solucionario ceg guía posiciones relativas de rectas y planos en el espacio ok 2015
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1
SOLUCIONARIO Posiciones relativas de
rectas y planos en el
espacio
SG
UIC
EG
035
EM
32-A
15
V1
2
TABLA DE CORRECCIÓN
GUÍA PRÁCTICA
Posiciones relativas de rectas y planos en el espacio
Ítem Alternativa Habilidad
1 E Comprensión
2 A ASE
3 D ASE
4 D ASE
5 E Aplicación
6 A Aplicación
7 D Aplicación
8 B Aplicación
9 D ASE
10 B ASE
11 D Aplicación
12 C Aplicación
13 D Aplicación
14 B Aplicación
15 C Aplicación
16 C Aplicación
17 E ASE
18 E ASE
19 C ASE
20 B ASE
21 E Aplicación
22 E ASE
23 E Aplicación
24 A ASE
25 B ASE
3
1. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Geometría analítica
Habilidad Comprensión
A) Verdadera, ya que la medida de la diagonal de un cuadrado es igual a la medida del
lado multiplicado por la raíz de dos. Como el cubo tiene cada arista de 5 cm,
entonces la diagonal de cada cuadrado que lo forma mide 25 cm.
B) Verdadera, ya que todas las caras del cubo son cuadradas, por lo tanto los segmentos
EH y GH son perpendiculares.
C) Verdadera, ya que la diagonal de un cubo tiene una medida igual a la medida de la
arista multiplicada por raíz de tres. Luego, la diagonal de este cubo mide 35 cm.
D) Verdadera, ya que si estas dos segmentos se extendieran infinitamente, nunca se
intersectarían.
E) Falsa, ya que GH = 5 cm, BG = 25 cm y BH = 35 cm, es decir, el triángulo
BGH es escaleno.
2. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Geometría analítica
Habilidad ASE
La medida de la diagonal del cubo es igual a la medida de la arista multiplicada por 3 .
Entonces CB = AB · 3 . Como DEAC (según el enunciado) y ABAC (por ser
un cubo) entonces AB // DE . Luego, es posible aplicar el teorema de Thales.
Según el teorema de Thales, Δ EDC Δ BAC. Luego, DE es homólogo con AB y
CE es homólogo con CB . Planteando la proporcionalidad de lados homólogos resulta:
CB
CE
AB
DE (Reemplazando)
3
6
ABAB
DE (Despejando DE )
DE = 3
6
AB
AB (Simplificando)
DE = 3
6 (Racionalizando)
4
DE = 3
3
3
6
DE = 3
36 (Simplificando)
DE = 2 3
Por lo tanto, DE mide 2 3 cm.
3. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Geometría analítica
Habilidad ASE
La medida de la diagonal del cubo es igual a la medida de la arista multiplicada por 3 ,
entonces PS = QR = 4 3 cm.
Como dos diagonales del cubo siempre se dimidian, entonces
PA = AS = QA = AR = 2 3 cm.
Por lo tanto, el perímetro del triángulo PAQ mide
(PQ + PA + QA) = (4 + 2 3 + 2 3 ) = (4 + 4 3 ) cm.
4. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Geometría analítica
Habilidad ASE
El área de un triángulo se calcula como el semiproducto de la
base por la altura. Si se traza la altura TC del triángulo, como
muestra la figura, la medida de esta coincide con la medida de la
diagonal BQ .
Como la medida de la diagonal de una cara es igual a la medida
de la arista multiplicada por 2 , entonces TC = BQ = 210 .
