ª – 1-ª

3-ª – 3 · 1-ª

1 1 –1 01 3 1 03 a 4 0

x + y – z = 0x + 3y + z = 0

3x + ay + 4z = 0

1 –1 –1 k0 0 3 1 – k0 3 k + 2 –2k

1-ª

2-ª – 1-ª

3-ª – 2 · 1-ª

1 –1 –1 k1 –1 2 12 1 k 0

x – y – z = kx – y + 2z = 1

2x + y + kz = 0

3x + 2y + az = 15x + 3y + 3z = 2

x + y – z = 1

x – 2y + z = 1mx + y – z = 13x + 4y – 2z = –3

x + y – z = 0x + 3y + z = 0

3x + ay +4z = 0

x – y – z = kx – y + 2z = 1

2x + y + kz = 0


S

15 Discute los siguientes sistemas y resuélvelos cuando sea posible:

a) b)

a) ( ) → ( )• Si k = – → Sistema compatible indeterminado. Lo resolvemos:

2x – y = 4 →

Soluciones: (λ, 2λ – 4)

• Si k ≠ – → Sistema compatible determinado.

Solución: (2, 0)

b) ( ) → ( ) →

→ ( ) → ( )• Si m = 10 → Sistema compatible indeterminado. Lo resolvemos:

Haciendo z = 5λ.

Soluciones: (1 + λ, –1 + 3λ, 5λ)

• Si m ≠ 10 → Incompatible

16 Resuelve por el método de Gauss el siguiente sistema e interprétalo geomé-tricamente:

x – 3y – z = –1x + 5y + 3z = 3x + y + z = 1

3x + 7y + 5z = 5

–5 + 3z 3zy = ——— = –1 + —

5 56z z

x = 3 + 2y – z = 3 – 2 + — – z = 1 + —5 5

x – 2y + z = 35y – 3z = –5

1 –2 1 30 5 –3 –50 0 0 m – 10

1-ª

2-ª

3-ª – 2-ª

1 –2 1 30 5 –3 –50 5 –3 m – 15

1-ª

2-ª – 2 · 1-ª

3-ª – 5 · 1-ª

1 –2 1 32 1 –1 15 –5 2 m

2ª

1-ª

3-ª

2 1 –1 11 –2 1 35 –5 2 m

2x + y – z = 1x – 2y + z = 3

5x – 5y + 2z = m

y = 0x = 2

2x – y = 4(2k + 1)y = 0

12

y = 2x –4x = λ

12

2 –1 40 0 00 2k + 1 0

1ª

2 · 2-ª + 1-ª

2 · 3-ª – 1-ª

2 –1 4–1 1/2 –21 k 2

2x – y = 4–x + y/2 = –2x + ky = 2

2x + y – z = 1x – 2y + z = 3

5x – 5y + 2z = m

2x – y = 4–x + y/2 = –2x + ky = 2


S

S

( ) → ( ) →

→ ( ) → ( ) →

→

Soluciones: (λ, λ, 1 – 2 λ). Son cuatro planos con una recta en común.

17 Resuelve cada uno de los siguientes sistemas para los valores de m que lo ha-cen compatible:

a) b)

a) ( ) → ( ) →

→ ( )• Si m = 7 → Sistema compatible determinado

x = 3 – 2y = 1

Solución: (1, 1)

• Si m ≠ 7 → Sistema incompatible

b) ( ) → ( ) →

→ ( )1 –1 –2 20 3 7 –30 0 0 00 0 0 m + 1

1-ª

2-ª

3-ª – 2-ª

4-ª – 2-ª

1 –1 –2 20 3 7 –30 3 7 –30 3 7 m – 2

1-ª

2-ª – 2 · 1-ª

3-ª – 3 · 1-ª

4--ª – 1-ª

1 –1 –2 22 1 3 13 0 1 31 2 5 m

x – y – 2z = 22x + y + 3z = 13x + z = 3x + 2y + 5z = m

x + 2y = 3y = 1

1 2 30 1 10 0 m – 7

1-ª

2-ª : (–5)

3-ª – 2-ª

1 2 30 –5 –50 –5 m – 12

1-ª

2-ª – 2 · 1-ª

3-ª – 4 · 1-ª

1 2 32 –1 14 3 m

x + 2y = 32x – y = 14x + 3y = m

x – y – 2z = 22x + y + 3z = 13x + z = 3x + 2y + 5z = m

x + 2y = 32x – y = 14x + 3y = m

z = 1 – 2yx = 1 – y – z = yy = λ

x + y + z = 12y + z = 1

1 1 1 10 2 1 10 0 0 00 0 0 0

1-ª

2-ª : 2

3-ª + 2ª

4-ª – 2ª

1 1 1 10 4 2 20 –4 –2 –20 4 2 2

1-ª

2-ª – 1ª

3-ª – 1ª

4-ª – 3 · 1ª

1 1 1 11 5 3 31 –3 –1 –13 7 5 5

3-ª

2-ª

1-ª

4-ª

1 –3 –1 –11 5 3 31 1 1 13 7 5 5

x – 3y – z = –1x + 5y + 3z = 3x + y + z = 1

3x + 7y + 5z = 5


• Si m = –1 → Sistema compatible indeterminado.

Haciendo z = 3λ:

Soluciones: (1 – λ, –1 – 7λ, 3λ)

• Si m ≠ –1 → Sistema incompatible

18 Discute y resuelve en función del parámetro:

a) b)

a) ( ) → ( ) →

→ ( ) → ( )• Si m = 1 → Sistema compatible indeterminado

Soluciones: (2 – 3λ, 4 – 4λ, λ)

• Si m ≠ 1 → Sistema compatible determinado


b) ( ) → ( ) →

→ ( ) → ( )• Si a = 2 → Sistema incompatible

1 1 1 00 1 1 –30 0 a – 2 2

1-ª

–2-ª

3-ª – 2-ª

1 1 1 00 –1 –1 30 –1 a – 3 5

1-ª

2-ª – 2 · 1-ª

3-ª – 3 · 1-ª

1 1 1 02 1 1 33 2 a 5

1ª

3-ª

2-ª

1 1 1 03 2 a 52 1 1 3

x + y + z = 03x + 2y + az = 52x + y + z = 3

y = 0z = 1x = 2 – 3z = –1

x + 3z = 2y + 4z = 4

(m – 1)y = 0

x = 2 – 3zy = 4 – 4zz = λ

x + 3z = 2y + 4z = 4

1 0 3 20 1 4 40 m – 1 0 0

1-ª

–2-ª

3-ª + 2-ª

1 0 3 20 –1 –4 –40 m 4 4

1-ª

2-ª – 2 · 1-ª

3-ª + 1-ª

1 0 3 22 –1 2 0–1 m 1 2

–3-ª

2-ª

1-ª

–1 m 1 22 –1 2 0–1 0 –3 –2

–x + my + z = 22x – y + 2z = 0–x – 3z = –2

x + y + z = 03x + 2y + az = 52x + y + z = 3

–x + my + z = 22x – y + 2z = 0–x – 3z = –2

–3 – 7z 7zy = ——— = –1 – —

3 37z z

x = 2 + y + 2z = 2 – 1 – — + 2z = 1 – —3 3

x – y – 2z = 23y + 7z = –3


S

S

• Si a ≠ 2 → Sistema compatible determinado. Lo resolvemos:

z =

y = –3 – z = –3 – =

x = –y – z = – =

Solución: ( , , )19 Discute los siguientes sistemas según los valores de α e interprétalos geo-

métricamente:

a) b)

a) ( ) → ( )α ≠ 0

• Si α ≠ 1, queda:

( ) Sistema compatible indeterminado. Son dos rectas coincidentes.

• Si α = –1, queda:

( ) Sistema incompatible. Son dos rectas paralelas.

• Si α ≠ 1 y α ≠ –1 → Sistema compatible determinado. Son dos rectas se-cantes.

b) ( ) → ( ) →

→ ( )• Si α ≠ 0 → Sistema compatible determinado. Son tres planos que se cortan

en un punto.

• Si α = 0 → Sistema incompatible. Los planos se cortan dos a dos, pero nohay ningún punto común a los tres.

1 –1 0 10 5 –5 –180 5α 0 13

1-ª

2-ª

5 · 3-ª – 2-ª

1 –1 0 10 5 –5 –180 α + 1 –1 –1

1-ª

2-ª – 2 · 1-ª

3-ª – 1-ª

1 –1 0 12 3 –5 –161 α –1 0

x – y = 12x + 3y – 5z = –16x + αy – z = 0

–1 –1 10 0 2

1 –1 10 0 0

α –1 10 1 – α2 2α2 – α – 1

1-ª

2-ª · α – 1-ª

α –1 11 –α 2α – 1

αx – y = 1x – αy = 2α – 1

x – y = 12x + 3y – 5z = –16x + αy – z = 0

αx – y = 1x – αy = 2α – 1

2a – 2

4 – 3aa – 2

3a – 6a – 2

3a – 6a – 2

2a – 2

–4 + 3aa – 2

4 – 3aa – 2

2a – 2

2a – 2

x + y + z = 0y + z = –3

(a – 2)z = 2


20 Se considera el sistema de ecuaciones lineales:

a) Encuentra un valor de a para el cual el sistema sea incompatible.

b) Discute si existe algún valor del parámetro a para el cual el sistema seacompatible determinado.

c) Resuelve el sistema para a = 0.

( ) → ( ) →

→ ( )a) a = 2

b) No existe ningún valor de a para el cual el sistema sea compatible determinado.

c) Si a = 0, queda:

Soluciones: (2 – 3λ, – , λ)

21 Considera el sistema de ecuaciones:

a) ¿Existe una solución en la que y sea igual a 0?

b) Resuelve el sistema.

c) Interprétalo geométricamente.

( ) → ( ) →

( ) → ( )

x – z = 12y – z = –2

1 0 –1 10 2 –1 –20 0 0 0

1-ª

2-ª

3-ª + 2-ª

1 0 –1 10 2 –1 –20 –2 1 2

1-ª

2-ª – 1-ª

3-ª – 2 · 1-ª

1 0 –1 11 2 –2 –12 –2 –1 4

3-ª

2-ª

1-ª

2 –2 –1 41 2 –2 –11 0 –1 1

2x – 2y – z = 4x + 2y – 2z = –1x – z = 1

2x – 2y – z = 4x + 2y – 2z = –1x – z = 1

12

y = – 1/2x – 1 + 3z = 1 → x = 2 – 3zz = λ

x + 2y + 3z = 1–2y = 1

1 2 3 10 a – 2 0 10 0 0 0

1-ª

2-ª

3-ª – 2-ª

1 2 3 10 a – 2 0 10 a – 2 0 1

1-ª

2-ª – 1-ª

3-ª – 2 · 1-ª

1 2 3 11 a 3 22 (2 + a) 6 3

x + 2y + 3z = 1x + ay + 3z = 2

2x + (2 + a)y + 6z = 3

x + 2y + 3z = 1x + ay + 3z = 2

2x + (2 + a)y + 6z = 3


S

S

a) y = 0 →

Solución: (3, 0, 2)

b)

Soluciones: (3 + 2λ, λ, 2λ + 2)

c) Son tres planos que se cortan en una recta.

22 Halla un número de tres cifras sabiendo que estas suman 9; que, si del nú-mero dado se le resta el que resulta de invertir el orden de sus cifras, la dife-rencia es 198, y que la cifra de las decenas es media aritmética de las otrasdos.

Llamamos x a la cifra de las unidades, y a la de las decenas y z a la cifra de lascentenas.

z y x → n-º = x + 10y + 100z

Tenemos que:

( ) → ( ) →

( ) → ( ) → ( )

Solución: El n-º es el 432.

23 Dos amigos invierten 20 000 € cada uno. El primero coloca una cantidad A al4% de interés, una cantidad B al 5% y el resto al 6%. El otro invierte la mis-ma cantidad A al 5%, la B al 6% y el resto al 4%.

Determina las cantidades A, B y C sabiendo que el primero obtiene unos in-tereses de 1 050 € y el segundo de 950 €.

z = 4y = 11 – 2z = 11 – 8 = 3x = z – 2 = 2

–x + z = 2y + 2z = 11

3z = 12

–1 0 1 20 1 2 110 0 3 12

1-ª

2-ª

3-ª + 2-ª

–1 0 1 20 1 2 110 –1 1 1

1-ª

2-ª

3-ª : 2

–1 0 1 20 1 2 110 –2 2 2

1-ª

2-ª + 1-ª

3-ª + 1-ª

–1 0 1 21 1 1 91 –2 1 0

2-ª

1-ª

3-ª

1 1 1 9–1 0 1 21 –2 1 0

x + y + z = 9–x + z = 2x – 2y + z = 0

x + y + z = 9–99x + 99z = 198

2y = x + z

x + y + z = 9

x + 10y + 100z – (z + 10y + 100x) = 198

x + zy = ——

2

x = 1 + z = 1 + 2y + 2 = 3 + 2yz = 2y + 2y = λ

z = 2x = 1 + z = 3

x – z = 1– z = –2


S

S

( ) → ( ) →

( ) →

Solución: A = 5 000 €; B = 5 000 €; C = 10 000 €

Página 46

24 Una tienda ha vendido 600 ejemplares de un videojuego por un total de6 384 €. El precio original era de 12 €, pero también ha vendido copias de-fectuosas con descuentos del 30% y del 40%. Sabiendo que el número de co-pias defectuosas vendidas fue la mitad del de copias en buen estado, calcula acuántas copias se le aplicó el 30% de descuento.

Llamamos x al n-º de copias vendidas al precio original, 12 €; y al n-º de copiasvendidas con un 30% de descuento, 0,7 · 12 = 8,4 €; y z al n-º de copias vendidascon un 40% de descuento, 0,6 · 12 = 7,2 €.

Así:

( ) → ( ) →

( ) → ( )

Solución: El 30% de descuento se le aplicó a 120 copias.

z = 80y = 120x = 400

x + y + z = 600y + z = 200

1,2z = 96

1 1 1 6000 1 1 2000 0 1,2 96

1-ª

3-ª

2-ª – 3,6 · 3-ª

1 1 1 6000 3,6 4,8 8160 1 1 200

1-ª

2-ª

3-ª : 3

1 1 1 6000 3,6 4,8 8160 3 3 600

1-ª

–2-ª + 12 · 1-ª

–3-ª + 1-ª

1 1 1 60012 8,4 7,2 6 3841 –2 –2 0

x + y + z = 60012x + 8,4y + 7,2z = 6384x – 2y – 2z = 0

x + y + z = 600

12x + 8,4y + 7,2z = 6384

xy + z = —

2

C = 10 000B = 5 000A = 5 000

A + B + C = 20 000B + 2C = 25 000

3C = 30 000

1 1 1 20 0000 1 2 250000 0 3 30000

1-ª

2-ª

–3-ª + 2-ª

1 1 1 200000 1 2 250000 1 –1 –5000

1-ª

2-ª – 4 · 1-ª

3-ª – 5 · 1-ª

1 1 1 200004 5 6 1050005 6 4 95000

A + B + C = 20 0004A + 5B + 6C = 105 0005A + 6B + 4C = 95 000

A + B + C = 20 0000,04A + 0,05B + 0,06C = 1 0500,05A + 0,06B + 0,04C = 950


25 Un cajero automático contiene 95 billetes de 10, 20 y 50 € y un total de2 000 €. Si el número de billetes de 10 € es el doble que el número de billetesde 20 €, averigua cuántos billetes hay de cada tipo.

Llamamos x al n-º de billetes de 10 €; y al n-º de billetes de 20 €; y z al n-º de bi-lletes de 50 €. Tenemos que:

z = 95 – 3y

4y + 5(95 – 3y) = 200 → 4y + 475 – 15y = 200 → 275 = 11 y

y = 25 → z = 20 → x = 50

Solución: Hay 50 billetes de 10 €, 25 billetes de 20 € y 20 billetes de 50 €.

26 Se dispone de tres cajas A, B y C con monedas de 1 euro. Se sabe que en totalhay 36 euros. El número de monedas de A excede en 2 a la suma de las mo-nedas de las otras dos cajas. Si se traslada 1 moneda de la caja B a la caja A,esta tendrá el doble de monedas que B. Averigua cuántas monedas había encada caja.

Llamamos x al n-º de monedas que hay en la caja A, y al n-º de monedas que hayen la caja B, y z al n-º de monedas que hay en la caja C. Tenemos que:

Sumando las dos primeras ecuaciones: 2x = 38 → x = 19

De la 3-ª ecuación → y = = 11

z = 36 – y – x = 6

Solución: Había 19 monedas en la caja A, 11 en la B y 6 en la C.

27 Un especulador adquiere 3 objetos de arte por un precio total de 2 millones deeuros. Vendiéndolos, espera obtener de ellos unas ganancias del 20%, del 50%y del 25%, respectivamente, con lo que su beneficio total sería de 600 000 €.Pero consigue más, pues con la venta obtiene ganancias del 80%, del 90% y del85%, respectivamente, lo que le da un beneficio total de 1,7 millones de euros.¿Cuánto le costó cada objeto?

Llamamos x a lo que le costó el 1–er objeto (en millones de euros), y a lo que lecostó el 2-º objeto y z a lo que le costó el 3–er objeto. Tenemos que:

( ) →1 1 1 22 5 2,5 68 9 8,5 17

x + y + z = 22x + 5y + 2,5z = 68x + 9y + 8,5z = 17

x + y + z = 20,2x + 0,5y + 0,25z = 0,60,8x + 0,9y + 0,85z = 1,7

x + 32

x + y + z = 36x – y – z = 2x – 2y = –3

x + y + z = 36x – y – z = 2x + 1 = 2y – 2

x + y + z = 36x = y + z + 2x + 1 = 2(y – 1)

3x + z = 954y + 5z = 200

x = 2y

x + y + z = 95x + 2y + 5z = 200x = 2y

x + y + z = 9510x + 20y + 50z = 2 000

x = 2y


S

( ) → ( )y = 0,5 z = = 1 x = 2 – y – z = 0,5

Solución: El 1–er objeto le costó 0,5 millones de euros (500 000 €), el 2-º le costó 0,5millones de euros (500 000 €) y el 3-º le costó 1 millón de euros (1 000 000 €).

28 Una empresa dispone de 27 200 € para actividades de formación de sus cien em-pleados. Después de estudiar las necesidades de los empleados, se ha decididoorganizar tres cursos: A, B y C. La subvención por persona para el curso A es de400 €, para el curso B es de 160 €, y de 200 € para el C. Si la cantidad que se de-dica al curso A es cinco veces mayor que la correspondiente al B, ¿cuántos em-pleados siguen cada curso?

Llamamos x al n-º de empleados que siguen el curso A; y al n-º de empleados quesiguen el curso B, y z al n-º de empleados que siguen el curso C. Tenemos que:

24y + 500 – 15y = 680 → 9y = 180 → y = 20 → z = 40; x = 40

Solución: 40 empleados siguen el curso A, 20 empleados siguen el curso B y 40 si-guen el curso C.

29 Un automóvil sube las cuestas a 54 km/h, las baja a 90 km/h y en llano mar-cha a 80 km/h. Para ir de A a B tarda 2 horas y 30 minutos, y para volver de Ba A, 2 horas y 45 minutos. ¿Cuál es la longitud de camino llano entre A y B sisabemos que la distancia entre A y B es de 192 km?

Llamamos x a la longitud de camino llano entre A y B, y a la longitud de cuestaarriba yendo de A a B y z a la longitud de cuesta abajo yendo de A a B. Tenemosque:

( ) → ( ) →1-ª

2-ª

3-ª · 3 + 2-ª · 13

1 1 1 1920 13 –3 2160 –3 13 756

1-ª

2-ª – 27 · 1-ª

3-ª – 27 · 1-ª

1 1 1 19227 40 24 540027 24 40 5940

x + y + z = 19227x + 40y + 24z = 5 40027x + 24y + 40z = 5 940

x + y + z = 192 km

x y z— + — + — = 2,5 horas80 54 90

x y z— + — + — = 2,75 horas80 90 54

z = 100 – 3y24y + 5(100 – 3y) = 680

3y + z = 10024y + 5z = 680

x + y + z = 10010x + 4y + 5z = 680

x = 2y

x + y + z = 10010x + 4y + 5z = 680

400x = 800y

x + y + z = 100400x + 160y + 200z = 27 200400x = 5 · 160y

1 – y0,5

x + y + z = 22y = 1y + 0,5z = 1

1 1 1 20 2 0 10 1 0,5 1

1-ª

2-ª – 3-ª

3-ª

1 1 1 20 3 0,5 20 1 0,5 1

1-ª

2-ª – 2 · 1-ª

3-ª – 8 · 1-ª


S

S

( )Solución: La longitud de camino llano entre A y B es de 94,8 Km.

30 Tres amigos acuerdan jugar tres partidas de dados de forma que, cuando unopierda, entregará a cada uno de los otros dos una cantidad igual a la que cadauno posea en ese momento. Cada uno perdió una partida, y al final cada unotenía 24 €. ¿Cuánto tenía cada jugador al comenzar?

Hacemos una tabla que resuma la situación:

( ) →

( ) → ( ) → ( )

Solución: El jugador que perdió primero tenía 39 euros, el que perdió en 2-º lugartenía 21 € y el que perdió en 3–er lugar tenía 12 €.

31 La edad de un padre es doble de la suma de las edades de sus dos hijos, mien-tras que hace unos años (exactamente la diferencia de las edades actuales delos hijos) la edad del padre era triple que la suma de las edades en aquel tiem-po de sus hijos. Cuando pasen tantos años como la suma de las edades ac-tuales de los hijos, entre los tres sumarán 150 años. ¿Qué edad tenía el padrecuando nacieron sus hijos?

Hacemos una tabla:

z = 12y = 9 + z = 21x = 6 + y + z = 39

x – y – z = 6y – z = 9

2z = 24

1 –1 –1 60 1 –1 90 0 2 24

1-ª

2-ª

3-ª + 2-ª

1 –1 –1 60 1 –1 90 –1 3 15

1-ª

2-ª : 2

3-ª : 2

1 –1 –1 60 2 –2 180 –2 6 30

1-ª

2-ª + 1-ª

3-ª + 1-ª

1 –1 –1 6–1 3 –1 12–1 –1 7 24

x – y – z = 6–x + 3y – z = 12–x – y + 7z = 24

4x – 4y – 4z = 24–2x + 6y – 2z = 24–x – y + 7z = 24

y = 31,725 kmz = 65,475 kmx = 94,800 km

x + y + z = 19213y – 3z = 216

160y = 5 076

1 1 1 1920 13 –3 2160 160 0 5076


COMIENZO 1-ª PARTIDA 2-ª PARTIDA 3-ª PARTIDA

1-º QUE PIERDE x x – y – z 2x – 2y – 2z 4x – 4y – 4z

2-º QUE PIERDE y 2y –x + 3y – z –2x + 6y – 2z

3-º QUE PIERDE z 2z 4z –x – y + 7z

EDAD ACTUAL HACE y – z AÑOS DENTRO DE y + z AÑOS

PADRE x x – y + z x + y + z

1–er HIJO y y – y + z = z 2y + x

2-º HIJO z z – y + z = –y + 2z y + 2z

Tenemos que:

( ) →

( ) → ( ) → ( )Actualmente tienen estas edades.

Solución: Cuando nació el 1–er hijo, el padre tenía 35 años; cuando nació el 2-º hijo,tenía 40 años.

32 Un fabricante produce 42 electrodomésticos. La fábrica abastece a 3 tiendas,que demandan toda la producción. En una cierta semana, la primera tienda so-licitó tantas unidades como la segunda y tercera juntas, mientras que la se-gunda pidió un 20% más que la suma de la mitad de lo pedido por la primeramás la tercera parte de lo pedido por la tercera. ¿Qué cantidad solicitó cadauna?

Llamamos x a la cantidad que solicitó la 1-ª tienda, y a la que solicitó la 2-ª tienday z a la que solicitó la 3-ª tienda. Tenemos que:

x + y + z = 42 x + y + z = 42 x – y – z = 0 x – y – z = 0

x = y + z x – y – z = 0 x + y + z = 42 x + y + z = 42

y = 1,2 ( + ) 6y = 3,6x + 2,4z 60y = 36x + 24z 5y = 3x + 2z

( ) → ( ) →

( )Solución: La 1-ª tienda solicitó 21 electrodomésticos; la 2-ª, 15; y la 3-ª, 6.

z = 6y = 21 – z = 15x = y + z = 21

x – y – z = 0y + z = 21

7z = 42

1 –1 –1 00 1 1 210 0 7 42

1-ª

2-ª : 2

3-ª + 2-ª

1 –1 –1 00 2 2 420 –2 5 0

1-ª

2-ª – 1-ª

3-ª – 3 · 1-ª

1 –1 –1 01 1 1 423 –5 2 0

x – y – z = 0x + y + z = 42

3x – 5y + 2z = 0

z3

x2

z = 10y = 25 – z = 15x = 2y + 2z = 50

x – 2y – 2z = 0– 5z = –50

y + z = 25

1 –2 –2 00 0 –5 –500 1 1 25

1-ª

2-ª – 2 · 3-ª

3-ª

1 –2 –2 00 2 –3 00 1 1 25

1-ª

2-ª : 2

3-ª : 6

1 –2 –2 00 4 –6 00 6 6 150

1-ª

2-ª – 1-ª

3-ª – 1-ª

1 –2 –2 01 2 –8 01 4 4 150

x – 2y – 2z = 0x + 2y – 8z = 0x + 4y + 4z = 150

x = 2y + 2zx – y + z = –3y + 9zx + 4y + 4z = 150

x = 2(y + z)x – y + z = 3(–y + 3z)x + y + z + 2y + z + y + 2z = 150


S

S

CUESTIONES TEÓRICAS

33 ¿Para qué valores de a y b será compatible este sistema?

¿Será determinado?

El sistema es compatible indeterminado para cualquier valor de a y b. (Luego, noes determinado para ningún valor de a y b).

34 Prueba que, si en un sistema de ecuaciones S sumamos a una ecuación otra mul-tiplicada por un número, el sistema resultante, S', es equivalente al primero.

Cualquier solución del primero también lo es del segundo, y al revés.

35 Si tenemos un sistema compatible indeterminado de 2 ecuaciones linealescon 2 incógnitas, ¿se puede conseguir un sistema incompatible añadiendouna tercera ecuación?

Sí. Por ejemplo:

Incompatible

36 Si a un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas incompatible le agregamosotra ecuación, ¿podríamos lograr que fuera compatible indeterminado? ¿Ydeterminado? Justifica las respuestas.

No. Si el sistema es incompatible, las dos ecuaciones iniciales son contradictorias.Añadiendo otra ecuación, no podemos cambiar este hecho; el sistema seguirásiendo incompatible.

Página 47

37 ¿Es posible convertir este sistema en compatible indeterminado cambiandoun signo?

Sí. Si cambiamos la 2-ª ecuación por x + y + z = 1, o bien, si cambiamos la 3-ªecuación por x + y + z = 1, el sistema resultante será compatible indeterminado.

38 Dadas las ecuaciones:

a) Añade una ecuación para que el sistema sea incompatible.

b) Añade una ecuación para que el sistema sea compatible determinado.

Justifica en cada caso el procedimiento seguido.

3x – 2y + z = 52x – 3y + z = –4

x + y + z = 1x – y + z = 1x + y – z = 1

Compatible indeterminado

x + 2y = 32x + 4y = 6x + 2y = 1

x + y + z = ax – y – z = b


S

S

a) Para que sea incompatible, la ecuación que añadamos ha de ser de la forma:

a (3x – 2y + z) + b (2x – 3y + z) = k con k ≠ 5a – 4b.

Si tomamos, por ejemplo, a = 1, b = 0, k = 1, queda:

3x – 2y + z = 1

Añadiendo esta ecuación, el sistema sería incompatible.

b) Por ejemplo, añadiendo y = 0, queda:

Compatible determinado

39 Define cuándo dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes. Justificasi son equivalentes o no los siguientes sistemas:

Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes cuando todas las solucionesdel 1–er sistema lo son también del 2-º, y al revés.

Los dos sistemas dados no son equivalentes, puesto que el 1-º es compatible inde-terminado (tiene infinitas soluciones) y el 2-º es determinado (solo tiene una solu-ción).

40 Encuentra razonadamente dos valores del parámetro a para los cuales el si-guiente sistema sea incompatible:

( ) → ( ) →

( ) Si a = 1 o a = 6, el sistema es incompatible.

41 Sean S y S' dos sistemas equivalentes con solución única que tienen igua-les los términos independientes. ¿Podemos asegurar que tienen iguales loscoeficientes de las incógnitas?

1 1 2 0a – 1 0 0 1

1 0 3 20 0 a – 6 –1

1-ª

2-ª

3-ª

4-ª – 2 · 3-ª

1 1 2 0a – 1 0 0 1

1 0 3 22 0 a 3

1-ª

2-ª – 1-ª

3-ª

4-ª

1 1 2 0a 1 2 11 0 3 22 0 a 3

x + y + 2z = 0ax + y + 2z = 1

x + 3z = 22x + az = 3

x + y + 2z = 0ax + y + 2z = 1x + 3z = 2

2x + az = 3

x = 2y = 1z = –1

x + y + z = 2x + y – z = 4

x = 9y = 0z = –22

3x + z = 52x + z = –4

y = 0

3x – 2y + z = 52x – 3y + z = –4

y = 0


S

S

No. Por ejemplo, los sistemas:

S: S':

son equivalentes, con solución única (2, 1), tienen iguales los términos indepen-dientes, pero no los coeficientes de las incógnitas.

PARA PROFUNDIZAR

42 Discute los siguientes sistemas en función del parámetro a y resuélvelos enel caso en que sean compatibles indeterminados:

a) b)

a) ( ) →

( )• Si a = 1, queda:

( ) → Sistema incompatible

• Si a = 2, queda:

( ) → ( ) →→ Sistema compatible indeterminado

Lo resolvemos en este caso:

Soluciones: (1 – λ, 0, λ)

• Si a ≠ 1 y a ≠ 2 → Sistema compatible determinado

x + z = 1 → x = 1 – zy = 0

z = λ

x + y + z = 1y = 0

1 1 1 10 0 0 00 1 0 0

1-ª

2-ª + 3-ª

3-ª

1 1 1 10 –1 0 00 1 0 0

1 1 1 00 –1 –1 10 0 0 1

1 1 1 a – 10 –1 a – 2 –a + 20 a – 1 0 2 – a

1-ª

2-ª – 2 · 1-ª

3-ª – 1-ª

1 1 1 a – 12 1 a a1 a 1 1

x + y + z = a – 12x + y + az = ax + ay + z = 1

ax + y – z = 02x + ay = 2–x + z = 1

x + y + z = a – 12x + y + az = ax + ay + z = 1

2x – y = 32x – 3y = 1

x + y = 3x – y = 1


S

S

b) ( ) → ( ) →

( ) → ( )a ≠ 0

–a2 + a + 2 = 0 → a = =

• Si a = –1, queda:



( ) → ( )Sistema compatible indeterminado

Soluciones: (λ, 1 – λ, 1 + λ)

• Si a ≠ –1 y a ≠ 2 → Sistema compatible determinado

43 Discute el siguiente sistema según los valores del parámetro a. Interprétalogeométricamente:

( ) →

( ) → ( )• Si a = 1, queda:


Los dos primeros planos son paralelos y el tercero los corta.

1 1 1 –10 0 0 50 –2 0 2

1 1 1 –1a – 1 0 0 5

0 –a – 1 0 2

1-ª

2-ª – 1-ª

3-ª – 1-ª

1 1 1 –1a 1 1 41 –a 1 1

2-ª

1-ª

3-ª

a 1 1 41 1 1 –11 –a 1 1

ax + y + z = 4x + y + z = –1x – ay + z = 1

ax + y + z – 4 = 0x + y + z + 1 = 0x – ay + z – 1 = 0

ax + y + z – 4 = 0x + y + z + 1 = 0x – ay + z – 1 = 0

z = 1 + xy = 1 – xx = λ

–x + z = 1x + y = 1

–1 0 1 11 1 0 10 0 0 0

1-ª

2-ª : 2

3-ª

–1 0 1 12 2 0 20 0 0 0

–1 0 1 12 –1 0 20 0 0 3

a = –1a = 2

–1 ± 3–2

–1 ± √1 + 8–2

–1 0 1 12 a 0 2

–a2 + a + 2 0 0 2 – a

1-ª

2-ª

–a · 3-ª + 2-ª

–1 0 1 12 a 0 2

a – 1 1 0 1

1-ª

2-ª

3-ª + 1-ª

–1 0 1 12 a 0 2a 1 –1 0

3-ª

2-ª

1-ª

a 1 –1 02 a 0 2–1 0 1 1

ax + y – z = 02x + ay = 2–x + z = 1




Los dos últimos planos son paralelos y el primero los corta.

• Si a ≠ 1 y a ≠ –1 → Sistema compatible determinado. Son tres planos quese cortan en un punto.

PARA PENSAR UN POCO MÁS

44 Resuelve el siguiente sistema:

☛ Si sumas las cinco igualdades, obtendrás otra con la que se te pueden simplificarmucho los cálculos.

Sumando las cinco igualdades, obtenemos:

4x + 4y + 4z + 4t + 4w = 76, es decir:

4(x + y + z + t + w) = 76, o bien:

x + y + z + t + w = 19

Por tanto: (x + y + z + t) + w = 17 + w = 19 → w = 2

(x + y + z + w) + t = 16 + t = 19 → t = 3

(x + y + t + w) + z = 15 + z = 19 → z = 4

(x + z + t + w) + y = 14 + y = 19 → y = 5

(y + z + t + w) + x = 14 + x = 19 → x = 5

45 Nos dicen que x, y, z, t, w son números enteros y que k vale 36 ó 38. Deciderazonadamente cuál de los dos es su valor y resuelve el sistema:

x + y + z + t = 35x + y + z + w = 36x + y + t + w = 38x + z + t + w = 39

y + z + t + w = k


y + z + t + w = 14


y + z + t + w = 14

1 1 1 –1–2 0 0 50 0 0 2


Sumando las cinco igualdades, obtenemos:

4x + 4y + 4z + 4t + 4w = 148 + k, es decir:

4(x + y + z + t + w) = 148 + k, o bien:

x + y + z + t + w = 37 +

Si x, y, z, t, w son números enteros, su suma también lo será; luego, k debeser múltiplo de 4. Como nos dicen que vale 36 ó 38, tenemos que ha de ser k = 36(pues 38 no es múltiplo de 4).

Resolvemos el sistema, ahora que sabemos que k = 36:

La suma de las cinco igualdades dará lugar a:

x + y +z + t + w = 37 + = 37 + 9 = 46

Por tanto: (x + y + z + t) + w = 35 + w = 46 → w = 11

(x + y + z + w) + t = 36 + t = 46 → t = 10

(x + y + t + w) + z = 38 + z = 46 → z = 8

(x + z + t + w) + y = 39 + y = 46 → y = 7

(y + z + t + w) + x = 36 + x = 46 → x = 10

46 Una cuadrilla de 5 obreros se compromete a podar los 222 árboles de unaplantación. Trabajan de lunes a sábado. Cada día, cuatro de ellos podan y elquinto los atiende (repone herramientas, les da agua, recoge los troncos quecaen…). Cada obrero poda el mismo número de árboles cada día, es decir, siAlberto poda 8 árboles un día, podará 8 árboles cada día que intervenga. Losresultados son:

Lunes: 35 árboles podados.

Martes: 36 árboles podados.

Miércoles: 36 árboles podados.

Jueves: 38 árboles podados.

Viernes: 38 árboles podados.

Sábado: 39 árboles podados.

Calcula cuántos árboles diarios poda cada uno de los cinco obreros sabiendoque ninguno de ellos poda los seis días.

364

k4


y + z + t + w = k


Llamamos:

w = n-º de árboles diarios que poda el obrero que descansa el lunes.

t = n-º de árboles diarios que poda el obrero que descansa el martes.

(Es otro el que descansa, pues la suma es diferente).

z = n-º de árboles diarios que poda el que descansa el jueves.

(Es otro distinto, pues la suma es diferente).

y = n-º de árboles diarios que poda el que descansa el sábado.

(Es otro, pues la suma es distinta a las anteriores).

x = n-º de árboles diarios que poda el obrero que falta.

(Descansará el miércoles o el viernes; coincidirá con t o con z).

Así, el n-º de árboles que se podan cada día será:

x + y + z + t = 35

x + y + z + w = 36

x + y + t + w = 38 x, y, z, t, w son enteros

x + z + t + w = 39

y + z + t + w = k

k puede ser 36 ó 38

Se trata de resolver este sistema.

Por el ejercicio anterior, sabemos que k = 36; y que:

x = 10, y = 7, z = 8, t = 10, w = 11

Por tanto, el que poda 11 árboles descansa el lunes, uno de los que podan 10 ár-boles descansa el martes, el que poda 8 árboles descansa el jueves y el viernes, elque poda 7 árboles descansa el sábado y el otro que poda 10 árboles, descansa elmiércoles.


Relación del crecimiento con el signo de la primera derivada

■ Analiza la curva siguiente:

Página 275

Relación de la curvatura con el signo de la segunda derivada

■ Describe el tramo CD y los tramos DE, EF y FG siguientes:

CD → f convexa → f ' decreciente → f" < 0

DE → f cóncava → f ' creciente → f" > 0

EF → f convexa → f ' decreciente → f" < 0

FG → f cóncava → f ' creciente → f" > 0

Unidad 10. Aplicaciones de la derivada 1

f crecef ' > 0

f crecef ' > 0

f decrecef ' < 0

f decrecef ' < 0

f decrecef ' < 0

AB

C

D E

FG

f convexa

f ' decreciente

f '' < 0

f cóncava

f ' creciente

f '' > 0

APLICACIONESDE LA DERIVADA

10

■ Dibuja la gráfica de una función, f, que cumpla las siguientes condiciones:

• La función está definida en [0, 7].

• Solo toma valores positivos.

• Pasa por los puntos (0, 1), (3, 1) y (7, 1).

• En el intervalo (1, 2), la función es convexa.

• En el intervalo (2, 4), f '' > 0.

• En el intervalo (4, 6), f ' es decreciente.

• En el intervalo (6, 7), f es cóncava.

Página 276

1. Halla las rectas tangentes a la curva:

y =

en los puntos de abscisas 0, 1, 3.

Calculamos la derivada de la función:

y' = =

Ordenadas de los puntos:

y (0) = 0; y (1) = 4; y (3) = 150

• Recta tangente en (0, 0): y ' (0) = 8

y = 8x

• Recta tangente en (1, 4): y ' (1) = –9

y = 4 – 9(x – 1) = –9x + 13

• Recta tangente en (3, 150): y ' (3) = 11

y = 150 + 11(x – 3) = 11x + 117

10x3 – 23x2 – 28x + 32(x – 2)2

(15x2 + 14x – 16)(x – 2) – (5x3 + 7x2 – 16x)(x – 2)2

5x3 + 7x2 – 16xx – 2


0 1

1

2 3 4 5 6 7

2. Halla las rectas tangentes a la circunferencia:

x2 + y2 – 2x + 4y – 24 = 0

en los puntos de abscisa x0 = 3.

Obtención de las ordenadas correspondientes:

32 + y2 – 2 · 3 + 4y – 24 = 0

9 + y2 – 6 + 4y – 24 = 0

y2 + 4y – 21 = 0

y = = =

Para hallar la pendiente en esos puntos, derivamos implícitamente:

2x + 2yy' – 2 + 4y' = 0

y' (2y + 4) = 2 – 2x

y' = =

Así: y' (3, 3) = – ; y' (3, –7) =

• Recta tangente en (3, 3): y = 3 – (x – 3) = – x +

• Recta tangente en (3, –7): y = –7 + (x – 3) = x –

Página 277

1. Dada la función y = x3 – 3x2 – 9x + 5, averigua:

a) Dónde crece. b) Dónde decrece.

y' = 3x2 – 6x – 9 = 3(x2 – 2x – 3) = 3(x – 3)(x + 1)

a) x < –1 → y' > 0 → f es creciente en (–∞, –1)

x > 3 → y' > 0 → f es creciente en (3, +∞)

b) –1 < x < 3 → y' < 0 → f es decreciente en (–1, 3)

Página 279

2. Comprueba que la función y = x3/(x – 2)2 tiene solo dos puntos singulares, enx = 0 y en x = 6.

Averigua de qué tipo es cada uno de ellos estudiando el signo de la derivada.

415

25

25

215

25

25

25

25

1 – xy + 2

2 – 2x2y + 4

y = 3 → Punto (3, 3)

y = –7 → Punto (3, –7)–4 ± 10

2–4 ± √100

2–4 ± √16 + 84

2


y' = = =

= =

y' = 0 → x2(x – 6) = 0

En x = 0 hay un punto de inflexión.

En x = 6 hay un mínimo relativo

3. a) Halla todos los puntos singulares (abscisa y ordenada) de la funcióny = –3x4 + 4x3. Mediante una representación adecuada, averigua de qué ti-po es cada uno de ellos.

b) Ídem para y = x4 + 8x3 + 22x2 + 24x + 9.

a) y' = –12x3 + 12x2 = 12x2(–x + 1)

y' = 0 Dos puntos singulares.

Los dos puntos están en el intervalo [–1; 1,5],donde la función es derivable.

Además, f (–1) = –7 y f (1,5) = –1,7.

• En (0, 0) hay un punto de inflexión.

• En (1, 1) hay un máximo relativo.

b) y' = 4x3 + 24x2 + 44x + 24 = 4(x + 1)(x + 2)(x + 3)

y' = 0 Tres puntos singulares.

Los tres puntos están en el mismo intervalo[–4, 0], donde la función es derivable.

Además, f (–4) = f (0) = 9.

• Hay un mínimo relativo en (–3, 0), un má-ximo relativo en (–2, 1) y un mínimo rela-tivo en (–1, 0).

x = –1 → Punto (–1, 0)

x = –2 → Punto (–2, 1)

x = 0 → Punto (0, 0)

x = 1 → Punto (1, 1)

f ' (5,99) < 0f ' (6,01) > 0

f ' (–0,01) > 0f ' (0,01) > 0

x = 0

x = 6

x2(x – 6)(x – 2)3

x2(3x – 6 – 2x)(x – 2)3

x2(x – 2) (3(x – 2) – 2x)(x – 2)4

3x2(x – 2)2 – 2(x – 2)x3

(x – 2)4


1

1

1

9

–4 –3 –2 –1

1. Estudia la curvatura de la función: y = 3x4 – 8x3 + 5

f ' (x) = 12x3 – 24x2; f '' (x) = 36x2 – 48x

f '' (x) = 0 → 12x (3x – 4) = 0x = 0 → Punto (0, 5)

x = → Punto ( , – )( f ''' (x) = 72x – 48; f ''' (0) ≠ 0; f ''' ( ) ≠ 0)

Los puntos (0, 5) y ( , – ) son puntos de inflexión.

• La función es cóncava en (–∞, 0) U ( , +∞), pues f '' (x) > 0.

• La función es convexa en el intervalo (0, ), pues f '' (x) < 0.

2. Estudia la curvatura de la función: y = x3 – 6x2 + 9x

f ' (x) = 3x2 – 12x + 9; f '' (x) = 6x – 12

f '' (x) = 0 → 6x – 12 = 0 → x = 2 → Punto (2, 2)

( f ''' (x) = 6; f ''' (2) ≠ 0)

El punto (2, 2) es un punto de inflexión.

• La función es convexa en (–∞, 2), pues f '' (x) < 0.

• La función es cóncava en (2, +∞), pues f '' (x) > 0.

Página 283

1. Halla el número positivo cuya suma con veinticinco veces su inverso sea mínima.

Llamamos x al número que buscamos. Ha de ser x > 0. Tenemos que minimizar lafunción:

f (x) = x +

f ' (x) = 1 – = = 0

(Como f (x) = +∞, f (x) = +∞, y la función es continua en (0, +∞); hay

un mínimo en x = 5).

Por tanto, el número buscado es x = 5. El mínimo es 10.

límx → +∞

límx → 0+

x = 5 → f (5) = 10

x = –5 (no vale, pues x > 0)x2 – 25

x225x2

25x

43

43

12127

43

43

12127

43

43


2. De todos los triángulos rectángulos cuyos catetos suman 10 cm, halla las di-mensiones de aquel cuya área es máxima.

x + y = 10 → y = 10 – x

Área = = = , 0 < x < 10

Tenemos que maximizar la función:

f (x) = , 0 < x < 10

f ' (x) = = 5 – x = 0 → x = 5 → y = 10 – 5 = 5

( f (0)= 0; f (10) = 0; f (5) = ; y f es continua. Luego, en x = 5 está el máximo).Los catetos miden 5 cm cada uno. El área máxima es de 12,5 cm2.

3. Entre todos los rectángulos de perímetro 12 m, ¿cuál es el que tiene la diagonalmenor?

d = , 0 < x < 6

Tenemos que minimizar la función:

f (x) = , 0 < x < 6

f ' (x) = = =

f ' (x) = 0 → –6 + 2x = 0 → x = 3

( f (0)= 6; f (6) = 6; f (3) = = 3 � 4,24; y f (x) es continua. Luego, en x = 3hay un mínimo).

El rectángulo con la diagonal menor es el cuadrado de lado 3 m.

4. Determina las dimensiones que debe tener un recipiente cilíndrico de volu-men igual a 6,28 litros para que pueda construirse con la menor cantidad posi-ble de hojalata.

Suponemos el recipiente con dos tapas:

Área total = 2πrh + 2πr2 =

= 2πr (h + r)

V = 6,28 l = 6,28 dm3

√2√18

–6 + 2x

√(6 – x)2 + x2

–12 + 4x

2√(6 – x)2 + x2

–2(6 – x) + 2x

2√(6 – x)2 + x2

√(6 – x)2 + x2

√(6 – x)2 + x2

252

10 – 2x2

10x – x2

2

10x – x2

2x · (10 – x)

2x · y

2


x

y

6 – xd

x

hh

2πr

r

r

Como V = π · r2 · h = 3,14 · r2 · h = 6,28 → h = = = h

Así: Áreal total = 2πr ( + r ) = 2π( + r2)Tenemos que hallar el mínimo de la función:

f (r) = 2π( + r2), r > 0

f ' (r) = 2π(– + 2r ) = 2π( ) = 0 → –2 + 2r3 = 0 → r = = 1

(Como f (r) = +∞, f (r) = +∞, y f es continua en (0, +∞); en r = 1 hay

un mínimo).

r = 1 → h = = = 2

El cilindro tendrá radio 1 dm y altura 2 dm.

Página 284

1. Calcula, aplicando L’Hôpital:

a) b)

a) = ( ) = = 2

b) = ( ) = = 2

2. Calcula:

a) b)

a) = = =

b) = ( ) = = ( ) =

= = = 12

–2–4

6x + 46x + 2

límx → –1

00

3x2 + 4x + 13x2 + 2x – 1

límx → –1

00

x3 + 2x2 + xx3 + x2 – x – 1

límx → –1

12

e–x

2lím

x → 0

–e–x + 12x

límx → 0

e–x + x – 1x2

límx → 0

x3 + 2x2 + xx3 + x2 – x – 1

límx → –1

e–x + x – 1

x2lím

x → 0

ex + e–x

cos xlím

x → 0

00

ex – e–x

sen xlím

x → 0

cos x (1 + cos x) + sen x (–sen x)cos x + x (–sen x)

límx → 0

00

sen x (1 + cos x)x cos x

límx → 0

ex – e–x

sen xlím

x → 0sen x (1 + cos x)

x cos xlím

x → 0

21

2r2

límr → +∞

límr → 0+

3√1–2 + 2r3

r22r2

2r

2r

2r2

2r2

6,283,14 · r2


3. Aplica L’Hôpital: (cos x + sen x)1/x

Para poner (cos x + sen x)1/x en forma de cociente, tomamos logaritmos en

f (x) = (cos x + sen x)1/x.

(ln [ f (x)]) = ( ln (cos x + sen x)) = = ( ) =

= = 1 → f (x) = e1 = e

4. Calcula: (1 – 21/x)x

(1 – 21/x)x = = ( ) = =

= (–21/x · ln 2) = – ln 2 = ln

Página 286

1. a) Explica por qué y = sen x cumple las hipótesis del teorema de Rolle en elintervalo [0, π].

b) ¿En qué punto se verifica la tesis del teorema de Rolle?

a) y = sen x es derivable (y, por tanto, continua) en todo Á.

Además, f (0) = f (π) = 0. Por tanto, cumple las hipótesis del teorema de Rolle.

b) → x =

Página 288

2. Aplica el teorema del valor medio, si es posible, a la función:

f (x) = x2 – 3x + 2 en [–2, –1]

Calcula el valor correspondiente a c.

f (x) es derivable (y, por tanto, continua) en todo Á. En particular, es continua en[–2, –1] y derivable en (–2, –1).

Luego, cumple las hipótesis del teorema del valor medio.

Veamos dónde cumple la tesis:

= = = –66 – 12–1 + 2

f (–1) – f (–2)–1 – (–2)

f (b) – f (a)b – a

π2

y' = cos x = 0x ∈ (0, π)

12

límx → +∞

–21/x · (–1/x2) · ln 2(–1/x2)

límx → +∞

00

1 – 21/x

1/xlím

x → +∞lím

x → +∞

límx → +∞

límx → 0

(–sen x + cos x)/(cos x + sen x)1

límx → 0

00

ln (cos x + sen x)x

límx → 0

1x

límx → 0

límx → 0

límx → 0

límx → 0


f ' (x) = 2x – 3 = –6 → x =

La tesis se cumple en c = .

3. Repite el ejercicio anterior para la función g (x) = x3 – x2 – x + 1.

g (x) es derivable (y, por tanto, continua) en todo Á. En particular, es continua en[–2, –1] y derivable en (–2, –1).

Luego, cumple las hipótesis del teorema del valor medio.


= = = 9

g' (x) = 3x2 – 2x – 1 = 9 → 3x2 – 2x – 10 = 0

x = = = =

Por tanto, se cumple la tesis en c = .

4. Demuestra que f (x) cumple las hipótesis del teorema del valor medio en elintervalo [2, 6]. ¿En qué punto cumple la tesis?

f (x) =

f (x) = (2x – 3) = 5

f (x) = (–x2 + 10x – 19) = 5 f (x) es continua en x = 4.

f (4) = 5

Luego, f (x) es continua en el intervalo [2, 6]. (Para x ≠ 4 está formada por dos po-linomios).

Veamos si es derivable:

f ' (x) =

En x = 4, tenemos que f ' (4–) = f ' (4+) = 2. Por tanto, la función es derivable en(2, 6). Su derivada es:

f ' (x) =

Luego, se cumplen las hipótesis del teorema del valor medio.

2 si x ≤ 4–2x + 10 si x > 4

2 si x < 4–2x + 10 si x > 4

límx → 4

límx → 4+

límx → 4

límx → 4–

2x – 3 si x < 4–x2 + 10x – 19 si x ≥ 4

1 – √313

x � 2,19

x � –1,521 ± √31

32 ± 2√31

62 ± √124

62 ± √4 + 120

6

0 – (–9)–1 + 2

g (–1) – g (–2)–1 – (–2)

g (b) – g (a)b – a

–32

–32



= = = 1

f ' (c) = 1 → –2x + 10 = 1 → x =


5. Aplicando el teorema de Rolle, demuestra que x3 – 3x + b = 0 no puede tenermás de una raíz en el intervalo [–1, 1] cualquiera que sea el valor de b. (Hazlopor reducción al absurdo: empieza suponiendo que hay dos raíces en ese in-tervalo).

• f (x) = x3 – 3x + b es continua en [–1, 1] y derivable en (–1, 1).

f ' (x) = 3x2 – 3 = 0

La derivada solo se anula en x = –1 y en x = 1.

• Supongamos que f (x) tiene dos raíces en [–1, 1], sean c1 y c2. Por el teoremade Rolle, como f (c1) = f (c2) = 0, existiría un c ∈ (c1, c2) tal que f ' (c) = 0.

Pero f ' (x) solo se anula en x = –1 y en x = 1, que no están incluidos en (c1, c2),pues –1 ≤ c1, c2 ≤ 1.

Hemos llegado a una contradicción.

• Por tanto, x3 – 3x + b = 0 no puede tener más de una raíz en el intervalo [–1, 1],cualquiera que sea el valor de b.

6. Calcula p, m y n para que:

f (x) =

cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [–1, 5]. ¿Dónde cum-ple la tesis? Represéntala.

• Si x ≠ 3, la función es continua, pues está formada por polinomios. Su dominio es[–1, 5].

• En x = 3, para que sea continua, ha de ser:

f (x) = (–x2 + px) = –9 + 3p

f (x) = (mx + n) = 3m + n –9 + 3p = 3m + n

f (3) = 3m + n = –9 + 3p

límx → 3

límx → 3+

límx → 3

límx → 3–

– x2 + px si –1 ≤ x ≤ 3mx + n si 3 ≤ x ≤ 5

x = –1

x = 1

92

92

44

5 – 14

f (6) – f (2)6 – 2


• Si x ∈ (–1, 5) y x ≠ 3, su derivada es:

f ' (x) =

• Para que f (x) sea derivable en x = 3, ha de ser:

6 + p = m

• Para que se cumplan las hipótesis del teorema de Rolle, además, debe tenerse quef (–1) = f (5); es decir:

–1 – p = 5m + n

• Uniendo las tres condiciones anteriores, tenemos que:

m = – ; n = 9; p =

• Con estos valores:

f ' (x) =

–2x + = 0 → x = ∈ (–1, 5)


f (x) =

Página 290

1. Demuestra que: “Si f es continua en [a, b ], derivable en (a, b) y f' (x) < 0 pa-ra x ∈ (a, b), entonces f es decreciente en [a, b ]”.

Si tomamos dos puntos cualesquiera x1 < x2 de [a, b], se cumplen las hipótesis delteorema del valor medio en [x1, x2] y, por tanto, su tesis:

= f ' (c) < 0f (x2) – f (x1)

x2 – x1

10–x2 + —x si –1 ≤ x ≤ 3

38

– —x + 9 si 3 ≤ x ≤ 53

53

53

103

10–2x + — si –1 < x < 3

38

– — si 3 ≤ x < 53

103

83

–9 + 3p = 3m + n–6 + p = m–1 – p = 5m + n

f (–1) = –1 – pf (5) = 5m + n

f ' (3–) = –6 + pf ' (3+) = m

–2x + p si –1 < x < 3m si 3 < x < 5


1 5—3

2 3 4 5–1

–4

1

2

3 2,8

4,3

Se deduce que f (x2) – f (x1) < 0 y, por tanto, f (x2) < f (x1).

La función es, pues, decreciente en [a, b].

2. Demuestra que: “Si f' (x0) = 0 y f'' (x0) < 0, entonces f presenta un máximoen x0”.

f '' (x0) = = < 0

Si h < 0, entonces:

f ' (x0 + h) > 0 → f es creciente a la izquierda de x0 (1)

Si h > 0, entonces:

f ' (x0 + h) < 0 → f es decreciente a la derecha de x0 (2)

Por (1) y (2), f presenta un máximo en x0, ya que es creciente a la izquierda de x0y decreciente a su derecha.

Página 297


PARA PRACTICAR

Recta tangente

1 Halla la ecuación de la recta tangente a las siguientes curvas en los puntosque se indican:

a) y = ln (tg 2x) en x =

b) y = en x =

c) x2 + y2 – 2x – 8y + 15 = 0 en x = 2

a) • Ordenada en el punto: x = → y = 0

• Pendiente de la recta: y' = → y' ( ) = 4

• Recta tangente: y = 4 (x – ) = 4x –

b) • Ordenada en el punto: x = → y = √22

π6

π2

π8

π8

2(1 + tg2 2x)tg 2x

π8

π6

√sen 5x

π8

f ' (x0 + h)

hlím

h → 0

f ' (x0 + h) – f ' (x0)

hlím

h → 0


S

• Pendiente de la recta:

y' = → y' ( ) = = =

• Recta tangente: y = – (x – )c) • Ordenadas en los puntos:

4 + y2 – 4 – 8y + 15 = 0 → y2 – 8y + 15 = 0

y = =

• Pendiente de las rectas:

2x + 2yy' – 2 – 8y' = 0

y' (2y – 8) = 2 – 2x → y' = =

y' (2, 5) = = –1

y' (2, 3) = = 1

• Recta tangente en (2, 5): y = 5 – 1 · (x – 2) → y = –x + 7

• Recta tangente en (2, 3): y = 3 + 1 · (x – 2) → y = x + 1

2 Halla las tangentes a la curva y = paralelas a la recta 2x + y = 0.

La pendiente de la recta 2x + y = 0 es m = –2.

Buscamos los puntos en los que la derivada sea igual a –2:

y' = = =

y' = –2 → = –2 → –2 = –2(x2 – 2x + 1)

x2 – 2x + 1 → x2 – 2x = 0 → x (x – 2) = 0

Recta tangente en (0, 0): y = –2x

Recta tangente en (2, 4): y = 4 – 2(x – 2) → y = –2x + 8

x = 0 → Punto (0, 0)

x = 2 → Punto (2, 4)

–2x2 – 2x + 1

–2x2 – 2x + 1

2x – 2 – 2xx2 – 2x + 1

2(x – 1) – 2x(x – 1)2

2xx – 1

1 – 23 – 4

1 – 25 – 4

1 – xy – 4

2 – 2x2y – 8

y = 5 → Punto (2, 5)

y = 3 → Punto (2, 3)8 ± 2

28 ± √64 – 60

4

π6

5√64

√22

–5√—6

4

–5√—3

2√—2

5(–√—3 /2)

2√—2 /2

π6

5 cos 5x

2√sen 5x


3 Escribe las ecuaciones de las tangentes en los puntos que se indican:

a) y = Sh x = en 0 y ln 2

b) y = en x = 0

c) y = (x2 + 1)sen x en x = 0 y x = π

a) y' =

• En x = 0 → f (0) = 0; f ' (0) = 1

y = x

• En x = ln 2 → f (ln 2) = ; f ' (ln 2) =

y = + (x – ln 2)

b) y' = = ; f ' (0) = ; f (0) = 1

y = 1 + x

c) Hallamos la derivada tomando logaritmos:

ln y = ln (x2 + 1)sen x → ln y = sen x · ln (x2 + 1)

= cos x · ln (x2 + 1) + sen x ·

y' = (x2 + 1)sen x [cos x · ln (x2 + 1) + ]• En x = 0: → f (0) = 1; f ' (0) = 0 → y = 1

• En x = π: → f (π) = 1; f ' (π) = –ln (π2 + 1)

y = 1 – ln (π2 + 1) · (x – π)

4 Halla un punto de la gráfica y = x2 + x + 5 en el cual la recta tangente sea pa-ralela a y = 3x + 8.

• La pendiente de la recta y = 3x + 8 es m = 3.

• Buscamos un punto en el que la derivada valga 3:

f ' (x) = 2x + 1

f ' (x) = 3 → 2x + 1 = 3 → x = 1 → y = 7

• El punto es (1, 7).

2x sen xx2 + 1

2xx2 + 1

y'

y

34

34

2√—x + 1 + 1

4√—x + 1 √x + √

—x + 1

11 + ——2√—x + 1

2√x + √—x + 1

54

34

54

34

ex + e–x

2

√x + √—x + 1

ex – e–x

2


S

5 Halla una recta que sea tangente a la curva:

y = x2 – 2x + 3

y que forme un ángulo de 45° con el eje de abscisas. ¿Hay algún punto de lacurva en el que la recta tangente sea horizontal?

• Si forma un ángulo de 45° con el eje de abscisas, su pendiente es tg 45° = 1.

• Buscamos un punto en el que la derivada valga 1:

f ' (x) = 2x – 2

f ' (x) = 1 → 2x – 2 = 1 → x = → y =

• La recta es: y = + (x – ) → y = x +

• Veamos si hay algún punto de la curva en el que la recta tangente sea horizontal;es decir, en el que la derivada valga cero:

f ' (x) = 2x – 2 = 0 → x = 1 → y = 2 → Punto (1, 2)

6 Obtén la ecuación de la recta tangente paralela al eje de abscisas en las si-guientes curvas:

a) y = x ln x b) y = x2 ex c) y = sen 2x

Una recta paralela al eje de abscisas tiene pendiente cero.

a) y' = ln x + x · = ln x + 1

y' = 0 → ln x + 1 = 0 → ln x = –1 → x = e–1 = → y =

La recta tangente en el punto ( , ) es: y =

b) y' = 2x ex + x2 ex = (2x + x2)ex. Como ex ≠ 0 para todo x :

y' = 0 → 2x + x2 = 0 → x (2 + x) = 0

• En el punto (0, 0), la recta tangente es: y = 0

• En el punto (–2, ), la recta tangente es: y =

c) y' = 2 cos 2x

y' = 0 → 2 cos 2x = 0

2x = + 2πk → x = + πk → y = 1

2x = + 2πk → x = + πk → y = –13π4

3π2

π4

π2

4e2

4e2

x = 0 → Punto (0, 0)

x = –2 → Punto (–2, 4/e2)

–1e

–1e

1e

–1e

1e

1x

34

32

94

94

32


S

• En los puntos ( + πk, 1), con k ∈ Z, la recta tangente es: y = 1

• En los puntos ( + πk, –1), con k ∈ Z, la recta tangente es: y = –1

7 Halla la ecuación de la recta tangente a la curva xy · yx = 1 en el punto (1, 1).

Para hallar la derivada tomamos logaritmos:

xy · yx = 1 → y ln x + x ln y = ln 1 → y ln x + x ln y = 0

Derivamos:

y' ln x + y · + ln y + x · = 0

y' xy ln x + y2 + xy ln y + x2 y' = 0

y' (xy ln x + x2) = –y2 – xy ln y

y' =

y' (1, 1) = –1

Por tanto, la ecuación de la recta tangente en (1, 1) es:

y = 1 – (x – 1); es decir, y = –x + 2

8 Halla el punto de la gráfica de y = 2 en el que la tangente forme un án-gulo de 60° con el eje X. Escribe la ecuación de esa tangente.

• Si forma un ángulo de 60° con el eje X, su pendiente es tg 60° = .

• Buscamos un punto en el que la derivada valga :

y' = =

y' = → = → 1 = 3x → x = → y = =

El punto es ( , ).• La recta tangente en ese punto será:

y = + (x – ) → y = + x – → y = x + √33

√3√33

√32√33

13

√32√33

2√33

13

2√33

2

√3

13

√31

√x√3

1

√x

2

2√x

√3

√3

√x

–y2 – xy ln yxy ln x + x2

y'

y1x

3π4

π4


Máximos y mínimos. Puntos de inflexión

9 Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de las siguientes funciones:

a) y = x3 – 6x2 + 9x b) y = c) y = x4 – 2x3

d) y = x4 + 2x2 e) y = f) y = ex (x – 1)

a) f ' (x) = 3x2 – 12x + 9

f ' (x) = 0 → 3(x2 – 4x + 3) = 0 → x = =

=

Signo de la derivada:

Hay un mínimo en (3, 0) y un máximo en (1, 4).

Puntos de inflexión:

f '' (x) = 6x – 12 = 0 → x = 2 → y = 2

Como f '' (x) < 0 para x < 2 y f '' (x) > 0 para x > 2, el punto (2, 2) es unpunto de inflexión.

b) y =

f ' (x) = = x3 – 2x2

f ' (x) = 0 → x2(x – 2) = 0

Hay un mínimo en (2, ).f '' (x) = 3x2 – 4x = 0 → x (3x – 4) = 0

Hay un punto de inflexión en (0, 0) y otro en ( , ).–6481

43

x = 0 → y = 0

x = 4/3 → y = –(64/81)

–43

x = 0 → y = 0

x = 2 → y = –(4/3)

12x3 – 24x2

12

3x4 – 8x3

12

x = 3 → y = 0

x = 1 → y = 44 ± 2

2

4 ± √16 – 122

1x2 + 1

x3 (3x – 8)12


1 3

f ' > 0 f ' < 0 f ' > 0

1 3

f ' < 0 f ' < 0 f ' > 0

0 4—3

f '' > 0 f '' < 0 f '' > 0

S

c) f ' (x) = 4x3 – 6x2

f ' (x) = 0 → x2(4x – 6) = 0

Hay un mínimo en ( , ).f '' (x) = 12x2 – 12x = 12x (x – 1) = 0

Hay un punto de inflexión en (0, 0) y otro en (1, –1).

d) f ' (x) = 4x3 – 4x

f ' (x) = 0 → 4x (x2 + 1) = 0 → x = 0 → y = 0

Hay un mínimo en (0, 0).

f '' (x) = 12x2 + 4 ≠ 0 para todo x.

No hay puntos de inflexión.

e) f ' (x) =

f ' (x) = 0 → –2x = 0 → x = 0 → y = 1

Hay un máximo en (0, 1).

f '' (x) = = =

f '' (x) = 0 → x = ± = ± = ± → y = 34

√33

1

√3

6x2 – 2(x2 + 1)3

–2(x2 + 1) + 8x2

(x2 + 1)3–2(x2 + 1)2 + 2x · 2(x2 + 1) · 2x

(x2 + 1)4

–2x(x2 + 1)2

x = 0 → y = 0

x = 1 → y = –1

–2716

32

x = 0 → y = 0

x = 3/2 → y = –(27/16)


0

f ' < 0 f ' < 0 f ' > 0

3—2

0

f ' < 0 f ' > 0

0

f ' > 0 f ' < 0

0 1

f '' > 0 f '' < 0 f '' > 0

–√–3—

3√–3—3

f '' > 0 f '' < 0 f '' > 0

S

Hay un punto de inflexión en (– , ) y otro en ( , ).f ) f ' (x) = ex(x – 1) + ex = ex(x – 1 + 1) = xex

f ' (x) = 0 → xex = 0 → x = 0 (pues ex ≠ 0 para todo x)

y = –1

Hay un mínimo en (0, –1).

f '' (x) = ex + xex = ex(1 + x)

f '' (x) = 0 → x = –1 → y =

Hay un punto de inflexión en (–1, ).10 Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes fun-

ciones y di si tienen máximos o mínimos:

a) y = b) y = c) y = d) y =

a) y = . Dominio = Á – {–2, 2}

f ' (x) = = 0 → x = 0


La función: crece en (–∞, –2) U (–2, 0)

decrece en (0, 2) U (2, +∞)

tiene un máximo en (0, )–14

–2x(x2 – 4)2

1x2 – 4

x2 – 1x

x2

x2 + 12x – 3x + 1

1x2 – 4

–2e

–2e

34

√33

34

√33


0

f '' < 0 f '' > 0

–2 0 2

f ' > 0 f ' > 0 f ' < 0 f ' < 0

–1

f '' < 0 f '' > 0

b) y = . Dominio = Á – {–1}

f ' (x) = = =

f ' (x) > 0 para todo x ≠ –1.

Por tanto, la función es creciente en (–∞, –1) U (–1, +∞).

No tiene máximos ni mínimos.

c) y = . Dominio = Á

f ' (x) = = =

f ' (x) > 0 → 2x = 0 → x = 0


La función: decrece en (–∞, 0)

crece en (0, +∞)

tiene un mínimo en (0, 0)

d) y = . Dominio = Á – {0}

f ' (x) = = =

f ' (x) ≠ 0 para todo x ≠ 0.

f ' (x) > 0 para todo x ≠ 0.

La función es creciente en (–∞, 0) U (0, +∞).


11 Halla los intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos de las siguien-tes funciones:

a) y = b) y = c) y =

d) y = e) y = x3 – 3x2 – 9x f) y = 8x2 (x – 3)

2x2 – 3x2 – x

x3

x2 – 1x2 + 1x2 – 1

8 – 3xx (x – 2)

x2 + 1x2

2x2 – x2 + 1x2

2x · x – (x2 – 1)x2

x2 – 1x

2x(x2 + 1)2

2x3 + 2x – 2x3

(x2 + 1)22x (x2 + 1) – 2x · x2

(x2 + 1)2

x2

x2 + 1

5(x + 1)2

2x + 2 – 2x + 3(x + 1)2

2(x + 1) – (2x – 3)(x + 1)2

2x – 3x + 1


0

f ' < 0 f ' > 0

S

a) y = = . Dominio = Á – {0, 2}

f ' (x) = = =

=

f ' (x) = 0 → 3x2 – 16x + 16 = 0 → x = = =

=


La función: es creciente en (–∞, 0) U (0, ) U (4, +∞)

es decreciente en ( , 2) U (2, 4)

tiene un máximo en ( , – )tiene un mínimo en (4, – )

b) y = . Dominio = Á – {–1, 1}

f ' (x) = = =

f ' (x) = 0 → –4x = 0 → x = 0


La función: es creciente en (–∞, –1) U (–1, 0)

es decreciente en (0, 1) U (1, +∞)

tiene un máximo en (0, –1)

–4x

(x2 – 1)22x3 – 2x – 2x3 – 2x

(x2 – 1)22x (x2 – 1) – (x2 + 1) · 2x

(x2 – 1)2

x2 + 1x2 – 1

12

92

43

43

43

x = 4

x = 4/316 ± 8

6

16 ± √646

16 ± √256 – 1926

–3x2 – 16x + 16(x2 – 2x)2

–3x2 + 6x – 16x + 16 + 6x2 – 6x(x2 – 2x)2

–3(x2 – 2x) – (8 – 3x) · (2x – 2)(x2 – 2x)2

8 – 3xx2 –2x

8 – 3xx (x – 2)


–1 0 1

f ' > 0 f ' > 0 f ' < 0 f ' < 0

0 2 4

f ' > 0 f ' > 0 f ' < 0f ' < 0

4—3

f ' > 0

c) y = . Dominio = Á – {–1, 1}

f ' (x) = = = =

f ' (x) = 0 → x2(x2 – 3) = 0


La función: es creciente en (–∞, –√—3 ) U (√

—3 , +∞)

es decreciente en (–√—3 , –1) U (–1, 1) U (1, √

—3 )

tiene un máximo en (–√—3 , – )

tiene un mínimo en (√—3 , )

tiene un punto de inflexión en (0, 0)

d) y = . Dominio = Á – {2}

f ' (x) = = =

= =

f ' (x) = 0 → x2 – 4x + 3 = 0 → x = = =

=


x = 3

x = 14 ± 2

2

4 ± √42

4 ± √16 – 122

–2(x 2 – 4x + 3)(2 – x)2

–2x2 + 8x – 6(2 – x)2

8x – 4x2 – 6 + 3x + 2x2 – 3x(2 – x)2

(4x – 3) · (2 – x) – (2x2 – 3x) · (–1)(2 – x)2

2x2 – 3x2 – x

3√32

3√32

x = 0

x = –√—3

x = √—3

x2(x2 – 3)(x2 – 1)2

x4 – 3x2

(x2 – 1)23x4 – 3x2 – 2x4

(x2 – 1)23x2(x2 – 1) – x3 · 2x

(x2 – 1)2

x3

x2 – 1


–1 0 1

f ' < 0f ' > 0 f ' < 0 f ' < 0 f ' > 0f ' < 0

√–3–√

–3

1 2 3

f ' < 0 f ' > 0 f ' > 0 f ' < 0

La función: es creciente en (1, 2) U (2, 3)

es decreciente en (–∞, 1) U (3, +∞)

tiene un mínimo en (1, –1)


e) y = x3 – 3x2 – 9x. Dominio = Áf ' (x) = 3x2 – 6x – 9 = 3(x2 – 2x – 3)

f ' (x) = 0 → x = = =


La función: es creciente en (–∞, –1) U (3, +∞)

es decreciente en (–1, 3)

tiene un máximo en (–1, 5)


f) y = = . Dominio = Á – {0, 3}

f ' (x) = = =

f ' (x) = 0 → 3x – 6 = 0 → x = 2


La función: es creciente en (0, 2)

es decreciente en (–∞, 0) U (2, 3) U (3, +∞)


12 Estudia la concavidad, convexidad y puntos de inflexión de las siguientesfunciones:

a) y = x3 – 3x + 4 b) y = x4 – 6x2 c) y = (x – 2)4

d) y = x ex e) y = f) y = ln (x + 1)2 – xx + 1

–8(3x – 6)x3(x – 3)2

–8x (3x – 6)x4(x – 3)2

–8(3x2 – 6x)x4(x – 3)2

8x3 – 3x2

8x2(x – 3)

x = 3

x = –12 ± 4

22 ± √16

22 ± √4 + 12

2


–1 3

f ' > 0 f ' < 0 f ' > 0

0 2

f ' < 0 f ' > 0 f ' < 0

3

f ' < 0

S

a) y = x3 – 3x + 4. Dominio = Áf ' (x) = 3x2 – 3; f '' (x) = 6x

f '' (x) = 0 → 6x = 0 → x = 0

Signo de f '' (x):

La función: es convexa en (–∞, 0)

es cóncava en (0, +∞)


b) y = x4 – 6x2. Dominio = Áf ' (x) = 4x3 – 12x; f '' (x) = 12x2 – 12

f '' (x) = 0 → 12(x2 – 1) = 0

Signo de f '' (x):

La función: es cóncava en (–∞, –1) U (1, +∞)

es convexa en (–1, 1)

tiene un punto de inflexión en (–1, –5) y otro en (1, –5)

c) y = (x – 2)4. Dominio = Á

f ' (x) = 4(x – 2)3; f '' (x) = 12(x – 2)2

f '' (x) = 0 → x = 2

f '' (x) > 0 para x ≠ 2

Por tanto, la función es cóncava. No tiene puntos de inflexión.

d) y = x ex. Dominio = Á

f ' (x) = ex + x ex = (1 + x)ex ; f '' (x) = ex + (1 + x)ex = (2 + x)ex

f '' (x) = 0 → x = –2 (ex ≠ 0 para todo x)

Signo de f '' (x):

x = –1

x = 1


0

f '' < 0 f '' > 0

–2

f '' < 0 f '' > 0

–1 1

f '' > 0 f '' < 0 f '' > 0

La función: es convexa en (–∞, –2)

es cóncava en (–2, +∞)

tiene un punto de inflexión en (–2, – )e) y = . Dominio = Á – {–1}

f ' (x) = = =

f '' (x) =

f '' (x) ≠ 0 para todo x.

Signo de f '' (x):

La función: es convexa en (–∞, –1)

es cóncava en (–1, +∞)

no tiene puntos de inflexión

f) y = ln (x + 1). Dominio = (–1, +∞)

f ' (x) =

f '' (x) =

f '' (x) < 0 para x ∈ (–1, +∞)

Por tanto, la función es convexa en (–1, +∞).

PARA RESOLVER

13 Estudia si las siguientes funciones tienen máximos, mínimos o puntos de in-flexión en el punto de abscisa x = 1:

a) y = 1 + (x – 1)3 b) y = 2 + (x – 1)4

c) y = 3 – (x – 1)6 d) y = –3 + 2(x – 1)5

a) f ' (x) = 3(x – 1)2; f '' (x) = 6(x – 1)

Hay un punto de inflexión en x = 1.

–1(x + 1)2

1x + 1

6(x + 1)3

–3(x + 1)2

–x – 1 – 2 + x(x + 1)2

–1(x + 1) – (2 – x)(x + 1)2

2 – xx + 1

2e2


–1

f '' < 0 f '' > 0

1

f '' < 0 f '' > 0

1

f ' > 0 f ' > 0

b) f ' (x) = 4(x – 1)3; f '' (x) = 12(x – 1)2

Hay un mínimo en x = 1.

c) f ' (x) = –6(x – 1)5; f '' (x) = –30(x – 1)4

Hay un máximo en x = 1.

d) f ' (x) = 10(x – 1)4; f '' (x) = 40(x – 1)3


Página 298

14 Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva y = en el punto (3, ).Comprueba que el segmento de esa recta comprendido entre los ejes decoordenadas está dividido en dos partes iguales por el punto de tangencia.

f ' (x) = ; f ' (3) =

• Ecuación de la recta tangente en (3, ):y = – (x – 3)

• Puntos de corte de la recta tangente con los ejes coordenados:

x = 0 → y = → Punto (0, )y = 0 → x = 6 → Punto (6, 0)

dist [(3, ), (0, )] = (3 – 0)2 + ( – )2 =

dist [(3, ), (6, 0)] = (6 – 3)2 + (0 – )2 = √823

13

13

√823

23

13

23

13

23

23

19

13

13

–19

–1x2

13

1x


1

f '' > 0 f '' > 0

1

f ' < 0 f ' > 0

1

f '' < 0 f '' < 0

1

f ' > 0 f ' < 0

1

f '' < 0 f '' > 0

1

f ' > 0 f ' > 0

La distancia es la misma.

15 Dada la parábola y = 3x2, encuentra un punto en el que la recta tangente ala curva en dicho punto sea paralela a la cuerda que une los puntos (0, 0) y(4, 48).

• La cuerda que une los puntos (0, 0) y (4, 48) tiene pendiente:

m = = 12

• Buscamos un punto de la función y = 3x2 en el que la derivada valga 12:

f ' (x) = 6x

f ' (x) = 12 → 6x = 12 → x = 2

• El punto es (2, 12).

16 Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y = 4x3 – 2x2 – 10 en supunto de inflexión.

• Hallamos su punto de inflexión:

f ' (x) = 12x2 – 4x; f '' (x) = 24x – 4

f '' (x) = 24x – 4 = 0 → x =

Hay un punto de inflexión en ( , – ).• Pendiente de la recta tangente en ese punto: f ' ( ) = –

• Ecuación de la recta tangente:

y = – – (x – )17 Estudia los intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos de la fun-

ción dada por: y = x2 + 2x – 3

x2 + 2x – 3 = 0 → x = =

f (x) =

f ' (x) =

2x + 2 si x < –3

–2x – 2 si –3 < x < 1

2x + 2 si x > 1

x2 + 2x – 3 si x < –3

–x2 – 2x + 3 si –3 ≤ x ≤ 1

x2 + 2x – 3 si x > 1

x = 1

x = –3–2 ± 4

2–2 ± √4 + 12

2

16

13

27127

13

16

27127

16

16

484


1—6

f '' < 0 f '' > 0

S

En x = –3 no es derivable, pues f ' (–3–) = –4 ≠ f ' (–3+) = 4.

En x = 1 no es derivable, pues f ' (1–) = –4 ≠ f ' (1+) = 4.

• Veamos dónde se anula la derivada:

2x + 2 = 0 → x = –1

Pero f ' (x) = 2x + 2 para x < –3 y x > 1.

–2x – 2 = 0 → x = –1 y f ' (x) = –2x – 2 para –3 < x < 1

Por tanto f ' (x) se anula en x = –1.

• Signo de la derivada:

• La función: es creciente en (–3, –1) U (1, +∞)

es decreciente en (–∞, –3) U (–1, 1)

tiene un máximo en (–1, –4)

tiene un mínimo en (–3, 0) y otro en (1, 0).

18 Estudia la existencia de máximos y mínimos relativos y absolutos de la fun-ción y = x2 – 4 .

f (x) =

f ' (x) =

En x = –2 no es derivable, pues f ' (–2–) = –4 ≠ f ' (–2+) = 4.

En x = 2 no es derivable, pues f ' (2–) = –4 ≠ f ' (2+) = 4.

• La derivada se anula en x = 0.

• Signo de la derivada:

• La función tiene un máximo relativo en (0, 4).

No tiene máximo absoluto ( f (x) = f (x) = +∞).

• Tiene un mínimo relativo en (–2, 0) y otro en (2, 0). En estos puntos, el míni-mo también es absoluto, puesto que f (x) ≥ 0 para todo x.

límx → –∞

límx → +∞

2x si x < –2

–2x si –2 < x < 2

2x si x > 2

x2 – 4 si x < –2

–x2 + 4 si –2 ≤ x ≤ 2

x2 – 4 si x > 2


–3 –1 1

f ' < 0 f ' > 0 f ' < 0 f ' > 0

–2 0 2

f ' < 0 f ' > 0 f ' < 0 f ' > 0

S19 Halla el valor de c de modo que la función y = tenga un único ex-

tremo relativo.

¿Se trata de un máximo o de un mínimo?

f ' (x) = =

f ' (x) = 0 → x2 – 2x + c = 0 → x =

Para que solo haya un extremo relativo, ha de ser: 4 – 4c = 0 → c = 1

En este caso sería:

y = ; f ' (x) =

f ' (x) = 0 → x = 1

f ' (x) > 0 si x ≠ 1 → f (x) es creciente si x ≠ 1.


20 Estudia el crecimiento de la función:

f (x) = ex (cos x + sen x)

y determina los máximos y mínimos de la función para x ∈ [0, 2π].

Consideramos la función: f (x) = ex(cos x + sen x) para x ∈ [0, 2π].

Calculamos la derivada:

f ' (x) = ex(cos x + sen x) + ex(–sen x + cos x) = ex(2 cos x) = 2ex cos x

x =

f ' (x) = 0 → cos x = 0

x =

(para x ∈ [0, 2π])


La función: es creciente en [0, ) U ( , 2π]es decreciente en ( , )tiene un máximo en ( , eπ/2)tiene un mínimo en ( , –e3π/2)3π

2

π2

3π2

π2

3π2

π2

3π2

π2

ex(x + 1)2

(x2 + 1)2ex

x2 + 1

2 ± √4 – 4c2

ex(x2 + c – 2x)(x2 + c)2

ex(x2 + c) – ex · 2x(x2 + c)2

ex

x2 + c


0 π—2

3π—2

f ' > 0 f ' < 0 f ' > 0

2π

S

21 Dada la función y = ax4 + 3bx3 – 3x2 – ax, calcula los valores de a y b sa-biendo que la función tiene dos puntos de inflexión, uno en x = 1 y otro enx = 1/2.

f ' (x) = 4ax3 + 9bx2 – 6x – a

f '' (x) = 12ax2 + 18bx – 6

Restando las igualdades: a + 1 = 0 → a = –1

Sustituyendo en la 2-ª ecuación: 3b – 3 = 0 → b = 1

22 Sea f (x) = ax3 + bx2 + cx + d un polinomio que cumple f (1) = 0, f '(0) = 2y tiene dos extremos relativos para x = 1 y x = 2.

a) Halla a, b, c y d.

b) ¿Son máximos o mínimos los extremos relativos?

a) f (x) = ax3 + bx2 + cx + d

f ' (x) = 3ax2 + 2bx + c

f (1) = 0 → a + b + c + d = 0 a + b + d = –2 a =

f ' (0) = 2 → c = 2 c = 2 b =

f ' (1) = 0 → 3a + 2b + c = 0 3a + 2b = –2 c = 2

f ' (2) = 0 → 12a + 4b + c = 0 6a + 2b = –1 d =

Así: f (x) = x3 – x2 + 2x – ; f ' (x) = x2 – 3x + 2 = (x – 1) · (x – 2)

b) Signo de la derivada:

Hay un máximo para x = 1 y un mínimo para x = 2.

23 La curva y = x3 + ax2 + bx + c corta al eje de abscisas en x = –1 y tiene unpunto de inflexión en (2, 1). Calcula a, b y c.

y = x3 + ax2 + bx + c

f ' (x) = 3x2 + 2ax + b

f '' (x) = 6x + 2a

56

32

13

–56

–32

13

2a + 3b – 1 = 0

a + 3b – 2 = 0

f '' (1) = 0 → 12a + 18b – 6 = 0

f '' (1/2) = 0 → 3a + 9b – 6 = 0


1

f ' > 0 f ' < 0 f ' > 0

2

S

f (–1) = 0 → –1 + a – b + c = 0 a – b + c = 1 a = –6

f (2) = 1 → 8 + 4a + 2b + c = 1 4a + 2b + c = –7 b =

f '' (2) = 0 → 12 + 2a = 0 a = –6 c =

24 De la función f (x) = ax3 + bx sabemos que pasa por (1, 1) y en ese puntotiene tangente paralela a la recta 3x + y = 0.

a) Halla a y b.

b) Determina sus extremos relativos y sus intervalos de crecimiento y de-crecimiento.

a) f (x) = ax3 + bx; f ' (x) = 3ax2 + b

f (x) = –2x3 + 3x

b) f ' (x) = –6x2 + 3

x = –

f ' (x) = 0 → –3(2x2 – 1) = 0

x =


La función: es decreciente en (–∞, – ) U ( , +∞)es creciente en (– , )tiene un mínimo en (– , – )tiene un máximo en ( , )

25 La función f (x) = x3 + ax2 + bx + c verifica que f (1) = 1, f '(1) = 0 y que fno tiene extremo relativo en x = 1. Calcula a, b y c.

☛ Si es f '(1) = 0 y no hay extremo relativo, tiene que haber una inflexión en x = 1.

f (x) = x3 + ax2 + bx + c

f ' (x) = 3x2 + 2ax + b

f '' (x) = 6x + 2a

√2√22

√2√22

√22

√22

√22

√22

√22

√22

a = –2

b = 3

f (1) = 1 → a + b = 1

f ' (1) = –3 → 3a + b = –3

313

103


–√–2—

2

f ' < 0 f ' > 0 f ' < 0

√–2—2

f (x) = x3 – 3x2 + 3x

26 Sea f (x) = x3 + ax2 + bx + 5. Halla a y b para que la curva y = f (x) tengaen x = 1 un punto de inflexión con tangente horizontal.

Si en x = 1 tiene un punto de inflexión con tangente horizontal, ha de serf ' (1) = f '' (1) = 0.

f (x) = x3 + ax2 + bx + 5

f ' (x) = 3x2 + 2ax + b

f '' (x) = 6x + 2a

f (x) = x3 – 3x2 + 3x + 5

27 La curva y = x3 + αx2 + βx + γ corta al eje OX en x = 1 y tiene un punto deinflexión en (3, 2). Calcula los puntos de la curva que tengan recta tangenteparalela al eje OX.

f (x) = x3 + αx2 + βx + γ; f ' (x) = 3x2 + 2αx + β; f '' (x) = 6x + 2α

Así: f (x) = x3 – 9x2 + 24x – 16; f ' (x) = 3x2 – 18x + 24

• Puntos con tangente horizontal:

f ' (x) = 0 → x = = =

• Los puntos son (4, 0) y (2, 4).

28 Halla los puntos de la curva y = x2 + 4x – 4

en los que la recta tangente a esta pase por el punto (0, –8). Escribe las ecua-ciones de las rectas tangentes.

☛ La ecuación de la tangente es y = f (a) + f'(a) (x – a), donde f (a) = a2 + 4a – 4 y

f '(a) = a + 4.

Sustituye en la ecuación de la tangente y haz que esta pase por (0, –8).

La ecuación de la tangente en (a, f (a)) es y = f (a) + f ' (a)(x – a).

12

14

14

x = 4

x = 218 ± 6

618 ± √36

618 ± √324 – 288

6

α = –9

β = 24

γ = –16

f (1) = 0 → 1 + α + β + γ = 0

f (3) = 2 → 27 + 9α + 3β + γ = 2

f '' (3) = 0 → 18 + 2α = 0

a = –3

b = 3

f ' (1) = 0 → 3 + 2a + b = 0

f '' (1) = 0 → 6 + 2a = 0

a = –3

b = 3

c = 0

f (1) = 1 → 1 + a + b + c = 1

f ' (1) = 0 → 3 + 2a + b = 0

f '' (1) = 0 → 6 + 2a = 0


S

S

Como f (a) = a2 + 4a – 4 y f ' (a) = a + 4, queda:

y = a2 + 4a – 4 + ( a + 4) (x – a)

Si la recta tangente pasa por (0, –8):

–8 = a2 + 4a – 4 + ( a + 4) (–a)

–8 = a2 + 4a – 4 – a2 – 4a

–4 = – a2 → –16 = –a2 → a2 = 16

• Hay dos puntos: (–4, –16) y (4, 16)

• Recta tangente en (–4, –16): f ' (–4) = 2

y = –16 + 2(x + 4) → y = 2x – 8

• Recta tangente en (4, 16): f ' (4) = 6

y = 16 + 6(x + 4) → y = 6x – 8

29 Halla los puntos de la curva y = 3x2 – 5x + 12 en los que la recta tangente aella pase por el origen de coordenadas. Escribe las ecuaciones de dichas tan-gentes.

y = 3x2 – 5x + 12; f ' (x) = 6x – 5

• La recta tangente en un punto (a, f (a)) es:

y = f (a) + f ' (a)(x – a); es decir:

y = 3a2 – 5a + 12 + (6a – 5) · (x – a)

• Para que pase por el origen de coordenadas, ha de ser:

0 = 3a2 – 5a + 12 + (6a – 5) · (–a)

0 = 3a2 – 5a + 12 – 6a2 + 5a

3a2 = 12 → a2 = 4

• Hay dos puntos: (–2, 34) y (2, 14)

• Recta tangente en (–2, 34): f ' (–2) = –17

y = 34 – 17(x + 2) → y = –17x

• Recta tangente en (2, 14): f ' (2) = 7

y = 14 + 7(x – 2) → y = 7x

a = –2

a = 2

a = –4

a = 414

12

14

12

14

12

14

12

14


S

30 Dada la función f (x) = x2 – 3x + 4:

a) Halla la ecuación de la recta tangente a f en un punto cualquiera x = a.

b) Halla el valor o valores de a para que dicha recta pase por el puntoP (0, 0) (exterior a la curva).

a) f (x) = x2 – 3x + 4; f ' (x) = 2x – 3

La recta tangente en x = a es:

y = f (a) + f ' (a)(x – a); es decir:

y = a2 – 3a + 4 + (2a – 3) · (x – a)

b) Para que la recta pase por (0, 0) será:

0 = a2 – 3a + 4 + (2a – 3) · (–a)

0 = a2 – 3a + 4 – 2a2 + 3a

a2 = 4

Página 299

31 Halla el ángulo que forman las rectas tangentes a las funciones f (x) y g(x)en el punto de abscisa 2:

f (x) = 2x – x2 g(x) = x2 – x – 2

☛ Recuerda que el ángulo de dos rectas se puede calcular así: tg α = ,donde m1 y m2 son las pendientes de las rectas.

• La pendiente de la recta tangente a f (x) en x = 2 es:

f ' (x) = 2 – 2x → f ' (2) = –2

• La pendiente de la recta tangente a g (x) en x = 2 es:

g' (x) = 2x – 1 → g' (2) = 3

• El ángulo que forman las dos rectas será:

tg α = = 1 → α = 45°

32 Halla el dominio de definición, máximos, mínimos e intervalos de creci-miento y decrecimiento de las siguientes funciones:

a) y = x2 ln x b) y =

a) y = x2 ln x. Dominio = (0, +∞)

f ' (x) = 2x ln x + x2 · = 2x ln x + x = x (2 ln x + 1)1x

3√x2 + 2x

–2 – 31 – 6

m1 – m2

1 + m1 m2

a = –2

a = 2


S

f ' (x) = 0 → x (2 ln x + 1) = 0

x = 0 (no vale, pues no está en el dominio)

2 ln x + 1 = 0 → ln x = – → x = e–1/2 =


La función: es decreciente en (0, e–1/2)

es creciente en (e–1/2, +∞)

tiene un mínimo en (e–1/2, )b) y = . Dominio = Á

f ' (x) = (La función no es derivable en x = 0 ni en x = –2).

f ' (x) = 0 → 2x + 2 = 0 → x = –1


La función: es decreciente en (–∞, –1)

es creciente en (–1, +∞)

tiene un mínimo en (–1, –1)

33 Entre todos los triángulos isósceles de perímetro 30 cm, ¿cuál es el de áreamáxima?

Perímetro = 2x + y = 30 → y = 30 – 2x

Altura = h =

Área = = =

= = (15 – x) = =

= √30x3 – 1 125x2 + 13 500x – 50 625

√(15 – x)2(30x – 225)√30x – 225(30 – 2x) · √30x – 2252

(3c – 2x)2(30 – 2x) · √x2 – ——

42

y · h2

2x + 2

33√(x2 + 2x)2

3√x2 + 2x

–12e

1

√e

12


0

f ' < 0 f ' > 0

e–1/2

–2

f ' < 0 f ' < 0 f ' > 0

–1

f ' > 0

0

y

x x

h

S

Tenemos que maximizar la función área:

f (x) =

f ' (x) =

f ' (x) = 0 → 90x2 – 2 250x + 13 500 = 0

90(x2 – 25x + 150) = 0

x = = =

(x = 15 no vale, pues quedaría y = 0, al ser perímetro = 30)

(f ' (x) > 0 a la izquierda de x = 10 y f ' (x) < 0 a la derecha de x = 10. Por tan-to, en x = 10 hay un máximo).

Luego, el triángulo de área máxima es el equilátero de lado 10 cm, cuya área es

25 ≈ 43,3 cm2.

34 Se quiere construir un recipiente cónico de generatriz 10 cm y de capacidadmáxima. ¿Cuál debe ser el radio de la base?

h2 + R2 = 100 → R2 = 100 – h2

Volumen = πR2h = π(100 – h2)h = π(100h – h3)

Tenemos que maximizar la función volumen:

f (h) = π(100h – h3)

f ' (h) = π(100 – 3h2)

f ' (h) = 0 → 100 – 3h2 = 0 → h =

(consideramos la raíz positiva, pues h ≥ 0).

(f ' (h) > 0 a la izquierda de h = y f ' (h) < 0 a la derecha de h = .

Luego, en h = hay un máximo).Por tanto, el radio de la base será:

R2 = 100 – h2 = 100 – = → R = 2003

1003

13

13

13

13

13

√3

x = 15 (no vale)

x = 1025 ± 5

225 ± √25

225 ± √625 – 600

2

90x2 – 2 250x + 13 500

2√30x3 – 1 125x2 + 13 500x – 50 625

√30x3 – 1 125x2 + 13 500x – 50 625


R

10 cmh

35 Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada cuya capacidad sea8 dm3. Averigua las dimensiones de la caja para que su superficie exteriorsea mínima.

Volumen = x2y = 8 dm3 → y =

Superficie = 4xy + 2x2 = 4x + 2x2 = + 2x2

Tenemos que hallar el mínimo de la función superficie:

f (x) = + 2x2 → f ' (x) = + 4x =

f ' (x) = 0 → –32 + 4x3 = 0 → x3 = 8 → x = 2 → y = 2

(En x = 2 hay un mínimo, pues f ' (x) < 0 para x < 2 y f ' (x) > 0 para x > 2).

Por tanto, la caja ha de ser un cubo de lado 2 dm.

36 En un triángulo isósceles de base 12 cm (el lado desigual) y altura 10 cm, seinscribe un rectángulo de forma que uno de sus lados esté sobre la base deltriángulo y dos de sus vértices sobre los lados iguales:

a) Expresa el área, A, del rectángulo en función de la longitud de su base,x, y di cuál es el dominio de la función.

b) Halla el valor máximo de esa función.

a) Los triángulos ABC y DEC son semejantes; luego:

=

Como—AB = 10 cm

—DE = y

—BC = 6 cm

—EC =

tenemos que:

= → =

10(12 – x) = 12y → y = = =

Por tanto, el área del rectángulo es:

A = x · y = x · = → A(x) =

x puede tomar valores entre 0 y 12. Por tanto, el dominio de A(x) es:

Dominio = (0, 12)

60x – 5x2

660x – 5x2

6(60 – 5x)

6

60 – 5x6

5(12 – x)6

10(12 – x)12

1212 – x

10y

612 – x

2

10y

12 – x2

—BC—EC

—AB—DE

–32 + 4x3

x2–32x2

32x

32x

8x2

8x2


x

x

y

12 cm

x

B E C

D

A

A—B = 10 cm

y

S

S

b) Hallamos el máximo de A(x):

A' (x) =

A' (x) = 0 → 60 – 10x = 0 → x = 6 → y = 5

(En x = 6 hay un máximo, pues A'(x) > 0 para x < 6 y A'(x) < 0 para x > 6).

El máximo de la función A(x) se alcanza en x = 6, que corresponde al rectán-gulo de base 6 cm y altura 5 cm. En este caso, el área es de 30 cm2 (que es elárea máxima).

37 De todos los rectángulos de área 100 dm2, halla las dimensiones del quetenga la diagonal mínima.

Área = x · y = 100 dm2 → y =

La diagonal mide:

d = = =

Tenemos que minimizar la función:

d (x) =

d' (x) = = =

d' (x) = 0 → x4 – 10 000 = 0 → x = = 10 → x = 10 → y = 10

(En x = 10 hay un mínimo, pues d' (x) < 0 a la izquierda de x = 10 y d' (x) > 0a la derecha de x = 10).

Por tanto, la diagonal mínima corresponde al cuadrado de lado 10 dm.

38 Un triángulo isósceles tiene el lado desigual de 12 m yla altura relativa a ese lado de 5 m.

Encuentra un punto sobre la altura tal que la suma dedistancias a los tres vértices sea mínima.

La suma de las distancias a los tres vértices es:

S = 2d1 + d2

Pero: d1 = y d2 = 5 – x

Por tanto:

S (x) = 2 + 5 – x√x2 + 36

√x2 + 36

4√10000

x4 – 10 000

x2√x4 + 10 000

2x4 – 20 000

√x4 + 10 0002x3 ——————

x

200002x – ——x3

10 0002√x2 + ——x2

√x2 + y2

100x

60 – 10x6


d

x

y

d1

d2

xd1

6 6

altura = 5 m

12

S

Tenemos que minimizar la función S (x):

S' (x) = 2 · – 1 =

S' (x) = 0 → 2x – = 0 → 2x =

4x2 = x2 + 36 → 3x2 = 36 → x2 = 12 → x = = 2

(consideramos solo la raíz positiva, pues x ≥ 0).

(En x = 2 hay un mínimo, pues S' (x) < 0 a la izquierda de este valor yS' (x) > 0 a su derecha).

Por tanto, el punto buscado se encuentra a 2 m de la base, situado sobre la al-tura.

39 Halla la base y la altura de una cartulina rectan-gular de perímetro 60 cm que, al dar la vueltacompleta alrededor de un lado vertical, genereun cilindro de volumen máximo.

Perímetro cartulina = 2x + 2y = 60 → x + y = 30 →

→ x = 30 – y

Volumen = πy2x = πy2(30 – y) = π(30y2 – y3)

Tenemos que maximizar la función:

V (y) = π(30y2 – y3)

V' (y) = π(60y – 3y2)

V' (y) = 60y – 3y2 = 0 → 3y (20 – y) = 0

(En y = 20 hay un máximo, pues V' (y) > 0 a la izquierda de este valor yV' (y) < 0 a su derecha).

Los lados de la cartulina medirán 20 cm y 10 cm.

40 El punto P (x, y) recorre la elipse de ecuación: + = 1

Deduce las posiciones del punto P para las que su distancia al punto (0, 0)es máxima y también aquellas para las que su distancia es mínima.

La distancia de P a (0, 0) es:

D =

Como P es un punto de la elipse:

+ = 1 → y2 = 9 (1 – )x2

25y2

9x2

25

√x2 + y2

y2

9x2

25

y = 0 (no vale)

y = 20 → x = 10

√3

√3

√3√12

√x2 + 36√x2 + 36

2x – √x2 + 362x

2√x2 + 36


x

y

x

yD

P(x, y)3

–3

5–5

S

Así, la distancia es:

D(x) = = =

El dominio de la función es el intervalo [–5, 5].

Hallamos el máximo y el mínimo de D(x):

D' (x) =

D' (x) = 0 → x = 0

(En x = 0 hay un mínimo relativo, pues D' (x) < 0 para x < 0 y D' (x) > 0 parax > 0).

Veamos el valor de D(x) en x = 0 y en los extremos del intervalo [–5, 5]:

D(0) = 3; D(–5) = D(5) = 5

Por tanto, las posiciones de P que nos dan la distancia máxima son P(5, 0) yP(–5, 0); y las que nos dan la distancia mínima son P(0, 3) y P(0, –3).

41 En un cuadrado de lado 10 cm queremos apoyar la base de un cilindro cuyaárea lateral es 50 cm2.

¿Cuál debe ser el radio del cilindro para que su volumen sea el mayor posi-ble?

Área lateral cilindro = 2πrh = 50 cm2 → h =

El volumen del cilindro es:

V = πr2h = πr2 · = 25r → V (r) = 25r

Al estar apoyada la base sobre el cuadrado, tenemosque el dominio de V (r) es el intervalo (0, 5].

Tenemos que maximizar V (r) = 25r, con r ∈ (0, 5].

Como V (r) es una función creciente, su máximo se alcanza en r = 5.

42 Dada la función f : [1, e] → Á definida por f (x) = + ln x, determina cuá-

les de las rectas tangentes a la gráfica de f tienen la máxima pendiente.

La pendiente de la recta tangente a f (x) en x = a es f ' (a). Tenemos que hallarel máximo de:

f ' (x) = + , x ∈ [1, e]1x

–1x2

1x

502πr

502πr

32x

10√16x2 + 225

√16x2 + 2255


r

h

10 c

m

10 cm

S

S

Calculamos la derivada de f ' (x); es decir, f '' (x):

f '' (x) = – =

f '' (x) = 0 → 2 – x = 0 → x = 2 ∈ [1, e]

(En x = 2 hay un máximo relativo de f ' (x), pues f '' (x) > 0 a la izquierda de esevalor y f '' (x) < 0 a su derecha).

Hallamos f ' (x) en x = 2 y en los extremos del intervalo [1, e]:

f ' (2) = = 0,25; f ' (1) = 0; f ' (e) = ≈ 0,23

Por tanto, la recta tangente con pendiente máxima es la recta tangente en x = 2.La hallamos:

f (2) = + ln 2; f ' (2) =

La recta es: y = + ln 2 + (x – 2)

43 Se desea construir un depósito de latón con forma de cilindro de área total54 cm2. Determina el radio de la base y la altura del cilindro para que el vo-lumen sea máximo.

Área total = 2πrh + 2πr2 = 54 cm2

h =

Volumen = πr2h = πr2 · = r (27 – πr2) = 27r – πr3

Tenemos que maximizar la función V (r) = 27r – πr3:

V' (r) = 27 – 3πr2

V' (r) = 0 → 27 – 3πr2 = 0 → r2 = = → r =

(En r = hay un mínimo, pues V' (r) < 0 a la izquierda de este valor y

V' (r) > 0 a su derecha).

Para r = → h = , dimensiones del cilindro de volumen máximo.

44 Queremos hacer un envase con forma de prisma regular de base cuadrada ycapacidad 80 cm3. Para la tapa y la superficie lateral usamos un determinadomaterial, pero para la base debemos emplear un material un 50% más caro.

Halla las dimensiones de este envase para que su precio sea el menor posible.

6

√π3

√π

3

√π

3

√π9π

273π

54 – 2πr2

2πr

54 – 2πr2

2πr

14

12

14

12

e – 1e2

14

2 – xx3

1x2

2x3


r

h

S

Volumen = x2y = 80 cm3 → y =

Para la tapa y el lateral → z €/cm2

Para la base → 1,5z €/cm2

El precio total será:

P = z (x2 + 4xy) + 1,5z (x2) = z (x2 + 4x · ) + 1,5x2z =

= z (x2 + ) + 1,5x2z = z (x2 + + 1,5x2) =

= z (2,5x2 + )Tenemos que minimizar la función que nos da el precio:

P(x) = z (2,5x2 + )P' (x) = z (5x – ) = z ( )P' (x) = 0 → 5x3 – 320 = 0 → x3 = 64 → x = 4 → y = 5

(En x = 4 hay un mínimo, pues P' (x) < 0 a la izquierda de ese valor y P' (x) > 0a su derecha).

El envase debe tener la base cuadrada de lado 4 cm y 5 cm de altura.

45 Entre todos los triángulos inscritos en una semicircunferencia de 10 cm dediámetro, ¿cuál es el de área máxima?

La base mide 10 cm. El área es:

Área = = 5h; h ∈ (0, 5].

El de área máxima será el que tenga la máxima altura;es decir, h = 5 cm. Su área es 25 cm2.

Página 300

46 Con una lámina cuadrada de 10 dm de lado se quiere construir una caja sintapa. Para ello, se recortan unos cuadrados de los vértices.

Calcula el lado del cuadrado recortado para que el volumen de la caja seamáximo.

Si la altura de la caja no puede pasar de 2 dm, ¿cuál es la medida del lado delcuadrado que debemos recortar?

10 · h2

5x3 – 320x2

320x2

320x

320x

320x

320x

80x2

80x2


x

x

y

h

10 cm

S

El volumen de la caja es:

V (x) = x (10 – 2x)2, x ∈ (0, 5)

Tenemos que maximizar esta función:

V (x) = x (10 – 2x)2 = x (100 + 4x2 – 40x) = 4x3 – 40x2 + 100x

V' (x) = 12x2 – 80x + 100 = 4(3x2 – 20x + 25)

V'(x) = 0 → x = = =

(En x = 5/3 hay un máximo, pues la derivada es positiva a la izquierda de este va-lor y es negativa a su derecha).

Por tanto, el lado del cuadradito es x = 5/3.

Si la altura no puede pasar de 2 dm; es decir, si x ∈ (0, 2), obtenemos el mismo re-sultado: x = 5/3.

47 Dado r > 0, prueba que entre todos los números positivos x e y tales quex2 + y2 = r, la suma x + y es máxima cuando x = y.

Como x2 + y2 = r y nos dicen que y > 0, entonces: y =

Así, la suma es: S = x + y = x +

Tenemos que maximizar la función S(x) = x + :

S'(x) = 1 + = 1 – =

S'(x) = 0 → = x → r – x2 = x2 → r = 2x2 → x2 =

Como x > 0 → x =

(En x = hay un máximo, pues S'(x) > 0 a la izquierda de ese valor y

S'(x) < 0 a su derecha).

Hallamos y: y = = =

Por tanto, la suma es máxima cuando x = y = .

√r – x2

r2

√r – x2

√r – x2 – xx

√r – x2

–2x

2√r – x2

√r – x2

√r – x2

√r – x2

x = 5 (no vale)

x = 5/320 ± 10

620 ± √100

620 ± √400 – 300

6


x

x

x

x

x

x x

x x10 dm

10 – 2x10

– 2

x10 d

m

48 El valor, en millones de euros, de una empresa en función del tiempo t vie-ne dado por f(t) = 9 – (t – 2)2, 0 ≤ t ≤ 4,5.

Deduce en qué valor de t alcanzó su máximo valor y en qué valor de t al-canzó su valor mínimo.

Derivamos la función f (t ):

f ' (t ) = –2(t – 2)

Los puntos críticos son:

f ' (t ) = 0 → –2(t – 2) = 0 → t – 2 = 0 → t = 2

La función f tiene un punto crítico en (2, 9).

f '' (t ) = –2

f '' (t ) = –2 < 0 → (2, 9) es un máximo.

Además, como la función es una parábola con las ramas hacia abajo, el mínimo sealcanzará en uno de los extremos del intervalo:

f (0) = 5

f (4,5) = 2,75 → (4,5; 2,75) es un mínimo.

Por tanto, el máximo se alcanza para t = 2 y el mínimo para t = 4,5.

49 De todas las rectas que pasan por el punto (1, 2), encuentra la que determi-na con los ejes de coordenadas, y en el primer cuadrante, un triángulo deárea mínima.

Las rectas que pasan por el punto (1, 2) son de laforma:

y = 2 + m (x – 1)

Hallamos los puntos de corte con los ejes de la recta:

— Con el eje Y → x = 0 → y = 2 – m → Punto (0, 2 – m)

— Con el eje X → y = 0 → x = 1 – → Punto (1 – , 0)El área del triángulo es:

A(m) = (1 – ) (2 – m) = (2 – m – + 2) = (4 – m – )Hallamos el mínimo de la función:

A' (m) = (–1 + ) =

A' (m) = 0 → –m2 + 4 = 0

(m = 2 no vale, pues no formará un triángulo en el primer cuadrante la recta conlos ejes).

m = 2 (no vale)

m = –2

–m2 + 42m2

4m2

12

4m

12

4m

12

2m

12

2m

2m


(1, 2)

1

2

(En m = –2 hay un mínimo, pues A' (m) < 0 a la izquierda de ese valor yA' (m) > 0 a su derecha).

Por tanto, la recta es:

y = 2 – 2(x – 1); es decir: y = –2x + 4

50 Calcula la generatriz y el radio que debe tener un bote cilíndrico de lechecondensada, cuya área total (incluyendo las dos tapas) es de 150 cm2, paraque su volumen sea máximo.

Área total = 2πrg + 2πr2 = 150 cm2

g =

Volumen = πr2g = πr2 · = 75r – πr3

Tenemos que maximizar el volumen:

V (r) = 75r – πr3; V' (r) = 75 – 3πr2

V' (r) = 0 → 75 – 3πr2 = 0 → r = = =

(Solo consideramos la raíz positiva, pues r > 0).

(En r = hay un máximo, pues V' (r) > 0 a la izquierda de ese valor y

V' (r) < 0 a su derecha).

Por tanto: r = y g =

51 Dos postes de 12 y 18 m de altura distan entre sí 30 m. Se desea tender un ca-ble que una un punto del suelo entre los dos postes con los extremos de es-tos. ¿Dónde hay que situar el punto del suelo para que la longitud total delcable sea mínima?

La longitud total del cable es:

L (x) = + ; es decir:

L (x) = +

L' (x) = + = + =

= x √—x2 – 60x

—+ 1 224 + (x – 30)√

—x2 + 144

√(x2 + 144) (x2 – 60x + 1 224)

x – 30

√x2 – 60x + 1 224

x

√x2 + 144

2x – 60

2√x2 – 60x + 1 224

2x

2√x2 + 144

√x2 – 60x + 1 224√x2 + 144

√(30 – x)2 + 182√x2 + 122

10

√π5

√π

5

√π

5

√π

150 – 2πr2

2πr

150 – 2πr2

2πr


r

g

30 m30 – x

18 m12 m

x

L' (x) = 0 → x + (x – 30) = 0

x = –(x – 30)

x2 (x2 – 60x + 1 224) = (x – 30)2 (x2 + 144)

x4 – 60x3 + 1 224x2 = (x2 – 60x + 900)(x2 + 144)

x4 – 60x3 + 1 224x2 = x4 + 144x2 – 60x3 – 8 640x + 900x2 + 129 600

180x2 + 8 640x – 129 600 = 0

x2 + 48x – 720 = 0

x = = =

(En x = 12 hay un mínimo, pues L' (x) < 0 a la izquierda de ese valor y L' (x) > 0a su derecha).

Por tanto, el punto del suelo debe situarse a 12 m del poste de 12 m (y a 18 m delposte de 18 m).

52 Calcula el punto de la curva y = en el que la pendiente de la recta tan-

gente sea máxima.

La pendiente de la recta tangente a f (x) = en x es f ' (x). Tenemos que

hallar el máximo de f ' (x).

f ' (x) =

f '' (x) = = =

f '' (x) = 0 → 6x2 – 2 = 0 → x = ±

f ' (x) = f ' (x) = 0

En x = – hay un máximo (absoluto) de f ' (x) y en x = hay un míni-

mo (absoluto) de f ' (x).

Por tanto, el punto en el que la pendiente de la recta tangente es máxima es:

(– , )34

√33

límx → +∞

límx → –∞

6x2 – 2(1 + x2)3

–2(1 + x2) + 8x2

(1 + x2)3–2(1 + x2)2 + 2x · 2(1 + x2) · 2x

(1 + x2)4

–2x(1 + x2)2

11 + x2

11 + x2

x = 12

x = –60 (no vale)–48 ± 72

2–48 ± √5184

2–48 ± √2304 + 2 880

2

√x2 + 144√x2 – 60x + 1 224

√x2 + 144√x2 – 60x + 1 224


f '' > 0 f '' < 0 f '' > 0

1—3

1—3

–

53 Dentro del triángulo limitado por los ejes OX y OY y la recta 2x + y = 8, seinscribe un rectángulo de vértices (a, 0), (0, 0), (a, b) y (0, b). Determina elpunto (a, b) al que corresponde el rectángulo de área máxima.

• El punto (a, b) es un punto de la recta 2x + y = 8.Por tanto, 2a + b = 8; es decir, b = 8 – 2a.

• Como el rectángulo está inscrito en el triángulo,a ∈ (0, 4).

• El área del rectángulo es:

Área = a · b = a · (8 – 2a) = 8a – 2a2, a ∈ (0, 4)

• Tenemos que maximizar la función:

A(a) = 8a – 2a2, a ∈ (0, 4)

A' (a) = 8 – 4a = 0 → a = 2 → b = 4

(En a = 2 hay un máximo, pues A' (a) > 0 a la izquierda de este valor yA' (a) < 0 a su derecha).

• Por tanto, el punto es (2, 4).

54 Calcula, utilizando la regla de L’Hôpital, los siguientes límites, que son del

tipo ( ):a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) ( )a) = = = –

b) = = 1

c) =

Hallamos los límites laterales:

= –∞; = +∞cos xsen x

límcos xsen x

lím

cos xsen x

límsen x

1 – cos xlím

ex + 3x2

ex + x3lím

ln (ex + x3)x

lím

35

3–5

3x2

2x – 3lím

x3 + 1x2 – 3x – 4

lím

x – sen xx sen x

límx → 0

1 – cos2 (2x)3x2

límx → 0

ln (1 + x)4

√x3lím

x → 0ln (cos 3x)

x2lím

x → 0

ex – esen x

1 – cos xlím

x → 0

arctg x – xx – sen x

límx → 0

ax – bx

xlím

x → 0

sen x1 – cos x

límx → 0

ln (ex + x3)x

límx → 0

x3 + 1x2 – 3x – 4

límx → –1

00


8

4

b

a

2x + y = 8

(a, b)

S

S

d) = = ln a – ln b = ln

e) = = = = –2

f) = =

= = 0

g) = = =

= = –

h) = = = 0

i) = = =

= = =

j) ( ) = = = 0

55 Calcula los siguientes límites:

a) cos x ln (tg x) b) (cos x + sen x)1/x

c) (tg x)cos x d) (ex + x3)1/x

e) (1 + x)1/x f) x ln ( )g) (1 – sen 2x)cotg 3x h) ( )tg x1

xlím

x → 0lím

x → 0

1 + xx

límx → +∞

límx → +∞

límx → 0

límx → π/2–

límx → 0

límx → (π/2)–

sen xcos x + cos x – x sen x

lím1 – cos x

sen x + x cos xlím

x – sen xx sen x

lím

43

4 cos 4x3

límsen 4x

3xlím

2 sen 4x6x

lím2 cos (2x) sen (2x) · 2

6xlím

1 – cos2 (2x)3x2

lím

4 4

√x3(1 + x)

lím

1——1 + x

3——4

4

√—x

límln (1 + x)

4

√x3lím

92

–9(1 + tg2 3x)2

lím

–3 tg 3x2x

lím

–3 sen 3x——cos 3x

2xlímln (cos 3x)

x2lím

ex – esen x cos2 x + esen x sen xcos x

lím

ex – esen x · cos xsen x

límex – esen x

1 – cos xlím

6x2 – 2——(1 + x2)3

cos xlím

–2x——(1 + x2)2

sen xlím

1—— – 11 + x2

1 – cos xlím

arctg x – xx – sen x

lím

ab

ax ln a – bx ln b1

límax – bx

xlím


a) cos x ln (tg x) = (0 · +∞) = = ( ) =

= = = =

= cos x ( + 1) = 0 · 1 = 0

b) (cos x + sen x)1/x. Tomamos logaritmos:

ln (cos x + sen x)1/x = = = 1

Por tanto: (cos x + sen x)1/x = e

c) (tg x)cos x. Tomamos logaritmos:

ln (tg x)cos x = cos x · ln (tg x) =(*)

0 (*)

(ver apartado a))

Por tanto: (tg x)cos x = e0 = 1

d) (ex + x3)1/x. Tomamos logaritmos:

ln (ex + x3)1/x = = = 1

Por tanto: (ex + x3)1/x = e

e) (1 + x)1/x. Tomamos logaritmos:

ln (1 + x)1/x = = = 0

Por tanto: (1 + x)1/x = e0 = 1

f) x ln ( ) = x ln (1 + ) = ln (1 + )x

=

= ln [ (1 + )x ] = ln e = 11x

lím

1x

lím1x

lím1 + x

xlím

lím

11 + x

límln (1 + x)

xlímlím

lím

lím

ex + 3x2

ex + x3lím

ln (ex + x3)x

límlím

lím

lím

límlím

lím

lím

–sen x + cos xcos x + sen x

límln (cos x + sen x)

xlímlím

lím

1tg2 x

lím

cos x (1 + tg2 x)tg2 x

lím1 + tg2 x

tg2 x——cos x

lím

1 + tg2 x——tg x

sen x——cos2 x

lím

+∞+∞

ln (tg x)1

cos x

límlím


g) (1 – sen 2x)cotg 3x = (1 – sen 2x)1/tg 3x. Tomamos logaritmos:

ln (1 – sen 2x)1/tg 3x = = =

Por tanto: (1 – sen 2x)cotg 3x = e–2/3

h) ( )tg x. Tomamos logaritmos:

ln ( )tg x= tg x ln ( ) = [tg x (–ln x)] = =

= = = = = 0

Por tanto: ( )tg x= e0 = 1

56 Halla los siguientes límites:

a) b) c)

a) = = 0

b) = = = 1

c) = = =

Página 301


a) ( – ) b) ( – )c) ( – )1

x – 1e

ex – elím

x → 1

tg x1 – (4x/π)

1cos 2x

límx → π/4

1x

1sen x

límx → 0

34

cos x + 24

límsen x + 2x

4xlím

1 – cos x + x2

2x2lím

1sen x

lím

1——cos2 xsen x——cos2 x

límtg x – 8

sec x + 10lím

sen xex

lím1 – cos xex – 1

lím

1 – cos x + x2

2x2lím

x → 0

tg x – 8sec x + 10

límx → π/2

1 – cos xex – 1

límx → 0

1x

lím

2 sen x cos x1

límsen2 x

xlím

–1—x

–1——sen2 x

lím–ln xcos xsen x

lím

sen x (–ln x)cos x

límlím1x

lím1x

lím

1x

lím

lím

–23

–2 cos 2x——1 – sen 2 x

(1 + tg2 3x)· 3lím

ln (1 – sen 2x)tg 3x

límlím

límlím


S

a) ( – ) = = =

= = = 0

b) ( – ) = =

= =


f (x) = –∞, f (x) = +∞ (siendo f (x) = – ).c) ( – ) = = =

= = = =

58 Calcula:

a) (e1/x + e2/x)x b) (e1/x + e2/x)x

a) (e1/x + e2/x)x. Tomamos logaritmos:

ln (e1/x + e2/x)x = x ln (e1/x + e2/x) = (0 · +∞) =

= = =

= =(*)

= = 2

((*) Dividimos numerador y denominador entre e2/x).

Por tanto: (e1/x + e2/x)x = e2

b) (e1/x + e2/x)x. Tomamos logaritmos:

ln (e1/x + e2/x)x = x ln (e1/x + e2/x) = (0 · –∞) =límlím

lím

lím

21

e–1/x + 2e–1/x + 1

líme1/x + 2e2/x

e1/x + e2/xlím

e1/x · (–1/x2) + e2/x · (–2/x2)e1/x + e2/x

–1/x2lím

ln (e1/x + e2/x)1/x

lím

límlím

lím

límx → 0–

límx → 0+

–12

–e2e

–ex

ex (x – 1) + ex + exlím

e – ex

ex (x – 1) + (ex – e)lím

e · x – ex

(ex – e) (x – 1)lím

e · x – e – ex + e(ex – e) (x – 1)

lím1

x – 1e

ex – elím

tg x1 – (4x/π)

1cos 2x

límlím

2 – 4/π0

cos 2x–4/π – —— + 2 tg x · sen 2xcos2 x

–2 sen 2x (1 – (4x/π)) + cos 2x · (–4/π)lím

1 – (4x/π) – tg x · cos 2x(cos 2x) (1 – (4x/π))

límtg x

1 – (4x/π)1

cos 2xlím

02

sen xcos x + cos x – x sen x

lím

1 – cos xsen x + x cos x

límx – sen xx sen x

lím1x

1sen x

lím


= = =(*)

= = 1

((*) Dividimos numerador y denominador entre e1/x).

Por tanto: (e1/x + e2/x)x = e1 = e


59 La gráfica adjunta corresponde a la funciónderivada, f ', de una función f.

a) Estudia el crecimiento y decrecimiento de fy di si tiene máximo o mínimo.

b) Estudia la concavidad y convexidad de f.¿Tiene punto de inflexión?

a) Signo de la derivada:

Por tanto, la función f es decreciente en (–∞, –2)


tiene un mínimo en x = –2.

b) Como f ' (x) es una recta con pendiente , entonces f '' (x) = > 0.

Por tanto, f es una función cóncava. No tiene puntos de inflexión.

60 Encuentra una función f cuya gráfica no sea una recta y en la que existaninfinitos puntos en los que la recta tangente a la gráfica de f sea y = 1.

f (x) = cos x

Veamos que la recta tangente a f (x) en los puntos de la forma x = 2πk, conk ∈ Z, es y = 1.

f (2πk) = cos (2πk) = 1

f ' (x) = –sen x → f ' (2πk) = –sen (2πk) = 0

La recta tangente es:

y = 1

12

12

lím

11

1 + 2e1/x

1 + e1/xlím

e1/x + 2e2/x

e1/x + e2/xlím

ln (e1/x + e2/x)1/x

lím


f '(x)

–2

1

f ' (–2) = 0f ' < 0 f ' > 0

–2

61 Sea f (x) = ax + , con a y b números positivos. Demuestra que el valor

mínimo de f en (0, +∞) es 2 .

f ' (x) = a – =

f ' (x) = 0 → ax2 – b = 0 → x = ±

f '' (x) =

f '' ( ) > 0 → en x = hay un mínimo.

f '' (– ) < 0 → en x = – hay un máximo.

Además, f (x) = +∞ y f (x) = +∞.

Luego, en x = se encuentra el mínimo absoluto de f (x).

Este mínimo vale:

f ( ) = a · + = + = + = 2

Es decir, el mínimo de f (x) en (0, +∞) es 2 .

62 Si la función f tiene derivadas primera y segunda y es f '(a) = 0 y f ''(a) = 0,¿puede presentar f un máximo relativo en el punto a? En caso afirmativo,pon un ejemplo.

