solucionario de examenes de fluidos i

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA

FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL INGENIERIA CIVIL

DIAZ MEZA, R Visite mi pgina: http://rhenandiaz.blogspot.com/

Visite mi pgina: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas Para HP 50g para cada asignatura y mucho ms

- 1 -

FLUIDOS I VISCOSIDAD DE LOS FUIDOS

1) En la figura se muestra un viscosmetro que contiene liquido viscoso de espesor e = 2cm, esta rota con una velocidad angular w = 6rad/s y genera una potencia de 0.015Hp.Calcular el valor de la viscosidad dinmica m del lquido viscoso.

30cm

e

15cm

10cm

Solucin: Para el casquete esfrico calculamos R.

30cm

e

15cm

10cm

R R

15

R-10b

cmRRR25.16

15)10( 222

=+-=

38.67=b qff dsenRdRdA .=

Pero

dAdF

er

==wm

t

q

dff

dqR

R

Rdf

RSenfdqRSenf

dA
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- 2 -

dAerdF wm=

qffwm ddsenR

erdF 2*=

rdFdTL = Pero fRsenr =

qffmw ddsene

RdT L3

4

=

Integrando

=38.67

0

32

00

4

qffmw p ddsene

RdTTL

L

--=38.67

0

22

0

4

)(cos)cos1( qffmwp

dde

RTL

)2(301.04

pmwe

RTL =

m65.11 =TL correccion Para la parte cilndrica.

dAdF

eR

==wm

t

dAeRdF wm=

RdhdA p2=

RdheRdF pwm 2*=

RdheRRdTL pwm 2*=

=hTL

L dheRdT

0

3

0*2pmw

he

RTL32pmw

=

3.002.0

)15.0(*6*2 3pm=CILINDROT

m91.1=CILINDROT Base del cilindro

dAerdF wm .=

rdrdA .2 p=

drre

dT b32 pmw=

R

r

dr





- 3 -

Integrando se tiene

drre

dTRT

b = 03

0

2 pmw

4.2

Re

T bpmw=

2) De la figura encontrar la potencia consumida por efecto de la viscosidad en el sistema, sabiendo que la holgura e=1pulg., R=4pulg. , velocidad angular =6rad/s y =0.05 poise

R

h

R

e

70 70

Solucin:

Se sabe: er

ev

dydv wmmmt ... ===

dxdy dl

xh

a

R

q q

LLL dAexxdAdFxdT ..... wmt ===

Por semejanza de tringulos

)( aRh

dxdy

-=

Donde:

qTanhRa -=

dxaR

hxe

dT L )(1.2

-+=

mwp





- 4 -

Integrando

dxxaR

he

dTR

a

T

LL

-+= )(12

0

mwp

|4.)(12 4 R

aLx

aRh

eT

-+=

mwp

).()(12

44 aRaR

he

T L --+=

mwp

Para la semiesfera

q

dff

dqR

R

Rdf

RSenfdqRSenf

)).(.(. qff dSenRdRdA =

dAdF

er

==wmt

dAerdF wm=

dAerrdFrdT ewm.. ==

qffmw ddSeneRdT e ..

34

=

Integrando

qffmwp p

ddSeneRdT

T..

2

0

4/

0

34

0 =

qffmwp p

dCosdCoseRT e .)().1(

2

0

4/

0

24

--=

eRT e 3

4 4pmw=

Base hueca

dAerdF wm .=

rdrdA .2p=

R

r

dra





- 5 -

drre

dT b32 pmw=

Integrando se tiene

drre

dTR

a

T

b = 302 pmw

).(2

44 aRe

T b -=pmw

totalTPot .w= )(* beL TTTPot ++= w

3) Para la siguiente figura determinar sabiendo que: R=30cm, h=H=30cm, r=15cm, velocidad angular =5rad/s, e=3cm y potencia de 0.011HP.

R

h

H

r

e

Solucin:

LdAdF

er

==wmt .

LdAdF .t= Similar al problema anterior

d xd yd l

x

H

r

R

LLL dAexxdAdFxdT ..... wmt ===





- 6 -

dxdxdyxdydxxdLxdA L

2

1..2)()(..2...2

+=+== ppp Por semejanza de

tringulos

)( rRH

dxdy

-=

Donde:

dxrR

Hxe

dT L2

1 1.2

-+=

mwp

Integrando

dxxrR

He

dTR

a

T

LL

-+= )(121

0 1mwp

|4.)(12 4

1

R

rLx

rRH

eT

-+=

mwp

).()(12

441 rRrR

He

T L --+=

mwp

Anlogamente para la parte inferior cnico

d xd y d l

x

h

R

dxRhx

edT L )(1.

22 +=

mwp

dxxRh

edT

RT

LL

+= 00 2 )(122 mwp

|04

2 4.)(12

R

Lx

Rh

eT += mwp

42 .)(12

RRh

eT L +=

mwp

Base menor del tronco de cono

dAerdF wm .=

rdrdA .2 p=

drre

dT b32 pmw=

R

r

dr





- 7 -

Integrando se tiene

drre

dTRT

b = 03

0

2 pmw

4.2

Re

T bpmw

=

)(* 21 bLL TTTpot ++= w Rpta

4) En el sistema de la figura determinar , sabiendo que e=2cm, R=20cm, h=50cm, =4rad/s y potencia de 0.015HP.

R

he

Solucin: Para la semiesfera.

q

dff

dqR

R

Rdf

RSenfdqRSenf

)).(.(. qff dSenRdRdA =

dAdF

er == wmt

dAerdF wm=





- 8 -

dAerrdFrdT ewm.. ==

qffmw ddSeneRdT e ..

34

=

Integrando

qffmwp p

ddSene

RdTeT

e ..2

0

4/

0

34

0 =

qffmwp p

dCosdCose

RT e .)().1(2

0

4/

0

24

--=

eRT e 3

4 4pmw=

Para la parte cnica

d xd y d l

x

h

R

dxRhx

edT L )(1.

2+=

mwp

dxxRh

edT

RT

LL

+= 00 )(12 mwp

|04

4.)(12

R

Lx

Rh

eT += mwp

4.)(12

RRh

eTL +=

mwp

TTpot *w= )(* Le TTpot += w

ESTTICA DE LOS FLUIDOS

5) Para el sistema de la figura determinar la presin absoluta en el punto A.





- 9 -

A

BC

20cm40cm

15cm

40cm

50cm

g2 g1

g3

Agua

Agua

Agua

G as

45

60cm

lg/049.0,lg/034.0,lg/029.0 321 PulbfPulbfPulbf === ggg

Solucin:

A

BC

20cm40cm

15cm

40cm

50cm

g2 g1

g3

A gua

AguaAgua

G as

45

60cm

a

b

c h

)2.0(4.0)5.0106.0()()()2.0()4.0()5.0()(

321

321

gggggggggg

-+++-++=+-+-+++=

bcaPPCbhaPP

atmA

atmA

Pero de la figura se tiene:

mbcamSenhpero

cbhacbha

194.0106.04515.0

3.04.02.06.04.05.0

=-+\==

=+-+=+--+-++

)2.0(4.0)5.0106.0()( 321 gggg -+++-++= bcaPP atmA





- 10 -

RtamkgfPmkgfPaP

mkgfPPPP

cbhamkgfmkgfmkgf

mpuykgflbfPero

A

atm

atmA

atmA

/969.79564.785329.10/329.10325.101

/64.785)338.1356(2.0)132.941(4.0731.802)5.0106.0()194.0(1000

3.0/338.1356/132.941/731.802

254.0lg14536.01

321

=+=

=+=

-++++==+-+

=====

ggg

6) Para el sistema determinar las presiones en los puntos A y B, as tambin calcular el valor de h

A

Bh 2

0cm

12cm

12cm

14cm

10cm

Gas

Aceite

Petroileoagua

15cm30cm

30cm

10cm

P=20lbf/Pulg

aguaagua agua

agua

g5

g4g3g6

/5.16,/9500,/2.8,/1360092.0..82.0..

6543 cmgrfmkgfcmgrfmkgfRDRD Petroleoaceite

======

gggg

Solucin:

A

Bh 2

0cm

12cm

12cm14cm

10cm

Gas

AceitePetroileoagua

15cm30cm

30cm

10cm

P=20lbf/Pulg

agua

agua agua

agua

g5

g4g3g6

1 2

a b

c

mn





- 11 -

)15.0()2.0()10.0()14.0()12.0()()15.0()()2.0()()10.0()14.0()12.0(

43

43

ggggg

gggggggg

--++++++=

+-+-++++=

cbaPPcbaPP

petroleoaceiteA

petroleoaceiteA

Pero

mcba

mkgfPulbfPmkgf

mkgfmkgf

mkgf

RDRD

Petroleo

aceite

OHSustOH

Sust

85.0:figura la de tambin As

/63.14061lg/20/16500

/8200/920

/8202.8*1000

.*.

