soluciones tema 4

123

Halla la solución de las siguientes ecuaciones con fracciones algebraicas.

z1 = −1 → No tiene solución real.z2 = 4 → x1 = 2 x2 = −2

zzz

=− ± − ⋅ − ⋅

⋅ −=

− ±−

= −=

⎧⎨⎪⎪3 3 4 1 4

2 1

3 5

2

14

21

2

( )

( )→

⎩⎩⎪⎪

b)4 3

0 3 4 0 3 4 04

2

2

4 22

2

x

x

xx x z z

z x+

−= − + + = − + + =

=→ ⎯⎯→

xxx

=− − ± − − ⋅ ⋅ −

⋅=

± == −

⎧⎨⎪( ) ( ) ( )1 1 4 1 6

2 1

1 5

2

32

21

2→ ⎪⎪

⎩⎪⎪

a) xx

x

xx x+

+=

+

+− − =

1

1

2 7

16 02→

b)4 3

04

2

2x

x

x+ − =a)

2x

x

x

x+

+=

++

1

1

7

1

005

4SOLUCIONARIO

833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 123

124

Resuelve estas ecuaciones con radicales.

La solución es x = 5.

⎯⎯→z = x2

z2 − 11z + 18 = 0

z1 = 9 → x1 = −3 x2 = 3

z2 = 2 → x3 = x4 =

Las soluciones son x1 = −3 y x2 = 3.



Estas ecuaciones aparecen factorizadas. Encuentra su solución.

a) 3(x −1)(x + 2)(x −4) = 0 d) 2x2(x −3)2(3x + 4) = 0

b) x(x −2)(x + 3)(x −12) = 0 e) 5x(x −1)2(2x + 7)3 = 0

c) (2x −1)(4x + 3)(x −2) = 0

a) x1 = 1 x2 = −2 x3 = 4 d) x1 = 0 x2 = 3 x3 =

b) x1 = 0 x2 = 2 x3 = −3 x4 = 12 e) x1 = 0 x2 = 1 x3 =

c) x1 = x2 = x3 = 2−3

4

1

2

−7

2

−4

3

007

x x=− − ± − − ⋅ ⋅

⋅=

±( ) ( )249 249 4 64 171

2 64

249 135

256

2

→ 11

2

57

643

=

=

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪x

d) 2 1 3 4 3 5 0 2 1 3 4 3 5

6 32

2 2x x x x

x

+ − − + = + = − −−

→→

( ) ( )

( )22 2 230 4 3 64 249 171 0= − − − + =( )x x x→

x x

x=

− − ± − − ⋅ ⋅

⋅=

± =

=

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩

( ) ( )9 9 4 2 4

2 2

9 7

4

1

24

21

2

→⎪⎪⎪⎪

c) x x x x x x x xx x

+ + = + + + + + = ++ =

12 8 4 2 12 12 8 44 48 3

2

2

→→ 66 96 64 2 9 4 02 2x x x x− + − + =→

− 22

zzz

=− − ± − − ⋅ ⋅

⋅=

± ==

⎧⎨⎪( ) ( )11 11 4 1 18

2 1

11 7

2

92

21

2→ ⎪⎪

⎩⎪⎪

b) x x x x x x x2 2 4 2 2 4 23 2 4 8 16 3 2 11 18 0− − = − + = − − + =→ →

xx=

− − ± − − ⋅ ⋅

⋅=

± =( ) ( ) .226 226 4 1 1 105

2 1

226 216

2

21→ 55

2212x =⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

a) x x x x x

x

+ + − = − = + − + +

− = −

4 2 1 6 2 1 4 12 4 36

41 122

→

→ ( ) ( xx x x+ − + =4 226 1 105 02 2) .→

d) 42 1 3 3 5 0x x+ − − + =b) 3x x2 2 2 4− − =

c) 8x x x+ + = +12 4a) 2x x+ + − =4 1 6

006

Ecuaciones, inecuaciones y sistemas


125

Factoriza las ecuaciones y resuélvelas.

a) x4 −2x3 −13x2 + 38x −24 = 0

b) x5 −6x4 + 10x3 −6x2 + 9x = 0

c) x4 + 8x3 + 17x2 + 8x + 16 = 0

a) (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x + 4) = 0

x1 = 1 x2 = 2 x3 = 3 x4 = −4

b) x(x − 3)2(x2 + 1) = 0

x1 = 0 x2 = 3

c) (x + 4)2(x2 + 1) = 0

x = −4

Escribe una ecuación que tenga como soluciones: x = 3, x = 2 y x = −7.¿Cuál es el mínimo grado que puede tener?

Respuesta abierta.

(x − 3)(x − 2)(x + 7) = 0

El mínimo grado que puede tener es 3.

Resuelve estos sistemas de ecuaciones.

Escoge el método que consideres más adecuado.

a) Resolvemos el sistema por sustitución:

b) Resolvemos el sistema por reducción:

Sumamos las ecuaciones:

Sustituimos en una de las ecuaciones:

5p p+ ⋅−

= =21

21

2

5→

− − = −− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

− = = −

15 6 315 10 11

16 81

2

p qp q

q q→

5 2 115 10 11

15 6 315 1

3p qp q

p qp

+ =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

− − = −−

⋅⎯→00 11q =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

63

29 6

1

3

31

32

1

2⋅

−− = − = =

− ⋅= −

yy y x→ →

4 6 06 9 6

3

2

x yx y

xy+ =

− = −⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= −→

b) 5 215 10

p qp q

+ =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

111

a) 4 66 9

x yx y

+ =− = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

06

010

009

008

4SOLUCIONARIO


126

Halla las soluciones de estos sistemas.


Resolvemos por reducción:


−2x + 3 = 2 → x =

Resolvemos por reducción:


5x + 6 ⋅ 8 = 58 → x = 2

Clasifica estos sistemas de ecuaciones, y resuélvelos por el método más adecuado.

Sistema compatible indeterminado: y = 4x − 2.

b) Resolvemos el sistema por reducción:


Sistema compatible determinado.

p p− = =16

71

23

7→

p qp q

p qp q

+ =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

− − = −− =

⋅ −2 1

3 113 6 33 11

3⎯→( )

−− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= −7 88

7q q→

a) 8 2 412 3 6

4 2x yx y

y x− =

− + = −⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= −→

b) 23

p qp q

+ =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

1112

a) 8 212 3

x yx y

− =− + = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

46

012

5 6 583 4 26

15 18 1743

5x yx y

x y+ =− + =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

+ =⋅⋅

⎯→⎯→ −− + =

=

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

=15 20 130

38 304 8x y

y y→

b)x y

x y

x−

+−

=

− + + =

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

+5

3

2 1

52

3 2 4 1 36

5

( ) ( )→ 66 58

3 4 26y

x y=

− + =⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

1

2

− + =− = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

− = − =

2 22 5 14

4 12 3

x yx y

y y→

3 2 1 6 4 153 2 6 4

( ) ( )( )

x y x yx y x y

+ − − − =− + + − + =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

→→ − + =− = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2 22 5 14

x yx y

b)2

3(2 4(

x y

x y

− + − =

− + + =

⎫

⎬⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

5

3

1

52

1 36) )

a) 3(2 6(43( 2

x y x yx y x y

+ − − − =− + + − + =

⎫⎬⎪⎪⎭

1 156 4

) )) ⎪⎪⎪

011



127

Decide de qué tipo son estos sistemas de ecuaciones, y representa gráficamente su solución.

a) Sistema incompatible. b) Sistema compatible determinado.

Expresa en forma de ecuación.

a) La diferencia de dos números es 10.

b) El doble de la suma de dos números es 36.

c) La suma de dos números es igual a su producto.

a) x − y = 10 b) 2(x + y ) = 36 c) x + y = x ⋅ y

La suma de las edades de Fernando y su padre es 40 años. Además, la edad del padrees 7 veces la edad del hijo. ¿Qué edades tienen ambos?

Llamamos x a la edad de Fernando e y a la de su padre.