Sí puede presentar un máximo. Por ejemplo:

f (x) = –x4 en x = 0 es tal que:

f ' (x) = –4x3 f '' (x) = –12x2

Por tanto: f ' (0) = 0 y f '' (0) = 0

En (0, 0) hay un máximo relativo.

63 Una función f es decreciente en el punto a y derivable en él.

¿Puede ser f '(a) > 0?

¿Puede ser f '(a) = 0?

¿Puede ser f '(a) < 0? Razónalo.

√ab

√ab√ab√abb√aa√bb

√b/a

límlím

2bx3

ax2 – bx2

bx2

√ab

bx


f ' > 0 f ' < 0

0

Si f es decreciente en x = a y es derivable en él, entonces f ' (a) ≤ 0.

Lo probamos:

f decreciente en a → signo de [ f (x) – f (a)] ≠ signo de (x – a) →

→ < 0

Por tanto, f ' (x) = ≤ 0; es decir: f ' (a) ≤ 0

Ejemplo: f ' (a) = –x3 es decreciente en Á y tenemos que:

f ' (x) = –3x2 →

64 Si la derivada de una función f es positiva en el punto x = 0, es decir,f '(0) > 0, ¿para qué valores de h se puede afirmar que el incrementof (h) – f (0) es negativo?

f ' (0) = > 0 →

→ signo de [ f (h) – f (0)] = signo de h (para h “próximo a cero”)

Luego, si f (h) – f (0) < 0, ha de ser h < 0.

65 La función x (valor absoluto de x), ¿presenta un mínimo relativo en al-gún punto? ¿En qué puntos es derivable? Razónalo.

f (x) = |x| = ; f ' (x) =

f (x) no es derivable en x = 0, pues f ' (0–) = –1 ≠ f ' (0+) = 1.

Por tanto, f es derivable para x ≠ 0.

Pero f (x) presenta un mínimo relativo en x = 0,pues f (0) = 0 < f (x) si x ≠ 0. De hecho, es elmínimo absoluto de f (x).

66 En la ecuación de la recta y = mx + b, explica cómo se determinarían losnúmeros m y b para que sea tangente a la gráfica de la función y = f (x)en el punto en que esta tiene de abscisa p.

La ecuación de la recta tangente a y = f (x) en x = p es:

y = f (p) + f ' (p) · (x – p); es decir:

y = f ' (p) x + [ f (p) – p · f ' (p)]

–1 si x < 01 si x > 0

–x si x ≤ 0x si x > 0

f (h) – f (0)h

límh → 0

f ' (0) = 0 (y f (x) es decreciente en x = 0)

f ' (0) < 0 para x ≠ 0

f (x) – f (a)x – a

límx → a

f (x) – f (a)x – a


y = |x|

–1 1

1

S

Por tanto, si la recta es y = mx + b, tenemos que:

m = f ' (p); b = f (p) – p · f ' (p)

67 Un polinomio de 3er grado ax3 + bx2 + cx + d tiene un máximo relativo enel punto x = p. Ese máximo relativo, ¿puede ser máximo absoluto de la fun-ción? Razónalo.

Un polinomio de tercer grado no tiene máximo absoluto.

Veamos por qué:

• Si f (x) = ax3 + bx2 + cx + d, con a > 0, entonces:

f (x) = +∞ → f (x) no tiene máximo absoluto.

• Si f (x) = ax3 + bx2 + cx + d, con a < 0, entonces:

f (x) = +∞ → f (x) no tiene máximo absoluto.

68 Si la derivada de una función f es positiva para todos los valores de la va-riable, ¿puede haber dos números distintos, a y b, tales que f (a) = f (b)?Razónalo.

No es posible, si la función es derivable (y nos dicen que lo es, pues f ' (x) > 0 pa-ra todo x).

Lo probamos por reducción al absurdo:

Supongamos que existen dos números distintos, a y b, tales que f (a) = f (b).

f (x) es derivable para todo x. Por el teorema de Rolle, habría un punto c, en elque f ' (c) = 0.

Esto contradice el que f ' (x) > 0 para todo x.

69 Si f ''(x) > 0 para todo x del dominio de f, ¿qué podemos decir de la gráfi-ca de f ?

Será una función cóncava.

70 De una función f sabemos que f '(a) = 0, f ''(a) = 0 y f '''(a) = 5. ¿Podemosasegurar que f tiene máximo, mínimo o punto de inflexión en x = a?

f tiene un punto de inflexión en x = a.

Veamos por qué:

f ''' (a) = 5 > 0 → f '' es creciente en x = a.

Como, además, f ''(a) = 0, tenemos que f ''(x) < 0 a la izquierda de a y f ''(x) > 0a su derecha. Es decir, f (x) cambia de convexa a cóncava en x = a.

Por tanto, hay un punto de inflexión en x = a.

límx → –∞

límx → +∞


S

S

71 Si f '(a) = 0, ¿cuál de estas proposiciones es cierta?

a) f tiene máximo o mínimo en x = a.

b) f tiene una inflexión en x = a.

c) f tiene en x = a tangente paralela al eje OX.

Si f ' (a) = 0, solo podemos asegurar que f tiene en x = a tangente horizontal(paralela al eje OX).

Podría tener un máximo, un mínimo o un punto de inflexión en x = a.

Por tanto, solo es cierta la proposición c).

Página 302

72 Si y = f (x) es una función creciente en x = a, ¿se puede asegurar queg(x) = –f (x) es decreciente en x = a?

f (x) es creciente en x = a → > 0.

Como g (x) = – f (x), tenemos que:

= = – ( ) < 0

→ g (x) es decreciente en x = a

73 Se tiene la función:

f (x) =

Prueba que f satisface la hipótesis del teorema del valor medio en [–2, 0] ycalcula el o los puntos en los que se cumple el teorema.

• Veamos que f (x) es continua en [–2, 0]:

— Si x ≠ –1 → f (x) es continua, pues está formada por dos funciones continuas.

— Si x = –1:

f (x) = ( ) = –1

f (x) = ( ) = –1 f (x) es continua en x = –1

f (1) = –1

— Por tanto, f (x) es continua en [–2, 0].

x2 – 32

límx → –1

límx → –1+

1x

límx → –1

límx → –1–

f (x) – f (a)x – a

– f (x) + f (a)x – a

g (x) – g (a)x – a

f (x) – f (a)x – a


si –2 ≤ x ≤ –1

si –1 ≤ x ≤ 0x2 – 32

1x

S

• Veamos que f (x) es continua en [–2, 0]:

— Si x ≠ –1 y x ∈ (–2, 0), f es derivable. Su derivada es:

f '(x) =

— En x = –1, tenemos que:

f '(–1–) = –1 = f '(–1+)

Por tanto f (x) es derivable en (–2, 0).

— Su derivada es:

f '(x) =

• Como f (x) cumple las hipótesis del teorema del valor medio en [–2, 0], existe

algún punto, c ∈ (–2, 0) tal que f ' (c) = = = .

Calculamos c:

— f '(x) = si –2 < x ≤ –1

– = → x2 = 2

— f '(x) = x si –1 ≤ x < 0

x = – ∈ (–1, 0)

— Por tanto, hay dos soluciones:

c1 = – y c2 = –√—2

74 ¿Es posible calcular a, b, c para que la función:

f (x) =

cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0, c]?

• Calculamos a y b para que f (x) sea continua y derivable.

• Continuidad:

— Si x ≠ 1 → f (x) es continua, pues está formada por dos polinomios.

— En x = 1, tenemos que:

5x + 1 si x < 1ax2 + bx + 3 si x ≥ 1

12

12

x = –√—2 ∈ (–2, –1)

x = √—2 ∉ (–2, –1)

–12

1x2

–1x2

–12

–3/2 – (–1/2)2

f (0) – f (–2)0 – (–2)

–1— si –2 < x ≤ –1x2

x si –1 ≤ x < 0

–1— si –2 < x < –1x2

x si –1 < x < 0


f (x) = (5x + 1) = 6

f (x) = (ax2 + bx + 3) = a + b + 3

f (1) = a + b + 3

• Derivabilidad:

— Si x ≠ 1 → f (x) es derivable. Además: f ' (x) =


Para que sea derivable, ha de ser: 2a + b = 5

• Con las dos condiciones obtenidas, hallamos a y b para que f (x) sea continuay derivable:

• Con estos valores de a y b, queda:

f (x) = f ' (x) =

f ' (x) > 0 para todo x ∈ Á → f (x) es creciente → No existe ningún valorde c tal que f (0) = f (c) → No existe ningún c tal que f (x) cumpla las hi-pótesis del teorema de Rolle en [0, c].

75 La función y = x3 – 5x2 + 3x – 2, ¿cumple las hipótesis del teorema del valormedio en el intervalo [0, 4]?

En caso afirmativo, di cuál es el x0 que cumple la tesis.

f (x) = x3 – 5x2 + 3x – 2 es continua en [0, 4] y derivable en (0, 4); luego cum-ple las hipótesis del teorema del valor medio en [0, 4].

Veamos en qué punto, o puntos, cumple la tesis:

f ' (x) = 3x2 – 10x + 3

= = = –1

f ' (x) = –1 → 3x2 – 10x + 3 = –1 → 3x2 – 10x + 4 = 0

x = = = =

Hay dos puntos: x0 = y x1 = 5 + √133

5 – √133

5 ± √33

10 ± 2√136

10 ± √526

10 ± √100 – 486

–6 + 24

–6 – (–2)4

f (4) – f (0)4 – 0

5 si x < 1

4x + 1 si x ≥ 1

5x + 1 si x < 1

2x2 + x + 3 si x ≥ 1

b = 3 – a

2a + 3 – a = 5 → a = 2 → b = 1

a + b = 3

2a + b = 5

f ' (1–) = 5

f ' (1+) = 2a + b

5 si x < 1

2ax + b si x > 1

límx → 1

límx → 1+

límx → 1

límx → 1–


Para que sea continua, ha de ser:

a + b + 3 = 6, es decir, a + b = 3.

S

76 a) Si es posible, dibuja la gráfica de una función continua en el intervalo[0, 4] que tenga, al menos, un máximo relativo en el punto (2, 3) y un mí-nimo relativo en el punto (3, 4).

b) Si la función fuera polinómica, ¿cuál ha de ser como mínimo su grado?

a) Por ejemplo:

b) Si f (x) es derivable, para que sea posible lo anterior, debe haber, al menos, otromáximo y otro mínimo.

Por tanto, la derivada se anularía, al menos, en cuatro puntos. Luego la función,si fuera polinómica, tendría, al menos, grado 5.

77 ¿Puede existir una función f definida en el intervalo I = [0, 5] continua entodos los puntos de I, que tenga un máximo local en el punto x = 3, peroque no sea derivable en x = 3?

Sí. Por ejemplo:

• f (x) es continua en [0, 5].

• f (x) no es derivable en x = 3, puesf ' (3–) ≠ f ' (3+).

• f (x) tiene un máximo en x = 3.

78 Comprueba que f (x) = x3 – 18x, definida en el intervalo [0, 3 ], verifica

las hipótesis del teorema de Rolle y encuentra el valor c ∈ (0, 3 ) para el

que f '(c) = 0.

f (x) = x3 – 18x es derivable en todo Á; por tanto, es continua en [0, 3 ] y de-rivable en (0, 3 ).

Además, f (0) = f (3 ) = 0. Luego, verifica las hipótesis del teorema de Rolle en

[0, 3 ].

Existe, pues, un c ∈ (0, 3 ) tal que f ' (c) = 0.

Lo calculamos: f ' (x) = 3x2 – 18 = 0 → x = ±

Por tanto, c = .√6

x = –√—6 ∉ (0, 3√

—2)

x = √—6 ∈ (0, 3√

—2 )

√6

√2

√2

√2

√2√2

√2

√2


f (x)

1 2 3 4 5

1 2 3 4

1

2

3

4

S

S

79 La función f (x) = cos x toma en los extremos del intervalo [0, π] el valor1. ¿Cumplirá el teorema de Rolle?

f (x) = es continua en [0, π]

Además, f (0) = f (π) = 1.

La derivada de f (x), si x ≠ es:

f ' (x) =

Como f ' ( –) = –1 ≠ f ' ( +) = 1, f (x) no es derivable en x = ∈ (0, π).

Por tanto, f (x) no es derivable en el intervalo (0, π); y no podemos aplicar elteorema de Rolle.

80 Calcula a y b para que:

f (x) =

cumpla las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [2, 6]. ¿Dón-de cumple la tesis?

• Continuidad:



f (x) = (ax – 3) = 4a – 3

f (x) = (–x2 + 10x – b) = 24 – b

f (4) = 24 – b

• Derivabilidad:

— Si x ≠ 4 → f (x) es derivable. Su derivada es:

f ' (x) =

— En x = 4:

Para que sea derivable, ha de ser: a = 2

f ' (4–) = a

f ' (4+) = 2

a si x < 4

–2x + 10 si x > 4

límx → 4

límx → 4+

límx → 4

límx → 4–

ax – 3 si x < 4–x2 + 10x – b si x ≥ 4

π2

π2

π2

–sen x si 0 < x < π/2

sen x si π/2 < x < π

π2

cos x si 0 ≤ x ≤ π/2

–cos x si π/2 ≤ x ≤ π



4a – 3 = 24 – b; es decir:

4a + b = 27

• Uniendo los dos resultados obtenidos:

• Por tanto, si a = 2 y b = 19, se cumplen las hipótesis del teorema del valor me-dio en el intervalo [2, 6].

En este caso, quedaría:

f (x) = f ' (x) =

• Veamos dónde cumple la tesis:

= = = 1

–2x + 10 = 1 → x = ∈ (2, 6)


81 Sea f (x) = 1 – x2/3.

Prueba que f (1) = f (–1) = 0, pero que f '(x) no es nunca cero en el interva-lo [–1, 1]. Explica por qué este resultado contradice aparentemente el teore-ma de Rolle.

f ' (x) = → No existe f ' (0)

Por tanto, f (x) no es derivable en el intervalo (–1, 1); y no podemos aplicar elteorema de Rolle.

82 Sea f una función continua y derivable tal que f (0) = 3. Calcula cuánto tie-ne que valer f (5) para asegurar que en [0, 5] existe un c tal que f '(c) = 8.

Si f (x) es continua en [0, 5] y derivable en (0, 5), por el teorema del valor me-dio, podemos asegurar que existe c ∈ (0, 5) tal que:

f ' (c) =

En este caso: f ' (c) = = = 8 → f (5) = 43

83 Calcula a, b y c para que la función:

f (x) =

cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0, 4]. ¿En qué puntose cumple la tesis?

x2 + ax + b si x < 2cx + 1 si x ≥ 2

f (5) – 35

f (5) – 35 – 0

f (5) – f (0)5 – 0

–2

33

√x

92

92

44

5 – 14

f (6) – f (2)6 – 2

2 si x < 4

–2x + 10 si x > 4

2x – 3 si x < 4

–x2 + 10x – 19 si x ≥ 4

a = 2

b = 19

4a + b = 27

a = 2


• Continuidad:



f (x) = (x2 + ax + b) = 4 + 2a + b

f (x) = (cx + 1) = 2c + 1

f (2) = 2c + 1

• Derivabilidad:

— Si x ≠ 2 → f (x) es derivable. Además:

f ' (x) =

— En x = 2:

Para que sea derivable, ha de ser: 4 + a = c

•b = 4c + 1

• Para que se cumplan las hipótesis del teorema de Rolle en [0, 4], ha de cumplir-se que:

En este caso, sería:

f ' (x) =

y se cumplirían las hipótesis del teorema de Rolle.

• Veamos dónde se cumple la tesis:

f ' (x) = 0 → 2x – 3 = 0 → x = ∈ (0, 4)

Por tanto, la tesis se cumple en x = .

84 Enuncia el teorema de Rolle. ¿Es posible asegurar, utilizando dicho teore-ma, que la función f (x) = sen (x2) + x2 es tal que su derivada se anula en al-gún punto del intervalo [–1, 1]? Justifica la respuesta.

32

32

2x – 3 si x ≤ 2

1 si x > 2

a = –3

b = 5

c = 1

2a + b – 2c = –3

4 + a = c

b = 4c + 1

f (0) = b

f (4) = 4c + 1

f ' (2–) = 4 + a

f ' (2+) = c

2x + a si x < 2

c si x > 2

límx → 2

límx → 2+

límx → 2

límx → 2–


Para que sea continua, ha deser 4 + 2a + b = 2c + 1;

es decir: 2a + b – 2c = –3

• Teorema de Rolle: Si f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b)con f (a) = f (b), entonces existe algún punto c ∈ (a, b) tal que f ' (c) = 0.

• Si f (x) = sen (x2) + x2, tenemos que:

— Es continua en Á; y, por tanto, en [–1, 1].

— Es derivable en Á, f ' (x) = 2x cos (x2) + 2x; y, por tanto, en (–1, 1).

— Además, f (–1) = f (1) = (sen 1) + 1.

Luego, cumple las hipótesis del teorema de Rolle.

Por tanto, podemos asegurar que existe c ∈ (–1, 1) tal que f ' (c) = 0.

85 En cada uno de los ejemplos que se dan a continuación, es f (a) = f (b) y, sinembargo, no hay ningún número z ∈ (a, b) para el que sea f '(z) = 0.

Explica, en cada caso, por qué el ejemplo no va en contra del teorema de Rolle.

a) f (x) = , [a, b] = [–2, 2] b) f (x) = 1 – x , [a, b] = [–1, 1]

a) f (x) no es continua ni derivable en x = 0 ∈ (–2, 2), pues no está definida enese valor.

b) f (x) = f ' (x) =

f (x) no es derivable en x = 0 ∈ (–1, 1); puesto que f ' (0–) = 1 ≠ f ' (0+) = –1.

Página 303

86 Calcula b para que f (x) = x3 – 4x + 3 cumpla las hipótesis del teorema deRolle en el intervalo [0, b]. ¿Dónde cumple la tesis?

f (x) es continua y derivable en Á; por tanto, es continua en [0, b] y derivable en(0, b), cualquiera que sea el valor de b.

Para que cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en [0, b], ha de tenerse quef (0) = f (b).

b3 – 4b + 3 = 3 → b3 – 4b = 0

b (b2 – 4) = 0

(Como consideramos el intervalo [0, b], ha de ser b > 0).

Por tanto, el teorema de Rolle se cumple en [0, 2].

b = 0 (no vale)

b = –2 (no vale)

b = 2

f (0) = 3

f (b) = b3 – 4b + 3

1 si –1 < x < 0

–1 si 0 < x < 1

1 + x si –1 < x ≤ 0

1 – x si 0 ≤ x < 1

1x2



f ' (x) = 3x2 – 4 = 0 → x2 = → x = ±

La tesis se cumple en c = ∈ (0, 2); es decir, c = = .

PARA PROFUNDIZAR

87 Si de un disco metálico quitamos unsector circular, podemos construirun vaso cónico.

Determina el sector circular que de-bemos quitar para que el volumendel vaso sea máximo.

• Longitud de la circunferencia de la base del cono:

L = 2πr = → r =

• Altura del cono: h = = =

• Volumen del cono:

V = r2h = · · · = ( )3

V (α) = ( )3

• Hallamos α para que el volumen sea máximo:

V' (α) = ( )3·

V' (α) = 0 → 518400α3 – 6α5 = 0

6α3(86 400) – α2) = 0

α = 0

α = 293° 56' 20''

α = –293° 56' 20''

518 400α3 – 6α5

2√129600α4 – α6

R360

π3

√129600α4 – α6R360

π3

√129600α4 – α6R360

π3

√129600 – α2R360

R2α2

3602π3

π3

√129600 – α2R360

√R2 – r2

Rα360

2πRα360

2√33

2

√3

43


α

R

R R

r

h

α

R

R

r

h

longitud = —2πRα360°

El máximo se alcanza en α = 293° 56' 20'' (la derivada es positiva a su izquierday negativa a su derecha, y estamos considerando x entre 0° y 360°).

Así, el cono tendrá radio r = y altura h = .

Su volumen sería .

88 Las manecillas de un reloj miden 4 y 6 cm y, uniendo sus extremos, se formaun triángulo. Determina el instante entre las 12 h y las 12 h 30 min en el queel área del triángulo es máxima.

☛ ¿Qué ángulo recorre la aguja horaria en t minutos? ¿Y el minutero? ¿Cuál es elángulo que forman entre las dos en t minutos?

• La aguja horaria recorre un ángulo de 360° en 12 horas; es decir, 0,5° en 1 minu-to; o bien 0,5t° en t minutos.

• El minutero recorre 360° en 1 hora; es decir, 6° en 1 minuto; o bien 6t° en t mi-nutos.

• Al cabo de t minutos, las dos agujas formarán un ángulo de α = 6t° – 0,5t° = 5,5t°.

• El área del triángulo será:

Área = = 12 sen (5,5t )

A(t ) = 12 sen (5,5t )

• Hallamos el máximo de A(t ), teniendo en cuenta que t ∈ (0, 30) (pues estamosconsiderando entre las 12 h y las 12 h 30 min):

A' (t ) = 12 · 5,5 · cos (5,5t ) = 0 →(*)

5,5t = 90 → t = =

= 16,)36 = 16 minutos y 22 segundos

(*) (Si igualamos 5,5t a un ángulo mayor de 90°, obtenemos t > 30 min).

(En t = 16,)36 minutos hay un máximo, pues la derivada es positiva a su izquier-

da y negativa a su derecha).

Por tanto, el triángulo de área máxima se forma a las 12 h 16 min 22 segundos.

89 Comprueba que, en la función de proporcionalidad inversa f (x) = , se tie-

ne que el punto c, que cumple f '(c) = , es, precisamente, la me-

dia geométrica de a y b, c = .√ab

f (b) – f (a)b – a

kx

905,5

4 · 6 · sen (5,5t )2

2πR3 · √—3

27

R√33

R√63


α

4 cm

6 cm

f ' (c) =

= = = =

f ' (c) = → = → c2 = ab → c =

(Suponemos k > 0, a > 0, b > 0).

90 Calcula el valor de k para que la expresión (ex + kx)1/x sea igual a e4.

(ex + kx)1/x. Tomamos logaritmos:

ln (ex + kx)1/x = =(*)

= = 1 + k

(*) Hemos aplicado la regla de L’Hôpital.

Por tanto: (ex + kx)1/x = e1+x

Para que sea igual a e4, ha de ser:

e1+x = e4 → 1 + k = 4 → k = 3

91 En una circunferencia de radio r se traza la tangente en un punto cualquie-ra C y una cuerda AB paralela a dicha tangente. Obtenemos, así, un trián-gulo ABC cuya área queremos que sea la mayor posible.

Demuestra que, para ello, la distancia de C a la cuerda debe ser del radio.

• La altura del triángulo ha de ser mayorque el radio, pues, si trazamos la cuerdapor A'B', podemos conseguir otro trián-gulo con la misma base, AB, y mayor al-tura; y, así, con mayor área.

• Expresamos el área del triángulo en fun-ción de x :

altura = x + r

→ base = 2√—r2 – x2

Área = = (x + r)√—r2 – x2

A(x) = (x + r)√—r2 – x2 ; x ∈ [0, r)

2(x + r)√—r2 – x2

2

base = 2y

y = √—r2 – x2

32

lím

1 + k1

ex + kex + kx

límln (ex + kx)

xlímlím

lím

límx → 0

√ab–kab

–kc2

f (b) – f (a)b – a

–kab

–k (b – a)ab (b – a)

ka – kb—ab

b – a

k k— – —b ab – a

f (b) – f (a)b – a

–kc2


C

A B

A' B'

x

y

r

r

S

• Obtenemos el valor de x para el que A(x) alcanza el máximo:

A' (x) = √—r2 – x2 + (x + r) · = =

= =

A' (x) = 0 → –2x2 – rx + r2 = 0

x = = =

(En x = hay un máximo, pues A' (x) > 0 a la izquierda de este valor y

A' (x) < 0 a su derecha).

• El máximo se alcanza en x = . Por tanto, la distancia de C a la cuerda, que

es la altura del triángulo, es:

h = r + =

• Observación:

Vamos a calcular la longitud de los lados del triángulo:

AB = base = 2 = 2 = r

AC = BC = = = = r

Por tanto, hemos obtenido que el triángulo inscrito en una circunferencia quenos da el área máxima es el triángulo equilátero.

92 De la función f (x) definidaen [–3, 3] se conoce su gráfica,dada por:

a) Estudia la continuidad de la función.

b) Estudia la derivabilidad de la función.

c) Dibuja razonadamente la gráfica de f '(x).

√3r2 9r2

√r2 – — + —4 4

3r√(r2 – x2) + (—)22√y2 – h2

√3r2

√r2 – —4

√r2 – x2

3r2

r2

r2

r2

x = –r (no vale)

x = –2r/–4 = r/2r ± 3r

–4r ± √9r2

–4r ± √r2 + 8r2

–4

–2x2 – rx + r2

√r2 – x2

r2 – x2 – x2 – rx

√r2 – x2

r2 – x2 – x (x + r)

√r2 – x2

–2x

2√r2 – x2


Y

X

3

2

1

–1

–1 1 2 3–2–3

a) La función es continua en todo su dominio, excepto en x = 1; puesto que:

f (x) = 2

f (x) = 1

b) La función es derivable, excepto en x = 0 y en x = 1.

En x = 0 hay “un pico”; es decir, f ' (0–) ≠ f ' (0+).

En x = 1 no es continua la función; por tanto, no puede ser derivable.

c)


93 En una semicircunferencia de diámetroAB = 2r se traza una cuerda CD paralela aAB. ¿Cuál debe ser la longitud de esa cuer-da para que el área del trapecio ABDC seamáxima?

• Llamamos x a la mitad de la base CD; esdecir, a la mitad de la longitud de la cuerda.

• La altura del trapecio será:

h =

• El área del trapecio es:

Área = = (r + x) · h = (r + x) ·

A(x) = (r + x) · , x ∈ (0, r)

Esta función es la misma que obtuvimos en el ejercicio 91; por tanto, alcanza el

máximo en x = (ver dicho ejercicio).r2

√r2 – x2

√r2 – x2(2r + 2x) · h2

√r2 – x2

límx → 1+

límx → 1–


En x = 1 hay una discontinuidad de salto finito.

Y

X

2

1

–1

–1 1 2 3–2–3

A

C D

B

A

C x x

r r

rh

D

B

• Así, la longitud de la cuerda es 2x = r; es decir, CD = r.

Observación:

Si completamos la figura de forma simétrica,obtenemos un hexágono de área máxima ins-crito en una circunferencia. Veamos que setrata de un hexágono regular:

CD = r

h = = =

l = = = = r

Luego el lado del hexágono es r, igual al radio de la circunferencia.

Por tanto, el hexágono inscrito en una circunferencia que nos da el área máxima esel hexágono regular.

94 En la figura del problema anterior, llama-mos E al punto medio del arco CD y di-bujamos el pentágono ACEDB. Calcula lalongitud de la cuerda CD para que el áreadel pentágono sea máxima.

• Llamamos x a la mitad de la longitud de lacuerda CD.

• El área del pentágono es igual a la suma delas áreas del trapecio CDBA y del triánguloCDE:

h =

Área = + = (r + x) · + x (r – ) =

= x + r + xr – x = xr + r = r [x + ]

A(x) = r [x + ], x ∈ (0, r)

• Hallamos el máximo de A(x):

A' (x) = r [1 + ] = r [ ]A' (x) = 0 → – x = 0 → = x

r2 – x2 = x2 → r2 = 2x2 → x = = r √22

r2

√—2

√r2 – x2√r2 – x2

√r2 – x2 – x–2x

2√r2 – x2

√r2 – x2

√r2 – x2√r2 – x2√r2 – x2√r2 – x2√r2 – x2

√r2 – x2√r2 – x22x · (r – h)2

(2r + 2x) · h2

√r2 – x2

√r23r2 r2

√— + —4 4

r2

√h2 + —4

3r2

√—4

r2

√r2 – —4

√r2 – x2


A

C

r/2

l

r/2

r/2

h h

D

B

A

C

E

D

B

A

C

E

x x

r r

r

r – h

h

D

B

(No consideramos la raíz negativa, pues x ∈ (0, r)).

(En x = hay un máximo, pues A' (x) > 0 a la izquierda de este valor y

A' (x) < 0 a su derecha).

• El máximo se alcanza en x = ; es decir, la longitud de la cuerda para la que

obtenemos el área máxima es CD = r .

Observación 1:

Si completamos la figura anterior de forma si-métrica, vemos que obtenemos un octógonoregular:

sen α = = → α = 45°

es decir: EOD = 45°

Además:

y OA = OC = OE = OD = OB = r

Por tanto, se trata de un octógono regular.

Así, hemos obtenido que el octógono inscrito en una circunferencia que nos da elárea máxima es el octógono regular.

Observación 2:

En el ejercicio 91 obtuvimos el resultado para un triángulo, en el ejercicio 93 paraun hexágono y en este ejercicio para un octógono.

En general, se tiene que el polígono de n lados inscrito en una circunferencia quenos da el área máxima es el polígono regular de n lados.

EOC = EOD → EOC = 45°

DOB = 90° – EOD = 45°

COA = 90° – EOC = 45°

√22

r √—2/2r

√2

r √22

r √22


A

C

E

Or r

r

r √—2/2

α

D

B

Descripción de una gráfica

1. ■ Copia en tu cuaderno los datos encuadrados en rojo. A partir de ellos y sinmirar la gráfica que aparece al principio, representa esta función sobreunos ejes coordenados dibujados en papel cuadriculado.

(La solución está en el propio ejercicio).

2. Traza unos ejes coordenados sobre papel cuadriculado y representa una curva,lo más sencilla posible, que cumpla las siguientes condiciones:

• f (x) = –∞

• f (x) = 2

• f (x) = –∞

• f (x) = +∞

• f (0) = 4; f' (0) = 0

• f (–5) = 0; f (1,75) = 0

• f es derivable en todo Á, salvo en x = 2.

límx → 2+

límx → 2–

límx → +∞

límx → –∞

Unidad 11. Representación de funciones 1

1–5

1

4

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

11

3. Describe, con la menor can-tidad de datos y de forma si-milar a la de los apartadosanteriores, la siguiente fun-ción:

• f (x) = –1

• f (x) = – ∞

• f (x) = +∞

• f (x) = +∞

• f (–9) = 0; f (0) = 0; f (8) = 0

• f' (0) = 0

• f (4) = 4; f' (4) = 0

4. Representa sobre unos ejes en papel cuadriculado una gráfica inventada porti. Descríbela en papel aparte. Dale la descripción a tu compañera o compañe-ro para que la represente.

Representa tú la suya.

Comparad cada representación con la curva original. Discutid las diferenciasque observéis.

¿Hay algún error en la representación?

¿Hay, acaso, error en la descripción?

¿Es todo correcto?

Por ejemplo:

• f (x) = – ∞; f (x) = 2

• f (x) = – ∞; f (x) = +∞

• f (–4) = 0; f' (–4) = 0

• f (1) = 0; f' (1) = 0

• f (0) = 1

límlím

límlím

lím

lím

lím

lím


1

1

5. Observa esta gráfica:

• Halla la ordenada para las siguientes abscisas:

x = 0, x = 1, x = 3, x = –7, x = 12, x = –400, x = 13, x = –199

• ¿En qué puntos no está definida esta función?

• ¿Qué tramo de la función te bastaría conocer para hacerte una idea exacta decómo es la gráfica?

• ¿Te sugiere esta curva algún tipo de simetría o periodicidad?

• f (0) = 0; f (1) = 1; f (3) = 1; f (–7) = 1

f (12) = 0; f (–400) = 0; f (13) = 1; f (–199) = 1

(En general, f (4k) = 0; f (4k + 1) = f (4k – 1) = 1 y no existe f (x) en x = 4k + 2,con k ∈ Z).

• La función no está definida en los puntos de la forma x = 4k + 2, con k ∈ Z.

• Bastaría con conocer la función para x ∈ [0, 2), si supiéramos que es par y que esperiódica de periodo 4.

• Simetría → Es una función par (simétrica respecto al eje Y ).

Periodicidad → Es periódica de periodo 4.

Página 306

1. Halla el dominio de estas funciones:

a) y = x3 – 5x2 + 7x + 3 b) y = c) y =

a) D = Á

b) x2 – 5x + 4 = 0 → x = = =

D = Á – {1, 4}

c) x2 + 1 ≠ 0 para todo x → D = Á

2. Halla el dominio de:

a) y = b) y = ln (x2 + 1) c) y = ln (x2 – 1) d) y =

a) x2 – 2x ≥ 0 → D = (– ∞, 0] U [2, +∞)

ex

x2√x2 – 2x

x = 4

x = 15 ± 3

25 ± √9

25 ± √25 – 16

2

x3 + 2xx2 + 1

3x3 + 5

x2 – 5x + 4


b) x2 + 1 > 0 para todo x → D = Á

c) x2 – 1 > 0 → D = (– ∞, –1) U (1, +∞)

d) x2 = 0 → x = 0 → D = Á – {0}

Página 307

3. Halla las posibles simetrías y periodicidades, di dónde son continuas y dóndederivables:

a) y = 3x4 – 5x2 – 1 b) y = c) y =

d) y = e) y = sen x + 1/2 (sen 2x)

a) f (–x) = 3(–x)4 – 5(–x)2 – 1 = 3x4 – 5x2 – 1 = f (x)

Es una función par: simétrica respecto al eje Y.

No es periódica.

Es continua y derivable en Á.

b) Dominio = (– ∞, 0] U [2, +∞)

f (–x) = . No es par ni impar; no es simétrica respecto al eje Y ni res-pecto al centro de coordenadas.

No es periódica.

Es continua en su dominio.

Es derivable en (– ∞, 0) U (2, +∞).

c) Dominio = Á – {–1, 1}

f (–x) = = – f (x). Es impar: simétrica respecto al origen de coordenadas.

No es periódica.

Es continua y derivable en su dominio.

d) Dominio = Á – {0}

f (–x) = . No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y ni respec-

to al origen de coordenadas.

No es periódica.

Es continua y derivable en su dominio.

e) Dominio = Á

f (–x) = sen (–x) + (sen (–2x)) = –sen x – (sen (2x)) = –f (x)12

12

–x3 – 1

x2

–x3

x2 – 1

√x2 – 2x

x3 – 1

x2

x3

x2 – 1√x2 – 2x


Es impar: simétrica respecto al origen de coordenadas.

Es periódica de periodo 2π.

Es continua y derivable en Á.

Página 308

4. Halla las ramas infinitas de:

a) y = 3x5 – 20x3 b) y = c) y =

d) y = e) y = ln (x2 + 1) f) y = 2x – 1

a) y = 3x5 – 20x3

• f (x) = – ∞

• f (x) = +∞

b) y =

• Dominio = Á – {–1, 1}

• f (x) = +∞; = – ∞

• f (x) = +∞; = +∞Ramas parabólicas

• f (x) = +∞; f (x) = – ∞

• f (x) = – ∞; f (x) = +∞Asíntotas verticales: x = –1; x = 1

c) y = = = x + 4 +

• Dominio = Á – {2}

• f (x) = – ∞; f (x) = +∞

y = x + 4 es una asíntota oblicua.

f (x) – (x + 4) = → f (x) – (x + 4) > 0 si x → +∞f (x) – (x + 4) < 0 si x → – ∞

12x – 16x2 – 4x + 4

límlím

12x – 16x2 – 4x + 4

x3

x2 – 4x + 4x3

(x – 2)2

límlím

límlím

f (x)x

límlím

f (x)x

límlím

x4

x2 – 1

lím

lím

√x2 – 2x

x3

(x – 2)2

x4

x2 – 1


Ramas parabólicas

1–1

• f (x) = +∞

f (x) = +∞x = 2 es asíntota vertical

d) y =

• Dominio = (– ∞, 0] U [2, +∞)

• f (x) = +∞

= = –1 → Hay asíntota oblicua.

[ f (x) + x] = [ + x] = [ – x] =

= =

= = = = 1

y = –x + 1 es una asíntota oblicua cuando x → – ∞.

• f (x) = +∞

= = 1 → Hay asíntota oblicua.

[ f (x) – x] = [ – x] =

= =

= = = –1

y = x – 1 es una asíntota oblicua cuando x → +∞.

• No hay asíntotas verticales.

–2x

√x2 – 2x + xlím

x2 – 2x – x2


(√—x2 – 2x – x) (√

—x2 – 2x + x)

(√x2 – 2x + x)lím

√x2 – 2xlímlím

√x2 – 2xx

límf (x)x

lím

lím

22

2x

√x2 + 2x + xlím

x2 + 2x – x2

√x2 + 2x + xlím

(√—x2 + 2x – x) (√

—x2 + 2x + x)

(√x2 + 2x + x)lím

√x2 + 2xlím√x2 – 2xlímlím

√x2 – 2xx

límf (x)x

lím

lím

√x2 – 2x

lím

lím


2

4

• Posición de la curva respecto alas asíntotas:

f (x) – (–x + 1) < 0 si x → – ∞

f (x) – (x – 1) < 0 si x → +∞

e) y = ln (x2 + 1)

• Dominio = Á• f (x) = +∞

= = = 0

• f (x) = +∞Ramas parabólicas

= = = 0


f) y = 2x – 1 > 0 para todo x.

• Dominio = Á• f (x) = 0 → y = 0 es asíntota horizontal cuando x → – ∞.

• f (x) = +∞; = +∞


Página 309

5. Halla los puntos singulares y los puntos de inflexión de:

a) y = x3 – 6x2 + 9x + 5 b) y = ln (x2 + 1)

a) y = x3 – 6x2 + 9x + 5. Dominio = Á• f' (x) = 3x2 – 12x + 9

f (x)x

límlím

lím

2xx2 + 1

límln (x2 + 1)

xlím

f (x)x

lím

lím

2xx2 + 1

límln (x2 + 1)

xlím

f (x)x

lím

lím


1

1

• f' (x) = 0 → 3(x2 – 4x + 3) = 0

x = = =

Signo de f' (x):

Hay un máximo en (1, 9) y un míni-mo en (3, 5).

• f'' (x) = 6x – 12

f'' (x) = 0 → 6x – 12 = 0 → x = 2

Signo de f'' (x):

Hay un punto de inflexión en (2, 7).

b) y = ln (x2 + 1). Dominio = Á

• f' (x) =

f' (x) = 0 → 2x = 0 → x = 0


• f'' (x) = = =

f'' (x) = 0 → –2x2 + 2 = 0 → x2 = 1

Signo de f'' (x):

Hay un punto de inflexión en (–1, ln 2)y otro en (1, ln 2).

6. Halla los puntos singulares de:

a) y = 3x5 – 20x3 b) y =

c) y = d) y =

a) y = 3x5 – 20x3. Dominio = Áf' (x) = 15x4 – 60x2

√x2 – 2xx3

(x – 2)2

x2

x2 – 1

x = –1

x = 1

–2x2 + 2(x2 + 1)2

2x2 + 2 – 4x2

(x2 + 1)22(x2 + 1) – 2x · 2x

(x2 + 1)2

f'' (x) < 0 para x < 0f'' (x) > 0 para x > 0

2xx2 + 1

x = 3

x = 14 ± 2

24 ± √4

24 ± √16 – 12

2


1 3

f ' < 0f ' > 0 f ' > 0

–1 1

f '' > 0f '' < 0 f '' < 0

2

f '' > 0f '' < 0

f' (x) = 0 → 15x2(x2 – 4) = 0

Signo de f' (x):

Hay un máximo en (–2, 64), un mínimo en (2, –64), y un punto de inflexión en(0, 0).

b) y = . Dominio = Á – {–1, 1}

f' (x) = = =

f' (x) = 0 → –2x = 0 → x = 0

Signo de f' (x):

Hay un máximo en (0, 0).

c) y = . Dominio = Á – {2}

f' (x) = = =

= =

f' (x) = 0 → x2(x – 6) = 0

Signo de f' (x):

Hay un punto de inflexión en (0, 0) y un mínimo en (6, ).d) y = . Dominio = (– ∞, 0] U [2, +∞)

f' (x) = =

f' (x) = 0 → x – 1 = 0 → x = 1 ∉ Dominio.

No hay puntos singulares.

x – 1

√x2 – 2x

2x – 2

2√x2 – 2x

√x2 – 2x

272

x = 0

x = 6

x3 – 6x2

(x – 2)33x3 – 6x2 – 2x3

(x – 2)3

3x2(x – 2) – 2x3

(x – 2)33x2(x – 2)2 – x3 · 2(x – 2)

(x – 2)4

x3

(x – 2)2

–2x(x2 – 1)2

2x3 – 2x – 2x3

(x2 – 1)22x (x2 – 1) – x2 · 2x

(x2 – 1)2

x2

x2 – 1

x = 0x = –2x = 2


–2 0

f ' < 0f ' > 0 f ' < 0 f ' > 0

2

–1 0

f ' > 0f ' > 0 f ' < 0 f ' < 0

1

0 2

f ' > 0f ' > 0 f ' < 0 f ' > 0

6

1. Representa estas funciones:

a) y = x4 – 8x2 + 7 b) y = 3x4 + 4x3 – 36x2 c) y = x4 – 4x3 – 2x2 + 12x

a) y = x4 – 8x2 + 7

• Simetrías:

f (–x) = x4 – 8x2 + 7 = f (x). Es par: simétrica respecto al eje Y.

• Ramas infinitas:

f (x) = +∞; f (x) = +∞

• Puntos singulares:

f' (x) = 4x3 – 16x

f' (x) = 0 → 4x (x2 – 4) = 0

Puntos singulares: (0, 7); (–2, –9); (2, –9)

• Cortes con los ejes:

— Con el eje Y → x = 0 → y = 7 → Punto (0, 7)

— Con el eje X → y = 0 → x4 – 8x2 + 7 = 0

x2 = = =

Puntos: (– , 0); (–1, 0); (1, 0); ( , 0)

• Puntos de inflexión:

f'' (x) = 12x2 – 16

f'' (x) = 0 → 12x2 – 16 = 0 → x2 = → x = ± = ±

Puntos (– , ) y ( , )• Gráfica:

–179

2√33

–179

2√33

2√33

43

√7√7

x2 = 7 → x = ± √–7x2 = 1 → x = ± 1

8 ± 62

8 ± √362

8 ± √64 – 282

x = 0x = –2x = 2

límlím


2

7

–9

b) y = 3x4 + 4x3 – 36x2

• Simetrías:

f (–x) = 3x4 – 4x3 – 36x2. No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Yni respecto al origen de coordenadas.


f (x) = +∞; f (x) = +∞


f' (x) = 12x3 + 12x2 – 72x

f' (x) = 0 → 12x (x2 + x – 6) = 0x = 0

x = =

Puntos: (0, 0); (2, –64); (–3, –189)



— Con el eje X → y = 0 → x2(3x2 + 4x – 36) = 0

x2 = 0 → x = 0

x = =

Puntos: (0, 0); (2,86; 0); (–4,19; 0)


f'' (x) = 36x2 + 24x – 72

f'' (x) = 0 → 12(3x2 + 2x – 6) = 0

x = =

Puntos: (1,12; –34,82) y (–1,79; –107,22)

• Gráfica:

x ≈ 1,12

x ≈ –1,79–2 ± √76

6–2 ± √4 + 72

6

x ≈ 2,86

x ≈ –4,19–4 ± √448

6–4 ± √16 + 432

6

x = 2

x = –3–1 ± 5

2–1 ± √1 + 24

2

límlím


3

50

–200

c) y = x4 – 4x3 – 2x2 + 12x

• Simetrías:

f (–x) = x4 + 4x3 – 2x2 – 12x. No es par ni impar: no es simétrica respecto al ejeY ni respecto al origen de coordenadas.


f (x) = +∞; f (x) = +∞


f' (x) = 4x3 – 12x2 – 4x + 12

f' (x) = 0 → 4(x3 – 3x2 – x + 3) = 0 → 4(x – 1)(x + 1)(x – 3) = 0

Puntos (1, 7); (–1, –9); (3, –9)



— Con el eje X → y = 0 → x(x 3 – 4x 2 – 2x + 12) = 0

x = 0

x3 – 4x2 – 2x + 12 = 0 → (x – 2) (x2 – 2x – 6) = 0

Puntos: (0, 0); (2, 0); (3,65; 0); (–1,65; 0)


f'' (x) = 12x2 – 24x – 4

f'' (x) = 0 → 4(3x2 – 6x – 1) = 0

x = =

Puntos: (2,15; –1,83) y (–0,15; –1,74)

• Gráfica:

x ≈ 2,15

x ≈ –0,156 ± √48

66 ± √36 + 12

6

x = 2x ≈ 3,65x ≈ –1,65

x = 1x = –1x = 3

límlím


4

7

–9

2. Representa las siguientes funciones:

a) y = 3x4 – 4x3 – 16 b) y = x3 – 3x c) y = (1/4)x4 – 2x2

a) y = 3x4 – 4x3 – 16

• Simetrías:

f (–x) = 3x4 + 4x3 – 16. No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y nirespecto al origen de coordenadas.


f (x) = +∞; f (x) = +∞


f' (x) = 12x3 – 12x2

f' (x) = 0 → 12x2(x – 1) = 0

Puntos: (0, –16); (1, –17)


— Con el eje Y → x = 0 → y = –16 → Punto (0, –16)

— Con el eje X → y = 0 → 3x4 – 4x3 – 16 = 0 →

x = 2

3x3 + 2x2 + 4x + 8 = 0 → tiene una sola raíz, que está entre –2 y –1;pues, si g (x) = 3x3 + 2x2 + 4x + 8, g (–2) = –16 < 0 y g (–1) = 3 > 0.

Puntos (2, 0) y (k, 0), con k entre –2 y –1.


f'' (x) = 36x2 – 24x

f'' (x) = 0 → 12x (3x – 2) = 0

Puntos: (0, –16) y ( , )• Gráfica:

–44827

23

x = 02

x = —3

x = 0

x = 1

límlím


2

–20

b) y = x3 – 3x

• Simetrías:

f (–x) = –x3 + 3x = –f (x). Es impar: simétrica respecto al origen de coordenadas.


f (x) = – ∞; f (x) = +∞


f' (x) = 3x2 – 3

f' (x) = 0 → 3(x2 – 1) = 0

Puntos: (–1, 2); (1, –2)



— Con el eje X → y = 0 → x3 – 3x = 0 → x (x2 –3) = 0

Puntos: (0, 0); (– , 0); ( , 0)


f'' (x) = 6x

f'' (x) = 0 → 6x = 0 → x = 0 → Punto (0, 0)

• Gráfica:

c) y = x4 – 2x2

• Simetrías:

f (–x) = x4 – 2x2 = f (x). Es par: simétrica respecto al eje Y.


f (x) = +∞; f (x) = +∞límlím

14

14

√3√3

x = 0x = –√

–3

x = √–3

x = –1

x = 1

límlím


1

–2


f' (x) = x3 – 4x

f' (x) = 0 → x (x2 – 4) = 0

Puntos: (0, 0); (–2, –4); (2, –4)



— Con el eje X → y = 0 → x2 ( x2 – 2) = 0

x = 0

x2 = 8

Puntos: (0, 0); (–2 , 0); (2 , 0)


f'' (x) = 3x2 – 4

f'' (x) = 0 → 3x2 – 4 = 0

x = – = –

x = =

Puntos: (– , – ); ( , – )• Gráfica:

Página 313

1. Representa:

a) y = b) y = x2 – 2x – 8x

x3

1 – x2

209

2√33

209

2√33

2√33

2√33

√2√2

x = –2√2

14

x = 0x = –2x = 2


2

–4

a) y = = –x + . Dominio = Á – {–1, 1}

• Simetrías:


• Asíntotas verticales:

f (x) = +∞

f (x) = – ∞Asíntota vertical en x = –1.

f (x) = +∞

f (x) = – ∞Asíntota vertical en x = 1.

• Asíntota oblicua:

= –x + → y = –x es asíntota oblicua.

Posición de la curva respecto a la asíntota:

f (x) – (–x) > 0 si x → – ∞ (curva por encima)

f (x) – (–x) < 0 si x → +∞ (curva por debajo)


f' (x) = = =

f' (x) = 0 → x2(–x2 + 3) = 0

Puntos: (0, 0); (– , ); ( , – )• Cortes con los ejes:

Corta a los ejes en (0, 0).

• Gráfica:

3√32

√33√32

√3

x = 0x = –√

–3

–x4 + 3x2

(1 – x2 )2

3x2 – 3x4 + 2x4

(1 – x2 )2

3x2(1 – x2) – x3 · (–2x)

(1 – x2 )2

x1 – x2

x 3

1 – x2

lím

lím

lím

lím

–x 3

1 – x2

x1 – x2

x 3

1 – x2


1–1

b) y = = x – 2 – . Dominio = Á – {0}

• Simetrías:

f (–x) = . No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y ni

respecto al origen.


f (x) = +∞



= x – 2 – → y = x – 2 es asíntota oblicua.


f (x) – (x – 2) > 0 si x → – ∞ (curva por encima)

f (x) – (x – 2) < 0 si x → +∞ (curva por debajo)


f' (x) = 1 + > 0 para todo x del dominio.

La función es creciente en todo su dominio. No tiene puntos singulares.


— Con el eje X → y = 0 → x2 – 2x – 8 = 0

Puntos: (–2, 0) y (4, 0)

— No corta el eje Y, pues no está definida en x = 0.

• Gráfica:

2. Representa:

a) y = b) y = x3 + 2xx2 + 1

x2 – 9

x2 – 4

x = –2

x = 4

8x2

8x

x2 – 2x – 8x

lím

lím

x2 + 2x – 8–x

8x

x2 – 2x – 8x


4–2

a) y = . Dominio = Á – {–2, 2}

• Simetrías:

f (–x) = = f (x). Es par: simétrica respecto al eje Y.


f (x) = – ∞

f (x) = +∞Asíntota vertical en x = –2.

f (x) = +∞


• Asíntota horizontal:

= 1 – → y = 1 es asíntota horizontal.


f (x) – 1 < 0 si x → – ∞ (curva por debajo)

f (x) – 1 < 0 si x → +∞ (curva por debajo)


f' (x) = = =

f' (x) = 0 → 10x = 0 → x = 0 → Punto (0, )• Cortes con los ejes:

— Con el eje Y → x = 0 → y = → Punto (0, )— Con el eje X → y = 0 → x2 – 9 = 0

Puntos: (–3, 0) y (3, 0).

• Gráfica:

x = –3

x = 3

94

94

94

10x(x2 – 4)2

2x (x2 – 4 – x2 + 9)

(x2 – 4)2

2x (x2 – 4) – 2x (x2 – 9)

(x2 – 4)2

5x2 – 4

x 2 – 9

x2 – 4

lím

lím

lím

lím

x 2 – 9

x2 – 4

x 2 – 9

x2 – 4


2

1

–2

b) y = . Dominio = Á

• Simetrías:


• No tiene asíntotas verticales.


= x + → y = x es asíntota oblicua.


f (x) – x < 0 si x → – ∞ (curva por debajo)

f (x) – x > 0 si x → +∞ (curva por encima)


f' (x) = = =

=

f' (x) = 0 → x4 + x2 + 2 = 0 → x2 = → No tiene solución.

No hay puntos singulares.



— Con el eje X → y = 0 → x3 + 2x = 0 → x (x2 + 2) = 0 →

→ x = 0 → Punto (0, 0)


f'' (x) = =

= = =

f'' (x) = 0 Puntos: (0, 0); (– , – ); ( , )5√34

√35√34

√3

x = 0x = –√

–3

2x (x2 – 3)

(x2 + 1)3

2x3 – 6x

(x2 + 1)3

(4x3 + 2x)(x2 + 1) – 4x (x4 + x2 + 2)

(x2 + 1)3

(4x3 + 2x)(x2 + 1)2 – (x4 + x2 + 2) · 2(x2 + 1) · 2x

(x2 + 1)4

–1 ± √1 – 82

x4 + x2 + 2

(x2 + 1)2

3x4 + 3x2 + 2x2 + 2 – 2x4 – 4x2

(x2 + 1)2

(3x2 + 2)(x2 + 1) – (x3 + 2x) · 2x

(x2 + 1)2

xx2 + 1

x 3 + 2x

x2 + 1

– x 3 – 2x

x2 + 1

x 3 + 2x

x2 + 1


• Gráfica:

Página 315

1. Representa:

a) y = b) y =

a) y =

• Dominio:

x2 + 2x = 0 → x (x + 2) = 0

D = (– ∞, –2] U [0, +∞)

• Simetrías:

f (–x) = . No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y ni res-pecto al origen de coordenadas.


• Asíntotas oblicuas:

f (x) = +∞

= = = –1

[f (x) + x] = [ + x] = [ – x] =

= =

= = =

= = = –1

y = –x – 1 es asíntota oblicua cuando x → – ∞.

–22

–21 + 1

–2x


x2 – 2x – x2


(√––x2 – 2x – x)(√

––x2 – 2x + x)


√x2 – 2xlím√x2 + 2xlímlím

√x2 – 2x–x

√x2 + 2xx

límf (x)x

lím

lím

√x2 – 2x

x = 0

x = –2

√x2 + 2x

√x2 – 9√x2 + 2x


1

1

f (x) = +∞

= = 1

[f (x) – x] = [ – x] =

= =

= = =

= = = 1

y = x + 1 es asíntota oblicua cuando x → +∞.


f' (x) = =

f' (x) = 0 → x + 1 = 0 → x = –1 → Como no pertenece al dominio def (x), no hay puntos singulares.


— Con el eje X → y = 0 → → x2 + 2x = 0

Puntos: (0, 0) y (–2, 0)

— Con el eje Y → x = 0 → y = 0 → Punto: (0, 0)

• Gráfica:

x = 0

x = –2√x2 + 2x

x + 1

√x2 + 2x

2x + 2

2√x2 + 2x

22

21 + 1

2x

√x2 + 2x + xlím

x2 + 2x – x2

√x2 + 2x + xlím

(√––x2 + 2x – x) (√

––x2 + 2x + x)

√x2 + 2x + xlím

√x2 + 2xlímlím

√x2 + 2xx

límf (x)x

lím

lím


–2

2

b) y =

• Dominio:

x2 – 9 = 0

D = (– ∞, –3] U [3, +∞)

• Simetrías:

f (–x) = = f (x). Es par: simétrica respecto al eje Y.


• Asíntotas oblicuas:

f (x) = +∞

= = = –1

[f (x) + x] = [ + x] = [ – x] =

= =

= = = 0

y = –x es asíntota oblicua cuando x → – ∞.

f (x) = +∞

= = 1

[f (x) – x] = [ – x] = =

= = = 0

y = x es asíntota oblicua cuando x → +∞.


f' (x) = =

f' (x) = 0 → x = 0. Como no pertenece al dominio de f (x), no hay puntossingulares.

x

√x2 – 9

2x

2√x2 – 9

–9

√x2 – 9 + xlím

x2 – 9 – x2

√x2 – 9 + xlím

(√––x2 – 9 – x)(√

––x2 – 9 + x)

(√x2 – 9 + x)lím√x2 – 9límlím

√x2 – 9x

límf (x)x

lím

lím

–9

√x2 – 9 + xlím

x2 – 9 – x2

√x2 – 9 + xlím

(√––x2 – 9 – x)(√

––x2 – 9 + x)

(√x2 – 9 + x)lím

√x2 – 9lím√x2 – 9límlím

√x2 – 9–x

√x2 – 9x

límf (x)x

lím

lím

√x2 – 9

x = –3

x = 3

√x2 – 9



— Con el eje X → y = 0 → → x2 – 9 = 0

Puntos: (–3, 0) y (3, 0)

— No corta al eje Y, pues no existe f (0).

• Gráfica:

2. Representa:

a) y = ln (x2 + 4) b) y = ln (x2 – 1)

a) y = ln (x2 + 4)

• Dominio:

Como x2 + 4 > 0 para todo x, D = Á.

• Simetrías:

f (–x) = ln (x2 + 4) = f (x). Es par: simétrica respecto al eje Y.



f (x) = f (x) = +∞

= = = 0

Por tanto, no tiene asíntotas de ningún tipo.

Tiene ramas parabólicas.


f' (x) =

f' (x) = 0 → 2x = 0 → x = 0 → Punto (0, ln 4)

2xx2 + 4

2x—x2 + 4

1lím

ln (x2 + 4)x

límf (x)x

lím

límlím

x = –3

x = 3√x2 – 9


–3 3

2


f'' (x) = = =

f'' (x) = 0 → 8 – 2x2 = 0 Puntos: (–2, ln 8) y (2, ln 8)

• Gráfica:

b) y = ln (x2 – 1)

• Dominio:

x2 – 1 > 0 → D = (– ∞, –1) U (1, +∞)

• Simetrías:

f (–x) = ln (x2 – 1) = f (x). Es par: simétrica respecto al eje Y.


f (x) = – ∞; f (x) = – ∞

x = –1 y x = 1 son asíntotas verticales.

• f (x) = f (x) = +∞

= = = 0

Tiene ramas parabólicas.


f' (x) =

f' (x) = 0 → 2x = 0 → x = 0. No tiene puntos singulares, pues la función noestá definida en x = 0.

2xx2 – 1

2x—x2 – 1

1lím

ln (x2 – 1)x

límf (x)x

lím

límlím

límlím

x = –2

x = 2

8 – 2x2

(x2 + 4)22x2 + 8 – 4x2

(x2 + 4)22(x2 + 4) – 2x · 2x

(x2 + 4)2


1

1


f'' (x) = = =

No tiene puntos de inflexión.

• Puntos de corte con los ejes:

— Con el eje X → y = 0 → ln (x2 – 1) = 0 → x2 – 1 = 1

x2 = 2 Puntos: (– , 0) y ( , 0)

— No corta al eje Y, pues no existe f (0).

• Gráfica:

Página 316

3. Representa: y =

y =

• Dominio: D = Á – {0}

• No es simétrica.


f (x) = +∞

f (x) = +∞Asíntota vertical: x = 0

• f (x) = 0. Además f (x) > 0 para todo x del dominio.

y = 0 es una asíntota horizontal cuando x → – ∞

f (x) = +∞; = +∞. Rama parabólica.f (x)x

límlím

lím

lím

lím

ex

x2

ex

x2

√2√2x = –√2

–2x2 – 2(x2 – 1)2

2x2 – 2 – 4x2

(x2 – 1)22(x2 – 1) – 2x · 2x

(x2 – 1)2


1–1


f' (x) = = =

f' (x) = 0 → x = 2 → Punto (2, )• Gráfica:

4. Representa: y = cos 2x + cos x

y = cos 2x + cos x

• El periodo de cos x es 2π y el de sen 2x es π. Por tanto, la función es periódicade periodo 2π. La estudiamos solo en este intervalo.

• Es derivable en todo Á (es suma de funciones derivables).


f' (x) = –sen 2x – sen x = –2sen x cos x – sen x = – sen x (2cos x + 1)

f' (x) = 0 → – sen x (2cos x + 1) = 0

sen x = 0

x = 0 → Punto (0, )x = π → Punto (π, – )

x = → Punto ( , – )x = → Punto ( , – )

• Puntos de corte con los ejes:

— Con el eje Y → x = 0 → y = → Punto (0, )32

32

34

4π3

4π3

34

2π3

2π3

12

32

sen x = 01

cos x = –—2

12

12

e2

4

ex (x – 2)

x3

x · ex (x – 2)

x4

ex · x2 – ex · 2x

x4


cos x = – 12

1

1

— Con el eje X → y = 0 → cos 2x + 2cos x = 0

cos2 x – sen2 x + 2cos x = 0

cos2 x – (1 – cos2 x) + 2cos x = 0

cos2 x – 1 + cos2 x + 2cos x = 0

2cos2 x + 2cos x – 1 = 0

cos x =

cos x = 0,366

Puntos: (1,2; 0); (5,09; 0)


f'' (x) = –2cos 2x – cos x

f'' (x) = 0 → –2cos 2x – cos x = 0

–2(cos2 x – sen2 x) – cos x = 0

–2cos2 x + 2sen2 x – cos x = 0

–2cos2 x + 2(1 – cos2 x) – cos x = 0

–2cos2 x + 2 – 2cos2 x – cos x = 0

–4cos2 x – cos x + 2 = 0

cos x =

cos x = –0,843x = 2,57 Puntos: (2,57; –0,63)

x = 3,71 (3,71; –0,63)

cos x = 0,593x = 0,94 (0,94; 0,44)

x = 5,35 (5,35; 0,45)

• Gráfica:

cos x = –0,843

cos x = 0,5931 ± √1 + 32

–8

x = 1,2

x = 5,09

cos x = 0,366

cos x = –1,366 (no vale)–2 ± √4 + 8

4


π 2π

π—2

3π—2

1

–1

2

1. ¿Qué tipo de ramas en el infinito tienen?

a) y = b) y = c) y = d) y =

a) y =

f (x) = f (x) = 0 → Asíntota horizontal: y = 0

b) y =

f (x) = f (x) = 3 → Asíntota horizontal: y = 3

c) y = = x – 1 + →

→ Asíntota oblicua: y = x – 1

d) y =

f (x) = +∞; = +∞Ramas parabólicas

f (x) = – ∞; = +∞

2. ¿Qué tipo de ramas en el infinito tienen?

a) y = b) y = c) y = x +

d) y = tg x e) y = x sen x f) y = x – cos x

a) y =

f (x) = +∞; = – ∞. Rama parabólica.

f (x) = 0. Asíntota horizontal: y = 0

b) y =

f (x) = +∞; = 0

f (x) = +∞; = 0

Ramas parabólicasf (x)x

límlím

f (x)x

límlím

3√x2 + 3

lím

f (x)x

límlím

x2

ex

√x3

√x2 + 3x2

ex

f (x)x

límlím

f (x)x

límlím

x4

x + 1

1x + 1

x2

x + 1

límlím

3xx + 1

límlím

1x + 1

x4

x + 1x2

x + 13x

x + 11

x + 1


3

c) y = x +

f (x) no existe, pues solo está definida en [0, +∞).

f (x) = +∞; = (1 + ) = 1 = m

[f (x) – x] = = +∞

d) y = tg x

No existen f (x) ni f (x).

e) y = x sen x

No existen f (x) ni f (x).

f) y = x – cos x

f (x) = – ∞; = = no existe

f (x) = +∞; = no existe

Página 324


PARA PRACTICAR

1 Representa una función continua y deriva-ble en Á tal que:

f (x) = +∞, f (x) = –∞, f '(2) = 0

f (2) = 1, f '(x) ≥ 0 para cualquier x.

límx → –∞

límx → +∞

x – cos xx

límf (x)x

límlím

1 + sen x1

límx – cos x

xlím

f (x)x

límlím

límlím

límlím

√xlímlím

√xx

límf (x)x

límlím

lím

√x


2

1

S

2 Representa una función que no esté defini-da en x = –3 y tal que:

f (x) = +∞ y f (x) = –∞

f (x) = 1

No tiene puntos singulares y es creciente.

3 De una función y = f (x) tenemos esta información:

D = Á – {1, 4}; f (x) = +∞; f (x) = –∞

f (x) = –∞; f (x) = +∞; f (x) = 0

(si x → +∞, f (x) > 0; si x → –∞, f (x) < 0)

f '(2) = 0, f (2) = –1; f '(–1) = 0, f (–1) = –1

Represéntala.

4 Dibuja la gráfica de una función de la que seconocen las siguientes propiedades:

f (x) = –∞, f (x) = +∞

f '(x) = 0 si x = –2, x = 0, x = 3, x = 4

f (–2) = 2; f (0) = 0; f (3) = 5; f (4) = 4

5 Dibuja la gráfica de una función que cumpla las siguientes propiedades:

f(x) = –∞, f(x) = –3, f(x) = –∞

f (–8) = –2, f (0) = 0 es el único punto donde f (x) se anula.

f '(–8) = 0 y la derivada no se anula en ningún otro punto. Además, f '(x) < 0para todo x positivo.

La función es continua en toda la recta real, salvo en los puntos x = –5 y x = 0.

límx → –5

límx → +∞

límx → –∞

límx → +∞

límx → –∞

límx → ±∞

límx → 4+

límx → 4–

límx → 1+

límx → 1–

si x → +∞, f (x) < 1si x → –∞, f (x) > 1

límx → ±∞

límx → –3+

límx → –3–


–3

1

3

5

1 4–1

–1

–5–8 –1

–2–3

S

6 Describe las siguientes funciones indicando sus asíntotas y ramas infinitas, suspuntos singulares y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

a) • Asíntota vertical: x = 0. Asíntotal horizontal: y = 2

f (x) = 2; f (x) = 2

(si x → – ∞, f (x) < 2; si x → +∞, f (x) < 2)

f (x) = – ∞; f (x) = – ∞

• f (x) no tiene puntos singulares.

• Decrece en (– ∞, 0) y crece en (0, +∞).

b) • Asíntota vertical: x = –2. Asíntotal horizontal: y = –2

f (x) = –2; f (x) = –2

(si x → – ∞, f (x) > –2; si x → +∞, f (x) > –2)

f (x) = +∞; f (x) = – ∞

• Puntos singulares: f' (0) = 0; f (0) = –1. Máximo en (0, –1)

• Creciente en (– ∞, –2) U (–2, 0) y decreciente en (0, +∞).

c) • Asíntota horizontal si x → +∞: y = 0

f (x) = +∞; f (x) = 0

(si x → +∞, f (x) > 0)

límlím

límlím

límlím

límlím

límlím


–1

–2 2

1

2

y = x

1

2

a)

d)c)

b)


f' (0) = 0; f (0) = 0. Mínimo en (0, 0)

f' (2) = 0; f (2) = 1. Máximo en (2, 1)

• Decreciente en (– ∞, 0) U (2, +∞) y creciente en (0, 2).

d) • Asíntota vertical: x = 2

Asíntota oblicua: y = x

(si x → – ∞, f (x) > x; si x → +∞, f (x) < x)

f (x) = +∞; f (x) = – ∞

• Puntos singulares: no tiene.

• Creciente en (– ∞, 2) U (2, +∞).

7 Se considera la función f (x) = x3 + 2x + 4. ¿Tiene máximos y/o mínimos?¿Tiene algún punto de inflexión? Haz una gráfica aproximada de esta fun-ción.

f (x) = x3 + 2x + 4

• f' (x) = 3x2 + 2

f' (x) = 0 → 3x2 = –2 → no tiene solución.

f' (x) > 0 para todo x → f (x) es creciente.


• f'' (x) = 6x

f'' (x) = 0 → 6x = 0 → x = 0

Signo de f'' (x):


• Además, f (x) = – ∞; f (x) = +∞

• Gráfica:

límlím

límlím


0

f '' > 0f '' < 0

–2

4

S

8 Dada la función y = x3 – 3x + 1, se pide:

a) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Extremos relativos.

b) Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión.

c) Dibuja la gráfica a partir de los resultados anteriores.

a) f' (x) = 3x2 – 3

f' (x) = 0 → 3x2 – 3 = 0

Signo de f' (x):

f (x) es creciente en (– ∞, –1) U (1, +∞)

es decreciente en (–1, 1)

tiene un máximo en (–1, 3) y un mínimo en (1, –1)

b) f'' (x) = 6x

f'' (x) = 0 → 6x = 0 → x = 0

Signo de f'' (x):

f (x) es convexa en (– ∞, 0)

es cóncava en (0, +∞)


c)

9 En las siguientes funciones, estudia su dominio, asíntotas y posición de lacurva respecto de estas, y represéntalas a partir de los resultados obtenidos:

a) y = b) y = c) y = xx2 – 1

–1x2 + 1

1x2 – 1

x = –1

x = 1


–1 1

f ' < 0f ' > 0 f ' > 0

0

f '' > 0f '' < 0

–1

3

S

d) y = e) y = f) y =

a) y =

• Dominio: Á – {–1, 1}

• Asíntotas:

f (x) = 0; f (x) = 0

y = 0 es asíntota horizontal.

(si x → – ∞, f (x) > 0; si x → +∞, f (x) > 0)

f (x) = +∞

f (x) = – ∞x = –1 es asíntota vertical

f (x) = – ∞


• Gráfica:

b) y =

• Dominio: Á• Asíntotas:

No tiene asíntotas verticales.

f (x) = 0; f (x) = 0

(si x → – ∞, f (x) < 0; si x → +∞, f (x) < 0)

• Gráfica:

límlím

–1x2 + 1

lím

lím

lím

lím

límlím

1x2 – 1

x2 – x + 1x2 + x + 1

x1 + x2

x2 – 1x


1–1

1

1–1

–1

c) y =

• Dominio: Á – {–1, 1}

• Asíntotas:

f (x) = 0; f (x) = 0

(si x → – ∞, f (x) < 0; si x → +∞, f (x) > 0)


f (x) = – ∞

f (x) = +∞x = –1 es asíntota vertical

f (x) = – ∞


• Gráfica:

d) y = = x –

• Dominio: Á – {0}

• Asíntotas:

f (x) = +∞

f (x) = – ∞x = 0 es asíntota vertical

y = x es asíntota oblicua.

(si x → – ∞, f (x) > x; si x → +∞, f (x) < x)

• Gráfica:

lím

lím

1x

x2 – 1x

lím

lím

lím

lím

límlím

xx2 – 1


2

2

1–1

e) y =



f (x) = 0; f (x) = 0

(si x → – ∞, f (x) < 0; si x → +∞, f (x) > 0)

• Gráfica:

f) y =

• Dominio:

x2 + x + 1 = 0 → x = → No tiene solución.

D = Á• Asíntotas:

f (x) = 1; f (x) = 1

(si x → – ∞, f (x) > 1; si x → +∞, f (x) < 1)


• Gráfica:

límlím

–1 ± √1 – 42

x2 – x + 1x2 + x + 1

límlím

x1 + x2


1–1

1

–1

3

PARA RESOLVER

10 Representa las siguientes funciones estudiando previamente:

— Dominio de definición, asíntotas y posición de la curva respecto de estas.

— Intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y extremos relativos.

a) y = 2x + b) y =

c) y = d) y =

e) y = f) y =

g) y = h) y =

i) y = j) y =

k) y = l) y =

m) y = n) y =

a) y = 2x +


• Asíntotas:

f (x) = – ∞


y = 2x es asíntota oblicua.

(si x → – ∞, f (x) < 2x; si x → +∞, f (x) > 2x)

• Crecimiento, decrecimiento, extremos relativos:

f' (x) = 2 –

f' (x) = 0 → = 0 → x2 = 4 x = –2

x = 22x2 – 8

x2

8x2

lím

lím

8x

(x – 2)2

x – 1x3

x + 2

x4

x2 – 42x3

x2 + 1

x2

(x – 3)2x2 + 4

x

x2

9 – x2(x – 1) (x – 3)

x – 2

x(x – 2)2

4x – 12(x – 2)2

x2 – 2x + 2x – 1

x3

x2 – 4

2x(x + 1)2

8x




es decreciente en (–2, 0) U (0, 2)



• Gráfica:

b) y =

• Dominio: Á – {–1}

• Asíntotas:

f (x) = 0; f (x) = 0

(si x → – ∞, f (x) < 0; si x → +∞, f (x) > 0)


f (x) = – ∞



f' (x) = = =

f' (x) = 0 → –2x + 2 = 0 → x = 1

Signo de f' (x):

–2x + 2(x + 1)3

(x + 1)(2x + 2 – 4x)(x + 1)4

2(x + 1)2 – 2x · 2(x + 1)(x + 1)4

lím

lím

límlím

2x(x + 1)2


–2 0

f ' < 0f ' > 0 f ' < 0 f ' > 0

2

2

8

–1 1

f ' > 0f ' < 0 f ' < 0

f (x) es decreciente en (– ∞, –1) U (1, +∞)

es creciente en (–1, 1)

tiene un máximo en (1, )• Gráfica:

c) y = = x +

• Dominio: Á – {–2, 2}

• Asíntotas:

f (x) = – ∞


f (x) = – ∞



(si x → – ∞, f (x) < x; si x → +∞, f (x) > x)


f' (x) = = = =

f' (x) = 0 → x2(x2 – 12) = 0

Signo de f' (x):

f (x) es creciente en (– ∞, – ) U ( , +∞)es decreciente en (– , –2) U (–2, 2) U (2, )tiene un máximo en (– , –3 )tiene un mínimo en ( , 3 )√3√12

√3√12

√12√12

√12√12

x = 0x = –√

–12

x2(x2 – 12)(x2 – 4)2

x4 – 12x2

(x2 – 4)23x4 – 12x2 – 2x4

(x2 – 4)23x2(x2 – 4) – x3 · 2x

(x2 – 4)2

lím

lím

lím

lím

4xx2 – 4

x3

x2 – 4

12


–1

–2

f ' < 0f ' > 0 f ' < 0 f ' < 0

0

f ' < 0

2

f ' > 0

–√12 √12

• Gráfica:

d) y = = x – 1 +


• Asíntotas:

f (x) = – ∞


y = x – 1 es asíntota oblicua.

(si x → – ∞, f (x) < x – 1; si x → +∞, f (x) > x – 1)


f' (x) = 1 – = = =

= =

f' (x) = 0 → x(x – 2) = 0

Signo de f' (x):

f (x) es creciente en (– ∞, 0) U (2, +∞)

es decreciente en (0, 1) U (1, 2)



x = 0

x = 2

x (x – 2)(x – 1)2

x2 – 2x(x – 1)2

x2 – 2x + 1 – 1(x – 1)2

(x – 1)2 – 1(x – 1)2

1(x – 1)2

lím

lím

1x – 1

x2 – 2x + 2x – 1


42

2

0 1

f ' < 0f ' > 0 f ' < 0 f ' > 0

2

• Gráfica:

e) y =


• Asíntotas:

f (x) = 0; f (x) = 0

(si x → – ∞, f (x) < 0; si x → +∞, f (x) > 0)

y = 0 es asíntota oblicua.

f (x) = – ∞



f' (x) = = =

= =

f' (x) = 0 → –4x + 16 = 0 → x = 4

Signo de f' (x):

f (x) es decreciente en (– ∞, 2) U (4, +∞)

es creciente en (2, 4)

tiene un máximo en (4, 1)

–4x + 16(x – 2)3

4x – 8 – 8x + 24(x – 2)3

4(x – 2) – 2(4x – 12)(x – 2)3

4(x – 2)2 – (4x – 12) · 2(x – 2)(x – 2)4

lím

lím

límlím

4x – 12(x – 2)2


2

2

2 4

f ' > 0f ' < 0 f ' < 0

• Gráfica:

f) y =


• Asíntotas:

f (x) = 0; f (x) = 0

(si x → – ∞, f (x) < 0; si x → +∞, f (x) > 0)


f (x) = +∞



f' (x) = = =

f' (x) = 0 → –x – 2 = 0 → x = –2

Signo de f' (x):

f (x) es decreciente en (– ∞, –2) U (2, +∞)

es creciente en (–2, 2)

tiene un mínimo en (–2, )• Gráfica:

–18

–x – 2(x – 2)3

x – 2 – 2x(x – 2)3

(x – 2)2 – x · 2(x – 2)(x – 2)4

lím

lím

límlím

x(x – 2)2


2

2

0,2

0,4

–2 2

f ' > 0f ' < 0 f ' < 0

g) y = = = x – 2 –


• Asíntotas:

f (x) = +∞



(si x → – ∞, f (x) > x – 2; si x → +∞, f (x) < x – 2)


f' (x) = 1 +

f' (x) = 0 → (x – 2)2 + 1 = 0 → no tiene solución

f (x) no tiene extremos relativos.

f' (x) > 0 para todo x → f (x) es creciente en todo su dominio.

• Gráfica:

h) y =

• Dominio: Á – {–3, 3}

• Asíntotas:

f (x) = –1, f (x) = –1

(si x → – ∞, f (x) < –1; si x → +∞, f (x) < –1)

y = –1 es asíntota horizontal.

f (x) = – ∞


f (x) = +∞


lím

lím

lím

lím

límlím

x2

9 – x2

1(x – 2)2

lím

lím

1x – 2

x2 – 4x + 3x – 2

(x – 1)(x – 3)x – 2


2

2


f' (x) = = =

f' (x) = 0 → 18x = 0 → x = 0

Signo de f' (x):

f (x) es decreciente en (– ∞, –3) U (–3, 0)

es creciente en (0, 3) U (3, +∞)


• Gráfica:

i) y = = x +


• Asíntotas:

f (x) = – ∞



(si x → – ∞, f (x) < x; si x → +∞, f (x) > x)


f' (x) = 1 –

f' (x) = 0 → x2 – 4 = 0

Signo de f' (x):

x = –2

x = 2

4x2

lím

lím

4x

x2 + 4x

18x(9 – x2 )2

18x – 2x3 + 2x3

(9 – x2 )22x (9 – x2) – x2 · (–2x)

(9 – x2 )2


-3 0

f ' < 0f ' < 0 f ' > 0 f ' > 0

3

–2 0

f ' < 0f ' > 0 f ' < 0 f ' > 0

2

3–3

3





• Gráfica:

j) y =


• Asíntotas:

f (x) = 1; f (x) = 1

(si x → – ∞, f (x) < 1; si x → +∞, f (x) > 1)


f (x) = +∞



f' (x) = = =

= =

f' (x) = 0 → –6x = 0 → x = 0

Signo de f' (x):




–6x(x – 3)3

2x2 – 6x – 2x2

(x – 3)3

2x (x – 3) – 2x2

(x – 3)32x (x – 3)2 – x2 · 2(x – 3)

(x – 3)4

lím

lím

límlím

x2

(x – 3)2


2

2

0 3

f ' > 0f ' < 0 f ' < 0

• Gráfica:

k) y = = 2x –



y = 2x es asíntota oblicua.

(Si x → – ∞, f (x) > 2x; si x → +∞, f (x) < 2x).


f' (x) = = =

f' (x) = 0 → 2x2(x2 + 3) = 0 → x = 0

Signo de f' (x):

f' (x) > 0 para todo x ≠ 0

f (x) es creciente en todo Á.

• Gráfica:

l) y =

• Dominio: Á – {–2, 2}

• Asíntotas:

f (x) = +∞


lím

lím

x4

x2 – 4

2x4 + 6x2

(x2 + 1)26x4 + 6x2 – 4x4

(x2 + 1)26x2(x2 + 1) – 2x3 · 2x

(x2 + 1)2

2xx2 + 1

2x3

x2 + 1


3

1

1

1

f (x) = – ∞


f (x) = +∞; = – ∞



f' (x) = = = =

=

f' (x) = 0 → 2x3(x2 – 8) = 0

Signo de f' (x):

f (x) es decreciente en (– ∞, – ) U (0, 2) U (2, )es creciente en (– , –2) U (–2, 0) U ( , +∞)tiene un mínimo en (– , 16) y otro en ( , 16)tiene un máximo en (0, 0)

• Gráfica:

m) y =

• Dominio: Á – {–2}

• Asíntotas:

f (x) = +∞


lím

lím

x3

x + 2

√8√8

√8√8

√8√8

x = 0x = –√

–8

2x3(x 2 – 8)(x2 – 4)2

2x5 – 16x3

(x2 – 4)24x5 – 16x3 – 2x5

(x2 – 4)24x3(x2 – 4) – x4 · 2x

(x2 – 4)2

f (x)x

límlím

f (x)x

límlím

lím

lím


–2

f ' > 0f ' < 0 f ' > 0 f ' < 0

0

f ' < 0

2

f ' > 0

–√8 √8

2 4 6

10

20

30

f (x) = +∞; = – ∞



f' (x) = = =

f' (x) = 0 → 2x2(x + 3) = 0

Signo de f' (x):

f (x) es decreciente en (– ∞, –3)

es creciente en (–3, –2) U (–2, +∞)

tiene un mínimo en (–3, 27)


• Gráfica:

n) y = = x – 3 +


• Asíntotas:

f (x) = – ∞



(Si x → – ∞, f (x) < x – 3; si x → +∞, f (x) > x – 3).

lím

lím

1x – 1

(x – 2)2

x – 1

x = 0

x = –3

2x3 + 6x2

(x + 2)23x3 + 6x2 – x3

(x + 2)23x2(x + 2) – x3

(x + 2)2

f (x)x

límlím

f (x)x

límlím


–3 –2

f ' > 0f ' < 0 f ' > 0 f ' > 0

0

1 2–2–4 3 4

1234

27

2928

30


f' (x) = 1 – = =

f' (x) = 0 → x (x – 2) = 0

Signo de f' (x):


es decreciente en (0, 1) U (1, 2)



• Gráfica:

11 a) Halla las asíntotas de la gráfica de la función definida para x > 0 por

f (x) = .

b) Halla las regiones de crecimiento y de decrecimiento de f indicando susmáximos y mínimos locales y globales, si los hay.

c) Esboza la gráfica de f.

a) f (x) = +∞ → x = 0 es asíntota vertical.

f (x) = x + → y = x es asíntota oblicua.

(Si x → +∞, f (x) > x)

b) f' (x) = 1 – =

f' (x) = 0 → x2 –1 = 0

(x = –1 no vale, pues f (x) está definida solamente para x > 0)

x = –1 (no vale)

x = 1

x2 – 1x2

1x2

1x

lím

1 + x2

x

x = 0

x = 2

x2 – 2x(x – 1)2

(x – 1)2 – 1(x – 1)2

1(x – 1)2


0 1

f ' < 0f ' > 0 f ' < 0 f ' > 0

2

1

1

S

Signo de f' (x):

f (x) es decreciente en (0, 1)

es creciente en (1, +∞)

tiene un mínimo (local y global) en (1, 2)

no tiene un máximo

c)

12 Dada la función f (x) = , se pide:

a) Dominio de definición, asíntotas y posición de la curva respecto a estas.

b) Máximos y mínimos relativos, e intervalos de crecimiento y de decreci-miento.

c) Dibuja la gráfica de f.

a) • Dominio: Á

• Asíntotas:


= = –1

= 1

y = –1 es asíntota horizontal cuando x → – ∞ (f (x) > –1)

y = 1 es asíntota horizontal cuando x → +∞ (f (x) > 1)

b) f' (x) = = =

f' (x) = 0 → 1 – x = 0 → x = 1

1 – x

√(x2 + 1)3

x2 + 1 – x2 – x

√(x2 + 1)3

2x√—x2 + 1 – (x + 1) · ——

2√—x2 + 1

(x2 + 1)

x + 1

√x2 + 1lím

–x + 1

√x2 + 1lím

x + 1

√x2 + 1lím

x + 1

√x2 + 1


10

f ' > 0f ' < 0

2

1

S

Signo de f' (x):

f (x) es creciente en (– ∞, 1)

es decreciente en (1, +∞)

tiene un máximo en (1, )

c)

13 Representa gráficamente la función: p (x) = x4 + 4/3x3 + 2x2 – 2

¿Cuántas raíces reales tiene este polinomio p (x)?

p (x) = x4 + x3 + 2x2 – 2

• p (x) = +∞; p (x) = +∞

• p' (x) = 4x3 + 4x2 + 4x = 4x (x2 + x + 1)

p' (x) = 0 → x = 0 → Hay un punto singular en (0, –2).

• p'' (x) = 12x2 + 8x + 4 = 4(3x2 + 2x + 1)

p'' (x) = 0 → x = → no tiene solución.

p (x) no tiene puntos de inflexión.

• Gráfica:

• f (x) tiene dos raíces reales.

–2 ± √4 – 126

límlím

43

√2


1

f ' < 0f ' > 0

–1

1

1

–1

–2

S

14 Dadas las siguientes funciones, halla sus asíntotas, estudia el crecimiento yla existencia de máximos y mínimos. Dibuja su gráfica:

a) y = b) y =

c) y = x + d) y = – x – 2

a) y =

• Dominio: Á – {– , }

• Asíntotas:

f (x) = +∞

f (x) = – ∞

f (x) = –∞

f (x) = +∞

= 0 → y = 0 es asíntota horizontal cuando x → – ∞

(f (x) > 0)

f (x) = +∞; = +∞ → Rama parabólica

• Crecimiento, máximos y mínimos:

f' (x) = =

f' (x) = 0 → x2 – 2x – 3 = 0 → x = =

Signo de f' (x):

f (x) es creciente en (– ∞, – ) U (– , –1) U (3, +∞)

es decreciente en (–1, ) U ( , 3)

tiene un máximo en (–1, )tiene un mínimo en (3, )e3

6

–12e

√3√3

√3√3

x = 3

x = –12 ± 4

22 ± √4 + 12

2

ex(x2 – 2x – 3)(x2 – 3)2

ex(x2 – 3) – ex · 2x(x2 – 3)2

f (x)x

límlím

ex

x2 – 3lím

lím

lím

lím

lím

√3√3

ex

x2 – 3

√x2 – 44(x – 1)2

x3

4x2 + 1ex

x2 – 3


x = – es asíntota vertical√3

x = es asíntota vertical√3

√3–1

f ' > 0f ' > 0 f ' < 0 f ' < 0 f ' > 0

3–√3

S

• Gráfica:

b) y = = x –




(Si x → – ∞, f (x) > x; si x → +∞, f (x) < x)


f' (x) = = =

f' (x) = 0 → x2(4x2 + 3) = 0 → x = 0 → (0, 0)

f' (x) > 0 si x ≠ 0 → f (x) es creciente (tiene un punto de inflexión en (0, 0))

• Gráfica:

c) y = x +


• Asíntotas:

f (x) = +∞



(Si x → – ∞, f (x) > x; si x → +∞, f (x) > x).

lím

lím

4(x – 1)2

4x4 + 3x2

(4x2 + 1)212x4 + 3x2 – 8x4

(4x2 + 1)23x2(4x2 + 1) – x3 · 8x

(4x2 + 1)2

14

14

14

(1/4)x4x2 + 1

14

x3

4x2 + 1


2–2

0,5

2


f' (x) = 1 – =

f' (x) = 0 → (x – 1)3 = 8 → x – 1 = 2 → x = 3

Signo de f' (x):


es decreciente en (1, 3)


• Gráfica:

d) y = – x – 2

• Dominio: (– ∞, –2] U [2, +∞)

• Asíntotas:


f (x) = [ + x – 2] = +∞

m = = = = –2

n = [f (x) + 2x] = [ + x – 2 – 2x] =

= [ – x – 2] = [ – (x + 2)] =

= =

= = =x2 – 4 – x2 – 4x – 4

√x2 – 4 + x + 2lím

x2 – 4 – (x + 2)2

√x2 – 4 + x + 2lím

[√––x2 – 4 – (x + 2)] [√

––x2 – 4 + (x + 2)]

[√x2 – 4 + (x + 2)]lím

√x2 – 4lím√x2 – 4lím

√x2 – 4límlím

2–1

√x2 – 4 + x – 2–x

límf (x)x

lím

√x2 – 4límlím

√x2 – 4

(x – 1)3 – 8(x – 1)3

8(x – 1)3


1 3

f ' < 0f ' > 0 f ' > 0

4

3

= = = –2

y = –2x – 2 es asíntota oblicua cuando x → – ∞.

(f (x) < –2x – 2)

f (x) = [ – x – 2] = –2

y = – 2 es asíntota horizontal.

(f (x) < –2)


f' (x) = –1 =

f (x) no es derivable en x = –2 ni en x = 2.

f ' (x) = 0 → x – = 0 → x = → x = x2 – 4 →

→ no tiene solución → no hay puntos singulares

Signo de f' (x):

f (x) es decreciente en (– ∞, –2) y es creciente en (2, +∞).

• Gráfica:

15 Estudia los máximos, mínimos y puntos de inflexión de las siguientes fun-ciones y represéntalas gráficamente:

a) y = b) y = c) y = sen x + cos x para 0 ≤ x ≤ 2π

a) y = = Sh x. Esta función se denomina seno hiperbólico de x.

• f' (x) =

f' (x) = 0 → ex + e–x = 0 → no tiene solución →

→ no hay máximos ni mínimos

f' (x) > 0 para todo x → f (x) es creciente

ex + e–x

2

ex – e–x

2

ex + e–x

2ex – e–x

2

√x2 – 4√x2 – 4

x – √––x2 – 4

√x2 – 4

2x

2√x2 – 4

√x2 – 4límlím

–42

–4x – 8

√x2 – 4 + x + 2lím


2

2

–2 2

no existef ' < 0 f ' > 0

• f'' (x) =

f'' (x) = 0 → ex – e–x = 0 → ex – = 0 → e2x – 1 = 0

e2x = 1 → 2x = 0 → x = 0 → y = 0

Signo de f'' (x):


• Gráfica:

b) y = = cosh x. Esta función se denomina coseno hiperbólico de x.

• f' (x) =

f' (x) = 0 → ex – e–x = 0 → x = 0 → y = 1

Signo de f' (x):


• f'' (x) =

f'' (x) = 0 → no tiene solución → no hay puntos de inflexión

• Gráfica:

ex + e–x

2

ex – e–x

2

ex + e–x

2

1ex

ex – e–x

2


0

f '' > 0f '' < 0

2

2

2

2

1

f ' > 0f ' < 0

c) y = sen x + cos x para 0 ≤ x ≤ 2π

• f' (x) = cos x – sen x

f' (x) = 0 → cos x = sen x → tg x = 1

Signo de f' (x):

Hay un máximo en ( , ) y un mínimo en ( , – ).• f'' (x) = –sen x – cos x

f'' (x) = 0 → sen x = –cos x → tg x = –1

Signo de f'' (x):

Hay un punto de inflexión en ( , 0) y otro en ( , 0).• Gráfica:

16 Representa las siguientes funciones:

a) y = b) y =

c) y = x ln x d) y = (x – 1)ex

e) y = e–x2

f ) y = x2 e–x

g) y = h) y = ln (x2 – 1)x3

ln x

ln xx

xex

7π4

3π4

3πx = —

47π

x = —4

√25π4

√2π4

πx = —

45π

x = —4


5π4

f ' < 0f ' > 0 f ' > 0

0 2ππ4

3π4

7π4

f '' > 0f '' < 0 f '' < 0

0 2π

1

3π—4

7π—4

2π

a) y =

•

• Asíntotas:


f (x) = – ∞; = +∞ → Rama parabólica

f (x) = = = 0

y = 0 es asíntota horizontal cuando x → +∞ (f (x) > 0).


f' (x) = = =

f' (x) = 0 → 1 – x = 0 → x = 1

Signo de f' (x)



tiene un máximo en (1, )• Corta a los ejes en el punto (0, 0).

• Gráfica:

b) y =

• Dominio: (0, +∞)

• Asíntotas:

f (x) = – ∞ → x = 0 es asíntota verticallím

ln xx

1e

1 – xex

ex (1 – x)e2x

ex – xex

e2x

1ex

límxex

límlím

f (x)x

límlím

xex


1

f ' < 0f ' > 0

1

2

f (x) = = 0



f' (x) = =

f' (x) = 0 → ln x = 1 → x = e

Signo de f' (x):

f (x) es creciente en (0, e)

es decreciente en (e, +∞)

tiene un máximo en (e, )• Corta al eje X en (1, 0).

• Gráfica:

c) y = x ln x

• Dominio: (0, +∞)

• Asíntotas:

x ln x = = = (–x) = 0




f' (x) = ln x + x · = ln x + 11x

f (x)x

límlím

lím1/x–1/x2

límln x1/x

límlím

1e

1 – ln xx2

(1/x) · x – ln xx2

1/xx

límlím


e0

f ' < 0f ' > 0

1

2

f' (x) = 0 → ln x = –1 → x = e–1 =

Signo de f' (x):

f (x) es decreciente en (0, )es creciente en ( , +∞)tiene un mínimo en ( , – )

• Corta al eje X en (1, 0).

• Gráfica:

d) y = (x – 1)ex

• Dominio: Á

• Asíntotas:


f (x) = (–x – 1)e–x = = = 0

y = 0 es asíntota horizontal cuando x → – ∞ (f (x) < 0).



f' (x) = ex + (x – 1)ex = ex(1 + x – 1) = xex

f' (x) = 0 → x = 0

Signo de f' (x):

f (x)x

límlím

–1ex

lím–x – 1ex

límlímlím

1e

1e

1e

1e

1e


1e

0

f ' > 0f ' < 0

0

f ' > 0f ' < 0

1

1

f (x) es decreciente en (– ∞, 0)



• Corta al eje X en (1, 0).

• Gráfica:

e) y = e–x2

• Dominio: Á

• Asíntotas:


f (x) = f (x) = 0

y = 0 es asíntota horizontal (f (x) > 0 para todo x).


f' (x) = –2xe–x2

f' (x) = 0 → –2x = 0 → x = 0

Signo de f' (x):




• Gráfica:

límlím


0

f ' < 0f ' > 0

–1

1

1

1

f) y = x2e–x

• Dominio: Á

• Asíntotas:


f (x) = +∞; = – ∞ → Rama parabólica

f (x) = +∞; = = = 0


• Puntos singulares: y =

f' (x) = = =

f' (x) = 0 → 2x – x2 = 0 → x (2 – x) = 0

Signo de f' (x):




tiene un máximo en (2, )• Gráfica:

g) y =

• Dominio:

ln x = 0 → x = 1. Además, ha de ser x > 0.

D = (0, 1) U (1, +∞)

x3

ln x

4e2

x = 0

x = 2

2x – x2

exex (2x – x2 )

e2x2xex – x2ex

e2x

x2

ex

2ex

lím2xex

límx2

exlímlím

f (x)x

límlím


0 2

f ' > 0f ' < 0 f ' < 0

1

2

• Asíntotas:

f (x) = 0

f (x) = – ∞




f' (x) = = =

f' (x) = 0 → x2(3ln x – 1) = 0

Signo de f' (x):

f (x) es decreciente en (0, 1) U (1, e1/3)

es creciente en (e1/3, +∞)

tiene un mínimo en (e1/3, 3e)

• Gráfica:

h) y = ln (x2 – 1)

• Dominio: (– ∞, –1) U (1, +∞)

• Asíntotas:

f (x) = – ∞ → x = –1 es asíntota vertical

f (x) = – ∞ → x = 1 es asíntota verticallím

lím

x = 0 (no vale)

ln x = 1/3 → x = e1/3

x2(3 ln x – 1)(ln x)2

3x2 ln x – x2

(ln x)23x2 ln x – x3 · (1/x)

(ln x)2

f (x)x

límlím

lím

lím

lím


1 1/3e

f ' < 0f ' < 0 f ' > 0

0

2468

1012

21 1,5

0,5

f (x) = +∞; = 0

f (x) = +∞; = 0

Ramas parabólicas


f' (x) =

f' (x) = 0 → 2x = 0 → x = 0

No hay puntos singulares (x = 0 no pertenece al dominio).

• Puntos de corte con el eje X:

ln (x2 – 1) = 0 → x2 – 1 = 1 → x2 = 2

Puntos: (– , 0) y ( , 0)

• Gráfica:

17 Estudia y representa las siguientes funciones:

a) y = b) y =

c) y = d) y =

a) y =



f (x) = – ∞; = 0

f (x) = – ∞; = 0

Ramas parabólicas


f' (x) = → f (x) NO es derivable en x = –2 ni en x = 2

f' (x) = 0 → –2x = 0 → x = 0

–2x

33

√(4 – x2)2

f (x)x

límlím

f (x)x

límlím

3√4 – x2

x2

√x2 – 1√x2 – 4x + 5

√x2 – x3√4 – x2

√2√2

x = –√2

2xx2 – 1

f (x)x

límlím

f (x)x

límlím


2

4

6

2 4 6

Signo de f' (x)



tiene un máximo en (0, )

• Corta al eje X en (–2, 0) y en (2, 0).

• Gráfica:

b) y =

• Dominio: (– ∞, 0] U [1, +∞)

• Asíntotas:


f (x) = +∞

= = –1

[f (x) + x] = [ – x] =

= =

= = =

y = –x + es asíntota oblicua cuando x → – ∞ (f (x) < –x + ).f (x) = +∞

= = 1√x2 – xx

límf (x)x

lím

lím

12

12

12

x

√x2 + x + xlím

x2 + x – x2

√x2 + x + xlím

[√––x2 + x – x] [√

––x2 + x + x]

(√x2 + x + x)lím

√x2 + xlímlím

√x2 + x–x

límf (x)x

lím

lím

√x2 – x

3√4


–2 0

f ' > 0f ' > 0 f ' < 0 f ' < 0

2

2

1

[f (x) – x] = [ – x] =

= =

= = =

y = x – es asíntota oblicua cuando x → +∞ (f (x) < x – ).• Puntos singulares:

f' (x) =

f' (x) = 0 → 2x – 1 = 0 → x =

No tiene puntos singulares (en x = no está definida f (x)).

Signo de f' (x):

f (x) es decreciente en (– ∞, 0]

es creciente en [1, +∞)

• Pasa por (0, 0) y (1, 0).

• Gráfica:

c) y =

• Dominio:

x2 – 4x + 5 = 0 → x = → no tiene solución

f (x) > 0 para todo x

D = Á

4 ± √16 – 202

√x2 – 4x + 5

12

12

2x – 1

2√x2 – x

12

12

–12

–x

√x2 – x + xlím

x2 – x – x2

√x2 – x + xlím

[√––x2 – x – x] [√

––x2 – x + x]

(√x2 – x + x)lím

√x2 – xlímlím


0 1

no existef ' < 0 f ' > 0

1

1

• Asíntotas:


f (x) = +∞

= = –1

[f (x) + x] = [ – x] =

= =

= = =

= = 2

y = –x + 2 es asíntota oblicua cuando x → – ∞ (f (x) > –x + 2).

f (x) = +∞

= = 1

[f (x) – x] = [ – x] =

= =

= = =

= = –2

y = x – 2 es asíntota oblicua cuando x → +∞ (f (x) > x – 2).• Puntos singulares:

f' (x) = =

f' (x) = 0 → x – 2 = 0 → x = 2

x – 2

√x2 – 4x + 5

2x – 4

2√x2 – 4x + 5

–42

–4x + 5

√—x2 –—4x + 5 + x

límx2 – 4x + 5 – x2

√—x2 –—4x + 5 + x

lím

(√—x2 –—4x + 5 – x) (√

—x2 –—4x + 5 + x)

(√—x2 –—4x + 5 + x)

lím

√x2 – 4x + 5límlím

√x2 – 4x + 5x

límf (x)x

lím

lím

42

4x + 5

√—x2 +—4x + 5 + x

límx2 + 4x + 5 – x2

√—x2 +—4x + 5 + x

lím

(√—x2 +—4x + 5 – x) (√

—x2 +—4x + 5 + x)

(√—x2 +—4x + 5 + x)

lím

√x2 + 4x + 5límlím

√x2 + 4x + 5–x

límf (x)x

lím

lím


Signo de f' (x)




• Gráfica:

d) y =

• Dominio: (– ∞, –1) U (1, +∞)

• Simetrías: f (–x) = f (x) → f (x) es par: simétrica respecto al eje Y.

• Asíntotas:

f (x) = +∞ → x = –1 es asíntota vertical

f (x) = +∞ → x = 1 es asíntota vertical

f (x) = +∞

= = = –1

[f (x) + x] = [ – x] =

= =

= =(x2 – x √–x2 –

–1) (x2 + x √

–x2 –

–1)

(√–x2 –

–1) (x2 + x √

–x2 –

–1)

lím

x2 – x √x2 – 1lím

x2

√x2 – 1límlím

–x

√x2 – 1lím

x

√x2 – 1lím

f (x)x

lím

lím

lím

lím

x2

√x2 – 1


2

f ' > 0f ' < 0

1

2

1 2

= =

= =

= =

= = 0

y = –x es asíntota oblicua cuando x → – ∞ (f (x) > –x).

f (x) = +∞

= = 1

Como f (x) es par, la recta y = x es asíntota oblicua cuando x → +∞ (f (x) > x).


f' (x) = = = =

=

f' (x) = 0 → x (x2 – 2) = 0

Signo de f' (x)

f (x) es decreciente en (– ∞, – ) U (1, )es creciente en (– , –1) U ( , +∞)tiene un mínimo en (– , 2) y otro en ( , 2)

• Gráfica:

√2√2

√2√2

√2√2

x = 0 (no vale)x = –√

–2

x3 – 2x

√(x2 – 1)3

2x3 – 2x – x3

√(x2 – 1)3

2x (x2 – 1) – x3

√(x2 – 1)3

2x2x√

—x2 – 1 – x2 · ——

2√—x2 – 1

(x2 – 1)

x

√x2 – 1lím

f (x)x

lím

lím

x2

x2√–x2 –

–1 + x3 – x

lím

x2

x2√–x2 –

–1 + x (x2 – 1)

lím

x4 – x4 + x2

(√–x2 –

–1) (x2 + x √

–x2 –

–1)

lím

x4 – x2(x2 – 1)

(√–x2 –

–1) (x2 + x √

–x2 –

–1)

lím


2

2

–1

f ' > 0f ' < 0 no existe no existe

0

f ' < 0

1

f ' > 0

–√2 √2

18 Estudia el dominio de definición, las asíntotas y los extremos de cada una delas siguientes funciones y, con esa información, trata de encontrar su gráfi-ca entre las que están representadas a continuación:

a) y = b) y = x ex

c) y = sen d) y =

e) y = f) y = sen2 x

a) y =

• Dominio:

sen x = 0 → x = 0 + πk; k ∈ ZD = Á – {πk}, k ∈ Z

• Asíntotas:

x = πk, k ∈ Z son asíntotas verticales.

No hay más asíntotas.

• Extremos:

f' (x) = – cos xsen2 x

1sen x

√x2 + 1

3√xx

2

1sen x


2–2

–2

2

π

2

2π 3π–2

π2–– π

2

4

2π–––2

2 4–2

2

–2–4

2

4

–2 2 4–4π—2

3π—2

1

π

1

3 4

5 6

2

f' (x) = 0 → cos x = 0 (k ∈ Z)

Signo de f' (x) en (0, 2π):

f (x) es periódica de periodo 2π.

f (x) es decreciente en (0, ) U ( , 2π)es creciente en ( , π) U (π, )tiene un mínimo en ( , 1)tiene un máximo en ( , –1)

• Gráfica → 2

b) y = xex

• Dominio: Á

• Asíntotas:


f (x) = –xe–x = = = 0

y = 0 es asíntota horizontal cuando x → – ∞ (f (x) < 0).


• Extremos:

f' (x) = ex + xex = ex (1 + x)

f' (x) = 0 → 1 + x = 0 → x = –1

Signo de f' (x):

f (x) es decreciente en (– ∞, –1)


tiene un mínimo en (–1, )• Gráfica → 6

–1e

f (x)x

límlím

–1ex

lím– xex

límlímlím

3π2

π2

3π2

π2

3π2

π2

x = π/2 + 2πk

x = 3π/2 + 2πk


3π2

π2

π

f ' > 0f ' < 0 f ' > 0 f ' < 0

0 2π

–1

f ' > 0f ' < 0

c) y = sen

• Dominio: Á

• Asíntotas: No tiene.

• Extremos:

f' (x) = cos

f' (x) = 0 → cos = 0 → = + πk → x = π + 2πk

f (x) es periódica de periodo 4π.

Signo de f' (x):

f (x) es creciente en (0, π) U (3π, 4π)

es decreciente en (π, 3π)

tiene un máximo en (π, 1)

tiene un mínimo en (3π, –1)

• Gráfica → 5

d) y =

• Dominio: Á


f (x) = – ∞; = 0

f (x) = +∞; = 0

Ramas parabólicas

• Extremos:

f' (x) = → f (x) no es derivable en x = 0

f' (x) > 0 para todo x ≠ 0.

f (x) es creciente.

• Gráfica → 1

1

33

√x2

f (x)x

límlím

f (x)x

límlím

3√x

π2

x2

x2

x2

12

x2


π

f ' < 0f ' > 0

0 3π

f ' > 0

4π

e) y =

• Dominio: Á

• Simetría:

f (–x) = f (x) → f (x) es par: simétrica respecto al eje Y.

• Asíntotas:


f (x) = +∞

= = 1

[f (x) – x] = [ – x] =

= =

= = = 0

y = x es asíntota oblicua cuando x → +∞ (f (x) > x).

Por simetría:

y = –x es asíntota oblicua cuando x → – ∞ (f (x) > –x).

• Extremos:

f' (x) = =

f' (x) = 0 → x = 0

Signo de f' (x):




• Gráfica → 3

x

√x2 + 1

2x

2√x2 + 1

1

√–x2 +–

1 + xlím

x2 + 1 – x2

√–x2 +–

1 + xlím

(√–x2 +–

1 – x) (√–x2 +–

1 + x)√–x2 +–

1 + xlím

√x2 + 1límlím

√x2 + 1x

límf (x)x

lím

lím

√x2 + 1


0

f ' > 0f ' < 0

f) y = sen2 x

• Dominio: Á


• Extremos:

f' (x) = 2sen x cos x = sen 2x

f' (x) = 0 → sen 2x = 0 → 2x = 0 + πk → x = k, k ∈ Zf (x) es periódica de periodo π.

Signo de f' (x) en (0, π):

f (x) es creciente en (0, )es decreciente en ( , π)tiene un máximo en ( , 1)tiene un mínimo en (0, 0) y otro en (π, 0)

• Gráfica → 4

Página 326

19 La recta y = 2x + 6 es una asíntota oblicua de la función f (x) = . Ha-lla el valor de k y representa la función.

• Hallamos k:

Si y = 2x + 6 es asíntota oblicua, tenemos que:

=2; [ f (x) – 2x] = 6

Por tanto:

f (x) = +∞; = = 2

[ f (x) – 2x] = [ – 2x] = =

= = 2k = 6 → k = 32kx + 1x – k

lím

2x2 + 1 – 2x2 + 2kxx – k

lím2x2 + 1x – k

límlím

2x2 + 1x2 – kx

límf (x)x

límlím

límf (x)x

lím

2x2 + 1x – k

π2

π2

π2

π2


π2

π0

f ' < 0f ' > 0

S

S

Luego: f (x) =


• Asíntotas:

f (x) = – ∞


y = 2x + 6 es asíntota oblicua.

(Si x → – ∞, f (x) < 2x + 6; si x → +∞, f (x) > 2x + 6)


f' (x) = = =

f' (x) = 0 → 2x2 – 12x – 1 = 0 → x =

Signo de f' (x):

f (x) es creciente en (– ∞; –0,08) U (6,08; +∞)

es decreciente en (–0,08; 3) U (3; 6,08)

tiene un máximo en (–0,08; –0,33)

tiene un mínimo en (6,08; 24,32)

• Gráfica:

20 Una partícula se mueve a lo largo de la gráfica de la curva y = parax > 1.

En el punto P (2, – ) la deja y se desplaza a lo largo de la recta tangente a

dicha curva.

a) Halla la ecuación de la tangente.

43

2x1 – x2

x = 6,08

x = –0,0812 ± √144 + 8

4

2x2 – 12x – 1(x – 3)2

4x2 – 12x – 2x2 – 1(x – 3)2

4x (x – 3) – (2x2 + 1)(x – 3)2

lím

lím

2x2 + 1x – 3


–0,08 3

f ' < 0f ' > 0 f ' < 0 f ' > 0

6,08

22

–1–2–3

23242526

63

9 12 15

S

b) Si se desplaza de derecha a izquierda, halla el punto en el que la partículaencuentra a la asíntota vertical más próxima al punto P.

c) Si el desplazamiento es de izquierda a derecha, halla el punto en el que lapartícula encuentra el eje OX.

a) f' (x) = = =

f' (2) =

La ecuación de la recta tangente en P es:

y = – + (x – 2) → y = x –

b) La asíntota vertical más próxima a P es x = 1. Tenemos que hallar el punto deintersección de x = 1 con la recta tangente anterior:

El punto es (1, )c) Tenemos que hallar el punto en el que la recta anterior corta al eje OX:

El punto es ( , 0)21 Dada la función f (x) = x2 x – 3 halla:

a) Los puntos en los que f no es derivable.

b) Calcula sus máximos y mínimos.

c) Represéntala gráficamente.

a) f (x) = =

– Si x ± 3, tenemos que: f (x) es derivable. Su derivada es:

f' (x) =

Por tanto:

b) f' (x) = 0 → –3x2 + 6x = 0 si x < 3

3x (–x + 2) = 0

3x2 – 6x = 0 si x > 3 → ninguno

x = 0 → (0, 0)

x = 2 → (2, 4)

f' (3–) ≠ f' (3+)f (x) no es derivable en x = 3 (Punto (3, 0)).

f' (3–) = –9f' (3+) = 9

–3x2 + 6x si x < 33x2 – 6x si x > 3

–x3 + 3x2 si x < 3x3 – 3x2 si x ≥ 3

–x2(–x + 3) si x < 3x2(x – 3) si x ≥ 3

165

10 32 32 16— x = — → x = — = —9 9 10 5

y = 0

10 32y = — x – —9 9

y = 0

–229

–22y = —9

x = 1

10 32y = — x – —9 9

x = 1

329

109

109

43

109

2x2 + 2(1 – x2 )2

2 – 2x2 + 4x2

(1 – x2 )22(1 – x2) – 2x (–2x)

(1 – x2 )2


Como f (x) ≥ 0 para todo x, tenemos que:

f (x) tiene un mínimo en (0, 0) y otro en (3, 0), y tiene un máximo en (2, 4).

c) f (x) = +∞; f (x) = +∞

Uniendo todo lo anterior, llegamos a la gráfica:

22 Comprueba que la función f (x) = tiene dos asíntotas horizontalesdistintas.

f (x) =

Por tanto:

f (x) = = –1 → y = –1 es asíntota horizontal cuando x → – ∞

f (x) = = 1 → y = 1 es asíntota horizontal cuando x → +∞

23 Dada la función f (x) = ax + b + , calcula a y b para que la gráfica de f

pase por el punto (–2, –6) y tenga, en ese punto, tangente horizontal. Para

ese valor de a y b, representa la función.

f (x) = ax + b + ; f' (x) = a –

• Pasa por (–2, –6) → –2a + b – 4 = –6 –2a + b = –2

• Tangente horizontal → f' (–2) = 0 → a – 2 = 0 a = 2a = 2; b = 2

Para estos valores, queda: f (x) = 2x + 2 +


8x

8x2

8x

8x

xx + 1

límlím

–xx + 1

límlím

–x— si x < 0 x + 1

x— si x ≥ 0 x + 1

xx + 1

límlím


1

2

3

4

1 2 3

• Asíntotas:

f (x) = – ∞


f (x) = 2x + 2 + → y = 2x + 2 es asíntota oblicua

(Si x → – ∞, f (x) < 2x + 2; si x → +∞, f (x) > 2x + 2)


f' (x) = 2 – =

f' (x) = 0 → 2x2 – 8 = 0 → x2 = 4

Signo de f' (x):





• Gráfica:

24 Estudia y representa y = arc tg x indicando su dominio, asíntotas, interva-los de crecimiento y extremos, si los hubiere.

y = arc tg x

• Dominio: Á

• Asíntotas:

No tiene asíntotas.

x = –2

x = 2

2x2 – 8x2

8x2

8x

lím

lím


–2 0

f ' < 0f ' > 0 f ' < 0 f ' > 0

2

2

2 4

4

f (x) = – ∞; = = = 0

f (x) = +∞; = = = 0

Ramas parabólicas.

• Crecimiento y extremos:

f' (x) =

f' (x) > 0 para todo x → f (x) es creciente

f (x) no tiene máximos ni mínimos.

• f'' (x) =

f'' (x) = 0 → –2x = 0 → x = 0

Signo de f'' (x):


• Gráfica:


25 ¿Qué podemos decir del grado de una función polinómica que tiene dos má-ximos y dos mínimos relativos? En esa función, ¿puede estar uno de los mí-nimos más alto que el máximo?

• Si tiene dos máximos y dos mínimos relativos, y es polinómica, su derivada tiene,al menos, cuatro raíces; es decir, f' (x) será, al menos, de grado 4.

Por tanto, f (x) será, al menos, de grado 5.

• Sí, podría haber un mínimo más alto que un máximo. Por ejemplo:

–2x(1 + x2 )2

11 + x2

11 + x2

límarc tg x

xlím

f (x)x

límlím

11 + x2

límarc tg x

xlím

f (x)x

límlím


0

f '' < 0f '' > 0

2

2 4 6

4

El mínimo de x1 está más alto que el má-ximo de x0.

26 ¿Cuántos puntos de inflexión puede tener como máximo una función polinó-mica de cuarto grado?

Si f (x) es un polinomio de cuarto grado, f' (x) será un polinomio de tercer grado yf'' (x) será un polinomio de segundo grado.

Así, f' (x) tendrá, a lo sumo, dos raíces.

Por tanto, f (x) tendrá, como máximo, dos puntos de inflexión.

27 La función f (x) = no está definida en x = 1 ni en x = –1;

sin embargo, tiene solo una asíntota vertical. Justifica esta información.

f (x) = =

f (x) = – ∞


f (x) = = –

En x = –1 hay una discontinuidad evitable, no hay una asíntota.

28 ¿Cuántas asíntotas verticales puede tener una función? ¿Y horizontales?

• Asíntotas verticales puede tener infinitas. (Como ejemplo, podemos considerar la fun-

ción y = , cuya gráfica está representada en el ejercicio 18, es la gráfica 2).

• Asíntotas horizontales puede tener, como máximo, dos: una cuando x → – ∞ yotra cuando x → +∞.

29 Da un ejemplo de una función que tenga un mínimo en x = 1 y que no seaderivable en ese punto. Represéntala.

y = |x – 1| = –x + 1 si x < 1x – 1 si x ≥ 1

1sen x

12

1x – 1

límlím

lím

lím

x + 1(x + 1)(x – 1)

x + 1x2 – 1

x + 1x2 – 1


x0 x1

S

→ Hay un mínimo en x = 1, en (1, 0).

f (x) no es derivable en x = 1, pues f' (1–) = –1 ≠ f' (1+) = 1.

La gráfica es:

30 Da un ejemplo de una función que sea derivable en x = 1 con f '(1) = 0 yque no tenga máximo ni mínimo en ese punto.

Por ejemplo, y = (x – 1)3.

f' (x) = 3(x – 1)2 → f' (1) = 0

f' (x) > 0 para x ≠ 1 → f (x) es creciente

En x = 1 hay un punto de inflexión.

La gráfica es:

31 Si es posible, dibuja una función continua en el intervalo [0, 4] que tenga, almenos, un máximo relativo en el punto (2, 3) y un mínimo relativo en elpunto (3, 4). Si la función fuera polinómica, ¿cuál habría de ser, como míni-mo, su grado?

f (x) debe tener, al menos, dos máximos ydos mínimos en [0, 4], si es derivable.

Si f (x) fuera un polinomio, tendría, comomínimo, grado 5 (pues f' (x) se anularía,al menos, en cuatro puntos).

f (1) = 0f (x) > 0 para x ≠ 1


1

1

2

2 4 6–6 –4 –2

4

–4

–2

1 2 3 4

1

2

3

4

S

S

PARA PROFUNDIZAR

32 Representa la función y = x – arc tg x determinando el dominio de defini-ción, asíntotas, máximos, mínimos e intervalos de crecimiento.

y = x – arc tg x

• Dominio: Á


f (x) = – ∞; = = [1 – ] =

= [1 – ] = 1 – 0 = 1 → Rama parabólica

f (x) = +∞; = 1 → Rama parabólica


f' (x) = 1 – = =

f' (x) = 0 → x2 = 0 → x = 0

f' (x) > 0 para x ≠ 0 → f (x) es creciente



• Gráfica:

33 Halla las asíntotas de las siguientes funciones:

a) y = b) y =

c) y = ln (sen x) d) y = 2x + sen 2x

e) y = + 2 f) y = cos xx

sen xx

11 + e–x

ex + e–x

ex – e–x

x2

1 + x21 + x2 – 1

1 + x21

1 + x2

f (x)x

límlím

11 + x2

lím

arc tg x

xlím

x – arc tg x

xlím

f (x)x

límlím


2

4

2 4 6

a) y =

• Dominio:

ex – e–x = 0 → ex = e–x → x = 0

D = Á – {0}

• Asíntotas:

f (x) = – ∞


f (x) = –1 → y = –1 es asíntota horizontal cuando x → –∞ (f (x) < –1)

f (x) = 1 → y = 1 es asíntota horizontal cuando x → +∞ (f (x) > 1)

b) y =


No hay asíntotas verticales.

= 0 → y = 0 es asíntota horizontal cuando x → –∞ (f (x) > 0)

= 1 → y = 1 es asíntota horizontal cuando x → +∞ (f (x) < 1)

c) y = ln (sen x)

• Dominio:

Solo está definida cuando sen x > 0; es decir, en los intervalos (0, π) U (2π, 3π)U (4π, 5π) U …

El dominio son todos los intervalos de la forma: (2kπ, (2k + 1)π), con k ∈ Z.

• Asíntotas:

f (x) = – ∞

f (x) = – ∞

No hay asíntotas horizontales ni oblicuas.

(No existe f (x) ni f (x)).

d) y = 2x + sen 2x

• Dominio: Á• No tiene asíntotas.

límlím

lím

lím

11 + e–x

lím

11 + e–x

lím

11 + e–x

lím

lím

lím

lím

ex + e–x

ex – e–x


x = 2kπ; x = (2k + 1)πson asíntotas verticales (k ∈ Z)

S

f (x) = +∞

= = 2

[f (x) – 2x] = sen 2x no existe.

(Análogo razonamiento cuando x → – ∞).

e) y = + 2


• Asíntotas:

[ + 2] = 3. No tiene asíntotas verticales.

f (x) = f (x) = 2 → y = 2 es asíntota horizontal.

(La curva corta a la asíntota infinitas veces).

f) y =


• Asíntotas:

f (x) = – ∞


f (x) = f (x) = 0


(La curva corta a la asíntota horizontal infinitas veces).

34 Las siguientes gráficas corresponden a las funciones f (x) = x sen (πx); g(x)= x2 sen (πx); h(x) = x2 cos (πx) en el intervalo [–2, 2].

Relaciona, de forma razonada, cada gráfica con su correspondiente función.

límlím

lím

lím

cos xx

límlím

sen xx

lím

sen xx

límlím

2x + sen 2xx

límf (x)x

lím

lím


2

4a) c)2–2

2

–2

2

b)2

–2

–2

• f (x) y h (x) son funciones pares y g (x) es impar.

Por tanto, la gráfica de g (x) ha de ser la b).

• f (2) = 0 → la gráfica de f (x) es la c).

Luego la gráfica de h (x) es la a).

• Es decir: a) h (x); b) g (x); c) f (x)


35 Para averiguar las asíntotas de y = tuvimos que realizar un nota-ble esfuerzo (páginas 314 y 315). Sin embargo, utilizando el sentido comúny casi sin ningún tecnicismo, podríamos haberlo resuelto fácilmente. Vea-mos cómo:

= = ≈ = x – 1

Es decir, nuestra función, para valores grandes de x , se aproxima mu-cho a y = x – 1 .

Además, es “un poco menor” (observa que se resta 1 en el radicando). Lafunción y = x – 1 está formada, precisamente, por las dos asíntotas denuestra función.

a) Averigua, de forma similar, las asíntotas de:

y = y =

b) Ídem y = .

a) = = ≈ = |x + 1|

La función y =|x + 1| está formada por las dos asíntotas oblicuas de la función

y = .

= = ≈ = |x – 3|

La función y =|x – 3| está formada por las dos asíntotas oblicuas de la función

y = .

b) Para valores grandes de |x|, tenemos que:

≈ =

Así, y = –1 es asíntota horizontal cuando x → – ∞.

y = –1 es asíntota horizontal cuando x → +∞.

–1 si x < 0

1 si x > 0

|x|x

√x2 + 1x

√x2 – 6x + 12

√(x – 3)2√(x – 3)2 + 2√x2 – 6x + 9 + 2√x2 – 6x + 12

√x2 + 2x

√(x + 1)2√(x – 1)2 – 1√x2 + 2x + 1 – 1√x2 + 2x

√x2 + 1x

√x2 – 6x + 12√x2 + 2x

√(x – 1)2√(x – 1)2 – 1√x2 – 2x + 1 – 1√x2 – 2x

√x2 – 2x


36 Aunque la palabra asíntota la hemos aplicado a rectas que se aproximan auna gráfica, tiene un significado más amplio: se dice que dos curvas sonasintóticas cuando, al alejarse del origen, la distancia entre ellas tiende a ce-ro.

Por ejemplo, la parábola y = x2 + 1 es asintótica a la función:

y = f (x) = (revisa su gráfica en la página 337).

Es fácil comprobarlo: = x2 + 1 +

La diferencia entre las dos funciones es que tiende a cero cuando

x → –∞ y cuando x → +∞. Además, toma valores positivos, por lo que lacurva de y = f (x) queda por encima de la parábola. Este resultado permiterepresentar la función de forma más precisa apoyándonos en la representa-ción de la parábola:

a) Razonando igual, halla la parábola asintótica a la función:

y = y determina la posición de la curva respecto a ella.

b) Representa la gráfica de la función teniendo en cuenta esos datos, así co-mo la asíntota vertical y el punto singular (solo hay uno de abscisa x = 2).

a) y = = x2 – 2x + 1 +

La parábola es y = x2 – 2x + 1.

• Cuando x → – ∞, la diferencia entre la función y la parábola, , es negativa;

luego, la curva está por debajo de la parábola.

• Cuando x → +∞, la diferencia, , es positiva; luego, la curva está por enci-

ma de la parábola.

b) Asíntota vertical:

f (x) = – ∞


lím

lím

8x

8x

8x

x3 – 2x2 + x + 8x

x3 – 2x2 + x + 8x

1x2 – 1

(Simplemente hemosefectuado el cociente.)

