Soluciones a los ejercicios, problemas y cuestiones

Unidad 5. Funciones reales de variable real

Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales I

FUNCIONES. EXPRESIÓN ANALÍTICA 1. Dadas las siguientes curvas, determina cuáles de ellas se corresponde con la gráfica de una

función.

SOLUCIÓN:

a) No se trata de la gráfica de una función ya que hay valores de la variable x que tienen dos imágenes. b), c) y d) sí son gráficas de funciones.

2. Determina la expresión analítica de las siguientes funciones: a) Distancia recorrida por una bicicleta en función del número de vueltas dadas por una de sus

ruedas de radio r. b) La altura de un triángulo equilátero en función de la longitud del lado. c) El interés simple anual que produce un capital al 3%. d) Los decímetros cúbicos contenidos en x litros de agua.

SOLUCIÓN:

a) La distancia recorrida al dar una vuelta la rueda de la bicicleta es la longitud de su

circunferencia, rl 2 (en las mismas unidades que el radio). La expresión de la función que

se pide es: nrd 2 , siendo n el número de vueltas dadas por la rueda. b) Sea a la longitud del lado del triángulo. La altura de un triángulo equilátero es a la vez el

cateto de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide a y que tiene a/2 como longitud del otro cateto. La función que se pide es:

.2

3

4

3

42

222

22 aaa

aa

ah

c) Sea C el capital. .03,0

100

103,0C

CI

d) Como un litro de agua equivale a 1 decímetro cúbico, la función es .xy

DOMINIO, RECORRIDO Y GRÁFICA 3. Dibuja en cada apartado la gráfica de una función con las características que se indican:

a) Dominio R, recorrido .1,1

b) Dominio ,0 , recorrido .0, c) Dominio R-{0}, recorrido R-{0}

d) Dominio 3,3 , recorrido R. SOLUCIÓN:

a)

b)

c)

d)

4. Calcula el dominio de las siguientes funciones:

23)3)352

1)

1

2)2)2)

)1(

1)

3

2)53)

2

2

xyiyhxx

xyg

xyfxxyexyd

xxyc

x

xybxxya

SOLUCIÓN:

a) Se trata de una función polinómica, por tanto su dominio es R. b) Función racional. Tenemos que excluir del dominio los puntos que anulen el denominador.

Dominio: R-{3} c) Función racional. Dominio: R-{0, 1}

d) Para poder calcular la raíz cuadrada, .202 xx Dominio: .,2

e) Dominio: ,0

f) Dominio: .,11,0 g) Función racional. Excluimos los valores de x que anulan el denominador. Dominio: R-{3,-1/2} h) Dominio: R i) Dominio: R

5. Calcula el dominio y el recorrido de estas funciones:

1)())()

2)()23)()

xxldxhc

xxgbxxfa

SOLUCIÓN:

a) Dom(f)=R, Rec(f)=R b) Dom(g)=R-{0}, Rec(g)=R-{0}

c) Dom(h)=R, Rec(h)= d) Dom(l)= ,1 , Rec(l)= 0,

6. Halla el dominio de las siguientes funciones:

3

32

22

2

5)()2

3)()

65)()4)()

3)()2)()

xxnfxx

xme

xxxldxxhc

xxgbxxfa

SOLUCIÓN:

a) Para poder calcular la raíz cuadrada, 0x . Dom(f)= 0,

b) Dom(g)=R

c) Para poder calcular la raíz cuadrada .022042 xxx Dom(h)= ,22,

d) Resolvemos la inecuación .0230652 xxxx Dom(l)= ,32,

e) La función viene definida mediante un cociente y en el denominador aparece una raíz

cuadrada. Dom(m)=

2

1,00,

f) Se trata de una raíz con índice impar. Dom(f)=R

CARACTERÍSTICAS GENERALES 7. Analiza con una tabla de valores si las siguientes funciones son crecientes o decrecientes en el

intervalo que se indica para cada una de ellas: a) 1,2,13)( xxf b) 0,1,13)( 2 xxxg

c) 1,0,2)( 3 xxxh d) 2,1,3)( xxl

SOLUCIÓN: Construiremos en cada apartado una tabla de valores y analizaremos qué ocurre con la variable dependiente al tomar la variable independiente valores cada vez más grandes pero comprendidos en los intervalos que se indican. También construiremos la gráfica de la función en el intervalo dado.

a) La función es creciente en el intervalo:

x f(x)

1,0

4,0

1,1

4,3

1,2

4,6

1,3

4,9

1,4

5,2

1, 5,

5 5

1,6

5,8

1,7

6,1

1,8

6,4

1,9

6,7

2,0

7,0

b) La función es creciente en el intervalo:

x g(x)

-1,0

-1,0

-0,9

-0,9

-0,8

-0,8

-0,7

-0,6

-0,6

-0,4

-0,5

-0,3

-0,4

0,0

-0,3

0,2

-0,2

0,4

-0,1

0,7

0,0

1,0

c) La función crece al comienzo del intervalo y después decrece:

x h(x)

0,00

0,00

0,05

0,05

0,10

0,02

0,20

-0,05

0,30

-0,11

0,40

-0,16

0,50

-0,21

0,60

-0,25

0,70

-0,30

0,80

-0,34

0,90

-0,38

d) La función es creciente en el intervalo:

x l(x)

-1,0

2,0

-0,7

2,3

-0,4

2,6

-0,1

2

,9

0,2

3,2

0,5

3,5

0,8

3,8

1,1

4,1

1,4

4,4

1,7

4,7

2,0

5,0

8. Representa gráficamente la función:

3162

1013

021

)(

xx

xx

xx

xf

Indica los intervalos de crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos. SOLUCIÓN: Es una función definida a trozos. Cada una de las funciones componentes son funciones lineales cuyas gráficas son rectas.

