solucionario ensayo op3

Solucionario

Ensayo Optativo 3

Tesla

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2

PRUEBADETRANSICIÓNMATEMÁTICA

INSTRUCCIONES

Estaprueba constade65preguntas, de las cuales60 serán consideradasparael

cálculo de puntaje y 5 serán usadas para experimentación y por lo tanto, no se

consideraránenelpuntajefinaldelaprueba.Cadapreguntatienecuatro(4)ocinco

(5) opciones, señaladas con las letras A, B, C, D y E, una sola de las cuales es la

respuestacorrecta.

DISPONEDE2HORASY20MINUTOSPARARESPONDERLA.

INSTRUCCIONESESPECÍFICAS

1. Lasfigurasqueaparecenenlapruebasonsoloindicativas.

2. Losgráficosquesepresentanenestapruebaestándibujadosenunsistema

deejesperpendiculares.

3. El intervalo [p, q] es el conjunto de todos los números reales mayores o

igualesapymenoresoigualesaq;elintervalo]p,q]eselconjuntodetodoslos

números realesmayores que p ymenores o iguales a q; el intervalo [p, q[ es el

conjuntodetodoslosnúmerosrealesmayoresoigualesapymenoresqueq;yel

intervalo]p,q[eselconjuntodetodoslosnúmerosrealesmayoresquepymenores

queq.

4. Enestaprueba,seconsideraráquevinicioenelorigendelplanocartesiano

ysuextremoenelpunto(a,b),amenosqueseindiquelocontrario.

5. Seentenderápordadocomúnaaquelqueposee6caras,dondeal lanzarlo

lascarasobtenidassonequiprobablesdesalir.

6. Enestaprueba,lasdosopcionesdeunamonedasonequiprobablesdesalir,

amenosqueseindiquelocontrario.

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3

INSTRUCCIONESPARALASPREGUNTASDESUFICIENCIADEDATOS

Enlaspreguntassiguientesnoselepidequedélasoluciónalproblema,sinoquedecidasi los datos proporcionados en el enunciado del problemamás los indicados en lasafirmaciones(1)y(2)sonsuficientesparallegaraesasolución.

Esasí,quesedeberámarcarlaopción:

A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a lapregunta,perolaafirmación(2)porsísolanoloes.

B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a lapregunta,perolaafirmación(1)porsísolanoloes.

C)Ambasjuntas,(1)y(2),siambasafirmaciones(1)y(2)juntassonsuficientespararesponderalapregunta,peroningunadelasafirmacionesporsísolaessuficiente.

D)Cadaunaporsísola,(1)o(2),sicadaunaporsísolaessuficientepararesponderalapregunta.

E) Se requiere informaciónadicional, si ambasafirmaciones juntasson insuficientespara responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a lasolución.

SímbolosMatemáticos

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4

1. Sia=1, 9yb=0, 6,entonceselvalordefg− f

i·ab,es:

A) 0, 3

B) 1, 3

C) 0,3

D) 1,3

E) 4,3

Resolución:

Directamente:

1b −

1a · ab =

a − bab · ab = a − b = 2 −

23 =

43 = 1, 3

• Unidad:Números

• Sub-unidad:Númerosracionales

• Habilidadcognitiva:Resolverproblemas.

• Clave:B

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5

2. En un cumpleaños se repartieron los dulces de una piñata entre cuatro primos, dos

amigosyelcumpleañero.Sicadaamigorecibiólaoctavapartedelosdulcesycadaprimo

lamitadde loquerecibiócadaunode losamigos,¿quépartede losdulcesrecibióel

cumpleañero?

A) fn

B) ofp

C) fq

D) fr

Resolución:

SeaTeltotaldedulcesenlapiñata.Cadaamigorecibiólaoctavapartedeltotal,es

decir:

18 T

Cadaprimorecibiólamitaddeloquerecibiócadaamigo.

12 ·18 T =

116T

Comohay4primosydosamigos,lasumaqueda:

4 ·116T + 2 ·

18T =

14T +

14T =

24T =

12T

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6

Porloqueelcumpleañerorecibeelresto,

12 T

• Unidad:Números



• Clave:A

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7

3. Margarita,AmeliayClaudiadecidencomprarchocolatesparacadaunayestoscuestan

entotal$5.400.Sielmáscarodeellosvale$400másqueeldelmedio,yelmásbarato

vale$400menosqueeldelmedio,entonceselchocolatemáscarocuesta:

A) $1.400

B) $1.600

C) $1.800

D) $2.200

E) $2.400

Resolución:

Seaxelvalordelchocolatedelmedio.Dadalainformacióndelenunciado,es

posibleescribir:

(x–400)+x+(x+400)=5400

3x=5400

x=1800

Porloqueelheladomáscarovale$2.200

• Unidad:Números



• Clave:D

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8

4. Dados los irracionales: p =on n

, q =fn , r = 2, s =

o no y t =

fo.

¿Cuáleselmayordeellos?

A) p

B) q

C) s

D) r

E) t

Resolución:

Seracionalizanlosvaloresquecorrespondan:

p=on n

· nn= o n

q

q=fn· n

n=

nn

r= 2

s=o no· o

o= o p

o= 6

t=fo· o

o= o

o

Elmayorvalores 6

• Unidad:Números

• Sub-unidad:Númerosirracionales

• Habilidadcognitiva:Comprender.

• Clave:C

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9

5. Enunabolsitahaynueces,almendrasypasas,lacualcontiene20gramosdenueces,30

gramosdealmendrasy10gramosdepasas.¿Cuántosgramosdenueceshayqueagregar

alabolsita,paraqueelnuevopesodelasnuecesseaqxdelpesodelamezcla?

A) 140g

B) 110g

C) 78g

D) 70g

Resolución:

Labolsacontiene:

Nueces20g

Almendras30g

Pasas10g

Mezcla60g

Necesitamosquelasnuecesseanel80%deltotal,esdecir,r{f{{oelfp{

n{{,porloque

siseagregan140gramosdenueces,setendrán160gramosdeestas,deunamezclade

200gramos.