1x2 – 1

x4

x2 – 1

x4

x2 – 1


parábola asintótica

rectas asintóticas

• Punto singular:

f' (x) = 2x – 2 – =

f' (x) = 0 → 2x3 – 2x2 – 8 = 0 → 2(x – 2) (x2 + x + 2) = 0 → x = 2


• Gráfica:

2x3 – 2x2 – 8x2

8x2


y = x2 – 2x + 1

y = f(x)

4

8

12

16

2 4

Concepto de primitiva

■ NÚMEROS Y POTENCIAS SENCILLAS

1. a) ∫1 = x b) ∫2 = 2x c) ∫ = x

2. a) ∫2x = x2 b) ∫x = c) ∫3x =

3. a) ∫7x = b) ∫ = c) ∫ x =

4. a) ∫3x2 = x3 b) ∫x2 = c) ∫2x2 =

5. a) ∫6x5 = x6 b) ∫x5 = c) ∫3x5 = =

Página 329

■ POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO

6. a) ∫(–1)x–2 = x–1 = b) ∫x–2 = = c) ∫ =

7. a) ∫ = ∫x–3 = = b) ∫ = 2∫ = =

8. a) ∫ = ∫(x – 3)–3 = =

b) ∫ = 5∫ =

■ LAS RAÍCES TAMBIÉN SON POTENCIAS

9. a) ∫ x1/2 = x3/2 = b) ∫ = ∫ x1/2 = x3/2 = √x332

√x32

√x332

–52(x – 3)2

1(x – 3)3

5(x – 3)3

–12(x – 3)2

(x – 3)–2

–21

(x – 3)3

–1x2

–22x2

1x3

2x3

–12x2

x–2

–21

x3

–5x

5x2

–1x

x–1

–11x

x6

23x6

6x6

6

2x3

3x3

3

√—2 x2

2√2x2

6x3

7x2

2

3x2

2x2

2

√2√2

Unidad 12. Cálculo de primitivas 1

CÁLCULODE PRIMITIVAS

12

10. a) ∫ = ∫ x1/2 = x3/2 = b) ∫7 = 7∫ =

11. a) ∫ = ∫ = ∫ = =

b) ∫ = ∫ = ∫ = · = =

12. a) ∫ x–1/2 = x1/2 = b) ∫ =

13. a) ∫ = 3∫ = 3 b) ∫ = ∫ =

14. a) ∫ = ∫x3/2 = = b) ∫ = ∫ =

■ ¿RECUERDAS QUE D (ln x) = 1/x?

15. a) ∫ = ln |x| b) ∫ = ∫ = ln |5x|

16. a) ∫ = ln |x + 5| b) ∫ = ∫ = ln |2x + 6|

■ ALGUNAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

17. a) ∫cos x = sen x b) ∫2 cos x = 2 sen x

18. a) ∫cos (x + ) = sen (x + ) b) ∫cos 2x = ∫2 cos 2x = sen 2x

19. a) ∫(–sen x) = cos x b) ∫sen x = –cos x

20. a) ∫sen (x – π) = –cos (x – π) b) ∫sen 2x = ∫2 sen 2x = cos 2x

21. a) ∫(1 + tg2 2x) = ∫2(1 + tg2 2x) = tg 2x

b) ∫tg2 2x = ∫(1 + tg2 2x – 1) = ∫(1 + tg2 2x) – ∫1 = tg 2x – x12

12

12

–12

12

12

12

π2

π2

32

22x + 6

32

32x + 6

1x + 5

15

55x

15

15x

1x

√7x525

√x3√7√7x3√x525

x5/2

5/2√x3

√5x65

5

2√5x

65

3

√5x√x1

2√x

3

2√x

√x1

2√x√x1

2

2√2x3

15√x32√2

15√x32

3√25

√x√25

√x√25

√2x5

2√3x3

3√x32√3

3√x√3√x√3√3x

√x3143

√x√x√x323

23

32

23

√x


■ ALGUNAS EXPONENCIALES

22. a) ∫ex = ex b) ∫ex + 1 = ex + 1

23. a) ∫e2x = ∫2e2x = e2x b) ∫e2x + 1 = ∫2e2x + 1 = e2x + 1

Página 331

1. Calcula las siguientes integrales:

a) ∫7x4 b) ∫ c) ∫

d) ∫ e) ∫ f) ∫a) ∫7x4 = 7 + k = + k

b) ∫ = ∫x–2 = + k = + k

c) ∫ = ∫x1/2 = + k = + k

d) ∫ = ∫ x2/3 = + k = + k

e) ∫ = ∫ + ∫ = ∫x–2/3 + ∫x1/2 =

= + + k = + + k

f ) ∫ = ∫ = ∫x7/6 = + k = + k

2. Calcula:

a) ∫ b) ∫c) ∫ d) ∫

a) ∫ = ∫(x3 – 5x + 3 – ) = – + 3x – 4 ln |x| + k5x2

2x4

44x

x4 – 5x2 + 3x – 4x

x3

x – 27x4 – 5x2 + 3x – 4

x2

x4 – 5x2 + 3x – 4x + 1

x4 – 5x2 + 3x – 4x

6√—5

6

√—x13

133

√—3

x13/6

13/6√

—5

3

√—3

√—5

3

√—3

√—5 · x3/2

3

√—3 · x1/3

√5x3

2√5x3

93√xx3/2

3/2√53

x1/3

1/313

√53

13

√—5 x3/2

3xx1/3

3x

3

√—x + √

—5x3

3x

3 3√5x5

5x5/3

5/3

3√5

3√5

3

√5x2

2√x3

3x3/2

3/2√x

–1x

x–1

–11x2

7x5

5x5

5

√5x33

√—x + √

—5x3

3x

3

√5x2

√x1x2

12

12

12

12


b) ∫ = ∫(x3 – x2 – 4x + 7 – ) =

= – – 2x2 + 7x – 11 ln |x + 1| + k

c) ∫ = ∫( ) – ∫( ) + ∫( ) – ∫( ) =

= ∫7x2 – ∫5 + ∫ – ∫ =

= – 5x + 3 ln |x| + + K

d) ∫ = ∫(x2 + 2x + 4 + ) = + x2 + 4x + 8 ln |x – 2| + k

Página 332

3. a) ∫(3x – 5tg x) = 3∫x – 5 ∫ tg x = – 5 (– ln |cos x| + k =

= + 5 ln |cos x| + k

b) ∫(5 cos x + 3x) = 5 ∫cos x + ∫3x = 5 sen x + + k

c) ∫(3 tg x – 5 cos x) = 3 ∫ tg x – 5 ∫cos x = 3 (– ln|cos x|) – 5 sen x + k =

= – 3 ln|cosx| – 5 senx + k

d) ∫(10x – 5x) = – + k

4. a) ∫ = 3 arctg x + k

b) ∫ = ln |x2 + 1| + k

c) ∫ = ∫(1 + ) = x – 2 arctg x + k

d) ∫ = ∫ = ∫(1 + ) = x + ln |x2 + 1| + k2x

x2 + 1x2 + 2x + 1

x2 + 1(x + 1)2

x2 + 1

– 2x2 + 1

x2 – 1x2 + 1

2xx2 + 1

3x2 + 1

5x

ln 510x

ln 10

3x

ln 3

3x2

2

3x2

2

x3

38

x – 2x3

x – 2

4x

7x3

3

4x2

3x

4x2

3xx2

5x2

x27x4

x2

7x4 – 5x2 + 3x – 4

x2

x3

3x4

4

11x + 1

x4 – 5x2 + 3x – 4x + 1


1. Calcula:

a) ∫cos4 x sen x dx b) ∫2sen x cos x dx

a) ∫cos4 x sen x dx = –∫cos4 x (–sen x) dx = – + k

b) ∫2sen x cos x dx = ∫2sen x cos x · ln 2 dx = + k

2. Calcula:

a) ∫cotg x dx b) ∫ dx

a) ∫cotg x dx = ∫ dx = ln |sen x| + k

b) ∫ dx = ∫ dx = arc tg (x2) + k

Página 336

3. Calcula: ∫ dx

Hacemos el cambio x = t6, dx = 6t5 dt:

∫ dx = ∫ 6t5 dt = ∫ dt = ∫ dt = 6∫ dt =

= 6∫(t + 1 + ) dt = 6∫( + t – ln |t – 1|) + k =

= 6 ( + – ln | – 1|) + k = 3 + 6 – 6 ln | – 1| + k

4. Calcula: ∫ dx

Hacemos el cambio = t → 1 – x2 = t2 → x =

dx = dt– t

√1 – t2

√1 – t2√1 – x2

x

√—1 – x2

6√x

6√x

3√x

6√x

6√x

6

√x2

2

t2

21

t – 1

t2

t – 16t2

t – 16t5

t4 – t3

13

√—t12 – √

—t6

13

√—x2 – √

—x

13

√—x2 – √

—x

52

2x1 + (x2)2

52

5xx4 + 1

cos xsen x

5xx4 + 1

2sen x

ln 21

ln 2

cos5 x5


∫ dx = ∫ · dt = ∫ –1 dt = – t + k = – + k

Página 336

1. Calcula: ∫x sen x dx

Llamamos I = ∫x sen x dx.

I = –x cos x + ∫cos x dx = –x cos x + sen x + k

2. Calcula: ∫x arc tg x dx

Llamamos I = ∫x arc tg x dx.

u = arc tg x, du = dx

dv = x dx, v =

I = arc tg x – ∫( ) dx = arc tg x – ∫(1 – ) dx =

= arc tg x – [x – arc tg x] + k = arc tg x – x + arc tg x + k =

= arc tg x – x + k

Página 337

1. Calcula: ∫ dx

∫ dx = ∫(3x + 7 + ) dx = + 7x + 29 ln |x – 4| + k

2. Calcula: ∫ dx

∫ dx = ∫( x – + ) dx =

= · – x – ln |2x + 1| + k = – x – ln |2x + 1| + k178

134

3x2

4178

134

x2

232

17/42x + 1

134

32

3x2 – 5x + 12x + 1

3x2 – 5x + 12x + 1

3x2

229

x – 43x2 – 5x + 1

x – 4

3x2 – 5x + 1x – 4

12

x2 + 12

12

12

x2

212

x2

2

11 + x2

12

x2

2x2

1 + x212

x2

2

x2

2

11 + x2

u = x, du = dx

dv = sen x dx, v = –cos x

√1 – x2– t

√1 – t2

√1 – t2

t2

x

√—1 – x2


3. Calcula:

a) ∫ dx b) ∫ dx

a) Descomponemos la fracción:

= = + +

=

5x – 3 = A (x – 1)(x + 1) + Bx (x + 1) + Cx (x – 1)

Hallamos A, B y C dando a x los valores 0, 1 y –1:

Así, tenemos que:

∫ dx = ∫( + – ) dx = 3 ln|x|+ ln|x – 1| – 4 ln|x + 1| + k

b) Descomponemos la fracción:

= + + =

x2 – 2x + 6 = A (x – 1)2 + B (x – 1) + C

Dando a x los valores 1, 0 y 2, queda:

Por tanto:

∫ dx = ∫( + ) dx = ln|x – 1| – + k

4. Calcula:

a) ∫ dx b) ∫ dxx3 – 4x2 + 4x

x4 – 2x3 – 4x2 + 8xx3 + 22x2 – 12x + 8

x4 – 4x2

52(x – 1)2

5(x – 1)3

1x – 1

x2 – 2x + 6

(x – 1)3

A = 1

B = 0

C = 5

x = 1 ⇒ 5 = C

x = 0 ⇒ 6 = A – B + C

x = 2 ⇒ 6 = A + B + C

A (x – 1)2 + B (x – 1) + C(x – 1)3

C(x – 1)3

B(x – 1)2

Ax – 1

x2 – 2x + 6

(x – 1)3

4x + 1

1x – 1

3x

5x – 3x3 – x

x = 0 ⇒ –3 = –A ⇒ A = 3

x = 1 ⇒ 2 = 2B ⇒ B = 1

x = –1 ⇒ –8 = 2C ⇒ C = –4

A (x – 1)(x + 1) + Bx (x + 1) + Cx (x – 1)x (x – 1)(x + 1)

5x – 3x3 – x

Cx + 1

Bx – 1

Ax

5x – 3x (x – 1)(x + 1)

5x – 3x3 – x

x2 – 2x + 6

(x – 1)35x – 3x3 – x


a) x4 – 4x2 = x2(x2 – 4) = x2(x – 2)(x + 2)

Descomponemos la fracción:

= + + +

=

=

x3 + 22x2 – 12x + 8 = Ax (x – 2)(x + 2) + B (x – 2)(x + 2) + Cx2(x + 2) + Dx2(x – 2)

Hallamos A, B, C y D dando a x los valores 0, 2, –2 y 1:

Por tanto:

∫ dx = ∫( – + – ) dx =

= 3 ln|x| + + 5 ln|x – 2| – 7 ln|x + 2| + k

b) La fracción se puede simplificar:

= =

∫ dx = ∫ dx = ln|x + 2| + k

Página 349


PARA PRACTICAR

1 Calcula las siguientes integrales inmediatas:

a) ∫ (4x2 – 5x + 7)dx b) ∫ c) ∫ dx d) ∫ (x – sen x)dx

a) ∫ (4x2 – 5x + 7)dx = – + 7x + k

b) ∫ = ∫ x–1/5 dx = + k = + k5 5

√x4

4x4/5

4/5dx5

√x

5x2

24x3

3

12x + 7

dx5

√x

1x + 2

x3 – 4x2 + 4x

x4 – 2x3 – 4x2 + 8x

1x + 2

x (x – 2)2

x (x – 2)2(x + 2)

x3 – 4x2 + 4x

x4 – 2x3 – 4x2 + 8x

2x

7x + 2

5x – 2

2x2

3x

x3 + 22x2 – 12x + 8

x4 – 4x2

x = 0 ⇒ 8 = –4B ⇒ B = –2x = 2 ⇒ 80 = 16C ⇒ C = 5x = –2 ⇒ 112 = –16D ⇒ D = –7x = 1 ⇒ 19 = –3A – 3B + 3C – D ⇒ –3A = –9 ⇒ A = 3

Ax (x – 2)(x + 2) + B (x – 2)(x + 2) + Cx2(x + 2) + Dx2(x – 2)

x2(x – 2)(x + 2)

x3 + 22x2 – 12x + 8

x2(x – 2)(x + 2)

Dx + 2

Cx – 2

Bx2

Ax

x3 + 22x2 – 12x + 8

x2(x – 2)(x + 2)


c) ∫ dx = ln|2x + 7| + k

d) ∫ (x – sen x)dx = + cox x + k

2 Resuelve estas integrales:

a) ∫ (x2 + 4x) (x2 – 1)dx b) ∫ (x – 1)3 dx

c) ∫ dx d) ∫ (sen x + ex)dx

a) ∫ (x2 + 4x) (x2 – 1)dx = ∫ (x4 + 4x3 – x2 – 4x) dx = + x4 – – 2x2 + k

b) ∫ (x – 1)3 dx = + k

c) ∫ dx = ∫ x1/2 dx = + k = + k

d) ∫ (sen x + ex) dx = –cos x + ex + k

3 Calcula las integrales siguientes:

a) ∫3

dx b) ∫ sen (x – 4)dx c) ∫ dx d) ∫ (ex + 3e–x)dx

a) ∫3

dx = ∫ x1/3 dx = + k = 3

+k

b) ∫ sen (x – 4)dx = –cos (x – 4) + k

c) ∫ dx = 7 tg x + k

d) ∫ (ex + 3e–x)dx = ex – 3e–x + k

4 Halla estas integrales:

a) ∫ dx b) ∫ c) ∫ dx d) ∫ dx

a) ∫ dx = 2 ln|x| + k2x

31 + x2

x + √xx2

dxx – 1

2x

7cos2 x

34

x4/3

4/31

3

√2

13

√2

7cos2 x

2√3x3

3x3/2

3/2√3√3√3x

(x – 1)4

4

x3

3x5

5

√3x

x2

2

12

12x + 7


S

S

b) ∫ = ln|x – 1| + k

c) ∫ dx = ∫ ( + x–3/2) dx = ln|x| – + k

d) ∫ dx = 3 arc tg x + k

5 Resuelve las siguientes integrales:

a) ∫ b) ∫ c) ∫ (x – 4)2dx d) ∫a) ∫ = ln|x – 4| + k

b) ∫ = + k

c) ∫ (x – 4)2dx = + k

d) ∫ = ∫ (x – 4)–3 dx = + k = + k

6 Halla las siguientes integrales del tipo exponencial:

a) ∫ ex – 4 dx b) ∫ e–2x + 9 dx c) ∫ e5x dx d) ∫ (3x – x3)dx

a) ∫ ex – 4 dx = ex – 4 + k

b) ∫ e–2x + 9 dx = ∫ –2e–2x + 9 dx = e–2x + 9 + k

c) ∫ e5x dx = ∫ 5e5x dx = e5x +k

d) ∫ (3x – x3)dx = – + k

7 Resuelve las siguientes integrales del tipo arco tangente:

a) ∫ b) ∫ c) ∫ d) ∫a) ∫ = ∫ dx = ∫ dx = arc tg ( ) + kx

212

1/21 + (x/2)2

12

1/41 + (x/2)2

dx4 + x2

2 dx1 + 9x2

5 dx4x2 + 1

4 dx3 + x2

dx4 + x2

x4

43x

ln 3

15

15

–12

–12

–12(x – 4)2

(x – 4)–2

–2dx

(x – 4)3

(x – 4)3

3

–1(x – 4)

dx(x – 4)2

dxx – 4

dx(x – 4)3

dx(x – 4)2

dxx – 4

31 + x2

2

√x

1x

x + √xx2

dxx – 1


b) ∫ = ∫ dx = ∫ dx = arc tg ( ) + k

c) ∫ = ∫ = arc tg (2x) + k

d) ∫ = ∫ = arc tg (3x) + k

8 Expresa las siguientes integrales de la forma:

= cociente +

y resuélvelas:

a) ∫ dx b) ∫ dx c) ∫ dx

a) ∫ dx = ∫ (x – 6 + ) dx = – 6x + 10 ln|x + 1| + k

b) ∫ dx = ∫ (x + 1 + ) dx = + x + 3 ln|x + 1| + k

c) ∫ dx = ∫ (x2 – x – 1 – ) dx =

= – – x – 3 ln|x – 2| + k

9 Halla estas integrales sabiendo que son del tipo arco seno:

a) ∫ b) ∫ c) ∫ dx d) ∫

a) ∫ = ∫ = arc sen (2x) + k

b) ∫ = ∫ = arc sen ( ) + k

c) ∫ dx = ∫ dx = arc sen (ex) + k

d) ∫ = ∫ = arc sen (ln|x|) + k1/x dx

√1 – (ln x)2dx

x √1 – (ln x)2

ex

√1 – (ex)2ex

√1 – e2x

x2

1/2 dx

√1 – (x/2)2dx

√4 – x2

12

2 dx

√1 – (2x)212

dx

√1 – 4x2

dx

x √1 – (ln x)2

ex

√1 – e2x

dx

√4 – x2

dx

√1 – 4x2

x2

2x3

3

3x – 2

x3 – 3x2 + x – 1x – 2

x2

23

x + 1x2 + 2x + 4

x + 1

x2

210

x + 1x2 – 5x + 4

x + 1

x3 – 3x2 + x – 1x – 2

x2 + 2x + 4x + 1

x2 – 5x + 4x + 1

restodivisor

dividendodivisor

23

3 dx1 + (3x)2

23

2 dx1 + 9x2

52

2 dx(2x)2 + 1

52

5 dx4x2 + 1

x

√3

4√33

1/√—3

1 + (x/√—3)2

4√33

4/3

1 + (x/√—3)2

4 dx3 + x2


10 Resuelve las integrales siguientes, sabiendo que son de la forma

∫ f n(x) · f '(x):

a) ∫ cos x sen3 x dx b) ∫ 2x ex2

dx c) ∫ d) ∫ ln3 x dx

a) ∫ cos x sen3 x dx = + k

b) ∫ 2x ex2

dx = ex2+ k

c) ∫ = ∫ 2x (x2 + 3)–5 dx = + k = + k

d) ∫ ln3 x dx = + k

PARA RESOLVER


a) ∫ x4 ex5

dx b) ∫ x sen x2 dx c) ∫ d) ∫a) ∫ x4 ex5

dx = ∫ 5x4 ex5dx = ex5

+ k

b) ∫ x sen x2 dx = ∫ 2x sen x2 dx = cos x2 + k

c) ∫ = ∫ = arc sen ( ) + k

d) ∫ = + k

Página 350


a) ∫ sen x cos x dx b) ∫ c) ∫ dx d) ∫ dx

a) ∫ sen x cos x dx = + ksen2 x2

–3x2 – 6x2

√(x + 3)5sen x dxcos5 x

√x2 + 5x dx

√x2 + 5

x3

1/3 dx

√1 – (x/3)2dx

√9 – x2

–12

12

15

15

x dx

√x2 + 5

dx

√9 – x2

ln4|x|4

1x

–18(x2 + 3)4

(x2 + 3)–4

–412

12

x dx(x2 + 3)5

sen4 x4

1x

x dx(x2 + 3)5


b) ∫ = –∫ (–sen x) · cos–5 x dx = + k = + k

c) ∫ dx = ∫ (x + 3)5/2 dx = + k = + k

d) ∫ dx = ∫ dx = ln|2 – 6x2| + k


a) ∫ (x – 1)dx b) ∫ dx

c) ∫ dx d) ∫ sen x dx

a) ∫ (x – 1) dx = ∫ (2x – 2) dx = ∫ (x2 – 2x)1/2 (2x – 2) dx =

= + k = + k

b) ∫ dx = + k

c) ∫ dx = ∫ (1 + ln x)2 · dx = + k

d) ∫ sen x dx = –∫ (1 + cos x)3/2 (–sen x) dx = – + k =

= + k

14 Aplica la integración por partes para resolver las siguientes integrales:

a) ∫ x ln x dx b) ∫ excos x dx c) ∫ x2 sen x dx d) ∫ x2 e2x dx

e) ∫ cos (ln x)dx f) ∫ x2 ln x dx g) ∫ arc tg x dx h) ∫ (x + 1)2 ex dx

a) ∫ x ln x dx

∫ x ln x dx = ln x – ∫ dx = ln|x| – + kx2

4x2

2x2

x2

2

1u = ln x → du = — dx

xx2

dv = x dx → v = —2

–2√(1 + cos x)5

5

(1 + cos x)5/2

5/2√(1 + cos x)3

(1 + ln|x|)3

31x

(1 + ln x)2

x

arc sen2 x2

arc sen x

√1 – x2

√(x2 – 2x)3

3(x2 – 2x)3/2

3/212

12

√x2 – 2x12

√x2 – 2x

√(1 + cos x)3(1 + ln x)2

x

arc sen x

√1 – x2√x2 – 2x

14

–12x2 – 6x2

14

–3x2 – 6x2

2√(x + 3)7

7(x + 3)7/2

7/2√(x + 3)5

14 cos4 x

–cos–4 x–4

sen x dxcos5 x


S

b) ∫ excos x dx

∫ ex cos x dx = ex sen x – ∫ ex sen x dx

I1

I1 = –ex cos x + ∫ ex cos x dx

Por tanto:

∫ ex cos x dx = ex sen x + ex cos x – ∫ ex cos x dx

2∫ ex cos x dx = ex sen x + ex cos x

∫ ex cos x dx = + k

c) ∫ x2 sen x dx

∫ x2 sen x dx = –x2 cos x + ∫ 2x cos x dx = –x2 cos x + 2∫ x cos x dx

I1

I1 = x sen x – ∫ sen x dx = x sen x + cos x

Por tanto:

∫ x2 sen x dx = –x2 cos x + 2x sen x + 2 cos x + k

d) ∫ x2 e2x dx

u = x2 → du = 2x dx1

dv = e2x dx → v = — e2x2

u1 = x → du1 = dx

dv1 = cos x dx → v1 = sen x

u = x2 → du = 2x dx

dv = sen x dx → v = –cos x

ex sen x + ex cos x2

u1 = ex → du1 = ex dx

dv1 = sen x dx → v1 = –cos x

u = ex → du = ex dx

dv = cos x dx → v = sen x


∫ x2 e2x dx = e2x – ∫ x e2x dx

I1

I1 = e2x – ∫ e2x dx = e2x – e2x

Por tanto: ∫ x2 e2x dx = e2x – e2x + e2x + k = ( – + ) e2x + k

e) ∫ cos (ln x)dx

∫ cos (ln x) dx = x cos (ln x) + ∫ sen (ln x) dx

I1

I1 = x sen (ln x) – ∫ cos (ln x) dx

Por tanto:

∫ cos (ln x) dx = x cos (ln x) + x sen (ln x) – ∫ cos (ln x) dx

2∫ cos (ln x) dx = x cos (ln x) + x sen (ln x)

∫ cos (ln x) dx = + k

f ) ∫ x2 ln x dx

∫ x2 ln x dx = – ∫ dx = – + kx3

9x3 ln x

3x2

3x3 ln x

3

1u = ln x → du = — dx

xx3

dv = x2 dx → v = —2

x cos (ln x) + x sen (ln x)2

1u1 = sen (ln x) → du1 = cos (ln x) · — dx

xdv1 = dx → v1 = x

1u = cos (ln x) → du = –sen (ln x) · — dx

xdv = dx → v = x

14

x2

x2

214

x2

x2

2

14

x2

12

x2

u1 = x → du1 = dx1

dv1 = e2x dx → v1 = — e2x2

x2

2


g) ∫ arc tg x dx

∫ arc tg x = x arc tg x – ∫ dx = x arc tg x – ∫ dx =

= x arc tg x – ln (1 + x2) + k

h) ∫ (x + 1)2 ex dx

∫ (x + 1)2 ex dx = (x + 1)2 ex – 2∫ (x + 1) ex dx

I1

I1 = (x + 1) ex – ∫ ex dx = (x + 1) ex – ex = (x + 1 – 1) ex = x ex

Por tanto:

∫ (x + 1)2 ex dx = (x + 1)2 ex – 2x ex + k =

= (x2 + 2x + 1 – 2x) ex + k = (x2 + 1) ex + k

15 Calcula ∫ cos4 x dx utilizando la expresión: cos2 x = +

cos4 x = ( + )2 = + + =

= + ( + ) + =

= + + + = + +

Por tanto:

∫ cos4 x dx = ∫ ( + + ) dx = x + + + ksen 2x2

sen 4x32

38

cos 2x2

cos 4x8

38

cos 2x2

cos 4x8

38

cos 2x2

cos 4x8

18

14

cos 2x2

cos 4x2

12

14

14

cos 2x2

cos2 2x4

14

cos 2x2

12

cos 2x2

12

u1 = (x + 1) → du1 = dx

dv1 = ex dx → v1 = ex

u = (x + 1)2 → du = 2(x + 1) dx

dv = ex dx → v = ex

12

2x1 + x2

12

11 + x2

1u = arc tg x → du = — dx

1 + x2

dv = dx → v = x


16 Determina el valor de las integrales propuestas en los ejercicios siguientesutilizando la fórmula de integración por partes:

a) ∫ x2 e3x dx b) ∫ dx c) ∫ 3x cos x dx d) ∫ x3 sen x dx

a) ∫ x2 e3x dx

∫ x2 e3x dx = e3x – ∫ x e3x dx

I1

I1 = e3x – ∫ e3x dx = e3x – e3x

Por tanto:

∫ x2 e3x dx = e3x – e3x + e3x + k = ( – + ) e3x + k

b) ∫ dx = ∫ x e–x dx

∫ dx = –x e–x + ∫ e–x dx = –x e–x – e–x + k = – + k = + k

c) ∫ 3x cos x dx

∫ 3x cos x dx = 3x sen x – 3∫ sen x dx = 3x sen x + 3 cos x + k

d) ∫ x3 sen x dx

u = x3 → du = 3x2 dx


u = 3x → du = 3 dx


–x – 1ex

1ex

–xex

xex

u = x → du = dx

dv = e–x dx → v = –e–x

xex

227

2x9

x2

3227

2x9

x2

3

19

x3

13

x3

u1 = x → du1 = dx1

dv1 = e3x dx → v1 = — e3x3

23

x2

3

u = x2 → du = 2x dx1

dv = e3x dx → v = — e3x3

xex


∫ x3 sen x dx = –x3 cos x + 3∫ x2 cos x dx

I1

I1 = x2 sen x – 2∫ x sen x dx

I2

I2 = –x cos x + ∫ cos x dx = –x cos x + sen x

Así: I1 = x2 sen x + 2x cos x – 2 sen x

Por tanto:

∫ x3 sen x dx = –x3 cos x + 3x2 sen x + 6x cos x – 6 sen x + k

17 Determina el valor de las integrales que se proponen a continuación:

a) ∫ x · 2–x dx b) ∫ arc cos x dx c) ∫ x cos 3x dx d) ∫ x5 e–x3

dx

a) ∫ x · 2–x dx

∫ x 2–x dx = + ∫ dx = + ∫ 2–x dx =

= – + k

b) ∫ arc cos x dx

∫ arc cos x dx = x arc cos x – ∫ dx = x arc cos x – + k√1 – x2–x

√1 – x2

–1u = arc cos x → du = — dx

√—1 – x 2

dv = dx → v = x

2–x

(ln 2)2–x · 2–x

ln 2

1ln 2

–x · 2–x

ln 22–x

ln 2–x · 2–x

ln 2

u = x → du = dx–2–x

dv = 2–x dx → v = —ln 2

u2 = x → du2 = dx

dv2 = sen x dx → v2 = –cos x

u1 = x2 → du1 = 2x dx



c) ∫ x cos 3x dx

∫ x cos 3x dx = sen 3x – ∫ sen 3x dx = sen 3x + cos 3x + k

d) ∫ x5 e–x3dx = ∫ x3 · x2 e–x3

dx

u dv

∫ x5 e–x3dx = e–x3

+ ∫ x2 e–x3dx = e–x3

– e–x3+ k =

= e–x3+ k

18 En el ejercicio resuelto 7 a), se ha calculado la integral ∫ sen2 x dx aplican-do la igualdad:

sen2 x = –

Vamos a obtenerla, ahora, mediante la integración por partes, haciendo:

∫ sen2 x dx = –sen x cos x + ∫ cos2 x dx

Si con esta nueva integral procedemos como con la anterior, llegaríamos auna identidad inútil (“se nos va todo”). Compruébalo.

Sin embargo, si hacemos cos2 x = 1 – sen2 x, se resuelve con facilidad. Ter-mina la integral.

• Si aplicáramos el método de integración por partes a la integral ∫ cos2 x dx, ten-dríamos que:

Por tanto, quedaría: ∫ sen2 x dx = –sen x cos x + sen x cos x + ∫ sen2 x dx

En efecto, es una identidad inútil (“se nos va todo”).

u = cos x → du = –sen x dx


u = sen x → du = cos x dxdv = sen x dx → v = –cos x

cos 2x2

12

(–x3 – 1)3

13

–x3

3–x3

3

u = x3 → du = 3x2 dx–1

dv = x2 e–x3dx → v = — e–x3

3

19

x3

13

x3

u = x → du = dx1

dv = cos 3x dx → v = — sen 3x3


}

• Sin embargo, si hacemos cos2 x = 1 – sen2 x, tenemos que:

∫ sen2 x dx = –sen x cos x + ∫ (1 – sen2 x) dx =

= –sen x cos x + ∫ dx – ∫ sen2 x dx = –sen x cos x + x – ∫ sen2 x dx

Por tanto:

2∫ sen2 x dx = –sen x cos x + x

∫ sen2 x dx = + k = x – sen 2x + k

19 Determina el valor de las integrales racionales propuestas en los siguientesejercicios:

a) ∫ dx b) ∫ dx

c) ∫ dx d) ∫ dx

a) ∫ dx = ∫ dx + ∫ dx = ln (x2 + 1) + 2 arc tg x + k

b) ∫ dx = dx

Descomponemos en fracciones simples:

= + + +

=

1 = A(x – 1)(x + 1)2 + B(x + 1)2 + C (x + 1)(x – 1)2 + D (x – 1)2

Calculamos A, B, C y D, dando a x los valores 1, –1, 0 y 2:

∫ dx = ∫ dx + ∫ dx + ∫ dx + ∫ dx =

= ln|x – 1| – · + ln|x + 1| – · + k =1(x + 1)

14

14

1(x + 1)

14

–14

1/4(x + 1)2

1/4(x + 1)

1/4(x – 1)2

–1/4(x – 1)

1(x2 – 1)2

A = –1/4B = 1/4C = 1/4D = 1/4

x = 1 → 1 = 4B → B = 1/4x = –1 → 1 = 4D → C = 1/4x = 0 → 1 = –A + B + C + D → 1/2 = –A + Cx = 2 → 1 = 9A + 9B + 3C + D → –3/2 = 9A + 3C → –1/2 = 3A + C

A(x – 1)(x + 1)2 + B(x + 1)2 + C (x + 1)(x – 1)2 + D (x – 1)2

(x – 1)2 (x + 1)21

(x – 1)2 (x + 1)2

D(x + 1)2

C(x + 1)

B(x – 1)2

A(x – 1)

1(x – 1)2 (x + 1)2

1(x – 1)2 (x + 1)2

1(x2 – 1)2

12

2x2 + 1

2xx2 + 1

12

x + 2x2 + 1

2x2 + 5x – 1x3 + x2 – 2x

2x2 + 7x – 1x3 + x2 – x – 1

1(x2 – 1)2

x + 2x2 + 1

14

12

–sen x cos x + x2


= [ln|x – 1| + – ln|x + 1| + ] + k =

= [ln + ] + k

c) ∫ dx = ∫ dx


= + +

=

2x2 + 7x – 1 = A(x + 1)2 + B(x – 1)(x + 1) + C (x – 1)

Hallamos A, B y C :

Por tanto:

∫ dx = ∫ dx + ∫ dx = 2 ln|x – 1| – + k

d) ∫ dx = ∫ dx


= + +

=

2x2 + 5x – 1 = A(x – 1)(x + 2) + Bx (x + 2) + Cx (x – 1)

Hallamos A, B y C :

x = 0 → –1 = –2A → A = 1/2

x = 1 → 6 = 3B → B = 2

x = –2 → –3 = 6C → C = –1/2

A(x – 1)(x + 2) + Bx (x + 2) + Cx (x – 1)x (x – 1)(x + 2)

2x2 + 5x – 1x (x – 1)(x + 2)

Cx + 2

Bx – 1

Ax

2x2 + 5x – 1x (x – 1)(x + 2)

2x2 + 5x – 1x (x – 1)(x + 2)

2x2 + 5x – 1x3 + x2 – 2x

3x + 1

3(x + 1)2

2x – 1

2x2 + 7x – 1x3 + x2 – x – 1

x = 1 → 8 = 4A → A = 2

x = –1 → –6 = –2C → C = 3

x = 0 → –1 = A – B – C → B = 0

A(x + 1)2 + B(x – 1)(x + 1) + C (x – 1)(x – 1)(x + 1)2

2x2 + 7x – 1(x – 1)(x + 1)2

Cx + 12

Bx + 1

Ax – 1

2x2 + 7x – 1(x – 1)(x + 1)2

2x2 + 7x – 1(x – 1)(x + 1)2

2x2 + 7x – 1x3 + x2 – x – 1

2xx2 – 1

x – 1x + 1

–14

1x + 1

1x – 1

–14


Por tanto:

∫ dx = ∫ dx + ∫ dx + ∫ dx =

= ln|x|+ 2 ln|x – 1| – ln|x + 2| + k = ln ( ) + k


a) ∫ dx b) ∫ dx

c) ∫ dx d) ∫ dx

a) ∫ dx


= + +

=

2x – 4 = A(x – 1)(x + 3) + B(x + 3) + C (x – 1)2

Hallamos A, B y C :

Por tanto:

∫ dx = ∫ dx + ∫ dx + ∫ dx =

= ln|x – 1| + · – ln|x + 3| + k = ln + + k

b) ∫ dx


= + =

2x + 3 = A(x + 5) + B(x – 2)

A(x + 5) + B(x – 2)(x – 2) (x + 5)

Bx + 5

Ax – 2

2x + 3(x – 2) (x + 5)

2x + 3(x – 2) (x + 5)

12x – 2

x – 1x + 3

58

58

1(x – 1)

12

58

–5/8x + 3

–1/2(x – 1)2

5/8x – 1

2x – 4(x – 1)2 (x + 3)

x = 1 → –2 = 4B → B = –1/2

x = –3 → –10 = 16C → C = –5/8

x = 0 → –4 = –3A + 3B + C → A = 5/8

A(x – 1)(x + 3) + B(x + 3) + C (x – 1)2

(x – 1)2 (x + 3)2x – 4

(x – 1)2 (x + 3)

Cx + 3

B(x – 1)2

Ax – 1

2x – 4(x – 1)2 (x + 3)

2x – 4(x – 1)2 (x + 3)

3x – 2x2 – 4

1(x – 1) (x + 3)2

2x + 3(x – 2) (x + 5)

2x – 4(x – 1)2 (x + 3)

(x – 1)2√—x

√x + 212

12

–1/2x + 2

2x – 1

1/2x

2x2 + 5x – 1x3 + x2 – 2x


Hallamos A y B:

Por tanto:

∫ dx = ∫ dx + ∫ dx =

= ln|x – 2| + ln|x + 5| + k = ln|(x – 2)(x + 5)| + k

c) ∫ dx


= + +

=

1 = A(x + 3)2 + B(x – 1)(x + 3) + C (x – 1)

Hallamos A, B y C :

Por tanto:

∫ dx = ∫ dx + ∫ dx + ∫ dx =

= ln|x – 1| – ln|x + 3| + · + k =

= ln + + k

d) ∫ dx = ∫ dx


= + =

3x – 2 = A(x + 2) + B(x – 2)

A(x + 2) + B(x – 2)(x – 2) (x + 2)

Bx + 2

Ax – 2

3x – 2(x – 2) (x + 2)

3x – 2(x – 2) (x + 2)

3x – 2x2 – 4

14(x + 3)

x – 1x + 3

116

1(x + 3)

14

116

116

–1/4(x + 3)2

–1/16x + 3

1/16x – 1

1(x – 1) (x + 3)2

x = 1 → 1 = 16A → A = 1/16

x = –3 → 1 = –4C → C = –1/4

x = 0 → 1 = 9A – 3B – C → B = –1/16

A(x + 3)2 + B(x – 1)(x + 3) + C (x – 1)(x – 1) (x + 3)2

1(x – 1) (x + 3)2

C(x + 3)2

Bx + 3

Ax – 1

1(x – 1) (x + 3)2

1(x – 1) (x + 3)2

1x + 5

1x – 2

2x + 3(x – 2) (x + 5)

x = 2 → 7 = 7A → A = 1

x = –5 → –7 = –7B → B = 1


Hallamos A y B:

Por tanto:

∫ dx = ∫ dx + ∫ dx =

= ln|x – 2| + 2 ln|x + 2| + k = ln [|x – 2|(x + 2)2] + k

Página 351

21 Calcula:

a) ∫ b) ∫ dx

c) ∫ dx d) ∫ dx

a) ∫ = ∫Descomponemos en fracciones simples:

= + =

1 = A(x – 2) + B(x + 1)

Hallamos A y B:

Por tanto:

∫ dx = ∫ dx + ∫ dx =

= ln|x + 1| + ln|x – 2| + k = ln + k

b) ∫ dx = ∫ (x – 1 + ) dx


= + + Cx + 2

Bx – 1

Ax

3x2 – 6x (x – 1)(x + 2)

3x2 – 6x (x – 1)(x + 2)

x4 + 2x – 6x3 + x2 – 2x

x – 2x + 1

13

13

–13

1/3x – 2

–1/3x + 1

dxx2 – x – 2

x = –1 → 1 = –3A → A = –1/3

x = 2 → 1 = 3B → B = 1/3

A(x – 2) + B(x + 1)(x + 1) (x – 2)

Bx – 2

Ax + 1

1(x + 1) (x – 2)

dx(x + 1) (x – 2)

dxx2 – x – 2

2x – 3x3 – 2x2 – 9x + 18

5x2

x3 – 3x2 + 3x – 1

x4 + 2x – 6x3 + x2 – 2x

dxx2 – x – 2

2x + 2

1x – 2

3x – 2x2 – 4

x = 2 → 4 = 4A → A = 1

x = –2 → –8 = –4B → B = 2


S

=

3x2 – 6 = A(x – 1)(x + 2) + Bx (x + 2) + Cx (x – 1)

Hallamos A, B y C :

Por tanto:

∫ dx = ∫ (x – 1 + – + ) dx =

= – x + 3 ln|x| – ln|x – 1| + ln|x + 2| + k =

= – x + ln + k

c) ∫ dx = ∫ dx


= + + =

5x2 = A(x – 1)2 + B(x – 1) + C

Hallamos A, B y C :

Por tanto:

∫ dx = ∫ ( + + ) dx =

= 5 ln|x – 1| – – + k

d) ∫ dx = ∫ dx


= + + Cx + 3

Bx – 3

Ax – 2

2x – 3(x – 2) (x – 3) (x + 3)

2x – 3(x – 2) (x – 3) (x + 3)

2x – 3x3 – 2x2 – 9x + 18

52(x – 1)2

10x – 1

5(x – 1)3

10(x – 1)2

5x – 1

5x2

x3 – 3x2 + 3x – 1

A = 5

B = 10

C = 5

x = 1 → 5 = C

x = 2 → 20 = A + B + C

x = 0 → 0 = A – B + C

A(x – 1)2 + B(x – 1) + C(x – 1)3

C(x – 1)3

B(x – 1)2

Ax – 1

5x2

(x – 1)3

5x2

(x – 1)35x2

x3 – 3x2 + 3x – 1

x3(x + 2)x – 1

x2

2

x2

2

1x + 2

1x – 1

3x

x4 + 2x – 6x3 + x2 – 2x

x = 0 → –6 = –2A → A = 3

x = 1 → –3 = 3B → B = –1

x = –2 → 6 = 6C → C = 1

A(x – 1)(x + 2) + Bx (x + 2) + Cx (x – 1)x (x – 1)(x + 2)

3x2 – 6x (x – 1)(x + 2)


=

2x – 3 = A(x – 3)(x + 3) + B(x – 2)(x + 3) + C (x – 2)(x – 3)

Hallamos A, B y C :

Por tanto:

∫ dx = ∫ ( + + ) dx =

= ln|x – 2| + ln|x – 3| – ln|x + 3| + k

22 Resuelve las integrales:

a) ∫ dx b) ∫ dx c) ∫ dx

d) ∫ dx e) ∫ dx f) ∫ dx

g) ∫ dx h) ∫ dx

a) ∫ dx = ∫ ln x dx = + k

b) ∫ dx = ln|x + cos x| + k

c) ∫ dx = ∫ dx = ln|ln|x|| + k

d) ∫ dx = ln|ex + x| + k

e) ∫ dx = –∫ sen ( ) dx = cos ( ) + k

f ) ∫ dx = ∫ (2 – ) dx = 2x – 7 ln|x + 2| + k7x + 2

2x – 3x + 2

1x

1x

–1x2

sen (1/x)x2

1 + ex

ex + x

1/xln x

1x ln x

1 – sen xx + cos x

ln2|x|2

1x

ln xx

sen xcos4 x

arc tg x

1 + x2

2x – 3x + 2

sen (1/x)x2

1 + ex

ex + x

1x ln x

1 – sen xx + cos x

ln xx

310

12

–15

–3/10x + 3

1/2x – 3

–1/5x – 2

2x – 3x3 – 2x2 – 9x + 18

x = 2 → 1 = –5A → A = –1/5

x = 3 → 3 = 6B → B = 1/2

x = –3 → –9 = 30C → C = –3/10

A(x – 3)(x + 3) + B(x – 2)(x + 3) + C (x – 2)(x – 3)(x – 2)(x – 3)(x + 3)

2x – 3(x – 2) (x – 3) (x + 3)


g) ∫ dx = ∫ arc tg x dx = + k

h) ∫ dx = –∫ (–sen x) (cos x)–4 dx = + k = + k

23 Calcula las integrales indefinidas:

a) ∫ dx b) ∫ ln (x – 3)dx c) ∫ dx

d) ∫ ln (x2 + 1)dx e) ∫ (ln x)2dx f) ∫ ex cos exdx

g) ∫ dx h) ∫ dx

a) ∫ dx = –2∫ (–sen ) dx = –2 cos ( ) + k

b) ∫ ln (x – 3)dx

∫ ln (x – 3)dx = x ln|x – 3| – ∫ dx = x ln|x – 3| – ∫ 1 + dx =

= x ln|x – 3| – x – 3 ln|x – 3| + k = (x – 3) ln|x – 3| – x + k

c) ∫ dx

∫ dx = 2√—x ln √

—x – ∫ dx = 2√

—x ln √

—x – ∫ dx =

= 2√—x ln √

—x – 2√

—x + k = 2√

—x (ln √

—x – 1) + k

1

√x

2√x2x

ln √—x

√—x

1 1 1u = ln √

—x → du = — · — = — dx

√—x 2√

—x 2x

1v = — dx → dv = 2√

—x

√—x

ln √x

√x

3x – 3

xx – 3

1u = ln (x – 3) → du = — dx

x – 3dv = dx → v = x

√x√x1

2√x

sen √x

√x

(1 – x)2

1 + x1

1 – x2

ln √x

√x

sen √x

√x

13 cos3 x

–(cos x)–3

–3sen xcos4 x

arc tg2 x2

11 + x2

arc tg x

1 + x2


d) ∫ ln (x2 + 1)dx

∫ ln (x2 + 1) dx = x ln (x2 + 1) – ∫ dx =

= x ln (x2 + 1) – ∫ (2 – ) dx = x ln (x2 + 1) – 2x + 2 arc tg x + k

e) ∫ (ln x)2 dx

∫ (ln x)2 dx = x (ln x)2 – 2∫ ln x dx = x ln2|x| – 2 x ln|x| + 2x + k

f ) ∫ ex cos exdx = sen ex + k

g) ∫ dx = ∫ dx


= + =

Hallamos A y B:

Por tanto:

∫ dx = ∫ ( + ) dx =

= ln|x + 1| + ln|x – 1| + k = ln + k

h) ∫ dx = ∫ dx = ∫ (x – 3 + ) dx =

= – 3x + 4 ln|x + 1| + kx2

2

4x + 1

x2 – 2x + 1x + 1

(1 – x)2

1 + x

12

12

–1/2x – 1

1/2x + 1

11 – x2

x = –1 → –1 = –2A → A = 1/2

x = 1 → –1 = 2B → B = –1/2

A(x – 1) + B(x + 1)(x + 1) (x – 1)

Bx – 1

Ax + 1

–1(x + 1) (x – 1)

–1(x + 1) (x – 1)

11 – x2

1u = (ln x)2 → du = 2 (ln x) · — dx

xdv = dx → v = x

2x2 + 1

2x2

x2 + 1

2xu = ln (x2 + 1) → du = — dx

x2 + 1dv = dx → v = x


24 Resuelve:

a) ∫ dx

☛ En el numerador, suma y resta ex.

b) ∫ dx

☛ Descomponla en suma de otras dos.

a) ∫ dx = ∫ dx = ∫ (1 – ) = x – ln (1 + ex) + k

b) ∫ dx = –∫ dx + ∫ dx =

= – + 3∫ dx = – + 3 arc sen ( ) + k

25 Resuelve por sustitución:

a) ∫ x dx b) ∫ c) ∫ dx

d) ∫ dx e) ∫ dx f) ∫ dx

☛ a) Haz x + 1 = t2. b) Haz x = t4.

a) ∫ x dx

Cambio: x + 2 = t2 → dx = 2t dt

∫ x dx = ∫ (t2 – 1) t · 2t dt = ∫ (2t4 – 2t2) dt = – + k =

= – + k

b) ∫Cambio: x = t4 → dx = 4t3 dt

∫ = ∫ = ∫ = ∫ = ln|t3 – 1| + k =

= ln| – 1| + k4√x34

3

43

3t2 dtt3 – 1

43

4t2 dtt3 – 1

4t3 dtt4 – t

dx

x – 4√x

dx

x – 4√x

2√(x + 1)3

32√(x + 1)5

5

2t3

32t5

5√x + 1

√x + 1

√x1 + x

1

x + √x

1

x

√x + 1

dx

x – 4√x

√x + 1

x3

√9 – x21/3

√1 – (x/3)2√9 – x2

3

√9 – x2

–x

√9 – x2

x + 3

√9 – x2

ex

1 + ex1 + ex – ex

1 + ex1

1 + ex

x + 3

√9 – x2

11 + ex


S

c) ∫ dx


∫ dx = ∫ · 2t dt = ∫ (2t2 – 2) dt = – 2t + k =

= – 2 + k

d) ∫ dx


∫ dx = ∫ = ∫Descomponemos en fracciones simples:

= + =

2 = A(t – 1) + B(t + 1)

Hallamos A y B:

Por tanto:

∫ = ∫ ( + ) dt = –ln|t + 1| + ln|t – 1| + k =

= ln + k

Así:

∫ dx = ln + k

e) ∫ dx

Cambio: x = t2 → dx = 2t dt

∫ dx = ∫ = ∫ = 2 ln|t + 1| + k =

= 2 ln ( + 1) + k√x

2 dtt + 1

2t dtt2 + t

1

x + √x

1

x + √x

√x + 1 – 11

t – 1t + 1

1t – 1

–1t + 1

2 dt(t + 1) (t – 1)

t = –1 → 2 = –2A → A = –1

t = 1 → 2 = 2B → B = 1

A(t – 1) + B(t + 1)(t + 1) (t – 1)

Bt – 1

At + 1

2(t + 1) (t – 1)

2 dt(t + 1) (t – 1)

2t dt(t2 – 1) t

1

1

√x + 12√(x + 1)3

3

2t3

3(t2 – 1)

tx

√x + 1

x

√x + 1


f ) ∫ dx


∫ dx = ∫ = ∫ = ∫ (2 – ) dt =

= 2t – 2 arc tg t + k = 2 – 2 arc tg + k

26 Resuelve, utilizando un cambio de variable, estas integrales:

a) ∫ dx b) ∫ c) ∫ dx d) ∫ dx

☛ a) Haz sen t = 2x/3.

a) ∫ dx

Cambio: sen t = → x = sen t → dx = cos t dt

∫ dx = ∫ · cos t dt = ∫ 3 cos t · cos t dt =

= ∫ cos2 t dt = ∫ ( – ) dt = ( t + sen 2t) + k =

= t + sen 2t + k = arc sen ( ) + · 2 sen t cos t + k =

= arc sen ( ) + · + k =

= arc sen ( ) + · + k

b) ∫Cambio: ex = t → x = ln t → dx = dt

∫ = ∫ dt = ∫ dt = ∫ dt


= + + =

1 = At (t – 3) + B(t – 3) + Ct2

At (t – 3) + B(t – 3) + Ct2

t2(t – 3)

Ct – 3

Bt2

At

1t2(t – 3)

1t2(t – 3)

1t3 – 3t2

1/tt2 – 3t

dxe2x – 3ex

1t

dxe2x – 3ex

√9 – 4x2x2

2x3

94

4x2

√1 – —9

2x3

94

2x3

94

98

2x3

94

98

94

14

12

92

cos 2t2

12

92

92

32

32

9√9 – 4 · — sen2 t4

√9 – 4x2

32

32

2x3

√9 – 4x2

1

1 + √x

e3x – ex

e2x + 1

dxe2x – 3ex√9 – 4x2

√x√x

21 + t2

2t2 dt1 + t2

t · 2t dt1 + t2

√x1 + x

√x1 + x


S

Hallamos A, B y C :

Así, tenemos que:

∫ dt = ∫ ( + + ) dt =

= ln|t| + + ln|t – 3| + k

Por tanto:

∫ = ln ex + + ln|ex – 3| + k =

= – x + + ln|ex – 3| + k

c) ∫ dx

Cambio: ex = t → x = ln t → dx = dt

∫ dx = ∫ · dt = ∫ dt = ∫ (1 – ) dt =

= t – 2 arc tg t + k = ex – 2 arc tg (ex) + k

d) ∫ dx


∫ dx = ∫ = ∫ (2 – ) dt = 2t – 2 ln|1 + t| + k =

= 2 – 2 ln (1 + ) + k

27 Encuentra la primitiva de f (x) = que se anula para x = 0.

F (x) = ∫ dx = ∫ dx = ln|1 + 3x| + k

F (0) = k = 0

Por tanto: F (x) = ln|1 + 3x|–13

13

31 + 3x

13

11 + 3x

11 + 3x

√x√x

21 + t

2t dt1 + t

1

1 + √x

1

1 + √x

2t2 + 1

t2 – 1t2 + 1

1t

t3 – tt2 + 1

e3x – ex

e2x + 1

1t

e3x – ex

e2x + 1

19

13ex

19

19

13ex

–19

dxe2x – 3ex

19

13t

–19

1/9t – 3

–1/3t2

–1/9t

1t2(t – 3)

t = 0 → 1 = –3B → B = –1/3

t = 3 → 1 = 9C → C = 1/9

t = 1 → 1 = –2A – 2B + C → A = –1/9


28 Halla la función F para la que F'(x) = y F(1) = 2.

F (x) = ∫ dx = + k

F (1) = –1 + k = 2 ⇒ k = 3

Por tanto: F (x) = + 3

29 De todas las primitivas de la función y = 4x – 6, ¿cuál de ellas toma el valor4 para x = 1?

F (x) = ∫ (4x – 6) dx = 2x2 – 6x + k

F (1) = 2 – 6 + k = 4 ⇒ k = 8

Por tanto: F (x) = 2x2 – 6x + 8

30 Halla f (x) sabiendo que f ''(x) = 6x, f '(0) = 1 y f (2) = 5.

f ' (x) = 3x2 + 1

Por tanto: f (x) = x3 + x – 5

31 Resuelve las siguientes integrales por sustitución:

a) ∫ dx b) ∫ dx

☛ a) Haz = t. b) Haz = t.

a) ∫ dx

Cambio: = t → ex/2 = t → = ln t → dx = dt

∫ = ∫ = ∫ = ∫ (–2 + ) dt =

= –2t – 2 ln|1 – t| + k = –2 – 2 ln|1 – | + k√ex√ex

21 – t

2t dt1 – t

t2 · (2/t) dt1 – t

ex

1 – √ex

2t

x2

√ex

ex

1 – √ex

√ex – 1√ex

√ex – 1ex

1 – √ex

f (x) = ∫ (3x2 + 1) dx = x3 + x + k

f ' (x) = ∫ 6x dx = 3x2 + c

f ' (0) = c = 1

–1x

–1x

1x2

1x2


b) ∫ dx

Cambio: = t → ex = t2 + 1 → x = ln (t2 + 1) → dx = dt

∫ dx = ∫ t · dt = ∫ dt = ∫ (2 – ) dt =

= 2t – 2 arc tg t + k = 2 – 2 arc tg + k

32 Calcula ∫ dx.

☛ Multiplica numerador y denominador por 1 – cos x.

∫ dx = ∫ dx = ∫ dx =

= ∫ dx = ∫ (1 – cos x) dx = x – sen x + k

Página 352

33 Encuentra una primitiva de la función:

f (x) = x2 sen x

cuyo valor para x = π sea 4.

F (x) = ∫ x2 sen x dx

Integramos por partes:

F (x) = –x2 cos x + 2∫ x cos x dx

I1

I1 = x sen x – ∫ sen x dx = x sen x + cos x

Por tanto:

F (x) = –x2 cos x + 2 x sen x + 2 cos x + 6 – π2

F (x) = –x2 cos x + 2 x sen x + 2 cos x + k

F (π) = π2 – 2 + k = 4 ⇒ k = 6 – π2

u1 = x → du1 = dx


u = x2 → du = 2x dx


sen2 x (1 – cos x)sen2 x

sen2 x (1 – cos x)1 – cos2 x

sen2 x (1 – cos x)(1 + cos x) (1 – cos x)

sen2 x1 + cos x

sen2 x1 + cos x

√ex – 1√ex – 1

2t2 + 1

2t2

t2 + 12t

t2 + 1√ex – 1

2tt2 + 1

√ex – 1

√ex – 1


S

34 Determina la función f (x) sabiendo que:

f ''(x) = x ln x, f '(1) = 0 y f (e) =

f ' (x) = ∫ x ln x dx

Integramos por partes:

f ' (x) = ln x – ∫ dx = ln x – + k = (ln x – ) + k

f ' (1) = (– ) + k = – + k = 0 ⇒ k =

f ' (x) = (ln x – ) +

f (x) = ∫ [ (ln x – ) + ] dx = ∫ (ln x – ) dx + x

I

I = (ln x – ) – ∫ dx = (ln x – ) – + k

Por tanto:

f (x) = (ln x – ) – + x + k

f (e) = – + + k = + + k = ⇒ k = –

f (x) = (ln x – ) – + x – e3

3614

x3

1812

x3

6

e3

36e4

e4

e3

36e4

e3

18e3

12

14

x3

1812

x3

6

x3

1812

x3

6x2

612

x3

6

1 1u = (ln x – —) → du = — dx

2 xx2 x3

dv = — dx → v = —2 6

14

12

x2

214

12

x2

2

14

12

x2

2

14

14

12

12

12

x2

2x2

4x2

2x2

x2

2

1u = ln x → du = — dx

xx2

dv = x dx → v = —2

e4


S

35 Calcula la expresión de una función f (x) tal que f'(x) = x e–x2

y que f(0) = .

f (x) = ∫ x e–x2dx = – ∫ –2x e–x2

dx = – e–x2+ k

f (0) = – + k = ⇒ k = 1

Por tanto: f (x) = – e–x2+ 1

36 Encuentra la función derivable f : [–1, 1] → Á que cumple f (1) = –1 y

f ' (x) =

• Si x ≠ 0:

f (x) =

• Hallamos k y c teniendo en cuenta que f (1) = –1 y que f (x) ha de ser con-tinua en x = 0.

f (1) = –1 ⇒ e – 1 + c = –1 ⇒ c = –e

f (x) = k

f (x) = 1 – e

Por tanto: f (x) =

37 De una función derivable se sabe que pasa por el punto A(–1, –4) y que suderivada es:

f '(x) =

a) Halla la expresión de f (x).

b) Obtén la ecuación de la recta tangente a f (x) en x = 2.

a) Si x ≠ 1:

f (x) = x2

2x – — + k si x < 12

ln x + c si x > 1

2 – x si x ≤ 11/x si x > 1

x3— – x2 + 1 – e si –1 ≤ x < 03

ex – x – e si 0 ≤ x ≤ 1

límx → 0+

límx → 0–

x3— – x2 + k si –1 ≤ x < 03

ex – x + c si 0 < x ≤ 1

x2 – 2x si –1 ≤ x < 0ex – 1 si 0 ≤ x ≤ 1

12

12

12

12

12

12


k = 1 – e

S

S

S

Hallamos k y c teniendo en cuenta que f (–1) = –4 y que f (x) ha de ser con-tinua en x = 1.

f (–1) = – + k = –4 ⇒ k = –

f (x) = – = 0

f (x) = c

Por tanto: f (x) =

b) f (2) = ln 2; f ' (2) =

La ecuación de la recta tangente será: y = ln 2 + (x – 2)

38 Calcula:

a) ∫ 1 – x dx b) ∫ (3 + x )dx c) ∫ 2x – 1 dx d) ∫ – 2 dx

a) ∫ 1 – x dx

1 – x =

f (x) = ∫ 1 – x dx =

En x = 1, la función ha de ser continua:

f (x) = + k

f (x) = – + c

Por tanto:

∫ 1 – x dx =

x2x – — + k si x < 1

2x2

–x + — + 1 + k si x ≥ 12

12

límx → 1+

12

límx → 1–

x2x – — + k si x < 1

2x2

–x + — + c si x ≥ 12

1 – x si x < 1

–1 + x si x ≥ 1

x2

12

12

x2 32x – — – — si x < 1

2 2ln x si x ≥ 1

límx → 1+

32

32

límx → 1–

32

52


c = 0

+ k = – + c ⇒ c = 1 + k12

12

S

b) ∫ (3 + x )dx

3 + x =

f (x) = ∫ (3 + x )dx =

En x = 0, f (x) ha de ser continua:

f (x) = k

f (x) = c

Por tanto:

∫ (3 + x )dx =

c) ∫ 2x – 1 dx

2x – 1 =

f (x) = ∫ 2x – 1 dx =

f (x) ha de ser continua en x = :

f (x) = + k

f (x) = – + c

Por tanto:

∫ 2x – 1 dx =

1–x2 + x + k si x < —

21 1

x2 – x + — + k si x ≥ —2 2

14

límx → (1/2)+

14

límx → (1/2)–

12

1–x2 + x + k si x < —

21

x2 – x + c si x ≥ —2

–2x + 1 si x < 1/2

2x – 1 si x ≥ 1/2

x23x – — + k si x < 0

2x2

3x + — + k si x ≥ 02

límx → 0+

límx → 0–

x23x – — + k si x < 0

2x2

3x + — + c si x ≥ 02

3 – x si x < 0

3 + x si x ≥ 0


c = k

+ k = – + c ⇒ c = + k12

14

14

d) ∫ – 2 dx

– 2 =

f (x) = ∫ – 2 dx =

f (x) ha de ser continua en x = 4:

f (x) = 4 + k

f (x) = –4 + c

Por tanto:

∫ – 2 dx =

39 Calcula ∫ dx.

∫ dx = ∫ dx =

= ∫ dx + ∫ dx =

= ∫ dx + ∫ dx = tg x – cotg x + k


40 Prueba que, si F (x) es una primitiva de f (x) y C un número real cual-quiera, la función F(x) + C es también una primitiva de f (x).

F (x) primitiva de f (x) ⇔ F ' (x) = f (x)

(F (x) + C)' = F ' (x) = f (x) ⇒ F (x) + C es primitiva de f (x).

1sen2 x

1cos2 x

cos2 xsen2 x cos2 x

sen2 xsen2 x cos2 x

sen2 x + cos2 xsen2 x cos2 x

1sen2 x cos2 x

1sen2 x cos2 x

x2–— + 2x + k si x < 4

4x2— – 2x + 8 + k si x ≥ 44

x2

límx → 4+

límx → 4–

x2–— + 2x + k si x < 4

4x2— – 2x + c si x ≥ 44

x2

x– — + 2 si x < 4

2x— – 2 si x ≥ 42

x2

x2


4 + k = –4 + c ⇒ c = 8 + k

S

41 Representa tres primitivas de la función f cuya gráfica esesta:

f (x) = 2 ⇒ F (x) = 2x + k

Por ejemplo:

F1(x) = 2x

F2(x) = 2x + 1

F3(x) = 2x – 1

cuyas gráficas son:

42 Representa tres primitivas de la función f :

f (x) = 2x ⇒ F (x) = x2 + k

Por ejemplo:

F1(x) = x2

F2(x) = x2 + 1

F3(x) = x2 – 1

cuyas gráficas son:

43 Sabes que una primitiva de la función f (x) = es F (x) = ln x . ¿Por quése toma el valor absoluto de x?

f (x) = está definida para todo x ≠ 0; y es la derivada de la función:

F (x) =

es decir, de F (x) = ln|x|.

44 En una integral hacemos el cambio de variable ex = t. ¿Cuál es la expresiónde dx en función de t ?

ex = t → x = ln t → dx = dt1t

ln x si x > 0

ln (–x) si x < 0

1x

1x


f2

F1F2

F32

1

1 2 3

–1

4

2

1 2–1

3

1

5

6

7

8

3 4–4 –3 –2 –1

f

2

1

1

45 Comprueba que: ∫ dx = ln sec x + tg x + k

Tenemos que probar que la derivada de f (x) = ln|sec x + tg x|+ k es f '(x) = .

Derivamos f (x) = ln + k:

f ' (x) = = =

= =

46 Comprueba que: ∫ dx = ln tg x + k

Tenemos que comprobar que la derivada de la función f (x) = ln|tg x| + k es

f ' (x) = .

Derivamos f (x):

f ' (x) = = =

47 Sin utilizar cálculo de derivadas, prueba que:

F (x) = y G(x) =

son dos primitivas de una misma función.

Si F (x) y G (x) son dos primitivas de una misma función, su diferencia es unaconstante. Veámoslo:

F (x) – G (x) = – ( ) = = 1

Por tanto, hemos obtenido que: F (x) = G (x) + 1

Luego las dos son primitivas de una misma función.

48 Sean f y g dos funciones continuas y derivables que se diferencian en unaconstante. ¿Podemos asegurar que f y g tienen una misma primitiva?

No. Por ejemplo:

f (x) = 2x + 1 → F (x) = x2 + x + k

g (x) = 2x + 2 → G (x) = x2 + 2x + c

1 + x4

1 + x4–x4

1 + x41

1 + x4

–x4

1 + x41

1 + x4

1sen x cos x

1/cos2 xsen x/cos x

1/cos2 xtg x

1sen x cos x

1sen x cos x

1cos x

1 + sen x(1 + sen x) cos x

cos2 x + sen x + sen2 xcos x

1 + sen x

cos2 x + sen x (1 + sen x)cos2 x

1 + sen xcos x

1 + sen xcos x

1cos x

1cos x


f (x) y g (x) son continuas, derivables y se diferencian en una constante (puesf (x) = g (x) – 1).

Sin embargo, sus primitivas, F (x) y G (x) respectivamente, son distintas, cuales-quiera que sean los valores de k y c.

Página 353

PARA PROFUNDIZAR

49 Para integrar una función cuyo denominador es un polinomio de segundogrado sin raíces reales, distinguiremos dos casos:

a) Si el numerador es constante, transformamos el denominador para obte-ner un binomio al cuadrado. La solución será un arco tangente:

∫ = ∫(Completa la resolución).

b) Si el numerador es de primer grado, se descompone en un logaritmo ne-periano y un arco tangente:

∫ = ∫ dx = ∫ dx + ∫(Completa su resolución).

a) ∫ = ∫ = arc tg (x + 2) + k

b) ∫ = ∫ dx = ∫ dx + ∫ =

= ln (x2 + 2x + 3) + 4∫ =

= ln (x2 + 2x + 3) + 2∫ =

= ln (x2 + 2x + 3) + 2 ∫ =

= ln (x2 + 2x + 3) + 2 arc tg ( ) + kx + 1

√2√21

2

(1/√—2 ) dx

x + 1(—)2 + 1

√212

dxx + 1(—)2 + 1√

—2

12

dx(x + 1)2 + 2

12

8 dxx2 + 2x + 3

12

2x + 2x2 + 2x + 3

12

2x + 10x2 + 2x + 3

12

(x + 5)dxx2 + 2x + 3

dx(x + 2)2 + 1

dxx2 + 4x + 5

8 dxx2 + 2x + 3

12

2x + 2x2 + 2x + 3

12

2x + 10x2 + 2x + 3

12

(x + 5)dxx2 + 2x + 3

dx(x + 2)2 + 1

dxx2 + 4x + 5


50 Observa cómo se resuelve esta integral:

I = ∫ dx

x3 + 2x2 + 3x = x (x2 + 2x + 3)

La fracción se descompone así: = +

Obtenemos: A = , B = – , C =

Sustituimos: I = ∫ dx – ∫ dx

(Completa su resolución).

Completamos la resolución:

I = ∫ dx – ∫ dx =

= ln|x| – ∫ dx = ln|x| – ∫ dx =

= ln|x| – ∫ dx + ∫ =(*)

= ln|x| – ln (x2 + 2x + 3) + arc tg ( ) + k

(*) (Ver en el ejercicio 49 apartado b) el cálculo de ∫ ).51 Resuelve las siguientes integrales:

a) ∫ dx b) ∫ dx c) ∫ dx

d) ∫ dx e) ∫ dx f) ∫☛ e) Multiplica numerador y denominador por 4.

a) ∫ dx = ∫ dx

Descomponemos la fracción:

= + =

2x – 1 = A(x2 + 1) + Bx2 + Cx

A(x2 + 1) + Bx2 + Cxx (x2 + 1)

Bx + Cx2 + 1

Ax

2x – 1x (x2 + 1)

2x – 1x (x2 + 1)

2x – 1x3 + x

dx(x + 1)2 (x2 + 1)

2x2 + 3x + 4

2x + 10x2 + x + 1

x2 + 3x + 8x2 + 9

1x3 + 1

2x – 1x3 + x

dxx2 + 2x + 3

x + 1

√2

√23

16

13

dxx2 + 2x + 3

23

2x – 2x2 + 2x + 3

16

13

2x + 2 – 4x2 + 2x + 3

16

13

2x – 2x2 + 2x + 3

16

13

x – 1x2 + 2x + 3

13

1x

13

x – 1x2 + 2x + 3

13

1x

13

13

13

13

Bx + Cx2 + 2x + 3

Ax

x + 1x3 + 2x2 + 3x

x + 1x3 + 2x2 + 3x


Hallamos A, B y C :

Por tanto:

∫ dx = ∫ ( + ) dx =

= ∫ dx + ∫ dx + 2∫ =

= – ln|x| + ln(x2 + 1) + 2 arc tg x + k

b) ∫ dx = ∫Descomponemos la fracción:

= + =

=

1 = A(x2 – x + 1) + Bx (x + 1) + C (x + 1)

Hallamos A, B y C :

Por tanto:

∫ dx = ∫ dx + ∫ dx =

= ln|x + 1| – ∫ dx =

= ln|x + 1| – ∫ dx =

= ln|x + 1| – ∫ dx =

= ln|x + 1| – ∫ dx + ∫ =dxx2 – x + 1

12

2x – 1x2 – x + 1

16

13

2x – 1 – 3x2 – x + 1

16

13

2x – 4x2 – x + 1

16

13

x – 2x2 – x + 1

13

13

1 2– —x + —3 3

x2 – x + 1–1/3x + 1

1x3 + 1

x = –1 → 1 = 3A → A = 1/3

x = 0 → 1 = A + C → C = 2/3

x = 1 → 1 = A + 2B + 2C → B = –1/3

A(x2 – x + 1) + Bx (x + 1) + C (x + 1)(x + 1)(x2 – x + 1)

Bx + Cx2 – x + 1

Ax + 1

1(x + 1)(x2 – x + 1)

dx(x + 1)(x2 – x + 1)

1x3 + 1

12

dxx2 + 1

2xx2 + 1

12

–1x

x + 2x2 + 1

–1x

2x – 1x3 + x

A = –1

B = 1

C = 2

x = 0 → –1 = A

x = 1 → 1 = 2A + B + C → 3 = B + C

x = –1 → –3 = 2A + B – C → –1 = B – C


= ln|x + 1| – ln(x2 – x + 1) + ∫ =

= ln|x + 1| – ln(x2 – x + 1) + ∫ dx =

= ln|x + 1| – ln(x2 – x + 1) + ∫ dx =

= ln|x + 1| – ln(x2 – x + 1) + arc tg ( ) + k

c) ∫ dx = ∫ (1 + ) dx = x + ∫ dx – ∫ =

= x + ∫ dx – ∫ dx =

= x + ln (x2 + 9) – arc tg ( ) + k

d) ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx + 9∫ dx =

= ln (x2 + x + 1) + 9∫ =

= ln (x2 + x + 1) + 6 ∫ dx =

= ln (x2 + x + 1) + 6 arc tg ( ) + k

e) ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx =

= ∫ dx = · ∫ dx =

= arc tg ( ) + k2x + 3

√7

4√77

2/√—7

2x + 3(—)2 + 1√

—7

√72

87

8/72x + 3(—)2 + 1

√—7

8(2x + 3)2 + 7

84x2 + 12x + 16

2x2 + 3x + 4

2x + 1

√3√3

2/√—3

2x + 1(—)2 + 1√

—3

√3

dx1 3(x + —)2 + —2 4

1x2 + x + 1

2x + 1x2 + x + 1

2x + 1 + 9x2 + x + 1

2x + 10x2 + x + 1

x3

13

32

1/9(x/3)2 + 1

2xx2 + 9

32

dxx2 + 9

3xx2 + 9

3x – 1x2 + 9

x2 + 3x + 8x2 + 9

2x – 1

√3

√33

16

13

2/√—3

2x – 1(—)2 + 1√

—3

√33

16

13

4/32x + 1(—)2 + 1

√—3

12

16

13

dx1 3(x – —)2 + —2 4

12

16

13


f ) ∫Descomponemos la fracción:

= + +

1 = A(x + 1)(x2 + 1) + B(x2 + 1) + Cx (x + 1)2 + D (x + 1)2

Hallamos A, B, C y D:

Por tanto:

∫ = ∫ ( + – · ) dx =

= ln|x + 1| – – ln (x2 + 1) + k


52 Se llama ecuación diferencial de primer orden a una ecuación en la que, ade-más de las variables x e y, figura también y'. Resolver una ecuación dife-rencial es buscar una función y = f (x) que verifique la ecuación propuesta.

Por ejemplo, la ecuación x y2 + y' = 0 se resuelve así:

y' = –x y2 → = –x y2 → dy = –x y2 dx

Separamos las variables:

= –x dx → ∫ = ∫ (–x) dx

– = – + k → y =

Hay infinitas soluciones.

Busca la solución que pasa por el punto (0, 2) y comprueba que la curva queobtienes verifica la ecuación propuesta.

• Buscamos la solución que pasa por el punto (0, 2):

y = → 2 = ⇒ –4k = 2 ⇒ k =

Por tanto: y = 2x2 + 1

–12

2–2k

2x2 – 2k

2x2 – 2k

x2

21y

dyy2

dyy2

dydx

14

12(x + 1)

12

xx2 + 1

12

1/2(x + 1)2

1/2x + 1

dx(x + 1)2 (x2 + 1)

A = 1/2B = 1/2C = –1/2D = 0

x = –1 → 1 = 2B → B = 1/2x = 0 → 1 = A + B + Dx = 1 → 1 = 4A + 2B + 4C + 4Dx = –2 → 1 = –5A + 5B – 2C + D

Cx + Dx2 + 1

B(x + 1)2

Ax + 1

1(x + 1)2 (x2 + 1)

dx(x + 1)2 (x2 + 1)


• Comprobamos que verifica la ecuación xy2 + y ' = 0:

xy2 + y ' = x ( )2 – = x · – =

= – = 0

53 Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) y y' – x = 0 b) y2 y' – x2 = 1 c) y' – x y = 0

d) y' – y = 0 e) y' ey + 1 = ex f) x2 y' + y2 + 1 = 0

a) yy' – x = 0

y ' = ⇒ = ⇒ y dy = x dx ⇒ ∫ y dy = ∫ x dx

= + k ⇒ y2 = x2 + 2k

b) y2 y' – x2 = 1

y' = ⇒ = ⇒ y2 dy = (1 + x2) dx

∫ y2 dy = ∫ (1 + x2) dx ⇒ = x + + k ⇒

⇒ y3 = 3x + x3 + 3k ⇒ y =

c) y' – x y = 0

y' = xy ⇒ = xy ⇒ = x dx ⇒ ∫ = ∫ x dx

ln|y| = + k ⇒ |y| = e (x 2/2) + k

d) y' – y = 0

y' = ⇒ = ⇒ = ⇒ ∫ = ∫ln|y| = 2 + k ⇒ |y| = e2 + k

e) y' ey + 1 = ex

y' = ⇒ =

ey dy = (ex – 1) dx ⇒ ∫ ey dy = ∫ (ex – 1) dx

ey = ex – x + k ⇒ y = ln (ex – x + k)

ex – 1ey

dydx

ex – 1ey

√x√x

dx

√x

dyy

dx

√x

dyy

y

√x

dydx

y

√x

√x

x2

2

dyy

dyy

dydx

3√3x + x3 + 3k

x3

3y3

3

1 + x2

y2

dydx

1 + x2

y2

x2

2y2

2

xy

dydx

xy

√x

4x(x2 + 1)2

4x(x2 + 1)2

4x(x2 + 1)2

4(x2 + 1)2

4x(x2 + 1)2

2x2 + 1


f ) x2 y' + y2 + 1 = 0

y' = ⇒ = ⇒ = dx

∫ = ∫ dx ⇒ arc tg y = + k

y = tg ( + k)1x

1x

–1

x2

dy

1 + y2

–1

x2

dy

1 + y2

–(1 + y2)

x2

dydx

–1 – y2

x2


Unidad 14. La integral definida. Aplicaciones 1

Página 354

Dos trenes

Un Talgo y un tren de mercancías salen de la misma estación, por la misma víay en idéntica dirección, uno tras otro, casi simultáneamente.

Éstas son las gráficas TIEMPO - VELOCIDAD de ambos movimientos.

Como podemos ver en la gráfica, el Talgo, a las dos horas, reduce su velocidad:

¿A qué puede deberse?

¿Por qué no aminora la marcha también el otro tren?

A las tres horas ambos trenes modifican su marcha: el Talgo para durante brevesminutos, mientras que el de mercancías va muy despacio durante media hora.

■ Para hacernos una idea clara de estos movimientos, realicemos algunoscálculos:

a) El Talgo, durante 2 h, va a 120 km/h. ¿Cuántos kilómetros recorre a esa velo-cidad?

b)De 2 a 2 , el Talgo disminuye su velocidad. ¿Cuántos kilómetros reco-

rre a esa velocidad?

c) El tren de mercancías aminora la marcha a las 3 h. ¿Qué distancia ha recorridohasta ese momento?

d) ¿Qué distancia recorre el tren de mercancías durante la media hora en queva a baja velocidad?

14

LA INTEGRAL DEFINIDA.APLICACIONES

13

1 2 3 4

TIEMPO(en horas)

TALGO

MERCANCÍAS

120

100

80

60

40

20

VELOCIDAD(en km/h)


Haciendo los cálculos anteriores, podrás comprobar que:

Ambos trenes recorren 240 km a velocidad normal. Reducen la velocidaden el mismo lugar y recorren, así, otros 15 km (puede ser debido a obrasen la vía) y, a continuación, recupera cada cual su velocidad normal. (Esdecir, el tren de mercancías no frena cuando el Talgo, pero sí donde elTalgo.) Más adelante el Talgo para en una estación.

e) ¿A qué distancia de la estación de salida está esta otra en la que para el Talgo?

f ) Observa que en todos los cálculos que has realizado hasta ahora se hanobtenido áreas bajo las gráficas, roja o negra. Señala los recintos cuyasáreas has calculado y asigna a cada uno su área correspondiente.

a) 120 · 2 = 240 km.

b) A 60 km/h durante de hora, recorre = 15 km.

c) Ha ido a 80 km/h durante 3 horas, luego ha recorrido 80 · 3 = 240 km.

d) Va a 30 km/h durante hora, luego recorre 30 · = 15 km.

e) La parada la hace a las 3 horas; en este momento lleva recorrida una distancia de:

120 · 2 = 240 km en las dos primeras horas

60 · = 15 km el siguiente cuarto de hora

120 · = 90 km los siguientes tres cuartos de hora

Total: 240 + 15 + 90 = 345 km hasta llegar a la parada.

f)

34

14

12

12

604

14

1 2 3 4TIEMPO (horas)

TIEMPO (horas)

120

100

80

60

40

20

VELOCIDAD (km/h)

VELOCIDAD (km/h)

1 2 3 4

80

60

40

20

Área 240

Área 240

Área15

Área 90

Área 15

TALGO

MERCANCÍAS


Página 355

Consumo de energía eléctrica

La gráfica nos da la potencia eléctrica que hay en funcionamiento en una vi-vienda, a cada instante, entre las 7 de la mañana y las 12 de la noche.

El área bajo la curva es la energía consumida: potencia × tiempo = energía.

Un cuadrito equivale a 0,1 kW h

■ ¿Cuántos kW h se han consumido, aproximadamente, en esas 17 horas?

Hay 81,25 cuadritos, luego se han consumido:

0,1 · 81,25 = 8,125 kW h

Página 359

1. Halla gráficamente las siguientes integrales:

a) ∫2

6( + 1)dx b) ∫4

–4dx

a) Es un trapecio cuyas bases miden 2 y 4 y cuya al-tura mide 4.

Área = · 4 = 12 u2

b) y = ⇒ y2 = 16 – x2 ⇒ x2 + y2 = 42 (Circunferencia)

El recinto cuya área queremos calcular esmedio círculo de radio 4 u.

Área = · π · r2 = · π · 42 =

= · π = 8 · π = 25,1 u2162

12

12

√16 – x2

2 + 42

√16 – x2x2

4

24

x2

y = — + 1

–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

y = √—16 – x2

1

2

3

4

1000

500

100

POTENCIA(en watios)

7 8 10 12 14 16 18 20 22 24

TIEMPO(en horas)


2. Halla gráficamente las siguientes integrales:

a) ∫4

–4( + 4)dx b) ∫

4

–4(4 – )dx

a) ∫4

–4( + 4) dx = ∫

4

–4dx + ∫

4

–44 dx

Llamamos I1 = ∫4

–4dx e I2 = ∫

4

–44 dx.

Resolvemos gráficamente ambas integrales para posteriormente sumar los resultados.

I1: y = ⇒ y2 = 16 – x2 ⇒ x2 + y2 = 42 (circunferencia)

El recinto cuya área queremos calculares medio círculo de radio 4 u.

Área = · π · r2 = · π · 42 =

= · π = 8 · π = 25,1 u2

I2: Se trata de un rectángulo de dimen-siones 8 u × 4 u. Por tanto, su áreaes 32 u2.

Finalmente, I1 + I2 = 25,1 + 32 = 57,1 u2.

b) ∫4

–4(4 – ) dx = ∫

4

–44 dx – ∫

4

–4dx

Observamos que se trata de las mismas integrales que en el apartado a), solo queahora es I2 – I1, dando como resultado 32 – 25,1 = 6,9 u2.

Página 363

1. Sea la función: F (x) = ∫x

0log (t2 + 4)dt. Calcula F' (x).

F (x) = ∫x

0log (t2 + 4)dt = ∫

x

0f (t )dt, siendo f (t ) = log (t2 + 4) continua.

Por el teorema fundamental del cálculo:

F' (x) = f (x) = log (x2 + 4)

√16 – x2√16 – x2

162

12

12

√16 – x2

√16 – x2

√16 – x2√16 – x2

√16 – x2√16 – x2

–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

y = √—16 – x2

1

2

3

4

–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

y = 4

1

2

3

4


2. Calcula la siguiente integral: ∫π/2

0cos xdx

∫π/2

0cos x dx = [sen x]

0

π/2= sen – sen 0 = 1 – 0 = 1

Página 364

1. Calcula: ∫6

1(4x3 – 4x4 – 3) dx

I = [x4 – x5 – 3x]6

1= (64 – · 65 – 3 · 6) – (14 – · 15 – 3 · 1) =

= –4942,8 + 2,8 = –4940

2. Calcula: ∫1

0dx

I = [arc tg x]10

= arc tg 1 – arc tg 0 =

Observación: ∫a

0=

Página 366

1. Halla el área comprendida entre la función y = x3 – x2 – 6x y el eje X.

I. Hallamos las soluciones de la ecuación: x3 – x2 – 6x = 0

Son –2, 0 y 3.

II. f (x) = x3 – x2 – 6x. Buscamos su primitiva:

G (x) = ∫(x3 – x2 – 6x)dx = – – 3x2

III. G (–2) = , G (0) = 0, G (3) =

IV. G (0) – G (–2) =

G (3) – G (0) =

El área buscada es: + = u2

(Se incluye la gráfica para entender el proceso,pero es innecesaria para obtener el área).

25312

–634

163

–634

163

–634

–163

x3

3x4

4

π4a

dxx2 + a2

π4

11 + x2

45

45

45

π2

–4 –2 2 4

2

–2

–4

–6

–8

4

6

8

y = x3 – x2 – 6x


2. Halla el área comprendida entre las funciones y = x4 + x3 e y = x4 + x2 + 6x.

Se obtiene la función diferencia:

y = (x4 + x3) – (x4 + x2 + 6x) = x3 – x2 – 6x

Ahora se calcula el área comprendida entre esta fun-ción y el eje X, lo cual se ha hecho ya en el ejerci-cio anterior.

Por lo tanto, el área buscada es u2.

(También aquí es innecesaria la gráfica para obtenerel área buscada).

Página 367

1. Calcula el volumen de una esfera de radio 5 cm haciendo girar la semicircunferen-cia y = alrededor del eje X. ¿Qué límites de integración debes tomar?

V = π · ∫5

–5( )2 dx = π · ∫

5

–5(25 – x2)dx = π · [25x – ]5–5

= π · u3

Observación: El volumen del cuerpo engendrado por el círculo x2 + y2 = r2, al giraralrededor del eje X es:

V = π · r3 u3

Página 373


PARA PRACTICAR

1 Calcula el área comprendida entre la curva: y = 3x2 – x + 1, el eje X y lasrectas x = 0 y x = 4.

I. Calculamos las soluciones de la ecuación: 3x2 – x + 1 = 0

No tiene soluciones, por lo que no corta al eje X.

II. Buscamos una primitiva de f (x):

G (x) = ∫ (3x2 – x + 1)dx = x3 – + x

III. G (0) = 0, G (4) = 60

IV. G (4) – G (0) = 60

El área buscada es 60 u2.

x2

2

43

5003

x3

3√25 – x2

√25 – x2

25312

–4 –2 2 4

y = x4 + x2 + 6x

2

–2

–4

–6

4

6

8

y = x4 + x3


(La gráfica la hemosincluido para enten-der el proceso, peroes innecesaria paraobtener el área).

2 Calcula el área bajo la curva y = 3x – 2 entre x = –1 y x = 1.

I. Hallamos la solución de la ecuación 3x – 2 = 0. Es .

II. Ordenamos los extremos del intervalo y la raíz que hay entre ellos: –1, , 1.

III. Buscamos una primitiva de f (x):

G (x) = ∫ (3x – 2)dx = – 2x

IV. G (–1) = , G ( ) = , G (1) =

V. G ( ) – G (–1) = – =

G (1) – G ( ) = + =

El área buscada es: + = = u2.

(Se incluye la gráfica, aunque es innecesaria paraobtener su area).

3 Halla el área bajo la curva y = entre x = 0 y x = 4.

I. Buscamos la primitiva de la función f (x) = .

G (x) = ∫ dx = ·

II. G (0) = 0, G (4) = · 8 = 163

23

√x323

√x

√x

√x

133

266

16

–256

16

23

–12

23

–256

72

–23

23

–12

–23

23

72

3x2

2

23

23

10

20

30

40

50

1 2 3 4

y = 3x2 – x + 1

2

4

6

8

–8

–6

–4

–21 2 3 4

y = 3x – 2


III. G (4) – G (0) = – 0 =

El área buscada es: u2.

(Se incluye la gráfica, aunque es innecesariapara obtener el área).

4 Halla el área comprendida entre y = x2 – 5 e y = –x2 + 5.

I. Buscamos las soluciones de: x2 – 5 = –x2 + 5. Son – y .

Por tanto, estos van a ser nuestros límites de integración.

II. Se obtiene la función diferencia:

y = (–x2 + 5) – (x2 – 5) = –2x2 + 10

III. Buscamos su primitiva:

G (x) = ∫ (–2x2 + 10)dx = + 10x

IV. G(– ) = , G( ) =

V. G( ) – G(– ) = + =


(Se incluye la gráfica, aunque es innecesaria paraobtener el área).

5 Calcula el área comprendida entre las curvas dadas en cada uno de los ejer-cicios siguientes:

a) y = 4 – x2; y = 8 – 2x2 b) y = x2; y = 4 – x2

c) y = x3 – 3x2 + 3x; y = x d) y = x (x – 1) (x – 2); y = 0

e) y = x2; y = 1 f) y = x2 – 2x; y = –x2 + 4x

g) y = –x2 + 4x – 4; y = 2x – 7

a) I. Buscamos las soluciones de 4 – x2 = 8 – 2x2. Son –2 y 2.

Por tanto, estos van a ser nuestros límites de integración.

II. Calculamos la función diferencia:

y = (8 – 2x2) – (4 – x2) = 4 – x2

III. Calculamos su primitiva:

G (x) = ∫ (4 – x2)dx = 4x – x3

3

√5403

√5403

√5203

√5203

√5√5

√5203

√5√5–203

√5

–2x3

3

√5√5

163

163

163

1

2

1 2 3 4

y = √—x

2

4

–2–1–3 31 5

y = x2 + 5

y = –x2 + 5

S


IV. G (–2) = –8 + = –

G (2) = 8 – =

V. G (2) – G (–2) = – (– ) =


b) I. Buscamos las soluciones de la ecuación: x2 = 4 – x2.

Son – y (nuestros límites de integración).


y = (4 – x2) – x2 = 4 – 2x2


G (x) = ∫ (4 – 2x2)dx = 4x –

IV. G(– ) = , G ( ) =

V. G( ) – G(– ) = + =


(Se adjunta la gráfica, aunque es innecesaria para hallar el área).

c) I. Buscamos las soluciones de la ecuación: x3 – 3x2 + 3x = x. Son 0, 1 y 2.


y = (x3 – 3x2 + 3x) – x = x3 – 3x2 + 2x


G (x) = ∫ (x3 – 3x2 + 2x)dx = – x3 + x2x4

4

16√23

16√23

8√23

8√23

√2√2

8√23

√2–8√23

√2

2x3

3

√2√2

323

323

163

163

163

83

163

83

123456789

10

–1–2 0 1 2

y = 4 – x2

y = 8 – 2x2

1

2

3

4

5

–1–2 0 1 2

y = 4 – x2

y = x2


IV. G (0) = 0, G (1) = , G (2) = 0

G (1) – G (0) =

G (2) – G (1) =

El área buscada es: + = u2.

(La gráfica que se adjunta es paraentender mejor el ejercicio, pero esinnecesaria para obtener el área).

d) I. Buscamos las soluciones de: x · (x – 1) · (x – 2) = 0. Son 0, 1 y 2.


y = x · (x – 1) · (x – 2)


G (x) = ∫ x · (x – 1) · (x – 2)dx = – x3 + x2

Resulta que se trata del mismo ejercicio que el apartado c).


e) I. Buscamos las soluciones de la ecuación: x2 = 1. Son –1 y 1.


y = x2 – 1


G (x) = ∫ (x2 – 1)dx = – x

IV. G (–1) = , G (1) =

V. G (1) – G (–1) = – =

El área buscada es: = u2.

(Se adjunta la gráfica, aunque esinnecesaria para resolver el ejerci-cio).

43

–43

–43

23

–23

–23

23

x3

3

12

x4

4

12

–14

14

–14

14

14

1

2

0 1 2

y = x

y = x3 – 3x2 + 3x

1

–1 0 1

y = x2

S


f) I. Buscamos las soluciones de la ecuación: x2 – 2x = –x2 + 4x. Son 0 y 3.


y = (x2 – 2x) – (–x2 + 4x) = 2x2 – 6x


G (x) = ∫ (2x2 – 6x)dx = – 3x2

IV. G (0) = 0, G (3) = –9

V. G (3) – G (0) = –9

El área buscada es: |–9|= 9 u2.

(Se adjunta la gráfica, aunque esinnecesaria).

g) I. Buscamos las soluciones de: –x2 + 4x – 4 = 2x – 7. Son –1 y 3.


y = (–x2 + 4x – 4) – (2x – 7) = –x2 + 2x + 3.


G (x) = ∫ (–x2 + 2x + 3)dx = + x2 + 3x

IV. G (–1) = , G (3) = 9

V. G (3) – G (–1) = 9 + =


(Se adjunta la gráfica, aunque esinnecesaria para la resolución delejercicio).

6 Calcula el área de la región limitada por la curva y = (x – 1)2 (x + 1) y lasrectas y = 0, x = 2, x = 1.

I. Hallamos las soluciones de la ecuación: (x – 1)2 · (x + 1) = 0. Son –1 y 1.

II. Ordenamos los extremos del intervalo y las raíces que hay entre ellos: 1, 2.

III. Buscamos una primitiva de f (x):

G (x) = ∫ (x – 1)2 · (x + 1)dx = – – + xx2

2x3

3x4

4

323

323

53

–53

–x3

3

2x3

3 4

3

2

1

0

–1

–2

1 2 3

y = x2 + 2x

y = –x2 + 4x

1

–1

–2

–3

–4

–5

–6

–7

–8

–9

–10

10–1 2 3

y = 2x – 7

y = –x2 + 4x – 4


IV. G (1) = , G (2) =

V. G (2) – G (1) = – =

El área buscada es u2.

(Se adjunta la gráfica, aunque es in-necesaria para resolver el ejercicio).

7 Halla el área limitada por las parábolas y = x2 e y2 = x.

I. Buscamos las soluciones de la ecuación: x = x4. Son 0 y 1.


y = x2 –


G (x) = ∫ (x2 – )dx = –

IV. G (0) = 0, G (1) =

V. G (1) – G (0) = – 0 =

El área buscada es = u2.

(Se adjunta la gráfica, aunque no esnecesaria para la resolución del ejer-cicio).

8 Calcula el área de la región limitada por la curva y = y las rectas x = 2, x = 3, y = 0.

I. Hallamos la solución de = 0. Es 0.

II. Como esta solución se encuentra fuera del intervalo de integración, los extre-mos son 2 y 3.

III. Buscamos la primitiva de la función f (x) = , la cual es continua en di-cho intervalo:

G (x) = ∫ dx = · ln |x2 – 2|

IV. G (2) = · ln (2), G (3) = · ln (7)12

12

12

xx2 – 2

xx2 – 2

xx2 – 2

xx2 – 2

13

–13

–13

–13

–13

√x323

x3

3√x

√x

1112

1112

512

43

43

512

4

3

2

1

10 2

x = 2y = (x – 1)2 (x + 1)

1

0 1

y = x2

y = √—x

S


V. G (3) – G (2) = · [ln (7) – ln (2)]

El área buscada es:

· [ln (7) – ln (2)] u2.

(Se adjunta la gráfica, aunque es in-necesaria para la resolución del ejer-cicio).

9 Calcula el volumen engendrado al girar alrededor del eje X los recintos si-guientes:

a) f (x) = entre x = 1 y x = 5

b) f (x) = x2 entre x = –1 y x = 2

c) f (x) = x – x2 entre x = 0 y x = 1

a) V = π · ∫5

1( )2 dx = π · ∫

5

1(x – 1) dx = π [ – x]51 = 8π u3.

b) V = π · ∫2

–1(x2 )2 dx = π · ∫

2

–1x4 dx = π [ ] 2

1= π · u3.

c) V = π · ∫1

0(x – x2 )2 dx = π · ∫

1

0(x4 – 2x3 + x2) dx =

= π [ – + ]10 = u3.

10 Calcula el volumen engendrado al girar alrededor del eje X los recintos li-mitados por las gráficas que se indican:

a) f (x) = , g(x) = x2 b) y2 = 4x, x = 4

a) I. Buscamos las soluciones de la ecuación: = x2. Son 0 y 1.

Estos son nuestros límites de integración.


y = – x2

III.V = π · ∫1

0( – x2)2

dx = π∫1

0(x + x4 – 2x5/2)dx =

= π[ + – x7/2]10

= π u3

b) V = π · ∫4

0f (x)

2dx = π · ∫

4

0(4x)2dx = π · [8x2]4

0= 128π u3

970

47

x5

5x2

2

√x

√x

√x

√x

π30

x3

32x4

4x5

5

315

x5

5

x2

2√x – 1

√x – 1

12

12

1

0 321

y = —x2

x2 – 2

y = 0

x = 3

x = 2


11 Calcula: ∫π/4

0 sen x cos x dx

∫π/4

0 sen x · cos x dx = ∫0

/2t dt = [ ] 0

/2=

Aplicamos el siguiente cambio:

sen x = t; cos x · dx = dt

para x = 0; t = 0

para x = ; t =

12 Halla el valor de la integral definida de la función f (x) = – 3 cos (2πx)en el intervalo I = [0, 2].

∫2

0( – 3 · cos (2πx)) dx = [ln (x + 1) – ]20 =

= ln (3) – ln (1) = ln (3)

PARA RESOLVER

13 a) Dibuja la región limitada por la curva y = x (3 – x) y la recta y = 2x – 2.

b) Halla el área de la región descrita en el apartado anterior.

a)

b) I. Buscamos las soluciones de la ecuación: x · (3 – x) = 2x – 2. Son –1 y 2.


f (x) = x · (3 – x) – (2x – 2) = –x2 + x + 2

III.Calculamos su primitiva:

G (x) = ∫ (–x2 + x + 2)dx = + + 2xx2

2–x3

3

3 · sen (2πx)2 · π

1x + 1

1x + 1

√22

π4

14

t2

2

1

2

3

4

5

–1

–2

–3

–4

–5

0–1 1 2

y = x(3 – x)

y = 2x – 2

S

S

S


IV.G (–1) = , G (2) =

V. G (2) – G (–1) = + =

El área buscada es u2.

14 Dibuja el recinto plano limitado por la parábola y2 – x = 1 y por la recta pa-ralela a y = x que pasa por el punto (1, 0). Calcula el área de ese recinto.

I. Calculamos las soluciones de la ecuación: y2 – 1 = y + 1.

(Esta ecuación resulta de despejar la x en: y2 – x = 1; y = x – 1).

Sus soluciones son y = –1 y 2.


x = (y2 – 1) – (y + 1) = y2 – y – 2


G (y) = ∫ (y2 – y – 2) dy = – – 2y

IV. G (–1) = , G (2) =

V. G (2) – G (–1) = – =

El área buscada es = u2.

15 Comprueba que ∫2

0 2x – 1 dx = .

∫2

0|2x – 1| · dx = ∫0

1/2(–2x + 1) dx + ∫

2

1/2(2x – 1) dx =

= [–x2 + x]0

1/2+ [x2 – x]

2

1/2= + + 4 – 2 – + = 5

212

14

12

–14

52

92

–92

–92

76

–103

–103

76

y2

2y3

3

92

92

76

103

103

–76

2

3 X

Y

x = y2 – 1

x = y + 1


16 Halla el área limitada por la función y = 2x – x2 y sus tangentes en los pun-tos en los que corta al eje de abscisas.

I. Buscamos las soluciones de la ecuación: 2x – x2 = 0. Son 0 y 2.

II. Calculamos la derivada de f (x) = 2x – x2, que es f' (x) = 2 – 2x.

La tangente que pasa por (0, 0) tiene pendiente f' (0) = 2, por tanto es y = 2x.

La tangente que pasa por (2, 0) tiene pendiente f' (2) = –2, por tanto es y = –2x + 4.

III. Tenemos que distinguir dos intervalos de integración: entre 0 y 1 y entre 1 y 2.

La función diferencia en el primer intervalo es:

f1 (x) = 2x – (2x – x2) = x2

y en el segundo intervalo es:

f2 (x) = –2x + 4 – (2x – x2) = x2 – 4x + 4

IV. Sus primitivas son:

G1(x) = ∫ x2dx =

G1(x) = ∫ (x2 – 4x + 4)dx = – 2x2 + 4x

V. G1(0) = 0, G1(1) = , G1(1) – G1(0) =

G2(1) = , G2(2) = , G2(2) – G2(1) =


(Se adjunta la gráfica aunque no esnecesaria para resolver el ejercicio).

17 Dadas la hipérbola xy = 6 y la recta x + y – 7 = 0, calcula el área limitada por larecta y la hipérbola.

I. Buscamos las soluciones de la ecuación: 7 – x = . Son 1 y 6 (nuestros lí-mites de integración).


y = 7 – x – 6x

6x

23

13

13

13

83

73

13

13

x3

3

x3

3

3

2

1

10 2

y = –2x + 4 y = 2x

y = 2x – x2



G (x) = ∫ (7 – x – ) = 7x – – 6 · ln |x|

IV. G (1) = 7 – =

G (6) = 24 – 6 · ln (6)

V. G (6) – G (1) = 24 – 6 · ln (6) – = – 6 · ln (6)

El área buscada es:

– 6 · ln (6) u2.

(Se adjunta la gráfica, aunque no esnecesaria para resolver el ejercicio).

18 Calcula el área limitada por la curva y = x3 – 2x2 + x y la recta tangente aella en el origen de coordenadas.

I. Calculemos la ecuación de la recta tangente en el punto (0, 0), para ello calcu-lamos la derivada de nuestra función:

y' = 3x2 – 4x + 1

y' (0) = 1 (pendiente)

La recta tangente tiene por ecuación y = x.

II. Calculamos las soluciones de: x3 – 2x2 + x = x. Son 0 y 2 (límites de integración).

III. Obtenemos la función diferencia:

y = x3 – 2x2 + x – x = x3 – 2x2

IV. Buscamos su primitiva: G (x) = ∫ (x3 – 2x2)dx = –

V. G (0) = 0, G (2) =

G (2) – G (0) =

El área buscada es: = u2.

(Se adjunta la gráfica aunque no esnecesaria para la resolución del ejer-cicio).

43

–43

–43

–43

2x3

3x4

4

352

352

132

132

12

x2

26x

7

6

5

4

3

2

1

10 2 3 4 5

y = —6x

y = 7 – x

3

2

1

10 2

y = x3 – 2x2 + x

y = x


Página 374

19 Halla el área comprendida entre la curva y = , el eje de abscisas y

las rectas verticales que pasan por los puntos de inflexión de dicha curva.

I. Buscamos los puntos de inflexión, para ello, calculamos las dos primeras derivadas:

y' =

y'' =

Igualamos a cero para encontrar en qué valores de x la segunda derivada escero.

Esto ocurre en – y (puntos de inflexión).

II. Calculamos la primitiva de nuestra función:

G (x) = ∫ = · arc tg ( )III. G (– ) = · arc tg (– )

G ( ) = · arc tg ( )G ( ) – G (– ) = (arc tg ( ) – arc tg (– ))El área buscada es: (arc tg ( ) – arc tg (– ))(Se adjunta la gráfica, aunque es in-necesaria para la resolución del ejer-cicio).

20 Si f (x) = y g(x) = 1 – x :

a) Dibuja las dos gráficas en un mismo plano y halla sus puntos de intersec-ción.

b) Determina el área del recinto encerrado entre ambas gráficas.

√33

√33

2√23

√33

√33

2√23

√62

√62

√33

2√23

√62

√33

2√23

√62

√2x3

2√23

49 + 2x2

√62

√62

–16 · (9 + 2x2 – 8x2)(9 + 2x2)3

–16x(9 + 2x2)2

49 + 2x2

0–3 1 2 3–2 –1

y = —49 + 2x2

y = – —√—62

y = —√—62

S

S


a) g (x) = |1 – x|=

Buscamos los puntos de intersecciónresolviendo la siguiente ecuación:

= (1 – x)

Sus soluciones son y 2. (Límites de integración).

b) Tenemos que distinguir dos intervalos de integración: a 1 y 1 a 2.

I. La función diferencia en el primer intervalo es:

h1(x) = – (1 – x)

La función diferencia en el segundo intervalo es:

h2(x) = – (x – 1)

II. Sus primitivas son:

H1(x) = ∫ ( + x – 1) = ( )3 + – x

H2(x) = ∫ ( – x + 1) = ( )3 – + x

III. H1( ) = – ; H1(1) = = –

H2(1) = + , H2(2) =

IV. H1(1) – H1( ) = – +

H2(2) – H2(1) = – –

El área buscada es – + + – – = u2.1324

12

√23

43

524

12

√23

12

√23

43

524

12

√23

12

43

12

√23

12

√23

2√2 – 36

524

12

x2

243

x2

243

12

12

1 – x, si x ≤ 1

x – 1, si x > 1

1

1 X

Y

2

g(x) = |1 – x|

f(x) = √——x2

S


21 Se considera la función:

g(x) =

Representa la función g y calcula el valor de las siguientes integrales defi-nidas:

I = ∫1

–2g(x)dx J = ∫

4

1g(x)dx K = ∫

4

–2g(x)dx

I = ∫1

–2g (x) dx = ∫

0

–2x2 dx + ∫

1

02x dx = [ ] 0

–2

+ [x2]10

= + 1 =

J = ∫4

1g (x) dx = ∫

2

12x dx + ∫

4

2(10 – 3x) dx = [x2]2

1+ [10x – ] 4

2

= 5

K = ∫4

–2g (x) dx = I + J = + 5 =

22 Dibuja el recinto comprendido entre las gráficas de las funciones y = , y = x, y = 8x, y halla su área.

I. Buscamos los puntos de intersección de las funciones:

= x: Solución x = 1.

= 8x: Solución x = .

x = 8x: Solución x = 0.

12

1x2

1x2

1x2

263

113

3x2

2

113

83

x3

3

x2 si –2 ≤ x < 02x si 0 ≤ x < 210 – 3x si 2 < x ≤ 4

2

4

–2

2 X

Y

–2 4

y =

2x

y = 10 – 3xy = x2

10

4

23

5

–1–2–3–4–5

1 2

y = 8x

y = x

y = —1x2

S


Tenemos dos intervalos de integración: de 0 a y de a 1.

II. Hallamos la función diferencia en el primer intervalo:

f1 (x) = 8x – x

Y en el segundo intervalo:

f2(x) = – x

III. Buscamos sus primitivas:

G1(x) = ∫ (8x – x)dx =

G2(x) = ∫ ( – x)dx = –

IV. G1(0) = 0, G1( ) =

G2( ) = , G2( 1 ) =

V. G1( ) – G1(0) =

G2( 1 ) – G2( ) =

El área buscada es + = = u2.

23 Calcula el área del recinto plano limitado por la curva y = x2 ex y las rectasx = 0 y x = 5.

Buscamos una primitiva a nuestra función:

G (x) = ∫ x2 · ex dx = (x2 – 2x + 2) · ex

(aplicando el método de integración por partes).

G (0) = 2

G (5) = 17 · e5

G (5) – G (0) = 17 · e5 – 2

El área buscada es (17 · e5 – 2) u2.

(Se adjunta la gráfica, aunque no esnecesaria para resolver el ejercicio).

32

128

78

58

58

12

78

12

–32

–178

12

78

12

x2

2–1x

1x2

7x2

2

1x2

12

12

500

1000

0 1 2 3 4 5

y = x2ex

y = 5

S


24 Halla el polinomio de segundo grado que pasa por los puntos (0, 1) y (3, 0),sabiendo que el área limitada por esa curva, el eje Y y el eje X positivo es4/3.

Como el polinomio pasa por los puntos (0, 1) y (3, 0), una raíz es x = 3, portanto: y = (x – 3) · (ax – b)

Por otro lado, cuando x = 0, y = 1, así: 1 = –3 · (–b) = 3b, b =

Quedando: y = (x – 3) · (ax – )Puesto que pasa por los puntos indicados y está limitado por los ejes X e Y (po-sitivos), los límites de integración son 0 y 3.

Así, buscamos la primitiva del polinomio:

G (x) = ∫ (x – 3) · (ax – )dx = – 3a – x2 + x

G (0) = 0

G (3) = 9a – a – + 3

G (3) – G (0) = 9a – a – + 3 =

De donde sacamos que a =

Por tanto, el polinomio es: y = (x – 3) · ( x – )25 Dada la curva y = x2 + 2x + 2, halla el área limitada por la curva, la recta

tangente en el punto donde la función tiene un extremo y la tangente a lacurva con pendiente 6.

Buscamos el punto donde la curva tiene un extremo, hallando su derivada e igua-lando a cero: y' = 2x + 2 = 0, el punto es (–1, 1).

La ecuación de la recta tangente en dicho punto es y = 1.

Por otro lado, la ecuación de la recta tangente con pendiente 6 es y = 6x – 2.

Buscamos los puntos de corte de la curva con ambas rectas, de y = x2 + 2x + 2con y = 1 es (–1, 1); de y = x2 + 2x + 2 con y = 6x – 2 es (2, 10); y de y = 1

con y = 6x – 2 es ( , 1).Distinguimos dos intervalos de integración: de –1 a y de a 2.

En el primer intervalo la función diferencia es:

f1(x) = x2 + 2x + 2 – 1 = x2 + 2x + 1

12

12

12

13

127

127

43

96

272

96

272

16

x2

2ax3

313

13

13

S

S

S


En el segundo:

f2(x) = x2 + 2x + 2 – (6x – 2) = x2 – 4x + 4

Buscamos sus primitivas:

G1(x) = + x2 + x

G2(x) = – 2x2 + 4x

G1(–1) = , G1( ) =

G2( ) = , G2(2) =

G1( ) – G1(–1) = + =

G2(2) – G2( ) = – =


26 De la función f(x) = ax3 + bx2 + cx + d se sabe que tiene un máximo relativo

en x = 1, un punto de inflexión en (0, 0) y que ∫1

0f (x)dx = .

Calcula a, b, c y d.

Sabemos que pasa por el punto (0, 0), es decir, f (0) = 0, de donde averiguamosque d = 0.

Por otro lado, sabemos que tiene un máximo relativo en x = 1, esto es que f' (1) = 0,es decir: 3a + 2b + c = 0.

También tiene un punto de inflexión en (0, 0), por lo que f''(0) = 0, de donde b = 0.

Como 3a + 2b + c = 0 y b = 0, se tiene que 3a + c = 0 → c = –3a.

Así, nuestra función queda reducida a la función: f (x) = ax3 – 3ax.

54

94

98

98

98

3724

83

12

98

13

1924

12

83

3724

12

1924

12

–13

x3

3

x3

3

65

9

78

10

4321

11/2 2

y = 6x – 2

0–1

y = 1

y = x2 + 2x + 2

S


Buscamos su primitiva:

G(x) = –

G(0) = 0, G(1) = – = –

G(1) – G(0) = –

El resultado es – que es igual a , de donde deducimos que a = –1 y por

tanto c = 3.

La función buscada es f (x) = –x3 + 3x.

27 Teniendo en cuenta que la función f (x) = 2x3 – 3x2 + k toma valores positi-vos y negativos, halla el valor de k de forma que el área de la región limita-da por el eje X, las rectas x = –1, x = 2 y la curva f (x) quede dividida porel eje X en dos partes con igual área.

Supongamos que x = a comprendido entre –1 y 2 es el punto donde nuestrafunción corta al eje X, por tanto tenemos que distinguir dos intervalos de integra-ción: de –1 a a y de a a 2.

Buscamos una primitiva de nuestra función:

G (x) = –x3 + kx = – x3 + kx

G (–1) = – k

G (2) = 2k

Si suponemos que en el primer intervalo la función es negativa, el área es:

G (–1) – G (a)

y si en el segundo intervalo la función es positiva, el área es:

G (2) – G (a)

Y como el área en los dos intervalos tiene que ser igual, se tiene la siguiente igualdad:

G (–1) – G (a) = G (2) – G (a)

es decir:

G (–1) = G (2)

– k = 2k

k =

Observar que se obtiene el mismo resultado independientemente de qué intervaloconsideremos en el que la función es positiva o negativa.

12

32

32

x4

22x4

4

54

5a4

5a4

5a4

3a2

a4

3ax2

2ax4

4


28 Se consideran las curvas y = x2 e y = a, donde 0 < a < 1. Ambas curvas secortan en el punto (x0, y0) con abscisa positiva. Halla a sabiendo que elárea encerrada entre ambas curvas desde x = 0 hasta x = x0 es igual a laencerrada entre ellas desde x = x0 hasta x = 1.

El punto de corte es ( , a).Dibujamos las áreas para tener una ideamás clara de nuestro ejercicio:

Tenemos dos intervalos de integración: de 0 a y de a 1.

La función diferencia para el primer intervalo es:

f1(x) = a – x2

Su primitiva es:

G1(x) = ax –

G1(0) = 0, G1( ) = a – =

El área en el primer intervalo es u2.


f2(x) = x2 – a

Su primitiva es:

G2(x) = – ax

G2( ) = – a , G2(1) = – a

G2(1) – G2( ) = – a +

El área en el segundo intervalo es – a + u2.

Como el área en los dos intervalos es igual, se tiene que:

= – a +

De donde obtenemos que a = 13

2a√a3

13

2a√a3

2a√a3

13

2a√a3

13

√a

13

√aa√a3

√a

x3

3

2a√a3

2a√a3

a√a3

√a√a

x3

3

√a√a

√a

1

1 X

Y

y = a

y = x2

√—a

a

S

S


29 Sean y = ax2 e y = ax + a las ecuaciones de una parábola p y de una rectar, respectivamente. Demuestra las siguientes afirmaciones:

a) Los puntos de corte de p y r no dependen del valor de a.

b) Si se duplica el valor de a, también se duplica el área encerrada entre p y r.

a) Los puntos de corte se obtienen al igualar ambas ecuaciones:

ax2 = ax + a

ax2 – ax – a = 0

a · (x2 – x – 1) = 0

Como suponemos a ≠ 0, para que sean ciertamente una parábola y una recta,dividiendo toda la ecuación entre a, llegamos a:

x2 – x – 1 = 0

y sus soluciones son: y (las cuales no dependen de a).

b) La función diferencia es: f (x) = ax + a – ax2 = a · (–x2 + x + 1)

Si llamamos h (x) = –x2 + x + 1, se tiene que: f1(x) = a · h (x)

y la primitiva de f (x) es a por la primitiva de h (x), es decir:

G1(x) = a · H (x)

El área comprendida es por tanto:

G1( ) – G1( ) = a · (H ( ) – H ( )) u2.

Si duplicamos a, se tiene que la función diferencia es ahora:

f2(x) = 2a · h (x)

y su primitiva:

G2(x) = 2a · H (x)

Por lo que el área comprendida es:

G2( ) – G2( ) = 2a · (H ( ) – H ( )) u2.

30 Halla el volumen del cuerpo limitado por la elipse + y2 = 1 al dar unavuelta completa alrededor de OX.

V = π · ∫5

–5( )2

dx = π · ∫5

–5(1 – ) dx =

= π · [x – ] 5

–5

= u3.20π3

x3

75

x2

25

x2

25

1 – √52

1 + √52

1 – √52

1 + √52

1 – √52

1 + √52

1 – √52

1 + √52

1 – √52

1 + √52

S


31 Calcula el área limitada por f (x) = , el eje X y las rectas x = a y

x = b, siendo a y b las abscisas del máximo y el mínimo de f.

La función corta al eje X en x = 0.

Por otro lado, tiene un mínimo en x = –2 y un máximo en x = 2.

Tenemos que distinguir entre dos intervalos: de –2 a 0 y de 0 a 2.

Hallamos la función primitiva:

G (x) = ∫ dx = 2ln (x2 + 4)

El área en el primer intervalo es:

G (–2) = 2 · ln (8)

G (0) = 2 · ln (4)

G (0) – G (–2) = 2 · (ln (4) – ln (8))|2 · (ln (4) – ln (8))| = 2 · (ln (8) – ln (4)) u2

El área en el segundo intervalo es:

G (2) = 2 · ln (8)

G (2) – G (0) = 2 · (ln (8) – ln (4))2 · (ln (8) – ln (4)) u2

El área total es:

2 · (ln (8) – ln (4)) + 2 · (ln (8) – ln (4)) = 4 · (ln (8) – ln (4)) u2

32 Halla el área comprendida entre las curvas y = ex, y = 2x – x2 y las rectas x = 0 y x = 2.

I. Hallamos la función diferencia:

y = ex – (2x – x2) = ex + x2 – 2x

II. Buscamos su primitiva:

G (x) = ex + – x2

III. G (0) = 1

G (2) = e2 –

G (2) – G (0) = e2 – – 1

El área buscada es (e2 – – 1) u2.43

43

43

x3

3

4xx2 + 4

4xx2 + 4

65

9

78

10

4321

1 20

x = 2

y = 2x – x2

y = ex


33 La curva y = , los ejes de coordenadas y la recta x = 4 limitan una su-

perficie S. Calcula el área de S y el volumen de la figura engendrada por S

al girar alrededor del eje X.

Buscamos una primitiva:

G (x) = 4 · ln |x + 4|

G (0) = 4 · ln (4)

G (4) = 4 · ln (8)

G (4) – G (0) = 4 · (ln (8) – ln (4))El área buscada es 4 · (ln (8) – ln (4)) u2.

V = π · ∫4

0( )2 dx = π · [ ] 4

0= π · = 2π u3.

Página 375

34 Halla el área de la región del plano limitado por la curva y = ln x, la recta y = 2 y los ejes de coordenadas.

La curva y = ln x e y = 2 se cortan en x = e2, por tanto los límites de integraciónson 1 y e2. Por otro lado, la región comprendida entre 0 y 1.

Así que distinguimos dos intervalos: de 0 a 1 y de 1 a e2.

En el primer intervalo, la función diferencia es: y = 2 – 0 = 2

Su primitiva es:

G1(x) = 2x

G1(0) = 0, G1(1) = 2

G1(1) – G1(0) = 2

El área para el primer intervalo es 2 u2.

En el segundo intervalo, la función diferencia es:

y = 2 – ln x

168

–16x + 4

4x + 4

4x + 4

1

0 1 2 3 4

y = —4x + 4

x = 4

x = 0


Su primitiva es:

G2(x) = 2x – (x · ln |x| – x) = 3x – xln |x|

G2(e2) = 3 · e2 – e2 · 2 = e2

G2(1) = 3

G2(e2) – G2(1) = e2 – 3

El área para el segundo intervalo es (e2 – 3) u2.

Por tanto, el área total es:

(2 + e2 – 3) = (e2 – 1) u2.

35 Calcula el área de la figura limitada por las curvas que se dan en los siguien-tes casos:

a) y = 2 – x2, y = x

b) x y + 8 = 0, y = x2, y = 1

c) y = sen x, y = cos x, x = 0

a) Se cortan en x = –1 y x = 1.

En el intervalo de –1 a 0, la fun-ción diferencia es:

y = 2 – x2 – (–x) = 2 – x2 + x

En el intervalo de 0 a 1, la fun-ción diferencia es:

y = 2 – x2 – x

Por simetría, basta calcular el área en uno de los dos intervalos, por ejemplo, enel segundo. Buscamos su función primitiva:

G (x) = – + 2x

G (1) =

G (0) = 0

G (1) – G (0) =

El área total es 2 · = u2.73

76

76

76

x2

2–x3

3

3

2

1

0 1 2 3 8

y = ln x

y = 2

4 5 6 7

3

1

–3 0

y = 2 – x2

y = |x|

1 2–2 –1 3

2


b)

Las tres funciones se cor-tan 2 a 2 en: –8, –2 y –1.

Por tanto, calculamos elárea en dos intervalos, de–8 a –2 y de –2 a –1.

La función diferencia en el primer intervalo es: y = – 1

Su primitiva es:

G1(x) = –8 · ln |x| – x

G1(–8) = –8 · ln (–8) + 8

G1(–2) = –8 · ln (–2) + 2

G1(–2) – G1(–8) = –8 · ln (–2) + 2 + 8 · ln (–8) – 8 =

= –8 · (ln (–2) – ln (–8)) – 6 = –8 · ln ( ) – 6 = 8ln 4 – 6


y = x2 – 1

Su primitiva es:

G2(x) = – x

G2(–2) =

G2(–1) =

G2(–1) – G2(–2) =

El área buscada es: (8ln 4 – 6 + ) = (8ln 4 – ) u2

c)

Las dos curvas se cortan en

x = .

Por tanto, nuestros límites de

integración son 0 y .π4

π4

143

43

43

23

–23

x3

3

14

–8x

5

4

3

2

1

0

y = x2y = —–8

x

y = 1

–1–2–3–4–5–6–7–8–9

1

1

y = sen x

y = cos x

0


Buscamos la función diferencia:

y = cos x – sen x

Su primitiva es:

G (x) = sen x + cos x

G (0) = 1

G ( ) =

G ( ) – G (0) = – 1

El área buscada es ( – 1) u2.

36 Sabiendo que el área de la región comprendida entre la curva y = x2 y la

recta y = bx es igual a , calcula el valor de b.

La curva y = x2 y la recta y = bx se cortan en el punto de abscisa x = b y en x = 0.

Así, nuestros límites de integración son 0 y b.

La función diferencia es:

y = bx – x2

Su primitiva es:

G (x) = –

G (0) = 0

G (b) =

G (b) – G (0) =

Como el área es , se tiene que:

= ,

de donde obtenemos que b = 3.

37 Calcula el valor de a para que el área de la región limitada por la curva y = –x2 + ax y el eje X sea igual a 36.

La curva corta al eje X en los puntos de abscisa 0 y a (estos son los límites deintegración).

92

b3

6

92

b3

6

b3

6

x3

3bx2

2

92

√2

√2π4

√2π4

65

9

78

10

4321

1 320

y = 3x

y = x2


Su primitiva es:

G (x) = +

G (0) = 0

G (a) =

G (a) – G (0) =

Como el área es 36, se tiene que:

= 36,

de donde averiguamos que a = 6.

38 Dada la función y = , calcula el valor de a para que el área limitada

por esa curva y las rectas x = 0 y x = a sea igual a 2.


G (x) = 2 · ln (x + 1)

G (0) = 0

G (a) = 2 · ln (a + 1)

G (a) – G (0) = 2 · ln (a + 1)

Como el área es igual a 2, se tieneque: 2 · ln (a + 1) = 2, de dondeaveriguamos que a = e – 1.

39 Considera la región del plano que determinan las curvas y = ex e y = e2x yla recta x = k.

a) Halla su área para k = 1.

b) Determina el valor de k > 0 para que el área sea 2.

a) Si k = 1, nuestros límites de integración son 0 y 1.

Hallamos la función diferencia: y = e2x – ex

Su primitiva es:

G (x) = – ex

G (0) = , G (1) = – e

G (1) – G (0) = – e + 12

e2

2

e2

2–12

e2x

2

2x + 1

a3

6

a3

6

a3

6

ax2

2–x3

3

65

9

78

10

4321

1 62 3 4 50

y = –x2 + 6x

1

2

e – 110

y = —2 x + 1

x = e – 1


El área buscada es ( – e + ) u2.

b) Ahora nuestros límites de integración son 0 y k. Como la función diferencia ysu primitiva son las mismas que en el apartado a), se tiene que:

G (0) =

G (k) = – ek

G (k) – G (0) = – ek +

Como el área es 2, se tiene que: – ek + = 2

Resolviendo la ecuación, averiguamos que k = ln (3).

40 Calcula el área encerrada entre la curva y = x2 – 2x – 3 y la cuerda de la mis-ma que tiene por extremos los puntos de abscisas 0 y 1.

Los puntos que determinan la cuerda son (0, –3) y (1, –4), de donde obtenemosla ecuación de la recta que contiene la cuerda:

y = –x – 3

Nuestros límites de integración son 0 y 1.