Es creciente en [-2,1) y decreciente en (1,3]. Presenta un máximo en x=1.

9. Fíjate en las gráficas de las siguientes funciones e indica:

a) Dominio de cada una de ellas. b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus máximos y mínimos.

SOLUCIÓN:

a) El dominio de ambas es R.

b) i) La primera es decreciente en 2/1, y en 2/3,0 . Creciente en 0,2/1 y ,2/3 . Tiene

un máximo local en x=0 y mínimos en x=-1/2 y x=3/2, el segundo de los cuales es global. ii) La segunda es creciente en ,2/32/1,02/1, y decreciente en

.2/3,2/10,2/1 Tiene máximos locales en x=-1/2 y x=1/2, y un mínimo local en x=3/2.

10. Indica si las siguientes funciones son pares, impares o ninguna de las dos:

|1|)()1)()

2)()23)()

2

352

xxidxxxhc

xxxxgbxxfa

SOLUCIÓN:

a) )(232)(3)( 22 xfxxxf , por tanto se trata de una función par.

b) )(2)()(2)()( 3535 xfxxxxxxxg , luego g(x) es una función impar.

c) )()(11)()()( 22 xhxhxxxxxh . La función h(x) no es par ni impar.

d) ).()(1)( xlxlxxl La función l(x) no es par ni impar.

11. Indica si las siguientes funciones son pares, impares o ninguna de las dos:

||1)())()3)()13

)()4 2

2

3

xxidx

xxhcxxgb

x

xxxfa

SOLUCIÓN:

a) )(13131)(3

)()()(

2

3

2

3

2

3

xfx

xx

x

xx

x

xxxf

. Se trata de una función impar.

b) ).(33)()(4 24 2 xgxxxg Por tanto g(x) es una función par.

c) )()(

)( xhx

x

x

xxh

. Luego h(x) es una función impar.

d) )(||1|)(|1)( xixxxi . Luego )(xi es una función par.

12. Determina si la siguiente función es par o impar:

02

02)(

xsix

xsixxf

SOLUCIÓN: Si xxxfxx 2)(2)(00

Si xxxfxx 2)(2)(00

)()(02

02)( xfxf

xsix

xsixxf

por tanto la función es par.

Otra forma de verlo es que xxsix

xsixxf 2

02

02)(

en R – {0}, lo que implica que es una función

par.

13. Estudia la simetría respecto del eje de ordenadas de las siguientes funciones:

1)()3)()23)()

2

232

x

xxhcxxxxgbxxxfa

SOLUCIÓN:

Una función es simétrica respecto del eje de ordenadas si cumple )()( xfxf .

)(232)(3)()() 22 xfxxxxxfa . No es simétrica respecto del eje de ordenadas.

)(3)()(3)()() 2323 xgxxxxxxxgb . No es simétrica respecto del eje de

ordenadas.

).(11)(

)()22

xhx

x

x

xxhc

No es simétrica respecto del eje de ordenadas (sí lo es

respecto del origen de coordenadas).

14. Los beneficios de una empresa (en millones de euros) entre 1995 y 2005 vienen dados por la siguiente gráfica:

a) ¿En qué año se obtiene el máximo beneficio? b) ¿Cuáles fueron los años en los que la empresa no obtuvo beneficios? c) ¿A partir de qué año se estabilizan los beneficios?

SOLUCIÓN: El 0 del eje de abscisas se corresponde con el principio del año 1995, el 1 con el principio de 1996, el 2 con 1997 y así sucesivamente.

a) El máximo beneficio se obtiene en el año 2000. b) La gráfica de la función está situada en o por debajo del eje de abscisas en los años 1997,

1998 y 1999. c) A partir del año 2005 (punto 10 del eje X) la gráfica presenta un comportamiento estable.

15. Observando la siguiente gráfica indica el dominio de la función que aparece y los intervalos de

crecimiento y decrecimiento. ¿Presenta máximos y mínimos?

SOLUCIÓN: Su dominio es R. Es creciente en ,4/31, . Es decreciente en 4/3,1 . Presenta un máximo

(local) en x=–1 y un mínimo (local) en x=3/4.

FUNCIONES POLINÓMICAS∫ 16. Representa las siguientes funciones:

a) 13)( xxf b) 2

1

2

3)(

xxg

b) 3)( xh d) 12)( xxl

SOLUCIÓN: Se trata en los cuatro casos de funciones lineales. Sus gráficas son rectas.

a)

b)

c)

d)

17. De una función afín se sabe que 2)3( f y que .3)2( f Escribe su expresión analítica y represéntala gráficamente.

SOLUCIÓN: Su expresión analítica es la correspondiente a una recta que pasa por los puntos A(3,2) y B(2,3). Calculemos la ecuación punto-pendiente de dicha recta.

.532)3(12.11

1

32

23

xyxyxym

18. Escribe la ecuación de las rectas que cumplen:

a) Pasa por los puntos A(-1,2) y B(1,1). b) Tiene de pendiente -2 y pasa por el punto A(1,3).

c) Es paralela a la recta 032 yx y pasa por (-1,1). d) Tiene de ordenada en el origen 1 y su pendiente es 2.

SOLUCIÓN:

a) .2

3

2

1)1(

2

11.

2

1

11

12

xyxym

b) .52)1(23 xyxy

c) La recta 032 yx se puede escribir como: 2

3

xy . Su pendiente es

2

1.