• Unidad:Números


• Habilidadcognitiva:Aplicar.

• Clave:A

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10

6. Unempleadorecibecomosueldomensual$250.000másun2%delasgananciasdelas

ventas del mes. Si en total el negocio, en un mes, vende $15.000.000 con un 35%

correspondienteaganancias.¿Cuántorecibecomosueldo,esemes,elempleado?

A) $1.300.000

B) $705.000

C) $650.000

D) $555.000

E) $355.000

Resolución:

Parahallarelbono,bastaconcalcularel2%del35%de$15.000.000,estoes:

2100 ·

35100 · 15.000.000 = 70 · 1.500 = 105.000

Aestevalorlesumamossusueldo,$250.000,quedandoen:$355.000

• Unidad:Números

• Sub-unidad:Porcentaje

• Habilidadcognitiva:ResolverProblemas.

• Clave:E

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7. Enunacompetencia,MariollegóalametaMminutosantesqueSergioquedemoróS

segundos.Entonces,laexpresiónquerepresentaeltiempodeMario,enminutos,es

A) S–M

B) S+M

C) 60S+M

D) |p{+M

E) |p{–M

Resolución:

SergiodemoróSsegundos,aldividirlosen60launidadquedaenminutos;peroMario

llegóalametaMminutosantes,sixeseltiempodeMario,setiene:

x+M= |p{

Dedonde:

x=|p{–M

• Unidad:Números



• Clave:E

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12

8. SielsueldodeAndreaaumentóde$Pa$Q,¿enquétantoporcientoaumentó?

A) ~��f{{

%

B) f{{~�

%

C) f{{�~

%

D) f{{~�f{{�

�%

Resolución:

SiPesel100%y(Q–P)eslacantidadaumentada,parahallarelporcentajedeaumento

x,sepuedeestablecer:

P

Q − P =100x

x =100 Q − P

P =100Q − 100P

P

• Unidad:Números

• Sub-unidad:Porcentaje


• Clave:D

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13

9. SiT= �� conq≠0,esunnúmeroreal,entoncesconrespectoaT,¿Cuál(es)de las

siguientesafirmacioneses(son)siempreverdaderas?

I. Sip<q,elnúmeroTesirracional

II. Paratodoq≠0,existealmenosunvalorptalqueTesracional

III. Tpuedetomarcualquiervalorreal

A) SoloI

B) SoloII

C) SoloIII

D) SoloIyIII

E) SoloIIyIII

Resolución:

I.Nosiempre,ppuedeser0yq=3yTesracional.

II.Paratodoq≠0,existealmenosunvalorptalqueTesracional,siempreyaque

p=qhacequeT=1.

III.Falso,Tnopuedetomarvaloresnegativos.

• Unidad:Números

• Sub-unidad:NúmeroReales


• Clave:B

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14

10. Elvalordelaexpresiónlog��3� es:

A) -5

B) -1

C) fx

D) 5

E) -fx

Resolución:

logfo

3� =15 · logfo

3 = 15 · logfo

13

�f

= −15 · logfo

13 = −

15

• Unidad:Números

• Sub-unidad:Logaritmos


• Clave:E

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15

11. Sifn+ f

o+ f

q= px

�,¿cuál(es)delassiguientesexpresionesrepresenta(n)unnúmero

entero?

I. �f{

II. �q{

III. �n{

A) SoloI

B) SoloII

C) SoloIII

D) SoloIyIII

E) SoloIIyIII

Resolución:

Cálculodirecto:

12 +

13 +

14 =

65x

6 + 4 + 312 =

65x

1312 =

65x

𝑥 =12 · 6513 = 60

PorloquesoloIyIIIsonenteros

• Unidad:Números

• Sub-unidad:Númerosenteros


• Clave:D

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16

12. Conxeynúmerosracionalesydadalaigualdadcx=cysepuedeconcluirquex=y,sise

sabeque:

(1) cesunnúmerorealpositivo.

(2) cesunnúmeroirracionalpositivo.

A) (1)porsísola.

B) (2)porsísola.

C) Ambasjuntas,(1)y(2).

D) Cadaunaporsísola,(1)o(2).

E) Serequiereinformaciónadicional.

Resolución:

(1)Insuficiente,cpuedeser1,mantenerlaigualdad,peroxpodríaserdistintodey.

(2)Suficiente,cnopuedeserni1ni0quesonlosvaloresquegeneranconflictoal

mantenerlaigualdad.Porloquex=y.

• Unidad:Números

• Sub-unidad:Númerosreales.

• Habilidadcognitiva:Análisis,síntesisyevaluación.

• Clave:B

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17

13. Lasmedidasdelosladosdeunrectángulosonpcmyqcm.Sisuperímetroyáreason

12cmy7cm2,respectivamente,¿cuáleselvalordep2+q2?

A) 22

B) 31

C) 36

D) 130

E) 144

Resolución:

Elperímetroes2(p+q)=12,dedonde(p+q)=6

Eláreaespq=7

(p+q)2=36

p2+2pq+q2=36

p2+q2=36–2pq

p2+q2=36–14=22

• Unidad:ÁlgebrayFunciones

• Sub-unidad:Algebra


• Clave:A

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18

14. Sielvalorde(x+y)=15,yelvalordex2−y2=60,entonceselvalorde(x–y)=

A) 2

B) 3

C) 4

D) 36

E) 60

Resolución:

Directamente:

x2−y2=60

(x–y)(x+y)=60

(x–y)·15=60

x–y=4


• Sub-unidad:Álgebra


• Clave:C

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19

15. Cristinavaalaferiaycompraseiskilosdefrutaentrenaranjasyfrutillas.Sielkilode

naranjascuestaeldoblequeelkilodefrutillasycompraeldobledekilosdefrutillasque

denaranjas,¿cuáleselpreciodelkilodefrutillas,sienestacompragasta$4.000?

