Soluzioni esercizi

Corso di Matematica Discreta

I Anno

InsiemiEsercizio 1.

A B=(A B)- (A B).

Esercizio 2.

1. Idempotenza. Ipotesi A A=A. Tesi A A=A.

Dim. L’ipotesi è vera per qualunque insieme A. In

particolare per l’insieme complemento di A. Possiamo

quindi scrivere A A =A . Applicando l’operazione di

complemento ad ambo i membri dell’uguaglianza possiamo

scrivere: (A A) =A . Dalle proprietà del complemento

si ha che A A = A ed infine A A=A. Cvd

InsiemiEsercizio 2.

2. Commutativa

Ipotesi: A B = B A. Tesi: A B = B A.

Dim L’ipotesi vale per qualunque insieme, quindi

A B = B A. Si ha ancora (A B) = (B A) cioè (AB)= (B A) cioè A B = B A.

3. Associativa Ipotesi (A B) C= A (B C)

(A B) C = A (B C). Allora

((A B) C)=(A (B C)) . Quindi

(A B) C=A (B C) . Ancora

Insiemi(A B) C = A (B C) cioè

(A B) C = A (B C). Cvd.

Distributiva.

Ipotesi A (B C)=(A B) (A C).

Dim

A (B C)=(A B) (A C). Allora

(A (B C)) = ((A B) (A C)) . Quindi A ((B C) = (A B) (A C). Ancora A (B C)=(A B) (A C). Infine A (B C)=(A B) (A C).

Insiemi

Esercizio 2.

4. Assorbimento

Ipotesi A (A B)=A

Dim. A(A B)=A. Allora (A(A B))= A

E’ A((A B)=A. Ancora A (A B)=A.

Infine A (A B)=A. Cvd.

InsiemiEsercizio 3a a; a a,b; a a, a,b; a; a a, a,b; a,b b,a; .Esercizio 4E’ facile vedere che A C. Infatti dobbiamo dimostrare che x A x C. Ma dalle ipotesi (applicando la definizione di e di ) sappiamo che x A x B e y B y C. In particolare x C. Per dimostrare invece che l’inclusione è propria dobbiamo dimostrare che z C tale che z A. Dalle ipotesi sappiamo che z B / z A. Ma poiché x B x C abbiamo che z C / z A.

Applicazioni

Esercizio 1

La proiezione canonica non è iniettiva.

Infatti le coppie (x,y) e (x,z) con xA ed

y,zB, yz sono distinte ma pA(x,y)=x= pA(x,z).

Se però |B|=1 cioè B ha un solo elemento h allora

ovviamente la proiezione canonica è iniettiva.

ApplicazioniEsercizio 2

f(X)=y: y B e ( x X / f(x)=y) e f –1(Y)= x: xA e f (x) Y.

f -1(f(X))= x: xA e f (x) f(X)X. Supponiamo che

f -1(f(X))= X X A. Dimostriamo che f è iniettiva.

Supponiamo x,y A / f(x)=f(y)=z. Sia X=x e Y= y.

f -1(z)= f -1(f(X))=X e f -1 (z)= f -1(f(Y))=Y cioè

X=Y cioè x=y. Viceversa supponiamo che f sia iniettiva.

Per assurdo supponiamo che f -1(f(X)) X

Allora yX / y f -1(f(X)) , cioè f (y)=z f(X). Dalla

definizione di f(X) si ha che xX / f(x)= z= f (y). Essendo f

iniettiva x=y. Contraddizione.

Applicazioni

3. f(x)=1-3x g(x)=x-2

g f=g(f(x)=g(1-3x)=1-3x-2=-3x-1

f g=f(g(x))=f(x-2)=1-3(x-2)=1-3x+6=-3x+7

f(x)=x2+1 g(x)=1/ x2+1

g f=g(f(x)=g(x2+1)=1/ (x2+1)2+1

f g=f(g(x))=f(1/ x2+1)= (1/ (x2+1)2)+1