5

4

22

=++

====

===\

==

gggg

gggg

/83.1128815.0*82002.0*13600)85.01.0(100014.0*92012.0*82063.14061

mkgfPP

A

A

=--++++=

Calculando Presin en B.

/83.138385.0

)(100083.13338)1.0(9500)(14.0*92012.0*82063.14061

)()1.0()()14.0()12.0( 5

mkgfPmmnpero

mnPmnP

nmPP

B

B

B

PetroleoaceiteB

==-

-+=--+++=

+--++=g

ggggg

Calculemos la altura h De la figura.

21 PP = hPP atmPetroleoaceite 6)4.0()14.0()12.0( gggg +=+++

cmhh

h

96.8816500329.1083.14688

16500329.10)4.0(1000)14.0(920)12.0(82063.14061

=+=

+=+++

7) Para el sistema de la figura calcular la diferencia de presiones entre A y B. )8.0.( =AceiteRD





- 12 -

CO2CO

Hg

Hg

Hg

Aire

AceiteD.R=0.8

Agua0.

25m

0.40

m

0.30

m

0.2m

15cm

N2

0.3m

20cm

Agua

CO

Hg

Hg

HgA B

Gas

0.2m

Gas 0.2m

0.1m

Solucin:

/84013600*2.01000*3.013600*2.0

1000*5.013600*2.0800*45.013600*3.013600*25.013600*4.02.03.02.05.02.045.03.025.04.0 22

mkgfPP

PPPP

AB

AB

HgOHHgOHHgaceiteHgHgHgAB

=--+

+-++--+=

-++-++--+= ggggggggg

rotacion 8) Los cilindros concntricos de 0.4m de dimetro interior, 1.20m de dimetro exterior y 1.5m de altura. Si el cilindro interior es hueco y el espacio entre los cilindros concntricos est lleno de agua y hermticamente cerrado, determine la fuerza que se produce en la tapa, en el fondo y en las superficies medias cilndricas interior y exterior cuando estoa giran a 60rpm al rededor de su eje vertical.

w

0.6m

h=1.5m

0.2m

Solucin:





- 13 -

h

RoR

x

ZoZr

HrH

gXZ

2

22w=

Para Z = Z0 ; X = R0

gXZ

gRZ r 2

;2

2220

2

0ww

==

a) La fuerza que produce en la tapa es:

AF pdd = XdxHrd F pg 2.=

Donde 0ZZHr r -= XdxZZd rF pg 2)( 0-=

XdxgR

gXd F p

wwg 222

20

222

-=

Integrando:

XdXgR

gXd

R

r

F

F pwwg 2)

22(

20

222

0 0-=

R

R

XrXg

F0

24

2242

-=

pgw

220

22

)(4

RRg

F -= pgw

[ ]2222

2.060.04

)2)(100(-=

gF pp

kgfF 66.323= b) Fuerza que se produce en el fondo.

R

x

dxRo





- 14 -

baseF hAF .66.323 g+= )2.06.0(5.100166.323 22 -+= pFF

kgfFF 63.1831= c) Fuerza que se produce en la pared lateral exterior.

LHgAF g= 5.1)2.0(2)75.0(1000 p=F

kgfF 72.1413= d) Fuerza que se produce en la pared lateral exterior.

0ZZH r -= rZ Para 6.0=X

ggH

22.0

26.0 222 ww-= Como srad /2pw =

mH 64.0= La fuerza en la pared lateral exterior ser: LG AHF g=

5.1*6.0*2)64.075.0(100 p+=F kgfF 28.7860=

9) Un tanque de seccin transversal rectangular (6x1m) est lleno de agua hasta los 4.0m de altura y est unido a un peso Q = 60000kg, por medio de una cuerda flexible e inextensible que pasa por una polea. El coeficiente de rozamiento entre el tanque y la superficie horizontal es: f = 0.6 y todos los dems rozamientos son despreciables. Hallar la presin en un punto del tanque situado 1.0m sobre el punto A de la figura.

Q

4m

6m

Solucin:

a

T

Q

4m

6m

Ta

W

N f=m.N





- 15 -

)1.......(....................* a

gQTQ

maFV

=-

=

)2.....(....................* ag

WfT =-

WNfkgfVW

**240001*6*4*1000*

mmg

=====

(1) + (2)

ag

WQfQ

+=-

ag

WQ

+=- )1000*1*4*6(6.060000

a)81.9

2400060000()24000(6.060000 +=-

2/32.5 sma =

4m

6m

a=5.32

g=-9.81

Zh

A

1

2

1mP

Aplicando ecuacin de Euler.

rP

ZZYYXXddadada =++

rP

ZXddd =- 81.932.5

=-52

1

2

1

2

1

181.932.P

P p

Z

Z Z

X

X XdPdd

r

||| 2106

0

181.932.5p

p

zZx

r=-

)(181.9632.5 12 PPxZx -=- r

Como 12 PP = atmosfricas 5.32 x 6 9.81 x Z = 0 Z = 3.254m





- 16 -

Para el lquido se eleva respecto a la superficie libre inicial 2Z

o sea que:

mZh 627.12==

La presin a 1m sobre el punto A ser entonces:

2/4627)1627.14(1000 mkgP =-+= Rpta

10) En el sistema de la figura se tiene un cilindro cerrado de 1.20m de dimetro y 0.30m de altura. Contiene lquido de 0.10m de altura, se hace girar alrededor de un eje vertical hasta que el lquido tome la forma aproximada de un cilindro hueco con una diferencia de 1% entre los dimetros d1 y d2 (d1 = 1.01d2). Calcular la velocidad angular.

d1

d2

Solucin:

d1

w

d2

D=1.2m

h=0.10m

H=0.30m

Z0

D=1.2m

h=0.10m

H=0.30m

Antes del giro Con giro w

Se sabe:

gXZ

2

22w=

Para 0ZZ = 2/2dX =





- 17 -

...(*)........................................8

22

2

0 gdZ w=

Para HZZ += 0 2/1dX =

..(**)..............................8

21

2

0 gdHZ w=+

(*) En (**)

gdH

gd

88

21

222

2 ww=+

*)*.......(*..............................8 222

21 w

gHdd =-

0

22

0

21

2

*4*2

)(4*2

)(4

ZdHZdhHD ppp -+=-

).....(....................2

)(2

)(2

1221

02 aHdddZhHD +-=-

(*) y (**) en (a )

28*

8*2)(

21

2

22

22 HdgH

gdhHD +=-

ww

)(2

)( 222

12 ddHhHD +=-

Por dato

21 01.1 dd =

[ ]22222 )01.1(2)( ddHhHD +=-

)02.2(2

)( 222 dHhHD =-

22

2 **01.1)( dHhHD =- Reemplazando datos. H = 0.30m h = 0.01m D = 1.20m 22

2 *30.0*01.1)10.030.0(20.1 d=- md 975.02 = md 985.01 =

En la ecuacin (***)

22

21

8dd

gH-

=w

srad /66.34=w Rpta





- 18 -

11) Se tiene una tubera circular por donde fluye petrleo con un peso especfico de 3/950 mkg .Si la distribucin de velocidades en una seccin es

)/41( 22 drNVr -= donde: d = dimetro, r = radio variable "101 =d y "62 =d , N = nmero de letras del apellido paterno: a) Calcular la variacin de masa respecto al tiempo entre las secciones 1 y 2. b) Calcular la fuerza total que ejerce la pared AB.

0.20mFuga 2

21

d1

d2

1

0.15mA

B

Solucin:

0.20mFuga 2

21

d1

d2

1

0.15mA

B

r

rF1

F2

FH

)41( 21

2

1 drNVr -=

a) Variacin de masa respecto al tiempo. 21 QQMt rr -=D Hallemos caudales.

rdrdrNdAVrdQ p2*)41( 21

2

11 -==

rdrdrNdQ

dQ)41(2

2/

0 21

2

0 111

-= p

8

21

1NdQ p=

)41( 22

2

2 drNVr -=





- 19 -

Anlogamente:

8

22

2NdQ p=

)( 21 QQMt -=D r

)(8

22

21 dd

NMt -=D rp

N = RAMOS = 5

0254.0*1010 ||1 ==d

md 254.01 = 0254.0*66 ||2 ==d

md 1524.02 =

81.9/950 3mkg

=r

./851.7 segkgMt =D b) Clculo de fuerza ejercida. * Calculamos las presiones en el eje de la tubera.

