soluciones cada epigrafe t1

1Soluciones a las actividades de cada epígrafe

PÁGINA 20

Conocemos y manejamos varios conjuntos numéricos. Todos ellos es-tán bien estructurados:

• Los naturales, N.

• Si a estos les añadimos sus opuestos (negativos), obtenemos el con-junto de los enteros, Z.

• Si a los enteros les añadimos los fraccionarios, obtenemos el conjun-to de los racionales, Q.

• Si a los racionales les añadimos los no racionales, ¿conseguiremosun conjunto bien estructurado?

1 Escribe tres números naturales y tres números enteros que no sean naturales.

Por ejemplo: NATURALES ENTEROS NO NATURALES

2, 3, 4 –1, –7, –3

2 Escribe tres números racionales que no sean enteros y tres números que nosean racionales.

Por ejemplo: RACIONALES NO ENTEROS NO RACIONALES

, , π; ; 0,1010010001…

3 Sitúa los números anteriores en un esquema como este:

3—4

1—2 –2

—3

–1

3 42 –7

–3

√2–23

12

34

Pág. 1

Unidad 1. Números reales

8 0, 7, 15, ,

8 –13, –48, – ,

8 8,92; –15,8)63; ; – ; …

NO RACIONALES 8 , , – , , …3√4√8√5√2

875

711

FRACCIONARIOS(racionales no enteros)

3√–27246

ENTEROSNEGATIVOS

5√323311

NATURALES

NENTEROS

ZRACIONALES

Q

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°§§§§§¢§§§§§£


PÁGINA 21

ANTES DE COMENZAR, RECUERDA

1 Halla la fracción irreducible equivalente a los siguientes números decimalesy descompón en factores primos sus denominadores:

a) 6,388 b)0,00875

a) 6,388 = = =

b) 0,00875 = = =

2 Explica por qué las siguientes fracciones son equivalentes a números deci-males exactos:

a) b) c) d)

a) =

b) =

c) =

d) = =

Son equivalentes a números decimales exactos porque en sus fracciones irreduci-bles los denominadores solo tienen factores 2 y 5.

3 Halla la fracción generatriz de:

a) 4,)8 b)0,0

)51 c) 1,23

)456 d)7,45

)6

a) 4,)8 = =

b) 0,0)51 =

c) 1,23)456 = =

d)7,45)6 = = 6 711

9007 456 – 745

900

123 33399 900

123 456 – 12399 900

51990

449

48 – 49

2732 · 52

2 · 5 · 3 · 7 · 27322 · 53 · 3 · 7

57 33010 500

3 · 912 · 52

2 · 32 · 5 · 7 · 9122 · 3 · 53 · 7

3 1472 · 54

3 1471 250

3 74125 · 55

3 741100 000

57 33010 500

2 · 32 · 5 · 7 · 9122 · 3 · 53 · 7

3 1471 250

3 741100 000

725 · 52

53 · 753 · 800

875100 000

1 5972 · 53

22 · 1 59722 · 250

6 3881 000

Pág. 2



4 Explica por qué las siguientes fracciones son equivalentes a números decima-les periódicos:

a) b) c) d)

a) es una fracción irreducible y su denominador, 7, es distinto de 2 y de 5.

b) = . Hay un 3 en el denominador de su fracción irreducible.

c) . Es una fracción irreducible, y hay un 7 en su denominador.

d) = . En el denominador de su fracción irreducible hay unfactor distinto de 2 y de 5, el 19.

PÁGINA 22

Hazlo tú

Prueba que es irracional.

Supongamos que es racional. En este caso lo podemos escribir así:

= 8 3 = 8 3b2 = a2

Al ser b2 un cuadrado perfecto, contiene el factor 3 un número par de veces. Por tan-to, 3b2 contiene el factor 3 un número impar de veces, lo cual es contradictorio conque a2(a2 = 3b2), por ser cuadrado perfecto, lo contendría un número par de veces.

Hazlo tú

Prueba que 3 + 15 es irracional.

Veamos primeramente que es irracional. Si no lo fuese, podríamos escribir:

= 8 7b2 = a2

Razonando de forma similar al ejercicio anterior, llegaríamos a una contradicción, pro-bando que, efectivamente, es irracional.

Ahora llamamos N = 3 + 15 8 =

Si fuese N racional, también lo sería. Es decir, sería racional, y no lo es.

Por tanto, N = 3 + 15 es un número irracional.√7

√7N – 153

N – 153

√7√7

√7

ab

√7

√7

√7

a2

b2ab

√3

√3

√3

2 · 115 · 19

22 · 3 · 5 · 112 · 3 · 52 · 19

372 · 5 · 7

13 · 5

20300

37

22 · 3 · 5 · 112 · 3 · 52 · 19

372 · 5 · 7

20300

37

Pág. 3



PÁGINA 23

1 Jusitifica que las construcciones siguientes:

dan un segmento de medida igual al número de oro:

F = = +

a = (radio de la circunferencia)

Aplicando el teorema de Pitágoras:

b = = = =

F = a + b = +

F = a + b = +

2 Queremos demostrar que el número de oro, F, es irracional. Sabemos que lo es (por lo mismo que ). Observa que:

Si F = , entonces:

2F = + 1 8 = 2F – 1

De la igualdad = 2F – 1, ¿qué deduciríamos si F fuera racional?

