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Soluciones a “Ejercicios y problemas”Soluciones a “Ejercicios y problemas”7
Unidad 7. Trigonometría
PÁGINA 157
28 Para medir la altura de un árbol, nos situamos a 20 m de su base y observa-mos, desde el suelo, su parte más alta bajo un ángulo de 50°. ¿Cuánto mide el árbol?
tg 50° = h20
8 h = 20 · tg 50° = 23,8 m
20 m50°
h
29 Dos antenas de radio están sujetas al suelo por cables tal co-mo indica la figura. Calcula la longitud de cada uno de los tra-mos de cable y la distancia AE.
B
P C E
D
QA
75 m10
0 m
60° 30°
45°30°
sen 60° = 100AB
8 AB ≈ 115,47 m tg 60° = 100AP
8 AP ≈ 57,74 m
sen 30° = 100BC
8 BC = 200 m tg 30° = 100PC
8 PC ≈ 173,21 m
cos 45° = 75CD
8 CD ≈ 106,07 m tg 45° = CQ75
8 CQ = 75 m
cos 30° = 75DE
8 DE ≈ 86,6 m tg 30° = QE75
8 QE ≈ 43,3 m
AE = 57,74 + 173,21 + 75 + 43,3 = 349,25 m
30 Una escalera, por la que se accede a un túnel, tie-ne la forma y las dimensiones de la figura.Calcula la profundidad del punto B.
sen 30° = x25
8 x = 12,5 m
B
A
30°25 m
30 m
10 m
50° sen 50° = y
30 8 y ≈ 22,98 m
B
A
x
y
30°25 m
30 m
10 m
50° Profundidad: 12,5 + 22,98 = 35,48 m
31 Una señal de peligro en una carretera nos advierte que la pendiente es del 12%. ¿Qué ángulo forma ese tramo de carretera con la horizontal? ¿Cuántos metros hemos descendido después de recorrer 7 km por esa carretera?
12a
100
sen a = 12
100 = 0,12 8 a = 6° 53' 32''
x7 km
6° 58' 34'' sen a = x
7 8 x = 0,12 · 7 = 0,84 km = 840 m
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Unidad 7. Trigonometría
32 Halla:a) La longitud AC.b) El área del triángulo ABC.
☞ Ten en cuenta que AC = AD + DC .
B
D CA
35 cm23 cm
34°53°h
a)
En
ABD, cos 53° = AD23
8 AD ≈ 13,84 cm
En
BDC, cos 34° = DC23
8 DC ≈ 29 cm
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AC ≈ 13,84 + 29 = 42,84 cm
b) Hallamos la altura h en el triángulo ABD:
sen 53° = h23
8 h ≈ 18,37 cm
AABC = AC · h2
= 42,84 · 18,372
≈ 393,49 cm2
33 Halla, en cada triángulo, la altura y el lado desconocido.
a) En el triángulo ABP :
sen 65° = h18
8 h ≈ 16,31 cm
cos 65° = AP18
8 AP ≈ 7,61
P
B
A C65°
h
23 cm
18 cm a
PC = AC – AP = 23 – 7,61 = 15,39
a = √h2 + PC 2 = √16,312 + 15,392 ≈ 22,42 cm
b) En el triángulo ABP :
cos 50° = x17
8 x ≈ 10,93 cm
P
B
A C50°
h17 cm 29 cm
x y sen 50° = h17
8 h ≈ 13,02 cm
En el triángulo BCP : y = √292 – h2 = √292 – 13,022 ≈ 25,91 cm x + y ≈ 36,84 cm
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34 Para medir la distancia entre dos islotes, A y B, cerca de una playa, señala-mos en un punto P, alineado con A y B, y trazamos por P una recta perpendi-cular a AB. Sobre esta línea, nos situamos en un punto Q a 100 m de P y medi-mos los ángulos
PQB = 78° y
PQA = 53°. Calcula la distancia entre los islotes.
En el triángulo PQB 8 tg 78° = PB100
8 PB ≈ 470,5 m
En el triángulo PQA 8 tg 53° = PA100
8 PA ≈ 132,7 m
Distancia AB = 470,5 – 132,7 = 337,8 m53°
78°
100 m
B
P Q
A
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Unidad 7. Trigonometría
35 En un huerto hay un pozo de 1,2 m de ancho. Cuando está vacío vemos, desde el brocal, el borde opuesto del fondo bajo un ángulo de 70° con la horizontal. Cuando el agua sube, vemos el borde opuesto del agua bajo un ángulo de 42°. ¿Cuál es la altura del pozo? ¿Cuánto subió el agua?
En el triángulo PBC 8 tg 70° = PC1,2
8 PC = 3,3 m
En el triángulo PAD 8 tg 42° = PD1,2
8 PD = 1,1 m
Altura del pozo: PC = 3,3 m
Altura del agua: AB = PC – PD = 3,3 – 1,1 = 2,2 m
42°
70°
1,2 mB C
A D
P
36 Desde el lugar donde me encuentro, la visual de la torre forma un ángulo de 32° con la horizontal.
Si me acerco 25 m, el ángulo es de 50°. ¿Cuál es la altura de la torre?
☞ Mira el ejercicio resuelto de la página 151.
50° 32°25 m
tg 32° = h25 + x
tg 50° = hx
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25tg 32° + x tg 32° = hx · tg 50° = h
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25tg 32° + x tg 32° = x tg 50°
25tg 32° = x (tg 50° – tg 32°)
x = 25tg 32°tg 50° – tg 32°
= 27,56 m
La altura de la torre es h = 27,56 · tg 50° = 32,84 m.
37 Un avión se encuentra a una altura de 1 200 metros y el ángulo de observación desde la torre de control del aeropuerto (ángulo que forma la visual hacia el avión con la horizontal) es de 30°. ¿A qué distancia está el avión del pie de la torre si esta mide 40 m de altura?
tg 30° = 1 200 – 40d
8 d = 1 160tg 30°
= 2 009,2 m
Utilizando el teorema de Pitágoras:
D = √(1 200)2 + (2 009,2)2 = 2 340,3 m
d
D1200
m
40 m
30°
La distancia del avión al pie de la torre es de 2 340,3 m.
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Unidad 7. Trigonometría
38 Para calcular la altura del edificio, PQ , hemos medido los ángulos que indica la figura. Sabemos que hay un funicular para ir de S a Q, cuya longitud es de 250 m. Halla PQ.
P
Q
RS
250 m
30°
10°
Calculamos SR y RQ con el triángulo SQR :
cos 30° = SR250
8 SR = 250 · cos 30° ≈ 216,5 m
sen 30° = RQ250
8 RQ = 250 · sen 30° = 125 m
Calculamos RP con el triángulo SPR :
tg 40° = RPSR
8 RP = 216,5 · tg 40° ≈ 181,66 m
Luego, PQ = RP – RQ = 181,66 – 125 = 56,66 m
La altura del edificio es de 56,66 m.
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