Por lo tanto, el área del triángulo ABC es 2
TCAB =
2
21010 =
2
2100 = 250
A
C
B
P Q
T
5
5. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Geometría analítica
Habilidad Aplicación
Como la medida de la diagonal de un cubo es igual a la
medida de la arista multiplicada por raíz de tres, entonces
la arista de cada uno de estos cubos, que llamaremos a,
mide la longitud de la diagonal dividida por raíz de tres,
es decir: 323
36
3
6a
Llamaremos C y D a dos de los vértices de este paralelepípedo para definir el triángulo
ACD. Como las caras de un cubo son cuadrados congruentes, entonces el triángulo ACD
es rectángulo en C. Por lo tanto se cumple el teorema de Pitágoras, es decir:
222 ADCDAC
222 )32()34( AD
21248 AD
AD60
AD152
Por otra parte, el triángulo ADB es rectángulo en D, ya que las caras adyacentes de un
cubo son perpendiculares, Por lo tanto se cumple el teorema de Pitágoras, es decir:
222 ABBDAD 222 )32()152( AB
21260 AB
AB72
AB26
6. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Geometría analítica
Habilidad Aplicación
Sabemos que la medida de la diagonal de un cubo es igual a la medida de la arista
multiplicada por raíz de tres, entonces la arista de este cubo, que llamaremos m, tiene
por longitud la medida de la diagonal dividida por raíz de tres, es decir:
4163
48
3
48m
A
B
C
D
a a
a
a
6
Llamaremos P y Q a dos de los vértices de este paralelepípedo para definir el triángulo
MPQ. Como las caras de un cubo son cuadrados congruentes, entonces el triángulo
MPQ es rectángulo en Q. Por lo tanto se cumple el teorema de Pitágoras, es decir:222 PMQMPQ
222 24 PM
2416 PM
PM20
PM52
Por otra parte, el triángulo MNP es rectángulo en P, ya que las caras adyacentes de un
cubo son perpendiculares, Por lo tanto se cumple el teorema de Pitágoras, es decir: 222 MNPNPM
222 4)52( MN
21620 MN
MN36
MN6
7. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Geometría analítica
Habilidad Aplicación
Como el triángulo ABC está formado con las diagonales de tres
de las caras del cubo, entonces el triángulo ABC es equilátero,
ya que las caras de un cubo son cuadrados congruentes entre sí.
El área de un triángulo equilátero es igual a un cuarto del
cuadrado de la medida del lado, que llamaremos a, multiplicado
por raíz de tres, es decir:
4
32aA ABC (Sustituyendo)
4
339
2a (Multiplicando por 4, dividiendo por 3 )
236 a (Extrayendo raíz cuadrada)
a6
Como las diagonales de cada una de las caras mide 6, y la diagonal de un cuadrado es
igual a la medida del lado multiplicado por raíz de dos, entonces la medida de la arista
del cubo es igual a la medida de la diagonal de las caras divida por raíz de dos, es decir:
M
N
P Q
2
4
4
B
A
C
a
a
a
b
b
7
232
26
2
6b
Por último, la medida de la diagonal de un cubo es igual a la longitud de su arista
multiplicada por raíz de 3. En este caso: 63323
8. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Geometría analítica
Habilidad Aplicación
Como la medida de la diagonal de un cubo es igual a la medida de la arista por la raíz de
tres, entonces la medida de la arista de cada uno de estos cubos es igual a 6.
Si ubicamos la figura en un sistema de coordenadas en el espacio, entonces:
* R(12, 0, 0), ya que se encuentra sobre el eje X
* S(0, 6, 6), ya que se encuentra en el plano YZ.
222 )()()( RSRSRSRSzzyyxxd
222 )06()06()120( RS
d
3636144 RS
d
216RS
d
66RS
d
9. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Geometría analítica
Habilidad ASE
I) Falsa, ya que las caras adyacentes de un cubo son perpendiculares entre sí, por lo
tanto la diagonal de una cara siempre es perpendicular a uno de los lados de las
caras adyacentes a esta, es decir, el ángulo BDE es rectángulo.
II) Verdadera, ya que FC es diagonal de una de las caras de este cubo. Como las caras
son cuadrados, la diagonal de esta es bisectriz del ángulo recto, es decir que el
ángulo FCB mide 45º.
R
S
O 6
6
6
6
X
Y
Z
8
III) Verdadera, ya que al trazar el triángulo ACE, este estará formado por las diagonales
de tres de las caras del cubo, por lo tanto el triángulo ACE es equilátero. Luego el
ángulo CAE mide 60º.
Por lo tanto, solo II y III son verdaderas.
10. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Geometría analítica
Habilidad ASE
Cualquier punto (a, b, c) que pertenezca al plano 5x – 2y + 3z – 4 = 0 debe cumplir que
5a – 2b + 3c – 4 = 0.
Luego, reemplazando el punto (2m, – 3, 1 – m) resulta:
5·2m – 2·(– 3) + 3·(1 – m) – 4 = 0
10m + 6 + 3 – 3m – 4 = 0
7m + 5 = 0
7m = – 5
m = 7
5
11. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Geometría analítica
Habilidad Aplicación
Si Ax + By + Cz + D = 0, entonces, dividiendo la ecuación del plano por D resulta:
01 zD
Cy
D
Bx
D
A 1 z
D
Cy
D
Bx
D
A
Como el plano pasa por los puntos (2, 1, 1), (– 1, 4, 4) y (3, 2, – 4), debe cumplirse que:
1112 D
C
D
B
D
A ; 144)1(
D
C
D
B
D
A y 1)4(23
D
C
D
B
D
A
Al resolver el sistema de 3x3 que queda planteado resulta 3
1
D
A,
9
2
D
B y
9
1
D
C. Luego, la ecuación del plano es 01
9
1
9
2
3
1 zyx . Al multiplicar por
– 9, resulta 3x + 2y + z – 9 = 0.
9
12. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Geometría analítica
Habilidad Aplicación
A) Sí pertenece, ya que al evaluar el punto (4, – 12, – 2) en la ecuación del plano P:
3 · 4 + (– 12) – 4 · (– 2) – 8 = 12 – 12 + 8 – 8 = 0
B) Sí pertenece, ya que al evaluar el punto (– 3, 1, – 4) en la ecuación del plano P:
3 · (– 3) + 1 – 4 · (– 4) – 8 = – 9 + 1 + 16 – 8 = 0
C) NO pertenece, ya que al evaluar el punto (– 2, 10, 1) en la ecuación del plano P:
3 · (– 2) + 10 – 4 · 1 – 8 = – 6 + 10 + 4 – 8 = – 8
D) Sí pertenece, ya que al evaluar el punto (6, 2, 3) en la ecuación del plano P:
3 · 6 + 2 – 4 · 3 – 8 = 18 + 2 – 12 – 8 = 0
E) Sí pertenece, ya que al evaluar el punto (2, – 2, – 1) en la ecuación del plano P:
3 · 2 + (– 2) – 4 · (– 1) – 8 = 6 – 2 + 4 – 8 = 0
13. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Geometría analítica
Habilidad Aplicación
Como A(3, 4 + a, 7 – 3a) pertenece al plano P: 2x – 2y – 3z + 2 = 0, entonces:
2x – 2y – 3z + 2 = 0 (Sustituyendo)
2 · 3 – 2(4 + a) – 3(7 – 3a) + 2 = 0 (Distribuyendo)
6 – 8 – 2a – 21 + 9a + 2 = 0 (Reuniendo términos semejantes)
7a – 21 = 0 (Despejando)
7a = 21
a = 3
Luego, si la ordenada de A es (4 + a), entonces esta es igual a (4 + 3) = 7.
10
14. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Geometría analítica
Habilidad Aplicación
Para determinar la ecuación de un plano, basta con conocer como mínimo tres puntos en
el espacio. Sabemos que el punto (5, 2, 3) pertenece al plano P, por lo que nos falta
conocer otros dos puntos que obtendremos a partir de la recta L
Como L pertenece al plano, entonces todos los puntos de esta recta están en este plano.
Tomaremos dos puntos: cuando λ sea cero y cuando λ sea uno.