211 /15.263)2

15.0( mkgdP =+= g

222 /39.262)2

20.0( mkgdP =+= g

kgdAPF 334.134

**15.2632

1111 === p

kgdAPF 786.44

**39.26222

222 === p

Por la ecuacin de la cantidad de movimiento. )( 1122 VQVQFex -= r

)( 112221 VQVQFFF H -=-- r Como 222 AVQ =

2

21 A

QV = 1

12 A

QV =

)(1

21

2

22

21 AQ

AQFFFH ---= r

kgFH 177.28=





- 20 -

12) En la figura se muestra una esfera de 2m de dimetro que contiene agua bajo presin. Est construido por dos secciones semiesfricas unidas mediante 50 pernos Cul es la fuerza total en cada perno para mantener unida la seccin?

R=1m

2.5m0.25m

D.R=13.6

Agua

Agua

Agua

GasP=2000kgf/m

Solucin:

PbaPM ++++= 25.0*13600)1(g 200025.0*13600)1(1000 ++++= baPM

mbaba

25.25.225.0

=+=++

200025.0*13600)25.3(1000 ++=PM /8650 mkgfPM =

APMF *= 776.271741.8650 2 == pF

2)1(*

34*1000*

2

pg == OLVW

395.2094=W 17.2926=+= WFFT

F en cada perno = 50

17.29269=+= WFFT = kg38.585 Rpta

13) Se tiene un plano inclinado que forma un ngulo a y b con la horizontal como se muestra en la figura, por donde se desliza un depsito que contiene agua y cuyo peso total es 1w . El descenso de dicho depsito produce el ascenso de otro igual pero cuyo peso total es 2w . Calcular el valor del ngulo que hace la superficie libre del primer depsito con el plano horizontal.

R=1m

2.5m0.25m

D.R=13.6

Agua

Agua

Agua

GasP=2000kgf/m

a

b

M

W





- 21 -

a b

W1 W2m1

m2

Solucin:

aW1

bW2

a W1Cos

aW1

.sena

Tf=m

1.N

x'

z'

a

N

b

W2.

Cosb

W2.senb

aT

N

f'=m2.N

z'

x'

ag

WfTsenW 11 =--a

Donde Nf .m= ; acos1WN =

am cos11Wf =

).....(..............................cos 1111 aama agWWTsenW =--

)....(..............................cos 2222 bbmb agWWsenWT =--

Sumando ba +

ag

WWWWsenWsenW )(coscos 21221121+

=--- bmamba

[ ]21

2211 )cos()cos(WW

gsenWsenWa+

+--=

bmbama

Para a

aasenga

aa

Z

X

-=-= cos

Por ecuacin de Euler.





- 22 -

qx

a

z

1

2

-x-z

ZZP daaxdxd +=r

- -

-+-=x Z

Z

P

PP dasengdXad

0 0)(cos2

1

aar

ZasengXa )(cos0 aa --+=

aaq

qa

a

asengaaseng

aXZ

-=

=-

=

costan

tancos

)cos(tan 1a

aqaseng

a-

= -

14) En el sistema de la figura N 02 se tiene una compuerta OA de 8m. De longitud (perpendicular a OA), y pesa 4200kgf, puede pivotear en el eje O, R = 6m (radio de curvatura de OA) y a = 20. Calcular h para que la compuerta inicie a levantarse.

h

1ma

AceiteD.R=0.8

Agua

Petroleo

0.5m 4m

Aire

D.R=0.95

RR

AguaAgua

Hg

w

Agua

e

1.5m

BloqueCampana cilindrico

Aire

1m

AguaA

O

D.R=

Solucin:





- 23 -

0.5m 4m

Aire

Agua

Hg

w

Agua

e

1.5m

BloqueCampana cilindrico

Aire

D.R=

a

bM

5.0*13600)(10005.1*1000 +++= baPM

Pero de la figura. a + b = 3.5

2/11800 mkgfPM =

h

1m

a

Aceite

D.R=0.8

Agua

PetroleoD.R=0.95

R

R

M

N

A

a

b

FH2FV2d

c

h'

R.Sena

FH1FV1

O

=2.05m

1m

Agua

2m

H

2m

20

6

6A

10.1875m

O

2.05mb

O'

1.21m 4.43m

A1

Petroleo

AguaAceite

Aceite0.62m

h

5.64m

O'

A2A'

FIG. 1 FIG. 2

b

q

)1()1( 02 +=+ Hh HPet gg

05.095.01)1(95.0

-=+=+

hHHh

De la FIG. 2

55.47605.4cos 1 =

= -q

45.22=b

45.226*21

36045.22*6* 22

1 senA -=p





- 24 -

21 18.0 mA =

22 21.1 mA = Area del triangulo (AAO)

Distancia de O a CG de A1 (FIG. 2)

18.0*3)2/45.22(6*2 33 send CG =

md CG 90.5= mx 62.0=

oyH hGAF Pr1 g= 8*2)1(10001 += HF H

)1(160001 += HFH

)1(311

8*2)1(12/2*81

3

1 +++=

+++=

HH

HHY P

a = HYP -1

a = )1(3

43++

HH

)21.1( 121 HAALFV +-= g )21.118.021.1(810001 HxFV +-=

)21.103.1(80001 HFV +=

HxxbH221.162.018.0

3221.1)21.103.1(

22 +-=+

)21.103.173.086.0(

HHb

++

=

De la figura 1 2800100005.2 xxPMPN --=

1600205011800 --=PN 2/8150 mkgPN =

mhhAceite

1875.108150

'

'

=

=g

8*2).11875.10(10002 +=FH kgfFH 1790002 =

mYP 22.112*8*1875.11

12/2*81875.113

2 =+=

)1875.10*21.118.021.1(8*100003.1

1875.10

2

2

+-==

-=

FVmC

mYC P

kgfFV 1068552 =

1875.10*221.162.0*18.0

32*21.136.13

22 +-=d

md 62.0=





- 25 -

Centro de aplicacin del peso.

R

RA

O

b

O'

4.43m

dq

dl

q

0.67m

WAO=4200kgf

Lc=2p*b*R/360

Lc=2.35m

RCosq

=45.42

20

2 cos qqdRX

10.5098.5 =X m67.0=c

00 =M Falta verificar dFVcFHXWbFVaFH 2211 +=++

mH 06.8= Pero

mhhH54.8

05.095.0=

-=

15) Dada la funcin de lnea equipotencial 22. aybxyxa -+=f , donde a, b y c son valores constantes. a) Comprobar que el flujo es irrotacional b) Hallar la funcin de la lnea de corriente c) Hallar la aceleracin d) Hallar el gradiente de presiones Solucin Segn gauchy riman a) Para que el flujo sea irrotacional se debe cumplir 0=w Pero se sabe que:





- 26 -

( ) ( )

0)2()2(

22

0

2

2

.

.21

=--=+-=

--+-=

=

-=

+=

+

+

-=-=

=

wum

f

f

f

ffff

w

aybxbyax

jaybxibyaxVz

aybxy

byaxx

kz

jy

ix

V

V

=

wumzyx

kji

V

kyx

jxz

izy

V

-

-

-

-

-

=muwmuw.

0.21

0)(00.

==

=+-++=

V

kbbjiV

w

\ El flujo es irrotacional b) Segn Las ecuaciones de

xy

yx

-=

=

=

=

yfu

yfm

Entonces:

byaxx

+= 2f

byaxy

+= 2y Integrando

)(212 2 xfbyaxy ++=y -----------------(*)





- 27 -

Derivando respecto a x

)(2 ' xfayx

+= y

(a)

Pero:

aybxyx

2-=

=

-fy

bxayx

-=

2y (b)

(b) en (a) )(22 ' xfaybxay +=-

bxxf -=)(' integrando respecto a x se tiene

2

21)( bxxf -= ..(g)

(g) en (*)

22

21

212 bxbyaxy -+=y Rta

c) Calculando la aceleracin

zV

yV

xV

tVa

+

+

+

= wum

0)2)(2()2)(2(0 +----+-= aaybxabyaxa yaabxabyxaa 4224 -++=

16) Si la funcin equipotencial axy=f para un flujo plano. a) Verificar la ecuacin de la continuidad b) Hallar la funcin de la lnea de corriente c) Qu flujo representa? d) Si a=20 seg. Calcular las componentes de la velocidad en el punto de coordenadas x=8cm; y=2cm. Solucin: a) la ecuacin de la continuidad obliga :

022

2

2

2

2

=

+

+

zyxfff

axy=f





- 28 -

0

0

0

2

2

2

2

2

2

=

=

=

z

y

x

f

f

f

\ La funcin es continua b) funcin de la lnea de corriente:

axy=f Sabemos

)(

)(21

' xfx

xfay

ayxy

=

+=

=

=

y

y

fy

Pero

axyx

=

= fy

axxf =)(' Integrando 2

21)( axxf =

\ 221

21 axay +=y Rta.

c) Para saber el tipo de flujo se debe determinar 0.21

== Vw si esto se cumple

entonces el flujo es irrotacional si no es rotacional:

axy

ayx

kz

jy

ix

V

V

=

=

+

+

-=-=

=

f

f

ffff

w

.