Utilizando esta pendiente la ecuación de la recta que se pide es:

.2

1

2

1)1(

2

11

xyxy

d) Si su ordenada en el origen es 1, pasa por el punto (0,1). La ecuación de la recta pedida es: .12)0(21 xyxy

19. Representa las siguientes funciones (recuerda que se trata de parábolas) e indica dominio,

recorrido, monotonía y extremos.

152)4)

2)2)

22

22

xxydxyc

xxybxxya

SOLUCIÓN: a) Calculamos las coordenadas del vértice y los puntos de corte con los ejes.

.4

9,

2

1

4

92

2

1

4

12

2

1

2

1.

2

12

Vyx vv

Puntos de corte con el eje X: 2,102 212 xxxx .

Los puntos de corte son: A(-1,0), B(2,0). Puntos de corte con el eje Y: C(0,-2).

Dominio: R. Recorrido: ,4/9 .

Es decreciente en 2/1, y creciente en ,2/1 .

b) Calculamos las coordenadas del vértice y los puntos de corte con los ejes.

.1,11121.112

2 2

Vyx vv

Puntos de corte con el eje X: 2,002 212 xxxx . Los puntos de corte son: A(0,0),

B(2,0). Puntos de corte con el eje Y: C(0,0).

Dominio: R. Recorrido: ,1 .

Es decreciente en 1, y creciente en ,1 .

c) Calculamos las coordenadas del vértice y los puntos de corte con los ejes.

.4,0440.012

0Vyx vv

Puntos de corte con el eje X: 2,204 212 xxx . Los puntos de corte son: A(-2,0),

B(2,0). Puntos de corte con el eje Y: C(0,4) Dominio: R. Recorrido: 4,

Es creciente en 0, y decreciente en ,0

d) Calculamos las coordenadas del vértice y los puntos de corte con los ejes.

.8

17,

4

5

8

171

4

25

16

251

4

55

4

5.

4

5

22

52

Vyx vv

Puntos de corte con el eje X: 4

175,

4

1750152 21

2

xxxx . Los puntos de corte

son:

.0,4

75,0,

4

75

BA

Puntos de corte con el eje Y: C(0,1).

Dominio: R. Recorrido: ,8/17

Es creciente en 4/5, y decreciente en ,4/5 .

20. Halla la expresión analítica de la función cuadrática que pasa por los puntos A(-1,2), B(0,1) y C(1,1).

SOLUCIÓN: La expresión general de una función cuadrática es .)( 2 cbxaxxf Como pasa por los puntos A, B y

C las coordenadas de dichos puntos deben verificar la anterior ecuación, luego:

cbacbaf

ccbaf

cbacbaf

111)1(1

100)0(1

2)1()1()1(2

2

2

2

Resolviendo el sistema de ecuaciones

1

1

2

cba

c

cba

se obtiene que 12

1

2

1)(1,2/1,2/1 2 xxxfcba .

21. Dada la función 322 xxy , estudia para qué valores de la variable independiente se

obtienen valores positivos de la variable dependiente.

SOLUCIÓN: Se trata de averiguar qué valores de x hacen que .0322 xx En vez de intentar resolver la inecuación por los métodos algebraicos habituales, calcularemos el vértice de la parábola

322 xxy que nos orientará sobre la posición de dicha parábola.

)2,1(23121;12

2 2 Vyx vv

. El vértice constituye en este caso el punto donde la parábola

alcanza su valor mínimo absoluto (que es 2), luego se obtienen valores positivos de la variable dependiente de la función 322 xxy para cualquier valor de x.

Otra forma de verlo sería constatar que 322 xxy no tiene soluciones reales, y por tanto no corta

al eje de abscisas; luego la parábola está totalmente por encima o totalmente por debajo del eje de abscisas. Como la ordenada en el origen es 3, que es mayor que 0, está totalmente por encima, y todos los valores de la variable dependiente tienen que ser positivos. 22. Halla la función cuadrática que cumple 2)3(,2)1( ff y .1)0( f ¿Cuánto vale )2(f ?

SOLUCIÓN:

La expresión general de una función cuadrática es .)( 2 cbxaxxf A partir de las condiciones del

enunciado construimos el sistema:

c

cba

cba

1

392

2 Sistema cuya solución es: .1;

3

4;

3

1 cba

13

4

3

1)( 2 xxxf .

3

7)2( f

FUNCIONES RACIONALES E IRRACIONALES 23. Calcula el dominio de definición de las siguientes funciones:

55

23)()

23

3)()

23

2

2

xxx

xxxgb

xx

xxfa

SOLUCIÓN: Se trata en ambos casos de funciones racionales. Debemos excluir del dominio los valores de x que anulen el denominador.

a) Resolvemos la ecuación 0232 xx que tiene por soluciones 21 x y .12 x Dom(f)=R-

{1,2}. b) Resolvemos la ecuación de tercer grado factorizando el polinomio:

.0)5)(1)(1(55 23 xxxxxx Las soluciones de la ecuación son: .5,1,1 321 xxx

Dom(g)=R-{-1,1,5}

24. Dibuja las siguientes funciones utilizando en cada caso una tabla de valores:

xyd

xyc

xyb

xya

1)

3)

2)

2)

SOLUCIÓN: Se trata de funciones de proporcionalidad inversa.

x 2/x -2/x 3/x 1/x -4,0 -0,5 0,5 -0,8 -0,3

-3,2 -0,6 0,6 -0,9 -0,3

-2,4 -0,8 0,8 -1,3 -0,4

-1,6 -1,3 1,3 -1,9 -0,6

-0,8 -2,5 2,5 -3,8 -1,3

0,0

0,8 2,5 -2,5 3,8 1,3

1,6 1,3 -1,3 1,9 0,6

2,4 0,8 -0,8 1,3 0,4

3,2 0,6 -0,6 0,9 0,3

4,0 0,5 -0,5 0,8 0,3

25. Calcula el dominio de las siguientes funciones y represéntalas gráficamente:

2

1)

1

12)

12)

x

xyc

x

xyb

x

xya

SOLUCIÓN:

a) Se trata de una función racional. Su dominio es R-{0}.

b) Función racional. Dominio: R-{-1}.

c) Función racional. Dominio: R-{-2}.

26. Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas de las funciones:

3)

2

1)

x

xyb

x

xya

¿De que tipo de función se trata? Estudia su monotonía.

SOLUCIÓN: a) Puntos de corte con el eje X : 0y

.1.0102

1

xx

x

x El punto de corte con el eje X es .0,1

Puntos de corte con el eje Y: 0x

2/102

01

y . El punto de corte con el eje Y es .2/1,0

Se trata de una función racional cuyo dominio es R-{-2}. Es decreciente en todo su dominio.

b) Puntos de corte con el eje X: 0y

.003

xx

x

El punto de corte con el eje X es .0,0

Puntos de corte con el eje Y: 0x

030

0

y . El punto de corte con el eje Y es .0,0

Se trata de una función racional cuyo dominio es R-{-3}. Es creciente en todo su dominio. 27. Calcula el dominio de las siguientes funciones y represéntalas gráficamente:

3)()21)()1)() xxhcxxgbxxfa

SOLUCIÓN:

a) Para poder calcular la raíz cuadrada, .101 xx Dom(f)= ,1

b) Dom(g)= ,2

c) Dom(h)= ,3

28. Halla la expresión analítica de la función de proporcionalidad inversa cuya gráfica pasa por los puntos:

6/1,3()3/2,3)2,1))3/1,9) dcba

SOLUCIÓN:

a) La forma general de una función de proporcionalidad inversa es x

ky . En este caso la

gráfica de la función pasa por el punto (9,1/3) por tanto .3

.33993

1

xykk

k

b) .2

.21

2x

ykk

c) x

ykkk 2

.23633

2

d) .2/1

.2

163

36

1

xykk

k

FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO 29. Dibuja la gráfica de las siguientes funciones:

015,0

015,0)()

12

102

0

)()

2

2

2

xxx

xxxxgb

x

xx

xx

xfa

SOLUCIÓN:

a)

b)

30. Halla el dominio de la siguiente función definida a trozos:

112

111

149

3

)(

2

xx

xx

xx

xf

SOLUCIÓN:

Si x < -4, la función no está definida. Si -4 x -1, la función viene definida por un cociente de funciones. Por tanto, hay que

eliminar del dominio los valores de x que anulen el denominador y estén en el intervalo (-4,-1): -3.

Si -1 < x < 1, la función viene definida por un cociente de funciones, y nuevamente hay que excluir los valores de x que anulen el denominador y estén en el intervalo (-1,1): 0.

Si x=1, la función no está definida, y por tanto hay que excluir el valor 1 del dominio. Si x > 1, la función es polinómica y no hay que eliminar ningún valor del dominio.

Por tanto, ,11,00,33,4)( fDom

31. Escribe la expresión analítica de la siguiente función:

SOLUCIÓN: Se trata de una función definida a trozos. Para 2 x la gráfica de la función es una parábola cuyo vértice se encuentra en el punto (0,-1) y que corta al eje X en los puntos (-1,0) y (1,0). Con estos datos podemos construir la ecuación de dicha parábola, que resulta ser: .12 xy

Para 32 x la gráfica de la función es una recta horizontal de ecuación .4y

Por último para 3x la gráfica de la función es una recta que pasa por los puntos (3,2) y (5,0), cuya

ecuación es .5 xy La expresión analítica de la función es:

xx

x

xx

xf

35

324

21

)(

2

32. Indica el dominio y recorrido de las siguientes funciones y exprésalas como funciones definidas a

trozos:

1

1)()103)()2)()

2

2

xxhcxxxgbxxfa

SOLUCIÓN:

a) Dom(f )= R. Rec(f)= ,0

22

22)(

xsix

xsixxf

b) Dom(g )= R. Rec(g)=

,

4

31 .103)( 2 xxxg

c) Dom(h )= }.1,1{R Rec(h)= ,0

.,11,1

1

)1,1(1

1

)(

2

2

xsix

xsix

xh

33. Expresa como funciones definidas a trozos las siguientes funciones:

2

2)()

12)()

2)())() 22

x

xxid

xxhc

xxgbxxxfa

SOLUCIÓN:

a) 02 xx si .10 x

,10,

1,0)(

2

2

xsixx

xsixxxf

b) 0222 2 xxx si .22 x

,22,2

2,22)(

2

2

xsix

xsixxg

c) Dom(h)=R-{0}. .2

100

1212

xoxsi

x

x

x

2

1,0

12

,2

10,

12

)(

xsix

xsix

xh

d) Dom(i)=R-{2}.

.2,22

2

,22,2

2

)(.,22,02

2

xsix

x

xsix

x

xixsix

x

34. Representa la siguiente función en el intervalo indicado: 4,462 enxxy

SOLUCIÓN: Representamos la parábola 62 xxy en el intervalo [-4,4]. Hallamos primeramente el vértice de

la parábola y los puntos de corte con los ejes de coordenadas.

.4

25,

2

1.

4

256

2

1

2

1;

2

1

2

12

Vyx vv

Puntos de corte con el eje X: .2,360 212 xxxx

Puntos de corte con el eje X: )0,2(),0,3( BA .

Puntos de corte con el eje Y: C(0,6).