→ x � 7x � 40 → x � 5, y � 35

Fernando tiene 5 años y su padre, 35 años.

Un alumno realiza un examen de diez preguntas. Por cada acierto le dan 2 puntos, y por cada fallo le quitan 1 punto. Si la calificación final fue de 8 puntos, ¿cuántos aciertos y fallos tuvo?

Llamamos x al número de aciertos e y al de fallos.

→ x � 10 � y

2(10 � y)� y � 8 → 20 � 2y � y � 8 → y � 4, x � 6

Tuvo 6 aciertos y 4 fallos.

En un hotel de 120 habitaciones hay habitaciones dobles e individuales. Si el número de camas es 195, ¿cuántas habitaciones son de cada tipo?

Llamamos x al número de habitaciones dobles e y al de individuales.

→ x � 120 � y

2(120 � y) + y � 195 → 240 � 2y � y � 195 → y � 45, x � 75

Son 75 habitaciones dobles y 45 Individuales.

x yx y

+ =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

1202 195

017

x yx y

+ =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

102 8

016

x yy x

+ ==

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

407

015

014

Y

X1

1

Y

X0,3

0,3

b) 21 1412 81

a ba b

− =− + = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

3520

a) 12 98 6

− + = −− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x yx y

20

013

4SOLUCIONARIO


128

Resuelve estos sistemas.

Resuelve los sistemas.

Resuelve los sistemas.


Sustituimos en la ecuación:

x1 = 20 − 11 = 9

x2 = 20 − 9 = 11

( )20 202 20 99 0 119

2 2 2 1

2− + = − + = =

=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

y y y yyy

→ →

x yx y

x y2 2 202

2020+ =

+ =⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= −→

b)2

x xyx y

2 2413

+ =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

a) x yx y

2 2 20220

+ =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

020

b) x y zx y z

x y z

E− − =+ − =

+ + =

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

2 82 3 11

2 3 5⎯⎯⎯→22 2 1

3 3 1

22 8

3 53 5

= −

= −

+ − =+ =−

+ =−

E E

E E E

x y zy z

y z⎯⎯⎯→ 33

2 83 5

4 23 3 2

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

+ − =+ =−

=

⎫

= −⎯⎯⎯→E E E

x y zy z

z⎬⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

=

=−

=

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

→

x

y

z

43

611

61

2⎪⎪

a) x y zx y

x y zE E

+ + =− =

+ − =

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

=

23 1

5 7 3 33 3⎯⎯⎯→

++ =

+ + =− =

+ =

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

3 1 3

23 1

8 10 9E E

x y zx y

x y ⎯⎯⎯⎯→EE E

x y zx y

x

x

y3 210

23 1

38 19

1

2+

+ + =− =

=

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

=

=→ 11

21z =

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

b) x y zx y z

x y z

− − =+ − =

+ + =

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

2 82 3 11

2 3 5

a) x y zx y

x y z

+ + =− =

+ − =

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

23 1

5 7 3 3

019

b) x y zx y zx y z

+ + =+ − =+ + =

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

2 02 5 6 03 4 0

⎯⎯⎯⎯→EE E E

E E E

x y zy z

y

2 2 1

3 3 1

2

3

2 03 10 0

5

= −

= −

+ + =− =−⎯⎯⎯⎯→ zz

x y zy zE E E

=

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

+ + =− ==− +

0

2 03 10

3 3 23⎯⎯⎯⎯→

005 0

000z

xyz=

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

===

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

→

a) x yx yx y

E E− =

+ =+ =

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

= −3

3 2 192 3 16

2 2⎯⎯⎯⎯→33

21

3 3 1

35 105 10

E

E E E

x yyy

x

⎯⎯⎯⎯→= −

− ===

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

===

52y

b) x y zx y zx y z

+ + =+ − =+ + =

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

2 02 5 6 03 4 0

a) x yx yx y

− =+ =+ =

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

33 2 192 3 16

018



129

b) Resolvemos el sistema por sustitución:

(13 − 2y)2 + (13 − 2y)y = 24 → 2y2 − 39y + 145 = 0 →

Sustituimos en la ecuación:

x1 = 13 − 2 ⋅ 5 = 3 x2 = 13 − 2 ⋅ = −16

Calcula dos números, sabiendo que su suma es 42 y la suma de sus inversos es .

Planteamos el sistema de ecuaciones:

Resolvemos el sistema por sustitución:

72y + 72(42 − y) = 7(42 − y)y → y2 − 42y + 432 = 0 →

x1 = 42 − 18 = 24

x2 = 42 − 24 = 18

Los números pedidos son 18 y 24.

Resuelve la siguiente inecuación:

Razona los pasos realizados para resolverla.

• Resolvemos la ecuación: x − 4 = 3x + 1 → x = −2

• Tomamos un punto cualquiera de cada intervalo:x = −4 de (−�, −2) x = 0 de (−2, +�)

• Comprobamos si esos puntos son soluciones:

Si x = −4 → → (−�, −2) es solución.

Si x = 0 → −4 ≥ 1 → (−2, +�) no es solución.

• Comprobamos si el extremo es solución:

Si x = −2 → → x = −2 es solución.

Por tanto, la solución de la inecuación es el intervalo (−�, −2].

Encuentra el error cometido en la resolución de esta inecuación.

2x ≤8x −12

−6x ≤−12 → 6x ≤12 → x ≤2 → (−�, 2)

Al pasar del segundo al tercer paso, se ha multiplicado la ecuación por −1, y se debería haber cambiado el sentido de la desigualdad, por las relaciones de orden que cumplen los números reales.

023

− =−

− ≤ ⋅ − + = −52

24 3 2 1 5( )

− =−

− ≤ ⋅ − + = −64

24 3 4 1 11( )

1

2

1

24 1x x− ≤ +3022

yy

1

2

1824

==

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

x y

x y

x yy x x

+ =

+ =

⎫

⎬⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

= −+ =

421 1 7

72

4272 72 7

→yy

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

7

72021

29

2

y

y

1

2

529

2

=

=

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

x xyx y

x y2 24

2 1313 2+ =

+ =⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= −→

4SOLUCIONARIO


130

Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado con una incógnita.

a) x2 −3x + 2 ≤0 f) (x −3)(x + 4) ≥0b) x2 −3x + 2 ≥0 g) (x + 3)x <4c) x2 −9x >0 h) x2 −30 >xd) x2 −9 <0 i) x2 + x + 3 <0e) x2 + 2 ≤0 j) 4x2 −4x + 1 <0

a) Resolvemos la ecuación: x2 − 3x + 2 = 0 →

Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:x = 0 x = 1,5 x = 3

Si x = 0 → 02 − 3 ⋅ 0 + 2 > 0 → (−�, 1) no es solución de la inecuación.

Si x = 1,5 → 1,52 − 3 ⋅ 1,5 + 2 < 0 → (1, 2) es solución de la inecuación.

Si x = 3 → 32 − 3 ⋅ 3 + 2 > 0 → (2, +�) no es solución de la inecuación.

Las soluciones de la ecuación lo son también de la inecuación.

Por tanto, la solución es [1, 2].

b) Se deduce del apartado anterior que las soluciones de la inecuación son: (−�, 1] ∪ [2, +�)

c) Resolvemos la ecuación: x2 − 9x = 0 →

Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:x = −1 x = 1 x = 10

Si x = −1 → (−1)2 − 9 ⋅ (−1) > 0 → (−�, 0) es solución de la inecuación.

Si x = 1 → 12 − 9 ⋅ 1 < 0 → (0, 9) no es solución de la inecuación.

Si x = 10 → 102 − 9 ⋅ 10 > 0 → (9, +�) es solución de la inecuación.

Las soluciones de la ecuación no lo son de la inecuación.

Por tanto, la solución es (−�, 0) ∪ (9, +�).

d) Resolvemos la ecuación: x2 − 9 = 0


Si x = −10 → (−10)2 − 9 > 0 → (−�, −3) no es solución de la inecuación.