Hallamos la función diferencia:

y = x2 – 2x – 3 – (–x – 3) = x2 – x

Su primitiva es:

G (x) = –

G (0) = 0

G (1) =

G (1) – G (0) =

El área buscada es = u2.16

–16

–16

–16

x2

2x3

3

12

e2k

2

12

e2k

2

e2k

2

–12

12

e2

2

y = ex

y = e2x

8

1

2

3

4

5

6

7

10

x = 1

y = x2 – 2x – 3

01

–3

–4

–2

5

–1

y = –x – 3


41 Dadas y = –x2 + 1 y la recta y = a, a < 0, determina el valor de a de modo

que el área entre la curva y la recta sea u2.

La curva y la recta se cortan en los puntos de abscisa x = – y x = .

La función diferencia es: y = –x2 + 1 – a

Su primitiva es:

G (x) = + x – ax

G(– ) = – + a ·

G( ) = – + – a ·

G( ) – G(– ) = (1 – a ) ·

Como el área es , igualamos:

(1 – a ) · =

Resolviendo la ecuación, obtenemosque a = –1.

42 Halla el área de la porción de plano encerrada entre las curvas y = sen x e

y = sen 2x para valores de x en el intervalo [0, ].Las curvas se cortan en el punto de abscisa x = .

Por tanto, tenemos dos intervalos de integración de: 0 a y de a .

La función diferencia en el primer intervalo es: y = sen 2x – sen x

Su primitiva es:

G1(x) = + cos x

G1(0) = + 1 =

G1( ) = + =

G1( ) – G1(0) = – = 14

12

34

π3

34

12

14

π3

12

–12

–cos 2x2

π2

π3

π3

π3

π2

8√23

√1 – a43

8√23

√1 – a43

√1 – a√1 – a

√1 – a√1 – a(√1 – a)3

3√1 – a

√1 – a√1 – a(√1 – a)3

3√1 – a

–x3

3

√1 – a√1 – a

8√23

y = –x2 + 1

4

1

–2 –1 0 1 2

–4

2

3

–3

–2–1 y = –1


La función diferencia en el segundo intervalo es: y = sen x – sen 2x

Su primitiva es:

G2(x) = – cos x +

G2( ) = – =

G2( ) =

G2( ) – G2( ) = + =

El área buscada es + = u2.

43 Halla el área comprendida entre la curva y = , el eje OX y las rectasx = 1 y x = 2.

Buscamos una primitiva de nuestra función:

G (x) = ∫ dx = ∫ (1 – ) dx =

= x – 2 · ∫ dx =

= x – 2 · ∫ dx + 2 · ∫ dx =

= x – 2 · ln (x + 1)2 – 4 ·

G (1) = –2 · ln (4) – 3

G (2) = – 2 · ln (9)

G (2) – G (1) = – 2ln (9) + 2ln (4) + 3 =

= + 2(ln (4) – ln (9)) = + 2 (ln ( ))u2

El área buscada es [ + 2 ln ( )] u2.49

113

49

113

113

23

23

1(x + 1)

2(x + 1)2

2x + 2x2 + 2x + 1

2x + 2 – 2x2 + 2x + 1

4xx2 + 2x + 1

(x – 1)2

(x + 1)2

(x – 1)2

(x + 1)2

12

14

14

14

34

–12

π3

π2

–12

π2

–34

14

–12

π3

cos 2x2

y = sen x

y = sen 2x

x = —π2

1

0 1 π—2

2

y = —(x – 1)2

(x + 1)2 x = 2

1 2


44 Calcula el área limitada por la hipérbola xy = 1 y la cuerda de la misma quetiene por extremos los puntos de abscisas 1 y 4.

La cuerda tiene por extremos los puntos (1, 1) y (4, ).Así, obtenemos que la ecuación de la recta que contiene a la cuerda es:

y = +

Nuestros límites de integración son 1 y 4.

Calculamos la función diferencia:

y = + –

Su primitiva es:

G (x) = + – ln |x|

G (1) =

G (4) = 3 – ln 4

G (4) – G (1) = 3 – ln 4 – = – ln 4

El área buscada es ( – ln 4) u2.

45 La región limitada por la recta y = x – 3, la parábola y = (x – 5)2 y el eje OXgira alrededor del eje OX. Halla el volumen del cuerpo de revolución que segenera.

Buscamos los puntos de corte de la rectay la parábola:

x – 3 = (x – 5)2

Se cortan en los puntos (4, 1) y (7, 4).Por tanto, nuestros límites de integraciónson 4 y 7.

Hallamos el volumen generado por la recta y = x – 3 alrededor de OX entre 4 y7, y posteriormente le restamos el generado por la curva y = (x – 5)2 alrededor deOX entre los mismos límites.

V1 = π · ∫7

4(x – 3)2 dx = π · [ ] 7

4

= 21 · π u3

V2 = π · ∫7

4(x – 5)4 dx = π · [ ] 7

4

= · π u3335

(x – 5)5

5

(x – 3)3

3

158

158

98

98

5x4

–x2

8

1x

54

–x4

54

–x4

14

y = —1x

y = – — + —x4

54

1

1 2 3 4

y = (x – 5)2

y = x – 3

4

3

2

1

4 5 6 7


El volumen buscado es:

V1 – V2 = 21 · π – · π = · π u3

46 Halla el volumen del cuerpo engendrado por la región del plano limitadapor los ejes de coordenadas, la curva de ecuación y = e–x y la recta x = 3, algirar alrededor del eje OX.

V = π · ∫3

0(e–x)2 dx = π · ∫

3

0e–2x dx =

= · [e–2x]30

= · (e–6 – 1) u3

47 Calcula el volumen que se obtiene al hacer girar alrededor del eje OX el re-

cinto limitado por las funciones y = , x = y2, x = 4.

Las curvas y = y x = y2 se cortan en el punto de abscisa 1. Por tanto, nuestros

límites de integración son 1 y 4.

El volumen buscado es el resultado de restar el volumen engendrado por la curva

y = alrededor de OX entre 1 y 4, y el volumen engendrado por la curva y =

alrededor de OX entre los mismos límites.

V1 = π · ∫4

1( )2 dx = π · [ ] 4

1

= u3

V2 = π · ∫4

1( )2 dx = π · [ ] 4

1

= u3

El volumen buscado es:

V1 – V2 = – = u327π4

3π4

15π2

3π4

–1x

1x

15π2

x2

2√x

1x

√x

1x

1x

π–2

π–2

725

335

y = e–x

1

0 1 2 3

2

1

1 2 3 4

y = —1x

y = √—x


48 Calcula el volumen engendrado por la hipérbola – = 1 cuando x ∈ [–4, 4].

V = 2 · π · ∫4

2f (x)2 dx =

= 2 · π · ∫4

2( – 9) dx =

= 2 · π · [ – 9x] 4

2

=

= 2 · π · 24 = 48π u3

49 Halla el volumen engendrado por el círculo x2 + y2 – 4x + 3 = 0 al girar al-rededor de OX.

El círculo del ejercicio tiene su centro en(2, 0) y radio 1, por tanto corta el ajeOX en (1, 0) y (3, 0). Así, nuestros lí-mites de integración son 1 y 3.

(x – 2)2 + y2 = 1

V = π · ∫3

1y2 dx = π · ∫

3

1(1 – (x – 2)2) dx = π · [x – ] 3

1

= u3

50 Obtén la familia de curvas en las que la pendiente de la tangente es f (x) = x e2x. ¿Cuál de esas curvas pasa por el punto A(0, 2)?


∫ x · e2x dx =

Utilizando el método de integración por partes obtenemos:

y = x · – + k

Como pasa por (0, 2), se tiene que: – + k = 2, de donde k = .

Así, la curva buscada es:

y = x · – + 94

e2x

4e2x

2

94

14

e2x

4e2x

2

4π3

(x – 2)3

3

3x3

4

9x2

4

y2

9x2

4

3

–3

–4 4

— – — = 1x2

4y2

9

2–2

x2 + y2 – 4x + 3 = 0

1

1 2 3


51 Expresa la función de posición de un móvil sabiendo que su aceleración esconstante de 8 cm/s2, que su velocidad es 0 cuando t = 3 y que está en el ori-gen a los 11 segundos.

Llamamos S (t ) a la posición del móvil al cabo de t segundos. Así:

V (t ) = S' (t ) y a (t ) = S'' (t ) = 8 cm/s2

Calculamos la velocidad V (t ):

V (t ) = ∫ a (t )dt = ∫ 8 dt = 8t + k

V (3) = 24 + k = 0 → k = –24V (t ) = 8t – 24

Calculamos S (t ):

S (t ) = ∫ V (t ) dt = ∫ (8t – 24) dt = 4t2 – 24t + c

S (11) = 220 + c = 0 → c = –220

Por tanto: S (t ) = 4t2 – 24t – 220

52 Un móvil se desplaza en línea recta, con movimiento uniformemente acele-rado, con aceleración de 2 m/s2 y con velocidad inicial v0 = 1 m/s. Calcula ycompara las distancias recorridas entre t = 0 y t = 2 y entre t = 2 y t = 3.

• Calculamos la velocidad del móvil:

V (t ) = ∫ a (t )dt = ∫ 2 dt = 2t + k

V (0) = k = 1V (t ) = 2t + 1

• Distancia recorrida entre t = 0 y t = 2:

d1 = ∫2

0V (t )dt = ∫

2

0(2t + 1)dt = [t2 + t]2

0= 6 m

• Distancia recorrida entre t = 2 y t = 3:

d2 = ∫3

2V (t )dt = [t2 + t ]3

2= 12 – 6 = 6 m

• Por tanto, recorre la misma distancia entre t = 0 y t = 2 que entre t = 2 y t = 3.

Página 376


53 Calcula la derivada de la función dada por F (x) = ∫x 2

0cos t dt de dos for-

mas:

a) Obteniendo de forma explícita F (x) y, después, derivando.

b) Aplicando el teorema fundamental del cálculo.


a) F (x) = [sen t ]x2

0= sen x2

F' (x) = 2x · cos x2

b) Como f es una función continua en todos los puntos, se puede aplicar el teoremafundamental del cálculo:

F' (x) = f (x2) · (x2)' = 2x · cos x2

54 Halla la derivada de las funciones que se dan en los siguientes ejercicios:

a) F (x) = ∫x

0cos t2 dt b) F (x) = ∫

x 2

0(t2 + t) dt

c) F (x) = ∫x

4dt d) F (x) = ∫

sen x

0 (1 + t) dt

a) Como f es continua, podemos aplicar el teorema fundamental del cálculo:

F' (x) = cos x2

b) Como f es continua, también podemos aplicar el teorema fundamental delcálculo:

F' (x) = [(x2)2 + x) 2x = 2x5 + 2x3

c) Aplicamos el teorema:

F' (x) =

d) Análogamente: F' (x) = (1 + sen x) · (sen x)' = (1 + sen x) · cos x

55 Sin resolver la integral, indica dónde hay máximo o mínimo relativo en lafunción:

F (x) = ∫x

0 (t2 – 1) dt

Los máximos o mínimos relativos se obtienen para los valores de x donde la pri-mera derivada es cero, en nuestro caso F' (x) = 0.

Como f es continua, podemos aplicar el teorema fundamental del cálculo:

F' (x) = x2 – 1

F' (x) = 0 en x = –1 y x = 1, así en los puntos de abscisa –1 y 1, hay máximoso mínimos relativos.

56 Sabemos que ∫x

0 f (t)dt = x2 (1 + x), siendo continua en Á. Calcula f(2).

Aplicando el teorema fundamental del cálculo, se tiene que:

f (x) = 2x · (1 + x) + x2

f (2) = 16

11 + sen x

11 + sen2 t


57 Sea F (x) = ∫x

1 cos2 t dt. Halla los posibles extremos de dicha función en el

intervalo [0, 2π].

Como f (x) = cos2 x es continua en [0, 2π], podemos aplicar el teorema funda-mental del cálculo, y así obtenemos la primera derivada de la función F (x):

F' (x) = cos2 x

Esta tiene sus extremos en los valores de x en que F' (x) = 0, esto es en x =

y x = .

58 Sabemos que el área limitada por una función f,el eje de abscisas y las rectas x = 1 y x = 5 esigual a 6.

¿Cuánto aumentará el área si trasladamos 2 unida-des hacia arriba la función f ?

Es fácil ver que el área añadida es la de un rectángulode base 4 u y 2 u de altura, su área es 8 u2. Es decir, su área aumentará 8 u2.

59 Si una función f es positiva para todos los valores de su variable, cualquierfunción primitiva de ella es creciente en cada uno de sus puntos. ¿Por qué?

Cierto, puesto que si la primera derivada de una función es positiva, dicha funciónes creciente.

60 La gráficas I, II y III corresponden, no necesariamente por ese orden, a las deuna función derivable f, a sufunción derivada f ' y a unaprimitiva F de f. Identificacada gráfica con su función,justificando la respuesta.

La gráfica II es la de la función,la gráfica I es la de su derivada y la gráfica III la de su primitiva.

La razón es: partiendo de la gráfica II, observamos que se trata de una funciónlineal (afín) con pendiente positiva, por lo que la función derivada tiene que seruna función constante (la pendiente de la función afín).

Por otro lado, la primitiva de la función afín tiene que ser una función cuadrática,cuya gráfica corresponde a la parábola.

61 ¿Cuál de las siguientes expresiones nos da el árealimitada por la gráfica de f y el eje de abscisas?

a) ∫c

af ; b) ∫

c

af ; c) ∫

b

af + ∫

c

bf ; d) –∫

b

af + ∫

c

bf

d).

3π2

π2

2

5

f + 2

f

1

I II III

f

a b c


62 Si una función f no corta al eje X, cualquier primitiva de ella no puede te-ner máximos o mínimos. ¿Por qué?

Cierto, porque la función f sería la derivada de su primitiva y al no ser nunca ce-ro, no puede tener ni máximos ni mínimos.

63 Dada la función y = x2, halla el punto c ∈ [0, 2] tal que el área ∫2

0 x2 dx sea

igual a la de un rectángulo de base 2 y altura f (c). Es decir, 2 f (c) = ∫2

0x2 dx.

¿Qué teorema asegura la existencia de c ?

∫2

0x2 dx =

Así pues, se tiene: 2 · f (c) = , de donde averiguamos que c = .

El teorema que asegura la existencia de c es el teorema del valor medio del cálcu-lo integral.

64 Sea F una función definida en [0, +∞) tal que F (x) = ∫x

0ln (2 + t) dt. Anali-

za si es verdadera o falsa cada una de estas afirmaciones:

a) F (0) = ln 2 b) F'(x) = , x ≥ 0

c) F es creciente en su dominio.

a) F (x) = (x + 2) · ln |x + 2| – (x + 2) – 2 · ln 2 + 2

F (0) = 2 · ln 2 – 2 – 2 · ln 2 + 2 = 0

Es falsa, además basta ver que no hay área.

b) Como f es continua para x ≥ 0, aplicamos el teorema del cálculo integral:

F' (x) = ln |2 + x|

También es falsa.

c) Cierta, porque su derivada F' es positiva en todo el dominio.

Página 377

PARA PROFUNDIZAR

65 Deduce por integración el volumen del cilindro de radio r y altura h.

☛ Haz girar alrededor de OX el rectángulo limitadopor la recta y = r entre x = 0 y x = h.

V = π · ∫h

0r2 dx = π · [r2x]h

0= π · r2 · h

12 + x

2√33

83

83

O

r

h X

Y


66 Demuestra, utilizando el cálculo integral, que el volumen de la esfera es

V = πR3.

☛ La esfera se engendra al girar el círculo x2 + y2 = R2 alrededor del eje X.

V = π · ∫R

–Ry2 dx = π · ∫

R

–R(R2 – x2) dx = π · [R2x – ]R

–R

=

= π · (R3 – + R3 – ) = π · R3

67 Demuestra que el volumen del elipsoide obtenido al girar la elipse

+ = 1 es:

a) πa b2 si gira alrededor de OX.

b) πa2 b si gira alrededor de OY.

a) V = π · ∫a

–a(b2 – x2 ) dx = π · [b2x – · ]a

–a=

= π · (b2a – + b2a – ) = π · ab2

b) V = π · ∫b

–b(a2 – y2 ) dy = π · [a2y – · ]b

–b=

= π · (a2b – + a2b – ) = π · ba2

68 Determina la función y = f (x) sabiendo que su gráfica pasa por el puntoP (1, 1), que la tangente en P es paralela a la recta 3x + 3y – 1 = 0 y quef ''(x) = x.

La información que tenemos es:

f (1) = 1

f' (1) = –1

f'' (x) = x

Calculamos f' (x):

f' (x) = + ax2

2

43

ba2

3ba2

3

a2

b2y3

3a2

b2

43

ab2

3ab2

3

b2

a2x3

3b2

a2

43

43

y2

b2x2

a2

43

R3

3R3

3

x3

3

43


Como f' (1) = –1

f' (1) = + a = –1, entonces a =

f' (x) = –

Calculamos f (x): f (x) = – x + b

Como f (1) = 1, averiguamos que b = , así: f (x) = – x +

69 Determina el valor del parámetro a > 0 de tal manera que el área de la re-gión del plano limitada por el eje X y la gráfica de la funciónf (x) = a(x + 2)2 – (x + 2)3 valga 108.

La función corta al eje X en los puntos de abscisa x = –2 y x = a – 2. Nuestroslímites de integración; buscamos una primitiva:

G (x) = ∫ [a (x + 2)2 – (x + 2)3] dx = a · –

G (a – 2) =

G (–2) = 0

G (a – 2) – G (2) =

Como el área tiene que ser 108, igualamos:

= 108. De donde obtenemos que: a = 6

70 Halla la ecuación de una parábola de eje vertical, tangente en el origen decoordenadas a una recta de pendiente 4 y que delimita con el eje X un re-cinto de base [0, 3] y área 9.

• y = ax2 + bx + c

• Pasa por (0, 0) → y (0) = 0 → x = 0

• y' (0) = 4 → b = 4

y = ax2 + 4x

• El área entre 0 y 3 es 9, así:

∫3

0(ax2 + 4x)dx = [ + 2x2]3

0= 9a + 18 = 9

De donde averiguamos que: a = –1

Así, la función es: y = –x2 + 4x

ax3

3

a4

12

a4

12

a4

12

(x + 2)4

4(x + 2)3

3

73

32

x3

673

32

x3

6

32

x2

2

–32

12

0

4

4321


71 Halla, si es posible, un número entero n, n ≥ 2, para el cualsean iguales las áreas de los tres recintos: el rojo y cada unode los dos azules.

Para calcular el área central, hallamos la función diferencia:

y = – xn

Calculamos su primitiva:

G (x) = –

G (0) = 0

G (1) = – =

G (1) – G (0) =

Por otro lado, el área de la zona que limita con OX la obtenemos con la siguientefunción:

y = xn

Su primitiva es:

G (x) =

G (0) = 0

G (1) =

G (1) – G (0) =

La región que falta tiene el mismo área que esta última. Como las áreas tienen queser iguales, las igualamos:

=

De donde deducimos que n = 2.

72 Demuestra, utilizando el cálculo integral, que el área del círculo x2 + y2 ≤ 9es 9π.

• Área = 4 · ∫3

0dx

• Calculamos G (x) = ∫ dx, mediante un cam-bio de variable:

G(x) = ∫ dx = 3 · ∫ dx

√9 – x2

√9 – x2

1n + 1

n – 1n + 1

1n + 1

1n + 1

xn + 1

n + 1

n – 1n + 1

n – 1n + 1

1n + 1

nn + 1

xn + 1

n + 1n

n√xn + 1

n + 1

n√x

x2 + y2 ≤ 9

21 30

1

1

y = xny =

n √x


Cambio: = sen t → x = 3 · sen t → dx = 2 · cos t · dt

G (x) = 3 · ∫ · 3cos t · dt = 9∫cos2 t dt =

= 9∫( + ) dt = 9 [ t + sen2 t ] = t + sen2 t =

= · arc sen ( ) + · 2 · · =

= · arc sen ( ) + · x · =

= · arc sen ( ) +

• Por tanto, el área será: A = 4 · (G (3) – G (0)) = 4 · = 9π

73 Demuestra, utilizando el cálculo integral, que el área de la elipse x2 + 4y2 = 4es 2π.

• Despejamos y: 4y2 = 4 – x2 →

→ y2 = 1 – ( )2 → y = ±

• El área será: A = 4 · ∫2

0dx

• Calculamos G (x) = ∫ dx

Cambio: = sen t → x = 2 · sen t → dx = 2 · cos t dt

G (x) = ∫ · 2cos t dt = 2∫cos2 t dt =

= 2 · ∫( + ) dt = ∫(1 + cos 2t) dt =

= t + = arc sen ( ) + · =

= arc sen ( ) +

• El área será: A = 4 · [G (2) – G (0)] = 4 · = 2ππ2

x · √4 – x2

4x2

x2

x2

sen2 t2

cos2 t2

12

√1 – sen2 t

x2

x2

9π4

x · √9 – x2

2x3

92

32

x3

92

x3

94

x3

92

94

92

14

12

cos2 t2

12

√1 – sen2 t

x3

x2 + 4y2 = 4

2

1

–1

–2


74 Calcula el área encerrada por la elipse de ecuación + = 1.

• = 1 – →

y2 = 9 · (1 – ) → y = ±3 ·

• El área es:

A = 4 · ∫4

03 · dx =

= 12 ∫4

0dx

• Calculamos G (x) = ∫ dx

Cambio: = sen t → x = 4 · sen t → dx = 4 · cos t dt

G (x) = ∫ · 4cos t dt = 4∫cos2 t dt =

= 4 · ∫( + ) dt = ∫(2 + 2cos 2t) dt =

= 2t + sen 2t = 2 · arc sen ( ) + 2 · · =

= 2 · arc sen ( ) +

• El área será: A = 12 · [G (4) – G (0)] = 12π.

75 Halla la expresión analítica de la función polinómica desegundo grado que corta al eje X en x = 1 y x = 3, y dela que sabemos que el área sombreada de la figura vale4/3.

Como corta al eje X en x = 1 y en x = 3, ha de ser:

f (x) = k · (x – 1) · (x – 3) = k · (x2 – 4x + 3)

El área sombreada será:

A = ∫1

0k · (x2 – 4x + 3)dx = k · [ – 2x2 + 3x]10 =

= k · = ⇒ k = 1

Por tanto, f (x) = x2 – 4x + 3.

43

43

x3

3

x · √16 – x2

8x4

x4

x4

cos2 t2

12

√1 – sen2 t

x4

x2

16

x2

16y2

9

y2

9x2

16

4

3

–3

–4

— – — = 1x2

16y2

9

1 3



76 Halla el volumen de un tronco de cono de ra-dios r1 = 7 cm, r2 = 11 cm y altura 6 cm. Pa-ra ello, haz girar alrededor del eje X el seg-mento adecuado.

¿Qué ecuación tiene la recta que sostiene alsegmento rojo? ¿Cuáles son los límites de in-tegración que debes tomar?

La recta pasa por los puntos (0, 7) y (6, 11). Obtenemos su ecuación:

m = = = , la recta es y = 7 + x

Los límites de integración son x = 0 y x = 6.

El volumen será:

V = π · ∫6

0( f (x))2 dx = π · ∫

6

0(7 + x)2 dx =

= π · ∫6

0(49 + x + x2) dx =

= π · [49x + + ]60

= 350π u3.

77 Para hallar la fórmula del volumen de un tronco de cono, debes procedercomo en el ejercicio anterior, pero con dimensiones variables.

Hazlo para un tronco de cono tal que los radios de sus bases sean r1 y r2 ysu altura, h. Debes llegar a la fórmula:

V = πh (r12 + r2

2 + r1 r2)

La recta pasa por los puntos (0, r) y (h, r2).

Obtenemos la ecuación: m = = ⇒ y = r1 + ( ) · xr2 – r1

h

r2 – r1

h

r2 – r1

h – 0

13

4x3

272x2

3

49

43

23

23

23

46

11 – 76 – 0

6

7

11

Y

X

r1

r2

h


El volumen será:

V = π · ∫h

0 [r1 + ( ) x ]2 dx =

= π · ∫h

0 [r12 + ( )2 · x2 + 2r1( ) · x ] dx =

= π · [r12 + ( )2 · + r1 · ( ) · x2]h

0=

= π · [r12h + ( )2 · + r1 · ( ) · h2] =

= π · h · [r12 + · (r2

2 + r12 – 2 · r1 · r2) + r1r2 – r1

2] =

= π · h · [ · r22 + · r1

2 – · r1r2 + r1r2] =

= π · h · [r12 + r2

2 + r1r2]13

23

13

13

13

r2 – r1

hh3

3

r2 – r1

h

r2 – r1

hx3

3

r2 – r1

h

r2 – r1

h

r2 – r1

h

r2 – r1

h

■ Ayudándote de la tabla...

De la tabla podemos deducir muchas cosas:

— Al consejero A no le gusta ninguno de sus colegas como presidente.

— B solo tiene un candidato (el C).

— Dos consejeros (C y E) están de acuerdo en los mismos candidatos (B, C y D).

— El consejero F no opta por ninguno de sus compañeros.

— Al candidato E no le prefiere ninguno de los otros consejeros. De hecho, es el único que no seconsidera idóneo para el cargo.

— Los candidatos B y D han obtenido los mismos resultados.

— Solo A y C se consideran idóneos para el puesto de presidente.

— ...

Según los resultados, el candidato C es el más idóneo para presidir la empresa (por lo menos esopiensan sus compañeros del consejo).

Página 49

■ Aquí tienes representados, mediante flechas, los vuelos que hay el martes des-de el país B hasta el país C. Representa, mediante una tabla, la informaciónrecogida en el diagrama.

Unidad 2. Álgebra de matrices 1

ÁLGEBRADE MATRICES

2

B C

C1

C2

B1

B2

B3

B4

C1 C2

B1 3 2

B2 1 0

B3 1 0

B4 0 2

■ Una persona quiere salir el lunes de A, pasar la noche en B y llegar el martesa C.

En total tenemos 5 posibles formas de ir de A1 a C1.

Continúa tú, rellenando razonadamente el resto de la tabla y explicando, encada caso, cómo llegas a la respuesta.

Página 51

1. Escribe las matrices traspuestas de:

A = ( ) B = ( ) C = ( )D = ( ) E = ( ) F = (5 4 6 1)

At = ( ) Bt = ( ) C t = ( )Dt = ( ) Et = ( ) F t = ( )

2. Escribe una matriz X tal que Xt = X.

Por ejemplo, X = ( ) .1 2 –12 3 0–1 0 4

5461

1 7 47 –1 04 0 3

7 2 0 64 1 1 31 0 7 2

1 0 63 2 15 4 0–1 1 3

2 45 17 0

3 2 71 5 6

1 7 47 –1 04 0 3

7 4 12 1 00 1 76 3 2

1 3 5 –10 2 4 16 1 0 3

2 5 74 1 0

3 12 57 6


C1 C2

A1 5 2

A2 2 2

A3 0 2

A

A1

A2

A3

B

B1

B2

B3

B4

3. Escribe una matriz que describa lo siguiente:

( )Página 52

1. Sean las matrices:

A = ( ) B = ( ) C = ( ) D = ( )Calcula E = 2A – 3B + C – 2D.

E = ( ) – ( ) + ( ) – ( ) = ( )

Página 55

2. Efectúa todos los posibles productos entre las siguientes matrices:

A = ( ) B = ( ) C = ( ) D = ( )A · C = ( ); A · D = ( ); B · A = ( )C · B = ( ); D · C = ( ); D · D = ( )3 –3 –4

4 31 4–4 4 17

–6 –1 2 526 5 2 028 38 –1 10

22 2839 3–9 –4

7 14 21–3 3 –2–2 5 1–5 26 13

7 18 –40 30 5

8 –2 4 524 –4 –1 –10

1 –1 10 5 22 3 –3

2 7 1 56 3 0 0–2 –5 1 0

7 0–1 10 13 4

1 2 3–2 5 1

18 –1 –1816 –15 –23

–6 2 1012 4 8

7 1 –18 –10 0

–3 0 3–12 3 9

2 0 –48 2 –6

–3 1 56 2 4

7 1 –18 –10 0

–1 0 1–4 1 3

1 0 –24 1 –3

2 1 0 0 00 1 0 2 00 0 1 1 00 0 0 0 00 0 0 1 20 0 0 1 0


3. Intenta conseguir una matriz I3 de dimensión 3 × 3 que, multiplicada porcualquier otra matriz A(3 × 3), la deje igual.

Es decir: A · I3 = I3 · A = A

La matriz I3 se llama matriz unidad de orden 3. Cuando la tengas, sabrás obte-ner una matriz unidad de cualquier orden.

I3 = ( )Página 56

1. Comprueba las propiedades 2, 3 y 4 anteriores, referentes al producto de nú-meros por matrices, tomando: a = 3, b = 6

A = ( ) B = ( )2) 9A = ( )

3A + 6A = ( ) + ( ) = ( )9A = 3A + 6A

3) 3(A + B) = 3 ( ) = ( )3A + 3B = ( ) + ( ) = ( )3(A + B) = 3A + 3B

4) 1 · A = ( ) = A

Página 57

2. Comprueba las propiedades distributivas para las siguientes matrices:

A = ( ) B = ( ) C = ( ) D = ( )A · (B + C) = A · ( ) = ( )A · B + A · C = ( ) + ( ) = ( )15 2 68 19

15 –5 70 1521 0 96 25

4 –3 26 200 –5 25 254 –5 36 30

11 5 42 –115 0 45 –1017 5 60 –5

15 2 68 1915 –5 70 1521 0 96 25

3 6 12 73 –1 14 3

12–53

4 1 6 00 –1 5 5

–1 5 6 73 0 9 –2

1 40 51 6

3 5 –12 –3 0

30 9 018 9 24

21 –6 312 18 24

9 15 –36 –9 0

30 9 018 9 24

10 3 06 3 8

27 45 –918 –27 0

18 30 –612 –18 0

9 15 –36 –9 0

27 45 –918 –27 0

7 –2 14 6 8

3 5 –12 –3 0

1 0 00 1 00 0 1


A · (B + C) = A · B + A · C

(B + C) · D = ( ) · D = ( )B · D + C · D = ( ) + ( ) = ( )(B + C) · D = B · D + C · D

Página 60

1. Calcula x, y, z, t para que se cumpla: ( ) · ( ) = ( )( ) ( ) = ( ) = ( )2x – z = 5 x =

2y – t = 1 y =

z = 0 z = 0

t = 2 t = 2

Solución: ( ) = ( )2. Para las matrices: A = ( ), B = ( ), C = ( ), comprueba:

a) A · (B + C) = (A · B) + (A · C)

b) (A + B) · C = (A · C) + (B · C)

c) A · (B · C ) = (A · B) · C

a) A · (B + C) = A · ( ) = ( )A · B + A · C = ( ) + ( ) = ( )

b) (A + B) · C = ( ) · C = ( )A · C + B · C = ( ) + ( ) = ( )

c) A · (B · C) = A · ( ) = ( )(A · B) · C = ( ) · C = ( )1 5

107 3–1 526 3

1 5107 3

1 515 –1

5 530 6

1 515 –1

4 015 7

5 530 6

0 56 6

3 541 10

4 015 7

–1 526 3

3 541 10

3 55 0

4 01 1

–1 54 –1

1 02 7

5/2 3/20 2

x yz t

32

52

5 10 2

2x – z 2y – tz t

x yz t

2 –10 1

5 10 2

x yz t

2 –10 1

–24–60

–24–12

0–48

–24–60

3 6 12 73 –1 14 3


A · (B + C) = A · B + A · C

(A + B) · C = A · C + B · C

A · (B · C) = (A · B) · C

3. Sean A = ( ) y B = ( ).Encuentra X que cumpla: 3 · X – 2 · A = 5 · B

3X = 5B + 2A = ( ) + ( ) = ( )X = ( )

4. Encuentra dos matrices, A y B, de dimensión 2 × 2 que cumplan:

2A + B = ( ) A – B = ( )2A + B = ( )A – B = ( )B = A – ( ) = ( ) – ( ) = ( )Solución: A = ( ), B = ( )

5. Encuentra dos matrices X e Y que verifiquen:

2X – 3Y = ( ) y X – Y = ( )2X – 3Y = ( ) 2X – 3Y = ( )X – Y = ( ) –2X + 2Y = ( )Sumando: –Y = ( ) → Y = ( )X = ( ) + Y = ( ) + ( ) = ( )Solución: X = ( ), Y = ( )

6. Averigua cómo ha de ser una matriz X que cumpla:

X · ( ) = ( ) · X

X = ( )x yz t

1 10 1

1 10 1

–3 –52 10

–4 –55 16

–4 –55 16

–3 –52 10

–1 03 6

–1 03 6

–3 –52 10

3 5–2 –10

2 0–6 –12

–1 03 6

1 54 2

1 54 2

–1 03 6

1 54 2

1 00 0

0 21 0

1 00 0

–1 21 0

0 21 0

–1 21 0

–1 21 0

1 42 0

–1 21 0

1 42 0

2 105 –17/3

6 3015 –17

6 010 –2

0 305 –15

0 61 –3

3 05 –1


Sumando: 3A = ( ) → A = ( )0 21 0

0 63 0

X · ( ) = ( ) · ( ) = ( )( ) · X = ( ) · ( ) = ( )

Solución: X = ( ), donde x e y son números realescualesquiera.

7. Efectúa las siguientes operaciones con las matrices dadas:

A = ( ) B = ( ) C = ( )a) (A · B) + (A · C)

b) (A – B) · C

c) A · B · C

a) A · B + A · C = ( ) + ( ) + ( )b) (A – B ) · C = ( ) · ( ) = ( )c) A · B · C = ( ) · ( ) = ( )

8. Dada la matriz A = ( ) comprueba que (A – I )2 = 0.

(A – I )2 = ( ) · ( ) = ( )9. Halla la inversa de las matrices:

a) ( ) b) ( )a) ( ) ( ) = ( ) → ( ) = ( )

Por tanto, la inversa es ( ).b) ( ) ( ) = ( ) → ( ) = ( )1 0

0 13x – 2z 3y – 2t–8x + 5z –8y + 5t

1 00 1

x yz t

3 –2–8 5

1 –3–2 7

y = –3t = 7

7y + 3t = 02y + t = 1

x = 1z = –2

7x + 3z = 12x + z = 0

1 00 1

7x + 3z 7y + 3t2x + z 2y + t

1 00 1

x yz t

7 32 1

3 –2–8 5

7 32 1

0 00 0

0 20 0

0 20 0

1 20 1

23 129 –9

1 –13 2

2 79 0

–10 –156 9

1 –13 2

5 –5–3 3

9 1018 6

7 39 6

2 79 0

1 –13 2

–4 73 0

1 20 3

x y0 x

x = t

z = 0

x = x + zx + y = y + tz = zz + t = t

x + z y + tz t

x yz t

1 10 1

1 10 1

x x + yz z + t

1 10 1

x yz t

1 10 1


han de ser iguales

Por tanto, la inversa es ( ).Página 61

1. Considera →u (7, 4, –2),

→v (5, 0, 6),

→w (4, 6, –3), a = 8, b = –5, elementos de Á3

y Á. Comprueba las ocho propiedades que se enumeran arriba.

• Asociativa: (→u +

→v ) +

→w =

→u + (

→v +

→w)

(→u +

→v ) +

→w = (12, 4, 4) +

→w = (16, 10, 1)

→u + (

→v +

→w) =

→u + (9, 6, 3) = (16, 10, 1)

• Conmutativa: →u +

→v =

→v +

→u

→u +

→v = (12, 4, 4) =

→v +

→u

• Vector nulo: →v +

→0 =

→v

→v +

→0 = (5, 0, 6) + (0, 0, 0) = (5, 0, 6) =

→v

• Vector opuesto: →v + (–

→v ) =

→0

→v + (–

→v ) = (5, 0, 6) + (–5, 0, –6) = (0, 0, 0)

• Asociativa: (a · b) · →v = a · (b ·

→v )

(8 · (–5)) · (5, 0, 6) = –40 · (5, 0, 6) = (–200, 0, –240)

8 · [–5 · (5, 0, 6)] = 8 · (–25, 0, –30) = (–200, 0, –240)

• Distributiva I: (a + b) · →v = a ·

→v + b ·

→v

(a + b) · →v = 3 · (5, 0, 6) = (15, 0, 18)

a · →v + b ·

→v = 8 · (5, 0, 6) – 5 · (5, 0, 6) = (40, 0, 48) – (25, 0, 30) = (15, 0, 18)

• Distributiva II: a · (→u +

→v ) = a ·

→u + a ·

→v

a · (→u +

→v ) = 8 · (12, 4, 4) = (96, 32, 32)

a · →u + a ·

→v = 8 · (7, 4, –2) + 8 · (5, 0, 6) = (56, 32, –16) + (40, 0, 48) = (96, 32, 32)

• Producto por 1: 1 · →v =

→v

1 · →v = 1 · (5, 0, 6) = (5, 0, 6) =

→v

Página 63

Comprueba si los siguientes conjuntos de n-uplas son L.I. o L.D.

2. (3, 0, 1, 0), (2, –1, 5, 0), (0, 0, 1, 1), (4, –2, 0, –5)

Aplicamos la propiedad fundamental:

x (3, 0, 1, 0) + y(2, –1, 5, 0) + z (0, 0, 1, 1) + w (4, –2, 0, –5) = (0, 0, 0, 0)

Operando, llegamos a:

(3x + 2y + 4w, –y – 2w, x + 5y + z, z – 5w) = (0, 0, 0, 0)

–5 –2–8 –3

y = –2t = –3

3y – 2t = 0–8y + 5t = 1

x = –5z = –8

3x – 2z = 1–8x + 5z = 0


Esta igualdad da lugar al siguiente sistema:

Este sistema tiene como solución única x = 0, y = 0, z = 0, w = 0. Por tanto, losvectores son linealmente independientes.

3. (3, 0, 1, 0), (2, –1, 5, 0), (0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 1)


x (3, 0, 1, 0) + y (2, –1, 5, 0) + z (0, 0, 1, 1) + w (0, 0, 0, 1) = (0, 0, 0, 0)


(3x + 2y, –y, x + 5y + z, z + w) = (0, 0, 0, 0)

Esta igualdad da lugar al sistema:

Este sistema tiene como solución única x = 0, y = 0, z = 0, w = 0. Por tanto, losvectores son linealmente independientes.

4. (2, –4, 7), (1, 0, 2), (0, 1, 2)


x (2, –4, 7) + y (1, 0, 2) + z (0, 1, 2) = (0, 0, 0)


(2x + y, –4x + z, 7x + 2y + 2z) = (0, 0, 0)

Esta igualdad da lugar al sistema:

Este sistema tiene como solución única x = 0, y = 0, z = 0. Por tanto, los vectoresson linealmente independientes.

5. (1, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 0, 0)

Explica por qué si en un conjunto de vectores está el vector cero, entonces sonL.D.

• Aplicamos la propiedad fundamental:

x (1, 0, 0) + y (1, 1, 0) + z (0, 0, 0) = (0, 0, 0)

2x + y = 0–4x + z = 07x + 2y + 2z = 0

3x + 2y = 0–y = 0

x + 5y + z = 0z + w = 0

3x + 2y + 4w = 0–y – 2w = 0

x + 5y + z = 0z – 5w = 0


Si hacemos x = 0, y = 0, z puede tomar cualquier valor, por tanto, los vectoresson linealmente dependientes.

• Si en un conjunto de vectores →u1,

→u2, …,

→un está el vector cero, podemos conse-

guir una combinación lineal de ellos:

x1→u1 + x2

→u2 + … + xn – 1

→un – 1 + xn

→0 = (0, 0, 0, …, 0)

en la que x1 = x2 = … = xn – 1 = 0 y xn ≠ 0. Como no todos los coeficientes sonnulos, los vectores son linealmente dependientes.

Página 65

1. Calcula el rango de las siguientes matrices:

A = ( ) B = ( ) C = ( ) D = ( )A = ( ) → ( ) → ( ) → ran (A) = 3

B = ( ) → ( ) → ( ) → ran (B) = 2

C = ( ) → ( ) →

( ) → ( ) → ran (C) = 3

D = ( ) → ( ) →

( ) → ran (D) = 21 –2 0 –30 1 1 10 0 0 0

1-ª

2-ª

3-ª – 5 · 2--ª

1 –2 0 –30 1 1 10 5 5 5

1-ª

2-ª + 1-ª

3-ª – 2 · 1--ª

1 –2 0 –3–1 3 1 42 1 5 –1

1 0 2 1 –10 2 –1 1 20 0 –11 –5 40 0 0 0 0

1-ª

2-ª

3-ª

4-ª + 3-ª

1 0 2 1 –10 2 –1 1 20 0 –11 –5 40 0 11 5 –4

1-ª

2-ª

–2 · 3-ª + 2-ª

4-ª – 4 · 2-ª

1 0 2 1 –10 2 –1 1 20 1 5 3 –10 8 7 9 4

1-ª

2-ª

3-ª + 1-ª

4-ª

1 0 2 1 –10 2 –1 1 2–1 1 3 2 00 8 7 9 4

1 3 –10 –7 70 0 0

1-ª

2-ª

3-ª + 2--ª

1 3 –10 –7 70 7 –7

1-ª

2-ª – 2 · 1-ª

3-ª – 1--ª

1 3 –12 –1 51 10 –8

1 4 –10 7 10 –20 0

1-ª

2-ª

3-ª – 2 · 2--ª

1 4 –10 7 10 –6 2

1-ª

2-ª + 1-ª

3-ª – 2 · 1--ª

1 4 –1–1 3 22 2 0

1 –2 0 –3–1 3 1 42 1 5 –1

1 0 2 1 –10 2 –1 1 2–1 1 3 2 00 8 7 9 4

1 3 –12 –1 51 10 –8

1 4 –1–1 3 22 2 0



PARA PRACTICAR

Operaciones con matrices

1 Dadas las matrices A = ( ) y B = ( ), calcula:

a) –2A + 3B b) A · B c) B · (–A) d) A · A – B · B

a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) – ( ) = ( )

2 Efectúa el producto (–3 2) ( ) ( ).(7 7) ( ) = (7)

3 a) ¿Son iguales las matrices A = ( ) y B = (2 3)?

b) Halla, si es posible, las matrices AB; BA; A + B; At – B.

a) No, A tiene dimensión 2 × 1 y B tiene dimensión 1 × 2. Para que dos matri-ces sean iguales, deben tener la misma dimensión y coincidir término a término.

b) A · B = ( ); B · A = (1 3); A + B no se puede hacer, pues no tienen la mis-

ma dimensión.

At – B = (2 3) – (2 3) = (0 0)

4 Dadas las matrices: A = ( ) y B = ( ) comprueba que:

a) (A + B)t = At + Bt

b) (3A)t = 3At

a) (A + B)t = ( )t= ( )

At + Bt = ( ) + ( ) = ( )5 1–2 10 1

4 –20 1–1 0

1 3–2 01 1

5 1–2 10 1

5 –2 01 1 1

4 0 –1–2 1 0

1 –2 13 0 1

4 66 9

23

01

01

1 –15 2

34 –1622 –9

9 02 4

43 –1624 –5

21 –68 –6

–17/2 –2–11/2 1

–23 4–12 4

12

–3 0–2 2

7 –23 1


(A + B)t = At + Bt

b) (3A)t = ( )t= ( )

3At = 3 ( ) = ( )5 Calcula 3AAt – 2I, siendo A = ( ).

3A At – 2I = 3 ( ) ( ) – ( ) = 3 ( ) – ( ) =

= ( ) – ( ) = ( )6 Dadas las matrices A = ( ) y B = ( ), comprueba que (A · B)t = Bt · At.

A · B = ( ) → (A · B)t = ( )Bt · At = ( ) · ( ) = ( )

7 Calcula, en cada caso, la matriz B que verifica la igualdad:

a) ( ) + B = ( )b) 2 ( ) – 3B = ( )a) B = ( ) – ( ) = ( )b) 2 ( ) – 3B = ( ) → 3B = 2 ( ) – ( ) = ( )

B = ( )Matriz inversa

8 Comprueba que la matriz inversa de A es A–1:

A = ( ) A–1 = ( )A · A–1 = I

3 –6 –10 1 0–2 4 1

1 2 10 1 02 0 3

1 4/3–2 –1

3 4–6 –3

–5 40 –1

–1 4–3 –2

–5 40 –1

–1 4–3 –2

1 1 1–1 2 –1

3 –1 51 0 3

4 0 60 2 2

–5 40 –1

–1 4–3 –2

4 0 60 2 2

3 –1 51 0 3

–3 –25 1

3 2–1 –3

–1 02 1

–3 –25 1

–3 5–2 1

–1 20 1

3 –12 –3

28 5151 85

2 00 2

30 5151 87

2 00 2

10 1717 29

2 00 2

3 51 2

3 15 2

3 15 2

3 9–6 03 3

1 3–2 01 1

3 9–6 03 3

3 –6 39 0 3


(3A)t = 3At

(A · B)t = Bt · At

9 ¿Cuál es la matriz inversa de la matriz unidad?

La matriz unidad, I.

10 Halla la matriz inversa de A = ( ) y la de B = ( ). A = 2 → A–1 = ( ) B = –4 → B–1 = ( )

11 Con las matrices A y B del ejercicio anterior y sus inversas, A–1 y B–1,comprueba que:

a) (A + B)–1 ≠ A–1 + B–1

b) (A · B)–1 = B–1 · A–1

a) (A + B)–1 = ( )–1= ( )

A–1 + B–1 = ( )b) (A · B)–1 = ( )–1

= ( )B–1 · A–1 = ( ) · ( ) = ( )

Rango de una matriz

12 Estudia la dependencia o independencia lineal de los siguientes conjuntosde vectores:

a) →u1 = (1, –1, 3, 7),

→u2 = (2, 5, 0, 4) y di cuál es el rango de la matriz cuyas co-

lumnas son →u1 y

→u2.

b) →v1 = (1, 0, –2, 3, 1), →v2 = (2, –1, 3, 0, 2), →v3 = (4, –1, –1, 6, 4) y di cuál es el

rango de la matriz cuyas filas son →v1,

→v2,

→v3.

a) M = ( ) → ( ) → ( ) → ran (M) = 2

Los vectores →u1 y

→u2 son linealmente independientes.

b) M = ( ) → ( ) →1-ª

2-ª

3-ª – 2-ª

1 0 –2 3 10 –1 7 –6 00 –1 7 –6 0

1-ª

2-ª – 2 · 1-ª

3-ª – 4 · 1-ª

1 0 –2 3 12 –1 3 0 24 –1 –1 6 4

1 20 70 00 0

1-ª

2-ª

6 · 2-ª + 7 · 3-ª

10 · 2ª + 7 · 4-ª

1 20 70 –60 –10

1-ª

2-ª + 1-ª

3-ª – 3 · 1-ª

4-ª – 7 · 1-ª

1 2–1 53 07 4

0 11/8 –3/8

0 –11/2 1/2

–1 01/2 1/4

0 11/8 –3/8

3 81 0

–1 –11 3/4

–2 11/2 0

0 21 4

–1 01/2 1/4

0 –11/2 1/2

–1 02 4

1 2–1 0


(A + B)–1 ≠ A–1 + B–1

(A · B)–1 = B–1 · A–1

S

( ) → ran (M) = 2

El conjunto de vectores →v1,

→v2,

→v3 es linealmente dependiente. Hay dos vecto-

res linealmente independientes.

13 Estudia el rango de estas matrices y di, en cada caso, el número de columnasque son L.I.:

A = ( ) B = ( ) C = ( ) D = ( )A = ( ) → ( ) →

( ) → ran (A) = 3

Hay 3 columnas linealmente independientes en A.

B = ( ) → ( ) → ( ) → ran (B) = 2

Hay 2 columnas linealmente independientes en B.

C = ( ) → ( ) →

( ) → ( ) → ran (C) = 2

Hay dos columnas linealmente independientes en C.

D = ( ) → ( ) → ran (D) = 4

Las cuatro columnas de D son linealmente independientes.

1 1 1 10 –2 0 –20 0 –2 –20 0 0 –2

1-ª

2-ª – 1-ª

3-ª – 1-ª

4-ª – 1-ª

1 1 1 11 –1 1 –11 1 –1 –11 1 1 –1

1 1 1 10 4 2 20 0 0 00 0 0 0

1-ª

2-ª

3ª + 2-ª

4ª – 2-ª

1 1 1 10 4 2 20 –4 –2 –20 4 2 2

1-ª

2-ª – 1-ª

3-ª – 1-ª

4ª – 3 · 1-ª

1 1 1 11 5 3 31 –3 –1 –13 7 5 5

3-ª

2-ª

1-ª

4-ª

1 –3 –1 –11 5 3 31 1 1 13 7 5 5

2 1 30 0 –70 0 0

1-ª

2-ª

3-ª – 2-ª

2 1 30 0 –70 0 –7

1-ª

2-ª – 2 · 1-ª

3-ª – 3 · 1-ª

2 1 34 2 –16 3 2

1 1 1 20 1 3 70 0 11 41

1-ª

2-ª

3-ª + 2 · 2-ª

1 1 1 20 1 3 70 –2 5 27

1-ª

2-ª – 2 · 1-ª

3-ª – 1-ª

1 1 1 22 3 5 111 –1 6 29

1 1 1 11 –1 1 –11 1 –1 –11 1 1 –1

1 –3 –1 –11 5 3 31 1 1 13 7 5 5

2 1 34 2 –16 3 2

1 1 1 22 3 5 111 –1 6 29

1 0 –2 3 10 –1 7 –6 00 0 0 0 0


S

Ecuaciones con matrices

14 Halla las matrices X e Y que verifican el sistema

2X + Y = ( ), X – Y = ( ).2X + Y = ( )X – Y = ( )

3X = ( ) → X = ( )Despejamos Y en la 2-ª ecuación:

Y = X – ( ) = ( ) – ( ) = ( )Por tanto, X = ( ) y Y = ( ).

15 Calcula X tal que X – B2 = A · B, siendo:

A = ( ) B = ( )X = A · B + B2

A · B = ( )B2 = ( )

16 Determina los valores de m para los cuales

X = ( ) verifique X 2 – X + I = 0.

X2 – X + I = ( ) ( ) – ( ) + ( ) =

= ( ) – ( ) + ( ) = ( ) = ( )Tiene que cumplirse que:

m2 – m + 1 = 0 → 2m2 – 5m + 2 = 0 →52

0 00 0

m2 – (5/2)m + 1 00 0

1 00 1

m 00 2

52

m2 00 4

1 00 1

m 00 2

52

m 00 2

m 00 2

52

52

m 00 2

1 0 –22 1 10 0 1

1 0 02 1 00 0 2

1 0 –11 1 10 0 1

1 0 11 1 00 0 2

–1/3 20 0

2/3 11 0

–1/3 20 0

1 –11 0

2/3 11 0

1 –11 0

2/3 11 0

2 33 0

1 –11 0

1 42 0

1 –11 0

1 42 0


S

S

Sumando las dos ecuaciones, queda:

X = ( )2 0 –24 2 10 0 3

S

→ m = = =

Hay dos soluciones: m1 = 2; m2 =

17 Resuelve: ( ) ( ) = ( ) ( )( ) ( ) = ( ) ( ) →

→ ( ) = ( ) →

Sumando: 4x = –5 → x = → y = –3 – x = –3 + =

Solución: x = ; y =

Página 71

PARA PRACTICAR

18 Dada la matriz A = ( ), calcula A2, A3, …, A128.

A2 = A · A = ( ); A3 = A2 · A = ( ) = I; A4 = A3 · A = I · A = A

A128 = A42 · 3 + 2 = (A3)42 · A2 = I 42 · A2 = I · A2 = A2 = ( )19 Comprueba que A2 = 2A – I, siendo: A = ( ) e I la matriz unidad

de orden 3.

Utiliza esa igualdad para calcular A4.

A2 = A · A = ( )2A – I = ( ) – ( ) = ( )9 –8 4

4 –3 2–8 8 –3

1 0 00 1 00 0 1

10 –8 44 –2 2–8 8 –2

9 –8 44 –3 2–8 8 –3

5 –4 22 –1 1

–4 4 –1

4 4 1–3 –3 –10 1 –1

1 0 00 1 00 0 1

4 4 1–3 –3 –10 1 –1

4 5 –1–3 –4 1–3 –4 0

–74

–54

–74

54

–54

x + y = –33x – y = –2

x – y = 3 + 2x3x + 2y = 3y – 2

3 + 2x3y – 2

x – y3x + 2y

32

1 xy –1

xy

1 –13 2

32

1 xy –1

xy

1 –13 2

12

m = 21

m = —2

5 ± 34

5 ±√25 – 164


A2 = 2A – I

S

S

S

Calculamos A4:

A4 = (A2)2 = (2A – I )2 = (2A – I )(2A – I ) = 4A2 – 2A – 2A + I2 =

= 4(2A – I ) – 4A + I = 8A – 4I – 4A + I = 4A – 3I =

= 4 ( ) – 3 ( ) = ( ) – ( ) = ( )20 Determina a y b de forma que la matriz

A = ( ) verifique A2 = A.

A2 = A · A = ( ) ( ) = ( )

A2 = A → ( ) = ( ) →

Por tanto, a = 2 y b = –1.

21 Calcula An y Bn siendo: A = ( ) B = ( )

• A2 = A · A = ( ) ( ) = ( )A3 = A2 · A = ( ) ( ) = ( )Así, An = ( ) . Lo probamos por inducción:

Acabamos de comprobar que para n = 2 (primer caso relevante), funciona.

Suponemos que es cierto para n – 1:

An = An – 1 · A = ( ) · ( ) = ( )• B2 = ( ) ( ) = ( ) = ( )

B3 = B2 · B = ( ) ( ) = ( ) = ( )1 00 33

1 00 27

1 00 3

1 00 9

1 00 9

1 00 32

1 00 3

1 00 3

1 n/7 n/70 1 00 0 1

1 1/7 1/70 1 00 0 1

1 n – 1/7 n – 1/70 1 00 0 1

1 n/7 n/70 1 00 0 1

1 3/7 3/70 1 00 0 1

1 1/7 1/70 1 00 0 1

1 2/7 2/70 1 00 0 1

1 2/7 2/70 1 00 0 1

1 1/7 1/70 1 00 0 1

1 1/7 1/70 1 00 0 1

1 00 3

1 1/7 1/70 1 00 0 1

4 – a = 2 → a = 2–2 – b = –1 → b = –12a + ab = a → 4 – 2 = 2–a + b2 = b → –2 + 1 = –1

2 –1a b

4 – a –2 – b2a + ab –a + b2

4 – a –2 – b2a + ab –a + b2

2 –1a b

2 –1a b

2 –1a b

17 –16 88 –7 4

–16 16 –7

3 0 00 3 00 0 3

20 –16 88 –4 4

–16 16 –4

1 0 00 1 00 0 1

5 –4 22 –1 1–4 4 –1


S

Por tanto, Bn = ( ) . Lo probamos por inducción:

Igual que en el caso anterior, para n = 2 se cumple.

Suponemos que es cierto para n – 1:

Bn = Bn – 1 · B = ( ) · ( ) = ( )22 Dada la matriz A = ( ), halla una matriz B tal que A · B = ( ).

A · B = ( ) → A–1 AB = A–1 · ( ) → B = A · ( )Calculamos A–1: A = –3; A–1 = ( )Por tanto:

B = ( ) · ( ) = ( ) · ( ) = ( )

23 Dada la matriz A = ( ), prueba que A3 es la matriz nula.

Demuestra después que la matriz I + A + A2 es la matriz inversa de I – A.

☛ Multiplica I + A + A2 por I – A.

A2 = ( ); A3 = A2 · A = ( )Veamos que I + A + A2 es la inversa de I – A:

(I + A + A2) (I – A) = I – A + A – A2 + A2 – A3 = I – A3 = I – 0 = I.

Como (I + A + A2) · (I – A) = I, entonces I + A + A2 es la inversa de I – A.

24 Dada la matriz A = ( ) comprueba que (A + I )2 = 0 y expresa A2 co-

mo combinación lineal de A e I.

A + I = ( ) + ( ) = ( )(A + I )2 = ( ) ( ) = ( )0 0 0

0 0 00 0 0

4 0 83 0 6–2 0 –4

4 0 83 0 6–2 0 –4

4 0 83 0 6–2 0 –4

1 0 00 1 00 0 1

3 0 83 –1 6–2 0 –5

3 0 83 –1 6–2 0 –5

0 0 00 0 00 0 0

0 0 20 0 00 0 0

0 2 –10 0 10 0 0

2 –1–1 2

0 –1–1 0

1 –2–2 1

0 33 0

1 –2–2 1

–13

1 –2–2 1

–13

0 33 0

0 33 0

0 33 0

0 33 0

1 22 1

1 00 3n

1 00 3

1 00 3n – 1

1 00 3n


S

S

Expresamos A2 como combinación lineal de A e I:

(A + I )2 = 0 → (A + I ) (A + I ) = A2 + A + A + I = A2 + 2A + I = 0 →

→ A2 = –2A – I

25 a) Comprueba que la inversa de A es A–1:

A = ( ) A–1 = ( )b)Calcula la matriz X que verifica XA = B, siendo A la matriz anterior y

B = (1 –2 3).

a) A · A–1 = I

b) XA = B → X · A · A–1 = B · A–1 → X = B · A–1

Por tanto:

X = (1 –2 3) ( ) = ( –2)26 Estudia la dependencia lineal de los siguientes conjuntos de vectores según

los valores del parámetro t :

a) →u1 = (1, –1, 0, 2),

→u2 = (2, 0, 1, –2),

→u3 = (3, 1, 1, t)

b) →→v1 = (2, –2, 0, 0),

→v2 = (1, 5, 3, 3),

→v3 = (1, 1, t, 1),

→v4 = (2, 6, 4, 4)

a) Debemos estudiar el rango de la matriz:

M = ( ) → ( ) →

( ) → ran (M) = 3 para cualquier valor de t

Los tres vectores son linealmente independientes, cualquiera que sea el valor de t.

b) Hallamos el rango de la matriz:

M = ( ) → ( ) →

1-ª

2-ª – 1-ª

3-ª – 1-ª

4ª – 1-ª

1 –1 0 01 5 3 31 3 2 21 1 t 1

1-ª : 2

2-ª

4-ª : 2

3-ª

2 –2 0 01 5 3 31 1 t 12 6 4 4

1 –1 0 20 2 1 –60 4 –1 t + 6

1-ª

2-ª

3-ª – 2 · 2-ª

1 –1 0 20 2 1 –60 4 1 t – 6

1-ª

2-ª – 2 · 1-ª

3-ª – 3 · 1-ª

1 –1 0 22 0 1 –23 1 1 t

15

75

1/5 –2/5 0–3/5 6/5 1

0 1 0

1/5 –2/5 0–3/5 6/5 1

0 1 0

5 0 20 0 13 1 0


S

( ) → ( ) → ( )• Si t = 1, ran (M) = 2 → Hay dos vectores linealmente independientes.

• Si t ≠ 1, ran (M) = 3 → Hay tres vectores linealmente independientes.

27 Estudia el rango de las siguientes matrices según el valor del parámetro k :

M = ( ) N = ( ) P = ( ) Q = ( )M = ( ) → ( ) →

→ ran (M ) = 3 para cualquier valor de k.

N = ( ) → ( ) → 1 + 2k = 0 si k = –

• Si k = – , ran (N ) = 2.

• Si k ≠ – , ran (N ) = 3.

P = ( ) → ( ) → ( )• Si k = –2 → ran (P) = 1

• Si k ≠ –2 → ran (P) = 2

Q = ( ) → ( ) →

( )• Si k = 2 → ran (Q) = 2

• Si k ≠ 2 → ran (Q) = 3

–1 1 0 20 4 1 20 0 0 k – 2

1-ª

2-ª

3-ª – 3 · 2-ª

–1 1 0 20 4 1 20 12 3 k + 4

1-ª

2-ª + 1-ª

3-ª + 2 · 1-ª

–1 1 0 21 3 1 02 10 3 k

1 3 2 –10 0 0 00 0 0 k + 2

1-ª

2-ª – 1-ª

3-ª – 2 · 1-ª

1 3 2 –11 3 2 –12 6 4 k

1-ª

3-ª : 4

2-ª

1 3 2 –12 6 4 k4 12 8 –4

12

12

12

2 –1 40 0 70 1 + 2k 0

1-ª

2-ª + 1-ª

2 · 3-ª – 1-ª

2 –1 4–2 1 31 k 2

1 –1 –10 0 30 3 k + 2

1-ª

2-ª – 1-ª

3-ª – 2 · 1-ª

1 –1 –11 –1 22 1 k

–1 1 0 21 3 1 02 10 3 k

1 3 2 –12 6 4 k4 12 8 –4

2 –1 4–2 1 31 k 2

1 –1 –11 –1 22 1 k

1 –1 0 00 2 1 10 0 0 00 0 t – 1 0

1-ª

2-ª

3ª – 2-ª

4ª – 2-ª

1 –1 0 00 2 1 10 2 1 10 2 t 1

1-ª

2-ª : 3

3ª : 2

4ª

1 –1 0 00 6 3 30 4 2 20 2 t 1


28 Halla el valor de k para que el rango de la matriz A sea 2.

A = ( )A = ( ) → ( ) → ( )Para que ran (A) = 2, ha de ser k – 2 = 0; es decir, k = 2.

29 Halla X e Y sabiendo que 5X + 3Y = ( ) y 3X + 2Y = ( ).5X + 3Y = ( ) –15X – 9Y = ( )3X + 2Y = ( ) 15X + 10Y = ( )

3X = ( ) – 2Y = ( ) – 2 ( ) = ( ) → X = ( )Solución: X = ( ); Y = ( )

30 Dada la matriz A = ( ) halla dos números reales m y n tales que A + mA + nI = 0.

A + mA + nI = 0 → ( ) + m( ) + n( ) = ( )

( ) = ( ) →

Solución: m = –1; n = 0

31 Determina, si es posible, un valor de k para que la matriz (A – k I)2 sea lamatriz nula, siendo:

A = ( )A – kI = ( ) – ( ) = ( )–k –1 –2

–1 –k –21 1 3 – k

k 0 00 k 00 0 k

0 –1 –2–1 0 –21 1 3

0 –1 –2–1 0 –21 1 3

2 + 2m + n = 0 → n = 01 + m = 0 → m = –12 + 2m = 0 → m = –13 + 3m + n = 0 → n = 0

0 00 0

2 + 2m + n 1 + m2 + 2m 3 + 3m + n

0 00 0

1 00 1

2 12 3

2 12 3

2 12 3

–1 –52 0

1 3–2 3

1 3–2 3

3 9–6 9

–1 –52 0

1 –1–2 9

1 –1–2 9

5 –5–10 45

1 –1–2 9

–6 012 –45

2 0–4 15

1 –1–2 9

2 0–4 15

5 –5 –60 –2 –70 k – 2 0

1-ª

2-ª

3-ª + 2-ª

5 –5 –60 –2 –70 k 7

1-ª

2-ª + 1-ª

3-ª

5 –5 –6–5 3 –10 k 7

5 –5 –6–5 3 –10 k 7


Sumando: Y = ( )–1 –52 0

(A – kI )2 = ( ) ( ) = ( ) =

= ( ) → k = 1

32 Una compañía de muebles fabrica butacas, mecedoras y sillas, y cada una deellas de tres modelos: E (económico), M (medio) y L (lujo). Cada mes produ-ce 20 modelos E, 15 M y 10 L de butacas; 12 modelos E, 8 M y 5 L de mecedo-ras, y 18 modelos E, 20 M y 12 L de sillas. Representa esta información enuna matriz y calcula la producción de un año.

E M L

Cada mes: ( )E M L

Cada año: 12 · ( ) = ( )Página 72

33 En un edificio hay tres tipos de viviendas: L3, L4 y L5. Las viviendas L3 tienen4 ventanas pequeñas y 3 grandes; las L4 tienen 5 ventanas pequeñas y 4 gran-des, y las L5, 6 pequeñas y 5 grandes. Cada ventana pequeña tiene 2 cristalesy 4 bisagras, y las grandes, 4 cristales y 6 bisagras.

a) Escribe una matriz que describa el número y tamaño de ventanas de cadavivienda y otra que exprese el número de cristales y bisagras de cada tipode ventana.

b) Calcula la matriz que expresa el número de cristales y de bisagras de cada ti-po de vivienda.

P G C B

a) ( ) ; ( )P G C B C B

b) ( ) · ( ) = ( )20 3426 4432 54

L3L4L5

2 44 6

PG

4 35 46 5

L3L4L5

2 44 6

PG

4 35 46 5

L3L4L5

240 180 120144 96 60216 240 144

BUTACAS

MECEDORAS

SILLAS

20 15 1012 8 518 20 12

20 15 1012 8 518 20 12

BUTACAS

MECEDORAS

SILLAS

0 0 00 0 00 0 0

k2 – 1 2k – 2 4k – 42k – 2 k2 – 1 4k – 42 – 2k 2 – 2k k2 – 6k + 5

–k –1 –2–1 –k –21 1 3 – k

–k –1 –2–1 –k –21 1 3 – k


S

S

S

S

34 Un industrial fabrica dos tipos de bombillas: transparentes (T) y opacas (O).De cada tipo se hacen cuatro modelos: M1, M2, M3 y M4.

T O

( ) El porcentaje de bombillas defectuosas es el 2% en el modelo M1, el 5% en elM2, el 8% en el M3 y el 10% en el M4.

Calcula la matriz que expresa el número de bombillas transparentes y opa-cas, buenas y defectuosas, que se producen.

M1 M2 M3 M4

T OT O T O

( ) · ( ) = ( ) ≈ ( )

35 Halla todas las matrices X de la forma ( ) tales que X2 = ( ).X 2 = ( ) ( ) = ( ) = ( )

Hay dos soluciones: ( ) y ( )36 Calcula una matriz X que conmuta con la matriz A, esto es, A · X = X · A,

siendo A = ( ), y calcula A2 + 2A–1 · X.

A · X = ( ) ( ) = ( )X · A = ( ) ( ) = ( )

X = ( ) , con a, b ∈ Áa b0 a

c = 0d = ac = 0

a + c = ab + d = a + bd = c + d

a a + bc c + d

1 10 1

a bc d

a + c b + dc d

a bc d

1 10 1

1 10 1

–1 1 00 1 10 0 –1

1 1 00 –1 10 0 1

a = 1 → b = –1 → c = 1a = –1 → b = 1 → c = –1

a = ±1a = –bb = ±1c = –bc = ±1

a2 = 1a + b = 0b2 = 1b + c = 0c2 = 1

1 0 10 1 00 0 1

a2 a + b 10 b2 b + c0 0 c2

a 1 00 b 10 0 c

a 1 00 b 10 0 c

1 0 10 1 00 0 1

a 1 00 b 10 0 c

96 611354 869

DB

96 60,91 354 869,1

DB

300 200400 250250 180500 300

M1M2M3M4

0,02 0,05 0,08 0,10,98 0,95 0,92 0,9

DB

Esta tabla muestra la producción semanal de bombillasde cada tipo y modelo.

300 200400 250250 180500 300

M1M2M3M4


S

han de ser iguales.

X = ( ) →a bc d

S

A2 + 2A–1 · X = ( ) + 2 ( ) ( ) = ( ) + 2 ( ) =

= ( )(Observamos que la matriz que hemos obtenido también es de las que conmutancon A).

37 Sean A y B las matrices dadas por:

A = ( ) B = ( )Encuentra las condiciones que deben cumplir los coeficientes a, b, c paraque se verifique A · B = B · A.

A · B = ( ) ( ) = ( )B · A = ( ) ( ) = ( )Para que A · B = B · A, debe cumplirse que:

a = b = c

38 Dada la matriz: A = ( ) prueba que se verifica A3 + I = 0 y utiliza

esta igualdad para obtener A10.

☛ Haz A10 = (A3)3· A y ten en cuenta que A3 = – I.

A2 = ( ); A3 = ( ) → A3 + I = ( )Obtenemos A10 (teniendo en cuenta que A3 + I = 0 → A3 = –I ):

A10 = (A3)3 · A = (–I )3 · A = –I · A = –A = ( )0 –3 –4–1 4 51 –3 –4

0 0 00 0 00 0 0

–1 0 00 –1 00 0 –1

–1 0 11 4 4–1 –3 –3

0 3 41 –4 –5–1 3 4

c = bc = a7c = 7c7c = 7c

5a + 2c = 5a + 2b5b + 2c = 2a + 5b2a + 5c = 7c2b + 5c = 7c

5a + 2b 2a + 5b 07c 7c 00 0 1

5 2 02 5 00 0 1

a b 0c c 00 0 1

5a + 2c 5b + 2c 02a + 5c 2b + 5c 0

0 0 1

a b 0c c 00 0 1

5 2 02 5 00 0 1

a b 0c c 00 0 1

5 2 02 5 00 0 1

1 + 2a 2 + 2b – 2a0 1 + 2a

a b – a0 a

1 20 1

a b0 a

1 –10 1

1 20 1


S

S

S

39 Una matriz cuadrada se llama ortogonal cuando su inversa coincide con sutraspuesta.

Calcula x e y para que esta matriz A sea ortogonal: A = ( )☛ Haz A · At = I.

Si A–1 = At, ha de ser A · At = I; entonces:

A · At = ( ) · ( ) = ( ) = ( )+ x2 = 1 x2 = x = ±

y – x = 0 y = x y = x

y 2 + = 1 y 2 =

Hay dos soluciones: x1 = ; y1 = x2 = – ; y2 = –

40 Resuelve la ecuación matricial: ( ) · X · ( ) = ( )( )–1

= ( ); ( )–1= ( )

Por tanto:

( ) · X · ( ) = ( ) → X = ( ) · ( ) · ( ) =

= ( ) ( ) = ( )Solución: X = ( )


41 Justifica por qué no es cierta la igualdad: (A + B) · (A – B) = A2 – B2 cuando Ay B son dos matrices cualesquiera.

(A + B) · (A – B) = A2 – AB + BA – B2

Para que la igualdad fuera cierta, tendría que ser AB = BA; y, en general, no escierto para dos matrices cualesquiera.

–1 –6–1 –8

–1 –6–1 –8

0 –1–1/2 –2

2 24 2

0 –1–1/2 –2

6 422 14

4 –1–3 1

6 422 14

4 –2–1 0

1 13 4

0 –1–1/2 –2

4 –2–1 0

4 –1–3 1

1 13 4

6 422 14

4 –2–1 0

1 13 4

45

45

45

45

1625

925

35

35

45

1625

925

1 0 00 1 00 0 1

9/25 + x2 3/5y – 3/5x 03/5y – 3/5x y2 + 9/25 0

0 0 1

3/5 y 0x –3/5 00 0 1

3/5 x 0y –3/5 00 0 1

3/5 x 0y –3/5 00 0 1


S

42 Sea A una matriz de dimensión 2 × 3:

a) ¿Existe una matriz B tal que A · B sea una matriz de una sola fila?

b) ¿Y para B · A?

Pon un ejemplo para cada caso, siendo: A = ( )a) No; A · B tendrá 2 filas necesariamente. Por ejemplo, tomando A = ( )

y B = ( ), tenemos que: A · B = ( )b) Sí; si tomamos una matriz de dimensión 1 × 2 (ha de tener dos columnas para

poder multiplicar B · A), el resultado tendrá una sola fila. Por ejemplo:

Si A = ( ) y B = (1 2), entonces B · A = (5 2 0)

43 Sean A y B dos matrices cuadradas de igual tamaño. Si A y B son simé-tricas, ¿lo es también su producto A · B?

Si la respuesta es afirmativa, justifícala, y si es negativa, pon un contraejem-plo.

Si A y B son dos matrices cuadradas de igual tamaño, simétricas, su producto,A · B, no tiene por qué ser una matriz simétrica. Por ejemplo:

Si A = ( ) y B = ( ) → A · B = ( ) no es simétrica.

Página 73

44 Definimos la traza de una matriz cuadrada A de orden 2 como tr (A) = a11 + a22.Prueba que si A y B son dos matrices cuadradas de orden 2, entoncestr (A · B ) = tr (B · A).

Si A = ( ) y B = ( ); entonces:

A · B = ( ) →

→ tr (A · B) = a11b11 + a12b21 + a21b12 + a22b22

B · A = ( ) →

→ tr (B · A) = a11b11 + a21b12 + a12b21 + a22b22

Por tanto, tr (A · B) = tr (B · A).

b11a11 + b12a21 b11a12 + b12a22b21a11 + b22a21 b21a12 + b22a22

a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22

b11 b12b21 b22

a11 a12a21 a22

5 1 12 5 14 –1 –1

–1 3 13 –1 01 0 –1

1 2 02 1 10 1 1

1 0 02 1 0

14

120

1 0 02 1 0

1 0 02 1 0


S

S

S

45 Sea A una matriz cuadrada de orden 3 tal que aij = 0 si i ≠ j (A es una ma-triz diagonal). Prueba que el producto de dos matrices diagonales es unamatriz diagonal.

Si A = ( ) y B = ( ), su producto es:

A · B = ( ), que también es una matriz diagonal.

46 Sean A = (aij)m, n , B = (bij)n, p , C = (cij)q, r . ¿Qué condiciones deben cumplirp, q y r para que se puedan efectuar las siguientes operaciones?

a) A · C · B b) A · (B + C )

a) n = q = r b) n = q; p = r

47 Sea A una matriz de dos filas y dos columnas cuyo rango es 2. ¿Puede variarsu rango si le añadimos una fila o una columna?

No, porque el número de filas linealmente independientes coincide con el númerode columnas linealmente independientes. Si añadimos una fila, A seguiría tenien-do dos columnas; y si añadimos una columna, A seguiría teniendo dos filas. Portanto, el rango seguiría siendo 2.

48 Una matriz de 3 filas y 3 columnas tiene rango 3.

a) ¿Cómo puede variar el rango si quitamos una columna?

b) Si suprimimos una fila y una columna, ¿podemos asegurar que el rangode la matriz resultante será 2?

a) Tendrá rango dos.

b) No. Podría ser dos o uno. Por ejemplo:

Si en A = ( ) suprimimos la primera fila y la tercera columna,

queda ( ), que tiene rango 1 (A tenía rango 3).

49 a) Si A es una matriz regular de orden n y existe una matriz B tal queAB + BA = 0, probar que BA–1 + A–1B = 0.

b) Si A = ( ), halla una matriz B ≠ 0 tal que AB + BA = 0.

a) Multiplicamos por A–1 por la izquierda en la igualdad:

AB + BA = 0 → A–1AB + A–1BA = 0 → B + A–1BA = 0

–3 –24 3

0 10 0

1 1 10 1 10 0 1

a11b11 0 00 a22b22 00 0 a33b33

b11 0 00 b22 00 0 b33

a11 0 00 a22 00 0 a33


S

S

S

S

Ahora multiplicamos la igualdad obtenida por A–1 por la derecha:

BA–1 + A–1BAA–1 = 0 → BA–1 + A–1B = 0

b) Si B = ( ), entonces:

A · B = ( ) · ( ) = ( )B · A = ( ) · ( ) = ( )Así:

AB + BA = ( ) = ( )

Por tanto: B = ( ), a y b ≠ 0

Por ejemplo, con a = 1 y b = 1, queda B = ( ).50 Demuestra que si una matriz verifica A2 = 0 (0 es la matriz nula), entonces

A no puede tener inversa.

Supongamos que se verifica que A2 = 0, pero que A sí tiene inversa, que existeA–1.

Multiplicando la igualdad A2 = 0 por (A–1)2, quedaría:

(A–1)2 · A2 = 0 → (A–1 · A)2 = 0 → I = 0; lo cual es absurdo.

Por tanto, deducimos que no existe A–1.

51 ¿Es posible añadir una fila a la matriz ( ) de forma que la nuevamatriz tenga rango 4?

Razona la respuesta.

Calculemos el rango de la matriz dada:

( ) → ( ) → ( )Tiene rango 2; luego, añadiendo una fila, la matriz resultante no podrá tener rango4 (tendría rango 2 ó 3).

1 2 0 30 1 –1 –20 0 0 0

1-ª

2-ª

3-ª – 3 · 2-ª

1 2 0 30 1 –1 –20 3 –3 –6

1-ª

2-ª

3-ª – 2 · 1-ª

1 2 0 30 1 –1 –22 7 –3 0

1 2 0 30 1 –1 –22 7 –3 0

1 1–1 –1

a b–3a + 2b –a

3a – 2b + c = 0a + d = 0

d = –aa + d = 0

2b – c + 3d = 0 → 3a – 2b + c = 0 →→ c = –3a + 2b

–6a + 4b – 2c = 0–2a – 2d = 04a + 4d = 0

4b – 2c + 6d = 0

0 00 0

–6a + 4b – 2c –2a – 2d4a + 4d 4b – 2c + 6d

–3a + 4b –2a + 3b–3c + 4d –2c + 3d

–3 –24 3

a bc d

–3a – 2c –3b – 2d4a + 3c 4b + 3d

a bc d

–3 –24 3

a bc d


S

S

PARA PROFUNDIZAR

52 Sean A y B dos matrices cuadradas del mismo orden. De la igualdadA · B = A · C no puede deducirse, en general, que B = C.

a) Prueba esta afirmación buscando dos matrices B y C distintas tales que

A · B = A · C, siendo A = ( ).b) ¿Qué condición debe cumplir la matriz A para que de A · B = A · C se

pueda deducir que B = C ?

a) Por ejemplo, si B = ( ) y C = ( ), entonces:

A · B = ( ) = A · C, pero B ≠ C.

b) Debe existir A–1.

53 Halla una matriz cuadrada de orden 2, distinta de I y de –I, cuya inversa coinci-da con su traspuesta.

Sea A = ( ). Si su inversa, A–1, coincide con su traspuesta, At, ha de tenerse que

A · At = I. Es decir:

A · At = ( ) · ( ) = ( ) = ( )Por ejemplo, obtenemos, entre otras: ( ); ( ); ( ); ( )

54 Estudia el rango de las siguientes matrices según los valores de a :

M = ( ) A = ( )M = ( ) → ( )

A = ( ) → ( ) • Si a = 0, ran (A) = 2• Si a ≠ 0, ran (A) = 3

a 1 00 1 30 0 1

1-ª

2-ª

3-ª – 1-ª

a 1 00 1 3a 1 1

• Si a = 1, ran (M) = 2• Si a = –2, ran (M) = 2• Si a ≠ 1 y a ≠ –2, ran (M) = 3

1 2 –10 0 a + 2

a – 1 0 0

1-ª

2-ª – 2 · 1-ª

3-ª – 1-ª

1 2 –12 4 aa 2 –1

a 1 00 1 3a 1 1

1 2 –12 4 aa 2 –1

0 –1–1 0

0 1–1 0

0 –11 0

0 11 0

a2 + b2 = 1ac + bd = 0c2 + d2 = 1

1 00 1

a2 + b2 ac + bdac + bd c2 + d2

a cb d

a bc d

a bc d

3 23 2

3 10 1

1 –12 3

1 11 1


S55 Se dice que una matriz es antisimétrica cuando su traspuesta es igual a su

opuesta. Obtén la forma general de una matriz de orden 2 que sea antisimé-trica.

Si A = ( ), entonces At = ( ) y –A = ( ).Para que At = –A, ha de ser:

( ) = ( ) →

Por tanto, una matriz antisimétrica de orden 2 es de la forma: ( )PARA PENSAR UN POCO MÁS

56 Recuerda que una matriz A es simétrica si At = A. Una matriz se llama anti-simétrica si –At = A. (Tanto las matrices simétricas como las antisimétricasson, obviamente, cuadradas). Demuestra que en una matriz antisimétrica to-dos los elementos de la diagonal principal son ceros.

• Si A = (aij)n × n, los elementos de su diagonal principal son aii, i = 1, 2, …, n.

• La traspuesta es At = (aji)n × n; los elementos de su diagonal principal también se-rán aii (los mismos que los de A).

• La opuesta de la traspuesta es –At = (aji)n × n; los elementos de su diagonal princi-pal serán –aii.

• Para que –At = A, han de ser aii = –aii; por tanto, aii = 0, i = 1, …, n (es decir,los elementos de la diagonal principal son ceros).

57 Decimos que una matriz cuadrada es mágica de suma k cuando la suma delos elementos de cada fila, así como los de cada columna y los de las dos dia-gonales es, en todos los casos, igual a k. ¿Cuánto vale k si una matriz mágicaes antisimétrica? Halla todas las matrices mágicas antisimétricas de orden 3.

• Hemos visto en el ejercicio anterior que, en una matriz antisimétrica, los elementosde la diagonal principal son ceros. Por tanto, si la matriz es antisimétrica, k = 0.

• Buscamos las matrices mágicas antisimétricas de orden 3: (sabemos que, en estecaso, la suma ha de ser cero).

Veamos cómo es una matriz antisimétrica de orden 3:

A = ( ) → At = ( ) · A antisimétrica si At = –A; es decir:

( ) = ( ) →a = –a b = –d c = –gd = –b e = –e f = –hg = –c h = –f i = –i

–a –b –c–d –e –f–g –h –i

a d gb e hc f i

a d gb e hc f i

a b cd e fg h i

0 b–b 0

a = 0c = –b

d = 0

a = –ac = –bb = –cd = –d

–a –b–c –d

a cb d

–a –b–c –d

a cb d

a bc d


Luego, una matriz antisimétrica de orden 3 es de la forma: A = ( )Para que A sea mágica, ha de tenerse que:

es decir:

Por tanto, las matrices mágicas antisimétricas de orden 3 son de la forma:

A = ( ), con b ∈ Á.

58 Obtén todas las matrices mágicas simétricas de orden 3 para k = 0.

Una matriz simétrica de orden 3 es de la forma:

A = ( ) (pues A = At ). Para que sea mágica con k = 0, ha de ser:

( ) →( ) → ( ) →→ ( ) →( ) →

a + b + c = 0 → a = –b – c = –fb + d + e = 0 → b = –e = f

c + e + f = 0 → c = 0d + e + f = 0 → e = –f

3d = 0 → d = 0

1 1 1 0 0 0 00 1 0 1 1 0 00 0 1 0 1 1 00 0 0 1 1 1 00 0 0 3 0 0 0

1-ª

2-ª

3-ª

4-ª : 2

5-ª + 4-ª

1 1 1 0 0 0 00 1 0 1 1 0 00 0 1 0 1 1 00 0 0 2 2 2 00 0 0 1 –2 –2 0

1-ª

2-ª

3-ª

4-ª + 3-ª

5-ª – 2 · 3-ª

1 1 1 0 0 0 00 1 0 1 1 0 00 0 1 0 1 1 00 0 –1 2 1 1 00 0 2 1 0 0 0

1-ª

2-ª

3-ª

4-ª + 2-ª

5-ª

1 1 1 0 0 0 00 1 0 1 1 0 00 0 1 0 1 1 00 –1 –1 1 0 1 00 0 2 1 0 0 0

1-ª

2-ª

3-ª

4-ª – 1-ª

5-ª

1 1 1 0 0 0 00 1 0 1 1 0 00 0 1 0 1 1 01 0 0 1 0 1 00 0 2 1 0 0 0

a + b + c = 0b + d + e = 0

c + e + f = 0a + d + f = 0

2c + d = 0

a b cb d ec e f

0 b –b–b 0 bb –b 0

c = –bf = b

–b – c = 0b – f = 0c + f = 0

b + c = 0–b + f = 0–c – f = 0

0 b c–b 0 f–c –f 0


Por tanto, una matriz mágica simétrica de orden 3 con k = 0, es de la forma:

A = ( ), con f ∈ Á.

59 Obtén todas las matrices mágicas simétricas de orden 3 para k = 3.

Una matriz simétrica de orden 3 es de la forma: A = ( )Para que sea mágica con k = 3, ha de ser:

( ) →( ) → ( ) →

( ) → ( ) →→

Por tanto, una matriz mágica simétrica de orden 3 con k = 3, es de la forma:

A = ( ), con f ∈ Á

Por ejemplo, con f = 0, queda: A = ( )2 0 10 1 21 2 0

2–f f 1f 1 2–f1 2–f f

a + b + c = 3 → a = 3 – b – c = 3 – f – 1 = 2 – fb + d + e = 3 → b = 3 – d – e = 3 – 1 – 2 + f = f

c + e + f = 3 → c = 3 – e – f = 3 – 2 + f – f = 1d + e + f = 3 → e = 3 – d – f = 3 – 1 – f = 2 – f

3d = 3 → d = 1

1 1 1 0 0 0 30 1 0 1 1 0 30 0 1 0 1 1 30 0 0 1 1 1 30 0 0 3 0 0 3

1-ª

2-ª

3-ª

4-ª : 2

5-ª + 4-ª

1 1 1 0 0 0 30 1 0 1 1 0 30 0 1 0 1 1 30 0 0 2 2 2 60 0 0 1 –2 –2 –3

1-ª

2-ª

3-ª

4-ª + 3-ª

5-ª – 2 · 3-ª

1 1 1 0 0 0 30 1 0 1 1 0 30 0 1 0 1 1 30 0 –1 2 1 1 30 0 2 1 0 0 3

1-ª

2-ª

3-ª

4-ª + 2-ª

5-ª

1 1 1 0 0 0 30 1 0 1 1 0 30 0 1 0 1 1 30 –1 –1 1 0 1 00 0 2 1 0 0 3

1-ª

2-ª

3-ª

4-ª – 1-ª

5-ª

1 1 1 0 0 0 30 1 0 1 1 0 30 0 1 0 1 1 31 0 0 1 0 1 30 0 2 1 0 0 3

a + b + c = 3b + d + e = 3

c + e + f = 3a + d + f = 3

2c + d = 3

a b cb d ec e f

–f f 0f 0 –f0 –f f


Determinantes de orden 2

■ Resuelve cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones y calcula el deter-minante de la matriz de los coeficientes:

a) b) c)

d) e) f )

a) = –11 ≠ 0

Solución: x = 4, y = 7

b) = 0. Solución: x = + λ, y = λ

c) = 3 ≠ 0

Solución: x = 5, y = –3

d) = 0. Incompatible

e) = 0

Solución: x = – λ, y = λ

f) = –109 ≠ 0. Solución: x = , y = 886109

1 402109

3 118 –7

3x + 11y = 1288x – 7y = 46

43

13

18 2415 20

18x + 24y = 615x + 20y = 5

9 –6–6 4

9x – 6y = 7–6x + 4y = 11

4 15 2

4x + y = 175x + 2y = 19

35

85

5 –3–10 6

5x – 3y = 8–10x + 6y = –16

2 33 –1

2x + 3y = 293x – y = 5

3x + 11y = 1288x – 7y = 46

18x + 24y = 615x + 20y = 5

9x – 6y = 7–6x + 4y = 11

4x + y = 175x + 2y = 19

5x – 3y = 8–10x + 6y = –16

2x + 3y = 293x – y = 5

Unidad 3. Determinantes 1

DETERMINANTES3


■ Queremos calcular todos los posibles productos (de tres factores) en los que in-tervengan un elemento de cada fila y uno de cada columna de esta matriz:

( )a) Averigua cuántos productos hay y calcula todos ellos.

b) Hazlo de nuevo para una matriz 3 × 3 cualquiera.

( )a) Hay 6 productos: b)

6 · 5 · 1 = 30 3 · 5 · 4 = 60 a11 a22 a33 a13 a22 a31

2 · 7 · 3 = 42 7 · 8 · 6 = 336 a13 a21 a32 a11 a23 a32

9 · 8 · 4 = 288 2 · 9 · 1 = 18 a12 a23 a31 a12 a21 a33


■ En una matriz 4 × 4, ¿cuántos productos de 4 factores hay en los que interven-gan un elemento de cada fila y uno de cada columna?

( )Hay 4! = 24 productos.

Determinantes de orden n

■ ¿Sabrías decir, en general, en una matriz cuadrada n × n, cuántos productosde n factores, uno de cada fila y uno de cada columna, pueden darse?

Hay n! productos.

Página 78

1. Calcula el valor de los siguientes determinantes y di por qué son cero algunosde ellos:

a) b) c) d) e) f) a) = 2 b) = –50

13 64 –2

13 64 2

–140 760 –3

3 1121 77

7 –27 –2

1 011 0

13 64 –2

13 64 2

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

a41 a42 a43 a44

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

6 9 32 5 84 7 1


c) = 0, porque tiene una columna de ceros.

d) = 0, porque tiene sus dos filas iguales.

e) = 0, porque sus filas son proporcionales: (1-ª) · 7 = (2-ª)

f) = 0, porque sus dos columnas son proporcionales: (2-ª) · (–20) = (1-ª)

2. Calcula el valor de los siguientes determinantes teniendo en cuenta estos datos:

A = ( ) A = –13

a) b) 6A c) d) A–1

a) = – = –(–13) = 13

b) 6A = = 6 · 6 = 36 · (–13) = –468

c) = 4 = 4 · (–13) = –52

d) A · A–1 = A · A–1 = 1 → A–1 = = = –

Página 79

1. Calcula los siguientes determinantes:

a) b) a) = –114 b) = 3

2. Halla el valor de estos determinantes:

a) b) a) = 14 b) = 1 000

10 47 590 10 910 0 10

0 4 –11 2 13 0 1

10 47 590 10 910 0 10

0 4 –11 2 13 0 1

9 0 3–1 1 00 2 1

5 1 40 3 69 6 8

9 0 3–1 1 00 2 1

5 1 40 3 69 6 8

113

1–13

1|A|

l mn p

l 4mn 4p

l mn p

6l 6m6n 6p

l mn p

n pl m

l 4mn 4p

n pl m

l mn p

–140 760 –3

3 1121 77

7 –27 –2

1 011 0


3. Justifica, sin desarrollar, estas igualdades:

a) = 0 b) = 0

c) = 0 d) = 0

a) Tiene una fila de ceros (propiedad 2).

b) La 3-ª fila es proporcional a la 1-ª (3-ª = (–2) · 1-ª) (propiedad 6).

c) La 3-ª fila es combinación lineal de las dos primeras (3-ª = 1-ª + 10 · 2-ª) (propiedad 9).

d) La 1-ª fila es combinación lineal de las otras dos (1-ª = 10 · 2-ª + 3-ª) (propiedad 9).

4. Teniendo en cuenta el resultado del determinante que se da, calcula el resto sindesarrollar:

= 1 a) b) c) a) = 3 = 3 · 1 = 3

b) = 5 · = 1 · 1 = 1

c) = = 1

Página 82

1. Justifica que los siguientes determinantes:

a) b) c) d) valen: a) 0, b) 0, c) 96 ó –96, d) 1 ó –1

a) La 4-ª columna es proporcional a la 2-ª (4-ª = 9 · 2-ª), luego el determinante vale 0(propiedad 6).

b) La 3-ª fila es combinación lineal de las otras tres (3-ª = 100 · 4-ª + 10 · 1-ª + 2-ª), lue-go el determinante es 0 (propiedad 9).

1 0 0 04 –1 0 07 –1 1 03 1 4 1

4 0 0 00 0 8 00 0 0 10 –3 0 0

1 0 1 02 4 0 3

612 704 410 1036 7 4 1

4 3 1 271 1 4 92 4 –1 360 6 2 54

x y z5 0 31 1 1

x y z2x + 5 2y 2z + 3x + 1 y + 1 z + 1

x y z5 0 31 1 1

15

5x 5y 5z1 0 3/51 1 1

x y z5 0 31 1 1

3x 3y 3z5 0 31 1 1

x y z2x + 5 2y 2z + 3x + 1 y + 1 z + 1

5x 5y 5z1 0 3/51 1 1

3x 3y 3z5 0 31 1 1

x y z5 0 31 1 1

45 11 104 1 15 1 0

7 4 12 9 727 94 71

4 1 72 9 1

–8 –2 –14

3 –1 70 0 01 11 4


c) 4 · 8 · 1 · (–3) = –96; este es el único producto posible distinto de cero. Luego, eldeterminante valdrá 96 ó –96, según el signo que le corresponda a dicho producto.

d) 1 · (–1) · 1 · 1 = –1 es el único producto posible distinto de cero. Luego, el determi-nante valdrá 1 ó –1, según el signo que le corresponda a dicho producto.

Página 83

1. Halla dos menores de orden dos y otros dos menores de orden tres de la ma-triz:

M = ( )Menores de orden dos; por ejemplo:

M = ( ) = 0, = 4

Menores de orden tres; por ejemplo:

M = ( ) = 68, = 21

2. Halla el menor complementario y el adjunto de los elementos a12, a33 y a43 dela matriz:

A = ( )α12 = = –2; A12 = (–1)1 + 2 · α12 = –1 · (–2) = 2

α33 = = 108; A33 = (–1)3 + 3 · α33 = 1 · 108 = 108

α43 = = 16; A43 = (–1)4 + 3 · α43 = –1 · 16 = –160 2 62 –1 51 1 3

0 2 62 –1 54 6 7

2 3 51 2 34 5 7

0 2 4 62 –1 3 51 1 2 34 6 5 7

–1 2 61 1 50 3 4

2 3 –14 6 25 –1 2

2 3 –1 54 6 2 75 –1 2 64 1 1 50 0 3 4

2 61 5

2 34 6

2 3 –1 54 6 2 75 –1 2 64 1 1 50 0 3 4

2 3 –1 54 6 2 75 –1 2 64 1 1 50 0 3 4


1. Calcula el siguiente determinante aplicando la regla de Sarrus y desarrollándo-lo por cada una de sus filas y cada una de sus columnas:

Comprueba que se obtiene el mismo resultado en los siete casos.

Aplicando la regla de Sarrus:

= 3 · 2 · 4 + (–5) · 8 · (–1) + 7 · 6 · 9 – (–1) · 2 · 9 – 6 · 8 · 3 – 7 · (–5) · 4 = 456

Desarrollando por la 1-ª fila:

= 3 – 7 – 1 = 3 · (–40) – 7 · (–74) – 1 · (–58) =

= –120 + 518 + 58 = 456


= 5 + 2 – 6 = 5 · 36 + 2 · 21 – 6 · (–39) =

= 180 + 42 + 234 = 456


= 9 – 8 + 4 = 9 · 44 – 8 · 13 + 4 · 41 =

= 396 – 104 + 164 = 456

Desarrollando por la 1-ª columna:

= 3 + 5 + 9 = 3 · (–40) + 5 · 36 + 9 · 44 =

= –120 + 180 + 396 = 456


= –7 + 2 – 8 = –7 · (–74) + 2 · 21 – 8 · 13 =

= 518 + 42 – 104 = 456

3 –1–5 6

3 –19 4

–5 69 4

3 7 –1–5 2 69 8 4

7 –12 6

7 –18 4

2 68 4

3 7 –1–5 2 69 8 4

3 7–5 2

3 –1–5 6

7 –12 6

3 7 –1–5 2 69 8 4

3 79 8

3 –19 4

7 –18 4

3 7 –1–5 2 69 8 4

–5 29 8

–5 69 4

2 68 4

3 7 –1–5 2 69 8 4

3 7 –1–5 2 69 8 4

3 7 –1–5 2 69 8 4



= –1 – 6 + 4 = –1 · (–58) – 6 · (–39) + 4 · 41 =

= 58 + 234 + 164 = 456

2. Dada la matriz ( ) :

a) Halla la suma de los productos de cada elemento de la 1-ª fila por el corres-pondiente adjunto de la 3-ª fila.

b)Halla la suma de los productos de cada elemento de la 3-ª columna por el ad-junto de los correspondientes elementos de la 2-ª columna.

c) Justifica por qué los dos resultados anteriores son cero.

a) a11 · A31 + a12 · A32 + a13 · A33 = 3 · + 7 · (–1) · – 1 · =

= 3 · 44 – 7 · 13 – 1 · 41 = 132 – 91 – 41 = 0

b) a13 · A12 + a23 · A22 + a33 · A32 = –1 · (–1) · + 6 · + 4 · (–1) · =

= 1 · (–74) + 6 · 21 – 4 · 13 = –74 + 126 – 52 = 0

c) Por la propiedad 12.


a) b) c) d) a) =

(1)–7 = –7 · 290 = –2 030

(1) Desarrollando por la 2-ª columna.

b) =(1)

–2 + 2 = –2 · 28 + 2 · 28 = 0

(1) Desarrollando por la 4-ª fila.

También podríamos haber observado que la 4-ª columna es igual a la suma de lasotras tres; y, por tanto, el determinante vale cero.

3 1 –11 4 –10 3 2

1 –1 34 –1 43 2 5

3 1 –1 31 4 –1 40 3 2 52 0 0 2

7 –3 44 4 71 1 9

7 0 –3 44 0 4 73 7 6 91 0 1 9

3 –1 4 05 6 2 00 1 3 08 6 7 1

0 0 3 41 1 1 02 0 3 50 2 0 1

3 1 –1 31 4 –1 40 3 2 52 0 0 2

7 0 –3 44 0 4 73 7 6 91 0 1 9

3 –1–5 6

3 –19 4

–5 69 4

3 7–5 2

3 –1–5 6

7 –12 6

3 7 –1–5 2 69 8 4

3 7–5 2

3 79 8

–5 29 8

3 7 –1–5 2 69 8 4


c) =(1)

3 · – 4 = 3 · (–12) – 4 · (–2) = –36 + 8 = –28


d) =(1) = 83

(1) Desarrollando por la 4-ª columna.

Página 86


a) b) c) d) a) = =

(1)2 · =

= 2 · 145 = 290


b) = =(1) = 0


c) = = – =

1 2 3 41 0 1 43 1 0 1–2 –3 –1 5

1 2 0 3 40 0 1 –1 31 0 0 1 43 1 0 0 1–2 –3 0 –1 5

1-ª

2-ª

3-ª + 2-ª

4-ª

5-ª + 2-ª

1 2 0 3 40 0 1 –1 31 0 –1 2 13 1 0 0 1–2 –3 –1 0 2

28 2 32–31 8 –15–24 3 –18

28 –5 2 32–31 7 8 –15–24 5 3 –180 1 0 0

1-ª – 5 · 2-ª

2-ª

3-ª

4-ª – 6 · 2-ª

3 –5 2 24 7 8 271 5 3 125 1 0 6

–2 –1 117 23 62 4 –3

–2 2 –1 117 –5 23 62 0 4 –30 2 0 0

1-ª – 3 · 2-ª

2-ª

3-ª – 4 · 2-ª

4-ª

4 2 7 12 –5 3 62 0 4 –36 2 8 0

0 0 1 23 0 1 0–2 1 0 30 –4 2 1

1 2 0 3 40 0 1 –1 31 0 –1 2 13 1 0 0 1–2 –3 –1 0 2

3 –5 2 24 7 8 271 5 3 125 1 0 6

4 2 7 12 –5 3 62 0 4 –36 2 8 0

3 –1 45 6 20 1 3

3 –1 4 05 6 2 00 1 3 08 6 7 1

1 1 12 0 30 2 0

1 1 02 0 50 2 1

0 0 3 41 1 1 02 0 3 50 2 0 1


COLUMNAS

COLUMNAS

FILAS

= = – = = –16

d) = = – =

= – = = 27 – 16 = 9

Página 88

1. Calcula el rango de las siguientes matrices:

A = ( ) B = ( )C = ( ) D = ( )A = ( )Tomamos un menor de orden 2 distinto de cero: = –7 ≠ 0

Luego, las dos primeras filas son linealmente independientes.

Observamos que la 3-ª fila es la suma de las dos primeras, y que la 4-ª fila es la suma dela 2-ª y la 3-ª. Por tanto, ran (A) = 2.

B = ( )Tomamos un menor de orden 2 distinto de cero: = 8 ≠ 0. Luego, las dos pri-meras filas son linealmente independientes.

4 22 3

4 2 1 5 32 3 2 6 56 5 3 12 812 10 6 23 16

1 23 –1

1 2 3 0 –1 43 –1 0 1 1 24 1 3 1 0 67 0 3 2 1 8

2 1 0 –15 1 –3 –77 2 –3 –81 0 2 2

1 0 0 1 –11 –1 2 1 00 0 0 0 11 1 0 0 0

4 2 1 5 32 3 2 6 56 5 3 12 812 10 6 23 16

1 2 3 0 –1 43 –1 0 1 1 24 1 3 1 0 67 0 3 2 1 8

3 –2–8 9

0 1 03 1 –2–8 2 9

1-ª

2-ª

(–2) · 2-ª + 3-ª

0 1 23 1 0–8 2 13

0 0 1 23 0 1 0–2 1 0 3–8 0 2 13

1-ª

2-ª

3-ª

4 · 3-ª + 4-ª

0 0 1 23 0 1 0–2 1 0 30 –4 2 1

–2 2 –83 1 1–1 –3 9

–2 2 0 –81 0 1 43 1 0 1–1 –3 0 9

1-ª – 3 · 2-ª

2-ª

3-ª

4-ª + 2-ª


FILAS

FILAS

COLUMNAS

Veamos si la tercera fila depende linealmente de las anteriores:

= 8 ≠ 0 → Las 3 primeras filas son linealmente independientes.

Veamos si la 4-ª fila depende linealmente de las anteriores:

= 0 y = 0

Por tanto, ran (B) = 3.

C = ( )Tomamos un menor de orden 2 distinto de cero: = 1 ≠ 0. Luego, las dos pri-meras filas son linealmente independientes.

Como = = –2 ≠ 0, las tres primeras filas son linealmente independientes.

Como = – = 2 ≠ 0, entonces ran (C ) = 4

D = ( )Tomamos un menor de orden 2 distinto de cero: = –3 ≠ 0. Luego, las dos pri-meras filas son linealmente independientes.

Como = –9 ≠ 0, la primera, segunda y cuarta fila son linealmente independientes.

La tercera fila es la suma de las dos primeras. Luego, ran (D) = 3.

2 1 05 1 –31 0 2

2 15 1

2 1 0 –15 1 –3 –77 2 –3 –81 0 2 2

0 1 –12 1 00 0 1

0 0 1 –1–1 2 1 00 0 0 11 0 0 0

0 12 1

0 1 –12 1 00 0 1

1 –11 0

1 0 0 1 –11 –1 2 1 00 0 0 0 11 1 0 0 0

4 2 5 32 3 6 56 5 12 812 10 23 16

4 2 1 52 3 2 66 5 3 1212 10 6 23

4 2 52 3 66 5 12


S

Página 93


PARA PRACTICAR

1 De las siguientes operaciones con determinantes de orden 2 × 2, señala lasque son correctas y, en su caso, enuncia las propiedades que se utilizan:

a) = 0 b) = 4 c) = 2 d) = 2 a) Verdadero. Tiene las dos columnas iguales.

b) Verdadero. Si una fila está multiplicada por un número, el determinante quedamultiplicado por ese número.

c) Falso; sería = 4 .

d) Verdadero. Si la 2-ª fila está multiplicada por 2, el determinante queda multipli-cado por 2.

2 Si = –5, ¿cuál es el valor de cada uno de estos determinantes? Justifica

las respuestas:

a) b) c) d) e) f ) a) =

(1) =(2) = –5

b) =(2) =

(3)– = –(–5) = 5

c) =(4)

–3 =(3)

3 = 3 · (–5) = –15

d) =(4)

2 =(2)

2 =(3)

–2 = –2 · (–5) = 10

e) =(4)

· m = = –5

f) = 0, pues las dos columnas son proporcionales.m 5mp 5p

m np q

m np q

1m

1 n/mmp mq

m np q

p qm n

p mq n

p 2mq 2n

m np q

n mq p

3n –m3q –p

m np q

p qm n

p mq n

m np q

m pn q

m + 3n p + 3qn q

m 5mp 5p

1 n/mmp mq

p 2mq 2n

3n –m3q –p

p mq n

m + 3n p + 3qn q

m np q

1 11 3

2 22 6

2 21 3

2 22 6

1 11 3

2 22 6

1 11 3

2 22 6

a ab b


S

(1) Si a una fila le sumamos otra multiplicada por un número, el determinante novaría.

(2) El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta.

(3) Si cambiamos de orden dos filas o dos columnas, el determinante cambia de signo.

(4) Si multiplicamos una fila o una columna por un número, el determinante quedamultiplicado por ese número.

3 Sustituye los puntos suspensivos por los números adecuados para que se ve-rifiquen las siguientes igualdades:

a) = + b) = + a) = + b) = +

4 Resuelve estas ecuaciones:

a) = 12 b) = 0 c) = 0

a) = 12

= (1 + x)2 – (1 – x)2 = 1 + x2 + 2x – (1 + x2 – 2x) =

= 1 + x2 + 2x – 1 – x2 + 2x = 4x = 12 → x = 3

b) = 0

= sen x – cos x = 0 → sen x = cos x → = 1 →

→ tg x = 1 (k ∈ zc)

c) = 0

= x2 · (x – 2) – x (1 – 2x) = x3 – 2x2 – x + 2x2 = x3 – x =

= x (x2 – 1) = 0 x = 0x = 1x = –1

x – 2 1 – 2xx x2

x – 2 1 – 2xx x2

πx = — + 2πk

45π

x = — + 2πk4

sen xcos x

sen x cos x1 1

sen x cos x1 1

1 + x 1 – x1 – x 1 + x

1 + x 1 – x1 – x 1 + x

x – 2 1 – 2xx x2

sen x cos x1 1

1 + x 1 – x1 – x 1 + x

–10 42 0

6 –12 0

–4 32 0

1 72 –3

2 73 –3

3 75 –3

L L2 0

6 –12 0

–4 32 0

L 7L –3

2 73 –3

3 75 –3


S

S

5 Calcula el valor de estos determinantes:

a) b) c) d) e) f ) a) = 0 b) = 0 c) = –25

d) = 10 e) = 14 f) = 2

6 Halla el rango de las siguientes matrices:

a) C = ( ) b) D = ( )a) C = ( )

Tomamos un menor de orden 2 distinto de cero: = –5 ≠ 0 → ran (C ) ≥ 2

Las dos últimas filas son linealmente independientes.

Veamos si la 2-ª fila depende linealmente de las dos últimas:

= 0. La 2-ª fila depende linealmente de las dos últimas.

Veamos si la 1-ª fila depende de las dos últimas:

= 10 ≠ 0. Por tanto, ran (C ) = 3.

b) D = ( )Tomamos un menor de orden 2 distinto de cero: = –5 ≠ 0

Las dos primeras columnas son linealmente independientes. Luego, ran (D) ≥ 2.

4 51 0

1 2 3 1 –14 5 6 2 11 0 0 3 4

3 5 11 0 14 5 0

6 10 –21 0 14 5 0

0 15 0

3 5 16 10 –21 0 14 5 0

1 2 3 1 –14 5 6 2 11 0 0 3 4

3 5 16 10 –21 0 14 5 0

1 0 1–2 1 11 –1 0

0 4 –11 2 13 0 1

0 3 1–2 0 23 4 0

7 8 00 –7 31 0 1

3 4 –62 –1 15 3 –5

1 8 11 7 01 6 –1

1 0 1–2 1 11 –1 0

0 4 –11 2 13 0 1

0 3 1–2 0 23 4 0

7 8 00 –7 31 0 1

3 4 –62 –1 15 3 –5

1 8 11 7 01 6 –1


S

S

Veamos si la 3-ª columna depende linealmente de las dos primeras:

= = –3 ≠ 0. Por tanto, ran (D) = 3.

7 Halla los valores de a que anulan cada uno de los siguientes determinantes:

a) b) c) d) ☛ Desarrolla, iguala a 0 y resuelve la ecuación que obtengas.

a) = –3 + 5 + 4 – 5 + 3 – 4a = 4 – 4a = 0 → a = 1

b) = 3(a – 1) + (a – 1) (a + 6) – 6(a – 1) = (a – 1) [3 + a + 6 – 6] =

= (a – 1) (3 + a) = 0

c) = 4a2 + 4 – 4 – 12 = 4a2 – 12 = 0 → a2 = 3

d) = 4(a + 1) + a + a – 2 – a2(a + 1) – 2 =

= 4a + 4 + 2a – 2 – a3 – a2 · 2 = –a3 – a2 + 6a = –a (a2 + a – 6) = 0 →

a = 0

a2 + a – 6 = 0 → a = =

8 Calcula el valor de los siguientes determinantes:

a) b) c) d) a) = –72 b) = –18

c) = 0 d) = 938

–1 3 2 –12 –2 1 30 –5 10 47 –8 9 –2

1 2 3 42 1 2 11 2 4 53 4 1 2

1 –1 2 02 1 3 13 1 4 32 1 7 0

1 0 –1 22 3 2 –22 4 2 13 1 5 –3

–1 3 2 –12 –2 1 30 –5 10 47 –8 9 –2

1 2 3 42 1 2 11 2 4 53 4 1 2

1 –1 2 02 1 3 13 1 4 32 1 7 0

1 0 –1 22 3 2 –22 4 2 13 1 5 –3

a = 2a = –3

–1 ± 52

–1 ±√1 + 242

a + 1 1 11 2 a1 a 2

a = √32 1 10 2 22 3 a2

a = 1a = –3

a – 1 1 –10 a + 6 3

a – 1 2 0

3 4 –51 –1 11 –1 a

a + 1 1 11 2 a1 a 2

2 1 10 2 22 3 a2

a – 1 1 –10 a + 6 3

a – 1 2 0

3 4 –51 –1 11 –1 a

2 35 6

1 2 34 5 61 0 0


S

Página 94

PARA RESOLVER

9 Justifica, sin desarrollar, que los siguientes determinantes son nulos:

a) b) a) La 1-ª y la 3-ª columnas son proporcionales (la 3-ª es –5 por la 1-ª).

b) Sumamos la 3-ª fila a la 2-ª:

= =

= 5(a + b +c) = 0 (pues tiene dos filas iguales).

10 Prueba, sin desarrollar, que A es múltiplo de 3 y B es múltiplo de 5:

A = B = |A|= =

(1) =(2)

3 · → Es múltiplo de 3.

(1) Sumamos a la 3-ª columna las otras dos.

(2) Si una columna se multiplica por un número, el determinante queda multipicado porese número.

|B|= =(3) =

(2)5 → Es múltiplo de 5.

(3) Sumamos a la 3-ª fila la 2-ª.

11 ¿Para qué valores de a se anula este determinante? A = Calcula el rango de la matriz A en los siguientes casos:

a = 1 a = 0 a = 2

|A|= = = – =

= –[8(a + 1) – 30 + 6] = –[8a + 8 – 30 + 6] = –(8a – 16) = 0 → a = 2

–1 –5 4a + 1 0 3

2 2 0

1 1 1 2–1 0 –5 4

a + 1 0 0 32 0 2 0

1-ª

2-ª – 2 · 1-ª

3-ª + 1-ª

4-ª + 1-ª

1 1 1 21 2 –3 8a –1 –1 11 –1 1 –2

1 1 1 21 2 –3 8a –1 –1 11 –1 1 –2

5 2 14 7 62 2 3

5 2 14 7 610 10 15

5 2 14 7 66 3 9

1 3 24 7 48 2 5

1 3 64 7 128 2 15

1 3 24 7 18 2 5

5 2 14 7 66 3 9

1 3 24 7 18 2 5

1 1 11 1 1

b + c a + c a + b

5 5 5a + b + c a + b + c a + b + c

b + c a + c a + b

5 5 5a b c

b + c a + c a + b

5 5 5a b c

b + c a + c a + b

–8 25 402/5 3 –20 27 0


S

S

Por tanto:

• Si a = 1 → |A|≠ 0 → ran (A) = 4

• Si a = 0 → |A|≠ 0 → ran (A) = 4

• Si a = 2 → |A|= 0

A = ( ) = –15 ≠ 0 → ran (A) = 3

12 Estudia el rango de las siguientes matrices según el valor del parámetro queaparece en ellas:

a) A = ( ) b) B = ( )c) C = ( ) d) D = ( )

a) |A|= = 2a – 6 + 4 – a = a – 2 = 0 → a = 2

• Si a = 2 → Como |A|= 0 y = 1 ≠ 0 → ran (A) = 2

• Si a ≠ 2 → |A|≠ 0 → ran (A) = 3

b) |B|= = 12 – a2 – 12 – 9a + 8 + 2a = –a2 – 7a + 8 = 0 →

→ a = = =

Observamos que = 10 ≠ 0 → ran (B) ≥ 2

Por tanto:

• Si a = 1 → |B|= 0 → ran (B) = 2

• Si a = –8 → |B|= 0 → ran (B) = 2

• Si a ≠ 1 y a ≠ –8 → |B|≠ 0 → ran (B) = 3

c) Por el ejercicio 11, sabemos que |C|= 0 → a = 2, y que:

• Si a = 2 → ran (C ) = 3

• Si a ≠ 2 → ran (C ) = 4

3 4–1 2

a = –8a = 1

7 ± 9–2

7 ± √81–2

7 ± √49 + 32–2

2 –1 aa 3 43 –1 2

2 11 1

2 1 01 1 –23 1 a

a –1 11 –a 2a –1

1 1 1 21 2 –3 8a –1 –1 11 –1 1 –2

2 –1 aa 3 43 –1 2

2 1 01 1 –23 1 a

1 1 11 2 –32 –1 –1

1 1 1 21 2 –3 82 –1 –1 11 –1 1 –2


S

d) D = ( ) → = –a2 + 1 = 0


D = ( ) → ran (D) = 1


D = ( ) → = 2 ≠ 0 → ran (D) = 2

• Si a ≠ 1 y a ≠ –1 → ran (D) = 2

13 ¿Para qué valores de x se anulan los determinantes siguientes?

a) = 0 b) = 0

c) = 0 d) = 0

a) =(1)

x – =(2)

x · x3 – 1 = x4 – 1 = 0 →

→ x = ±

(1) Desarrollamos por la 1-ª columna.

(2) Son determinantes de matrices triangulares.

b) = = a (x – b) (x – c) = 0

(Suponemos que a ≠ 0).

c) =(1) =

(2)(2 – x) =

1 1 0 11 –x 1 01 1 –x 11 0 1 –x

2 – x 1 0 12 – x –x 1 02 – x 1 –x 12 – x 0 1 –x

–x 1 0 11 –x 1 00 1 –x 11 0 1 –x

x = bx = c

a b c0 x – b 00 0 x – c

1-ª

2-ª – 1-ª

3-ª – 1-ª

a b ca x ca b x

x = 1x = –1

4√1

1 0 0x 1 00 x 1

x 1 00 x 10 0 x

x 1 0 00 x 1 00 0 x 11 0 0 x

x –1 –1 0–x x –1 11 –1 x 11 –1 0 x

–x 1 0 11 –x 1 00 1 –x 11 0 1 –x

a b ca x ca b x

x 1 0 00 x 1 00 0 x 11 0 0 x

–1 11 –3

–1 –1 11 1 –3

1 –1 11 –1 1

a = 1a = –1

a –11 –a

a –1 11 –a 2a – 1


FILAS

S

= =(3) =

(4)

= –x = –x [(–x – 1)2 – 1] = –x [x2 + 1 + 2x – 1] =

= –x (x2 + 2x) = –x2(x + 2) = 0

(1) Sumamos a la 1-ª columna las demás.

(2) Sacamos (2 – x) factor común de la 1-ª columna.


(4) Desarrollamos por la 2-ª fila.

d) =(1) =

(2)(x – 1) =

= (x – 1) (x3 + 1 + x – x) = (x – 1) (x3 + 1) = 0

(1) Sumamos a la 1-ª columna la 2-ª.


14 Determina el rango de las siguientes matrices según los valores de t:

a) A = ( ) b) B = ( )c) C = ( ) d) D = ( )e) E = ( ) f ) F = ( )g) G = ( )3 – t 3 2t

–2 0 –1–1 –3 –2–t

t + 2 0 t

t 1 1 22 t t2 12 1 1 2

t t 02 t + 1 t – 1

–2t – 1 0 t + 3

1 1 –1 02 1 –1 0–t 6 3 – t 9 – t

t + 3 4 00 t – 1 1

–4 –4 t – 1

t 2 22 t 01 t t

t 1 11 –t 11 1 t

x = 1x3 + 1 = 0 → x = –1

x –1 1–1 x 1–1 0 x

x – 1 –1 –1 00 x –1 10 –1 x 10 –1 0 x

x –1 –1 0–x x –1 11 –1 x 11 –1 0 x

x = 0x = –2

–x – 1 –1–1 –x – 1

–x – 1 1 –10 –x 0–1 1 –x – 1

1 1 0 10 –x – 1 1 –10 0 –x 00 –1 1 –x – 1

1-ª

2-ª – 1-ª

3-ª – 1-ª

4-ª – 1-ª


FILAS

S

a) |A| = = –t3 + 1 + 1 + t – t – t = –t3 – t + 2 = (t – 1) (–t2 – t – 2) = 0

t = 1

–t2 – t – 2 = 0 → t2 + t + 2 = 0 → t = – ∉ Á.

• Si t = 1, queda:

A = ( ); como |A| = 0 y = –2 ≠ 0 → ran (A) = 2

• Si t ≠ 1 → |A|≠ 0 → ran (A) = 3

b) |B|= = t3 + 4t – 2t – 4t = t3 – 2t = t (t2 – 2) = 0


B = ( ). Como = –4 ≠ 0 → ran (B) = 2

• Si t = , queda:

B = ( ). Como = –2 ≠ 0 → ran (B) = 2

• Si t = – , queda:

B = ( ). Como = –2 ≠ 0 → ran (B) = 2

• Si t ≠ 0, t ≠ y t ≠ – → |B|≠ 0 → ran (B) = 3

c) |C|= = (t + 3) (t – 1)2 – 16 + 4(t + 3) =

= (t + 3) (t2 – 2t + 1) – 16 + 4t + 12 = t3 – 2t2 + t + 3t2 – 6t + 3 + 4t – 4 =

= t3 + t2 – t – 1 = (t – 1) (t + 1)2 = 0 t = 1t = –1

t + 3 4 00 t – 1 1–4 –4 t – 1

√2√2

–√—2 2

2 –√—2

–√—2 2 2

2 –√—2 0

1 –√—2 –√

—2

√2

√—2 2

2 √—2

√—2 2 2

2 √—2 0

1 √—2 √

—2

√2

0 22 0

0 2 22 0 01 0 0

t = 0

t = √—2

t = – √—2

t 2 22 t 01 t t

1 11 –1

1 1 11 –1 11 1 1

1 ± √1 – 8–2

t 1 11 –t 11 1 t



C = ( ). Como = 4 ≠ 0 → ran (C ) = 2

• Si t = –1, queda:

C = ( ). Como = –4 ≠ 0 → ran (C ) = 2

• Si t ≠ 1 y t ≠ –1 → |C|≠ 0 → ran (C ) = 3

d) D = ( )Observamos que la 4-ª columna se obtiene sumando la 2-ª y la 3-ª. Por tanto, parahallar el rango, podemos prescindir de una de esas tres columnas, por ejemplode la 3-ª.

Tenemos que:

= (9 – t) = (9 – t) (–1) = t – 9 = 0 → t = 9

• Si t = 9 → Como = –1 ≠ 0 → ran (D) = 2

• Si t ≠ 9 → ran (D) = 3

e) |E|= = t (t + 1) (t + 3) + t (t – 1) (–2t – 1) – 2t (t + 3) =

= t3 + 4t2 + 3t – 2t3 + t2 + t – 2t2 – 6t = –t3 + 3t2 – 2t = t (–t2 + 3t – 2) = 0

t = 0

–t2 + 3t – 2 = 0 → t = =


E = ( ). Como = 1 ≠ 0 → ran (E ) = 22 1–1 0

0 0 02 1 –1–1 0 3

t = 1t = 2

–3 ± 1–2

–3 ± √9 – 8–2

t t 02 t + 1 t – 1

–2t – 1 0 t + 3

1 12 1

1 12 1

1 1 02 1 0–t 6 9 – t

1 1 –1 02 1 –1 0–t 6 3 – t 9 – t

2 40 –2

2 4 00 –2 1–4 –4 –2

4 00 1

4 4 00 0 1–4 –4 0



E = ( ). Como = 6 ≠ 0 → ran (E ) = 2


E = ( ). Como = 2 ≠ 0 → ran (E ) = 2

• Si t ≠ 0, t ≠ 1 y t ≠ 2 → |E|≠ 0 → ran (E ) = 3

f) F = ( ). Tenemos que: = 2t2 + 4 + 2 – 4t – t – 4 =

= 2t2 – 5t + 2 = 0 → t = = =


F = ( ) iguales. Además, = 2 ≠ 0 → ran (F ) = 2

• Si t = , queda:

F = ( )Sabemos que = 0.

Tenemos que = ≠ 0 → ran (F) = 3

• Si t ≠ 2 y t ≠ → ran (F ) = 312

34

1/2 1 22 1/4 12 1 2

1/2 1 22 1/2 12 1 2

1/2 1 1 22 1/2 1/4 12 1 1 2

12

2 12 2

2 1 1 22 2 4 12 1 1 2

t = 2 1

t = —2

5 ± 34

5 ± √94

5 ± √25 – 164

t 1 22 t 12 1 2

t 1 1 22 t t2 12 1 1 2

2 22 3

2 2 02 3 1–5 0 5

2 2–3 0

1 1 02 2 0–3 0 4


→

→

S

g) = 9t – 18 = 0 → t = 2

• Si t = 2, tenemos que

= 0.

Como ≠ 0 → ran (G) = 2

• Si t ≠ 2, ran (G) = 3.

Página 95

15 Calcula el valor de este determinante dando el resultado factorizado:

=(1) =

(2)(3 + 3x) =

(3 + 3x) =(3)

(3 + 3x) =

= (3 + 3x) (3 – x)3 = 3(1 + x) (x – 3)3


(2) Sacamos (3 + 3x) factor común, de la 1-ª columna.


3 – x 0 00 3 – x 00 0 3 – x

1 x x x0 3 – x 0 00 0 3 – x 00 0 0 3 – x

1-ª

2-ª – 1-ª

3-ª – 1-ª

4-ª – 1-ª

1 x x x1 3 x x1 x 3 x1 x x 3

3 + 3x x x x3 + 3x 3 x x3 + 3x x 3 x3 + 3x x x 3

3 x x xx 3 x xx x 3 xx x x 3

3 x x xx 3 x xx x 3 xx x x 3

–2 0–1 –3

1 3 4–2 0 –1–1 –3 –4

3 –t 3 2t–2 0 –1–1 –3 –2 – t


16 Halla, en función de a, el valor de los determinantes siguientes:

A1 = A2 = A1 = =

(1) =(2)

= (4a + 1) = (4a + 1) =(3)

= (4a + 1) = (4a + 1) · 1 = (4a + 1)


(2) Sacamos (4a + 1) factor común, de la 1-ª columna.