La gráfica de la función 62 xxy es:

La gráfica de la función 4,462 enxxy es, por tanto:

35. Expresa como funciones definidas a trozos estas funciones: |2|1)()|2|1)() xxxgbxxxfa

SOLUCIÓN:

a)

.23

212)(

x

xxxf

b)

112

213

212

)(

xx

x

xx

xg

36. Halla el dominio, el recorrido y gráfica de:

)(1)())(1)() xExgbxExfa

SOLUCIÓN:

a) Dom(f)=R Rec(f)=Z

b) Dom(g)=R Rec(g)=Z

INTERPOLACIÓN Y EXTRAPOLACIÓN

37. Determina una función de interpolación lineal f(x) que pase por los puntos (3,1; 2,5) y (3,4; 1,7). ¿Qué valor tomará f(x) para x=3,3?

SOLUCIÓN: La función de interpolación es:

30

80323)1,3(

3,0

8,0

2

5)1,3(

1,34,3

5,27,15,2

xyxyxy

.

Por tanto

30

80323)(

xxf

.

Para x=3,3, el valor de la función es 966,130/59)3,3( f .

38. Si f(x) es una función lineal de la que conocemos los datos que aparecen en la siguiente tabla:

x f(x)

3 4,5

4,7 1,7

a) ¿Qué valor tomará f(4)? b) Estima el valor de x, si f(x)=3,1.

SOLUCIÓN:

Utilizando la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, (3; 4,5), (4,7; 1,7), obtenemos:

34

56321

17

)3(28

2

9)3(

7,1

8,25,4)3(

37,4

5,47,15,4

xy

xyxyxy

Luego la función lineal es:

34

56321)(

xxf

Por tanto:

a) 85,234

97

34

456321)4(

f

b) Si 1,3)( xf entonces se verifica la ecuación 34

56321

10

31 x ,

despejando la incógnita x obtenemos:

85,320

77x .

39. El consumo de gasolina de una motocicleta por cada 100 km depende de la velocidad a la que

circula. A 50 km/h consume 3,1 l. y a 70 km/h consume 4 l. Estima cuánto consumirá en un trayecto de 50 km a 60 km/h.

SOLUCIÓN:

Calculemos primero el consumo que tendría en un trayecto de 100 km a 60 km/h. A partir de los datos (50, 3,1) y (70, 4), construimos la función de interpolación:

200

1709

200

)50(9

10

31)50(

20

9,0

10

31)50(

5070

1,341,3

xy

xyxyxy

Luego la función de interpolación es:

200

1709)(

xxf .

Por interpolación el consumo en un trayecto de 100 km a 60 km/h sería:

55,320

71)60( f litros.

Por tanto, en un trayecto de 50 km el consumo será la mitad: 775,12:55,3 litros.

40. El consumo de gas natural de una familia el mes de enero fue de 57 euros y el mes de marzo de 63 euros. a) Estima el gasto que habrá tenido la familia el mes de febrero. b) ¿Sería posible realizar una estimación del gasto que tendrá el mes de mayo? En caso

afirmativo halla la estimación.

SOLUCIÓN: Consideremos las siguientes equivalencias: Enero = 1, febrero = 2, marzo = 3, abril = 4 y mayo = 5. Entonces tenemos los siguientes datos: (1,57) y (3,63). La función de interpolación lineal se obtiene efectuando:

)18(3)1(357)1(13

576357

xyxyxy , luego )18(3)( xxf .

a) La estimación del gasto que tiene la familia el mes de febrero podemos obtenerlo mediante

interpolación calculando: 60)2( f euros.

b) La estimación del gasto que tendrá en el mes de mayo podemos obtenerlo mediante extrapolación calculando:

69)5( f euros.

41. Halla la parábola que pasa por los puntos (1,0), (2,5) y (3,12).

SOLUCIÓN:

Sea la parábola cbxaxxf 2)(

Se verifica que: 00)1( cbaf

5245)2( cbaf y

123912)3( cbaf .

Resolviendo ahora el sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas por Gauss:

3

532

0

1286

532

0

1239

524

0

23331933

1422

c

cb

cba

cb

cb

cba

cba

cba

cba

EEEEEE

EEE

por tanto c=-3, 242592 bbb y por último 1032 aa . Por tanto la parábola es:

322 xxy .

42. Los costes de una empresa de tres meses distintos vienen dados por la siguientes tabla:

Mes 2.º 4.º 7.º

Gastos (miles de euros) 1,2 1,6 1,5

a) Determina la función de interpolación cuadrática que se ajusta a los datos de la tabla. b) ¿Qué gastos se estima puede haber el 5º mes? c) ¿Qué gastos se estiman para el 8º mes?

SOLUCIÓN:

a) Consideremos la función cuadrática cbxaxxf 2)( . Entonces esta función debe verificar que:

5/6242,1)2( cbaf ,

5/84166,1)4( cbaf y

2/37495,1)7( cbaf

Resolviendo el sistema lineal:

2/3749

5/8416

5/624

cba

cba

cba

obtenemos como soluciones 75/32,25/12,150/7 cba .

Luego la función de interpolación cuadrática es:

75

32

25

12

150

7)( 2 xxxf

b) Para dar una estimación de los gastos el 5º mes calculamos por interpolación el valor de:

66,150

83)5( f euros.

c) Para obtener una estimación de los gastos el 8º mes calculamos por extrapolación el valor de:

28,125

32)8( f euros.

PROBLEMAS

1. Se quiere construir una piscina de base rectangular de dimensiones x, 2x y 1,5 metros de profundidad. Escribe la función que nos da la cantidad de agua en decímetros cúbicos que se necesita para llenar la piscina si por seguridad se llenan solamente los 2/3 de su profundidad. ¿Cuál es el dominio de la función?