.21





- 29 -

0

0

=-=-=

--=

=

wum

f

axay

jaxiayVz

=

wumzyx

kji

V

kyx

jxz

izy

V

-

-

-

-

-

=muwmuw.

[ ] 00021

=+-+= aaw

\ Es un flujo irrotacional: d) Si a=20 seg. Calcular las componentes de la velocidad en el punto de coordenadas x=8cm; y=2cm.

0/4.002.0*20/6.108.0*20

==-=-==-=-=

wum

smaxsmay

17) En el sistema de la figura se muestra a tres reservorios y una bomba de 153H.P. de potencia con una eficiencia del 100%, el sistema de tuberas transporta agua, la presin en el punto p es 36.5m de agua, la vlvula V origina una prdida de 3.05m de agua y el coeficiente de Hazem y Williams es 120pie/s. Calcular los caudales en cada tubo y la cota B.

A

B

C

11.6m

Cota=??

30.5m

QP

Bomba

3.05m

D=24''D=24''

L=1220m

D=24

''

D=12''

L=620m

L=24

50m

L=3000m

V

Solucin:





- 30 -

A

B

C

11.6m

Cota=??

30.5m

QP

M

3.05m

V

(1) (2)(3)

(4)

Q3

Q4

Q2

Q1

La cota piezomtrica P es 3.05+36.5=39.55m. y 30.5 cota del reservorio A, entonces el flujo va de P hacia A, cuyo caudal lo hallaremos: Sabemos que:

Q=0.00042654.0

63.2

L

hCD f

Q=0.000426 54.063.2 SCD

Lh

S f= m/Km.

85.1

63.242.2347

=

CDQLh f

Donde: Q=lts./s; L=Km.; D=Pulg. y ./ segpieC = Proseguiendo con nuestro calculus

KmmS 02.3

35.3055.39

1 =-

=

1Q =0.000426*54.063.224*120 S

sltsQ /3961 = La bomba tiene una potencia:

nQhPot B76g

= Q

potnh B g.76

= pero

QPB EEh -=

396.0*100153*1*765.36 =- QE

mE Q 14.7= Tambin

sltsQQ /39621 == Calculemos 2fh





- 31 -

85.1

63.22 24*120396*42.234722.1

=fh

mh f 68.32 = Cota piezomtrica en Q =3.05+7.14 =10.19m. Cota piezomtrica en M=10.19 + 3.68 = 13.87m. El flujo va de M hacia C, ya que la cota piezomtrica de M es mayor que la del reservorio C, cuyo caudal es:

KmmS 66.3

62.06.1187.13

2 =-

=

=3Q 0.000426*54.063.212*120 S

sltsQ /713 = sltsQQQ /467324 =+=

85.1

63.24 24*120467*42.234745.2

=fh

mh f 104 = Cota Reservorio B = Cota piezomtrica de M + Pc.Vlvula + 4fh Cota Reservorio B = 13.87 + 3.05 + 10 Cota Reservorio B = 26.95m 18) En el sistema de la figura, se tiene una presa de concreto cuyo peso especfico es 2400kgf/m y una longitud de 4m. Si el valor de C=0.25 1-m , Calcular: a) Determinar el valor de h para que la presa inicie su volteo. b) determinar la posicin de la resultante de las fuerzas para h=10m. c) Determinar la mxima y mnima tensin de compresin en la base (h=10m), despreciando la fuerza ascensional hidrosttico.

3m 4m

hy=cxAgua

Solucin:





- 32 -

3m 4m

hFH

A1

W1A2

A3

W2W3

FV

m

n

a O

a) 1) para 1w Donde

cg : Peso especfico de concreto. V: Volumen

ahA31

1 =

ahahw *32003

*424001 =

=

ax4171 += Centro de gravedad con respecto a o

2) para 2w hA 32 =

hhw *288003*4*24002 == 5.52 =x Centro de gravedad con respecto a o

3) para 3w

hA 23 = hhw *192002*4*24003 ==

38

3 =x Centro de gravedad con respecto a o

Ahora calculemos FH y FV

oyG AhFH Prg=

22000*4*2

*1000 hhhFH ==

hm31=





- 33 -

3*8000

32*4*1000 ahahFV ==

an857 +=

* Haciendo momento con respecto a o 0= oM

mFHnFVxwxwxw ..332211 =+++ 020960067.4106667.246667.41 24 =--- aaa

a = 12.88m pero

2cah = mh 47.41=\

b) Sabemos

cha = Para h=10m

a = 6.32m. kgfhFH 200002000 ==

kgfahFV 598.26154032*4*1000 ==

Falta calcular c)

3m 4m

h=10mFH

A1

W1A2

A3

W2W3

FV

3.33m

10.95m

Oq1

q2

6.32m

Con las ecuaciones de la parte a) calculemos, Para h=10m y a=6.32m

kgfw 20224010*32.6*32001 == mx 58.81 =

kgfw 28800010*288002 == mx 5.52 =

kgfw 19200010*192003 == mx 67.23 =





- 34 -

kgfFH 200000= mm 33.3=

kgfFV 33.168533= mn 95.10= 0= Fv

32.132

21321

+=+++

qqFVwww

74.12774721 =+ qq ----------------------------------------(a) Sumatoria de momentos con respecto a O

0= oM

332.13*

2232.13*..

212

2

1332211

-++=+++

qqqmFHnFVxwxwxw

Remplazando valores y resolviendo, se tiene: 798.1694472 21 =+ qq ---------------------------------------(b)

Resolviendo (a) y (b) mkgfq /06.417001 = mkgfq /68.860472 =

19) En el sistema de la figura, suponiendo una distribucin lineal de tenciones sobre la base de la presa de concreto, calcular: a) La posicin donde la resultante de dicha fuerza de tensiones corta a la base. b) La mxima y mnima tensin de compresin en la base. Despreciar el empuje ascensional hidrosttico. 20) se tiene un conducto conformado por un tubo circular de 3pulg de radio y un cilindro macizo concntrico de 2pulg de radio, entre ellas discurre agua con un caudal de 0.2pie/s. Calcular la mxima velocidad de la distribucin de velocidades y el esfuerzo cortante en las paredes.

0)(2)(2)(2 =++-++- dxdrrddxdxrdppdrrp ptttpp Simplificando, obtenemos

drd

rdxdp tt

--=

Sustituyendo ,/ drdumt -= queda

)(

)1( 22

drdur

drd

r

drud

drdu

rdxdp

m

m

=

+=

Esto se integra para dar





- 35 -

Ardxdp

drdur += 2

41m

Una segunda integracin produce

BrLnArdxdpru ++= 2

41)(m

Donde A y B son constantes arbitrarias cuyo valor se determina haciendo 0=m en

1rr = y en 2rr = ; es decir

BrLnArdxdp

BrLnArdxdp

++=

++=

22

2

21

21

410

410

m

m

La solucin es

)/(41

12

22

21

rrLnrr

dxdpA -=

m

dxdprLnrAB

m4

22

2 --=

Entonces

-+-= )/(

)/(41)( 2

21

21

222

22 rrLn

rrLnrrrr

dxdpru

m

Esto se integra para dar la razn de flujo:

----=

=

)/()(

8

2)(

12

21

224

14

2

2

1

rrLnrrrr

dxdp

drrruQr

r

mp

p

21) En el sistema de la figura, se tiene una compuerta AOB de 4m de longitud y un peso de 100kgf/m y puede rotar en el eje O, R=5m(radio de curvatura de OA) y a=20 Calcular h para que OB se mantenga Horizontal.





- 36 -

a

2m

h R

1.2m

0.8m

Agua

Aceite

D.R.=0.8

Agua

D.R.=0.8

petroleo

D.R.=0.

