FACULTAD DE CIENCIAS DE GRANADA

DEPARTAMENTO DE FISICA TEORICA Y DEL COSMOS

Trabajo de Fin de Master:

Soluciones Cosmologicas en la Gravedad deGauss-Bonnet

Trabajo realizado por el alumno Manuel Luis Gonzalez Hernandez para obtener el tıtulodel master en Fısica y Matematicas (FisyMat)

Tutorizado por el profesor Bert Janssen del Departamento de Fısica Teorica y delCosmos de la Universidad de Granada

.

DECLARACION

En cumplimiento de la normativa aprobada en Consejo de Gobierno de 4 de marzo de 2013,sobre Directrices de la Universidad de Granada para el desarrollo de la asignatura ”Trabajo Finde Master”de sus tıtulos de master (Art 8,4)

D.Da Manuel Luis Gonzalez Hernandez

Asume la originalidad del trabajo fin de master, entendida en el sentido de que no ha utili-zado fuentes sin citarlas debidamente.

Granada, a 11 de SEPTIEMBRE de 2017

Fdo.:

Resumen

Introduciremos dos teorıas diferentes de la gravedad, la de Eintein-Hilbert y la de Gauss-Bonnet,las cuales vamos a desarrollar y comparar sus predicciones. Hallaremos las ecuaciones que debecumplir la metrica, segun cada gravedad, y las compararemos. Veremos que a este nivel ya pre-dicen diferentes dinamicas de la gravedad con un distinto regimen dimensional e implicacionessobre el tensor de Weyl. Estamos interesados tambien en conocer sus diferencias en cuanto asoluciones de las ecuaciones de movimiento se refiere por ello, estudiaremos un caso concreto.Hallaremos las ecuaciones Friedmann de cada gravedad, estudiaremos las diferencias entre lasmismas a nivel formal y a nivel de las soluciones. A nivel formal abordaremos dos problemas:la variacion de la densidad total con el tiempo, dependiendo de la geometrıa de las seccionesespaciales, y el estudio de la ecuacion de aceleracion. Veremos que ambas gravedades predicendiferentes dinamicas de los espaciotiempos ya a nivel formal de las ecuaciones de Friedmann,pero para verlo de una forma mas evidente, las solucionaremos en algunos casos determinados.Compararemos las soluciones de la gravedad de Eintein-Hilbert y Gauss-Bonnet para el universoestatico de Einstein, espacio de De Sitter, espacio de Anti-de Sitter, universo de Milne, espaciode Einstein-de Sitter y otros universos espacialmente planos. Veremos que soluciones son propiasde cada gravedad y cuales son similares, desarrollando las condiciones que deben cumplir, encada caso, para que las soluciones sean la misma. Se dejara en los apendices los desarrollos ma-tematicos, para no hacer pesada la lectura del texto, ademas de un estudio, no tan exhaustivo,de otra teorıa de la gravedad, la de Einstein-Hilbert-Gauss-Bonnet.

Palabras clave

Gravitacion, gravedad de Einstein-Hilbert, gravedad de Gauss-Bonnet, ecuaciones de Friedmann,espaciotiempo maximamente simetrico.

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Convenios y Notacion

Usaremos unidades naturales salvo que se especifique lo contrario.

Consideramos un espaciotiempo con una metrica semiriemanniana gµν , N-dimensional con sig-natura lorentziana 1,−1,−1, ....

Tomamos como ındices espaciotemporales las letras griegas: µ, ν, ρ, λ, σ, α, ... y como ındi-ces espaciales letras latinas: i, j, k, l,m, n, o....

Consideramos el tensor de Riemman definido de la forma

Rµνρλ = ∂µΓλνρ − ∂νΓλµρ + ΓλµσΓσνρ − ΓλνσΓσµρ,

que tiene las siguientes simetrıas

Rµνρλ = −Rνµρλ = −Rµνλρ = Rρλµν ,

y que cumple la identidad de Bianchi

Rµνρλ +Rµλνρ +Rµρλν = 0.

Podemos tomar la traza del tensor de Riemann, obteniendo el tensor de Ricci

Rµν = Rµλνλ = ∂µΓλλν − ∂λΓλµν + ΓλµσΓσλν − ΓλλσΓσµν ,

que es simetrico en sus ındices. Tambien, si tomamos la traza del tensor de Ricci, obtenemos elescalar de Ricci

R = gµνRµν .

Entonces, el tensor de Riemann lo podemos descomponer en sus distintas trazas y en la partesin traza

Rµνρλ = Wµνρλ +2

(N − 2)

(gµ[ρRλ]ν − gν[ρRλ]µ

)− 2

(N − 1)(N − 2)Rgµ[ρgλ]ν ,

donde Wµνρλ es la parte sin traza del tensor de Riemann, el tensor de Weyl, con las mismassimetrıas que el tensor de Riemann.

Aunque a nivel del lagrangiano hablemos de constante cosmologica como Λ (sobretodo en laseccion ’Introduccion’), cuando desarrollemos el trabajo vamos a considerarla como una densi-dad de energıa mas, la denominamos como ρΛ.

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1. Introduccion

El desarrollo de la Relatividad General (RG) a principios del siglo XX cambio el paradigmadel fenomeno de la gravedad. Hasta entonces la gravedad se entendıa como una fuerza, pero A.Einstein, en su teorıa de la gravitacion, propuso entenderla como la curvatura del espaciotiempo.Esta nueva concepcion tenıa nuevas predicciones como que la gravedad curva la luz o dilata losintervalos de tiempo, las cuales, han sido comprobadas experimentalmente.La curvatura del espaciotiempo queda determinada por la metrica de este, por tanto para des-cribir la gravedad debemos conocer este campo tensorial. Tambien, tenemos que caracterizar lafuente del campo gravitatorio. La fuente de la gravedad, acorde con la teorıa de Newton, es lamasa pero, por la equivalencia entre masa y energıa de la Relatividad Especial, en una teorıarelativista de la gravitacion tambien debe de serlo la energıa. En la RG se sintetizan estas dosideas en la ecuacion tensorial

Gµν = −κTµν , (1.1)

donde Gµν es un tensor que representa la geometrıa del espaciotiempo y Tµν el tensor energıa-momento que describe el contenido en energıa y materia de este. El signo negativo se introducepor convenio, para tomar la constante κ positiva. Esta es una constante de proporcionalidadque acopla la fuente del campo gravitatorio al mismo. Como el campo tensorial a determinar esla metrica del espaciotiempo, Gµν debe ser funcion de esta. Por lo tanto para hallar este tensor,se imponen ciertas condiciones que debe cumplir:

1) Gµν debe ser simetrico en sus ındices, ya que Tµν lo es.

2) Gµν debe ser un tensor puramente geometrico construido a partir de la metrica y susderivadas.

3) ∇µGµν , la divergencia de este tensor geometrico debe ser nula, ya que ∇µTµν = 0.

4) Para espaciotiempo plano se debe satisfacer que Gµν = 0, pues queremos que el espacio-tiempo de Minkowski sea solucion.

5) Queremos tener una teorıa dinamica de la gravedad, que respete causalidad. Para elloGµν debe contener al menos derivadas segundas de la metrica. Esto implica que, paramantener el caracter tensorial de Gµν , debe tener terminos con el tensor de Riemann o suscontracciones.

6) Queremos tener una teorıa de la gravedad fısicamente aceptable1, para ello debemos obte-ner una ecuacion diferencial de segundo orden (y no mas) en la metrica, de forma que Gµνdebe tener terminos en el tensor de Riemann o sus contracciones, pero no en las derivadasde estos.

La expresion mas simple para Gµν que cumple estas condiciones la desarrollo Einstein en 1915en su teorıa de la RG, siendo

Gµν = Rµν −1

2gµνR, (1.2)

entonces la ecuacion (1.1) toma la forma

Rµν −1

2gµνR = −κEH Tµν . (1.3)

1 Nos referimos con este termino a teorıas que describan la fısica de un fenomeno natural sin presentar problemasteoricos. Podemos entenderlo con una analogıa con la Mecanica Clasica, para determinar el movimiento de unapartıcula solo necesitamos ecuaciones diferenciales de movimiento de orden dos. Podrıamos plantearnos teorıascon derivadas de orden superior, pero no es necesario para describir la fısica de un sistema y ademas estas teorıastienen problemas teoricos.

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Con esta expresion para el tensor geometrico Gµν llegamos en el lımite no relativista a la ecuacionde Poisson de la gravedad newtoniana

∇2Φ(r, t) = 4πGNρ(r, t), (1.4)

donde ∇ representa el gradiente tridimensional. Para llegar a este lımite newtoniano κEH , laconstante de acoplamiento de (1.3), debe ser

κEH = 8πGN . (1.5)

Le damos a esta constante de acoplamiento el nombre κEH pues la expresion (1.2) fue propuestaparalelamente por A. Einstein y D. Hilbert (EH). Otras teorıas geometricas de la gravedad, quese basan en la idea de la ecuacion (1.1), llegando a una expresion distinta para Gµν , tendranuna constante de acoplamiento diferente.

Este fue el procedimiento que siguio Einstein para llegar a la ecuacion (1.3), pero como yahemos mencionado, paralelamente Hilbert tambien llego a esta siguiendo el metodo variacional.Para ello planteo la accion mas simple construida a partir de escalares de curvatura e hizo variarla metrica, hallando ası las ecuaciones de movimiento que debe satisfacer este campo tensorial.La accion que planteo Hilbert, conocida como accion de EH, mas una accion que describe loscampos materiales fue

S[gµν ] =1

2κEH

∫d4x√|g|R+

∫d4x√|g|LMat, (1.6)

donde |g| es el determinante de la metrica y LMat es el lagrangiano que representa el contenidoen energıa y materia del espaciotiempo. Variando esta accion con respecto a la metrica, llegamosa las expresiones

Gµν =δ(√|g|R)

δgµν, Tµν =

2√|g|δ(√|g|LMat)

δgµν, (1.7)

que, si las desarrollamos, obtenemos la ecuacion (1.3). El tensor Gµν ası definido cumple las seiscondiciones anteriormente expuestas. Todas de trivial demostracion menos la condicion 3) y la6). La condicion 3) se demuestra por del teorema de Noether aplicado a la simetrıa de cambiosarbitrarios de coordenadas. La condicion 6) se cumple sistematicamente para este lagrangianode EH, pues en el desarrollo del calculo variacional, las derivadas de orden superior a dos parala metrica se anulan. Sin embargo, esto no ocurre para cualquier lagrangiano, una combinacionarbitraria de escalares de curvatura nos lleva a una expresion para Gµν con derivadas de ordensuperior a dos. Por lo tanto, si queremos una teorıa de la gravedad fısicamente aceptable, de-bemos tener una combinacion de escalares de curvatura especıfica que anule estas derivadas deorden superior. Hemos visto ya una, el lagrangiano de EH, y durante el desarrollo del trabajoveremos mas.

Por tanto hemos presentado los dos procedimientos que se plantearon para llegar a la ecua-cion (1.3). El procedimiento que siguio Einstein se basa en que condiciones fısicas debe cumplirla ecuacion (1.1), para llegar a una teorıa geometrica de la gravedad fısicamente admisible.Siguiendo este procedimiento la condicion no trivial es la 3), pues cualquier combinacion detensores de curvatura no tendra divergencia nula. Hilbert, sin embargo, siguio un procedimientomas sistematico que, como ya hemos dicho, por la propia maquinaria matematica del formalismolagrangiano cumple las primeras cinco condiciones para (1.1). Siguiendo esta vıa no es seguroque se cumpla la condicion 6) pues, en general, para un lagrangiano de escalares de curvaturase deducen ecuaciones para la metrica con derivadas de orden superior a dos.

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El procedimiento actual para proponer teorıas de la gravedad es el formalismo lagrangiano.Muchas de estas teorıas ignoran que se cumpla la condicion 6), como por ejemplo, teorıas f(R)o f(Rµν). Sin embargo ciertos lagrangianos, en las ecuaciones para los campos, no tienen deri-vadas de la metrica de orden superior a dos.En 1938, C. Lanzcos encontro que al variar con respecto a la metrica el termino de Gauss-Bonnet(GB)

LGB = R2 − 4RµνRµν +RµνρλR

µνρλ, (1.8)

las derivadas de orden mayor que dos, en las ecuaciones para los campos, se anulan [1]. Estose debe a los coeficientes especıficos de cada escalar de curvatura, pues cada termino tiene de-rivadas de orden superior a dos pero en conjunto se anulan. Se debe suponer un espaciotiempode N > 4, pues para esta dimension este es un termino topologico (la caracterıstica de Eulercuatridimensional) y no contribuye a las ecuaciones para los campos.

En 1971, D. Lovelock desarrollo una teorıa de la gravitacion para espaciotiempos en N di-mensiones. Demostro que se puede construir un lagrangiano de escalares de curvatura hastaorden n en el tensor de Riemann que cumpliera la condicion 6) [2]. Esta teorıa engloba losterminos de EH y de GB, siendo la expresion general para el tensor geometrico

Gµν =δ(√|g|∑n

a=0 κa ·LLLa)

δgµν, (1.9)

con κa, las distintas constantes de acoplamiento de cada termino del lagrangiano. El termino deorden n contribuye en las ecuaciones para los campos en espaciotiempos de dimension N > 2n.Para dimension N = 2n es un termino topologico y para dimensiones N < 2n es identicamentenulo. Algunos de los terminos del lagragiano de Lovelock son:

LLL0 = Λ, la constante cosmologica.

LLL1 = LEH = R, el lagrangiano propuesto por Hilbert.

LLL2 = LGB = R2 − 4RµνRµν +RµνρλRµνρλ, el lagrangiano de Gauss− Bonnet.

LLL3 = R3 − 12RRµνRµν + 16RµνRνρR

ρµ + 24RµνρλRµρRνλ +RRµνρλRµνρλ+

+ 24RµνρλRρλνσRσµ + 8Rµν ρλR

ρσνδR

λδµσ + 2RµνρλRρλσδR

σδµν ,

el termino de orden tres en el tensor de Riemann.

Vemos que la teorıa de Lovelock incluye a la teorıa de la gravedad EH y GB, ademas de termi-nos cada vez mas complicados. Para N = 4 el lagrangiano de Lovelock se reduce unicamente allagrangiano de EH con constante cosmologica, siendo el termino de GB una derivada total y elresto de terminos identicamente nulos. Analogamente, para N = 6 el lagrangiano de Lovelockse reduce a los lagrangianos de EH y GB (cada uno pesado por su constante de acoplamiento)con constante cosmologica.

En este trabajo nos disponemos a estudiar el lagrangiano de EH y de GB por separado, esdecir, como dos teorıas de la gravedad distintas y compararemos sus predicciones. Para elloconsideraremos un espaciotiempo N−dimensional y veremos que predicciones tiene la teorıa deEH y la teorıa de GB sobre la dinamica de este. Segun lo que hemos expresado antes, en esteespaciotiempo N−dimensional, hay terminos del desarrollo de Lovelock de orden superior quecontribuirıan a las ecuaciones para los campos, pero no los vamos a considerar.Como la gravedad de EH esta muy estudiada (para ello se puede acudir a textos como [3], [4],

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[5] o [6], la primera parte del trabajo se centrara en desarrollar la teorıa de la gravedad de GB,hallando la ecuacion que debe satisfacer la metrica y compararla con la ecuacion de la gravedadEH. Una vez desarrollada esta teorıa, en la seccion 3 y 4, consideramos un Ansatz2 en particu-lar, el de Friedmann-Robertson-Walker, y calculamos las ecuaciones que se deducen del mismopara ambas teorıas. Estas ecuaciones, las Ecuaciones de Friedmann, describen la dinamica de losespaciotiempos maximamente simetricos, en concreto, se puede aplicar al estudio de la dinami-ca del Universo a grandes escalas. Podrıamos considerar cualquier otro Ansatz para compararambas gravedades en un caso concreto, pero elegimos este por dos razones: gran desarrollo deestas ecuaciones para EH y facilidad relativa del calculo. Son bien conocidas estas ecuacionespara la gravedad de EH, pues las utiliza la Cosmologıa para modelar la dinamica de nuestroUniverso y por tanto sus soluciones estan muy desarrolladas y entendidas. Tambien decimosfacilidad relativa en el calculo pues este Ansatz solo tiene una funcion a determinar y por tantolas Ecuaciones de Friedmann son un sistema de ecuaciones diferenciales para una sola funcion.Una vez estudiadas a nivel formal estas ecuaciones para la gravedad EH y GB, en la seccion 5,vamos a dar soluciones a estas ecuaciones para ambas gravedades. Veremos que soluciones exis-ten en ambas teorıas, que diferencias tienen y tambien observaremos que hay soluciones propiasde cada una de las teorıas. Por tanto, veremos que todo lo conocido de la dinamica de espa-ciotiempos Friedmann-Robertson-Walker en Cosmologıa resulta unicamente caracterıstico a lagravedad EH, pues la gravedad GB tiene predicciones distintas. En los apendices dejaremos loscalculos explıcitos de los desarrollos, ademas de ciertos puntos que van mas alla de los objetivosde este trabajo.

2. Gravedad Gauss-Bonnet

La gravedad GB se refiere a la ecuacion que debe cumplir la metrica deducida a partir dellagrangiano LGB, ası como gravedad EH se refiere a la ecuacion que debe cumplir la metricadeducida del lagrangiano LEH . Los coeficientes del lagrangiano GB estan ajustados de modoque se llegue a una ecuacion diferencial de orden dos para la metrica y, como ya hemos dicho,cualquier otra terna de coeficientes no cumplirıan esta condicion. Con el fin de demostrar que ellagrangiano de GB es el unico que cumple este punto, salvo un factor global que no afecta a lasecuaciones de movimiento, sustituiremos los coeficientes especıficos por unos generales (α, β, γ).En el calculo llegaremos a la conclusion que, para hacer desaparecer las derivadas de ordensuperior a dos, deberan tomar los valores (α, β, γ) = (1,−4, 1). Esta accion mas un lagrangianoque represente los campos de materia queda de la forma

S[gµν ] =1

2κ

∫dNx

√|g|(αR2 + βRµνRµν + γRµνρλRµνρλ) +

∫dNx

√|g|LMat. (2.1)

La constante de acoplamiento κ es la que tendrıa un lagrangiano general con coeficientes (α, β, γ),unicamente cuando tomemos (α, β, γ) = (1,−4, 1), el lagrangiano sera el de GB y la llama-remos entonces, κGB. Recalcamos el hecho de que estamos considerando un espaciotiempoN−dimensional y por tanto el diferencial de la integral es N−dimensional.Ahora procederemos al calculo variacional del cual deduciremos las ecuaciones para la metrica.