λ = 0: (x, y, z) = (3, – 2, – 4) + 0(– 2, 6, 8) = (3, – 2, – 4) + (0, 0, 0) = (3, – 2, – 4)
λ = 1: (x, y, z) = (3, – 2, – 4) + 1(– 2, 6, 8) = (3, – 2, – 4) + (– 2, 6, 8) = (1, 4, 4)
Por lo tanto, los puntos (3, – 2, – 4) y (1, 4, 4) pertenecen a la recta L, es decir,
pertenecen al plano P. Luego, al evaluar en cada una de las ecuaciones, la única en la
que los tres puntos la satisfacen es x + 3y – 2z – 5 = 0, ya que al evaluar:
(5, 2, 3): 5 + 6 – 6 – 5 = 0
(3, – 2, – 4): 3 – 6 + 8 – 5 = 0
(1, 4, 4): 1 + 12 – 8 – 5 = 0
Por lo tanto, la respuesta es B) x + 3y – 2z – 5 = 0.
15. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Geometría analítica
Habilidad Aplicación
Teniendo tres puntos, podemos tomar uno de ellos (P0) y encontrar los vectores
directores que van desde este punto hacia los otros dos. Notemos que todas las
alternativas tienen como P0 al punto (3, − 2, 5) o (2, 5, 4)
Si P0 = (2, 5, 4):
(x, y, z) = (2, 5, 4) + λ(1 – 2, 3 – 5, – 2 – 4) + μ(3 – 2, – 2 – 5, 5 – 4)
(x, y, z) = (2, 5, 4) + λ(– 1, – 2, – 6) + μ(1, – 7, 1)
Si P0 = (3, − 2, 5):
(x, y, z) = (3, − 2, 5) + λ(2 – 3, 5 – (– 2), 4 − 5) + μ(1 – 3, 3 – (– 2), – 2 – 5)
(x, y, z) = (3, − 2, 5) + λ(− 1, 7, − 1) + μ(− 2, 5, − 7)
11
Por lo tanto, solo la ecuación de la alternativa C) corresponde al plano que contiene
estos tres puntos
16. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Geometría analítica
Habilidad Aplicación
Para saber si una recta pertenece a un plano, basta con tomar dos puntos que
pertenezcan a la recta y comprobar que también pertenecen al plano
Tomemos dos puntos:
2,1,33
2
2
1
5
3
zyx
zyx. Es decir, (3, 1, 2) pertenece a la recta.
5,3,23
2
2
1
5
3
zyx
zyx. Es decir, (– 2, 3, 5) pertenece a la recta.
Como conocemos dos puntos por los que pasa la recta dada, entonces:
A) Sí contiene a la recta, ya que al sustituir:
(3, 1, 2) ⟺ 3 + 1 + 2 – 6 = 0
(– 2, 3, 5) ⟺ – 2 + 3 + 5 – 6 = 0
B) Sí contiene a la recta, ya que al sustituir:
(3, 1, 2) ⟺ 3 – 2 · 1 + 3 · 2 – 7 = 3 – 2 + 6 – 7 = 0
(– 2, 3, 5) ⟺ – 2 – 2 · 3 + 3 · 5 – 7 = – 2 – 6 + 15 – 7 = 0
C) NO contiene a la recta, ya que al sustituir:
(3, 1, 2) ⟺ 5 · 3 – 8 · 1 + 3 · 2 – 13 = 15 – 8 + 6 – 13 = 0
(– 2, 3, 5) ⟺ 5 · (– 2) – 8 · 3 + 3 · 5 – 13 = – 10 – 24 + 15 – 7 = – 32
D) Sí contiene a la recta, ya que al sustituir:
(3, 1, 2) ⟺ 2 · 3 + 11 · 1 – 4 · 2 – 9 = 6 + 11 – 8 – 9 = 0
(– 2, 3, 5) ⟺ 2 · (– 2) + 11 · 3 – 4 · 5 – 9 = – 4 + 33 – 20 – 9 = 0
E) Sí contiene a la recta, ya que al sustituir:
(3, 1, 2) ⟺ 3 · 3 + 6 · 1 + 2 – 17 = 9 + 6 + 2 – 17 = 0
(– 2, 3, 5) ⟺ 3 · (– 2) + 6 · 3 + 5 – 17 = – 6 + 18 + 5 – 17 = 0
12
17. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Geometría analítica
Habilidad ASE
Si un punto pertenece a un plano, entonces existe cierto λ y μ en los reales tal que dicho
punto satisface la ecuación vectorial. Luego:
I) Sí pertenece al plano, ya que si λ y μ son iguales a cero, entonces
(x, y, z) = (2, 1, 1) + 0·(3, − 2, 2) + 0·(1, − 1, 3) = (2, 1, 1)
II) Sí pertenece al plano, ya que existen dicho λ y μ en los reales que satisface.
