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7Soluciones a los ejercicios y problemas

PÁGINA 159

i s t e m a s d e e c u a c i o n e s . R e s o l u c i ó n g r á f i c a

1 Representa estas ecuaciones:

a) Escribe las coordenadas del punto de corte.

b)Escribe la solución del sistema que forman ambas ecuaciones.

y = 3 – x y = x – 1

a) Punto de corte: (2, 1). b) Solución del sistema: x = 2, y = 1.

2 Repite el ejercicio anterior para estas ecuaciones:

y = x – 2 y =

a) Punto de corte: (4, 2). b) Solución del sistema: x = 4, y = 2.

y = x – 2

12 – xy = — 4

X –4 0 4 8

Y 4 3 2 1

X 0 2 4 6

Y –2 0 2 4

12 – x4

x – y = 2x + 4y = 12

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y = 3 – x

y = x – 1

X –2 0 2 4

Y –3 –1 1 3

X –2 0 2 4

Y 5 3 1 –1

x + y = 3x – y = 1

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S

Pág. 1

Unidad 7. Sistemas de ecuaciones


3 Resuelve gráficamente.

a) b)

a) y = 1 – x y =

Solución del sistema: x = –1, y = 2.

b) y = y = 3x + 3

Solución del sistema: x = –2, y = –3.

x – 4y = — 2

y = 3x + 3

X –4 –2 0 2

Y –9 –3 3 9

X –4 –2 0 2

Y –4 –3 –2 –1

x – 42

x + 5y = — 2

y = 1 – x

X –5 –3 –1 1

Y 0 1 2 3

X –5 –3 –1 1

Y 6 4 2 0

x + 52

x – 2y = 43x – y = –3

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x + y = 1x – 2y = –5

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Pág. 2



4 Observa el gráfico y responde.

a) Escribe un sistema cuya solución sea x = 2, y = 4.

b)Escribe un sistema cuya solución sea x = 0, y = 5.

c) Escribe un sistema sin solución.

a) b) c)

i s t e m a s d e e c u a c i o n e s . R e s o l u c i ó n a l g e b r a i c a

5 Resuelve por sustitución despejando la incógnita más adecuada.

a) b)

c) d)

a) 8 x = 1; y = 2

b) 8 y = –1; x = 5

c) 8 y = 1; x = –3

d) 8 y = –5; x = –3

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2y – 5x = —5

2y – 54 · — – 3y = 35

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x = 1 – 4y2(1 – 4y) – y = –7

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x = 7 + 2y2(7 + 2y) – 3y = 13

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y = 5x – 32x + 3(5x – 3) = 8

5x – 2y = –54x – 3y = 3

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x + 4y = 12x – y = –7

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x – 2y = 72x – 3y = 13

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2x + 3y = 85x – y = 3

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S

2x – 3y + 15 = 02x – 3y + 1 = 0

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x + 2y = 102x – 3y + 15 = 0

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x + 2y = 103x – y = 2

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3x – y = 2

x + 2y = 10

2x – 3y + 1 = 0

2x – 3y + 15 = 0

Pág. 3



6 Resuelve por igualación.

a) b)

c) d)

a) 3x – 5 = 5x – 1 8 x = –2; y = –11

b) 8 7 – y = y – 3 8 y = 5; x = 2

c)8 8 + 3y = 8 y = –1; x = 5

d)8 = 8 x = 3; y = –7

7 Resuelve por reducción.

a)

b)

c)

d)

a) b)

7x = 7 8 x = 1 5y = –10 8 y = –2

2 · 1 + y = 6 8 y = 4 3x + 4 · (–2) = 1 8 x = 3

c) d)

14x = 14 8 x = 1 –y = 3 8 y = –3

2 · 1 + 3y = 8 8 y = 2 6x – 10 · (–3) = 18 8 x = –2

6x – 10y = 18–6x + 9y = –15

2x + 3y = 812x – 3y = 6

3x + 4y = 1–3x + y = –11

2x + y = 65x – y = 1

3x – 5y = 92x – 3y = 5

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2x + 3y = 84x – y = 2

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3x + 4y = 13x – y = 11

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2x + y = 65x – y = 1

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–7x3

1 – 5x2

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1 – 5xy = —2

–7xy = —3

10 – 5y3

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x = 8 + 3y10 – 5yx = —

3

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x = 7 – yx = y – 3

5x + 2y = 17x + 3y = 0

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x – 3y = 83x + 5y = 10

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x + y – 7 = 0x – y + 3 = 0

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y = 3x – 5y = 5x – 1

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Pág. 4



8 Resuelve por el método que te parezca más adecuado.

a) b) c)

d) e) f )

a) Sustitución: b) Reducción:

2(2x + 10) = x + 8 8 x = –4 2x + y = –1

y = 2 · (–4) + 10 8 y = 2 –x – y = 4

x = 3

2 · 3 + y = –1 8 y = –7

c) Sustitución: d) Reducción:

x = –5 – 2y 6x – 2y = 2

(–5 – 2y) – 3y = 5 8 y = –2 5x + 2y = 9

x = –5 – 2 · (–2) 8 x = –1 11x = 11 8 x = 1

5 · 1 + 2y = 9 8 y = 2

e) Reducción: f ) Igualación:

8 = 8 y = 5

x = 8 x = 5

9 Resuelto en el libro de texto.

PÁGINA 160

10 Resuelve los siguientes sistemas:

a) b)

c)

a) 8 b) 8 c) 8 x = 6y = 8

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3x – 2y = 24x – 3y = 0

x = 1y = –3

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3x + 2y = –3x – 3y = 10

x = 2y = –1

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3x + 2y = 46x – y = 13

x – 4 y – 5— – — = 02 3

x y— + — = 2x – y3 4

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5(2x + 1) = 4(x – y) – 1x – y x + 5— = —

2 3

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2(3x + y) + x = 4(x + 1)6(x – 2) + y = 2(y – 1) + 3

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10 + 5 · 57

3y – 52

10 + 5y7

10 + 5yx = —7

3y – 5x = —2

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6x – 2y = 0–6x + 10y = –24

8y = –24 8 y = –36x – 2 · (–3) = 0 8 x = –1

7x – 5y = 102x – 3y = –5

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6x – 2y = 03x – 5y = 12

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3x – y = 15x + 2y = 9

°¢£

x + 2y = –5x – 3y = 5

°¢£

x + y = – 42x + y = –1

°¢£

2y = x + 8y = 2x + 10

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Pág. 5



r o b l e m a s p a r a r e s o l v e r c o n s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s

11 La suma de dos números es 57, y su diferencia, 9. ¿Cuáles son esos nú-meros?

8

Los números son 33 y 24.

12 Calcula dos números sabiendo que su diferencia es 16 y que el doble delmenor sobrepasa en cinco unidades al mayor.

8


13 Calcula dos números sabiendo que:

— El primero sobrepasa en 4 unidades a la mitad del segundo.

— El segundo sobrepasa en 7 unidades a la mitad del primero.

8


14 La suma de dos números es 73, y al cuádruplo del menor le faltan dos uni-dades para alcanzar al triple del mayor. ¿Cuáles son esos números?

8


15 Entre Alejandro y Palmira llevan 15 euros. Si él le diera a ella 1,50 €, ellatendría el doble. ¿Cuánto lleva cada uno?

Alejandro 8 x

Palmira 8 y

8

Alejandro tiene 6,50 €, y Palmira, 8,50 €.

x = 6,5y = 8,5

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x + y = 152(x – 1,5) = y + 1,5

x = 31y = 42

°¢£

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x + y = 734x + 2 = 3y

x = 10y = 12

°¢£

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yx = — + 42xy = — + 72

x = 37y = 21

°¢£

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x – y = 162y = x + 5

x = 33y = 24

°¢£

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x + y = 57x – y = 9

PPág. 6



16 Un ciclista sube un puerto y, después, desciende por el mismo camino.Sabiendo que en la subida ha tardado 23 minutos más que en la bajada y quela duración total del paseo ha sido de 87 minutos, ¿cuánto ha tardado en su-bir? ¿Y en bajar?

Tiempo de subida 8 x

Tiempo de bajada 8 y

8

La subida ha durado 55 minutos, y la bajada, 32 minutos.

17 En cierta cafetería, por dos cafés y un refresco nos cobraron el otro día2,70 €. Hoy hemos tomado un café y tres refrescos y nos han cobrado 4,10 €.¿Cuánto cuesta un café? ¿Y un refresco?