2Ansatz, del aleman, significa planteamiento o intento. Esto es porque el procedimiento habitual para resolverlas ecuaciones del campo gravitatorio en la Relatividad General es proponer una forma de la metrica con ciertasfunciones libres basandose en las simetrıas del sistema. Por tanto, dar una solucion a las ecuaciones del campogravitatorio consiste en resolver las ecuaciones diferenciales que se deducen para estas funciones libres.

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Para este calculo vamos a necesitar una serie de identidades

gµνδgµρ = −gµρδgµν , (2.2)

δ√|g| = −1

2

√|g|gµνδgµν , (2.3)

δΓρµν =1

2gρλ (∇µδgνλ +∇νδgµλ −∇λδgµν) , (2.4)

δRµνρλ =

1

2gλσ(∇µ∇ρδgνσ −∇µ∇σδgνρ −∇ν∇ρδgµσ +∇ν∇σδgµρ + [∇µ,∇ν ] δgρσ), (2.5)

δRµν =1

2gρλ(∇µ∇νδgρλ +∇ρ∇λδgµν − 2∇ρ∇(µδgν)λ), (2.6)

δR = Rµνδgµν − gµνδgµν +∇ν∇µδgµν , (2.7)√

|g|Tµνρλ∇µ∇νXρλ = ∂µ

(√|g|Tµνρλ∇νXρλ −Xρλ

√|g|∇νT νµρλ

)+√|g|Xρλ∇ν∇µTµνρλ,

(2.8)

donde ≡ gµν∇µ∇ν , representamos con [∇µ,∇ν ] al conmutador de derivadas covariantes, y∇ρ∇(µδgν)λ = 1

2∇ρ∇µδgνλ +∇ρ∇νδgµλ la simetrizacion de ındices µ y ν.Las seis primeras identidades son conocidas del calculo variacional para lagrangianos con termi-nos en el tensor de Riemann. La identidad (2.8) es valida si los ındices de Tµνρλ y ∇µ∇νXρλ

estan contraıdos, siendo irrelevante cuales sean dichos tensores y si son covariantes, contrava-riantes o mixtos. Esta identidad es clave para el calculo pues, representa la integracion por partesy nos permitira sacar la variacion de la metrica de las derivadas, como vemos en las identidades(2.5), (2.6) y (2.7). Conocidas estas identidades, podemos proceder al calculo variacional de laaccion, hallando ası las ecuaciones que debe cumplir la metrica. El calculo se hara termino atermino del lagrangiano por una cuestion de claridad. Finalmente, cuando hayamos desarrolladotodos los terminos demostraremos que, para anular las derivadas de orden superior a dos, debede satisfacerse (α, β, γ) = (1,−4, 1). Procedamos:

· Termino R2

δ(√|g|R2) =

√|g|(−1

2R2gµν + 2RRµν − 2gµνR+ 2∇µ∇νR

)δgµν + ∂µ(f(δgµν)).

(2.9)

Para este calculo hemos necesitado (2.2),(2.3) y (2.7) y (2.8).

· Termino RµνRµν

δ(√|g|RµνRµν) =

√|g|(−1

2gµνR

ρλRρλ + 2RµρRνρ − gµν∇ρ∇λRρλ −Rµν+

+ 2∇ρ∇(µRν)ρ

)δgµν + ∂µ(f(δgµν)), (2.10)

donde hemos usando la identidad(2.2), (2.3), (2.6) y (2.8).

· Termino RµνρλRµνρλ

δ(√|g|RµνρλRµνρλ) =

√|g|(−1

2gµνRρλσαR

ρλσα + 2RρλσµRρλσ

ν − 4∇ρ∇λRλνρµ)δgµν+

+ ∂µ(f(δgµν)), (2.11)

donde hemos usado las identidades (2.2), (2.3), (2.5) y (2.8).

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f(δgµν) es una funcion que no interesa su expresion, solo conocer que es lineal en la variacionde la metrica. Este termino al estar en una derivada total, solo va a dar una contribucion en lafrontera.Sustituyendo el desarrollo (2.9), (2.10), (2.11) de cada unos de los terminos en la variacion dela accion llegamos a

δS[gµν ] =1

2κ

∫dNx

√|g|α

(−1

2R2gµν + 2RRµν − 2gµνR+ 2∇µ∇νR

)δgµν+

+ β

(−1

2gµνR

ρλRρλ + 2RµρRνρ − gµν∇ρ∇λRρλ −Rµν + 2∇ρ∇(µRν)ρ

)δgµν+

+ γ

(−1

2gµνRρλσαR

ρλσα + 2RρλσµRρλσ

ν − 4∇ρ∇λRλνρµ)δgµν+

+1

2κ

∫dNx

√|g|κ 2√

|g|

δ(√|g|LMat

)δgµν

δgµν +

∫dNx ∂µ(f(δgµν)) = 0. (2.12)

La integral:∫dNx ∂µ(f(δgµν)), nos da la contribucion en la frontera de f(δgµν) que es lineal

en δgµν . En el calculo variacional suponemos que, en la frontera, la variacion de la metrica esnula, por tanto dicha integral es cero. Entonces, si usamos la definicion para el tensor energıa-momento, llegamos a que la metrica debe satisfacer la ecuacion

2αRRµν + 2β RµρRνρ + 2γ RρλσµR

ρλσν −

1

2gµν

(αR2 + βRρλRρλ + γRρλσαRρλσα

)+

+ α (−2gµνR+ 2∇µ∇νR) + β(−gµν∇ρ∇λRρλ −Rµν + 2∇ρ∇(µRν)ρ

)−

− 4γ∇ρ∇λRλνρµ = −κTµν . (2.13)

Como hemos seguido el procedimiento variacional, podemos asegurar que esta ecuacion cumplelas cinco primeras condiciones. Sin embargo, como el tensor de Riemann y sus contraccionesson derivadas segundas para la metrica, vemos que en (2.13) aparecen derivadas cuartas para lamisma por tanto, no se cumple la sexta condicion. En lo que sigue demostraremos que eleccionde (α, β, γ) es necesaria para satisfacer esta condicion. Ası pues, es necesario transformar algunosterminos de las derivadas de los tensores de curvatura

∇ν∇µRµν =1

2R,

∇µ∇νR = 2Rµν − 2∇ρ∇λRλνρµ + 2Rρ νµλRρλ + 2Rρ µRνρ,

2∇ρ∇(µRν)ρ = 2Rµν − 2∇ρ∇λRλνρµ.

Sustituimos estas expresiones en (2.13) y llegamos a la ecuacion

2αRRµν + (2β + 4α)Rρ µRρν + 4αRρ µνλRρλ + 2γRρλσ µRρλσν−

− 1

2gµν

(αR2 + βRρλRρλ + γRρλσαRρλσα

)− gµνR

(2α+

1

2β

)+

+Rµν(4α+ β) +∇ρ∇λRµρνλ(4γ + 4α+ 2β) = −κTµν , (2.14)

Por tanto, si queremos hacer desaparecer las derivadas de orden superior a dos en la metrica, sedebe satisfacer

2α+1

2β = 0 , 4α+ β = 0 , 4γ + 4α+ 2β = 0.

Como vemos, es un sistema de ecuaciones que no esta determinado, sino que depende de unparametro y resolviendolo llegamos a: (α, β, γ) = α(1,−4, 1). Entonces, para cualquier α hacemos

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desaparecer las derivadas de orden superior a 2. Esta constante es comun a todos los terminostanto al nivel de la accion, como de las ecuaciones para los campos. Por tanto, se puede absorberredefiniendo la constante de acoplamiento κ. Entonces, sin perdida de generalidad podemostomar α = 1 y llegamos ası a la ecuacion de la gravedad de GB

2RRµν − 4Rρ µRρν + 4Rρ µνλRρλ + 2Rρλσ µRρλσν−

− 1

2gµν

(R2 − 4RρλRρλ +RρλσαRρλσα

)= −κGBTµν . (2.15)

El tensor geometrico deducido del lagrangiano de GB es

Gµν = 2RRµν − 4Rρ µRρν + 4Rρ µνλRρλ + 2Rρλσ µRρλσν−

− 1

2gµν

(R2 − 4RρλRρλ +RρλσαRρλσα

). (2.16)

Debido a que esta deducido a partir de un lagrangiano de escalares de curvatura, se cumple quesu divergencia es nula. De todas formas, es preciso llevar a cabo la pertinente comprobacion delcalculo para asegurarnos que hemos llegado a la expresion correcta, ver apendice (A).

Es legıtimo plantearse llegar a la expresion (2.16) para Gµν siguiendo el procedimiento de Eins-tein en vez del procedimiento variacional de Hilbert. De esta manera, podemos ver que ambosprocedimientos son analogos una vez mas y comprobar que hemos llegado a la expresion correctapara el tensor geometrico. Para seguir este procedimiento tenemos que proponer la forma masgeneral para el tensor Gµν , de orden dos en el tensor de Riemann y que cumpla las anteriorescondiciones

Gµν = aR2gµν + bRRµν + cRρλRρλgµν + dRρ µRρν+

+ eRρ µνλRρλ + fRρλσαRρλσαgµν + gRρλσ µRρλσν , (2.17)

donde a, b, c, d, e, f, g son constantes a determinar. Esta es la expresion mas general, no haninguna otra que cumpla las condiciones anteriormente expuestas y sea de orden dos en eltensor de Riemann. Para determinar los coeficientes debemos calcular la divergencia del tensorGµν anterior e igualarlo a cero. Es un calculo similar al del apendice (A) pero con coeficientesgenerales, llegando a las condiciones sobre los coeficientes

4a+ b = 0 d+ e = 0 e− 2g = 0

b− c = 0 d+ 2c = 0 g + 4f = 0

Resolviendo este sistema con un parametro libre llegamos a la expresion para Gµν de la gravedadGB. Por tanto, mediante ambos procedimientos llegamos a la misma solucion, como ya hemosdicho uno requiere especial atencion a la condicion sexta y otro a la cuarta.

Esta expresion (2.16) para Gµν , difiere de la obtenida por EH (1.2) en su teorıa de la gravi-tacion. Distintas expresiones de Gµν implican distintas curvaturas del espaciotiempo, para elmismo contenido en energıa y materia por tanto, distintas gravedades.Una diferencia fundamental entre ambas gravedades es que, a diferencia de la ecuacion (1.3),la ecuacion (2.15) involucra la parte sin traza del tensor de Riemann, el tensor de Weyl. En lagravedad EH, el contenido en energıa y materia del espaciotiempo solo determina la traza deltensor de Riemann de forma que, el tensor de Weyl es libre. Esto se traduce en que, por ejemplo,soluciones de vacıo no implican curvatura nula, como es el caso de la metrica de Schwarzschild.Sin embargo, la ecuacion para la metrica de la gravedad GB, sı impone condiciones sobre el

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tensor de Weyl. Podemos verlo usando la descomposicion del tensor de Riemann en sus distintastrazas y parte sin traza, aplicandola a la expresion de Gµν para la gravedad GB, la ecuacion(2.15) se expresa como

(N − 3)(N − 4)

(N − 1)(N − 2)2

[(N + 2)

2R2gµν +NRRµν

]+

(N − 3)(N − 4)

(N − 2)2

[Rρ µRρν +RρλRρλgµν

]+

+ 2W ρλσµWρλσν −

1

2gµνW

ρλσαWρλσα = −κGBTµν . (2.18)

Esto no tiene por que implicar que el tensor de Weyl este completamente determinado, perouna parte del mismo si lo estara. Este punto necesita un analisis mas en profundidad que seescapa de los objetivos de este trabajo. Por tanto, queda pendiente un estudio sobre que partedel tensor de Weyl esta determinada por el contenido en energıa y materia segun la gravedadde GB.Como hemos visto, en la gravedad GB el contenido en energıa y materia impone una ligaduraque el tensor de Weyl debe satisfacer. Es una diferencia con la gravedad EH que, como ya hemosdicho, el tensor de Weyl es completamente ajeno al contenido en energıa y materia del espacio-tiempo.

Otra diferencia entre estas dos teorıas de la gravedad es que tienen distintos regımenes deactuacion debido a la dimension del espaciotiempo considerado. En el caso de la teorıa deEH, el lagrangiano LEH = R en un espaciotiempo de N = 2 se puede escribir como unaderivada total y por tanto no obtenemos ecuaciones para la metrica, se demuestra en el teore-ma de Gauss-Bonnet [7]. En cuanto a dimensiones menores (en este caso solamente N = 1)este lagrangiano es identicamente nulo. Analogamente, en la teorıa de GB, el lagrangianoLGB = R2− 4RµνRµν +RµνρλRµνρλ se puede escribir como una derivada total para N = 4. Eneste caso esto lo demuestra el teorema de Chern-Gauss-Bonnet, [8]. Tambien, para dimensionesmenores (N = 1, 2, 3) el lagrangiano de GB es identicamente nulo. Esto se puede demostrarusando la descomposicion el tensor de Riemann en el lagrangiano, pues, para estas dimensiones,el tensor de Weyl es nulo.Entonces, la gravedad de Gauss-Bonnet solo aporta terminos dinamicos para espaciotiemposcon N ≥ 5 dimensiones. Como nuestro Universo tiene demostradas experimentalmente solo cua-tro dimensiones, concluimos que la gravedad Gauss-Bonnet no aporta ninguna informacion a ladinamica de la gravedad de nuestro Universo cuatridimensional. Sin embargo, en este trabajono estamos interesados en la posible aplicacion a nuestro Universo, sino en estudiar las dife-rentes predicciones teoricas que tiene cada teorıa de la gravedad. Por eso, para tratarlas en unmismo espaciotiempo, consideramos que tiene N ≥ 5 dimensiones. Ademas, si en algun momen-to se demostrara que nuestro Universo tiene cinco o mas dimensiones, no hay ninguna razonfundamental para no considerar la gravedad de Einstein-Hilbert-Gauss-Bonnet como la teorıageometrica que describe el fenomeno gravitatorio. Desarrollamos este punto en el apendice (C).

3. Ecuaciones de Friedmann para Einstein-Hilbert y Gauss-Bonnet

En la seccion anterior ya hemos visto algunas diferencias entre la gravedad de EH y la de GB,dan expresiones diferentes al tensor Gµν , lo que implica una ligadura sobre el tensor de Weyl enla gravedad GB y tambien difieren en el rango de aplicacion a espaciotiempos de acuerdo con ladimension de estos. Sin embargo, nos interesa conocer las similitudes y diferencias de estas dosteorıas en un caso concreto y para ello vamos a proponer el Ansatz de Friedmann-Robertson-Walker (FRW) y estudiar las ecuaciones que se deducen de cada teorıa. Tenemos dos razonespara motivar por que comparar ambas gravedades con este Ansatz concreto: por un lado, las

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ecuaciones de Friedmann (EdF) son bien conocidas en la gravedad de EH, pues son usadas en larama de la Astrofısica que estudia nuestro Universo a muy grandes escalas, la Cosmologıa y porotro, porque el Ansatz FRW es una metrica de prueba con una estructura relativamente simpledebido a que posee una sola funcion a determinar.

La Cosmologıa moderna se basa en dos principios a la hora de estudiar la dinamica del Universoa grandes escalas:

1. Principio Cosmologico: en cualquier momento el Universo es espacialmente homogeneo eisotropo3 a muy grandes escalas.

2. Postulado de Weyl : la materia a escalas cosmologicas se comporta como un fluido perfecto,cuyas componentes se mueven a lo largo de geodesicas temporales que no se intersectansalvo (posiblemente) en un punto en el pasado.

El Principio Cosmologico dice que se puede modelar el Universo como un espaciotiempo consecciones espaciales homogeneas e isotropas para cualquier instante de tiempo. Esto quiere decirque se puede separar el espaciotiempo en tiempo e hipersuperficies espaciales, es decir, foliarel espaciotiempo. Como estas son homogeneas e isotropas, sabemos que espacios pueden ser,lo veremos mas adelante. Esta es la informacion fısica que se puede deducir del Principio Cos-mologico, mas adelante veremos que implica matematicamente este principio.El Postulado de Weyl permite modelar el contenido en energıa y materia del Universo a grandesescalas, entendiendo con esto escalas muy superiores a galaxias y cumulos de galaxias, a escalasdel Universo Observable. Desde este punto de vista la densidad de materia y energıa la podemossuponer homogenea. Esto nos lleva a tomar el tensor energıa-momento de un fluido perfecto que,como dice el Postulado de Weyl, sigue geodesicas temporales, por lo tanto el movimiento de estees unicamente al del espaciotiempo. Esto nos lleva a plantear la existencia de unos observadoresespeciales, los que estan en reposo con respecto al fluido perfecto, los observadores comoviles,que se dejan arrastrar por el propio movimiento del espaciotiempo y por tanto su tiempo propiocoincide con el tiempo cosmico. Es interesante conocer el movimiento de estos observadores pues,entre otras cosas, conocer su tiempo propio es conocer la edad del Universo.En estos dos postulados se basa la Cosmologıa moderna. Para explotar el potencial de los mis-mos tendremos que ver que implican matematicamente, esto es, que simetrıas imponen sobre elAnsatz que introduciremos en ambas teorıas de la gravedad.

La otra razon para escoger el Ansatz FRW es por la facilidad relativa del calculo. Esto sedebe a las simetrıas que imponemos que tenga el Ansatz, homogeneidad, isotropıa y tambienla existencia de coordenadas comoviles. Entonces tenemos un espaciotiempo foliable para ca-da instante de tiempo por hipersuperficies espaciales homogeneas e isotropas. Por tanto, paraunas ciertas coordenadas, podemos separar el espaciotiempo en un subespacio unidimensional,la lınea del tiempo, y un subespacio (N−1)−dimensional, las secciones espaciales. Esta foliacionespacial para todo tiempo implica en la metrica que no haya terminos cruzados de coordenadasespaciales y temporales. Las secciones espaciales por ser homogeneas e isotropas son espacios deN − 1 dimensiones maximamente simetricos, los cuales solo existen tres: el espacio plano RN−1,la esfera SN−1, y el espacio hiperbolico HN−1. El tensor de Riemann de estos espacios se expresacomo

Rijkl = k (gilgjk − gikgjl) , (3.1)

donde la constante k indica el tipo de curvatura del espacio considerado. Si k = 0 tenemosque el tensor de Riemann es nulo y por tanto estamos considerando un espacio con curvatura

3Homogeneo significa que todos los puntos son equivalentes, e isotropo que todas las direcciones son equiva-lentes. Por tanto no existe ningun punto ni direccion privilegiada.