A2 = = =(1)

= –a =(2)

–a (2 – a)3 = a (a – 2)3


(2) Es el determinante de una matriz triangular.

17 Prueba, sin desarrollarlos, que el valor de los siguientes determinantes es 0:

a) b) a) = = 0,

pues las dos últimas filas son proporcionales.

x x + 1 x + 20 2 20 4 4

1-ª

2-ª – 1-ª

3-ª – 1-ª

x x + 1 x + 2x x + 3 x + 4x x + 5 x + 6

1 2 3 41 + a 2 + a 3 + a 4 + a

a a a a5 6 7 8

x x + 1 x + 2x x + 3 x + 4x x + 5 x + 6

2 – a 0 03 – a 2 – a 04 – a 3 – a 2 – a

a a a a2 – a 0 0 03 – a 2 – a 0 04 – a 3 – a 2 – 0 0

1-ª

2-ª – 1-ª

3-ª – 1-ª

4-ª – 1-ª

a a a a2 a a a3 2 a a4 3 2 a

1 0 00 1 00 0 1

1 a a a0 1 0 00 0 1 00 0 0 1

1-ª

2-ª – 1-ª

3-ª – 1-ª

4-ª – 1-ª

1 a a a1 a + 1 a a1 a a + 1 a1 a a a + 1

4a + 1 a a a4a + 1 a + 1 a a4a + 1 a a + 1 a4a + 1 a a a + 1

a + 1 a a aa a + 1 a aa a a + 1 aa a a a + 1

a a a a2 a a a3 2 a a4 3 2 a

a + 1 a a aa a + 1 a aa a a + 1 aa a a a + 1


FILAS

FILAS

FILAS

S

S

S

b) =(1) + =

(2)0 + 0 = 0

(1) Descomponemos el determinante en suma de dos.

(2) Hay dos filas iguales en cada uno de los determinantes.

18 Sabiendo que = 5, calcula el valor de los siguientes determinantes:

a) b) c) a) =

(1) + =(2)

= + 0 = · 5 =

(1) Descomponemos el determinante en suma de dos.

(2) Sacamos factor común de la 3-ª fila. El 2-º determinante es 0, pues las dos

primeras filas son proporcionales.

b) =(1)

– =(1) = 5

(1) Cuando cambiamos de orden dos filas consecutivas, el determinante cambiade signo.

c) = =(1)

= 2 = 2 = 2 · 5 = 10

(1) Sacamos factor común el 2 de la 3-ª fila.

19 Las matrices A y B tienen 3 filas y 12 columnas pero, en el proceso de edi-ción, algunas de estas se han borrado.

A = ( ) B = ( )2 –1 3 L L L3 0 1 L L L5 4 0 L L L

1 1 –1 L L L3 –1 0 L L L–7 5 –2 L L L

1 1 1a b cx y z

1-ª + 3-ª

2-ª

3-ª

1 – x 1 – y 1 – za b cx y z

1 – x 1 – y 1 – za b c2x 2y 2z

1-ª

2-ª – 3-ª

3-ª

1 – x 1 – y 1 – za + 2x b + 2y c + 2z

2x 2y 2z

1 1 1a b cx y z

a b c1 1 1x y z

a b cx y z1 1 1

12

52

12

1 1 1a b cx y z

12

1 1 17 7 7

x/2 y/2 z/2

1 1 1a b c

x/2 y/2 z/2

1 1 1a + 7 b + 7 c + 7x/2 y/2 z/2

1 – x 1 – y 1 – za + 2x b + 2y c + 2z

2x 2y 2z

a b cx y z1 1 1

1 1 1a + 7 b + 7 c + 7x/2 y/2 z/2

1 1 1a b cx y z

1 2 3 4a a a aa a a a5 6 7 8

1 2 3 41 2 3 4a a a a5 6 7 8

1 2 3 41 + a 2 + a 3 + a 4 + a

a a a a5 6 7 8


S

FILAS

FILAS

S

¿Puedes averiguar algo sobre los posibles valores de su rango?

Si llamamos C a la matriz cuyas columnas son las 24 que forman las dos ma-trices A y B, ¿cuál será el rango de C ?

A = ( ). Como = –4 ≠ 0 y = 0, sabemos que

ran (A) ≥ 2. También sabemos, puesto que A solo tiene 3 filas, que ran (A) ≤ 3.Por tanto, podemos afirmar que 2 ≤ ran (A) ≤ 3; es decir, ran (A) podría ser 2 ó 3.

• En el caso de la matriz B, tenemos que:

B = ( ). Como = 23 ≠ 0; y B solo tiene tres filas,

entonces ran (B) = 3.

• Si C es la matriz cuyas columnas son las 24 que forman las dos matrices A y B,por los resultados anteriores tendremos que ran (C ) = 3.

20 Considera la matriz A = ( ), donde a, b y c son no nulos.

a) Determina el número de columnas de A que son linealmente indepen-dientes.

b) Calcula el rango de A.

|A|= = a b c = abc · 0 = 0

Pero = –ab + 2ab = ab ≠ 0, pues a y b son no nulos.

Por tanto:

a) Hay dos columnas en la matriz A que son linealmente independientes.

b) ran (A) = 2

21 Estudia el rango de la siguiente matriz para los distintos valores de a, b y c:

M = ( )|M|= =

(1) =(2)

5 5 5a + b + c a + b + c a + b + c

b + c a + c a + b

5 5 5a b c

b + c a + c a + b

5 5 5a b c

b + c a + c a + b

a b2a –b

1 1 12 –1 33 0 4

a b c2a –b 3c3a 0 4c

a b c2a –b 3c3a 0 4c

2 –1 33 0 15 4 0

2 –1 3 …3 0 1 …5 4 0 …

1 1 –13 –1 0–7 5 –2

1 13 –1

1 1 –1 …3 –1 0 …–7 5 –2 …


S

= (a + b + c) =(3)

0

(1) Sumamos a la 2-ª fila la 3-ª.

(2) Sacamos (a + b + c) factor común de la 2-ª fila.

(3) Las dos primeras filas son proporcionales.

Luego, ran (M) ≤ 2. Tenemos que:

= 5b – 5a = 0 → b = a = 5c – 5b = 0 → c = b

= 5c – 5a = 0 → a = c

Por tanto:

• Si a = b = c → ran (M) = 1

• Si a ≠ b o b ≠ c o a ≠ c → ran (M) = 2

22 Estudia el rango de la matriz: A = ( )|A|= =

(1) = cos2 α + sen2 α = 1

(1) Desarrollamos el determinante por la 3-ª fila o por la 3-ª columna.

Por tanto, como |A|≠ 0, tenemos que ran (A) = 3.

23 Calcula el valor de este determinante: = =

(1) =

= =(1)

– = – =(2)

–(–2) = 2


(2) Es el determinante de una matriz triangular.

1 1 10 2 10 0 –1

1-ª

2-ª

3-ª – 1-ª

1 1 10 2 11 1 0

–1 0 1 00 1 1 10 0 2 10 1 1 0

1-ª

2-ª + 1-ª

3-ª + 1-ª

4-ª

–1 0 1 01 1 0 11 0 1 10 1 1 0

1 1 0 0 10 –1 0 1 00 1 1 0 10 1 0 1 10 0 1 1 0

1-ª

2-ª – 1-ª

3-ª

4-ª

5-ª – 1-ª

1 1 0 0 11 0 0 1 10 1 1 0 10 1 0 1 11 1 1 1 1

1 1 0 0 11 0 0 1 10 1 1 0 10 1 0 1 11 1 1 1 1

cos α –sen αsen α cos α

cos α –sen α 0sen α cos α 0

0 0 1

cos α –sen α 0sen α cos α 0

0 0 1

5 5a c

5 5b c

5 5a b

5 5 51 1 1

b + c a + c a + b


FILAS

FILAS FILAS


24 ¿Cuál es el valor del determinante de la matriz unidad de orden n?

¿Y el de una matriz triangular de orden n?

Justifica tus respuestas.

det (In) = 1. El determinante de una matriz triangular de orden n es el producto delos elementos de su diagonal principal (pues el resto de los productos que intervie-nen en la obtención del determinante serían cero). En el caso de la matriz unidadde orden n, tenemos un ejemplo de matriz triangular en la que los elementos desu diagonal principal son unos. Por eso, el determinante vale 1.

25 Comprueba que el determinante de una matriz de orden 3 es igual al de sutraspuesta.

Si A = ( ), entonces At = ( ).Aplicando la definición de determinante, obtenemos que |At|= |A|. Lo vemos:

|A|= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33

|At|= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33

Luego |A| = |At|.

26 ¿Sabrías decir cuál de estos dos productos puede formar parte del desarrollode un determinante de orden 4?

a) a12 · a23 · a31 · a42 b) a14 · a41 · a23 · a32

Solo podría ser b), puesto que en cada producto ha de aparecer un factor de cadafila y uno de cada columna.

27 Comprueba que: det (A · B) = det (A) · det (B) siendo A y B dos matrices dia-gonales de orden 3.

Sea: A = ( ); B = ( )A · B = ( ) → |A · B|= a11 b11 a22 b22 a33 b33

|A| · |B|= a11 b11 a22 b22 a33 b33

Luego, |A · B|= |A| · |B|

|A|= a11 a22 a33|B|= b11 b22 b33

a11b11 0 00 a22b22 00 0 a33b33

b11 0 00 b22 00 0 b33

a11 0 00 a22 00 0 a33

a11 a21 a31a12 a22 a32a13 a23 a33

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33


28 Justifica que det (A–1) =

☛ Ten en cuenta que: A · A–1 = I

Sabemos que |A · B|= |A| · |B|. Como A · A–1 = I, tenemos que:

|A| · |A–1|= |I|. Pero |I|= 1 (ver ejercicio 24). Por tanto, queda:

|A| · |A–1|= 1 → |A–1|=

(Observación: |A|≠ 0, puesto que existe A–1, luego podemos dividir entre |A|).

29 Si A es una matriz cuadrada de orden 4, ¿puedes saber el valor de:

a21 A11 + a22 A12 + a23 A13 + a24 A14

sin conocer los elementos de la matriz?

El resultado es 0, pues tenemos un producto de los elementos de una fila (la 2-ª) porlos adjuntos de otra (la 1-ª).

30 Dadas la matrices A y B de orden 4 × 4 con A = 3 y B = 2, calcula: A–1 , Bt A y (AB–1)t .

Justifica las respuestas.

|A–1|= = (ver ejercicio 28).

|Bt · A| =(1)

|Bt|· |A| =(2)

|B|· |A|= 2 · 3 = 6

|(AB–1)t| =(2)

|AB–1| =(1)

|A|· |B–1|= |A|· = =

(1) Tenemos en cuenta que |A · B|= |A| · |B|.

(2) El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta.

31 De una matriz cuadrada A se sabe que su determinante vale –1, y que el de-terminante de 2A vale –8.

¿Cuál es el orden de la matriz A? Razona la respuesta.

|2A|= –8 = –1 · 8 = –1 · 23 = 23 · |A|. Si tenemos en cuenta la siguiente propie-dad de los determinantes:

“Si multiplicamos una fila o una columna de una matriz por un n-º, el determinantequeda multiplicado por ese n-º”; entonces, si A es una matriz cuadrada de orden n:

|2A|= 2n · |A|. En nuestro caso concreto, será n = 3.

Es decir, A es una matriz de orden 3.

32

|A||B|

1|B|

13

1|A|

1|A|

1det (A)


S

S

S

32 Escribe dos matrices A y B ∈ M2 × 2 tales que:

a) det (A + B) ≠ det (A) + det (B)

b) det (A + B) = det (A) + det (B)

a) Por ejemplo: A = ( ); B = ( ); A + B = ( )|A|= 7; |B|= –11; |A + B|= 0 ≠ |A| + |B|= –4

b) Por ejemplo: A = ( ); B = ( ); A + B = ( )|A|= 0; |B|= 0; |A + B|= 0 = |A| + |B|

33 Sea A una matriz cuadrada tal que A2 = A. Demuestra que det (A) = 0 odet (A) = 1.

|A2|= |A · A|= |A| · |A| = |A|2 = |A| → |A|2 – |A|= 0 →

→ |A|(|A| – 1) = 0

(Hemos tenido en cuenta que |A · B|= |A| · |B|).

34 Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden, ¿se verifica que A · B = B · A ?

Justifica tu respuesta.

Tendremos en cuenta que |A · B|= |A| · |B|. Entonces:

|A · B|= |A| · |B| =(*)

|B| · |A|= |B · A|. Por tanto, sí se verifica la igualdad.

(*) Aunque el producto de matrices no es conmutativo, el producto de números (losdeterminantes son números), sí lo es.

35 Si la matriz A = ( ) tiene rango 2, ¿qué rango tendrá la matriz B?

B = ( )Observamos que la 3-ª fila de B (la que hemos añadido respecto a A), es combi-nación lineal de las dos primeras (se obtiene restando la 2-ª menos la 1-ª). Por tanto,B tendrá el mismo rango que A, es decir, ran (B) = 2.

36 Si llamamos c1, c2, c3 a los vectores columna de una matriz A, el determi-nante puede designarse así: det (A) = det (c1, c2, c3).

Si det (A) = 5, ¿cuál será el valor de estos determinantes?

a b cm n p

m – a n – b p – c

a b cm n p

|A| = 0|A| = 1

3 46 8

1 12 2

2 34 6

5 80 0

3 51 –2

2 3–1 2


S

S

S

a) det (c1 – 3c2, c2, c3)

b) det (c1, c2, 2c3)

c) det (c1, c1 – c2, c3)

a) det (c1 – 3c2, c2, c3) =(1)

det (c1, c2, c3) = 5

(1) Sumamos a la 1-ª columna la 2-ª multiplicada por 3.

b) det (c1, c2, 2c3) =(2)

2 det (c1, c2, c3) = 2 · 5 = 10

(2) Si multiplicamos una columna de una matriz por un número, el determinan-te queda multiplicado por ese número.

c) det (c1, c1 – c2, c3) =(3)

det (c1, –c2, c3) =(2)

–det (c1, c2, c3) = –5

(3) Restamos a la 2-ª columna la 1-ª.

37 a) Define a qué se llama rango de una matriz.

b) Indica, razonando la respuesta, cuáles de las siguientes afirmaciones sonciertas:

I) ran (A) = ran (–A) (–A es la matriz opuesta de A).

II) ran (A) = ran (At) (At es la matriz traspuesta de A).

III) ran (A + B) = ran (A) + ran (B)

IV) ran (A2) = [ran (A)]2

V) ran (A) = ran (A–1) si A tiene inversa (A–1 es la matriz inversa de A).

a) El rango de una matriz es el número de filas (o de columnas) linealmente inde-pendientes. También podemos definirlo como el máximo orden de sus menoresno nulos.

b) I) Verdadera. El hecho de cambiar de signo los elementos de A, solo afectaráal signo de los menores; pero el máximo orden de los menores no nulos (elrango) no se ve influido.

II) Verdadera. El número de filas y el número de columnas linealmente inde-pendientes es el mismo. En At solo hemos cambiado filas por columnas.

III) Falso. Por ejemplo:

A = ( ) B = ( ) → A + B = ( )ran (A) = ran (B) = 2 (pues |A|≠ 0 y |B|≠ 0) y ran (A + B) = 1.

IV) Falso. Por ejemplo, si A es una matriz de orden 2 y con ran (A) = 2, A2

también será de orden 2; luego ran (A2) ≤ 2, y [ran (A)]2 = 22 = 4 (si A2

es de orden 2 no puede tener rango 4).

V) Si A es una matriz cuadrada de orden n, y existe su inversa, entonces |A|≠ 0(y |A–1|≠ 0). Luego, ran (A) = ran (A–1) = n. Por tanto, la igualdad es ver-dadera.

2 40 0

1 2–2 –3

1 22 3


PARA PROFUNDIZAR

38 Demuestra, sin desarrollar el determinante, que: = (a – b)3

☛ Haz c1 – c3 y c2 – c3 . Así podrás sacar factor común (a – b)2. Después, haz c1 – 2c2 .

= =

= =(1)

(a – b)2 =(2)

= (a – b)2 = (a – b)2 (a + b – 2b) = (a – b)2 (a – b) = (a – b)3

(1) Sacamos (a – b) factor común de la 1-ª y de la 2-ª columna.

(2) Desarrollamos por la 3-ª fila.

39 Demuestra, sin desarrollar, que: = ☛ En el segundo miembro multiplica y divide la primera fila por a, la segunda porb y la tercera por c.

Procediendo como se indica en la ayuda, tenemos que:

= = = 40 Prueba que: = (b – a) (c – a) (c – b)

☛ Este determinante se llama de Vandermonde.

Haz c2 – c1 y c3 – c1. Extrae el factor (b – a) de la 2-ª columna y (c – a) de la 3-ªcolumna.

Siguiendo las indicaciones dadas, tenemos que:

= = =1 0 0a (b – a) (c – a)a2 (b + a) (b – a) (c + a) (c – a)

1 0 0a b – a c – aa2 b2 – a2 c2 – a2

1 1 1a b ca2 b2 c2

1 1 1a b ca2 b2 c2

1 a2 a3

1 b2 b3

1 c2 c3

1 a2 a3

1 b2 b3

1 c2 c3

abcabc

bca a2 a3

acb b2 b3

abc c2 c3

1abc

bc a a2

ac b b2

ab c c2

bc a a2

ac b b2

ab c c2

1 a2 a3

1 b2 b3

1 c2 c3

a + b b2 1

a + b b b2

2 1 2b0 0 1

(a + b) (a – b) b(a – b) b2

2(a – b) (a – b) 2b0 0 1

a2 – b2 ab – b2 b2

2a – 2b a – b 2b0 0 1

1-ª – 3-ª

2-ª – 3-ª

3-ª

a2 ab b2

2a a + b 2b1 1 1

a2 ab b2

2a a + b 2b1 1 1


COLUMNAS

S

= (b – a) (c – a) = (b – a) (c – a) (c + a – b – a) =

= (b – a) (c – a) (c – b)

41 Determina las matrices cuadradas de orden 2 cuyos elementos sean númerosenteros, con determinante igual a –1, y tal que su inversa coincida con su tras-puesta.

☛ Haz A · At = I y A = –1.

Hay 4 soluciones.

Si A = ( ), entonces At = ( ). Si At = A–1, ha de ser:

A · At = I → ( ) ( ) = ( ) = ( ) →

Como a, b, c, d son enteros, tenemos solo cuatro soluciones:

( ); ( ); ( ); ( ).


42 Demostración de que A · B = A · B para determinantes de orden 2:

AB = ( ) · ( ) = =

= + + + (1) (2) (3) (4)

a) Comprueba que (1) y (4) son ambos cero.

b) En (2) y en (3) saca factor común los elementos bij . Llegarás a A · B ,como se quería demostrar.

a) (1) = a11b11a21b12 – a11b12a21b11 = a11a21b11b12 – a11a21b11b12 = 0a11b11 a11b12a21b11 a21b12

a12 b21 a12 b22a22 b21 a22 b22

a12 b21 a11 b12a22 b21 a21 b12

a11 b11 a12 b22a21 b11 a22 b22

a11 b11 a11 b12a21 b11 a21 b12

a11 b11 + a12 b21 a11 b12 + a12 b22a21 b11 + a22 b21 a21 b12 + a22 b22

b11 b12

b21 b22

a11 a12

a21 a22

–1 00 1

1 00 –1

0 –1–1 0

1 00 1

a2 + b2 = 1ac + bd = 0ac + bd = 0c2 + d2 = 1

1 00 1

a2 + b2 ac + bdac + bd c2 + d2

a cb d

a bc d

a cb d

a bc d

1 0 0a 1 1a2 b + a c + a


S

(4) = a12b21a22b22 – a12b22a22b21 = a12a22b21b22 – a12a22b21b22 = 0

b) (2) = b11b22 = b11b22 |A|

(3) = b21b12 = –b21b12 = –b21b12 |A|

Por tanto, queda:

|AB|= 0 + b11b22 |A| – b21b12 |A| + 0 = |A| (b11b22 – b21b12) =

= |A| = |A| · |B|

43 La sucesión a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, a4 = 5, a5 = 8,… tiene la peculiaridad de quecada término, a partir del tercero, se obtiene sumando los dos anteriores:

an = an – 2 + an – 1

para n ≥ 3.

a) Demuestra por el método de inducción que:

an = ☛ Comprueba que a1 = 1 y que a2 = 2. Comprueba que an = an – 1 + an – 2 , desa-rrollando el determinante por la 1-ª columna.

b) Teniendo en cuenta lo anterior, di el valor del siguiente determinante:

1 1 0 0 0 0 0 0–1 1 1 0 0 0 0 00 –1 1 1 0 0 0 00 0 –1 1 1 0 0 00 0 0 –1 1 1 0 00 0 0 0 –1 1 1 00 0 0 0 0 –1 1 10 0 0 0 0 0 –1 1

1 1 0 0 L 0 0–1 1 1 0 L 0 00 –1 1 1 L 0 0M M M M L M M0 0 0 0 L –1 1

b11 b12b21 b22

a11 a12a21 a22

a12 a11a22 a21

a12b21 a11b12a22b21 a21b12

a11 a12a21 a22

a11b11 a12b22a21b11 a22b22

a12b21 a12b22a22b21 a22b22


a) a1 = |1|= 1; a2 = = 2

an = =(1) +

orden n orden n – 1

+ =(2)

an – 1 + = an – 1 + an – 2

orden n – 1 orden n – 2


(2) Desarrollamos el 2-º determinante por la 1-ª fila.

b) El determinante dado es el término a8 de la sucesión anterior. Lo hallamos:

a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, a4 = 5, a5 = 8, a6 = 13, a7 = 21, a8 = 34

Por tanto:

a8 = = 34

1 1 0 0 0 0 0 0–1 1 1 0 0 0 0 00 –1 1 1 0 0 0 00 0 –1 1 1 0 0 00 0 0 –1 1 1 0 00 0 0 0 –1 1 1 00 0 0 0 0 –1 1 10 0 0 0 0 0 –1 1

1 1 0 … 0 0–1 1 1 … 0 0. . . . .. . . . .. . . . .0 0 0 … –1 1

1 0 0 … 0 0–1 1 1 … 0 00 –1 1 … 0 0. . . . .. . . . .. . . . .0 0 0 … –1 1

1 1 0 … 0 0–1 1 1 … 0 00 –1 1 … 0 0. . . . .. . . . .. . . . .0 0 0 … –1 1

1 1 0 0 … 0 0–1 1 1 0 … 0 00 –1 1 1 … 0 0. . . . . .. . . . . .. . . . . .0 0 0 0 … –1 1

1 1–1 1


Resolución de sistemas 2 × 2 mediante determinantes

■ Resuelve, aplicando x = e y = , los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) b) c) d)

Comprueba, en cada caso, la solución que obtengas.

a) |A|= = 26; |Ax|= = 156;

|Ay|= = –286;

Por tanto: x = = 6; y = = –11

b) |A|= = – 83; |Ax|= = – 415;

|Ay|= = –166;

Por tanto: x = = 5; y = = 2

c) |A|= = 64; |Ax|= = 192;

|Ay|= = –320;

Por tanto: x = = 3; y = = –5–32064

19264

6 8–5 – 60

8 2– 60 9

6 2–5 9

6x + 2y = 8–5x + 9y = – 60

– 166– 83

– 415– 83

5 337 13

33 413 –11

5 47 –11

5x + 4y = 337x – 11y = 13

–28626

15626

3 734 2

73 –52 2

3 –54 2

3x – 5y = 734x + 2y = 2

2x + y = 16x – 2y = 28

6x + 2y = 8–5x + 9y = –60

5x + 4y = 337x – 11y = 13

3x – 5y = 734x + 2y = 2

Ay

A

Ax

A

Unidad 4. Resolución de sistemas mediante determinantes 1

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES

4

d) |A|= = –10; |Ax|= = –30;

|Ay|= = 50;

Por tanto: x = = 3; y = = –5

Página 99

Extensión del resultado a sistemas 3 × 3

■ ¿Cómo crees que sería la solución de un sistema de tres ecuaciones con tresincógnitas según la regla anterior? Pon las fórmulas correspondientes y aplí-calas a la resolución de los sistemas siguientes:

a) b)

Comprueba las soluciones.

Si tenemos un sistema 3 × 3:

y llamamos: A = ( );Ax = ( ); Ay = ( ); Az = ( );entonces: x = , y = , z =

(siempre que |A| ≠ 0).

Si aplicamos las fórmulas a la resolución de los sistemas propuestos, tenemos que:

a)|A|= = –10

|Ax|= = –50; |Ay|= = 10; |Az|= = –30

Por tanto: x = = 5; y = = –1; z = = 3–30–10

10–10

–50–10

3 –2 201 0 140 1 –4

3 20 11 14 30 –4 –1

20 –2 114 0 3–4 1 –1

3 –2 11 0 30 1 –1

3x – 2y + z = 20x + 3z = 14

y – z = –4

Az

A

Ay

A

Ax

A

a11 a12 c1a21 a22 c2a31 a32 c3

a11 c1 a13a21 c2 a23a31 c3 a33

c1 a12 a13c2 a22 a23c3 a32 a33

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

a11 x + a12 y + a13 z = c1a21 x + a22 y + a23 z = c2a31 x + a32 y + a33 z = c3

x + y + z = 3x – y + z = 1x – 2y = 2

3x – 2y + z = 20x + 3z = 14

y – z = –4

50–10

–30–10

2 16 28

1 128 –2

2 16 –2

2x + y = 16x – 2y = 28


b)|A|= = 2

|Ax|= = 8; |Ay|= = 2; |Az|= = –4

Por tanto: x = = 4; y = = 1; z = = –2

Inversa de una matriz 2 × 2

■ x = , y = . Obtén, de forma similar, las expresiones de z y de t. Lle-

garás, así, a la siguiente conclusión:

A–1 = ( )

z = = ; t = =

Por tanto: A–1 = ( )■ Comprueba, efectuando el producto, que: A · A–1 = I

A · A–1 = ( ) · ( ) = ( ) =

= ( ) = ( ) = I

■ Aplica la expresión anterior para calcular M –1 siendo: M = ( )M –1 = ( ) = ( ) = ( )

■ Haz los productos M · M –1 y M –1 · M y comprueba que, en ambos casos,obtienes la matriz unidad.

M · M –1 = ( ) · ( ) = ( )M –1 · M = ( ) · ( ) = ( )1 0

0 14 72 6

3/5 –7/10–1/5 2/5

1 00 1

3/5 –7/10–1/5 2/5

4 72 6

3/5 –7/10–1/5 2/5

6 –7–2 4

110

6 –7–2 4

1

M

4 72 6

1 00 1

|A| 00 |A|

1

A

a11a22 – a12a21 00 –a12a21 + a11a22

1

A

a22 –a12–a21 a11

1

A

a11 a12a21 a22

a22 –a12–a21 a11

1

A

a11

A

a11 0 a21 1

A

–a12

A

0 a12 1 a22

A

a11z + a12t = 0a21z + a22t = 1

a22 –a12–a21 a11

1

A

–a21

A

a22

A

–42

22

82

1 1 31 –1 11 –2 2

1 3 11 1 11 2 0

3 1 11 –1 12 –2 0

1 1 11 –1 11 –2 0

x + y + z = 3x – y + z = 1x – 2y = 2


■ ¿Por qué crees que es necesario que A ≠ 0 para que una matriz cuadrada searegular (tenga inversa)?

En su obtención, dividimos por |A|.

Es necesario que |A|≠ 0 para que el sistema que obtenemos tenga solución única.

Página 101

1. Aplica el teorema de Rouché para averiguar si los siguientes sistemas son com-patibles o incompatibles:

a) b) c)

a)A = ( ) A' = ( )

= 11 ≠ 0 → ran (A) = 2

|A'|= 0 → ran (A' ) = 2

El sistema es compatible.

b)A = ( ) A' = ( )

|A'|= 147 ≠ 0 → ran (A' ) = 3 ≠ ran (A) = 2


c)A = ( ) A' = ( )

Calculamos el rango de A:

= –4 ≠ 0; = 0; = 0 → ran (A) = 2

Calculamos el rango de A' :

= –76 → ran (A' ) = 3 ≠ ran (A)


1 1 73 –1 11 –3 6

1 1 03 –1 41 –3 4

1 1 23 –1 01 –3 –4

1 13 –1

1 1 2 0 73 –1 0 4 11 –3 –4 4 6

1 1 2 03 –1 0 41 –3 –4 4

x + y + 2z = 73x – y + 4t = 1x – 3y – 4z + 4t = 6

4 5 72 –1 07 11 4

4 52 –17 11

4x + 5y = 72x – y = 07x + 11y = 4

3 –21 3

3 –2 51 3 –22 –1 3

3 –21 32 –1

3x – 2y = 5x + 3y = –2

2x – y = 3

x + y + 2z = 73x – y + 4t = 1

x – 3y – 4z + 4t = 6

4x + 5y = 72x – y = 07x + 11y = 4

3x – 2y = 5x + 3y = –2

2x – y = 3


2. Siguiendo el mismo proceso que en el ejercicio anterior, averigua si los si-guientes sistemas son compatibles o incompatibles:

a) b) c)

a)A = ( ) A' = ( )


= –6 ≠ 0 y |A|= 0 → ran (A) = 2


= 0 (pues la 1-ª y la 3-ª columna son iguales) → ran (A' ) = 2 = ran (A)


Observación: Como la 4-ª columna de A' y la 1-ª son iguales, necesariamenteran (A' ) = ran (A); es decir, el sistema es compatible.

b)A = ( ) A' = ( )

Sabemos que ran (A) = 2 (ver apartado a) de este ejercicio).


= –30 ≠ 0 → ran (A' ) = 3 ≠ ran (A)


c)A = ( ) A' = ( )

Sabemos que ran (A) = 2 (ver apartado c) del ejercicio anterior).


= 0 → ran (A' ) = 2 = ran (A)


1 1 73 –1 11 –3 –13

1 1 2 0 73 –1 0 4 11 –3 –4 4 –13

1 1 2 03 –1 0 41 –3 –4 4

x + y + 2z = 73x – y + 4t = 1x – 3y – 4z + 4t = –13

1 3 12 0 20 2 5

1 3 –1 12 0 1 20 2 –1 5

1 3 –12 0 10 2 –1

x + 3y – z = 12x + z = 2

2y – z = 5

1 3 12 0 20 2 0

1 32 0

1 3 –1 12 0 1 20 2 –1 0

1 3 –12 0 10 2 –1

x + 3y – z = 12x + z = 2

2y – z = 0

x + y + 2z = 73x – y + 4t = 1x – 3y – 4z + 4t = –13

x + 3y – z = 12x + z = 2

2y – z = 5

x + 3y – z = 12x + z = 2

2y – z = 0


1. Enuncia la regla de Cramer para un sistema de tres ecuaciones con tres incóg-nitas:

Si |A|= ≠ 0 → ran (A) = 3 = ran (A' )

Por tanto, el sistema es compatible.

Su solución es: x = , y = , z = ,

siendo Ax la matriz que resulta de sustituir en la matriz A la columna de los coefi-cientes de x por la columna de los términos independientes. Análogamente, Ay yAz se obtienen sustituyendo en A la columna de los coeficientes de la incógnitacorrespondiente por la de los términos independientes.

2. Utilizando la regla de Cramer, resuelve el siguiente sistema:

|A|= = – 1 ≠ 0

|Ax|= = –7; |Ay|= = –2; |Az|= = 5

Por tanto: x = 7, y = 2, z = –5

Página 103

3. Demuestra la regla de Cramer para un sistema de tres ecuaciones con tres in-cógnitas.

Procede de forma análoga a como se ha hecho en esta página.

Tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

, con |A|= ≠ 0

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

a11x + a12y + a13z = c1a21x + a22y + a23z = c2a31x + a32y + a33z = c3

1 –3 –242 –1 –81 1 9

1 –24 52 –8 41 9 0

–24 –3 5–8 –1 49 1 0

1 –3 52 –1 41 1 0

x – 3y + 5z = –242x – y + 4z = –8x + y = 9

x – 3y + 5z = –242x – y + 4z = –8x + y = 9

Az

A

Ay

A

Ax

A

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

a11x + a12 y + a13z = c1a21x + a22 y + a23z = c2a31x + a32 y + a33z = c3


Hemos de despejar cada una de las incógnitas. Empecemos por la x.

Para despejar x, hemos de eliminar y, z. Esto se consigue multiplicando las tres ecua-ciones, que llamamos (1), (2), (3), por los adjuntos de los coeficientes de la x:

(1) · A11 → a11 A11 x + a12 A11 y + a13 A11 z = c1 A11

(2) · A21 → a21 A21 x + a22 A21 y + a23 A21 z = c2 A21

(3) · A31 → a31 A31 x + a32 A31 y + a33 A31 z = c3 A31

Sumando, obtenemos una igualdad que vamos a analizar por partes:

– El coeficiente de la x es:

a11 A11 + a21 A21 + a31 A31 = |A|

– El coeficiente de la y es:

a12 A11 + a22 A21 + a32 A31 = 0

Análogamente, se ve que el coeficiente de z es cero.

– El término independiente es:

c1 A11 + c2 A21 + c3 A31, que es el determinante de la matriz Ax que resulta alsustituir en A la columna de los coeficientes de x por la columna de los tér-minos independientes:

Ax = ( )Recapitulamos: al efectuar la suma (1) · A11 + (2) · A21 + (3) · A31, obtenemos:

|A|x + 0y + 0z = |Ax|

Puesto que |A|≠ 0, podemos despejar la x, y obtenemos:

x =

Para despejar la y habría que multiplicar las ecuaciones (1), (2), (3) por A12, A22, A32,respectivamente. Y análogamente procederíamos para despejar z, obteniéndose:

y = , z =

Página 105

1. Halla los valores de las incógnitas en los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) b) x – y + 3z = 1

3x – y + 2z = 3– 2y + 7z = 10

x – y + 3z = 13x – y + 2z = 3

– 2y + 7z = 0

Az

A

Ay

A

Ax

A

c1 a12 a13c2 a22 a23c3 a32 a33


a)A = ( ) A' = ( )


= –2 ≠ 0 y |A|= 0 → ran (A) = 2


= 0 (la 1-ª y la 3-ª columna son iguales) → ran (A' ) = 2

El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir de la2-ª ecuación:

Solución: x = 1 + λ, y = 7λ, z = 2λ

b)A = ( ) A' = ( )

Sabemos, por el apartado a), que ran (A) = 2.


= 20 ≠ 0 → ran (A' ) = 3 ≠ ran (A)


2. Resuelve estos sistemas de ecuaciones:

a) b)

a)

A = ( ) A' = ( )1 1 0 30 1 1 51 0 1 | 45 –1 1 6

1 1 00 1 11 0 15 –1 1

x + y = 3y + z = 5

x + z = 45x – y + z = 6

3x + 4y = 42x + 6y = 23

–2x + 3y = 1

x + y = 3y + z = 5

x + z = 45x – y + z = 6

1 –1 13 –1 30 –2 10

1 –1 3 13 –1 2 | 30 –2 7 10

1 –1 33 –1 20 –2 7

x – y + 3z = 13x – y + 2z = 3

– 2y + 7z = 10

z→ x = y + 1 – 3z = 1 + —2

7z→ y = —2

x – y = 1 – 3z

–2y = –7z

x – y + 3z = 1

–2y + 7z = 0

1 –1 13 –1 30 –2 0

1 –10 –2

1 –1 3 13 –1 2 | 30 –2 7 0

1 –1 33 –1 20 –2 7

x – y + 3z = 13x – y + 2z = 3

– 2y + 7z = 0


Como = 2 ≠ 0 → ran (A) = 3


|A'|= 0 → ran (A' ) = 3

El sistema es compatible determinado. Para resolverlo, podemos prescindir de la úl-tima ecuación y aplicar la regla de Cramer:

x = = = 1; y = = = 2; z = = = 3

Solución: x = 1, y = 2, z = 3

b)A = ( ) A' = ( )

Como |A'|= –309 ≠ 0, entonces ran (A' ) = 3 ≠ ran (A).


Página 106

1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) b)

c) d)

a)|A|= = –5 ≠ 0

Por tanto, ran (A) = 3 = n-º incógnitas.

El sistema solo tiene la solución trivial: x = 0, y = 0, z = 0

b)|A|= = 0

1 –1 –11 1 31 –5 –9

x – y – z = 0x + y + 3z = 0x – 5y – 9z = 0

3 –5 11 –2 11 1 0

3x – 5y + z = 0x – 2y + z = 0x + y = 0

x + y + 5z = 03x – y – 2t = 0x – y + z – t = 0

x + 11y – 4z = 0–2x + 4y + z = 0

x + y – 2z = 02x – 16y + 5z = 0

x – y – z = 0x + y + 3z = 0x – 5y – 9z = 0

3x – 5y + z = 0x – 2y + z = 0x + y = 0

3 4 42 6 | 23–2 3 1

3 42 6–2 3

3x + 4y = 42x + 6y = 23

–2x + 3y = 1

62

1 1 3

0 1 5 1 0 4

242

1 3 0

0 5 1 1 4 1

222

3 1 0

5 1 1 4 0 1

2

1 1 00 1 11 0 1


Seleccionamos el menor = 2 ≠ 0 → ran (A) = 2

Podemos suprimir la 3-ª ecuación y pasar la z al segundo miembro:

Solución: x = –λ, y = –2λ, z = λ

c)

= –18 → ran (A) = 3 = n-º de incógnitas


d)A = ( )

= –14 ≠ 0 → ran (A) = 3

Para resolverlo, pasamos la t al 2-º miembro:

x = = = ;

y = = = ; z = = = 0

Solución: x = λ, y = –λ, z = 0, t = 2λ

2. Resuelve:

a) b)

a)

A = ( )1 –2 30 1 11 –3 2–1 5 0

x – 2y + 3z = 0y + z = 0

x – 3y + 2z = 0–x + 5y = 0

x + 3z = 0y – t = 0

x + y + 2t = 02x + 2y + 3z + t = 0

x – 2y + 3z = 0y + z = 0

x – 3y + 2z = 0–x + 5y = 0

0–14

1 1 0

3 –1 2t1 –1 t

–14– t2

7t–14

1 0 5

3 2t 0 1 t 1

–14

t2

–7t–14

0 1 5

2t –1 0 t –1 1

–14

x + y + 5z = 03x – y = 2tx – y + z = t

1 1 53 –1 01 –1 1

1 1 5 03 –1 0 –21 –1 1 –1

x + y + 5z = 03x – y – 2t = 0x – y + z – t = 0

1 11 –4–2 4 11 1 –2

x + 11y – 4z = 0–2x + 4y + z = 0

x + y – 2z = 02x – 16y + 5z = 0

x = –zy = –2z

x – y = zx + y = –3z

1 –11 1



= 1 ≠ 0; = 0; = 0

Por tanto, ran (A) = 2. El sistema es compatible indeterminado.

Para resolverlo, podemos prescindir de las dos últimas ecuaciones y pasar la z al2-º miembro:

Solución: x = –5λ, y = –λ, z = λ

b)

A = ( ) ; |A|= 0

= –3 ≠ 0 → ran (A) = 3 < n-º incógnitas

El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir de la4-ª ecuación y pasar la t al 2-º miembro:

Solución: x = –3λ, y = λ, z = λ, t = λ

Página 108

1. Discute y resuelve:

a) b)

a)A = ( ) A' = ( )

|A|= 4a2 – 5a – 6 = 0 → a = = = a = 2

–3a = —

4

5 ± 118

5 ± √1218

5 ± √25 + 968

1 1 a 0a –1 0 | –11 4 6 0

1 1 aa –1 01 4 6

x + y + az = 0ax – y = –1

x + 4y + 6z = 0

x + y = kkx – y = 135x + 3y = 16

x + y + az = 0ax – y = –1

x + 4y + 6z = 0

–x 3tz = — = — = t

3 3

y = t

x = –2t – y = –2t – t = –3t

x – 3z = 0

y = t

x + y = –2t

1 0 30 1 01 1 0

1 0 3 00 1 0 –11 1 0 22 2 3 1

x + 3z = 0y – t = 0

x + y + 2t = 02x + 2y + 3z + t = 0

x = –3z + 2y = –3z – 2z = –5zy = –z

x – 2y = –3zy = –z

1 –2 30 1 1–1 5 0

1 –2 30 1 11 –3 2

1 –20 1



A' = ( ) = –3 ≠ 0 → ran (A) = 2

A

= 3 ≠ 0 → ran (A' ) = 3 ≠ ran (A)


• Si a = –3/4, queda:

A' = ( ) = ≠ 0 → ran (A) = 2

A

= 3 ≠ 0 → ran (A' ) = 3 ≠ ran (A)


• Si a ≠ 2 y a ≠ –3/4 → ran (A) = ran (A' ) = n-º incógnitas = 3, el sistema escompatible determinado. Lo resolvemos:

x = = ; y = = ;

z = =


b)A' = ( )

|A'|= 3k2 – 11k + 10 = 0 → k = = k = 2

5k = —

3

11 ± 16

11 ± √121 – 1206

1 1 kk –1 | 135 3 16

x + y = kkx – y = 135x + 3y = 16

34a2 – 5a – 6

a – 64a2 – 5a – 6

6 – 4a4a2 – 5a – 6

34a2 – 5a – 6

1 1 0

a –1 –11 4 0

4a2 – 5a – 6

a – 64a2 – 5a – 6

1 0 a

a –1 0 1 0 6

4a2 – 5a – 66 – 4a

4a2 – 5a – 6

0 1 a

–1 –1 0 0 4 6

4a2 – 5a – 6

1 1 0–3/4 –1 –1

1 4 0

–14

1 1–3/4 –1

1 1 –3/4 0–3/4 –1 0 –1

1 4 6 0

1 1 02 –1 –11 4 0

1 12 –1

1 1 2 02 –1 0 | –11 4 6 0


A

• Si k = 2, queda:

A' = ( ) = –3 ≠ 0 → ran (A) = ran (A' ) = 2 = n-º incógnitas

A

El sistema es compatible determinado. Para resolverlo, podemos prescindir de la3-ª ecuación:

Sumando: 3x = 15 → x = 5; y = 2 – x = 2 – 5 = –3


• Si k = 5/3, queda:

A' = ( )A

= ≠ 0 → ran (A) = ran (A' ) = 2 = n-º incógnitas

El sistema es compatible determinado. Para resolverlo, podemos prescindir de la3-ª ecuación:

Sumando: x = → x = =

y = – x = – =

Solución: x = , y =

• Si k ≠ 2 y k ≠ 5/3 → ran (A' ) = 3 ≠ ran (A), el sistema es incompatible.

2. Discute y resuelve, en función del parámetro a, el siguiente sistema de ecua-

ciones:

A = ( )|A|= (a – 1) = (a – 1) (a + 1 – 1) = a (a – 1) = 0

a = 0

a = 1

1 11 a + 1

a – 1 1a – 1 a + 1

(a – 1)x + y = 0(a – 1)x + (a + 1)y = 0

(a – 1)x + y = 0(a – 1)x + (a + 1)y = 0

–236

112

–236

112

53

53

112

448

443

83

5x + y = —

35—x – y = 133

–83

1 15/3 –1

1 1 5/35/3 –1 | 135 3 16

x + y = 22x – y = 13

1 12 –1

1 1 22 –1 | 135 3 16



y = x. Sistema compatible indeterminado.

Solución: x = λ, y = λ


Sistema compatible indeterminado.

Solución: x = λ, y = 0

• Si a ≠ 0 y a ≠ 1 → ran (A) = 2

El sistema solo tiene la solución trivial: x = 0, y = 0

Página 110

1. Calcula la inversa de cada una de las siguientes matrices:

A = ( ) B = ( )Calculamos la inversa de la matriz A:

|A|= –1 ≠ 0 → existe A–1

αij → Adj (A) → (Adj (A))t → (Adj (A))t

( ) → ( ) → ( ) → ( ) = A–1

Calculamos la inversa de la matriz B:

|B|= –3 ≠ 0 → existe B–1

αij → Adj (B) → (Adj (B))t → (Adj (B))t

( ) → ( ) → ( ) → ( ) = B–1

2. Calcula la inversa de estas matrices:

A = ( ) B = ( )1 1 0 00 1 1 00 0 1 10 0 0 1

1 –2 –3 –20 1 2 00 2 3 13 –2 0 1

–2 1–1 2

–13

–2 1–1 2

–2 –11 2

–2 1–1 2

1|B|

15 8 39 5 25 3 1

–15 –8 –3–9 –5 –2–5 –3 –1

–15 –9 –5–8 –5 –3–3 –2 –1

–15 9 –58 –5 3–3 2 –1

1|A|

2 –11 –2

1 –1 –1–1 0 3–2 5 –3

y = 02y = 0

–x + y = 0–x + y = 0


Calculamos la inversa de la matriz A:

|A|= –8 ≠ 0 → existe A–1


( ) → ( ) → ( ) →

→ ( ) = A–1

Calculamos la inversa de la matriz B:

|B|= 1 ≠ 0 → existe B–1


( ) → ( ) → ( ) →

→ ( ) = B–1

Página 111

1. Expresa en forma matricial y resuelve (ten en cuenta el ejercicio 1 de la páginaanterior):

a) b)

a) ( ) · ( ) = ( )A · X = B

En el ejercicio 1 de la página 112 hemos calculado A–1.

620

xyz

1 –1 –1–1 0 3–2 5 –3

x – y – z = 6–x + 3z = 2

–2x + 5y – 3z = 0

2x – y = 7x – 2y =11

x – y – z = 6–x + 3z = 2

–2x + 5y – 3z = 0

1 –1 1 –10 1 –1 10 0 1 –10 0 0 1

1 –1 1 –10 1 –1 10 0 1 –10 0 0 1

1 0 0 0–1 1 0 01 –1 1 0–1 1 –1 1

1 0 0 01 1 0 01 1 1 01 1 1 1

1|B|

5 –6 9 16 –12 14 –2–3 10 –7 1–3 –6 1 1

18

–5 6 –9 –1–6 12 –14 23 –10 7 –13 6 –1 –1

–5 –6 3 36 12 –10 6–9 –14 7 –1–1 2 –1 –1

–5 6 3 –3–6 12 10 6–9 14 7 11 2 1 –1

1|A|


{ {

A · X = B → X = A–1 · B = ( ) · ( ) = ( )Solución: x = 106, y = 64, z = 36

b) ( ) · ( ) = ( )B · X = C

En el ejercicio 1 de la página 112 hemos calculado B–1.

B · X = C → X = B–1 · C = ( ) · ( ) = ( ) = ( )Solución: x = 1, y = –5

2. Expresa en forma matricial y resuelve:

a) b)

a) ( ) · ( ) = ( )A · X = B

Calculamos la inversa de la matriz A:

|A|= –5 ≠ 0 → existe A–1

A–1 = ( )A · X = B → X = A–1 · B = –1

= ( ) · ( ) = · ( ) = ( )Solución: x = 35, y = , z = – , t = – 108

5685

1965

35(196/5)–(68/5)–(108/5)

–175–19668108

–15

1912165

–5 0 –5 0–6 3 –8 23 –4 4 –13 6 –1 –1

–15

–5 0 –5 0–6 3 –8 23 –4 4 –13 6 –1 –1

–15

1912165

xyzt

1 –2 –3 –10 1 2 00 2 3 13 –2 0 1

x – 2y – 3z – t = 19y + 2z = 12

2y + 3z + t = 163x – 2y + t = 5

x + y = 5y + z = –1

z + t = 4t = 2

x – 2y – 3z – t = 19y + 2z = 12

2y + 3z + t = 163x – 2y + t = 5

1–5

–315

–13

711

–2 1–1 2

–13

711

xy

2 –11 –2

2x – y = 7x – 2y =11

1066436

620

15 8 39 5 25 3 1


{ {

{ {

b)

· =

B · X = C

En el ejercicio 2 de la página anterior hemos calculado B–1.

B · X = C → X = B–1 · C = ( ) · ( ) = ( )Solución: x = 8, y = –3, z = 2, t = 2

Página 117


PARA PRACTICAR

1 Escribe en forma matricial los siguientes sistemas:

a) b)

a) ( ) ( ) = ( ) b) ( ) ( ) = ( )2 Escribe en la forma habitual estos sistemas:

a) ( ) ( ) = ( ) b) ( ) ( ) = ( )a)

b)

3 Estudia la compatibilidad de estos sistemas:

a) b) c) 2x + 3y – z = 3–x – 5y + z = 03x + y – z = 6

x + y – z = –22x – y – 3z = –3x – 2y – 2z = 0

x – y = 64x + y = –15x + 2y = –5

x + y = 43x – y = 02x – y = 1

x + 3y + 2z = 4x – y – z = 0

401

xy

1 13 –12 –1

40

xyz

1 3 21 –1 –1

210

xyzt

1 –1 1 –10 3 0 12 1 0 –1

1–120

xyz

1 1 –12 0 11 –1 10 2 –1

x – y + z – t = 23y + t = 1

2x + y – t = 0

x + y – z = 12x + z = –1x – y + z = 2

2y – z = 0

8–322

5–142

1 –1 1 –10 1 –1 10 0 1 –10 0 0 1

)5–142

()xyzt

()1 1 0 00 1 1 00 0 1 10 0 0 1

(

x + y = 5y + z = –1

z + t = 4t = 2


{ {

d) e) f)

a)A' = ( ). Como = 5 ≠ 0 y |A'|= 0,

A

tenemos que: ran (A) = ran (A' ) = n-º incógnitas = 2

El sistema es compatible determinado. Para resolverlo, podemos prescindir de latercera ecuación:

Solución: (1, –5)

b)A' = ( ).

A

Tenemos que |A|= 0 y que = –3 ≠ 0 → ran (A) = 2

Como = –3 ≠ 0 → ran (A' ) = 2 ≠ ran (A) = 2

Por tanto, el sistema es incompatible.

c)A' = ( )

A

Como |A|= 0 y = –7 ≠ 0, tenemos que ran (A) = 2.

Además, = 0. Luego ran (A' ) = 2 = ran (A) < n-º incógnitas.

El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir dela tercera ecuación:

Soluciones: x = 3 + 2λ, y = λ, z = 3 + 7λ

Sumando: x = 3 + 2yz = 5y + x = 5y + 3 + 2y = 3 + 7y

2x – z = 3 – 3y–x + z = 5y

2x + 3y – z = 3–x – 5y + z = 0

2 3 3–1 –5 03 1 6

2 3–1 –5

2 3 –1 3–1 –5 1 | 03 1 –1 6

2x + 3y – z = 3–x – 5y + z = 03x + y – z = 6

1 1 –22 –1 –31 –2 0

1 12 –1

1 1 –1 –22 –1 –3 | –31 –2 –2 0

x + y – z = –22x – y – 3z = –3x – 2y – 2z = 0

Sumando: 5x = 5 → x = 1y = –1 – 4x = –1 – 4 = –5

x – y = 64x + y = –1

1 –14 1

1 –1 64 1 | –15 2 –5

x – y = 64x + y = –15x + 2y = –5

x+ 3y + z = –1x – y – z = –1

2x + y + 3z = 5

x+ y + z = 2x – 2y – 7z = 0

y + z = –12x+ 3y = 0

x – y – 2z = 22x + y + 3z = 13x + z = 3


d)A' = ( )

A

Como |A|= 0 y = –3 ≠ 0, tenemos que ran (A) = 2.

Además, = 0. Luego, ran (A' ) = 2 = ran (A) < n-º incógnitas.

El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir dela primera ecuación:

Hacemos z = 3λ

Soluciones: x = 1 – λ, y = –1 –7λ, z = 3λ

e)

A' = ( )A

Como = 5 ≠ 0 y |A'|= 0,

tenemos que: ran (A) = ran (A' ) = n-º incógnitas = 3

El sistema es compatible determinado. Para resolverlo, podemos prescindir de lacuarta ecuación. Aplicamos la regla de Cramer:

x = = = 3; y = = = –2;

z = = = 1

Solución: x = 3, y = –2, z = 1

55

1 1 2

1 –2 0 0 1 –1

5

–105

1 2 1

1 0 –7 0 –1 1

5

155

2 1 1

0 –2 –7 –1 1 1

5

1 1 11 –2 –70 1 1

1 1 1 21 –2 –7 00 1 1 | –12 3 0 0

x + y + z = 2x – 2y – 7z = 0

y + z = –12x + 3y = 0

3 – z zx = —–––– = 1 – ––

3 37z

y = 1 – 3z – 2x = –1 – —3

2x + y = 1 – 3z3x = 3 – z

2x + y + 3z = 13x + z = 3

1 –1 22 1 13 0 3

2 13 0

1 –1 –2 22 1 3 | 13 0 1 3

x – y – 2z = 22x + y + 3z = 13x + z = 3


f)A' = ( )

A

Como |A|= –14 ≠ 0, tenemos que: ran (A) = ran (A' ) = n-º incógnitas = 3

El sistema es compatible determinado. Lo resolvemos mediante la regla de Cra-mer:

x = = = 0; y = = = –1;

z = = = 2

Solución: x = 0, y = –1, z = 2

4 Resuelve los siguientes sistemas aplicando la regla de Cramer:

a) b) c)

d) e) f)

a) A' = ( ) → |A| = –82 ≠ 0

x = = = 2; y = = = –1


b)A' = ( ) → |A|= –4 ≠ 0

A

1 1 –1 11 –1 1 | 1–1 1 1 1

x + y – z = 1x – y + z = 1

–x + y + z = 1

82–82

8 2 3 11

–82–164–82

2 14 11 –5

–82

8 14 23 –5 11

8x + 14y = 23x – 5y = 11

x – y – z + t = 4x + y + z – t = 2

x + y – z + t =1x – y – t =2

z – t =0

2x + y + z = –2x – 2y – 3z = 1

–x – y + z = –3

3x – y = 22x + y + z = 0

3y + 2z = –1

x + y – z = 1x – y + z = 1

–x + y + z = 1

8x + 14y = 23x – 5y =11

–28–14

1 3 –1

1 –1 –1 2 1 5

–14

14–14

1 –1 1

1 –1 –1 2 5 3

–14

0–14

–1 3 1

–1 –1 –1 5 1 3

–14

1 3 1 –11 –1 –1 | –12 1 3 5

x + 3y + z = –1x – y – z = –1

2x + y + 3z = 5


x = = = 1; y = = = 1;

z = = = 1

Solución: x = 1, y = 1, z = 1

c)A' = ( ) → |A|= 1 ≠ 0

A

x = = = –1; y = = = –5;

z = = = 7

Solución: x = –1, y = –5, z = 7

d)A' = ( ) → |A|= –11 ≠ 0

A

x = = = –1; y = = = 2;

z = = = –2

Solución: x = –1, y = 2, z = –2

22–11

2 1 –2

1 –2 1 –1 –1 –3

–11

–22–11

2 –2 1

1 1 –3 –1 –3 1

–11

11–11

–2 1 1

1 –2 –3 –3 –1 1

–11

2 1 1 –21 –2 –3 | 1–1 –1 1 –3

2x + y + z = –2x – 2y – 3z = 1

–x – y + z = –3

71

3 –1 2

2 1 0 0 3 –1

1

–51

3 2 0

2 0 1 0 –1 2

1

–11

2 –1 0

0 1 1 –1 3 2

1

3 –1 0 22 1 1 | 00 3 2 –1

3x – y = 22x + y + z = 0

3y + 2z = –1

–4–4

1 1 1

1 –1 1 –1 1 1

–4

–4–4

1 1 –1

1 1 1 –1 1 1

–4

–4–4

1 1 –1

1 –1 1 1 1 1

–4


S

e)A' = ( ). Tenemos que = –2 ≠ 0.

A

x = = = ; y = = =

z = = = t. Soluciones: ( , , λ, λ)f) = 2 ≠ 0

x = = = 3; y = = = –1 – z + t

Soluciones: x = 3, y = –1 – λ + µ, z = λ, t = µ

5 Calcula la inversa de cada una de las siguientes matrices:

A = ( ) B = ( )|A|= = 1 ≠ 0 → Existe A–1

αij → Adj (A) → (Adj (A))t → A–1 = (Adj (A))t

( ) → ( ) → ( ) → ( ) = A–1

|B|= = 2 ≠ 0 → Existe B–1

αij → Adj (B) → (Adj (B))t → B–1 = (Adj (B))t

( ) → ( ) → ( ) → ( ) = B–1–1 –1/2 3/23 1 –3–1 0 1

–2 –1 36 2 –6–2 0 2

–2 6 –2–1 2 03 –6 2

–2 –6 –21 2 03 6 2

1|B|

2 1 00 1 32 1 1

3 –6 –10 1 0–2 4 1

3 –6 –10 1 0–2 4 1

3 0 –2–6 1 4–1 0 1

3 0 –26 1 –4–1 0 1

1|A|

1 2 10 1 02 0 3

2 1 00 1 32 1 1

1 2 10 1 02 0 3

–2 – 2z + 2t2

1 4 + z – t 1 2 – z + t

262

4 + z – t –1 2 – z + t 1

2

1 –11 1

x – y = 4 + z – tx + y = 2 – z + t

x – y – z + t = 4x + y + z – t = 2

–1 – λ2

3 + λ2

–2t–2

1 1 1 – t

1 –1 2 + t 0 0 t

–2

–1 – t2

1 + t–2

1 1 – t –1

1 2 + t 0 0 t 1

–2

3 + t2

–3 – t–2

1 – t 1 –1

2 + t –1 0 t 0 1

–2

1 1 –11 –1 00 0 1

1 1 –1 1 11 –1 0 –1 | 20 0 1 –1 0

x + y – z + t = 1x – y – t = 2

z – t = 0


6 Estudia y resuelve los sistemas, cuando sea posible:

a) b)

c) d)

a)A' = ( )

A

Como |A|= –6 ≠ 0, tenemos que: ran (A) = ran (A' ) = n-º incógnitas = 3. Elsistema es compatible determinado. Lo resolvemos mediante la regla de Cra-mer.

x = = = ; y = = = ;

z = = =


b)A' = ( )

A

Como = –3 y |A|= 0, tenemos que ran (A) = 2.

Además, = 18 ≠ 0. Luego, ran (A' ) = 3 ≠ ran (A) = 2.

Por tanto, el sistema es incompatible.

1 –2 –2–2 1 –21 1 –2

1 –2–2 1

1 –2 1 –2–2 1 1 | –21 1 –2 –2

x – 2y + z = –2–2x + y + z = –2

x + y – 2z = –2

–13

23

–13

–13

2–6

3 1 0

1 1 0 0 1 1

–6

23

–4–6

3 0 –1

1 0 1 0 1 –1

–6

–13

2–6

0 1 –1

0 1 1 1 1 –1

–6

3 1 –1 01 1 1 | 00 1 –1 1

3x + y – z = 0x + y + z = 0

y – z = 1

x + y = 5x + z = 6

y + z = 72x + y + z =11

x+ 2y + z = 0–x + 4y + 3z + 2t = 0x+ 7y + 7z + 4t = 0

2x + 2z + t =0

x – 2y + z = –2–2x + y + z = –2

x + y – 2z = –2

3x + y – z = 0x + y + z = 0

y – z = 1


c)

Es un sistema homogéneo.

A' = ( ) → |A'|= 0

A

= 16 ≠ 0 → ran (A) = 3. Es compatible indeterminado.

Para resolverlo, podemos prescindir de la 4-ª ecuación y pasar la t al 2-º miem-bro. Así:

x = = = ; y = = =

z = = = . Soluciones: ( λ, λ, λ, λ)d)

A' = ( )A

Tenemos que |A'|= 0 y = –2 ≠ 0.

Luego, ran (A) = ran (A' ) = n-º incógnitas = 3. El sistema es compatible deter-minado. Para resolverlo, podemos prescindir de la 4-ª ecuación:

x = = = 2; y = = = 3;

z = = = 4. Solución: x = 2, y = 3, z = 4–8–2

1 1 5

1 0 6 0 1 7

–2

–6–2

1 5 0

1 6 1 0 7 1

–2

–4–2

5 1 0

6 0 1 7 1 1

–2

1 1 01 0 10 1 1

1 1 0 51 0 1 60 1 1 | 72 1 1 11

x + y = 5x + z = 6

y + z = 72x + y + z = 11

–78

14

38

–7t8

–14t16

1 2 0

–1 4 –2t 1 7 –4t

16

t4

4t16

1 0 1

–1 –2t 3 1 –4t 7

16

3t8

6t16

0 2 1

–2t 4 3 –4t 7 7

16

1 2 1–1 4 31 7 7

1 2 1 0–1 4 3 21 7 7 42 0 2 1

x + 2y + z = 0–x + 4y + 3z + 2t = 0x + 7y + 7z + 4t = 0

2x + 2z + t = 0


7 Resuelve los siguientes sistemas homogéneos:

a) b)

a)A = ( )

Como |A|= 0 y = –3 ≠ 0, entonces, ran (A) = 2.

El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir dela 3-ª ecuación y pasar la z al 2º miembro:

x = = = ; y = = =

Soluciones: ( , , λ)b)

A = ( )Como = –35 ≠ 0, entonces: ran (A) = 3 = n-º incógnitas.


8 Expresa en forma matricial y resuelve utilizando la matriz inversa:

a) b)

a) ( ) · ( ) = ( )A · X = B

202

xyz

2 1 00 1 32 1 1

2x + y = 2y + 3z = 0

2x + y + z = 2

x + y – z = 32x + y + z = –2x – 2y – 3z = 1

2x + y = 2y + 3z = 0

2x + y + z = 2

9 3 23 –1 18 1 4

9 3 23 –1 18 1 41 2 –2

9x + 3y + 2z = 03x – y + z = 08x + y + 4z = 0x + 2y – 2z = 0

2λ3

λ3

2z3

–2z–3

1 z 1 –z

–3z3

–z–3

z 1 –z –2

–3

x + y = zx – 2y = –z

1 –2–2 1

1 1 –11 –2 112 –3 –2

x + y – z = 0x – 2y + z = 0

12x – 3y – 2z = 0

x + y – z = 012x – 3y – 2z = 0

x – 2y + z = 0

9x + 3y + 2z = 03x – y + z = 08x + y + 4z = 0x + 2y – 2z = 0

x + y – z = 012x – 3y – 2z = 0

x – 2y + z = 0


{ {

|A|= 2 ≠ 0 → Existe A–1. La calculamos:


( ) → ( ) → ( ) → ( ) = A–1

Luego:

A · X = B → A–1 · A · X = A–1 · B →

→ X = A–1 · B = ( ) · ( ) = ( )Por tanto: x = 1, y = 0, z = 0

b) ( ) · ( ) = ( )A · X = B

|A|= 11 ≠ 0 → Existe A–1. La calculamos:


( ) → ( ) → ( ) → ( ) = A–1

Luego:

A · X = B → A–1 · A · X = A–1 · B →

→ X = A–1 · B = ( ) · ( ) = ( ) = ( )Por tanto: x = –1, y = 2, z = –2

9 Encuentra el valor de a para que este sistema sea compatible:

A' = ( ); |A'|= 6 – 7a = 0 → a = ; = 1 ≠ 02 31 2

67

2 3 51 2 | 1a 1 3

2x + 3y = 5x + 2y = 1

ax + y = 3

2x + 3y = 5x + 2y = 1

ax + y = 3

–12–2

–1122–22

111

3–21

–1 5 27 –2 –3–5 3 –1

111

–1 5 27 –2 –3–5 3 –1

111

–1 5 27 –2 –3–5 3 –1

–1 7 –55 –2 32 –3 –1

–1 –7 –5–5 –2 –32 3 –1

1|A|

3–21

xyz

1 1 –12 1 11 –2 –3

x + y – z = 32x + y + z = –2x – 2y – 3z = 1

100

202

–1 –1/2 3/23 1 –3–1 0 1

–1 –1/2 3/23 1 –3–1 0 1

–2 –1 36 2 –6–2 0 2

–2 6 –2–1 2 03 –6 2

–2 –6 –21 2 03 6 2

1|A|


{ {

S

Si a = , ran (A) = ran (A' ) → Sistema compatible.

Si a ≠ , ran (A) ≠ ran (A' ) → Sistema incompatible.

Página 118

10 Determina si las siguientes ecuaciones tienen solución y hállala si es posi-ble:

a) X ( ) = ( ) b) ( ) X = ( )c) ( ) X = ( )a) X · ( ) = ( )

A

Como |A|= –7 ≠ 0, existe A–1 y la ecuación tiene solución.

X · A = I → X · A · A–1 = I · A–1 → X = A–1. Hallamos A–1:


( ) → ( ) → ( ) → ( ) = A–1

Por tanto: X = ( )b) ( ) X = ( )

A B

Como |A|= 0, no existe A–1. La ecuación no tiene solución.

c) ( ) X = ( )A B

–1 1 23 0 –11 2 3

2 –1 00 1 –23 0 –1

2 –1 00 1 –23 0 –1

–1 1 23 0 –11 2 3

–11 12 –4–4 5 –41 –3 1

–17

–11 12 –4–4 5 –41 –3 1

–17

–11 12 –4–4 5 –41 –3 1

–11 –4 112 5 –3–4 –4 1

–11 4 1–12 5 3–4 4 1

1|A|

1 0 00 1 00 0 1

1 0 40 1 4–1 3 1

–1 1 23 0 –11 2 3

2 –1 00 1 –23 0 –1

2 –1 00 1 –23 0 –1

–1 1 23 0 –11 2 3

1 0 00 1 00 0 1

1 0 40 1 4–1 3 1

67

67


Como |A|= 4 ≠ 0, existe A–1 y la ecuación tiene solución.

A · X = B → A–1 · A · X = A–1 · B → X = A–1 · B. Hallamos A–1:


( ) → ( ) → ( ) → ( ) = A–1

Luego:

X = ( ) · ( ) = ( )Por tanto:

X = ( ) = ( )PARA RESOLVER

11 Calcula la matriz inversa de cada una de las siguientes matrices para aque-llos valores de a que sea posible:

a) ( ) b) ( ) c) ( )

a) A = ( ) → |A|= a2 + 1 ≠ 0 para cualquier valor de a.

Luego, existe A–1 para cualquier valor de a. La calculamos:


( ) → ( ) → ( ) → ( ) = A–1

b) A = ( ) → |A|= 2a ≠ 0 si a ≠ 0. Solo existe A–1 si a ≠ 0.

La calculamos en este caso:

αij → Adj (A) → (Adj (A))t → (Adj (A))t1|A|

3 a1 a

a 1—––––– –––––––a2 + 1 a2 + 1

–1 a—––––– –––––––a2 + 1 a2 + 1

a 1–1 a

a –11 a

a 1–1 a

1|A|

a –11 a

a – 2 00 a

3 a1 a

a –11 a

0 3/4 5/41 1/2 1/2–1 1/4 3/4

0 3 54 2 2–4 1 3

14

0 3 54 2 2–4 1 3

14

–1 1 23 0 –11 2 3

–1 –1 2–6 –2 4–3 –3 2

14

–1 –1 2–6 –2 4–3 –3 2

14

–1 –1 2–6 –2 4–3 –3 2

–1 –6 –3–1 –2 –32 4 2

–1 6 –31 –2 32 –4 2

1|A|


S

S

( ) → ( ) → ( ) → ( ) = A–1

c) A = ( ) → |A|= (a – 2) a ≠ 0 si a ≠ 0 y a ≠ 2

Existe A–1 solo cuando a ≠ 0 y a ≠ 2. La calculamos en este caso:


( ) → ( ) → ( ) → ( ) = A–1

12 Consideramos la matriz siguiente: A = ( )a) Halla los valores de x para los que A tiene inversa.

b) Calcula, si es posible, A–1 para x = 2.

a) Existe A–1 solo cuando |A|≠ 0.

|A|= = x ≠ 0 si x ≠ 0

Luego, existe A–1 para todo x ≠ 0.

b) Para x = 2, tenemos que |A|= 2 ≠ 0, luego existe A–1 en este caso. La cal-culamos:


( ) → ( ) → ( ) → ( ) = A–1

13 Discute los siguientes sistemas según los valores del parámetro m:

a) b) x+ y+ z= m– 1

2x+ y+ mz= mx+ my+ z= 1

mx + y + z = 4x + y + z = mx – y + mz = 2

–1 –1/2 3/23 1 –3–1 0 1

–2 –1 36 2 –6–2 0 2

–2 6 –2–1 2 03 –6 2

–2 –6 –21 2 03 6 2

1|A|

x 1 00 1 3x 1 1

x 1 00 1 3x 1 1

1—––––– 0a – 2

10 –––

a

a 00 a – 2

a 00 a – 2

a 00 a – 2

1|A|

a – 2 00 a

1 –1—– ––––2 2–1 3

—–– ––––2a 2a

a –a–1 3

a –1–a 3

a 1a 3


S

c) d)

e) f)

a)A' = ( )

A

|A| = m2 – 1 = 0

• Si m = 1, queda:

A' = ( ) Contradictorias → Sistema incompatible.

• Si m = –1, queda:


• Si m ≠ 1 y m ≠ –1 → ran (A) = ran (A' ) = n-º incógnitas = 3. Sistema com-patible determinado.

b)A' = ( )

A

|A| = –m2 + 3m – 2 = 0 → m = =


A' = ( ) Contradictorias → El sistema es incompatible.


A' = ( ). Las columnas 1-ª, 3-ª y 4-ª son iguales.

A

1 1 1 12 1 2 | 21 2 1 1

1 1 1 02 1 1 | 11 1 1 1

m = 1m = 2

–3 ± 1–2

–3 ± √9 – 8–2

1 1 1 m – 12 1 m | m1 m 1 1

x + y + z = m – 12x + y + mz = mx + my + z = 1

–1 1 1 41 1 1 | –11 –1 –1 2

1 1 1 41 1 1 | 11 –1 1 2

m = 1m = –1

m 1 1 41 1 1 | m1 –1 m 2

mx + y + z = 4x + y + z = mx – y + mz = 2

(1+m)x + y + z = 1x + (1+m)y + z = mx + y + (1+m)z = m2

x + 2z = 33x + y + z = –1

2y – z = –2x – y + mz = –5

x + my + z = 4x + 3y + z = 5

mx + y + z = 4

x + 2y + 3z = 0x + my + z = 0

2x + 3y + 4z = 2


←←

←

←

←

←

Como = –1 ≠ 0 → ran (A' ) = ran (A) = 2 < n-º incógnitas

El sistema es compatible indeterminado.

• Si m ≠ 1 y m ≠ 2 → ran (A) = ran (A' ) = n-º incógnitas = 3. Sistema com-patible determinado.

c)A' = ( )

A

|A| = –2m + 2 = 0 → m = 1


A' = ( ). Como = –1 y = –2 ≠ 0,

entonces: ran (A) = 2 ≠ ran (A' ) = 3. Sistema incompatible.

• Si m ≠ 1, queda: ran (A) = ran (A' ) = n-º incógnitas = 3. Sistema compatibledeterminado.

d)A' = ( )

A

|A| = m2 – 4m + 3 = 0 → m = = =




A' = ( ). La 1-ª y la 3-ª fila son iguales.

A

Además, = 2 ≠ 0. Luego, ran (A) = ran (A' ) = 2 < n-º incógnitas.


• Si m ≠ 3 y m ≠ 1 → ran (A) = ran (A' ) = n-º incógnitas = 3. Sistema com-patible determinado.

1 11 3

1 1 1 41 3 1 | 51 1 1 4

1 3 1 41 3 1 | 53 1 1 4

m = 3m = 1

4 ± 22

4 ± √42

4 ± √16 – 122

1 m 1 41 3 1 | 5m 1 1 4

x + my + z = 4x + 3y + z = 5

mx + y + z = 4

1 2 01 1 02 3 2

1 21 1

1 2 3 01 1 1 | 02 3 4 2

1 2 3 01 m 1 | 02 3 4 2

x + 2y + 3z = 0x + my + z = 0

2x + 3y + 4z = 2

1 12 1


←←

e)

A' = ( )A

|A|= = =

= = =

= = 18 = 18(–9 – m + 7) =

= 18(–m – 2) = 0 → m = –2

Además, = 9 ≠ 0 → ran (A) = 3

• Si m = –2 → ran (A) = ran (A' ) = n-º incógnitas = 3. El sistema es compa-tible determinado.

• Si m ≠ –2 → ran (A' ) = 4 ≠ ran (A) = 3. Sistema incompatible.

f)A' = ( )

A

|A| = m3 + 3m2 = m2(m + 3) = 0


A' = ( )El sistema es incompatible. (La 1-ª ecuación contradice las otras).


A' = ( )A

–2 1 1 11 –2 1 | –31 1 –2 9

1 1 1 11 1 1 | 01 1 1 0

m = 0m = –3

1 + m 1 1 11 1 + m 1 | m1 1 1 + m m2

(1 + m)x + y + z = 1x + (1 + m)y + z = mx + y + (1 + m)z = m2

1 0 23 1 10 2 –1

9 1m – 7 –1

9 18m – 7 –18

1 –5 –100 9 180 m – 7 –18

1-ª

2-ª – 2 · 1-ª

3-ª + 1-ª

1 –5 –102 –1 –2–1 m – 2 –8

1 0 2 30 1 –5 –100 2 –1 –20 –1 m – 2 –8

1-ª

2-ª – 3 · 1-ª

3-ª

4-ª– 1-ª

1 0 2 33 1 1 –10 2 –1 –21 –1 m –5

1 0 2 33 1 1 –10 2 –1 | –21 –1 m –5

x + 2z = 33x + y + z = –1

2y – z = –2x – y + mz = –5


FILAS

FILAS

Como = 3 ≠ 0 → ran (A) = 2

Además, = 21 ≠ 0 → ran (A' ) = 3

Luego el sistema es incompatible.

• Si m ≠ 0 y m ≠ –3 → ran (A) = ran (A' ) = n-º incógnitas = 3. El sistema escompatible determinado.

14 Discute los siguientes sistemas homogéneos en función del parámetro a :

a) b)

c) d)

a)A = ( )

Como es homogéneo, sabemos que ran (A) = ran (A' ).

|A| = –5a – 25 = 0 → a = –5

• Si a = –5 → Como = 5 ≠ 0 → ran (A) = ran (A' ) = 2


• Si a ≠ –5 → Solo tiene la solución trivial (0, 0, 0).

b)A' = ( )


|A| = –a2 – a + 6 = 0 → a = =

• Si a = –3 o a = 2 → Como = 2 ≠ 0 → ran (A) = ran (A' ) = 2


• Si a ≠ –3 y a ≠ 2 → ran (A) = ran (A' ) = 3. Solo existe la solución trivial(0, 0, 0).

1 10 2

a = –3a = 2

1 ± 5–2

1 ± √1 + 24–2

1 1 1a 0 22 –1 a

x + y + z = 0ax + 2z = 02x – y + az = 0

2 –11 2

2 –1 11 2 –33 –4 –a

2x – y + z = 0x + 2y – 3z = 0

3x – 4y – az = 0

3x + 3y – z = 04x + 2y – az = 03x + 4y + 6z = 0

ax + y – z = 0x + 2y + z = 0

3x + 10y + 4z = 0

x + y + z =0ax + 2z =02x – y+ az =0

2x – y + z =0x + 2y – 3z =0

3x – 4y – az =0

–2 1 11 –2 –31 1 9

–2 11 –2


S

S

c)A' = ( )


|A| = –2a – 5 = 0 → a =

• Si a = – → Como = 3 ≠ 0 → ran (A) = ran (A' ) = 2


• Si a ≠ – → ran (A) = ran (A' ) = 3. Solo existe la solución trivial (0, 0, 0).

d)A' = ( )

|A| = 3a – 46 = 0 → a =

• Si a = → Como = –6 ≠ 0 → ran (A) = ran (A' ) = 2


• Si a ≠ → ran (A) = ran (A' ) = 3. Solo existe la solución trivial (0, 0, 0).

15 Determina los valores de m para los cuales son incompatibles estos sistemas:

a) b)

c)

a)A' = ( )

A

|A| = –m2 – 2m – 1 = –(m + 1)2 = 0 → m = –1


A' = ( ) Contradictorias. El sistema es incompatible.–1 –1 –1 –11 –1 –1 | –11 1 1 –1

m –1 –1 m1 –1 m | m1 1 1 –1

mx – y – z = mx – y + mz = mx + y + z = –1

2x + y – z = m – 4(m – 6) y + 3z = 0

(m + 1) x + 2y = 3

(m + 1) x + y + z = 3x + 2y + mz = 4x + my + 2z = 2

mx – y – z = mx – y + mz = mx + y + z = –1

463

3 34 2

463

463

3 3 –14 2 –a3 4 6

3x + 3y – z = 04x + 2y + az = 03x + 4y + 6z = 0

52

1 –12 1

52

–52

a 1 –11 2 13 10 4

ax + y – z = 0x + 2y + z = 0

3x + 10y + 4z = 0


←

←

• Si m ≠ –1, es compatible determinado, pues ran (A) = ran (A' ) = 3.

• Por tanto, solo es incompatible para m = –1.

b)A' = ( )

A

|A| = –m3 – m2 + 6m = –m (m – 2) (m + 3) = 0


A' = ( ) Como = 1 y = 0,

A

entonces: ran (A) = ran (A' ) = 2 → Compatible indeterminado.




A' = ( ) Como = –5 y = –45,

A

entonces: ran (A) = 2 ≠ ran (A' ) = 3 → Sistema incompatible.

• Si m ≠ 0, m ≠ 2 y m ≠ –3 → Sistema compatible determinado, puesran (A) = ran (A' ) = 3.

Por tanto, es incompatible para m = 2 y para m = –3.

c)A' = ( )

A

|A| = m2 – 2m – 15 = 0 → m = =


A' = ( ). Como = –2 ≠ 0 y = 0,

A

entonces ran (A) = ran (A') = 2; el sistema es compatible indeterminado.

2 1 10 –1 06 2 3

2 10 –1

2 1 –1 10 –1 3 | 06 2 0 3

m = 5m = –3

2 ± 82

2 ± √4 + 602

2 1 –1 m – 40 m – 6 3 | 0

m + 1 2 0 3

2x + y – z = m – 4(m – 6)y + 3z = 0

(m + 1)x + 2y = 3

–2 1 31 2 41 –3 2

–2 11 2

–2 1 1 31 2 –3 | 41 –3 2 2

3 1 1 31 2 2 | 41 2 2 2

1 1 31 2 41 0 2

1 11 2

1 1 1 31 2 0 | 41 0 2 2

m = 0m = 2m = –3

(m + 1) 1 1 31 2 m | 41 m 2 2

(m + 1)x + y + z = 3x + 2y + mz = 4x + my + 2z = 2



A' = ( ). Como = –18 y = 72,

A

entonces ran (A) = 2 ≠ ran (A' ) = 3. El sistema es incompatible.

• Si m ≠ 5 y m ≠ –3 → Sistema compatible determinado, puesran (A) = ran (A' ) = 3.

Por tanto, es incompatible solo para m = –3.

16 ¿Existe algún valor de a para el cual estos sistemas tengan infinitas solucio-nes?

a) b) c)

a)A' = ( )

A

|A| = 9a + 27 = 0 → a = –3


A' = ( )Como = –5 y = 20, entonces:

ran (A) = 2 ≠ ran (A' ) = 3 → El sistema es incompatible.

• Si a = –3 → ran (A) = ran (A' ) = 3 → Compatible determinado.

Por tanto, no existe ningún valor de a para el que el sistema tenga infinitas so-luciones.

b)A' = ( )

A

|A| = –a2 + 3a – 2 = 0 → a = = a = 1a = 2

–3 ± 1–2

–3 ± √9 – 8–2

1 1 1 a – 12 1 a | a1 a 1 1

x + y + z = a – 12x + y + az = ax + ay + z = 1

3 –2 22 –3 –41 1 2

3 –22 –3

3 –2 –3 22 –3 –5 | –41 1 2 2

3 –2 –3 22 a –5 | –41 1 2 2

3x – 2y – 3z = 22x + ay – 5z = –4x + y + 2z = 2

(a + 1)x + 2y + z = a + 3ax + y = aax + 3y + z = a + 2

x + y + z = a – 12x + y + az = ax + ay + z = 1

3x – 2y– 3z = 22x+ ay – 5z = –4x + y+ 2z = 2

2 1 –70 –9 0–2 2 3

2 10 –9

2 1 –1 –70 –9 3 | 0–2 2 0 3


S


A' = ( ) Contradictorias. El sistema es incompatible.


A' = ( ). Las columnas 1-ª, 3-ª y 4-ª son iguales, y = –1 ≠ 0;

A

luego, ran (A) = ran (A' ) = 2. El sistema es compatible indeterminado.

• Si a ≠ 1 y a ≠ 2 → ran (A) = ran (A' ) = 3 → Compatible determinado.

Por tanto, el sistema tiene infinitas soluciones para a = 2.

c)A' = ( )

A

|A| = a + 1 = 0 → a = –1


A' = ( ). La primera fila es la tercera menos la segunda.

= 2 ≠ 0; luego, ran (A) = ran (A' ) = 2.


• Si a ≠ –1 → ran (A) = ran (A' ) = 3 → Compatible determinado.

Por tanto, el sistema tiene infinitas soluciones para a = –1.

17 Discute y resuelve según los valores de m:

A' = ( )A

|A|= m2 – 1 = 0 m = 1m = –1

m 1 2 – 2m1 m m – 1

mx + y = 2 – 2mx + my = m – 1

mx + y = 2 – 2mx + my = m – 1

0 2–1 1

0 2 1 2–1 1 0 | –1–1 3 1 1

a + 1 2 1 a + 3a 1 0 | aa 3 1 a + 2

(a + 1)x + 2y + z = a + 3ax + y = aax + 3y + z = a + 2

1 12 1

1 1 1 12 1 2 | 21 2 1 1

1 1 1 02 1 1 | 11 1 1 1


S

←

←

S


A' = ( ) El sistema es compatible indeterminado. Lo resolvemos:

x + y = 0 → y = x. Soluciones: x = λ, y = –λ


A' = ( ) Las ecuaciones son contradictorias. El sistema es incompatible.

• Si m ≠ 1 y m ≠ –1 → ran (A) = ran (A') = n-º incógnitas = 2. El sistema es com-patible determinado. Lo resolvemos:

x = = = =

y = = = =


18 Resuelve la ecuación A X B = C siendo:

A = ( ) B = ( ) C = ( )☛ Multiplica C por A–1 por la izquierda y por B –1 por la derecha.

AXB = C → A–1 · A · X · B · B–1 = A–1 · C · B–1 → X = A–1 · C · B–1

Calculamos A–1 y B–1 (|A|= 1 y |B|= 1 → existen A–1 y B–1):


( ) → ( ) → ( ) → ( ) = A–1


( ) → ( ) → ( ) → ( ) = B–1

Por tanto:

X = A–1 · C · B–1 = ( ) · ( ) · ( ) = ( ) · ( ) = ( )1 –1–1 1

2 –3–1 2

1 1–1 –1

2 –3–1 2

1 11 1

3 –2–4 3

2 –3–1 2

2 –3–1 2

2 –1–3 2

2 13 2

1|B|

3 –2–4 3

3 –2–4 3

3 –4–2 3

3 42 3

1|A|

1 11 1

2 31 2

3 24 3

m + 2m + 1

–2m – 1m + 1

m + 2m + 1

(m + 2)(m – 1)(m + 1)(m – 1)

m2 + m – 2m2 – 1

m 2 – 2m 1 m – 1

m2 – 1

–2m – 1m + 1

(–2m – 1)(m – 1)(m + 1)(m – 1)

–2m2 + m + 1m2 – 1

2 – 2m 1 m – 1 m

m2 – 1

–1 1 41 –1 –2

1 1 01 1 0


19 Dada A = ( ), halla una matriz X tal que A X A = ( ).☛ Multiplica dos veces por A–1, una vez por la izquierda y otra por la derecha.

Calculamos A–1 (|A|= 1 ≠ 0 → existe A–1):


( ) → ( ) → ( ) → ( ) = A–1

Por tanto:

AXA = ( ) → X = A–1 · ( ) · A–1= ( ) · ( ) · ( ) =

= ( ) · ( ) = ( )

20 Dadas las matrices:

A = ( ) B = ( ) C = ( ) D = ( )halla la matriz X que verifica AB + CX = D.

AB + CX = D → CX = D – AB → X = C –1 · (D – AB)

• Calculamos C –1 (|C|= –2 ≠ 0 → existe C –1):

αij → Adj (C ) → (Adj (C ))t → (Adj (C ))t

( ) → ( ) → ( ) → ( ) = C –1

• Calculamos A · B:

A · B = ( ) · ( ) = ( )• Por tanto:

X = ( ) · [( ) – ( )] = ( ) · ( ) = ( )–2 10 1

–2 3–6 7

–2 13/2 –1/2

–7 0–2 10

–9 3–8 17

–2 13/2 –1/2

–7 0–2 10

3 10 1–1 2

–2 0 11 –1 5

–2 13/2 –1/2

4 –2–3 1

4 –3–2 1

4 32 1

1|C|

–9 3–8 17

1 23 4

3 10 1–1 2

–2 0 11 –1 5

–1 –21 1

2 –3–1 2

–4 –73 5

2 –3–1 2

1 12 3

2 –3–1 2

1 12 3

1 12 3

2 –3–1 2

2 –3–1 2

2 –1–3 2

2 13 2

1|A|

1 12 3

2 31 2


S

21 Halla X tal que 3AX = B, siendo: A = ( ), B = ( )3AX = B → X = A–1 · B

Calculamos A–1 (|A|= –1 ≠ 0 → existe A–1):


( ) → ( ) → ( ) → ( ) = A–1

Por tanto:

X = ( ) · ( ) = ( ) = ( )22 Resuelve la ecuación: ( ) ( ) + ( ) = ( )

( ) · ( ) = ( ) Calculamos A–1 (|A|= 16 ≠ 0 → existe A–1):

A · X = B


( ) → ( ) → ( ) → ( ) = A–1

Por tanto:

A · X = B → X = A–1· B = ( ) · ( ) = ( ) = ( )Luego, ( ) = ( ); es decir: x = 1, y = –1, z = 1

1–11

xyz

1–11

16–1616

116

7–2–1

3 5 –51 7 92 –2 2

116

3 5 –51 7 92 –2 2

116

3 5 –51 7 92 –2 2

3 1 25 7 –2–5 9 2

3 –1 2–5 7 2–5 –9 2

1|A|

7–2–1

xyz

2 0 51 1 –2–1 1 1

4–11

–312

xyz

2 0 51 1 –2–1 1 1

1/3 2/3 01/3 1/3 00 –1/3 1/3

1 2 01 1 00 –1 1

13

1 0 21 0 11 1 1

–1 0 2–1 1 11 0 –1

13

–1 0 2–1 1 11 0 –1

1 0 –21 –1 –1–1 0 1

1 1 –10 –1 0–2 –1 1

1 –1 –10 –1 0–2 1 1

1|A|

13

1 0 21 0 11 1 1

1 0 20 1 11 0 1


{ {

23 Discute y resuelve, según los diferentes valores del parámetro a, estos sis-temas de ecuaciones:

a) b)

a)A' = ( ) |A| = 1 – a2 = 0

A


A' = ( ). Observamos que la 1-ª y la 3-ª columna son iguales.

A

Además, = –8 ≠ 0; luego, ran (A) = ran (A' ) = 2.

El sistema es compatible indeterminado. Lo resolvemos. Podemos prescindirde la 1-ª ecuación:

8y = 1 – 23z – 1 – z = –24z → y = –3z

Soluciones: (1 + λ, –3λ, λ)


A' = ( ). Como = –8 ≠ 0 y = –2 ≠ 0.

A

Luego, ran (A) = 2 ≠ ran (A' ) = 3. El sistema es incompatible.

• Si a ≠ 1 y a ≠ –1 → ran (A) = ran (A' ) = n-º incógnitas = 3. El sistemaes compatible determinado. Lo resolvemos:

x = = =

y = = = = 31 + a

3(1 – a)(1 – a)(1 + a)

3 – 3a1 – a2

a 1 20

a 1 23 1 1 –a

1 – a2

11 + a

1 – a(1 – a)(1 + a)

1 7 20

1 8 23 1 0 –a

1 – a2

–1 7 1–1 8 11 0 1

–1 81 0

–1 7 20 1–1 8 23 | 11 0 1 1

x + 8y = 1 – 23zx = 1 + z

1 81 0

1 7 20 11 8 23 | 11 0 –1 1

a = 1a = –1

a 7 20 1a 8 23 | 11 0 –a 1

ax + 7y + 20z = 1ax + 8y + 23z = 1

x – az = 1

x + y + z = 1ax = 2

ay + 2z = 0

ax + 7y + 20z = 1ax + 8y + 23z = 1x – az = 1


S

z = = = =


b)A' = ( )

A

|A| = –a(2 – a) = 0


A' = ( ). Sistema incompatible (la 2-ª ecuación es imposible).


A' = ( ). La 1-ª y la 3-ª columna son iguales.

A

Además, = –2 ≠ 0; luego, ran (A) = ran (A' ) = 2.

El sistema es compatible indeterminado. Lo resolvemos. Podemos prescindirde la 3-ª ecuación:

Soluciones: (1, –λ, λ)

• Si a ≠ 0 y a ≠ 2 → ran (A) = ran (A' ) = n-º incógnitas = 3. El sistema escompatible determinado. Lo resolvemos:

x = = = ; y = = =

z = = = 1; Solución: x = , y = , z = 1–2a

2a

–a(2 – a)–a(2 – a)

1 1 1

a 0 2 0 a 0

–a(2 – a)

–2a

2(2 – a)–a(2 – a)

1 1 1

a 2 0 0 0 2

–a(2 – a)

2a

–2(2 – a)–a(2 – a)

1 1 1

2 0 0 0 a 2

–a(2 – a)

x = 1y = 1 – x – z = –z

x + y + z = 12x = 2

1 12 0

1 1 1 12 0 0 | 20 2 2 0

1 1 1 10 0 0 | 20 0 2 0

a = 0a = 2

1 1 1 1a 0 0 | 20 a 2 0

x + y + z = 1ax = 2

ay + 2z = 0

–11 + a

31 + a

11 + a

–11 + a

–(1 – a)(1 – a)(1 + a)

a – 1(1 – a)(1 + a)

a 7 1

a 8 1 1 0 1

1 – a2


24 Discute el siguiente sistema de ecuaciones según los valores del parámetroa y resuélvelo en el caso a = 2:

A' = ( )A

|A|= 2a2 – 8 = 0


A' = ( ). La 1-ª y la 3-ª fila son iguales.

A

Además, ≠ 0; luego, ran (A) = ran (A') = 2 < n-º incógnitas.

El sistema es compatible indeterminado. Lo resolvemos en este caso. Podemos pres-cindir de la 3-ª ecuación (puesto que es igual que la 1-ª):

= –1

y = = = 3 – x; z = = = –1

Soluciones: x = λ, y = 3 – λ, z = –1


A' = ( )A

Como = 20 y = –128 ≠ 0, entonces ran (A) = 2 ≠ ran (A') = 3.


• Si a ≠ 2 y a ≠ –2 → ran (A) = ran (A' ) = 3 = n-º incógnitas. El sistema es com-patible determinado.

2 6 0–2 4 2–2 6 –4

2 6–2 4

–2 2 6 02 –2 4 | 22 –2 6 –4

1–1

1 –x 1 1 – x

–1x – 3–1

–x 3 1 – x 2

–1

1 31 2

y + 3z = –xy + 2z = 1 – x

x + y + 3z = 0x + y + 2z = 1

2x + 2y + 6z = 02x + 2y + 4z = 2

2 62 4

2 2 6 02 2 4 | 22 2 6 0

a = 2a = –2

a 2 6 02 a 4 | 22 a 6 a – 2

ax + 2y + 6z = 02x + ay + 4z = 22x + ay + 6z = a – 2

ax + 2y + 6z = 02x + ay + 4z = 22x + ay + 6z = a – 2


S

25 Averigua los valores de α para los cuales admiten infinitas soluciones lossistemas siguientes. Obtén todas las soluciones e interpreta geométricamen-te los resultados obtenidos:

a) b)

a)A' = ( ) |A| = α – 9 = 0 → α = 9

A

• Si α = 9, queda:

A' = ( ). Como = 1 y = 0, entonces:

A

ran (A) = ran (A' ) = 2 < n-º incógnitas. El sistema es compatible indetermi-nado. Lo resolvemos. Podemos prescindir de la 3-ª ecuación y pasar la z al 2ºmiembro:

x = = 1 + 5z; y = = 2 – 7z

Soluciones: x = 1 + 5λ, y = 2 – 7λ, z = λ

Geométricamente, son tres planos que se cortan en una recta.

• Si α ≠ 9 → ran (A) = ran (A' ) = n-º incógnitas = 3. El sistema es compa-tible determinado. Lo resolvemos:

x = = = 1; y = = = = 2

z = = = 0. Solución: x = 1, y = 2, z = 0

Geométricamente, son tres planos que se cortan en el punto (1, 2, 0).

b) A' = ( )A

|A|= –α2 + 1 = 0 α = 1α = –1

α –1 11 –α 2α – 1

αx – y = 1x – αy = 2α – 1

0α – 9

1 1 3

1 2 5 2 1 4

α – 9

2(α – 9)α – 9

2α – 18α – 9

1 3 2

1 5 α 2 4 –3

α – 9

α – 9α – 9

3 1 2

5 2 α 4 1 –3

α – 9

1 3 – 2z 1 5 – 9z

1

3 – 2z 1 5 – 9z 2

1

x + y = 3 – 2zx + 2y = 5 – 9z

1 1 31 2 52 1 4

1 11 2

1 1 2 31 2 9 | 52 1 –3 4

1 1 2 31 2 α | 52 1 –3 4

x + y + 2z = 3x + 2y + αz = 5

2x + y – 3z = 4

αx – y = 1x – αy = 2α – 1

x + y + 2z = 3x + 2y + αz = 5

2x + y – 3z = 4


S

• Si α = 1, queda:

A' = ( ). Compatible indeterminado. Lo resolvemos:

x – y = 1 → x = 1 + y. Soluciones: x = 1 + λ, y = λ.

Geométricamente, son rectas coincidentes (se trata de la misma recta).

• Si α = –1, queda:

A' = ( ). Las ecuaciones son contradictorias. El sistema es incompatible.

Geométricamente, son dos rectas paralelas.

• Si α ≠ 1 y α ≠ –1 → ran (A) = ran (A' ) = n-º incógnitas = 2. El sistema escompatible determinado. Lo resolvemos:

x = = = =

y = = =


Geométricamente, son dos rectas que se cortan en un punto.

26 Discute la compatibilidad del siguiente sistema según los diversos valores deλ y resuélvelo para λ = –1 y para λ = 2:

A' = ( )A

|A|= –3λ2 – 6λ – 3 = –3(λ + 1)2 = 0 → λ = –1

• Si λ = –1, queda:

A' = ( ). La 1-ª y la 3-ª ecuación son iguales.

A

–1 –1 2 –12 –1 –1 | 2–1 –1 2 –1

–1 λ 2 λ2 λ –1 | 2

–x + λy + 2z = λ2x + λy – z = 2λx – y + 2z = λ

–x + λy + 2z = λ2x + λy – z = 2λx – y + 2z = λ

–2α – 1α + 1

–11 + α

–2α – 1α + 1

(α – 1)(2α + 1)(1 – α)(1 + α)

α 1 1 2α – 1

1 – α2

–11 + α

–(1 – α)(1 – α)(1 + α)

α – 1(1 – α)(1 + α)

1 –1 2α – 1 –α1 – α2

–1 –1 11 1 –3

1 –1 11 –1 1


S

Como = 3 ≠ 0, entonces ran (A) = ran (A') = 2.

El sistema es compatible indeterminado. Lo resolvemos. Podemos prescindir de la3-ª ecuación y pasar la z al 2º miembro:

Sumando: 3x = 3 + 3z → x = 1 + z

y = 1 + 2z – x = 1 + 2z – 1 – z = z

Soluciones: x = 1 + λ, y = λ, z = λ

• Si λ ≠ –1 → ran (A) = ran (A' ) = n-º incógnitas = 3. El sistema es compatibledeterminado. Lo resolvemos para el caso en que λ = 2:

x = = = ; y = = =

z = = = ; Solución: x = , y = , z =

27 Halla, en función de a, el rango de la matriz A = ( ) y calcula, si

existe, la matriz inversa A–1 en los casos a = 1 y a = –1.

A = ( ) → |A|= a2 + 4a + 3 = 0 →

→ a = = =

A = ( ) = –3 ≠ 0

Por tanto:

• Si a = –1 o a = –3 → ran (A) = 2

• Si a ≠ –1 y a ≠ –3 → ran (A) = 3

Así, si a = –1, como |A|= 0, no existe A–1.

Para a = 1, |A|= 8 ≠ 0, sí existe A–1. La calculamos en este caso:

A = ( )1 0 –10 1 –34 1 1

1 –10 –3

1 0 –10 a –34 1 a

a = –1a = –3

–4 ± 22

–4 ± √42

–4 ± √16 – 122

1 0 –10 a –34 1 a

1 0 –10 a –34 1 a

23

23

23

23

–18–27

–1 2 2

2 2 2 2 –1 2

–27

23

–18–27

–1 2 2

2 2 –1 2 2 2

–27

23

–18–27

2 2 2

2 2 –1 2 –1 2

–27

x + y = 1 + 2z2x – y = 2 + z

–x – y = –1 – 2z2x – y = 2 + z

–1 –12 –1


S


( ) → ( ) → ( ) → ( ) = A–1

28 Considera la matriz A = ( ).a) ¿Cuándo el determinante de A es el seno de algún número real?

b) Calcula A–1 cuando exista.

c) Determina todos los pares (a, b) para los que A coincide con su inversa.

a) |A|= b será el seno de algún número real cuando –1 ≤ b ≤ 1.

b) Existirá A–1 cuando |A|≠ 0, es decir, cuando b ≠ 0. La calculamos en este caso:


( ) → ( ) → ( ) → ( ) = A–1

c) ( ) = ( ) →

A = A–1 cuando

29 Halla los valores del parámetro t para los cuales las matrices A y B no soninvertibles y calcula:

a) A–1 si t = 1 b) B–1 si t = 2

A = ( ) B = ( )a) |A|= t2 + 4t – 12 = 0 → t = = =

A no es invertible para t = 2 ni para t = –6.

t = 2t = –6

–4 ± 82

–4 ± √642

–4 ± √16 + 482

1 0 t1 1 0t 0 1

1 0 40 t 4–1 3 t

• a = 0 y b = 1 → (0, 1)• b = –1 y a cualquier número real → (a, –1)

aa = – — → ab + a = 0 → a (b + 1) = 0

b1 b = 1 → a = 0

b = — → b2 = 1 b b = –1 → a ∈ Á

1 0 00 1 0

–a/b 0 1/b

1 0 00 1 0a 0 b

1 0 00 1 0

–a/b 0 1/b

b 0 00 b 0–a 0 1

b 0 –a0 b 00 0 1

b 0 –a0 b 00 0 1

1|A|

1 0 00 1 0a 0 b

4 –1 1–12 5 3–4 –1 1

18

4 –1 1–12 5 3–4 –1 1

4 –12 –4–1 5 –11 3 1

4 12 –41 5 11 –3 1

1|A|


S

S

S

Calculamos A–1 para t = 1:

A = ( ) → |A|= –7


( ) → ( ) → ( ) → ( ) = A–1

b) |B| = 1 – t2 = 0

B no es invertible para t = 1 ni para t = –1.

Calculamos B–1 para t = 2:

B = ( ) → |B|= –3


( ) → ( ) → ( ) → ( ) = B–1

30 Dadas las matrices A = ( ) y B = ( ) donde λ es cualquier núme-

ro real:

a) Encuentra los valores de λ para los que AB es invertible.

b) Determina los valores de λ para los que BA es invertible.

c) Dados a y b, números reales cualesquiera, ¿puede ser el siguiente siste-ma compatible determinado?

A ( ) = ( )

a) A · B= ( ) · ( ) = ( )

|A · B| = 2λ2 + 3λ – 2 = 0 → λ = = =–3 ± √254

–3 ± √9 + 164

1 + 2λ 3 + 2λ1 – λ 1

1 3λ 00 2

1 2 λ1 –1 –1

ab

xyz

1 3λ 00 2

1 2 λ1 –1 –1

–1 0 21 3 –22 0 –1

13

1 0 –2–1 –3 2–2 0 1

1 –1 –20 –3 0–2 2 1

1 1 –20 –3 0–2 –2 1

1|B|

1 0 21 1 02 0 1

t = 1t = –1

–11 12 –4–4 5 –41 –3 1

–17

–11 12 –4–4 5 –41 –3 1

–11 –4 112 5 –3–4 –4 1

–11 4 1–12 5 3–4 4 1

1|A|

1 0 40 1 4–1 3 1


=

A · B es invertible cuando λ ≠ y λ ≠ –2.

b) B · A = ( ) · ( ) = ( )|B · A|= 0 → B · A no es invertible.

c) A' = ( ); = –3 → ran (A) = ran (A' ) = 2 < n-º incógnitas.

A

El sistema es compatible indeterminado, para cualquier valor de a y b. Por tan-to, no puede ser compatible determinado.

Página 120

31 En el supuesto de que exista, calcula una matriz X tal que AX = B en los si-guientes casos:

a) A = ( ) y B = ( ) b) A = ( ) y B = ( )a) |A|= 4 ≠ 0 → Existe A–1. Luego:

AX = B → A–1AX = A–1 · B → X = A–1 · B

Calculamos A–1:


( ) → ( ) → ( ) → ( ) = A–1

Por tanto:

X = ( ) · ( ) = ( )b) Para poder efectuar el producto A · X = B, X debería ser (si existiera) de di-

mensión 2 × 3.

Sea X = ( ).x y za b c

11 1–1 1–18 2

14

1 12 10 3

9 1 –3–3 1 1–14 –2 6

14

9 1 –3–3 1 1–14 –2 6

14

9 1 –3–3 1 1–14 –2 6

9 –3 –141 1 –2–3 1 6

9 3 –14–1 1 2–3 –1 6

1|A|

2 0 11 3 05 1 3

1 12 10 3

1 12 10 3

2 0 11 3 05 1 3

1 21 –1

1 2 λ a1 –1 –1 b

4 –1 λ – 3λ 2λ λ2

2 –2 –2

1 2 λ1 –1 –1

1 3λ 00 2

12

1λ = —2–3 ± 5

4


S

Entonces:

AX = ( ) ( ) = ( ) = ( )x + a = 2 → x = 2 – =

2x + a = 1 → 2x = 1 – = – → x = –

3a = 5 → a =

No tiene solución. Luego no existe X tal que AX = B.

32 Dado el sistema: S:

a) Demuestra que es compatible determinado para cualquier valor de α y β.

b) Resuélvelo para α = β = 1.

a)A' = ( )

A

|A| = = = –2 ≠ 0 → ran (A) = ran (A' ) = 3

El sistema es compatible determinado para cualquier valor de α y β.

b) Si α = β = 1, queda:

A' = ( ), con |A|= –2. Lo resolvemos mediante la regla de Cramer:

A

x = = = ; y = = =

z = = = . Solución: x = , y = , z = 32

32

–12

32

–3–2

1 –1 1

1 0 1 1 0 –2

–2

32

–3–2

1 1 2

1 1 1 1 –2 –1

–2

–12

1–2

1 –1 2

1 0 1 –2 0 –1

–2

1 –1 2 11 0 1 | 11 0 –1 –2

1 11 –1

1 –1 α + β1 0 11 0 –1

1 –1 α + β α1 0 1 | β

x – y + (α + β)z = αx + z = βx – z = α – 3β

x – y + (α + β)z = αx + z = βx – z = α – 3β

53

13

23

53

13

53

2 0 11 3 05 1 3

x + a y + b z + c2x + a 2y + b 2z + c

3a 3b 3c

x y za b c

1 12 10 3


S

33 a) Discute, en función de a, el siguiente sistema:

b) Resuelve el sistema anterior para el caso a = –1.

a)A' = ( )

A

|A| = a3 – 3a + 2 = (a – 1)2 (a + 2) = 0


A' = ( ). El sistema es incompatible.


A' = ( ). Como = 3 y = 0,

A

entonces ran (A) = ran (A' ) = 2 < n-º incógnitas.


b) Para a = –1, queda:

A' = ( ) y sabemos que |A|= 4.

A

El sistema en este caso es compatible determinado. Lo resolvemos aplicando laregla de Cramer:

x = = = ; y = = =

z = = = 0. Solución: x = , y = , z = 0–12

12

04

1 –1 1

1 1 0 –1 1 –1

4

–12

–24

1 1 1

1 0 –1 –1 –1 1

4

12

24

1 –1 1

0 1 –1 –1 1 1

4

1 –1 1 11 1 –1 | 0–1 1 1 –1

1 –2 01 1 2–2 1 –2

1 –21 1

1 –2 1 01 1 –2 | 2–2 1 1 –2

1 1 1 31 1 1 | –41 1 1 1

a = 1a = –2

1 a 1 a + 21 1 a | –2(a + 1)a 1 1 a

x + ay + z = a + 2x + y + az = –2(a + 1)

ax + y + z = a

x+ ay + z = a + 2x + y + az = –2 (a + 1)

ax + y + z = a



34 En un sistema de igual número de ecuaciones que de incógnitas, el determi-nante de la matriz de coeficientes es igual a 0. Responde razonadamente alas siguientes preguntas:

a) ¿Puede ser compatible?

b) ¿Puede tener solución única?

c) ¿Se puede aplicar la regla de Cramer?

a) Sí, podría ser compatible indeterminado si ran (A) = ran (A' ) < n-º incógnitas.

b) No, pues al ser ran (A) < n-º incógnitas, el sistema no puede ser compatible de-terminado.

c) Sí, si es compatible, pasando al 2-º miembro las incógnitas que sea necesario.

35 El rango de la matriz de coeficientes de un sistema homogéneo de cuatroecuaciones y tres incógnitas es igual a 3.

¿Qué puedes decir de su solución? Razona tu respuesta.

Al ser el sistema homogéneo con 3 incógnitas, tenemos que ran (A) = ran (A' ) == n-º incógnitas = 3. El sistema sería compatible determinado. Por tanto, tendría co-mo solución única la solución trivial (0, 0, 0).

36 ¿Qué condición debe cumplir una matriz cuadrada para tener inversa?

La condición necesaria y suficiente para que una matriz, A, cuadrada tenga inver-sa es que su determinante sea distinto de cero, es decir, |A|≠ 0.

37 Sean A y B inversas una de otra. Si A = 4, ¿cuánto vale B ?

Si A y B son inversas una de otra, entonces A · B = I. Así:

|A · B|= |A| · |B|= |I|= 1 → |B|= =

38 El rango de la matriz de coeficientes de un sistema de tres ecuaciones contres incógnitas es igual a 1. ¿Qué rango, como máximo, puede tener la ma-triz ampliada?

Como máximo, la matriz ampliada podrá tener rango 2.

39 ¿Existe algún valor de a para el cual la matriz ( ) no tenga inversa?

= a2 – a2 + 2 = 2 ≠ 0 para cualquier valor de a.

Por tanto, no existe ningún valor de a para el que la matriz dada no tenga inversa.

a a2 – 21 a

a a2 – 21 a

14

1|A|


S

S

S

40 Dadas estas ecuaciones:

a) Añade una ecuación para que el sistema sea incompatible.

b) Añade una ecuación para que el sistema sea compatible determinado.

Justifica en cada caso el procedimiento seguido para añadir la ecuación.

a) Por ejemplo, 3x – 2y + z = 1 contradice la 1-ª ecuación; luego, si añadimos estaecuación, el sistema obtenido sería incompatible.

b) Por ejemplo, si añadimos la ecuación y = 0, como

= – = –1 ≠ 0, el sistema sería compatible determinado.

41 Representa matricialmente los sistemas:

s: s':

Resuélvelos y averigua si existe alguna relación entre las soluciones obteni-

das y la inversa de la matriz ( ). Justifica la relación obtenida.

SISTEMA S SISTEMA S'

( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( )Calculamos la inversa de A = ( ) (|A|= 1 ≠ 0):


( ) → ( ) → ( ) → ( ) = A–1

SOLUCIÓN DEL SISTEMA S SOLUCIÓN DEL SISTEMA S'

( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( )Las soluciones obtenidas son cada una de las columnas de la matriz inversa. Obser-vamos que las matrices de los términos independientes de los dos sistemas son lascolumnas de la matriz identidad. Por tanto, las incógnitas que hallamos son los ele-mentos de la matriz inversa.

42 Demuestra que no hay valores de m para los que el siguiente sistema notenga solución:

x + 2y + z = 3x + 3y + 2z = 5x + my + 3z = 7

–13

01

4 –1–11 3

xy

4–11

10

4 –1–11 3

xy

4 –1–11 3

4 –1–11 3

4 –11–1 3

4 111 3

1|A|

3 111 4

01

xy

3 111 4

10

xy

3 111 4

3 111 4

3x + y = 011x + 4y = 1

3x + y = 111x + 4y = 0

3 12 1

3 –2 12 –3 10 1 0

3x – 2y + z = 52x – 3y + z = –4


S

S

S

A' = ( )A

|A|= 4 – m = 0 → m = 4


A' = ( ). La 4-ª columna se obtiene sumando la 2-ª y la 3-ª.

A

Luego, ran (A) = ran (A' ). El sistema es compatible. (En este caso sería compa-

tible indeterminado, pues ≠ 0 → ran (A) = ran (A' ) = 2).

• Si m ≠ 4 → ran (A) = ran (A' ) = n-º incógnitas = 3. El sistema es compatibledeterminado.

Por tanto, no hay ningún valor de m para el que el sistema no tenga solución.

43 Si el rango de la matriz de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitases dos y el de la matriz ampliada tres, ¿qué interpretaciones geométricas po-demos dar a ese sistema? Pon un ejemplo de un sistema de esas característi-cas y su interpretación geométrica.

Si ran (A) = 2 ≠ ran (A' ) = 3, el sistema es incompatible.

Interpretaciones geométricas posibles:

1) Dos planos paralelos y otro que los corta:

2) Tres planos que se cortan dos a dos,pero sin ningún punto común a los tres:

Un ejemplo de cada uno de los dos casos sería:

1) 2)

x + y + z = 1x + y = 2

2x + 2y + z = 5

x + y + z = 1x + y = 2x + y + z = 3

1 21 3

1 2 1 31 3 2 | 51 4 3 7

1 2 1 31 3 2 | 51 m 3 7

x + 2y + z = 3x + 3y + 2z = 5x + my + 3z = 7


S

S

Página 121

44 Si dos sistemas de cuatro ecuaciones lineales con cuatro incógnitas, AX = B yAX = B', tienen una misma matriz de coeficientes A, ¿puede ser incompatibleuno de los dos sistemas mientras que el otro es compatible y determinado?

No. Si uno de ellos es compatible determinado es porque ran (A) = ran (A') = 4.Por tanto, si A es la misma matriz en los dos sistemas, también en el otro seráran (A) = 4. Luego los dos serían compatibles determinados.

45 ¿Puede ocurrir que un sistema de ecuaciones lineal homogéneo no tenga so-lución? ¿Puede ocurrir que tenga infinitas soluciones? Razona las respuestas.

Un sistema homogéneo siempre tiene, al menos, la solución trivial (0, 0, 0). Ade-más, ran (A) = ran (A'); luego siempre es compatible. Si ran (A) = n-º incógnitas,entonces solo tendría la solución trivial; y, si ran (A) < n-º incógnitas, sería compati-ble indeterminado, es decir, tendría infinitas soluciones.

46 El rango de la matriz de los coeficientes de un sistema de cuatro ecuacionescon tres incógnitas es 3. ¿Qué rango puede tener la matriz ampliada? En ba-se a ello, ¿cuántas soluciones tendrá el sistema?

La matriz ampliada, A', podría tener rango 3 o rango 4.

• Si ran (A) = ran (A') = 3 = n-º incógnitas → El sistema sería compatible deter-minado, es decir, con una sola solución.

• Si ran (A) = 3 ≠ ran (A') = 4 → El sistema sería incompatible, sin ninguna so-lución.

47 Determina una matriz A para que el sistema homogéneo AX = 0 sea equi-valente a la ecuación matricial:

(x y z) ( ) = (0, 0)

La ecuación matricial dada la podemos escribir así:

. Si llamamos A = ( ) y X = ( )entonces: AX = 0

Por tanto, la matriz A que buscamos es A = ( ).PARA PROFUNDIZAR

48 a) ¿Para qué valor de a este sistema es compatible determinado?

x – 2y = 1y + z = a

x – 3z = –1y – z = 2

1 2 1–2 1 2

xyz

1 2 1–2 1 2

x + 2y + z = 0–2x + y + 2z = 0

1 –22 11 2


S

S

S

b) ¿Puede ser compatible indeterminado?

a)A' = ( )

A

= 1 ≠ 0 → ran (A) = 3 = n-º incógnitas

|A'|= = = = a – 14 = 0

→ a = 14

Por tanto,

b) No, por lo que hemos visto en el apartado anterior.

49 Estudia y resuelve cuando sea posible:

a) b)

a)

A' = ( )A

|A|= 0 y = –3 ≠ 0 → ran (A) = 3

(La 4-ª columna depende linealmente de las tres primeras).

= = =

= 3(a + 1) = 0 → a = –11 1 30 3 40 0 a + 1

1-ª

2-ª + 1-ª

3-ª + 1-ª

1 1 3–1 2 1–1 –1 a – 2

1 1 0 33 –1 1 1–1 2 0 1–1 –1 0 a – 2

1-ª

2-ª

3-ª – 2-ª

4-ª – 2 · 2-ª

1 1 0 33 –1 1 12 1 1 25 –3 2 a

1 1 03 –1 12 1 1

1 1 0 2 33 –1 1 –1 12 1 1 1 | 25 –3 2 –4 a

x + y + 2t = 33x – y + z – t = 15x – 3y + 2z – 4t = a2x + y + z + t = 2

ax + z + t = 1ay + z – t = 1ay + z – 2t = 2

az – t = 0

x + y + 2t = 33x – y + z – t = 15x – 3y + 2z – 4t = a2x + y + z + t = 2

• Si a = 14 → ran (A) = ran (A') = 3 → Compatible determinado• Si a ≠ 14 → ran (A) = 3 ≠ ran (A' ) = 4 → Incompatible

2 –3 –21 –1 21 1 a

1 –2 0 10 2 –3 –20 1 –1 20 1 1 a

1-ª

2-ª – 1-ª

3-ª

4-ª

1 –2 0 11 0 –3 –10 1 –1 20 1 1 a

1 –2 01 0 –30 1 –1

1 –2 0 11 0 –3 –10 1 –1 | 20 1 1 a

x – 2y = 1x – 3z = –1

y – z = 2y + z = 2

x – 2y = 1y + z = a

x – 3z = –1y – z = 2


FILAS

FILAS

FILAS

• Si a = –1 → ran (A) = ran (A' ) = 3 < n-º incógnitas. El sistema es compa-tible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir de la 4-ª ecuación y pa-sar la t al 2º miembro:

x = = = ; y = = =

z = = =

Soluciones: x = , y = , z = , t = λ

• Si a ≠ –1 → ran (A) = 3 ≠ ran (A' ) = 4. El sistema es incompatible.

b)

A' = ( )A

|A|= = a = a =

= a = a · a2 = a3 = 0 → a = 0


A' = ( ) Incompatible

• Si a ≠ 0 → ran (A) = ran (A' ) = n-º incógnitas = 4. El sistema es compati-ble determinado. Lo resolvemos:

x = = = 2a + 1a2

(2a + 1)aa3

1 0 1 11 a 1 –1 2 a 1 –20 0 a –1

a3

→ z = 1→ z = 2→ t = 0

0 0 1 1 10 0 1 –1 10 0 1 –2 20 0 0 –1 0

a 10 a

a 1 –10 0 –10 a –1

1-ª

2-ª – 1-ª

3-ª

a 1 –1a 1 –20 a –1

a 0 1 10 a 1 –10 a 1 –20 0 a –1

a 0 1 1 10 a 1 –1 10 a 1 –2 | 20 0 a –1 0

ax + z + t = 1ay + z – t = 1ay + z – 2t = 2

az – t = 0

–8 + 5λ3

4 – 4λ3

5 – 2λ3

–8 + 5t3

8 – 5t–3

1 1 3 – 2t

3 –1 1 + t 2 1 2 – t

–3

4 – 4t3

4t – 4–3

1 3 – 2t 0

3 1 + t 1 1 2 – t 1

–3

5 – 2t3

2t – 5–3

3 – 2t 1 0

1 + t –1 1 2 – t 1 1

–3

x + y = 3 – 2t3x – y + z = 1 + t2x + y + z = 2 – t


FILAS

y = = =

z = = =

t = = = –1

Soluciones: x = , y = , z = , t = –1

50 Discute los siguientes sistemas según los valores de los parámetros que con-tienen:

a) b)

c) d)

a)A' = ( )

A

|A| = 5a = 0 → a = 0


A' = ( ); = 5 ≠ 0; = 5b + 20 = 0 → b = –4

A

• Si a = 0 y b = –4 → ran (A) = ran (A' ) = 2 < n-º incógnitas. El sistema escompatible indeterminado.

• Si a = 0 y b ≠ –4 → ran (A) = 2 ≠ ran (A' ) = 3. El sistema es incompa-tible.

1 –1 22 3 –84 1 b

1 –12 3

1 –1 1 22 3 –2 | –84 1 0 b

1 –1 1 22 3 –2 | –84 1 a b

x – y + z = 22x + 3y – 2z = –84x + y + az = b

ax + y – z = b – 12x + ay = b + 1–x + z = b

x – 3y+ z = ax – z = bx + z = c

x + y + z = a – 12x+ y + az = ax + ay + z = b

x – y + z = 22x+ 3y – 2z = –84x + y + az = b

–1a

1a2

2a + 1a2

–a3

a3

a 0 1 10 a 1 1 0 a 1 2 0 0 a 0

a3

–1a

–a2

a3

a 0 1 10 a 1 –1 0 a 2 –20 0 0 –1

a3

1a2

aa3

a 1 1 10 1 1 –1 0 2 1 –20 0 a –1

a3


S

• Si a ≠ 0 → ran (A) = ran (A' ) = n-º incógnitas = 3. El sistema es compati-ble determinado, cualquiera que sea el valor de b.

b)A' = ( )

A

|A| = –(a – 1)(a – 2) = 0


A' = ( ) Contradictorias, a no ser que b = 0.

— Si a = 1 y b ≠ 0 → Sistema incompatible.

— Si a = 1 y b = 0, queda:

A' = ( ). La primera fila y la tercera son iguales.

≠ 0 → ran (A) = ran (A' ) = 2 < n-º incógnitas.



A' = ( ) La primera y la tercera columnas son iguales.

≠ 0 → ran (A) = 2

= –(b – 1) = 0 → b = 1

— Si a = 2 y b ≠ 1 → ran (A) = 2 ≠ ran (A' ) = 3 → Sistema incom-patible.

— Si a = 2 y b = 1 → ran (A) = ran (A' ) = 2 < n-º incógnitas → El sis-tema es compatible indeterminado.

— Si a ≠ 1 y a ≠ 2 → ran (A) = ran (A' ) = 3 = n-º incógnitas → El sis-tema es compatible determinado para cualquier valor de b.

1 1 12 1 21 2 b

1 12 1

1 1 1 12 1 2 | 21 2 1 b

1 12 1

1 1 1 02 1 1 | 11 1 1 0

1 1 1 02 1 1 | 11 1 1 b

a = 1a = 2

1 1 1 a – 12 1 a | a1 a 1 b

x + y + z = a – 12x + y + az = ax + ay + z = b


←

←

c)A' = ( )

A

|A| = 6 ≠ 0 → ran (A) = ran (A' ) = n-º incógnitas → El sistema es compati-ble determinado para cualquier valor de a, b y c.

d)A' = ( )

A

|A| = a2 – a – 2 = 0


A' = ( ) ≠ 0 → ran (A) = 2

= –3b = 0 → b = 0

— Si a = –1 y b ≠ 0 → ran (A) = 2 ≠ ran (A' ) = 3 → Sistema in-compatible.

— Si a = –1 y b = 0 → ran (A) = ran (A' ) = 2 < n-º incógnitas → Elsistema es compatible indeterminado.


A' = ( ) ≠ 0 → ran (A) = 2

= 3b – 3 = 0 → b = 1

— Si a = 2 y b ≠ 1 → ran (A) = 2 ≠ ran (A' ) = 3 → Sistema incom-patible.

2 1 b – 12 2 b + 1–1 0 b

2 12 2

2 1 –1 b – 12 2 0 | b + 1–1 0 1 b

–1 1 b – 12 –1 b + 1–1 0 b

–1 12 –1

–1 1 –1 b – 12 –1 0 | b + 1–1 0 1 b

a = –1a = 2

a 1 –1 b – 12 a 0 | b + 1–1 0 1 b

ax + y – z = b – 12x + ay = b + 1–x + z = b

1 –3 1 a1 0 –1 | b1 0 1 c

x – 3y + z = ax – z = bx + z = c


— Si a = 2 y b = 1 → ran (A) = ran (A' ) = 2 < n-º incógnitas → El sis-tema es compatible indeterminado.

— Si a ≠ –1 y a ≠ 2 → ran (A) = ran (A' ) = 3 = n-º incógnitas → Elsistema es compatible determinado para cualquier valor de b.