Coste del café 8 x

Coste del refresco 8 y

8

Un café cuesta 0,80 €, y un refresco, 1,10 €.

18 Un puesto ambulante vende los melones y las sandías a un tanto fijo launidad. Andrea se lleva 5 melones y 2 sandías, que le cuestan 13 €. Julián paga12 € por 3 melones y cuatro sandías. ¿Cuánto cuesta un melón? ¿Y una sandía?

Coste de un melón 8 x

Coste de una sandía 8 y

8

Un melón cuesta 2 € y una sandía 1,5 €.

19 Un fabricante de jabones envasa 550 kg de detergente en 200 paquetes,unos de 2 kg y otros de 5 kg. ¿Cuántos envases de cada clase utiliza?

Envases de 2 kg 8 x

Envases de 5 kg 8 y

8

Utiliza 150 envases de 2 kg y 50 envases de 5 kg.

x = 150y = 50

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x + y = 2002x + 5y = 550

x = 2y = 1,5

°¢£

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5x + 2y = 133x + 4y = 12

x = 0,80y = 1,10

°¢£

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2x + y = 2,70x + 3y = 4,10

x = 55y = 32

°¢£

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x + y = 87x = 23 + y

Pág. 7



20 Una tienda de artículos para el hogar pone a la venta 100 juegos de camaa 70 € el juego. Cuando lleva vendida una buena parte, los rebaja a 50 €, con-tinuando la venta hasta que se agotan. La recaudación total ha sido de 6 600 €.¿Cuántos juegos ha vendido sin rebajar y cuántos rebajados?

Juegos sin rebaja 8 x

Juegos con rebaja 8 y

8

Ha vendido 80 juegos de cama sin rebaja y 20 con rebaja.

21 Un frutero pone a la venta 80 kg de cerezas. Al cabo de unos días ha ven-dido la mayor parte, pero considera que la mercancía restante no está en bue-nas condiciones y la retira. Sabiendo que por cada kilo vendido ha ganado 1 €,que por cada kilo retirado ha perdido 2 € y que la ganancia ha sido de 56 €,¿cuántos kilos ha vendido y cuántos ha retirado?

Kilos vendidos 8 x

Kilos retirados 8 y

8

Ha vendido 72 kilos y ha retirado 8.

22 En el zoo, entre búfalos y avestruces hay 12 cabezas y 34 patas. ¿Cuántosbúfalos son? ¿Y avestruces?

☞ Búfalos 8 x Avestruces 8 y

Patas de búfalo 8 4x Patas de avestruz 8 2y

Búfalos 8 x

Avestruces 8 y

8

Hay 5 búfalos y 7 avestruces.

PÁGINA 16123 En una granja, entre gallinas y conejos se cuentan 127 cabezas y 338 pa-

tas. ¿Cuántas gallinas y cuántos conejos hay en la granja?

Gallinas 8 x

Conejos 8 y

8

Hay 85 gallinas y 42 conejos.

x = 85y = 42

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x + y = 1272x + 4y = 338

x = 5y = 7

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x + y = 124x + 2y = 34

x = 72y = 8

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x + y = 80x – 2y = 56

x = 80y = 20

°¢£

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x + y = 10070x + 50y = 6 600

Pág. 8



24 Rosendo tiene en el bolsillo 12 monedas, unas de 20 céntimos y otras de50 céntimos. Si en total tiene 3,30 euros, ¿cuántas monedas de cada tipo lleva?

Monedas de 20 céntimos 8 x

Monedas de 50 céntimos 8 y

8

Tiene 9 monedas de 20 céntimos y 3 monedas de 50 céntimos.

25 Cristina tiene el triple de edad que su prima María, pero dentro de diezaños solo tendrá el doble. ¿Cuál es la edad de cada una?

8

Cristina tiene 30 años, y María, 10 años.

26 El doble de la edad de Javier coincide con la mitad de la edad de su pa-dre. Dentro de cinco años, la edad del padre será tres veces la de Javier. ¿Cuántosaños tiene hoy cada uno?

8

Javier tiene 10 años, y su padre, 40.