Si x = 0 → 02 − 9 < 0 → (−3, 3) es solución de la inecuación.

Si x = 10 → 102 − 9 > 0 → (3, +�) no es solución de la inecuación.


Por tanto, la solución es (−3, 3).

e) El primer miembro de la inecuación siempre será positivo. Por tanto, la inecuación no tiene solución.

f ) Resolvemos la ecuación: (x − 3)(x + 4) = 0


Si x = −10 → (−10 − 3)(−10 + 4) > 0 → (−�, −4) es solución de la inecuación.

Si x = 0 → (0 − 3)(0 + 4) < 0 → (−4, 3) no es solución de la inecuación.

→ xx

1

2

43

= −=

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

→ xx

1

2

33

= −=

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

xx

1

2

09

==

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

xx

1

2

12

==

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

024



131

Si x = 10 → (10 − 3)(10 + 4) > 0 → (3, +�) es solución de la inecuación.

Las soluciones de la ecuación lo son también de la inecuación.

Por tanto, la solución es (−�, −4] ∪ [3, +�).

g) Resolvemos la ecuación: (x + 3)x = 4


Si x = −10 → (−10 + 3) ⋅ (−10) − 4 > 0 → (−�, −4) no es solución de la inecuación.

Si x = 0 → (0 − 3) ⋅ 0 − 4 < 0 → (−4, 1) es solución de la inecuación.

Si x = 10 → (10 − 3) ⋅ 10 + 4 > 0 → (1, +�) no es solución de la inecuación.



h) Resolvemos la ecuación: x2 − x − 30 = 0


Si x = −10 → (−10)2 −10 − 30 > 0 → (−�, −5) no es solución de la inecuación.

Si x = 0 → 02 − 0 − 30 < 0 → (−5, 6) es solución de la inecuación.

Si x = 10 → 102 − 10 − 30 > 0 → (6, +�) no es solución de la inecuación.



i) El primer miembro de la inecuación es siempre mayor o igual que cero. Por tanto, la inecuación no tiene solución.

j) El primer miembro de la inecuación es siempre mayor o igual que cero. Por tanto, la inecuación no tiene solución.

Resuelve estas inecuaciones de grado superior, siguiendo el método utilizado para las inecuaciones de segundo grado.

a) (x −2)(x −3)(x2 −2) ≥0 c) x3 + 2x2 + 3x −6 <0b) x(x −4)(x + 1)(x3 −1) ≤0 d) x4 −5x3 + 4x2 + 9x −9 >0

a) Resolvemos la ecuación: (x − 2)(x − 3)(x2 − 2) = 0

Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:x = −10 x = 0 x = 1,5 x = 2,5 x = 10

Si x = −10 → (−10 − 2)(−10 − 3)((−10)2 − 2) > 0 → es solución.Si x = 0 → (0 − 2)(0 − 3)(02 − 2) < 0 → no es solución.

Si x = 1,5 → (1,5 − 2)(1,5 − 3)(1,52 − 2) > 0 → es solución.Si x = 2,5 → (2,5 − 2)(2,5 − 3)(2,52 − 2) < 0 → (2, 3) no es solución.Si x = 10 → (10 − 2)(10 − 3)(102 − 2) > 0 → (3, +�) es solución.Las soluciones de la ecuación lo son de la inecuación.

Por tanto, la solución es .− − ∪ ∪� �, 2 2 2 3( ⎤⎦⎡⎣

⎤⎦ +, [ , )

2 2,( )2 2, −( )

− −�, 2( )

→

x

xxx

1

2

3

4

22

23

= −===

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

025

→ xx

1

2

56

= −=

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

→ xx

1

2

41

= −=

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

4SOLUCIONARIO


132

b) Resolvemos la ecuación: x(x − 4)(x +1)(x3 − 1) = 0

Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:x = −10 x = −0,5 x = 0,5 x = 2 x = 10

Si x = −10 → −10 ⋅ (−10 − 4)(−10 + 1)((−10)3 − 1) > 0 → (−�, −1) no es solución.

Si x = −0,5 → −0,5 ⋅ (−0,5 − 4)(−0,5 + 1)((−0,5)3 − 1) < 0 → (−1, 0) es solución.

Si x = 0,5 → 0,5 ⋅ (0,5 − 4)(0,5 + 1)(0,53 − 1) > 0 → (0, 1) no es solución.

Si x = 2 → 2 ⋅ (2 − 4)(2 + 1)(23 − 1) < 0 → (1, 4) es solución.

Si x = 10 → 10 ⋅ (10 − 4)(10 + 1)(103 − 1) > 0 → (4, +�) no es solución.

Las soluciones de la ecuación lo son de la inecuación.

Por tanto, la solución es [−1, 0] ∪ [1, 4].

c) Resolvemos la ecuación: x3 + 2x2 + 3x − 6 = 0 → x = 1

Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:

x = 0 x = 10

Si x = 0 → 03 + 2 ⋅ 02 + 3 ⋅ 0 − 6 < 0 → (−�, 1) es solución.

Si x = 10 → 103 + 2 ⋅ 102 + 3 ⋅ 10 − 6 > 0 → (1, +�) no es solución.


Por tanto, la solución es (−�, 1).

d) Resolvemos la ecuación: x4 − 5x3 + 4x2 + 9x − 9 = 0

Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:x = −10 x = 0 x = 2 x = 2,5 x = 10

Si x = −10 → (−10)4 − 5 ⋅ (−10)3 + 4 ⋅ (−10)2 + 9 ⋅ (−10) − 9 > 0

→ es solución.

Si x = 0 → 04 − 5 ⋅ 03 + 4 ⋅ 02 + 9 ⋅ 0 − 9 < 0 → no es solución.

Si x = 2 → 24 − 5 ⋅ 23 + 4 ⋅ 22 + 9 ⋅ 2 − 9 > 0 → es solución.

Si x = 2,5 → 2,54 − 5 ⋅ 2,53 + 4 ⋅ 2,52 + 9 ⋅ 2,5 − 9 < 0 →no es solución.

Si x = 10 → 104 − 5 ⋅ 103 + 4 ⋅ 102 + 9 ⋅ 10 − 9 > 0 → (3, +�) es solución.


Por tanto, la solución es .− ∪ ∪�,1 13

21

1 13

2

−⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟

+⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟

, (( , )3 +�

1 13

23

+⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟,

11 13

2,

+⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

1 13

21

−⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟,

−�,1 13

2

−⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

→

x

x

x

x

1

2

3

4

1 13

211 13

23

=−

=

=+

=

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

→

xxxx

1

2

3

4

1014

= −===

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪



133

Representa en el plano la región solución de estas inecuaciones.

a) x + y <0 c) 2x −y >1

b) x −y ≤0 d) y −2 ≥0

a) c)

b) d)

Dibuja las siguientes regiones del plano.

a) Los puntos del plano con abscisa positiva.b) Los puntos del plano con ordenada mayor o igual que cero.

Encuentra una inecuación que tenga cada una de esas regiones como conjuntosolución.

a) x > 0 b) y ≥ 0

Calcula las soluciones de estos sistemas de inecuaciones.

Elegimos el intervalo que cumple las dos inecuaciones: (2, +�).

Elegimos el intervalo que cumple las dos inecuaciones: .− +⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

6

11, �

b) 73 1415 8

6

16

11

+ ≥< +

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

≥ −

> −

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪

xx x

x

x→

⎪⎪

a)2x

xxx

+ >− >

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

>>

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

3 51 11

26

→

b) 73 14

15 86

+ ≥< +

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

xx x

a)2

xx

+ >− >

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

3 51 11

028

Y

1

1 X

Y

1

1 X

027

Y

1

1 X

Y

1

1 X

Y

1

1 XX

Y

1

1

026

4SOLUCIONARIO


134

Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones con una incógnita.

Elegimos el intervalo que cumple las dos inecuaciones:

Son ciertas para todos los números reales.