Hg

0.2m 1.2m

A

P=1141.06kgf/m2

Gas

Solucin: Figura de solucin baPAPM ggg +++= )2.0(' )2.0(*136001000*)(06.1141 +++= baPM Pero en la figura se puede observar que: a+b=1

2/06.4861 mkgfPM =

0.2m 1.2m

a

b

AP=1141.06

Gas





- 37 -

R=5m

20

FH1FH1

FV1

FV2

ca

d

bAceite

b

h0.8h

2m

Agua

Agua

Agua

0.8m

1.2m

F3

F4N

M

3.35m

1.7m

)4*2)(18.0(1 +== hAhFH proyG gg

)18.0(80001 += hFH

)18.0(31)18.0(

4*2*)18.0(12/2*4)18.0(

3

1 +++=

+++=

hh

hhYp

18.02 Ypha -+=

)18.0(324.2++

=h

ha

9.27=b

222

1 24.02360mSenRRA =-= bbp

Distancia de o a CG de 1A Distancia de o a CG de 1A





- 38 -

A1

20

A2

b

3.35m0.68m

1.35m

2m

1.71mb /2 q

O'

20+b

R

R

CG

mA

SenRd CG 86.43)2/(2

1

33

==b

4*)35.124.008.1(4*)35.1*8.0( 211 ++=++= hAAhFv gg )59.108.1(40001 += hFv

68.0*24.0335.1

235.1*8.0)59.108.1(

22

++=+ hbh

59.108.177.073.0

++

=hhb

kgfFH 7200)8(900)4*2)(1(22 === g

mc 67.0231

==

kgfFv 5724)35.124.0)(4(22 =+= g

)68.0(24.0335.159.1

2

+=d

md 48.0= kgfF 24120)35.3*2)(4(23 == g

)8.0()2.1( 'gg --= PMPN 2/06.2981)8.0(850)2.1(100006.4861 mkgfPNPN =--=

kgfFPNF 2.39946)4*35.3( 44 == Aplicacin del peso OA Figura peso centro





- 39 -

20b

3.35m0.76m

1.35m

q

O'

R

R

dq

dlwoB

A

B

= xdlxl'

| 9.472029.47

20

'43.2 qqq SenRRdRCosx == 11.4' =x mx 76.035.311.4 =-=

mx 76.0=

kgfwkgfw

OB

OA

1340100*4*35.3972100*4*43.2

====

0= oM

)48.0()67.0()76.0(235.3

235.3)( 224311 FvFHwFwFbFvaFH OAOB +++

=

+++

Reemplazando valores y despejando h obtenemos: h= 2.62m 22) En el sistema de la figura, se tiene una compuerta OA de 5m de longitud y un peso de 3150kgf y puede rotar en el eje O, R=6m (radio de curvatura de OA) y a=25 Calcular h para que la compuerta inicie a levantarse.





- 40 -

h

2m

a

AceiteD.R=0.8

Agua

Petrolio

0.25m 1.40m

P=3020kgf/mGas

D.R=0.92

RR

AguaAgua

Hg

Solucin: Figura

baPAPM ggg +++= )25.0(' )25.0(*136001000*)(3020 +++= baPM Pero en la figura se puede observar que: a+b=1.15m

2/7570 mkgfPM = )2()53.2( 'gg --= PMPN

/3440 mkgfPN = 113440 hg=

mh 3.41 = )5*2)(1('1 +== hAhFH proyG gg

10)1(9201 += hFH )1(92001 += hFH

5*2*)1(12/2*5)1(

3

1 +++=

hhYp

)1(31)1(1 +

++=h

hYp

hYpa -= 1

)1(343

++

=hha

0.25m 1.40m

P=3020kgf/mGas

Agua

Hgb

a

D.R=13.6M

h

2m

a

Aceite

D.R=0.8

Agua

Petrolio

D.R=0.92

RR

M

N

A

a

b

FH2FV2d

c

h1

R.Sena

FH1FV1

O

=2.53m





- 41 -

h

2m

25

6

6A

h1

O

2.53mb

O'

1.5m 3.93m

g' g1

A1

02.24=b

222


)tan)(5( 1'

1 AtrianguloAreagulorecAreaFv -+= g )27.15.1(4600)23.05.15.1)(5(920 11 +=-+= hFvhFv

Distancia de o a CG de 1A

mA

SenRd CG 64.53)2/(2

1

33

==b

)57.0(23.02*35.1

25.1)23.05.15.1(

22

-+=-+ hbh

27.15.13.112.1

++

=h

hb

)1(8000)5*2)(1( 12112 +=+= hFHhFH g

)1(31)1(

5*2*)1(12/2*5)1(

11

1

3

12 +++=

+++=

hh

hhYp

)1(343

1

1

++

=hh

c

)27.15.1(4000)23.05.15.1)(5(800 112 +=-+= hFvhFv

27.15.13.112.1

1

1

++

=h

hd Como mh 3.41 = entonces:

kgfFH 424002 = y mc 06.1= kgfFv 308802 = y md 79.0=

Aplicacin del peso OA a x de O Figura peso centro Longitud de OA ( cl )

mRl c 52.23602

==bp

R

RA

O

b

O'

3.93m

dq

dl

q

0.82m

WAO





- 42 -

= xdlxl c'

| 02.4925202.49

25

'52.2 qqq SenRRdRCosx == 75.4' =x mx 82.093.375.4 =-=

mx 82.0= kgfwOA 3150=

0= oM )()()82.0( 2211 dFvcFHwbFvaFH OA +=++

Reemplazando valores y despejando h obtenemos: h=0.73m 23) En el sistema de la figura, se tiene una compuerta AOB de 8m de longitud y un peso de 120kgf/m y puede rotar en el eje O, R=6m (radio de curvatura de OA) y a = 25 Calcular h para que la compuerta se mantenga en la posicin mostrada. D.R Hg = 13.6 Solucin: De la figura.

Agua

Agua

Agua

Agua

AD.R=0.6

PetroleoD.R=0.8

AD.R=0.75

HgHg

O'

A

O

B

Rh

1m

2.2m

0.2m

0.3m

Gas

P= -1546kgf/m

1.4m

1m

Solucin:

2.22.03.0 =++-+ cba 7.1=+- cba

)2.03.0()(1546 +++-+-= HgcbaPM gg )5.0(13600)7.1(10001546 ++-=PM

2/6954 mkgfPM =

Agua

Agua

HgHg

2.2m

0.2m

0.3m

Gas

P= -1546kgf/m

M

a

b

c





- 43 -

Agua

A

D.R=0.6

PetroleoD.R=0.8

O'

A

O

B

Rh

1m

1m

a

b

d

c

f

e

AD.R=0.75

Agua 1.4m

a

M

FV1 FH1

FH2

FH3FV2

FV3

fq

b

65=f

84.53654.3

== qqCos

16.11= b a) Para la parte BOO |

750)4.1(1000 --= PMPB HHmkgfPB 10004804/4804 2 === g

mH 8.4= y mh 34.21 = )8*46.2)(23.1(1000 11 += hFH

kgfFH 6.702571 =

mh

hYp 71.346.2*8*)23.1(

12/46.2*8)23.1(1

3

11 =+++=

mahYpa 37.111 =-=

222

1 38.22360mSenRRA =-= qqp

95.52

84.4*46.22 mA ==

Distancia de o a CG de 1A

O'

O

B

R

1m

a

bAD.R=0.75

Agua 1.4m

M

FV1 FH1

q

R

CGA1

A2

h1=2.34m

H

2.3mAgua

4.84m

2.46m

3.54m





- 44 -

Figura centro

mA

SenRd CG 61.53)2/(2

1

33

==q

)8)(34.2*84.4(1000 211 ++= AAFv kgfFv 8.1572441 =

234.2*84.4)84.4(

32*95.53.2*38.266.19 -+=b

mb 65.2= b) Para la parte ABO |

8*46.3*)73.1(8002 =FH kgfFH 12.383092 =

mYp 31.246.3*8*73.1

12/346*873.13

2 =+=

mc 31.1= 2

22

1| 12.4

2360mSenRRA =-= ffp

41.92| mA = Distancia de o a CG de 1|A Figura centro

mA

SenRd CG 42.53

)2/(21|

33| ==

f

)8)((800 2|1|2 AAFv += kgfFv 865922 =

)44.5(31*41.991.2*12.453.13 | +=d

md 15.2| = con respecto a B mdd 69.215.284.4 =-= Respecto a O

c) Para la parte AOO | (Reemplazando aceite por agua)

)5.06.0(8000)8*1)(5.06.0(10003 +=+= hhFH )5.06.0(80003 += hFH

)5.06.0(121)5.06.0(

1*8*)5.06.0(12/1*8)5.06.0(

3

3 +++=

+++=

hh

hhYp

316.0 Yphe -+=

PetroleoD.R=0.8

O'

A

O

B

R

CG'

25

65

A'1A'2

1.93m

5.44m

3.46m





- 45 -

)5.06.0(1226.3

++

=hhe

222

1|| 022.0

2360mSenRRA =-= bbp

3.02|| mA = Distancia de o a CG de 1|A Figura centro

mA

SenRd CG 02.63

)2/(21

||

33|| ==

b

)8)(6.0*6.0(1000 2||1||3 hAAFv ++= )322.036.0(80003 += hFv

3.0*36.03

6.0*3.034.0*022.0)322.036.0( hfh ++=+

322.036.0067.0108.0

++

=hhf

Aplicacin del peso AOB a x de O Figura peso centro Longitud de OA ( cl )

mRl c 81.63602

==fp

= xdlxl c|

|650265

0

|81.6 qqq CosRRdRSenx -== mx 05.3| = mx 79.105.384.4 =-=

mx 79.1= kgfw AOB 6.6537120*8*81.6 ==

0= oM )()()()()()()( 3322

|11 fFveFHdFvcFHxwbFvaFH OA ++++=+

Reemplazando valores y despejando h obtenemos: h=66.26m 24) En el sistema de la figura, se tiene una compuerta OA de 7m de longitud y un peso de 3420kgf y puede rotar en el eje O, R=5m (radio de curvatura de OA) y a=20 Calcular h para que la compuerta inicie a levantarse. D.R Hg = 13.6

