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Unidad 7. Trigonometría

PÁGINA 157

28 Para medir la altura de un árbol, nos situamos a 20 m de su base y observa-mos, desde el suelo, su parte más alta bajo un ángulo de 50°. ¿Cuánto mide el árbol?

tg 50° = h20

8 h = 20 · tg 50° = 23,8 m

20 m50°

h

29 Dos antenas de radio están sujetas al suelo por cables tal co-mo indica la figura. Calcula la longitud de cada uno de los tra-mos de cable y la distancia AE.

B

P C E

D

QA

75 m10

0 m

60° 30°

45°30°

sen 60° = 100AB

8 AB ≈ 115,47 m tg 60° = 100AP

8 AP ≈ 57,74 m

sen 30° = 100BC

8 BC = 200 m tg 30° = 100PC

8 PC ≈ 173,21 m

cos 45° = 75CD

8 CD ≈ 106,07 m tg 45° = CQ75

8 CQ = 75 m

cos 30° = 75DE

8 DE ≈ 86,6 m tg 30° = QE75

8 QE ≈ 43,3 m

AE = 57,74 + 173,21 + 75 + 43,3 = 349,25 m

30 Una escalera, por la que se accede a un túnel, tie-ne la forma y las dimensiones de la figura.Calcula la profundidad del punto B.

sen 30° = x25

8 x = 12,5 m

B

A

30°25 m

30 m

10 m

50° sen 50° = y

30 8 y ≈ 22,98 m

B

A

x

y

30°25 m

30 m

10 m

50° Profundidad: 12,5 + 22,98 = 35,48 m

31 Una señal de peligro en una carretera nos advierte que la pendiente es del 12%. ¿Qué ángulo forma ese tramo de carretera con la horizontal? ¿Cuántos metros hemos descendido después de recorrer 7 km por esa carretera?

12a

100

sen a = 12

100 = 0,12 8 a = 6° 53' 32''

x7 km

6° 58' 34'' sen a = x

7 8 x = 0,12 · 7 = 0,84 km = 840 m

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Unidad 7. Trigonometría

32 Halla:a) La longitud AC.b) El área del triángulo ABC.

☞ Ten en cuenta que AC = AD + DC .

B

D CA

35 cm23 cm

34°53°h

a)

En

ABD, cos 53° = AD23

8 AD ≈ 13,84 cm

En

BDC, cos 34° = DC23

8 DC ≈ 29 cm

°§¢§£

AC ≈ 13,84 + 29 = 42,84 cm

b) Hallamos la altura h en el triángulo ABD:

sen 53° = h23

8 h ≈ 18,37 cm

AABC = AC · h2

= 42,84 · 18,372

≈ 393,49 cm2

33 Halla, en cada triángulo, la altura y el lado desconocido.

a) En el triángulo ABP :

sen 65° = h18

8 h ≈ 16,31 cm

cos 65° = AP18

8 AP ≈ 7,61

P

B

A C65°

h

23 cm

18 cm a

PC = AC – AP = 23 – 7,61 = 15,39

a = √h2 + PC 2 = √16,312 + 15,392 ≈ 22,42 cm

b) En el triángulo ABP :

cos 50° = x17

8 x ≈ 10,93 cm

P

B

A C50°

h17 cm 29 cm

x y sen 50° = h17

8 h ≈ 13,02 cm

En el triángulo BCP : y = √292 – h2 = √292 – 13,022 ≈ 25,91 cm x + y ≈ 36,84 cm

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34 Para medir la distancia entre dos islotes, A y B, cerca de una playa, señala-mos en un punto P, alineado con A y B, y trazamos por P una recta perpendi-cular a AB. Sobre esta línea, nos situamos en un punto Q a 100 m de P y medi-mos los ángulos

PQB = 78° y

PQA = 53°. Calcula la distancia entre los islotes.

En el triángulo PQB 8 tg 78° = PB100

8 PB ≈ 470,5 m

En el triángulo PQA 8 tg 53° = PA100

8 PA ≈ 132,7 m

Distancia AB = 470,5 – 132,7 = 337,8 m53°

78°

100 m

B

P Q

A

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Unidad 7. Trigonometría

35 En un huerto hay un pozo de 1,2 m de ancho. Cuando está vacío vemos, desde el brocal, el borde opuesto del fondo bajo un ángulo de 70° con la horizontal. Cuando el agua sube, vemos el borde opuesto del agua bajo un ángulo de 42°. ¿Cuál es la altura del pozo? ¿Cuánto subió el agua?

En el triángulo PBC 8 tg 70° = PC1,2

8 PC = 3,3 m

En el triángulo PAD 8 tg 42° = PD1,2

8 PD = 1,1 m

Altura del pozo: PC = 3,3 m

Altura del agua: AB = PC – PD = 3,3 – 1,1 = 2,2 m

42°

70°

1,2 mB C

A D

P

36 Desde el lugar donde me encuentro, la visual de la torre forma un ángulo de 32° con la horizontal.

Si me acerco 25 m, el ángulo es de 50°. ¿Cuál es la altura de la torre?

☞ Mira el ejercicio resuelto de la página 151.

50° 32°25 m

tg 32° = h25 + x

tg 50° = hx

°§¢§£

25tg 32° + x tg 32° = hx · tg 50° = h

°¢£

25tg 32° + x tg 32° = x tg 50°

25tg 32° = x (tg 50° – tg 32°)

x = 25tg 32°tg 50° – tg 32°

= 27,56 m

La altura de la torre es h = 27,56 · tg 50° = 32,84 m.

37 Un avión se encuentra a una altura de 1 200 metros y el ángulo de observación desde la torre de control del aeropuerto (ángulo que forma la visual hacia el avión con la horizontal) es de 30°. ¿A qué distancia está el avión del pie de la torre si esta mide 40 m de altura?

tg 30° = 1 200 – 40d

8 d = 1 160tg 30°

= 2 009,2 m

Utilizando el teorema de Pitágoras:

D = √(1 200)2 + (2 009,2)2 = 2 340,3 m

d

D1200

m

40 m

30°

La distancia del avión al pie de la torre es de 2 340,3 m.

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Unidad 7. Trigonometría

38 Para calcular la altura del edificio, PQ , hemos medido los ángulos que indica la figura. Sabemos que hay un funicular para ir de S a Q, cuya longitud es de 250 m. Halla PQ.

P

Q

RS

250 m

30°

10°

Calculamos SR y RQ con el triángulo SQR :

cos 30° = SR250

8 SR = 250 · cos 30° ≈ 216,5 m

sen 30° = RQ250

8 RQ = 250 · sen 30° = 125 m

Calculamos RP con el triángulo SPR :

tg 40° = RPSR

8 RP = 216,5 · tg 40° ≈ 181,66 m

Luego, PQ = RP – RQ = 181,66 – 125 = 56,66 m

La altura del edificio es de 56,66 m.

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