Calcula las soluciones de estos sistemas de inecuaciones.

a) b)

Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones con dos incógnitas.

a) b) Y

2

2 X

Y

2

2 X

b) 4x yx

− ≥<

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

02

a) 2 32

x yx y

− + >+ <

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

6 011

031

Y

2

2 X

Y

2

2 X

b) 12 32

x yx y

− ≥− + ≤

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

712

a) 22

x yx y

+ <− + ≥

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

43

030

b) 37 2

Siempre se cum2 46

2 2

2

x x xx x x

+ < ++ ≥ −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

→ pplen.

− − − +⎡

⎣⎢⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥⎥

2 22

6

2 22

6,

a) 36 4x x

x x

x2

2

63

3 33

2

3 33

22 22

− <+ ≥

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

−< <

+

− −→

66

2 22

6≤ ≤

− +

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪x

b) 2 37 2x x x

x x x+ < +

+ ≥ −⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2 2

2

46

a) 36 4

x xx x

2

2

63

− <+ ≥

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

029



135

Comprueba si el número indicado en cada apartado es solución de la ecuación.

a) 2(x2 −x −2) + 6(3 −x) −2(x −3) −8 = 0x = −2

b) 2(−x −2)(1 −x) −2(x + 1) = 0

c) (2 + x)5x − (3x −4) + 3(x −1) −x2 + 2(x + 4) = 0

d) 3x(x −2) + 2(1 + 9x) + 11 = 0

a) No, las soluciones son x1 = 2 y x2 = 3.

b) Sí, las soluciones son x1 = − y x2 = .

c) Sí, la solución es x = .

d) No, esta ecuación no tiene solución real.

Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado con denominadores.

No tiene solución real.

x(7x + 12) = 0 → x1 = x2 = 0−12

7

d)( 2)

2 2 5 10 7 12x x x x

x x x x x x2

2 2 2

5 20 0

++

+= + + + = + =→ → 00

x x=− − ± − −

=± −( 5) ( 5)

6

2 4 3 4

2 3

5 23⋅ ⋅

⋅→

c)2 3

2 4 3 3x x x x

x x x x x x−

= −+

− = − − − + =2 2

2 2 2

21

44 5 4 0→ →

x x=− ± − ⋅

= −2 2 4 1 1

2 11

2 ⋅

⋅→

b)3 2 19 3 6 4 192

2 3 60

6

6 6 60

2 2−+

−+ =

−+

−+ =

x x x x x x x x→ → xx x2 1 0+ + =2

xx

x

=− − ± − − −

−

=− −

=

( 3) 4)

4)

3 4 40

2

3 649

82 1

2

) ( (

(

⋅ ⋅

⋅→

−− +

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪3 649

8

a) 4 4 32

3

3

4

23

120 8 9 3 23 0

22 2−

+−

+ = − + − + = − −x x

x x x x→ → ++ =40 0

d)( 2)x x x x2

5 20

+ + + =b)3 2 192

2 3 60

2− + − + =x x x x

c)2 3x x x x− = − +2 2

21

4a)

2

3

3

4

23

120

2− + − + =x x

033

−3

2

33

x = 1

2

x = − 3

2

x = 3

032

4SOLUCIONARIO


136

Busca las soluciones de las siguientes ecuaciones con fracciones algebraicasy comprueba, al menos, una de las soluciones.

Resuelve las ecuaciones de segundo grado sin utilizar la fórmula correspondiente.

a) x(x + 3) −2(x2 −4) −8 = 0 b) (2x + 3)2 −8(2x + 1) = 0

a) x(x + 3) − 2(x2 − 4) − 8 = 0

Operamos: −x2 + 3x = 0

Es una ecuación incompleta cuyas soluciones son x1 = 0 y x2 = 3.

b) (2x + 3)2 − 8(2x + 1) = 0

Operamos: 4x2 − 4x + 1 = 0

Factorizamos el primer miembro de la ecuación utilizando las igualdades notables:(2x − 1)2 = 0

La solución es x = .1

2

035

2 1

2 1

5

6

3 1 2 1

3 1

1

2

5

6

1

30

2−− +

−= − + =

⋅

⋅ ⋅

⋅

x x=− − ± − −

=( 2) ( 2)2 4 1 1

2 11

⋅ ⋅

⋅→

c)2

3 2

33 5 6 4 2

2 5

66 1

22 2−

= −−

− = − + − + =x

x

x x

xx x x x x x→ → 00

5 4

5

1 4 5

3

8

15

29

5

19

3

8

150

2 ++

−+ = − + =

⋅

x x x=− ± − −

−=

− ±−

= −13 13 4 60

2

13 37 12 ⋅ ⋅

⋅

( 5)

( 5) 101→ →

22

552x =

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

b) 15 5 20 8

5

x

x

xx x x x

22 24 1 4

3

8

150 60 0

++

−+ = + + − + =

−

→

→ xx x2 60 0+ + =13

1 3

3

3 3 1

4

1

6

8

3

10

4

1

60

2−+

++ =

−+ + =

⋅

x x x

x=

− ± − −

−=

− ±−

= −

=

5 5 4 12

2

5 13 4

3

2

2

⋅ ⋅

⋅

(

(

3)

3) 61→ →

33

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

a)3

12 9 3 2 31 1

4

1

60 12 0

22 2 2−

++

+ = − + + + = −x

x

xx x x x x→ → ++ + =5x 12 0

c)2

3 2

3

2 5

6

2− = − −x

x

x x

x

b)4x

x

x2 4 1

3

8

150

+ + − + =

a)31 1

4

1

60

2− + + + =x

x

x

034



137

La suma de las dos raíces de una ecuación de segundo grado es 4 y su producto es −21.

a) Escribe la ecuación correspondiente.

b) Determina dichas soluciones.

a) x(4 − x) = −21

b) −x2 + 4x + 21 = 0

Las soluciones son −3 y 7.

Calcula k en cada caso.

a) x2 + kx + 25 = 0 tiene una solución.b) x2 −4x + k = 0 no tiene soluciones.c) kx2 + 8x + 5 = 0 tiene dos soluciones.

a) k2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 25 = 0 → k = 10

b) (−4)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ k < 0 → (4, 8)

c) 82 − 4 ⋅ k ⋅ 5 > 0 →

Resuelve la ecuación de segundo grado utilizando las igualdades notables. Relaciona el resultado con el número de soluciones.

¿Qué valor debe tomar k para que los números indicados sean soluciones de las ecuaciones?

a) 2x2 + 5x + k = 0 b) k(x2 −5x + 1) −6(x + 2) + 4(k −x) −65 = 0

x = −2

b) k[(−2)2 − 5 ⋅ (−2) + 1] − 6 ⋅ ((−2) + 2) + 4 ⋅ (k − (−2)) − 65 = 0 → k = 3

a) 23

25

3

20 12

2

⋅⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ + + = = −⋅ k k→

x = 3

2

039

Si Tiene dos soluciones.b ac2 4 0− > →

Si Tiene una solución.b ac2 4 0− = →

Si No tiene solución.b ac2 4 0− < →

xb

a

b ac

ax

b b ac

a=

−±

−=

− ± −2

4

4

4

2

2

2

2

→

xb

a

b

a

c

ax

b

a

b

a

c

a+

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = − + = ± −

2 4 2 4

2 2

2

2

2→

xbx

a

c

ax

bx

a

b

a

b

a

c

a2 2

2

2

2

24 4+ = − + + = −→

ax bx c xbx

a

c

a2 20 0+ + = + + =→

038

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟�,

16

5

037

→ →xxx

=− ± − −

−= −=

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

4 4 4 21

2

37

2

2

⋅ ⋅

⋅

( 1)

1)1

(

036

4SOLUCIONARIO


138

¿Qué valores deben tomar a y b para que la ecuación ax2 + bx −30 = 0 tengados soluciones, x1 = 5 y x2 = −3?