Si F fuese racional, 2 F – 1 también sería racional, lo que contradice el que es irracional.

√5

√5

√5√5

√5 + 12

√2√5

√52

12

√52

12

√52

5√—4

1√— + 14

1√(—)2 + 12

2

12

12

√52

√5 + 12

1

11/2

1—2

1—2

√—5—

2

F

F

Pág. 4


1

a

a

b

b 1

1/2

1—2

1—2

√—5—

2

F

F


PÁGINA 24

1 Representa , – y en la recta real.

= 3 +

2 Justifica la construcción de , y .

Representa y (17 = 42 + 12).

es la diagonal de un cuadrado de lado 1, el cual podemos construir.

es la diagonal de un rectángulo de lados 1 y , que podemos construir.

es la diagonal de un rectángulo de lados 1 y 3, y lo podemos construir.

PÁGINA 25

3 Representa en la recta real los números:

a) –2; 3,75; ; 0,666… de forma exacta.

b)F de forma exacta y aproximada (1,618…).

a)

0–2 –1 1 2 3 3,75 4

1

√—5 20,

)6 = —

3

)1 + √52(

√5

0 1 2 3 4

1 1

√—11 √

—17

√10

√2√3

√2

√17√11

√10√3√2

57

267

–1 0 1

1 11

2 3 4–5/7 5/7 26/7

267

57

57

Pág. 5



b)

PÁGINA 27

1 Escribe los conjuntos siguientes en forma de intervalo y representa los núme-ros que cumplen las condiciones indicadas en cada caso:

a) Comprendidos entre 5 y 6, ambos incluidos.

b)Mayores que 7.

c) Menores o iguales que –5.

a) [5, 6]

b) (7, +@)

c) (–@, –5]

2 Escribe en forma de intervalo y representa:

a) {x / 3 Ì x < 5}

b) {x / x Ó 0}

c) {x / –3 < x < 1}

d){x / x < 8}

a) [3, 5)

b) [0, +@)

c) (–3, 1)

d) (–@, 8)8

–3 0 1

0

3 5

–5

7

5 6

0 1/2 1 2

0 1 2

1,6 1,71

F

√—5—

2

1,61 1,62

1,6191,618

Pág. 6



3 Escribe en forma de desigualdad y representa:

a) (–1, 4] b)[0, 6] c) (–@, –4) d)[9, +@)

a) {x / –1 < x Ì 4}

b) {x / 0 Ì x Ì 6}

c) {x / x < –4}

d) {x / x Ó 9}

PÁGINA 28

Cálculo mental

1 Di el valor de k en cada caso:

a) = 2 b) = –3

c) = d) = 2

a) k = 23 = 8 b) –243 = (–3)5 8 k = 5

c) k = d) 1 024 = 210 8 k = 10

2 Calcula las raíces siguientes:

a) b) c)

d) e) f )

a) –2 b) 2 c) –2

d) 0 e) 3 f ) 5

1 Expresa en forma exponencial.

a) b) ( )5 c)

d) e) f )

a) x1/5 b) x10/3 c) a6/15

d) (a13 – 6)1/2 = a7/2 e) (x1/2)1/3 = x1/6 f ) (ak/m)1/n = ak/m · n

n√m√—ak

3√√—x

a13

√ a6

15√a63√x25√x

3√1254√81

8√0

5√–325√32

3√8

24

34

k√1 02423

4√k

k√–2433√k

9

–4

0 6

–1 4

Pág. 7



2 Calcula.

a) 41/2 b)1251/3

c) 6251/4 d)82/3

e) 645/6 f ) 363/2

a) 41/2 = = 2 b) 1251/3 = = 5

c) 6251/4 = = 5 d) 82/3 = = 4

e) 645/6 = = 25 f ) 363/2 = = 63 = 216

3 Expresa en forma radical.

a) x7/9 b) (m5 · n5)1/3

c) a1/2 · b1/3 d)[(x2)1/3]1/5

a) b)

c) · = d) =

PÁGINA 29

Halla con la calculadora:

1 a) b)3272 c)

a) = 23,259406…

b) 3272 = 106 929

c) = 2,0432257…

2 a) b) c)

a) = 1,5247036…

b) = 2,8927857…

c) = 2,9856379…

3 a) b) c)

a) = 4,2391686…

b) = 2,5279828…

c) = 0,043√0,0082

4√2,15

5√372

3√0,00824√2,155√372

4√79,46

6√586

5√8,24

4√79,466√586

5√8,24

3√8,53

√541

3√8,53√541

15√x25√ 3√—x26√a3 b23√b√a

3√(m · n)59√x7

√3636√645

3√824√625

3√125√4

Pág. 8



PÁGINA 31

1 Simplifica.

a) b) c)

d) e) f )

a) = x9/12 = x3/4 =

b) = x8/12 = x2/3 =

c) = y2

d) = = 21/2 =

e) = = 26/9 = 22/3 =

f ) = = 31/2 =

2 ¿Cuál de los dos es mayor en cada caso?