Utilizaremos las ecuaciones paramétricas para comprobar.
3 = 2 + 3 · λ + μ ⟺ 3 λ + μ = 1
1 = 1 + (− 2) λ + (− 1)μ ⟺ 2 λ + μ = 0
Mediante sistemas de ecuaciones se sabe que λ es igual a 1 y μ es igual a – 2. Por
lo tanto, (x, y, z) = (2, 1, 1) + 1·(3, − 2, 2) + − 2·(1, − 1, 3) = (3, 1, − 3)
III) Sí pertenece al plano, ya que existen dicho λ y μ en los reales que satisface.
Utilizaremos las ecuaciones paramétricas para comprobar.
5 = 2 + 3 · λ + μ ⟺ 3 λ + μ = 3
0 = 1 + (− 2) λ + (− 1)μ ⟺ 2 λ + μ = 1
Mediante sistemas de ecuaciones se sabe que λ es igual a 2 y μ es igual a – 3.
Por lo tanto, (x, y, z) = (2, 1, 1) + 2·(3, − 2, 2) + − 3·(1, − 1, 3) = (5, 0, − 4)
Luego, los tres puntos pertenecen al plano P.
18. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Geometría analítica
Habilidad ASE
I) Verdadera, ya que los puntos A y B difieren solo en la abscisa, de la misma forma que
los puntos C y D difieren solo en la ordenada, por lo cual su longitud es la diferencia
positiva entre ambas, que es 1 unidad. Entonces, AB = CD = 1.
II) Verdadera, ya que los puntos C y D tienen igual cota.
III) Verdadera, ya que los puntos C y B tienen igual abscisa e igual ordenada.
Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas.
13
19. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Geometría analítica
Habilidad ASE
I) Verdadera, ya que los parámetros del plano P son el doble de los parámetros del
plano M, incluyendo el término independiente.
II) Verdadera, ya que los parámetros del plano P son el doble de los parámetros del
plano Q, exceptuando solo el término independiente.
III) Falsa, ya que al reemplazar el punto (3, 1, – 5) en la ecuación del plano NO se
verifica una identidad 2·3 + 6·1 – 4·(– 5) + 8 = 0 6 + 6 + 20 + 8 = 0 40 = 0
Por lo tanto, solo las afirmaciones I y II son verdaderas.
20. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Geometría analítica
Habilidad ASE
Para que dos planos sean paralelos se debe cumplir que cada uno de los coeficientes de
las variables de una de las ecuaciones sea proporcional a los coeficientes de la ecuación
del otro plano, pero sin que se cumpla esta proporcionalidad con el término libre de
variables. Luego:
I) Sí es paralelo a P, ya que 8, 16 y – 12 son el doble de 4, 8 y – 6, respectivamente,
sin cumplirse esta proporcionalidad al comparar 5 con – 3.
II) Sí es paralelo a P, ya que 2, 4 y – 3 son la mitad de 4, 8 y – 6, respectivamente, sin
cumplirse esta proporcionalidad al comparar – 3 con – 3.
III) No es paralelo a P, ya que al despejar la ecuación resulta 12x + 24y – 18z – 9 = 0.
Luego, 12, 24 y – 18 son el triple de 4, 8 y – 6, respectivamente, pero se cumple
también que – 9 es el triple de – 3, por lo que los planos son coincidentes.
Por lo tanto, solo I y II son paralelos a P.
14
21. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Geometría analítica
Habilidad Aplicación
Como P es paralelo al plano x + 3y + 2z – 9 = 0, entonces se debe cumplir que B = 3,
C = 2 y D ≠ − 9. Luego, la ecuación del plano P es x + 3y + 2z – D = 0, con D ≠ − 9.