Sustituimos las dos soluciones en la ecuación y formamos un sistema donde las incógnitas son a y b:

Di, sin resolverlas, cuál es la suma y el producto de las raíces de las siguientesecuaciones, y luego calcúlalas para comprobarlo.

a) x2 + 5x −14 = 0 c) 9x2 + 9x −10 = 0

b) x2 + x = 0 d) 4x2 −4x + 1 = 0

Partimos de una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son a y b: (x − a)(x − b) = 0

Después, multiplicamos: x2 − ax − bx + ab = 0 → x2 − (a + b)x + ab = 0

Por tanto, el producto de las raíces es el término independiente y la suma de las raíces es el opuesto al coeficiente del término de primer grado.

a) El producto de las raíces es −14 y la suma es −5.

Las raíces son x1 = −7 y x2 = 2.

b) El producto de las raíces es 0 y la suma es −1.

Las raíces son x1 = −1 y x2 = 0.

c) El producto de las raíces es − y la suma es −1.

Las raíces son x1 = y x2 = .

d) El producto de las raíces es y la suma es 1.

La raíz es x = .

Escribe ecuaciones de segundo grado cuyas soluciones sean:

a) x1 = −4 y x2 = 2 c) x1 = 3 y x2 = −3

b) x1 = 0 y x2 = −7 d) x1 = y x2 =

Respuesta abierta.

a) (x + 4)(x − 2) = 0

b) x(x + 7) = 0

c) (x − 3)(x + 3) = 0

d) x x−⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ −⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =

3

2

1

20

1

2

3

2

042

1

2

1

4

2

3−

5

3

10

9

041

25 59 3

75 15a ba b

a b+ − =− − =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

+30 030 0

3

5⎯→⎯→

·

·==

− ==

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

=− −

90150240 2

9 2 3

45 15120

3

a ba a

b→→ ⋅ 00 0 4= = −→ b

040



139

Resuelve las ecuaciones.

x1 = 0 x2 = 2


xxx

=− ± −

=− ± = −

= −⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

8 8 4 1 7

2 1

8 6

2

17

21

2

⋅ ⋅

⋅→

e)2

6 2 8x

x

x

x xx x x x x

+

−−

−

− −= + + − + = + +

4

3

1

60 8 1 0

2

2 2→ → 77 0=

xx

x=

− − ± − − −=

± =

= −( 5) ( 5) ( 12)2 1

2

4 3

2 3

5 13

6

34

3

⋅ ⋅

⋅→

⎧⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

d) 3 3 2x

x

x

x xx x x x x

2

2 2

4

1

2

3

22 2 6 8

−+

−+

=−

− + − + = + − +→

→ 33 5x x2 12 0− − =

x =− − ± − −

=± −( )3 4 1 6

2 1

3 15

2

2( 3) ⋅ ⋅

⋅

c) 2 3− +

−−

−−

= − + + − + = − + =x

x

x

xx x x x x

3

1

9

10 3 9 0 6

2

2 2→ → 00

x x1 27 7= − =

b) 3 33

2

5

10 3 10 0 7 02 2

x

x

xx x x x

+−

−+

= + + − − = − =→ →

a)2

2 4 2x

x

x

xx x x x x

−−

−−+

= − + − + = − =3

1

3

10 3 3 0 0

2

2 2→ →

e)2x

x

x

x x

+−

− −− −

=4

3

1

60

2

d)x

x

x

x x2 4

1

2

3

22

−+ −

+=

−−

c)− +

−− −

−=x

x

x

x

3

1

9

10

2

b)3

2

5

10

x

x

x+− −

+=

a)2x

x

x

x

−−

− −+

=3

1

3

10

2

043

4SOLUCIONARIO


140

Estas ecuaciones tienen menos de cuatro soluciones. Determínalas.

a) 8x4 + 26x2 + 15 = 0

b) 9x4 + 80x2 −9 = 0

d) 9(1 −x2)(1 + x2) + 80x2 = 0


z2 = −9 → No tiene solución real.


z1 = 9 → x1 = −3 x2 = 3

z2 = → No tiene solución real.

Obtén las soluciones de las ecuaciones.

d)2

39

12

2

xx= −

c) 8xx x

+ =12 203

b) 3 ( 2)x xx2 2

2 2

3− = −

a)2 ( 7

2

x x x

x

3

2 126

−−

=)

045

−1

9

zz

z=

− ± − −

−=

− ±−

=

= −80 80 4 9

2

80 82

18

92 1

2

⋅ ⋅

⋅

( 9)

( 9)→ 11

9

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

d) 9(1 )(1 80 9 80− + + = − + + ==

x x x x xz x2 2 2 4 20 9 0

2

) → ⎯⎯→ −− + + =9 80z z2 9 0

z =− − ± − −

=± −( 5) ( 5)

6

2 4 6 2

2

5 23

12

⋅ ⋅

⋅

c) 6 5 6 565 2

0 2 0 2 02 4

4 2 22

− + = − + = − + ==

x xx x z z

z x→ ⎯⎯→

z x x1 1 211

3

1

3= = − =→

z z

z=

− ± − −=

− ± =

= −

⎧⎨

80 80 4 9

2 9

80 82

18

1

99

21

2

⋅ ⋅

⋅

( 9)→

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

b) 9 80 9 80x x z zz x4 2 29 0 9 0

2

+ − = + − ==⎯⎯→

zz

z=

− ± −=

− ± = −

= −

⎧

⎨26 26 4 8 15

2 8

26 14

16

3

45

2

2 1

2

⋅ ⋅

⋅→

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

a) 8 26 8 26x x z zz x4 2 215 0 15 0

2

+ + = + + ==⎯⎯→

c) 65 2

02 4

− + =x x

044



141

z1 = 9 → x1 = −3 x2 = 3

z2 = 4 → x3 = −2 x4 = 2

z1 = 1 → x1 = −1 x2 = 1

z2 = → No tiene solución real.


Completa las siguientes ecuaciones escribiendo un número en el segundo miembro,de manera que tengan estas soluciones.

b)4

1 1

5

13

12

1

x x x+

+= −

a) x x+ − + = −7 2 4 1 3

b)4

4

1 1

5

1

x x xx

++

= −

=

a) 4x x

x

+ − + ==

7 2 12

046

z =− − ± − −

=± −( ) ( )2 2 4 6 9

2 6

2 212

12

2 ⋅ ⋅

⋅

d)9

21 3 6 2 9 0 6 2 9 0

2

2 4 2 22

xx x x z zz x= − − + = − + ==→ ⎯⎯→

−5

2

zz

z=

− ± − −=

− ± =

= −

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪

3 3 4 2 5

2 2

3 7

4

15

2

2 1

2

⋅ ⋅

⋅

( )→

⎪⎪⎪

c) 8 2xx x

x x z zz x+ = + − = + − ==12 203 5 0 2 3 5 0

3

4 2 22

→ ⎯⎯→

z x x2 3 41

9

1

3

1

3= = − =→

z x x1 12= = − =→ 2 22

zz

z=

− − ± − −=

± =

=

⎧( 19) ( 19)2 1

2

4 9 2

2 9

19 17

18

21

9

⋅ ⋅

⋅→ ⎨⎨

⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

b) 3 2) 9 19x xx

x x zz x2 22

4 2 22

39 19 2 0

2

( − =−

− + = −=→ ⎯⎯→ zz + =2 0

zzz

=− − ± − −

=± =

=⎧⎨⎪( 13) ( 13)2

1

2

4 1 36

2 1

13 5

2

94

⋅ ⋅

⋅→ ⎪⎪

⎩⎪⎪

a)2 ( 7 )

213 1

x x x

xx x z

z x3

2

4 2 2

126 36 0

2−

−= − + = −

=→ ⎯⎯→ 33z + =36 0

4SOLUCIONARIO


142

Resuelve y comprueba las soluciones.

