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Soluciones a “Ejercicios y problemas”Soluciones a “Ejercicios y problemas”6

Unidad 6. Sistemas de ecuaciones

PÁGINA 121

■ Practica

Solución de un sistema de ecuaciones

1 Comprueba si x = 2, y = –1 es solución de los siguientes sistemas de ecuacio-nes:

a) °¢£

2x – y = –4 5x + y = –10

b) °¢£

3x – 4y = 10 4x + 3y = 5

a) °¢£

2x – y = –4 5x + y = –10

8 °¢£

2 · 2 – (–1) = 5 ? –45 · 2 – 1 = 9 ? –10

8 No es solución.

b) °¢£

3x – 4y = 10 4x + 3y = 5

8 °¢£

3 · 2 – 4(–1) = 104 · 2 + 3(–1) = 5

8 Sí es solución de este sistema.

2 Completa los siguientes sistemas de ecuaciones para que ambos tengan la solu-ción x = 3, y = –1/2:

a) °¢£

3x + 2y = … x – 4y = …

b) °§¢§£

x2

+ y = …

x – y = …

a) °¢£

3x + 2y = … x – 4y = …

8

°§¢§£

3 · 3 + 2 (– 12 ) = 9 – 1 = 8

3 – 4 (– 12 ) = 3 + 2 = 5

8 °¢£

3x + 2y = 8 x – 4y = 5

b) °§¢§£

x2

+ y = …

x – y = … 8

°§¢§£

32

– 12

= 1

3 + 12

= 72

8

°§¢§£

x2

+ y = 1

x – y = 72

3 a) Busca dos soluciones de la ecuación 3x – y = 1.

b) Representa gráficamente la recta 3x – y = 1.

c) Un punto cualquiera de la recta, ¿es solución de la ecuación?

a) 3x – y = 1

Si x = 1: 3 · 1 – y = 1 8 y = 2

Si x = 0: 3 · 0 – y = 1 8 y = –1

Pág. 1



b)

X

Y

(1, 2)1

1 2 3 4

2

(0, –1)

c) Todos los puntos de la recta son soluciones de la ecuación.

4 a) Representa gráficamente en los mismos ejes las dos rectas siguientes:

2x + y = 3 x – y = 3

b) Di cuál es la solución de este sistema:

°¢£

2x + y = 3 x – y = 3

c) Di si son equivalentes los sistemas:

S : °¢£

2x + y = 3 x – y = 3

S' : °¢£

y + 1 = 0 3x – 4y = 10

a) 2x + y = 3 x – y = 3

x 0 1

y 3 1

x 0 1

y –3 –2

X

Y

–1

2

(2, –1)

2x + y = 3x – y = 3

b) 2x + y = 3 x – y = 3

°¢£

La solución del sistema es x = 2, y = –1, que corresponde al punto de corte de am-bas rectas.

c) Por el apartado anterior, sabemos que la solución de S es x = 2, y = –1. Probemos si es solución del segundo:

°¢£

–1 + 1 = 03 · 2 – 4 · (–1) = 10

8 es solución.

Por tanto, S y S' son equivalentes.

Resolución de sistemas de ecuaciones

5 Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) °¢£

3x – y = 1 x + 2y = 5

b) °¢£

3x – y = 0 3x + y = –6

c) °¢£

x + 3y = –5 2x – y = 4

d) °¢£

2x – 3y = –4 x + 8y = –2

Pág. 2



a) °¢£

3x – y = 1 x + 2y = 5

3x – y = 1 x + 2y = 5

x 0 1

y –1 2

x 1 –1

y 2 3 X

Y

–1

23

1

P(1, 2)

Solución: x = 1, y = 2

b) °¢£

3x – y = 0 3x + y = –6

3x – y = 0 3x + y = –6

x 0 1

y 0 3

x 0 –2

y – 6 0

X

Y

1

1

P(–1, –3)

Solución: x = –1, y = –3

c) °¢£

x + 3y = –5 2x – y = 4

x + 3y = –5 2x – y = 4

x 1 –2

y –2 –1

x 0 1

y – 4 –2

X

Y

1

1

–2 P(1, –2)