A) $2.000

B) $1.500

C) $1.000

D) $800

E) $500

Resolución:

Delenunciado,sineslacantidaddenaranjas,fladefrutillasyxelpreciodelas

frutillas,setiene:

n+f=6

n=2f

x·n+2x·f=4.000

Reemplazando,queda:

n=2f=>2f+f=6=>f=2

x·2f+2x·f=4.000

8x=4.000

x=500

Elpreciodelkilodefrutillasesde$500




• Clave:E

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20

16. ¿Qué condición debe cumplir el parámetro p, para que la ecuación en x,

(-8+p)x+5p–40=0,tengainfinitassoluciones?

A) p=8

B) p≠8

C) p=-8

D) p≠-8

E) Noexistevalorparap.

Resolución:

Para que la ecuación tenga infinitas soluciones, el coeficiente que acompaña a x

debeser0yelrestodelaecuacióntambiéndebeser0.

Paraellop=8.




• Clave:A

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21

17. Sinff+ n

ff+ n

ff= �

fnf,entonceselvalorde

�pes:

A) 2

B) 6

C) 11

D) 66

Resolución:

211 +

211 +

211 =

x121

611 =

x121

x =121 · 611 = 11 · 6 = 66

Porloqueelvalorde�pes11.


• Sub-unidad:EcuacióndePrimerGrado

• Habilidadcognitiva:Aplicar

• Clave:C

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22

18. Carlos tiene (6a – 8b) dulces, le regala a su amigo Sergio (a – 5b) y a su prima

Ana(b+7a),luegocompra(a–b)dulces,¿cuántosdulcestieneCarlosahora?

A) a+5b

B) a–5b

C) -a+5b

D) –(a+15b)

E) –(a+5b)

Resolución:

Carlostiene(6a–8b),leregalaasuamigoSergio(a–5b),lequedan:5a–3b.

LeregalaasuprimaAna(b+7a),lequedan:-2a–4b

Luegocompra(a–b),quedando:-a–5b=-(a+5b)


• Sub-unidad:Planteamiento


• Clave:E

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23

19. Ladistanciaentreeltripledeunnúmeroyelentero2es,porlomenos,7.Entoncesel

conjuntodenúmerosquecumpledichacondiciónes

A) Φ

B) IR

C) ]-∞,-xo]U[3,∞[

D) [3,∞[

E) ]-∞,-3]U[3,∞[

Resolución:

Directamente:

|3x–2|≥7

3x≥9 3x≤-5

x≥3 x≤-5/3

xpertenecealintervalo,]-∞,-xo]U[3,∞[


• Sub-unidad:Desigualdades.


• Clave:C

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24

20. Dadoelsistema2x + 5y = 40x − 10y = 10,elvalorde–x=

A) 10

B) -10

C) 18

D) -18

E) -8

Resolución:

Semultiplicapor2laecuacióndearriba,queda:

4x + 10y = 80x − 10y = 10

Alsumarambasecuacionesresulta:

5x=90

x=18


• Sub-unidad:SistemasdeEcuacionesde2x2


• Clave:D

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25

21. Dentrode(n+10)años,tendrélaedadde(2n+15)años.¿Quéedadteníahace(5–n)

años?

A) 2(n–5)años

B) (n+8)años

C) (n+5)años

D) 3naños

E) 2naños

Resolución:

Seaxmiedadactual:

x+(n+10)=2n+15

x=n+5

Hace(5–n)añostenía:

x–(5–n)=n+5–5+n=2naños.




• Clave:E

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22. Unaempresaagrícolatieneunterrenode100m2paracultivaruvasykiwis.Cadametro

cuadradodeplantacióndeuvanecesita300horasdetrabajoy200horasparaloskiwis.

Sisedisponedeuntotalde22.500horasysedebeutilizartodoelterreno.¿Cuálesel

áreaenm2delcultivodedicadoalasuvas?

A) 75

B) 50

C) 25

D) 70

Resolución:

Seanulacantidaddemetroscuadradosdisponiblesparauvasykladeloskiwis.

u+k=100

300u+200k=22.500

Almultiplicar laecuacióndearribapor2y simplificarpor100 laecuacióndeabajo,

resulta:

2u+2k=200

3u+2k=225

Dedondeu=25m2




• Clave:C

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23. Laslongitudesdedosladosdeuntriánguloson(2n-1)y(2n+3),dondenesunnúmero

enteropositivomayorque1.¿Cuáldelossiguientesintervalosincluyetodoslosposibles

valoresdeltercerlado?

A) ]4,4n[

B) [4,4n]

C) ]4,4n+2[

D) [4,4n+2]

E) Faltandatosparadeterminarlo

Resolución:

El tercer ladodeuntriángulodebesermayorque ladiferenciapositivaentre los

ladosyademás,menorquelasumadelosotrosdoslados.

Porloquesixeslamedidadeltercerlado,setiene:

(2n+3)–(2n–1)<x<(2n+3)+(2n–1)

4<x<4n+2

Luego,xpuedetomarvaloresenelintervalo]4,4n+2[


• Sub-unidad:Desigualdades


• Clave:C

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28

24.Deungrupo,lasedadesdePaolitayLaurita,suman6años,lasdeLauritayXimenita

suman7añosylasdeXimenitayPaolitasuman8años.¿CuáleslaedaddePaolita?

A) 1añoy6meses

B) 2añosy6meses

C) 3añosy5meses

D) 3añosy6meses

E) 4añosy5meses

Resolución:

SeanPlaedaddePaolita,LladeLauritayXladeXimenita:

P+L=6=>L=6-P

L+X=7

X+P=8=>X=8–P

Dedonde:

L+X=7

6–P+8–P=7

14–2P=7

7=2P

3,5=P

Paolitatiene3añosy6meses.




• Clave:D

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29

25. ¿Cuáleselvalordelaexpresión 4A − �q− 4B − �

q,sisesabequeB–A=8?

A) 17

B) 1

C) -17

D) -34

E) 34

Resolución:

Cálculodirecto:

4A −B4 − 4B −

A4 =

16A − B4 −

16B − A4 =

16A − B − 16B + A4 =

17A − 17B4

17(A − B)

4

ComoB–A=8,(A–B)=-8,luego:

17(A − B)

4 =17(−8)

4 = 17 · −2 = −34


• Sub-unidad:Algebra

• Habilidadcognitiva:Análisissíntesisyevaluación.