51 Calcula los valores de a y b para los cuales este sistema tiene infinitas so-luciones. Resuélvelo para esos valores:

a) b)

a)A' = ( )

A

|A| = a3 – 3a + 2 = (a – 1)2 (a + 2) = 0


A' = ( )A

— Si a = 1 y b = 1 → ran (A) = ran (A' ) = 1 → Compatible indeter-minado.

x + y + z = 1 → x = 1 – y – z. Soluciones: x = 1 – λ – µ; y = λ; z = µ

— Si a = 1 y b ≠ 1 → Incompatible.


A' = ( )A

= 3 → ran (A) = 2 = 3b + 6 = 0 → b = –2

— Si a = –2 y b = –2 → ran (A) = ran (A' ) = 2 → Compatible inde-terminado.

–2x + y = 1 – zx – 2y = –2 – z

–2 1 11 –2 b1 1 1

–2 11 –2

–2 1 1 11 –2 1 | b1 1 –2 1

1 1 1 11 1 1 | b1 1 1 1

a = 1a = –2

a 1 1 11 a 1 | b1 1 a 1

ax + y + z = 1x + ay + z = bx + y + az = 1

ax + y + z = 4x + y + z = –bx – ay + z = b

ax + y + z = 1x + ay + z = bx + y + az = 1


x = = = z; y = = = = 1 + z

Soluciones: x = λ, y = 1 + λ, z = λ

— Si a = –2 y b ≠ –2 → ran (A) = 2 ≠ ran (A' ) = 3 → Incompatible.

— Si a ≠ 1 y a ≠ –2 → ran (A) ≠ ran (A' ) = n-º incógnitas = 3. El sis-tema es compatible determinado.

b)A' = ( )

A

|A| = (a + 1) (a – 1) = 0


A' = ( ) Contradictorias a no ser que b = –b → b = 0

— Si a = –1 y b ≠ 0 → Sistema incompatible.

— Si a = –1 y b = 0, queda:

A' = ( ). La 2-ª y 3-ª filas son iguales.

≠ 0 → ran (A) = ran (A' ) = 2 < n-º incógnitas → Sistemacompatible indeterminado.

Sumando las dos ecuaciones:

2y = 4 – 2z →

Soluciones: x = –2, y = 2 – λ, z = λ


A' = ( ) Contradictorias, a no ser que –b = 4 → b = –41 1 1 41 1 1 | –b1 –1 1 b

y = 2 – zx = –z – y = –z – 2 + z = –2

–x + y = 4 – zx + y = –z

–x + y + z = 4x + y + z = 0

–1 11 1

–1 1 1 41 1 1 | 01 1 1 0

–1 1 1 41 1 1 | –b1 1 1 b

a = –1a = 1

a 1 1 41 1 1 | –b1 –a 1 b

ax + y + z = 4x + y + z = –bx – ay + z = b

3(z + 1)3

3z + 33

–2 1 – z 1 –2 – z

33z3

1 – z 1 –2 – z –2

3


←←

←←

S

— Si a = 1 y b ≠ –4 → Sistema incompatible.

— Si a = 1 y b = –4, queda:

A' = ( ) La primera y segunda filas son iguales.

≠ 0 → ran (A) = ran (A' ) = 2 < n-º incógnitas → Sistemacompatible indeterminado.

Sumando las dos ecuaciones:

2x = – 2z →

Soluciones: x = –λ, y = 4, z = λ

• Si a ≠ –1 y a ≠ 1 → ran (A) = ran (A' ) = n-º incógnitas → Sistema com-patible determinado para cualquier valor de b.

52 Discute en función de λ y µ:

A' = ( )A

|A|= λ2 – 4 = 0

• Si λ = 2, queda:

A' = ( )A

= 2 ≠ 0 → ran (A) = 2; = –2µ + 4 = 0 → µ = 2

— Si λ = 2 y µ = 2 → ran (A) = ran (A' ) = 2. Compatible indetermi-nado.

— Si λ = 2 y µ ≠ 2 → ran (A) = 2 ≠ ran (A' ) = 3. Incompatible.

3 2 13 2 µ – 12 2 2

3 22 2

3 3 2 13 3 2 | µ – 12 2 2 2

λ = 2λ = –2

λ + 1 3 λ 13 λ + 1 2 | µ – 1

(λ + 1)x + 3y + λz = 13x + (λ + 1)y + 2z = µ – 1λx + 2y + λz = 2

(λ + 1)x + 3y + λz = 13x + (λ + 1)y + 2z = µ – 1λx + 2y + λz = 2

x = –zy = 4 – z – x = 4 – z + z = 4

x + y = 4 – zx – y = –4 – z

x + y + z = 4x – y + z = –4

1 11 –1

1 1 1 41 1 1 | 41 –1 1 –4


• Si λ = –2, queda:

A' = ( )A

= –8 ≠ 0 → ran (A) = 2 = –4µ – 8 = 0 → µ = –2

— Si λ = –2 y µ = –2 → ran (A) = ran (A' ) = 2. Compatible indeter-minado.

— Si λ = –2 y µ ≠ –2 → ran (A) = 2 ≠ ran (A' ) = 3. Incompatible.

• Si λ ≠ 2 y λ ≠ –2 → ran (A) = ran (A' ) = 3. Compatible determinado, cual-quiera que sea el valor de µ.


53 Dada la matriz: A = (aij) = ( )a) Halla la matriz (Aij) formada por los adjuntos de los elementos de A.

b) Calcula A = aij y Aij y halla una relación entre ellos.

a) (Aij) = ( ) b)|A|= |aij|= –13

|Aij|= 169 = (–13)2 = |A|2

54 En general, ¿qué relación existe entre el determinante de una matriz A, deorden 3 × 3, y el determinante de la matriz formada por sus adjuntos? Parademostrarlo, ten en cuenta que: A · B = A · B y la expresión de A–1.

• Sabemos que el determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta:

|Aij|= |Aji|.

• Por otra parte, tenemos que (suponemos que existe A–1):

A–1 = (Aji) → |A–1|= ( )3 · |Aji|= · |Aij|= |A–1|

• También sabemos que:

A · A–1 = I → |A|· |A–1|= |I|= 1 → |A–1|= 1|A|

1|A|3

1|A|

1|A|

–4 5 31 2 –4–4 –8 3

2 –1 03 0 42 1 1

–1 3 13 –1 µ – 1–2 2 2

–1 33 –1

–1 3 –2 13 –1 2 | µ – 1–2 2 –2 2


• Uniendo las dos igualdades obtenidas, tenemos que:

= · |Aij| → |Aij|= |A|2 (A de orden 3 × 3)

55 Si A es una matriz cuadrada n × n, da el valor de Aij en función de A .

Con el mismo razonamiento que hemos seguido en el ejercicio anterior, llegamos aque si A es n × n:

|A–1|= |Aij|

→ |Aij|= |A|n – 1

|A–1|= 1|A|

1|A|n

1|A|3

1|A|


Problema 1

� Halla el área de este paralelogramo en función del ángulo α:

Área = 8 · 5 sen α = 40 sen α cm2

� Halla el área de este triángulo en función del ángulo β:

Área triángulo = cm2

Página 131Problema 2

� Halla el volumen de este paralelepípe-do en función de α y de β.

Volumen = 400 sen α cos β cm3

Área base = 40 sen αAltura = 10 cos β

a b sen β2

Unidad 5. Vectores en el espacio 1

8 cm

5 cm

α

a

b

β

8 cm

5 cm

10 cm

α

β

VECTORES EN EL ESPACIO5

� ¿Cuál será el volumen de un paralelepí-pedo de aristas a, b, c, tal que las dosaristas de la base formen entre sí unángulo α, y las aristas laterales formenun ángulo β con la perpendicular?

Volumen = a b c sen α cos β

Problema 3

� Halla la diagonal de unortoedro cuyas dimensio-nes son: c = 3 cm, b = 4 cmy a = 12 cm.

Diagonal = =

= = 13 cm

� Escribe la expresión general de la diagonal de un ortoedro de aristas a, b y c.

En general: Diagonal =

Página 133

1. La propiedad a · (b · →v ) = (a · b) ·

→v relaciona el producto de números por vec-

tores con el producto entre números.

a) De los cuatro productos que aparecen, ¿cuáles son del primer tipo y cuálesdel segundo?

b) Interpreta dicha propiedad para a = 3, b = –2 y →v un vector cualquiera re-

presentado sobre el papel.

a) Producto de números por vectores: b · →v; (a · b) ·

→v; a · (b ·

→v )

Producto entre números: a · b

√a2 + b2 + c2

√169

√32 + 42 + 122


a

b

c

α

β

a

b

b

c

c

b)3 · (–2

→v ) = –6

→v

2. La propiedad (a + b) · →v = a ·

→v + b ·

→v relaciona la suma de números con la su-

ma de vectores.

a) De las dos sumas que aparecen, ¿cuál es de cada tipo?

b) Interpreta dicha propiedad para a = 3, b = 5 y →v un vector cualquiera

representado sobre el papel.

a) Suma de números: a + b

Suma de vectores: a→v + b

→v

b)8

→v = 3

→v + 5

→v

Página 135

1. Si →u (–3, 5, 1),

→v (7, 4, –2), halla las coordenadas:

a) 2→u b) 0

→v c) –

→u

d) 2→u +

→v e)

→u –

→v f) 5

→u – 3

→v

a) 2→u = 2 · (–3, 5, 1) = (–6, 10, 2)

b) 0 · →v = (0, 0, 0)

c) –→u = –(–3, 5, 1) = (3, –5, –1)

d) 2→u +

→v = 2(–3, 5, 1) + (7, 4, –2) = (1, 14, 0)

e)→u –

→v = (–3, 5, 1) – (7, 4, –2) = (–10, 1, 3)

f) 5→u – 3

→v = 5(–3, 5, 1) –3(7, 4, –2) = (–36, 13, 11)

2. Sean los vectores →x (1, –5, 2),

→y (3, 4, –1),

→z (6, 3, –5),

→w (24, –26, –6). Halla a,

b, c para que se cumpla: a→x + b

→y + c

→z =

→w

a (1, –5, 2) + b (3, 4, –1) + c (6, 3, –5) = (24, –26, –6)

(a + 3b + 6c, –5a + 4b + 3c, 2a – b – 5c) = (24, –26, –6)

(a + b) · →v = 8

→v

a→v + b

→v = 3

→v + 5

→v

a · (b · →v ) = 3 · (–2

→v )

(a · b) · →v = –6

→v


3 · (

–2v→ )

–6v→

–2v→

v→

8v→

5v→

3v→

v→

= –92

a = = = 6; b = = = –2

c = = = 4

Solución: a = 6, b = –2, c = 4, es decir, 6→x – 2

→y + 4

→z =

→w.

Página 139

1. Dados los vectores →u (5, –1, 2),

→v (–1, 2, –2), calcula:

a) →u ·

→v b)

→u y

→v c) (

→u,

→v )

d) Proy. de →u sobre

→v y proy. de

→v sobre

→u.

e) ¿Cuánto ha de valer x para que el vector (7, 2, x) sea perpendicular a →u?

a)→u ·

→v = –5 – 2 – 4 = –11

b) →u = = ≈ 5,48

→v = = = 3

c) cos (→u,

→v ) = = ≈ –0,669 → (

→u,

→v ) = 132° 1' 26''

d) Proy. de →u sobre

→v = = = –3,67

Significa que el vector proyección de →u en la dirección de

→v tiene módulo 3,67 y

sentido contrario al de →v.

Proy. de →v sobre

→u = = ≈ –2,008

e) (5, –1, 2) · (7, 2, x) = 35 – 2 + 2x = 33 + 2x = 0 → x =

2. Obtén tres vectores perpendiculares a →v que no sean paralelos entre sí:

→v (3, 2, 7)

Un vector, →u(x, y, z), es perpendicular a

→v(3, 2, 7) si:

→u ·

→v = 3x + 2y + 7z = 0

Por ejemplo: (0, –7, 2); (–7, 0, 3); (–2, 3, 0)

–332

–11

√30

→u ·

→v

→u

–113

→u ·

→v

→v

–11

√30 · 3

→u ·

→v

→u

→v

√9√1 + 4 + 4

√30√25 + 1 + 4

–368–92

1 3 24

–5 4 –26 2 –1 –6

–92

184–92

1 24 6

–5 –26 3 2 –6 –5

–92–552–92

24 3 6

–26 4 3 –6 –1 –5

–92

1 3 6–5 4 32 –1 –5

a + 3b + 6c = 24–5a + 4b + 3c = –262a – b – 5c = –6


3. Halla un vector que sea perpendicular a los dos vectores dados:→u (5, –1, 2)

→v (–1, 2, –2)

Queremos hallar las coordenadas de un vector →w(x, y, z) que sea perpendicular a

→u

y a →v:

Este sistema tiene infinitas soluciones proporcionales. Una de ellas es x = –2, y = 8, z = 9.

Es decir, el vector buscado puede ser (–2, 8, 9) o cualquier otro paralelo a él.

Página 142

1. Halla el producto vectorial de →u (3, 7, –6) y

→v (4, 1, –2).

→u × →v = (3, 7, –6) × (4, 1, –2) = (–8, –18, –25)

2. Halla un vector perpendicular a →u (3, 7, –6) y a

→v (4, 1, –2).

→u × →v = (3, 7, –6) × (4, 1, –2) = (–8, –18, –25) o cualquier vector proporcional a él.

3. Halla el área del triángulo determinado por los vectores: →u (3, 7, –6) y

→v (4, 1, –2)

Área del paralelogramo determinado por →u y

→v:

|→u × →v|= |(3, 7, –6) × (4, 1, –2)|= |(–8, –18, –25)|=

= =

Área del triángulo = ≈ 15,91 u2

Página 143

1. Halla el volumen del paralelepípedo definido por →u(3, –5, 1),

→v(7, 4, 2) y

→w(0, 6, 1)

[→u,

→v,

→w] = = 53 → Volumen = 53 u3

2. Halla el valor de x para que los vectores →u (3, –5, 1),

→v (7, 4, 2) y

→z(1, 14, x)

sean coplanarios (es decir, que el volumen del paralelepípedo determinadopor ellos sea cero).

= 47x = 0 → x = 03 –5 17 4 21 14 x

3 –5 17 4 20 6 1

√10132

√1013√82 + 182 + 252

→w ⊥ →

u ⇒ (5, –1, 2) · (x, y, z) = 5x – y + 2z = 0→w ⊥ →

v ⇒ (–1, 2, –2) · (x, y, z) = –x + 2y – 2z = 0



PARA PRACTICAR

Dependencia lineal

1 Dados los vectores →u(3, 3, 2),

→v(5, –2, 1),

→w(1, –1, 0):

a) Halla los vectores →u – 2

→v + 3

→w, –2

→u +

→v – 4

→w.

b) Calcula a y b tales que →u = a

→v + b

→w.

a)→u – 2

→v + 3

→w = (3, 3, 2) – 2(5, –2, 1) + 3(1, –1, 0) = (–4, 4, 0)

–2→u +

→v – 4

→w = –2(3, 3, 2) + (5, –2, 1) – 4(1, –1, 0) = (–5, –4, –3)

b) (3, 3, 2) = a (5, –2, 1) + b (1, –1, 0) = (5a + b, –2a – b, a)

Solución: a = 2, b = –7, es decir: →u = 2

→v – 7

→w.

2 Comprueba que no es posible expresar el vector →x (3, –1, 0) como combi-

nación lineal de →u (1, 2, –1) y

→v (2, –3, 5). ¿Son linealmente independien-

tes →x,

→u y

→v ?

→x = a

→u + b

→v → (3, –1, 0) = a (1, 2, –1) + b (2, –3, 5)

A' = ( ) Como |A'|= 28 ≠ 0, el sistema es incompatible.

Luego no es posible expresar →x como combinación lineal de

→u y

→v.

Como ran (A' ) = 3, los tres vectores son linealmente independientes.

3 ¿Cuáles de los siguientes vectores tienen la misma dirección?→a (1, –3, 2)

→b (2, 0, 1)

→c (–2, 6, –4)

→d (5, –15, 10)

→e (10, –30, 5)

→a,

→c y

→d, pues sus coordenadas son proporcionales.

4 Comprueba que cualquiera de los vectores →a (1, 2, 3),

→b (2, 1, 3),

→c (1, 0, 1)

puede expresarse como C.L. de los otros dos.

→a = x

→b + y

→c → (1, 2, 3) = x (2, 1, 3) + y (1, 0, 1)

Por tanto: →a = 2

→b – 3

→c

De aquí, también obtenemos que: →b =

→a +

→c;

→c =

→a +

→b2

3–13

32

12

y = –3x = 2y = –3

1 = 2x + y2 = x3 = 3x + y

1 2 32 –3 –1–1 5 0

3 = a + 2b–1 = 2a – 3b0 = –a + 5b

b = –7b = –7a = 2

3 = 5a + b3 = –2a – b2 = a


S

S

5 Halla, en cada caso, todos los valores de m, n y p tales que m→u + n

→v + p

→w =

→0:

a) →u (3, 0, 1),

→v (1, –1, 0),

→w (1, 0, 1)

b) →u (1, –1, 0),

→v (1, 1, 1),

→w (2, 0, 1)

a) m (3, 0, 1) + n (1, –1, 0) + p (1, 0, 1) = (0, 0, 0)

A = ( )Como |A|= –2 ≠ 0, la única solución del sistema es: m = 0, n = 0, p = 0

(Luego →u,

→v y

→w son linealmente independientes).

b) m (1, –1, 0) + n (1, 1, 1) + p (2, 0, 1) = (0, 0, 0)

A = ( )|A|= 0 y = –1 ≠ 0; luego ran (A) = 2.

Resolvemos el sistema:

Soluciones: m = λ, n = λ, p = –λ

6 Estudia la dependencia o independencia lineal de los siguientes conjuntosde vectores:

a) →u (1, 2, 1),

→v (–1, 0, 3),

→w (1, 2, –1)

b) →a (1, 2, 3),

→b (1, 4, 11),

→c (1, 1, –1),

→d (0, 1, 4)

c) →u (1, 1, 0),

→v (1, 0, 1),

→w (5, 2, 3)

a) = –4 ≠ 0. Luego →u,

→v ,

→w son linealmente independientes.

b) Al ser cuatro vectores en Á3, son linealmente dependientes.

c) = 0. Por tanto, →u,

→v ,

→w son linealmente dependientes.

7 Determina k para que los siguientes conjuntos de vectores sean linealmen-te dependientes:

a) →u (k, –3, 2),

→v(2, 3, k),

→w(4, 6, –4)

b) →u(3, 2, 5),

→v(2, 4, 7),

→w(1, –1, k)

1 1 01 0 15 2 3

1 2 1–1 0 31 2 –1

m = np = –n

–m + n = 0n + p = 0

–1 10 1

1 1 2–1 1 00 1 1

m + n + 2p = 0–m + n = 0

n + p = 0

3 1 10 –1 01 0 1

3m + n + p = 0– n = 0

m + p = 0


a) = –6k2 – 24k – 24 = –6(k2 + 4k + 4) = –6(k + 2)2 = 0 → k = –2

Si k = –2, los vectores son linealmente dependientes.

b) = 8k + 5 = 0 → k =

Si k = , los vectores son linealmente dependientes.

8 ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores son una base?

A = {(1, 2, 1), (1, 0, 1), (2, 2, 2)}

B = {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 0,1)}

C = {(–3, 2, 1), (1, 2, –1), (1, 0, 1)}

A = {(1, 2, 1), (1, 0, 1), (2, 2, 2)}

Como (2, 2, 2) = (1, 2, 1) + (1, 0, 1), los vectores son linealmente dependien-tes. Por tanto, no son una base.

B = {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 0, 1)}

Al ser cuatro vectores en Á3, son dependientes, luego no son una base.

C = {(–3, 2, 1), (1, 2, –1), (1, 0, 1)}

= –12 ≠ 0 → Los vectores son linealmente independientes.

Un conjunto de tres vectores de Á3, linealmente independientes, son una base de Á3.

9 ¿Para qué valores de a el conjunto de vectores S = {(1, 1, 1), (a, 1, 1), (1, a, 0)}es una base?

Como son tres vectores de Á3, formarán base cuando sean linealmente indepen-dientes:

= a2 – a = a (a – 1) = 0

Por tanto, S es una base cuando a ≠ 0 y a ≠ 1.

Producto escalar

10 En una base ortonormal tenemos →a (1, 2, 2) y

→b (–4, 5, –3). Calcula:

a) →a ·

→b b) →

a y →b c) (

→a ,

→b) d) La proyección de

→b sobre

→a.

a = 0a = 1

1 1 1a 1 11 a 0

–3 2 11 2 –11 0 1

–58

–58

3 2 52 4 71 –1 k

k –3 22 3 k4 6 –4


S

S

a)→a ·

→b = (1, 2, 2) · (–4, 5, –3) = –4 + 10 – 6 = 0

b) →a = = = 3

→b = = = 5 ≈ 7,07

c) Como →a ·

→b = 0 → (

→a,

→b) = 90°

d) Proyeccción de →b sobre

→a = = 0

11 Dados los vectores: →a =

→i + m

→j + k y

→b = –2

→i + 4

→j + m

→k, halla m para que

los vectores →a y

→b sean:

a) Paralelos. b) Ortogonales.

→a(1, m, 1)

→b(–2, 4, m)

a) = = → m = –2

b)→a ·

→b = (1, m, 1) · (–2, 4, m) = –2 + 4m + m = 5m – 2 = 0 → m =

12 Halla la proyección del vector →u (3, 1, 2) sobre el vector

→v (1, –1, 2).

Proyección de →u sobre

→v = = = = ≈ 2,45

13 ¿Son →a (1, 2, 3) y

→b (2, –2, 1) ortogonales? Si no lo son, halla el ángulo que

forman.

→a ·

→b = (1, 2, 3) · (2, –2, 1) = 2 – 4 + 3 = 1 ≠ 0 → no son ortogonales.

Si llamamos α al ángulo que forman, entonces:

cos α = = ≈ 0,089 → α = 84° 53' 20''

14 Calcula m para que el vector →a (1, 3, m) sea ortogonal al vector

→b (1, –2, 3).

→a ⊥

→b → →

a · →b = (1, 3, m) · (1, –2, 3) = 1 – 6 + 3m = 3m – 5 = 0 → m =

15 Comprueba que el vector →u (1/2, 1/2, 0) no es unitario y da las coordenadas

de un vector unitario de la misma dirección que →u.

|→u | = ( )2 + ( )2

+ 02 = = ≠ 1 → →u no es unitario.1

√2√ 12

12

12

53

1

√—14 √

—9

→a ·

→b

→a

→b

√66

√6

3 – 1 + 4

√12 + (–1)2 + 22

→u ·

→v

→v

25

m1

4m

–21

→a ·

→b

→a

√2√50√(–4)2 + 52 + (–3)2

√9√12 + 22 + 22


√

Un vector unitario de la misma dirección que →u sería:

= ( , , 0). También podría ser (– , – , 0).

Producto vectorial

16 Dados →u = 2

→i –

→j +

→k y

→v = –

→i + 3

→j + 2

→k, comprueba que los vectores

→u × →v

y →v × →u son opuestos, y halla su módulo.

→u (2, –1, 1)

→v(–1, 3, 2)

→u × →v = (–5, –5, 5);

→v × →u = (5, 5, –5) = –

→u × →v

|→u × →v|= = = 5 ≈ 8,66

17 Halla el área del paralelogramo que forman los vectores →a (7, –1, 2) y

→b (1, 4, –2).

Área = |→a × →b|= |(–6, 16, 29)|= = ≈ 33,66 u2

18 Halla un vector perpendicular a →u (2, 3, 1) y a

→v (–1, 3, 0) y que sea unitario.

→u × →v = (–3, –1, 9)

|→u × →v|= =

Luego el vector que buscamos es: ( , , )19 Halla un vector ortogonal a

→u (1, –1, 0) y

→v (2, 0, 1) y cuyo módulo sea .

→u × →v = (–1, –1, 2) → |

→u × →v|= = =

El vector que buscamos será: 2(–1, –1, 2) = (–2, –2, 4)

Producto mixto

20 Halla [→u,

→v,

→w] en los siguientes casos:

a) →u (1, –3, 2),

→v (1, 0, –1),

→w (2, 3, 0)

b) →u (3, 2, 1),

→v (1, –2, 0),

→w (–4, 1, 1)

c) →u (1, 2, –1),

→v (3, 0, 2),

→w (–1, 4, –4)

a) [→u,

→v,

→w] = = 15

1 –3 21 0 –12 3 0

√242

√—4 · √

—6

2√6

√24

9

√91

–1

√91

–3

√91

√91√(–3)2 + (–1)2 + 92

√1133√(–6)2 + 162 + 292

√3√3 · 25√(–5)2 + (–5)2 + 52

√22

√22

√22

√22

→u

→u


S

b) [→u,

→v,

→w] = = –15 c) [

→u,

→v,

→w] = = 0

Página 148

21 Calcula el volumen del paralelepípedo determinado por →u (1, 2, 3), →v (–2, 1, 0)y →w = →u × →v.

→w =

→u × →v = (1, 2, 3) × (–2, 1, 0) = (–3, –6, 5)

[→u,

→v,

→w] = = 70 → Volumen = 70 u3

22 Calcula el volumen del paralelepípedo determinado por →a (3, –1, 1),

→b (1, 7, 2)

y →c (2, 1, –4).

[→a,

→b,

→c ] = = –111 → Volumen = 111 u3

23 Calcula el valor de m para que →u (2, –3, 1),

→v (1, m, 3) y

→w (–4, 5, –1) sean

coplanarios.

[→u,

→v,

→w] = = 2m + 8 = 0 → m = –4

PARA RESOLVER

24 Prueba que los vectores (1, a, b), (0, 1, c), (0, 0, 1), son linealmente inde-pendientes cualesquiera que sean a, b y c.

= 1 ≠ 0 para cualquier valor de a, b, c. Por tanto, son linealmenteindependientes.

25 Dados los vectores →a (1, 2, –1) y

→b (1, 3, 0), comprueba que el vector

→a ×

→b

es perpendicular a →a +

→b y a

→a –

→b.

→a × →

b = (3, –1, 1)→a +

→b = (2, 5, –1)

→a –

→b = (0, –1, –1)

(→a × →

b) · (→a +

→b) = (3, –1, 1) · (2, 5, –1) = 6 – 5 – 1 = 0

(→a × →

b) · (→a –

→b) = (3, –1, 1) · (0, –1, –1) = 1 – 1 = 0

Por tanto, →a × →

b es perpendicular a →a +

→b y a

→a –

→b.

1 a b0 1 c0 0 1

2 –3 11 m 3–4 5 –1

3 –1 11 7 22 1 –4

1 2 3–2 1 0–3 –6 5

1 2 –13 0 2–1 4 –4

3 2 11 –2 0–4 1 1


S

S

S

26 a) Comprueba que el paralelogramo determinado por los vectores →u (3, –2, 1)

y →v (4, 3, –6) es un rectángulo.

b) Halla su área multiplicando la base por la altura y comprueba que obtie-nes el mismo resultado si hallas →

u × →v.

a)→u ·

→v = (3, –2, 1) · (4, 3, –6) = 12 – 6 – 6 = 0. Luego

→u y

→v son perpendicula-

res, y el paralelogramo es un rectángulo.

b) Base = |→u|=

Altura = |→v|=

Por otra parte:

|→u × →

v|= |(9, 22, 17)| = ≈ 29,22 u2

27 Dado el vector →v (–2, 2, –4), halla las coordenadas de los siguientes vectores:

a) Unitarios y de la misma dirección que →v.

b) Paralelos a →v y de módulo 6.

|→v|= = = 2

a) ( , , ) = ( , , ) = (– , , – ) y ( , – , )b) ( , , ) y ( , , )

28 Halla un vector ortogonal a →u (2, 3, –1) y a

→v (1, 4, 2) cuya tercera compo-

nente sea 1.

→u × →

v = (10, –5, 5) // (2, –1, 1)

El vector que buscamos es (2, –1, 1).

29 Dados los vectores →u1 (2, 0, 0),

→u2 (0, 1, –3),

→u3 = a

→u1 + b

→u2, ¿qué relación

deben cumplir a y b para que →u3 sea ortogonal al vector →v (1, 1, 1)?

→u3 = a (2, 0, 0) + b (0, 1, –3) = (2a, b, –3b)

Para que →u3 sea perpendicular a

→v ha de ser:

→u3 ·

→v = (2a, b, –3b) · (1, 1, 1) = 2a + b – 3b = 2a – 2b = 0, es decir, a = b.

30 Calcula las coordenadas de un vector →u que sea ortogonal a

→v (1, 2, 3) y

→w (1, –1, 1) y tal que [

→u,

→v,

→w] = 19.

→v × →

w = (5, 2, –3)

Un vector ortogonal a →v y a

→w es de la forma (5k, 2k, –3k).

12

√6

–6

√6

6

√6

–12

√6

6

√6

–6

√6

√63

√66

√66

√63

√66

√66

–2

√6

1

√6

–1

√6

–4

2√6

2

2√6

–2

2√6

√6√24√(–2)2 + 22 + (–4)2

√854

√61

√14


Área = ≈ 29,22 u2√854

S

S

[→u,

→v,

→w] = = k = k · 38 = 19 → k =

Por tanto: →u( , 1, )

31 Dados los vectores →a (1, –2, 3),

→b (3, 1, 1),

→c (–2, 0, 1), comprueba que:

a) →a × (

→b +

→c ) =

→a ×

→b +

→a × →c

b) (→a ×

→b) × →c ≠ →

a × (→b × →c )

a)→a × (

→b +

→c ) = (1, –2, 3) × (1, 1, 2) = (–7, 1, 3)

→a × →

b + →a × →

c = (–5, 8, 7) + (–2, –7, –4) = (–7, 1, 3)

b) (→a × →

b ) × →c = (–5, 8, 7) × (–2, 0, 1) = (8, –9, 16)

→a × (

→b × →

c ) = (1, –2, 3) × (1, –5, 2) = (11, 1, –3)

32 a) Obtén λ para que los siguientes vectores sean linealmente dependientes:→u1 = (3, 2, 5),

→u2 = (2, 4, 7),

→u3 = (1, –3, λ)

b) Para λ = 3, expresa el vector →v = (7, 3, 15) como combinación lineal de

→u1,

→u2 y

→u3.

a) = 8λ + 27 = 0 → λ =

b) Para λ = 3, tenemos que: →u1(3, 2, 5)

→u2(2, 4, 7)

→u3(1, –3, 3)

Expresamos →v como combinación lineal de

→u1,

→u2,

→u3:

(7, 3, 15) = a (3, 2, 5) + b (2, 4, 7) + c (1, –3, 3)

= 51

a = = = ; b = = =

c = = =

Por tanto: →v =

→u1 +

→u2 +

→u3

1517

1017

2817

1517

4551

3 2 7

2 4 3 5 7 15

51

1017

3051

3 7 1

2 3 –3 5 15 3

512817

8451

7 2 1

3 4 –3 15 7 3

51

3 2 12 4 –35 7 3

3a + 2b + c = 72a + 4b – 3c = 35a + 7b + 3c = 15

–278

3 2 52 4 71 –3 λ

–32

52

12

5 2 –31 2 31 –1 1

5k 2k –3k1 2 31 –1 1


S33 a) Comprueba que los vectores

→b1 = 1/2(

→i +

→j ),

→b2 = 1/2 (

→i –

→j ) y

→b3 =

→k

son los de una base ortonormal de Á3, siendo →i = (1, 0, 0),

→j = (0, 1, 0) y

→k = (0, 0, 1).

b) Halla las coordenadas de →i +

→j +

→k respecto a la base B = {

→b1,

→b2,

→b3}.

a) |→b1|= = = = 1

|→b2|= = = 1

|→b3| = 1

→b1 ·

→b2 = ( – ) = 0

→b1 ·

→b3 = 0

→b2 ·

→b3 = 0

Por tanto {→b1,

→b2,

→b3} es una base ortonormal de Á3.

b) (1, 1, 1) = x ( , , 0) + y ( , , 0) + z (0, 0, 1)

x + y = 1 x + y = 2 x + y = 2

x – y = 1 x – y = 2 3x – y = 2

z = 1 4x = 2 + 2

x = = y = x – 2 = – 2 =

Por tanto:

→i +

→j +

→k =

→b1 +

→b2 +

→b3, es decir:

→i +

→j +

→k = ( , , 1)

34 a) Determina los valores de a para los que resultan linealmente dependien-tes los vectores (–2, a, a), (a, –2, a) y (a, a, –2).

b) Obtén en esos casos una relación de dependencia entre los vectores.

a) = 2a3 + 6a2 – 8 = 2(a – 1) (a + 2)2 = 0

Para a = 1 y para a = –2, los tres vectores dados son linealmente dependientes.

a = 1a = –2

–2 a aa –2 aa a –2

–1 + √—3

21 + √

—3

2

–1 + √—3

21 + √

—3

2

–1 + √—3

2√

—3 + 32

√31 + √—3

22 + 2√

—3

4

√3

√3√3√312

√32

√3√3√32

12

–12

√32

√32

12

√3√314

√412

√(√—3 )2 + (–1)21

2

22

√412

√12 + (√—3 )21

2

√3√3


S

S

S

b) Para a = 1, queda: (–2, 1, 1), (1, –2, 1), (1, 1, –2), y tenemos que:

–1 · (–2, 1, 1) – 1 · (1, –2, 1) = (1, 1, –2)

Para a = –2, queda: (–2, –2, –2), (–2, –2, –2), (–2, –2, –2), y tenemos que:

–1 · (–2, –2, –2) + 0 · (–2, –2, –2) = (–2, –2, –2)

35 Dados los vectores →u (1, –1, 2) y

→v (3, 1, –1), halla el conjunto de vectores

que, siendo perpendiculares a →u, sean coplanarios con

→u y

→v.

Sea →w(x, y, z) un vector tal que:

1-º) Es perpendicular a →u, es decir:

(x, y, z) · (1, –1, 2) = x – y + 2z = 0

2-º) Es coplanario con →u y

→v, es decir:

[→u,

→v,

→w] = = –x + 7y + 4z = 0

Resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones:

Sumando:

Soluciones: (3λ, λ, –λ) λ ≠ 0

36 Dados los vectores →a,

→b y

→c tales que →

a = 3, →b = 1, →

c = 4 y →a +

→b +

→c =

→0,

calcula la suma de los productos escalares →a ·

→b +

→b ·

→c + +

→a ·

→c.

Como →a +

→b +

→c =

→0 → |

→a +

→b +

→c|= 0 →

→ (→a +

→b +

→c ) · (

→a +

→b +

→c ) = 0 →

→ (→a +

→b +

→c ) · (

→a +

→b +

→c ) =

→a ·

→a +

→b ·

→b +

→c ·

→c + 2

→a ·

→b + 2

→b ·

→c + 2

→a ·

→c =

= |→a|2 + |

→b|2 + |

→c|2 + 2(

→a ·

→b +

→b ·

→c +

→a ·

→c ) = 26 + 2(

→a ·

→b +

→b ·

→c +

→a ·

→c ) = 0

Por tanto: →a ·

→b +

→b ·

→c +

→a ·

→c = –13

37 Dados los vectores →u (a, 1 + a, 2a),

→v (a, 1, a) y

→w (1, a, 1), se pide:

a) Halla los valores de a para los que los vectores →u,

→v y

→w son linealmente

dependientes.

b) Estudia si el vector →c (3, 3, 0) depende linealmente de

→u,

→v y

→w para el

caso a = 2.

c) Justifica razonadamente si para a = 0 se cumple la igualdad →u · (

→v × →w) = 0.

6z = –6y → z = –yx = y – 2z = y + 2y = 3y

x + 2z = y–x + 4z = –7y

x – y + 2z = 0–x + 7y + 4z = 0

1 –1 23 1 –1x y z


S

a) [→u,

→v,

→w] = = a3 – a = a(a2 – 1) = 0

b) Para a = 2, los vectores →u,

→v y

→w son linealmente independientes. Como son

tres vectores de Á3 linealmente independientes, forman una base de Á3. Así,cualquier otro vector, y, en particular

→c(3, 3, 0), depende linealmente de ellos.

Obtenemos la combinación lineal:

Para a = 2, tenemos que: →u(2, 3, 4),

→v(2, 1, 2),

→w(1, 2, 1)

(3, 3, 0) = x (2, 3, 4) + y (2, 1, 2) + z (1, 2, 1)

= 6

x = = = ; y = = =

z = = = 3

Por tanto: →c =

→u +

→v + 3

→w

c)→u · (

→v × →

w) = [→u,

→v,

→w] = 0 para a = 0. Está probado en el apartado a).

38 a) Halla el número de vectores linealmente independientes que hay en elconjunto S = {(1, 1, 1), (0, 2, 1), (2, 0, –3), (–1, 1, 2)}.

b) Un vector no nulo tiene sus tres componentes iguales. ¿Puede escribirsecomo combinación lineal de los dos primeros vectores de S?

c) Determina un vector que, teniendo sus dos primeras componentes igua-les a 1, se pueda poner como combinación lineal de los vectores segundoy tercero de S.

a) Tenemos que hallar el rango de la matriz:

M = ( ) Como = –8 ≠ 0, ran (M) = 3.

Por tanto, hay tres vectores linealmente independientes en S.

1 1 10 2 12 0 –3

1 1 10 2 12 0 –3–1 1 2

32

–32

186

2 2 3

3 1 3 4 2 0

6

32

96

2 3 1

3 3 2 4 0 1

6–32

–96

3 2 1

3 1 2 0 2 1

6

2 2 13 1 24 2 1

2x + 2y + z = 33x + y + 2z = 34x + 2y + z = 0

a = 0a = 1a = –1

a 1 + a 2aa 1 a1 a 1


S

S

b) Sí. Si tiene sus tres componentes iguales y es no nulo, es de la forma: →u = (k, k, k)

con k ≠ 0. Entonces, podemos obtenerlo a partir de los dos primeros vectoresde S como sigue:→u = k · (1, 1, 1) + 0 · (0, 2, 1)

c) Sea →v(1, 1, x) el vector que buscamos. Para que se pueda poner como combi-

nación lineal de los vectores segundo y tercero de S, tenemos que:

(1, 1, x) = a (0, 2, 1) + b (2, 0, –3)

Debe tener solución:

Por tanto, el vector es →v (1, 1, –1).

Página 149

39 Halla un vector →u de la misma dirección que

→v (1, –2, 3) y tal que forme

con →w (–2, 4, –1) un paralelogramo de área 25 u2.

Si →u es de la misma dirección que

→v (1, –2, 3), será de la forma

→u(x, –2x, 3x),

con x ≠ 0.

Para que forme con →w(–2, 4, –1) un paralelogramo de área 25 u2, ha de ser:

|→u × →

w|= |(–10x, –5x, 0)|= = |x| = 25;

es decir: 125x2 = 625 → x2 = 5 → x = ±

Por tanto, hay dos soluciones: ( , –2 , 3 ) y (– , 2 , –3 )

40 Halla un vector →v coplanario con

→a (2, –1, 1) y

→b (1, 0, 3) y ortogonal a

→c (2, 3, 0).

Sea →v (x, y, z) tal que:

1-º) es coplanario con →a y

→b, es decir:

= –3x – 5y + z = 0

2-º) es ortogonal a →c, es decir: (x, y, z) · (2, 3, 0) = 2x + 3y = 0

Resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones:

9 1z = 5y + 3x = 5y – — y = –– y

2 23

x = – — y2

–3x + z = 5y2x = –3y

–3x – 5y + z = 02x + 3y = 0

x y z2 –1 11 0 3

√5√5√5√5√5√5

√5

√125√100x2 + 25x2

1 1b = —, a = —

2 21 3 –2— – — = x → x = — = –1 → x = –12 2 2

2b = 12a = 1a – 3b = x


S

S

S

Soluciones: (–3λ , 2λ , λ ) (λ ≠ 0)

Todos los vectores de esta forma cumplen las condiciones. Por ejemplo, paraλ = 1, tenemos el vector (–3, 2, 1).

41 Sean →a y

→b tales que →

a = 4 y →b = 2, con (

→a,

→b) = 60°. Calcula →

a + →b

y →a –

→b.

→a +

→b2 = (

→a +

→b) · (

→a +

→b) =

→a ·

→a +

→b ·

→b + 2

→a ·

→b =

= →a 2 +

→b2 + 2 · →

a · →b · cos (

→a,

→b) =

= 16 + 4 + 2 · 4 · 2 · cos 60° = 16 + 4 + 8 = 28 → →a +

→b= = 2

Por otra parte:

→a –

→b2 = (

→a –

→b) · (

→a –

→b) =

→a ·

→a +

→b ·

→b – 2

→a ·

→b =

= →a 2 +

→b2 – 2 · →

a · →b · cos (

→a,

→b) =

= 16 + 4 – 8 = 12 → →a –

→b= = 2

42 De dos vectores →u y

→v sabemos que son ortogonales y que →

u = 6 y →v = 10.

Halla →u +

→v y →

u – →v.

Si →u y

→v son ortogonales, entonces

→u ·

→v = 0. Así:

|→u +

→v|2 = (

→u +

→v ) · (

→u +

→v ) =

→u ·

→u +

→v ·

→v + 2

→→u ·

→v =

= →u 2 + →

v 2 + 0 = 36 + 100 = 136 → →u +

→v= ≈ 11,66

|→u –

→v|2 = (

→u –

→v ) · (

→u –

→v ) =

→u ·

→u +

→v ·

→v – 2

→→u ·

→v = 136 → →

u – →v= ≈ 11,66

Observación: Si →u ⊥ →

v , entonces forman los lados de un rectángulo con base yaltura →

u y →v . En este caso,

→u +

→v y

→u –

→v son sus diagonales, que tienen

el mismo módulo (por tratarse de un rectángulo). Además, para hallar la longitudde la diagonal, podemos aplicar en este caso el teorema de Pitágoras:

x2 = 102 + 62 → x2 = 136 → x = ≈ 11,66

43 Calcula el ángulo que forman →a y

→b sabiendo que →

a = 3, →b = 5 y

→a +

→b = 7.

→a +

→b2 = (

→a +

→b) · (

→a +

→b) =

→a ·

→a +

→b ·

→b + 2

→a ·

→b =

= →a 2 +

→b2 + 2 · →

a · →b · cos (

→a,

→b) = 9 + 25 + 2 · 3 · 5 · cos (

→a,

→b) =

= 34 + 30 cos (→a,

→b) = 72 = 49

√136

√136

√136

√3√12

√7√28


10

6x

S

Por tanto: cos (→a,

→b) = = = → (

→a,

→b) = 60°

44 De los vectores →u y

→v, sabemos que cumplen

→u +

→v =

→a, 2

→u –

→3v =

→b, siendo

→a (2, –1, 0) y

→b (1, 3, –1). Halla el ángulo formado por

→u y

→v.

→u = (3

→a +

→b ) = (7, 0, –1) = ( , 0, )

→v = (2

→a –

→b ) = (3, –5, 1) = ( , –1, )

Por tanto:

→u ·

→v = ( , 0, ) · ( , –1, ) = =

|→u|= ( )2 + ( )2 =

|→v|= ( )2 + (–1)2 + ( )2 = =

cos (→u,

→v ) = = = ≈ 0,478 → (

→u,

→v ) = 61° 26' 21''


45 Si →u ·

→v =

→u ·

→w, ¿podemos asegurar que

→v =

→w?

No. Por ejemplo, si →u(3, –2, 0),

→v(5, 1, 0) y

→w(7, 4, 0), tenemos que:

→u ·

→v =

→u ·

→w

Sin embargo, →v ≠ →

w.

46 Prueba, utilizando el producto escalar, que si →a ⊥ →

b y →a ⊥ →

c entonces→a ⊥ (m→

b + n→c ).

→a ⊥

→b → →

a ·→b = 0

→a ⊥ →

c → →a ·

→c = 0

Para demostrar que →a ⊥ (m

→b + n

→c ), tenemos que probar que su producto escalar

es cero:

→u ·

→v = 15 – 2 = 13

→u ·

→w = 21 – 8 = 13

4

√70

4/5

√—2 · √35/5

→u ·

→v

→u ·

→v

√ 35 5√ 35

2515

35

√2–15

75

45

205

15

35

–15

75

15

35

15

15

–15

75

15

15

2→u + 2

→v = 2

→a

–2→u + 3

→v = –

→b

5→v = 2

→a –

→b

3→u + 3

→v = 3

→a

2→u – 3

→v =

→b

5→u = 3

→a +

→b

→u +

→v =

→a

2→u – 3

→v =

→b

12

1530

49 – 3430


√√

→a · (m

→b + n

→c ) = m

→a ·

→b + n

→a ·

→c = m · 0 + n · 0 = 0

Por tanto, →a ⊥ (m

→b + n

→c ).

47 Demuestra que si →a y

→b son dos vectores no nulos que tienen el mismo

módulo, entonces →a +

→b y

→a –

→b son ortogonales.

Supongamos que |→a| = |

→b| ≠ 0, entonces:

(→a +

→b) · (

→a –

→b) =

→a ·

→a +

→a ·

→b –

→a ·

→b –

→b ·

→b = →

a 2 – →b2 = 0 (pues |

→a| = |

→b|)

Observación: Si recordamos que →a +

→b y

→a –

→b son las diagonales del paralelo-

gramo determinado por →a y

→b, hemos probado que las diagonales de un rombo

son perpendiculares.

48 Demuestra que si →u,

→v y

→w son linealmente independientes, también lo son

los vectores →u +

→v,

→u –

→w y

→u –

→v +

→w.

Si →u,

→v y

→w son linealmente independientes, entonces, si hacemos una combina-

ción lineal de ellos y la igualamos a cero, a1→u + a2

→v + a3

→w =

→0, necesariamente

han de ser a1 = a2 = a3 = 0.

Veamos que sucede lo mismo con los vectores →u +

→v,

→u –

→w y

→u –

→v +

→w. Consi-

deramos una combinación lineal de ellos igualada a cero:

x (→u +

→v) + y (

→u –

→w) + z (

→u –

→v +

→w) =

→0, entonces:

(x + y + z)→u + (x – z)

→v + (–y + z)

→w =

→0

Como →u,

→v y

→w son linealmente independientes, entonces:

Pero = –3 ≠ 0,

luego la única solución del sistema es la solución trivial x = y = z = 0.

Por tanto, los vectores →u +

→v,

→u –

→w y

→u –

→v +

→w son linealmente independientes.

49 Justifica que cualquier conjunto de vectores que contenga al vector nulo esL.D.

Sea {→u1,

→u2, …,

→un,

→0} un conjunto de n + 1 vectores que contiene el vector nu-

lo. Si hacemos una combinación lineal de estos vectores e igualamos a cero:

(*) x1→u1 + x2

→u2 + … + xn

→un + xn + 1

→0 =

→0

tenemos infinitas soluciones para x1, x2, …, xn, xn + 1; pues todas las solucionesde la forma (x1, x2, …, xn, xn + 1) = (0, 0, …, 0, λ) satisfacen la igualdad (*).

Por tanto, son linealmente dependientes.

1 1 11 0 –10 –1 1

x + y + z = 0x – z = 0

– y + z = 0


50 a) ¿Puede haber dos vectores →u y

→v tales que

→u ·

→v = 3, →

u = 1, →v = 2?

b) Si dos vectores verifican →u ·

→v = →

u →v, ¿qué puedes decir del ángulo

que forman?

a)→u ·

→v = |

→u||

→v| cos (

→u,

→v ) = 1 · 2 · cos (

→u,

→v ) = 2 cos (

→u,

→v ) = –3 →

→ cos (→u,

→v ) = – > 1 Imposible.

Luego no existen dos vectores que cumplan estas condiciones.

b) Si |→u||

→v|= |

→u ·

→v| → |

→u||

→v|= →

→

Por tanto, →u y

→v tienen la misma dirección.

51 Justifica por qué el producto mixto de los vectores →a,

→b y

→a +

→b es igual a 0

cualesquiera que sean →a y

→b.

Los vectores →a,

→b y

→a +

→b son coplanarios; luego el volumen del paralelepípe-

do determinado por ellos (que coincide con su producto mixto en valor absoluto)es cero.

52 Si →u × →v =

→0 siendo

→u ≠ →

0 y →v ≠ →

0, ¿cómo son entre sí los vectores →u y

→v ?

Sabemos que |→u × →

v|= |→u|·|

→v|· sen (

→u,

→v). Si |

→u × →

v|= 0, |→u|≠ 0 y |

→v|≠ 0,

entonces ha de ser sen (→u,

→v) = 0. Es decir, (

→u,

→v) será 0° ó 180°.

Por tanto, los vectores →u y

→v tendrán la misma dirección.

53 Si →a × →b =

→a × →c, ¿es

→b =

→c necesariamente? Pon ejemplos.

No. Por ejemplo, si consideramos →a(1, 2, 3),

→b(2, 4, 6) y

→c(3, 6, 9), entonces:

→ →a ×

→b =

→a × →c, pero

→b ≠ →

c.

54 Sean →a,

→b,

→c tres vectores linealmente independientes. Indica razonada-

mente cuál o cuáles de los siguientes productos mixtos valen 0:

[→a +

→c,

→a –

→c,

→a +

→b +

→c ], [

→a +

→c,

→b,

→a +

→b ], [

→a –

→c,

→b –

→c,

→c –

→a ]

→a ×

→b =

→0

→a × →

c = →0

→u→

v=→u→

vcos (→u,

→v ) → cos (

→u,

→v ) = 1 → (

→u,

→v ) = 0°

→u

→v=–→

u→vcos (

→u,

→v ) → cos (

→u,

→v ) = –1 → (

→u,

→v ) = 180°

+ →u→

vcos (→u,

→v )

– →u

→vcos (

→u,

→v )

32


S

Si →a,

→b,

→c son tres vectores linealmente independientes de Á

3, forman unabase. Así, las coordenadas respecto a esta base de los vectores

→a +

→c,

→a –

→c y

→a +

→b +

→c son: (1, 0, 1), (1, 0, –1) y (1, 1, 1), respectivamente.

Como = 2 ≠ 0 → Son linealmente independientes →

→ [→a +

→c,

→a –

→c,

→a +

→b +

→c] ≠ 0

Análogamente:

= –1 ≠ 0 → [→a +

→c,

→b,

→a +

→b] ≠ 0

= 0 → [→a –

→c,

→b –

→c,

→c –

→a] = 0


55 Las tres alturas, AHA BHB CHC de un triángulo ABC se cortan en un punto.

Hay una bonita forma de demostrarlo por geometría elemental.

El triángulo A'B'C' está formado con los lados paralelos a los de ABC. Losvértices de este son los puntos medios de aquel. Por tanto, AHA, BHB y CHCson las mediatrices de los lados de A'B'C'.

Organiza y completa el razonamiento anterior para concluir que AHA, BHB,CHC se cortan en un punto.

Sea P el punto de corte de AHA y BHB. Entonces:

1) Como AHA es la mediatriz del lado B'C', P está a igual distancia de B' quede C'.

2) Como BHB es la mediatriz del lado A'C', entonces P está a igual distancia deA' que de C'.

Por tanto, uniendo 1) y 2), tenemos que P está a igual distancia de A' que de B';es decir, P también pertenece a la mediatriz del lado A'B', esto es, a CHC .

Luego hemos probado que las tres se cortan en el mismo punto.

56 La propiedad anterior puede demostrarse, también, mediante vectores. Lla-mamos H al punto en que se cortan AHA y BHB .

a) Justifica que

b) De las igualdades anteriores se llega a: →

HC · (→

HB – →

HA) = 0 y de aquí seconcluye que

→HC ⊥ AB y, por tanto, que las tres alturas se cortan en H.

(Justifica las afirmaciones anteriores).

→HA · (

→HC –

→HB) = 0

→HB · (

→HC –

→HA) = 0

1 0 –10 1 –1–1 0 1

1 0 10 1 01 1 0

1 0 11 0 –11 1 1


a)→

HC – →

HB = →

BC; y, como AHA es la altura correspondiente al lado BC, entonces:

→BC ⊥

→AHA →

→BC ⊥

→HA →

→HA ·

→BC = 0 →

→HA · (

→HC –

→HB ) = 0

Análogamente, como →

HC – →

HA = →

AC, tenemos que: →

HB · (→

HC – →

HA) = 0

b)→

HC · (→

HB – →

HA) = →

HC ·→

HB – →

HC ·→

HA = →

HB ·→

HC – →

HA ·→

HC =(1)

= →

HB ·→

HC – →

HA ·→

HB = →

HB · (→

HC – →

HA) =(2)

0

(1) →

HA ·→

HC – →

HA ·→

HB = 0 →→

HA ·→

HC = →

HA ·→

HB

(2) →

HB · ( →

HC – →

HA) = 0

Por tanto, si →

HC · (→

HB – →

HA) = 0, como →

HB – →

HA = →

AB, entonces →

HC ⊥ AB; lue-go H también pertenece a la altura correspondiente al vértice C. Así, las tres al-turas se cortan en el mismo punto, H.


Puntos alineados en el plano

■ Comprueba que los puntos A (5, 2), B (8, 3) y C (13, 5) no están alineados.

→AB = (3, 1);

→BC = (5, 2)

No tienen las coordenadas proporcionales; luego no están alineados.

Página 151

Rectas en el plano

■ Para hallar las ecuaciones paramétricas de la recta que aparece a continación,

toma el vector →p (1, 4) para situarte en ella y el vector

→d (5, 2) para deslizar-

te por ella.

Halla también su ecuación implícita.

Unidad 6. Puntos, rectas y planos en el espacio 1

A (5, 2)

B (8, 3)

C (13, 5)

r

(1, 4)

(5, 2)

s

PUNTOS, RECTAS Y PLANOSEN EL ESPACIO

6

Ecuaciones paramétricas:

Ecuación implícita:

■ Halla las ecuaciones paramétricas e implícitas de la recta s.

La recta s pasa por el punto (–1, 0) y tiene la dirección del vector →d (1, –1).



Sumando las dos anteriores: x + y = –1 → x + y + 1 = 0

Página 152

1. Representa los puntos siguientes:P (5, 2, 3), Q (3, –2, 5), R (1, 4, 0),S (0, 0, 4) y T (0, 6, 3).

P (5, 2, 3)

Q (3, –2, 5)

R (1, 4, 0)

S (0, 0, 4)

T (0, 6, 3)

2. Sitúa sobre unos ejes coordenados unpunto P. Proyéctalo, P', sobre el pla-no XY. Sigue el proceso hasta determi-nar las coordenadas de P. (Observaque el único paso arbitrario es decidirla situación de P').

P (3, 5, 2)

x = –1 + λy = –λ

–2x = –2 – 10λ5y = 20 + 10λ

–2x + 5y = 18 → 2x – 5y + 18 = 0

x = 1 + 5λy = 4 + 2λ


Y

SQ T

R

P

Z

X

YP

P'

Z

X

1. Dados los puntos A(1, 7, 3), B(–1, 3, 0), C(3, –4, 11) y D(1, 0, –5):

a) Halla las coordenadas de los vectores: →

AB, →

BC, →

CD, →

DA, →

AC

b)Halla el punto medio de cada uno de los siguientes segmentos: AB, BC, CD,AC, AD

a)→AB = (–2, –4, –3)

→BC = (4, –7, 11)

→CD = (–2, 4, –16)

→DA = (0, 7, 8)

→AC = (2, –11, 8)

b) MAB = (0, 5, ) MBC = (1, , ) MCD = (2, –2, 3)

MAC = (2, , 7) MAD = (1, , –1)2. Obtén las coordenadas del punto medio de los segmentos:

a) de extremos (3, –5, 1) y (–3, 1, 13).

b)de extremos (–5, 1, 7) y (4, 2, 0).

a) ( , , ) = (0, –2, 7)

b) ( , , ) = ( , , )

3. Obtén las coordenadas de los puntos que dividen cada uno de los segmentosdel ejercicio anterior en tres partes iguales.

Dado un segmento de extremos P y Q:

→OR =

→OP +

→PQ =

→OP + (

→OQ –

→OP) =

→OP +

→OQ –

→OP =

=

→OS =

→OP +

→PQ = 2

→OQ +

→OP

323

→OQ + 2

→OP

3

13

13

13

13

72

32

–12

7 + 02

1 + 22

–5 + 42

1 + 132

–5 + 12

3 – 32

72

32

112

–12

32


P

Q

O

R

S

Según esto, los puntos que buscamos son:

a) = (1, –3, 5)

= (–1, –1, 9)

b) = (–2, , )= (1, , )

4. P(1, –3, 5), Q(0, 7, 2) y R(–1, 5, 6) son los vértices de un triángulo.

a) Calcula las coordenadas del punto medio de cada lado.

b)Recuerda que el baricentro (punto donde se cortan las medianas del trián-

gulo) está sobre cada mediana, a del vértice y a del punto medio del la-

do opuesto.

Calcula el baricentro del triángulo anterior a partir de uno de los vértices. Re-pítelo para los otros dos y obtendrás el mismo resultado.

a) MPQ = ( , 2, )MQR = (– , 6, 4)MPR = (0, 1, )

b) A partir de P: (ver ejercicio 3)

→OG = = = (0, 3, )A partir de Q:

→OG = = = (0, 3, )A partir de R:

→OG = = = (0, 3, )13

3(1, 4, 7) + (–1, 5, 6)

3

2→

OMPQ + →

OR

3

133

(0, 2, 11) + (0, 7, 2)3

2→

OMPR + →

OQ

3

133

(–1, 12, 8) + (1, –3, 5)3

2→

OMQR + →

OP

3

112

12

72

12

13

23

73

53

2(4, 2, 0) + (–5, 1, 7)3

143

43

(4, 2, 0) + 2(–5, 1, 7)3

2(–3, 1, 13) + (3, –5, 1)3

(–3, 1, 13) + 2(3, –5, 1)3


MPR

GMPQ

MQR

Q(0, 7, 2)

P(1, –3, 5)

R(–1, 5, 6)

5. Localiza el baricentro del triángulo de vértices A (2, –1, 3), B(0, 4, 1), C (1, 1, 0).

Hallamos el punto medio, M, del lado BC:

M = ( , , )El baricentro, G, está sobre la mediana, a

de A y a de M (ver ejercicio 3):

→OG = = = (1, , )

Página 155

1. Halla las ecuaciones paramétricas de las rectas que pasan por:

a) A (2, 0, 5) y B (–1, 4, 6) b) M (5, 1, 7) y N (9, –3, –1)

c) P (1, 0, –3) y Q (1, 4, –3) d) R(0, 2, 3) y S(0, 2, 1)

a) Vector dirección: →AB = (–3, 4, 1)


b) Vector dirección: →MN = (4, –4, –8) // (1, –1, –2)


c) Vector dirección: →PQ = (0, 4, 0)


d) Vector dirección: →RS = (0, 0, –2)

Ecuaciones paramétricas: x = 0y = 2z = 3 – 2 λ

x = 1y = 4λz = –3

x = 5 + λy = 1 – λz = 7 – 2 λ

x = 2 – 3λy = 4λz = 5 + λ

43

43

(1, 5, 1) + (2, –1, 3)3

2→

OM + →

OA

3

13

23

12

52

12


G C

M

B

A

2. Obtén las ecuaciones paramétricas, la ecuación en forma continua y las ecua-ciones implícitas de la recta que pasa por estos puntos: (–5, 3, 7) y (2, –3, 3)

Vector dirección: (2, –3, 3) – (–5, 3, 7) = (7, –6, –4)


Ecuación continua:

= =

Ecuaciones implícitas:

→

3. Localiza seis puntos, además de los dados, de la recta anterior.

Dándole valores a λ, obtenemos:

λ = 1 → (9, 9, –1)

λ = 2 → (16, –15, –5)

λ = 3 → (23, –21, –9)

λ = 4 → (30, –27, –13)

λ = –2 → (–12, 9, 11)

λ = –3 → (–19, 15, 15)

(Para λ = 0 y λ = –1, obtenemos los puntos que teníamos).

4. Comprueba si alguno de los puntos que se dan a continuación pertenecen o noa la recta dada r :

A (5, 0, 0) B (3, 3, 4) C (15, –15, 4) D (1, 6, 0) r:

A ∉ r, pues z ≠ 4 B: B ∈ r

C: C ∈ r D ∉ r, pues z ≠ 4

5 – 2λ = 15 → λ = –53λ = –15 → λ = –54 = 4

5 – 2λ = 3 → λ = 13λ = 3 → λ = 14 = 4

x = 5 – λy = 3λz = 4

6x + 7y + 9 = 04x + 7z – 29 = 0

x – 2 y + 3——— = ——— → –6x + 12 = 7y + 21

7 –6x – 2 z – 3—–– = ——— → –4x + 8 = 7z – 21

7 –4

z – 3–4

y + 3–6

x – 27

x = 2 + 7λy = –3 – 6λz = 3 – 4λ


1. Estudia las posiciones relativas de los pares de rectas que aparecen en estosapartados. Cuando se corten, calcula el punto en que lo hacen:

a) b)

a) P = (1, 2, –5)→d1 = (–5, 3, 1)

Q = (1, 1, 0)→d2 = (0, 0, 1)

→PQ = (0, –1, 5)

M' = ( ); |M'|= –5 → ran (M' ) = 3 → Las rectas se cruzan.

M

b) P = (3, 1, 5)→d1 = (2, –1, 0)

Q = (–1, 3, 5)→d2 = (–6, 3, 0)

→PQ = (–4, 2, 0)

M' = ( ); ran (M ) = ran (M' ) = 1 → Las dos rectas coinciden.

M

2. Estudia las posiciones relativas de los pares de rectas que aparecen en estosapartados. Cuando se corten, calcula el punto en que lo hacen:

a) b)

a) P = (0, 0, 0)→d1 = (1, 1, 0)

Q = (3, 3, 0)→d2 = (0, 0, 1)

→PQ = (3, 3, 0)

M' = ( ); ran (M ) = ran (M' ) = 2 → Las rectas se cortan.

M

Hallamos el punto de corte:

Se cortan en el punto (3, 3, 0).

λ = 3λ = 30 = µ

1 0 31 0 30 1 0

x = – 2λy = 3 + 2λz = –1

x = 3 + λy = –2 – λz = 1

x = 3y = 3z = λ

x = λy = λz = 0

2 –6 –4–1 3 20 0 0

–5 0 03 0 –11 1 5

x = –1 – 6λy = 3 + 3λz = 5

x = 3 + 2λy = 1 – λz = 5

x = 1y = 1z = λ

x = 1 – 5λy = 2 + 3λz = –5 + λ


b) P = (3, –2, 1)→d1 = (1, –1, 0)

Q = (0, 3, –1)→d2 = (–2, 2, 0)

→PQ = (–3, 5, –2)

M' = ( ); ran (M ) = 1; ran (M' ) = 2 → Las rectas son paralelas.

M

Página 163

1. a) Halla las ecuaciones paramétricas y la ecuación implícita del plano que pasapor P (1, 7, –2), Q (4, 5, 0) y R (6, 3, 8).

b) Halla otros tres puntos del plano.

c) Calcula n para que A (1, n, 5) pertenezca al plano.

a) El plano es paralelo a →PQ = (3, –2, 2) y a

→QR = (2, –2, 8) // (1, –1, 4)



Un vector normal al plano es: (3, –2, 2) × (1, –1, 4) = (–6, –10, –1) // (6, 10, 1)

La ecuación es: 6(x – 4) + 10(y – 5) + 1(z – 0) = 0, es decir: 6x + 10y + z – 74 = 0

b) ( , 0, 0); (0, , 0); (0, 0, 74)

c) Sustituimos en la ecuación: 6 · 1 + 10 · n + 5 – 74 = 0 → 6 + 10n + 5 – 74 = 0

10n = 63 → n =

Página 165

1. Estudia la posición relativa del plano y de la recta:

π: 2x – y + 3z = 8 r :

Hallamos los puntos de corte de r y π:

2(2 + 3λ) – (–1 + 3λ) + 3(–λ) = 8

4 + 6λ + 1 – 3λ – 3λ = 8 → 0λ = 3 → No tiene solución.

La recta y el plano son paralelos, pues no tienen ningún punto en común.

x = 2 + 3λy = –1 + 3λz = – λ

6310

375

373

x = 4 + 3λ + µy = 5 – 2λ – µz = 2λ + 4µ

1 –2 –3–1 2 50 0 –2


2. Dados estos tres planos, estudia la posición relativa entre cada dos de ellos:

2x – y + 3z = 8 x + 3y – z = 5 2x + 6y – 2z = 5

¿Tienen los tres planos algún punto común?

Se cortan en una recta.

Son paralelos.

Se cortan en una recta.

No hay ningún punto común a los tres planos.

Página 167

1. Escribe las ecuaciones implícitas y paramétricas de las siguientes figuras:

a) x siempre vale 0.

y puede tomar cualquier valor.

z puede tomar cualquier valor.

π: x = 0 → π:x = 0y = λz = µ

2x – y + 3z = 82x + 6y – 2z = 5

x + 3y – z = 52x + 6y – 2z = 5

2x – y + 3z = 8x + 3y – z = 5


1-º

2-º

3-º

Z Z

Z Z Z

X X

XX X

PLANO Y – Z EJE X

Y Y

Y Y Y

a b c

d e f

Z

X

Y

b) x puede tomar cualquier valor.

y siempre vale 0.

z siempre vale 0.

Eje X: → Eje X:

c) z puede tomar cualquier valor.

El plano π en su intersección con el plano XY determina la recta r de ecuación:

r: x – y = 0

Así, en el espacio XYZ:

π: x – y = 0 → π:

d) Calculamos la ecuación de la recta en el plano XZ:

r pasa por A(4, 0) y B(0, 3) →→AB = (–4, 3)

r: → λ =

x = 4 – z

r: 3x + 4z = 12 en el plano XZ.

En el espacio XYZ la recta no toma valores en y, por tanto, y = 0. Luego laecuación de la recta r en el espacio XYZ es:

r: → r:

e) x puede tomar cualquier valor.

z puede tomar cualquier valor.

y siempre vale 7.

π: y = 7 → π:

f) y puede tener cualquier valor.

Calculamos la recta que determina el plano π en su intersección con el plano XZ:

r pasa por A(4, 0) y B(0, 3).

Por el apartado d):

r: 3x + 4z = 12 en el plano XZ.

x = λy = 7z = µ

x = 4 – 4λy = 0z = 3λ

y = 03x + 4z = 12

43

z3

x = 4 – 4λz = 3λ

x = λy = λz = µ

x = λy = 0z = 0

y = 0z = 0


Así:

π: 3x + 4z = 12 → π:

2. Representa las figuras dadas por las siguientes ecuaciones:

a) z = 4 b) c) d)

e) f ) g) y = 0 h)

i) j) k) x + y + z = 1 l)

¡Atención! Una de ellas representa un punto y otra, todo el espacio. Hay unaque tiene dos parámetros, pero actúan como si solo hubiera uno.

a) z = 4 → z siempre vale 4.

x e y pueden tomar cualquiervalor.

b)

Es el mismo plano que el del apartado anterior.

c)

Como solo hay un parámetro, es una recta (pa-ralela al plano XY).

x = λ x e y siempre toman el mismo valor.y = λz = 4 → z siempre vale 4.

x = λ → x puede tomar cualquier valor.y = µ → y puede tomar cualquier valor.z = 4 → z siempre vale 4.

x + y + z ≤ 1x ≥ 0y ≥ 0z ≥ 0

x = λy = µz = ρ

x = 3y = 4z = 5

x = 3y = 0z = λ + µ

x = 0z = 0

y = 0z = 4

x = λy = 0z = 4

x = λy = λz = 4

x = λy = µz = 4

x = 4 – 4λy = µz = 3λ


X

Z

Y

X

Z

Y

r

d)

Como solo hay un parámetro, es una recta.

Como y = 0 siempre, es una recta del pla-no XZ.

e) Es la ecuación implícita de la recta anterior.

f)

Es la ecuación del eje Y.

g) y = 0 → y siempre vale 0.x puede tomar cualquier valor.z puede tomar cualquier valor.

Es la ecuación del plano XZ.

h)

Como solo hay un parámetro, es una recta.

x = 3 → x siempre vale 3.y = 0 → y siempre vale 0. → Nos movemos en el plano XZ.z = ρ → z puede tomar cualquier valor.

x = 3y = 0z = λ + µ → si hacemos λ + µ = ρ, ρ ∈ Á, tenemos:

x = 0 → x siempre vale 0.z = 0 → z siempre vale 0.

y puede tomar cualquier valor.

y = 0z = 4

x = λ → x puede tomar cualquier valor.y = 0 → y siempre vale 0.z = 4 → z siempre vale 4.


X

Z

Yr

X

Z

Y

X

Z

Y

X

Zr

Y

i)

Es un punto.

j)

Representa todo el espacio.

k) x + y + z = 1

Calculamos las intersecciones con los ejes:

Eje X:

→ x = 1 → (1, 0, 0)

Eje Y:

→ y = 1 → (0, 1, 0)

Eje Z:

→ z = 1 → (0, 0, 1)

l) x + y + z ≤ 1 → Describe la región limitada por el plano anterior, cuyas coor-denadas están por debajo de él.

x ≥ 0

y ≥ 0 Las tres variables tienen que ser positivas.

z ≥ 0

Representa la región comprendida entre laparte positiva de los planos XY, YZ, XZ yel plano x + y + z = 1.

x = 0y = 0

x = 0z = 0

y = 0z = 0

x = λ → x puede tomar cualquier valor.y = µ → y puede tomar cualquier valor.z = ρ → z puede tomar cualquier valor.

x = 3 → x siempre vale 3.y = 4 → y siempre vale 4.z = 5 → z siempre vale 5.


X

Z

Y

X

Z

Y

X

Z

P

Y


PARA PRACTICAR

Puntos

1 Las coordenadas de los puntos representados en estafigura son:

(0, 0, 3); (0, 3, 3); (3, 3, 3); (3, 0, 3); (3, 0, 0);(3, 3, 0); (0, 3, 0); (0, 3/2, 3); (0, 3, 3/2); (3, 3/2, 0);(3, 0, 3/2)

Asocia a cada punto sus coordenadas.

A(0, 0, 3); B(0, 3, 3); C (3, 3, 3); D (3, 0, 3); E (3, 0, 0,); F (3, 3, 0); G (0, 3, 0);P(0, 3/2, 3); Q (0, 3, 3/2); R (3, 3/2, 0); S (3, 0, 3/2)

2 Comprueba si los puntos A (1, –2, 1), B (2, 3, 0) y C (–1, 0, –4) están alineados.

Sus coordenadas no son proporcionales. Luego los puntos no es-tán alineados.

3 Halla los puntos P y Q tales que →

AQ = →

AB y →

AP = →

AQ , siendo A (2, 0, 1)y B (5, 3, –2).

• Si Q (x, y, z), entonces →AQ(x – 2, y, z – 1):

→AB = (3, 3, –3) = ( , , ) = (x – 2, y, z – 1)

x – 2 = → x =

y = Q ( , , )z – 1 = – → z =

• Si P (a, b, c), entonces →AP (a – 2, b, c – 1):

→AQ = ·

→AB =

→AB = (3, 3, –3) = ( , , ) = (a – 2, b, c – 1)

a – 2 = → a =

b = P ( , , )c – 1 = → c = –1

5–65

–15

65

165

65

165

65

–65

65

65

25

25

35

23

23

–45

95

–45

95

195

95

195

95

–95

95

95

35

35

23

35

→AB (1, 5, –1)→

AC (–2, 2, –5)


A P B

Q

G

C

FRE

D

S

X

Y

Z

4 Halla el simétrico del punto A (–2, 3, 0) respecto del punto M (1, –1, 2).

Sea A' (x, y, z) el simétrico de A respecto del punto M.

Como M es el punto medio del segmento AA', entonces:

( , , ) = (1, –1, 2)

= 1 → x= 4; = –1 → y= –5; = 2 → z= 4

Por tanto: A' (4, –5, 4)

5 Calcula a y b para que los puntos A(1, 2, –1), B (3, 0, –2) y C (4, a, b) es-tén alineados.

Para que estén alineados ha de ser: = =

Por tanto:

= → a – 2 = –3 → a = –1

= → b = – 1 → b =

Rectas

6 Halla las ecuaciones paramétricas de los ejes de coordenadas.

Eje OX → Eje OY → Eje OZ →

7 Escribe las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos A (–3, 2, 1) y

B (– , , 0).Un vector dirección de la recta r es

→AB ( , , –1).

Tomamos el vector →d(1, –1, –2) //

→AB .

• Ecuación vectorial:

(x, y, z) = (–3, 2, 1) + λ(1, –1, –2)

• Ecuaciones paramétricas:

x = –3 + λy = 2 – λz = 1 – 2λ

–12

12

32

52

x = 0y = 0z = λ

x = 0y = λz = 0

x = λy = 0z = 0

–52

–32

32

b + 1–1

32

a – 2–2

b + 1–1

a – 2–2

32

→AB (2, –2, –1)→

AC (3, a – 2, b + 1)

z2

y + 32

x – 22

z2

y + 32

x – 22


A

A'

M

• Forma continua:

= =

• Forma implícita:

8 Comprueba si existe alguna recta que pase por los puntos P (3, 1, 0), Q (0, –5, 1)y R (6, –5, 1).

Las coordenadas no son proporcionales, luego los puntos no es-tán alineados.

9 Halla las ecuaciones de la recta que pasa por el punto A (–4, 2, 5) y es para-lela al eje OZ.

Si es paralela al eje OZ, tiene como vector dirección (0, 0, 1).


(x, y, z) = (–4, 2, 5) + λ(0, 0, 1)


• Forma continua:

= =


10 Escribe las ecuaciones de la recta que pasa por el punto P (1, –3, 0) y es pa-ralela al vector

→u × →

v , siendo →u (1, –1, 2) y

→v (2, 0, 0).

→u ×

→v = (0, 4, 2) // (0, 2, 1)


(x, y, z) = (1, –3, 0) + λ(0, 2, 1)

x = –4 → x + 4 = 0y = 2 → y – 2 = 0

z – 51

y – 20

x + 40

x = –4y = 2z = 5 + λ

→PQ (–3, –6, 1)→

AC (3, –6, 1)

x + 3 y – 2——— = ——— → –x – 3 = y – 2 → x + y + 1 = 0

1 –1x + 3 z – 1—— = —— → –2x – 6 = z – 1 → 2x + z + 5 = 0

1 –2

z – 1–2

y – 2–1

x + 31


S

S

S


• Forma continua:

= =


11 Estudia la posición relativa de las siguientes rectas y halla el punto de corte,cuando sea posible:

a) r : = = s: = =

b)r : = = s: = =

c) r : = y – 1 = s:

d)r : = = s:

a)→dr (3, 2, 4); P (1, –2, 1)→ds(–1, 2, 3); P' (–2, 3, 2)→PP' (–3, 5, 1)

M' = ( ) → |M'|= –51 ≠ 0 → Las rectas se cruzan.

M

b)→dr (–1, 2, 1); P (1, 1, 2)→ds(4, 1, 2); P' (4, 4, 5)→PP' (3, 3, 3)

M' = ( ) → |M'|= 0 y = 3 ≠ 0 → ran (M) = ran (M') = 2 →

M → Las rectas se cortan.

2 11 2

–1 4 32 1 31 2 3

3 –1 –32 2 54 3 1

x = 3 + 4λy = 3 + 6λz = 4 + 8λ

z4

y3

x – 12

x – 2y – 1 = 03y – z + 1 = 0

z + 13

x2

z – 52

y – 41

x – 44

z – 21

y – 12

x – 1–1

z – 23

y – 32

x + 2–1

z – 14

y + 22

x – 13

x = 1 → x – 1 = 0y + 3 z—–— = — → y + 3 = 2z → y – 2z + 3 = 0

2 1

z – 01

y + 32

x – 10

x = 1y = –3 + 2λz = λ


S

Para hallar el punto de corte, escribimos las dos rectas en forma paramétrica:

r: s:

Sustituyendo λ = 1 en las ecuaciones de r (o bien µ = –1 en las de s), obte-nemos el punto de corte: (0, 3, 3).

c)→dr(2, 1, 3); P (0, 1, –1)→ds(1, –2, 0) × (0, 3, –1) = (2, 1, 3)

Tienen la misma dirección, y el punto P ∈ r, pero P ∉ s, luego las rectas sonparalelas.

d)Tienen la misma dirección.

Veamos si el punto P (1, 0, 0) ∈ r, pertenece también a s:

P ∈ s

Por tanto, las rectas r y s coinciden, son la misma recta.

12 Obtén el valor de a para el cual las rectas r y s se cortan, y halla el puntode corte:

r : x = y = z – a s: = =

☛ En s, divide por 2 el numerador y el denominador de la primera fracción.

r: x = y = z – a →→dr(1, 1, 1); P (0, 0, a)

s: = = →→ds ( , –2, 0); P' ( , –3, 2)

PP' ( , –3, 2 – a)

M' = ( ) → ran (M) = 2

M

1 3/2 1/21 –2 –31 0 2 – a

12

12

32

z – 20

y + 3–2

x – 1/23/2

z – 20

y + 3–2

2x – 13

3 + 4λ = 1 → λ = –1/23 + 6λ = 0 → λ = –1/24 + 8λ = 0 → λ = –1/2

→dr(2, 3, 4)→ds(4, 6, 8)

Sumando la 1-a y la 3-a: 3 = 9 + 6µ → µ = –1Sustituyendo en la 1-a: 1 – λ = 4 – 4 → λ = 1

1 – λ = 4 + 4µ1 + 2λ = 4 + µ2 + λ = 5 + 2µ

x = 4 + 4µy = 4 + µz = 5 + 2µ

x = 1 – λy = 1 + 2λz = 2 + λ


S

Para que las rectas se corten, ha de ser ran (M' ) = 2, es decir, |M'|= 0:

|M'|= = 0 → a = 3

Para hallar el punto de corte, escribimos las rectas en forma paramétrica:

r: s:

Sustituyendo λ = –1 en las ecuaciones de r (o µ = –1 en las de s), obtenemosel punto de corte: (–1, –1, 2).

13 Halla los valores de m y n para que las rectas r y s sean paralelas:

r : s: = =

Las coordenadas han de ser proporcionales:

= = → m = 12, n = –3

(El punto P (0, 1, –3) ∈ s; pero P ∉ r; luego las dos rectas son paralelas si m = 12y n = –3).

14 a) Halla el vector director de la recta determinada por los planos:

b)Escribe las ecuaciones paramétricas de r.

a)→d = (1, –1, 0) × (0, 1, 1) = (–1, –1, 1)

b) Obtenemos un punto de la recta haciendo y = 0:

El punto (0, 0, 2) pertenece a la recta.

Ecuaciones paramétricas: x = –λy = –λz = 2 + λ

x = 0z = 2

x – y = 0y + z = 2

n–1

31

m4

→dr(4, 1, –1)→ds(m, 3, n)

z + 3n

y – 13

xm

x = 5 + 4λy = 3 + λz = – λ

–1 = –3 – 2µ → µ = –1

λ = –1

1 3λ = — + — µ2 2

λ = –3 – 2µ3 + λ = 2

1 3x = — + — µ

2 2

y = –3 – 2µz = 2

x = λy = λz = 3 + λ

7a – 212


S

15 Dada la recta = = z, exprésala como intersección de dos planos.

Página 174

Planos

16 Halla las ecuaciones de los siguientes planos:

a) Determinado por el punto A (1, –3, 2) y por los vectores →u (2, 1, 0) y

→v (–1, 0, 3).

b)Pasa por el punto P (2, –3, 1) y cuyo vector normal es →n (5, –3, –4).

c) Perpendicular a la recta = = y que pasa por el punto (1, 0, 1).

a)→u × →

v = (2, 1, 0) × (–1, 0, 3) = (3, –6, 1)

3(x – 1) – 6(y + 3) + (z – 2) = 0

3x – 6y + z – 23 = 0

b) 5(x – 2) – 3(y + 3) – 4(z – 1) = 0

5x – 3y – 4z – 15 = 0

c)→n(2, –1, 3)

2(x – 1) – (y – 0) + 3(z – 1) = 0

2x – y + 3z – 5 = 0

17 Halla las ecuaciones paramétricas e implícitas de los planos OXY, OYZ,OXZ.

Plano OXY:

Paramétricas: Implícita: z = 0

Plano OYZ:

Paramétricas: Implícita: x = 0x = 0y = λz = µ

x = λy = µz = 0

z3

y + 1–1

x2

x— = z → x = 2z → x – 2z = 02x y + 1— = ——— → –x = 2y + 2 → x + 2y + 2 = 02 –1

y + 1–1

x2


Plano OXZ:

Paramétricas: Implícita: y = 0

18 Escribe las ecuaciones paramétricas de los planos:

a) z = 3 b) x = –1 c) y = 2

a) b) c)

19 ¿Cuál es el vector normal del plano x = –1?

Escribe las ecuaciones de una recta perpendicular a ese plano que pase porA (2, 3, 0).

El vector normal al plano x = –1 es →n (1, 0, 0).

Recta:

20 Calcula m y n para que los planos α: mx + y – 3z – 1 = 0 y β: 2x + ny – z – 3 = 0sean paralelos. ¿Pueden ser coincidentes?

Las coordenadas han de ser proporcionales:

= = → m = 6, n =

Así, quedaría:

Los planos son paralelos, no coincidentes. No pueden ser coincidentes pues los tér-minos independientes no son proporcionales a los anteriores.

21 Escribe la ecuación del plano que pase por los puntos (0, 0, 0), (2, 2, 0) y(1, 1, 2).

(2, 2, 0) × (1, 1, 2) = (4, –4, 0) → →n(1, –1, 0)

P (0, 0, 0)

El plano es: x – y = 0

α: 6x + y – 3z – 1 = 0 → 6x + y – 3z – 1 = 01β: 2x + —y – z – 3 = 0 → 6x + y – 3z – 9 = 03

13

–3–1

1n

m2

→nα(m, 1, –3)→nβ(2, n, –1)

x = 2 + λy = 3z = 0

x = λy = 2z = µ

x = –1y = λz = µ

x = λy = µz = 3

x = λy = 0z = µ


S

S

S22 Determina la ecuación del plano que contiene al punto P (2, 1, 2) y a la recta:

x – 2 = =

Si contiene a la recta, contendrá al punto Q (2, 3, 4) y será paralelo a →d (1, –1, –3).

También será paralelo a →PQ (0, 2, 2) // (0, 1, 1).

Un vector normal al plano es: (1, –1, –3) × (0, 1, 1) = (2, –1, 1)

La ecuación del plano es: 2(x – 2) – (y – 1) + (z – 2) = 0

2x – y + z – 5 = 0

23 Comprueba que las rectas:

r : = y = z – 2 s:

son paralelas, y halla la ecuación del plano que las contiene.

→dr(2, 1, 1); P (1, 0, 2)

→ds = (1, 0, –2) × (1, –2, 0) = (–4, –2, –2) // (2, 1, 1)

Las rectas r y s tienen la misma dirección. Además, P (1, 0, 2) ∈ r, pero P ∉ s.Luego las rectas son paralelas.

Obtenemos un punto, Q, de s haciendo y = 0:

Q (11, 0, 3)

El plano que buscamos será paralelo a →dr(2, 1, 1) y a

→PQ (10, 0, 1). Un vector nor-

mal es: (2, 1, 1) × (10, 0, 1) = (1, 8, –10)

La ecuación del plano será: 1 · (x – 1) + 8 · (y – 0) – 10 · (z – 2) = 0

x + 8y – 10z + 19 = 0

24 ¿Son coplanarios los puntos A (1, 0, 0), B (0, 1, 0), C (2, 1, 0) y D (–1, 2, 1)?

= –2 ≠ 0

Los puntos no son coplanarios.

–1 1 01 1 0–2 2 1

→AB = (–1, 1, 0)→AC = (1, 1, 0)→AD = (–2, 2, 1)

x = 11z = 3

x – 2z = 5x = 11

x – 2z = 5x – 2y = 11

x – 12

z – 4–3

y – 3–1


P

Q

r

s

S

S

S

PARA RESOLVER

25 Los puntos A (1, 3, –1), B (2, 0, 2) y C (4, –1, –3) son vértices consecutivos deun paralelogramo. Halla el vértice D y el centro del paralelogramo.

Sea D (x, y, z) el otro vértice:→BA =

→CD → (–1, 3, –3) = (x – 4, y + 1, z + 3)

D (3, 2, –6)

Si M es el centro del paralelogramo, es el punto medio de →AC:

M = ( , , ) = ( , 1, –2)26 Calcula b para que las rectas r y s se corten. ¿Cuál es el punto de corte?

r : = = s: = =

→dr(2, –3, 2); P (1, –5, –1)→ds(4, –1, 2); P' (0, b, 1)→PP' (–1, b + 5, 2)

M' = ( ) → Para que las rectas se corten, ha de ser |M'|= 0 (paraque ran (M ) = ran (M' ) = 2).

M

|M'|= 4b + 44 = 0 → b = –11

Para hallar el punto de corte, escribimos las dos rectas en forma paramétrica:

r: s:

Restando la 3-a ecuación a la 1-a: 2 = –1 + 2µ

µ = λ = =

Sustituyendo λ = en las ecuaciones de r (o µ = en las de s), obtenemos

el punto de corte: (6, , 4).–252

32

52

52

4µ – 12

32

1 + 2λ = 4µ–5 – 3λ = –11 – µ–1 + 2λ = 1 + 2µ

x = 4µy = –11 – µz = 1 + 2µ

x = 1 + 2λy = –5 – 3λz = –1 + 2λ

2 4 –1–3 –1 b + 52 2 2

z – 12

y – b–1

x4

z + 12

y + 5–3

x – 12

52

–3 – 12

–1 + 32

4 + 12

x – 4 = –1 → x = 3y + 1 = 3 → y = 2z + 3 = –3 → z = –6


AB

M

DC

S

S27 Determina el valor de a para que las rectas r y s sean coplanarias:

r : = = s:

Halla el plano que las contiene.

→dr(1, 1, 0); P (0, a, 0)→ds(1, –1, 1); P' (1, 1, –1)→PP' (1, 1 – a, –1)

M' = ( ) → Para que las rectas sean coplanarias, ha de ser |M'|= 0.

|M'|= a + 2 = 0 → a = –2

Un vector normal al plano es: →dr ×

→ds = (1, 1, 0) × (1, –1, 1) = (1, –1, –2)

El plano que las contiene es: 1(x – 1) – 1(y – 1) – 2(z + 1) = 0

x – y – 2z – 2 = 0

28 ¿Se puede construir un triángulo que tenga dos de sus lados sobre las rectasr y s?

r : = y = z + 1 s:

Estudiamos la posición relativa de las rectas:→dr(2, 1, 1); P (1, 0, –1)→ds(2, 1, 1)

Las dos rectas tienen la misma dirección. Además, P (1, 0, –1) ∈ r, pero P ∉ s

puesto que:

Por tanto, las rectas son paralelas. Luego no se puede construir un triángulo quetenga dos de sus lados sobre las rectas r y s.

29 Estudia la posición relativa de la recta: r : = = y el planoπ: x – y + z – 3 = 0.

r: x = 3 + 2λy = –1 + λz = –λ

z–1

y + 11

x – 32

2λ = 1 → λ = 1/2–1 + λ = 0 → λ = 1λ = –1

x = 2λy = –1 + λz = λ

x – 12

1 1 11 –1 1 – a0 1 –1

x = 1 + λy = 1 – λz = –1 + λ

z0

y – a1

x1


S

π: x – y + z – 3 = 0

(3 + 2λ) – (–1 + λ) + (–λ) – 3 = 0

3 + 2λ + 1 – λ – λ – 3 = 0

1 = 0

La recta es paralela al plano (pues no tienen ningún punto en común).

30 Dadas la recta r determinada por los puntos A (1, 1, 1) y B (3, 1, 2), y larecta:

s:

estudia su posición relativa y halla, si existe, la ecuación del plano que lascontiene.

Las rectas son paralelas.

Obtenemos un punto de s haciendo z = 0:

P (1, 2, 0)

El plano que buscamos es paralelo a →dr y a

→AP (0, 1, –1).

Un vector normal al plano es: →n =

→dr ×

→AP = (2, 0, 1) × (0, 1, –1) = (–1, 2, 2)

El plano es: –1 · (x – 1) + 2 · (y – 1) + 2 · (z – 1) = 0

–x + 2y + 2z – 3 = 0

31 Dada la recta r :

a) Halla, para cada valor de a, las ecuaciones paramétricas de ra.

b)Discute la existencia de valores de a para que la recta ra esté incluida enel plano x + y + z = 1.

a) Sumando:

z = x – 3 + 3y = 1 – y – 3 + 3y = –2 + y

ra: x = 1 – (a + 3)λy = 4λz = –2 + (9 – a)λ

9 – a4

a + 34

4x = 4 – (a + 3)ya + 3

x = 1 – ——— y4

3x + z = 1 – ayx – z = 3 – 3y

3x + z = 1 – ay2x – 2z = 6 – 6y

3x + ay + z = 12x + 6y – 2z = 6

x = 1y = 2

→dr =

→AB = (2, 0, 1); A(1, 1, 1)

→ds = (1, 0, –2) × (0, 1, 0) = (2, 0, 1); A ∉ s

x – 2z – 1 = 0y – 2 = 0


P

A

r

s

S

S

S

b) x + y + z = 1

1 – (a + 3)λ + 4λ – 2 + (9 – a)λ = 1

1 – aλ – 3λ + 4λ – 2 + 9λ – aλ = 1

(10 – 2a)λ = 2

10 – 2a = 0 → 10 = 2a → a = 5

• Si a = 5 → La recta es paralela al plano.

• Si a ≠ 5 → La recta y el plano se cortan en un punto.

Por tanto, no existen valores de a para los que la recta esté contenida en elplano.

Página 175

32 Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos A (1, 3, 2) y B (–2, 5, 0)

y es paralelo a la recta

El plano será paralelo a →AB(–3, 2, –2) y a

→d(–1, 1, –3).

Un vector normal al plano es: (–3, 2, –2) × (–1, 1, –3) = (–4, –7, –1) → →n(4, 7, 1)

El plano es: 4(x – 1) + 7(y – 3) + 1(z – 2) = 0

4x + 7y + z – 27 = 0

33 Estudia la posición de las siguientes rectas y halla, si es posible, el plano quelas contiene:

r : = = s: = =

→dr(1, –1, 2); P (2, 1, 0)→ds(–1, 1, –2)

Las rectas tienen la misma dirección. Además P (2, 1, 0) ∈ r, pero P ∉ s; luego lasrectas son paralelas.

Un punto de s es Q (1, 1, –2).

El plano que buscamos es paralelo a →dr y

a →PQ(–1, 0, –2).

Un vector normal al plano es:→n = (1, –1, 2) × (–1, 0, –2) = (2, 0, –1)

El plano es: 2(x – 2) + 0(y – 1) – 1(z – 0) = 0

2x – z – 4 = 0

z + 2–2

y – 11

x – 1–1

z2

y – 1–1

x – 21

x = 3 – λy = 2 + λz = –2 – 3λ


P

Q

r

s

S

S

S

34 Halla la ecuación del plano que contiene a la recta

r : y es paralelo a: s: = =

El plano será paralelo a →dr(3, –1, 1) y a

→ds(5, 2, –3).

Un vector normal al plano será: →n = (3, –1, 1) × (5, 2, –3) = (1, 14, 11)

Un punto del plano es (2, –1, 0).

Por tanto, el plano es: 1(x – 2) + 14(y + 1) + 11(z – 0) = 0

x + 14y + 11z + 12 = 0

35 Calcula el valor de m para que los puntos A (m, 0, 1), B (0, 1, 2), C (1, 2, 3)y D (7, 2, 1) estén en un mismo plano. ¿Cuál es la ecuación de ese plano?

Hallamos la ecuación del plano que contiene a B, C y D.

El plano será paralelo a →BC(1, 1, 1) y a

→CD (6, 0, –2), es decir, a (1, 1, 1) y a (3, 0, –1).

Un vector normal al plano es:

(1, 1, 1) × (3, 0, –1) = (–1, 4, –3) → →n(1, –4, 3)

La ecuación del plano es: 1(x – 0) – 4(y – 1) + 3(z – 2) = 0

x – 4y + 3z – 2 = 0

Para que A pertenezca al mismo plano, ha de ser:

m – 4 · 0 + 3 · 1 – 2 = 0 → m + 1 = 0 → m = –1

36 Dado el plano π: 2x – 3y + z = 0 y la recta r: = = ,

halla la ecuación del plano que contiene a la recta r y es perpendicular alplano π.

El plano será paralelo a (2, –3, 1) y a (1, –1, 2).

Un vector normal al plano es: (2, –3, 1) × (1, –1, 2) = (–5, –3, 1) → →n(5, 3, –1)

El punto (1, 2, –1) pertenece al plano.

La ecuación del plano es: 5(x – 1) + 3(y – 2) – 1(z + 1) = 0

5x + 3y – z – 12 = 0

37 Estudia la posición de los siguientes planos:

a) b) c) x – y + z – 1 = 0

3x + y – 2z = 02x + 2y – 3z + 4 = 0

2x – y + z – 3 = 0x – y + z – 2 = 0

3x – y + z – 4 = 0

x + 2y – z – 3 = 03y + 2z – 1 = 0

x + y + z – 2 = 0

z + 12

y – 2–1

x – 11

z–3

y + 12

x – 35

x = 2 + 3λy = –1 – λz = λ


S

S

a) M' = ( )M

|M|= 8 → ran (M) = ran (M') = 3 → Los tres planos se cortan en un punto.

b) M' = ( )M

La 3-ª columna es –1 · 2-ª; y la 4-ª columna se obtiene sumando la 1-ª y la 3-ª.

Luego ran (M) = ran (M' ) = 2 → Los tres planos se cortan en una recta.

c) M' = ( )M

= 4 ≠ 0 y |M|= 0 → ran (M) = 2

= –12 ≠ 0 → ran (M' ) = 3

Los planos se cortan dos a dos, pero no hay ningún punto común a los tres.

38 Escribe la ecuación del plano que pasa por los puntos A (1, –3, 2) y B (0, 1, 1)y es paralelo a la recta:

r :

Un vector dirección de r es: (3, –2, 0) × (0, 2, 3) = (–6, –9, 6) // (2, 3, –2)→AB(–1, 4, –1)

El plano que buscamos es paralelo a (2, 3, –2) y a (–1, 4, –1).

Un vector normal al plano es: →n = (2, 3, –2) × (–1, 4, –1) = (5, 4, 11)

La ecuación del plano es: 5(x – 0) + 4(y – 1) + 11(z – 1) = 0

5x + 4y + 11z – 15 = 0

39 Dados los planos mx + 2y – 3z – 1 = 0 y 2x – 4y + 6z + 5 = 0, halla m paraque sean:

a) Paralelos.

b) Perpendiculares.

3x – 2y + 1 = 02y + 3z – 3 = 0

1 –1 13 1 02 2 –4

1 –13 1

1 –1 1 13 1 –2 | 02 2 –3 –4

x – y + z = 13x + y – 2z = 02x + 2y – 3z = –4

2 –1 1 31 –1 1 | 23 –1 1 4

2x – y + z = 3x – y + z = 2

3x – y + z = 4

1 2 –1 30 3 2 | 11 1 1 2

x + 2y – z = 33y + 2z = 1

x + y + z = 2


S

S

a) Las coordenadas de (m, 2, –3) y de (2, –4, 6) han de ser proporcionales:

= = → m = –1

b) (m, 2, –3) · (2, –4, 6) = 2m – 8 – 18 = 2m – 26 = 0 → m = 13

40 Halla el valor de a para que las rectas r y s estén en un mismo plano yhalla la ecuación de ese plano:

r : s:

Escribimos las ecuaciones de r y s en forma paramétrica:

r: r:

s: s:

Obtenemos un punto y un vector dirección de cada recta:→dr(2, 1, 1); P (0, 2, 0)→ds(2, –2, –1); P' (0, 1, a/2)→PP' (0, –1, a/2)

Para que las rectas estén en el mismo plano, los vectores →dr ,

→ds y

→PP' han de

ser coplanarios:

= –3a – 4 = 0 → a =

El plano será paralelo a →dr y a

→ds . Un vector normal al plano es:

→n = (2, 1, 1) × (2, –2, –1) = (1, 4, –6)

El punto P (0, 2, 0) pertenece al plano.

La ecuación del plano es: 1(x – 0) + 4(y – 2) – 6(z – 0) = 0

x + 4y – 6z – 8 = 0

41 Estudia la posición de la recta r : y el plano z = 1.

Son perpendiculares y se cortan en el punto (3, 2, 1).

x = 3y = 2

–43

2 2 01 –2 –11 –1 a/2

x = 2λy = 1 – 2λ

az = — – λ

2

x + y = 1 → y = 1 – xa x

x + 2z = a → z = — – —2 2

x = 2λy = 2 + λz = λ

x – 2z = 0 → x = 2zy – z = 2 → y = 2 + z

x + y = 1x + 2z = a

x – 2z = 0y – z = 2

–36

2–4

m2


S

S

42 Sean la recta r: y el plano ax – y + 4z – 2 = 0.

a) Calcula el valor de a para que r sea paralela al plano.

b) ¿Existe algún valor de a para el cual r sea perpendicular al plano?

Un vector dirección de r es: →d = (3, –1, 1) × (2, 0, –1) = (1, 5, 2)

Un vector normal al plano es →n = (a, –1, 4).

a) Para que r sea paralela al plano, →d y

→n han de ser perpendiculares:

(1, 5, 2) · (a, –1, 4) = a – 5 + 8 = a + 3 = 0 → a = –3

b) Los vectores →d y

→n deberían tener sus coordenadas proporcionales.

Como ≠ , no es posible; es decir, no existe ningún valor de a para el

cual r sea perpendicular al plano.

43 Dados la recta r : y el plano π: x + 2y + 3z – 1 = 0,

halla la ecuación de una recta s contenida en el plano π que pase por elpunto P (2, 1, –1) y sea perpendicular a r.

☛ El vector dirección de s ha de ser perpendicular al vector dirección de r y alvector normal del plano.

Un vector dirección de r es: →d = (1, 0, –2) × (0, 1, –1) = (2, 1, 1)

Un vector normal al plano es →n = (1, 2, 3).

Un vector dirección de la recta que buscamos es: (2, 1, 1) × (1, 2, 3) = (1, –5, 3)

La recta es:

44 Halla la ecuación de la recta paralela a r : que pase por

el punto de intersección de la recta s: = = con el planoπ: x – y + z = 7.

Un vector dirección de la recta es: (1, 0, 2) × (0, 1, 3) = (–2, –3, 1) // (2, 3, –1)

Escribimos la recta s en forma paramétrica para hallar el punto de corte de s y π:

s:

El punto de corte de s y π es (5, –1, 1).

π: x – y + z = 71 + 4λ + 3 – 2λ – 2 + 3λ = 75λ = 5 → λ = 1

x = 1 + 4λy = –3 + 2λz = –2 + 3λ

z + 23

y + 32

x – 14

x + 2z = 5y + 3z = 5

x = 2 + λy = 1 – 5λz = –1 + 3λ

x – 2z + 3 = 0y – z – 4 = 0

24

5–1

3x – y + z = 02x – z + 3 = 0


S

Por tanto, la recta que buscamos es:

o bien = =

Página 176

45 Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P (1, 2, 3) y es perpendi-cular al plano que pasa por el origen y por los puntos B (1, 1, 1) y C (1, 2, 1).

Un vector normal al plano es: →OB ×

→OC = (1, 1, 1) × (1, 2, 1) = (–1, 0, 1)

Este vector es un vector dirección de la recta que buscamos.

Las ecuaciones de la recta son:

46 Escribe la ecuación del plano que contiene a la recta r :

y es paralelo a s: = = .

Un vector dirección de r es: (1, 1, 0) × (2, –1, 1) = (1, –1, –3)

El plano que buscamos es paralelo a (1, –1, –3) y a (–2, 3, –4). Un vector normal alplano es: →n = (1, –1, –3) × (–2, 3, –4) = (13, 10, 1)

Obtenemos un punto de r haciendo x = 0:

P (0, 1, 1)

La ecuación del plano es: 13(x – 0) + 10(y – 1) + 1(z – 1) = 0

13x + 10y + z – 11 = 0

47 Estudia las posiciones relativas del plano: π: x + ay – z = 1 y de la recta:

r : según los valores de a.

M' = ( )M

|M|= –a2 + a + 2 = 0 → a = = = a = –1a = 2

–1 ± 3–2

–1 ± √1 + 8–2

1 a –1 12 1 –a | 21 –1 –1 a – 1

π: x + ay – z = 1

2x + y – az = 2r:

x – y – z = a – 1

2x + y – az = 2x – y – z = a – 1

y – 1 = 0 → y = 1–y + z = 0 → z = y = 1

z + 2–4

y3

1 – x–2

x + y – 1 = 02x – y + z = 0

x = 1 – λy = 2z = 3 + λ

z – 1–1

y + 13

x – 52

x = 5 + 2λy = –1 + 3λz = 1 – λ


S

S

S


M' = ( ) planos paralelos. La recta es paralela al plano.


M' = ( ) La 1-ª ecuación se obtiene restándole a la 2-ª la 3-ª.

Por tanto, la recta está contenida en el plano.

• Si a ≠ –1 y a ≠ 2 → La recta y el plano se cortan en un punto.

48 Calcula la ecuación del plano que determinan el punto A (1, 0, 1) y la recta:

r :

Un vector dirección de la r es: →d = (1, 1, –1) × (2, –1, 2) = (1, –4, –3)

Obtenemos un punto de r haciendo x = 0:

P (0, –2, –1)

El plano es paralelo a →d(1, –4, –3) y a

→PA(1, 2, 2).

Un vector normal al plano es: (1, –4, –3) × (1, 2, 2) = (–2, –5, 6) // (2, 5, –6)

La ecuación del plano es: 2(x – 1) + 5(y – 0) – 6(z – 1) = 0

2x + 5y – 6z + 4 = 0

49 Dados los vectores →u (2, 3, 5),

→v (6, –3, 2),

→w (4, –6, 3),

→p (8, 0, a), y los pla-

nos: π: (x, y, z) = (1, 2, 3) + λ→u + µ→

v y π': (x, y, z) = (1, 2, 3) + λ→w + µ→

p,estudia la posición relativa de π y π' según los valores de a.

Obtenemos las ecuaciones implícitas de los dos planos:→u × →

v = (21, 26, –24)

π: 21(x – 1) + 26(y – 2) – 24(z – 3) = 0

π: 21x + 26y – 24z – 1 = 0

→w × →

p = (–6a, 24 – 4a, 48)

π': –6a(x – 1) + (24 – 4a) (y – 2) + 48(z – 3) = 0

π': –6ax + (24 – 4a) y + 48z + (14a – 192) = 0

Sumando: z + 1 = 0 → z = –1y = 2z = –2

y – z + 1 = 0–y + 2z = 0

x + y – z + 1 = 02x – y + 2z = 0

1 2 –1 12 1 –2 | 21 –1 –1 1

1 –1 –1 12 1 1 | 21 –1 –1 –2


←

←

P

→d

A

r

S

M' = ( )M

= 1 008 – 144a = 0 → a = 7


( ) → Los planos se cortan en una recta.

• Si a ≠ 7 → ran (M) = ran (M' ). Los planos se cortan en una recta.

Los planos se cortan en una recta cualquiera que sea el valor de a (aunque no seasiempre la misma recta).

50 Estudia la posición de los siguientes planos según los valores de m:

M' = ( )M

|M|= m2 – m = 0


( ) El 1-º y el 3-º son el mismo plano; el 2-º los corta. Por tanto, secortan en una recta.


M' = ( )M

= 1 ≠ 0 y |M|= 0 → ran (M) = 2

= 1 ≠ 0 → ran (M' ) = 3

Los planos se cortan dos a dos, pero no hay ningún punto común a los tres.

• Si m ≠ 0 y m ≠ 1 → ran (M) = ran (M' ) = 3. Los planos se cortan en un punto.

1 1 10 1 01 2 2

1 10 1

1 1 0 10 1 1 | 01 2 1 2

1 1 0 10 0 1 | 01 1 0 1

m = 0m = 1

1 1 0 10 m 1 | 01 1 + m m m + 1

x + y = 1my + z = 0

x + (1 + m)y + mz = m + 1

x + y = 1my + z = 0

x + (1 + m)y + mz = m + 1

21 26 –24 1–42 –4 48 94

21 –24–6a 48

21 26 –24 1–6a 24 – 4a 48 192 – 14a


S

S51 Halla la ecuación de la recta r que pasando por el punto P (2, 0, –1) corta a

las rectas:

s1: = = s2:

Escribimos las dos rectas en forma paramétrica:

s1: s2:

La recta r está determinada por los siguientes planos:

α: contiene a la recta s1 y al punto P: = 0

β: contiene a la recta s2 y al punto P: = 0

Así, r:

52 Dados los planos: π: ax + y + z = a y π' : x – ay + az = –1 comprueba que secortan en una recta para cualquier valor de a. Obtén el vector director deesa recta en función de a.

M = ( ) = –a2 – 1 = –(a2 + 1) ≠ 0 para todo valor de a.

Por tanto, ran (M ) = 2 para cualquier valor de a; es decir, los planos se cortan enuna recta (cualquiera que sea el valor de a).

• Vector dirección de la recta: (a, 1, 1) × (1, –a, a) = (2a, 1 – a2, –a2 – 1)

53 Considera estas rectas:

r : s:

a) Calcula el valor de m para que estén en un mismo plano.

b)Escribe la ecuación de dicho plano.

a)

→dr(1, 2, 1)→ds = (4, 5, 0) × (0, 3, –4) = (–20, 16, 12) // (–5, 4, 3)

4x + 5y + 7 = 03y – 4z + 7 – m = 0

x = 3 + λy = –1 + 2λz = 2 + λ

a 11 –a

a 1 11 –a a

π: ax + y + z = aπ': x – ay + az = –1

x – 2z – 4 = 0x + 3z + 1 = 0

x – 2 y z + 1–3 3 1–3 –3 1

x – 2 y z + 12 –1 10 2 0

x = –1 – 3λy = –3 + 3λz = λ

x = 2 + 2λy = 2 – λz = –1 + λ

x + y + 4 = 0y – 3z + 3 = 0

z + 11

y – 2–1

x – 22


S

S

Como las rectas no son paralelas ni coincidentes, para que estén en un mismoplano se han de cortar en un punto. Imponemos esta condición. Para averiguarel punto de corte, sustituimos las coordenadas de un punto de r en las ecua-ciones de s y resolvemos el sistema:

Por tanto, para que las rectas estén en un mismo plano, ha de ser m = –6.

b) Si m = –6, las rectas se cortan en el punto (2, –3, 1) (lo obtenemos haciendoλ = –1 en las ecuaciones de r).

El plano que buscamos pasará por ese punto y será paralelo a →dr y a

→ds . Lue-

go, un vector normal al plano será:

(1, 2, 1) × (–5, 4, 3) = (2, –8, 14) → →n(1, –4, 7)

La ecuación del plano es: 1(x – 2) – 4(y + 3) + 7(z – 1) = 0

x – 4y + 7z – 21 = 0

54 Dadas la rectas r : y s: :

a) Averigua si existe algún valor de a para el cual las rectas están conteni-das en un plano. En caso afirmativo, calcula la ecuación de dicho plano.

b)Determina, cuando sea posible, los valores de a para los cuales las rectasson paralelas y los valores de a para los que las rectas se cruzan.

a) Obtenemos un vector dirección de cada una de las rectas:→dr : (1, –3, 0) × (a, 0, –3) = (9, 3, 3a) // (3, 1, a) =

→dr

→ds : (1, –2a, 0) × (0, 2, –1) = (2a, 1, 2) =

→ds

Las coordenadas de los dos vectores no son proporcionales para ningún valor dea; por tanto, las rectas no son paralelas ni coincidentes. Para que estén en unmismo plano, se han de cortar en un punto.

Obtenemos un punto de cada una de las rectas:

r: x = 0 → y = 2, z = 1 → P (0, 2, 1)

s: y = 0 → z = –4, x = 1 – 4a → P' (1 – 4a, 0, –4)→PP' (1 – 4a, –2, –5)

Para que las rectas se corten, los vectores →dr ,

→ds y

→PP' han de ser coplanarios:

= a – 1 = 0 → a = 1

Si a = 1, las rectas son secantes, y, por tanto, están contenidas en un plano.

3 1 a2a 1 2

1 – 4a –2 –5

x – 2ay + 4a – 1 = 02y – z – 4 = 0

x – 3y + 6 = 0ax – 3z + 3 = 0

4(3 + λ) + 5(–1 + 2λ) + 7 = 0 → 14λ + 14 = 0 → λ = –13(–1 + 2λ) – 4(2 + λ) + 7 – m = 0 → 2λ – 4 – m = 0 → –6 –m = 0 → m = –6


S

El plano será paralelo a (3, 1, 1) y a (2, 1, 2). Un vector normal al plano será:

→n = (3, 1, 1) × (2, 1, 2) = (1, –4, 1).

Un punto del plano es, por ejemplo, P (0, 2, 1). Así, la ecuación del plano es:

1(x – 0) – 4(y – 2) + 1(z – 1) = 0

x – 4y + z + 7 = 0

b) Por lo obtenido en el apartado anterior, sabemos que:

• No hay ningún valor de a para el que las rectas sean paralelas.

• Si a ≠ 1, las rectas se cruzan.


55 Demuestra que la ecuación del plano que corta a los ejes de coordenadas en lospuntos A (a, 0, 0), B (0, b, 0) y C (0, 0, c) puede escribirse así:

+ + = 1

• Si sustituimos las coordenadas de los puntos A, B y C en la ecuación dada, ve-mos que la cumplen.

• Por otra parte, para ver los puntos de corte con los ejes de coordenadas del pla-no dado, hacemos lo siguiente:

— corte con el eje X → y = z = 0 → x = a → A(a, 0, 0)

— corte con el eje Y → x = z = 0 → y = b → B (0, b, 0)

— corte con el eje Z → x = y = 0 → z = c → C (0, 0, c)

56 Un plano queda determinado por un punto A y dos vectores →u y

→v. ¿Qué

condición tienen que cumplir →u y

→v para determinar un plano?

Tener distinta dirección.

57 Explica cómo se obtienen las ecuaciones paramétricas de un plano del que seconoce la ecuación implícita. Aplícalo al plano x + 2y – z – 1 = 0.

Hacemos, por ejemplo, y = λ, z = µ y despejamos x.

En el caso del plano x + 2y – z – 1 = 0, quedaría: x = 1 – 2y + z; es decir:

son sus ecuaciones paramétricas.x = 1 – 2λ + µy = λz = µ

zc

yb

xa


58 ¿Cuáles son las ecuaciones implícitas de la recta = = ?

59 ¿Qué posición relativa deben tener dos rectas para que determinen un plano?

Paralelas o secantes.

60 Sean π1 y π2 dos planos paralelos y r1 y r2 dos rectas contenidas en π1 yπ2, respectivamente. ¿Podemos asegurar que r1 y r2 son paralelas?

No. Pueden ser paralelas o cruzarse.

61 Las rectas r y s se cruzan. Si hallamos el plano que contiene a r y es pa-ralelo a s, y el plano que contiene a s y es paralelo a r, ¿cómo son entresí esos planos?

Paralelos.

62 Sean A (x1, y1, z1) y B (x2, y2, z2) dos puntos del plano ax + by + cz + d = 0.

Prueba que el vector →

AB es perpendicular al vector →n (a, b, c).

☛ Sustituye las coordenadas de A y de B en la ecuación del plano y resta las igual-dades que obtienes.

Restando, obtenemos:

a(x2 – x1) + b(y2 – y1) + c(z2 – z1) = 0; es decir:

(a, b, c) ·→AB = 0 → →

n ·→AB = 0

Por tanto, →AB es perpendicular a

→n.

63 Dados una recta r : y un plano a"x + b"y + c"z + d" = 0,

¿qué significa geométricamente que el sistema que se obtiene juntando lasecuaciones de la recta y el plano sea incompatible? ¿Y si es compatible inde-terminado?

Si el sistema es incompatible, significa que la recta y el plano son paralelos. Si escompatible indeterminado, significa que la recta está contenida en el plano.

a x + b y + c z + d = 0a'x + b'y + c'z + d' = 0

A ∈ π → ax1 + by1 + cz1 + d = 0B ∈ π → ax2 + by2 + cz2 + d = 0

x – 4 = 0y + 3 = 0

z – 12

y + 30

x – 40


64 Indica qué condición deben cumplir a, b, c y d para que el planoax + by + cz + d = 0 sea:

a) Paralelo al plano OXY.

b)Perpendicular al plano OXY.

c) Paralelo al eje Z.

d)No sea paralelo a ninguno de los ejes.

a) a = b = 0, c ≠ 0, d ≠ 0

b) c = 0

c) c = 0, d ≠ 0

d) a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0

PARA PROFUNDIZAR

65 Dados el plano π: ax + y + z + 1 = 0 y las rectas:

r1: r2: r3:

Calcula el valor de a para que los puntos de corte del plano con cada unade las rectas estén alineados.

☛ Halla, en función de a, los puntos de corte P, Q y R. Expresa después la de-pendencia lineal entre los vectores

→PQ y

→QR.

Hallamos los puntos de corte del plano con cada una de las tres rectas:

π con r1: a + 2z + 1 = 0 → z =

P (1, , )π con r2: 2a + 3z + 1 = 0 → z =

Q (2, , )π con r3: 3a + 4z + 1 = 0 → z =

R (3, , )Los vectores

→PQ y

→QR han de tener sus coordenadas proporcionales:

→PQ (1, , ); →QR (1, , )1 – a

12–1 – 11a

121 – a

6–1 – 5a

6

–1 – 3a4

–3 – 9a4

–1 – 3a4

–1 – 2a3

–2 – 4a3

–1 – 2a3

–1 – a2

–1 – a2

–1 – a2

x = 3y = 3z

x = 2y = 2z

x = 1y = z


= → –2 – 10a = –1 – 11a → a = 1

= → a = 1

Por tanto, a = 1.

66 Halla la ecuación de la recta que pasa por A (1, 1, 1), es paralela al plano

π: x – y + z – 3 = 0 y corta la recta s:

• Como corta a s, pasará por el punto P (1, 3, K) para cierto valor de K.

• Como pasa por A(1, 1, 1) y por P(1, 3, K), un vector dirección es: →AP(0, 2, K – 1).

• Como ha de ser paralelo al plano π, será perpendicular al vector normal de π,→n (1, –1, 1). Por tanto:

→AP · →n = –2 + K – 1 = 0 → K = 3, es decir:

→AP (0, 2, 2) // (0, 1, 1)

• Las ecuaciones de la recta son:


67 Puntos interiores en un segmento

Dividimos el segmento PQ en cinco partes iguales y situamos el punto V ados unidades de P y tres de Q. ¿Cuáles son las coordenadas de V ? Para ha-llarlas procedemos así.

Llamamos →p =

→OP,

→q =

→OQ

→OV =

→p +

→PQ =

→p + (

→q –

→p ) =

→p +

→q

a) Si P (4, –1, 8) y Q (–1, 9, 8), halla las coordenadas de V.

b)Obtén las coordenadas de un punto W situado en el segmento PQ del si-guiente modo: se divide el segmento en 7 partes iguales y situamos W a 2de P. Aplícalo a P (2, 11, –15), Q (9, –3, 6).

25

35

25

25

x = 1y = 1 + λz = 1 + λ

x = 1y = 3

1 – a12

1 – a6

–1 – 11a12

–1 – 5a6


PV

Q

O

p→ q

→

c) Demuestra que si dividimos el segmento PQ en m + n partes y situamosX a m unidades de P, las coordenadas de X son:

→p +

→q

d)Demuestra que si 0 ≤ α < 1, entonces (1 – α)→p + α→

q es un punto de —

PQ.

a) V = (4, –1, 8) + (–1, 9, 8) = (2, 3, 8)

b) Razonando como en el caso anterior, llegamos a:

→OW =

→p +

→PQ =

→p + (

→q –

→p) =

→p +

→q

Si consideramos el caso P (2, 11, –15) y Q (9, –3, 6), entonces:

W = (2, 11, –15) + (9, –3, 6) = (4, 7, –9)

c) Razonando como en los casos anteriores, tenemos que:

→OX =

→p +

→PQ =

→p + (

→q –

→p) =

= (1 – ) →p +

→q =

→p +

→q

d) Llamamos d = |→PQ|. Sea X un punto del segmento PQ que esté a una dis-

tancia αd de P y (1 – α)d de Q. (Como 0 ≤ α < 1, entonces 0 ≤ αd < d;luego X pertenece al segmento PQ).

Razonando como en los apartados anteriores, tenemos que las coordenadas deX son:

→p +

→q, es decir, (1 – α)

→p + α→

q

Por tanto, este punto (que es X) es un punto del segmento PQ.

αdd

(1 – α)dd

mm + n

nm + n

mm + n

mm + n

mm + n

mm + n

27

57

27

57

27

27

25

35

mm + n

nm + n


Diagonal de un ortoedro

I) = = 3

II) = = 13

III) = � 9,49

Distancia entre dos puntos

→PQ = = = � 4,58

Página 179

Distancia de un punto a una recta

■ Siguiendo el proceso anterior, halla la distancia del punto P (8, 6, 12) a la recta r :

r:

Describe el proceso que seguirías para hallar la distancia de un punto P a unplano π, de modo que, finalmente, se reduzca al cálculo de la distancia entredos puntos.

• Ecuación del plano π que contiene a P y es perpendicular a r :

0 · (x – 8) – 1 · (y – 6) + 2 · (z – 12) = 0; es decir, π: –y + 2z – 18 = 0

• Punto, Q, de corte de r y π:

–(1 – λ) + 2(7 + 2λ) – 18 = 0

–1 + λ + 14 + 4λ – 18 = 0

5λ – 5 = 0 → λ = 1

El punto es Q (2, 0, 9).

• Calculamos la distancia:

dist (P, r) = dist (P, Q) = |→PQ|= |(–6, –6, –3)| = = = 9√81√36 + 36 + 9

x = 2y = 1 – λz = 7 + 2λ

√21√42 + 22 + 12√(5 – 1)2 + (5 – 3)2 + (7 – 6)2

√90√72 + 42 + 52

√169√42 + 122 + 32

√9√22 + 12 + 22

Unidad 7. Problemas métricos 1

PROBLEMAS MÉTRICOS7

Distancia de un punto a un plano

■ Halla, paso a paso, la distancia del punto P (4, 35, 70) al plano π: 5y + 12z – 1 = 0

— Hallamos la ecuación de la recta, r, que pasa porP y es perpendicular a π.

— Obtenemos el punto, Q, de intersección de r y π.

— La distancia de P a π es igual a la distancia entreP y Q.

Para el punto y el plano dados:

• Recta, r, que pasa por P y es perpendicular a π:

r :

• Punto, Q, de intersección de r y π:

5(35 + 5λ) + 12(70 + 12λ) – 1 = 0

175 + 25λ + 840 + 144λ – 1 = 0

169λ + 1 014 = 0 → λ = –6

El punto es Q (4, 5, –2).

• Calculamos la distancia:

dist (P, π) = dist (P, Q) = |→PQ|= |(0, –30, –72)| = = = 78

Página 180

1. Halla las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por (1, 0, 7) y es per-pendicular al plano 5x – 3z + 4 = 0.

El vector normal al plano, n→(5, 0, – 3), es un vector dirección de la recta r que bus-camos. Por tanto las ecuaciones paramétricas son:

r :

2. Halla la ecuación implícita del plano que pasa por (1, –3, 5) y es perpendiculara la recta:

= = z1

y + 7– 6

x – 2

5

x = 1 + 5λy = 0z = 7 – 3λ

√6084√900 + 5 184

x = 4y = 35 + 5λz = 70 + 12λ


Q

P

r

π

Si el plano que buscamos, π, es perpendicular a la recta dada, un vector normal alplano es el vector dirección de la recta: (5, – 6, 1). Por tanto, la ecuación de π es:

5 (x – 1) – 6 (y + 3) + 1 (z – 5) = 0 → 5x – 6y + z – 28 = 0

3. Halla la ecuación del plano paralelo a 5x – y + 4 = 0 que pasa por (1, 0, –3).

Si son paralelos, el vector normal es el mismo, (5, –1, 0). Por tanto, la ecuación delplano que buscamos es: 5 (x – 1) – y + 0 (z + 3) = 0 → 5x – y – 5 = 0

4. Halla la ecuación del plano perpendicular a la recta r y que pasa por (5, –7, –2).

r :

Si el plano que buscamos, π, es perpendicular a r, un vector normal al plano es elvector dirección de la recta: (5, 2, –6)

Por tanto, la ecuación de π es:

5 (x – 5) + 2 (y + 7) – 6 (z + 2) = 0 → 5x + 2y – 6z – 23 = 0

Página 181

5. Halla la ecuación del plano π que contiene a r y es paralelo a s:

r : s:

El plano pasa por (5, –1, 8) y es paralelo a (1, 0, 2) y a (3, –1, 4). Un vector normalalplano es:

(1, 0, 2) × (3, –1, 4) = (2, 2, –1)

La ecuación del plano es: 2(x – 5) + 2(y + 1) – 1(z – 8) = 0; es decir: 2x + 2y – z = 0

6. Halla las ecuaciones paramétricas de la recta paralela a r que pasa porP(0, –1, –3):

r :

Un vector dirección de la recta es: (3, –5, 7) × (1, –2, 1) = (9, 4, –1)

Las ecuaciones paramétricas son: x = 9λy = –1 + 4λz = –3 – λ

3x – 5y + 7z – 4 = 0x – 2y + z + 1 = 0

x = 4 + 3λy = 3 – λz = 5 + 4λ

x = 5 + λy = –1 z = 8 + 2λ

x = 3 + 5λy = –1 + 2λz = 4 – 6λ


1. Calcula el ángulo que forma la recta: = = con el plano

x + 3y – z + 1 = 0.

Llamamos 90° – α al ángulo formado por las direcciones de →d y →n sin tener en

cuenta sus sentidos.

