solucionario del cuestionario 1
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7/25/2019 SOLUCIONARIO Del Cuestionario 1
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Lmites- derivadasMSc. Csar Ypez
SOLUCIONARIO del Cuestionario 1Lmites- derivadas
= Nos acercamos a 1 por la izquierda y por la derecha en el ejeX, en los dos casos se observa que la funcin (lnea azul) cada vez se acerca hacia el
cero en el eje Y.
= Para = le corresponde en = , como se observa en la figura elpunto.
=
=
= =
= [ ]
= [ ]
=
=
= = =
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(a) Correcto
(b) Incorrecto - La definicin es de continuidad, no de discontinuidad
(c) Incorrecto - Para que sea correcta debera escribirse con
Si graficamos se observa claramente que si x tiende a 3 por la izquierda ( , la funcintiende al infinito negativo
Esto se comprueba dando valores cercanos a 3 por la izquierda
x 2,5 2,8 2,9 2,999 2,9999999
= -2 -5 -10 -1000 -10000000
Luego, si seguimos dando valores cercanos a 3, la funcin se hace mucho ms grande peronegativa, es decir tiende al infinito negativo
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Para graficar se analiza que:
Si x0, la funcin toma los valores de -x
X0
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
f(x) -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4
Se observa que el lmite cuando x tiende a cero por la izquierda es cero
Segn la definicin:
Una funcin f es continua en a si y solo si se cumplen las siguientes tres condiciones:
. .
. =
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Para que la funcin= sea continua en = debemos comprobar las trescondiciones, as:
1.
= ==
existe
2. = = existe
3. =
Se debe hallar todos los valores de x que cumplan la con la desigualdad
< . El procesoes el siguiente:
Transformamos la desigualdad en funcin
= Encontramos las races de la funcin mediante =
= = Tambin los puntos de discontinuidad:
= = = =
Establecemos los intervalos a partir de las races y puntos de discontinuidad
Tomamos un valor en el cada intervalo para determinar el signo de la funcin .Intervalo Un valor del
intervaloSigno de =
, -5 = < , -1 = > , 1 = < , 6
=
>
Los intervalos que cumplen con < son: ,o ,
(-,-3) (-3,0) (0,3) (3,+
-3 0 3
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O tambin se puede escribir: < o > >
SOLUCIONARIO del Cuestionario 2 - Derivadas
La definicin (c) es incorrecta, lo correcto sera:
La funcinrepresenta el ingreso marginal si = es el ingreso de un fabricante al
vender q unidades de un producto.
De la definicin de la derivada:
=
El cociente es:
Se tienen los siguientes datos:
=
=
Luego:
=
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La pendiente a una curva en un punto es la derivada de la funcin; as:
Si = = entonces la pendiente es: = = Luego para el punto:
, la pendiente es = = = , la pendiente es = = =
, la pendiente es = = =
Funcin
=
=
=
= /
= = Derivada = = =
=
= = =
La funcin de ingreso marginal es la derivada de la funcin de ingreso total, as:
Si = . entonces la funcin de ingreso marginal es = .Luego para:
= el ingreso marginal es = .
= el ingreso marginal es = .
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= el ingreso marginal es = .
La razn de cambio de = respecto de x es la derivada =
La razn de cambio relativa se calcula mediante la frmula
Luego,
= Para = se tiene:
=
=
La frmula de la derivada del producto de funciones es:
Si = .entonces = Acoplamos nuestra funcin para aplicar la frmula
=
=
= = = = =
=
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Se aplica primero la definicin de la derivada de la potencia y luego la derivada de la
divisin.
=
,
=
=
=
=
=
=
La regla de la cadena indicada que:
Si
= ,
= entonces
=
.
Acoplamos la frmula a las funciones que tenemos, as:
Si = , = entonces = .
= (
).
= ().
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Luego, si = , entonces = +=
Reemplazando se tiene:
| = =.
=
= =
=
=
19. Aplique las propiedades de la diferenciacin de funciones logartmicas para calcular
si: =
Aplicamos el cambio de base
= =
Calculamos la derivada del cociente de funciones y la derivada de la funcin logartmica
=
=
=
=
=
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Aplicamos el logaritmo a los dos lados
= =
Por las propiedades de los logaritmos se tiene:
= . Calculamos la derivada
=
=
=
=
=
Calculamos la derivada de la funcin implcita
=
( ) =
(
)
=
= = =
=
Esta derivada representa la pendiente. Calculamos la pendiente en el punto ,
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= =
=
=
=
Calculamos la ecuacin de la recta tangente:
= = = =
=
Este ejercicio es una combinacin de funcin exponencial y funcin implcita
= + = + = + = + +
+= +
= +
+=
=
=
= =
= =
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Calculamos la funcin de costo total
= .
=
Calculamos la funcin de costo marginal
=
=
=
Reeemplazamos el valor de q=50
=
=
Como . entonces
=
.