• Clave:D

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30

26. Dosnúmerossontalesque lasdosterceraspartesdesusumaes iguala8a+2ysu

diferenciaesiguala6a–3.¿Cuáleselvalordeunodeellos?

A) 8a

B) 3a

C) 9a+3

D) 3a-6

E) 3a+3

Resolución:

Delenunciadosetiene:

Lasdosterceraspartesdesusumaesiguala8a+223 x + y = 8a + 2

Dedonde:x+y=12a+3.

Ysudiferenciaesiguala6a–3

Porloque,dadoelsistema

x+y=12a+3

x–y=6a–3

2x=18a

Porloquex=9a,ey=3a+3


• Sub-unidad:Planteamientodesistemasdeecuacioneslinealesde2x2


• Clave:E

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31

27. Lagráficadelafunciónfdefinidaenlosrealesmediantef(x)=x2+a,pasaporelpunto

(a,2),entonceselconjuntoquecontienelosposiblesvaloresdeaes:

A) {1}

B) {−1}

C) {1,2}

D) {−2}

E) {−2,1}

Resolución:

Delenunciadosetienequef(a)=2,dedonde:2=a2+a,porloque:

a2+a–2=0

(a+2)(a–1)

a=-2,a=1,

Elconjuntosoluciónes{−2,1}


• Sub-unidad:Ecuacióndesegundogrado.


• Clave:E

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32

28. Seanryslasraícesdelaecuaciónx2+ax+b=0,cona≠0yc≠0,entonceselvalor

def�+ f

�es:

A) ab

B) ig

C) gi

D) −gi

E) − ig

Resolución:

Como:1r +

1s =

s + rrs

Dedonde:s+r=-a

:s·r=b 1r +

1s =

s + rrs = −

ab


• Sub-unidad:Ecuacióndesegundogrado


• Clave:E

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33

29. Unapersonaqueejercitasobreunatrotadoraaunavelocidadde3km/hquemará250

calorías, si aumenta su velocidad a 6 km/h quemará 370 calorías. Si el número de

caloríasquemadasenlatrotadoraylavelocidadempleadaenellasonvariablesquese

relacionandeformalineal,entonces la funciónquerelacionaelnúmeroCdecalorías

quemadasylavelocidadvempleada,estádadapor

A) C(v)=40v+130

B) C(v)=40v+250

C) C(v)=250v+370

D) C(v)=40v

Resolución:

Delenunciadosetieneque:

C(3)=250yqueC(6)=370,laúnicaalternativaquecumpleambascondicioneses

A.




• Clave:A

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34

30. Setienendostiposdeté,eltéenhojasyelmolido.Si200gramosdetéenhojascuestan

$ty300gramosdetémolidocuestan$mysedeseahacerunamezclade600gramos

quecontenga450gramosdetéenhojayelrestodetémolido.¿Cuálseráelvalordeesta

mezcla?

A) ��n+ �

q

B) ��q+ �

n

C) �q+ �

n

D) �n+ ��

n

Resolución:

200gramosdetéenhojavalen$t.

400gramosdetéenhojavalen$2t

450gramosdetéenhojavalen$2t+�q=��

q

Elrestodelamezclacontiene150gramosdetémolidoquevalen$�n

Porloquelamezclavale:$��q+ �

n


• Sub-unidad:ModeloLineal

• Habilidadcognitiva:Representar

• Clave:B

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35

31. Enunafábrica,elcostodeproducciónde“n”unidadesdeciertoartículo,estádadopor

lafunciónC(n)=0,01n2–90n+25.000.¿Cuántasunidadessedebenfabricarparaque

elcostoseamínimo?

A) 500

B) 2.500

C) 4.500

D) 9.000

E) 18.000

Resolución:

Bastaconcalcularlacoordenadaxdelvértice:

−b2a =

900,02 =

901200 = 4.500


• Sub-unidad:FunciónCuadrática


• Clave:C

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36

32. Unmédicodecidiócrearunaescaladetemperaturacuyoúnicoobjetivoesrepresentar

el estado febril de un paciente. Para lo cual estableció que la temperatura de 36°

(ausenciadefiebre)seríarepresentadaporelvalor0ylatemperaturade40°C(fiebre

muyalta)seríarepresentadaporelvalor10.Si larelaciónentreestasdosescalases

linealyseconsideraqueunpacientetienefiebre,sisutemperaturaesmayoroiguala

38°C,¿cuál(es)delassiguientesafirmacioneses(son)verdadera(s)?

I. Enlaescaladelmédicoelmenorvalorqueindicafiebrees5.

II. Unpacientecontemperatura7enlaescaladelmédicotienefiebre.

III. Unaumentode38°Ca39°Cenlaescaladelmédicoesunaumentode2,5.

A) SoloI

B) SoloII

C) SoloIyII

D) SoloIyIII

E) I,IIyIII

Resolución:

Dadoelenunciado:f(0)=36yf(10)=40

Porloquef(x)=0,4x+36

I.Verdadero.f(5)=2+36=38,fiebre.

II.Verdadero.f(7)=38,8,fiebre.

III.Verdadera.f(5)=38yf(7,5)=39,porloqueladiferenciaesde2,5


• Sub-unidad:Funciónlinealyafín.


• Clave:E

________________________________________________________________________________________________________

37

33. Silafuncióncuadráticaf(x)=x2+ax+b,tieneunsolocorteconelejex,escorrecto

afirmarque:

A) a > 2 b

B) a < 2 b

C) a = 2 b

D) a ≠ 2 b

Resolución:

Eldiscriminantedelafunciónf(x)=x2+ax+b,escero:

a2–4·1·b=0

Dedonde

a2=4b

Porloquea=2 b




• Clave:C

________________________________________________________________________________________________________

38

34. Los sociosdeunaempresaproyectanqueesta recibeganancias según la función

h(x)=-(x-9,4)2+5.¿Cuáldeestosvalores indica lacantidaddeproductosque

necesitanvenderparamaximizardichaganancia?