→d(7, –1, 3) // r →n(1, 3, –1) ⊥ π

cos (90° – α) = = = ≈ 0,039

90° – α = 87° 45' 1'' → α = 2° 14' 59''

2. Determina la ecuación de la recta r que pasa por el punto A y es perpendicu-lar al plano π:

A (3, 0, –1) π: 2x – 3y – z + 1 = 0

Un vector dirección de la recta es el vector normal al plano: (2, –3, –1).

Las ecuaciones paramétricas de r son:

Página 185

1. Halla razonadamente la distancia de P(5, 6, 6) a la recta r : (5λ, 2 – λ, λ).

Hazlo por cada uno de los tres métodos aprendidos.

■ Solución, obteniendo previamente el punto P' :

• Plano, π, que pasa por P y es perpendicular a r:

5(x – 5) – 1(y – 6) + 1(z – 6) = 0

es decir: π: 5x – y + z – 25 = 0

• Intersección, P', de π y r:

5(5λ) – (2 – λ) + λ – 25 = 0

25λ – 2 + λ + λ – 25 = 0

27λ – 27 = 0 → λ = 1

El punto es P' (5, 1, 1).

x = 3 + 2λy = –3λz = –1 – λ

1

√649

|7 – 3 – 3|

√—59 · √

—11

|→d · →n|

→d · →n

z – 23

y–1

x – 37


PP'

r

π

• Distancia entre P y r:

dist (P, r) = dist (P, P' ) = |→PP'|= |(0, –5, –5)|= = 5 ≈ 7,07

■ Segundo método:

R (5λ, 2 – λ, λ) es un punto genérico de la recta r.

El vector →RP (5 – 5λ, 4 + λ, 6 – λ) es variable.

El vector que nos interesa es perpendicular a la recta.Por tanto, cumple:

(5, –1, 1) ·→RP = 0; es decir:

5(5 – 5λ) – 1(4 + λ) + 1(6 – λ) = 0

25 – 25λ – 4 – λ + 6 – λ = 0

–27λ + 27 = 0 → λ = 1

El resto, es igual que con el método anterior.

■ Solución directa a partir del producto vectorial:

dist (P, r) = =

→RP ×

→d = (5, 4, 6) × (5, –1, 1) = (10, 25, –25)

|→RP ×

→d|= =

|→d|= =

dist (P, r) = = = 5 ≈ 7,07

Página 186

2. Halla la distancia del punto P (8, 5, –6) al plano π: x + 2y – 2z + 3 = 0.

dist (P, π) = = = 11 u

3. Halla la distancia de los puntos Q (3, 0, 3) y R (0, 0, 0) al plano del ejercicioanterior.

dist (Q, π) = = 0 (Q ∈ π ) dist (R, π) = = 133

|3 – 6 + 3|3

333

|8 + 10 + 12 + 3|

√1 + 4 + 4

√2√50√1350

√27

√27√25 + 1 + 1

√1350√100 + 625 + 625

|→RP ×

→d|

→d

ÁreaBase

√2√50


R

P

P'

r

rP(5, 6, 6)

R(0, 2, 0)

→d(5, –1, 1)

4. Calcula la distancia entre las dos rectas dadas mediante cada uno de los tres mé-todos aprendidos:

r : s:

■ Primer método:

Hallamos el plano, π, que contiene a r y es paralelo a s:

(12, 0, 5) × (0, 1, 0) = (–5, 0, 12) ⊥ π

El punto (13, 2, 8) es de r, y, por tanto, de π.

Ecuación de π: –5(x – 13) + 0(y – 2) + 12(z – 8) = 0, es decir:

–5x + 12z – 31 = 0

dist (r, s) = dist (s, π) = dist [(6, 6, –9), π] = = = 13


Punto genérico de r: R (13 + 12λ, 2, 8 + 5λ)

Punto genérico de s: S (6, 6 + µ, –9)

Un vector genérico que tenga su origen en r y su extremo en s es:→RS = (–7 – 12λ, 4 + µ, –17 – 5λ)

De todos los posibles vectores →RS, buscamos aquel que sea perpendicular a las dos

rectas:→RS · (12, 0, 5) = 0 → –169λ – 169 = 0 → λ = –1→RS · (0, 1, 0) = 0 → 4 + µ = 0 → µ = –4

Sustituyendo en r y en s, obtenemos los puntos R y S: R (1, 2, 3), S (6, 2, –9).

dist (r, s) = dist (R, S) = |(5, 0, –12)|= = = 13

■ Tercer método:

dist (r, s) = =

R (13, 2, 8) →d(12, 0, 5)

S (6, 6, –9) →d'(0, 1, 0)

→RS (–7, 4, –17)

|[→RS,

→d,

→d']|

→d ×

→d'

Volumen del paralelepípedoÁrea de la base

√169√25 + 144

16913

|–30 – 108 – 31|

√25 + 144

(12, 0, 5) // r(0, 1, 0) // s

x = 6y = 6 + µz = –9

x = 13 + 12λy = 2z = 8 + 5λ


[→RS ,

→d,

→d'] = = –169 → Volumen = 169

|→d ×

→d'|= |(–5, 0, 12)|= = = 13

Por tanto: dist (r, s) = = 13

5. Calcula la distancia entre las dos rectas dadas mediante tres métodos distintos:

r : s:

■ Primer método:

Hallamos el plano, π, que contiene a r y es paralelo a s:

(5, –1, 1) × (7, –5, –5) = (10, 32, –18) // (5, 16, –9) ⊥ π

El punto (0, 2, 0) es de r, y, por tanto, de π.

Ecuación de π: 5(x – 0) + 16(y – 2) – 9(z – 0) = 0, es decir:

5x + 16y – 9z – 32 = 0

dist (r, s) = dist (s, π) = dist [(5, 1, 1), π] = = 0

(Las rectas r y s se cortan).


Punto genérico de r: R (5λ, 2 – λ, λ)

Punto genérico de s: S (5 + 7µ, 1 – 5µ, 1 – 5µ)

Un vector genérico que tenga su origen en r y su extremo en s es:

→RS = (5 + 7µ – 5λ, –1 – 5µ + λ, 1 – 5µ – λ)

De todos los posibles vectores →RS, buscamos aquel que sea perpendicular a las dos

rectas:

→RS · (5, –1, 1) = 0 → 27 + 35µ – 27λ = 0 → µ = 0→RS · (7, –5, –5) = 0 → 35 + 99µ – 35λ = 0 → λ = 1

Sustituyendo en r y en s, obtenemos los puntos R y S: R (5, 1, 1), S (5, 1, 1).

dist (r, s) = dist (R, S) = 0

|25 + 16 – 9 – 32|

√25 + 256 + 81

(5, –1, 1) // r(7, –5, –5) // s

x = 5 + 7µy = 1 – 5µz = 1 – 5µ

x = 5λy = 2 – λz = λ

16913

√169√25 + 144

–7 4 –1712 0 50 1 0


■ Tercer método:

dist (r, s) = =

R (0, 2, 0) →d(5, –1, 1)

S (5, 1, 1) →d'(7, –5, –5)

→RS (5, –1, 1)

[→RS ,

→d,

→d'] = = 0 (las dos primeras filas son iguales).

Por tanto: dist (r, s) = 0

Página 189

6. Calcula la distancia entre la recta y el plano:

r : (1 – 3λ, 2 + λ, 1 – λ) π: x + 3y = 0

→d · →n = –3 + 3 = 0 ⇒

→d ⊥ →n ⇒ r // π

Puesto que la recta es paralela al plano (o, acaso, contenida en él), la distancia de ra π se obtiene calculando la distancia de cualquier punto de r a π:

dist (r, π) = dist [(1, 2, 1), π] = = ≈ 2,21

7. Calcula la distancia entre los planos: π: y – 5z + 4 = 0 y π': 2y – 10z = 0

Los planos son paralelos, pues sus coeficientes son proporcionales. Por tanto, la dis-tancia entre ellos es la distancia de un punto cualquiera de uno de ellos al otro:

P(0, 5, 1) es un punto de π'. Por tanto:

dist (π, π') = dist (P, π) = = ≈ 0,78

Página 191

1. Calcula el área del triángulo que tiene sus vértices en estos puntos: A (1, 3, 5),B (2, 5, 8) y C (5, 1, –11)

→AB ×

→AC = (–26, 28, –10)

|→AB ×

→AC|= =

Área del triángulo = ≈ 19,75 u2√15602

√1560√262 + 282 + 102

→AB(1, 2, 3)→AC (4, –2, –16)

4

√26

|5 – 5 + 4|

√1 + 25

7

√10

|1 + 6|

√1 + 9

→d (–3, 1, –1) // r→n(1, 3, 0) ⊥ π

5 –1 15 –1 17 –5 –5

|[→RS,

→d,

→d']|

→d ×

→d'



2. Calcula el volumen de un tetraedro cuyos vértices son A (2, 1, 4), B (1, 0, 2),C (4, 3, 2) y D (1, 5, 6).

→AB (–1, –1, –2)→AC (2, 2, –2)→AD (–1, 4, 2)

[ →AB,

→AC,

→AD ] = = –30

Volumen = = 5 u3

Página 192

1. Halla el L. G. de los puntos que equidistan de:

a) A (4, –1, 7) y B (–2, 5, 1)

b) π: x + y + z – 2 = 0 y π': x – y + z – 2 = 0

c) π: x – 3y + 2z – 8 = 0 y π': x – 3y + 2z = 0

a) dist (X, A) = dist (X, B)

=

x2 – 8x + 16 + y2 + 2y + 1 + z2 – 14z + 49 = x2 + 4x + 4 + y2 – 10y + 25 + z2 – 2z + 1

–12x + 12y – 12z + 36 = 0 → x – y + z – 3 = 0

Es el plano mediador del segmento AB.

b) dist (X, π) = dist (X, π')

= Dos posibilidades:

• x + y + z – 2 = x – y + z – 2 → 2y = 0 → y = 0

• x + y + z – 2 = –x + y – z + 2 → 2x + 2z – 4 = 0 → x + z – 2 = 0

Son los planos bisectores de los ángulos diedros formados por π y π'. Los dos pla-nos obtenidos se cortan en la recta r determinada por los puntos (1, 0, 1) y (0, 0, 2),al igual que π y π'. Además, son perpendiculares, pues (0, 1, 0) · (1, 0, 1) = 0.

c) dist (X, π) = dist (X, π')

= Dos posibilidades:

• x – 3y + 2z – 8 = x – 3y + 2z → –8 = 0 → Imposible.

• x – 3y + 2z – 8 = –x + 3y – 2z → 2x – 6y + 4z – 8 = 0 → x – 3y + 2z – 4 = 0

Los planos π y π' son paralelos. El plano obtenido es también paralelo a ellos.

|x – 3y + 2z|

√1 + 9 + 4

|x – 3y + 2z – 8|

√1 + 9 + 4

|x – y + z – 2|

√3

|x + y + z – 2|

√3

√(x + 2)2 + (y – 5)2 + (z – 1)2√(x – 4)2 + (y + 1)2 + (z – 7)2

306

–1 –1 –22 2 –2–1 4 2


2. Averigua si x2 + y2 + z2 + 2x – 10y + 25 = 0 corresponde a la ecuación de unaesfera, y halla su centro y su radio.

r = ( )2 + ( )2 + ( )2 – D = = 1

Es una esfera de radio 1. Su centro es (–1, 5, 0).

3. Halla el radio de la circunferencia en la que el plano 4x – 3z – 33 = 0 corta a laesfera (x – 2)2 + (y + 5)2 + z2 = 169.

La esfera tiene el centro en Q (2, –5, 0) y su radio es R = 13.

La distancia de Q al plano es: d = = = 5

Por tanto: r = = = = 12

El radio de la circunferencia es 12.

4. Halla el lugar geométrico de los puntos del espacio cuya suma de cuadrados dedistancias a O (0, 0, 0) y Q (10, 0, 0) es 68. Comprueba que se trata de una es-fera de centro (5, 0, 0) y radio 3.

(x2 + y2 + z2) + [(x – 10)2 + y2 + z2] = 68

x2 + y2 + z2 + x2 – 20x + 100 + y2 + z2 = 68

2x2 + 2y2 + 2z2 – 20x + 32 = 0

x2 + y2 + z2 – 10x + 16 = 0

x2 – 10x + 25 + y2 + z2 – 9 = 0

(x – 5)2 + y2 + z2 = 9

Es una esfera de centro (5, 0, 0) y radio 3.

Página 194

5. Halla el L. G. de los puntos cuya suma de distancias a F (0, 0, 5) y F' (0, 0, –5)es 26.

dist (X, F) + dist (X, F' ) = 26

+ = 26

= 26 –

x2 + y2 + (z – 5)2 = 676 + x2 + y2 + (z + 5)2 – 52

52 = 676 + x2 + y2 + z2 + 25 + 10z – x2 – y2 – z2 – 25 + 10z

52 = 20z + 676√x2 + y2 + (z + 5)2

√x2 + y2 + (z + 5)2

√x2 + y2 + (z + 5)2

√x2 + y2 + (z + 5)2√x2 + y2 + (z – 5)2

√x2 + y2 + (z + 5)2√x2 + y2 + (z – 5)2

√144√169 – 25√R2 – d2

255

|8 – 0 – 33|

√16 + 9

√1 + 25 + 0 – 25C2

B2

A2


√

13 = 5z + 169

169 [x2 + y2 + (z + 5)2] = 25z2 + 1 690z + 28 561

169 [x2 + y2 + z2 + 10z + 25] = 25z2 + 1 690z + 28 561

169x2 + 169y2 + 169z2 + 1 690z + 4 225 = 25z2 + 1 690z + 28 561

169x2 + 169y2 + 144z2 = 24 336

+ + = 1

Es un elipsoide.

6. Halla el L. G. de los puntos cuya diferencia de distancias a F (5, 0, 0) y F' (–5, 0, 0) es 6.

|dist (X, F) – dist (X, F' )|= 6

– = ±6

= ±6 +

x2 – 10x + 25 + y2 + z2 = 36 + (x + 5)2 + y2 + z2 ± 12

x2 – 10x + 25 + y2 + z2 = 36 + x2 + 10x + 25 + y2 + z2 ± 12

±12 = 20x + 36

±3 = 5x + 9

9[x2 + 10x + 25 + y2 + z2] = 25x2 + 90x + 81

9x2 + 90x + 225 + 9y2 + 9z2 = 25x2 + 90x + 81

–16x2 + 9y2 + 9z2 = –144

– – = 1

Es un hiperboloide.

7. Halla el L. G. de los puntos que equidistan del plano x + = 0 y del punto

( , 0, 0). ¿A qué se parece la ecuación obtenida?

dist (X, F) = dist (X, π), donde π: x + = 0 y F ( , 0, 0).(x – )2 + y2 + z2 = x +

x2 – x + + y2 + z2 = x2 + x +

x = y2 + z2

Es un paraboloide. Su ecuación es muy similar a la de una parábola.

116

12

116

12

14

14

14

14

14

14

z2

16y2

16x2

9

√(x + 5)2 + y2 + z2

√(x + 5)2 + y2 + z2

√(x + 5)2 + y2 + z2

√(x + 5)2 + y2 + z2

√(x + 5)2 + y2 + z2√(x – 5)2 + y2 + z2

√(x + 5)2 + y2 + z2√(x – 5)2 + y2 + z2

z2

169y2

144x2

144

√x2 + y2 + (z + 5)2


√

S

Página 201


PARA PRACTICAR

1 Estudia la posición de las rectas r y s y halla el ángulo que forman:

r: s:

→dr = (1, –1, 0) × (0, 1, 1) = (–1, –1, 1); P (3, 0, 15)

→ds = (3, 2, 5); P' (0, 1, –14)

→PP' (–3, 1, –29)

|M'|= = 0; = 1 ≠ 0. Las rectas se cortan en un punto.

El ángulo que forman es: cos α = = = 0 → α = 90°

2 Hallar, en cada caso, el ángulo que forma la recta y el plano:

a) r : = = π: x – 2y – z + 1 = 0

b)r : x = λ, y = 1 + 2λ, z = –2 π: 2x – y + z = 0

c) r : = = π: x + z = 17

a)→d(–2, 4, 2); →n(1, –2, –1)

cos (90° – α) = = = = 1 → 90° – α = 0 → α = 90°

Observación: Los vectores →d y →n tienen la misma dirección; luego la recta y el

plano son perpendiculares, es decir, α = 90°.

b)→d(1, 2, 0); →n(2, –1, 1)

cos (90° – α) = = = 0 → 90° – α = 90° → α = 0°|2 – 2 + 0|

√—5 · √

—6

|→d · →n|

→d →n

1212

|–2 – 8 – 2|

√—24 · √

—6

|→d · →n|

→d →n

z1

y – 31

x – 12

z2

y + 34

x + 1–2

0

→dr

→ds

→dr ·

→ds

→dr

→ds

–1 3–1 2

–1 3 –3–1 2 11 5 –29

x = 3λy = 1 + 2λz = –14 + 5λ

x – y = 3y + z = 15


S

S

c)→d(2, 1, 1); →n(1, 0, 1)

cos (90° – α) = = = = = →

→ 90° – α = 30° → α = 60°

3 Calcula el ángulo que forman los planos α: z = 3 y β: x – y + 2z + 4 = 0.

→nα(0, 0, 1); →nβ(1, –1, 2)

cos α = = = 0,816 → α = 35° 15' 52''

4 Halla el área de cada uno de los triángulos:

a) A (2, 7, 3), B (1, –5, 4), C (7, 0, 11)

b) A (3, –7, 4), B (–1, 2, 5), C (–5, 11, 6)

Justifica la solución del segundo.

a)→AB (–1, –12, 1);

→AC (5, –7, 8)

Área = = = ≈ 56,08 u2

b)→AB (–4, 9, 1);

→AC (–8, 18, 2)

Las coordenadas son proporcionales, luego los puntos están alineados:

|→AB ×

→AC |= 0

5 Calcula la distancia del punto dado a la recta, en los siguientes casos:

a) P (0, 7, 0); r :

b)P (1, 0, 0); r : x – 1 = = z

c) A (1, 2, 3); r : x = 0y = 0

y + 12

x = –5 + 4λy = 5 + λz = –10 + 3λ

√125792

|(–89, 13, 67)|

2

|→AB ×

→AC|

2

2

1√6

→nα · →nβ

→nα →nβ

√32

3

2√3

3

√12

|2 + 1|

√—6 · √

—2

|→d · →n|

→d →n


S

S

a) R (–5, 5, –10) ∈ r; →d(4, 1, 3) // r

→RP (5, 2, 10)→RP ×

→d = (5, 2, 10) × (4, 1, 3) = (–4, 25, –3)

dist (P, r) = = = = = 5

b) R (1, –1, 0) ∈ r; →d(1, 2, 1) // r

→RP (0, 1, 0)→RP ×

→d = (0, 1, 0) × (1, 2, 1) = (1, 0, –1)

dist (P, r) = = = = ≈ 0,577

c) R (0, 0, 1) ∈ r; →d(0, 0, 1) // r

→RA (1, 2, 2)→RA ×

→d = (1, 2, 2) × (0, 0, 1) = (2, –1, 0)

dist (A, r) = = = = ≈ 2,24

6 Calcula la distancia entre las rectas, estudiando antes su posición relativa:

r : s:

→dr(12, 0, 5); P (13, 2, 8)→ds(0, 1, 0); P' (6, 6, –9)→PP' (–7, 4, –17)

= –169 ≠ 0 → Las rectas se cruzan.

dist (r, s) = = = =

= = = 13

7 Calcula, en cada caso, el volumen del tetraedro con vértices:

a) (2, 1, 4); (1, 0, 2); (4, 3, 2); (1, 5, 6)

b) (4, 1, 2); (2, 0, 1); (2, 3, 4); (6, 5, 1)

16913

169

√169

169|(–5, 0, 12)|

|[→PP',

→dr ,

→ds]|

→dr ×

→ds


12 0 –70 1 45 0 –17

x = 6y = 6 + µz = –9

x = 13 + 12λy = 2z = 8 + 5λ

√5√51

|→RA ×

→d|

→d

ÁreaBase

1

√3

√2

√6

|→RP ×

→d|

→d

ÁreaBase

√25√650

√26

|→RP ×

→d|

→d

ÁreaBase


a) A(2, 1, 4) B(1, 0, 2) C (4, 3, 2) D (1, 5, 6)→AB (–1, –1, –2)

→AC (2, 2, –2)

→AD (–1, 4, 2)

= –30 → Volumen = · 30 = 5 u3

b) A(4, 1, 2) B(2, 0, 1) C (2, 3, 4) D (6, 5, 1)→AB (–2, –1, –1)

→AC (–2, 2, 2)

→AD (2, 4, –1)

= 30 → Volumen = · 30 = 5 u3

8 Calcula el área total y el volumen del tetraedro de vértices:

A (2, 3, 1), B (4, 1, –2), C (6, 3, 7), D (–5, –4, 8)

• Área del triángulo ABC :→AB ×

→AC = (2, –2, –3) × (4, 0, 6) = (–12, –24, 8)

Área = = = = 14 u2

• Área del triángulo ABD:→AB ×

→AD = (2, –2, –3) × (–7, –7, 7) = (–35, 7, –28)

Área = = ≈ 22,68 u2

• Área del triángulo ACD:→AC ×

→AD = (4, 0, 6) × (–7, –7, 7) = (42, –70, –28)

Área = = ≈ 43,15 u2

• Área del triángulo BCD:→BC ×

→BD = (2, 2, 9) × (–9, –5, 10) = (65, –101, 8)

Área = = ≈ 60,19 u2

• Área total = 14 + 22,68 + 43,15 + 60,19 = 140,02 u2

• Volumen: →AB (2, –2, –3)

→AC (4, 0, 6)

→AD (–7, –7, 7)

= 308 → Volumen = ≈ 51,33 u33066

2 –2 –34 0 6–7 –7 7

√144902

|→BC ×

→BD|

2

√74482

|→AC ×

→AD|

2

√20582

|→AB ×

→AD|

2

282

√7842

|→AB ×

→AC|

2

16

–2 –1 –1–1 2 22 4 –1

16

–1 –1 –22 2 –2–1 4 2


S

9 Calcula la mínima distancia entre los siguientes pares de rectas:

a) b)

a)→d(–2, 2, –3); P (–4, –5, –1)→d'(–3, –1, –5); P' (5, 4, 5)→PP' (9, 9, 6)


dist = = = =

= = 5,1

b)→d(1, –2, –7); P (1, 1, 5)

→d': (2, –3, 0) × (3, –1, 0) = (0, 0, 7) // (0, 0, 1) =

→d' ; P' (– , , 0)

→PP' (– , – , –5)

= ≠ 0 → Las rectas se cruzan.

dist = = = =

= ≈ 1,21

10 Calcula la distancia entre las rectas:

r : s:

dividiendo el volumen de un paralelepípedo entre el área de su base.

→dr(12, 0, 1); P (13, 2, 8)→ds(0, 1, 0); P' (6, 6, –9)→PP' (–7, 4, –17)

x = 6y = 6 + µz = –9

x = 13 + 12λy = 2z = 8 + λ

19/7

√5

19/7|(–2, –1, 0)|

|[→PP',

→d,

→d']|

→d ×

→d'


197

1 0 –8/7–2 0 –3/7–7 1 –5

37

87

47

17

78

√234

78|(–13, –1, 8)|

|[→PP',

→d,

→d']|

→d ×

→d'


–2 –3 92 –1 9–3 –5 6

2x – 3y + 2 = 03x – y + 1 = 0

x = 1 + λy = 1 – 2λz = 5 – 7λ

x = 5 – 3µy = 4 – µz = 5 – 5µ

x = –4 – 2λy = –5 + 2λz = –1 – 3λ



dist (r, s) = = = =

= ≈ 16,36

11 Calcula el volumen del tetraedro determinado por los ejes coordenados y elplano: 6x – 5y + 3z – 1 = 0

☛ Recuerda que V = 1/3 · área base × altura.

En este caso es muy sencillo obtener ambas por ser un tetraedro con tres aristasperpendiculares entre sí.

Hazlo también utilizando el producto mixto y comprueba que obtienes el mismo re-sultado.

• Hallamos los vértices:

x = y = 0 → z = → A (0, 0, )y = z = 0 → x = → B ( , 0, 0)x = z = 0 → y = – → C (0, – , 0)O (0, 0, 0)

• Calculamos el volumen:

V = · ( · · ) = u3

• Lo calculamos utilizando el producto mixto:

V = |[→OA,

→OB,

→OC ]|= | |= u3

12 Halla la ecuación del plano perpendicular a la recta = =

y que pasa por el punto (–1, 1, 0), y calcula el volumen de la figura limitadapor el plano anterior y los tres planos coordenados.

Un vector normal al plano es →n(2, 3, 4).

La ecuación del plano es: 2(x + 1) + 3(y – 1) + 4(z – 0) = 0

2x + 3y + 4z – 1 = 0

z4

y – 43

x + 32

1540

0 0 1/31/6 0 00 –1/5 0

16

16

1540

15

16

13

12

13

15

15

16

16

13

13

197

√145

197|(–1, 0, 12)|

|[→PP',

→dr,

→ds]|

→dr ×

→ds


12 0 10 1 0–7 4 –17


S

S

S

Calculamos los vértices:

x = y = 0 → z = → A (0, 0, )y = z = 0 → x = → B ( , 0, 0)x = z = 0 → y = → C (0, , 0)O (0, 0, 0)

Volumen = · ( · · ) = u3

Página 202

13 Determina la ecuación de la recta que pasa por P (1, 2, 2) y es perpendicular alas rectas r1 y r2:

r1: r2:

Obtenemos los vectores dirección de las rectas r1 y r2:

r1: (1, 2, –3) × (1, 2, –1) = (4, –2, 0) →→d1(2, –1, 0)

r2: (3, –1, 3) × (1, 4, 0) = (–12, 3, 13) = →d2

La recta que buscamos ha de ser perpendicular a r1 y a r2:

(2, –1, 0) × (–12, 3, 13) = (–26, –52, –12) →→d(13, 26, 6)

Como pasa por el punto P (1, 2, 2), sus ecuaciones son:

o bien = =

Esfera14 Di cuáles de las siguientes ecuaciones corresponden a esferas y di su centro

y su radio:

a) x2 + y2 – 2x + 4y – 8 = 0

b)2x2 – 2y2 + 2z2 + 4x – 16 = 0

c) 2x2 + 2y2 + 2z2 + 4x – 16 = 0

d)x2 + 3y2 + z2 – 2xz – 4 = 0

e) 3x2 + 3y2 + 3z2 + 6x – 12z – 3 = 0

f) 3x2 + 3y2 + 3z2 + 6x – 12z – 30 = 0

g) 2x2 + 2y2 + 2z2 – 4x + 6y – 3/2 = 0

z – 26

y – 226

x – 113

x = 1 + 13λy = 2 + 26λz = 2 + 6λ

3x – y + 3z = 0x + 4y – 2 = 0

x + 2y – 3z – 1 = 0x + 2y – z = 0

1144

13

12

14

16

13

13

12

12

14

14


a) No tiene término en z2. No es una esfera.

b) Los coeficientes de x2, y2, z2 no son iguales, luego no es una esfera.

c) Los coeficientes de x2, y2, z2 son iguales. Dividimos la ecuación entre 2:

x2 + y2 + z2 + 2x – 8 = 0

( )2 + ( )2 + ( )2 – D = 1 + 0 + 0 – (–8) = 9 → radio = = 3

Centro = (– , – , – ) = (–1, 0, 0)

d) Los coeficientes de x2, y2, z2 no son iguales, luego no es una esfera.

e) Los coeficientes de x2, y2, z2 son iguales. Dividimos la ecuación entre 3:

x2 + y2 + z2 + 2x – 4z – 1 = 0

( )2 + ( )2 + ( )2 – D = 1 + 0 + 4 – (–1) = 6 → radio =

Centro = (– , – , – ) = (–1, 0, 2)

f) Los coeficientes de x2, y2, z2 son iguales. Dividimos la ecuación entre 3:

x2 + y2 + z2 + 2x – 4z – 10 = 0

( )2 + ( )2 + ( )2 – D = 1 + 0 + 4 – (–10) = 15 → radio =

Centro = (– , – , – ) = (–1, 0, 2)

g) Los coeficientes de x2, y2, z2 son iguales. Dividimos la ecuación entre 2:

x2 + y2 + z2 – 2x + 3y – = 0

( )2 + ( )2 + ( )2 – D = 1 + + 0 – (– ) = 4 → radio = 2

Centro = (– , – , – ) = (–1, – , 0)15 Halla la ecuación de las siguientes esferas:

a) Centro (1, 0, –5) y radio 1.

b)Diámetro A (3, –4, 2), B (5, 2, 0).

c) Centro (4, –2, 3) y tangente al plano x – z = 0.

d) Centro (3, –1, 2) y tangente al plano YZ.

32

C2

B2

A2

34

94

C2

B2

A2

34

C2

B2

A2

√15C2

B2

A2

C2

B2

A2

√6C2

B2

A2

C2

B2

A2

√9C2

B2

A2


a) (x – 1)2 + y2 + (z + 5)2 = 1, o bien, x2 + y2 + z2 – 2x + 10z + 25 = 0

b) El centro es el punto medio de AB: C = ( , – , ) = (4, –1, 1)

El radio es la distancia de C a uno de los puntos: |→AC| = =

La ecuación es: (x – 4)2 + (y + 1)2 + (z – 1)2 = 11, o bien:

x2 + y2 + z2 – 8x + 2y – 2z + 7 = 0

c) El radio es la distancia del centro C (4, –2, 3) al plano π: x – z = 0:

r = dist (C, π) = = → r2 =

La ecuación será: (x – 4)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = , o bien:

x2 + y2 + z2 – 8x + 4y – 6z + = 0 →

→ 2x2 + 2y2 + 2z2 – 16x + 8y – 12z + 57 = 0

d) El plano YZ es el plano π: x = 0.

El radio es la distancia del centro C (3, –1, 2) al plano π: r = dist (C, π) = 3

La ecuación será: (x – 3)2 + (y + 1)2 + (z – 2)2 = 9, o bien:

x2 + y2 + z2 – 6x + 2y – 4z + 5 = 0

16 Halla el lugar geométrico de los puntos cuya distancia al punto (2, –1, 4) esigual a 7.

Es una esfera de centro (2, –1, 4) y radio 7:

(x – 2)2 + (y + 1)2 + (z – 4)2 = 49, o bien, x2 + y2 + z2 – 4x + 2y – 8z – 28 = 0

PARA RESOLVER

17 Halla la ecuación del plano π que contiene a la recta r :

y es ortogonal al plano σ: 2x – y + 3z + 1 = 0.

Obtén también las ecuaciones paramétricas de la recta determinada por π y σ.

Obtenemos un punto y un vector dirección de la recta r:

P (1, –1, 1) ∈ r → P (1, –1, 1) ∈ π

(1, 1, –1) × (1, 2, 1) = (3, –2, 1) = →d // r →

→d(3, –2, 1) // π

x + y – z + 1 = 0x + 2y + z = 0

572

12

12

1

√2

|4 – 3|

√2

√11√12 + 32 + 12

2 + 02

4 + 22

3 + 52


S

S

Si π es ortogonal a σ, el vector normal de σ es paralelo a π:

→nσ(2, –1, 3) ⊥ σ → (2, –1, 3) // π

Obtenemos un vector normal a π: (3, –2, 1) × (2, –1, 3) = (–5, –7, 1) → (5, 7, –1)

La ecuación del plano π es: 5(x – 1) + 7(y + 1) – 1(z – 1) = 0

5x + 7y – z + 3 = 0

• Ecuaciones paramétricas de la recta determinada por π y σ:

Vector dirección de la recta: (5, 7, –1) × (2, –1, 3) = (20, –17, –19)

Punto de la recta:

R (0, – , – )

Ecuaciones de la recta:

18 Dados la recta r : = = y el plano π: x + 3y – 3z + 3 = 0,

halla el plano que contiene a r y es perpendicular a π.

r: = = → P (0, 1, –1); →d(2, –1, 3)

π: x + 3y – 3z + 3 = 0 → →n(1, 3, –3)

El plano será paralelo a →d y a →n y contendrá a P.

Un vector normal será: (2, –1, 3) × (1, 3, –3) = (–6, 9, 7) → (6, –9, –7)

La ecuación del plano es: 6(x – 0) – 9(y – 1) – 7(z + 1) = 0

6x – 9y – 7z + 2 = 0

19 Determina la perpendicular común a las rectas:

r : s: x – 2 = 0y + 3 = 0

x + y = z + 4x + 2y = 7

z + 13

y – 11

x

2

z + 13

1 – y1

x2

x = 20λ1

y = – — – 17λ21

z = – — – 19λ2

12

12

1y = – —

21

z = – —2

x = 0 → 7y – z + 3 = 0–y + 3z + 1 = 0

π: 5x + 7y – z + 3 = 0σ: 2x – y + 3z + 1 = 0


S

Escribimos las dos rectas en forma paramétrica:

r:

r: → Un punto genérico de r es: R (1 + 2λ, 3 – λ, λ)

s: → s: → Un punto genérico de s es: S (2, –3, µ)

Un vector genérico de origen en r y extremo en s es: →RS (1 –2λ, –6 + λ, µ – λ)

Este vector debe ser perpendicular a r y a s:

–5λ + 8 = 0 → λ = ; µ =

Así:

R ( , , )S (2, –3, )

La perpendicular común a las rectas es:

20 a) Halla p para que las rectas r1 y r2 sean perpendiculares:

r1: = = r2: = =

b)Calcula su punto de intersección y la ecuación del plano que las contiene.

a) (4, –2, 2) · (1, p – 1, 3) = 4 – 2p + 2 + 6 = 12 – 2p = 0 → p = 6

b) r1: r2: x = 1 + µy = 6 + 5µz = 3 + 3µ

x = 4λy = 1 – 2λz = 2λ

z – 33

y – pp – 1

x – 11

z2

y – 1–2

x4

x = 2 + λy = –3 + 2λz = 8/5

85

85

75

215

85

85

→RS · (2, –1, 1) = 0 → 2 – 4λ + 6 – λ + µ – λ = 0 → –6λ + µ + 8 = 0→RS · (0, 0, 1) = 0 → µ – λ = 0 → µ = λ

x = 2y = –3z = µ

x – 2 = 0y + 3 = 0

x = 1 + 2λy = 3 – λz = λ

Restando la 1-a ecuación a la 2-a: y = 3 – zx = 7 – 2y = 7 – 2(3 – z) = 1 + 2z

x + y = z + 4x + 2y = 7


S

→RS (– , – , 0) →

→d(1, 2, 0)22

5115

S

• Punto de intersección:

Sumando las dos últimas ecuaciones:

1 = 9 + 8µ → –8 = 8µ → µ = –1

λ = = = 0

1-a ecuación: 4 · 0 = 1 – 1. Luego λ = 0, µ = –1.

Sustituyendo λ = 0 en las ecuaciones de r1 (o bien µ = –1 en las de r2),obtenemos el punto de corte: (0, 1, 0).

• Ecuación del plano que las contiene:

(4, –2, 2) × (1, 5, 3) = (–16, –10, 22) → (8, 5, –11) es un vector normal al plano.

Ecuación: 8(x – 0) + 5(y – 1) – 11(z – 0) = 0

8x + 5y – 11z – 5 = 0

21 Dados la recta r : y el plano π: x + 2y + 3z – 1 = 0,

halla la ecuación de una recta situada en el plano π, que pase por el puntoP (2, 1, –1) y sea perpendicular a r.

Un vector dirección de r es: (1, 0, –2) × (0, 1, –1) = (2, 1, 1)

La recta que buscamos ha de ser perpendicular a (2, 1, 1) y perpendicular a (1, 2, 3)(pues está situada en el plano π). Un vector dirección de la recta es:

(2, 1, 1) × (1, 2, 3) = (1, –5, 3)

El punto P (2, 1, –1) pertenece al plano y debe pertenecer a la recta buscada. Lue-go la recta es:

22 Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 2, 1) y corta perpendi-

cularmente a la recta r :

Escribimos r en forma paramétrica:

r: x – y – z = 1 → y = x – z – 1 = 2 – z – z – 1 = 1 – 2zx + z = 2 → x = 2 – z

x – y – z = 1x + z = 2

x = 2 + λy = 1 – 5λz = –1 + 3λ

x – 2z + 3= 0y – z – 4 = 0

3 – 32

3 + 3µ2

4λ = 1 + µ1 – 2λ = 6 + 5µ

2λ = 3 + 3µ


S

r: → Un punto genérico de r es: R (2 – λ, 1 – 2λ, λ)

Si llamamos al punto P (1, 2, 1), el vector →PR ha de

ser perpendicular a r, es decir, perpendicular a→d(–1, –2, 1).

Por tanto, como →PR (1 – λ, –1 – 2λ, –1 + λ):

→PR ·

→d = 0 → (1 – λ, –1 –2λ, –1 + λ) · (–1, –2, 1) = 0

–1 + λ + 2 + 4λ – 1 + λ = 0 → 6λ = 0 → λ = 0

La recta que buscamos pasa por el punto P (1, 2, 1) y por el punto Q (2, 1, 0)(Q se obtiene sustituyendo λ = 0 en las ecuaciones de r).

Un vector dirección será: →PQ (12, –1, –1)

La recta es:

23 Los vértices del triángulo ABC son los puntos de corte del plano 2x + y – 3z = 6con los ejes coordenados. Halla la ecuación de la altura que parte del vérticeB que está en el eje OY.

Los vértices del triángulo son:

y = z = 0 → 2x = 6 → x = 3 → A (3, 0, 0)

x = z = 0 → y = 6 → B (0, 6, 0)

x = y = 0 → –3z = 6 → z = –2 → C (0, 0, –2)

Debemos hallar la ecuación de la altura que parte de B.

Su vector dirección →d(a, b, c) debe ser:

— Ortogonal a→AC →

→AC ·

→d = 0

— Ortogonal al vector normal del plano ABC, es decir, del plano 2x + y – 3z = 6,puesto que la altura debe estar contenida en dicho plano → (2, 1, –3) ·

→d = 0

Luego tenemos que:→AC ·

→d = 0 → (–3, 0, –2) · (a, b, c) = 0 → 3a + 2c = 0

(2, 1, –3) ·→d = 0 → (2, 1, –3) · (a, b, c) = 0 → 2a + b – 3c = 0

Soluciones: (–2t, 13t, 3t) → Si t = –1, →d(2, –13, –3)

Ecuación de la altura que pasa por B:

x = 2λy = 6 – 13λz = –3λ

x = 1 + λy = 2 – λz = 1 – λ

x = 2 – λy = 1 – 2λz = λ


S

rP(1, 2, 1)

R

Q

→d

S

24 Halla el punto P de la recta r : = = que equidiste de los planos:

α: x + y + z = –3 y β:

• Un punto genérico de la recta r es: R (1 + 2λ, –1 + λ, 3λ)

• Escribimos el plano β en forma implícita:

= 0 → β: x + y – z – 3 = 0

• La distancia de R a α y a β ha de ser la misma: dist (R, α) = dist (R, β)

= , es decir:

|6λ + 3|= 3

Hay dos soluciones: P (1, –1, 0) y P' (–1, –2, –3)

Página 203

25 Sea r la recta de intersección de los planos ax + 9y – 3z = 8 y x + ay – z = 0.

Determina el valor de a para que:

a) Los dos planos sean paralelos.

b)Los dos planos sean perpendiculares.

c) La recta r corte al plano OXY en un punto cuya distancia al origen decoordenadas sea .

a) Las coordenadas de (a, 9, –3) y (1, a, –1) han de ser proporcionales:

= = a = 3

b) Los vectores normales han de ser perpendiculares:

(a, 9, –3) · (1, a, –1) = a + 9a + 3 = 10a + 3 = 0 → a =

c) El plano OXY es el plano z = 0. Hallamos el punto de corte de r con el pla-no OXY:

|A|= = a2 – 9a 91 a

ax + 9y = 8x + ay = 0

ax + 9y – 3z = 8x + ay – z = 0

z = 0

–310

a –3— = — → a = 31 –19 –3— = — → a = 3a –1

–3–1

9a

a1

√2

6λ + 3 = 3 → 6λ = 0 → λ = 06λ + 3 = –3 → 6λ = –6 → λ = –1

|1 + 2λ – 1 + λ – 3λ – 3|

√1 + 1 + 1

|1 + 2λ – 1 + λ + 3λ + 3|

√1 + 1 + 1

x + 3 1 0y –1 1

z + 6 0 1

x = –3 + λy = – λ + µz = –6 + µ

z3

y + 11

x – 12


S

(El problema solo tiene solución si a2 – 9 ≠ 0, es decir, si a ≠ 3 y a ≠ –3. Sia = 3 o a = –3, el sistema es incompatible).

|Ax|= = 8a; |Ay|= = –8

x = ; y = ; z = 0

El punto de corte es P ( , , 0). Su distancia al origen ha de ser :

dist (P, O) = ( )2 + ( )2 =

( )2 + ( )2 = 2 → = 2

64a2 + 64 = 2(a4 + 81 – 18a2) → 64a2 + 64 = 2a4 + 162 – 36a2

0 = 2a4 – 100a2 + 98 → a4 – 50a2 + 49 = 0

a2 = = = =

Hay cuatro soluciones: a1 = –7, a2 = 7, a3 = –1, a4 = 1

26 Halla la ecuación del plano que contiene a la recta de ecuaciones paramétri-cas: (–1 + 3λ, 1 + 2λ, 2 + λ) y es perpendicular al plano 2x + y – 3z + 4 = 0.

Determina también el ángulo formado por la recta y el plano dados.

Un vector normal al plano es: (3, 2, 1) × (2, 1, –3) = (–7, 11, –1) → (7, –11, 1)

Un punto del plano es (–1, 1, 2) (pues contiene a la recta).

• La ecuación del plano será:

7(x + 1) – 11(y – 1) + 1(z – 2) = 0

7x – 11y + z + 16 = 0

• Ángulo formado por la recta y el plano dados:→d(3, 2, 1); →n(2, 1, –3)

cos (90° – α) = = = = 0,357

90° – α = 69° 4' 31'' → α = 20° 55' 29''

514

6 + 2 – 3

√—14 · √

—14

|→d · →n|

→d →n

a2 = 49 → a = ± 7a2 = 1 → a = ± 1

50 ± 482

50 ± √23042

50 ± √2500 – 1962

64a2 + 64(a2 – 9)2

–8a2 – 9

8aa2 – 9

√2–8a2 – 9

8aa2 – 9

√2–8a2 – 9

8aa2 – 9

–8a2 – 9

8aa2 – 9

a 81 0

8 90 a


S

√

S27 Dado un cubo (hexaedro regular) de lado 6 cm, halla la mínima distancia de

una diagonal del cubo a una diagonal de una de sus caras, sabiendo que lasrectas de ambas diagonales se cruzan.

☛ Dibuja el cubo con un vértice en el origen y los contiguos sobre los ejes coordenados.

• La diagonal del cubo pasa por O(0, 0, 0) ypor C (6, 6, 6):

r:

• La diagonal de la cara pasa por A(6, 0, 6) ypor B (6, 6, 0):

s:

• dist (r, s) = =

[→d,

→d',

→OA] = = –6

→d ×

→d' = (1, 1, 1) × (0, 1, –1) = (–2, 1, 1) → |

→d ×

→d'|=

Por tanto: dist (r, s) = =

28 Halla la ecuación del plano cuyo punto más próximo al origen es (1, 3, 2).

Si el punto más próximo al origen es P (1, 3, 2), el vector →OP (1, 3, 2) es normal

al plano. Por tanto, la ecuación del plano es:

1(x – 1) + 3(y – 3) + 2(z – 2) = 0

x + 3y + 2z – 14 = 0

29 Determina, razonadamente, si las rectas

r : s:

se cortan o se cruzan. Halla también el coseno del ángulo que forman sus di-recciones.

Obtenemos un punto y un vector dirección de cada una de las dos rectas:→dr : (1, 1, –2) × (2, –1, 1) = (–1, –5, –3) →

→dr(1, 5, 3); P (0, –1, 0)

2x + y – z – 1 = 0x – y – 2z + 1 = 0

x + y – 2z + 1 = 02x – y + z – 1 = 0

√66

√6

√6

1 1 10 1 –16 0 6

|[→d,

→d',

→OA]|

→d ×

→d'


x = 6y = µz = 6 – µ

x = λy = λz = λ


S

S

Y

Z

(0, 0, 6)

(0, 6, 0)

(6, 0, 0)

X

B

AC

O

→ds : (2, 1, –1) × (1, –1, –2) = (–3, 3, –3) →

→ds(1, –1, 1); P' (0, 1, 0)

→PP' (0, 2, 0)

= 4 ≠ 0 → Las rectas se cruzan.

cos α = = = = 0,0976

30 Determina las condiciones que deben cumplir a y b para que estos tresplanos: ax + z – 1 = 0, x + bz + 2 = 0, x + 3y + 2z – 3 = 0 se corten en unpunto.

Haciendo a = 2 y b = 1, obtén las ecuaciones paramétricas de la recta de-terminada por los dos primeros, así como el ángulo que esta forma con eltercero.

Para que los tres planos se corten en un punto, el sistema hade tener solución única, es decir:

= –3(ab – 1) ≠ 0 → ab ≠ 1

• Si a = 2 y b = 1, la recta determinada por los dos primeros planos es:


• Ángulo que forma la recta con el 3–er plano:→d(0, 1, 0) →n( , 3, 2)

cos (90° – α) = = = = → 90° – α = 45° → α = 45°

31 a) Encuentra los puntos de r : que disten del plano

π: 2x – y + 2z + 1 = 0.

b) Obtén los puntos de π que distan de los puntos hallados en el apartado

anterior.

13

13

x + y = 0x – z = 0

√22

3

3√2

3

1√18

|→d · →n|

→d →n

√5

x = 3y = λz = –5

Restando: x – 3 = 0 → x = 3z = –2 – x = –2 – 3 = –5

2x + z – 1 = 0x + z + 2 = 0

a 0 11 0 b

√—5 3 2

ax + z = 1x + bz = –2

√—5x + 3y + 2z = 3

√5

1

√105

|1 – 5 + 3|

√—35 · √

—3

→dr ·

→ds

→dr

→ds

1 1 05 –1 23 1 0


a) Escribimos r en forma paramétrica:

→ r: → Un punto de r es de la forma R (λ, –λ, λ)

dist (R, π) = = =

Hay dos puntos: (0, 0, 0) y (– , , – )b) Los dos puntos obtenidos están a distancia de π.

Se trata de encontrar la proyección de estos puntos sobre el plano π.

• Para (0, 0, 0):

Obtenemos la recta que pasa por (0, 0, 0) y es perpendicular a π:

Hallamos el punto de corte de esta recta con π:

4λ + λ + 4λ + 1 = 0 → 9λ = –1 → λ = –

El punto es (– , , – ).• Para (– , , – ):

Hallamos la recta que pasa por este punto y es perpendicular a π:

Obtenemos el punto de corte de esta recta con π:

2 (– + 2λ) – ( – λ) + 2 (– + 2λ) + 1 = 0

– + 4λ – + λ – + 4λ + 1 = 0

9λ – 1 = 0 → λ =

El punto es (– , , – ).845

1345

845

19

45

25

45

25

25

25

x = –2/5 + 2λy = 2/5 – λz = –2/5 + 2λ

25

25

25

29

19

29

19

x = 2λy = –λz = 2λ

13

25

25

25

5λ + 1 = 1 → λ = 05λ + 1 = –1 → λ = –2/5

13

|5λ + 1|3

|2λ + λ + 2λ + 1|

√4 + 1 + 4

x = λy = –λz = λ

y = –xz = x


S

S32 Sean los puntos P (3, 1, 5) y Q (–1, 7, 3). Por el punto medio del segmento

PQ trazamos un plano π perpendicular a dicho segmento. Este plano cortaa los ejes coordenados en los puntos A, B y C.

a) Escribe la ecuación de π.

b)Calcula el área del triángulo ABC.

a) El plano es perpendicular al vector →PQ (–4, 6, –2); un vector normal al plano es

(2, –3, 1).

Pasa por el punto medio del segmento PQ: M(1, 4, 4).


π: 2x – 3y + z + 6 = 0

b) Hallamos los vértices del triángulo:

y = z = 0 → 2x + 6 = 0 → x = –3 → A(–3, 0, 0)

x = z = 0 → –3y + 6 = 0 → y = 2 → B(0, 2, 0)

x = y = 0 → z + 6 = 0 → z = –6 → C (0, 0, –6)→AB (3, 2, 0)

→AC (3, 0, –6)

→AB ×

→AC = (–12, 18, –6) → |

→AB ×

→AC|=

Área = = ≈ 11,22 u2

33 Calcula el volumen de un cubo que tiene aristas sobre cada una de las rectasr y s:

r : s: = =

• Hallamos la posición relativa de las dos rectas:→dr = (2, 6, –1); P (1, –2, –1)→ds = (13, 2, 14); P' (0, 8, 6)→PP' (–1, 10, 7)

= –1014 → Las rectas se cruzan.

• La arista del cubo es la distancia entre las dos rectas:

dist (r, s) = = = =

= = arista del cubo1014

√14553

1014|(86, –41, –74)|

1 014

→dr ×

→ds


2 13 –16 2 10–1 14 7

z – 614

y – 82

x13

x = 1 + 2ty = –2 + 6tz = –1 – t

√5042

|→AB ×

→AC|

2

√504


S

• El volumen del cubo es:

V = ( )3≈ 593,86 u3

34 Determina la ecuación continua de la recta r que es perpendicular y corta alas rectas s y t de ecuaciones:

s: (1 + 2λ , 2 – λ, 1 + λ) t: (4 + µ, 6 + µ, 5 – 2µ)

Un vector genérico de origen en s y extremo en t es:→ST (3 –2λ + µ, 4 + λ + µ, 4 – λ – 2µ)

Este vector ha de ser perpendicular a las dos rectas:

λ = 1, µ = 0

La recta que buscamos, corta a s en S (3, 1, 2), y corta a t en T (4, 6, 5).

Un vector dirección es →ST (1, 5, 3).

Su ecuación continua es: = =

35 Halla los puntos simétricos de P (1, 2, 3) respecto del plano

α: x – 3y – 2z + 4 = 0 y respecto de la recta r :

■ Simétrico respecto del plano:

• Ecuación de la recta que pasa por P y es perpendicular a α:

• Punto de corte de α con la recta anterior:

(1 + λ) – 3(2 – 3λ) – 2(3 – 2λ) + 4 = 0

1 + λ – 6 + 9λ – 6 + 4λ + 4 = 0

14λ – 7 = 0 → λ =

La recta y el plano se cortan en ( , , 2). Este es el punto medio del segmento

PP', siendo P' el simétrico de P respecto del plano α. Luego, si P' (x, y, z),

entonces: ( , , ) = ( , , 2) → P' (2, –1, 1)12

32

z + 32

y + 22

x + 12

12

32

12

x = 1 + λy = 2 – 3λz = 3 – 2λ

x – y + 3= 04x – z = 0

z – 23

y – 15

x – 31

→ST · (2, –1, 1) = 0 → 6 – 4λ + 2µ – 4 – λ – µ + 4 – λ – 2µ = 0 → 6λ + µ = 6→ST · (1, 1, –2) = 0 → 3 – 2λ + µ + 4 + λ + µ – 8 + 2λ + 4µ = 0 → λ + 6µ = 1

1 014

√14553


■ Simétrico respecto de la recta:

• Escribimos la recta en paramétricas:

→ r:

• Hallamos la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por P:

1(x – 1) + 1(y – 2) + 4(z – 3) = 0

x + y + 4z – 15 = 0

• Obtenemos el punto de intersección de la recta r con el plano:

λ + 3 + λ + 16λ – 15 = 0

18λ – 12 = 0 → λ =

El punto de corte es ( , , ). Este es el punto medio del segmento PP'',

siendo P'' el simétrico de P respecto de la recta r. Así, si P'' (a, b, c), en-

tonces: ( , , ) = ( , , ) → P'' ( , , )36 Halla la distancia entre el punto P (2, 1, 3) y la recta r :

• Escribimos la recta r en forma paramétrica:

r:

• Hallamos la ecuación del plano que pasa por P y es perpendicular a r:

2(x – 2) + 3(y – 1) + 1(z – 3) = 0

π: 2x + 3y + z – 10 = 0

• Obtenemos el punto de corte de r con π:

2(1 + 2λ) + 3(–1 + 3λ) + λ – 10 = 0

2 + 4λ – 3 + 9λ + λ – 10 = 0

14λ – 11 = 0 → λ =

El punto de corte es Q ( , , ).• Calculamos la distancia:

dist (P, r) = dist (P, Q) = |→PQ|= ( , , ) = = ≈ 2,31√ 75

14√ 1050196

–3114

514

47

1114

1914

187

1114

x = 1 + 2λy = –1 + 3λz = λ

Restando: x = 1 + 2zy = x + z – 2 = –1 + 3z

2x – y = 3 + zx – y = 2 – z

2x – y – z – 3 = 0x – y + z – 2 = 0

73

163

13

83

113

23

c + 32

b + 22

a + 12

83

113

23

23

x = λy = 3 + λz = 4λ

x – y + 3 = 0 → y = x + 34x – z = 0 → z = 4x


S

37 Dados los puntos A(1, 5, –2), B (4, 0, 1) y C (–3, 2, 0):

a) Prueba que son los vértices de un triángulo.

b)Halla la longitud del segmento que determina el punto B y su proyecciónsobre AC.

a) Hay que probar que los puntos no están alineados.

Sus coordenadas no son proporcionales, luego los puntos noestán alineados. Son los vértices de un triángulo.

b) • Obtenemos la ecuación del lado AC:

r:

• Hallamos el plano que pasa por B y es perpendicular a r:

–4(x – 4) – 3(y – 0) + 2(z – 1) = 0

π: –4x – 3y + 2z + 14 = 0

• Obtenemos el punto de intersección de r con π:

–4(–3 – 4λ) – 3(2 – 3λ) + 4λ + 14 = 0

12 + 16λ – 6 + 9λ + 4λ + 14 = 0

29λ + 20 = 0 → λ =

El punto (proyección de B sobre AC ) es: B' ( , , )• La longitud del segmento es la distancia entre B y B':

|→B'B|= ( , , ) = = ≈ 6,34

De otra forma:

h = = = = ≈ 6,34

Página 204

38 Determina la ecuación de un plano π paralelo al plano de la ecuación x – 2y + 3z + 6 = 0 y que dista 12 unidades del origen.

Un plano paralelo a x – 2y + 3z + 6 = 0 es de la forma π: x – 2y + 3z + k = 0. Te-nemos que hallar k para que la distancia al origen sea de 12 unidades:

dist [(0, 0, 0), π] = = = 12

Hay dos planos: x – 2y + 3z + 12 = 0 y x – 2y + 3z – 12 = 0√14√14

k = 12√14

k = –12√14

|k|

√14

|k|

√1 + 4 + 9

√116629

|(1, 18, 29)|

√16 + 9 + 4

→

AC × →

AB

→

AC

ÁreaBase

√116629√ 33814

8416929

–11829

12329

–4029

11829

–729

–2029

x = –3 – 4λy = 2 – 3λz = 2λ

→AB(3, –5, 3)→AC (–4, –3, 2)


S

S

B

A

C

h

39 Un cuadrado tiene uno de sus lados sobre la recta r :

y otro sobre s: = =

a) Calcula el área del cuadrado.

b)Encuentra cuatro puntos (dos en r y dos en s) que puedan ser los vérti-ces de un cuadrado, si uno de ellos es (0, 0, 0).

a) Escribimos la recta r en forma paramétrica:

(3, 2, 2) × (1, –2, 2) = (8, –4, –8) // (2, –1, –2)

r: →→dr(2, –1, –2); P (0, 0, 0)

→ds(2, –1, –2); las dos rectas tienen la misma dirección; además P (0, 0, 0) ∈ r,pero P (0, 0, 0) ∉ s. Las rectas son paralelas.

El lado del cuadrado es la distancia entre lasdos rectas.

dist (r, s) = dist (P, s) = = =

= = = =

= lado del cuadrado

Por tanto: Área = ( )2 = 10 u2

b) Obtenemos los vértices que pueden estar en r:

Un punto de r es (2λ, –λ, –2λ):

dist (P, Q ) = = →

→ 9λ2 = 10 → λ = ±

Hay dos posibles vértices:

Q ( , , ); R ( , , )• Obtenemos P' : Un punto de s es de la forma: S (3 + 2µ, 1 – µ, –5 –2µ)

→PS ·

→ds = 0 → (3 + 2µ, 1 – µ, –5 –2µ) · (2, –1, –2) = 0

6 + 4µ – 1 + µ + 10 + 4µ = 0 → 9µ = –15 → µ =

P' ( , , )–53

83

–13

–53

2√103

√103

–2√103

–2√103

–√103

2√103

√103

√10√4λ2 + λ2 + 4λ2

√10

√10√90

√9

|(–7, –4, –5)|

√4 + 1 + 4

|→PQ ×

→ds|

→ds

ÁreaBase

x = 2λy = –λz = –2λ

z + 5–2

y – 1–1

x – 32

3x + 2y + 2z = 0x – 2y + 2z = 0


P(0, 0, 0)

Q(3, 1, –5)

→ds(2, –1, –2)

r

s

l

P(0, 0, 0)

√10

r

R

Q

R'

P'

Q'

s

S

• Si Q' (x, y, z), como →PQ =

→P'Q', entonces:

( , , ) = (x + , y – , z + )Q' ( , , )

• Si R' (a, b, c), como →PR =

→P'R', entonces:

( , , ) = (a + , b – , c + )R' ( , , )

Los dos cuadrados son PQQ'P' y PRR'P'.

40 Estudia la posición relativa de las rectas r y s y calcula el ángulo que for-man:

r : = = s:

→dr(2, 3, 4); P (1, 0, 0)→ds(1, 2, 3); P' (3, 3, 4)→PP' (2, 3, 4) =

→dr

Las dos rectas se cortan en el punto (3, 3, 4).

• Ángulo que forman:

cos α = = = = 0,99 → α = 6° 58' 57''

41 Sea r1 la recta que pasa por A (2, 4, 0) y B (6, 2, 0) y sea r2 la recta quepasa por C (0, 0, 7) y D (3, 2, 0).

Obtén, de manera razonada, la distancia entre r1 y r2.

• Escribimos las rectas en forma paramétrica:

r1: →AB(4, –2, 0) // (2, –1, 0)

r1: x = 2 + 2λy = 4 – λz = 0

20

√406

2 + 6 + 12

√—2

—9 · √

—1

—4

→dr ·

→ds

→dr

→ds

x = 3 + λy = 3 + 2λz = 4 + 3λ

z4

y3

x – 12

–5 + 2√103

8 + √103

–2√10 – 13

53

83

13

2√103

√103

–2√103

–5 – 2√103

8 – √103

2√10 – 13

53

83

13

–2√103

–√103

2√103


S

S

r2: →CD (3, 2, –7)

r2:

• Estudiamos la posición relativa de r1 y r2:→AC (–2, –4, 7)


• Hallamos la distancia entre r1 y r2:

dist (r1, r2) = = =

= = ≈ 1,22

42 Halla la ecuación general del plano determinado por los puntos A (1, 1, 1),B (–2, 0, –1), C (1, –2, 0), y calcula el volumen del tetraedro que limita conlos planos cartesianos.

Son paralelos al plano.

La ecuación del plano es:

= 0 → 5x + 3y – 9z + 1 = 0

• Vértices del tetraedro: O (0, 0, 0)

y = z = 0 → 5x = –1 → x = – → A (– , 0, 0)x = z = 0 → 3y = –1 → y = – → B (0, – , 0)x = y = 0 → –9z = –1 → z = → C (0, 0, )Volumen = ( · · ) = u31

81019

13

15

16

19

19

13

13

15

15

x – 1 3 0y – 1 1 3z – 1 2 1

→AB(–3, –1, –2)→AC (0, –3, –1)

21

√294

21|(7, 14, 7)|

21|(2, –1, 0) × (3, 2, –7)|


2 3 –2–1 2 –40 –7 7

x = 3µy = 2µz = 7 – 7µ


S

43 Calcula la distancia entre las siguientes rectas:

r : s:

• Escribimos las rectas en forma paramétrica:

r: r:

s: s:

• Estudiamos la posición relativa de las dos rectas:→dr(1, 1, 1); P (–2, –4, 0)→ds(1, –1, 1); P' (0, 0, 0)→PP' (2, 4, 0)

= 4 ≠ 0 → Las rectas se cruzan.

• Hallamos la distancia entre las rectas:

dist (r, s) = = =

= = = = = = ≈ 1,41

44 Sean los puntos P (5, 1, 3) y Q (3, 7 ,–1). Por el punto medio del segmentoPQ trazamos un plano π perpendicular a dicho segmento.

Este plano corta a los ejes coordenados en los puntos A, B y C:

a) Escribe la ecuación del plano π.

b)Calcula el volumen del tetraedro de vértices O, A, B y C (O es el origende Á3).

a) El plano es perpendicular a →PQ(–2, 6, –4) // (1, –3, 2). Pasa por el punto medio

del segmento PQ: M = (4, 4, 1).


π: x – 3y + 2z + 6 = 0

√22

√2

4

2√2

4

√8

4

√4 + 4

4|(2, 0, –2)|

4|(1, 1, 1) × (1, –1, 1)|


1 1 21 –1 41 1 0

x = λy = –λz = λ

x – z = 0 → x = zy + z = 0 → y = –z

x = –2 + λy = –4 + λz = λ

x – z = –2 → x = –2 + zy – z = –4 → y = –4 + z

x – z = 0y + z = 0

x – z = –2y – z = –4


S

S

b) Hallamos los vértices del tetraedro:

y = z = 0 → x + 6 = 0 → x = –6 → A (–6, 0, 0)

x = z = 0 → –3y + 6 = 0 → y = 2 → B (0, 2, 0)

x = y = 0 → –2z + 6 = 0 → z = –3 → C (0, 0, –3)

Volumen = (6 · 2 · 3) = 6 u3

45 Halla el punto del plano de ecuación x – z = 3 que está más cerca del pun-to P (3, 1, 4), así como la distancia entre el punto P y el plano dado.

• Hallamos la ecuación de la recta perpendicular al plano que pasa por P (3, 1, 4):

r:

• El punto que buscamos es el punto de corte de r y el plano:

(3 + λ) – (4 – λ) = 3

3 + λ – 4 + λ = 3 → 2λ = 4 → λ = 2

El punto es P' (5, 1, 2)

• La distancia entre P y el plano es igual a la distancia entre P y P':

dist (P, P') = |→PP'|= |(2, 0, –2)|= = ≈ 2,83

46 Se consideran los puntos P (2, 1, –1), Q (1, 4, 1) y R (1, 3, 1):

a) Comprueba que no están alineados y halla el área del triángulo que deter-minan.

b) Si desde el punto V (1, 1, –1) se trazan rectas a cada uno de los puntos P, Qy R, se obtiene una pirámide. Halla la altura de dicha pirámide y su volu-men.

a) No tiene las coordenadas proporcionales; luego los puntos noestán alineados.

→PQ ×

→PR = (2, 0, 1) → |

→PQ ×

→PR|= =

Área = ≈ 1,12 u2

b) La altura es la distancia de V al plano determinado por P, Q y R.

Un vector normal al plano es →PQ ×

→PR = (2, 0, 1). La ecuación del plano es:

2(x – 2) + 1(z + 1) = 0

π: 2x + z – 3 = 0

√52

√5√4 + 1

→PQ (–1, 3, 2)→PR (–1, 2, 2)

√8√4 + 4

x = 3 + λy = 1z = 4 – λ

16


S

S

Altura = dist (V, π) = =

Volumen = [Área base × altura] = · = 1 u3

47 Halla el volumen de un paralelepípedo de bases ABCD y EFGH sabiendoque A (1, 0, 0), B (2, 3, 0), C ( 4, 0, 5) y E (7, 6, 3).

Halla las coordenadas de los restantes vértices del paralelepípedo.

Hallamos las coordenadas de los restantes vértices:

• Vértice D (d1, d2, d3):→BA =

→CD → (–1, –3, 0) = (d1 – 4, d2, d3 – 5)

D (3, –3, 5)

• Vértice F ( f1, f2, f3):→AE =

→BF → (6, 6, 3) = ( f1 – 2, f2 – 3, f3)

F (8, 9, 3)

• Vértice G (g1, g2, g3) y vértice H(h1, h2, h3):→AE =

→CG → (6, 6, 3) = (g1 – 4, g2, g3 – 5) → G (10, 6, 8)

→AE =

→DH → (6, 6, 3) = (h1 – 3, h2 + 3, h3 – 5) → H (9, 3, 8)

→AB(1, 3, 0)

→AD(2, –3, 5),

→AE (6, 6, 3)

[→AB,

→AD,

→AE ] = = 33 → Volumen = 33 u3

48 Dadas las rectas:

r : = = s:

determina la posición relativa de ambas rectas y el área de uno de los cua-drados, dos de cuyos lados están sobre r y s.

• Escribimos la recta s en forma paramétrica:

s: x = λy = 1 + 2λz = 3 + λ

Sumando: –2y = –2 – 4x → y = 1 + 2xz = 2 – x + y = 3 + x

–y + z = 2 – x–y – z = –4 – 3x

x – y + z = 23x – y – z = –4

z – 21

y + 12

x – 11

1 3 02 –3 56 6 3

2

√5

√52

13

2

√5

|2 – 1 – 3|

√5


S

S

C(4, 0, 5)

B(2, 3, 0)A(1, 0, 0)

E(7, 6, 3)

D

H G

F

• Estudiamos la posición relativa de las dos rectas:→dr(1, 2, 1); P (1, –1, 2)→ds(1, 2, 1); Q(0, 1, 3)

Las rectas tienen la misma dirección; P ∈ r, pero P ∉ s; luego las rectas r y sson paralelas.

• El lado del cuadrado es igual a la distancia entre las rectas r y s.→QP (1, –2, –1)→QP ×

→ds = (1, –2, –1) × (1, 2, 1) = (0, –2, 4)

dist (r, s) = dist (P, s) = = =

= = =

• El área del cuadrado es:

Área = ( )2 = u2

49 Dadas las rectas r y s:

r : = = s:

Halla los puntos que dan la mínima distancia y determina la ecuación de laperpendicular común a r y s.

Un punto genérico de r es R (3 + 2λ, λ, 1 + λ)

Un punto genérico de s es S (µ, –µ, –µ)

Un vector genérico de origen en r y extremo en s es:→RS (–3 –2λ + µ, –λ – µ, –1 – λ – µ)

Este vector debe ser perpendicular a r y a s:

→RS · (2, 1, 1) = 0 → –6λ – 7 = 0 → λ = –

→RS · (1, –1, –1) = 0 → –2 + 3µ = 0 → µ =

Los puntos que dan la mínima distancia son:

R ( , – , – ) y S ( , – , – )23

23

23

16

76

23

23

76

x = µy = –µz = –µ

z – 11

y1

x – 32

103√ 10

3

√ 103√ 20

6√4 + 16

√1 + 4 + 1

|(0, –2, 4)||(1, 2, 1)|

|→QP ×

→ds|

→ds


S

P(1, –1, 2)

Q(0, 1, 3)

→ds(1, 2, 1)

r

s

l

La perpendicular común es la recta que pasa por R y S:→RS (0, , – ) →

→d(0, 1, –1)

x =

La recta es: y = – + λ

z = – – λ

50 Halla la ecuación de la proyección ortogonal r' de la recta

r : = = sobre el plano α: x – 3y + 2z + 12 = 0.

La proyección ortogonal de r sobre α es la recta intersección del plano α conotro plano π, perpendicular a α y que contiene a r.

P (1, 1, 2); →dr(2, 1, 2);

→n(1, –3, 2)

→dr × →

n = (2, 1, 2) × (1, –3, 2) = (8, –2, –7)

La ecuación de π es: 8(x – 1) – 2(y – 1) – 7(z – 2) = 0

π: 8x – 2y – 7z + 8 = 0

La proyección ortogonal de r sobre α es:

r':

Página 205

51 Los puntos P (0, 1, 0) y Q (–1, 1, 1) son dos vértices de un triángulo, y el

tercero, S, pertenece a la recta r : . La recta que contiene a P y a Ses perpendicular a la recta r.

a) Determina las coordenadas de S.

b)Calcula el área del triángulo PQS.

a)→PS ⊥

→dr →

→PS ·

→dr = 0

(4, λ – 1, 1) · (0, 1, 0) = λ – 1 = 0 → λ = 1

S (4, 1, 1)

b)→PS (4, 0, 1)

→PQ(–1, 0, 1)

→PS ×

→PQ = (4, 0, 1) × (–1, 0, 1) = (0, –5, 0)

Área = = = 2,5 u252

|→PS ×

→PQ|

2

x = 4z = 1

x – 3y + 2z + 12 = 08x – 2y – 7z + 8 = 0

z – 22

y – 11

x – 12

16

76

23

12

12


S

S

P(0, 1, 0)

S(4, λ, 1)

Q(–1, 1, 1)

→dr(0, 1, 0)

r

S

52 Considera un cuadrado cuyo centro es el punto C (1, 1, –1) y tiene uno desus lados en la recta:

r : = =

a) Halla la ecuación del plano en el que se encuentra el cuadrado.

b)Calcula la longitud del lado del cuadrado.

a) Es el plano, π, que contiene a C y a r: →dr(1, 1, 0); P (2, 1, 1) ∈ r.

C (1, 1, –1)→PC (–1, 0, –2) // π

Un vector normal al plano es:→n = (1, 1, 0) × (1, 0, 2) = (2, –2, –1)

La ecuación del plano es:

2(x – 1) – 2(y – 1) – 1(z + 1) = 0

2x – 2y – z – 1 = 0

b) La distancia de C a r es la mitad del lado delcuadrado.

→dr ×

→PC = (1, 1, 0) × (–1, 0, –2) = (–2, 2, 1)

|→dr|= =

dist (C, r) = = = = =

= → lado del cuadrado = l = 3 ≈ 4,24

53 En la figura adjunta, calcula el ángulo que forma la recta BCcon la recta que une B con el punto medio del lado AD.

Vamos a considerar el cubo de lado 1 con un vértice en el origen:

Así: A (1, 0, 0) B (1, 1, 1) C (0, 1, 0) D (1, 0, 1) M (1, 0, )→BC (–1, 0, –1);

→BM (0, –1, – )

cos α = = =

= ≈ 0,316 → α = 71° 33' 54''1

√10

1/2

√—2 · √

—5/4

→

BC ·→

BM

→

BC →

BM

12

12

√23√22

l2

3√22

3

√2

√9

√2

√4 + 4 + 1

√2

|→dr ×

→PC|

→dr

√2√1 + 1

z – 10

y – 11

x – 21


C

l/2

r

C(1, 1, –1)

P(2, 1, 1)

→dr(1, 1, 0)

r

A

DB

C

Y

Z

X

BD

M

A

C

54 Sea la recta r :

a) Determina la ecuación de la recta s que corta perpendicularmente a r ypasa por (0, 2, 2), y las coordenadas del punto P intersección de r y s.

b) Halla la ecuación del plano π que contiene a r y s y la de la recta t per-pendicular a π por el punto P.

c) Si Q es cualquier punto de t, explica, sin hacer ningún cálculo, qué rela-ción hay entre las distancias de Q a r, a s y a π.

a) Escribimos r en forma paramétrica:

r:

Un punto genérico de r es R (λ, 1 – λ, 1 + λ).

→AR ha de ser perpendicular a r; es decir:

→AR ·

→dr = 0

(λ, –1 – λ, –1 + λ) · (1, –1, 1) = 0

λ + 1 + λ – 1 + λ = 0 → 3λ = 0 → λ = 0

R (0, 1, 1)

La recta s pasa por A (0, 2, 2) y por R (0, 1, 1).

→RA(0, 1, 1) → s:

El punto de intersección de r y s es P (0, 1, 1).

b) Ecuación del plano π que contiene a r y a s:

→n = (1, –1, 1) × (0, 1, 1) = (–2, –1, 1); P (0, 1, 1) ∈ π

–2(x – 0) – 1(y – 1) + 1(z – 1) = 0

π: –2x – y + z = 0

Ecuación de la recta t perpendicular a π por el punto P:

t:

c) Si Q ∈ t → dist (Q, r) = dist (Q, s) = dist (Q, π) = dist (Q, P)

Las tres distancias coinciden con la distancia de Q al punto P, luego las tresson iguales entre sí.

x = –2λy = 1 – λz = 1 + λ

x = 0y = 1 + λz = 1 + λ

x = λy = 1 – λz = 1 + λ

3x + 2y – z – 1 = 0 → z = 3x + 2y – 1 = 1 + xx + y – 1 = 0 → y = 1 – x

3x + 2y – z – 1 = 0x + y – 1 = 0


S

A(0, 2, 2)

R(λ, 1 – λ, 1 + λ)

P

→dr(1, –1, 1)

r

S


55 a) Halla la distancia del punto P (1, –1, 3) a la recta que pasa por los puntosQ (1, 2, 1) y R (1, 0, –1).

b) Encuentra todos los puntos S del plano determinado por P, Q y R demanera que el cuadrilátero de vértices P, Q, R y S sea un paralelogramo.

a) Si r es la recta que pasa por R y por Q;entonces:

dist (P, r) = =

→RP ×

→RQ = (–10, 0, 0)

dist (P, r) = = = = = ≈ 3,54 u

b) Hay dos posibilidades: que P y Q sean vértices consecutivos, o que lo sean Py R.

• Si P y Q son consecutivos, obtenemos S1 (x, y, z):→QP =

→RS1 → (0, –3, 2) = (x – 1, y, z + 1)

S1 (1, –3, 1)

• Si P y R son consecutivos, obtenemos S2 (a, b, c):→RP =

→QS2 → (0, –1, 4) = (a – 1, b – 2, c – 1)

S2 (1, 1, 5)

56 Halla el plano de la familia: mx + y + z – (m + 1) = 0 que está situado a dis-tancia 1 del origen.

Hallamos la distancia del origen, (0, 0, 0), al plano y la igualamos a 1:

dist = = = 1

|m + 1|= → (m + 1)2 = m2 + 2 → m2 + 1 + 2m = m2 + 2

2m = 1 → m =

El plano es: x + y + z – = 0; es decir: x + 2y + 2z – 3 = 0

57 Halla el lugar geométrico de los puntos P (x, y, z) que equidistan de los pun-tos A (1, –1, 0) y B (2, 3, –4). Comprueba que obtienes un plano perpendi-cular a

→AB y que pasa por el punto medio de AB.

32

12

12

√m2 + 2

|m + 1|

√m2 + 2

|m · 0 + 0 + 0 – (m + 1)|

√m2 + 1 + 1

5

√2

10

2√2

10

√8

10

√4 + 4

|(–10, 0, 0)||(0, 2, 2)|

→RP (0, –1, 4)→RQ (0, 2, 2)

→

RP ×→

RQ

→

RQ

ÁreaBase

P

h

R

Q

r

P

S1

S2

R

Q

S

S

Si P (x, y, z) es un punto del lugar geométrico: dist (P, A) = dist (P, B) →

→ =

x2 – 2x + 1 + y2 + 2y + 1 + z2 = x2 – 4x + 4 + y2 – 6y + 9 + z2 + 8z + 16

π: 2x + 8y – 8z – 27 = 0 → Ecuación de un plano.

• Veamos que π es perpendicular a →AB:

→AB = (1, 4, –4)

Vector normal al plano → →n(2, 8, –8) // →AB

Luego →AB ⊥ π .

• Comprobamos que π pasa por el punto medio de AB:

M = ( , , ) = ( , 1, –2)2 · ( ) + 8 · 1 – 8 · (–2) – 27 = 0 → M ∈ π

• El plano π es el plano mediador del segmento AB.

58 Halla el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los planos si-guientes:

α: 3x + y – 2z + 1 = 0

β: x – 3y + 2z – 3 = 0

☛ Hay dos soluciones. Son los planos bisectores del diedro que determinan α y β.

Si P (x, y, z) es un punto del lugar geométrico:

dist (P, α) = dist (P, β) → =

|3x + y – 2z + 1|= |x – 3y + 2z – 3|

Son los planos bisectores del diedro que determinan α y β.

59 Halla las ecuaciones del lugar geométrico de todos los puntos del plano x = y que distan 1 del plano 2x – y + 2z = 2.

Si P es un punto del plano x = y, entonces es de la forma P (x, x, z). La distan-cia de P al plano dado ha de ser igual a 1, es decir:

3x + y – 2z + 1 = x – 3y + 2z – 3 → 2x + 4y – 4z + 4 = 0 → x + 2y – 2z + 2 = 03x + y – 2z + 1 = –x + 3y – 2z + 3 → 4x – 2y – 2 = 0 → 2x – y – 1 = 0

|x – 3y + 2z – 3|

√1 + 9 + 4

|3x + y – 2z + 1|

√9 + 1 + 4

32

32

0 – 42

–1 + 32

1 + 22

√(x – 2)2 + (y – 3)2 + (z + 4)2√(x – 1)2 + (y + 1)2 + z2


= = 1

|x + 2z – 2|= 3

Son dos rectas: r: s:

60 a) Halla el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los planos deecuaciones 3x – 4y + 5 = 0 y 2x – 2y + z + 9 = 0.

b) ¿Qué puntos del eje OY equidistan de ambos planos?

a) Si P (x, y, z) es uno de los puntos del lugar geométrico, entonces:

=

=

3|3x – 4y + 5|= 5|2x – 2y + z + 9|

Son los planos bisectores del diedro que determinan los dos planos dados.

b) Un punto del eje OY es de la forma Q (0, y, 0). La distancia de Q a cada unode los planos ha de ser la misma, es decir:

= → =

3|–4y + 5| = 5|–2y + 9|

Hay dos puntos: Q1(0, –15, 0) y Q2(0, , 0)61 Calcula el conjunto de puntos de Á3 que están a igual distancia de P (–1, 2, 5)

y Q (–3, 4, 1). ¿A qué distancia se encuentra el punto P de dicho conjunto?

3011

–12y + 15 = –10y + 45 → –2y = 30 → y = –1530

–12y + 15 = 10y – 45 → –22y = –60 → y = —11

|–2y + 9|3

|–4y + 5|5

|–2y + 9|

√4 + 4 + 1

|–4y + 5|

√9 + 16

9x – 12y + 15 = 10x – 10y + 5z + 45 → x + 2y + 5z + 30 = 09x – 12y + 15 = –10x + 10y – 5z – 45 → 19x – 22y + 5z + 60 = 0

|2x – 2y + z + 9|3

|3x – 4y + 5|5

|2x – 2y + z + 9|

√4 + 4 + 1

|3x – 4y + 5|

√9 + 16

x + 2z + 1 = 0x = y

x + 2z – 5 = 0x = y

x + 2z – 2 = 3 → x + 2z – 5 = 0x + 2z – 2 = –3 → x + 2z + 1 = 0

|x + 2z – 2|3

|2x – x + 2z – 2|

√4 + 1 + 4


S

S

Si A (x, y, z) es un punto del conjunto, su distancia a P y a Q ha de ser la mis-ma, es decir: dist (A, P) = dist (A, Q) →

→ =

x2 + 2x + 1 + y2 – 4y + 4 + z2 – 10z + 25 =

= x2 + 6x + 9 + y2 – 8y + 16 + z2 – 2z + 1 → –4x + 4y – 8z + 4 = 0 →

→ π: x – y + 2z – 1 = 0

Es el plano mediador del segmento que une P y Q.

La distancia de P a dicho plano será igual a la mitad de la distancia entre P y Q:

dist (P, Q) = |→PQ|= |(–2, 2, –4)|= = = 2 →

→ dist (P, π) = = ≈ 2,45

62 Halla la ecuación de la esfera que pasa por: A (1, 1, 1), B (1, 2, 1), C (1, 1, 2),D (2, 1, 1).

La ecuación es de la forma x2 + y2 + z2 + ax + by + cz + d = 0.

Sustituimos cada uno de los cuatro puntos en la ecuación:

La ecuación es: x2 + y2 + z2 – 3x – 3y – 3z + 6 = 0

63 a) Halla la ecuación del plano tangente a la esfera x2 + y2 + z2 – 2x – 4y + 4= 0 en el punto P (1, 2, 1).

b) ¿Cuál es el punto diametralmente opuesto a P en la esfera dada?

a) El punto P es un punto de la esfera.

El centro de la esfera es C (1, 2, 0).

El plano que buscamos pasa por P y es perpendicular al vector →CP (0, 0, 1). Su

ecuación es: 0 · (x – 1) + 0 · (y – 2) + 1 · (z – 1) = 0, es decir: z – 1 = 0

b) Es el simétrico de P respecto del centro de la esfera. Si llamamos P' (x, y, z) alpunto que buscamos, C es el punto medio del segmento PP', es decir:

( , , ) = (1, 2, 0) → P' (1, 2, –1)1 + z2

2 + y2

1 + x2

a = –3b = –3c = –3d = 6

1 + 1 + 1 + a + b + c + d = 0 → a + b + c + d = –31 + 4 + 1 + a + 2b + c + d = 0 → a + 2b + c + d = –61 + 1 + 4 + a + b + 2c + d = 0 → a + b + 2c + d = –64 + 1 + 1 + 2a + b + c + d = 0 → 2a + b + c + d = –6

√62√62

√6√24√4 + 4 + 16

√(x + 3)2 + (y – 4)2 + (z – 1)2√(x + 1)2 + (y – 2)2 + (z – 5)2


64 Halla la ecuación de la esfera tangente a los planos x – 2z – 8 = 0 y 2x – z + 5 = 0 y que tiene su centro en la recta:

r :

El centro de la esfera es de la forma C (–2, 0, z) (pues pertenece a la recta r).

La distancia del centro a cada uno de los planos es la misma. Además, esta distan-cia es el radio de la esfera:

= → =

|–2z – 10|= |–z + 1|

Hay dos soluciones:

1-a) C1(–2, 0, –11) → Radio =

Ecuación: (x + 2)2 + y2 + (z + 11)2 =

2-a) C2(–2, 0, –3) → Radio =

Ecuación: (x + 2)2 + y2 + (z + 3)2 =

Página 206

65 La esfera (x – 3)2 + (y + 2)2 + (z – 1)2 = 25 corta al plano 2x – 2y + z – 2 = 0en una circunferencia. Halla su centro y su radio.

• Obtengamos el centro de la circunferencia:

— El centro de la esfera es P (3, –2, 1).

— La recta que pasa por P y es perpendicu-lar al plano es:

— El punto de corte de esta recta con el planodado es el centro de la circunferencia:

2(3 + 2λ) – 2(–2 – 2λ) + (1 + λ) – 2 = 0

6 + 4λ + 4 + 4λ + 1 + λ – 2 = 0 → 9λ + 9 = 0 → λ = –1

Q (1, 0, 0)

x = 3 + 2λy = –2 – 2λz = 1 + λ

165

4

√5

1445

12

√5

–2z – 10 = –z + 1 → z = –11 → C1(–2, 0, –11)

–2z – 10 = z – 1 → –3z = 9 → z = –3 → C2(–2, 0, –3)

|–z + 1|

√5

|–2z – 10|

√5

|–4 – z + 5|

√4 + 1

|–2 – 2z – 8|

√1 + 4

x = –2y = 0


rd

→n

π

P

Q

R

• Calculamos el radio de la circunferencia:

La distancia entre los centros P y Q es:

d = |→QP|= |(2, –2, 1)| = = 3

El radio de la esfera es R = 5.

Luego el radio de la circunferencia es: r = = = = 4

66 a) Halla la ecuación de la esfera que pasa por los puntos A (4, 1, –3) y B (3, 2, 1) y que tiene su centro en la recta:

= =

b) ¿Cuál es la ecuación del plano tangente en B a dicha esfera?

a) Escribimos la recta en paramétricas:

Como el centro pertenece a esta recta, es de la forma C (8 + 2λ, 3 + λ, –4 – λ)

La distancia de C a los puntos A y B ha de ser la misma. Además, esta dis-tancia es el radio de la esfera:

dist (A, C ) = dist (B, C ) → |→AC|= |

→BC|

|(2λ + 4, λ + 2, –λ – 1)|= |(2λ + 5, λ + 1, –λ – 5)|

=

4λ2 + 16 + 16λ + λ2 + 4 + 4λ + λ2 + 1 + 2λ =

= 4λ2 + 25 + 20λ + λ2 + 1 + 2λ + λ2 + 25 + 10λ

–10λ = 30 → λ = –3 → C (2, 0, –1)

|→AC|= |

→BC| = 3 = radio de la esfera.

La ecuación es: (x – 2)2 + y2 + (z + 1)2 = 9, o bien:

x2 + y2 + z2 – 4x + 2z – 4 = 0

b) Un vector normal al plano es →CB = (1, 2, 2).

El plano pasa por B (3, 2, 1). Su ecuación es:

1 · (x – 3) + 2 · (y – 2) + 2 · (z – 1) = 0

x – 3 + 2y – 4 + 2z – 2 = 0

x + 2y + 2z – 9 = 0

67 Halla el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a A (–2, 3, 4) sea eldoble de la distancia a B (3, –1, –2).

√(2λ + 5)2 + (λ + 1)2 + (–λ – 5)2√(2λ + 4)2 + (λ + 2)2 + (–λ – 1)2

x = 8 + 2λy = 3 + λz = –4 – λ

z + 4–1

y – 31

x – 82

√16√25 – 9√R2 – d2

√4 + 4 + 1


Si P (x, y, z) es un punto del lugar geométrico, debe cumplir:

dist (P, A) = 2dist (P, B)

= 2

x2 + 4x + 4 + y2 – 6y + 9 + z2 – 8z + 16 = 2[x2 – 6x + 9 + y2 + 2y + 1 + z2 + 4z + 4]

x2 + y2 + z2 + 4x – 6y – 8z + 29 = 2x2 + 2y2 + 2z2 – 12x + 4y + 8z + 28

x2 + y2 + z2 – 16x + 10y + 16z – 1 = 0

Es una esfera de centro (8, –5, –8) y radio ≈ 12,4.

68 Dados A (4, 2, 0) y B (2, 6, –4), halla el lugar geométrico de los puntos Ptales que

—PA sea perpendicular a

—PB.


han de ser perpendiculares, es decir:

→AP ·

→BP = 0 → (x – 4) (x – 2) + (y – 2) (y – 6) + z (z + 4) = 0

x2 – 6x + 8 + y2 – 8y + 12 + z2 + 4z = 0

x2 + y2 + z2 – 6x – 8y + 4z + 20 = 0

Es una esfera de centro (3, 4, –2) y radio 3.

69 Halla el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a (2, 0, 0) y(–2, 0, 0) sea igual a 6.


+ = 6

= 6 –

x2 – 4x + 4 + y2 + z2 = 36 + x2 + 4x + 4 + y2 + z2 – 12

12 = 8x + 36

3 = 2x + 9

9[x2 + 4x + 4 + y2 + z2] = 4x2 + 36x + 81

9x2 + 36x + 36 + 9y2 + 9z2 = 4x2 + 36x + 81

5x2 + 9y2 + 9z2 = 45

+ + = 1

Es un elipsoide.

z2

5y2

5x2

9

√(x + 2)2 + y2 + z2

√(x + 2)2 + y2 + z2

√(x + 2)2 + y2 + z2

√(x + 2)2 + y2 + z2√(x – 2)2 + y2 + z2

√(x + 2)2 + y2 + z2√(x – 2)2 + y2 + z2

→AP (x – 4, y – 2, z)→

BP (x – 2, y – 6, z + 4)

√154

√(x – 3)2 + (y + 1)2 + (z + 2)2√(x + 2)2 + (y – 3)2 + (z – 4)2


70 Halla el lugar geométrico de los puntos que equidistan de (0, 0, 3) y del planoz = –3.

Sea P (x, y, z) un punto del lugar geométrico pedido. Entonces:

d = (P, (0, 0, 3)) = d (P, {z = –3})

= = |z + 3|

Por tanto:

x2 + y2 + (z – 3)2 = (z + 3)2

x2 + y2 + z2 – 6z + 9 = z2 + 6z + 9

x2 + y2 – 12z = 0

Se trata de un paraboloide.

71 Halla el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a (0, 5, 0)y (0, –5, 0) es 4.


| – |= 4

– = ±4

= ±4 +

x2 + y2 – 10y + 25 + z2 = 16 + x2 + y2 + 10y + 25 + z2 ± 8

±8 = 20y + 16

±2 = 5y + 4

4(x2 + y2 + 10y + 25 + z2) = 25y2 + 40y + 16

4x2 + 4y2 + 40y + 100 + 4z2 = 25y2 + 40y + 16

4x2 – 21y2 + 4z2 = –84

– + – = 1

Es un hiperboloide.

72 ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de destancias a los pun-tos (2, 3, 4) y (2, –3, 4) es igual a 8? ¿Como se llama la superficie que obtienes?

+ = 8

(x – 2)2 + (y – 3)2 + (z – 4)2 = 64 + (x – 2)2 + (y + 3)2 + (z – 4)2 –

– 16 √(x – 2)2 + (y + 3)2 + (z – 4)2

√(x – 2)2 + (y + 3)2 + (z – 4)2√(x – 2)2 + (y – 3)2 + (z – 4)2

z2

21y2

4x2

21

√x2 + y2 + 10y + 25 +z2

√x2 + y2 + 10y + 25 +z2

√x2 + y2 + 10y + 25 +z2

√x2 + y2 + 10y + 25 +z2√x2 + y2 – 10y + 25 +z2

√x2 + y2 + 10y + 25 +z2√x2 + y2 – 10y + 25 +z2

√x2 + (y + 5)2 + z2√x2 + (y – 5)2 + z2

|z + 3|

√1√x2 + y2 + (z – 3)2


16 = 64 + 12y

4 = 16 + 3y

16 (x2– 4x + 4 + y2 + 6y + 9 + z2 – 8z + 16) = 256 + 96y + 9y2

16 x2+ 7y2 + 16z2 – 64x – 128z + 208 = 0

Se trata de un elipsoide.

73 ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a lospuntos (–4, 3, 1) y (4, 3, 1) es igual a 6?

– = 6

4x – 9 = 3

7x2 – 9y2 – 9z2 + 54y + 18z – 153 =0

Se trata de un hiperboloide.

74 Halla el lugar geométrico de los puntos que equidistan del plano x = y y delpunto (0, –2, 1).

d(P, π) = d(P, Q) =

( )2= x2 + y2 + 4y + 4 + z2 – 2z + 1

x2 + y2 – 2xy = 2x2 + 2y2 + 8y + 8 + 2z2 – 4z + 2

x2 + y2 + 2z2 + 2xy + 8y – 4z + 10 = 0

Se trata de un paraboloide.


75 La ecuación ax + by + cz + d = 0 representa un plano del espacio. Explicaqué característica tiene ese plano en cada uno de estos casos:

I) a = 0, b = 0 II) b = 0, c = 0

III) a = 0, c = 0 IV) d = 0

I) Es perpendicular al eje OZ. (Paralelo al plano OXY).

II) Es perpendicular al eje OX. (Paralelo al plano OYZ).

III)Es perpendicular al eje OY. (Paralelo al plano OXZ).

IV)Pasa por el origen, (0, 0, 0).

76 Define la proyección ortogonal de un punto P sobre un plano π y explicael procedimiento que emplearías para obtenerla.

|x – y|

√2

√(x2 + (y + 2)2 + (z – 1)2|x – y|

√2

√(x – 4)2 + (y – 3)2 + (z – 1)2

√(x – 4)2 + (y – 3)2 + (z – 1)2√(x + 4)2 + (y – 3)2 + (z – 1)2

√(x – 2)2 + ( y + 3)2 + (z – 4)2

√(x – 2)2 + (y + 3)2 + (z – 4)2


• La proyección ortogonal de un punto, P, sobre un plano, π, es un punto, P',

tal que el vector →PP' es perpendicular a π. Un procedimiento para obtener P'

sería el siguiente:

Se halla la recta, r, perpendicular a π que pasa por P. El punto de corte entrer y π es el punto buscado, P'.

77 Dada una recta r y un punto P de ella, ¿cuántas rectas perpendiculares a rque pasen por el punto P se pueden trazar?

Infinitas. Todas las que, pasando por P, están contenidas en el plano perpendicu-lar a r que pasa por P.

78 Dado el plano π: x – 3y + 2z – 1 = 0, escribe las condiciones que deben cum-plir las coordenadas de un vector

→v (a, b, c) para que tenga la dirección de

alguna recta contenida en el plano.→v(a, b, c) debe ser perpendicular al vector normal del plano π,

→n(1, –3, 2); es de-

cir: (a, b, c) · (1, –3, 2) = a – 3b + 2c = 0

79 Justifica que la distancia del punto A (x2, y2, z2) a la recta

= = se puede calcular mediante la fórmula:

d (A, r) =

Llamamos P (x1, y1, z1) y →d(a, b, c). P es un punto

de la recta y →d un vector dirección de esta.

La distancia de A a la recta r es igual a la altura del

paralelogramo determinado por →PA y

→d, es decir:

dist (A, r) = = =

=

80 Sean r la recta determinada por el punto A y el vector →dr y s la recta de-

terminada por el punto B y el vector →ds. Sabemos que r y s se cruzan.

a) Justifica que la distancia entre r y s se puede calcular así:

d (r, s) =

b) Justifica que la perpendicular común a r y s se puede obtener así:

det (→AX,

→dr ,

→dr ×

→ds) = 0

det (→BX,

→ds,

→dr ×

→ds) = 0

[ →AB,

→dr,

→ds]

→dr ×

→ds

(x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) × (a, b, c)√a2 + b2 + c2

|→PA ×

→d|

→d

Área paralelogramoBase

(x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1,) × (a, b, c)√a2 + b2 + c2

z – z1

c

y – y1

b

x – x1

a


P

h

A r

→d

S

a) dist (r, s) = altura del paralelepípedo determinado por:

→AB,

→dr y

→ds = =

b) La recta, p, perpendicular a r y a s, tiene por vector dirección →dr ×

→ds. Esta

recta, p, es la intersección de los planos α y β, siendo:

α: Plano que contiene a s y al vector →dr ×

→ds; es decir:

α: det (→AX,

→dr,

→dr ×

→ds) = 0, donde X = (x, y, z)

β: Plano que contiene a r y al vector →dr ×

→ds , es decir:

β: det (→BX,

→ds,

→dr ×

→ds) = 0

Por tanto: p:

81 Si A (x1, y1, z1) es un punto del plano π: ax + by + cz + d = 0, y B (x2, y2, z2)un punto tal que

→AB · (a, b, c) = 0, demuestra que B ∈ π .

→AB · (a, b, c) = 0 → a(x2 – x1) + b(y2 – y1) + c (z2 – z1) = 0 →

→ (ax2 + by2 + cz2) – (ax1 + by1 + cz1) = 0 →

–d (pues A ∈ π )

→ ax2 + by2 + cz2 + d = 0 → B ∈ π

Página 207

PARA PROFUNDIZAR

82 Los puntos P (1, –1, 1) y Q (3, –3, 3) son dos vértices opuestos de un cua-drado que está contenido en un plano perpendicular al plano de ecuaciónx + y = 0.

a) Halla los vértices restantes.

b)Calcula el perímetro del cuadrado.

a) Los otros dos vértices, R y S, pertenecen a la mediatrizdel segmento PQ.

La mediatriz del segmento PQ tiene como vector direc-ción el vector normal al plano x + y = 0; es decir, (1, 1, 0).

Pasa por el punto medio del segmento PQ, es decir, porM (2, –2, 2). Luego la ecuación de la mediatriz es:

r: x = 2 + λy = –2 + λz = 2

det (→AX,

→dr,

→dr ×

→ds) = 0

det (→BX,

→ds,

→dr ×

→ds) = 0

|[→AB,

→dr,

→ds]|

→dr ×

→ds

VolumenÁrea de la base


R Q

SP

Un punto de r es de la forma R (2 + λ, –2 + λ, 2).

Buscamos R tal que →PR ·

→QR = 0 (es decir

→PR ⊥

→QR):

→PR ·

→QR = λ2 – 1 + λ2 – 1 – 1 = 2λ2 – 3 = 0 →

λ = =

λ = – = –

Los vértices son: R ( , , 2) y S ( , , 2)b) La longitud de la diagonal es:

d = |→PQ|= |(2, –2, 2)|=

d 2 = l2 + l2 → d 2 = 2l2 → 12 = 2l2 → l =

El perímetro será: P = 4

83 Dados los puntos A (a, 0, 0), B (0, b, 0), C (0, 0, c), prueba que la distancia,d, del origen de coordenadas al plano ABC verifica:

= + +

El plano que pasa por A, B y C es:

π: + + = 1 (véase ejercicio 55 de la unidad 6),

es decir: π: x + y + z – 1 = 0

Así, si O(0, 0, 0), entonces:

dist (O, π) = —————————————— = —————————— = d →

→ + + = → + + = 1d2

1c2

1b2

1a2

1d

1c2

1b2

1a2

1c

1b

1a

zc

y

bxa

1c2

1b2

1a2

1d2

√6

√6

√12

–4 – √62

4 – √62

–4 + √62

4 + √62

√62√ 3

2

√62√ 3

2

→PR (1 + λ, –1 + λ, 1)→QR (–1 + λ, 1 + λ, –1)


l

l

d

Q

P

· 0 + · 0 + · 0 – 1 1

( )2 + ( )2 + ( )2 + + 1c2

1b2

1a2

1c

1b

1a

1c

1b

1a

√√

√

84 Dadas las rectas r, s y t :

r : s: t:

Halla las coordenadas de un punto P que está en la recta t y que determi-na con la recta s un plano que contiene a r.

• Escribimos las ecuaciones de r, s y t en forma paramétrica:

r: s: t:

• Hallamos la ecuación del plano, π, que contiene a r y a s:

Las rectas r y s se cortan en el punto (–2, 2, 2), luego el plano π contiene aeste punto.

Un vector normal al plano es:→dr ×

→ds = (0, 1, 1) × (1, –1, –2) = (–1, 1, –1) → →n(1, –1, 1)

Luego el plano es: π: 1(x + 2) – 1(y – 2) + 1(z – 2) = 0

π: x – y + z + 2 = 0

• P es el punto de corte de π con la recta t:

k – (–1 – k) + k + 2 = 0 → k + 1 + k + k + 2 = 0 → 3k + 3 = 0 → k = –1

El punto es P (–1, 0, –1)

85 Halla las intersecciones de la superficie + + = 1 con los planos

coordenados. ¿Qué figuras obtienes? ¿Cómo se llama la superficie dada?

+ + = 1

Con x = 0: + = 1 → Elipse de semiejes 4 y 3

Con y = 0: + = 1 → Elipse de semiejes 5 y 3

Con z = 0: + = 1 → Elipse de semiejes 5 y 4

Es un elipsoide.

y2

16x2

25

z2

9x2

25

z2

9y2

16

z2

9y2

16x2

25

z2

9y2

16x2

25

x = ky = –1 – kz = k

x = µy = –µz = –2 – 2µ

x = –2y = λz = λ

x – z = 0y + z = –1

2x + z = –2x + y = 0

x = –2y – z = 0


86 Halla el centro y las longitudes de los ejes del elipsoide:

2x2 + 3y2 + z2 – 8x + 6y – 4z – 3 = 0

2x2 + 3y2 + z2 – 8x + 6y – 4z – 3 = 0

2 (x2 – 4x + 4) + 3 (y2 + 2y + 1) + (z2 – 4z + 4) = 3 + 8 + 3 + 4

2 (x – 2)2 + 3 (y + 1)2 + (z – 2)2 = 18

+ – = 1

Centro: (2, –1, 2)

Semiejes: 3, y = 3

87 Halla las intersecciones de la superficie + – = 1 con los planos

coordenados y describe qué tipo de curvas obtienes. ¿Cómo se llama la

superficie dada?

+ – = 1

Con x = 0: – = 1 → Hipérbola, semieje real 2

Con y = 0: + = 1 → Hipérbola, semieje real 3

Con z = 0: + = 1 → Elipse de semiejes 3 y 2

Es un hiperboloide.


88 Haz de planos

La recta r : es la intersección de los planos π y σ.

El conjunto de todos los planos que contienen a r se llama HAZ DE PLANOS dearista r, y su expresión analítica es: a (2x + 3y – z – 4) + b (x – 2y + z + 1) = 0

π: 2x + 3y – z – 4 = 0σ: x – 2y + z + 1 = 0

y2

4x2

9

z2

16x2

9

z2

16y2

4

z2

16y2

4x2

9

z2

16y2

4x2

9

√2√18√6

(z – 2)2

18(y + 1)2

6(x – 2)2

9


x

z

y

r

Para cada par de valores de a y b (salvo para a = 0 y b = 0) se obtiene laecuación de un plano del haz.

a) Halla el plano del haz que pasa por el origen de coordenadas.

b) ¿Para qué valor de k uno de los planos del haz es perpendicular a la recta

t: = = ? ¿Cuál es ese plano del haz?

c) Halla dos puntos que pertenezcan a todos los planos del haz anterior.

d) Pon la expresión del haz de planos cuya arista es la recta s:

s: = =

e) ¿Cuál de los planos de este haz dista más del origen de coordenadas?

a) El término independiente será cero: –4a + b = 0 → b = 4a. Luego:

a(2x + 3y – z – 4) + 4a(x – 2y + z + 1) = 0; es decir:

2x + 3y – z – 4 + 4(x – 2y + z + 1) = 0

2x + 3y – z – 4 + 4x – 8y + 4z + 4 = 0

6x – 5y + 3z = 0

b) Un plano del haz es:

(2a + b)x + (3a – 2b)y + (–a + b)z + (–4a + b) = 0

Un vector normal al plano es: →n (2a + b, 3a – 2b, –a + b)

Para que el plano sea perpendicular a la recta, el vector normal del plano y elvector dirección de la recta han de ser paralelos, es decir, sus coordenadas de-ben ser proporcionales:

= =

–11(2k + 3) + (k – 3) = 0 → –22k – 33 + k – 3 = 0

–21k – 36 = 0 → k = = → k =

El plano del haz es:

–11b(2x + 3y – z – 4) + b(x – 2y + z + 1) = 0

–11(2x + 3y – z – 4) + (x – 2y + z + 1) = 0

–22x – 33y + 11z + 44 + x – 2y + z + 1 = 0

–21x – 35y + 12z + 45 = 0

–127

–127

–3621

a + 11b = 0 → a = –11b(2k + 3)a + (k – 3)b = 0

10a + 5b = 9a – 6b2ka + kb = –3a + 3b

–a + bk

3a – 2b5

2a + b3

z – 31

y + 1–2

x – 53

zk

y – 25

x3


Otra resolución:

Si la recta es perpendicular a un cierto plano del haz, será perpendicular a todaslas rectas contenidas en ese plano, y, en concreto, a la recta r, arista del haz.

Vector dirección de r: →d = (2, 3, –1) × (1, –2, 1) = (1, –3, –7)

Vector dirección de t: →d' = (3, 5, k)

→d ·

→d' = 0 → (1, –3, –7) · (3, 5, k) = 3 – 15 – 7k = 0 → k =

A partir de aquí, obtendríamos la relación entre a y b, y el plano del haz co-mo en el caso anterior.

c) Los puntos que pertenecen a todos los planos del haz son los puntos de la rectar. Por ejemplo: (1, 0, –2) y (0, 3, 5).

d) Escribimos la recta s en forma implícita:

= → –2x + 10 = 3y + 3 → –2x – 3y + 7 = 0

= → x – 5 = 3z – 9 → x – 3z + 4 = 0

s:

La expresión del haz de planos cuya arista es s es:

a(2x + 3y – 7) + b(x – 3z + 4) = 0

e) Es el plano que contiene a la recta (puesto que es del haz) y es perpendicular a→OO', siendo O (0, 0, 0) y O' la proyección de O sobre la recta.

Lo calculamos en el caso de la recta s:

Un punto genérico de la recta s es:

P (5 + 3λ, –1 – 2λ, 3 + λ)

Un vector dirección de s es →ds(3, –2, 1).

El vector →OP ha de ser perpendicular a

→ds:

→OP ·

→ds = 0 → 3(5 + 3λ) – 2(–1 – 2λ) + (3 + λ) = 0

15 + 9λ + 2 + 4λ + 3 + λ = 0 → 14λ + 20 = 0 → λ = =

Luego: O' ( , , ); y el vector normal al plano es →OO' ( , , ); o

bien (5, 13, 11).

El plano será: 5 (x – ) + 13 (y – ) + 11 (z – ) = 0

5x + 13y + 11z – 45 = 0

117

137

57

117

137

57

117

137

57

–107

–2014

2x + 3y – 7 = 0x – 3z + 4 = 0

z – 31

x – 53

y + 1–2

x – 53

–127


O(0, 0, 0)

P

d→s

s

O'

Algunos límites elementales

■ Utiliza tu sentido común para dar el valor de los siguientes límites:

a) x2, x3, (x3 – 3x2)

b) x2, x3, (x3 – x2)

c) x2, x3, (x3 – 5x2 + 3)

d) , ,

e) , ,

f) , ,

g) ,

h) ,

a) x2 = +∞; x3 = +∞; (x3 – 3x2) = +∞

b) x2 = +∞; x3 = – ∞; (x3 – x2) = – ∞

c) x2 = 4; x3 = 8; (x3 – 5x2 + 3) = –9

d) = 0; = 0; = 0

e) = 0; = 0; = 0

f) = +∞; = – ∞; = +∞; = 0xx2 + 1

límx → 0

1x2

límx → 0

1x

límx → 0–

1x

límx → 0+

xx2 + 1

límx → – ∞

1x2

límx → – ∞

1x

límx → – ∞

xx2 + 1

límx → +∞

1x2

límx → +∞

1x

límx → +∞

límx → 2

límx → 2

límx → 2

límx → – ∞

límx → – ∞

límx → – ∞

límx → +∞

límx → +∞

límx → +∞

x2

3x + 5lím

x → –∞

x3

x2 + 1lím

x → –∞

x3 – 5x2

x2 + 1lím

x → +∞

x3

x2 + 1lím

x → +∞

xx2 + 1

límx → 0

1x2lím

x → 0

1x

límx → 0

xx2 + 1

límx → –∞

1x2lím

x → –∞

1x

límx → –∞

xx2 + 1

límx → +∞

1x2lím

x → +∞

1x

límx → +∞

límx → 2

límx → 2

límx → 2

límx → –∞

límx → –∞

límx → –∞

límx → +∞

límx → +∞

límx → +∞

Unidad 8. Límites de funciones. Continuidad 1

LÍMITES DE FUNCIONES.CONTINUIDAD

8

g) = +∞; = +∞

h) = – ∞; = – ∞

Página 217

Exponenciales y logarítmicas

■ A la vista de estas gráficas, asigna valor a los siguientes límites:

a) 2x, 2x b) 2–x, 2–x

c) log2 x, log2 x, log2 x

d) log1/2 x, log1/2 x, log1/2 x

a) 2x = 0, 2x = +∞

b) 2–x = +∞, 2–x = 0

c) log2x no existe, log2x = – ∞, log2x = +∞

d) log1/2x no existe, log1/2x = +∞, log1/2x = – ∞

Con la calculadora

Tanteando con la calculadora, da el valor de los siguientes límites:

a)

b) (x – 3) · ln (x – 3)

c) (1 + )2x3x

límx → +∞

límx → 3

senxx

límx → 0

límx → +∞

límx → 0+

límx → – ∞

límx → +∞

límx → 0+

límx → – ∞

límx → +∞

límx → – ∞

límx → +∞

límx → – ∞

límx → +∞

límx → 0

límx → –∞

límx → +∞

límx → 0

límx → –∞

límx → +∞

límx → –∞

límx → +∞

límx → –∞

x2

3x + 5lím

x → – ∞x3

x2 + 1lím

x → – ∞

x3 – 5x2

x2 + 1lím

x → +∞x3

x2 + 1lím

x → +∞


y = 2–x = (—)x12

y = 2x

y = log2x

y = log1/2x

a) = 1

b) (x – 3) · ln (x – 3) = 0

c) (1 + )2x

= e6 � 403,43

Página 221

1. Si u (x) → 2 y v (x) → –3 cuando x → +∞, calcula el límite cuando x → +∞ de:

a) u(x) + v (x) b) v (x)/u (x) c) 5u (x)

d) e) u (x) · v (x) f )

a) [u(x) + v (x)] = 2 + (–3) = –1 b) =

c) 5u(x) = 52 = 25 d) no existe

e) [u (x) · v (x)] = 2 · (–3) = –6 f) =

2. Si u (x) → –1 y v (x) → 0 cuando x → +∞, calcula el límite cuando x → +∞ de:

a) u(x) – v (x) b) v (x) – u (x) c) v (x)/u (x)

d) log2 v (x) e) u (x) · v (x) f )

a) [u (x) – v (x)] = –1 – 0 = –1 b) [v (x) – u (x)] = 0 – (–1) = 1

c) = = 0

d) log2v (x) =

e) [u (x) · v (x)] = –1 · 0 = 0

f) = = –1

Página 222

3. Halla los siguientes límites:

a) (x2 + 3x – x3) b) (–5 · 22x)

a) (x2 + 3x – x3) = – ∞ b) (–5 · 22x) = – ∞límx → +∞

límx → +∞

límx → +∞

límx → +∞

3

√–13

√u (x)límx → +∞

límx → +∞

– ∞ si v (x) → 0+

no existe si v (x) → 0–

límx → +∞

0–1

v (x)u(x)

límx → +∞

límx → +∞

límx → +∞

3

√u (x)

3

√23

√u (x)límx → +∞

límx → +∞

√v (x)límx → +∞

límx → +∞

–32

v (x)u(x)

límx → +∞

límx → +∞

3

√u (x)√v (x)

3x

lím

lím

senxx

lím


4. Calcula estos límites:

a) b) (–2log10 x)

a) = +∞ b) (–2log10 x) = – ∞

Página 223

5. Indica cuáles de las siguientes expresiones son infinitos (±∞) cuando x → +∞:

a) 3x5 – + 1 b) 0,5x c) –1,5x

d) log2x e) 1/(x3 + 1) f )

g) 4x h) 4–x i) –4x

a) (3x5 – + 1) = +∞ → Sí

b) 0,5x = 0 → No

c) (–1,5x) = – ∞ → Sí

d) log2x = +∞ → Sí

e) = 0 → No

f) = +∞ → Sí

g) 4x = +∞ → Sí

h) 4–x = 0 → No

i) –4x = – ∞ → Sí

6. a) Ordena de menor a mayor los órdenes de los siguientes infinitos:

log2x x2 3x5 1,5x 4x

b) Teniendo en cuenta el resultado anterior, calcula:

a) 4x 1,5x 3x5 x2 log2x

b) = 0log2 x

√xlím

x → +∞

√x

√x1,5xlím

x → +∞

3x5

x2lím

x → +∞

log2 x

√xlím

x → +∞

√x

límx → +∞

límx → +∞

límx → +∞

√xlímx → +∞

1x3 + 1

límx → +∞

límx → +∞

límx → +∞

límx → +∞

√xlímx → +∞

√x

√x

límx → +∞

3

√x2 + 2límx → +∞

límx → +∞

3

√x2 + 2límx → +∞


= +∞

= 0

Página 224

7. Sabiendo que, cuando x → +∞, f (x) → +∞, g (x) → 4, h (x) → –∞, u (x) → 0,asigna, siempre que puedas, límite cuando x → +∞ a las expresiones siguientes:

a) f (x) – h(x) b) f (x) f (x) c) f (x) + h(x)

d) f (x)x e) f (x) · h(x) f) u (x)u (x)

g) f (x)/h(x) h) [–h(x)]h(x) i) g (x)h(x)

j) u (x)/h(x) k) f (x)/u (x) l) h (x)/u (x)

m) g (x)/u (x) n) x + f (x) ñ) f (x)h(x)

o) x + h(x) p) h (x)h(x) q) x –x

a) ( f (x) – h (x)) = +∞ – (– ∞) = +∞ + ∞ = +∞

b) f (x) f (x) = (+∞)+∞ = +∞

c) ( f (x) + h (x)) = +∞ + (– ∞) → Indeterminado

d) f (x) x = +∞+∞ = +∞

e) ( f (x) · h (x)) = +∞ · (– ∞) = – ∞

f ) u (x)u(x) = 00 → Indeterminado

g) = → Indeterminado

h) [–h (x)]h (x) = [+∞]– ∞ = 0

i) g (x)h (x) = 4– ∞ = 0

j) = = 0

k) = = ±∞

l) = = ±∞

m) = = ±∞

n) (x + f (x)) = +∞ + (+∞) = +∞límx → +∞

4(0)

g (x)u (x)

límx → +∞

– ∞(0)

h (x)u (x)

límx → +∞

+∞(0)

f (x)u (x)

límx → +∞

0– ∞

u (x)h (x)

límx → +∞

límx → +∞

límx → +∞

+∞– ∞

f (x)h (x)

límx → +∞

límx → +∞

límx → +∞

límx → +∞

límx → +∞

límx → +∞

límx → +∞

√x1,5xlím

x → +∞

3x5

x2lím

x → +∞


ñ) f (x)h(x) = (+∞)– ∞ = 0

o) (x + h (x)) = +∞ + (– ∞) → Indeterminado

p) h (x)h (x) = (– ∞)– ∞ → No existe

q) x –x = (+∞)– ∞ = 0

Página 225

8. Las funciones f, g, h y u son las del ejercicio propuesto 7 (página anterior).Di cuáles de las siguientes funciones son indeterminaciones. En cada caso, sies indeterminación, di de qué tipo, y, si no lo es, di cuál es el límite:

a) f (x) + h(x) b) f (x)/h(x) c) f (x)–h(x) d) f (x)h(x)

e) f (x)u (x) f ) u(x)h(x) g) [g (x)/4] f (x) h) g (x) f (x)

a) ( f (x) + h (x)) = +∞ + (– ∞). Indeterminado.

b) = . Indeterminado.

c) f (x)–h (x) = (+∞)+∞ = +∞

d) f (x)h (x) = (+∞)– ∞ = 0

e) f (x)u (x) = (+∞)0. Indeterminado.

f) u (x)h (x) = 0– ∞ = ±∞

g) [ ] f (x)= 1+∞. Indeterminado.

h) g (x)f (x) = 4+∞ = +∞

Página 227

1. Sin operar, di el límite, cuando x → +∞, de las siguientes expresiones:

a) (x2 – ) b) (x2 – 2x) c) –

d) 3x – 2x e) 5x – f) – log5 x4

a) (x2 – ) = +∞ b) (x2 – 2x ) = –∞límx → +∞

3

√2x + 1límx → +∞

√x3

√x8 – 2

√x√x2 + 13

√2x + 1

límx → +∞

g (x)4

límx → +∞

límx → +∞

límx → +∞

límx → +∞

límx → +∞

+∞– ∞

f (x)h(x)

límx → +∞

límx → +∞

límx → +∞

límx → +∞

límx → +∞

límx → +∞


c) ( – ) = +∞ d) (3x – 2x ) = +∞

e) (5x – ) = +∞ f ) ( – log5 x4) = +∞

2. Calcula el límite, cuando x → +∞, de las siguientes expresiones:

a) – b) –

c) – d) –

e) 2x – f ) –

a) ( – ) = =

= =

= = – ∞

b) ( – ) = = =

= = 0

c) ( – ) = = = +∞

d) ( – ) = =

= = = =

e) (2x – ) = =

= = = +∞

f ) ( – ) = =

= = = 0– 1

√—x + 1 + √

—x + 2

límx → +∞

x + 1 – x – 2

√—x + 1 + √

—x + 2

límx → +∞

(√—x + 1 – √

—x + 2 )(√

—x + 1 + √

—x + 2 )

√—x + 1 + √

—x + 2

límx → +∞

√x + 2√x + 1límx → +∞

3x2 – x

2x + √x2 + xlím

x → +∞4x2 – x2 – x

2x + √x2 + xlím

x → +∞

(2x – √—x2 + x )(2x + √

—x2 + x )

2x + √x2 + xlím

x → +∞√x2 + xlím

x → +∞

12

11 + 1

x – 1

√—x2 + x + √

—x2 + 1

límx → +∞

x2 + x – x2 – 1

√—x2 + x + √

—x2 + 1

límx → +∞

(√—x2 + x – √

—x2 + 1 )(√

—x2 + x + √

—x2 + 1 )

√—x2 + x + √

—x2 + 1

límx → +∞

√x2 + 1√x2 + xlímx → +∞

x2 + 5x + 42x

límx → +∞

3x2 + 5x – 2x2 + 42x

límx → +∞

x2 – 2x

3x + 52

límx → +∞

–x4x2 + 2

límx → +∞

2x3 – 2x3 – x4x2 + 2

límx → +∞

2x3 – x (2x2 + 1)2(2x2 + 1)

límx → +∞

x2

x3

2x2 + 1lím

x → +∞

–x4 – 14x3 + x2 + 7x – 10x2 – 4

límx → +∞

3x4 – 6x3 + 5x – 10 – 4x4 – 8x3 + x2 + 2xx2 – 4

límx → +∞

(3x3 + 5)(x – 2) – (4x3 – x)(x + 2)(x + 2)(x – 2)

límx → +∞

4x3 – xx – 2

3x3 + 5x + 2

límx → +∞

√x + 2√x + 1√x2 + x

√x2 + 1√x2 + xx2 – 2x

3x + 52

x2

x3

2x2 + 14x3 – x

x – 23x3 + 5x + 2

√xlímx → +∞

3

√x8 – 2límx → +∞

límx → +∞

√x√x2 + 1límx → +∞


3. Halla los siguientes límites cuando x → +∞:

a) (1 + )xb) (5 + )5x

c) (1 + )5

d) (1 + )xe) (5 + )5x

f) (1 – )5x

a) (1 + )x= [(1 + )5x ]1/5

= e1/5

b) (5 + )5x= 5+∞ = +∞

c) (1 + )5 = 15 = 1

d) (1 + )x= [(1 + )x/5] 5

= e5

e) (5 + )5x= 5+∞ = +∞

f ) (1 – )5x= [(1 + )–x ] –5

= e–5

4. Calcula estos límites cuando x → +∞:

a) (1 + )3x – 2b) (1 – )4x

c) (1 + )3x

d) (1 + )5 e) (1 – )3xf) (1 + )5x

a) (1 + )3x – 2= e3

b) (1 – )4x= [(1 + )–2x ] –2

= e–2

c) (1 + )3x= [(1 + )5x ] 3/5

= e3/5

d) (1 + )5 = 15 = 132x

límx → +∞

15x

límx → +∞

15x

límx → +∞

1–2x

límx → +∞

12x

límx → +∞

1x

límx → +∞

25x

12x

32x

15x

12x

1x

1–x

límx → +∞

1x

límx → +∞

5x

límx → +∞

1x/5

límx → +∞

5x

límx → +∞

15x

límx → +∞

15x

límx → +∞

15x

límx → +∞

15x

límx → +∞

1x

5x

5x

15x

15x

15x


e) (1 – )3x= [(1 + )–2x ] –3/2

= e–3/2

f ) (1 + )5x= [(1 + )5x/2] 2

= e2

Página 231

1. Sin operar, di el límite cuando x → –∞ de las siguientes expresiones:

a) x2 – b) x2 + 2x c) x2 – 2x

d) x2 – 2–x e) 2–x – 3–x f) – 5x

g) 2x – x2 h) x2 – i) – x2

j) 3–x – 2–x

a) (x2 – ) = +∞ – (– ∞) = +∞ + ∞ = +∞

b) (x2 + 2x) = +∞

c) (x2 – 2x) = +∞

d) (x2 – 2–x) = – ∞

e) (2–x – 3–x) = –∞

f ) ( – 5x) no existe

g) (2x – x2) = – ∞

h) (x5 – ) = – ∞

i) ( – x2) = – ∞

j) (3–x – 2–x) = +∞

2. Calcula el límite cuando x → –∞ de las siguientes expresiones:

a) – b) – c) –

d) 2x + e) + x f ) (1 + )2x3x

√x2 + 2x√x2 + x

√x2 + 1√x2 + xx2

x3

2x2 + 14x3 – x

x – 23x3 + 5x + 2

límx → – ∞

3

√x + 2límx → – ∞

√x4 – 1límx → – ∞

límx → – ∞

√x5 – 1límx → – ∞

límx → – ∞

límx → – ∞

límx → – ∞

límx → – ∞

3

√2x + 1límx → – ∞

3

√x + 2√x4 – 1

√x5 – 1

3

√2x + 1

15x/2

límx → +∞

25x

límx → +∞

1–2x

límx → +∞

12x

límx → +∞


g) (1 – )5x + 3h) ( )3x – 1

a) ( – ) = ( – ) =

= =

= = – ∞

b) ( – ) = ( + ) = =

= = 0

c) ( – ) = ( – ) =

= = =

= = = –

d) (2x + ) = (–2x + ) =

= = =

= = – ∞

e) ( + x) = ( – x) =

= = =

= = = = –1

f ) (1 + )2x= (1 + )–2x

= [(1 + )–x/3] 6= e6

g) (1 – )5x + 3= (1 + )–5x + 3

= e–51x

límx → +∞

1x

límx → – ∞

1–x/3

límx → +∞

3–x

límx → +∞

3x

límx → – ∞

–22

–21 + 1

–2x


x → +∞

x2 – 2x – x2


x → +∞(√—x2 – 2x – x)(√

—x2 – 2x + x)


x → +∞

√x2 – 2xlímx → +∞

√x2 + 2xlímx → – ∞

3x2 + x

–2x – √x2 – xlím

x → +∞

4x2 – x2 + x

–2x – √x2 – xlím

x → +∞

(–2x + √—x2 – x )(–2x – √

—x2 – x )

–2x – √x2 – xlím

x → +∞

√x2 – xlímx → +∞

√x2 + xlímx → – ∞

12

–11 + 1

– x – 1

√—x2 – x + √

—x2 + 1

límx → +∞

x2 – x – x2 – 1

√—x2 – x + √

—x2 + 1

límx → +∞

(√—x2 – x – √

—x2 + 2)(√

—x2 – x + √

—x2 + 1 )

√—x2 – x + √

—x2 + 1

límx → +∞

√x2 + 1√x2 – xlímx → +∞

√x2 + 1√x2 + xlímx → – ∞

x4x2 + 2

límx → +∞

–2x3 + 2x3 + x4x2 + 2

límx → +∞

x2

–x3

2x2 + 1lím

x → +∞x2

x3

2x2 + 1lím

x → – ∞

–x4 + 14x3 + x2 – 7x – 10x2 – 4

límx → +∞

3x4 – 5x + 6x3 – 10 – 4x4 + x2 + 8x3 – 2xx2 – 4

límx → +∞

–4x3 – x–x – 2

–3x3 + 5–x + 2

límx → +∞

4x3 – xx – 2

3x3 + 5x + 2

límx → – ∞

x2 + x – 1

x2 + 21x


h) ( )3x – 1= ( )–3x – 1

=

= e[( – 1) · (–3x – 1)]

= e( · (–3x – 1))

=

= e = e3

Página 234

1. Si f (x) = 3 y g (x) = 2, di el valor del límite cuando x tiende a 1 de

las siguientes funciones:

a) f (x) + g (x) b) f (x) · g (x) c)

d) f (x)g (x) e) f ) 4 f (x) – 5 g (x)

a) ( f (x) + g (x)) = 3 + 2 = 5

b) ( f (x) · g(x)) = 3 · 2 = 6

c) =

d) f (x)g (x) = 32 = 9

e) =

f ) (4f (x) – 5g(x)) = 12 – 10 = 2

2. Si f (x) = l y g (x) = m, entonces [ f (x) + g (x)] = l + m.

Enuncia las restantes propiedades de los límites de las operaciones con fun-ciones empleando la notación adecuada.