O'

A

O

R

CG

25

A''1A''2

0.6m

R

0.34m

1m

0.6hAgua

Aceite

hb

O'

A

B

R65

WAB

Rq

dq

dl

O

1.79m





- 46 -

Agua

Hg

1.6m 0.2m

GasP= 2800kgf/m

Petroleo

D.R=0.8

AceiteD.R=0.75

Agua2m

2m

R

Ra

h

A

O

O'

Solucin:

baPAPM ggg +++= )2.0(| )2.0(*136001000*)(2800 +++= baPM Pero en la figura se puede observar que: a+b=1.4m

2/6920 mkgfPM = )2()2( 1gg --= PMPN

/3420 mkgfPN = Liberando a una superficie libre

Agua

HgHg

1.6m 0.2m

GasP= 2800kgf/m

a

b

M





- 47 -

Petroleo

D.R=0.8

Aceite

D.R=0.75

Agua2m

2m

R

Ra

h

A

O

O'

FH1 FH2

FV1

FV2

b

a cd

M

N

h1=4.56mAceite

113420 hg=

mh 56.41 = )7*2)(1( 111 += hFH g

14)156.4(7501 +=FH kgfFH 583801 =

62.5)56.5(3

156.5

)1(31)1(

1

111

=+=

+++=

Yp

hhYp

11 hYpa -= ma 06.1= 9.27=b

222


)tan)(5( 1

|1 AtrianguloAreagulorecAreaFv ++= g

kgfFvFv 5.40666)24.035.156.4*35.1)(7(750 11 =++= Distancia de o a CG de 1A Figura centro

mA

SenRd CG 86.43)2/(2

1

33

==b

56.4*235.1)35.1(

32*35.167.0*24.0746.7

2

++=b

mb 714.0= )1(11200)7*2)(1( 2

|2 +=+= hFHhFH g

R

R

a

A

O

O 'b

A 1A2

CG

1 .35 m

2m

0.6 7m

3.35m





- 48 -

)1(31)1(

7*2*)1(12/2*7)1(

3

2 +++=

+++=

hh

hhYp

)1(343

++

=hhc

)59.135.1(5600)35.124.035.1)(7(800 12 +=++= hFvhFv

59.135.138.191.0

++

=hhd


mRl c 43.23602

==bp

= xdlxl c'

| 9.472029.47

20

|43.2 qqq SenRRdRCosx == 11.4| =x mx 59.011.47.4 =-=

mx 59.0= kgfwOA 3420=

0= oM )()()( 2211 xwdFvcFHbFvaFH OA++=+

Reemplazando valores y despejando h obtenemos: h=4.503m 25) En el sistema de la figura, se tiene una compuerta OA de 6m de longitud y un peso de 3500kgf y puede rotar en el eje O, R=4m (radio de curvatura de OA) y a=15, Presin relativa en PQ es 6035kgf/m. Calcular h para que la compuerta inicie a levantarse.

R

R

a

A

O

O'b

dqq

dlWAO

0.59m3.35m

R.Cosq





- 49 -

Petroleo

D.R=0.8

Agua A

O

Petroleo 1m

h

R

a

R

Solucin:

Petroleo

D.R=0.8

Agua A

O

Petroleo1m

h

R

a

R

FH2FV2

FV1

FH1

b

P Q

1.04m

d

a c

b

q

3.86m

N

h1=3.995m

34.59404.21 =

= -Cosq

66.15=b Pero en la figura se puede observar que:

2/6035 mkgfPQ = )04.2(g-= PQPN

A

O

1m

R

a

R

P

0.42m

A1CG

b

3.86m

h

0.24m





- 50 -

/3995 mkgfPN = 13995 hg=

mh 995.31 =

)5.0(6000)6*1)(5.0( 1211 +=+= hFHhFH g kgfFH 269701 =

)1(92001 += hFH

11 hYpa -= ma 515.0= 66.15=b

222

1 027.02360mSenRRA =-= bbp

)tan)(6( 11 AtrianguloAreagulorecAreaFv -+= g kgfFvFv 4.11165)027.021.0995.3*42.0)(6(1000 11 =-+=

Distancia de o a CG de 1A Figura centro

mA

SenRd CG 99.33)2/(2

1

33

==b

mX 24.0=

995.3*242.024.0*027.0)42.0(

32*21.086.1

2

+-=b

mb 22.0= )5.0(4800)6*1)(5.0( 212 +=+= hFHhFH g

)5.0(121)5.0(

6*1*)5.0(12/1*6)5.0(

3

2 +++=

+++=

hh

hhYp

)5.0(623

++

=hhc

)183.042.0(4800)027.021.042.0)(6(800 12 +=-+= hFvhFv

A

R

a

R

P

b q

dq

O

dl

0.25m

R.cosq

W AO





- 51 -

183.042.0052.009.0

++

=hhd


mRlc 09.13602

==bp

= xdlxl c'

| 66.3015266.30

15

|09.1 qqq SenRRdRCosx == mx 69.3| = mx 25.044.369.3 =-=

mx 25.0= kgfwOA 3500=

0= oM )()()( 2211 xwdFvcFHbFvaFH OA++=+

Reemplazando valores y despejando h obtenemos: h=4.81m 26) En la figura se muestra una compuerta AOB de 2m de ancho, OB es parbola donde

125.0 -= mc Determinar el valor de h para que dicha Compuerta inicie a levantarse desprecie el peso de la compuerta.

CO2CO

Hg

Hg

Hg

D.R=16

Aire

AceiteD.R=0.8

Agua

25cm

32cm

30cm

5.71cm

2.5cm

N2

1.5cm

20cm 30

cm

Agua

y=cx

Agua 40cm

h

O

A

B

Hg

Solucin:

1000*3.013600*2.0)0721.0(10000571.0*160004.0*80013600*3.013600*25.013600*32.0 -+-++--=PN/5.165 mkgfPN =





- 52 -

Liberando presin

)(1000 || hhPN == g mh 1655.0| =

)2*4.0)(2.0(1000 | += hFH kgfFH 4.292=

mYp

Yp

402.04.0*2*)2.01655.0(

12/4.0*2)2.01655.0(3

=+

++=

1655.0-= Ypa ma 236.0=

Para la parte Parablico: y = cx Para y = h; x = b h = cb Ahora calculemos FH y FV

oyG AhFH Pr1 g=

21 1000*2*2

*1000 hhhFH ==

hm31=

3*4000

32*2*10001

bhbhFv ==

bn45

=

Sumatoria de momentos con respecto a O 0= oM

mFHnFvaFH ..)( 11 +=

bbhhh45*

34000

31*1000236.0*4.292 2 +=

Pero chb =2 donde 125.0 -= mc

23 2000010003*69 hh += h=101.48mm 27) La presin a la salida de la bomba es de 110000kgf/m para una potencia de 100HP co una eficiencia de 70% la carga perdida a travs de la vlvula V es de 10m los tubos son de hierro galvanizado con una rugosidad absoluta de 0.00015m., L1=150m., D1=0.3m., L2=300m., D2=0.15m., L3=200m., D3=0.2m., L4==300m. hallar la direccin del flujo y el caudal en cada tubera, as tambin la cota del nivel de

y=cx

N

40cm

h

O

A

B

FH

h' FH1FV1

c

d

b

a





- 53 -

agua en el reservorio R. La viscosidad cinemtica del lquido es sm /10 26-=n .

Cota=??

R(1)

A

B

(2)(3)

(4)10m

30m

100m

N

Solucin:

Cota=??

R(1)

A

B

(2)(3)

(4)10m

30m

100m

N

Q

QQ

Q I S

Calculando la rugosidad relativa

0005.030.0

00015.0

1

==De

001.015.0

00015.0

2

==De .