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nula, RN−1. Si k = 1 tenemos que el escalar de Ricci, R = N(N − 1) por tanto el espaciotiene curvatura positiva que se trata de SN−1. Por ultimo, si k = −1 el escalar de Ricci esR = −N(N − 1), entonces estamos hablando de un espacio con curvatura negativa, HN−1.Lametrica gij puede ser la de cualquiera de los tres posibles espacios maximamente simetricos. Laforma explıcita de esta metrica no va a ser necesaria para el desarrollo posterior de este trabajo,pero sı para entender las unidades de la funcion que llamaremos factor de escala. Por tanto, lasmetricas de estos espacios, en coordenadas esfericas, son:

RN−1 : ds2 = dr2 + r2dΩ2N−2, (3.2)

SN−1 : ds2 = |C|(

1

1− r2dr2 + r2dΩ2

N−2

), (3.3)

HN−1 : ds2 = |C|(

1

1 + r2dr2 + r2dΩ2

N−2

), (3.4)

con C una constante de dimensiones [L2]. Para el espacio RN−1, la coordenada r tiene dimen-siones de [L], mientras que para los espacios SN−1 y HN−1 la coordenada r es adimensional.Podemos comprobar que con estas metricas en coordenadas esfericas, llegamos a la expresion(3.1) del tensor de Riemann para cada k. Por tanto, la metrica de las secciones espaciales esconocida, ahora tenemos que dar una expresion, un Ansatz, a la metrica del espaciotiempo. ElAnsatz mas general que cumpla foliacion para cada instante temporal y secciones espacialesmaximamente simetricas es

ds2 = b(t)2dt2 + s(t)2gijdxidxj . (3.5)

Como vemos, cumple foliacion del espaciotiempo y homogeneidad e isotropıa espacial pues nin-guna de las funciones s(t) ni b(t) dependen de coordenadas espaciales. Aunque esta es la formamas general para la metrica, podemos definir una nueva coordenada temporal que simplifique elAnsatz. Haciendo uso del Postulado de Weyl, tomamos el tiempo del observador comovil t como

dt = b(t)dt, (3.6)

y por tanto el Ansatz en coordenadas comoviles queda:

ds2 = dt2 + a(t)2gijdxidxj , (3.7)

donde la funcion a(t) = s(t(t)). Por tanto en el Ansatz de FRW en coordenadas comoviles solotenemos que determinar la funcion a(t). Esta se conoce como factor de escala e informa del ta-mano de las secciones espaciales. Por convenio se toma positivo, pues solo aparece en la metricaal cuadrado, si se hace nulo implica que la metrica se vuelve singular. Por construccion de lametrica espacial gij , el factor de escala en el caso k = 0 es adimensional, mientras que paralos casos con k = 1,−1 tiene dimensiones [L]. Esto es porque la constante |C| se absorbe en ladefinicion de a(t). Es facil tener intuicion geometrica del factor de escala en el caso de SN−1,pues es el radio de la (N − 1)−esfera, pero para los otros dos espacios es mas complicado. Sinembargo se puede entender que si a(t) crece con el tiempo significa que las secciones espacialesse hacen mas grandes, es decir, que ”hay mas espacio”, e inversamente si el factor de escaladecrece con el tiempo.

Hemos condensado bastante las explicaciones para llegar al Ansatz de FRW en coordenadascomoviles, pues lo que nos interesa para este trabajo es la expresion (3.7). Si se quiere pro-fundizar mas en el desarrollo de este Ansatz consultar [3]. Conocido ahora este Ansatz de lametrica, podemos hallar las EdF para ambas teorıas de la gravedad y compararlas tanto a nivel

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formal como sus soluciones. Las EdF son ecuaciones diferenciales de primer y segundo ordenpara el factor de escala a(t) y su solucion dependera del tipo de materia que consideremos en elespaciotiempo. Para llegar a estas ecuaciones primero tenemos que hallar el tensor de Riemanny sus contracciones que se calculan a partir de (3.7), ademas del tensor de energıa-momento deun fluido perfecto. Empezamos con los tensores de curvatura.

Tensores de curvatura

A la hora del calculo de los tensores de curvatura, vamos a usar coordenadas del observadorcomovil t, xi en la metrica (3.7) donde gij representa metrica de cualquiera de las tres posiblessecciones espaciales. De forma que con el mismo calculo hallaremos los tensores de curvatura delos tres distintos espacios. Primero tenemos que conocer los sımbolos de Christoffel y para ellonecesitamos la metrica inversa

ds2 = dt2 − a(t)−2gijdxidxj , (3.8)

con gij gjk = δi k. Los sımbolos de Christoffel no nulos en estas coordenadas son

Γtij = aagij , (3.9)

Γitj =a

aδi j , (3.10)

Γijk = Γijk. (3.11)

Las componentes del tensor de Riemann independientes en estas coordenadas son: Rtitj , Rtij

k

y Rijkl, de las cuales son distintas de cero

Rtitj =

a

aδij , (3.12)

Rijkl = Rijk

l + a2(gjkδi

l − gikδj l). (3.13)

Bajamos los ındices contravariantes de las componentes del tensor de Riemann y usando (3.1)llegamos a las expresiones de las componentes covariantes

Rtitj = −aa gij , (3.14)

Rijkl = −a2(a2 + k

)(gilgjk − gikgjl) . (3.15)

Ahora calculamos las contracciones de tensor de Riemann. Las componentes no nulas del tensorde Ricci y el escalar de Ricci son

Rtt =a

a(N − 1), (3.16)

Rjl = −[(N − 2)(a2 + k) + aa

]gjl, (3.17)

R = (N − 1)

[2a

a+ (N − 2)

(a2 + k

a2

)]. (3.18)

Conocido esto podemos calcular los tensores geometricos Gµν de la ecuacion para la gravedadde EH y de GB.

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Tensor energıa-momento

Tambien tenemos que conocer la expresion del otro miembro de la ecuacion (1.1), el tensorenergıa-momento del fluido cosmologico. Segun el postulado de Weyl, este es el de un fluidoperfecto

Tµν = (ρ+ P )uµuν − Pgµν . (3.19)

El tensor energıa-momento tiene como funciones la densidad de energıa ρ y la presion debidaa esta energıa P . Estas funciones solo pueden ser dependientes del tiempo, pues se debe cum-plir el Principio Cosmologico.La cuadrivelocidad uµ del fluido cosmologico, es la misma quela del observador comovil. Como estamos usando coordenadas adaptadas a este observador,este cuadrivector tiene componentes uµ = (1, 0, 0, 0), por lo tanto las componentes del tensorenergıa-momento son

Ttt = ρ ; T tt = ρ

Tij = a2P gij ; T ij = a−2P gij . (3.20)

El tensor energıa-momento debe cumplir que tiene divergencia nula para asegurar la conservacionde la energıa. Como ya habıamos expresado, es el tensor conservado segun el teorema de Noetherasociado a la simetrıa bajo cambios arbitrarios de coordenadas, simetrıa que caracteriza a laRelatividad General. La divergencia nula nos va imponer ciertas condiciones sobre las funcionesρ y P . Desarrollando la expresion de la divergencia del tensor energıa-momento

∇µTµν = ∂µTµν + ΓµµρT

ρν + ΓνµρTµρ = 0. (3.21)

Tomamos la parte temporal de esta ecuacion, es decir, ν = t y llegamos a

ρ+ (N − 1)a

a(ρ+ P ) = 0. (3.22)

Esta ecuacion se conoce como ecuacion de continuidad, expresa como debe variar en el tiempo ladensidad de energıa, en funcion del factor de escala y la presion. Podemos resolver esta ecuaciondiferencial si postulamos una ligadura entre la densidad de energıa y la presion, ρ = ρ(P ). Estaes una ecuacion de estado pues proporciona una relacion entre las variables del sistema. Laecuacion mas simple que se puede considerar es

P(α) = ω(α)ρ(α), (3.23)

que, como veremos, modeliza satisfactoriamente las densidades de energıa que conocemos. Elparametro de estado, ω(α), es una constante que depende de (α), el tipo de energıa (o materia) queestemos tratando. Si tratamos con varios tipos de energıa para un mismo modelo ρ =

∑(α) ρ(α),

e igual para la presion. Por tanto, resolviendo para cada tipo de energıa, la ecuacion (3.22) queda

ρ(α) + (N − 1)a

a(ω(α) + 1)ρ(α) = 0, (3.24)

que la podemos integrar directamente

ρ(α)(t) = ρ(α)0

(a(t)

a0

)−(N−1)(ω(α)+1)

. (3.25)

La constante ω(α) puede tomar cualquier valor y dependiendo de este la densidad de energıavariara con el factor de escala de formas distintas. Podemos tomar varios valores para ω(α) quereproducen el comportamiento de densidades de energıa conocidas. Si tomamos ω(α) = 0, vemos

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en la ecuacion (3.25) que la densidad de energıa varia con el factor de escala elevado a −(N −1),es decir, con el inverso del volumen de las secciones espaciales. Este valor de ω(α) representa ladensidad de materia frıa no relativista pues se diluye por las (N − 1) dimensiones espaciales. Aeste parametro lo llamaremos ωM . Si tomamos como parametro de estado ω(α) = 1

N−1 llegamos,segun la ecuacion (3.25), a que la densidad de energıa varıa con el factor de escala elevado a −N ,es decir, con el inverso del volumen de las secciones espaciales y un factor de escala adicional.Esta densidad de energıa representa la radiacion, pues se diluye por las secciones espaciales,como la materia, pero cuando el tamano de estas aumenta la longitud de onda disminuye, loque implica una perdida adicional de energıa lineal con el factor de escala. A este parametrode estado lo llamaremos ωR. Por ultimo si tomamos ω(α) = −1, tenemos que la ecuacion (3.25)se refiere a una densidad de energıa constante. Esto representa la constante cosmologica, eltermino de orden cero en el lagrangiano de Lovelock. El parametro de estado para la constantecosmologica lo llamaremos ωΛ.

Si ahora tomamos la parte espacial de la ecuacion (3.21) para la divergencia del tensor energıa-momento, ν = i y desarrollamos, llegamos a

∂jP = 0 (3.26)

La ecuacion (3.26) nos dice que el gradiente de la presion en las secciones espaciales es nu-lo. Esto esta acorde con el Principio Cosmologico pues P no pueden tener dependencia en lascoordenadas espaciales, si no se romperıa homogeneidad y si existiera un gradiente romperıaisotropıa. Por el mismo principio, ρ no puede depender de las coordenadas espaciales, por lo queen la ecuacion de estado el parametro ω(α) no puede tener dependencia espacial. Esto es unaprueba de consistencia que debıa pasar la asuncion simultanea del Principio Cosmologico con elpostulado de Weyl.Conocido como se modela el contenido en energıa y materia, podemos proceder al calculo de lasEdF para ambas teorıas de la gravedad.

3.1. Ecuaciones de Friedmann en gravedad Einstein-Hilbert

Conocidas las componentes de los tensores de curvatura para el Ansatz (3.7) podemos cal-cular el tensor Gµν de la gravedad de EH (1.2). Las componentes de este tensor son

Gtt = Rtt −1

2gttR = −1

2(N − 1)(N − 2)

(a2 + k

a2

), (3.27)

Gij = Rij −1

2gijR = (N − 2)

(a

a

)+

1

2(N − 2)(N − 3)

(a2 + k

a2

)gij . (3.28)

Se debe comprobar que para estas componentes se satisface: ∇µGµν = 0. Esta ecuacion tienedos componentes. La temporal (ν = t) que involucra todas las componentes del tensor, es la quese nos dice si el calculo es correcto. Tambien la espacial (ν = i) que se satisface si se cumple∇igij = 0. Es un test que debe pasar el calculo, pero no lo vamos a realizar explıcitamente.Conocido este tensor y el de energıa-momento del fluido perfecto sustituimos sus componentesen (1.3), llegamos a las EdF para la gravedad de EH:

tt)1

2(N − 1)(N − 2)

(a2 + k

a2

)= κEH ρ (3.29)

ij) (N − 2)

(a

a

)+

1

2(N − 2)(N − 3)

(a2 + k

a2

)= −κEH P. (3.30)

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Estas son las ecuaciones que debe satisfacer el factor de escala para que sea solucion de la grave-dad EH la metrica FRW. Como ya sabemos, las funciones ρ y P dependen del tiempo y debensatisfacer (3.25) y (3.23).

Puede parecer complicado encontrar un factor de escala que satisfaga ambas ecuaciones a lavez, pero se puede demostrar que la ecuacion de la componente tt) mas la ecuacion de conti-nuidad (3.22) implica la componente ij). Para ello tenemos que derivar (3.29) con respecto altiempo, sustituir ρ(t) con la ecuacion de continuidad, despues sustituimos el termino κEH ρ queaparece con la misma ecuacion (3.29), simplificamos y llegamos a (3.30). Por tanto cuando bus-quemos soluciones al factor de escala solo tenemos que asegurarnos que cumplan una de ellas yque las funciones ρ(t) y P (t) satisfagan la ecuacion de continuidad. Este hecho simplifica muchola busqueda de soluciones.

Interesa hallar una ecuacion que solo tenga el termino de la aceleracion del factor de escala.Si llegamos a una expresion ası, podremos predecir facilmente que aceleracion tendra el univer-so. Tomando una combinacion lineal de las ecuaciones (3.29) y (3.30), llegamos a la ecuacion deaceleracion. Podemos calcularla despejando el termino (a2 + k)/a2 de la ecuacion de la compo-nente tt) y sustituyendo la expresion en la ecuacion de la componente ij), teniendo en cuentatambien la ecuacion de estado obtenemos:

a

a= − κEH

(N − 2)

(ω(α) +

(N − 3)

(N − 1)

)ρ(α). (3.31)

Esta ecuacion es interesante, pues sabiendo unicamente el tipo de energıa que tiene el universo(por el parametro ω(α)), sabemos el signo de la aceleracion del factor de escala. Este punto loestudiaremos mas en profundidad en la siguiente seccion.

Vemos que las EdF para el lagrangiano de EH cumplen el regimen dimensional de esta gra-vedad, es decir, que no son ecuaciones validas cuando estamos tratando con universos de N = 1o N = 2 dimensiones. Solo importa que la ecuacion (3.29) no sea valida, pues (3.30) y (3.31)hemos demostrado que se construyen a partir de esta). Como vemos para dichas dimensionesno tenemos dinamica para el factor de escala. Entonces si queremos conocer alguna solucionpara estas ecuaciones, debemos plantearla en un universo de dimension N > 2, como nos diceel teorema de Gauss-Bonnet.

3.2. Ecuaciones de Friedmann en gravedad Gauss-Bonnet

Ahora vamos deducir analogamente las EdF para la teorıa de la gravedad de GB. Para ellosustituimos en el tensor Gµν que predice esta teorıa (2.16), las componentes de los tensores decurvatura del Ansatz FRW

Gtt = 2RRtt − 4Rµ tRµt + 4Rµ ttνRµν + 2Rµνρ tRµνρt −

1

2gtt

(R2 − 4RµνRµν +RµνρλRµνρλ

)=

= −1

2(N − 1)(N − 2)(N − 3)(N − 4)

(a2 + k

a2

)2

, (3.32)

Gij = 2RRij − 4Rµ iRµj + 4Rµ ijνRµν + 2Rµνρ iRµνρj −

1

2gij

(R2 − 4RµνRµν +RµνρλRµνρλ

)=

= 2(N − 2)(N − 3)(N − 4) a2

[(a

a

)(a2 + k

a2

)+

1

4(N − 5)

(a2 + k

a2

)2]gij . (3.33)

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El calculo es bastante tedioso pues hay que desarrollar los sumatorios de cada termino y simpli-ficar mucho para llegar a las expresiones anteriores. Este tensor Gµν con estas componentes debecumplir que su divergencia sea nula. Dicha comprobacion nos sirve para confirmar el calculo, lahacemos detalladamente en el apendice (B). Es importante realizar esta confirmacion del calculopues, al contrario que para la gravedad de EH, hay muy poca literatura en la que se desarrollenlas EdF para GB.Conocido el tensor Gµν para este Ansatz , podemos ya escribir las EdF para la gravedad de GB

tt)1

2(N − 1)(N − 2)(N − 3)(N − 4)

(a2 + k

a2

)2

= κGB ρ, (3.34)

ij) 2(N − 2)(N − 3)(N − 4)

(a

a

)(a2 + k

a2

)+

+1

2(N − 2)(N − 3)(N − 4)(N − 5)

(a2 + k

a2

)2

= −κGB P. (3.35)

Igual que para la gravedad de EH, las EdF de GB cumplen que la componente temporal mas laecuacion de continuidad implican la componente espacial. El procedimiento para demostrar esteresultado es el mismo que para la gravedad EH. Y por tanto se simplifica mucho la busqueda desoluciones al factor de escala, pues solo tenemos que resolver una de las dos EdF y la ecuacionde continuidad.

Que se repita este hecho para dos gravedades distintas da que pensar que no sea una casua-lidad. Por eso durante el desarrollo de este trabajo llegamos a la demostracion del siguienteteorema:Las ecuaciones de las componentes tt) e ij) de las Ecuaciones de Friedmann, deducidas a partirdel Ansatz Friedmann-Robertson-Walker

ds2 = dt2 + a(t)2gij(x)dxidxj , (3.36)

para cualquier teorıa geometrica de la gravedad (cualquier lagrangiano de escalares de curvatu-ra) que de una expresion para el tensor Gµν , estan relacionadas por la ecuacion de continuidad.Demostramos este teorema en el apendice (D)

Estudiado una vez este punto comun de las gravedades EH y GB (y de todas las que se en-globen en el marco de la Relatividad General), vamos a hallar la ecuacion de aceleracion para la

gravedad de GB al igual que hicimos para la gravedad EH. Si despejamos el factor(a+ k/a2

)2de la ecuacion (3.34) y lo sustituimos en la ecuacion (3.35) teniendo en cuenta la ecuacion deestado, llegamos a(

a

a

)(a2 + k

a2

)= − κGB

2(N − 2)(N − 3)(N − 4)

(ω(α) +

(N − 5)

(N − 1)

)ρ(α). (3.37)

Para esta gravedad no se puede aislar el termino de la aceleracion. Por tanto dependiendo deltipo de materia que consideremos va a determinar el signo del termino a la izquierda de laecuacion, que no es directamente la aceleracion del factor de escala. Aun ası, se pueden hacerpredicciones sobre de la aceleracion del factor de escala, como veremos en la siguiente seccion.

Segun vimos en la seccion anterior, el lagrangiano de Gauss-Bonnet no resulta en ecuacionesdinamicas para la metrica en dimensiones N ≤ 4 y podemos ver que las ecuaciones (3.34), (3.35)y (3.37) no son validas para estas dimensiones. Por tanto, si queremos comparar ambos sets de

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ecuaciones, tendremos que considerar un espaciotiempo de dimension N > 4. Esto no sera unproblema cuando nos planteemos soluciones analıticas, pues tomaremos dimension N , pero sisera un punto a tener en cuenta si queremos plantearnos soluciones numericas.