A) 5

B) 9

C) 8

D) 11

Resolución:

Elmáximovalordeestaempresasealcanzacuandoxes9,4.Sinembargo,comox

representaproductos,estosdebensernúmerosenteros,elvalorenteromáscercanoa

9,4es9productos.


• Sub-unidad:FunciónCuadrática

• Habilidadcognitiva:Comprender

• Clave:B

________________________________________________________________________________________________________

39

35. Lagráficadelafunciónf(x)=-x2+ax–5nocortaalejedelasabscisassi:

(1)Elvalordeaes3.

(2)Elcorteconelejeyseproduceenelpunto(0,-5)

A) (1)porsísola

B) (2)porsísola

C) Ambasjuntas,(1)y(2)

D) Cadaunaporsísola,(1)o(2)

E) Serequiereinformaciónadicional

Resolución:

Paraquelagráficadelafunciónf(x)=-x2+ax–5nocortealejedelasabscisas,su

discriminantedebesermenora0.

Eldiscriminanteparaestafunciónes:a2–4(-1)(-5)=a2–20<0

a2<20

(1)Suficiente.Sia=3,a2<20,porloquecumple.

(2)Insuficiente.Informaciónyasabidadelenunciado,sedescarta.


• Sub-unidad:Planteamientodeproblemas.


• Clave:A

________________________________________________________________________________________________________

40

36. Si elpuntode coordenadas (2,3) se rota90Oen tornoalpunto (5,1)yelpunto

resultante se traslada con el vector T(1, 5), entonces el nuevo punto tiene

coordenadas:

A) (2,4)

B) (-4,6)

C) (-4,-6)

D) (2,-4)

E) (-2,-4)

Resolución:

Recordarquesi(x,y)serota90Oconcentroenelorigen,resultaelpuntodecoordenadas(-y,x).

Sielpuntodecoordenadas(2,3)serota90Oentornoalpunto(5,1),resulta:(2,3)–(5,1)=(-3,2)Alhacerlarotación,resultaelpunto(-2,-3)yaestepuntoselesuma(5,1)resultandoelpunto(3,-2);porúltimo,alaplicarT(1,5)queda(4,3).

• Unidad:Geometría

• Sub-unidad:Isometrías.


• Clave:A

________________________________________________________________________________________________________

41

37. La figura adjunta está formadapor un cuarto de circunferencia de radio 6 cmy dos

semicírculoscongruentes.¿Cuáleselperímetrodeestafigura,siseconsideraπ=3?

A) 24cm

B) 33cm

C) 36cm

D) 40cm

Resolución:

Elcuartodecircunferenciatieneradio6cm,porloqueelperímetrodelarcomayor

será:2π · radio

4 =2 · 3 · 64 = 9cm

Elperímetrodelasmediascircunferenciasderadio1,5cmes:

2 ·2π · radio

2 = 2 · 3 · 1,5 = 9cm

Aestoseleagregaelradioparacompletarelperímetro,estoresulta:

9+9+6=24cm


• Sub-unidad:ÁreayPerímetrodefigurasplanas.


• Clave:A

________________________________________________________________________________________________________

42

38.En la figuraadjunta losrectángulosABCDyEFDAsonrectángulossemejantesenese

ordendado,dondeA,E,ByD,F,Csonpuntoscolineales.SiEBCFesuncuadradodelado

4,¿cuántomideAB?

A) 1 + 5

B) 2(1 + 5)

C) −2 + 2 5

D) 2 + 5

E) 2

Resolución:

Dadoelenunciado,esposibleescribir:

x + 44 =

4x

xn + 4x = 16

xn + 4x − 16 = 0

x = −4 ± 16 + 64

2 = −4 ± 80

2 = −4 ± 4 5

2 = −2 + 2 5

LuegoAB=x+4=2+2√5


• Sub-unidad:Áreadefigurasplanas.


• Clave:B

A B

CD

E

F

4

A B

CD

E

F

4

4x

________________________________________________________________________________________________________

43

39. Sienlafiguraadjunta,A,P,Q,Bsonpuntoscolineales,losángulosCAByRPQ,soniguales,

aligualquelosángulosBCAyQRP.SiBC=12,PR=3,QR=6yAB=16,¿cuáldelas

siguientesafirmacionesesFALSA?

A) LostriángulosABCyPQRsonsemejantes.

B) LosángulosABCyPQRtienenigualmedida.

C) EltrazoACmideel75%deloquemideeltrazoPQ.

D) LahipotenusadeltriánguloPQRmide8.

Resolución:

Dadalaigualdaddelosángulos,lostriángulossonsemejantesentresi,porloque

A)yB)sonverdaderas.

Larazóndelosladoses1:2,conelloACmide6yPQ8,porloquelaalternativaC)

esverdadera.

LaalternativaD)esFalsaporquenosepuedeasumirqueelánguloPRQes90O


• Sub-unidad:Semejanza.


• Clave:D

A P Q B

C

R

________________________________________________________________________________________________________

44

40.Seanlosvectoresp=(2a,12)yq=(8,3b).Sip=q,entonceselvalordea-bes:

A) 6

B) 8

C) 0

D) 4

E) 2

Resolución:

Porsimpleobservación:

Porloque:a=4yb=4

Asíladiferenciaentreaybes0


• Sub-unidad:Vectores.


• Clave:C

________________________________________________________________________________________________________

45

41. Medianteunatraslacióndescritaporelvectora=(2,-5),elpuntoPsetransformaenel

puntoRyacontinuaciónaplicandounatraslaciónaRsegúnelvectorb =(1,3), se

obtieneelpuntoQ.¿CuáldelossiguientesvectorestrasladaPaQ?