a) y

b) y

a) = =

>

= =

b) = =

>

3 Reduce.

a) · b) · c)

a) · = · =

b) · = · = = = ·

c) =

4 Saca del radical los factores que sea posible.

a) b) c)

a) = = 2x

b) = = 3ab

c) = = 25√2

5√265√64

3√3b2c3√34a3b5c

3√81a3 b5c

3√4x3√25x43√32x4

5√643√81a3b5c

3√32x4

5√a2 b310√a4 b6

3√2√36√22 · 336√62 · 3

6√36√626√3

3√6

15√2815√2315√255√23√2

10√a4 b66√33√6

5√23√2

9√132 650

9√132 6503√51

9√132 6519√5133√51

12√28 56112√1343√13

3√134√31

12√29 79112√3134√31

9√132 6503√51

3√134√31

√38√348√81

3√49√269√64

√26√236√8

5√y 10

3√x212√x8

4√x312√x9

8√819√64

6√8

5√y1012√x812√x9

Pág. 9


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5 Simplifica.

a) b) c)

d) ( )6 e) ( )3 · ( ) f ) ( )8

a) = = = =

b) = = =

c) = = =

d) ( )6 = a12/3 = a4

e) ( )3 · = x3/2 · x1/3 = x11/6 =

f ) ( )8 = (((21/2)1/2)1/2)8 = (21/8)8 = 2

6 Efectúa.

+ – –

+ – – = + – – =

= 3 + 5 – – 2 = 5

PÁGINA 327 Racionaliza los denominadores.

a) b) c)

d) e) f )

a) = b) =

c) = = d) = =

e) = = 4 ( – )

f ) = = 6 + 3√33(2 +√—3)

4 – 33

2 – √3

√2√34(√—3 – √

—2)

3 – 24

√—3 + √

—2

25√33

32

5√33

5√—32 5√

—33

25√32

3√42

3√22

3√—2

3√—22

13√2

√—5 √

—7

7√5

√7

5√22

5

√2

3

2 – √3

4

√—3 + √

—2

25

√32

13

√2

√5

√7

5

√2

√2√2√2√2√2

√23√2√2 · 52√2 · 32√8√2√50√18

√8√2√50√18

√√—√

—2

6√x113√x√x

3√a2

4 a√ bc1c

4 a√ bc5

4 a3b5c√ a2b6c6

4√a3b5c

√ab3c3

10√2310 28

√ 25

10 162

√ 25

5√16

√2

3√326√346 36

√ 32

6 93

√ 32√93√3

√√—√

—2

3√x√x3√a2

4√a3b5c

√ab3c3

5√16

√2

√93√3

Pág. 10



PÁGINA 33

Cálculo mental

Expresa en notación científica los siguientes números:

a) 340 000 b)0,00000319

c) 25 · 106 d)0,04 · 109

e) 480 · 10–8 f ) 0,05 · 10–8

a) 340 000 = 3,4 · 105 b) 0,00000319 = 3,19 · 10–6

c) 25 · 106 = 2,5 · 107 d) 0,04 · 109 = 4 · 107

e) 480 · 10–8 = 4,8 · 10–6 f ) 0,05 · 10–8 = 5 · 10–10

PÁGINA 35

1 Toma 3,14 como valor aproximado de π.

Da una cota del error absoluto y otra del error relativo de este número irra-cional.

E.A. < 0,005

E.R. < < 0,00159 = 1,59 · 10–3

2 Da el valor de 100F (recuerda que F es el número de oro) con 6 cifras signifi-cativas y acota el error absoluto y el error relativo que se comete.

F = 1,61803398874…

Con seis cifras significativas, 100F = 161,803

E.A. (100F) < 0,0005

E.R. (100F) < < 0,00000309 = 3,09 · 10–6

3 La distancia de la Tierra al Sol es 149 000 000 km.

a) Exprésala en notación científica.

b)Exprésala en cm con dos cifras significativas.

c) Exprésala en cm con cuatro cifras significativas.

d)Acota los errores absoluto y relativo en los tres casos anteriores.

a) 1,49 · 108 km

b) 1,5 · 1013 cm

c) 1,490 · 1013 cm

0,0005161,803

0,0053,14

Pág. 11



d) CASO a) E.A. < 0,005 cientos de millones de kilómetros.

E.R. < < 0,00336

CASO b) E.A. < 0,05 decenas de billones de centímetros.

E.R. < < 0,033

CASO c) E.A. < 0,0005 decenas de billones de centímetros.

E.R. < < 0,000336 0,00051,490

0,051,5

0,0051,49

Pág. 12


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soluciones cada epigrafe t1

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