En este capıtulo hemos desarrollado las ecuaciones que se deducen del Ansatz (3.7) para lasgravedades EH y GB, tambien hemos visto que son distintas pero con una estructura similar.Esto lo discutiremos mas a fondo en el siguiente capıtulo. Resaltamos lo positivo que es desarro-llar estas ecuaciones en un espaciotiempo de N dimensiones, pues ası podemos ver claramente apartir de que dimension del espaciotiempo dan terminos dinamicos estas teorıas de la gravedad.Tambien observamos que las ecuaciones anteriores sirven para calcular el factor de escala en lastres posibles geometrıas simplemente dando el valor apropiado al parametro k. En lo que sigue,estudiaremos tanto a nivel formal como sus soluciones las EdF para ambas gravedades buscandosus semejanzas y diferencias.

4. Comparativa de las ecuaciones de Friedmann en la gravedadEintein-Hilbert y Gauss-Bonnet

En esta seccion vamos a estudiar que diferencias existen entre las EdF de cada teorıa a nivelformal. En la siguiente seccion, en cambio, nos centraremos en las soluciones analıticas de ambossets de EdF, buscando sus similitudes y diferencias. Para comparar estas ecuaciones de ambasteorıas es ilustrativo escribirlas juntas y de la siguiente forma:

ECUACIONES DE FRIEDMANN EN EINSTEIN-HILBERT

tt)1

2

(N − 1)!

(N − 3)!

(a2 + k

a2

)= κEH ρ

ij)(N − 2)!

(N − 3)!

(a

a

)+

1

2

(N − 2)!

(N − 4)!

(a2 + k

a2

)= −κEH P

ac.)

(a

a

)= −(N − 3)!

(N − 2)!κEH

(ω(α) +

(N − 3)

(N − 1)

)ρ(α) (4.1)

ECUACIONES DE FRIEDMANN EN GAUSS-BONNET

tt)1

2

(N − 1)!

(N − 5)!

(a2 + k

a2

)2

= κGB ρ

ij) 2(N − 2)!

(N − 5)!

(a

a

)(a2 + k

a2

)+

1

2

(N − 2)!

(N − 6)!

(a2 + k

a2

)2

= −κGB P

ac.)

(a

a

)(a2 + k

a2

)= −1

2

(N − 5)!

(N − 2)!κGB

(ω(α) +

(N − 5)

(N − 1)

)ρ(α) (4.2)

Escritas de esta forma se puede observar mejor que ambas teorıas predicen EdF con una es-tructura muy similar. Ambas tienen solo dos tipos de terminos para el factor de escala, a/a y(a2 + k

)/a2. El termino en a esta elevado a una potencia diferente para cada gravedad. Tambien

tienen distintos coeficientes numericos delante de estos terminos, que nos dan informacion, en

21

cuanto a que dimensiones son validas estas teorıas. Veremos que, aun teniendo una estructurasimilar, las soluciones que obtengamos de cada teorıa no siempre lo seran. Podemos escribirambos sets de ecuaciones de la forma general

tt)1

2

(N − 1)!

(N − 2n− 1)!

(a2 + k

a2

)n= κn ρ

ij)n(N − 2)!

(N − 2n− 1)!

(a

a

)(a2 + k

a2

)n−1

+1

2

(N − 2)!

(N − 2n− 2)!

(a2 + k

a2

)n= −κn P

ac.)

(a

a

)(a2 + k

a2

)n−1

= −(N − 2n− 1)!

n(N − 2)!κn

(ω(α) +

(N − 2n− 1)

(N − 1)

)ρ(α) (4.3)

donde si n = 1 obtenemos las EdF para EH y si n = 2 llegamos a las EdF para GB. Quedacomprobar si esta estructura la tienen tambien el resto de terminos del lagrangiano de Lovelock,es decir, si el set de ecuaciones anterior se cumple para un n arbitrario, siendo n la potenciadel tensor de Riemann en este lagrangiano. Queremos resaltar que estas ecuaciones no han sidocomprobadas para un n arbitrario, solo para n = 1, 2. Por tanto desde este trabajo propongoque se siga por esta lınea y se estudie las EdF que predicen los terminos del lagrangiano deLovelock con n > 2.

En esta seccion vamos a estudiar las ecuaciones de ambas teorıas de la gravedad sin buscarsus soluciones, que lo dejaremos para la proxima. En concreto vamos a estudiar que prediccioneshacen a la evolucion de la densidad de energıa con el tiempo, lo que se conoce como problemade la planitud, y tambien que informacion tiene la ecuacion de aceleracion de ambas teorıas.

4.1. Problema de la planitud

En este punto vamos a estudiar como evoluciona en el tiempo la densidad de energıa del uni-verso dependiendo de la geometrıa de este para ambas gravedades. La seccion se llama Problemade la planitud, pues este estudio tiene una motivacion historica para la gravedad de nuestroUniverso, la gravedad de EH. Las observaciones de nuestro Universo a gran escala son compa-tibles con que el Universo observable tuviera geometrıa euclıdea, como es una de las geometrıasposibles de las EdF, aparentemente no hay problema. Sin embargo, esto implicarıa que, congravedad EH al inicio del Universo, la densidad de energıa tuviera fijado un valor especıfico, ladensidad crıtica. Esto se planteaba como un problema de ajuste fino y, como en todas las ramasde la fısica, este ajuste fino debıa tener oculto un proceso dinamico. La solucion teorica a esteproblema, aun por demostrar experimentalmente, fue la teorıa de la Inflacion de A. Guth. Enesta teorıa se planteaba un proceso dinamico que llevaba cualquier valor inicial de la densidad ala densidad crıtica, explicandose ası las observaciones actuales. Ademas, esta teorıa solucionabaotros problemas de la cosmologıa, por lo que esta ampliamente aceptada.Aunque esta es la motivacion para la seccion, en este trabajo no estamos interesados en el pro-blema de la planitud de la cosmologıa moderna, ni estudiar la teorıa de la Inflacion. Es unamotivacion para estudiar las predicciones de cada teorıa a la evolucion en el tiempo de la den-sidad de energıa y compararlas.

Vamos a definir el parametro de densidad total de energıa como Ω(t) = ρ(t)/ρc(t), donde ρc(t)es la densidad de energıa cuando las secciones espaciales del universo son planas. Nos damos

22

cuenta que si ρ = ρc entonces Ω = 1 para cualquier instante de tiempo. Para hallar esta densi-dad crıtica, tomamos en la ecuacion de la componente temporal de EH (3.29) y de GB (3.34)geometrıa euclıdea, k = 1

ρEHc (t) =1

2κEH

(N − 1)!

(N − 3)!H(t)2 , ρGBc (t) =

1

2κGB

(N − 1)!

(N − 5)!H(t)4, (4.4)

donde hemos definido H(t) = a/a, la funcion de de Hubble. Vemos que cada gravedad prediceuna expresion distinta para la densidad crıtica. Es preciso que nos fijemos tambien en que ladependencia en con tiempo de la densidad crıtica es debida a la funcion de Hubble entonces,para la misma H(t), la variacion en el tiempo de cada densidad crıtica tambien es diferente.Estas son las densidades que, para todo t, debe tener el universo para tener geometrıa euclıdea,si la densidad es un poco superior o inferior el universo tendra una geometrıa no euclıdea.Para ver como evoluciona en el tiempo la densidad total de energıa, dividimos la ecuacion de lacomponente temporal de la gravedad EH entre ρEHc y la ecuacion de la componente temporalde GB entre ρGBc y llegamos a las expresiones para Ω(t) de cada gravedad

ΩEH(t) = 1 +k

a(t)2, (4.5)

ΩGB(t) = 1 + 2k

a(t)2+

k2

a(t)4, (4.6)

donde la dependencia temporal de la densidad total viene dada por la velocidad del factor deescala.Vamos a comprobar que pasa si tomamos la densidad crıtica en estas ecuaciones. En la ecua-cion (4.5) de la gravedad EH, la unica solucion exacta posible es k = 0 para cualquier a(t).Sin embargo, en la gravedad GB si tomamos la densidad crıtica en (4.6), tenemos dos posiblessoluciones. Al igual que para EH, k = 0 para cualquier a(t), pero aparece una solucion mas consecciones espaciales hiperbolicas. Esta otra solucion con k = −1 y factor de escala a(t) = 1√

2t

tambien predice una densidad crıtica para todo tiempo. El factor numerico de este factor deescala lo podemos reabsorber con un cambio de coordenadas para el tiempo llegando a a(t) = t.Esta solucion la estudiaremos en la seccion 5, en el apartado de El universo de Milne y nosdaremos cuenta que en realidad se trata del espaciotiempo de Minkowski.Ahora estudiaremos que predicen estas ecuaciones dependiendo del comportamiento de la veloci-dad del factor de escala para secciones espaciales con geometrıa esferica e hiperbolica. Podremoshacer predicciones para tiempos tardıos de la tendencia de la funcion Ω(t) sin conocer la expre-sion analıtica de a(t). Para conocer a tiempos tempranos como se comporta la funcion densidadtotal, deberemos conocer la expresion funcional de la velocidad del factor de escala y estudiarcada caso.

· a(t) decreciente. Es decir consideramos un universo decelerado.Para la ecuacion (4.5) de la gravedad EH si la velocidad del factor de escala es decreciente,1/a(t)2 es creciente. Por tanto para k = 1, independientemente del valor inicial de la den-sidad total Ω(t0) para tiempos tardıos Ω(t) >> 1, la densidad sera mucho mayor que ladensidad crıtica. Para k = −1, el termino k/a(t)2 sera negativo y por tanto, independien-temente del valor Ω(t0) para tiempos altos la densidad total sera Ω(t) << 1 es decir muchomenor que la densidad crıtica. Este es el problema que se planteaban los astrofısicos enlos anos 60 y 70 pues, tras el Big Bang se pensaba que habrıa un periodo de deceleraciondebido a la materia y la radiacion. Si de las medidas del Universo actual se deducıa quetiene geometrıa euclıdea, esto implicarıa que la densidad de energıa a t = t0 debıa ser jus-tamente la crıtica. Cualquier otro valor llevarıa al Universo a tener otra geometrıa, segun

23

Figura 1: Representacion de Ω(t) para a(t) ∼ t−2 decreciente con la gravedad Einstein-Hilberty Gauss-Bonnet para las tres geometrıas

esta gravedad.Una velocidad del factor de escala decreciente en la ecuacion (4.6) de la gravedad GB, im-plica que los terminos 2k/a(t)2 y k2/a(t)4 sean crecientes. Para tiempos tardıos, el terminok2/a(t)4 domina sobre 2k/a(t)2. Si consideramos geometrıa esferica, k = 1, ambos termi-nos seran positivos y por tanto para cualquier valor de la densidad total inicial, cuandoavance el tiempo, Ω(t) >> 1. Si consideramos geometrıa hiperbolica k = −1 en la gravedadGB vemos que 2k/a(t)2 sera negativo y k2/a(t)4 sera positivo. A tiempos tardıos vemosque 2k/a(t)2 << k2/a(t)4, entonces domina el termino positivo y por tanto la densidadtotal a tiempos altos cumple Ω(t) >> 1. Vemos que para la gravedad GB, a tiempos altos,la densidad total tiene la misma tendencia para geometrıa esferica que hiperbolica. Por loque, en un universo decelerado con gravedad GB, los cosmologos se encontrarıan con unproblema para discernir que tipo de geometrıa tiene su universo a partir de medidas de ladensidad total.

Por tanto, para geometrıa esferica, ambas gravedades predicen el mismo comportamientocreciente de la densidad total, siendo (para la misma expresion de a(t)) mas rapido elcrecimiento en la gravedad GB que en EH. Para geometrıa hiperbolica el comportamiento,a tiempos tardıos, de la densidad total en gravedad GB difiere sustancialmente del de EH.Para EH la densidad total decrece mientras que para GB crece. Puede ocurrir que, paraalgunas expresiones analıticas de a(t) en GB con k = −1 a tiempos tempranos, tengamosun comportamiento transitorio en el que 2k/a(t)2 > k2/a(t)4 y por tanto el valor de ladensidad total sea Ω(t) < 1, coincidiendo con el comportamiento en la gravedad EH. Peroesto es solo un comportamiento transitorio y solo para algunas soluciones, no es general,como si lo es el comportamiento a tiempos tardıos.Con el fin de expresar estas conclusiones de forma grafica vamos a representar para uncaso especıfico del factor de escala la densidad total frente al tiempo. Ver figura (1).

· a(t) creciente. Ahora estamos considerando un universo acelerado.En la gravedad de EH para la ecuacion (4.5) si a(t) es creciente con el tiempo, k/a(t)2 esdecreciente con el tiempo, siendo despreciable para tiempos tardıos frente al termino cons-tante. Por tanto para tiempos tardıos si k = 1 la densidad total inicial, Ω(t0), tendra unvalor mayor que el valor crıtico y tendera a este valor. Para la geometrıa k = −1, Ω(t0),tendra un valor menor que el crıtico y tendera a este. Por tanto, para universos acelerados,

24

Figura 2: Representacion de Ω(t) para a(t) ∼ t2 creciente con la gravedad Einstein-Hilbert yGauss-Bonnet para las tres geometrıas

sea cual sea la geometrıa y sea cual sea el valor inicial de la densidad total, a tiempostardıos la densidad tendra el valor crıtico. Este es el proceso dinamico que propone lateorıa de la Inflacion, que resuelve el problema de la planitud. Durante un corto periodode tiempo despues del Big Bang se produjo una aceleracion enorme (inflacion) del factorde escala llevando cualquier valor de la densidad de energıa al valor crıtico.En la ecuacion (4.6) de la gravedad GB si la velocidad del factor de escala es creciente conel tiempo, los terminos 2k/a(t)2 y k2/a(t)4 son decrecientes con el tiempo. Esto implicaque para valores tardıos del tiempo, seran despreciables frente a 1, teniendo entonces que ladensidad total tendera a la densidad crıtica. En el caso k = 1 ambos terminos son positivospor tanto tendera de Ω(t0) > 1 al valor crıtico. Mientras que para k = −1 tenemos que2k/a(t)2 < 0 y k2/a(t)4 > 0 y por tanto a tiempos bajos no esta determinado, dependera dela forma funcional de a(t). Entonces, segun que termino domine tendremos una Ω(t0) ma-yor, menor o igual a la densidad crıtica. Por tanto, vemos que para la gravedad de GB seacual sea la geometrıa, si tenemos aceleracion del factor de escala positiva, a tiempos tardıos,la densidad tendera a la crıtica. Es decir que para la gravedad GB tambien cabe plantearseun proceso de inflacion que lleve cualquier valor de la densidad de energıa a su valor crıtico.

Como hemos visto, el comportamiento de la densidad total, para tiempos tardıos, deambas geometrıas es el mismo para las dos gravedades, pero para tiempos tempranos, engeneral, difieren. En el caso de universos con curvatura esferica, para la misma expresionde a(t), la densidad total tendera mas rapido al valor crıtico en la gravedad de GB queen la gravedad de EH. Para universos con geometrıa hiperbolica no se puede compararde forma general las predicciones de ambas gravedades. Dependiendo de que expresiontenga la velocidad del factor de escala, diferiran o coincidiran a tiempos tempranos. Paraplasmar graficamente estas diferencias y semejanzas, en la figura (2) representamos Ω(t)en funcion del tiempo para un velocidad del factor de escala creciente.

La gravedad de EH y la de GB predicen un comportamiento similar de la densidad total pa-ra universos de geometrıa euclıdea y esferica, teniendo un crecimiento o un decrecimiento maspronunciado en el caso de esta ultima geometrıa. Sin embargo, las predicciones de ambas gra-vedades difieren sustancialmente cuando la geometrıa es hiperbolica, la gravedad de GB puedetener comportamientos transitorios (por tener dos terminos con diferente signo) al contrario quela gravedad EH. Tambien cuando a(t) decrece, la tendencia de la densidad total a tiempos altos,es distinta. Por tanto empezamos ya a ver diferencias entre ambas gravedades aun teniendo una

25

estructura similar sus ecuaciones para el factor de escala.

4.2. Estudio de la ecuacion de aceleracion

En esta seccion vamos a estudiar que predicciones hace la ecuacion de aceleracion sobre laevolucion del factor de escala para las dos gravedades. Estas predicciones son independientes dela solucion obtenida de las EdF.

EINSTEIN-HILBERT.La ecuacion de aceleracion para esta gravedad, que hemos deducido antes, es(

a

a

)= −(N − 3)!

(N − 2)!κEH

(ω(α) +

(N − 3)

(N − 1)

)ρ(α). (4.7)

Como el factor de escala lo tomamos positivo, el signo de la aceleracion del mismo viene deter-minado por el tipo de densidad de energıa que consideremos es decir, dependera del valor deω(α). Podemos fijarnos que si tomamos en la anterior ecuacion ωEH0 = − (N−3)

(N−1) la aceleraciondel factor de escala es nula, que por encima de ese valor la aceleracion es negativa y por deba-jo, la aceleracion es positiva. Esto quiere decir que si consideramos un universo dominado porla constante cosmologica, la aceleracion sera siempre positiva. Mientras que, si consideramosun universo dominado por materia o radiacion, la aceleracion sera negativa (excepto para unespaciotiempo con N = 3 dominado por materia). Tambien nos podemos fijar en que el aumen-to de dimension hace que el valor de ωEH0 para el cual la aceleracion es nula, se hace mas negativo.

GAUSS-BONNETLa ecuacion de aceleracion para esta gravedad, que hemos deducido antes, es(

a

a

)(a2 + k

a2

)= −1

2

(N − 5)!

(N − 2)!κGB

(ω(α) +

(N − 5)

(N − 1)

)ρ(α). (4.8)

Como podemos ver, el signo de la aceleracion no depende unicamente del valor de ω(α), comoocurre en la gravedad de EH, sino tambien del signo de

(a2 + k

)/a2. El signo de este termino

dependera del tipo de geometrıa de las secciones espaciales que tenga el universo.

Si tomamos k = 0,+1 el termino (a2 + k)/a2 > 0,4 por tanto el signo del miembro de laizquierda de la ecuacion sera el signo que tome la aceleracion del factor de escala. En esta gra-vedad vemos que a se anula cuando el parametro de estado toma el valor ωGB0 = − (N−5)

(N−1) , la

aceleracion es negativa cuando ω(α) toma un valor superior a ωGB0 y se hace negativa cuandoeste parametro toma un valor inferior. Se cumple el mismo comportamiento de la aceleraciondel factor de escala para universos dominados por las densidades de energıa conocidas que en lagravedad EH excepto que, cuando N = 5, un universo dominado por materia tiene aceleracionnula.Vemos que para estas dos geometrıas llegamos a conclusiones similares (para universos conN > 5) sobre la aceleracion del factor de escala que para la gravedad de EH. Difieren unica-mente en el valor del parametro de estado ω0 y por tanto, separa los regımenes de aceleraciony deceleracion. Ocurre que para una dimension dada N > 5, ωEH0 < ωGB0 . Es decir que, si ununiverso dominado por una cierto tipo de densidad de energıa tiene aceleracion nula segun EH,segun GB el mismo universo tendrıa aceleracion positiva.