A) (3,-2)

B) (3,2)

C) (-3,2)

D) (-3,-2)

E) (2,-3)

Resolución:

Bastaconsumarlosvectorestraslación,(2,-5)+(1,3)=(3,-2)


• Sub-unidad:Isometrías


• Clave:A

________________________________________________________________________________________________________

46

42. SiauncuadradoABCDse leaplicaunahomoteciaderazónk= -fnycentro(2,2),

entonceslascoordenadasdelpuntohomotéticodelvérticeC=(4,6)son:

A) −fn, − o

n

B) xn , ¤n

C) (1,0)

D) (0,1)

E) Ningunodelosanteriores

Resolución:

AlpuntoCselerestaelcentrodehomotecia:(4,6)–(2,2)=(2,4)

Seleaplicalahomoteciak=− 12,resultandoelpunto(-1,-2)

Sesumaelcentro:(-1,-2)+(2,2)=(1,0)


• Sub-unidad:Isometrías


• Clave:C

________________________________________________________________________________________________________

47

43. ¿Cuáleseláreade la figuraadjunta, siestá formadapor4romboscongruentescuya

diagonalmayormide24cmycuyosladosmiden13cmcadauno?

A) 340cm2

B) 170cm2

C) 130cm2

D) 480cm2

Resolución:

Siladiagonalmayordelrombomide24cm,ysulado13cm,suotradiagonalmide

10cm,aplicandoteoremadePitágoras.

Eláreadecadarombomide:nq·f{n

= 120cmn

Comoson4romboscongruentes,eláreadelafiguraes480cm2


• Sub-unidad:Semejanza.


• Clave:D

________________________________________________________________________________________________________

48

44. LospentágonosPyQde la figuraadjunta son semejantesdemanera talque sus

ladosestánenrazón4:1respectivamente,entoncesessiempreverdaderoque:

I. Losángulosdelospentágonosestánesrazón4:1

II. Losperímetrosdelospentágonosestánenrazón4:1

III. Lasáreasdelospentágonosestánenrazón16:1

A) SóloIB) SóloIyIIC) SóloIyIIID) SóloIIyIIIE) I,IIyIIIResolución:

Sabiendoquelosladosdelospentágonosestánenrazón4:1,setieneque:

IFalso.Losángulosdelospentágonostienenlamismamedida.

II Verdadero. Los perímetros de los pentágonos están en razón 4 : 1, ya que se

mantienelarazóndeloslados.

IIIVerdadero.Lasáreasdelospentágonosestánenrazón16:1,queeslarazónde

losladosalcuadrado.


• Sub-unidad:Geometríaproporcional


• Clave:D

P Q

________________________________________________________________________________________________________

49

45. En la figura adjunta se muestran 2 semicircunferencias de centros O y P

respectivamente.SiAC=36cmyAB=4BP,¿cuáleseláreadelafigura?

A) 45πcm2

B) 90πcm2

C) 135πcm2

D) 180πcm2

E) 360πcm2

Resolución:

SiAC=36cmyAB=4BP,alllamarxalradioBP,setieneque:

BP=x=>BC=2x

AB=4x

Portanto:6x=36=>x=6cm.

Teniendoencuentaqueeláreademediacircunferenciaes:

π · radion

2

Eláreadelafiguraserá:π2 (12

n + 6n)

π2 144 + 36 =

π2 180 = 90πcmn



• Habilidadcognitiva:Resolucióndeproblemas.

• Clave:B

A B P

O C

________________________________________________________________________________________________________

50

46. ElpolígonoPeslaimagenhomotéticadelpolígonoQ.Silarazónentrelasáreasde

lospolígonosesPyQes25:4,entonceslarazóndehomoteciaes:

A) qx

B) xn

C) nx

D) xq

Resolución:

ComolarazóndelasáreasentrePyQes25:4,lafiguraseamplía,ycomolarazónde

lasáreaseslarazóndelosladosalcuadrado,larazóndehomoteciaes5:2.


• Sub-unidad:Homotecia.


• Clave:B

________________________________________________________________________________________________________

51

47. ¿Cuálde las siguientesafirmacioneseso sonverdaderas respectode los rectángulos

ABCDyPQRSdelafiguraadjunta?

I. DiagonalPR–DiagonalAC=16cm

II. ÁreaPQRS=5·(ÁreaABCD)

III. �¥�í�¥��¦��§¨�¥�í�¥��¦�~©|

= fo

A) SoloI

B) SoloIII

C) SoloIyII

D) SoloIIyIII

E) I,IIyIII

Resolución:

I.Verdadera,aplicandoelteoremadePitágoras,PRmide26cmyACmide10cm,porlo

quesudiferenciaes16cm.

II.Verdadera,EláreaPQRSes240cm2yeláreaABCDmide48cm2.

III.Falso,larazónentresusperímetroses28:68=7:17


• Sub-unidad:Geometríaproporcional


• Clave:C

D

A B8cm

6cm

24cm

10cm

S

P

R

Q

C

________________________________________________________________________________________________________

52

48. Unmapaestáhechoenlaescala1:10.000.Enelmapa,ciertareservaforestalocupauna

regiónrectangularde10cmpor100cm.¿Cuáleseláreadelareservaforestalenkm2?

A) 1

B) 10

C) 100

D) 1.000

E) 1.000.000

Resolución:

Laconversióndelasmedidasdelmapaakmserá:

10cm=0,0001km

100cm=0,001km

Aplicandolarazón1:10.000,queda;

0,0001km=>1km

0,001km=>10km

Eláreaserá10km2


• Sub-unidad:Modeloaescala.


• Clave:B

________________________________________________________________________________________________________

53

49. En el rectángulo ABCD de la figura adjunta, AE = EB = BC. La razón entre el área

achuradayeláreablancaes:

A) 1:2

B) 1:3

C) 1:4

D) 2:3

E) 3:4

Resolución:

AlserEelpuntomediodelabase,eláreadeltriánguloAECesuncuartodeláreatotal,

porloquelarazónentreeláreadeltriánguloyeláreablancaes1:3.




• Clave:B

A B

D C

E

________________________________________________________________________________________________________

54

50. SepuededeterminareláreadeltrapecioABCDdelafiguraadjunta,siseconoce:

(1)EláreadelcuadradoAECDes16cm2.