00075.020.0

00015.0

3

==De

0006.025.0

00015.0

4

==De

Calculando el nmero de reynolds

DQR

DQDVDR ee

62 10*27.14/

===npn

26

216

1 10*46.810*23.4 QRQR ee ==

46

436

3 10*08.510*35.6 QRQR ee == Calculando fh Perdida por friccin

5

2

0826.0:D

fLQhsabese f = por Darcy 2222

211 98.32632076.50981 QfhQfh ff ==

2444

2333 72.2537451625 QfhQfh ff ==

)_(

32.576

44

BSBERNOULLI

bombadeQ

hQ

potnh BB == g

42

2

10010)4/25.0(2 f

hg

QP+=++

pg





- 54 -

20038.172.25374 24244 =-= QQfF -----------------(I)

-Asumiendo caudal 544 10*08.5/1.0 == eRsmQ Con 44 / DyR e e del baco de Moody 0193.04 = f En (I) mF 68.4= -Asumiendo caudal 644 10*01.1/2.0 == eRsmQ Con 44 / DyR e e del baco de Moody 0179.04 = f En (I) mF 405.18= -Asumiendo caudal 644 10*27.1/25.0 == eRsmQ Con 44 / DyR e e del baco de Moody 0178.04 = f En (I) mF 32.28= Graficando Q VS F Del grfico: con F=20m de (I)

smQ /21.04 = Rpta. 0179.04 = f Pero smQQQ /21.0343 ==

63 10*33.1= eR

Con 33 / DyR e e del baco de Moody 0186.03 = f mh f 345.423 =

mmg

QPE SS 046.11010)4/25.0(2 2

24 =++=

pg

mE S 046.110=

mEQ

hEE IBIS 716.8432.5

4

===-

Bernoulli (A I) 223 345.42716.8430 fffI hhhEm ++=++=

mh f 061.972 -= El signo negativo indica que el sentido del flujo asumido es contrario: mh f 061.972 = el flujo entra al reservorio A

Pero 000297.098.326320 2222222 == QfQfh f

000297.0222 =Qf --------------------------------(II) -Asumiendo caudal 522 10*46.8/1.0 == eRsmQ Con 22 / DyR e e del baco de Moody 02.02 = f Luego 0002.0222 =Qf -Asumiendo caudal 622 10*26.1/15.0 == eRsmQ Con 22 / DyR e e del baco de Moody 020.02 = f Luego 00045.0222 =Qf -Asumiendo caudal 622 10*423.0/05.0 == eRsmQ Con 22 / DyR e e del baco de Moody 02.02 = f Luego 00005.0222 =Qf





- 55 -

Graficando Q VS F Del grfico: con 000297.0222 =Qf obtenemos:

smQ /12.02 = Rpta. Por continuidad

smQQQQ /33.01321 =+= Rpta Luego 61 10*19.4=eR Con 11 / DyR e e del baco de Moody 0182.01 = f

mh f 1.101 = Bernoulli (R I)

NffIR hhhEE +++= 31

RptamRCotaRCota

161.14710345.421.10716.84

=+++=

28) En el sistema de la figura las tuberas tiene una rugosidad absoluta de 0.00025m y

sm /10*001.1 26-=n . Calcular el dimetro de las tuberas 2 y la perdida de carga total.

11m

A

4m

B

(1)

(2)00

C

L1=400mD1=0.2m

L2=500mD2=?

Solucin:

11m

A

4m

B

(1)

(2)00m

C

Q

Q

00125.020.0

00025.0

1

==De

?00025.0

22

==DD

e

DQRe

610*27.1=

2

26

216

1 10*272.110*36.6 DQRQR ee ==





- 56 -

5

2

0826.0:D

fLQhsabese f = por Darcy

5

22

22211 3.411032501 D

QfhQfh ff ==

Bernoulli (A B) LBLAfBA hhhEE +++= 1

( )BA KKDQQf +++= 4

1

212

11 0826.0103250411

744.77103250 212

11 =+= QQfF --------------------------(a) -Asumiendo caudal 511 10*18.3/05.0 == eRsmQ Con 11 / DyR e e del baco de Moody 0215.01 = f En (a) mF 76.5= -Asumiendo caudal 511 10*816.3/06.0 == eRsmQ Con 11 / DyR e e del baco de Moody 0214.01 = f En (a) mF 24.8= -Asumiendo caudal 511 10*498.3/055.0 == eRsmQ Con 11 / DyR e e del baco de Moody 021468.01 = f En (a) mF 94.6= *) si al asumir caudal y calculado f, reemplazamos en (a) esto no satisface entonces se procede a graficar como en el problema anterior o interpolar con programas de calculadora:

smQ /055.01 =\ Rpta Bernoulli (B C)

LBfCB hhEE ++= 2

52

22

52

22

2 *0826.03.4104 DQK

DQf B++=

Pero smQQQ /055.0221 == 5.0=BK

MDD

f=+= 5

252

2 0001249.01249.04 -----------------------(b)

-Asumiendo Dimetro 001.025.02

2 == DmD e

Como 279840/055.0 22 == eRsmQ Con 22 / DyR e e del baco de Moody 020667.02 = f En (b) mM 67.2=


2 == DmD e





- 57 -

Como 23320030.0/055.0 222 === eRmDysmQ Con 22 / DyR e e del baco de Moody 02014.02 = f En (b) mM 05.1=


2 == DmD e

Como 34980020.0/055.0 222 === eRmDysmQ Con 22 / DyR e e del baco de Moody 021468.02 = f En (b) mM 5.8= De estos 3 valores se puede concluir que solo el dimetro de 0.25m satisface, ya que es un dimetro comercial de 10Pulg equivalente a 0.25m:

mD 25.02 = Rpta. Falta perdida de carga total 29) Dos reservorios A y B como muestra la figura, estn conectados por una tubera de 10 de dimetro y 3000pies de longitud, otros dos reservorios C y D estn conectados por una tubera de 12 de dimetro y 6000pies de longitud. Para incrementar la cantidad de agua que entra a D las dos tuberas se conectan por una tubera MN de 5500pies de longitud. La distancia AM=1000pies y ND=2000pies. Calcular: a) Los caudales que entran a los reservorios B y D Cuando por la tubera MN discurren 1pie/s. b) El mnimo dimetro que debe tener MN para transportar 1pie/s. (Considere solo perdidas por friccin).

A

B

C

D

50'

30'M

0'

40'

N

(1)(2)

(3)(4)

(5)

Solucin:

A

B

C

D

50'=15m

30'=9mM

0'

40'=12m

N

(1)(2)

(3)(4)

Q1

Q3Q4

Q2Q5 (5)





- 58 -

?1650550030.0"126002000

30.0"1212004000

25.0"10600200025.0"103001000

5|

5

4|

4

3|

3

2|

2

1|

1

===

====

====

====

====

DmLmDmLmDmLmDmL

mDmL

smQ /027.05 = Calculando la rugosidad relativa

0008.025.0

0002.0

21

===DDee

00067.030.0

0002.0

43

===DDee

Calculando el nmero de reynolds

DQR

DQDVDR ee

62 10*27.14/

===npn

26

216

1 10*08.510*08.5 QRQR ee ==

46

436

3 10*23.410*23.4 QRQR ee == Calculando fh Perdida por friccin

5

2

0826.0:D

fLQhsabese f = por Darcy

2444

2333

2222

2111

06.2039512.40790

44.5074972.25374

QfhQfh

QfhQfh

ff

ff

==

==

Las tuberas (1) Y (2) es la misma entonces.

21 ff = lo mismo Las tuberas (3) y (4) 43 ff = Bernoulli (A B)

21 hhEE fBA ++=

221

211

222

211

44.5074972.253746

44.5074972.25374915

QfQfQfQf

+=

++=

Pero 027.021521 +=+= QQQQQ FQfQf =++= 221

221 44.50749)027.0(72.253746 ----------------(a)

-Asumiendo caudal 522 10*08.5/1.0 == eRsmQ Con 22 / DyR e e del baco de Moody 0193.02 = f En (a) mF 69.17= -Asumiendo caudal 422 10*27.1/05.0 == eRsmQ Con 22 / DyR e e del baco de Moody 03036.02 = f En (a) mF 42.8= -Asumiendo caudal 8128/04.0 22 == eRsmQ Con 22 / DyR e e del baco de Moody 0337.02 = f En (a) mF 58.6= Interpolando se tiene:





- 59 -

smQ /039.02 = Rpta smQQQQ /066.01521 =+=

Bernoulli (C D) 43 hhEE fDC ++=

)()027.0(06.2039512.4079012027.0

06.2039512.40790012

233

233

34534

244

233

b------------++==

+=+=

++=

QfQfNQQQQQpero

QfQf

1 Asumiendo caudal 20727/07.0 33 == eRsmQ Con 33 / DyR e e del baco de Moody 027.03 = f En (b) mN 612.10= 2 Asumiendo caudal 27072/08.0 33 == eRsmQ Con 33 / DyR e e del baco de Moody 0257.03 = f En (b) mN 705.12= 3 Asumiendo caudal 32.25735/078.0 33 == eRsmQ Con 33 / DyR e e del baco de Moody 0259.03 = f En (b) mN 27.12= Interpolando se obtiene:

smQ /0779.03 = smQQQQ /105.04534 =+=

Calculemos 31 ff hyh Para smQ /066.01 = 027.048.22128 11 == fyR e

mh f 98.21 = Para smQ /105.04 = 0233.075.46435 44 == fyR e

mh f 24.54 = Bernoulli (A D)

541 ffDA hhhEE +++=

)(24.68

1650*0826.024.598.215

55

5

55

255

g--------------------------=

++=

Df

DQf


5 == DmD e

Como 171450/027.0 55 == eRsmQ Con 55 / DyR e e del baco de Moody 0212.05 = f





- 60 -

En (g) mDf 25.665

5

5 =

Un dimetro comercial adecuado es mD 20.05 = =8pulg Rpta. 30) Calcular los dimetros de las tuberas de la red de la figura, si los caudales en E y F son respectivamente 20 y 30L/s y el agua se libera con igual presin e igual velocidad en E y F spieC H /100= para toda las tuberias presin, el dimetro del tramo CD deber ser mayor que los dimetros DE y DF (D1=2D2).

