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Unidad 8. Geometría analítica

PÁGINA 181

62 Representa gráficamente los siguientes recintos:

a) °¢£

–1 Ì x Ì 4y Ó 0

b) °¢£x – y Ì 0x Ì 3

c) °§¢§£

x2 + y2 Ì 9y Ó 0x Ì 0

d) °§¢§£

x Ì 0–5 Ì y Ì 05x – 2y Ó –10

a) b)

X–1 4

Y

y = x

x = 3Y

X

c) d)

Y

y Ó 0

x Ì 0

X

x2 + y2 = 9

y Ó –5

y Ì 0

Y

X

5x –

2y =

–10

x Ì 0

■ Problemas “+”

63 Observa la figura adjunta:Parece un trapecio, ¿verdad? Comprueba si realmente lo es. Si no lo es, rectifica las coordenadas del punto D para que sí lo sea.

A(–3, –2)

B(–2, 3) D(12, 3)

C(3, 5)

Veamos si Ä8

BC es paralelo a Ä8

AD :Ä8

BC (5, 2)Ä8

AD (15, 5)//(3, 1)°¢£ 5

3 ? 2

1 8 ABCD no es un trapecio.

Rectificamos el punto D para que Ä8

BC y Ä8

AD sean paralelos. Tomamos D (a, b ):Ä8

BC (5, 2)Ä8

AD (a + 3, b + 2)°¢£ 5a + 3

= 2b + 2

Si, por ejemplo, mantenemos la primera coordenada de D (12, b ):5

12 + 3 = 2

b + 2 8 5b + 10 = 30 8 b = 4

Podemos tomar D (12, 4) (también es válido D (7, 2)).

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64 Halla un punto de la bisectriz del primer cuadrante que diste 5 unidades del punto (8, 7).

Un punto de la bisectriz del primer cuadrante es de la forma (a, a), con a Ó 0.

dist = √(8 – a)2 + (7 – a)2 = 5 8 a2 + 64 – 16a + a2 + 49 – 14a = 25 8

8 2a2 – 30a + 88 = 0 8 a2 – 15a + 44 = 0 8

8 a = 15 ± √225 – 1762

= 15 ± √492

= 15 ± 72

114

Hay dos soluciones: P (4, 4), Q (11, 11).

65 La recta y = 2x + 1 es la mediatriz de un segmento que tiene un extremo en el punto A(–6, 4). Halla las coordenadas del otro extremo.

Sea B el otro extremo del segmento.

La pendiente de la mediatriz es m = 2.

La recta que contiene a AB tiene pendiente – 12

y pasa por A (–6, 4):

r : y = 4 – 12

(x + 6) 8 2y = 8 – x – 6 8 x + 2y – 2 = 0

El punto de corte de la mediatriz con esta recta r será el punto medio de AB. Lo cal-culamos:

x + 2y = 0y = 2x + 1

°¢£ x + 4x + 2 – 2 = 0 88 5x = 0 8 x = 0

x = 0 8 y = 1; M (0, 1)

A (–6, 4), B (a, b ), M (0, 1)

(–6 + a2

, 4 + b2 ) = (0, 1)

–6 + a = 0 8 a = 64 + b = 2 8 b = –2

El otro extremo del segmento es B (6, –2).

B

A

M

Y

X

y = 2x + 1

66 Tenemos una parcela irregular representada en unos ejes de coordenadas como indica la siguiente figura:Queremos dividirla en dos partes de igual área mediante una recta que pase por el origen de coordenadas. ¿Cuál será la ecuación de esa recta?

4

5

Área parcela = 17 u2

Área trapecio = 5 + b2

· 3 = 172

8 b = 23

4

5

r

P

b

Coordenadas del punto P: (5 – 23

, 3) = (133

, 3)Ecuación de r : m = 3

13/3 = 9

13; y = mx 8 y = 9

13x

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■ Re� exiona sobre la teoría

67 De las siguientes expresiones, indica cuáles son verdaderas:

a) Dos vectores con distinta dirección no se pueden sumar.

b) Dos vectores opuestos tienen igual dirección.

c) Si 8

u = k8

v y k es negativo, entonces 8

u y 8

v tienen distinta dirección.

d) Si 8

u = –8

v, entonces 8

u y 8

v tienen igual módulo.

a) : se pueden sumar vectores de la misma o de distinta dirección.b) : –8

u = (–1) · 8

uc) : tienen la misma dirección y sentidos contrarios.d) .

68 Dibuja un vector que sumado con 8

u nos dé el vector 8

v y di cuáles son sus coordenadas. 8v

8u

El vector que sumado con 8

u nos da 8

v es 8

w; sus coordenadas son (–7, 0).

8v8w

8u

69 Si dos rectas r1 y r2 son perpendiculares, ¿cuál de estas condiciones cumplirán sus pendientes?

a) m1 = 1m2

b) m1 = –m2 c) m1 · m2 = –1 d) m1 + m2 = –1

La c), m1 · m2 = –1, que equivale a m1 = – 1m2

.

70 Sabes que la expresión ax + by + c = 0 es la ecuación de una recta. Di cómo es la recta en los siguientes casos:

a) a = 0 b) b = 0 c) c = 0 d) a = 0, c = 0

a) by + c = 0 es paralela al eje OX.b) ax + c = 0 es paralela al eje OY.c) ax + by = 0 es una recta que pasa por el origen de coordenadas, (0, 0).d) by = 0 8 y = 0. Es el eje OX.

71 ¿Cuál de las rectas r : y = 3x + 1, s : y = – 13

x, t : y + 3x = 0 es perpendicular a

y = 13

x + 1?

La pendiente de y = 13x + 1 es m = 1

3.

La pendiente de una recta perpendicular a ella debe ser –3.

t : y + 3x = 0 es perpendicular a la recta y = 13x + 1.

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72 ¿Cuál de estas dos ecuaciones

x2 + (y + 1)2 = 49

x2 + y2 + 25 = 0

representa una circunferencia? Di su centro y su radio.

x2 + (y + 1)2 = 49

representa una circunferencia.

Su centro es el punto (0, –1), y su radio, 23

.

73 ¿Cuál de estas expresiones nos da la distancia entre P(x1, y1) y Q(x2, y2)?

a) (x2 – x1) + (y2 – y1) b) √(x2 + x1)2 – (y2 + y1)2

c) √(x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 d) |x2 – x1| + |y2 – y1|

La c), √(x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 .

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