soluções no espaço de estados e realizações (c. t. chen, capítulo 4) sistemas lineares
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Soluções no Espaço de Estados e Realizações
(C. T. Chen, Capítulo 4)
Sistemas Lineares
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Solução da descrição entrada-saída
Não há uma forma analítica simples de calcular a convolução
A forma mais simples é calcular numericamente esta equação discretizada, ou seja, calcular
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Caso de Sistemas LIT• Neste caso pode-se utilizar a relação para calcular a solução ,
via transformada inversa de Laplace (solução no domínio da frequência)– Se o sistema é distribuído, não será uma função racional de s. Se for
este o caso, exceto em alguns casos especiais é mais simples computar a solução diretamente no domínio do tempo, como em (4.1)
– Se o sistema é concentrado, será uma função racional de s. Neste caso, se também for uma função racional de s, então a solução pode ser obtida tomando-se a transformada de Laplace inversa de . Tal método requer computar os polos, gerar a expansão em frações parciais e usar uma tabela de Transformadas de Laplace, para obter a transformada inversa de cada fração parcial. Em MATLAB usam-se as funções roots (cálculo dos polos) e residue (cálculo dos resíduos nos polos, para fazer a expansão em frações parciais).
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• Havendo polos repetidos, a computação da solução pode tornar-se muito sensível a pequenas variações nos dados, como erros causados por arredondamento. Portanto, computar a solução via Transformada de Laplace não é um método viável em computadores digitais, pois sempre haverá erros numéricos
• Um método mais adequado é transformar funções de transferência em equações no espaço de estados, e então calcular sua solução
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Solução de Equações de Estado LIT
Sejam as equações no espaço de estados lineares e invariantes no tempo
onde , , , e são matrizes constantes , , , e , respectivamente, é um vetor , é um vetor e é um vetor .
Deseja-se obter a solução excitada pelo estado inicial e a entrada . Tal solução depende da função exponencial de estudada na Seção 3.6.
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A função mais importante de é a função exponencial . Dado que a série de Taylor
converge para todos e , tem-se que
Propriedades importantes de
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• Para provar (3.54), toma-se (3.53) com e leva-se em conta (3.52). Para calcular , basta diferenciar termo a termo (3.51), obtendo-se
que é o resultado em (3.55).
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Verificando que (4.5) é solução de (4.2)
Devemos mostrar que (4.5) satisfaz (4.2) e a condição inicial em . Para , (4.5) se reduz a
e, portanto, (4.5) satisfaz a condição inicial.
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Cálculo de e
Tais valores são calculados no domínio do tempo.Para isto basta calcular
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Como calcular
Opções para cálculo da inversa de
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Exemplo 4.1
𝑠(𝑠+1 )2
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Exemplo 4.1
𝑠(𝑠+1 )2
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Exemplo 4.2𝑠
(𝑠+1 )2
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Discretização
Simples, porém imprecisa
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Método exato
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Solução de equação no espaço de estados discreta
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Solução geral para o caso discreto
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Equações de estado equivalentes
Escolhemos como variáveis de estado (corrente no indutor) e (tensão no capacitor).
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Equações de estados equivalentes
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Autovalores e FT de sistemas equivalentes
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Sistemas equivalentes ao estado zero
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Exemplo 4.4
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Formas canônicas
Forma canônica controlável
Forma de Jordan
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Forma de Jordan com coeficientes reais
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Realizações de um sistema LTI
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Decomposição direta para o caso SISO
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Solução de sistemas lineares variantes no tempo
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Caso variante
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Exemplo
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Matriz fundamental
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Exemplo 4.9
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Prova
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