27 La base de un rectángulo es 8 cm más larga que la altura, y el perímetromide 42 cm. Calcula las dimensiones del rectángulo.

8

El rectángulo mide 14,5 cm Ò 6,5 cm.

x = 14,5 y = 6,5

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x – y = 8x + y + x + y = 42

Diferencia entre los lados:x – y = 8

Perímetro:x + y + x + y = 42

x

y

x = 10y = 40

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y2x = —2

3(x + 5) = y + 5

x = 30y = 10

°¢£

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x = 3yx + 10 = 2(y + 10)

x = 20y = 3

°¢£

°¢£

x + y = 1220x + 50y = 330

Pág. 9


H OY D E N T R O D E 10 A Ñ O S

C R I S T I N A x x + 10M A R Í A y y + 10

E D A D H OY E D A D D E N T R O D E 5 A Ñ O S

J AV I E R x x + 5E L PA D R E y y + 5

☞


28 Para cercar una parcela rectangular, 25 metros más larga que ancha, se hannecesitado 210 metros de alambrada. Calcula las dimensiones de la parcela.

8

La parcela tiene unas dimensiones de 65 m de largo Ò 40 m de ancho.

29 Un concurso televisivo está dotado de un premio de 3 000 € para repar-tir entre dos concursantes. El reparto se hará en partes proporcionales al nú-mero de pruebas superadas. Tras la realización de estas, resulta que el primerconcursante ha superado cinco pruebas, y el segundo, siete. ¿Cuánto corres-ponde a cada uno?

☞ El primer concursante se lleva 8 x El segundo concursante se lleva 8 y

Entre los dos se llevan 8 x + y

El premio conseguido es proporcional al número de pruebas superadas 8 x/5 = y/7

8

El primer concursante se lleva 1 250 €,y el segundo, 1 750 €.

30 ¿Qué cantidades de aceite, uno puro de oliva, a 3 €/litro, y otro de orujo,a 2 €/litro, hay que emplear para conseguir 600 litros de mezcla a 2,40 €/litro?

Aceite de oliva 8 x litros

Aceite de orujo 8 y litros

8

Hay que emplear 240 litros de aceite de oliva y 360 litros de aceite de orujo.

31 Un ciclista sale de paseo y recorre un tramo de carretera, cuesta arriba, a 8 km/h. Después, sigue llaneando, a 20 km/h, hasta que llega a su destino. Si elpaseo ha durado 3 h, y la velocidad media resultante ha sido de 16 km/h, ¿cuán-to tiempo ha invertido en cada tramo?

☞ Tiempo de subida 8 x Tiempo en llano 8 y Tiempo total 8 3 h

Distancia en subida 8 8x

Distancia en llano 8 20y

Distancia total 8 16 · 3 = 48 km

8

Ha subido durante una hora y ha llaneado durante dos horas.

x = 1y = 2

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8x + 20y = 48x + y = 3

x = 240y = 360

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x + y = 6003x + 2y = 600 · 2,40

x = 1 250y = 1 750

°¢£

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x + y = 3 000x y— = —5 7

x

x

y yx = 65y = 40

°¢£

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x = y + 252x + 2y = 210

Pág. 10



32 Dos ciudades, A y B, distan 270 km. En cierto momento, un coche partede A hacia B a 110 km/h, y, a la vez, sale de B hacia A un camión a 70 km/h.¿Qué distancia recorre cada uno hasta que se encuentran?

☞ La suma de las distancias es 270 8 x + y = 270

Los tiempos invertidos por el coche y el camión, hasta el encuentro, son iguales 8x/110 = y/70

8

El coche recorre 165 km, y el camión, 105 km.

33 Un camión parte de cierta población a 90 km/h. Diez minutos después,sale un coche a 110 km/h. Calcula el tiempo (t ) que tarda en alcanzarle y ladistancia recorrida desde el punto de partida.

distancia = velocidad · tiempo

8

Le alcanza en tres cuartos de hora, tras recorrer 82,5 km.

34 Un peatón sale de A hacia B caminando a una velocidad de 4 km/h.Simultáneamente, sale de B hacia A un ciclista a 17 km/h. Si la distancia entre Ay B es de 7 km, ¿cuánto tardarán en encontrarse y a qué distancia de A lo hacen?