(1)(2)

(4)

(5)

20m20m

10m

15m500m

500m

800m700m

700m

(3)

E

F

D2D1

Solucin:

(1 )(2 )

(4 )

(5 )

2 0 m2 0 m

1 0 m

1 5 m50 0 m

5 0 0 m

8 00m7 00 m

700m

(3 )

E

F

D 2D 1

Q

P

Q 4Q

QQ

Q 3

21 2 DD =

sLQsLQ /30/20 45 ==

FEFE PPyVV == sLQQQQ /503543 =+=

sLQQQQQ /5021321 =+=+ (1)





- 61 -

.(*)..............................22.1)4/(

20)4/(

30542

524

DDDD

VV FE === ppEcuacin de la energa

).........(..................................................5

102

152

45

5

2

4

2

54

a

gg

=-==

+++=+++

+=+=

ff

EFEF

fEE

fFF

fEfFQ

hhVVyPPcomo

hg

VPhg

VP

hEhEE

De la ecuacin de Hazen y Williams 85.1

63.242.2347

=

CDQLh f

De (a) 5100

30*42.23475.0100

20*42.23477.085.1

63.24

85.1

63.25

=

-

DD

"6"8

:"09.7"81.5(**)(*)

..(**)........................................564.9273361319

54

45

86.44

86.45

==

\==

=-

DyDcomercialDiametro

esadecuadodimetroElDyDyDe

DD

mD 20.0"84 ==

smDQV /95.0

4/2.0*03.0

)4/( 2244

4 === pp

mh f 74.38*10030*42.23475.0

85.1

63.24 =

=

"8:

).(......................................................................25.16

).(......................................................................25.21)()2(

).....(..................................................3540:

)2..(......................................................................75.18

75.18

75.18

75.1874.381.9*2

95.015

343

32

31

21

3

33

2

4

>>

=+

=+

-=-=

+=

+=+=

=

=++=

+=

DDDPeromhhmhh

yDehhEPero

hmEhmhEE

mE

mE

hEE

ff

ff

ffP

fP

ffQP

Q

Q

fFQ

q

ba

a

Escogiendo dimetro comercial adecuado





- 62 -

"103 =D

mh f 25.310*10050*42.23475.0

85.1

63.23 =

=

mh f 25.33 = En (b) mh f 181 =

63.221

86.42

85.11

21

85.1

63.21

11

52.1

1824.8

218*100

*42.23477.0:

DQ

mDQ

DDymD

Qhpero f

=

=

==

=

En (q) mh f 132 =

63.222

86.42

85.12

85.1

63.22

22

19.0

135.274

13*100

*42.23478.0:

DQ

mDQ

mD

Qhpero f

=

=

=

=

"2.72"6.3

5019.052.1

/50

221

2

63.22

63.22

21

===

=+

=+

DDDD

DD

sLQQ

\ los dimetros comerciales adecuados son: "6"8"10"4"8 54321 ===== DDDDD Rpta.

31) Un oleoducto con una tubera aproximadamente horizontal de 30cm de dimetro, donde la rugosidad absoluta e=0.003cm tiene una estacin de bombeo de 40HP de potencia cada 7 Km. La eficiencia de los equipos de bombeo es 75% peso especfico del lquido es 850Kg/m la viscosidad cinemtica es 610*4 - m/s a) Hallar el caudal b) si el caudal se incrementa en 50% hallar la nueva potencia de la bomba c) si con la nueva potencia la presin en el ingreso de la bomba es de 125kg/m hallar la presin en la salida de la bomba.

Solucin:

B B B B7km





- 63 -

B B B B7km

I S S S SI I I

7km 7km

75.0

0001.030.0

00003.040

/10*400003.0/85030.0

6

=

===

==

==-

nD

HPpot

smmmkgmD

ene

g

)1....(..................................................76

)(n

EEQpot Is -= g

Ecuacin de la energa (S I)

032.075.0*76

4.1190*071.0*85040)1(

071.04

3.0*

4.119081.9*2*3.0

*7000*2

2

=

=

==

=

===-

fV

fVVen

VQVQ

fVh

Vfg

VDfLhEE

f

fIs

p

Asumiendo valores de velocidades

1 Asumiendo 46 10*5.710*43.0*1/1 === -eRsmV

Con DyR e /e del baco de Moody 0195.0= f 0195.0 = fV

2 Asumiendo 56 10*1.110*43.0*5.1/5.1 === -eRsmV

Con DyR e /e del baco de Moody 0185.0= f 062.0 = fV

Graficando fVVSV Del grfico: smV /17.1=

a) smQ /083.04

3.0**17.1==

p

b) smQQ f /124.05.1 ==

smV f /74.1071.0124.0

==

56 10*3.110*43.0*74.1 == - ee RR

Con DyR e /e del baco de Moody 018.0= f mh f 87.64=





- 64 -

En (1) 75.0*76

87.64*124.0*850=pot

RptaHPpot 95.119= c) mhEE fIS 87.64==-

./51.55694

/51.5569487.64125

87.6422

22

RptamkgfP

mkgfPP

mg

VPg

VP

S

SS

IS

=

==-

=

+-+

gg

gg

32) En la figura se muestra un sistema donde se instala una bomba entre las tuberas 3 y 4 con una potencia de 4HP y una eficiencia de 70%, la presin en I es 65kgf/m (C=120) Calcular: a) los caudales en cada tubera. b) Las presiones en el punto A y salida de la bomba.

40m

R

B

B

A

I S

(2)

(4)(3)(5)

(1) 20m

D=12''L=1000mD=10''

L=1500m

L=700mD=8''

D=10''

L=600m

L=2000mD=12'' M

10m

Solucin:

40m

R

B

B

A

I S

(2)

(4)(3) (5)

(1) 20m

M

10m

Q1

Q2

Q3

Q4Q5





- 65 -

"122000"10600

"8700"101500

"121000

55

44

33

22

11

====

======

DmLDmLDmL

DmLDmL

/65%704

mkgPn

HPPot

I ==

=

)......(............................................................2128.01000

76*7.0*76

*7676

)(

33

3

3

j

gg

QQEE

QPotnEE

nEEQPot

IS

ISIS

==-

=--

=

kmmL

hS f /20

12040

=-

==

54.063.2**000426.0: SDCQPero = 54.063.2

1 2012*120*000426.0=Q SLQ /58.1771 = Rpta.

De la figura se tiene: )(432 ISfff EEhhh --+=

Pero segn Hazme y Williams 85.1

63.242.2347

=

CDQLh f

).(........................................2128.0003.2923.6008.53

85.14

85.13

85.12 rQ

QQQ -+=

Pero por continuidad se tiene:

32143 QQQyQQ +== ).....(................................................................................58.177 23 lQQ -=

tieneseen )()( rl SLQySLQ /038.75/542.102 32 ==

./2901

/2901836.265

836.222

)(22

RptamkgfP

mkgfPmP

mg

VPg

VPEn

S

SS

IS

=

==-

=

+-+

gg

ggj

Ecuacin de energa entre (R A)

1fAR hEE +=





- 66 -

)1.........(................................................................................202

40 12

fAA hg

VP+++=

g

mh f 94.1912*12058.177*42.23471

85.1

63.21 =

=

En (1) /8.261 mkgfPA -= Rpta 33) En la figura se tiene dos reservorios A y B estn conectados por una tubera de 10 de dimetro y 2500pies de longitud, otros dos reservorios C y D estn conectados por una tubera de 12 de dimetro y 4500pies de longitud. Para incrementar la cantidad de agua que entra a D las dos tuberas se conectan con una tubera MN de 3000 pies de longitud y 8 de dimetro. Las distancias AM = 1000pies y ND = 2500pies, rugosidad de las tuberas es 0.00015. y viscosidad cinemtica es 610 - m/seg. Calcular los caudales en cada tubera (Considere flujo completamente turbulento).

A

B

C

D

80m

50mM

20m

40m

N

(1)(2)

(3)(4)

(5)

Solucin:

A

B

C

D

80m

50mM

20m

40m

N

(1)(2)

(3)

solucionario de examenes de fluidos i

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