4Este termino tambien puede ser nulo en el caso de k = 0, pues la velocidad puede ser nula. Pero tene-mos un universo dominado por densidad de energıa con ωGB0 y k = 0, la aceleracion del factor tiene que serobligatoriamente nula sea cual sea la velocidad del mismo.

26

Tambien podemos plantearnos cuando: ωEH0 = ωGB0 , esto ocurrira siempre que se cumpla larelacion entre dimensiones:

NGB = 2NEH − 1 (4.9)

Es decir, dada una dimension de un universo con gravedad EH (N > 5), siempre habra una di-mension de un universo con gravedad GB que tengan la misma ω(α)0. Sin embargo, el recıprocono es cierto, solo para universos con gravedad GB de dimension impar (N > 5), tendremos ununiverso con gravedad EH de dimension par que tengan el mismo parametro de estado ω(α)0.

A continuacion, estudiaremos la ecuacion de aceleracion de GB para la geometrıa hiperbolica, losresultados que obtengamos no seran comparables con la gravedad de EH. Para esta geometrıa,

el factor(a2−1a2

)puede tomar cualquier valor, positivo, negativo o nulo. La aceleracion del factor

de escala dependera de como se comporte se velocidad a(t). Como en las geometrıas anteriores,

ωGB0 = − (N−5)(N−1) nos separa varios regımenes, pero en este caso no de aceleracion o deceleracion,

sino de termino de la izquierda positivo, negativo o nulo. Para cada regimen tendremos (o no)aceleracion o deceleracion. Entonces, deberemos estudiar cada caso por separado. Estas dificul-tades no las encontrabamos en la gravedad de EH, por eso decimos que para esta geometrıa laecuacion de aceleracion en GB no es comparable con la de EH. Estudiamos cada valor o intervalode valores que puede tomar el parametro de estado:

I ω(α) = ωGB0 . Entonces, tenemos que(aa

)(a2−1a2

)= 0. Podemos tener varias situaciones:

a = 0, por tanto a = cte y tenemos lo que ocurre para las demas geometrıas, eluniverso tiene una velocidad constante tanto positiva como negativa.

a = 1 y por tanto, a priori podemos pensar que a puede tomar cualquier valor, perosi es ası, llegamos a que a variara en el tiempo incumpliendose la condicion anterior.Por tanto, para que se cumpla esta condicion la aceleracion del factor de escala, debeser nula. Llegamos de nuevo a un caso particular de la situacion anterior con a = 1.

I ω(α) < ωGB0 . En universos hiperbolicos que cumplan esta condicion tendremos que(aa

)(a2−1a2

Bigr) >

0, que implica:

a > 0 y |a| > 1, es decir a > 1 o a < −1. La aceleracion del factor de escala sera posi-tiva y por tanto la velocidad en modulo crecera. Esto implica que si la velocidad delfactor de escala inicial es a(0) > 1 tendremos que tendera a crecer y sin embargo, sia(0) < −1 la velocidad del factor de escala tendera a decrecer. Por tanto, universos enexpansion tendran una expansion mas rapida, mientras que universos en contracciontendran tambien una contraccion mas rapida.

a < 0 y |a| < 1, es decir −1 < a < 1. La aceleracion del factor de escala es negativay por tanto la velocidad en modulo tendera a disminuir. Por tanto si el valor de lavelocidad es positivo, 0 < a(0) < 1 tendera a disminuir hasta llegar a cero, mientrasque si la velocidad es negativa −1 < a(0) < 0 tendera a aumentar hasta llegar acero. Por tanto es un universo que tiende a la velocidad nula, es decir expansion ycontraccion decelerada.

Este tipo de universos no plantean ningun problema teorico, unicamente destacar que elsigno de la aceleracion no lo fija el parametro de estado, sino que tambien dependera del

27

valor inicial de la velocidad. Por tanto, se pueden dar universos hiperbolicos en la grave-dad de GB dominados por la constante cosmologica que impliquen una deceleracion delfactor de escala. Esto estaba prohibido por la ecuacion de aceleracion para las anterioresgeometrıas y para todas las geometrıas en universos con gravedad EH.

I ω(α) > ωGB0 , por tanto:(aa

)(a2−1a2

)< 0. Esta condicion implica:

a > 0 y |a| < 1, por tanto −1 < a < 1. Tenemos que la aceleracion es positivaentonces la velocidad en modulo aumentara. Pero vemos que, la condicion sobre elmodulo de la velocidad, impone un valor maximo. Vamos a estudiar mas a fondo estacuestion lo que implica tomar una forma general para los parametros de estado quecumplen esta condicion

ω(α) = −(N − 5)− ε(N − 1)

, ε > 0. (4.10)

Sustituyendo en la ecuacion de aceleracion(a

a

)(a2 − 1

a2

)= − ε

(N − 1)

1

2

(N − 5)!

(N − 2)!κGB ρ(α)0

(a

a0

)−(N−1)(− (N−5)−ε(N−1)

+1)

, (4.11)

a(a2 − 1

)= −C(N) · a−(ε+1), C(N) > 0. (4.12)

Esta expresion es valida para cualquier ε > 0. Llegamos a dos posibles situaciones:que el factor de escala crezca en el tiempo (expansion del universo) o que decrezca(contraccion del universo).En el primer caso, factor de escala creciente en el tiempo, la ecuacion (4.12) implicaque el termino a

(a2 − 1

)disminuya en valor absoluto en el tiempo. Como hay expan-

sion, la velocidad es positiva 0 < a < 1 y como la aceleracion es positiva, la velocidadcrecera, pero como el termino en conjunto debe diminuir la unica solucion es que laaceleracion tienda a cero con el tiempo y por tanto no se llegue al lımite superiorpara la velocidad. Entonces, universos hiperbolicos en expansion con ω(α) > ωGB0 conaceleracion del factor de escala positiva y |a| < 1, teniendo un equilibrio delicadoentre a, a y a regido por (4.12), pueden existir en la gravedad de GB.En el segundo caso, factor de escala decreciente en el tiempo, la ecuacion (4.12) im-plica que el termino a

(a2 − 1

)aumente en valor absoluto con el tiempo. Como el

universo esta en contraccion, la velocidad sera negativa dentro del rango −1 < a < 0,al ser la aceleracion es positiva la velocidad tendera a ser mas negativa. Puesto que eltermino en conjunto tiene que aumentar, lo que implica que la aceleracion aumentao que a2 aumenta (pudiendo la aceleracion comportarse de cualquier forma, inclusodisminuir pero no mas rapido que lo que a2 aumente). Cualquiera de los dos casosimplicarıa sobrepasar el lımite superior del modulo de la velocidad. Por tanto, llega-mos a una contradiccion concluyendo ası que universos hiperbolicos en contraccioncon ω(α) > ωGB0 con aceleracion positiva y |a| < 1, no pueden existir en la gravedadde GB.

a < 0 y |a| > 1, por tanto a > 1 o a < −1. Tenemos que la aceleracion del factorde escala es negativa, por tanto el modulo de la velocidad disminuira en el tiempo.Sin embargo, la otra condicion es que tenemos un lımite inferior para el modulo de la

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Tabla 1: ESTUDIO ECUACION DE ACELERACION EN LA GRAVEDAD EHω(α) = − (N−3)

(N−1) ω(α) < −(N−3)(N−1) ω(α) > −

(N−3)(N−1)

k = 0, 1,−1 a = 0 a > 0 a < 0

Tabla 2: ESTUDIO ECUACION DE ACELERACION EN LA GRAVEDAD GAUSS-BONNETω(α) = − (N−5)

(N−1) ω(α) < −(N−5)(N−1) ω(α) > −

(N−5)(N−1)

k = 0 a = 0 a > 0 a < 0

k = 1 a = 0 a > 0 a < 0

k = −1 a = 0Si |a(0)| > 1

a > 0Si |a(0)| < 1

a < 0Solo para a(t) creciente

Si 0 < a(0) < 1a > 0

Si a(0) > 1a < 0

velocidad, llegando otra vez a una situacion que requiere un mayor estudio. Tomamosası una vez mas la ecuacion (4.12) para cualquier ε > 0 y estudiamos los casos deuniversos en expansion y en contraccion:En el primer caso, factor de escala creciente en el tiempo, la ecuacion (4.12) implicaque el termino a

(a2 − 1

)disminuya en valor absoluto en el tiempo. Como hay expan-

sion, la velocidad sera a > 1 y la aceleracion negativa hara que esta disminuya, peropara que no llegue al lımite inferior y para que se cumpla que el termino a

(a2 − 1

)disminuya en valor absoluto en el tiempo se debe tener que la aceleracion disminuyatambien en el tiempo. Por tanto, pueden existir universos hiperbolicos en expansiondecelerada en la gravedad de GB con ω(α) > ωGB0 .En el segundo caso, factor de escala decreciente en el tiempo, la ecuacion (4.12) im-plica que el termino a

(a2 − 1

)aumente en valor absoluto en el tiempo. Puesto que

hay contraccion, la velocidad sera a < −1 y la aceleracion negativa hara que estadisminuya en valor absoluto. Pero para que se cumpla que a

(a2 − 1

)aumente en

valor absoluto en el tiempo, debe ocurrir que a aumente en el tiempo ya que a2 dis-minuira. Por tanto, en un tiempo finito se superara el lımite superior a < −1 siendoeste caso no consistente. Entonces, universos hiperbolicos en contraccion deceleradacon ω(α) > ωGB0 no se pueden dar en la gravedad de GB.

Para universos con geometrıa hiperbolica con ω(α) > ωGB0 en la gravedad de GB hemosdemostrado que solamente pueden existir en expansion y que el signo de la aceleracion lodetermina el valor inicial de la velocidad, si 0 < a(0) < 1, se tiene que a > 0 mientras que sia(0) > 1, se tiene que a < 0. Llegamos en ambos casos a una velocidad lımite a→ 1 y unaaceleracion del factor de escala que tiende a cero pero nunca llega a este valor. Tambienhemos demostrado que no existen universos con geometrıa hiperbolica con, ω(α) > ωGB0 ,en contraccion pues llegamos a una contradiccion. Esta contradiccion no tiene analogo enla gravedad EH.

En la Tabla 1 estan sintetizados todos los casos posibles de la aceleracion de la gravedad deEH, ası como en la Tabla 2 de la gravedad de GB. Recalcamos que estos resultados son inde-pendientes de la solucion, por tanto cualquier solucion debe poder encasillarse en uno de los casos.

En esta seccion hemos estudiado las diferencias entre las EdF de la gravedad de EH y la deGB y hemos visto las distintas predicciones que hacen estas ecuaciones sobre la evolucion deluniverso. Vemos tanto en la evolucion de la densidad total con respecto al tiempo, como en el

29

estudio de la ecuacion de aceleracion, que las predicciones de ambas gravedades son similarespara geometrıa euclıdea como elıptica, pero muy distintas para geometrıa hiperbolica. Es precisoresaltar que resultados muy conocidos de la cosmologıa son solo propios de la gravedad EH, puessolo algunos tienen analogos en la gravedad GB.

5. Soluciones de las ecuaciones de Friedmann de Einstein-Hilberty Gauss-Bonnet

En esta seccion vamos a buscar soluciones a las EdF de EH y de GB. Como ya expresamosanteriormente, en ambas gravedades se demostraba que la ecuacion de la componente temporalmas la ecuacion de continuidad implicaba la ecuacion de la componente espacial. Por tanto, solotenemos que resolver la ecuacion de la componente temporal (mas simple que la ecuacion de lacomponente espacial) para cada gravedad y la ecuacion de continuidad. Esta ultima ya estabaresuelta teniendo en cuenta la ecuacion de estado (3.23)

ρ(α)(t) = ρ(α)0

(a(t)

a0

)−(N−1)(ω(α)+1)

, (5.1)

por tanto, tenemos que buscar soluciones para la ecuacion de EH

1

2

(N − 1)!

(N − 3)!

(a2 + k

a2

)= κEH

∑(α)

ρ(α)(t), (5.2)

y de la ecuacion de GB

1

2

(N − 1)!

(N − 5)!

(a2 + k

a2

)2

= κGB∑(α)

ρ(α)(t). (5.3)

La forma de resolver ambas ecuaciones es plantear que tipo de universo estamos considerando,si es estatico o dinamico y tambien que tipo de materia o energıa tenemos en el. En algunosuniversos podremos tambien elegir que geometrıa consideramos, pero en otros, para que la ecua-cion sea integrable o resoluble, la geometrıa vendra fijada.

Universo estatico de Einstein

El universo estatico de Einstein es una solucion que obtuvo Einstein de las EdF en la gra-vedad EH con N = 4 en 1917 que, influido por las concepciones sobre el Universo de la epoca,le llevaron a suponer que era estatico. Tomo a = a = 0 y llego a una solucion algebraica parael factor de escala. Hallaremos esta solucion pero para universos con N dimensiones. Como sedemuestra en (D.5), al tomar a = 0 las ecuaciones de la componente tt), la componente ij) y laecuacion de continuidad son independientes, por lo que tenemos que resolver el sistema comple-to. En vez de la ecuacion para la componente ij), resolveremos la ecuacion de aceleracion. En laecuacion de continuidad (3.22) si tomamos a = 0, vemos que implica ρ(α) = cte, como esperamos

en un universo estatico. Esto es independiente de la gravedad considerada. Ahora resolveremoslas ecuaciones para cada una de las gravedades y compararemos los resultados.

30

EINSTEIN-HILBERT.Si la aceleracion del factor de escala es nula, de la ecuacion de aceleracion de EH (3.31), obte-nemos ∑

(α)

(ω(α) +

(N − 3)

(N − 1)

)ρ(α) = 0. (5.4)

Historicamente Einstein derivo su solucion considerando constante cosmologica ωΛ = −1 ymateria frıa ωM = 0. Es decir, una densidad de energıa que provoca aceleracion positiva y otraque provoca aceleracion negativa, que en un equilibrio especıfico provoca que la aceleracion seanula. Esta relacion es

ρM =2

N − 3ρΛ. (5.5)

Ahora en la ecuacion de la componente temporal para la gravedad de EH, tomando a = 0 y losdos tipos de energıa considerados llegamos a

1

2(N − 1)(N − 2)

k

a2= κEH

(N − 1)

(N − 3)ρΛ. (5.6)

Esta ecuacion nos obliga a que la geometrıa del universo sea esferica k = 1, de otra forma notendrıamos solucion para el factor de escala. Por tanto solucionando

a =

((N − 2)(N − 3)

2κEH ρΛ

)1/2

. (5.7)

Como vemos, el radio de las (N−1)−esferas es constante en el tiempo y mayor cuanto mayor seala dimension del universo, aunque tambien es menor cuanto mayor sea la constante cosmologica.Puede parecer extrano que esta solucion no sea valida para N = 3, pues la gravedad EH sı esdinamica para esta dimension. Esto se debe a que para N = 3 la condicion de aceleracion nula secumple para un universo solo con materia frıa, tal y como veıamos en el estudio de la ecuacion deaceleracion. Entonces, al imponer que el universo tenga aceleracion nula con materia ordinariay constante cosmologica, no puede ocurrir para N = 3, por lo tanto es consistente.Aunque esta solucion sea exacta de las EdF, no es una solucion estable pues requiere un ajustefino de las densidades de energıa que, ante cualquier perturbacion, se romperıa, resultando enuna aceleracion del factor de escala.

GAUSS-BONNET.Como estamos suponiendo que la aceleracion del factor de escala es nula, la ecuacion de acele-racion del la gravedad GB nos lleva a la relacion∑

(α)

(ω(α) +

(N − 5)

(N − 1)

)ρ(α) = 0. (5.8)

En esta ecuacion tomamos, como para la gravedad EH, materia frıa y constante cosmologica.Llegamos ası a la relacion entre densidades de energıa

ρM =4

N − 5ρΛ. (5.9)

Vemos que la relacion entre densidades de energıa es distinta que la de la gravedad de EH. Parala misma dimension del universo y la misma densidad de materia frıa, la constante cosmologicaque es necesaria para contrarrestar la aceleracion negativa de la materia frıa, es mayor segun la

31

gravedad de EH que segun la gravedad de GB.Con esta relacion entre las densidades de energıa llegamos a la ecuacion para el factor de escala

1

2(N − 1)(N − 2)(N − 3)(N − 4)

(k

a2

)2

= κGB(N − 1)

(N − 5)ρΛ. (5.10)

Segun esta ecuacion, la geometrıa no esta determinada, por lo que es posible que tengamos ununiverso estatico tanto con geometrıa esferica k = 1 como con geometrıa hiperbolica k = −1. Enel caso de que el universo tenga geometrıa esferica, como el radio es una constante, si viajamos enuna direccion, al cabo de un tiempo finito regresaremos al mismo punto de partida. Sin embargo,si la geometrıa es hiperbolica las secciones espaciales son infinitas, un factor de escala constantequiere decir que no varıan en el tiempo. Ası pues, el factor de escala para ambas geometrıasserıa

a =

((N − 2)(N − 3)(N − 4)(N − 5)

2κGB ρΛ

)1/4

. (5.11)

Esta solucion para el factor de escala se comporta igual que la de EH, mayor cuanto mayor es ladimension y menor cuando mayor es la constante cosmologica. Tambien ocurre que esta solucionno sea valida para N = 5, cuando la gravedad GB sı aporta terminos dinamicos en esta dimen-sion. Analogamente es debido a que para N = 5 la condicion de aceleracion nula se cumple solopara un universo con materia frıa. Como estamos imponiendo que el universo tiene aceleracionnula con materia ordinaria y constante cosmologica, esto no puede ocurrir para N = 5.Hacemos la misma apreciacion que para la gravedad de EH, esta solucion no es estable bajo pe-quenas perturbaciones, estas harıan que el factor de escala sufriera una cierta velocidad positivao negativa.

Por tanto, vemos que ambas teorıas predicen una expresion para el factor de escala del Uni-verso Estatico de Einstein distinta. Sin embargo, la diferencia mas notable es que la gravedadde EH fija la geometrıa de las secciones espaciales mientras que en la gravedad de GB no, puesexisten dos posibles.