Distancia desde A del peatón 8 x

Distancia desde A del ciclista 8 7 – x

Tiempo 8 t

8

Tardan h = 20 min en encontrarse.

El encuentro se produce a km › 1 km 333 m del punto de partida, A, del peatón.43

13

1t = —34x = —3

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x = t · 4

7 – x = t · 17

3t = —4

x = 82,5

°§¢§£

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x = 110 · t1x = 90 · (t + —)6

x = 165y = 105

°¢£

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x + y = 270x y— = —

110 70

Pág. 11


D I S TA N C I A V E L O C I D A D T I E M P O

C O C H E x 110 tC A M I Ó N x 70 t + 10/60

☞


35 ¿Cuánto cuesta el frasco de zumo? ¿Y el tarro de mermelada? ¿Y la caja degalletas?

8 8 8

El zumo cuesta 1 €, el tarro de mermelada, 2 €, y la caja de galletas, 3 €.

G = 3M = 2Z = 1

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G – M = 1G + M = 5

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Z = 3 – M(3 – M ) + G = 4M + G = 5

°§¢§£

Z + M = 3Z + G = 4M + G = 5

M + G = 5 €

Z + M = 3 €Z + G = 4 €

Pág. 12


7Soluciones a las actividades de cada epígrafe

PÁGINA 148

En esta unidad vas a trabajar con ecuaciones de dos incógnitas.Varias de esas ecuaciones forman un sistema.Los sistemas de ecuaciones te servirán, también, para resolver proble-mas.

1 a) Calcula la edad de cada uno de los personajes que charlan en el parque.b) ¿Qué valores de x e y cumplen simultáneamente estas dos igualdades?:

a) Edad del abuelo: 78 años. Edad de la abuela: 72 años.

b) x = 78; y = 72

x + y = 150x – y = 6

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Pág. 1


SÍ, RAIMUNDO, PERO YOSIGO SIENDO 6 AÑOSMÁS JOVEN QUE TÚ.

ESTAMOS HECHOS UNOSCHAVALES. ENTRE LOS

DOS, 150 AÑOS.x

AÑOS yAÑOS

x + y = 150x – y = 6

2a + 2b = 103a + 2b = 18

8 a 8 b

2 + = 103 + 2 = 18

10 kg

18 kg

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2 a) Observa las balanzas. ¿Cuánto pesa la esfera? ¿Y la pirámide?b) ¿Qué valores deben tomar a y b para que estas igualdades sean ciertas?:

a) La esfera pesa 2 kg, y la pirámide, 6 kg.

b) a = 2; b = 6

PÁGINA 149

ANTES DE COMENZAR, RECUERDA

1 Dados M = 2x + y y N = x – 2y, calcula.

a) M + N y M – N b)2M y 2N c) 2M + N y M – 2N

a) M + N = 3x – y; M – N = x + 3y

b) 2M = 4x + 2y; 2N = 2x – 4y

c) 2M + N = 5x + y; M – 2N = 5y

2 Calcula el valor numérico de las expresiones siguientes:

a) 4x – 5, para x = 1 b) 3x + 1, para x =

c) , para x = –2 d) , para x = 3

a) 4 · 1 – 5 = –1 b) 3 · + 1 =

c) = 1 d) =

3 Suprime denominadores.

a) – = b) – =

a) 12 · – = 12 · 8 6x – 8y = 9

b) 20 · – = 20 · 8 6a – 5b = 8c2c5)b

43a10(

34)2y

3x2(

2c5

b4

3a10

34

2y3

x2

13

2 · 3 – 46

–2 + 53

32

16

2x – 46

x + 53

16

2a + b = 103a + 2b = 18

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Pág. 2



4 Despeja x en cada una de las igualdades siguientes:

a) x + 5y = 6 b) 2x – y = 3 c) – =

a) x = 6 – 5y b) x = c) x =

PÁGINA 150

1 Averigua cuáles de los siguientes pares de valores son soluciones de esta ecua-ción:

3x – 4y = 8

a) b) c)

d) e) f )

Son soluciones de la ecuación:

a) 3 · 4 – 4 · 1 = 8

c) 3 · 0 – 4 · (–2) = 8

e) 3 · (–4) – 4 · (–5) = 8

f ) 3 · 3 – 4 · = 8

2 Busca tres soluciones diferentes de esta ecuación:

2x – y = 5

Por ejemplo:

3 Completa la tabla con soluciones de esta ecuación:

3x + y = 12

X 0 1 3 4 5 –1 –2 –3

Y 12 9 3 0 –3 15 18 21

X 0 3 5 –1 –3

Y 9 0 18

X 0 1 2 3 –1 –2

Y –5 –3 –1 1 –7 –9

14

x = 3y = 1/4

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x = – 4y = –5

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x = 1y = –1

°¢£

x = 0y = –2

°¢£

x = 3y = 2

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x = 4y = 1

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9 + 8y6

3 + y2

34

2y3

x2

Pág. 3



4 Reduce a la forma general las siguientes ecuaciones:

a) 2x – 5 = y b)y = c) x – 3 = 2(x + y) d) =

a) 2x – y = 5 b) x – 2y = –1 c) x + 2y = –3 d) 2x – 5y = –3

PÁGINA 151

5 Para cada ecuación, completa la tabla siguiente y represéntala:

a) x – y = 0 8 y = x

b)x – 2y = 2 8 y =

a) b)

6 Representa gráficamente.

a) 2x – y = 1 b)2x + y = 1 c) y = + 3

d)y = – 1 e) x + 3y = 3 f ) 2x – 3y – 3 = 0

a) y = 2x – 1

X –2 0 2

Y –5 –1 3

x2

x2

X –6 – 4 –2 0 2 4 6

Y –4 –3 –2 –1 0 1 2

X –6 – 4 –2 0 2 4 6

Y –6 –4 –2 0 2 4 6

X –6 – 4 –2 0 2 4 6 …

Y …x – 22

x – 15

x – y3

x + 12

Pág. 4



b) y = 1 – 2x

c) y = + 3

d) y = – 1

e) y =

f ) y =

X –3 0 3

Y –3 –1 1

2x – 33

X –2 0 2

Y 2 1 0

3 – x3

X –2 0 2

Y –2 –1 0

x2

X –2 0 2

Y 2 3 4

x2

X –2 0 2

Y 5 1 –3

Pág. 5



PÁGINA 152

1 Representa gráficamente y escribe la solución.

a) b)

a) y = 4 – x 8

y = x – 2 8

Solución: x = 3; y = 1

b) y = 2 + 8

y = 4 – 8

Solución: x = 2; y = 3

2 Resuelve gráficamente.

a) b)

a) y = x – 3 8

y = –2x 8

Solución: x = 1; y = –2

b) y = 8

y = –2x – 2 8

Solución: x = 0; y = –2

X –2 0 2

Y 2 –2 –6

X –3 0 3

Y –4 –2 02x – 6

3

X –2 –1 0 1 2

Y 4 2 0 –2 –4

X –2 –1 0 1 2

Y –5 –4 –3 –2 –1

2x – 3y – 6 = 02x + y + 2 = 0

°¢£

x – y = 32x + y = 0

°¢£

X –2 0 2 4

Y 5 4 3 2x2

X –2 0 2 4

Y 1 2 3 4x2

X 0 1 2 3 4

Y –2 –1 0 1 2

X 0 1 2 3 4

Y 4 3 2 1 0

y = 2 + x/2y = 4 – x/2

°¢£

x + y = 4x – y = 2

°¢£

Pág. 6


y = x – 2

y = 4 – x

xy = 4 – — 2

xy = 2 + — 2

y = x – 3

y = –2x

y = –2x – 2

2x – 6y = — 3


PÁGINA 153

1 Resuelve por sustitución y comprueba que obtienes las soluciones que se ad-juntan abajo.

a) b)

c) d)

SOLUCIONES

a) x = 3 b)x = 4 c) x = 9 d)x = 2y = 3 y = 2 y = 10 y = –1

a) 2y – y = 3 8 y = 3; x = 3

b) 2y + 3y = 10 8 y = 2; x = 4

c) 3x – 2(x + 1) = 7 8 x = 9 8 y = 9 + 1 = 10

d) 4x – (2x – 5) = 9 8 x = 2 8 y = 2 · 2 – 5 = –1

2 Resuelve por sustitución y comprueba las soluciones que se ofrecen.

a) b)

c) d)