Solución: x = 1, y = –2

d) °¢£

2x – 3y = –4 x + 8y = –2

2x – 3y = –4 x + 8y = –2

x 1 –2

y 2 0

x 6 –2

y –1 0

X

Y

2–2 64

2

–2

Solución: x = –2, y = 0

6 Resuelve por sustitución.

a) °¢£

x + 3y = 0 2x + y = –5

b) °¢£

8x – 3y = –25 x – 5y = –17

c) °¢£

7x – y = –6 4x + 3y = 3

d) °¢£

2x + 16 = 2y 2y – 3x = 16

a) x + 3y = 0 2x + y = –5

°¢£ x = –3y2(–3y) + y = –5 8

8 –6y + y = –5 8 –5y = –5 8 y = 1 8 x = –3 · 1 = –3


Pág. 3



b) 8x – 3y = –25 x – 5y = –17

°¢£ 8

8 x = –17 + 5y 8 8(–17 + 5y) – 3y = –25 8 –136 + 40y – 3y = –25 8

8 37y = 111 8 y = 3 8 x = –17 + 15 = –2


c) 7x – y = –6 4x + 3y = 3

°¢£

7x + 6 = y 4x + 3(7x + 6) = 3 8 4x + 21x + 18 = 3 8

8 25x = –15 8 x = –1525

= – 35

8 y = 7(– 35

+ 6) = 95

Solución: x = – 35

, y = 95

d) 2x + 16 = 2y 2y – 3x = 16

°¢£ y = 2x + 16

2 = x + 8

2(x + 8) – 3x = 16 8

8 2x + 16 – 3x = 16 8 –x = 0 8 x = 0 8 y = 8


7 Resuelve por igualación.

a) °¢£

x = 4 x – y = 6

b) °¢£

x + 3y = –4 x – 2y = 6

c) °¢£

y = 6x 7x = 2y – 5

d) °¢£

3x – 4y = –4 2x + y = –1

a) x = 4 x – y = 6

°¢£ x = 4x = 6 + y

°¢£ 8 6 + y = 4 8 y = –2


b) x + 3y = –4 x – 2y = 6

°¢£ x = – 4 – 3yx = 6 + 2y

°¢£ 8 –4 – 3y = 6 + 2y 8 –4 – 6 = 5y 8

8 y = –2 8 x = –4 – 3(–2) = 2


c) y = 6x 7x = 2y – 5

°¢£ y = 6x

y = 7x + 52

°§¢§£

8 6x = 7x + 52

8 12x = 7x + 5 8 5x = 5 8

8 x = 1 8 y = 6 · 1 = 6


Pág. 4



d) 3x – 4y = –4 2x + y = –1

°¢£ y = 3x + 4

4y = –1 – 2x

°§¢§£

8 3x + 44

= –1 – 2x 8 3x + 4 = –4 – 8x 8

8 11x = –8 8 x = –811

8

8 y = –1 – 2( –811 ) = 5

11

Solución: x = –811

, y = 511

8 Resuelve por reducción.

a) °¢£

x + y = 0 x – y = 2

b) °¢£

3x – y = 0 3x + y = –6

c) °¢£

4x – 3y = 2 2x + y = –4

d) °¢£

x + 2y = 1 3x – y = 7

e) °¢£

x – 3y = 1 3x + 6y = 2

f ) °¢£

3x + 2y = 3 x + y = 7/6

a) x + y = 0 x – y = 2

°¢£

2x = 2 8 x = 1, y = –1


b) 3x – y = 0 3x + y = –6

°¢£

6x = –6 8 x = –1, y = –3


c) 4x – 3y = 2 2x + y = –4

°¢£ 4x – 3y = 2 6x + 3y = –12

°¢£

10x = –10 8 x = –1 8 2(–1) + y = –4 8 y = –2


d) x + 2y = 1 3x – y = 7

°¢£ x + 2y = 1 6x – 2y = 14

°¢£ 8 7x = 15 8 x = 15

7 8 15

7 + 2y = 1 8

8 y = 1 – 15/72

= – 47

Solución: x = 157

, y = – 47

e) x – 3y = 1 3x + 6y = 2

°¢£ 2x – 6y = 2 3x + 6y = 2

°¢£ 8 5x = 4 8 x = 4

5 8 4

5 – 3y = 1 8

8 y = 4/5 – 13

= – 115

Solución: x = 45

, y = – 115

Pág. 5



f ) 3x + 2y = 3 x + y = 7/6

°¢£ 3x + 2y = 3–2x – 2y = –14/6

°¢£ 8 x = 3 – 14

6 = 2

3 8 2

3 + y = 7

6 8

8 y = 76

– 23

= 12

Solución: x = 23

, y = 12