Espaciotiempo de De Sitter

La solucion del universo de De Sitter la obtuvo el astronomo holandes Willem de Sitter en1917. Es una solucion de las EdF, en la gravedad EH, con constante cosmologica positiva. En-tonces, en las ecuaciones (5.2) y (5.3), tenemos que tomar una densidad de energıa ρΛ > 0 conun parametro de estado ω(α) = ωΛ = −1. Ya habıamos visto en la seccion 3 que esta densidadde energıa se mantiene constante, aunque el factor de escala cambie con el tiempo. Lo podemosver, de todas formas, sustituyendo este parametro de estado en la ecuacion (5.1). Nos tenemosque plantear para que geometrıas se podran resolver las ecuaciones de cada gravedad, y vere-mos que las tres geometrıas seran posibles. Conocido el contenido en energıa de este universoy que geometrıas son compatibles, vamos a dar solucion al factor de escala segun las EdF paraambas gravedades.

EINSTEIN-HILBERT.Empecemos planteandonos el espaciotiempo de De Sitter para la gravedad EH con constantecosmologica ρΛ > 0 y geometrıa euclıdea k = 0. Sustituyendo estas condiciones en la EdF queda

1

2

(N − 1)!

(N − 3)!

(a

a

)2

= κEH ρΛ. (5.12)

32

Esta ecuacion se puede integrar de forma directa llegando a la expresion para el factor de escala

a(t) = et/REH0 , REH0 =

((N − 1)(N − 2)

2κEH ρΛ

)1/2

, (5.13)

donde hemos tomado la constante de integracion a0 = 1. La constante REH0 se llama radio de DeSitter (lo tomamos positivo) y marca la escala de las propiedades del espaciotiempo. Veremosmas adelante que significa este radio de De Sitter. Nos damos cuenta que para esta solucionel factor de escala crece con el tiempo5 de forma indefinida. Quiere decir que dos observadorescercanos, con el tiempo, se alejaran por la propia expansion acelerada del espaciotiempo.Estos observadores, en el espacio tiempo de De Sitter, tienen un horizonte cosmico6 a unadistancia lhe = REH0 e−t/R

EH0 . Esta distancia vemos que decrece con el tiempo, pues el universo

esta acelerado. Como vemos el radio de De Sitter es una medida de la distancia a la que esta elhorizonte de eventos de un suceso, a mayor radio de De Sitter, mayor sera esta distancia.Si calculamos el escalar de Ricci para este factor de escala con secciones espaciales planas

R =N(N − 1)(REH0

)2 , (5.14)

por tanto, el radio de De Sitter es tambien una medida de la curvatura del espaciotiempo. Amayor radio de De Sitter, menor curvatura del espaciotiempo, por tanto, cuanto mayor sea laconstante cosmologica, mayor sera la curvatura.

Como ya hemos dicho anteriormente, podemos plantearnos otras geometrıas. Si tomamos elespaciotiempo de De Sitter con geometrıa esferica k = 1, llegamos a la ecuacion diferencial

1

2

(N − 1)!

(N − 3)!

(a2 + 1

a2

)= κEH ρΛ. (5.15)

Con soluciona(t) = REH0 cosh

(t/REH0

). (5.16)

Tambien con geometrıa hiperbolica k = −1, tenemos la ecuacion diferencial

1

2

(N − 1)!

(N − 3)!

(a2 − 1

a2

)= κEH ρΛ. (5.17)

Con soluciona(t) = REH0 sinh

(t/REH0

). (5.18)

El radio de De Sitter de estas geometrıas tiene la misma definicion que el de la geometrıaeuclıdea. Estas soluciones tienen identico escalar de curvatura que el de la solucion para sec-ciones espaciales planas, por lo que estos espaciotiempos tambien son perfectamente regularespara cualquier tiempo. Estas soluciones para el factor de escala tambien son crecientes con eltiempo. Difieren a tiempos tempranos, pero a tiempos tardıos crecen al mismo ritmo. Es decirque a tiempos tardıos, tienden a la misma solucion. Estas tres soluciones al espaciotiempo de

5El factor de escala crece con el tiempo, porque hemos asumido que el radio de De Sitter es positivo. Si fueranegativo, tendrıamos que el factor de escala decrece con el tiempo (contraccion del espaciotiempo) hasta llegara un radio nulo. Podemos asumir el signo de REH0 pues con el signo contrario tenemos la misma solucion peroaplicando inversion temporal.

6Un horizonte cosmico es la distancia maxima a la que un suceso puede influenciar. Se calcula con la integral:lhe =

∫∞t

a−1(t′)dt′. Si esta integral converge tenemos este tipo de horizonte, si diverge, las influencias de unsuceso pueden llegar arbitrariamente lejos.

33

De Sitter se tratan en realidad de la misma, cambia unicamente las coordenadas en las que seescribe tomando ası secciones espaciales planas, esfericas e hiperbolicas.Esto es lo que ocurre para la gravedad EH, veamos ahora que cambia y que comparte con lagravedad de GB.

GAUSS-BONNET.Empecemos calculando la solucion con secciones espaciales planas. Tomamos la ecuacion (5.3)con k = 0 y constante cosmologica positiva ρΛ > 0

1

2

(N − 1)!

(N − 5)!

(a

a

)4

= κGB ρΛ, (5.19)

que la integramos directamente obteniendo

a(t) = et/RGB0 , RGB0 =

((N − 1)(N − 2)(N − 3)(N − 4)

2κGB ρΛ

)1/4

. (5.20)

Es la misma solucion que la obtenida para la gravedad EH pero cambiando la definicion delradio de De Sitter. Analogamente para geometrıa esferica e hiperbolica, obtenemos solucionessimilares salvo la definicion del radio de De Sitter.

(k = 1)1

2

(N − 1)!

(N − 5)!

(a2 + 1

a2

)2

= κGB ρΛ, a(t) = RGB0 cosh(t/RGB0

), (5.21)

(k = −1)1

2

(N − 1)!

(N − 5)!

(a2 − 1

a2

)2

= κGB ρΛ, a(t) = RGB0 sinh(t/RGB0

). (5.22)

Hacemos la misma apreciacion que para la gravedad de EH. El escalar de curvatura para esteespaciotiempo, sean cuales sean las secciones espaciales consideradas, es

R =N(N − 1)(RGB0

)2 . (5.23)

Equivalentemente al espaciotiempo de De Sitter en la gravedad EH, para la gravedad GB, lastres soluciones para este espaciotiempo son en realidad la misma. Describen el mismo espacio-tiempo pero en coordenadas diferentes, foliandolo con secciones espaciales planas, esfericas ohiperbolicas.Vemos que ambas gravedades tienen gran similitud en al predecir el espaciotiempo de De Sitter.Esto es porque existen las soluciones para las tres posibles geometrıas en ambas teorıas ademas,son funcionalmente iguales. Por tanto la solucion del espacio de De Sitter la comparten ambasteorıas de la gravedad y la unica diferencia es que predicen expresiones para el radio de De Sitterdiferentes.

Espaciotiempo de Anti-De Sitter

Ahora vamos a plantearnos cual serıa la solucion a las EdF con constante cosmologica perode valor negativo, ρΛ < 0. Este modelo para un universo de N = 4 dimensiones nunca setomo como realista por las propiedades geometricas del mismo. Aunque sea una solucion sininteres para la cosmologia, en fısica teorica y en matematicas tiene mucho interes, pues es elanalogo lorentziano al hiperboloide.Veremos que, al buscar esta solucion, nos encontraremos con condiciones mucho mas restrictivas

34

sobre la geometrıa de las secciones espaciales que para la solucion de De Sitter. Para darnoscuenta de este punto, plantearemos las EdF para una k general y veremos para que geometrıasexiste solucion.

EINSTEIN-HILBERTBajo estas condiciones la ecuacion (5.2) queda

1

2

(N − 1)!

(N − 3)!

(a2 + k

a2

)= κEH ρΛ; dt =

da√−k − a2

(REH0

)−2,

con REH0 , el radio de De Sitter definido anteriormente para la gravedad EH. Si queremos que exis-ta solucion a la integral anterior, debemos tener secciones espaciales con geometrıa hiperbolicak = −1. Resolviendo la integral llegamos a la solucion para el factor de escala

a(t) = REH0 sin(t/REH0

). (5.24)

Para este factor de escala, si calculamos el escalar de cuvatura, entendemos por que el espacio-tiempo de Anti-de Sitter es el analogo lorentzciano al hiperboloide

R = −N(N − 1)(REH0

)2 . (5.25)

Es un espaciotiempo de curvatura constante negativa en contraposicion al de De Sitter y regularpara cualquier tiempo.Este espaciotiempo, al contrario que el de De Sitter, solo admite secciones espaciales hiperboli-cas, para cualquier otro tipo no existe solucion en la gravedad EH. Veamos en que se diferenciala gravedad EH con la de GB para este espaciotiempo.

GAUSS-BONNETCon la condicion de constante cosmologica negativa, ρΛ < 0, y una k general, la ecuacion FRW(5.3) queda

1

2

(N − 1)!

(N − 5)!

(a2 + k

a2

)2

= κGB ρΛ; dt =da√

−k + a2

√−(RGB0

)−4

, (5.26)

con RGB0 el radio de De Sitter para la gravedad de GB. Como vemos, no existe solucion realpara esta integral. Entonces, en la gravedad GB no tenemos como solucion el espaciotiempode Anti-De Sitter. Esto se debe a que los terminos geometricos de la gravedad GB aparecen alcuadrado y por tanto no pueden ser iguales a una constante negativa.

Hasta ahora hemos visto que las soluciones a las EdF de la gravedad EH se repetıan, conciertas modificaciones, en la gravedad GB. Tambien ocurrıa en el Universo Estatico de Einsteinque aparecıa una nueva solucion. Pero nos encontramos ahora una gran diferencia entre ambasteorıas de la gravedad. Una solucion muy estudiada de la teorıa de EH, el espaciotiempo deAnti-de Sitter, no tiene analogo en la gravedad GB. Esto nos hace darnos cuenta que las solu-ciones conocida de la gravedad EH son propias de esa teorıa y que en otras teorıas no tienenpor que repetirse.

35

El universo de Milne

Es una solucion de vacıo de las EdF, es decir, sin ningun tipo de densidad de energıa ρ(α) = 0.Esta solucion para la gravedad EH con N = 4, la presento Edward Arthur Milne en 1948. Eneste trabajo vamos a plantearla para dimension N , pero veremos que el factor de escala nodepende de la dimension.Al buscar una solucion de vacıo, a las ecuaciones FRW, llegamos a

EH)

(a2 + k

a2

)= 0 ; GB)

(a2 + k

a2

)2

= 0. (5.27)

Estas ecuaciones diferenciales tienen la misma solucion, que depende de la geometrıa de las sec-ciones espaciales. Por tanto ambas teorıas de la gravedad tienen las mismas soluciones de vacıo,vamos a ver cuales son.Para k = 0, la solucion para factor de escala es a(t) = a0 una constante.No tenemos solucion real para k = 1, pues llegamos a un factor de escala imaginario puro.Sin embargo, para k = −1 tenemos como solucion al factor de escala a(t) = ±t. Es decir queel factor de escala es lineal a la coordenada temporal. Para darnos cuenta que espaciotiempoestamos tratando tenemos que calcular los tensores de curvatura. Todos son nulos, por tanto es-tamos ante el espaciotiempo de Minkowski N−dimensional con secciones espaciales hiperbolicas.Esto es, foliar Minkowski con hiperboloides (N − 1)−dimensionales, ocupando solo la region delinterior del cono de luz. La solucion a(t) = t se refiere al cono de luz futuro y a(t) = −t al conode luz pasado. Por tanto, estamos ante una solucion que a priori puede no parecer Minkowskipero cuando indagamos un poco mas en las implicaciones de esta, vemos que sı.

Hemos hallado una solucion a las EdF que es la misma para ambas teorıas de la gravedad.Esto es distinto a las que ya hemos hallado, pues hasta ahora tenıamos soluciones analogas perocon una definicion distinta para los parametros de la solucion. Tambien recordar que obtenerMinkowski como una solucion de vacıo, es una condicion que hemos impuesto que debe cumpliruna teorıa geometrica de la gravedad sin constante cosmologica en el lagrangiano. Esto es por-que, como ya hemos expresado anteriormente, estamos considerando la constante cosmologicacomo un tipo de de densidad de energıa mas. Entonces, no tiene que sorprender que EH y GBtengan exactamente la misma solucion cuando imponemos ausencia de densidad de energıa.

El espaciotiempo de Einstein-De Sitter y otros universos espacialmente planos

El universo de Einstein-De Sitter es un espaciotiempo solucion de las EdF de EH con N = 4que presentaron en un paper conjunto en 1932. Es un universo dominado por materia frıa ysecciones espaciales planas que fue el primero en considerarse realista. Se tomo como una buenadescripcion de nuestro Universo hasta que la Cosmologıa moderna descubrio nuevas caracterısti-cas del mismo (como la energıa oscura, radiacion de fondo de microondas...). Es decir, tenemosun espaciotiempo con k = 0 y una densidad de energıa, con parametro de estado ω(α) = ωM = 0.En este trabajo, en vez de considerar un universo con esta densidad de energıa, vamos a tomaruna con un parametro de estado general ω y secciones espaciales planas. Por lo tanto vamosa considerar todos los universos espacialmente planos con un solo tipo de densidad de energıa.Englobamos tambien el universo de Einstein-De Sitter cuando tomemos ω = 0. Veremos queesta solucion no es valida para ω = −1, un universo dominado por la constante cosmologica,pero este espaciotiempo ya lo conocemos, De Sitter o Anti-De Sitter.

36

EINSTEIN-HILBERT.La diferencia de esta solucion con el resto que ya conocemos es que ahora tenemos una densidadde energıa que evoluciona en el tiempo segun (5.1). La ecuacion diferencial a resolver para lagravedad EH, con una densidad de energıa general y k = 0, es

1

2

(N − 1)!

(N − 3)!

(a

a

)2

= κEH ρ0

(a

a0

)−(N−1)(ω+1)

; REHω =

((N − 1)(N − 2)

2κEH ρ0 a(N−1)(ω+1)0

)1/2

.

(5.28)donde REHω es el parametro del universo con parametro de estado ω, que, si tomamos ω = −1llegamos al radio de De Sitter con la constante a0 absorbida en la densidad de energıa. Siresolvemos la anterior ecuacion diferencial, teniendo en cuenta la definicion de REHω , llegamos ala expresion para el factor de escala

a(t) =

[(N − 1)(ω + 1)

2

(REHω

)−1t

] 2(N−1)(ω+1)

. (5.29)

Esta solucion para el factor de escala es creciente para cualquier ω > −1, decreciente paraω < −1 y no esta definida para ω = −1 como ya habiamos dicho. Representa cualquier universodominado por densidad de energıa con parametro ω 6= −1. En particular, si tomamos ω = 0,tenemos el espaciotiempo de Einstein-De Sitter con el factor de escala a(t) ∼ t2/(N−1). Si con-sideramos un universo dominado por radiacion con ω = 1

N−1 , el factor de escala depende del

tiempo como a(t) ∼ t2/N . Por lo que para la misma dimension un universo con k = 0 dominadopor materia crece mas rapido que uno dominado por radiacion. Podemos calcular la aceleraciondel factor de escala y tenemos que, para estos valores de ω, la expansion es decelerada. Estoesta acorde con la discusion en EH de la ecuacion de aceleracion, vamos a comprobar si el restode casos tambien se cumplen.Si tomamos un universo dominado por densidad de energıa con parametro ω = − (N−3)

(N−1) , en este

caso tenemos que el factor de escala a(t) ∼ t. Entonces la aceleracion del factor de escala es nula.

Ahora tomamos un parametro de estado ω = − (N−3)(N−1)−ε, con ε > 0, para esta situacion tenemos

un factor de escala a(t) ∼ t2/[2−ε(N−1)]. Si calculamos la aceleracion del factor de escala, con lacondicion ε > 0, vemos que es positiva. Por tanto esta acorde con el estudio de la ecuacion deaceleracion para EH.

Si nos fijamos en este factor de escala vemos que para t = 0 se vuelve singular. Para sabersi se trata de una singularidad de coordenadas (como el factor de escala del espacio de De Sit-ter o de Milne) o de una singularidad fısica, tenemos que calcular algun escalar de curvatura.Calculamos el escalar de Ricci

R =4 [N − (N − 1)(ω + 1)]

(N − 1)(ω + 1)2t−2, (5.30)

como tambien se vuelve singular para t = 0, estamos ante una singularidad fısica, que ahorainterpretaremos. Podemos ver, como ya hemos expresado, que esta expresion no es valida paraun universo con constante cosmologica. Nos fijamos tambien en que el signo del escalar de Riccidepende del tipo de densidad de materia considerado. Entonces dependiendo que tipo de materiatenga el universo espacialmente plano, tendremos curvatura del espaciotiempo positiva, negativao nula.Entonces, ¿que implica tener una singularidad fısica en t = 0?. Como vemos el escalar de Riccise hace infinito cuando t→ 0 y para tiempos mayores el valor absoluto del escalar de curvaturadisminuye. Esto se interpreta como el Big Bang, el inicio temporal del universo a partir del cual

37

se expande. Podemos calcular el tiempo del universo si conocemos la constante de Hubble en eltiempo actual t0. La constante de Hubble se define como H(t) = a(t)/a(t) y entonces el tiempoactual del universo sera

t0 =2

(N − 1)(ω + 1)H0. (5.31)

Nos hemos encontrado con un tipo de universos que tienen inicio, los espacialmente planos. Ladiferencia que existe entre ellos son los tipos de densidad de energıa que consideremos en ellos.Dependiendo de esta, tendremos universos acelerados o decelerados y universos con curvaturapositiva, negativa o nula. Vamos a considerar ahora estos tipos de universos en la gravedad GBy comparar sus propiedades con los de la gravedad EH.

GAUSS-BONNET.Los universos espacialmente planos dominados por una densidad de energıa con parametroω 6= −1, en la gravedad GB deben cumplir

1

2

(N − 1)!

(N − 5)!

(a

a

)4

= κGB ρ0

(a

a0

)−(N−1)(ω+1)

; RGBω =

((N − 1)(N − 2)(N − 3)(N − 4)

2κGB ρ0 a(N−1)(ω+1)0

)1/4

.