SOLUCIONES

a) x = 3 b)x = 3 c) x = 5 d)x = –1y = 4 y = 5 y = –2 y = –4

a) x = 11 – 2y 8 3(11 – 2y) – y = 5 8 y = 4

x = 11 – 2 · 4 8 x = 3

b) y = 2x – 1 8 5x – 3(2x – 1) = 0 8 x = 3

y = 2 · 3 – 1 8 y = 5

c) x = 1 – 2y 8 2(1 – 2y) + 3y = 4 8 y = –2

x = 1 – 2 · (–2) 8 x = 5

d) x = 3 + y 8 7 · (3 + y) – 3y = 5 8 y = –4

x = 3 + (–4) 8 x = –1

x – y = 37x – 3y = 5

°¢£

x + 2y = 12x + 3y = 4

°¢£

2x – y = 15x – 3y = 0

°¢£

x + 2y = 113x – y = 5

°¢£

y = 2x – 54x – y = 9

°¢£

y = x + 13x – 2y = 7

°¢£

x = 2yx + 3y = 10

°¢£

y = x2x – y = 3

°¢£

Pág. 7



PÁGINA 154

3 Resuelve por igualación y comprueba que obtienes las soluciones que se ad-juntan.

a) b)

c) d)

SOLUCIONES

a) x = 5 b)x = 2 c) x = 5 d)x = –1y = 5 y = 6 y = –1 y = –4

a) y = 3y – 10 8 y = 5; x = 5

b) 3x = 5x – 4 8 x = 2

y = 3 · 2 8 y = 6

c) 3 – 2y = 8 + 3y 8 y = –1 8 x = 3 – 2 · (–1) = 5

d) –2x – 6 = 5x + 1 8 x = –1 8 y = 5 · (–1) + 1 = –4

4 Resuelve por igualación y comprueba las soluciones que se ofrecen.

a) b)

c) d)

SOLUCIONES

a) x = 4 b)x = –1 c) x = –2 d)Sin solución.y = 1 y = –2 y = 5

a)= 7 – 3y 8 y = 1 8 x = 7 – 3 · 1 = 4

b)1 + y = 8 y = –2 8 x = 1 – 2 = –1

c)= 1 – 2x 8 x = –2 8 y = 1 – 2 · (–2) = 5

d)2x – 3 = 8 Sin solución.4x – 7

2

°§¢§£

y = 2x – 34x – 7y = —

2

–5x2

°§¢§£

–5xy = —2

y = 1 – 2x

4 + 3y2

°§¢§£

x = 1 + y4 + 3yx = —

2

10 + 2y3

°§¢§£

10 + 2yx = —3

x = 7 – 3y

2x – y = 34x – 2y = 7

°¢£

5x + 2y = 02x + y = 1

°¢£

x – y = 12x – 3y = 4

°¢£

3x – 2y = 10x + 3y = 7

°¢£

°¢£

y = –2x – 6y = 5x + 1

°¢£

x = 3 – 2yx = 8 + 3y

2x + y + 6 = 05x – y + 1 = 0

°¢£

x + 2y = 3x – 3y = 8

°¢£

y = 3xy = 5x – 4

°¢£

x = yx = 3y – 10

°¢£

Pág. 8



PÁGINA 155

5 Resuelve por reducción sumando o restando directamente las ecuaciones.

a) b)

a) 2x = 8 8 x = 4 b) 3y = 9 8 y = 3

6y = 6 8 y = 1 5x + 3 = 8 8 x = 1

6 Resuelve por reducción siguiendo las instrucciones.

a) (Multiplica la 1.a ecuación por +3).

b) (Multiplica la 1.a ecuación por +5, y la 2.a, por +3).

a) 8 13x = 13 8 x = 1; 12 · 1 + 3y = 3 8 y = –3

b) 8 19x = 38 8 x = 2; 10 · 2 + 15y = 35 8 y = 1

7 Resuelve por el método de reducción y comprueba las soluciones.

a) b)

c) d)