Sabemos además que el punto (3, 1, 4) se encuentra en el plano P, por lo tanto:
3 + 3·1 + 2·4 + D = 0 (Despejando D)
3 + 3 + 8 + D = 0
14 + D = 0
D = – 14
22. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Geometría analítica
Habilidad ASE
I) Falsa, ya que para comprobar que una recta pertenece a un plano, basta con tomar
dos puntos de esta recta y verificar que están también en el plano. Si λ es igual 0,
tenemos que el punto (3, 3, − 1) pertenece a la recta; si λ es igual a 1, entonces el
punto (5, 4, 1) también pertenece a la recta. Veamos si estos puntos satisfacen la
ecuación del plano 2x – 5y – 2z + 7 = 0
(3, 3, − 1): 2 · 3 – 5 · 3 – 2 · (− 1) + 7 = 6 – 15 + 2 + 7 = 0
(5, 4, 1): 2 · 5 – 5 · 4 – 2 · 1 + 7 = 10 – 20 – 2 + 7 = – 5
Por lo tanto, dicha recta no está contenida en el plano, ya que el punto (5, 4, 1)
satisface la ecuación de la recta, pero no a la del plano.
II) Verdadera, ya que 4, – 10 y – 4 son el doble de 2, – 5 y – 2, respectivamente, sin
cumplirse esta proporcionalidad al comparar – 14 con 7.
III) Verdadera, ya que dos planos son perpendiculares si la suma del producto de los
coeficientes de las variables respectivas es 0, es decir, A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0.
2 · 3 + – 5 · 2 + – 2 · – 5 = 6 – 10 + 4 = 0
Por lo tanto, solo II y III son verdaderas.
15
23. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Geometría analítica
Habilidad Aplicación
Dos planos son perpendiculares si la suma del producto de los coeficientes las variables
respectivas es cero, es decir, A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0. Luego:
A) Sí es perpendicular, ya que 3 · 1 + 3 · 1 – 2 · 3 = 3 + 3 – 6 = 0
B) Sí es perpendicular, ya que 3 · 1 + 3 · 3 – 2 · 6 = 3 + 9 – 12 = 0
C) Sí es perpendicular, ya que 3 · 2 + 3 · (– 4) – 2 · (– 3) = 6 – 12 + 6 = 0
D) Sí es perpendicular, ya que 3 · 2 + 3 · 4 – 2 · 9 = 6 + 12 – 18 = 0
E) NO es perpendicular, ya que 3 · 3 + 3 · (– 1) – 2 · 4 = 9 – 3 – 8 = – 2
24. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Geometría analítica
Habilidad ASE
(1) El cuadrilátero PQRS es paralelo con la cara ABCD. Con esta información, se puede
afirmar que PQRS es un cuadrado, ya que implica que los cuatro lados del
cuadrilátero PQRS son congruentes y perpendiculares entre sí, al igual que los cuatro
lados del cuadrado ABCD.
(2) El cuadrilátero ABQP es congruente con el cuadrilátero DCRS. Con esta
información, no se puede afirmar que PQRS es un cuadrado, ya que no
necesariamente implica que ABQP y DCRS sean rectángulos, y si no lo son los
segmentos PQ y QR podrían tener distinta medida.
Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola.
16
25. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Geometría analítica
Habilidad ASE
(1) El punto (4, 0, – 1) pertenece a P. Con esta información, no se puede determinar el
valor numérico de (a + b + c), ya que al reemplazar dicho punto en la ecuación del
plano resulta x – ay + bz + c = 0 4 – a·0 + b·(– 1) + c = 4 – b + c = 0, con lo cual
se puede despejar que b – c = 4, pero no se puede determinar (a + b + c).
(2) El punto (3, – 1, 1) pertenece a P. Con esta información, Se puede determinar el
valor numérico de (a + b + c), ya que al reemplazar dicho punto en la ecuación del
plano resulta x – ay + bz + c = 0 3 – a·(– 1) + b·1 + c = 3 + a + b + c = 0, con lo
cual se puede despejar que a + b + c = – 3.
Por lo tanto, la respuesta es: (2) por sí sola.