(5.32)La constante RGBω es, como en la gravedad EH, analoga al radio del espaciotiempo de De Sitter.Integrando la ecuacion diferencial llegamos a la solucion para el factor de escala

a(t) =

[(N − 1)(ω + 1)

4

(RGBω

)−1t

] 4(N−1)(ω+1)

. (5.33)

Vemos que al igual que el factor de escala para la gravedad EH es proporcional a una potenciadel tiempo, pero distinta. Para comparar ambas soluciones consideraremos algunos casos, no engeneral.Si tomamos materia frıa como la densidad dominante del universo, para la gravedad de GB, el fac-tor de escala crece con el tiempo de forma a(t) ∼ t4/(N−1), mientras que para EH a(t) ∼ t2/(N−1).Analogamente en un universo dominado por radiacion el factor de escala para la gravedad GB esa(t) ∼ t4/N , mientras que para EH a(t) ∼ t2/N . Para estos universos, para la misma dimension,el ritmo de crecimiento es mayor para GB que para EH. Cabe preguntarse si esto sera ası engeneral, solo tenemos que fijarnos en el exponente del tiempo de ambas teorıas. Para el mismotipo de energıa y para la misma dimension, el ritmo de crecimiento del factor de escala de lagravedad GB es siempre un factor dos mayor que el de la gravedad EH.

Vemos que esta solucion de la gravedad GB cumple las predicciones de la ecuacion de ace-leracion, anulandose para ω = − (N−5)

(N−1) , siendo positiva para valores menores y negativa paravalores mayores. Solo tenemos que fijarnos en el exponente de la solucion del factor de escala, sies igual, menor o mayor que 1.

Al igual que en la teorıa de EH, este factor de escala de la gravedad GB se anula en t = 0.Por la forma funcional del mismo sabemos que es una singularidad fısica, pero para comprobar-lo tenemos que calcular el escalar de Ricci

R =8 [2N − (N − 1)(ω + 1)]

(N − 1)(ω + 1)2t−2. (5.34)

Por lo tanto tambien tienen un inicio los universos espacialmente planos en la gravedad GB.Igual que en la gravedad de EH, esta expresion no es valida para un universo dominado por la

38

constante cosmologica y dependiendo del parametro ω tendremos curvatura del espaciotiempopositiva, negativa o nula.

Al igual que en EH, podemos calcular la edad del universo conocida la constante de Hubble.Para esta gravedad tenemos

t0 =4

(N − 1)(ω + 1)H0. (5.35)

Para la misma dimension, parametro de estado y constante de Hubble, la edad de un universode EH es la mitad de la edad de un universo de GB: tGB0 = 2tEH0 .

Los universos espacialmente planos con una densidad de energıa dominante de parametro ω,tienen una expresiones para el factor de escala similares que, bajo ciertas condiciones, puedentener la misma tendencia. Ambas teorıas predicen el Big Bang de estos universos pero, en gene-ral, difieren en la edad de ellos. Tambien el los intervalos para los cuales el escalar de Ricci espositivo o negativo.

En este punto hemos analizado las similitudes y diferencias de las teorıas de gravedad de EH yGB para un caso concreto. En general hemos visto que las soluciones de ambas teorıas a las EdFson distintas. Nos hemos encontrado con soluciones que existen en GB pero no en EH (universoestatico de Einsten con k = −1), soluciones de EH que no se repiten en GB (espaciotiempo deAnti-de Sitter), soluciones funcionalmente iguales pero con parametros distintos (universo estati-co de Einstein y espaciotiempo de De Sitter), soluciones funcionalmente diferentes (Einstein-deSitter y otros universos espacialmente planos) y soluciones exactamente iguales (espaciotiempode Milne). Hemos analizado las soluciones que son distinta y que condiciones deben cumplirsepara que sean iguales.Por tanto, ademas de las diferencias que hemos analizado ya antes, aplicando ambas teorıas aun caso particular, vemos que se parecen (en el sentido que comparten soluciones) pero tienenpredicciones bastante diferentes.

6. Conclusiones

En este trabajo hemos desarrollado dos teorıas distintas de la gravedad, la de Einstein-Hilberty la de Gauss-Bonnet, considerandolas como teorıas independientes. Cada teorıa, a partir de unlagrangiano de escalares de curvatura, proporciona una ecuacion que debe satisfacer la metricaque, como hemos visto, son distintas y por tanto, tendran diferentes predicciones. Este trabajose centra en estudiar estas predicciones viendo que tienen de similar y en que se diferencian.

En la seccion 2 desarrollamos la ecuacion que debe satisfacer la metrica segun la gravedadde GB (2.15), que difiere bastante de ecuacion para la gravedad EH (1.3). Estudiamos las di-ferencias que tienen al nivel de la ecuacion tensorial y encontramos dos fundamentales. En lagravedad EH el contenido en energıa y materia no impone ninguna condicion sobre el tensorde Weyl, mientras que la gravedad de GB impone una ligadura que debe satisfacer. Como yahemos expresado, este es un punto que se debe desarrollar mas en profundidad. Tambien, estasgravedades, difieren en el regimen dimensional, la gravedad de EH influye en la dinamica deespaciotiempos con dimension N > 2, mientras que la gravedad de GB en aquellos que tienendimension N > 4. Por esta razon, para comparar ambas teorıas de la gravedad en un mismoespaciotiempo hemos tenido que considerar uno con N > 4.En esta seccion hemos visto que las dos gravedades tienen diferencias notables, pero para ha-

39

cerlas mas evidentes, vamos a estudiar un caso particular, lo que nos ha abarcado el resto deltrabajo.

En la seccion 3 aplicamos ambas gravedades a un caso particular, espaciotiempos descritospor el Ansatz Friedmann-Robertson-Walker, hallando las ecuaciones que debe satisfacer la fun-cion libre de este Ansatz, el factor de escala. Las ecuaciones de Friedmann para la gravedadEH son (3.29) y (3.30), mientras que para la gravedad GB son 3.34) y (3.35). Nos damos cuen-ta que las ecuaciones ası escritas, para un espaciotiempo N−dimensional, cumplen el regimendimensional de cada gravedad, en EH son validas para N > 2 y en GB para N > 4. Duran-te el desarrollo de ambas ecuaciones nos damos cuenta de una propiedad general que tienenlas EdF de cualquier teorıa geometrica de la gravedad: la ecuacion de la componente temporalmas la ecuacion de continuidad implican la ecuacion de la componente espacial. Demostrandoesta propiedad (cuando a 6= 0) la busqueda de soluciones de estas ecuaciones se simplifica mucho.

En la seccion 4 comparamos, a nivel formal, las EdF. Nos damos cuenta que ambos sets deecuaciones tienen una estructura muy parecida, de forma que podemos dar una expresion gene-ral para ambas. Dejamos planteado una posible continuacion de este trabajo que es estudiar lasEdF para lo siguientes terminos del lagrangiano de Lovelock y ver asi si la estructura se repite.Ademas, en esta seccion abordamos dos estudios diferentes de estas ecuaciones. Nos planteamosel estudio de la evolucion de la densidad de energıa total con el tiempo, dependiendo de la geo-metrıa de las secciones espaciales y el estudio de la ecuacion de aceleracion de ambas teorıas. Encuanto a la primera, que llamamos problema de la planitud por la motivacion historica, vemosque ambas gravedades predicen el mismo comportamiento para la densidad total en el caso degeometrıa euclıdea, para la geometrıa esferica un crecimiento o decrecimiento mas rapido de lamisma en la gravedad GB que en EH, pero la diferencia mas evidente aparece en la geometrıahiperbolica. En esta geometrıa la gravedad GB predice comportamientos transitorios, a tiempostempranos, que dependen de la velocidad del factor de escala cosa que no ocurrıa en la gravedadEH. A tiempos tardıos, coinciden para el caso de aceleracion positiva pero difieren completamen-te en el caso de aceleracion negativa, la gravedad EH predice un decrecimiento de la densidadtotal mientras que GB un crecimiento.En el estudio de la ecuacion de aceleracion nos damos cuenta que, ası como la aceleracion delfactor de escala en la gravedad EH no depende de la geometrıa de las secciones espaciales, en lagravedad de GB sı. Las predicciones en el caso de la geometrıa euclıdea y esferica son similaresa las predicciones de EH, solo difieren en el parametro de estado que separa los regımenes deaceleracion y deceleracion. En el caso de la gravedad EH este es ωEH0 = − (N−1)

(N−3) , mientras que

en la gravedad GB es ωGB0 = − (N−1)(N−5) . Sin embargo, hemos visto que las predicciones en el caso

de la geometrıa hiperbolica difieren bastante. En el caso de la gravedad EH son las mismasque para las demas geometrıas, pero para la gravedad GB que se de aceleracion o deceleraciondependera del valor inicial de la velocidad y eEsto no tiene analogo en la gravedad EH.Empezamos a ver diferencias muy evidentes entre ambas teorıas de la gravedad, estas diferenciasse hacen aun mas claras en las soluciones de las EdF.

En la seccion 5 resolvemos las EdF para ambas teorıas de la gravedad en ciertas situacionesespecificas. Empezamos planteando el universo estatico de Einstein, en el que vemos que lagravedad EH tiene solucion para geometrıa esferica y que GB, ademas de esta, tambien tienesolucion para geometrıa hiperbolica. Despues nos planteamos el espaciotiempo de De Sitter,para este vemos que ambas gravedades contemplan todos los posibles espacios con diferentesgeometrıas y que solo difieren en la definicion del radio de De Sitter. Nos planteamos tambienel espacio de Anti-de Sitter, y aquı nos encontramos que ası como la gravedad EH tiene esta

40

solucion, GB no pues, la ecuacion diferencial no tiene solucion real para el factor de escala.Despues solucionamos las EdF para vacıo y llegamos con ambas teorıas al mismo espaciotiempo,el universo de Milne, que resulta ser el espaciotiempo de Minkowski con secciones espacialeshiperbolicas. Por ultimo, nos planteamos los universos espacialmente planos con un parametrode estado ω general. Entre estos esta el espaciotiempo de Einstein-de Sitter con ω = 0. Llegamosa una solucion para el factor de escala muy similar en ambas teorıas, una potencia del tiempo,pero el exponente es distinto. Estos espaciotiempos tienen un inicio, un Big Bang, en el cualla curvatura tiende a infinito. Por tanto, el tiempo del universo es finito y podemos calcular-lo y comparar el que predicen ambas gravedades. Llegamos a que, para la misma dimension,parametro de estado y constante de Hubble, la edad de un universo GB es el doble que la de ununiverso EH.Por tanto cada gravedad tiene soluciones distintas para las ecuaciones de Friedmann, otra prue-ba mas de que son teorıas de la gravedad muy distintas.

En este trabajo nos hemos dado cuenta que, mucho de lo que conocıamos de la gravedadEinstein-Hilbert unicamente es intrınseco a ella misma, pues la siguiente teorıa fundamentalde la gravedad que podemos plantearnos, la gravedad Gauss-Bonnet, difiere sustancialmente enlas predicciones. Faltarıa estudiar en la gravedad de GB otros fenomenos muy conocidos en EHcomo la metrica de Schwarzschild o las ondas gravitacionales, comparando ası sus semejanzas ydiferencias.

41

TRABAJO PENDIENTE

Durante el desarrollo de este trabajo nos hemos dado cuenta de ciertos puntos que requie-ren un analisis posterior, mas exhaustivo, que se escapan de los objetivos planteados al principiode este trabajo.

1. Estudiar que parte del tensor de Weyl esta determinado por el contenido en energıa ymateria del espaciotiempo.

2. Determinar si las Ecuaciones de Friedmann del termino de orden n en el tensor de Riemanndel lagrangiano de Lovelock, se atienen a la estructura expresada en (4.3).

3. Estudiar las semejanzas y diferencias entre las teorıas de Einstein-Hilbert y Gauss-Bonneten cuanto a soluciones muy conocidas, como las ondas gravitatorias o los agujeros negros.

4. Desarrollar de una forma mas profunda la teorıa de Einstein-Hilbert-Gauss-Bonnet, quese trata brevemente en el apendice (C), siguiendo la linea de este trabajo.

42

.

APENDICES

A. Comprobacion ecuacion para la metrica de Gauss-Bonnet

En este apendice vamos a demostrar que la divergencia del tensor Gµν deducido a partir dellagrangiano de GB esa nula. Ya expresamos que este tensor debe cumplir esta propiedad porel teorema de Noether aplicado a la simetrıa bajo cambios arbitrarios de coordenadas. Es unacomprobacion que debemos hacer, finalizado una vez el calculo, pues ha sido largo y ha tendidomuchos posibles focos de error.El tensor geometrico de la gravedad de GB es

Gµν = 2RRµν−4Rρ µRρν+4Rρ µνλRρλ+2Rρλσ µRρλσν−

1

2gµν

(R2 − 4RρλRρλ +RρλσαRρλσα

),

(A.1)entonces si nos planteamos calcular su divergencia

∇µ[2RRµν − 4Rρ µRρν + 4Rρ µν

λRρλ + 2Rρλσ µRρλσν−

− 1

2gµν

(R2 − 4RρλRρλ +RρλσαRρλσα

)]=

= 2Rµν∇µR+ 2R∇µRµν − 4Rρν∇µRρ µ − 4Rρ µ∇µRρν + 4Rρ µλ∇µRρλ + 4Rρλ∇µRρ µν λ+

+ 2Rρλσ µ∇µRρλσν + 2Rρλσν∇µRρλσ µ −R∇νR+ 4Rρλ∇νRρλ −Rρλσα∇νRρλσα. (A.2)

Vamos a desarrollar algunos terminos con identidades conocidas del calculo tensorial de la RG,de forma que anulemos los terminos. Primero, como el tensor de Einstein tiene divergencia nula,tenemos que

∇µ(Rµν −

1

2gµνR

)= 0 → ∇νR = 2∇µRµν , (A.3)

usando esta relacion en la expresion de la divergencia, llegamos a que algunos terminos se anulanentre si

2Rµν∇µR− 4Rρν∇µRρ µ = 2Rµν∇µR− 2Rµν∇µR = 0

2R∇µRµν −R∇νR = 2R∇µRµν − 2R∇µRµν = 0. (A.4)

Entonces, nos quedan los siguientes terminos

∇µGµν = −4Rρ µ∇µRρν + 4Rρ µνλ∇µRρλ + 4Rρλ∇µRρ µν λ + 2Rρλσ µ∇µRρλσν+

+ 2Rρλσν∇µRρλσ µ + 4Rρλ∇νRρλ −Rρλσα∇νRρλσα. (A.5)

Desarrollamos los terminos primero, tercero y sexto, usando la segunda identidad de Bianchi enel primer termino

− 4Rρµ∇µRρ λ νλ + 4Rρλ∇µRρ µ νλ + 4Rρλ∇νRρλ =

= 4Rρµ∇λRρ λ µν + 4Rρµ∇νRρ λ λµ + 4Rρλ∇µRρ µ νλ + 4Rρλ∇νRρλ =

= −4Rρµ∇λRρ λ νµ − 4Rρµ∇νRρ λ µλ + 4Rρλ∇µRρ µ νλ + 4Rρλ∇νRρλ = 0. (A.6)

Nos quedan los siguientes terminos de la expresion de la divergencia

∇µGµν = 4Rρ µνλ∇µRρλ + 2Rρλσ µ∇µRρλσν + 2Rρλσν∇µRρλσ µ −Rρλσα∇νRρλσα. (A.7)

Desarrollamos los terminos primero y tercero, usando la segunda identidad de Bianchi con esteultimo

4Rρ µνλ∇µRρλ + 2Rρλσν∇µRρλσ µ = −4Rρµλ ν∇µRρλ − 2

(Rρλσ ν∇λRµρσ µ +Rρλσ ν∇ρRλµσ µ

)= −4Rρµλ ν∇µRρλ + 2Rρλσ ν∇λRρσ + 2Rλρσ ν∇ρRλσ = 0,

(A.8)

46

ahora, desarrollamos segundo y cuarto, usando la segunda identidad de Bianchi sobre este ultimo

2Rρλσ µ∇µRρλσν −Rρλσµ∇νRρλσµ = 2Rρλσ µ∇µRρλσν +Rρλσµ∇µRρλνσ +Rρλσµ∇σRρλµν= 2Rρλσ µ∇µRρλσν −Rρλσµ∇µRρλσν −Rρλµσ∇σRρλµν = 0.

(A.9)

Por tanto, mediante las pertinentes transformaciones de los terminos, llegamos que todos seanulan entre si. Entonces, como la divergencia es nula, queda comprobado que la expresion parael tensor Gµν deducido del lagrangiano de GB es correcta.

47

B. Comprobacion ecuaciones de Friedmann de Gauss-Bonnet

En este apendice vamos a calcular la divergencia del tensor Gµν de la gravedad GB calculadocon el Ansatz FRW, pues queremos comprobar que hemos llegado a las ecuaciones de Friedmanncorrectas para GB. Si desarrollamos la expresion de la divergencia de este tensor llegamos a

∇µGµν = ∂µGµν + ΓµµρG

ρν + ΓνµρGµρ. (B.1)

El tensor geometrico Gµν para este Ansatz en coordenadas comoviles, unicamente tiene compo-nentes distintas de cero Gtt y Gij . Por tanto, en la expresion de la divergencia, solo podemosfijar el ındice libre con la coordenada t y con la i. Primero calculamos la divergencia fijandoν = t

∇µGµt = ∂tGtt + ΓiitG

tt + ΓtijGij

= −2(N − 1)(N − 2)(N − 3)(N − 4)

(a

a

)(a2 + k

a2

)[(a

a

)−(a2 + k

a2

)]−

− 1

2(N − 1)2(N − 2)(N − 3)(N − 4)

(a

a

)(a2 + k

a2

)2

+

+ 2(N − 1)(N − 2)(N − 3)(N − 4)

(a

a

)[(a

a

)(a2 + k

a2

)+

1

4(N − 5)

(a2 + k

a2

)2]

=1

2(N − 1)(N − 2)(N − 3)(N − 4)

(a

a

)(a2 + k

a2

)2

[4− (N − 1) + (N − 5)] = 0.

(B.2)

Esta expresion relaciona la componente temporal con la espacial del tensor geometrico y vemosque el resultado es el esperado. Con esta comprobacion podemos estar seguros que hemos llegadoa las ecuaciones FRW correctas para la gravedad GB. Como ya hemos dicho, tambien podemosasignar al ındice libre la coordenada espacial. Tomamos en la divergencia ν = i

∇µGµi = ∂jGij + ΓkkjG

ij + ΓijkGjk

=2(N − 2)(N − 3)(N − 4) a2

(N − 1)

[(a

a

)(a2 + k

a2

)+

1

4(N − 5)

(a2 + k

a2

)2]·

·[∂j g

ij + Γkkj gij + Γijkg

jk]

=2(N − 2)(N − 3)(N − 4) a2

(N − 1)

[(a

a

)(a2 + k

a2

)+

1

4(N − 5)

(a2 + k

a2

)2]∇j gij = 0.

(B.3)

Entonces, la parte espacial de la divergencia se anula si se cumple que la conexion de las sec-ciones espaciales es compatible con la metrica. Esto es un punto que ya sabıamos, ya habıamossupuesto al desarrollar el Ansatz FRW, por lo que no aporta nueva informacion. Tampoco sirvepara comprobar el calculo, pero esta bien desarrollarlo para conocer que posibles condicionespodrıa imponer.