SOLUCIONES

a) x = 2 b)x = –1 c) x = 3 d)x = 3y = –2 y = 1 y = –1 y = –2

a) x + 2y = –2 b) –4x – 6y = –2

6x – 2y = 16 4x – 5y = –9

7x = 14 8 x = 2 –11y = –11 8 y = 1

2 + 2y = –2 8 y = –2 4x – 5 · 1 = –9 8 x = –1

c) 10x + 6y = 24 d) 6x + 21y = –24

–9x – 6y = –21 8 x = 3 35x – 21y = 147

10 · 3 + 6y = 24 8 y = –1 41x = 123 8 x = 3

6 · 3 + 21y = –24 8 y = –2

2x + 7y = –85x – 3y = 21

°¢£

5x + 3y = 123x + 2y = 7

°¢£

2x + 3y = 14x – 5y = –9

°¢£

x + 2y = –23x – y = 8

°¢£

°¢£

10x + 15y = 359x – 15y = 3

°¢£

12x + 3y = 3x – 3y = 10

2x + 3y = 73x – 5y = 1

°¢£

4x + y = 1x – 3y = 10

°¢£

5x + 4y = 175x + y = 8

°¢£

x + 3y = 7x – 3y = 1

°¢£

Pág. 9



PÁGINA 156

1 En una clase hay 29 alumnos y alumnas, pero el número de chicas supera entres al de chicos.

¿Cuántos alumnos y cuántas alumnas hay en la clase?

CHICOS 8 x CHICAS 8 y

8 En la clase hay 13 chicos y 16 chicas.

2 La suma de dos números es 12, y el triple del menor supera en una unidad aldoble del mayor.

¿Cuáles son esos números?

N.° MENOR 8 x N.° MAYOR 8 y

8 Los números son 5 y 7.

PÁGINA 157

3 He comprado tres bolígrafos y un rotulador por 6 €. Mi amiga Rosa ha paga-do 9,25 € por dos bolígrafos y tres rotuladores.

¿Cuánto cuesta un bolígrafo? ¿Y un rotulador?

8 Un bolígrafo cuesta 1,25 €, y un rotulador, 2,25 €.x = 1,25y = 2,25

°¢£

3x + y = 62x + 3y = 9,25

6 €

9,25 €

x = 5y = 7

°¢£

x + y = 123x = 2y + 1

°¢£

MENOR + MAYOR = 12TRIPLE DEL MENOR = DOBLE DEL MAYOR + 1

x = 13y = 16

°¢£

x + y = 29y = x + 3

°¢£

CHICOS + CHICAS = 29CHICAS = CHICOS + 3

Pág. 10



4 En la frutería, un cliente ha pagado 3,90 € por un kilo de naranjas y dos demanzanas. Otro cliente ha pedido tres kilos de naranjas y uno de manzanas, yha pagado 5,70 €.

¿Cuánto cuesta un kilo de naranjas? ¿Y uno de manzanas?

8 Un kilo de naranjas cuesta 1,5 €, y uno de manzanas,1,2 €.

PÁGINA 158

5 ¿Qué cantidades de café, uno de calidad superior, a 13 €/kg, y otro de calidadinferior, a 8 €/kg, hay que utilizar para conseguir 30 kg de mezcla que resultea 10 €/kg?

8

6 ¿Qué cantidades de oro, a 8 €/gramo, y de plata, a 1,7 €/gramo, se necesitanpara obtener 1 kg de aleación que resulte a 4,22 €/gramo?

8 Se necesitan 400 g de oro y 600 g de plata.x = 400y = 600

°¢£

x + y = 1 0008x + 1,7y = 4 220

Se necesitan 12 kg del café de calidadsuperior y 18 kg del de calidad inferior.

x = 12y = 18

°¢£

x + y = 3013x + 8y = 300

x = 1,5y = 1,2

°¢£

x + 2y = 3,93x + y = 5,70

3,90

5,70

1x 2y

3x 1y

Pág. 11


C A N T I D A D (kg) P R E C I O (€ /kg) C O S T E (€ )

C A F É S U P E R I O R x 13 13xC A F É I N F E R I O R y 8 8y

M E Z C L A 30 10 300

C A N T I D A D (g) P R E C I O (€ /g ) C O S T E (€ )

O R O x 8 8xP L ATA y 1,7 1,7y

A L E AC I Ó N 1 000 4,22 4 220

soluciones a los ejercicios y problemas - centro de...

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