SOLUCIÓN: La función que nos da la cantidad de agua necesaria en decímetros cúbicos será:

.000.2000.15,13

22)( 32 dmxxxxC

El dominio de la función en el contexto del problema es conjunto de los reales no negativos. 2. Una empresa fabrica un producto cuyo coste de fabricación es de 4 euros la unidad. Si lo vende

a x euros la unidad, los clientes comprarán (60 – x) unidades a la semana. Escribe la función que nos da el beneficio semanal. ¿De qué tipo de función se trata? Halla el precio que maximiza el beneficio.

SOLUCIÓN: El beneficio semanal es igual a los ingresos semanales menos los costes de fabricación.

.24064)60(4)60()( 2 xxxxxxB Se trata de una función polinómica. Como la gráfica de esta función es una parábola abierta hacia abajo, el precio que maximiza el

beneficio corresponderá a la abscisa del vértice: 322

64

vx euros la unidad.

3. Para cargar un camión de fruta, 2 empleados necesitan 3 horas.

a) ¿Cuántas horas necesitarán 3 empleados? ¿Y 4 empleados? b) ¿Qué tipo de función relaciona ambas variables? c) Calcula la constante de proporcionalidad y representa ambas variables.

SOLUCIÓN:

a) 3 empleados necesitarán 2 horas. 4 empleados necesitarán hora y media. b) Cuantos más empleados, menos horas de trabajo, de modo que se trata de una función de

proporcionalidad inversa, .x

ky

c) Para hallar la constante de proporcionalidad k observamos que .62

33)2( kk

f La

representación del número de empleados (abscisas) y el tiempo empleado en horas (ordenadas) es:

4. Un grupo de alumnos ha decidido comprar un regalo a su profesor de Lengua con motivo de su jubilación. El regalo elegido cuesta 200 euros. a) Analiza cuánto tiene que pagar cada alumno en función del número de alumnos que quieran

participar. b) Calcula la constante de proporcionalidad. c) Mediante una tabla de valores representa gráficamente la función.

SOLUCIÓN:

a) Está claro que cuantos más alumnos participen, menos dinero tienen que aportar. Si solo participa un alumno, tendrá que aportar 200 euros. Si participan 2, 100 euros cada uno. Si participan 3, 200/3 y así sucesivamente.

b) Si y representa la cantidad de dinero que tiene que aportar cada alumno y x representa el

número de alumnos, tenemos quex

ky (función de proporcionalidad inversa). Para hallar k

observamos que si participan 2 alumnos tienen que aportar 100 euros cada uno; luego:

2002

100 kk

.

c) Escribimos la tabla de valores y representamos la gráfica:

x 200/x

1 20

0,0

2 10

0,0

3 66,7

4 50,0

5 40,0

10 20,0

15 13,3

20 10,0

25 8,0

30 6,7

5. Un técnico en electrodomésticos cobra 25 euros la hora de trabajo efectuado en los domicilios particulares más 35 euros por el desplazamiento. a) Escribe la expresión analítica de la función que relaciona las variables tiempo y coste de la

reparación. b) Dibuja la gráfica de la función obtenida. c) Si se han pagado 123 euros por la reparación de una lavadora, de los cuales 21 euros han

sido el valor de una pieza que se ha cambiado, ¿cuánto tiempo ha durado la reparación?

SOLUCIÓN:

a) Sea x la variable que representa el número de horas trabajadas y sea y el coste de la reparación.

.3525 xy

b)

c) 123-21=102 euros es el coste de la mano de obra. Para obtener el número de horas

despejamos x en la siguiente igualdad:

68,225

672567;3525102 xxx horas.

Como 0,68 horas son aproximadamente 40 minutos, la reparación ha durado aproximadamente 2 horas y 40 minutos.

6. En una agencia A de cambio de moneda nos dan 11,25 dólares por cada 10 euros y nos cobran

de comisión una cantidad fija de 2 euros. En otra agencia B nos dan 11 dólares por cada 10 euros y nos cobran 1,72 euros. a) Escribe la expresión analítica de la función que nos da el cambio de euros a dólares para

cada una de las empresas. ¿De qué tipo de función se trata? b) ¿A partir de qué cantidad de euros debemos elegir la agencia B?

SOLUCIÓN:

a) Sea x la cantidad de euros que deseamos cambiar. Sea y la cantidad de dólares que nos da la agencia (cobrada la comisión).

En la agencia A: )2(10

25,11 xy

En la agencia B: )72,1(10

11 xy

b) Analicemos para qué valores de x se verifica que B > A:

.32,1425,0

58,352,325,0

92,185,2225,1111)2(10

25,11)72,1(

10

11

xxx

xxxx

La agencia B se debe elegir para cantidades inferiores a 14,32 euros (incluida la comisión).

7. Los beneficios en euros que se obtienen por la venta de x unidades de un producto vienen dados por la función

.50600)( 2 xxxB a) Calcula el dominio de la función y represéntala.

b) ¿Cuántas unidades hay que vender para obtener el máximo beneficio?

SOLUCIÓN: a) Aunque matemáticamente el dominio de la función B(x) es R, en el contexto del problema se

ve que el dominio de B es el conjunto de los números naturales incluido el 0. b) El número de unidades que maximiza el beneficio vendrá dado por la abscisa del vértice ya

que la función de beneficios es una parábola abierta hacia abajo.

.3002

600

vx Por tanto se deberán vender 300 unidades para obtener el máximo

beneficio.

8. Una empresa de mensajería A cobra 1 euro por km recorrido más una cantidad fija de 2 euros en concepto de seguros y otros gastos. Otra empresa B cobra 0,88 euros por kilómetro más un fijo de 2,35 euros. a) Escribe la expresión analítica de la función que relaciona la distancia en kilómetros y el

precio del servicio. b) ¿Cuándo debemos elegir la empresa B?