(2)Lamedianadeltrapecio,paralelaaAB,mide6cm.

A) (1)porsísola

B) (2)porsísola




Resolución:

(1)Insuficiente.EláreadelcuadradoAECDes16cm2.Noessuficiente,yaque

sólosepuedeasegurarqueelladodelcuadradoes4.

(2)Insuficiente.Lamedianadeltrapecio,paralelaaAB,mide6cm,faltalaaltura

Ambasjuntas,(1)y(2).Conestoessuficienteyaqueseaseguraquelamedianamide6

cmylaalturamide4cm,porloqueeláreamide24cm2.


• Sub-unidad:Perímetro.


• Clave:C

A E B

CD

________________________________________________________________________________________________________

55

51. Lamediadeungrupode5datoses12.Silamodadeestosdatoses14ylamediana

es13.¿Cuáleselvalordelmayorrangoposibleparaesteconjunto,sisesabequelos

datossonnúmerosenteros?

A) 7

B) 6

C) 5

D) 4

E) Nosepuededeterminar

Resolución:

Sesabequelamedianadelos5datoses13yquelamodaes14,portanto,sepuede

expresarqueelconjuntocomosigue:{x,y,13,14,14}

Sabiendoademásquelamediadelos5datoses12,setieneque:

x + y + 13 + 14 + 14

5 = 12

41+x+y=60

Porloquex+y=19.

Comolosnúmerosdebenserenteros,distintosentresíymenoresa13,losvaloresque

cumplenpodránser7y12;8y11ó9y10;dóndedetodosellos,seobtendráelmayor

rangoconsiderandoaldatomáspequeñoentreellos,esdecir,conel7,porlotanto,los

datosparaelmayorrangoserán{7,12,13,14,14}.

Porloqueelrangomayores14–7=7.

• Unidad:ProbabilidadyEstadística.

• Sub-unidad:Estadística.


• Clave:A

________________________________________________________________________________________________________

56

52. ¿Cuál de las siguientes alternativas presenta la media aritmética (promedio) de los

números2, 99y2, 5?

A) 2, 5

B) 2, 6

C) 2,7

D) 2, 7

Resolución:

Parahallarlamediaaritmética(promedio)delosnúmeros2, 99y2, 5,setransformarán

afracción:

2, 99 = 3

2, 5 =25 − 29 =

239

Porloquelamediaserá:

3 +2392 =

5092 =

259 = 2, 7




• Clave:D

________________________________________________________________________________________________________

57

53. Lasemanapasada,MartinarindióuntestdiariamentedeLunesaViernes.Sieneltest

del lunesobtuvoNpuntosyen losdíassiguientesencadatestquerindióobtuvo40

puntosmenosqueel rendidoeldía inmediatamenteanterior. ¿Cuálde las siguientes

expresionesrepresentaelpromedio(mediaaritmética)delospuntajesobtenidosenlos

testdelasemanapasada?

A) N–80

B) N–100

C) N–120

D) N–150

Resolución:

Lunes:N

Martes:N–40

Miércoles:N–80

Jueves:N–120

Viernes:N–160

Lasumatotalserá:5N–400,quealdividiren5resulta:N–80

• Unidad:ProbabilidadyEstadística



• Clave:A

________________________________________________________________________________________________________

58

54. Enlalistadenúmeros,7,3,8,x,11,4y13,lamedianaes8.Deacuerdoaesto,¿cuálde

lossiguientesNOpuedeservalordex?

A) 6

B) 8

C) 10

D) 13

E) 18

Resolución:

Alordenarlosdatosdelalista,sinconsiderarx,queda:

3,4,7,8,11,13.

Comolamedianaes8,estedebeserelvalorcentral,porloquex≥8.

Dadoloanterior,xnopuedeser6.




• Clave:A

________________________________________________________________________________________________________

59

55. En la tabla adjunta, los datos están ordenados en forma creciente, donde la media

aritméticaes50yelrangoes35.¿Cuáleselvalordep+2q?

A) 53B) 56C) 64D) 68

Resolución:

Sabiendoqueelrango,valormáximomenoselvalormínimoes35,setienequep=60.Luego,comolamediaes50,sepuedeexpresar:

25q + 40 · 5 + 60 · 1015 + q = 50

25q + 80015 + q = 50

25q+800=750+50q

50=25q

q=2

Porloquep+2q=60+4=64




• Clave:C

x Frecuencia

25 q

40 5

p 10

________________________________________________________________________________________________________

60

56. SeaAunvalordentrodeunconjuntodedatosnuméricos.SisesabequeAeselpercentil

86deesteconjuntodedatos.Escorrectoafirmarque:

A) Aesmayoralamediadelconjunto.B) Aesmayorqueeloctavodecildelamuestra.C) Existen14datosmayoresaAenelconjunto.D) Apuedesermenorqueelnovenodecildelamuestra.E) Ningunadelasanteriores

Resolución:

SabiendoqueAeselpercentil86deesteconjuntodedatos:

A)Falso,Aesmayoroigualalamediadelconjunto.B)Falso,Aesmenoroigualqueeloctavodecildelamuestra.C)Falso,nosesabecuantosdatoshay.D)Verdadero,Apuedesermenorqueelnovenodecildelamuestra.




• Clave:D

________________________________________________________________________________________________________

61

57. Eneldiagramadecajaybigotesadjuntoseindicalaedaddeciertogrupodepersonas,dondeelprimercuartiles40años,elsegundocuartilesxañosyeltercercuartiles60años.¿Cuáldelassiguientesafirmacionesessiempreverdadera?

A) xes55años.

B) xes50años.

C) Enestamuestraalmenosunapersonatiene50años.

D) Lamuestraconsideraalmenos5personas.

E) Elrangointercuartiles60años.

Resolución:

A)Falso,nosepuedeasegurar.

B)Falso,nosepuedeasegurar.

C)Falso,nosepuedeasegurar

D)Verdadero,sisonmenosde5nosepuedeaplicarcuartilesparaestudiarlamuestra.