Estas ecuaciones tienen cero, una o dos soluciones. Determínalas.

a) No tiene solución.

b) Tiene dos soluciones: x1 = 2 x2 = 6

c) Tiene dos soluciones: x1 = 2 x2 = −4

d) Tiene una solución: x = 4

e) No tiene solución.

c) 3x x x2 8 0+ − + =

e) 2x x− − − + =2 5 1 0b) 3x x− − − =2 2 2

d)3

1

5

3+= −

x

xa) 42 1 3 3 5 0x x+ − − − =

048

x = + − − − = − − =7 7 2 7 6 2 3 1 2 0→

d) x x x x x x+ − − − = + = − + − + = −2 6 2 0 2 6 4 6 4 1 6→ →

x =−

−=

−3

2 3 2

3 5

2

21→

⋅�

x =−

−= =9

2 9 2

9 5

4

41→

⋅

xxx

=− − ± − −

=± =

=⎧⎨⎪( ) ( )12 12 4 1 27

2 1

12 6

2

93

21

2

⋅ ⋅

⋅→ ⎪⎪

⎩⎪⎪

c)2 2

51 12 27 02x

xx x

−−

= − + =→

x = + − + = +0 2 3 0 1 2 0 2 2 1 2 0→ ⋅ ⋅ ⋅ �

x = + − + = − + =5 2 3 5 1 2 5 2 2 4 10 2 0→ ⋅ ⋅ ⋅

b) 2 3 1 2 2 0 4 20 02x x x x+ − + = − =→

x = + +11 11 2 11 3 6→ ⋅ �

x = + + =3 3 2 3 3 6→ ⋅

xxx

=− − ± − −

=± =

=⎧⎨

( ) ( )14 14 4 1 33

2 1

14 8

2

311

21

2

⋅ ⋅

⋅→ ⎪⎪⎪

⎩⎪⎪

a) x x x x x x x+ + = + = − + − + =2 3 6 2 3 12 36 14 33 02 2→ →

d) x x+ − − − =2 6 2 0b) 3 22 1 2 0x x+ − + =

c)2x

x

−−

=2

51a) 2x x+ + =3 6

047



143

Las ecuaciones tienen tres soluciones. Dada una solución, calcula las otras dos soluciones.

a) (x + 3)(x2 −2x −3) = 0 b) (2a −1)(4a2 + 20a + 25) = 0x = −3

a) Resolvemos la ecuación x2 − 2x − 3 = 0:

b) Resolvemos la ecuación 4a2 + 20a + 25 = 0:

Halla la solución de estas ecuaciones.

a) x3 + 4x2 + x −6 = 0 c) x2(x2 + 1) + 2x3 + 36 = 12x(x + 1)

b) x2(x + 6) = 32 d) 2x3 −5x2 −14x + 8 = 0

x1 = −3 x2 = −2 x3 = 1

x1 = −4 x2 = 2

x1 = −3 x2 = 2

12

12

13

13

1

224263330

1183

12990

126

181

−

−

−

−

−

−

−

−−

−880

3636

0−

c) x x x x x x x x x2 2 3 4 3 21 2 36 12 1 2 11 12( ) ( )+ + + = + + − − +→ 336 0=

12

14

14

1

6284440

0161616

0

3232

0−

−

−

−

−

−b) x x x x2 3 26 32 6 32 0( )+ = + − =→

a) 11

12

13

1

4152330

15660

660

−

−

−

−

−

−

050

a a=− ± −

= =20 20 4 4 25

2 4

20

8

5

2

2 ⋅ ⋅

⋅→

xxx

=− − ± − − −

=± = −

=⎧⎨⎪( ) ( ) ( )2 2 4 1 3

2 1

2 4

2

13

21

2

⋅ ⋅

⋅→ ⎪⎪

⎩⎪⎪

a = 1

2

049

4SOLUCIONARIO


144

x1 = x2 = −2 x3 = 4

Escribe ecuaciones factorizadas que tengan las soluciones y el grado indicados.

a) Grado 3 y soluciones 5, −2 y 7. b) Grado 4 y soluciones 1, −3 y −4.

Respuesta abierta.

a) (x + 2)(x − 5)(x − 7) = 0 b) (x − 1)2(x + 3)(x + 4) = 0

Halla las soluciones de estas ecuaciones.

a) 6x3 −7x2 −x + 2 = 0

b) 4x3(x −3) + 2x2 + 30(x + 1) = 23x(x −1)

c) x4 + 3x3 −11x2 + 2x = 0

Resolvemos la ecuación 6x2 − x − 2 = 0:

Resolvemos la ecuación 4x2 − 8x − 5 = 0:

x x x x1 2 3 41

22

5

23= − = − = =

xx

x=

− − ± − − −=

± = −

=

( ) ( ) ( )8 8 4 4 5

2 4

8 12

8

1

25

2

2 1

2

⋅ ⋅

⋅→

⎧⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

4 12 212 8 40

4 20 193 12 24

4 8 5

533815150

30− −− −

−−

− −

−

−

−−300

b) 4 3 2 30 1 23 1 4 12 213 2 4 3x x x x x x x x( ) ( ) ( )− + + + = − − −→ xx x2 53 30 0+ + =

x x x1 2 31

2

2

31= − = =

xx

x=

− − ± − − −=

± = −

=

( ) ( ) ( )1 1 4 6 2

2 6

1 7

12

1

22

3

2 1

2

⋅ ⋅

⋅→

⎧⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

a) 6 7 1 21 6 1 2

6 1 2 0

− −− −

− −

052

051

1

2

2 1 0

1

2

x

x

− =

=

d) 2 52 4

2 94 8

2 1

1418

440

880

−− −

−

−

−

−

−



145

c) x4 + 3x3 −11x2 + 2x = 0 → x(x3 + 3x2 − 11x + 2) = 0

Resolvemos la ecuación x2 + 5x − 1 = 0:

Resuelve estas ecuaciones.

x x x1 2 341

42= − = =

4 1 0

1

4

x

x

− =

=

4 7 342 8 30

4 15 44 16 4

4 1 0

880

−

−− −

−

−

b) 3 47 6 17 4

4 7 342 3 2xx

x

xx x x+

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

−+ − +

( ) → 88 0=

x x x1 2 32 13

2= − = − =

2 3 0

3

2

x

x

− =

=

21

22

2

32143

51660

660

−

−

−

−−

−−−

−

a)x x

xx

x x x x3 2

3 2

3

1

61 2 3 5 6 0

++

+= + + − − =→

c)x

x x2

167 1 0( )+ + + =

e)2 4x x x

x

2

2

2

13

( )− ++

=b) 317

xx

x

x2 4

7 6 4+⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = −( )

d)3

1

2

1

1 5

2x x x++

−− =a)

x xx

xx

3 2

3

1

61

+ + + = +

053

x x x x1 2 3 45 29

2

5 29

20 2=

− −=

− += =

x =− ± − −

=− ±5 5 4 1 1

2 1

5 29

2

2 ⋅ ⋅

⋅

( )

1 3 112 2 10

1 5 1

220

−

−−

4SOLUCIONARIO


146

Resolvemos la ecuación x2 + 3x + 4 = 0:

x = −4

Resolvemos la ecuación −5x2 − 2x − 1 = 0:

x = 2

Resolvemos la ecuación 2x2 − x + 1 = 0:

x = 3

Del sistema de ecuaciones se sabe que x = −1 forma parte de su solución.Determina el valor de y.

− + =− = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

=25

x yx y

y2

2 20→

3(2 1) 6(43( 2

x y x yx y x y

+ − − − =− + + − + =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

))

156 4

054

x =− − ± − − ⋅ ⋅

⋅=

± −( ) ( )1 1 4 2 1

2 2

1 7

4

2

→ No tiene soluciónn real.

2 7 43 6 3

2 1 1

330

−−

−

−

e)2 2 4

13 2 7 4 3 0

2

2

3 2x x x

xx x x

( )− ++

= − + − =→

x =− − ± − − ⋅ − ⋅ −

⋅ −=

± −−

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2 4 5 1

2 5

2 16

10

2

→ No ttiene solución real.

−− −

− − −−

5 8 32 10 4

5 2 1

220

d)3

1

2

1

1 5

25 8 3 2 03 2

x x xx x x

++

−− = − + + + =→

x =− ± − ⋅ ⋅

⋅=

− ± −3 3 4 1 4

2 1

3 7

2

2

→ No tiene solución real..