Tras esta comprobacion del calculo podemos confirmar que las ecuaciones de Friedmann pa-ra la gravedad GB que hemos desarrollado en este trabajo son correctas.

48

C. Gravedad Einstein-Hilbert-Gauss-Bonnet

En este apendice vamos a considerar de forma conjunta la gravedad de EH y la de GB comouna unica teorıa, es decir, la gravedad de Einstein-Hilbert-Gauss-Bonnet (EH-GB). Este no es,de ninguna manera, el planteamiento de este trabajo, pero es interesante plantearse las predic-ciones que tendrıa esta distinta teorıa de la gravedad. Por ello, vamos a desarrollar, siguiendo lalinea del trabajo, las predicciones de esta teorıa.

La gravedad EH-GB surge de plantearse a la vez los lagrangianos geometricos de EH y deGB

LEHGB =1

2κEHR+

1

2κGB

(R2 − 4RµνR

µν +RµνρλRµνρλ

), (C.1)

y de deducir a partir del mismo, las ecuaciones que debe satisfacer la metrica

1

κEHRµν +

1

κGB

(2RRµν − 4Rρ µRρν + 4Rρ µν

λRρλ + 2Rρλσ µRρλσν

)−

− 1

2gµν

[1

κEHR+

1

κGB

(R2 − 4RρλRρλ +RρλσαRρλσα

)]= −Tµν . (C.2)

Vemos que tenemos dos constantes de acoplamiento que actuan sobre distintos terminos, enconcreto, los terminos de cada lagrangiano por separado van precedidos por su constante deacoplamiento. Por el teorema de Gauss-Bonnet sabemos que esta gravedad es valida para es-paciotiempos de dimension superior a dos y por el teorema de Chern-Gauss-Bonnet, que losterminos del lagrangiano de GB empiezan a contribuir a partir de dimension cinco. Por lo tanto,para empezar a ver diferentes efectos gravitatorios que los debidos a la gravedad de EH, tenemosque considerar un espaciotiempo de dimension N ≥ 5.En un universo de dimension mayor que 4, no habrıa ninguna razon fundamental por la que noconsiderar la gravedad de EH-GB como la teorıa de la gravedad. Esto es porque no tenemosninguna razon teorica que nos fije unıvocamente el tensor Gµν , sino que dependiendo de la di-mension que consideremos tendremos que considerar mas o menos terminos en el lagrangianogeometrico. Ademas, esta teorıa de la gravedad tiene como limite newtoniano la ecuacion dePoisson.Se podrıa especular que, si aparecen desviaciones de los resultados experimentales de efectos gra-vitatorios, es debido a que, en realidad, nuestro Universo tiene al menos una quinta dimensionespacial y el termino de GB esta acoplandose a la gravedad de EH. Esta serıa como mınimo unaposibilidad a considerar, al igual que muchas otras. Sin embargo, los fenomenos gravitatoriosmas energeticos detectados hasta ahora7, han sido perfectamente descritos con la gravedad deEH. Por lo tanto, por ahora, que existan mas de las cuatro dimensiones (segun este razonamien-to, pues hay otras teorıas que predicen mas dimensiones de las observables a traves de otrosrazonamientos), es mera especulacion.

Vamos a plantearnos esta teorıa de la gravedad para un caso especıfico. Siguiendo la linea

7La colision de dos agujeros negros, detectados en LIGO en 2016 ([9])

49

del trabajo, vamos a hallar las EdF para esta gravedad

tt)1

2κEH

(N − 1)!

(N − 3)!

(a2 + k

a2

)+

1

2κGB

(N − 1)!

(N − 5)!

(a2 + k

a2

)2

= ρ,

ij)(N − 2)!

(N − 3)!κEH

(a

a

)+ 2

(N − 2)!

(N − 5)!κGB

(a

a

)(a2 + k

a2

)+

1

2

(N − 2)!

(N − 4)!κEH

(a2 + k

a2

)+

1

2

(N − 2)!

(N − 6)!κGB

(a2 + k

a2

)2

= −P. (C.3)

Como la gravedad de EH-GB es una teorıa geometrica, ya demostramos que la ecuacion de lacomponente temporal mas la ecuacion de continuidad implican la ecuacion de la componenteespacial. Entonces, a la hora de resolverlo, se simplifica mucho el calculo. Para esta gravedad nose puede hallar una ecuacion de aceleracion equivalente a las halladas en la gravedad EH y en GB.

Vemos que estas ecuaciones son de mas difıcil resolucion que las de ambas gravedades porseparado, pero aun ası podemos plantearnos algunas soluciones.

Solucion de vacıoPodemos empezar a plantearnos las soluciones de vacıo de estas EdF. De esta forma, llegamosal universo de Milne como en la gravedad EH y GB, pero ademas aparece otra solucion(

a2 + k

a2

)= − κGB

κEH(N − 3)(N − 4), (C.4)

es decir, encontramos una solucion de un espaciotiempo de Anti-de Sitter. Por tanto, como laecuacion anterior es funcionalmente igual a la EdF de la solucion de Anti-de Sitter en la gravedadEH (5.24), todo el desarrollo de esta solucion en EH es valido para esta solucion en EH-GB. Enparticular, podemos calcular el radio de De Sitter y la constante cosmologica negativa asociada

Reff0 =

[κEHκGB

(N − 3)(N − 4)

]1/2

,

ρeffΛ = −1

2

κGBκ2EH

(N − 1)(N − 2)

(N − 3)(N − 4), (C.5)

los denominamos efectivos, pues no estamos considerando ninguna densidad de energıa en elespaciotiempo, y aun ası, se comporta como si tuviera una constante cosmologica negativa.

Entonces, aunque consideremos vacıo con la gravedad de EH-GB, una solucion posible es que elespaciotiempo se comporte como un Anti-de Sitter con un radio de De Sitter y una constantecosmologica negativa efectiva. Este es un efecto que no tiene analogo en la gravedad EH ni GB,pues las soluciones de vacıo de estas gravedades era unicamente el espaciotiempo de Minkowski.

Universo estatico de EinsteinOtra solucion que podemos plantearnos es la del universo estatico de Einstein, a = a = 0 conconstante cosmologica y densidad de materia. Al no haber hallado una ecuacion de aceleracion,

50

como en las otras teorıas de la gravedad, tenemos que resolver el sistema algebraico

(N − 1)(N − 2)

2κEH

(k

a2

)+

(N − 1)(N − 2)(N − 3)(N − 4)

2κGB

(k

a2

)2

= ρΛ + ρM

(N − 2)(N − 3)

2κEH

(k

a2

)+

(N − 2)(N − 3)(N − 4)(N − 5)

2κGB

(k

a2

)2

= −ρΛ, (C.6)

del que obtenemos una solucion para el factor de escala y una relacion entre la constante cos-mologica y la densidad de materia. Resolviendo la segunda ecuacion del sistema, obtenemos lasolucion para el factor de escala

a =

κ−1GB

(N−2)!(N−6)! · k

−κ−1EH

(N−2)!(N−4)! ±

√κ−2EH

[(N−2)!(N−4)!

]2− 8ρΛκ

−1GB

(N−2)!(N−6)!

1/2

, (C.7)

como es una ecuacion de segundo grado, tenemos dos soluciones a+ con el signo positivo en laraız cuadrada del denominador y a− con el negativo. Que el espaciotiempo tenga una solucion uotra dependera de la geometrıa de las secciones espaciales que consideremos y ademas, tenemosla libertad de elegir el signo de la constante cosmologica incluso tomarla nula, lo desarrollamosmas adelante. Conocida la solucion para el factor de escala, sustituimos en la primera ecuaciondel sistema (C.6) y obtenemos la relacion que debe existir entre la constante cosmologica y ladensidad de materia

ρM =− ρΛ5N − 9

(N − 5)+κGBκ2EH

(N − 1)(N − 2)

(N − 4)(N − 5)±

±

√1

4

κ2GB

κ4EH

(N − 1)2(N − 2)2

(N − 4)2(N − 5)2− 4

κGBρΛ

κ2EH

(N − 1)(N − 2)

(N − 3)(N − 4)−

− (±)

√κ2GB

κ4EH

(N − 1)2(N − 2)2(N − 3)2

(N − 5)2− 8

κGBρΛ

κ2EH

(N − 1)2(N − 2)(N − 3)

(N − 4)(N − 5). (C.8)

Vemos que, segun la ecuacion anterior, dada una constante cosmologica tenemos dos posiblessoluciones para la densidad de materia: ρM+ y ρM−. Para esta gravedad, la relacion entre ρM yρΛ no es lineal.Las soluciones para el factor de escala dependen, como ya hemos dicho, de que valor se escojapara la constante cosmologica, ademas se debe satisfacer que la densidad de materia sea positivaρM > 0. Considerando todo esto, las posibles soluciones son:

· ρΛ > 0, en este caso se tiene que cumplir la condicion

ρΛ <1

8

κGBκ2EH

(N − 2)(N − 3)

(N − 4)(N − 5),

es decir, conocido κEH y κGB tenemos un valor maximo para la constante cosmologica.Siendo ası, la solucion para el factor de escala del espaciotiempo serıa con secciones espa-ciales hiperbolicas k = −1 y ambos valores del factor de escala a+ y a−. Para esta soluciontenemos densidad de materia ρM−.

· ρΛ < 0, cuando se de esta condicion tenemos dos espaciotiempos posibles: con seccionesespaciales esfericas k = 1 y factor de escala a+ y con secciones espaciales hiperbolicas yfactor de escala a−.Para esta solucion tenemos densidad de materia ρM−.

51

· ρΛ = 0, segun la ecuacion (C.7) tambien existe solucion no nula para el factor de escalacuando la constante cosmologica sea nula. El espaciotiempo resultante tendra seccionesespaciales hiperbolicas y factor de escala

a =

√1

2

κEHκGB

(N − 4)(N − 5) (C.9)

Para este caso tenemos densidad de materia

ρM =κGBκ2EH

(N − 1)(N − 2)(N − 3)

(N − 5)(C.10)

Por tanto, tenemos que el universo estatico de Einstein tiene multiples soluciones. Aparece unadependencia no lineal entre las densidades de energıa, esto no ocurrıa en las gravedades de EHy GB. Esta relacion entre ρM y ρΛ nos lleva a tener varias soluciones incluso que en ausencia deconstante cosmologica pueda existir un espaciotiempo estatico. Como no tenemos una ecuacionde aceleracion para esta teorıa gravedad no podemos decir si la materia frıa actua de formaatractiva como en GB y EH. Aun ası, encontrar una solucion de un universo estatico solo conmateria frıa es un hecho notable.

Espaciotiempo de De SitterEsta solucion existe en la gravedad EH-GB y es la misma que la de las teorıas de EH y de GB.Cambia unicamente la definicion del parametro de este espaciotiempo, el radio de De Sitter

REHGB0 =

[(N − 1)(N − 2)

4κEH ρΛ+

√(N − 1)2(N − 2)2

16κ2EH ρ

2Λ

+(N − 1)(N − 2)(N − 3)(N − 4)

2κGB ρΛ

]1/2

=

[1

2

(REH0

)2+

√1

4

(REH0

)4+(RGB0

)4]1/2

, (C.11)

con REH0 y RGB0 los radios de De Sitter de la teorıa de EH y GB respectivamente. Por tanto,esta gravedad comparte con la gravedad EH y GB la solucion del espaciotiempo de De Sittercon todas sus posibles geometrıas de las secciones espaciales.

Espaciotiempo de Anti-de SitterComo ya hemos visto, este espaciotiempo es solucion de la gravedad EH pero no de GB y parala gravedad que ahora nos atane es solucion si la constante cosmologica (recordamos que tienevalor negativo para esta solucion) cumple

|ρΛ| <1

2

κGBκ2EH

1

(N − 3)(N − 4). (C.12)

Si se cumple esta condicion, llegamos a dos espaciotiempos posibles con dos radios de De Sitterdistintos

REHGB0 =

[1

2

(REH0

)2 ±√1

4

(REH0

)4 − (RGB0

)4]1/2

. (C.13)

Por tanto, a diferencia de las dos gravedades estudiadas en el texto, la gravedad de EH-GB pre-dice dos espaciotiempos de Anti-de Sitter distintos caracterizados cada uno con un radio de De

52

Sitter, siempre y cuando se cumpla la condicion sobre la constante cosmologica. Ademas veıamosque una posible solucion de vacıo de esta gravedad se comportaba como un espaciotiempo deAnti-de Sitter con una constante cosmologica efectiva.

Concluimos que al igual que estudiamos la gravedad de EH y de GB podemos estudiar lagravedad de EH-GB que tiene predicciones distintas a cada una de las teorıas de la gravedadestudiadas en este trabajo. Debido a este hecho nos damos cuenta una vez mas que las solucionesque se toman como naturales a la teorıa de la gravedad de EH son solo intrınsecas a la misma.Seria interesante desarrollar mas en profundidad esta teorıa, pues como vemos tiene solucionesmuy exoticas como que el vacıo se pueda comportar como un espaciotiempo de Anti-de Sitter oque el universo estatico de Einstein tenga solucion unicamente con materia. Para entender estassoluciones es necesario estudiar la ecuacion de aceleracion de las EdF de esta teorıa, pero paraello se necesita un estudio mas exhaustivo de la misma que se escapa de los objetivos de estetrabajo.Tambien resaltar que, si en algun momento se demostrara que existen mas dimensiones espacia-les, no hay ninguna razon teorica para que la teorıa que describe la gravedad de nuestro Universono fuera la teorıa de Eintein-Hilbert-Gauss-Bonnet y, dependiendo de la dimension, tambien seanadiera algun termino mas del lagrangiano de Lovelock.

53

D. Demostracion del teorema

El teorema a demostrar es:”Las ecuaciones de las componentes tt) e ij) de las EdF, deducidas a partir del Ansatz FRW

ds2 = dt2 + a(t)2gij(x)dxidxj ,

para cualquier teorıa geometrica de la gravedad (cualquier lagrangiano de escalares de curvatu-ra) que de una expresion para la ecuacion Gµν = −κTµν , estan relacionadas por la ecuacion decontinuidad.”

Para demostrar esta propiedad de las EdF consideramos las componentes de Gµν deducidasa partir del Ansatz FRW y las componentes de algun Tµν que represente un modelo material

Gtt = G(a) T tt = T (a),

Gij = H(a)gij T ij = P (a)gij , (D.1)

con G(a), H(a), T (a) y P (a) funciones del factor de escala de la metrica FRW. Para estametrica las componentes no triviales de los sımbolos de Christoffel son: Γtij = aagij , Γitj = a

aδij

y Γijk = Γijk. Por tanto las ecuaciones de conservacion para Gµν y para Tµν quedan

∂tGtt + ΓitiG

tt + ΓtijGij = 0,

∂tTtt + ΓitiT

tt + ΓtijTij = 0, (D.2)

desarrollamos segun las expresiones de los tensores y de los sımbolos de Christoffel

∂tG(a) +Na

aG(a) +NaaH(a) = 0,

∂tT (a) +Na

aT (a) +NaaP (a) = 0. (D.3)

Si tenemos un factor de escala que satisfaga la parte temporal de la conservacion del tensorenergıa-momento (ecuacion de continuidad) y la ecuacion Gtt = −κT tt, con las componentespara los tensores deducidas del Ansatz FRW, automaticamente se satisface Gij = −κT ij . De-mostracion:Consideramos la ecuacion de la componente temporal y tomamos su derivada con respecto a lacoordenada temporal

Gtt = −κT tt,G(a) = −κT (a),

∂tG(a) = −κ∂tT (a), (D.4)

sustituimos en esta ecuacion la expresion de la divergencia del tensor Gµν , Tµν y desarrollamos

Na

aG(a) +NaaH(a) = −κ

(Na

aT (a) +NaaP (a)

),

aaH(a) = −κaaP (a),

H(a) = −κP (a), a 6= 0,

Gij = −κT ij , a 6= 0. (D.5)

Por tanto, queda demostrado que para cualquier teorıa geometrica de la gravedad, la componentett) de las EdF mas la conservacion de la energıa implican la componente ij) de las EdF.

54

Es interesante darse cuenta que es valido para cualquier teorıa de la gravedad que provenga de unlagrangiano de escalares de curvatura: Einstein-Hilbert, Gauss-Bonnet, cualquier combinacionde terminos del lagrangiano de Lovelock, teorıas f(R), f(Rµν)..., es un resultado general para elAnsatz FRW. Esto es debido a la gran estructura de este Ansatz pues describe espaciotiemposcon secciones espaciales maximamente simetricas y solo tiene una funcion a determinar condependencia unicamente temporal. Todas estas restricciones hacen que las ecuaciones que sededuzcan de este Ansatz esten relacionadas entre si. Tambien hay que resaltar la condicion a 6= 0que, si no se cumple, el teorema anterior no es valido. La mayorıa de soluciones del universo lacumplen, pero el Universo estatico de Einstein no. Cuando nos planteemos esta solucion veremosque tendremos que resolver la EdF de la componente tt) y la EdF de la componente ij) o lo quees lo mismo la ecuacion de aceleracion.

55

Referencias

[1] Lanzcos C., Ann. Math. 39 (1938) 842.

[2] Lovelock D., Aequationes Math. 4(1970) 127; Lovelock D., J. Math. Phys. 12 (1971)498.

[3] Janssen B. Teorıa de la Relatividad General, Dpto de Fısica Teorica y del Cosmos, Uni-versidad de Granada, 2013.

[4] Blau M. Lecture notes on General Relativity, Institut fur theoretische Physik, UniversitatBern, 2015.

[5] Wald R.M. General Relativity,The University of Chicago Press, Chicago and London, 1984.

[6] Hawking S.W. y Ellis G.F.R The large scale structure of space-time, Cambridge mono-graphs on mathematical physics, Cambridge university press, 1973

[7] Zhu C. The Gauss-Bonnet theorem and its applications, Berkeley.edu

[8] Yale A., Padmanabhan T. Structure of Lanczos-Lovelock lagrangians in critical dimen-sions, arXiv:gr-qc/1008.5154v1, 2010.

[9] LIGO Scientific Collaboration and Virgo Collaboration. Observation of gravi-tational waves from a binary black hole merger, PRL 116, 061102, 2016.

[10] Lovelock D. The Uniqueness of the Einstein field equations in a four-dimensional space,Dptm of Mathematics, The University of Bristol, 1968.

[11] Dadhich N. On the Gauss-Bonnet gravity, arXiv:hep-th/0509126v3, 2006.

[12] Padmanabhan T., Kothawala D. Lanczos-Lovelock models of gravity, arXiv:gr-qc/1302.2151v4, 2013.

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