Si f (x) = l y g (x) = m, entonces:

1) [ f (x) + g(x)] = l + m

2) [ f (x) – g(x)] = l – mlímx → a

límx → a

límx → a

límx → a

límx → a

límx → a

límx → a

límx → 1

√2√g(x)límx → 1

límx → 1

32

f (x)

g(x)lím

x → 1

límx → 1

límx → 1

√g (x)

f (x)g (x)

límx → 1

límx → 1

3x2 + 10x + 3x2 + 2

límx → +∞

–x – 3

–x2 + 2lím

x → +∞x2 – x – 1

x2 + 2lím

x → +∞

x2 – x – 1x2 + 2

límx → +∞

x2 + x – 1x2 + 2

límx → – ∞


3) [ f (x) · g(x)] = l · m

4) = (Si m ≠ 0).

5) Si f (x) > 0, [ f (x)g (x)] = lm

6) Si n es impar, o si n es par y f (x) ≥ 0 → =

7) Si α > 0 y f (x) > 0, [logα f (x)] = logα l

3. Si p (x) = +∞, q (x) = +∞, r (x) = 3 y s (x) = 0, di, en los casos

que sea posible, el valor del de las siguientes funciones:

(Recuerda que las expresiones (+∞)/(+∞), (+∞) – (+∞), (0) · (+∞), (1)(+∞),(0)/(0) son indeterminaciones).

a) 2p (x) + q (x) b) p (x) – 3q (x) c) d)

e) f ) g) s (x) · p (x) h) s (x)s (x)

i ) p (x)r (x) j ) r (x)s (x) k) l ) [ ] s (x)

m) r (x)p (x) n) r (x)–q (x) ñ) ( ) p (x)o) ( )–p (x)

a) [2p (x) + q (x)] = +∞ + (+∞) = +∞

b) [p (x) – 3q (x)] = +∞ – (+∞). Indeterminado.

c) = = 0

d) = 1 = 1

e) = = 0

f ) = . Indeterminado.

g) [s (x) · p (x)] = 0 · (+∞). Indeterminado.límx → 2

+∞+∞

p (x)q (x)

límx → 2

0+∞

s (x)q (x)

límx → 2

límx → 2

p (x)p (x)

límx → 2

3+∞

r (x)p (x)

límx → 2

límx → 2

límx → 2

r (x)3

r (x)3

r (x)3

3 – r (x)s (x)

p (x)q (x)

s (x)q (x)

p (x)p (x)

r (x)p (x)

límx → 2

límx → 2

límx → 2

límx → 2

límx → 2

límx → a

n

√ln

√f (x)límx → a

límx → a

lm

f (x)

g(x)lím

x → a

límx → a


h) s (x)s (x) = 00. Indeterminado.

i) p (x)r (x) = +∞3 = +∞

j) r (x)s (x) = 30 = 1

k) = = . Indeterminado.

l) ( )s (x)= 10 = 1

m) r (x)p (x) = 3+∞ = +∞

n) r (x)–q (x) = 3–∞ = 0

ñ) ( )p (x)= 1+∞. Indeterminado.

o) ( )–p (x)= 1– ∞. Indeterminado.

Página 235

4. Calcula los límites siguientes:

a) b)

a) = =

= = =

b) = =

5. Calcula los límites siguientes:

a) b)

a) = 6

= 6

= 0√ (x – 1)3 (x + 3)

x4límx → –3√ (x – 1)3 (x + 3)3

x4 (x + 3)2lím

x → –3

√x2 + 2x – 33

√x3 + 3x2lím

x → –3

4

√x3 – x

√x2 + x – 2lím

x → 1

√x2 + 2x – 33

√x3 + 3x2lím

x → –3

1528

4584

x3 – 5x + 1x3 + 2x2 – 3x

límx → 4

–98

9–8

x2 – 3x + 5x – 7

límx → –1

(x + 1)(x2 – 3x + 5)(x + 1)(x – 7)

límx → –1

x3 – 2x2 + 2x + 5x2 – 6x – 7

límx → –1

x3 – 5x + 1

x3 + 2x2– 3xlím

x → 4

x3 – 2x2 + 2x + 5

x2 – 6x – 7lím

x → –1

r (x)3

límx → 2

r (x)3

límx → 2

límx → 2

límx → 2

r (x)3

límx → 2

00

3 – 3(0)

3 – r (x)s (x)

límx → 2

límx → 2

límx → 2

límx → 2


b) = 4

= 4

→

→f (x) no existe

f (x) = +∞

Página 236

6. Calcula: ( – )( – ) = ( – ) =

= =

= =

= = =

= = = –5

7. Calcula: ( )( ) = e

[( – 1) · ]= e

( · )=

= e = e = e12

Página 239

1. Encuentra cuatro intervalos distintos en cada uno de los cuales la ecuación:2x4 – 14x2 + 14x – 1 = 0 tenga una raíz.

Consideramos la función f (x) = 2x4 – 14x2 + 14x – 1.

Tenemos que f (x) es continua en Á y que:

Hay una raíz en (–4, –3).

f (–4) = 231 > 0f (–3) = –7 < 0

(x – 1) (x + 1)(x – 3)

límx →7

(x – 7) (x – 1) (x + 1)(x – 3) (x – 7)

límx →7

x + 1x – 7

x2 – 8x + 7x – 3

límx →7

x + 1x – 7

x2 – 7x + 4x – 3

límx →7

x + 1x – 7x2 – 7x + 4

x – 3lím

x → 7

x + 1x – 7x2 – 7x + 4

x – 3lím

x → 7

–102 · 1

–7x2 + x – 10(x + 2)(x2 + 1)

límx → 0

x (–7x2 + x – 10)x (x + 2)(x2 + 1)

límx → 0

–7x3 + x2 – 10xx (x + 2)(x2 + 1)

límx → 0

x4 – 5x3 + 2x2 + x2 – 5x + 2 – x4 – 2x2 – x – 2x3 – 4x – 2x (x + 2)(x2 + 1)

límx → 0

(x2 + 1)(x2 – 5x + 2) – (x + 2)(x3 + 2x + 1)x (x + 2)(x2 + 1)

límx → 0

x3 + 2x + 1x( x 2 + 1 )

x2 – 5x + 2x (x + 2)

límx → 0

x3 + 2x + 1x3 + x

x2 – 5x + 2x2 + 2x

límx → 0

x3 + 2x + 1

x3 + xx2 – 5x + 2

x2 + 2xlím

x → 0

límx → 1+

límx → 1–

√ x (x + 1)

(x + 2)2 (x – 1)lím

x → 1√x (x – 1)(x + 1)

(x + 2)2 (x – 1)2límx → 1

4√x3 – x

√x2 + x – 2lím

x → 1


Hay una raíz en (0, 1).

Hay una raíz en (1; 1,5).

Hay una raíz en (1,5; 2).

2. Comprueba que las funciones ex + e–x – 1 y ex – e–x se cortan en algún punto.

Consideramos la función diferencia:

F (x) = ex + e–x – 1 – (ex – e–x) = ex + e–x – 1 – ex + e–x = 2e–x – 1

F (x) es una función continua. Además:

Signo de F (0) ≠ signo de F (1).

Por el teorema de Bolzano, existe c ∈ (0,1) tal que F (c) = 0; es decir, existe c ∈ (0, 1) tal que las dos funciones se cortan en ese punto.

3. Justifica cuáles de las siguientes funciones tienen máximo y mínimo absolutoen el intervalo correspondiente:

a) x2 – 1 en [–1, 1] b) x2 en [–3, 4]

c) 1/(x – 1) en [2, 5] d) 1/(x – 1) en [0, 2]

e) 1/(1 + x2) en [–5, 10]

a) f (x) = x2 – 1 es continua en [–1, 1]. Por el teorema de Weierstrass, podemos ase-gurar que tiene un máximo y un mínimo absolutos en ese intervalo.

b) f (x) = x2 es continua en [–3, 4]. Por tanto, también tiene un máximo y un mínimoabsolutos en ese intervalo.

c) f (x) = es continua en [2, 5]. Por tanto, tiene un máximo y un mínimo abso-

lutos en ese intervalo.

d) f (x) = no es continua en [0, 2], pues es discontinua en x = 1. No podemos

asegurar que tenga máximo y mínimo absolutos en ese intervalo. De hecho, no tie-

ne ni máximo ni mínimo absolutos, puesto que:

f (x) = – ∞ y f (x) = +∞

e) f (x) = es continua en [–5, 10]. Por tanto, tiene máximo y mínimo absolu-

tos en ese intervalo.

11 + x2

límx → 1+

límx → 1–

1x – 1

1x – 1

f (0) = 1 > 0f (1) = –0,26 < 0

f (1,5) = –1,375 < 0f (2) = 3 > 0

f (1) = 1 > 0f (1,5) = –1,375 < 0

f (0) = –1 < 0f (1) = 1 > 0



PARA PRACTICAR

1 Sabiendo que lím an = +∞, lím bn = –∞ y lím cn = 3, di en cuáles de los si-

guientes casos hay indeterminación.

En los casos en que no la haya, di cuál es el límite cuando x → +∞:

a) an + bn b) bn + cn

c) d)

e) (an)bn f ) [3 – cn] · an

g) h) ( )bn

a) lím ( an + bn ) = lím an + lím bn = +∞ + (– ∞) =

= +∞ – (+∞) → Indeterminación.

b) lím ( bn + cn ) = lím bn + lím cn = – ∞ + 3 = – ∞

c) lím = = +∞

d) lím = → Indeterminación.

e) lím [an]bn = 3– ∞ = = 0

f ) lím [3 – cn] · an = 0 · (+∞) → Indeterminación.

g) lím = = ±∞ (puede ser +∞ o – ∞).

h) lím [ ] bn= 1– ∞ → Indeterminación.

2 Calcula los límites cuando x → –∞ de las siguientes funciones:

a) f (x) = b) g (x) =

c) h(x) = d) i (x) = x3 + 2x – 3

7 + 5x33x2 + x – 4

2x + 3

10x – 5x2 + 1

2x + 52 – x

3cn

– ∞(0)

bn

3 – cn

13+∞

+∞– ∞

an

bn

+∞3

an

cn

3

cn

bn

3 – cn

an

bn

an

cn


a) = = –2

b) = 0

c) = = – ∞

d) = =


a) b)

c) d)

a) = =

b) = +∞

c) = 0

d) = 0

4 Calcula estos límites:

a) (ex – x3) b)

c) ( – ) d)

a) (ex – x3) = +∞

b) = 0

c) ( – ) = +∞

d) = 0ln (x2 + 1)x

límx → +∞

√x + 7√x2 + xlímx → +∞

x2 + 1

exlím

x → +∞

límx → +∞

ln (x2 + 1)x

límx → +∞

√x + 7√x2 + x límx → +∞

x2 + 1

exlím

x → +∞lím

x → +∞

3n

√n3 + 2lím

1 + √n2n – 3

lím

√ 5n2 – 7n + 1lím

√32

√3 n2n

lím√3n2 + 6n

2n + 1lím

3n

√n3 + 2lím

1 + √n2n – 3

lím

√5n2 – 7n + 1lím

√3n2 + 6n2n + 1

lím

15

–x3 – 2x – 37 – 5x3

límx → +∞

x3 + 2x – 37 + 5x3

límx → – ∞

3x2 – x – 4–2x + 3

límx → +∞

3x2 + x – 42x + 3

límx → – ∞

10x – 5x2 + 1

límx → – ∞

–2x + 52 + x

límx → +∞

2x + 52 – x

límx → – ∞


5 Calcula los siguientes límites y representa gráficamente los resultados obte-nidos:

a) (0,5x + 1) b) 2x + 1

c) (1 – )xd) (1 + )1 – 3x

a) (0,5x + 1) = (0,5–x + 1) = +∞

b) 2x + 1 = 2–x + 1 = 0

c) (1 – )x= (1 + )– x

= e–1 =

d) (1 + )1 – 3x= (1 – )1 + 3x

=

= e(1 – – 1) · (1 + 3x)

= e( )

= e–6 =

6 Halla:

a) ( – ) b) ( + x)

a) ( – ) =

= =

= = =

= = = = –1

b) ( + x) = ( – x) =

= = =

= = 01

√x2 + 1 + xlím

x → +∞

x2 + 1 – x2

√x2 + 1 + xlím

x → +∞

(√—x2 + 1 – x)(√

—x2 + 1 + x)

√x2 + 1 + xlím

x → +∞

√x2 + 1límx → +∞

√x2 + 1límx → – ∞

–22

–21 + 1

–2x + 4

√—x2 – 2x + √

—x2 – 4

límx → +∞

2x + 4

√—x2 + 2x + √

—x2 – 4

límx → – ∞

(x2 + 2x) – (x2 – 4)

√—x2 + 2x + √

—x2 – 4

límx → – ∞

(√—x2 + 2x – √

—x2 – 4 )(√

—x2 + 2x + √

—x2 – 4 )

√—x2 + 2x + √

—x2 – 4

límx → – ∞

√x2 – 4√x2 + 2xlímx → – ∞

√x2 + 1límx → –∞

√x2 – 4√x2 + 2x límx → –∞

1e6

–2 – 6xx

límx → +∞

2x

límx → +∞

2x

límx → +∞

2x

límx → – ∞

1e

1x

límx → +∞

1x

límx → – ∞

límx → +∞

límx → – ∞

límx → +∞

límx → – ∞

2x

límx → –∞

1x

límx → –∞

límx → –∞

límx → –∞


1/e

e–6

7 Sabiendo que:

p (x) = +∞ q (x) = –∞

r (x) = 3 s (x) = 0

di, en los casos que sea posible, el valor de los siguientes límites:

a) b) [s (x) · q (x)]

c) [s (x)]p (x) d) [p (x) – 2q (x)]

a) = = 0

b) [s (x) · q (x)] = 0 · (–∞) → Indeterminado.

c) [s (x)]p (x) = 0+∞ = 0

d) [p (x) – 2q (x)] = +∞ – 2 (– ∞) = +∞ + (+∞) = +∞

8 Calcula:

a) ( – ) b) [ – ]a) ( – ) = = = .


= – ∞; = +∞.

b) [ – ] = = =

= =


= +∞; = +∞.x + 1x (x – 1)2

límx → 1+

x + 1x (x – 1)2

límx → 1–

20

x + 1x (x – 1)2

límx → 1

2x – x + 1x (x – 1)2

límx → 1

2x – (x – 1)x (x – 1)2

límx → 1

1x (x – 1)

2(x – 1)2

límx → 1

3x3

límx → 0+

3x3

límx → 0–

3(0)

3x3

límx → 0

x2 + 3 – x2

x3lím

x → 0

1x

x2 + 3

x3lím

x → 0

1x (x – 1)

2(x – 1)2

límx → 1

1x

x2 + 3

x3lím

x → 0

límx → 2

límx → 2

límx → 2

0+∞

s (x)p (x)

límx → 2

límx → 2

límx → 2

límx → 2

s (x)

p (x)lím

x → 2

límx → 2

límx → 2

límx → 2

límx → 2


9 Calcula el límite de las siguientes funciones cuando x → +∞:

a) f (x) = b) g (x) =

c) h (x) = d) i (x) =

a) = =

b) = ( + 1) = +∞ + 1 = +∞

c) = = = =

d) = 3

Página 246


a) ( – ) b) (x2 – )

c) (1,2x – ) d) ( )x – 1

a) ( – ) = ( ) =

= = = – ∞

b) (x2 – ) = =

= = = = 0

c) (1,2x – ) = +∞

d) ( )x – 1= ( )+∞

= +∞32

3x + 42x + 5

límx → +∞

3x2

x + 1lím

x → +∞

–2x

x2 + √x4 + 2xlím

x → +∞

x4 – x4 – 2x

x2 + √x4 + 2xlím

x → +∞

x4 – (x4 + 2x)

x2 + √x4 + 2xlím

x → +∞

(x2 – √—x4 + 2x )(x2 + √

—x4 + 2x )

x2 + √x4 + 2xlím

x → +∞√x4 + 2xlím

x → +∞

–x2 – 13x2x + 2

límx → +∞

2x2 – 10x – 3x2 – 3x2x + 2

límx → +∞

2x2 – 10x – 3x (x + 1)2(x + 1)

límx → +∞

3x2

x2 – 5xx + 1

límx → +∞

3x + 42x + 5

límx → +∞

3x2

x + 1lím

x → +∞

√x4 + 2x límx → +∞

3x2

x2 – 5xx + 1

límx → +∞

3 · 2x

2x + 1lím

x → +∞

√22√22

2

√2

2√—x

√—2 √

—x

límx → +∞

3 + 2√x

√2x + 1lím

x → +∞

xlog x

límx → +∞

x + log x

log xlím

x → +∞

54

5x2 – 2x + 1

4x2 – 4x + 1lím

x → +∞

5x2 – 2x + 1

(2x – 1)2lím

x → +∞

3 · 2x

2x + 13 + 2 √x

√2x + 1

x + log x

log x5x2 – 2x + 1

(2x – 1)2


11 Calcula:

a) [ – ] b) ( )c) ( ) d) (2x + 1 – )

a) [ – ] = [ – ] =

= = = =


= +∞; = – ∞

b) = =

= = =

= = =

c) = = =

= = =


= – ∞; = +∞

d) (2x + 1 – ) = =

= = =

= = = = 144

42 + 2

4x + 2

(2x + 1 + √4x2 + 1)lím

x → +∞

4x2 + 4x + 1 – 4x2 + 1

(2x + 1 + √4x2 + 1)lím

x → +∞(2x + 1)2 – (4x2 + 1)

(2x + 1 + √4x2 + 1)lím

x → +∞

(2x + 1 – √—4x2 + 1)(2x + 1 + √

—4x2 + 1)

(2x + 1 + √4x2 + 1)lím

x → +∞√4x2 + 1lím

x → +∞

1

x (√x + 9 + 3)lím

x → 0+

1

x (√x + 9 + 3)lím

x → 0–

1(0)

1

x (√x + 9 + 3)lím

x → 0

x

x2 (√x + 9 + 3)lím

x → 0

x + 9 – 9

x2 (√x + 9 + 3)lím

x → 0

(√—x + 9 – 3)(√

—x + 9 + 3)

x2 (√x + 9 + 3)lím

x → 0

√x + 9 – 3x2lím

x → 0

12

1

1 + √3 – xlím

x → 2

x – 2

(x – 2)(1 + √3 – x )lím

x → 2

1 – 3 + x

(x – 2)(1 + √3 – x )lím

x → 2

1 – (3 – x)

(x – 2)(1 + √3 – x )lím

x → 2

(1 – √—3 – x)(1 + √

—3 – x)

(x – 2)(1 + √3 – x )lím

x → 2

1 – √3 – xx – 2

límx → 2

–4x + 15(x – 2)(x – 3)

límx → 2+

–4x + 15(x – 2)(x – 3)

límx → 2–

7(0)

–4x + 15(x – 2)(x – 3)

límx → 2

3 – 4x + 12(x – 2)(x – 3)

límx → 2

3 – 4(x – 3)(x – 2)(x – 3)

límx → 2

4(x – 2)

3(x – 2)(x – 3)

límx → 2

4x – 2

3x2 – 5x + 6

límx → 2

√4x2 + 1límx → +∞

√x + 9 – 3x2

límx → 0

1 – √3 – xx – 2

límx → 2

4x – 2

3x2 – 5x + 6

límx → 2


12 Averigua si estas funciones son continuas en x = 2:

a) f (x) = b) f (x) =

a) f (x) = (3x – 2) = 4

f (x) = (6 – x) = 4

f (2) = 6 – 2 = 4

b) f (x) = (x2 – 1) = 3

f (x) = (2x + 1) = 5

13 Estudia la continuidad de estas funciones:

a) f (x) = b) f (x) =

a) • En x ≠ 1 → f (x) es continua; puesto que ex y ln x son continuas parax < 1 y x ≥ 1, respectivamente.

• En x = 1: f (x) = ex = e ≠ f (x) = (ln x) = 0

No es continua en x = 1, pues no existe f (x).

b) El dominio de la función es D = Á – {0}.

• Si x ≠ 0 y x ≠ 1 → La función es continua.

• En x = 0: Es discontinua, puesto que f (x) no está definida para x = 0. Ade-más, f (x) = – ∞ y f (x) = +∞. Hay una asíntota vertical en x = 0.

• En x = 1: f (x) = = 1

f (x) = (2x – 1) = 1

f (1) = 2 · 1 – 1 = 2 – 1 = 1

PARA RESOLVER

14 a) Calcula el límite de la función f (x) cuando x → 0, x → 2, x → 3,x → +∞, x → –∞:

f (x) =

b) Representa gráficamente los resultados.

x – 3x2 – 5x + 6

límx → 1+

límx → 1+

1x

límx → 1–

límx → 1–

límx → 0+

límx → 0–

límx → 1

límx → 1

límx → 1+

límx → 1

límx → 1–

1/x si x < 12x – 1 si x ≥ 1

ex si x < 1ln x si x ≥ 1

límx → 2+

límx → 2+

límx → 2–

límx → 2–

límx → 2+

límx → 2+

límx → 2–

límx → 2–

x2 – 1 si x ≤ 22x + 1 si x > 2

3x – 2 si x < 26 – x si x ≥ 2


S

f (x) es continua en x = 2, puesto que f (x) = f (2).lím

x → 2

f (x) no es continua en x = 2, puesto que no existe f (x).lím

x → 2

f (x) es continua en x = 1, pues f (x) = f (1).lím

x → 1

a) f (x) = =

f (x) = =

f (x) = = .

Hallamos los límites laterales: f (x) = – ∞; f (x) = +∞

f (x) = = 1

f (x) = 0; f (x) = 0

b)

15 a) Calcula el límite de la función y = en los puntos en los que noestá definida.

b) Halla su límite cuando x → +∞ y cuando x → –∞ y representa la funcióncon la información que obtengas.

c) ¿Cuáles son los puntos de discontinuidad de esta función?

a) El dominio de la función es: D = Á – {0, 3}, pues el denominador se anula en:

x2 – 3x = 0 → x (x – 3) = 0

y = =

= .

Hallamos los límites laterales: = – ∞; = +∞

= = 263

x + 3x

límx → 3

x + 3x

límx → 0+

x + 3x

límx → 0–

3(0)

x + 3x

límx → 0

(x + 3)(x – 3)x (x – 3)

x2 – 9x2 – 3x

x = 0x = 3

x2 – 9

x2 – 3x

límx → – ∞

límx → +∞

1x – 2

límx → 3

límx → 3

límx → 2+

límx → 2 –

1(0)

1x – 2

límx → 2

límx → 2

–12

–36

límx → 0

x – 3(x – 3)(x – 2)

x – 3x2 – 5x + 6


1

–11 32

S

b) = 1; = 1

c) La función es discontinua en x = 0 (tiene una asíntota vertical) y en x = 3 (noestá definida; tiene una discontinuidad evitable).

16 Determina el valor de a para que se verifique ( – x) = 2.

( – x) = =

= = = = = 2 → a = 4

17 Halla los puntos de discontinuidad de la función y = – y di sien alguno de ellos la discontinuidad es evitable.

y = – = = = =

=

La función es discontinua en x = 3 y en x = –3; pues no está definida para esosvalores.

• En x = –3: = – ∞; = +∞

Hay una asíntota vertical en x = –3, la discontinuidad no es evitable.

• En x = 3: = = =

Luego, en x = 3, la discontinuidad es evitable.

18 Calcula el valor que debe tener k para que las siguientes funciones seancontinuas:

a) f (x) = b) f (x) =

a) • Si x ≠ 2, la función es continua.

x + k si x ≤ 0x2 – 1 si x > 0

x + 1 si x ≤ 2k – x si x > 2

13

26

2(x + 3)

límx → 3

2(x – 3)(x – 3)(x + 3)

límx → 3

2(x + 3)

límx → –3 +

2(x – 3)(x – 3)(x + 3)

límx → –3 –

2(x – 3)(x – 3)(x + 3)

2x – 6(x – 3)(x + 3)

2x + 6 – 12(x – 3)(x + 3)

2(x + 3) – 12(x – 3)(x + 3)

12x2 – 9

2x – 3

12x2 – 9

2x – 3

a2

a1 + 1

ax + 1

√x2 + ax + 1 + xlím

x → +∞

x2 + ax + 1 – x2

√x2 + ax + 1 + xlím

x → +∞

(√—x2 +

—ax + 1 – x)(√

—x2 +

—ax + 1 + x)

√x2 + ax + 1 + xlím

x → +∞√x2 + ax + 1lím

x → +∞

√x2 + ax + 1límx → +∞

x + 3x

límx → – ∞

x + 3x

límx → +∞


1

1 32

2

S

S

• En x = 2:

f (x) = (x + 1) = 3

f (x) = (k – x) = k – 2 Para que sea continua, ha de ser: k – 2 = 3 → k = 5

f (2) = 2 + 1 = 3

b) • Si x ≠ 0, la función es continua.

• En x = 0:

f (x) = (x + k) = k

f (x) = (x2 – 1) = –1 Para que sea continua, ha de ser: k = –1

f (0) = 0 + k = k

19 Calcula el valor de k para que cada una de las siguientes funciones sea con-tinua:

a) f (x) = b) f (x) =


• Si x = 1:

f (x) = = =

= (x3 + x2 + x + 1) = 4

f (1) = k

Para que sea continua, ha de ser k = 4.

b) • Si x ≠ 1, la función es continua.

• Si x = 1:

= = =

= =

f (1) = k

Para que sea continua, ha de ser k = .12

12

1

√x + 1lím

x → 1

(x – 1)

(x – 1)(√—x + 1)

límx → 1

(√—x – 1)(√—

x + 1)(x – 1)(√

—x + 1)

límx → 1

√x – 1x – 1

límx → 1

límx → 1

(x3 + x2 + x + 1)(x – 1)(x – 1)

límx → 1

x4 – 1x – 1

límx → 1

límx → 1

√x – 1———— si x ≠ 1x – 1

k si x = 1

x4 – 1——— si x ≠ 1x – 1

k si x = 1

límx → 0+

límx → 0+

límx → 0–

límx → 0–

límx → 2+

límx → 2+

límx → 2–

límx → 2–


S20 Estudia la continuidad de cada una de las siguientes funciones para los dis-

tintos valores del parámetro a:

a) f (x) = b) f (x) =

a) • En x ≠ 2, la función es continua.

• En x = 2:

f (x) = (x2 + ax) = 4 + 2a

f (x) = (a – x2) = a – 4 Para que sea continua, ha de ser: 4 + 2a = a – 4 → a = –8

f (2) = 4 + 2a

Por tanto, la función es continua si a = –8, y es discontinua (en x = 2) si a ≠ –8.

b) • En x ≠ 0, la función es continua.

• En x = 0:

f (x) = eax = 1

f (x) = (x + 2a) = 2a Para que sea continua, ha de ser:

1 = 2a → a =

f (0) = 1

Por tanto, la función es continua si a = , y es discontinua (en x = 0) si a ≠ .

Página 247

21 Estudia la continuidad de esta función:

f (x) =

• Si x ≠ –1 y x ≠ 1 → la función es continua.

• Si x = –1:

f (x) = |x + 2|= 1

f (x) = x2 = 1 La función es continua en x = –1.

f (–1) = 1

límx → –1+

límx → –1+

límx → –1–

límx → –1–

x + 2 si x < –1x2 si –1 ≤ x < 12x + 1 si x > 1

12

12

12

límx → 0+

límx → 0+

límx → 0–

límx → 0–

límx → 2+

límx → 2+

límx → 2–

límx → 2–

eax si x ≤ 0x + 2a si x > 0

x2 + ax si x ≤ 2a – x2 si x > 2


S

• Si x = 1 → No es continua, pues no está definida en x = 1; no existe f (1).Además:

f (x) = x2 = 1

f (x) = (2x + 1) = 3La discontinuidad es de salto (finito).

22 Un comerciante vende un determinado producto. Por cada unidad de pro-ducto cobra la cantidad de 5 €. No obstante, si se le encargan más de 10 uni-dades, disminuye el precio por unidad, y por cada x unidades cobra:

C (x) =

a) Halla a de forma que el precio varíe de forma continua al variar el nú-mero de unidades que se compran.

b) ¿A cuánto tiende el precio de una unidad cuando se compran “muchísi-mas” unidades?

☛ El precio de una unidad es C (x)/x.

a) C (x) = (5x) = 50

C (x) = =

C (10) = 50


= 50 → 100a + 500 = 2 500 → 100a = 2 000 → a = 20

b) = = = ≈ 4,47 €

23 Dada la función f (x) = :

a) Estudia su continuidad.

b) Halla f (x) y f (x).


• En x = 0:

f (x) = ex = 1

f (x) = (1 – x) = 1 También es continua en x = 0.

f (0) = 1 – 0 = 1

Por tanto, f (x) es continua.

límx → 0+

límx → 0+

límx → 0–

límx → 0–

límx → –∞

límx → +∞

ex si x < 01 – x si x ≥ 0

√20√20x2 + 500x

límx → +∞

√ax2 + 500x

límx → +∞

C (x)x

límx → +∞

√100a + 500

√100a + 500√ax2 + 500límx → 10+

límx → 10+

límx → 10–

límx → 10–

5x si 0 < x ≤ 10

√ax2 + 500 si x > 10

límx → 1+

límx → 1+

límx → 1–

límx → 1–


b) f (x) = (1 – x) = – ∞

f (x) = ex = e– ∞ = = 0

24 En el laboratorio de Biología de la universidad, han determinado que el ta-maño T de los ejemplares de una cierta bacteria (medido en micras) varíacon el tiempo t, siguiendo la ley:

T (t) =

El parámetro a es una variable biológica cuya interpretación trae de cabezaa los científicos, pero piensan que puede haber un valor para el cual el cre-cimiento se mantenga continuo en t = 8.

a) Decide la cuestión.

b) Investiga cuál llegará a ser el tamaño de una bacteria si se la cultiva inde-finidamente.

a) T (t ) = =

T (t ) = = =

= = =

= = =

= = =

Para que T (t ) pueda ser continua, tendría que cumplirse que:

= → 8 + a = → a =

Pero, si a = , quedaría T (t ) = si t < 8.

Esto daría lugar a que T (t ) no existiera para t ≤ = 7,75 horas.

Por tanto, no hay ningún valor de a para el que el crecimiento se mantengacontinuo.

b) T (t ) = = = ≈ 1,73 micras.√3√31

–3 + √3t – 15t – 8

límt → +∞

límt → +∞

314

√ t – 31 4

–314

–314

14

12

√8 + a

12

36

3

√3t – 15 + 3lím

t → 8+

3(t – 8)

(t – 8)(√3t – 15 + 3)lím

t → 8+

3t – 24

(t – 8)(√3t – 15 + 3)lím

t → 8+

3t – 15 – 9

(t – 8)(√3t – 15 + 3)lím

t → 8+

(√—3t – 15 – 3)(√

—3t – 15 + 3)

(t – 8)(√3t – 15 + 3)lím

t → 8+

√3t – 15 – 3t – 8

límt → 8+

–3 + √3t – 15t – 8

límt → 8+

límt → 8+

√8 + a√t + alímt → 8–

límt → 8–

√t + a si t < 8 horas

–3 + √3t – 15————— si t > 8 horas

t – 8

1e+∞

límx → – ∞

límx → – ∞

límx → +∞

límx → +∞


S

25 Calcula el límite de las siguientes funciones cuando x → +∞ y cuandox → –∞, definiéndolas previamente por intervalos:

a) f (x) = x – 3 – x b) f (x) = 2x – 1 + x c) f (x) =

a) • Si x ≤ 0: |x – 3| – |x|= – (x – 3) – (–x) = –x + 3 + x = 3

• Si 0 < x ≤ 3: |x – 3| – |x|= – (x – 3) – x = –2x + 3

• Si x > 3: |x – 3| – |x|= (x – 3) – x = –3

Luego: f (x) =

f (x) = –3; f (x) = 3

b) • Si 2x – 1 ≤ 0 → x ≤

|2x – 1| + x = – (2x – 1) + x = –2x + 1 + x = –x + 1

• Si 2x – 1 > 0 → x >

|2x – 1| + x = (2x – 1) + x = 3x – 1

Luego: f (x) =

f (x) = (3x – 1) = +∞

f (x) = (–x + 1) = (x + 1) = +∞

c) • Si x < 0: =

• Si x > 0: =

Luego: f (x) =

f (x) = = 1

f (x) = = = –1–x + 1x

límx → +∞

x + 1–x

límx → – ∞

límx → – ∞

x + 1x

límx → +∞

límx → +∞

x + 1——— si x < 0

–xx + 1——— si x > 0

x

x + 1x

x + 1|x|

x + 1–x

x + 1|x|

límx → +∞

límx → – ∞

límx → – ∞

límx → +∞

límx → +∞

1–x + 1 si x ≤ —

21

3x – 1 si x > —2

12

12

límx → – ∞

límx → +∞

3 si x ≤ 0–2x + 3 si 0 < x ≤ 3

–3 si x > 3

x + 1

x


26 Se define la función f del modo siguiente:

f (x) =

Encuentra los valores de a y b para que la función sea continua y su gráfi-ca pase por el origen de coordenadas.

• Para que la gráfica de f (x) pase por el origen de coordenadas, ha de ser f (0) = 0,es decir: f (0) = b = 0

• Para que la función sea continua (para x ≠ 1, es una función continua), tenemosque:

f (x) = (2x2 + ax) = 2 + a

f (x) = (ln x – 1) = –1 Han de ser iguales, es decir: 2 + a = –1 → a = –3

f (1) = 2 + a

Por tanto, si a = –3 y b = 0, la función es continua; y su gráfica pasa por el ori-gen de coordenadas.

27 Calcula: [ ]= =

= = =

= = = =

28 Dada f (x) = , justifica que f (x) = 1 y f (x) = –1.

f (x) =

f (x) = = 1

f (x) = = –1–xx + 1

límx → – ∞

límx → – ∞

xx + 1

límx → +∞

límx → +∞

–x——— si x ≤ 0x + 1

x——— si x > 0x + 1

límx → –∞

límx → +∞

xx + 1

13

23 · 2

2

3(√—1 + x + √

—1 – x )

límx → 0

2x

3x (√—1 + x + √

—1 – x )

límx → 0

1 + x – 1 + x

3x (√—1 + x + √

—1 – x )

límx → 0

(1 + x) – (1 – x)

3x (√—1 + x + √

—1 – x )

límx → 0

(√—1 + x – √

—1 – x )(√

—1 + x + √

—1 – x )

3x (√—1 + x + √

—1 – x )

límx → 0

√—1 + x – √

—1 – x

3xlím

x → 0

√—1 + x – √

—1 – x

3xlím

x → 0

límx → 1+

límx → 1+

límx → 1 –

límx → 1 –

ln x – 1 si x > 12x2 + ax + b si x ≤ 1


S

29 Estudia la continuidad en x = 0 de la función: y = 2x +

¿Qué tipo de discontinuidad tiene?

En x = 0, la función no está definida, luego es discontinua. Como:

y = , entonces:

(2x – 1) = –1; (2x + 1) = 1

Por tanto, hay una discontinuidad de salto (finito) en x = 0.


30 Sea la función f (x) = x2 + 1.

¿Podemos asegurar que dicha función toma todos los valores del intervalo[1, 5]? En caso afirmativo, enuncia el teorema que lo justifica.

f (x) es continua en [0, 2] y f (0) = 1, f (2) = 5.

Por tanto, por el teorema de los valores intermedios, la función toma, en el interva-lo [0, 2], todos los valores del intervalo [1, 5].

31 Da una interpretación geométrica del teorema de Bolzano y utilízalo parademostrar que las gráficas de f (x) = x3 + x2 y g (x) = 3 + cos x se cortan enalgún punto.

• Interpretación geométrica: Si una función f (x) es continua en un intervalo ce-rrado, y en sus extremos toma valores de distinto signo, entonces, con seguridad,corta al eje X en ese intervalo.

• Para las dos funciones dadas, f (x) = x3 + x2 y g (x) = 3 + cos x, consideramosla función diferencia: f (x) – g (x) = x3 + x2 – 3 – cos x

Como f (x) y g (x) son continuas, también lo es f (x) – g (x).

Además:

Por tanto, existe un número c ∈ (0, 2) tal que f (c) – g (c) = 0 (aplicando el teo-rema de Bolzano), es decir, f (c) = g (c).

Página 248

32 Sea la función f (x) = .

El segundo miembro de la igualdad carece de sentido cuando x = 2. ¿Cómoelegir el valor de f(2) para que la función f sea continua en ese punto?

x2 – 4x – 2

f (0) – g (0) = –4 → f (0) – g (0) < 0f (2) – g (2) ≈ 9,42 → f (2) – g (2) > 0

límx → 0+

límx → 0 –

2x – 1 si x < 02x + 1 si x > 0

xx


S

S

S

f (x) = = = (x + 2) = 4

Para que f sea continua en x = 2, debemos elegir f (2) = 4.

33 De una función g se sabe que es continua en el intervalo cerrado [0, 1] y quepara 0 < x ≤ 1 es:

g (x) =

¿Cuánto vale g (0)?

g (x) = = = (x + 1) = 1.

Por tanto, g (0) = 1.

34 Dada la función:

f (x) =

observamos que f está definida en [0, 1] y que verifica f (0) = –1 < 0 y f (1) == e–1 > 0, pero no existe ningún c ∈ (0, 1) tal que f (c) = 0. ¿Contradice elteorema de Bolzano? Razona la respuesta.

f (x) = =

f (x) = e–x2= e–1/4

f (x) no es continua en x =

Por tanto, f no es continua en el intervalo [0, 1]; luego no cumple las hipótesis delteorema de Bolzano en dicho intervalo.

35 Se sabe que f (x) es continua en [a, b ] y que f (a) = 3 y f (b) = 5. ¿Es posi-ble asegurar que para algún c del intervalo [a, b ] cumple que f (c) = 7? Ra-zona la respuesta y pon ejemplos.

No lo podemos asegurar. Por ejemplo:

f (x) = x + 3 cumple que f (0) = 3 y f (2) = 5. Sin embargo, no existe c ∈ [0, 2]tal que f (c) = 7, ya que: f (c) = c + 3 = 7 → c = 4 → c ∉ [0, 2].

12

límx → 1/2+

límx → 1/2+

–78

x – 44

límx → 1/2 –

límx → 1/2 –

x – 4 1——— si 0 ≤ x ≤ —

4 21

e–x 2 si — ≤ ≤ 12

límx → 0+

x (x + 1)x

límx → 0+

x2 + xx

límx → 0+

límx → 0+

x2 + xx

límx → 2

(x – 2)(x + 2)(x – 2)

límx → 2

x2 – 4x – 2

límx → 2

límx → 2


S

S

36 Halla razonadamente dos funciones que no sean continuas en un punto x0de su dominio y tales que la función suma sea continua en dicho punto.

Por ejemplo:

f (x) = no es continua en x = 2;

g (x) = no es continua en x = 2;

pero la función suma, f (x) + g (x) = 3x, sí es continua en x = 2.

37 ¿Tiene alguna raíz real la siguiente ecuación?: sen x + 2x + 1 = 0

Si la respuesta es afirmativa, determina un intervalo de amplitud menor que2 en el que se encuentre la raíz.

Consideramos la función f (x) = sen x + 2x + 1.

Tenemos que: f (x) es continua en [–1, 0].

signo de f (1) ≠ signo de f (0)

Por el teorema de Bolzano, podemos asegurar que existe c ∈ (–1, 0) tal que f (c) = 0; es decir, la ecuación sen x + 2x + 1 = 0 tiene al menos una raíz en el in-tervalo (–1, 0).

38 Demuestra que la ecuación x5 + x + 1 = 0 tiene, al menos, una solución real.

Consideramos la función f (x) = x5 + x + 1.

Tenemos que: f (x) es continua en [–1, 0].

signo de f (–1) ≠ signo de f (0)

Por el teorema de Bolzano, podemos asegurar que existe c ∈ (–1, 0) tal que f (c) = 0; es decir, la ecuación x5 + x + 1 = 0 tiene al menos una raíz en el inter-valo (–1, 0).

39 Una ecuación polinómica de grado 3 es seguro que tiene alguna raíz real.Demuestra que es así, y di si ocurre lo mismo con las de grado 4.

• Si f (x) es un polinomio de grado 3, tenemos que:

— Si f (x) = +∞, entonces f (x) = – ∞; y si

— f (x) = – ∞, entonces f (x) = +∞.límx → – ∞

límx → +∞

límx → – ∞

límx → +∞

f (–1) = –1 < 0f (0) = 1 > 0

f (–1) ≈ 1,84 < 0f (0) = 1 > 0

2x – 1 si x ≠ 24 si x = 2

x + 1 si x ≠ 22 si x = 2


S

S

S

S

Por tanto, podemos encontrar k tal que: signo de f (–k) ≠ signo de f (k).

Además, f (x) es continua. Por el teorema de Bolzano, sabemos que f (x) tieneal menos una raíz en el intervalo (–k, k).

• Si f (x) es un polinomio de grado 4 no ocurre lo mismo. Por ejemplo, x4 + 1 = 0no tiene ninguna raíz real; puesto que x4 + 1 > 0 para cualquier valor de x.

40 Si el término independiente de un polinomio en x es igual a –5 y el valorque toma el polinomio para x = 3 es 7, razona que hay algún punto en el in-tervalo (0, 3) en el que el polinomio toma el valor –2.

Si f (x) es un polinomio, entonces es una función continua. El término indepen-diente es igual a –5; es decir, f (0) = –5; y, además, f (3) = 7. Por tanto, aplicandoel teorema de los valores intermedios, como –5 < –2 < 7, podemos asegurar queexiste c ∈ (0, 3) tal que f (c) = –2.

41 La función y = tg x toma valores de distinto signo en los extremos del in-

tervalo [ , ] y, sin embargo, no se anula en él. ¿Contradice esto el teore-

ma de Bolzano?

La función y = tg x no es continua en x = , que está en el intervalo [ , ].Por tanto, no podemos aplicar el teorema de Bolzano para dicho intervalo.

42 Considera la función f (x) = . Determina su dominio. Dibuja su gráfica

y razona si se puede asignar un valor a f (0) para que la función sea conti-

nua en todo Á.

f (x) = Dominio = Á – {0}

Como f (x) = –1 ≠ f (x) = 1, no podemos asignar ningún valor a f (0)

para que la función sea continua en todo Á (pues en x = 0 no lo es).

Gráfica:

límx → 0+

límx → 0 –

– 1 si x < 01 si x > 0

x

x

3π4

π4

π2

3π4

π4


S

S

S

X

Y

1

–1

43 Si existe el límite de una función f (x) cuando x → a, y si f (x) es positivocuando x < a, ¿podemos asegurar que tal límite es positivo? ¿Y que no es ne-gativo? Justifica razonadamente las respuestas.

Si f (x) > 0 cuando x < a, entonces, si existe f (x), ha de ser f (x) ≥ 0.

Por tanto, podemos asegurar que el límite no es negativo (podría ser positivo o cero).

44 a) Comprueba que [ln(x + 1) – ln (x)] = 0.

b) Calcula x [ln (x + 1) – ln (x)].

a) [ln (x + 1) – ln (x)] = [ln ( )] = ln 1 = 0

b) x [ln (x + 1) – ln (x)] = [x ln ( )] = [ln ( )x ] =

= [ln (1 + )x ] = ln e = 1

45 De dos funciones f (x) y g (x) se sabe que son continuas en el intervalo [a, b ], que f (a) > g (a) y que f (b) < g (b).

¿Puede demostrarse que existe algún punto c de dicho intervalo en el quese corten las gráficas de las dos funciones?

Consideramos la función f (x) – g (x).

• Si f (x) y g (x) son continuas en [a, b], entonces f (x) – g (x) es continua en[a, b].

• Si f (a) > g (a), entonces f (a) – g (a) > 0.

• Si f (b) < g (b), entonces f (b) – g (b) < 0.

Es decir, signo [ f (a) – g (a)] ≠ signo [ f (b) – g (b)].

Por el teorema de Bolzano, podemos asegurar que existe c ∈ (a, b) tal que f (c) – g (c) = 0, es decir, tal que f (c) = g (c). (Las gráficas de f (x) y g (x) se cor-tan en x = c).

46 Si f (x) es continua en [1, 9], f (1) = –5 y f (9) > 0, ¿podemos asegurar queg (x) = f (x) + 3 tiene al menos un cero en el intervalo [1, 9]?

• Si f (x) es continua en [1, 9], entonces g (x) = f (x) + 3 también será continua en[1, 9] (pues es suma de dos funciones continuas).

• Si f (1) = –5, entonces g (1) = f (1) + 3 = –5 + 3 = –2 < 0.

• Si f (9) > 0, entonces g (9) = f (9) + 3 > 0.

1x

límx → +∞

x + 1x

límx → +∞

x + 1x

límx → +∞

límx → +∞

x + 1x

límx → +∞

límx → +∞

límx → +∞

límx → +∞

límx → a

límx → a


S

S

S

S

Es decir, signo de g (1) ≠ signo de g (9).

Por el teorema de Bolzano, podemos asegurar que existe c ∈ (1, 9) tal que g (c) = 0, es decir, la función g (x) tiene al menos un cero en el intervalo [1, 9].

47 Escribe una definición para cada una de estas expresiones y haz una repre-sentación de f:

a) f (x) = 3 b) f (x) = –∞

c) f (x) = +∞ d) f (x) = –∞

a) Dado ε > 0, existe h tal que, si x < –h, entonces |f (x) – 3| < ε.

b) Dado k, podemos encontrar h tal que, si x > h, entonces f (x) < –k.

c) Dado k, podemos encontrar δ tal que, si 2 – δ < x < 2, entonces f (x) > k.

d) Dado k, podemos encontrar δ tal que, si 2 < x < 2 + δ, entonces f (x) < –k.

Página 249

48 Si una función no está definida en x = 3, ¿puede ocurrir que f (x) = 5?

¿Puede ser continua la función en x = 3?

Sí, puede ser que f (x) = 5, por ejemplo:

f (x) = es tal que = 5; y f (x) no está definida

en x = 3.

Sin embargo, f (x) no puede ser continua en x = 3 (pues no existe f (3)).

49 De una función continua, f, sabemos que f (x) < 0 si x < 2 y f (x) > 0 six > 2. ¿Podemos saber el valor de f (x)?

f (x) = 0límx → 2

límx → 2

(x – 3)(x + 2)x – 3

límx → 3

(x – 3)(x + 2)x – 3

límx → 3

límx → 3

límx → 2+

límx → 2–

límx → +∞

límx → –∞


X

Y

1 2

1

2

3

50 Expresa simbólicamente cada una de estas frases y haz una representacióngráfica de cada caso:

a) Podemos conseguir que f (x) sea mayor que cualquier número K, porgrande que sea, dando a x valores tan grandes como sea necesario.

b) Si pretendemos que los valores de g (x) estén tan próximos a 1 comoqueramos, tendremos que dar a x valores suficientemente grandes.

a) f (x) = +∞

b) g (x) = 1

PARA PROFUNDIZAR

51 Estudia el comportamiento de cada una de estas funciones cuando x tiendea +∞:

a) f (x) = x3 – sen x b) g (x) =

c) h (x) = d) j (x) =

a) Como –1 ≤ sen x ≤ 1, entonces: (x3 – sen x) = x3 = +∞

b) Como –1 ≤ cos x ≤ 1, entonces: = = 0

c) = 1

d) Como –1 ≤ sen x ≤ 1, entonces: = = 3

52 Calcula: (x)1/(1 – x)

Como es del tipo 1∞, podemos aplicar la regla:

x1/(1 – x) = e[(x – 1) · ]

= e(–1)

= e–1 = 1e

límx →1

11 – x

límx →1lím

x → 1

límx → 1

3xx

límx → +∞

3x + sen xx

límx → +∞

E [x]x

límx → +∞

± 1x2 + 1

límx → +∞

cos xx2 + 1

límx → +∞

límx → +∞

límx → +∞

3x + sen xx

E [x]x

cos xx2 + 1

límx → +∞

límx → +∞


1

53 En una circunferencia de radio 1, tomamos un ánguloAOP de x radiantes. Observa que:—

PQ = sen x, —TA = tg x y arco

)PA = x

Como:—

PQ < )PA <

—TA → → sen x < x < tg x.

A partir de esa desigualdad, prueba que:

= 1

Tenemos que sen x < x < tg x. Dividiendo entre sen x, queda:

1 < < → 1 > > cos x

Tomando límites cuando x → 0, queda:

1 ≥ ≥ 1; es decir: = 1.

54 Sabiendo que = 1, calcula:

a) b)

a) = = ( · ) =

= 1 · = 1 · 1 = 1

b) = = =

= = ( )2 · = 1 · =


55 a) Supongamos que f es continua en [0, 1] y que 0 < f (x) < 1 para todo xde [0, 1]. Prueba que existe un número c de (0, 1) tal que f (c) = c.

Haz una gráfica para que el resultado sea evidente.

☛ Aplica el teorema de Bolzano a la función g (x) = f (x) – x.

b) Imagina una barra de plastilina de 1 dm de longitud. Se sitúa sobre unsegmento de longitud 1 dm. A continuación, deformamos la barrita esti-rándola en algunos lugares y encogiéndola en otros.

12

12

11 + cos x

límx → 0

sen xx

límx → 0

sen2 xx2 (1 + cos x)

límx → 0

1 – cos2 xx2 (1 + cos x)

límx → 0

(1 – cos x)(1 + cos x)x2 (1 + cos x)

límx → 0

1 – cos xx2

límx → 0

1cos x

límx → 0

1cos x

sen xx

límx → 0

sen x / cos xx

límx → 0

tg x

xlím

x → 0

1 – cos xx2

límx → 0

tg xx

límx → 0

sen xx

límx → 0

sen xx

límx → 0

sen xx

límx → 0

sen xx

1cos x

xsen x

sen xx

límx → 0


A

T

xO Q

P

Por último, volvemos a situarla barra deformada dentro delsegmento, aunque podemosplegarla una o más veces.

Pues bien, podemos asegurarque algún punto de la barraestá exactamente en el mismolugar en el que estaba. (*)

— Llamando x a un punto cualquiera de la barra inicial, construye lagráfica de la función:

x → f (x) = posición de x después de la transformación

— Relaciona f (x) con la del apartado a).

— Demuestra la afirmación (*).

a) Consideramos la función g (x) = f (x) – x. Tenemos que:

• g (x) es continua en [0, 1], pues es la diferencia de dos funciones continuasen [0, 1].

• g (0) = f (0) > 0, pues f (x) > 0 para todo x de [0, 1].

• g (1) = f (1) – 1 < 0, pues f (x) < 1 para todo x de [0, 1].

Por el teorema de Bolzano, sabemos que existe c ∈ (0, 1) tal que g (c) = 0, esdecir, f (c) – c = 0, o bien f (c) = c.

b) Llamando x a un punto cualquiera de la barra inicial, construimos la función:

x → f (x) = “posición de x después de la transformación”.

Tenemos que:

• f es continua en [0, 1] (puesto que situamos la barra sobre un segmento delongitud 1 dm y solo la deformamos, no la rompemos).

• 0 < f (x) < 1 para todo x de [0, 1] (ya que situamos la barra deformada den-tro del segmento).

• Aplicando a f (x) los resultados obtenidos en el apartado a), tenemos queexiste c de (0, 1) tal que f (c) = c; es decir, existe algún punto de la barraque está exactamente en el mismo lugar que estaba.


1 dm

c 1

f(c) = c f(x)

y = x

0

1

Tangentes a una curva

■ Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f' (3), f' (9) y f' (14).

f ' (3) = 0; f' (9) = ; f' (14) = 1

■ Di otros tres puntos en los que la derivada sea positiva.

La derivada también es positiva en x = –4, x = –2, x = 0…

■ Di otro punto en el que la derivada sea cero.

La derivada también es cero en x = 11.

■ Di otros dos puntos en los que la derivada sea negativa.

La derivada también es negativa en x = 4, x = 5…

■ Di un intervalo [a, b ] en el que se cumpla que “si x ∈ [a, b ], entoncesf' (x) > 0”.

Por ejemplo, en el intervalo [–5, 2] se cumple que, si x ∈ [–5, 2], entonces f ' (x) > 0.

–34

Unidad 9. Derivadas. Técnicas de derivación 1

–5 3

3

5

y = f (x)

9 14

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN

9

Función derivada

■ Continúa escribiendo las razo-nes por las cuales g (x) esuna función cuyo comporta-miento responde al de la deri-vada de f (x).

• En el intervalo (a, b), f (x) esdecreciente. Por tanto, su deri-vada es negativa. Es lo que lepasa a g (x) en (a, b).

• La derivada de f en b es 0:f' (b) = 0. Y también es g(b) = 0.

• En general:

g (x) = f' (x) = 0 donde f (x)tiene tangente horizontal.

g (x) = f' (x) > 0 donde f (x) es creciente.

g (x) = f' (x) < 0 donde f (x) es decreciente.

■ Las tres gráficas de abajo, A,B, y C, son las funciones de-rivadas de las gráficas dearriba, 1, 2, y 3, pero en otroorden. Responde razonada-mente cuál es la de cadacual.

1) B

2) A

3) C

La derivada se anula en lospuntos de tangente horizontal,es positiva donde la función escreciente, y es negativa dondela función decrece.


y = f (x)

y = g(x) = f '(x)

a

b

a

b

A1

B2

C3

1. Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones:

a) f (x) = b) f (x) =

c) f (x) = ln d) f (x) =

e) f (x) = f ) f (x) = ln

g) f (x) = h) f (x) = log (sen x · cos x)2

i ) f (x) = sen2 x + cos2 x + x j ) f (x) = sen · cos

k) f (x) = arc sen l) f (x) = sen (3x5– 2 + )

m) f (x) = n) f (x) = cos2

a) f' (x) = = =

b) Utilizamos el resultado obtenido en a):

f' (x) = · =

c) Utilizamos el resultado obtenido en a):

f' (x) = · = =

De otra forma: Si tomamos logaritmos previamente:

f (x) = ln (1 – x) – ln (1 + x). Derivamos:

f' (x) = – = =

d) f' (x) = =

= =

De otra forma: Si tenemos en cuenta el resultado obtenido en a):

f' (x) = · D [tg x] = · (1 + tg2 x) = –2(1 + tg2 x)(1 + tg x)2

–2(1 + tg x)2

–2(1 + tg x)2

–2(1 + tg2 x)(1 + tg x)2

(1 + tg2 x)[–1 – tg x – 1 + tg x](1 + tg x)2

– (1 + tg2 x)(1 + tg x) – (1 – tg x) · (1 + tg2 x)(1 + tg x)2

–21 – x2

–1 – x – 1 + x1 – x2

11 + x

–11 – x

–21 – x2

–2(1 + x)(1 – x)(1 + x)2

–2(1 + x)2

11 – x1 + x

–1

√(1 – x)(1 + x)3

–2(1 + x)2

1

2√1 – x1 + x

–2(1 + x)2

–1 – x – 1 + x(1 + x)2

–1 · (1 + x) – (1 – x) · 1(1 + x)2

3

√x + (3 – x)2√sen x + x2 + 1

3

√2x√x√x

√x – 1√x + 1

√3x + 1

√etg x√1 – tg x1 + tg x

1 – tg x1 + tg x

1 – x1 + x

√1 – x1 + x

1 – x1 + x


e) Teniendo en cuenta lo obtenido en d):

f' (x) = · =

También podríamos haber llegado a este resultado utilizando lo obtenido en b).

f) f (x) = ln = ln e (tg x) / 2 =

f' (x) =

g) f (x) = = 3(x + 1) / 2

f' (x) = 3(x + 1) / 2 · · ln 3 = ·

h) f (x) = log (sen x · cos x)2 = 2[log (sen x + log (cos x)]

f' (x) = 2 [ · + · ] = · =

= · = · =

De otra forma:

f (x) = log (sen x · cos x)2 = 2 log ( )f' (x) = 2 · · =

i) f (x) = sen2 x + cos2 x + x = 1 + x

f' (x) = 1

j) f' (x) = + =

= –

k) f' (x) = · = 1

2√x – x2

1

2√x

1

√1 – x

sen √—x + 1 · sen √

—x – 1

2√x – 1

cos √—x + 1 · cos √

—x – 1

2√x + 1

sen √—x + 1 · (– sen √

—x – 1)

2√x – 1

cos √—x + 1 · cos √

—x – 1

2√x + 1

4ln 10 · tg 2x

cos 2xsen 2x

2

1ln 10

sen 2x2

4ln 10 · tg 2x

cos 2xsen 2x

4ln 10

cos2 x – sen2 x2sen x · cos x

4ln 10

cos2 x – sen2 xsen x · cos x

2ln 10

1ln 10

–sen xcos x

1ln 10

cos xsen x

√3x + 1ln 32

12

√3x + 1

1 + tg2 x2

tg x2

√etg x

– (1 + tg2 x)

√(1 – tg x)(1 + tg x)3

–2(1 + tg2 x)(1 + tg x)2

1

2√ 1 – tg x1 + tg x


l) f' (x) = cos (3x5 – 2 + ) · (15x4 – + )m) f' (x) = · (cos x + 2x) =

n) f' (x) = 2cos · [–sen ] · =

= =

=

2. Halla las derivadas 1-ª, 2-ª y 3-ª de las siguientes funciones:

a) y = x5 b) y = x cos x c) y = sen2 x + cos2 x + x

a) y = x5

y' = 5x4; y'' = 20x3; y''' = 60x2

b) y = x cos x

y' = cos x – x sen x

y'' = –sen x – sen x – x cos x = –2sen x – x cos x

y''' = –2cos x – cos x + x sen x = –3cos x + x sen x

c) y = sen2 x + cos2 x + x = 1 + x

y' = 1; y'' = 0; y''' = 0

3. Calcula f' (1) siendo: f (x) = · e4

f (x) = · e4 = = · x13/30 = · x13/30

f' (x) = · x –17/30 =

Por tanto: f' (1) = 1315

√9 · e4

60

30√x1713

15

√9 · e4

601330

15

√9 · e4

3

15

√9 · e4

232/15 · e4

2x1/2 · 31/3 · x1/3 · e4

2 · 31/5 · x2/5

√—x

3

√—3x

25

√3x2

√—x

3

√—3x

25

√3x2

(5 – 2x) · sen (23

√x + (3 – x)2)3

3

√(x + (3 – x)2)2

–2 cos3

√—x + (—3 – x)2 sen

3

√—x + (—3 – x)2 · (2x – 5)

33

√(x + (3 – x)2)2

1 + 2(3 – x) · (–1)3

√(x + (3 – x)2)23√x + (3 – x)23

√x + (3 – x)2

cos x + 2x

2√sen x + x2 + 1

1

2√sen x + x2 + 1

3

√2

33

√x2

1

√x

3√2x√x


4. Calcula f' (π/6) siendo: f (x) = (cos2 3x – sen2 3x) · sen 6x

f (x) = (cos2 3x – sen2 3x) · sen 6x = cos 6x · sen 6x =

f' (x) = = 6cos 12x

Por tanto: f' ( ) = 6 · cos = 6 · cos(2π) = 6 · 1 = 6

5. Calcula f' (0) siendo: f (x) = ln – · arc tg

f (x) = ln – arc tg = ln (x2 + x + 1) – arc tg

f' (x) = · – · =

= – · = – · =

= – = – =

= =

Por tanto: f' (0) = 0

Página 258

1. Estudia la derivabilidad en x0 = 3 de la función: f (x) =

• Continuidad en x0 = 3:

f (x) = (x2 – 3x) = 0 f (x) = f (3) = 0

f (x) = (3x – 9) = 0 Por tanto, f (x) es continua en x0 = 3.

• Derivabilidad en x0 = 3:

f' (x) = (2x – 3) = 3 = f' (3–)

f' (x) = (3) = 3 = f' (3+)

Por tanto, f (x) es derivable en x0 = 3. Además, f' (3) = 3.

límx → 3+

límx → 3+

límx → 3–

límx → 3–

límx → 3

límx → 3+

límx → 3

límx → 3

límx → 3–

x2 – 3x, x ≤ 33x – 9, x > 3

xx2 + x + 1

2x2x2 + 2x + 2

12x2 + 2x + 2

2x + 12x2 + 2x + 2

24x2 + 4x + 4

2x + 12x2 + 2x + 2

33 + 4x2 + 4x + 1

23

2x + 12x2 + 2x + 2

14x2 + 4x + 11 + ——

3

23

2x + 12x2 + 2x + 2

2/√—3

2x + 11 + (—)2√—3

1

√3

2x + 1x2 + x + 1

12

2x + 1

√3

1

√3

12

2x + 1

√3

1

√3√x2 + x + 1

2x + 1

√3

1

√3√x2 + x + 1

12π6

π6

12cos 12x2

sen 12x2


Las derivadas laterales existeny coinciden.

2. Calcula m y n para que f (x) sea derivable en Á: f (x) =

• Si x ≠ 0, la función es continua y derivable, pues está formada por dos polinomios.

• Continuidad en x = 0:

f (x) = (x2 – mx + 5) = 5

f (x) = (–x2 + n) = n

f (0) = 5

• Derivabilidad en x = 0:

f' (x) = (2x – m) = – m = f' (0–)

f' (x) = (–2x) = 0 = f' (0+)

Por tanto, f (x) es derivable en Á para m = 0 y n = 5.

Página 259

1. Sabemos que la derivada de la función f (x) = x3 es f ' (x) = 3x2.

Teniendo en cuenta este resultado, halla la derivada de su función inversa:f –1 (x) =

( f –1)' (x) =

Página 260

1. Comprueba que sen (x2 y) – y2 + x = 2 – pasa por el punto (2, ) y halla

la ecuación de la recta tangente en ese punto.

Sustituimos x = 2, y = en la expresión:

sen (4 · ) – + 2 = 0 + 2 – = 2 –

Se cumple la igualdad. Luego la curva dada pasa por el punto (2, ).Necesitamos obtener el valor de y ' (2, ). Hallamos previamente y' (x, y):π

4

π4

π2

16π2

16π2

16π4

π4

π4

π2

16

1

33

√x2

3

√x

límx → 0+

límx → 0+

límx → 0–

límx → 0–

límx → 0

límx → 0+

límx → 0

límx → 0–

x2 – mx + 5, x ≤ 0–x2 + n, x > 0


Para que f (x) sea continua en x = 0, hade ser: n = 5

Para que sea derivable en x = 0, hade ser: – m = 0 → m = 0

Derivamos sen (x2y) – y2 + x = 2 – :

cos (x2y) · (2xy + x2 · y ' ) – 2y · y ' + 1 = 0

2xy cos (x2y) + y ' · x2 · cos (x2y) – 2yy ' + 1 = 0

y ' (x2 · cos (x2y) – 2y) = –1 – 2xy cos (x2y)

y ' =

Por tanto:

y ' (2, ) = = = =

La ecuación de la recta tangente es: y = + (x – 2)

2. Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones:

f (x) = (sen x)x g (x) = x sen x

f (x) = (sen x)x → ln f (x) = x ln (sen x)

= ln (sen x) + x · → f' (x) = (sen x)x [ln (sen x) + ]g (x) = xsen x → ln g (x) = sen x · ln x

= cos x · ln x + sen x ·

g' (x) = xsen x · [cos x · ln x + ]

Página 269


PARA PRACTICAR

Calcula las derivadas de las siguientes funciones:

1 a) y = b) y =

a) y ' = = =

b) y ' = 23

√9x

12x(x2 + 3)2

2x3 + 6x – 2x3 + 6x(x2 + 3)2

2x (x2 + 3) – (x2 – 3) 2x(x2 + 3)2

3

√3x2x2 – 3x2 + 3

sen xx

1x

g' (x)g (x)

x cos xsen x

cos xsen x

f' (x)f (x)

2 – 2π8 + π

π4

2 – 2π8 + π

–2 + 2π–8 – π

–1 + π–4 – π/2

–1 – π · cos π4 cos π – π/2

π4

–1 – 2xy cos (x2y)x2 · cos (x2y) – 2y

π2

16


2 a) y = ( )2/3b) y = +

a) y ' = ( )–1/3· = ( )–1/3

· =

= =

b) y ' = 2 · (– ) + · 2x = – + x

3 a) y = b) y = 7e–x

a) y ' = = b) y = –7e–x

4 a) y = b) y = sen x cos x

a) y ' = = =

b) y' = cos x · cos x + (–sen x) · sen x = cos2 x – sen2 x = cos 2x

5 a) y = b) y = ln (x2 + 1)

a) y ' = b) y' =

6 a) y = arc tg b) y = cos2 (2x – π)

a) y ' = · = =

b) y ' = 2cos (2x – π) · (–sen (2x – π)) · 2 = –4cos (2x – π) · sen (2x – π) =

= –2cos (4x – 4π)

7 a) y = sen2 x b) y =

a) y ' = 2sen x · cos x = sen 2x b) y ' = · (1 + tg2 x) = 1 + tg2 x

2√tg x

1

2√tg x

√tg x

39 + x2

1/31 + x2/9

13

11 + (x/3)2

x3

2xx2 + 1

– cos xsen2 x

1sen x

–4(ex – e–x )2

e2x + e–2x – 2 – e2x – e–2x – 2(ex – e–x )2

(ex – e–x )2 – (ex + e–x )2

(ex – e–x )2

ex + e–x

ex – e–x

1 – ln xx2

(1/x) · x – ln xx2

ln xx

2x2

12

1x2

–4

33

√(1 – x)(1 + x)5

–2(1 – x)1/3 · (1 + x)5/3

23

–1 – x – 1 + x(1 + x)2

1 + x1 – x

23

–1 · (1 + x) – (1 – x)(1 + x)2

1 – x1 + x

23

x2

22x

1 – x1 + x


8 a) y = sen x2 b) y = arc tg (x2 + 1)

a) y ' = cos x2 · 2x = 2x cos x2 b) y ' = · 2x =

9 a) y = (2 – 3)7 b) y = log2

a) y ' = 7(2 – 3)6 · 2 · = (2 – 3)6

b) y ' = · · =

10 a) y = sen2 x2 b) y = arc tg

a) y ' = 2sen x2 · cos x2 · 2x = 4x sen x2 cos x2 = 2x sen (2x2)

b) y ' = · (– ) = = –

11 a) y = cos5 (7x2) b) y = 3x + 1

a) y ' = 5cos4 (7x2) · (–sen (7x2)) · 14x = –70x cos4 (7x2) sen (7x2)

b) y ' = 3x ln3

12 a) y = b) y = arc sen

a) y ' = (5x – 3)–1/3 · 5 =

b) y ' = · = =

13 a) y = ln (2x – 1) b) y = tg

a) y ' =

b) y ' = (1 + tg2 ) · = x + x tg2 x2

22x2

x2

2

22x – 1

x2

2

2x

√9 – x4

2x/3

√—9 – x4

3

2x3

1

√1 – ( x2 )23

10

33

√5x – 3

23

x2

3

3

√(5x – 3)2

1x2 + 1

–1/x2

1 + 1/x21x2

11 + (1/x)2

1x

12x ln 2

1

2√x

1ln 2

1

√x

√x7

√x

1

2√x√x

√x√x

2xx4 + 2x2 + 2

11 + (x2 + 1)2


14 a) y = ln (x2 – 1) b) y = arc cos

a) y ' =

b) y ' = · = = –

15 a) y = ln b) y = (arc tg x)2

a) y = ln = ln (1 – x)1/2 = ln (1 – x)

y ' = · =

b) y ' = 2(arc tg x) · =

16 a) y = log3 (7x + 2) b) y = ln tg

a) y ' = · =

b) y ' = · (1 + tg2 ) · (– ) = –

17 a) y = e4x b) y = ln (ln )a) y ' = 4e4x

b) y ' = · · (– ) = –

18 a) y = 2x b) y = arc sen

a) y ' = 2x · ln 2

b) y ' = · = · =

= – = = – 2

(x – 1)√–4x

2

(x – 1)√x2 + 1 – 2x – x2 – 1 – 2x

2/(x – 1)

√(x – 1)2 – (x + 1)2

–2(x – 1)2

1

√(x – 1)2 – (x + 1)2

x – 1

(x – 1) – (x + 1)(x – 1)2

1

√1 – ( x + 1)2x – 1

x + 1x – 1

1x ln 1/x

1x2

11/x

1ln 1/x

1x

3 (1 + tg2 3/x)x2 tg 3/x

3x2

3x

1tg 3/x

7(7x + 2) ln 3

7(7x + 2)

1ln 3

3x

2 arc tg x1 + x2

11 + x2

–12 – 2x

–1(1 – x)

12

12

√1 – x

√1 – x

1

√2x – 4x2

–1

√—2x · √

—1 – 2x

2

2√2x

–1

√1 – (√—2x)2

2xx2 – 1

√2x


19 a) y = 5 tg3 (3x2 + 1) b) y =

a) y ' = 15 tg2 (3x2 + 1) · [1 + tg2 (3x2 + 1)] · 6x = 90x [tg2 (3x2 + 1) + tg4 (3x2 + 1)]

b) y ' = (1 + ) = =

20 a) y = b) y = 3

a) y ' = (1 + tg2 x2 ) · 2x =

b) y ' = ( )–2/3· = · =

= = = =

=

21 a) Comprueba que la siguiente función es continua y derivable y halla f' (0),f' (3) y f' (1) :

f (x) =

b) ¿Cuál es su función derivada?

c) ¿En qué punto se cumple f' (x) = 5?

f (x) =

a) Si x ≠ 1, la función es continua y derivable, pues está formada por dos polino-mios.

Continuidad en x = 1:

f (x) = (3x – 1) = 2

f (x) = (x2 + x) = 2 f (x) es continua en x = 1.

f (1) = 2

límx → 1

límx → 1+

límx → 1

límx → 1–

3x – 1 si x < 1

x2 + x si x ≥ 1

3x – 1 si x < 1

x2 + x si x ≥ 1

4

3(x + 2)3

√(x + 2)(x – 2)2

4

33

√(x + 2)4 (x – 2)2

4

3(x + 2)4/3 · 3

√(x – 2)2

4

3· (x + 2)2 ·3√(x – 2)2

(x + 2)2/3

4(x + 2)2

1

3 3√( x – 2 )2x + 2

x + 2 – (x – 2)(x + 2)2

x – 2x + 2

13

x (1 + tg2 x2 )

√tg x2

1

2√tg x2

√ x – 2x + 2

√tg x2

2√x + 1

4√x2 + x√—x

2√x + 1

4√—x √x + √

—x

1

2√x

1

2√x + √—x

√x + √—x



Derivabilidad en x = 1:

f' (x) = 3 = 3 = f' (1–)

f' (x) = (2x + 1) = 3 = f' (1+)

Luego, f (x) es derivable en x = 1. Además, f' (1) = 3.

Así f (x) es continua y derivable en todo Á.

f' (0) = 3

f' (3) = 2 · 3 + 1 = 7

b) f (x) =

c) Si f ' (x) = 5, entonces x ≥ 1. Es decir:

f' (x) = 2x + 1 = 5 → x = = 2 > 1

f' (2) = 5

22 Comprueba que f (x) es continua pero no derivable en x = 2:

f (x) =

• Si x ≠ 2, la función es continua y derivable.

• Continuidad en x = 2:

f (x) = ln (x – 1) = ln 1 = 0

f (x) = (3x – 6) = 0

f (2) = 0

• Derivabilidad en x = 2:

f' (x) = = 1 = f' (2 –)

f' (x) = 3 = 3 = f' (2 +)

f (x) no es derivable en x = 2.

límx → 2

límx → 2+

1x – 1

límx → 2

límx → 2–

límx → 2

límx → 2+

límx → 2

límx → 2–

ln (x – 1) si x < 23x – 6 si x ≥ 2

42

3 x < 1

2x + 1 x ≥ 1

límx → 1

límx → 1+

límx → 1

límx → 1–

Las derivadas laterales existeny coinciden.

Las derivadas laterales existen pero nocoinciden.

f es continua en x = 2.

23 Estudia la continuidad y derivabilidad de estas funciones:

a) f (x) =

b) f (x) =

a) Si x ≠ 0 y x ≠ 3, la función es continua y derivable.


f (x) = ex = 1

f (x) = 1 = 1

f (0) = 1


f (x) = 1 = 1

f (x) = (–x2 + 3x + 2) = 2

f (3) = 2


f' (x) = ex = 1 = f' (0–)

f' (x) = 0 = 0 = f' (0+)

f (x) no es derivable en x = 0.


Como f (x) no es continua en x = 3, f (x) no es derivable en x = 3.

b) Si x ≠ –1 y x ≠ 2, f (x) es continua y derivable.

Continuidad en x = –1:

f (x) = (x2 + 2x + 1) = 0

f (x) = (2x + 2) = 0

f (–1) = 0

límx → –1

límx → –1+

límx → –1

límx → –1 –

límx → 0+

límx → 0+

límx → 0 –

límx → 0–

límx → 3

límx → 3+

límx → 3

límx → 3–

límx → 0

límx → 0+

límx → 0

límx → 0–

x2 + 2x + 1 si x < –12x + 2 si –1 ≤ x ≤ 2–x2 + 8x si x > 2

e x si x ≤ 01 si 0 < x < 3–x2 + 3x +2 si x ≥ 3


Las derivadas laterales existen, pero nocoinciden.

Los límites por la derecha y por la iz-quierda no coinciden. La función no escontinua en x = 3.

f (x) es continua en x = 0.

f (x) es continua en x = –1.


f (x) = (2x + 2) = 6

f (x) = (–x2 + 8x) = 12

f (2) = 12

f (x) no es continua en x = 2.

Derivabilidad en x = –1:

f ' (x) = (2x + 2) = 0 = f' (2 –)

f ' (x) = 2 = 2 = f' (2+)

f (x) no es derivable en x = –1.


f (x) no es continua en x = 2 → f (x) no es derivable en x = 2.

24 Calcula la derivada de las siguientes funciones, aplicando previamente laspropiedades de los logaritmos:

a) y = ln b) y = ln (x tg x)2

c) y = ln ( · ) d) y = ln3

a) y = ln = [ln (1 – x) – ln (1 + x)]

y ' = [ – ] = [ ] = =

b) y = ln (x tg x)2 = 2[ln x + ln (tg x)]

y ' = 2[ + ] = 2 [ + + tg x] = + 2 cotg x + 2 tg x

c) y = ln ( · ) = –2ln x + ln (x2 – 1)

y ' = + · = + = = –4x2 + 63x3 – 3x

–6x2 + 6 + 2x2

3x3 – 3x2x

3x2 – 3

–2x

2x(x2 – 1)

13

–2x

13

3√x2 – 11

x2

2x

1tg x

1x

1 + tg2 xtg x

1x

1x2 – 1

–11 – x2

–1 – x – 1 + x1 – x2

12

11 + x

–11 – x

12

12√ 1 – x

1 + x

√ 1(1 + x)2

3

√x2 – 11

x2

√ 1 – x1 + x

límx → –1

límx → –1+

límx → –1

límx → –1 –

límx → 2

límx → 2+

límx → 2

límx → 2 –


Las derivadas laterales existen perono coinciden.

Los límites por la derecha y por laizquierda no coinciden.

d) y = ln 3

= [ln 1 – ln (1 + x)2] = ln (1 + x)

y ' = · =

25 Calcula la derivada de estas funciones implícitas:

a) x2 + y2 = 9 b) x2 + y2 – 4x – 6y + 9 = 0

c) + = 1 d) – = 1

e) x3 + y3 + 2xy = 0 f) + = 1

a) 2x + 2y · y' = 0

y' = =

b) 2x + 2yy' – 4 – 6y' = 0

y' (2y – 6) = 4 – 2x

y' = =

c) + = 0

+ = 0

= – → 2yy' = → y' =

d) – = 0 → =

y' =

e) 3x2 + 3y2y' + 2y + 2xy' = 0

y' (3y2 + 2x) = –3x2 – 2y

y' = –3x2 – 2y3y2 + 2x

25x9y

2x9

2yy'

252yy'

252x9

–9x16y

–9x8

x8

2yy'

9

2yy'

9x8

2yy'

92x16

2 – xy – 3

4 –2x2y – 6

–xy

–2x2y

(y + 3)2

14(x – 1)2

8

y2

25x2

9y2

9x2

16

–23 + 3x

1(1 + x)

–23

–23

13√ 1

(1 + x)2


f) + = 0

+ = 0

= – → (y + 3)y' =

y' =

Página 270

26 Aplica la derivación logarítmica para derivar:

a) y = x3x b) y = xx + 1

c) y = xexd) y = (ln x)x + 1

e) y = ( )xf) y = xtg x

a) y = x3x → ln y = 3x ln x

= 3 ln x + 3x · = 3 ln x + 3

y' = x3x (3ln x + 3)

b) y = x x + 1 → ln y = (x + 1) ln x

= ln x + (x + 1) · = ln x + 1 +

y' = xx + 1 (ln x + 1 + )c) y = xex → ln y = ex · ln x

= ex · ln x + ex · = ex (ln x + )y' = xex

· ex (ln x + )d) y = (ln x)x + 1 → ln y = (x + 1) · ln (ln x)

= ln (ln x) + (x + 1) · · = ln (ln x) +

y' = (ln x)x + 1 · [ln (ln x) + ]x + 1x ln x

x + 1x ln x

1x

1ln x

y'

y

1x

1x

1x

y'

y

1x

1x

1x

y'

y

1x

y'

y

sen xx

7 – 7x4y + 12

7(1 – x)4

(x – 1)4

(y + 3)y'

7

(y + 3)y'

7(x – 1)

4

2(y + 3)y'

142(x – 1)

8


e) y = ( )x→ ln y = x ln ( ) = x (ln (sen x) – ln x)

= ln (sen x) – ln x + x ( – ) = ln ( ) + – 1

y' = ( )x· [ln ( ) + – 1]

f) y = xtg x → ln y = tg x · ln x

= (1 + tg2 x) · ln x + tg x ·

y' = xtg x · [(1 + tg2 x) ln x + ]27 Obtén la derivada de las siguientes funciones de dos maneras y comprueba,

operando, que llegas al mismo resultado:

I) Utilizando las reglas de derivación que conoces.

II) Aplicando la derivación logarítmica.

a) y = ( )3b) y =

c) y = sen3 x cos2 x d) y =

a) I) y' = 3 ( )2 · (1 – ) =

II) ln y = 3(ln (x2 + 1) – ln x)

= 3 ( – ) = 3 ( ) =

y' = ( )3 · =

b) I) y' = · =

II) ln y = [ln (1 + x) – ln (1 – x)]

= [ – ] = [ ] =

y' = · = 1

√(1 + x) (1 – x)3

1(1 + x) (1 – x)√1 + x

1 – x

1(1 + x) (1 – x)

1 – x + 1 + x(1 + x) (1 – x)

12

–11 – x

11 + x

12

y'

y

12

1

√(1 + x) (1 – x)3

1 – x + 1 + x(1 – x2 )

1

2√1 + x1 – x

3 · (x2 + 1)2 (x2 – 1)x4

3(x2 – 1)x(x 2 + 1)

x2 + 1x

3(x2 – 1)x(x 2 + 1)

2x2 – x2 – 1x(x 2 + 1)

1x

2xx2 + 1

y'

y

3 · (x2 + 1)2 (x2 – 1)x4

1x2

x2 + 1x

3

√x2√x2 + 1

√ 1 + x1 – x

x2 + 1x

tg xx

1x

y'

y

x cos xsen x

sen xx

sen xx

x cos xsen x

sen xx

1x

cos xsen x

y'

y

sen xx

sen xx


c) I) y' = 3sen2 x cos x · cos2 x + sen3 x · 2cos x (–sen x) =

= 3sen2 x cos3 x – 2cos x sen4 x

II) ln y = 3ln (sen x) + 2ln (cos x)

= 3 + 2 · =

y' = sen3 x cos2 x · = sen2 x cos x (3cos2 x – 2sen2 x) =

= 3sen2 x cos3 x – 2cos x sen4 x

d) I) y' = · + · · = + =

= = =

II) ln y = ln (x2 + 1) + ln x

= · + · = + = =

y' = · · =

28 Utilizando la definición de derivada, calcula: f' (–2), siendo f (x) =

f' (–2) = = = =

= = = = f' (–2)

29 Halla la función derivada de f (x) = aplicando la definición de derivada.

f' (x) = = =

= =

= =

= = = 2(x + 1)2

2(x + h + 1)(x + 1)

límh → 0

2hh (x + h + 1)(x + 1)

límh → 0

x2 + xh – x + x + h – 1 – x2 – xh – x + x + h + 1h (x + h + 1)(x + 1)

límh → 0

(x + 1)(x + h – 1) – (x – 1)(x + h + 1)h (x + h + 1)(x + 1)

límh → 0

x + h – 1 x – 1———— – ——x + h + 1 x + 1

hlím

h → 0f (x + h) – f (x)

hlím

h → 0

x – 1x + 1

–14

1–4 + 2h

límh → 0

hh (–4 + 2h)

límh → 0

2 – 2 + h————–4 + 2h

hlím

h → 0

1 1——— – —–2 + h –2

hlím

h → 0f (–2 + h) – f (–2)

hlím

h → 0

1x

5x2 + 2

3 √x2 + 1 3

√–x

5x2 + 23x (x2 + 1)

3√x2√x2 + 1

5x2 + 23x (x2 + 1)

3x2 + 2x2 + 23x (x2 + 1)

23x

xx2 + 1

1x

23

2xx2 + 1

12

y'

y

23

12

5x2 + 2

3 √x2 + 1 3

√–x

3x2 + 2x2 + 2

3 √x2 + 1 3

√–x

3x2 + 2(x2 + 1)

3 √x2 + 1 3

√–x

2√x2 + 1

33

√x

x3

√x2

√x2 + 1

13

√x

23

√x2 + 13√x22x

2√x2 + 1

3cos2 x – 2sen2 xsen x cos x

3cos2 x – 2sen2 xsen x cos x

–sen xcos x

cos xsen x

y'

y


30 Calcula los puntos de derivada nula de las siguientes funciones:

a) y = b) y =

c) y = d) y = ex (x – 1)

e) y = x2 ex f) y = sen x + cos x

a) y' = = =

y' = 0 → 3 – x = 0 → x = 3 → y =

Se anula en el punto (3, ).b) y = → y' =

y' = 0 → 3x2 – 8x = 0 → x (3x – 8) = 0

x = 0 no está en el dominio.

La derivada se anula en el punto ( , ).c) y' = =

= =

y' = 0 → 2x2 – 2 = 0 → x2 = 1

Se anula en los puntos (–1, 3) y (1, ).d) y' = ex (x – 1) + ex = ex (x – 1 + 1) = xex

y' = 0 → x = 0 → y = –1

Se anula en el punto (0, –1).

e) y' = 2x ex + x2 ex = ex (2x + x2 )

y' = 0 → 2x + x2 = 0 → x (2 + x) = 0

Se anula en los puntos (0, 0) y (–2, 4e–2).

x = 0 → y = 0

x = –2 → y = 4e–2

13

1x = 1 → y = —

3x = –1 → y = 3

2x2 – 2(x2 + x + 1)2

2x3 + 2x2 + 2x – x2 – x – 1 – 2x3 – x2 + 2x2 + x – 2x – 1(x2 + x + 1)2

(2x – 1)(x2 + x + 1) – (x2 – x + 1)(2x + 1)(x2 + x + 1)2

–2716

83

x = 0 (no vale)8 –27

x = — → y = ——3 16

–16(3x2 – 8x)(x3 – 4x2)2

16x3 – 4x2

112

112

3 – x(x + 3)3

(x + 3) – 2x(x + 3)3

(x + 3)2 – 2(x + 3)x(x + 3)4

x2 – x + 1x2 + x + 1

16

x2 (x – 4)

x(x + 3)2


f) y' = cos x – sen x

y' = 0 → cos x = sen x → tg x = 1

Se anula en los puntos ( + 2πk, ), ( + 2 πk, – ), con k ∈ Z.

31 Comprueba que la función y = x – 2 no es derivable en x = 2.

y = y' =

La función es continua, pues: (–x + 2) = (x – 2) = f (2) = 0

Las derivadas laterales son: f' (2–) = –1 ≠ f' (2+) = 1. Por tanto, no es derivable enx = 2.

32 ¿Cuántos puntos hay en esta función que no tengan derivada?

y = x2 + 6x + 8

x2 + 6x + 8 = 0 → x = = = =

y = y' =

La función es continua, pues es el valor absoluto de una función continua.

En x = –4 → y' (–4–) = –2 ≠ y' (–4+) = 2

En x = –2 → y' (–2–) = –2 ≠ y' (–2+) = 2

La función no es derivable en x = –4 ni en x = –2; es decir, en (–4, 0) y en (–2, 0).Son dos puntos “angulosos”.

33 Dada la función f (x) = esen x, halla: f' (x), f'' (x) y f''' (x).

f' (x) = cos x esen x

f'' (x) = –sen x esen x + cos2 x esen x = (cos2 x – sen x) esen x

f''' (x) = (2cos x (–sen x) – cos x) esen x + (cos2 x – sen x) cos x esen x =

= (–2sen x cos x – cos x + cos3 x – sen x cos x) esen x =

= (cos3 x – 3sen x cos x – cos x) esen x

2x + 6 si x < –4–2x – 6 si –4 < x < –22x + 6 si x > –2

x2 + 6x + 8 si x < –4–x2 – 6x – 8 si –4 ≤ x ≤ –2x2 + 6x + 8 si x > –2

x = –2

x = –4–6 ± 2

2–6 ± √4

2–6 ± √36 – 32

2

límx → 2+

límx → 2–

–1 si x < 21 si x > 2

–x + 2 si x < 2x – 2 si x ≥ 2

√25π4

√2π4

πx = — + 2πk → y = √

–2

45π

x = — + 2πk → y = –√–2

4


S

34 Esta es la gráfica de una función y = f (x). Calcula, ob-servándola: f' (–1), f' (1) y f' (3)

¿En qué puntos no es derivable?

f' (–1) = 0; f' (1) = 0; f' (3) = 2

No es derivable en x = 0 ni en x = 2.

35 Estudia la continuidad y derivabilidad de esta función:

f (x) =

Continuidad:

• Si x ≠ 0 y x ≠ 1 → Es continua, pues está formada por funciones continuas.

• En x = 0:

f (x) = 0 = 0

f (x) = x2 = 0

f (0) = 0

• En x = 1:

f (x) = x2 = 1

f (x) = x = 1

f (1) = 1

La función es continua en Á.

Derivabilidad:

• Si x ≠ 0 y x ≠ 1 → La función es derivable. Su derivada es, en esos puntos:

f' (x) =

• En x = 0:

f' (0–) = 0 = f' (0+). Por tanto, f (x) es derivable en x = 0; y f' (0) = 0.

• En x = 1:

f' (1–) = 2 ≠ f' (1+) = 1. Por tanto, f (x) no es derivable en x = 1.

0 si x < 02x si 0 < x < 11 si x > 1

límx → 1

límx → 1+

límx → 1

límx → 1–

límx → 0

límx → 0+

límx → 0

límx → 0–

0 si x < 0x2 si 0 ≤ x < 1x si x ≥ 1


2

2–2 4

f (x) = f (0). Por tanto, la función es continuaen x = 0.

límx → 0

f (x) = f (1). Por tanto, la función es continuaen x = 1.

límx → 1

S

La función es derivable en Á – {1}. Su derivada es:

f' (x) =

36 Calcula las derivadas primera, segunda y tercera de la función f (x) = 4 ln x– x3 + 1 en el punto x = 1.

f' (x) = 4 · – 3x2 = – 3x2 → f' (1) = 1

f'' (x) = – 6x → f'' (1) = –10

f''' (x) = – 6 → f''' (1) = 2

PARA RESOLVER

37 Considera la función: f (x) =

a) Calcula m y n para que f sea derivable en todo Á.

b) ¿En qué puntos es f' (x) = 0?

a) Para que sea derivable, en primer lugar ha de ser continua.

• Si x ≠ 1, la función es continua, pues está formada por dos polinomios.

• En x = 1:

f (x) = (x2 – 5x + m) = –4 + m

f (x) = (–x2 + nx) = –1 + n

f (1) = –4 + m

Para que sea continua en x = 1, ha de ser: –4 + m = –1 + n; es decir: m = n + 3.

Derivabilidad:

• Si x ≠ 1, la función es derivable. Además:

f' (x) =

• En x = 1:

Para que sea derivable en x = 1, ha de ser –3 = –2 + n, esdecir, n = –1.

f' (1–) = –3f' (1+) = –2 + n

2x – 5 si x < 1–2x + n si x > 1

límx → 1

límx → 1+

límx → 1

límx → 1–

x2 – 5x + m si x ≤ 1–x2 + nx si x > 1

8x3

–4x2

4x

1x

0 si x < 02x si 0 ≤ x < 11 si x > 1


S

S

Por tanto, la función será derivable en todo Á si m = 2 y n = –1. En estecaso, la derivada sería:

f' (x) =

b) f' (x) = 2x – 5 si x < 1

2x – 5 = 0 → x = ; pero > 1

f' (x) = –2x – 1 si x ≥ 1

–2x – 1 = 0 → x = – ; pero – < 1

Por tanto, f' (x) no se anula en ningún punto.

38 Prueba que la función f (x) = x + x – 3 no es derivable en x = 3.

f (x) = =

f' (x) =

f' (3–) = 0 ≠ f' (3+) = 2. Por tanto, la función no es derivable en x = 3.

39 Determina el valor de k que hace que la función f (x) = tenga unúnico punto de tangente horizontal.

f' (x) = =

f' (x) = 0 → x2 – 2x + k = 0 → x =

Para que haya una sola ecuación, ha de ser 4 – 4k = 0; es decir, k = 1.

40 Dada la función f (x) = estudia si es continua y derivable

en todo Á.

Continuidad:

• En x ≠ 0 → La función es continua, pues está formada por dos funciones con-tinuas.

e–x si x ≤ 01 – x si x > 0

2 ± √4 – 4k2

(x2 – 2x + k) ex

(x2 + k)2ex(x2 + k) – 2xex

(x2 + k)2

ex

x2 + k

0 si x < 32 si x > 3

3 si x < 32x – 3 si x ≥ 3

x – x + 3 si x < 3x + x – 3 si x ≥ 3

12

12

52

52

2x – 5 si x < 1–2x – 1 si x ≥ 1


S

• En x = 0:

f (x) = e–x = 1

f (x) = (1 – x) = 1

f (0) = 1

La función es continua en todo Á.

Derivabilidad:

• Si x ≠ 0 → La función es derivable. Además:

f' (x) =

• En x = 0:

f' (0–) = –1 = f' (0+)

Por tanto, f (x) es derivable en x = 0 y f' (0) = –1. La función es derivable entodo Á. Su derivada sería:

f' (x) =

41 Calcula a y b para que la siguiente función sea derivable en todo Á:

f (x) =

Para que sea derivable, en primer lugar, ha de ser continua.

• Si x ≠ 2 → La función es continua, pues está formada por dos polinomios.

• En x = 2:

f (x) = (ax2 + 3x) = 4a + 6

f (x) = (x2 – bx – 4) = –2b

f (2) = 4a + 6

Para que sea continua, ha de ser 4a + 6 = –2b, es decir, 2a + 3 = b; o bien b = –2a – 3.

Derivabilidad:

• Si x ≠ 2 → la función es derivable. Además:

f' (x) = 2ax + 3 si x < 22x – b si x > 2

límx → 2

límx → 2+

límx → 2

límx → 2–

ax2 + 3x si x ≤ 2x2 – bx – 4 si x > 2

–e–x si x < 0–1 si x ≥ 0

–e–x si x < 0–1 si x > 0

límx → 0

límx → 0+

límx → 0

límx → 0–


f (x) = f (0). Por tanto, la función es conti-nua en x = 0.

límx → 0

S

S

• En x = 2:

Para que sea derivable ha de ser 4a + 3 = 4 – b, es decir, b = –4a + 1.

Teniendo en cuenta las dos condiciones obtenidas:

Por tanto, para que f (x) sea derivable en todo Á, ha de ser a = 2 y b = –7.

Página 271

42 Sea la función: f (x) = x x =

a) Halla f' (x).

b) Halla f'' (x).

c) Representa f' y f''.

a) f' (x) =

En x = 0 existe la derivada, pues f (x) es continua, y, además, f' (0–) = f' (0+).

b) f'' (x) =

En x = 0 no existe la segunda derivada, pues f'' (0–) ≠ f'' (0+).

c)

43 Estudia la derivabilidad de la función: f (x) = 1 – y calcula f' (1).

f' (x) =

f (x) es una función continua en Á.

f (x) es derivable en Á – {0} (en x = 0 no existe la derivada).

f' (1) = –23

–23 3

√x

3

√x2

–2 si x < 02 si x > 0

–2x si x < 02x si x ≥ 0

–x2 si x ≤ 0x2 si x > 0

–2a – 3 = –4a + 1 → 2a = 4 → a = 2b = –7

b = –2a – 3b = –4a + 1

f' (2–) = 4a + 3f' (2+) = 4 – b


2

1 2

f '(x) f ''(x)

2

–2

1 2

S

44 Halla el valor de la derivada de la función: cos (x + y) + sen (x – y) = 0 en el

punto ( , ).Derivamos:

–sen (x + y) · (1 + y' ) + cos (x – y) · (1 – y' ) = 0

–sen (x + y) – y' sen (x + y) + cos (x – y) – y' cos (x – y) = 0

–sen (x + y) + cos (x – y) = y' (sen (x + y) + cos (x – y))

y' =

Calculamos la derivada en el punto ( , ):y' ( , ) = = = 0

45 Calcula la derivada de orden n de la función f (x) = e2x.

f' (x) = 2e2x

f'' (x) = 4e2x = 22e2x

f''' (x) = 8e2x = 23e2x

…

f n (x) = 2ne2x

Lo demostramos por inducción:

Para n = 1, n = 2, n = 3, vemos que se cumple.

Supongamos que es cierto para n – 1; es decir, que f n – 1(x) = 2n – 1e2x; entonces,derivando, tenemos que: f n (x) = 2 · 2n – 1e2x = 2ne2x. Por tanto, la expresión ob-tenida es cierta para todo n.

46 a) Representa la función siguiente: f (x) = x + 1 + x – 3

Observando la gráfica, di en qué puntos no es derivable.

b) Representa f' (x).

a) f (x) = =

No es derivable en x = –1 ni en x = 3.(Son puntos “angulosos”).

–2x + 2 si x < –14 si –1 ≤ x ≤ 3

2x – 2 si x > 3

–x – 1 – x + 3 si x < – 1x + 1 – x + 3 si –1 ≤ x ≤ 3x + 1 + x – 3 si x > 3

02

–1 + 11 + 1

π4

π4

π4

π4

–sen (x + y) + cos (x – y)

sen (x + y) + cos (x – y)

π4

π4


2

4

–2–4 2 4 6

S

S

b) f' (x) =

47 Observa las gráficas de lassiguientes funciones e indi-ca en qué puntos no son de-rivables.

¿Alguna de ellas es deriva-ble en todo Á?

a) No es derivable en x = –1 (tiene un punto “anguloso”) ni en x = 2 (no está de-finida la función).

b) Es derivable en todo Á.

c) No es derivable en x = 0 (tiene un punto “anguloso”).

48 La función f (x) está definida por:

f (x) =

Calcula a y b para que f sea continua y derivable.

Continuidad:

• En x ≠ 0 → La función es continua, pues está formada por dos polinomios.

• En x = 0:

f (x) = (x3 – x) = 0

f (x) = (ax + b) = b

f (0) = 0

Derivabilidad:

• Si x ≠ 0 → La función es derivable. Además:

f' (x) =

• En x = 0:

Para que sea derivable, ha de ser a = –1.

Por tanto, f (x) será continua y derivable si a = –1 y b = 0.

f' (0–) = –1f' (0+) = a

3x2 – 1 si x < 0a si x > 0

límx → 0

límx → 0+

límx → 0

límx → 0–

x3 – x si x ≤ 0ax + b si x > 0

–2 si x < –10 si –1 < x < 32 si x > 3


2

–2

–1 3

1

12

2–2

2

a) b) c)

2–2–2 –2

Para que sea continua ha de ser b = 0

S


f (x) =

¿Existe algún punto en el que f' (x) = 0?

Represéntala gráficamente.

Continuidad:

• En x ≠ 1: La función es continua, pues está formada por dos polinomios.

• En x = 1:

f (x) = (x2 + 2x – 1) = 2

f (x) = (x + 1) = 2

f (1) = 2

La función es continua en todo Á.

Derivabilidad:

• Si x ≠ 1: La función es derivable. Además:

f' (x) =

• En x = 1:

f' (1–) = 4 ≠ f' (1+) = 1

La función no es derivable en x = 1.

Por tanto, la función es derivable en Á – {1}.

Puntos en los que f' (x) = 0:

f' (x) = 2x + 2 si x < 1

2x + 2 = 0 → x = –1

f' (x) = 1 si x > 1 → f' (x) ≠ 0 si x > 1

Por tanto, la derivada se anula en x = –1.

Gráfica de f (x):

2x + 2 si x < 11 si x > 1

límx → 1

límx → 1+

límx → 1

límx → 1–

x2 + 2x – 1 si x ≤ 1x + 1 si x > 1


f (x) = f (1). Por tanto, la función escontinua en x = 1.

límx → 1

1

–1

–1 1

S

S

50 Halla a y b para que la función f (x) sea continua:

f (x) =

Para los valores de a y b obtenidos, estudia la derivabilidad de f.

• Si x ≠ –1 y x ≠ 0: La función es continua, pues está formada por polinomios.

• En x = –1:

f (x) = (2x + a) = –2 + a

f (x) = (ax + b) = –a + b

f (–1) = –a + b

• En x = 0:

f (x) = (ax + b) = b

f (x) = (3x2 + 2) = 2

f (0) = 2

Por tanto, f (x) será continua si a = 2 y b = 2.

Para estos valores, queda:

f (x) = ; es decir:

f (x) =

Derivabilidad:

• Si x ≠ 0: Es derivable. Además:

f' (x) =

• En x = 0:

f' (0–) = 2 ≠ f' (0+) = 0

La función no es derivable en x = 0.

Por tanto, es derivable en Á – {0}.

2 si x < 06x si x > 0

2x + 2 si x < 03x2 + 2 si x ≥ 0

2x + 2 si x < –12x + 2 si –1 ≤ x < 03x2 + 2 si 0 ≤ x

límx → 0

límx → 0+

límx → 0

límx → 0–

límx → –1

límx → –1+

límx → –1

límx → –1–

2x + a si x < –1ax + b si –1 ≤ x < 03x2 + 2 si 0 ≤ x


Para que sea continua, ha de ser b = 2.

Para que sea continua, ha de ser –2 + a = –a + b, es decir: b = 2a – 2.

51 Estas gráficas representan las funciones derivadas de las funciones f, g, h y j:

a) ¿Cuáles de estas funciones tienen puntos de tangente horizontal?

b) ¿Cuál de estas gráficas es la función derivada de una función polinómicade primer grado?

c) ¿Cuál de ellas corresponde a una función polinómica de segundo grado?

a) Los puntos de tangente horizontal son los puntos en los que se anula la derivada.

f tiene un punto de tangente horizontal en x = –2, pues f' (–2) = 0.

j tiene dos puntos de tangente horizontal en x = 1 y en x = 3, puesj' (1) = j' (3) = 0.

g y h no tienen ningún punto de tangente horizontal.

b) La derivada de una función polinómica de primer grado es una función constan-te. Por tanto, es g'.

c) La derivada de una función polinómica de segunda grado es una función polinó-mica de primer grado. Por tanto, es f '.

52 ¿Cuál de estas gráficas representa la función f y cuál su derivada f' ? Justi-fica tu respuesta.

a) La función es una recta que tiene pendiente 3. Por tanto, su derivada es y = 3.Luego, estas gráficas sí representan a una función y su derivada.

b) En x = 0, la función tiene un máximo; la derivada se anula. La recta tendría quepasar por (0, 0).

No representan, por tanto, a una función y su derivada.

c) En x = 1, la función tiene un máximo; la derivada se anula, y tendría que pasarpor (1, 0). Estas tampoco representan a una función y su derivada.

Por tanto, solo la primera es válida.


2–2

2

2

f '

g'–2

2

2

22

2

4

j'h'

2

2

2 2

22

a) b) c)

S

53 Halla los puntos de derivada nula de la función y = (3x – 2x2) ex.

y' = (3 – 4x)ex + (3x – 2x2)ex = (3 – 4x + 3x – 2x2)ex = (–2x2 – x + 3)ex

y' = 0 → –2x2 – x + 3 = 0 → x = =

54 Dada la función f (x) = ex + ln (1 – x), comprueba que f' (0) = 0 y f'' (0) = 0.¿Será también f''' (0) = 0?

f' (x) = ex – → f' (0) = 1 – 1 = 0

f'' (x) = ex – → f'' (0) = 1 – 1 = 0

f''' (x) = ex – → f''' (0) = 1 – 2 = –1 ≠ 0


f (x) =

f (x) = =

El dominio de la función es Á – {–3}. Por tanto, en x = –3 no es continua (ni de-rivable), pues no está definida.

Continuidad:

• En x ≠ 0, x ≠ 3 y x ≠ –3: Es continua, pues las funciones que la forman soncontinuas en este caso.

• En x = 0:

f (x) = = 0

f (0) = –1

2xx + 3

límx → 0

límx → 0

–1 si x = 02x

x + 3si x ≠ 0, x ≠ 3

1 si x = 3

–1 si x = 02x (x – 3)

(x – 3)(x + 3)si x ≠ 0, x ≠ 3

1 si x = 3

–1 si x = 02x (x – 3)

x2 – 9si x ≠ 0, x ≠ 3

1 si x = 3

2(1 – x)3

1(1 – x)2

11 – x

–3x = —

2x = 1

1 ± 5–4

1 ± √1 + 24–4


No es continua en x = 0 (tiene una discontinui-dad evitable).

S

S

• En x = 3:

f (x) = = 1

f (3) = 1

• En x = –3: No es continua, pues no está definida.

Por tanto, f (x) es continua en Á – {–3, 0}.

Derivabilidad:

• Si x ≠ 0, x ≠ 3 y x ≠ –3: Es derivable. Además: f' (x) =

• En x = 0 y en x = –3: No es derivable, pues no es continua.

• En x = 3: Sí es derivable, pues f' (3–) = f' (3+) = f' (3) = .

Por tanto, f (x) es derivable en Á – {–3, 0}. Además:

f' (x) = si x ≠ 0 y x ≠ –3

56 Determina, si es posible, el valor del parámetro a para que la función fsea derivable en todo su dominio de definición:

f (x) =

Para que f (x) sea derivable, en primer lugar, ha de ser continua.

• Si x > 0, x ≠ 1: La función es continua, pues está formada por funciones continuas.

• En x = 1:

f (x) = (x ln x) = 0

f (x) = [a (1 – e1 – x)] = 0

f (1) = 0

Derivabilidad

• Si x > 0, x ≠ 1: es derivable. Además:

f' (x) =

• En x = 1:

f (x) es derivable en x = 1 si a = 1.

Luego, para que f sea derivable en todo su dominio de definición, ha de ser a = 1.

f' (1–) = 1f' (1+) = a

ln x + 1 si 0 < x < 1ae1 – x si x > 1

límx → 1

límx → 1+

límx → 1

límx → 1–

x ln x si 0 < x ≤ 1a (1 – e1 – x) si 1 < x

6(x + 3)2

16

6(x + 3)2

2xx + 3

límx → 3

límx → 3


f (x) = f (3). La función es continuaen x = 3.

límx → 3

f (x) es continua en x = 0.

57 Estudia la derivabilidad en x = 0 de la función:

f (x) =

Como f (x) = f (x) = f (0) = 1, la función es continua en x = 0.

Veamos si es derivable:

• Si x ≠ 0, tenemos que:

f' (x) =

No existen las derivadas laterales en x = 0. Por tanto, f (x) no es derivable enx = 0.

58 Estudia la continuidad y derivabilidad de las siguientes funciones:

a) f (x) = b) f (x) =

a) f (x) =

Continuidad:

• Si x ≠ 0 → Es continua, pues está formada por dos funciones continuas en losintervalos en los que están definidas.

• Si x = 0:

f (x) = = 1

f (x) = = 1

f (0) = 1

Por tanto, es una función continua en Á.

Derivabilidad:

• Si x ≠ 0: Es derivable. Además:

f' (x) =

1— si x < 0 (1 – x)2

–1— si x > 0 (1 + x)2

11 + x

límx → 0

límx → 0+

11 – x

límx → 0

límx → 0–

1— si x < 0 1 – x

1— si x ≥ 0 1 + x

xx2 – 1

11 + x

2— si x < 0 3

3

√–x–2— si x > 0

33

√–x

límx → 0+

límx → 0–

1 + 3

√x2 x ≤ 0

1 – 3

√x2 x > 0


f (x) = f (0). Es continua en x = 0.límx → 0

S

S

• En x = 0:

f' (0–) = 1 ≠ f' (0+) = –1

No es derivable en x = 0.

Por tanto, es derivable en Á – {0}.

b) f (x) =

El dominio de la función es D = Á – {–1, 1}. Por tanto, en x = –1 y en x = 1,la función no es continua (ni derivable).

Continuidad:

• Si x ≠ 0, x ≠ –1, x ≠ 1: La función es continua, pues está formada por funcio-nes continuas (en estos puntos).

• En x = –1 y en x = 1: No es continua, pues no está definida en estos puntos.

• En x = 0:

f (x) = = 0

f (x) = = 0

f (0) = 0

Por tanto, es una función continua en Á – {–1, 1}.

Derivabilidad:

• Si x ≠ 0, x ≠ –1, x ≠ 1: Es derivable. Además:

f' (x) =

• En x = –1 y en x = 1: No es derivable, pues no está definida la función.

• En x = 0:

f' (0–) = 1 ≠ f' (0+) = –1. No es derivable en x = 0.

Por tanto, es derivable en Á – {–1, 0, 1}.

x2 + 1— si x < 0 (x2 – 1)2

–x2 – 1— si x > 0 (x2 – 1)2

xx2 – 1

límx → 0

límx → 0+

–xx2 – 1

límx → 0

límx → 0–

–x— si x < 0 x2 – 1

x— si x ≥ 0 x2 – 1


f (x) = f (0). La función es continua enx = 0.

límx → 0

59 Prueba que D [arc tg ] =

D [arc tg ] = · = =

= = =

60 Demuestra que la derivada de la función y = arc tg con 0 ≤ x ≤ πes una constante.

☛ Recuerda la fórmula de tg .

Si 0 ≤ x ≤ π → 0 ≤ ≤ → tg =

Así: y = arc tg = arc tg (tg ) =

Por tanto: y' =

61 Si f (x) = x2 x , halla f', f'' y f'''.

f (x) =

Derivando:

f' (x) =

(En x = 0, tenemos que f' (0–) = f' (0+) = f' (0) = 0).

f'' (x) =

(En x = 0, tenemos que f'' (0–) = f'' (0+) = f'' (0) = 0).

f''' (x) =

(En x = 0 no existe f''', puesto que f''' (0–) = –6 ≠ f''' (0+) = 6).

–6 si x < 06 si x > 0

–6x si x < 06x si x ≥ 0

–3x2 si x < 03x2 si x ≥ 0

–x3 si x < 0x3 si x ≥ 0

12

x2

x2√ 1 – cos x

1 + cos x

√ 1 – cos x1 + cos x

x2

π2

x2

x2

√1 – cos x1 + cos x

2

ex + e–x(ex + e–x) · 2(ex + e–x) · 2

(ex + e–x) · 4(e2x + e–2x + 2) · 2

ex + e–x

e2x – e–2x – 2(1 + ——) · 24

ex + e–x

21

ex – e–x1 + (—)22

ex – e–x

2

2

ex + e–xex – e–x

2


62 Halla los puntos de derivada nula de la función y = cos 2x – 2 cos x.

y' = –sen 2x · 2 – 2 · (–sen x) = –2sen 2x + 2 sen x =

= –2 · 2sen x · cos x + 2sen x = 2sen x (–2cos x + 1)

y' = 0 → 2sen x (–2cos x + 1) = 0

sen x = 0 → x = 0 + k · π

–2cos x + 1 = 0 → cos x = ; con k ∈ Z


63 Sabes que = f' (x0).

A partir de esta expresión, justifica la validez de esta otra:

= f' (x0)

Llamando h = x – x0, tenemos que:

• Si h → 0, entonces x → x0.

• Además, x0 + h = x

Por tanto: f' (x0) = =

64 Relaciona los siguientes límites con la derivada de las funciones que apare-cen en ellos:

= g' (a)

= φ'(2)

= f' (0)f (h) – f (0)

hlím

h → 0

φ(2 + x) – φ(2)x

límx → 0

g (x) – g (a)x – a

límx → a

φ(2 + x) – φ(2)x

límx → 0

f (h) – f (0)

hlím

h → 0

g (x) – g (a)x – a

límx → a

f (x) – f (x0)

x – x0

límx → x0

f (x0 + h) – f (x0)

hlím

h → 0

f (x) – f (x0)

x – x0

límx → x0

f (x0 + h) – f (x0)

hlím

h → 0

πx = — + 2πk

35π

x = — + 2πk3

12


S

65 Una función polinómica de tercer grado, ¿cuántos puntos de derivada nulapuede tener?

¿Es posible que no tenga ninguno?

¿Es posible que solo tenga uno?

La derivada de una función polinómica de tercer grado es una función polinómicade segundo grado.

Por tanto, puede haber dos puntos, un punto, o ningún punto, con derivada nula.

Por ejemplo:

f (x) = x3 – 3x → f' (x) = 3x2 – 3 = 0 Dos puntos

f (x) = x3 → f' (x) = 3x2 = 0 → x = 0 → Un punto

f (x) = x3 + 3x → f' (x) = 3x2 + 3 ≠ 0 para todo x → Ninguno

66 Justifica que una función polinómica de segundo grado tiene siempre unpunto de tangente horizontal.

Su derivada es una función polinómica de primer grado, que se anula siempre enun punto.

67 ¿Puede haber dos funciones que tengan la misma derivada? Pon ejemplos defunciones cuya derivada sea f' (x) = 2x.

Sí. Por ejemplo, si f' (x) = 2x, podemos considerar: f (x) = x2 + k, siendo k unaconstante cualquiera.

68 Dadas f (x) = (x + 1)2 y g (x) = 3x, calcula:

a) f' (3x) b) ( f ° g)' (x)

c) g' [f (x)] d) ( g ° f )' (x)

f' (x) = 2(x + 1) = 2x + 2; g' (x) = 3

a) f' (3x) = 2 · 3x + 2 = 6x + 2

b) (f ° g)' (x) = f' (g (x)) · g' (x) = (2 · 3x + 2) · 3 = 18x + 6

c) g' [f (x)] = 3

d) (g ° f )' (x) = g'(f (x)) · f' (x) = 3(2x + 2) = 6x + 6

x = 1

x = –1


S

69 La función y = , ¿tiene algún punto de derivada nula?

¿Y la función y = ?

y = → Dominio = (– ∞, 0] U [4, +∞)

y' = = = 0 → x = 2

Pero x = 2 no pertenece al dominio de definición de la función. Por tanto, no tie-ne ningún punto de derivada nula.

Para la otra función:

y = → Dominio = [0, 4]

y' = = = 0 → x = 2 (Sí pertenece al dominio)

La derivada se anula en x = 2.

PARA PROFUNDIZAR

70 Demuestra que todas las derivadas de orden par de la función f (x) = sen 2xse anulan en el origen de coordenadas.

f I (x) = 2cos 2x

f II (x) = –4sen 2x = –22 · sen 2x

f III (x) = –8cos 2x = –23 · cos 2x

f IV(x) = 16sen 2x = 24 · sen 2x

…

En general, las derivadas de orden par son de la forma: f (n) (x) = k · sen 2x, don-de k es constante.

Por tanto, se anulan todas en x = 0, puesto que sen 0 = 0. Como f (0) = 0, tene-mos que todas las derivadas de orden par de f (x) se anulan en el origen de coor-denadas.

Página 273

71 Dada y = sen x, halla un punto en el intervalo (0, ) en el que la tangente

sea paralela a la cuerda que pasa por (0, 0) y ( , 1).La cuerda que pasa por (0, 0) y ( , 1) tiene pendiente: m = = .2

π1

π/2π2

π2

π2

2 – x

√4x – x2

4 – 2x

2√4x – x2

√4x – x2

x – 2

√x2 – 4x

2x – 4

2√x2 – 4x

√x2 – 4x

√4x – x2

√x2 – 4x


Tenemos que hallar un punto del intervalo (0, ) en el que la derivada de la fun-

ción sea igual a :

y' = cos x =

x ∈ (0, )72 Prueba, utilizando la definición de derivada, que la función:

f (x) = (1 – x)

es derivable en x = 1 y no lo es en x = –1.

f' (1) = = =

= (– ) = 0 = f' (1)

f' (–1) = = =

= ((2 – h) ) = (2 – h) =

= → no existe f' (–1)

73 Sean f y g dos funciones derivables en Á, tales que:

f (0) = 5; f' (0) = 6; f' (1) = 3

g (0) = 1; g' (0) = 4; y g' (5) = 2

Prueba que f ° g y g ° f tienen la misma derivada en x = 0.

Aplicamos la regla de la cadena:

( f ° g)' (0) = f' (g (0)) · g' (0) = f' (1) · g' (0) = 3 · 4 = 12

( g ° f )' (0) = g' ( f (0)) · f' (0) = g' (5) · f' (0) = 2 · 6 = 12

74 f (x) =

¿Hay algún valor de k para el cual f (x) sea continua en x = 0?

Continuidad: Debe cumplirse que f (x) = f (0).límx → 0

sen xx

+ 2 si x ≠ 0

k si x = 0

2√20

√ (2 – h)hlím

h → 0√ 2h – h2

h2lím

h → 0

(2 –h)√2h – h2 – 0h

límh → 0

f (–1 + h) – f (–1)h

límh → 0

√1 – (1 + h)2límh → 0

– h√1 – (1 + h)2

hlím

h → 0

f (1 + h) – f (1)h

límh → 0

√1 – x2

π2

2π

2π

π2


→ x = 0,88

S

f (x) = ( + 2) = 1 + 2 = 3

f (0) = k

La función será continua en x = 0 si k = 3.

75 Halla la derivada n-ésima de las funciones siguientes:

a) y = eax b) y = c) y = ln (1 + x)

a) y' = a eax; y'' = a2 eax; y''' = a3 eax; … yn) = an eax

Lo demostramos por inducción: (para n = 1, 2, 3 se cumple).

Si yn – 1) = an – 1 eax, derivando obtenemos: yn) = a · an – 1 eax = an eax, comoqueríamos demostrar.

b) y' = ; y'' = ; y''' = ; … yn) =

Lo demostramos por inducción: (para n = 1, 2, 3 se cumple).

Si yn – 1) = , derivando obtenemos:

yn) = = , como queríamos demostrar.

c) y' = ; y'' = ; y''' = ; … yn) =

Lo probamos por inducción: (para n = 1, 2, 3 se cumple).

Si yn – 1) = , derivando, obtenemos:

yn) = = , como queríamos de-

mostrar.

76 Considera la función: f (x) = siendo n un númeronatural.

a) Demuestra que f es derivable en x = 0 para n = 2.

b) Demuestra que f no es derivable en x = 0 para n = 1.

a) f' (0) = = = h sen ( ) =(*)

0

(*) Tenemos en cuenta que –1 ≤ sen ( ) ≤ 1.

Por tanto, f es derivable en x = 0 para n = 2.

1h

1h

límh → 0

h2 sen (1/h) – 0h

límh → 0

f (0 + h) – f (0)

hlím

h → 0

xn sen (1/x) si x ≠ 00 si x = 0

(–1)n – 1 (n – 1)!(1 + x)n

(–1)n – 2 · (n – 2)! (–1)(n – 1)(1 + x)n

(–1)n – 2 (n – 2)!(1 + x)n – 1

(–1)n – 1 (n – 1)!(1 + x)n

2(1 + x)3

–1(1 + x)2

11 + x

(–1)n n!xn + 1

(–1)n – 1 · (n – 1)! (–1) · nxn + 1

(–1)n – 1 (n – 1)!xn

(–1)n n!xn + 1

–6x4

2x3

–1x2

1x

sen xx

límx → 0

límx → 0


b) f' (0) = = = sen ( )Este límite no existe (el valor de sen ( ) va oscilando entre –1 y 1).

Por tanto, f no es derivable en x = 0 para n = 1.

77 Prueba que existe un punto de la curva: f (x) = ex + arc tg x cuya tangente(en ese punto) es paralela a la recta y = 3x + 2.

☛ Aplica el teorema de Bolzano a la función f' (x) – 3.

La pendiente de la recta y = 3x + 2 es m = 3.

Tenemos que probar que existe un punto de la curva f (x) tal que f' (x) = 3.

f' (x) = ex + = 3

Consideramos la función G (x) = f' (x) – 3; es decir:

G (x) = ex + – 3

G (0) = –1 < 0

Tenemos que: G (1) = e – ≈ 0,22 > 0

G (x) es una función continua en [0, 1]

Aplicando el teorema de Bolzano, sabemos que existe un punto c ∈ (0, 1) tal queG (c) = 0. Es decir, f' (c) – 3 = 0; o bien f' (c) = 3, como queríamos probar.

78 Comprueba en cada caso que f (x) verifica la ecuación indicada:

a) f (x) = ex sen x

f'' (x) – 2 f' (x) + 2 f (x) = 0

b) f (x) = ln

x f' (x) + 1 = e f (x)

a) f' (x) = ex sen x + ex cos x

f'' (x) = ex sen x + ex cos x + ex cos x – ex sen x = 2ex cos x

f'' (x) – 2f' (x) + 2f (x) = 2ex cos x – 2ex sen x – 2ex cos x + 2ex sen x = 0

Por tanto: f'' (x) – 2f' (x) + 2f (x) = 0

1x + 1

52

11 + x2

11 + x2

1h

1h

límh sen (1/h) – 0

hlím

f (0 + h) – f (0)

hlím


De otra forma:

f' (x) = ex sen x + ex cos x = f (x) + ex cos x

f'' (x) = f' (x) + ex cos x – ex sen x =

= f' (x) + ex cos x – ex sen x + ex sen x – ex sen x =

= f' (x) + (ex sen x + ex cos x) – 2(ex sen x) =

= f' (x) + f' (x) – 2f (x) = 2f' (x) – 2f (x)

Por tanto: f'' (x) – 2f' (x) + 2f (x) = 0

b) f (x) = ln 1 – ln (x + 1) = –ln (x + 1)

f' (x) =

xf' (x) + 1 = + 1 = = = eln ( )

= e f (x)

Por tanto: xf' (x) + 1 = e f (x)


79 Un avión vuela horizontalmente a 6 km de altura. La ruta del avión pasa porla vertical de un punto P y se sabe que, en el instante en que la distancia delavión a P es 10 km, dicha distancia aumenta a razón de 6 km/minuto.

Halla la velocidad del avión, que supondremos constante.

Pasos:

a) Expresa d en función de x:

b) Obtén la expresión de la velocidad de alejamiento de P, d'(t), en fun-ción de x y de x'(t).

c) Despeja x'(t0) siendo t0 el instante al que se refiere el enunciado y, portanto, para el que conocemos algunos datos numéricos. x'(t0) es la velo-cidad del avión en ese instante y, por tanto, su velocidad constante.

1x + 11

x + 1–x + x + 1

x + 1–x

x + 1

–1x + 1


xP

d 6

a) d =

b) d (t ) =

d' (t ) = =

c) x' (t0) = = = = 7,5 km/min

El avión va a 7,5 km/min; es decir, a 450 km/h.

608

6√82 + 368

d' (t0)√(x(t0))2 + 36

x (t0)

x(t ) · x'(t )

√(x (t ))2 + 36

2x(t ) x'(t )

2√(x (t ))2 + 36

√(x (t ))2 + 36

√x2 + 36


P

d(t)

x(t)

v = constante

6 km6 km

8 km

10 km

solucionario anaya 2008 2º bachillerato matematicas ccnn

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