1 7 164 4 12

1 3 4

16160

− − − −

c)x

x x x x x2

3 2

167 1 0 7 16 16 0( )+ + + = + + + =→



147

Resuelve los siguientes sistemas.

Sistema compatible indeterminado.

Sistema incompatible.

Dada la ecuación 2x −5y = 14, encuentra otra ecuación para que juntas formenun sistema de dos ecuaciones que:

a) Tenga una sola solución. c) Tenga infinitas soluciones.

b) No tenga soluciones.

Respuesta abierta.

a) 3x − 7y = 1 b) 2x − 5y = 0 c) 4x − 10y = 28

Halla, si es posible, un valor de a para que el sistema:

a) Sea incompatible.

b) Sea compatible indeterminado.

c) Sea compatible determinado.

a) No es posible. b) a = 6 c) a � 6

Encuentra, si es posible, un valor de b para que el sistema:

a) Sea incompatible.

b) Sea compatible indeterminado.

c) Sea compatible determinado.

El sistema es siempre compatible determinado.

8

4

12

9�

−

8 124 9

x yx y b

− =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

20

058

6

9

4

6 36 6−

=−

= =a

a a→

6 4 129 18

x yx ay

− =− + = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

057

056

b) 6 2 3 3 2 3 7 03 6 2

( ) ( )( ) ( )

x y x y xx y x y y

− − − + − + + =− − − + ==

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

− =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪0

15 215 0

→ x yx y

a) − + + − − =+ − + − + =

2 4 3 3 2 1 125 4 1 2 10 0

( ) ( )( ) ( )

x yx y x y

⎫⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

− − =+ + =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= − −→ →2 6 123 6 0

3 6x yx y

x y

b) ( 2 3) 3(2 3)3( 6 ) 2(

6 7 0x y x y xx y x y y

− − − + − + + =− − − +) ==

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪0

a) 22

− + + − − =+ − + − + =

2 4 3 3 1 125 4 1 10 0

( ) ( )( ) ( )

x yx y x y

⎫⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

055

4SOLUCIONARIO


148

Resuelve los siguientes sistemas con tres ecuaciones y dos incógnitas, y representa las soluciones.

x = 1 y = −3

Las soluciones de las dos primeras ecuaciones son x = 3 e y = 4, que no verifican la tercera ecuación. Por tanto, el sistema es incompatible.

x = 1 y = −2

Las soluciones de la segunda y tercera ecuaciones son x = e y = 6,

que no verifican la primera ecuación. Por tanto, el sistema es incompatible.

Simplifica estos sistemas de ecuaciones, y utiliza el método de Gauss para obtener su solución.

b) 5 2 115 10 11

52 2 13

p qp q

pE E E

+ =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

+= −

⎯⎯⎯⎯→22 1

16 8

2

51

2

qq

p

q

=− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

=

= −

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

→

a) 4 6 06 9 6

4 62 2 12 3

x yx y

xE E E

+ =− = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

+= −

⎯⎯⎯⎯→yyy

x

y

=− = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= −

=

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

036 12

1

21

3

→

d)x y

x y

− + − =

− + + =

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪⎪

53

2 15

2

24

13

3

b) 5 2 115 10 11

p qp q

+ =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c)3

3 2 1 6 4 152 6 4

( ) ( )x y x yx y x y+ − − − =

− + + − + =⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

a) 4 6 06 9 6

x yx y

+ =− = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

060

10

3

d) − + =− =− = −

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

4 2 06 3 23 2 2

x yx yx y

c) 2 03 2 1

3 7

4 2 02x yx yx y

x y+ =

− − =− =

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

+ =−

⋅⎯→33 2 1

1 4 1 2 0 2x y

x y y− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= ⋅ + = = −→ → →

b) x yx yx y

+ =− =− =

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

72 23 2 0

a) 2 14

4 1

44

x yx yx y

x y+ = −

− + = −− − = −

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

− + = −−

→xx y

x y y− = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= − + = − = −1

1 1 4 3→ → →

d) 4 26 33 2

− + =− =− = −

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

x yx yx y

02

2

b)23 2

x yx yx y

+ =− =− =

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

720

c) 23 2

3

x yx yx y

+ =− − =

− =

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

017

a) 2

4

x yx yx y

+ = −− + = −

− − = −

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

141

059



149

Resuelve estos sistemas de ecuaciones, aplicando el método de Gauss.

Sistema incompatible.

Sistema compatible indeterminado.

d) 6 2 3 5 2 3 1 3 6

163

1

( ) ( )x y x yy

x

+ − − − + − + =

=−

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

− =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

=−→ →16 3 16

16 3 1616 16

3

x yx y

yx

c) − + − − − + = −+ − − + = −

( ) ( )( ) ( )

2 3 2 6 1 154 3 12 3

x y x yx x y 332

8 3 118 12 8

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

− + = −− + = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

→

⎯⎯⎯⎯→

x yx y

EE E Ex y

y

x

y2 2 1

8 3 119 3

3213

= − − + = −=

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

=

=

⎧

⎨

⎪⎪→

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

b)x y

x y x y

+−

−=

− +−

+ −=

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

3

9

5

80

2 1

2

2 3

50

→→ →8 24 9 45 010 5 5 2 4 6 0

8x yx y x y

x+ − + =− + − − + =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

−− =−− =−

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

− == −

9 698 9 11

8 92 2 1

yx y

x yE E E

⎯⎯⎯⎯→−−

=⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

690 58

a)2 3

3

1

53

5

2

2 1

30

10x y

x yx

++

+=

−−

−=

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

→ ++ + + =− − + =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

+ =15 3 3 453 15 4 2 0

10 3 273

yx y

x yx

→−− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

+ =−

= −

4 13

10 3 27492 2 110 3

y

x yy

E E E⎯⎯⎯⎯→ ==

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

== −

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪49

31

→ xy

d) 2 2 33

6 3 5 1 3 6

161

( ) ( )x y x yy

x

+ − − − + − + =

=−

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

b)x y

x y x y

+ − − =

− + − + − =

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪⎪

3

9

5

80

2 1

2

2 3

50

c) − + − − − + = −+ − − + = −

( ) ( )( ) ( )

2 3 2 6 1 154 3 12 3

x y x yx x y 332

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

a)2

2

x y

x y

+ + + =

− − − =

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪⎪

3

3

1

53

5

2

1

30

061

d)x y

x yx

−+

−=

−+

+=

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

−5

3

2 1

52

2

4

1

33

5 2→ 55 6 3 306 3 4 4 36

5 6 583 4

+ − =− + + =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

+ =− +

yx y

x yx

→yy

x yy

E E E

=⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

+ ==

⎫= +

26

5 6 5838 3042 2 15 3

⎯⎯⎯⎯→ ⎬⎬⎪⎪⎭⎪⎪

==

xy

28

c) 3 2 1 6 4 153 2 6 4

( ) ( )x y x yx y x y+ − − − =

− + + − + =⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

→→ − + =− = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

=18 9 182 2

2x yx y

y x

4SOLUCIONARIO


150

Determina las soluciones de estos sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas,utilizando el método de Gauss.