E)Falso,elrangointercuartiles20




• Clave:D

20 80

60x40

________________________________________________________________________________________________________

62

58. Enlaecuacióndeprimergrado(2a–4)x+a=2,sielcoeficienteaesescogidoalazar

entreloselementos{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},¿cuáleslaprobabilidaddequelaecuación

tengainfinitassoluciones?

A) 10%

B) 30%

C) 50%

D) 90%

E) 100%

Resolución:

Paraquelaecuacióntengainfinitassoluciones,a=2.

Conellolaprobabilidadesdeun10%


• Sub-unidad:Probabilidad.


• Clave:A

________________________________________________________________________________________________________

63

59. Mariotiene4tarjetasconlasletrasA,P,LyO.Sialazarcolocasobreunamesalascuatro

tarjetasenunafila,¿cuáleslaprobabilidadquedeizquierdaaderechaselealapalabra

PALO?

A) xnq

B) nfn

C) fo

D) fp

E) fnq

Resolución:

SedebeconsiderarquelaprimeraletradebeserP,lacualtieneunaprobabilidaddefq

LasegundaletradebeserA,lacualtieneunaprobabilidaddefo

LaterceraletradebeserL,quetieneprobabilidaddefn.

LacuartaletradebeserO,quetieneprobabilidadde1.

Finalmente,laprobabilidadserá:14 ·13 ·12 · 1 =

124

Porotro lado,sepuedeconsiderartamién,queel totaldecasosserá4!ydeesos

casos solo es favorable 1, cuando efectivamente dice PALO, por lo tanto, la

probabilidadserá1/24.




• Clave:E

________________________________________________________________________________________________________

64

60. Enunestuchehaysolamente5 lápicesdecolorrojo,4decolorazuly6decolor

negro.Siseextraen3lápices,unotrasotrosinreposición,¿cuáleslaprobabilidad

queestosseandelmismocolor?

A) 3· xfx· qfq· ofo

B) xfx+ q

fq+ o

fo+ q

fx+ o

fq+ n

fo+ p

fx+ x

fq+ q

fo

C) xfx· qfq· ofo· qfx· ofq· nfo· pfx· xfq· qfo

D) xfx· qfq· ofo+ q

fx· ofq· nfo+ p

fx· xfq· qfo

Resolución:

Loslápicesextraídospuedenser:

Todosrojas:515 ·

414 ·

313

Otodosazules:415 ·

314 ·

213

Otodosnegros:615 ·

514 ·

413

Portantoqueda:515 ·

414 ·

313 +

415 ·

314 ·

213 +

615 ·

514 ·

413




• Clave:D

________________________________________________________________________________________________________

65

61. Ochoprocesosjudicialesdistintosdebenserdistribuidosentretresjueces,demodoque

el primer juez reciba 4 juicios, los otros dos jueces reciban 2 cada uno. ¿De cuántas

manerasesposiblehacerestadistribución?

A) De124maneras

B) De250maneras

C) De380maneras

D) De400maneras

E) De420maneras

Resolución:

Elprimerjuezrecibe4delos8casos,estoes: 84 = 70

Elsegundojuezrecibe2delos4casosrestantes,estoes: 42 = 6

Eltercerjuezrecibe2delos2casosrestantes,estoes: 22 = 1

Almultiplicarlosvaloresparaestablecerlacombinacióntotalresulta420

maneras.


• Sub-unidad:Técnicasdeconteo


• Clave:E

________________________________________________________________________________________________________

66

62. ElprofesorMarcelolepideasusdosestudiantesqueescribanenunpapel,almismo

tiempo, una letra de su nombre,MARCELO. ¿Cuál es la probabilidad que escriban la

mismaletra?

A) fq�

B) nq�

C) f¤

D) n¤

Resolución:

La letra que escriba el primero de los estudiantes no es importante, puede ser

cualquiera,loimportanteseráqueelotroestudianteescribalamismaletra.

Porloquelaprobabilidadserá:17




• Clave:C

________________________________________________________________________________________________________

67

63. ¿Cuántaspalabrasde3letrasentotal,consentidoosinél,quecomiencenconuna

vocalyterminenenunaconsonante,sepuedenformarconlasletrasdelapalabra

PERMISO,silasletrasnosepuedenrepetir?

A) 3!

B) 5!

C) 6!

D) 60

E) 120

Resolución:

ComolapalabraPERMISOnotieneletrasrepetidas,sehaceuncálculodirecto,

entendiendoquelaspalabrasdebencomenzarconunavocalyterminarenuna

consonante:

3·5·4=60


• Sub-unidad:Técnicasdeconteo


• Clave:D

________________________________________________________________________________________________________

68

64. Siallanzar2dadosnormales,laprobabilidaddeobtenerunasumaiguala4puntoses

A,ladeobtenerunasumade6puntosesByladeobtenerunasumade9puntosesC,

entonces¿cuáldelassiguientesrelacionesesverdadera?

A) A<B=C

B) A=B<C

C) A=C<B

D) A<B<C

E) A<C<B

Resolución:

Laprobabilidaddeobtenerunasumaiguala4puntoses:

A = 336

Ladeobtenerunasumade6puntoses:

B = 536

Ladeobtenerunasumade9puntoses:

C = 436

Porloque:A<C<B




• Clave:E

________________________________________________________________________________________________________

69

65. Siselanzaundadocargado,sepuededeterminarlaprobabilidaddeobtenerelnúmero

3,si:

(1) Laprobabilidaddeobtenercadanúmeroparesuncuartodelaprobabilidadde

quesalgacadanúmeroimpar.

(2) Laprobabilidaddenoobtenerel3esfffx.

A) (1)porsísola

B) (2)porsísola




Resolución:

(1)Suficiente.Seconcluyequelaprobabilidaddeobtenerunimparesfnfx,porlotanto,

ladeobtener3esqfx

(2)Suficiente.Sepuedeconcluirquelaprobabilidaddeobtenerel3esqfx


• Sub-unidad:Probabilidades.


• Clave:D

solucionario ensayo op3

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