SOLUCIÓN:

a) Sea x el número de kilómetros recorridos. Sea y el precio del servicio.

Empresa A: .221 xxy

Empresa B: 35,288,0 xy

b) Deberemos elegir la empresa B cuando 92,212,0

35,035,012,035,288,02 xxxx

es decir, para trayectos de más de 2,92 km.

9. La factura del consumo en electricidad que aplica cierta compañía tiene en cuenta los siguientes datos: Los gastos fijos sin consumo, por alquiler de equipos de medida y el contrato de potencia,

son de 5 euros. El precio por kWh. de electricidad es de 0,0345 euros/ kWh. en un primer tramo por un

consumo de hasta 200 kWh. El precio por kWh. de electricidad es de 0,0567 euros/ kWh. para el consumo entre 200 y

300 kWh. Existe un tramo final para consumos de más de 300 kWh. cuyo precio es de 0,0789

euros/kWh. a) Define la función que permite obtener el coste en euros en función del número de kilovatios

hora consumidos. b) Representa gráficamente dicha función. c) Determina lo que tendría que pagarse por consumos de 300 kWh., 135 kWh. y 525 kWh.

SOLUCIÓN:

a) Las variables que intervienen en la función serían variable independiente x: energía consumida (en kWh.); y: coste de la factura (en euros).

La función que define el coste de la factura (en euros) en función de los kilovatios-hora consumidos se definiría en tres trozos:

El primer trozo sería 200,0x . En este tramo la función es lineal y verifica que para un

consumo de 0 kWh. hay unos costes fijos de 5 euros; luego pasa por el punto (0,5). Por otro

lado, para un consumo de 200 kWh. el coste sería de 9,110345,02005 luego pasa por

(200, 11,9). La función lineal que se adapta a estas características es xxf 0345,05)(1 .

El segundo trozo sería 300,200x , y en este tramo la función es nuevamente una función

lineal que pasa por (200, 11,9). Teniendo en cuenta que para el consumo que excede de 200 kWh. el precio es de 0,0567 euros/kWh., es decir, que se pagan los primeros 200 kWh. a un precio de 0,0345 euros/kWh. y los restantes hasta un máximo de 300 kWh. a 0,0567 euros/kWh., la función en este tramo es )200(0567,09,11)(2 xxf .

Finalmente, el tercer trozo sería ),300( x . Para consumos superiores a 300 kWh. se

pagarán 300 kWh. al precio de 57,17)200300(0567,09,11 euros y los que excedan de

300 kWh. a un precio de 0,0789 euros/kWh. Por tanto, la función de este tramo final es )300(0789,057,17)(3 xxf .

Así pues, la función que define este modelo es:

300)300(0789,057,17

300200)200(0567,09,11

20000345,05

)(

xx

xx

xx

xf

b)

c) 57,17)200300(0567,09,11)300( f euros

66,91350345,05)135( f euros y

32,35)300525(0789,057,17)525( f euros

10. El EURIBOR es el tipo de interés medio con el que los bancos europeos se prestan el dinero

unos a otros. En la siguiente tabla tenemos los índices de referencia del EURIBOR de 3 meses del año 2008:

Mes Mayo 2008 Julio 2008 Agosto 2008

EURIBOR 4,994 5,393 5,323

a) Estima el valor que ha tenido el EURIBOR el mes de junio de 2008. b) Estima el valor que tendría el EURIBOR el mes de septiembre de 2008.

SOLUCIÓN: Antes de resolver el problema consideremos las siguientes equivalencias numéricas para los diferentes meses del año que aparecen en la tabla o en el enunciado: Mayo 2008 = 1, junio 2008 = 2, julio 2008 = 3, agosto 2008 = 4, septiembre 2008 = 5

a) Para obtener el valor del EURIBOR en el mes de junio de 2008 tomamos como datos (1;

4,994) y (3; 5,393). Por tanto la función de interpolación es:

2000

)1(399

500

2497)1(

2

399,0

1000

4994)1(

13

994,4393,5994,4

xyxyxy

luego 2000

9589399)(

xxf .

Así pues, por interpolación podemos obtener una estimación del EURIBOR en el mes de junio de 2008 calculando

193,5)2( f

b) Para estimar el valor que tendría el EURIBOR en el mes de septiembre de 2008, calculamos

la función de interpolación para los valores (3; 5,393) y (4; 5,323):

21,007,0393,5)3(07,0393,5)3(34

393,5323,5393,5

xyxyxy

luego xxg 07,0603,5)(

Por tanto, por extrapolación podemos obtener una estimación del EURIBOR en el mes de septiembre de 2008 calculando:

253,5)5( g

11. Una planta tropical criada en una habitación de una casa presenta un cuadro de retraso en la talla considerable. Se tiene anotada la evolución de la planta en algunos meses tal y como se refleja en la siguiente tabla:

Mes Septiembre 2007 Abril 2008 Septiembre 2008

Talla (cm) 115,8 118,8 121,5

a) ¿Se podría hacer una estimación de la talla que tuvo en el mes de marzo de 2008? b) ¿Qué altura estimada tendrá en diciembre de 2008?