Resuelve, empleando el método de Gauss.

a) x y zx y zx y z

E+ + =

+ − =+ + =

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

=10

2 22 15

2⎯⎯⎯→EE E

E E E

x y zy z

z

2 1

3 3 1

102 8

5

−

= −

+ + =− = −

=

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪

⎯⎯⎯→ ⎪⎪⎪

===

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

→xyz

325

f) 4 3 5 2 02 6 2 0

8 9 11 10 0

x y zx y z

x y z

+ + + =− + − − =

+ + + =

⎫⎬⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

c) 2 4 03 2 5

1

x y zx y z

x y z

+ + =− − =

− + − =

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

e) 2 2 8 123 5 7

3 4 32

x y zx y z

x y z

+ − =− + + =

+ − =

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

b) 3 105 10

6 3 2 22

x y zx z

x y z

− − = −− = −

− + + =

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

d) 2 3 34 3 102 3 8

x y zy z

x y z

− + =− =

− + + = −

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

a) x y zx y zx y z

+ + =+ − =+ + =

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

102 2

2 15

063

d) 2 4 03 2 5

1

2x y z

x y zx y z

E+ + =

− − =− + − =

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

⎯⎯⎯→== −

= +

+ + =− − =

−

2

2

2 1

3 3 1

2 4 010 5 10

6

E E

E E E

x y zy z

y⎯⎯⎯→ zz

x y zy zE E E

=

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

+ + =− −= +

2

2 4 010 5

3 3 235⎯⎯⎯→

==− =

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

===−

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

104 8

10

2z

xyz

→

c) 2 3 5 04 6 7 3

3 3

x y zx y z

x y z

+ + =− − + = −

− + =

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

⎯⎯⎯⎯→⎯⎯⎯→

E E E

E E E

x y zz2 2 1

3 3 1

2

2 3

2 3 5 017 3

= +

= −

+ + == −

−111 13 6

177

18763

1873

17

y z

x

y

z− =

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

=

= −

= −

⎧

→ ⎨⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

b) 2 43 2 12 1

2x y z

x y zx y z

E− + =

− + − =+ + =

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

⎯⎯⎯→== +

= −

− + =− =+ =−

2

22 1

3 3 1

2 45 3 65 2

E E

E E E

x y zy zy z⎯⎯⎯→

⎫⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

− + =− =

=−

⎫

= −⎯⎯⎯→E E E

x y zy z

z3 3 2

2 45 3 6

4 8⎬⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

===−

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

→xyz

30

2

a) 2 3 112 3 6

2

x y zx y z

x y z

+ + =− + =

− + − = −

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

⎯⎯⎯→EE E E

E E E

x y zy z

y

2 2 1

3 3 1

2

2

2 3 117 5 1

5

= −

= +

+ + =− + =

⎯⎯⎯→ −− =

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

+ + =− +

= +

z

x y zy

E E E

7

2 3 117

3 3 27 5⎯⎯⎯⎯→

55 118 54

123

zz

xyz

==

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

===

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

→

d) 2 43 2

x y zx y z

x y z

+ + =− − =

− + − =

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

051

b) 23 22

2 2

2

x y zx y zx y z

− + =− + − =

+ + =

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

411

c) 2 3 54 6 7

3

x y zx y z

x y z

+ + =− − + = −

− + =

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

03

3

a) 2 32 3

3

3 3

x y zx y zx y z

+ + =− + =

− + − = −

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

116

2

062



151

Resuelve las inecuaciones.

a) −x + 15 ≤3 −7x c) −x −13 ≤3 + 7x

b) x + 11 ≥3 −4x d) 2x + 11 ≥6 + 5x

a) −x + 15 ≤ 3 − 7x → 6x ≤ −12 → x ≤ 2 → (−�, −2]

b) x + 11 ≥ 3 − 4x → 5x ≥ −8 → x ≥ →

c) −x − 13 ≤ 3 + 7x → −16 ≤ 8x → −2 ≤ x → [−2, +�)

d) 2x + 11 ≥ 6 + 5x → 5 ≥ 3x → ≥ x → −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎤

⎦⎥⎥�,

5

35

3

− +⎡

⎣⎢⎢

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

8

5, �−

8

5

064

f ) 4 3 5 2 02 6 2 0

8 9 11 10 0

x y zx y z

x y z

+ + + =− + − − =

+ + + =

⎫

⎬⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

+ + = −= +

= −⎯⎯⎯→⎯⎯⎯→

E E E

E E E

x y z2 2 1

3 3 1

2

2

4 3 5 2215 3 2

3 6

4 3

3 3 25

y zy z

x

E E E

+ =+ = −

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

+

= −⎯⎯⎯→

yy zy z

z

x

y

z

+ = −+ =

= −

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

=

=

=

5 215 3 2

2 32

1710

3→

−−

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪ 16

e) 2 2 8 123 5 7

3 4 32

x y zx y z

x y z

+ − =− + + =

+ − =

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

⎯⎯⎯⎯→⎯⎯⎯→

E E E

E E E

x y zy z2 2 1

3 3 1

2

2 3

2 2 8 128 2

= +

= −

+ − =+ ==

+ =

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪+ −

= −

262 22 28

2 2 8

3 3 24

y z

x y z

E E E⎯⎯⎯→

==+ =

=

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

===

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩

128 2 26

86 86

731

y zz

xyz

→ ⎪⎪⎪⎪

d) 2 3 34 3 102 3 8

x y zy z

x y z

− + =− =

− + + = −

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪ ⎯⎯⎯→

EE E E

x y zy zy z3 3 12

2 3 34 3 10

7 13= +

− + =− =+ = −

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

− + =− =

= −

⎫

⎬⎪⎪

= −⎯⎯⎯→E E E

x y zy z

z3 3 24

2 3 34 3 10

31 62

⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

=== −

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

→xyz

41

2

c) 2 4 03 2 5

1

2x y zx y z

x y z

E+ + =− − =

− + − =

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

⎯⎯⎯→== −

= +

+ + =− − =

−

2

2

2 1

3 3 1

2 4 010 5 10

6

E E

E E E

x y zy z

y⎯⎯⎯→ zz

x y zy zE E E

=

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

+ + =− −= +

2

2 4 010 5

3 3 235⎯⎯⎯→

==− =

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

=== −

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

104 8

10

2z

xyz

→

b) 3 105 10

6 3 2 22

x y zx z

x y z

− − = −− = −

− + + =

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪ ⎯⎯⎯⎯→

E E E

x y zx zx z3 3 13

3 105 103 8

= +

− − = −− = −− = −

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

− − = −− = −− =

⎫

⎬⎪⎪

= −⎯⎯⎯→

E E E

x y zx z

x3 3 2

3 105 10

2 2

⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

= −==

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

→xyz

125

4SOLUCIONARIO


152

Encuentra la solución de las inecuaciones.

(1, +�)

Determina las soluciones de estas inecuaciones.

El primer miembro de la inecuación es siempre positivo, por lo que siempre se cumple. Es cierta para todos los números reales.

Resolvemos la ecuación:

Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:x = −10 x = −1 x = 0

Si x = −10 → 2 ⋅ (−10)2 + 7 ⋅ (−10) + 3 > 0 → (−�, −3) no es solución de la inecuación.

2 7 3 031

2

21

2

x xx

x+ + =

= −

= −

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

→

b)3 1

2 31 0 9 3 2 2 6 0 2 7 3

22 2x x x

x x x x x−

−−

+ < − − + + < + + <→ → 00

a)x x x

x x x x x+

+−

> + + − > + + >2

3

1

50 5 10 3 3 0 3 2 10 02 2( ) → →

c)2 2

xx x− − − + ≥1

3

1

45

2

e)12 2x x x x

x− − − ≥ + −1

4 3

1

3

2 2

b)3x x x− − − + <1

2 31 0

2

d)2 16

33

2 30

2

− − + + ≥x x xa)

(x x x+ + − >2

3

1

50

)

066

c) 12 5

6

1 4

2

1

30 6 2 5 3 12 2 2 0−

−+

−−

−< − + + − − + <

x x xx x x→

→ −− < − >16 16 1x x→

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎤

⎦⎥⎥�,

63

22

b)− +

+−

+ ≥ − + + − + ≥

−

2 3

5

6 4

3

1

20 12 18 60 40 15 0

22

x xx x→

→ xx x≥ − ≤6363

22→

− +⎡

⎣⎢⎢

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

37

49, �

a)1 5

42

4 3

5

1

25 25 32 24 10

49 37

−−

+≤ − − − ≤

− ≤

x xx x

x x

→

→ → ≥≥ −37

49

b)3 4− + + − + ≥2

5

6

3

1

20

x x

c)2 4

15

6

1

2

1

30− − + − − − <x x x

a)5 31

42

4

5

1

2

− − + ≤x x

065



soluciones tema 4

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