9 Resuelve estos sistemas por el método que consideres más adecuado:

a) °¢£

x – y = 1 4x – 3y = 8

b) °¢£

3x = 1 + y3 + 2y = 10x

c) °¢£

2x + 5y = –1 4x – 3y = –2

d) °¢£

3x – 2y = 2 x + 4y = –5/3

a) x – y = 1 4x – 3y = 8

°¢£ Por sustitución: °¢

£x = 1 + y4(1 + y) – 3y = 8 8

8 4 + 4y – 3y = 8 8 y = 4 8 x = 1 + 4 = 5


b) 3x = 1 + y3 + 2y = 10x

°¢£ Por sustitución: °¢

£y = 3x – 13 + 2(3x – 1) = 10x 8

8 3 + 6x – 2 = 10x 8 1 = 4x 8 x = 14

8 y = 3 · 14

– 1 = – 14

Solución: x = 14

, y = – 14

c) 2x + 5y = –1 4x – 3y = –2

°¢£ Por reducción:

– 4x – 10y = 2 4x – 3y = –2

°¢£ 8

8 –13y = 0 8 y = 0 8 2x + 5 · 0 = –1 8 x = – 12

Solución: x = – 12

, y = 0

d) 3x – 2y = 2 x + 4y = –5/3


6x – 4y = 4 x + 4y = –5/3

°¢£ 8

8 7x = 73

8 x = 13

8 3 · 13

– 2y = 2 8 –2y = 1 8 y = – 12

Solución: x = 13

, y = – 12

Pág. 6



10 Resuelve los sistemas siguientes:

a) °¢£

2x + y = 0 5x – 3 = 9y – 3

b) °¢£

2(3x – 2) = y – 13(x + y) + 2(x – y) = 8

c)

°§¢§£

x3

– y2

= 4

x2

+ y4

= 2 d)

°§¢§£

x + y – 24

= 1

x – 32

y = 5

e)

°§¢§£

2 – x3

+ 3 + y6

= 2

8 – 3x6

– 2 + y9

= 2 f )

°§¢§£

x – 12

+ y + 14

= 1

2x – 12

– 2y + 16

= 1

a) 2x + y = 0 5x – 3 = 9y – 3

°¢£ Por sustitución: y = –2x 8 5x – 3 = 9(–2x) – 3 8

8 5x – 3 = –18x – 3 8 23x = 0 8 x = 0 8 y = –2 · 0 = 0


b) 2(3x – 2) = y – 13(x + y) + 2(x – y) = 8

°¢£ 6x – 4 = y – 13x + 3y + 2x – 2y = 8 8 5x + y = 8

°¢£ 6x – y = 35x + y = 8

°¢£

Por reducción: 11x = 11 8 x = 1 8 6 · 1 – y = 3 8 y = 3


c)

x3

– y2

= 4

x2

+ y4

= 2

°§¢§£

Por reducción: 2x – 3y = 242x + y = 8

°¢£ 2x – 3y = 24–2x – y = –8

°¢£ 8

8 –4y = 16 8 y = –4 8 2x – 3(–4) = 24 8 2x = 12 8 x = 6


d) x + y – 2

4 = 1

x – 32

y = 5

°§¢§£

4x + y – 2 = 42x – 3y = 10

°¢£ 4x + y = 62x – 3y = 10


12x + 3y = 18 2x – 3y = 10

°¢£ 8 14x = 28 8 x = 2 8 2 – 3

2y = 5 8 y = 2 – 5

3/2 = –2


Pág. 7



e)

2 – x3

+ 3 + y6

= 2

8 – 3x6

– 2 + y9

= 2

°§¢§£

8 °¢£

2(2 – x) + 3 + y = 123(8 – 3x) – 2(2 + y) = 36

8

8 °¢£

4 – 2x + 3 + y = 1224 – 9x – 4 – 2y = 36

8 °¢£

–2x + y = 5–9x – 2y = 16

8

8 °¢£

– 4x + 2y = 10–9x – 2y = 16

8 –13x = 26 8 x = –2 8

8 2 – (–2)3

+ 3 + y6

= 2 8 3 + y6

= 2 – 43

8

8 3 + y6

= 23

8 y = 1


f )

x – 12

+ y + 14

= 1

2x – 12

– 2y + 16

= 1

°§¢§£

8 °¢£

2(x – 1) + y + 1 = 43(2x – 1) – (2y + 1) = 6

8

8 °¢£

2x – 2 + y + 1 = 46x – 3 – 2y – 1 = 6

8 °¢£

2x + y = 56x – 2y = 10

8

8 °¢£

4x + 2y = 106x – 2y = 10

8 10x = 20 8 x = 2 8

8 2 – 12

+ y + 14

= 1 8 y + 14

= 12

8 y = 1


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