SOLUCIÓN:

Consideremos la siguiente equivalencia numérica de los meses que intervienen en el problema: septiembre 2007 = 1 octubre 2007 = 2 noviembre 2007 = 3 diciembre 2007 = 4 enero 2008 = 5 febrero 2008 = 6 marzo 2008 = 7 abril 2008 = 8 mayo 2008 = 9 junio 2008 = 10 julio 2008 = 11 agosto 2008 = 12 septiembre 2008 = 13 octubre 2008 = 14 noviembre 2008 = 15 diciembre 2008 = 16

a) Para obtener una estimación de la talla que tuvo el mes de marzo de 2008, consideramos los datos de la tabla correspondientes a los valores:

(1; 115,8) y (8; 118,8) La función de interpolación lineal para estos valores sería:

xxyxyxy

7

3

7

3

10

1158

7

3

7

38,115)1(

7

38,115)1(

18

8,1158,1188,115

35

403815

xy

La estimación de la talla el mes de marzo de 2008 la podemos obtener por interpolación calculando:

37,118)7( f cm.

b) Para obtener una estimación de la estatura que tendría en diciembre de 2008, consideramos

los datos de la tabla: (8; 118,8) y (13; 121,5)

cuya función de interpolación lineal sería:

5

6,217,28,118)8(

5

7,28,118)8(

813

8,1185,1218,118

xyxyxy

xyxy 54,048,1145

6,21

5

7,28,118

xxg 54,048,114)(

La estimación de la talla para el mes de diciembre de 2008 podemos obtenerla por extrapolación con la función anterior calculando

12,123)16( g cm.

12. En un experimento de laboratorio se ha obtenido la siguiente tabla de valores:

x 1,3 2

y 1,48 2,95

Halla un polinomio interpolador de primer grado. Utiliza dicho polinomio para calcular el valor y correspondiente a x=1,7.

SOLUCIÓN:

El polinomio buscado es de la forma baxxP )(

1,27,0

47,1

3,12

48,195,2

a

.25,121,295,2 b

El polinomio buscado es .25,11,2)( xxP El valor correspondiente de y correspondiente a x=1,7 se obtiene de

.32,225,17,11,2)7,1( P 13. Supongamos que a la tabla anterior se le añade un nuevo dato:

Si se desea calcular el valor correspondiente a x=2,4, ¿es conveniente utilizar el polinomio hallado anteriormente? Calcula la función de interpolación lineal a trozos correspondiente a estos datos.

SOLUCIÓN: No es conveniente utilizar el polinomio hallado anteriormente para calcular el valor y correspondiente a x=2,4; pues se observa que el dato incorporado en la tabla no está alineado con los anteriores.

Calculamos un polinomio de interpolación dcxxQ )( para los puntos (2, 2,95) y (2,8, 1,2):

x 1,3 2 2,8

y 1,48 2,95 1,2

.325,71875,2)(

325,7)8,21875,2(2,1

1875,28,0

75,1

28,2

95,22,1

xxQ

d

c

La función de interpolación lineal a trozos buscada es:

8,22325,71875,2

23,125,11,2)(

xx

xxxf

Y aplicada al valor x=2,4, arroja: 075,2)4,2( f

14. Se ha medido la temperatura (en grados centígrados) de un pueblo del Pirineo en un día de

finales de otoño y se ha obtenido la siguiente tabla:

Calcula con estos datos un polinomio de interpolación de segundo grado. ¿Cuál es la temperatura estimada a las 6 de la tarde?

SOLUCIÓN:

El polinomio buscado es de la forma: cbxaxxP 2)( . Sustituyendo se obtiene el sistema:

cba

cba

cba

23232

121213

001

2

2

2

cuya solución es 1;23

47;

23

2

cba por tanto

.123

47

23

2)( 2

xxxQ

La temperatura estimada a las 6 de la tarde es:

º6,911823

4718

23

2)18( 2

Q

Hora 0 h 12 h 23 h

Temperatura 1º 13º 2º

CUESTIONES

1. Determina si las siguientes funciones lineales son crecientes o decrecientes sin realizar su

representación gráfica:

a) 22 xy b) xy 5 c) 15/4 xy

SOLUCIÓN:

a) Es decreciente, su pendiente es -2, negativa. b) Es creciente, su pendiente es 5, positiva. c) Es creciente, su pendiente es 4/5, positiva.

2. Dadas x

xxgyxf

9)(9)( , determina el dominio de ambas funciones. ¿Se trata de la misma

función? SOLUCIÓN:

R)( fDom , }0{)( RgDom . No es la misma función porque coinciden en todos los puntos salvo en x=0: f(0)=9, y sin embargo g(0) no existe.

3. ¿En cuál de las siguientes funciones se puede asegurar que existe un mínimo?

13)()13)() 22 xxxgbxxxfa

SOLUCIÓN:

a) Es una parábola abierta hacia abajo, luego su vértice será un máximo b) Es una parábola abierta hacia arriba, luego su vértice será un mínimo.

4. Las funciones xx

xxf

2)( y

1

1)(

xxg ¿tienen el mismo dominio de definición?

SOLUCIÓN: Obsérvese que:

}1,0{}0/{)( 2 RR xxxfDom y }1{}01/{)( RR xxgDom

Por tanto no tienen el mismo dominio de definición, aunque

)()( xgxf para todo }1,0{Rx

La primera función no está definida en x=0, mientras que g(0)=-1.

5. Razona con algún ejemplo si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos: a) Si una función tiene mínimo global entonces este es un mínimo local. b) Si una función tiene un máximo local entonces este es un máximo global. c) El recorrido de todas las funciones lineales es todo R. d) La función )(xf tiene como recorrido ),0[ .

SOLUCIÓN:

a) Verdadero, cuando una función tiene un mínimo global, este es un mínimo local. b) Falso, un ejemplo lo tenemos en la siguiente función:

Obsérvese que hay un máximo local en x=-1 pero no es global. c) Falso; las función lineal f(x)=0 tienen Rec(f)={0}. d) Falso, depende de cómo sea la función, por ejemplo las funciones 3|)(| xf ;

|34||)(| 2 xxxg no verifican esta condición.